아즈마야 대수

환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, 영어: Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다. 아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, 영어: Brauer group)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다. 가환 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 위의 아즈마야 대수 ϕ : R → A {\displaystyle \phi \colon R\to A} 는 다음 조건을 만족시키는 R {\displaystyle R} -단위 결합 대수이다.:136, §IV.1 R {\displaystyle R} -가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 R n {\displaystyle R^{n}} 과 동형이다. a ⊗ R b ↦ ( x ↦ a x b ) {\displaystyle a\otimes _{R}b\mapsto (x\mapsto axb)} 에 의하여, A ⊗ R A op ≅ Mat ⁡ ( n ; R ) = End ⁡ ( R A ) {\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {Mat} (n;R)=\operatorname {End} (_{R}A)} 이다. 여기서 A ⊗ R A op = A e {\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }=A^{\operatorname {e} }} 는 A {\displaystyle A} 의 포락 대수(영어: enveloping algebra)이다. 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 아즈마야 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 다음 조건을 만족시키는 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -단위 결합 대수 층이다.:140, §IV.2 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 줄기 A x {\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}} 는 가환 국소환 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 위의 아즈마야 대수이다. 스킴 S {\displaystyle S} 위의 두 아즈마야 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , A ′ {\displaystyle {\mathcal {A}}'} 에 대하여, 텐서곱 A ⊗ O X A ′ {\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {A}}'} 역시 S {\displaystyle S} 위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서, S {\displaystyle S} 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다. 스킴 S {\displaystyle S} 위의 두 아즈마야 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , A ′ {\displaystyle {\mathcal {A}}'} 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -국소 자유 가군층 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 및 E ′ {\displaystyle {\mathcal {E}}'} 이 존재한다면, 서로 브라우어 동치(영어: Brauer-equivalent)라고 한다.:§2, 141 A ⊗ O X End _ ( O X E ) ≅ A ′ ⊗ O X End _ ( O X E ′ ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}})\cong {\mathcal {A}}'\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}}')} 이는 S {\displaystyle S} -아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 S {\displaystyle S} -아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 군을 이루며, 이를 S {\displaystyle S} 의 브라우어 군(영어: Brauer group) Br ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Br} (S)} 라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 [ A ] {\displaystyle [{\mathcal {A}}]} 의 역원은 그 반대 대수층의 동치류 [ A op ] {\displaystyle [{\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }]} 이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 단위 결합 대수 f : K → A {\displaystyle f\colon K\to A} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 는 K {\displaystyle K} 위의 아즈마야 대수이다. f {\displaystyle f} 는 단사 함수이며, Z ⁡ ( A ) = K {\displaystyle \operatorname {Z} (A)=K} 이며, dim K ⁡ A {\displaystyle \dim _{K}A} 는 유한하다. A {\displaystyle A} 는 양의 정수 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 이 존재한다. A ⊗ K L ≅ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle A\otimes _{K}L\cong \operatorname {Mat} (n;K)} 이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 단위 결합 대수 A {\displaystyle A} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 는 R {\displaystyle R} 위의 아즈마야 대수이다. R A {\displaystyle _{R}A} 는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, A ⊗ R A op → End ⁡ ( R A ) {\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{R}A)} 는 R {\displaystyle R} -단위 결합 대수의 동형 사상이다. R A {\displaystyle _{R}A} 는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 m ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq R} 에 대하여 A / m A {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}A} 는 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} -중심 단순 대수이다.:Theorem 1.5.3 스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다.:142, Proposition IV.2.3 즉, 스킴 S {\displaystyle S} 위의 아즈마야 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 임의의 자기 동형 f : A → A {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}} 에 대하여, f | U i : a ↦ u i a u i − 1 ∀ i ∈ I {\displaystyle f|_{U_{i}}\colon a\mapsto u_{i}au_{i}^{-1}\qquad \forall i\in I} 가 되는 S {\displaystyle S} 의 아핀 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 및 u i ∈ Unit ⁡ ( Γ ( U i , A ) ) {\displaystyle u_{i}\in \operatorname {Unit} (\Gamma (U_{i},{\mathcal {A}}))} 가 존재한다. (여기서 Unit ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Unit} (-)} 는 환의 가역원군을 뜻하며, Γ {\displaystyle \Gamma } 는 층의 단면 집합을 뜻한다.) 특히, S = Spec ⁡ K {\displaystyle S=\operatorname {Spec} K} 가 체 K {\displaystyle K} 의 스펙트럼일 경우, 모든 K {\displaystyle K} -중심 단순 대수 A {\displaystyle A} 의 자기 동형 f : A → A {\displaystyle f\colon A\to A} 에 대하여 f : a ↦ u a u − 1 {\displaystyle f\colon a\mapsto uau^{-1}} 가 되는 가역원 u ∈ Unit ⁡ ( A ) {\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (A)} 가 존재한다. 스킴 S {\displaystyle S} 의 브라우어 군 Br ⁡ S {\displaystyle \operatorname {Br} S} 에서 G m {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }} 계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.:142–145, Theorem IV.2.5 ι : Br ⁡ S → H e ´ t 2 ⁡ ( S ; G m ) {\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })} 구체적으로, 이는 다음과 같다. S {\displaystyle S} 위의 아즈마야 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치 S e ´ t {\displaystyle S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 위에 다음과 같은 올범주 F A {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}} 이 존재한다. 에탈 위치의 대상 ( ι U : ( U , O U ) → ( S , O S ) ) ∈ S e ´ t {\displaystyle \left(\iota _{U}\colon (U,{\mathcal {O}}_{U})\to (S,{\mathcal {O}}_{S})\right)\in S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 에 대하여, 올 F A ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)} 의 대상 ( E , α ) {\displaystyle ({\mathcal {E}},\alpha )} 는 유한 차원 O U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}} -국소 자유 가군층 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 와 동형 사상 α : End _ ( O U E ) → A ⊗ O S ι U ∗ O U {\displaystyle \alpha \colon {\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{U}}{\mathcal {E}})\to {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\iota _{U}}_{*}{\mathcal {O}}_{U}} 의 순서쌍이다. 올 F A ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)} 의 사상 ( E , α ) → ( E ′ , α ′ ) {\displaystyle (E,\alpha )\to (E',\alpha ')} 은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 E → E ′ {\displaystyle E\to E'} 이다. 이 올범주는 스택이자 제르브이며, G m {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }} 는 그 위에 다음과 같이 작용한다. G m ( U ) = Γ ( U , O U × ) → Aut U ⁡ ( E , α ) {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\to \operatorname {Aut} _{U}({\mathcal {E}},\alpha )} ( g ∈ Γ ( U , O U × ) ) ↦ ( g ⋅ : E → E ) {\displaystyle \left(g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\right)\mapsto (g\cdot \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}})} 따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군 H e ´ t 2 ⁡ ( S ; G m ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })} 의 원소를 표현한다. 또한, 만약 S {\displaystyle S} 가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형 ι : Br ⁡ S ↪ H e ´ t 2 ⁡ ( S ; G m ) {\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\hookrightarrow \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })} 의 상은 꼬임 부분군 Tors ⁡ ( H e ´ t 2 ⁡ ( S ; G m ) ) {\displaystyle \operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))} 에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. Br ⁡ S ⊆ Tors ⁡ ( H e ´ t 2 ⁡ ( S ; G m ) ) ⊆ H e ´ t 2 ⁡ ( S ; G m ) {\displaystyle \operatorname {Br} S\subseteq \operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))\subseteq \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })} 대수적 수체 K {\displaystyle K} 위의 중심 단순 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. 앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리(영어: Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem)에 따르면, 만약 모든 자리 v {\displaystyle v} 에 대하여 A ⊗ K K v ≅ Mat ⁡ ( dim K ⁡ A ; K v ) {\displaystyle A\otimes _{K}K_{v}\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K_{v})} 라면, A ≅ Mat ⁡ ( dim K ⁡ A ; K ) {\displaystyle A\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K)} 이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다. 체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다. 1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 브라우어 군 Br ⁡ ( R ) ≅ Z / 2 {\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z} /2} 을 계산하였다 (프로베니우스 정리). 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리). 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다. 브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다. 아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(영어: proper maximally central algebra)라는 이름으로 도입하였다.:128:§1.6 (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다. 제르브 유체론 대수적 K이론 모티브 코호몰로지 Milne, James S. (1980). 《Étale cohomology》. Princeton Mathematics Series (영어) 33. Princeton University Press. ISBN 978-0-69108238-7. Zbl 0433.14012.  Millar, Judith Ruth (2010년 9월). “K-theory of Azumaya algebras” (영어). 박사 학위 논문. Queen’s University Belfast. arXiv:1101.1468. Bibcode:2011PhDT.......288M.  Frobenius, Georg (1878). “Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 84: 1–63.  MacLagan-Wedderburn, J. H. “A theorem on finite algebras”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어). doi:10.1090/S0002-9947-1905-1500717-7. MR 1500717.  Parshall, Karen V. H. (1983). “In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H. M. Wedderburn, Leonard E. Dickson, and Oswald Veblen”. 《Archives of International History of Science》 (영어) 33: 274–299.  Brauer, Richard (1932). “Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 166: 241-248. doi:10.1515/crll.1932.166.241. ISSN 0075-4102. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Azumaya, Gorô (1951). “On maximally central algebras”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 2: 119–150. ISSN 0027-7630. MR 0040287.  Grothendieck, A. (1968). 〈Le groupe de Brauer〉. 《Dix exposés sur la cohomologie des schémas》 (프랑스어). Masson, North-Holland. 46–66쪽.  Grothendieck, A. “Exposé № 297. Le groupe de Brauer: II. Théories cohomologiques”. 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 9: 287–307. ISSN 0303-1179.  Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer-Verlag. ISBN 3-540-52117-8. Zbl 0756.11008.  Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974). 《Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 389. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0057799. ISSN 0075-8434. MR 0417149. Zbl 0284.13002.  Caenepeel, Stefaan (1998). 《Brauer groups, Hopf algebras and Galois theory》. K-Monographs in Mathematics (영어) 4. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0346-2. ISSN 1386-2804.  Serre, Jean-Pierre (1955). 《Applications algèbriques de la cohomologie des groupes. II: Théorie des algèbres simples》 (프랑스어). 파리: Secrétariat mathématique.  “Brauer group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Separable algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Azumaya algebra”. 《nLab》 (영어).  “Brauer group”. 《nLab》 (영어).