적분 변환

함수해석학에서 적분 변환(積分變換, 영어: integral transform)은 어떤 핵(영어: kernel)과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다. 원래 함수의 특성을 좀 더 쉽게 포착하고 응용하기 위해 사용한다. 보통은 변환된 함수를 역변환을 통해 원래 함수 공간으로 매핑할 수 있다. 적분 변환은 어떤 변환 T {\displaystyle T} 에 대해 다음과 같이 나타난다. ( T f ) ( u ) = ∫ t 1 t 2 f ( t ) K ( t , u ) d t {\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)K(t,u)dt} f {\displaystyle f} 는 선형 변환에 사용한 함수를, T f {\displaystyle Tf} 는 변환된 함수를 나타낸다. 적분 변환은 일종의 수학적 연산자이다. K {\displaystyle K} 는 원래의 함수와 변환된 함수의 변수를 모두 가지고 있는 함수로, 적분변환은 이 함수를 잘 선택하여 얻는다. 위 식에서 K {\displaystyle K} 를 변환의 커널(kernel) 혹은 핵이라고 부른다. 어떤 커널들은 자신과 연관된 (간단하게 말해서)역커널 K − 1 ( u , t ) {\displaystyle K^{-1}(u,t)} 이 존재하고, 그것에 대해 역변환을 생각할 수 있다. f ( t ) = ∫ u 1 u 2 ( T f ) ( u ) K − 1 ( u , t ) d u {\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u2}(Tf)(u)K^{-1}(u,t)du} 한편, 커널의 변수의 위치를 바꿔도 커널이 바뀌지 않는 커널을 대칭커널이라고 한다.. 다시 말해서 K ( t , u ) = K ( u , t ) {\displaystyle K(t,u)=K(u,t)} 인 커널 K {\displaystyle K} 은 대칭커널이다. 적분 방정식에서 대칭 커널은 자기 수반 연산자이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 및 F ↠ M {\displaystyle F\twoheadrightarrow M} 그렇다면, 곱공간 M × M {\displaystyle M\times M} 의 사영 함수 proj 1 , proj 2 ↠ M {\displaystyle \operatorname {proj} _{1},\operatorname {proj} _{2}\twoheadrightarrow M} 를 통해, M × M {\displaystyle M\times M} 위의 매끄러운 벡터 다발 E ⊠ F ∗ = proj 1 ∗ ⁡ E ⊗ proj 2 ∗ ⁡ F ∗ {\displaystyle E\boxtimes F^{*}=\operatorname {proj} _{1}^{*}E\otimes \operatorname {proj} _{2}^{*}F^{*}} 를 정의할 수 있다. ( E , F ) {\displaystyle (E,F)} -핵(核函數, 영어: kernel)은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다. K ∈ Γ ∞ ( ( E ⊗ | Λ ( M ) | ) ⊠ ( F ∗ ⊗ | Λ ( M ) | ) ) {\displaystyle K\in \Gamma ^{\infty }\left(\left(E\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\boxtimes \left(F^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\right)} (여기서 Γ ∞ {\displaystyle \Gamma ^{\infty }} 는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, | Λ ( M ) | {\displaystyle {\sqrt {|\Lambda (M)|}}} 는 무게 ( dim ⁡ M ) / 2 {\displaystyle (\dim M)/2} 의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.) E {\displaystyle E} 에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자. Γ comp ∞ ( E ∗ ⊗ | Λ ( M ) | ) {\displaystyle \Gamma _{\text{comp}}^{\infty }({\mathcal {E}}^{*}\otimes |\Lambda (M)|)} 여기서 Γ comp ∞ ( − ) {\displaystyle \Gamma _{\text{comp}}^{\infty }(-)} 는 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다. | Λ ( M ) | {\displaystyle |\Lambda (M)|} 은 M {\displaystyle M} 위의, 무게 dim ⁡ M {\displaystyle \dim M} 의 텐서 밀도의 실수 선다발이다. 이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다. E {\displaystyle E} 의 일반화 단면(一般化斷面, 영어: generalized section)의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를 Γ − ∞ ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{-\infty }(E)} 로 표기하자. ( E , F ) {\displaystyle (E,F)} -핵 K {\displaystyle K} 에 대응되는 적분 변환은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다. Γ − ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle \Gamma ^{-\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} s ↦ ∫ M K ( x , y ) s ( x ) d x {\displaystyle s\mapsto \int _{M}K(x,y)s(x)\,\mathrm {d} x} 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 및 F ↠ M {\displaystyle F\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 와 F {\displaystyle F} 위의 (매끄러운) 노름 슈와르츠 핵 정리(Schwartz核定理, 영어: Schwartz kernel theorem)에 따르면, 콤팩트 공간 M {\displaystyle M} 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다. Γ ∞ ( ( E ⊗ | Λ ( M ) | ) ⊠ ( F ∗ ⊗ | Λ ( M ) | ) ) → B ⁡ ( Γ − ∞ ( E ⊗ | Λ M | ) , Γ ( F ⊗ | Λ M | ) ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }\left(\left(E\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\boxtimes \left(F^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\right)\to \operatorname {B} \left(\Gamma ^{-\infty }(E\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}}),\Gamma (F\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\right)} K ↦ ( s ↦ ( y ↦ ∫ M s ( x ) K ( x , y ) d x ) ) ( K ∈ Γ ∞ ( ( E ⊗ | Λ ( M ) | ) ⊠ ( F ∗ ⊗ | Λ ( M ) | ) ) , s ∈ Γ − ∞ ( E ⊗ | Λ M | ) , y ∈ M ) {\displaystyle K\mapsto \left(s\mapsto \left(y\mapsto \int _{M}s(x)K(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\right)\qquad \left(K\in \Gamma ^{\infty }\left(\left(E\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\boxtimes \left(F^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\right),\;s\in \Gamma ^{-\infty }(E\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}}),\;y\in M\right)} 여기서 B ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \operatorname {B} (-,-)} 는 유계 작용소들의 노름 공간을 뜻한다. 유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다. 슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다. Philip M. Morse; Herman Feshbach (1953). 〈8〉. 《Methods of Theoretical Physics》. International Series in Pure and Applied Physics 1. McGRAW-HILL Book company. 908쪽.  Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.  L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230 미분방정식 합성곱 위키미디어 공용에 적분 변환 관련 미디어 분류가 있습니다. “Integral transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Kernel of an integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Nuclear bilinear form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Fredholm kernel”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Schwartz kernel theorem for topological spaces” (영어). Math Overflow.