뢰벤하임-스콜렘 정리

모형 이론에서 뢰벤하임-스콜렘 정리(Löwenheim-Skolem定理, 영어: Löwenheim–Skolem theorem)는 논리적 언어의 특정한 크기를 갖는 모형의 존재에 대한 정리다. 1차 논리의 중요한 특성 가운데 하나이다. 부호수 σ {\displaystyle \sigma } 의 구조 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음 두 명제가 성립한다.:44–48:151–154 (상향 뢰벤하임-스콜렘 정리 영어: upward Löwenheim–Skolem theorem) 만약 | M | ≥ ℵ 0 {\displaystyle |M|\geq \aleph _{0}} 이라면, 모든 기수 κ ≥ | M | + | σ | {\displaystyle \kappa \geq |M|+|\sigma |} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 σ {\displaystyle \sigma } -구조 N {\displaystyle N} 이 존재한다. | N | = κ {\displaystyle |N|=\kappa } 기본 매장 j : M ↪ N {\displaystyle j\colon M\hookrightarrow N} 이 존재한다. (하향 뢰벤하임-스콜렘 정리 영어: downward Löwenheim–Skolem theorem) 모든 부분집합 X ⊂ M {\displaystyle X\subset M} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 σ {\displaystyle \sigma } -구조 N {\displaystyle N} 이 존재한다. | N | ≤ | X | + | σ | + ℵ 0 {\displaystyle |N|\leq |X|+|\sigma |+\aleph _{0}} 기본 매장 j : N ↪ M {\displaystyle j\colon N\hookrightarrow M} 이 존재하며, X ⊂ j ( N ) ⊂ M {\displaystyle X\subset j(N)\subset M} 이다. 여기서 | σ | {\displaystyle |\sigma |} 는 부호수 σ {\displaystyle \sigma } 에 속한 연산의 집합의 크기와 관계의 집합의 크기의 합이다. 표준 모형(영어: standard model)을 갖춘 고차 논리에서는 뢰벤하임-스콜렘 정리가 성립하지 않는다. 다만, 고차 논리에서 헹킨 모형(영어: Henkin model 또는 영어: general model)을 사용하면, 고차 논리는 사실상 1차 논리가 된다. 이 경우, 뢰벤하임-스콜렘 정리가 자명하게 적용된다. 뢰벤하임-스콜렘 정리는 다음과 같이 증명될 수 있다. 임의의 자연수 n {\displaystyle n} 및 M {\displaystyle M} 의 각 1차 논리 명제 ϕ ( x 1 , … , x n , y ) {\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},y)} 에 대하여, 선택 공리를 사용하여 다음 성질을 만족시키는 함수 f ϕ : M n → M {\displaystyle f_{\phi }\colon M^{n}\to M} 를 정의할 수 있다. M ⊨ ∃ y : ϕ ( x → , f ϕ ( x → ) ) {\displaystyle M\models \exists y\colon \phi ({\vec {x}},f_{\phi }({\vec {x}}))} 이거나, 아니면 M ⊨ ¬ ∃ y : ϕ ( x → , y ) {\displaystyle M\models \lnot \exists y\colon \phi ({\vec {x}},y)} 이다. 이러한 함수를 스콜렘 함수(영어: Skolem function) X ⊂ M {\displaystyle X\subset M} 에 대하여, 다음을 정의하자. X 0 = X {\displaystyle X_{0}=X} X i + 1 = { f ϕ ( x → ) : n ∈ N , x → ∈ M n , ϕ ∈ σ } {\displaystyle X_{i+1}=\{f_{\phi }({\vec {x}})\colon n\in \mathbb {N} ,\;{\vec {x}}\in M^{n},\;\phi \in \sigma \}} ϕ {\displaystyle \phi } 를 x = y {\displaystyle x=y} 로 놓으면, X i + 1 ⊃ X i {\displaystyle X_{i+1}\supset X_{i}} 인 것을 알 수 있다. 또한, | X i | ≤ | X i + 1 | ≤ | X i | + | σ | + ℵ 0 {\displaystyle |X_{i}|\leq |X_{i+1}|\leq |X_{i}|+|\sigma |+\aleph _{0}} 이다. 그렇다면 N = ⋃ i ∈ N X i ⊃ X {\displaystyle N=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}\supset X} 는 타르스키-보트 판정법(영어: Tarski–Vaught test)에 따라서 M {\displaystyle M} 의 기본 부분 구조이며, | N | ≤ | X | + | σ | + ℵ 0 {\displaystyle |N|\leq |X|+|\sigma |+\aleph _{0}} 이다. 부호수 σ {\displaystyle \sigma } 에, M {\displaystyle M} 의 각 원소에 대응하는 0항 연산을 추가한 부호수 σ ⊔ M {\displaystyle \sigma \sqcup M} 을 정의하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 σ ⊔ M {\displaystyle \sigma \sqcup M} 에 대한 이론 Th σ ⊔ M ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Th} _{\sigma \sqcup M}(M)} 을 생각하자. 이를 M {\displaystyle M} 의 기본 도표(영어: elementary diagram)라고 한다. σ ⊔ M {\displaystyle \sigma \sqcup M} 에 κ {\displaystyle \kappa } 개의 새 0항 연산 { c i } i ∈ I {\displaystyle \{c_{i}\}_{i\in I}} 를 추가하고, 기본 도표 Th σ ⊔ M ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Th} _{\sigma \sqcup M}(M)} 에 κ 2 {\displaystyle \kappa ^{2}} 개의 명제 c i ≠ c j ( i , j ∈ I , i ≠ j ) {\displaystyle c_{i}\neq c_{j}\qquad (i,j\in I,\;i\neq j)} 를 추가하자. 이 이론은 콤팩트성 정리에 따라 모형을 가지며, 그 모형의 크기는 항상 κ {\displaystyle \kappa } 이상이다. 그렇다면 이 모형에서 추가한 0항 연산들을 망각하고, 하향 뢰벤하임-스콜렘 정리를 사용하여 크기가 정확히 κ {\displaystyle \kappa } 인 σ {\displaystyle \sigma } -모형을 찾을 수 있으며, 이 모형은 정의에 따라 M {\displaystyle M} 을 기본 부분 구조로 갖는다. 1차 논리로 서술된 집합론(예를 들어, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)을 생각하자. 만약 이 집합론이 충분히 강력하다면, 이 집합론에서 비가산 집합의 존재를 증명할 수 있다. 그러나 하향 뢰벤하임-스콜렘 정리에 따르면 이 집합론은 가산 무한 모형을 가진다. 이를 스콜렘 역설(영어: Skolem’s paradox)이라고 하며, 토랄프 스콜렘이 1922년에 지적하였다. 스콜렘 역설은 모순이 아니며, 다음과 같이 해소된다. 집합론에서는 함수 역시 집합의 일종으로 구현된다. 비가산 집합의 존재는 다음 성질을 만족시키는 집합 S {\displaystyle S} 의 존재를 의미한다. 단사 함수 f : N → S {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to S} 가 존재한다. 전사 함수 f : N → S {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to S} 는 존재하지 않는다. 집합론의 가산 모형에서, 이는 다음과 같이 해석된다. 모형 속에서, 단사 함수 f : N → S {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to S} 를 나타내는 원소가 존재한다. 모형 속에서, 전사 함수 f : N → S {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to S} 를 나타내는 원소는 존재하지 않는다. (그러나 물론 모형이 가산 모형이므로 모형 밖에서는 이러한 전사 함수를 정의할 수 있다.) 독일의 수리논리학자 레오폴트 뢰벤하임(Leopold Löwenheim)과 노르웨이의 수리논리학자 토랄프 스콜렘이 1915년에 증명하였다.:151 괴델의 완전성 정리 콤팩트성 정리 Marker, David (2002). 《Model theory: an introduction》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 217. Springer. doi:10.1007/b98860. ISBN 978-0-387-98760-6. ISSN 0072-5285. Zbl 1003.03034.  Enderton, Herbert B. (2002). 《A mathematical introduction to logic》 (영어) 2판. Academic Press. doi:10.1016/B978-0-08-049646-7.50001-1. ISBN 978-0-12-238452-3. Zbl 0992.03001. 2014년 11월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 24일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Johan, van Benthem; Kees Doets (2001). 〈Higher-order logic〉 (PDF). D. M. Gabbay, F. Guenthner. 《Handbook of philosophical logic, volume 1》 (영어) 2판. Kluwer. 189–243쪽. doi:10.1007/978-94-015-9833-0_3. 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