시그마 콤팩트 공간

일반위상수학에서 시그마 콤팩트 공간(σ-compact空間, 영어: sigma-compact space)은 콤팩트 공간의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다. 가산 개의 콤팩트 집합들의 합집합이다. 즉, X = ⋃ i = 0 ∞ K i {\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }K_{i}} 인 콤팩트 집합의 열 K 0 , K 1 , ⋯ ⊆ X {\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X} 가 존재한다. 혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정한다.:289 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다. 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 K 0 , K 1 , ⋯ ⊆ X {\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X} 가 존재한다. 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 에 대하여, K ⊆ K i {\displaystyle K\subseteq K_{i}} 인 자연수 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간 모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다. 증명: 국소 콤팩트 린델뢰프 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라, U i ⊆ K i ( ∀ i ∈ I ) {\displaystyle U_{i}\subseteq K_{i}\qquad (\forall i\in I)} 인 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 및 콤팩트 집합들의 집합족 ( K i ) i ∈ I {\displaystyle (K_{i})_{i\in I}} 가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 의 가산 부분 덮개 { i 0 , i 1 , … } ⊆ I {\displaystyle \{i_{0},i_{1},\dots \}\subseteq I} 를 잡자. 이제, C n = K i 0 ∪ ⋯ ∪ K i n ( n ∈ N ) {\displaystyle C_{n}=K_{i_{0}}\cup \cdots \cup K_{i_{n}}\qquad (n\in \mathbb {N} )} 은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 는 { U i 0 , U i 1 , … } {\displaystyle \{U_{i_{0}},U_{i_{1}},\dots \}} 의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 C n {\displaystyle C_{n}} 에 포함된다. 즉, X {\displaystyle X} 는 반콤팩트 공간이다. 모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 증명: 귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 K 0 , K 1 , ⋯ ⊆ X {\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X} 을 잡자. 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 에 대하여, K ⊆ K i {\displaystyle K\subseteq K_{i}} 인 자연수 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 귀류법의 가정에 따라, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 를 잡자. 제1 가산성에 따라, x {\displaystyle x} 의 가산 국소 기저 U 0 ⊇ U 1 ⊇ ⋯ {\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq \cdots } 를 잡자. 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 x n ∉ U n ∖ K n {\displaystyle x_{n}\not \in U_{n}\setminus K_{n}} 을 고르자. 그렇다면, K = { x } ∪ { x 0 , x 1 , … } {\displaystyle K=\{x\}\cup \{x_{0},x_{1},\dots \}} 는 콤팩트 집합이지만, 어떤 K n {\displaystyle K_{n}} 에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다. 시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다. 유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.:126, Exercise 17I.3 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다. 증명: 만약 X = ⋃ i = 0 ∞ X i {\displaystyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }X_{i}} Y = ⋃ i = 0 ∞ Y i {\displaystyle Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }Y_{i}} 이며, X i , Y i {\displaystyle X_{i},Y_{i}} 가 콤팩트 집합이라면, X × Y = ⋃ i = 0 ∞ ⋃ j = 0 ∞ X i × Y j {\displaystyle X\times Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }\bigcup _{j=0}^{\infty }X_{i}\times Y_{j}} 이며, X i × Y j {\displaystyle X_{i}\times Y_{j}} 는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} , B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 에 대하여, A ⊆ X i A {\displaystyle A\subseteq X_{i_{A}}} , B ⊆ Y j B {\displaystyle B\subseteq Y_{j_{B}}} 인 i A , j B ∈ N {\displaystyle i_{A},j_{B}\in \mathbb {N} } 이 존재하며, p : X × Y → X {\displaystyle p\colon X\times Y\to X} q : X × Y → Y {\displaystyle q\colon X\times Y\to Y} 가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X × Y {\displaystyle K\subseteq X\times Y} 에 대하여, K ⊆ p ( K ) × q ( K ) ⊆ X i p ( K ) × Y j q ( K ) {\displaystyle K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}} 이다. 시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.:316 가산 무한 이산 공간 N {\displaystyle \mathbb {N} } 은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 N ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}} 은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.:126, Exercise 17I.3 증명: 곱공간을 N ω {\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }} 로 적고, 사영 함수들을 p i : N ω → N ( i < ω ) {\displaystyle p_{i}\colon \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {N} \qquad (i<\omega )} 로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열 K 0 , K 1 , ⋯ ⊆ N ω {\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq \mathbb {N} ^{\omega }} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, p i ( K j ) {\displaystyle p_{i}(K_{j})} 는 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의 i < ω {\displaystyle i<\omega } 에 대하여 n i ∈ N ∖ p i ( K i ) {\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} \setminus p_{i}(K_{i})} 를 잡자. 그렇다면, ( n i ) i < ω ∉ K 0 ∪ K 1 ∪ ⋯ {\displaystyle (n_{i})_{i<\omega }\not \in K_{0}\cup K_{1}\cup \cdots } 이므로, N ω {\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }} 는 시그마 콤팩트 공간이 아니다. 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다. 증명: 만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다. 유리수 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다. 증명: 이는 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 가 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  Willard, Stephen (1970). 《General topology》. Addison-Wesley Series in Mathematics (영어). Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. Zbl 0205.26601.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-compact topological space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Sigma-compact topological space”. 《nLab》 (영어).  “Hemicompact space”. 《nLab》 (영어).  “Sigma-compact space”. 《Topospaces》 (영어).  “Hemicompact space”. 《Topospaces》 (영어).  “σ-compact”. 《PlanetMath》 (영어).  “Hemicompact space”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition: sigma-compact space”. 《ProofWiki》 (영어).  “σ-compact”. 《Encyclopedia of Compactness Wiki》 (영어). 2024년 7월 22일에 확인함.  “Hemicompact”. 《Encyclopedia of Compactness Wiki》 (영어). 2024년 7월 22일에 확인함.