막 스캔

초끈 이론에서 막 스캔(幕scan, 영어: brane scan)은 각 차원에서 존재할 수 있는 BPS 막들의 분류이다. p {\displaystyle p} 차원 막이 D {\displaystyle D} 차원 시공간 속에서 움직인다고 하자. 이는 매장 ξ : R p + 1 → R D − 1 , 1 {\displaystyle \xi \colon \mathbb {R} ^{p+1}\to \mathbb {R} ^{D-1,1}} 으로 주어진다. 편의상 정적 게이지(영어: static gauge)를 사용하여, 이를 ξ = ( ξ ⊥ , id ) {\displaystyle \xi =(\xi ^{\perp },\operatorname {id} )} ξ ⊥ : R p + 1 → R D − p − 1 {\displaystyle \xi ^{\perp }\colon \mathbb {R} ^{p+1}\to \mathbb {R} ^{D-p-1}} 로 나타낼 수 있다. 즉, p {\displaystyle p} 차원 막은 D − p − 1 {\displaystyle D-p-1} 개의 보손 자유도를 갖는다. 이제, 세계 부피 초대칭을 위하여, 페르미온을 생각하자. 페르미온은 세계 부피 로런츠 군 SO ⁡ ( p , 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,1)} 의 스피너 표현을 따른다. 이 차원에서의 최소 비(非)손지기 스피너(즉, 디랙 스피너 또는 마요라나 스피너)의 실수 성분의 수가 M = { 2 ⌊ ( p + 1 ) / 2 ⌊ ( p − 1 ) mod 8 ∈ { 0 , ± 1 , ± 2 } 2 ⌊ ( p + 1 ) / 2 ⌊ + 1 ( p − 1 ) mod 8 ∉ { 0 , ± 1 , ± 2 } {\displaystyle M={\begin{cases}2^{\lfloor (p+1)/2\lfloor }&(p-1){\bmod {8}}\in \{0,\pm 1,\pm 2\}\\2^{\lfloor (p+1)/2\lfloor +1}&(p-1){\bmod {8}}\not \in \{0,\pm 1,\pm 2\}\end{cases}}} 이라고 하고, 초대칭 수가 N = 2 n {\displaystyle {\mathcal {N}}=2^{n}} 이라고 하자. 그렇다면, 그 질량 껍질 위 자유도의 수는 1 4 M 2 n {\displaystyle {\frac {1}{4}}M2^{n}} 이다. 여기서 인자 ¼는 다음과 같다. 게이지 대칭인 κ-대칭에 의하여 성분이 ½로 줄어든다. (κ-대칭의 존재는 시공간에서 ½-BPS 조건에 해당한다.) 질량 껍질 조건을 가하면 성분이 ½로 줄어든다. 즉, 초대칭 막이 존재하려면 다음이 성립해야 한다. D − p − 1 = 1 2 M 2 n {\displaystyle D-p-1={\frac {1}{2}}M2^{n}} 마지막으로, D {\displaystyle D} 차원 초중력의 존재에 의하여, D ≤ 11 {\displaystyle D\leq 11} 이다. 이에 따라, 가능한 초대칭 막은 다음 12개이다.:443, Table 1 특히, 만약 ( D , p ) {\displaystyle (D,p)} 가 가능하다면 ( D − 1 , p − 1 ) {\displaystyle (D-1,p-1)} 역시 가능함을 알 수 있다. 이는 물리학적으로 D {\displaystyle D} 차원 시공간을 한 차원 축소화하고, p {\displaystyle p} -막을 축소화한 차원에 감는 것에 해당한다. 이렇게 하면, 막들은 다음과 같은 네 개의 족으로 분류된다. D − p − 1 = 8 {\displaystyle D-p-1=8} . ( D , p ) = ( 11 , 2 ) {\displaystyle (D,p)=(11,2)} 일 때 이는 M2-막에 해당하며, ( D , p ) = ( 10 , 1 ) {\displaystyle (D,p)=(10,1)} 일 때 이는 초끈 이론의 끈에 해당한다. D − p − 1 = 4 {\displaystyle D-p-1=4} . ( D , p ) = ( 6 , 1 ) {\displaystyle (D,p)=(6,1)} 일 때 이는 꼬마 끈 이론에 해당한다. D − p − 1 = 2 {\displaystyle D-p-1=2} D − p − 1 = 1 {\displaystyle D-p-1=1} 이 분류는 세계 부피에 스칼라장 이외의 보손 장이 존재하지 않는 것을 전제로 한다. 만약 기타 보손 장이 존재한다면 추가 종류의 막들이 가능하다. 예를 들어, D-막은 일반적으로 세계 부피에 미분 형식 장들을 갖는다. 막 스캔은 사실 각 차원의 초대칭 대수의 중심 전하의 존재를 나타낸다. 구체적으로, 각 차원에서 감마 행렬들을 조합하여, 다음과 같은 반대칭 연산자들을 만들 수 있다.:59, Table 3.2 여기서, “감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수”가 p {\displaystyle p} 라면, 임의의 두 (최소 표현) 스피너 χ , ψ {\displaystyle \chi ,\psi } 에 대하여 다음이 성립한다. ψ ¯ γ μ 1 … μ p χ = − χ ¯ γ μ 1 … μ p ψ {\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}\chi =-{\bar {\chi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}\psi } γ μ 1 … μ p = γ [ μ 1 γ μ 2 ⋯ γ μ p ] {\displaystyle \gamma {\mu _{1}\dotso \mu _{p}}=\gamma _{[\mu _{1}}\gamma _{\mu _{2}}\dotsm \gamma _{\mu _{p}]}} 위 표의 성분은 법 4에 대한 것이다. 즉, p {\displaystyle p} 가 가능하다면 p + 4 {\displaystyle p+4} , p + 8 {\displaystyle p+8} , … 역시 가능하다. 예를 들어, d = 4 {\displaystyle d=4} 의 마요라나 스피너 ψ {\displaystyle \psi } 에 대하여, p = 2 {\displaystyle p=2} 가 수록돼 있으므로, ψ ¯ γ μ ν χ = − χ ¯ γ μ ν ψ {\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma _{\mu \nu }\chi =-{\bar {\chi }}\gamma _{\mu \nu }\psi } ψ ¯ γ μ 1 … μ 6 χ = − χ ¯ γ μ 1 … μ 6 ψ {\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{6}}\chi =-{\bar {\chi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{6}}\psi } 이다. 마찬가지로, d = 7 {\displaystyle d=7} 일 때, p = 0 {\displaystyle p=0} 이 수록돼 있으므로, ψ ¯ χ = − χ ¯ ψ {\displaystyle {\bar {\psi }}\chi =-{\bar {\chi }}\psi } 이다. 이 표로부터, 각 차원에 존재하는 초대칭 대수의 중심 전하들을 읽을 수 있으며, 이는 각 차원에 존재하는 막에 대응한다. 예를 들어, d = 11 {\displaystyle d=11} 일 때, N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 대수는 다음과 같은 두 중심 전하를 갖는다.:(1), §2 { Q α , Q ¯ β } = γ α β μ P μ + 1 2 γ α β μ ν Z μ ν + 1 5 ! γ α β μ ν ρ σ τ Z μ ν ρ σ τ {\displaystyle \{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\beta }\}=\gamma _{\alpha \beta }^{\mu }P_{\mu }+{\frac {1}{2}}\gamma _{\alpha \beta }^{\mu \nu }Z_{\mu \nu }+{\frac {1}{5!}}\gamma _{\alpha \beta }^{\mu \nu \rho \sigma \tau }Z_{\mu \nu \rho \sigma \tau }} 이는 위 표에서 p = 1 , 2 mod 4 {\displaystyle p=1,2{\bmod {4}}} 의 존재에 해당한다. 따라서, 11차원 초중력(M이론)에는 M2-막과 M5-막이 존재할 수 있다. 1987년에 스칼라장 이외의 텐서장이 없다는 가정 아래 최초로 도입되었다. 이후 텐서장 등을 포함한 막들이 역시 마찬가지로 분류되었다. “막 스캔”(영어: brane scan 브레인 스캔[*])이라는 이름은 뇌 스캔(영어: brain scan 브레인 스캔[*])에 대한 언어 유희이다. Achúcarro, A.; Evans, J. M.; Townsend, P. K.; Wiltshire, D. L. (1987). “Super p-branes”. 《Physics Letters B》 (영어) 198 (4): 441–446. Bibcode:1987PhLB..198..441A. doi:10.1016/0370-2693(87)90896-3.  Fiorenza, Domenico; Sati, Hisham; Schreiber, Urs (2015년 2월). “Super-Lie n-algebra extensions, higher WZW models and super p-branes with tensor multiplet fields”. 《International Journal of Geometric Methods in Modern Physics》 (영어) 12 (2): 1550018. arXiv:1308.5264. doi:10.1142/S0219887815500188. ISSN 0219-8878.  Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine. 《Supergravity》 (영어).  de Wit, B.; Nicolai, H. “Hidden symmetries, central charges and all that” (영어). arXiv:hep-th/0011239.  Duff, Michael James; Lu, J. X. (1993). “Type II p-branes: the brane-scan revisited”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 390: 276–290. arXiv:hep-th/9207060. doi:10.1016/0550-3213(93)90457-Z.  “Brane scan”. 《nLab》 (영어).  Schreiber, Urs. “The brane bouquet” (영어).  “What is kappa symmetry?” (영어). Stack Exchange.