선 그래프

그래프 이론에서 선 그래프(線graph, 영어: line graph)는 어떤 그래프의 변들을 꼭짓점으로 삼고, 원래 그래프의 변의 인접 여부를 변으로 삼는 그래프이다. 끝을 선으로 연결한 그래프는 꺾은선 그래프라고 한다. (무향 단순) 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 선 그래프 L ( Γ ) {\displaystyle L(\Gamma )} 는 다음과 같은 그래프이다. V ( L ( Γ ) ) = E ( Γ ) {\displaystyle V(L(\Gamma ))=E(\Gamma )} . 즉, 선 그래프의 꼭짓점은 원래 그래프의 변과 일대일 대응한다. E ( L ( Γ ) ) = { ( v 1 v 2 ) ( v 2 v 3 ) : v 1 v 2 , v 2 v 3 ∈ E ( Γ ) } {\displaystyle E(L(\Gamma ))=\{(v_{1}v_{2})(v_{2}v_{3})\colon v_{1}v_{2},v_{2}v_{3}\in E(\Gamma )\}} . 즉, 선 그래프의 변은 원래 그래프의 서로 인접한 한 쌍의 변과 일대일 대응한다. 연결 성분 Γ 1 , … , Γ c {\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{c}} 을 갖는 그래프의 선 그래프는 다음과 같다. L ( Γ 1 ⊔ ⋯ ⊔ Γ c ) = L ( Γ 1 ) ⊔ ⋯ ⊔ L ( Γ c ) {\displaystyle L(\Gamma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \Gamma _{c})=L(\Gamma _{1})\sqcup \cdots \sqcup L(\Gamma _{c})} 휘트니 정리(영어: Whitney theorem)에 따르면, 임의의 두 연결 그래프 Γ 1 {\displaystyle \Gamma _{1}} , Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{2}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. L ( Γ 1 ) ≅ L ( Γ 2 ) {\displaystyle L(\Gamma _{1})\cong L(\Gamma _{2})} Γ 1 ≅ Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{1}\cong \Gamma _{2}} 이거나, { Γ 1 , Γ 2 } = { K 3 , K 1 , 3 } {\displaystyle \{\Gamma _{1},\Gamma _{2}\}=\{K_{3},K_{1,3}\}} 이거나, { Γ 1 , Γ 2 } = { K 0 , K 1 } {\displaystyle \{\Gamma _{1},\Gamma _{2}\}=\{K_{0},K_{1}\}} . 여기서 K n {\displaystyle K_{n}} 은 완전 그래프, K m , n {\displaystyle K_{m,n}} 은 완전 이분 그래프이다. 이는 해슬러 휘트니가 증명하였다. 임의의 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. L ( Γ ′ ) ≅ Γ {\displaystyle L(\Gamma ')\cong \Gamma } 인 그래프 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 이 존재한다. Γ {\displaystyle \Gamma } 는 9개의 특별한 그래프들을 유도 부분 그래프로 포함하지 않는다 (그림 참조). 유한 연결 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. Γ ≅ L ( Γ ) {\displaystyle \Gamma \cong L(\Gamma )} Γ {\displaystyle \Gamma } 는 순환 그래프 C n {\displaystyle C_{n}} 이다 ( n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ). 임의의 유한 연결 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 그래프의 열 Γ , L ( Γ ) , L ( L ( Γ ) ) , … {\displaystyle \Gamma ,L(\Gamma ),L(L(\Gamma )),\dots } 은 다음 네 가지 가운데 하나의 현상을 보인다. 만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 순환 그래프라면 이는 항등열이다. 만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 완전 이분 그래프 K 1 , 3 {\displaystyle K_{1,3}} 라면 C 3 ≅ L ( G ) ≅ L ( L ( G ) ) = ⋯ {\displaystyle C_{3}\cong L(G)\cong L(L(G))=\cdots } 이다. 만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 경로 그래프 P n {\displaystyle P_{n}} 이라면 L ( P n ) = P n − 1 {\displaystyle L(P_{n})=P_{n-1}} 이므로 결국 공 그래프 P 0 {\displaystyle P_{0}} 이 된다. Γ {\displaystyle \Gamma } 가 순환 그래프나 경로 그래프 또는 K 1 , 3 {\displaystyle K_{1,3}} 가 아니라면, | V ( L n ( Γ ) ) | {\displaystyle |V(L^{n}(\Gamma ))|} 와 | E ( L n ( Γ ) ) | {\displaystyle |E(L^{n}(\Gamma ))|} 는 무한대로 발산한다. 연결 그래프가 아닌 경우, 각 연결 성분에 위 분류가 적용된다. 예를 들어 아래 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 선 그래프 L ( Γ ) {\displaystyle L(\Gamma )} 는 아래와 같다. 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 선 그래프 L ( Γ ) {\displaystyle L(\Gamma )} Beineke, L. W. (1968). 〈Derived graphs of digraphs〉. H. Sachs, H.-J. Voss, H.-J. Walter. 《Beiträge zur Graphentheorie》 (영어). Leipzig: Teubner. 17–33쪽.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) Beineke, L. W. (1970). “Characterizations of derived graphs”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 9 (2): 129–135. doi:10.1016/S0021-9800(70)80019-9. MR 0262097.  van Rooij, A. C. M.; Herbert Wilf (1965). “The interchange graph of a finite graph”. 《Acta Mathematica Hungarica》 (영어) 16 (3–4): 263–269. doi:10.1007/BF01904834.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Weisstein, Eric Wolfgang. “Line graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.