ADM 형식

아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, 영어: Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론을 해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다. 시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량 껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다. 그리스 문자 첨자 μ , ν , ⋯ = 0 , 1 , … , D {\displaystyle \mu ,\nu ,\dots =0,1,\dots ,D} 는 D + 1 {\displaystyle D+1} 차원 시공간을, 로마자 첨자 i , j , ⋯ = 1 , … , D {\displaystyle i,j,\dots =1,\dots ,D} 는 D {\displaystyle D} 차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 c = 1 {\displaystyle c=1} 로 놓자. D + 1 {\displaystyle D+1} 차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 g μ ν ( D + 1 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }^{(D+1)}} 의 ( D + 1 ) ( D + 2 ) / 2 {\displaystyle (D+1)(D+2)/2} 개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상을 게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) x μ ↦ x μ + δ x μ {\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\delta x^{\mu }} 와 같은 꼴이므로, g μ ν ( D + 1 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }^{(D+1)}} 의 성분 가운데 D + 1 {\displaystyle D+1} 개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데 1 2 ( D + 1 ) ( D + 2 ) − ( D + 1 ) = 1 2 D ( D + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(D+1)(D+2)-(D+1)={\frac {1}{2}}D(D+1)} 개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.:(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b) g μ ν ( D + 1 ) = ( g i j N i N j − N 2 N i N i g i j ) {\displaystyle g_{\mu \nu }^{(D+1)}={\begin{pmatrix}g^{ij}N_{i}N_{j}-N^{2}&N_{i}\\N_{i}&g_{ij}\end{pmatrix}}} g ( D + 1 ) μ ν = ( − 1 / N 2 g i j N j N 2 g i j N j / N 2 g i j − g i m g j n N m N n / N 2 ) {\displaystyle g_{(D+1)}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1/N^{2}&g^{ij}N_{j}N^{2}\\g^{ij}N_{j}/N^{2}&g^{ij}-g^{im}g^{jn}N_{m}N_{n}/N^{2}\end{pmatrix}}} 여기서 보조장 N {\displaystyle N} 과 ( N i ) i = 1 , … , D {\displaystyle (N_{i})_{i=1,\dots ,D}} 는 각각 경과장(經過場, 영어: lapse 랩스[*]) 및 이동장(移動場, 영어: shift 시프트[*])이라고 불린다. ( g i j ) i , j = 1 , … , D ) {\displaystyle (g^{ij})_{i,j=1,\dots ,D})} 는 ( g i j ) i , j = 1 , … , D {\displaystyle (g_{ij})_{i,j=1,\dots ,D}} 의 역행렬이다(특히, ( g μ ν ( D + 1 ) ) μ , ν = 0 , … , D ) {\displaystyle (g_{\mu \nu }^{(D+1)})_{\mu ,\nu =0,\dots ,D})} 의 역행렬의 성분이 아니다). g ( D + 1 ) 0 , 0 {\displaystyle g_{(D+1)}^{0,0}} 는 ( g μ ν ( D + 1 ) ) μ , ν = 0 , … , D {\displaystyle (g_{\mu \nu }^{(D+1)})_{\mu ,\nu =0,\dots ,D}} 의 역행렬의 한 성분이다. 이 경우, D + 1 {\displaystyle D+1} 차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.:(3.12) − det ( g μ ν ) = N 2 det ( g i j ) {\displaystyle -\det(g_{\mu \nu })=N^{2}\det(g_{ij})} 즉, 경과장 N {\displaystyle N} 은 D + 1 {\displaystyle D+1} 차원 계량으로 측정한 D + 1 {\displaystyle D+1} 차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 D {\displaystyle D} 차원 계량으로 측정한 D {\displaystyle D} 차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다. 이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 A μ = ( A 0 , A i ) {\displaystyle A_{\mu }=(A_{0},A_{i})} 의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 A 0 {\displaystyle A_{0}} 가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, N {\displaystyle N} 과 N i {\displaystyle N_{i}} 역시 마찬가지 역할을 한다. 일반 상대성 이론은 아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다. 16 π G L = − det ( g μ ν ( D + 1 ) ) R ( D + 1 ) {\displaystyle 16\pi G{\mathcal {L}}={\sqrt {-\det(g_{\mu \nu }^{(D+1)})}}R^{(D+1)}} 여기서 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 는 계량 텐서, R ( D + 1 ) {\displaystyle R^{(D+1)}} 은 g μ ν ( D + 1 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }^{(D+1)}} 로 계산한 리치 스칼라다. 이제 편의상 D + 1 = 3 + 1 {\displaystyle D+1=3+1} 인 경우만을 생각하자. g i j {\displaystyle g_{ij}} 에 대한 일반화 운동량 π i j {\displaystyle \pi ^{ij}} 를 계산하면 다음과 같다. π i j = δ L δ ( g ˙ i j ) = 1 16 π G − det g μ ν ( Γ p q 0 − g p q Γ r s 0 g r s ) g i p g j q {\displaystyle \pi ^{ij}={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta ({\dot {g}}_{ij})}}={\frac {1}{16\pi G}}{\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}\left(\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq}} g i j {\displaystyle g_{ij}} 에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다. 16 π G L = − g i j π ˙ i j − N H − N i P i + ∂ i ( ⋯ ) i {\displaystyle 16\pi G{\mathcal {L}}=-g_{ij}{\dot {\pi }}^{ij}-NH-N_{i}P^{i}+\partial _{i}(\cdots )^{i}} 여기서 H = − 1 16 π G − det g i j ( R + 1 det g i j ( 1 2 ( det π i j ) 2 − π i j π i j ) ) {\displaystyle H=-{\frac {1}{16\pi G}}{\sqrt {-\det g_{ij}}}\left(R+{\frac {1}{\det g_{ij}}}\left({\frac {1}{2}}(\det \pi ^{ij})^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right)} P i = − 1 8 π G ∇ j π i j {\displaystyle P^{i}=-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla _{j}\pi ^{ij}} 이다. 즉 N {\displaystyle N} 과 N i {\displaystyle N_{i}} 는 라그랑주 승수가 되며, 그 운동 방정식에 따라 H = P i = 0 {\displaystyle H=P^{i}=0} 이다. g i j {\displaystyle g_{ij}} 및 π i j {\displaystyle \pi ^{ij}} 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다. g ˙ i j = 2 N g − 1 / 2 ( π i j − 1 2 π g i j ) + 2 ∇ ( i ; j ) {\displaystyle {\dot {g}}_{ij}=2Ng^{-1/2}\left(\pi _{ij}-{\frac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+2\nabla _{(i;j)}} π ˙ i j = − N det ( g i j ) ( R i j − 1 2 R g i j ) + 1 2 N ( det ( g i j ) ) − 1 / 2 g i j ( π m n π m n − 1 2 π 2 ) − 2 N g − 1 / 2 ( π i n π n j − 1 2 π π i j ) {\displaystyle {\dot {\pi }}^{ij}=-N{\sqrt {\det(g_{ij})}}(R^{ij}-{\frac {1}{2}}Rg^{ij})+{\frac {1}{2}}N(\det(g_{ij}))^{-1/2}g^{ij}(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\frac {1}{2}}\pi ^{2})-2Ng^{-1/2}(\pi ^{in}\pi _{n}{}^{j}-{\frac {1}{2}}\pi \pi ^{ij})} − det ( g i j ) ( ∇ i ∇ j N − g i j ∇ 2 N ) + ∇ n ( π i j N n ) − 2 π n ( i ∇ n N j ) {\displaystyle -{\sqrt {\det(g_{ij})}}(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{2}N)+\nabla _{n}(\pi ^{ij}N^{n})-2\pi ^{n(i}\nabla _{n}N^{j)}} 보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다. H = 0 {\displaystyle H=0} P i = 0 {\displaystyle P^{i}=0} 이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 N {\displaystyle N} 및 N i {\displaystyle N_{i}} 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다. 일반적으로, d + 1 {\displaystyle d+1} 차원 시공간 Σ × R {\displaystyle \Sigma \times \mathbb {R} } 에서, ADM 수식 체계에 의한, 일반 상대성 이론의 위상 공간은 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 매끄러운 올다발의 매끄러운 단면의 공간이다. 이 올다발의 올의 차원은 ( d + 1 ) ( d − 2 ) {\displaystyle (d+1)(d-2)} 이다.:§2 이는 다음과 같이 얻어진다. 리처드 루이스 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다. 정준좌표 Deser, Stanley (2008). “Arnowitt–Deser–Misner formalism”. 《Scholarpedia》 (영어) 3 (10): 7533. doi:10.4249/scholarpedia.7533. ISSN 1941-6016.  Arnowitt, Richard; Stanley Deser, Charles W. Misner (2008년 9월). “Republication of: The dynamics of general relativity”. 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 40 (9): 1997–2027. arXiv:gr-qc/0405109. 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