파데예프-포포프 유령

양자장론에서 파데예프-포포프 유령(Faddeev–Popov ghost)은 게이지 이론의 경로 적분을 정의할 때 발생하는 가상의 입자들이다. 이들은 실재하지 않으나, 파인먼 도형들을 계산할 때 필요하다. 게이지 장 A {\displaystyle A} 를 가지고, 게이지 변환들의 군 G {\displaystyle G} 를 가진 게이지 이론의 경로 적분을 생각하자. Z = 1 vol ⁡ ( G ) ∫ D A exp ⁡ ( i S [ A ] ) {\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])} . 게이지 군의 부피 vol ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {vol} (G)} 는 다루기 불편하므로, 대신 게이지 조건(gauge condition)을 가한다. F ( A ) {\displaystyle F(A)} 가 게이지 조건이라고 하자. 그렇다면 이에 대한 디랙 델타와, 이에 대한 야코비안 det ( δ G ( α ( A ) ) / δ α ) {\displaystyle \det(\delta G(\alpha (A))/\delta \alpha )} 을 경로 적분에 삽입한다. Z = 1 vol ⁡ ( G ) ∫ D A exp ⁡ ( i S [ A ] ) ∫ G d α δ ( F ( A ) ) det ( δ F ( α ( A ) ) / δ α ) {\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])\int _{G}d\alpha \,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )} . 게이지 이론의 경우, 그 측도 D A {\displaystyle DA} 는 게이지 변환에 대하여 야코비안이 발생하지 않는다. (그렇지 않을 경우는 변칙이라고 하고, 이 경우 게이지 이론은 존재할 수 없다.) 또한, 그 작용 S [ A ] {\displaystyle S[A]} 도 게이지 불변이다. 또한, 야코비안 det ( δ F ( α ( A ) ) / δ α ) {\displaystyle \det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )} 는 대개 α {\displaystyle \alpha } 에 의존하지 않는다. 따라서 A ↦ α − 1 ( A ) {\displaystyle A\mapsto \alpha ^{-1}(A)} 로 변수를 바꾸자. Z = 1 vol ⁡ ( G ) ∫ D A exp ⁡ ( i S [ A ] ) ∫ G d α δ ( F ( A ) ) det ( δ F ( α ( A ) ) / δ α ) {\displaystyle Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])\int _{G}d\alpha \,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )} = ∫ D A exp ⁡ ( i S [ A ] ) δ ( F ( A ) ) det ( δ F ( α ( A ) ) / δ α ) {\displaystyle =\int DA\,\exp(iS[A])\,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )} . 따라서, 작용에 S ′ = − i log ⁡ δ ( F ( A ) ) − i log ⁡ det δ ( F ( α ( A ) ) ) δ α {\displaystyle S'=-i\log \delta (F(A))-i\log \det {\frac {\delta (F(\alpha (A)))}{\delta \alpha }}} 두 개의 항이 더해진다. 첫 번째 항은 게이지 고정항(gauge-fixing term)이다. 두 번째 항은 함수 행렬식이다. 이는 게이지 군이 아벨 군일 경우 상수이며, 게이지 군이 아벨 군이 아닐 경우는 반가환 스칼라장에 대한 경로 적분으로 나타낼 수 있다. 이 장을 파데예프-포포프 유령이라고 한다. 양-밀스 이론의 경우 게이지 조건을 F ( A ) = ∂ ⋅ A {\displaystyle F(A)=\partial \cdot A} 라고 하자. 게이지 변환은 α ( A ) = A + ∂ α − i [ A , α ] {\displaystyle \alpha (A)=A+\partial \alpha -i[A,\alpha ]} 이므로, det δ F ( α ( A ) ) δ α = det ( ∂ 2 − i ∂ ⋅ [ A , ⋅ ] ) {\displaystyle \det {\frac {\delta F(\alpha (A))}{\delta \alpha }}=\det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])} 이다. 이 경우 반가환 딸림표현 복소 스칼라장 c {\displaystyle c} 를 도입하여, 함수 행렬식을 det ( ∂ 2 − i ∂ ⋅ [ A , ⋅ ] ) = ∫ D c D c ¯ exp ⁡ ( i ∫ d 4 x c ¯ ( ∂ 2 c − i ∂ ⋅ [ A , c ] ) ) {\displaystyle \det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])=\int Dc\,D{\bar {c}}\,\exp(i\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c]))} 로 쓸 수 있다. 따라서 작용에 다음과 같은 유령항 S ghost = ∫ d 4 x c ¯ ( ∂ 2 c − i ∂ ⋅ [ A , c ] ) {\displaystyle S_{\text{ghost}}=\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c])} 이 더해진다. 류드비크 파데예프와 빅토르 니콜라예비치 포포프(러시아어: Ви́ктор Никола́евич Попо́в)가 1967년 도입하였다. Faddeev, L.D.; V.N. Popov (1967년 7월 24일). “Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field”. 《Physics Letters B》 25 (1): 29–30. doi:10.1016/0370-2693(67)90067-6.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Faddeev, Ludwig Dmitrievich (2009). “Faddeev-Popov ghosts”. 《Scholarpedia》 4 (4): 7389. doi:10.4249/scholarpedia.7389.  Becchi, Carlo (1997). “Introduction to gauge theories”. arXiv:hep-ph/9705211.  Reshetikhin, Nicolai (2010). 〈Lectures on quantization of gauge systems〉. 《New Paths Towards Quantum Gravity》. Lecture Notes in Physics 807. Berlin, Heidelberg: Springer. 125–190쪽. arXiv:1008.1411. doi:10.1007/978-3-642-11897-5_3. ISBN 978-3-642-11896-8.