샌드위치 정리

샌드위치 정리(-定理, 영어: sandwich theorem, pinching theorem, squeeze theorem)는 함수의 극한에 관한 정리이다. 미적분학과 해석학에서 널리 쓰인다. 이 정리에 따르면, 두 함수가 어떤 점에서 같은 극한을 갖고, 어떤 함수가 두 함수 사이에서 값을 가지면, 그 함수도 똑같은 값의 극한을 가진다. 압착 정리(壓搾定理), 스퀴즈 정리, 조임 정리로도 불린다. 샌드위치 정리를 최초로 사용한 수학자는 아르키메데스와 에우독소스로, 이들은 원주율을 기하학적으로 구하는 데에 이 방법을 사용했다. 샌드위치 정리의 현대적 증명은 카를 프리드리히 가우스에 의해 이루어졌다. 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} , { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} , { c n } {\displaystyle \{c_{n}\}} 에 대하여, 충분히 큰 모든 자연수 n {\displaystyle n} 에 대해 a n ≤ c n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}} 이고 lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L} 이면, lim n → ∞ c n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L} 이다. 함수 f , g , h {\displaystyle f,g,h} 에 대하여, a {\displaystyle a} 에 충분히 가까운 모든 x {\displaystyle x} 에 대해 f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq h(x)\leq g(x)} 이고 lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=L} 이면, lim x → a h ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L} 이다. 아래는 함수에 관한 명제의 증명이다. 수열에 관한 명제도 이와 비슷하게 증명 가능하다. 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } 에 대하여 0 < | x − a | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − L | < ϵ ⇒ L − ϵ < f ( x ) {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \Rightarrow L-\epsilon <f(x)} 0 < | x − a | < δ 2 ⇒ | g ( x ) − L | < ϵ ⇒ g ( x ) < L + ϵ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}\Rightarrow |g(x)-L|<\epsilon \Rightarrow g(x)<L+\epsilon } 를 만족하는 양의 실수 δ 1 ,   δ 2 {\displaystyle \delta _{1},~\delta _{2}} 가 존재한다. 또한 전제조건에 의해 0 < | x − a | < δ 0 ⇒ f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{0}\Rightarrow f(x)\leq h(x)\leq g(x)} 를 만족하는 양의 실수 δ 0 {\displaystyle \delta _{0}} 이 존재한다. δ {\displaystyle \delta } 를 min ( δ 0 , δ 1 , δ 2 ) {\displaystyle \min(\delta _{0},\delta _{1},\delta _{2})} 로 잡으면, 0 < | x − a | < δ ⇒ 0 < | x − a | < δ i ,   i = 0 , 1 , 2 ⇒ L − ϵ < f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) < L + ϵ ⇒ | h ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle {\begin{array}{rcl}0<|x-a|<\delta &\Rightarrow &0<|x-a|<\delta _{i},\ i=0,1,2\\&\Rightarrow &L-\epsilon <f(x)\leq h(x)\leq g(x)<L+\epsilon \\&\Rightarrow &|h(x)-L|<\epsilon \end{array}}} 이다. 정리하면 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } 에 대하여 0 < | x − a | < δ ⇒ | h ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|h(x)-L\right|<\epsilon } 를 만족하는 양의 실수 δ {\displaystyle \delta } 가 존재한다. 그러므로 극한의 정의에 의하여 lim x → a h ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L} 이다. 극한 lim x → 0 x 2 sin ⁡ 1 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}} 은 샌드위치 정리에 의해 0이다. 이는 다음 부등식이 성립하기 때문이다. − x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x ≤ x 2 {\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}} 더 나아가, 임의의 무한소(즉 0을 극한으로 하는 함수)와 유계 함수의 곱은 여전히 무한소이다. lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} 이는 임의의 x ∈ ( − π 2 , 0 ) ∪ ( 0 , π 2 ) {\displaystyle x\in (-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}})} 에 대해 다음 부등식이 성립하기 때문이다. cos ⁡ x < sin ⁡ x x < 1 {\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1} lim n → ∞ ( 1 n 2 + 1 + 2 n 2 + 2 + 3 n 2 + 3 + ⋯ + n n 2 + n ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }({\frac {1}{n^{2}+1}}+{\frac {2}{n^{2}+2}}+{\frac {3}{n^{2}+3}}+\cdots +{\frac {n}{n^{2}+n}})={\frac {1}{2}}} 이는 다음과 같은 분석을 통해 얻어진다. 1 2 = 1 n 2 + n + 2 n 2 + n + 3 n 2 + n + ⋯ + n n 2 + n < 1 n 2 + 1 + 2 n 2 + 2 + 3 n 2 + 3 + ⋯ + n n 2 + n < 1 n 2 + 1 + 2 n 2 + 1 + 3 n 2 + 1 + ⋯ + n n 2 + 1 = n 2 + n 2 n 2 + 2 {\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {1}{2}}\\=&{\frac {1}{n^{2}+n}}+{\frac {2}{n^{2}+n}}+{\frac {3}{n^{2}+n}}+\cdots +{\frac {n}{n^{2}+n}}\\<&{\frac {1}{n^{2}+1}}+{\frac {2}{n^{2}+2}}+{\frac {3}{n^{2}+3}}+\cdots +{\frac {n}{n^{2}+n}}\\<&{\frac {1}{n^{2}+1}}+{\frac {2}{n^{2}+1}}+{\frac {3}{n^{2}+1}}+\cdots +{\frac {n}{n^{2}+1}}\\=&{\frac {n^{2}+n}{2n^{2}+2}}\end{array}}} 양끝의 수열이 모두 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 로 수렴하므로 사이에 끼인 수열도 같은 값으로 수렴한다. ( max 1 ≤ i ≤ n a i ) p ≤ a 1 p + a 2 p + ⋯ + a n p ≤ n ( max 1 ≤ i ≤ n a i ) p {\displaystyle \left(\max _{1\leq i\leq n}a_{i}\right)^{p}\leq a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}\leq n\left(\max _{1\leq i\leq n}a_{i}\right)^{p}} 이므로 ( 1 n ) 1 p max 1 ≤ i ≤ n a i ≤ ( a 1 p + a 2 p + ⋯ + a n p n ) 1 p ≤ max 1 ≤ i ≤ n a i {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}\max _{1\leq i\leq n}a_{i}\leq \left({\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \max _{1\leq i\leq n}a_{i}} 또한 극한 lim p → ∞ ( 1 n ) 1 p {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}} 의 값이 1임에 따라 부등식 양 옆의 함수의 극한은 모두 max 1 ≤ i ≤ n a i {\displaystyle \max _{1\leq i\leq n}a_{i}} 이다. 따라서 다음의 극한이 있다. (멱평균 참고) lim p → ∞ ( a 1 p + a 2 p + ⋯ + a n p n ) 1 p = max 1 ≤ i ≤ n a i {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}=\max _{1\leq i\leq n}a_{i}} Stewart, James (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》 (영어). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 샌드위치 정리 Weisstein, Eric Wolfgang. “Squeezing Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.