필바인

필바인(독일어: Vielbein) 또는 테트라드(영어: tetrad)는, 1800년대 미분기하학에서 다뤄온 프레네 틀장이나 다르부 틀장 같이, 로런츠 다양체에서 정의된 일종의 틀장이며, 카르탕 접속을 응용하여 중력을 다루는 수식체계라 할 수 있다. 국소적으로 평탄한 민코프스키 공간("틀")을 도입하여, 일반적인 장은 이 평탄한 공간 위에 정의한다. 필바인은 중력장을 나타내며, 국소적 평탄한 공간과 굽은 공간 사이를 변환하여 주는 역할을 한다. 국소적 민코프스키 공간을 도입하였으므로, 스피너 등을 자연스럽게 도입할 수 있다. 일반상대론, 아인슈타인-카르탕 이론, 초중력 등에서 쓰인다. "필바인"은 독일어로 "여러 다리"라는 뜻이다. 필바인은 4차원에서는 피어바인(독일어: Vierbein), 5차원에서는 퓐프바인(독일어: Fünfbein), 11차원에서는 엘프바인(독일어: Elfbein) 등으로 부르는데, 이는 "네 다리", "다섯 다리", "열한 다리" 등을 뜻한다. 대신 그리스어식으로 "테트라드", "펜타드", "헨데카드" 등으로 부르기도 한다. 다른 차원의 경우, 다음 표와 같다. 필바인을 도임하면, 물질장을 굽은 공간(접다발)이 아닌, 국소적인 평평한 공간 (틀다발)으로서 쓸 수 있게 돼, 그 대칭군을 형식적으로 (국소적 로런츠 변환을 포함해) 확장하여, 반정수 표현을 도입할 수 있다. 이는 양자장론의 스핀 ½의 페르미온을 도입하는 데 필수적이고, 또 초중력에서 필요한 스핀 1½의 그래비티노를 도입하는 데도 필수적이다. 다. 또한 필바인은 일반상대론을 게이지 이론으로서 나타낼 수 있게 하며, 또 아인슈타인-카르탕 이론으로 자연스럽게 확장이 가능하다. n {\displaystyle n} 차원의 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 을 생각하자. 여기에, SO(p,q)의 주다발(principal bundle) B {\displaystyle B} 를 놓자 (p+q=n). B {\displaystyle B} 는 틀다발(frame bundle)이라고 부른다. 또한, 여기에 n {\displaystyle n} 차원 벡터 다발 V {\displaystyle V} 를 놓고, 이를 B {\displaystyle B} 의 기본 표현으로 한다. V {\displaystyle V} 에 SO(p,q) 불변인 퇴화되지 않은 쌍선형 형식 η {\displaystyle \eta } 를 가정하고, 또 e : T M → V {\displaystyle e\colon TM\to V} 와 같은 가역 선형 변환 e {\displaystyle e} 가 있다고 하자 ( T M {\displaystyle TM} 은 접다발). 물리적으로, η {\displaystyle \eta } 는 민코프스키 계량 텐서에 해당하고, e {\displaystyle e} 는 필바인으로서 중력장을 나타낸다. 지수를 넣어 쓰자면, 필바인 e μ a {\displaystyle e_{\mu }^{a}} 은 민코프스키 ( V {\displaystyle V} ) 지수 a {\displaystyle a} 와 접다발 지수 μ {\displaystyle \mu } 를 지니고, η a b {\displaystyle \eta _{ab}} 는 민코프스키 지수 a , b {\displaystyle a,b} 를 지닌다. 이에 따라, 일반상대론의 리만 다양체 계량텐서 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 는 다음과 같이 정의할 수 있다. g μ ν = e μ a e ν b η a b {\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}} 필바인은 가역 사상이라고 가정하였으므로, 그 역사상 E : V → T M {\displaystyle E\colon V\to TM} 도 존재한다. 지수로 쓰면 E μ a {\displaystyle E_{\mu }^{a}} 와 같다. V 안에서 다음 조건을 만족하는 유일한 비틀림없는 코쥘 접속 A {\displaystyle A} 가 존재함을 증명할 수 있다. 임의의 V {\displaystyle V} 의 미분가능 단면 a , b {\displaystyle a,b} 가 주어졌을 때, dη(a,b) = η(dAa,b) + η(a,dAb). 이 조건을 이용하여 A {\displaystyle A} 를 주다발 B {\displaystyle B} 에 대한 주접속으로 연장시킬 수 있다. 이를 스핀 접속이라고 한다. (아인슈타인-카르탕 이론에서는 접속이 비틀림을 가질 수 있다.) 필바인을 이용하여 스핀 접속을 접다발 T M {\displaystyle TM} 으로 확장할 수 있다. 즉 임의의 접다발 미분가능 단면 X {\displaystyle X} 에 대해 다음과 같이 정의한다. e(∇X) = dAe(X) for all differentiable sections X of TM. 필바인은 평행이동의 게이지장이고, 스핀 접속은 로런츠 변환의 게이지장이다. 스핀 접속은 게이지장 (게이지 주다발의 단면)으로 볼 수 있으므로, 이에 따른 곡률 (패러데이 텐서) R를 정의할 수 있다. 즉 R   = d e f   d A + A ∧ A {\displaystyle \mathbf {R} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} } 이는 리만 곡률과 같다. 지수로 쓰면 다음과 같다. R μ ν a b = 2 ∂ [ μ ω ν ] a b + ω μ a c ω ν c b − ω ν a c ω ν c b {\displaystyle R_{\mu \nu }^{ab}=2\partial _{[\mu }\omega _{\nu ]}^{ab}+\omega _{\mu }^{ac}{\omega _{\nu c}}^{b}-\omega _{\nu }^{ac}\omega _{\nu c}^{b}} 리만 곡률로부터, 일반상대론에서 쓰이는 리치 곡률과 리치 스칼라를 정의할 수 있다. 즉 리치 곡률은 R μ a = E b ν R μ ν a b {\displaystyle {R_{\mu }}^{a}=E_{b}^{\nu }{R_{\mu \nu }}^{ab}} 리치 스칼라는 R = E a μ R μ a = E a μ E ν b R μ ν a b {\displaystyle R=E_{a}^{\mu }{R_{\mu }}^{a}=E_{a}^{\mu }E_{\nu }^{b}{R_{\mu \nu }}^{ab}} 일반상대론의 힐베르트 작용은 단순히 리치 스칼라에 비례한다. S = − ∫ d 4 x e 1 2 κ R {\displaystyle S=-\int d^{4}x\;e{\frac {1}{2\kappa }}R} 여기서 κ = 8 π G {\displaystyle \kappa =8\pi G} 다. e = det e μ a {\displaystyle e=\det e_{\mu }^{a}} 는 필바인의 행렬식으로서, 스칼라를 텐서 밀도로 만드는, 일종의 야코비안이다. 힐베르트 작용에 변분법을 적용하여 아인슈타인 방정식을 유도할 수 있다. 처음에 일반 상대론은 4차원 시공간을 가정하였기 때문에 피어바인이 가장 먼저 도입되었다. 이후 수학자 테오드어 칼루차가 4차원 시공간에 (시간이 아닌) 위치를 나타내는 차원 하나를 더 추가하고 일반 상대론을 전개하면 자연스럽게 전자기 방정식을 얻음을 발표했다. 이 칼루차 이론은 5차원 시공간을 가정했으므로, 이를 연구하던 알베르트 아인슈타인이 1928년에, 헤르만 바일이 1929년에 퓐프바인을 도입하였다. Yepez, Jeffrey (2008년 1월 20일). “Einstein’s vierbein field theory of curved space”. arXiv:1106.2037. Bibcode:2011arXiv1106.2037Y.  헤르만 바일 "Elektron und Gravitation I", Zeitschrift Physik, 56, p330–352, 1929.