쿠라토프스키 모노이드

일반위상수학에서 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 { k , c } {\displaystyle \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}} 로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) { k , c } ∗ {\displaystyle \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*}} 가 멱집합 Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (X)} 위에 다음과 같이 작용한다고 하자. k : S ↦ cl ⁡ ( S ) {\displaystyle {\mathsf {k}}\colon S\mapsto \operatorname {cl} (S)} c : S ↦ X ∖ S {\displaystyle {\mathsf {c}}\colon S\mapsto X\setminus S} 즉, k {\displaystyle {\mathsf {k}}} 는 폐포 연산이며, c {\displaystyle {\mathsf {c}}} 는 여집합 연산이다. 이제, Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (X)} 위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자. s ∼ t ⟺ ∀ S ⊆ X : s ( S ) = t ( S ) ( s , t ∈ { k , c } ∗ ) {\displaystyle s\sim t\iff \forall S\subseteq X\colon s(S)=t(S)\qquad (s,t\in \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*})} 이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 { k , c } ∗ / ∼ {\displaystyle \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*}/\sim } 를 X {\displaystyle X} 의 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)라고 한다. 가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다.:9, Theorem 1.1:Theorem 1.1 ( ϵ {\displaystyle \epsilon } 은 길이 0의 문자열이다.) (폐포의 멱등성) k k = k {\displaystyle {\mathsf {kk}}={\mathsf {k}}} (여집합의 대합성) c c = ϵ {\displaystyle {\mathsf {cc}}=\epsilon } (폐포의 내부의 정칙성) k c k c k c k = k c k {\displaystyle {\mathsf {kckckck}}={\mathsf {kck}}} 편의상, 내부 연산 i = c k c {\displaystyle {\mathsf {i}}={\mathsf {ckc}}} 를 정의하면, 이는 i k i k = i k {\displaystyle {\mathsf {ikik}}={\mathsf {ik}}} 와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다. 이 사실을 쿠라토프스키 14개 집합 정리(Kuratowski十四個集合定理, 영어: Kuratowski 14-set theorem)라고 한다. 이 모노이드를 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다. 그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 몫 모노이드이다. 이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.:11, Figure 1.1 int ⁡ ( cl ⁡ S ) ⊂ cl ⁡ ( int ⁡ ( cl ⁡ S ) ) ⊂ cl ⁡ S ∪ ∪ int ⁡ ( cl ⁡ ( int ⁡ S ) ) ⊂ cl ⁡ ( int ⁡ S ) ∪ ∪ int ⁡ S ⊂ S {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {int} (\operatorname {cl} S)&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))&\subset &\operatorname {cl} S\\\cup &&\cup \\\operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} S)&&\cup \\\cup \\\operatorname {int} S&&\subset &&S\end{matrix}}} 임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.:12, Theorem 2.1 ㈎ M K {\displaystyle M_{\text{K}}} (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드) ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 k c k c k = k c k c {\displaystyle {\mathsf {kckck}}={\mathsf {kckc}}} 로 생성되는 합동 관계에 대한 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 몫 모노이드이다. ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 k c k c k = c k c k {\displaystyle {\mathsf {kckck}}={\mathsf {ckck}}} 로 생성되는 합동 관계에 대한 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 몫 모노이드이다. ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 c k c k = k c k c {\displaystyle {\mathsf {ckck}}={\mathsf {kckc}}} 로 생성되는 합동 관계에 대한 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 몫 모노이드이다. ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 k c k = c k {\displaystyle {\mathsf {kck}}={\mathsf {ck}}} 로 생성되는 합동 관계에 대한 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다. ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 k = ϵ {\displaystyle {\mathsf {k}}=\epsilon } 로 생성되는 합동 관계에 대한 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다. ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다. M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 원소 s ∈ M K {\displaystyle s\in M_{\text{K}}} 에 대하여, s ( S ) = ∅ {\displaystyle s(S)=\varnothing } 이 되는 특별한 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다. 조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합 조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합 마찬가지로, M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 의 원소 s ∈ M K {\displaystyle s\in M_{\text{K}}} 에 대하여, s ( S ) = S {\displaystyle s(S)=S} 가 되는 특별한 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 을 생각할 수 있다. s {\displaystyle s} 가 c {\displaystyle {\mathsf {c}}} 를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 만약 s {\displaystyle s} 가 c {\displaystyle {\mathsf {c}}} 를 홀수 개 포함한다면, s ( S ) = S {\displaystyle s(S)=S} 인 것은 S = X = ∅ {\displaystyle S=X=\varnothing } 인 경우 밖에는 불가능하다. 증명: X ≠ ∅ {\displaystyle X\neq \varnothing } 이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다. (0) c {\displaystyle {\mathsf {c}}} 당연히 불가능하다. (1) k c = c i {\displaystyle {\mathsf {kc}}={\mathsf {ci}}} 이 경우, ∅ = S ∖ S = S ∖ c i ( S ) = i ( S ) {\displaystyle \varnothing =S\setminus S=S\setminus {\mathsf {ci}}(S)={\mathsf {i}}(S)} 이다. 따라서 S = c i ( S ) = c ( ∅ ) = X {\displaystyle S={\mathsf {ci}}(S)={\mathsf {c}}(\varnothing )=X} 이어야 한다. 그런데 X = S = c i ( X ) = ∅ {\displaystyle X=S={\mathsf {ci}}(X)=\varnothing } 이므로 이는 불가능하다. (1′) k c k = k i c = c i k {\displaystyle {\mathsf {kck}}={\mathsf {kic}}={\mathsf {cik}}} 이 경우, S {\displaystyle S} 는 정칙 닫힌집합이므로 S = c i k ( S ) = c i ( S ) {\displaystyle S={\mathsf {cik}}(S)={\mathsf {ci}}(S)} 인데, 이는 경우 (1)이다. (1″) k c k c k c = k i k c = c i k i {\displaystyle {\mathsf {kckckc}}={\mathsf {kikc}}={\mathsf {ciki}}} 이 경우, S {\displaystyle S} 는 정칙 닫힌집합이므로 S = c i k i ( S ) = c i ( S ) {\displaystyle S={\mathsf {ciki}}(S)={\mathsf {ci}}(S)} 인데, 이는 경우 (1)이다. (2) c k {\displaystyle {\mathsf {ck}}} 당연히 불가능하다. (2′) c k c k c = i k c = c k i {\displaystyle {\mathsf {ckckc}}={\mathsf {ikc}}={\mathsf {cki}}} 이 경우 S {\displaystyle S} 는 정칙 열린집합이므로, S = c k i ( S ) = c k ( S ) {\displaystyle S={\mathsf {cki}}(S)={\mathsf {ck}}(S)} 인데, 이는 경우 (2)이다. (2″) c k c k c k = i k i c = c k i k {\displaystyle {\mathsf {ckckck}}={\mathsf {ikic}}={\mathsf {ckik}}} 이 경우 S {\displaystyle S} 는 정칙 열린집합이므로, S = c k i k ( S ) = c k ( S ) {\displaystyle S={\mathsf {ckik}}(S)={\mathsf {ck}}(S)} 인데, 이는 경우 (2)이다. 실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자. S = ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ) ∪ { 3 } ∪ ( [ 4 , 5 ] ∩ Q ) ⊆ R {\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup \left([4,5]\cap \mathbb {Q} \right)\subseteq \mathbb {R} } 그렇다면, M K {\displaystyle M_{\text{K}}} 는 S {\displaystyle S} 위에 서로 다르게 작용한다. 쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다. Fife, James H. (1991년 6월). “The Kuratowski closure–complement problem”. 《Mathematics Magazine》 (영어) 64 (3): 180–182. doi:10.2307/2691300. 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