마틴 공리

집합론에서 마틴 공리(Martin公理, 영어: Martin’s axiom, 약자 M A {\displaystyle {\mathsf {MA}}} )는 실수 집합의 크기보다 더 작은 집합들은 가산 집합과 유사한 성질을 갖는다는 명제다. 여기서 "유사한 성질"이란 강제법에 사용되는 원순서 집합에 대한 것으로, 이 조건을 강화시켜 고유 강제법 공리(固有強制法公理, 영어: proper forcing axiom, 약자 P F A {\displaystyle {\mathsf {PFA}}} ) 및 마틴 최대 공리(Martin最大公理, 영어: Martin’s maximum, 약자 M M {\displaystyle {\mathsf {MM}}} )를 얻을 수 있다. 적절한 큰 기수의 존재 아래, 이들은 모두 다 통상적인 집합론(체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리)으로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다. 강제법 공리(強制法公理, 영어: forcing axiom)는 다음과 같은 꼴의 명제이다. P {\displaystyle {\mathsf {P}}} 조건을 만족시키는 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 및 X {\displaystyle X} 의 공시작 집합들의 집합족 D ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, 만약 | D | < κ {\displaystyle |{\mathcal {D}}|<\kappa } 라면, D {\displaystyle {\mathcal {D}}} -포괄적 필터 F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} 가 존재한다. 여기서 P ( − ) {\displaystyle {\mathsf {P}}(-)} 는 원순서 집합에 대한 술어이며, κ ∈ Card {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} } 는 기수이다. 주로 사용되는 강제법 공리는 다음과 같다. 여기서, 모든 비가산 정칙 기수 λ {\displaystyle \lambda } 에 대하여, X {\displaystyle X} 에 대한 강제법은 [ λ ] ω {\displaystyle [\lambda ]^{\omega }} 의 정상 집합들을 보존한다면, X {\displaystyle X} 가 고유성 조건(영어: properness condition)을 만족시킨다고 한다. (여기서 [ λ ] ω {\displaystyle [\lambda ]^{\omega }} 는 λ {\displaystyle \lambda } 의 가산 무한 부분 집합들의 족이다.) 보다 일반적으로, 강제법 공리에 등장하는 기수 κ {\displaystyle \kappa } 를 다른 기수로 대체할 수 있으며, 이 경우 M A ( κ ) {\displaystyle {\mathsf {MA}}(\kappa )} 와 같이 쓴다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 마틴 최대 공리 ⇒ 고유 강제법 공리 ⇒ 마틴 공리 만약 초콤팩트 기수가 존재한다면, ZFC+마틴 최대 공리는 무모순적이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 다음 두 명제를 보일 수 있다. 라시오바-시코르스키 보조정리: κ ≤ ℵ 0 ⟹ M A ( κ ) {\displaystyle \kappa \leq \aleph _{0}\implies {\mathsf {MA}}(\kappa )} ¬ M A ( 2 ℵ 0 ) {\displaystyle \lnot {\mathsf {MA}}(2^{\aleph _{0}})} . 예를 들어, 실수 구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 은 분해 가능 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시킨다. 또한, 임의의 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여, 만약 X {\displaystyle X} 에 대한 강제법이 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 의 정상 집합을 보존하지 않는다면, 조건 P ( X ′ ) ⟺ X = X ′ {\displaystyle {\mathsf {P}}(X')\iff X=X'} 에 대한, ℵ 2 {\displaystyle \aleph _{2}} 미만의 공시작 집합들의 집합족에 대한 강제법 공리는 ZFC에서 거짓이다. 즉, 이러한 의미에서 마틴 최대 공리는 "가장 강력한" 강제법 공리이다. 연속체 가설 C H {\displaystyle {\mathsf {CH}}} 는 마틴 공리 M A {\displaystyle {\mathsf {MA}}} 를 자명하게 함의한다. 다음 명제들은 M A ( κ ) {\displaystyle {\mathsf {MA}}(\kappa )} 와 동치이다. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 X {\displaystyle X} 의 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 ( Open ⁡ ( X ) ∖ { ∅ } , ⊆ ) {\displaystyle (\operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \},\subseteq )} 이 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키면, X {\displaystyle X} 는 κ {\displaystyle \kappa } 이하의 수의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합이 아니다.:52 만약 마틴 공리가 참이라면, 다음이 성립한다. 정규 무어 공간 추측이 거짓이다. 만약 M A ∧ ¬ C H {\displaystyle {\mathsf {MA}}\land \lnot {\mathsf {CH}}} 라면, 다음이 성립한다. 수슬린 가설이 참이다. 크기가 ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 인, 자유 아벨 군이 아닌 화이트헤드 군이 존재한다. 만약 고유 강제법 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다. 2 ℵ 0 = ℵ 2 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}} .:258 특히, 연속체 가설이 거짓이다. A D L ( R ) {\displaystyle {\mathsf {AD}}^{L(\mathbb {R} )}} (즉, R {\displaystyle \mathbb {R} } -구성 가능 전체에서의 결정 공리) 특이 기수 가설 S C H {\displaystyle {\mathsf {SCH}}} 만약 마틴 최대 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다. 임의의 정칙 기수 κ ≥ ω 2 {\displaystyle \kappa \geq \omega _{2}} 의 정상 집합 S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } 에 대하여, 만약 S {\displaystyle S} 의 모든 원소의 공종도가 가산 기수라면, S ∩ α {\displaystyle S\cap \alpha } 가 α {\displaystyle \alpha } 속의 정상 집합이 되는 순서수 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } 가 존재한다. 마틴 공리는 도널드 앤서니 마틴(영어: Donald Anthony Martin)과 로버트 솔로베이가 1970년에 도입하였다. 고유 강제법 공리는 제임스 얼 바움가트너(영어: James Earl Baumgartner)와 사하론 셸라흐가 1970년대에 도입하였다. 마틴 최대 공리는 1988년에 매슈 포어먼(영어: Matthew Foreman) · 메나헴 마기도르 · 사하론 셸라흐가 도입하였다. 이 논문에서 포먼·마기도르·셸라흐는 마틴 최대 공리가 (어떤 특정한 의미에서) 가장 강력한 강제법 공리임을 증명하였다. Foreman, Matthew; Magidor, Menachem; Shelah, Saharon (1988년 1월). “Martin’s maximum, saturated ideals, and nonregular ultrafilters. Part I”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 127 (1): 1–47. doi:10.2307/1971415. JSTOR 1971415. MR 0924672. 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