연속체 가설

집합론에서 연속체 가설(連續體假說, 영어: continuum hypothesis, 약자 CH)은 실수 집합의 모든 부분 집합은 가산 집합이거나 아니면 실수 집합과 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 연속체 가설이라고 한다. ℵ 1 = 2 ℵ 0 = ℶ 1 {\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}} . 즉, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (가산 무한 집합의 크기)과 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다. 임의의 실수의 집합 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} } 에 대하여, S {\displaystyle S} 가 가산 집합이 아니라면, | S | = R {\displaystyle |S|=\mathbb {R} } 이다. 다항식환 C [ x , y , z ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]} 위의 유리 함수 가군 C ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbb {C} (x,y,z)} 의 사영 차원이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 사영 차원은 3이다.):Theorem 2.51 가산 개의 체들의 직접곱의 대역 차원은 항상 2이다.:60 (웨첼 문제 영어: Wetzel’s problem) 다음 두 조건을 만족시키는 전해석 함수들의 족 { f i : C → C } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \}_{i\in I}} 이 존재한다. 임의의 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 에 대하여, { f i ( z ) } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}(z)\}_{i\in I}} 는 가산 집합이다. { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 는 비가산 집합이다. 다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 일반화 연속체 가설(一般化連續體假說, 영어: generalized continuum hypothesis, 약자 GCH)이라고 한다. 임의의 순서수 α ∈ Ord {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} } 에 대하여, ℵ α + 1 = 2 ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}} . 여기서 ℵ {\displaystyle \aleph } 는 알레프 수이다. 임의의 순서수 α ∈ Ord {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} } 에 대하여, ℵ α = ℶ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }} . 여기서 ℶ {\displaystyle \beth } 는 베트 수이다. 임의의 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, κ < λ < 2 κ {\displaystyle \kappa <\lambda <2^{\kappa }} 인 기수 λ {\displaystyle \lambda } 가 존재하지 않는다. 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, | { A ⊆ κ : | A | ∈ S } | = κ + {\displaystyle |\{A\subseteq \kappa \colon |A|\in S\}|=\kappa ^{+}} 가 되는 기수 집합 S ⊂ Card {\displaystyle S\subset \operatorname {Card} } 가 존재한다. (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.) 여기서 κ + = min { λ ∈ Card : κ < λ } {\displaystyle \kappa ^{+}=\min\{\lambda \in \operatorname {Card} \colon \kappa <\lambda \}} 이다. 집합 X {\displaystyle X} 와 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 다음과 같은 명제 A X ( X , κ ) {\displaystyle {\mathsf {AX}}(X,\kappa )} 를 생각하자. 임의의 함수 f : X → P ≤ κ ( X ) {\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}_{\leq \kappa }(X)} 에 대하여, x ∉ f ( y ) {\displaystyle x\not \in f(y)} 이자 y ∉ f ( x ) {\displaystyle y\not \in f(x)} 가 성립하는 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 가 존재한다. 여기서 P ≤ κ ( X ) = { S ⊆ X : | S | ≤ κ } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\leq \kappa }(X)=\{S\subseteq X\colon |S|\leq \kappa \}} 는 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 이하의 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들로 구성된 집합족이다. 그렇다면, Z F C {\displaystyle {\mathsf {ZFC}}} 아래 다음이 성립한다. A X ( 2 κ , κ ) ⟺ 2 κ ≠ κ + {\displaystyle {\mathsf {AX}}(2^{\kappa },\kappa )\iff 2^{\kappa }\neq \kappa ^{+}} 즉, ¬ C H ⟺ A X ( 2 ℵ 0 , ℵ 0 ) {\displaystyle \lnot {\mathsf {CH}}\iff {\mathsf {AX}}(2^{\aleph _{0}},\aleph _{0})} 이며, ¬ G C H ⟺ ∀ κ ∈ Card : A X ( 2 κ , κ ) {\displaystyle \lnot {\mathsf {GCH}}\iff \forall \kappa \in \operatorname {Card} \colon {\mathsf {AX}}(2^{\kappa },\kappa )} 이다. 특히, A X ( 2 ℵ 0 , ℵ 0 ) {\displaystyle {\mathsf {AX}}(2^{\aleph _{0}},\aleph _{0})} 를 프라일링 대칭 공리(영어: Freiling’s axiom of symmetry)라고 한다. 이는 크리스토퍼 프랜시스 프라일링(영어: Christopher Francis Freiling)이 도입하였다. 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다. ZFC에 구성 가능성 공리( V = L {\displaystyle V=L} )를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다. 윌리엄 휴 우딘은 소위 오메가 논리(영어: Ω-logic)를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실 ℵ 2 = 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{2}=2^{\aleph _{0}}} 이라는 논의를 폈다. 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다. 고유 강제법 공리(영어: proper forcing axiom)를 가정하면, 2 ℵ 0 = ℵ 2 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}} 이므로, 역시 연속체 가설이 부정된다. 연속체 가설은 마틴 공리를 자명하게 함의한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다. 일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.:147 ℵ α ℵ β = { ℵ β + 1 α ≤ β + 1 ℵ α β + 1 < α , ℵ β < cf ⁡ ( ℵ α ) ℵ α + 1 β + 1 < α , ℵ β ≥ cf ⁡ ( ℵ α ) {\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}={\begin{cases}\aleph _{\beta +1}&\alpha \leq \beta +1\\\aleph _{\alpha }&\beta +1<\alpha ,\;\aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })\\\aleph _{\alpha +1}&\beta +1<\alpha ,\;\aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })\\\end{cases}}} 여기서 cf {\displaystyle \operatorname {cf} } 는 기수의 공종도이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 모든 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 기멜 함수는 다음과 같다. ℷ ( κ ) = κ + {\displaystyle \gimel (\kappa )=\kappa ^{+}} 또한, 특이 기수 가설이 (자명하게) 성립하게 된다. 커플랜스키 추측(영어: Kaplansky conjecture)은 다음과 같은 명제이다. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위의, 복소수 값의 연속 함수들의 복소수 바나흐 대수 C 0 ( X , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )} 를 생각하자. 임의의 복소수 바나흐 대수 B {\displaystyle B} 및 임의의 복소수 대수 준동형 f : C 0 ( X , C ) → B {\displaystyle f\colon {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )\to B} 은 복소수 바나흐 대수 사상이다 (즉, 연속 함수이다). 이는 어빙 커플랜스키가 제시하였다. 만약 ZFC가 무모순적이라면 이 명제는 ZFC와 독립적이다.:ix–x 연속체 가설은 커플랜스키 추측의 부정을 함의한다. 연속체 가설은 게오르크 칸토어가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다. 다비트 힐베르트는 1900년 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들의 1번 문제로 선정하였다.:§2 1905년에 영국의 수학자 필립 조던(영어: Philip Jourdain)이 일반화 연속체 가설을 제기하였다. 연속체 가설에 대하여 퍼넬러피 매디(영어판)는 다음과 같이 적었다. 쿠르트 괴델은 1938년에 일반화 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증할 수 없다는 것을 보였다. 구체적으로, 괴델은 구성 가능 전체가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다. 폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여, 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다는 것을 보였다. 이 공로로 코언은 1966년 필즈상을 수상하였다. 1980년대의 집합론자들의 의견에 대하여 퍼넬러피 매디(영어판)는 1988년에 다음과 같이 적었다. 2006년에 얀 미치엘스키는 다음과 같이 적었다. 절대적 무한 베트 수 집합의 크기 (괴델 불완전성 정리 By 요시나가 요시마사)https://books.google.co.kr/books?id=xTopDwAAQBAJ&pg=PA220&lpg=PA220&dq=%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4+%EA%B0%80%EC%84%A4&source=bl&ots=_NJWHCbOMX&sig=ACfU3U0IVMMSD55RWRnfiJIyrgkPKbf4NA&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwiFoLHchIbhAhWGH3AKHQ71AEU4ChDoATAGegQIAxAB#v=onepage&q=%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4%20%EA%B0%80%EC%84%A4&f=false[깨진 링크(과거 내용 찾기)] Osofsky, Barbara L. 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