호프 올뭉치

위상수학에서 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 구가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다. 노름을 가진 나눗셈 대수 X {\displaystyle X} 와 그 차원 n := dim ⁡ X {\displaystyle n:=\dim X} 가 주어졌다고 하자. 다시 말해, X {\displaystyle X} 는 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수 대수 가운데 하나이고 각각의 경우 n = 1 , 2 , 4 , 8 {\displaystyle n=1,2,4,8} 이다. 그러면 다음과 같이 X {\displaystyle X} 의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구 S 2 n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}} 를 만들고 동치관계 ∼ {\displaystyle \sim } 을 정의할 수 있다. S 2 n − 1 = { ( x 1 , x 2 ) | 1 = | x 1 | 2 + | x 2 | 2 ; x 1 , x 2 ∈ X } ⊂ X 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}=\{(x_{1},x_{2})|1=|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2};x_{1},x_{2}\in X\}\subset X^{2}} ( x 1 , x 2 ) ∼ ( λ x 1 , λ x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim (\lambda x_{1},\lambda x_{2})} ( λ ∈ X {\displaystyle \lambda \in X} , | λ | = 1 {\displaystyle |\lambda |=1} ) 이 때, S n ≅ S 2 n − 1 / ∼ {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{2n-1}/{\sim }} 을 얻는다. 즉, S 2 n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}} 은 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 위에 올다발을 이루며, 그 올은 S n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}} 인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다. S 0 ↪ S 1 ↠ S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{1}} (실수) S 1 ↪ S 3 ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} (복소수) S 3 ↪ S 7 ↠ S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}} (사원수) S 7 ↪ S 15 ↠ S 8 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{15}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{8}} (팔원수) 보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수 K {\displaystyle \mathbb {K} } ( dim ⁡ K = k {\displaystyle \dim K=k} )에 대하여, K {\displaystyle \mathbb {K} } -사영 공간에 대한 주다발 S k − 1 ↪ S k ( n + 1 ) − 1 ↠ K P n {\displaystyle \mathbb {S} ^{k-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{k(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {KP} ^{n}} 을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다. 실수: S 0 ↪ S n ↠ R P n {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {RP} ^{n}} . 이는 2차 순환군 S 0 = Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}=\operatorname {Cyc} (2)} 에 대한 주다발이다. 복소수: S 1 ↪ S 2 n + 1 ↠ C P n {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}} . 이는 원군 S 1 = U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\operatorname {U} (1)} 에 대한 주다발이다. 사원수: S 3 ↪ S 2 n + 3 ↠ H P n {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}} . 이는 S 3 = {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=} SU(2)에 대한 주다발이다. 마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계 K ⊊ L {\displaystyle \mathbb {K} \subsetneq \mathbb {L} } 에 대하여, dim ⁡ L / dim ⁡ K = p {\displaystyle \dim \mathbb {L} /\dim \mathbb {K} =p} , dim ⁡ L = l {\displaystyle \dim \mathbb {L} =l} 일 때, 올다발 K P p − 1 ↪ K P p ( n + 1 ) − 1 ↠ L P n {\displaystyle \mathbb {KP} ^{p-1}\hookrightarrow \mathbb {KP} ^{p(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {LP} ^{n}} 을 정의할 수 있다. 실수 ⊂ 복소수: S 1 = R P 1 ↪ R P 2 n + 1 ↠ C P n {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {RP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}} . 이는 원군에 대한 주다발이다. 복소수 ⊂ 사원수: S 2 = C P 1 ↪ C P 2 n + 1 ↠ H P n {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {CP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}} . S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 에는 리 군 구조가 존재하지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 올다발이다. 특히, S 2 ↪ C P 3 ↠ S 4 = H P 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}=\mathbb {HP} ^{1}} 는 콤팩트화 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계이다. 실수 ⊂ 사원수: R P 3 ↪ R P 4 n + 3 ↠ H P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}} . 이는 RP 3 = SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {RP} ^{3}=\operatorname {SO} (3)} 에 대한 주다발이다. 반면, 이는 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다. 1931년 하인츠 호프가 S 1 ↪ S 3 ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} 을 발견하였다. 그는 1935년에 다른 차원일 때의 경우를 발표했다. 물리학, 특히 양자역학에 등장한다. 자기 홀극의 전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다. Loo, B.; Verjovsky, A. 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