Tor 함자

호몰로지 대수학에서 Tor 함자(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자의 유도 함자다. R {\displaystyle R} 이 (단위원을 가진) 환이고, R Mod {\displaystyle _{R}{}\operatorname {Mod} } 이 R {\displaystyle R} 에 대한 왼쪽 가군들의 범주, Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 이 R {\displaystyle R} 에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다. 오른쪽 가군 A ∈ Mod R {\displaystyle A\in \operatorname {Mod} _{R}} 와 왼쪽 가군 B ∈ R Mod {\displaystyle B\in {}_{R}\operatorname {Mod} } 의 텐서곱을 취하여 아벨 군 A ⊗ R B ∈ Ab {\displaystyle A\otimes _{R}B\in \operatorname {Ab} } 를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 ⊗ R : Mod R × R Mod → Ab {\displaystyle \otimes _{R}\colon \operatorname {Mod} _{R}\times {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Ab} } 는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 는 아벨 군들의 범주다. A ⊗ R : R Mod → Ab {\displaystyle A\otimes _{R}\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Ab} } 는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자 L i ( A ⊗ ) {\displaystyle L^{i}(A\otimes )} 를 취할 수 있다. 마찬가지로, ⊗ R B : Mod R → Ab {\displaystyle \otimes _{R}B\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Ab} } 또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자 L i ( ⊗ R B ) {\displaystyle L^{i}(\otimes _{R}B)} 를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉, L i ( A ⊗ R ) B = A ( L i ⊗ R B ) = Tor i R ⁡ ( A , B ) {\displaystyle L^{i}(A\otimes _{R})B=A(L^{i}\otimes _{R}B)=\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)} 이다. 이 쌍함자 Tor i R : Mod R × R Mod → Ab {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}\colon \operatorname {Mod} _{R}\times {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Ab} } 를 Tor 함자라고 한다. Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉, Tor n R ⁡ ( ⨁ i ∈ I M i , ⨁ j ∈ J N j ) = ⨁ i ∈ I ⨁ j ∈ J Tor n R ⁡ ( M i , N j ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i},\bigoplus _{j\in J}N_{j}\right)=\bigoplus _{i\in I}\bigoplus _{j\in J}\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M_{i},N_{j})} 이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다. Tor n R ⁡ ( M , N ) ≅ Tor n R ⁡ ( M , N ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\cong \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)} 또한, 이 경우 Tor n R ⁡ ( M , N ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)} 은 R {\displaystyle R} 위의 가군의 구조를 갖는다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이며, r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다. Tor 1 R ⁡ ( R / ( r ) , M ) = ker ⁡ ( r ⋅ ) = { m ∈ M : r m = 0 } {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/(r),M)=\ker(r\cdot )=\{m\in M\colon rm=0\}} 체 K {\displaystyle K} 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 사영 분해는 자명하다. 0 → P 0 = V → V → 0 {\displaystyle 0\to P_{0}=V\to V\to 0} 따라서, K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. Tor 0 K ⁡ ( V , W ) = V ⊗ K W {\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{K}(V,W)=V\otimes _{K}W} Tor n K ⁡ ( V , W ) = 0 ∀ n > 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{K}(V,W)=0\qquad \forall n>0} 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G {\displaystyle G} 는 자유 아벨 군 P 0 {\displaystyle P_{0}} 의 몫군 P 0 / P 1 {\displaystyle P_{0}/P_{1}} 으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다. 0 → G → P 0 → P 1 → 0 {\displaystyle 0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0} 아벨 군 G {\displaystyle G} , H {\displaystyle H} 가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. G {\displaystyle G} 의 사영 분해가 0 → P 1 → ι P 0 → G → 0 {\displaystyle 0\to P^{1}{\xrightarrow {\iota }}P_{0}\to G\to 0} 이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다. 0 → P 1 ⊗ Z H → ι ⊗ Z id P 0 ⊗ Z H → 0 {\displaystyle 0\to P_{1}\otimes _{\mathbb {Z} }H{\xrightarrow {\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} }}P_{0}\otimes _{\mathbb {Z} }H\to 0} 따라서, Tor 0 Z ⁡ ( G , H ) ≅ G ⊗ Z H {\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong G\otimes _{\mathbb {Z} }H} 이며, Tor 1 Z ⁡ ( G , H ) ≅ ker ⁡ ( ι ⊗ Z id ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong \ker(\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} )} 이다. 특히, Tor 1 Z ⁡ ( Z , H ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,H)=0} Tor 1 Z ⁡ ( 0 , H ) = H {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(0,H)=H} Tor 1 Z ⁡ ( Z / ( n ) , H ) = Tors n ⁡ ( H ) = { h ∈ H : n h = 0 } {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /(n),H)=\operatorname {Tors} _{n}(H)=\{h\in H\colon nh=0\}} 이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로, Tor 1 Z ⁡ ( ⨁ i Z / ( n i ) , H ) = ⨁ i Tors n i ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(n_{i}),H\right)=\bigoplus _{i}\operatorname {Tors} _{n_{i}}(H)} 가 된다. 또한, Tor 1 Z ⁡ ( Q / Z , H ) = Tors ⁡ ( H ) = { h ∈ H : ∃ n ∈ Z + : n h = 0 } {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,H)=\operatorname {Tors} (H)=\{h\in H\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon nh=0\}} 이므로 H {\displaystyle H} 의 꼬임 부분군이 된다. 리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다. ‘Tor’는 영어: torsion 토전[*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련있기 때문이다. Ext 함자 그로텐디크 군 Gelfand, Sergei I.; Yuri Ivanovich Manin (1999). 《Homological algebra》 (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65378-3.  李起安 (1972). “現代數學과 Homology 代數” (PDF). 《Bulletin of the Korean Mathematical Society》 9 (2): 83–99. ISSN 1015-8634.  “Tor”. 《nLab》 (영어).  “How to make Ext and Tor constructive” (영어). Math Overflow.