슈발레-에일렌베르크 대수

추상대수학에서 슈발레-에일렌베르크 대수(Chevalley-Eilenberg代數, 영어: Chevalley–Eilenberg algebra)는 리 대수에 대하여 대응되는 미분 등급 대수이다. 이는 코쥘 쌍대성의 특수한 경우이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 또한, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 쌍대 공간 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 으로 생성되는 자유 외대수 ⋀ ( g ) = ⨁ n ∈ N ⋀ n g ∗ = K ⊕ g ∗ ⊕ g ∗ ∧ g ∗ ⊕ ⋯ {\displaystyle \bigwedge ({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\bigwedge ^{n}{\mathfrak {g}}^{*}=K\oplus {\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}\oplus \dotsb } 위에 다음과 같은 미분을 다음과 같이 곱 규칙을 통해 정의할 수 있다. ( d α ) ( x , y ) = − 1 2 α ( [ x , y ] ) ( x , y ∈ g , α ∈ g ∗ ) {\displaystyle (\mathrm {d} \alpha )(x,y)=-{\frac {1}{2}}\alpha ([x,y])\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;\alpha \in {\mathfrak {g}}^{*})} 이 연산이 멱영 연산인 것( d ∘ d = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0} )은 야코비 항등식과 동치이다. 만약 지표를 쓴다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 기저를 ( t i ) i ∈ I {\displaystyle (t_{i})_{i\in I}} , g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 의 쌍대 기저를 ( t i ) i ∈ I {\displaystyle (t^{i})^{i\in I}} 라고 하고, 구조 상수가 [ t i , t j ] = f i j k t i {\displaystyle [t_{i},t_{j}]=f^{i}{}_{jk}t_{i}} 라고 할 때, ( d t ) i = − 1 2 f i j k t j ∧ t k {\displaystyle (\mathrm {d} t)^{i}=-{\frac {1}{2}}f^{i}{}_{jk}t^{j}\wedge t^{k}} 이다. 그렇다면, ( ⋀ g ∗ , d ) {\displaystyle \textstyle (\bigwedge {\mathfrak {g}}^{*},\mathrm {d} )} 는 K {\displaystyle K} 위의 자연수 등급 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 슈발레-에일렌베르크 대수 CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 라고 한다. 보다 일반적으로, 이 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 코호몰로지는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 슈발레-에일렌베르크 대수의 (곱셈을 잊은) 공사슬 복합체의 코호몰로지와 같다. H ∙ ⁡ ( g ) = H ∙ ⁡ ( CE ⁡ ( g ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }({\mathfrak {g}})=\operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}}))} 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 항상 0인 리 괄호를 주자. 그렇다면, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는 자명한 미분 d = 0 {\displaystyle \mathrm {d} =0} 이 주어진 등급 벡터 공간인 외대수 CE ⁡ ( V ) = ⋀ V ∗ {\displaystyle \operatorname {CE} (V)=\textstyle \bigwedge V^{*}} 이다. 파울리 행렬로 생성되는 실수 리 대수 s u ( 2 ) = Span R ⁡ { σ 1 , σ 2 , σ 3 } {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}\}} [ σ j , σ k ] = 2 ϵ i j k σ i {\displaystyle [\sigma ^{j},\sigma ^{k}]=2\epsilon _{i}{}^{jk}\sigma ^{i}} 의 경우, 그 쌍대 기저 σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}} 에 대하여 미분 연산은 다음과 같다. d σ i = − ϵ i j k σ j σ k {\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{i}=-\epsilon _{i}{}^{jk}\sigma _{j}\sigma _{k}} 유리수 호모토피 이론에 따라 이에 대응하는 공간은 3차원 초구인데, 이는 리 군 SU(2)가 매끄러운 다양체로서 3차원 초구와 미분 동형이기 때문이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 이 주어졌을 때, 그 위의 벡터장 Vect ⁡ ( U ) = Γ ( T M ; U ) {\displaystyle \operatorname {Vect} (U)=\Gamma (\mathrm {T} M;U)} 은 리 미분을 통해 리 대수의 층을 이룬다. 이 경우, 층의 각 단면 공간에 대하여 슈발레-에일렌베르크 대수를 구성할 수 있으며, 이 역시 층을 이룬다. 이 미분 등급 대수의 층은 미분 형식의 층 Ω ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {\Omega } (-)} 이며, 그 코호몰로지는 드람 코호몰로지이다. 클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크의 이름을 땄다. “Chevalley-Eilenberg algebra”. 《nLab》 (영어).