콘웨이군 (수학)

군론에서 콘웨이군(영어: Conway group)은 존 호턴 콘웨이가 도입한 산재군 Co1, Co2, Co3 및 이와 관련된 유한군 Co0이다. 콘웨이 군 중 가장 큰 Co0는 덧셈 및 내적에 대한 리치 격자 Λ의 자기동형군으로, 위수 8,315,553,613,086,720,000을 갖고, 단순군이 아니다. 단순군 Co1은 Co0를 스칼라 행렬 ±1로 구성된 중심에 의한 몫군으로 정의되고, 위수 4,157,776,806,543,360,000를 갖는다. 리치 격자의 내적은 두 벡터의 스칼라곱의 1/8로 정의되고, 정수값을 갖는다. 벡터의 제곱 노름은 자신과의 내적이며 항상 짝수이다. 리치 격자의 벡터에 대해 그 제곱 노름의 절반을 벡터의 유형이라고 한다. 콘웨이 군의 부분군은 종종 관련된 고정점의 유형을 참조하여 이름이 붙는다. 리치 격자에는 유형 1의 벡터가 없다. Co2 (위수 42,305,421,312,000) 및 Co3 (위수 495,766,656,000)은 각각 유형 2와 유형 3의 격자 벡터를 고정하는 리치 격자 Λ의 자기동형으로 구성된다. 스칼라 −1은 영벡터가 아닌 벡터를 고정하지 않으므로 이 두 군은 Co1의 부분군과 동형이다. 톰프슨 (1983) harvtxt error: 대상 없음: CITEREF톰프슨1983 (help)은 존 리치가 1964년경 큰 차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구한 방법에 대해 설명한다. 리치의 발견 중 하나는 훗날 리치 격자라고 불리게 되는 격자를 통한 24차원의 구 채우기였다. 리치는 리치 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군에 포함되어 있는지 궁금해했지만, 군론에 조예가 깊은 이의 도움이 필요함을 느꼈다. 다른 수학자들은 이미 자신이 몰두하고 있는 주제가 있었기에 리치가 도움을 얻는 것은 쉽지 않았다. 존 호턴 콘웨이가 같이 문제에 대해 궁리하였다. 존 그리그스 톰프슨은 군의 위수가 주어진다면 흥미로울 것이라고 말하였다. 콘웨이는 문제에 몇 달 혹은 몇 년을 써야 할 것으로 예측했지만, 몇 번의 회의를 통해 의외로 빠르게 결과를 얻을 수 있었다. Witt (1998) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFWitt1998 (help)은 그가 리치 격자를 1940년에 발견하였다고 말했고, 그것의 자기동형군 Co0의 위수를 계산하였다고 암시했다. 콘웨이와 톰프슨은 회의 (Brauer & Sah 1969) harv error: 대상 없음: CITEREFBrauerSah1969 (help)에서 설명된 4개의 산재군이 Co0의 부분군 또는 부분군의 몫과 동형임을 발견했다. 콘웨이는 점을 접두사로 붙인 점과 부분공간의 안정자에 대한 표기법을 사용했다. Co0 및 Co1인 .0 및 .1은 예외이다. 정수 n ≥ 2에 대해 .n은 리치 격자에서 유형 n인 점의 안정자를 나타낸다. 콘웨이는 정점을 원점으로 하는 삼각형으로 정의된 평면의 안정자를 명명했다. .hkl 을 h, k 및 l 유형의 모서리(정점의 차이)가 있는 삼각형의 점별 안정자라고 하자. 이러한 삼각형은 h-k-l 삼각형이라고 한다. 가장 단순한 경우에 Co0는 문제에서의 점 또는 삼각형에 전이적이고 안정자 군은 켤레의 차이를 무시하고 정의된다. 콘웨이는 .322으로 매클로플린 군 McL(위수 898,128,000)을, .332으로 히그만-심즈 군 HS(위수 44,352,000)를 식별했다. 다음은 일부 부분 격자 군의 표이다. 두 개의 부분 산재군은 리치 격자 구조의 안정자의 몫으로 정의할 수 있다. R24를 C12로, Λ를 Z [ e 2 3 π i ] 12 {\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12}} 로 식별하면, 결과적인 자기동형군(즉, 복소 구조를 보존하는 리치 격자의 자기동형군)은 복소 스칼라 행렬의 6개 요소 그룹으로 나눌 때 스즈키 산재군 Suz(위수 448,345,497,600)이 나타난다. 스즈키 산재군은 1968년 스즈키 미치오에 의해 발견되었다. 유사한 구성을 통해 Hall-Janko 군 J2 (위수 604,800)는 ±1 스칼라 군에 의한 Λ의 사원수 자기동형군의 몫으로 얻는다. 위에 설명된 7개의 단순군은 로버트 그리스가 2세대 Happy Family 라고 부르는 것으로 구성되며, 괴물군 내에서 발견되는 20개의 산재군으로 구성된다. 군 7개 중 몇 개는 적어도 1세대 를 구성하는 5개 마티외 군 중 일부를 포함한다. 콘웨이와 Norton은 1979년 논문에서 가공할 헛소리가 괴물군에게만 국한되지 않는다고 제안했다. Larissa Queen과 다른 사람들은 산재군의 차원의 단순한 조합으로 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있음을 나중에 발견했다. 콘웨이 군의 경우 관련 McKay-Thompson 급수는 다음과 같다. T 2 A ( τ ) {\displaystyle T_{2A}(\tau )} = {1, 0, 276, −2048, 11202, −49152, ...} (  A007246 ) 및 T 4 A ( τ ) {\displaystyle T_{4A}(\tau )} = {1, 0, 276, 2048, 11202, 49152, ...} (  A097340 ) j 4 A ( τ ) = T 4 A ( τ ) + 24 = ( η 2 ( 2 τ ) η ( τ ) η ( 4 τ ) ) 24 = ( ( η ( τ ) η ( 4 τ ) ) 4 + 4 2 ( η ( 4 τ ) η ( τ ) ) 4 ) 2 = 1 q + 24 + 276 q + 2048 q 2 + 11202 q 3 + 49152 q 4 + … {\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}} 여기서 상수항 a(0) = 24, η(τ)는 데데킨트 에타 함수이다. Conway & Sloane (1999), p. 291 Griess (1998), p. 126 Conway, John Horton (1968), “A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups”, 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 61 (2): 398–400, Bibcode:1968PNAS...61..398C, doi:10.1073/pnas.61.2.398, MR 0237634, PMC 225171, PMID 16591697  Brauer, R.; Sah, Chih-han, 편집. (1969), 《Theory of finite groups: A symposium》, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, MR 0240186  Conway, John Horton (1969), “A group of order 8,315,553,613,086,720,000”, 《The Bulletin of the London Mathematical Society》 1: 79–88, doi:10.1112/blms/1.1.79, ISSN 0024-6093, MR 0248216  Conway, John Horton (1971), 〈Three lectures on exceptional groups〉, Powell, M. B.; Higman, Graham, 《Finite simple groups》, Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969., Boston, MA: Academic Press, 215–247쪽, ISBN 978-0-12-563850-0, MR 0338152  Reprinted in Conway & Sloane (1999, 267–298) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFConwaySloane1999 (help) Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), 《Sphere Packings, Lattices and Groups》, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 290 3판, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369  Thompson, Thomas M. (1983), 《From error-correcting codes through sphere packings to simple groups》, Carus Mathematical Monographs 21, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-023-7, MR 749038  Conway, John Horton; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, R. T.; Wilson, Robert A. 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Gesammelte Abhandlungen》, Springer Collected Works in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN 978-3-540-57061-5, MR 1643949  R. T. Curtis and B. T. Fairburn (2009), "Symmetric Representation of the elements of the Conway Group .0", Journal of Symbolic Computation, 44: 1044-1067.