대역체

대수적 수론에서 대역체(大域體, 영어: global field)는 대수적 수체 및 이와 유사한 함수체를 통틀어 이르는 개념이다. 대역 함수체(大域函數體, 영어: global function field)는 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 체이다. 유한체에 대한 대수 곡선의 함수체와 동형이다. 유한체 계수의 유리 함수체 F q ( t ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q}(t)} 의 유한 확대와 동형이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 대수적 수체 또는 대역 함수체와 동형인 체이다. 즉, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 유한 확대이거나 어떤 q {\displaystyle q} 에 대한 F q ( t ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q}(t)} 의 유한 확대이다. (대역체의 공리적 정의) K {\displaystyle K} 위의 절댓값들의 각 동치류 가운데 적절한 대표원 ‖ − ‖ v {\displaystyle \|-\|_{v}} 을 잡으면, 다음 두 공리가 성립한다. (곱 공식 영어: product formula) 임의의 a ∈ K × {\displaystyle a\in K^{\times }} 에 대하여 { v : | a | v ≠ 1 } < ℵ 0 {\displaystyle \{v\colon |a|_{v}\neq 1\}<\aleph _{0}} 이며, 또한 ∏ v | a | v = 1 {\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1} 이다. 여기서 ∏ v {\displaystyle \prod _{v}} 는 K {\displaystyle K} 위의 모든 절댓값들의 동치류에서, 위에서 고른 대표원들에 대한 곱이다. (국소성) 절댓값 ‖ − ‖ v {\displaystyle \|-\|_{v}} 가운데, 완비화 K v {\displaystyle K_{v}} 가 국소체가 되는 것이 적어도 하나 이상 존재한다. 대수적 수체와 대역 함수체는 여러가지로 유사한 성질들을 갖는다. 대수적 수체의 (자명하지 않은) 자리는 오스트롭스키 정리에 따라 다음 세 종류 가운데 하나이다. 실수체로의 매장 ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } 에 대응하는 실수 자리. 복소수체로의 매장 ι : K ↪ C {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 의 동치류 ι ∼ ι ¯ {\displaystyle \iota \sim {\bar {\iota }}} 에 대응하는 복소수 자리. 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 각 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 자리. 대역 함수체 F q ( x ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q}(x)} 의 (자명하지 않은) 자리는 다음 두 종류 가운데 하나이다. P ( x ) , Q ( x ) ∈ F q [ x ] {\displaystyle P(x),Q(x)\in \mathbb {F} _{q}[x]} 에 대하여, P / Q ↦ deg ⁡ P − deg ⁡ Q {\displaystyle P/Q\mapsto \deg P-\deg Q} 인 이산 값매김에 대응하는 절댓값. 각 기약 다항식 P ∈ F q [ x ] {\displaystyle P\in \mathbb {F} _{q}[x]} 에 대하여, P {\displaystyle P} 진 자리. 이 경우, 모든 절댓값은 비아르키메데스 절댓값이다. 대역체 K {\displaystyle K} 의 자리 v {\displaystyle v} 는 절댓값들의 동치류이다. 이 동치류 속의 정규화 절댓값(영어: normalized absolute value) | ⋅ | v {\displaystyle |\cdot |_{v}} 는 다음과 같다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 유한 자리 p ∣ p {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid p} 의 경우 ( p ∈ S p e c Z ∖ { ( 0 ) } {\displaystyle p\in \mathbb {Spec} \mathbb {Z} \setminus \{(0)\}} 는 소수), 규격화 절댓값은 다음과 같다.:184 | − | p = p − f p v p ( − ) {\displaystyle |-|_{\mathfrak {p}}=p^{-f_{\mathfrak {p}}v_{\mathfrak {p}}(-)}} 여기서 v p {\displaystyle v_{\mathfrak {p}}} 는 규격화 이산 값매김(즉, 치역이 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 인 값매김)이며, f p = [ O K p / m K p : F p ] {\displaystyle f_{\mathfrak {p}}=[{\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {m}}_{K_{\mathfrak {p}}}:\mathbb {F} _{p}]} 는 관성 차수(영어: inertia degree), 즉 잉여류체의 차수이다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 무한 자리 v ∣ ∞ {\displaystyle v\mid \infty } 의 경우, v {\displaystyle v} 에 대응하는 매장을 ι v : K → C {\displaystyle \iota _{v}\colon K\to \mathbb {C} } 라고 하면, 이에 대응하는 규격화 절댓값은 다음과 같다.:184 | − | v = | ι ( − ) | f v {\displaystyle |-|_{v}=|\iota (-)|^{f_{v}}} 여기서 우변은 복소수체의 표준적인 절댓값이며, f v = { 1 ι v ( K ) ⊂ R 2 ι v ( K ) ⊄ R {\displaystyle f_{v}={\begin{cases}1&\iota _{v}(K)\subset \mathbb {R} \\2&\iota _{v}(K)\not \subset \mathbb {R} \end{cases}}} 는 관성 차수이다. 대수적 함수체 K {\displaystyle K} 의 자리 V ∣ v {\displaystyle V\mid v} 의 경우 ( v {\displaystyle v} 는 F q [ x ] {\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x]} 의 자리), 규격화 절댓값은 다음과 같다. | − | P = exp ⁡ ( − f V v P ( − ) ) {\displaystyle |-|_{\mathfrak {P}}=\exp(-f_{V}v_{P}(-))} 여기서 f V {\displaystyle f_{V}} 는 관성 차수로, 다음과 같다. f V = [ O K v / m ( O K v ) : F q ] {\displaystyle f_{V}=[{\mathcal {O}}_{K_{v}}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{K_{v}}):\mathbb {F} _{q}]} v P {\displaystyle v_{P}} 는 F q [ x ] {\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x]} 위의, P {\displaystyle P} 에 대응하는 규격화 이산 절댓값이다. (여기서 e {\displaystyle e} 대신 다른 상수를 사용해도 상관없다.) 이렇게 규격화 절댓값들을 정의하면, 다음과 같은 곱 공식이 성립한다. 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 에 대하여, | a | v ≠ 1 {\displaystyle |a|_{v}\neq 1} 인 자리 v {\displaystyle v} 의 수는 유한하다. 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 에 대하여, ∏ v | a | v = 1 {\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1} 이다. 대역체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 모든 비아르키메데스 절댓값 (유한 자리)에 대하여, 절댓값이 1 이하인 (즉, 이산 값매김이 음수가 아닌) 원소들의 집합이다.:485 O K = { a ∈ K : | a | v ≤ 1 ∀ v < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon |a|_{v}\leq 1\forall v<\infty \}} 다시 말해, K {\displaystyle K} 의 모든 국소체의 대수적 정수환들의 교집합이다. 만약 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 가 대수적 수체라면, 그 대수적 정수환은 Z ⊂ K {\displaystyle \mathbb {Z} \subset K} 의 정수적 폐포이다. 특히, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 대수적 정수환은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이다. F q ( x ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q}(x)} 의 대수적 정수환은 다항식환 F q [ t ] {\displaystyle \mathbb {F} _{q}[t]} 이며, F q ( x ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q}(x)} 의 유한 확대의 대수적 정수환은 F q [ x ] {\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x]} 의 정수적 폐포이다. 대역체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 데데킨트 정역이며, O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 0이 아닌 모든 아이디얼은 유한 지표를 갖는다. 대수적 수체와 대수적 함수체가 여러 유사한 성질을 가진다는 사실은 앙드레 베유가 1939년에 지적하였다. 이에 대하여 베유는 1967년에 훗날 대역체를 차별하는 것을 인종 차별의 일종인 "분리된 평등함"(영어: separate but equal, 인종에 대하여 서로 다른 학교 등의 시설들을 사용하게 하는 것. 1954년 브라운 대 토피카 교육위원회 재판에 의하여 위헌으로 판결됨)에 비유하여 다음과 같이 적었다. Artin, Emil; Whaples, George (1945). “Axiomatic characterization of fields by the product formula for valuations”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 51: 469–492. doi:10.1090/S0002-9904-1945-08383-9.  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Weil, André (1939년 1월 15일). “Sur l’analogie entre les corps de nombres algébriques et les corps de fonctions algébriques”. 《La Revue Scientifique》 (프랑스어) 77 (1): 104-106. ISSN 0370-4556. JFM 65.1140.01.  Weil, André (1967). 《Basic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 144 1판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61945-8. ISSN 0072-7830. Zbl 0176.33601.  “Global field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Global field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Global field”. 《nLab》 (영어).  “Function field analogy”. 《nLab》 (영어).