프톨레마이오스 정리

기하학에서 프톨레마이오스 정리(Ptolemaeus定理, 영어: Ptolemy's theorem) 또는 톨레미 정리(Ptolemy定理)는 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다. 프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 에 대하여, 다음이 성립한다. A C ⋅ B D = A B ⋅ C D + A D ⋅ B C {\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC} 이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다. 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 외접원의 호 A B {\displaystyle AB} 와 B C {\displaystyle BC} 의 원주각의 성질에 의하여 ∠ B A C = ∠ B D C {\displaystyle \angle BAC=\angle BDC} 이고 ∠ A D B = ∠ A C B {\displaystyle \angle ADB=\angle ACB} 이다. 선분 A C {\displaystyle AC} 위에서 ∠ A B K = ∠ C B D {\displaystyle \angle ABK=\angle CBD} 를 만족시키는 점 K {\displaystyle K} 를 잡자. 그러면 ∠ A B D = ∠ C B K {\displaystyle \angle ABD=\angle CBK} 이다. 따라서, 삼각형 △ A B K {\displaystyle \triangle ABK} 와 △ D B C {\displaystyle \triangle DBC} 는 닮음이고, 삼각형 △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} 와 △ K B C {\displaystyle \triangle KBC} 역시 닮음이므로, A K A B = C D B D {\displaystyle {\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}} 와 C K B C = A D B D {\displaystyle {\frac {CK}{BC}}={\frac {AD}{BD}}} 가 성립한다. A K + C K = A C {\displaystyle AK+CK=AC} 이므로 A B ⋅ C D + B C ⋅ A D = A K ⋅ B D + C K ⋅ B D = A C ⋅ B D {\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=AK\cdot BD+CK\cdot BD=AC\cdot BD} 이다. 중심이 D {\displaystyle D} 인 단위원에 대한 반전에 대한 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 의 상을 A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} 이라고 하자. 그러면 A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} 은 서로 다른 공선점이며, B ′ {\displaystyle B'} 은 A ′ {\displaystyle A'} 와 C ′ {\displaystyle C'} 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여 A ′ B ′ = A B A D ⋅ B D {\displaystyle A'B'={\frac {AB}{AD\cdot BD}}} B ′ C ′ = B C B D ⋅ C D {\displaystyle B'C'={\frac {BC}{BD\cdot CD}}} A ′ C ′ = A C A D ⋅ C D {\displaystyle A'C'={\frac {AC}{AD\cdot CD}}} 이며, A ′ B ′ + B ′ C ′ = A ′ C ′ {\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'} 이므로, A B A D ⋅ B D + B C B D ⋅ C D = A C A D ⋅ C D {\displaystyle {\frac {AB}{AD\cdot BD}}+{\frac {BC}{BD\cdot CD}}={\frac {AC}{AD\cdot CD}}} 가 성립한다. 프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.:309, Historical note 10.9.2.1 즉, 내접 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 대각선 A C {\displaystyle AC} 가 내접원의 중심 O {\displaystyle O} 를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 ∠ B O C = 2 θ {\displaystyle \angle BOC=2\theta } 이고 ∠ C O D = 2 φ {\displaystyle \angle COD=2\varphi } 라고 하자. 그러면 A C = 2 {\displaystyle AC=2} B D = 2 sin ⁡ ( θ + φ ) {\displaystyle BD=2\sin(\theta +\varphi )} A B = 2 cos ⁡ θ {\displaystyle AB=2\cos \theta } C D = 2 sin ⁡ φ {\displaystyle CD=2\sin \varphi } A D = 2 cos ⁡ φ {\displaystyle AD=2\cos \varphi } B C = 2 sin ⁡ θ {\displaystyle BC=2\sin \theta } 이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여 sin ⁡ ( θ + φ ) = cos ⁡ θ sin ⁡ φ + cos ⁡ φ sin ⁡ θ {\displaystyle \sin(\theta +\varphi )=\cos \theta \sin \varphi +\cos \varphi \sin \theta } 가 성립한다. 프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 가 A C ⋅ B D = A B ⋅ C D + A D ⋅ B C {\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC} 를 만족시킨다면, 내접 사각형이다. 프톨레마이오스 부등식(Ptolemaeus不等式, 영어: Ptolemy's inequality)에 따르면, 임의의 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 에 대하여, 다음이 성립한다. A C ⋅ B D ≤ A B ⋅ C D + A D ⋅ B C {\displaystyle AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+AD\cdot BC} 또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 내접 사각형이다. 보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} 에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:309, Proposition 10.9.2 다음 가운데 하나가 성립한다. A B ⋅ C D = A C ⋅ B D + A D ⋅ B C {\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BD+AD\cdot BC} A C ⋅ B D = A B ⋅ C D + A D ⋅ B C {\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC} A D ⋅ B C = A B ⋅ C D + A C ⋅ B D {\displaystyle AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD} 공원점이거나 공선점이다. 고대 그리스의 천문학자이자 수학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.:309, Historical note 10.9.2.1 활꼴 현 Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.  이철희. “톨레미의 정리”. 《수학노트》.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Ptolemy's theorem”. 《PlanetMath》 (영어).