완비 불 대수

순서론에서 완비 불 대수(完備Boole代數, 영어: complete Boolean algebra)는 완비 격자인 불 대수이다. 완비 불 대수는 완비 격자인 불 대수이다. 두 완비 불 대수 사이의 완비 불 대수 준동형은 완비 격자 준동형이자 불 대수 준동형인 함수이다. 마찬가지로, 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, κ {\displaystyle \kappa } -완비 불 대수는 크기 κ {\displaystyle \kappa } 미만의 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 불 대수이며, κ {\displaystyle \kappa } -완비 불 대수 준동형은 크기 κ {\displaystyle \kappa } 미만의 상한과 하한을 보존하는 불 대수 준동형이다. ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -완비 불 대수는 불 대수와 같은 개념이며, ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -완비 불 대수는 시그마 대수라고 한다. 불 대수와 불 대수 준동형의 범주는 스톤 공간과 연속 함수의 범주의 반대 범주이다. 이 경우, 불 대수 B {\displaystyle B} 에 대응하는 스톤 공간 Spec ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (B)} 이 주어졌을 때, 만약 다음 조건이 성립한다면 B {\displaystyle B} 를 완비 불 대수라고 한다. 임의의 열린집합 U ⊆ Spec ⁡ ( B ) {\displaystyle U\subseteq \operatorname {Spec} (B)} 의 폐포는 열린집합이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 임의의 완비 불 대수 B {\displaystyle B} 의 원소 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 및 부분 집합 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 에 대하여, 다음이 성립한다. (무한 분배 법칙) b ∧ ⋁ A = ⋁ a ∈ A ( b ∧ a ) {\displaystyle \textstyle b\land \bigvee A=\bigvee _{a\in A}(b\land a)} (무한 분배 법칙) b ∨ ⋀ A = ⋀ a ∈ A ( b ∨ a ) {\displaystyle \textstyle b\lor \bigwedge A=\bigwedge _{a\in A}(b\lor a)} (무한 드 모르간 법칙) ¬ ⋁ A = ⋀ a ∈ A ( ¬ a ) {\displaystyle \textstyle \lnot \bigvee A=\bigwedge _{a\in A}(\lnot a)} (무한 드 모르간 법칙) ¬ ⋀ A = ⋁ a ∈ A ( ¬ a ) {\displaystyle \textstyle \lnot \bigwedge A=\bigvee _{a\in A}(\lnot a)} 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. | B | = κ {\displaystyle |B|=\kappa } 인 완비 불 대수 B {\displaystyle B} 가 존재한다. | B | = κ {\displaystyle |B|=\kappa } 인 시그마 대수( ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -완비 불 대수) B {\displaystyle B} 가 존재한다. 만약 κ {\displaystyle \kappa } 가 무한 기수라면, κ ℵ 0 = κ {\displaystyle \kappa ^{\aleph _{0}}=\kappa } 이다. 만약 κ {\displaystyle \kappa } 가 유한 기수라면, κ = 2 n {\displaystyle \kappa =2^{n}} 인 기수 n {\displaystyle n} 이 존재한다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 불 대수 B ~ {\displaystyle {\tilde {B}}} 의 부분 불 대수 B ⊆ B ~ {\displaystyle B\subseteq {\tilde {B}}} 완비 불 대수 C {\displaystyle C} 불 대수 준동형 f : B → C {\displaystyle f\colon B\to C} 시코르스키 확장 정리(영어: Sikorski extension theorem)에 따르면, f = f ~ | B {\displaystyle f={\tilde {f}}|_{B}} 가 성립하는 불 대수 준동형 f ~ : B ~ → C {\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {B}}\to C} 가 존재한다. 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 순서 집합을 분리 부분 순서 집합(分離部分順序集合, 영어: separative poset)이라고 한다. 임의의 x , y ∈ P {\displaystyle x,y\in P} 에 대하여, x ≰ y {\displaystyle x\not \leq y} 라면, 임의의 z ≤ x {\displaystyle z\leq x} 에 대하여, { z , y } {\displaystyle \{z,y\}} 는 하계를 갖지 않는다.:204, Definition 14.8 P ≅ S {\displaystyle P\cong S} 가 되는 완비 불 대수 B {\displaystyle B} 와 부분 집합 S ⊆ B ∖ { ⊥ B } {\displaystyle S\subseteq B\setminus \{\bot _{B}\}} 가 존재한다.:205, Lemma 14.9, Theorem 14.10 ( ≅ {\displaystyle \cong } 은 순서 동형이다.) 완비 불 대수와 완비 불 대수 준동형의 범주 CompBoolAlg {\displaystyle \operatorname {CompBoolAlg} } 는 구체적 범주이며, 완비 격자와 완비 격자 준동형의 범주 CompLat {\displaystyle \operatorname {CompLat} } 의 충만한 부분 범주이다. 망각 함자 CompBoolAlg → Set {\displaystyle \operatorname {CompBoolAlg} \to \operatorname {Set} } 는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다. 즉, 자유 완비 불 대수는 일반적으로 존재하지 않는다. 그러나 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, κ {\displaystyle \kappa } -완비 불 대수 및 κ {\displaystyle \kappa } -완비 불 대수 준동형의 범주 CompBoolAlg κ {\displaystyle \operatorname {CompBoolAlg} _{\kappa }} 의 경우 자유 대상이 존재한다. 특히, CompBoolAlg {\displaystyle \operatorname {CompBoolAlg} } 는 쌍대 완비 범주가 아니다. 모든 유한 불 대수는 완비 불 대수이다. 완비 불 대수 B {\displaystyle B} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. B ≅ ( P ( S ) , ⊆ ) {\displaystyle B\cong ({\mathcal {P}}(S),\subseteq )} 인 집합 S {\displaystyle S} 가 존재한다. 임의의 원소 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에 대하여, b = ⋁ A {\displaystyle \textstyle b=\bigvee A} 인 A ⊆ min ( B ∖ { ⊥ } ) {\displaystyle A\subseteq \min(B\setminus \{\bot \})} 가 존재한다. 특히, 후자가 성립한다면 B ≅ P ( min ( B ∖ { ⊥ } ) ) {\displaystyle B\cong {\mathcal {P}}(\min(B\setminus \{\bot \}))} 이다. 여기서 min ( B ∖ { ⊥ } ) {\displaystyle \min(B\setminus \{\bot \})} 는 부분 순서 집합 B ∖ { ⊥ } {\displaystyle B\setminus \{\bot \}} 의 극소 원소들의 집합이며, ⊥ ∈ B {\displaystyle \bot \in B} 는 B {\displaystyle B} 의 최소 원소이다. B ∖ { ⊥ } {\displaystyle B\setminus \{\bot \}} 의 원소는 보통 원자(영어: atom)라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 정칙 열린집합들의 족은 완비 불 대수를 이룬다. 시코르스키 확장 정리는 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983)가 증명하였다. 완비 격자 장소 (수학) Pierce, R. S. (1958). “A note on complete Boolean algebras”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 9: 892–896. doi:10.1090/S0002-9939-1958-0102487-6.  Comfort, W. 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