포함배제의 원리

조합론에서 포함배제의 원리(包含排除의原理, 영어: inclusion–exclusion principle)는 유한 집합의 합집합의 원소 개수를 세는 기법이다. 조합론에서 널리 쓰이는 근본적인 기법이며, 이에 대하여 조합론자 잔카를로 로타는 다음과 같이 평했다. 유한 측도 공간 ( X , A , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} 가 주어졌다고 하자. 포함배제의 원리에 따르면, 임의의 유한 개의 가측 집합 A 1 , … , A n ∈ A {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, 다음이 성립한다. μ ( A 1 ∪ ⋯ ∪ A n ) = ∑ i = 1 n μ ( A i ) − ∑ 1 ≤ i < j ≤ n μ ( A i ∩ A j ) + ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n μ ( A i ∩ A j ∩ A k ) − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 μ ( A 1 ∩ ⋯ ∩ A n ) {\displaystyle \mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n})=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})-\sum _{1\leq i<j\leq n}\mu (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\mu (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})-\cdots +(-1)^{n-1}\mu (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})} 특히, 2개의 가측 집합 A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 에 대한 포함배제의 원리는 다음과 같다. μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ) − μ ( A ∩ B ) {\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)} 또한, 3개의 집합 A , B , C ∈ A {\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}} 에 대한 포함배제의 원리는 다음과 같다. μ ( A ∪ B ∪ C ) = μ ( A ) + μ ( B ) + μ ( C ) − μ ( A ∩ B ) − μ ( A ∩ C ) − μ ( B ∩ C ) + μ ( A ∩ B ∩ C ) {\displaystyle \mu (A\cup B\cup C)=\mu (A)+\mu (B)+\mu (C)-\mu (A\cap B)-\mu (A\cap C)-\mu (B\cap C)+\mu (A\cap B\cap C)} 포함배제의 원리는 근접 대수에서의 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, n {\displaystyle n} 개의 가측 집합 A 1 , … , A n ∈ A {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}} 이 있을 때, n {\displaystyle n} 개의 원소의 집합 { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}} 의 멱집합 P ( { 1 , 2 , … , n } ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,\dots ,n\})} (이는 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다) 위의 실수 계수 근접 대수를 생각한다면, 포함배제의 원리는 그 위의 뫼비우스 반전 공식의 한 예이다. 유한 집합 A {\displaystyle A} 의 원소 개수는 | A | {\displaystyle |A|} 로 표기한다. 포함배제의 원리에 따르면, 임의의 유한 개의 유한 집합 A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}} 에 대하여, 다음이 성립한다. | A 1 ∪ ⋯ ∪ A n | = ∑ i = 1 n | A i | − ∑ 1 ≤ i < j ≤ n | A i ∩ A j | + ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n | A i ∩ A j ∩ A k | − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 | A 1 ∩ ⋯ ∩ A n | {\displaystyle |A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}|=\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leq i<j\leq n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n-1}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}|} 특히, 2개의 집합 또는 3개의 집합의 경우는 각각 다음과 같다. | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|} | A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | {\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|} 집합의 원소 개수는 어떤 유한 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 에 국한시켰을 때 유한 측도를 이루며, 이를 셈측도라고 한다. 집합의 원소 개수에 대한 포함배제의 원리는 셈측도 공간 ( X , P ( X ) , | | ) {\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X),||)} 위의 포함배제의 원리와 같다. 확률 공간은 유한 측도 공간이므로, 포함배제의 원리는 유한 개의 사건들의 확률에 대해서도 성립한다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 이 주어졌다고 하자. 포함배제의 원리에 따르면, 임의의 유한 개의 사건 A 1 , … , A n ∈ F {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음이 성립한다. Pr ⁡ ( A 1 ∪ ⋯ A n ) = ∑ i = 1 n Pr ⁡ ( A i ) − ∑ 1 ≤ i < j ≤ n Pr ⁡ ( A i ∩ A j ) + ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n Pr ⁡ ( A i ∩ A j ∩ A k ) − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 Pr ⁡ ( A 1 ∩ ⋯ A n ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cup \cdots A_{n})=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i})-\sum _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {Pr} (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\operatorname {Pr} (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})-\cdots +(-1)^{n-1}\operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots A_{n})} 2개 또는 3개의 사건의 경우 다음과 같다. Pr ⁡ ( A ∩ B ) = Pr ⁡ ( A ) + Pr ⁡ ( B ) − Pr ⁡ ( A ∩ B ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)=\operatorname {Pr} (A)+\operatorname {Pr} (B)-\operatorname {Pr} (A\cap B)} Pr ⁡ ( A ∩ B ∩ C ) = Pr ⁡ ( A ) + Pr ⁡ ( B ) + Pr ⁡ ( C ) − Pr ⁡ ( A ∩ B ) − Pr ⁡ ( A ∩ C ) − Pr ⁡ ( B ∩ C ) + Pr ⁡ ( A ∩ B ∩ C ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B\cap C)=\operatorname {Pr} (A)+\operatorname {Pr} (B)+\operatorname {Pr} (C)-\operatorname {Pr} (A\cap B)-\operatorname {Pr} (A\cap C)-\operatorname {Pr} (B\cap C)+\operatorname {Pr} (A\cap B\cap C)} 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 사건 A , B ∈ F {\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다. Pr ⁡ ( A ∩ B ) ≥ Pr ⁡ ( A ) + Pr ⁡ ( B ) − 1 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)\geq \operatorname {Pr} (A)+\operatorname {Pr} (B)-1} n {\displaystyle n} 개의 원소 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 의 완전 순열의 개수를 구하는 문제를 생각해 보자. { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 의 완전 순열은 임의의 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, σ ( i ) ≠ i {\displaystyle \sigma (i)\neq i} 인 순열 σ ∈ S n {\displaystyle \sigma \in S_{n}} 을 뜻한다. 완전 순열의 집합을 D n {\displaystyle D_{n}} 이라고 하고, 각 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, A i = { σ ∈ S n : σ ( i ) = i } {\displaystyle A_{i}=\{\sigma \in S_{n}\colon \sigma (i)=i\}} 가 i {\displaystyle i} 의 위치를 변경하지 않는 순열들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 완전 순열의 정의에 따라 D n = S n ∖ ( A 1 ∪ ⋯ ∪ A n ) {\displaystyle D_{n}=S_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n})} 이다. 서로 다른 A i 1 , … , A i k {\displaystyle A_{i_{1}},\dots ,A_{i_{k}}} 의 교집합은 i 1 , … , i k {\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}} 를 제외한 n − k {\displaystyle n-k} 개의 원소들의 순열의 집합과 일대일 대응하므로, | A i 1 ∩ ⋯ ∩ A i k | = ( n − k ) ! {\displaystyle |A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}|=(n-k)!} 이다. 포함배제의 원리에 따라 | A 1 ∪ ⋯ ∪ A n | = ∑ k = 1 n ( ( − 1 ) k − 1 ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n | A i 1 ∩ ⋯ ∩ A i k | ) = ∑ k = 1 n ( n k ) ( n − k ) ! = n ! ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 k ! {\displaystyle |A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}|=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}|A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}|\right)=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)!=n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k!}}} 이다. 모든 순열의 개수는 | S n | = n ! {\displaystyle |S_{n}|=n!} 이므로, 모든 완전 순열의 개수는 | D n | = | S n | − | A 1 ∪ ⋯ ∪ A n | = n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k ! {\displaystyle |D_{n}|=|S_{n}|-|A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}|=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}} 이다. Rota, Gian-Carlo (1964). “On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions” (PDF). 《Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete》 (영어) 2 (4): 340–368. doi:10.1007/BF00531932. ISSN 0044-3719. Zbl 0121.02406.  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  “Inclusion-and-exclusion principle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inclusion-exclusion principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.