안둘레

그래프 이론과 매트로이드 이론에서 안둘레(영어: girth 거스[*])는 그래프 또는 매트로이드 속의 가장 작은 “구멍”, 즉 최소의 순환의 크기이다. 마찬가지로 그래프 또는 매트로이드의 밖둘레(영어: circumference 서컴퍼런스[*])는 최대의 순환의 크기이다. 매트로이드 X {\displaystyle X} 의 회로들의 집합을 Circ ⁡ ( X ) ⊆ Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Circ} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)} 라고 하자. 매트로이드 X {\displaystyle X} 의 안둘레는 그 회로의 크기의 최솟값이다. girth ⁡ ( X ) = min C ∈ Circ ⁡ ( X ) | C | ∈ { κ ∈ Card : κ ≤ | X | } ⊔ { + ∞ } {\displaystyle \operatorname {girth} (X)=\min _{C\in \operatorname {Circ} (X)}|C|\in \{\kappa \in \operatorname {Card} \colon \kappa \leq |X|\}\sqcup \{+\infty \}} 여기서 Card {\displaystyle \operatorname {Card} } 는 모든 기수들의 모임이다. 만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 안둘레를 형식적인 기호 + ∞ {\displaystyle +\infty } 로 정의한다. 매트로이드 X {\displaystyle X} 의 밖둘레는 그 회로의 크기의 최댓값이다. circ ⁡ ( X ) = max C ∈ Circ ⁡ ( X ) | C | ∈ { κ ∈ Card : κ ≤ | X | } ⊔ { − ∞ } {\displaystyle \operatorname {circ} (X)=\max _{C\in \operatorname {Circ} (X)}|C|\in \{\kappa \in \operatorname {Card} \colon \kappa \leq |X|\}\sqcup \{-\infty \}} 만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 밖둘레를 형식적인 기호 − ∞ {\displaystyle -\infty } 로 정의한다. 임의의 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 변들의 집합 E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {E} (\Gamma )} 위에는 다음과 같은 두 매트로이드 구조를 줄 수 있다.:§2.2 (유한) 순환 매트로이드 M FC ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {M} _{\text{FC}}(\Gamma )} 에서, 회로는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 (유한) 순환이다. 접합 매트로이드 M B ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {M} _{\text{B}}(\Gamma )} 에서, 회로는 접합(영어: bond)라고 하며, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 변의 (유한 또는 무한) 집합 S ⊆ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle S\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다. Γ {\displaystyle \Gamma } 의 연결 성분 가운데 적어도 하나 이상은 Γ ∖ S {\displaystyle \Gamma \setminus S} 에서 연결 성분이 아니게 된다. 임의의 e ∈ S {\displaystyle e\in S} 에 대하여, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 모든 연결 성분은 Γ ∖ ( S ∖ { e } ) {\displaystyle \Gamma \setminus (S\setminus \{e\})} 에서도 연결 성분으로 남는다. 이 두 매트로이드는 서로 쌍대 매트로이드를 이룬다. 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 안둘레는 그 순환 매트로이드 M FC ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {M} _{\text{FC}}(\Gamma )} 의 안둘레이다. 즉, 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 안둘레는 그 그래프 속의 순환의 최소 길이이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 안둘레를 무한대로 정의한다. 즉, 그래프의 안둘레의 가능한 값은 다음과 같다. { 3 , 4 , 5 , … } ⊔ { + ∞ } {\displaystyle \{3,4,5,\dotsc \}\sqcup \{+\infty \}} 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 밖둘레는 그 순환 매트로이드 M FC ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {M} _{\text{FC}}(\Gamma )} 의 밖둘레이다. 즉, 그래프 속의 순환의 길이들의 상한이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 밖둘레를 − ∞ {\displaystyle -\infty } 로 정의한다. 즉, 그래프의 밖둘레의 가능한 값은 다음과 같다. { 3 , 4 , 5 , … } ⊔ { + ∞ , − ∞ } {\displaystyle \{3,4,5,\dotsc \}\sqcup \{+\infty ,-\infty \}} 물론, 유한 그래프의 밖둘레는 + ∞ {\displaystyle +\infty } 가 될 수 없다. 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 변 연결도(邊連結度, 영어: edge connectivity)는 그 접합 매트로이드 M FB ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {M} _{\text{FB}}(\Gamma )} 의 안둘레이다. 즉, 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 가장 작은 접합의 크기, 즉 새 연결 성분을 만들기 위해서 제거해야 하는 변의 수의 최솟값이다. 무한 그래프의 경우, 변 연결도는 (안둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 변 연결도는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 변 연결도는 + ∞ {\displaystyle +\infty } 로 놓는다. 마찬가지로, 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 접합 매트로이드의 밖둘레 (접합의 크기의 상한) 역시 정의될 수 있으며, 이를 최대 접합 크기(영어: maximum bond size)라고 하자. 무한 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 (밖둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 최대 접합 크기는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 − ∞ {\displaystyle -\infty } 로 놓는다. 임의의 그래프들의 족 { Γ i } i ∈ I {\displaystyle \{\Gamma _{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, 다음이 성립한다. girth ⁡ ( ⨆ i ∈ I Γ i ) = min i ∈ I girth ⁡ Γ i {\displaystyle \operatorname {girth} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)=\min _{i\in I}\operatorname {girth} \Gamma _{i}} circ ⁡ ( ⨆ i ∈ I Γ i ) = sup i ∈ I circ ⁡ Γ i {\displaystyle \operatorname {circ} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)=\sup _{i\in I}\operatorname {circ} \Gamma _{i}} girth ⁡ ( M B ⁡ ( ⨆ i ∈ I Γ i ) ) = min i ∈ I girth ⁡ M B ⁡ ( Γ i ) {\displaystyle \operatorname {girth} \left(\operatorname {M_{B}} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right)=\min _{i\in I}\operatorname {girth} \operatorname {M_{B}} (\Gamma _{i})} circ ⁡ ( M B ⁡ ( ⨆ i ∈ I Γ i ) ) = sup i ∈ I circ ⁡ M B ⁡ ( Γ i ) {\displaystyle \operatorname {circ} \left(\operatorname {M_{B}} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right)=\sup _{i\in I}\operatorname {circ} \operatorname {M_{B}} (\Gamma _{i})} 여기서 ⨆ {\displaystyle \textstyle \bigsqcup } 는 그래프의 분리합집합이다. 꼭짓점이 n {\displaystyle n} 개인 유한 그래프의 밖둘레는 n {\displaystyle n} 이하이며, 이 상계는 해밀턴 순환에 의하여 포화된다. 즉, 밖둘레가 n {\displaystyle n} 인 것은 해밀턴 순환을 갖는 것과 동치이다. 차수 r {\displaystyle r} 의 정규 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음이 성립한다. | V ⁡ ( Γ ) | ≥ { 1 + r ∑ i = 0 ( girth ⁡ Γ − 3 ) / 2 ( r − 1 ) i 2 ∤ girth ⁡ Γ 2 ∑ i = 0 ( girth ⁡ Γ − 2 ) / 2 ( r − 1 ) i 2 ∣ girth ⁡ Γ {\displaystyle |\operatorname {V} (\Gamma )|\geq {\begin{cases}1+r\sum _{i=0}^{(\operatorname {girth} \Gamma -3)/2}(r-1)^{i}&2\nmid \operatorname {girth} \Gamma \\2\sum _{i=0}^{(\operatorname {girth} \Gamma -2)/2}(r-1)^{i}&2\mid \operatorname {girth} \Gamma \end{cases}}} 이 부등식을 포화시키는 정규 그래프를 무어 그래프(영어: Moore graph)라고 한다. 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에서, 주어진 꼭짓점에 연결된 모든 변들의 집합은 접합을 이룬다. 따라서, 꼭짓점의 차수들의 상한은 그 최대 접합 크기의 하계를 이루며, 꼭짓점의 차수들의 최솟값은 변 연결도의 상계를 이룬다. girth ⁡ ( M F B ⁡ ( Γ ) ) ≤ min v ∈ V ⁡ ( Γ ) deg Γ ⁡ v ≤ sup v ∈ V ⁡ ( Γ ) deg Γ ⁡ v ≤ circ ⁡ ( M F B ⁡ ( Γ ) ) {\displaystyle \operatorname {girth} (\operatorname {M_{FB}} (\Gamma ))\leq \min _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg _{\Gamma }v\leq \sup _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg _{\Gamma }v\leq \operatorname {circ} (\operatorname {M_{FB}} (\Gamma ))} 완전 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산: 완전 그래프 K n {\displaystyle K_{n}} 의 접합을 제거하면, a {\displaystyle a} 개의 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는 a ( n − a ) = n 2 / 4 − ( a − n / 2 ) 2 {\displaystyle a(n-a)=n^{2}/4-(a-n/2)^{2}} 이다. 이를 최소화하려면, | a − n / 2 | {\displaystyle |a-n/2|} 를 최대화해야 한다. 이는 a = 1 {\displaystyle a=1} (또는 a = n − 1 {\displaystyle a=n-1} )에서 달성되며, 그 접합의 크기는 n − 1 {\displaystyle n-1} 이다. 반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, | a − n / 2 | {\displaystyle |a-n/2|} 를 최소화해야 하며, 이는 a = ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle a=\lfloor n/2\rfloor } (또는 a = ⌈ n / 2 ⌉ {\displaystyle a=\lceil n/2\rceil } )에서 달성되며, 그 접합의 크기는 ⌊ n 2 / 4 ⌋ {\displaystyle \lfloor n^{2}/4\rfloor } 이다. 완전 이분 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산: m {\displaystyle m} 개의 검은 꼭짓점 및 n {\displaystyle n} 개의 흰 꼭짓점을 갖는 완전 이분 그래프 K m , n {\displaystyle K_{m,n}} 의 접합을 제거하면, a {\displaystyle a} 개의 흰 꼭짓점과 b {\displaystyle b} 개의 검은 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는 a ( n − b ) + b ( m − a ) = m n / 2 − 2 ( a − m / 2 ) ( b − n / 2 ) {\displaystyle a(n-b)+b(m-a)=mn/2-2(a-m/2)(b-n/2)} 이다. 이를 최소화하려면, ( a − m / 2 ) ( b − n / 2 ) {\displaystyle (a-m/2)(b-n/2)} 를 최대화해야 한다. 이는 ( a , b ) = ( 0 , 1 ) {\displaystyle (a,b)=(0,1)} 또는 ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} (또는 ( m , n − 1 ) {\displaystyle (m,n-1)} 또는 ( m − 1 , n ) {\displaystyle (m-1,n)} )에서 달성되며, 그 접합의 크기는 min { m , n } {\displaystyle \min\{m,n\}} 이다. 반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, ( a − m / 2 ) ( b − n / 2 ) {\displaystyle (a-m/2)(b-n/2)} 를 최소화해야 한다. 이는 a = ⌊ m / 2 ⌋ {\displaystyle a=\lfloor m/2\rfloor } b = ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle b=\lfloor n/2\rfloor } 에서 달성되며, 그 접합의 크기는 ⌊ m / 2 ⌋ ⌈ n / 2 ⌉ + ⌈ m / 2 ⌉ ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor m/2\rfloor \lceil n/2\rceil +\lceil m/2\rceil \lfloor n/2\rfloor } 이다. 무어 그래프의 개념은 미국의 수학자 에드워드 포리스트 무어(영어: Edward Forrest Moore, 1925~2003)가 도입하였다. 변 연결도는 카미유 조르당이 1869년에 도입하였다. Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Pendavingh, Rudi A.; Wollan, Paul (2013년 6월 1일). “Axioms for infinite matroids”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 239: 18–46. arXiv:1003.3919. Bibcode:2010arXiv1003.3919B. doi:10.1016/j.aim.2013.01.011. Zbl 1279.05013.  Jordan, Camille (1869). “Sur les assemblages de lignes”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (프랑스어) 70 (2): 185–190. doi:10.1515/crll.1869.70.185. ISSN 0075-4102. JFM 02.0344.01.  “Graph, connectivity of a”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Girth”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Graph circumference”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Edge connectivity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “k-edge-connected graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Ullery, Brooke (2007년 8월 3일). “Regular graphs of given girth” (PDF) (영어).