모멘트 문제

해석학에서, 모멘트 문제(moment問題, 영어: moment problem)는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다. 어떤 측도 공간 X {\displaystyle X} 위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 { u i } i ∈ I ∈ L 1 ( X ) {\displaystyle \{u_{i}\}_{i\in I}\in L^{1}(X)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 모멘트 문제는 다음과 같은 일련의 문제들이다. (존재 문제) 임의의 수열 { m i } i ∈ I {\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, ∫ X u i f = m i ∀ i ∈ I {\displaystyle \int _{X}u_{i}f=m_{i}\,\forall i\in I} 인 f {\displaystyle f} 가 존재하는가? (유일성 문제) 임의의 수열 { m i } i ∈ I {\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, ∫ X u i f = m i ∀ i ∈ I {\displaystyle \int _{X}u_{i}f=m_{i}\,\forall i\in I} 인 f {\displaystyle f} 가 유일한가? 아니면, 이러한 f {\displaystyle f} 의 공간이 어떤 모양인가? 다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다. 함부르거 모멘트 문제(영어: Hamburger moment problem)는 X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 이며 u i = x i ( i = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )} 인 경우이다. 스틸티어스 모멘트 문제(영어: Stieltjes moment problem)는 X = [ 0 , ∞ ) {\displaystyle X=[0,\infty )} 이며 u i = x i ( i = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )} 인 경우이다. 하우스도르프 모멘트 문제(영어: Hausdorff moment problem)는 X = [ 0 , 1 ] {\displaystyle X=[0,1]} 이며 u i = x i ( i = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )} 인 경우이다. 함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다. 존재 문제의 경우, 수열 m i {\displaystyle m_{i}} 가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 항켈 행렬의 열 ( H n ) i j = m i + j ( 0 ≤ i , j ≤ n − 1 ) {\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\qquad (0\leq i,j\leq n-1)} 가 모든 n {\displaystyle n} 에 대하여 양의 준정부호이어야 한다는 것이다. 유일성 문제의 경우는 복잡하며, 칼레만 조건(영어: Carleman’s condition) 및 크레인 조건(영어: Krein’s condition)이라는 충분 조건이 알려져 있다. 칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 가 ∑ i = 1 ∞ m 2 i − 1 / 2 i = + ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }m_{2i}^{-1/2i}=+\infty } 라면, 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가 m 2 i ∈ O ( ( 2 i ) ! ) {\displaystyle m_{2i}\in {\mathcal {O}}((2i)!)} 이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다. 크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 를 갖는 함수 f {\displaystyle f} 가 ∫ − ∞ ∞ − ln ⁡ f ( x ) 1 + x 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty } 를 만족시킨다면, 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 에 대응하는 측도는 유일하지 않다. 스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열 m i {\displaystyle m_{i}} 가 주어졌을 때 행렬 Δ n = ( m 0 m 1 m 2 ⋯ m n m 1 m 2 m 3 ⋯ m n + 1 m 2 m 3 m 4 ⋯ m n + 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ m n m n + 1 m n + 2 ⋯ m 2 n ) {\displaystyle \Delta _{n}={\begin{pmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{pmatrix}}} Δ n ( 1 ) = ( m 1 m 2 m 3 ⋯ m n + 1 m 2 m 3 m 4 ⋯ m n + 2 m 3 m 4 m 5 ⋯ m n + 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ m n + 1 m n + 2 m n + 3 ⋯ m 2 n + 1 ) {\displaystyle \Delta _{n}^{(1)}={\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{pmatrix}}} 을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. m n {\displaystyle m_{n}} 이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든 n {\displaystyle n} 에 대하여 det Δ n > 0 {\displaystyle \det \Delta _{n}>0} 이며 det Δ n ( 1 ) > 0 {\displaystyle \det \Delta _{n}^{(1)}>0} 인 것이다. 유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, 칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 가 ∑ i = 1 ∞ m i − 1 / 2 i = + ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }m_{i}^{-1/2i}=+\infty } 라면, 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 에 대응하는 측도는 유일하다. 크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 를 갖는 함수 f {\displaystyle f} 가 ∫ 0 ∞ − x ln ⁡ f ( x ) 1 + x d x < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }-{\frac {{\sqrt {x}}\ln f(x)}{1+x}}\,dx<\infty } 를 만족시킨다면, 모멘트 m i {\displaystyle m_{i}} 에 대응하는 측도는 유일하지 않다. 하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다. 수열 m i {\displaystyle m_{i}} 가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든 n , k ≥ 0 {\displaystyle n,k\geq 0} 에 대하여 ( − 1 ) k ( Δ k m ) n ≥ 0 {\displaystyle (-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0} 인 것이다. 여기서 Δ {\displaystyle \Delta } 는 수열의 차 연산자 ( Δ m ) i = m i + 1 − m i {\displaystyle (\Delta m)_{i}=m_{i+1}-m_{i}} 이다. 모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다. 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식(영어: Chebyshev–Markov–Krein inequality)은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다. X {\displaystyle X} 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, μ {\displaystyle \mu } 가 K {\displaystyle K} 위의 측도이며, μ ( x ) < ∞ {\displaystyle \mu (x)<\infty } 라고 하자. U ⊂ C ( K ; R ) {\displaystyle U\subset {\mathcal {C}}(K;\mathbb {R} )} 가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한, U {\displaystyle U} 가 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} 인 함수 f {\displaystyle f} 를 적어도 한 개 포함한다고 하자. V ( U , μ ) {\displaystyle V(U,\mu )} 가 ∫ X u d μ = ∫ X u d ν ∀ u ∈ U {\displaystyle \int _{X}u\,d\mu =\int _{X}u\,d\nu \qquad \forall u\in U} ν ( X ) < ∞ {\displaystyle \nu (X)<\infty } 인 측도 ν {\displaystyle \nu } 들의 집합이라고 하자. 임의의 f ∈ L 1 ( X , μ ; R ) {\displaystyle f\in L^{1}(X,\mu ;\mathbb {R} )} 에 대하여, 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식은 { ν ∈ V ( U , μ ) : ∫ X f d ν } {\displaystyle \left\{\nu \in V(U,\mu )\colon \int _{X}f\,d\nu \right\}} 의 상한과 하한에 대한 부등식이다. 이 경우, 다음이 성립한다. inf ν ∈ V ( U , μ ) ∫ X f d ν = sup u ∈ U , u ≤ f ∫ X u d μ {\displaystyle \inf _{\nu \in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sup _{u\in U,\,u\leq f}\int _{X}u\,d\mu } 따라서, { ν ∈ V ( U , μ ) : ∫ X f d ν } {\displaystyle \{\nu \in V(U,\mu )\colon \int _{X}f\,d\nu \}} 의 상한·하한을 찾는 문제는 { ‖ u − f ‖ 1 : u ∈ U } {\displaystyle \{\|u-f\|_{1}\colon u\in U\}} 의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의 u 0 ∈ U {\displaystyle u_{0}\in U} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. u 0 {\displaystyle u_{0}} 는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 u 0 ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle u_{0}(x)\leq f(x)} 이다. 다음 두 조건을 만족시키는 x 1 , … , x k ∈ X {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}\in X} 및 양의 실수 λ 1 , … , λ k ∈ R + {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R} ^{+}} 가 존재한다 ( 1 ≤ k ≤ dim ⁡ U {\displaystyle 1\leq k\leq \dim U} ). f ( x i ) = u 0 ( x i ) ∀ i = 1 , … , k {\displaystyle f(x_{i})=u_{0}(x_{i})\qquad \forall i=1,\dots ,k} ∫ X u d μ = ∑ i = 1 k λ i u ( x i ) ∀ u ∈ U {\displaystyle \textstyle \int _{X}u\,d\mu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}u(x_{i})\qquad \forall u\in U} 이러한 { ( x i , λ i ) } i = 1 , … , k {\displaystyle \{(x_{i},\lambda _{i})\}_{i=1,\dots ,k}} 를 찾았을 때, 다음이 성립한다. inf v ∈ V ( U , μ ) ∫ X f d ν = ∑ i = 1 k λ i f ( x i ) {\displaystyle \inf _{v\in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}f(x_{i})} 또한, 이 하한을 포화시키는 측도 ν {\displaystyle \nu } 는 다음과 같다. ν min = ∑ i = 1 k λ i δ x i {\displaystyle \nu _{\min }=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}} 여기서 δ x {\displaystyle \delta _{x}} 는 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서의 디랙 델타 측도이다. 즉, δ x ( A ) = { 1 x ∈ A 0 x ∉ A {\displaystyle \delta _{x}(A)={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}} 이다. 마찬가지로, 상한을 찾으려면 ∫ X − f d ν {\displaystyle \int _{X}-f\,d\nu } 의 하한을 찾으면 된다. 닫힌구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 T ⊂ C 0 ( [ a , b ] ; R ) {\displaystyle T\subset {\mathcal {C}}^{0}([a,b];\mathbb {R} )} 에 대하여, 임의의 u ∈ T ∖ { 0 } {\displaystyle u\in T\setminus \{0\}} 에 대하여 u {\displaystyle u} 가 n {\displaystyle n} 개 미만의 영점들을 갖는다면, T {\displaystyle T} 를 체비쇼프 공간(영어: Chebyshev space, T-space)이라고 하며, 그 기저를 체비쇼프 계(영어: Chebyshev system, 영어: T-system)라고 한다. [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위의 체비쇼프 공간 T {\displaystyle T} 가 주어졌다고 하자. [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위의 유한 측도 μ {\displaystyle \mu } 가, 임의의 u ∈ T ∖ { 0 } {\displaystyle u\in T\setminus \{0\}} 에 대하여 만약 u ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ [ a , b ] {\displaystyle u(x)\geq 0\forall x\in [a,b]} 이면 ∫ u d μ > 0 {\displaystyle \int u\,d\mu >0} 이라고 하자. 그렇다면, μ {\displaystyle \mu } 에 대하여, ∫ a b u d μ = ∫ a b u d ν ∀ u ∈ T {\displaystyle \int _{a}^{b}u\,d\mu =\int _{a}^{b}u\,d\nu \qquad \forall u\in T} 이며 ν = ∑ i = 1 n a i δ ( x i ) ( a ≤ x 1 < x 2 < ⋯ x n ≤ b ) {\displaystyle \nu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta (x_{i})\qquad (a\leq x_{1}<x_{2}<\cdots x_{n}\leq b)} 인 꼴의 측도 ν {\displaystyle \nu } 가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 x n = b {\displaystyle x_{n}=b} 를 갖는다. 이를 μ ± {\displaystyle \mu _{\pm }} 이라고 하며, μ {\displaystyle \mu } 의 상·하 주표현(영어: upper/lower principal representation)이라고 한다. 임의의 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위의 유한 측도 ν ∈ V ( U , μ ) {\displaystyle \nu \in V(U,\mu )} 에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다. ∫ a b f d μ − ≤ ∫ a b f d μ ≤ ∫ a b f d μ + {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d\mu _{-}\leq \int _{a}^{b}f\,d\mu \leq \int _{a}^{b}f\,d\mu _{+}} 즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다. 실수선 위의 함수 f ( x ) = exp ⁡ ( − ( ln ⁡ x ) 2 ) {\displaystyle f(x)=\exp(-(\ln x)^{2})} 를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다. ∫ − ∞ ∞ x n f ( x ) d x = { 2 e ( n + 1 ) 2 / 4 π 2 ∣ n 0 2 ∤ n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx={\begin{cases}2e^{(n+1)^{2}/4}{\sqrt {\pi }}&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}} 그러나 크레인 조건에 따라 ∫ − ∞ ∞ − ln ⁡ f ( x ) 1 + x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ ( ln ⁡ x ) 2 1 + x 2 d x = π 3 / 4 < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\ln x)^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi ^{3}/4<\infty } 이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은 m 2 n ∼ exp ⁡ ( n 2 ) ≫ ( 2 n ) ! ∼ exp ⁡ ( 2 n ln ⁡ n + ⋯ ) {\displaystyle m_{2n}\sim \exp(n^{2})\gg (2n)!\sim \exp \left(2n\ln n+\cdots \right)} 이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다. 한켈 행렬 모멘트 (수학) Pinkus, A.; J.M. Quesada (2012). “On Chebyshev–Markov–Krein inequalities” (PDF). 《Journal of Approximation Theory》 (영어) 164: 1262–1282. doi:10.1016/j.jat.2012.06.001. 2013년 10월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 2일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Simon, Barry (1998년 7월 15일). “The classical moment problem as a self-adjoint finite difference operator”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 137 (1): 82–203. arXiv:math-ph/9906008. Bibcode:1999math.ph...6008S. doi:10.1006/aima.1998.1728. ISSN 0001-8708. Zbl 0910.44004.  “Moment problem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.