오일러 정리

오일러 정리(영어: Euler’s theorem)는 수론의 하나로, 페르마의 소정리를 일반화한 정리의 하나이다. 정수 a {\displaystyle a} 및 양의 정수 n {\displaystyle n} 이 주어졌고, a {\displaystyle a} 와 n {\displaystyle n} 이 서로소라고 하자. 오일러 정리에 따르면, a ϕ ( n ) {\displaystyle a^{\phi (n)}} 과 1은 법 n {\displaystyle n} 에 대하여 합동이다. a ϕ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} 정수환의 몫환 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 가역원군 ( Z / ( n ) ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /(n))^{\times }} 을 생각하자. ord ⁡ a {\displaystyle \operatorname {ord} a} 가 a {\displaystyle a} 의 ( Z / ( n ) ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /(n))^{\times }} 에서의 위수라고 하자. 라그랑주 정리에 따라, ord ⁡ a {\displaystyle \operatorname {ord} a} 는 가역원군의 크기 ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} 의 약수이다. 즉, ϕ ( n ) = k ord ⁡ a {\displaystyle \phi (n)=k\operatorname {ord} a} 인 양의 정수 k {\displaystyle k} 가 존재한다. 따라서 a ϕ ( n ) = a k ord ⁡ a = ( a ord ⁡ a ) k ≡ 1 k = 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\phi (n)}=a^{k\operatorname {ord} a}=(a^{\operatorname {ord} a})^{k}\equiv 1^{k}=1{\pmod {n}}} 이다. 정수의 집합 { x 1 , x 2 , … , x m } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\}} 에 대한 다음 네 조건을 생각하자. ㈀ 만약 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 라면, x i ≢ x j ( mod n ) {\displaystyle x_{i}\not \equiv x_{j}{\pmod {n}}} 이다. ㈁ 각 i {\displaystyle i} 에 대하여, x i {\displaystyle x_{i}} 와 n {\displaystyle n} 은 서로소이다. ㈂ 만약 x {\displaystyle x} 와 n {\displaystyle n} 이 서로소라면, x = x i ( mod n ) {\displaystyle x=x_{i}{\pmod {n}}} 인 i {\displaystyle i} 이 존재한다. ㈃ m = ϕ ( n ) {\displaystyle m=\phi (n)} 위 네 조건을 만족시키는 정수 집합은 반드시 존재한다. 예를 들어 { 0 , 1 , 2 , … , n − 1 } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}} 속의 정수 가운데 n {\displaystyle n} 과 서로소인 것들의 집합은 네 조건을 모두 만족시킨다. 사실 각 조건은 남은 세 조건으로부터 유도될 수 있다. 예를 들어 { x 1 , x 2 , … , x ϕ ( n ) } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{\phi (n)}\}} 이 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킨다고 하자. r i ∈ { 0 , 1 , 2 , … , n − 1 } {\displaystyle r_{i}\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}} 가 x i {\displaystyle x_{i}} 를 n {\displaystyle n} 으로 나눈 나머지라고 하자. 그렇다면 { r 1 , r 2 , … , r ϕ ( n ) } {\displaystyle \{r_{1},r_{2},\dots ,r_{\phi (n)}\}} 역시 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킨다. ϕ {\displaystyle \phi } 의 정의에 따라 이는 { 0 , 1 , 2 , … , n − 1 } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}} 속에서 n {\displaystyle n} 과 서로소인 모든 정수의 집합이다. 만약 x {\displaystyle x} 와 n {\displaystyle n} 이 서로소라면, x {\displaystyle x} 는 그 n {\displaystyle n} 에 대한 나머지와 합동이며, 이 나머지는 r i {\displaystyle r_{i}} 가운데 하나다. 위 네 조건을 만족시키는 정수 집합 { x 1 , x 2 , … , x ϕ ( n ) } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{\phi (n)}\}} 을 취하자. 이제, { a x 1 , a x 2 , … , a x ϕ ( n ) } {\displaystyle \{ax_{1},ax_{2},\dots ,ax_{\phi (n)}\}} 역시 네 조건을 만족시킴을 증명하자. 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킴을 증명하면 충분하다. 조건 ㈀. a x i ≡ a x j ( mod n ) {\displaystyle ax_{i}\equiv ax_{j}{\pmod {n}}} 라고 하자. n {\displaystyle n} 은 a ( x i − x j ) {\displaystyle a(x_{i}-x_{j})} 의 약수이다. 즉, n {\displaystyle n} 의 중복도를 감안한 소인수들은 모두 a ( x i − x j ) {\displaystyle a(x_{i}-x_{j})} 의 소인수이다. a {\displaystyle a} 와 n {\displaystyle n} 이 서로소이므로 a {\displaystyle a} 와 n {\displaystyle n} 은 소인수를 공유하지 않으며, 따라서 n {\displaystyle n} 의 중복도를 감안한 소인수들은 모두 x i − x j {\displaystyle x_{i}-x_{j}} 의 소인수이다. 즉, n {\displaystyle n} 은 x i − x j {\displaystyle x_{i}-x_{j}} 의 약수이다. 따라서 x i ≡ x j {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}} 이며, i = j {\displaystyle i=j} 이다. 조건 ㈁. a {\displaystyle a} 와 x i {\displaystyle x_{i}} 모두 n {\displaystyle n} 과 서로소이므로 그 곱 a x i {\displaystyle ax_{i}} 역시 n {\displaystyle n} 과 서로소다. 조건 ㈃. 첫 번째 조건에 따라 a x i {\displaystyle ax_{i}} 는 서로 합동이 아니며, 특히 서로 다르다. 이제, { a x 1 , a x 2 , … , a x ϕ ( n ) } {\displaystyle \{ax_{1},ax_{2},\dots ,ax_{\phi (n)}\}} 과 { x 1 , x 2 , … , x ϕ ( n ) } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{\phi (n)}\}} 이 조건 ㈀, ㈁, ㈂, ㈃을 만족시키므로, 각 i ∈ { 1 , 2 , … , ϕ ( n ) } {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,\phi (n)\}} 에 대하여, x i ≡ a x σ ( i ) ( mod n ) {\displaystyle x_{i}\equiv ax_{\sigma (i)}{\pmod {n}}} 인 σ ( i ) ∈ { 1 , 2 , … , ϕ ( n ) } {\displaystyle \sigma (i)\in \{1,2,\dots ,\phi (n)\}} 이 존재한다. x i {\displaystyle x_{i}} 가 서로 합동이 아니므로 a x σ ( i ) {\displaystyle ax_{\sigma (i)}} 역시 서로 합동이 아니며, σ ( i ) {\displaystyle \sigma (i)} 는 서로 다르다. 즉, σ : { 1 , 2 , … , ϕ ( n ) } → { 1 , 2 , … , ϕ ( n ) } {\displaystyle \sigma \colon \{1,2,\dots ,\phi (n)\}\to \{1,2,\dots ,\phi (n)\}} 은 일대일 대응이다. 따라서 a ϕ ( n ) ∏ i = 1 n x i = ∏ i = 1 n a x σ ( i ) ≡ ∏ i = 1 n x i ( mod n ) {\displaystyle a^{\phi (n)}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\prod _{i=1}^{n}ax_{\sigma (i)}\equiv \prod _{i=1}^{n}x_{i}{\pmod {n}}} 이며, ∏ i = 1 n x i {\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}} 와 n {\displaystyle n} 이 서로소이므로 a ϕ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} 이다. 페르마의 소정리는 오일러 정리의 특수한 경우이다. 정수 a {\displaystyle a} 및 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌다고 하자. 또한, p {\displaystyle p} 가 a {\displaystyle a} 의 약수가 아니라고 하자. 그렇다면 a {\displaystyle a} 와 p {\displaystyle p} 는 서로소이다. 1 , 2 , … , p − 1 {\displaystyle 1,2,\dots ,p-1} 은 모두 p {\displaystyle p} 와 서로소이므로 ϕ ( p ) = p − 1 {\displaystyle \phi (p)=p-1} 이다. 따라서 a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 이다. 양의 정수 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 이 주어졌다고 하자. −1과 n {\displaystyle n} 은 서로소이므로, 오일러 정리에 따라 ( − 1 ) ϕ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle (-1)^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} 이다. 즉, ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} 은 짝수이다. 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 증명하였다. 오일러 다면체 정리