상태 (함수해석학)

C* 대수 이론에서, 상태(狀態, 영어: state)는 C* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 “확률 측도”로 여길 수 있다. 양자역학의 밀도 행렬을 추상화한 개념이다. 겔판트-나이마르크-시걸 구성(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, 영어: Gelfand–Naimark–Segal construction, 약자 GNS 구성)에 따라, 상태들은 C* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다. (항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 ( A , ∗ ) {\displaystyle (A,^{*})} 위의 복소수 선형 변환 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 가 다음 조건을 만족시킨다면, 상태라고 한다.:27, §1.6:107, Definition 6.2 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, f ( a ∗ a ) ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f(a^{*}a)\in [0,\infty )} 이다. f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} 이다. C* 대수 A {\displaystyle A} 의 상태들의 공간을 State ⁡ ( A ) ⊆ A ∗ {\displaystyle \operatorname {State} (A)\subseteq A^{*}} 라고 하자 ( A ∗ {\displaystyle A^{*}} 는 A {\displaystyle A} 의 연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 순수 상태(純粹狀態, 영어: pure state):29, §1.6, 아닌 상태들을 혼합 상태(混合狀態,영어: mixed state)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.) C* 대수 A {\displaystyle A} 의 *-표현(*-表現) ( H , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 는 복소수 힐베르트 공간이다. ρ : A → B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \rho \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, ρ ( a + b ) = ρ ( a ) + ρ ( b ) {\displaystyle \rho (a+b)=\rho (a)+\rho (b)} 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, ρ ( a b ) = ρ ( a ) ρ ( b ) {\displaystyle \rho (ab)=\rho (a)\rho (b)} 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 및 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 에 대하여, ρ ( λ a ) = λ ρ ( a ) {\displaystyle \rho (\lambda a)=\lambda \rho (a)} 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, ρ ( a ∗ ) = ρ ( a ) ∗ {\displaystyle \rho (a^{*})=\rho (a)^{*}} (우변의 ∗ {\displaystyle ^{*}} 는 에르미트 수반) ρ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \rho (1)=1} (항등 함수) A {\displaystyle A} 의 *-표현 ( H , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )} 에 대하여, 만약 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면 순환 벡터라고 한다.:29, §1.6 { ρ ( a ) x : a ∈ A } {\displaystyle \{\rho (a)x\colon a\in A\}} 는 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다. 복소수 대합 대수 A {\displaystyle A} 위의 상태 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 가 주어졌을 때, 에르미트 형식 B f : A × A → C {\displaystyle B_{f}\colon A\times A\to \mathbb {C} } B f : ( a , b ) ↦ f ( a ∗ b ) {\displaystyle B_{f}\colon (a,b)\mapsto f(a^{*}b)} 을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식 | B f ( a , b ) | 2 ≤ B f ( a , a ) B f ( b , b ) ∀ a , b ∈ A {\displaystyle |B_{f}(a,b)|^{2}\leq B_{f}(a,a)B_{f}(b,b)\qquad \forall a,b\in A} 가 성립한다. 즉, | f ( a ∗ b ) | 2 ≤ f ( a ∗ a ) f ( b ∗ b ) ∀ a , b ∈ A {\displaystyle |f(a^{*}b)|^{2}\leq f(a^{*}a)f(b^{*}b)\qquad \forall a,b\in A} 이다. C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다.:28, Proposition 1.6.2 특히, 항상 연속 함수를 이룬다. 증명: 우선, 다음 보조 정리를 증명하자. ① C* 대수 A {\displaystyle A} 의 자기 수반 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 가 ‖ a ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|a\|\leq 1} 이라면, b 2 = 1 − a {\displaystyle b^{2}=1-a} 인 자기 수반 원소 b ∈ A {\displaystyle b\in A} 가 존재한다. ①의 증명: a {\displaystyle a} 로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C* 대수 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 를 생각하자. 이는 가환 C* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대한 B ≅ C 0 ( X , C ) {\displaystyle B\cong {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )} 로 표현되며, 이 표현 아래 x {\displaystyle x} 는 치역이 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 의 부분 집합인 연속 함수 f : X → C {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} } 에 대응된다. 이 경우, 1 − f {\displaystyle {\sqrt {1-f}}} 에 대응되는 원소가 b ∈ B ⊆ A {\displaystyle b\in B\subseteq A} 이다. 임의의 C* 대수 A {\displaystyle A} 위의 임의의 상태 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 를 생각하자. f : 1 A ↦ 1 C {\displaystyle f\colon 1_{A}\mapsto 1_{\mathbb {C} }} 이므로 ‖ f ‖ ≥ 1 {\displaystyle \|f\|\geq 1} 이다. 즉, ‖ f ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|f\|\leq 1} 임을 보이면 족하다. 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, ‖ a ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|a\|\leq 1} 이라고 하자. 이제 | f ( a ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(a)|\leq 1} 임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 | f ( a ) | 2 ≤ f ( a ∗ a ) {\displaystyle |f(a)|^{2}\leq f(a^{*}a)} 이다. 즉, f ( a ∗ a ) ≤ 1 {\displaystyle f(a^{*}a)\leq 1} , 즉 f ( 1 − a ∗ a ) ≥ 0 {\displaystyle f(1-a^{*}a)\geq 0} 임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. C* 대수 A {\displaystyle A} 유계 작용소 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 또한, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 자기 수반 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, f ( a ) ∈ R {\displaystyle f(a)\in \mathbb {R} } 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. f = α + f + − α − f − {\displaystyle f=\alpha _{+}f_{+}-\alpha _{-}f_{-}} 여기서 f + , f − : A → C {\displaystyle f_{+},f_{-}\colon A\to \mathbb {C} } 는 A {\displaystyle A} 위의 두 상태이다. α + , α − ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \alpha _{+},\alpha _{-}\in [0,\infty )} 는 음이 아닌 두 실수이며, ‖ f ‖ = α + + α − {\displaystyle \|f\|=\alpha _{+}+\alpha _{-}} 이다. 폰 노이만 대수 A {\displaystyle A} 위의 상태 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 정규 상태(正規狀態, 영어: normal state)라고 한다.:§12.6, Theorem 12.14 f ↾ cl ⁡ ball A ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle f\upharpoonright \operatorname {cl} \operatorname {ball} _{A}(0,1)} 는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다. f ↾ cl ⁡ ball A ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle f\upharpoonright \operatorname {cl} \operatorname {ball} _{A}(0,1)} 는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다. 임의의 *-표현 ( H , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )} 에 대하여, ρ ( a ) = tr ⁡ ( T ρ ( a ) ) {\displaystyle \rho (a)=\operatorname {tr} (T\rho (a))} 가 성립하는 대각합류 작용소 T : H → H {\displaystyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 가 존재한다. (이 경우, T {\displaystyle T} 를 f {\displaystyle f} 의 밀도 행렬이라고 한다.) 겔판트-나이마르크-시걸 구성에 따르면, 다음이 성립한다. ① C* 대수 A {\displaystyle A} 의 상태 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현 ( H , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )} 및 그 속의 순환 벡터 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} 가 존재한다.:28, Theorem 1.6.3 ∀ a ∈ A : f ( a ) = ⟨ ρ ( a ) v , v ⟩ {\displaystyle \forall a\in A\colon f(a)=\langle \rho (a)v,v\rangle } ② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현 ( H , ρ , v ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho ,v)} , ( H ′ , ρ ′ , v ′ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}',\rho ',v')} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환 U : H → H ′ {\displaystyle U\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}'} 이 존재한다.:31, Exercise 1.6.B ∀ a ∈ A : ρ ′ ( a ) = U ρ ( a ) U ∗ {\displaystyle \forall a\in A\colon \rho '(a)=U\rho (a)U^{*}} ∀ a ∈ A : ρ ′ ( a ) v ′ = U ρ ( a ) v {\displaystyle \forall a\in A\colon \rho '(a)v'=U\rho (a)v} 즉, C* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다. 구성: 구체적으로, 상태 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다.:73, Theorem I.2.14 우선, 양쪽 아이디얼 I = { a ∈ A : f ( a ∗ a ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {I}}=\{a\in A\colon f(a^{*}a)=0\}} 를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은 H = A / I ¯ {\displaystyle {\mathcal {H}}={\overline {A/{\mathfrak {I}}}}} 이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다. ⟨ a + I , b + I ⟩ H = f ( a b ) ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \langle a+{\mathfrak {I}},b+{\mathfrak {I}}\rangle _{\mathcal {H}}=f(ab)\qquad \forall a,b\in A} 그 위의 *-표현은 다음과 같다. ρ : A → B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \rho \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} ρ : a ↦ ( b + I ↦ a b + I ) {\displaystyle \rho \colon a\mapsto (b+{\mathcal {I}}\mapsto ab+{\mathfrak {I}})} 그 위의 순환 벡터는 다음과 같다. v = 1 A + I ∈ H {\displaystyle v=1_{A}+{\mathfrak {I}}\in {\mathcal {H}}} C* 대수 A {\displaystyle A} 의 *-표현 ( H , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면 기약 *-표현(영어: irreducible *-representation)이라고 한다.:16, Exercise 1.3.D H ≠ { 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}\neq \{0\}} 임의의 닫힌 부분 벡터 공간 V ⊆ H {\displaystyle V\subseteq {\mathcal {H}}} 에 대하여, 만약 { 0 } ≠ V ≠ H {\displaystyle \{0\}\neq V\neq {\mathcal {H}}} 라면, ρ ( a ) V ≠ V {\displaystyle \rho (a)V\neq V} 인 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 가 존재한다. 이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.:30, Theorem 1.6.6 임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 H = C N {\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbb {C} ^{N}} 및 모든 N × N {\displaystyle N\times N} 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 A = Mat ⁡ ( N , N ; C ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )} 를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬 ρ {\displaystyle \rho } 를 생각하자. tr ⁡ ρ = 1 {\displaystyle \operatorname {tr} \rho =1} ρ = ρ † {\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }} 또한, ρ {\displaystyle \rho } 의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자. 그렇다면, 함수 Mat ⁡ ( N , N ; C ) → C {\displaystyle \operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )\to \mathbb {C} } O ↦ tr ⁡ ( ρ O ) = tr ⁡ ( O ρ ) {\displaystyle O\mapsto \operatorname {tr} (\rho O)=\operatorname {tr} (O\rho )} 는 Mat ⁡ ( N , N ; C ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )} 위의 상태를 이룬다. 이 가운데 순수 상태들은 ρ = | v ⟩ ⟨ v | {\displaystyle \rho =|v\rangle \langle v|} ( v ∈ C N {\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{N}} 는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우 ϕ | v ⟩ ⟨ v | : O ↦ tr ⁡ ( O | v ⟩ ⟨ v | ) = ⟨ v | O | v ⟩ {\displaystyle \phi _{|v\rangle \langle v|}\colon O\mapsto \operatorname {tr} (O|v\rangle \langle v|)=\langle v|O|v\rangle } 이다. 상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다. 겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나, 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸(영어: Irving Ezra Segal)이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다. 양자역학 Arveson, William (1976). 《An invitation to C*-algebras》. 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