해밍 결합 도식

조합론에서 해밍 결합 도식(Hamming結合圖式, 영어: Hamming association scheme)은 해밍 거리가 주어진 곱집합으로 구성된 결합 도식이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 유한 집합 Σ {\displaystyle \Sigma } 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 그렇다면, 곱집합 Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 위에 다음과 같은 이항 관계 ( ∼ 0 , ∼ 1 , … , ∼ n ) {\displaystyle (\sim _{0},\sim _{1},\dotsc ,\sim _{n})} 들을 주자. u ∼ i v ⟺ d H ⁡ ( u , v ) = i ( u , v ∈ Σ n ) {\displaystyle u\sim _{i}v\iff \operatorname {d_{H}} (u,v)=i\qquad (u,v\in \Sigma ^{n})} 여기서 d H : Σ n × Σ n → { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle \operatorname {d_{H}} \colon \Sigma ^{n}\times \Sigma ^{n}\to \{0,1,\dotsc ,n\}} 은 해밍 거리이다. 그렇다면, ( Σ n , { ∼ i } 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle (\Sigma ^{n},\{\sim _{i}\}_{0\leq i\leq n})} 은 결합 도식을 이룬다. 이를 ( n , | Σ | ) {\displaystyle (n,|\Sigma |)} -해밍 결합 도식이라고 한다.:18–19, §1.4.3:2479, Example 1 해밍 결합 도식은 대신 군의 작용을 통해 정의될 수도 있다.:2482, Example 1 (continued) 구체적으로, 곱집합 Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 단사 군 준동형을 생각할 수 있다. f : Sym ⁡ ( n ) ↪ Sym ⁡ ( Σ n ) {\displaystyle f\colon \operatorname {Sym} (n)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})} g : Sym ⁡ ( Σ ) n ↪ Sym ⁡ ( Σ n ) {\displaystyle g\colon \operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}\hookrightarrow \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})} 여기서 f {\displaystyle f} 는 Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 의 원소의 n {\displaystyle n} 개의 성분들 사이의 순열을 취하는 것이다. g {\displaystyle g} 는 Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 의 원소의 n {\displaystyle n} 개의 성분들에 각각 순열을 가하는 것이다. g {\displaystyle g} 의 상은 Sym ⁡ ( Σ n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})} 의 정규 부분군이며, 분할 완전열 1 → Sym ⁡ ( Σ ) n → g Sym ⁡ ( Σ n ) → Sym ⁡ ( n ) → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}{\xrightarrow {g}}\operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})\to \operatorname {Sym} (n)\to 1} 이 존재한다. 그렇다면, f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 의 상으로 생성되는, 대칭군 Sym ⁡ ( Σ n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})} 의 부분군을 생각할 수 있으며, 이는 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 과 Sym ⁡ ( Σ ) n {\displaystyle \operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}} 의 반직접곱 G = Sym ⁡ ( Σ ) n ⋊ Sym ⁡ ( n ) ≤ Sym ⁡ ( Σ n ) {\displaystyle G=\operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}\rtimes \operatorname {Sym} (n)\leq \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})} 이다. 그렇다면, Σ n × Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}\times \Sigma ^{n}} 위에 G {\displaystyle G} 의 성분별 작용 g ⋅ ( u , v ) = ( g ⋅ u , g ⋅ v ) {\displaystyle g\cdot (u,v)=(g\cdot u,g\cdot v)} 을 가했을 때, 그 궤도들은 Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 위의 결합 도식을 정의하며, 이를 해밍 결합 도식이라고 한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 결합 도식 ( Σ , m , R = ( R 0 , R 1 , … , R m ) ) {\displaystyle (\Sigma ,m,{\mathcal {R}}=(R_{0},R_{1},\dotsc ,R_{m}))} 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 그렇다면, 곱집합 Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 의 임의의 두 원소 u , v ∈ Σ n {\displaystyle u,v\in \Sigma ^{n}} 에 대하여, h ( u , v ) = ( h 0 ( u , v ) , h 1 ( u , v ) , … , h m ( u , v ) ) ∈ Z m + 1 {\displaystyle h(u,v)=(h_{0}(u,v),h_{1}(u,v),\dotsc ,h_{m}(u,v))\in \mathbb {Z} ^{m+1}} h i ( u , v ) = { 1 ( u , v ) ∈ R i 0 ( u , v ) ∉ R i {\displaystyle h_{i}(u,v)={\begin{cases}1&(u,v)\in R_{i}\\0&(u,v)\not \in R_{i}\end{cases}}} 를 정의하자. 그렇다면, ∑ i = 0 m h i ( u , v ) = n {\displaystyle \sum _{i=0}^{m}h_{i}(u,v)=n} 이다. 이제, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 가 m + 1 {\displaystyle m+1} 개의 성분을 가지며, 모든 성분이 0 또는 1이며, 모든 성분의 합이 n {\displaystyle n} 인 벡터들의 집합이라고 하자. 그렇다면, Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 위에 각 h ′ ∈ H {\displaystyle h'\in {\mathcal {H}}} 에 대하여 u ∼ h ′ v ⟺ h ( u , v ) = h ′ {\displaystyle u\sim _{h'}v\iff h(u,v)=h'} 를 주면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 ( Σ , m , R ) {\displaystyle (\Sigma ,m,{\mathcal {R}})} 위의 n {\displaystyle n} 차 일반화 해밍 결합 도식(영어: generalized Hamming association scheme)이라고 한다. 해밍 결합 도식은 대칭 결합 도식이다. 즉, 그 모든 이항 관계는 대칭 관계이다. 해밍 결합 도식 H ⁡ ( n , | Σ | ) {\displaystyle \operatorname {H} (n,|\Sigma |)} 의 인접 행렬들이 ( D i ) 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle (D_{i})_{0\leq i\leq n}} 라고 하자. 해밍 결합 도식의 구조 상수는 다음과 같다.:334, §2.3 D i D j = ∑ k = 0 n p i j k D k {\displaystyle D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}} p i j k = ∑ m = 0 n − k ( k k + m − i ) ( i − m k − j + m ) ( n − k m ) ( | Σ | − 1 ) m ( | Σ | − 2 ) i + j − k − 2 m {\displaystyle p_{ij}^{k}=\sum _{m=0}^{n-k}{\binom {k}{k+m-i}}{\binom {i-m}{k-j+m}}{\binom {n-k}{m}}(|\Sigma |-1)^{m}(|\Sigma |-2)^{i+j-k-2m}} 특히, | Σ | = 2 {\displaystyle |\Sigma |=2} 일 때 이는 m = ( i + j − k ) / 2 {\displaystyle m=(i+j-k)/2} 인 항만 남게 되며, 이 경우 구조 상수는 다음과 같다. p i j k = { ( k ( i − j + k ) / 2 ) ( n − k ( i + j − k ) / 2 ) 2 ∣ i + j − k 0 2 ∤ i + j − k ( 0 ≤ i , j , k ≤ n ) {\displaystyle p_{ij}^{k}={\begin{cases}{\binom {k}{(i-j+k)/2}}{\binom {n-k}{(i+j-k)/2}}&2\mid i+j-k\\0&2\nmid i+j-k\end{cases}}\qquad (0\leq i,j,k\leq n)} 그렇다면, 해밍 결합 도식의 복소수 계수 보스-메스너 대수의 최소 멱등원들은 다음과 같다. E a = 1 | Σ | n ∑ i = 0 n Q a i D i ( 0 ≤ a ≤ n ) {\displaystyle E_{a}={\frac {1}{|\Sigma |^{n}}}\sum _{i=0}^{n}Q_{ai}D_{i}\qquad (0\leq a\leq n)} D i = ∑ a = 0 n P i a E i ( 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle D_{i}=\sum _{a=0}^{n}P_{ia}E_{i}\qquad (0\leq i\leq n)} Q a i = K a ⁡ ( i ; n , | Σ | ) {\displaystyle Q_{ai}=\operatorname {K} _{a}(i;n,|\Sigma |)} P i a = K i ⁡ ( a ; n , | Σ ) {\displaystyle P_{ia}=\operatorname {K} _{i}(a;n,|\Sigma )} 여기서 K i ⁡ ( x ; n , q ) = ∑ j = 0 i ( − ) j ( q − 1 ) i − j ( x j ) ( n − x i − j ) ∈ Z [ x ] {\displaystyle \operatorname {K} _{i}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{i}(-)^{j}(q-1)^{i-j}{\binom {x}{j}}{\binom {n-x}{i-j}}\in \mathbb {Z} [x]} 는 크라우추크 다항식(Кравчук多項式, 영어: Krawtchouk polynomial)이다. 또한, 다음이 성립한다.:2481, §II.B, Example 1 (continued) v i = p i i 0 = ( n i ) ( | Σ | − 1 ) i {\displaystyle v_{i}=p_{ii}^{0}={\binom {n}{i}}(|\Sigma |-1)^{i}} m a = dim ⁡ im ⁡ E a = ( n a ) ( | Σ | − 1 ) a {\displaystyle m_{a}=\dim \operatorname {im} E_{a}={\binom {n}{a}}(|\Sigma |-1)^{a}} 여기서 v → {\displaystyle {\vec {v}}} 및 m → {\displaystyle {\vec {m}}} 이 같은 것은 해밍 결합 도식이 스스로의 쌍대이기 때문이다. (2,2)-해밍 결합 도식은 다음과 같다. “해밍 결합 도식”이라는 용어는 리처드 해밍의 이름을 땄으며, 해밍 거리에서 유래하였다. 크라우추크 다항식은 우크라이나의 수학자 미하일로 필리포비치 크라우추크(우크라이나어: Миха́йло Пили́пович Кравчу́к, 러시아어: Михаил Филиппович Кравчук 미하일 필리포비치 크랍추크[*], 1892~1942)가 도입하였다. Bailey, Rosemary Anne (2004). 《Association schemes: designed experiments, algebra and combinatorics》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511610882. ISBN 978-0-521-82446-0. MR 2047311.  Delsarte, Philippe; Levenshtein, Vladimir Iosifovich (1998년 10월). “Association schemes and coding theory”. 《Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Information Theory》 (영어) 44 (6): 2477–2504. doi:10.1109/18.720545. ISSN 0018-9448.  Godsil, Chris (2010). “Generalized Hamming schemes” (영어). arXiv:1011.1044. Bibcode:2010arXiv1011.1044G.  Yoshikawa, Masayoshi. “Modular adjacency algebras of Hamming schemes” (PDF). 《Journal of Algebraic Combinatorics》 (영어) 20 (3): 331–340. doi:10.1023/B:JACO.0000048521.68503.2b. 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