이중 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, 영어: double chain complex, bicomplex)는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다. 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 도롱뇽 정리(도롱[龍]定理, 영어: salamander lemma) 및 그 특수한 경우인 3×3 정리(三×三定理, 영어: 3×3 lemma) · 뱀 정리와 같은 정리들이 성립한다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 사슬 복합체의 범주 Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체라고 한다. 구체적으로, 이중 사슬 복합체 C ∙ , ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( Ch ∙ ⁡ ( A ) ) {\displaystyle C_{\bullet ,\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(\operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}}))} 는 다음과 같은 꼴이다. ⋮ ⋮ ↓ ↓ ⋯ → C m , n → ∂ m , n h C m − 1 , n → ⋯ ∂ m , n v ↓ ∂ m , n v ∂ m − 1 , n v ↓ ∂ m − 1 , n v ⋯ → C m , n − 1 → ∂ m , n − 1 h C m − 1 , n − 1 → ⋯ ↓ ↓ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots \\&&\downarrow &&\downarrow \\\dotsb &\to &C_{m,n}&{\overset {\partial _{m,n}^{\text{h}}}{\to }}&C_{m-1,n}&\to &\dotsb \\&&{\scriptstyle \partial _{m,n}^{\text{v}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \partial _{m,n}^{\text{v}}}&&{\color {White}\scriptstyle \partial _{m-1,n}^{\text{v}}}\downarrow {\scriptstyle \partial _{m-1,n}^{\text{v}}}\\\dotsb &\to &C_{m,n-1}&{\underset {\partial _{m,n-1}^{\text{h}}}{\to }}&C_{m-1,n-1}&\to &\dotsb \\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\vdots &&\vdots \end{matrix}}} 즉, 이는 수평 경계 사상(水平境界寫像, 영어: horizontal boundary map) ∂ ∙ , ∙ h : C ∙ , ∙ → C ∙ − 1 , ∙ {\displaystyle \partial _{\bullet ,\bullet }^{\operatorname {h} }\colon C_{\bullet ,\bullet }\to C_{\bullet -1,\bullet }} 및 수직 경계 사상(垂直境界寫像, 영어: vertical boundary map) ∂ ∙ , ∙ v : C ∙ , ∙ → C ∙ , ∙ − 1 {\displaystyle \partial _{\bullet ,\bullet }^{\operatorname {v} }\colon C_{\bullet ,\bullet }\to C_{\bullet ,\bullet -1}} 을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다. ∂ m − 1 , n h ∘ ∂ m , n h = 0 {\displaystyle \partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} }=0} ∂ m , n − 1 v ∘ ∂ m , n v = 0 {\displaystyle \partial _{m,n-1}^{\operatorname {v} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} }=0} ∂ m − 1 , n v ∘ ∂ m , n h = ∂ m , n − 1 h ∘ ∂ m , n v {\displaystyle \partial _{m-1,n}^{\operatorname {v} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} }=\partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} }} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때), 이중 사슬 복합체 C ∙ , ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( Ch ∙ ⁡ A ) ) {\displaystyle C_{\bullet ,\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(\operatorname {Ch} _{\bullet }{\mathcal {A}}))} 의 전체 사슬 복합체(全體사슬複合體, 영어: total chain complex) Tot ∙ ⁡ ( C ) ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Tot} _{\bullet }(C)\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 는 다음과 같은 사슬 복합체이다. Tot n ⁡ ( C ) = ⨁ p + q = n C p , q {\displaystyle \operatorname {Tot} _{n}(C)=\bigoplus _{p+q=n}C_{p,q}} ∂ n Tot ⁡ ( C ) = ⨁ p + q = n ∂ p , q h + ( − ) p ∂ p , q v {\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Tot} (C)}=\bigoplus _{p+q=n}\partial _{p,q}^{\operatorname {h} }+(-)^{p}\partial _{p,q}^{\operatorname {v} }} 이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 전체 호몰로지(영어: total homology)라고 한다. 문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자. ∂ m , n h ⁡ ′ = ∂ m , n h {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {h} \prime }=\partial _{m,n}^{\operatorname {h} }} ∂ m , n v ⁡ ′ = ( − ) n ∂ m , n v {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=(-)^{n}\partial _{m,n}^{\operatorname {v} }} 즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.) 그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다. ∂ m − 1 , n h ⁡ ′ ∘ ∂ m , n h ⁡ ′ = 0 {\displaystyle \partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} \prime }=0} ∂ m , n − 1 v ⁡ ′ ∘ ∂ m , n v ⁡ ′ = 0 {\displaystyle \partial _{m,n-1}^{\operatorname {v} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=0} ∂ m − 1 , n v ⁡ ′ ∘ ∂ m , n h ⁡ ′ + ∂ m , n − 1 h ⁡ ′ ∘ ∂ m , n v ⁡ ′ = 0 {\displaystyle \partial _{m-1,n}^{\operatorname {v} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} \prime }+\partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=0} 즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다. 이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다. ∂ n Tot ⁡ ( C ) = ⨁ p + q = n ∂ p , q h ⁡ ′ + ∂ p , q v ⁡ ′ {\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Tot} (C)}=\bigoplus _{p+q=n}\partial _{p,q}^{\operatorname {h} \prime }+\partial _{p,q}^{\operatorname {v} \prime }} 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 이중 사슬 복합체 C ∙ , ∙ {\displaystyle C_{\bullet ,\bullet }} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 수평 호몰로지(垂直homology, 영어: horizontal homology) H h = ker h im h {\displaystyle \operatorname {H} ^{\operatorname {h} }={\frac {\ker ^{\operatorname {h} }}{\operatorname {im} ^{\operatorname {h} }}}} 및 수직 호몰로지(水平homology, 영어: vertical homology) H v = ker v im v {\displaystyle \operatorname {H} ^{\operatorname {v} }={\frac {\ker ^{\operatorname {v} }}{\operatorname {im} ^{\operatorname {v} }}}} 를 정의할 수 있다. 임의의 대상 A = C m , n {\displaystyle A=C_{m,n}} 에 대하여, 다음 사상들이 존재한다. ↘ ∂ vh ↓ ∂ h → ∂ h A → ∂ h ↓ ∂ h ↘ ∂ vh {\displaystyle {\begin{matrix}\searrow ^{\partial ^{\operatorname {vh} }}&\downarrow {\scriptstyle \partial ^{\operatorname {h} }}\\{\overset {\partial ^{\operatorname {h} }}{\to }}&A&{\overset {\partial ^{\operatorname {h} }}{\to }}\\&\downarrow {\scriptstyle \partial ^{\operatorname {h} }}&\searrow ^{\partial ^{\operatorname {vh} }}\end{matrix}}} 위 그림에서, ∂ vh = ∂ h ∘ ∂ v = ∂ v ∘ ∂ h {\displaystyle \partial ^{\operatorname {vh} }=\partial ^{\operatorname {h} }\circ \partial ^{\operatorname {v} }=\partial ^{\operatorname {v} }\circ \partial ^{\operatorname {h} }} 는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.:Definition 1.1 이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, = A {\displaystyle _{=}A} · A ‖ {\displaystyle A^{\|}} · ◻ A {\displaystyle ^{\square }A} · A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} 는 모두 A {\displaystyle A} 의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다. ◻ A → A ‖ ↓ ↓ = A → A ◻ {\displaystyle {\begin{matrix}^{\square }A&\to &A^{\|}\\\downarrow &&\downarrow \\_{=}A&\to &A_{\square }\end{matrix}}} 이는 다음과 같이 적을 수 있다. ↓ = ◻ A → → ↓ ◻ ‖ {\displaystyle {\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\overset {\to }{\underset {\to }{A}}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}} 이 사상들을 교내 사상(校內寫像, 영어: intramural map)이라고 하자.:Definition 1.3 또한, 수평 경계 사상 A → B {\displaystyle A\to B} 이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다. A ◻ → ◻ B {\displaystyle A_{\square }\to {}^{\square }B} 이는 다음과 같이 그릴 수 있다. A ◻ ↗ ◻ B {\displaystyle A_{\square }\nearrow {}^{\square }B} 마찬가지로, 수직 경계 사상 A ↓ B {\displaystyle {\begin{matrix}A\\\downarrow \\B\end{matrix}}} 이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다. A ◻ ↓ ◻ B {\displaystyle {\begin{matrix}A_{\square }\\\downarrow \\^{\square }B\end{matrix}}} 이는 다음과 같이 그릴 수 있다. A ◻ ↙ ◻ B {\displaystyle {\begin{matrix}A_{\square }\\\swarrow \\^{\square }B\end{matrix}}} 이 사상들을 교외 사상(校外寫像, 영어: extramural map)이라고 하자.:Definition 1.5 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분 C ↓ A → B ↓ D {\displaystyle {\begin{matrix}C\\\downarrow \\A&\rightarrow &B\\&&\downarrow \\&&D\end{matrix}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도롱뇽 정리에 따르면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열(도롱[龍]完全列, 영어: salamander exact sequence)이 존재한다.:Lemma 1.7 ◻ A ↗ ↘ C ◻ ⟶ = A → A ◻ → ◻ B → = B ⟶ ◻ D ↘ ↗ B ◻ {\displaystyle {\begin{matrix}&&^{\square }A\\&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!\\C_{\square }&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&_{=}A\to A_{\square }\to {}^{\square }B\to {}_{=}B&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&^{\square }D\\&&&&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!\\&&&&&&B_{\square }\end{matrix}}} 여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다. 이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다. ◻ C ↓ ◻ ↙ ↓ ◻ = A → ◻ ↗ ↓ = ◻ B → ◻ ↙ ↓ ◻ D ◻ {\displaystyle {\begin{matrix}{\color {White}_{\square }}C{\underset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}\\\swarrow \\{\underset {=}{\overset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{A}}_{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{B}}_{\square }\\&&\swarrow \\&&{\overset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}D\color {White}_{\square }\end{matrix}}} 특히, 만약 = A ≅ = B ≅ 0 {\displaystyle _{=}A\cong {}_{=}B\cong 0} 이라면, 교외 사상 A ◻ → ◻ B {\displaystyle A_{\square }\to {}^{\square }B} 는 동형 사상이다. 마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분 C → A ↓ B → D {\displaystyle {\begin{matrix}C&\to &A\\&&\downarrow \\&&B&\to &D\end{matrix}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열이 존재한다. ◻ A ↗ ↘ C ◻ ⟶ A ‖ → A ◻ → ◻ B → B ‖ ⟶ ◻ D ↘ ↗ B ◻ {\displaystyle {\begin{matrix}&&^{\square }A\\&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!\\C_{\square }&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&A^{\|}\to A_{\square }\to {}^{\square }B\to {}B^{\|}&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&^{\square }D\\&&&&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!\\&&&&&&B_{\square }\end{matrix}}} 이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다. ◻ C ↓ ◻ ↗ ◻ A → ↓ ◻ ‖ ↙ ◻ B → ↓ ◻ ‖ ↗ ↓ ◻ D ◻ {\displaystyle {\begin{matrix}{\color {White}_{\square }}C{\underset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}&\nearrow &{}^{^{\scriptstyle \square }}{\overset {\to }{A}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}\\&&\swarrow \\&&^{^{\scriptstyle \square }}{\overset {\to }{B}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}&\nearrow &{\overset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}D\color {White}^{\square }\end{matrix}}} 특히, 만약 A ‖ ≅ B ‖ ≅ 0 {\displaystyle A^{\|}\cong B^{\|}\cong 0} 이라면, 교외 사상 A ◻ → ◻ B {\displaystyle A_{\square }\to {}^{\square }B} 는 동형 사상이다. 아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자. 0 0 0 ↓ ↓ ↓ 0 → A → B → C ↓ ↓ ↓ 0 → D → E → F ↓ ↓ ↓ 0 → G → H → I {\displaystyle {\begin{matrix}&&0&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A&\to &B&\to &C\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &D&\to &E&\to &F\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &G&\to &H&\to &I\\\end{matrix}}} 또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자. 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 완전열이다. 둘째 · 셋째 행이 완전열이다. 3×3 정리에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.:11, Exercise 1.3.2 도롱뇽 완전열을 통한 증명::Lemma 2.3 = A ≅ = B ≅ 0 {\displaystyle _{=}A\cong {}_{=}B\cong 0} 임을 보이면 족하다. 가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로 X ‖ ≅ 0 ( X ∈ { A , B , D , E } ) {\displaystyle X^{\|}\cong 0\qquad (X\in \{A,B,D,E\})} 이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로 = X ≅ 0 ( X ∈ { D , E , G , H } ) {\displaystyle _{=}X\cong 0\qquad (X\in \{D,E,G,H\})} 이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다. 0 ◻ 0 ◻ ↙ ↙ 0 ◻ ◻ A ◻ ◻ B ◻ ↙ ↙ 0 ◻ ↗ ◻ D ◻ ↗ ◻ E ◻ ↙ 0 ◻ ↗ ◻ G ◻ {\displaystyle {\begin{matrix}&&0_{\square }&&0_{\square }\\&&\color {Red}\swarrow &&\color {Green}\swarrow &&\\0_{\square }&&^{\square }A_{\square }&&^{\square }B_{\square }\\&&\color {Blue}\swarrow &&\color {Red}\swarrow &&\\0_{\square }&\color {Blue}\nearrow &^{\square }D_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }E_{\square }\\&&\color {Red}\swarrow &&&&\\0_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }G_{\square }\\\end{matrix}}} 물론, 0 ◻ ≅ 0 {\displaystyle 0_{\square }\cong 0} 이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 ◻ D , A ◻ , ◻ G , D ◻ , … {\displaystyle ^{\square }D,A_{\square },{}^{\square }G,D_{\square },\dotsc } 등이 모두 0임을 알 수 있다. 이제, ◻ A ≅ A ◻ ≅ ◻ B ≅ B ◻ ≅ 0 {\displaystyle ^{\square }A\cong A_{\square }\cong {}^{\square }B\cong B_{\square }\cong 0} 이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 = A ≅ = B ≅ 0 {\displaystyle _{=}A\cong {}_{=}B\cong 0} 임을 알 수 있다. ◻ 0 ◻ ↙ ↓ ◻ = A → ◻ ↗ ↓ = ◻ B → ◻ ↙ ◻ E ◻ {\displaystyle {\begin{matrix}{\color {White}_{\square }}0_{\square }\\\swarrow \\{\underset {=}{\overset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{A}}_{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{B}}_{\square }\\&&\swarrow \\&&^{\square }E\color {White}_{\square }\end{matrix}}} 뱀 완전열을 통한 증명: 처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다. 보다 일반적으로, n × n {\displaystyle n\times n} 정리에 따르면, 임의의 자연수 n {\displaystyle n} 에 대하여, n × n {\displaystyle n\times n} 개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체 0 0 ↓ ↓ 0 → A n − 1 , n − 1 → ⋯ → A 0 , n − 1 ↓ ↓ ⋮ ⋱ ⋮ ↓ ↓ 0 → A n − 1 , n − 1 → ⋯ → A 0 , 0 {\displaystyle {\begin{matrix}&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A_{n-1,n-1}&\to \dotsb \to &A_{0,n-1}\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\vdots &\ddots &\vdots \\&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A_{n-1,n-1}&\to \dotsb \to &A_{0,0}\\\end{matrix}}} 가 주어졌을 때, 만약 모든 열이 완전열이며, 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면, 첫째 행 또한 완전열이다. 증명: 그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략 교외 사상들의 지그재그를 통해, ◻ ( − ) ≅ ( − ) ◻ ≅ 0 {\displaystyle _{\square }(-)\cong (-)^{\square }\cong 0} 임을 보인다. 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다. (물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.) 가환환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 위의 ( A , A ) {\displaystyle (A,A)} -쌍가군들의 아벨 범주 Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})} 를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체 C ∙ , D ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) {\displaystyle C_{\bullet },D_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 E ∙ , ∙ {\displaystyle E_{\bullet ,\bullet }} 를 정의할 수 있다. E m , n = C m ⊗ A D n {\displaystyle E_{m,n}=C_{m}\otimes _{A}D_{n}} ∂ m , n h , E : ∂ m , n h , E → ∂ m − 1 , n h , E {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} ,E}} ∂ m , n h , E = ∂ m C ⊗ id D n {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}=\partial _{m}^{C}\otimes \operatorname {id} _{D_{n}}} ∂ m , n v , E : ∂ m , n h , E → ∂ m , n − 1 h , E {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} ,E}} ∂ m , n v , E = id C m ⊗ ∂ n D {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}=\operatorname {id} _{C_{m}}\otimes \partial _{n}^{D}} 이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱 ( C ⊗ D ) ∙ = Tot ∙ ⁡ ( E ) = ⨁ p + q = ∙ C p ⊗ A D q {\displaystyle (C\otimes D)_{\bullet }=\operatorname {Tot} _{\bullet }(E)=\bigoplus _{p+q=\bullet }C_{p}\otimes _{A}D_{q}} 과 같다. 순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다. 3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.:Lemma 5.5 1971년에 칼 에릭 린더홀름(영어: Carl Eric Linderholm)은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다. 도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(영어: George Mark Bergman, 1943~)이 1970년대에 도입하였다. “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 A {\displaystyle A} 의 각 첨자 = ◻ A ◻ ‖ {\displaystyle _{=}^{\square }A_{\square }^{\|}} 를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상 ↓ = ◻ A → → ↓ ◻ ‖ {\displaystyle {\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\overset {\to }{\underset {\to }{A}}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}} 은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상 A ◻ ↗ ◻ B {\displaystyle A_{\square }\nearrow {}^{\square }B} 은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다. Weibel, Charles Alexander (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.  Bergman, George Mark (2012). “On diagram-chasing in double complexes”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 26: 60–96. arXiv:1108.0958. Bibcode:2011arXiv1108.0958B. ISSN 1201-561X. Zbl 1264.18018.  Buchsbaum, David Alvin (1955). “Exact categories and duality”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 80 (1): 1–34. doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993003. MR 0074407. Zbl 0065.25502.  Linderholm, Carl Eric (1971). 《Mathematics made difficult. A handbook for the perplexed》 (영어). World Publishing. ISBN 978-0-529-04552-2. OCLC 279066. Zbl 0217.00102.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Nine lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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