단조 수렴 정리 (수열)

실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 실수 항의 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다. 실수 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 주어졌다고 하자. 단조 수렴 정리에 따르면, 만약 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 가 증가 수열이라면 ( a 0 ≤ a 1 ≤ a 2 ≤ ⋯ {\displaystyle a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots } ), 다음이 성립한다. lim n → ∞ a n = sup n ≥ 0 a n ∈ ( − ∞ , ∞ ] {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]} 마찬가지로, 만약 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 가 감소 수열이라면 ( a 0 ≥ a 1 ≥ a 2 ≥ ⋯ {\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots } ), 다음이 성립한다. lim n → ∞ a n = inf n ≥ 0 a n ∈ [ − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\geq 0}a_{n}\in [-\infty ,\infty )} 여기서 sup , inf {\displaystyle \sup ,\inf } 는 각각 상한과 하한을 나타낸다. 이에 따라, 임의의 실수 단조 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서) 수렴한다. ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 는 유계 수열이다. 증명: 임의의 실수 증가 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 에 대하여, 그 상한을 L = sup n ≥ 0 a n ∈ ( − ∞ , ∞ ] {\displaystyle L=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]} 이라고 하자. 만약 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 유계 수열이라면, L < ∞ {\displaystyle L<\infty } 이다. L {\displaystyle L} 의 정의에 따라, 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, a N > L − ϵ {\displaystyle a_{N}>L-\epsilon } 인 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 이 존재한다. 따라서, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여, L − ϵ < a N ≤ a n ≤ L < L + ϵ {\displaystyle L-\epsilon <a_{N}\leq a_{n}\leq L<L+\epsilon } 이다. 즉, lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} 이 성립한다. 만약 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 무계 수열이라면, L = ∞ {\displaystyle L=\infty } 이다. 임의의 M > 0 {\displaystyle M>0} 에 대하여, a N > M {\displaystyle a_{N}>M} 인 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 이 존재하며, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n ≥ a N > M {\displaystyle a_{n}\geq a_{N}>M} 이다. 즉, lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } 이 성립한다. 확장된 실수 2 + 2 + 2 + ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}} 를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 ( a n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }} 의 극한이다. a 1 = 2 {\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}} a n + 1 = 2 + a n ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}\qquad (n\geq 1)} 수학적 귀납법을 통해 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다. a 2 = 2 + 2 > 2 = a 1 {\displaystyle a_{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}>{\sqrt {2}}=a_{1}} a n + 1 > a n ⟹ a n + 2 = 2 + a n + 1 > 2 + a n = a n + 1 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{n+1}>a_{n}\implies a_{n+2}={\sqrt {2+a_{n+1}}}>{\sqrt {2+a_{n}}}=a_{n+1}\qquad (n\geq 1)} 또한 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 은 다음에 따라 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1} 을 상계로 가지므로, 유계 수열이다. a 1 = 2 < 2 + 1 {\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}<{\sqrt {2}}+1} a n < 2 + 1 ⟹ a n + 1 = 2 + a n < 2 + 2 + 1 < 2 + 2 2 + 1 = 2 + 1 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{n}<{\sqrt {2}}+1\implies a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}<{\sqrt {2+{\sqrt {2}}+1}}<{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}+1\qquad (n\geq 1)} 단조 수렴 정리에 따라, ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 은 수렴한다. 이제 lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} 이라고 하고 등식 a n + 1 2 = 2 + a n ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{n+1}^{2}=2+a_{n}\qquad (n\geq 1)} 의 양변에 극한을 취하면 L 2 = 2 + L {\displaystyle L^{2}=2+L} 을 얻으며, 이를 풀면 L = − 1 {\displaystyle L=-1} 이거나 L = 2 {\displaystyle L=2} 임을 얻는다. 또한 L ≥ a 1 > 0 {\displaystyle L\geq a_{1}>0} 이므로, 2 + 2 + 2 + ⋯ = L = 2 {\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=L=2} 이다. 실수 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 k > 0 {\displaystyle k>0} 및 연속 함수 f : R k → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} } 이 존재한다고 하자. 임의의 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} 및 x 1 , … , x i , x i ′ , … , x k , ∈ R {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{i},x_{i}',\dots ,x_{k},\in \mathbb {R} } 에 대하여, 만약 x i < x i ′ {\displaystyle x_{i}<x_{i}'} 이라면 f ( x 1 , … , x i , … , x k ) < f ( x 1 , … , x i ′ , … , x k ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{k})<f(x_{1},\dots ,x_{i}',\dots ,x_{k})} 이다. 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, f ( x , … , x ) = x {\displaystyle f(x,\dots ,x)=x} 임의의 n ≥ k {\displaystyle n\geq k} 에 대하여, f ( a n − 1 , a n − 2 , … , a n − k ) ≤ a n {\displaystyle f(a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k})\leq a_{n}} 그렇다면, lim n → ∞ a n = sup n ≥ 0 min { a n − 1 , a n − 2 , … , a n − k } ∈ ( − ∞ , ∞ ] {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k}\}\in (-\infty ,\infty ]} 이다. 또한, ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열이다. Bibby, John (1974년 3월). “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences”. 《Glasgow Mathematical Journal》 (영어) 15 (1): 63-65. doi:10.1017/S0017089500002135. ISSN 0017-0895.  “Monotone convergence theorem (real analysis)”. 《ProofWiki》 (영어).