항등 함수

수학에서 항등 함수(恒等函數, 영어: identity function) 또는 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity map), 항등 변환(恒等變換, 영어: identity transformation)은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다. 집합 X {\displaystyle X} 의 항등 함수 id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} 는 다음과 같은 함수이다. id X : X → X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X} 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, id X ⁡ ( x ) = x {\displaystyle \operatorname {id} _{X}(x)=x} 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. f ∘ id X = id Y ∘ f = f {\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f} 즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히, X {\displaystyle X} 의 자기 함수의 집합 End ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {End} (X)} 는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다. 증명: 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, ( f ∘ id X ) ( x ) = f ( id X ⁡ ( x ) ) = f ( x ) {\displaystyle (f\circ \operatorname {id} _{X})(x)=f(\operatorname {id} _{X}(x))=f(x)} 이므로, f ∘ id X = f {\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=f} 이다. 마찬가지로 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, ( id Y ∘ f ) ( y ) = id Y ⁡ ( f ( y ) ) = f ( y ) {\displaystyle (\operatorname {id} _{Y}\circ f)(y)=\operatorname {id} _{Y}(f(y))=f(y)} 이므로, id Y ∘ f = f {\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f} 이다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 전단사 함수이다. 다음을 만족시키는 함수 f − 1 : Y → X {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X} 가 존재한다. (이를 f {\displaystyle f} 의 역함수라고 한다.) f − 1 ∘ f = id X {\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}} f ∘ f − 1 = id Y {\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}} 즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, X {\displaystyle X} 의 자기 전단사 함수의 집합 Sym ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (X)} 은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 X {\displaystyle X} 의 대칭군이라고 한다. 양의 정수의 집합 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다. 실수의 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 항등 함수는 일차 함수에 속한다. 범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 항등 함자(恒等函子, 영어: identity functor) id C {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}} 는 다음과 같은 함자이다. id C : C → C {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 모든 대상 X ∈ Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여, id C ⁡ ( X ) = X {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(X)=X} 모든 대상 X , Y ∈ Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, id C ⁡ ( f ) = f {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(f)=f} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 작은 범주일 경우, 항등 함자 id C {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}} 는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다. 증명 ( id C {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}} 는 함자): 모든 대상 X ∈ Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여 id C ⁡ ( id X ) = id X = id id C ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(X)}} 이며, 모든 대상 X , Y , Z ∈ Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X,Y,Z\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 에 대하여 id C ⁡ ( g ∘ f ) = g ∘ f = id C ⁡ ( g ) ∘ id C ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(g)\circ \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(f)} 이므로, id C {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}} 는 (공변) 함자이다. 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 의 항등 자연 변환(恒等自然變換, 영어: natural transformation) id F {\displaystyle \operatorname {id} _{F}} 는 다음과 같은 자연 변환이다. id F : F ⇒ F {\displaystyle \operatorname {id} _{F}\colon F\Rightarrow F} 모든 대상 X ∈ Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여, ( id F ) X = id F ( X ) {\displaystyle (\operatorname {id} _{F})_{X}=\operatorname {id} _{F(X)}} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 id F {\displaystyle \operatorname {id} _{F}} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다. 증명 ( id F {\displaystyle \operatorname {id} _{F}} 는 자연 변환): 모든 대상 X , Y ∈ Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, ( id F ) Y ∘ F ( f ) = id F ( Y ) ∘ F ( f ) = F ( f ) = F ( f ) ∘ id F ( X ) = F ( f ) ∘ ( id F ) X {\displaystyle (\operatorname {id} _{F})_{Y}\circ F(f)=\operatorname {id} _{F(Y)}\circ F(f)=F(f)=F(f)\circ \operatorname {id} _{F(X)}=F(f)\circ (\operatorname {id} _{F})_{X}} 이므로, id F {\displaystyle \operatorname {id} _{F}} 는 자연 변환이다. 포함 함수 “Identity map”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Identity map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Identity function”. 《nLab》 (영어).  “Identity morphism”. 《nLab》 (영어).  “Identity functor”. 《nLab》 (영어).  “Identity natural transformation”. 《nLab》 (영어).