삼각형

삼각형(三角形, 세모꼴)은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭짓점이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다. 밑변의 길이가 a {\displaystyle a} 이고, 높이가 h a {\displaystyle h_{a}} 인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식) S = a h a 2 {\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}} 세 변의 길이가 각각 a, b, c 이고, k = a + b + c 2 {\displaystyle k={\frac {a+b+c}{2}}} 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. (헤론의 공식) S = k ( k − a ) ( k − b ) ( k − c ) {\displaystyle S={\sqrt {k(k-a)(k-b)(k-c)}}} 세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. S = b c sin ⁡ A 2 = c a sin ⁡ B 2 = a b sin ⁡ C 2 {\displaystyle S={\frac {bc\sin A}{2}}={\frac {ca\sin B}{2}}={\frac {ab\sin C}{2}}} 세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. S = a 2 sin ⁡ B sin ⁡ C 2 sin ⁡ ( B + C ) = b 2 sin ⁡ C sin ⁡ A 2 sin ⁡ ( C + A ) = c 2 sin ⁡ A sin ⁡ B 2 sin ⁡ ( A + B ) {\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin C\sin A}{2\sin(C+A)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}} 세 변의 길이가 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 이고, 내접원의 반지름이 r {\displaystyle r} 이며, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.   S = r s {\displaystyle \ S=rs} 세 변의 길이가 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 이고, 외접원의 반지름이 R {\displaystyle R} 인 삼각형의 넓이 S {\displaystyle S} 는 다음과 같다. S = a b c 4 R {\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}} 세 변의 길이가 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r a {\displaystyle r_{a}} , r b {\displaystyle r_{b}} , r c {\displaystyle r_{c}} 이며, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.   S = ( s − a ) r a = ( s − b ) r b = ( s − c ) r c {\displaystyle \ S=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}} 세 각의 크기가 각각 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 이고, 내접원의 반지름이 r {\displaystyle r} 인 삼각형의 넓이 S {\displaystyle S} 는 다음과 같다. S = r 2 ( cot ⁡ A 2 + cot ⁡ B 2 + cot ⁡ C 2 ) {\displaystyle S=r^{2}\left(\cot {\frac {A}{2}}+\cot {\frac {B}{2}}+\cot {\frac {C}{2}}\right)} 세 각의 크기가 각각 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 이고, 외접원의 반지름이 R {\displaystyle R} 인 삼각형의 넓이 S {\displaystyle S} 는 다음과 같다. S = 2 R 2 ⋅ sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C {\displaystyle S=2R^{2}\cdot \sin A\sin B\sin C} 내접원의 반지름이 r {\displaystyle r} 이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r a {\displaystyle r_{a}} , r b {\displaystyle r_{b}} , r c {\displaystyle r_{c}} 인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. S = r r a r b r c {\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}} 2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x1,y1),(x2,y2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. S = | x 1 y 2 − x 2 y 1 | 2 {\displaystyle S={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}} 2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r1,θ1),(r2,θ2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. S = | r 1 cos ⁡ θ 1 r 2 sin ⁡ θ 2 − r 2 cos ⁡ θ 2 r 1 sin ⁡ θ 1 | 2 = r 1 r 2 sin ⁡ ( | θ 1 − θ 2 | ) 2 {\displaystyle S={\frac {|r_{1}\cos \theta _{1}r_{2}\sin \theta _{2}-r_{2}\cos \theta _{2}r_{1}\sin \theta _{1}|}{2}}={\frac {r_{1}r_{2}\sin(|\theta _{1}-\theta _{2}|)}{2}}} 한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를 X → , Y → {\displaystyle {\vec {X}},{\vec {Y}}} 라 하자. 2보다 크거나 같은 n차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를 S n {\displaystyle S_{n}} 라 하면 S n = 1 2 ( | X → | | Y → | ) 2 − ( X → ⋅ Y → ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\left|{\vec {X}}\right|\left|{\vec {Y}}\right|)^{2}-({\vec {X}}\cdot {\vec {Y}})^{2}}}} 이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여 X → = ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n ) ,   Y → = ( y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n ) {\displaystyle {\vec {X}}=(x_{1}\,,x_{2}\,,x_{3}\,,...\,,x_{n}),\ {\vec {Y}}=(y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,...\,,y_{n})} 라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다. S n = 1 2 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n | x i y i x j y j | 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}^{2}}}} 벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다. 성분의 증명에서 n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우가 #2차원 직교좌표가 된다. 한 변의 길이가 a {\displaystyle a} 인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다. S = 3 4 a 2 {\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}} 다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다. 세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.비유클리드 기하학 문서 참고. 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다. 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다. 중점연결정리 피타고라스의 정리 사인 법칙 코사인 법칙 체바 정리/메넬라오스 정리 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다. 삼각형의 합동 조건에는 대표적인 4가지가 있다. SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다. SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.) ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우. AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다. RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우. RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 삼각형 삼각형의 오심 역삼각형 삼각법