바나흐 대수

함수해석학에서 바나흐 대수(Banach代數, 영어: Banach algebra)는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 대수(영어: normed K {\displaystyle \mathbb {K} } -algebra) ( A , + , 0 , ⋅ , 1 , ‖ ‖ ) {\displaystyle (A,+,0,\cdot ,1,\|\|)} 는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.:4, Definition I.10 ( A , + , 0 , ‖ ‖ ) {\displaystyle (A,+,0,\|\|)} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간이다. ( A , + , 0 , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (A,+,0,\cdot ,1)} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -결합 대수이다. 또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다. (노름 부등식) ‖ a ⋅ b ‖ ≤ ‖ a ‖ ‖ b ‖ ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \Vert a\cdot b\Vert \leq \Vert a\Vert \Vert b\Vert \qquad \forall a,b\in A} (항등원의 노름) ‖ 1 ‖ = 1 {\displaystyle \|1\|=1} (일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.:246, §10.1) 만약 X {\displaystyle X} 가 사실 바나흐 공간이라면 (즉, 완비 거리 공간이라면), K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수(영어: Banach K {\displaystyle \mathbb {K} } -algebra)라고 한다.:4, Definition I.10:245, Definition 10.1 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. 이는 환을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 a ∈ Unit ⁡ ( A ) {\displaystyle a\in \operatorname {Unit} (A)} 가운데 노름이 1인 것을 유니터리 원소(unitary元素, 영어: unitary element)라고 한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 대수 ( A , ⋅ , ‖ ‖ ) {\displaystyle (A,\cdot ,\|\|)} 에 대하여, 그 반대환 A op = ( A , ⋅ op ) {\displaystyle A^{\operatorname {op} }=(A,\cdot ^{\operatorname {op} })} , 즉 a ⋅ op b = b ⋅ a ( a , b ∈ A ) {\displaystyle a\cdot ^{\operatorname {op} }b=b\cdot a\qquad (a,b\in A)} 에 같은 노름을 부여하면, A op {\displaystyle A^{\operatorname {op} }} 역시 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 대수를 이룬다.:6, Example I.17 또한, 환 연산은 노름 공간 구조와 상관이 없으므로, 만약 A {\displaystyle A} 가 바나흐 대수라면 A op {\displaystyle A^{\operatorname {op} }} 역시 바나흐 대수이다. 유한 또는 무한 개의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수들 ( A i ) i ∈ I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직접곱의 부분 공간 A = ⨁ ^ i ∈ I A i = { ( a i ) i ∈ I ∈ ∏ i ∈ I A i : sup i ∈ I ‖ a i ‖ < ∞ } {\displaystyle A={\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}\colon \sup _{i\in I}\|a_{i}\|<\infty \right\}} 위에 L1 노름 ‖ ( a i ) i ∈ I ‖ = sup i = 1 n ‖ a i ‖ A i ( a ∈ A ) {\displaystyle \|(a_{i})_{i\in I}\|=\sup _{i=1}^{n}\|a_{i}\|_{A_{i}}\qquad (a\in A)} 및 성분별 곱 ( a i ) i ∈ I ⋅ ( b i ) i ∈ I = ( a i b i ) i ∈ I ( a , b ∈ A ) {\displaystyle (a_{i})_{i\in I}\cdot (b_{i})_{i\in I}=(a_{i}b_{i})_{i\in I}\qquad (a,b\in A)} 을 부여하면, 이 역시 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다. 이 경우 A {\displaystyle A} 의 항등원은 1 A = ( 1 A 1 , 1 A 2 , … , 1 A n ) {\displaystyle 1_{A}=(1_{A_{1}},1_{A_{2}},\dotsc ,1_{A_{n}})} 이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수 A {\displaystyle A} 의 양쪽 아이디얼 I ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A} 가 주어졌으며, I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 가 닫힌집합이며, I ≠ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\neq A} 라고 하자. 그렇다면, 몫환 A / I {\displaystyle A/{\mathfrak {I}}} 위에는 자연스러운 노름 ‖ a + I ‖ = inf i ∈ I ‖ a + i ‖ {\displaystyle \|a+{\mathfrak {I}}\|=\inf _{i\in {\mathfrak {I}}}\|a+i\|} 을 줄 수 있다. 그렇다면, A / I {\displaystyle A/{\mathfrak {I}}} 역시 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이루며, 그 항등원은 1 A + I {\displaystyle 1_{A}+{\mathfrak {I}}} 이다. 실수 바나흐 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌을 때, 그 복소화 A ⊗ R C {\displaystyle A\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 위에 노름 ‖ a ⊗ R z ‖ = ‖ a ‖ | z | {\displaystyle \|a\otimes _{\mathbb {R} }z\|=\|a\||z|} 과 곱셈 ( a ⊗ R z ) ⋅ ( b ⊗ R w ) = a b ⊗ R z w {\displaystyle (a\otimes _{\mathbb {R} }z)\cdot (b\otimes _{\mathbb {R} }w)=ab\otimes _{\mathbb {R} }zw} 을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 완비화 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 는 다음과 같이 자연스럽게 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. ‖ a ¯ ‖ A ¯ = lim i → ∞ ‖ a i ‖ A ( a ¯ ∈ A ¯ ) {\displaystyle \|{\bar {a}}\|_{\bar {A}}=\lim _{i\to \infty }\|a_{i}\|_{A}\qquad ({\bar {a}}\in {\bar {A}})} (여기서 ( a i ) i ∈ N ⊆ A {\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A} 는 a ¯ ∈ A ¯ {\displaystyle {\bar {a}}\in {\bar {A}}} 로 수렴하는, A {\displaystyle A} 속의 임의의 코시 열이다.) 그 위에 곱셈 a ¯ b ¯ = lim i → ∞ a i b i ( a ¯ , b ¯ ∈ A ¯ ) {\displaystyle {\bar {a}}{\bar {b}}=\lim _{i\to \infty }a_{i}b_{i}\qquad ({\bar {a}},{\bar {b}}\in {\bar {A}})} 을 정의하면, A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다. (여기서 ( a i ) i ∈ N ⊆ A {\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A} 와 ( b i ) i ∈ N ⊆ A {\displaystyle (b_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A} 는 각각 a ¯ , b ¯ ∈ A ¯ {\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}}\in {\bar {A}}} 로 수렴하는, A {\displaystyle A} 속의 임의의 두 코시 열이다.) 이를 A {\displaystyle A} 의 완비화(完備化, 영어: completion)라고 한다.:5, Definition I.13 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 w ∈ A {\displaystyle w\in A} 가 주어졌으며, ‖ w ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|w\|\leq 1} 이라고 하자. 또한, w {\displaystyle w} 가 가역원이며, 중심에 속한다고 하자. w ∈ Z ⁡ ( A ) ∩ Unit ⁡ ( A ) {\displaystyle w\in \operatorname {Z} (A)\cap \operatorname {Unit} (A)} 이 경우, A {\displaystyle A} 위에 새 이항 연산 ⋆ w {\displaystyle \star _{w}} 를 다음과 같이 부여하자. a ⋆ w b = w a b ∀ a , b ∈ A {\displaystyle a\star _{w}b=wab\qquad \forall a,b\in A} 그렇다면 ( A , ⋆ w , w − 1 ) {\displaystyle (A,\star _{w},w^{-1})} 역시 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이루며, ⋆ w {\displaystyle \star _{w}} 에 대한 항등원은 w − 1 {\displaystyle w^{-1}} 이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 대수 A {\displaystyle A} 의 이중 연속 쌍대 공간 A ″ {\displaystyle A''} 위에 (이중) 쌍대 노름 및 곱셈 ϕ χ : f ↦ ϕ ( a ↦ G ( f ( a ) ) ) ( ϕ , χ ∈ A ″ , f ∈ A ′ , a ∈ A ) {\displaystyle \phi \chi \colon f\mapsto \phi (a\mapsto G(f(a)))\qquad (\phi ,\chi \in A'',\;f\in A',\;a\in A)} 을 정의하자. 그렇다면, A ″ {\displaystyle A''} 는 항상 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다. (만약 A {\displaystyle A} 가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수이더라도 A ″ {\displaystyle A''} 은 항상 바나흐 대수이다.) 이 연산을 아렌스 곱(영어: Arens product)이라고 한다. 겔판트-마주르 정리(Гельфанд-Mazur定理, 영어: Gelfand–Mazur theorem)에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 나눗셈환이다. 영역이며, 모든 주 아이디얼이 닫힌집합이다. R {\displaystyle \mathbb {R} } (실수체) · C {\displaystyle \mathbb {C} } (복소수체) · H {\displaystyle \mathbb {H} } (사원수 대수) 가운데 하나이다. 또한, 복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 C {\displaystyle \mathbb {C} } 밖에 없다. 증명 (복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 C {\displaystyle \mathbb {C} } 밖에 없다): 단위원을 갖는 복소수 바나흐 대수의 모든 원소는 공집합이 아닌 스펙트럼을 가진다. (이는 실수 바나흐 대수에 대해서는 성립하지 않는다.) A {\displaystyle A} 가 복소수 바나흐 대수라고 하고, A {\displaystyle A} 의 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 임의의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, λ a ∈ C {\displaystyle \lambda _{a}\in \mathbb {C} } 가 a {\displaystyle a} 의 스펙트럼의 원소라고 하자. 즉, λ a − a {\displaystyle \lambda _{a}-a} 는 가역원이 아니다. 가정에 따라서 a = λ a {\displaystyle a=\lambda _{a}} 이다. 즉, a {\displaystyle a} 의 스펙트럼은 하나의 원소만을 가진다. 이에 따라 a ↦ λ a {\displaystyle a\mapsto \lambda _{a}} 는 동형 사상 A ≅ C {\displaystyle A\cong \mathbb {C} } 를 이룬다. 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은 R {\displaystyle \mathbb {R} } 와 C {\displaystyle \mathbb {C} } 밖에 없다. 복소수 바나흐 대수 B {\displaystyle B} 의 임의의 두 원소 a , b ∈ B {\displaystyle a,b\in B} 에 대하여, a b − b a ≠ 1 {\displaystyle ab-ba\neq 1} 이다. (이는 a b {\displaystyle ab} 와 b a {\displaystyle ba} 의 스펙트럼이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.) K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수는 위상환을 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈은 연속 함수를 이룬다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로, K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수 B {\displaystyle B} 의 가역원군 Unit ⁡ ( B ) ⊆ B {\displaystyle \operatorname {Unit} (B)\subseteq B} 는 B {\displaystyle B} 의 열린집합이며, 역원 함수 ( − ) − 1 : Unit ⁡ ( B ) → Unit ⁡ ( B ) {\displaystyle (-)^{-1}\colon \operatorname {Unit} (B)\to \operatorname {Unit} (B)} 는 연속 함수이다. 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수 B {\displaystyle B} 의 원소 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 의 스펙트럼은 다음과 같다. σ ( b ) = { λ ∈ K : ∄ ( λ − b ) − 1 } {\displaystyle \sigma (b)=\left\{\lambda \in \mathbb {K} \colon \nexists (\lambda -b)^{-1}\right\}} 이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다. 가환 복소수 바나흐 대수 B {\displaystyle B} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다. B {\displaystyle B} 의 극대 아이디얼의 집합 Max ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Max} (B)} (항등원을 보존하는) 결합 대수 준동형 B → C {\displaystyle B\to \mathbb {C} } 의 집합 Δ ( B ) {\displaystyle \Delta (B)} . (이는 물론 전단사 함수이어야 한다.) 구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다. 극대 아이디얼 m ∈ Max ⁡ ( B ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)} 에 대하여, B / m {\displaystyle B/{\mathfrak {m}}} 은 체인 복소수 바나흐 대수이므로, B / m ≅ C {\displaystyle B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C} } 이다. 따라서, 몫 준동형 ( / m ) : B ↠ B / m ≅ C {\displaystyle (/\mathbb {m} )\colon B\twoheadrightarrow B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C} } 이 존재한다. 이 때문에, B {\displaystyle B} 의 극대 아이디얼은 지표(指標, 영어: character)라고도 한다. 임의의 지표 χ ∈ Δ ( B ) {\displaystyle \chi \in \Delta (B)} 는 항상 연속 함수이다. (이는 그 핵 m ∈ Max ⁡ ( B ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)} 는 항상 닫힌집합이기 때문이다.) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, Δ ( B ) {\displaystyle \Delta (B)} 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, Δ ( B ) {\displaystyle \Delta (B)} 는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 C 0 ( Δ ( B ) , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )} 를 정의할 수 있다. 이 경우, B {\displaystyle B} 의 겔판트 표현(Гельфанд表現, 영어: Gelfand representation)은 다음과 같다. ^ : B → C 0 ( Δ ( B ) , C ) {\displaystyle {\hat {\;}}\colon B\to {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )} b ^ : χ ↦ χ ( b ) ( b ∈ B , χ ∈ Δ ( B ) ) {\displaystyle {\hat {b}}\colon \chi \mapsto \chi (b)\qquad (b\in B,\;\chi \in \Delta (B))} 이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다. σ ( b ) = σ ( b ^ ) = { χ ( b ) : χ ∈ Δ ( B ) } ⊆ C ∀ b ∈ B {\displaystyle \sigma (b)=\sigma ({\hat {b}})=\{\chi (b)\colon \chi \in \Delta (B)\}\subseteq \mathbb {C} \qquad \forall b\in B} 여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 C 0 ( Δ ( B ) , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )} 에서 취한 스펙트럼이다. 공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위에 정의된 연속 함수의 공간 C 0 ( X , K ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )} 은 (균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여) K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다.:247, Example 10.3(a) 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } · 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } · 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. ( R {\displaystyle \mathbb {R} } 와 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.) 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 V = K n {\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}} 위에 1-노름 ‖ ( a 1 , … , a n ) ‖ = max { a 1 , … , a n } {\displaystyle \|(a_{1},\dotsc ,a_{n})\|=\max\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}} 및 성분별 곱 ( a 1 , … , a n ) ⋅ ( b 1 , … , b n ) = ( a 1 b 1 , … , a n b n ) {\displaystyle (a_{1},\dotsc ,a_{n})\cdot (b_{1},\dotsc ,b_{n})=(a_{1}b_{1},\dotsc ,a_{n}b_{n})} 을 부여하면, 이는 가환 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은 Unit ⁡ ( V ) = ( K × ) n {\displaystyle \operatorname {Unit} (V)=(\mathbb {K} ^{\times })^{n}} 이다. 1차원 이상의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 V {\displaystyle V} 위의 V → V {\displaystyle V\to V} 유계 작용소들의 집합 B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 대수를 이룬다.:5, Example I.14 만약 V {\displaystyle V} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이라면, B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다.:5, Example I.14:248, Example 10.3(b) 모든 C* 대수는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, C* 대수 ( A , ∗ ) {\displaystyle (A,^{*})} 가 주어졌을 때, 그 위에 노름 ‖ a ‖ = sup { | λ | : λ ∈ C , λ − a ∗ a ∉ Unit ⁡ ( A ) } {\displaystyle \|a\|=\sup \left\{{\sqrt {|\lambda |}}\colon \lambda \in \mathbb {C} ,\;\lambda -a^{*}a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}} 을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다. 콤팩트 하우스도르프 위상군 G {\displaystyle G} 위의 (왼쪽 하르 측도에 대한) 르베그 공간 L 1 ⁡ ( G ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{1}(G;\mathbb {K} )} 은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수이다. 그 위에 합성곱 ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ G f ( y ) g ( y − 1 x ) d y ( f , g ∈ L 1 ⁡ ( G ; K ) ) {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\;\mathrm {d} y\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{1}(G;\mathbb {K} ))} 을 부여하면, 이는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다. ‘바나흐 대수’라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오(일본어: 南雲 道夫, 1905~1995)가 1936년에 ‘선형 계량환’(독일어: linearer metrischer Ring)이라는 이름으로 도입하였다. 이후 이즈라일 겔판트가 이를 ‘노름환’(독일어: normierter Ring)이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다. 1945년에 워런 앰브로즈(영어: Warren Ambrose, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’(영어: Banach algebra)라는 용어를 도입하였다. 아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스(독일어: Richard Friederich Arens, 1919~2000)가 1951년에 도입하였다. 겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데, 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다. 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