구부러진 공간

구부러진 공간(영어: Curved space)은 종종 유클리드 기하학에서 설명한 것처럼 평평한 공간의 곡률이 0인 "평면"이 아닌 공간 기하학을 나타낸다. 구부러진 공간은 일반적으로 리만 기하학으로 설명할 수 있지만 일부 간단한 경우는 다른 방식으로 설명할 수 있다. 구부러진 공간은 중력이 종종 구부러진 공간으로 시각화되는 일반 상대성이론에서 필수적인 역할을 한다. 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량은 공간 확장과 우주의 모양을 설명하기 위한 현재 기반을 형성하는 계량이다. 구부러진 공간의 매우 친숙한 예는 구의 표면이다. 우리에게 친숙한 관점에서 볼 때 구체는 3차원으로 보이지만 물체가 표면에 놓이도록 제한되어 있으면 이동할 수 있는 2차원만 있다. 구의 표면은 표면이 아무리 거칠게 보일지라도 부피의 2차원 외부 경계인 표면일 뿐이므로 2차원으로 완전히 설명할 수 있다. 복잡한 프랙탈인 지구 표면조차도 부피 외부를 따라 있는 2차원 경계일 뿐이다. 구부러진 공간의 정의의 특성 중 하나는 피타고라스 정리에서 벗어난다는 것이다. 구부러진 공간에서는 d x 2 + d y 2 ≠ d l 2 {\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}} . 피타고라스의 관계는 추가 차원으로 공간을 설명함으로써 종종 복원될 수 있다. 좌표 ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle \left(x',y',z'\right)} 가 있는 비유클리드 3차원 공간이 있다고 가정한다. 이 공간은 평평하지 않기 때문에 d x ′ 2 + d y ′ 2 + d z ′ 2 ≠ d l ′ 2 {\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,} . 그러나 이제 3차원 공간을 4차원 ( x , y , z , w ) {\displaystyle (x,y,z,w)} 좌표로 묘사하면 다음과 같은 좌표를 선택할 수 있다. d x 2 + d y 2 + d z 2 + d w 2 = d l 2 {\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,} . 참고로 좌표 x {\displaystyle x} 는 좌표 x ′ {\displaystyle x'} 와 같지 않다. 4차원 좌표를 원래 3차원 공간의 유효한 설명자로 선택하려면 동일한 자유도를 가져야 한다. 4개의 좌표에는 4개의 자유도가 있으므로 구속 조건이 있어야 한다. 피타고라스 정리가 새로운 4차원 공간에서 유지되도록 제약 조건을 선택할 수 있다. 즉, x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = constant {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,} . 상수는 양수 또는 음수일 수 있다. 편의상 상수를 다음으로 선택할 수 있다. κ − 1 R 2 {\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}} 여기서 R 2 {\displaystyle R^{2}\,} 지금은 긍정적이고 κ ≡ ± 1 {\displaystyle \kappa \equiv \pm 1} . 이제 이 제약 조건을 사용하여 인위적인 네 번째 좌표 w {\displaystyle w} 를 제거할 수 있다. 구속 방정식의 미분은 다음과 같다. x d x + y d y + z d z + w d w = 0 {\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,} 이므로 d w = − w − 1 ( x d x + y d y + z d z ) {\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,} . d w {\displaystyle dw} 를 원래 방정식에 대입하면 d l 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 + ( x d x + y d y + z d z ) 2 κ − 1 R 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}} . 이 형식은 일반적으로 특별히 매력적이지 않으므로 좌표 변환 x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi } , y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi } , z = r cos ⁡ θ {\displaystyle z=r\cos \theta } 이 종종 적용된다. 이 좌표 변환으로 d l 2 = d r 2 1 − κ r 2 R 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}} . n차원 공간의 기하학은 리만 기하학으로도 설명할 수 있다. 등방적이고 균질한 공간은 다음 계량 d l 2 = e − λ ( r ) d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,} . 으로 설명할 수 있다. λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} 인 경우 이 공간은 유클리드 공간으로 축소된다. 그러나 바일 텐서의 성분이 모두 0이면 공간이 "평평하다"고 할 수 있다. 3차원에서 이 조건은 리치 텐서 R a b {\displaystyle R_{ab}} 는 계량 곱하기 리치 스칼라 ( R {\displaystyle R} 을 이전 절의 R과 혼동하지 말 것). 즉, R a b = g a b R {\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R} . 계량에서 이러한 성분을 계산하면 λ = − 1 2 ln ⁡ ( 1 − k r 2 ) {\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)} 여기서 k ≡ R 2 {\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}} . 이는 계량 d l 2 = d r 2 1 − k r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}} . 을 제공한다. 여기서 k {\displaystyle k} 는 0, 양수 또는 음수일 수 있으며 ±1로 제한되지 않는다. 등방적이고 균질한 공간은 다음 계량 d l 2 = d r 2 1 − κ r 2 R 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}} . 으로 설명할 수 있다. 곡률 상수 R {\displaystyle R} 가 무한대로 커지면 평평한 유클리드 공간으로 수렴한다. 이는 본질적으로 κ {\displaystyle \kappa } 를 0으로 설정하는 것과 동일하다. κ {\displaystyle \kappa } 가 0이 아닌 공간은 유클리드가 아니다. κ = + 1 {\displaystyle \kappa =+1} 일 때 그 공간은 '닫혀 있다' 또는 타원형이라고 한다. κ = − 1 {\displaystyle \kappa =-1} 일 때 공간은 '열려' 있다 또는 쌍곡형이라고 한다. 열린 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 작다. 닫힌 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 크다. 하지만 부피는 ( 4 / 3 ) π r 3 {\displaystyle (4/3)\pi r^{3}} 가 아니다. CAT(k) 공간 양수가 아닌 곡률 The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space Papastavridis, John G. (1999). 〈General n-Dimensional (Riemannian) Surfaces〉. 《Tensor Calculus and Analytical Dynamics》. Boca Raton: CRC Press. 211–218쪽. ISBN 0-8493-8514-8.  Curved Spaces, Jeffrey Weeks 가 개발한 다중 연결 우주용 시뮬레이터