사영 가군

환론에서 사영 가군(射影加群, 영어: projective module)은 자유 가군을 직합으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 사영 대상이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 P {\displaystyle P} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 사영 왼쪽 가군이라고 한다. 모든 짧은 완전열 0 → M → N → P → 0 {\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0} 가 분할 완전열이다. P ⊕ Q {\displaystyle P\oplus Q} 가 자유 가군인 왼쪽 가군 Q {\displaystyle Q} 가 존재한다. 함자 hom ⁡ ( P , − ) : R -Mod → Ab {\displaystyle \hom(P,-)\colon R{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} } 가 완전 함자이다. 여기서 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 는 아벨 군들의 범주이다. 모든 가군 준동형 f : P → M {\displaystyle f\colon P\to M} 및 전사 가군 준동형 π : M ~ ↠ M {\displaystyle \pi \colon {\tilde {M}}\twoheadrightarrow M} 에 대하여, π ∘ f ~ = f {\displaystyle \pi \circ {\tilde {f}}=f} 인 가군 준동형사상 f ~ : P → M ~ {\displaystyle {\tilde {f}}\colon P\to {\tilde {M}}} 이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.) P ∃ ↙ ↓ M ~ → M → 0 {\displaystyle {\begin{matrix}&&P\\&{\scriptstyle \exists }\swarrow &\downarrow \\{\tilde {M}}&\to &M&\to &0\end{matrix}}} 마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 사영 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 이 다음 조건을 만족시킨다면 점별 자유 가군(영어: pointwise free module)이라고 한다. 모든 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여 R p ⊗ R M {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M} 은 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} -자유 가군이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 이 다음 조건을 만족시킨다면 국소 자유 가군(영어: locally free module)이라고 한다. 모든 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여, R f ⊗ R M {\displaystyle R_{f}\otimes _{R}M} 가 R f {\displaystyle R_{f}} -자유 가군이 되는 f ∈ R ∖ p {\displaystyle f\in R\setminus {\mathfrak {p}}} 가 존재한다. 이 개념들은 가군층에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 점별 자유 가군층(영어: pointwise free sheaf of modules)이라고 한다. 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 줄기 F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} 는 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} -자유 가군이다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 자유 가군층(局所自由加群層, 영어: locally free sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules localement libre)이라고 한다.:48, (5.4.1) 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, F | U ≅ O X ⊕ κ | U {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}\cong {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \kappa }|_{U}} 가 되는 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 및 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 존재한다. 스킴 Y {\displaystyle Y} 위의, 계수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 의 대수적 벡터 다발(영어: algebraic vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 스킴 E {\displaystyle E} 스킴 사상 π : E → Y {\displaystyle \pi \colon E\to Y} 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 각 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 에 대하여, 스킴 동형 사상 i U : f − 1 ( U ) → A U n = A Z n × U {\displaystyle i_{U}\colon f^{-1}(U)\to \mathbb {A} _{U}^{n}=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times U} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 U , V ∈ U {\displaystyle U,V\in {\mathcal {U}}} 및 임의의 아핀 열린집합 Spec ⁡ R ↪ U ∩ V {\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap V} 에 대하여, i V ∘ i U − 1 : A Spec ⁡ R n → A Spec ⁡ R n {\displaystyle i_{V}\circ i_{U}^{-1}\colon \mathbb {A} _{\operatorname {Spec} R}^{n}\to \mathbb {A} _{\operatorname {Spec} R}^{n}} 는 어떤 R {\displaystyle R} -선형 변환 T U , V , R ∈ Mat ⁡ ( n , n ; R ) {\displaystyle T_{U,V,R}\in \operatorname {Mat} (n,n;R)} 에 의하여 유도된다. Y {\displaystyle Y} 위의 대수적 벡터 다발의 동형 사상 ϕ : ( E , π , U , i ) → ( E ′ , π , U ′ , i ′ ) {\displaystyle \phi \colon (E,\pi ,{\mathcal {U}},i)\to (E',\pi ,{\mathcal {U}}',i')} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. Y {\displaystyle Y} -스킴의 동형 사상 ϕ : E → E ′ {\displaystyle \phi \colon E\to E'} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ( E , π , U ∪ U ′ , ( i , i ′ ) ) {\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}}\cup {\mathcal {U}}',(i,i'))} 는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} , U ′ ∈ U ′ {\displaystyle U'\in {\mathcal {U}}'} 및 Spec ⁡ R ↪ U ∩ U ′ {\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap U'} 에 대하여, i U ′ ∘ i U − 1 : A R n → A R n {\displaystyle i_{U'}\circ i_{U}^{-1}\colon \mathbb {A} _{R}^{n}\to \mathbb {A} _{R}^{n}} 는 어떤 Mat ⁡ ( n , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;R)} 의 원소에 의하여 유도된다. 이 경우, 계수 n {\displaystyle n} 의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수 n {\displaystyle n} 의 국소 자유 가군층의 개념과 동치이다.:128–129, Exercise Ⅱ.5.18 구체적으로, 대수적 벡터 다발 π : E → Y {\displaystyle \pi \colon E\to Y} 에 대응되는 가군층은 다음과 같다. Γ ( E , U ) = { s : U → E : π ∘ s = id U } ( U ∈ Open ⁡ ( Y ) ) {\displaystyle \Gamma (E,U)=\{s\colon U\to E\colon \pi \circ s=\operatorname {id} _{U}\}\qquad (U\in \operatorname {Open} (Y))} (비가환일 수 있는, 1을 갖는) 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군 ⊂ 꼬임 없는 가군 국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다. 가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다. 사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군 국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군 가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 사영 가군이다. 국소 자유 가군이다. 세르-스완 정리에 따르면, 가환환 R {\displaystyle R} 위의 유한 생성 사영 가군의 범주는 Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)} 위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다. 가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 국소 자유 가군이다. 점별 자유 가군이다. 사영 가군이다. 평탄 가군이다. 특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군은 유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이게 된다. 점별 자유 가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서의 계수(영어: rank)는 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} -자유 가군 F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} 의 계수이며, 이는 함수 dim ⁡ M : X → Card {\displaystyle \dim M\colon X\to \operatorname {Card} } 를 정의한다. (여기서 Card {\displaystyle \operatorname {Card} } 는 모든 기수의 모임이다.) Card {\displaystyle \operatorname {Card} } (의 충분히 큰 부분 집합)에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수 dim ⁡ M : X → Card {\displaystyle \dim M\colon X\to \operatorname {Card} } 는 (정의에 따라) 연속 함수이다. e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 멱등원이라고 하자 (즉, e 2 = e {\displaystyle e^{2}=e} 를 만족시킨다고 하자). 그렇다면 e {\displaystyle e} 로부터 생성되는 왼쪽 아이디얼 R e {\displaystyle Re} 는 R {\displaystyle R} 의 사영 왼쪽 가군이다. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4. doi:10.1007/bf02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. 2016년 3월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 10일에 확인함.  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  “Projective module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). 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