몫공간

일반위상수학에서 몫공간(-空間, 영어: quotient space)은 어떤 위상 공간의 몫집합 위에 표준적으로 존재하는 위상 공간이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 그 위의 동치 관계 ∼ ⊆ X 2 {\displaystyle {\sim }\subseteq X^{2}} 가 주어졌을 때, 몫집합 X / ∼ {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}} 위의 몫위상(-位相, 영어: quotient topology)은 다음 두 가지 방법을 통해 정의할 수 있으며, 이렇게 정의한 두 위상은 서로 같다.:139 (열린집합을 통한 정의) 부분 집합 U ⊆ X / ∼ {\displaystyle U\subseteq X/{\mathord {\sim }}} 이 열린집합일 필요충분조건은 [ − ] ∼ − 1 ( U ) ⊆ X {\displaystyle [-]_{\sim }^{-1}(U)\subseteq X} 가 X {\displaystyle X} 의 열린집합인 것이다. (여기서 [ − ] ∼ − 1 ( U ) = { x ∈ X : [ x ] ∼ ∈ U } {\displaystyle \textstyle [-]_{\sim }^{-1}(U)=\{x\in X\colon [x]_{\sim }\in U\}} 는 U {\displaystyle U} 의 표준 사영 X → X / ∼ {\displaystyle X\to X/{\mathord {\sim }}} 에 대한 원상이다.) (닫힌집합을 통한 정의) 부분 집합 F ⊆ X / ∼ {\displaystyle F\subseteq X/{\mathord {\sim }}} 이 닫힌집합일 필요충분조건은 [ − ] ∼ − 1 ( F ) ⊆ X {\displaystyle [-]_{\sim }^{-1}(F)\subseteq X} 가 X {\displaystyle X} 의 닫힌집합인 것이다. 이 위상은 표준 사영 X → X / ∼ {\displaystyle X\to X/{\mathord {\sim }}} 을 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 또한, 이는 임의의 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 및 함수 f : X / ∼ → Y {\displaystyle f\colon X/{\mathord {\sim }}\to Y} 에 대하여 다음 두 조건을 동치로 만드는, 유일한 X / ∼ {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}} 위의 위상이다. f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. f ∘ [ − ] ∼ : X → Y {\displaystyle f\circ [-]_{\sim }\colon X\to Y} 는 연속 함수이다. 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 전사 함수 q : X → Y {\displaystyle q\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 q {\displaystyle q} 를 몫사상(-寫像, 영어: quotient map)이라고 한다.:137 f {\displaystyle f} 는 연속 함수이며, 만약 U ⊆ Y {\displaystyle U\subseteq Y} 가 부분 집합이며 q − 1 ( U ) ⊆ X {\displaystyle q^{-1}(U)\subseteq X} 가 열린집합이라면, U ⊆ Y {\displaystyle U\subseteq Y} 역시 열린집합이다. f {\displaystyle f} 는 연속 함수이며, 만약 F ⊆ Y {\displaystyle F\subseteq Y} 가 부분 집합이며 q − 1 ( F ) ⊆ X {\displaystyle q^{-1}(F)\subseteq X} 가 닫힌집합이라면, F ⊆ Y {\displaystyle F\subseteq Y} 역시 닫힌집합이다. 임의의 위상 공간 Z {\displaystyle Z} 및 함수 f : Y → Z {\displaystyle f\colon Y\to Z} 에 대하여, f {\displaystyle f} 가 연속 함수인 것과 f ∘ q : X → Z {\displaystyle f\circ q\colon X\to Z} 가 연속 함수인 것은 동치이다. 몫위상과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 구체적으로, 몫공간 X / ∼ {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}} 에 대하여, 표준 사영 X → X / ∼ {\displaystyle X\to X/{\mathord {\sim }}} 은 몫사상이다. 반대로, 몫사상 q : X → Y {\displaystyle q\colon X\to Y} 가 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 위에 다음과 같은 동치 관계 ∼ q {\displaystyle {\stackrel {q}{\sim }}} 을 정의하자. x ∼ q x ′ ⟺ q ( x ) = q ( x ′ ) ∀ x , x ′ ∈ X {\displaystyle x{\stackrel {q}{\sim }}x'\iff q(x)=q(x')\qquad \forall x,x'\in X} 그렇다면 Y {\displaystyle Y} 는 몫공간 X / ∼ q {\displaystyle X/{\mathord {\stackrel {q}{\sim }}}} 과 위상 동형이다. 모든 몫사상은 전사 연속 함수이며, 모든 열린 전사 연속 함수와 닫힌 전사 연속 함수는 몫사상이다. 몫사상이 단사 함수일 필요충분조건은 위상 동형 사상이다. 콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 에서 하우스도르프 공간 Y {\displaystyle Y} 로 가는 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 의 경우, 전사 연속 함수, 몫사상, 닫힌 전사 연속 함수의 개념이 서로 동치이다. (이는 모든 연속 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 가 닫힌 함수이기 때문이다.) 두 몫사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 와 g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 의 합성 g ∘ f : X → Z {\displaystyle g\circ f\colon X\to Z} 는 몫사상이다. 반대로, 만약 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 와 g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 가 연속 함수이며 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 가 몫사상이라면, f {\displaystyle f} 역시 몫사상이다. 몫사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 연속 함수 h : X → Z {\displaystyle h\colon X\to Z} 에 대하여, 만약 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} , f ( x ) = f ( x ′ ) {\displaystyle f(x)=f(x')} 가 항상 h ( x ) = h ( x ′ ) {\displaystyle h(x)=h(x')} 을 함의한다면, f {\displaystyle f} 와 h {\displaystyle h} 를 통해 유일하게 정의되는 함수 h ~ : Y → Z {\displaystyle {\widetilde {h}}\colon Y\to Z} h ~ ∘ f = h {\displaystyle {\widetilde {h}}\circ f=h} 는 연속 함수이다.:142 몫사상 q : X → Y {\displaystyle q\colon X\to Y} 및 부분 집합 A ⊆ Y {\displaystyle A\subseteq Y} 에 대하여, 만약 다음 네 조건 가운데 하나가 성립한다면, 제한 q ↾ ( q − 1 ( A ) , A ) : q − 1 ( A ) → A {\displaystyle q\upharpoonright (q^{-1}(A),A)\colon q^{-1}(A)\to A} 는 몫사상이다.:140 A ⊆ Y {\displaystyle A\subseteq Y} 는 열린집합이다. A ⊆ Y {\displaystyle A\subseteq Y} 는 닫힌집합이다. q {\displaystyle q} 는 열린 함수이다. q {\displaystyle q} 는 닫힌 함수이다. 반대로, 만약 q : X → Y {\displaystyle q\colon X\to Y} 가 전사 연속 함수이며, 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 가 q ↾ ( q − 1 ( N ) , N ) {\displaystyle q\upharpoonright (q^{-1}(N),N)} 을 몫사상으로 만드는 근방 N ∋ y {\displaystyle N\ni y} 를 갖는다면, q {\displaystyle q} 는 몫사상이다. 몫사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , f ′ : X ′ → Y ′ {\displaystyle f'\colon X'\to Y'} 에 대하여, 자연스럽게 정의되는 함수 f × f ′ : X × X ′ → Y × Y ′ {\displaystyle f\times f'\colon X\times X'\to Y\times Y'} f × f ′ : ( x , x ′ ) ↦ ( f ( x ) , f ′ ( x ′ ) ) {\displaystyle f\times f'\colon (x,x')\mapsto (f(x),f'(x'))} 를 생각하자. 이는 전사 연속 함수이지만, (정의역과 공역의 곱위상에 대하여) 몫사상이 아닐 수 있다. 그러나 임의의 몫사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 국소 콤팩트 공간 Z {\displaystyle Z} 에 대하여, f × id Z : X × Z → Y × Z {\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z} 는 (곱위상에 대하여) 몫사상이다. 또한, 임의의 콤팩트 생성 공간 X {\displaystyle X} , Z {\displaystyle Z} 및 몫사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, k ( f × id Z ) : k ( X × Z ) → k ( Y × Z ) {\displaystyle k(f\times \operatorname {id} _{Z})\colon k(X\times Z)\to k(Y\times Z)} 는 (콤팩트 생성 곱위상에 대하여) 몫사상이다.:192, Corollary 5.9.10 몫위상은 표준 사영에 대한 끝 위상이다. 반대로, 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 가 위상 공간들의 집합 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 및 함수들의 집합 ( f i : X i → Y ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X_{i}\to Y)_{i\in I}} 에 대한 끝 위상을 갖는다고 하자. 이는 위상합 X = ⨆ i ∈ I X i {\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}} 위에 자연스럽게 유도되는 하나의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대한 끝 위상과 같다. 이 경우, f ↾ ( X , f ( X ) ) : X → f ( X ) {\displaystyle f\upharpoonright (X,f(X))\colon X\to f(X)} 는 몫사상이다. 따라서 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 는 열린닫힌집합이며, X {\displaystyle X} 의 몫공간과 위상 동형이다. 또한 Y ∖ f ( X ) {\displaystyle Y\setminus f(X)} 은 이산 공간이다. 즉, Y {\displaystyle Y} 는 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 의 위상합의 몫공간과 이산 공간의 위상합이다. 직사각형의 한 쌍의 대변을 직사각형의 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향을 따라 붙여 몫공간을 취하면 원기둥을 얻으며, 같은 방향을 따라 붙이면 뫼비우스의 띠를 얻는다. 만약 어떤 위상 공간이 변의 수가 짝수인 다각형의 변을 둘씩 짝을 지어 붙여 만든 몫공간과 위상 동형이라면, 이 다각형과 동치 관계의 순서쌍을 위상 공간의 다각형 표시(多角形表示, 영어: polygonal presentation)이라고 한다. 변의 수가 2 n {\displaystyle 2n} 인 다각형 표현은 길이 2 n {\displaystyle 2n} 의 문자열 α ∈ { a 1 , a 2 , … , a n , a 1 − 1 , a 2 − 2 , … , a n − 1 } 2 n {\displaystyle \alpha \in \{a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n},a_{1}^{-1},a_{2}^{-2},\dotsc ,a_{n}^{-1}\}^{2n}} 로 나타낼 수 있다. 각 i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\dotsc ,n} 에 대하여, α {\displaystyle \alpha } 속에는 a i {\displaystyle a_{i}} 가 정확히 두 번 등장하거나 a i {\displaystyle a_{i}} 와 a i − 1 {\displaystyle a_{i}^{-1}} 가 정확히 한 번씩 등장해야 한다. 만약 α i = α j {\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{j}} 라면, 다각형의 i {\displaystyle i} 번째 변과 j {\displaystyle j} 번째 변을 같은 방향으로 붙인다. 만약 α j = α i − 1 {\displaystyle \alpha _{j}=\alpha _{i}^{-1}} 라면, i {\displaystyle i} 번째 변과 j {\displaystyle j} 번째 변을 반대 방향으로 붙인다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A {\displaystyle A} 을 한 점으로 합쳐 만든 몫공간은 X / A {\displaystyle X/A} 로 표기한다. 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 및 콤팩트 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, X / A {\displaystyle X/A} 는 항상 하우스도르프 공간이다. 예를 들어, [ 0 , 1 ] / { 0 , 1 } ≅ S 1 {\displaystyle [0,1]/\{0,1\}\cong \mathbb {S} ^{1}} D ¯ 2 / S 1 ≅ S 2 {\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{2}/\mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {S} ^{2}} 이다. 여기서 D ¯ n {\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{n}} 은 n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간의 닫힌 공이며, S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 은 n {\displaystyle n} 차원 초구이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 뿔은 다음과 같다. cone ⁡ ( X ) = ( X × [ 0 , 1 ] ) / ( X × { 0 } ) {\displaystyle \operatorname {cone} (X)=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})} 하우스도르프 공간 위의 뿔은 하우스도르프 공간이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 콤팩트 집합 X {\displaystyle X} 위의 뿔은 다음과 같은 공간과 위상 동형이다. cone ⁡ ( X ) ≅ { ( 1 − t ) a + t x : x ∈ X , t ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle \operatorname {cone} (X)\cong \{(1-t)a+tx\colon x\in X,\;t\in [0,1]\}} a ∈ R n + 1 ∖ R n {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \mathbb {R} ^{n}} 임의의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 널호모토픽하다. f {\displaystyle f} 의 연속 확장 cone ⁡ ( X ) → Y {\displaystyle \operatorname {cone} (X)\to Y} 이 존재한다. 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 및 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 연속 함수 f : A → Y {\displaystyle f\colon A\to Y} 가 주어졌다고 하자. 위상합 X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. x ∼ f ( x ) ∀ x ∈ A {\displaystyle x\sim f(x)\qquad \forall x\in A} 그렇다면, f {\displaystyle f} 의 붙임 공간은 다음과 같은 몫공간이다. Y ∪ f X = ( X ⊔ Y ) / ∼ {\displaystyle Y\cup _{f}X=(X\sqcup Y)/\sim } 예를 들어, D ¯ 2 ∪ ι S 1 D ¯ 2 ≅ S 2 {\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{2}\cup _{\iota _{\mathbb {S} ^{1}}}{\bar {\mathbb {D} }}^{2}\cong \mathbb {S} ^{2}} M ∪ ι ∂ M M ≅ R P 2 # R P 2 {\displaystyle \operatorname {M} \cup _{\iota _{\partial {\operatorname {M} }}}\operatorname {M} \cong \mathbb {RP} ^{2}\#\mathbb {RP} ^{2}} M ∪ f D ¯ 2 ≅ R P 2 {\displaystyle M\cup _{f}{\bar {\mathbb {D} }}^{2}\cong \mathbb {RP} ^{2}} 이다. 여기서 ι S 1 : S 1 → D ¯ 2 {\displaystyle \iota _{\mathbb {S} ^{1}}\colon \mathbb {S} ^{1}\to {\bar {\mathbb {D} }}^{2}} 와 ι ∂ M : ∂ M → M {\displaystyle \iota _{\partial {\operatorname {M} }}\colon \partial {\operatorname {M} }\to \operatorname {M} } 은 포함 함수이며, f : ∂ D ¯ 2 → ∂ M {\displaystyle f\colon \partial {\bar {\mathbb {D} }}^{2}\to \partial {\operatorname {M} }} 는 두 경계 사이의 위상동형사상이다. 몫공간 R / ( 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbb {R} /(0,1]} 으로의 표준 사영 p : R → R / ( 0 , 1 ] {\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} /(0,1]} 은 몫사상이지만, 열린 함수가 아니며 닫힌 함수도 아니다. 예를 들어, ( − ∞ , 1 ) ⊆ R {\displaystyle (-\infty ,1)\subseteq \mathbb {R} } 는 열린집합이지만, p ( ( − ∞ , 1 ) ) ⊆ R / ( 0 , 1 ] {\displaystyle p((-\infty ,1))\subseteq \mathbb {R} /(0,1]} 은 열린집합이 아니다. 이는 p − 1 ( p ( ( − ∞ , 1 ) ) ) = ( − ∞ , 1 ] ⊆ R {\displaystyle p^{-1}(p((-\infty ,1)))=(-\infty ,1]\subseteq \mathbb {R} } 가 열린집합이 아니기 때문이다. 또한 [ 1 , ∞ ) ⊆ R {\displaystyle [1,\infty )\subseteq \mathbb {R} } 는 닫힌집합이지만, p ( [ 1 , ∞ ) ) ⊆ R / ( 0 , 1 ] {\displaystyle p([1,\infty ))\subseteq \mathbb {R} /(0,1]} 은 닫힌집합이 아니다. 이는 p − 1 ( p ( [ 1 , ∞ ) ) ) = ( 0 , ∞ ) ⊆ R {\displaystyle p^{-1}(p([1,\infty )))=(0,\infty )\subseteq \mathbb {R} } 가 닫힌집합이 아니기 때문이다. 몫공간 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } 로의 표준 사영 Q → Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } 과 항등 함수 Q → Q {\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} } 의 곱 f : Q × Q → Q / Z × Q {\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times \mathbb {Q} } 는 (곱위상에 대하여) 몫사상이 아니다. 예를 들어, 임의의 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여 r n = 2 / ( | n | + 1 ) {\displaystyle r_{n}={\sqrt {2}}/(|n|+1)} 이라고 하자. 또한 A n ⊆ [ n , n + 1 ] × R {\displaystyle A_{n}\subseteq [n,n+1]\times \mathbb {R} } 가 ( n , r n ) {\displaystyle (n,r_{n})} , ( n + 1 / 2 , r n ) {\displaystyle (n+1/2,r_{n})} , ( n + 1 , r n + 1 ) {\displaystyle (n+1,r_{n+1})} 을 꼭짓점으로 하는 열린 삼각형 영역이라고 하고, B = ( Q × Q ) ∩ cl R 2 ⁡ ⋃ n ∈ Z A n {\displaystyle B=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cap \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{2}}\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }A_{n}} 라고 하자. 그렇다면, f − 1 ( f ( B ) ) = B ⊆ Q × Q {\displaystyle f^{-1}(f(B))=B\subseteq \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} } 는 닫힌집합이지만, f ( B ) ⊆ Q / Z × Q {\displaystyle f(B)\subseteq \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times \mathbb {Q} } 는 닫힌집합이 아니다. 이는 f ( ( 0 , 0 ) ) ∈ cl Q / Z × Q ⁡ f ( B ) ∖ f ( B ) {\displaystyle f((0,0))\in \operatorname {cl} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times \mathbb {Q} }f(B)\setminus f(B)} 이기 때문이다. 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