자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, 영어: Seifert–van Kampen theorem)는 위상 공간의 기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 두 부분 공간 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자. int ⁡ A ∪ int ⁡ B = X {\displaystyle \operatorname {int} A\cup \operatorname {int} B=X} 또한, 부분 공간 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. A {\displaystyle A} 또는 B {\displaystyle B} 또는 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다. 그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다. C {\displaystyle C} 는 X {\displaystyle X} 의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다. 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다. Π 1 ( A ∩ B , C ) → Π 1 ( A , C ) ↓ ↓ Π 1 ( B , C ) → Π 1 ( X , C ) {\displaystyle {\begin{matrix}\Pi _{1}(A\cap B,C)&\to &\Pi _{1}(A,C)\\\downarrow &&\downarrow \\\Pi _{1}(B,C)&\to &\Pi _{1}(X,C)\end{matrix}}} 특히, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 가 경로 연결 공간이며, C = { c } ⊆ A ∩ B {\displaystyle C=\{c\}\subseteq A\cap B} 는 한원소 집합이며, A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 X {\displaystyle X} 는 경로 연결 공간이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다. π 1 ( A ∩ B , c ) → π 1 ( A , c ) ↓ ↓ π 1 ( B , c ) → π 1 ( X , c ) {\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(A\cap B,c)&\to &\pi _{1}(A,c)\\\downarrow &&\downarrow \\\pi _{1}(B,c)&\to &\pi _{1}(X,c)\end{matrix}}} 원 S 1 = R / Z {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} } 에서, A = ( − 1 / 3 , 2 / 3 ) / Z ⊊ S 1 {\displaystyle A=(-1/3,2/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}} B = ( 1 / 3 , 4 / 3 ) / Z ⊊ S 1 {\displaystyle B=(1/3,4/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}} 를 생각하자. 또한 C = { 0 , 1 / 2 } / Z ⊊ A ∩ B {\displaystyle C=\{0,1/2\}/\mathbb {Z} \subsetneq A\cap B} 라고 놓자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 및 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 의 밑점 집합 C {\displaystyle C} 에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.) Π 1 ( A , C ) : ∙ 0 → ϕ ← ϕ − 1 ∙ 1 / 2 {\displaystyle \Pi _{1}(A,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi }} \atop {\xleftarrow[{\phi ^{-1}}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}} Π 1 ( B , C ) : ∙ 0 → ϕ ′ − 1 ← ϕ ′ ∙ 1 / 2 {\displaystyle \Pi _{1}(B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi '^{-1}}} \atop {\xleftarrow[{\phi '}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}} Π 1 ( A ∩ B , C ) : ∙ 0 ∙ 1 / 2 {\displaystyle \Pi _{1}(A\cap B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}\qquad {\overset {1/2}{\bullet }}} 따라서, 원의 기본은 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 ϕ ′ ∘ ϕ : 0 → 0 {\displaystyle \phi '\circ \phi \colon 0\to 0} 이 존재하므로, hom ⁡ ( 0 , 0 ) {\displaystyle \hom(0,0)} 및 hom ⁡ ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle \hom(1/2,1/2)} 둘 다 무한 순환군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이다. 0 {\displaystyle 0} 과 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 는 Π 1 ( S 1 , { 0 , 1 / 2 } ) {\displaystyle \Pi _{1}(\mathbb {S} ^{1},\{0,1/2\})} 에서 서로 동형이다. 따라서 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 의 기본군은 무한 순환군이다. 2차원 이상의 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 에서, 세 개의 서로 다른 점 a , b , c ∈ S n {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {S} ^{n}} 를 잡고, A = S n ∖ { a } {\displaystyle A=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{a\}} B = S n ∖ { b } {\displaystyle B=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{b\}} 로 놓자. 그렇다면 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 둘 다 n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 과 위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다. A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 는 기둥 S n − 1 × R {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\times \mathbb {R} } 와 위상 동형이다. 자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다. π 1 ( S n , c ) = π 1 ( A , c ) ∗ π 1 ( A ∩ B , c ) π 1 ( B , c ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{n},c)=\pi _{1}(A,c)*_{\pi _{1}(A\cap B,c)}\pi _{1}(B,c)} 그런데 π 1 ( A ) {\displaystyle \pi _{1}(A)} 와 π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} 둘 다 자명군이므로, π 1 ( S n ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{n})} 역시 자명군이다. 헤르베르트 자이페르트:§3, 33–36:199와 에흐베르튀스 판 캄펀이 증명하였다. 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다. 준군 Seifert, H. (1931). “Konstruction dreidimensionaler geschlossener Raume”. 《Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) 83: 26–66.  Seifert, H. (1932). “Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume” (PDF). 《Acta Mathematica》 (독일어) 60: 147-238. doi:10.1007/BF02398271.  van Kampen, Egbert R. (1933). “On the connection between the fundamental groups of some related spaces”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 55: 261–267. JSTOR 51000091.  Brown, R. (1967). “Groupoids and Van Kampen’s theorem”. 《Proceedings of the London Mathematical Society (third series)》 (영어) 17 (3): 385–401. doi:10.1112/plms/s3-17.3.385.  Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.  Weisstein, Eric Wolfgang. “van Kampen's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Van Kampen theorem”. 《nLab》 (영어).  “Higher van Kampen theorem”. 《nLab》 (영어).  “Higher homotopy van Kampen theorem”. 《nLab》 (영어).  “Van Kampen colimit”. 《nLab》 (영어).  “Van Kampen theorem for toposes”. 《nLab》 (영어).  “Seifert-van Kampen theorem”. 《Topospaces》 (영어).  Tao, Terrence (2012년 10월 28일). “van Kampen’s theorem via covering spaces”. 《What’s New》 (영어).  “Generalisations of the Seifert-van Kampen Theorem?” (영어). Math Overflow.  “What was Seifert's contribution to the Seifert-van Kampen theorem?” (영어). Math Overflow.