불변 부분 공간

선형대수학에서, 선형 변환의 불변 부분 공간(不變部分空間, invariant subspace)은 그 선형 변환에 대하여 닫혀있는 부분 벡터 공간이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대한 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 선형 변환 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 W {\displaystyle W} 를 T {\displaystyle T} -불변 부분 공간이라고 한다. 임의의 w ∈ W {\displaystyle w\in W} 에 대하여, T w ∈ W {\displaystyle Tw\in W} T ( W ) ⊂ W {\displaystyle T(W)\subset W} 보다 일반적으로, V {\displaystyle V} 위의 선형 변환의 족 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 W {\displaystyle W} 를 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} -불변 부분 공간이라고 한다. 임의의 T ∈ T {\displaystyle T\in {\mathcal {T}}} 및 w ∈ W {\displaystyle w\in W} 에 대하여, T w ∈ W {\displaystyle Tw\in W} 임의의 T ∈ T {\displaystyle T\in {\mathcal {T}}} 에 대하여, W {\displaystyle W} 는 T {\displaystyle T} -불변 부분 공간이다. 선형 변환 T , U : V → V {\displaystyle T,U\colon V\to V} 가 T U = U T {\displaystyle TU=UT} 를 만족시킨다면, ker ⁡ U {\displaystyle \ker U} 와 U ( V ) {\displaystyle U(V)} 는 T {\displaystyle T} -불변 부분 공간이다. 증명: 임의의 v ∈ ker ⁡ U {\displaystyle v\in \ker U} 에 대하여, U T v = T U v = T 0 = 0 {\displaystyle UTv=TUv=T0=0} 이므로, T v ∈ ker ⁡ U {\displaystyle Tv\in \ker U} . 또한, 임의의 U v ∈ U ( V ) {\displaystyle Uv\in U(V)} 에 대하여, T U v = U T v ∈ U ( V ) {\displaystyle TUv=UTv\in U(V)} 특히, T {\displaystyle T} 는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다. { 0 V } {\displaystyle \{0_{V}\}} V {\displaystyle V} ker ⁡ T {\displaystyle \ker T} T ( V ) {\displaystyle T(V)} V λ ( λ ∈ σ T ) {\displaystyle V_{\lambda }\qquad (\lambda \in \sigma _{T})} ker ⁡ p ( T ) ( p ∈ K [ x ] ) {\displaystyle \ker p(T)\qquad (p\in K[x])} 선형 변환 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 를 T {\displaystyle T} -불변 부분 공간 W {\displaystyle W} 에 제한시키면 다음과 같은 선형 변환 T | W {\displaystyle T|_{W}} 를 얻을 수 있다. T | W : W → W {\displaystyle T|_{W}\colon W\to W} T | W : w ↦ T w {\displaystyle T|_{W}\colon w\mapsto Tw} 또한, 몫 벡터 공간 V / W {\displaystyle V/W} 위에 다음과 같은 선형 변환 T / W {\displaystyle T_{/W}} 를 유도할 수 있다. T / W : V / W → V / W {\displaystyle T_{/W}\colon V/W\to V/W} T / W : v + W ↦ T v + W {\displaystyle T_{/W}\colon v+W\mapsto Tv+W} T | W {\displaystyle T|_{W}} 의 특성 다항식은 T {\displaystyle T} 의 특성 다항식을 나누며, T | W {\displaystyle T|_{W}} 의 최소 다항식은 T {\displaystyle T} 의 최소 다항식을 나눈다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 선형 변환 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} T {\displaystyle T} -불변 부분 공간 W {\displaystyle W} W {\displaystyle W} 의 기저 { v 1 , v 2 , … , v r } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}} V / W {\displaystyle V/W} 의 기저 { v r + 1 + W , v r + 2 + W , … , v n + W } {\displaystyle \{v_{r+1}+W,v_{r+2}+W,\dots ,v_{n}+W\}} 그렇다면, T , T | W , T / W {\displaystyle T,T|_{W},T_{/W}} 의 행렬 A = [ T ] ( v i ) i = 1 n {\displaystyle A=[T]_{(v_{i})_{i=1}^{n}}} B = [ T | W ] ( v i ) i = 1 r {\displaystyle B=[T|_{W}]_{(v_{i})_{i=1}^{r}}} C = [ T / W ] ( v i + W ) i = r + 1 n {\displaystyle C=[T_{/W}]_{(v_{i}+W)_{i=r+1}^{n}}} 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다. A = ( B D 0 C ) D ∈ Mat ⁡ ( r , n − r ; K ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}B&D\\0&C\end{pmatrix}}\qquad D\in \operatorname {Mat} (r,n-r;K)} 다음이 주어졌다고 하자. 유한 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 선형 변환 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} T {\displaystyle T} -불변 부분 공간 W 1 , W 2 , … , W k {\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{k}} . 또한, V = W 1 ⊕ W 2 ⊕ ⋯ ⊕ W k {\displaystyle V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \cdots \oplus W_{k}} W i {\displaystyle W_{i}} 의 기저 { v i 1 , v i 2 , … , v i r i } {\displaystyle \{v_{i1},v_{i2},\dots ,v_{ir_{i}}\}} 그렇다면, T , T | W 1 , T | W 2 , … , T | W k {\displaystyle T,T|_{W_{1}},T|_{W_{2}},\dots ,T|_{W_{k}}} 의 위에서 정한 기저에 대한 행렬 A , A 1 , A 2 , … , A k {\displaystyle A,A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}} 사이에 다음 관계가 성립한다. A = ( A 1 A 2 ⋱ A k ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}\\&A_{2}\\&&\ddots \\&&&A_{k}\end{pmatrix}}} “Invariant subspace”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Invariant subspace problem” (PDF). 《PlanetMath》 (영어). [깨진 링크(과거 내용 찾기)] “Definition:Invariant subspace”. 《ProofWiki》 (영어).