쌍순환군

군론에서 쌍순환군(雙循環群, 영어: dicyclic group) 또는 일반화 사원수군(一般化四元數郡, 영어: generalized quaternion group)은 짝수 크기의 순환군의 2배 확대이다. 사원수군의 일반화이다. 아벨 군 A {\displaystyle A} 및 차수 2의 원소 y ∈ A {\displaystyle y\in A} 가 주어졌을 때, 쌍순환군 Dic ⁡ ( A , y ) {\displaystyle \operatorname {Dic} (A,y)} 는 다음 조건들을 만족시키는 군 G ≥ A {\displaystyle G\geq A} 이다. 부분군의 지표는 [ G : A ] = 2 {\displaystyle [G:A]=2} G {\displaystyle G} 는 A {\displaystyle A} 와 어떤 x ∈ G ∖ A {\displaystyle x\in G\setminus A} 에 의하여 생성되며, 또한 x 2 = y {\displaystyle x^{2}=y} 이며 x − 1 a x = a − 1 {\displaystyle x^{-1}ax=a^{-1}} 이다. 이러한 군은 항상 유일하다. 만약 A {\displaystyle A} 의 군의 표시가 A = ⟨ { a i } i ∈ I | R ⟩ {\displaystyle A=\langle \{a_{i}\}_{i\in I}|R\rangle } 라면, Dic ⁡ ( A , y ) {\displaystyle \operatorname {Dic} (A,y)} 의 표시는 다음과 같다. Dic ⁡ ( A , y ) = ⟨ { a i } i ∈ I , x | R , x − 1 a i x = a i − 1 , x 2 = y ⟩ {\displaystyle \operatorname {Dic} (A,y)=\langle \{a_{i}\}_{i\in I},x|R,\;x^{-1}a_{i}x=a_{i}^{-1},\;x^{2}=y\rangle } 짝수 크기의 순환군 Cyc ⁡ ( 2 n ) = ⟨ a | a 2 n = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2n)=\langle a|a^{2n}=1\rangle } 의 경우, 차수가 2인 원소 a n {\displaystyle a^{n}} 이 유일하게 존재한다. Cyc ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2n)} 에 대한 쌍순환군을 Dic ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Dic} (n)} 이라고 한다. 이 군의 표시는 다음과 같다.:347–348 Dic ⁡ ( n ) = ⟨ a , x | a 2 n = 1 , x 2 = a n , x − 1 a x = a − 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Dic} (n)=\langle a,x|a^{2n}=1,\;x^{2}=a^{n},\;x^{-1}ax=a^{-1}\rangle } 이는 다음과 같은 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다. Dic ⁡ ( n ) = { exp ⁡ ( i π m / n ) j k : m , k ∈ Z } {\displaystyle \operatorname {Dic} (n)=\{\exp(i\pi m/n)j^{k}\colon m,k\in \mathbb {Z} \}} 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다. 1 → A ↪ Dic ⁡ ( A , y ) ↠ Cyc ⁡ ( 2 ) → 1 {\displaystyle 1\to A\hookrightarrow \operatorname {Dic} (A,y)\twoheadrightarrow \operatorname {Cyc} (2)\to 1} 그러나 이는 분할 완전열이 아니다. 다음과 같은 가환 그림이 존재한다. Dic ⁡ ( A , y ) ↠ Dih ⁡ ( A / ⟨ y ⟩ ) ∪ ∪ A ↠ A / ⟨ y ⟩ {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Dic} (A,y)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Dih} (A/\langle y\rangle )\\\cup &&\cup \\A&\twoheadrightarrow &A/\langle y\rangle \end{matrix}}} 여기서 Dih ⁡ ( A / ⟨ y ⟩ ) ≅ ( A / ⟨ y ⟩ ) ⋊ Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (A/\langle y\rangle )\cong (A/\langle y\rangle )\rtimes \operatorname {Cyc} (2)} 는 정이면체군이다. 낮은 차수의 쌍순환군은 다음과 같다. Dic ⁡ ( 1 ) ≅ Cyc ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Dic} (1)\cong \operatorname {Cyc} (4)} Dic ⁡ ( 2 ) ≅ Q 8 {\displaystyle \operatorname {Dic} (2)\cong Q_{8}} (사원수군) Dic ⁡ ( 3 ) ≅ Cyc ⁡ ( 3 ) ⋊ Cyc ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Dic} (3)\cong \operatorname {Cyc} (3)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)} Dic ⁡ ( 6 ) ≅ Cyc ⁡ ( 3 ) ⋊ Q 8 {\displaystyle \operatorname {Dic} (6)\cong \operatorname {Cyc} (3)\rtimes Q_{8}} Dic ⁡ ( 7 ) ≅ Cyc ⁡ ( 7 ) ⋊ Cyc ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Dic} (7)\cong \operatorname {Cyc} (7)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)} Dic ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Dic} (3)} 의 반직접곱 표현에서, Cyc ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (4)} 의 Cyc ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)} 위의 작용은 다음과 같다. Cyc ⁡ ( 3 ) = ⟨ a | a 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)=\langle a|a^{3}=1\rangle } Cyc ⁡ ( 4 ) = ⟨ b | b 4 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Cyc} (4)=\langle b|b^{4}=1\rangle } b : { 1 ↦ 1 a ↦ a 2 a 2 ↦ a {\displaystyle b\colon {\begin{cases}1\mapsto 1\\a\mapsto a^{2}\\a^{2}\mapsto a\end{cases}}} Roman, Steven (2012). 《Fundamentals of group theory. An advanced approach》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-8301-6. ISBN 978-0-8176-8300-9. Zbl 1244.20001.  “Dicyclic group”. 《Groupprops》 (영어).