기하적 대수학

기하적 대수학(영어: Geometric Algebra (GA))은 수학에서 클리퍼드 대수의 기하학적 해석이며 3차원 공간에서 직접적으로 공간과 시간을 벡터 미적분보다 간단하게 표현하고 해석할 수 있다. 기하적 대수학은 수학적 문제에서 회전, 위상이나, 복소수를 사용할 경우 문제를 간단하고 알기 쉽게 표현할 수 있기 때문에 물리의 고전역학, 양자역학, 전자기학, 로봇공학, 컴퓨터 비전과 컴퓨터 그래픽 등에 응용되고있다. 기하적 대수학에서는 기하적 곱(geometric product)이 임의의 벡터 a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } 에 대하여 다음과 같은 성질을 가질 것을 요구한다. 결합법칙: ( a b ) c = a ( b c ) {\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )\mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {b} \mathbf {c} )} 왼쪽 분배법칙: a ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} } 오른쪽 분배법칙: ( a + b ) c = a c + b c {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} } 축약: a a = a 2 = | a | 2 {\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{2}=|\mathbf {a} |^{2}} 여기서 | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} 는 벡터 a {\displaystyle \mathbf {a} } 의 크기라 불리며, 양의 값을 가지는 스칼라이다. 기하적 곱으로부터 두가지 곱을 정의할 수 있는데, 하나는 대칭적(symmetric)인 내적으로 다음과 같다. a ⋅ b = 1 2 ( a b + b a ) = b ⋅ a {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} } 이 내적은 다음 식에서 우항들의 축약성을 이용하면 스칼라임을 보일 수 있다. a ⋅ b = 1 2 ( ( a + b ) 2 − a 2 − b 2 ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}((\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2})} 보통, 이 내적은 통상적인 유클리드 공간에서의 내적과 동일시 된다. 다른 하나는 반대칭적(anti-symmetric)인 쐐기곱으로 다음과 같다. a ∧ b = 1 2 ( a b − b a ) = − b ∧ a {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {b} \mathbf {a} )=-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} } 이 쐐기곱으로 만들어진 a ∧ b {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} } 은 스칼라, 벡터와는 다른 수학적 개체로써 이중벡터(bivector)라고 불린다. 스칼라가 점을, 벡터가 방향성이 있는 선분, 즉 유향선분을 나타낸다면, 이 이중벡터는 방향성을 가진 평면의 일부를 나타낸다. 이 쐐기곱은 임의의 벡터들에 대해 다음과 같이 일반화 될 수 있다. a 1 ∧ a 2 ∧ ⋯ ∧ a r = 1 r ! ∑ σ ∈ S r sgn ⁡ ( σ ) a σ ( 1 ) a σ ( 2 ) ⋯ a σ ( r ) , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{r}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )\mathbf {a} _{\sigma (1)}\mathbf {a} _{\sigma (2)}\cdots \mathbf {a} _{\sigma (r)},} 여기서 합은 모든 순열에 대해 행해지며, sgn ⁡ ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )} 는 순열의 부호이다. 기하적 곱은 이와 같은 내적과 쐐기곱의 합성으로 주어질 수 있다. a b = a ⋅ b + a ∧ b {\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} } 3차원 공간에서 벡터인 전기장 E → {\displaystyle {\vec {E}}} 과 이중벡터(bivector)인 자기장 B → → {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}} 를 생각하자. 3차원 공간의 표준기저를 이루는 단위벡터 e → 1 , e → 2 , e → 3 {\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}} 를 이용해서 E → {\displaystyle {\vec {E}}} 와 B → → {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}} 를 표현하면 다음과 같다. E → = E 1 e → 1 + E 2 e → 2 + E 3 e → 3 {\displaystyle {\vec {E}}=E_{1}{\vec {e}}_{1}+E_{2}{\vec {e}}_{2}+E_{3}{\vec {e}}_{3}} B → → = B 12 e → 1 ∧ e → 2 + B 23 e → 2 ∧ e → 3 + B 31 e → 3 ∧ e → 1 {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=B_{12}{\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}+B_{23}{\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}+B_{31}{\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}} 표준기저를 이루는 서로 다른 벡터 간의 내적은 0이므로, a ≠ b {\displaystyle a\neq b} 인 a , b {\displaystyle a,b} 에 대해 e → a ∧ e → b = e → a e → b {\displaystyle {\vec {e}}_{a}\wedge {\vec {e}}_{b}={\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{b}} 이며, 따라서 자기장은 다음과 같이 표현된다. B → → = B 12 e → 1 e → 2 + B 23 e → 2 e → 3 + B 31 e → 3 e → 1 {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=B_{12}{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}+B_{23}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}+B_{31}{\vec {e}}_{3}{\vec {e}}_{1}} 또한 a = 1 , 2 , 3 {\displaystyle a=1,2,3} 인 a {\displaystyle a} 에 대해 1 = e → a ⋅ e → a = e → a e → a {\displaystyle 1={\vec {e}}_{a}\cdot {\vec {e}}_{a}={\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{a}} 이고, a ≠ b {\displaystyle a\neq b} 인 a , b {\displaystyle a,b} 에 대해 e → a e → b = e → a ∧ e → b = − e → b ∧ e → a = − e → b e → a {\displaystyle {\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{b}={\vec {e}}_{a}\wedge {\vec {e}}_{b}=-{\vec {e}}_{b}\wedge {\vec {e}}_{a}=-{\vec {e}}_{b}{\vec {e}}_{a}} 와 같은 기하적 곱의 반교환성이 있기 때문에, 자기장은 다음과 같이 표현된다. B → → = e → 1 e → 2 e → 3 ( B 12 e → 3 + B 23 e → 1 + B 31 e → 2 ) {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}={\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}(B_{12}{\vec {e}}_{3}+B_{23}{\vec {e}}_{1}+B_{31}{\vec {e}}_{2})} 보통 e → 1 e → 2 e → 3 {\displaystyle {\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}} 를 유사스칼라(psuedoscalar)라고 하며, i {\displaystyle i} 또는 I {\displaystyle {\mathit {I}}} 라고 표현하는데 이것은 허수와 역할이 비슷하다. 왜냐하면, 이를 제곱하면 기하적 곱의 반교환성 때문에 -1을 얻기 때문이다. 또한 B 23 = B 1 ′ {\displaystyle B_{23}=B'_{1}} , B 31 = B 2 ′ {\displaystyle B_{31}=B'_{2}} , B 12 = B 3 ′ {\displaystyle B_{12}=B'_{3}} 으로 성분을 갖는 벡터 B → ′ {\displaystyle {\vec {B}}'} 을 생각하면, B → → = i B → ′ {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=i{\vec {B}}'} 가 된다. 이중벡터 B → → {\displaystyle {\vec {\vec {B}}}} 와 벡터 B → ′ {\displaystyle {\vec {B}}'} 간에는 쌍대(dual) 관계가 있다고 한다. 다음부터는 벡터 화살표 표시 대신 굵은 글씨체로 3차원 벡터를 표현하고, B'을 B로 표현하겠다. 그러면 전자기장 멀티벡터 F {\displaystyle {\mathit {F}}} 는 다음과 같이 정의된다. F = E / c + ( i B ) {\displaystyle {\mathit {F}}=\mathbf {E} /c+(i\mathbf {B} )} 여기서 c는 빛의 속도이다. 멀티벡터는 기하적 대수학에서 다루는 수학적 개체로, 보통은 더해지지 않는 스칼라, 벡터 등의 서로 다른 텐서들의 합으로 주어지는 개체이다. 상대론적으로 다루는 4차원 벡터는 기하적 대수에서 다음과 같이 주어진다. v = ( v 0 + v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) e 0 {\displaystyle v=(v_{0}+v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})e_{0}} 여기서 e 0 {\displaystyle e_{0}} 는 4차원 시공간에서 시간 방향으로 놓이는 단위벡터로, e 0 ⋅ e 0 = 1 {\displaystyle e_{0}\cdot e_{0}=1} 이며, a = 1 , 2 , 3 {\displaystyle a=1,2,3} 인 a {\displaystyle a} 에 대해 e 0 ⋅ e a = 0 {\displaystyle {e}_{0}\cdot \mathbf {e} _{a}=0} 이다. 기하적 대수학에서 멕스웰 방정식에 해당하는 표현은 ◻ F = μ 0 J {\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\mu _{0}J} 인데, 4차원 미분형식(differential form)의 형식을 따르는 미분연산자 ◻ {\displaystyle \Box } 와 앞서 정의한 전자기장 멀티벡터 F {\displaystyle {\mathit {F}}} 를 대입하면 좌변은 다음과 같다. ◻ F = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) e 0 ( E / c + i B ) {\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)e_{0}(\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )} e 0 e a = − e a e 0 {\displaystyle {e}_{0}\mathbf {e} _{a}=-\mathbf {e} _{a}{e}_{0}} 이고 e 0 i = e 0 e 1 e 2 e 3 = − e 1 e 2 e 3 e 0 = − i e 0 {\displaystyle {e}_{0}i={e}_{0}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}{e}_{0}=-i{e}_{0}} 이므로 위 식은 다음과 같다. ◻ F = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) ( − E / c + i B ) e 0 {\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)(-\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )e_{0}} 그러므로 식은 시간에 대한 미분 부분과 공간에 대한 미분 부분으로 나눠지는데, 공간에 대한 미분 부분 중 전기장에 대한 미분 부분은 다음과 같다. ∇ E = ∇ ⋅ E + ∇ ∧ E {\displaystyle \mathbf {\nabla } \mathbf {E} ={\bf {{\nabla }\cdot \mathbf {E} +\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {E} }}} 여기서 ∇ ∧ E {\displaystyle \mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {E} } 는 이중벡터가 되는데, 앞서 이중벡터였던 자기장이 벡터꼴로 써질 수 있었던 방법과 비슷하게 하면, 다음과 같이 쓸 수 있다. ∇ E = ∇ ⋅ E + i ∇ × E {\displaystyle \mathbf {\nabla } \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} +i\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} } 그러므로 ◻ F {\displaystyle \Box {\mathit {F}}} 는 [ ( ∇ ⋅ E / c + ( ∇ × B − 1 c 2 ∂ E ∂ t ) ) − i ( ∇ ⋅ B − ( ∇ × E / c + 1 c ∂ ( B ) ∂ t ) ) ] e 0 {\displaystyle \left[\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} /c+\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)-i\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} -\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} /c+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {B} )}{\partial t}}\right)\right)\right]e_{0}} 가 되고, 보통 벡터미적분으로 기술하는 맥스웰 방정식을 대입하면 ( ρ ϵ 0 c + μ 0 J ) e 0 = μ 0 ( ρ c + J ) e 0 = μ 0 J {\displaystyle \left({\frac {\rho }{\epsilon _{0}c}}+\mu _{0}\mathbf {J} \right)e_{0}=\mu _{0}(\rho c+\mathbf {J} )e_{0}=\mu _{0}J} 가 된다. 4차원 벡터 형식을 따르는 A {\displaystyle A} 와 앞서 언급한 ◻ {\displaystyle \Box } 를 기하적 대수로 곱해주면 다음과 같다. ◻ A = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) e 0 ( ϕ / c + A ) e 0 = ( 1 c ∂ ∂ t − ∇ ) ( ϕ / c − A ) {\displaystyle \Box A=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)e_{0}(\phi /c+\mathbf {A} )e_{0}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)(\phi /c-\mathbf {A} )} 항들을 전개하고 정리해주면, ◻ A = ( 1 c ∂ ∂ t ϕ / c + ∇ ⋅ A ) + ( − ∇ ϕ / c − 1 c ∂ ( A ) ∂ t + ∇ ∧ A ) = ( 1 c ∂ ∂ t ϕ / c + ∇ ⋅ A ) + ( E / c + i B ) {\displaystyle \Box A=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi /c+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)+\left(-\mathbf {\nabla } \phi /c-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {A} )}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {A} \right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi /c+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)+(\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )} 그러므로 로렌츠 게이지를 만족한다면, ◻ A = F {\displaystyle \Box A=F} 라고 써질 수 있다. 3차원 벡터공간의 기하적 대수 구조가 아니라, 4차원 시공간-벡터공간의 기하적 대수 구조를 따르면, 모든 게이지에서 성립하는 공식 ∇ ∧ A = F {\displaystyle \nabla \wedge A=F} 를 손 쉽게 쓸 수 있다. 파울리 행렬은 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 3차원공간의 표준기저 e 1 , e 2 , e 3 {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}} 이 다음과 같은 기하적 대수 구조를 가진다면, e i e j = e i ⋅ e j + e i ∧ e j = e i ⋅ e j + i e i × e j = δ i j + i ∑ k ϵ i j k e k {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}+i\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k}} 그리고 파울리 행렬 σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} 이 이러한 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 간주 된다면, 파울리 행렬은 자연스럽게 다음과 같은 성질들을 만족한다. σ i σ j = δ i j ⋅ I + i ∑ k ϵ i j k σ k {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}} [ σ i , σ j ] = 2 σ i ∧ σ j = 2 i ∑ k ϵ i j k σ k {\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2\sigma _{i}\wedge \sigma _{j}=2i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}} { σ i , σ j } = 2 σ i ⋅ σ j = 2 δ i j ⋅ I {\displaystyle \lbrace \sigma _{i},\sigma _{j}\rbrace =2\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}=2\delta _{ij}\cdot I} 그렇다면 일반적으로 양자역학에서 다루는, 파울리 벡터( σ = σ 1 x ^ + σ 2 y ^ + σ 3 z ^ {\displaystyle \mathbf {\sigma } =\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}} )와 보통 벡터( v = v 1 x ^ + v 2 y ^ + v 3 z ^ {\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}{\hat {x}}+v_{2}{\hat {y}}+v_{3}{\hat {z}}} ) 간의 내적인 σ ⋅ v = v 1 σ 1 + v 2 σ 2 + v 3 σ 3 {\displaystyle \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {v} =v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3}} 은 기하적 대수를 만족하는 3차원 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 즉, 벡터 v = [ v 1 , v 2 , v 3 ] {\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},v_{3}]} 가 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터라면 행렬 ( v 3 v 1 − i v 2 v 1 + i v 2 − v 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{3}&v_{1}-iv_{2}\\v_{1}+iv_{2}&-v_{3}\end{pmatrix}}} 라고 표현될 수 있으며, 행렬 ( v 3 v 1 − i v 2 v 1 + i v 2 − v 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{3}&v_{1}-iv_{2}\\v_{1}+iv_{2}&-v_{3}\end{pmatrix}}} 는 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터 v = [ v 1 , v 2 , v 3 ] {\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},v_{3}]} 로 생각될 수 있는 것이다. 기하적 대수구조를 가지는 공간의 두 벡터 v , w {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} } 는 다음과 같은 식을 만족한다. v w = v ⋅ w + i v × w {\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} +i\mathbf {v} \times \mathbf {w} } 위 식을 표준기저를 사용해서 표현하면 다음과 같다. ( v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = ( v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) + i ( ( v 2 w 3 − v 3 w 2 ) e 1 + ( v 3 w 1 − v 1 w 3 ) e 2 + ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) e 3 ) {\displaystyle (v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})(w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3})=(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3})+i((v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})\mathbf {e} _{1}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})\mathbf {e} _{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})\mathbf {e} _{3})} 그러면 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 두 벡터 v , w {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} } 의 행렬 표현도 자연스럽게 다음의 성질을 만족한다. ( v 1 σ 1 + v 2 σ 2 + v 3 σ 3 ) ( w 1 σ 1 + w 2 σ 2 + w 3 σ 3 ) = ( v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) + i ( ( v 2 w 3 − v 3 w 2 ) σ 1 + ( v 3 w 1 − v 1 w 3 ) σ 2 + ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) σ 3 ) {\displaystyle (v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3})(w_{1}\sigma _{1}+w_{2}\sigma _{2}+w_{3}\sigma _{3})=(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3})+i((v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})\sigma _{1}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})\sigma _{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})\sigma _{3})} 일반적으로 양자역학에서 다루는, x ^ , y ^ , z ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}} 표현으로 위의 식을 바꿔주면, ( v ⋅ σ ) ( w ⋅ σ ) = v ⋅ w + i σ ⋅ ( v × w ) {\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {\sigma } )(\mathbf {w} \cdot \mathbf {\sigma } )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} +i\mathbf {\sigma } \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )} 가 된다. 클리퍼드 대수 시공간 대수 스피너 사원수 Hestenes, David (2003). “Reforming the Mathematical Language of Physics”.  Chappell, James M.; Iqbal, Azhar; Abbott, Derek (2010). “A simplified approach to electromagnetism using geometric algebra”.