2차원 𝒩=2 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 장론(二次元 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 超等角場論, 영어: two-dimensional N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} superconformal theory)은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다. 2차원 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다. 통상적으로, c ^ {\displaystyle {\hat {c}}} 를 다음과 같이 정의한다. c ^ = c / 3 {\displaystyle {\hat {c}}=c/3} 이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.:(2.1) 여기서 ⋯ {\displaystyle \cdots } 는 z → 0 {\displaystyle z\to 0} 에서 비특이항을 뜻한다. T ( z ) T ( 0 ) = 3 2 c ^ z − 4 + 2 z − 2 T ( 0 ) + z − 1 ∂ T ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle T(z)T(0)={\frac {3}{2}}{\hat {c}}z^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots } T ( z ) G ± ( 0 ) = 3 2 z − 2 G ± ( 0 ) + z − 1 ∂ G ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle T(z)G^{\pm }(0)={\frac {3}{2}}z^{-2}G^{\pm }(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots } T ( z ) J ( 0 ) = z − 2 J ( 0 ) + z − 1 ∂ J ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots } J ( z ) J ( 0 ) = c ^ z − 2 + ⋯ {\displaystyle J(z)J(0)={\hat {c}}z^{-2}+\cdots } J ( z ) G ± ( 0 ) = ± z − 1 G ± ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle J(z)G^{\pm }(0)=\pm z^{-1}G^{\pm }(0)+\cdots } G ± ( z ) G ± ( 0 ) = ⋯ {\displaystyle G^{\pm }(z)G^{\pm }(0)=\cdots } G ± ( z ) G ∓ ( 0 ) = c ^ z − 3 ± z − 2 J ( 0 ) + z − 1 ( T ( 0 ) ± 1 2 ∂ J ( 0 ) ) + ⋯ {\displaystyle G^{\pm }(z)G^{\mp }(0)={\hat {c}}z^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}\left(T(0)\pm {\frac {1}{2}}\partial J(0)\right)+\cdots } N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.:(2.2) T ( z ) = ∑ n z n − 2 L − n {\displaystyle T(z)=\sum _{n}z^{n-2}L_{-n}} G ± ( z ) = ∑ r ∈ Z ± η z r − 3 / 2 G − r ± {\displaystyle G^{\pm }(z)=\sum _{r\in \mathbb {Z} \pm \eta }z^{r-3/2}G_{-r}^{\pm }} J ( z ) = ∑ n z n − 1 J − n {\displaystyle J(z)=\sum _{n}z^{n-1}J_{-n}} 여기서 NS 경계 조건의 경우 η = 0 {\displaystyle \eta =0} 이며 R 경계 조건의 경우 η = 1 / 2 {\displaystyle \eta =1/2} 이다. 이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.:178, (5.14):(2.3):(1.1) c는 모든 원소와 가환 [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + 1 4 c ^ ( m 3 − m ) δ m + n , 0 {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{4}}{\hat {c}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}} [ L m , J n ] = − n J m + n {\displaystyle [L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}} [ J m , J n ] = c ^ m δ m + n , 0 {\displaystyle [J_{m},J_{n}]={\hat {c}}m\delta _{m+n,0}} { G r + , G s − } = L r + s + 1 2 ( r − s ) J r + s + 1 2 c ^ ( r 2 − 1 4 ) δ r + s , 0 {\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=L_{r+s}+{\frac {1}{2}}(r-s)J_{r+s}+{\frac {1}{2}}{\hat {c}}(r^{2}-{1 \over 4})\delta _{r+s,0}} { G r + , G s + } = 0 = { G r − , G s − } {\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{+}\}=0=\{G_{r}^{-},G_{s}^{-}\}} [ L m , G r ± ] = ( m / 2 − r ) G r + m ± {\displaystyle [L_{m},G_{r}^{\pm }]=(m/2-r)G_{r+m}^{\pm }} [ J m , G r ± ] = ± G m + r ± {\displaystyle [J_{m},G_{r}^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }} NS 대수에서, L 0 {\displaystyle L_{0}} , L ± 1 {\displaystyle L_{\pm 1}} , J 0 {\displaystyle J_{0}} , G 1 / 2 ± {\displaystyle G_{1/2}^{\pm }} , G − 1 / 2 ± {\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }} 는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 o s p ( 2 | 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(2|2)} 이다. 이 리 초대수의 보손 성분 s o ( 2 ) ⊕ u s p ( 2 ) ≅ u ( 1 ) ⊕ s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2)\oplus {\mathfrak {usp}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)\oplus {\mathfrak {so}}(3)} 는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다. R 대수에서, L 0 {\displaystyle L_{0}} , J 0 {\displaystyle J_{0}} , G 0 ± {\displaystyle G_{0}^{\pm }} , c {\displaystyle c} 는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다. { G 0 + , G 0 − } = L 0 − c / 24 {\displaystyle \{G_{0}^{+},G_{0}^{-}\}=L_{0}-c/24} [ J 0 , G 0 ± ] = ± G 0 ± {\displaystyle [J_{0},G_{0}^{\pm }]=\pm G_{0}^{\pm }} [ L 0 , G 0 ± ] = [ L 0 , L 0 ] = [ L 0 , J 0 ] = { G 0 ± , G 0 ± } = [ J 0 , J 0 ] = 0 {\displaystyle [L_{0},G_{0}^{\pm }]=[L_{0},L_{0}]=[L_{0},J_{0}]=\{G_{0}^{\pm },G_{0}^{\pm }\}=[J_{0},J_{0}]=0} 이는 콤팩트 리만 다양체에서 Δ {\displaystyle \Delta } , d {\displaystyle d} , d † {\displaystyle d^{\dagger }} 가 이루는 대수와 같다. 비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 영어: superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 은 다음 조건을 만족시킨다. L n | ϕ ⟩ = G r | ϕ ⟩ = 0 ∀ n , r > 0 {\displaystyle L_{n}|\phi \rangle =G_{r}|\phi \rangle =0\qquad \forall n,r>0} 초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다. L − n 1 L − n 2 ⋯ L − n k G − r 1 + G − r 2 + ⋯ G − r p + G − s 1 − G − s 2 − ⋯ G − s q − | ϕ ⟩ ( 0 < n 1 ≤ n 2 ≤ ⋯ ≤ n k , 0 < r 1 < r 2 < ⋯ < r p , 0 ≤ s 1 < ⋯ < s q {\displaystyle L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}G_{-r_{1}}^{+}G_{-r_{2}}^{+}\cdots G_{-r_{p}}^{+}G_{-s_{1}}^{-}G_{-s_{2}}^{-}\cdots G_{-s_{q}}^{-}|\phi \rangle \qquad (0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots \leq n_{k},\;0<r_{1}<r_{2}<\cdots <r_{p},\;0\leq s_{1}<\cdots <s_{q}} 여기서 r i < r i + 1 {\displaystyle r_{i}<r_{i+1}} 및 s i < s i + 1 {\displaystyle s_{i}<s_{i+1}} 인 것은 ( G r + ) 2 + = ( G s − ) 2 = 0 {\displaystyle (G_{r}^{+})^{2}+=(G_{s}^{-})^{2}=0} 이기 때문이다. 또한, 0 < r 1 {\displaystyle 0<r_{1}} 인 것은 라몽 대역 초등각 대수 ( G 0 + , G 0 − , L 0 , J 0 , c ) {\displaystyle (G_{0}^{+},G_{0}^{-},L_{0},J_{0},c)} 의 작용을 대각화시켜, 초1차장 | h , q ⟩ {\displaystyle |h,q\rangle } 에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다. G 0 + | h , q ⟩ = 0 {\displaystyle G_{0}^{+}|h,q\rangle =0} 다음과 같은 함수들을 정의하자. g r NS ( c , h , q ) = 2 ( h − r q ) + ( c / 3 − 1 ) ( r 2 − 1 / 4 ) ( r ∈ Z + 1 / 2 ) {\displaystyle g_{r}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^{2}-1/4)\quad (r\in \mathbb {Z} +1/2)} g r R ( c , h , q ) = 2 ( h − r q ) + ( c / 3 − 1 ) ( r 2 − 1 / 4 ) − 1 / 4 ( r ∈ Z ) {\displaystyle g_{r}^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^{2}-1/4)-1/4\quad (r\in \mathbb {Z} )} f 1 , 2 NS ( c , h , q ) = 2 ( c / 3 − 1 ) h − q 2 + 1 4 ( c / 3 + 1 ) 2 − 1 4 ( c / 3 − 1 ) 2 {\displaystyle f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^{2}+{\frac {1}{4}}(c/3+1)^{2}-{\frac {1}{4}}(c/3-1)^{2}} f 1 , 2 R ( c , h , q ) = 2 ( c / 3 − 1 ) ( h − c / 24 ) − q 2 + 1 4 ( c / 3 + 1 ) 2 {\displaystyle f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^{2}+{\frac {1}{4}}(c/3+1)^{2}} q k , l , m NS = − m k + 2 {\displaystyle q_{k,l,m}^{\text{NS}}=-{\frac {m}{k+2}}} q k , l , m R = − m k + 2 + 1 2 {\displaystyle q_{k,l,m}^{\text{R}}=-{\frac {m}{k+2}}+{\frac {1}{2}}} h k , l , m NS = l ( l + 2 ) − m 2 4 ( k + 2 ) {\displaystyle h_{k,l,m}^{\text{NS}}={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}} h k , l , m R = l ( l + 2 ) − m 2 4 ( k + 2 ) + 1 8 {\displaystyle h_{k,l,m}^{\text{R}}={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {1}{8}}} g r = 0 {\displaystyle g_{r}=0} 은 ( q , h ) {\displaystyle (q,h)} 반평면에 직선을 정의하며, f 1 , 2 = 0 {\displaystyle f_{1,2}=0} 은 ( q , h ) {\displaystyle (q,h)} 반평면에 포물선을 정의한다. 그렇다면, N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다. c ≥ 3 {\displaystyle c\geq 3} 일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. c < 3 {\displaystyle c<3} 일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 최소 모형에 등장하는 것들이다. 특히, G r + {\displaystyle G_{r}^{+}} 에서 r ∈ Z + ϵ {\displaystyle r\in \mathbb {Z} +\epsilon } 이라고 한다면, 0 ≤ ⟨ h , q | G ϵ ± G − ϵ ∓ | h , q ⟩ + ⟨ h , q | G − ϵ ∓ G + ϵ ± | h , q ⟩ = ⟨ h , q | { G ϵ ± , G − ϵ ∓ } | h , q ⟩ = ⟨ h , q | ( L 0 ± ϵ J 0 + c ( ϵ 2 − 1 / 4 ) / 6 ) | h , q ⟩ = h ± ϵ q + c 4 ϵ 2 − 1 24 {\displaystyle 0\leq \langle h,q|G_{\epsilon }^{\pm }G_{-\epsilon }^{\mp }|h,q\rangle +\langle h,q|G_{-\epsilon }^{\mp }G_{+\epsilon }^{\pm }|h,q\rangle =\langle h,q|\{G_{\epsilon }^{\pm },G_{-\epsilon }^{\mp }\}|h,q\rangle =\langle h,q|(L_{0}\pm \epsilon J_{0}+c(\epsilon ^{2}-1/4)/6)|h,q\rangle =h\pm \epsilon q+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}} 이므로, 항상 h + c 4 ϵ 2 − 1 24 ≥ | ϵ q | {\displaystyle h+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}\geq |\epsilon q|} 가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는 h ≥ 2 | q | {\displaystyle h\geq 2|q|} 이며 ( g ± 1 / 2 NS ≥ 0 {\displaystyle g_{\pm 1/2}^{\text{NS}}\geq 0} ), R 경계 조건에서는 h ≥ c / 24 {\displaystyle h\geq c/24} 이다 ( g 0 R ≥ 0 {\displaystyle g_{0}^{\text{R}}\geq 0} ). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다. g r = g r + sgn ⁡ r = 0 {\displaystyle g_{r}=g_{r+\operatorname {sgn} r}=0} 이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다. q 2 2 ( c / 3 − 1 ) = { h NS h − 1 / 8 R {\displaystyle {\frac {q^{2}}{2(c/3-1)}}={\begin{cases}h&{\text{NS}}\\h-1/8&{\text{R}}\end{cases}}} 즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 h ≥ q 2 / ( 2 ( c / 3 ) − 1 ) + { 0 , 1 / 8 } {\displaystyle h\geq q^{2}/(2(c/3)-1)+\{0,1/8\}} 에만 존재할 수 있다. 유니터리 표현의 분류는 c = 3 {\displaystyle c=3} 인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우, g r NS ( c , h , q ) = 2 ( h − r q ) ( r ∈ Z + 1 / 2 ) {\displaystyle g_{r}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)\quad (r\in \mathbb {Z} +1/2)} g r R ( c , h , q ) = 2 ( h − r q ) − 1 / 4 ( r ∈ Z ) {\displaystyle g_{r}^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)-1/4\quad (r\in \mathbb {Z} )} f 1 , 2 NS ( c , h , q ) = f 1 , 2 R ( c , h , q ) = 1 − q 2 {\displaystyle f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=1-q^{2}} 이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다. | q | ≤ 1 {\displaystyle |q|\leq 1} h = { | q | / 2 , 3 | q | / 2 , 5 | q | / 2 , … NS 1 / 8 , | q | + 1 / 8 , 2 | q | + 1 / 8 , … R {\displaystyle h={\begin{cases}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots &{\text{NS}}\\1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots &{\text{R}}\end{cases}}} NS 초1차장 가운데 만약 q = ± 2 h {\displaystyle q=\pm 2h} 인 상태 | h , ± 2 h ⟩ {\displaystyle |h,\pm 2h\rangle } 가 있다면, G − 1 / 2 ± | h , ± 2 h ⟩ = 0 {\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }|h,\pm 2h\rangle =0} 이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 손지기장(영어: chiral field), − 부호일 경우 반손지기장(영어: antichiral field)이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 f 1 , 2 NS ≥ 0 {\displaystyle f_{1,2}^{\text{NS}}\geq 0} 조건에 의하여 2 h = | q | ≤ c / 3 {\displaystyle 2h=|q|\leq c/3} 이다.:378 특별한 경우로, 진공 h = q = 0 {\displaystyle h=q=0} 일 경우에는 L − 1 | 0 , 0 ⟩ = G − 1 / 2 ± | 0 , 0 ⟩ = 0 {\displaystyle L_{-1}|0,0\rangle =G_{-1/2}^{\pm }|0,0\rangle =0} 이다. 라몽 초1차장 가운데, 만약 h = c / 24 {\displaystyle h=c/24} 일 경우, G 0 ± | c / 24 , q ⟩ = 0 {\displaystyle G_{0}^{\pm }|c/24,q\rangle =0} 이 성립한다. 이는 g 0 R = 0 {\displaystyle g_{0}^{\text{R}}=0} 과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 라몽 바닥 상태(영어: Ramond ground state)라고 한다. 유니터리 라몽 초1차장의 경우 f 1 , 2 R ≥ 0 {\displaystyle f_{1,2}^{\text{R}}\geq 0} 조건에 의하여 | q | ≤ c / 6 + 1 / 2 {\displaystyle |q|\leq c/6+1/2} 이다. 2차원 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 초대칭은 초공간 R 2 | 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2|4}} 를 사용하여 나타낼 수 있다.:271–276 이 경우, 보손 좌표 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 는 복소평면 C {\displaystyle \mathbb {C} } 로 여겨, 복소수 좌표 ( z , z ¯ ) {\displaystyle (z,{\bar {z}})} 로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 ( θ ± , θ ¯ ∓ ) {\displaystyle (\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\mp })} 로 나타낼 수 있다. 이 때 ( θ ± ) ∗ = θ ¯ ∓ {\displaystyle (\theta ^{\pm })^{*}={\bar {\theta }}^{\mp }} 이다. 이 경우, θ ± {\displaystyle \theta ^{\pm }} 및 θ ¯ ± {\displaystyle {\bar {\theta }}^{\pm }} 은 각각 스핀 ± 1 / 2 {\displaystyle \pm 1/2} 를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수 C ω ( C ) ⊗ C ⋀ ( C 2 ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\bigwedge (\mathbb {C} ^{2})} 의 층을 갖는 환 달린 공간이다. 일반적 초장은 Φ ( z , z ¯ , θ ± , θ ¯ ∓ ) = ϕ ( z , z ¯ ) + θ + f + ( z , z ¯ ) + θ − f − ( z , z ¯ ) + θ ¯ + g + ( z , z ¯ ) + θ ¯ − g − ( z , z ¯ ) + θ + θ − h ( z , z ¯ ) {\displaystyle \Phi (z,{\bar {z}},\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\mp })=\phi (z,{\bar {z}})+\theta ^{+}f_{+}(z,{\bar {z}})+\theta ^{-}f_{-}(z,{\bar {z}})+{\bar {\theta }}^{+}g_{+}(z,{\bar {z}})+{\bar {\theta }}^{-}g_{-}(z,{\bar {z}})+\theta ^{+}\theta ^{-}h(z,{\bar {z}})} 와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 D ± {\displaystyle D^{\pm }} , D ¯ ± {\displaystyle {\bar {D}}^{\pm }} 을 정의하면 손지기 초장(영어: chiral superfield) D ¯ ± Φ = 0 {\displaystyle {\bar {D}}_{\pm }\Phi =0} 및 반손지기 초장(영어: antichiral superfield D ¯ ± Φ = 0 {\displaystyle {\bar {D}}_{\pm }\Phi =0} 및 뒤틀린 손지기 초장(영어: twisted chiral superfield) D ¯ + Φ = D − Φ = 0 {\displaystyle {\bar {D}}_{+}\Phi =D_{-}\Phi =0} 및 뒤틀린 반손지기 초장(영어: twisted antichiral superfield) D + Φ = D ¯ − Φ = 0 {\displaystyle D_{+}\Phi ={\bar {D}}_{-}\Phi =0} 이 존재한다. 이들은 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다. 정칙 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위에 Q 2 = ( G − 1 / 2 ± ) 2 = 0 {\displaystyle Q^{2}=(G_{-1/2}^{\pm })^{2}=0} 이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, G − 1 / 2 ± {\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }} 를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은 h = ± q / 2 {\displaystyle h=\pm q/2} 인 것들, 즉 ( Q = G − 1 / 2 + {\displaystyle Q=G_{-1/2}^{+}} 인 경우) 손지기장 또는 ( Q = G − 1 / 2 − {\displaystyle Q=G_{-1/2}^{-}} 인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환(영어: chiral ring) 및 반손지기환(영어: antichiral ring)이라는 등급 가환환을 이룬다. 비정칙 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.:403 Q A = G ¯ − 1 / 2 + + G − 1 / 2 − {\displaystyle Q_{A}={\bar {G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}} Q B = G ¯ − 1 / 2 + + G − 1 / 2 + {\displaystyle Q_{B}={\bar {G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{+}} 이 경우, A-뒤틀림은 ( h , h ¯ ) = ( − q / 2 , q ¯ / 2 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(-q/2,{\bar {q}}/2)} 인 것들을 남기고 (ac환 영어: ac ring), B-뒤틀림은 ( h , h ¯ ) = ( q / 2 , q ¯ / 2 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(q/2,{\bar {q}}/2)} 인 것들을 남긴다 (cc환 영어: cc ring). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기(영어: (anti)chiral)의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 스펙트럼 흐름(영어: spectral flow)이라고 한다. 스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 η ∈ R {\displaystyle \eta \in \mathbb {R} } 에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, η = 1 / 2 {\displaystyle \eta =1/2} 라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, η = 1 {\displaystyle \eta =1} 이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.:186, (5.35) h ↦ h − η q + c η 2 / 6 {\displaystyle h\mapsto h-\eta q+c\eta ^{2}/6} q ↦ q − c η / 3 {\displaystyle q\mapsto q-c\eta /3} 스펙트럼 흐름 아래 h − 3 2 c q 2 {\displaystyle h-{\frac {3}{2c}}q^{2}} 는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다. ( 2 c h / 3 q ) ↦ ( cosh ⁡ θ sinh ⁡ θ sinh ⁡ θ cosh ⁡ θ ) ( 2 c h / 3 q ) {\displaystyle {\binom {\sqrt {2ch/3}}{q}}\mapsto {\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}{\binom {\sqrt {2ch/3}}{q}}} 여기서 2 c h / 3 d θ = c 3 d η {\displaystyle {\sqrt {2ch/3}}\,d\theta ={\frac {c}{3}}\,d\eta } 이므로, η = 6 h / c ( sinh ⁡ θ ) + 3 q c ( cosh ⁡ θ − 1 ) {\displaystyle \eta ={\sqrt {6h/c}}(\sinh \theta )+{\frac {3q}{c}}(\cosh \theta -1)} 이다. 이에 따라, η = 1 / 2 {\displaystyle \eta =1/2} 일 때 손지기장 h = q / 2 {\displaystyle h=q/2} 은 ( h ′ , q ′ ) = ( c / 24 , q − c / 6 ) {\displaystyle (h',q')=(c/24,q-c/6)} 인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, η = 1 {\displaystyle \eta =1} 인 경우, 손지기장 h = q / 2 {\displaystyle h=q/2} 는 반손지기장 ( h ′ , q ′ ) = ( c / 6 − q / 2 , q − c / 3 ) {\displaystyle (h',q')=(c/6-q/2,q-c/3)} 으로 대응된다. N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티 y = exp ⁡ ( 2 π i z ) {\displaystyle y=\exp(2\pi iz)} y ¯ = exp ⁡ ( − 2 π i z ¯ ) {\displaystyle {\bar {y}}=\exp(-2\pi i{\bar {z}})} q = exp ⁡ ( 2 π i τ ) {\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )} q ¯ = exp ⁡ ( − 2 π i τ ¯ ) {\displaystyle {\bar {q}}=\exp(-2\pi i{\bar {\tau }})} 를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다. Z ( q , q ¯ , y , y ¯ ) = tr NS ⁡ ( q L 0 − c / 24 q ¯ L ¯ 0 − c / 24 y J 0 y ¯ J ¯ 0 ) = ∑ ( h , h ¯ , q , q ¯ ) q h − c / 24 q ¯ h ¯ − c / 24 y j y ¯ j ¯ {\displaystyle Z(q,{\bar {q}},y,{\bar {y}})=\operatorname {tr} _{\operatorname {NS} }\left(q^{L_{0}-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-c/24}y^{J_{0}}{\bar {y}}^{{\bar {J}}_{0}}\right)=\sum _{(h,{\bar {h}},q,{\bar {q}})}q^{h-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {h}}-c/24}y^{j}{\bar {y}}^{\bar {j}}} 이는 모듈러 군의 S변환 S : ( τ , z ) ↦ ( τ ′ , z ′ ) = ( − 1 / τ , z / τ ) {\displaystyle S\colon (\tau ,z)\mapsto (\tau ',z')=(-1/\tau ,z/\tau )} 아래 다음과 같이 변환한다. Z ( τ , z ) = exp ⁡ ( − π i c z 2 / 3 τ ) exp ⁡ ( π i c z ¯ 2 / 3 τ ¯ ) Z ( τ ′ , z ′ ) {\displaystyle Z(\tau ,z)=\exp(-\pi icz^{2}/3\tau )\exp(\pi ic{\bar {z}}^{2}/3{\bar {\tau }})Z(\tau ',z')} 즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다. 이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 ( − 1 ) F = exp ⁡ ( i π ( J 0 − J ¯ 0 ) ) {\displaystyle (-1)^{F}=\exp(i\pi (J_{0}-{\bar {J}}_{0}))} 를 삽입하여, 다음과 같은 타원 종수(楕圓種數, 영어: elliptic genus)를 정의할 수 있다.:(2.1) Z ( τ , z ) = tr R ⁡ ( ( − 1 ) F q L 0 − c / 24 q ¯ L ¯ 0 − c / 24 y J 0 ) {\displaystyle Z(\tau ,z)=\operatorname {tr} _{\operatorname {R} }\left((-1)^{F}q^{L_{0}-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-c/24}y^{J_{0}}\right)} 이는 위튼 지표의 일반화이며, τ {\displaystyle \tau } 및 z {\displaystyle z} 에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.:(2.4), (2.5), (2.6) Z ( τ , z ) = Z ( τ , − z ) = Z ( τ + 1 , z ) {\displaystyle Z(\tau ,z)=Z(\tau ,-z)=Z(\tau +1,z)} Z ( τ , z ) = exp ⁡ ( − π i c z 2 / 3 τ ) Z ( − 1 / τ , z / τ ) {\displaystyle Z(\tau ,z)=\exp(-\pi icz^{2}/3\tau )Z(-1/\tau ,z/\tau )} 따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 c ^ / 2 {\displaystyle {\hat {c}}/2} 의 약한 야코비 형식을 이룬다. 2차원 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 c = 3 {\displaystyle c=3} 을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다. 이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 ψ + {\displaystyle \psi ^{+}} 과 하나의 반손지기 초1차장 ψ − {\displaystyle \psi ^{-}} 를 갖는다. 즉, 손지기환은 Z / ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(2)} 와 동형이다. 이들로부터 정의되는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 대수는 구체적으로 다음과 같다.:240 복소수 보손 ϕ {\displaystyle \phi } 의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 a n {\displaystyle a_{n}} , b n {\displaystyle b_{n}} 이라고 하고, 복소수 페르미온 ψ {\displaystyle \psi } 의 모드 전개를 e r {\displaystyle e_{r}} 라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다. [ a m , a n ] = m 2 δ m + n , 0 , [ b m , b n ] = m 2 δ m + n , 0 , a n ∗ = a − n , b n ∗ = b − n {\displaystyle \displaystyle {[a_{m},a_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_{n}^{*}=b_{-n}} { e r , e s ∗ } = δ r , s , { e r , e s } = 0. {\displaystyle \displaystyle {\{e_{r},e_{s}^{*}\}=\delta _{r,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.}} 그렇다면 다음과 같이 c ^ = 1 {\displaystyle {\hat {c}}=1} N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 대수를 구성할 수 있다. L n = ∑ m : a − m + n a m : + ∑ m : b − m + n b m : + ∑ r ( r + n 2 ) : e r ∗ e n + r : {\displaystyle L_{n}=\sum _{m}:a_{-m+n}a_{m}:+\sum _{m}:b_{-m+n}b_{m}:+\sum _{r}(r+{n \over 2}):e_{r}^{*}e_{n+r}:} J n = ∑ r : e r ∗ e n + r : {\displaystyle J_{n}=\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:} G r + = ∑ ( a − m + i b − m ) ⋅ e r + m {\displaystyle G_{r}^{+}=\sum (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m}} G r − = ∑ ( a r + m − i b r + m ) ⋅ e m ∗ {\displaystyle G_{r}^{-}=\sum (a_{r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}} c ^ < 1 {\displaystyle {\hat {c}}<1} 인 일련의 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다. 단순 리 군 G {\displaystyle G} 및 닫힌 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 가 주어졌으며, rank ⁡ G = rank ⁡ H {\displaystyle \operatorname {rank} G=\operatorname {rank} H} 이며, H {\displaystyle H} 의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 G / H {\displaystyle G/H} 는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 가자마-스즈키 모형(영어: Kazama–Suzuki model)이라는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치(일본어: 風間 洋一)와 스즈키 히사오(일본어: 鈴木 久男)가 도입하였다. 복소수 d {\displaystyle d} 차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 c ^ = c / 3 = d {\displaystyle {\hat {c}}=c/3=d} 인 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 초등각 장론을 이룬다. 임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다. 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다. ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다. ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다. 타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 ( d ≤ 3 {\displaystyle d\leq 3} )의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 진공해를 얻기 위하여 사용된다.:191–192 1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다. 그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다. 2차원 등각 장론 2차원 𝒩=1 초등각 장론 2차원 𝒩=4 초등각 장론 끈 이론 초대칭 최소 모형 (등각 장론) 야코비 형식 Blumenhagen, Ralph; Plauschinn, Erik (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Springer. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105. Zbl 1175.81001.  Warner, Nicholas Philip (1993년 8월). 〈N=2 supersymmetric integrable models and topological field theories〉. E. Gava, K. S. Narain, S. Randjbar-Daemi, E. Sezgin, Q. Shafi. 《High Energy Physics and Cosmology: Proceedings of the 1992 Summer School in High Energy Physics and Cosmology, ICTP, Trieste, Italy, 15 June – 31 July 1992》. ICTP Series in Theoretical Physics (영어) 9. World Scientific. 143쪽. arXiv:hep-th/9301088. 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