대각화 가능 행렬

선형대수학에서 대각화 가능 행렬(對角化可能行列, 영어: diagonalizable matrix)은 적절한 가역 행렬로의 켤레를 취하여 대각 행렬로 만들 수 있는 정사각 행렬이다. 환 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각화 가능 행렬이라고 한다. G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 이 대각 행렬이 되는 가역 행렬 G ∈ Unit ⁡ ( Mat ⁡ ( n ; K ) ) {\displaystyle G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))} 이 존재한다. 환 K {\displaystyle K} 위의 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 에 대하여 M k ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)} 역시 대각화 가능 행렬이다. 증명: 만약 G ∈ Unit ⁡ ( Mat ⁡ ( n ; K ) ) {\displaystyle G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))} 에 대하여 G − 1 M G = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (a_{1},\dotsc ,a_{n})} 가 대각 행렬이라고 하자. 그렇다면, diag ⁡ ( a 1 k , … , a n k ) = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) k = ( G − 1 M G ) k = G − 1 M k G {\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1}^{k},\dotsc ,a_{n}^{k})=\operatorname {diag} (a_{1},\dotsc ,a_{n})^{k}=(G^{-1}MG)^{k}=G^{-1}M^{k}G} 이다. 또한, 만약 추가로 K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체이며 M {\displaystyle M} 이 가역 행렬이라면, 임의의 정수 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 에 대하여 M k ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)} 역시 대각화 가능 행렬이다. 그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. M {\displaystyle M} 은 대각화 가능 행렬이다. M {\displaystyle M} 의 고유 공간들의 차원들의 합이 n {\displaystyle n} 이다. p ( M ) = 0 {\displaystyle p(M)=0} 이 되는 최소차 일계수 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 의 차수가 k {\displaystyle k} 라고 할 때, p {\displaystyle p} 는 k {\displaystyle k} 개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 고유 다항식 χ M ( x ) = det ( x − M ) ∈ K [ x ] {\displaystyle \chi _{M}(x)=\det(x-M)\in K[x]} 은 n {\displaystyle n} 개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다. 이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다. 복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은 n 2 {\displaystyle n^{2}} 차원 아핀 공간 Mat ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )} 의 부분 공간을 이루며, 그 여집합은 영집합이다 (그 르베그 측도가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 반면, 실수체 위에서, 만약 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. 환 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬들의 족 M ⊆ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)} 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 G ∈ Unit ⁡ ( Mat ⁡ ( n ; K ) ) {\displaystyle G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))} 이 존재한다면, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 을 동시 대각화 가능 행렬족(同時對角化可能行列族, 영어: simultaneously diagonalizable family of matrices)이라고 한다. 임의의 M ∈ M {\displaystyle M\in {\mathcal {M}}} 에 대하여, G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 는 대각 행렬이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬들의 족 M ⊆ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:206, §6.5; 207, §6.5, Theorem 3 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 동시 대각화 가능 행렬족이다. M {\displaystyle M} 의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 M , N ∈ M {\displaystyle M,N\in {\mathcal {M}}} 에 대하여 M N = N M {\displaystyle MN=NM} ). 모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 에서, 행렬 ( 0 1 0 0 ) ∈ Mat ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)} 은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다. 다음과 같은 행렬을 생각하자. ( 0 1 − 1 0 ) ∈ Mat ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)} K {\displaystyle K} 가 체일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건은 다음과 같다. K {\displaystyle K} 에서 − 1 {\displaystyle -1} 이 두 개의 제곱근을 갖는다. 즉, 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니며, − 1 {\displaystyle -1} 의 제곱근 i ∈ K {\displaystyle \mathrm {i} \in K} 가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 ± i {\displaystyle \pm \mathrm {i} } 을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약 K {\displaystyle K} 에서 − 1 {\displaystyle -1} 이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2일 경우, − 1 = 1 {\displaystyle -1=1} 은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다. 임의의 환 K {\displaystyle K} 에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자. M = ( 1 2 0 0 3 0 2 − 4 2 ) ∈ Mat ⁡ ( 3 ; K ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;K)} 이는 세 개의 고윳값 λ 1 = 3 , λ 2 = 2 , λ 3 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1} 을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다. 각 고윳값의 고유 벡터는 다음과 같다. v 1 = ( − 1 − 1 2 ) , v 2 = ( 0 0 1 ) , v 3 = ( − 1 0 2 ) {\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}},\quad v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}} 따라서, P = ( v 1 v 2 v 3 ) = ( − 1 0 − 1 − 1 0 0 2 1 2 ) {\displaystyle P={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}} P − 1 = ( 0 − 1 0 2 0 1 − 1 1 0 ) {\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}} 를 정의하면, P − 1 M P = diag ⁡ ( 3 , 2 , 1 ) {\displaystyle P^{-1}MP=\operatorname {diag} (3,2,1)} 이 된다. 삼각행렬 조르당 표준형 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  Anton, H.; Rorres, C. (2000년 2월 22일). 《Elementary Linear Algebra (Applications Version)》 (영어) 8판. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-17052-5.  Hetzel, Andrew J.; Liew, Jay S.; Morrison, Kent E. (2007년 6월). “The probability that a matrix of integers is diagonalizable” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 114 (6): 491–499. JSTOR 27642247. 2015년 12월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 27일에 확인함.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix diagonalization”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Diagonalizable matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.