점과 직선 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 이를 수 있는 가장 가까운 거리를 의미한다. 점에서 직선에 수선의 발을 내릴 때, 그 점과 수선의 발을 이은 선분의 길이와도 같다. 직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. ax + by + c = 0 이 때 a, b, c는 모두 실수 상수이고 a와 b는 동시에 0이 될 수 없다. 이 직선에서 점 (x0, y0)까지의 거리는 다음과 같다.:p.14 | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} 이 때 점 (x0, y0)과 가장 가까운 직선상의 좌표, 즉 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 다음과 같다. x = b ( b x 0 − a y 0 ) − a c a 2 + b 2 ,  y = a ( − b x 0 + a y 0 ) − b c a 2 + b 2 {\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{, }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}} 수직선과 수평선의 경우 위에서 a와 b가 동시에 0이 될 수 없다고 했는데, 이 경우 직선이 정의되지 않기 때문이다. 하지만 a나 b 둘 중 하나만 0이 될 수는 있다. a가 0인 경우 직선의 방정식은 y = −c/b이 되어 수평선의 형태를 띈다. 이 때 점 (x0, y0)로부터의 거리는 단순히 선분의 길이를 재면 되고, 그 결과 |y0 − (−c/b)| = |by0 + c|/|b|로 나타난다. 이와 비슷하게 b만 0인 경우에는 직선이 수직선이 되어 점과 직선 사이의 거리는 |ax0 + c|/|a|가 된다. 방정식이 아니라 두 점 P1 = (x1, y1)과 P2 = (x2, y2)를 지난다고 정의된 직선의 경우를 한 번 살펴보자. 이 경우 점 (x0, y0)과 직선 사이의 거리는 다음과 같다. | ( x 2 − x 1 ) ( y 1 − y 0 ) − ( x 1 − x 0 ) ( y 2 − y 1 ) | ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {|(x_{2}-x_{1})(y_{1}-y_{0})-(x_{1}-x_{0})(y_{2}-y_{1})|}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}} 여기서 분모는 점 P1와 P2 사이의 거리를 나타낸다. 분자는 세 점 (x0, y0), P1, P2가 이루는 삼각형의 넓이의 2배와도 같다. 밑변의 길이가 b, 높이가 h라고 할 때 삼각형의 넓이가 A = 1/2 bh인 것을 생각해보자. 이 때 점과 직선 사이의 거리는 이 식에서 h를 남기고 나머지를 이항한 h = 2A/b과 다름 없다. 이 증명은 a와 b가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다. ax + by + c = 0이 나타내는 직선의 기울기는 −a/b이므로, 그 직선에 수직한 직선의 기울기는 b/a이다. 이 때 점 (x0, y0)을 지나고 기울기가 b/a인 직선이 ax + by + c = 0와 만나는 교점을 (m, n)이라 해보자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다. y 0 − n x 0 − m = b a {\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}} 따라서 a ( y 0 − n ) − b ( x 0 − m ) = 0 {\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0} 이고, 양변을 제곱하면 다음의 식을 얻을 수 있다. a 2 ( y 0 − n ) 2 + b 2 ( x 0 − m ) 2 = 2 a b ( y 0 − n ) ( x 0 − m ) {\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)} 이제 다음을 생각해보자. ( a ( x 0 − m ) + b ( y 0 − n ) ) 2 = a 2 ( x 0 − m ) 2 + 2 a b ( y 0 − n ) ( x 0 − m ) + b 2 ( y 0 − n ) 2 = ( a 2 + b 2 ) ( ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}&=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)\end{aligned}}} 여기에 (m, n)이 ax + by + c = 0 위의 점이기 때문에 다음의 식도 성립한다. ( a ( x 0 − m ) + b ( y 0 − n ) ) 2 = ( a x 0 + b y 0 − a m − b n ) 2 = ( a x 0 + b y 0 + c ) 2 {\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}} 즉 이 둘을 연립하면 아래의 식이 나온다. ( a 2 + b 2 ) ( ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 ) = ( a x 0 + b y 0 + c ) 2 {\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}} 유클리드 거리의 정의에 의해 (m, n)과 (x0, y0)의 거리는 다음과 같이 유도된다. d = ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} 이 증명은 a와 b가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다. 점 P(x0, y0)에서 직선 Ax + By + C = 0에 내린 수선의 발을 R이라 하자. 또 P에서 y축에 평행한 직선을 내려 직선과 만나는 교점을 S라 하자. 직선에서 임의의 점 T를 잡아 우측 그림과 같이 직각삼각형 ∆TVU를 만들자. 이 때 직선의 기울기는 -A/B로 쓸 수 있다. ∆PRS와 ∆TVU는 ∠PSR = ∠TUV인고로 세 내각이 모두 같아 서로 닮음이다. 이에 따라 다음의 공식이 성립한다. | P R ¯ | | P S ¯ | = | T V ¯ | | T U ¯ | {\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}} 점 S의 좌표를 (x0, m)라 할 때 선분 PS, TV, TU의 길이를 고려하면 식은 다음과 같이 쓸 수 있다. | P R ¯ | = | y 0 − m | | B | A 2 + B 2 {\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}} 이 때 S가 놓여있는 직선의 방정식을 알기 때문에 m은 다음과 같이 쓸 수 있다. m = − A x 0 − C B {\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}}} 따라서 최종적으로 다음의 식을 얻는다. | P R ¯ | = | A x 0 + B y 0 + C | A 2 + B 2 {\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}} 점 P(x0, y0)와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리를 구하고 싶다고 해보자. 이 때 직선에서 임의의 점 Q(x1, y1)을 잡고 이를 출발점으로 직선에 수직한 벡터 n=(a, b)을 잡는다. 점 P와 직선 사이의 거리는 Q P → {\displaystyle {\overrightarrow {QP}}} 를 n=(a, b)에 정사영한 길이와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다. d = | Q P → ⋅ n | ‖ n ‖ {\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}} Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})} 이므로 Q P → ⋅ n = a ( x 0 − x 1 ) + b ( y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})} 이다. ‖ n ‖ = a 2 + b 2 {\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} 이므로 식은 다음과 같이 정리할 수 있다. d = | a ( x 0 − x 1 ) + b ( y 0 − y 1 ) | a 2 + b 2 {\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} 이 때 Q(x1, y1)가 놓인 직선의 방정식을 알기 때문에 식은 최종적으로 다음과 같다. d = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.} 꼬인 위치 Larson & Hostetler 2007, p. 452 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFLarsonHostetler2007 (help) Spain 2007 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFSpain2007 (help) Larson & Hostetler 2007, p. 522 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFLarsonHostetler2007 (help) Sunday, Dan. “Lines and Distance of a Point to a Line”. softSurfer. 2021년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 12월 6일에 확인함.  Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples Ballantine & Jerbert 1952 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFBallantineJerbert1952 (help) do not mention this restriction in their article If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles. Ballantine & Jerbert 1952 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFBallantineJerbert1952 (help) Anton 1994, pp. 138-9 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFAnton1994 (help) Anton, Howard (1994), 《Elementary Linear Algebra》 7판, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7  Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), “Distance from a line or plane to a point”, 《American Mathematical Monthly》 59: 242–243, doi:10.2307/2306514  Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), 《Precalculus: A Concise Course》, Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7  Spain, Barry (2007) [1957], 《Analytical Conics》, Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7  Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2013), 《Encyclopedia of Distances》 2판, Springer, 86쪽, ISBN 9783642309588