다발 제르브

미분기하학에서 다발 제르브(영어: bundle gerbe)는 선다발을 일반화시킨 개념이다. U(1) 주다발은 다음과 같이 간주될 수 있다. U(1) 주다발은 (정수 계수) 2차 코호몰로지류이다. (즉, 주다발은 그 천 특성류에 의하여 분류된다.) U(1) 주다발은 어떤 열린 덮개에 대하여, 각 조각 위에 주어진 U ⁡ ( 1 ) = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 인자들로 구성된다. 이 경우, 각 U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 들은 전이 함수들로 짜깁기되며, 이들은 공사슬 조건을 만족시켜야 한다. U(1) 주다발은 주다발의 일종이다. 즉, U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 구조를 갖는 전사 연속 함수이다. 이 세 정의들을 각각 다음과 같이 일반화시킬 수 있으며, 이들은 서로 동치이다. 각 정의에서, 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 자연수 p ∈ N {\displaystyle p\in \mathbb {N} } . 그렇다면, M {\displaystyle M} 위의 ( p − 2 ) {\displaystyle (p-2)} -다발 제르브의 개념을 정의할 수 있다. 0-다발 제르브는 U(1) 선다발과 같다. M {\displaystyle M} 위의 ( p − 2 ) {\displaystyle (p-2)} -다발 제르브는 (정수 계수) p {\displaystyle p} 차 코호몰로지 군의 원소 α ∈ H p ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{p}(M;\mathbb {Z} )} 이다. M {\displaystyle M} 위의 ( p − 2 ) {\displaystyle (p-2)} 차 히친-채터지 제르브(영어: Hitchin–Chatterjee gerbe)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.:218 M {\displaystyle M} 의 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} . 여기서 U i j k ⋯ = U i ∩ U j ∩ U k ∩ ⋯ {\displaystyle U_{ijk\cdots }=U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}\cap \cdots } 로 표기하자. 모든 ı → = i 1 , i 2 , … , i p ∈ I {\displaystyle {\vec {\imath }}=i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{p}\in I} 에 대하여, 전이 함수(영어: transition map) ϕ ı → : U ı → → U ⁡ ( 1 ) = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \phi _{\vec {\imath }}\colon U_{\vec {\imath }}\to \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 이들은 다음 두 조건을 만족하여야 한다. 임의의 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( p ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (p)} 에 대하여, ϕ σ ( ı → ) = { ϕ ı → ( − ) σ = + 1 ϕ ı → − 1 ( − ) σ = − 1 {\displaystyle \phi _{\sigma ({\vec {\imath }})}={\begin{cases}\phi _{\vec {\imath }}&(-)^{\sigma }=+1\\\phi _{\vec {\imath }}^{-1}&(-)^{\sigma }=-1\end{cases}}} (공사슬 조건 영어: cocycle condition) 임의의 i 0 , i 1 , … , i p ∈ I {\displaystyle i_{0},i_{1},\dotsc ,i_{p}\in I} 및 x ∈ U i 0 , … , i p {\displaystyle x\in U_{i_{0},\dotsc ,i_{p}}} 에 대하여, 1 = ϕ i 0 … i p − 1 ( x ) ⋅ ϕ i 1 … i p ( x ) ⋅ ⋯ ⋅ ϕ i p i 1 … i p − 2 ( x ) {\displaystyle 1=\phi _{i_{0}\dotso i_{p-1}}(x)\cdot \phi _{i_{1}\dotso i_{p}}(x)\cdot \dotsb \cdot \phi _{i_{p}i_{1}\dotso i_{p-2}}(x)} 이 정의에서, p = 2 {\displaystyle p=2} 을 잡으면 U(1) 선다발의 정의를 얻는다. 즉, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 U(1) 선다발은 다음과 같은 데이터로 정의된다. M {\displaystyle M} 의 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 모든 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 에 대하여, 전이 함수 ϕ i j : U i j → U ( 1 ) = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \phi _{ij}\colon U_{ij}\to U(1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. 모든 i , j , k ∈ I {\displaystyle i,j,k\in I} 에 대하여, ϕ j i = ϕ i j − 1 {\displaystyle \phi _{ji}=\phi _{ij}^{-1}} (공사슬 조건) ϕ i j ϕ j k ϕ k i | U i j k = 1 {\displaystyle \phi _{ij}\phi _{jk}\phi _{ki}|_{U_{ijk}}=1} 물론, 선다발의 동치를 적절히 정의하여야 한다. 위 정의는 나이절 히친과 데이비드 소미트라 채터지(영어: David Saumitra Chatterjee, 벵골어: সৌমিত্র চ্যাটার্জী)가 사용한 정의다. 마이클 머리가 사용한 정의는 더 일반적이며, 히친이 정의한 제르브는 머리가 정의한 국소 다발 제르브(영어: local bundle gerbe)에 대응한다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 다발 제르브는 다음과 같은 데이터로 주어진다.:Definition 4.1 전사 함수 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} U(1) 주다발 L ↠ E × M E {\displaystyle L\twoheadrightarrow E\times _{M}E} . U(1) 주다발의 동형 사상 μ : π 12 ∗ L ⊗ π 23 ∗ L → π 13 ∗ L {\displaystyle \mu \colon \pi _{12}^{*}L\otimes \pi _{23}^{*}L\to \pi _{13}^{*}L} . 여기서 π 12 , π 23 , π 13 : E × M E × M E → E × M E {\displaystyle \pi _{12},\pi _{23},\pi _{13}\colon E\times _{M}E\times _{M}E\to E\times _{M}E} 는 성분별 사영 사상이다. E × M E × M E π 12 ↓ π 23 ↓ π 23 ↓ π 13 E × M E π 1 ↓ ↓ π 2 E ↓ M {\displaystyle {\begin{matrix}E\times _{M}E\times _{M}E\\\scriptstyle {\pi _{12}}\downarrow \;\scriptstyle {\color {White}\pi _{23}}\downarrow \scriptstyle {\pi _{23}}\;\downarrow \scriptstyle {\pi _{13}}\\E\times _{M}E\\\scriptstyle {\pi _{1}}\downarrow \quad \downarrow \scriptstyle {\pi _{2}}\\E\\\downarrow \\M\end{matrix}}} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. (결합 법칙) μ ∘ μ 123 = μ ∘ μ 234 {\displaystyle \mu \circ \mu _{123}=\mu \circ \mu _{234}} . 여기서 μ 123 , μ 234 : E × M E × M E × M E → E × M E × M E {\displaystyle \mu _{123},\mu _{234}\colon E\times _{M}E\times _{M}E\times _{M}E\to E\times _{M}E\times _{M}E} 는 (1,2,3) 또는 (2,3,4)번째 성분에 μ {\displaystyle \mu } 를 작용시킨 것이다. U(1) 주다발을 나타내는 0차 히친-채터지 제르브 ( U i , ϕ i j ) i , j ∈ I {\displaystyle (U_{i},\phi _{ij})_{i,j\in I}} 위의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다. A i ∈ Ω 1 ( U i ; R ) {\displaystyle A_{i}\in \Omega ^{1}(U_{i};\mathbb {R} )} α i j ∈ Ω 0 ( U i j ; R ) {\displaystyle \alpha _{ij}\in \Omega ^{0}(U_{ij};\mathbb {R} )} 이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다. A j ( x ) − A i ( x ) = − i d ln ⁡ ϕ i j ( x ) ( x ∈ U i j ) {\displaystyle A_{j}(x)-A_{i}(x)=-\mathrm {i} \,\mathrm {d} \ln \phi _{ij}(x)\qquad (x\in U_{ij})} 이 경우, d A i {\displaystyle \mathrm {d} A_{i}} 를 이어붙여 F = d A i {\displaystyle F=\mathrm {d} A_{i}} 를 정의할 수 있으며, [ F ] / 2 π {\displaystyle [F]/2\pi } 는 U(1) 주다발의 천 특성류와 같다. [ F ] / 2 π = c 1 ⁡ ( L ) {\displaystyle [F]/2\pi =\operatorname {c} _{1}(L)} 마찬가지로, 1차 히친-채터지 제르브 ( U i , ϕ i j k ) i , j , k ∈ I {\displaystyle (U_{i},\phi _{ijk})_{i,j,k\in I}} 위의 접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다. B i ∈ Ω 2 ( U i ; R ) {\displaystyle B_{i}\in \Omega ^{2}(U_{i};\mathbb {R} )} A i j ∈ Ω 1 ( U i j ; R ) {\displaystyle A_{ij}\in \Omega ^{1}(U_{ij};\mathbb {R} )} 이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.:219 B j ( x ) − B i ( x ) = d A i j ( x ) ( x ∈ U i j ) {\displaystyle B_{j}(x)-B_{i}(x)=\mathrm {d} A_{ij}(x)\qquad (x\in U_{ij})} A i j ( x ) + A j k ( x ) + A k i ( x ) = − i d ln ⁡ ϕ i j k ( x ) ( x ∈ U i j k ) {\displaystyle A_{ij}(x)+A_{jk}(x)+A_{ki}(x)=-\mathrm {i} \,\mathrm {d} \ln \phi _{ijk}(x)\qquad (x\in U_{ijk})} 이 경우, d A i {\displaystyle \mathrm {d} A_{i}} 들을 이어붙여 F ∈ Ω 2 ( M ; R ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )} F ( x ) = d A i ( x ) ( x ∈ U i ) {\displaystyle F(x)=\mathrm {d} A_{i}(x)\qquad (x\in U_{i})} 를 정의할 수 있으며, 또한 그 코호몰로지류 [ F ] / 2 π ∈ H 3 ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle [F]/2\mathrm {\pi } \in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {R} )} 가 정수 계수인 것을 보일 수 있다. 보다 일반적으로, ( p − 2 ) {\displaystyle (p-2)} 차 히친-채터지 제르브의 경우, 각 U i {\displaystyle U_{i}} 위에는 ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)} 차 히친-채터지 제르브의 접속이 주어져 있다. − 1 {\displaystyle -1} 차 히친-채터지 제르브의 접속 구조는 전이 함수 ϕ i : U i → U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \phi _{i}\colon U_{i}\to \operatorname {U} (1)} 의 자연 로그 − i ln ⁡ ϕ i {\displaystyle -\mathrm {i} \ln \phi _{i}} 이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 0-다발 제르브는 단순히 U(1) 주다발이다. 이 경우 2차 정수 코호몰로지와의 대응 사상은 1차 천 특성류에 의해 주어진다. (−1)-다발 제르브는 함수 M → S 1 {\displaystyle M\to \mathbb {S} ^{1}} 들의 호모토피류 [ f ] ∈ [ M , S 1 ] {\displaystyle [f]\in [M,S^{1}]} 이다.:Example 2.2 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 은 이산군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 분류 공간이므로, 이는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 주다발과 대응한다. 즉, 구체적으로 이는 각 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 에 대하여, 임의의 두 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 에 대하여 “전이 함수”인 정수 n i j ∈ Z {\displaystyle n_{ij}\in \mathbb {Z} } 에 의하여 명시되며, 이는 n j i = − n i j {\displaystyle n_{ji}=-n_{ij}} n i j + n j k + n k i = 0 {\displaystyle n_{ij}+n_{jk}+n_{ki}=0} 을 만족시켜야 한다. 또한, p = 1 {\displaystyle p=1} 을 잡으면 M {\displaystyle M} 의 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 전이 함수 ϕ i : U i → U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \phi _{i}\colon U_{i}\to \operatorname {U} (1)} (공사슬 조건) 임의의 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 및 x ∈ U i ∩ U j {\displaystyle x\in U_{i}\cap U_{j}} 에 대하여, 1 = ϕ i ( x ) ϕ j ( x ) {\displaystyle 1=\phi _{i}(x)\phi _{j}(x)} 즉, 만약 i = j {\displaystyle i=j} 일 경우 ϕ i = 1 {\displaystyle \phi _{i}=1} 이 된다. 이에 따라, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위: 전사 함수 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} U(1) 주다발 L ↠ ∙ {\displaystyle L\twoheadrightarrow \bullet } U(1) 주다발의 동형 사상 μ : π 12 ∗ L ⊗ π 23 ∗ → π 13 ∗ L {\displaystyle \mu \colon \pi _{12}^{*}L\otimes \pi _{23}^{*}\to \pi _{13}^{*}L} . 여기서 π 12 , π 23 , π 13 : ∙ → ? ? {\displaystyle \pi _{12},\pi _{23},\pi _{13}\colon \bullet \to ??} 는 성분별 사영 사상이다. (−2)-다발 제르브는 연속 함수 M → Z {\displaystyle M\to \mathbb {Z} } 이다.:Example 2.1 콤팩트 연결 단일 연결 단순 리 군 G {\displaystyle G} 위에는 자연스러운 1-제르브가 정의되어 있다. 이 경우 항상 H 3 ( G ) ≅ Z {\displaystyle H^{3}(G)\cong \mathbb {Z} } 이고, 이 대응 사상을 디미에-두아디 사상(영어: Dixmier–Douady map)이라고 한다. 이러한 리 군 G {\displaystyle G} 는 디스미에-두아디 사상이 1인 코호몰로지류 B 0 ∈ H 3 ( G ) {\displaystyle B_{0}\in H^{3}(G)} 에 대응하는 다발 제르브를 갖춘다. 3차 코호몰로지류로서, 이는 그 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 구조 상수(structure constant) f : Λ 3 g {\displaystyle f\colon \Lambda ^{3}{\mathfrak {g}}} 의 드람 코호몰로지에 의하여 주어진다. 이러한 1-제르브는 베스-추미노-위튼 모형을 다룰 때 등장하며, 끈 이론의 캘브-라몽 장에 해당한다. 구를 남반구와 북반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분에 정의되는 전이 함수 S 1 × ( − ϵ , ϵ ) → U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times (-\epsilon ,\epsilon )\to \operatorname {U} (1)} 를 통해 구 위의 U(1) 주다발을 정의할 수 있다. 이러한 전이 함수는 정수인 감음수로 분류되며, 이 정수는 U(1) 주다발의 (1차) 천 특성류(의 적분)에 해당한다 ( H 2 ⁡ ( S 2 ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {S} ^{2})\cong \mathbb {Z} } ). 마찬가지로, 3차원 초구를 북반구와 남반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분 위에 정의되는 전이 U(1) 주다발 U ⁡ ( 1 ) ↪ S 2 × ( − ϵ , ϵ ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2}\times (-\epsilon ,\epsilon )} 을 통해 3차원 초구 위의 다발 제르브를 정의할 수 있다. 이러한 전이 U(1) 주다발은 천 특성류의 적분인 정수로 분류되며, 이 정수는 다발 제르브의 디스미에-두아티 코호몰로지류에 해당한다 ( H 3 ⁡ ( S 3 ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(\mathbb {S} ^{3})\cong \mathbb {Z} } ).:Example 4.2 제르브는 미분형식 전기역학을 다룰 때 등장한다. 1차 미분형식 전기역학인 양-밀스 이론(맥스웰 방정식)을 다룰 때 주다발을 사용하는 것처럼, 고차 미분형식 전기역학을 다룰 때는 제르브를 사용하게 된다. 즉, 게이지장은 제르브의 접속을 이루고, 게이지 장세기는 제르브 접속의 곡률이다. 특히, 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장은 제르브로 나타내어진다. 제르브의 일반적인 개념은 알렉산더 그로텐디크의 아이디어들을 발전시켜 장 지로(프랑스어: Jean Giraud, 1936~2007)가 도입하였다. 지로가 지은 이름 "프랑스어: gerbe 제르브[*]"는 짚단을 뜻한다. 이후 장뤼크 브릴린스키(프랑스어: Jean-Luc Brylinski, 1951~)가 제르브를 더 기하학적인 기법으로 정의하였다. 다발 제르브는 마이클 머리(영어: Michael K. 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