카르탕 행렬

수학에서, 카르탕 행렬(Cartan行列, 영어: Cartan matrix)은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다. 정수 성분 정사각 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 카르탕 행렬이라고 한다. 모든 i ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, A i i = 2 {\displaystyle A_{ii}=2} 모든 i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, 만약 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 라면 A i j ≤ 0 {\displaystyle A_{ij}\leq 0} 모든 i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, 만약 A i j = 0 {\displaystyle A_{ij}=0} 이라면 A j i = 0 {\displaystyle A_{ji}=0} 카르탕 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )} 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } V ⁡ ( Γ ) = { 1 , … , n } {\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )=\{1,\dotsc ,n\}} E ⁡ ( Γ ) = { { i , j } : A i j < 0 } {\displaystyle \operatorname {E} (\Gamma )=\{\{i,j\}\colon A_{ij}<0\}} 각 변 { i , j } ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \{i,j\}\in \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여, 양의 정수 순서쌍 ( | A i j | , | A j i | ) {\displaystyle (|A_{ij}|,|A_{ji}|)} 이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다. n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여, 만약 M i j = 0 ∀ i ∈ I , j ∈ { 1 , … , n } ∖ J {\displaystyle M_{ij}=0\;\forall i\in I,\;j\in \{1,\dotsc ,n\}\setminus J} 인 ∅ ≠ I ⊊ { 1 , … , n } {\displaystyle \varnothing \neq I\subsetneq \{1,\dotsc ,n\}} 가 존재하지 않는다면, M {\displaystyle M} 을 분해 불가능 행렬(영어: indecomposable matrix)이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다. 분해 불가능 카르탕 행렬 A {\displaystyle A} 가운데, 다음과 같이 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 대칭화 가능 카르탕 행렬(영어: symmetric Cartan matrix)이라고 한다. A = D S {\displaystyle A=DS} , D , S ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle D,S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )} S i j = S j i {\displaystyle S_{ij}=S_{ji}} D = diag ⁡ ( D 11 , … , D n n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (D_{11},\dotsc ,D_{nn})} 이 경우, 항상 D i j {\displaystyle D_{ij}} 의 대각선 성분을 양의 정수로, S i j {\displaystyle S_{ij}} 의 성분을 유리수로 잡을 수 있다. 증명: 분해 가능 대칭화 가능 카르탕 행렬은 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬들의 직합이므로, 분해 불가능인 경우만 고려하면 족하다. A {\displaystyle A} 가 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬이라고 하고, 그 분해를 A = D S {\displaystyle A=DS} D , S ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle D,S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )} 라고 하자. 이제, 각 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, 2 = A i i = D i S i i {\displaystyle 2=A_{ii}=D_{i}S_{ii}} 이므로 D i i ≠ 0 {\displaystyle D_{ii}\neq 0} 이다. 이제, 각 i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, 만약 A i j ≠ 0 {\displaystyle A_{ij}\neq 0} 이라면, D i / D j = A i j / A j i ∈ Q + {\displaystyle D_{i}/D_{j}=A_{ij}/A_{ji}\in \mathbb {Q} ^{+}} 이다. 분해 불가능 조건에 따라, 이 값들은 ( D 11 , … , D n n ) {\displaystyle (D_{11},\dotsc ,D_{nn})} 의 사영 동치류를 결정하며, 성분의 비가 모두 양의 유리수이므로 이 동치류는 양의 정수 성분의 대표원 D ~ = a D ∈ Mat ⁡ ( n ; Z + ) {\displaystyle {\tilde {D}}=aD\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} ^{+})} a ∈ R × {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{\times }} 을 갖는다. 이 경우 S ~ = a − 1 S {\displaystyle {\tilde {S}}=a^{-1}S} 를 놓으면 A = D ~ S ~ {\displaystyle A={\tilde {D}}{\tilde {S}}} 이다. 또한, S ~ i j = A i j D ~ i i ∈ Q {\displaystyle {\tilde {S}}_{ij}={\frac {A_{ij}}{{\tilde {D}}_{ii}}}\in \mathbb {Q} } 이므로, S ~ ∈ Mat ⁡ ( n ; Q ) {\displaystyle {\tilde {S}}\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Q} )} 이다. 대칭화 가능 카르탕 행렬은 n {\displaystyle n} 개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 A {\displaystyle A} 들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다. 만약 A {\displaystyle A} 의 고윳값이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 유한형 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 단순 리 대수와 일대일 대응한다. 만약 A {\displaystyle A} 의 고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다. 만약 A {\displaystyle A} 의 고윳값이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다. 1×1 카르탕 행렬은 A = ( 2 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}} 밖에 없다. 2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다. A = ( 2 a b 2 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&a\\b&2\end{pmatrix}}} 2×2의 경우, 만약 a , b ≠ 0 {\displaystyle a,b\neq 0} 이라면 항상 A = ( a 0 0 b ) ( 2 / a 1 1 2 / b ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/a&1\\1&2/b\end{pmatrix}}} 으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. A {\displaystyle A} 의 고윳값은 λ ± = 2 ± a b {\displaystyle \lambda _{\pm }=2\pm {\sqrt {ab}}} 이다. 이 경우, 유한형 카르탕 행렬은 ( a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 라고 놓으면) ( a , b ) ∈ { ( 0 , 0 ) , ( − 1 , − 1 ) , ( − 2 , − 1 ) , ( − 3 , − 1 ) } {\displaystyle (a,b)\in \{(0,0),(-1,-1),(-2,-1),(-3,-1)\}} 이다. 이들은 각각 반단순 리 대수 a 1 ⊕ a 1 {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\oplus {\mathfrak {a}}_{1}} , a 2 {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}} , b 2 = c 2 {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{2}={\mathfrak {c}}_{2}} , g 2 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}} 에 대응된다. 아핀 카르탕 행렬은 ( a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 라고 놓으면) ( a , b ) ∈ { ( − 4 , − 1 ) , ( − 2 , − 2 ) } {\displaystyle (a,b)\in \{(-4,-1),(-2,-2)\}} 이다. 이들은 각각 아핀 리 대수 a 1 ( 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}^{(1)}} 및 a 2 ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}^{(2)}} 에 해당한다. 엘리 카르탕의 이름을 땄으나, 이름과 달리 빌헬름 킬링이 최초로 사용하였다. 기본 표현 킬링 형식 “Cartan matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Rowland, Todd. “Cartan matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.