탁월한 가환환

가환대수학과 대수기하학에서 탁월한 가환환(卓越한可換環, 영어: excellent commutative ring)은 차원의 개념이 잘 정의되며(즉, 현수환이며), 완비화가 ‘잘 작동하며’, 거의 모든 점들이 특이점이 아니며 (즉, 특이점의 집합이 닫힌집합이며), 이 성질들이 가환대수학의 주요 연산(국소화, 다항식환, 몫환 등)에 대하여 보존되는 뇌터 가환환이다. 즉, 이러한 가환환은 대수기하학이나 대수적 수론에 등장하는 주요 가환환들과 유사한 성질을 갖는다. 가환환의 임의의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여, 국소환의 잉여류체를 κ ( p ) {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})} 라고 하자. 뇌터 국소 가환환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 에 대하여 다음 조건을 생각하자. (G) 임의의 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 및 κ ( p ) {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})} 의 유한 확대 K / κ ( p ) {\displaystyle K/\kappa ({\mathfrak {p}})} 에 대하여, R ^ ⊗ R K {\displaystyle {\hat {R}}\otimes _{R}K} 는 정칙 국소환이다. 여기서 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 는 R {\displaystyle R} 의 완비 국소환이다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 이 다음 조건들을 만족시킨다면, 탁월한 가환환이라고 한다.:Definition 1.7 임의의 극대 아이디얼 m ∈ Max ⁡ ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (R)} 에 대하여, R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} 이 (G)를 만족시킨다. 임의의 유한 생성 R {\displaystyle R} -가환 결합 대수 A {\displaystyle A} 에 대하여, (C) A {\displaystyle A} 는 현수환이다. (즉, R {\displaystyle R} 는 보편 현수환이다.) (J) A {\displaystyle A} 의 소 아이디얼 가운데, 정칙 국소환을 정의하는 것들의 집합은 Spec ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Spec} A} 속의 열린집합이다. 만약 (C)조건을 생략한다면, 준탁월한 가환환(영어: quasiexcellent commutative ring)이라고 한다. 보다 일반적으로, 탁월한 가환환의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는 국소 뇌터 스킴을 탁월한 스킴(영어: excellent scheme)이라고 한다. 임의의 탁월한 가환환의 소 아이디얼 (스펙트럼의 점) 가운데, 정칙 국소환을 정의하는 것들의 집합은 열린집합이다. 즉, 특이점들의 집합은 닫힌집합이다. 탁월한 가환환 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환환들 역시 탁월한 가환환이다. 곱셈 부분 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여, 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 다항식환 R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]} 임의의 아이디얼 i ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R} 에 대하여, 몫환 R / i {\displaystyle R/{\mathfrak {i}}} 탁월한 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 i ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R} 가 주어졌을 때, 완비화 R ^ = lim ← n → ∞ ⁡ R / i n {\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim _{n\to \infty }R/{\mathfrak {i}}^{n}} 를 취할 수 있다. 이 경우, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 역시 탁월한 가환환이다.:Theorem 1.11 R {\displaystyle R} 의 극대 아이디얼의 수는 유한하다. Q ⊆ R {\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq R} 이다. 다음과 같은 가환환은 탁월한 가환환이다. 자명환 0 {\displaystyle 0} 모든 체 모든 뇌터 완비 국소환 표수가 0인 데데킨트 정역 양의 표수에서는 탁월한 가환환이 아닌 이산 값매김환이 존재한다. 구체적으로, 소수 p {\displaystyle p} 표수 p {\displaystyle p} 의 체 K {\displaystyle K} . 또한 [ K : K p ] = ∞ {\displaystyle [K:K^{p}]=\infty } 라고 하자. ( K p = { a p : a ∈ K } {\displaystyle K^{p}=\{a^{p}\colon a\in K\}} 는 프로베니우스 사상의 치역이다.) 이 경우, R = { ∑ i a i x i ∈ K [ [ x ] ] : [ K p ( a 0 , a 1 , … ) : K p ] < ∞ } ⊊ K [ [ x ] ] {\displaystyle R=\left\{\sum _{i}a_{i}x^{i}\in K[\![x]\!]\colon [K^{p}(a_{0},a_{1},\dots ):K^{p}]<\infty \right\}\subsetneq K[\![x]\!]} 라고 하자. 그렇다면 이는 이산 값매김환이며 따라서 보편 현수환이지만, 탁월한 가환환이 아니다. 탁월한 가환환의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 1965년에 도입하였다. Rotthaus, Christel (1997). “Excellent rings, Henselian rings, and the approximation property”. 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) 27 (1). doi:10.1216/rmjm/1181071964. JSTOR 44238106. MR 1453106. Zbl 0881.13009.  “Excellent ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.