대칭 모노이드 범주

범주론에서 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 영어: symmetric monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하고, 동형 사상 아래 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. (교환 법칙이 성립하지 못할 수 있는) 모노이드 범주의 개념의 특수한 경우이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 모노이드 범주 ( C , ⊗ , I , α , λ , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )} 함자 ⊗ : C × C → C , ( X , Y ) ↦ X ⊗ Y {\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}},\;(X,Y)\mapsto X\otimes Y} , ⊗ ∘ σ C , C : C × C → C , ( X , Y ) ↦ Y ⊗ X {\displaystyle \otimes \circ \sigma _{{\mathcal {C}},{\mathcal {C}}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}},\;(X,Y)\mapsto Y\otimes X} 사이의 자연 동형 σ : ⊗ ⇒ ⊗ ∘ σ C , C {\displaystyle \sigma \colon \otimes \Rightarrow \otimes \circ \sigma _{{\mathcal {C}},{\mathcal {C}}}} . 여기서 σ C , C : C × C → C × C {\displaystyle \sigma _{{\mathcal {C}},{\mathcal {C}}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} , ( X , Y ) ↦ ( Y , X ) {\displaystyle (X,Y)\mapsto (Y,X)} 는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다. 이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자. (결합자와의 호환) 임의의 대상 X , Y , Z ∈ C {\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, α Y , Z , X ∘ σ X , Y ⊗ Z ∘ α X , Y , Z = ( id Y ⊗ σ X , Z ) ∘ α Y , X , Z ∘ ( σ X , Y ⊗ id Z ) {\displaystyle \alpha _{Y,Z,X}\circ \sigma _{X,Y\otimes Z}\circ \alpha _{X,Y,Z}=(\operatorname {id} _{Y}\otimes \sigma _{X,Z})\circ \alpha _{Y,X,Z}\circ (\sigma _{X,Y}\otimes \operatorname {id} _{Z})} . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. ( X ⊗ Y ) ⊗ Z → σ ( Y ⊗ X ) ⊗ Z α ↓ ↓ α X ⊗ ( Y ⊗ Z ) Y ⊗ ( X ⊗ Z ) σ ↓ ↓ σ ( Y ⊗ Z ) ⊗ X → α Y ⊗ ( Z ⊗ X ) {\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes Y)\otimes Z&{\xrightarrow {\sigma }}&(Y\otimes X)\otimes Z\\{\scriptstyle \alpha }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \alpha \\X\otimes (Y\otimes Z)&&Y\otimes (X\otimes Z)\\{\scriptstyle \sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \sigma \\(Y\otimes Z)\otimes X&{\xrightarrow[{\alpha }]{}}&Y\otimes (Z\otimes X)\\\end{matrix}}} (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 X , Y , Z ∈ C {\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, α Z , X , Y − 1 ∘ σ X ⊗ Y , Z ∘ α X , Y , Z − 1 = ( σ X , Z ⊗ id Y ) ∘ α X , Z , Y − 1 ∘ ( id X ⊗ σ Y , Z ) {\displaystyle \alpha _{Z,X,Y}^{-1}\circ \sigma _{X\otimes Y,Z}\circ \alpha _{X,Y,Z}^{-1}=(\sigma _{X,Z}\otimes \operatorname {id} _{Y})\circ \alpha _{X,Z,Y}^{-1}\circ (\operatorname {id} _{X}\otimes \sigma _{Y,Z})} . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. X ⊗ ( Y ⊗ Z ) → σ X ⊗ ( Z ⊗ Y ) α − 1 ↓ ↓ α − 1 ( X ⊗ Y ) ⊗ Z ( X ⊗ Z ) ⊗ Y σ ↓ ↓ σ Z ⊗ ( X ⊗ Y ) → α − 1 ( Z ⊗ X ) ⊗ Y {\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes (Y\otimes Z)&{\xrightarrow {\sigma }}&X\otimes (Z\otimes Y)\\{\scriptstyle \alpha ^{-1}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \alpha ^{-1}\\(X\otimes Y)\otimes Z&&(X\otimes Z)\otimes Y\\{\scriptstyle \sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \sigma \\Z\otimes (X\otimes Y)&{\xrightarrow[{\alpha ^{-1}}]{}}&(Z\otimes X)\otimes Y\\\end{matrix}}} (멱등성) 임의의 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, id X ⊗ Y = σ Y , X ∘ σ X , Y {\displaystyle \operatorname {id} _{X\otimes Y}=\sigma _{Y,X}\circ \sigma _{X,Y}} . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. X ⊗ Y → σ Y ⊗ X ‖ ↙ σ X ⊗ Y {\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes Y&{\xrightarrow {\sigma }}&Y\otimes X\\\|&\swarrow \scriptstyle \sigma \\X\otimes Y\end{matrix}}} 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 꼬임 모노이드 범주(영어: braided monoidal category)라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 영어: symmetric monoidal category)라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다. 모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다. (항등원과의 호환) 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, ρ X = λ X ∘ σ X , I {\displaystyle \rho _{X}=\lambda _{X}\circ \sigma _{X,I}} . 즉, 다음 그림이 가환한다. X ⊗ I → σ I ⊗ X ρ ↓ ↙ λ X {\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes I&{\xrightarrow {\sigma }}&I\otimes X\\{\scriptstyle \rho }\downarrow &\swarrow \scriptstyle \lambda \\X\end{matrix}}} (끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(영어: Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(영어: co-Cartesian monoidal category)라고 한다. 손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다. 꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(프랑스어: André Joyal, 1943~)와 로스 하워드 스트리트(영어: Ross Howard Street)가 도입하였다. Kelly, Gregory Maxwell (1964년 12월). “On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc.”. 《Journal of Algebra》 (영어) 1 (4): 397–402. doi:10.1016/0021-8693(64)90018-3. ISSN 0021-8693.  Mac Lane, Saunders (1963). “Natural associativity and commutativity”. 《Rice University Studies》 (영어) 49 (4): 28–46. ISSN 0035-4996. Zbl 0244.18008.  Joyal, André; Street, Ross (1986년 11월). 《Braided monoidal categories》 (PDF). Macquarie Mathematics Reports (영어). 860081. 매쿼리 대학교.  Joyal, André; Street, Ross (1993년 11월). “Braided tensor categories”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 102 (1): 20–78. doi:10.1006/aima.1993.1055. ISSN 0001-8708.  “Closed monoidal category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Braided category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Symmetric monoidal category”. 《nLab》 (영어).  “Symmetric monoidal functor”. 《nLab》 (영어).  “Coherence theorem for symmetric monoidal categories”. 《nLab》 (영어).  “Braided monoidal category”. 《nLab》 (영어).  “Braided monoidal functor”. 《nLab》 (영어).  “Coherence theorem for braided monoidal categories”. 《nLab》 (영어).