시프트 행렬

선형대수학에서 시프트 행렬(영어: shift matrix)은 초대각선 또는 준대각선의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 상시프트 행렬(영어: upper shift matrix) U n ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle U_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)} 및 하시프트 행렬 L n ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle L_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)} 은 다음과 같이 정의된다. ( U n ) i j = δ i + 1 , j = { 1 j = i + 1 0 j ≠ i + 1 ∀ i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle (U_{n})_{ij}=\delta _{i+1,j}={\begin{cases}1&j=i+1\\0&j\neq i+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}} ( L n ) i j = δ i , j + 1 = { 1 i = j + 1 0 i ≠ j + 1 ∀ i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle (L_{n})_{ij}=\delta _{i,j+1}={\begin{cases}1&i=j+1\\0&i\neq j+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}} 여기서 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 는 크로네커 델타이다. 예를 들어, 5 × 5 {\displaystyle 5\times 5} 상시프트 행렬 U 5 {\displaystyle U_{5}} 및 하시프트 행렬 L 5 {\displaystyle L_{5}} 는 다음과 같다. U 5 = ( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) , L 5 = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ) {\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},\;L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}} 체 K {\displaystyle K} 위의 m × m {\displaystyle m\times m} 상·하시프트 행렬 U m , L m ∈ Mat ⁡ ( m ; K ) {\displaystyle U_{m},L_{m}\in \operatorname {Mat} (m;K)} 의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다. U m ⋅ : Mat ⁡ ( m , n ; K ) → Mat ⁡ ( m , n ; K ) {\displaystyle U_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)} U m ⋅ : ( x 1 x 2 ⋮ x n − 1 x n ) ↦ ( x 2 x 3 ⋮ x n 0 1 × n ) ∀ x 1 , … , x n ∈ Mat ⁡ ( 1 , n ; K ) {\displaystyle U_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\\0_{1\times n}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)} L m ⋅ : Mat ⁡ ( m , n ; K ) → Mat ⁡ ( m , n ; K ) {\displaystyle L_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)} L m ⋅ : ( x 1 x 2 ⋮ x n − 1 x n ) ↦ ( 0 1 × n x 1 ⋮ x n − 2 x n − 1 ) ∀ x 1 , … , x n ∈ Mat ⁡ ( 1 , n ; K ) {\displaystyle L_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0_{1\times n}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)} 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 상·하시프트 행렬 U n , L n ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle U_{n},L_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다. ⋅ U n : Mat ⁡ ( m , n ; K ) → Mat ⁡ ( m , n ; K ) {\displaystyle \cdot U_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)} ⋅ U n : ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n ) ↦ ( 0 m × 1 x 1 ⋯ x n − 2 x n − 1 ) ∀ x 1 , … , x n ∈ Mat ⁡ ( m , 1 ; K ) {\displaystyle \cdot U_{n}\colon {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n-1}&x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0_{m\times 1}&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)} ⋅ L n : Mat ⁡ ( m , n ; K ) → Mat ⁡ ( m , n ; K ) {\displaystyle \cdot L_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)} ⋅ L n : ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n ) ↦ ( x 2 x 3 ⋯ x n 0 m × 1 ) ∀ x 1 , … , x n ∈ Mat ⁡ ( m , 1 ; K ) {\displaystyle \cdot L_{n}\colon {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n-1}&x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0_{m\times 1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)} 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 U n , L n ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle U_{n},L_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)} 은 n {\displaystyle n} 을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다. U n n = 0 n × n {\displaystyle U_{n}^{n}=0_{n\times n}} L n n = 0 n × n {\displaystyle L_{n}^{n}=0_{n\times n}} U n n − 1 = E 1 n = ( δ i , 1 δ j , n ) i , j = 1 n {\displaystyle U_{n}^{n-1}=E_{1n}=(\delta _{i,1}\delta _{j,n})_{i,j=1}^{n}} L n n − 1 = E n 1 = ( δ i , n δ j , 1 ) i , j = 1 n {\displaystyle L_{n}^{n-1}=E_{n1}=(\delta _{i,n}\delta _{j,1})_{i,j=1}^{n}} 행렬 M = ( 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}} 이 주어졌다면, U 5 M = ( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ) = ( 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle U_{5}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}} L 5 M = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ) = ( 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 ) {\displaystyle L_{5}M={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}}} M U 5 = ( 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ) ( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) = ( 0 1 1 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 2 0 1 2 2 2 0 1 1 1 1 ) {\displaystyle MU_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&2\\0&1&2&2&2\\0&1&1&1&1\end{pmatrix}}} M L 5 = ( 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ) ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ) = ( 1 1 1 1 0 2 2 2 1 0 2 3 2 1 0 2 2 2 1 0 1 1 1 1 0 ) {\displaystyle ML_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}} 이다. 밴드 행렬