8차원 회전군

리 군론에서 8차원 회전군(八次元回轉群, 영어: eight-dimensional rotation group)은 8차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 삼중성(영어: triality)이라는 특별한 대칭을 갖는다. 8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군 O ⁡ ( 8 ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (8;\mathbb {R} )} 이다. 그 딘킨 도표는 ∙ − ∙ ⟨ ∙ ∙ {\displaystyle \bullet -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }} 이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군 Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 대칭을 갖는데, 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다. 그 복소수 리 대수 o ( 8 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(8;\mathbb {C} )} 은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음이 있다. Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다. Spin(8)의 군의 중심은 클라인 4원군 Z ⁡ ( Spin ⁡ ( 8 ) ) ≅ Cyc ⁡ ( 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\cong \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)} 이며, 이는 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위의 2차원 벡터 공간 F 2 ⊕ 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{\oplus 2}} 의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군은 Aut ⁡ ( Z ⁡ ( Spin ⁡ ( 8 ) ) ) ≅ GL ⁡ ( 2 ; F 2 ) ≅ Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Aut} \left(\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\right)\cong \operatorname {GL} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)} 이다. 구체적으로, F 2 ⊕ 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{\oplus 2}} 는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, 자기 동형군은 이 위의 순열로서 작용한다. 특수 직교군 SO ⁡ ( 8 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )} 에서, 이 중심군은 Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)} 로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 스피너가 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다. 물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군 PSO ⁡ ( 8 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (8;\mathbb {R} )} 을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다. SO + ⁡ ( 4 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,4)} 의 군의 중심은 Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)} 이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은 SO ⁡ ( 4 ) × SO ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4)\times \operatorname {SO} (4)} 이므로, 그 기본군은 Cyc ⁡ ( 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)} 이다. 다시 말해, SO + ⁡ ( 4 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,4)} 의 범피복군의 군의 중심은 Cyc ⁡ ( 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( 2 ) ≅ F 2 ⊕ 3 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\cong \mathbb {F} _{2}^{\oplus 3}} 이다. 그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군 GL ⁡ ( 3 ; F 2 ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; F 7 ) {\displaystyle \operatorname {GL} (3;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})} 이며, 삼중성은 그 위에 작용한다. Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다. Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다. SO ⁡ ( 3 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (3,5)} 의 범피복군의 군의 중심은 마찬가지로 Cyc ⁡ ( 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)} 이다. 실수 리 대수 o ( 2 , 6 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,6)} 은 o ∗ ( 8 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(8)} 과 일치한다. 이에 대응하는 리 군의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간의 등각군으로 해석될 수 있다. 동형 사상 o ( 2 , 6 ) ≅ o ∗ ( 8 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,6)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(8)} 은 6차원 회전군의 동형 사상 s u ( 1 , 3 ) ≅ o ∗ ( 6 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)} 을 확장시킨다. 실수 리 대수 o ( 1 , 7 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,7)} 은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간의 등각군으로 해석될 수 있다. 클리퍼드 대수 G₂ Adams, John Frank (1981). 〈Spin(8), Triality, F4 and all that〉. Hawking, Stephen; Roček, Martin. 《Superspace and supergravity》 (영어). Cambridge University Press. 435–445쪽.  “Triality”. 《nLab》 (영어).  “Triality of Spin(8)”. 《Math Overflow》 (영어).  Distler, Jacques (2012년 1월 27일). “G2 and Spin(8) Triality”. 《Musings》 (영어).