이차 형식

수론과 선형대수학에서 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 Q : V → K {\displaystyle Q\colon V\to K} 이다.:244:54, (3.15) (동차성) 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 및 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, Q ( a v ) = a 2 Q ( v ) {\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v)} (쌍선형성) 함수 B : V × V → K {\displaystyle B\colon V\times V\to K} , ( u , v ) ↦ Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) {\displaystyle (u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)} 를 정의하면, B {\displaystyle B} 는 V {\displaystyle V} 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 u , v , w ∈ V {\displaystyle u,v,w\in V} 에 대하여, Q ( u + v + w ) − Q ( u + w ) − Q ( v + w ) − Q ( u + v ) + Q ( u ) + Q ( v ) + Q ( w ) = 0 {\displaystyle Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0} 임의의 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} 및 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} 에 대하여, Q ( a u + b v ) − a 2 Q ( u ) − b 2 Q ( v ) − a b ( Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) ) = 0 {\displaystyle Q(au+bv)-a^{2}Q(u)-b^{2}Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0} 이 경우, B {\displaystyle B} 를 Q {\displaystyle Q} 의 연관 쌍선형 형식(영어: associated bilinear form)이라고 한다.:54 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 char ⁡ K = 2 {\displaystyle \operatorname {char} K=2} 라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.:54 흔히 다루어지는 경우는 K {\displaystyle K} 는 체이거나 대수적 정수환이며, V {\displaystyle V} 는 자유 가군인 경우다. 같은 가환환 K {\displaystyle K} 위에 두 가군 V {\displaystyle V} , V ′ {\displaystyle V'} 이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 Q {\displaystyle Q} , Q ′ {\displaystyle Q'} 이 존재한다고 하자. Q {\displaystyle Q} 와 Q ′ {\displaystyle Q'} 사이의 동치(영어: equivalence) i {\displaystyle i} 는 다음 조건을 만족시키는 함수 i : V → V ′ {\displaystyle i\colon V\to V'} 이다. i : V → V ′ {\displaystyle i\colon V\to V'} 는 가군의 동형이다. Q ′ ∘ i = Q {\displaystyle Q'\circ i=Q} 이다. 두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 Q {\displaystyle Q} 의 연관 쌍선형 형식이 B {\displaystyle B} 라고 하자. Q {\displaystyle Q} 의 등방성 벡터(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 Q ( v ) = 0 {\displaystyle Q(v)=0} 인 원소 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 이다.:58, §3.4.7 Q {\displaystyle Q} 의 근기(영어: radical) rad ⁡ Q {\displaystyle \operatorname {rad} Q} 는 B {\displaystyle B} 의 근기 rad ⁡ B = { v ∈ V : ∀ u ∈ V : B ( u , v ) = 0 } = { v ∈ V : ∀ u ∈ V : Q ( u + v ) = Q ( u ) + Q ( v ) } {\displaystyle \operatorname {rad} B=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\}} 에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.:58, §3.4.7 rad ⁡ Q = { v ∈ rad ⁡ B : Q ( v ) = 0 } = { v ∈ V : ∀ u ∈ V : Q ( u + v ) = Q ( u ) } {\displaystyle \operatorname {rad} Q=\{v\in \operatorname {rad} B\colon Q(v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)\}} 이는 V {\displaystyle V} 의 부분 가군이자 rad ⁡ B {\displaystyle \operatorname {rad} B} 의 부분 가군이다. 이는 임의의 u , v ∈ rad ⁡ B {\displaystyle u,v\in \operatorname {rad} B} 에 대하여 Q ( u + v ) = Q ( u ) + Q ( v ) + B ( u , v ) = Q ( u ) + Q ( v ) {\displaystyle Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)} 이기 때문이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 비퇴화 이차 형식이라고 한다.:59–60, §2.3 연관 대칭 쌍선형 형식 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) {\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)} 이 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, B {\displaystyle B} 로부터 정의되는 사상 V → hom R ⁡ ( V , K ) {\displaystyle V\to \hom _{R}(V,K)} , u ↦ B ( u , − ) {\displaystyle u\mapsto B(u,-)} 이 가군의 동형 사상이다. K {\displaystyle K} 가 체이고, V {\displaystyle V} 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 rad ⁡ Q ⊆ rad ⁡ B {\displaystyle \operatorname {rad} Q\subseteq \operatorname {rad} B} 의 여차원은 0 또는 1이다. 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니라면, 항상 rad ⁡ Q = rad ⁡ B {\displaystyle \operatorname {rad} Q=\operatorname {rad} B} 이다. 즉, 여차원이 1인 경우는 char ⁡ K = 2 {\displaystyle \operatorname {char} K=2} 인 경우에만 가능하다. 만약 Q {\displaystyle Q} 의 근기가 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 이라면, Q {\displaystyle Q} 를 비특이 이차 형식(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다.:58, §3.4.7 만약 Q {\displaystyle Q} 의 연관 쌍선형 형식 B {\displaystyle B} 가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, B {\displaystyle B} 의 근기가 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 이라면), Q {\displaystyle Q} 를 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.:58, §3.4.7 만약 char ⁡ K ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2} 라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, char ⁡ K = 2 {\displaystyle \operatorname {char} K=2} 일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. 이 경우는 dim K ⁡ rad ⁡ B = 1 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {rad} B=1} dim K ⁡ rad ⁡ Q = 0 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {rad} Q=0} 인 경우이다. 순서체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다. 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 v ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle v\in V\setminus \{0\}} 에 대하여, Q ( v ) > 0 {\displaystyle Q(v)>0} 이다. 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 v ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle v\in V\setminus \{0\}} 에 대하여, Q ( v ) < 0 {\displaystyle Q(v)<0} 이다. 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, Q ( v ) ≥ 0 {\displaystyle Q(v)\geq 0} 이다. 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, Q ( v ) ≤ 0 {\displaystyle Q(v)\leq 0} 이다. 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 이차 공간(二次空間, 영어: quadratic space) ( M , Q ) {\displaystyle (M,Q)} 은 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 과 그 위의 이차 형식 Q : M → R {\displaystyle Q\colon M\to R} 의 순서쌍이다. R {\displaystyle R} 위의 두 이차 공간 ( M , Q ) {\displaystyle (M,Q)} , ( M ′ , Q ′ ) {\displaystyle (M',Q')} 사이의 사상(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 f : M → M ′ {\displaystyle f\colon M\to M'} 이다. f : M → M ′ {\displaystyle f\colon M\to M'} 은 R {\displaystyle R} -가군의 가군 준동형이다. Q ′ ∘ f = Q {\displaystyle Q'\circ f=Q} 이다. 단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 ι : ( M , Q ) → ( M ′ , Q ′ ) {\displaystyle \iota \colon (M,Q)\to (M',Q')} 이 주어졌을 때, 만약 coker ⁡ ι = M ′ / ι ( M ) {\displaystyle \operatorname {coker} \iota =M'/\iota (M)} 이 자유 가군이라면, ι {\displaystyle \iota } 를 원시 매장(영어: primitive embedding)이라고 한다. 임의의 표수의 체 K {\displaystyle K} 위의 이차 공간 ( V 1 , Q 1 ) {\displaystyle (V_{1},Q_{1})} , ( V 2 , Q 2 ) {\displaystyle (V_{2},Q_{2})} , ( V 3 , Q 3 ) {\displaystyle (V_{3},Q_{3})} 이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 ( V 1 , Q 1 ) ⊕ ( V 3 , Q 3 ) ≅ ( V 2 , Q 2 ) ⊕ ( V 3 , Q 3 ) {\displaystyle (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{3},Q_{3})\cong (V_{2},Q_{2})\oplus (V_{3},Q_{3})} 이라면, ( V 1 , Q 1 ) ≅ ( V 2 , Q 2 ) {\displaystyle (V_{1},Q_{1})\cong (V_{2},Q_{2})} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 체일 경우), K {\displaystyle K} -가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식은 V {\displaystyle V} 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 연관 쌍선형 형식 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) {\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)} 이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다. Q ( v ) = 1 2 B ( v , v ) {\displaystyle Q(v)={\frac {1}{2}}B(v,v)} 그러나 만약 K {\displaystyle K} 에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 보다 일반적으로, 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 및 ϵ ∈ { ± 1 } ⊆ K {\displaystyle \epsilon \in \{\pm 1\}\subseteq K} 에 대하여, 2차 순환군 Z / 2 = ⟨ t | t 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \mathbb {Z} /2=\langle t|t^{2}=1\rangle } 이 쌍선형 형식의 공간 hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) {\displaystyle \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)} 위에 다음과 같이 작용한다. ( t ⋅ B ) ( u , v ) = ϵ B ( v , u ) {\displaystyle (t\cdot B)(u,v)=\epsilon B(v,u)} 이에 대하여, hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) {\displaystyle \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)} 는 군환 Z [ Z / 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {Z} /2]} 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 ϵ = + 1 {\displaystyle \epsilon =+1} 이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다. H 0 ⁡ ( Z / 2 ; hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) ) = ( hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) ) Z / 2 = { B ∈ hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) : B ( u , v ) = ϵ B ( v , u ) ∀ u , v ∈ V } {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)^{\mathbb {Z} /2}=\left\{B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\colon B(u,v)=\epsilon B(v,u)\qquad \forall u,v\in V\right\}} 0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다. H 0 ⁡ ( Z / 2 ; hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) ) = ( hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) ) Z / 2 = hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) { B − t ⋅ B : B ∈ hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) } {\displaystyle \operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)_{\mathbb {Z} /2}={\frac {\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)}{\{B-t\cdot B\colon B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\}}}} 만약 ϵ = − 1 {\displaystyle \epsilon =-1} 일 경우, 이는 M {\displaystyle M} 위의 이차 형식의 공간 QForms ⁡ ( M ; K ) {\displaystyle \operatorname {QForms} (M;K)} 과 다음과 같이 동형이다. [ B ( − , − ) ] ↦ ( Q B : ( u ∈ V ) ↦ B ( u , u ) ) {\displaystyle [B(-,-)]\mapsto \left(Q_{B}\colon (u\in V)\mapsto B(u,u)\right)} 다시 말해, 다음과 같은 K {\displaystyle K} -가군의 완전열이 존재한다. 0 → H 0 ⁡ ( Z / 2 ; hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) ) → hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) → 1 − t hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) → H 0 ⁡ ( Z / 2 ; hom K ⁡ ( V ⊗ K V ; K ) ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K){\xrightarrow {1-t}}\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\to \operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to 0} 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 를 정의할 수 있다. 이는 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수이다. 클리퍼드 대수는 표준적인 단사 K {\displaystyle K} -선형 변환 ι 0 : K ↪ Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \iota _{0}\colon K\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} ι 1 : V ↪ Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \iota _{1}\colon V\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 를 갖는다. 이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 BW ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {BW} (K)} 의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 K n = Span K ⁡ { x 1 , … , x n } {\displaystyle K^{n}=\operatorname {Span} _{K}\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 ∑ i = 1 n a i x i 2 ( a 1 , … , a n ∈ K ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n}\in K)} 의 꼴의 이차 형식과 동치라면, Q {\displaystyle Q} 를 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 주어졌을 때, Q = 0 {\displaystyle Q=0} 일 경우 이미 대각화돼 있으므로 Q ≠ 0 {\displaystyle Q\neq 0} 를 가정할 수 있다. 이 경우 Q ( v 1 ) ≠ 0 {\displaystyle Q(v_{1})\neq 0} 인 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 를 고를 수 있으며, 이 경우 V = Span ⁡ { v 1 } ⊕ ( Span ⁡ { v } ) ⊥ {\displaystyle V=\operatorname {Span} \{v_{1}\}\oplus (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }} u = B ( v , v ) v / B ( v , v ) ⏟ Span ⁡ { v } + ( u − B ( u , v ) v / B ( v , v ) ) ⏟ ( Span ⁡ { v } ) ⊥ ∀ u ∈ V {\displaystyle u=\underbrace {B(v,v)v/B(v,v)} _{\operatorname {Span} \{v\}}+\underbrace {\left(u-B(u,v)v/B(v,v)\right)} _{(\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}\qquad \forall u\in V} 이다. 따라서, 마찬가지로 Q ( v ′ ) ≠ 0 {\displaystyle Q(v')\neq 0} 인 v ′ ∈ ( Span ⁡ { v } ) ⊥ {\displaystyle v'\in (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }} 를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다. 비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 이차 공간 ( V , Q ) {\displaystyle (V,Q)} 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다. ( V , Q ) = ( V 0 , 0 ) ⊕ ( V 1 , Q 1 ) ⊕ ( V 2 , Q 2 ) {\displaystyle (V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})} 여기서 각 성분은 다음과 같다. ( V 0 , 0 ) {\displaystyle (V_{0},0)} 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다. ( V 1 , Q 1 ) {\displaystyle (V_{1},Q_{1})} 은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다. ( V 2 , Q 2 ) {\displaystyle (V_{2},Q_{2})} 는 분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, dim K ⁡ V 2 = 2 n {\displaystyle \dim _{K}V_{2}=2n} 는 짝수이며, V 2 {\displaystyle V_{2}} 속에서 Q 2 | W = 0 {\displaystyle Q_{2}|_{W}=0} 인 n {\displaystyle n} 차원 부분 공간 W ⊆ V 2 {\displaystyle W\subseteq V_{2}} 이 존재한다. 이 경우 ( V 1 , Q 1 ) {\displaystyle (V_{1},Q_{1})} 을 ( V , Q ) {\displaystyle (V,Q)} 의 핵심(영어: core)이라고 한다. 또한, dim K ⁡ ( V 1 ⊕ V 2 ) {\displaystyle \dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})} 를 Q {\displaystyle Q} 의 계수(영어: rank)라고 하며, ( dim K ⁡ V 2 ) / 2 {\displaystyle (\dim _{K}V_{2})/2} 를 Q {\displaystyle Q} 의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.:58 비트 정리에 따라, Q | W = 0 {\displaystyle Q|_{W}=0} 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다. 이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다. K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, K {\displaystyle K} 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 K n {\displaystyle K^{n}} 위의 이차 형식은 그 계수 r {\displaystyle r} 에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다. z 1 2 + z 2 2 + ⋯ + z r 2 ( 1 ≤ r ≤ n ) {\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{r}^{2}\qquad (1\leq r\leq n)} 이 경우, 이차 형식은 계수 r {\displaystyle r} 에 의하여 완전히 분류된다. ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, K {\displaystyle K} 가 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.) 유한 차원 실수 벡터 공간 K n {\displaystyle K^{n}} 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 ( s , k ) {\displaystyle (s,k)} 에 따라서 완전히 분류된다 ( 1 ≤ s ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq s\leq k\leq n} ). 즉, 모든 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다. x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x s 2 − x s + 1 2 − ⋯ − x r 2 ( 1 ≤ s ≤ k ≤ n ) {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{s}^{2}-x_{s+1}^{2}-\cdots -x_{r}^{2}\qquad (1\leq s\leq k\leq n)} 구체적으로, n 변수의 K {\displaystyle K} 계수 이차 형식 Q ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle Q(x_{1},\dots ,x_{n})} 은 n × n {\displaystyle n\times n} 대칭 행렬 M {\displaystyle M} 으로 나타낼 수 있다. Q ( x 1 , … , x n ) = ( x 1 ⋯ x n ) M ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle Q(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} Q {\displaystyle Q} 의 부호수(영어: signature) ( n + , n 0 , n − ) {\displaystyle (n_{+},n_{0},n_{-})} 는 M {\displaystyle M} 의 양의 고윳값의 수 n + ∈ N {\displaystyle n_{+}\in \mathbb {N} } , 고윳값 0의 중복도 n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } , 음의 고윳값의 수 n − ∈ N {\displaystyle n_{-}\in \mathbb {N} } 의 순서쌍이다. 물론 n + + n 0 + n − = n {\displaystyle n_{+}+n_{0}+n_{-}=n} 이다. 여기서, n + {\displaystyle n_{+}} 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 ( n + , n 0 , n − ) {\displaystyle (n_{+},n_{0},n_{-})} 는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다. p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다. 하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 K {\displaystyle K} 위의 두 이차 형식 Q {\displaystyle Q} , Q ′ {\displaystyle Q'} 이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다. K {\displaystyle K} 의 완비화인 모든 국소체 k {\displaystyle k} 에 대하여, Q k {\displaystyle Q_{k}} 와 Q k ′ {\displaystyle Q'_{k}} 는 서로 동치이다. 여기서 Q k {\displaystyle Q_{k}} 는 Q {\displaystyle Q} 를 k ⊃ K {\displaystyle k\supset K} 계수로 간주한, k {\displaystyle k} 위의 이차 형식이다. 표수가 2가 아닌 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 위의 벡터 공간 F q n {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}} 위의 이차 형식의 동치류는 총 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다. 이들은 구체적으로 다음과 같다. a ∈ F q {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}} 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자. ∄ b ∈ F q : b 2 = a {\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a} 이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다. Q 1 ( n ) = diag ⁡ ( 1 , … , 1 , 1 ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)} Q 2 ( n ) = diag ⁡ ( 1 , … , 1 , a ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)} 즉, 다음과 같은 꼴이다. Q 1 ( n ) ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} Q 2 ( n ) ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + a x n 2 {\displaystyle Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}} 만약 n {\displaystyle n} 이 홀수라면, Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 는 α Q 1 ( n ) {\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}} 과 동치이다.:69 이 경우 비트 지표는 Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} , Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 둘 다 ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle (n-1)/2} 이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면, Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} 은 α Q 1 ( n ) {\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}} 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.:59 n ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}} 이며 q ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}} 인 경우, Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 이며 Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 {\displaystyle n/2} 이다. n ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}} 이거나 또는 q ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}} 인 경우, Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 {\displaystyle n/2} 이며 Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 이다. 이 경우, 비트 지표가 n / 2 {\displaystyle n/2} 인 경우를 플러스형(영어: plus-type), n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.:59 비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다. diag ⁡ ( 1 , … , 1 , 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)} diag ⁡ ( 1 , … , 1 , a , 0 , … , 0 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)} 홀수 차수 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 q {\displaystyle q} 에 따라 구체적으로 다음과 같다.:37 W ( F q ) ≅ { Z / ( 4 ) q ≡ 3 ( mod 4 ) F 2 [ F q × / ( F q × ) 2 ] q ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}} 이 동형은 구체적으로 다음과 같다. 표수가 2가 아닌 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 위의 벡터 공간 F q n {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}} 위의 이차 형식의 동치류는 총 ⌈ ( 3 n + 1 ) / 2 ⌉ {\displaystyle \lceil (3n+1)/2\rceil } 개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 n {\displaystyle n} 이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.:58–59, §3.4.7 n {\displaystyle n} 이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, n {\displaystyle n} 이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다. 구체적으로, n {\displaystyle n} 이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다. diag ⁡ ( 1 , ( 0 1 0 0 ) , ⋯ , ( 0 1 0 0 ) ) {\displaystyle \operatorname {diag} \left(1,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)} 즉, 다음과 같은 꼴이다. Q ( x ) = x 1 2 + x 2 x 3 + x 4 x 5 + ⋯ + x n − 1 x n {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}x_{3}+x_{4}x_{5}+\cdots +x_{n-1}x_{n}} 이 경우 Q {\displaystyle Q} 의 연관 대칭 쌍선형 형식은 B = diag ⁡ ( 0 , ( 0 1 1 0 ) , ⋯ , ( 0 1 1 0 ) ) {\displaystyle B=\operatorname {diag} \left(0,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\right)} 이다. 즉, rad ⁡ B = Span F q ⁡ { x 1 } {\displaystyle \operatorname {rad} B=\operatorname {Span} _{\mathbb {F} _{q}}\{x_{1}\}} 이다. a ∈ F q {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}} 가 x 2 + x + a = 0 {\displaystyle x^{2}+x+a=0} 의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) n {\displaystyle n} 이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.:58–59, §3.4.7 diag ⁡ ( ( 0 1 0 0 ) , ⋯ , ( 0 1 0 0 ) ) {\displaystyle \operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)} diag ⁡ ( ( a 1 0 1 ) , ( 0 1 0 0 ) , ⋯ , ( 0 1 0 0 ) ) {\displaystyle \operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)} 즉, 각각 다음과 같은 꼴이다. Q + ( x ) = x 1 x 2 + x 3 x 4 + ⋯ + x n − 1 x n {\displaystyle Q_{+}(x)=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{n-1}x_{n}} Q − ( x ) = a x 1 2 + x 2 2 + x 1 x 2 + x 3 x 4 + ⋯ + ⋯ + x n − 1 x n {\displaystyle Q_{-}(x)=ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +\cdots +x_{n-1}x_{n}} 이 경우 Q + {\displaystyle Q_{+}} 를 플러스형(영어: plus-type), Q − {\displaystyle Q_{-}} 를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.:59 Q + {\displaystyle Q_{+}} 의 비트 지표는 n / 2 {\displaystyle n/2} 이며, Q − {\displaystyle Q_{-}} 의 비트 지표는 n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 이다. 비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다. 정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다.:§15.1 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다.:§15.1 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.:§15.1 정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} 위의 두 이차 형식 Q {\displaystyle Q} , Q ′ {\displaystyle Q'} 이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다. Q {\displaystyle Q} 와 Q ′ {\displaystyle Q'} 는 실수 계수 위에서 서로 동치이다. 모든 소수 p = 2 , 3 , 5 , … {\displaystyle p=2,3,5,\dots } 에 대하여, p진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 를 정의한다면, Q {\displaystyle Q} 와 Q ′ {\displaystyle Q'} 는 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 계수 위에서 서로 동치이다. 즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다. 주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식에 의하여 주어진다. 이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다. 임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다. 임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다. 정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(영어: geometry of numbers)이나 코드 이론(영어: coding theory), 암호학 등에 응용된다. 특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} 의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다. 기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 x 2 − n y 2 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}} 을 연구하는 문제이다. 1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다. 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다. 1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다. 헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고, 이를 비롯한 세 편의 논문에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다. 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,:§15.1 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.:§15.1 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다. 삼차 형식 판별식 하세-민코프스키 정리 이차 초곡면 제곱 유군 비트 환 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 이차 형식 Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001.  Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.  Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4.  Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.  Conway, John Horton; Sloane, N. J. A. (1999). 《Sphere packings, lattices and groups》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 290 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. ISBN 0-387-98585-9. ISSN 0072-7830. Zbl 0915.52003.  Sylvester, James Joseph (1852). “A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares” (PDF). 《Philosophical Magazine (series 4)》 (영어) 4 (23): 138–142. doi:10.1080/14786445208647087.  Smith, H. J. Stephen (1867). “On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates”. 《Proceedings of the Royal Society of London》 (영어) 16: 197–208. doi:10.1098/rspl.1867.0036. JFM 01.0054.03. JSTOR 112491.  Minkowski, Hermann (1885). “Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 7: 201–258. doi:10.1007/BF02402203. ISSN 0001-5962. JFM 17.0159.01.  Siegel, Carl Ludwig (1935년 7월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 36 (3): 527–606. doi:10.2307/1968644. JFM 61.0140.01. JSTOR 1968644. Zbl 0012.19703.  Siegel, Carl Ludwig (1936년 1월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen II”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 37 (1): 230–263. doi:10.2307/1968694. JSTOR 1968694.  Siegel, Carl Ludwig (1937년 1월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 38 (1): 212–291. doi:10.2307/1968520. JSTOR 1968520.  Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701.  Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110.  Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997). 《The sensual (quadratic) form》. Carus Mathematical Monographs (영어). The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5. Zbl 0885.11002.  Cassels, J.W.S. (1978). 《Rational quadratic forms》. London Mathematical Society Monographs (영어) 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.  Kitaoka, Yoshiyuki (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 106. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511666155. ISBN 978-052140475-4. MR 1245266. Zbl 0785.11021.  Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). 《Symmetric bilinear forms》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 73. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-88330-9. ISBN 978-3-642-88332-3. MR 0506372. Zbl 0292.10016.  O’Meara, O.T. (2000). 《Introduction to quadratic forms》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 117. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62031-7. ISBN 978-3-540-66564-9. Zbl 0259.10018.  Pfister, Albrecht (2001년 2월). 《Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 106. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526077. ISBN 978-052146755-1. Zbl 0847.11014.  Shimura, Goro (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 106. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4419-1732-4. ISBN 978-1-4419-1731-7. ISSN 1439-7382. MR 2665139. Zbl 1202.11026.  Siegel, Carl Ludwig (1955). “Lectures on quadratic forms” (PDF) (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research. MR 0271028. Zbl 0248.10019.  Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008.  Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). 《The algebraic and geometric theory of quadratic forms》. Colloquium Publications (영어) 56. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4329-1. MR 2427530. Zbl 1165.11042.  今野 拓也 (2006년 7월 10일). “二次形式、局所大域原理、テータ級数” (PDF) (일본어). 규슈 대학.  김명환 (2001년 1월). “이차형식이론 연구의 동향과 전망”. 《Trends in Mathematics》. KAIST.  “Quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Binary quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Quadratic form”. 《nLab》 (영어).  “Quadratic refinement”. 《nLab》 (영어).  “Characteristic element of a bilinear form”. 《nLab》 (영어).  Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form rank”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylvester's signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “p-signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive definite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive semidefinite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Indefinite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이철희. “대칭 겹선형 형식과 이차형식”. 《수학노트》.  이철희. “유리계수 이차형식”. 《수학노트》.  이철희. “정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)”. 《수학노트》.  이철희. “정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)”. 《수학노트》.