코르테버흐-더프리스 방정식

수학에서 코르테버흐-더프리스 방정식(영어: Korteweg–de Vries equation, KdV 방정식)은 옅은 수면파를 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. 적분가능계의 하나다. 코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수 u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} 에 대한 3차 비선형 편미분 방정식이며, 다음과 같다. u t + u x x x = 6 u u x {\displaystyle u_{t}+u_{xxx}=6uu_{x}} 계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실, ( t , x , u ) {\displaystyle (t,x,u)} 에 서로 다른 상수를 곱하여, 코르테버흐-더프리스 방정식의 세 항의 계수들을 각각 임의의 0이 아닌 수로 놓을 수 있다. 다음과 같은 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식을 생각하자. L = 1 2 f x f t + f x 3 − 1 2 f x x 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}f_{x}f_{t}+f_{x}^{3}-{\frac {1}{2}}f_{xx}^{2}} 여기에 u = f x {\displaystyle u=f_{x}} 로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다. 코르테버흐-더프리스 방정식은 변환 x ↦ − x {\displaystyle x\mapsto -x} t ↦ − t {\displaystyle t\mapsto -t} u ↦ u {\displaystyle u\mapsto u} 에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해 u ( t , x ) {\displaystyle u(t,x)} 가 주어졌을 때, u ( − t , − x ) {\displaystyle u(-t,-x)} 역시 코르테버흐-더프리스 방정식의 해이다. 코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 럭스 쌍을 가진다. L = − ∂ x 2 + u {\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u} P = 6 u ∂ x + 3 u x − 4 u x 3 {\displaystyle P=6u\partial _{x}+3u_{x}-4u_{x}^{3}} 즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식 L t = [ P , L ] {\displaystyle L_{t}=[P,L]} 으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 적분가능계임을 알 수 있다. 코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 운동 상수를 갖는다. 구체적으로, 변수 u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} 에 대하여 다음과 같은 다항식들을 생각하자. P n ∈ Z [ u , u x , u x x , … , ∂ n − 1 u ∂ x n − 1 ] {\displaystyle P_{n}\in \mathbb {Z} \left[u,u_{x},u_{xx},\dotsc ,{\frac {\partial ^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}}\right]} P 1 = u {\displaystyle P_{1}=u} P n + 1 = − ∂ ∂ x P n + ∑ i = 1 n − 2 P i P n − 1 − i {\displaystyle P_{n+1}=-{\frac {\partial }{\partial x}}P_{n}+\sum _{i=1}^{n-2}P_{i}P_{n-1-i}} 그렇다면, 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 다음 적분은 코르테버흐-더프리스 방정식의 운동 상수를 이룬다. ∫ − ∞ + ∞ P n ( u , u x , u x x , … ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{n}\left(u,u_{x},u_{xx},\dotsc \right)\,\mathrm {d} x} 다만, 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수일 때 이는 항상 0이다. 그러나 n {\displaystyle n} 이 홀수일 때 이는 0이 아니다. 낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다. 코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이는 u ( t , x ) = u ( x − c t ) ( c ∈ R ) {\displaystyle u(t,x)=u(x-ct)\qquad (c\in \mathbb {R} )} 의 꼴이다. 여기서 c {\displaystyle c} 는 솔리톤의 속도이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로, lim ξ → + ∞ u ( ξ ) = lim ξ → − ∞ u ( ξ ) = 0 {\displaystyle \lim _{\xi \to +\infty }u(\xi )=\lim _{\xi \to -\infty }u(\xi )=0} 이다. 이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 상미분 방정식을 얻는다. (여기서 윗점은 ξ = x − c t {\displaystyle \xi =x-ct} 에 대한 미분이다.) − c u ˙ + u . . . − 6 u u ˙ = 0 {\displaystyle -c{\dot {u}}+{\overset {\mathbf {...} }{u}}-6u{\dot {u}}=0} 양변을 ξ {\displaystyle \xi } 에 대하여 적분하여 2차 상미분 방정식을 얻을 수 있다. − c u + u ¨ − 3 u 2 = A {\displaystyle -cu+{\ddot {u}}-3u^{2}=A} 여기서 A {\displaystyle A} 는 적분 상수이다. 이는 다음과 같은 라그랑지언의 오일러-라그랑주 방정식이다. L ( u , u ˙ ) = 1 2 u ˙ 2 + u 3 + 1 2 c u 2 + A u {\displaystyle L(u,{\dot {u}})={\frac {1}{2}}{\dot {u}}^{2}+u^{3}+{\frac {1}{2}}cu^{2}+Au} 이는 퍼텐셜 V ( u ) = − u 3 − 1 2 c u 2 − A u {\displaystyle V(u)=-u^{3}-{\frac {1}{2}}cu^{2}-Au} 속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 가설 풀이를 만족시키려면, u ( ± ∞ ) = 0 {\displaystyle u(\pm \infty )=0} 이어야 한다. 이는 입자가 퍼텐셜의 국소 극대점에서 ξ = − ∞ {\displaystyle \xi =-\infty } 에서 시작하여, 퍼텐셜의 반대 벽을 기어오른 뒤, 다시 원래 국소 극대점으로 ξ = + ∞ {\displaystyle \xi =+\infty } 에 도달하는 것에 해당한다. 이는 A = 0 {\displaystyle A=0} 이며 c > 0 {\displaystyle c>0} 일 때에만 가능하다. 이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다. u ( x , t ) = − 1 2 c ( cosh ⁡ ( 1 2 c ( x − c t − x 0 ) ) ) − 2 {\displaystyle u(x,t)=-{\frac {1}{2}}c\left(\cosh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {c}}(x-ct-x_{0})\right)\right)^{-2}} 여기서 x 0 {\displaystyle x_{0}} 는 초기 조건 t = 0 {\displaystyle t=0} 에서 솔리톤의 위치이다. 조제프 발랑탱 부시네스크(프랑스어: Joseph Valentin Boussinesq IPA: [ʒɔzɛf valɑ̃tɛ̃ businɛsk])가 1877년에 최초로 발견하였다.:360, 주석 이를 1895년에 연구한 디데릭 요하너스 코르테버흐(네덜란드어: Diederik Johannes Korteweg)와 귀스타브 더프리스(네덜란드어: Gustav de Vries)의 이름을 땄다. 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