천-사이먼스 형식

미분위상수학에서 천-사이먼스 형식([陳]-Simons型式, 영어: Chern–Simons form)은 리 대수 값 미분형식에 대해 곡률 특성 형식(curvature characteristic form)을 자명화시키는 미분형식이다. 이차 특성류 가운데 하나로 볼 수도 있다. 1974년 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다. 특수한 경우로서 G-주다발과 접속이 주어진 홀수 차원 매끄러운 다양체에서 정의하기도 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 차원 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 n {\displaystyle n} 차 불변 다항식 p ∈ Sym ⁡ ( g ∗ ) {\displaystyle p\in \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})} 그렇다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 로 구성되는 베유 대수 W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 를 정의할 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수이다. 또한, 불변 다항식의 공간 inv ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})} 은 자연스럽게 베유 대수의 부분 공간으로 간주될 수 있다. inv ⁡ ( g ) → W ⁡ ( g ) → CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 이제, p ∈ inv ⁡ ( g ) {\displaystyle p\in \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})} 의 원소는 베유 대수 W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 속에서 항상 닫힌 원소이며, 베유 대수의 코호몰로지는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서, d c = p {\displaystyle \mathrm {d} {\mathsf {c}}=p} 가 되는 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 차 원소 c ∈ W 2 n − 1 ⁡ ( g ) {\displaystyle {\mathsf {c}}\in \operatorname {W} ^{2n-1}({\mathfrak {g}})} 를 찾을 수 있다. 이를 p {\displaystyle p} 의 천-사이먼스 원소(영어: Chern–Simons element)라고 한다. 이과 같은 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화된다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 유한 차원 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 1차 미분 형식 A ∈ Ω 1 ( P ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 그렇다면, A {\displaystyle A} 는 가환 미분 등급 대수의 준동형 A : W ⁡ ( g ) → Ω ⁡ ( M ) {\displaystyle {\mathsf {A}}\colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {\Omega } (M)} 과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 기저를 ( t i ) i ∈ I {\displaystyle (t_{i})_{i\in I}} 라고 하고, W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을 ( t i ) i ∈ I ⊆ W ⁡ ( g ) {\displaystyle (t^{i})_{i\in I}\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 라고 할 때, 미분 등급 대수 준동형 A {\displaystyle {\mathsf {A}}} 에 대응하는 1차 미분 형식은 A = t i A ( t i ) ∈ Ω 1 ⁡ ( M ; g ) {\displaystyle A=t_{i}{\mathsf {A}}(t^{i})\in \operatorname {\Omega } ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} 이다. 이에 따라서, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 n {\displaystyle n} 차 불변 다항식 p {\displaystyle p} 에 대한 W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 속의 대수적 천-사이먼스 원소 c ∈ W 2 n − 1 ⁡ ( g ) {\displaystyle {\mathsf {c}}\in \operatorname {W} ^{2n-1}({\mathfrak {g}})} 에 대하여, 그 상 CS ⁡ ( A , p ) = A ( c ) ∈ Ω 2 n − 1 ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {CS} (A,p)={\mathsf {A}}({\mathsf {c}})\in \operatorname {\Omega } ^{2n-1}(M)} 은 M {\displaystyle M} 위의 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 차 미분 형식을 이룬다. 즉, 이는 d CS ⁡ ( A , p ) = p ( A ) {\displaystyle \mathrm {d} \operatorname {CS} (A,p)=p(A)} 를 만족시킨다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} 및 그 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G {\displaystyle G} -주다발 G ↪ P ↠ M {\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M} P {\displaystyle P} 위의 주접속 A ∈ Ω 1 ( P ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 그렇다면, P {\displaystyle P} 의 주접속의 공간은 Ω 1 ⁡ ( M ; g ) {\displaystyle \operatorname {\Omega } ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} 에 대한 아핀 공간이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다. 원점을 고르는 것은 주접속 P {\displaystyle P} 의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 열린 덮개 ( U β ) β ∈ B {\displaystyle (U_{\beta })_{\beta \in B}} 및 미분 동형 U β × G → ( P ↾ U β ) {\displaystyle U_{\beta }\times G\to (P\upharpoonright U_{\beta })} 들을 고르면, 주접속 A {\displaystyle A} 는 덮개의 각 원소 위의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값 1차 미분 형식들의 모임 A ↾ U β ∈ Ω 1 ⁡ ( U ; g ) {\displaystyle A\upharpoonright U_{\beta }\in \operatorname {\Omega } ^{1}(U;{\mathfrak {g}})} 의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 불변 다항식 p ∈ inv ⁡ ( g ) {\displaystyle p\in \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})} 에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여 M {\displaystyle M} 전체에 정의된 미분 형식 ω 2 n − 1 ∈ Ω 2 n − 1 ⁡ ( M ) {\displaystyle \omega _{2n-1}\in \operatorname {\Omega } ^{2n-1}(M)} 을 얻을 수 있다. 이렇게 하여 얻은 미분 형식은 p {\displaystyle p} 가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, 항등 함수와 호모토픽한 게이지 변환 ∈ Aut ⁡ ( P ) = C ∞ ( M , G ) {\displaystyle \in \operatorname {Aut} (P)={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} )에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉, Aut ⁡ ( P ) = C ∞ ( M , G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 의 자명하지 않은 연결 성분)에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다. 다만, 만약 (예를 들어) M {\displaystyle M} 이 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 차원 매끄러운 다양체라면, 그 적분 S CS = ∫ M ω 2 n − 1 ∈ R {\displaystyle S_{\operatorname {CS} }=\int _{M}\omega _{2n-1}\in \mathbb {R} } 을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군 π 0 ( C ∞ ( M , G ) ) {\displaystyle \pi _{0}({\mathcal {C}}^{\infty }(M,G))} 은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약 π 0 ( C ∞ ( M , G ) ) {\displaystyle \pi _{0}({\mathcal {C}}^{\infty }(M,G))} 의 작용이 S CS ↦ S CS + ( Δ S CS ) Z {\displaystyle S_{\operatorname {CS} }\mapsto S_{\operatorname {CS} }+(\Delta S_{\operatorname {CS} })\mathbb {Z} } 의 꼴이라면, 이 경우 exp ⁡ ( 2 π i S CS ) ∈ U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \exp(2\pi \mathrm {i} S_{\operatorname {CS} })\in \operatorname {U} (1)} 는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 천-사이먼스 이론의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 천-사이먼스 이론의 전위(영어: level)의 양자화로 귀결된다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 평탄 주접속 A {\displaystyle A} 의 (임의의 불변 다항식)에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) 닫힌 미분 형식이다. 마찬가지로, n {\displaystyle n} 차 불변 다항식 p {\displaystyle p} 에 대하여, 만약 dim ⁡ M = 2 n − 1 {\displaystyle \dim M=2n-1} 이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 코호몰로지류를 정의한다. 가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다. 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 유한 차원 표현 ρ : g → g l ( N ; R ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(N;\mathbb {R} )} 이 주어졌을 때, p n ( x i ) = tr ⁡ ( ( ∑ i x i ρ ( t i ) ) n ) {\displaystyle p_{n}(x^{i})=\operatorname {tr} \left(\left(\sum _{i}x^{i}\rho (t_{i})\right)^{n}\right)} 는 대각합의 순환성에 의하여 항상 2 n {\displaystyle 2n} 차 불변 다항식이다. 따라서, 이에 대한 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 차 천-사이먼스 형식 ω 2 n − 1 {\displaystyle \omega _{2n-1}} 을 정의할 수 있다. 즉, ω 2 n − 1 = tr ⁡ ( ρ ( F ) n ) {\displaystyle \omega _{2n-1}=\operatorname {tr} (\rho (F)^{n})} 이 된다. 여기서 ρ ( F ) n {\displaystyle \rho (F)^{n}} 이란 ρ {\displaystyle \rho } 를 사용하여 t i A ( δ t i ) = F ∈ Ω 2 ⁡ ( M ; g ) {\displaystyle t_{i}{\mathsf {A}}(\delta t^{i})=F\in \operatorname {\Omega } ^{2}(M;{\mathfrak {g}})} 를 2차 미분 형식의 N × N {\displaystyle N\times N} 정사각 행렬로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 쐐기곱을 합성한 연산에 대한 제곱이다. 만약 g = u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n)} 일 때, ω 1 , ω 3 , … , ω 2 n − 1 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{3},\dotsc ,\omega _{2n-1}} 들은 u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} 의 n {\displaystyle n} 개 불변 다항식에 각각 대응한다. (만약 g = s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)} 일 경우, ω 1 = 0 {\displaystyle \omega _{1}=0} 이 된다.) 이러한 7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다. ω 1 = tr ⁡ A {\displaystyle \omega _{1}=\operatorname {tr} A} ω 3 = tr ⁡ ( F ∧ A − 1 3 A ∧ A ∧ A ) {\displaystyle \omega _{3}=\operatorname {tr} \left(F\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A\right)} ω 5 = tr ⁡ ( F ∧ F ∧ A − 1 2 F ∧ A ∧ A ∧ A + 1 10 A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A ) {\displaystyle \omega _{5}=\operatorname {tr} \left(F\wedge F\wedge A-{\frac {1}{2}}F\wedge A\wedge A\wedge A+{\frac {1}{10}}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right)} ω 7 = tr ⁡ ( 4 7 A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A + 2 d A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A + 8 3 d A ∧ d A ∧ A ∧ A ∧ A + 4 3 d A ∧ A ∧ d A ∧ A ∧ A + d A ∧ d A ∧ d A ∧ A ) {\displaystyle \omega _{7}=\operatorname {tr} \left({\frac {4}{7}}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+{\frac {8}{3}}dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+{\frac {4}{3}}dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right)} 이러한 식에서, ∧ {\displaystyle \wedge } 는 사실 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취하는 것이다. 이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 다음과 같이 대수적으로 모형화될 수 있다. 하나의 등급 1의 생성원 a {\displaystyle {\mathsf {a}}} 로 생성되는 유리수 계수 자유 미분 대수 A = Q ⟨ a , d a ⟩ {\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbb {Q} \langle {\mathsf {a}},\mathrm {d} {\mathsf {a}}\rangle } 를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, 미분 연산 d {\displaystyle \mathrm {d} } 는 멱영 연산이며 a {\displaystyle {\mathsf {a}}} 에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉, d 2 a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathrm {a} =0} d : a p ↦ ( d a ) p − a ( d p ) ∀ p ∈ A {\displaystyle \mathrm {d} \colon {\mathsf {a}}p\mapsto (\mathrm {d} {\mathsf {a}})p-{\mathsf {a}}(\mathrm {d} p)\qquad \forall p\in A} d : ( d a ) p ↦ ( d a ) ( d p ) ∀ p ∈ A {\displaystyle \mathrm {d} \colon (\mathrm {d} {\mathsf {a}})p\mapsto (\mathrm {d} {\mathsf {a}})(\mathrm {d} p)\qquad \forall p\in A} 이다. 이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 부분 벡터 공간을 생각하자. V = Span Q ⁡ { p q − ( − ) deg ⁡ p deg ⁡ q q p : p , q ∈ A } ⊊ A {\displaystyle V=\operatorname {Span} _{\mathbb {Q} }\left\{pq-(-)^{\deg p\deg q}qp\colon p,q\in {\mathcal {A}}\right\}\subsetneq {\mathcal {A}}} (이는 대각합의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 아이디얼이 아니다. 예를 들어, a 2 ∈ V {\displaystyle {\mathsf {a}}^{2}\in V} 이지만 a 3 ∉ V {\displaystyle {\mathsf {a}}^{3}\not \in V} 이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, d w 2 k − 1 − ( d a + a 2 ) k ∈ V {\displaystyle \mathrm {d} {\mathsf {w}}_{2k-1}-(\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})^{k}\in V} 가 되는 원소 w 2 k − 1 ∈ A {\displaystyle {\mathsf {w}}_{2k-1}\in {\mathcal {A}}} 가 존재함을 보일 수 있으며, 그 동치류 w 2 k − 1 + V ∈ A / V {\displaystyle {\mathsf {w}}_{2k-1}+V\in {\mathcal {A}}/V} 는 유일하다. 이것이 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 차 천-사이먼스 형식이 된다. 특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때, a 2 k ∈ V {\displaystyle {\mathsf {a}}^{2k}\in V} 이라는 사실이 자주 사용된다. 이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상 f = d a + a 2 {\displaystyle {\mathsf {f}}=\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2}} 이며, “대각합” tr ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {tr} (-)} 은 A / V {\displaystyle {\mathcal {A}}/V} 로 동치류를 취하는 것이다. 1차 천-사이먼스 형식의 계산: tr ⁡ ( f ) = tr ⁡ ( d a + a 2 ) = tr ⁡ ( d a ) {\displaystyle \operatorname {tr} ({\mathsf {f}})=\operatorname {tr} (\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})=\operatorname {tr} (\mathrm {d} {\mathsf {a}})} 3차 천-사이먼스 형식의 계산: tr ⁡ ( f 2 ) = tr ⁡ ( ( d a + a 2 ) ( d a + a 2 ) ) = tr ⁡ ( d a 2 + 2 ( d a ) a 2 ) = tr ⁡ ( d ( ( d a ) a ) + 2 3 a 3 ) = tr ⁡ d ( ( d a ) a + 2 3 a 3 ) = tr ⁡ d ( f a − 1 3 a 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} ({\mathsf {f}}^{2})&=\operatorname {tr} \left((\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})(\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\mathrm {d} {\mathsf {a}}^{2}+2(\mathrm {d} {\mathsf {a}}){\mathsf {a}}^{2}\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\mathrm {d} ((\mathrm {d} {\mathsf {a}}){\mathsf {a}})+{\frac {2}{3}}{\mathsf {a}}^{3}\right)\\&=\operatorname {tr} \mathrm {d} \left((\mathrm {d} {\mathsf {a}}){\mathsf {a}}+{\frac {2}{3}}{\mathsf {a}}^{3}\right)\\&=\operatorname {tr} \mathrm {d} \left({\mathsf {f}}{\mathsf {a}}-{\frac {1}{3}}{\mathsf {a}}^{3}\right)\end{aligned}}} 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다. 천싱선과 사이먼스는 리만 다양체의 폰트랴긴 특성류를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다. 1978년 러시아 수리물리학자 알베르트 시바르츠는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 위상 양자장론 가운데 하나인 천-사이먼스 이론을 최초로 발견하였다. 이는 3차원 양자중력과도 연결되며 분수 양자 홀 효과를 설명하기도 한다. 또한 양-밀스 이론과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다. 천-베유 준동형 위상 양자장론 존스 다항식 Chern, Shiing-Shen; Simons, James Harris (1974). “Characteristic forms and geometric invariants”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971013. MR 0353327. Zbl 0283.53036 Chern, Shiing-Shen; Simons, James Harris (1974). “Characteristic forms and geometric invariants”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971013. MR 0353327. Zbl 0283.53036.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Schwartz, A. S. (1978). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants”. 《Letters in Mathematical Physics》 (English) 2 (3): 247–252. doi:10.1007/BF00406412. Achúcarro, A.; Townsend, P. (1986). “A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories”. 《Physics Letters B》 (영어) 180: 89. Bibcode:1986PhLB..180...89A. doi:10.1016/0370-2693(86)90140-1. Lopez, Ana; Eduardo Fradkin. “Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect” (영어). Bibcode:1997cond.mat..4055L. “Chern-Simons functional”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Chern-Simons form”. 《nLab》 (영어).