11차원 초중력

이론물리학에서 11차원 초중력(十一次元超重力, 영어: eleven-dimensional supergravity)은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다. 11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 11차원 초중력이라고 한다. 이 이론은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수 o s p ( 1 | 32 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(1|32)} 에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수 o ( 32 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(32)} 이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다. 특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은 δ ϵ ψ M = D M ϵ − 1 12 ⋅ 4 ! F N P Q R ( Γ N P Q R M − 8 δ M N Γ P Q R ) ϵ {\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi _{M}=D_{M}\epsilon -{\frac {1}{12\cdot 4!}}F_{NPQR}(\Gamma ^{NPQR}{}_{M}-8\delta _{M}^{N}\Gamma ^{PQR})\epsilon } 의 꼴이다.:411:(3.10) 여기서 D μ ϵ = ∂ μ + ω μ {\displaystyle D_{\mu }\epsilon =\partial _{\mu }+\omega _{\mu }} 는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다. δ ϵ = 0 {\displaystyle \delta _{\epsilon }=0} 은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다. 11차원 초중력은 중력장 G M N {\displaystyle G_{MN}} 과 마요라나 그래비티노 ψ M {\displaystyle \psi _{M}} , 또 3차 미분형식 게이지장 C M N P {\displaystyle C_{MNP}} 를 포함한다. 이들은 다음과 같다. 11차원 초중력의 작용은 다음과 같다. L = + 1 2 κ 2 e R − 1 2 e ψ ¯ M Γ M N P D N [ 1 2 ( ω − ω ¯ ) ] ψ P + 1 2 ⋅ 4 ! e F M N P Q 2 + 2 κ 16 ⋅ 4 ! e ( ψ ¯ M Γ M N P Q R S ψ S + 12 ψ ¯ N Γ P Q ψ R ) ( F + F ¯ ) N P Q R + 2 κ 4 ! ⋅ 4 ! ⋅ 3 ! ε M 1 … M 11 F M 1 … M 4 F M 5 … M 8 C M 9 M 10 M 11 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {L}}&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{2\cdot 4!}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{16\cdot 4!}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}\\&&+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{4!\cdot 4!\cdot 3!}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}C_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}} 여기서 M , N , … {\displaystyle M,N,\dotsc } 는 11차원 굽은 공간 지표이다. A , B , … {\displaystyle A,B,\dotsc } 는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다. R {\displaystyle R} 는 리치 스칼라이다. e M A {\displaystyle e_{M}^{A}} 은 필바인이며, η A B e M A e N B = G M N {\displaystyle \eta _{AB}e_{M}^{A}e_{N}^{B}=G_{MN}} 이 11차원 계량 텐서이다. e = | det ( e M A ) | = | det g M N | {\displaystyle e=|\det(e_{M}^{A})|={\sqrt {|\det g_{MN}|}}} 은 부피 형식이다. ω {\displaystyle \omega } 는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다. F M N P Q = ∂ [ M C N P Q ] {\displaystyle F_{MNPQ}=\partial _{[M}C_{NPQ]}} 는 C {\displaystyle C} 의 4차 미분 형식 장세기이다. ϵ M 1 … M 11 {\displaystyle \epsilon ^{M_{1}\dotsc M_{11}}} 은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다. κ = 8 π G {\displaystyle \kappa =8\pi G} 는 중력 상수의 8π배이다. 다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는, N ⊕ Z / 2 {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2} 등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.:(3.2) 이 L∞-대수 s u g r a {\displaystyle {\mathfrak {sugra}}} 를 초중력 L∞-대수라고 한다. 이 가운데, ψ {\displaystyle \psi } 와 C 3 {\displaystyle C_{3}} , C 6 {\displaystyle C_{6}} 를 생략하면, 푸앵카레 리 대수 i o ( 10 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {io}}(10,1)} 을 얻는다. 이제, 그 베유 대수(영어: Weil algebra) W ⁡ ( s u g r a ) = ⋁ ( g ∗ ⊕ g [ 1 ] ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})=\bigvee ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])} 를 정의할 수 있다. 이는 N ⊕ Z / 2 {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2} -등급 미분 등급 대수이다. 시공간이 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다. W ⁡ ( s u g r a ) → Ω ( M ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})\to \Omega (M)} 이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다. d W e a {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }e^{a}} (비틀림 텐서) d W C 3 {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}} d W C 6 + 15 ( d W C 3 ) ∧ C 3 {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{6}+15(\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3})\wedge C_{3}} d W ψ {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }\psi } d W ω a b {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }\omega ^{ab}} (리치 곡률 텐서의 일반화) 11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은 이 대상들이 e a {\displaystyle e^{a}} 와 ψ {\displaystyle \psi } 로 생성되는 아이디얼에 속하며, ψ {\displaystyle \psi } 를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 e {\displaystyle e} 만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어, C 3 {\displaystyle C_{3}} 의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 G 4 ∈ Ω 4 ( M ; R ) {\displaystyle G_{4}\in \Omega ^{4}(M;\mathbb {R} )} 이 존재하여야 한다. d W C 3 = ( G 4 ) a b c d e a ∧ e b ∧ e c ∧ e d {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}=(G_{4})_{abcd}e^{a}\wedge e^{b}\wedge e^{c}\wedge e^{d}} 이러한 꼴의 조건을 리오노미(영어: rheonomy)라고 한다. 11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다. 11차원 초중력을 R 10 , 1 = R 3 , 1 × R 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{3,1}\times \mathbb {R} ^{7}} z M = ( x μ , y m ) {\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})} 위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서 G {\displaystyle G} 와 게이지 장 C {\displaystyle C} )은 다음과 같이 분해된다. G M N = ( G μ ν G m μ G m μ G m n ) {\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}} A M N P = ( A m n p , A μ m n , A μ ν m , A μ ν ρ ) {\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)} 이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다. 이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 ( G m n , C m n p ) {\displaystyle (G_{mn},C_{mnp})} 및 ∂ μ ϕ m = ϵ μ ν ρ σ ∂ ν C ρ σ m {\displaystyle \partial _{\mu }\phi _{m}=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma m}} 에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 ϕ m {\displaystyle \phi _{m}} 을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간 E 7 ( 7 ) ⁡ / SU ⁡ ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}/\operatorname {SU} (8)} 의 좌표를 이룬다. 여기서 E 7 ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}} 은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다. 28개의 스칼라장 ( G m , n ) 1 ≤ m , n ≤ 7 {\displaystyle (G_{m,n})_{1\leq m,n\leq 7}} 과 C m n μ {\displaystyle C_{mn\mu }} 를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 ϕ m {\displaystyle \phi _{m}} 을 생각하자. 이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.:(4.4) S = Δ − 3 / 4 ( Δ G m n − ϕ m i ϕ n ϕ n ϕ m − 1 ) ( i , j ∈ { 1 , 2 , … , 7 } ) ∈ SL ⁡ ( 8 ; R ) {\displaystyle S=\Delta ^{-3/4}{\begin{pmatrix}\Delta G^{mn}-\phi ^{m}i\phi ^{n}&\phi ^{n}\\\phi ^{m}&-1\end{pmatrix}}_{}\qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,7\})\in \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )} Δ = | det ( g m n ) 1 ≤ m , n ≤ 7 | {\displaystyle \Delta =|\det(g_{mn})_{1\leq m,n\leq 7}|} 이는 동차 공간 SL ⁡ ( 8 ; R ) / SO ⁡ ( 8 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )} 의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 63 − 28 = 35 {\displaystyle 63-28=35} 차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환 S ↦ M S M − 1 ( M ∈ SO ⁡ ( 8 ; R ) ) {\displaystyle S\mapsto MSM^{-1}\qquad (M\in \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} ))} 을 겪는다. 게이지 변환 가운데 SO ⁡ ( 7 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (7;\mathbb {R} )} 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다. 이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 C m n p {\displaystyle C_{mnp}} 가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다. SL ⁡ ( 8 ; R ) → E 7 ( 7 ) ↑ ↑ SO ⁡ ( 8 ) → SU ⁡ ( 8 ) {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}} SU ⁡ ( 8 ) ∩ SL ⁡ ( 8 ; R ) = SO ⁡ ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (8)\cap \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )=\operatorname {SO} (8)} 이에 따라, S {\displaystyle S} 에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, E 7 ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}} 의 원소로 확장할 수 있다. 다만, E 7 ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}} 의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.:(4.24) 이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의 SL ⁡ ( 8 ; R ) / SO ⁡ ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8)} 대칭에 대하여, 이 보손들은 SL ⁡ ( 8 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )} 및 SO ⁡ ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (8)} 의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 E 7 ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}} 의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 E 7 ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}} 의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다. 28 R ⊕ 28 R → 56 R ↑ ↑ 28 R ⊕ 28 R → 28 C SL ⁡ ( 8 ; R ) → E 7 ( 7 ) ↑ ↑ SO ⁡ ( 8 ) → SU ⁡ ( 8 ) {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {56} _{\mathbb {R} }\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {28} _{\mathbb {C} }\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}} 여기서 SU ⁡ ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (8)} 의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다. 11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다. 4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다. 320 → 28 × ( ( 0 , 1 2 ) ⊕ ( 1 2 , 0 ) ) ⊕ 4 × ( ( 1 , 1 2 ) ⊕ ( 1 2 , 1 ) ) {\displaystyle \mathbf {320} \to 28\times \left((0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)\right)\oplus 4\times \left((1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)\right)} 320 = 28 × 8 + 4 × 24 {\displaystyle 320=28\times 8+4\times 24} 28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다:170, §6 (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.:170, §6 페르미온들은 대역적 대칭 E 7 ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}} 에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 Spin ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)} 의 표현을 이루지만 GL ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {GL} (4)} 의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다. 11차원 초중력을 R 10 , 1 = R 5 , 1 × R 6 {\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{5,1}\times \mathbb {R} ^{6}} z M = ( x μ , y m ) {\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})} 위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 G {\displaystyle G} 와 게이지 장 C {\displaystyle C} )은 다음과 같이 분해된다. G M N = ( G μ ν G m μ G m μ G m n ) {\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}} A M N P = ( A m n p , A μ m n , A μ ν m , A μ ν ρ ) {\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)} 이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다. 이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 ( G m n , C m n p ) {\displaystyle (G_{mn},C_{mnp})} 및 ∂ μ ϕ = ϵ μ ν ρ σ τ ∂ ν C ρ σ τ {\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma \tau }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma \tau }} 에 의하여 정의되는 스칼라장 ϕ {\displaystyle \phi } 를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간 E 6 ( 6 ) ⁡ / USp ⁡ ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{6(6)}/\operatorname {USp} (8)} 의 좌표를 이룬다. 여기서 E 6 ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {E} _{6(6)}} 은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다. 마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E6의 27차원 기본 표현을 이룬다. 끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다. 11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(프랑스어: Eugène Cremmer)와 베르나르 쥘리아(프랑스어: Bernard Julia), 조엘 셰르크가 증명하였다. 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Bibcode:1978PhLB...76..409C. doi:10.1016/0370-2693(78)90894-8.  Miemiec, André; Schnakenburg, Igor (2006). “Basics of M-theory”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 54: 5–72. doi:10.1002/prop.200510256.  Fré, Pietro; Grassi, Pietro Antonio (2008). “Free differential algebras, rheonomy and pure spinors” (영어). arXiv:0801.3076.  Cremmer, Eugène; Julia, Bernard (1979년 11월 12일). “The SO(8) supergravity”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 159 (1–2): 141–212. doi:10.1016/0550-3213(79)90331-6.  “D=11 N=1 supergravity”. 《nLab》 (영어).  “Exceptional generalized geometry”. 《nLab》 (영어).  “D'Auria-Fre formulation of supergravity”. 《nLab》 (영어).  “Supergravity Lie 6-algebra”. 《nLab》 (영어).  “Supergravity Lie 3-algebra”. 《nLab》 (영어).