에일렌베르크-질버 사상

호몰로지 대수학에서 에일렌베르크-질버 사상(Eilenberg-Zilber寫像, 영어: Eilenberg–Zilber map)과 알렉산더-휘트니 사상(Alexander-Whitney寫像, 영어: Alexander–Whitney map)은 아벨 범주 위의 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱을 비교하는, 서로 반대 방향의 두 사슬 복합체 사상이다. 이들의 합성은 사슬 복합체의 호모토피를 이루어, 호몰로지 군의 동형을 유도한다. 즉, 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱은 같은 호몰로지 군을 정의한다. 다음이 주어졌다고 하자. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 두 단체 대상 A ∙ , B ∙ : △ op → A {\displaystyle A_{\bullet },B_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의, 자연수 등급의 사슬 복합체의 범주이다. 단체 대상 A ∙ ∈ s ⁡ ( A ) {\displaystyle A_{\bullet }\in \operatorname {s} ({\mathcal {A}})} 에 대하여, 무어 사슬 복합체 C ∙ ⁡ ( A ) ∈ Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {C} _{\bullet }(A)\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 및 정규화 사슬 복합체 N ∙ ⁡ ( A ) ∈ Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(A)\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 를 정의할 수 있다. 후자는 전자의 몫 사슬 복합체이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 두 단체 대상 A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} , B ∙ {\displaystyle B_{\bullet }} 에 대한 에일렌베르크-질버 사상은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다. C ⁡ ( A ∙ ) ⊗ C ⁡ ( B ∙ ) → C ⁡ ( A ⊗ B ) {\displaystyle \operatorname {C} (A_{\bullet })\otimes \operatorname {C} (B_{\bullet })\to \operatorname {C} (A\otimes B)} a ⊗ b ↦ ∑ ( μ , ν ) ∈ Shuffle ⁡ ( m , n ) ( − ) ( μ , ν ) s m , ν ( a ) ⊗ s n , μ ( b ) a ∈ A m , b ∈ B n {\displaystyle a\otimes b\mapsto \sum _{(\mu ,\nu )\in \operatorname {Shuffle} (m,n)}(-)^{(\mu ,\nu )}s_{m,\nu }(a)\otimes s_{n,\mu }(b)\qquad a\in A_{m},\;b\in B_{n}} 여기서 Shuffle ⁡ ( m , n ) {\displaystyle \operatorname {Shuffle} (m,n)} 은 모든 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} -셔플 순열 { 0 , 1 , … , m + n − 1 } → { 0 , 1 , … , m + n − 1 } {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,m+n-1\}\to \{0,1,\dotsc ,m+n-1\}} 들의 집합이다. 셔플 순열 ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\nu )} 의 성분은 ( μ m − 1 , … , μ 1 , μ 0 ) {\displaystyle (\mu _{m-1},\dotsc ,\mu _{1},\mu _{0})} 및 ( ν n − 1 , … , ν 1 , ν 0 ) {\displaystyle (\nu _{n-1},\dotsc ,\nu _{1},\nu _{0})} 이다. s n , μ = s n + m − 1 μ m − 1 ∘ ⋯ ∘ s n + 1 , μ 1 ∘ s n , μ 0 : B n → B m + n {\displaystyle s_{n,\mu }=s_{n+m-1\mu _{m-1}}\circ \dotsb \circ s_{n+1,\mu _{1}}\circ s_{n,\mu _{0}}\colon B_{n}\to B_{m+n}} 이며 s m , ν : A m → A m + n {\displaystyle s_{m,\nu }\colon A_{m}\to A_{m+n}} 역시 마찬가지로 정의된다. ( − ) ( μ , ν ) {\displaystyle (-)^{(\mu ,\nu })} 는 순열의 부호 Sym ⁡ ( n ) ↠ { ± 1 } {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\twoheadrightarrow \{\pm 1\}} 를 셔플 순열 Shuffle ⁡ ( m , n ) ≤ Sym ⁡ ( m + n ) {\displaystyle \operatorname {Shuffle} (m,n)\leq \operatorname {Sym} (m+n)} 에 적용한 것이다. 이 사상은 무어 사슬 복합체에 대하여 정의되지만, 그 몫인 정규화 사슬 복합체 위에서도 잘 정의된다. 즉, 다음과 같은 에일렌베르크-질버 사상이 존재한다. N ∙ ⁡ ( A ) ⊗ N ∙ ⁡ ( B ) → N ∙ ⁡ ( A ⊗ B ) {\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(A)\otimes \operatorname {N} _{\bullet }(B)\to \operatorname {N} _{\bullet }(A\otimes B)} 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 두 단체 대상 A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} , B ∙ {\displaystyle B_{\bullet }} 에 대한 알렉산더-휘트니 사상은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다. C ⁡ ( A ∙ ) ⊗ C ⁡ ( B ∙ ) → C ⁡ ( A ⊗ B ) {\displaystyle \operatorname {C} (A_{\bullet })\otimes \operatorname {C} (B_{\bullet })\to \operatorname {C} (A\otimes B)} a ⊗ b ↦ ⨁ p + q = n ( ∂ ← a ) ⊗ ( ∂ → b ) n ∈ N , a ∈ A n , b ∈ B n {\displaystyle a\otimes b\mapsto \bigoplus _{p+q=n}(\partial _{\leftarrow }a)\otimes (\partial _{\rightarrow }b)\qquad n\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{n},\;b\in B_{n}} 여기서 ∂ ← : A p + q → A p {\displaystyle \partial _{\leftarrow }\colon A_{p+q}\to A_{p}} 는 앞면 사상(영어: 앞面寫像, 영어: front-face map)이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 ∈ hom △ ⁡ ( p , p + q ) {\displaystyle \in \hom _{\triangle }(p,p+q)} 에서 유도된 것이다. { 0 , 1 , … , p } ↪ { 0 , 1 , … , p + q } {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,p\}\hookrightarrow \{0,1,\dotsc ,p+q\}} i ↦ i {\displaystyle i\mapsto i} ∂ ← : B p + q → B q {\displaystyle \partial _{\leftarrow }\colon B_{p+q}\to B_{q}} 는 뒷면 사상(영어: 뒷面寫像, 영어: back-face map)이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 ∈ hom △ ⁡ ( q , p + q ) {\displaystyle \in \hom _{\triangle }(q,p+q)} 에서 유도된 것이다. { 0 , 1 , … , q } ↪ { 0 , 1 , … , p + q } {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,q\}\hookrightarrow \{0,1,\dotsc ,p+q\}} i ↦ i + p {\displaystyle i\mapsto i+p} 에일렌베르크-질버 사상은 알렉산더-휘트니 사상의 오른쪽 역사상이지만, 일반적으로 왼쪽 역사상이 아니다. 즉, 다음과 같은 합성은 항등 사상이다. N ⁡ ( A ) ⊗ N ⁡ ( B ) → N ⁡ ( A ⊗ B ) → N ⁡ ( A ) ⊗ N ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)} 그 반대 합성은 항등 사상이 아닐 수 있지만, 항상 사슬 호모토피이다. 즉, 모형 범주 Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 의 약한 동치이며, 특히 같은 호몰로지를 정의한다. N ⁡ ( A ⊗ B ) → N ⁡ ( A ) ⊗ N ⁡ ( B ) → N ⁡ ( A ) ⊗ N ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)} 이 사실을 에일렌베르크-질버 정리(영어: Eilenberg–Zilber theorem)라고 한다. 에일렌베르크-질버 사상은 (텐서곱의 순서를 뒤바꾸었을 때) 대칭 사상이지만, 알렉산더-휘트니 사상은 그렇지 않다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다. K {\displaystyle K} -결합 대수들의 범주 Alg ⁡ / K {\displaystyle \operatorname {Alg} /K} (즉, 가환환의 범주의 조각 범주)의 단체 대상의 범주 s ⁡ ( Alg K ) {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Alg} _{K})} . 이는 ( s ⁡ ( Mod K ) , ⊗ K ) {\displaystyle (\operatorname {s} (\operatorname {Mod} _{K}),\otimes _{K})} 속의 모노이드 대상들의 범주이다. K {\displaystyle K} -미분 등급 대수의 범주 dgAlg K {\displaystyle \operatorname {dgAlg} _{K}} . 이는 K {\displaystyle K} -사슬 복합체의 모노이드 범주 ( Ch K + , ⊗ K ) {\displaystyle (\operatorname {Ch} _{K}^{+},\otimes _{K})} 속의 모노이드 대상이다. 그렇다면, 돌트-칸 대응으로부터, 이 두 범주 사이에 서로 다른 두 쌍의 수반 함자들이 존재한다. 이들은 각각 퀼런 동치를 정의하며, 이를 모노이드 돌트-칸 대응(영어: monoidal Dold–Kan correspondence)이라고 한다. (그러나 일반 돌트-칸 대응과 달리, 이는 범주의 동치가 아니다.) 구체적으로, 돌트-칸 대응의 함자 Γ : Ch K + ⇆ s ⁡ ( Mod K ) : N {\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {Ch} _{K}^{+}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Mod} _{K})\colon \operatorname {N} } 에서, 둘 중 하나를 취하면, 다음과 같은 두 수반 함자를 얻는다. Γ : dgAlg K ⇆ s ⁡ ( Alg K ) : N ′ {\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {dgAlg} _{K}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Alg} _{K})\colon \operatorname {N} '} N ′ ⊣ Γ {\displaystyle \operatorname {N} '\dashv \operatorname {\Gamma } } Γ ′ : dgAlg K ⇆ s ⁡ ( Alg K ) : N {\displaystyle \Gamma '\colon \operatorname {dgAlg} _{K}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Alg} _{K})\colon \operatorname {N} } Γ ′ ⊣ N {\displaystyle \operatorname {\Gamma } '\dashv \operatorname {N} } 여기서 등장하는 자연 변환의 성분은 각각 알렉산더-휘트니 사상 N ⁡ ( A ⊗ B ) → N ⁡ ( A ) ⊗ N ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)} 과 에일렌베르크-질버 사상 N ⁡ ( A ) ⊗ N ⁡ ( B ) → N ⁡ ( A ⊗ B ) {\displaystyle \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A\otimes B)} 이다. 다음이 주어졌다고 하자. 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다. K {\displaystyle K} 위의 가환 결합 대수들의 범주 K ∖ C R i n g {\displaystyle K\backslash \mathrm {CRing} } (즉, 가환환의 범주의 쌍대 조각 범주) K {\displaystyle K} -가환 미분 등급 대수의 모형 범주 cdgAlg K {\displaystyle \operatorname {cdgAlg} _{K}} 그렇다면, 다음 두 모형 범주 사이에 퀼런 동치가 존재하며, 이를 가환 모노이드 돌트-칸 대응(영어: commutative-monoidal Dold–Kan correspondence)이라고 한다. N : s ⁡ ( K ∖ C R i n g ) ⇆ cdgAlg K : Γ ′ {\displaystyle \operatorname {N} \colon \operatorname {s} (K\backslash \mathrm {CRing} )\leftrightarrows \operatorname {cdgAlg} _{K}\colon \Gamma '} 이는 에일렌베르크-질버 사상에 의하여 정의된다 (알렉산더-휘트니 사상은 비대칭이어서 사용될 수 없다). (여기서, K {\displaystyle K} 를 표수 0의 체로 가정하는 것은, 아닐 경우 CDGA K {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}} 에 모형 범주 구조가 자연스럽게 주어지지 못하기 때문이다.) 에일렌베르크-질버 사상은 사무엘 에일렌베르크와 조지프 에이브러햄 질버(영어: Joseph Abraham Zilber, 1923~2009)의 이름을 땄다. 알렉산더-휘트니 사상은 제임스 워델 알렉산더와 해슬러 휘트니의 이름을 땄다. Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.  “Eilenberg-Zilber map”. 《nLab》 (영어).  “Alexander-Whitney map”. 《nLab》 (영어).  “Eilenberg-Zilber theorem”. 《nLab》 (영어).  “Simplicial ring”. 《nLab》 (영어).  “Simplicial Lie algebra”. 《nLab》 (영어).  “Cosimplicial algebra”. 《nLab》 (영어).  “Model structure on cosimplicial rings”. 《nLab》 (영어).  Boardman, J. Michael (2009년 4월 10일). “The Alexander–Whitney chain map” (PDF) (영어).  Mathew, Akhil. “Simplicial commutative rings Ⅰ” (PDF) (영어). 2017년 9월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 31일에 확인함.  “Extend Alexander-Whitney and Eilenberg-Zilber map to n-fold tensor products” (영어). Math Overflow.