회전파 근사

회전파 근사(rotating wave approximation)는 상호작용 묘사의 해밀토니언에서 켓 벡터(ket vector)에 포함되는, 섭동이 없을 때의 해밀토니안을 무시하고 상호작용에 의한 변화만을 남겨두는 근사 방법이다. 2준위계(Two-level system)에서, 각 준위의 에너지 고윳값과 그 때의 고유함수를 각각 E a , E b , ψ a , ψ b {\displaystyle E_{a},E_{b},\psi _{a},\psi _{b}} 라고 하고, 섭동이 없을 때의 해밀토니안을 H 0 {\displaystyle H_{0}} 라 하면, 그 때의 파동함수를 Ψ ( t ) = c a ( t ) ψ a e − i E a t / ℏ + c b ( t ) ψ b e − i E b t / ℏ {\displaystyle \Psi (t)=c_{a}(t)\psi _{a}e^{-iE_{a}t/\hbar }+c_{b}(t)\psi _{b}e^{-iE_{b}t/\hbar }} 라 할 수 있다. 이 때, | c a ( t ) | 2 + | c b ( t ) | 2 = 1 {\displaystyle \left|c_{a}(t)\right|^{2}+\left|c_{b}(t)\right|^{2}=1} 이다. 이제 단진동하는 섭동 H 1 ( r → , t ) = V ( r → ) cos ⁡ ( w t ) {\displaystyle H^{1}({\vec {r}},t)=V({\vec {r}})\cos {(wt)}} 을 주고, 초기조건을 c a ( 0 ) = 1 , c b ( 0 ) = 0 {\displaystyle c_{a}(0)=1,c_{b}(0)=0} 라 하면, 1차 섭동이론(first order perturbation theory)에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. c b ( t ) ≃ − V b a 2 ℏ [ e i ( ω 0 + ω ) t − 1 ω 0 + ω + e i ( ω 0 − ω ) t − 1 ω 0 − ω ] {\displaystyle c_{b}(t)\simeq -{\frac {V_{ba}}{2\hbar }}\left[{\frac {e^{i(\omega _{0}+\omega )t}-1}{\omega _{0}+\omega }}+{\frac {e^{i(\omega _{0}-\omega )t}-1}{\omega _{0}-\omega }}\right]} 여기에서 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 는 전이주파수(transition frequency)이고, V b a = ⟨ ψ b | V | ψ a ⟩ {\displaystyle V_{ba}=\langle \psi _{b}|V|\psi _{a}\rangle } 이다. 만약 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다면, 첫 번째 항은 무시하여도 좋을 것이다. 이때 전이확률(transition probability)은 아래와 같다. P a → b ( t ) = | c b ( t ) | 2 ≃ | V a b | 2 ℏ 2 sin 2 ⁡ [ ( ω 0 − ω ) t / 2 ] ( ω 0 − ω ) 2 {\displaystyle P_{a\to b}(t)=|c_{b}(t)|^{2}\simeq {\frac {|V_{ab}|^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin ^{2}{[(\omega _{0}-\omega )t/2]}}{(\omega _{0}-\omega )^{2}}}} 라비(Isidor Isaac Rabi, 1898 - 1988)는 처음 섭동을 회전파 근사하면, 섭동이론을 고려하지 않고도 문제를 정확히 풀 수 있음을 지적하였다. 위 결과의 첫 번째 항은 cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle \cos {(\omega t)}} 의 첫 번째 부분 e i ω t / 2 {\displaystyle e^{i\omega t}/2} 에서 오는 것이다. 섭동 해밀토니안을 아래와 같이 적으면 문제를 해결할 수 있다. H b a 1 = V b a 2 e − i ω t , H a b 1 = V a b 2 e i ω t {\displaystyle H_{ba}^{1}={\frac {V_{ba}}{2}}e^{-i\omega t},\quad H_{ab}^{1}={\frac {V_{ab}}{2}}e^{i\omega t}} 위의 섭동은 에르미티안(hermitian)이다. 이러한 근사는 디락 묘사에서, 섭동 이론에서 확인한 것과 같은, 물리적 의미를 확인할 수 있다. 이는 아래 원자의 쌍극자 근사에서의 섭동에서 서술할 것이다. 해는 다음과 같다. c a ( t ) = e i ( ω − ω 0 ) t / 2 [ cos ⁡ ( Ω t ) + i ( ω 0 − ω 2 Ω ) sin ⁡ ( Ω t ) ] , c b ( t ) = − i 2 ℏ Ω e i ( ω 0 − ω ) t / 2 sin ⁡ Ω t {\displaystyle c_{a}(t)=e^{i(\omega -\omega _{0})t/2}\left[\cos {(\Omega t)}+i\left({\frac {\omega _{0}-\omega }{2\Omega }}\right)\sin {(\Omega t)}\right],\quad c_{b}(t)=-{\frac {i}{2\hbar \Omega }}e^{i(\omega _{0}-\omega )t/2}\sin {\Omega t}} 이제 전이주파수는 다음과 같다. P a → b ( t ) = | c b ( t ) | 2 = ( | V a b | 2 ℏ Ω ) 2 sin 2 ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle P_{a\to b}(t)=|c_{b}(t)|^{2}=\left({\frac {|V_{ab}|}{2\hbar \Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}{(\Omega t)}} 이때, 라비 진동수(Generalized Rabi frequency) Ω {\displaystyle \Omega } 는 Ω = 1 2 ( ω 0 − ω ) 2 + ( | V a b | / ℏ ) 2 {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\omega _{0}-\omega )^{2}+(|V_{ab}|/\hbar )^{2}}}} 로 정의된다. 쌍극자 모멘트(Dipole moment)가 d → {\displaystyle {\vec {d}}} , 외부 전기장이 주어졌을 때, 섭동 해밀토니안은 아래와 같이 주어진다. H 1 = − d → ⋅ E → {\displaystyle H^{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}} 외부 전기장은 E → ( t ) = E 0 → ( e − i ω t + e i ω t ) {\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E_{0}}}\left(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}\right)} 이다. 이제 고유함수를 기저로 하자. 예를 들어,수소 원자에서 바닥상태(Ground state)가 (000)이고, 들뜬 상태가 (211)인 2준위계로 주어진다면, d → = ( 0 ∫ Ψ 211 ∗ ( r → ) e r → Ψ 100 ( r → ) d 3 r ∫ Ψ 100 ∗ ( r → ) e r → Ψ 211 ( r → ) d 3 r 0 ) {\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}0&\int \Psi _{211}^{*}({\vec {r}})e{\vec {r}}\Psi _{100}({\vec {r}})d^{3}r\\\int \Psi _{100}^{*}({\vec {r}})e{\vec {r}}\Psi _{211}({\vec {r}})d^{3}r&0\\\end{pmatrix}}} 이다. 일반적으로 에너지 고유상태에서 원자가 쌍극자를 가지지 않으므로, 쌍극자 모멘트 연산자의 대각 성분은 0이다. 따라서 쌍극자 모멘트 연산자를 아래와 같이 적을 수 있다. d → = ( 0 d → a b d → b a ∗ 0 ) {\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}0&{\vec {d}}_{ab}\\{{\vec {d}}_{ba}}^{*}&0\\\end{pmatrix}}} 따라서, 섭동은 H 1 = − d → ⋅ E → = ( 0 − ℏ Ω ( e − i ω t + e i ω t ) − ℏ Ω ( e − i ω t + e i ω t ) 0 ) {\displaystyle H^{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}={\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega \left(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}\right)\\-\hbar \Omega \left(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}\right)&0\\\end{pmatrix}}} 이다. ω {\displaystyle \omega } 와 − ω {\displaystyle -\omega } 로 진동하는 두 부분으로 나뉘었다. 이제, ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 로 회전하는 좌표계에서 문제를 보기로 하자. 바로 디락 묘사(Interaction picture)이다. 라비 진동수 Ω {\displaystyle \Omega } 는 아래와 같이 정의한다. Ω = 1 ℏ d → a b ⋅ E → {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\hbar }}{\vec {d}}_{ab}\cdot {\vec {E}}} 회전하는 좌표계에서 상호작용은 H I 1 = e i H 0 t / ℏ H 1 e − i H 0 t / ℏ {\displaystyle H_{I}^{1}=e^{iH_{0}t/\hbar }H^{1}e^{-iH_{0}t/\hbar }} 와 같이 주어진다. 따라서, H I 1 = ( 0 − ℏ Ω ( e − i ( ω − ω 0 ) t + e i ( ω + ω 0 ) t ) − ℏ Ω ( e i ( ω − ω 0 ) t + e − i ( ω + ω 0 ) t ) 0 ) {\displaystyle H_{I}^{1}={\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega \left(e^{-i(\omega -\omega _{0})t}+e^{i(\omega +\omega _{0})t}\right)\\-\hbar \Omega \left(e^{i(\omega -\omega _{0})t}+e^{-i(\omega +\omega _{0})t}\right)&0\\\end{pmatrix}}} 이다. 이제, 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다고 하면, H I 1 ≃ ( 0 − ℏ Ω ( e − i ( ω − ω 0 ) t ) − ℏ Ω ( e i ( ω − ω 0 ) t ) 0 ) {\displaystyle H_{I}^{1}\simeq {\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega \left(e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\right)\\-\hbar \Omega \left(e^{i(\omega -\omega _{0})t}\right)&0\\\end{pmatrix}}} 로 근사할 수 있다. 바로 회전파 근사이다. 이제 다시 슈뢰딩거 묘사로 되돌아오면, H 1 ≃ ( 0 − ℏ Ω e − i ω t − ℏ Ω e i ω t 0 ) {\displaystyle H^{1}\simeq {\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega e^{-i\omega t}\\-\hbar \Omega e^{i\omega t}&0\\\end{pmatrix}}} 이다. 바로 2준위계에서 시도한 섭동과 같은 형태의 섭동이 되었다. 섭동의 정방향 회전( ω {\displaystyle \omega } )와 역방향 회전(counter rotation, − ω {\displaystyle -\omega } ) 성분 중에서 정방향 회전 부분만 남게 되었다. 역방향 회전까지 고려하게 되면, 공명 주파수(resonance frequency)가 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 가 변화하게 되는데, 바로 Bloch-Siegert 이동(Bloch-Siegert shift)이다. J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition,1994. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second Edition, 2004. L. Allen and J. H. Eberly, Optical Response and Two-level Atoms, Dover Publications, 1987.