국소 볼록 공간

함수해석학에서 국소 볼록 공간(局所볼록空間, 영어: locally convex space)은 그 위상이 일련의 반노름들에 대한 시작 위상으로 유도되는 위상 벡터 공간이다.:§5, 38–49 함수해석학에서 다루는 가장 일반적인 공간 가운데 하나이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하자. K {\displaystyle K} -국소 볼록 공간은 특별한 종류의 K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간이며, 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다. K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 의 근방 B ~ ∋ 0 {\displaystyle {\tilde {B}}\ni 0} 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 가 존재한다면, V {\displaystyle V} 를 K {\displaystyle K} -국소 볼록 공간이라고 한다. 0의 근방이다. 0 ∈ B ⊆ B ~ {\displaystyle 0\in B\subseteq {\tilde {B}}} (볼록성) B = { t x + ( 1 − t ) y : ( x , y , t ) ∈ B × B × [ 0 , 1 ] } {\displaystyle \textstyle B=\{tx+(1-t)y\colon (x,y,t)\in B\times B\times [0,1]\}} (균형성) B = ⋃ λ ∈ K | λ | ≤ 1 λ B {\displaystyle \textstyle B=\bigcup _{\lambda \in K}^{|\lambda |\leq 1}\lambda B} (흡수성) V = ⋃ λ ∈ K λ B {\displaystyle \textstyle V=\bigcup _{\lambda \in K}\lambda B} K {\displaystyle K} -국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 는 다음 성질들을 만족시키는 K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간이다. V {\displaystyle V} 의 위상은 일련의 반노름들 { ν i } i ∈ I {\displaystyle \{\nu _{i}\}_{i\in I}} 로 유도된다. 즉, 다음과 같은 기저를 갖는다. { v + ϵ ⋂ i ∈ I ~ U i : I ~ ⊆ I , | I ~ | < ℵ 0 , ϵ ∈ R + , v ∈ V } {\displaystyle \left\{v+\epsilon \bigcap _{i\in {\tilde {I}}}U_{i}\colon {\tilde {I}}\subseteq I,\;|{\tilde {I}}|<\aleph _{0},\;\epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\;v\in V\right\}} U i = { v : ν i ( v ) < 1 } ⊆ V ∀ i ∈ I {\displaystyle U_{i}=\{v\colon \nu _{i}(v)<1\}\subseteq V\qquad \forall i\in I} 국소 볼록 공간을 정의하는 데이터는 벡터 공간 구조 및 위상 공간 구조만을 포함하고, 반노름들을 포함하지 않는다. 일반적으로, 같은 국소 볼록 위상이 서로 다른 반노름들의 집합으로 유도될 수 있다. 임의의 반노름 집합 { ν i } i ∈ I {\displaystyle \{\nu _{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다. ν i ≲ ν j ⟺ sup v ∈ V ν j ( v ) ≠ 0 ν i ( v ) ν j ( v ) < ∞ {\displaystyle \nu _{i}\lesssim \nu _{j}\iff \sup _{v\in V}^{\nu _{j}(v)\neq 0}{\frac {\nu _{i}(v)}{\nu _{j}(v)}}<\infty } 임의의 반노름 집합 { ν i } i ∈ I {\displaystyle \{\nu _{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, { ∑ i ∈ I ~ ν i : I ~ ⊆ I , | I ~ | < ℵ 0 } {\displaystyle \left\{\sum _{i\in {\tilde {I}}}\nu _{i}\colon {\tilde {I}}\subseteq I,\;|{\tilde {I}}|<\aleph _{0}\right\}} 는 원래 반노름 집합과 같은 위상을 정의하며, 또한 상향 원순서 집합을 이룬다. 즉, 국소 볼록 공간을 정의하는 반노름 집합이 항상 상향 원순서 집합이라고 가정할 수 있다. 반노름 집합 { ν i } i ∈ I {\displaystyle \{\nu _{i}\}_{i\in I}} 로 정의되는 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 하우스도르프 공간이다. ⋂ i ∈ I ν i − 1 ( 0 ) = { 0 } {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}\nu _{i}^{-1}(0)=\{0\}} . 즉, 모든 반노름으로 재었을 때 0인 벡터는 영벡터이다. 두 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 이 각각 반노름 상향 원순서 집합 { μ i } i ∈ I {\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i\in I}} , { ν j } j ∈ J {\displaystyle \{\nu _{j}\}_{j\in J}} 로 정의된다고 하자. 임의의 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 및 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 에 대하여, ν j ∘ T {\displaystyle \nu _{j}\circ T} 는 V {\displaystyle V} 위의 반노름이다. 그렇다면, 임의의 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 연속 함수이다. (유계성) 임의의 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 에 대하여, ν j ∘ T ≲ μ i {\displaystyle \nu _{j}\circ T\lesssim \mu _{i}} 인 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 존재한다. 즉, 다음이 성립해야 한다. sup v ∈ V μ j ( v ) ≠ 0 ( ν ( T v ) j / μ i ( v ) ) < ∞ {\displaystyle \sup _{v\in V}^{\mu _{j}(v)\neq 0}(\nu (Tv)_{j}/\mu _{i}(v))<\infty } 이는 노름 공간에서 연속성이 유계성으로 나타내어지는 것의 일반화이다. 흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 벡터 공간들은 국소 볼록 공간이다. 프레셰 공간은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간과 힐베르트 공간은 프레셰 공간의 특수한 경우이므로 역시 국소 볼록 공간이다. 임의의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 및 임의의 실수 선형 변환들의 집합 F = { f α : V → R } {\displaystyle F=\{f_{\alpha }\colon V\to \mathbb {R} \}} 에 대한 시작 위상은 국소 볼록 공간이다. 이 경우 반노름들은 | f α | {\displaystyle |f_{\alpha }|} 가 된다. 구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 위의 르베그 공간 L p [ 0 , 1 ] {\displaystyle L^{p}[0,1]} 은 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다. (원점의 유일한 볼록 근방은 공간 전체이다.) 마찬가지로, 수열 공간 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 역시 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다. 존 폰 노이만이 1934년에 "볼록 선형 집합"(영어: convex linear set)이라는 이름으로 도입하였다.:4, Definition 2b 조총만 (2000). 《바나하공간론》. 대우학술총서 485. 아카넷. ISBN 978-89-8910318-9. 2016년 8월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 1일에 확인함.  von Neumann, John (1935년 1월). “On complete topological spaces”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 37 (1): 1–20. doi:10.1090/S0002-9947-1935-1501776-7. ISSN 0002-9947. JSTOR 1989693. MR 1501776.  Dieudonné, Jean A. (1953). “Recent developments in the theory of locally convex vector spaces”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 495–512. doi:10.1090/S0002-9904-1953-09752-X. ISSN 0273-0979. MR 0062334. Zbl 0053.25701.  “Locally convex space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Locally convex topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally convex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Locally convex space”. 《nLab》 (영어).