프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다. 가환환 R {\displaystyle R} 의 환의 표수가 p > 0 {\displaystyle p>0} 이며, p {\displaystyle p} 가 소수라고 하자. 그렇다면 R {\displaystyle R} 의 프로베니우스 사상 Frob R : R → R {\displaystyle \operatorname {Frob} _{R}\colon R\to R} 은 다음과 같다. Frob R : r ↦ r p {\displaystyle \operatorname {Frob} _{R}\colon r\mapsto r^{p}} 이는 환 준동형을 이룬다. 이는 ( r + s ) p = ∑ i = 0 p ( p i ) r i s p − i = r p + s p ∀ r , s ∈ R ( ∵ p ∣ ( p i ) ∀ 1 ≤ i ≤ p − 1 ) {\displaystyle (r+s)^{p}=\sum _{i=0}^{p}{\binom {p}{i}}r^{i}s^{p-i}=r^{p}+s^{p}\qquad \forall r,s\in R\qquad \left(\because p\mid {\binom {p}{i}}\qquad \forall 1\leq i\leq p-1\right)} 이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, ( 1 + 1 ) p = 2 p ≠ 2 = 1 p + 1 p {\displaystyle (1+1)^{p}=2^{p}\neq 2=1^{p}+1^{p}} 이다). 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌을 때, 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 위의 스킴 X / Spec ⁡ F p {\displaystyle X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}} 가 주어졌다고 하자. X {\displaystyle X} 의 임의 아핀 부분 스킴 U {\displaystyle U} 에 대하여, Γ ( U , O X ) {\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})} 는 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} -스킴 사상 Frob X : X → X {\displaystyle \operatorname {Frob} _{X}\colon X\to X} 을 X {\displaystyle X} 의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.:94, Definition 3.2.21 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다. Frob / F p : Id Sch ⁡ / Spec ⁡ F p ⇒ Id Sch ⁡ / Spec ⁡ F p {\displaystyle \operatorname {Frob} _{/\mathbb {F} _{p}}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}\Rightarrow \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}} 여기서 Id Sch ⁡ / Spec ⁡ F p {\displaystyle \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}} 는 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} -스킴의 범주 Sch ⁡ / Spec ⁡ F p {\displaystyle \operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}} 의 항등 함자이다. F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} -스킴 S {\displaystyle S} 위의 스킴 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S {\displaystyle S} 의 절대 프로베니우스 사상 Frob S : S → S {\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}\colon S\to S} 와의 올곱을 취하면 X ( p / S ) = X × S Frob S {\displaystyle X^{(p/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}} 를 정의할 수 있다. 이는 함자 Sch ⁡ / S → Sch ⁡ / S {\displaystyle \operatorname {Sch} /S\to \operatorname {Sch} /S} 를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대(영어: extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상 Frob a , X / S : X ( p / S ) → X {\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {a} ,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X} 을 산술 프로베니우스 사상(영어: arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다. X ( p / S ) → F r o b a X ↓ ↓ S → Frob S {\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} }{\to }}&S\end{matrix}}} 만약 S {\displaystyle S} 의 절대 프로베니우스 사상 Frob S : S → S {\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}\colon S\to S} 이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, S {\displaystyle S} 가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 Frob S − 1 {\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}^{-1}} 에 대한 올곱 X ( p − 1 / S ) = X × S Frob S {\displaystyle X^{(p^{-1}/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}} 을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상 Frob g , X / S : X ( p − 1 / S ) → X {\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X} 을 기하 프로베니우스 사상(영어: geometric Frobenius morphism)이라고 한다. X ( p − 1 / S ) → F r o b g X ↓ ↓ S → Frob − 1 S {\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p^{-1}/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{g}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} ^{-1}}{\to }}&S\end{matrix}}} F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} -스킴 S {\displaystyle S} 위의 스킴 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 Frob / S : X → X ( p / S ) {\displaystyle \operatorname {Frob} _{/S}\colon X\to X^{(p/S)}} 이 존재한다. X f ↙ ↓ ∃ ! ↘ Frob S ← X ( p / S ) → F r o b a X Frob ↘ ↙ f S {\displaystyle {\begin{matrix}&&X\\&{\scriptstyle f}\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !&\searrow \scriptstyle {\operatorname {Frob} }\\S&\leftarrow &X^{(p/S)}&{\underset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\&\scriptstyle {\operatorname {Frob} }\searrow &&\swarrow \scriptstyle f\\&&S\end{matrix}}} 이를 상대 프로베니우스 사상(영어: relative Frobenius morphism)이라고 한다.:94, Definition 3.2.23 이는 자연 변환 Frob / S : Id Sch ⁡ / S → Id Sch ⁡ / S {\displaystyle \operatorname {Frob} _{/S}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}\to \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}} 을 이룬다. 물론, S = Spec ⁡ F p {\displaystyle S=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}} 라면 (또는 보다 일반적으로 Frob S = id S {\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}=\operatorname {id} _{S}} 라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다. 소수 표수의 가환환 R {\displaystyle R} 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 R {\displaystyle R} 가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다. 양의 표수의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 K {\displaystyle K} 가 완전체인 것이다. 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리). a p = a ∀ a ∈ F p {\displaystyle a^{p}=a\qquad \forall a\in \mathbb {F} _{p}} 양의 표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 의 체 K / F p {\displaystyle K/\mathbb {F} _{p}} 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 x p − x ∈ K [ x ] {\displaystyle x^{p}-x\in K[x]} 의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 p {\displaystyle p} 차 다항식의 근의 수는 p {\displaystyle p} 개 이하이며, F p ⊆ K {\displaystyle \mathbb {F} _{p}\subseteq K} 는 이미 p {\displaystyle p} 개의 근을 이루므로, K {\displaystyle K} 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 이다. 보다 일반적으로, 양의 표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 의 정역 D {\displaystyle D} 에 대해서, 항상 분수체 Frac ⁡ D ⊇ D ⊇ F p {\displaystyle \operatorname {Frac} D\supseteq D\supseteq \mathbb {F} _{p}} 를 취할 수 있으므로, 표수 p {\displaystyle p} 의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 이다. { a ∈ D : a p = a } = F p {\displaystyle \{a\in D\colon a^{p}=a\}=\mathbb {F} _{p}} 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 의 유한 확대 F p n / F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}} 의 갈루아 군은 순환군이다. Gal ⁡ ( F p n / F p ) ≅ Z / n {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n} 프로베니우스 자기 동형 Frob F p n ∈ Gal ⁡ ( F p n / F p ) {\displaystyle \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{n}}}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})} 은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다. 마찬가지로, 유한체 F p m {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}} 의 유한 확대 F p m n / F p m {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{p^{m}}} 의 갈루아 군은 순환군 Gal ⁡ ( F p m n / F p m ) ≅ Z / n {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{p^{m}})\cong \mathbb {Z} /n} 이며, 프로베니우스 자기 동형의 m {\displaystyle m} 제곱 Frob F p m ∘ ⋯ ∘ Frob F p m ⏞ m ∈ Gal ⁡ ( F p m n / F m ) {\displaystyle \overbrace {\operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}\circ \cdots \circ \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}} ^{m}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{m})} 은 그 생성원을 이룬다. 증명: F p m n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{mn}}} 의 곱셈군 F p m n × {\displaystyle F_{p^{mn}}^{\times }} 은 p m n − 1 {\displaystyle p^{mn}-1} 차 순환군이므로, 임의의 a ∈ F p m n × {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p^{mn}}^{\times }} 에 대하여 a p m n − 1 = 1 {\displaystyle a^{p^{mn}-1}=1} 이며, 따라서 임의의 a ∈ F p m n {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p^{mn}}} 에 대하여 a p m n = a {\displaystyle a^{p^{mn}}=a} 이다. 임의의 0 < i < n {\displaystyle 0<i<n} 에 대하여, x p m i = x {\displaystyle x^{p^{m}i}=x} 의 근의 수는 p m i {\displaystyle p^{mi}} 이하이므로, a p m i ≠ a {\displaystyle a^{p^{mi}}\neq a} 인 a ∈ F p m n {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p^{mn}}} 이 존재한다. 즉, ϕ = Frob F p m ∘ ⋯ ∘ Frob F p m ⏞ m {\displaystyle \phi =\overbrace {\operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}\circ \cdots \circ \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}} ^{m}} 를 생성원으로 하는 순환군은 n {\displaystyle n} 차 순환군이다. ϕ {\displaystyle \phi } 가 갈루아 군의 원소이므로, 이 순환군의 n {\displaystyle n} 개의 원소 역시 갈루아 군의 원소들이다. 그런데 갈루아 군의 원소의 수는 확대의 차수 [ F p m n : F p m ] = n {\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{mn}}:\mathbb {F} _{p^{m}}]=n} 이하여야 한다. 따라서 이 순환군은 갈루아 군 전체와 같다. 유한체 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 위의 스킴 X / F p n {\displaystyle X/\mathbb {F} _{p^{n}}} 가 주어졌다고 하자. 유한체 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 은 완전체이므로 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, X ( p / F p n ) {\displaystyle X^{(p/\mathbb {F} _{p^{n}})}} 및 X ( p − 1 / F p n ) {\displaystyle X^{(p^{-1}/\mathbb {F} _{p^{n}})}} 은 X {\displaystyle X} 와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 X {\displaystyle X} 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다. 이제, X {\displaystyle X} 의 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} -점들의 집합 X ( F p n ) {\displaystyle X(\mathbb {F} _{p^{n}})} 위에는 갈루아 군 Gal ⁡ ( F p n / F p ) ≅ Z / n {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n} (의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다. ( Spec ⁡ F p n → x X ) ↦ ( Spec ⁡ F p n → Frob Spec ⁡ F p n → x X ) {\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {\operatorname {Frob} }}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)} 또한, X ( F p n ) {\displaystyle X(\mathbb {F} _{p^{n}})} 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다. ( Spec ⁡ F p n → x X ) ↦ ( Spec ⁡ F p n → x X → F r o b a X ) {\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X{\xrightarrow {\operatorname {Frob_{a}} }}X)} 이 두 작용은 서로 일치한다. 따라서, 산술 프로베니우스 사상 Frob a , X / F p n : ( X ( p / F p n ) ≅ X ) → X {\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {a} ,X/\mathbb {F} _{p^{n}}}\colon (X^{(p/\mathbb {F} _{p^{n}})}\cong X)\to X} 은 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} -점의 집합 위의 갈루아 군 Gal ⁡ ( F p n F p ) ≅ Z / n {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n} 의 작용을 나타낸다. 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 위의 스킴 X / F p {\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}} 가 주어졌다고 하자. X ¯ = X ⊗ F p Spec ⁡ F ¯ p {\displaystyle {\bar {X}}=X\otimes _{\mathbb {F} _{p}}\operatorname {Spec} {\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 위의 작은 에탈 위치 X ¯ e ´ t {\displaystyle {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 를 생각하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의 상대 프로베니우스 사상 Frob X / F ¯ p : X ¯ → X ¯ {\displaystyle \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}} 과 기하 프로베니우스 사상 Frob g , X / F ¯ p ⁡ X : X ¯ → X ¯ {\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}X\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}} 은 토포스 X ¯ e ´ t {\displaystyle {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 위의 같은 기하학적 사상 f : Frob X / F ¯ p = Frob g , X / F ¯ p : X ¯ e ´ t → X ¯ e ´ t {\displaystyle f\colon \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}=\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}\colon {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }\to {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 을 유도한다. 특히, X ¯ e ´ t {\displaystyle {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 위의 아벨 군 값의 층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다. Frob X / F ¯ p ∗ = Frob g , X / F ¯ p ∗ : H e ´ t ∙ ⁡ ( X ¯ ; F ) → H e ´ t ∙ ⁡ ( X ¯ ; f ∗ F ) {\displaystyle \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}=\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}\colon \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};{\mathcal {F}})\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};f^{*}{\mathcal {F}})} 대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소(영어: Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 두 비아르키메데스 국소체 L {\displaystyle L} , K {\displaystyle K} 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 L / K {\displaystyle L/K} 대수적 정수환 O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} 의 유일한 극대 아이디얼을 P ∈ Spec ⁡ O L {\displaystyle {\mathfrak {P}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{L}} 라고 하고, O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 유일한 극대 아이디얼을 p ∈ Spec ⁡ O K {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}} 라고 하자. 그렇다면, 잉여류체 O L / P {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}} 와 O K / p {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}} 는 둘 다 유한체이며, [ O L / P : O K / p ] = [ L : K ] {\displaystyle [{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}]=[L:K]} 이다. (여기서 [ : ] {\displaystyle [:]} 는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소 Frob L / K ∈ Gal ⁡ ( O L / P O K / p ) {\displaystyle \operatorname {Frob} _{L/K}\in \operatorname {Gal} \left({\frac {{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}{{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}}\right)} 가 존재하며, 이를 L / K {\displaystyle L/K} 의 프로베니우스 원소라고 한다. Frob L / K ⁡ ( x ) ≡ x | O K / p | ( mod P ) ∀ x ∈ O L {\displaystyle \operatorname {Frob} _{L/K}(x)\equiv x^{|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}|}{\pmod {\mathfrak {P}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{L}} 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 가 갈루아 확대인 대수적 수체 K {\displaystyle K} 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ ( O K ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}_{K})} ( O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 대수적 정수환). 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여 p ∣ p {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid p} 이며, p ∣ p {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid p} 가 비분기라고 하자. p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 Gal ⁡ ( K / Q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )} 은 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 를 고정시킨다. 즉, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에서의 분해군(영어: decompsition group) G p = { g ∈ Gal ⁡ ( K / Q ) : g ⋅ p = p } {\displaystyle G_{\mathfrak {p}}=\{g\in \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\colon g\cdot {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\}} 은 갈루아 군 Gal ⁡ ( K / Q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )} 전체이다. 이 경우, g ( x ) ≡ x p ( mod p ) ∀ x ∈ O K p {\displaystyle g(x)\equiv x^{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}} 를 만족시키는 유일한 원소 g ∈ Gal ⁡ ( K p / F p ) {\displaystyle g\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} _{p})} 가 존재한다. (여기서 K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} 는 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 프로베니우스 원소 Frob p ∈ Gal ⁡ ( K p / F p ) {\displaystyle \operatorname {Frob} _{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} _{p})} 라고 한다. 유한체 계수의 유리 함수체 F p ( t ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)} 의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, t {\displaystyle t} 는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 F p ( t ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)} 는 완전체가 아니다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다. 완전체 Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. 번역 Erne, Reinie 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 7일에 확인함.  Frobenius, F. G. (1896). “Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe”. 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》 (독일어): 689–703. JFM 27.0091.04. 2016년 4월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 6월 1일에 확인함.  “Frobenius endomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Frobenius automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius automorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Frobenius morphism”. 《nLab》 (영어).  Ben-Zvi, David. “The Frobenius page” (영어).  이철희. “프로베니우스 원소”. 《수학노트》.  “Geometric vs arithmetic Frobenius” (영어). Math Overflow. 2016년 4월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 10일에 확인함.