토브-너트 공간

일반 상대성 이론에서 토브-너트 공간(-空間, 영어: Taub–NUT space [tɔːb nʌt speɪs])은 아인슈타인 방정식의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 초켈러 다양체이자 점근 국소 평탄 공간이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다. 토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 초켈러 다양체이며, R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 와 미분 동형이다.:§2.3 이는 다양한 방법으로 구성할 수 있다. 그 위의 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표 τ ∈ R / ( 4 π Z ) {\displaystyle \tau \in \mathbb {R} /(4\pi \mathbb {Z} )} r → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}} 를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다. d s 2 = V ( | r → | ) d r → 2 + 1 V ( | r → | ) ( d τ + ω ) 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V(|{\vec {r}}|)\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+{\frac {1}{V(|{\vec {r}}|)}}(\mathrm {d} \tau +\omega )^{2}} V ( | r → | ) = L + 1 2 | r → | {\displaystyle V(|{\vec {r}}|)=L+{\frac {1}{2|{\vec {r}}|}}} 여기서 ω = ω → ⋅ d r → ∈ Ω 1 ( R 3 ) {\displaystyle \omega ={\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})} 는 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 위의 1차 미분 형식 가운데 d ω = ⋆ d V {\displaystyle \mathrm {d} \omega =\star \mathrm {d} V} 인 것이다. 이는 사실 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 위의 1차 미분 형식으로 확장될 수 있다. L {\displaystyle L} 과 M {\displaystyle M} 은 상수이다. 여기서 L {\displaystyle L} 은 무한대에서 호프 원다발의 올의 크기 4 π / L {\displaystyle 4\pi /{\sqrt {L}}} 를 결정하는 상수이다. 일반 상대성 이론에서는 이 해를 로런츠 계량 부호수 −+++로 해석적 연속을 취할 수 있다. 이는 τ ↦ i t {\displaystyle \tau \mapsto \mathrm {i} t} 의 치환에 해당한다. 보다 일반적으로, V {\displaystyle V} 를 V ( r → ) = L + ∑ i = 1 N 1 2 | r → − R → i | {\displaystyle V({\vec {r}})=L+\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}|}}} 로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 다중 토브-너트 공간(영어: multi-Taub–NUT space)을 얻는다. 이는 A형 점근 국소 평탄 공간에 해당한다. 토브-너트 공간은 심플렉틱 몫공간 연산을 통해 정의할 수 있다.:§2.5 구체적으로, 초켈러 공간 R 4 × R 3 × R β Z {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{3}\times {\frac {\mathbb {R} }{\beta \mathbb {Z} }}} 위에서 U(1)의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 유클리드 공간 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 위의 적절한 좌표계 ( r → = ( r 1 , r 2 , r 3 ) , ψ ) {\displaystyle ({\vec {r}}=(r_{1},r_{2},r_{3}),\,\psi )} 에서 평탄한 리만 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같다. d s 2 = 1 | r → | d r → 2 + | r → | ( d ψ + ω → ⋅ d → r ) {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+|{\vec {r}}|\left(\mathrm {d} \psi +{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\mathrm {d} }}r\right)} 여기서 ψ ∼ ψ + 4 π {\displaystyle \psi \sim \psi +4\pi } 이며, ω → = ( ω 1 , ω 2 , ω 3 ) {\displaystyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})} 은 ϵ i j k ∂ j ω k = ∂ i 1 | r → | {\displaystyle \epsilon _{i}{}^{jk}\partial _{j}\omega _{k}=\partial _{i}{\frac {1}{|{\vec {r}}|}}} 을 따른다. 즉, 미분 형식 표기법으로는 ω = ω i d r i {\displaystyle \omega =\omega _{i}\mathrm {d} r^{i}} ⋆ d ω = d 1 | r → | {\displaystyle \star \mathrm {d} \omega =\mathrm {d} {\frac {1}{|{\vec {r}}|}}} 이다. 마찬가지로, R 3 × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}} 위의 좌표를 ( x → = ( x 1 , x 2 , x 3 ) , θ ) {\displaystyle ({\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\,\theta )} 라고 하자. 그 위의 리만 계량은 d s 2 = L d x → 2 + L − 1 d θ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=L\mathrm {d} {\vec {x}}^{2}+L^{-1}\mathrm {d} \theta ^{2}} β = 4 π L − 1 / 2 {\displaystyle \beta =4\pi L^{-1/2}} 이며, θ ∼ θ + 4 π {\displaystyle \theta \sim \theta +4\pi } 이다. 이 위에 U(1)의 작용은 exp ⁡ ( i t ) : ( ψ , θ ) ↦ ( ψ + t , θ + t ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} t)\colon (\psi ,\theta )\mapsto (\psi +t,\theta +t)} 이며, 초켈러 운동량 사상은 μ → = r → + x → {\displaystyle {\vec {\mu }}={\vec {r}}+{\vec {x}}} 이다. 초켈러 운동량 사상에 대한 0의 원상은 r → = − x → {\displaystyle {\vec {r}}=-{\vec {x}}} 에 해당한다. 즉, 게이지 불변 좌표 χ = ψ − θ {\displaystyle \chi =\psi -\theta } 를 정의하며 원상의 좌표는 d s 2 = V ( r → ) d r → 2 + V ( r → ) − 1 ( d χ + ω → ⋅ d r → ) 2 + ( r + λ 2 ) ( d θ + | r → | | r → | + L − 1 ( d χ + ω → ⋅ d r → ) ) 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V({\vec {r}})\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+V({\vec {r}})^{-1}(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}})^{2}+(r+\lambda ^{2})\left(\mathrm {d} \theta +{\frac {|{\vec {r}}|}{|{\vec {r}}|+L^{-1}}}\left(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\right)\right)^{2}} V ( r → ) = 1 | r → | + L {\displaystyle V({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}+L} 이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, 킬링 벡터장 ∂ / ∂ θ {\displaystyle \partial /\partial \theta } 에 대한 직교 성분을 취해야 하므로, 마지막 항을 생략하는 것에 해당한다. 즉, 구체적 계량 d s 2 = V ( r → ) d r → 2 + V ( r → ) − 1 ( d χ + ω → ⋅ d r → ) 2 + ( r + λ 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V({\vec {r}})\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+V({\vec {r}})^{-1}(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}})^{2}+(r+\lambda ^{2})} 을 얻는다. 토브-너트 공간은 활 그림(영어: bow diagram)으로 구성할 수 있다.:§3 구체적으로, 이에 대응되는 활은 다음과 같다. 하나의 구간과 하나의 변으로 구성된다. 구간의 길이는 L {\displaystyle L} (기번스-호킹 가설 풀이에서 퍼텐셜의 상수항)이다. 구간 위의 벡터 다발의 차원은 1이다. (즉, 선다발이다.) 즉, 그 해는 남 방정식 T 0 , T 1 , T 2 , T 3 : [ − L / 2 , L / 2 ] → R {\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\colon [-L/2,L/2]\to \mathbb {R} } ( d d s − i T 0 ) T → ( s ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}-\mathrm {i} T_{0}\right){\vec {T}}(s)=0} 및 복소수 B 0 , B 1 ∈ C {\displaystyle B_{0},B_{1}\in \mathbb {C} } 로 정의된다. B 0 , B 1 {\displaystyle B_{0},B_{1}} 은 선다발의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) 선형 변환에 해당한다. 이 위에는 게이지 군 C ∞ ( [ − L / 2 , L / 2 ] , U ⁡ ( 1 ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }([-L/2,L/2],\operatorname {U} (1))} 이 작용한다. 게이지 군의 원소 g : [ − L / 2 , L / 2 ] → U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle g\colon [-L/2,L/2]\to \operatorname {U} (1)} 는 다음과 같이 작용한다. T 0 ↦ g − 1 T 0 g + i g − 1 g ˙ {\displaystyle T_{0}\mapsto g^{-1}T_{0}g+\mathrm {i} g^{-1}{\dot {g}}} T i ↦ g − 1 T i g {\displaystyle T_{i}\mapsto g^{-1}T_{i}g} B 0 ↦ g − 1 ( − L / 2 ) B 0 g ( l / 2 ) {\displaystyle B_{0}\mapsto g^{-1}(-L/2)B_{0}g(l/2)} B 1 ↦ g − 1 ( L / 2 ) B 0 g ( − l / 2 ) {\displaystyle B_{1}\mapsto g^{-1}(L/2)B_{0}g(-l/2)} 이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜 T 0 {\displaystyle T_{0}} 을 상수 함수로 놓을 수 있다. 그렇다면, 남 방정식에 따라서 T 1 , T 2 , T 3 {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}} 역시 상수 함수가 된다. S 1 × R 3 ⏟ ( T 0 , T 1 , T 2 , T 3 ) × R 4 ⏟ B 0 , B 1 / / / U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{3}} _{(T_{0},T_{1},T_{2},T_{3})}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{4}} _{B_{0},B_{1}}/\!/\!/\operatorname {U} (1)} 즉, 이는 R 4 × R 3 × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}} 의 초켈러 축소로 귀결된다. 토브-너트 계량은 점근 국소 평탄 공간이다. 즉, | r → | → ∞ {\displaystyle |{\vec {r}}|\to \infty } 극한에서, 토브-너트 계량은 S 1 × R 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{3}} 의 꼴을 가진다. R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 의 무한인 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위에서, S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 은 호프 올뭉치의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 가 된다. 이 경우, S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 은 무한대에서 유한한 크기를 갖는다. 다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 점근 국소 평탄 공간을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은 S 3 / Cyc ⁡ ( n ) = { ( z , w ) ∈ C 2 : | z | 2 + | w | 2 = 1 } ( z , w ) ∼ ( t z , t w ) ( t n = 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\operatorname {Cyc} (n)={\frac {\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z|^{2}+|w|^{2}=1\}}{(z,w)\sim (tz,tw)\quad (t^{n}=1)}}} 의 꼴이다. 이들은 역시 올다발 S 1 ↪ S 3 / Cyc ⁡ ( n ) ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}/\operatorname {Cyc} (n)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} [ ( z , w ) ] ↦ ( | z | 2 − | w | 2 , 2 z w ¯ ) {\displaystyle [(z,w)]\mapsto (|z|^{2}-|w|^{2},2z{\bar {w}})} 를 구성한다. L → 0 {\displaystyle L\to 0} 극한을 취하면, 이 해들은 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 에구치-핸슨 공간이다. 토브-너트 공간의 등거리 대칭군은 U ⁡ ( 2 ) ≅ U ⁡ ( 1 ) × SU ⁡ ( 2 ) Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {U} (2)\cong {\frac {\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SU} (2)}{\operatorname {Cyc} (2)}}} 이다.:296, §3 여기서 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 는 SO ⁡ ( 4 ) = SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4)={\frac {\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}{\operatorname {Cyc} (2)}}} 의 한 부분군이며, 구체적으로 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 의 SO(4) 회전 가운데 ω {\displaystyle \omega } 를 보존하는 것들이다. 즉, 토브-너트 공간은 4개의 킬링 벡터장을 갖는다. 이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 추이적 작용을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간(영어: homogeneous space)이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적(isotropic)이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다. SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 너트에 해당한다. 반대로, 볼트는 존재하지 않는다. 일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은 N ≥ 3 {\displaystyle N\geq 3} 일 때 O(2)이며, 이에 대한 고정점들은 모두 너트이다. 이는 기번스-호킹 가설 풀이의 퍼텐셜의 N {\displaystyle N} 개의 특이점들에 해당한다. N = 2 {\displaystyle N=2} 일 때는 대칭군은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 통과하는 축을 중심으로 하는 회전이다. 에이브러햄 해스켈 토브(영어: Abraham Haskel Taub, 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다.:§7 에즈라 시어도어 뉴먼(영어: Ezra Theodore Newman, 1929〜)과 루이스 탐부리노(영어: Louis A. Tamburino), 시어도어 운티(영어: Theodore Unti)가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다. 로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다. 다중 토브-너트 공간은 스티븐 호킹이 1977년에 발견하였다. 토브-너트 공간은 초켈러 다양체이므로, 끈 이론에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, M이론에서 D6-막은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 준 리만 다양체 M {\displaystyle M} 이 주어졌을 때, M × R 3 {\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{3}} 에서 M {\displaystyle M} 에 1개의 D6-막을 감은 상태는 M이론을 M × TN {\displaystyle M\times \operatorname {TN} } 위에 축소화한 것에 해당한다.:§3.4.3 (여기서 TN은 토브-너트 공간을 뜻한다.) 여러 개의 D6-막을 감은 상태는 다중 토브-너트 공간에 해당한다. 로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 일반 상대성 이론의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.:567–568 Clarkson, Richard (2005). 《Taub-NUT Spacetime in the(A)dS/CFT and M-Theory》 (영어). 박사 학위 논문. University of Waterloo. Bibcode:2005PhDT........18C.  Witten, Edward (2009). “Branes, instantons, and Taub-NUT spaces”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2009 (6): 67. arXiv:0902.0948. Bibcode:2009JHEP...06..067W. doi:10.1088/1126-6708/2009/06/067. ISSN 1029-8479.  Gaeta, G.; M. A. 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