보렐-베유-보트 정리

리 군 이론에서, 보렐-베유-보트 정리(영어: Borel–Weil–Bott theorem)는 반단순 리 군의 기약 표현을 어떤 복소수 선다발의 층 코호몰로지 군으로 나타내는 정리이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 복소수 반단순 리 군 G {\displaystyle G} 극대 원환면 T ≤ G {\displaystyle T\leq G} 보렐 부분군 T ≤ B ≤ G {\displaystyle T\leq B\leq G} B {\displaystyle B} 의 멱일 근기 U ≤ B ≤ G {\displaystyle U\leq B\leq G} . 특히 B / U = T {\displaystyle B/U=T} 이다. T ⊂ B ⊂ G ∪ U {\displaystyle {\begin{matrix}T&\subset &B&\subset &G\\&&\cup \\&&U\end{matrix}}} T {\displaystyle T} 의 정수 무게 λ : Lie ⁡ ( T ) ∗ → C {\displaystyle \lambda \colon \operatorname {Lie} (T)^{*}\to \mathbb {C} } . 즉, 군 표현 T → GL ⁡ ( 1 ; C ) = Unit ⁡ ( C ) {\displaystyle T\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\operatorname {Unit} (\mathbb {C} )} . 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. 사영 사상 B ↠ B / U = T {\displaystyle B\twoheadrightarrow B/U=T} 을 통한 B {\displaystyle B} 의 군 표현 C λ : B → GL ⁡ ( 1 ; C ) {\displaystyle C_{\lambda }\colon B\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )} B {\displaystyle B} -주다발 G ↠ G / B {\displaystyle G\twoheadrightarrow G/B} 에 대한, C λ {\displaystyle C_{\lambda }} 의 연관 벡터 다발 ( G × C ) / B = L − λ {\displaystyle (G\times \mathbb {C} )/B=L_{-\lambda }} . 이는 복소수 선다발이다. L − λ {\displaystyle L_{-\lambda }} 계수의 층 코호몰로지 군 H i ⁡ ( G / B ; L − λ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })} . 이는 각 자연수 i {\displaystyle i} 에 대한 복소수 벡터 공간이다. 또한, G {\displaystyle G} 가 ( G × C ) / B = L − λ {\displaystyle (G\times \mathbb {C} )/B=L_{-\lambda }} 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, G {\displaystyle G} 는 층 코호몰로지 군 H i ⁡ ( G / B ; L − λ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })} 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 C [ G ] {\displaystyle \mathbb {C} [G]} 의 왼쪽 가군을 이룬다. 또한, 다음을 정의할 수 있다. ρ {\displaystyle \rho } 가 G {\displaystyle G} 의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자. 정수 무게 λ {\displaystyle \lambda } 및 바일 군 W ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {W} (G)} 의 임의의 원소 w ∈ W ⁡ ( G ) {\displaystyle w\in \operatorname {W} (G)} 에 대하여, 작용 w λ = w ( λ + ρ ) − ρ {\displaystyle w\lambda =w(\lambda +\rho )-\rho } . 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다. length : W ⁡ ( G ) → N {\displaystyle \operatorname {length} \colon \operatorname {W} (G)\to \mathbb {N} } 은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다. 이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다. 바일 군 작용에 대한, λ {\displaystyle \lambda } 의 안정자군은 자명군이 아니다 ( ∃ w ≠ 1 : w λ = λ {\displaystyle \exists w\neq 1\colon w\lambda =\lambda } ). 이는 임의의 w ∈ W ⁡ ( G ) {\displaystyle w\in \operatorname {W} (G)} 에 대하여 w λ {\displaystyle w\lambda } 가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근 β {\displaystyle \beta } 에 대하여 ⟨ λ | β ∨ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \lambda |\beta ^{\vee }\rangle =0} 인 것과 동치이다. w λ {\displaystyle w\lambda } 가 우세 무게가 되는 바일 군 원소 w ∈ W ⁡ ( G ) {\displaystyle w\in \operatorname {W} (G)} 가 유일하게 존재한다. 이를 w λ {\displaystyle w_{\lambda }} 라고 하자. 또한, 우세 무게 w λ {\displaystyle w\lambda } 에 대응하는 G {\displaystyle G} 의 기약 표현이 G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V)} 라고 하자. 그렇다면, 각 경우에 대하여 보렐-베유-보트 정리에 따르면 층 코호몰로지 군 H i ⁡ ( G / B ; L − λ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })} 는 다음과 같다. ∀ i ∈ N : H i ⁡ ( G / B ; L − λ ) = 0 {\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })=0} H i ⁡ ( G / B ; L − λ ) = { 0 i ≠ length ⁡ ( w λ ) V ∗ i = length ⁡ ( w λ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })={\begin{cases}0&i\neq \operatorname {length} (w_{\lambda })\\V^{*}&i=\operatorname {length} (w_{\lambda })\end{cases}}} 특히, 이미 λ {\displaystyle \lambda } 가 우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며, w λ = 1 {\displaystyle w_{\lambda }=1} 이자 length ⁡ ( w λ ) = 0 {\displaystyle \operatorname {length} (w_{\lambda })=0} 이다. 이 경우를 보렐-베유 정리라고 한다. 다음과 같은 경우를 생각하자. G = SL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle G=\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )} (2×2 복소수 특수 선형군) B = B ⁡ ( 2 ; C ) = { ( a b 0 a − 1 ) : a ∈ C ∖ { 0 } , b ∈ C } {\displaystyle B=\operatorname {B} (2;\mathbb {C} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {C} \setminus \{0\},\;b\in \mathbb {C} \right\}} (상삼각 행렬로 구성된 부분군) U = { ( 1 b 0 1 ) : b ∈ C } {\displaystyle U=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\colon b\in \mathbb {C} \right\}} T = B / U ≅ C × {\displaystyle T=B/U\cong \mathbb {C} ^{\times }} G / B ≅ C P 1 {\displaystyle G/B\cong \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} (리만 구) 정수 무게 λ {\displaystyle \lambda } . 이는 정수 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여 C × → C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }} , z ↦ z n {\displaystyle z\mapsto z^{n}} 으로 주어진다. 선다발 L − λ {\displaystyle L_{-\lambda }} 는 리만 구의 표준 선다발의 거듭제곱 O ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n)} 이다. G = A 1 {\displaystyle G=A_{1}} 의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉 ρ = 1 {\displaystyle \rho =1} 이다. 이에 따라, 보렐-베유-보트 정리에 의하면 H 0 ⁡ ( C P 1 ; O ( n ) ) = Γ ( C P 1 ; O ( n ) ) ≅ Sym n ⁡ ( C 2 ) ∗ {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1};{\mathcal {O}}(n))=\Gamma (\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1};{\mathcal {O}}(n))\cong \operatorname {Sym} ^{n}(\mathbb {C} ^{2})^{*}} 는 표준 (2차원) 표현의 n {\displaystyle n} 차 대칭 거듭제곱이다. 아르망 보렐과 앙드레 베유가 우세 무게에 대한 경우(즉, 0차 층 코호몰로지에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 라울 보트가 이를 일반적 정수 무게에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다. Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (1989). 《The Penrose transform: its interaction with representation theory》 (영어). Oxford University Press.  “Bott–Borel–Weil theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Bott-Borel-Weil theorem”. 《nLab》 (영어).