오퍼라드

대수학과 대수적 위상수학에서 오퍼라드(영어: operad)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다. 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다. 자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 ( C , ⊗ , 1 ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1_{\otimes })} 에서, 대상 C ∈ C {\displaystyle C\in {\mathcal {C}}} 의 원소는 사상 1 ⊗ → C {\displaystyle 1_{\otimes }\to C} 로 정의하자. 대칭 모노이드 범주 ( C , ⊗ , 1 ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1_{\otimes })} 에서의 오퍼라드 ( P , ∘ , 1 P ) {\displaystyle (P,\circ ,1_{P})} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. (연산 집합) 모든 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 P ( n ) ∈ C {\displaystyle P(n)\in {\mathcal {C}}} . P ( n ) {\displaystyle P(n)} 의 원소를 각각 n {\displaystyle n} -항 연산(영어: n-ary operation)이라고 한다. (항등 연산) P ( 1 ) {\displaystyle P(1)} 의 원소 1 P ∈ P ( 1 ) {\displaystyle 1_{P}\in P(1)} . 이를 항등 연산(영어: unit)이라고 한다. (변수의 치환) 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 군 준동형 ∗ : Sym ⁡ ( n ) → Aut C ⁡ ( P ( n ) , P ( n ) ) {\displaystyle *\colon \operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Aut} _{\mathcal {C}}(P(n),P(n))} . 여기서 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 대칭군이다. (연산의 합성) 자연수 n , n 1 , n 2 , … , n n ∈ N {\displaystyle n,n_{1},n_{2},\dots ,n_{n}\in \mathbb {N} } 에 대해, 함수들 P ( n ) ⊗ P ( n 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ P ( n n ) → P ( n 1 + ⋯ + n n ) ( θ , θ 1 , … , θ n ) ↦ θ ∘ ( θ 1 , … , θ n ) {\displaystyle {\begin{matrix}P(n)\otimes P(n_{1})\otimes \cdots \otimes P(n_{n})&\to &P(n_{1}+\cdots +n_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto &\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\end{matrix}}} 이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다. (결합법칙) 모든 θ ∈ P ( n ) {\displaystyle \theta \in P(n)} , θ i ∈ P ( n i ) {\displaystyle \theta _{i}\in P(n_{i})} , θ i , j ( i ) ∈ P ( n i , j ( i ) ) {\displaystyle \theta _{i,j(i)}\in P(n_{i,j(i)})} 에 대하여 ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} , j ( i ) : 1 , … , n i {\displaystyle j(i)\colon 1,\dots ,n_{i}} ), θ ∘ ( θ 1 ∘ ( θ 1 , 1 , … , θ 1 , n 1 ) , … , θ n ∘ ( θ n , 1 , … , θ n , n n ) ) = ( θ ∘ ( θ 1 , … , θ n ) ) ∘ ( θ 1 , 1 , … , θ 1 , n 1 , … , θ n , 1 , … , θ n , n n ) {\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}}))=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}})} (항등원의 성질) 모든 θ ∈ P ( n ) {\displaystyle \theta \in P(n)} 에 대하여, θ ∘ ( 1 , … , 1 ⏞ n ) = θ = 1 ∘ θ {\displaystyle \theta \circ (\overbrace {1,\ldots ,1} ^{n})=\theta =1\circ \theta } (치환의 작용) 모든 θ ∈ P ( n ) {\displaystyle \theta \in P(n)} 및 θ i ∈ P ( n i ) {\displaystyle \theta _{i}\in P(n_{i})} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} ) 및 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (n)} 에 대하여, ( θ ∘ ( θ 1 , … , θ n ) ) ∗ σ = θ ∘ ( θ σ ( 1 ) , … , θ σ ( n ) ) {\displaystyle (\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n}))*\sigma =\theta \circ (\theta _{\sigma (1)},\dots ,\theta _{\sigma (n)})} (치환의 작용) 모든 θ ∈ P ( n ) {\displaystyle \theta \in P(n)} 및 θ i ∈ P ( n i ) {\displaystyle \theta _{i}\in P(n_{i})} 및 순열 σ 1 ∈ Sym ⁡ ( n i ) {\displaystyle \sigma _{1}\in \operatorname {Sym} (n_{i})} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} )에 대하여, ( θ ∘ ( θ 1 ∗ σ 1 , … , θ n ∗ σ n ) ) = ( θ ∘ ( θ 1 , … , θ n ) ) ∗ ι ( σ 1 , … , σ n ) {\displaystyle (\theta \circ (\theta _{1}*\sigma _{1},\dots ,\theta _{n}*\sigma _{n}))=\left(\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})\right)*\iota (\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})} 여기서 ι : ∏ i = 1 n Sym ⁡ ( n i ) ↪ Sym ⁡ ( ∑ i = 1 n n i ) {\displaystyle \iota \colon \prod _{i=1}^{n}\operatorname {Sym} (n_{i})\hookrightarrow \operatorname {Sym} (\sum _{i=1}^{n}n_{i})} 는 군의 자연스러운 포함 관계이다. 같은 대칭 모노이드 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 두 오퍼라드 ( P , ∘ P , 1 P ) {\displaystyle (P,\circ _{P},1_{P})} , ( Q , ∘ Q , 1 Q ) {\displaystyle (Q,\circ _{Q},1_{Q})} 사이의 사상 f : P → Q {\displaystyle f\colon P\to Q} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 사상 f ( n ) : P ( n ) → Q ( n ) {\displaystyle f(n)\colon P(n)\to Q(n)} . 이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다. (연산 합성의 보존) 모든 ( θ , θ 1 , θ 2 , … , θ n ) ∈ P ( n ) × P ( n 1 ) × P ( n 2 ) × ⋯ × P ( k n ) {\displaystyle (\theta ,\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})\in P(n)\times P(n_{1})\times P(n_{2})\times \cdots \times P(k_{n})} 에 대하여, f ( θ ∘ P ( θ 1 , … , θ n ) ) = f ( θ ) ∘ Q ( f ( θ 1 ) , … , f ( θ n ) ) {\displaystyle f(\theta \circ _{P}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ _{Q}(f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))} (항등원의 보존) f ( 1 P ) = 1 Q {\displaystyle f(1_{P})=1_{Q}} (대칭군의 작용의 보존) 이에 따라, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서의 오퍼라드들은 범주 C - O p e r a d {\displaystyle {\mathcal {C}}\operatorname {-Operad} } 를 이룬다. 집합의 데카르트 닫힌 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 속의 오퍼라드 ( P , ∘ P , 1 P ) {\displaystyle (P,\circ _{P},1_{P})} 가 주어지면, 이로부터 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 위의 모나드 P ^ : Set → Set {\displaystyle {\hat {P}}\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} } 를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 S {\displaystyle S} 는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, P ^ ( S ) {\displaystyle {\hat {P}}(S)} 는 P {\displaystyle P} 와 S {\displaystyle S} 를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 P ^ P ^ ⟹ P ^ {\displaystyle {\hat {P}}{\hat {P}}\implies {\hat {P}}} 는 P {\displaystyle P} 의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다. 오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 오퍼라드 대수라고 한다. ( C , ⊗ , 1 ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1)} 가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(영어: endomorphism operad) End C ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)} 는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다. 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, End C ⁡ ( X ) ( n ) = hom C ⁡ ( X n , X ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)(n)=\hom _{\mathcal {C}}(X^{n},X)} 1 End C ⁡ ( X ) = id X {\displaystyle 1_{\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)}=\operatorname {id} _{X}} 각 θ , θ 1 , … , θ n {\displaystyle \theta ,\theta _{1},\dots ,\theta _{n}} 에 대하여, θ ∘ ( θ 1 , … , θ n ) = θ ∘ ⊗ i = 1 n θ i {\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})=\theta \circ \otimes _{i=1}^{n}\theta _{i}} 양의 정수 k {\displaystyle k} 에 대하여, k {\displaystyle k} 차원 초입방체 오퍼라드(영어: n-cubes operad) C k {\displaystyle C_{k}} 는 다음과 같다. C k ( n ) {\displaystyle C_{k}(n)} 은 n {\displaystyle n} 개의 k {\displaystyle k} 차원 초입방체 ◻ 1 , … , ◻ n {\displaystyle \square _{1},\dots ,\square _{n}} 를 하나의 k {\displaystyle k} 차원 초입방체 ◻ {\displaystyle \square } 에 서로 겹치지 않고, ◻ i {\displaystyle \square _{i}} 의 면들이 ◻ {\displaystyle \square } 의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다. C k {\displaystyle C_{k}} 의 항등원은 초입방체 ◻ {\displaystyle \square } 위의 항등 함수이다. C k {\displaystyle C_{k}} 에서, θ : ◻ 1 ⊔ ⋯ ⊔ ◻ n ↪ ◻ {\displaystyle \theta \colon \square _{1}\sqcup \cdots \sqcup \square _{n}\hookrightarrow \square } 와 θ i : ◻ i , 1 ⊔ ⋯ ⊔ ◻ i , n i ↪ ◻ i {\displaystyle \theta _{i}\colon \square _{i,1}\sqcup \cdots \sqcup \square _{i,n_{i}}\hookrightarrow \square _{i}} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} )의 합성은 매장을 합성하여, θ i , j {\displaystyle \theta _{i,j}} 를 θ {\displaystyle \theta } 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다. 벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 Vect K {\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}} 위에서 다음과 같은 오퍼라드 Assoc K {\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}} 를 정의하자. Assoc K {\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}} 의 n {\displaystyle n} 항 연산은 n ! {\displaystyle n!} 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간 Span K ⁡ Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\operatorname {Sym} (n)} 이다. 여기서 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 크기가 n ! {\displaystyle n!} 인 대칭군이다. Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 의 작용은 군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다. Assoc K {\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}} 의 연산의 합성은 군 준동형 Sym ⁡ ( n 1 ) × ⋯ × Sym ⁡ ( n k ) → Sym ⁡ ( n 1 + ⋯ + n k ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {Sym} (n_{k})\to \operatorname {Sym} (n_{1}+\cdots +n_{k})} 의 선형 확장이다. 이 경우, Assoc K {\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}} 위의 대수는 결합 K {\displaystyle K} -대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다. 존 피터 메이(영어: Jon Peter May)와 마이클 보드먼(영어: J. Michael Boardman), 라이너 폭트(독일어: Rainer M. Vogt) 가 호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다. 메이에 따르면, "오퍼라드"(영어: operad 오퍼래드[*])는 영어: operation 오퍼레이션[*](연산)과 영어: monad 모내드[*](모나드)의 합성어이다. 이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다. 수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다. 이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다. Stasheff, Jim (2004년 6월). “What is … an operad?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (6): 630–631. Zbl 1151.18301.  May, J. Peter (1997). 〈Operads, algebras and modules〉 (PDF). 《Operads: proceedings of renaissance conferences》. Contemporary Mathematics (영어) 202. American Mathematical Society. 15–31쪽. ISBN 978-0-8218-0513-8. Zbl 0879.18001.  Markl, Martin (2008년 3월). 〈Operads and PROPs〉. 《Handbook of algebra, volume 5》 (영어). 87–140쪽. arXiv:math/0601129. Bibcode:2006math......1129M. doi:10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 978-0-444-53101-8. Zbl 1211.18007.  May, J. P. (1972). 《The geometry of iterated loop spaces》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 271. Springer. doi:10.1007/BFb0067491. ISBN 978-3-540-05904-2. ISSN 0075-8434. Zbl 0244.55009. 2015년 7월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 15일에 확인함.  Boardman, J. Michael; Rainer M. Vogt (1973). 《Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 347. Springer. doi:10.1007/BFb0068547. ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN 0075-8434. Zbl 0285.55012.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Leinster, Tom (2004년 8월). 《Higher operads, higher categories》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 298. Cambridge University Press. arXiv:math/0305049. Bibcode:2003math......5049L. doi:10.1017/CBO9780511525896. ISBN 978-052153215-0. Zbl 1160.18001.  Markl, Martin; Steve Shnider, Jim Stasheff (2002). 《Operads in algebra, topology and physics》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 96. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4362-8. Zbl 1017.18001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Vallette, Bruno (2014). 〈Algebra + homotopy = operad〉. 《Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 62. 101–162쪽. arXiv:1202.3245. Bibcode:2012arXiv1202.3245V.  “Operad”. 《nLab》 (영어).  Zinbiel, Guillaume W. (2010). “Encyclopedia of types of algebras 2010” (영어). arXiv:1101.0267.  A∞-오퍼라드