칸 확대

범주론에서 칸 확대(Kan擴大, 영어: Kan extension)는 어떤 함자의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} , C ′ {\displaystyle {\mathcal {C}}'} 및 함자 F : C → C ′ {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F {\displaystyle F} 와의 합성은 임의의 범주 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 에 대하여, 두 함자 범주 사이의 함자 F ∗ : [ C ′ , D ] → [ C , D ] {\displaystyle F^{*}\colon [{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]\to [{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]} F ∗ : X ↦ X ∘ F {\displaystyle F^{*}\colon X\mapsto X\circ F} 를 정의한다. 만약 F ∗ {\displaystyle F^{*}} 가 왼쪽 수반 함자 F ! ⊣ F ∗ {\displaystyle F_{!}\dashv F^{*}} 를 갖는다면, 임의의 함자 X : C → D {\displaystyle X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 에 대하여 함자 F ! ( X ) : C ′ → D {\displaystyle F_{!}(X)\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}} 를 X {\displaystyle X} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 왼쪽 칸 확대(영어: left Kan extension)라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 Lan F ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X} 로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 Y : C ′ → D {\displaystyle Y\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}} 에 대하여 자연 동형 hom [ C , D ] ⁡ ( X , F ∗ Y ) ≅ hom [ C ′ , D ] ⁡ ( Lan F ⁡ X , Y ) {\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{*}Y)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} _{F}X,Y)} 이 존재한다. 마찬가지로, 만약 F ∗ {\displaystyle F^{*}} 가 오른쪽 수반 함자 F ∗ ⊣ F ∗ {\displaystyle F^{*}\dashv F_{*}} 를 갖는다면, 임의의 함자 X : C → D {\displaystyle X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 에 대하여 함자 F ∗ ( X ) : C ′ → D {\displaystyle F_{*}(X)\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}} 를 X {\displaystyle X} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 오른쪽 칸 확대(영어: right Kan extension)라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 Ran F ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X} 로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 Y : C ′ → D {\displaystyle Y\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}} 에 대하여 자연 동형 hom [ C , D ] ⁡ ( F ∗ Y , X ) ≅ hom [ C ′ , D ] ⁡ ( Y , Ran F ⁡ X ) {\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{*}Y,X)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} _{F}X)} 이 존재한다. 위에서 정의된 함자 Lan F {\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}} 및 Ran F {\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}} 가 일반적으로 존재하지 않더라도, 특별한 함자 X {\displaystyle X} 에 대하여 Lan F ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X} 또는 Ran F ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X} 가 존재할 수 있다. 이러한 국소 칸 확대(영어: local Kan extension)의 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 국소화한 것이다. 즉, X {\displaystyle X} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 (국소) 왼쪽 칸 확대는 함자 Lan F ⁡ X : C ′ → D {\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}} 및 자연 동형 hom [ C , D ] ⁡ ( X , F ∗ ( − ) ) ≅ hom [ C ′ , D ] ⁡ ( Lan F ⁡ X , − ) {\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{*}(-))\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} _{F}X,-)} 으로 구성된다. 마찬가지로, X {\displaystyle X} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 (국소) 오른쪽 칸 확대는 함자 Ran F ⁡ X : C ′ → D {\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}} 및 자연 동형 hom [ C , D ] ⁡ ( F ∗ Y , X ) ≅ hom [ C ′ , D ] ⁡ ( Y , Ran F ⁡ X ) {\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{*}Y,X)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} _{F}X)} 으로 구성된다. 1 {\displaystyle 1} 이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 X : C → D {\displaystyle X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 에 대하여, X {\displaystyle X} 의 C → 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}\to 1} 에 대한 오른쪽 칸 확대는 X {\displaystyle X} 의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는 X {\displaystyle X} 의 쌍대극한이다. 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 의 왼쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 Id C {\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 오른쪽 칸 확대 F ∗ Id C : D → C {\displaystyle F_{*}\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} 와 같다. F ∗ Id C ⊣ F {\displaystyle F_{*}\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\dashv F} 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 의 오른쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 Id D {\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {D}}} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 왼쪽 칸 확대 F ! Id D : D → C {\displaystyle F_{!}\operatorname {Id} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} 와 같다. F ⊣ F ! Id D {\displaystyle F\dashv F_{!}\operatorname {Id} _{\mathcal {D}}} 다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  “Kan extension”. 《nLab》 (영어).