르메트르-톨먼 계량

르메트르-톨먼 계량(Lemaître-Tolman metric)은 르메트르-톨먼-본디 계량(Lemaître-Tolman-Bondi metric) 또는 톨먼 계량이라고도 하는데, 물리학에서 아인슈타인 장 방정식의 엄밀해에 기초하는 로런츠 계량의 하나이다. 이 해에 의해서 균질하지 않은 등방성 팽창 또는 수축하는 우주가 설명되므로, 우주론에서 우주 팽창을 모델링하기 위해 표준 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 대안으로 사용되기도 한다. 또한 우주의 가속 팽창을 설명하기 위해 물질의 프랙탈 분포를 갖는 우주를 모델링하는 데에도 사용되었다. 이 해는 1933년 조르주 르메트르와 1934년 리처드 톨먼에 의해 최초로 구해졌는데, 그 후 1947년 헤르만 본디에 의해 연구되었다. g 00 = 1 {\displaystyle g_{00}=1} 그리고 g 0 α = 0 {\displaystyle g_{0\alpha }=0} 인 동기된 기준계에서 시간 좌표 x 0 = t {\displaystyle x^{0}=t} ( G = c = 1 {\displaystyle G=c=1} 로 설정됨) 역시 고유 시간 τ = g 00 x 0 {\displaystyle \tau ={\sqrt {g_{00}}}x^{0}} 이고, 모든 지점의 시계는 동기화 될 수 있다. 압력이 0인 먼지와 같은 매체의 경우, 먼지 입자는 측지선을 따라 자유롭게 이동하므로 동기된 프레임은 4가지 속도의 구성 요소 u i = d x i / d s {\displaystyle u^{i}=dx^{i}/ds} 가 u 0 = 1 , u α = 0 {\displaystyle u^{0}=1,\,u^{\alpha }=0} 로 되는 공변 프레임이기도 하다. 장 방정식의 해는 아래와 같이, d s 2 = d τ 2 − e λ ( τ , R ) d R 2 − r 2 ( τ , R ) ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-e^{\lambda (\tau ,R)}dR^{2}-r^{2}(\tau ,R)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})} 인데, 여기서 r {\displaystyle r} 은 반경이 r {\displaystyle r} 인 구의 표면적이 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} 이 된다는 의미에서 '반경' 또는 '광도 거리'이며, R {\displaystyle R} 은 라그랑지안 좌표로 해석되며 1 + f > 0 {\displaystyle 1+f>0} 그리고 F > 0 {\displaystyle F>0} 인 조건 하에서 e λ = r ′ 2 1 + f ( R ) , ( ∂ r ∂ τ ) 2 = f ( R ) + F ( R ) r , 4 π r 2 ρ = F ′ ( R ) 2 r ′ {\displaystyle e^{\lambda }={\frac {r'^{2}}{1+f(R)}},\quad \left({\frac {\partial r}{\partial \tau }}\right)^{2}=f(R)+{\frac {F(R)}{r}},\quad 4\pi r^{2}\rho ={\frac {F'(R)}{2r'}}} 이 된다. 여기서 f ( R ) {\displaystyle f(R)} 및 F ( R ) {\displaystyle F(R)} 은 임의의 함수이고 ρ {\displaystyle \rho } 는 물질의 밀도이다. 또한 F ′ > 0 {\displaystyle F'>0} 그리고 r ′ > 0 {\displaystyle r'>0} 를 가정하면 이러한 운동 중에 물질 입자가 교차하는 경우가 제외된다. 입자 각각에는 R {\displaystyle R} , 함수 r ( τ , R ) {\displaystyle r(\tau ,R)} 가 주어지고, 그 시간 미분에 의하여 그 운동 법칙과 방사 방향의 속도가 주어진다. 위에서 설명한 해의 흥미로운 특징으로는 f ( R ) {\displaystyle f(R)} 및 F ( R ) {\displaystyle F(R)} 이 R {\displaystyle R} 의 함수로 도시되면, R ∈ [ 0 , R 0 ] {\displaystyle R\in [0,R_{0}]} 범위에서 도시된 이러한 함수의 형태가 R > R 0 {\displaystyle R>R_{0}} 에서 도시되는 함수의 모양과 무관하다는 점이다 . 이러한 예측은 뉴턴의 이론과 명확히 유사하다. 여기서 R = R 0 {\displaystyle R=R_{0}} 인 구의 내부 총 질량은 m = 4 π ∫ 0 r ( τ , R 0 ) ρ r 2 d r = 4 π ∫ 0 R 0 ρ r ′ r 2 d R = F ( R 0 ) 2 {\displaystyle m=4\pi \int _{0}^{r(\tau ,R_{0})}\rho r^{2}dr=4\pi \int _{0}^{R_{0}}\rho r'r^{2}dR={\frac {F(R_{0})}{2}}} 이 되는데, 이 식은 슈바르츠실트 반경이 r s = 2 m = F ( R 0 ) {\displaystyle r_{s}=2m=F(R_{0})} 로 주어진다는 것을 의미한다. 함수 r ( τ , R ) {\displaystyle r(\tau ,R)} 은 적분에 의하여 구할 수도 있는데, 매개변수 η {\displaystyle \eta } 를 가지는 매개변수 형식으로는 아래의 세 가지의 해, f > 0 :                 r = F 2 f ( cosh ⁡ η − 1 ) , τ 0 − τ = F 2 f 3 / 2 ( sinh ⁡ η − η ) , {\displaystyle f>0:~~~~~~~~r={\frac {F}{2f}}(\cosh \eta -1),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2f^{3/2}}}(\sinh \eta -\eta ),} f < 0 :                 r = F − 2 f ( 1 − cosh ⁡ η ) , τ 0 − τ = F 2 ( − f ) 3 / 2 ( η − sinh ⁡ η ) {\displaystyle f<0:~~~~~~~~r={\frac {F}{-2f}}(1-\cosh \eta ),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2(-f)^{3/2}}}(\eta -\sinh \eta )} f = 0 :                 r = ( 9 F 4 ) 1 / 3 ( τ 0 − τ ) 2 / 3 {\displaystyle f=0:~~~~~~~~r=\left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3}} 가 가능한데, 여기서 τ 0 ( R ) {\displaystyle \tau _{0}(R)} 가 또 다른 임의의 함수로 등장한다. 그러나 우리는 중심 대칭의 물질 분포가 최대 두 가지 함수, 즉 밀도 분포와 물질의 지름방향 속도로 설명될 수 있다는 것을 알고 있는데, 이는 세 가지 함수 f , F , τ 0 {\displaystyle f,F,\tau _{0}} 중에서 단 2개만이 독립이라는 것을 의미한다. 사실 라그랑지 좌표 R {\displaystyle R} 을 특별히 선택하지 않았고 여전히 임의의 변환을 적용할 수 있으므로, 두개의 함수만이 임의적이라는 것을 알 수 있다. 먼지와 같은 매체의 경우에는 r = r ( τ ) {\displaystyle r=r(\tau )} 그리고 독립적인 R {\displaystyle R} 이 되는 또다른 해가 있지만, 이러한 해는 유한한 물체의 붕괴에 해당하지는 않는다. F = r s = {\displaystyle F=r_{s}=} const. 이면, ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} 가 되고, 따라서 해는 중앙에 점 질량이 있는 빈 공간에 해당한다. 추가로 f = 0 {\displaystyle f=0} 그리고 τ 0 = R {\displaystyle \tau _{0}=R} 로 한정하면, 이 해는 르메트르 좌표로 표현된 슈바르츠실트 해로 환원된다. 중력 붕괴는 τ {\displaystyle \tau } 가 τ 0 ′ > 0 {\displaystyle \tau _{0}'>0} 이면서 τ 0 ( R ) {\displaystyle \tau _{0}(R)} 에 도달하면 발생한다. τ = τ 0 ( R ) {\displaystyle \tau =\tau _{0}(R)} 일 때는 라그랑주 좌표 R {\displaystyle R} 로 표시되는 물질의 중심점 도달에 해당한다. τ → τ 0 ( R ) {\displaystyle \tau \rightarrow \tau _{0}(R)} 가 되면 세 가지의 모든 경우에서 그 점근적 거동은 아래와 같이 r ≈ ( 9 F 4 ) 1 / 3 ( τ 0 − τ ) 2 / 3 , e λ / 2 ≈ ( 2 F 3 ) 1 / 3 τ 0 ′ 1 + f ( τ 0 − τ ) − 1 / 3 , 4 π ρ ≈ F ′ 3 F τ 0 ′ ( τ 0 − τ ) {\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2F}{3}}\right)^{1/3}{\frac {\tau _{0}'}{\sqrt {1+f}}}(\tau _{0}-\tau )^{-1/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {F'}{3F\tau _{0}'(\tau _{0}-\tau )}}} 로 주어지며, 여기서 처음 두 관계식은 공변계에서 모든 지름방향의 거리가 무한대에 가까워지는 경향이 있고 접선 거리가 τ − τ 0 {\displaystyle \tau -\tau _{0}} 처럼 0에 접근한다는 것을 나타낸다. 반면에 세 번째 관계식은 물질 밀도가 1 / ( τ 0 − τ ) {\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau )} 와 같이 증가함을 보여준다. τ 0 ( R ) = {\displaystyle \tau _{0}(R)=} 상수이어서 모든 물질 입자의 붕괴 시간이 동일한 특별한 경우에는, 그 점근적 거동은 상이하여, r ≈ ( 9 F 3 ) 1 / 3 ( τ 0 − τ ) 2 / 3 , e λ / 2 ≈ ( 2 3 ) 1 / 3 F ′ 2 F 2 / 3 1 + f ( τ 0 − τ ) 2 / 3 , 4 π ρ ≈ 2 3 ( τ 0 − τ ) 2 {\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{3}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2}{3}}\right)^{1/3}{\frac {F'}{2F^{2/3}{\sqrt {1+f}}}}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {2}{3(\tau _{0}-\tau )^{2}}}} 로 된다. 여기서 접선 거리와 지름 거리 모두 ( τ 0 − τ ) 2 / 3 {\displaystyle (\tau _{0}-\tau )^{2/3}} 와 같이 0이 되는데, 반면에 물질 밀도는 1 / ( τ 0 − τ ) 2 {\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau )^{2}} 와 같이 증가하게 된다. 르메트르 좌표 일반 상대성 이론의 수학 입문 스트레스-에너지 텐서 계량 텐서(일반 상대성 이론) 상대론적 각운동량 불균일 우주론 Tolman, Richard C. (1934). “Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models”. 《Proc. Natl. Acad. Sci.》 (National Academy of Sciences of the USA) 20 (3): 169–76. Bibcode:1934PNAS...20..169T. doi:10.1073/pnas.20.3.169. PMC 1076370. PMID 16587869.  Krasinski, Andrzej (1997). 《Inhomogeneous Cosmological Models》 1판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48180-5.  W. D'Arcy Kenworthy; Dan Scolnic; Adam Riess (2019년 4월 24일). “The Local Perspective on the Hubble Tension: Local Structure Does Not Impact Measurement of the Hubble Constant”. 《The Astrophysical Journal》 875 (2): 145. arXiv:1901.08681. Bibcode:2019ApJ...875..145K. doi:10.3847/1538-4357/ab0ebf.  Rong-Gen Cai; Jia-Feng Ding; Zong-Kuan Guo; Shao-Jiang Wang; Wang-Wei Yu (2021년 6월 22일). “Do the observational data favor a local void?”. 《Physical Review D》 103 (12): 123539. arXiv:2012.08292. Bibcode:2021PhRvD.103l3539C. doi:10.1103/PhysRevD.103.123539.  Vladimir V. Luković; Balakrishna S. Haridasu; Nicola Vittorio (2019년 11월 4일). “Exploring the evidence for a large local void with supernovae Ia data”. 《Monthly Notices of the Royal Astronomical Society》 491 (2). arXiv:1907.11219. doi:10.1093/mnras/stz3070.  Leonardo Cosmai; Giuseppe Fanizza; Francesco Sylos Labini; Luciano Pietronero; Luigi Tedesco (2019년 1월 28일). “Fractal universe and cosmic acceleration in a Lemaître–Tolman–Bondi scenario”. 《Classical and Quantum Gravity》 36 (4): 045007. arXiv:1810.06318. Bibcode:2019CQGra..36d5007C. doi:10.1088/1361-6382/aae8f7.  Lemaître, G. (1933). “l'Universe en expansion”. 《Annales de la Société Scientifique de Bruxelles》 53: 51–85.  Bondi, Hermann (1947). “Spherically symmetrical models in general relativity”. 《Monthly Notices of the Royal Astronomical Society》 107 (5–6): 410–425. Bibcode:1947MNRAS.107..410B. doi:10.1093/mnras/107.5-6.410.  Landau, L. D. (Ed.). (2013). The classical theory of fields (Vol. 2). Elsevier. Zel’dovich, Y. B., & Novikov, I. D. (2014). Stars and relativity. Courier Corporation. Ruban, V. A. (1969). Spherically symmetric T-models in the general theory of relativity. Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics, 29.