4차원 회전군

리 군론에서 4차원 회전군(四次元回轉群, 영어: four-dimensional rotation group)은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 4차원 특수 직교군 SO ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )} 및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 Spin ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)} 이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준 SO ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)} (4차원 로런츠 군) SO ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)} 및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다. 이 군에 대응하는 딘킨 도표는 ∙ ∙ {\displaystyle \bullet \qquad \bullet } 이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다. 이들은 다음과 같이 대응된다. Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)} 의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현 2 ⊗ 1 {\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {1} } 1 ⊗ 2 {\displaystyle \mathbf {1} \otimes \mathbf {2} } 에 해당한다. 마찬가지로, SO ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4)} 의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)} 의 쌍벡터 표현 2 ⊗ 2 {\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {2} } 에 해당한다. 부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)} 의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다. 4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간 H {\displaystyle \mathbb {H} } 으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식 ⟨ x , y ⟩ = 1 2 tr ⁡ ( x y ∗ ) {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (xy^{*})} 가 주어져 있다. 여기서 우변의 y ∗ {\displaystyle y^{*}} 는 사원수의 켤레이다. 사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다. v ↦ a v b ∗ ( a , b ∈ H ) {\displaystyle v\mapsto avb^{*}\qquad (a,b\in \mathbb {H} )} 즉, 이는 H {\displaystyle \mathbb {H} } 위의, 가역 사원수의 리 군 Unit ⁡ ( H ) = H ∖ { 0 } {\displaystyle \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )=\mathbb {H} \setminus \{0\}} 의 2차 직접곱 Unit ⁡ ( H ) × Unit ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )} 의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 ⟨ − , − ⟩ {\displaystyle \langle -,-\rangle } 을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군 SU ⁡ ( 2 ; C ) × SU ⁡ ( 2 ; C ) ≅ SL ⁡ ( 1 ; H ) × SL ⁡ ( 1 ; H ) ≤ Unit ⁡ ( H ) × Unit ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\leq \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )} 은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형 SU ⁡ ( 2 ; C ) × SU ⁡ ( 2 ; C ) → SO ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )} 를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다. { ( + 1 , + 1 ) , ( − 1 , − 1 ) } ⊊ H × H {\displaystyle \{(+1,+1),(-1,-1)\}\subsetneq \mathbb {H} \times \mathbb {H} } Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) Spin ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (2,2)} 의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 SL ⁡ ( 2 ; R ) × SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현 2 ⊗ 1 {\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {1} } 1 ⊗ 2 {\displaystyle \mathbf {1} \otimes \mathbf {2} } 에 해당한다. 부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 SL ⁡ ( 2 ; R ) 2 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}} 의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다. 이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군 Z ⁡ ( SL ⁡ ( 2 ; R ) × SL ⁡ ( 2 ; R ) ) = Z ⁡ ( SL ⁡ ( 2 ; R ) ) × Z ⁡ ( SL ⁡ ( 2 ; R ) ) ≅ Cyc ⁡ ( 2 ) × Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\times \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\cong \operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2)} 이다. 이는 SL ⁡ ( 2 ; R ) 2 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}} 에서 { ( σ 1 2 × 2 , σ ′ 1 2 × 2 ) : σ , σ ′ ∈ { ± 1 } } {\displaystyle \{(\sigma 1_{2\times 2},\sigma '1_{2\times 2})\colon \sigma ,\sigma '\in \{\pm 1\}\}} 에 해당하며, SO ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)} 에서 이 중심 부분군은 몫군 Z ⁡ ( SO ⁡ ( 2 , 2 ) ) = { ± 1 4 × 4 } {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SO} (2,2))=\{\pm 1_{4\times 4}\}} 에 해당한다. 중심에 대한 몫군은 PSO ⁡ ( 2 , 2 ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; R ) × PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (2,2)\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 이다. 구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 Mat ⁡ ( 2 , 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )} 위에, 행렬식 det ( a b c d ) = a d − b c {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc} 은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식 ⟨ ( a b c d ) , ( a ′ b ′ c ′ d ′ ) ⟩ = 1 2 ( a d ′ − b c ′ + d a ′ − c b ′ ) {\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left(ad'-bc'+da'-cb'\right)} 을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다. Mat ⁡ ( 2 , 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )} 위에는 GL ⁡ ( 2 ; R ) × GL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )} 가 다음과 같이 작용한다. ( g , h ) ⋅ v = g v h − 1 {\displaystyle (g,h)\cdot v=gvh^{-1}} 이는 일반적으로 쌍선형 형식 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } 을 보존하지 않으나, 그 SL ⁡ ( 2 ; R ) × SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형 SL ⁡ ( 2 ; R ) × SL ⁡ ( 2 ; R ) → SO ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (2,2)} 을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군 { ( + 1 2 × 2 , + 1 2 × 2 ) , ( − 1 2 × 2 , − 1 2 × 2 ) } {\displaystyle \left\{\left(+1_{2\times 2},+1_{2\times 2}\right),\left(-1_{2\times 2},-1_{2\times 2}\right)\right\}} 이다. Spin ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)} 은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군) Spin ⁡ ( 1 , 3 ) ≅ SL ⁡ ( 2 ; C ) ≅ Aut ⁡ ( C P 1 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Aut} (\mathbb {CP} ^{1})} 이다. Spin ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)} 의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 SL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )} 의 정의 표현 2 {\displaystyle \mathbb {2} } 및 그 복소수 켤레 2 ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}} 에 대응한다. SO ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)} 의 4차원 실수 정의 표현 4 {\displaystyle \mathbf {4} } 는 SL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )} 의 표현 2 ⊗ 2 ¯ {\displaystyle \mathbf {2} \otimes {\bar {\mathbf {2} }}} 에 대응한다. 이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 F {\displaystyle F} 에 대하여 ∗ ∗ F = − F {\displaystyle **F=-F} 이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 Spin ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)} 이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다. 구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자. V = { ( z i x i y z ¯ ) : z ∈ C , x , y ∈ R } {\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}z&\mathrm {i} x\\\mathrm {i} y&{\bar {z}}\end{pmatrix}}\colon z\in \mathbb {C} ,\;x,y\in \mathbb {R} \right\}} V {\displaystyle V} 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다. ⟨ u , v ⟩ = 1 2 Re ⁡ ( tr ⁡ ( u v ¯ ) ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {tr} (u{\bar {v}}))} 이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다. 즉, V {\displaystyle V} 를 민코프스키 공간 R 1 , 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}} 으로 여길 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 꼴의 SL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )} 의 작용이 존재한다. v ↦ G v G ¯ − 1 ( G ∈ SL ⁡ ( 2 ; C ) , v ∈ V ) {\displaystyle v\mapsto Gv{\bar {G}}^{-1}\qquad (G\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ),\;v\in V)} 이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형 SL ⁡ ( 2 ; C ) → SO ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (1,3)} 을 정의한다. 그 핵은 물론 { ± 1 2 × 2 } = Z ⁡ ( SL ⁡ ( 2 ; C ) ) {\displaystyle \left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ))} 이다. SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자. SO ⁡ ( 4 ; C ) ↪ SL ⁡ ( 4 ; C ) ↠ ϕ SO ⁡ ( 6 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {C} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {C} )\,{\overset {\phi }{\twoheadrightarrow }}\,\operatorname {SO} (6;\mathbb {C} )} 여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 ϕ {\displaystyle \phi } 는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다. SO ⁡ ( 4 ; R ) ↪ SU ⁡ ( 4 ) ≅ Spin ⁡ ( 6 ) ↠ SO ⁡ ( 6 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )} SO ⁡ ( 2 , 2 ) ↪ SU ⁡ ( 2 , 2 ) ≅ Spin ⁡ ( 4 , 2 ) ↠ SO ⁡ ( 4 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)\hookrightarrow \operatorname {SU} (2,2)\cong \operatorname {Spin} (4,2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (4,2)} SO ⁡ ( 3 , 1 ) ↪ SU ⁡ ( 3 , 1 ) ↠ SO ∗ ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (3,1)\hookrightarrow \operatorname {SU} (3,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} ^{*}(6)} SO ⁡ ( 4 ; R ) ↪ SL ⁡ ( 4 ; R ) ≅ Spin ⁡ ( 3 , 3 ) ↠ SO ⁡ ( 3 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (3,3)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3,3)} SO ∗ ⁡ ( 4 ) ↪ SU ∗ ⁡ ( 4 ) ≅ Spin ⁡ ( 5 , 1 ) ↠ SO ⁡ ( 5 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(4)\hookrightarrow \operatorname {SU} ^{*}(4)\cong \operatorname {Spin} (5,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (5,1)} 즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다. SO ∗ ⁡ ( 4 ) = SU ∗ ⁡ ( 4 ) ∩ SL ⁡ ( 4 ; R ) = ϕ − 1 ( SO ⁡ ( 5 , 1 ) ) ∩ SL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(4)=\operatorname {SU} ^{*}(4)\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )=\phi ^{-1}(\operatorname {SO} (5,1))\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다. 라플라스-룽게-렌츠 벡터 로런츠 군 직교군 직교행렬 푸앵카레 군 사원수와 회전 Naimark, M. A.; Farahat, H. K. (1964). 《Linear Representations of the Lorentz Group》. International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics (영어) 63. doi:10.1016/B978-0-08-010155-2.50001-1. ISBN 978-0-08-010155-2.  Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies to orthogonal groups” (PDF) (영어).