페아노 존재 정리

동역학계 이론에서, 페아노 존재 정리(-存在定理, 영어: Peano existence theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재에 대한 정리이다. 다음과 같은 초깃값 문제를 생각하자. y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))} y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y(t_{0})=y_{0}} 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 연속 함수 f : [ t 0 , t 0 + a ] × U → R n {\displaystyle f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}} 가 주어졌다고 하자. 페아노 존재 정리에 따르면, 임의의 y 0 ∈ U {\displaystyle y_{0}\in U} 에 대하여, 위 초깃값 문제는 국소적 해 ϕ : [ t 0 , t 0 + δ ] → U {\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U} ( 0 < δ ≤ a {\displaystyle 0<\delta \leq a} )를 갖는다.:13, §3.2, Theorem 3.3 만약 추가로 U = R n {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}} 이며 f {\displaystyle f} 가 유계 함수일 경우, 위 초깃값 문제는 대역적 해 ϕ : [ t 0 , t 0 + a ] → U {\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+a]\to U} 를 갖는다.:12, §3.2, Theorem 3.2 증명 (국소적 해의 존재): 우선 b > 0 {\displaystyle b>0} cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) = { y ∈ R n : | y − y 0 | ≤ b } ⊆ U {\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon |y-y_{0}|\leq b\}\subseteq U} M = sup [ t 0 , t 0 + a ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) | f | < ∞ {\displaystyle M=\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|<\infty } δ = min { a , b M } {\displaystyle \delta =\min \left\{a,{\frac {b}{M}}\right\}} 라고 하자. 연속 함수 [ t 0 , t 0 + δ ] → cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) {\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)} 들의 상한 노름 ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }} 에 대한 바나흐 공간 C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자. T : C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) → C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} T ϕ : t ↦ y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s {\displaystyle T\phi \colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\mathrm {d} s} 이 작용소의 공역을 C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 로 제한할 수 있는 것은 임의의 ϕ ∈ C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 및 t ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]} 에 대하여 | ( T ϕ ) ( t ) − y 0 | ≤ ∫ t 0 t | f ( s , ϕ ( s ) ) | d s ≤ M δ ≤ b {\displaystyle |(T\phi )(t)-y_{0}|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq M\delta \leq b} 이기 때문이다. 위 초깃값 문제의 해 ϕ ∈ C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 는 자명하게 T {\displaystyle T} 의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라, T {\displaystyle T} 의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다. ㈀ T {\displaystyle T} 는 연속 함수 치역 T ( C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) ) {\displaystyle T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))} 은 C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 의 상대 콤팩트 집합 아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다. ㈁ T ( C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) ) {\displaystyle T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))} 는 유계 집합 ㈂ T ( C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) ) {\displaystyle T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))} 는 균등 동등 연속 함수족 ㈀: ‖ ϕ n − ϕ ‖ ∞ → 0 {\displaystyle \Vert \phi _{n}-\phi \Vert _{\infty }\to 0} 라고 가정하자. f {\displaystyle f} 는 [ t 0 , t 0 + δ ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) {\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)} 에서 균등 연속 함수이므로, sup s ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] | f ( s , ϕ n ( s ) ) − f ( s , ϕ ( s ) ) | → 0 {\displaystyle \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi _{n}(s))-f(s,\phi (s))|\to 0} 이다. 또한 | ( T ϕ n − T ϕ ) ( t ) | ≤ ∫ t 0 t | f ( s , ϕ ( s ) ) − f ( s , ψ ( s ) ) | d s ≤ δ sup s ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] | f ( s , ϕ ( s ) ) − f ( s , ψ ( s ) ) | {\displaystyle |(T\phi _{n}-T\phi )(t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|} 이므로, ‖ T ϕ n − T ϕ ‖ ∞ ≤ δ sup s ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] | f ( s , ϕ ( s ) ) − f ( s , ψ ( s ) ) | → 0 {\displaystyle \Vert T\phi _{n}-T\phi \Vert _{\infty }\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\to 0} 이다. ㈁: 임의의 ϕ ∈ C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 및 t ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]} 에 대하여, | ( T ϕ ) ( t ) | ≤ | y 0 | + ∫ t 0 t | f ( s , ϕ ( s ) ) | d s ≤ | y 0 | + M δ {\displaystyle |(T\phi )(t)|\leq |y_{0}|+\int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |y_{0}|+M\delta } ㈂: 임의의 ϕ ∈ C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 및 t , t ′ ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] {\displaystyle t,t'\in [t_{0},t_{0}+\delta ]} 에 대하여, | ( T ϕ ) ( t ) − ( T ϕ ) ( t ′ ) | ≤ | ∫ t ′ t | f ( s , ϕ ( s ) ) | d s | ≤ M | t − t ′ | {\displaystyle |(T\phi )(t)-(T\phi )(t')|\leq \left|\int _{t'}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\right|\leq M|t-t'|} 증명 (대역적 해의 존재): 만약 U = R n {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}} 이며 f {\displaystyle f} 가 유계 함수라면, 위 증명에서 b = ∞ {\displaystyle b=\infty } 및 M = sup | f | {\displaystyle M=\sup |f|} 및 δ = a {\displaystyle \delta =a} 를 취하면 대역적 해의 존재의 증명을 얻는다. 주세페 페아노의 이름을 땄다. O’Regan, Donal (1997). 《Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations》. Mathematics and Its Applications (영어) 398. Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-017-1517-1. ISBN 978-90-481-4835-6.  “Peano theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.