샤르코우스키 정리

동역학계 이론에서 샤르코우스키 정리(Шарковський 定理, 영어: Sharkovskii’s theorem)는 구간 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기점의 주기들의 집합을 분류하는 정리다. 이에 따르면, 가능한 주기들의 집합은 양의 정수들 위의 어떤 특정한 전순서의 꼬리이다. 양의 정수의 집합 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 위에 다음과 같은 함수를 정의하자. f : Z + → ( N ∪ { ∞ } ) × Z {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to (\mathbb {N} \cup \{\infty \})\times \mathbb {Z} } f : 2 a ( 2 b + 3 ) ↦ ( a , b ) ( a , b ∈ N ) {\displaystyle f\colon 2^{a}(2b+3)\mapsto (a,b)\qquad (a,b\in \mathbb {N} )} f : 2 a ↦ ( ∞ , − a ) ( a ∈ N ) {\displaystyle f\colon 2^{a}\mapsto (\infty ,-a)\qquad (a\in \mathbb {N} )} ( N ∪ { ∞ } ) × Z {\displaystyle (\mathbb {N} \cup \{\infty \})\times \mathbb {Z} } 위에 사전식 순서를 줄 수 있다. 이 전순서를 f {\displaystyle f} 를 통해 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 에 부여할 수 있는데, 이를 샤르코우스키 순서(Шарковський順序, 영어: Sharkovskii order)라고 한다. 즉, 이는 다음과 같다. 3 ≺ 5 ≺ 7 ≺ 9 ≺ ⋯ ≺ 2 ⋅ 3 ≺ 2 ⋅ 5 ≺ 2 ⋅ 7 ≺ ⋯ ≺ 2 2 ⋅ 3 ≺ 2 2 ⋅ 5 ≺ ⋯ ≺ 2 3 ≺ 2 2 ≺ 2 1 ≺ 2 0 {\displaystyle 3\prec 5\prec 7\prec 9\prec \cdots \prec 2\cdot 3\prec 2\cdot 5\prec 2\cdot 7\prec \cdots \prec 2^{2}\cdot 3\prec 2^{2}\cdot 5\prec \cdots \prec 2^{3}\prec 2^{2}\prec 2^{1}\prec 2^{0}} 구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 위에 정의된 함수 ϕ : I → I {\displaystyle \phi \colon I\to I} 의 주기점(영어: periodic point)은 ϕ ∘ ⋯ ∘ ϕ ⏞ k ( x ) = ϕ k ( x ) = x {\displaystyle \overbrace {\phi \circ \cdots \circ \phi } ^{k}(x)=\phi ^{k}(x)=x} 인 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 k {\displaystyle k} 를 주기점의 최소 주기(영어: least period)라고 한다. 예를 들어, 고정점은 최소 주기가 1인 주기점과 같다. 샤르코우스키 정리에 따르면, 만약 ϕ : I → I {\displaystyle \phi \colon I\to I} 가 연속 함수이며, ϕ {\displaystyle \phi } 가 최소 주기가 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 m ≻ n {\displaystyle m\succ n} 에 대하여 최소 주기가 m {\displaystyle m} 인 ϕ {\displaystyle \phi } 의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다. 또한, 샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, { m ∈ Z + : m ⪰ n } {\displaystyle \{m\in \mathbb {Z} ^{+}\colon m\succeq n\}} 이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 f : I → I {\displaystyle f\colon I\to I} 가 존재한다. 구간 I {\displaystyle I} 위의 연속 함수 ϕ : I → I {\displaystyle \phi \colon I\to I} 가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. 리-요크 정리([李]-Yorke定理, 영어: Li–Yorke theorem)에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재한다면 다음 네 조건을 만족시키는 부분 집합 S ⊂ I {\displaystyle S\subset I} 가 존재한다. S {\displaystyle S} 는 주기점들을 포함하지 않는다. | S | = 2 ℵ 0 {\displaystyle |S|=2^{\aleph _{0}}} 이다. 임의의 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 에 대하여 ( x ≠ y {\displaystyle x\neq y} ), lim sup n → ∞ | ϕ n ( x ) − ϕ n ( y ) | > 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|>0} lim inf n → ∞ | ϕ n ( x ) − ϕ n ( y ) | = 0 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|=0} 임의의 x ∈ S {\displaystyle x\in S} 및 주기점 y ∈ I ∖ S {\displaystyle y\in I\setminus S} 에 대하여, lim sup n → ∞ | ϕ n ( x ) − ϕ n ( y ) | > 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|>0} 로지스틱 사상의 경우, r ≳ 1 + 8 {\displaystyle r\gtrsim 1+{\sqrt {8}}} 인 경우 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다. 따라서, 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이며, 따라서 분기도에 나타나지 않는다. 샤르코우스키 정리는 고차원에서 성립하지 않으며, 또 구간이 아닌 다른 위상에서도 성립하지 않는다. 예를 들어, 원 R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } 위에서 x ↦ x + 1 / 3 {\displaystyle x\mapsto x+1/3} 의 경우 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만, 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다. 샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(우크라이나어: Олекса́ндр Миколайович Шарко́вський, 러시아어: Алекса́ндр Никола́евич Шарко́вский 알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키[*])가 1964년에 증명하였다. 샤르코우스키의 업적은 서방 수학에서는 거의 알려지지 않고 있었다. 이후 1975년에 리톈옌(중국어: 李天岩, 병음: Lǐ Tiānyán, 한자음: 이천암, 영어: Tien-Yien Li)과 제임스 요크(영어: James A. Yorke)는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우의 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다. 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문에 대하여 몰랐으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 혼돈 이론의 일부로 재조명되었다. 리톈엔과 요크의 1975년 논문은 또한 "혼돈"(영어: chaos 케이오스[*])이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이다. Li, Tien-Yien; Yorke, James A. (1975년 12월). “Period three implies chaos”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 82 (10): 985–992. doi:10.2307/2318254. JSTOR 2318254.  Zhang, Cheng (2010년 10월). “Period three begins”. 《Mathematics Magazine》 (영어) 83: 295–297.  Шарковский, А. Н. (1964). “Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя”. 《Украинский математический журнал》 (러시아어) 16 (1): 61-71. ISSN 0041-6053.  Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.  Misiurewicz, Michał (1997년 11월). “Remarks on Sharkovsky’s theorem”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 104 (9): 846-847. doi:10.2307/2975290. 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