이산 값매김환

가환대수학에서 이산 값매김환(離散-環, 영어: discrete valuation ring, 약자 DVR) 또는 이산 부치환(離散付値環)은 정확히 하나의 0이 아닌 극대 아이디얼을 갖는 주 아이디얼 정역이다. 대수기하학적으로, 대수 곡선의 비특이점에서의 국소환을 나타낸다. 그 분수체의 원소는 ‘유리형 함수’의 ‘싹’에 해당하며, 원점(유일한 닫힌 점)에서의 ‘극점’ (또는 ‘영점’)의 ‘차수’를 정의할 수 있다. 이 차수는 정수 값이며, 이산 값매김환의 값매김이라고 한다. R {\displaystyle R} 가 정역이라고 하자. 편의상, R {\displaystyle R} 가 만족시킬 수 있는 다음 조건들을 정의하자. (N) 뇌터 환이다. (LR): 국소환이다. (Ded): 데데킨트 정역이다. (이는 (N)을 함의한다.) (UFD): 유일 인수 분해 정역이다. ((Ded) + (UFD)는 주 아이디얼 정역이라는 것과 같다. 또한, (Ded) + (UFD) + (NF) = (UFD) + (1D)이다.) (NF) 체가 아니다. (1D) 크룰 차원이 1이다. (이는 (NF)를 함의한다.) (VR) 값매김환이다. (이는 (L)을 함의한다.) 그렇다면, 정역에 대하여 다음 조건들은 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 이산 값매김환이라고 한다. (VR) + 값군이 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 와 동형이다.:78 (VR) + (N) + (NF):78, Theorem 11.1(3) (L) + (Ded) + (NF) (L) + (N) + (NF) + 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.:79, Theorem 11.2(3) (L) + (N) + (1D) + 정수적으로 닫힌 정역이다.:79, Theorem 11.2(4) (1D) + 정칙 국소환이다.:106 (UFD) + (Ded) + 유일한 0이 아닌 소 아이디얼을 가진다. (UFD) + (Ded) + 스펙트럼이 시에르핀스키 공간과 위상 동형이다. (UFD) + (가역원과의 곱에 대한) 유일한 기약원 동치류를 가진다. 모든 이산 값매김환은 유클리드 정역을 이룬다. 이산 값매김환 ( D , m , κ ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa )} 의 완비화 D ^ = lim ← n → ∞ ⁡ D m n {\displaystyle {\hat {D}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\frac {D}{{\mathfrak {m}}^{n}}}} 역시 이산 값매김환이다. 이산 값매김환 ( D , m , κ ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa )} 의 원소 t ∈ D {\displaystyle t\in D} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원소를 균등화원(영어: uniformizing element)이라고 한다. ( t ) = m {\displaystyle (t)={\mathfrak {m}}} 이다. 즉, 유일한 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 t {\displaystyle t} 로 생성되는 주 아이디얼이다. (이산 값매김환은 주 아이디얼 정역이므로 이러한 원소는 항상 존재한다.) t {\displaystyle t} 는 D {\displaystyle D} 의 기약원이다. (즉, 가역원 또는 0이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없다. 이산 값매김환은 정역이므로 이 개념이 잘 정의된다.) 균등화원은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 균등화원 t {\displaystyle t} 의 경우, 임의의 m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } 에 대하여 ∀ m , n ∈ N : ( m = n ⟺ t m = t n ) {\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} \colon \left(m=n\iff t^{m}=t^{n}\right)} 이다. 즉, 균등화원의 서로 다른 자연수 지수의 거듭제곱은 항상 서로 다르다. 이산 값매김환 ( D , m , κ ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa )} 의 균등화원 t ∈ D {\displaystyle t\in D} 이 주어졌을 때, D {\displaystyle D} 의 모든 아이디얼과 모든 원소는 다음과 같이 표준적으로 분류된다. D {\displaystyle D} 속의 모든 아이디얼은 ( 0 ) {\displaystyle (0)} 이거나 또는 어떤 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 ( t n ) {\displaystyle (t^{n})} 의 꼴이다. (여기서 물론 ( t 0 ) = D {\displaystyle (t^{0})=D} 이다.) D {\displaystyle D} 속의 모든 0이 아닌 원소 x ∈ D ∖ { 0 } {\displaystyle x\in D\setminus \{0\}} 는 다음과 같이, 가역원과 t {\displaystyle t} 의 거듭제곱의 곱의 꼴로 유일하게 표현된다. x = a t ν ( x ) ( a ∈ D × ) {\displaystyle x=at^{\nu (x)}\qquad (a\in D^{\times })} 즉, 이산 값매김환의 곱셈 구조는 그 가역원군 D × {\displaystyle D^{\times }} 으로서 완전히 결정된다. 물론, 가환환은 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 환의 덧셈 구조는 이와 별개의 데이터이다. 이산 값매김환은 1차원 정칙 국소환이므로, 대수기하학에서 이산 값매김환은 대수 곡선 (1차원 스킴) X {\displaystyle X} 의 닫힌 비특이점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서의 줄기 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 이다. 특히, 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 경우는 다음과 같다. k {\displaystyle k} 가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, C {\displaystyle C} 가 k {\displaystyle k} 위의 대수 곡선(1차원 대수다양체)이며, x ∈ C {\displaystyle x\in C} 가 특이점이 아닌 닫힌 점이라고 하자. 그렇다면, 국소환 O C , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,x}} 은 이산 값매김환이며, 포함 관계 k ⊊ O C , x ⊊ K ( C ) {\displaystyle k\subsetneq {\mathcal {O}}_{C,x}\subsetneq {\mathcal {K}}(C)} 가 성립한다. 또한, k {\displaystyle k} 는 O C , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,x}} 에서 값매김이 0 또는 ∞ {\displaystyle \infty } 인 원소들로만 구성된다. 반대로, k {\displaystyle k} 가 대수적으로 닫힌 체이며, D ⊋ k {\displaystyle D\supsetneq k} 가 이산 값매김환이며, k {\displaystyle k} 의 원소들의 값매김이 0 또는 ∞ {\displaystyle \infty } 라고 하자. 그렇다면 D {\displaystyle D} 는 유리 함수체 Frac ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Frac} D} 를 갖는 어떤 k {\displaystyle k} 위의 대수 곡선의 특이점이 아닌 닫힌 점에서의 국소화이다.:42, Corollary I.6.6 구체적으로, a ∈ D ∖ k {\displaystyle a\in D\setminus k} 라고 하고, 다항식환 k [ a ] {\displaystyle k[a]} 의 D {\displaystyle D} 속에서의 정수적 폐포를 B {\displaystyle B} 라고 하자. 그렇다면, B {\displaystyle B} 는 데데킨트 정역이자 K {\displaystyle K} 위의 유한 생성 단위 결합 대수이며, 따라서 Spec ⁡ B {\displaystyle \operatorname {Spec} B} 는 K {\displaystyle K} 위의 아핀 대수 곡선이다. 또한, D {\displaystyle D} 의 극대 아이디얼을 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 이라고 하면, m ∩ B {\displaystyle {\mathfrak {m}}\cap B} 는 Spec ⁡ B {\displaystyle \operatorname {Spec} B} 의 극대 아이디얼이며, Spec ⁡ B {\displaystyle \operatorname {Spec} B} 의 m ∩ B {\displaystyle {\mathfrak {m}}\cap B} 에서의 국소환은 D {\displaystyle D} 와 동형이다. 이산 값매김환 ( D , m ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}})} 은 국소 가환환이므로 표준적으로 위상환을 이룬다. 이 위상과 호환되는 다음과 같은 거리 함수가 존재한다. d ( x , y ) = { exp ⁡ ( − ν ( x − y ) ) x ≠ y 0 x = y {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}\exp(-\nu (x-y))&x\neq y\\0&x=y\end{cases}}} 여기서 ν : D ∖ { 0 } → N {\displaystyle \nu \colon D\setminus \{0\}\to \mathbb {N} } 은 이산 값매김이다. 이 경우, 이산 값매김환 ( D , m , κ ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} 는 (위상환으로서) 콤팩트 공간이다. D {\displaystyle D} 는 완비 거리 공간이며, 그 잉여류체 κ {\displaystyle \kappa } 는 유한체이다. 이산 값매김환 ( D , m , κ ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa )} 는 (국소환이므로) 유일한 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 을 가지며, (크룰 차원이 1이므로) 소 아이디얼은 두 개 ( 0 ) {\displaystyle (0)} , m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 이다. 즉, 이산 값매김환의 스펙트럼 Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 는 두 개의 점을 가진다. 그 가운데 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 닫힌 점, ( 0 ) {\displaystyle (0)} 은 일반점이다. 특히, Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 는 위상 공간으로서 시에르핀스키 공간이다. 이 경우, 이산 값매김환 위의 두 표준적인 환 준동형 D ↠ D m = κ {\displaystyle D\twoheadrightarrow {\frac {D}{\mathfrak {m}}}=\kappa } D ↪ Frac ⁡ D = K {\displaystyle D\hookrightarrow \operatorname {Frac} D=K} 은 각각 닫힌 점과 일반점에 대응되는 스킴 사상 Spec ⁡ κ → Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} \kappa \to \operatorname {Spec} D} Spec ⁡ K → Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} K\to \operatorname {Spec} D} 에 해당한다. 데데킨트 정역의, 0이 아닌 소 아이디얼에서의 국소화는 이산 값매김환이다. 특히, 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이므로, 대수적 정수환을 0이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하여 이산 값매김환의 다양한 예를 얻을 수 있다. 예를 들어, 정수환의 0이 아닌 소 아이디얼 ( p ) {\displaystyle (p)} 에서의 국소화 Z ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}} 는 이산 값매김환이다. 대표적인 이산 값매김환의 예는 다음과 같다. 국소환 값매김환 Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  “Discretely-normed ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Valuation ring”. 《nLab》 (영어).