유계 작용소

함수해석학에서 유계 작용소(有界作用素, 영어: bounded operator)는 유계 집합을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환이다. 두 노름 공간 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 연속 선형 변환의 개념과 일치한다. 위상체 K {\displaystyle K} 위의 두 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle K} -선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 가 다음 조건을 만족시키면, T {\displaystyle T} 를 유계 작용소라고 한다.:24, §1.31 임의의 유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 이는 유계형 집합의 사상을 이룬다. 여기서, 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다. 임의의 0의 근방 U ∋ 0 {\displaystyle U\ni 0} 에 대하여, B ⊆ α U {\displaystyle B\subseteq \alpha U} 인 α ∈ K {\displaystyle \alpha \in K} 가 존재한다. V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 사이의 유계 작용소들의 집합은 B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)} 라고 한다. 이는 자연스럽게 K {\displaystyle K} -벡터 공간을 이룬다. 위상체 K {\displaystyle K} 위의 두 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 이 주어졌을 때, V {\displaystyle V} 위에는 모든 유계 집합들로 구성된 덮개 Born ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Born} (V)} 가 존재한다. W {\displaystyle W} 위에는 (덧셈 위상군으로서의) 균등 공간 구조가 존재한다. 이에 따라, 함수 집합 W V {\displaystyle W^{V}} 위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 B ⁡ ( V , W ) ⊆ W V {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq W^{V}} 에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)} 는 K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간을 이룬다. 만약 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 이며 V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다. 유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 다음과 같은 더 엉성한 위상인 강한·약한 작용소 위상을 부여할 수도 있다. 함수 집합 W V {\displaystyle W^{V}} 에 곱위상을 부여하면, B ⁡ ( V , W ) ⊆ W V {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq W^{V}} 이므로 B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)} 에 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 강한 작용소 위상(強한作用素位相, 영어: strong operator topology)이라고 한다. 마찬가지로, W {\displaystyle W} 에 약한 위상을 부여한 것을 W weak {\displaystyle W^{\text{weak}}} 로 놓고, 함수 집합 ( W weak ) V {\displaystyle (W^{\text{weak}})^{V}} 에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 B ⁡ ( V , W ) ⊆ ( W weak ) V {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq (W^{\text{weak}})^{V}} 을 약한 작용소 위상(弱한作用素位相, 영어: weak operator topology)이라고 한다. 강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 V {\displaystyle V} 의 노름이나 위상에 의존하지 않는다. 위상체 K {\displaystyle K} 위의 두 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 사이의 모든 연속 K {\displaystyle K} -선형 변환은 유계 작용소이다.:24, Theorem 1.32:III.4, Proposition III.1.4 증명: 연속 K {\displaystyle K} -선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 및 임의의 0 W {\displaystyle 0_{W}} 의 근방 0 ∈ U ⊆ W {\displaystyle 0\in U\subseteq W} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, T − 1 ( U ) {\displaystyle T^{-1}(U)} 는 0 V {\displaystyle 0_{V}} 의 근방이며, B {\displaystyle B} 가 유계 집합이므로 α T − 1 ( U ) ⊇ B {\displaystyle \alpha T^{-1}(U)\supseteq B} 가 되는 스칼라 α ∈ K {\displaystyle \alpha \in K} 를 찾을 수 있다. 그렇다면 α U ⊇ T ( B ) {\displaystyle \alpha U\supseteq T(B)} 이다. 따라서 T ( B ) {\displaystyle T(B)} 는 유계 집합이다. 만약 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 이며, V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간일 경우, 유계 작용소 · 연속 선형 변환 · 균등 연속 선형 변환 · 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.:24, Theorem 1.32 (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.:253, Example 8.8.8) 만약 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 이며, V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간일 경우, B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)} 는 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다.:92–93, Theorem 4.1 만약 W {\displaystyle W} 가 바나흐 공간이라면, B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)} 역시 바나흐 공간을 이룬다.:92–93, Theorem 4.1 자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다. 여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다. 실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다. 증명: 두 노름 공간 V , W {\displaystyle V,W} 사이의 작용소열 T 0 , T 1 , … ∈ B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle T_{0},T_{1},\dotsc \in \operatorname {B} (V,W)} 및 T ∞ ∈ B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle T_{\infty }\in \operatorname {B} (V,W)} 가 주어졌다고 하자. 만약 T i {\displaystyle T_{i}} 가 T ∞ {\displaystyle T_{\infty }} 로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다. 약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다. ∀ ϕ ∈ B ⁡ ( V , W ) ′ : ϕ ( T i ) → ϕ ( T ∞ ) {\displaystyle \forall \phi \in \operatorname {B} (V,W)'\colon \phi (T_{i})\to \phi (T_{\infty })} 약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다. ∀ v ∈ V ∀ χ ∈ W ′ : χ ( T i v ) → χ ( T ∞ v ) {\displaystyle \forall v\in V\forall \chi \in W'\colon \chi (T_{i}v)\to \chi (T_{\infty }v)} 즉, 임의의 ( v , χ ) ∈ V ⊕ W ′ {\displaystyle (v,\chi )\in V\oplus W'} 에 대하여, ϕ v , χ : B ⁡ ( V , W ) → K {\displaystyle \phi _{v,\chi }\colon \operatorname {B} (V,W)\to K} ϕ v , χ : T ↦ χ ( T v ) {\displaystyle \phi _{v,\chi }\colon T\mapsto \chi (Tv)} 를 정의하면, ϕ v , χ ∈ B ⁡ ( V , W ) ′ {\displaystyle \phi _{v,\chi }\in \operatorname {B} (V,W)'} 인 것을, 즉 ( B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)} 의 작용소 노름 위상에 대하여) 유계 작용소인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는 | χ ( T v ) | ≤ ‖ χ ‖ ‖ T v ‖ ≤ ‖ χ ‖ ‖ T ‖ ‖ v ‖ ∀ T ∈ B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle |\chi (Tv)|\leq \|\chi \|\|Tv\|\leq \|\chi \|\|T\|\|v\|\qquad \forall T\in \operatorname {B} (V,W)} 이므로 ‖ ϕ v , χ ‖ ≤ ‖ χ ‖ ‖ v ‖ < ∞ {\displaystyle \|\phi _{v,\chi }\|\leq \|\chi \|\|v\|<\infty } 이다. 두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다. 르베그 실수열 공간 ℓ 2 ( R ) {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {R} )} 위의 연산자 L : ( x 0 , x 1 , x 2 , … ) ↦ ( 0 , x 0 , x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle L\colon (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )} 는 노름이 1인 유계 작용소이다. 라플라스 연산자 Δ : H 2 ⁡ ( R n ) → L 2 ( R n ) {\displaystyle \Delta \colon \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} 는 유계 작용소이다. 여기서 H 2 {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}} 는 하디 공간이며, L 2 {\displaystyle L^{2}} 는 Lp 공간의 하나이다. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》. Éléments de mathématique (프랑스어). Masson.  Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2010). 《Topological vector spaces》. Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-158488866-6.  Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  Takesaki, M. 《Theory of Operator Algebras I》 (영어). ISBN 3-540-42248-X.  “Bounded operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Operator topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Rowland, Todd. “Bounded operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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