리의 정리

수학, 특히 리 대수론에서 리의 정리는 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대해 π : g → g l ( V ) {\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} 가 가해 리 대수의 유한차원 표현이면, codim ⁡ V i = i {\displaystyle \operatorname {codim} V_{i}=i} 인 π ( g ) {\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})} 의 불변 부분공간의 기 V = V 0 ⊃ V 1 ⊃ ⋯ ⊃ V n = 0 {\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0} 가 존재, 즉 X ∈ g {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} 과 i {\displaystyle i} 각각에 대해 π ( X ) ( V i ) ⊆ V i {\displaystyle \pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}} 라는 정리이다. 달리 말하면, 이 정리는 π ( g ) {\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})} 안의 모든 선형 변환들이 상 삼각행렬로 표현되는 V {\displaystyle V} 의 기저가 있다는 정리이다. 이는 가환 행렬쌍이 동시에 상 삼각화 가능하다는 프로베니우스의 결과를 일반화한 것이다. 이는 가환 행렬쌍이 fortiori solvable인 아벨 리 대수를 생성하기 때문이다. 리의 정리의 결과는 표수 0의 체에 대한 모든 유한 차원 가해 리 대수는 멱영 유도 대수를 갖는다는 것이다. 또한 유한차원 벡터 공간 V 의 각 기에는 보렐 부분대수 (기를 안정화하는 선형 변환으로 구성됨)가 대응된다. 따라서 정리는 π ( g ) {\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})} 가 g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} 의 어떤 보렐 부분대수에 포함되어 있다고 한다. 대수적으로 닫힌 표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 인 체의 경우 표현의 차원이 p 보다 작은 경우 리의 정리가 유지되지만(아래 증명 참조) 차원이 p인 표현에서는 거짓일 수 있다. 예를 들어, 고유 벡터가 없는 p 차원 벡터 공간 k [ x ] / ( x p ) {\displaystyle k[x]/(x^{p})} 에 작용하는 1 , x , d / d x {\displaystyle 1,x,d/dx} 로 생성된 3차원 멱영 리 대수에서는 리의 정리가 성립하지 않는다. 이 3차원 리 대수의 반직접 곱을 p 차원 표현(아벨 리 대수로 여김)으로 취하면 유도 대수가 멱영이 아닌 가해 리 대수를 얻을 수 있다. 증명은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 차원에 대한 귀납법으로 한다. 그리고 여러 단계로 구성된다. (참고: 증명의 구조는 엥겔의 정리와 아주 비슷하다.) 기본 예시는 자명하며, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 차원을 양수라고 가정한다. 또한 V는 0이 아니라고 가정한다. 단순화를 위해 X ⋅ v = π ( X ) ( v ) {\displaystyle X\cdot v=\pi (X)(v)} 로 쓴다. 1단계 : 정리가 다음 진술과 동일한지 확인한다. V에는 π ( g ) {\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})} 안의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 되는 벡터가 있다. 실제로, 정리는 특히 V n − 1 {\displaystyle V_{n-1}} 를 생성하는 0이 아닌 벡터는 π ( g ) {\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})} 안의 모든 선형 변환들에 대한 공통된 고유 벡터이다. 반대로, v가 공통된 고유벡터라면 그 생성공간을 V n − 1 {\displaystyle V_{n-1}} 잡으면 π ( g ) {\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})} 는 몫공간 V / V n − 1 {\displaystyle V/V_{n-1}} 에서 공통 고유벡터 가진다; 이 주장을 반복한다. 2단계 : 여차원 1인 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 안의 이데알 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 를 찾는다. D g = [ g , g ] {\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} 를 그 유도 대수라 하자. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 가해이고 양의 차원을 가지며, D g ≠ g {\displaystyle D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}} 이라서 몫 g / D g {\displaystyle {\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}} 은 0이 아닌 아벨 리 대수인데, 이는 확실히 여차원 1인 이데알을 포함하고, 이데알 대응성에 의해 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 안에 있는 여차원 1인 이데알에 대응한다. 3단계 : h ∗ {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}} 안에 V λ = { v ∈ V | X ⋅ v = λ ( X ) v , X ∈ h } {\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}} 0이 아닌 어떤 선형 범함수 λ {\displaystyle \lambda } 가 존재한다. 이는 귀납적 가설(고유값이 선형 범함수를 결정하는지 확인하는 것은 쉽다)에서 따른다. 4단계 : V λ {\displaystyle V_{\lambda }} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -불변 부분공간이다. (이 단계는 일반적인 사실을 증명하며 가해성을 포함하지 않는다.) Y ∈ g {\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}} , v ∈ V λ {\displaystyle v\in V_{\lambda }} 라 하자. 그러면 Y ⋅ v ∈ V λ {\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }} 를 증명해야 한다. v = 0 {\displaystyle v=0} 인 경우는 자명하므로, v ≠ 0 {\displaystyle v\neq 0} 를 가정한다. 그리고 재귀적으로 v 0 = v , v i + 1 = Y ⋅ v i {\displaystyle v_{0}=v,\,v_{i+1}=Y\cdot v_{i}} 로 놓는다. U = span ⁡ { v i | i ≥ 0 } {\displaystyle U=\operatorname {span} \{v_{i}|i\geq 0\}} 와 ℓ ∈ N 0 {\displaystyle \ell \in \mathbb {N} _{0}} 가 v 0 , … , v ℓ {\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }} 가 선형독립인 조건 하에 최대집합이라 하자. 그러면 이 원소들이 U를 생성하고 α = ( v 0 , … , v ℓ ) {\displaystyle \alpha =(v_{0},\ldots ,v_{\ell })} 가 U의 기저라는 것을 증명할 것이다. 실제로, 귀류법으로 증명하기 위해, 그것이 사실이 아니라고 가정하고 m ∈ N 0 {\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}} 가 v m ∉ ⟨ v 0 , … , v ℓ ⟩ {\displaystyle v_{m}\notin \langle v_{0},\ldots ,v_{\ell }\rangle } 인 최소값이라 하자. 그러면 분명히 m ≥ ℓ + 1 {\displaystyle m\geq \ell +1} 이다. v 0 , … , v ℓ + 1 {\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell +1}} 들은 선형 종속이며, v ℓ + 1 {\displaystyle v_{\ell +1}} 는 v 0 , … , v ℓ {\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }} 의 선형 결합이다. 사상 Y m − ℓ − 1 {\displaystyle Y^{m-\ell -1}} 를 적용하면 v m {\displaystyle v_{m}} 가 v m − ℓ − 1 , … , v m − 1 {\displaystyle v_{m-\ell -1},\ldots ,v_{m-1}} 의 선형 결합임을 알 수 있다. m의 최소성으로 인해 이들 벡터 각각은 v 0 , … , v ℓ {\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }} 의 선형 결합이다. 따라서 v m {\displaystyle v_{m}} 도 그렇다. 이는 모순이다. 이제, 귀납법을 통해 모든 n ∈ N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} , X ∈ h {\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}} 에 대해 a n , n , X = λ ( X ) {\displaystyle a_{n,n,X}=\lambda (X)} 이고 X ⋅ v n = ∑ i = 0 n a i , n , X v i . {\displaystyle X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.} 인 기본 체의 원소들 a 0 , n , X , … , a n , n , X {\displaystyle a_{0,n,X},\ldots ,a_{n,n,X}} 이 존재한다는 것을 증명한다. n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우는 X ⋅ v 0 = λ ( X ) v 0 {\displaystyle X\cdot v_{0}=\lambda (X)v_{0}} 이므로 간단하다. 이제 어떤 n ∈ N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} 과 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 모든 원소에 대해 명제를 증명했다고 가정하자. 그리고 X ∈ h {\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}} 라 하자. h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 가 이데알이므로, [ X , Y ] ∈ h {\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}} 이다. 따라서 X ⋅ v n + 1 = Y ⋅ ( X ⋅ v n ) + [ X , Y ] ⋅ v n = Y ⋅ ∑ i = 0 n a i , n , X v i + ∑ i = 0 n a i , n , [ X , Y ] v i = a 0 , n , [ X , Y ] v 0 + ∑ i = 1 n ( a i − 1 , n , X + a i , n , [ X , Y ] ) v i + λ ( X ) v n + 1 , {\displaystyle X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_{n})+[X,Y]\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n,[X,Y]}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},} 이며, 귀납 단계가 이어진다. 이는 모든 X ∈ h {\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}} 애 대해 부분공간 U는 X의 불변 부분공간이고 제한 사상 π ( X ) | U {\displaystyle \pi (X)|_{U}} 의 행렬은 기저 α {\displaystyle \alpha } 에 대해 대각선 성분이 λ ( X ) {\displaystyle \lambda (X)} 과 같은 상 삼각형 행렬이다. 따라서 tr ⁡ ( π ( X ) | U ) = dim ⁡ ( U ) λ ( X ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X)|_{U})=\dim(U)\lambda (X)} . 이것을 X 대신에 [ X , Y ] ∈ h {\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}} 와 적용하면 tr ⁡ ( π ( [ X , Y ] ) | U ) = dim ⁡ ( U ) λ ( [ X , Y ] ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\dim(U)\lambda ([X,Y])} 이다. 반면에 U는 분명히 Y의 불변 부분공간이기도 하다. tr ⁡ ( π ( [ X , Y ] ) | U ) = tr ⁡ ( [ π ( X ) , π ( Y ) ] | U ] ) = tr ⁡ ( [ π ( X ) | U , π ( Y ) | U ] ) = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\operatorname {tr} ([\pi (X),\pi (Y)]|_{U}])=\operatorname {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0} 교환자에는 대각합이 0이므로 dim ⁡ ( U ) λ ( [ X , Y ] ) = 0 {\displaystyle \dim(U)\lambda ([X,Y])=0} 이다. dim ⁡ ( U ) > 0 {\displaystyle \dim(U)>0} 눈 (베이스 체의 표수에 대한 가정으로 인해) 가역적이므로, λ ( [ X , Y ] ) = 0 {\displaystyle \lambda ([X,Y])=0} 이고 X ⋅ ( Y ⋅ v ) = Y ⋅ ( X ⋅ v ) + [ X , Y ] ⋅ v = Y ⋅ ( λ ( X ) v ) + λ ( [ X , Y ] ) v = λ ( X ) ( Y ⋅ v ) , {\displaystyle X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),} 이며, 따라서 Y ⋅ v ∈ V λ {\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }} . 5단계 : 공통된 고유벡터를 찾아 증명을 마무리한다. g = h + L {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L} 라 하자. 여기서 L은 1차원 부분 벡터공간이다. 기본 체가 대수적으로 닫혀 있으므로 V λ {\displaystyle V_{\lambda }} 안에서 L 의 0이 아닌 어떤(따라서 모든) 원소에 대해 고유 벡터가 존재한다. 그 벡터는 또한 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 각 원소에 대한 고유 벡터이기 때문에, 증명이 완료되었다. ◻ {\displaystyle \square } 정리는 특히 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 (유한차원) 가해 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 딸림 표현 ad : g → g l ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} 에 적용된다. 따라서 ad ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})} 이 상 삼각 행렬로 구성되도록 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 기저를 선택할 수 있다. 각각의 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} 에 대해, ad ⁡ ( [ x , y ] ) = [ ad ⁡ ( x ) , ad ⁡ ( y ) ] {\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]} 는 0으로 구성된 대각선이 있다. 즉, ad ⁡ ( [ x , y ] ) {\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])} 은 순상삼각 행렬이다. 이는 [ g , g ] {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} 가 멱영 리 대수임을 의미한다. 더욱이, 기본 체가 대수적으로 닫혀 있지 않으면 리 대수의 가해성과 멱영성은 기본 체를 대수적 폐포로 확장해도 영향을 받지 않는다. 따라서 다음 진술을 결론짓는다: 표수 0의 체에 대한 유한차원 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 가해임과 유도 대수 D g = [ g , g ] {\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} 가 다음과 멱영임은 동치이다. 리의 정리는 또한 카르탕의 가해성 판별법에서 한 가지 방향을 설정한다. V가 표수 0인 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고 g ⊆ g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)} 는 리 부분 대수이면 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 가해임과 모든 X ∈ g {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} , Y ∈ [ g , g ] {\displaystyle Y\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} 에 대해 tr ⁡ ( X Y ) = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=0} 임이 동치이다. 실제로 위와 같이 기본 체를 확대한 후에는 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 는 쉽게 보일 수 있다. (역은 증명하기가 더 어렵다.) 리의 정리(다양한 V 에 대한)는 다음 진술과 동일하다: 대수적으로 닫힌 표수 0 체 위에서 가해 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대해 각각의 유한차원 단순 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -가군(즉, 표현으로서 기약)은 1차원이다. 실제로 리의 정리는 이 진술을 분명히 암시한다. 반대로, 그 진술이 사실이라고 가정하자. 주어진 유한차원 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -가군 V에 대해, V 1 {\displaystyle V_{1}} 가 극대 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -부분 가군이라 하자(차원의 유한성에 의해 존재함). 그런 다음 극대성으로 인해, V / V 1 {\displaystyle V/V_{1}} 는 단순하다; 따라서 1차원이다. 이제 귀납법으로 증명이 완료된다. 이 진술은 특히 아벨 리 대수에 대한 유한차원 단순 가군이 1차원이라고 말한다. 이 사실은 모든 기본 체에서 사실로 유지된다. 이 경우 모든 부분 벡터 공간은 리 부분대수이기 때문이다. 여기 또 다른 유용한 적용이 있다: g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한차원 리 대수이고 그 근기를 rad ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 라 하자. 그러면 각각의 유한차원 단순 표현 π : g → g l ( V ) {\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} 는 g / rad ⁡ ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 의 단순 표현과 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 1차원 표현의 텐서 곱이다.(즉, 리 괄호에서 선형 범함수는 사라지는 것이다). 리의 정리에 의해 rad ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 의 가중치 공간 V λ {\displaystyle V_{\lambda }} 가 존재하도록 rad ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 의 선형 범함수 λ {\displaystyle \lambda } 를 찾을 수 있다. 리의 정리 증명의 4단계에 의해, V λ {\displaystyle V_{\lambda }} 는 또한 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -가군이다; 그래서 V = V λ {\displaystyle V=V_{\lambda }} . 특히, 각 X ∈ rad ⁡ ( g ) {\displaystyle X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 에 대해, tr ⁡ ( π ( X ) ) = dim ⁡ ( V ) λ ( X ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)} . λ {\displaystyle \lambda } 를 [ g , g ] {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} 에서 영인 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 선형 범함수로 확장하면, λ {\displaystyle \lambda } 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 1차원 표현이다. 이제, ( π , V ) ≃ ( π , V ) ⊗ ( − λ ) ⊗ λ {\displaystyle (\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda } . π {\displaystyle \pi } 는 rad ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 위의 λ {\displaystyle \lambda } 와 일치하므로, V ⊗ ( − λ ) {\displaystyle V\otimes (-\lambda )} 는 rad ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 위에서 자명하다. 따라서 g / rad ⁡ ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})} 의 (단순한) 표현의 제한이다. ◻ {\displaystyle \square } 멱영 리 대수에 관한 엥겔의 정리 . (연결된) 가해 선형 대수군에 관한 리-콜친 정리. Serre 2001, Theorem 3 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFSerre2001 (help) Humphreys 1972, Ch. II, § 4.1., Corollary A. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHumphreys1972 (help) Serre 2001, Theorem 3틀:'' 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFSerre2001 (help) Humphreys 1972, Ch. II, § 4.1., Corollary C. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHumphreys1972 (help) Serre 2001, Theorem 4 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFSerre2001 (help) Serre 2001, Theorem 3' 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFSerre2001 (help) Jacobson 1979, Ch. II, § 6, Lemma 5. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFJacobson1979 (help) Fulton & Harris 1991, Proposition 9.17. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFFultonHarris1991 (help) Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. Humphreys, James E. 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