마르코프 부등식

확률론에서 마르코프 부등식(영어: Markov’s inequality)은 음이 아닌 확률 변수가 어떤 양의 실수 이상일 확률의 상계를 제시하는 부등식이다. 확률과 기댓값의 관계를 설명하고, 확률 변수의 누적 분포 함수에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 위의 가측 함수 f : X → ( R ¯ , B ( R ¯ ) ) {\displaystyle f\colon X\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))} 가 주어졌다고 하자. 마르코프 부등식에 따르면, 임의의 양의 실수 a ∈ R + {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 다음이 성립한다.:83, §3.1, Theorem 3.1.1 μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ a } ) ≤ 1 a ∫ X | f | d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\})\leq {\frac {1}{a}}\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu } 특히, 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 확률 변수 X : Ω → ( R ¯ , B ( R ¯ ) ) {\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 a ∈ R + {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 다음이 성립한다. Pr ⁡ ( | X | ≥ a ) ≤ E ⁡ ( | X | ) a {\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|)}{a}}} 여기서 E ⁡ ( | X | ) {\displaystyle \operatorname {E} (|X|)} 는 기댓값이다. 증명 (측도론의 언어): ∫ X | f | d μ ≥ ∫ { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ a } | f | d μ ≥ ∫ { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ a } a d μ = a μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ a } ) {\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu \geq \int _{\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\}}|f|\mathrm {d} \mu \geq \int _{\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\}}a\mathrm {d} \mu =a\mu (\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\})} 증명 (확률론의 언어): E ⁡ ( | X | ) ≥ E ⁡ ( | X 1 { ω ∈ Ω : | X ( ω ) | ≥ a } | ) ≥ E ⁡ ( a 1 { ω ∈ Ω : | X ( ω ) | ≥ a } ) = a Pr ⁡ ( | X | ≥ a ) {\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\geq \operatorname {E} (|X1_{\{\omega \in \Omega \colon |X(\omega )|\geq a\}}|)\geq \operatorname {E} (a1_{\{\omega \in \Omega \colon |X(\omega )|\geq a\}})=a\operatorname {Pr} (|X|\geq a)} 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 확률 변수 X : Ω → ( R ¯ , B ( R ¯ ) ) {\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))} 및 증가 가측 함수 ϕ : ( R + , B ( R + ) ) → ( R + , B ( R + ) ) {\displaystyle \phi \colon (\mathbb {R} ^{+},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{+}))\to (\mathbb {R} ^{+},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{+}))} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 a ∈ R + {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 다음이 성립한다.:84, §3.1, Corollary 3.1.4 Pr ⁡ ( | X | ≥ a ) ≤ E ⁡ ( | ϕ ( X ) | ) ϕ ( a ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|\phi (X)|)}{\phi (a)}}} 증명: Pr ⁡ ( | X | ≥ a ) = Pr ⁡ ( | ϕ ( X ) | ≥ ϕ ( a ) ) ≤ E ⁡ ( | ϕ ( X ) | ) ϕ ( a ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)=\operatorname {Pr} (|\phi (X)|\geq \phi (a))\leq {\frac {\operatorname {E} (|\phi (X)|)}{\phi (a)}}} 만약 ϕ : x ↦ x r {\displaystyle \phi \colon x\mapsto x^{r}} ( r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}} )일 경우, 이는 다음과 같다.:83, §3.1, Corollary 3.1.2 Pr ⁡ ( | X | ≥ a ) ≤ E ⁡ ( | X | r ) a r {\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{a^{r}}}} 만약 ϕ : x ↦ exp ⁡ ( r x ) {\displaystyle \phi \colon x\mapsto \exp(rx)} ( r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}} )일 경우, 이는 다음과 같다. 이를 크라메르 부등식(영어: Cramer’s inequality)이라고 한다.:84, §3.1, Corollary 3.1.5 Pr ⁡ ( | X | ≥ a ) ≤ M X ( r ) exp ⁡ ( r a ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {M_{X}(r)}{\exp(ra)}}} 여기서 M X ( r ) {\displaystyle M_{X}(r)} 는 모멘트 생성 함수이다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 적분 가능 확률 변수 X : Ω → ( R ¯ , B ( R ¯ ) ) {\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 a ∈ R + {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 다음이 성립한다. Pr ⁡ ( | X − E ⁡ ( X ) | ≥ a ) ≤ Var ⁡ ( X ) a 2 {\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}} 여기서 Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} 는 분산이다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 안드레이 마르코프의 이름에서 따온 것이다. 그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 파프누티 체비쇼프가 먼저 발견하였다. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Markov’s inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.