그래프 색칠

그래프 이론에서 그래프 색칠(graph色漆, 영어: graph colo(u)ring)은 그래프의 꼭지점들에, 같은 색이 인접하지 않도록 색을 부여하는 방법이다. 이를 사용하여 그래프의 불변량을 정의할 수 있다. (단순) 그래프 G {\displaystyle G} 의 색칠 ( C , c ) {\displaystyle (C,c)} 은 집합 C {\displaystyle C} 및 함수 c : V ( G ) → C {\displaystyle c\colon V(G)\to C} 의 순서쌍이다. 이 경우, 임의의 변 v 1 v 2 ∈ E ( G ) {\displaystyle v_{1}v_{2}\in E(G)} 에 대하여 c ( v 1 ) ≠ c ( v 2 ) {\displaystyle c(v_{1})\neq c(v_{2})} 이어야만 한다. 색칠 ( C , c ) {\displaystyle (C,c)} 에서, C {\displaystyle C} 의 원소를 색(色, 영어: colo(u)r)이라고 한다. 그래프 G {\displaystyle G} 의 두 색칠 ( C , c ) {\displaystyle (C,c)} , ( C ′ , c ′ ) {\displaystyle (C',c')} 이 주어졌을 때, 만약 전단사 함수 f : C → C ′ {\displaystyle f\colon C\to C'} 가 존재하여 c ′ = f ∘ c {\displaystyle c'=f\circ c} 인 경우, 두 색칠이 서로 동형이라고 한다. 그래프 G {\displaystyle G} 의 변 색칠(邊色漆, 영어: edge colo(u)ring)은 G {\displaystyle G} 의 선 그래프 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 의 색칠이다. 평면 그래프 G {\displaystyle G} 의 면 색칠(面色漆, 영어: face colo(u)ring)은 그 쌍대 그래프(영어: dual graph) G ′ {\displaystyle G'} 의 색칠이다. 그래프 G {\displaystyle G} 에서, 색 C = { 1 , 2 , … , t } {\displaystyle C=\{1,2,\dots ,t\}} 을 공역으로 하는 색칠의 수를 P G ( t ) {\displaystyle P_{G}(t)} 라고 쓰자. (이 경우, 서로 동형인 색칠들도 중복하여 센다.) 만약 G {\displaystyle G} 가 유한 그래프일 경우, 이는 t {\displaystyle t} 에 대하여 다항식을 이루며, 이를 G {\displaystyle G} 의 색칠 다항식(영어: chromatic polynomial)이라고 한다. 그래프 G {\displaystyle G} 의 색칠수(色漆數, 영어: chromatic number) χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} 는 색칠이 존재하는 최소의 정수이다. χ ( G ) = min { t ∈ N : P G ( t ) > 0 } {\displaystyle \chi (G)=\min\{t\in \mathbb {N} \colon P_{G}(t)>0\}} 마찬가지로, 변 색칠 다항식 · 변 색칠수 따위를 정의할 수 있다. 변 색칠수는 색칠 지표(영어: chromatic index)라고도 하며, χ ′ ( G ) {\displaystyle \chi '(G)} 로 쓴다. (단순) 유한 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치다. χ ( G ) = 1 {\displaystyle \chi (G)=1} P G ( t ) = t n {\displaystyle P_{G}(t)=t^{n}} ( n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} ) | E ( G ) | = 0 {\displaystyle |E(G)|=0} 이며 | V ( G ) | ≥ 1 {\displaystyle |V(G)|\geq 1} (단순) 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다. χ ( G ) = 2 {\displaystyle \chi (G)=2} G {\displaystyle G} 는 이분 그래프이다. 모든 (단순) 유한 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음이 성립한다. 1 ≤ χ ( G ) ≤ | V ( G ) | {\displaystyle 1\leq \chi (G)\leq |V(G)|} χ ( G ) ( χ ( G ) − 1 ) ≤ 2 | E ( G ) | {\displaystyle \chi (G)\left(\chi (G)-1\right)\leq 2|E(G)|} ω ( G ) ≤ χ ( G ) ≤ Δ ( G ) + 1 {\displaystyle \omega (G)\leq \chi (G)\leq \Delta (G)+1} 여기서 ω ( G ) {\displaystyle \omega (G)} 는 G {\displaystyle G} 의 최대 클릭의 크기이며, Δ ( G ) = max v ∈ V ( G ) deg ⁡ v {\displaystyle \Delta (G)=\max _{v\in V(G)}\deg v} 는 G {\displaystyle G} 의 꼭짓점들의 차수들의 최댓값이다. 브룩스의 정리(영어: Brooks’ theorem)에 따르면, 임의의 연결 유한 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. χ ( G ) = Δ ( G ) + 1 {\displaystyle \chi (G)=\Delta (G)+1} 이다. G {\displaystyle G} 는 완벽 그래프이거나 홀수 크기의 순환 그래프이다. 4색정리에 따르면, 모든 유한 평면 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여 χ ( G ) ≤ 4 {\displaystyle \chi (G)\leq 4} 이다. 그뢰치의 정리(영어: Grötzsch’s theorem)에 따르면, 크기가 3인 순환을 갖지 않는 유한 평면 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여 χ ( G ) ≤ 3 {\displaystyle \chi (G)\leq 3} 이다. n {\displaystyle n} 개의 꼭짓점을 갖는 그래프의 색칠 다항식은 n {\displaystyle n} 차 다항식이다. (단순) 유한 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 동치다. χ G ( t ) = t ( t − 1 ) n − 1 {\displaystyle \chi _{G}(t)=t(t-1)^{n-1}} G {\displaystyle G} 는 n {\displaystyle n} 개의 꼭짓점을 갖는 나무이다. (단순) 유한 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 동치다. χ G ( t ) = ( t − 1 ) n + ( − 1 ) n ( t − 1 ) {\displaystyle \chi _{G}(t)=(t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)} G {\displaystyle G} 는 크기 n {\displaystyle n} 의 순환 그래프 C n {\displaystyle C_{n}} 이다. 두 그래프의 색칠 다항식이 같을 경우, 이들이 색칠 동치(영어: chromatically equivalent)라고 한다. 서로 동형이 아닌 두 그래프가 색칠 동치일 수 있다. 예를 들어, 꼭짓점의 수가 같지만 서로 동형이 아닌 두 나무는 색칠 동치이다. 또한, 색칠 다항식이 t ( t − 1 ) 3 ( t − 2 ) {\displaystyle t(t-1)^{3}(t-2)} 인 그래프는 총 3개가 있다. 연결 성분 G 1 , … , G n {\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}} 으로 구성된 그래프의 색칠 다항식은 다음과 같다. P G ( t ) = ∏ i = 1 n P G i ( t ) {\displaystyle P_{G}(t)=\prod _{i=1}^{n}P_{G_{i}}(t)} (단순) 그래프 G {\displaystyle G} 및 u v ∈ E ( G ) {\displaystyle uv\in E(G)} 에 대하여, G − u v {\displaystyle G-uv} 를 G {\displaystyle G} 에서 변 u v {\displaystyle uv} 를 제거한 그래프, G / u v {\displaystyle G/uv} 를 G {\displaystyle G} 에서 변 u v {\displaystyle uv} 를 제거하고 u {\displaystyle u} 와 v {\displaystyle v} 를 합친 그래프라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. P G = P G − u v − P G / u v {\displaystyle P_{G}=P_{G-uv}-P_{G/uv}} 즉, 이를 사용하여 색칠 다항식을 재귀적으로 계산할 수 있다. 임의의 그래프에 대하여 k {\displaystyle k} -색칠이 존재하는지 여부는 NP-완전 결정 문제다. 이는 리처드 카프가 1972년에 보인 21개의 NP-완전 문제 중의 하나이다. 임의의 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, Δ ( G ) + 1 {\displaystyle \Delta (G)+1} -색칠은 항상 존재하며, 탐욕 알고리즘으로 쉽게 찾을 수 있다. 일부 그래프의 색칠 다항식 및 색칠수는 다음과 같다. 그래프 색칠 문제는 컴파일러에서 프로세서 레지스터를 할당하는 문제, 무선 기지국 사이에서 간섭을 없애기 위한 주파수 할당 문제 등에 응용된다. 스도쿠 역시 일종의 그래프 색칠 문제이다. 이 경우, 9×9 격자의 각 행·각 열·각 3×3 부분격자는 클릭을 이루며, 스도쿠는 주어진 부분적 9-색칠을 완성시키는 문제이다. “Graph colouring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  텃 다항식 램지의 정리