초기하함수

초기하함수(超幾何函數, 영어: hypergeometric function)는 기하급수를 일반화시키는 일련의 특수 함수들이다. 일련의 거듭제곱 급수로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식을 만족시킨다. 초기하 미분 방정식(영어: hypergeometric differential equation)은 미지 함수 w ( z ) {\displaystyle w(z)} 에 대한, 다음과 같은 꼴의 max { p , q + 1 } {\displaystyle \max\{p,q+1\}} 차 선형 상미분 방정식이다. z ∏ n = 1 p ( z d d z + a n ) w ( z ) = z d d z ∏ n = 1 q ( z d d z + b n − 1 ) w ( z ) {\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}+a_{n}\right)w(z)=z{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}+b_{n}-1\right)w(z)} 여기서 a = ( a 1 , … , a p ) ∈ R p {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\dots ,a_{p})\in \mathbb {R} ^{p}} b = ( b 1 , … , b q ) ∈ R q {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{q})\in \mathbb {R} ^{q}} 는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다. p F q ( a ; b ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n z n n ! {\displaystyle {}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} 여기서 ( x ) n = x ( x + 1 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)} 은 상승 포흐하머 기호이며, ( a ) n = ( a 1 ) n ( a 2 ) n ⋯ ( a p ) n {\displaystyle (\mathbf {a} )_{n}=(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\cdots (a_{p})_{n}} ( b ) n = ( b 1 ) n ( b 2 ) n ⋯ ( b q ) n {\displaystyle (\mathbf {b} )_{n}=(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\cdots (b_{q})_{n}} 이다. 이 급수 p F q {\displaystyle {}_{p}F_{q}} 를 초기하급수(영어: hypergeometric series)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다. 정의에 따라, 초기하함수 p F q ( a ; b ; z ) {\displaystyle {}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)} 는 { a 1 , … , a p } {\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{p}\}} 나 { b 1 , … , b q } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{q}\}} 의 순서에 관계없다. 또한, 만약 { a 1 , … , a p } {\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{p}\}} 와 { b 1 , … , b q } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{q}\}} 에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 a p = b q {\displaystyle a_{p}=b_{q}} 라면 p F q ( a 1 , … , a p ; b 1 , … , b q ; z ) = p − 1 F q − 1 ( a 1 , … , a p − 1 ; b 1 , … , b q − 1 ; z ) {\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_{1},\dots ,a_{p-1};b_{1},\dots ,b_{q-1};z)} 이다. 급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다. d n d z n p F q ( a ; b ; z ) = ( a ) n ( b ) n p F q ( a + n ; b + n ; z ) {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)={\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} +n;\mathbf {b} +n;z)} 여기서 a + n = ( a 1 + n , a 2 + n , … , a p + n ) {\displaystyle \mathbf {a} +n=(a_{1}+n,a_{2}+n,\dots ,a_{p}+n)} 이며, b + n {\displaystyle \mathbf {b} +n} 의 경우도 마찬가지다. 복소 상미분 방정식 z ( z d d z + α 1 ) ⋯ ( z d d z + α n ) f = ( z d d z + β 1 − 1 ) ⋯ ( z d d z + β n − 1 ) f {\displaystyle z\left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{1}\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{n}\right)f=\left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{1}-1\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{n}-1\right)f} 의 n {\displaystyle n} 개의 선형 독립 해는 z 1 − β i n F n − 1 ( α 1 − β i + 1 , … , α n − β n + 1 ; β 1 − β i , … , β i − β i + 1 ^ , … , β n − β i + 1 ; z ) ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle z^{1-\beta _{i}}{}_{n}F_{n-1}(\alpha _{1}-\beta _{i}+1,\dots ,\alpha _{n}-\beta _{n}+1;\beta _{1}-\beta _{i},\dots ,{\widehat {\beta _{i}-\beta _{i}+1}},\dots ,\beta _{n}-\beta _{i}+1;z)\qquad (i=1,\dots ,n)} 이다. (여기서 ⋯ x ^ ⋯ {\displaystyle \cdots {\hat {x}}\cdots } 는 x {\displaystyle x} 를 제외한 목록을 뜻한다.) 이는 푹스 방정식(해가 정칙 특이점만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은 { 0 , 1 , ∞ ^ } ∈ C ^ {\displaystyle \{0,1,{\widehat {\infty }}\}\in {\hat {\mathbb {C} }}} 이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다. 1 {\displaystyle 1} 근처에서, 초기하 방정식은 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다. 0 {\displaystyle 0} 또는 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다. z ≠ 0 , 1 , ∞ ^ {\displaystyle z\neq 0,1,{\widehat {\infty }}} 근처에서는 n {\displaystyle n} 개의 선형 독립 해가 존재한다. 어떤 밑점 z 0 ∈ C ^ ∖ { 0 , 1 , ∞ ^ } {\displaystyle z_{0}\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\infty }}\}} 근처에서의 위 방정식의 해의 벡터 공간을 V z 0 ( α 1 , … , α n ; β 1 , … , β n ) {\displaystyle V_{z_{0}}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n};\beta _{1},\dots ,\beta _{n})} 라고 하자. 이는 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, 모노드로미에 따라서 기본군의 다음과 같은 군 표현이 존재한다. ϕ : π 0 ( C ^ ∖ { 0 , 1 , } ^ ; z 0 ) → GL ⁡ ( V z 0 ) {\displaystyle \phi \colon \pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})\to \operatorname {GL} (V_{z_{0}})} 임의의 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, 초기하 함수 를 생각하자. 그렇다면 기본군 π 0 ( C ^ ∖ { 0 , 1 , } ^ ; z 0 ) = ⟨ g 0 , g 1 , g ∞ | g 0 g 1 g ∞ = 1 ⟩ {\displaystyle \pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})=\langle g_{0},g_{1},g_{\infty }|g_{0}g_{1}g_{\infty }=1\rangle } 의 작용은 다음과 같다. ϕ ( g 0 ) {\displaystyle \phi (g_{0})} 의 고윳값은 exp ⁡ ( − 2 π i β i ) {\displaystyle \exp(-2\pi i\beta _{i})} 이다 ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle (i=1,\dots ,n)} . ϕ ( g ∞ ) {\displaystyle \phi (g_{\infty })} 의 고윳값은 exp ⁡ ( 2 π i α i ) {\displaystyle \exp(2\pi i\alpha _{i})} 이다 ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle (i=1,\dots ,n)} . ϕ ( g 1 ) {\displaystyle \phi (g_{1})} 은 중복수가 n − 1 {\displaystyle n-1} 인 고윳값 1을 갖는다. 이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 초기하군 H ( α i , β i ) {\displaystyle H(\alpha _{i},\beta _{i})} 라고 한다. 0 F 0 ( ; ; z ) = exp ⁡ z {\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=\exp z} 는 지수 함수이다. 1 F 0 ( a ; ; z ) = ( 1 − z ) − a {\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}} 는 기하급수이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다. 0 F 1 ( ; b ; z ) {\displaystyle {}_{0}F_{1}(;b;z)} 는 합류 초기하 극한 함수(영어: confluent hypergeometric limit function)라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다. J α ( x ) = ( x 2 ) α Γ ( α + 1 ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; − 1 4 x 2 ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right)} 1 F 1 ( a ; b ; z ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)} 는 제1종 합류 초기하함수(영어: confluent hypergeometric function of the first kind)라고 한다. 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)} 는 가우스 초기하함수(영어: Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다. 가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다. 2 z 2 F 1 ( 1 / 2 , 1 ; 3 ; z 2 ) = arcsin ⁡ z {\displaystyle 2z{}_{2}F_{1}(1/2,1;3;z^{2})=\arcsin z} π 2 2 F 1 ( 1 / 2 , 1 / 2 ; 1 ; z 2 ) = K ( z ) = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − z 2 x 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;z^{2})=K(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-z^{2}x^{2})}}}} 여기서 K ( z ) {\displaystyle K(z)} 는 제1종 타원적분이다. n F n − 1 {\displaystyle {}_{n}F_{n-1}} 을 n {\displaystyle n} 차 클라우센-토메 초기하함수(영어: Clausen–Thomae hypergeometric function)라고 한다. 이는 토마스 클라우센(덴마크어: Thomas Clausen)과 카를 요하네스 토메(독일어: Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다. 이는 기하급수 1 F 0 {\displaystyle {}_{1}F_{0}} 및 가우스 초기하함수 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} 의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 모노드로미 이론을 갖는다. 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