단면 곡률

리만 기하학에서 단면 곡률(斷面曲率, 영어: sectional curvature)은 특정한 접평면에 대한 방향으로 리만 다양체가 굽는 양을 나타내는 실수이다. 단면 곡률에 상한 또는 하한을 가하면, 리만 다양체의 다양한 미분기하학·미분위상수학적 정보를 유추할 수 있다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 접공간 T x M {\displaystyle T_{x}M} 의 2차원 부분 벡터 공간 σ ⊂ T x M {\displaystyle \sigma \subset T_{x}M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의로 기저 σ = Span ⁡ { u , v } {\displaystyle \sigma =\operatorname {Span} \{u,v\}} 를 고르자. 접벡터 u , v ∈ T x M {\displaystyle u,v\in T_{x}M} 에 대하여, σ {\displaystyle \sigma } 방향의 단면 곡률 sect ⁡ ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sect} (\sigma )} 는 다음과 같다. sect ⁡ ( σ ) = sect ⁡ ( u , v ) = g ( Riem ⁡ ( u , v ) , u ) g ( u , u ) g ( v , v ) − g ( u , v ) 2 {\displaystyle \operatorname {sect} (\sigma )=\operatorname {sect} (u,v)={\frac {g(\operatorname {Riem} (u,v),u)}{g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^{2}}}} 여기서 Riem {\displaystyle \operatorname {Riem} } 은 리만 곡률 텐서이다. sect ⁡ ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sect} (\sigma )} 는 σ {\displaystyle \sigma } 의 기저 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 및 방향에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에, 2-그라스만 다발 Gr ⁡ ( 2 , T M ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (2,TM)} 을 정의할 수 있다. 즉, 2-그라스만 다발의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서의 올은 그라스만 다양체 Gr ⁡ ( 2 , T x M ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (2,T_{x}M)} 이다. 이 경우, 단면 곡률 K : Gr ⁡ ( 2 , T M ) → R {\displaystyle K\colon \operatorname {Gr} (2,TM)\to \mathbb {R} } 은 2-그라스만 다발의 전체 공간 위의 실수 값 매끄러운 함수를 이룬다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 및 양의 실수 λ {\displaystyle \lambda } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리만 계량 g ~ = λ 2 g {\displaystyle {\tilde {g}}=\lambda ^{2}g} 에 대하여, ( M , g ~ ) {\displaystyle (M,{\tilde {g}})} 의 σ ∈ Gr ⁡ ( 2 , T x M ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gr} (2,T_{x}M)} 에서의 단면 곡률 sect g ~ {\displaystyle \operatorname {sect} _{\tilde {g}}} 는 다음과 같다. sect g ~ ⁡ ( σ ) = λ − 2 sect g ⁡ ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sect} _{\tilde {g}}(\sigma )=\lambda ^{-2}\operatorname {sect} _{g}(\sigma )} 즉, 단면 곡률의 단위는 리만 곡률과 마찬가지로 [길이]−2이다. 모든 단면 곡률이 일정한 완비 리만 다양체는 공간 형식(空間形式, 영어: space form)이라고 한다. 모든 연결 단일 연결 공간 형식은 다음 세 가지 가운데 하나이다. 쌍곡 공간 ( sect < 0 {\displaystyle \operatorname {sect} <0} ) 초구 ( sect > 0 {\displaystyle \operatorname {sect} >0} ) 유클리드 공간 ( sect = 0 {\displaystyle \operatorname {sect} =0} ) 다시 말해, 모든 공간 형식은 쌍곡 공간 · 초구 · 유클리드 공간의 몫공간들의 분리합집합이다. 슈어 보조정리(영어: Schur’s lemma)에 따르면, 2차원이 아닌 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 공간 형식이다. 임의의 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 임의의 σ ∈ Gr ⁡ ( 2 , T x M ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gr} (2,T_{x}M)} 에 대하여 sect ⁡ ( σ ) = f ( x ) {\displaystyle \operatorname {sect} (\sigma )=f(x)} 가 되는 함수 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } 가 존재한다. 그러나 이는 2차원에서 성립하지 않는다. 2차원 이하에서 두 번째 조건은 자명하게 성립하지만, 공간 형식이 아닌 2차원 완비 리만 다양체가 존재한다. (1차원에서 이 정리는 자명하게 성립한다.) 슈어 보조정리의 증명은 다음과 같다. 편의상 지표 표기법을 사용하자. 두 번째 조건이 성립한다고 하면, R i j k l = f ( x ) ( g i k g j l − g i l g j k ) {\displaystyle R_{ijkl}=f(x)(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})} 가 된다. 그런데 이 경우 제2 비안키 항등식은 다음과 같이 된다. 0 = R i j k l ; m + R i j l m ; k + R i j m k ; l ∝ f ; n ( ⋯ ) i j k l m n {\displaystyle 0=R_{ijkl;m}+R_{ijlm;k}+R_{ijmk;l}\propto f_{;n}(\cdots )_{ijklm}{}^{n}} 괄호 ( ⋯ ) {\displaystyle (\cdots )} 에 속한 성분은 리만 계량 g i j {\displaystyle g_{ij}} 으로 구성되며, dim ⁡ M ≥ 3 {\displaystyle \dim M\geq 3} 일 경우 항상 0이 아니다. 따라서 f ; n = 0 {\displaystyle f_{;n}=0} 이다. 완비 리만 다양체 M {\displaystyle M} 위의, 측지선으로 구성된, 꼭짓점이 x , y , z ∈ M {\displaystyle x,y,z\in M} 인 삼각형 △ x y z {\displaystyle \triangle xyz} 를 생각하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. M {\displaystyle M} 의 모든 단면 곡률이 하한 K ≥ δ {\displaystyle K\geq \delta } 를 만족시킨다. x y ¯ {\displaystyle {\overline {xy}}} 는 x , y {\displaystyle x,y} 사이의 최단 측지선이다. 만약 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 일 경우, x y ¯ {\displaystyle {\overline {xy}}} 의 길이 d M ( x , y ) {\displaystyle d_{M}(x,y)} 는 π / δ {\displaystyle \pi /{\sqrt {\delta }}} 미만이다. M ′ {\displaystyle M'} 이 단면 곡률이 δ {\displaystyle \delta } 인 부피 형식이라고 하고, △ x ′ y ′ z ′ {\displaystyle \triangle x'y'z'} 이 M ′ {\displaystyle M'} 속의 측지선으로 구성된 삼각형이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. (이는 삼각형의 SAS 합동 조건이다.) d M ′ ( x ′ , y ′ ) = d M ( x , y ) {\displaystyle d_{M'}(x',y')=d_{M}(x,y)} d M ′ ( x ′ , z ′ ) = d M ( x , z ) {\displaystyle d_{M'}(x',z')=d_{M}(x,z)} ∠ z x y = ⟨ z ′ x ′ y ′ {\displaystyle \angle zxy=\langle z'x'y'} 그렇다면, 토포고노프 정리(영어: Topogonov theorem)에 따르면 다음이 성립한다. d ( y , z ) ≤ d ( y ′ , z ′ ) {\displaystyle d(y,z)\leq d(y',z')} 그로우에-피터슨 유한성 정리(영어: Grove–Petersen finiteness theorem)에 따르면, 임의의 차원 n {\displaystyle n} , 실수 C ∈ R {\displaystyle C\in \mathbb {R} } 및 D , V ∈ R + {\displaystyle D,V\in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 리만 다양체들의 호모토피 유형들의 수는 유한하다. 단면 곡률이 sect ≥ C {\displaystyle \operatorname {sect} \geq C} 이다. 지름이 D {\displaystyle D} 이하이다. 부피가 V {\displaystyle V} 이상이다. 이는 카르스텐 그로우에(덴마크어: Karsten Grove)와 피터 피터슨(영어: Peter Petersen)이 증명하였다. 치거 유한성 정리(영어: Cheeger finiteness theorem)에 따르면, 임의의 자연수 n {\displaystyle n} 및 상수 C , D , V ∈ R + {\displaystyle C,D,V\in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 콤팩트 n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 가운데 단면 곡률이 어디서나 − C ≤ sect ≤ C {\displaystyle -C\leq \operatorname {sect} \leq C} 지름이 D {\displaystyle D} 이하 부피가 V {\displaystyle V} 이상 인 것들의 미분 동형류의 수는 유한하다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 이 임의의 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 리만 계량 g ϵ {\displaystyle g_{\epsilon }} 을 갖는다면, M {\displaystyle M} 을 거의 평탄 다양체(영어: almost flat manifold)라고 한다. 모든 단면 곡률이 − ϵ < sect < ϵ {\displaystyle -\epsilon <\operatorname {sect} <\epsilon } 이다. 지름이 1 이하이다. 그로모프 거의 평탄 다양체 정리(영어: Gromov’s theorem on almost flat manifold)에 따르면, 임의의 차원 n {\displaystyle n} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 ϵ n ∈ R + {\displaystyle \epsilon _{n}\in \mathbb {R} ^{+}} 가 존재한다. 임의의 n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여, 만약 M {\displaystyle M} 의 모든 단면 곡률이 − ϵ n ≤ sect ≤ ϵ n {\displaystyle -\epsilon _{n}\leq \operatorname {sect} \leq \epsilon _{n}} 이라면, M {\displaystyle M} 은 거의 평탄 다양체이다. 그로모프-루 정리(영어: Gromov–Ruh theorem)에 따르면, 임의의 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 거의 평탄 다양체이다. M ≅ N / Γ {\displaystyle M\cong N/\Gamma } 인 리 군 N {\displaystyle N} 및 이산군 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 존재하며, 이는 다음 조건들을 만족시킨다. N {\displaystyle N} 은 단일 연결 멱영 리 군이다. F ≤ Aut ⁡ ( N ) {\displaystyle F\leq \operatorname {Aut} (N)} 은 유한군이다. Γ ≤ N ⋊ F {\displaystyle \Gamma \leq N\rtimes F} 는 이산군이며, N {\displaystyle N} 위에 자유롭게 작용한다. 특히, 어떤 영다양체(영어: nilmanifold) M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 에 의한 유한 겹 피복 공간 M ~ ↠ M {\displaystyle {\tilde {M}}\twoheadrightarrow M} 이 존재한다. 연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M {\displaystyle M} 이 다음 조건을 만족시킨다고 하자. M {\displaystyle M} 의 모든 단면 곡률은 1 < sect ≤ 4 {\displaystyle 1<\operatorname {sect} \leq 4} 를 만족시킨다. 그렇다면, 초구 정리(超球定理, 영어: sphere theorem)에 따르면 M {\displaystyle M} 은 같은 차원의 초구와 미분 동형이다. (미분 동형인 것을 증명하는 것은 위상 동형인 것을 증명하는 것보다 더 어렵다.) 초구 정리는 구간을 ( 1 , 4 ] {\displaystyle (1,4]} 에서 [ 1 , 4 ] {\displaystyle [1,4]} 로 약화시키면 성립하지 않는다. 예를 들어, 푸비니-슈투디 계량을 준 복소수 사영 공간의 단면 곡률은 1 ≤ sect ≤ 4 {\displaystyle 1\leq \operatorname {sect} \leq 4} 이지만, 초구와 미분 동형을 갖지 않는다. 카르탕-아다마르 정리(영어: Cartan–Hadamard theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. 연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M {\displaystyle M} 의 모든 단면 곡률이 K ≤ 0 {\displaystyle K\leq 0} 이라면, M {\displaystyle M} 은 유클리드 공간과 미분 동형이다. 따라서, 단면 곡률이 0 이하인 완비 리만 다양체의 구조는 그 기본군에 의하여 완전히 결정되며, 이러한 다양체의 기본군에 대해서는 프라이스만 정리(영어: Preissmann’s theorem)라는 정리가 존재한다. 콤팩트 리만 다양체 M {\displaystyle M} 의 모든 단면 곡률이 sect < 0 {\displaystyle \operatorname {sect} <0} 이라면, M {\displaystyle M} 위의 측지선 흐름은 에르고딕하다. (물론, 원환면의 경우 sect = 0 {\displaystyle \operatorname {sect} =0} 이지만 이는 성립하지 않는다.) 모든 단면 곡률이 sect ≤ κ {\displaystyle \operatorname {sect} \leq \kappa } 가 되는 완비 리만 다양체 M {\displaystyle M} 은 CAT(κ) 공간을 이룬다. 특히, 만약 sect ≤ κ < 0 {\displaystyle \operatorname {sect} \leq \kappa <0} 이라면, 그 기본군 π 1 ( M ) {\displaystyle \pi _{1}(M)} 은 그로모프 쌍곡군(영어: Gromov hyperbolic group)을 이룬다. 연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M {\displaystyle M} 의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이라고 하자. 영혼 정리(靈魂定理, 영어: soul theorem)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 부분 다양체 S ⊂ M {\displaystyle S\subset M} 가 존재한다. S {\displaystyle S} 는 콤팩트 공간이다. (완전 측지성 영어: completely geodesic) S {\displaystyle S} 속의 모든 측지선은 M {\displaystyle M} 속의 측지선을 이룬다. (완전 볼록성 영어: completely convex) 임의의 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 에 대하여, x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 를 잇는 모든 측지선은 S {\displaystyle S} 에 속한다. M {\displaystyle M} 은 S {\displaystyle S} 의 법다발의 전체 공간과 미분 동형이다. 이러한 S {\displaystyle S} 를 M {\displaystyle M} 의 영혼(靈魂, 영어: soul)이라고 한다. 따라서, 양의 단면 곡률의 완비 리만 다양체의 분류는 콤팩트한 경우의 분류로 귀결된다. 또한, 영혼 추측(영어: soul conjecture)에 따르면, 연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M {\displaystyle M} 의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이며, 또한 모든 방향으로의 단면 곡률이 양수인 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 이 존재한다면, M {\displaystyle M} 의 영혼은 한원소 공간이다. 즉, M {\displaystyle M} 은 유클리드 공간과 미분 동형이다. (이름과 달리, 이는 현재 증명된 정리이다.) 단면 곡률이 어디서나 0 초과인 n {\displaystyle n} 차원 연결 콤팩트 리만 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음이 성립한다. (싱 정리 영어: Synge’s theorem) M {\displaystyle M} 은 홀수 차원 가향 다양체이거나, 짝수 차원 단일 연결 가향 다양체이거나, 기본군이 2차 순환군 Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)} 인 짝수 차원 비가향 다양체이다. (마이어스 정리 영어: Myers’ theorem) 만약 M {\displaystyle M} 의 단면 곡률의 최솟값이 κ {\displaystyle \kappa } 라면, diam ⁡ M ≤ π / κ / ( n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {diam} M\leq \pi /{\sqrt {\kappa /(n-1)}}} 이다. 그로모프 베티 수 정리(영어: Gromov’s theorem on Betti numbers)에 따르면, 임의의 차원 n {\displaystyle n} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 C ( n ) ∈ Z + {\displaystyle C(n)\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다. 단면 곡률이 어디서나 0 초과인 임의의 연결 콤팩트 n {\displaystyle n} 차원 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여, M {\displaystyle M} 의 베티 수들의 합은 C ( n ) {\displaystyle C(n)} 이하이다. ∑ i = 0 n b n ( M ) ≤ C ( n ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}b_{n}(M)\leq C(n)} 이러한 다양체의 알려진 예는 드물다. 슈어 보조정리는 독일의 수학자 프리드리히 하인리히 슈어(독일어: Friedrich Heinrich Schur, 1856~1932)가 증명하였다.:183, Lemma 11.22 카르탕-아다마르 정리는 한스 카를 프리드리히 폰 망골트(독일어: Hans Carl Friedrich von Mangoldt, 1854~1925)가 곡면에 대하여 1881년에 증명하였고, 1898년에 자크 아다마르가 같은 정리를 독자적으로 증명하였다. 이후 엘리 카르탕이 1928년에 이를 임의의 차원의 리만 다양체에 대하여 일반화하였다. 싱 정리는 아일랜드의 수학자 존 라이턴 싱(영어: John Lighton Synge, IPA: [dʒɒn laɪtən sɪŋ], 1897~1995)이 1936년에 증명하였다. 마이어스 정리는 미국의 수학자 섬너 바이런 마이어스(영어: Sumner Byron Myers, 1910~1955)가 1941년에 증명하였다. 토포고노프 정리는 러시아의 수학자 빅토르 안드레예비치 토포노고프(러시아어: Ви́ктор Андре́евич Топоно́гов, 1930~2004)가 증명하였다. 영혼 정리는 1972년에 제프 치거와 데틀레프 그로몰(독일어: Detlef Gromoll)이 증명하였으며, 같은 논문에서 영혼 추측을 추측하였다. 그리고리 페렐만은 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다. 미분 동형에 대한 초구 정리는 2007년에 지몬 브렌들레(독일어: Simon Brendle)와 리처드 숀(영어: Richard Schoen)이 증명하였다. 리만 곡률 텐서 리치 곡률 텐서 스칼라 곡률 Ziller, Wolfgang (2007). “Examples of Riemannian manifolds with non-negative sectional curvature” (영어). arXiv:math/0701389. 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