삼중성 리 대수

추상대수학에서 삼중성 리 대수(三重性Lie代數, 영어: triality Lie algebra)는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 o ( 8 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(8)} 이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다. K {\displaystyle K} 가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. K {\displaystyle K} 위의 합성 대수 A {\displaystyle A} 에 대하여, 다음을 정의하자. t r i ( A ) = { ( A , B , C ) ∈ o ( A , Q ) ⊕ 3 : A ( x ⋆ y ) = x ⋆ B y + C x ⋆ y ∀ x , y ∈ A } {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)=\{(A,B,C)\in {\mathfrak {o}}(A,Q)^{\oplus 3}\colon A(x\star y)=x\star By+Cx\star y\qquad \forall x,y\in A\}} 여기서 o ( A , Q ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(A,Q)} 는 A {\displaystyle A} 의 이차 형식 Q : A → K {\displaystyle Q\colon A\to K} (에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다. 이는 o ( A , Q ) ⊕ 3 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(A,Q)^{\oplus 3}} 의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 A {\displaystyle A} 의 삼중성 리 대수라고 하며, t r i ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} 로 표기한다.:§4.1:18–24 이는 다음과 같은 K {\displaystyle K} -벡터 공간 동형 사상을 갖는다. t r i ( A ) ≅ d e r ( A ) ⊕ Im ⁡ ( A ) ⊕ Im ⁡ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\cong {\mathfrak {der}}(A)\oplus \operatorname {Im} (A)\oplus \operatorname {Im} (A)} 증명: 각 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 교환자 [ x , y , z ] = ( x ⋆ y ) z − x ( y ⋆ z ) {\displaystyle [x,y,z]=(x\star y)z-x(y\star z)} 를 정의하면, 교대 법칙에 의하여 [ a , x , y ] + [ x , a , y ] = 0 {\displaystyle [a,x,y]+[x,a,y]=0} 이며, 이는 ( L a , − L a , L a + R a ) ∈ t r i ( A ) ∀ a ∈ A {\displaystyle ({\mathsf {L}}_{a},-{\mathsf {L}}_{a},{\mathsf {L}}_{a}+{\mathsf {R}}_{a})\in {\mathfrak {tri}}(A)\qquad \forall a\in A} 로 번역된다. 마찬가지로 [ x , y , b ] + [ x , b , y ] = 0 {\displaystyle [x,y,b]+[x,b,y]=0} 은 ( R b , L b + R b , − R b ) ∈ t r i ( A ) {\displaystyle ({\mathsf {R}}_{b},{\mathsf {L}}_{b}+{\mathsf {R}}_{b},-{\mathsf {R}}_{b})\in {\mathfrak {tri}}(A)} 로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환 K ↪ t r i ( A ) {\displaystyle K\hookrightarrow {\mathfrak {tri}}(A)} 를 정의한다. 이에 따라, K {\displaystyle K} -선형 변환 d e r ( A ) ⊕ K ⊕ K → t r i ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus K\oplus K\to {\mathfrak {tri}}(A)} ( δ , a , b ) ↦ ( δ , 0 , 0 ) + ( L a , − L a , L a + R a ) + ( R b , L b R b , − R b ) {\displaystyle (\delta ,a,b)\mapsto (\delta ,0,0)+({\mathsf {L}}_{a},-{\mathsf {L}}_{a},{\mathsf {L}}_{a}+{\mathsf {R}}_{a})+({\mathsf {R}}_{b},{\mathsf {L}}_{b}{\mathsf {R}}_{b},-{\mathsf {R}}_{b})} 이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상 ( A , B , C ) ↦ ( A − L a + R b , a , b ) {\displaystyle (A,B,C)\mapsto (A-{\mathsf {L}}_{a}+{\mathsf {R}}_{b},a,b)} a = 1 3 B ( 1 ) + 2 3 C ( 1 ) {\displaystyle a={\frac {1}{3}}B(1)+{\frac {2}{3}}C(1)} b = 2 3 B ( 1 ) + 1 3 C ( 1 ) {\displaystyle b={\frac {2}{3}}B(1)+{\frac {1}{3}}C(1)} 를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상은 단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다. B ( y ) = A ( 1 ⋆ y ) − C ( 1 ) ⋆ y {\displaystyle B(y)=A(1\star y)-C(1)\star y} C ( x ) = A ( x ⋆ 1 ) − x ⋆ B ( 1 ) {\displaystyle C(x)=A(x\star 1)-x\star B(1)} t r i ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다. θ , ζ : t r i ( A ) → t r i ( A ) {\displaystyle \theta ,\zeta \colon {\mathfrak {tri}}(A)\to {\mathfrak {tri}}(A)} θ : ( A , B , C ) ↦ ( B ∗ , C , A ∗ ) {\displaystyle \theta \colon (A,B,C)\mapsto (B^{*},C,A^{*})} ζ : ( A , B , C ) ↦ ( A ∗ , C ∗ , B ∗ ) {\displaystyle \zeta \colon (A,B,C)\mapsto (A^{*},C^{*},B^{*})} 여기서 A ∗ ( x ) = ( A ( x ∗ ) ) ∗ {\displaystyle A^{*}(x)=(A(x^{*}))^{*}} 를 뜻한다. 그렇다면, θ 2 : ( A , B , C ) ↦ ( C ∗ , A ∗ , B ) {\displaystyle \theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C^{*},A^{*},B)} θ 3 = ζ 2 = id {\displaystyle \theta ^{3}=\zeta ^{2}=\operatorname {id} } ζ ∘ θ = θ 2 ∘ ζ : ( A , B , C ) ↦ ( B , A , C ∗ ) {\displaystyle \zeta \circ \theta =\theta ^{2}\circ \zeta \colon (A,B,C)\mapsto (B,A,C^{*})} θ ∘ ζ = ζ ∘ θ 2 : ( A , B , C ) ↦ ( C , B ∗ , A ) {\displaystyle \theta \circ \zeta =\zeta \circ \theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C,B^{*},A)} 가 된다. 즉, 이는 군 준동형 Sym ⁡ ( 3 ) → Aut ⁡ ( t r i ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {tri}}(A))} 를 정의한다 ( Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 은 3차 대칭군). 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다. 또한, d e r ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} 와 t r i ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} 사이에, Im ⁡ ( A ) ⊕ 2 {\displaystyle \operatorname {Im} (A)^{\oplus 2}} 의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 d e r ( A ) ⊕ Im ⁡ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus \operatorname {Im} (A)} 인 리 대수 t r i ′ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}'(A)} 가 존재한다. 이 위에는 Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 삼중성이 Sym ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (2)} 이중성으로 깨지게 된다. 두 실수 합성 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.:Theorem 4.4, §4.3 f r e u d ( 3 ; A , B ) ≅ t r i ( A ) ⊕ t r i ( B ) ⊕ ( A ⊗ R B ) ⊕ 3 {\displaystyle {\mathfrak {freud}}(3;A,B)\cong {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A\otimes _{\mathbb {R} }B)^{\oplus 3}} 여기서 f r e u d ( 3 ; A , B ) {\displaystyle {\mathfrak {freud}}(3;A,B)} 는 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 t r i ( A ) ⊕ t r i ( B ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)} 는 f r e u d ( 3 ; A , B ) {\displaystyle {\mathfrak {freud}}(3;A,B)} 의 부분 리 대수를 이룬다. 또한, 임의의 실수 합성 대수 A {\displaystyle A} 에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 H ⁡ ( 3 ; A ) {\displaystyle \operatorname {H} (3;A)} 의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.:Theorem 4.1, §4.1 d e r ( H ⁡ ( 3 ; A ) ) ≅ t r i ( A ) ⊕ A ⊕ 3 {\displaystyle {\mathfrak {der}}(\operatorname {H} (3;A))\cong {\mathfrak {tri}}(A)\oplus A^{\oplus 3}} 특히, 우변에서 t r i ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} 는 d e r ( H ⁡ ( 3 ; A ) ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(\operatorname {H} (3;A))} 의 부분 리 대수이다. 실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다. 여기서 C ~ = R ⊕ R {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } , H ~ = Mat ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}=\operatorname {Mat} (2,\mathbb {R} )} , O ~ = Zorn ⁡ ( R ) {\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}=\operatorname {Zorn} (\mathbb {R} )} 는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다. 삼중곱 Barton, C. H.; Sudbery, A. (2003). “Magic squares and matrix models of Lie algebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 180 (2): 596–647. arXiv:math/0203010. doi:10.1016/S0001-8708(03)00015-X.  Ramond, Pierre (1976). 《Introduction to exceptional Lie groups and algebras》 (영어). CALT-68-577. 캘리포니아 공과대학교.  Distler, Jacques (2012년 1월 27일). “G₂ and Spin(8) triality”. 《Musings》 (영어).