보편 계수 정리

대수적 위상수학에서 보편 계수 정리(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 가환환 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} -가군 M {\displaystyle M} 각 성분이 R {\displaystyle R} -평탄 가군인 사슬 복합체 ( C ∙ , ∂ ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial )} 호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다. E p , q 2 = Tor p R ⁡ ( H q ⁡ ( C ∙ ) , M ) ⇒ p H p + q ⁡ ( C ∙ ⊗ R M ) {\displaystyle E_{p,q}^{2}=\operatorname {Tor} _{p}^{R}(\operatorname {H} _{q}(C_{\bullet }),M)\Rightarrow _{p}\operatorname {H} _{p+q}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)} 여기서 Tor는 Tor 함자이다. 특히, R {\displaystyle R} 가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 p ≥ 2 {\displaystyle p\geq 2} 에 대하여 Tor p R = 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{R}=0} 이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.:47, Theorem 2.34 0 → H i ⁡ ( X ; R ) ⊗ Z M = Tor 0 R ⁡ ( H i ⁡ ( X ; R ) , M ) → H i ⁡ ( X ; M ) → Tor 1 R ⁡ ( H i ⁡ ( X ; Z ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{\mathbb {Z} }M=\operatorname {Tor} _{0}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;R),M\right)\to \operatorname {H} _{i}(X;M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;\mathbb {Z} ),M\right)\to 0} 그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉, H i ⁡ ( X ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} _{i}(X;M)} 은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다. F p H i ⁡ ( X ; M ) F p − 1 H i ⁡ ( X ; M ) = Tor p R ⁡ ( H i ⁡ ( X ; R ) , M ) {\displaystyle {\frac {F_{p}\operatorname {H} _{i}(X;M)}{F_{p-1}\operatorname {H} _{i}(X;M)}}=\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;R),M\right)} 특히, R {\displaystyle R} 가 주 아이디얼 정역이며 추가로 M {\displaystyle M} 이 평탄 가군이라고 하자. (만약 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 라면, 이는 M {\displaystyle M} 이 꼬임 부분군이 없는 아벨 군이라는 조건이다.) 그렇다면 Tor 1 R ⁡ ( − , M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(-,M)=0} 이며, 따라서 H i ⁡ ( X ; R ) ⊗ Z M ≅ H i ⁡ ( X ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{\mathbb {Z} }M\cong \operatorname {H} _{i}(X;M)} 이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 가환환 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} -가군 M {\displaystyle M} 각 성분이 R {\displaystyle R} -자유 가군인 사슬 복합체 ( C ∙ , ∂ ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial )} 코호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다. E 2 p , q = Ext R p ⁡ ( H q ⁡ ( X ; R ) , M ) ⇒ p H p + q ⁡ ( X ; M ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{R}^{p}(\operatorname {H} _{q}(X;R),M)\Rightarrow _{p}\operatorname {H} ^{p+q}(X;M)} 여기서 Ext는 Ext 함자이다. 특히, R {\displaystyle R} 가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 p ≥ 2 {\displaystyle p\geq 2} 에 대하여 Ext R p = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{p}=0} 이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.:44, Theorem 2.29 0 → Ext R 1 ⁡ ( H i − 1 ⁡ ( C ∙ ) , M ) → H 1 ⁡ ( C ∙ ⊗ R M ) → hom R ⁡ ( H i ⁡ ( C ∙ ) , M ) = Ext R 0 ⁡ ( H i ⁡ ( C ∙ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}\left(\operatorname {H} _{i-1}(C_{\bullet }),M\right)\to \operatorname {H} ^{1}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)\to \hom _{R}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)=\operatorname {Ext} _{R}^{0}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)\to 0} 그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉, H i ⁡ ( C ∙ ⊗ R M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)} 은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다. F p H i ⁡ ( C ∙ ⊗ R M ) F p + 1 H i ⁡ ( C ∙ ⊗ R M ) = Ext R p ⁡ ( H i ⁡ ( C ∙ ) , M ) {\displaystyle {\frac {F^{p}\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}{F^{p+1}\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}}=\operatorname {Ext} _{R}^{p}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)} 특히, R {\displaystyle R} 가 주 아이디얼 정역이며 추가로 M {\displaystyle M} 이 단사 가군이라고 하자. (만약 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 라면, 이는 M {\displaystyle M} 이 나눗셈군이라는 조건이다.) 그렇다면 Ext R 1 ⁡ ( − , M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(-,M)=0} 이며, 따라서 H 1 ⁡ ( C ∙ ⊗ R M ) ≅ hom R ⁡ ( H i ⁡ ( C ∙ ) , M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)\cong \hom _{R}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)} 이다. Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). 《Lecture Notes in Algebraic Topology》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 35. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2160-2. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 25일에 확인함.  Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.  “Universal coefficient theorem”. 《nLab》 (영어).