사드의 정리

실해석학에서 사드의 정리(Sard-定理, 영어: Sard’s theorem)는 매끄러운 함수는 거의 모든 곳에서 임계점을 갖지 않는다는 정리다. 사드의 정리에 따르면, 두 C r {\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}} 미분 가능 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 사이의 C r {\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}} 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 에 대하여, 만약 r > max { dim ⁡ M , dim ⁡ N } {\displaystyle r>\max\{\dim M,\dim N\}} 이라면 f {\displaystyle f} 의 임계점( ∂ μ f = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }f=0} 인 점)의 집합은 르베그 측도에 대하여 영집합이다. 국소좌표계를 사용하여, 편의상 M ⊂ R dim ⁡ M {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{\dim M}} 이고 N = R dim ⁡ N {\displaystyle N=\mathbb {R} ^{\dim N}} 으로 가정할 수 있다. 따라서, 사드의 정리는 다음 명제로부터 쉽게 증명할 수 있다.:496–497 n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합 G에서 R n {\displaystyle R^{n}} 으로 가는 n변수 함수 f = (f1, ..., fn)가 있다고 하자. 만약, f가 미분가능한 G의 점들을 임의로 모은 집합 E에 대하여 적당한 음이 아닌 실수 상수 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여 f의 야코비안 행렬식이 | J ( f ) | ≤ μ {\displaystyle |J(f)|\leq \mu } 를 만족한다면, E에서 λ ∗ ( f ( E ) ) ≤ μ λ ∗ ( E ) {\displaystyle \lambda ^{*}(f(E))\leq \mu \lambda ^{*}(E)} 이 성립한다.(여기서 λ ∗ {\displaystyle \lambda ^{*}} 는 외측도의 기호) 이 명제에서 μ = 0 {\displaystyle \mu =0} 을 취하면 사드의 정리가 되므로, 이 명제를 증명하면 곧바로 사드의 정리를 증명할 수 있다. 이 명제는 다음과 같은 단계에 의해 증명할 수 있다.:496–498 우선 E에서 임의의 양수 k에 대하여 적당한 양수 l이 존재하여 (0, l]에 속하는 모든 수 m에 대해 부등식 λ ∗ ( f ( B ( x , m ) ) ) ≤ ( | J ( f ) | + k ) λ ( B ( x , m ) ) {\displaystyle \lambda ^{*}(f(B(x,m)))\leq (|J(f)|+k)\lambda (B(x,m))} 이 성립한다는 것을 증명한다. 다음으로, E가 유계라고 가정할 수 있음을 증명한다. E가 유계라 가정하면, 적당한 열린 집합 H가 존재하여 임의의 양수 k에 대해 E ⊂ H ⊂ G와 λ ( H ) < λ ∗ ( E ) + k {\displaystyle \lambda (H)<\lambda ^{*}(E)+k} 을 만족한다. 1을 이용하면 임의의 x ∈ E에 대해 적당한 l(x) > 0이 존재하여 (0, l(x)]에 속하는 모든 m에 대해 B(x, m) ⊂ H이고, λ ∗ ( f ( B ( x , m ) ) ) ≤ ( μ + k ) λ ( B ( x , m ) ) {\displaystyle \lambda ^{*}(f(B(x,m)))\leq (\mu +k)\lambda (B(x,m))} 을 얻는다. E에 속하는 x와 (0, l(x)/5]에 속하는 m에 대하여 B(x, m)은 E에 대한 비탈리 조건을 만족한다. 따라서, 비탈리 덮음 보조정리를 이용하면 F에 속하는 적당한 교차하지 않는 열린 공들 B1, B2, ...에 대하여 어떤 영집합을 제외하면 E ⊂ ⋃ a = 1 ∞ B a {\displaystyle E\subset \bigcup _{a=1}^{\infty }B_{a}} 이 성립한다. 이상으로부터 λ ∗ ( f ( E ) ) ≤ ( μ + k ) ( ∑ a = 1 s − 1 λ ( B a ) + ∑ a = s ∞ 5 n λ ( B a ) ) {\displaystyle \lambda ^{*}(f(E))\leq (\mu +k)(\sum _{a=1}^{s-1}\lambda (B_{a})+\sum _{a=s}^{\infty }5^{n}\lambda (B_{a}))} 이 성립함을 증명한다. 이상에서 분명히 ∑ a = 1 ∞ λ ( B a ) ≤ λ ( H ) {\displaystyle \sum _{a=1}^{\infty }\lambda (B_{a})\leq \lambda (H)} 이므로, 6의 부등식에서 s를 무한대로 가져가는 극한을 취하면 λ ∗ ( f ( E ) ) ≤ ( μ + k ) λ ( H ) < ( μ + k ) ( λ ∗ ( E ) + k ) {\displaystyle \lambda ^{*}(f(E))\leq (\mu +k)\lambda (H)<(\mu +k)(\lambda ^{*}(E)+k)} 을 얻는데, k는 임의이므로 증명이 끝난다. 미국의 수학자 아서 사드가 1942년에 증명하였고, 1965년에 일반화하였다. Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001 Sard, Arthur (1942). “The measure of the critical values of differentiable maps”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 48 (12): 883–890. doi:10.1090/S0002-9904-1942-07811-6. MR 0007523. Zbl 0063.06720.  Sard, Arthur (1965). “Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds”. 《American Journal of Mathematics》 87 (1): 158–174. doi:10.2307/2373229. JSTOR 2373229. MR 0173748. Zbl 0137.42501.  Sard, Arthur (1965). “Errata to Hausdorff measures of critical images on Banach manifolds”. 《American Journal of Mathematics》 87 (3): 158–174. doi:10.2307/2373229. JSTOR 2373074. MR 0180649. Zbl 0137.42501.  “Sard theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sard's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.