라플라스 전개

선형대수학에서 라플라스 전개(-展開, 영어: Laplace expansion) 또는 여인자 전개(餘因子展開, 영어: cofactor expansion)는 행렬식을 더 작은 두 행렬식과 그에 맞는 부호를 곱한 것들의 합으로 전개하는 것이다. n × n 정사각행렬 A의 (i, j) 소행렬식 Mij는 A의 i행과 j열을 지워서 얻어진 행렬식이다. A의 여인자 Cij는 거기에 1 또는 -1을 값으로 하는 계수 (-1)i + j를 곱한 것이다. 즉, C i j = ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}} 예를 들어 행렬 A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}} 의 (2, 3) 소행렬식과 여인자는 각각 다음과 같다. M 23 = | 1 2 ◻ ◻ ◻ ◼ 7 8 ◻ | = | 1 2 7 8 | = − 6 {\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}1&2&\Box \\\Box &\Box &\blacksquare \\7&8&\Box \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}=-6} C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 | 1 2 7 8 | = − | 1 2 7 8 | = 6 {\displaystyle C_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}=6} n × n 행렬 A = [aij]의 행렬식은 고정된 i행의 각 항과 그의 여인자의 곱으로 전개할 수 있다. | A | = ∑ j = 1 n a i j C i j {\displaystyle |A|=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}} 비슷하게, 고정된 j열에 대하여 전개할 수 있다. | A | = ∑ i = 1 n a i j C i j {\displaystyle |A|=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}} 서로 다른 행의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다. ∑ j = 1 n a i j C k j = 0 ( i ≠ k ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{kj}=0\qquad (i\neq k)} 비슷하게, 서로 다른 열의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다. ∑ i = 1 n a i j C i k = 0 ( j ≠ k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ik}=0\qquad (j\neq k)} 즉, ∑ j = 1 n a i j C k j = δ i k | A | {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{kj}=\delta _{ik}|A|} ∑ i = 1 n a i j C i k = δ j k | A | {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ik}=\delta _{jk}|A|} 여기서 δ {\displaystyle \delta } 는 크로네커 델타이다. 정리하면, 행렬과 그 고전적 수반 행렬의 곱은 다음과 같다. A adj ⁡ A = ( adj ⁡ A ) A = | A | I {\displaystyle A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)A=|A|I} 라플라스 전개는 임의의 k개의 행에 대한 전개로 일반화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자. I, J는 1, ..., n}의 k원소 부분 집합이다. 즉, k개의 행과 열을 뜻한다. AI, J는 A에서 행 첨수가 I에, 열 첨수가 J에 있는 원소만을 골라내어 얻는 행렬식이다. MI, J는 A에서 행 첨수가 I에, 열 첨수가 J에 있는 원소만을 제거하여 얻는 행렬식이다. 그렇다면, 행렬식은 고정된 k개의 행 I에 대하여 다음과 같이 전개된다. | A | = ∑ | J | = k ( − 1 ) ∑ I + ∑ J A I , J M I , J {\displaystyle |A|=\sum _{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}A_{I,J}M_{I,J}} 비슷하게, 행렬식은 고정된 k개의 열 J에 대하여 다음과 같이 전개된다. | A | = ∑ | I | = k ( − 1 ) ∑ I + ∑ J A I , J M I , J {\displaystyle |A|=\sum _{|I|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}A_{I,J}M_{I,J}} 여러 행에 대한 라플라스 전개는 필산하기에 복잡하나, 이론적으로 유용하다. 3 × 3 행렬 A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}} 의 행렬식은 1행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다. | A | = ( − 1 ) 1 + 1 1 | 5 6 8 9 | + ( − 1 ) 1 + 2 2 | 4 6 7 9 | + ( − 1 ) 1 + 3 3 | 4 5 7 8 | = 1 ( − 3 ) − 2 ( − 6 ) + 3 ( − 3 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=(-1)^{1+1}1{\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2}2{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+(-1)^{1+3}3{\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\&=1(-3)-2(-6)+3(-3)\\&=0\end{aligned}}} 2열에 대하여 전개해도 결과는 같다. | A | = ( − 1 ) 2 + 1 2 | 4 6 7 9 | + ( − 1 ) 2 + 2 5 | 1 3 7 9 | + ( − 1 ) 2 + 3 8 | 1 3 4 6 | = − 2 ( − 6 ) + 5 ( − 12 ) − 8 ( − 6 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=(-1)^{2+1}2{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+(-1)^{2+2}5{\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}+(-1)^{2+3}8{\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\&=-2(-6)+5(-12)-8(-6)\\&=0\end{aligned}}} 물론, A는 1행과 3행의 합이 2행의 2배이므로, 특이 행렬이다. 따라서, 행렬식은 당연히 위 계산대로 0이다. 4 × 4 행렬 A = [ 1 2 1 4 0 − 1 2 1 1 0 1 3 0 1 3 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1&4\\0&-1&2&1\\1&0&1&3\\0&1&3&1\end{bmatrix}}} 의 행렬식은 1행에 대한 전개를 통해 계산할 수 있다. 먼저 소행렬식 M 11 {\displaystyle M_{11}} , M 12 {\displaystyle M_{12}} , M 13 {\displaystyle M_{13}} , M 14 {\displaystyle M_{14}} 는 모두 3 × 3 행렬식이므로 역시 다음과 같이 라플라스 전개를 통해 계산할 수 있다. M 11 = | − 1 2 1 0 1 3 1 3 1 | = − 1 | 1 3 3 1 | − 2 | 0 3 1 1 | + 1 | 0 1 1 3 | = − 1 ( 1 − 9 ) − 2 ( 0 − 3 ) + 1 ( 0 − 1 ) = 13 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&={\begin{vmatrix}-1&2&1\\0&1&3\\1&3&1\end{vmatrix}}=-1{\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}0&3\\1&1\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}0&1\\1&3\end{vmatrix}}\\&=-1(1-9)-2(0-3)+1(0-1)=13\end{aligned}}} M 12 = | 0 2 1 1 1 3 0 3 1 | = 0 | 1 3 3 1 | − 2 | 1 3 0 1 | + 1 | 1 1 0 3 | = − 2 ( 1 − 0 ) + 1 ( 3 − 0 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{12}&={\begin{vmatrix}0&2&1\\1&1&3\\0&3&1\end{vmatrix}}=0{\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}1&1\\0&3\end{vmatrix}}\\&=-2(1-0)+1(3-0)=1\end{aligned}}} M 13 = | 0 − 1 1 1 0 3 0 1 1 | = 0 | 0 3 1 1 | − ( − 1 ) | 1 3 0 1 | + 1 | 1 0 0 1 | = 1 ( 1 − 0 ) + 1 ( 1 − 0 ) = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{13}&={\begin{vmatrix}0&-1&1\\1&0&3\\0&1&1\end{vmatrix}}=0{\begin{vmatrix}0&3\\1&1\end{vmatrix}}-(-1){\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}\\&=1(1-0)+1(1-0)=2\end{aligned}}} M 14 = | 0 − 1 2 1 0 1 0 1 3 | = 0 | 0 1 1 3 | − ( − 1 ) | 1 1 0 3 | + 2 | 1 0 0 1 | = 1 ( 3 − 0 ) + 2 ( 1 − 0 ) = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{14}&={\begin{vmatrix}0&-1&2\\1&0&1\\0&1&3\end{vmatrix}}=0{\begin{vmatrix}0&1\\1&3\end{vmatrix}}-(-1){\begin{vmatrix}1&1\\0&3\end{vmatrix}}+2{\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}\\&=1(3-0)+2(1-0)=5\end{aligned}}} 따라서, 행렬식은 다음과 같다. | A | = 1 M 11 − 2 M 12 + 1 M 13 − 4 M 14 = 13 − 2 + 2 − 20 = − 7 {\displaystyle |A|=1M_{11}-2M_{12}+1M_{13}-4M_{14}=13-2+2-20=-7} 위 4 × 4 행렬 A = [ 1 2 1 4 0 − 1 2 1 1 0 1 3 0 1 3 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1&4\\0&-1&2&1\\1&0&1&3\\0&1&3&1\end{bmatrix}}} 의 행렬식은 1행과 2행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다. | A | = ( − 1 ) 1 + 2 + 1 + 2 | 1 2 0 − 1 | | 1 3 3 1 | + ( − 1 ) 1 + 2 + 1 + 3 | 1 1 0 2 | | 0 3 1 1 | + ( − 1 ) 1 + 2 + 1 + 4 | 1 4 0 1 | | 0 1 1 3 | + ( − 1 ) 1 + 2 + 2 + 3 | 2 1 − 1 2 | | 1 3 0 1 | + ( − 1 ) 1 + 2 + 2 + 4 | 2 4 − 1 1 | | 1 1 0 3 | + ( − 1 ) 1 + 2 + 3 + 4 | 1 4 2 1 | | 1 0 0 1 | = ( − 1 ) ( − 8 ) − 2 ( − 3 ) + 1 ( − 1 ) + 51 − 63 + ( − 7 ) 1 = − 7 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}|A|&=&(-1)^{1+2+1+2}{\begin{vmatrix}1&2\\0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+1+3}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&3\\1&1\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+1+4}{\begin{vmatrix}1&4\\0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&1\\1&3\end{vmatrix}}\\&&{}+(-1)^{1+2+2+3}{\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+2+4}{\begin{vmatrix}2&4\\-1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\0&3\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+3+4}{\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}\\&=&(-1)(-8)-2(-3)+1(-1)+51-63+(-7)1\\&=&-7\end{array}}} k ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}} 에 대하여, 다음과 같은 함수 μ k {\displaystyle \mu _{k}} 를 정의하자. μ k : { 1 , … , n − 1 } → { 1 , … , n } {\displaystyle \mu _{k}\colon \{1,\ldots ,n-1\}\to \{1,\ldots ,n\}} μ k : x ↦ { x x ∈ { 1 , … , k − 1 } x + 1 x ∈ { k , … , n − 1 } {\displaystyle \mu _{k}\colon x\mapsto {\begin{cases}x&x\in \{1,\ldots ,k-1\}\\x+1&x\in \{k,\ldots ,n-1\}\end{cases}}} 즉, μ k {\displaystyle \mu _{k}} 는 k {\displaystyle k} 이상의 원소들을 뒤로 한 칸 밀며, 나머지 원소들은 움직이지 않는다. 그렇다면, 함수 { σ ∈ S n : σ i = j } → S n − 1 {\displaystyle \{\sigma \in S_{n}\colon \sigma _{i}=j\}\to S_{n-1}} σ ↦ μ j − 1 σ μ i {\displaystyle \sigma \mapsto \mu _{j}^{-1}\sigma \mu _{i}} 는 일대일 대응이다. 행렬식의 라이프니츠 공식 속, a i j {\displaystyle a_{ij}} 를 포함하는 항 sgn ⁡ σ a 1 σ 1 ⋯ a i j ⋯ a n σ n {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma \,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{ij}\cdots a_{n\sigma _{n}}} 을 생각하자. 또한, τ = μ j − 1 σ μ i ∈ S n − 1 {\displaystyle \tau =\mu _{j}^{-1}\sigma \mu _{i}\in S_{n-1}} τ ′ = τ μ j − 1 ⊔ id { j } ∈ S n {\displaystyle \tau '=\tau \mu _{j}^{-1}\sqcup \operatorname {id} _{\{j\}}\in S_{n}} 라고 하자. 그렇다면, sgn ⁡ τ = sgn ⁡ τ ′ {\displaystyle \operatorname {sgn} \tau =\operatorname {sgn} \tau '} 이며, σ = ν τ ′ {\displaystyle \sigma =\nu \tau '} ν = { id { 1 , … , n } i = j ( σ j , σ j − 1 , … , σ i + 2 , σ i + 1 , j ) i < j ( σ j , σ j + 1 , … , σ i − 2 , σ i − 1 , j ) i > j ∈ S n {\displaystyle \nu ={\begin{cases}\operatorname {id} _{\{1,\ldots ,n\}}&i=j\\(\sigma _{j},\sigma _{j-1},\ldots ,\sigma _{i+2},\sigma _{i+1},j)&i<j\\(\sigma _{j},\sigma _{j+1},\ldots ,\sigma _{i-2},\sigma _{i-1},j)&i>j\end{cases}}\in S_{n}} 이다. 또한, ν {\displaystyle \nu } 는 | i − j | {\displaystyle |i-j|} 개의 호환으로 표현할 수 있으므로, sgn ⁡ σ = ( − 1 ) | i − j | sgn ⁡ τ ′ = ( − 1 ) i + j sgn ⁡ τ {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =(-1)^{|i-j|}\operatorname {sgn} \tau '=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \tau } 이다. 따라서, | A | = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ σ a 1 σ 1 ⋯ a n σ n = ∑ j = 1 n ∑ σ i = j sgn ⁡ σ a i σ 1 ⋯ a i j ⋯ a n σ n = ∑ j = 1 n ∑ τ ∈ S n − 1 ( − 1 ) i + j sgn ⁡ τ a i σ 1 ⋯ a i j ⋯ a n σ n = ∑ j = 1 n ( − 1 ) i + j a i j ∑ τ ∈ S n − 1 sgn ⁡ τ a i σ 1 ⋯ a i − 1 , σ i − 1 a i + 1 , σ i + 1 ⋯ a n σ n = ∑ j = 1 n ( − 1 ) i + j a i j M i j = ∑ j = 1 n a i j C i j {\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{j=1}^{n}\sum _{\sigma _{i}=j}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{i\sigma _{1}}\cdots a_{ij}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{j=1}^{n}\sum _{\tau \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \tau \,a_{i\sigma _{1}}\cdots a_{ij}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\sum _{\tau \in S_{n-1}}\operatorname {sgn} \tau \,a_{i\sigma _{1}}\cdots a_{i-1,\sigma _{i-1}}a_{i+1,\sigma _{i+1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\end{aligned}}} 위 증명과 비슷하게, 다음 대상들을 정의하자. ( [ n ] = { 1 , … , n } {\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}} ) k {\displaystyle k} 원소 집합 K ⊆ [ n ] {\displaystyle K\subseteq [n]} 에 대하여, μ K : [ n − k ] → [ n ] {\displaystyle \mu _{K}\colon [n-k]\to [n]} 은 의 원소들을 뒤로 밀어 K {\displaystyle K} 의 원소들에 공백이 생기도록 하는 함수이다. 일대일 대응 { σ ∈ S n : σ ( I ) = J } → S k × S n − k {\displaystyle \{\sigma \in S_{n}\colon \sigma (I)=J\}\to S_{k}\times S_{n-k}} σ ↦ ( μ σ ( [ n ] ∖ I ) − 1 σ μ [ n ] ∖ I , μ J − 1 σ μ I ) {\displaystyle \sigma \mapsto (\mu _{\sigma ([n]\setminus I)}^{-1}\sigma \mu _{[n]\setminus I},\mu _{J}^{-1}\sigma \mu _{I})} 행렬식의 라이프니츠 공식에서, σ ( I ) = J {\displaystyle \sigma (I)=J} 인 항 sgn ⁡ σ a 1 σ 1 ⋯ a n σ n {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma \,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}} 을 생각하자. 또한, τ 1 = μ σ ( [ n ] ∖ I ) − 1 σ μ [ n ] ∖ I ∈ S k {\displaystyle \tau _{1}=\mu _{\sigma ([n]\setminus I)}^{-1}\sigma \mu _{[n]\setminus I}\in S_{k}} τ 2 = μ J − 1 σ μ I ∈ S n − k {\displaystyle \tau _{2}=\mu _{J}^{-1}\sigma \mu _{I}\in S_{n-k}} 를 정의하자. 그렇다면, σ {\displaystyle \sigma } 는 다음과 같이 id n {\displaystyle \operatorname {id} _{n}} 으로 환원된다. σ ( I ) {\displaystyle \sigma (I)} 의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 sgn ⁡ τ 1 {\displaystyle \operatorname {sgn} \tau _{1}} 과 같다. σ ( [ n ] ∖ I ) {\displaystyle \sigma ([n]\setminus I)} 의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 sgn ⁡ τ 2 {\displaystyle \operatorname {sgn} \tau _{2}} 와 같다. i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, σ ( i ) {\displaystyle \sigma (i)} 를 i {\displaystyle i} 번째로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 ( − 1 ) ∑ I + ∑ J {\displaystyle (-1)^{\sum I+\sum J}} 와 같다. 그러므로, sgn ⁡ σ = ( − 1 ) ∑ I + ∑ J sgn ⁡ τ 1 sgn ⁡ τ 2 {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =(-1)^{\sum I+\sum J}\operatorname {sgn} \tau _{1}\operatorname {sgn} \tau _{2}} 이며, 따라서 | A | = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ σ a 1 σ 1 ⋯ a n σ n = ∑ | J | = k ∑ σ ( I ) = J sgn ⁡ σ a 1 σ 1 ⋯ a n σ n = ∑ | J | = k ∑ σ ( I ) = J ( − 1 ) ∑ I + ∑ J sgn ⁡ τ 1 sgn ⁡ τ 2 a 1 σ 1 ⋯ a n σ n = ∑ | J | = k ( − 1 ) ∑ I + ∑ J ( ∑ σ ( I ) = J sgn ⁡ τ 1 ∏ i ∈ I a i σ i ) ( ∑ σ ( I ) = J sgn ⁡ τ 2 ∏ i ∈ [ n ] ∖ I a i σ i ) = ∑ | J | = k ( − 1 ) ∑ I + ∑ J ( ∑ τ 1 ∈ S k sgn ⁡ τ 1 ∏ i ∈ I a i σ i ) ( ∑ τ 2 ∈ S n − k sgn ⁡ τ 2 ∏ i ∈ [ n ] ∖ I a i σ i ) = ∑ | J | = k ( − 1 ) ∑ I + ∑ J A I , J M I , J {\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{|J|=k}\sum _{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{|J|=k}\sum _{\sigma (I)=J}(-1)^{\sum I+\sum J}\operatorname {sgn} \tau _{1}\operatorname {sgn} \tau _{2}\,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}\left(\sum _{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \tau _{1}\prod _{i\in I}a_{i\sigma _{i}}\right)\left(\sum _{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \tau _{2}\prod _{i\in [n]\setminus I}a_{i\sigma _{i}}\right)\\&=\sum _{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}\left(\sum _{\tau _{1}\in S_{k}}\operatorname {sgn} \tau _{1}\prod _{i\in I}a_{i\sigma _{i}}\right)\left(\sum _{\tau _{2}\in S_{n-k}}\operatorname {sgn} \tau _{2}\prod _{i\in [n]\setminus I}a_{i\sigma _{i}}\right)\\&=\sum _{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}A_{I,J}M_{I,J}\end{aligned}}} 알렉상드르테오필 방데르몽드는 행렬식의 두 행에 대한 전개를 제시하였다.:606, §25.3 피에르시몽 라플라스는 1772년 논문 《Recherches sur Ie calcul integral et sur Ie systeme du monde,》에서 행렬식 전개를 임의 개수 행에 대한 전개로 일반화하였다.:607, §25.3 오귀스탱 루이 코시는 라플라스의 전개 정리를 더 현대적인 용어로 서술·증명하였다.:796, §33.2 행렬식 벡터곱 Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 2》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506136-5.  Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.