등각 다양체

미분기하학에서 등각 다양체(登角多樣體, 영어: conformal manifold)는 리만 계량의 (스칼라 함수의 곱에 대한) 동치류가 갖추어진 매끄러운 다양체이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 두 준 리만 계량 g {\displaystyle g} , h {\displaystyle h} 에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 동치라고 하자. g = λ h ( λ ∈ C ∞ ( M , R + ) ) {\displaystyle g=\lambda h\qquad (\lambda \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+}))} 위와 같은 준 리만 계량의 동치류를 등각 계량(영어: conformal metric)이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다. d {\displaystyle d} 차원 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 리만 곡률 Riem ⁡ ( X , Y ) Z = ( [ ∇ X , ∇ Y ] − ∇ [ X , Y ] ) Z {\displaystyle \operatorname {Riem} (X,Y)Z=([\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]})Z} ( Riem ⁡ ( X , Y ) Z ) l = R l i j k Z i X j Y k {\displaystyle (\operatorname {Riem} (X,Y)Z)^{l}=R^{l}{}_{ijk}Z^{i}X^{j}Y^{k}} 을 생각하고, 리치 곡률 Ric i j = Riem l ⁡ i l j {\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\operatorname {Riem} ^{l}{}_{ilj}} 를 정의하자. 그렇다면, g i j ′ = exp ⁡ ( 2 ϕ ) g i j {\displaystyle g'_{ij}=\exp(2\phi )g_{ij}} 에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다. Ric ⁡ [ g ′ ] i j = Ric ⁡ [ g ] i j − ( d − 2 ) ( ∇ i ∂ j ϕ − ( ∂ i ϕ ) ∂ j ϕ ) − g i j g k l ( ∇ k ∂ l ϕ + ( d − 2 ) ( ∂ k ϕ ) ∂ i ϕ ) {\displaystyle \operatorname {Ric} [g']_{ij}=\operatorname {Ric} [g]_{ij}-(d-2)\left(\nabla _{i}\partial _{j}\phi -(\partial _{i}\phi )\partial _{j}\phi \right)-g_{ij}g^{kl}\left(\nabla _{k}\partial _{l}\phi +(d-2)(\partial _{k}\phi )\partial _{i}\phi \right)} 즉, 리치 곡률은 d ≥ 2 {\displaystyle d\geq 2} 일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론 d ≤ 1 {\displaystyle d\leq 1} 일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.) 반면, d > 2 {\displaystyle d>2} 일 때, 바일 곡률 텐서 C i j k l = Riem i ⁡ j k l + Ric i ′ l ⁡ g i i ′ g j k − Ric i ′ k ⁡ g i i ′ g j l + Ric j k ⁡ δ l i − Ric i ′ l ⁡ g i i ′ g j k d − 2 + δ k i g j l − δ l i g j k ( d − 1 ) ( d − 2 ) g m n Ric m n {\displaystyle C^{i}{}_{jkl}=\operatorname {Riem} ^{i}{}_{jkl}+{\frac {\operatorname {Ric} _{i'l}g^{ii'}g_{jk}-\operatorname {Ric} _{i'k}g^{ii'}g_{jl}+\operatorname {Ric} _{jk}\delta _{l}^{i}-\operatorname {Ric} _{i'l}g^{ii'}g_{jk}}{d-2}}+{\frac {\delta _{k}^{i}g_{jl}-\delta _{l}^{i}g_{jk}}{(d-1)(d-2)}}g^{mn}\operatorname {Ric} _{mn}} 를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다. p {\displaystyle p} 차 미분 형식의 경우, 호지 쌍대 사상은 등각 변환 g ( − , − ) ↦ exp ⁡ ( 2 ϕ ) g ( − , − ) {\displaystyle g(-,-)\mapsto \exp(2\phi )g(-,-)} 에 대하여 다음과 같이 변환한다. ∗ ′ = exp ⁡ ( ( d − 2 p ) ϕ ) ∗ {\displaystyle *'=\exp((d-2p)\phi )*} 다시 말해, 만약 p = d / 2 {\displaystyle p=d/2} 일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다. 등각 다양체 ( M , [ g ] ) {\displaystyle (M,[g])} 위의 등각 킬링 벡터장(영어: conformal Killing vector field)은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다. L X g = λ g ( λ ∈ C ∞ ( M , R + ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\qquad (\lambda \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+}))} 이는 구체적으로 다음과 같다. ∇ i X j + ∇ j X i − 2 d g i j ∇ k X k = 0 {\displaystyle \nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}-{\frac {2}{d}}g_{ij}\nabla _{k}X^{k}=0} 이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다. Kobayashi, Shoshichi (1970). 《Transformation Groups in Differential Geometry》 Fir판. Springer. ISBN 3-540-05848-6.  Slovák, Jan (1993). 《Invariant Operators on Conformal Manifolds》. Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation).  Sternberg, Shlomo (1983). 《Lectures on differential geometry》. New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.  “Conformal connection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Conformal geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Conformal geometry”. 《nLab》 (영어).