생성 집합

범주론에서 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상들의 집합 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 생성 집합이라고 한다.:Definition 7.14 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 만약 f ≠ g {\displaystyle f\neq g} 라면, f ∘ h ≠ g ∘ h {\displaystyle f\circ h\neq g\circ h} 가 되는 대상 G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathfrak {G}}} 및 사상 h : G → X {\displaystyle h\colon G\to X} 가 존재한다. G → ∃ h X ⇉ f g Y {\displaystyle G{\overset {\exists h}{\to }}X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다. 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다. ∏ G ∈ G hom C ⁡ ( G , − ) : C → Set {\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } ∏ G ∈ G hom C ⁡ ( G , − ) : X ↦ ∏ G ∈ G hom ⁡ ( G , X ) {\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon X\mapsto \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom(G,X)} ∏ G ∈ G hom C ⁡ ( G , − ) : ( X → f Y ) ↦ ( ( h G : G → X ) G ∈ G ↦ ( f ∘ h G : G → Y ) G ∈ G ) {\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon (X{\overset {f}{\to }}Y)\mapsto \left((h_{G}\colon G\to X)_{G\in {\mathfrak {G}}}\mapsto (f\circ h_{G}\colon G\to Y)_{G\in {\mathfrak {G}}}\right)} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다. 모든 대상 X ∈ G {\displaystyle X\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다. π = ∐ G ∈ G , h ∈ hom C ⁡ ( G , X ) h {\displaystyle \pi =\coprod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom _{\mathcal {C}}(G,X)}h} π : ∐ G ∈ G , h ∈ hom ⁡ ( G , X ) G → X {\displaystyle \pi \colon \coprod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom(G,X)}G\to X} 다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다. 만약 생성 집합 G = { G } {\displaystyle {\mathfrak {G}}=\{G\}} 가 한원소 집합이라면, G {\displaystyle G} 를 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 생성 대상(영어: generating object, generator)이라고 한다. 위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(영어: cogenerating set, coseparating set)과 쌍대 생성 대상(영어: cogenerating object, cogenerator, coseparator)을 정의할 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상들의 집합 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 쌍대 생성 집합이라고 한다.:Definition 7.16 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 만약 f ≠ g {\displaystyle f\neq g} 라면, h ∘ f ≠ h ∘ g {\displaystyle h\circ f\neq h\circ g} 가 되는 대상 G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathfrak {G}}} 및 사상 h : Y → G {\displaystyle h\colon Y\to G} 가 존재한다. X ⇉ f g Y → ∃ h G {\displaystyle X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y{\overset {\exists h}{\to }}G} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다. 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다. ∏ G ∈ G hom C ⁡ ( − , G ) : C op → Set {\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } ∏ G ∈ G hom C ⁡ ( − , G ) : X ↦ ∏ G ∈ G hom C ⁡ ( X , G ) {\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon X\mapsto \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(X,G)} ∏ G ∈ G hom C ⁡ ( − , G ) : ( X → f Y ) ↦ ( ( h G : Y → G ) G ∈ G ↦ ( h G ∘ f : X → G ) G ∈ G ) {\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon (X{\overset {f}{\to }}Y)\mapsto \left((h_{G}\colon Y\to G)_{G\in {\mathfrak {G}}}\mapsto (h_{G}\circ f\colon X\to G)_{G\in {\mathfrak {G}}}\right)} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다. 모든 대상 X ∈ G {\displaystyle X\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다. π = ∏ G ∈ G , h ∈ hom C ⁡ ( X , G ) h {\displaystyle \pi =\prod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom _{\mathcal {C}}(X,{\mathfrak {G}})}h} π : X → ∏ G ∈ G , h ∈ hom ⁡ ( X , G ) G {\displaystyle \pi \colon X\to \prod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom(X,G)}G} 다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다. 대수 구조 다양체의 범주 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자 Forget : V ⇄ Set : Free {\displaystyle \operatorname {Forget} \colon {\mathcal {V}}\rightleftarrows \operatorname {Set} \colon \operatorname {Free} } 를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상 Free ⁡ ( { ∙ } ) {\displaystyle \operatorname {Free} (\{\bullet \})} 은 항상 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여 다음이 성립한다. ∐ s ∈ S Free ⁡ ( { s } ) ≅ Free ⁡ ( S ) {\displaystyle \coprod _{s\in S}\operatorname {Free} (\{s\})\cong \operatorname {Free} (S)} 따라서, Free ⁡ ( { ∙ } ) {\displaystyle \operatorname {Free} (\{\bullet \})} 이 생성 대상이라는 것은 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다. 대수 A {\displaystyle A} 를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을 A {\displaystyle A} 의 표시(영어: presentation)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다. A ≅ ⟨ S | ( t 1 = t 2 ) ( t 1 , t 2 ) ∈∼ ⟩ {\displaystyle A\cong \langle S|(t_{1}=t_{2})_{(t_{1},t_{2})\in \sim }\rangle } 여기서 S {\displaystyle S} 는 집합이다. ∼ {\displaystyle \sim } 은 전사 사상 Free ⁡ ( S ) → A {\displaystyle \operatorname {Free} (S)\to A} 를 정의하는, Free ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Free} (S)} 위의 합동 관계이다. 즉, S {\displaystyle S} 의 원소와 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 의 연산들로 적을 수 있는 두 항 t 1 , t 2 ∈ Free ⁡ ( S ) {\displaystyle t_{1},t_{2}\in \operatorname {Free} (S)} 에 대한 등식 t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}} 의 꼴로 적을 수 있다. 군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다. 반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다. 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 의 생성 대상이다. 공집합이 아니다. 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Example 7.18(1) 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 의 쌍대 생성 대상이다. 공집합이나 한원소 집합이 아니다. 위상 공간과 연속 함수의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이며, 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 X {\displaystyle X} 위에 이산 위상을 부여한 공간 Disc ⁡ ( Points ⁡ ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {Disc} (\operatorname {Points} (X))} 을 정의한다면, 수반 함자 Points : Top ⇄ Set : Disc {\displaystyle \operatorname {Points} \colon \operatorname {Top} \rightleftarrows \operatorname {Set} \colon \operatorname {Disc} } 의 쌍대단위원 η : Disc ∘ Points ⇒ Id Top {\displaystyle \eta \colon \operatorname {Disc} \circ \operatorname {Points} \Rightarrow \operatorname {Id} _{\operatorname {Top} }} 은 연속 함수 η X : Disc ⁡ ( Points ⁡ ( X ) ) → X {\displaystyle \eta _{X}\colon \operatorname {Disc} (\operatorname {Points} (X))\to X} 를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Example 7.18(4) 위상 공간의 범주의 쌍대 생성 대상이다. 콜모고로프 공간이 아니다. 모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군의 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군 R R {\displaystyle _{R}R} 는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, R R {\displaystyle R_{R}} 는 오른쪽 가군의 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 생성 대상을 이룬다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군의 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 R {\displaystyle R} 의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼 R M {\displaystyle _{R}{\mathfrak {M}}} 에 대한 R R {\displaystyle _{R}R} 의 몫가군 R / M {\displaystyle R/{\mathfrak {M}}} )들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합 ⨁ R M E ( R R / M ) {\displaystyle \bigoplus _{_{R}{\mathfrak {M}}}{}E(_{R}R/{\mathfrak {M}})} 을 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 표준 쌍대 생성 가군(영어: canonical cogenerator)이라고 하며, 이는 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 쌍대 생성 대상을 이룬다.:508, Theorem 19.10 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다. 일반적으로, 자유 가군 R R {\displaystyle _{R}R} 는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:514, Theorem (19.25) 모든 충실한 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군은 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 쌍대 생성 대상이다. R R {\displaystyle _{R}R} 는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다. R R {\displaystyle _{R}R} 는 단사 가군이며, R {\displaystyle R} 의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(영어: left Kasch ring)이다.) R R {\displaystyle _{R}R} 는 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 쌍대 생성 대상이며, R {\displaystyle R} 의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, R {\displaystyle R} 는 오른쪽 카슈 환이다.) R R {\displaystyle _{R}R} 는 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다. 이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환(영어: left pseudo-Frobenius ring)이라고 한다. 아벨 군의 개념은 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군 Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} 이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군 Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })} 이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군 Q / Z = ⨁ p Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\bigoplus _{p}\mathbb {Z} (p^{\infty })} 이다.:509, Example (19.11)(1) 즉, 모든 아벨 군 G {\displaystyle G} 는 직접곱 ∏ | G | ( Q / Z ) {\displaystyle \prod _{|G|}(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )} 보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역 D {\displaystyle D} 에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군 ( Frac ⁡ D ) / D {\displaystyle (\operatorname {Frac} D)/D} 이다.:509, Example (19.11)(1) 범주 Set × Set {\displaystyle \operatorname {Set} \times \operatorname {Set} } 는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나 { ( { ∙ } , ∅ ) , ( ∅ , { ∙ } ) } {\displaystyle \left\{(\{\bullet \},\varnothing ),(\varnothing ,\{\bullet \})\right\}} 는 Set × Set {\displaystyle \operatorname {Set} \times \operatorname {Set} } 생성 집합을 이룬다.:Example 7.15(3) 다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.:Example 7.18(8) 군의 범주 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } . (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.) 환의 범주 Ring {\displaystyle \operatorname {Ring} } . (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.) 하우스도르프 공간의 범주 HausTop {\displaystyle \operatorname {HausTop} } 생성함수 (수학) 대칭 (물리학) 입자물리학 초대칭 게이지 이론 장 (물리학) Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 17: 1–507. Zbl 1113.18001.  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  “Generator of a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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