이항 급수

해석학에서 이항 급수(二項級數, 영어: binomial series)는 이항 계수를 계수로 하는 멱급수이다. 이항식의 거듭제곱의 매클로린 급수이다. 이항 정리의 일반화이다. 복소수 α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } 가 주어졌을 때, 이항 급수는 ( 1 + x ) α {\displaystyle (1+x)^{\alpha }} 의 매클로린 급수이다. 이는 다음과 같다. ( 1 + x ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) x k = ∑ k = 0 ∞ ( α ) k k ! x k = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 6 x 3 + ⋯ {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{k}}{k!}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\cdots } 여기서 ( α k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {\alpha }{k}}} 는 이항 계수, ( α ) k {\displaystyle (\alpha )_{k}} 는 하강 계승, k ! {\displaystyle k!} 는 계승이다. 음이항 급수(陰二項級數, 영어: negative binomial series)는 ( 1 − x ) − α {\displaystyle (1-x)^{-\alpha }} 의 매클로린 급수이다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다. ( 1 − x ) − α = ∑ k = 0 ∞ ( α + k − 1 k ) x k = ∑ k = 0 ∞ α ( k ) k ! x k = 1 + α x + α ( α + 1 ) 2 x 2 + α ( α + 1 ) ( α + 2 ) 6 x 3 + ⋯ {\displaystyle (1-x)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha +k-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{(k)}}{k!}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{6}}x^{3}+\cdots } 여기서 α ( k ) {\displaystyle \alpha ^{(k)}} 는 상승 계승이다. 이항 급수의 수렴역은 다음과 같다. (여기서 N {\displaystyle \mathbb {N} } 은 음의 아닌 정수의 집합) { C α ∈ N { x ∈ C : | x | ≤ 1 } Re ⁡ α > 0 , α ∉ N { x ∈ C : | x | ≤ 1 } ∖ { − 1 } − 1 < Re ⁡ α ≤ 0 , α ≠ 0 { x ∈ C : | x | < 1 } Re ⁡ α ≤ − 1 {\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} &\alpha \in \mathbb {N} \\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|\leq 1\}&\operatorname {Re} \alpha >0,\;\alpha \not \in \mathbb {N} \\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|\leq 1\}\setminus \{-1\}&-1<\operatorname {Re} \alpha \leq 0,\;\alpha \neq 0\\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|<1\}&\operatorname {Re} \alpha \leq -1\end{cases}}} 특히, 실수의 경우의 수렴역은 다음과 같다. { R α ∈ N [ − 1 , 1 ] α > 0 , α ∉ N ( − 1 , 1 ] − 1 < α < 0 ( − 1 , 1 ) α ≤ − 1 {\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &\alpha \in \mathbb {N} \\{}[-1,1]&\alpha >0,\;\alpha \not \in \mathbb {N} \\{}(-1,1]&-1<\alpha <0\\{}(-1,1)&\alpha \leq -1\end{cases}}} 이항 급수의 α ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,\dots \}} 의 경우를 이항 정리라고 하며, 다음과 같다. ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k = 1 + n x + n ( n − 1 ) 2 x 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) 2 x n − 2 + n x n − 1 + x n x ∈ C {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}+\cdots +{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+nx^{n-1}+x^{n}\qquad x\in \mathbb {C} } 이항 급수의 α = − 1 / 2 {\displaystyle \alpha =-1/2} 의 경우는 다음과 같다. 1 1 − x = ∑ k = 0 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! x k = 1 + 1 2 x + 3 8 x 2 + 5 16 x 3 + ⋯ | x | ≤ 1 , x ≠ − 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+\cdots \qquad |x|\leq 1,\;x\neq -1} 이항 급수의 α = − 1 {\displaystyle \alpha =-1} 의 경우는 다음과 같은 기하급수이다. 1 1 − x = ∑ k = 0 ∞ x k = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \qquad |x|<1} 이항 급수의 α = − 2 {\displaystyle \alpha =-2} 의 경우는 다음과 같다. 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ⋯ | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots \qquad |x|<1} 이항 정리 이철희. “이항급수와 이항정리”. 《수학노트》.  “Binomial series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Negative binomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Binomial formula”. 《PlanetMath》 (영어).  “Binomial theorem/General binomial theorem”. 《ProofWiki》 (영어).