보편 포락 대수

리 대수 이론에서, 보편 포락 대수(普遍包絡代數, 영어: universal enveloping algebra)는 주어진 리 대수의 리 괄호를, 결합법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다. 보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다. 구체적으로, 텐서 대수의 특정한 양쪽 아이디얼에 대한 몫으로 정의될 수 있다. 추상적으로, 결합 대수를 리 대수로 여기는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 가환환 K {\displaystyle K} 에 대한 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수 T ⁡ ( g ) = ⨁ n = 0 ∞ g ⊗ K n = K ⊕ g ⊕ g ⊗ K g ⊕ ⋯ {\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {g}}^{\otimes _{K}n}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\oplus \dotsb } 에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 를 생각하자. a ⊗ b − b ⊗ a − [ a , b ] ∀ a , b ∈ g ⊂ T ( g ) {\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad \forall a,b\in {\mathfrak {g}}\subset T({\mathfrak {g}})} 이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수 U ⁡ ( g ) = T ⁡ ( g ) I {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})={\frac {\operatorname {T} ({\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}} 를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보편 포락 대수 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 라고 한다. 이는 K {\displaystyle K} -결합 대수를 이룬다. g ⊂ T ⁡ ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})} 이므로, 자연스러운 K {\displaystyle K} -선형 변환 g → U ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})} 이 존재한다. 보편 포락 대수 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 는 텐서 대수 T ( g ) {\displaystyle T({\mathfrak {g}})} 로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 a , b ∈ g {\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}}} 에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다. 곱셈: a b {\displaystyle ab} 단위원: 1 {\displaystyle 1} 쌍대곱: Δ ( a ) = a ⊗ 1 + 1 ⊗ a {\displaystyle \Delta (a)=a\otimes 1+1\otimes a} 쌍대단위원: ϵ ( a ) = 0 {\displaystyle \epsilon (a)=0} 앤티포드: S ( a ) = − a {\displaystyle S(a)=-a} 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, K {\displaystyle K} -리 대수의 범주 LieAlg K {\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}} 와 K {\displaystyle K} -결합 대수의 범주 Assoc K {\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}} 를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자 Forget : Assoc K → LieAlg K {\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Assoc} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}} ( A , ⋅ ) ↦ ( A , [ − , − ] : ( a , b ) ↦ a ⋅ b − b ⋅ a ) {\displaystyle (A,\cdot )\mapsto (A,[-,-]\colon (a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)} 는 왼쪽 수반 함자 U ⊣ Forget {\displaystyle \operatorname {U} \dashv \operatorname {Forget} } U : LieAlg K → Assoc K {\displaystyle \operatorname {U} \colon \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {Assoc} _{K}} 를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 보편 포락 대수라고 한다. 보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 K {\displaystyle K} -벡터 공간의 짧은 완전열 0 I → T ⁡ ( g ) → U ⁡ ( g ) → 0 {\displaystyle 0{\mathfrak {I}}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\to 0} 은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.) 0 U ⁡ ( g ) ∗ → T ⁡ ( g ) ∗ → I ∗ → 0 {\displaystyle 0\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{*}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{*}\to {\mathfrak {I}}^{*}\to 0} 여기서 T ⁡ ( g ) ∗ = T ⁡ ( g ∗ ) {\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{*}=\operatorname {T} ({\mathfrak {g}}^{*})} 이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소 p = ∑ i = 0 p i ∈ U ⁡ ( g ) ∗ {\displaystyle p=\sum _{i=0}p_{i}\in \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{*}} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 각 자연수 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 에 대하여, 선형 변환 p i : g ⊗ i → K {\displaystyle p_{i}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes i}\to K} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. sup { i ∈ N : p i ≠ 0 } < ∞ {\displaystyle \sup\{i\in \mathbb {N} \colon p_{i}\neq 0\}<\infty } p 2 + m + n ( x 1 , … , x m , y , z , w 1 , … , w n ) − p 2 + m + n ( x 1 , … , x m , z , y , w 1 , … , w n ) = p 1 + m + n ( x 1 , … , x m , [ y , z ] , w 1 , … , w n ) ∀ m , n ∈ N , x 1 , … , x m , y , z , w 1 , … , w n ∈ g {\displaystyle p_{2+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},y,z,w_{1},\dotsc ,w_{n})-p_{2+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},z,y,w_{1},\dotsc ,w_{n})=p_{1+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},[y,z],w_{1},\dotsc ,w_{n})\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x_{1},\dotsc ,x_{m},y,z,w_{1},\dotsc ,w_{n}\in {\mathfrak {g}}} 예를 들어 p 2 ( x , y ) − p 2 ( y , x ) = p 1 ( [ x , y ] ) {\displaystyle p_{2}(x,y)-p_{2}(y,x)=p_{1}([x,y])} p 3 ( x , y , z ) − p 3 ( x , z , y ) = p 2 ( x , [ y , z ] ) {\displaystyle p_{3}(x,y,z)-p_{3}(x,z,y)=p_{2}(x,[y,z])} p 3 ( x , y , z ) − p 3 ( y , x , z ) = p 2 ( [ x , y ] , z ) {\displaystyle p_{3}(x,y,z)-p_{3}(y,x,z)=p_{2}([x,y],z)} 이다. ( p 0 ∈ K {\displaystyle p_{0}\in K} 는 항등식에 등장하지 않는다.) 이 위의 가환환 구조는 다음과 같다. ( p q ) 0 ( ) = p 0 ( ) q 0 ( ) {\displaystyle (pq)_{0}()=p_{0}()q_{0}()} ( p q ) 1 ( x ) = p 0 ( ) q 1 ( x ) + p 1 ( x ) q 0 ( ) {\displaystyle (pq)_{1}(x)=p_{0}()q_{1}(x)+p_{1}(x)q_{0}()} ( p q ) 2 ( x , y ) = p 0 ( ) q 2 ( x , y ) + p 1 ( x ) q 2 ( y ) + p 1 ( y ) q 1 ( x ) + p 2 ( x , y ) q 0 ( ) {\displaystyle (pq)_{2}(x,y)=p_{0}()q_{2}(x,y)+p_{1}(x)q_{2}(y)+p_{1}(y)q_{1}(x)+p_{2}(x,y)q_{0}()} ( p q ) 3 ( x , y , z ) = p 0 ( ) q 3 ( x , y , z ) + p 1 ( x ) q 2 ( y , z ) + p 1 ( y ) q 2 ( x , z ) + p 1 ( z ) q 2 ( x , y ) + p 2 ( x , y ) q 1 ( z ) + p 2 ( x , z ) q 2 ( y ) + p 2 ( y , z ) q 2 ( x ) + p 3 ( x , y , z ) q 0 ( ) {\displaystyle (pq)_{3}(x,y,z)=p_{0}()q_{3}(x,y,z)+p_{1}(x)q_{2}(y,z)+p_{1}(y)q_{2}(x,z)+p_{1}(z)q_{2}(x,y)+p_{2}(x,y)q_{1}(z)+p_{2}(x,z)q_{2}(y)+p_{2}(y,z)q_{2}(x)+p_{3}(x,y,z)q_{0}()} ⋮ {\displaystyle \vdots } 일반적으로 ( p q ) i {\displaystyle (pq)_{i}} 의 표현은 2 i {\displaystyle 2^{i}} 개의 항을 갖는다. 그 항등원은 e 0 ( ) = 1 {\displaystyle e_{0}()=1} e i = 0 ∀ i > 0 {\displaystyle e_{i}=0\qquad \forall i>0} 이다. 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다). 체 K {\displaystyle K} 위의 두 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 직합 g ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}} 의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.:63, Corollary 1.2.4 U ⁡ ( g ⊕ h ) = U ⁡ ( g ) ⊗ K U ⁡ ( h ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}})=\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{K}\operatorname {U} ({\mathfrak {h}})} 푸앵카레-버코프-비트 정리(-定理, 영어: Poincaré–Birkhoff–Witt theorem)에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다. ι g : g ↪ U ( g ) {\displaystyle \iota _{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})} 또한, U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 는 항상 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 로부터 생성된다. 구체적으로, 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하고, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 K {\displaystyle K} -자유 가군이라고 하자. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 (하멜) 기저 B ⊆ g {\displaystyle B\subseteq {\mathfrak {g}}} 를 고르자. 또한, B {\displaystyle B} 위에 임의의 전순서를 부여하자. 그렇다면, U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 역시 K {\displaystyle K} -자유 가군이며, 집합 { ι g ( b 1 ) ι g ( b 2 ) ⋯ ι g ( b n ) : n ∈ N , b 1 , b 2 , … , b n ∈ B } {\displaystyle \left\{\iota _{\mathfrak {g}}(b_{1})\iota _{\mathfrak {g}}(b_{2})\dotsm \iota _{\mathfrak {g}}(b_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n}\in B\right\}} 은 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 의 (하멜) 기저를 이룬다. 여기서 N = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dotsc \}} 은 자연수의 집합이며, 특히 n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 0개 항의 곱은 1이다. 복소수체 위의 가약 리 대수(영어: reductive Lie algebra) g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보편 포락 대수 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 의 중심 Z ⁡ ( U ⁡ ( g ) ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))} 을 생각하자. 이 경우, 바일 군 Weyl ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})} 을 정의할 수 있다. 또한, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 를 고른다면, Weyl ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})} 는 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 위에 자연스럽게 작용하며, 나아가 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 위의 다항식환 (대칭 대수) Sym ⁡ h {\displaystyle \operatorname {Sym} {\mathfrak {h}}} 위에도 자연스럽게 작용한다. 하리시찬드라 동형 정리(हरीश चन्द्र同型定理, 영어: Harish-Chandra isomorphism theorem)에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다. Z ⁡ ( U ⁡ g ) ) = ( Sym ⁡ h ) Weyl ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} {\mathfrak {g}}))=(\operatorname {Sym} {\mathfrak {h}})^{\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}} 여기서 ( Sym ⁡ h ) Weyl ⁡ ( g ) {\displaystyle (\operatorname {Sym} {\mathfrak {h}})^{\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}} 는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다. n {\displaystyle n} 차원 복소수 단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식 B ∈ Sym 2 ⁡ g ∗ {\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}} 이 존재한다. 그렇다면, 임의의 B {\displaystyle B} -정규 직교 기저 g = Span ⁡ { X 1 , … , X n } {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{X^{1},\dots ,X^{n}\}} B ( X i , X j ) = δ i j {\displaystyle B(X^{i},X^{j})=\delta ^{ij}} 가 주어졌을 때, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카시미르 불변량(Casimir不變量, 영어: Casimir invariant)은 다음과 같은 보편 포락 대수 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 의 원소이다. C = ∑ i = 1 n B ( X i , X j ) ∈ U ( g ) {\displaystyle C=\sum _{i=1}^{n}B(X^{i},X^{j})\in U({\mathfrak {g}})} 보다 일반적으로, 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 대칭 쌍선형 형식 B ∈ Sym 2 ⁡ g ∗ {\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}} 가 딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자. B ( [ X , Y ] , Z ) + B ( Y , [ X , Z ] ) = 0 ∀ X , Y , Z ∈ g {\displaystyle B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad \forall X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}} 그렇다면, 마찬가지로 카시미르 불변량 C ( B ) ∈ U ( g ) {\displaystyle C(B)\in U({\mathfrak {g}})} 를 정의할 수 있다. 카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다. K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 일 경우, 단일 연결 리 군 G {\displaystyle G} 의 리 대수 Lie ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)} 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 B {\displaystyle B} 는 G {\displaystyle G} 위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 G {\displaystyle G} 위의 라플라스-벨트라미 연산자 Δ B {\displaystyle \Delta _{B}} 와 같다. 1880년대에 알프레도 카펠리(이탈리아어: Alfredo Capelli)가 리 대수 g l ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;K)} 에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다. 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다. 이후 1937년에 개릿 버코프와 에른스트 비트가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”(프랑스어: théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt)로 일컫기 시작하였다. 하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다. Gorbatsevich, V. V.; Onishchik, A. L.; Vinberg, E. B. (1993). 《Lie groups and Lie algebras Ⅰ. Foundations of Lie Theory. Lie transformation groups》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어) 20. 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