유사군

추상대수학과 범주론에서 유사군(類似群, 영어: quasigroup)은 왼쪽 나눗셈과 오른쪽 나눗셈을 정의할 수 있는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 군의 개념의 일반화이다. 다음과 같은 데이터로 구성되는 튜플 ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} 를 생각하자. 집합 Q {\displaystyle Q} 이항 연산 ⋅ : Q × Q → Q {\displaystyle \cdot \colon Q\times Q\to Q} . 이를 곱셈이라고 한다. ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} 를 왼쪽 유사군(영어: left quasigroup)이라고 한다. (왼쪽 나눗셈) 임의의 p , q ∈ Q {\displaystyle p,q\in Q} 에 대하여, p ⋅ x = q {\displaystyle p\cdot x=q} 인 유일한 x ∈ Q {\displaystyle x\in Q} 가 존재한다. (왼쪽 작용은 순열) 임의의 p ∈ Q {\displaystyle p\in Q} 에 대하여, p ⋅ ∈ Sym ⁡ ( Q ) {\displaystyle p\cdot \in \operatorname {Sym} (Q)} 마찬가지로, ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} 를 오른쪽 유사군(영어: right quasigroup)이라고 한다. (오른쪽 나눗셈) 임의의 p , q ∈ Q {\displaystyle p,q\in Q} 에 대하여, y ⋅ p = q {\displaystyle y\cdot p=q} 인 유일한 y ∈ Q {\displaystyle y\in Q} 가 존재한다. (오른쪽 작용은 순열) 임의의 p ∈ Q {\displaystyle p\in Q} 에 대하여, ⋅ p ∈ Sym ⁡ ( Q ) {\displaystyle \cdot p\in \operatorname {Sym} (Q)} 왼쪽 유사군이자 오른쪽 유사군인 ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} 를 유사군이라고 한다. 왼쪽 유사군 ( Q , ⋅ , ∖ ) {\displaystyle (Q,\cdot ,\backslash )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 집합 Q {\displaystyle Q} 이항 연산 ⋅ : Q × Q → Q {\displaystyle \cdot \colon Q\times Q\to Q} . 이를 곱셈이라고 한다. 이항 연산 ∖ : Q × Q → Q {\displaystyle \backslash \colon Q\times Q\to Q} . 이를 왼쪽 나눗셈이라고 한다. 이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다. 임의의 p , q ∈ Q {\displaystyle p,q\in Q} 에 대하여, p ⋅ ( p ∖ q ) = p ∖ ( p ⋅ q ) = q {\displaystyle p\cdot (p\backslash q)=p\backslash (p\cdot q)=q} 오른쪽 유사군 ( Q , ⋅ , / ) {\displaystyle (Q,\cdot ,/)} 는 왼쪽 유사군의 반대 구조이다. 즉, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 집합 Q {\displaystyle Q} 이항 연산 ⋅ : Q × Q → Q {\displaystyle \cdot \colon Q\times Q\to Q} . 이를 곱셈이라고 한다. 이항 연산 / : Q × Q → Q {\displaystyle /\colon Q\times Q\to Q} . 이를 오른쪽 나눗셈이라고 한다. 이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다. 임의의 p , q ∈ Q {\displaystyle p,q\in Q} 에 대하여, ( p / q ) ⋅ q = ( p ⋅ q ) / q = p {\displaystyle (p/q)\cdot q=(p\cdot q)/q=p} 왼쪽 유사군과 오른쪽 유사군의 구조를 동시에 갖춘 ( Q , ⋅ , ∖ , / ) {\displaystyle (Q,\cdot ,\backslash ,/)} 를 유사군이라고 한다. 고리(영어: loop)는 곱셈 항등원을 갖춘 유사군이다. 유한 유사군은 라틴 방진과 동치이다. 나눗셈환 반군 모노이드 삼진환 “Quasi-group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Distributive quasi-group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Loop”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Quasigroup”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic loop”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Quasigroup”. 《nLab》 (영어).  “Quasigroup”. 《Groupprops》 (영어).  “Loop”. 《Groupprops》 (영어).  “Definition:Quasigroup”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition:Latin square property”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition:Algebra loop”. 《ProofWiki》 (영어).  “Group is quasigroup”. 《ProofWiki》 (영어).  “Group has Latin square property”. 《ProofWiki》 (영어).  “Left quasigroup if (2-3) parastrophe of magma is magma”. 《ProofWiki》 (영어).  “Right quasigroup if (1-3) parastrophe of mgma is magma”. 《ProofWiki》 (영어).  “Idempotent non-trivial quasigroup is not a loop”. 《ProofWiki》 (영어).  “B-algebra is quasigroup”. 《ProofWiki》 (영어).  “Quasigroup is not necessarily B-algebra”. 《ProofWiki》 (영어).