거리 공간

수학에서 거리 공간(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 거리 함수(距離函數, 영어: metric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수 d : X × X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )} 이다. (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y {\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y} (대칭성) 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} (삼각 부등식, 영어: triangle inequality) 임의의 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여, d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z ) {\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)} 마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다. (삼각 부등식) d ( z , y ) + d ( y , x ) ≥ d ( x , z ) {\displaystyle d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)} 여기서 y = x {\displaystyle y=x} 로 잡으면 d ( y , x ) = d ( x , y ) {\displaystyle d(y,x)=d(x,y)} 가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 d ( x , y ) = 0 ⟸ x = y {\displaystyle d(x,y)=0\Longleftarrow x=y} 로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 은 거리 함수가 주어진 집합이다. 거리 공간 X {\displaystyle X} 에서, 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 를 중심으로 하는, 반지름이 r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}} 인 열린 공 B r ( x ) {\displaystyle B_{r}(x)} 는 다음과 같다.(저자에 따라서는 B ( x , r ) {\displaystyle B(x,r)} 로 적기도 한다.) B r ( x ) = { y ∈ X : d ( x , y ) < r } {\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}} 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 를 중심으로 하는, 반지름이 r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}} 인 닫힌 공 B ¯ r ( x ) {\displaystyle {\bar {B}}_{r}(x)} 는 다음과 같다. B ¯ r ( x ) = { y ∈ X : d ( x , y ) ≤ r } {\displaystyle {\bar {B}}_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)\leq r\}} 거리 공간 X {\displaystyle X} 의 유계 집합 S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다. sup { d ( x , s ) : s ∈ S } < ∞ {\displaystyle \sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty } 인 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 거리 위상(距離位相, 영어: metric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} 이다. 모든 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 에 대하여, B ( x , r x ) ⊂ U {\displaystyle B(x,r_{x})\subset U} 인 r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} 가 존재한다. 거리 위상은 거리 함수 d : X × X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )} 를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 ( d ( x , − ) : X → [ 0 , ∞ ) ) x ∈ X {\displaystyle (d(x,-)\colon X\to [0,\infty ))_{x\in X}} 의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다. 모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 지름(영어: diameter) diam ⁡ X {\displaystyle \operatorname {diam} X} 는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다. diam ⁡ X = sup x , y ∈ X d ( x , y ) ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \operatorname {diam} X=\sup _{x,y\in X}d(x,y)\in [0,\infty ]} 마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다. 지름이 유한한 거리 공간을 유계 공간이라고 한다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 임의의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, ( Y , d | Y × Y ) {\displaystyle (Y,d|_{Y\times Y})} 는 거리 공간을 이룬다. 모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다. 하우스도르프 공간이다. 파라콤팩트 공간이다. T6 공간이다. 제1 가산 공간이다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 분해 가능 공간이다. X {\displaystyle X} 는 제2 가산 공간이다. X {\displaystyle X} 는 린델뢰프 공간이다. 실수 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서, 거리가 절댓값을 이용하여, d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} 로 정의되었을 때, ( R , d ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,d)} 는 완비 거리 공간이다. 유리수의 집합 Q ⊂ R {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} } 은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다. 유클리드 공간에서, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 에서, 거리를 d ( x , y ) = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 {\displaystyle d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}} 로 정의하면, ( R n , d ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)} 는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다. R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 에서 d 0 ( x − y ) = max 1 ≤ i ≤ n | x i − y i | {\displaystyle d_{0}(x-y)=\max _{1\leq i\leq n}{|x_{i}-y_{i}|}} 을 거리로 정의하면, ( R n , d 0 ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{0})} 는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다. 노름 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\Vert \cdot \Vert )} 에 대하여, 거리 함수를 d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|} 로 정의한다면, ( V , d ) {\displaystyle (V,d)} 는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\Vert \cdot \Vert )} 에 대하여 거리 함수를 d post ( x , y ) = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle d_{\text{post}}(x,y)=\|x\|+\|y\|} 로 정의한다면, ( V , d post ) {\displaystyle (V,d_{\text{post}})} 는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리(영어: post-office metric)라고 한다. 임의의 연결 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 에 대하여, 거리 함수를 d ( x , y ) = inf γ ∈ C 1 ( [ 0 , 1 ] , M ) ∫ 0 1 g − 1 ( γ ′ ( s ) , γ ′ ( s ) ) d s {\displaystyle d(x,y)=\inf _{\gamma \in C^{1}([0,1],M)}\int _{0}^{1}{\sqrt {g^{-1}(\gamma '(s),\gamma '(s))}}\,ds} 로 정의한다면, ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 는 거리 공간이다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 및 양의 실수 r {\displaystyle r} 에 대하여, d ( x , y ) = { 0 x = y r x ≠ y {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\r&x\neq y\end{cases}}} 는 초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다. 임의의 연결 그래프 G {\displaystyle G} 에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 거리 공간 Bryant, Victor (1985년 5월). 《Metric Spaces: Iteration and Application》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052131897-6.  Ó Searcóid, Mícheál (2006). 《Metric Spaces》. Springer Undergraduate Mathematics Series (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-84628-627-8. ISBN 978-1-84628-369-7. ISSN 1615-2085.  등거리변환 리만 계량, 리만 다양체 거리화 가능 공간 초거리 공간 길이 거리 공간 “Metric space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.