중간점 방법

응용수학의 분야인 수치 해석에서, 중간점 방법은 수치적으로 다음의 미분 방정식을 푸는 한 단계 크기의 방법이다. y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}} . 명시적인 중간점 방법은 다음의 식으로 주어진다. y n + 1 = y n + h f ( t n + h 2 , y n + h 2 f ( t n , y n ) ) , ( 1 e ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\qquad \qquad (1e)} 암시적인 중간점 방법은 다음과 같다. y n + 1 = y n + h f ( t n + h 2 , 1 2 ( y n + y n + 1 ) ) , ( 1 i ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right),\qquad \qquad (1i)} 단계 n = 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle n=0,1,2,...} 이고, h {\displaystyle h} 는 단계 크기라고 불리는 작은 양수이다.  t n = t 0 + n h {\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh} 이고,  y n {\displaystyle y_{n}} 은  y ( t n ) {\displaystyle y(t_{n})} 이다. 명시적 중간점 방법은 수정된 오일러 방법으로도 알려져 있으며, 암시적인 방법은 가장 간단한 배열 방법이고, 해밀턴 역학과, 사교 적분자에도 적용된다. 이 방법의 이름은 솔루션의 기울기를 위의 식에서 함수 f {\displaystyle f} 가  y ( t ) {\displaystyle y(t)} 의 알고 있는 값인 t n {\displaystyle t_{n}} 과 우리가 찾아야 하는 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 의 값인 t n + 1 {\displaystyle t_{n+1}} 의 중점인  t = t n + h / 2 {\displaystyle t=t_{n}+h/2} 에서 계산하는 것에서 지어졌다. 중간점 방법의 각 단계에서의 지역 오차는  O ( h 3 ) {\displaystyle O(h^{3})} 이며,전체 오차는  O ( h 2 ) {\displaystyle O(h^{2})} 로 나타난다. 따라서, 오일러의 방법보다는 더욱 계산이 많은 반면에, 방법의 중간점 방법의 오차는 일반적으로  h → 0 {\displaystyle h\rightarrow 0} 일 때, 오일러의 방법보다 더욱 빠르게 감소한다. 이 방법은 룽게-쿠타 방법이라는 높은 차수의 방법의 예시 중 하나이다. 중간점 방법은 다음의 오일러 방법의 구체화이다. y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})} 그리고 중간점 방법은 같은 방식으로 도출된다. 오일러 방법을 유도하는 핵심은 근사적으로 같은 것이다. y ( t + h ) ≈ y ( t ) + h f ( t , y ( t ) ) ( 2 ) {\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))\qquad \qquad (2)} 이것은 기울기의 수식에서 얻은 것이다. y ′ ( t ) ≈ y ( t + h ) − y ( t ) h ( 3 ) {\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\qquad \qquad (3)} y ′ = f ( t , y ) {\displaystyle y'=f(t,y)} 인 것을 기억하자. 중간점 방법의 경우, (3)이 더욱 정확하게 된다. y ′ ( t + h 2 ) ≈ y ( t + h ) − y ( t ) h {\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}} (2)를 대신 할 때, 우리는 다음을 찾는다. y ( t + h ) ≈ y ( t ) + h f ( t + h 2 , y ( t + h 2 ) ) . ( 4 ) {\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right).\qquad \qquad (4)} t + h / 2 {\displaystyle t+h/2} 에서 y {\displaystyle y} 의 값을 모르는 경우에는 이 방법을 사용해서  y ( t + h ) {\displaystyle y(t+h)} 를 구할 수 없다. 이 솔루션은 오일러 방법을 사용하여  y ( t + h / 2 ) {\displaystyle y(t+h/2)} 을 구할 때처럼 테일러 급수를 사용한다: y ( t + h 2 ) ≈ y ( t ) + h 2 y ′ ( t ) = y ( t ) + h 2 f ( t , y ( t ) ) , {\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),} (4)에 적용할 때, 다음과 명시적 중간점 방법 (1e)를 얻을 수 있다. y ( t + h ) ≈ y ( t ) + h f ( t + h 2 , y ( t ) + h 2 f ( t , y ( t ) ) ) {\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)} 내재적 방법 (1i)은 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 에서 y ( t + h ) {\displaystyle y(t+h)} 까지의 선분의 중간점으로 반 단계인 t + h / 2 {\displaystyle t+h/2} 에서의 값을 근사해서 얻을 수 있다. y ( t + h 2 ) ≈ 1 2 ( y ( t ) + y ( t + h ) ) {\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}} 따라서 y ( t + h ) − y ( t ) h ≈ y ′ ( t + h 2 ) ≈ k = f ( t + h 2 , 1 2 ( y ( t ) + y ( t + h ) ) ) {\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)} y ( t n + h ) {\displaystyle y(t_{n}+h)} 에  y n + h k {\displaystyle y_{n}+hk} 를 대입한 결과는 암시적 룽게-쿠타 방법이 된다. k = f ( t n + h 2 , y n + h 2 k ) y n + 1 = y n + h k {\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}} 첫번째 부분에서 단계 크기 {\displaystyle }  암시적 오일러 방법이 포함된다. y n + 1 = y n + h f ( t n + h 2 , y n + h 2 f ( t n , y n ) ) , ( 1 e ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\qquad \qquad (1e)} 암시적인 방법의 시간대칭성 때문에 지역 오차의 짝수 차수 항이 지워지기 때문에 자동적으로 지역오차는 O ( h 3 ) {\displaystyle O(h^{3})} 이다. 명시적 오일러 방법이 암시적 방법으로 대체되면 명시적인 중간점 방법에서 k의 결과를 재결정한다. 사각형 방법 호인의 방법 도약 적분과 베렛 적분 Süli & Mayers 2003, 328쪽 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFSüliMayers2003 (help) Griffiths,D. V.; Smith, I. M. (1991). 《Numerical methods for engineers: a programming approach》. Boca Raton: CRC Press. 218쪽. ISBN 0-8493-8610-1.