리우빌 장론

양자장론에서 리우빌 장론(Liouville場論, 영어: Liouville field theory)은 비임계 끈 이론의 세계면 이론으로 등장하는 2차원 등각 장론이다. 무리 등각 장론의 대표적인 예이며, 1차장들의 스펙트럼이 연속적이다. 모든 상관 함수들이 알려져 있다. 이 이론의 운동 방정식이 조제프 리우빌이 리만 곡면의 균일화 정리를 증명할 때 사용했던 2차 비선형 편미분 방정식과 유사해 이러한 이름이 붙었다. 리우빌 장론은 스칼라장 ϕ {\displaystyle \phi } 와 실수 매개 변수 b ∈ R {\displaystyle b\in \mathbb {R} } 를 가지는 2차원 등각 장론이며, 그 작용은 다음과 같다. S = 1 4 π ∫ Σ d 2 x g ( g μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ + ( b + b − 1 ) R [ g ] ϕ + 4 π e 2 b ϕ ) {\displaystyle S={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Sigma }d^{2}x{\sqrt {g}}\,(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +(b+b^{-1})R[g]\phi +4\pi e^{2b\phi })} 여기서 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 는 2차원 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 계량 텐서이며, R [ g ] {\displaystyle R[g]} 는 그 스칼라 곡률이다. 스칼라장 ϕ {\displaystyle \phi } 를 리우빌 장(영어: Liouville field)이라고 한다. 리우빌 장의 고전적 운동 방정식은 다음과 같다. Δ ϕ ( x ) = 1 2 ( b + b − 1 ) R ( x ) + 4 π b e 2 b ϕ ( x ) {\displaystyle \Delta \phi (x)={\frac {1}{2}}(b+b^{-1})R(x)+4\pi be^{2b\phi (x)}} 여기서 Δ = g − 1 / 2 ∂ μ ( g 1 / 2 g μ ν ∂ ν ) {\displaystyle \Delta =g^{-1/2}\partial _{\mu }(g^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })} 는 굽은 공간의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 평탄한 공간에서는 이는 다음과 같다. ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) ϕ ( x , y ) = 4 π b e 2 b ϕ ( x , y ) {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\phi (x,y)=4\pi be^{2b\phi (x,y)}} 리우빌 장의 비라소로 대수의 중심 전하(영어: central charge)는 다음과 같다.:(2.11) c = 1 + 6 ( b + 1 / b ) 2 {\displaystyle c=1+6(b+1/b)^{2}} 보통 Q = b + 1 / b {\displaystyle Q=b+1/b} 로 정의한다. 리우빌 이론의 (규격화 가능) 상태들은 연산자-상태 대응에 따라서 다음과 같은 꼴의 국소 연산자에 대응한다.:13 exp ⁡ ( ( Q + 2 i p ) ϕ ) {\displaystyle \exp((Q+2ip)\phi )} 여기서 p ∈ R {\displaystyle p\in \mathbb {R} } 이다. 이러한 상태의 등각 차원은 Δ = Q 2 / 4 + p 2 {\displaystyle \Delta =Q^{2}/4+p^{2}} 이다. 스펙트럼이 연속적이므로, 이 경우 카디 엔트로피 공식이 적용되지 않는다.:§5.5 또한, 일반적으로 exp ⁡ ( 2 α ϕ ) {\displaystyle \exp(2\alpha \phi )} Re ⁡ α ≤ Q / 2 {\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leq Q/2} 의 형태의 연산자가 존재하지만, Re ⁡ α ≠ Q / 2 {\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \neq Q/2} 라면 이는 규격화 가능한 상태에 대응하지 않는다. 이 부등식을 자이베르그 한계(영어: Seiberg bound)라고 한다. 2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 DOZZ 공식(영어: DOZZ formula)라고 한다. 이는 하랄트 도른(독일어: Harald Dorn), 한스외르크 오토(독일어: Hans-Jörg Otto), 알렉산드르 자몰롯치코프, 알렉세이 자몰롯치코프(러시아어: Алексей Борисович Замолодчиков) 가 발견하였다. 끈 이론에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 비임계 끈 이론(영어: non-critical string theory)들의 세계면 등각 장론의 하나로 등장한다. 끈 이론에서, d {\displaystyle d} 차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은 c = 26 − d {\displaystyle c=26-d} Q = ( 25 − d ) / 6 {\displaystyle Q={\sqrt {(25-d)/6}}} 인 리우빌 이론이다.:(2.12) 리우빌 이론은 또한 (만약 계량 텐서 g {\displaystyle g} 또한 동역학적 장으로 취급한다면) 2차원 양자 중력의 장난감 모형이 된다. 이 경우, 이 이론을 리우빌 중력(영어: Liouville gravity)이라고 한다. Nakayama, Yu (2004). “Liouville field theory: a decade after the revolution”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 19 (17–18): 2771–2930. arXiv:hep-th/0402009. Bibcode:2004IJMPA..19.2771N. doi:10.1142/S0217751X04019500. ISSN 0217-751X.  Teschner, J (2001). “Liouville theory revisited”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 18 (23): R153. arXiv:hep-th/0104158. Bibcode:2001CQGra..18R.153T. doi:10.1088/0264-9381/18/23/201.  Lützen, J. (1990). 《Joseph Liouville, 1809–1882: Master of pure and applied mathematics》 (영어). Springer. ISBN 0387971807.  Ofer Aharony, Steven S. Gubser, Juan Maldacena, Hirosi Ooguri, Yaron Oz (2000년 1월). “Large N Field Theories, String Theory and Gravity”. 《Physics Reports》 323 (3–4): 183–386. arXiv:hep-th/9905111. Bibcode:1999PhR...323..183A. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. ISSN 0370-1573.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 여러 이름 (링크) Seiberg, Nathan (1990). “Notes on quantum Liouville theory and quantum gravity”. 《Progress in Theoretical Physics Supplements》 (영어) 102: 319-349. Bibcode:1990PThPS.102..319S. doi:10.1143/PTPS.102.319.  Dorn, H.; H.J. Otto (1994). “Two and three point functions in Liouville theory”. 《Nucl. Phys. B》 (영어) 429: 375-388. arXiv:hep-th/9403141.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Zamolodchikov, A. B.; Al. B. Zamolodchikov. “Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory” (영어). arXiv:hep-th/9506136. Bibcode:1996NuPhB.477..577Z. doi:10.1016/0550-3213(96)00351-3.  지원되지 않는 변수 무시됨: |ㅁarxiv= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Polyakov, A.M. (1981). “Quantum geometry of bosonic strings”. 《Physics Letters B》 (영어) 103 (3): 207. Bibcode:1981PhLB..103..207P. doi:10.1016/0370-2693(81)90743-7.  D’Hoker, E.; R. Jackiw (1982년 12월 15일). “Classical and quantal Liouville field theory”. 《Physical Review D》 (영어) 26: 3517. Bibcode:1982PhRvD..26.3517D. doi:10.1103/PhysRevD.26.3517.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)