가쿠타니 사상

수학과 경제학에서 가쿠타니 사상([角谷]寫像, 영어: Kakutani map)은 고정점을 가지게 되는 특별한 성질을 갖는, 정의역의 멱집합을 공역으로 갖는 함수이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 의 부분 집합 S ≠ ∅ {\displaystyle S\neq \varnothing } 함수 f : S → Pow ⁡ ( S ) {\displaystyle f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 가쿠타니 사상이라고 한다.:166, Definition 7.8.1 (여기서 Pow ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (-)} 는 멱집합을 뜻한다.) 각 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, f ( s ) {\displaystyle f(s)} 는 공집합이 아니며, 콤팩트 집합이며, 볼록 집합이다. 각 열린집합 U ⊆ V {\displaystyle U\subseteq V} 에 대하여, { s ∈ S : f ( s ) ⊆ U } {\displaystyle \{s\in S\colon f(s)\subseteq U\}} 는 S {\displaystyle S} 의 열린집합이다. 가쿠타니 사상 f : S → Pow ⁡ ( S ) {\displaystyle f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)} 의 고정점은 (만약 존재한다면) s ∈ f ( s ) {\displaystyle s\in f(s)} 가 성립하는 점 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 이다. 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리([角谷]-Glicksberg-[樊]固定點定理, 영어: Kakutani(–Glicksberg–Fan) fixed-point theorem)에 의하면, 다음이 성립한다.:169, Theorem 7.8.6 실수 하우스도르프 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 속의, 공집합이 아닌, 콤팩트 볼록 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 위의 임의의 가쿠타니 사상 f : S → Pow ⁡ ( S ) {\displaystyle f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)} 은 고정점을 갖는다. 샤우데르 고정점 정리(영어: Schauder fixed-point theorem)에 의하면, 다음이 성립한다.:168, Theorem 7.8.4 실수 노름 공간 ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} 속의, 공집합이 아닌, 볼록 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 위의 임의의 가쿠타니 사상 f : S → Pow ⁡ ( S ) {\displaystyle f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)} 이 주어졌다고 하자. 만약 ⋃ s ∈ S f ( s ) {\displaystyle \textstyle \bigcup _{s\in S}f(s)} 가 콤팩트 집합이라면, f {\displaystyle f} 는 고정점을 갖는다. (이 경우, 정의역이 콤팩트 집합일 필요가 없다.) 임의의 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 S {\displaystyle S} 위의 연속 자기 함수 f : S → S {\displaystyle f\colon S\to S} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ϕ : S → Pow ⁡ ( S ) {\displaystyle \phi \colon S\to \operatorname {Pow} (S)} ϕ : s ↦ { f ( s ) } {\displaystyle \phi \colon s\mapsto \{f(s)\}} 를 정의하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ϕ {\displaystyle \phi } 가 가쿠타니 사상이다. f {\displaystyle f} 가 연속 함수이다. 특히, 만약 V {\displaystyle V} 가 추가로 실수 하우스도르프 국소 볼록 공간이며 S {\displaystyle S} 가 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합일 때, 가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에 의하여, 만약 f {\displaystyle f} 가 연속 함수라면 f ( s ) = s {\displaystyle f(s)=s} 인 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 가 존재한다. 이 특수한 경우를 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리(Brouwer-Schauder-Тихонов固定點定理, 영어: Brouwer–Schauder–Tychonoff fixed point theorem)라고 한다. 가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에서, 모든 원소의 상이 볼록 집합이어야 한다는 조건을 생략한다면 이 정리는 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각하자. f : x ↦ { { 3 / 4 } 0 ≤ x < 1 / 2 { 1 / 4 , 3 / 4 } x = 1 / 2 { 1 / 4 } 1 / 2 < x ≤ 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\{3/4\}&0\leq x<1/2\\\{1/4,3/4\}&x=1/2\\\{1/4\}&1/2<x\leq 1\\\end{cases}}} 이는 x = 1 / 2 {\displaystyle x=1/2} 에서 f ( 1 / 2 ) = { 1 / 4 , 3 / 4 } {\displaystyle f(1/2)=\{1/4,3/4\}} 는 닫힌집합이지만 볼록 집합이 아니며, 고정점을 갖지 않는다. 가쿠타니 고정점 정리는 수리 경제학과 게임 이론에 응용된다. 특히, 내시 평형의 존재를 가쿠타니 고정점 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 1904년에 피에르스 볼(라트비아어: Piers Bohl, 1865~1921)이 3차원 유클리드 공간에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 증명하였다. 1910년에 라위트전 브라우어르와 자크 아다마르는 독자적으로 임의의 유한 차원에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 정리를 증명하였다. 1930년에 율리우시 샤우데르가 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 임의의 실수 바나흐 공간의 경우에 대하여 일반화하였으며, 1935년에 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 추가로 일반화하였다. 가쿠타니 시즈오가 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리를 증명하였다. 이후 어빙 레너드 글릭스버그(영어: Irving Leonard Glicksberg):171와 판지(중국어: 樊⿰土畿, 병음: Fán Jí, 한자음: 번기, 영어: Ky Fan, 1914~2010):Theorem 1가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 일반화하였다. 켄 빈모어(영어: Ken Binmore)는 다음과 같은 일화를 저서에 수록하였다. Granas, Andrzej; James, Dugundji (2003). 《Fixed point theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-21593-8. ISBN 978-0-387-00173-9. ISSN 1439-7382.  Bohl, Piers (1904). “Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 127 (3–4): 179–276. doi:10.1515/crll.1904.127.179. ISSN 0075-4102.  Hadamard, Jacques (1910). 〈Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker〉. 《Introduction à la théorie des fonctions d’une variable. Tome deuxième. Intégrales définies, développements en série. Langage géométrique, fonctions de variables imaginaires》 (프랑스어) 2판. Librarie scientifique A. Hermann & fils. 436–477쪽.  Schauder, J. (1930). “Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen” (PDF). 《Studia Mathematica》 (독일어) 2: 171–180. ISSN 0039-3223.  Tychonoff, Andrey (1935). “Ein Fixpunktsatz”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 111: 767–776. doi:10.1007/BF01472256.  Kakutani, Shizuo (1941). “A generalization of Brouwer's fixed point theorem”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4. MR 4776. Zbl 0061.40304.  Glicksberg, Irving L. (1952). “A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 3 (1): 170–174. doi:10.2307/2032478. JSTOR 2032478.  Fan, Ky (1952). “Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 38 (2): 121–126. doi:10.1073/pnas.38.2.121. PMC 1063516. PMID 16589065.  Binmore, Ken (2007). 《Playing for real: a text on game theory》 (영어). Oxford University Press.  “Kakutani theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Brouwer theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Schauder theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Brouwer fixed point theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Schauder fixed point theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Brouwer's fixed point theorem”. 《nLab》 (영어).