위상 K이론

대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, 영어: topological K-theory)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 기호 G ∈ { O , U , Sp } {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}} . 이에 대하여, O {\displaystyle \operatorname {O} } -벡터 다발은 X {\displaystyle X} 위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.) U {\displaystyle \operatorname {U} } -벡터 다발은 X {\displaystyle X} 위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.) Sp {\displaystyle \operatorname {Sp} } -벡터 다발은 X {\displaystyle X} 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 2 n {\displaystyle 2n} 차원이라면) Sp ⁡ ( 2 n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )} --주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.) 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의 G {\displaystyle G} -벡터 다발 E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} 들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, G ∈ { O , U } {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}} 인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.) X {\displaystyle X} 의 G {\displaystyle G} 에 대한 K군(K-group) K G 0 ( X ) {\displaystyle \mathrm {K} G^{0}(X)} 는 X {\displaystyle X} 위의 G {\displaystyle G} -벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 G ∈ { O , U } {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}} 라면, 이는 가환환을 이룬다. 흔히, 만약 G {\displaystyle G} 를 생략하였다면, G = U {\displaystyle G=\operatorname {U} } 를 뜻한다. ( X , x 0 ) {\displaystyle (X,x_{0})} 가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, 영어: reduced K-group) K ~ 0 ⁡ ( X , x 0 ) {\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x_{0})} 는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다. ϕ : K 0 ⁡ ( X ) → K 0 ⁡ ( { x 0 } ) {\displaystyle \phi \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})} 그렇다면 K ~ 0 ⁡ ( X , x 0 ) = ker ⁡ ϕ = K 0 ⁡ ( X ) / K 0 ⁡ ( { x 0 } ) {\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x_{0})=\ker \phi =\operatorname {K} ^{0}(X)/\operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})} 이다. 벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. dim : K 0 ⁡ ( X ) → H ˇ 0 ⁡ ( X , Z ) {\displaystyle \dim \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,\mathbb {Z} )} 여기서 H ˇ 0 ( X , Z ) {\displaystyle {\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )} 는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 X {\displaystyle X} 가 연결 공간이라면 H ˇ 0 ( X , Z ) = Z {\displaystyle {\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} } 이다. 이 경우 dim : K 0 ( X ) → Z {\displaystyle \dim \colon K^{0}(X)\to \mathbb {Z} } 이며, 벡터 공간 K n 0 ( X ) = dim − 1 ⁡ ( n ) {\displaystyle K_{n}^{0}(X)=\dim ^{-1}(n)} 은 n {\displaystyle n} 차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다. 상대 K군(영어: relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 X {\displaystyle X} 의 A {\displaystyle A} 에 대한 상대 K군 K 0 ⁡ ( X , A ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(X,A)} 는 다음과 같다. K 0 ⁡ ( X , A ) = K ~ 0 ⁡ ( X / A ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(X,A)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X/A)} 여기서 X / A {\displaystyle X/A} 의 점은 물론 A / A ∈ X / A {\displaystyle A/A\in X/A} 이다. X {\displaystyle X} 가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(영어: K-group with compact support) K c 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)} 는 그 알렉산드로프 콤팩트화 X + {\displaystyle X^{+}} 의 축소 K군이다. K c 0 ⁡ ( X ) = K ~ 0 ⁡ ( X + ) {\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})} 물론, 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, K c 0 ⁡ ( X ) = K ~ 0 ⁡ ( X + ) = K ~ 0 ⁡ ( X ⊔ { ∙ } ) = K 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X\sqcup \{\bullet \})=\operatorname {K} ^{0}(X)} 이다. −n차 축소 K군 K − n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)} 는 다음과 같다. K ~ − n ⁡ ( X ) = K ~ ⁡ ( S n ∧ X ) {\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} (\mathbb {S} ^{n}\wedge X)} 여기서 ∧ {\displaystyle \wedge } 는 위상 공간의 분쇄곱이고, S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 은 n {\displaystyle n} 차원 초구다. 여기서 S 0 ∧ X ≅ X {\displaystyle S^{0}\wedge X\cong X} 이므로, K ~ 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X)} 의 정의는 일관적이다. 또한 S m ∧ S n ≅ S m + n {\displaystyle \mathbb {S} ^{m}\wedge \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{m+n}} 이므로, K ~ − m − n ( X ) = K ~ − m ( S n ∧ X ) {\displaystyle {\tilde {K}}^{-m-n}(X)={\tilde {K}}^{-m}(S^{n}\wedge X)} 이다. −n차 (비축소) K군 K − n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)} 는 그 알렉산드로프 콤팩트화 X + = X ⊔ { ∞ } {\displaystyle X^{+}=X\sqcup \{\infty \}} 의 축소 K군이다. K − n ⁡ ( X ) = K ~ − n ⁡ ( X + ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X^{+})} 고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다. K ~ U − n − 2 ⁡ ( X ) = K ~ U − n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n-2}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n}(X)} K ~ O − n − 8 ⁡ ( X ) = K ~ O − n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n-8}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n}(X)} . 이를 보트 주기성(Bott periodicity)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 K 1 {\displaystyle K^{1}} , K 2 {\displaystyle K^{2}} 등을 정의할 수 있다. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. X {\displaystyle X} 위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. E ∼ F ⟺ ∃ n ∈ N : E ⊕ C n ≅ F ⊕ C n {\displaystyle E\sim F\iff \exists n\in \mathbb {N} \colon E\oplus \mathbb {C} ^{n}\cong F\oplus \mathbb {C} ^{n}} 여기서 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 은 n {\displaystyle n} 차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 ≅ {\displaystyle \cong } 은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다. 이 동치 관계에 대한 동치류를 안정 벡터 다발(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 X {\displaystyle X} 의 0차 축소 K군 K U ~ 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(X)} 이라고 한다. 기호 G ∈ { O , U , Sp } {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계 G ( 0 ) ↪ G ( 1 ) ↪ ⋯ {\displaystyle G(0)\hookrightarrow G(1)\hookrightarrow \dotsb } 에 대한 분류 공간의 포함 관계 B G ( 0 ) → B G ( 1 ) → B G ( 2 ) → ⋯ {\displaystyle \mathrm {B} G(0)\to \mathrm {B} G(1)\to \mathrm {B} G(2)\to \dotsb } 가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 G ( n ) {\displaystyle G(n)} -벡터 다발 E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} 가 주어졌을 때, G ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {G} (n+1)} -벡터 다발 E ⊕ K {\displaystyle E\oplus \mathbb {K} } 를 취하는 것이다 ( K {\displaystyle \mathbb {K} } 는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한 lim → ⁡ B G ( ∞ ) {\displaystyle \varinjlim \mathrm {B} G(\infty )} 를 취할 수 있다. 이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} 의 분류 공간 BO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {BO} (n)} 은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 n {\displaystyle n} 차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 의 분류 공간 BU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {BU} (n)} 은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 n {\displaystyle n} 차원 부분 공간들의 공간이다. X {\displaystyle X} 가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 K군은 다음과 같다. K G ( X ) = [ X , Z × B G ( ∞ ) ] {\displaystyle \mathrm {K} G(X)=[X,\mathbb {Z} \times \mathrm {B} G(\infty )]} 여기서 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} 는 X → Y {\displaystyle X\to Y} 호모토피류들의 집합이다. 만약, X {\displaystyle X} 가 n {\displaystyle n} 차원 연결 공간이고 k > n / 2 {\displaystyle k>n/2} 일 때, K O ~ ⁡ ( X ) ≅ [ X , BO ⁡ ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} (X)\cong [X,\operatorname {BO} (k)]} K U ~ ⁡ ( X ) ≅ [ X , BU ⁡ ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} (X)\cong [X,\operatorname {BU} (k)]} 이 성립한다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다. KO : ho ⁡ ( C ) → CRing op {\displaystyle \operatorname {KO} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }} KU : ho ⁡ ( C ) → CRing op {\displaystyle \operatorname {KU} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }} KSp : ho ⁡ ( C ) → Ab op {\displaystyle \operatorname {KSp} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }} 여기서 ho ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})} 는 위상 공간의 호모토피 범주이다. CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 은 가환환의 범주이다. Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 은 가환군의 범주이다. ( − ) op {\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }} 은 반대 범주이다. 즉, 연속 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 K ( Y ) → K ( X ) {\displaystyle K(Y)\to K(X)} 가 존재한다. 또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다. K O ~ : ho ⁡ ( C / ∙ ) → CRing op {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }} K U ~ : ho ⁡ ( C / ∙ ) → CRing op {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }} K S p ~ : ho ⁡ ( C / ∙ ) → Ab op {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KSp}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }} 특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다. 다음이 성립한다. K U ~ ∙ + 2 ⁡ ( X ) ≅ K U ~ ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet +2}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet }(X)} K O ~ ∙ + 8 ⁡ ( X ) ≅ K O ~ ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet }(X)} K S p ~ ∙ + 8 ⁡ ( X ) ≅ K S p ~ ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet }(X)} 분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다. Ω 8 B O ( ∞ ) ≃ Z × B O ( ∞ ) {\displaystyle \Omega ^{8}\mathrm {BO} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BO} (\infty )} Ω 2 B U ( ∞ ) ≃ Z × B U ( ∞ ) {\displaystyle \Omega ^{2}\mathrm {BU} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BU} (\infty )} Ω 8 S p ( ∞ ) ≃ Z × B S p ( ∞ ) {\displaystyle \Omega ^{8}\mathrm {Sp} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BSp} (\infty )} 위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 H n ( { ∙ } ) = 0 ∀ n > 0 {\displaystyle H^{n}(\{\bullet \})=0\forall n>0} 이어야 하지만, K이론에서는 KU 2 n ⁡ ( { ∙ } ) = Z {\displaystyle \operatorname {KU} ^{2n}(\{\bullet \})=\mathbb {Z} } 이다.) 천 지표 ch : Vect ⁡ ( X ) → H ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {ch} \colon \operatorname {Vect} (X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X)} 는 X {\displaystyle X} 위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 Vect ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Vect} (X)} 로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 H 0 ⁡ ( X ) ⊕ H 2 ⁡ ( X ) ⊕ ⋯ ⊂ H ∙ ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(X)\oplus \operatorname {H} ^{2}(X)\oplus \dotsb \subset \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 로 가는 모노이드 준동형이다.:40–45:100–102 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 ch : K 0 ( X ) → H ∙ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {ch} \colon K^{0}(X)\to H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 로 확장된다. 즉, [ E ] , [ F ] ∈ K 0 ( X ) {\displaystyle [E],[F]\in K^{0}(X)} 라고 하면, ch ⁡ ( [ E ] ⊕ [ F ] ) = ch ⁡ ( [ E ] ) + ch ⁡ ( [ F ] ) {\displaystyle \operatorname {ch} ([E]\oplus [F])=\operatorname {ch} ([E])+\operatorname {ch} ([F])} ch ⁡ ( [ E ] ⊗ [ F ] ) = ch ⁡ ( [ E ] ) ⌣ ch ⁡ ( [ F ] ) {\displaystyle \operatorname {ch} ([E]\otimes [F])=\operatorname {ch} ([E])\smile \operatorname {ch} ([F])} ch ⁡ ( − [ E ] ) = − ch ⁡ ( [ E ] ) {\displaystyle \operatorname {ch} (-[E])=-\operatorname {ch} ([E])} ch ⁡ ( [ C ⊕ k ] ) = k {\displaystyle \operatorname {ch} ([\mathbb {C} ^{\oplus k}])=k} 이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 ch : K ~ 0 ( X ) → H ~ ∙ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {ch} \colon {\tilde {K}}^{0}(X)\to {\tilde {H}}^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 또한 존재한다. 고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.:102 K U ~ 1 ⁡ ( X ) = KU 0 ⁡ ( S 1 ∧ X ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(X)=\operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X)} H ~ 2 k ⁡ ( X ; Q ) ≅ H 2 k + 1 ⁡ ( S 1 ∧ X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )\cong \operatorname {H} ^{2k+1}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X;\mathbb {Q} )} 이므로, 이를 사용하여 천 지표를 K ∙ ⁡ ( X ) → H ∙ ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{\bullet }(X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 K ∙ ( X ) ⊗ Q {\displaystyle K^{\bullet }(X)\otimes \mathbb {Q} } 와 H ∙ ( X ; Q ) {\displaystyle H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.:7 KU 0 ⁡ ( X ) ⊗ Q = ⨁ k H 2 k ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )} KU 1 ⁡ ( X ) ⊗ Q = ⨁ k H 2 k + 1 ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )} 마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.:7 KO 0 ⁡ ( X ) ⊗ Q = ⨁ k H 4 k ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {KO} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{4k}(X;\mathbb {Q} )} 하나의 점을 포함하는 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 의 K군들은 다음과 같다. K 0 ( { ∙ } ) = Z {\displaystyle K^{0}(\{\bullet \})=\mathbb {Z} } K ~ 0 ( { ∙ } ) = 0 {\displaystyle {\tilde {K}}^{0}(\{\bullet \})=0} K 1 ( { ∙ } ) = K ~ 1 ( { ∙ } ) = 0 {\displaystyle K^{1}(\{\bullet \})={\tilde {K}}^{1}(\{\bullet \})=0} K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 의 K군과 같다. 이에 따라, 축소 K군의 경우 K 0 ( X ) ≅ K ~ 0 ( X ) ⊕ Z {\displaystyle K^{0}(X)\cong {\tilde {K}}^{0}(X)\oplus \mathbb {Z} } K 1 ( X ) ≅ K ~ 1 ( X ) {\displaystyle K^{1}(X)\cong {\tilde {K}}^{1}(X)} 임을 알 수 있다. 초구 S n {\displaystyle S^{n}} 의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.:39 KU 0 ⁡ ( S 2 n ) = Z 2 {\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}} KU 1 ⁡ ( S 2 n ) = 0 {\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0} KU 0 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = Z {\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} } KU 1 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = Z {\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} } 초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다. K U ~ 0 ⁡ ( S 2 n ) = K U ~ 1 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = Z {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} } K U ~ 1 ⁡ ( S 2 n ) = K U ~ 0 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0} 초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.:§3.1 K O ~ m ⁡ ( S n ) = { Z n − m ≡ 0 , 4 ( mod 8 ) Z / ( 2 ) n − m ≡ 1 , 2 ( mod 8 ) 0 n − m ≡ 3 , 5 , 6 , 7 ( mod 8 ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}} 복소수 사영 공간 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 의 K군들은 다음과 같다. K 0 ( C P n ) = Z n + 1 {\displaystyle K^{0}(\mathbb {CP} ^{n})=\mathbb {Z} ^{n+1}} K 1 ( C P n ) = 0 {\displaystyle K^{1}(\mathbb {CP} ^{n})=0} 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 의 K군들은 다음과 같다. K 0 ( T n ) = Z 2 n − 1 {\displaystyle K^{0}(\mathbb {T} ^{n})=\mathbb {Z} ^{2^{n-1}}} K 1 ( T n ) = Z 2 n − 1 {\displaystyle K^{1}(\mathbb {T} ^{n})=\mathbb {Z} ^{2^{n-1}}} 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다. KR이론 아티야-싱어 지표 정리 대수적 K이론 Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory” (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.  Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector Bundles and K-Theory》 (PDF) (영어) 버전 2.1판.  Karoubi, Max (2006년 2월). “K-theory. An elementary introduction” (영어). arXiv:math/0602082. Bibcode:2006math......2082K.  Gukov, Sergei (1999). “K-theory, reality, and orbifolds” (영어). arXiv:hep-th/9901042.  Otsuka, Shu. “Correspondence Atiya ↔ Hirzebruch about K-theory” (PDF).  Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological K-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological K-theory》 (영어). Springer Lecture Notes in Mathematics 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. arXiv:0903.3983. Bibcode:2009arXiv0903.3983C. doi:10.1007/978-3-642-15708-0_3. ISBN 978-3-642-15707-3. MR 2762555. Zbl 1216.19002.