편미분 방정식

수학에서 편미분 방정식(偏微分方程式, 영어: partial differential equation, 약자 PDE)은 여러 개의 독립 변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, 상미분방정식에 비해 응용범위가 훨씬 크다. 소리나 열의 전파 과정, 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 수많은 역학계에 관련된 예가 많다. M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 이 매끄러운 다양체라고 하자. 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴의 미분 방정식이다. F ( x , u , ∇ i u , ∇ i ∇ j u , … , ∇ i 1 ⋯ ∇ i k u ) = 0 {\displaystyle F(x,u,\nabla _{i}u,\nabla _{i}\nabla _{j}u,\dots ,\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}u)=0} x ∈ M , u : M → N {\displaystyle x\in M,\;u\colon M\to N} 여기서 미분 연산자의 최고 계수 k {\displaystyle k} 를 편미분 방정식의 계수(영어: order)라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을 k {\displaystyle k} 계 편미분 방정식이라고 한다. 만약 다양체 N {\displaystyle N} 이 2차원 이상이라면 이를 연립 편미분 방정식이라고 하며, 만약 N {\displaystyle N} 이 1차원이라면 비연립 편미분 방정식이라고 한다. 1계 편미분 방정식은 대체로 특성곡선법을 사용하여 풀 수 있다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 일반적인 (비연립) 1계 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다. F ( x , u , ∂ u / ∂ x ) = 0 ( x ∈ M , u ( x ) ∈ R ) {\displaystyle F(x,u,\partial u/\partial x)=0\qquad (x\in M,\;u(x)\in \mathbb {R} )} 여기서 u x i = ∂ u / ∂ x i {\displaystyle u_{x_{i}}=\partial u/\partial x_{i}} 이다. 이 경우, 임의의 해 u ( s ) = u ( x i ( s ) ) {\displaystyle u(s)=u(x^{i}(s))} 는 다음과 같은 상미분 방정식을 만족시킨다. x ˙ i ∂ F / ∂ ( ∂ u / ∂ x i ) = − 1 ∂ F / ∂ x i + ( ∂ u / ∂ x i ) ∂ F / ∂ u p ˙ i = u ˙ ∑ i p i ( ∂ F / ∂ p i ) {\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{\partial F/\partial (\partial u/\partial x_{i})}}=-{\frac {1}{\partial F/\partial x_{i}+(\partial u/\partial x^{i})\partial F/\partial u}}{\dot {p}}^{i}={\frac {\dot {u}}{\sum _{i}p_{i}(\partial F/\partial p_{i})}}} 따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 일반적인 (비연립) 2계 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다. Q ( ∇ i ∇ j u , x ) + F ( ∇ i u , u , x ) = 0 ( x ∈ M , u ( x ) ∈ R ) {\displaystyle Q(\nabla _{i}\nabla _{j}u,x)+F(\nabla _{i}u,u,x)=0\qquad (x\in M,\;u(x)\in \mathbb {R} )} 따라서, Q : M → Sym 2 ⁡ T M {\displaystyle Q\colon M\to \operatorname {Sym} ^{2}TM} 는 M {\displaystyle M} 의 각 점에 실수 이차 형식을 정의한다. 이는 실베스터 관성법칙에 따라 이차 형식의 고윳값들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서 만약 Q x {\displaystyle Q_{x}} 의 모든 고윳값들이 양수라면, 이 2계 편미분 방정식이 타원형 편미분 방정식(영어: elliptic partial differential equation)이라고 한다. 라플라스 방정식 u y y + u x x = 0 {\displaystyle u_{yy}+u_{xx}=0} 이 대표적인 예이다. 만약 Q x {\displaystyle Q_{x}} 의 모든 고윳값들이 음이 아닌 실수이며, 0인 고윳값이 존재한다면, 이 2계 편미분 방정식이 포물형 편미분 방정식(영어: parabolic partial differential equation)이라고 한다. 열 방정식 u t − u x x = 0 {\displaystyle u_{t}-u_{xx}=0} 이 대표적인 예이다. 만약 Q x {\displaystyle Q_{x}} 가 음의 고윳값을 갖는다면, 이 2계 편미분 방정식이 쌍곡형 편미분 방정식(영어: hyperbolic partial differential equation)이라고 한다. 파동 방정식 u t t − u x x = 0 {\displaystyle u_{tt}-u_{xx}=0} 이 대표적인 예이다. 타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 에서 벡터 공간 V {\displaystyle V} 로 가는 함수 u : M → V {\displaystyle u\colon M\to V} 에 대한 선형 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다. c 0 ( x ) u ( x ) + c 1 i ( x ) ∇ i u ( x ) + c 2 i j ( x ) ∇ i ∇ j u ( x ) + ⋯ + c k i 1 ⋯ i k ( x ) ∇ i 1 ⋯ ∇ i k u ( x ) = 0 {\displaystyle c_{0}(x)u(x)+c_{1}^{i}(x)\nabla _{i}u(x)+c_{2}^{ij}(x)\nabla _{i}\nabla _{j}u(x)+\cdots +c_{k}^{i_{1}\cdots i_{k}}(x)\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}u(x)=0} 이는 M {\displaystyle M} 위의, V {\displaystyle V} 값을 갖는 매끄러운 함수들의 벡터 공간 C ∞ ( M , V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,V)} 위에 정의된 선형작용소의 고윳값 방정식이다. 즉, 이 경우 해 u ( x ) {\displaystyle u(x)} 는 선형작용소 T = c 0 ( x ) + c 1 i ( x ) ∇ i + ⋯ + c k i 1 ⋯ i k ( x ) ∇ i 1 ⋯ ∇ i k {\displaystyle T=c_{0}(x)+c_{1}^{i}(x)\nabla _{i}+\cdots +c_{k}^{i_{1}\cdots i_{k}}(x)\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}} 에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, 함수해석학과 작용소 이론을 적용할 수 있다. 열 방정식 파동 방정식 전신 방정식 슈뢰딩거 방정식 라플라스 방정식 푸아송 방정식 헬름홀츠 방정식 맥스웰 방정식 런던 방정식 연속 방정식 라그랑주 방정식 해밀턴 방정식 해밀턴-야코비 방정식 나비에 스토크스 방정식 열 방정식 파동 방정식 라플라스 방정식 헬름홀츠 방정식 클라인-고든 방정식 푸아송 방정식 나비에-스토크스 방정식 버거스 방정식 디리클레 경계 조건 노이만 경계 조건 점화식 Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Andrei D. Polyanin, William E. Schiesser, Alexei I. Zhurov. “Partial differential equation”. 《Scholarpedia》 3 (10): 4605. doi:10.4249/scholarpedia.4605.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 편미분 방정식 “Differential equation, partial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Linear partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Linear elliptic partial differential equation and system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Linear parabolic partial differential equation and system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Linear hyperbolic partial differential equation and system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Non-linear partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Differential equation, partial, of the second order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Elliptic partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Elliptic partial differential equation, numerical methods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Parabolic partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Parabolic partial differential equation, numerical methods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hyperbolic partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hyperbolic partial differential equation, numerical methods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Partial Differential Equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.