함수 행렬식

함수 행렬식(函數行列式, 영어: functional determinant)은 무한차원 내적공간(주로 함수 공간)에서의 선형 연산자의 행렬식이다. 유한차원에서의 행렬식은 간단하게 정의할 수 있지만, 무한차원에서는 이를 엄밀히 정의하기 힘들다. 그러나 양자론에서는 경로적분을 다루기 위하여 함수 공간에서의 임의의 미분 연산자의 행렬식을 (형식적으로나마) 취한다. 물리학에서는 다음과 같은 정의를 쓴다. 유한 차원의 유클리드 공간에서는 (만약 좌변이 수렴한다면) 대칭행렬 A {\displaystyle A} 에 대하여 다음의 식이 성립한다. ∫ d n x exp ⁡ ( − 1 2 x T ⋅ A x ) = 1 det ( A / 2 π ) {\displaystyle \int d^{n}\mathbf {x} \;\exp(-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\cdot A\mathbf {x} )={\frac {1}{\sqrt {\det(A/2\pi )}}}} 따라서 임의의 함수 공간에서도 (브라-켓 표기법을 쓰면) 유사하게 임의의 대칭 연산자 A {\displaystyle A} 에 대하여 ∫ D ϕ exp ⁡ ( − 1 2 ⟨ ϕ | A | ϕ ⟩ ) = 1 det ( A / 2 π ) {\displaystyle \int D\phi \;\exp(-{\tfrac {1}{2}}\langle \phi |A|\phi \rangle )={\frac {1}{\sqrt {\det(A/2\pi )}}}} 와 같이 정의한다. 또한, 다음 적분을 생각해 보자. ∫ d n x d n y exp ⁡ ( 2 π i x T ⋅ A y ) = ∫ d n x δ ( A x ) = 1 / det A . {\displaystyle \int d^{n}\mathbf {x} d^{n}\mathbf {y} \exp(2\pi \mathrm {i} \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\cdot A\mathbf {y} )=\int d^{n}\mathbf {x} \;\delta (A\mathbf {x} )=1/\det A.} 이에 따라 마찬가지로 ∫ D ϕ D ψ exp ⁡ ( 2 π i ⟨ ϕ | A | ψ ⟩ ) = 1 / det A {\displaystyle \int D\phi \;D\psi \;\exp(2\pi i\langle \phi |A|\psi \rangle )=1/\det A} 와 같이 정의한다. 반가환수의 경우에는 함수 행렬식은 다음과 같이 정의할 수 있다. 두 반가환수 ψ {\displaystyle \psi } , χ {\displaystyle \chi } 를 생각하자. 이들은 편의상 실수라 하자. 그렇다면 다음 식을 생각해 볼 수 있다. ∫ d ψ d χ exp ⁡ ( χ ψ ) = ∫ d ψ d χ ( 1 + a χ ψ ) = ∫ d ψ a ψ = a {\displaystyle \int d\psi d\chi \exp(\chi \psi )=\int d\psi d\chi (1+a\chi \psi )=\int d\psi a\psi =a} . 다차원으로 일반화하면, 임의의 대칭 연산자 A {\displaystyle A} 에 대하여 ∫ d ψ d χ exp ⁡ ( χ T A ψ ) = det A {\displaystyle \int d\psi d\chi \exp(\chi ^{\mathsf {T}}A\psi )=\det A} , 브라-켓 표기법으로는 ∫ D ψ D χ exp ⁡ ( ⟨ χ | A | ψ ⟩ ) = det A {\displaystyle \int D\psi D\chi \exp(\langle \chi |A|\psi \rangle )=\det A} 이 된다. 마찬가지로 J = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} 이 주어지면, ∫ d 2 ψ exp ⁡ ( 1 2 a ψ T J ψ ) = ∫ d ψ 2 d ψ 1 ( 1 + a ψ 1 ψ 2 ) = a = det ( a J ) = Pf ⁡ ( a J ) {\displaystyle \int d^{2}\psi \exp \left({\frac {1}{2}}a\psi ^{\mathsf {T}}J\psi \right)=\int d\psi _{2}d\psi _{1}\;(1+a\psi _{1}\psi _{2})=a={\sqrt {\det(aJ)}}=\operatorname {Pf} (aJ)} . 여기서 Pf ⁡ ( a J ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (aJ)} 는 반대칭 행렬의 파피안이다. 따라서 임의의 반대칭 연산자 A {\displaystyle A} 에 대하여 ∫ d 2 ψ exp ⁡ ( ψ T A ψ ) = det A = Pf ⁡ A {\displaystyle \int d^{2}\psi \exp(\psi ^{\mathsf {T}}A\psi )={\sqrt {\det A}}=\operatorname {Pf} A} 가 된다. 따라서 반가환수의 함수 행렬식은 가환수의 함수 행렬식의 역임을 알 수 있다. 즉, 일반적으로 함수 행렬식의 역을 취하려면 가환수 변수를 반가환수로 치환하면 된다. 함수 행렬식을 엄밀하게 정의하려면, 보통 제타 함수 조절을 사용한다. D {\displaystyle D} 가 미분 연산자라고 하고, 그 스펙트럼이 고윳값들 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 만으로 이루어진다고 하자. (즉 스펙트럼이 불연속적이다.) 이 경우, s {\displaystyle s} 가 충분히 작으면 보통 다음이 수렴한다. ζ D ( s ) = ∑ i ; λ i ≠ 0 λ i − s {\displaystyle \zeta _{D}(s)=\sum _{i;\lambda _{i}\neq 0}\lambda _{i}^{-s}} . 이를 연산자 D {\displaystyle D} 의 제타 함수(zeta function)이라고 한다. 이 함수를 s {\displaystyle s} 가 수렴하지 않는 곳까지 해석적 연속하자. (이는 보통 리만 제타 함수들로 나타내어지게 된다.) 그렇다면 det D = exp ⁡ ( − ζ D ′ ( 0 ) ) {\displaystyle \det D=\exp(-\zeta _{D}'(0))} 으로 정의할 수 있다. (제타 함수를 정의할 때, 유한한 행렬식을 얻기 위하여 보통 고윳값이 0인 모드를 제외한다.) 콤팩트 리만 다양체 위의 라플라스-벨트라미 연산자의 행렬식을 이와 같이 정의할 수 있다. 예를 들어, 3차원 구 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 의 라플라스 연산자의 행렬식은 det Δ = π exp ⁡ ( ζ ( 3 ) / π 2 ) {\displaystyle \det \Delta =\pi \exp(\zeta (3)/\pi ^{2})} 이다. 위너 공간 파데예프-포포프 유령 Kumagai, H (1999). “The determinant of the Laplacian on the n-sphere” (PDF). 《Acta Arithmetica》 91 (3): 199–208.  Dunne, Gerald V. (2008). “Functional determinants in quantum field theory”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 41 (30): 4006. arXiv:0711.1178. doi:10.1088/1751-8113/41/30/304006.  Elizalde, Emilio (2008). “Zeta Function Methods and Quantum Fluctuations”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 41 (30): 4040. doi:10.1088/1751-8113/41/30/304040.