최소 모형 (등각 장론)

이론물리학에서 최소 모형(最小模型, 영어: minimal model)은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다. 유니터리 최소 모형은 하나의 정수 k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\dots } 으로 정의된다. 이는 s u ^ ( 2 ) k × s u ^ ( 2 ) 1 s u ^ ( 2 ) k + 1 {\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{1}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+1}}}} 잉여류로 정의되며,:104 이 경우 중심 전하는 c = 3 k k + 2 + 1 − 3 ( k + 1 ) k + 3 = 1 − 6 ( k + 2 ) ( k + 3 ) {\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+1-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}} 이 된다. 최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다. h = h r , s ( c ) = ( ( k + 3 ) r − ( k + 2 ) s ) 2 − 1 4 ( k + 2 ) ( k + 3 ) {\displaystyle h=h_{r,s}(c)={\frac {((k+3)r-(k+2)s)^{2}-1}{4(k+2)(k+3)}}} 여기서 r = 1 , 2 , 3 , … , k + 1 {\displaystyle r=1,2,3,\dots ,k+1} s = 1 , 2 , 3 , … r {\displaystyle s=1,2,3,\dots r} 이다. 최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 h = 0 {\displaystyle h=0} 은 생략하였다.) N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류 s u ^ ( 2 ) k × s u ^ ( 2 ) 2 s u ^ ( 2 ) k + 2 ( k = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+2}}}\qquad (k=1,2,3,\dots )} 에 의하여 정의된다.:175 s u ^ ( 2 ) k {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}} 의 중심 전하는 c = 3 k / ( k + 2 ) {\displaystyle c=3k/(k+2)} 이므로, N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.:106:174–175 c = 3 k k + 2 + 3 2 − 3 ( k + 2 ) ( k + 4 ) = 3 2 ( 1 − 8 ( k + 2 ) ( k + 4 ) ) {\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3}{2}}-{\frac {3(k+2)}{(k+4)}}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {8}{(k+2)(k+4)}}\right)} 이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다. h r , s = ( ( k + 4 ) r − ( k + 2 ) s ) 2 − 4 8 ( k + 2 ) ( k + 4 ) + 1 32 ( 1 − ( − 1 ) r − s ) {\displaystyle h_{r,s}={\frac {((k+4)r-(k+2)s)^{2}-4}{8(k+2)(k+4)}}+{\frac {1}{32}}(1-(-1)^{r-s})} 여기서 r = 1 , 2 , … , k + 1 {\displaystyle r=1,2,\dots ,k+1} 이며, s {\displaystyle s} 에 대한 조건은 다음과 같다. 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 r − s {\displaystyle r-s} 는 짝수이며, 1 ≤ s ≤ r {\displaystyle 1\leq s\leq r} 이다. 라몽(R) 경계 조건에서는 r − s {\displaystyle r-s} 는 홀수이며, 다음이 성립한다. 1 ≤ s ≤ { r − 1 r ≤ ( k + 1 ) / 2 r + 1 r > ( k + 1 ) / 2 {\displaystyle 1\leq s\leq {\begin{cases}r-1&r\leq (k+1)/2\\r+1&r>(k+1)/2\end{cases}}} 이에 따라, 진공을 포함해 총 ⌊ ( k + 2 ) 2 / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor (k+2)^{2}/2\rfloor } 개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 k {\displaystyle k} 의 경우 라몽 바닥 상태( h = c / 24 {\displaystyle h=c/24} 인 상태)가 하나 존재한다. 처음 몇 개의 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 ( h = 0 {\displaystyle h=0} ) 및 G − 1 / 2 {\displaystyle G_{-1/2}} 를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.:178–179 c = 3 k k + 2 ( k = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}\qquad (k=1,2,3,\dots )} 이들은 s u ^ ( 2 ) k × u ^ ( 1 ) 2 u ^ ( 1 ) k + 2 {\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{k+2}}}} 잉여류로 정의할 수 있다.:188 이 경우 s u ^ ( 2 ) k {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}} 의 중심 전하는 c = 3 k / ( k + 2 ) {\displaystyle c=3k/(k+2)} 이며 u ^ ( 1 ) k {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{k}} 의 중심 전하가 c = 1 {\displaystyle c=1} 이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 ( l , k , s ) {\displaystyle (l,k,s)} 로 정해지며, 여기서 l = 0 , 1 , 2 , … , k {\displaystyle l=0,1,2,\dots ,k} m ∈ Z / ( 2 k + 4 ) {\displaystyle m\in \mathbb {Z} /(2k+4)} s ∈ Z / 4 {\displaystyle s\in \mathbb {Z} /4} l + m + s ≡ 0 ( mod 2 ) {\displaystyle l+m+s\equiv 0{\pmod {2}}} 이며, ( l , m , s ) ∼ ( k − l , m + k + 2 , s + 2 ) {\displaystyle (l,m,s)\sim (k-l,m+k+2,s+2)} 이면 같은 등각장을 나타낸다. s {\displaystyle s} 가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약 | m − s | ≤ l {\displaystyle |m-s|\leq l} 이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 q {\displaystyle q} 및 등각 무게 h {\displaystyle h} 는 다음과 같다. q = − m k + 2 + s 2 {\displaystyle q=-{\frac {m}{k+2}}+{\frac {s}{2}}} h = l ( l + 2 ) − m 2 4 ( k + 2 ) + s 2 8 {\displaystyle h={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {s^{2}}{8}}} 스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다. ( l , m , s ) ↦ ( l , m − 2 η , s − 2 η ) {\displaystyle (l,m,s)\mapsto (l,m-2\eta ,s-2\eta )} 이에 따라 h l , m , s ↦ h l , m , s − η q + η 2 c / 6 {\displaystyle h_{l,m,s}\mapsto h_{l,m,s}-\eta q+\eta ^{2}c/6} q l , m , s ↦ q l , m , s − c η / 3 {\displaystyle q_{l,m,s}\mapsto q_{l,m,s}-c\eta /3} 이 된다. NS 경계 조건의 초1차장들은 0 ≤ l ≤ k {\displaystyle 0\leq l\leq k} − l ≤ m ≤ l {\displaystyle -l\leq m\leq l} s = 0 {\displaystyle s=0} 에 대응하며, 총 ( k + 1 ) ( k + 2 ) / 2 {\displaystyle (k+1)(k+2)/2} 개가 있다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 최소 모형의 장 가운데, 손지기장(영어: chiral field, h = q / 2 {\displaystyle h=q/2} 인 장)은 l = − m {\displaystyle l=-m} , s = 0 {\displaystyle s=0} 인 것들이며, 반손지기장(영어: antichiral field, h = − q / 2 {\displaystyle h=-q/2} 인 장)은 l = m {\displaystyle l=m} , s = 0 {\displaystyle s=0} 인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 k {\displaystyle k} 개가 있다. 라몽 바닥 상태( h = c / 24 {\displaystyle h=c/24} 인 장)는 ( m , s ) = ( ± ( l + 1 ) , ± 1 ) {\displaystyle (m,s)=(\pm (l+1),\pm 1)} 인 것들이며, 이 경우 q = ± ( k − l ) / 2 ( k + 2 ) {\displaystyle q=\pm (k-l)/2(k+2)} 이다. 이들은 총 k + 1 {\displaystyle k+1} 개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다. 손지기장들의 경우, G − 1 / 2 + {\displaystyle G_{-1/2}^{+}} 코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환 H ∙ ( H k , G − 1 / 2 + ) ≅ C [ x ] / ( x k + 1 ) {\displaystyle H^{\bullet }({\mathcal {H}}_{k},G_{-1/2}^{+})\cong \mathbb {C} [x]/(x^{k+1})} 이다. 여기서 x l {\displaystyle x^{l}} 은 ( l , m , s ) = ( l , − l , 0 ) {\displaystyle (l,m,s)=(l,-l,0)} 에 대응한다. R 경계 조건의 초1차장들은 0 ≤ l ≤ k {\displaystyle 0\leq l\leq k} m ∈ [ − l + 1 , l − 1 ] ∪ { l + 1 } {\displaystyle m\in [-l+1,l-1]\cup \{l+1\}} s = 1 {\displaystyle s=1} 에 대응하며, 이 가운데 m = l + 1 {\displaystyle m=l+1} 인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 ( k + 1 ) ( k + 2 ) / 2 {\displaystyle (k+1)(k+2)/2} 개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 k + 1 {\displaystyle k+1} 개는 라몽 바닥 상태, k ( k + 1 ) / 2 {\displaystyle k(k+1)/2} 개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다. 처음 몇 개의 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에 G − 1 / 2 ± {\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }} 또는 G − 1 / 2 + G 1 / 2 − {\displaystyle G_{-1/2}^{+}G_{1/2}^{-}} 를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다. c = 1 / 2 {\displaystyle c=1/2} 최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다. 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다. (외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은 c = 1 / 2 {\displaystyle c=1/2} 최소 모형으로 나타내어진다. 2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 σ i , j = ± 1 {\displaystyle \sigma _{i,j}=\pm 1} 이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장 ⟨ σ ⟩ {\displaystyle \langle \sigma \rangle } 을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는 ⟨ σ α σ β ⟩ ∼ d ( α , β ) − η {\displaystyle \langle \sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{-\eta }} 의 꼴을 갖는다. 여기서 d ( α , β ) {\displaystyle d(\alpha ,\beta )} 는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장 ϵ α = ∑ ( α , β ) σ α σ β {\displaystyle \epsilon _{\alpha }=\sum _{(\alpha ,\beta )}\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }} 를 생각하자. 여기서 ∑ ( α , β ) {\displaystyle \sum _{(\alpha ,\beta )}} 는 α {\displaystyle \alpha } 와 근접한 모든 β {\displaystyle \beta } 에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수 ⟨ ϵ α ϵ β ⟩ ∼ d ( α , β ) 2 / ν − 2 {\displaystyle \langle \epsilon _{\alpha }\epsilon _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{2/\nu -2}} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 α {\displaystyle \alpha } 와 ν {\displaystyle \nu } 는 c = 1 / 2 {\displaystyle c=1/2} 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 ( h , h ¯ ) = ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,1/2)} 인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 ( h , h ¯ ) = ( 1 / 16 , 1 / 16 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/16,1/16)} 인 스칼라장에 대응한다. 2차원 마요라나-바일 스피너장 ψ ( z , z ¯ ) {\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})} 는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서 ψ ( z , z ¯ ) = ψ ( z ) + ψ ¯ ( z ¯ ) {\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})} 와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)} 는 무게가 ( h , h ¯ ) = ( 1 / 2 , 0 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,0)} 인 장이며, ψ ¯ ( z ¯ ) {\displaystyle {\bar {\psi }}({\bar {z}})} 는 무게가 ( 0 , 1 / 2 ) {\displaystyle (0,1/2)} 인 장이다. 스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, 뒤틀림장(영어: twist field)이라고 한다.:§6.2 정칙 성분의 뒤틀림장은 ( h , h ¯ ) = ( 1 / 16 , 0 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/16,0)} , 반정칙 성분의 뒤틀림장은 ( h , h ¯ ) = ( 0 , 1 / 16 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(0,1/16)} 이다. 정칙 자유 페르미온의 이론은 c = 1 / 2 {\displaystyle c=1/2} 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 ψ ( z ) ψ ¯ ( z ¯ ) {\displaystyle \psi (z){\bar {\psi }}({\bar {z}})} 는 무게 ( h , h ¯ ) = ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,1/2)} 인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다. c = 7 / 10 {\displaystyle c=7/10} 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형(영어: tricritical Ising model)의 임계점 근처 현상을 나타낸다. 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 σ ∈ { − 1 , 0 , + 1 } {\displaystyle \sigma \in \{-1,0,+1\}} 의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은 H = K ∑ ⟨ i j ⟩ σ i σ j − Δ ∑ i σ i 2 {\displaystyle H=K\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-\Delta \sum _{i}\sigma _{i}^{2}} 이다. 이 이론에서는 온도 T {\displaystyle T} 및 (입자수 ∑ i σ i 2 {\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}^{2}} 에 대응하는) 퓨가시티 z = exp ⁡ ( − μ ) {\displaystyle z=\exp(-\mu )} 를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 z → 0 {\displaystyle z\to 0} 이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 T = T 0 ( z = 0 ) {\displaystyle T=T_{0}(z=0)} 에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, T = 0 {\displaystyle T=0} 이며 z > 0 {\displaystyle z>0} 인 경우 어떤 z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} 에서 1차 상전이가 존재한다. ( z → 0 {\displaystyle z\to 0} 이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, z → ∞ {\displaystyle z\to \infty } 라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, T {\displaystyle T} 와 z {\displaystyle z} 를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 삼중점(영어: tricritical point)이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 c = 7 / 10 {\displaystyle c=7/10} 최소 모형으로 나타내어진다. 이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다. c = 1 {\displaystyle c=1} N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭 최소 모형은 반지름이 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 ϕ {\displaystyle \phi } 의 지수들은 다음과 같다. O n , n ¯ = exp ⁡ ( i ( n ψ ( z ) + n ¯ ψ ¯ ( z ¯ ) ) / 12 ) ( n , n ¯ ∈ Z ; n − n ¯ ≡ 0 ( mod 6 ) ) {\displaystyle O_{n,{\bar {n}}}=\exp(i(n\psi (z)+{\bar {n}}{\bar {\psi }}({\bar {z}}))/{\sqrt {12}})\qquad (n,{\bar {n}}\in \mathbb {Z} ;\;n-{\bar {n}}\equiv 0{\pmod {6}})} ( h ( O n , n ¯ ) , h ¯ ( O n , n ¯ ) ) = ( n 2 / 24 , n ¯ 2 / 24 ) {\displaystyle \left(h(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {h}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n^{2}/24,{\bar {n}}^{2}/24)} ( q ( O n , n ¯ ) , q ¯ ( O n , n ¯ ) ) = ( n / 6 , − n ¯ / 6 ) {\displaystyle \left(q(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {q}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n/6,-{\bar {n}}/6)} 이 경우, n {\displaystyle n} 과 n ¯ {\displaystyle {\bar {n}}} 이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다. 이 이론에서 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 대수의 표현은 다음과 같다. Q ± ( z ) = O ± 6 , 0 ( z ) {\displaystyle Q^{\pm }(z)=O_{\pm 6,0}(z)} Q ¯ ± ( z ¯ ) = O 0 , ∓ 6 ( z ¯ ) {\displaystyle {\bar {Q}}^{\pm }({\bar {z}})=O_{0,\mp 6}({\bar {z}})} J ( z ) = i ∂ ϕ ( z ) / 3 {\displaystyle J(z)=i\partial \phi (z)/{\sqrt {3}}} J ¯ ( z ¯ ) = − i ∂ ¯ ϕ ¯ ( z ¯ ) / 3 {\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-i{\bar {\partial }}{\bar {\phi }}({\bar {z}})/{\sqrt {3}}} 이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 h = h ¯ {\displaystyle h={\bar {h}}} , q = q ¯ {\displaystyle q={\bar {q}}} 이다. 이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 G − 1 / 2 ± {\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }} 를 가하여 얻어진다. 예를 들어, ( n , n ¯ ) = ( 4 , 4 ) {\displaystyle (n,{\bar {n}})=(4,4)} 는 ( n , n ¯ ) = ( − 2 , − 2 ) {\displaystyle (n,{\bar {n}})=(-2,-2)} 에 G − 1 / 2 + G ¯ − 1 / 2 + {\displaystyle G_{-1/2}^{+}{\bar {G}}_{-1/2}^{+}} 를 가하여 얻는다. 이 모형에, ϕ ∼ − ϕ {\displaystyle \phi \sim -\phi } 와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, c = 1 {\displaystyle c=1} N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 최소 모형을 얻는다. Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Friedan, D.; Z. Qiu, S. Shenker (1985). “Conformal invariance, unitarity, and critical exponents in two dimensions” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 151: 37. 2015년 9월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 18일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) (영어). arXiv:hep-th/9801035.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) Kiritsis, Elias B. (1988년 1월 21일). “The c ^ = 2 3 {\displaystyle {\hat {c}}={\tfrac {2}{3}}} minimal N = 1 {\displaystyle N=1} superconformal system and its realisation in the critical O(2) Gaussian model”. 《Journal of Physics A: Mathematical and General》 (영어) 21 (2): 297–306. doi:10.1088/0305-4470/21/2/011. ISSN 0305-4470.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 5) (도움말) Lerche, Wolfgang; Cumrun Vafa, Nicholas P. Warner. “Chiral rings in N = 2 {\displaystyle N=2} superconformal theories” (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어). Bibcode:1989NuPhB.324..427L. doi:10.1016/0550-3213(89)90474-4.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); |제목=에 지움 문자가 있음(위치 17) (도움말)[깨진 링크(과거 내용 찾기)] (영어). arXiv:1204.0446.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) Ginsparg, Paul (1988년 11월). “Applied conformal field theory” (영어). arXiv:hep-th/9108028. Bibcode:1991hep.th....8028G.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Christe, Philippe; Malte Henkel. 《Introduction to Conformal Invariance and Its Applications to Critical Phenomena》. Lecture Notes in Physics Monographs (영어) 16. doi:10.1007/978-3-540-47575-0. ISBN 978-3-540-56504-8.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) (영어). arXiv:9612154 |arxiv= 값 확인 필요 (도움말).  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) Di Francesco, P.; P. Mathieu, and D. Sénéchal (1997). 《Conformal Field Theory》. Springer. 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