작은 범주

범주론에서 작은 범주(-範疇, 영어: small category)는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 “작은” 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.:21–26, §Ⅰ.6–7 범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자. 그로텐디크 전체 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 주어졌다고 하자. U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.:22, §Ⅰ.6:12, Definition 1.2.1:§6:196 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상들은 집합 Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 을 이루며, 이는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 원소이다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상들은 집합 Mor ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})} 을 이루며, 이는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 원소이다. U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 라고 표기하자. 임의의 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -국소적으로 작은 범주( U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -局所的으로 작은範疇, 영어: locally U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -small category)라고 한다.:197 임의의 두 대상 X , Y ∈ Ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여, hom C ⁡ ( X , Y ) ∈ U {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\in {\mathcal {U}}} 이다. Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -완비 범주이자 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 및 함자 D : I → Cat U {\displaystyle D\colon {\mathcal {I}}\to \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 에 대하여, D {\displaystyle D} 는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 특히, Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 의 시작 대상은 Ob ⁡ ( 0 ) = Mor ⁡ ( 0 ) = ∅ {\displaystyle \operatorname {Ob} (0)=\operatorname {Mor} (0)=\varnothing } 인 유일한 범주 0 {\displaystyle 0} 이다. Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 의 끝 대상은 Ob ⁡ ( 1 ) = { ∙ } {\displaystyle \operatorname {Ob} (1)=\{\bullet \}} (한원소 집합)이며, Mor ⁡ ( 1 ) = { id ∙ } {\displaystyle \operatorname {Mor} (1)=\{\operatorname {id} _{\bullet }\}} 인 유일한 범주 1 {\displaystyle 1} 이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.) Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 hom ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \hom(-,-)} 은 (두 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 hom Cat ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Cat} }(-,-)} 이다. 다시 말해, 두 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주 사이의 함자 범주는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주이다.:196 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -국소적으로 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. 임의의 기수 κ ≤ | U | {\displaystyle \kappa \leq |{\mathcal {U}}|} 와 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 곱 X × κ {\displaystyle X^{\times \kappa }} 이 존재한다. 그렇다면 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 원순서 집합이다. :Theorem 2.1즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다. 증명: 임의의 두 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 이 주어졌다고 하자. 이제, | hom C ⁡ ( X , Y ) | ≤ 1 {\displaystyle |\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)|\leq 1} 임을 보이면 족하다. 사상 집합 hom C ⁡ ( X , Y | U | ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y^{|{\mathcal {U}}|})} 의 크기는 (각 성분마다 hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 의 한 원소를 고를 수 있으므로) 다음과 같다. | hom C ⁡ ( X , Y | Mor ⁡ ( C ) | ) | = | hom C ⁡ ( X , Y ) | | U | {\displaystyle \left|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y^{|\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})|})\right|=|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)|^{|{\mathcal {U}}|}} (여기서 우변은 기수의 거듭제곱이다.) 그런데 정의에 따라 | hom C ⁡ ( X , Y | U | ) | < | U | {\displaystyle \left|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y^{|{\mathcal {U}}|})\right|<|{\mathcal {U}}|} 이므로, 칸토어의 정리에 따라서 | hom C ⁡ ( X , Y ) | ≤ 1 {\displaystyle |\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)|\leq 1} 이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주와 동치이다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 PSh ⁡ ( C ) = Set U C op {\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Set} _{\mathcal {U}}^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}} 역시 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -국소적으로 작은 범주이다. Set U {\displaystyle \operatorname {Set} _{\mathcal {U}}} 가 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자. Ob ⁡ ( Set U ) = U {\displaystyle \operatorname {Ob} (\operatorname {Set} _{\mathcal {U}})={\mathcal {U}}} Set U {\displaystyle \operatorname {Set} _{\mathcal {U}}} 의 사상은 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 속하는 함수이다. 그렇다면, 망각 함자 Ob : Cat U → Set U {\displaystyle \operatorname {Ob} \colon \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}\to \operatorname {Set} _{\mathcal {U}}} Ob : C ↦ Ob ⁡ ( U ) {\displaystyle \operatorname {Ob} \colon {\mathcal {C}}\mapsto \operatorname {Ob} ({\mathcal {U}})} 가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 S {\displaystyle S} 를 다음과 같은 범주로 대응시킨다. 대상은 S {\displaystyle S} 의 원소이다. 모든 사상은 항등 사상이다. 임의의 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에 대하여, 그 유도 범주 D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다. 칸토어 역설에 따라, Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 는 Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 의 대상이 아니다. 다만, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 U ′ ∋ U {\displaystyle {\mathcal {U}}'\ni {\mathcal {U}}} 이 주어졌을 때, Cat U {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}} 는 Cat U ′ {\displaystyle \operatorname {Cat} _{{\mathcal {U}}'}} 의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자 Cat U ↪ Cat U ′ {\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}\hookrightarrow \operatorname {Cat} _{{\mathcal {U}}'}} 가 주어진다. 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