켤레류

군론에서 켤레류(-類, 영어: conjugacy class)는 켤레 원소를 취하는 군의 작용의 궤도이다. 군 G {\displaystyle G} 의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 켤레류는 다음과 같다.:196 Cl ⁡ ( g ) = { h g h − 1 : h ∈ G } ⊆ G {\displaystyle \operatorname {Cl} (g)=\{hgh^{-1}\colon h\in G\}\subseteq G} 즉, 이는 G {\displaystyle G} 의 자기 자신 위의 켤레 작용 G × G → G {\displaystyle G\times G\to G} ( h , g ) ↦ h g h − 1 {\displaystyle (h,g)\mapsto hgh^{-1}} 의 궤도이다. 즉 G {\displaystyle G} 위의 켤레 관계 g ∼ g ′ ⟺ ∃ h ∈ G : g ′ = h g h − 1 {\displaystyle g\sim g'\iff \exists h\in G\colon g'=hgh^{-1}} 의 동치류이다. G {\displaystyle G} 의 모든 켤레류들의 집합을 Cl ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (G)} 로 표기하자. 만약 G {\displaystyle G} 가 위상군이라면, Cl ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (G)} 는 그 몫공간이므로 자연스러운 위상 공간 구조를 가진다. 유한군 G {\displaystyle G} 의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 켤레류의 집합의 크기는 궤도-안정자군 정리에 따라 다음과 같다. | Cl ( g ) | = | G | | C G ( g ) | {\displaystyle |{\operatorname {Cl} }(g)|={\frac {|G|}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}} 여기서 C G ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(-)} 는 중심화 부분군이다. 유한군 G {\displaystyle G} 의 켤레류의 수는 번사이드 보조정리에 따라 다음과 같다. | Cl ( G ) | = 1 | G | ∑ g ∈ G | C G ( g ) | {\displaystyle |{\operatorname {Cl} }(G)|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\operatorname {C} }_{G}(g)|} 여기서 C G ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(-)} 는 중심화 부분군이다. 유한군 G {\displaystyle G} 의 켤레류들은 G {\displaystyle G} 의 분할을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식(-類方程式, 영어: class equation)이라고 한다. | G | = ∑ Cl ⁡ ( g ) ∈ Cl ⁡ ( G ) | Cl ( g ) | = | G | ∑ Cl ⁡ ( g ) ∈ Cl ⁡ ( G ) 1 | C G ( g ) | = | Z ( G ) | + | G | ∑ Cl ⁡ ( g ) ∈ Cl ⁡ ( G ) ∖ { { c } : c ∈ Z ⁡ ( G ) } 1 | C G ( g ) | {\displaystyle |G|=\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}|{\operatorname {Cl} }(g)|=|G|\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}=|{\operatorname {Z} }(G)|+|G|\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)\setminus \{\{c\}\colon c\in \operatorname {Z} (G)\}}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}} 여기서 C G ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(-)} 는 중심화 부분군이며, Z ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Z} (-)} 는 군의 중심이다. 특히, 1 = ∑ Cl ⁡ ( g ) ∈ Cl ⁡ ( G ) 1 | C G ( g ) | {\displaystyle 1=\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}} 이므로, 이는 1의 이집트 분수 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, 아벨 군의 경우 이러한 이집트 분수 분해는 1 = 1 | G | + 1 | G | + ⋯ + 1 | G | ⏟ | G | {\displaystyle 1=\underbrace {{\frac {1}{|G|}}+{\frac {1}{|G|}}+\dotsb +{\frac {1}{|G|}}} _{|G|}} 이다. G {\displaystyle G} 가 콤팩트 리 군이라고 하자. 이 경우, G {\displaystyle G} 는 항상 극대 원환면 T ≤ G {\displaystyle T\leq G} 을 가지며, 모든 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 는 T {\displaystyle T} 의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 켤레류와 T {\displaystyle T} 의 교집합은 T {\displaystyle T} 의 어떤 원소 t ∈ T {\displaystyle t\in T} 의 바일 군 궤도와 같다. ∀ g ∈ G ∃ t ∈ T : Cl ⁡ ( g ) ∩ T = Weyl ⁡ ( T , G ) ⋅ t {\displaystyle \forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname {Cl} (g)\cap T=\operatorname {Weyl} (T,G)\cdot t} 다시 말해, G {\displaystyle G} 의 켤레류들의 공간은 몫공간인 오비폴드 Cl ⁡ ( G ) ≅ T / Weyl ⁡ ( T , G ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (G)\cong T/\operatorname {Weyl} (T,G)} 와 표준적인 일대일 대응을 갖는다. 특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 리 대수의 원소)의 ‘켤레류’는 카르탕 부분 대수의 바일 군 궤도, 즉 바일 방의 원소가 된다. 아벨 군 G {\displaystyle G} 의 경우, 켤레류는 (자명하게) 한원소 집합이며, 따라서 Cl ⁡ ( G ) ≅ G {\displaystyle \operatorname {Cl} (G)\cong G} 이다. n {\displaystyle n} 차 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 을 생각하자. 그 원소가 다음과 같은 꼴의 순환 분해를 갖는다고 하자. ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , n 1 ) ( a 2 , 1 ⋯ a 2 , n 2 ) ⋯ ( a k , 1 ⋯ a k , n k ) {\displaystyle (a_{1,1}\dotsm a_{1,n_{1}})(a_{2,1}\dotsm a_{2,n_{2}})\dotsb (a_{k,1}\dotsm a_{k,n_{k}})} 즉, k {\displaystyle k} 개의 순환이 존재한다. 각 순환의 길이는 n 1 , n 2 , … , n k {\displaystyle n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}} 이다. 편의상 1 ≤ n 1 ≤ n 2 ≤ … ≤ n k {\displaystyle 1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \dotsc \leq n_{k}} 이며 ∑ i = 1 k n i = n {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}=n} 이라고 하자. 즉, ( n 1 , n 2 , … , n k ) {\displaystyle (n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k})} 는 n {\displaystyle n} 의 자연수 분할을 이룬다. 그렇다면, 대칭군의 두 원소 g {\displaystyle g} , h {\displaystyle h} 에 대하여, 만약 k ( g ) = k ( h ) {\displaystyle k(g)=k(h)} n i ( g ) = n i ( h ) ∀ i ∈ { 1 , … , k ( g ) } {\displaystyle n_{i}(g)=n_{i}(h)\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,k(g)\}} 일 경우, 두 원소가 같은 순환형(영어: cycle type)이라고 하자. 그렇다면, 대칭군에서, 두 원소가 켤레 동치일 필요 충분 조건은 같은 순환형을 갖는 것이다. 즉, 그 켤레류의 집합은 다음과 같다. Cl ⁡ ( Sym ⁡ ( n ) ) ≅ Part ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (\operatorname {Sym} (n))\cong \operatorname {Part} (n)} 여기서 우변은 n {\displaystyle n} 의 자연수 분할들의 집합이다. 자연수 분할 ( n 1 , n 2 , … , n k ) {\displaystyle (n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k})} 이 주어졌을 때, a ( p ) = | { i ∈ { 1 , … , k } : p = n i } | ∈ N {\displaystyle a(p)=|\{i\in \{1,\dotsc ,k\}\colon p=n_{i}\}|\in \mathbb {N} } 를 정의하자. 그렇다면, 이 자연수 분할에 대응하는 켤레류의 크기는 n ! ∏ p = 1 n a ( p ) ! p a ( p ) {\displaystyle {\frac {n!}{\prod _{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}}}} 이다. 다시 말해, 이 자연수 분할에 대응하는 중심화 부분군의 크기는 ∏ p = 1 n a ( p ) ! p a ( p ) {\displaystyle \prod _{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}} 이다. 리 군 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 를 생각하자. 기하학적으로, 이는 3차원 초구 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 와 미분 동형이다. 이 경우, 극대 원환면은 (1차원) 원군 T = U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle T=\operatorname {U} (1)} 이며, 이는 2×2 대각 행렬의 부분군 T = { ( exp ⁡ ( i θ ) 0 0 exp ⁡ ( − i θ ) ) : θ ∈ R } ≤ { M ∈ GL ⁡ ( 2 ; C ) : det M = 1 , M † M = 1 2 × 2 } = SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle T=\left\{{\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}\colon \theta \in \mathbb {R} \right\}\leq \left\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {C} )\colon \det M=1,\;M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\right\}=\operatorname {SU} (2)} 으로 여길 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 대칭군이며, 그 두 원소 가운데 항등원이 아닌 것은 원군 위에 다음과 같이 작용한다. θ ↦ − θ {\displaystyle \theta \mapsto -\theta } 즉, SU(2)의 켤레류들의 공간은 반원 θ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} 에 해당한다. 구체적으로, 행렬군 위에서 대각합과 행렬식은 유함수이다. SU(2)의 경우 행렬식은 물론 상수 함수 1이지만, 그 대각합은 자명하지 않으며, 사실 켤레류는 대각합으로 완전히 결정된다. 즉, tr ⁡ ( exp ⁡ ( i θ ) 0 0 exp ⁡ ( − i θ ) ) = 2 cos ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}=2\cos \theta } 이므로, 대각합의 값은 [ − 2 , + 2 ] {\displaystyle [-2,+2]} 의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘위도’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘경도’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 ± 2 {\displaystyle \pm 2} 가 되는 경우, 즉 θ ∈ { 0 , π } {\displaystyle \theta \in \{0,\pi \}} 인 경우이며, 이 경우 켤레류는 한원소 집합 { ± 1 2 × 2 } {\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}} 이다. 켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.:Table 1 정확히 n {\displaystyle n} 개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A73043) 1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, … Carmina, A. R.; Carmina, R. D. “The influence of conjugacy class sizes on the structure of finite groups: a survey” (PDF) (영어).  Artin, Michael (2011). 《Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-241377-0.  López, Antonio Vera; López, Juan Vera (1985년 12월). “Classification of finite groups according to the number of conjugacy classes”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) (4): 305–338. doi:10.1007/BF02764723. ISSN 0021-2172.  “Conjugate elements”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Conjugacy class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Number of conjugacy classes”. 《Groupprops》 (영어).