동형 정리

추상대수학에서 동형 정리(同型定理, 영어: isomorphism theorem)는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다.:§II.6 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다. 대수 구조 ( S , F ) {\displaystyle (S,F)} 는 집합 S {\displaystyle S} 와, S × n → S {\displaystyle S^{\times n}\to S} 꼴의 함수들의 집합 F {\displaystyle F} 의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다. 대수 준동형 ϕ : A → B {\displaystyle \phi \colon A\to B} 에 대하여, 다음 명제들이 성립한다. ϕ ( A ) ⊂ B {\displaystyle \phi (A)\subset B} 는 B {\displaystyle B} 의 부분대수이다. a ∼ b ⟺ ϕ ( a ) = ϕ ( b ) {\displaystyle a\sim b\iff \phi (a)=\phi (b)} 는 A {\displaystyle A} 위의 합동 관계이다. ϕ / ∼ : A / ∼→ ϕ ( A ) {\displaystyle \phi /\sim \colon A/\sim \to \phi (A)} 는 대수의 동형 사상이다. 대수 ( A , F ) {\displaystyle (A,F)} 및 부분대수 ( B , F | B ) ⊂ ( A , F ) {\displaystyle (B,F|_{B})\subset (A,F)} 및 A {\displaystyle A} 위의 합동 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다. ∼ | B {\displaystyle \sim |_{B}} 는 B {\displaystyle B} 위의 합동 관계이다. B ∼ = { a ∈ A | [ a ] ∩ B ≠ ∅ } {\displaystyle B^{\sim }=\{a\in A|[a]\cap B\neq \varnothing \}} 가 B {\displaystyle B} 와 겹치는 ∼ {\displaystyle \sim } -동치류들의 원소들의 집합이라고 하자. 그렇다면 B ∼ {\displaystyle B^{\sim }} 은 A {\displaystyle A} 의 부분대수이다. B ∼ / ∼ | B ∼ {\displaystyle B^{\sim }/\sim |_{B^{\sim }}} 은 B / ∼ | B {\displaystyle B/\sim |_{B}} 와 동형이다. 대수 A {\displaystyle A} 위에 두 합동 관계 ∼ 1 , ∼ 2 {\displaystyle \sim _{1},\sim _{2}} 가 주어졌으며, a ∼ 1 b {\displaystyle a\sim _{1}b} 라면 a ∼ 2 b {\displaystyle a\sim _{2}b} 이라고 하자. 즉, ∼ 1 {\displaystyle \sim _{1}} 이 ∼ 2 {\displaystyle \sim _{2}} 보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다. A / ∼ 1 {\displaystyle A/\sim _{1}} 위의 이항 관계 ∼ 2 / ∼ 1 {\displaystyle \sim _{2}/\sim _{1}} 를 [ a ] ∼ 2 / ∼ 1 [ b ] ⟺ a ∼ 2 b {\displaystyle [a]\sim _{2}/\sim _{1}[b]\iff a\sim _{2}b} 로 정의하자. 그렇다면 ∼ 2 / ∼ 1 {\displaystyle \sim _{2}/\sim _{1}} 는 A / ∼ 1 {\displaystyle A/\sim _{1}} 위의 합동 관계이다. ( A / ∼ 1 ) / ( ∼ 2 / ∼ 1 ) {\displaystyle (A/\sim _{1})/(\sim _{2}/\sim _{1})} 는 A / ∼ 2 {\displaystyle A/\sim _{2}} 과 동형이다. 위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다. 군 준동형 ϕ : G → L {\displaystyle \phi \colon G\to L} 에 대하여, ϕ ( G ) ≤ L {\displaystyle \phi (G)\leq L} ker ⁡ ϕ ⊲ G {\displaystyle \ker \phi \vartriangleleft G} G / ker ⁡ ϕ ≅ ϕ ( G ) {\displaystyle G/\ker \phi \cong \phi (G)} 군 G {\displaystyle G} 및 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 및 정규 부분군 N ⊲ G {\displaystyle N\vartriangleleft G} 에 대하여, H ∩ N ⊲ H {\displaystyle H\cap N\vartriangleleft H} H N ≤ G {\displaystyle HN\leq G} ( H N ) / N ≅ H / ( H ∩ N ) {\displaystyle (HN)/N\cong H/(H\cap N)} 군 G {\displaystyle G} 및 정규 부분군 N 1 ≤ N 2 ⊲ G {\displaystyle N_{1}\leq N_{2}\vartriangleleft G} 에 대하여, N 2 / N 1 ⊲ G / N 1 {\displaystyle N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1}} ( G / N 1 ) / ( N 2 / N 1 ) ≅ G / N 2 {\displaystyle (G/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong G/N_{2}} 환 준동형 ϕ : R → S {\displaystyle \phi \colon R\to S} 에 대하여, ϕ ( R ) {\displaystyle \phi (R)} 는 S {\displaystyle S} 의 부분환이다. ker ⁡ ϕ {\displaystyle \ker \phi } 는 R {\displaystyle R} 의 아이디얼이다. R / ker ⁡ ϕ ≅ ϕ ( R ) {\displaystyle R/\ker \phi \cong \phi (R)} 환 R {\displaystyle R} 및 부분환 S ⊂ R {\displaystyle S\subset R} 및 아이디얼 a ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R} 에 대하여, S ∩ a {\displaystyle S\cap {\mathfrak {a}}} 는 S {\displaystyle S} 의 아이디얼이다. S + a {\displaystyle S+{\mathfrak {a}}} 는 R {\displaystyle R} 의 부분환이다. ( S + a ) / a ≅ S / ( S ∩ a ) {\displaystyle (S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}\cong S/(S\cap {\mathfrak {a}})} 환 R {\displaystyle R} 및 아이디얼 a 1 ⊂ a 2 ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset R} 에 대하여, a 2 / a 1 {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1}} 은 R / a 1 {\displaystyle R/{\mathfrak {a}}_{1}} 의 아이디얼이다. ( R / a 1 ) / ( a 2 / a 1 ) ≅ R / a 2 {\displaystyle (R/{\mathfrak {a}}_{1})/({\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1})\cong R/{\mathfrak {a}}_{2}} 모든 가군은 주어진 환 R {\displaystyle R} 에 대한 왼쪽 가군이다. 가군 준동형 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 에 대하여, ϕ ( M ) {\displaystyle \phi (M)} 은 N {\displaystyle N} 의 부분가군이다. ker ⁡ ϕ {\displaystyle \ker \phi } 는 M {\displaystyle M} 의 부분가군이다. M / ker ⁡ ϕ ≅ ϕ ( M ) {\displaystyle M/\ker \phi \cong \phi (M)} 가군 M {\displaystyle M} 의 부분가군 N , P ⊂ M {\displaystyle N,P\subset M} 에 대하여, N ∩ P {\displaystyle N\cap P} 는 N {\displaystyle N} 의 부분가군이다. ( N + P ) / P {\displaystyle (N+P)/P} 는 M / N {\displaystyle M/N} 의 부분가군이다. 따라서, N + P {\displaystyle N+P} 는 M {\displaystyle M} 의 부분가군이다. ( N + P ) / P ≅ N / ( N ∩ P ) {\displaystyle (N+P)/P\cong N/(N\cap P)} 가군 M {\displaystyle M} 의 부분가군 N 1 ⊂ N 2 ⊂ M {\displaystyle N_{1}\subset N_{2}\subset M} 에 대하여, N 2 / N 1 {\displaystyle N_{2}/N_{1}} 은 M / N 1 {\displaystyle M/N_{1}} 의 부분가군이다. ( M / N 1 ) / ( N 2 / N 1 ) ≅ M / N 2 {\displaystyle (M/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong M/N_{2}} 에미 뇌터가 1927년에 증명하였다. Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 2022년 7월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2022년 8월 8일에 확인함.  Noether, Emmy (1927). “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 96: 26–61. doi:10.1007/BF01209152. ISSN 0025-5831. 2014년 9월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 19일에 확인함.  McLarty, Colin (2006). 〈Emmy Noether’s ‘set theoretic’ topology: from Dedekind to the rise of functors〉 (PDF). Jeremy Gray, José Ferreirós. 《The architecture of modern mathematics: essays in history and philosophy》 (영어). Oxford University Press. 211–35쪽. Zbl 1129.01010.  Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. Zbl 1037.00003.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Weisstein, Eric Wolfgang. “First Group Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Group Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Third Group Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “First Ring Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Ring Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Third Ring Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  준동형 정리