미분 형식

미분기하학에서 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 d x {\displaystyle dx} , d y {\displaystyle dy} 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, p {\displaystyle p} 차원의 다양체에서는 p {\displaystyle p} -형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 은 n {\displaystyle n} 차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원 벡터 다발 ⋀ T ∗ M {\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M} 을 얻는다. 그 단면을 M {\displaystyle M} 위의 미분 형식이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자. Ω ( M ) = Γ ( ⋀ T ∗ M ) {\displaystyle \Omega (M)=\Gamma \left(\bigwedge \mathrm {T} ^{*}M\right)} 외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다. ⋀ T ∗ M = ⨁ k = 0 n ⋀ k T ∗ M {\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M=\bigoplus _{k=0}^{n}\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M} Ω ( M ) = ⨁ k = 0 n Ω n ( M ) = ⨁ Γ ( ⋀ k T ∗ M ) {\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{k=0}^{n}\Omega ^{n}(M)=\bigoplus \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M\right)} k {\displaystyle k} 차 미분 형식은 Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} 의 매끄러운 단면이다. 미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. n {\displaystyle n} 차원 다양체에 국소적 좌표계 { x i } i = 1 , … , n {\displaystyle \{x^{i}\}_{i=1,\dots ,n}} 를 잡으면, { d x i } i = 1 , … , n {\displaystyle \{dx^{i}\}_{i=1,\dots ,n}} 는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) A = 1 k ! A i 1 … i k d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}} 이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 g {\displaystyle g} 에 의한 부피 형식은 ω = det ( g i j ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n = 1 k ! ϵ i 1 … i n det ( g i j ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle \omega ={\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}={\frac {1}{k!}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}{\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}} 이므로, ω i 1 … i n = det ( g i j ) ϵ i 1 … i n {\displaystyle \omega _{i_{1}\dots i_{n}}={\sqrt {\det(g_{ij})}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}} 이 된다. 국소 볼록 공간 E {\displaystyle E} 가 주어졌을 때, 국소적으로 E {\displaystyle E} 와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을 E {\displaystyle E} -다양체라고 하자. 이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다. E {\displaystyle E} -다양체 M {\displaystyle M} 위의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:Definition Ⅰ.4.1 각 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, 완전 반대칭 k {\displaystyle k} -선형 변환 ω x : ⋀ k T x M → R {\displaystyle \omega _{x}\colon \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R} } 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 열린집합 U ⊆ M {\displaystyle U\subseteq M} 위의 국소 좌표 ϕ : U → E {\displaystyle \phi \colon U\to E} 에 대하여, ω ∘ U − 1 : U × ⋀ k E → R {\displaystyle \omega \circ U^{-1}\colon U\times \textstyle \bigwedge ^{k}E\to \mathbb {R} } 는 매끄러운 함수이다. 이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다. 미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다. 미분 형식의 쐐기곱(영어: wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} 과 β , β ′ ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \beta ,\beta '\in \Omega ^{l}(M)} , f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} 에 대하여, f ∧ α = f α {\displaystyle f\wedge \alpha =f\alpha } (분배법칙) α ∧ ( β + β ′ ) = α ∧ β + α ∧ β ′ {\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\beta ')=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \beta '} (반대칭성) α ∧ β = ( − 1 ) k l β ∧ α {\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kl}\beta \wedge \alpha } 성분으로 적으면 다음과 같다. ( 1 k ! A i 1 … i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) ∧ ( 1 l ! B j 1 … j l d x j 1 ∧ ⋯ ∧ d x j l ) = 1 ( k + l ) ! 1 k ! l ! A [ i 1 … i k B j 1 … j l ] d x i 1 ∧ ⋯ d x i k ∧ d x j 1 ∧ d x j l {\displaystyle \left({\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\wedge \left({\frac {1}{l!}}B_{j_{1}\dots j_{l}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{l}}\right)={\frac {1}{(k+l)!}}{\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge dx^{j_{l}}} ( A ∧ B ) i 1 … i k j 1 … j l = 1 k ! l ! A [ i 1 … i k B j 1 … j l ] {\displaystyle (A\wedge B)_{i_{1}\dots i_{k}j_{1}\dots j_{l}}={\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}} 여기서 [ … ] {\displaystyle [\dots ]} 는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 의 쐐기곱은 ( A ∧ B ) i j k l = A i j B k l − A j k B l i + A k l B i j − A l i B j k − A i k B j l − A j l B i k {\displaystyle (A\wedge B)_{ijkl}=A_{ij}B_{kl}-A_{jk}B_{li}+A_{kl}B_{ij}-A_{li}B_{jk}-A_{ik}B_{jl}-A_{jl}B_{ik}} 이다. 미분 형식의 외미분(外微分, 영어: Exterior derivative)은 d : Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ + 1 ( M ) {\displaystyle d\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)} 은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다. 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다. 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} 에 대하여, d f = ∑ i = 1 n ( ∂ f / ∂ x i ) d x i {\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}(\partial f/\partial x^{i})dx^{i}} 이다. 모든 0차 형식에 대해, d 2 f = 0 {\displaystyle d^{2}f=0} 이다. 임의의 α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} , β ∈ Ω ∙ ( M ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{\bullet }(M)} 에 대하여 d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ d β {\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta } 이다. 성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식 A = 1 k ! A i 1 … i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}} 에 대하여, d A = 1 k ! ( ∂ i 0 A i 1 … i k ) d x i 0 ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = 1 ( k + 1 ) ! k ! ( ∂ [ i 0 A i 1 … i k ] ) d x i 0 ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle dA={\frac {1}{k!}}(\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {1}{(k+1)!k!}}(\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}} 이다. 즉, ( d A ) i 0 … i k = 1 k ! ∂ [ i 0 A i 1 … i k ] = ∂ i 0 A i 1 … i k − ∂ i 1 A i 0 i 2 … i k + ∂ i 2 A i 1 i 0 i 3 … i k + ⋯ + ( − 1 ) p ∂ i p A i 1 i 2 … i p − 1 i 0 i p + 1 … i k + ⋯ + ( − ) k ∂ i k A i 1 … i k − 1 i 0 {\displaystyle (dA)_{i_{0}\dots i_{k}}={\frac {1}{k!}}\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]}=\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}}-\partial _{i_{1}}A_{i_{0}i_{2}\dots i_{k}}+\partial _{i_{2}}A_{i_{1}i_{0}i_{3}\dots i_{k}}+\cdots +(-1)^{p}\partial _{i_{p}}A_{i_{1}i_{2}\dots i_{p-1}i_{0}i_{p+1}\dots i_{k}}+\cdots +(-)^{k}\partial _{i_{k}}A_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{0}}} 이다. 여기서 [ ⋯ ] {\displaystyle [\cdots ]} 는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우 A = A i d x i {\displaystyle A=A_{i}dx^{i}} d A = 1 2 ( ∂ i A j − ∂ j A i ) d x i ∧ d x j = 1 2 ( d A ) i j d x i ∧ d x j {\displaystyle dA={\frac {1}{2}}(\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i})dx^{i}\wedge dx^{j}={\frac {1}{2}}(dA)_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}} ( d A ) i j = ∂ i A j − ∂ j A i {\displaystyle (dA)_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}} 이고, 2차 형식의 경우 A = 1 2 A i j d x i ∧ d x j {\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}} d A = 1 6 ( ∂ i A j k + ∂ j A k i + ∂ k A i j ) d x i ∧ d x j ∧ d x k = 1 6 ( d A ) i j k d x i ∧ d x j ∧ d x k {\displaystyle dA={\frac {1}{6}}(\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij})dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}={\frac {1}{6}}(dA)_{ijk}dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}} ( d A ) i j k = ∂ i A j k + ∂ j A k i + ∂ k A i j {\displaystyle (dA)_{ijk}=\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij}} 이다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에 방향 및 n {\displaystyle n} 차 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 가 주어졌다면, α {\displaystyle \alpha } 의 적분 ∫ M α ∈ R ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle \int _{M}\alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} 을 정의할 수 있다. 구체적으로, M {\displaystyle M} 의 좌표근방계 { ( U i , ϕ i ) } i ∈ I {\displaystyle \{(U_{i},\phi _{i})\}_{i\in I}} 및 이에 종속되는 단위 분할 { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 ( ϕ i − 1 ) ∗ {\displaystyle (\phi _{i}^{-1})^{*}} 으로서 각 ϕ i ( U i ) ⊂ R n {\displaystyle \phi _{i}(U_{i})\subset \mathbb {R} ^{n}} 에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 n {\displaystyle n} 차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형 Ω n ( ϕ i ( U i ) ) → ι Ω 0 ( ϕ i ( U i ) ) = C ∞ ( ϕ i ( U i ) , R ) {\displaystyle \Omega ^{n}(\phi _{i}(U_{i})){\xrightarrow {\iota }}\Omega ^{0}(\phi _{i}(U_{i}))={\mathcal {C}}^{\infty }(\phi _{i}(U_{i}),\mathbb {R} )} 을 정의할 수 있다. 그렇다면 ∫ M = ∑ i ∈ I ∫ ϕ i ( U i ) ι ( ( ϕ i − 1 ) ∗ α ) d n λ {\displaystyle \int _{M}=\sum _{i\in I}\int _{\phi _{i}(U_{i})}\iota \left((\phi _{i}^{-1})^{*}\alpha \right)\,d^{n}\lambda } 이다. 여기서 ∫ d n λ {\displaystyle \int d^{n}\lambda } 는 n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 − 1 {\displaystyle -1} 배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다. 만약 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에 (유사) 리만 계량 g {\displaystyle g} 가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : Ω ∙ ( M ) × Ω ∙ ( M ) → Ω 0 ( M ) {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Omega ^{\bullet }(M)\times \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{0}(M)} 을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다. 내적은 쌍선형이다. 임의의 k {\displaystyle k} 개의 1차 형식 η i {\displaystyle \eta _{i}} , η j ′ {\displaystyle \eta '_{j}} 에 대하여, ⟨ η 1 ∧ ⋯ ∧ η k , η 1 ′ ∧ ⋯ ∧ η k ′ ⟩ = det ( g ( η i , η j ) ) i j {\displaystyle \langle \eta _{1}\wedge \dots \wedge \eta _{k},\eta '_{1}\wedge \dots \wedge \eta '_{k}\rangle =\det(g(\eta _{i},\eta _{j}))_{ij}} 이다. 즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자) ⟨ 1 k ! A i 1 … i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i n , 1 k ! B j 1 … j k d x j 1 ∧ ⋯ ∧ d x j k ⟩ = 1 k ! A i 1 … i k B j 1 … j k g i 1 j 1 … g i k j k {\displaystyle \left\langle {\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}},{\frac {1}{k!}}B_{j_{1}\dots j_{k}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}\right\rangle ={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{k}}g^{i_{1}j_{1}}\dots g^{i_{k}j_{k}}} 이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다. ⟨ ω , ω ⟩ = 1 n ! ( det g ) ϵ i 1 … i n ϵ j 1 … j n g i 1 j 1 … g i n j n = 1 {\displaystyle \langle \omega ,\omega \rangle ={\frac {1}{n!}}(\det g)\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dots g^{i_{n}j_{n}}=1} . n {\displaystyle n} 차원 유향 (유사) 리만 다양체 ( M , g , ω ) {\displaystyle (M,g,\omega )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다. ∗ : Ω ∙ ( M ) → Ω n − ∙ ( M ) {\displaystyle *\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{n-\bullet }(M)} 이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다. α ∧ ∗ β = ⟨ α , β ⟩ ω {\displaystyle \alpha \wedge *\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega } 성분으로 쓰면 다음과 같다. ( ∗ A ) j k + 1 … j n = 1 k ! | det g | α i 1 … i k ϵ j 1 … j n g i 1 j 1 ⋯ g i k j k {\displaystyle (*A)_{j_{k+1}\dots j_{n}}={\frac {1}{k!}}{\sqrt {|\det g|}}\alpha _{i_{1}\dots i_{k}}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}} 예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 ( ∗ A ) k l = 1 2 | det g | ϵ i j k l A i ′ j ′ g i i ′ g j j ′ {\displaystyle (*A)_{kl}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}} 이다. 미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다. 다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다. 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Lessig, Christian (2012년 5월 20일). “A Primer on Differential Forms” (영어). arXiv:1206.3323. Bibcode:2012arXiv1206.3323L.  Neeb, Karl-Hermann (2006). “Towards a Lie theory of locally convex groups”. 《Japanese Journal of Mathematics》 (영어) 1: 291-468. arXiv:1501.06269.  켈러 미분 드람 코호몰로지 복소 미분 형식 “Differential form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Differential form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Differential form”. 《nLab》 (영어).  “Integration of differential forms”. 《nLab》 (영어).  “Pullback of a differential form”. 《nLab》 (영어). [깨진 링크(과거 내용 찾기)] 이철희. “미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학”. 《수학노트》.  이철희. “미분형식과 맥스웰 방정식”. 《수학노트》.