파피안

선형대수학에서 파피안(영어: Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌으며, K {\displaystyle K} 계수의 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 실수 반대칭 정사각 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( 2 n , 2 n ; K ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;K)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 의 파피안 pf ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {pf} (A)} 는 다음과 같다. pf ⁡ A = 1 2 n n ! ∑ σ ∈ Sym ⁡ ( 2 n ) sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n A σ ( 2 i − 1 ) , σ ( 2 i ) ∈ K {\displaystyle \operatorname {pf} A={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2n)}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\in K} 여기서 Sym ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (2n)} 은 { 1 , 2 , … , 2 n } {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,2n\}} 의 순열들의 집합이다. sgn ⁡ ( σ ) ∈ { ± 1 } {\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )\in \{\pm 1\}} 는 순열의 부호수이다. 위 공식을 따르면, K {\displaystyle K} 에서 n ! {\displaystyle n!} 의 역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이 2 n n ! {\displaystyle 2^{n}n!} 번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로, { 1 , 2 , … , 2 n } {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,2n\}} 의 분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을 π ( 2 n ) {\displaystyle \pi (2n)} 이라고 하자. 그 크기는 | π ( 2 n ) | = ( 2 n ) ! 2 n n ! {\displaystyle |\pi (2n)|={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}} 이다. π ( 2 n ) {\displaystyle \pi (2n)} 의 원소는 표준적으로 a = { { a ( 1 ) , a ( 2 ) } , { a ( 3 ) , a ( 4 ) } , … , { a ( 2 n − 1 ) , a ( 2 n ) } } {\displaystyle a=\{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dotsc ,\{a(2n-1),a(2n)\}\}} ∀ k : a ( 2 k ) < a ( 2 k + 1 ) {\displaystyle \forall k\colon a(2k)<a(2k+1)} a ( 1 ) < a ( 3 ) < a ( 5 ) < ⋯ < a ( 2 k − 1 ) {\displaystyle a(1)<a(3)<a(5)<\dotsb <a(2k-1)} 의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열 { 1 , … , 2 n } → { 1 , … , 2 n } {\displaystyle \{1,\dotsc ,2n\}\to \{1,\dotsc ,2n\}} k ↦ a ( k ) {\displaystyle k\mapsto a(k)} 로 간주했을 때, 이는 포함 사상 π ( 2 n ) ↪ Sym ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \pi (2n)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (2n)} 을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다. pf ⁡ A = ∑ a ∈ π ( 2 n ) sgn ⁡ ( a ) A a ( 1 ) , a ( 2 ) A a ( 3 ) , a ( 4 ) ⋯ A a ( 2 n − 1 ) , a ( 2 n ) ∈ K {\displaystyle \operatorname {pf} A=\sum _{a\in \pi (2n)}\operatorname {sgn} (a)A_{a(1),a(2)}A_{a(3),a(4)}\dotsm A_{a(2n-1),a(2n)}\in K} 실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다. 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 실수 반대칭 정사각 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( 2 n , 2 n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;\mathbb {R} )} 의 고윳값이 ± i λ 1 , … , ± i λ n {\displaystyle \pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}} 이라고 하자. 그렇다면 A {\displaystyle A} 의 파피안 pf ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {pf} (A)} 는 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다. pf ⁡ A = pf ⁡ [ 0 λ 1 − λ 1 0 0 ⋯ 0 0 0 λ 2 − λ 2 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 λ n − λ n 0 ] = λ 1 λ 2 ⋯ λ n {\displaystyle \operatorname {pf} A=\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}} 파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다. pf ⁡ [ 0 a b c − a 0 d e − b − d 0 f − c − e − f 0 ] = a f − b e + d c {\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc} . 짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 ± i λ 1 , … , ± i λ n {\displaystyle \pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}} 의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다. det A = λ 1 2 λ 2 2 ⋯ λ n 2 = ( pf ⁡ A ) 2 {\displaystyle \det A=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\cdots \lambda _{n}^{2}=\left(\operatorname {pf} A\right)^{2}} 홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다. 짝수 차원 반대칭 행렬 A {\displaystyle A} 는 다음과 같이 2차 미분 형식 ω {\displaystyle \omega } 로 나타낼 수 있다. ω = 1 2 ∑ i = 1 2 n ∑ j = 1 2 n A i j d x i ∧ d x j {\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}} . 그렇다면 그 파피안은 다음과 같다. ω n / n ! = pf ⁡ ( A ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x 2 n {\displaystyle \omega ^{n}/n!=\operatorname {pf} (A)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{2n}} 파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며, 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다. 행렬식 폴리오미노 통계역학 Cayley, Arthur (1852). “On the theory of permutants”. 《Cambridge and Dublin Mathematical Journal》 (영어) 7: 40–51.  “Pfaffian”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Pfaffian”. 《nLab》 (영어).