켈렌-레만 스펙트럼 표현

양자장론에서 켈렌-레만 스펙트럼 표현(Källén–Lehmann spectral representation)은 상호작용하는 양자장론의 2점 함수의 특이점들을 이론에 존재하는 상태들의 정지 질량들의 스펙트럼으로 표현하는 공식이다. 스웨덴의 군나르 켈렌(스웨덴어: Gunnar Källén)이 1952년에 도입하고, 독일의 해리 레만(독일어: Harry Lehmann)이 1954년에 개량하였다. 푸앵카레 대칭을 깨지 않는 양자장론에서 에르미트 스칼라장 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 를 생각하자. 이 스칼라장은 자유장이 아니고 상호작용하는 이론의 하이젠베르크 묘사로 나타난나고 하자. 그렇다면 이 입자의 2점 함수의 켈렌-레만 스펙트럼 표현은 다음과 같다. ⟨ 0 | T [ ϕ ( x ) ϕ ( y ) ] | 0 ⟩ = ∫ 0 ∞ d M 2 2 π ρ ( M 2 ) Δ F ( x − y ; M ) {\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle =\int _{0}^{\infty }{\frac {dM^{2}}{2\pi }}\rho (M^{2})\Delta _{\text{F}}(x-y;M)} . 여기서 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 는 상호작용하는 장의 진공이고, Δ F ( x − y ; M ) {\displaystyle \Delta _{\text{F}}(x-y;M)} 은 질량 M {\displaystyle M} 을 갖는 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자다. ρ ( M 2 ) {\displaystyle \rho (M^{2})} 는 이론에 따라 다른 함수로, 스펙트럼 밀도(spectral density)라고 한다. 스펙트럼 함수 ρ ( M 2 ) {\displaystyle \rho (M^{2})} 의 디랙 델타 함수 꼴의 특이점은 하나의 입자를 포함하는 상태들이다. 스펙트럼 함수가 0이 아니고 연속적인 부분들은 다입자 상태들을 나타낸다. 스핀을 가지는 장의 경우에도 유사한 스펙트럼 표현이 존재한다. 푸앵카레 대칭을 따르고 (푸앵카레 자발 대칭 깨짐이 일어나지 않고), 진공 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 을 가진 양자장론을 생각하자. ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 가 국소 에르미트 로런츠 스칼라 연산자라고 하자. 이 연산자는 병진 변환을 사용하여 ϕ ( x ) = exp ⁡ ( i P ^ ⋅ x ) ϕ ( 0 ) exp ⁡ ( − i P ^ ⋅ x ) {\displaystyle \phi (x)=\exp(i{\hat {P}}\cdot x)\phi (0)\exp(-i{\hat {P}}\cdot x)} 로 나타낼 수 있다. 여기서 P ^ μ {\displaystyle {\hat {P}}^{\mu }} 는 사차원 운동량 연산자이다. U ( Λ ) {\displaystyle U(\Lambda )} 가 로런츠 변환이라고 하자. ϕ {\displaystyle \phi } 는 로런츠 스칼라라고 가정하였으므로, U ( Λ ) ϕ ( x ) U − 1 ( Λ ) = ϕ ( Λ ν μ x ν ) {\displaystyle U(\Lambda )\phi (x)U^{-1}(\Lambda )=\phi (\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu })} 이다. 여기서 Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }} 는 x ν {\displaystyle x^{\nu }} 에 대한 로런츠 변환 행렬이다. | λ p ⟩ {\displaystyle |\lambda _{\mathbf {p} }\rangle } 가, 총 사차원 운동량이 p μ = ( E p , p ) = ( m 2 + p 2 , p ) {\displaystyle p^{\mu }=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )=({\sqrt {m^{2}+\mathbf {p} ^{2}}},\mathbf {p} )} 인 상태라고 하자. 그렇다면 P ^ | λ p ⟩ = p μ | λ p ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle =p^{\mu }|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle } 이다. U p {\displaystyle U_{p}} 가 p μ {\displaystyle p^{\mu }} 의 질량 중심 관성계로 변환시키는 로런츠 변환 연산자라고 하자. 즉, U p | λ p ⟩ = | λ 0 ⟩ {\displaystyle U_{p}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle =|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle } 이다. 진공은 푸앵카레 대칭에 대하여 불변이므로, P ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {P}}|0\rangle =0} U p | 0 ⟩ = | 0 ⟩ {\displaystyle U_{p}|0\rangle =|0\rangle } 이다. 따라서 ⟨ 0 | ϕ ( x ) | λ p ⟩ {\displaystyle \langle 0|\phi (x)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle } = ⟨ 0 | exp ⁡ ( i P ^ ⋅ x ) ϕ ( 0 ) exp ⁡ ( − i P ^ ⋅ x ) | λ p ⟩ {\displaystyle =\langle 0|\exp(i{\hat {P}}\cdot x)\phi (0)\exp(-i{\hat {P}}\cdot x)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle } = exp ⁡ ( − i p ⋅ x ) ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | λ p ⟩ {\displaystyle =\exp(-ip\cdot x)\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle } = exp ⁡ ( − i p ⋅ x ) ⟨ 0 | U p − 1 ϕ ( 0 ) U p | λ p ⟩ {\displaystyle =\exp(-ip\cdot x)\langle 0|U_{p}^{-1}\phi (0)U_{p}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle } = exp ⁡ ( − i p ⋅ x ) ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | λ 0 ⟩ {\displaystyle =\exp(-ip\cdot x)\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle } 이다. 또한, ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 의 진공 기댓값이 ⟨ 0 | ϕ ( x ) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle 0|\phi (x)|0\rangle =\langle 0|\phi (0)|0\rangle =0} 이라고 가정하자. (그렇지 않는 경우, ϕ ~ ( x ) = ϕ ( x ) − ⟨ ϕ ⟩ {\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)=\phi (x)-\langle \phi \rangle } 로 장을 재정의할 수 있다.) ϕ {\displaystyle \phi } 의 2점 함수는 다음과 같다. ⟨ 0 | T [ ϕ ( x ) ϕ ( y ) ] | 0 ⟩ {\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle } . 여기에 다음과 같은 단위 연산자 1 ^ = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + ∑ λ ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 2 E p | λ p ⟩ ⟨ λ p | {\displaystyle {\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|+\sum _{\lambda }\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle \langle \lambda _{\mathbf {p} }|} 를 삽입하고, 병진 변환을 사용하면 다음과 같다. ⟨ 0 | T [ ϕ ( x ) ϕ ( y ) ] | 0 ⟩ {\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle } = ∑ λ T [ ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 2 E p ⟨ 0 | ϕ ( x ) | λ p ⟩ ⟨ λ p | ϕ ( y ) | 0 ⟩ ] {\displaystyle =\sum _{\lambda }{\mathcal {T}}\left[\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}\langle 0|\phi (x)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle \langle \lambda _{\mathbf {p} }|\phi (y)|0\rangle \right]} = ∑ λ | ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | λ 0 ⟩ | 2 ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 2 E p exp ⁡ ( i p ⋅ ( y − x ) sgn ⁡ ( x 0 − y 0 ) ) {\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}\exp \left(ip\cdot (y-x)\operatorname {sgn} (x_{0}-y_{0})\right)} 여기에 경로적분법을 역으로 사용하여 ∫ d p 0 / 2 π {\displaystyle \int dp^{0}/2\pi } 를 추가하자. = ∑ λ | ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | λ 0 ⟩ | 2 ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 i p 2 − m λ 2 + i ϵ exp ⁡ ( i p ⋅ ( y − x ) ) {\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p^{2}-m_{\lambda }^{2}+i\epsilon }}\exp \left(ip\cdot (y-x)\right)} = ∑ λ | ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | λ 0 ⟩ | 2 ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 i p 2 − m λ 2 + i ϵ exp ⁡ ( i p ⋅ ( y − x ) ) {\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p^{2}-m_{\lambda }^{2}+i\epsilon }}\exp \left(ip\cdot (y-x)\right)} = ∑ λ | ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | λ 0 ⟩ | 2 Δ F ( x − y ; m λ ) {\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\Delta _{\text{F}}(x-y;m_{\lambda })} . 여기서 Δ F ( x − y ; m λ ) {\displaystyle \Delta _{\text{F}}(x-y;m_{\lambda })} 는 정지 질량이 m λ {\displaystyle m_{\lambda }} 인 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자이다. 이제 스펙트럼 밀도(spectral density) ρ ( M 2 ) {\displaystyle \rho (M^{2})} 를 다음과 같이 정의하자. ρ ( M 2 ) ≡ 2 π ∑ λ | ⟨ 0 | ϕ ( 0 ) | λ 0 ⟩ | 2 δ ( M 2 − m λ 2 ) {\displaystyle \rho (M^{2})\equiv 2\pi \sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\delta (M^{2}-m_{\lambda }^{2})} . 여기서 δ ( ) {\displaystyle \delta ()} 는 디랙 델타 함수이다. 그렇다면 ⟨ 0 | T [ ϕ ( x ) ϕ ( y ) ] | 0 ⟩ = ∫ 0 ∞ d M 2 2 π ρ ( M 2 ) Δ F ( x − y ; M ) {\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle =\int _{0}^{\infty }{\frac {dM^{2}}{2\pi }}\rho (M^{2})\Delta _{\text{F}}(x-y;M)} 이다. 이를 켈렌-레만 스펙트럼 표현이라고 한다. LSZ 축약 공식 Källén, Gunnar (1952). “On the definition of the renormalization constants in quantum electrodynamics”. 《Helvetica Physica Acta》 (영어) (Birkhäuser) 25 (4): 417–434. doi:10.5169/seals-112316.  Lehmann, Harry (1954년 4월 1일). “Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder”. 《Il Nuovo Cimento》 (독일어) 11 (4): 342–357. doi:10.1007/BF02783624.  Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995년 10월). 《An introduction to quantum field theory》 (영어). Westview Press. 211쪽. ISBN 9780201503975. 2014년 9월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 1월 3일에 확인함.