천-사이먼스 이론

이론물리학에서 천-사이먼스 이론([陳]-Simons理論, 영어: Chern–Simons theory)은 3차 천-사이먼스 형식을 작용으로 갖는 3차원 시바르츠형 위상 양자장론이다. 끈 이론과 응집물질물리학, 매듭 이론에서 쓰인다. 천-사이먼스 이론은 미분기하학에서 천-사이먼스 형식을 도입한 두 수학자 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스의 이름에서 유래했다. 다음이 주어졌다고 하자. 유향 콤팩트 3차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 연결 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 G {\displaystyle G} . 그 실수 리 대수를 l i e ( G ) = g {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)={\mathfrak {g}}} 라고 하자. G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 P {\displaystyle P} . M {\displaystyle M} 이 3차원 이하이며, G {\displaystyle G} 가 연결 단일 연결이므로, P {\displaystyle P} 는 항상 자명한 올다발이다. (그러나 P {\displaystyle P} 의 자명화는 일반적으로 표준적으로 주어지지 않는다.) P {\displaystyle P} 위의 주접속의 공간을 Conn ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Conn} (P)} 라고 하자. 이는 g ⊗ Ω 1 ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \Omega ^{1}(M)} 과 동형인 아핀 공간이다. ( P {\displaystyle P} 의 단면을 고른다면 이는 벡터 공간이 된다.) 이 위에는 게이지 변환군 G = C ∞ ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 이 다음과 같은 오른쪽 작용을 갖는다. A ⋅ g = Ad ⁡ ( g − 1 ) A + g − 1 d g {\displaystyle A\cdot g=\operatorname {Ad} (g^{-1})A+g^{-1}\mathrm {d} g} 이에 대한 몫공간 A ( M , G ) = Ω 1 ( M ; g ) C ∞ ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(M,G)={\frac {\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}{{\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}}} 을 정의할 수 있다. 천-사이먼스 범함수(-汎函數, 영어: Chern–Simons functional)는 다음과 같은 함수이다. exp ⁡ ( 2 π i S ) : A ( M , G ) → U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \exp(2\pi \mathrm {i} S)\colon {\mathcal {A}}(M,G)\to \operatorname {U} (1)} 이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다. 우선, A ∈ Conn ⁡ ( P ) {\displaystyle A\in \operatorname {Conn} (P)} 가 주어졌을 때, 다음을 고르자. M {\displaystyle M} 에서 공집합으로 가는 보충 경계 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} . 즉, M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 은 유향 4차원 경계다양체이며, ∂ M ~ = M {\displaystyle \partial {\tilde {M}}=M} 이다. (이러한 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 은 항상 존재한다.) ∂ M ~ {\displaystyle \partial {\tilde {M}}} 의 근방 U {\displaystyle U} 및 미분 동형 U ≅ M × [ 0 , 1 ) {\displaystyle U\cong M\times [0,1)} 매끄러운 단면 s ∈ Γ ( P ) {\displaystyle s\in \Gamma (P)} . 이는 표준적으로 동형 사상 Conn ⁡ ( P ) ≅ Ω 1 ( M ; g ) {\displaystyle \operatorname {Conn} (P)\cong \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} 를 정의한다. 즉, 아핀 공간의 원점을 정의하여 벡터 공간으로 만든다. 따라서 A ∈ Ω 1 ( M ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} 로 간주할 수 있다. 표준적 사영 함수 π : U ≅ M × [ 0 , 1 ) → M {\displaystyle \pi \colon U\cong M\times [0,1)\to M} 에 대하여, A ~ ↾ U = π ∗ A ∈ Ω 1 ( U ; g ) {\displaystyle {\tilde {A}}\upharpoonright U=\pi ^{*}A\in \Omega ^{1}(U;{\mathfrak {g}})} 가 되는 A ~ ∈ Ω 1 ( M ~ ; g ) {\displaystyle {\tilde {A}}\in \Omega ^{1}({\tilde {M}};{\mathfrak {g}})} 그렇다면, 다음을 정의하자. S ( A ) = 1 2 ∫ M ~ tr ⁡ ( F 2 π ∧ F 2 π ) {\displaystyle S(A)={\frac {1}{2}}\int _{\tilde {M}}\operatorname {tr} \left({\frac {F}{2\pi }}\wedge {\frac {F}{2\pi }}\right)} 이 값은 ( M ~ , U , A ~ ) {\displaystyle ({\tilde {M}},U,{\tilde {A}})} 의 선택에 대하여 불변이다. 증명: 우선, ( M ~ ′ , U ′ , A ~ ′ ) {\displaystyle ({\tilde {M}}',U',{\tilde {A}}')} 와 ( M ~ ′ , U ′ , A ~ ′ ) {\displaystyle ({\tilde {M}}',U',{\tilde {A}}')} 를 골랐을 때, 이들을 이어붙여 4차원 콤팩트 매끄러운 다양체 M ¯ = M ~ ∪ M M ~ ′ {\displaystyle {\bar {M}}={\tilde {M}}\cup _{M}{\tilde {M}}'} 를 정의할 수 있으며, 그 위에 A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} 와 A ~ ′ {\displaystyle {\tilde {A}}'} 을 짜깁기하여 A ¯ ∈ Ω 1 ( M ¯ ; g ) {\displaystyle {\bar {A}}\in \Omega ^{1}({\bar {M}};{\mathfrak {g}})} 를 정의할 수 있다. 이 경우 S ( A ; M ~ , U , A ~ ) − S ( A ; M ~ ′ , U ′ , A ~ ′ ) = ∫ M ¯ F A ¯ ∧ F A ¯ {\displaystyle S(A;{\tilde {M}},U,{\tilde {A}})-S(A;{\tilde {M}}',U',{\tilde {A}}')=\int _{\bar {M}}F_{\bar {A}}\wedge F_{\bar {A}}} 가 된다. 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 충실한 표현을 골랐을 때, 이는 M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} 위의, 자명한 주다발에 대응되는 연관 벡터 다발의 2차 천 특성류에 비례한다. 자명한 벡터 다발의 천 특성류는 0이므로, 위 적분은 항상 0이다. 사실, 구체적으로 F 2 = d CS ⁡ [ A ~ ] {\displaystyle F^{2}=\mathrm {d} \operatorname {CS} [{\tilde {A}}]} 가 되는 3차 미분 형식 CS ⁡ [ A ~ ] ∈ Ω 1 ( M ~ ; g ) {\displaystyle \operatorname {CS} [{\tilde {A}}]\in \Omega ^{1}({\tilde {M}};{\mathfrak {g}})} 가 존재하며, 이를 천-사이먼스 형식이라고 한다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 임의의 충실한 행렬 표현에서 이는 다음과 같다. CS ⁡ [ A ] = tr ⁡ ( F ∧ A − 1 3 A ∧ A ∧ A ) {\displaystyle \operatorname {CS} [A]=\operatorname {tr} \left(F\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A\right)} 스토크스 정리에 따라서 S = 1 2 ( 2 π ) 2 ∫ M CS ⁡ [ A ] {\displaystyle S={\frac {1}{2(2\pi )^{2}}}\int _{M}\operatorname {CS} [A]} 이다. S {\displaystyle S} 는 일반적으로 주다발 매끄러운 단면 s ∈ Γ ( P ) {\displaystyle s\in \Gamma (P)} 의 선택에 의존한다. 주다발의 정의에 의하여, Γ ( P ) {\displaystyle \Gamma (P)} 는 게이지 변환군 C ∞ ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 의 주동차 공간(영어: principal homogeneous space, torsor)이다. 즉, 임의의 s , s ′ ∈ Γ ( P ) {\displaystyle s,s'\in \Gamma (P)} 에 대하여 항상 s ′ = s g {\displaystyle s'=sg} 인 게이지 변환 g ∈ C ∞ ( M , G ) {\displaystyle g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 가 존재한다. s {\displaystyle s} 에 게이지 변환을 가하는 것은 A ∈ Ω 1 ( M ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} 에 게이지 변환을 가하는 것과 동치이다. 이 경우, S {\displaystyle S} 는 다음과 같이 변환한다. S [ A ⋅ g ] = S [ A ] + deg ⁡ g {\displaystyle S[A\cdot g]=S[A]+\deg g} 여기서 deg ⁡ g ∈ Z {\displaystyle \deg g\in \mathbb {Z} } 는 다음과 같다. 우선, H 3 ⁡ ( G ; Z ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(G;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} } 이다. 그 생성원의 하나를 α {\displaystyle \alpha } 라고 하자. 그렇다면 deg ⁡ g = ∫ M g ∗ α ∈ Z {\displaystyle \deg g=\int _{M}g^{*}\alpha \in \mathbb {Z} } 가 된다. ( ± α {\displaystyle \pm \alpha } 가운데 하나의 생성원의 선택은 표준적으로 주어진다. 단순 리 군의 경우 원점에서 구조 상수로 주어지는 왼쪽 불변 3차 미분 형식이 존재하며, 이 미분 형식의 양수배로 주어지는 생성원을 고르면 된다.) 따라서, S {\displaystyle S} 는 A = Ω 1 ( M ; g ) / C ∞ ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})/{\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 위에 잘 정의되지 않는다. 그러나 exp ⁡ ( 2 π i S ) : A → U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \exp(2\pi \mathrm {i} S)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {U} (1)} 은 잘 정의된다. 사실, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 범피복 공간 A ~ ≅ Ω 1 ( M ; g ) C ∞ ( M , G ) 1 {\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}\cong {\frac {\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}{{\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)_{1}}}} A ≅ A ~ / Z {\displaystyle {\mathcal {A}}\cong {\tilde {\mathcal {A}}}/\mathbb {Z} } 를 취하자. 여기서 C ∞ ( M , G ) 1 ≤ C ∞ ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)_{1}\leq {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 은 상수 함수와 호모토픽한 원소들로 구성된 부분군(즉, 항등원을 포함하는 연결 성분)이다. 그렇다면 S {\displaystyle S} 는 A ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}} 위에 잘 정의된다. 천-사이먼스 범함수를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 천-사이먼스 이론(영어: classical Chern–Simons theory)이라고 한다. 이 경우, 오일러-라그랑주 방정식의 해는 천-사이먼스 범함수의 변분이 0이 되게 하는 주접속이다. 즉, 아핀 공간 위의 범함수 S : Ω 1 ( M ; g ) → R {\displaystyle S\colon \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})\to \mathbb {R} } 의 임계점 δ S [ A ] δ A = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[A]}{\delta A}}=0} 인 것이다. 이 경우 δ S [ A ] δ A ∝ ∫ M F [ A ] ∧ δ A {\displaystyle {\frac {\delta S[A]}{\delta A}}\propto \int _{M}F[A]\wedge \delta A} 이므로, 이 조건은 F [ A ] = 0 {\displaystyle F[A]=0} 인 것과 동치이다. 즉, 고전적 천-사이먼스 이론의 해는 평탄 주접속이다. (이 조건은 게이지 변환의 작용에 대하여 불변이다.) 천-사이먼스 이론은 해밀턴 역학으로도 묘사할 수 있으며, 이는 이후 기하학적 양자화에 용이하다. 이를 위하여, 시공간 M {\displaystyle M} 이 시간과 공간의 곱공간, 즉 M = Σ × R {\displaystyle M=\Sigma \times \mathbb {R} } 의 꼴이라고 하자. 여기서 Σ {\displaystyle \Sigma } 는 유향 콤팩트 곡면이다. (아직 여기에 복소구조 등은 존재하지 않는다.) M {\displaystyle M} 의 꼴로 인하여, A = ( A 0 , A 1 , A 2 ) {\displaystyle A=(A_{0},A_{1},A_{2})} 에 대하여 다음과 같은 게이지 고정 조건(바일 게이지 영어: Weyl gauge)을 가할 수 있다. A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} 천-사이먼스 형식의 두 항 tr ⁡ ( A ∧ d A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A\wedge \mathrm {d} A)} tr ⁡ ( A ∧ A ∧ A ) ∝ f a b c A 0 a A 1 b A 2 c {\displaystyle \operatorname {tr} (A\wedge A\wedge A)\propto f_{abc}A_{0}^{a}A_{1}^{b}A_{2}^{c}} 가운데, 둘째 항은 항상 A 0 {\displaystyle A_{0}} 을 포함하므로 0이 되며, 첫 항의 경우 오직 A 1 ∂ 0 A 2 − A 2 ∂ 0 A 1 {\displaystyle A_{1}\partial _{0}A_{2}-A_{2}\partial _{0}A_{1}} 만이 살아남는다. 즉, 이 게이지에서 작용은 다음과 같다. S = k 8 π ∫ 0 1 d t ∫ Σ d 2 x ϵ i j Tr ⁡ A i A ˙ j {\displaystyle S={\frac {k}{8\pi }}\int _{0}^{1}\mathrm {d} t\int _{\Sigma }\mathrm {d} ^{2}x\,\epsilon ^{ij}\operatorname {Tr} A_{i}{\dot {A}}_{j}} 여기서 i , j = 1 , 2 {\displaystyle i,j=1,2} 이며, Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 부피 형식 ϵ i j {\displaystyle \epsilon ^{ij}} 을 임의로 골랐다. Σ {\displaystyle \Sigma } 가 2차원이므로, 이는 심플렉틱 다양체의 구조와 같다. 이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다. A ˙ i = 0 {\displaystyle {\dot {A}}_{i}=0} 또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.:367 F i j = 0 {\displaystyle F_{ij}=0} 따라서, 고전적으로 위상 공간은 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 G {\displaystyle G} -평탄 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간 M ( Σ , G ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,G)} 이다. 평탄 주접속은 홀로노미 π 1 ( Σ ) → G {\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )\to G} 에 의하여 완전히 분류된다. 여기서 π 1 ( − ) {\displaystyle \pi _{1}(-)} 은 (임의의 밑점에 대한) 곡면의 기본군이다. 이 위에는 G {\displaystyle G} 가 게이지 변환으로 작용하므로, 모듈라이 공간은 M = hom Grp ⁡ ( π 1 ( Σ ) , G ) G {\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {\hom _{\operatorname {Grp} }(\pi _{1}(\Sigma ),G)}{G}}} 이다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이룬다. Σ {\displaystyle \Sigma } 의 심플렉틱 다양체 구조(부피 형식)로부터, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 (오비폴드 특이점을 무시하면) 심플렉틱 다양체 구조를 갖는다. 특히, 만약 Σ = S 2 {\displaystyle \Sigma =\mathbb {S} ^{2}} 가 2차원 구일 경우, π 1 ( S 2 ) = 1 {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{2})=1} (자명군)이므로 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 역시 한원소 공간이다. 반면, 만약 M = T 2 {\displaystyle M=\mathbb {T} ^{2}} (원환면)인 경우, π 1 ( T 2 ) = Z × Z {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } 이므로 M ( T 2 , G ) = T × T Weyl ⁡ ( G ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2},G)={\frac {T\times T}{\operatorname {Weyl} (G)}}} 이다. 여기서 T {\displaystyle T} 는 G {\displaystyle G} 의 임의의 극대 원환면이며, Weyl ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (G)} 는 그 위에 작용하는 바일 군이다. 천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다. 양자장론은 일반적으로 경로 적분으로 정의되는데, 이 경우 다음과 같은 꼴이 된다. Z = ∫ Conn ⁡ P D A exp ⁡ ( 2 π i k S [ A ] ) {\displaystyle Z=\int _{\operatorname {Conn} P}\mathrm {D} A\exp(2\pi \mathrm {i} kS[A])} 여기서 경로 적분이 잘 정의되기 위하여 k {\displaystyle k} 는 정수이어야 하며, 이를 (양자) 천-사이먼스 이론의 준위(영어: level 레벨[*])라고 한다. 이 경우, k = 0 {\displaystyle k=0} 인 경우는 자명한 이론을 얻으며, k ↦ − k {\displaystyle k\mapsto -k} 는 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 방향을 뒤집는 것에 해당한다. 즉, 일반성을 잃지 않고 k {\displaystyle k} 를 양의 정수로 놓을 수 있다. 3차원 다양체 Σ × [ 0 , 1 ] {\displaystyle \Sigma \times [0,1]} 을 생각하자. 위상 양자장론의 공리계에 따라서, Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대응하는 복소수 힐베르트 공간 H ( Σ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\Sigma )} 이 존재하여야 한다. 기하학적 양자화를 가하려면, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 위에 켈러 다양체의 구조가 존재해야 한다. 평탄 주접속의 모듈라이 공간 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가진다. 만약 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 임의의 복소구조 J {\displaystyle J} 를 가하면, 이에 따라 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 켈러 구조를 가지게 된다. 따라서, 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다. M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 에 준양자 구조 L {\displaystyle L} 을 가하면, 그 힐베르트 공간은 H J = H 0 ( M ; L ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{J}=H^{0}(M;L)} 이다. 보다 일반적으로, 준위가 k {\displaystyle k} 인 경우, 힐베르트 공간은 H J ( Σ ) = H 0 ( M ( Σ ) ; L ⊗ k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{J}(\Sigma )=H^{0}({\mathcal {M}}(\Sigma );L^{\otimes k})} 가 된다.:369 힐베르트 공간 H J {\displaystyle {\mathcal {H}}_{J}} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 복소구조 J {\displaystyle J} 에 의존하며, 따라서 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 복소구조의 모듈라이 공간(타이히뮐러 공간 T Σ {\displaystyle T_{\Sigma }} ) 위의 벡터 다발을 이룬다. 천-사이먼스 이론이 위상 양자장론을 이루려면 상태 공간은 복소구조에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 은 사영적으로 평탄한 주접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 P ( H ) {\displaystyle P({\mathcal {H}})} 는 복소구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다. 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 같은 리 군의 베스-추미노-위튼 모형의 등각 블록의 공간과 표준적으로 동형이다. 예를 들어, 만약 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 리만 구라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 (한원소 공간의 양자화이므로) 1차원이다. 종수 0의 타이히뮐러 공간은 자명하므로 이 경우 복소구조에 의존하지 않음은 자명하다. 만약 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 원환면이라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 아핀 리 대수의, 무게 k {\displaystyle k} 의 적분 가능 표현들의 공간이다. 천-사이먼스 이론에서, 윌슨 고리를 삽입한 경우의 힐베르트 공간은 베스-추미노-위튼 모형에서 중간에 진공(항등 함수)이 아닌 자명하지 않은 상태를 삽입한 등각 블록에 대응한다. 양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 준위 k {\displaystyle k} 가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 G {\displaystyle G} 이고, 고전적으로 준위가 k {\displaystyle k} 인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 준위가 k ′ = k + h ∨ ( G ) {\displaystyle k'=k+h^{\vee }(G)} 가 된다. 여기서 h ∨ ( G ) {\displaystyle h^{\vee }(G)} 는 G {\displaystyle G} 의 이중 콕서터 수이다. 다음과 같은 이론들을 생각하자. 게이지 군이 G {\displaystyle G} 인 3차원 N = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\mathcal {N}}=0,1,2,3} 양-밀스 이론에, 준위 k {\displaystyle k} 의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가 이는 물론 위상 양자장론이 아니며, 오직 N ≤ 3 {\displaystyle {\mathcal {N}}\leq 3} 만이 가능하다.:§5 이 경우, 초대칭의 수 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 에 따라 준위의 재규격화가 달라진다. N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 준위의 재규격화는 이중 콕서터 수의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 준위가 정수라는 것이다. k ′ = k + h ∨ ( G ) / 2 ∈ Z {\displaystyle k'=k+h^{\vee }(G)/2\in \mathbb {Z} } 따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 준위 k {\displaystyle k} 가 반정수가 된다. N = 2 , 3 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2,3} 인 경우 재규격화가 없다. 순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여, 초대칭 천-사이먼스 이론(영어: supersymmetric Chern–Simons theory)을 만들 수 있다. 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 N = 1 , 2 , 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1,2,4} 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 A {\displaystyle A} 에 대응하는 마요라나 게이지노 λ {\displaystyle \lambda } 를 추가하면 작용은 다음과 같다. S = k 4 π ∫ M tr ⁡ ( A ∧ d A − 2 3 i A ∧ A ∧ A − λ ¯ λ vol M ) {\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}\operatorname {tr} \left(A\wedge \mathrm {d} A-{\frac {2}{3}}iA\wedge A\wedge A-{\bar {\lambda }}\lambda \,\operatorname {vol} _{M}\right)} 여기서 λ {\displaystyle \lambda } 는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 필바인을 통해 정의된다. vol M {\displaystyle \operatorname {vol} _{M}} 은 M {\displaystyle M} 의 (3차) 부피 형식이다. 게이지노 장 λ {\displaystyle \lambda } 의 작용은 리만 계량에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 보조장이므로, 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다. 이 작용의 초대칭은 다음과 같다.:(5), (6) δ A i = i ϵ ¯ γ μ λ {\displaystyle \delta A_{i}=\mathrm {i} {\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\lambda } δ χ = 1 2 γ μ ν F μ ν ϵ {\displaystyle \delta \chi ={\frac {1}{2}}\gamma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\epsilon } 여기서 ϵ {\displaystyle \epsilon } 은 초대칭 매개 변수이다. 이는 물론 위상 양자장론으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 초대칭 게이지 이론에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다. 3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종이다. 이는 3차원에는 중력자가 국소적 질량껍질 위 자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다. 천-사이먼스 이론은 매듭 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 존스 다항식과 홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리로 해석할 수 있다. 응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다. 초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 등장한다. D-막의 세계부피 이론의 작용은 천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다. 1978년에 알베르트 시바르츠가 아벨 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 최초로 고전적으로 다루었다. 1981년에 조너선 숀펠드(영어: Jonathan F. Schonfeld)가 3차원 양-밀스 이론에 천-사이먼스 항을 추가한 모형을 도입하였다. 1982년에 스탠리 데저(영어: Stanley Deser)와 로만 야츠키프(폴란드어: Roman Jackiw), 스티븐 템플턴(영어: Stephen Templeton)이 비아벨 천-사이먼스 항이 존재한다면 레벨이 양자화됨을 지적하였다.:977, (9):§Ⅲ.A, (3.15) 1986년에 그레그 저커먼(영어: Gregg J. Zuckerman)이 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론(즉, 양-밀스 항을 포함하지 않고, 오직 천-사이먼스 항만을 포함하는 이론)을 고전적으로 다루었다. 에드워드 위튼이 1989년에 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 양자화하였으며, 존스 다항식 및 베스-추미노-위튼 모형과의 관계를 밝혔다. “천-사이먼스”라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문이다. 이는 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다. 게이지 이론 (수학) 천-사이먼스 형식 위상 양자장론 알렉산더 다항식 존스 다항식 스커미온 Dunne, Gerald V. (1999). “Aspects of Chern–Simons theory”. arXiv:hep-th/9902115. Bibcode:1999tald.conf..177D.  Labastida, J. M. F. 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