탁구 정리

군론에서, 탁구 정리(卓球定理, 영어: ping-pong lemma)는 어떤 부분군들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 자유곱임을 보이는 정리이다. 다음이 주어졌다고 하자. 군 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} 의, 집합 X {\displaystyle X} 위의 왼쪽 작용 G {\displaystyle G} 의 두 부분군 H , H ′ ≤ G {\displaystyle H,H'\leq G} X {\displaystyle X} 의 두 부분 집합 Y , Y ′ ⊆ X {\displaystyle Y,Y'\subseteq X} 또한, 다음이 성립한다고 하자. | H | ≥ 3 {\displaystyle |H|\geq 3} Y ≠ ∅ ≠ Y ′ {\displaystyle Y\neq \varnothing \neq Y'} Y ⊈ Y ′ {\displaystyle Y\not \subseteq Y'} h ′ ⋅ Y ⊆ Y ′ ∀ h ′ ∈ H ′ ∖ { 1 } {\displaystyle h'\cdot Y\subseteq Y'\qquad \forall h'\in H'\setminus \{1\}} h ⋅ Y ′ ⊆ Y ∀ h ∈ H ∖ { 1 } {\displaystyle h\cdot Y'\subseteq Y\qquad \forall h\in H\setminus \{1\}} 탁구 정리에 따르면, 다음이 성립한다. ⟨ H ∪ H ′ ⟩ = H ∗ H ′ {\displaystyle \langle H\cup H'\rangle =H*H'} 여기서 좌변은 G {\displaystyle G} 의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다. 증명: 임의의 a 0 , a 2 , … ∈ H ∖ { 1 } {\displaystyle a_{0},a_{2},\dotsc \in H\setminus \{1\}} b 1 , b 3 , … ∈ H ∖ { 1 } {\displaystyle b_{1},b_{3},\dotsc \in H\setminus \{1\}} n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, ㈎ a 0 b 1 a 2 ⋯ a n + 1 ≠ 1 {\displaystyle a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm a_{n+1}\neq 1} ㈏ b 1 a 2 b 3 ⋯ b n ≠ 1 {\displaystyle b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm b_{n}\neq 1} ㈐ a 0 b 1 a 2 ⋯ b n ≠ 1 {\displaystyle a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}\neq 1} ㈑ b 1 a 2 b 3 ⋯ a n + 1 ≠ 1 {\displaystyle b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm a_{n+1}\neq 1} 임을 보이면 족하다. 우선, ㈎의 경우는 a 0 b 1 ⋯ a n ⋅ Y ′ ⊆ a 0 b 1 ⋯ b n ⋅ Y ′ ⊆ ⋯ ⊆ a 0 Y ′ ⊆ Y {\displaystyle a_{0}b_{1}\dotsm a_{n}\cdot Y'\subseteq a_{0}b_{1}\dotsm b_{n}\cdot Y'\subseteq \dotsb \subseteq a_{0}Y'\subseteq Y} 인데, Y ′ ⊈ Y {\displaystyle Y'\not \subseteq Y} 이므로 a 0 b 0 ⋯ b n a n ≠ 1 {\displaystyle a_{0}b_{0}\dotsm b_{n}a_{n}\neq 1} 이다. ㈏의 경우, 임의의 a 0 = a n + 1 − 1 ∈ H ∖ { 1 } {\displaystyle a_{0}=a_{n+1}^{-1}\in H\setminus \{1\}} 를 고르면, ㈎에 의하여 a 0 ( b 1 ⋯ b n − 1 ) a 0 − 1 ≠ 1 {\displaystyle a_{0}(b_{1}\dotsm b_{n-1})a_{0}^{-1}\neq 1} 이므로 b 1 ⋯ b n − 1 ≠ 1 {\displaystyle b_{1}\dotsm b_{n-1}\neq 1} 이다. ㈐의 경우, 임의의 a n + 1 ∈ H ∖ { 1 , a 0 } {\displaystyle a_{n+1}\in H\setminus \{1,a_{0}\}} 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 a n + 1 − 1 ( a 0 b 0 ⋯ b n ) a n + 1 ≠ 1 {\displaystyle a_{n+1}^{-1}(a_{0}b_{0}\dotsm b_{n})a_{n+1}\neq 1} 이므로, a 0 b 0 ⋯ b n − 1 ≠ 1 {\displaystyle a_{0}b_{0}\dotsm b_{n-1}\neq 1} 이다. ㈑의 경우, 임의의 a 0 ∈ H ∖ { 1 , a n + 1 } {\displaystyle a_{0}\in H\setminus \{1,a_{n+1}\}} 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 a 0 ( b 1 a 2 ⋯ b n a n + 1 ) a 0 − 1 ≠ 1 {\displaystyle a_{0}(b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1})a_{0}^{-1}\neq 1} 이므로, b 1 a 2 ⋯ b n a n + 1 ≠ 1 {\displaystyle b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1}\neq 1} 이다. 이 정리의 이름은 증명 과정에서 H {\displaystyle H} 와 H ′ {\displaystyle H'} 의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다. 탁구 정리는 펠릭스 클라인이 19세기 말에 클라인 부분군을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 자크 티츠 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다. SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 에서, A = ( 1 2 0 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}} B = ( 1 0 2 1 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}} 로 생성되는 부분군을 생각하자. A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 각각 무한 차수의 원소이다. (즉, A n = 1 {\displaystyle A^{n}=1} 이 되는 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 는 n = 0 {\displaystyle n=0} 밖에 없으며, B {\displaystyle B} 의 경우도 마찬가지이다.) 사실, A n = ( 1 2 n 0 1 ) {\displaystyle A^{n}={\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}} B n = ( 1 0 2 n 1 ) {\displaystyle B^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}} 이다. 이제, SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 는 X = R 2 = Z ⊕ 2 ⊗ Z R 2 {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} ^{2}} 위에 선형 변환으로 작용한다. Y = { ( x , y ) ∈ X : | x | > | y | } {\displaystyle Y=\{(x,y)\in X\colon |x|>|y|\}} Y ′ = { ( x , y ) ∈ X : | x | < | y | } {\displaystyle Y'=\{(x,y)\in X\colon |x|<|y|\}} 로 잡으면, A n Y ′ ⊆ Y {\displaystyle A^{n}Y'\subseteq Y} B n Y ⊆ Y ′ {\displaystyle B^{n}Y\subseteq Y'} 임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 탁구 정리에 의하여 ⟨ A , B ⟩ {\displaystyle \langle A,B\rangle } 은 2개의 원소로 생성되는 자유군이다. 자유군 자유곱 클라인 부분군 Cook, Mary (2016년 4월 29일). “The ping-pong lemma” (PDF) (영어).  “Ping-pong lemma”. 《Groupprops》 (영어).