가측 함수

측도론에서 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다. 두 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} , ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 사이의 가측 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 모든 S ∈ G {\displaystyle S\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, f − 1 ( S ) ∈ F {\displaystyle f^{-1}(S)\in {\mathcal {F}}} 만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } "는 보통 ( R , L ( R ) ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 을 의미한다. 두 가측 함수 f : ( X 1 , F 1 ) → ( X 2 , F 2 ) {\displaystyle f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})} g : ( X 2 , F 2 ) → ( X 3 , F 3 ) {\displaystyle g\colon (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})} 가 주어졌을 때, 그 합성 함수 g ∘ f : ( X 1 , F 1 ) → ( X 3 , F 3 ) {\displaystyle g\circ f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})} 역시 가측 함수이다. X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다. X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다. 반대로, 루진의 정리에 따르면, Y {\displaystyle Y} 가 제2 가산 공간이며 X {\displaystyle X} 에 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 X {\displaystyle X} 의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다. ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다. 두 가측 함수 f , g : ( X , F ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f,g\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 에 대하여, f + g {\displaystyle f+g} 및 f ⋅ g {\displaystyle f\cdot g} 는 가측 함수이다. 가측 함수의 열 f 1 , f 2 , … : ( X , F ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots \colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 의 점별 극한은 가측 함수이다. 모든 르베그 적분 가능 함수 X → R {\displaystyle X\to \mathbb {R} } 는 가측 함수이다. 임의의 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 및 g : R → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f : ( R , L ( R ) ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 는 가측 함수이다. 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다. mid ⁡ { − g , f , g } : x ↦ { g ( x ) f ( x ) ≥ g ( x ) f ( x ) − g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) − g ( x ) f ( x ) ≤ − g ( x ) {\displaystyle \operatorname {mid} \{-g,f,g\}\colon x\mapsto {\begin{cases}g(x)&f(x)\geq g(x)\\f(x)&-g(x)\leq f(x)\leq g(x)\\-g(x)&f(x)\leq -g(x)\end{cases}}} 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 Y {\displaystyle Y} 그렇다면, X → Y {\displaystyle X\to Y} 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다. f = ∑ i = 1 k y i 1 S i {\displaystyle f=\sum _{i=1}^{k}y_{i}1_{S_{i}}} y 1 , … , y k ∈ Y {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}\in Y} S 1 , … , S k ∈ F {\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}\in {\mathcal {F}}} k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } (여기서 1 S i {\displaystyle 1_{S_{i}}} 는 지시 함수이다.) 이제, 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자. (강가측 함수, 强可測函數, 영어: strongly measurable function) 단순 함수의 열의 점별 극한이다. (약가측 함수, 弱可測函數, 영어: weakly measurable function) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 ϕ ∈ Y ∗ {\displaystyle \phi \in Y^{*}} 에 대하여, ϕ ∘ f : ( X , B ( X ) ) → ( K , B ( K ) ) {\displaystyle \phi \circ f\colon (X,{\mathcal {B}}(X))\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))} 는 가측 함수이다. 이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, 영어: Pettis measurability theorem)에 따르면, 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:5, Theorem 1.1.6 강가측 함수이다. 약가측 함수이며, f ( X ) ⊂ Y ~ {\displaystyle f(X)\subset {\widetilde {Y}}} 인 분해 가능 부분 공간 Y ~ ⊂ Y {\displaystyle {\widetilde {Y}}\subset Y} 가 존재한다. 특히, 만약 Y {\displaystyle Y} 가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 강가측 함수이다. 가측 함수이다. 약가측 함수이다. 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 및 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 가 주어졌다고 하자. 만약 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 강가측 함수이며, g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 가 가측 함수라면, g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 는 강가측 함수이다.:7, Corollary 1.1.11 정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다. 모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } 가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 1 A {\displaystyle 1_{A}} 는 가측 함수가 아니다. 분해 불가능 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 X {\displaystyle X} 위의 항등 함수 f : x ↦ x {\displaystyle f\colon x\mapsto x} 를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 f ( X ) = X {\displaystyle f(X)=X} 가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 f {\displaystyle f} 는 강가측 함수가 아니다.:4, Example 1.1.5 실수의 셈측도 공간 ( R , P ( R ) , μ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\mu )} 위의 르베그 공간 ℓ 2 ( R ; K ) {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )} 를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자. f : R → ℓ 2 ( R ; K ) {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )} f ( x ) ( t ) = { 1 t = x 0 t ≠ x {\displaystyle f(x)(t)={\begin{cases}1&t=x\\0&t\neq x\end{cases}}} 그렇다면, f : ( R , L ( R ) ) → ( ℓ 2 ( R ; K ) , B ( ℓ 2 ( R ; K ) ) ) {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} ),{\mathcal {B}}(\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )))} 는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, ⟨ f , f ( x ) ⟩ = f ( x ) : ( R , L ( R ) ) → ( K , B ( K ) ) {\displaystyle \langle f,f(x)\rangle =f(x)\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))} 는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } 에 대하여, B = ⋃ x ∈ A ball ℓ 2 ( R ; K ) ⁡ ( 1 , f ( x ) ) ⊂ ℓ 2 ( R ; K ) {\displaystyle B=\bigcup _{x\in A}\operatorname {ball} _{\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )}(1,f(x))\subset \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )} 는 열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상 f − 1 ( B ) = A {\displaystyle f^{-1}(B)=A} 는 가측 집합이 아니다. Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). 《Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics (영어) 63. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-48520-1. ISBN 978-3-319-48519-5. ISSN 0071-1136. LCCN 2016955329.  Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.  “Measurable function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.