아폴로니오스 정리

아폴로니오스 정리(Apollonius' theorem) 또는 중선정리(中線定理)는 중 기하학에서 삼각형의 각 변들간의 관계를 설명한 정리이다. '아폴로니오스'라는 이름은 고대 그리스의 수학자인 페르게의 아폴로니오스의 이름을 딴 것이다. 대한민국과 일본에서는 흔히 파푸스의 정리(Pappus's theorem)라는 이름으로도 알려져 있으나, 이외의 국가에서는 이러한 이름으로 불리지 않는다. 그림에서 B I = I C {\displaystyle BI=IC} 일 때, 선분 A I {\displaystyle AI} 는 중선(Median)이 되고, 다음의 관계가 성립한다. A B 2 + A C 2 = 2 ( B I 2 + A I 2 ) = 2 ( C I 2 + A I 2 ) {\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(BI^{2}+AI^{2}){=2(CI^{2}+AI^{2})}\,} 특히, A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립할 경우, 피타고라스의 정리가 된다. 즉, A I 2 + B I 2 = A B 2 ( = A C 2 ) {\displaystyle AI^{2}+BI^{2}=AB^{2}(=AC^{2})\,} 이 정리는 스튜어트 정리에서 B I = I C {\displaystyle BI=IC} 를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다. 세 변이 각각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 인 삼각형에서 변 a {\displaystyle a} 를 지나도록 중선 d {\displaystyle d} 를 긋는다. 또한, 변 a {\displaystyle a} 를 이등분한 후, a {\displaystyle a} 의 절반을 m {\displaystyle m} 이라 한다. 또 변 a {\displaystyle a} 와 중선 d {\displaystyle d} 가 이루는 두 각을 각각 θ {\displaystyle \theta } 와 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} 이라고 한다. 이때, θ {\displaystyle \theta } 는 변 b {\displaystyle b} 와 마주보고 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} 은 변 c {\displaystyle c} 와 마주본다. 그러면 θ {\displaystyle \theta } 와 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} 은 서로 보각이 되므로 cos ⁡ θ ′ = − cos ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta } 가 된다. 이때 코사인 법칙에 의해 아래 식이 성립한다. b 2 = m 2 + d 2 − 2 d m cos ⁡ θ c 2 = m 2 + d 2 − 2 d m cos ⁡ θ ′ = m 2 + d 2 + 2 d m cos ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}} 첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다. b 2 + c 2 = 2 ( m 2 + d 2 ) {\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})} △ A B C {\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} } 에서 B C ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}} 의 중점을 M {\displaystyle \mathrm {M} } 이라 하고, 점 A {\displaystyle \mathrm {A} } 에서 B C ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}} 에 내린 수선의 발을 점 H {\displaystyle \mathrm {H} } 라 한다. 이때, B M ¯ = C M ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}={\overline {\mathrm {CM} }}} 이다. 피타고라스 정리를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다. A B ¯ 2 = ( B M ¯ + M H ¯ ) 2 + A H ¯ 2 = B M ¯ 2 + 2 B M ¯ × M H ¯ + M H ¯ 2 + A H ¯ 2 {\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AB} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}} A C ¯ 2 = ( C M ¯ − M H ¯ ) 2 + A H ¯ 2 = ( B M ¯ − M H ¯ ) 2 + A H ¯ 2 = B M ¯ 2 − 2 B M ¯ × M H ¯ + M H ¯ 2 + A H ¯ 2 {\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {CM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}-2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}} ∴ A B ¯ 2 + A C ¯ 2 = 2 ( B M ¯ 2 + M H ¯ 2 + A H ¯ 2 ) = 2 ( A M ¯ 2 + B M ¯ 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}\therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&2\left({\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\right)\\&=&2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)\end{matrix}}} 좌표를 사용하여 증명할 수도 있다. 그림과 같이 B C ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}} 가 x {\displaystyle x} 축과 겹쳐지도록 한다. △ A B C {\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} } 에서 B C ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}} 의 중점을 M {\displaystyle \mathrm {M} } 이라 하고, 점 M {\displaystyle \mathrm {M} } 이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 각각 A ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {A} (a,b)} , B ( − c , 0 ) {\displaystyle \mathrm {B} (-c,0)} , C ( c , 0 ) {\displaystyle \mathrm {C} (c,0)} , M ( 0 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {M} (0,0)} 이 된다. A B ¯ 2 = ( a + c ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a c {\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}=(a+c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac} A C ¯ 2 = ( a − c ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 + c 2 − 2 a c {\displaystyle {\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=(a-c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ac} A M ¯ 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle {\overline {\mathrm {AM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}} B M ¯ 2 = c 2 {\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=c^{2}} A B ¯ 2 + A C ¯ 2 = 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})} , A M ¯ 2 + B M ¯ 2 = a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle {\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}} ∴ A B ¯ 2 + A C ¯ 2 = 2 ( A M ¯ 2 + B M ¯ 2 ) {\displaystyle \therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)} 스튜어트 정리 planetmath.org의 Apollonius theorem항목