균등 유계성 원리

함수해석학에서 균등 유계성 원리(均等有界性原理, 영어: uniform boundedness principle) 또는 바나흐-스테인하우스 정리(Banach-Steinhaus定理, 영어: Banach–Steinhaus theorem)는 바나흐 공간 위의 일련의 유계 작용소들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 동치라는 정리이다. 실수 바나흐 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ V ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})} 및 실수 노름 공간 ( W , ‖ ⋅ ‖ W ) {\displaystyle (W,\|\cdot \|_{W})} 사이에 일련의 유계 작용소들 T ⊂ B ( V , W ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\subset B(V,W)} 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 균등 유계성 원리에 따르면 다음 두 조건들이 서로 동치이다. (점별 유계성) 모든 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, sup T ∈ T ‖ T v ‖ W < ∞ {\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}<\infty } (균등 유계성) sup T ∈ T ‖ T ‖ B ( V , W ) < ∞ {\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|T\|_{B(V,W)}<\infty } 여기서 ‖ ⋅ ‖ B ( V , W ) {\displaystyle \|\cdot \|_{B(V,W)}} 는 작용소 노름이다. 균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다. 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 및 노름 공간 W {\displaystyle W} 사이의 유계 작용소들의 열 T 1 , T 2 , … : V → W {\displaystyle T_{1},T_{2},\dots \colon V\to W} 이 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 로 점별 수렴한다면, T {\displaystyle T} 는 유계 작용소이다. 바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르 범주 정리를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다. 베르 범주 정리를 사용한 증명: 균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자. ∀ v ∈ V : sup T ∈ T ‖ T v ‖ W < ∞ {\displaystyle \forall v\in V\colon \quad \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}<\infty } 모든 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 V n = { v ∈ V | sup T ∈ T ‖ T v ‖ W ≤ n } {\displaystyle V_{n}=\{v\in V|\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}\leq n\}} 를 정의하자. 이는 닫힌집합이다. ⋃ n = 1 ∞ V n = V {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}=V} 이므로, 베르 범주 정리에 따라서 다음 조건을 만족시키는 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 v 0 ∈ V n {\displaystyle v_{0}\in V_{n}} , ϵ ∈ R + {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}} 가 존재한다. { v ∈ V | ‖ v − v 0 ‖ ≤ ϵ } ⊂ V n {\displaystyle \{v\in V|\|v-v_{0}\|\leq \epsilon \}\subset V_{n}} 그렇다면 임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} ( ‖ v ‖ V ≤ 1 {\displaystyle \|v\|_{V}\leq 1} ) 및 T ∈ T {\displaystyle T\in {\mathcal {T}}} 에 대하여 ϵ ‖ T v ‖ W = ‖ T ( v 0 + ϵ v ) − T v 0 ‖ W ≤ ( ‖ T ( v 0 + ϵ v ) ‖ W + ‖ T v 0 ‖ W ) ≤ 2 n {\displaystyle \epsilon \|Tv\|_{W}=\left\|T(v_{0}+\epsilon v)-Tv_{0}\right\|_{W}\leq \left(\|T(v_{0}+\epsilon v)\|_{W}+\|Tv_{0}\|_{W}\right)\leq 2n} 이다. 따라서 sup T ∈ T ‖ T ‖ B ( X , Y ) ≤ 2 n / ϵ < ∞ {\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2n/\epsilon <\infty } 이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다. 이 밖에도, 앨런 소칼은 베르 범주 정리를 사용하지 않는 다음과 같은 증명을 제시하였다. 베르 범주 정리를 사용하지 않는 증명: 균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자. sup T ∈ T ‖ T v ‖ W = ∞ {\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}=\infty } 그렇다면, ‖ T i ‖ ≥ 4 i {\displaystyle \|T_{i}\|\geq 4^{i}} 인 작용소 열 ( T i ) i = 1 ∞ ⊆ T {\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {T}}} 를 고를 수 있다. 이제, v 0 = 0 {\displaystyle v_{0}=0} ‖ v i − v i − 1 ‖ ≤ 3 − i ∀ i ∈ Z + {\displaystyle \|v_{i}-v_{i-1}\|\leq 3^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}} ‖ T i v i ‖ ≥ 2 3 3 − i ‖ T i ‖ ∀ i ∈ Z + {\displaystyle \|T_{i}v_{i}\|\geq {\frac {2}{3}}3^{-i}\|T_{i}\|\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}} 인 벡터 열 ( v i ) i = 0 ∞ ⊂ V {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subset V} 를 고르자. 이는 코시 열이므로, v ∈ V {\displaystyle v\in V} 로 수렴한다. 그렇다면 ‖ v − v i ‖ ≤ 1 2 3 − n {\displaystyle \|v-v_{i}\|\leq {\frac {1}{2}}3^{-n}} 이므로 ‖ T i v ‖ ≥ 1 6 3 − i ‖ T i ‖ ≥ 1 6 ( 4 / 3 ) i → ∞ {\displaystyle \|T_{i}v\|\geq {\frac {1}{6}}3^{-i}\|T_{i}\|\geq {\frac {1}{6}}(4/3)^{i}\to \infty } 이다. 따라서 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 는 점별 유계가 아니다. 스테판 바나흐와 후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다. 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다. Sokal, Alan D. (2011). “A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 118: 450–452. arXiv:1005.1585. Bibcode:2010arXiv1005.1585S. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450.  Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927). “Sur le principe de la condensation de singularités” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 9: 50–61. JFM 53.0243.02.  Hahn, Hans (1922). “Über Folgen linearer Operationen”. 《Monatshefte für Mathematik und Physik》 (독일어) 32: 3–88. doi:10.1007/BF01696876.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform boundedness principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Banach-Steinhaus theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Banach-Steinhaus theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Uniform boundedness”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Banach-Steinhaus theorem”. 《nLab》 (영어).  “Banach-Steinhaus Theorem”. 《ProofWiki》 (영어).