볼차노-바이어슈트라스 정리

해석학과 일반위상수학에서 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstraß定理, 영어: Bolzano–Weierstrass theorem)는 유클리드 공간에서 유계 닫힌집합과 점렬 콤팩트 공간의 개념이 일치한다는 정리이다. 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 실수 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다. 이는 단조 부분 수열 정리 및 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 단조 부분 수열 정리에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 증명은 다음과 같다. 실수 수열 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 에 대하여, 자연수의 성질 ϕ {\displaystyle \phi } 를 다음과 같이 도입하자. ϕ ( n ) ⟺ ∀ m > n : x n > x m ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle \phi (n)\iff \forall m>n\colon x_{n}>x_{m}\qquad (\forall n\in \mathbb {N} )} 즉, n {\displaystyle n} 번째 항이 뒤에 오는 모든 항보다 크다는 성질이다. 만약 ϕ {\displaystyle \phi } 를 만족하는 무한 개의 자연수 n 1 < n 2 < n 3 < ⋯ {\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots } 가 존재한다면, ( x n k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }} 은 단조 부분 수열이다. 만약 ϕ {\displaystyle \phi } 를 만족하는 자연수가 유한 개라면, n 0 = max { n ∈ N : ϕ ( n ) } + 1 {\displaystyle n_{0}=\max\{n\in \mathbb {N} \colon \phi (n)\}+1} 라고 하였을 때, ¬ ϕ ( n 0 ) {\displaystyle \lnot \phi (n_{0})} 이므로, x n 0 ≤ x n 1 {\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}} 인 n 1 > n 0 {\displaystyle n_{1}>n_{0}} 이 존재한다. 마찬가지로, x n 0 ≤ x n 1 ≤ x n 2 ≤ ⋯ {\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots } 인 n 0 < n 1 < n 2 < ⋯ {\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots } 가 존재한다. 즉, ( x n k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }} 은 단조 부분 수열이다. 실수 유계 수열 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 에 대하여, 위 정리에 따라, 단조 부분 수열 ( x n k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }} 이 존재한다. 또한, 이는 동시에 유계 수열이므로, 단조 수렴 정리에 따라 수렴 수열이다. 즉, 실수 유계 수열은 항상 수렴 부분 수열을 갖는다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 속 유계 수열 ( x k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 유계 닫힌집합 S ⊆ R n {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 은 점렬 콤팩트 공간이다. 더 나아가, 유클리드 공간의 부분 집합 S ⊆ R n {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. S {\displaystyle S} 는 점렬 콤팩트 공간이다. S {\displaystyle S} 는 유계 닫힌집합이다. 유클리드 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수에 대한 정리로부터 유도할 수 있다. (유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간) 유계 닫힌집합 S ⊆ R n {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 속 수열 ( x k = ( x k , 1 , x k , 2 , … , x k , n ) ) k ∈ N {\displaystyle (x_{k}=(x_{k,1},x_{k,2},\ldots ,x_{k,n}))_{k\in \mathbb {N} }} 에 대하여, ( x k , 1 ) k ∈ N ⊆ R {\displaystyle (x_{k,1})_{k\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R} } 은 유계 수열이므로, 실수에 대한 정리에 따라, 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, ( y k , 1 ) k ∈ N {\displaystyle (y_{k,1})_{k\in \mathbb {N} }} 이 수렴하게 되는, ( x k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 의 부분 수열 ( y k ) k ∈ N {\displaystyle (y_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 이 존재한다. 마찬가지로, ( z k , 2 ) k ∈ N {\displaystyle (z_{k,2})_{k\in \mathbb {N} }} 이 수렴하게 되는, ( y k ) k ∈ N {\displaystyle (y_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 의 부분 수열 ( z k ) k ∈ N {\displaystyle (z_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 이 존재한다. 이때, ( z k , 1 ) k ∈ N {\displaystyle (z_{k,1})_{k\in \mathbb {N} }} 역시 수렴한다. 이와 같이 반복하면, 임의의 i ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}} 에 대하여 ( w k , i ) k ∈ N {\displaystyle (w_{k,i})_{k\in \mathbb {N} }} 이 수렴하게 되는, ( x k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 의 부분 수열 ( w k ) k ∈ N {\displaystyle (w_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 을 얻으며, 이는 물론 수렴 부분 수열이며, S {\displaystyle S} 가 닫힌집합이므로, 극한은 S {\displaystyle S} 의 원소이다. (점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 닫힌집합) 점렬 콤팩트 집합 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} } 이 유계가 아니라면, x 0 ∈ S {\displaystyle x_{0}\in S} x n + 1 ∈ S ∖ B ( x 0 , n ) ∖ B ( x 0 , d ( x n , x 0 ) ) {\displaystyle x_{n+1}\in S\setminus B(x_{0},n)\setminus B(x_{0},d(x_{n},x_{0}))} 이도록 정의된 수열이 존재하며, 이는 수렴 부분 수열을 갖지 않으므로, 모순이 된다. 또한, S {\displaystyle S} 속의, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 에서 수렴하는 수열에 대하여, S {\displaystyle S} 에서 수렴하는 부분 수열이 존재하며, 그 극한이 원래 수열의 것과 같으므로, 원래 수열도 S {\displaystyle S} 에서 수렴한다. 즉, S {\displaystyle S} 는 닫힌집합이다. 거리 공간에서, 점렬 콤팩트 공간은 항상 유계 닫힌집합이나, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 에 이산 거리 함수를 주었을 때, 유계 집합이며 닫힌집합이지만, 그 속의 수열 ( 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle (1,2,3,\ldots )} 은 수렴 부분 수열을 갖지 못한다. 보헤미아의 베르나르트 볼차노와 독일의 카를 바이어슈트라스가 증명하였다. 실수의 완비성#볼차노-바이어슈트라스 정리 하이네-보렐 정리 콤팩트 공간#유클리드 공간의 콤팩트 집합 Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 102쪽. Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006. Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Bolzano-Weierstrass theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Bolzano-Weierstrass theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.