베로네세 매장

대수기하학에서 베로네세 매장(Veronese埋藏, 영어: Veronese embedding)은 사영 공간을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 매장하는 방법이다. 임의의 자연수 등급 가환환 R = ⨁ i = 0 ∞ R i {\displaystyle R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수 d ∈ Z + {\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 자연수 등급 가환환 R [ d ] = ⨁ i = 0 ∞ R d i {\displaystyle R^{[d]}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{di}} R i [ d ] = R d i {\displaystyle R_{i}^{[d]}=R_{di}} 을 정의할 수 있다. 베로네세 동형 사상은 다음과 같은 스킴의 동형 사상이다. Proj ⁡ R = Proj ⁡ R [ d ] ∀ d ∈ Z + {\displaystyle \operatorname {Proj} R=\operatorname {Proj} R^{[d]}\qquad \forall d\in \mathbb {Z} ^{+}} 여기서 Proj {\displaystyle \operatorname {Proj} } 는 사영 스펙트럼이다. 특히, 만약 R [ d ] {\displaystyle R^{[d]}} 가 R 0 {\displaystyle R_{0}} 및 R d {\displaystyle R_{d}} 만으로 생성된다고 하고, R d {\displaystyle R_{d}} 의 R 0 {\displaystyle R_{0}} -가군으로서의 임의의 생성원 집합을 S {\displaystyle S} 라고 하자. 그렇다면, 몫 환 준동형 R 0 [ S ] → R [ d ] {\displaystyle R_{0}[S]\to R^{[d]}} 이 존재하며, 이를 통하여 닫힌 몰입 Proj ⁡ R ≅ Proj ⁡ R [ d ] ↪ Proj ⁡ R 0 [ S ] {\displaystyle \operatorname {Proj} R\cong \operatorname {Proj} R^{[d]}\hookrightarrow \operatorname {Proj} R_{0}[S]} 이 존재한다. 이를 베로네세 매장이라고 한다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 공간 P K n = Proj ⁡ K [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]} 을 생각할 수 있다. 임의의 양의 정수 d ∈ Z + {\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, ( K [ x 0 , x 1 , … , x n ] ) [ d ] = K [ x 0 d , x 0 d − 1 x 1 , … , x 0 x 1 d − 1 , x 0 x 1 d − 2 x 2 , … , x n − 1 x n d − 1 , x n d ] {\displaystyle (K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}])^{[d]}=K[x_{0}^{d},x_{0}^{d-1}x_{1},\dots ,x_{0}x_{1}^{d-1},x_{0}x_{1}^{d-2}x_{2},\dots ,x_{n-1}x_{n}^{d-1},x_{n}^{d}]} 이다. 이러한 단항식의 수는 ( n + d d ) {\displaystyle {\binom {n+d}{d}}} 이다. R [ d ] {\displaystyle R^{[d]}} 는 이 다항식만으로 생성되므로, 이는 닫힌 몰입 P K n ↪ P K ( n + d d ) − 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}\hookrightarrow \mathbb {P} _{K}^{{\binom {n+d}{d}}-1}} 을 정의한다. 이를 베로네세 매장(Veronese embedding)라고 한다. 차수 d {\displaystyle d} 가 0일 경우, 베로네세 사상 P n → P 0 {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{0}} 는 상수 함수이며, d = 1 {\displaystyle d=1} 일 경우 베로네세 사상 P n → P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}} 은 항등 함수이다. n = 1 {\displaystyle n=1} 일 영우, 베로네세 사상 P 1 → P d {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}} 은 d {\displaystyle d} 차원 사영 공간 속의 d {\displaystyle d} 차 유리 곡선을 정의하며, 이를 유리 정규 곡선(有理正規曲線, 영어: rational normal curve)이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다. d = 1 {\displaystyle d=1} 인 경우 이는 항등 함수이다. d = 2 {\displaystyle d=2} 인 경우, [ X , Y , Z ] = [ x 2 , x y , y 2 ] {\displaystyle [X,Y,Z]=[x^{2},xy,y^{2}]} 라고 놓으면, Y 2 = X Z {\displaystyle Y^{2}=XZ} 가 된다. 이는 사영 평면 속의 원뿔 곡선을 정의한다. d = 3 {\displaystyle d=3} 인 경우, [ X , Y , Z , W ] = [ x 3 , x 2 y , x y 2 , y 3 ] {\displaystyle [X,Y,Z,W]=[x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]} 라고 놓으면, X Z − Y 2 = X W − Y Z = Y W − Z 2 = 0 {\displaystyle XZ-Y^{2}=XW-YZ=YW-Z^{2}=0} 이며, 이는 뒤틀린 3차 곡선(영어: twisted cubic)이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다. 여기서 "정규"는 정규 스킴과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다. 사영 평면 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} 를 5차원 사영 공간 P 5 {\displaystyle \mathbb {P} ^{5}} 에 매장한 것을 베로네세 곡면(Veronese曲面, 영어: Veronese surface)이라고 한다. ( x , y , z ) ↦ ( x 2 , y 2 , z 2 , x y , y z , z x ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)} 베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면이 존재한다. 이 초평면을 정의하는, ( x 2 , y 2 , z 2 , x y , y z , z x ) {\displaystyle (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)} 에 대한 1차 동차다항식은 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 에 대한 2차 동차다항식을 이루며, 따라서 원래 사영 평면에서의 원뿔 곡선을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다. 이탈리아의 수학자 주세페 베로네세의 이름을 땄다. Harris, Joe (1995). 《Algebraic geometry: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 133. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2189-8. ISBN 978-0-387-97716-4. ISSN 0072-5285. MR 1416564. Zbl 0779.14001.  “Veronese mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Veronese surface”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Siegel, Charles (2008년 1월 14일). “The Veronese embedding”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).