보어-판레이우언 정리

보어-판레이우언 정리(Bohr–van Leeuwen theorem)는 통계 역학 분야의 한 정리이다. 이 정리에 의하면, 고전 역학과 통계 역학을 동시에 적용하였을 때, 자화 정도의 열 평균은 항상 0이 된다. 따라서, 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 고체의 자성을 설명할 수 없고, 양자 역학으로만 설명할 수 있다. 현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 닐스 보어(Niels Bohr)가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다. 이후 1919년 헨드리카 판레이우언(네덜란드어: Hendrika Johanna van Leeuwen)가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다. 1932년에는 물리학자 존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)이 이 정리를 공식화하였으며, 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 정리를 확장하였다. 이 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 일련의 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝혀내었고, 이를 설명하기 위해서는 양자 역학과 상대성 이론이 필요하다는 점을 밝혀냈다는 점에서 중요한 정리이다. 이 정리의 결과는 보어가 1913년 수소 원자의 보어 모형을 고안하는데 영향을 주었을 것으로 추정된다. 보어-판레이우언 정리는 회전 불가능한 고립계에 적용된다. (회전이 가능한 경우는 해당하지 않는다. 예를 들어, 고립된 별의 경우 자기장의 영향을 받아 회전할 수 있다.) 여기에 덧붙여, 만약 어떤 장과 주어진 온도에서 열 평형 상태가 오직 하나만 존재하고, 장이 걸어진 이후에 평형 상태까지 도달할 만큼 충분한 시간이 주어진다고 하면, 그 계는 결국 자화되지 않은 상태가 될 것이다. 계가 어떤 특정한 운동 상태에 있을 확률은 맥스웰-볼츠만 통계로 예측할 수 있는데, 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 이 확률은 exp ⁡ ( − U / k B T ) {\displaystyle \exp(-U/k_{\mathrm {B} }T)} 에 비례한다. 여기서 U {\displaystyle U} 는 계의 에너지이고, k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} 는 볼츠만 상수, T {\displaystyle T} 는 온도에 해당한다. 여기서 에너지는 운동에너지( m {\displaystyle m} 가 입자의 질량이고, v {\displaystyle v} 가 속력일 때, 입자의 m v 2 / 2 {\displaystyle mv^{2}/2} 값)와 위치 에너지이다. 하지만 자기장은 위치 에너지에 전혀 기여하지 않는다. 전하 q {\displaystyle q} 의 속도가 v {\displaystyle \mathbf {v} } 인 입자에 가해지는 로런츠 힘은 F = q ( E + v × B ) , {\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),} 으로 나타난다. 여기서 E {\displaystyle \mathbf {E} } 는 전기장이고, B {\displaystyle \mathbf {B} } 는 자기장이다. 이 식에서 일률을 구해보면 F ⋅ v = q E ⋅ v {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} } 가 되는데, 이 식에서 일률은 자기장 B {\displaystyle \mathbf {B} } 와 무관하다는 것을 알 수 있다. 그러므로 에너지는 자기장에 영향을 받지 않고, 따라서 입자 운동의 분포 역시 자기장에 영향을 받지 않는다. 회전할 수 없다는 가정으로 인하여, 장의 세기가 0인 경우에는 입자들의 알짜 운동이 0이 된다. 따라서 평균 자기 모멘트 역시 0이 될 것이다. 운동의 분포가 자기장에 전혀 영향을 받지 않으므로, 결국 자기장에 관계없이 열평형 상태에서의 자기 모멘트는 0이 된다. 간결함을 위해 N {\displaystyle N} 개의 전자가 존재하는 계를 생각해보자. (고체에서 나타나는 대부분의 자기 효과는 전자로 인해 발생되는 것이고, 또 원한다면 전자를 다른 대전 입자로 치환해 일반화시킬 수도 있으므로, 이 가정은 충분히 일반적이다.) 각 전자들은 질량 m e {\displaystyle m_{e}} 와 음의 전하 e {\displaystyle e} 를 갖는다. 전자의 위치를 r {\displaystyle \mathbf {r} } 라고 하고, 그 속도를 v {\displaystyle \mathbf {v} } 라고 한다면, 각 전자는 전류 j = e v {\displaystyle \mathbf {j} =e\mathbf {v} } 와 μ = 1 2 c r × j = e 2 c r × v {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {j} ={\frac {e}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {v} } 의 자기 모멘트를 갖게 된다. 위 식은 자기 모멘트가 전자의 위치에 대해 선형적이라는 것을 보여준다. 따라서 계 전체 자기 모멘트의 특정 방향 성분은 다음과 같이 선형 함수로 나타나게 된다. μ = ∑ i = 1 N a i ⋅ r ˙ i , {\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {a} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i},} 여기서 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 위의 점 표시는 위치의 시간에 대한 미분을 나타낸 것이고, a i {\displaystyle \mathbf {a} _{i}} 는 위치 { r i , i = 1 … N } {\displaystyle \{\mathbf {r} _{i},i=1\ldots N\}} 에 의존적인 벡터 계수이다. 한편 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 n번째 입자가 운동량 p n {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{n}} 을 갖고, 위치 r n {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{n}} 을 가질 확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다. d P ∝ exp ⁡ [ − H ( p 1 , … , p N ; r 1 , … , r N ) k B T ] d p 1 , … , d p N d r 1 , … , d r N . {\displaystyle dP\propto \exp {\left[-{\frac {{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {p}}_{N};{\boldsymbol {r}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{N})}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}d{\boldsymbol {p}}_{1},\ldots ,d{\boldsymbol {p}}_{N}d{\boldsymbol {r}}_{1},\ldots ,d{\boldsymbol {r}}_{N}.} 여기서 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 는 해밀토니언으로, 계의 전체 에너지와 같다. 이를 이용하여 어떤 일반화 좌표에 대한 함수 f ( p 1 , … , p N ; r 1 , … , r N ) {\displaystyle f({\boldsymbol {p}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {p}}_{N};{\boldsymbol {r}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{N})} 의 열 평균을 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. ⟨ f ⟩ = ∫ f d P ∫ d P . {\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {\int fdP}{\int dP}}.} 자기장의 존재 하에 해밀토니언은 H = 1 2 m e ∑ i = 1 N ( p i − e c A i ) 2 + e ϕ ( q ) , {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m_{e}}}\sum _{i=1}^{N}\left(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\right)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),} 으로 나타난다. 여기서 A i {\displaystyle \mathbf {A} _{i}} 는 자기 벡터 퍼텐셜이고, ϕ ( q ) {\displaystyle \phi (\mathbf {q} )} 는 전기 스칼라 퍼텐셜이다. 각각의 입자의 운동량 성분 p i {\displaystyle \mathbf {p} _{i}} 와 위치 성분 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 는 해밀턴 역학에 의하면 다음과 같은 관계를 갖는다: p ˙ i = ∂ H / ∂ r i r ˙ i = − ∂ H / ∂ p i . {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}&=\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {r} _{i}\\{\dot {\mathbf {r} }}_{i}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}} 열 평균 ⟨ μ ⟩ = ∫ μ d P ∫ d P , {\displaystyle \langle \mu \rangle ={\frac {\int \mu dP}{\int dP}},} 의 각 항은 ∫ − ∞ ∞ p d p , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }pdp,} 에 비례한다고 할 수 있다. (여기서 p {\displaystyle p} 는 일반화 운동량 가운데 하나다.) 그런데 여기서 피적분함수는 p {\displaystyle p} 의 기함수이므로, 적분값이 0이 된다. 따라서 자기 쌍극자 모멘트의 열 평균 ⟨ μ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \mu \rangle =0} 이 된다. 보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리, 전기기계기술, 전자전기 공항 등 여러 응용 분야에서 유용하게 사용된다. 존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)은 보어-판레이우언 정리에 대해 다음과 같이 적었다. "어떤 유한한 온도와 유한한 전자기장 하에서, 전자 집합의 알짜 자화는 열 평형 상태에서 동등하게 사라진다". (van Vleck, 1932) Aharoni 1996 Bohr 1972 van Leeuwen 1921 Feynman, Leighton & Sands 2006 Aharoni, Amikam (1996). 《Introduction to the Theory of Ferromagnetism》. Clarendon Press. ISBN 0198517912. 2011년 6월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2011년 12월 21일에 확인함.  Bohr, Niehls (1972) [originally published as "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911)]. 〈The Doctor's Dissertation (Text and Translation)〉. Rosenfeld, L.; Nielsen, J. Rud. 《Early Works (1905-1911)》. Niels Bohr Collected Works 1. Elsevier. 163, 165–393쪽. doi:10.1016/S1876-0503(08)70015-X. 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