미분학적 공간

기하학에서, 미분학적 공간(微分學的空間, 영어: diffeological space 디피올로지컬 스페이스[*])은 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이다. 미분학적 공간과 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간과 다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 미분학적 구조(微分學的構造, 영어: diffeology 디피올로지[*]) D = { ( n i , U i , f i ) } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(n_{i},U_{i},f_{i})\}_{i\in I}} 는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다. ( n , U , f ) {\displaystyle (n,U,f)} 에서, n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 은 자연수이며, U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 는 n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간의 열린집합이며, f : U → X {\displaystyle f\colon U\to X} 는 함수이다. 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. 임의의 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 임의의 원소 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, x {\displaystyle x} 값의 상수 함수 ( n , U , f : U → X ) {\displaystyle (n,U,f\colon U\to X)} 는 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 의 원소이다. 임의의 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 임의의 함수 f : U → X {\displaystyle f\colon U\to X} 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, ( n , U , f ) ∈ D {\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}} 이다. 임의의 u ∈ U {\displaystyle u\in U} 에 대하여, ( n , V , f ↾ V ) ∈ D {\displaystyle (n,V,f\upharpoonright V)\in {\mathcal {D}}} 인 u {\displaystyle u} 의 열린 근방 u ∈ V ⊆ U {\displaystyle u\in V\subseteq U} 가 존재한다. 임의의 ( n , U , f ) ∈ D {\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}} 및 임의의 V ⊆ R m {\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{m}} 및 임의의 매끄러운 함수 ϕ : V → U {\displaystyle \phi \colon V\to U} 에 대하여, ( m , V , f ∘ ϕ ) ∈ D {\displaystyle (m,V,f\circ \phi )\in {\mathcal {D}}} 이다. 미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간이라고 한다. 두 미분학적 공간 ( X , D ) {\displaystyle (X,{\mathcal {D}})} , ( Y , E ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}})} 사이의 매끄러운 함수 ϕ : X → Y {\displaystyle \phi \colon X\to Y} 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다. 임의의 ( n , U , f ) ∈ D {\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}} 에 대하여, ( n , U , ϕ ∘ f ) ∈ E {\displaystyle (n,U,\phi \circ f)\in {\mathcal {E}}} 이다. 이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다. 미분학적 공간 ( X , D ) {\displaystyle (X,{\mathcal {D}})} 위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다. B ∈ Open ⁡ ( X ) ⟺ ∀ ( n , U , f ) ∈ D : f − 1 ( B ) ∈ Open ⁡ ( R n ) {\displaystyle B\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall (n,U,f)\in {\mathcal {D}}\colon f^{-1}(B)\in \operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})} 여기서 Open ⁡ ( R n ) {\displaystyle \operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})} 은 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 f {\displaystyle f} 들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다. 미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다. 미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다. 미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다. 모든 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 열린집합에서 M {\displaystyle M} 으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체는 미분학적 공간이다. 1차원 유클리드 공간 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 몫 R Z + α Z {\displaystyle {\frac {\mathbb {R} }{\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} }}} 을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 α {\displaystyle \alpha } 가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다. 미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(프랑스어: Jean-Marie Souriau, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다. ‘미분학적 공간’(프랑스어: espace difféologique 에스파스 디페올로지크[*])이라는 이름은 프랑스어: difféomorphisme 디페오모르피즘[*](미분 동형 사상)과 프랑스어: espace topologique 에스파스 토폴로지크[*](위상 공간)의 합성어이다. Iglesias-Zemmour, Patrick (2013). 《Diffeology》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 185. American Mathematical Society.  Souriau, Jean-Marie (1980). 〈Groupes différentiels〉. 《Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics. Proceedings of the Conferences Held at Aix-en-Provence, September 3–7, 1979 and Salamanca, September 10–14, 1979》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 836. Springer-Verlag. 91–128쪽. doi:10.1007/BFb0089728.  “Diffeological space”. 《nLab》 (영어).