양자 조화 진동자

양자 조화 진동자(量子調和振動子, 영어: quantum harmonic oscillator)는 양자 물리계의 하나로, 고전적 조화 진동자를 양자화하여 얻는다. 양자역학에서 해석적으로 풀 수 있는 몇 안되는 계 가운데 하나다. 1차원 양자 조화 진동자의 퍼텐셜은 다음과 같다. V ( x ) = 1 2 k x 2 = 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} . 여기서 k {\displaystyle k} 는 용수철 상수이고, ω {\displaystyle \omega } 는 퍼텐셜에 갇힌 입자의 운동의 각진동수이다. m {\displaystyle m} 은 입자의 질량이다. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 (시간독립 슈뢰딩거 방정식, Time-Independent Schrödinger Equation)을 풀면 다음과 같은 에너지 고유 상태 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 와 에너지 준위 E n {\displaystyle E_{n}} 을 얻는다. ⟨ x | n ⟩ = ψ n ( x ) = N n ⋅ H n ( α x ) ⋅ e − α x 2 2 = 1 ( 2 n n ! ) 1 / 2 ( α π ) 1 / 4 ⋅ H n ( α x ) ⋅ e − α x 2 2 {\displaystyle \langle x|n\rangle =\psi _{n}(x)=N_{n}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}={\frac {1}{(2^{n}\,n!)^{1/2}}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}} E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)} . 여기서, H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)\;}  : 에르미트 다항식 α = ( m k ℏ 2 ) 1 / 2 = m ω ℏ {\displaystyle \alpha =\left({mk \over \hbar ^{2}}\right)^{1/2}={m\omega \over \hbar }} n = 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots \;} 이다. 1차원에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. − ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\psi (x)=E\psi (x)} ℏ {\displaystyle \hbar } : 디랙 상수 h / 2 π {\displaystyle h/2\pi } m {\displaystyle m} : 진동자의 질량 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} : 진동자의 파동함수 E {\displaystyle E} : 진동자의 에너지 여기에 다음과 같은 변수 변환 ϵ = 2 E ℏ ω {\displaystyle \epsilon ={2E \over \hbar \omega }} y = m ω ℏ x = α x {\displaystyle y={\sqrt {m\omega \over \hbar }}x={\sqrt {\alpha }}x} 를 취하면 다음의 방정식을 얻는다. (이는 방정식에 나타난 물리량을 단위가 없는 양으로 바꾸기 위함이다.) d 2 ψ ( y ) d y 2 + ( ϵ − y 2 ) ψ ( y ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi (y)}{dy^{2}}}+(\epsilon -y^{2})\psi (y)=0} 지금 당장 이 형태는 풀기 어렵다. 따라서, 평형점(x=0)으로부터 한없이 멀리 떨어진 곳에서의 파동함수의 거동을 살펴보자. (이렇게 하면 해를 구하는 과정에서 x → ∞ 이면 파동함수의 함수값이 0 이 되어야 한다는 양자역학의 통계적 해석에 관한 기본 조건이 풀이에 자연스럽게 이용된다.) 이 경우, 상수인 ε에 비해 y는 매우 커지므로(x → ∞ 이면 y → ∞), 위 식의 두 번째 항에서 ε항을 무시할 수 있다. 그러면, d 2 ψ 0 ( y ) d y 2 − y 2 ψ 0 ( y ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{0}(y)}{dy^{2}}}-y^{2}\psi _{0}(y)=0} 의 간단한 방정식을 얻는다. 이 방정식의 해는 실제 파동함수가 x → ∞ 일 때 원래의 해가 점근적으로 수렴해 가는 함수이다. 이 미분 방정식을 풀면 ψ 0 ( y ) = e − y 2 2 {\displaystyle \psi _{0}(y)=e^{-{y^{2} \over 2}}} 를 얻는다. 그런데 이는 x 가 한없이 큰 곳에서의 해이므로, 실제 슈뢰딩거 방정식의 해는 특정 함수가 곱해진 형태인 다음과 같은 형태의 함수일 것이라 생각해볼 수 있다. ψ ( y ) = h ( y ) e − y 2 2 {\displaystyle \psi (y)=h(y)e^{-{y^{2} \over 2}}} 따라서 이 함수를 시험해로 사용하여 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 새로운 미분방정식을 얻는다. d 2 h ( y ) d y 2 − 2 y d h ( y ) d y + ( ϵ − 1 ) h ( y ) {\displaystyle {\frac {d^{2}h(y)}{dy^{2}}}-2y{\frac {dh(y)}{dy}}+(\epsilon -1)h(y)} 위 방정식을 급수해 풀이법으로 풀면, 그 해로 에르미트 다항식 H(y)를 얻는다. h ( y ) = H ( y ) {\displaystyle h(y)=H(y)\;} 이를 표준화를 시키면 앞의 표준화 상수 Nn를 구할 수 있고, 다시 y와 ε을 역변환하면 아래의 양자 조화 진동자 파동함수를 얻는다. ψ n = N n ⋅ H n ( α x ) ⋅ e − α x 2 2 = 1 ( 2 n n ! ) 1 / 2 ( α π ) 1 / 4 ⋅ H n ( α x ) ⋅ e − α x 2 2 {\displaystyle \psi _{n}=N_{n}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}={\frac {1}{(2^{n}\,n!)^{1/2}}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}\,} 양자 조화 진동자의 에너지 고유 상태와 에너지 준위의 주요한 성질은 미분 방정식을 직접 풀지 않아도 대수적인 방법으로 유추할 수 있다. 해밀토니언을 다음과 같이 인수분해하자. H = 1 2 m ω 2 x 2 + 1 2 m p 2 {\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {1}{2m}}p^{2}} = 1 2 ( ( ω m x − i p / m ) ( ω m x + i p / m ) + ℏ ω ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left((\omega {\sqrt {m}}x-ip/{\sqrt {m}})(\omega {\sqrt {m}}x+ip/{\sqrt {m}})+\hbar \omega \right)} = ( a † a + 1 2 ) ℏ ω {\displaystyle =(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}})\hbar \omega } . 여기서 a = 1 2 ( ω m x + i p / m ) {\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\omega {\sqrt {m}}x+ip/{\sqrt {m}}\right)} a † = 1 2 ( ω m x − i p / m ) {\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\omega {\sqrt {m}}x-ip/{\sqrt {m}}\right)} 는 사다리 연산자이다. 이들은 에르미트 연산자가 아니므로, 관측 가능량이 아니다. 다음과 같이 입자수 연산자(粒子數演算子, particle-number operator) N {\displaystyle N} 을 정의하자. N = a † a {\displaystyle N=a^{\dagger }a} . 이는 에르미트 연산자이다. 따라서 그 고유 기저를 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 이라고 적자. 즉 N | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle } 이다. ⟨ ψ | N | ψ ⟩ = ( ⟨ ψ | a † ) ( a | ψ ⟩ ) = | a | ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \langle \psi |N|\psi \rangle =(\langle \psi |a^{\dagger })(a|\psi \rangle )=\left|a|\psi \rangle \right|^{2}} 이므로, N {\displaystyle N} 의 고윳값은 음이 아닌 실수다. 입자수 연산자와 사다리 연산자의 교환자는 다음과 같다. [ a , a † ] = 1 {\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1} [ a , N ] = a {\displaystyle [a,N]=a} [ a † , N ] = − a † {\displaystyle [a^{\dagger },N]=-a^{\dagger }} . 따라서 N a | n ⟩ = a ( N − 1 ) | n ⟩ = ( n − 1 ) a | n ⟩ {\displaystyle Na|n\rangle =a(N-1)|n\rangle =(n-1)a|n\rangle } 이므로, a | n ⟩ ∝ | n − 1 ⟩ {\displaystyle a|n\rangle \propto |n-1\rangle } 이다. 마찬가지로, a † | n ⟩ ∝ | n + 1 ⟩ {\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle \propto |n+1\rangle } 임을 보일 수 있다. 즉, a {\displaystyle a} 는 N {\displaystyle N} 의 양자수를 1 감소시키고, a † {\displaystyle a^{\dagger }} 는 N {\displaystyle N} 의 양자수를 1 증가시킨다. 이 때문에 a † {\displaystyle a^{\dagger }} 를 생성 연산자(生成演算子, creation operator), a {\displaystyle a} 를 소멸 연산자(消滅演算子,annihilation operator)라고 부른다. 그 비례 상수는 다음과 같이 계산할 수 있다. n = ⟨ n | N | n ⟩ = | a | n ⟩ | | 2 {\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\left|a|n\rangle |\right|^{2}} . 따라서 a | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ {\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle } 이다. 마찬가지로, n + 1 = ⟨ n | ( N + 1 ) | n ⟩ = | a † | n ⟩ | 2 {\displaystyle n+1=\langle n|(N+1)|n\rangle =\left|a^{\dagger }|n\rangle \right|^{2}} 이므로, a † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ {\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle } 이다. 이에 따라, a k | n ⟩ = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) | n − k ⟩ {\displaystyle a^{k}|n\rangle ={\sqrt {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}}|n-k\rangle } 이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 정수가 아니라면, k > n {\displaystyle k>n} 일 때 음의 고윳값 n − k {\displaystyle n-k} 을 가진 고유벡터 | n − k ⟩ {\displaystyle |n-k\rangle } 가 존재하게 된다. 그러나 N {\displaystyle N} 의 고윳값은 항상 음이 아닌 실수이므로, n {\displaystyle n} 은 항상 정수이다. 즉, N {\displaystyle N} 의 고윳값은 항상 음이 아닌 정수이고, 바닥 상태 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다. | n ⟩ = ( a † ) n n ! | 0 ⟩ {\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle } . 입자수 N {\displaystyle N} 의 고윳값이 음이 아닌 정수이므로, 해밀토니언 H = ℏ ω ( N + 1 / 2 ) {\displaystyle H=\hbar \omega (N+1/2)} 의 고윳값(에너지 준위) E n {\displaystyle E_{n}} 은 다음과 같다. E n = ℏ ω ( n + 1 / 2 ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+1/2)} . Sakurai, Jun John (1994). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 양자 조화 진동자 상자 속 입자 퍼텐셜 우물 조화 진동자 결맞는 상태 글라우버-수다르샨 표현