이중 타원 전이

이중 타원 전이(영어: Bi-elliptic transfer)는 우주선을 한 궤도에서 다른 궤도로 이동시키는 방법 중 하나로, 반으로 잘린 타원 궤도 두 개가 사용된다. 출발 궤도에서 첫 번째 분사를 통해 중심체에서 궤도 원점이 r b {\displaystyle r_{b}} 만큼 떨어진 궤도로 옮겨간 다음, 원점에서의 두 번째 분사를 통해 근점을 최종 목표 궤도의 고도로 맞춘 다음, 세 번째 분사로 목표 궤도에 진입한다. 호만 전이에 비해 엔진 분사가 한 번 더 필요하고 전이 시간도 길지만, 조건에 따라서 이중 타원 전이가 호만 전이보다 델타 V의 소모량이 적은 경우도 있다. 세 번의 속도 변화는 모두 활력방정식에서 직접 유도할 수 있다. v 2 = μ ( 2 r − 1 a ) , {\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),} v {\displaystyle v} 은 위성의 속도이다. μ = G M {\displaystyle \mu =GM} 은 중심체의 표준 중력 변수이다. r {\displaystyle r} 은 중심체와 위성 사이의 거리, 즉 궤도 반지름이다. a {\displaystyle a} 은 위성의 궤도 긴반지름이다. 이를 이용해 다음 기호를 정의할 수 있다. r 1 {\displaystyle r_{1}} 은 출발 궤도의 반지름이다. r 2 {\displaystyle r_{2}} 은 최종 궤도의 반지름이다. r b {\displaystyle r_{b}} 은 두 전이 궤도의 공통 원점 고도로, 이중 타원 전이의 자유 변수이다. a 1 {\displaystyle a_{1}} 와 a 2 {\displaystyle a_{2}} 은 두 타원 전이 궤도의 긴반지름으로, 다음과 같이 구할 수 있다. a 1 = r 1 + r b 2 {\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}}} , a 2 = r 2 + r b 2 {\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}} . 반지름 r 1 {\displaystyle r_{1}} 인 원 궤도에서 시작할 때, 순행 방향으로 분사하여 첫 번째 타원 전이 궤도로 들어가게 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다. Δ v 1 = 2 μ r 1 − μ a 1 − μ r 1 . {\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.} 첫 번째 타원 전이 궤도의 원점에 도달했으면 궤도 중심체와의 거리는 r b {\displaystyle r_{b}} 가 된다. 둘째 분사를 통해 근지점의 궤도를 목표 원궤도로 올리면, 우주선의 궤도는 두 번째 타원 전이 궤도가 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다. Δ v 2 = 2 μ r b − μ a 2 − 2 μ r b − μ a 1 . {\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.} 마지막으로 고도 r 2 {\displaystyle r_{2}} 인 지점에 도달하면, 역행 방향으로 분사하면 궤도가 원형이 되고, 목표 궤도에 진입하게 된다. 마지막 분사에 필요한 델타 V는 다음과 같다. Δ v 3 = 2 μ r 2 − μ a 2 − μ r 2 . {\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.} 만약 r b = r 2 {\displaystyle r_{b}=r_{2}} 라면 일반적인 호만 전이가 되며, Δ v 3 = 0 {\displaystyle \Delta v_{3}=0} 이 된다. 따라서 호만 전이는 이중 타원 전이에서 분사가 2번밖에 없는 특수한 경우로 정의할 수 있다. r b = ∞ {\displaystyle r_{b}=\infty } 로 둔다면 델타 V 절약량의 최대치를 계산할 수 있으며, 총 Δ v {\displaystyle \Delta v} 는 μ / r 1 ( 2 − 1 ) ( 1 + r 1 / r 2 ) {\displaystyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)} 로 단순화된다. 이 경우에는 타원 대신 포물선 궤도를 사용하기 때문에, 이중 포물선 전이라고 하기도 한다. 전이 시간은 무한이 된다. 호만 전이와 유사하게 이중 타원 전이에서도 타원 궤도의 반을 이용하기 때문에, 전이 시간은 각 궤도 주기의 반씩을 더한 것과 같다. 공전 주기를 계산하는 식은 다음과 같다. T = 2 π a 3 μ . {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.} 총 전이 시간 t {\displaystyle t} 는 각 궤도에서 보내는 시간의 합과 같다. t 1 = π a 1 3 μ , t 2 = π a 2 3 μ {\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{,}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}} t = t 1 + t 2 . {\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.} 반지름의 비 R ≡ r 2 / r 1 {\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}} 이 11.94보다 작을 시 호만 전이의 효율이 항상 좋다. 반면 R {\displaystyle R} 이 15.58이 넘을 시, 전이 궤도의 원점 r b {\displaystyle r_{b}} 에 상관없이, 이중 타원 전이의 효율이 항상 좋다. 11.94와 15.58 사이에서는 r b {\displaystyle r_{b}} 의 값에 따라 어느 전이 방법이 더 효율적인지가 결정된다. t = π a 1 3 μ + π a 2 3 μ {\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}} 이중 타원 전이의 긴 소요 시간은 큰 단점이며, 포물선이 될 경우 무한으로 발산한다. 호만 전이는 전이 궤도가 하나밖에 없기 때문에, 전이 시간은 이중 타원 전이의 절반 이하이다. r0 = 6700 km인 지구 저궤도에서 r1 = 93 800 km인 궤도로 올라가기 위해서는, 호만 전이를 이용할 시 Δv = 2825.02 + 1308.70 = 4133.72 m/s이 된다. 여기서 r1 = 14r0 > 11.94r0이기 때문에, 이중 타원 전이로 효율을 더 높일 수 있다. 우주선이 처음에 3061.04 m/s만큼 가속하면 r2 = 40r0 = 268 000 km인 타원 궤도로 진입하고, 608.825 m/s를 추가로 가속하면 r1 = 93 800 km인 타원 궤도로 진입하며, 마지막으로 447.662 m/s만큼 감속하면 목표 원궤도에 진입한다. 이 때의 총 Δv는 4117.53 m/s로, 호만 전이에 비해 16.19 m/s (0.4%) 적다. Δv 절약량은 전이 궤도의 원점 고도를 증가시킴으로써 늘릴 수 있으며, 전이 시간도 같이 늘어난다. 예시로, 75.8r0 = 507 688 km(달 궤도의 1.3배)까지 올라간다면 호만 전이에 비해 Δv를 1% 절약할 수 있으나, 전이 시간이 17일로 증가한다. 극적인 예시로, 1757r0 = 11 770 000 km(달 궤도의 30배)까지 올라간다면 Δv를 2% 절약할 수 있지만, 전이 시간이 4.5년으로 늘며, 태양계 다른 천체들의 섭동을 받을 수 있다. 참고로 호만 전이로는 15시간 34분이 소요된다. 순행 방향의 Δv 역행 방향의 Δv 이중 타원 전이는 최초 분사에서의 델타 V 사용량이 더 높으며, 이로 인해 고유 궤도 에너지에 영향을 더 크게 준다. 또한 전체 델타 V가 감소하는 것은 오베르트 효과에 의한 것이다. 호만 전이 궤도 Curtis, Howard (2005). 《Orbital Mechanics for Engineering Students》. Elsevier. 264쪽. ISBN 0-7506-6169-0.  Vallado, David Anthony (2001). 《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》. Springer. 318쪽. ISBN 0-7923-6903-3.  Gobetz, F. W.; Doll, J. R. (May 1969). “A Survey of Impulsive Trajectories”. 《AIAA Journal》 (American Institute of Aeronautics and Astronautics) 7 (5): 801–834. Bibcode:1969AIAAJ...7..801D. doi:10.2514/3.5231.  Escobal, Pedro R. (1968). 《Methods of Astrodynamics》. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-24528-5.