2차원 𝒩=4 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초등각 장론(二次元 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 超等角場論, 영어: two-dimensional N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} superconformal theory)은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 2차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다. 위 표에서 G a {\displaystyle G^{a}} 를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, G a {\displaystyle G^{a}} 의 에르미트 수반은 G ¯ a ¯ {\displaystyle {\bar {G}}^{\bar {a}}} 이다. 중심 원소 k = 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=0,1,2,3,\dots } 는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 c {\displaystyle c} 는 다음과 같다. c = 6 k = 0 , 6 , 12 , 18 , … {\displaystyle c=6k=0,6,12,18,\dots } 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 ⋯ {\displaystyle \cdots } 는 z → 0 {\displaystyle z\to 0} 에서 비특이항을 나타낸다. T ( z ) T ( 0 ) = 3 k z − 4 + 2 z − 2 T ( 0 ) + z − 1 ∂ T ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots } T ( z ) G ( 0 ) = 3 2 z − 2 G ( 0 ) + z − 1 ∂ G ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle T(z)G(0)={\frac {3}{2}}z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots } T ( z ) J ( 0 ) = z − 2 J ( 0 ) + z − 1 ∂ J ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots } J i ( z ) J j ( 0 ) = 1 2 k z − 2 δ i j + i z − 1 ϵ i j k J k + ⋯ {\displaystyle J^{i}(z)J^{j}(0)={\frac {1}{2}}kz^{-2}\delta ^{ij}+iz^{-1}\epsilon ^{ijk}J^{k}+\cdots } J i ( z ) G a ( 0 ) = − 1 2 σ a b i z − 1 G b ( 0 ) + ⋯ {\displaystyle J^{i}(z)G^{a}(0)=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}z^{-1}G^{b}(0)+\cdots } G a ( z ) G ¯ b ¯ ( 0 ) = 4 k δ a b z − 3 − 4 σ a b ¯ i z − 2 J i ( 0 ) + z − 1 ( 2 δ a b T ( z ) − 2 σ a b ¯ i ∂ J i ( 0 ) ) + ⋯ {\displaystyle G^{a}(z){\bar {G}}^{\bar {b}}(0)=4k\delta ^{ab}z^{-3}-4\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}z^{-2}J^{i}(0)+z^{-1}\left(2\delta ^{ab}T(z)-2\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}\partial J^{i}(0)\right)+\cdots } 이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다. T ( z ) = ∑ n z n − 2 L − n {\displaystyle T(z)=\sum _{n}z^{n-2}L_{-n}} G ( z ) = ∑ r ∈ Z + η z r − 3 / 2 G − r {\displaystyle G(z)=\sum _{r\in \mathbb {Z} +\eta }z^{r-3/2}G_{-r}} J i ( z ) = ∑ n z n − 1 J − n i {\displaystyle J^{i}(z)=\sum _{n}z^{n-1}J_{-n}^{i}} 여기서 NS 경계 조건의 경우 η = 0 {\displaystyle \eta =0} 이며 R 경계 조건의 경우 η = 1 / 2 {\displaystyle \eta =1/2} 이다. 그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다. [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + 1 2 k ( m 3 − m ) δ m + n , 0 {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{2}}k(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}} [ L m , G r a ] = ( m / 2 − r ) G m + r a {\displaystyle [L_{m},G_{r}^{a}]=(m/2-r)G_{m+r}^{a}} [ L m , J n i ] = − n J m + n i {\displaystyle [L_{m},J_{n}^{i}]=-nJ_{m+n}^{i}} [ J m i , J n j ] = i ϵ i j k J m + n k + 1 2 m k δ i j δ m + n , 0 {\displaystyle [J_{m}^{i},J_{n}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{m+n}^{k}+{\frac {1}{2}}mk\delta ^{ij}\delta _{m+n,0}} [ J m i , G r a ] = − 1 2 σ a b i G m + r b {\displaystyle [J_{m}^{i},G_{r}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{m+r}^{b}} { G r a , G s b } = 0 {\displaystyle \{G_{r}^{a},G_{s}^{b}\}=0} { G r a , G ¯ s b ¯ } = 2 δ a b ¯ L r + s − 2 ( r − s ) σ a b ¯ i J r + s i + 1 2 k ( 4 r 2 − 1 ) δ r + s , 0 {\displaystyle \{G_{r}^{a},{\bar {G}}_{s}^{\bar {b}}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{r+s}-2(r-s)\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{r+s}^{i}+{\frac {1}{2}}k(4r^{2}-1)\delta _{r+s,0}} NS 대수에서, L ± 1 {\displaystyle L_{\pm 1}} , L 0 {\displaystyle L_{0}} , G ± 1 / 2 a {\displaystyle G_{\pm 1/2}^{a}} , G ¯ ± 1 / 2 a ¯ {\displaystyle {\bar {G}}_{\pm 1/2}^{\bar {a}}} , J 0 i {\displaystyle J_{0}^{i}} 는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다. [ L 1 , L − 1 ] = 2 L 0 {\displaystyle [L_{1},L_{-1}]=2L_{0}} [ L ± 1 , L 0 ] = ± L 0 {\displaystyle [L_{\pm 1},L_{0}]=\pm L_{0}} [ G ± 12 a , L 0 ] = ± 1 2 G ± 12 a {\displaystyle [G_{\pm 12}^{a},L_{0}]=\pm {\frac {1}{2}}G_{\pm 12}^{a}} [ L 1 , G 1 / 2 a ] = [ L − 1 , G − 1 / 2 a ] = 0 {\displaystyle [L_{1},G_{1/2}^{a}]=[L_{-1},G_{-1/2}^{a}]=0} [ L ± 1 , G ∓ 1 / 2 a ] = ± G ± 1 / 2 a {\displaystyle [L_{\pm 1},G_{\mp 1/2}^{a}]=\pm G_{\pm 1/2}^{a}} [ J 0 i , L 0 ] = [ J 0 i , L ± 1 ] = 0 {\displaystyle [J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0} [ J 0 i , J 0 j ] = i ϵ i j k J 0 k {\displaystyle [J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}} { G ± 1 / 2 a , G ± 1 / 2 b } = { G ± 1 / 2 a , G ∓ 1 / 2 b } = 0 {\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\pm 1/2}^{b}\}=\{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\mp 1/2}^{b}\}=0} { G ± 1 / 2 a , G ¯ ± 1 / 2 b } = 2 δ a b ¯ L ± 1 {\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\pm 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{\pm 1}} { G ± 1 / 2 a , G ¯ ∓ 1 / 2 b } = 2 δ a b ¯ L 0 ∓ σ a b ¯ i J 0 i {\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\mp 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}\mp \sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{0}^{i}} [ J 0 i , G ± 1 / 2 a ] = − 1 2 σ a b i G ± 1 / 2 b {\displaystyle [J_{0}^{i},G_{\pm 1/2}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{\pm 1/2}^{b}} 마찬가지로, R 대수에서, L 0 {\displaystyle L_{0}} , G 0 a {\displaystyle G_{0}^{a}} , G ¯ 0 a ¯ {\displaystyle {\bar {G}}_{0}^{\bar {a}}} , J 0 i {\displaystyle J_{0}^{i}} , k {\displaystyle k} 는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. [ L 0 , L 0 ] = [ G 0 a , L 0 ] = [ G ¯ 0 a ¯ , L 0 ] = 0 {\displaystyle [L_{0},L_{0}]=[G_{0}^{a},L_{0}]=[{\bar {G}}_{0}^{\bar {a}},L_{0}]=0} [ J 0 i , L 0 ] = [ J 0 i , L ± 1 ] = 0 {\displaystyle [J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0} [ J 0 i , J 0 j ] = i ϵ i j k J 0 k {\displaystyle [J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}} { G 0 a , G 0 b } = 0 {\displaystyle \{G_{0}^{a},G_{0}^{b}\}=0} { G 0 a , G ¯ 0 b } = 2 δ a b ¯ L 0 − 1 2 k {\displaystyle \{G_{0}^{a},{\bar {G}}_{0}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}-{\frac {1}{2}}k} [ J 0 i , G 0 a ] = − 1 2 σ a b i G 0 b {\displaystyle [J_{0}^{i},G_{0}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{0}^{b}} 2차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 h {\displaystyle h} 및 SU(2) 아이소스핀 l = 0 , 1 / 2 , 1 , … {\displaystyle l=0,1/2,1,\dots } 에 따라 분류된다. 이는 유질량 표현(영어: massive representation)과 무질량 표현(영어: massless representation)으로 나뉜다. 유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다. h ≥ k / 4 ( NS ) {\displaystyle h\geq k/4\qquad ({\text{NS}})} h ≥ | l | ( R ) {\displaystyle h\geq |l|\qquad ({\text{R}})} 무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다. N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초등각 장론에서는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 인 경우와 달리 ( − 1 ) F ≠ ( − 1 ) J 0 {\displaystyle (-1)^{F}\neq (-1)^{J_{0}}} 이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) q {\displaystyle q} 에 대한 퓨가시티 z {\displaystyle z} 와 페르미온 수 F {\displaystyle F} 에 대한 퓨가시티 y {\displaystyle y} 를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다. Z ( q , z , y ) = ∑ ( h , q , F ) q h − k / 4 z q y F {\displaystyle Z(q,z,y)=\sum _{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^{q}y^{F}} 이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다. 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 N = ( 4 , 4 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(4,4)} 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 4 k {\displaystyle 4k} 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 k {\displaystyle k} 인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 k = 1 {\displaystyle k=1} 이다. N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 위상 끈 이론을 정의할 수 있다. Sevrin, A.; Troost, W.; Van Proeyen, A. (1988년 7월 21일). “Superconformal algebras in two dimensions with N = 4 {\displaystyle N=4} ”. 《Physics Letters B》 (영어) 208 (3–4): 447–450. Bibcode:1988PhLB..208..447S. doi:10.1016/0370-2693(88)90645-4.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 48) (도움말) Schwimmer, Adam; Seiberg, Nathan (1987년 1월 29일). “Comments on the N = 2 , 3 , 4 {\displaystyle N=2,3,4} superconformal algebras in two dimensions”. 《Physics Letters B》 (영어) 184 (2–3): 191–196. Bibcode:1987PhLB..184..191S. doi:10.1016/0370-2693(87)90566-1.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 17) (도움말) Ooguri, Hirosi (1989년 10월 20일). “Superconformal symmetry and geometry of Ricci-flat Kähler manifolds” (PDF). 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 4 (17): 4303. Bibcode:1989IJMPA...4.4303O. doi:10.1142/S0217751X89001801. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] 2차원 등각 장론 2차원 𝒩=1 초등각 장론 2차원 𝒩=2 초등각 장론 Eguchi, Tohru; Taormina, Anne (1987년 9월 24일). “Unitary representations of the N = 4 {\displaystyle N=4} superconformal algebra”. 《Physics Letters B》 (영어) 196 (1): 75–81. Bibcode:1987PhLB..196...75E. doi:10.1016/0370-2693(87)91679-0.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 32) (도움말) Eguchi, Tohru; Taormina, Anne (1988년 8월 18일). “On the unitary representations of N = 2 {\displaystyle N=2} and N = 4 {\displaystyle N=4} superconformal algebras” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 210 (1–2): 125–132. Bibcode:1988PhLB..210..125E. doi:10.1016/0370-2693(88)90360-7.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 35) (도움말) Berkovits, Nathan; Vafa, Cumrun. “ᅟ N = 4 {\displaystyle N=4} topological strings” (영어). arXiv:hep-th/9407190. doi:10.1016/0550-3213(94)00419-F.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 2) (도움말)