요르단 삼항 대수

추상대수학에서 요르단 삼항 대수(Jordan三項代數, 영어: Jordan triple algebra)는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “등각 변환”으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 칸토르-쾨허-티츠 구성(Кантор-Koecher-Tits構成, 영어: Kantor–Koecher–Tits construction)이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 요르단 삼항 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. K {\displaystyle K} -벡터 공간 A {\displaystyle A} K {\displaystyle K} -선형 변환 ⟨ − ⟩ : A ⊗ K A ⊗ K A → A {\displaystyle \langle -\rangle \colon A\otimes _{K}A\otimes _{K}A\to A} , x ⊗ y ⊗ z ↦ ⟨ x y z ⟩ {\displaystyle x\otimes y\otimes z\mapsto \langle xyz\rangle } 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. (대칭성) ⟨ x , y , z ⟩ = ⟨ z , y , x ⟩ {\displaystyle \langle x,y,z\rangle =\langle z,y,x\rangle } ⟨ u , v , ⟨ x , y , z ⟩ ⟩ − ⟨ x , y , ⟨ u , v , z ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ u , v , x ⟩ , y , z ⟩ − ⟨ x , ⟨ y , u , v ⟩ , z ⟩ {\displaystyle \langle u,v,\langle x,y,z\rangle \rangle -\langle x,y,\langle u,v,z\rangle \rangle =\langle \langle u,v,x\rangle ,y,z\rangle -\langle x,\langle y,u,v\rangle ,z\rangle } 요르단 대수 ( A , ⋆ ) {\displaystyle (A,\star )} 가 주어졌을 때 ⟨ x , y , z ⟩ = ( x ⋆ y ) ⋆ z + x ⋆ ( y ⋆ z ) − y ⋆ ( x ⋆ z ) {\displaystyle \langle x,y,z\rangle =(x\star y)\star z+x\star (y\star z)-y\star (x\star z)} 를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다. K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 { − 1 , 0 , + 1 } {\displaystyle \{-1,0,+1\}} 값의 등급을 갖는다고 하자. g = g − 1 ⊕ g 0 ⊕ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}} [ g 0 , g i ] ⊆ g i {\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {g}}_{i}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i}} [ g 1 , g 1 ] = [ g − 1 , g − 1 ] = 0 {\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{1}]=[{\mathfrak {g}}_{-1},{\mathfrak {g}}_{-1}]=0} [ g 1 , g − 1 ] ⊆ g 0 {\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{-1}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{0}} 또한, K {\displaystyle K} -선형 변환 τ : g ↦ g {\displaystyle \tau \colon {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}} 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. τ {\displaystyle \tau } 는 리 대수의 자기 동형을 이룬다. (대합) τ ( τ ( x ) ) = x ∀ x ∈ g {\displaystyle \tau (\tau (x))=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}} (등급과의 호환) τ ( x ) ∈ g − i ∀ i ∈ { 0 , ± 1 } , x ∈ g i {\displaystyle \tau (x)\in {\mathfrak {g}}_{-i}\forall i\in \{0,\pm 1\},\;x\in {\mathfrak {g}}_{i}} 그렇다면, ⟨ x , y , z ⟩ = [ [ x , τ ( y ) ] , z ] {\displaystyle \langle x,y,z\rangle =[[x,\tau (y)],z]} 를 정의하면 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 요르단 3항 대수를 이룬다. 이제, 요르단 3항 대수 ( A , ⟨ − , − , − ⟩ ) {\displaystyle (A,\langle -,-,-\rangle )} 가 주어졌을 때, 다항 함수 A → A {\displaystyle A\to A} 의 결합 대수 A ⊗ K [ A ] {\displaystyle A\otimes K[A]} 를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호 [ a , b ] = a b − b a {\displaystyle [a,b]=ab-ba} 만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다. 이제, 다음과 같은 세 K {\displaystyle K} -벡터 공간을 정의하자. g − 1 = { x ↦ a : a ∈ A } = ( A ⊗ K K [ A ] ) 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}=\{x\mapsto a\colon a\in A\}=(A\otimes _{K}K[A])_{0}} g 0 = Span K ⁡ { x ↦ ⟨ a , b , x ⟩ : a , b ∈ A } ⊆ ( A ⊗ K K [ A ] ) 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\operatorname {Span} _{K}\{x\mapsto \langle a,b,x\rangle \colon a,b\in A\}\subseteq (A\otimes _{K}K[A])_{1}} g 1 = { x ↦ − 1 2 ⟨ x , u , x ⟩ : u ∈ A } ⊆ ( A ⊗ K K [ A ] ) 2 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}=\left\{x\mapsto -{\frac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle \colon u\in A\right\}\subseteq (A\otimes _{K}K[A])_{2}} 이는 A {\displaystyle A} 위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다. 이는 일반적으로 A ⊗ K K [ A ] {\displaystyle A\otimes _{K}K[A]} 의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 즉, 이는 K {\displaystyle K} -리 대수를 이루며, 또한 { − 1 , 0 , + 1 } {\displaystyle \{-1,0,+1\}} 값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는 τ : g i ↦ g − i {\displaystyle \tau \colon {\mathfrak {g}}_{i}\mapsto {\mathfrak {g}}_{-i}} τ : ( ( x ↦ u ) ∈ g − 1 ) ↦ ( ( x ↦ − 1 2 ⟨ x , u , x ⟩ ) ∈ g 1 {\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto u)\in {\mathfrak {g}}_{-1})\mapsto ((x\mapsto -{\tfrac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{1}} τ : ( ( x ↦ ⟨ u , v , x ⟩ ) ∈ g 0 ) ↦ ( ( x ↦ ⟨ τ ( u ) , τ ( v ) , x ⟩ ) ∈ g 0 ) {\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto \langle u,v,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{0})\mapsto ((x\mapsto \langle \tau (u),\tau (v),x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{0})} 와 같은 대합이 주어진다. 이를 A {\displaystyle A} 에 대응되는 칸토르-쾨허-티츠 구성이라고 하며, c o n ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}(A)} 로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를 c o n 0 ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}(A)} 로 표기한다. 만약 A {\displaystyle A} 가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형 K → c o n 0 ( A ) {\displaystyle K\to {\mathfrak {con}}_{0}(A)} α ↦ ( x ↦ α x ) {\displaystyle \alpha \mapsto (x\mapsto \alpha x)} 이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를 c o n 0 ′ ( A ) = c o n 0 K {\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'({\mathfrak {A}})={\frac {{\mathfrak {con}}_{0}}{K}}} 로 표기하자. 사실, c o n 0 ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}(A)} 의 모든 원소는 T = 1 dim K ⁡ A tr ⁡ ( T ) + ( T − 1 dim K ⁡ A tr ⁡ ( T ) ) {\displaystyle T={\frac {1}{\dim _{K}A}}\operatorname {tr} (T)+\left(T-{\frac {1}{\dim _{K}A}}\operatorname {tr} (T)\right)} 와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합 c o n 0 ( A ) = K ⊕ c o n 0 ′ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}(A)=K\oplus {\mathfrak {con}}'_{0}(A)} 을 이룬다. 또한, A {\displaystyle A} 가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산 ⋆ {\displaystyle \star } 을 보존하는 미분 리 대수 d e r ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} 가 존재하며, 이는 c o n 0 ′ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'(A)} 의 부분 대수를 이룬다. d e r ( A ) ⊆ c o n 0 ′ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\subseteq {\mathfrak {con}}_{0}'(A)} 요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.:§§4–5 여기서 H ⁡ ( n , K ) {\displaystyle \operatorname {H} (n,\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle K} 계수의 n × n {\displaystyle n\times n} 에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 는 실수체 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ), 복소수체 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } ), 사원수 대수 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } ), 팔원수 대수 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 가운데 하나이다. c o n ( H ⁡ ( 2 ; K ) ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}(\operatorname {H} (2;\mathbb {K} ))} 의 { 0 , ± 1 } {\displaystyle \{0,\pm 1\}} 등급 및 대합은 등각 대칭군으로서 주어진다. 즉, 우변을 2 + dim R ⁡ K ∈ { 3 , 4 , 6 , 10 } {\displaystyle 2+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} \in \{3,4,6,10\}} 차원 민코프스키 공간 위의 등각 변환들의 군으로 여긴다. 칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠 · 이사이 리보비치 칸토르(러시아어: Исай Львович Кантор, 1936~2006) · 막스 쾨허(독일어: Max Koecher, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다. Palmkvist, Jakob (2008). “A generalization of the Kantor-Koecher-Tits construction” (PDF). 《Journal of generalized Lie theory and applications》 (영어) 2 (3): 226–230.  Sudbery, A. (1984년 4월). “Division algebras, (pseudo)orthogonal groups and spinors”. 《Journal of physics A》 (영어) 17 (5): 939–955. 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