실폐체

체론과 모형 이론에서 실폐체(實閉體, 영어: real closed field)는 실수체와 기본 동치인 체이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 실폐체라고 한다. K {\displaystyle K} 의 1차 논리 언어 ( K , + , − , 0 , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (K,+,-,0,\cdot ,1)} 는 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 1차 논리 언어 ( R , + , − , 0 , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,-,0,\cdot ,1)} 과 기본 동치이다. 모든 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 근을 가지며, 또한 K {\displaystyle K} 위에 다음 두 조건을 만족시키는 전순서 ≤ {\displaystyle \leq } 가 존재한다. ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 는 순서체를 이룬다. 모든 양의 원소는 제곱수이다. 즉, ∀ a ∈ K : ( a > 0 ⟹ ∃ b ∈ K : a = b 2 ) {\displaystyle \forall a\in K\colon \left(a>0\implies \exists b\in K\colon a=b^{2}\right)} 이다. K {\displaystyle K} 위에 다음 조건을 만족시키는 전순서 ≤ {\displaystyle \leq } 가 존재한다. ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 는 순서체를 이룬다. ≤ {\displaystyle \leq } 는 대수적 확대에 대하여 확대될 수 없다. 즉, K {\displaystyle K} 의 임의의 대수적 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, 만약 [ L : K ] > 1 {\displaystyle [L:K]>1} 이며, L {\displaystyle L} 에 전순서 ≤ L {\displaystyle \leq _{L}} 를 부여하여 ( L , ≤ L ) {\displaystyle (L,\leq _{L})} 이 순서체를 이룬다면, ≤ L | K × K ≠≤ {\displaystyle \leq _{L}|_{K\times K}\neq \leq } 이다. K {\displaystyle K} 위에 다음 조건을 만족시키는 전순서 ≤ {\displaystyle \leq } 가 존재한다. ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 는 순서체를 이룬다. 모든 다항식에 대하여 중간값 정리가 성립한다. 즉, 임의의 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 및 임의의 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} 및 임의의 c ~ ∈ K {\displaystyle {\tilde {c}}\in K} 에 대하여, 만약 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 이며 f ( a ) ≤ c ~ ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq {\tilde {c}}\leq f(b)} 라면, f ( c ) = c ~ {\displaystyle f(c)={\tilde {c}}} 이자 a ≤ c ≤ b {\displaystyle a\leq c\leq b} 인 c ∈ K {\displaystyle c\in K} 가 존재한다. K {\displaystyle K} 는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 또한 K ¯ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K} 는 유한 확대이다. K {\displaystyle K} 는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 확대체 K ( − 1 ) {\displaystyle K({\sqrt {-1}})} 은 대수적으로 닫힌 체이다. K {\displaystyle K} 는 스스로의 대수적 폐포 속에서 극대 형식적 실체(영어: formally real field)이다. 즉, K {\displaystyle K} 는 형식적 실체이며, 임의의 대수적 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여 [ L : K ] > 1 {\displaystyle [L:K]>1} 이라면, L {\displaystyle L} 은 형식적 실체가 아니다. 실폐체 K {\displaystyle K} 위에는 다음과 같이 표준적인 전순서를 주어 순서체로 만들 수 있다. a ≤ b ⟺ ∃ c ∈ K : a + c 2 = b {\displaystyle a\leq b\iff \exists c\in K\colon a+c^{2}=b} 아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 임의의 순서체 ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 및 그 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 중간체 K ≤ K re ≤ K ¯ {\displaystyle K\leq K^{\operatorname {re} }\leq {\bar {K}}} 가 존재한다. K re {\displaystyle K^{\operatorname {re} }} 는 실폐체이다. K re {\displaystyle K^{\operatorname {re} }} 위의 표준적 전순서 ≤ K re {\displaystyle \leq _{K^{\operatorname {re} }}} 를 K {\displaystyle K} 에 제한하면, 이는 ≤ {\displaystyle \leq } 와 같다. 이 경우 K re {\displaystyle K^{\operatorname {re} }} 를 K {\displaystyle K} 의 실폐포(實閉包, 영어: real closure)라고 한다. 다음과 같은 체들은 실폐체를 이룬다. 실수인 대수적 수들의 체 Q ¯ ∩ R {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R} } 계산 가능한 수의 체 정의 가능한 수의 체 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 모든 초실수체 실수 계수의 퓌죄 급수들의 체 R ( ( x , x 1 / 2 , x 1 / 3 , x 1 / 4 , … ) ) {\displaystyle \mathbb {R} ((x,x^{1/2},x^{1/3},x^{1/4},\dots ))} Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.  “Real closed field”. 《nLab》 (영어).