내접원

내접원(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, 영어: incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 I {\displaystyle I} 로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 r {\displaystyle r} 로 표기한다. 다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다. (내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다. 모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다. (내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 r {\displaystyle r} 은 넓이 S {\displaystyle S} 와 반둘레 s {\displaystyle s} 를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다. r = S s {\displaystyle r={\frac {S}{s}}} 삼각형의 세 변의 길이가 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , 반둘레가 s {\displaystyle s} , 넓이가 S {\displaystyle S} , 외접원의 반지름이 R {\displaystyle R} , 방접원의 반지름이 r A {\displaystyle r_{A}} , r B {\displaystyle r_{B}} , r C {\displaystyle r_{C}} 라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다. r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s = a b c 4 s R = 1 1 r A + 1 r B + 1 r C = r A + r B + r C − 4 R {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\\&={\frac {abc}{4sR}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}}}\\&=r_{A}+r_{B}+r_{C}-4R\end{aligned}}} 첫 등호는 헤론의 공식에 의한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내심을 I {\displaystyle I} 라고 하고, 내접원과 두 변 A C {\displaystyle AC} , B C {\displaystyle BC} 의 접점을 각각 T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 라고 하고, 직선 A I {\displaystyle AI} 와 T B T C {\displaystyle T_{B}T_{C}} 의 교점을 P {\displaystyle P} 라고 할 때, B P {\displaystyle BP} 는 A I {\displaystyle AI} 의 수선이다.:31, §3.4 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원의 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변에서의 접점을 각각 T A {\displaystyle T_{A}} , T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 라고 하고, 반둘레를 s {\displaystyle s} , A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 길이를 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 라고 할 때, 다음이 성립한다. A T B = A T C = s − a {\displaystyle AT_{B}=AT_{C}=s-a} B T C = B T A = s − b {\displaystyle BT_{C}=BT_{A}=s-b} C T A = C T B = s − c {\displaystyle CT_{A}=CT_{B}=s-c} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내심 I {\displaystyle I} 와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다. ∠ A I B = 90 ∘ + 1 2 ∠ A C B {\displaystyle \angle AIB=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle ACB} ∠ B I C = 90 ∘ + 1 2 ∠ B A C {\displaystyle \angle BIC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BAC} ∠ C I A = 90 ∘ + 1 2 ∠ C B A {\displaystyle \angle CIA=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle CBA} 삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 R {\displaystyle R} , r {\displaystyle r} 라고 할 때, 내심 I {\displaystyle I} 와 외심 O {\displaystyle O} 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리). O I = R 2 − 2 R r {\displaystyle OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}} 특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식). R ≥ 2 r {\displaystyle R\geq 2r} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내심을 I {\displaystyle I} , 외접원의 호 B C {\displaystyle BC} 의 중점 M {\displaystyle M} 이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리). M I = M B = M C {\displaystyle MI=MB=MC} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내각 이등분선 A I A {\displaystyle AI_{A}} , B I B {\displaystyle BI_{B}} , C I C {\displaystyle CI_{C}} 의 발 I A {\displaystyle I_{A}} , I B {\displaystyle I_{B}} , I C {\displaystyle I_{C}} 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내심 삼각형(內心三角形, 영어: incentral triangle) I A I B I C {\displaystyle I_{A}I_{B}I_{C}} 라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원과 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 접점을 각각 T A {\displaystyle T_{A}} , T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 A T A {\displaystyle AT_{A}} , B T B {\displaystyle BT_{B}} , C T C {\displaystyle CT_{C}} 는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제르곤 점(영어: Gergonne point) X 7 {\displaystyle X_{7}} 이라고 한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원의 세 접점 T A {\displaystyle T_{A}} , T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제르곤 삼각형(영어: Gergonne triangle) 또는 내촉 삼각형(영어: intouch triangle) 또는 접촉 삼각형(영어: contact triangle) T A T B T C {\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}} 라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다. 증명: 다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 A T A {\displaystyle AT_{A}} , B T B {\displaystyle BT_{B}} , C T C {\displaystyle CT_{C}} 는 한 점에서 만난다. A T C T C B ⋅ B T A T A C ⋅ C T B T B A = s − a s − b ⋅ s − b s − c ⋅ s − c s − a = 1 {\displaystyle {\frac {AT_{C}}{T_{C}B}}\cdot {\frac {BT_{A}}{T_{A}C}}\cdot {\frac {CT_{B}}{T_{B}A}}={\frac {s-a}{s-b}}\cdot {\frac {s-b}{s-c}}\cdot {\frac {s-c}{s-a}}=1} 제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.:62, §7.4, (iv) 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원과 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 접점을 각각 T A {\displaystyle T_{A}} , T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 라고 하고, 제르곤 점을 X 7 {\displaystyle X_{7}} 라고 하자. 제르곤 점 X 7 {\displaystyle X_{7}} 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 T A T B {\displaystyle T_{A}T_{B}} , T B T C {\displaystyle T_{B}T_{C}} , T C T A {\displaystyle T_{C}T_{A}} 의 평행선 P S {\displaystyle PS} , R U {\displaystyle RU} , T Q {\displaystyle TQ} 와 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 두 변 B C {\displaystyle BC} 와 C A {\displaystyle CA} , C A {\displaystyle CA} 와 A B {\displaystyle AB} , A B {\displaystyle AB} 와 B C {\displaystyle BC} 의 교점을 각각 P {\displaystyle P} 와 S {\displaystyle S} , R {\displaystyle R} 와 U {\displaystyle U} , T {\displaystyle T} 와 Q {\displaystyle Q} 라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 애덤스 원(영어: Adams’ circle)이라고 한다.:62, §7.4, (v) 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.:62, §7.4, (v) 증명: 6개의 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} , T {\displaystyle T} , U {\displaystyle U} 와 내심 I {\displaystyle I} 사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 I T A P {\displaystyle IT_{A}P} , I T A Q {\displaystyle IT_{A}Q} , I T B R {\displaystyle IT_{B}R} , I T B S {\displaystyle IT_{B}S} , I T C T {\displaystyle IT_{C}T} , I T C U {\displaystyle IT_{C}U} 의 빗변이다. I T A = I T B = I T C {\displaystyle IT_{A}=IT_{B}=IT_{C}} 는 내접원의 반지름이므로 P T A = T A Q = R T B = T B S = T T C = T C U {\displaystyle PT_{A}=T_{A}Q=RT_{B}=T_{B}S=TT_{C}=T_{C}U} 를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 P T A = T A Q = S T B {\displaystyle PT_{A}=T_{A}Q=ST_{B}} 를 보이는 것으로 충분하다. 같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 C T A = C T B {\displaystyle CT_{A}=CT_{B}} 이다. 직선 P S {\displaystyle PS} 와 T A T B {\displaystyle T_{A}T_{B}} 는 평행하므로 C P = C S {\displaystyle CP=CS} 이다. 따라서 P T A = S T B {\displaystyle PT_{A}=ST_{B}} 이다. 선분 T A T B {\displaystyle T_{A}T_{B}} , T A T C {\displaystyle T_{A}T_{C}} 의 연장선과 점 A {\displaystyle A} 를 지나는 직선 B C {\displaystyle BC} 의 평행선의 교점을 각각 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} 라고 하자. 그렇다면 직선 D E {\displaystyle DE} 와 B C {\displaystyle BC} 는 평행하며 삼각형 C T A T B {\displaystyle CT_{A}T_{B}} , B T A T C {\displaystyle BT_{A}T_{C}} 는 이등변 삼각형이므로 D A = A T C = A T B = E A {\displaystyle DA=AT_{C}=AT_{B}=EA} 이며, 선분 T A A {\displaystyle T_{A}A} 는 삼각형 T A D E {\displaystyle T_{A}DE} 의 중선이다. 직선 D E {\displaystyle DE} , P S {\displaystyle PS} , Q T {\displaystyle QT} 는 각각 직선 B C {\displaystyle BC} , T A T B {\displaystyle T_{A}T_{B}} , T A T C {\displaystyle T_{A}T_{C}} 와 평행하므로, 삼각형 T A D E {\displaystyle T_{A}DE} 와 선분 T A A {\displaystyle T_{A}A} 의 합집합은 삼각형 X 7 P Q {\displaystyle X_{7}PQ} 와 선분 X 7 T A {\displaystyle X_{7}T_{A}} 의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 X 7 T A {\displaystyle X_{7}T_{A}} 역시 삼각형 X 7 P Q {\displaystyle X_{7}PQ} 의 중선이다. 즉, P T A = T A Q {\displaystyle PT_{A}=T_{A}Q} 이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원과 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 접점을 각각 T A {\displaystyle T_{A}} , T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 라고 하고, 제르곤 점을 X 7 {\displaystyle X_{7}} 라고 하자. 제르곤 점 X 7 {\displaystyle X_{7}} 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 T A T B {\displaystyle T_{A}T_{B}} , T B T C {\displaystyle T_{B}T_{C}} , T C T A {\displaystyle T_{C}T_{A}} 의 평행선 P S {\displaystyle PS} , R U {\displaystyle RU} , T Q {\displaystyle TQ} 와 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 두 변 B C {\displaystyle BC} 와 C A {\displaystyle CA} , C A {\displaystyle CA} 와 A B {\displaystyle AB} , A B {\displaystyle AB} 와 B C {\displaystyle BC} 의 교점을 각각 P {\displaystyle P} 와 S {\displaystyle S} , R {\displaystyle R} 와 U {\displaystyle U} , T {\displaystyle T} 와 Q {\displaystyle Q} 라고 하자. 직선 U P {\displaystyle UP} 와 Q R {\displaystyle QR} , Q R {\displaystyle QR} 와 S T {\displaystyle ST} , S T {\displaystyle ST} 와 U P {\displaystyle UP} 의 교점을 각각 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 라고 하자. 그렇다면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제르곤 점 X 7 {\displaystyle X_{7}} 은 삼각형 X Y Z {\displaystyle XYZ} 의 대칭 중점이며, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 애덤스 원은 삼각형 X Y Z {\displaystyle XYZ} 의 제1 르무안 원이다.:98, Exercise 9.2 제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(프랑스어: Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다. 애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(영어: C. Adams)가 제시하였다.:62, §7.4, (v) Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Incircle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Incenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Contact triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Adams' circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.