근방 필터

일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, 영어: neighbo(u)rhood filter)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬과 그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(영어: converge)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다. 위상 공간 ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 의 근방들의 집합 N S =↑ ( T ∩ ↑ S ) = { N ⊆ X : S ⊆ U ⊆ N , U ∈ T } {\displaystyle {\mathcal {N}}_{S}=\uparrow \left({\mathcal {T}}\cap \uparrow S\right)=\{N\subseteq X\colon S\subseteq U\subseteq N,\;U\in {\mathcal {T}}\}} 은 멱집합 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 속의 필터를 이루며, 이를 S {\displaystyle S} 의 근방 필터 또는 근방계(近傍系, 영어: neighbo(u)rhood system) N S {\displaystyle {\mathcal {N}}_{S}} 라고 한다. X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 근방 필터는 한원소 집합 { x } {\displaystyle \{x\}} 의 근방 필터를 뜻하며, N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} 로 표기한다. 근방 필터 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} 의 공시작 집합 (즉, ↑ B = N x {\displaystyle \uparrow {\mathcal {B}}={\mathcal {N}}_{x}} 이 되는 부분 집합 B ⊆ N x {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}} )을 x {\displaystyle x} 의 국소 기저(局所基底, 영어: local base)라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 필터 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 주어졌다고 하자. 만약 N x ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subseteq {\mathcal {F}}} 라면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 x {\displaystyle x} 로 수렴한다(영어: converge)고 하고, F → x {\displaystyle {\mathcal {F}}\to x} 로 표기한다. 이 경우, x {\displaystyle x} 를 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 극한(영어: limit)이라고 한다. 보다 일반적으로, X {\displaystyle X} 위의 필터 기저 B ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 만약 N x ⊆↑ B {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subseteq \uparrow {\mathcal {B}}} 라면, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 x {\displaystyle x} 로 수렴한다고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 자명한 필터 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 는 모든 점에 수렴한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면, X {\displaystyle X} 를 제1 가산 공간이라고 한다. 위상 공간 ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 전체가 아닌, P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다. 임의의 두 점 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 라면, N x ∖ N y ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\setminus {\mathcal {N}}_{y}\neq \varnothing } 이자 N y ∖ N x ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {N}}_{y}\setminus {\mathcal {N}}_{x}\neq \varnothing } 이다. 임의의 두 점 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, x ∈ U {\displaystyle x\in U} 이자 y ∈ V {\displaystyle y\in V} 이며 U ∩ V = ∅ {\displaystyle U\cap V=\varnothing } 인 열린집합 U , V ∈ T {\displaystyle U,V\in {\mathcal {T}}} 가 존재한다. 하우스도르프 공간이다. 임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 이산 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 근방 필터는 주 필터 ↑ { x } {\displaystyle \uparrow \{x\}} 이다. 비이산 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 근방 필터는 N x = { X } {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}=\{X\}} 이다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에서, 다음과 같은 집합은 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 국소 기저를 이룬다. { ball ⁡ ( x , 1 / n ) : n ∈ Z + } = { { y ∈ X : d ( x , y ) < 1 / n } : n ∈ Z + } {\displaystyle \{\operatorname {ball} (x,1/n)\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\left\{\{y\in X\colon d(x,y)<1/n\}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}} Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901.  “Defining system of neighbourhoods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Neighborhood System Base”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Local base”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Topological base”. 《nLab》 (영어).  “Definition: neighborhood basis”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: local basis”. 《ProofWiki》 (영어).  Yuan, Qiaochu (2010년 12월 9일). “Ultrafilters in topology”. 《Annoying Precision》 (영어).