바나흐 공간

함수해석학에서 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간을 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이라고 한다. (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다. 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 ( v i ) i ∈ N ⊆ X {\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X} 에 대하여, 만약 ∑ i ∈ N ‖ v i ‖ < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\|v_{i}\|<\infty } 라면, 급수 ∑ i ∈ N v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }v_{i}} 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.:8, §1.2, Exercise 1.2.1 체 K {\displaystyle \mathbb {K} } 를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.) K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 벡터 공간 ι : W ↪ V {\displaystyle \iota \colon W\hookrightarrow V} 가 주어졌다고 하자. 만약 W {\displaystyle W} 가 닫힌집합이라면 W {\displaystyle W} 는 역시 바나흐 공간을 이룬다. 만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 P : V → W {\displaystyle P\colon V\to W} 가 존재한다면, W {\displaystyle W} 를 여공간을 가지는 부분 공간(영어: complemented subspace)라고 한다. P {\displaystyle P} 는 전사 함수이다. ι ∘ P : V → V {\displaystyle \iota \circ P\colon V\to V} 는 ( W {\displaystyle W} 로의) 사영이다. 즉, ι ∘ P ∘ ι ∘ P = ι ∘ P {\displaystyle \iota \circ P\circ \iota \circ P=\iota \circ P} 이다. P {\displaystyle P} 는 유계 작용소이다. 여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. 여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간 여분 부분 공간 W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} 가 주어졌을 때, 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 를 다음과 같이 분해할 수 있다. V = W ⊕ ker ⁡ P {\displaystyle V=W\oplus \ker P} 그러나 이러한 P {\displaystyle P} 는 유일하지 않을 수 있다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}} 및 등거리 선형 변환 ι : V → V ¯ {\displaystyle \iota \colon V\to {\bar {V}}} 가 존재한다. 상 ι ( V ) ⊆ V ¯ {\displaystyle \iota (V)\subseteq {\bar {V}}} 는 V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}} 의 조밀 집합이다. 또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 W {\displaystyle W} 및 등거리 선형 변환 j : V → W {\displaystyle j\colon V\to W} 에 대하여, 만약 j ( V ) {\displaystyle j(V)} 가 조밀 집합이라면, j = i ∘ ι {\displaystyle j=i\circ \iota } 인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) i : V ¯ → W {\displaystyle i\colon {\bar {V}}\to W} 가 존재한다. V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}} 는 거리 공간으로서 V {\displaystyle V} 의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 V {\displaystyle V} 가 이미 바나흐 공간이라면 ι {\displaystyle \iota } 는 바나흐 공간 동형 사상이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 X {\displaystyle X} 의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -부분 벡터 공간 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 제한 노름 ‖ ‖ X ↾ Y {\displaystyle \|\|_{X}\upharpoonright Y} 를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. Y {\displaystyle Y} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. Y {\displaystyle Y} 는 닫힌집합이다. 또한, 닫힌 부분 벡터 공간 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대한 몫공간 X / Y {\displaystyle X/Y} 위에 ‖ x + Y ‖ = inf y ∈ Y ‖ x + y ‖ {\displaystyle \lVert x+Y\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x+y\rVert } 으로 노름을 주자. 그렇다면 X / Y {\displaystyle X/Y} 역시 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 Y {\displaystyle Y} 연속 열린 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 T : X → Y {\displaystyle T\colon X\to Y} 그렇다면, T ( X ) {\displaystyle T(X)} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간의 집합 ( V i ) i ∈ I {\displaystyle (V_{i})_{i\in I}} 확장된 실수 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 그렇다면, 직합 V ~ = ⨁ i ∈ I V i {\displaystyle {\tilde {V}}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}} 위에 다음과 같은 노름을 정의하자. ‖ ⨁ i ∈ I v i ‖ = { ∑ i ∈ I ‖ v i ‖ V i p p p < ∞ max i ∈ I ‖ v i ‖ V i p = ∞ {\displaystyle \left\|\bigoplus _{i\in I}v_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}&p<\infty \\\max _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}&p=\infty \end{cases}}} 그렇다면, V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -내적 공간을 이룬다. 만약 I {\displaystyle I} 가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 모든 i {\displaystyle i} 에 대하여 V i {\displaystyle V_{i}} 가 바나흐 공간이다. V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} 는 바나흐 공간이다. 이 경우, V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} 의 ( p {\displaystyle p} -노름으로 정의되는) 위상은 p {\displaystyle p} 에 의존하지 않는다. 그러나 만약 I {\displaystyle I} 가 무한 집합이라면, V i {\displaystyle V_{i}} 가 모두 바나흐 공간이라도 V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} 가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} 의 완비화 V {\displaystyle V} 를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 p ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p\in [1,\infty ]} 에 따라 다르다. 힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(영어: projective topological tensor product)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(영어: injective topological tensor product)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다. 바나흐-샤우데르 정리(-定理, 영어: Banach-Schauder theorem) 또는 열린 사상 정리(-寫像定理, 영어: open mapping theorem)에 따르면, 임의의 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 사이의 전사 유계 작용소 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 는 열린 함수이다.:48, Theorem 2.11 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.) 이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다. 증명: V {\displaystyle V} 속의 단위 열린 공의 상 T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)} 이 0 W {\displaystyle 0_{W}} 의 근방임을 증명하면 족하다. 우선, V {\displaystyle V} 는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다. V = ⋃ n ∈ Z + ball V ⁡ ( 0 , n ) {\displaystyle V=\bigcup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\operatorname {ball} _{V}(0,n)} T {\displaystyle T} 가 전사 함수이므로 W = T ( V ) = ⋃ n = 1 ∞ T ( ball V ⁡ ( 0 , n ) ) {\displaystyle W=T(V)=\bigcup _{n=1}^{\infty }T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)} 이다. 베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 W {\displaystyle W} 는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서, ball W ⁡ ( n c , n r ) ⊆ cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , n ) ) ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(nc,nr)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)\right)} 인 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 c ∈ W {\displaystyle c\in W} 및 양의 실수 r > 0 {\displaystyle r>0} 가 존재한다. ( ball ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \operatorname {ball} (-,-)} 는 열린 공을 뜻한다.) 즉, ball W ⁡ ( c , r ) ⊆ cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)} 이다. 이제, ball W ⁡ ( 0 , r ) ⊆ cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(0,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)} 를 증명하자. 우선, cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) ) = − cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)=-\operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)} 이므로, 임의의 w ∈ ball W ⁡ ( 0 , r ) {\displaystyle w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r)} 에 대하여, w ± c ∈ ball ⁡ ( ± c , r ) ⊆ cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) ) {\displaystyle w\pm c\in \operatorname {ball} (\pm c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)} 이며, cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)} 는 볼록 집합이므로 w = ( w + c ) + ( w − c ) ) 2 ∈ cl ⁡ ( T ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) ) {\displaystyle w={\frac {(w+c)+(w-c))}{2}}\in \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)} 이다. 이제 ball W ⁡ ( 0 , r / 2 ) ⊆ T ( 2 r ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(0,r/2)\subseteq T\left({\frac {2}{r}}\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)} 를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 w ∈ ball W ⁡ ( 0 , r / 2 ) {\displaystyle w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r/2)} 에 대하여, T v = w {\displaystyle Tv=w} 인 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 를 찾으면 족하다. 다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 ( v 1 , v 2 , … ) {\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots )} 을 재귀적으로 고를 수 있다. ‖ v i ‖ < 2 − i ∀ i ∈ Z + {\displaystyle \|v_{i}\|<2^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}} ‖ w − T v 1 − ⋯ − T v i ‖ < 2 − i − 1 r ∀ i ∈ Z + {\displaystyle \|w-Tv_{1}-\cdots -Tv_{i}\|<2^{-i-1}r\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}} (이는 r {\displaystyle r} 의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로, v = ∑ i = 1 ∞ v i ∈ ball V ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle v=\sum _{i=1}^{\infty }v_{i}\in \operatorname {ball} _{V}(0,1)} 를 정의할 수 있다. T {\displaystyle T} 가 연속 함수이므로 T v = w {\displaystyle Tv=w} 이다. 특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.:51, Theorem 2.15 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)에 따르면, 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 사이의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 연속 함수이다. 유계 작용소이다. graph ⁡ T = { ( v , T v ) : v ∈ V } ⊆ V ⊕ W {\displaystyle \operatorname {graph} T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W} 는 (곱위상을 부여한) V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} 속의 닫힌집합이다. 증명: 연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다. graph ⁡ T ⊆ V ⊕ W {\displaystyle \operatorname {graph} T\subseteq V\oplus W} 가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 graph ⁡ T {\displaystyle \operatorname {graph} T} 는 (임의의 p ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p\in [1,\infty ]} 에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수 π V : graph ⁡ T ↠ V {\displaystyle \pi _{V}\colon \operatorname {graph} T\twoheadrightarrow V} π W : graph ⁡ T ↠ W {\displaystyle \pi _{W}\colon \operatorname {graph} T\twoheadrightarrow W} 는 정의에 따라 연속 함수이다. π V {\displaystyle \pi _{V}} 는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 π V {\displaystyle \pi _{V}} 는 위상 동형 사상이다. 따라서 T = π W ∘ π V − 1 : V → W {\displaystyle T=\pi _{W}\circ \pi _{V}^{-1}\colon V\to W} 역시 연속 함수이다. 즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다. 이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다. 바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다. 분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다. 모든 분해 가능 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간은 르베그 공간 ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 의 몫공간이다. 즉, ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 에 닫힌 K {\displaystyle \mathbb {K} } -부분 벡터 공간 M {\displaystyle M} 이 존재하여, X ≅ ℓ 1 ( K ) / M {\displaystyle X\cong \ell ^{1}(\mathbb {K} )/M} 이다. 바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理, 독일어: Banach–Mazur theorem)에 따르면, 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여 다음이 성립한다. 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 K {\displaystyle K} 및 등거리 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 ι : V → C 0 ( K , K ) {\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {K} )} 가 존재한다. 만약 V {\displaystyle V} 가 분해 가능 공간이라면, 등거리 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 ι : V → C 0 ( [ 0 , 1 ] , K ) {\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {K} )} 가 존재한다. 여기서 C 0 ( − , K ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은 ‖ f ‖ = sup x ∈ K | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in K}|f(x)|} 이다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 V ′ {\displaystyle V'} 의 단위 닫힌 공 K = ball V ′ ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle K=\operatorname {ball} _{V'}(0,1)} 을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여 연속 함수 K → K {\displaystyle K\to \mathbb {K} } f ↦ f ( v ) {\displaystyle f\mapsto f(v)} 는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수 V → C 0 ( K ) {\displaystyle V\to {\mathcal {C}}^{0}(K)} v ↦ ( f ↦ f ( x ) ) {\displaystyle v\mapsto (f\mapsto f(x))} 를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다. 만약 V {\displaystyle V} 가 추가로 분해 가능 공간이라면, C 0 ( K , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {R} )} 는 C 0 ( [ 0 , 1 ] , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {R} )} 의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다. 바나흐-마주르 콤팩트 공간(영어: Banach–Mazur compactum)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다. 자연수 n {\displaystyle n} 및 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 두 n {\displaystyle n} 차원 실수 바나흐 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환들의 공간 GL ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V,W)} 을 생각할 수 있다. 이 경우, V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 사이의 바나흐-마주르 거리(영어: Banach–Mazur distance)는 다음과 같다. d ( V , W ) = ln T ∈ GL ⁡ ( V , W ) ⁡ ‖ T ‖ ‖ T − 1 ‖ {\displaystyle d(V,W)=\ln _{T\in \operatorname {GL} (V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|} 여기서 ‖ T ‖ {\displaystyle \|T\|} 는 작용소 노름이다. 이는 삼각 부등식을 만족시킨다. n {\displaystyle n} 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} 위에 노름 ‖ ( x 1 , … , x n ) ‖ = | x 1 | 2 + ⋯ + | x n | 2 {\displaystyle \|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}} 를 부여하면, 이는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 임의의 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 및 확장된 실수 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 에 대하여, 르베그 공간 L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 수렴 수열 공간 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 과 영 수렴 수열 공간 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 은 둘 다 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 에 대하여, ‖ v ‖ = ⟨ v , v ⟩ ( v ∈ H ) {\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}\qquad (v\in {\mathcal {H}})} 로 노름을 정의하면 이는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의, K {\displaystyle \mathbb {K} } 값의 연속 함수들의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 C 0 ( X , K ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )} 에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다. ‖ f ‖ = max x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|=\max _{x\in X}|f(x)|} 이는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이룬다. 스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다. 바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,:238 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.:261, §5.4:466, §14.4 조총만 (2000). 《바나하공간론》. 대우학술총서 485. 아카넷. 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