부분 적분

미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다. 만약 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 가 구간이며 u , v : I → R {\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} } 가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 u ′ , v ′ {\displaystyle u',v'} 가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.:292 ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x} 이를 u ′ ( x ) d x = d u {\displaystyle u'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} u} 및 v ′ ( x ) d x = d v {\displaystyle v'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} v} 를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다. ∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u} 만약 u , v : [ a , b ] → R {\displaystyle u,v\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.:292, Theorem 7.1 ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x = u ( b ) v ( b ) − u ( a ) v ( a ) − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}} 곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다. u v ′ = ( u v ) ′ − u ′ v {\displaystyle uv'=(uv)'-u'v} 양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.:79 ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x} 또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.:292 ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x} 이 명제에서는 주어진 적분에서 u {\displaystyle u} 와 d v {\displaystyle \mathrm {d} v} 를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 u {\displaystyle u} 로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 v ′ {\displaystyle v'} 으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 u {\displaystyle u} 로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다. 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다. 만약 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 가 구간이며 u , v : I → R {\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} } 가 n {\displaystyle n} 번 연속 미분 가능 함수라면 ( n {\displaystyle n} 계 도함수 u ( n ) , v ( n ) {\displaystyle u^{(n)},v^{(n)}} 이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.:101, Exercise 46 ∫ u ( x ) v ( n ) ( x ) d x = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k u ( k ) ( x ) v ( n − 1 − k ) ( x ) + ( − 1 ) n ∫ u ( n ) ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^{n}\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm {d} x} 이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다. 부정적분 ∫ x 2 ln ⁡ x d x {\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x} 을 구하자. u = ln ⁡ x {\displaystyle u=\ln x} 이며 d v = x 2 d x {\displaystyle \mathrm {d} v=x^{2}\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( d x ) / x {\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/x} 이며 (상수차를 무시하면) v = x 3 / 3 {\displaystyle v=x^{3}/3} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.:516, Example 2 부정적분 ∫ arcsin ⁡ x d x {\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x} 를 구하자. u = arcsin ⁡ x {\displaystyle u=\arcsin x} 이며 d v = d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( d x ) / 1 − x 2 {\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/{\sqrt {1-x^{2}}}} 이며 v = x {\displaystyle v=x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.:87, Example 7.10 부정적분 ∫ x 2 sin ⁡ x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x} 을 구하자. u = x 2 {\displaystyle u=x^{2}} 이며 d v = sin ⁡ x d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\sin x\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = 2 x {\displaystyle \mathrm {d} u=2x} 이며 v = − cos ⁡ x {\displaystyle v=-\cos x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다. ∫ x 2 sin ⁡ x d x = − x 2 cos ⁡ x + 2 ∫ x cos ⁡ x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x} 우변의 마지막 항의 적분에서 u = x {\displaystyle u=x} , d v = cos ⁡ x d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\cos x\mathrm {d} x} , d u = d x {\displaystyle \mathrm {d} u=\mathrm {d} x} , v = sin ⁡ x {\displaystyle v=\sin x} 라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다. 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.:518, Example 4 ∫ x 2 sin ⁡ x d x = − x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x + C {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C} 부정적분 ∫ x 2 − 1 d x {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x} 을 구하자. u = x 2 − 1 {\displaystyle u={\sqrt {x^{2}-1}}} 이며 d v = d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( x / x 2 − 1 ) d x {\displaystyle \mathrm {d} u=(x/{\sqrt {x^{2}-1}})\mathrm {d} x} 이며 v = x {\displaystyle v=x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.: 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.:256, 예6.2.21 ∫ x 2 − 1 d x = 1 2 x x 2 − 1 − 1 2 ln ⁡ | x + x 2 − 1 | + C {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C} 다음과 같은 두 적분을 구하자. ∫ e a x cos ⁡ b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x} ∫ e a x sin ⁡ b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x} 이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다. 즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다. b ∫ e a x cos ⁡ b x d x + a ∫ e a x sin ⁡ b x d x = e a x sin ⁡ b x {\displaystyle b\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\sin bx} a ∫ e a x cos ⁡ b x d x − b ∫ e a x sin ⁡ b x d x = e a x cos ⁡ b x {\displaystyle a\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\cos bx} 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.:256, 예6.2.22 ∫ e a x cos ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a cos ⁡ b x + b sin ⁡ b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C} ∫ e a x sin ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a sin ⁡ b x − b cos ⁡ b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C} 다음과 같은 적분을 구하자. ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 2 ( a > 0 ) {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\qquad (a>0)} 다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자). 따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.:258, 예6.2.26 부정적분#부분 적분 리만 적분#부분 적분 아벨 변환 아벨의 합 공식 Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101.  Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1. LCCN 2013946572.  Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2.  伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.  伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0.  Kasube, Herbert E. (1983년 3월). “A Technique for Integration by Parts”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (3): 210-211. doi:10.2307/2975556. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975556.  이철희. “부분적분”. 《수학노트》.  “Integration by parts”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “IntegrationbyParts”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.