가산 생성 공간

일반위상수학에서 가산 생성 공간(可算生成空間, 영어: countably generated space) 또는 가산 밀착 공간(可算密着空間, 영어: countably tight space)은 그 위상이 가산 부분 공간들에 의하여 결정되는 위상 공간이다. 이와 동치인 정의로서, 부분 집합의 폐포점이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, l o c c a r d ⁡ ( x , X ) {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (x,X)} 가 x {\displaystyle x} 의 근방의 최소 크기라고 하자. l o c c a r d ⁡ ( x , X ) = min U ∈ N x | U | {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (x,X)=\min _{U\in {\mathcal {N}}_{x}}|U|} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 국소 크기(局所크기, 영어: local cardinality) l o c c a r d ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (X)} 는 모든 l o c c a r d ⁡ ( x , X ) {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (x,X)} 들의 상한이다.:148 l o c c a r d ⁡ ( X ) = sup x ∈ X l o c c a r d ⁡ ( x , X ) {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (X)=\sup _{x\in X}\operatorname {loc\,card} (x,X)} 국소 크기가 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 이하인 위상 공간을 국소 가산 공간이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.:149 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 x ∈ cl ⁡ A {\displaystyle x\in \operatorname {cl} A} 에 대하여, tight ⁡ ( x , A , X ) = min B ⊆ A x ∈ cl ⁡ B | B | {\displaystyle \operatorname {tight} (x,A,X)=\min _{B\subseteq A}^{x\in \operatorname {cl} B}|B|} 라고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서의 국소 밀착도(局所密着度, 영어: local tightness) tight ⁡ ( x , X ) {\displaystyle \operatorname {tight} (x,X)} 는 다음과 같다.:62, §XI.A tight ⁡ ( x , X ) = sup A ⊆ X x ∈ cl ⁡ A tight ⁡ ( x , A , X ) {\displaystyle \operatorname {tight} (x,X)=\sup _{A\subseteq X}^{x\in \operatorname {cl} A}\operatorname {tight} (x,A,X)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 밀착도(密着度, 영어: tightness) tight ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {tight} (X)} 는 국소 밀착도들의 상한이다.:62, §XI.A:13, §1.2 tight ⁡ ( X ) = sup x ∈ X tight ⁡ ( x , X ) {\displaystyle \operatorname {tight} (X)=\sup _{x\in X}\operatorname {tight} (x,X)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X {\displaystyle X} 를 가산 생성 공간이라고 한다. 밀착도가 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 이하이다.:657 즉, 임의의 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 x ∈ cl ⁡ A {\displaystyle x\in \operatorname {cl} A} 에 대하여, x ∈ cl ⁡ B {\displaystyle x\in \operatorname {cl} B} 인 가산 부분 집합 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 가 존재한다. 임의의 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여 U ∩ A {\displaystyle U\cap A} 가 A {\displaystyle A} 의 열린집합이라면, U {\displaystyle U} 는 열린집합이다. 임의의 F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} 에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여 F ∩ A {\displaystyle F\cap A} 가 A {\displaystyle A} 의 닫힌집합이라면, F {\displaystyle F} 는 닫힌집합이다. 국소 가산 공간의 몫공간이다.:657 모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간은 점렬 공간이다.:755 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.:755 가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다. 가산 생성 공간은 부분 공간과 몫공간에 대하여 닫혀 있지만, 연속 함수에 대한 상이나 곱공간에 대하여 닫혀 있지는 않다. 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 그 부분 공간 Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} 에 대하여, tight ⁡ ( Y ) ≤ tight ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {tight} (Y)\leq \operatorname {tight} (X)} 이다.:19, Problem 159 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다. 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 그 몫공간 X / ∼ {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}} 에 대하여, tight ⁡ ( X / ∼ ) ≤ tight ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {tight} (X/{\mathord {\sim }})\leq \operatorname {tight} (X)} 이다.:20, Problem 162 특히, 가산 생성 공간의 몫공간은 항상 가산 생성 공간이다. 가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.:19, Problem 158 예를 들어, 이산 공간의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)린델뢰프 공간의 연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 이산 위상으로 대체한 공간의 연속적 상이다. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 의 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.:86, Theorem 10.6 tight ⁡ ( ∏ i ∈ I X i ) = max { | { i ∈ I : | X i | ≥ 2 } | , sup i ∈ I tight ⁡ ( X i ) } {\displaystyle \operatorname {tight} \left(\prod _{i\in I}X_{i}\right)=\max \left\{|\{i\in I\colon |X_{i}|\geq 2\}|,\sup _{i\in I}\operatorname {tight} (X_{i})\right\}} 특히, 가산 개의 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 가산 생성 공간이다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌을 때, 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 길이 κ {\displaystyle \kappa } 의 자유 점렬(영어: free sequence)은 다음 조건을 만족시키는 그물 ( x α : α < κ ) ⊂ X {\displaystyle (x_{\alpha }\colon \alpha <\kappa )\subset X} 이다. cl ⁡ { x α : α < β } ∩ cl ⁡ { x α : β ≤ α < κ } = ∅ ( ∀ β < κ ) {\displaystyle \operatorname {cl} \{x_{\alpha }\colon \alpha <\beta \}\cap \operatorname {cl} \{x_{\alpha }\colon \beta \leq \alpha <\kappa \}=\varnothing \qquad (\forall \beta <\kappa )} 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.:36, Theorem 2.10:38, Problem 328 집합 Q ∩ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]} 위에 다음 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 주자. 통상적인 열린집합 U ⊆ Q ∩ [ 0 , 1 ] {\displaystyle U\subseteq \mathbb {Q} \cap [0,1]} 통상적인 0의 열린 근방 U ∋ 0 {\displaystyle U\ni 0} 과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 ( x n ) n = 0 ∞ ⊂ Q ∩ ( 0 , 1 ] {\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {Q} \cap (0,1]} 에 대하여, U ∖ { x 0 , x 1 , x 2 , … } {\displaystyle U\setminus \{x_{0},x_{1},x_{2},\dots \}} 이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, 점렬 공간이 아니다.:62, Excercise 2.10.7 구체적으로, { 0 } {\displaystyle \{0\}} 은 점렬 열린집합이지만, 열린집합이 아니다. 티호노프 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 C pw ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {pw} }(X,\mathbb {R} )} 의 밀착도는 다음과 같다.:18, Problem 149 tight ⁡ ( C pw ( X , R ) ) = sup n ∈ N L ( X n ) {\displaystyle \operatorname {tight} ({\mathcal {C}}_{\operatorname {pw} }(X,\mathbb {R} ))=\sup _{n\in \mathbb {N} }L(X^{n})} 여기서 L {\displaystyle L} 은 린델뢰프 수이다. 특히, 티호노프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, C pw ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {pw} }(X,\mathbb {R} )} 가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 곱공간 X n {\displaystyle X^{n}} 이 린델뢰프 공간인 것과 동치이다. 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