사사키 다양체

미분기하학에서 사사키 다양체([佐々木] 多樣體, 영어: Sasakian manifold)는 그 위에 정의된 뿔이 켈러 구조를 갖춘 접촉 다양체이다. ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 리만 다양체라고 하자. 그렇다면 M {\displaystyle M} 의 리만 뿔(영어: Riemannian cone) ( M ^ , g ^ ) {\displaystyle ({\hat {M}},{\hat {g}})} 은 위상수학적으로 M × R {\displaystyle M\times \mathbb {R} } 이고, 다음과 같은 계량 텐서 g ^ = exp ⁡ ( 2 t ) ( g + d t 2 ) {\displaystyle {\hat {g}}=\exp(2t)(g+dt^{2})} 를 갖춘 리만 다양체다. ( M , g , θ ) {\displaystyle (M,g,\theta )} 가 접촉 구조 θ {\displaystyle \theta } 를 갖춘 리만 다양체라고 하자. M {\displaystyle M} 의 리만 뿔에는 다음과 같은 (국소적) 2차 미분형식이 존재한다. exp ⁡ ( 2 t ) ( d θ + 2 d t ∧ θ ) {\displaystyle \exp(2t)(d\theta +2dt\wedge \theta )} 만약 이 미분형식이 모든 곳에 정의되고 켈러 구조를 이룬다면 M {\displaystyle M} 을 사사키 다양체라고 한다. 사사키-아인슈타인 다양체(영어: Sasaki–Einstein manifold)는 그 리만 뿔이 칼라비-야우 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.:671,676 3-사사키 다양체(영어: 3-Sasakian manifold)는 그 리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체이다. 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이며, 스핀 구조를 갖춘다. 코니폴드는 (실수) 6차원 칼라비-야우 다양체인데, 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체 T1,1의 리만 뿔로 나타낼 수 있다. T1,1은 위상수학적으로 S2×S3이고, SU(2)×SU(2)×U(1) 등거리변환군을 가진다. 2004년에는 Yp,q라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.:676 여기서 p와 q는 서로소 양의 정수이다. 이들은 위상수학적으로 S2×S3이고, SU(2)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다. 2005년에는 Lp,q,r1,…,rn−1이라는 (2n+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.:676 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 S2×S3이고, U(1)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다. 1960년에 사사키 시게오(일본어: 佐々木 重夫)가 정의하였다. Becker, Katrin; Melanie Becker; John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864. 2015년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 6월 29일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Boyer, Charles P.; Krzysztof Galicki (1999). “3-Sasakian Manifolds”. 《Surveys in Differential Geometry》 (영어) 7: 123-184. arXiv:hep-th/9810250. Bibcode:1998hep.th...10250B.  Gauntlett, Jerome P.; Dario Martelli; James Sparks; Daniel Waldram. “Sasaki-Einstein metrics on S2×S3” (영어). arXiv:hep-th/0403002. Bibcode:2004hep.th....3002G.  Cvetič, Mirjam; Hong Lü; Don N. Page; C.N. Pope (2005). “New Einstein–Sasaki spaces in five and higher dimensions” (영어). arXiv:hep-th/0504225. Bibcode:2005PhRvL..95g1101C. doi:10.1103/PhysRevLett.95.071101.  Cvetič, Mirjam; Hong Lü; Don N. Page; C.N. Pope (2009년 7월). “New Einstein-Sasaki and Einstein Spaces from Kerr–de Sitter”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2009 (7): 82. arXiv:hep-th/0505223. Bibcode:2009JHEP...07..082C. doi:10.1088/1126-6708/2009/07/082. ISSN 1029-8479.  Sasaki, Shigeo (1960). “On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I”. 《Tôhoku Mathematical Journal》 12: 459–476. doi:10.2748/tmj/1178244407. ISSN 0040-8735. MR 0123263.  Sasaki, Shigeo (1961). “On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II”. 《Tôhoku Mathematical Journal》 13: 281–294. doi:10.2748/tmj/1178244304. ISSN 0040-8735. MR 0138065.  O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Shigeo Sasaki”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.  Boyer, Charles P.; Krzysztof Galicki (2008년 1월 24일). 《Sasakian Geometry》 (영어). Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198564959.001.0001. ISBN 978-0-19-856495-9. MR 2382957.  Martelli, Dario; James Sparks; Shing-Tung Yau (2008년 6월). “Sasaki–Einstein manifolds and volume minimisation”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 280 (3): 611–673. arXiv:hep-th/0603021. Bibcode:2008CMaPh.280..611M. doi:10.1007/s00220-008-0479-4. MR 2399609.  Sparks, James. “Sasaki–Einstein manifolds” (영어). arXiv:1004.2461. Bibcode:2010arXiv1004.2461S. MR 2893680.  Boyer, Charles P. (2008). “Sasakian geometry: the recent work of Krzysztof Galicki”. 《Note di Matematica》 (영어) 28 (Supplement 1): 63–105. arXiv:0806.0373. Bibcode:2008arXiv0806.0373B. doi:10.1285/i15900932v28n1supplp63. ISSN 1123-2536. MR 2640576.  山崎雅人 (2007년 7월 22일). “トーリック佐々木-Einstein多様体の理論の最近の進展” (PDF) (일본어).  기우항; 김영호 (2002). 《부분다양체론》. 대우학술총서 497. 서울: 아카넷. ISBN 978-89-89103-30-1. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Bejancu, A. (2001). “Sasakian manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.