수렴급수

수학에서 급수란 수열을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다. 급수 ∑ j = 1 ∞ a j = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,} 의 n {\displaystyle n\,} 번째 부분합을 S n = ∑ j = 1 n a j {\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,} 이라고 할 때 부분합이 이루는 수열 { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}\,} 이 수렴하면 급수 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 를 수렴급수(convergent series)라고 한다. 즉, 부분합이 이루는 수열 { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}\,} 이 어떤 고정된 유한한 수 S {\displaystyle S\,} 에 수렴하여 lim n → ∞ S n = S {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}=S\,} 와 같이 쓸 수 있으면 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 를 수렴급수 또는 급수 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 이 S {\displaystyle S\,} 로 수렴한다고 한다. 이때 S {\displaystyle S\,} 를 급수 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 의 합(sum)이라고 한다. 이 관계는 lim n → ∞ S n = lim n → ∞ ( ∑ j = 1 n a j ) = ∑ j = 1 ∞ a j = S {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=S\,} 와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수(divergent series)라고 한다. 수렴급수 ∑ j = 1 ∞ ( − 1 ) j + 1 1 j = 1 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ = ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(-1)^{j+1}{\frac {1}{j}}={1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots =\ln 2.} ∑ j = 1 ∞ 1 2 j − 1 = 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + ⋯ = 2. {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{j-1}}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.} ∑ j = 1 ∞ 1 j 2 = 1 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + ⋯ = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{2}}}={1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.} ∑ j = 1 ∞ 1 j 3 = 1 1 + 1 8 + 1 27 + ⋯ {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{3}}}={1 \over 1}+{1 \over 8}+{1 \over 27}+\cdots } (수렴급수이지만 그 정확한 합은 알려져 있지 않다.) 발산급수 ∑ j = 1 ∞ ( − 1 ) j = − 1 + 1 − 1 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(-1)^{j}=-1+1-1+\cdots .} ∑ j = 1 ∞ 1 j = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots .} ∑ j = 1 ∞ 2 j − 1 5 j = 1 5 + 3 10 + 5 15 ⋯ . {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {2j-1}{5j}}={\frac {1}{5}}+{\frac {3}{10}}+{\frac {5}{15}}\cdots .} 두 수렴급수 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} , ∑ j = 1 ∞ b j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }b_{j}\,} 의 합을 각각 A , B {\displaystyle A,\,B\,} 라고 하면 다음이 성립한다. ∑ j = 1 ∞ α a j = α ∑ j = 1 ∞ a j = α A {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha a_{j}=\alpha \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=\alpha A\,} , ( α : {\displaystyle \alpha :} 상수) ∑ j = 1 ∞ ( a j ± b j ) = ∑ j = 1 ∞ a j ± ∑ j = 1 ∞ b j = A ± B {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(a_{j}\pm b_{j})=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\pm \sum _{j=1}^{\infty }b_{j}=A\pm B\,} 급수의 수렴여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴여부를 판정하는 것은 어려운 일이다. 또한 수렴여부의 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것이 아니므로 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다. 발산판정법(divergence test):급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 이 수렴하면 lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,} 이다. 따라서 lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,} 이 아닌 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법(divergence test)이라고 한다. ∑ n = 1 ∞ 2 n 4 n + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{4n+1}}\,} 은 lim n → ∞ 2 n 4 n + 1 = 1 2 ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2n}{4n+1}}={\frac {1}{2}}\neq 0\,} 이므로 발산급수이다. 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 이 조건 lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,} 을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다. 비교판정법(comparision test): 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 의 수렴여부를 판정하기 위해 항 a n {\displaystyle a_{n}\,} 과 이미 수렴여부가 알려진 급수 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} 의 항 b n {\displaystyle b_{n}\,} 를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 n {\displaystyle n\,} 에 대해 0 ≤   a n ≤   b n {\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}\,} 이고, ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,} 이 수렴급수이면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 도 수렴급수이다. 0 ≤   b n ≤   a n {\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}\,} 이고, ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,} 이 발산급수이면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 도 발산급수이다. 비판정법(ratio test): 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 의 수렴여부를 판정하기 위해 인접한 두 항 a n , a n + 1 {\displaystyle a_{n},\,a_{n+1}} 의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 n {\displaystyle n\,} 에 대해 a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0\,} 이고 lim n → ∞ a n + 1 a n = r {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r} 일 때 r < 1 이면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 은 수렴급수이다. r > 1 이면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 은 발산급수이다. r = 1 이면 비판정법으로 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.) 근판정법(root test): 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 의 수렴여부를 판정하기 위해 항 a n {\displaystyle a_{n}} 의 n제곱근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 n {\displaystyle n\,} 에 대해 a n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}\geq 0\,} 이고 lim n → ∞ ( a n ) 1 n = r {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n})^{\frac {1}{n}}=r} 일 때 r < 1 이면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 은 수렴급수이다. r > 1 이면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 은 발산급수이다. r = 1 이면 근판정법으로 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.) 적분판정법(integral test): 주어진 급수를 이상적분과 연계시켜 수렴여부를 판정하는 방법이다. f {\displaystyle f\,} 를 구간 [ 1 , ∞ ) {\displaystyle [1,\infty )\,} 에서 양의 값을 갖는 단조감소하는 연속함수라고 하자. 만약 모든 n에 대해 f ( n ) = a n {\displaystyle f(n)=a_{n}\,} 이고 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x < ∞ , {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,} 이면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분이 존재하지 않으면 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 는 발산급수이다. 이외에도 극한비교판정법, 교대급수에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨의 판정법 등이 있다. 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면( a n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}\geq 0\,} ), ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 을 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이들 판정법을 이용하여 급수의 수렴여부를 판정할 수 있게 해준다. 절대수렴: 급수 ∑ j = 1 ∞ | a j | {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|a_{j}|\,} 가 수렴하면 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉 ∑ j = 1 ∞ | a j | {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|a_{j}|\,} 가 수렴하면 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 도 수렴한다. 조건수렴: ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 는 수렴하지만, ∑ j = 1 ∞ | a j | {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|a_{j}|\,} 가 발산하면 ∑ j = 1 ∞ a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,} 를 조건수렴한다고 한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \,} 은 수렴급수이지만, ∑ n = 1 ∞ | ( − 1 ) n + 1 1 n | = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\right|=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots \,} 는 발산하므로 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,} 은 절대수렴하지 않는다. 그러므로 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,} 은 조건수렴하는 급수이다.