극성화와 반환

가환대수학에서 극성화(極性化, 영어: polarization)는 동차 다항식에 변수를 추가하여 다중 선형 다항식으로 변환시키는 연산이다. 반환(返還, 영어: restitution)은 극성화의 반대 연산이며, 다중 선형 다항식을 동차 다항식으로 변환시킨다. p {\displaystyle p} 가 n {\displaystyle n} 개의 변수에 대한 d {\displaystyle d} 차 동차 다항식이고, R {\displaystyle R} 는 계승 n ! {\displaystyle n!} 이 가역원인 가환환이라고 하자. 그렇다면 p {\displaystyle p} 를 R [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]} 의 원소로 여길 수 있다. p {\displaystyle p} 의 극성화 P p ∈ R [ x 1 , 1 , x 1 , 2 , … , x i , j , x i , j + 1 , … , x n , d ] {\displaystyle {\mathcal {P}}p\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots ,x_{i,j},x_{i,j+1},\dots ,x_{n,d}]} 는 다음과 같다. P p ( … , x i , j , … ) = 1 d ! ∂ ∂ t 1 ⋯ ∂ ∂ t d f ( … , ∑ j = 1 d t j x i , j , … ) {\displaystyle {\mathcal {P}}p(\dots ,x_{i,j},\dots )={\frac {1}{d!}}{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial t_{d}}}f\left(\dots ,\sum _{j=1}^{d}t_{j}x_{i,j},\dots \right)} 극성화의 반대 연산은 반환이다. n d {\displaystyle nd} 개의 변수를 갖는 다항식 P ∈ R [ x 1 , 1 , x 1 , 2 , … , x i , j , … , x n , d {\displaystyle P\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots ,x_{i,j},\dots ,x_{n,d}} 의 반환 R P {\displaystyle {\mathcal {R}}P} 는 다음과 같다. R P ∈ R [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\mathcal {R}}P\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]} R P ( x 1 , … , x n ) = P ( x 1 , … , x 1 ⏞ d , ⋯ , x i , … , x i ⏞ d , ⋯ , x n , … , x n ⏞ d ) {\displaystyle {\mathcal {R}}P(x_{1},\dots ,x_{n})=P(\overbrace {x_{1},\dots ,x_{1}} ^{d},\cdots ,\overbrace {x_{i},\dots ,x_{i}} ^{d},\cdots ,\overbrace {x_{n},\dots ,x_{n}} ^{d})} ( x 1 , j , … , x n , j ) = x j {\displaystyle (x_{1,j},\dots ,x_{n,j})=\mathbf {x} _{j}} 라고 쓰자. 그렇다면, 각 j {\displaystyle j} 에 대하여 P p {\displaystyle {\mathcal {P}}p} 는 x j {\displaystyle \mathbf {x} _{j}} 에 대한 선형 함수이다. 또한, P p {\displaystyle {\mathcal {P}}p} 는 대칭군 Sym ⁡ ( d ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (d)} 의 작용 ( x 1 , … , x d {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{d}} 의 순열)에 대하여 불변이다. K {\displaystyle K} 가 표수가 0인 체라고 하고, V {\displaystyle V} 가 n {\displaystyle n} 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 다항식환 K [ V ] {\displaystyle K[V]} 은 차수에 따라 등급환이 된다. K [ V ] = ⨁ i = 0 ∞ K [ V ] i {\displaystyle K[V]=\bigoplus _{i=0}^{\infty }K[V]_{i}} 이 경우, 극성화는 표준적 동형사상 P : K [ V ] i → Sym n ⁡ ( V ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {P}}\colon K[V]_{i}\to \operatorname {Sym} ^{n}(V^{*})} 을 정의한다. 또한, 극성화는 R [ V ] {\displaystyle R[V]} 의 K {\displaystyle K} -대수 구조와 호환되므로, K {\displaystyle K} -등급대수로서 다음과 같은 동형사상이 존재한다. P : K [ V ] → Sym ⁡ ( V ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {P}}\colon K[V]\to \operatorname {Sym} (V^{*})} 1변수 단항식 a x d {\displaystyle ax^{d}} 에 대하여, 극성화는 항등 함수이다. 마찬가지로, 선형 함수 ( d = 1 {\displaystyle d=1} )에 대하여, 극성화는 항등 함수이다. 2변수 이차 형식 p ( x , y ) = a x 2 + 2 b x y + c y 2 {\displaystyle p(x,y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2}} 의 극성화는 다음과 같다. P p ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) = a x 1 x 2 + b ( x 1 y 2 + y 1 x 2 ) + c y 1 y 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}p(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=ax_{1}x_{2}+b(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})+cy_{1}y_{2}} 2변수 3차 동차 다항식 p ( x , y ) = a x 3 + 3 b x 2 y + 3 c x y 2 + d y 3 {\displaystyle p(x,y)=ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}} 의 극성화는 다음과 같다. P p ( x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 ) = a x 1 x 2 x 3 + b ( y 1 x 2 x 3 + x 1 y 2 x 3 + x 1 x 2 y 3 ) + c ( x 1 y 2 y 3 + y 1 x 2 y 3 + y 1 y 2 x 3 ) + d y 1 y 2 y 3 {\displaystyle {\mathcal {P}}p(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})=ax_{1}x_{2}x_{3}+b(y_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}y_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}y_{3})+c(x_{1}y_{2}y_{3}+y_{1}x_{2}y_{3}+y_{1}y_{2}x_{3})+dy_{1}y_{2}y_{3}} 극성화와 반환은 대수기하학, 특히 불변량 이론에서 쓰인다. Dolgachev, Igor V. (2003). 《Lectures on invariant theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 296. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615436. ISBN 978-052152548-0. Zbl 1023.13006.