등변 미분 형식

미분기하학에서 등변 미분 형식(等變微分形式, 영어: equivariant differential form)은 리 군의 작용과 호환되는, 하나의 리 대수 변수에 대한 미분 형식 계수의 다항식이다. 이를 사용하여, 드람 코호몰로지와 유사하게 등변 코호몰로지를 계산할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} . 그 리 대수가 Lie ⁡ ( G ) = g {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}} 라고 하자. G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 왼쪽 작용 ( ⋅ ) : G × M → M {\displaystyle (\cdot )\colon G\times M\to M} . 그렇다면, M {\displaystyle M} 위의 G {\displaystyle G} -등변 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 는 다음 벡터 공간의 원소이다. α ∈ Sym ⁡ [ g ∗ ] ⊗ C Ω ( M ; C ) = C [ g ] ⊗ C Ω ( M ; C ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Sym} [{\mathfrak {g}}^{*}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )=\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )} 여기서 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 쌍대 공간이며, Ω ( M ; C ) = Ω ( M ) ⊗ R C {\displaystyle \Omega (M;\mathbb {C} )=\Omega (M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 은 M {\displaystyle M} 위의 복소수 계수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이다. 이러한 원소는 다항식 사상 α : g → Ω ( M ; C ) {\displaystyle \alpha \colon {\mathfrak {g}}\to \Omega (M;\mathbb {C} )} 으로 간주할 수 있는데, 이 경우 α {\displaystyle \alpha } 는 다음 조건을 만족해야 한다.:208, §7.1 α ( Ad ⁡ ( g ) x ) = g ⋅ α ( x ) ∀ g ∈ G , x ∈ g {\displaystyle \alpha \left(\operatorname {Ad} (g)x\right)=g\cdot \alpha (x)\qquad \forall g\in G,\;x\in {\mathfrak {g}}} 여기서 Ad ⁡ ( g ) : G → GL ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)\colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})} 는 G {\displaystyle G} 의 딸림표현이다. 등변 미분 형식 α ∈ ( Sym ⁡ [ g ∗ ] ⊗ C Ω ( M ; C ) ) G {\displaystyle \alpha \in \left(\operatorname {Sym} [{\mathfrak {g}}^{*}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )\right)^{G}} 위에는 다음과 같은 등변 외미분(等變外微分, 영어: equivariant exterior derivative)을 정의할 수 있다. d g α : x ↦ d ( α ( x ) ) − x ♯ ⌟ ( α ( x ) ) {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}\alpha \colon x\mapsto \mathrm {d} (\alpha (x))-x^{\sharp }\lrcorner (\alpha (x))} 여기서 d {\displaystyle \mathrm {d} } 는 (일반) 외미분이다. ⌟ {\displaystyle \lrcorner } 는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다. x ♯ ∈ Γ ( M ) {\displaystyle x^{\sharp }\in \Gamma (M)} 는 G {\displaystyle G} 의 왼쪽 작용을 생성하는 벡터장이다. 이는 (일반 외미분과 마찬가지로) d g ∘ d g = 0 {\displaystyle \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}\circ \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}=0} 을 만족시키며, 이에 따라 코호몰로지를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 등변 코호몰로지와 일치한다. H G ∙ ⁡ ( X ; C ) = ker ⁡ d g im ⁡ d g {\displaystyle \operatorname {H} _{G}^{\bullet }(X;\mathbb {C} )={\frac {\ker \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}}{\operatorname {im} \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}}}} 또한, 이를 통해 등변 완전 미분 형식(等變完全微分形式, 영어: equivariantly exact differential form) 및 등변 닫힌 미분 형식(等變-微分形式, 영어: equivariantly closed differential form)을 정의할 수 있다.:209, §7.1 등변 미분 형식의 개념은 앙리 카르탕이 도입하였다.:§6, 6–9:209, §7.1:§2.4 Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20062-8. Zbl 0744.58001.  Cartan, Henri (1950년 5월 15일). “Cohomologie réelle d’un espace fibré principal différentiable. I : notions d’algèbre différentielle, algèbre de Weil d’un groupe de Lie”. 《Séminaire Henri Cartan》 (프랑스어) 2: 19.  Kübel, Andreas; Thom, Andreas (2015). “Equivariant characteristic forms in the Cartan model and Borel equivariant cohomology” (영어). arXiv:1508.07847. Bibcode:2015arXiv150807847K.