순환군

군론에서 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.) 군의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 생성하는 순환군 ⟨ g ⟩ {\displaystyle \langle g\rangle } 은 다음과 같다. ⟨ g ⟩ = { g n : n ∈ Z } = { … , g − 2 , g − 1 , 1 , g , g 2 , … } ≤ G {\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots ,g^{-2},g^{-1},1,g,g^{2},\dots \}\leq G} 군 G {\displaystyle G} 의 차수(次數, 영어: order,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기 | G | {\displaystyle |G|} 를 뜻한다. 군의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 차수 ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} g} 는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다. ord ⁡ g = | ⟨ g ⟩ | = { ∞ ∄ n ∈ Z + : g n = 1 min { n ∈ Z + : g n = 1 } ∃ n ∈ Z + : g n = 1 ∈ Z + ∪ { ∞ } {\displaystyle \operatorname {ord} g=|\langle g\rangle |={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\\\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}} 군 G {\displaystyle G} 의 지수(指數, 영어: exponent) exp ⁡ G {\displaystyle \exp G} 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다. exp ⁡ G = { ∞ ∄ n ∈ Z + ∀ g ∈ G : g n = 1 lcm g ∈ G ⁡ ord ⁡ g = min { n ∈ Z + : ∀ g ∈ G : g n = 1 } ∃ n ∈ Z + ∀ g ∈ G : g n = 1 ∈ Z + ∪ { ∞ } {\displaystyle \exp G={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\\\operatorname {lcm} _{g\in G}\operatorname {ord} g=\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \forall g\in G\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}} 순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다. ⟨ g ⟩ ≅ { Z ord ⁡ g = ∞ Z ord ⁡ g ord ⁡ g < ∞ {\displaystyle \langle g\rangle \cong {\begin{cases}Z&\operatorname {ord} g=\infty \\Z_{\operatorname {ord} g}&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}} 군의 유한 차수 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 및 정수 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. g n = 1 {\displaystyle g^{n}=1} ord ⁡ g ∣ n {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n} 증명: (⇐) ord ⁡ g ∣ n {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n} 이라면, n = n ′ ord ⁡ g {\displaystyle n=n'\operatorname {ord} g} 인 n ′ ∈ Z {\displaystyle n'\in \mathbb {Z} } 가 존재하므로, g n = ( g ord ⁡ g ) n ′ = 1 n ′ = 1 {\displaystyle g^{n}=(g^{\operatorname {ord} g})^{n'}=1^{n'}=1} 이다. (⇒) g n = 1 {\displaystyle g^{n}=1} 이라면, n {\displaystyle n} 과 ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} g} 의 나머지 있는 나눗셈을 n = q ord ⁡ g + r {\displaystyle n=q\operatorname {ord} g+r} 라고 하면, g r = g n g − ord ⁡ g = 1 {\displaystyle g^{r}=g^{n}g^{-\operatorname {ord} g}=1} 이므로, 차수의 정의에 따라 r = 0 {\displaystyle r=0} 이다. 즉, ord ⁡ g ∣ n {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n} 이다. 지수가 유한한 군 G {\displaystyle G} 및 정수 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in \mathbb {G} } 에 대하여, g n = 1 {\displaystyle g^{n}=1} exp ⁡ G ∣ n {\displaystyle \exp G\mid n} 증명: (⇐) exp ⁡ G ∣ n {\displaystyle \exp G\mid n} 이라면, n = n ′ exp ⁡ G {\displaystyle n=n'\exp G} 인 n ′ ∈ Z {\displaystyle n'\in \mathbb {Z} } 가 존재하므로, 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, g n = ( g exp ⁡ G ) n ′ = 1 n ′ = 1 {\displaystyle g^{n}=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1} 이다. (⇒) 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여 g n = 1 {\displaystyle g^{n}=1} 이라면, 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여 ord ⁡ g ∣ n {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n} 이므로, 지수의 정의에 따라 exp ⁡ G ∣ n {\displaystyle \exp G\mid n} 이다. 유한군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다. ord ⁡ g ∣ exp ⁡ G ∣ | G | {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \exp G\mid |G|} 군의 유한 차수 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 및 정규 부분군 N ◃ G {\displaystyle N\triangleleft G} 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다. ord ⁡ ( g N ) ∣ ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} (gN)\mid \operatorname {ord} g} 증명: ( g N ) ord ⁡ g = g ord ⁡ g N = N {\displaystyle (gN)^{\operatorname {ord} g}=g^{\operatorname {ord} g}N=N} 군의 유한 차수 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 및 정수 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. ord ⁡ g n = ord ⁡ g gcd { ord ⁡ g , n } {\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}={\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}} 증명: 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. ord ⁡ g n ∣ ord ⁡ g gcd { ord ⁡ g , n } {\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}\mid {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}} 증명: ( g n ) ord ⁡ g gcd { ord ⁡ g , n } = ( g ord ⁡ g ) n gcd { ord ⁡ g , n } = 1 n gcd { ord ⁡ g , n } = 1 {\displaystyle (g^{n})^{\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1} ord ⁡ g gcd { ord ⁡ g , n } ∣ ord ⁡ g n {\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}} 증명: 1 = ( g n ) ord ⁡ g n = g n ord ⁡ g n {\displaystyle 1=(g^{n})^{\operatorname {ord} g^{n}}=g^{n\operatorname {ord} g^{n}}} 이므로, ord ⁡ g ∣ n ord ⁡ g n {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n\operatorname {ord} g^{n}} 이므로, ord ⁡ g gcd { ord ⁡ g , n } ∣ n gcd { ord ⁡ g , n } ord ⁡ g n {\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid {\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\operatorname {ord} g^{n}} 이므로, ord ⁡ g gcd { ord ⁡ g , n } ∣ ord ⁡ g n {\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}} 군의 원소 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. g h = h g {\displaystyle gh=hg} gcd { ord ⁡ g , ord ⁡ h } = 1 {\displaystyle \gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1} 그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다. ord ⁡ ( g h ) = ord ⁡ g ord ⁡ h {\displaystyle \operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h} 증명: 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. ord ⁡ ( g h ) ∣ ord ⁡ g ord ⁡ h {\displaystyle \operatorname {ord} (gh)\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h} 증명: ( g h ) ord ⁡ ( g h ) = ( g ord ⁡ g ) ord ⁡ h ( h ord ⁡ h ) ord ⁡ g = 1 ord ⁡ h 1 ord ⁡ g = 1 {\displaystyle (gh)^{\operatorname {ord} (gh)}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\operatorname {ord} h}(h^{\operatorname {ord} h})^{\operatorname {ord} g}=1^{\operatorname {ord} h}1^{\operatorname {ord} g}=1} ord ⁡ g ord ⁡ h ∣ ord ⁡ ( g h ) {\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)} 증명: 1 = ( g h ) ord ⁡ g ord ⁡ ( g h ) = h ord ⁡ g ord ⁡ ( g h ) {\displaystyle 1=(gh)^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}=h^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}} 이므로, ord ⁡ h ∣ ord ⁡ g ord ⁡ ( g h ) {\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)} 이므로, ord ⁡ h ∣ ord ⁡ ( g h ) {\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)} 이다. 비슷하게, ord ⁡ g ∣ ord ⁡ h ord ⁡ ( g h ) {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \operatorname {ord} h\operatorname {ord} (gh)} 이다. 따라서, ord ⁡ g ord ⁡ h ∣ ord ⁡ ( g h ) {\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)} 이다. 반대로, 군의 원소 x ∈ G {\displaystyle x\in G} 의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자. ord ⁡ x = m n ( gcd { m , n } = 1 ) {\displaystyle \operatorname {ord} x=mn\qquad (\gcd\{m,n\}=1)} 그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 가 존재한다. x = g h = h g {\displaystyle x=gh=hg} ord ⁡ g = m {\displaystyle \operatorname {ord} g=m} ord ⁡ h = n {\displaystyle \operatorname {ord} h=n} 증명: 베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 u , v ∈ Z {\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} } 가 존재한다. 1 = m u + n v {\displaystyle 1=mu+nv} 조건을 만족시키는 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 를 다음과 같이 취할 수 있다. g = x n v {\displaystyle g=x^{nv}} g = x m u {\displaystyle g=x^{mu}} 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. ord ⁡ g ∣ m {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid m} , ord ⁡ h ∣ n {\displaystyle \operatorname {ord} h\mid n} 증명: g m = ( x n v ) m = ( x m n ) v = 1 v = 1 {\displaystyle g^{m}=(x^{nv})^{m}=(x^{mn})^{v}=1^{v}=1} m ∣ ord ⁡ g {\displaystyle m\mid \operatorname {ord} g} , n ∣ ord ⁡ h {\displaystyle n\mid \operatorname {ord} h} 증명: m n = ord ⁡ ( g h ) = ord ⁡ g ord ⁡ h {\displaystyle mn=\operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h} 유한 아벨 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 임의의 h ∈ G {\displaystyle h\in G} 에 대하여, ord ⁡ h ∣ ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g} 즉, 다음이 성립한다. max g ∈ G ord ⁡ g = exp ⁡ G {\displaystyle \max _{g\in G}\operatorname {ord} g=\exp G} 증명: 최대 차수 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 를 취하자. 임의의 h ∈ G {\displaystyle h\in G} 에 대하여, ord ⁡ h ∤ ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} h\nmid \operatorname {ord} g} 라고 가정하자. 그렇다면, v p ( ord ⁡ g ) < v p ( ord ⁡ h ) {\displaystyle v_{p}(\operatorname {ord} g)<v_{p}(\operatorname {ord} h)} 를 만족시키는 소인수 p ∣ ord ⁡ h {\displaystyle p\mid \operatorname {ord} h} 가 존재한다. 이 경우, ord ⁡ g p v p ( ord ⁡ g ) = ord ⁡ g p v p ( ord ⁡ g ) {\displaystyle \operatorname {ord} g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}={\frac {\operatorname {ord} g}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}}} ord ⁡ h ord ⁡ h p v p ( ord ⁡ h ) = p v p ( ord ⁡ h ) {\displaystyle \operatorname {ord} h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}} 이므로, ord ⁡ ( g p v p ( ord ⁡ g ) h ord ⁡ h p v p ( ord ⁡ h ) ) = p v p ( ord ⁡ h ) − v p ( ord ⁡ g ) ord ⁡ g > ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} \left(g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}\right)=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)-v_{p}(\operatorname {ord} g)}\operatorname {ord} g>\operatorname {ord} g} 이며, 이는 모순이다. 모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다. 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. | G | {\displaystyle |G|} 는 소수이다. G {\displaystyle G} 는 순환 단순군이다. G {\displaystyle G} 는 아벨 단순군이다. 증명: 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군: | G | {\displaystyle |G|} 가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 { 1 G } , G {\displaystyle \{1_{G}\},G} 밖에 없으므로, G {\displaystyle G} 는 단순군이다. 1 G ≠ g ∈ G {\displaystyle 1_{G}\neq g\in G} 를 취하자. 그렇다면, | ⟨ g ⟩ | = p {\displaystyle |\langle g\rangle |=p} 이므로, ⟨ g ⟩ = G {\displaystyle \langle g\rangle =G} 이다. 즉, G {\displaystyle G} 는 순환군이다. 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다. 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군: | G | {\displaystyle |G|} 가 소수가 아니라고 가정하자. G {\displaystyle G} 가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, G {\displaystyle G} 는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. G {\displaystyle G} 가 순환군이 아닌 경우, 임의의 1 G ≠ g ∈ G {\displaystyle 1_{G}\neq g\in G} 를 취하자. 그렇다면, ⟨ g ⟩ ◃ G {\displaystyle \langle g\rangle \triangleleft G} 이며, ⟨ g ⟩ ≠ 1 , G {\displaystyle \langle g\rangle \neq 1,G} 이므로, G {\displaystyle G} 는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다. 순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, ⟨ g ⟩ {\displaystyle \langle g\rangle } 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. ⟨ g n ⟩ { n ∈ Z ord ⁡ g = ∞ n ∣ ord ⁡ g ord ⁡ g < ∞ {\displaystyle \langle g^{n}\rangle \qquad {\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\infty \\n\mid \operatorname {ord} g&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}} 순환군의 몫군 역시 순환군이다. 유한군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. G {\displaystyle G} 는 순환군이다. 임의의, | G | {\displaystyle |G|} 의 양의 약수 d {\displaystyle d} 에 대하여, { H ≤ G : | H | = d } ≤ 1 {\displaystyle \{H\leq G\colon |H|=d\}\leq 1} 이다. 임의의 m ∈ Z + {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, | { x ∈ G : x m = 1 } | ≤ m {\displaystyle |\{x\in G\colon x^{m}=1\}|\leq m} 이다. 증명: (1) ⇒ (2): 순환군 ⟨ g ⟩ {\displaystyle \langle g\rangle } 의, 크기 d {\displaystyle d} 의 부분군은 ⟨ g ord ⁡ g d ⟩ {\displaystyle \langle g^{\frac {\operatorname {ord} g}{d}}\rangle } 가 유일하다. (1) ⇐ (2): 임의의 0 < d ∣ | G | {\displaystyle 0<d\mid |G|} 에 대하여, | { g ∈ G : ord ⁡ g = d } | = ϕ ( d ) > 0 {\displaystyle |\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|=\phi (d)>0} 임을 증명하자. (여기서 ϕ {\displaystyle \phi } 는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 ord ⁡ g = | G | {\displaystyle \operatorname {ord} g=|G|} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재하므로, G {\displaystyle G} 는 순환군이다. 증명: ord ⁡ g = ord ⁡ h = d {\displaystyle \operatorname {ord} g=\operatorname {ord} h=d} 인 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 ⟨ g ⟩ = ⟨ h ⟩ {\displaystyle \langle g\rangle =\langle h\rangle } 이므로, h = g n {\displaystyle h=g^{n}} 인 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 gcd { n , d } = 1 {\displaystyle \gcd\{n,d\}=1} 를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나 ϕ ( d ) {\displaystyle \phi (d)} 이다. 또한, n = ∑ d ∣ | G | ϕ ( d ) {\displaystyle n=\sum _{d\mid |G|}\phi (d)} 이므로, 구하려는 수는 ϕ ( d ) {\displaystyle \phi (d)} 이다. (1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 순환군 Z m , Z n {\displaystyle Z_{m},Z_{n}} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. Z m ⊕ Z n ≅ Z m n {\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\cong Z_{mn}} gcd { m , n } = 1 {\displaystyle \gcd\{m,n\}=1} 증명: (⇐) ord ⁡ ( 1 ⊕ 1 ) = ord ⁡ ( 1 ⊕ 0 ) ord ⁡ ( 0 ⊕ 1 ) = m n {\displaystyle \operatorname {ord} (1\oplus 1)=\operatorname {ord} (1\oplus 0)\operatorname {ord} (0\oplus 1)=mn} (⇒) 만약 gcd { m , n } ≠ 1 {\displaystyle \gcd\{m,n\}\neq 1} 이라면, | { a ⊕ b ∈ Z m ⊕ Z n : ( a ⊕ b ) m n gcd { m , n } = 1 } | = | Z m ⊕ Z n | = m n > m n gcd { m , n } {\displaystyle |\{a\oplus b\in Z_{m}\oplus Z_{n}\colon (a\oplus b)^{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}=1\}|=|Z_{m}\oplus Z_{n}|=mn>{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}} 이므로, Z m ⊕ Z n ≇ Z m n {\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\not \cong Z_{mn}} 이다. 코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 p ∣ | G | {\displaystyle p\mid |G|} 에 대하여, ord ⁡ g p = p {\displaystyle \operatorname {ord} g_{p}=p} 인 g p ∈ G {\displaystyle g_{p}\in G} 가 존재한다. 유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. G {\displaystyle G} 가 아벨 유한 p-군, a ∈ G {\displaystyle a\in G} 가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, G = ⟨ a ⟩ × B {\displaystyle G=\langle a\rangle \times B} 인 B ≤ G {\displaystyle B\leq G} 가 존재한다. 증명: 귀류법을 사용하여, G {\displaystyle G} 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, | G | ≥ 2 {\displaystyle |G|\geq 2} 이며, G ≠ ⟨ a ⟩ {\displaystyle G\neq \langle a\rangle } 이므로, 최소 차수 원소 b ∈ G ∖ ⟨ a ⟩ {\displaystyle b\in G\setminus \langle a\rangle } 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다. ord ⁡ b = p {\displaystyle \operatorname {ord} b=p} 증명: 그렇지 않다면, ord ⁡ b = p e {\displaystyle \operatorname {ord} b=p^{e}} ( e ≥ 2 {\displaystyle e\geq 2} )이며, ord ⁡ b p = p e − 1 {\displaystyle \operatorname {ord} b^{p}=p^{e-1}} 이므로, b p ∈ ⟨ a ⟩ {\displaystyle b^{p}\in \langle a\rangle } 이다. b p = a n {\displaystyle b^{p}=a^{n}} ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )이라고 하자. 그렇다면, ord ⁡ a gcd { ord ⁡ a , n } = ord ⁡ b p < ord ⁡ b ≤ ord ⁡ a {\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} a}{\gcd\{\operatorname {ord} a,n\}}}=\operatorname {ord} b^{p}<\operatorname {ord} b\leq \operatorname {ord} a} 이므로, p ∣ n {\displaystyle p\mid n} 이다. 따라서, ( b a − n p ) p = 1 G {\displaystyle (ba^{-{\frac {n}{p}}})^{p}=1_{G}} 이며, b a − n p ∈ G ∖ ⟨ a ⟩ {\displaystyle ba^{-{\frac {n}{p}}}\in G\setminus \langle a\rangle } 인데, 이는 b {\displaystyle b} 의 선택과 모순이다. ⟨ a ⟩ ∩ ⟨ b ⟩ = 1 {\displaystyle \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1} 증명: 1 G ≠ a m = b n ∈ ⟨ a ⟩ ∩ ⟨ b ⟩ {\displaystyle 1_{G}\neq a^{m}=b^{n}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle } ( 0 ≤ n < p {\displaystyle 0\leq n<p} )라고 하자. 그렇다면, 1 = n u + p v {\displaystyle 1=nu+pv} 인 u , v ∈ Z {\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} } 가 존재하며, b = b n u b p v = a m u ∈ ⟨ a ⟩ {\displaystyle b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in \langle a\rangle } 이다. 이는 모순이다. a ⟨ b ⟩ ∈ G / ⟨ b ⟩ {\displaystyle a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle } 은 최대 차수 원소이다. 증명: 우선 ord ⁡ ( a ⟨ b ⟩ ) ∣ ord ⁡ a {\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )\mid \operatorname {ord} a} 이다. ord ⁡ ( a ⟨ b ⟩ ) < ord ⁡ a {\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )<\operatorname {ord} a} 라고 가정하면, ( a ⟨ b ⟩ ) ord ⁡ a p = 1 {\displaystyle (a\langle b\rangle )^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}=1} 이므로, a ord ⁡ a p ∈ ⟨ a ⟩ ∩ ⟨ b ⟩ = 1 {\displaystyle a^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1} 이다. 이는 모순이다. 따라서 ord ⁡ ( a ⟨ b ⟩ ) = ord ⁡ a {\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )=\operatorname {ord} a} 이며, a ⟨ b ⟩ ∈ G / ⟨ b ⟩ {\displaystyle a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle } 은 최대 차수 원소이다. G / ⟨ b ⟩ = ⟨ a ⟨ b ⟩ ⟩ × ( B / ⟨ b ⟩ ) {\displaystyle G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )} 인 ⟨ b ⟩ ⊆ B ≤ G / ⟨ b ⟩ {\displaystyle \langle b\rangle \subseteq B\leq G/\langle b\rangle } 가 존재한다. 증명: | G / ⟨ b ⟩ | = | G | / p < | G | {\displaystyle |G/\langle b\rangle |=|G|/p<|G|} G = ⟨ a ⟩ × B {\displaystyle G=\langle a\rangle \times B} 증명: 우선, G / ⟨ b ⟩ = ⟨ a ⟨ b ⟩ ⟩ × ( B / ⟨ b ⟩ ) = ( ⟨ a ⟩ / ⟨ b ⟩ ) × ( B / ⟨ b ⟩ ) = ( ⟨ a ⟩ B ) / ⟨ b ⟩ {\displaystyle G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle /\langle b\rangle )\times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle } 이므로, G = ⟨ a ⟩ B {\displaystyle G=\langle a\rangle B} 이다. 또한, ( ⟨ a ⟩ ∩ B ) / ⟨ b ⟩ ⊆ ( ⟨ a ⟩ / ⟨ b ⟩ ) ∩ ( B / ⟨ b ⟩ ) = { ⟨ b ⟩ } {\displaystyle (\langle a\rangle \cap B)/\langle b\rangle \subseteq (\langle a\rangle /\langle b\rangle )\cap (B/\langle b\rangle )=\{\langle b\rangle \}} 이므로, ⟨ a ⟩ ∩ B ⊆ ⟨ a ⟩ ∩ ⟨ b ⟩ = 1 {\displaystyle \langle a\rangle \cap B\subseteq \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1} 이며, G = ⟨ a ⟩ × B {\displaystyle G=\langle a\rangle \times B} 이다. 프뤼퍼 군 원군 “Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Exponent of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Group order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Cyclic group”. 《nLab》 (영어).  “Order of a group”. 《nLab》 (영어).  “Exponent of a group”. 《nLab》 (영어).  “Cyclic group”. 《Groupprops》 (영어).  “Order of a group”. 《Groupprops》 (영어).  “Exponent of a group”. 《Groupprops》 (영어).  “Cyclic group”. 《PlanetMath》 (영어).  “Order (of a group)”. 《PlanetMath》 (영어).  “Exponent”. 《PlanetMath》 (영어).