그로텐디크 스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 그로텐디크 스펙트럼 열(Grothendieck spectrum列, 영어: Grothendieck spectral sequence)은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다. 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} 사이의 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } -풍성한 왼쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. F {\displaystyle F} -비순환 대상(영어: acyclic object)은 다음 조건을 만족시키는 대상 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 이다. ∀ i ∈ Z + : R i ⁡ F ( A ) = 0 {\displaystyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \operatorname {R} ^{i}F(A)=0} 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 아벨 범주 A , B , C {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}},{\mathcal {C}}} 왼쪽 완전 함자 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} , G : B → C {\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자. A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 와 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다. F {\displaystyle F} 는 F {\displaystyle F} -비순환 대상을 G {\displaystyle G} -비순환 대상으로 대응시킨다. A {\displaystyle A} 는 F {\displaystyle F} -비순환 대상들로의 분해를 갖는다. 그렇다면, A {\displaystyle A} 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 E ∙ ∙ ∙ {\displaystyle E_{\bullet }^{\bullet \bullet }} 은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다. E 2 p q = ( R p ⁡ G ∘ R q ⁡ F ) ( A ) {\displaystyle E_{2}^{pq}=(\operatorname {R} ^{p}G\circ \operatorname {R} ^{q}F)(A)} 이 스펙트럼 열은 합성 함자의 G ∘ F {\displaystyle G\circ F} 의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다. E 2 p , q ⇒ R p + q ⁡ ( G ∘ F ) ( A ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {R} ^{p+q}(G\circ F)(A)} 그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, A {\displaystyle A} 와 F ( A ) {\displaystyle F(A)} 의 단사 분해에 의존한다. 유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환 R ⁡ ( G ∘ F ) ⇒ R ⁡ G ∘ R ⁡ F : D ⁡ ( A ) → D ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {R} (G\circ F)\Rightarrow \operatorname {R} G\circ \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {C}})} 이 존재한다.:59, Proposition I.5.4 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.:60 함자 F {\displaystyle F} , G {\displaystyle G} 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다. 0 → ( R 1 ⁡ G ∘ F ) ( A ) → ( R 1 ⁡ ( G ∘ F ) ) ( A ) → ( G ∘ R 1 ⁡ F ) ( A ) → ( R 2 ⁡ G ∘ F ) ( A ) → ( R 2 ⁡ ( G ∘ F ) ) ( A ) {\displaystyle 0\to (\operatorname {R} ^{1}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{1}(G\circ F))(A)\to (G\circ \operatorname {R} ^{1}F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}(G\circ F))(A)} 르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다. Sh ⁡ ( X ; Ab ) → f ∗ Sh ⁡ ( Y ; Ab ) → Γ X Ab {\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab} } 여기서 f ∗ {\displaystyle f_{*}} 는 위상 공간 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 의하여 유도되는 층의 직상이며, Γ X {\displaystyle \Gamma _{X}} 는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 Sh ⁡ ( { ∙ } , Ab ) ≃ Ab {\displaystyle \operatorname {Sh} (\{\bullet \},\operatorname {Ab} )\simeq \operatorname {Ab} } 로의 직상)이다. 층의 직상 f ∗ : Sh ⁡ ( X ; Ab ) → Sh ⁡ ( Y ; Ab ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )} 은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상 f ∗ : Sh ⁡ ( Y ; Ab ) → Sh ⁡ ( X ; Ab {\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} } f ∗ ⊣ f ∗ {\displaystyle f^{*}\dashv f_{*}} 을 가지므로, 직상 f ∗ {\displaystyle f_{*}} 은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 두 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다. Mod O X → hom Mod O X ⁡ ( F , − ) Sh ⁡ ( X ; Ab ) → Γ X Ab {\displaystyle \operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}{\xrightarrow {\hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)}}\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab} } 이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.:Théorème II.7.3.3 E 2 p , q ( G ) = H p ⁡ ( X ; E x t O X q ( F , G ) ) ⇒ Ext Γ X ( O X ) p + q ⁡ ( Γ X ( F ) , Γ X ( G ) ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}({\mathcal {G}})=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{q}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}}))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\Gamma _{X}({\mathcal {O}}_{X})}^{p+q}\left(\Gamma _{X}({\mathcal {F}}),\Gamma _{X}({\mathcal {G}})\right)} 여기서 E x t O X q ( F , − ) = R q ⁡ hom Mod O X ⁡ ( F , − ) {\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{q}(F,-)=\operatorname {R} ^{q}\hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)} 는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 hom Mod O X ⁡ ( F , − ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)} 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) Ext {\displaystyle \operatorname {Ext} } 는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. 가환환 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 및 환 준동형 f : R → S {\displaystyle f\colon R\to S} 및 S {\displaystyle S} 위의 가군 N {\displaystyle N} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다. Mod R → ⊗ R S Mod S → ⊗ S N Mod S {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}{\xrightarrow {\otimes _{R}S}}\operatorname {Mod} _{S}{\xrightarrow {\otimes _{S}N}}\operatorname {Mod} _{S}} 이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환(영어: base change)을 계산한다. 즉, R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다. E 2 p , q ( M ) = Tor p S ⁡ ( Tor q R ⁡ ( M , S ) , N ) ⇒ Tor p + q R ⁡ ( M , N ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}(M)=\operatorname {Tor} _{p}^{S}(\operatorname {Tor} _{q}^{R}(M,S),N)\Rightarrow \operatorname {Tor} _{p+q}^{R}(M,N)} 만약 S {\displaystyle S} 가 R {\displaystyle R} -평탄 가군이라면, Tor q R ⁡ ( M , S ) = { M ⊗ R S q = 0 0 q > 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{R}(M,S)={\begin{cases}M\otimes _{R}S&q=0\\0&q>0\end{cases}}} 이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다. Tor p S ⁡ ( M ⊗ R S , N ) ≅ Tor p R ⁡ ( M , N ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{S}(M\otimes _{R}S,N)\cong \operatorname {Tor} _{p}^{R}(M,N)} 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열(영어: Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence) 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다. 유한군 G {\displaystyle G} 와 정규 부분군 N ⊲ G {\displaystyle N\vartriangleleft G} 및 G {\displaystyle G} -가군 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다. Mod Z [ G ] → ( − ) N Mod Z [ G / N ] → ( − ) G / N Ab {\displaystyle \operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} [G]}{\xrightarrow {(-)^{N}}}\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} [G/N]}{\xrightarrow {(-)^{G/N}}}\operatorname {Ab} } 여기서 ( − ) N {\displaystyle (-)^{N}} 은 N {\displaystyle N} 의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다. 이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이라고 하며, 다음과 같다. H p ⁡ ( G / N ; H q ⁡ ( N , M ) ) ⇒ H p + q ⁡ ( G ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(G/N;\operatorname {H} ^{q}(N,M))\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(G;M)} 이에 대응하는 5항 완전열은 팽창-제한 완전열(영어: inflation–restriction exact sequence)이라고 하며, 다음과 같다. 0 → H 1 ⁡ ( G / N ; M N ) → H 1 ⁡ ( G ; M ) → H 1 ⁡ ( N ; M ) G / N → H 2 ⁡ ( G / N ; M N ) → H 2 ⁡ ( G ; M ) {\displaystyle 0\to \operatorname {H} ^{1}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{1}(G;M)\to \operatorname {H} ^{1}(N;M)^{G/N}\to \operatorname {H} ^{2}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{2}(G;M)} 여기서 "팽창"은 H ∙ ⁡ ( G / N ; M ) → H ∙ ⁡ ( G / N ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)} 이며, "제한"은 H ∙ ⁡ ( G ; M ) → H ∙ ⁡ ( N ; M ) G / M {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(N;M)^{G/M}} 이다. 1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1948년에 로저 코넌트 린던(영어: Roger Conant Lyndon)은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르는 이를 개량하였다. 이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다. Hartshorne, Robin (1966). 《Residues and duality: lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 20. Springer. doi:10.1007/BFb0080482. ISBN 978-3-540-03603-6. ISSN 0075-8434.  Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801.  Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802.  Godement, Roger (1973). 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1252 3판. 파리: Hermann. MR 0345092. Zbl 0275.55010.  Lyndon, Roger C. (1948). “The cohomology theory of group extensions”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 15 (1): 271–292. doi:10.1215/S0012-7094-48-01528-2. 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