사상류군

위상수학에서 사상류군(寫像類群, 영어: mapping class group)은 어떤 위상 공간의 자기 위상 동형들의 호모토피류들로 구성된 군이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위상 동형 사상 X → X {\displaystyle X\to X} 들의 집합은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이 위에 콤팩트-열린집합 위상을 부여하면 이는 위상군 Homeo ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)} 을 이룬다. 항등원을 포함하는 연결 성분은 그 정규 부분군 Homeo 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(X)} 를 이룬다. 이에 따라, 짧은 완전열 1 → Homeo 0 ⁡ ( X ) → Homeo ⁡ ( X ) → MCG ⁡ ( X ) → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Homeo} _{0}(X)\to \operatorname {Homeo} (X)\to \operatorname {MCG} (X)\to 1} 이 존재한다. 이 몫군 MCG ⁡ ( X ) = Homeo ⁡ ( X ) Homeo 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {MCG} (X)={\frac {\operatorname {Homeo} (X)}{\operatorname {Homeo} _{0}(X)}}} 을 M {\displaystyle M} 의 사상류군이라고 하며, 그 원소를 사상류라고 한다. 만약 X {\displaystyle X} 가 가향 다양체라고 할 때, 방향을 보존하는 위상 동형 사상들의 부분군 Homeo + ⁡ ( X ) ⊆ Homeo ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(X)\subseteq \operatorname {Homeo} (X)} 이 존재한다. 이에 따라, 마찬가지로 사상류군의 부분군 Homeo + ⁡ ( X ) Homeo 0 ⁡ ( X ) = MCG + ⁡ ( X ) ⊆ MCG ⁡ ( X ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {Homeo} ^{+}(X)}{\operatorname {Homeo} _{0}(X)}}=\operatorname {MCG} ^{+}(X)\subseteq \operatorname {MCG} (X)} 을 정의할 수 있으며, 이를 방향 보존 사상류군(영어: orientation-preserving mapping class group)이라고 한다. 특이 호몰로지의 함자성에 따라, 사상류 [ f ] ∈ MCG ⁡ ( X ) {\displaystyle [f]\in \operatorname {MCG} (X)} 는 호몰로지 군 위에 작용한다. [ f ] : H ∙ ⁡ ( X ) → H ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle [f]\colon \operatorname {H} _{\bullet }(X)\to \operatorname {H} _{\bullet }(X)} 이 작용이 자명한 사상류, 즉 모든 호몰로지류를 보존하는 사상류들로 구성된 부분군을 토렐리 군(영어: Torelli group) Tor ⁡ ( X ) ⊆ MCG ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Tor} (X)\subseteq \operatorname {MCG} (X)} 이라고 한다. 닐센-서스턴 분류에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 방향 사상류 g ∈ MCG + ⁡ ( Σ ) {\displaystyle g\in \operatorname {MCG} ^{+}(\Sigma )} 에 대하여, 다음 세 조건 가운데 하나 이상이 성립한다. 유한 차수이다. 즉, g n = 1 {\displaystyle g^{n}=1} 인 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다. g {\displaystyle g} 의 작용에 의하여 보존되는 서로소 폐곡선들이 존재한다. 유사 아노소프 사상(영어: pseudo-Anosov map)이다. 덴-닐센-베르 정리(영어: Dehn–Nielsen–Baer theorem)에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대하여, 다음 두 군이 서로 표준적으로 동형이다. MCG ⁡ ( Σ ) ≅ Out ⁡ ( π 1 ( Σ ) ) {\displaystyle \operatorname {MCG} (\Sigma )\cong \operatorname {Out} (\pi _{1}(\Sigma ))} 여기서 π 1 ( − ) {\displaystyle \pi _{1}(-)} 은 기본군이며, Out ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Out} (-)} 은 어떤 군의 외부자기동형군이다. 이산 공간 X {\displaystyle X} 위의 자기 위상 동형은 순열 X → X {\displaystyle X\to X} 과 같으며, 그 위의 콤팩트-열린집합 위상 역시 이산 공간이다. 즉, X {\displaystyle X} 의 사상류군은 대칭군과 같다. MCG ⁡ ( X ) = MCG + ⁡ ( X ) = Sym ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {MCG} (X)=\operatorname {MCG} ^{+}(X)=\operatorname {Sym} (X)} 이 경우, (0차) 특이 호몰로지는 H 0 ⁡ ( X ) = Z ⊕ | X | {\displaystyle \operatorname {H} _{0}(X)=\mathbb {Z} ^{\oplus |X|}} 이며, 이에 따라 토렐리 군은 자명군이다. Tor ⁡ ( X ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Tor} (X)=1} 구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 경우, MCG ⁡ ( S 2 ) = Z / 2 {\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} /2} MCG + ⁡ ( S 2 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {MCG} ^{+}(\mathbb {S} ^{2})=1} 이다. 특히, 토렐리 군은 자명군이다. 닐센-서스턴 정리는 야코브 닐센(덴마크어: Jakob Nielsen)과 윌리엄 서스턴이 증명하였다. 덴-닐센-베르 정리는 막스 덴과 야코브 닐센과 라인홀트 베르(독일어: Reinhold Baer)가 증명하였다. 꼬임군 (위상수학) 호모토피 군 “Are the mapping class groups of manifolds finitely presentable?”. 《Math Overflow》 (영어).