수렴 수열 공간

함수해석학에서 수렴 수열 공간(收斂數列空間, 영어: space of convergent sequence)은 어떤 값으로 수렴하는 수열들로 구성된 바나흐 공간이다. 기호는 c. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 수렴하는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -수열 (=코시 열)의 집합 c ⁡ ( K ) = { a ∈ K N : ∃ lim i → ∞ a i } {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists \lim _{i\to \infty }a_{i}\}} 은 자연스럽게 K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 노름을 부여하자. ‖ a ‖ ∞ = sup i ∈ N | a i | {\displaystyle \|a\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|} 그렇다면 이는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 이를 수렴 수열 공간 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 라고 한다. 0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간 c 0 ⁡ ( K ) = { a ∈ c ⁡ ( K ) : lim i → ∞ a i = 0 } {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )=\{a\in \operatorname {c} (\mathbb {K} )\colon \lim _{i\to \infty }a_{i}=0\}} 은 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 의 닫힌 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 이를 영 수렴 수열 공간(零收斂數列空間, 영어: space of sequences converging to zero) c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 이라고 한다.:69, Example III.1.3 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 와 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 전단사 연속 선형 변환이 존재하지만), 바나흐 공간으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 전단사 등거리 선형 변환이 존재하지 않는다). 구체적으로, 이 전단사 연속 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환은 다음과 같다. c ⁡ ( K ) → c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\to \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} ( a 0 , a 1 , a 2 , … ) ↦ ( lim i a i , a 0 − lim i a i , a 1 − lim i a i , … ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\mapsto (\lim _{i}a_{i},a_{0}-\lim _{i}a_{i},a_{1}-\lim _{i}a_{i},\ldots )} c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 와 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 는 분해 가능 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이다. c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 의 경우, f = { a ∈ K N : ∃ N ∈ N : ∀ i ≥ N : a i = a } ∩ { Q N K = R ( Q + i Q ) N K = C {\displaystyle f=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall i\geq N\colon a_{i}=a\}\cap {\begin{cases}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\(\mathbb {Q} +\mathrm {i} \mathbb {Q} )^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}} 는 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 속의 가산 조밀 집합을 이룬다. c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 는 그 부분 집합이며, 분해 가능 거리 공간의 부분 집합은 분해 가능 공간이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로, f ∩ c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle f\cap \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 는 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 의 가산 조밀 집합을 이룬다.:69, Example III.1.3 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 의 연속 쌍대 공간과 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 의 연속 쌍대 공간은 둘 다 르베그 공간 ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 과 동형이다. c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 의 경우 이는 다음과 같다. c ⁡ ( K ) × ℓ 1 ( K ) → K {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} } ( x , y ) ↦ y 0 ( lim i → ∞ x i ) + ∑ i = 1 ∞ x i y i {\displaystyle (x,y)\mapsto y_{0}\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\right)+\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}} c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 의 경우 이는 다음과 같다.:73, Example III.2.3 c 0 ⁡ ( K ) × ℓ 1 ( K ) → K {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} } ( x , y ) ↦ ∑ i = 0 ∞ x i y i {\displaystyle (x,y)\mapsto \sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}} ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 의 쌍대 공간은 르베그 공간 ℓ ∞ ( K ) {\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )} 이므로, c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 와 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 는 반사 바나흐 공간이 아니다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.:69, Example III.1.3 ℓ 1 ( K ) ⊊ ℓ 2 ( K ) ⊊ ℓ 3 ( K ) ⊊ ⋯ ⊆ c 0 ⁡ ( K ) ⊊ c ⁡ ( K ) ⊊ ℓ ∞ ( K ) ⊊ ℓ 0 ( K ) = K N {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{2}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{3}(\mathbb {K} )\subsetneq \cdots \subseteq \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{0}(\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }} 여기서 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 는 르베그 공간이며, 0 < p < ∞ {\displaystyle 0<p<\infty } 이다. 물론, 0 < p < q < ∞ {\displaystyle 0<p<q<\infty } 라면 ℓ p ( K ) ⊋ ℓ q ( K ) {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )\supsetneq \ell ^{q}(\mathbb {K} )} 가 성립한다. 위 포함 관계들은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 등거리 변환이다 (즉, 같은 노름을 갖는다). c 0 ⁡ ( K ) ⊊ c ⁡ ( K ) ⊊ ℓ ∞ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )} 다음과 같은 수열들을 생각하자. ( e i ) j = δ i j ∀ i , j ∈ N {\displaystyle (e_{i})_{j}=\delta _{ij}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} } e i = ( 0 , 0 , 0 , … , 0 ⏞ i , 1 , 0 , 0 , … ) ∀ i ∈ N {\displaystyle e_{i}=(\overbrace {0,0,0,\ldots ,0} ^{i},1,0,0,\ldots )\qquad \forall i\in \mathbb {N} } 여기서 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 는 크로네커 델타이다. 그렇다면, ( e i ) i ∈ N {\displaystyle (e_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 은 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.:Chapter 2 Reed, Michael Charles; Simon, Barry Martin (1980). 《Functional analysis》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  Albiac, Fernando; Kalton, Nigel J. (2016). 《Topics in Banach space theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 233 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-31557-7. ISBN 978-3-319-31555-3. ISSN 0072-5285.  Godefroy, Gilles (2001). “The Banach space c0” (PDF). 《Extracta Mathematicae》 (영어) 16 (1): 1–25. ISSN 0213-8743. Zbl 0986.46009.  Gowers, Timothy (2009년 2월 17일). “Must an “explicitly defined” Banach space contain c_0 or ell_p?”. 《Gowers’s Weblog》 (영어).  “Are these two Banach spaces isometrically isomorphic?” (영어). StackExchange.