들리뉴-베일린손 코호몰로지

기하학에서 들리뉴-베일린손 코호몰로지(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, 영어: Deligne–Beilinson cohomology) 또는 들리뉴 코호몰로지는 접속을 갖는 원군 n {\displaystyle n} -주다발을 나타내는, 미분 형식으로 구성된 공사슬 복합체로서 정의되는 코호몰로지 이론이다. 복소다양체와 매끄러운 다양체에 적용될 수 있다. 매끄러운 다양체 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군 사슬 복합체를 정의할 수 있다. C ∞ ( X , U ⁡ ( 1 ) ) → d ln 2 π i Ω 1 ( X ) → d Ω 2 ( M ) → d Ω 2 ( M ) → d ⋯ → d Ω n ( X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1)){\xrightarrow {\frac {\mathrm {d} \ln }{2\pi \mathrm {i} }}}\Omega ^{1}(X){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{2}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{2}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\dotsb {\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{n}(X)} 여기서 n {\displaystyle n} 은 임의의 자연수이다. (특히, X {\displaystyle X} 의 차원과는 관련이 없다.) C ∞ ( X , U ⁡ ( 1 ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1))} 는 X {\displaystyle X} 를 정의역으로, 원군 U(1)을 공역으로 하는 매끄러운 함수의 점별 곱셈군이다. Ω k ( X ) {\displaystyle \Omega ^{k}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 k {\displaystyle k} 차 (실수) 미분 형식의 실수 벡터 공간이다. d : Ω ∙ ( X ) → Ω ∙ + 1 ( X ) {\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(X)\to \Omega ^{\bullet +1}(X)} 는 X {\displaystyle X} 위의 미분 형식의 외미분이다. ( 1 / 2 π i ) d ln : C ∞ ( X , U ⁡ ( 1 ) ) → Ω 1 ( X ) {\displaystyle (1/2\pi \mathrm {i} )\mathrm {d} \ln \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1))\to \Omega ^{1}(X)} 는 다음과 같다. 우선, 원군을 U ⁡ ( 1 ) = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 으로 여기면, 충분히 작은 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에서, 함수 f ↾ U : U → U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle f\upharpoonright U\colon U\to \operatorname {U} (1)} 의 자연 로그 ln ⁡ f {\displaystyle \ln f} 는 분지 절단 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여, ( 1 / 2 π i ) log ⁡ f : U → R {\displaystyle (1/2\pi \mathrm {i} )\log f\colon U\to \mathbb {R} } 는 실수 값의 매끄러운 함수이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수 2 π {\displaystyle 2\pi } 씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분 − i d log ⁡ f ∈ Ω 1 ( X ) {\displaystyle -\mathrm {i} \mathrm {d} \log f\in \Omega ^{1}(X)} 은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 1차 미분 형식 ( 1 / 2 π i ) d ln ⁡ f ∈ Ω 1 ( X ) {\displaystyle (1/2\pi \mathrm {i} )\mathrm {d} \ln f\in \Omega ^{1}(X)} 을 정의할 수 있다. 이 공사슬 복합체를 들리뉴-베일린손 공사슬 복합체(영어: Deligne–Beilinson cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지를 n {\displaystyle n} 차 들리뉴-베일린손 코호몰로지라고 한다. 위 묘사는 (실수) 매끄러운 다양체에 대한 경우이다. 이 밖에도, 복소다양체에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, k {\displaystyle k} 차 미분 형식 대신 ( k , 0 ) {\displaystyle (k,0)} 차 복소 미분 형식을 사용하며, 외미분 d {\displaystyle \mathrm {d} } 대신 정칙 외미분 ∂ : Ω ∙ , ∙ ( − ) → Ω ∙ + 1 , ∙ ( − ) {\displaystyle \partial \colon \Omega ^{\bullet ,\bullet }(-)\to \Omega ^{\bullet +1,\bullet }(-)} 을 사용하며, 첫째 항은 복소다양체 X {\displaystyle X} 위의, C × = C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}} 값의 정칙 함수들의 곱셈군이다. (이는 구조층 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 의 가역원층 O X × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }} 의 단면에 해당한다.) Γ ( O X × ; X ) → d ln Ω 1 , 0 ( X ) → ∂ Ω 2 , 0 ( X ) → ∂ ⋯ {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}_{X}^{\times };X){\xrightarrow {\mathrm {d} \ln }}\Omega ^{1,0}(X){\xrightarrow {\partial }}\Omega ^{2,0}(X){\xrightarrow {\partial }}\dotsb } 매끄러운 다양체 X {\displaystyle X} 위의 n {\displaystyle n} 차 들리뉴-베일린손 코호몰로지 H conn n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)} 는 X {\displaystyle X} 위의, 접속을 갖는 원군 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -주다발을 나타낸다. H conn n ⁡ ( X ) ≅ [ X , B n U ⁡ ( 1 ) ] {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\cong [X,\mathrm {B} ^{n}\operatorname {U} (1)]} 들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 드람 복합체와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다. 마찬가지로, 표준적인 망각 함자 H conn n ⁡ ( X ) → H sing n ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \operatorname {H} _{\operatorname {sing} }^{n}(X;\mathbb {Z} )} 가 존재한다. (여기서 공역은 특이 코호몰로지이다.) 보다 일반적으로, 완전열 0 → Ω int n − 1 ( X ) → Ω n − 1 ( X ) → H conn n ⁡ ( X ) → H sing n ⁡ ( X ; Z ) → 0 {\displaystyle 0\to \Omega _{\text{int}}^{n-1}(X)\to \Omega ^{n-1}(X)\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \operatorname {H} _{\text{sing}}^{n}(X;\mathbb {Z} )\to 0} 이 존재한다. 여기서, 사상 Ω n − 1 ( X ) → H conn n ⁡ ( X ) {\displaystyle \Omega ^{n-1}(X)\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)} 은 원군 n {\displaystyle n} -주다발 위의 접속이 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차 미분 형식으로 정의됨을 뜻하며, 사상 Ω int n − 1 ( X ) → Ω n − 1 ( X ) {\displaystyle \Omega _{\operatorname {int} }^{n-1}(X)\to \Omega ^{n-1}(X)} 은 같은 접속을 나타내는 두 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차 미분 형식의 차이는 정수 주기(영어: integral period)의 미분 형식임을 뜻한다. 또한, 완전열 H n ⁡ ( X ; U ⁡ ( 1 ) ) → H conn n ⁡ ( X ) → Ω n ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X;\operatorname {U} (1))\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \Omega ^{n}(X)} 이 존재한다. 여기서 H conn n ⁡ ( X ) → Ω n ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \Omega ^{n}(X)} 은 접속을 갖는 n {\displaystyle n} -주다발의 곡률이 n {\displaystyle n} 차 미분 형식임을 뜻한다. H n ⁡ ( X ; U ⁡ ( 1 ) ) → H conn n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X;\operatorname {U} (1))\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)} 은 같은 곡률을 갖는 두 n {\displaystyle n} -주다발의 차는 평탄한 n {\displaystyle n} -주다발임을 뜻한다. 피에르 들리뉴가 1971년에 복소다양체에 대하여 도입하였다. 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키(프랑스어: Jean-Luc Brylinski)가 이 이론이 매끄러운 다양체에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.:§5 다발 제르브 모티브 코호몰로지 호지 구조 Deligne, Pierre (1971). “Théorie de Hodge Ⅱ”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (프랑스어) 40: 5–57. MR 498551. Zbl 0219.14007.  Brylinski, Jean-Luc (1993). 《Loop Spaces, Characteristic Classes and geometric Quantization》 (영어). Birkhäuser.  Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988). 〈Deligne–Beilinson cohomology〉 (PDF). 《Beilinson’s conjectures on special values of L-functions》. Perspectives in Mathematics (영어) 4. Academic Press. 43–91쪽. ISBN 0-12-581120-9.  Bunke, Ulrich (2012). “Differential cohomology” (영어). arXiv:1208.3961. Bibcode:2012arXiv1208.3961B.  “Deligne cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Ordinary differential cohomology”. 《nLab》 (영어).