열린 함수와 닫힌 함수

일반위상수학에서 열린 함수(-函數, 영어: open map)는 열린집합의 상이 열린집합인 함수다. 마찬가지로, 닫힌 함수(-函數, 영어: closed map)는 닫힌집합의 상이 닫힌집합인 함수다. 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다. 모든 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여 f ( U ) ⊆ Y {\displaystyle f(U)\subseteq Y} 가 열린집합이다. 모든 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 에 대하여 f ( B ) ⊆ Y {\displaystyle f(B)\subseteq Y} 가 열린집합인 X {\displaystyle X} 의 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 그 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, f ( U ) ⊇ V {\displaystyle f(U)\supseteq V} 인 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 열린 근방 V ∋ f ( x ) {\displaystyle V\ni f(x)} 가 존재한다. 임의의 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, f ( int ⁡ S ) ⊆ int ⁡ f ( S ) {\displaystyle f(\operatorname {int} S)\subseteq \operatorname {int} f(S)} 이다. 여기서 int {\displaystyle \operatorname {int} } 는 내부이다. 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다. 모든 닫힌집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 에 대하여, f ( C ) ⊆ Y {\displaystyle f(C)\subseteq Y} 가 닫힌집합이다. 임의의 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, f ( cl ⁡ S ) ⊇ cl ⁡ f ( S ) {\displaystyle f(\operatorname {cl} S)\supseteq \operatorname {cl} f(S)} 이다. 여기서 cl {\displaystyle \operatorname {cl} } 은 폐포이다. 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 위상 동형이다. 전단사 연속 열린 함수이다. 전단사 연속 닫힌 함수이다. 만약 Y {\displaystyle Y} 가 이산 공간이라면, 모든 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다). 두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다. 위상 공간들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 의 곱공간 ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} 이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 π i ∏ i ∈ I X i → X i {\displaystyle \pi _{i}\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{i}} 은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다. 만약 Y {\displaystyle Y} 가 콤팩트 공간이라면, 사영 X × Y → X {\displaystyle X\times Y\to X} 는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리). 두 스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다. 열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상(영어: universally open morphism)/보편 닫힌 사상(영어: universally closed morphism)은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다. 임의의 스킴 사상 Y ′ → Y {\displaystyle Y'\to Y} 에 대하여, 밑 변환 f ′ : X × Y Y ′ → Y ′ {\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'} 은 열린 사상/닫힌 사상이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상 ⊋ 닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형 열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상 ⊋ 열린 몰입 ⊋ 스킴 동형 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} 가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. (합성에 대한 닫힘) X → f Y → g Z {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 가 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이라면 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 역시 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이다. (fpqc 위상에서의 내림) X → f Y ← g Y ′ {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'} 에 대하여, 만약 밑 변환 f ′ : X × Y Y ′ → Y ′ {\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'} 가 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이며, g {\displaystyle g} 가 fpqc 사상이라면 f {\displaystyle f} 역시 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이다. 여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다. 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } x ↦ x 2 {\displaystyle x\mapsto x^{2}} 는 연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} 의 상은 [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} 이므로 열린집합이 아니다. 함수 R → Z {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {Z} } x ↦ ⌊ x ⌋ {\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor } 는 ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 가 이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다. 함수 S 1 → [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\to [0,2\pi )} x ↦ arg ⁡ x {\displaystyle x\mapsto \arg x} 는 전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다. 사영 함수 R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } ( x , y ) ↦ x {\displaystyle (x,y)\mapsto x} 는 전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 { ( x , 1 / x ) : 0 ≠ x ∈ R } ⊆ R 2 {\displaystyle \{(x,1/x)\colon 0\neq x\in \mathbb {R} \}\subseteq \mathbb {R} ^{2}} 의 상은 ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )} 이므로 닫힌집합이 아니다. “Open mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Closed mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Fully-closed mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Open morphism”. 《nLab》 (영어).  “Open geometric morphism”. 《nLab》 (영어).  “Closed morphism”. 《nLab》 (영어).  “Universally closed morphism”. 《nLab》 (영어).  고유 함수 열린 사상 정리 (함수해석학)