준동형

추상대수학에서 준동형(準同型, 영어: homomorphism) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다. 같은 부호수 σ = ( F , R ) {\displaystyle \sigma =(F,R)} 의 두 구조 ( A , F A , R A ) {\displaystyle (A,F_{A},R_{A})} , ( B , F B , R B ) {\displaystyle (B,F_{B},R_{B})} 사이의 준동형은 다음 조건을 만족시키는 함수 ϕ : A → B {\displaystyle \phi \colon A\to B} 이다. (연산의 보존) 모든 n {\displaystyle n} 항 연산 f ∈ F {\displaystyle f\in F} 및 a 1 , a 2 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A} 에 대하여, ϕ ( f A ( a 1 , a 2 , … , a n ) ) = f B ( ϕ ( a 1 ) , ϕ ( a 2 ) , … , ϕ ( a n ) ) {\displaystyle \phi (f_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))} (관계의 보존) 모든 n {\displaystyle n} 항 관계 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 a 1 , a 2 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A} 에 대하여, r A ( a 1 , a 2 , … , a n ) ⟹ r B ( ϕ ( a 1 ) , ϕ ( a 2 ) , … , ϕ ( a n ) ) {\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\implies r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))} 같은 부호수 σ = ( F , R ) {\displaystyle \sigma =(F,R)} 의 두 구조 ( A , F A , R A ) {\displaystyle (A,F_{A},R_{A})} , ( B , F B , R B ) {\displaystyle (B,F_{B},R_{B})} 사이의 강준동형(強準同型, 영어: strong homomorphism)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 ϕ : A → B {\displaystyle \phi \colon A\to B} 이다. 모든 n {\displaystyle n} 항 관계 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 a 1 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A} 에 대하여, r A ( a 1 , a 2 , … , a n ) ⟺ r B ( ϕ ( a 1 ) , ϕ ( a 2 ) , … , ϕ ( a n ) ) {\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\iff r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))} 대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다. 마그마 ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} 는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 은 모든 m , n ∈ M {\displaystyle m,n\in M} 에 대하여 ϕ ( m ⋅ n ) = ϕ ( m ) ⋅ ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (m\cdot n)=\phi (m)\cdot \phi (n)} 인 함수이다. 군 ( G , ⋅ , − 1 , 1 ) {\displaystyle (G,\cdot ,^{-1},1)} 은 이항 연산 ⋅ {\displaystyle \cdot } , 일항 연산 − 1 {\displaystyle ^{-1}} , 영항 연산 1 {\displaystyle 1} 을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형 ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} 는 모든 g , g ′ ∈ G {\displaystyle g,g'\in G} 에 대하여 ϕ ( g ⋅ g ′ ) = ϕ ( g ) ⋅ ϕ ( g ′ ) {\displaystyle \phi (g\cdot g')=\phi (g)\cdot \phi (g')} ϕ ( g − 1 ) = ϕ ( g ) − 1 {\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}} ϕ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \phi (1)=1} 인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 유사환 ( R , ⋅ , + , − , 0 ) {\displaystyle (R,\cdot ,+,-,0)} 은 이항 연산 ⋅ {\displaystyle \cdot } 및 − {\displaystyle -} , 일항 연산 − {\displaystyle -} , 영항 연산 0 {\displaystyle 0} 을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형 ϕ : R → S {\displaystyle \phi \colon R\to S} 는 모든 r , r ′ ∈ R {\displaystyle r,r'\in R} 에 대하여 ϕ ( r ⋅ r ′ ) = ϕ ( r ) ⋅ ϕ ( r ′ ) {\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')} ϕ ( r + r ′ ) = ϕ ( r ) + ϕ ( r ′ ) {\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')} ϕ ( − r ) = − ϕ ( r ) {\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)} ϕ ( − 0 ) = − ϕ ( 0 ) {\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)} 인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. (단위원을 갖는) 환 ( R , ⋅ , + , − , 1 , 0 ) {\displaystyle (R,\cdot ,+,-,1,0)} 은 이항 연산 ⋅ {\displaystyle \cdot } 및 + {\displaystyle +} , 일항 연산 − {\displaystyle -} , 영항 연산 0 {\displaystyle 0} 및 1 {\displaystyle 1} 을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형 ϕ : R → S {\displaystyle \phi \colon R\to S} 는 모든 r , r ′ ∈ R {\displaystyle r,r'\in R} 에 대하여 ϕ ( r ⋅ r ′ ) = ϕ ( r ) ⋅ ϕ ( r ′ ) {\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')} ϕ ( r + r ′ ) = ϕ ( r ) + ϕ ( r ′ ) {\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')} ϕ ( − r ) = − ϕ ( r ) {\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)} ϕ ( − 0 ) = − ϕ ( 0 ) {\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)} ϕ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \phi (1)=1} 인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, Z → Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } , n ↦ ( 0 , n ) {\displaystyle n\mapsto (0,n)} 은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다. 체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다. 체 K {\displaystyle K} 에 대한 벡터 공간 ( V , + , − , s ⋅ s ∈ K , 0 ) {\displaystyle (V,+,-,s\cdot _{s\in K},0)} 은 이항 연산 + {\displaystyle +} , 일항 연산 − {\displaystyle -} 및 모든 s ∈ K {\displaystyle s\in K} 에 대하여 s ⋅ {\displaystyle s\cdot } , 영항 연산 0 {\displaystyle 0} 을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환 ϕ : V → W {\displaystyle \phi \colon V\to W} 는 모든 v , v ′ ∈ R {\displaystyle v,v'\in R} 에 대하여 ϕ ( v + v ′ ) = ϕ ( v ) + ϕ ( v ′ ) {\displaystyle \phi (v+v')=\phi (v)+\phi (v')} ϕ ( − v ) = − ϕ ( v ′ ) {\displaystyle \phi (-v)=-\phi (v')} 모든 s ∈ K {\displaystyle s\in K} 에 대하여, ϕ ( − s ⋅ r ) = − s ⋅ ϕ ( r ) {\displaystyle \phi (-s\cdot r)=-s\cdot \phi (r)} ϕ ( 0 ) = ϕ ( 0 ) {\displaystyle \phi (0)=\phi (0)} 인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 격자 ( L , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge )} 는 이항연산 ∨ {\displaystyle \vee } 및 ∧ {\displaystyle \wedge } 를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형 ϕ : L → M {\displaystyle \phi \colon L\to M} 은 모든 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여 ϕ ( a ∨ b ) = ϕ ( a ) ∨ ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)} ϕ ( a ∧ b ) = ϕ ( a ) ∧ ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)} 인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 유계 격자 ( L , ∨ , ∧ , ⊥ , ⊤ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )} 는 이항 연산 ∨ {\displaystyle \vee } 및 ∧ {\displaystyle \wedge } , 영항 연산 ⊥ {\displaystyle \bot } 및 ⊤ {\displaystyle \top } 을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형 ϕ : L → M {\displaystyle \phi \colon L\to M} 은 모든 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여 ϕ ( a ∨ b ) = ϕ ( a ) ∨ ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)} ϕ ( a ∧ b ) = ϕ ( a ) ∧ ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)} ϕ ( ⊥ ) = ⊥ {\displaystyle \phi (\bot )=\bot } ϕ ( ⊥ ) = ⊤ {\displaystyle \phi (\bot )=\top } 인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 그래프의 언어 ⟨ ∼ ⟩ {\displaystyle \langle \sim \rangle } 는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 v 1 ∼ v 2 {\displaystyle v_{1}\sim v_{2}} 를 갖는 언어이다. 이 경우 v 1 ∼ v 2 {\displaystyle v_{1}\sim v_{2}} 는 " v 1 = v 2 {\displaystyle v_{1}=v_{2}} 이거나, 아니면 v 1 {\displaystyle v_{1}} 과 v 2 {\displaystyle v_{2}} 사이에 변이 존재한다"로 해석한다. 이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다. 전순서 집합의 언어 ⟨ ≤ {\displaystyle \langle \leq } 는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 ≤ {\displaystyle \leq } 를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다. Burris, Stanley N.; Hanamantagouda P. Sankappanavar. 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) 사상 동형 사상 준동형 정리 동형 정리 합동 관계 “Homomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Homorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Homomorphism”. 《nLab》 (영어).