반대각 행렬

반대각 행렬(antidiagonal matrix) 또는 역 대각 행렬은 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가는 주대각선의 방향이 반대인 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가는 방향의 반대각선을 갖는 행렬이다. 반대각 행렬 [ 0 0 a 0 a 0 a 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{a}\\0&\color {red}{a}&0\\\color {red}{a}&0&0\end{bmatrix}}} 일반적인 주대각선의 대각행렬 [ a 0 0 0 a 0 0 0 a ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}{a}&0&0\\0&\color {red}{a}&0\\0&0&\color {red}{a}\end{bmatrix}}} n × n m a t r i x {\displaystyle n\times n\;\;matrix} 에서, 주대각선의 표현 ( x i j x i j x i j x i j x i j x i j x i j x i j x i j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}&x_{ij}\\x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}\\x_{ij}&x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}\end{pmatrix}}\qquad } 을 예약하고, i {\displaystyle i} 는 행 그리고 j {\displaystyle j} 는 열 주 대각선 = x i j = x n n , i = j = n {\displaystyle =x_{ij}=x_{nn}\quad ,\;\;i=j=n} 반대각선의 표현 ( x i j x i j x i j x i j x i j x i j x i j x i j x i j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{ij}&x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}\\x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}\\\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}&x_{ij}\end{pmatrix}}\qquad } 반대각선 = x ( i ) ( ( n + 1 ) − i ) i => 1 {\displaystyle =x_{(i)((n+1)-i)}\quad i=>1} ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\qquad } ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}} ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} 반대각선 행렬간에는 교환법칙이 성립한다. 단위 행렬 I {\displaystyle I} 로부터, I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} 를 예약하고, 단위 행렬의 1 {\displaystyle 1} 행과 3 {\displaystyle 3} 행을 재배열하면, I a = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] {\displaystyle I^{a}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}} 이것은 반대각행렬이면서, 순열행렬이다. 순열 행렬 교환 행렬 플래닛매스