브룬 상수

브룬 상수(Brun's constant)는 쌍둥이 소수의 역수를 모두 합한 값이다. 1919년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 다음과 같은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했다. 이 결과를 브룬의 정리라 부른다. 두 개의 연속된 소수, 즉 쌍둥이 소수를 다루므로 보통 B 2 {\displaystyle B_{2}} 라고 표기한다. B 2 = ( 1 3 + 1 5 ) + ( 1 5 + 1 7 ) + ( 1 11 + 1 13 ) + ( 1 17 + 1 19 ) + ⋯ {\displaystyle B_{2}=\left({1 \over 3}+{1 \over 5}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 7}\right)+\left({1 \over 11}+{1 \over 13}\right)+\left({1 \over 17}+{1 \over 19}\right)+\cdots } 이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다. 만약 이 수가 무한한 수였다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만, 이 수는 앞에서 봤듯 한 수에 수렴한다. 그러므로 브룬 상수에 의해서 쌍둥이 소수의 무한성은 증명되지도 반증되지도 못한다. 이와 비슷하게 네 쌍 소수(4의 간격을 둔 두 쌍의 쌍둥이 소수)에 대한 브룬 상수 B 4 {\displaystyle B_{4}} 는 다음과 같이 정의된다. B 4 = ( 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 ) + ( 1 11 + 1 13 + 1 17 + 1 19 ) + ⋯ {\displaystyle B_{4}=\left({1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}\right)+\left({1 \over 11}+{1 \over 13}+{1 \over 17}+{1 \over 19}\right)+\cdots } 이 값은 대략 0.875088380에 근접한다. 브룬 상수 B 2 {\displaystyle B_{2}} 를 예약하면, B 2 = U + L {\displaystyle B_{2}=U+L} U = ∑ n => 1 1 G ( n ) {\displaystyle U=\sum _{n=>1}{{1} \over {G(n)}}} L = ∑ n => 1 1 g ( n ) {\displaystyle L=\sum _{n=>1}{{1} \over {g(n)}}} G ( n ) = 6 k + 1 , ( k => 1 ) {\displaystyle G(n)=6k+1,(k=>1)} g ( n ) = 6 k − 1 , ( k => 1 ) {\displaystyle g(n)=6k-1,(k=>1)} U = 0.843096 ⋯ {\displaystyle U=0.843096\cdots } L = 1.059064 ⋯ {\displaystyle L=1.059064\cdots } B 2 = U + L = 1.9021605831 ⋯ {\displaystyle B_{2}=U+L=1.9021605831\cdots } 그리고, 브룬 상수 B {\displaystyle B} 를 예약해서, B = ( L − U ) 2 {\displaystyle B={{(L-U)} \over {2}}} = 1 3 ⋅ 5 + 1 5 ⋅ 7 + 1 11 ⋅ 13 + ⋯ {\displaystyle ={{1} \over {3\cdot 5}}+{{1} \over {5\cdot 7}}+{{1} \over {11\cdot 13}}+\cdots } = ∑ n => 1 1 P ( n ) {\displaystyle =\sum _{n=>1}{{1} \over {P(n)}}} = 0.10798397495 ⋯ {\displaystyle =0.10798397495\cdots } P ( n ) = p ⋅ ( p + 2 ) , { p => 3 , p + 2 = p | ( p , p + 2 ) 1 , ( p , p + 2 ) 2 , ( p , p + 2 ) n , ⋯ } {\displaystyle P(n)=p\cdot (p+2)\qquad ,\left\{p=>3\;,p+2=p\;|\;(p,p+2)_{1},(p,p+2)_{2},(p,p+2)_{n},\cdots \right\}} 트리플릿(세쌍둥이, Triplets)브룬 상수는 위의 쌍둥이 브룬상수처럼 규칙적인 일련의 3개의 소수로 이루어지는 소수들의 합의 값이다. B 3 b = ∑ ( ( 1 p 1 + 1 p 1 + 4 + 1 p 1 + 6 ) + ( 1 p 2 + 1 p 2 + 4 + 1 p 2 + 6 ) + ( 1 p 3 + 1 p 3 + 4 + 1 p 3 + 6 ) + ⋯ ) {\displaystyle B_{3b}=\sum _{}^{}{\left(\left({{1} \over {p_{1}}}+{{1} \over {p_{1}+4}}+{{1} \over {p_{1}+6}}\right)+\left({{1} \over {p_{2}}}+{{1} \over {p_{2}+4}}+{{1} \over {p_{2}+6}}\right)+\left({{1} \over {p_{3}}}+{{1} \over {p_{3}+4}}+{{1} \over {p_{3}+6}}\right)+\cdots \right)}} = ∑ ( ( 1 7 + 1 11 + 1 13 ) + ( 1 13 + 1 17 + 1 19 ) + ( 1 37 + 1 41 + 1 43 ) + ⋯ ) {\displaystyle =\sum _{}^{}{\left(\left({{1} \over {7}}+{{1} \over {11}}+{{1} \over {13}}\right)+\left({{1} \over {13}}+{{1} \over {17}}+{{1} \over {19}}\right)+\left({{1} \over {37}}+{{1} \over {41}}+{{1} \over {43}}\right)+\cdots \right)}} = 0.837113212411 ⋯ {\displaystyle =0.837113212411\cdots } 골롬-딕맨 상수 (OEIS)http://oeis.org/A006512 (OEIS)http://oeis.org/A001359 (OEIS)http://oeis.org/A209328 (OEIS)http://oeis.org/A037074 http://oeis.org/A277775 (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html (OEIS)https://web.archive.org/web/20130912151429/http://oeis.org/A065421