양자 코호몰로지

대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 양자 코호몰로지(量子cohomology, 영어: quantum cohomology)는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다. M {\displaystyle M} 이 콤팩트 켈러 다양체라고 하자. 격자 H 2 ⁡ ( M ; Z ) / Tors ⁡ ( H 2 ⁡ ( M ; Z ) ) {\displaystyle \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))} 의 기저 { α i } i = 1 , … , b 2 ( M ) {\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}} 를 M {\displaystyle M} 의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡자. M {\displaystyle M} 의 노비코프 환(영어: Novikov ring) Λ = Z [ q i , q i − 1 ] i = 1 , … , b 2 ( M ) {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [q_{i},q_{i}^{-1}]_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}} 은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환이다. 각 i = 1 , … , b 2 ( M ) {\displaystyle i=1,\dots ,b_{2}(M)} 에 대하여, q i {\displaystyle q_{i}} . 이들의 등급은 deg ⁡ q i = 2 c 1 ( M ) ( q i ) {\displaystyle \deg q_{i}=2c_{1}(M)(q_{i})} 이다. 임의의 β = ∑ i c i α i ∈ H 2 ⁡ ( M ; Z ) / Tors ⁡ ( H 2 ⁡ ( M ; Z ) ) {\displaystyle \beta =\sum _{i}c_{i}\alpha _{i}\in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))} 에 대하여, q β = ∏ i q i c i {\displaystyle q_{\beta }=\prod _{i}q_{i}^{c_{i}}} 로 쓰자. q α {\displaystyle q_{\alpha }} 대신 exp ⁡ ( α ) {\displaystyle \exp(\alpha )} 로 쓰기도 한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 칼라비-야우 다양체인 경우 c 1 ( M ) = 0 {\displaystyle c_{1}(M)=0} 이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다. M {\displaystyle M} 위의 작은 양자 코호몰로지(영어: small quantum cohomology) QH ⁡ ( M ; Λ ) {\displaystyle \operatorname {QH} (M;\Lambda )} 는 아벨 군으로서 다음과 같다. QH ⁡ ( M ; Λ ) = H ⁡ ( M ; Λ ) ⊗ Z Λ {\displaystyle \operatorname {QH} (M;\Lambda )=\operatorname {H} (M;\Lambda )\otimes _{\mathbb {Z} }\Lambda } 이 위의 곱 ∗ : QH ⁡ ( M ; Λ ) × QH ⁡ ( M ; Λ ) → QH ⁡ ( M ; Λ ) {\displaystyle *\colon \operatorname {QH} (M;\Lambda )\times \operatorname {QH} (M;\Lambda )\to \operatorname {QH} (M;\Lambda )} 은 코호몰로지의 합곱 ⌣ {\displaystyle \smile } 과 다르며, 다음과 같이 그로모프-위튼 불변량으로 정의된다. ∫ M ( a ∗ b ) ⌣ c = ∑ α ∈ H 2 ⁡ ( M ; Z ) / Tors ⁡ ( H 2 ⁡ ( M ; Z ) ) GW 0 , 3 M , α ⁡ ( a , b , c ) q α {\displaystyle \int _{M}(a*b)\smile c=\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}\operatorname {GW} _{0,3}^{M,\alpha }(a,b,c)q_{\alpha }} 이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다. ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} a ∗ b = ( − 1 ) deg ⁡ a deg ⁡ b b ∗ a {\displaystyle a*b=(-1)^{\deg a\deg b}b*a} deg ⁡ ( a ∗ b ) = deg ⁡ a + deg ⁡ b {\displaystyle \deg(a*b)=\deg a+\deg b} M {\displaystyle M} 위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분 QM 2 ∙ ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {QM} ^{2\bullet }(M)} 에서, 0의 (충분히 작은) 근방 0 ∈ U ⊂ QM 2 ∙ ⁡ ( M ) {\displaystyle 0\in U\subset \operatorname {QM} ^{2\bullet }(M)} 은 프로베니우스 다양체의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱 ∗ {\displaystyle *} 은 U {\displaystyle U} 의 접다발 T {\displaystyle T} 위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 가환 법칙은 비틀림이 0임을, 결합 법칙은 리만 곡률이 0임을 뜻한다. 임의의 a ∈ U {\displaystyle a\in U} 에 대하여, 다음과 같은 큰 양자 코호몰로지 곱을 정의하자. ∗ a : U × U → U {\displaystyle *_{a}\colon U\times U\to U} ⟨ x ∗ a y , z ⟩ = ∑ n = 0 ∞ ∑ α ∈ H 2 ⁡ ( M ; Z ) / Tors ⁡ ( H 2 ⁡ ( M ; Z ) ) 1 n ! GW 0 , n + 3 X , α ⁡ ( x , y , z , a , … , a ⏞ n ) {\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}{\frac {1}{n!}}\operatorname {GW} _{0,n+3}^{X,\alpha }(x,y,z,\overbrace {a,\ldots ,a} ^{n})} 그렇다면, ( U , ∗ a ) {\displaystyle (U,*_{a})} 를 큰 양자 코호몰로지(영어: big quantum cohomology)라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다. 복소수 사영 공간 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 은 푸비니-슈투디 계량을 부여하면 콤팩트 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우, (고전적) 코호몰로지는 H ∙ ⁡ ( C P n ; Z ) = Z [ p ] / ( p n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p]/(p^{n+1})} deg ⁡ p = 2 {\displaystyle \deg p=2} 이다. H 2 ⁡ ( C P n ; Z ) = Z {\displaystyle \operatorname {H} _{2}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} } 이므로, 양자 코호몰로지에는 한 개의 추가 생성원 q {\displaystyle q} 가 존재하며, c k ( C P n ) = ( n + 1 k ) c 1 ( O C P n ( 1 ) ) {\displaystyle c_{k}(\mathbb {CP} ^{n})={\binom {n+1}{k}}c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1))} 이므로 deg ⁡ q = 2 ( n + 1 1 ) = 2 ( n + 1 ) {\displaystyle \deg q=2{\binom {n+1}{1}}=2(n+1)} 이다. 구체적으로, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같다. H ∙ ⁡ ( C P n ; Z ) = Z [ p , q ] / ( p n + 1 − q ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p,q]/(p^{n+1}-q)} deg ⁡ p = 2 {\displaystyle \deg p=2} deg ⁡ q = 2 ( n + 1 ) {\displaystyle \deg q=2(n+1)} 이다. q → 0 {\displaystyle q\to 0} 이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴하는 것을 알 수 있다. 양자 코호몰로지는 위상 끈 이론에서 2차원 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 시그마 모형의 A-모형 위상 뒤틂의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭에 핵심적인 역할을 한다. 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.  조용승 (2000). “심플렉틱 다양체의 불변량”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (3): 391–434. ISSN 1225-1763. 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.  McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2012). 《 J {\displaystyle J} -holomorphic curves and symplectic topology》. American Mathematical Society colloquium publications (영어) 52 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 1) (도움말) Fulton, W.; Pandharipande, R. (1996). “Notes on stable maps and quantum cohomology” (영어). arXiv:alg-geom/9608011.