칠차 방정식

칠차 방정식(septic equation)은 최고차항의 차수가 7인 다항 방정식을 뜻한다. 따라서 칠차방정식은 기수차 방정식이다. a x 7 + b x 6 + c x 5 + d x 4 + e x 3 + f x 2 + g x + h = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,a\neq 0} 소행렬식의 라플라스 전개로 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 칠차방정식의 판별식 유도가 가능하다. a x 7 + b x 6 + c x 5 + d x 4 + e x 3 + f x 2 + g x + h = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,a\neq 0} 에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다. 칠차방정식에 존재하는 7개의 근을 예약하여, α , β , γ , δ , ϵ , ζ , η {\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta ,\eta } 라고 하면, 1개씩 출현하는 조합의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 7 ! 1 ! ⋅ ( 7 − 1 ) ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 1 ! ⋅ ( 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7 1 = 7 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{1!\cdot (7-1)!}}={{7\cdot {\cancel {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}} \over {1!\cdot {\cancel {(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}}}={7 \over 1}=7} 2개씩 출현하는 조합의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 7 ! 2 ! ⋅ ( 7 − 2 ) ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2 ! ⋅ ( 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7 ⋅ 6 2 ⋅ 1 = 42 2 = 21 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{2!\cdot (7-2)!}}={{7\cdot 6\cdot {\cancel {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}} \over {2!\cdot {\cancel {(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6} \over {2\cdot 1}}={42 \over 2}=21} 3개씩 출현하는 조합의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 7 ! 3 ! ⋅ ( 7 − 3 ) ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ! ⋅ ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 210 6 = 35 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{3!\cdot (7-3)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot {\cancel {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}} \over {3!\cdot {\cancel {(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6\cdot 5} \over {3\cdot 2\cdot 1}}={210 \over 6}=35} 4개씩 출현하는 조합의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 7 ! 4 ! ⋅ ( 7 − 4 ) ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4 ! ⋅ ( 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 210 6 = 35 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{4!\cdot (7-4)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}} \over {4!\cdot {\cancel {(3\cdot 2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot {\cancel {4}}} \over {{\cancel {4}}\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={210 \over 6}=35} 이다. 5개씩 출현하는 조합의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 7 ! 5 ! ⋅ ( 7 − 5 ) ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5 ! ⋅ ( 2 ⋅ 1 ) = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 7 ⋅ 6 2 ⋅ 1 = 42 2 = 21 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{5!\cdot (7-5)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot {\cancel {2\cdot 1}}} \over {5!{\cancel {\cdot (2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6\cdot {\cancel {5\cdot 4\cdot 3}}} \over {{\cancel {5\cdot 4\cdot 3\cdot }}2\cdot 1}}={{7\cdot 6} \over {2\cdot 1}}={42 \over 2}=21} 이다. 6개씩 출현하는 조합의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 7 ! 6 ! ⋅ ( 7 − 6 ) ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 6 ! ⋅ ( 1 ) = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 7 1 = 7 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{6!\cdot (7-6)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}} \over {6!\cdot {\cancel {(1)}}}}={{7\cdot {\cancel {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}} \over {{\cancel {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}\cdot 1}}={7 \over 1}=7} 이다. 7개씩 출현하는 조합의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 7 ! 7 ! ⋅ ( 7 − 7 ) ! = 7 ! 7 ! ⋅ 0 ! = 1 1 = 1 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{7!\cdot (7-7)!}}={{7!} \over {7!\cdot 0!}}={1 \over 1}=1} 이된다. a x 7 + b x 6 + c x 5 + d x 4 + e x 3 + f x 2 + g x + h = 0 {\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0} x 7 + b a x 6 + c a x 5 + d a x 4 + e a x 3 + f a x 2 + g a x + h a = 0 , {\displaystyle x^{7}+{b \over a}x^{6}+{c \over a}x^{5}+{d \over a}x^{4}+{e \over a}x^{3}+{f \over a}x^{2}+{g \over a}x+{h \over a}=0,} x = y − b 7 a {\displaystyle \qquad x=y-{b \over \mathbf {7} a}} (zipping) 취른하우스 변형 y 7 + p y 5 + q y 4 + r y 3 + s y 2 + t y + u = 0 {\displaystyle y^{7}+py^{5}+qy^{4}+ry^{3}+sy^{2}+ty+u=0} 일차 방정식 이차 방정식 삼차 방정식 사차 방정식 오차 방정식 육차 방정식