파인먼-카츠 공식

확률론에서 파인먼-카츠 공식(Feynman-Kac公式, 영어: Feynman–Kac formula)은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다. 파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 g ( x , t ) {\displaystyle g(x,t)} 가 마팅게일일 경우 미분 계수 d g ( x , t ) {\displaystyle \mathrm {d} g(x,t)} 에서 시간 t {\displaystyle t} 에 대한 변화율을 나타내는 항인 d t {\displaystyle \mathrm {d} t} 가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 d g / d t {\displaystyle \mathrm {d} g/\mathrm {d} t} 를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 g {\displaystyle g} 를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 X ( t ) = x {\displaystyle X(t)=x} 가 주어진 이토 확률 과정 X ( u ) {\displaystyle X(u)} 에 대한 보렐 가측 함수 f ( X ( u ) ) {\displaystyle f(X(u))} 가 시점 T {\displaystyle T} 에 갖는 값에 대한 시점 t {\displaystyle t} 의 기댓값 g ( X ( t ) , t ) {\displaystyle g(X(t),t)} 가 마팅게일임을 이용하여 g {\displaystyle g} 를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다. 다음이 주어졌다고 하자. 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . 그 벡터 지표를 ( − ) i {\displaystyle (-)^{i}} 로 나타내자 ( i ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,n\}} ). Ω {\displaystyle \Omega } 위의 위너 확률 과정 W j : Ω × [ 0 , T ] → R n {\displaystyle W^{j}\colon \Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n}} W {\displaystyle W} 에 대한 이토 확률 과정 d X i ( t ) = μ i ( X ( t ) , t ) d t + σ i j ( X ( t ) , t ) d W j ( t ) {\displaystyle \mathrm {d} X^{i}(t)=\mu ^{i}(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\sigma ^{i}{}_{j}(X(t),t)\,\mathrm {d} W^{j}(t)} 보렐 가측 함수 f : R n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 보렐 가측 함수 h : R n × [ 0 , T ] → R {\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} } 보렐 가측 함수 V : R n × [ 0 , T ] → R {\displaystyle V\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} } . 이는 퍼텐셜에 해당한다. 이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자. G : Ω × [ 0 , T ] → R {\displaystyle G\colon \Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} } G ( t ) = f ( X ( T ) ) exp ⁡ ( − ∫ t T V ( X ( s ) , s ) d s ) + ∫ t T d s h ( X ( s ) , s ) exp ⁡ ( − ∫ t s d r V ( X ( r ) , r ) ) {\displaystyle G(t)=f(X(T))\exp \left(-\int _{t}^{T}V(X(s),s)\,\mathrm {d} s\right)+\int _{t}^{T}\mathrm {d} s\,h(X(s),s)\exp \left(-\int _{t}^{s}\mathrm {d} r\,V(X(r),r)\right)} 특히, G ( T ) = f ( X ( T ) ) {\displaystyle G(T)=f(X(T))} 이다. 이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자. g ( x , t ) = E [ G ( t ) | X ( t ) = x ] {\displaystyle g(x,t)=\mathbb {E} \left[G(t)|X(t)=x\right]} 이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히, g ( x , T ) = E [ f ( X ( T ) ) | X ( T ) = x ] = f ( x ) {\displaystyle g(x,T)=\mathbb {E} [f(X(T))|X(T)=x]=f(x)} 이다. 그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다. ( ∂ ∂ t + ∑ j μ j ( x , t ) ∂ ∂ x j + 1 2 ∑ i , j , k σ i k ( x , t ) σ j k ( x , t ) ∂ 2 ∂ x i ∂ x j − V ( x , t ) ) g ( x , t ) + h ( x , t ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{j}\mu ^{j}(x,t){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j,k}\sigma ^{i}{}_{k}(x,t)\sigma ^{j}{}_{k}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-V(x,t)\right)g(x,t)+h(x,t)=0} 아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다. ( ∂ ∂ t + μ j ( x , t ) ∂ j + 1 2 δ k l σ i k ( x , t ) σ j l ( x , t ) ∂ i ∂ j − V ( x , t ) ) g ( x , t ) + h ( x , t ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mu ^{j}(x,t)\partial _{j}+{\frac {1}{2}}\delta ^{kl}\sigma ^{i}{}_{k}(x,t)\sigma ^{j}{}_{l}(x,t)\partial _{i}\partial _{j}-V(x,t)\right)g(x,t)+h(x,t)=0} 특히, 만약 h = V = 0 {\displaystyle h=V=0} 인 경우 G {\displaystyle G} 는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다. G t = f ( X ( T ) ) {\displaystyle G_{t}=f(X(T))} 이 경우 g ( x , t ) = E [ f ( X ( T ) ) | X ( t ) = x ] {\displaystyle g(x,t)=\mathbb {E} \left[f(X(T))|X(t)=x\right]} 이다. 리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자. n {\displaystyle n} 차원 연결 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} . 그 벡터 지표를 ( − ) i {\displaystyle (-)^{i}} 로 나타내자 ( i ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,n\}} ) 점 x 0 ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} (초기 조건) 양의 실수 T > 0 {\displaystyle T>0} (최종 시각) 그렇다면, 초기 조건이 x 0 {\displaystyle x_{0}} 인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간 C x 0 0 ( [ 0 , T ] , M ) = { f ∈ C 0 0 ( [ 0 , T ] , M ) : f ( 0 ) = x 0 } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],M)\colon f(0)=x_{0}\}} 을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간 W x 0 1 , 2 ⁡ ( [ 0 , T ] , M , g ) = { f ∈ C x 0 0 ( [ 0 , T ] , M ) : ∫ 0 T g f ( t ) ( f ˙ ( t ) , f ˙ ( t ) ) d t < ∞ } {\displaystyle \operatorname {W} _{x_{0}}^{1,2}([0,T],M,g)=\left\{f\in {\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)\colon \int _{0}^{T}g_{f(t)}({\dot {f}}(t),{\dot {f}}(t))\,\mathrm {d} t<\infty \right\}} 을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉, C x 0 0 ( [ 0 , T ] , M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)} 위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도 d W x 0 {\displaystyle \mathrm {d} W_{x_{0}}} 가 존재한다. 또한, 임의의 x T ∈ M {\displaystyle x_{T}\in M} (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로 C x 0 , x T 0 ( [ 0 , T ] , M ) = { f ∈ C 0 0 ( [ 0 , T ] , M ) : f ( 0 ) = x 0 , f ( T ) = x T } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x_{0},x_{T}}^{0}([0,T],M)=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],M)\colon f(0)=x_{0},f(T)=x_{T}\}} 를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간 W x 0 , x T 1 , 2 ⁡ ( [ 0 , T ] , M , g ) = W x 0 1 , 2 ⁡ ( [ 0 , T ] , M , g ) ∩ C 0 ⁡ x 0 , x T ( [ 0 , T ] , M ) {\displaystyle \operatorname {W} _{x_{0},x_{T}}^{1,2}([0,T],M,g)=\operatorname {W} _{x_{0}}^{1,2}([0,T],M,g)\cap \operatorname {C} ^{0}{x_{0},x_{T}}([0,T],M)} 을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는 C x 0 0 ( [ 0 , T ] , M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)} 위의 확률 측도의 조건부 확률이다. 이제, 다음이 주어졌다고 하자. V ∈ L ∞ ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle V\in \operatorname {L} ^{\infty }(M;\mathbb {R} )} (퍼텐셜 함수) ψ 0 ∈ L 2 ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle \psi _{0}\in \operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {R} )} (초기 조건) 그렇다면, 실수 힐베르트 공간 H = L 2 ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {R} )} 위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자 H = ∇ + V = − g i j ∇ i ∇ j + V {\displaystyle H=\nabla +V=-g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}+V} 를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자 ∇ {\displaystyle \nabla } 는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 전체로 유일한 프리드릭스 확장(영어: Friedrichs extension)을 갖는다.) 이제, 이에 대한 열 방정식 ∂ t ψ ( t , x ) = − H ψ ( t , x ) {\displaystyle \partial _{t}\psi (t,x)=-H\psi (t,x)} ψ ( 0 , x ) = ψ 0 ( x ) {\displaystyle \psi (0,x)=\psi _{0}(x)} 을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해 ψ ( t , x ) = exp ⁡ ( − t H ) ψ 0 ( x ) {\displaystyle \psi (t,x)=\exp(-tH)\psi _{0}(x)} 를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는 | ψ ⟩ ( t ) = exp ⁡ ( − t H ) | ψ 0 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle (t)=\exp(-tH)|\psi _{0}\rangle } ⟨ x | ψ ⟩ ( t ) = ⟨ x | exp ⁡ ( − t H ) | ψ 0 ⟩ {\displaystyle \langle x|\psi \rangle (t)=\langle x|\exp(-tH)|\psi _{0}\rangle } 이다. 파인먼-카츠 공식에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다. ψ ( T , x 0 ) = ∫ C x 0 0 ( [ 0 , T ] , M ) ψ 0 ( x 0 ) exp ⁡ ( − ∫ 0 T V ( f ( t ) ) d t ) d W x 0 ( f ) {\displaystyle \psi (T,x_{0})=\int _{{\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)}\psi _{0}(x_{0})\exp \left(-\int _{0}^{T}V(f(t))\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} W_{x_{0}}(f)} 편의상 h = V = 0 {\displaystyle h=V=0} , n = 1 {\displaystyle n=1} 인 경우만을 생각하자. 만약 시점 0 ≤ s ≤ t ≤ T {\displaystyle 0\leq s\leq t\leq T} 가 주어졌을 경우, 시점 s {\displaystyle s} 와 t {\displaystyle t} 에 f ( X ( T ) ) {\displaystyle f(X(T))} 가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다. E [ f ( X ( T ) ) | F ( s ) ] = g ( X ( s ) , s ) , {\displaystyle \mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(s)]=g(X(s),s),} E [ f ( X ( T ) ) | F ( t ) ] = g ( X ( t ) , t ) {\displaystyle \mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(t)]=g(X(t),t)} 이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 s {\displaystyle s} 에 g ( t , X ( t ) ) {\displaystyle g(t,X(t))} 가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다. E [ g ( X ( T ) , t ) ) | F ( s ) ] = E [ E [ f ( X ( T ) ) | F ( t ) ] | F ( s ) ] = E [ f ( X ( T ) ) | F ( s ) ] = g ( X ( s ) , s ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [g(X(T),t))\vert {\mathcal {F}}(s)]&=\mathbb {E} [\,\mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(t)]\,\vert {\mathcal {F}}(s)]\\&=\mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(s)]=g(X(s),s)\end{aligned}}} 따라서 g ( X ( t ) , t ) {\displaystyle g(X(t),t)} 는 마팅게일이다. 이토 확률 과정 X ( u ) {\displaystyle X(u)} 에 대한 확률 미분 방정식의 해를 X ( t ) {\displaystyle X(t)} 라고 하자. g ( X ( t ) , t ) {\displaystyle g(X(t),t)} 가 마팅게일이므로 미분 계수 d g ( X ( t ) , t ) {\displaystyle \mathrm {d} g(X(t),t)} 에서 시간 t {\displaystyle t} 에 대한 변화율을 나타내는 항인 d t {\displaystyle \mathrm {d} t} 는 반드시 0이다. 미분 계수 d g ( X ( t ) , t ) {\displaystyle \mathrm {d} g(X(t),t)} 를 정리하면 다음과 같다. d g ( X ( t ) , t ) = ∂ ∂ t g ( X ( t ) , t ) d t + ∂ ∂ x g ( X ( t ) , t ) d X + 1 2 ∂ 2 ∂ x 2 g ( X ( t ) , t ) d X d X = ∂ ∂ t g ( X ( t ) , t ) d t + μ ∂ ∂ x g ( X ( t ) , t ) d t + σ ∂ ∂ X g ( X ( t ) , t ) d W ( t ) + 1 2 σ 2 ∂ 2 ∂ x 2 g ( X ( t ) , t ) d t = [ ∂ ∂ t g ( X ( t ) , t ) + μ ∂ ∂ x g ( X ( t ) , t ) + 1 2 σ 2 ∂ 2 ∂ x 2 g ( X ( t ) , t ) ] d t + σ ∂ ∂ x g ( X ( t ) , t ) d W ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} g(X(t),t)&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)dt+{\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)dX+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\mathrm {d} X\,\mathrm {d} X\\&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\sigma {\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} W(t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\right]\,\mathrm {d} t+\sigma {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} W(t)\end{aligned}}} 따라서 항 d t {\displaystyle \mathrm {d} t} 의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 x {\displaystyle x} 에 대해 g ( X ( t ) , t ) {\displaystyle g(X(t),t)} 가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다. ∂ ∂ t g ( x , t ) + μ ∂ ∂ x g ( x , t ) + 1 2 σ 2 ∂ 2 ∂ x 2 g ( x , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g(x,t)+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(x,t)=0} 리처드 파인먼과 마레크 카츠(폴란드어: Marek Kac, 영어: Mark Kac, 1914〜1984)의 이름을 땄다. 리처드 파인먼 마레크 카츠 파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다. 이토의 보조정리 기르사노프 정리 Bär, Christian; Pfäffle, Frank. “Wiener measures on Riemannian manifolds and the Feynman–Kac formula” (영어). arXiv:1108.5082.  Kac, Mark (1949). “On distributions of certain Wiener functionals”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 65 (1): 1–13. doi:10.2307/1990512. JSTOR 1990512. MR 27960.  “Feynman integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Swanson, Jason (2008). “The Feynman–Kac formula” (PDF) (영어).