탈레스 정리 (평행)

기하학에서, 탈레스 정리(영어: Thales' theorem)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다. 평면 위 3개의 서로 다른 평행선 l {\displaystyle l} , l ′ {\displaystyle l'} , l ″ {\displaystyle l''} 이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 l {\displaystyle l} , l ′ {\displaystyle l'} , l ″ {\displaystyle l''} 과 하나는 각각 점 A {\displaystyle A} , A ′ {\displaystyle A'} , A ″ {\displaystyle A''} 에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 B {\displaystyle B} , B ′ {\displaystyle B'} , B ″ {\displaystyle B''} 에서 만난다고 하자. 탈레스 정리에 따르면, 다음이 성립한다. A A ″ → A A ′ → = B B ″ → B B ′ → {\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AA''}}{\overrightarrow {AA'}}}={\frac {\overrightarrow {BB''}}{\overrightarrow {BB'}}}} 특히, 만약 A ″ {\displaystyle A''} 이 A {\displaystyle A} 에 대하여 A ′ {\displaystyle A'} 과 같은 쪽에 있다면, B ″ {\displaystyle B''} 역시 B {\displaystyle B} 에 대하여 B ′ {\displaystyle B'} 과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 A ″ {\displaystyle A''} 이 A {\displaystyle A} 에 대하여 A ′ {\displaystyle A'} 과 다른 쪽에 있다면, B ″ {\displaystyle B''} 역시 B {\displaystyle B} 에 대하여 B ′ {\displaystyle B'} 과 다른 쪽에 있다. 우선 A A ″ → / A A ′ → = 1 / 2 {\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=1/2} 인 경우를 보이자. A {\displaystyle A} 를 지나는 B B ′ {\displaystyle BB'} 의 평행선과 l ″ {\displaystyle l''} 의 교점을 C ″ {\displaystyle C''} 이라고 하고, A ″ {\displaystyle A''} 을 지나는 B B ′ {\displaystyle BB'} 의 평행선과 l ′ {\displaystyle l'} 의 교점을 C ′ {\displaystyle C'} 이라고 하자. 그렇다면 ∠ A ″ A C ″ = ∠ A ′ A ″ C ′ {\displaystyle \angle A''AC''=\angle A'A''C'} , A A ″ = A ″ A ′ {\displaystyle AA''=A''A'} , ∠ A A ″ C ″ = ∠ A ″ A ′ C ′ {\displaystyle \angle AA''C''=\angle A''A'C'} 이므로, 삼각형 A A ″ C ″ {\displaystyle AA''C''} 과 A ″ A ′ C ′ {\displaystyle A''A'C'} 은 합동이며, 특히 A C ″ → = A ″ C ′ → {\displaystyle {\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}} 이다. 사각형 A B B ″ C ″ {\displaystyle ABB''C''} , A ″ B ″ B ′ C ′ {\displaystyle A''B''B'C'} 은 모두 평행 사변형이므로, B B ″ → = A C ″ → = A ″ C ′ → = B ″ B ′ → {\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}={\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}={\overrightarrow {B''B'}}} 이다. 즉, B B ″ → / B B ′ → = 1 / 2 {\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=1/2} 가 성립한다. 이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 m {\displaystyle m} 과 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 B B ″ → / B B ′ → = m / n {\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=m/n} 이라고 하자. 선분 A A ′ {\displaystyle AA'} 을 n {\displaystyle n} 등분하고, 직선 A A ′ {\displaystyle AA'} 의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 n {\displaystyle n} 등분점을 지나는 l {\displaystyle l} 의 평행선과 직선 B B ′ {\displaystyle BB'} 의 교점 역시 선분 B B ′ {\displaystyle BB'} 을 n {\displaystyle n} 등분하며, 또한 직선 B B ′ {\displaystyle BB'} 의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 A A ″ → / A A ′ → = m / n {\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=m/n} 이 성립한다. 이제 A A ″ → / A A ′ → = λ {\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=\lambda } 가 일반적인 실수인 경우를 보이자. B B ″ → / B B ′ → = μ {\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=\mu } 이라고 가정하자. 임의의 유리수 q {\displaystyle q} 에 대하여, 직선 A A ′ {\displaystyle AA'} 위에서 A P → = q A A ′ → {\displaystyle {\overrightarrow {AP}}=q{\overrightarrow {AA'}}} 인 점 P {\displaystyle P} 를 취하고, P {\displaystyle P} 를 지나는 l {\displaystyle l} 의 평행선과 직선 B B ′ {\displaystyle BB'} 의 교점을 Q {\displaystyle Q} 라고 하자. 그렇다면 B Q → = q B B ′ → {\displaystyle {\overrightarrow {BQ}}=q{\overrightarrow {BB'}}} 이다. A ″ B ″ {\displaystyle A''B''} 과 P Q {\displaystyle PQ} 는 평행하므로, 만약 λ < q {\displaystyle \lambda <q} 라면 μ < q {\displaystyle \mu <q} , 만약 λ = q {\displaystyle \lambda =q} 라면 μ = q {\displaystyle \mu =q} , 만약 λ > q {\displaystyle \lambda >q} 라면 μ > q {\displaystyle \mu >q} 이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, μ = λ {\displaystyle \mu =\lambda } 가 성립한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 두 변 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 의 직선과 점 B ′ {\displaystyle B'} , C ′ {\displaystyle C'} 에서 만나는 직선 B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} 이 다른 한 변 B C {\displaystyle BC} 에 평행한다고 하자. 그렇다면, A B → A B ′ → = A C → A C ′ → = B C → B ′ C ′ → {\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AB}}{\overrightarrow {AB'}}}={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC'}}}={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {B'C'}}}} 이다.:25, §I.3, Corollary 3.3 증명: 점 A {\displaystyle A} 를 지나는 B C {\displaystyle BC} 의 평행선과 직선 B C {\displaystyle BC} , B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} 에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다. A B → A B ′ → = A C → A C ′ → = λ {\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AB}}{\overrightarrow {AB'}}}={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC'}}}=\lambda } 라고 하자. 그렇다면, B C → B ′ C ′ → = A C → − A B → A C ′ → − A B ′ → = λ A C ′ → − λ A B ′ → A C ′ → − A B ′ → = λ {\displaystyle {\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {B'C'}}}={\frac {{\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}}{{\overrightarrow {AC'}}-{\overrightarrow {AB'}}}}={\frac {\lambda {\overrightarrow {AC'}}-\lambda {\overrightarrow {AB'}}}{{\overrightarrow {AC'}}-{\overrightarrow {AB'}}}}=\lambda } 이다. 평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다. 증명: 우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 O {\displaystyle O} 라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 를 취하자. A {\displaystyle A} 의 상을 A ′ {\displaystyle A'} 이라고 하고, A ′ {\displaystyle A'} 을 지나는 A B {\displaystyle AB} 의 평행선과 직선 O B {\displaystyle OB} 의 교점을 B ′ {\displaystyle B'} 이라고 하자. 그렇다면 O B ′ → O B → = O A ′ → O A → {\displaystyle {\frac {\overrightarrow {OB'}}{\overrightarrow {OB}}}={\frac {\overrightarrow {OA'}}{\overrightarrow {OA}}}} 이므로, B ′ {\displaystyle B'} 역시 B {\displaystyle B} 의 상이다. 따라서 직선 A B {\displaystyle AB} 의 상직선 A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} 은 원래 직선에 평행한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 서로 다른 평행 아핀 초평면 H , H ′ , H ″ ⊆ A {\displaystyle H,H',H''\subseteq A} 가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 L ⊆ A {\displaystyle L\subseteq A} 가 H {\displaystyle H} , H ′ {\displaystyle H'} , H ″ {\displaystyle H''} 과 각각 점 a = H ∩ L {\displaystyle a=H\cap L} a ′ = H ′ ∩ L {\displaystyle a'=H'\cap L} a ″ = H ″ ∩ L {\displaystyle a''=H''\cap L} 에서 만난다고 하자. 그렇다면, a a ″ → a a ′ → ∈ K {\displaystyle {\frac {\overrightarrow {aa''}}{\overrightarrow {aa'}}}\in K} 은 아핀 초평면 H {\displaystyle H} , H ′ {\displaystyle H'} , H ″ {\displaystyle H''} 에만 의존하며, 아핀 직선 L {\displaystyle L} 의 선택과 무관하다.:49, §2.5, Proposition 2.5.1 증명: 아핀 초평면 H {\displaystyle H} 의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 V ( H ) {\displaystyle V(H)} 에 대한 몫아핀 공간 A / V ( H ) {\displaystyle A/V(H)} 로 가는 아핀 사영 변환 P : A → A / V ( H ) {\displaystyle P\colon A\to A/V(H)} 를 생각하자. 그렇다면 P {\displaystyle P} 는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 P → {\displaystyle {\overrightarrow {P}}} 를 갖는다. 이제 a a ″ → = λ a a ′ → ( λ ∈ K ) {\displaystyle {\overrightarrow {aa''}}=\lambda {\overrightarrow {aa'}}\qquad (\lambda \in K)} 라고 가정하자. 그렇다면 P → ( a a ″ → ) = λ P → ( a a ′ → ) {\displaystyle {\overrightarrow {P}}({\overrightarrow {aa''}})=\lambda {\overrightarrow {P}}({\overrightarrow {aa'}})} 이며, P → {\displaystyle {\overrightarrow {P}}} 의 정의에 의하여 P ( a ) P ( a ″ ) → = λ P ( a ) P ( a ′ ) → {\displaystyle {\overrightarrow {P(a)P(a'')}}=\lambda {\overrightarrow {P(a)P(a')}}} 이다. 따라서, λ = P ( a ) P ( a ″ ) → P ( a ) P ( a ′ ) → = P ( H ) P ( H ″ ) → P ( H ) P ( H ′ ) → {\displaystyle \lambda ={\frac {\overrightarrow {P(a)P(a'')}}{\overrightarrow {P(a)P(a')}}}={\frac {\overrightarrow {P(H)P(H'')}}{\overrightarrow {P(H)P(H')}}}} 은 아핀 직선 L {\displaystyle L} 의 선택과 무관하다. 고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다. Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939.  Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.