초른 보조정리

수학에서 초른 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理, 영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 부분 순서 집합이 극대 원소를 가질 충분조건을 제시하는 보조정리다. 선택 공리와 동치이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 정렬 사슬(영어: well-ordered chain)은 정렬 집합을 이루는 사슬 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 이다. (공집합 역시 정렬 사슬로 간주한다.) 또한, 원순서 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, max X ⊆ X {\displaystyle \max X\subseteq X} 가 X {\displaystyle X} 의 극대 원소들의 집합이라고 하자. (극대 원소란 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 만약 m ≲ x {\displaystyle m\lesssim x} 이라면 x ∼ m {\displaystyle x\sim m} 을 만족시키는 원소 m ∈ X {\displaystyle m\in X} 이다.) 또한, ↑ S {\displaystyle \uparrow S} 와 ↓ S {\displaystyle \downarrow S} 는 각각 상폐포와 하폐포를 뜻한다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. (즉, X {\displaystyle X} 의 모든 정렬 사슬이 상계를 갖는다고 하자. 특히, 공집합의 상계가 존재하므로 X {\displaystyle X} 는 공집합이 아니다.) 초른 보조정리에 따르면, X =↓ max X {\displaystyle X=\downarrow \max X} 이다. 다시 말해, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 x {\displaystyle x} 와 비교 가능한 극대 원소 m ∈ max X {\displaystyle m\in \max X} 가 존재한다. (특히, X ≠ ∅ {\displaystyle X\neq \varnothing } 이므로 max X ≠ ∅ {\displaystyle \max X\neq \varnothing } 이다. 다시 말해, X {\displaystyle X} 는 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.) 증명: 귀류법을 사용하자. 닫힌 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 이 주어졌으며, 또한 x ∈ X ∖ ↓ max X {\displaystyle x\in X\setminus \downarrow \max X} 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 함수를 선택 공리를 사용하여 고를 수 있다. 함수 f : woChain ⁡ ( X ) → X {\displaystyle f\colon \operatorname {woChain} (X)\to X} 는 X {\displaystyle X} 의 모든 정렬 사슬 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 에 대하여, 그 상계 f ( C ) {\displaystyle f(C)} 를 대응시킨다. (여기서 woChain ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {woChain} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 정렬 사슬들의 집합이다.) 또한, 특히 f ( ∅ ) = x {\displaystyle f(\varnothing )=x} 라고 하자. 함수 g : ↑ { x } →↑ { x } {\displaystyle g\colon \uparrow \{x\}\to \uparrow \{x\}} 는 ∀ y ∈↑ { x } : y < g ( y ) {\displaystyle \forall y\in \uparrow \{x\}\colon y<g(y)} 를 만족시킨다. ( y < g ( y ) {\displaystyle y<g(y)} 란 y ≲ g ( y ) ≴ y {\displaystyle y\lesssim g(y)\not \lesssim y} 를 뜻한다.) 임의의 순서수 α ∈ Ord {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} } 에 대하여, 초한 귀납법으로 다음과 같은 원소열을 정의하자. a α = g ( f ( { a β : β < α } ) ) ∈ X {\displaystyle a_{\alpha }=g(f(\{a_{\beta }\colon \beta <\alpha \}))\in X} 임의의 두 순서수 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 에 대하여 α < β {\displaystyle \alpha <\beta } 이면 a α < a β {\displaystyle a_{\alpha }<a_{\beta }} 이므로, α ↦ a α {\displaystyle \alpha \mapsto a_{\alpha }} 는 순서수의 고유 모임 Ord {\displaystyle \operatorname {Ord} } 에서 X {\displaystyle X} 로 가는 단사 함수를 정의한다. 그러나 순서수의 고유 모임은 집합의 부분 집합이 될 수 없으므로, 모순이다. 따라서 귀류법이 성립한다. 원순서 집합 ( S , ≲ ) {\displaystyle (S,\lesssim )} 의 사슬들의 부분 순서 집합 Chain ⁡ ( S ) ⊆ P ( S ) {\displaystyle \operatorname {Chain} (S)\subseteq {\mathcal {P}}(S)} 을 생각하자. 그렇다면, 사슬들의 사슬 C 0 ⊆ C 1 ⊆ ⋯ {\displaystyle C_{0}\subseteq C_{1}\subseteq \cdots } 의 합집합은 역시 사슬이므로, 초른 보조정리에 따라 S {\displaystyle S} 속에는 극대 사슬이 존재하며, S {\displaystyle S} 의 임의의 사슬은 어떤 극대 사슬의 부분 집합이다. 이 사실을 하우스도르프 극대 원리(Hausdorff極大原理, 영어: Hausdorff maximal principle)라고 한다. 이 역시 선택 공리 및 초른 보조정리와 동치이다. 하우스도르프 극대 원리는 1914년에 펠릭스 하우스도르프가 최초로 사용하였다. 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다. 막스 초른이 1935년에 같은 정리를 "극대 원소 원리"(영어: maximum principle)라는 이름으로 발표하였고,:667 이를 집합론의 공리로 차용할 것을 주장하였다. "초른 (보조)정리"라는 이름은 1939년에 니콜라 부르바키가 《집합론》(프랑스어: Théorie des ensembles)에서 사용하였다. 닫힌 원순서 집합 타이히뮐러-투키 보조정리 Kuratowski, Casimir (1922). “Une méthode d’élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 3: 76–108. JFM 48.0205.04.  Zorn, Max (1935). “A remark on method in transfinite algebra”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 41 (10): 667–670. doi:10.1090/S0002-9904-1935-06166-X. JFM 61.1028.01. MR 1563165. Zbl 0012.33702.  Bourbaki, Nicolas (1939). 《Éléments de mathématique. Première partie: Les structures fondamentales de l’analyse. I: Théorie des ensembles (fascicule de résultats)》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 846. Paris: Hermann. JFM 65.1163.04. OCLC 718565706. Zbl 0026.38902.  Campbell, Paul J. (1978년 2월). “The origin of “Zorn’s lemma””. 《Historia Mathematica》 (영어) 5 (1): 77–89. doi:10.1016/0315-0860(78)90136-2. MR 0462876. Zbl 0377.01009.  Ciesielski, Krzysztof (1997). 《Set theory for the working mathematician》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59465-0.  Efimov, B.A. (2001). “Zorn lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Zorn’s lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Zorn's lemma”. 《nLab》 (영어).  “Zorn's lemma”. 《ProofWiki》 (영어).  “Axiom of choice implies Zorn's lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 3월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함.  “Zorn's lemma implies axiom of cohice”. 《ProofWiki》 (영어). 2022년 1월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함.  “Hausdorff maximal principle”. 《ProofWiki》 (영어).  Tao, Terrence (2009년 1월 28일). “245B, Notes 7: Well-ordered sets, ordinals, and Zorn’s lemma (optional)”. 《What’s New》 (영어).