정이면체군

군론에서 정이면체군(正二面體群, 영어: dihedral group)은 정다각형의 대칭군인 유한군이다. H {\displaystyle H} 가 아벨 군이라고 하자. 일반화 정이면체군(영어: generalized dihedral group) Dih ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (H)} 는 다음과 같은 반직접곱이다. Dih ⁡ ( H ) ≅ H ⋊ ϕ ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (H)\cong H\rtimes _{\phi }(\mathbb {Z} /2)} 여기서 Z / 2 = { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} /2=\{0,1\}} 는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 ϕ : Z / 2 × H → H {\displaystyle \phi \colon \mathbb {Z} /2\times H\to H} 는 다음과 같다. ϕ 0 : h ↦ h {\displaystyle \phi _{0}\colon h\mapsto h} ϕ 1 : h ↦ − h {\displaystyle \phi _{1}\colon h\mapsto -h} 정이면체군 Dih n = Dih ⁡ ( Z / n ) {\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}=\operatorname {Dih} (\mathbb {Z} /n)} 은 순환군 Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n} 에 대한 일반화 정이면체군이다. 무한 정이면체군(영어: infinite dihedral group) Dih ∞ = Dih ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {Dih} _{\infty }=\operatorname {Dih} (\mathbb {Z} )} 은 무한 순환군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 에 대한 일반화 정이면체군이다. 정이면체군 Dih n {\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}} 은 다음과 같은 표시를 갖는다. Dih n ≅ ⟨ r , s | r n = s 2 = ( r s ) 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}\cong \langle r,s|r^{n}=s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle } 정이면체군 Dih n {\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}} 은 간혹 D n {\displaystyle D_{n}} 이나 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 으로 쓰기도 한다. 무한 정이면체군 Dih ∞ {\displaystyle \operatorname {Dih} _{\infty }} 은 다음과 같은 표시를 갖는다. Dih ∞ ≅ ⟨ r , s | s 2 = ( r s ) 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Dih} _{\infty }\cong \langle r,s|s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle } 일반적으로, 일반화 정이면체군 Dih ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (H)} 의 크기는 H {\displaystyle H} 의 크기의 두 배이다. 일반화 정이면체군 Dih ⁡ ( H ) = H ⋊ ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (H)=H\rtimes (\mathbb {Z} /2)} 의 원소들은 모두 ( h , 0 ) {\displaystyle (h,0)} 또는 ( h , 1 ) {\displaystyle (h,1)} 의 꼴이다 ( h ∈ H {\displaystyle h\in H} ). 이 경우, ( h , 0 ) {\displaystyle (h,0)} 꼴의 원소들의 집합은 H {\displaystyle H} 와 동형인 Dih ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (H)} 의 지표가 2인 정규 부분군을 이루며, ( h , 1 ) {\displaystyle (h,1)} 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, ( h , 1 ) ⋅ ( h , 1 ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (h,1)\cdot (h,1)=(0,0)} 이다. Dih ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (H)} 의 켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 에 대하여, { ( h , 0 ) , ( − h , 0 ) } {\displaystyle \{(h,0),(-h,0)\}} { ( h + 2 k , 0 ) | k ∈ H } {\displaystyle \{(h+2k,0)|k\in H\}} 평면에서, 정 n {\displaystyle n} 각형의 대칭군은 Dih n {\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}} 이다. 여기서, 군의 표시에서 r {\displaystyle r} 는 (반시계방향으로) 2 π / n {\displaystyle 2\pi /n} 라디안 회전 대칭에, s {\displaystyle s} 는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다. 정이면체군 Dih n {\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}} 은 총 2 n {\displaystyle 2n} 개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다. 1 , r , r 2 , … , r n − 1 , s , s r , s r 2 , … , s r n − 1 {\displaystyle 1,r,r^{2},\dots ,r^{n-1},s,sr,sr^{2},\dots ,sr^{n-1}} 작은 정이면체군들은 다음과 같다. n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 인 경우, Dih n {\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}} 은 아벨 군이 아니다. 무한 정이면체군 Dih ∞ {\displaystyle \operatorname {Dih} _{\infty }} 는 정수의 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 대칭군이다. 무한 정이면체군 Dih ∞ {\displaystyle \operatorname {Dih} _{\infty }} 는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다. Dih ∞ = ( Z / 2 ) ∗ ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} _{\infty }=(\mathbb {Z} /2)*(\mathbb {Z} /2)} Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. Zbl 1037.00003.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Dihedron group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dihedral group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dihedral group D_2”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dihedral group D_3”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dihedral group D_4”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dihedral group D_5”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dihedral group D_6”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Dihedral group”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D8”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D10”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D12”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D14”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D16”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D18”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D20”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D24”. 《Groupprops》 (영어).  “Dihedral group:D32”. 《Groupprops》 (영어).  군 군론 대칭군 (군론)