사영 초공간

이론물리학에서, 사영 초공간(射影超空間, 영어: projective superspace)은 8개의 초대칭을 갖는 양자장론을 편리하게 다루는 초공간이다. 일반 초공간과 사영 직선(리만 구)의 곱공간이다. 4차원에서, N ≥ 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}\geq 2} 초대칭의 경우, 일반적인 초공간을 사용한다면 두 가지의 문제가 발생한다. 반가환수 좌표가 너무 많아서, 초다중항이 지나치게 커지므로, 초장에 여러 개의 제약 또는 게이지 대칭을 임의로 가해야 한다. 이러한 제약을 가하려면, 일반적으로 운동 방정식을 사용해야 한다. 이 문제는 유한 개의 성분을 가지는 초장으로 해결할 수 없다.:§4 이를 해결하기 위하여, 무한 개의 성분을 가지는 초장을 사용해야 한다. (물리적으로, 이 성분들은 유한 개를 제외하고는 모두 보조장이다.) 사영 초공간에서, 이 성분들은 리만 구 위의 로랑 급수의 성분들로서 등장한다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭의 SU(2) R대칭은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 표현된다. 4차원 시공간에서, N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭을 생각하자. 이 경우, 일반 초공간의 좌표는 다음 세 가지이다. x μ {\displaystyle x^{\mu }} 스피너 좌표 θ α a {\displaystyle \theta ^{\alpha a}} , θ ¯ α ˙ a {\displaystyle {\bar {\theta }}^{{\dot {\alpha }}a}} 여기서 α ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \alpha \in \{1,2\}} 및 α ˙ ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle {\dot {\alpha }}\in \{1,2\}} 는 왼손 · 오른손 스피너 지표이며, a ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle a\in \{1,2\}} 는 SU(2) R대칭의 기본 표현 지표이다. 사영 초공간은 여기에 추가 가환 좌표 u ∈ C 2 ∖ { 0 } {\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}} 를 갖는다. 좌표들의 표현은 다음과 같다. 여기서, u {\displaystyle u} 의 두 복소수 성분은 사실 리만 구 C P 1 {\displaystyle \operatorname {C\mathbb {P} } ^{1}} 의 동차 좌표로 여겨진다. 일반 초공간의 공변 미분 D α a , D ¯ α ˙ a {\displaystyle D_{\alpha a},{\bar {D}}_{{\dot {\alpha }}a}} 은 다음과 같은 리 괄호를 갖는다. { D α a , D β b } = 0 {\displaystyle \{D_{\alpha a},D_{\beta b}\}=0} { D ¯ α ˙ a , D ¯ β ˙ b } = 0 {\displaystyle \{{\bar {D}}_{{\dot {\alpha }}a},{\bar {D}}_{{\dot {\beta }}b}\}=0} { D ¯ α ˙ a , D β b } = i δ a b ∂ μ σ β α ˙ μ {\displaystyle \{{\bar {D}}_{{\dot {\alpha }}a},D_{\beta b}\}=\mathrm {i} \delta _{ab}\partial _{\mu }\sigma _{\beta {\dot {\alpha }}}^{\mu }} 이제, 다음을 정의하자. ∇ α = u a D α a {\displaystyle \nabla _{\alpha }=u_{a}D_{\alpha a}} ∇ ¯ α ˙ = u a D ¯ α ˙ b ϵ a b {\displaystyle {\bar {\nabla }}_{\dot {\alpha }}=u_{a}{\bar {D}}_{{\dot {\alpha }}b}\epsilon _{ab}} 조화 초공간 위에 정의된 초장 Φ {\displaystyle \Phi } 가 ∇ Φ = 0 {\displaystyle \nabla \Phi =0} ∇ ¯ Φ = 0 {\displaystyle {\bar {\nabla }}\Phi =0} ∂ ∂ u ¯ ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {u}}}}\phi =0} 를 만족시키며, ϕ ( x , c u ) = c n ϕ ( x , u ) ( c ∈ C × ) {\displaystyle \phi (x,cu)=c^{n}\phi (x,u)\qquad (c\in \mathbb {C} ^{\times })} 를 만족시킨다면, 이를 무게 n {\displaystyle n} 의 사영 초장(영어: projective superfield)이라고 한다. 이는 이제 C P 1 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} 위의 n {\displaystyle n} 만큼 뒤틀린 선다발의 해석적 단면으로 여겨질 수 있다. 또한, 사영 초장은 극점 및 기타 특이점을 가질 수 있다. 이제, 이 극점 및 특이점을 피하는 리만 구 속의 폐곡선 γ {\displaystyle \gamma } 가 주어졌다고 하자. 이제, 4차원 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭 이론의 라그랑지언 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 은 무게 2의 사영 초장을 이루며, 이에 대한 작용은 다음과 같다. S = − 1 2 π ∫ γ v d v ∫ d 4 x d 2 θ d 2 θ ¯ ∇ a ∇ a ∇ ¯ β ˙ ∇ ¯ β ˙ L ( z , v ) {\displaystyle S=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{\gamma }v\mathrm {d} v\int \mathrm {d} ^{4}x\,\mathrm {d} ^{2}\theta \,\mathrm {d} ^{2}{\bar {\theta }}\,\nabla ^{a}\nabla _{a}{\bar {\nabla }}_{\dot {\beta }}{\bar {\nabla }}^{\dot {\beta }}{\mathcal {L}}(z,v)} 편의상, C P 1 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} 의 좌표 ζ = u 1 / u 2 {\displaystyle \zeta =u^{1}/u^{2}} 를 생각하자. 사영 초장은 다음과 같이 로랑 급수로 전개될 수 있다. Φ = ∑ i = − ∞ ∞ Φ i ζ i {\displaystyle \Phi =\sum _{i=-\infty }^{\infty }\Phi _{i}\zeta ^{i}} 스칼라 초다중항(4개 스칼라장과 1개 디랙 스피너장)의 경우, 보통 Φ {\displaystyle \Phi } 가 ζ = 0 {\displaystyle \zeta =0} 에서 정칙 함수인 것을 가정한다. 즉, Φ = ∑ i = 0 ∞ Φ i ζ i {\displaystyle \Phi =\sum _{i=0}^{\infty }\Phi _{i}\zeta ^{i}} 이다. 이제 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 위 스칼라 초장은 게이지 변환에 따라 다음과 같이 변환한다. Φ ↦ exp ⁡ ( i α ) Φ {\displaystyle \Phi \mapsto \exp(\mathrm {i} \alpha )\Phi } 여기서 α {\displaystyle \alpha } 는 ζ {\displaystyle \zeta } 에 대하여 해석적인, 게이지 변환 매개 변수를 나타내는 초장이다. 게이지 초장(즉, 게이지 보손과 게이지노, 스칼라장을 포함하는 초다중항)은 다음과 같이, α {\displaystyle \alpha } 변환을 α ¯ {\displaystyle {\bar {\alpha }}} 변환으로 대응시켜, 게이지 불변 운동항을 적을 수 있게 한다. exp ⁡ V = exp ⁡ ( i α ¯ ) exp ⁡ V exp ⁡ ( − i λ ) {\displaystyle \exp V=\exp(\mathrm {i} {\bar {\alpha }})\exp V\exp(-\mathrm {i} \lambda )} 게이지 초장 V {\displaystyle V} 역시 조화 초장이며, 이는 또한 다음과 같은 꼴의 로랑 급수를 갖는다. V = ∑ i = − 2 2 ζ i V i {\displaystyle V=\sum _{i=-2}^{2}\zeta ^{i}V_{i}} V − i = ( − ) i v ¯ i {\displaystyle V_{-i}=(-)^{i}{\bar {v}}_{i}} 초공간 Stelle, K. S. (1985). “Manifest realizations of extended supersymmetry” (PDF) (영어).  Ivanov, E. 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