제한근

리 군론에서 제한근(制限根, 영어: restricted root)은 리 대수에서, 극대 부분 콤팩트 리 대수의 직교 여공간에 대한 고윳값들의 벡터이다. 다음이 주어졌다고 하자. 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 대합 θ {\displaystyle \theta } . 이에 대한 카르탕 분해를 g = k ⊕ p {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}} 라고 하자. p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 극대 아벨 부분 리 대수 a ⊆ p {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}} 그렇다면, 쌍대 공간 a ∨ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{\vee }} 의 원소 λ ∈ a ∨ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {a}}^{\vee }} 에 대하여, 다음을 정의할 수 있다. g λ = { x ∈ g : [ a , x ] = λ ( a ) x ∀ a ∈ a } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [a,x]=\lambda (a)x\qquad \forall a\in {\mathfrak {a}}\}} 물론 g 0 = ⋂ a ∈ a ker ⁡ ad ⁡ ( a ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\bigcap _{a\in {\mathfrak {a}}}\ker \operatorname {ad} (a)} 이다. 만약 g λ ≠ 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq 0} 이며 λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} 이라면, λ {\displaystyle \lambda } 를 ( g , a ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})} 의 제한근이라고 하며, g λ {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }} 를 그 제한근 공간(영어: restricted root space)이라고 한다. ( g , a ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})} 의 제한근들의 집합을 Σ ( g , a ) {\displaystyle \Sigma ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})} 로 표기하자. 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 제한근은 다음 조건들을 만족시킨다. g = g 0 ⊕ ⨁ λ ∈ Σ ( g , a ) g λ {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Sigma ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})}{\mathfrak {g}}_{\lambda }} 즉, 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 그 제한근 공간들의 합으로 분해된다. 또한, 이 분해의 각 성분들은 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 다음이 성립한다. [ g λ , g μ ] ⊆ g λ + μ ( λ , μ ∈ Σ ⁡ ( g , a ) ) {\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\lambda },{\mathfrak {g}}_{\mu }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\lambda +\mu }\qquad (\lambda ,\mu \in \operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}}))} :370, Proposition 6.40(b) θ g λ = g − λ ( λ , μ ∈ Σ ⁡ ( g , a ) ) {\displaystyle \theta {\mathfrak {g}}_{\lambda }={\mathfrak {g}}_{-\lambda }\qquad (\lambda ,\mu \in \operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}}))} :370, Proposition 6.40(c) g 0 = a ⊕ { k ∈ k : [ a , k ] = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus \{k\in {\mathfrak {k}}\colon [{\mathfrak {a}},k]=0\}} :370, Proposition 6.40(d) Σ ⁡ ( g , a ) {\displaystyle \operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})} 에서, 임의로 양근의 개념 Σ + ⁡ ( g , a ) ⊆ Σ ⁡ ( g , a ) {\displaystyle \operatorname {\Sigma } ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})} 을 정의하자. 이제 n = ⨁ λ ∈ Σ + ⁡ ( g , a ) g λ {\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus _{\lambda \in \operatorname {\Sigma } ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})}{\mathfrak {g}}_{\lambda }} 를 정의하면, g = k ⊕ a ⊕ n {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}} 은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 이와사와 분해이다. 사타케 도표 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Relative root system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.