클리퍼드 대수

환론에서 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다. 클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다. 추상적으로 어떤 보편 성질을 통해 정의될 수 있다. 구체적으로 텐서 대수의 몫대수로 정의될 수 있다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q : V → K {\displaystyle Q\colon V\to K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)} 는 다음 공리를 만족시키는, V {\displaystyle V} 를 포함하는 가장 일반적인 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수다. v 2 = Q ( v ) ∀ v ∈ V {\displaystyle v^{2}=Q(v)\qquad \forall v\in V} 즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. K {\displaystyle K} 위의 단위 결합 대수들의 범주 uAssocAlg K {\displaystyle \operatorname {uAssocAlg} _{K}} 에서, j ( v ) 2 = Q ( v ) 1 A ∀ v ∈ V {\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}\forall v\in V} 를 만족시키는 임의의 대수 ( A , j : V → A ) {\displaystyle (A,j\colon V\to A)} 가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 f : Cliff ⁡ ( V , Q ) → A {\displaystyle f\colon \operatorname {Cliff} (V,Q)\to A} 가 존재한다. V → i Cliff ⁡ ( V , Q ) j ↘ ↓ ∃ ! f A {\displaystyle {\begin{matrix}V&{\overset {i}{\to }}&\operatorname {Cliff} (V,Q)\\&{\scriptstyle j}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !f\\&&A\end{matrix}}} 여기서 i : V → Cliff ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle i\colon V\to \operatorname {Cliff} (V,Q)} 는 보통 생략한다. 이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 QMod K {\displaystyle \operatorname {QMod} _{K}} 에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다. Cliff : QMod K → uAssocAlg K {\displaystyle \operatorname {Cliff} \colon \operatorname {QMod} _{K}\to \operatorname {uAssocAlg} _{K}} ( QMod K {\displaystyle \operatorname {QMod} _{K}} 의 사상은 가군 준동형 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 가운데 Q M = ϕ ∘ Q N {\displaystyle Q_{M}=\phi \circ Q_{N}} 인 것이다.) 클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다. Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) = T ⁡ ( V ; K ) / i ( Q ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {T} (V;K)/{\mathfrak {i}}(Q)} 여기서 T ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {T} (V;K)} 는 V {\displaystyle V} 에 대한 K {\displaystyle K} -텐서 대수 T ⁡ ( V ; K ) = ⨁ n = 0 ∞ V ⊗ n = K ⊕ V ⊕ V ⊗ K V ⊕ V ⊗ K V ⊗ K V + ⋯ {\displaystyle \operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus V\otimes _{K}V\otimes _{K}V+\cdots } 이며, i ( Q ) = ( v ⊗ v − Q ( v ) ) v ∈ V = { w ( ∑ i = 1 n v i ⊗ v i − Q ( v i ) ) w ′ : w , w ′ ∈ T K ⁡ ( V ) , n ∈ N , v 1 , … , v n ∈ V } {\displaystyle {\mathfrak {i}}(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\{w\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\otimes v_{i}-Q(v_{i})\right)w'\colon w,w'\in \operatorname {T} _{K}(V),\;n\in \mathbb {N} ,\;v_{1},\dots ,v_{n}\in V\right\}} 는 { v ⊗ v − Q ( v ) : v ∈ V } {\displaystyle \{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\}} 에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다. 이 경우 u v + v u = ( u + v ) 2 − u 2 − v 2 = Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) {\displaystyle uv+vu=(u+v)^{2}-u^{2}-v^{2}=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)} 이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 Q {\displaystyle Q} 의 연관 쌍선형 형식과 같다. 텐서 대수 T ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {T} (V;K)} 는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다. T ⁡ ( V ; K ) = ⨁ n = 0 ∞ T n ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{n}(V;K)} 클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급을 보존한다. 즉, T + ⁡ ( V ; K ) = ⨁ n = 0 ∞ T 2 n ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {T} ^{+}(V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{2n}(V;K)} T − ⁡ ( V ; K ) = ⨁ n = 0 ∞ T 2 n + 1 ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {T} ^{-}(V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{2n+1}(V;K)} 을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 K {\displaystyle K} 위의 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 대수를 이룬다. Cliff + ⁡ ( V ; K ) = T + ⁡ ( V ; K ) i ( Q ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V;K)={\frac {\operatorname {T} ^{+}(V;K)}{{\mathfrak {i}}(Q)}}} Cliff − ⁡ ( V ; K ) = T − ⁡ ( V ; K ) i ( Q ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{-}(V;K)={\frac {\operatorname {T} ^{-}(V;K)}{{\mathfrak {i}}(Q)}}} 특히, 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 에서, 짝수 등급 부분 대수 Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)} 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약 V = Span K ⁡ { a } ⊕ U {\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{a\}\oplus U} Q ( t a + u ) = t 2 Q ( a ) + Q | U ( u ) ∀ t ∈ K , u ∈ U {\displaystyle Q(ta+u)=t^{2}Q(a)+Q|_{U}(u)\qquad \forall t\in K,\;u\in U} Q ( a ) ≠ 0 {\displaystyle Q(a)\neq 0} 라면, Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) ≅ Cliff ⁡ ( U , − Q ( a ) Q | U ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\cong \operatorname {Cliff} (U,-Q(a)Q|_{U};K)} 이다. 비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의 자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 T ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {T} (V;K)} 의 등급으로 정의되는 오름 여과 F n T ⁡ ( V ; K ) = ⨁ m ≤ n T m ⁡ ( V ; K ) = K ⊕ V ⊕ V ⊗ K V ⊕ ⋯ V ⊗ K n {\displaystyle F^{n}\operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V;K)=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus \cdots V^{\otimes _{K}n}} 를 생각하자. 그렇다면, K = F 0 T ⁡ ( V ; K ) ⊆ F 1 T ⁡ ( V ; K ) ⊆ F 2 T ⁡ ( V ; K ) ⊆ ⋯ {\displaystyle K=F^{0}\operatorname {T} (V;K)\subseteq F^{1}\operatorname {T} (V;K)\subseteq F^{2}\operatorname {T} (V;K)\subseteq \cdots } 이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 i ( Q ) {\displaystyle {\mathfrak {i}}(Q)} 은 이 여과와 호환된다. 구체적으로, ( F n T ⁡ ( V ; K ) ∩ i ( Q ) ) / F n + 1 ⁡ T ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle (F^{n}\operatorname {T} (V;K)\cap {\mathfrak {i}}(Q))/\operatorname {F} ^{n+1}\operatorname {T} (V;K)} 는 F n T ⁡ ( V ; K ) / F n + 1 T ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle F^{n}\operatorname {T} (V;K)/F^{n+1}\operatorname {T} (V;K)} 의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 위에도 여과 F n Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) = ⨁ m ≤ n T m ⁡ ( V ; K ) / i ( Q ) {\displaystyle F^{n}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V;K)/{\mathfrak {i}}(Q)} 가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다. 이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다. ⨁ n = 0 ∞ F n Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) F n − 1 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ≅ Λ ( V ; K ) {\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\frac {F^{n}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)}{F^{n-1}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)}}\cong \Lambda (V;K)} 가환환 K {\displaystyle K} 위의 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다. α : v 1 v 2 ⋯ v k ↦ ( − ) k v 1 v 2 ⋯ v k ( ∀ v 1 , v 2 , … , v k ∈ V ) {\displaystyle \alpha \colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto (-)^{k}v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)} (만약 가환환 K {\displaystyle K} 의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) α 2 {\displaystyle \alpha ^{2}} 는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다. 마찬가지로, Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 위에 다음과 같은 반자기 동형(영어: anti-automorphism)이 존재한다. ( − ) ⊤ : Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ↦ Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) op {\displaystyle (-)^{\top }\colon \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\mapsto \operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\operatorname {op} }} ( − ) ⊤ : v 1 v 2 ⋯ v k ↦ v k ⋯ v 2 v 1 ( ∀ v 1 , v 2 , … , v k ∈ V ) {\displaystyle (-)^{\top }\colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto v_{k}\cdots v_{2}v_{1}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)} (여기서 ( − ) op {\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }} 는 반대환을 뜻한다.) α {\displaystyle \alpha } 와 ( − ) ⊤ {\displaystyle (-)^{\top }} 는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 클리퍼드 수반(영어: Clifford conjugation)을 얻는다. x ¯ = α ( x ⊤ ) = ( α ( x ) ) ⊤ {\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\top })=(\alpha (x))^{\top }} x ↦ x ⊤ {\displaystyle x\mapsto x^{\top }} 와 x ↦ x ¯ {\displaystyle x\mapsto {\bar {x}}} 역시 대합을 이룬다. 이 연산들은 N {\displaystyle \mathbb {N} } 등급이 k {\displaystyle k} 인 원소 x {\displaystyle x} 에 대하여 다음과 같다. α ( x ) = ( − ) k x {\displaystyle \alpha (x)=(-)^{k}x} x ⊤ = ( − ) k ( k − 1 ) / 2 x {\displaystyle x^{\top }=(-)^{k(k-1)/2}x} x ¯ = ( − ) k ( k + 1 ) / 2 x {\displaystyle {\bar {x}}=(-)^{k(k+1)/2}x} 즉, 이는 k mod 4 {\displaystyle k{\bmod {4}}} 에 대하여 다음과 같이 의존한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다. ⟨ x , y ⟩ = ⟨ x ⊤ y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle x^{\top }y\rangle } Q ~ ( x ) = ⟨ x ⊤ x ⟩ {\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\langle x^{\top }x\rangle } 여기서 ⟨ − ⟩ {\displaystyle \langle -\rangle } 은 N {\displaystyle \mathbb {N} } 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다. 이는 다음 성질을 만족시킨다. ⟨ x , a y ⟩ = ⟨ a ⊤ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,ay\rangle =\langle a^{\top }x,y\rangle } 만약 Q {\displaystyle Q} 가 V = U ⊕ W {\displaystyle V=U\oplus W} Q ( u + w ) = Q ( u ) ∀ u ∈ U , w ∈ W {\displaystyle Q(u+w)=Q(u)\qquad \forall u\in U,w\in W} 라면 (즉, Q | W = 0 {\displaystyle Q|_{W}=0} 라면), Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ≅ Λ ( W ; K ) ⊗ ^ K Cliff ⁡ ( U , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\cong \Lambda (W;K){\hat {\otimes }}_{K}\operatorname {Cliff} (U,Q;K)} 가 된다. 따라서, 만약 V {\displaystyle V} 가 반단순 가군이라면 V ≅ ( rad ⁡ Q ) ⊕ V / ( rad ⁡ Q ) {\displaystyle V\cong (\operatorname {rad} Q)\oplus V/(\operatorname {rad} Q)} 이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, V {\displaystyle V} 가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 Q {\displaystyle Q} 가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, K {\displaystyle K} 가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. K {\displaystyle K} 가 체이며, V {\displaystyle V} 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 n {\displaystyle n} 이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원 벡터 공간이다. { e i } i = 1 , … , n {\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1,\dots ,n}} 이 V {\displaystyle V} 의 기저라고 하자. 그렇다면 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 의 기저는 다음과 같이 주어진다. { e i 1 e i 2 ⋯ e i k | 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } {\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\dotsb e_{i_{k}}|1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n\}} 체 K {\displaystyle K} 위의 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 K {\displaystyle K} -가군으로서 외대수 Λ K ( V ) {\displaystyle \Lambda _{K}(V)} 와 동형이다. 만약 Q = 0 {\displaystyle Q=0} 일 경우 Cliff ⁡ ( V , 0 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,0;K)} 는 외대수 Λ ( V ; K ) {\displaystyle \Lambda (V;K)} 와 대수로서 동형이지만, Q ≠ 0 {\displaystyle Q\neq 0} 일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 유한 생성 사영 가군 M {\displaystyle M} 위의 비퇴화 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( M , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)} 는 등급 아즈마야 대수(영어: graded Azumaya algebra)이다.:152, Corollary 3.7.4 또한, 만약 모든 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ K {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K} 에 대하여 M ⊗ K K p {\displaystyle M\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}} 가 짝수 계수 K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} -자유 가군이라면, Cliff ⁡ ( M , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)} 는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ K {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K} 에 대하여 M ⊗ K K p {\displaystyle M\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}} 가 홀수 계수 K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} -자유 가군이라면, Cliff ⁡ ( M , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)} 는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} 는 국소화이다.) 특히, 만약 K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 체라면, Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 등급 중심 단순 대수(영어: graded central simple algebra)이다.:109, Theorem 2.1 만약 V {\displaystyle V} 가 짝수 차원이라면 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, Z ⁡ ( Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ) = K {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))=K} 이며, Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다. 만약 V {\displaystyle V} 가 짝수 차원이라면 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 구조를 잊으면 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 중심 단순 대수가 아니지만, Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)} 는 중심 단순 대수를 이룬다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V = Span K ⁡ { e 1 , e 2 , … , e n } {\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다. Q ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n ) = c 1 a 1 2 + c 2 a 2 2 + ⋯ + c n a n 2 ( a 1 , … , a n , c 1 , … , c n ∈ K ) {\displaystyle Q(a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n})=c_{1}a_{1}^{2}+c_{2}a_{2}^{2}+\cdots +c_{n}a_{n}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n},c_{1},\dots ,c_{n}\in K)} 이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 (유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:210, Supplementary Exercise 35(a) Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다. 모든 i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\dots ,n} 에 대하여 c i ≠ 0 {\displaystyle c_{i}\neq 0} 이다. 또한, Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.:211, Supplementary Exercise 35(b) 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V = Span K ⁡ { e 1 , e 2 , … , e n } {\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다. Q ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n ) = c 1 a 1 2 + c 2 a 2 2 + ⋯ + c n a n 2 ( a 1 , … , a n , c 1 , … , c n ∈ K ) {\displaystyle Q(a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n})=c_{1}a_{1}^{2}+c_{2}a_{2}^{2}+\cdots +c_{n}a_{n}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n},c_{1},\dots ,c_{n}\in K)} 이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 의 중심은 다음과 같다. Z ⁡ ( Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ) = { K 2 ∣ n K + K e 1 e 2 ⋯ e n 2 ∤ n {\displaystyle \operatorname {Z} \left(\operatorname {Cliff} (V,Q;K)\right)={\begin{cases}K&2\mid n\\K+Ke_{1}e_{2}\cdots e_{n}&2\nmid n\end{cases}}} 가환환 K {\displaystyle K} , K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 과 환 준동형 ϕ : K → K ~ {\displaystyle \phi \colon K\to {\tilde {K}}} 및 K {\displaystyle K} -가군 M {\displaystyle M} 및 그 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( M , Q ) {\displaystyle (M,Q)} 의 스칼라 확대 ( M ⊗ K K ~ , Q ⊗ K 1 ) {\displaystyle (M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)} 의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} -대수이다.:195, Proposition IV.1.2.3 Cliff ⁡ ( M ⊗ K K ~ , Q ⊗ K 1 ) ≅ Cliff ⁡ ( M , Q ) ⊗ K K ~ {\displaystyle \operatorname {Cliff} (M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)\cong \operatorname {Cliff} (M,Q)\otimes _{K}{\tilde {K}}} 클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 클리퍼드 군이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 및 임의의 두 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 A {\displaystyle A} , A ′ {\displaystyle A'} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, B = A ⊗ A ′ {\displaystyle B=A\otimes _{A}'} 위에 다음과 같은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다. B 0 = A 0 ⊗ K A 0 ′ ⊕ A 1 ⊗ K A 1 ′ {\displaystyle B_{0}=A_{0}\otimes _{K}A'_{0}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{1}} B 1 = A 0 ⊗ K A 1 ′ ⊕ A 1 ⊗ K A 0 ′ {\displaystyle B_{1}=A_{0}\otimes _{K}A'_{1}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{0}} ( a ⊗ K a ′ ) ( b ⊗ K b ′ ) = ( − ) deg ⁡ a ′ deg ⁡ b ′ ( a b ) ⊗ K ( a ′ b ′ ) ( a , b ∈ A , a ′ , b ′ ∈ A ′ ) {\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes _{K}(a'b')\qquad (a,b\in A,\;a',b'\in A')} 여기서 A 0 {\displaystyle A_{0}} 및 A 1 {\displaystyle A_{1}} 은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수를 A ⊗ ^ K A ′ {\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'} 으로 표기하자. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 두 이차 공간 ( V , Q ) {\displaystyle (V,Q)} , ( V ′ , Q ′ ) {\displaystyle (V',Q')} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 ( V ⊕ V ′ , Q ⊕ Q ′ ) {\displaystyle (V\oplus V',Q\oplus Q')} 위의 클리퍼드 대수는 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.:195, Theorem IV.1.3.1 Cliff ⁡ ( V ⊕ V ′ , Q ⊕ Q ′ ; K ) ≅ Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ⊗ ^ K Cliff ⁡ ( V ′ , Q ′ ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong \operatorname {Cliff} (V,Q;K){\hat {\otimes }}_{K}\operatorname {Cliff} (V',Q';K)} 따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 비퇴화 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 로 정의되는 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 등급 중심 단순 대수(영어: graded central simple algebra)이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.:111, §V.2 n {\displaystyle n} 이 짝수일 때: Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 K {\displaystyle K} 위의 중심 단순 대수이다. Z ⁡ ( Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) ) ≅ K ( a ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K))\cong K({\sqrt {a}})} ( a ∈ K × / ( K × ) 2 ) {\displaystyle a\in K^{\times }/(K^{\times })^{2})} )의 꼴이라면, Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)} 는 K ( a ) {\displaystyle K({\sqrt {a}})} 위의 중심 단순 대수이다. Z ⁡ ( Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) ) ≅ K × K {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K))\cong K\times K} 의 꼴이라면, Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) ≅ A 2 {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\cong A^{2}} 는 K {\displaystyle K} 위의 어떤 중심 단순 대수 A {\displaystyle A} 의 제곱과 동형이다. n {\displaystyle n} 이 홀수일 때: Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)} 는 K {\displaystyle K} 위의 중심 단순 대수이다. Z ⁡ ( Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ) ≅ K ( a ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))\cong K({\sqrt {a}})} ( a ∈ K × / ( K × ) 2 ) {\displaystyle a\in K^{\times }/(K^{\times })^{2})} )의 꼴이라면, Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 확대체 K ( a ) {\displaystyle K({\sqrt {a}})} 위의 중심 단순 대수이다. Z ⁡ ( Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ) ≅ K × K {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))\cong K\times K} 의 꼴이라면, Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) ≅ A 2 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\cong A^{2}} 은 K {\displaystyle K} 위의 어떤 중심 단순 대수 A {\displaystyle A} 의 제곱과 동형이다. 아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체 K {\displaystyle K} 위의 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원 중심 단순 대수는 어떤 K {\displaystyle K} -중심 단순 대수인 2 k {\displaystyle 2^{k}} 차원 나눗셈환 D {\displaystyle D} 위의 행렬환 Mat ⁡ ( 2 n − k ; D ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n-k};D)} 과 동형이다. K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 가 복소수체이며, ( V , Q ) {\displaystyle (V,Q)} 가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 n = dim C ⁡ V {\displaystyle n=\dim _{\mathbb {C} }V} 만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 Cliff ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )} 로 쓰면, 이는 C {\displaystyle \mathbb {C} } -단위 결합 대수로서 다음과 같다. Cliff ⁡ ( n ; C ) ≅ { Mat ⁡ ( 2 n / 2 ; C ) 2 ∣ n Mat ⁡ ( 2 ( n − 1 ) / 2 ; C ) ⊕ Mat ⁡ ( 2 ( n − 1 ) / 2 ; C ) 2 ∤ n {\displaystyle \operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {C} )&2\mid n\\\operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )&2\nmid n\end{cases}}} 즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다. Cliff ⁡ ( n + 2 ; C ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; C ) ⊗ C Cliff ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (n+2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )} 특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다. Cliff ⁡ ( 0 ; C ) ≅ C {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} } Cliff ⁡ ( 1 ; C ) ≅ C ⊕ C {\displaystyle \operatorname {Cliff} (1;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} } (테사린, tessarine) Cliff ⁡ ( 2 ; C ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )} (2×2 복소 행렬) K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 가 실수체이며, V {\displaystyle V} 가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, Q {\displaystyle Q} 가 부호수가 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 Cliff ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )} 로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다. Cliff ⁡ ( 0 , 0 ; R ) ≅ R {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} } (실수) Cliff ⁡ ( 0 , 1 ; R ) ≅ C {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {C} } (복소수) Cliff ⁡ ( 1 , 0 ; R ) ≅ R ⊕ R {\displaystyle \operatorname {Cliff} (1,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } (분할복소수) Cliff ⁡ ( 0 , 2 ; R ) ≅ H {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} } (사원수) Cliff ⁡ ( 2 , 0 ; R ) ≅ Cliff ⁡ ( 1 , 1 ; R ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (2,0;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cliff} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )} (2×2 실수 행렬) 또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다. Cliff ⁡ ( p + 2 , q ; R ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; R ) ⊗ R Cliff ⁡ ( q , p ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p+2,q;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (q,p;\mathbb {R} )} Cliff ⁡ ( p + 1 , q + 1 ; R ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; R ) ⊗ R Cliff ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p+1,q+1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )} Cliff ⁡ ( p , q + 2 ; R ) ≅ H ⊗ R Cliff ⁡ ( q , p ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q+2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (q,p;\mathbb {R} )} 이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다. 즉, 실수 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )} 들은 다음과 같은 클리퍼드 시계(Clifford時計, 영어: Clifford clock)로 나타낼 수 있다. 8 1 2 R R ⊕ 2 R 7 C C 3 H H ⊕ 2 H 6 5 4 {\displaystyle {\begin{matrix}_{\displaystyle {\mathsf {8}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {1}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {2}}}\\&_{\displaystyle \mathbb {R} }&^{\displaystyle \mathbb {R} ^{\oplus 2}}&_{\displaystyle \mathbb {R} }\\{\mathsf {7}}\quad &\mathbb {C} \quad &&\quad \mathbb {C} &\quad {\mathsf {3}}\\&^{\displaystyle \mathbb {H} }&_{\displaystyle \mathbb {H} ^{\oplus 2}}&^{\displaystyle \mathbb {H} }\\^{\displaystyle {\mathsf {6}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {5}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {4}}}\end{matrix}}} 즉, Cliff ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )} 는 p − q mod 8 {\displaystyle p-q{\bmod {8}}} 이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 dim R ⁡ Cliff ⁡ ( p , q ; R ) = 2 p + q {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )=2^{p+q}} 으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, n ≡ 3 ( mod 8 ) {\displaystyle n\equiv 3{\pmod {8}}} 일 때 Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) ≅ Mat ⁡ ( H ; 2 n / ( 2 dim R ⁡ H ) ) ⊕ Mat ⁡ ( H ; 2 n / ( 2 dim R ⁡ H ) ) = Mat ⁡ ( H ; 2 n − 3 ) ⊕ Mat ⁡ ( H ; 2 n − 3 ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))=\operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})} 이다. 홀수 표수의 유한체 K = F q {\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}} 위의 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 Q = diag ⁡ ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle Q=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})} 이 주어졌다고 하자. 이 경우 δ = [ ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a 1 a 2 ⋯ a n ] ∈ F q × / ( F q × ) 2 ≅ Z / 2 {\displaystyle \delta =[(-1)^{n(n-1)/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}]\in \mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}\cong \mathbb {Z} /2} 을 정의하자. 이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다. 홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다. 표수 2에서는 등급 텐서곱 ⊗ ^ {\displaystyle {\hat {\otimes }}} 이 일반 텐서곱 ⊗ {\displaystyle \otimes } 과 같다. 표수 2의 유한체 K = F 2 e {\displaystyle K=\mathbb {F} _{2^{e}}} 위의 2 n {\displaystyle 2n} 차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다. Q 1 = ( K 2 , ( k 1 , k 2 ) ↦ k 1 k 2 ) {\displaystyle Q_{1}=\left(K^{2},(k_{1},k_{2})\mapsto k_{1}k_{2}\right)} Q 2 ( K 2 , ( k 1 , k 2 ) ↦ ( k 1 2 + k 1 k 2 + a k 2 2 ) ) , a ∈ K ∖ { b 2 + b : b ∈ K } {\displaystyle Q_{2}\left(K^{2},(k_{1},k_{2})\mapsto (k_{1}^{2}+k_{1}k_{2}+ak_{2}^{2})\right),\qquad a\in K\setminus \{b^{2}+b\colon b\in K\}} 이 경우 Cliff ⁡ ( F 2 e 2 , Q 1 ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{e}}^{2},Q_{1})} 및 Cliff ⁡ ( F 2 n 2 , Q 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{n}}^{2},Q_{2})} 둘 다 K {\displaystyle K} 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 2 n {\displaystyle 2n} 차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다. Cliff ⁡ ( F 2 e 2 n , Q ; F 2 e ) ≅ Mat ⁡ ( 2 n ; F 2 e ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{e}}^{2n},Q;\mathbb {F} _{2^{e}})\cong \operatorname {Mat} (2^{n};\mathbb {F} _{2^{e}})} F 2 e {\displaystyle \mathbb {F} _{2^{e}}} 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 Q nondeg {\displaystyle Q_{\text{nondeg}}} 과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다. Q = Q nondeg ⊕ { diag ⁡ ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) diag ⁡ ( 0 , 0 , … , 0 , 0 ) {\displaystyle Q=Q_{\text{nondeg}}\oplus {\begin{cases}\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,1)\\\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,0)\end{cases}}} Cliff ⁡ ( diag ⁡ ( 0 , 0 , … , 0 , 0 ) ; F 2 e ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,0);\mathbb {F} _{2^{e}})} 및 Cliff ⁡ ( diag ⁡ ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) ; F 2 e {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,1);\mathbb {F} _{2^{e}}} 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( diag ⁡ ( 1 ) ; K ) = K [ x ] / ( x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} \left(\operatorname {diag} (1);K\right)=K[x]/(x^{2}+1)} 에서 y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} 로 놓으면 y 2 = 0 {\displaystyle y^{2}=0} 이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 Λ ( K ) = K [ y ] / ( y 2 ) {\displaystyle \Lambda (K)=K[y]/(y^{2})} 와 동형이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)} 는 특수한 경우 다음과 같다. 만약 Q = 0 {\displaystyle Q=0} 이라면 Cliff ⁡ ( V , 0 ; K ) = Λ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,0;K)=\Lambda (V;K)} 는 외대수이다. 만약 V = 0 {\displaystyle V=0} 이 자명 가군이며, Q = 0 {\displaystyle Q=0} 이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, Cliff ⁡ ( 0 , 0 ; K ) ≅ K {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,0;K)\cong K} 이다. 만약 V = K {\displaystyle V=K} 가 1차원 자유 가군이며, Q : k ↦ a k 2 {\displaystyle Q\colon k\mapsto ak^{2}} 라면, Cliff ⁡ ( K , Q ; K ) ≅ K [ x ] / ( x 2 − a ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (K,Q;K)\cong K[x]/(x^{2}-a)} 이다. 따라서, 이 경우는 a = Q ( 1 ) {\displaystyle a=Q(1)} 의 동치류 [ a ] ∈ K / K 2 {\displaystyle [a]\in K/K^{2}} 에 의하여 분류된다. 만약 추가로 K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면, K [ x ] / ( x 2 − a ) ≅ { K ⊕ K a ≠ 0 Λ ( K ) a = 0 {\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong {\begin{cases}K\oplus K&a\neq 0\\\Lambda (K)&a=0\end{cases}}} 이다. 구체적으로, a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 일 경우 y ± = 1 2 ( 1 ± x / a ) {\displaystyle y_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm x/{\sqrt {a}})} 를 정의한다면, y ± 2 = y ± {\displaystyle y_{\pm }^{2}=y_{\pm }} 이므로 K [ x ] / ( x 2 − a ) ≅ K y + ⊕ K y − {\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong Ky_{+}\oplus Ky_{-}} 가 된다. 체 K {\displaystyle K} 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수(영어: quaternion algebra, 프랑스어: algèbre de quaternions)라고 한다. 체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2 K {\displaystyle K} 위의 행렬환 Mat ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)} 과 동형이다. 후자의 경우, 분할 사원수형 대수(영어: split quaternion algebra, 프랑스어: algèbre de quaternions déployée)라고 한다. K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다. ( a , b K ) = Cliff ⁡ ( Span K ⁡ { i , j } , diag ⁡ ( a , b ) ; K ) = K ⟨ i , j ⟩ ( i 2 − a , j 2 − b , i j + j i ) ( deg ⁡ i = deg ⁡ j = 1 ) {\displaystyle \left({\frac {a,b}{K}}\right)=\operatorname {Cliff} \left(\operatorname {Span} _{K}\{i,j\},\operatorname {diag} (a,b);K\right)={\frac {K\langle i,j\rangle }{(i^{2}-a,j^{2}-b,ij+ji)}}\qquad (\deg i=\deg j=1)} 보통 (사원수와 마찬가지로) i j = − j i = k {\displaystyle ij=-ji=k} 로 표기한다. K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ( a , b K ) {\displaystyle ({\tfrac {a,b}{K}})} 가 분할 사원수형 대수이다. 힐베르트 기호 ( a , b ) K = 1 {\displaystyle (a,b)_{K}=1} 이다. 즉, z 2 = a x 2 + b y 2 {\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}} 의 해가 K {\displaystyle K} 에서 존재한다. 사원수의 환 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 실수체 위의 사원수형 대수 ( − 1 , − 1 K ) {\displaystyle ({\tfrac {-1,-1}{K}})} 이다. 복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 속의 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 위의 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 함수 f : U → Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) {\displaystyle f\colon U\to \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자 D = ∑ i = 1 n e i ∂ ∂ x i {\displaystyle D=\sum _{i=1}^{n}e_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}} 를 생각할 수 있다 ( e i {\displaystyle e_{i}} 는 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 정규 직교 기저). 만약 f {\displaystyle f} 가 0 = D → f = ∑ i = 1 n ∂ ∂ x i ( e i f ( x ) ) {\displaystyle 0={\overset {\rightarrow }{D}}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(e_{i}f(x))} 를 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 를 왼쪽 정칙 함수(영어: left holomorphic/monogenic/regular function)라고 하며, 만약 f {\displaystyle f} 가 0 = f D ← = ∑ i = 1 n ∂ ∂ x i ( f ( x ) e i ) {\displaystyle 0=f{\overset {\leftarrow }{D}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f(x)e_{i})} 를 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 를 오른쪽 정칙 함수(영어: right holomorphic/monogenic/regular function)라고 한다. 디랙 연산자의 제곱은 D 2 = ∑ i , j = 1 n e i e j ∂ 2 ∂ x i ∂ x j = − ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 = − ∇ 2 {\displaystyle D^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}e_{i}e_{j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}=-\nabla ^{2}} 이므로, i D {\displaystyle iD} 는 라플라스 연산자 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 의 일종의 제곱근이다. 클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉, 두 열린집합 V ⊆ cl ⁡ ( V ) ⊆ U ⊆ R n {\displaystyle V\subseteq \operatorname {cl} (V)\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 가 주어졌으며 ( cl ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {cl} (V)} 는 위상수학적 폐포) V {\displaystyle V} 는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며, 경계 ∂ V {\displaystyle \partial V} 가 조각별 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 미분 가능 다양체를 이루며, f , g : U → Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) {\displaystyle f,g\colon U\to \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )} 는 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 함수이며, f {\displaystyle f} 는 왼쪽 정칙 함수이며 g {\displaystyle g} 는 오른쪽 정칙 함수라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 0 = ∮ ∂ V g ( x ) n ^ ∂ V ( x ) f ( x ) d x n − 1 {\displaystyle 0=\oint _{\partial V}g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm {d} \!x^{n-1}} 여기서 n ^ ∂ V : ∂ V → R n ⊂ Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) {\displaystyle {\hat {n}}_{\partial V}\colon \partial V\to \mathbb {R} ^{n}\subset \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )} 는 ∂ V {\displaystyle \partial V} 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며, d x n − 1 {\displaystyle \mathrm {d} \!x^{n-1}} 는 ∂ V {\displaystyle \partial V} 위의 르베그 측도이다. 또한, 다음이 성립한다. f ( x 0 ) = 1 vol ⁡ ( S n − 1 ) ∮ ∂ V ( x − x 0 ) n ^ ∂ V ( x ) f ( x ) ‖ x − x 0 ‖ n d x n − 1 {\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {(x-x_{0}){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}} g ( x 0 ) = 1 vol ⁡ ( S n − 1 ) ∮ ∂ V g ( x ) n ^ ∂ V ( x ) ( x − x 0 ) ‖ x − x 0 ‖ n d x n − 1 {\displaystyle g(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)(x-x_{0})}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}} 여기서 vol ⁡ ( S n − 1 ) = 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) {\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}} 는 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 단위 초구의 넓이이다. 리만 구 C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환 z ↦ a z + b c z + d ( a , b , c , d ∈ C , a d − b c ≠ 0 ) {\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\qquad (a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\;ad-bc\neq 0)} 로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, S n = R n ^ {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}={\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}} 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )} 계수의 뫼비우스 변환 x ↦ a x + b c x + d ( a , b , c , d ∈ Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) ) {\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}\qquad \left(a,b,c,d\in \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )\right)} 으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬 ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} 를 등각 변환의 알포르스-팔렌 행렬(영어: Ahlfors–Vahlen matrix)이라고 한다. 2×2 행렬 M = ( a b c d ) ∈ Mat ⁡ ( 2 ; Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;\operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} ))} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:§7.5, 104 M {\displaystyle M} 은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, R n ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}} 위의 등각 변환을 정의한다. a c ⊤ , b d ⊤ ∈ R n {\displaystyle ac^{\top },bd^{\top }\in \mathbb {R} ^{n}} 이며, a d ⊤ − b c ⊤ ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle ad^{\top }-bc^{\top }\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} 이다. 특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.:§7.4, 103 ( a b c d ) − 1 = ( d ⊤ − b ⊤ − c ⊤ a ⊤ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}d^{\top }&-b^{\top }\\-c^{\top }&a^{\top }\end{pmatrix}}} 위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다. 양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} ( μ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mu =0,1,2,3} )들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( 4 ; C ) ≅ Mat ⁡ ( 4 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )} 를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}} 들은 { σ i , σ j } = 2 δ i j σ i {\displaystyle \{\sigma ^{i},\sigma ^{j}\}=2\delta ^{ij}\sigma ^{i}} 를 만족시키며, 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( 3 , 0 ; R ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (3,0;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )} 를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다. 영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회(영어: London Mathematical Society)에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉(영어: On the classification of geometric algebras)라는 제목의 강의를 하였으며, 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다. 루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.:220, §17.2 알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌(독일어: Karl Theodor Vahlen)이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스가 재발견하였다. 1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로(영어: Arnold Samuel Shapiro)는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다. 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