균등 수렴

해석학 및 일반위상수학에서 균등 수렴(均等收斂, 영어: uniform convergence) 또는 고른 수렴 또는 평등 수렴(平等收斂) 또는 일양 수렴(一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수의 열의 균등 극한은 연속 함수다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 함수의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} 이 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다고 하며, f {\displaystyle f} 를 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} 의 균등 극한이라고 한다. 임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in N} 이 존재한다. 임의의 n ≳ N ϵ {\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f n ( x ) ≈ ϵ f ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\approx _{\epsilon }f(x)} 이는 흔히 f n ⇉ f {\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f} 라고 쓴다. 예를 들어, 만약 Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } 가 실수선이며, 함수의 그물 ( f n : X → R ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }} 이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 임의의 n ≥ N ϵ {\displaystyle n\geq N_{\epsilon }} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, | f n ( x ) − f ( x ) | ≤ ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \epsilon } 사실, 균등 수렴은 함수 집합 Y X {\displaystyle Y^{X}} 의 균등 수렴 위상에서의 수렴이다. 특히, Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } 인 경우, 균등 수렴은 R X {\displaystyle \mathbb {R} ^{X}} 위에 균등 거리 함수 d ( f , g ) = sup x ∈ X | f ( x ) − g ( x ) | {\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|} 로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다. 집합 X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하고 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 를 공역으로 하는 함수의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 이 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 로 균등 수렴한다면, ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} 은 f {\displaystyle f} 로 점별 수렴한다. 집합 X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하고 아벨 위상군 ( Y , + ) {\displaystyle (Y,+)} 를 공역으로 하는 함수열 ( f n : X → Y ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }} 의 급수 ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 이 균등 수렴한다면, ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 는 상수 함수 0 : X → Y {\displaystyle 0\colon X\to Y} 로 균등 수렴한다. 집합 X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하고 완비 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 를 공역으로 하는 함수의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다. f n {\displaystyle f_{n}} 은 균등 수렴한다. f n {\displaystyle f_{n}} 은 ( Y X {\displaystyle Y^{X}} 의 균등 수렴 균등 구조에 대하여) 코시 그물이다. 즉, 임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in N} 이 존재한다. 임의의 m , n ≳ N ϵ {\displaystyle m,n\gtrsim N_{\epsilon }} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f m ( x ) ≈ ϵ f n ( x ) {\displaystyle f_{m}(x)\approx _{\epsilon }f_{n}(x)} (표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선 Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } 은 완비 균등 공간이다. 또한, 함수의 열 ( f n : X → Y ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }} 은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 임의의 m , n ≥ N ϵ {\displaystyle m,n\geq N_{\epsilon }} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, | f m ( x ) − f n ( x ) | ≤ ϵ {\displaystyle |f_{m}(x)-f_{n}(x)|\leq \epsilon } 만약 Y {\displaystyle Y} 의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, X {\displaystyle X} 가 한원소 집합인 경우를 생각할 수 있다. 균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법이 존재한다. 바이어슈트라스 M-판정법 균등 수렴에 대한 디리클레 판정법 균등 수렴에 대한 아벨 판정법 위상 공간 X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하고 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 를 공역으로 하는 연속 함수의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 이 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 로 균등 수렴한다면, f {\displaystyle f} 역시 연속 함수다. 증명: 임의의 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 및 임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 U ∋ x 0 {\displaystyle U\ni x_{0}} 을 찾아야 한다. 임의의 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 에 대하여, f ( x ) ≈ ϵ f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})} 다음을 만족시키는 측근 ϵ / 3 ∈ E Y {\displaystyle \epsilon /3\in {\mathcal {E}}_{Y}} 을 고르자. ( ϵ / 3 ) ∘ ( ϵ / 3 ) ∘ ( ϵ / 3 ) ⊂ ϵ {\displaystyle (\epsilon /3)\circ (\epsilon /3)\circ (\epsilon /3)\subset \epsilon } ( ϵ / 3 ) − 1 = ϵ / 3 {\displaystyle (\epsilon /3)^{-1}=\epsilon /3} 가정에 따라, 다음을 만족시키는 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in N} 이 존재한다. 임의의 n ≳ N ϵ {\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f n ( x ) ≈ ϵ / 3 f ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\approx _{\epsilon /3}f(x)} f N ϵ {\displaystyle f_{N_{\epsilon }}} 은 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 U ∋ x 0 {\displaystyle U\ni x_{0}} 이 존재한다. 임의의 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 에 대하여, f N ϵ ( x ) ≈ ϵ / 3 f N ϵ ( x 0 ) {\displaystyle f_{N_{\epsilon }}(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x_{0})} 이에 따라, 임의의 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 에 대하여, f ( x ) ≈ ϵ / 3 f N ϵ ( x ) ≈ ϵ / 3 f N ϵ ( x 0 ) ≈ ϵ / 3 f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x_{0})\approx _{\epsilon /3}f(x_{0})} 이므로 f ( x ) ≈ ϵ f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})} 이다. 반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 연속 함수의 단조 그물 ( f n : X → R ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in (N,\lesssim )}} . 즉, 다음 두 조건이 성립한다. (연속 함수의 그물) 모든 f n {\displaystyle f_{n}} 은 연속 함수다. (단조 그물) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 n ≲ n ′ {\displaystyle n\lesssim n'} 에 대하여, f n ( x ) ≤ f n ′ ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n'}(x)} 연속 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 디니 정리에 따르면, 만약 f n {\displaystyle f_{n}} 이 f {\displaystyle f} 로 점별 수렴한다면, f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다. 이는 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 공간이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수의 단조열 ( x ↦ x n ) : ( 0 , 1 ) → R {\displaystyle (x\mapsto x^{n})\colon (0,1)\to \mathbb {R} } ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수의 열 ( x ↦ n x exp ⁡ ( − n x 2 ) ) : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle (x\mapsto nx\exp(-nx^{2}))\colon [0,1]\to \mathbb {R} } 은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 증명: 임의의 양의 실수 ϵ ∈ R + {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}} 가 주어졌다고 하자. 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in N} 에 대하여, K ϵ , n = { x ∈ X : | f ( x ) − f n ( x ) | ≥ ϵ } ⊆ X {\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\{x\in X\colon |f(x)-f_{n}(x)|\geq \epsilon \}\subseteq X} 라고 정의하자. K ϵ , n {\displaystyle K_{\epsilon ,n}} 은 콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 의 닫힌집합이며, 따라서 콤팩트 집합이다. 임의의 n ≲ n ′ {\displaystyle n\lesssim n'} 에 대하여, | f ( x ) − f n ( x ) | = f ( x ) − f n ( x ) ≳ f ( x ) − f n ′ ( x ) = | f ( x ) − f n ′ ( x ) | {\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|=f(x)-f_{n}(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)|} 이므로, K n ⊃ K n ′ {\displaystyle K_{n}\supset K_{n'}} 이다. 따라서 ( K ϵ , n ) n ∈ N {\displaystyle (K_{\epsilon ,n})_{n\in N}} 은 하향 집합을 이룬다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, ( f n ( x ) ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in N}} 이 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 로 수렴하므로, x ∉ K ϵ , n {\displaystyle x\not \in K_{\epsilon ,n}} 인 n ∈ N {\displaystyle n\in N} 이 존재한다. 즉, ⋂ n ∈ N K ϵ , n = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in N}K_{\epsilon ,n}=\varnothing } 이다. 칸토어 교점 정리에 따라, K ϵ , N ϵ = ∅ {\displaystyle K_{\epsilon ,N_{\epsilon }}=\varnothing } 인 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in N} 이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의 n ≳ N ϵ {\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }} 에 대하여 K ϵ , n = ∅ {\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\varnothing } 이다. 즉, ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} 은 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다. 리만 적분 가능 함수의 열 ( f n : [ a , b ] → R ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }} 이 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 로 균등 수렴한다면, f {\displaystyle f} 역시 리만 적분 가능 함수이며, 또한 ∫ a b f d x = lim n → ∞ ∫ a b f n d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx} 이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 미분 가능 함수의 열 ( f n : [ a , b ] → R ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }} 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. lim n → ∞ f n ( x 0 ) ∈ R {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})\in \mathbb {R} } 이 존재하는 x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,b]} 가 존재한다. f n ′ {\displaystyle f_{n}'} 은 g {\displaystyle g} 로 균등 수렴한다. 그렇다면, 다음이 성립한다. f n {\displaystyle f_{n}} 은 어떤 미분 가능 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 로 균등 수렴한다. f ′ = g {\displaystyle f'=g} 복소평면의 열린집합 U ⊆ C {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } 를 정의역으로 하는 복소수 값 정칙 함수의 열 ( f n : U → C ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon U\to \mathbb {C} )_{n\in \mathbb {N} }} 이 함수 f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } 로 균등 수렴한다면, f {\displaystyle f} 는 정칙 함수다. 이는 모레라 정리의 따름정리다. 함수열 f n : [ 0 , 1 ] → R ( n ∈ Z + ) {\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} \qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 을 생각하자. 만약 f n ( x ) = x / n ( ∀ n ∈ Z + , x ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle f_{n}(x)=x/n\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])} 라면, f n {\displaystyle f_{n}} 은 0으로 균등 수렴한다. 반면, 만약 f n ( x ) = x n ( ∀ n ∈ Z + , x ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])} 라면, f n {\displaystyle f_{n}} 은 함수 f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} } f ( x ) = { 0 x ∈ [ 0 , 1 ) 1 x = 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}} 로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지 않는다. Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform convergence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Uniform convergence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.