슈윙거-다이슨 방정식

양자장론에서 슈윙거-다이슨 방정식(영어: Schwinger–Dyson equation)은 오일러-라그랑주 방정식에 양자역학적 보정항을 추가한 방정식이다. 슈윙거-다이슨 방정식은 경로 적분을 통해 유도할 수 있다.:306–308 장 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 에 대한 범함수 X [ ϕ ] = X ( ϕ , ∂ μ ϕ , ∂ μ ∂ ν ϕ , … ) {\displaystyle X[\phi ]=X(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi ,\dots )} 의 변분은 다음과 같다. δ X [ ϕ ] δ ϕ = ∂ X ∂ ϕ − ∂ μ ∂ X ∂ ( ∂ μ ϕ ) + ∂ μ ∂ ν ∂ X ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ⋯ {\displaystyle {\frac {\delta X[\phi ]}{\delta \phi }}={\frac {\partial X}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial X}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}+\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\frac {\partial X}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots } 경로 적분의 측도 D ϕ {\displaystyle D\phi } 가 변수의 재정의 ϕ ↦ ϕ + δ ϕ {\displaystyle \phi \mapsto \phi +\delta \phi } 에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, 임의의 연산자 X [ ϕ ] {\displaystyle X[\phi ]} 에 대하여, 0 = ∫ D ϕ δ ( X exp ⁡ ( i S / ℏ ) ) = ∫ D ϕ exp ⁡ ( i ℏ S ) ( δ X + i X δ S / ℏ ) {\displaystyle 0=\int D\phi \,\delta (X\exp(iS/\hbar ))=\int D\phi \,\exp(i\hbar S)(\delta X+iX\delta S/\hbar )} 이다. 이를 연산자로 쓰면 다음과 같다. 임의의 상태 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 에 대하여, ⟨ ψ | T [ X δ S ] | ψ ⟩ = − i ℏ ⟨ ψ | T [ δ X ] | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}[X\delta S]|\psi \rangle =-i\hbar \langle \psi |{\mathcal {T}}[\delta X]|\psi \rangle } 이를 슈윙거-다이슨 방정식이라고 한다. 여기서 T [ ⋯ ] {\displaystyle {\mathcal {T}}[\cdots ]} 는 시간 순서 연산자이다. 이는 고전적 오일러-라그랑주 방정식 δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} 의 양자장론적 일반화이며, 우변 ℏ ⟨ T [ δ X ] ⟩ {\displaystyle \hbar \langle {\mathcal {T}}[\delta X]\rangle } 은 양자역학적인 보정항에 해당한다. 예를 들어, X = ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) ⋯ ϕ ( x n ) {\displaystyle X=\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})} 이라고 하자. 그렇다면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다. ⟨ ψ | T [ ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) ⋯ ϕ ( x n ) ( ∂ S ∂ ϕ ( x ) − ∂ μ ∂ S ∂ ( ∂ μ ϕ ( x ) ) + ⋯ ) ] | ψ ⟩ = − i ∑ i = 1 n δ ( x − x i ) ⟨ ψ | T [ ϕ ( x 1 ) ⋯ ϕ ( x i − 1 ) ϕ ( x i + 1 ) ⋯ ϕ ( x n ) ] | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\left({\frac {\partial S}{\partial \phi (x)}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial S}{\partial (\partial _{\mu }\phi (x))}}+\cdots \right)\right]|\psi \rangle =-i\sum _{i=1}^{n}\delta (x-x_{i})\langle \psi |{\mathcal {T}}[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{i-1})\phi (x_{i+1})\cdots \phi (x_{n})]|\psi \rangle } 임의의 n점 상관 함수 X = ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) ⋯ ϕ ( x n ) {\displaystyle X=\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})} 에 대하여 슈윙거-다이슨 방정식을 적을 수 있다. 이들 방정식들을 하나로 모아 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식(영어: Schwinger–Dyson master equation)으로 적을 수 있다. 우선, 어떤 고전적 샘장 J ( x ) {\displaystyle J(x)} 을 추가하여, 작용이 S + ∫ d d x ϕ ( x ) J ( x ) {\displaystyle S+\int d^{d}x\,\phi (x)J(x)} 이라고 하자. 이 경우, 추가로 연산자를 삽입하지 않으면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다. 0 = i ⟨ ψ | T [ δ S δ ϕ ( x ) + J ( x ) ] | ψ ⟩ J = ∫ D ϕ exp ⁡ ( i S + i ∫ ϕ J ) ( J ( x ) + i δ S δ ϕ ( x ) ) = ( i J ( x ) + i δ S δ ϕ ( x ) [ − i δ δ J ( x ) ] ) ∫ D ϕ exp ⁡ ( i S + i ∫ ϕ J ) {\displaystyle 0=i\langle \psi |{\mathcal {T}}\left[{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}+J(x)\right]|\psi \rangle _{J}=\int D\phi \,\exp(iS+i\int \phi J)\left(J(x)+i{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\right)=\left(iJ(x)+i{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}\right]\right)\int D\phi \,\exp(iS+i\int \phi J)} 여기서 δ S δ ϕ [ − i δ δ J ] {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]} 는 δ S / δ ϕ ( x ) {\displaystyle \delta S/\delta \phi (x)} 에서 모든 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 를 − i δ / δ J ( x ) {\displaystyle -i\delta /\delta J(x)} 로 치환한 것이다. 즉, 이를 분배 함수 Z [ J ] = ∫ D ϕ exp ⁡ ( i S + ∫ ϕ J ) {\displaystyle Z[J]=\int D\phi \,\exp(iS+\int \phi J)} 로 쓰면 다음과 같다. ( J ( x ) + δ S δ ϕ ( x ) [ − i δ δ J ( x ) ] ) Z [ J ] = 0 {\displaystyle \left(J(x)+{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}\right]\right)Z[J]=0} 이를 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식이라고 하며, J ( x ) {\displaystyle J(x)} 에 대하여 테일러 급수로 전개하면 n점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻는다. 프리먼 다이슨과 줄리언 슈윙거 가 도입하였다. 경로 적분 공식화 Peskin, Michael E.; Daniel V. Schroeder (1995년 10월). 《An Introduction to Quantum Field Theory》 (영어). Westview Press. ISBN 0-201-50397-2. 2014년 9월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 7월 4일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Dyson, F. (1949). “The S matrix in quantum electrodynamics”. 《Physical Review》 (영어) 75: 1736. Bibcode:1949PhRv...75.1736D. doi:10.1103/PhysRev.75.1736.  Schwinger, J. (1951). “On the Green’s functions of quantized fields I”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 37 (7): 452–455. Bibcode:1951PNAS...37..452S. doi:10.1073/pnas.37.7.452.  Schwinger, J. (1951). “On the Green’s functions of quantized fields II”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 37 (7): 455–459. Bibcode:1951PNAS...37..455S. doi:10.1073/pnas.37.7.455.  Swanson, Eric S. (2010년 11월 12일). 〈A primer on functional methods and the Schwinger–Dyson equations〉. 《XI Hadron Physics》. AIP Conference Proceedings (영어) 1296. 75–121쪽. arXiv:1008.4337. Bibcode:2010AIPC.1296...75S. doi:10.1063/1.3523221. ISBN 978-0-7354-0848-7.  Kreimer, Dirk (2007). 〈Dyson–Schwinger equations: from Hopf algebras to number theory〉. 《Universality and Renormalization》. Fields Institute Communications (영어) 50. American Mathematical Society. 225–248쪽. arXiv:hep-th/0609004. Bibcode:2006hep.th....9004K.  Roberts, C. D.; A. G. Williams. “Dyson–Schwinger equations and the application to hadronic physics” (영어). arXiv:hep-ph/9403224.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Roberts, Craig D. “Strong QCD and Dyson–Schwinger equations” (영어). arXiv:1203.5341.