변수 변환

수학에서 변수 변환(變數變換, 영어: change of variables)은 하나 또는 여러 개의 항으로 이루어진 식을 하나의 변수 또는 식으로 바꾸는 과정으로, 대개 교과서에서는 치환이라고 부르며, 계산을 간단하고 유용하게 하거나 어떤 명제를 증명하기 위해 필요한 과정이다. 다항식의 변수를 다른 변수로 대신하는 기법은 다항 방정식의 근을 구하거나 다항식의 성질을 연구할 때 유용하다. 이러한 변수 변환의 한 가지 예는 다음과 같다. 다항식 f ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}-1} 에 변수 변환 x = 2 t + 1 {\displaystyle x=2t+1} 를 적용하면 f ( 2 t + 1 ) = ( 2 t + 1 ) 2 − 1 = 4 t 2 + 4 t {\displaystyle f(2t+1)=(2t+1)^{2}-1=4t^{2}+4t} 가 된다. 이러한 기법의 한 가지 응용은 다음과 같다. 무리 방정식 x + x + 1 − 1 = 0 {\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0} 의 근을 구하는 과정에서, 변수 변환 x + 1 = t {\displaystyle {\sqrt {x+1}}=t} 를 사용할 수 있다. 이를 대입하여 식을 다시 정리하면 이차 방정식 t 2 + t − 2 = 0 {\displaystyle t^{2}+t-2=0} 으로 전환된다. 이 이차 방정식의 근은 t = 1 , − 2 {\displaystyle t=1,-2} 인데, t = x + 1 ≥ 0 {\displaystyle t={\sqrt {x+1}}\geq 0} 이어야 하므로, t = − 2 {\displaystyle t=-2} 는 무연근이다. 즉, t = 1 {\displaystyle t=1} 만을 취한다. 다시 x + 1 = 1 {\displaystyle {\sqrt {x+1}}=1} 로부터 x {\displaystyle x} 를 풀면 원래의 무리 방정식의 근 x = 0 {\displaystyle x=0} 이 나온다. 상반 방정식의 풀이에서 자주 사용되는 변수 변환은 x + 1 x = t {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=t} 이다. 예를 들어, 4차 상반 방정식 a x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + a ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a\qquad (a\neq 0)} 은 양변을 x 2 {\displaystyle x^{2}} 로 나누면 a x 2 + b x + c + b x + a x 2 = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c+{\frac {b}{x}}+{\frac {a}{x^{2}}}=0} 를 얻으며, 더 정리하면 a ( x 2 + 1 x 2 ) + b ( x + 1 x ) + c = 0 {\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+b\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+c=0} 을 얻는다. 위의 변수 변환은 이를 a ( t 2 − 2 ) + b t + c = 0 {\displaystyle a(t^{2}-2)+bt+c=0} 로 전환시키며, 이로부터 둘 이하의 t ∈ ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 2 , ∞ ) {\displaystyle t\in (-\infty ,2]\cup [2,\infty )} 를 푼 뒤, 다시 t = x + 1 x {\displaystyle t=x+{\frac {1}{x}}} 에 대입하여 얻는 둘 이하의 방정식으로부터 각각 둘 이하의 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} 을 풀면, 원래의 상반 방정식의 넷 이하의 근을 얻는다. 또 한 가지 응용은 다항식 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} 이 기약 다항식인지를 판단하는 과정에서, 변수 변환 x = y + 1 {\displaystyle x=y+1} 를 사용하는 것이다. 이 변수 변환은 기약 다항식의 기약성과 비기약성을 보존한다. 그러면 이 다항식은 7-아이젠슈타인 다항식 y 6 + 7 y 5 + 21 y 4 + 35 y 3 + 35 y 2 + 21 y + 7 {\displaystyle y^{6}+7y^{5}+21y^{4}+35y^{3}+35y^{2}+21y+7} 로 전환되므로, 전환된 다항식은 기약 다항식이며, 따라서 원래의 다항식 역시 기약 다항식이다. 정적분 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} 의 계산에서, 직접적인 계산보다 치환 적분을 통한 계산이 더 간편할 때가 많다. 이 경우에 변수 변환 x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} 을 적용한 결과는 ∫ x − 1 ( a ) x − 1 ( b ) f ( x ( t ) ) d x d t d t {\displaystyle \int _{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)}f(x(t)){\frac {dx}{dt}}dt} 이다. 한 가지 구체적인 예는 다음과 같다. ∫ 1 2 ln ⁡ x x d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 t d t = 1 2 ln 2 ⁡ 2 {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {\ln x}{x}}dx=\int _{0}^{\ln 2}tdt={\frac {1}{2}}\ln ^{2}2} 여기서 사용한 변수 변환은 x = e t {\displaystyle x=e^{t}} 이다. 그 밖에도 삼각 치환 · 쌍곡 치환 · 바이어슈트라스 치환 · 오일러 치환이 사용된다. 중적분 ∬ ⋯ ∫ D f ( x 1 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \iint \cdots \int _{D}f(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}} 을 변수 변환 x 1 = x 1 ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle x_{1}=x_{1}(t_{1},\dots ,t_{n})} ⋮ {\displaystyle \vdots } x n = x n ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle x_{n}=x_{n}(t_{1},\dots ,t_{n})} 에 의하여 계산하는 공식은 ∬ ⋯ ∫ D f ( x 1 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n = ∬ ⋯ ∫ x − 1 ( D ) f ( x 1 ( t 1 , … , t n ) , … , x n ( t 1 , … , t n ) ) | det ∂ ( x 1 , … , x n ) ∂ ( t 1 , … , x n ) | d t 1 ⋯ d t n {\displaystyle \iint \cdots \int _{D}f(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=\iint \cdots \int _{x^{-1}(D)}f(x_{1}(t_{1},\dots ,t_{n}),\dots ,x_{n}(t_{1},\dots ,t_{n}))\left|\det {\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (t_{1},\dots ,x_{n})}}\right|dt_{1}\cdots dt_{n}} 이다. 한 가지 예는 다음과 같다. ∬ x 2 + y 2 ≤ 9 x 2 + y 2 d x d y = ∬ 0 ≤ r ≤ 3 0 ≤ θ ≤ 2 π r 2 d r d θ = ∫ 0 3 r 2 d r ∫ 0 2 π d θ = 18 π {\displaystyle \;\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq 9}x^{2}+y^{2}dxdy=\iint \limits _{{0\leq r\leq 3} \atop {0\leq \theta \leq 2\pi }}r^{2}drd\theta =\int _{0}^{3}r^{2}dr\int _{0}^{2\pi }d\theta =18\pi } 여기서 사용한 변수 변환은 극좌표 변환 x = r cos ⁡ θ {\displaystyle x=r\cos \theta } y = r sin ⁡ θ {\displaystyle y=r\sin \theta } 이다. 대입 丘维声 (2003년 8월). 《高等代数. 下册》 (중국어) 2판. 北京: 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-011877-3.  “Change of variables in an integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Change of variables theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Change of integration variables”. 《nLab》 (영어).  “Change of variable in definite integral”. 《PlanetMath》 (영어).  “Change of variables in integral on Rn”. 《PlanetMath》 (영어).  “Change of variables in summation over finite set”. 《ProofWiki》 (영어).  “Change of variables in indexed summation”. 《ProofWiki》 (영어).