바나흐-타르스키 역설

바나흐-타르스키 역설(영어: Banach–Tarski paradox)은 집합론 기하학의 정리 중 하나로, 3차원 상의 공을 유한 개의 조각으로 잘라서, 변형 없이 순수 공간이동만으로 재조합하면 원래 공과 같은 부피를 갖는 공 두 개를 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 최소 5개 조각으로 만드는 것이 가능하다. 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키에 의해 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명되었다. 이 때 공을 유한 개의 부분집합으로 분할할 때의 각 부분집합은 르베그 비가측 집합이다. 이 정리의 강력한 형태는 큰 공과 작은 공과 같은 적당한 두 단단한 물체 중 하나를 적당한 조각으로 잘라서 다른 물체로 재조립할 수 있다는 정리이다. 이를 영미권에서는 종종 "완두콩을 잘개 썰어 재조립하면 태양을 만들 수 있다"라고 인용하기 때문에 완두콩과 태양 역설(pea and the Sun paradox)이라고 부르기도 한다. 바나흐-타르스키 정리가 "역설"이라고 불리는 이유는 기본적으로 기하학적 직관과는 어긋나는 결과이기 때문이다. 공을 변형하거나, 늘어나게 하거나 새로운 점을 더하지 않은 채 오직 여러 조각으로 쪼갠 후 회전 및 평행 이동만을 통해 "공을 두배로 만드게 하는 것"은 부피를 그대로 유지한 채 시행하라고 들리기 때문에 일견 불가능하게 들린다. 회전과 이동이 부피를 보존한다는 직관은 수학적으로 어긋나지 않으며 고전적인 부피의 개념에도 합당하다. 하지만 바나흐-타르스키 정리의 경우에는 자를 때 하위 집합, 즉 각 조각의 부피를 정의할 수 없으므로 고전적인 부피의 정의를 적용할 수 없다. 이 경우 재조립 시 '부피'라고 말하는 값이 늘어나서 조립하기 전과 후의 '부피'가 달라지는 경우가 발생한다. 이 역설의 결과를 증명할 때에는 선택 공리가 반드시 필요하다. 선택공리가 없을 경우(체르멜로-프렝켈 집합론)나, 선택 공리 대신 의존적 선택 공리를 사용할 경우 정리가 성립하지 않는다. 1924년 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 공동 논문에서 주세페 비탈리의 단위간격에 대한 비탈리 집합 연구 및 펠릭스 하우스도르프의 구의 역설적인 분해 연구를 바탕으로 일련의 역설적 분해(paradoxical decomposition)를 구성하고 다양한 차원에서 유클리드 공간의 부분집합 분해에 대한 질문을 논의했다. 여기서 이 둘은 좀 더 강력한 형태인 강한 바나흐-타르스키 역설을 다음과 같이 제시하였다. 최소 3차원 이상의 유클리드 공간에 있는 임의의 두 유계 부분집합 A와 B가 둘 모두가 비어있지 않은 내부를 가지고 있으면, A와 B 둘을 유한한 서로소 부분집합 A = A 1 ∪ ⋯ ∪ A k {\displaystyle A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}} , B = B 1 ∪ ⋯ ∪ B k {\displaystyle B=B_{1}\cup \cdots \cup B_{k}} (k는 임의의 정수)로 분해할 때, 1과 k 사이 임의의 (정수) i에 대하여 Ai와 Bi 두 집합은 합동이다. 여기서 A는 원래의 구, B는 원래의 구에서 적절한 변환을 통해 2개가 된 구의 합집합이다. 즉 위 말에 따르면 원래의 구 A를 유한 개의 조각으로 자른 후 회전 및 평행이동을 통해 B 전체집합으로 바꿀 수 있으며 B는 A 구 2개가 들어있는 형태이다. 강한 바나흐-타르스키 역설은 1, 2차원에서 거짓임이 드러났으나, 바나흐와 타르스키는 가산 가능한 많은 부분집합이 허용될 경우 비슷한 논제가 참이라는 것을 증명하였다. 1, 2차원에서의 논제의 참 여부와 3차원 이상에서 논제의 참 여부가 달라지는 이유는 고차원에서는 n = 1, 2의 가해군에 n ≥ 3 이상에서 2개 계수를 가진 자유군을 포함하여 유클리드 이동 E(n)의 구조가 더 풍부해지기 때문이다. 수학자 존 폰 노이만은 "역설적인 분해"를 가능하게 만드는 등가군의 특성을 연구하고 종순군에 대한 개념을 도입하였다. 또한 폰 노이만은 일반적인 기하학적 합동 대신 아핀 변환을 이용한 공간에서 바나흐-타르스키 역설의 한 형태가 나옴을 발견하였다. 알프레트 타르스키는 종순군은 "역설적인 분해"가 존재하지 않는 군임을 증명했다. 바나흐-타르스키 역설에서는 자유 부분군만 필요하기 때문에 오랫동안 풀리지 않은 폰 노이만 추측이 이 역설에서 나왔다. 폰 노이만 역설 폰 노이만 추측 Tao, Terence (2011). “An introduction to measure theory” (PDF): 3. 2020년 5월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 5월 6일에 확인함.  Wagon, Corollary 13.3 Banach, Stefan; Tarski, Alfred (1924). “Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 6: 244–277.  Banach, Stefan; Tarski, Alfred (1924). Review at JFM. “Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 6: 244–277.  Churkin, V. A. (2010). “A continuous version of the Hausdorff–Banach–Tarski paradox”. 《Algebra and Logic》 49 (1): 91–98. doi:10.1007/s10469-010-9080-y.  Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination, pp 205–7, Simon & Schuster. Kuro5hin. “Layman's Guide to the Banach–Tarski Paradox”.  Stromberg, Karl (March 1979). “The Banach–Tarski paradox”. 《The American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) 86 (3): 151–161. doi:10.2307/2321514. JSTOR 2321514.  Su, Francis E. “The Banach–Tarski Paradox” (PDF). 2006년 6월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 5월 27일에 확인함.  von Neumann, John (1929). “Zur allgemeinen Theorie des Masses” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 13: 73–116.  Wagon, Stan (1994). 《The Banach–Tarski Paradox》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-45704-1.  Wapner, Leonard M. (2005). 《The Pea and the Sun: A Mathematical Paradox》. Wellesley, Mass.: A.K. Peters. ISBN 1-56881-213-2.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 바나흐-타르스키 역설 The Banach-Tarski Paradox by Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project. Irregular Webcomic! #2339 by David Morgan-Mar provides a non-technical explanation of the paradox. It includes a step-by-step demonstration of how to create two spheres from one. Vsauce. “The Banach–Tarski Paradox” – YouTube 경유  gives an overview on the fundamental basics of the paradox.