천 지표

대수적 위상수학에서 천 지표([陳]指標, 영어: Chern character)는 복소수 벡터 다발에 대응되는 유리수 계수 특성류이다. 위상 K이론에서 (유리수 계수) 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그 위의 유리수 계수 호몰로지 군 H ∙ ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 은 유리수 벡터 공간이다. 이 경우, H ∙ ⁡ ( X ; Q ) ⏞ {\displaystyle \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} } 가 그 속의 (형식적) 가산 무한 합들의 유리수 벡터 공간이라고 하자. 즉, H ∙ ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 의 임의의 기저 ( α i ) I ∈ I {\displaystyle (\alpha _{i})_{I\in I}} 를 잡으면 H ∙ ⁡ ( X ; Q ) ≅ ⨁ i ∈ I Q {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} } 인데, H ∙ ⁡ ( X ; Q ) ⏞ = ∏ i ∈ I Q {\displaystyle \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} =\prod _{i\in I}\mathbb {Q} } 로 정의하자. (만약 H ∙ ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 가 유한 차원이라면, 즉 만약 I {\displaystyle I} 가 유한 집합이라면, H ∙ ⁡ ( X ; Q ) ⏞ = H ∙ ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} =\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} 이다.) X {\displaystyle X} 위의 복소수 선다발 L {\displaystyle L} 의 천 지표는 1차 천 특성류의 (형식적) 지수 함수다. 즉, 다음과 같다. ch ⁡ ( L ) = exp ⁡ ( c 1 ( L ) ) = ∑ i = 0 ∞ 1 i ! c 1 ⁡ ( L ) i ∈ H ∙ ⁡ ( X ; Q ) ⏞ {\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L))=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\operatorname {c} _{1}(L)^{i}\in \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} } 일반적인 복소수 벡터 다발은 분할 원리에 따라 선다발의 합 E = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}} 인 것처럼 여길 수 있으며, 천 특성류는 이에 따라 다음과 같다. ch ⁡ ( E ) = ∑ i = 1 n exp ⁡ ( c 1 ( L i ) ) {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\sum _{i=1}^{n}\exp(c_{1}(L_{i}))} 분할 원리를 통해 얻는 표현을 그냥 직접적으로 천 지표의 정의로 놓을 수도 있다. 이에 따라, 천 지표는 구체적으로 다음과 같다. ch ⁡ ( E ) = dim C ⁡ E + c 1 ⁡ ( E ) + 1 2 ( c 1 ⁡ ( E ) − 2 c 2 ⁡ ( E ) ) + 1 6 ( c 1 ⁡ ( E ) 3 − 3 c 1 ⁡ ( E ) c 2 ⁡ ( E ) + 3 c 3 ⁡ ( E ) ) + ⋯ {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\dim _{\mathbb {C} }E+\operatorname {c} _{1}(E)+{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {c} _{1}(E)-2\operatorname {c} _{2}(E)\right)+{\frac {1}{6}}\left(\operatorname {c} _{1}(E)^{3}-3\operatorname {c} _{1}(E)\operatorname {c} _{2}(E)+3\operatorname {c} _{3}(E)\right)+\cdots } 여기서 c i ⁡ ( E ) ∈ H i ⁡ ( E ; Q ) {\displaystyle \operatorname {c} _{i}(E)\in \operatorname {H} ^{i}(E;\mathbb {Q} )} 는 유리수 계수 2 i {\displaystyle 2i} 차 천 특성류이다. (정수 계수로 정의되는 천 특성류와 달리 천 지표는 유리수 계수만으로 정의된다.) 만약 X {\displaystyle X} 가 매끄러운 다양체이며, 그 위의 n {\displaystyle n} 차원 복소수 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 코쥘 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 를 가졌을 경우, 천-베유 준동형을 통해 복소수 계수 천 지표는 다음과 같은 표현으로 주어진다. ch ⁡ ( E ) = [ tr ⁡ exp ⁡ i F ∇ 2 π ] {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\left[\operatorname {tr} \exp {\frac {\mathrm {i} F_{\nabla }}{2\pi }}\right]} 여기서 F ∇ ∈ Ω 2 ( X ; End C ⁡ ( E ) ) {\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(X;\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(E))} 는 ∇ {\displaystyle \nabla } 의 리만 곡률이며, End C ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {C} }(E)} 값 2차 미분 형식이다. exp {\displaystyle \exp } 는 H ∙ ⁡ ( X ; Q ) ⏞ {\displaystyle \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} } 속의 형식적 지수 함수이다. 즉, End C ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {C} }(E)} 성분은 합성하고, 2차 미분 형식 성분은 쐐기곱을 취한다. (만약 X {\displaystyle X} 가 추가로 콤팩트 공간이라면 n {\displaystyle n} 차 초과의 베티 수가 0이므로 이 급수는 유한하다.) tr : Ω ∙ ( X ; End ⁡ ( E ) ) → Ω ∙ ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {tr} \colon \Omega ^{\bullet }(X;\operatorname {End} (E))\to \Omega ^{\bullet }(X;\mathbb {C} )} 는 exp ⁡ ( i F ∇ / 2 π ) ∈ Ω ∙ ( X ; End ⁡ ( E ) ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} F_{\nabla }/2\pi )\in \Omega ^{\bullet }(X;\operatorname {End} (E))} 에서 End ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {End} (E)} 성분의 대각합을 취하는 연산이다. [ − ] : Ω ∙ ( M ; C ) → H ∙ ⁡ ( M ; C ) {\displaystyle [-]\colon \Omega ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )} 는 드람 코호몰로지에서 미분 형식에 대응하는 코호몰로지류를 취하는 연산이다. 천 지표는 (복소수) 위상 K이론에서 유리수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다. ch : K ⁡ ( X ) → H ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle \operatorname {ch} \colon \operatorname {K} (X)\to \operatorname {H} (X;\mathbb {Q} )} 즉, 같은 위상 공간 위의 두 복소수 벡터 다발에 대하여 다음이 성립한다. ch ⁡ ( E ⊕ F ) = ch ⁡ ( E ) + ch ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F)} ch ⁡ ( E ⊗ F ) = ch ⁡ ( E ) ⌣ ch ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\smile \operatorname {ch} (F)} 또한, 임의의 벡터 다발 짧은 완전열 0 → E → F → F / E → 0 {\displaystyle 0\to E\to F\to F/E\to 0} 에 대하여 다음이 성립한다. ch ⁡ ( E ) + ch ⁡ ( F / E ) = ch ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F/E)=\operatorname {ch} (F)} 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 17일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 17일에 확인함.  “Chern character”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Chern character”. 《nLab》 (영어).  “Explanation for the Chern character” (영어). Math Overflow. 2017년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 17일에 확인함.  Siegel, Charles (2009년 11월 6일). “Chern character and K-theory”. 《Rigorous Trivialities》 (영어). 2017년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 17일에 확인함.