삼차 형식

대수기하학과 대수적 수론에서, 삼차 형식(三次型式, 영어: cubic form)은 어떤 벡터 공간 또는 가군 위에 정의된 3차 동차 다항식이다. 즉, 선형 형식과 이차 형식의 다음 차수의 동차 다항식이다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. α − β ⊆ Unit ⁡ ( K ) {\displaystyle \alpha -\beta \subseteq \operatorname {Unit} (K)} 인 α , β ∈ Unit ⁡ ( K ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {Unit} (K)} 가 존재한다. 여기서 Unit ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Unit} (K)} 는 K {\displaystyle K} 의 가역원군이다. 특히, 만약 K {\displaystyle K} 에서 ½이 존재한다면, 이 조건이 충족된다. 이 경우 ( α , β ) = ( + 1 , − 1 ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )=(+1,-1)} 을 잡을 수 있다. 이 경우, K {\displaystyle K} -자유 가군 M {\displaystyle M} 위의 삼차 형식은 다음 조건을 만족시키는 함수 f : K → M {\displaystyle f\colon K\to M} 이다. f ( α x ) = α 3 f ( x ) ∀ α ∈ K , x ∈ M {\displaystyle f(\alpha x)=\alpha ^{3}f(x)\qquad \forall \alpha \in K,\;x\in M} 일반적으로 삼차 형식의 분해를 잘 정의하기 위해서는 삼차 형식의 함수 말고도 스칼라 확대를 잘 정의하는 추가 데이터가 필요하다.:187–188, §Ⅱ.4.1 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 M {\displaystyle M} 위의 삼차 형식은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 함수 f : M → K {\displaystyle f\colon M\to K} 함수 f ~ : M ⊗ K K [ t ] → K [ t ] {\displaystyle {\tilde {f}}\colon M\otimes _{K}K[t]\to K[t]} 이는 다음과 같은 호환 관계를 만족켜야 한다. f ( α x ) = α 3 f ( x ) ∀ α ∈ K , x ∈ M {\displaystyle f(\alpha x)=\alpha ^{3}f(x)\qquad \forall \alpha \in K,\;x\in M} f ( α ~ x ~ ) = α ~ 3 f ~ ( x ~ ) ∀ α ~ ∈ K [ t ] , x ~ ∈ M ⊗ K K [ t ] {\displaystyle f({\tilde {\alpha }}{\tilde {x}})={\tilde {\alpha }}^{3}{\tilde {f}}({\tilde {x}})\qquad \forall {\tilde {\alpha }}\in K[t],\;{\tilde {x}}\in M\otimes _{K}K[t]} ι K → K [ t ] ∘ f = f ∘ ι M → M ⊗ K K [ t ] {\displaystyle \iota _{K\to K[t]}\circ f=f\circ \iota _{M\to M\otimes _{K}K[t]}} . 여기서 ι K → K [ t ] : K → K [ t ] {\displaystyle \iota _{K\to K[t]}\colon K\to K[t]} 및 <mah>\iota_{M\to M\otimes_KK[t]} \colon M \to M\otimes_KK[t]</math>는 다항식환의 상수 다항식으로 가는 단사 환 준동형 또는 가군 준동형이다. 만약 K {\displaystyle K} 가 “충분히 크다면” (즉, 첫째 정의에 등장하는 조건을 만족시킨다면), f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} 를 f {\displaystyle f} 로부터 재구성할 수 있으나, 이는 일반적으로 성립하지 못할 수 있다. 삼차 형식 f : M → K {\displaystyle f\colon M\to K} 가 주어졌을 때, f {\displaystyle f} 를 f ( λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 ) = λ 1 λ 2 λ 3 A ( x 1 , x 2 , x 3 ) + ∑ i , j = 1 3 λ i 2 λ j B ( x i , x j ) + ∑ i = 1 3 λ i 3 f ( x i ) {\displaystyle f(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}A(x_{1},x_{2},x_{3})+\sum _{i,j=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\lambda _{j}B(x_{i},x_{j})+\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{3}f(x_{i})} 와 같이 분해할 수 있다. 여기서 A {\displaystyle A} 는 가군 준동형 A : Sym 3 ⁡ ( M ; K ) → K {\displaystyle A\colon \operatorname {Sym} ^{3}(M;K)\to K} 을 정의하며, A ( x , y , z ) = B ( x + z , y ) − B ( x , y ) − B ( z , y ) {\displaystyle A(x,y,z)=B(x+z,y)-B(x,y)-B(z,y)} A ( x , y , x ) = 2 B ( x , y ) {\displaystyle A(x,y,x)=2B(x,y)} A ( x , x , x ) = 6 f ( x ) {\displaystyle A(x,x,x)=6f(x)} 이다. 즉, 만약 K {\displaystyle K} 에서 6이 가역원이라면, A {\displaystyle A} 로부터 f {\displaystyle f} 를 재구성할 수 있다. 일반적으로 삼차 형식의 분류는 불가능하며, 그 분석은 복잡한 대수기하학을 요구한다. 다만, 비교적 간단한 체(복소수체, 실수체 등)에서 2항 삼차 형식은 분류될 수 있다. 이는 n {\displaystyle n} 항 삼차 형식은 ( n + 2 3 ) = ( n + 2 ) ( n + 1 ) n / 6 {\displaystyle {\binom {n+2}{3}}=(n+2)(n+1)n/6} 개의 계수를 갖는데, n {\displaystyle n} 차원 공간 위의 일반선형군 GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)} 은 n 2 {\displaystyle n^{2}} 차원이다. 즉, 그 모듈라이 공간은 일반적으로 ( n + 2 ) ( n + 1 ) n / 6 − n 2 {\displaystyle (n+2)(n+1)n/6-n^{2}} 차원이 된다. n = 2 {\displaystyle n=2} 일 때 이는 0이지만, n > 2 {\displaystyle n>2} 일 때 이는 양수가 되게 된다. 모든 복소수 2항 삼차 형식은 GL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {C} )} 의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.:§4.2 x 3 {\displaystyle x^{3}} x 3 + y 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}} x 2 y {\displaystyle x^{2}y} 0 {\displaystyle 0} 모든 실수 2항 삼차 형식은 GL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )} 의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.:§5.2 x 3 {\displaystyle x^{3}} x 3 + y 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}} x 2 y {\displaystyle x^{2}y} x ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle x(x^{2}-y^{2})} 0 {\displaystyle 0} Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972]. 《Cubic forms》. North-Holland Mathematical Library (영어) 4 2판. North-Holland. ISBN 978-0-444-87823-6. MR 833513.  McCrimmon, Kevin (2004). 《A taste of Jordan algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001.  Banchi, Maurizio (2013). 《Typical ranks of ternary cubic forms over ℝ》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Università degli Studi di Firenze. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] “Cubic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Cubic hypersurface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Cubic curve”. 《nLab》 (영어).