역함수

수학에서 역함수(逆函數, 문화어: 거꿀함수, 영어: inverse function)는 정의역과 치역(함숫값)을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수이다. 즉, 역함수의 대응 규칙에서, 원래의 출력값은 원래의 입력값에 대응한다. 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌을 때, 함수 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} 가 다음 조건을 만족시키면, f {\displaystyle f} 의 왼쪽 역함수(-逆函數, 영어: left inverse function)라고 한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x} 마찬가지로, 함수 h : Y → X {\displaystyle h\colon Y\to X} 가 다음 조건을 만족시키면, f {\displaystyle f} 의 오른쪽 역함수(-逆函數, 영어: right inverse function)라고 한다. 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, f ( h ( y ) ) = y {\displaystyle f(h(y))=y} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 의 역함수 f − 1 : Y → X {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X} 는 f {\displaystyle f} 의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함수이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 와 x = f − 1 ( y ) {\displaystyle x=f^{-1}(y)} 는 서로 필요 충분 조건이다. 역함수를 갖는 함수를 가역 함수(可逆函數, 영어: invertible function) 또는 일대일 대응 또는 전단사 함수라고 한다. 전단사 함수가 아닌 함수의 경우에도, 그 함수의 정의역이나 공역을 줄여 전단사 함수가 되게 한 다음 역함수를 정의할 수 있다. 역삼각 함수는 바로 이러한 방법으로 정의된다. 함수 f {\displaystyle f} 의 역함수는 위 첨자된 "-1"을 사용하여 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 와 같이 표기하며, 역함수 에프 또는 에프 인버스라고 읽는다. 이는 곱셈 이항 연산의 역원의 표기와 같다. 이러한 표기는 거듭제곱의 표기와 혼동할 수 있는데, 이 때문에 역사인 함수는 보통 sin − 1 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{-1}x} 대신 새로운 표기인 arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin x} 를 사용하여 표기한다. 모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없다. 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사 함수이다. 전단사 함수의 역함수는 항상 유일하다. 이는 표기 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 를 사용할 수 있는 이유이다. 전단사 함수의 역함수의 정의역은 원래 함수의 공역 및 치역과 같으며, 역함수의 공역 및 치역은 원래 함수의 정의역과 같다. 즉, 전단사 함수 f {\displaystyle f} 에 대하여, 다음이 성립한다. dom ⁡ f − 1 = codom ⁡ f = ran ⁡ f {\displaystyle \operatorname {dom} f^{-1}=\operatorname {codom} f=\operatorname {ran} f} codom ⁡ f − 1 = ran ⁡ f − 1 = dom ⁡ f {\displaystyle \operatorname {codom} f^{-1}=\operatorname {ran} f^{-1}=\operatorname {dom} f} 전단사 함수의 역함수 역시 전단사 함수이며, 역함수의 역함수는 원래 함수 자기 자신이다. 즉, 전단사 함수 f {\displaystyle f} 에 대하여, 다음이 성립한다. ( f − 1 ) − 1 = f {\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f} 전단사 함수 f {\displaystyle f} 의 역함수 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다. f − 1 ( f ( x ) ) = x ( ∀ x ∈ X ) {\displaystyle f^{-1}(f(x))=x\qquad (\forall x\in X)} f ( f − 1 ( y ) ) = y ( ∀ y ∈ Y ) {\displaystyle f(f^{-1}(y))=y\qquad (\forall y\in Y)} 전단사 함수 f {\displaystyle f} 의 역함수 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 의 정의의 다른 한 가지 서술은 다음과 같다. (여기서 ∘ {\displaystyle \circ } 는 함수의 합성의 기호이다.) f − 1 ∘ f = id dom ⁡ f {\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{\operatorname {dom} f}} f ∘ f − 1 = id codom ⁡ f {\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{\operatorname {codom} f}} 함수의 합성의 역함수에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다. 전단사 함수 f , g {\displaystyle f,g} 에 대하여, ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 {\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}} 이는 역함수의 정의에 따라 쉽게 보일 수 있다. 또한, 이를 양말을 신은 뒤 신발을 신은 일을 취소하려면 신발을 벗은 뒤 양말을 벗어야 한다는 사실에 비유할 수 있다. (역함수 정리) 역함수의 미분은 ( f − 1 ) ′ = 1 f ′ ∘ f − 1 {\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}} 이다. 위상 동형 김홍종. 《미적분학1》. 서울대학교 출판부. 81쪽. 역함수를 거꿀함수라고 부르는 이가 북쪽에 있다.  “Inverse function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Inverse function”. 《nLab》 (영어).  “Inverse function”. 《PlanetMath》 (영어).  “Inverse of composition of functions”. 《PlanetMath》 (영어).