사유한군

수학에서 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군의 사영극한으로 얻어지는 위상군이다. 사유한군은 하우스도르프 콤팩트 위상군 가운데, 모든 연결 부분 집합이 하나 이하의 원소를 갖는 경우다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다. 이 조건은 이 위상군이 이산 유한군들의 사영극한(projective/inverse limit)과 동형이어야 한다는 조건과 동치이다. (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다. 사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다. 임의의 군 G {\displaystyle G} 의 사유한 완비화(射有限完備化, 영어: profinite completion) G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} 는 다음과 같다. G ^ = lim ← N ⊲ G [ G : N ] < ℵ 0 ⁡ G / N {\displaystyle {\widehat {G}}=\varprojlim _{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph _{0}}G/N} 즉, G {\displaystyle G} 의 모든 유한 지표 정규 부분군 N {\displaystyle N} 에 대한 몫군들의 사영극한이다. G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} 는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 G → G ^ {\displaystyle G\to {\widehat {G}}} 가 존재하며, 이 준동형의 상은 G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} 의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 사상이 아니다. 또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, G ^ ^ ≇ G ^ {\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}\not \cong {\widehat {G}}} 일 수 있다. 사유한 완비화는 사유한군의 범주 Grp ^ {\displaystyle {\widehat {\operatorname {Grp} }}} 와 군의 범주 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 사이의 망각 함자 F : Grp ^ → Grp {\displaystyle F\colon {\widehat {\operatorname {Grp} }}\to \operatorname {Grp} } 의 왼쪽 수반 함자 G ^ : Grp → Grp ^ {\displaystyle {\widehat {\phantom {G}}}\colon \operatorname {Grp} \to {\widehat {\operatorname {Grp} }}} G ^ ⊢ F {\displaystyle {\widehat {\phantom {G}}}\vdash F} 를 이룬다.:345 함자의 구성: 사유한 완비화 G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} 는 다음 조건을 만족시키는 원소 ( g N N ) N ∈ ∏ N ⊲ G [ G : N ] < ℵ 0 G / N {\displaystyle (g_{N}N)_{N}\in \prod _{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph _{0}}G/N} 들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다. 임의의 유한 지표 정규 부분군 N ⊂ N ′ ⊂ G {\displaystyle N\subset N'\subset G} 에 대하여, g N N ′ = g N ′ N ′ {\displaystyle g_{N}N'=g_{N'}N'} 그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형 ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} 의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다. ϕ ^ : G ^ → H ^ {\displaystyle {\widehat {\phi }}\colon {\widehat {G}}\to {\widehat {H}}} ϕ ^ : ( g N N ) N ↦ ( ϕ ( g ϕ − 1 ( N ′ ) ) N ′ ) N ′ {\displaystyle {\widehat {\phi }}\colon (g_{N}N)_{N}\mapsto (\phi (g_{\phi ^{-1}(N')})N')_{N'}} 모든 이산 유한군은 사유한군이다. p진 정수 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 Z / p n {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}} 들의 사영극한으로 정의된다. 정수군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다. Z ^ = lim ← n ∈ N ⁡ Z / n Z ≅ ∏ p Z p {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}} 사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어지면 K {\displaystyle K} 를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 F / K {\displaystyle F/K} 들의 사영극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다. 대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.) Horel, Geoffroy (2017). “Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group” (영어) 321: 326-390. arXiv:1504.01605. doi:10.1016/j.aim.2017.09.030. ISSN 0001-8708. MR 3715714. Zbl 1385.55007.  Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031.  Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). 《Field arithmetic》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) 11 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). “On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds” (영어). arXiv:math/0604399.  Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). “On finitely generated profinite groups. II. Products in quasisimple groups” (영어). arXiv:math/0604400.  Serre, Jean-Pierre (1994). 《Cohomologie galoisienne》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 5 5판. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0108758. ISBN 978-3-540-58002-7. MR 1324577. Zbl 0812.12002.  “Profinite group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Profinite group”. 《nLab》 (영어).  “Profinite completion of a group”. 《nLab》 (영어).  “Profinite completion of the integers”. 《nLab》 (영어).  “Profinite group”. 《Groupprops》 (영어).  “Profinite completion”. 《Groupprops》 (영어).  “Profinite completion of the integers”. 《Groupprops》 (영어).