군환

추상대수학에서 군환(群環, 영어: group ring 그룹링[*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다. 집합 G {\displaystyle G} 와 환 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, G {\displaystyle G} 로부터 생성되는 R {\displaystyle R} -자유 가군을 다음과 같이 표기하자. R [ G ] = { ∑ g ∈ G r g g r ∈ R G , | { g ∈ G : r g ≠ 0 } | < ℵ 0 } } {\displaystyle R[G]=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}g\qquad r\in R^{G},\;|\{g\in G\colon r_{g}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}\right\}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 작은 범주이며, R {\displaystyle R} 가 환이라고 하자. 그렇다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상의 집합 Mor ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})} 으로부터 생성되는 R {\displaystyle R} -자유 가군 R [ Mor ⁡ ( C ) ] {\displaystyle R[\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})]} 위에 다음과 같은 R {\displaystyle R} -선형 곱셈 연산을 줄 수 있다. f ⋅ g = { g ∘ f dom ⁡ g = codom ⁡ f 0 dom ⁡ g ≠ codom ⁡ f {\displaystyle f\cdot g={\begin{cases}g\circ f&\operatorname {dom} g=\operatorname {codom} f\\0&\operatorname {dom} g\neq \operatorname {codom} f\end{cases}}} 즉, 다음과 같다. ( r 1 f 1 + r 2 f 2 + ⋯ + r m f m ) ⋅ ( s 1 g 1 + s 2 g 2 + ⋯ + s n g n ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n r i s j ( f i ⋅ g j ) ( r i , s j ∈ R , f i , g j ∈ Mor ⁡ ( C ) ) {\displaystyle (r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\cdots +r_{m}f_{m})\cdot (s_{1}g_{1}+s_{2}g_{2}+\cdots +s_{n}g_{n})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i}s_{j}(f_{i}\cdot g_{j})\qquad \left(r_{i},s_{j}\in R,\;f_{i},g_{j}\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\right)} 이 곱셈은 결합 법칙 및 분배 법칙을 따르며, 항등원 1 R [ C ] = ∑ X ∈ Ob ⁡ ( C ) id X {\displaystyle 1_{R[{\mathcal {C}}]}=\sum _{X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}\operatorname {id} _{X}} 을 가진다. (만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다.) 따라서, 이는 환을 이루며, 이를 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 범주환(영어: category ring) R [ C ] {\displaystyle R[{\mathcal {C}}]} 이라고 한다. 특히, 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 모노이드로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 모노이드 환(영어: monoid ring)이라고 한다. 만약 추가로 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 군이라면, 이 경우 범주환을 군환이라고 한다. 모노이드 M {\displaystyle M} 에 대한 R {\displaystyle R} 계수 모노이드 환은 자연스럽게 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군이자 오른쪽 자유 가군이다. R {\displaystyle R} 가 체 k {\displaystyle k} 일 경우, 군환 k [ G ] {\displaystyle k[G]} 는 벡터 공간을 이룬다. 이 경우, k [ G ] {\displaystyle k[G]} 의 차원은 | G | {\displaystyle |G|} 이다. (이는 G {\displaystyle G} 가 무한 반군일 경우에도 하멜 차원(Hamel dimension)으로서 성립한다.) 군 G {\displaystyle G} 위의 가군(영어: G-module)은 그 정수 계수의 군환 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 의 가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군 ( M , ρ ) {\displaystyle (M,\rho )} 는 아벨 군 M {\displaystyle M} 과 군의 작용 ρ : G × M → M {\displaystyle \rho \colon G\times M\to M} 으로 이루어져 있으며, g ∈ G {\displaystyle g\in G} , a , b ∈ M {\displaystyle a,b\in M} 에 대하여 g ( a + b ) = g a + g b {\displaystyle g(a+b)=ga+gb} 을 만족시킨다. 유한군 G {\displaystyle G} 와 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌고, 또 char ⁡ K ∤ | G | {\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|} 라고 하자. (즉, G {\displaystyle G} 의 크기는 K {\displaystyle K} 의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 K [ G ] {\displaystyle K[G]} 를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 K [ G ] {\displaystyle K[G]} 는 반단순환이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽 K [ G ] {\displaystyle K[G]} -가군은 반단순 가군이다. 이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다. 자연수의 덧셈 모노이드 ( N , + ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,+)} 를 생각하자. 이는 곱셈 표기법으로 { 1 , x , x 2 , x 3 , … } {\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},\dots \}} 로 적을 수 있다. 임의의 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 모노이드 환 R [ N ] {\displaystyle R[\mathbb {N} ]} 은 다항식환 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 와 같다. 마찬가지로, 무한 순환군 Cyc ⁡ ( ∞ ) = { … , x − 2 , x − 1 , 1 , x , x 2 , … } {\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )=\{\dots ,x^{-2},x^{-1},1,x,x^{2},\dots \}} 위의 군환은 다음과 같다. R [ Cyc ⁡ ( ∞ ) ] ≅ R [ x , x − 1 ] = R [ x , y ] / ( x y − 1 ) {\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (\infty )]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)} 마찬가지로, 유한 순환군 Cyc ⁡ ( n ) = { 1 , x , x 2 , … , x n − 1 } {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\{1,x,x^{2},\dots ,x^{n-1}\}} 위의 군환은 다음과 같다. R [ Cyc ⁡ ( n ) ] ≅ R [ x ] / ( x n ) {\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (n)]\cong R[x]/(x^{n})} 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여, 순서쌍 준군 Pair ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Pair} (S)} 는 다음과 같은 준군이다. 대상은 S {\displaystyle S} 의 원소이다. 즉, 대상 집합은 S {\displaystyle S} 이다. 임의의 두 대상 s , t ∈ S {\displaystyle s,t\in S} 에 대하여 유일한 사상 ( s , t ) : s → t {\displaystyle (s,t)\colon s\to t} 이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 순서쌍으로 구성된 곱집합 S × S {\displaystyle S\times S} 로 생각할 수 있다. 만약 S {\displaystyle S} 가 크기 n {\displaystyle n} 의 유한 집합일 때, 임의의 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 준군환 R [ Pair ⁡ ( S ) ] {\displaystyle R[\operatorname {Pair} (S)]} 는 행렬환 Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 와 동형이다. 유한 집합 S {\displaystyle S} 위의 이산 범주 (모든 사상이 항등 사상인 범주) 위의 범주환 R [ S ] {\displaystyle R[S]} 는 S {\displaystyle S} 위의 R {\displaystyle R} 값의 함수들의 환 R S {\displaystyle R^{S}} 이다. Maschke, Heinrich (1898). “Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 50 (4): 492–498. doi:10.1007/BF01444297. JFM 29.0114.03. MR 1511011.  Maschke, Heinrich (1899). “Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 52 (2–3): 363–368. doi:10.1007/BF01476165. JFM 30.0131.01. MR 1511061.  Passman, D. S. (1976년 3월). “What is a group ring?” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어): 173–185. doi:10.2307/2977018. JSTOR 2977018. Zbl 0318.16002. 2016년 8월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 3일에 확인함.  Gilmer, R. (1984). 《Commutative semigroup rings》 (영어). University of Chicago Press.  Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). 《An introduction to group rings》. Algebras and applications (영어) 1. Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0.  Passman, D. 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