원환 다양체

대수기하학에서 원환 다양체(圓環多樣體, 영어: toric variety)는 대수적 원환면 ( K × ) n {\displaystyle (K^{\times })^{n}} 을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다. 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} 위의 원환 다양체 ( M , ϕ ) {\displaystyle (M,\phi )} 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다. K {\displaystyle K} -대수다양체 M {\displaystyle M} 군의 작용 ϕ : ( K × ) n → Aut ⁡ ( M ) {\displaystyle \phi \colon (K^{\times })^{n}\to \operatorname {Aut} (M)} ( K × {\displaystyle K^{\times }} 는 K {\displaystyle K} 의 가역원군) 이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다. 자리스키 조밀 열린집합 T ⊆ M {\displaystyle T\subseteq M} 이 존재하여, T {\displaystyle T} 가 ( K × ) n {\displaystyle (K^{\times })^{n}} 과 ( K {\displaystyle K} -대수다양체로서) 동형이며, T {\displaystyle T} 에 대한 군 작용이 이 위상 동형 아래 복소수의 곱셈이어야 한다. 많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 부채(영어: fan 팬[*])라는 데이터로 표현될 수 있다. 강볼록 유리 다면뿔(強볼록有理多面뿔, 영어: strongly convex rational polyhedral cone) σ ⊆ Q n {\displaystyle \sigma \subseteq \mathbb {Q} ^{n}} 은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다. (강볼록 조건) σ ∩ − σ = { 0 } {\displaystyle \sigma \cap -\sigma =\{0\}} (스칼라곱에 대한 닫힘) r ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle r\in [0,\infty )} 이고 v ∈ σ {\displaystyle v\in \sigma } 라면 r v ∈ σ {\displaystyle rv\in \sigma } (덧셈에 대한 닫힘) σ {\displaystyle \sigma } 는 덧셈 모노이드이다. 즉, u , v ∈ σ {\displaystyle u,v\in \sigma } 라면 u + v ∈ σ {\displaystyle u+v\in \sigma } 이다. (유리 벡터에 의한 생성) σ = Span [ 0 , ∞ ) ⁡ B {\displaystyle \sigma =\operatorname {Span} _{[0,\infty )}B} 가 되는 유한 집합 B ⊆ Z n {\displaystyle B\subseteq \mathbb {Z} ^{n}} 이 존재한다. 다면뿔 σ {\displaystyle \sigma } 의 면(영어: face)들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다. ϕ : Q n → Q {\displaystyle \phi \colon \mathbb {Q} ^{n}\to \mathbb {Q} } 가 실수 선형 변환이고, ϕ ↾ σ ≥ 0 {\displaystyle \phi \upharpoonright \sigma \geq 0} 이라면, σ ∩ ( ker ⁡ ϕ ) {\displaystyle \sigma \cap (\ker \phi )} . 부채 Σ {\displaystyle \Sigma } 는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다. (면에 대한 닫힘) σ ∈ Σ {\displaystyle \sigma \in \Sigma } 이고 σ ′ {\displaystyle \sigma '} 가 σ {\displaystyle \sigma } 의 면 가운데 하나라면, σ ′ ∈ Σ {\displaystyle \sigma '\in \Sigma } . (교집합에 대한 닫힘) σ , σ ′ ∈ Σ {\displaystyle \sigma ,\sigma '\in \Sigma } 라면, σ ∩ σ ′ {\displaystyle \sigma \cap \sigma '} 는 σ {\displaystyle \sigma } 의 면 가운데 하나이고, 또한 σ ′ {\displaystyle \sigma '} 의 면 가운데 하나이다. ( { 0 } {\displaystyle \{0\}} 은 모든 다면뿔들의 면이다.) 강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 σ {\displaystyle \sigma } 의 격자점 σ ∩ Z k {\displaystyle \sigma \cap \mathbb {Z} ^{k}} 들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 k {\displaystyle k} 는 다면뿔 σ {\displaystyle \sigma } 의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 σ {\displaystyle \sigma } 의 쌍대뿔 σ ∨ = { v : ⟨ u , v ⟩ ≥ 0 ∀ u ∈ σ } ⊂ K n {\displaystyle \sigma ^{\vee }=\{v\colon \langle u,v\rangle \geq 0\forall u\in \sigma \}\subset K^{n}} 또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 { v 1 , … , v α , … , v k } ⊂ K n {\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{\alpha },\dots ,\mathbf {v} _{k}\}\subset K^{n}} 를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자. ϕ : ( K ∗ ) n → K k {\displaystyle \phi \colon (K^{*})^{n}\to K^{k}} ϕ : ( exp ⁡ ( i z 1 ) , … , exp ⁡ ( i z i ) , … , exp ⁡ ( i z n ) ) ↦ ( exp ⁡ ( i ∑ j z n v 1 ( j ) ) , … , exp ⁡ ( i ∑ j z j v α ( j ) ) , … , exp ⁡ ( i ∑ j z j v k ( j ) ) ) {\displaystyle \phi \colon (\exp(iz_{1}),\dots ,\exp(iz_{i}),\dots ,\exp(iz_{n}))\mapsto \left(\exp(i\sum _{j}z_{n}v_{1}^{(j)}),\dots ,\exp(i\sum _{j}z_{j}v_{\alpha }^{(j)}),\dots ,\exp(i\sum _{j}z_{j}v_{k}^{(j)})\right)} 다면뿔 σ {\displaystyle \sigma } 에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 ϕ {\displaystyle \phi } 의 상을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다. 부채 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다. 꼭짓점이 격자점 Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} 인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차원 면이 공유하는 ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)} 차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다. 즉, 다면체 P {\displaystyle P} 에 대응되는 원환 다양체 X {\displaystyle X} 에 대하여, 표준적인 전사 함수 X ↠ P {\displaystyle X\twoheadrightarrow P} 가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 x ∈ P {\displaystyle x\in P} 에 대응되는 올은 (만약 x {\displaystyle x} 가 k {\displaystyle k} 차원 면에 속한다면) ( K × ) k {\displaystyle (K^{\times })^{k}} 의 꼴이다. P {\displaystyle P} 의 (유일한) 내부는 X {\displaystyle X} 의 자리스키 조밀 열린집합 ( K × ) dim ⁡ X {\displaystyle (K^{\times })^{\dim X}} 에 해당하며, 따라서 P ⊆ Q dim ⁡ X {\displaystyle P\subseteq \mathbb {Q} ^{\dim X}} 이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다. 두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다. 원환 다양체의 특이점 해소(영어: resolution of singularities) 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다. Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 속의 부채 Σ {\displaystyle \Sigma } 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 9.1(1):§4.2 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 콤팩트 공간이다. Q n = ⋃ Σ {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ^{n}=\bigcup \Sigma } 이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은 Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 전체이다. Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 속의 부채 Σ {\displaystyle \Sigma } 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 9.1(2) Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 매끄러운 다양체이다. 모든 뿔 σ {\displaystyle \sigma } 에 대하여, σ ∩ Z n {\displaystyle \sigma \cap \mathbb {Z} ^{n}} 은 유한 생성 자유 가환 모노이드이다. Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 속의 부채 Σ {\displaystyle \Sigma } 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 9.1(2) Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대응되는 원환 다양체는 사영 대수다양체이다. Σ {\displaystyle \Sigma } 는 Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} 의 유한 부분 집합의 볼록 껍질에 대응되는 부채이다. Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 속의 부채 Σ {\displaystyle \Sigma } 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:§4.3 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대응되는 원환 다양체는 칼라비-야우 다양체이다 (즉, 표준 인자가 0이다). Σ {\displaystyle \Sigma } 에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 ( v i ) i ∈ I {\displaystyle (v_{i})_{i\in I}} 이 모두 하나의 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉, ϕ ( v i ) = 1 ∀ i ∈ I {\displaystyle \phi (v_{i})=1\,\forall i\in I} 인 실수 선형 변환 ϕ : Q n → Q {\displaystyle \phi \colon \mathbb {Q} ^{n}\to \mathbb {Q} } 가 존재한다. 특히, 만약 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.:§4.3 편의상 유클리드 공간 Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 의 표준 기저를 ( e i ) i = 1 , … , n {\displaystyle (\mathrm {e} _{i})_{i=1,\dotsc ,n}} 으로 표기하자. 여기서 K {\displaystyle K} 는 임의의 체이다. ( K × ) n {\displaystyle (K^{\times })^{n}} 은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 0차원 뿔에 대응된다. Σ = { σ 0 } {\displaystyle \Sigma =\{\sigma _{0}\}} σ 0 = { 0 } ⊆ Q n {\displaystyle \sigma _{0}=\{0\}\subseteq \mathbb {Q} ^{n}} σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} 의 쌍대뿔은 σ 0 ∨ = Q n {\displaystyle \sigma _{0}^{\vee }=\mathbb {Q} ^{n}} 이며, 이는 { ± e 1 , … , ± e n } {\displaystyle \{\pm \mathrm {e} _{1},\dotsc ,\pm \mathrm {e} _{n}\}} 에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는 Spec ⁡ K [ σ 0 ∨ ∩ Z n ] = Spec ⁡ K [ t 1 , t 1 − 1 , t 2 , t 2 − 1 , … , t n , t n − 1 ] {\displaystyle \operatorname {Spec} K[\sigma _{0}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{n}]=\operatorname {Spec} K[t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1},\dotsc ,t_{n},t_{n}^{-1}]} 이다. 다음과 같은, 하나의 뿔만으로 구성되는 부채를 생각하자.:Example 5.1 σ = [ 0 , ∞ ) × ⋯ × [ 0 , ∞ ) ⊆ Q n {\displaystyle \sigma =[0,\infty )\times \dotsb \times [0,\infty )\subseteq \mathbb {Q} ^{n}} 즉, 이는 Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 의 “2n분면”이다. 이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저 ( e 1 , e 2 , … , e n ) {\displaystyle (\mathrm {e} _{1},\mathrm {e} _{2},\dotsc ,\mathrm {e} _{n})} 에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 n {\displaystyle n} 차원 아핀 공간 Spec ⁡ K [ σ ∨ ∩ Z n ] = Spec ⁡ K [ t 1 , … , t n ] {\displaystyle \operatorname {Spec} K[\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{n}]=\operatorname {Spec} K[t_{1},\dotsc ,t_{n}]} 이다. 예를 들어, 아핀 평면 A K 2 {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}} 는 다음과 같은 부채에 대응된다. ↑ ∙ → {\displaystyle {\begin{matrix}\uparrow \\\bullet &\rightarrow \end{matrix}}} 모든 사영 공간은 원환 다양체이며, n {\displaystyle n} 차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 n {\displaystyle n} 차원 단체이다. 구체적으로, Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} 의 표준 기저 ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\dotsc ,e_{n})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, e 0 = − ( e 1 + ⋯ + e n ) {\displaystyle \mathrm {e} _{0}=-(\mathrm {e} _{1}+\dotsb +\mathrm {e} _{n})} 을 정의하고, 다음과 같은 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.:Example 8.4 σ i = Span K ⁡ ( { e 0 , e 1 , … , e n } ∖ { e i } ) {\displaystyle \sigma _{i}=\operatorname {Span} _{K}\left(\{\mathrm {e} _{0},\mathrm {e} _{1},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}\}\setminus \{\mathrm {e} _{i}\}\right)} 즉, 이 부채는 { e 0 , e 1 , … , e n } {\displaystyle \{\mathrm {e} _{0},\mathrm {e} _{1},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}\}} 의 2 n + 1 − 1 {\displaystyle 2^{n+1}-1} 개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 n {\displaystyle n} 차원의 뿔들은 n + 1 {\displaystyle n+1} 개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 n + 1 {\displaystyle n+1} 의 아핀 열린 덮개에 해당한다. 구체적으로, n {\displaystyle n} 차원 뿔의 쌍대뿔들은 다음과 같다. σ 0 ∨ {\displaystyle \sigma _{0}^{\vee }} 는 { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{\mathrm {e} _{1},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}\}} 으로 생성된다. 이에 대응되는 모노이드 대수는 K [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle K[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]} 이다. i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, σ i ∨ {\displaystyle \sigma _{i}^{\vee }} 는 { e 1 − e i , … , e i − e i ^ , … , e n − e i , − e i } {\displaystyle \{\mathrm {e} _{1}-\mathrm {e} _{i},\dotsc ,{\widehat {\mathrm {e} _{i}-\mathrm {e} _{i}}},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}-\mathrm {e} _{i},-\mathrm {e} _{i}\}} 로 생성된다. ( e ^ {\displaystyle {\hat {\color {White}e}}} 은 이 항만을 생략하라는 뜻이다.) 이에 대응되는 모노이드 대수는 K [ x 1 x i − 1 , x 2 x i − 1 , … , x i x i − 1 ^ , … , x n x i − 1 , x i − 1 ] {\displaystyle K[x_{1}x_{i}^{-1},x_{2}x_{i}^{-1},\dotsc ,{\widehat {x_{i}x_{i}^{-1}}},\dotsc ,x_{n}x_{i}^{-1},x_{i}^{-1}]} 이다. 즉, 사영 공간의 동차 좌표를 [ y 0 : y 1 : ⋯ : y n ] {\displaystyle [y_{0}:y_{1}:\dotsb :y_{n}]} 이라고 한다면, 이는 ( x 1 , … , x n ) ↦ [ 1 : x 1 : ⋯ : x n ] {\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\mapsto [1:x_{1}:\dotsb :x_{n}]} x i = y i / y 0 {\displaystyle x_{i}=y_{i}/y_{0}} 에 해당한다. 각 σ i {\displaystyle \sigma _{i}} 는 아핀 공간 A K n {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}} 에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} 을 얻는다. 다음과 같은 Q 1 {\displaystyle \mathbb {Q} ^{1}} 속의 부채를 생각하자.:Example 8.3 ← ∙ → {\displaystyle \leftarrow \bullet \rightarrow } 즉, 그 뿔들은 다음과 같다. σ 1 = [ 0 , ∞ ) ⊊ Q {\displaystyle \sigma _{1}=[0,\infty )\subsetneq \mathbb {Q} } σ 2 = ( − ∞ , 0 ] ⊊ Q {\displaystyle \sigma _{2}=(-\infty ,0]\subsetneq \mathbb {Q} } σ 0 = C 1 ∩ C 2 = { 0 } ⊊ Q {\displaystyle \sigma _{0}=C_{1}\cap C_{2}=\{0\}\subsetneq \mathbb {Q} } 이 경우, σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} 의 쌍대뿔은 σ 1 ∨ = σ 1 = [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \sigma _{1}^{\vee }=\sigma _{1}=[0,\infty )} 자신이며, 그 모노이드 대수는 K [ σ 1 ∨ ∩ Z ] = K [ t ] {\displaystyle K[\sigma _{1}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t]} 이다. 마찬가지로 σ 2 = σ 2 ∨ {\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{2}^{\vee }} 의 경우 K [ σ 2 ∨ ∩ Z ] = K [ t − 1 ] {\displaystyle K[\sigma _{2}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t^{-1}]} 이다. 또한, σ 0 ∨ = Q {\displaystyle \sigma _{0}^{\vee }=\mathbb {Q} } 의 모노이드 대수는 로랑 다항식환 K [ σ 0 ∨ ∩ Z ] = K [ t , t − 1 ] {\displaystyle K[\sigma _{0}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t,t^{-1}]} 이다. 환 준동형 K [ t ] → K [ t , t − 1 ] {\displaystyle K[t]\to K[t,t^{-1}]} 에 대응하는 자리스키 열린집합은 아핀 공간 A K 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}} 의 부분 집합 { z ∈ K : z ≠ 0 } {\displaystyle \{z\in K\colon z\neq 0\}} 이다. 따라서, 이는 K [ t ] {\displaystyle K[t]} 와 K [ t − 1 ] {\displaystyle K[t^{-1}]} 를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 직선 P K 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}} 을 정의한다. 예를 들어, 사영 평면 P K 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{2}} 는 다음과 같은 부채에 대응된다. ↑ ∙ → ↙ {\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\&\bullet &\rightarrow \\\swarrow \end{matrix}}} 이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다. 부채로 정의되는 사영 평면의 구체적 아핀 덮개 구체적으로, 이는 세 개의 2차원 뿔로 구성되므로, 다음과 같은 세 개의 아핀 열린집합으로 덮여진다. 이 뿔은 (x축부터 시계 반대 방향으로) 다음과 같다. 뿔 1: 이는 (1,0)과 (0,1)로 생성되며, 스스로의 쌍대뿔이다. 따라서, 이는 아핀 스킴 Spec ⁡ K [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y]} 에 해당한다. 뿔 1과 뿔 2 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (−1,0), (0,1)로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 Spec ⁡ K [ x , x − 1 , y ] = Spec ⁡ K [ x , y ] x = Spec ⁡ K [ x − 1 , x − 1 y ] x − 1 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,x^{-1},y]=\operatorname {Spec} K[x,y]_{x}=\operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1}}} 에 해당한다. 뿔 2: 이 뿔의 쌍대뿔은 (1,−1)과 (−1,0)으로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 Spec ⁡ K [ x − 1 , x − 1 y ] {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]} 에 해당한다. 뿔 2와 뿔 3 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (−1,0), (1,−1), (−1,1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 Spec ⁡ K [ x − 1 , x y − 1 , x − 1 y ] = Spec ⁡ K [ x − 1 , x − 1 y ] x − 1 y = Spec ⁡ K [ y − 1 , x y − 1 ] x y − 1 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x^{-1},xy^{-1},x^{-1}y]=\operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1}y}=\operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]_{xy^{-1}}} 에 해당한다. 뿔 3: 이 뿔의 쌍대뿔은 (0,−1)과 (1,−1)로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 Spec ⁡ K [ y − 1 , x y − 1 ] {\displaystyle \operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]} 에 해당한다. 뿔 3과 뿔 1 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (0,1), (0,−1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 Spec ⁡ K [ x , y , y − 1 ] = Spec ⁡ K [ y − 1 , x y − 1 ] y − 1 = Spec ⁡ K [ x , y ] y {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y,y^{-1}]=\operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]_{y^{-1}}=\operatorname {Spec} K[x,y]_{y}} 에 해당한다. 뿔 1〜3 사이의 0차원 뿔의 쌍대뿔은 (0,1), (0,−1), (1,0), (−1,0)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 Spec ⁡ K [ x , x − 1 , y , y − 1 ] {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,x^{-1},y,y^{-1}]} 에 해당한다. 여기서 아랫첨자는 해당 원소로 생성되는 곱셈 모노이드에 대한 국소화이다. 이는 아핀 스킴 사이의 열린 몰입을 정의하며, 이는 아핀 열린 덮개의 짜깁기 사상이다. 코니폴드는 다음과 같은 Q 3 {\displaystyle \mathbb {Q} ^{3}} 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.:§4.1, (54) σ = Span [ 0 , ∞ ) ⁡ { e 1 , e 1 + e 2 , e 1 + e 3 , e 1 + e 2 + e 3 } {\displaystyle \sigma =\operatorname {Span} _{[0,\infty )}\left\{\mathrm {e} _{1},\mathrm {e} _{1}+\mathrm {e} _{2},\mathrm {e} _{1}+\mathrm {e} _{3},\mathrm {e} _{1}+\mathrm {e} _{2}+\mathrm {e} _{3}\right\}} 이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 { v ∈ Q 3 : ⟨ e 1 , v ⟩ = 1 } {\displaystyle \{v\in \mathbb {Q} ^{3}\colon \langle \mathrm {e} _{1},v\rangle =1\}} 위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다. 이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은 σ ∨ = { ( a , b , c ) ∈ Q 3 : min { a , a + b , a + c , a + b + c } ≥ 0 } {\displaystyle \sigma ^{\vee }=\{(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}\colon \min\{a,a+b,a+c,a+b+c\}\geq 0\}} 이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은 (1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0) 이다. 이들 사이의 유일한 관계는 (1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1) 이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은 K [ x , y , z , w ] / ( x y − z w ) {\displaystyle K[x,y,z,w]/(xy-zw)} 이다.:§2.1, (15) K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니라면, X = ( x / 2 + y / 2 ) {\displaystyle X=(x/2+y/2)} Y = ( x / 2 − y / 2 ) {\displaystyle Y=(x/2-y/2)} Z = ( z / 2 + w / 2 ) {\displaystyle Z=(z/2+w/2)} W = ( z / 2 − w / 2 ) {\displaystyle W=(z/2-w/2)} 를 정의하여, 이를 K [ X , Y , Z , W ] / ( X 2 − Y 2 − Z 2 + W 2 ) {\displaystyle K[X,Y,Z,W]/(X^{2}-Y^{2}-Z^{2}+W^{2})} 로 적을 수 있다. 다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 K 2 / Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle K^{2}/\operatorname {Cyc} (2)} 를 나타낸다.:Figure 2(a) (2차 순환군 Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)} 은 ( u , v ) ↦ ( − u , − v ) {\displaystyle (u,v)\mapsto (-u,-v)} 와 같이 작용한다.) ↗ ∙ ↘ {\displaystyle {\begin{matrix}&\nearrow \\\bullet \\&\searrow \end{matrix}}} 이 2차원 뿔 σ = σ ∨ {\displaystyle \sigma =\sigma ^{\vee }} 는 스스로의 쌍대뿔이며, ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} 과 ( 1 , − 1 ) {\displaystyle (1,-1)} 과 ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} 에 의하여 생성된다. ( 1 , 1 ) + ( 1 , − 1 ) = 2 ⋅ ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,1)+(1,-1)=2\cdot (1,0)} 이므로, 이는 아핀 대수다양체 K [ x , y , z ] / ( x y − z 2 ) {\displaystyle K[x,y,z]/(xy-z^{2})} 를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다. 사실, 아핀 공간 A K 2 = Spec ⁡ K [ u , v ] {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}=\operatorname {Spec} K[u,v]} 위에 2차 순환군의 작용 ( u , v ) ↦ ( − u , − v ) {\displaystyle (u,v)\mapsto (-u,-v)} 의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다. A K 2 / Cyc ⁡ ( 2 ) = Spec ⁡ ( K [ u , v ] Cyc ⁡ ( 2 ) ) {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}/\operatorname {Cyc} (2)=\operatorname {Spec} (K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)})} 여기서 K [ u , v ] Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)}} 는 Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)} 의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는 u 2 , v 2 , u v {\displaystyle u^{2},v^{2},uv} 로 생성되며, 이 사이의 관계는 u 2 ⋅ v 2 = ( u v ) 2 {\displaystyle u^{2}\cdot v^{2}=(uv)^{2}} 밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상 Spec ⁡ ( K [ u , v ] Cyc ⁡ ( 2 ) ) ≅ Spec ⁡ K [ x , y , z ] ( x y − z 2 ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)})\cong \operatorname {Spec} {\frac {K[x,y,z]}{(xy-z^{2})}}} ( u , v ) ↦ ( u 2 , v 2 , u v ) {\displaystyle (u,v)\mapsto (u^{2},v^{2},uv)} 을 갖는다. 다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 dP 1 {\displaystyle \operatorname {dP} _{1}} 을 나타낸다.:Figure 2(b) ↑ ∙ → ↙ ↓ {\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\&\bullet &\rightarrow \\\swarrow &\downarrow \end{matrix}}} 구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다. 다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 dP 2 {\displaystyle \operatorname {dP} _{2}} 을 나타낸다.:Figure 2(b) ↑ ← ∙ → ↙ ↓ {\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\\leftarrow &\bullet &\rightarrow \\\swarrow &\downarrow \end{matrix}}} 다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}} 을 나타낸다. ↑ ← ∙ → ↓ {\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\\leftarrow &\bullet &\rightarrow \\&\downarrow \end{matrix}}} 이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다. 원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다. 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다. Oda, Tadao (1988). 《Convex bodies and algebraic geometry: an introduction to the theory of toric varieties》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 15. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-72549-4. MR 922894.  Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Henry K. (2011). 《Toric varieties》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 124. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4819-7. MR 2810322. Zbl 1223.14001.  Fulton, William (1993). 《Introduction to toric varieties》. Annals of Mathematics Studies (영어) 131. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00049-7. MR 1234037.  Cox, David A. (2003). 〈What is a toric variety?〉 (PDF). 《Topics in algebraic geometry and geometric modeling: Proceedings of the workshop on algebraic geometry and geometric modeling, July 29 – August 2, 2002, Vilnius, Lithuania》. Contemporary Mathematics (영어) 334. American Mathematical Society. 203–223쪽. ISBN 0-8218-3420-7. MR 2039974. 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