정규 함수

집합론에서 정규 함수(正規函數, 영어: normal function)는 그 도함수를 취할 수 있는, 정의역과 공역이 순서수의 모임인 연속 증가 함수이다. 이를 사용하여 매우 큰 가산 순서수들을 나타낼 수 있다. 집합론적 문제를 피하기 위하여, 비가산 도달 불가능한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 를 고르자. (만약 모임 이론을 사용한다면 κ = Ord {\displaystyle \kappa =\operatorname {Ord} } 로 놓을 수 있다. 여기서 Ord {\displaystyle \operatorname {Ord} } 는 모든 순서수들의 모임이다.) 자기 함수 f : κ → κ {\displaystyle f\colon \kappa \to \kappa } 가 다음 조건을 만족시킨다면 정규 함수라고 한다. 순증가 함수이다. 즉, 임의의 두 순서수 α < β < κ {\displaystyle \alpha <\beta <\kappa } 에 대하여, f ( α ) < f ( β ) {\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )} 이다. 순서 위상에 대하여 연속 함수이다. 즉, 극한 순서수 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } 에 대하여, f ( α ) = sup β < α f ( β ) {\displaystyle f(\alpha )=\textstyle \sup _{\beta <\alpha }f(\beta )} 이다. 정규 함수는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } 에 대하여, f ( α ) ≥ α {\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha } 증명: 귀류법을 사용하자. α = min { β < κ : β > f ( β ) } {\displaystyle \alpha =\min\{\beta <\kappa \colon \beta >f(\beta )\}} 라면 α > f ( α ) > f ( f ( α ) ) {\displaystyle \alpha >f(\alpha )>f(f(\alpha ))} 이자 f ( α ) ∈ { β < κ : β > f ( β ) } {\displaystyle f(\alpha )\in \{\beta <\kappa \colon \beta >f(\beta )\}} 이므로 모순이다. 임의의 순서수들의 집합 S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } 에 대하여, f ( sup S ) = sup s ∈ S f ( s ) {\displaystyle \textstyle f(\sup S)=\sup _{s\in S}f(s)} 증명: f {\displaystyle f} 가 증가 함수이므로 f ( sup S ) ≥ sup s ∈ S f ( s ) {\displaystyle \textstyle f(\sup S)\geq \sup _{s\in S}f(s)} 이다. 따라서 f ( sup S ) ≤ sup s ∈ S f ( s ) {\displaystyle \textstyle f(\sup S)\leq \sup _{s\in S}f(s)} 를 증명하면 족하다. 반대로, σ = sup S {\displaystyle \sigma =\sup S} 에 대하여, 만약 σ = ς + 1 {\displaystyle \sigma =\varsigma +1} 이라면, σ ∈ S {\displaystyle \sigma \in S} 이며, 따라서 f ( sup S ) = f ( σ ) ≥ σ = f ( sup S ) {\displaystyle f(\sup S)=f(\sigma )\geq \sigma =f(\sup S)} 이다. 만약 ∄ ς : σ = ς + 1 {\displaystyle \nexists \varsigma \colon \sigma =\varsigma +1} 이라고 하자. 그렇다면 f ( sup S ) = sup α < sup S f ( α ) ≥ sup α ∈ S f ( α ) {\displaystyle \textstyle f(\sup S)=\sup _{\alpha <\sup S}f(\alpha )\geq \sup _{\alpha \in S}f(\alpha )} 이다. 베블런 고정점 정리(Veblen固定點定理, 영어: Veblen fixed-point theorem)에 따르면, f {\displaystyle f} 의 고정점들의 모임의 상한은 κ {\displaystyle \kappa } 이다. 증명: 임의의 순서수 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } 에 대하여, β = sup { α , f ( α ) , f ( f ( α ) ) , … } {\displaystyle \beta =\sup\{\alpha ,f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}} 를 정의하면, f ( β ) = f ( sup { α , f ( α ) , f ( f ( α ) ) , … } ) = sup { f ( α ) , f ( f ( α ) ) , … } = β {\displaystyle f(\beta )=f\left(\sup\{\alpha ,f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}\right)=\sup\{f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}=\beta } 이다. 이에 따라, 정규 함수 f {\displaystyle f} 의 도함수(導函數, 영어: derivative) f ′ : κ → κ {\displaystyle f'\colon \kappa \to \kappa } 를 다음과 같이 정의할 수 있다. f ′ ( α ) {\displaystyle f'(\alpha )} 는 f {\displaystyle f} 의 α {\displaystyle \alpha } 번째 고정점이다. 정규 함수의 도함수 역시 정규 함수이다. 따라서, 이를 반복하여 모든 유한 순서수 n {\displaystyle n} 에 대하여 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있다. f ( α + 1 ) = ( f ( α ) ) ′ {\displaystyle f^{(\alpha +1)}=(f^{(\alpha )})'} 보다 일반적으로, 임의의 양의 극한 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, 그보다 작은 차수의 도함수들의 공통된 고정점들의 집합 ⋂ β < α { γ < κ : f ( β ) ( γ ) = γ } {\displaystyle \bigcap _{\beta <\alpha }\left\{\gamma <\kappa \colon f^{(\beta )}(\gamma )=\gamma \right\}} 은 κ {\displaystyle \kappa } 와 순서 동형이며, 따라서 이를 열거하여 f ( α ) ( γ ) {\displaystyle f^{(\alpha )}(\gamma )} 를 위 공통 고정점 집합의 α {\displaystyle \alpha } 번째 원소로 정의할 수 있다. 이와 같이, f {\displaystyle f} 의 초한 도함수들을 모두 정의할 수 있다. 이 초한 함수열을 f {\displaystyle f} 의 베블런 위계(영어: Veblen hierarchy)라고 한다. 특히, 순서수 δ {\displaystyle \delta } 에 대하여 δ {\displaystyle \delta } 진 베블런 위계(영어: base- δ {\displaystyle \delta } Veblen hierarchy)란 정규 함수 α ↦ δ α {\displaystyle \alpha \mapsto \delta ^{\alpha }} 에 대한 베블런 위계를 뜻하며, 정규 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면 α ↦ ω α {\displaystyle \alpha \mapsto \omega ^{\alpha }} 의 베블런 위계를 뜻한다. 다음과 같은 함수들은 정규 함수이다. 임의의 순서수 β < κ {\displaystyle \beta <\kappa } 에 대하여, α ↦ β + α {\displaystyle \alpha \mapsto \beta +\alpha } (그러나 α ↦ α + 1 {\displaystyle \alpha \mapsto \alpha +1} 은 정규 함수가 아니다) 임의의 순서수 1 ≤ β < κ {\displaystyle 1\leq \beta <\kappa } 에 대하여, α ↦ β ⋅ α {\displaystyle \alpha \mapsto \beta \cdot \alpha } 임의의 순서수 2 ≤ β < κ {\displaystyle 2\leq \beta <\kappa } 에 대하여, α ↦ β α {\displaystyle \alpha \mapsto \beta ^{\alpha }} 알레프 수 α ↦ ℵ α {\displaystyle \alpha \mapsto \aleph _{\alpha }} 베트 수 α ↦ ℶ α {\displaystyle \alpha \mapsto \beth _{\alpha }} (마지막 두 예는 도달 불가능한 기수는 알레프 함수와 베트 함수의 고정점이기 때문이다.:16, 20:78, Exercise 1.7.7(b)) 정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 오즈월드 베블런이 1908년에 도입하였다. 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"(영어: continuous increasing function)라고 불렀다.:281, §1 Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Holz, Michael; Steffens, Karsten; Weitz, E. 《Introduction to cardinal arithmetic》 (영어).  Veblen, Oswald (1908년 7월). “Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 9: 280–292. doi:10.1090/S0002-9947-1908-1500814-9. ISSN 0002-9947. JSTOR 1988605.  Glass, Frederick S. (1984년 5월). “Constructive ordinal notation systems” (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) 57 (3): 131–141. doi:10.2307/2689658. JSTOR 2689658. 2015년 9월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 20일에 확인함.  Miller, Larry W. (1976). “Normal functions and constructive ordinal notations”. 《The Journal of Symbolic Logic》 (영어) 41 (2): 439–459. doi:10.2307/2272243. JSTOR 2272243.  Gallier, Jean H. (1991년 9월 19일). “What’s so special about Kruskal’s theorem and the ordinal Γ0? 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