람다 환

가환대수학과 대수적 위상수학에서 람다 환(λ環, 영어: λ-ring)은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다. 기본 대칭 다항식 e i ∈ Z [ x 1 , … , x n ] ∀ i ∈ { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle e_{i}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,n\}} e i ( x 1 , … , x n ) = ∑ 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ < j i ≤ n x i 1 x i 2 ⋯ x i j {\displaystyle e_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{j}}} 을 정의하자. 다항식 P n ∈ Z [ x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ] ∀ n ∈ N {\displaystyle P_{n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {N} } P m , n ∈ Z [ x 1 , … , x m n ] ∀ m , n ∈ N {\displaystyle P_{m,n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{mn}]\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} } 은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.:8, §2.1 ∑ n P n ( e 1 ( x → ) , … , e n ( x → ) , e 1 ( y → ) , … , e n ( y → ) ) t n = ∏ i , j = 1 n ( 1 + x i y j t ) ∈ Z [ t , x → , y → ] {\displaystyle \sum _{n}P_{n}\left(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {y}}),\dots ,e_{n}({\vec {y}})\right)t^{n}=\prod _{i,j=1}^{n}(1+x_{i}y_{j}t)\in \mathbb {Z} [t,{\vec {x}},{\vec {y}}]} ∑ m P m , n ( x 1 , … , x m n ) t m = ∏ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i n ≤ m n ( 1 + x i 1 x i 2 ⋯ x i n t ) ∈ Z [ t , x 1 , … , x m n ] {\displaystyle \sum _{m}P_{m,n}(x_{1},\dots ,x_{mn})t^{m}=\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq mn}(1+x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{n}}t)\in \mathbb {Z} [t,x_{1},\dots ,x_{mn}]} 여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다. x → = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} y → = ( y 1 , y 2 , … , y n ) {\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})} 람다 환은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:7, Definition 2.1:§16.4:7, Definition 1.10 가환환 R {\displaystyle R} 각 자연수(음이 아닌 정수) n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 함수 λ n : R → R {\displaystyle \lambda ^{n}\colon R\to R} . 이들을 n {\displaystyle n} 차 람다 연산(영어: n {\displaystyle n} th λ-operation)이라고 한다. 이 함수 λ n {\displaystyle \lambda ^{n}} 들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다. λ 0 ( r ) = 1 ∀ r ∈ R {\displaystyle \lambda ^{0}(r)=1\qquad \forall r\in R} λ 1 ( r ) = r ∀ r ∈ R {\displaystyle \lambda ^{1}(r)=r\qquad \forall r\in R} λ n ( 1 ) = 0 ∀ n ≥ 2 {\displaystyle \lambda ^{n}(1)=0\qquad \forall n\geq 2} (합의 람다 연산) λ n ( r + s ) = ∑ i + j = n λ i ( r ) λ j ( s ) ∀ r , s ∈ R , n ∈ N {\displaystyle \lambda ^{n}(r+s)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(r)\lambda ^{j}(s)\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} } (곱의 람다 연산) λ n ( r s ) = P n ( λ 1 ( r ) , … , λ n ( r ) , λ 1 ( s ) , … , λ n ( s ) ) ∀ r , s ∈ R , n ∈ N {\displaystyle \lambda ^{n}(rs)=P_{n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{n}(r),\lambda ^{1}(s),\dots ,\lambda ^{n}(s))\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} } (람다 연산의 합성) λ m ( λ n ( r ) ) = P m , n ( λ 1 ( r ) , … , λ m n ( r ) ) ∀ r ∈ R n ∈ N {\displaystyle \lambda ^{m}(\lambda ^{n}(r))=P_{m,n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{mn}(r))\qquad \forall r\in R\;n\in \mathbb {N} } 람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 R {\displaystyle R} , R ′ {\displaystyle R'} 사이의 준동형은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형 f : R → R ′ {\displaystyle f\colon R\to R'} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.:§16.4:10, Definition 1.25 f ( λ n ( r ) ) = λ n ( f ( r ) ) ∀ r ∈ R , n ∈ N {\displaystyle f(\lambda ^{n}(r))=\lambda ^{n}(f(r))\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} } 람다 환과 람다 환 준동형은 범주 λ -Ring {\displaystyle \lambda {\text{-Ring}}} 를 이룬다. 코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.:§2.2 람다 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.:(16.10):7, (1.7) λ t ( r ) = ∑ i = 0 ∞ λ i ( r ) t i ∈ R [ [ t ] ] {\displaystyle \lambda _{t}(r)=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]} 그렇다면, R {\displaystyle R} 위의 애덤스 연산 Ψ n : R → R ∀ n ∈ Z + {\displaystyle \Psi ^{n}\colon R\to R\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}} Ψ t ( r ) = ∑ i = 1 ∞ Ψ i ( r ) t i ∈ R [ [ t ] ] {\displaystyle \Psi _{t}(r)=\sum _{i=1}^{\infty }\Psi ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]} 은 다음과 같다.:§16.20 Ψ t ( r ) = − t d d t ln ⁡ ( λ − t ( r ) ) ∀ r ∈ R {\displaystyle \Psi _{t}(r)=-t{\frac {\operatorname {d} }{\mathrm {d} t}}\ln \left(\lambda _{-t}(r)\right)\qquad \forall r\in R} 즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다. 람다 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. λ t : ( R , + ) → R [ [ t ] ] × {\displaystyle \lambda _{t}\colon (R,+)\to R[[t]]^{\times }} 는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.:7, Proposition 1.13 λ t ( r + s ) = λ t ( r ) λ t ( s ) ∀ r , s ∈ R {\displaystyle \lambda _{t}(r+s)=\lambda _{t}(r)\lambda _{t}(s)\qquad \forall r,s\in R} λ t ( 0 ) = 1 {\displaystyle \lambda _{t}(0)=1} λ t ( − r ) = λ t ( r ) − 1 ∀ r ∈ R {\displaystyle \lambda _{t}(-r)=\lambda _{t}(r)^{-1}\qquad \forall r\in R} 정수 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, λ t ( n ) = ( 1 + t ) n {\displaystyle \lambda _{t}(n)=(1+t)^{n}} 이다. 람다 환의 범주에서 가환환의 범주 CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 로 가는 망각 함자 F : λ -Ring → CRing {\displaystyle F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing} } 는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.:§16.1 S ⊣ F ⊣ Λ {\displaystyle S\dashv F\dashv \Lambda } 여기서 함자 S : : CRing → λ -Ring {\displaystyle S\colon \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}} 는 자유 람다 환(영어: free λ-ring) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다. 함자 Λ : CRing → λ -Ring {\displaystyle \Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}} 는 가환환 R {\displaystyle R} 를 1 + x R [ [ x ] ] {\displaystyle 1+xR[[x]]} 위의 람다 환 구조로 대응시킨다. 다음 두 조건을 만족시키는 가환환 R {\displaystyle R} 를 이항환(二項環, 영어: binomial ring)이라고 한다. 덧셈군 ( R , + ) {\displaystyle (R,+)} 의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 ι : R → R ⊗ Z Q {\displaystyle \iota \colon R\to R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} } 는 단사 함수이다. 모든 이항 계수 ( r n ) ( r ∈ R ) {\displaystyle \textstyle {\binom {r}{n}}\;(r\in R)} 를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, ι ( s ) = ( r n ) = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − n + 1 ) / n ! ∈ R ⊗ Z Q {\displaystyle \iota (s)=\textstyle {\binom {r}{n}}=r(r-1)\cdots (r-n+1)/n!\in R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} } 가 되는 s ∈ R {\displaystyle s\in R} 가 (유일하게) 존재한다. 이항환 R {\displaystyle R} 위에 λ n ( k ) = ( k n ) {\displaystyle \lambda ^{n}(k)=\textstyle {\binom {k}{n}}} 을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.:Theorem 5.3 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인:9, Example 1.16) 정수환 Z ≅ K 0 ⁡ ( { ∙ } ) {\displaystyle \mathbb {Z} \cong \operatorname {K} ^{0}(\{\bullet \})} 는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.:6, §1.2.1 이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 형식적 멱급수환 R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 속의, x 0 {\displaystyle x^{0}} 항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합 Λ ( R ) = 1 + x R [ [ x ] ] ⊆ R [ [ x ] ] {\displaystyle \Lambda (R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]} 을 생각하자. 이는 R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} -곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. Λ ( R ) {\displaystyle \Lambda (R)} 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.:7, §2:§9.1 Λ ( R ) {\displaystyle \Lambda (R)} 의 덧셈은 R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 의 곱셈이다. Λ ( R ) {\displaystyle \Lambda (R)} 의 곱셈은 다음과 같다.:§9.15 ( 1 + r 1 x + r 2 x 2 + ⋯ ) ⋅ ( 1 + s 1 x + s 2 x 2 + ⋯ ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ P n ( r 1 , … , r n , s 1 , … , s n ) x n {\displaystyle (1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )\cdot (1+s_{1}x+s_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{n}(r_{1},\dots ,r_{n},s_{1},\dots ,s_{n})x^{n}} Λ ( R ) {\displaystyle \Lambda (R)} 의 람다 연산은 다음과 같다.:(16.8) λ n ( 1 + r 1 x + r 2 x 2 + ⋯ ) = 1 + ∑ m = 1 ∞ P m , n ( r 1 , … , r m n ) t m {\displaystyle \lambda ^{n}(1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{m=1}^{\infty }P_{m,n}(r_{1},\dots ,r_{mn})t^{m}} 이 환은 R {\displaystyle R} 계수의 (큰) 비트 벡터 환 WittVector ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)} 과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 R Z + {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우 WittVector ⁡ ( R ) → Λ ( R ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)\to \Lambda (R)} ( x 1 , x 2 , … ) ↦ 1 ( 1 − x 1 t ) ( 1 − x 2 t 2 ) ⋯ ∈ R [ [ t ] ] {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto {\frac {1}{(1-x_{1}t)(1-x_{2}t^{2})\cdots }}\in \mathbb {R} [[t]]} 는 환의 동형을 정의한다.:(9.22):Theorem 4.16 이를 아르틴-하세 지수 함수(영어: Artin–Hasse exponential map)라고 한다. 이는 함자 Λ : CRing → λ -Ring {\displaystyle \Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}} 를 정의하며, 이는 망각 함자 F : λ -Ring → CRing {\displaystyle F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing} } 의 오른쪽 수반 함자이다. F ⊣ Λ {\displaystyle F\dashv \Lambda } 가산 무한 개의 변수 x → = ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )} 의 형식적 멱급수환 Z [ [ x → ] ] {\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]} 을 생각하자. Z [ [ x → ] ] {\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]} 의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 x i {\displaystyle x_{i}} 들의 곱이다. 가산 무한 개의 변수 x → = ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )} 의 대칭 다항식 p ∈ Z [ [ x → ] ] {\displaystyle p\in Z[[{\vec {x}}]]} 은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.:§2.2:(9.38), (9.39) 임의의 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( Z + ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})} 에 대하여 p ( x σ ( 1 ) , x σ ( 2 ) , … ) = p ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle p(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots )=p(x_{1},x_{2},\dots )} 이다. (여기서 Sym ⁡ ( Z + ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})} 는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.) p {\displaystyle p} 에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다). 대칭 다항식들의 집합은 Z [ [ x → ] ] {\displaystyle \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]} 의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식 e i ( x → ) = ∑ 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ < j i x j 1 x j 2 ⋯ x j i ∈ Z [ [ x → ] ] {\displaystyle e_{i}({\vec {x}})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}}x_{j_{1}}x_{j_{2}}\cdots x_{j_{i}}\in \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]} 들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 Z [ e 0 ( x → ) , e 1 ( x → ) , … , ] {\displaystyle \mathbb {Z} [e_{0}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {x}}),\dots ,]} 로 표기할 수 있다. 그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.:§16.65 λ m : e n ( x → ) ↦ P m , n ( e 1 ( x → ) , … , e m n ( x → ) ) {\displaystyle \lambda ^{m}\colon e_{n}({\vec {x}})\mapsto P_{m,n}(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{mn}({\vec {x}}))} 그렇다면, Z [ e 1 ( x → ) , … , e n ( x → ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]} 는 1변수 정수 계수 다항식환 Z [ e ] {\displaystyle \mathbb {Z} [e]} 위의 자유 람다 환이다.:Theorem 2.1:Theorem 16.74 즉, 자유 람다 환 함자 S : CRing → λ -Ring {\displaystyle S\colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}} 함자 아래 Z [ e ] {\displaystyle \mathbb {Z} [e]} 의 상이다. 또한, S {\displaystyle S} 아래 임의의 환 준동형 f : Z [ e ] → R {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} [e]\to R} f : e ↦ f ( e ) ∈ R {\displaystyle f\colon e\mapsto f(e)\in R} 의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다. S f : Z [ e 1 ( x → ) , … , e n ( x → ) ] → R {\displaystyle Sf\colon \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]\to R} S f : e n ↦ λ n ( f ( e ) ) {\displaystyle Sf\colon e_{n}\mapsto \lambda ^{n}(f(e))} 파라콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위의 위상 K군 K K 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {K} _{K}^{0}(X)} 는 람다 환을 이룬다.:9, Example 1.16 이 경우 λ n {\displaystyle \lambda ^{n}} 은 벡터 다발 위의 외대수 λ n [ E ] = [ Λ n ( E ; K ) ] {\displaystyle \lambda ^{n}[E]=[\Lambda ^{n}(E;K)]} 이다. 유한군 G {\displaystyle G} 위의 체 K {\displaystyle K} 계수 표현환 Repr ⁡ ( G ; K ) {\displaystyle \operatorname {Repr} (G;K)} (군의 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다.:9, Example 1.17 이 경우, λ n {\displaystyle \lambda ^{n}} 은 군의 표현의 외대수이다. λ [ r − r ′ ] = λ ( r ∧ n − r ′ ∧ n ) ( r : G → V , r ′ : G → V ′ , r ∧ n : G → Λ n V , r ′ ∧ n : G → Λ n V {\displaystyle \lambda [r-r']=\lambda (r^{\wedge n}-r'^{\wedge n})\qquad (r\colon G\to V,\;r'\colon G\to V',\;r^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V,\;r'^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V} 알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.:§16.1 역사적으로, P n {\displaystyle P_{n}} 및 P m , n {\displaystyle P_{m,n}} 으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(영어: special λ-ring)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.:§16.1 천 특성류 대칭 함수 K이론 Hopkinson, John Robert (2006). 《Universal polynomials in lambda rings and the K-theory of the infinite loop space tmf》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Michael J. 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