렙셰츠 수

일반위상수학에서 렙셰츠 수(Лефшец數, 영어: Lefschetz number)는 콤팩트 공간 위의 연속 자기 함수의 호모토피류에 대응되는 유리수 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, 렙셰츠 고정점 정리(Лефшец固定點定理, 영어: Lefschetz fixed-point theorem)에 따르면 함수는 고정점을 갖는다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} . 또한, 그 모든 베티 수와 코호몰로지 차원이 유한하다고 하자. 연속 함수 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} 그렇다면, f {\displaystyle f} 에 의하여 특이 코호몰로지에 대한 군 준동형이 유도된다. f ∗ ( n ) : H n ⁡ ( X ; Z ) → H n ⁡ ( X ; Z ) ( n ∈ N ) {\displaystyle f_{*}^{(n)}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )\qquad (n\in \mathbb {N} )} 특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 선형 변환을 얻는다. f ∗ ( n ) ⊗ Q : H n ⁡ ( X ; Q ) → H n ⁡ ( X ; Q ) ( n ∈ N ) {\displaystyle f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb {Q} \colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Q} )\qquad (n\in \mathbb {N} )} f {\displaystyle f} 의 렙셰츠 수 Lef ⁡ f {\displaystyle \operatorname {Lef} f} 는 다음과 같은 대각합들의 합인 유리수이다. Lef ⁡ f = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n tr ⁡ ( f ∗ ( n ) ⊗ Q ) ∈ Q {\displaystyle \operatorname {Lef} f=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\operatorname {tr} (f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb {Q} )\in \mathbb {Q} } 렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 단체 복합체이며, Lef ⁡ f ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Lef} f\neq 0} 이라면, f {\displaystyle f} 는 고정점을 갖는다. 즉, f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} 인 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다. 그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 만약 X {\displaystyle X} 가 n {\displaystyle n} 차원 콤팩트 다양체이며, f {\displaystyle f} 가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자. f {\displaystyle f} 의 고정점들의 집합을 Fix ⁡ ( f ) ⊆ X {\displaystyle \operatorname {Fix} (f)\subseteq X} 라고 하자. x 0 ∈ Fix ⁡ f {\displaystyle x_{0}\in \operatorname {Fix} f} 에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방 U ∋ x 0 {\displaystyle U\ni x_{0}} , V ∋ x 0 {\displaystyle V\ni x_{0}} 을 찾을 수 있다. U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} 는 n {\displaystyle n} 차원 열린 공과 위상 동형이다. f ( V ) ⊆ U {\displaystyle f(V)\subseteq U} 이다. U ∩ Fix ⁡ f = V ∩ Fix ⁡ f = { x 0 } {\displaystyle U\cap \operatorname {Fix} f=V\cap \operatorname {Fix} f=\{x_{0}\}} ∀ x ∈ V ∖ { x 0 } : f ( x ) ≠ x 0 {\displaystyle \forall x\in V\setminus \{x_{0}\}\colon f(x)\neq x_{0}} 로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수 f ↾ ( V ∖ { x 0 } ) : V ∖ { x 0 } → U ∖ { x 0 } {\displaystyle f\upharpoonright (V\setminus \{x_{0}\})\colon V\setminus \{x_{0}\}\to U\setminus \{x_{0}\}} 를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구 S n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}} 와 동치이므로, 호모토피류 ϕ x 0 : ( U ∖ { x 0 } ≃ S n − 1 ) → ( U ∖ { x 0 } ≃ S n − 1 ) {\displaystyle \phi _{x_{0}}\colon (U\setminus \{x_{0}\}\simeq \mathbb {S} ^{n-1})\to (U\setminus \{x_{0}\}\simeq \mathbb {S} ^{n-1})} 를 정의할 수 있다. X {\displaystyle X} 에 임의의 방향을 주었을 때, ϕ x 0 {\displaystyle \phi _{x_{0}}} 의 브라우어르 차수 deg ⁡ ϕ x 0 ∈ Z {\displaystyle \deg \phi _{x_{0}}\in \mathbb {Z} } 를 정의할 수 있다. 렙셰츠-호프 정리(영어: Lefschetz–Hopf theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. ∑ x ∈ Fix ⁡ ( f ) deg ⁡ ϕ x = Lef ⁡ f ∈ Z {\displaystyle \sum _{x\in \operatorname {Fix} (f)}\deg \phi _{x}=\operatorname {Lef} f\in \mathbb {Z} } 특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다. 만약 f {\displaystyle f} 가 항등 함수라면 그 렙셰츠 수는 X {\displaystyle X} 의 오일러 지표이다. Lef ⁡ f = χ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Lef} f=\chi (X)} 원 S 1 ≅ R / ( ∀ x : x ∼ x + 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {R} /(\forall x\colon x\sim x+1)} 위의 항등 함수 f : x ↦ x {\displaystyle f\colon x\mapsto x} 를 생각하자. 이는 물론 연속 함수이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의 θ ∈ R ∖ Z {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} } 에 대하여 x ↦ x + θ {\displaystyle x\mapsto x+\theta } 는 항등 함수와 호모토픽하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다. 솔로몬 렙셰츠가 도입하였다. 렙셰츠-호프 정리는 하인츠 호프가 증명하였다. Lefschetz, Solomon (1926). “Intersections and transformations of complexes and manifolds”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 28 (1): 1–49. doi:10.2307/1989171.  Lefschetz, Solomon (1937). “On the fixed point formula”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 38 (4): 819–822. doi:10.2307/1968838.  “Lefschetz number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Lefschetz formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lefschetz fixed point theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lefschetz trace formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Lefschetz trace formula”. 《nLab》 (영어).  “Grothendieck-Lefschetz trace formula”. 《nLab》 (영어).