리 초대수

리 대수 이론에서, 리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 Z / ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(2)} 등급을 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} -리 초대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 두 K {\displaystyle K} -가군 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} , g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} . 또한, g = g 0 ⊕ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}} 로 표기하자. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 Z / ( 2 ) = { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}} -등급 가군으로 여긴다. 순수 성분의 등급은 deg ⁡ x ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \deg x\in \{0,1\}} 로 표기하자. K {\displaystyle K} -쌍선형 연산 [ − , − ] : g ⊗ K g → g {\displaystyle [-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} (일부 문헌에서 이는 [ − , − } {\displaystyle [-,-\}} 로 표기되기도 한다). 이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (이는 일반적인 K {\displaystyle K} -리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.) (리 괄호의 등급) deg ⁡ [ x , y ] = ( deg ⁡ x + deg ⁡ y ) mod 2 ∀ x , y ∈ ( g 0 ∪ g 1 ) ∖ { 0 } {\displaystyle \deg[x,y]=(\deg x+\deg y){\bmod {2}}\qquad \forall x,y\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}} (반대칭성) [ x , y ] + ( − 1 ) deg ⁡ x deg ⁡ y | [ y , x ] = 0 ∀ x , y ∈ ( g 0 ∪ g 1 ) ∖ { 0 } {\displaystyle [x,y]+(-1)^{\deg x\deg y|}[y,x]=0\qquad \forall x,y\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}} (야코비 항등식) ( − 1 ) deg ⁡ z deg ⁡ x [ x , [ y , z ] ] + ( − 1 ) deg ⁡ x deg ⁡ y [ y , [ z , x ] ] + ( − 1 ) deg ⁡ y deg ⁡ z [ z , [ x , y ] ] = 0 ∀ x , y , z ∈ ( g 0 ∪ g 1 ) ∖ { 0 } {\displaystyle (-1)^{\deg z\deg x}[x,[y,z]]+(-1)^{\deg x\deg y}[y,[z,x]]+(-1)^{\deg y\deg z}[z,[x,y]]=0\qquad \forall x,y,z\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}} [ x , x ] = 0 ∀ x ∈ g 0 {\displaystyle [x,x]=0\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}_{0}} [ x , [ x , x ] ] = 0 ∀ x ∈ g 1 {\displaystyle [x,[x,x]]=0\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}_{1}} 여기서, 넷째 공리는 만약 K {\displaystyle K} 에서 2가 가역원일 경우 자동으로 반대칭성으로부터 유도되며, 다섯째 공리는 만약 K {\displaystyle K} 에서 3이 가역원일 경우 자동으로 야코비 항등식으로부터 유도된다. 즉, 예를 들어 K {\displaystyle K} 가 표수가 2 또는 3이 아닌 체일 경우 이들을 생략할 수 있다. 가군으로서, 리 초대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 그 등급이 0(보손)인 부분 가군 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군 g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 의 직합이다. 이렇게 분해하면, g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 는 리 대수를 이루고, g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 은 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 의 표현을 이룬다. 또한, g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 은 다음과 같은 가환 비결합 괄호 { ⋅ , ⋅ } : g 1 ⊗ g 1 → g 0 {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{0}} 를 가진다. 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 단순 리 초대수라고 하며, 이들은 모두 분류되었다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 임의의 두 가군 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 및 g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 이 주어졌을 때, 리 초괄호 [ x , y ] = 0 ∀ x , y ∈ g = g 0 ⊕ g 1 {\displaystyle [x,y]=0\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}} 을 주면, g = g 0 ⊕ g q {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{q}} 은 리 초대수를 이룬다. 이를 아벨 리 초대수(Abel Lie超代數, 영어: Abelian Lie superalgebra)라고 한다. ( m | n ) × ( m | n ) {\displaystyle (m|n)\times (m|n)} 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다. ( A B C D ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}} 여기서 A {\displaystyle A} 는 m × m {\displaystyle m\times m} 이고, B {\displaystyle B} 는 n × n {\displaystyle n\times n} 이다. ( m | n ) × ( m | n ) {\displaystyle (m|n)\times (m|n)} 초행렬의 모임을 일반 선형 초대수 (general linear Lie superalgebra) g l ( m | n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)} 이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.:§25 str ⁡ ( A B C D ) = tr ⁡ A − tr ⁡ D {\displaystyle \operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D} 리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. 그러나 BRST에서는 그 반대다. 게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 Q {\displaystyle Q} 의 초괄호는 다음과 같다. { Q , Q } = 0 {\displaystyle \{Q,Q\}=0} 즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다. 초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군과 R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다. 만약 이론이 초대칭과 등각 대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각 대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초등각 대칭군은 단순초군 P S U ( 2 , 2 | 4 ) {\displaystyle PSU(2,2|4)} 이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다. 펠릭스 알렉산드로비치 베레진(러시아어: Фе́ликс Алекса́ндрович Бере́зин)과 게오르기 이사코비치 카츠(러시아어: Георгий Исаакович Кац)가 1970년에 도입하였다. 거스틴해버 대수 리 초대수 표현 초공간 보편 포락 대수 Frappat, L.; A. Sciarrino, P. Sorba (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Березин, Феликс Александрович; Кац, Георгий Исаакович (1970). “Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами”. 《Математический сборник》 (러시아어) 82 (3): 343–351. MR 265520. Zbl 0244.22014.  Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 131. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6867-6. MR 2906817. Zbl 1255.17001. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Cheng, Shun-Jen; Weiqiang Wang (2010년 1월). “Dualities for Lie superalgebras” (영어). arXiv:1001.0074. Bibcode:2010arXiv1001.0074C.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Leites, D. A. (1985년 9월). “Lie superalgebras”. 《Journal of Soviet Mathematics》 (영어) 30 (6): 2481–2512. doi:10.1007/BF02249121. ISSN 0090-4104.  Kac, Victor G. (1977년 10월). “Lie superalgebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2. ISSN 0001-8708. MR 0486011.  Kac, Victor G. (1977년 2월). “A sketch of Lie superalgebra theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 53 (1): 31–64. Bibcode:1977CMaPh..53...31K. doi:10.1007/BF01609166. ISSN 0010-3616. MR 0442049. Zbl 0359.17009.  Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group theory: a physicist’s survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. 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