인수 정리

대수학에서 인수 정리(因數 定理, 영어: Factor theorem)는 다항식이 어떤 1차 다항식을 약수로 가질 필요충분조건을 제시한다. 다항식 나머지 정리의 특별한 경우이다. 인수 정리는 다항식 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 가 f ( r ) = 0 {\displaystyle f(r)=0} (즉 r {\displaystyle r} 는 근)인 경우에만 인수 x − r {\displaystyle x-r} 를 갖는다고 명시한다. 인수 정리에 따르면, 환 R {\displaystyle R} 및 다항식 f ∈ R [ x ] {\displaystyle f\in R[x]} 및 중심의 원소 r ∈ Z ⁡ ( R ) {\displaystyle r\in \operatorname {Z} (R)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. x − r ∣ f ( x ) {\displaystyle x-r\mid f(x)} . 즉, f ( x ) = ( x − r ) g ( x ) {\displaystyle f(x)=(x-r)g(x)} 인 다항식 g ∈ R [ x ] {\displaystyle g\in R[x]} 가 존재한다. f ( r ) = 0 {\displaystyle f(r)=0} . 즉, r {\displaystyle r} 는 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 근이다. 증명: 첫 번째 조건은 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 를 x − r {\displaystyle x-r} 로 나눈 나머지가 0인 것과 동치이다. 다항식 나머지 정리에 따라, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 를 x − r {\displaystyle x-r} 로 나눈 나머지는 f ( r ) ∈ R {\displaystyle f(r)\in R} 이다. 따라서 위 두 조건은 서로 동치이다. 인수 정리가 일반적으로 적용되는 2가지 문제는 다항식을 인수분해하고 다항식의 근을 찾는 문제이다. 또한 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하는 데 사용되므로 근을 보다 찾기 쉬울 정도로 낮은 차수의 다항식을 생성한다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다. 다항식 f {\displaystyle f} 의 근인 a {\displaystyle a} 를 찾는다. (일반적으로 이는 매우 어렵다.) 인수 정리를 사용하여 ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} 가 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 인수라고 결론을 내린다. 다항식 g ( x ) = f ( x ) ( x − a ) {\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{(x-a)}}} 를 구한다. 다항식 장제법 또는 조립제법을 사용할 수 있다. f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 의 근은 a {\displaystyle a} 와 g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} 의 근이라는 결론을 내린다. g {\displaystyle g} 의 다항식 차수가 f {\displaystyle f} 의 다항식 차수보다 하나 작기 때문에 g {\displaystyle g} 를 연구하여 나머지 근을 찾는 것이 간단한 편이다. x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2} 의 근을 구하라. 이는 시행착오(또는 유리근 정리)를 사용하여 식이 0이 되도록 하는 1번째 x의 값을 찾는다. 유리근 정리에 따라 유리수 근의 후보는 1 , − 1 , 2 , − 2 {\displaystyle 1,-1,2,-2} 뿐이다. ( x − 1 ) {\displaystyle (x-1)} 이 인수인 지의 여부를 확인하려면 x = 1 {\displaystyle x=1} 을 위의 다항식으로 대체한다. x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 = ( 1 ) 3 + 7 ( 1 ) 2 + 8 ( 1 ) + 2 = 1 + 7 + 8 + 2 = 18 {\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+7x^{2}+8x+2&=(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2\\&=1+7+8+2\\&=18\end{aligned}}} 이러한 등식에서는 0이 아닌 18과 같은 값이 나오는데 ( x − 1 ) {\displaystyle (x-1)} 은 x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2} 의 인수가 아니기 때문이다. 따라서 우리는 다음에 ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)} 을 시도한다. 이에 따라 x = − 1 {\displaystyle x=-1} 을 다항식으로 변환한다. ( − 1 ) 3 + 7 ( − 1 ) 2 + 8 ( − 1 ) + 2 {\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2} 이러한 등식은 0 {\displaystyle 0} 과 같은 값이 나온다. 그러므로 x − ( − 1 ) {\displaystyle x-(-1)} 은 즉 x + 1 {\displaystyle x+1} 이 인수가 되고 − 1 {\displaystyle -1} 은 x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2} 의 근이 된다. 다음 2개의 근은 대수적으로 x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2} 를 ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)} 로 나누어 2번째 근을 구할 수 있다. x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 x + 1 = x 2 + 6 x + 2 {\displaystyle {x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2} 따라서 ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)} 과 x 2 + 6 x + 2 {\displaystyle x^{2}+6x+2} 는 x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2} 의 인수가 된다. 이 가운데 2차 인수는 이차 방정식을 활용하여 추가로 인수분해될 수 있는데 이러한 공식은 − 3 ± 7 {\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}} 의 근을 제공한다. 따라서 원래 다항식에서 3개의 기약 인수는 x + 1 {\displaystyle x+1} , x − ( − 3 + 7 ) {\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}})} , x − ( − 3 − 7 ) {\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}})} 이다. 대수적으로 닫힌 체는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 체이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 동치이다. Sullivan, Michael (1996년), 《Algebra and Trigonometry》, Prentice Hall, 381쪽, ISBN 0-13-370149-2  Sehgal, V K; Gupta, Sonal, 《Longman ICSE Mathematics Class 10》, Dorling Kindersley (India), 119쪽, ISBN 978-81-317-2816-1  Bansal, R. K., 《Comprehensive Mathematics IX》, Laxmi Publications, 142쪽, ISBN 81-7008-629-9 .