삼각행렬

선형대수학에서 삼각행렬(三角行列, 영어: triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다. 다음과 같은 모양을 가지는 행렬 L {\displaystyle \mathbf {L} } 을 하삼각행렬(lower triangular matrix)로 정의한다. L = [ l 1 , 1 0 l 2 , 1 l 2 , 2 l 3 , 1 l 3 , 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ l n , 1 l n , 2 … l n , n − 1 l n , n ] {\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&&&&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&&&\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}} 다음과 같은 모양을 가지는 행렬 U {\displaystyle \mathbf {U} } 을 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 정의한다. U = [ u 1 , 1 u 1 , 2 u 1 , 3 … u 1 , n u 2 , 2 u 2 , 3 … u 2 , n ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ u n − 1 , n 0 u n , n ] {\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}} 만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 순삼각행렬(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 순하삼각행렬, 순상삼각행렬로 부른다. 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다. 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다. 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다. 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다. 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다. 대각행렬과 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다. (순)상삼각행렬(식) + e e e | 4 a 3 b 2 c d 0 4 a 3 b 2 c 0 0 4 a 3 b 0 0 0 4 a | = + e e e ( 4 a | 4 a 3 b 2 c 0 4 a 3 b 0 0 4 a | − 3 b | 0 3 b 2 c 0 4 a 3 b 0 0 4 a | + 2 c | 0 4 a 2 c 0 0 3 b 0 0 4 a | − d | 0 4 a 3 b 0 0 4 a 0 0 0 | ) {\displaystyle +eee{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c&d\\0&{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}-d{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}\right)} + e e e 4 a | 4 a 3 b 2 c 0 4 a 3 b 0 0 4 a | = + e e e 4 a ( 4 a | 4 a 3 b 0 4 a | − 3 b | 0 3 b 0 4 a | + 2 c | 0 4 a 0 0 | ) {\displaystyle +eee{\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a}}\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)} − e e e 3 b | 0 3 b 2 c 0 4 a 3 b 0 0 4 a | = − e e e 3 b ( 0 | 4 a 3 b 0 4 a | − 3 b | 0 3 b 0 4 a | + 2 c | 0 4 a 0 0 | ) {\displaystyle -eee3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee3b\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}4a&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)} + e e e 2 c | 0 4 a 2 c 0 0 3 b 0 0 4 a | = + e e e 2 c ( 0 | 0 3 b 0 4 a | − 4 a | 0 3 b 0 4 a | + 2 c | 0 0 0 0 | ) {\displaystyle +eee2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee2c\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)} − e e e d | 0 4 a 3 b 0 0 4 a 0 0 0 | = − e e e d ( 0 | 0 4 a 0 0 | − 4 a | 0 4 a 0 0 | + 3 b | 0 0 0 0 | ) {\displaystyle -eeed{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}+3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)} + e e e 4 a 4 a | 4 a 3 b 0 4 a | = + e e e 4 a 4 a ( 4 a 4 a − 3 b 0 ) = + 4 4 a 4 e 3 = + 256 a 4 e 3 {\displaystyle +eee{\color {red}{4a4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a4a}}({\color {red}{4a4a}}-{\cancel {3b0}})=+{\color {red}{4^{4}a^{4}}}e^{3}=+{\color {red}{256a^{4}}}e^{3}} − e e e 4 a 3 b | 0 3 b 0 4 a | = − e e e 4 a 3 b ( 04 a − 3 b 0 ) = 0 {\displaystyle -eee4a3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee4a3b(04a-3b0)=0} + e e e 4 a 2 c | 0 4 a 0 0 | = + e e e 4 a 2 c ( 00 − 4 a 0 ) = 0 {\displaystyle +eee4a2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee4a2c(00-4a0)=0} + e e e 3 b 3 b | 0 3 b 0 4 a | = + e e e 3 b 3 b ( 04 a − 3 b 0 ) = 0 {\displaystyle +eee3b3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee3b3b(04a-3b0)=0} − e e e 3 b 2 c | 0 4 a 0 0 | = − e e e 3 b 2 c ( 00 − 4 a 0 ) = 0 {\displaystyle -eee3b2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eee3b2c(00-4a0)=0} − e e e 2 c 4 a | 0 3 b 0 4 a | = − e e e 2 c 4 a ( 04 a − 3 b 0 ) = 0 {\displaystyle -eee2c4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee2c4a(04a-3b0)=0} + e e e 2 c 2 c | 0 0 0 0 | = + e e e 2 c 2 c ( 00 − 00 ) = 0 {\displaystyle +eee2c2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee2c2c(00-00)=0} + e e e d 4 a | 0 4 a 0 0 | = + e e e d 4 a ( 00 − 4 a 0 ) = 0 {\displaystyle +eeed4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eeed4a(00-4a0)=0} − e e e d 3 b | 0 0 0 0 | = − e e e d 3 b ( 00 − 00 ) = 0 {\displaystyle -eeed3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed3b(00-00)=0} (순)하삼각행렬(식) a a a | d 0 0 0 2 c d 0 0 3 b 2 c d 0 4 a 3 b 2 c d | = a a a ( d | d 0 0 2 c d 0 3 b 2 c d | − 0 | 2 c 0 0 3 b d 0 4 a 2 c d | + 0 | 2 c d 0 3 b 2 c 0 4 a 3 b d | − 0 | 2 c d 0 3 b 2 c d 4 a 3 b 2 c | ) {\displaystyle aaa{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}&0\\4a&3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}-{\cancel {0{\begin{vmatrix}2c&0&0\\3b&d&0\\4a&2c&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&0\\4a&3b&d\\\end{vmatrix}}-0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&d\\4a&3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)} a a a d | d 0 0 2 c d 0 3 b 2 c d | = a a a d ( d | d 0 2 c d | − 0 | 2 c 0 3 b d | + 0 | 2 c d 3 b 2 c | ) {\displaystyle aaa{\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{d}}\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}{\cancel {-0{\begin{vmatrix}2c&0\\3b&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d\\3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)} a a a d d | d 0 2 c d | = a a a d d ( d d − 02 c ) = a 3 d 4 {\displaystyle aaa{\color {red}{dd}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{dd}}({\color {red}{dd}}-{\cancel {02c}})=a^{3}{\color {red}{d^{4}}}} 삼각행렬 A {\displaystyle A} 에 대해서 x I − A {\displaystyle xI-A} 도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 d e t ( x I − A ) {\displaystyle det(xI-A)} 은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 A {\displaystyle A} 의 고윳값은 각 대각항이 된다. 단위 하삼각행렬 [ 1 0 0 0 ◼ 1 0 0 ◼ ◼ 1 0 ◼ ◼ ◼ 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\blacksquare &1&0&0\\\blacksquare &\blacksquare &1&0\\\blacksquare &\blacksquare &\blacksquare &1\\\end{bmatrix}}} 행렬 방정식 L x = b {\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} } 또는 U x = b {\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} } 의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는 x 1 {\displaystyle x_{1}} 을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여 x 2 {\displaystyle x_{2}} , ~ x n {\displaystyle x_{n}} 까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은 x n {\displaystyle x_{n}} , 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여 x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} , 반복하여 x 1 {\displaystyle x_{1}} 에 이른다. 행렬을 뒤집는것은 아니다. 전진대입 행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템(연립)으로 쓸 수 있다 ℓ 1 , 1 x 1 = b 1 ℓ 2 , 1 x 1 + ℓ 2 , 2 x 2 = b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ℓ ( m − 1 ) , 1 x 1 + ℓ ( m − 1 ) , 2 x 2 + ⋯ + ℓ ( m − 1 ) , ( m − 1 ) x ( m − 1 ) = b ( m − 1 ) ℓ m , 1 x 1 + ℓ m , 2 x 2 + ⋯ + ℓ m , m x m = b m {\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\\ell _{(m-1),1}x_{1}&+&\ell _{(m-1),2}x_{2}&+\dotsb +&\ell _{(m-1),(m-1)}x_{(m-1)}&=&b_{(m-1)}\\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+\dotsb +&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}} 여기서 x 1 {\displaystyle x_{1}} 는 첫 번째 방정식 ( ℓ 1 , 1 x 1 = b 1 {\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}} ) 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 x 1 {\displaystyle x_{1}} 과 x 2 {\displaystyle x_{2}} 에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 x m {\displaystyle x_{m}} 이전에 접근한 값 x m − 1 {\displaystyle x_{m-1}} 이다. 그리고 맨 마지막 m {\displaystyle m} 번째 방정식은 x m {\displaystyle x_{m}} 이다. 이러한 x 1 , x 2 , … , x m − 1 , x m {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m-1},x_{m}} 결과 수식은 다음과 같다. x 1 ℓ 1 , 1 = b 1 {\displaystyle x_{1}{\ell _{1,1}}={b_{1}}} x 1 = b 1 ℓ 1 , 1 {\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}}} 이고, x 2 ℓ 2 , 2 + ℓ 2 , 1 x 1 = b 2 {\displaystyle x_{2}{\ell _{2,2}}+\ell _{2,1}x_{1}=b_{2}} x 2 = b 2 − ℓ 2 , 1 x 1 ℓ 2 , 2 {\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}}} 이고, x 3 ℓ 3 , 3 + x 2 ℓ 2 , 2 + ℓ 2 , 1 x 1 = b 3 {\displaystyle x_{3}{\ell _{3,3}}+x_{2}{\ell _{2,2}}+\ell _{2,1}x_{1}=b_{3}} x 3 = b 3 − x 2 ℓ 2 , 2 − ℓ 2 , 1 x 1 ℓ 3 , 3 {\displaystyle x_{3}={{b_{3}-x_{2}{\ell _{2,2}}-\ell _{2,1}x_{1}} \over {\ell _{3,3}}}} 이고, 정리하면, x 1 = b 1 ℓ 1 , 1 {\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}}} x 2 = b 2 − ℓ 2 , 1 x 1 ℓ 2 , 2 {\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}}} x 3 = b 3 − x 2 ℓ 2 , 2 − ℓ 2 , 1 x 1 ℓ 3 , 3 {\displaystyle x_{3}={{b_{3}-x_{2}{\ell _{2,2}}-\ell _{2,1}x_{1}} \over {\ell _{3,3}}}} 계속해서 , ⋮ {\displaystyle \vdots } 일반화하면 x m = b m − ( ∑ i = 1 m − 1 ℓ m , i x i ) ℓ m , m {\displaystyle x_{m}={{b_{m}-\left(\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}\right)} \over {\ell _{m,m}}}} 후진대입 상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다. 사다리꼴행렬 LU 분해 Abdelwahab Kharab & Ronald B. Guenther 2013, 100쪽. harv error: 대상 없음: CITEREFAbdelwahab_KharabRonald_B._Guenther2013 (help) 소행렬식의 라플라스전개에의한 실베스터 행렬의 4차방정식 판별식 유도 중에서 매스월드 Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.  매스월드 매스월드 정보통신기술용어해설