르베그 공간

함수해석학에서 르베그 공간(Lebesgue空間, 영어: Lebesgue space) 또는 Lp 공간(영어: Lp-space)은 절댓값의 p {\displaystyle p} 제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 및 음이 아닌 확장된 실수 0 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 0\leq p\leq \infty } 가 주어졌다고 하고, K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간 L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간이며, 그 정의는 p {\displaystyle p} 의 값에 따라 다음과 같다. 0 < p ≤ ∞ {\displaystyle 0<p\leq \infty } 및 가측 함수 f : X → K {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} } 에 대하여 다음 기호를 정의하자. ‖ ⋅ ‖ p : M ( X ; K ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \|\cdot \|_{p}\colon {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\to [0,\infty ]} ‖ f ‖ p = { ∫ X | f ( x ) | p d μ p p < ∞ inf { C ∈ R : μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | > C } ) = 0 } p = ∞ {\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\int _{X}|f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu }}&p<\infty \\\inf \left\{C\in \mathbb {R} \colon \mu (\{x\in X\colon |f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty \end{cases}}} 그렇다면, L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} 를 다음과 같은 집합으로 정의하자. L p ( X ; K ) = { f ∈ M ( X ; K ) : ‖ f ‖ p < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \|f\|_{p}<\infty \}} 여기서 M ( X ; Y ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(X;Y)} 는 두 측도 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 가측 함수의 집합이며, K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다. L p ( X ; K ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간 ( ‖ ⋅ ‖ p ) − 1 ( 0 ) = { f ∈ M ( X ; K ) | ‖ f ‖ p = 0 } ⊆ L p ( X ; K ) {\displaystyle (\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )|\|f\|_{p}=0\}\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )} 으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간 L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 라고 한다.:43, §II.2:31, §1.43; 35, §1.47 L p ⁡ ( X ; K ) = L p ( X ; K ) ( ‖ ⋅ ‖ p ) − 1 ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}{(\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)}}} 이 위에는 "열린 공"들 { ball ⁡ ( f , r ) : r ∈ R + , f ∈ L p ⁡ ( X ; K ) } {\displaystyle \left\{\operatorname {ball} (f,r)\colon r\in \mathbb {R} ^{+},\;f\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\right\}} ball ⁡ ( f , r ) = { g ∈ L p ⁡ ( X ; K ) : ‖ f − g ‖ p < r } {\displaystyle \operatorname {ball} (f,r)=\left\{g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\colon \|f-g\|_{p}<r\right\}} 을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, p < 1 {\displaystyle p<1} 이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.) 만약 p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} 이라면, ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 는 L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 위의 완비 노름을 이루며, L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 p < 1 {\displaystyle p<1} 이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다. p = 0 {\displaystyle p=0} 인 경우, L 0 ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )} 은 모든 가측 함수 X → K {\displaystyle X\to \mathbb {K} } 의 (동치류의) 공간이다. 즉, K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 M ( X ; K ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )} 에 N = { f ∈ M ( X ; K ) : μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0 } ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\right\}} 를 정의하였을 때 L 0 ⁡ ( X ; K ) = M ( X ; K ) N {\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}{\mathcal {N}}}} 이다. 이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족 { d S } S ∈ Σ , μ ( S ) < ∞ {\displaystyle \{d_{S}\}_{S\in \Sigma ,\;\mu (S)<\infty }} d S ( f , g ) = ∫ S min { | f − g | , 1 } d μ {\displaystyle d_{S}(f,g)=\int _{S}\min\{|f-g|,1\}\mathrm {d} \mu } 을 통해 균등 공간 구조를 부여한다. 만약 X {\displaystyle X} 가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간 N {\displaystyle \mathbb {N} } 일 경우, L p ( N ; K ) = L p ( N ; K ) = ℓ p ( K ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\mathrm {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\ell ^{p}(\mathbb {K} )} 로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} 와 L p {\displaystyle \mathrm {L} ^{p}} 를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 f ∈ M ( N ; K ) {\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 값을 갖는 수열이 되고, 노름 ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 은 다음과 같다. ‖ f ‖ p = { ∑ i = 0 ∞ | f i | p p 0 < p < ∞ sup i ∈ N | f i | p = ∞ {\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|f_{i}|^{p}}}&0<p<\infty \\\sup _{i\in \mathbb {N} }|f_{i}|&p=\infty \end{cases}}} 만약 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 일 경우, ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다. ‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p ( f , g ∈ L p ⁡ ( X ; K ) ) {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))} 만약 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 일 경우, ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.:816 ‖ f + g ‖ p ≤ 2 ( 1 − p ) / p ( ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p ) ( f , g ∈ L p ⁡ ( X ; K ) ) {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq 2^{(1-p)/p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))} 증명: 임의의 두 음이 아닌 실수 s , t ∈ R ≥ 0 {\displaystyle s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}} 에 대하여 ( s + t ) p ≤ s p + t p ≤ 2 1 − p ( s + t ) p {\displaystyle (s+t)^{p}\leq s^{p}+t^{p}\leq 2^{1-p}(s+t)^{p}} 가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면, ( ‖ f + g ‖ p ) p = ∫ X | f + g | p d μ ≤ ∫ X ( | f | + | g | ) p d μ ≤ ∫ X ( | f | p + | g | p ) d μ = ( ‖ f ‖ p ) p + ( ‖ g ‖ p ) p ≤ 2 1 − p ( ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p ) p {\displaystyle (\|f+g\|_{p})^{p}=\int _{X}|f+g|^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|+|g|)^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|^{p}+|g|^{p})\mathrm {d} \mu =(\|f\|_{p})^{p}+(\|g\|_{p})^{p}\leq 2^{1-p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})^{p}} 이다. 임의의 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 및 p ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle p\in [0,\infty ]} 및 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 에 대하여, 다음이 성립한다. (리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 라면 L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이다. 만약 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } 라면 L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -반사 바나흐 공간이다. (그러나 p = 1 {\displaystyle p=1} 또는 p = ∞ {\displaystyle p=\infty } 인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간이다. (그러나 X {\displaystyle X} 의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.) 만약 K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 이며 p = ∞ {\displaystyle p=\infty } 일 경우 L ∞ ⁡ ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )} 는 가환 C* 대수이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다. 임의의 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 및 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } 에 대하여, L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다. ( L p ⁡ ( X ; K ) ) ′ = L q ⁡ ( X ; K ) ( 1 / p + 1 / q = 1 ) {\displaystyle (\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))'=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\qquad (1/p+1/q=1)} 구체적으로, 이 동형 사상은 L p ⁡ ( X ; K ) × L q ⁡ ( X ; K ) → K {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\times \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\to \mathbb {K} } ( [ f ] , [ g ] ) ↦ ∫ X f ( x ) g ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle ([f],[g])\mapsto \int _{X}f(x)g(x)\mathrm {d} \mu (x)} 이다. 특히, p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 L 2 {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}} 는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다. 그러나 L ∞ {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }} 의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 L 1 {\displaystyle \operatorname {L} ^{1}} 보다 훨씬 크다. 반면, 만약 X {\displaystyle X} 가 시그마 유한 측도를 갖추었다면, ( L 1 ) ′ = L ∞ {\displaystyle (\operatorname {L} ^{1})'=\operatorname {L} ^{\infty }} 이다. 임의의 두 확장된 실수 0 < p < q ≤ ∞ {\displaystyle 0<p<q\leq \infty } 가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자. ㈎ sup { μ ( S ) : S ∈ Σ , μ ( S ) ≠ ∞ } < ∞ {\displaystyle \sup\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq \infty \}<\infty } ㈏ inf { μ ( S ) : S ∈ Σ , μ ( S ) ≠ 0 } > 0 {\displaystyle \inf\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq 0\}>0} 그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다. ㈎ ⟺ L p ⁡ ( X ; K ) ⊆ L q ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )} ㈏ ⟺ L p ⁡ ( X ; K ) ⊇ L q ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\supseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )} ㈎와 ㈏가 동시에 성립 ⟺ L p ⁡ ( X ; K ) = L q ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )} 대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다. X {\displaystyle X} 가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 0 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 0\leq p\leq \infty } 에 대하여 L p ⁡ ( X ; K ) = K X {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{X}} 이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 K {\displaystyle \mathbb {K} } 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 X {\displaystyle X} 의 크기이다. p {\displaystyle p} 의 값에 따라, K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다. ‖ f ‖ p = ∑ x ∈ X | f ( x ) | p p ( 0 < p < ∞ ) {\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{x\in X}|f(x)|^{p}}}\qquad (0<p<\infty )} ‖ f ‖ ∞ = max x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\max _{x\in X}|f(x)|} 만약 p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, | X | ≥ 2 {\displaystyle |X|\geq 2} 이자 1 ≤ p ≠ 2 {\displaystyle 1\leq p\neq 2} 일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다. X = N {\displaystyle X=\mathbb {N} } 일 경우, p {\displaystyle p} 의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 ℓ p ( K ) {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )} 공간의 성질은 다음과 같다. 집합 X {\displaystyle X} 속의 원소 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 가 주어졌으며, μ ( S ) = { 1 S ∋ x 0 0 S ∌ x 0 {\displaystyle \mu (S)={\begin{cases}1&S\ni x_{0}\\0&S\not \ni x_{0}\end{cases}}} 라고 하자. 그렇다면, 0 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 0\leq p\leq \infty } 에 대하여, L p ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 다음과 같다. L p ⁡ ( X ; K ) = K {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} } ‖ f ‖ p = | f ( x 0 ) | ( 0 < p ≤ ∞ ) {\displaystyle \|f\|_{p}=|f(x_{0})|\qquad (0<p\leq \infty )} "르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다. ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).:V.83, Note historique 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.:V.84, Note historique 힐베르트의 이론을 p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} 로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.:§3, 457–459:V.86, Note historique 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 L p {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}} 를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 L p ′ = L q {\displaystyle {\operatorname {L} ^{p}}'=\operatorname {L} ^{q}} ( 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1} )을 증명하였다. 소볼레프 공간 Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Day, Mahlon M. (1940). “The spaces Lp with 0<p<1”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (10): 816–823. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07308-2. ISSN 0273-0979. MR 2700.  Villani, Alfonso (1985). “Another note on the inclusion Lp(μ) ⊂ Lq(μ)”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 92 (7): 485–487. doi:10.2307/2322503. JSTOR 2322503. MR 801221.  Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》. Éléments de mathématique (프랑스어). Masson.  Riesz, Frigyes (1910). “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 69 (4): 449–497. doi:10.1007/BF01457637. ISSN 0025-5831.  Weisstein, Eric Wolfgang. “L^p-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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