자유 리 대수

리 군론에서 자유 리 대수(自由Lie代數, 영어: free Lie algebra)는 리 대수의 범주의 자유 대상이다. 즉, 야코비 항등식 등 리 대수의 정의에 속하는 관계 밖의 다른 특별한 관계를 갖지 않는 리 대수이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 주어진 집합 S {\displaystyle S} 위의 R {\displaystyle R} 계수의 자유 리 대수 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 를 정의할 수 있다. 즉, 범주론적으로 리 대수의 범주 LieAlg R {\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{R}} 에서 집합의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는 망각 함자 Forget : LieAlg R → Set {\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {LieAlg} _{R}\to \operatorname {Set} } 의 왼쪽 수반 함자 L {\displaystyle L} 이 존재하며, L ⊣ Forget {\displaystyle L\dashv \operatorname {Forget} } 집합 S {\displaystyle S} 로부터 생성되는 자유 리 대수는 이 함자의 상 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 자유 리 대수는 구체적으로 다음과 같이 묘사할 수 있다. 집합 S {\displaystyle S} 위의 자유 리 대수를 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 라고 하고, S {\displaystyle S} 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 라고 하자. 그렇다면 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 는 자연스럽게 K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 의 부분 집합을 이루며, K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 는 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 의 보편 포락 대수이다. L ( S ) {\displaystyle L(S)} 는 K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 속의, S {\displaystyle S} 로 생성되는 부분 리 대수이다. 체 위의 자유 리 대수는 자연스럽게 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 여기서 등급은 린든 기저에 대응하는 린든 문자열의 길이(즉, 리 대수의 원소를 생성하기 위한 최소의 항의 수)와 같다. 집합 S {\displaystyle S} 에 의하여 생성되는 체 K {\displaystyle K} 계수의 자유 리 대수를 생각하자. 만약 S {\displaystyle S} 가 공집합이라면, L ( S ) {\displaystyle L(S)} 는 0차원 리 대수이다. 만약 S {\displaystyle S} 가 한원소 집합이라면, L ( S ) {\displaystyle L(S)} 는 1차원 아벨 리 대수이다. 만약 S {\displaystyle S} 의 집합의 크기가 2 이상이라면, L ( S ) {\displaystyle L(S)} 는 무한 차원 리 대수이다. 구체적으로, 다음과 같다. dim K ⁡ L ( S ) = { | S | | S | ≤ 1 ℵ 0 2 ≤ | S | ≤ ℵ 0 | S | S ≥ ℵ 0 {\displaystyle \dim _{K}L(S)={\begin{cases}|S|&|S|\leq 1\\\aleph _{0}&2\leq |S|\leq \aleph _{0}\\|S|&S\geq \aleph _{0}\end{cases}}} 시르쇼프-비트 정리(Ширшов-Witt定理, 영어: Shirshov–Witt theorem)에 따르면, 자유 리 대수의 모든 부분 리 대수는 자유 리 대수이다. 체 위의 자유 리 대수의 기저는 구체적으로 린든 단어(영어: Lyndon word)로 주어진다. 크기가 k {\displaystyle k} 인, 전순서가 주어진 알파벳 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 길이 n {\displaystyle n} 의 문자열 s = s 1 s 2 ⋯ s n ∈ Σ ∗ {\displaystyle s=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}\in \Sigma ^{*}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 문자열을 린든 단어라고 한다. s {\displaystyle s} 의 모든 회전 R i ( s ) = s i s i + 1 ⋯ s n s 1 s 2 ⋯ s i − 1 {\displaystyle R^{i}(s)=s_{i}s_{i+1}\cdots s_{n}s_{1}s_{2}\cdots s_{i-1}} 들을 생각하자. 그렇다면, s {\displaystyle s} 는 문자열 집합 { R i ( s ) : i = 0 , 1 , … , k − 1 } {\displaystyle \{R^{i}(s)\colon i=0,1,\dots ,k-1\}} 가운데 사전식 순서에 대하여 유일한 최소 원소이다. 임의의 문자열 a , b ∈ Σ ∗ {\displaystyle a,b\in \Sigma ^{*}} 에 대하여 s = a b {\displaystyle s=ab} 라고 한다면, 사전식 순서 아래 항상 a < b {\displaystyle a<b} 이다. 따라서, 임의의 린든 단어 s {\displaystyle s} 는 더 짧은 두 린든 단어 u , v {\displaystyle u,v} 를 이은 것이다. 더 짧은 린든 단어로의 분해 s = u v {\displaystyle s=uv} 에 대하여, v {\displaystyle v} 가 가장 긴 경우를 표준 분해(영어: standard factorization)라고 한다. 유한 집합 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의, 길이가 1 이상인 린든 단어의 집합은 자유 리 대수 L ( Σ ) {\displaystyle L(\Sigma )} 의 어떤 기저와 표준적으로 일대일 대응하며, 이 기저를 린든 기저(영어: Lyndon basis)라고 한다. 린든 단어 s {\displaystyle s} 에 대응하는 린든 기저 벡터 γ ( s ) {\displaystyle \gamma (s)} 는 다음과 같다. 만약 s {\displaystyle s} 의 길이가 1이라면, γ ( s ) = s ∈ Span K ⁡ Σ {\displaystyle \gamma (s)=s\in \operatorname {Span} _{K}\Sigma } 만약 s {\displaystyle s} 의 길이가 2 이상이며, 그 표준 분해가 s = u v {\displaystyle s=uv} 라면, γ ( s ) = [ γ ( u ) , γ ( v ) ] {\displaystyle \gamma (s)=[\gamma (u),\gamma (v)]} 예를 들어, 알파벳 Σ = { 0 , 1 } {\displaystyle \Sigma =\{0,1\}} 위의 린든 단어들은 다음과 같다. ε, 0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ... (ε는 길이 0의 문자열이며, 이는 린든 기저에 포함되지 않는다.) 크기 k {\displaystyle k} 위의 알파벳 위의, 길이 n {\displaystyle n} 의 린던 단어의 수는 목걸이 다항식 M n ( k ) = 1 n ∑ d ∣ n μ ( n / d ) k d {\displaystyle M_{n}(k)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)k^{d}} 로 주어진다. ( μ {\displaystyle \mu } 는 뫼비우스 함수이다.) 즉, k {\displaystyle k} 개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의, 등급 n {\displaystyle n} 부분 공간의 차원은 M n ( k ) {\displaystyle M_{n}(k)} 이다. Ширшов, А. И. (1953). “Подалгебры свободных лиевых алгебр”. 《Математический сборник》 (러시아어) 33 (75): 441–452. MR 0059892.  Witt, Ernst (1956). “Die Unterringe der freien Lieschen Ringe”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 64: 195–216. doi:10.1007/BF01166568. ISSN 0025-5874. MR 0077525.  “Lie algebra, free”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Basic commutator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Shirshov basis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Free Lie algebra”. 《nLab》 (영어).  자유군 자유 아벨 군 자유 단위 결합 대수