사다리꼴행렬

행사다리꼴행렬(Row Echelon Form matrix, 약자 REF)이라고도 불리는 사다리꼴행렬(echelon form matrix)은 가우스 소거법 및 가우스 조단 소거법 알고리즘을 통해서 알 수 있듯이, 모든 성립하는 연립방정식으로부터 첨가 행렬의 과정을 거쳐 해를 갖는 행사다리꼴행렬(REF) 또는 기약행 사다리꼴행렬(Reduced Row Echelon Form,약자 RREF)로 변환할 수 있다. 이것은, 선형 대수학에서 행렬이 가우스 소거법으로 인해 사다리꼴(에쉴론,echelon) 형태의 모양을 갖는다는 것을 의미한다. 사다리꼴 행렬(Echelon form matrix)은 가우스 소거법이 행과 열에 대해 작동한다는 것을 의미한다. 바꾸어 말하면 행렬이 행의 형태로 다루어지는 경우 행 사다리꼴 형태의 행렬 모양을 갖게 됨으로써 이처럼 일반적으로 행에 대한 사다리꼴 행렬이 고려되지만 여전히 열 사다리꼴 행렬(column echelon form matrix)의 동등한 성질은 행사다리꼴형식의 모든 성질을 전치시킴으로써 얻어낼 수도 있다. 또한, 연립방정식의 풀이가 행렬식의 과정을 통해서 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬에 대한 풀이로 귀결될 수 있다면 데카르트 좌표평면상의 경우를 포함해서 수식에 의한 (대수적) 연립방정식보다 상대적으로 쉽고 빠른 결과에 대한 정보를 얻을 수 있게되는데, 이러한 사다리꼴행렬 변환처리는 오늘날 컴퓨터에 의한 그래픽처리 등에 있어서 헤밀턴의 사원수와 함께 주요한 이슈이다. 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 경우이다. 행렬, 특히 행사다리꼴행렬(REF)에서, 모든 0 {\displaystyle 0} 이 아닌 행(적어도 하나의 0 {\displaystyle 0} 이 아닌 요소가 있는 행)은 모두 0 {\displaystyle 0} 인 행 위에 있는다. (따라서, 모두 0 {\displaystyle 0} 인 행이 있는 경우 그 행은 모두 행렬의 맨 아래에 있게 된다) 모든 0 {\displaystyle 0} 이 아닌 행의 선행 계수(최고차 계수)는 항상 그 위 행의 선행 계수의 오른쪽에 있다. (일부 문헌에서는 선행 계수를 1 {\displaystyle 1} 로 표기하기도 한다 ) 이 두 조건은 선행 계수 아래의 열에 있는 모든 항이 0 {\displaystyle 0} 임을 의미한다. 기약행 사다리꼴 행렬(RREF)의 조건 행사다리꼴행렬(REF)의 두 조건을 모두 만족하고 다음의 조건을 만족할 때 기약행 사다리꼴행렬이라고 한다. → {\displaystyle {\color {black}{\rightarrow }}} 선행 계수 1 {\displaystyle 1} 이 존재하는 열에서 그 선행 계수 1 {\displaystyle 1} 이외의 열의 배열원소가 모두 0 {\displaystyle 0} 인 경우이다. 이러한 행렬식의 과정에서, 행렬의 많은 속성은 행 및 커널(Kernel)과 같은 행 단위 형식으로부터 추론할 수 있다. 행사다리꼴행렬 [ x x x x 0 x x x 0 0 x x ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x\\0&x&x&x\\0&0&x&x\end{array}}\right]} [ x x x x x 0 0 x x x 0 0 0 x x ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x\\0&0&0&x&x\end{array}}\right]} [ x x x x x x 0 0 x x x x 0 0 0 0 x x ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x&x\\0&0&0&0&x&x\end{array}}\right]} [ 0 0 0 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}0&0\\0&0\end{array}}\right]} [ x x 0 x 0 x 0 0 1 x 0 x 0 0 0 0 1 x ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&0&x&0&x\\0&0&1&x&0&x\\0&0&0&0&1&x\end{array}}\right]} 기약행사다리꼴행렬 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]} M = ( 2 1 1 5 4 − 6 0 − 2 − 2 7 2 9 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\4&-6&0&-2\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}} 첫째 열을 사다리꼴로 변형시키기 위해 첫째 행을 이용하여 나머지 행들을 계산한다. M = ( 2 1 1 5 4 − ( 2 × 2 ) − 6 − ( 2 × 1 ) 0 − ( 2 × 1 ) − 2 − ( 2 × 5 ) − 2 7 2 9 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\4-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{2}})&-6-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{1}})&0-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{1}})&-2-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{5}})\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}} M = ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 − 2 7 2 9 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}} M = ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 − 2 − ( − 1 × 2 ) 7 − ( − 1 × 1 ) 2 − ( − 1 × 1 ) 9 − ( − 1 × 5 ) ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\0&-8&-2&-12\\-2-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{2}})&7-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{1}})&2-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{1}})&9-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{5}})\end{pmatrix}}} M = ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 0 8 3 14 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&8&3&14\end{pmatrix}}} 둘째 열을 사다리꼴로 변형하기 위해 둘째 행을 이용하여 마지막 행을 계산한다. M = ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 0 − ( − 1 × 0 ) 8 − ( − 1 × − 8 ) 3 − ( − 1 × − 2 ) 14 − ( − 1 × − 12 ) ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\{\color {blue}{0}}&{\color {blue}{-8}}&{\color {blue}{-2}}&{\color {blue}{-12}}\\0-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{0}})&8-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-8}})&3-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-2}})&14-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-12}})\end{pmatrix}}} M = ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 0 0 1 2 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&0&1&2\end{pmatrix}}} 이렇게 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다. 다음처럼 사다리꼴행렬을 얻을 수도 있다. ( 2 1 1 5 4 − 6 0 − 2 − 2 7 2 9 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\4&-6&0&-2\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}} ( 2 1 1 5 4 + ( − 2 × 2 ) − 6 + ( − 2 × 1 ) 0 + ( − 2 × 1 ) − 2 + ( − 2 × 5 ) − 2 7 2 9 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\4+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{2}})&-6+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{1}})&0+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{1}})&-2+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{5}})\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}} ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 − 2 7 2 9 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}} ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 − 2 + ( 1 × 2 ) 7 + ( 1 × 1 ) 2 + ( 1 × 1 ) 9 + ( 1 × 5 ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\0&-8&-2&-12\\-2+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{2}})&7+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{1}})&2+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{1}})&9+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{5}})\end{pmatrix}}} ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 0 8 3 14 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&8&3&14\end{pmatrix}}} ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 0 + ( 1 × 0 ) 8 + ( 1 × − 8 ) 3 + ( 1 × − 2 ) 14 + ( 1 × − 12 ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\{\color {blue}{0}}&{\color {blue}{-8}}&{\color {blue}{-2}}&{\color {blue}{-12}}\\0+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{0}})&8+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-8}})&3+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-2}})&14+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-12}})\end{pmatrix}}} ( 2 1 1 5 0 − 8 − 2 − 12 0 0 1 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&0&1&2\end{pmatrix}}} 이렇게도 같은 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다. 가우스 소거법을 사용해서, 다음과 같은 행렬 M {\displaystyle M} 의 단위행렬 I {\displaystyle I} 을 첨가 행렬로 계산하면, 역행렬 M − 1 {\displaystyle M^{-1}} 를 얻을 수 있다. M = ( − 1 1 2 3 − 1 1 − 1 3 4 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\end{pmatrix}}} 기본행연산을 가하면, 다음과 같다. (   M | I ) → ( − 1 1 2 3 − 1 1 − 1 3 4     |     1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) → ( − 1 1 2 0 2 7 0 2 2 | 1 0 0 3 1 0 − 1 0 1 ) → ( − 1 1 2 0 2 7 0 0 − 5 | 1 0 0 3 1 0 − 4 − 1 1 ) → ( 1 − 1 − 2 0 1 3.5 0 0 1 | − 1 0 0 1.5 0.5 0 0.8 0.2 − 0.2 ) → ( 1 − 1 0 0 1 0 0 0 1     |     0.6 0.4 − 0.4 − 1.3 − 0.2 0.7 0.8 0.2 − 0.2 ) → ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1     |     − 0.7 0.2 0.3 − 1.3 − 0.2 0.7 0.8 0.2 − 0.2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\ M&\vert &I\end{pmatrix}}&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&2&2\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-1&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&0&-5\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-4&-1&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&-2\\0&1&3.5\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}-1&0&0\\1.5&0.5&0\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}0.6&0.4&-0.4\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}} 따라서 M − 1 {\displaystyle M^{-1}} 은 다음과 같다. M − 1 = ( − 0.7 0.2 0.3 − 1.3 − 0.2 0.7 0.8 0.2 − 0.2 ) {\displaystyle M^{-1}={\begin{pmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{pmatrix}}} 16세기와 17세기 이후 들어 가우스가 제안한 연립방정식 행렬의 삼각행렬로의 변형을 위한 행사다리꼴행렬인 가우스 소거법에 대하여 1888년 조르단은 좀더 강한 변형법으로 가우스-조르단 소거법인 기약행사다리꼴행렬을 제안한 것으로 잘 알려져있지만 프랑스의 동시대의 수학자 클라센(Clasen) 역시 같은 해에 발표한 이와 관련한 자료를 그의 논문에서 볼 수 있다. 조르단과는 독립적으로 기약행사다리꼴행렬을 연구하여 발표한 것으로 여겨진다. 이러한 행렬식(determinant)들은 행,열 및 커널(Kernel)과 같은 행열단위 형식인 배열원소들을 통해서 행렬(matrix)의 많은 속성을 보여줌으로써 순수한 행렬 개념을 정립하는데 많은 기여를 하였다. 크래머 공식 벡터 공간 LU 분해 QR 분해 밴드 행렬 “보관된 사본”. 2015년 3월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 31일에 확인함.  https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EB%B3%B8%ED%96%89%EB%A0%AC http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=5036[깨진 링크(과거 내용 찾기)] See, for instance, Leon (2009, 13쪽) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFLeon2009 (help) Meyer 2000, 44쪽 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFMeyer2000 (help) 행사다리꼴행렬 정의 Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 102-103쪽. ISBN 978-89-966211-8-8.  Althoen, Steven C.; McLaughlin, Renate (1987), “Gauss–Jordan reduction: a brief history”, 《The American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) 94 (2): 130–142, doi:10.2307/2322413, ISSN 0002-9890, JSTOR 2322413  CLASEN Bernard – Isidore, 1888, « Sur une nouvelle méthode de résolution des équations linéaires et sur l’application de cette méthode au calcul des déterminants », Annales de la Société scientifique de Bruxelles (2), 12, 251 – 281.(http://gfol1.lareq.com/download/The%CC%81ore%CC%80me_de_De%CC%81composition_de_Cholesky_ws1022334435.pdf[깨진 링크(과거 내용 찾기)]) 행력식의 역사