스펙트럼 (함수해석학)

함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 의 분해 집합(分解集合, 영어: resolvent set)은 다음과 같은 집합이다.:252, Definition 10.10 ρ ( a ) = { λ ∈ R : λ − a ∈ Unit ⁡ ( A ) } {\displaystyle \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\in \operatorname {Unit} (A)\right\}} 여기서 Unit ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Unit} (A)} 는 A {\displaystyle A} 의 가역원군이다. 즉, λ − a {\displaystyle \lambda -a} 가 가역원이 되는 스칼라 λ {\displaystyle \lambda } 들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 a {\displaystyle a} 의 스펙트럼 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 라고 한다.:252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c) σ ( a ) = R ∖ ρ ( a ) = { λ ∈ R : λ − a ∉ Unit ⁡ ( A ) } ⊆ R ( a ∈ A ) {\displaystyle \sigma (a)=R\setminus \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}\subseteq R\qquad (a\in A)} 이 경우, 원소 ( λ − a ) − 1 ∈ A {\displaystyle (\lambda -a)^{-1}\in A} 를 a {\displaystyle a} 의 λ {\displaystyle \lambda } 에서의 분해식(分解式, 영어: resolvent)이라고 한다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체이며, A {\displaystyle A} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 의 스펙트럼 반지름(spectrum半지름, 영어: spectral radius)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.:253, Definition 10.10 s p e c r a d ⁡ ( a ) = sup λ ∈ σ ( a ) | λ | {\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\sup _{\lambda \in \sigma (a)}|\lambda |} 만약 A {\displaystyle A} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} 위의 유계 작용소의 집합 B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다. 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} 위의 유계 작용소 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 의 스펙트럼 σ ( T ) {\displaystyle \sigma (T)} 는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다. σ ( T ) = σ p ( T ) ⊔ σ r ( T ) ⊔ σ c ( T ) {\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\text{p}}(T)\sqcup \sigma _{\text{r}}(T)\sqcup \sigma _{\text{c}}(T)} 이 성분들은 각각 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum) σ p ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{p}}(T)} 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum) σ r ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{r}}(T)} 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum) σ c ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{c}}(T)} 이며, 다음과 같다. 어떤 수 λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } 에 대하여 λ ∈ σ ( T ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (T)} 이려면 T − λ {\displaystyle T-\lambda } 가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다. T − λ {\displaystyle T-\lambda } 가 단사 함수가 아니다. 이러한 λ {\displaystyle \lambda } 들의 집합을 점 스펙트럼 σ p ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{p}}(T)} 라고 한다. 이 경우 λ {\displaystyle \lambda } 는 T {\displaystyle T} 의 고윳값이며, T v = λ v {\displaystyle Tv=\lambda v} 인 고유 벡터 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 가 존재한다. T − λ {\displaystyle T-\lambda } 가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다. T − λ {\displaystyle T-\lambda } 는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한 λ {\displaystyle \lambda } 들의 집합을 잔여 스펙트럼 σ r ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{r}}(T)} 라고 한다. T − λ {\displaystyle T-\lambda } 는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 λ {\displaystyle \lambda } 들의 집합을 연속 스펙트럼 σ c ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{c}}(T)} 라고 한다. 이 경우, ( T − λ ) − 1 : ( T − λ ) ( V ) → V {\displaystyle (T-\lambda )^{-1}\colon (T-\lambda )(V)\to V} 는 V {\displaystyle V} 의 조밀 집합 ( T − λ ) ( V ) {\displaystyle (T-\lambda )(V)} 위에 정의되는, 비유계 작용소이다. 복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.:253, Theorem 10.13(a):756, Theorem 1 증명: 복소수 바나흐 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 σ ( a ) = ∅ {\displaystyle \sigma (a)=\varnothing } 이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 A ′ {\displaystyle A'} 의 임의의 원소 f ∈ A ′ {\displaystyle f\in A'} 를 고르자. 그렇다면, 이제 함수 h : R + → C {\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} } h : r ↦ ∫ 0 2 π f ( ( r exp ⁡ ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ {\displaystyle h\colon r\mapsto \int _{0}^{2\mathrm {\pi } }f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta } 를 정의하자. 그렇다면, d h d r = ∫ 0 2 π ∂ ∂ r f ( ( r exp ⁡ ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ = ∫ 0 2 π f ( a ( r 2 exp ⁡ ( 2 i θ ) ) exp ⁡ ( i θ ) d θ = 1 i r ∫ 0 2 π f ( a ( r 2 exp ⁡ ( 2 i θ ) ) i r exp ⁡ ( i θ ) d θ = 1 i r ∫ 0 2 π ∂ ∂ θ f ( ( r exp ⁡ ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial r}}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\mathrm {i} r\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=0\end{aligned}}} 이다. (이는 피적분 함수가 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 이므로 가능하다.) 즉, h {\displaystyle h} 는 상수 함수이며, 그 값은 lim r → 0 h ( r ) = − 2 π f ( a − 1 ) {\displaystyle \lim _{r\to 0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})} 이다. 이제, 임의의 r > ‖ a ‖ {\displaystyle r>\|a\|} 에 대하여 2 π | f ( a − 1 ) | = | h ( r ) | ≤ ∫ 0 2 π | f ( ( r exp ⁡ ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ ≤ 2 π ‖ f ‖ r − ‖ a ‖ {\displaystyle 2\pi |f(a^{-1})|=|h(r)|\leq \int _{0}^{2\pi }|f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \leq 2\pi {\frac {\|f\|}{r-\|a\|}}} 가 되므로, 사실 f ( a − 1 ) = 0 {\displaystyle f(a^{-1})=0} 이어야만 한다. 즉, 임의의 f ∈ A ′ {\displaystyle f\in A'} 에 대하여 f ( a − 1 ) = 0 {\displaystyle f(a^{-1})=0} 이어야만 한다. 그런데 a − 1 ≠ 0 {\displaystyle a^{-1}\neq 0} 이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다. 복소수 바나흐 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 겔판트 공식(영어: Gelfand formula)에 의하여 주어진다.:195–197 s p e c r a d ⁡ ( a ) = lim n → ∞ ‖ a n ‖ n {\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}} (반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.) K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 에 대하여, K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 위의 유계 작용소 T {\displaystyle T} 의 스펙트럼은 항상 K {\displaystyle \mathbb {K} } 속의 콤팩트 집합이다.:253, Theorem 10.13(a) 특히 | λ | ≤ ‖ T ‖ ( ∀ λ ∈ σ ( T ) ) {\displaystyle |\lambda |\leq \|T\|\qquad (\forall \lambda \in \sigma (T))} 이다. 여기서 ‖ T ‖ {\displaystyle \|T\|} 는 작용소 노름이다. V = K n {\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}} 가 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 V → V {\displaystyle V\to V} 가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다. 특히, 선형 변환 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} (즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다. 복소수 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 위의 콤팩트 작용소 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 의 경우, 다음이 성립한다. 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 이다. 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 이다. 즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다. 복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다. 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 위의 정규 작용소 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다. s p e c r a d ⁡ ( T ) = sup v ∈ V ∖ { 0 } | ⟨ v , T v ⟩ | ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (T)=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|\langle v,Tv\rangle |}{\langle v,v\rangle }}} 보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 수치 반지름(數値半지름, 영어: numerical radius)이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 스펙트럼형 작용소(spectrum型作用素, 영어: spectraloid operator)라고 한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 및 z ∈ ρ ( a ) {\displaystyle z\in \rho (a)} 에 대하여, 만약 ‖ a ‖ < | z | {\displaystyle \|a\|<|z|} 라면, 분해식의 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, 영어: Neumann series)가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.:250, Chapter 10 1 z − a = 1 z ∑ n = 0 ∞ ( a / z ) n {\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }(a/z)^{n}} 증명: 위 급수는 당연히 코시 열이며, A {\displaystyle A} 가 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다. 실수 행렬 ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}} 는 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 위의 작용소로서 점 스펙트럼 { ± i } {\displaystyle \{\pm \mathrm {i} \}} 를 갖는다. 복소수 힐베르트 공간 V = ℓ 2 ( C ) {\displaystyle V=\ell ^{2}(\mathbb {C} )} 를 생각하자. 그렇다면 사상 T : ( x 1 , x 2 , … ) ↦ ( 0 , x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle T\colon (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )} 은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. T {\displaystyle T} 는 고윳값을 가지지 않지만, T {\displaystyle T} 는 전사 함수가 아니므로 T {\displaystyle T} 의 스펙트럼은 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 이다. 이 경우, T {\displaystyle T} 의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다. 임의의 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 에 대하여, 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 위의 르베그 공간 V = L p ⁡ ( X , Σ , μ ; K ) {\displaystyle V=\operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수 f : ( X , Σ ) → ( K , B ( K ) ) {\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))} 의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 N ⊆ X {\displaystyle N\subseteq X} 에 대하여 f ↾ ( X ∖ N ) {\displaystyle f\upharpoonright (X\setminus N)} 의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 B ( K ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )} 는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소 T f : V → V {\displaystyle T_{f}\colon V\to V} T f : g ↦ f g {\displaystyle T_{f}\colon g\mapsto fg} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -유계 작용소이다. 이제, 집합 e s s r a n ⁡ f ⊆ K {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \mathbb {K} } 를 다음과 같이 정의하자. λ ∈ e s s r a n ⁡ f ⟺ def ∀ ϵ ∈ R + : μ ( f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , ϵ ) ) ) > 0 {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f{\overset {\text{def}}{\iff }}\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\colon \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)>0} 그렇다면, e s s r a n ⁡ f = σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f=\sigma (T_{f})} 이다. 증명 ( e s s r a n ⁡ f ⊇ σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\supseteq \sigma (T_{f})} ): 임의의 λ ∈ K ∖ e s s r a n ⁡ f {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} \setminus \operatorname {ess\,ran} f} 가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라 μ ( f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , ϵ ) ) ) = 0 {\displaystyle \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)=0} 인 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 이 존재한다. 그렇다면, 가측 함수 g : ( X , Σ ) → ( K , B ( K ) ) {\displaystyle g\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))} g : x ↦ 1 λ − f ( x ) {\displaystyle g\colon x\mapsto {\frac {1}{\lambda -f(x)}}} 를 생각하자. 그렇다면, T g ∘ ( λ − T f ) = 1 {\displaystyle T_{g}\circ (\lambda -T_{f})=1} 이다. 따라서 λ ∈ ρ ( T f ) {\displaystyle \lambda \in \rho (T_{f})} 이다. 증명 ( e s s r a n ⁡ f ⊆ σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})} , p < ∞ {\displaystyle p<\infty } ): 임의의 λ ∈ e s s r a n ⁡ f {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열 g n = 1 μ ( f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , 1 / n ) ) ) 1 / p χ f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , 1 / n ) ) ∈ L p ⁡ ( X , Σ , μ ; K ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle g_{n}={\frac {1}{{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}^{1/p}}}\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 을 정의하자. (여기서 χ {\displaystyle \chi } 는 지시 함수이다.) 그렇다면, ( ‖ ( λ − T f ) g n ‖ L p ) p = 1 μ ( f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , 1 / n ) ) ) ∫ f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , 1 / n ) ) | λ − f | p d μ ≤ 1 n p {\displaystyle \left(\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}\right)^{p}={\frac {1}{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}}\int _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}|\lambda -f|^{p}\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}} 이므로, 특히 lim n → ∞ ‖ ( λ − T f ) g n ‖ L p = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}=0} 이다. 이에 따라, λ − T f {\displaystyle \lambda -T_{f}} 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다. 증명 ( e s s r a n ⁡ f ⊆ σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})} , p = ∞ {\displaystyle p=\infty } ): 임의의 λ ∈ e s s r a n ⁡ f {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열 g n = χ f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , 1 / n ) ) ∈ L ∞ ⁡ ( X , Σ , μ ; K ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle g_{n}=\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 을 정의하자. (여기서 χ {\displaystyle \chi } 는 지시 함수이다.) 그렇다면, ‖ ( λ − T f ) g n ‖ L ∞ = e s s s u p ⁡ ( | λ − f | ↾ f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , 1 / n ) ) ) ≤ 1 / n {\displaystyle \|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=\operatorname {ess\,sup} \left(|\lambda -f|\upharpoonright f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)\leq 1/n} 이므로, 특히 lim n → ∞ ‖ ( λ − T f ) g n ‖ L ∞ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=0} 이다. 이에 따라, λ − T f {\displaystyle \lambda -T_{f}} 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다. 그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다. 임의의 λ ∈ e s s r a n ⁡ f {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f} 에 대하여, 만약 μ − 1 ( { λ } ) > 0 {\displaystyle \mu ^{-1}(\{\lambda \})>0} 이라면, λ ∈ σ p ( T f ) {\displaystyle \lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})} 이며, 만약 그렇지 않다면 λ ∈ σ c ( T f ) {\displaystyle \lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})} 이다. 특히, T f {\displaystyle T_{f}} 는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 증명 ( μ ( f − 1 ( { λ } ) ) > 0 ⟹ λ ∈ σ p ( T f ) {\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))>0\implies \lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})} ): 지시 함수 χ f − 1 ( { λ } ) {\displaystyle \chi _{f^{-1}(\{\lambda \})}} 는 λ {\displaystyle \lambda } 의 고유 벡터이다. 증명 ( μ ( f − 1 ( { λ } ) ) = 0 ⟹ λ ∈ σ c ( T f ) {\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))=0\implies \lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})} ): 임의의 g ∈ L p ⁡ ( X , Σ , μ ; K ) {\displaystyle g\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )} 에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자. h n = g λ − f χ X ∖ f − 1 ( ball K ⁡ ( λ , 1 / n ) ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle h_{n}={\frac {g}{\lambda -f}}\chi _{X\setminus f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n))}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 여기서 χ {\displaystyle \chi } 는 지시 함수이다. 그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라 ( λ − T f ) h n → L p g {\displaystyle (\lambda -T_{f})h_{n}\,{\overset {\operatorname {L} ^{p}}{\to }}\,g} 이다. 즉, λ − T f {\displaystyle \lambda -T_{f}} 의 상은 항상 조밀 집합이다. 가환환 R {\displaystyle R} 를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 의 스펙트럼은 σ ( r ) = R ∖ ( r + Unit ⁡ ( R ) ) {\displaystyle \sigma (r)=R\setminus (r+\operatorname {Unit} (R))} 이다. (여기서 Unit ⁡ ( R ) = { r ∈ R : ∃ r − 1 } {\displaystyle \operatorname {Unit} (R)=\{r\in R\colon \exists r^{-1}\}} 는 가역원군이다.) 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 a ∈ H {\displaystyle a\in \mathbb {H} } 의 스펙트럼은 다음과 같다. σ ( a ; R ) = R ∩ { a } {\displaystyle \sigma (a;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{a\}} (특히, 만약 a ∉ R ⊆ H {\displaystyle a\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} } 이라면 σ ( a ) = ∅ {\displaystyle \sigma (a)=\varnothing } 이다.) 마찬가지로, 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 의 스펙트럼은 다음과 같다. σ ( z ; R ) = R ∩ { z } {\displaystyle \sigma (z;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{z\}} (특히, 만약 z ∉ R ⊆ H {\displaystyle z\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} } 이라면 σ ( z ) = ∅ {\displaystyle \sigma (z)=\varnothing } 이다.) 물론, C {\displaystyle \mathbb {C} } 를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, σ ( z ; C ) = { z } {\displaystyle \sigma (z;\mathbb {C} )=\{z\}} 이다. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 대수 C 0 ( X , K ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )} 의 원소 f ∈ C 0 ( X , K ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )} 의 스펙트럼은 그 상이다. σ ( f ) = { f ( x ) : x ∈ X } ⊆ K {\displaystyle \sigma (f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq \mathbb {K} } 유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다. "스펙트럼"(독일어: Spektrum 슈펙트룸[*])과 "분해식"(독일어: Resolvente 레졸벤테[*])이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다. 양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간 H = L 2 ( R ; C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )} 위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜 V : R → R {\displaystyle V\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 이 주어졌으며, inf x ∈ R V ( x ) > ∞ {\displaystyle \inf _{x\in \mathbb {R} }V(x)>\infty } 이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자 H = − d 2 d x 2 + V ( x ) {\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+V(x)} 를 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수 α ∈ C , ℜ ( α ) ≤ 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\;\Re (\alpha )\leq 0} 에 대하여 유계 작용소 exp ⁡ ( α H ) : H → H {\displaystyle \exp(\alpha H)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상 σ ( exp ⁡ ( α H ) ) = { exp ⁡ ( α E ) : E ∈ R } {\displaystyle \sigma (\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in \mathbb {R} \}} 의 꼴이다. 이에 따라, E {\displaystyle E} 를 H {\displaystyle H} 의 스펙트럼으로 여길 수 있다. ℜ ( α ) < 0 {\displaystyle \Re (\alpha )<0} 의 경우, exp ⁡ ( α H ) {\displaystyle \exp(\alpha H)} 의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다. 자기 수반 작용소 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Singh, Dinesh (2006년 10월). “The spectrum in a Banach algebra”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 113 (8): 756–758. doi:10.2307/27642038. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642038.  Lax, Peter D. (2002). 《Functional analysis》 (영어). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-55604-1.  Fredholm, E. I. (1903). “Sur une classe d’equations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 27: 365–390. doi:10.1007/bf02421317.  “Spectrum of an operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Resolvent set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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