대합 대수

환론에서 대합 대수(對合代數, 영어: algebra with involution, *-algebra)는 호환되는 대합이 주어진 결합 대수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 대합 대수(영어: algebra with involution, *-algebra) ( A , ∗ ) {\displaystyle (A,^{*})} 은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다. R {\displaystyle R} 는 K {\displaystyle K} 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다. ∗ : A → A op {\displaystyle ^{*}\colon A\to A^{\operatorname {op} }} 는 K {\displaystyle K} -가군 준동형이자 환 준동형이며, 대합이다. (여기서 A op {\displaystyle A^{\operatorname {op} }} 는 반대환을 뜻한다.) 즉, 구체적으로 다음이 성립한다. 임의의 k ∈ K {\displaystyle k\in K} 및 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, ( k a ) ∗ = k a ∗ {\displaystyle (ka)^{*}=ka^{*}} 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, ( a b ) ∗ = b ∗ a ∗ {\displaystyle (ab)^{*}=b^{*}a^{*}} 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, ( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ {\displaystyle (a+b)^{*}=a^{*}+b^{*}} 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, a ∗ ∗ = a {\displaystyle a^{**}=a} 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 결합 대수는 환과 같은 개념이므로, 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 대합 대수를 대합환이라고 한다. 보다 일반적으로, 가환 대합환 ( K , ∗ ) {\displaystyle (K,^{*})} 위의 대합 대수 ( A , ∗ ) {\displaystyle (A,^{*})} 는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다. A {\displaystyle A} 는 K {\displaystyle K} 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다. ∗ : A → A op {\displaystyle ^{*}\colon A\to A^{\operatorname {op} }} 는 다음을 만족시킨다. 임의의 k ∈ K {\displaystyle k\in K} 및 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, ( k a ) ∗ = k ∗ a ∗ {\displaystyle (ka)^{*}=k^{*}a^{*}} 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, ( a b ) ∗ = b ∗ a ∗ {\displaystyle (ab)^{*}=b^{*}a^{*}} 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, ( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ {\displaystyle (a+b)^{*}=a^{*}+b^{*}} 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, a ∗ ∗ = a {\displaystyle a^{**}=a} 예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다. 가환 대합환 ( K , ∗ ) {\displaystyle (K,^{*})} 가 주어졌으며, 그 부분환 K 0 = { λ ∈ K : λ = λ ∗ } {\displaystyle K_{0}=\{\lambda \in K\colon \lambda =\lambda ^{*}\}} 을 생각하자. 그렇다면, ( K , ∗ ) {\displaystyle (K,^{*})} -대합 대수 A {\displaystyle A} 의 원소에 대하여, 다음과 같은 특별한 것들을 정의할 수 있다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 임의의 결합 대수 A {\displaystyle A} 위에 항등 함수 대합 a = a ∗ {\displaystyle a=a^{*}} 을 주면, 이는 K {\displaystyle K} -대합 대수를 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 와 R {\displaystyle R} 사이의 환 준동형 K → R {\displaystyle K\to R} 이 주어졌다고 하자. R {\displaystyle R} 위의 대합을 항등 함수로 정의한다면 R {\displaystyle R} 는 (자명한) K {\displaystyle K} -대합 대수를 이룬다. 보다 일반적으로, R {\displaystyle R} 에 추가로 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다. R = R 0 ⊕ R 1 {\displaystyle R=R_{0}\oplus R_{1}} ( r 0 + r 1 ) ∗ = r 0 − r 1 ∀ r 0 ∈ R 0 , r 1 ∈ R 1 {\displaystyle (r_{0}+r_{1})^{*}=r_{0}-r_{1}\qquad \forall r_{0}\in R_{0},\;r_{1}\in R_{1}} 이 역시 K {\displaystyle K} -대합 대수를 이룬다. 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 R {\displaystyle \mathbb {R} } -대합 대수를 이루며, 대합 연산은 복소켤레이다. 보다 일반적으로, 체 K {\displaystyle K} 및 n ∈ K × ∖ ( K × ) 2 {\displaystyle n\in K^{\times }\setminus (K^{\times })^{2}} 에 대하여, 2차 확대 K ( n ) {\displaystyle K({\sqrt {n}})} 위에 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다. ( a + b n ) ∗ = a − b n ∀ a , b ∈ K {\displaystyle (a+b{\sqrt {n}})^{*}=a-b{\sqrt {n}}\qquad \forall a,b\in K} 이는 K {\displaystyle K} -대합 대수를 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 위에 다음과 같은 대합을 줄 수 있다. p ∗ ( x ) = p ( − x ) ∀ p ∈ K [ x ] {\displaystyle p^{*}(x)=p(-x)\qquad \forall p\in K[x]} 그렇다면 이는 K {\displaystyle K} -대합 대수를 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 행렬환 Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} 에서, 대합을 전치행렬로 놓는다면 이는 K {\displaystyle K} -대합 대수를 이룬다. 사원수환 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 (사원수 켤레에 대하여) R {\displaystyle \mathbb {R} } -대합 대수를 이루지만, C {\displaystyle \mathbb {C} } -대합 대수를 이루지 않는다. 모든 C* 대수나 폰 노이만 대수는 정의에 따라 복소수 대합 대수를 이룬다. 특히, 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 는 에르미트 수반을 대합으로 삼아 복소수 대합 대수를 이룬다. C* 대수 케일리-딕슨 구성 폰 노이만 대수 “Involution algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Involutive algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Star-algebra”. 《nLab》 (영어).