밂 (범주론)

범주론에서 밂(영어: pushout 푸시아웃[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 쌍대곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올쌍대곱(영어: fibered coproduct)이라고 불린다. 어떤 범주에서 대상 X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} 및 사상 X ← f Z → g Y {\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y} 이 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 밂 X ⊔ Z Y {\displaystyle X\sqcup _{Z}Y} 는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 P {\displaystyle P} 및 사상 p 1 , p 2 {\displaystyle p_{1},p_{2}} 이다. Z → f X g ↓ ↓ p 1 Y → p 2 P {\displaystyle {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle p_{1}\\Y&{\xrightarrow[{p_{2}}]{}}&P\end{matrix}}} 이는 범주론적 쌍대극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 Q {\displaystyle Q} 및 사상 q 1 : Q → X {\displaystyle q_{1}\colon Q\to X} , q 2 : Q → Y {\displaystyle q_{2}\colon Q\to Y} 에 대하여, 만약 q 1 ∘ f = q 2 ∘ g {\displaystyle q_{1}\circ f=q_{2}\circ g} 라면 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 u : P → Q {\displaystyle u\colon P\to Q} 가 존재한다. Z → f X g ↓ ↓ ↘ Y → P q 1 ↘ ↘ ∃ ! u ↓ q 2 → Q {\displaystyle {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow &\searrow \\Y&\to &P&&{}^{q_{1}}\\&\searrow &&\searrow ^{\exists !u}&\downarrow \\&&{}_{q_{2}}&\to &Q\end{matrix}}} 만약 X = Y {\displaystyle X=Y} 이며 f = g {\displaystyle f=g} 일 경우, X ← f Z → f X {\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {f}}X} 의 밂은 쌍대핵쌍(雙對核雙,영어: cokernel pair)이라고 한다. (유한) 쌍대곱과 쌍대동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 쌍대곱 X → ι X X ⊔ Y ← ι Y Y {\displaystyle X{\xrightarrow {\iota _{X}}}X\sqcup Y{\xleftarrow {\iota _{Y}}}Y} 이 주어졌을 때, X ← f Z → g Y {\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y} 의 밂은 Z → ι Y ∘ g ι X ∘ f X ⊔ Y {\displaystyle Z{\xrightarrow[{\iota _{Y}\circ g}]{\iota _{X}\circ f}}X\sqcup Y} 의 쌍대동등자이다. 반대로, 밂과 쌍대곱이 존재하는 범주에서는 쌍대동등자가 존재한다. 만약 Z {\displaystyle Z} 가 끝 대상일 경우, X × Z Y ≅ X × Y {\displaystyle X\times _{Z}Y\cong X\times Y} 이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다. 밂은 당김의 반대 개념이다. 즉, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서의 밂은 그 반대 범주 C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 에서의 당김이며, 반대로 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서의 당김은 C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 에서의 밂이다. 집합과 함수의 범주에서, X ← f Z → g Y {\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y} 의 밂은 다음과 같은 몫집합이다. X ⊔ Z Y = ( X ⊔ Y ) / ∼ {\displaystyle X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim }} x ∼ y ⟺ ∃ z ∈ Z : ( x , y ) = ( f ( z ) , g ( z ) ) {\displaystyle x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))} 대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우는 완비 범주이자 쌍대완비 범주이므로, 밂이 항상 존재한다. 이 경우, 두 대수 구조 X ← f Z → g Y {\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y} 의 밂은 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 쌍대곱에서, Z {\displaystyle Z} 의 원소의 상들을 합치는 최소의 합동 관계에 대한 몫대수이다. 예를 들어, 군의 범주에서 밂은 융합된 자유곱라고 불린다. 위상 공간의 범주에서, X ← f Z → g Y {\displaystyle X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y} 의 밂은 분리합집합 X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 의 다음과 같은 몫공간이다. X ⊔ Z Y = ( X ⊔ Y ) / ∼ {\displaystyle X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim }} x ∼ y ⟺ ∃ z ∈ Z : ( x , y ) = ( f ( z ) , g ( z ) ) {\displaystyle x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))} 특수한 경우로, 만약 Z {\displaystyle Z} 가 한원소 공간일 경우 이는 쐐기합이라고 불린다. 쌍대곱 당김 (범주론) Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Fibre product of objects in a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Pushout”. 《nLab》 (영어).  “Cokernel pair”. 《nLab》 (영어).