점을 가진 공간

호모토피 이론에서 점을 가진 공간(영어: pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 시작 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 을 갖는다고 하자. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 점을 가진 범주(영어: pointed category) C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 는 쌍대 조각 범주 1 ∖ C {\displaystyle 1\backslash {\mathcal {C}}} 이다. 즉, C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 의 대상은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상 ∙ X : 1 → X {\displaystyle \bullet _{X}\colon 1\to X} 이다. 이는 X {\displaystyle X} 와 그 속의 "점" ∙ X {\displaystyle \bullet _{X}} 의 순서쌍 ( X , ∙ X ) {\displaystyle (X,\bullet _{X})} 으로 생각할 수 있다. 이를 X {\displaystyle X} 의 밑점(-點, 영어: basepoint)이라고 한다. C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 의 대상 ( X , ∙ X ) , ( Y , ∙ Y ) ∈ C ∙ {\displaystyle (X,\bullet _{X}),(Y,\bullet _{Y})\in {\mathcal {C}}_{\bullet }} 사이의 사상 f : ( X , ∙ X ) → ( Y , ∙ Y ) {\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})} 은 다음 그림을 가환하게 하는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다. 1 → ∙ X X ∙ Y ↘ ↓ f Y {\displaystyle {\begin{matrix}1&{\xrightarrow {\bullet _{X}}}&X\\&{\scriptstyle \bullet _{Y}}\!\!\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}}} 즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다. 시작 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 을 가진 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 점을 가진 범주 C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 는 항상 영 대상 1 ∈ C ∙ {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}_{\bullet }} 을 가진다. 영 대상을 가진 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 점을 가진 범주는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 동치이다. 즉, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 영 대상을 가진다. C ≃ D ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}_{\bullet }} 인, 시작 대상을 가진 범주 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 가 존재한다. 시작 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 을 가진 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 점을 가진 범주 C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 는 원래 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 로 가는 자연스러운 망각 함자 F : C ∙ → C {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}_{\bullet }\to {\mathcal {C}}} 를 갖는다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자 ( − ) + : C → C ∙ {\displaystyle (-)_{+}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\bullet }} ( − ) + : ( X ∈ C ) ↦ X + = ( X ⊔ 1 , 1 ↪ X ⊔ 1 ) {\displaystyle (-)_{+}\colon (X\in {\mathcal {C}})\mapsto X_{+}=(X\sqcup 1,1\hookrightarrow X\sqcup 1)} ( − ) + ⊣ F {\displaystyle (-)_{+}\dashv F} 를 갖는다. 이를 밑점 추가(영어: adjoining disjoint basepoint)라고 한다. ( C , ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )} 가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면 C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 에서의 텐서곱은 분쇄곱(영어: smash product) ∧ {\displaystyle \wedge } 이라고 한다. 또한, 만약 ( C , ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )} 가 대칭 모노이드 범주라면 ( C ∙ , ∧ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{\bullet },\wedge )} 역시 대칭 모노이드 범주이다. 구체적으로, C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 속의 두 대상 ( X , ∙ X ) {\displaystyle (X,\bullet _{X})} , ( Y , ∙ Y ) {\displaystyle (Y,\bullet _{Y})} 의 분쇄곱 ( X , ∙ X ) ∧ ( Y , ∙ Y ) {\displaystyle (X,\bullet _{X})\wedge (Y,\bullet _{Y})} 은 다음과 같은 밂이다. ( X ⊗ 1 ) ⊔ ( 1 ⊗ Y ) → 1 ↓ ↓ X ⊗ Y → X ∧ Y {\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \\X\otimes Y&\to &X\wedge Y\end{matrix}}} 이 네모의 왼쪽 변은 ⊗ ∙ Y : X ⊗ 1 → X ⊗ Y {\displaystyle \otimes \bullet _{Y}\colon X\otimes 1\to X\otimes Y} ∙ X ⊗ : 1 ⊗ Y → X ⊗ Y {\displaystyle \bullet _{X}\otimes \colon 1\otimes Y\to X\otimes Y} 로부터 유도되는 사상 ( ⊗ ∙ Y ) ⊔ ( ∙ X ⊗ ) : ( X ⊗ 1 ) ⊔ ( 1 ⊗ Y ) → X ⊗ Y {\displaystyle (\otimes \bullet _{Y})\sqcup (\bullet _{X}\otimes )\colon (X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)\to X\otimes Y} 이다. C ∙ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }} 에서의 지수 대상 [ − , − ] ∙ {\displaystyle [-,-]_{\bullet }} 은 다음과 같은 당김이다. [ X , Y ] ∙ → 1 ↓ ↓ ∙ Y [ X , Y ] → ∘ ∙ X [ 1 , Y ] {\displaystyle {\begin{matrix}[X,Y]_{\bullet }&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle {\bullet _{Y}}\\{}[X,Y]&{\xrightarrow[{\circ {\bullet _{X}}}]{}}&[1,Y]\end{matrix}}} [ X , Y ] ∙ {\displaystyle [X,Y]_{\bullet }} 의 점은 유일한 사상 X → 1 → ∙ Y Y {\displaystyle X\to 1{\xrightarrow {\bullet _{Y}}}Y} 에 대응한다. 집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합(영어: pointed set)의 범주 Set ∙ {\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }} 의 원소는 집합 S {\displaystyle S} 와 그 속의 원소 ∙ S ∈ S {\displaystyle \bullet _{S}\in S} 의 순서쌍 ( S , ∙ S ) {\displaystyle (S,\bullet _{S})} 이다. 점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.) 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서 끝 대상은 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 이며, 한원소 공간에서 위상 공간 X {\displaystyle X} 로 가는 연속 함수 { ∙ } → X {\displaystyle \{\bullet \}\to X} 는 X {\displaystyle X} 속의 한 점 ∙ X ∈ X {\displaystyle \bullet _{X}\in X} 을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간(영어: pointed space) ( X , x 0 ) {\displaystyle (X,x_{0})} 은 위상 공간 X {\displaystyle X} 와 그 속의 한 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주 T o p ∙ {\displaystyle \operatorname {Top_{\bullet }} } 의 사상인 점을 보존하는 연속 함수(영어: basepoint-preserving continuous map) f : ( X , ∙ X ) → ( Y , ∙ Y ) {\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})} 는 f ( ∙ X ) = ∙ Y {\displaystyle f(\bullet _{X})=\bullet _{Y}} 인 연속 함수이다. 군의 범주 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 나 아벨 군의 범주 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } , 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다. 예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 항등원 1 G ∈ G {\displaystyle 1_{G}\in G} 는 그 "점"을 이룬다. Weisstein, Eric Wolfgang. “Pointed space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pointed map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Pointed object”. 《nLab》 (영어).  “Pointed category”. 《nLab》 (영어).  “Pointed set”. 《nLab》 (영어).  “Pointed space”. 《nLab》 (영어).