단사 가군

환론에서 단사 가군(單射加群, 영어: injective module)은 이를 포함하는 모든 가군을 직합으로 쪼갤 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 단사 대상이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 단사 왼쪽 가군이라고 한다. 임의의 짧은 완전열 0 → Q → M → K {\displaystyle 0\to Q\to M\to K} 은 분할 완전열이다. 즉, 임의의 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여 Q ⊂ M {\displaystyle Q\subset M} 이라면, M = Q ⊕ N {\displaystyle M=Q\oplus N} 인 부분 가군 K ⊂ M {\displaystyle K\subset M} 이 존재한다. Q {\displaystyle Q} 는 범주 R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} 의 단사 대상이다. 즉, 함자 hom ⁡ ( − , Q ) : R -Mod op → Ab {\displaystyle \hom(-,Q)\colon R{\text{-Mod}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} } 은 완전 함자이다. 임의의 가군 준동형 f : M → Q {\displaystyle f\colon M\to Q} 및 단사 가군 준동형 ι : M ↪ M ~ {\displaystyle \iota \colon M\hookrightarrow {\tilde {M}}} 에 대하여, f ~ ∘ ι = f {\displaystyle {\tilde {f}}\circ \iota =f} 인 가군 준동형 f ~ : M ~ → Q {\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {M}}\to Q} 가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.) 0 → M → M ~ ↓ ↙ ∃ Q {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &M&\to &{\tilde {M}}\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}} (베어 조건 영어: Baer’s criterion) 임의의 왼쪽 아이디얼 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq R} 및 가군 준동형 f : I → Q {\displaystyle f\colon I\to Q} 에 대하여, f ~ | I = f {\displaystyle {\tilde {f}}|_{I}=f} 인 가군 준동형 F ~ : R → Q {\displaystyle {\tilde {F}}\colon R\to Q} 가 존재한다. 0 → I → R ↓ ↙ ∃ Q {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &I&\to &R\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}} 마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 단사 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 임의의 왼쪽 가군들의 집합 { M i } i ∈ I {\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, 다음이 동치이다. 직접곱 ∏ i ∈ I M i {\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}} 이 단사 왼쪽 가군이다. 모든 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 M i {\displaystyle M_{i}} 가 단사 왼쪽 가군이다. 유한 개의 가군의 직합은 직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다. 배스-파프 정리 영어: Bass–Papp theorem에 따르면, 임의의 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:80–81, Theorem 3.46 R {\displaystyle R} 는 왼쪽 뇌터 환이다. R {\displaystyle R} 의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다. R {\displaystyle R} 의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다. R {\displaystyle R} 의 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다. 단사 가군은 데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다. 데데킨트 정역 D {\displaystyle D} 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.) 데데킨트 정역 D {\displaystyle D} 에 대하여, D {\displaystyle D} 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 D {\displaystyle D} 위의 소 아이디얼들의 집합 Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ D {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D} 에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다. 만약 p ≠ ( 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq (0)} 일 경우: R p / R {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R} 만약 p = ( 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}=(0)} 일 경우: 분수체 R ( 0 ) = Frac ⁡ R {\displaystyle R_{(0)}=\operatorname {Frac} R} 여기서 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 R ∖ p {\displaystyle R\setminus {\mathfrak {p}}} 에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체 Frac ⁡ D = R ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {Frac} D=R_{(0)}} 는 D {\displaystyle D} 의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼 ( 0 ) ⊂ D {\displaystyle (0)\subset D} 에 대응한다. 예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다. 유리수체의 덧셈군 Q = Frac ⁡ D {\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} D} 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, 프뤼퍼 군 Z ( p ∞ ) = Z ( p ) / Z {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} _{(p)}/\mathbb {Z} } 모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, R {\displaystyle R} 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 R {\displaystyle R} 위의 소 아이디얼들의 집합 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ D {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D} 에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} 의 단사 폐포(영어: injective hull, R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} 를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} 의 단사 폐포는 표준적으로 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} -가군을 이루며, R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} 의 R {\displaystyle R} -가군으로서의 단사 폐포는 R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} 의 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} -가군으로서의 단사 폐포와 일치한다. 자명 가군은 단사 가군이다. 체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다. 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이라고 한다. 임의의 정역 R {\displaystyle R} 위에서, R {\displaystyle R} 를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 이다. 특히, 체가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다. 몫환 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 D {\displaystyle D} 의 아이디얼 a ⊊ D {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq D} 에 대하여 ( D ≠ a {\displaystyle D\neq {\mathfrak {a}}} ), D / a {\displaystyle D/{\mathfrak {a}}} 는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다. 모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다. 라인홀트 베어(독일어: Reinhold Baer, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다. 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다. 사영 가군 단사 대상 나눗셈군 단사층 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics No. 189 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Baer, Reinhold (1940). “Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (10): 800–807. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07306-9. MR 0002886. Zbl 0024.14902.  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  “Injective module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Injective module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Injective module”. 《nLab》 (영어).  “Baer's criterion”. 《nLab》 (영어).