L∞-대수

수학에서 L∞-대수(L∞-algebra) 또는 호모토피 리 대수(영어: homotopy Lie algebra)는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 등급을 갖는 대수이다. 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다. 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} 위의 초벡터 공간 V = V + ⊕ V − {\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}} 이 주어졌을 때, 다음을 정의하자. ⋀ V = T ⁡ ( V ) I {\displaystyle \bigwedge V={\frac {\operatorname {T} (V)}{\mathfrak {I}}}} 여기서 I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 는 텐서 대수 T ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {T} (V)} 의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다. I = ( v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v n − ( − ) σ ( − ) σ , v → v σ ( 1 ) ⊗ v σ ( 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( n ) : σ ∈ Sym ⁡ ( n ) , v 1 , … , v n ∈ V + ∪ V − ) {\displaystyle {\mathfrak {I}}=\left(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dotsb \otimes v_{n}-(-)^{\sigma }(-)^{\sigma ,{\vec {v}}}v_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \dotsb \otimes v_{\sigma (n)}\colon \sigma \in \operatorname {Sym} (n),\;v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V_{+}\cup V_{-}\right)} 여기서 ( − ) σ ∈ { ± 1 } {\displaystyle (-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}} 는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 Sym ⁡ ( n ) → Sym ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Sym} (2)} 에 대한 상이다. ( − ) σ , v → ∈ { ± 1 } {\displaystyle (-)^{\sigma ,{\vec {v}}}\in \{\pm 1\}} 는 σ {\displaystyle \sigma } 가 ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{n})} 에 작용할 때, V − {\displaystyle V_{-}} 에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 + 1 {\displaystyle +1} , 홀수일 경우 − 1 {\displaystyle -1} 이다. 물론 ⋀ V {\displaystyle \textstyle \bigwedge V} 는 자연수 등급을 갖는다. K {\displaystyle K} 위의 L∞-대수 A {\displaystyle A} 는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, K {\displaystyle K} 위의 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -등급 벡터 공간 A = ⨁ i ∈ Z A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A^{i}} 이다. 각 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 에 대하여, 등급 반대칭 n {\displaystyle n} 항 연산 [ − , − , … , − ] : ⋀ n V → K {\displaystyle [-,-,\dotsc ,-]\colon \textstyle \bigwedge ^{n}V\to K} . 그 등급은 n − 2 {\displaystyle n-2} 이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.) deg ⁡ [ a 1 , … , a n ] n = n − 2 + ∑ i = 1 n deg ⁡ a i {\displaystyle \deg[a_{1},\dotsc ,a_{n}]_{n}=n-2+\sum _{i=1}^{n}\deg a_{i}} 이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다. 0 = ∑ i + j = n + 1 ∑ σ ∈ Sh ⁡ ( i , n − i ) e ( σ ) ( − 1 ) σ + i ( j − 1 ) [ [ a σ ( 1 ) , … , a σ ( i ) ] i , a σ ( i + 1 ) , … , a σ ( n ) ] j {\displaystyle 0=\sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (i,n-i)}e(\sigma )(-1)^{\sigma +i(j-1)}[[a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (i)}]_{i},a_{\sigma (i+1)},\dots ,a_{\sigma (n)}]_{j}} 여기서 Sh ⁡ ( i , n − i ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (i,n-i)} 는 ( i , n − i ) {\displaystyle (i,n-i)} -셔플 순열의 집합이다. e ( σ ) {\displaystyle e(\sigma )} 는 순열 σ {\displaystyle \sigma } 가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 + 1 {\displaystyle +1} , 홀수 번 뒤바꾸었을 때 − 1 {\displaystyle -1} 이다. 이를 코쥘 부호(영어: Koszul sign)라고 한다. 만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다. 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 위의 위의 호모토피 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. K {\displaystyle K} 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 A = ⨁ i ∈ Z + A i {\displaystyle A=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {Z} ^{+}}A_{i}} . 이로부터 다음을 정의할 수 있다. A ∗ {\displaystyle A^{*}} 는 A {\displaystyle A} 의 대수적 쌍대 공간이다. Sym ⁡ ( A ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (A^{*})} 은 등급 벡터 공간 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다. d : Sym ⁡ ( V ∗ ) → Sym ⁡ ( V ∗ ) {\displaystyle \mathrm {d} \colon \operatorname {Sym} (V^{*})\to \operatorname {Sym} (V^{*})} 는 Sym ⁡ ( V ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})} 위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다. d {\displaystyle \mathrm {d} } 는 K {\displaystyle K} -선형 변환이다. d ∘ d = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0} d ( a b ) = ( d a ) b + ( − ) deg ⁡ a a d b {\displaystyle \mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-)^{\deg a}a\mathrm {d} b} 이다. 여기서 a {\displaystyle a} 는 동차 성분이다. deg ⁡ ( d a ) = 1 + deg ⁡ a {\displaystyle \deg(\mathrm {d} a)=1+\deg a} . 여기서 a {\displaystyle a} 는 동차 성분이다. 이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다. 표준 사영 ( Sym ⁡ ( V ∗ ) , d ) → ( K , 0 ) {\displaystyle (\operatorname {Sym} (V^{*}),\mathrm {d} )\to (K,0)} 는 미분 등급 대수의 준동형이다. (만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L∞-대수영어: curved L∞-algebra의 개념을 얻는다.) 이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 [ − , − , … , − ] ∙ {\displaystyle [-,-,\dotsc ,-]_{\bullet }} 를 통한 정의에서, A {\displaystyle A} 의 임의의 기저 A = Span K ⁡ { t i } i ∈ I {\displaystyle A=\operatorname {Span} _{K}\{t_{i}\}_{i\in I}} 를 잡자. 그 쌍대 기저는 A ∗ = Span K ⁡ { t i } i ∈ I {\displaystyle A^{*}=\operatorname {Span} _{K}\{t^{i}\}_{i\in I}} 이며, 또한 deg ⁡ t i = deg ⁡ t i + 1 {\displaystyle \deg t^{i}=\deg t_{i}+1} 로 놓자. 그렇다면, d : t i ↦ − ∑ n = 0 ∞ 1 n ! t i ( [ t i 1 , … , t i n ] n ) t i 1 t i 2 ⋯ t i n {\displaystyle \mathrm {d} \colon t^{i}\mapsto -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}t^{i}([t_{i_{1}},\dotsc ,t_{i_{n}}]_{n})t^{i_{1}}t^{i_{2}}\dotsm t^{i_{n}}} 이다. 이 경우, 멱영 조건 d 2 = 0 {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0} 을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다. L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우 [ a ] 1 = d a {\displaystyle [a]_{1}=\mathrm {d} a} [ a , b ] 2 = [ a , b ] {\displaystyle [a,b]_{2}=[a,b]} [ a , b , … , ] k = 0 ( k ≥ 3 ) {\displaystyle [a,b,\dotsc ,]_{k}=0\qquad (k\geq 3)} 로 놓으면, ( g , d , [ − , − ] ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},\mathrm {d} ,[-,-])} 가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다. 특히, 만약 추가로 [ − ] 1 = d = 0 {\displaystyle [-]_{1}=\mathrm {d} =0} 일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다. L∞-대수에서, 모든 생성원의 등급이 { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n\}} 에 속하는 경우를 리 n {\displaystyle n} -대수라고 한다. 이 경우, n ≥ deg ⁡ [ a 1 , … , a k ] k ≥ k − 2 {\displaystyle n\geq \deg[a_{1},\dotsc ,a_{k}]_{k}\geq k-2} 이므로, [ − , … , − ] k = 0 ( k > n + 2 ) {\displaystyle [-,\dotsc ,-]_{k}=0\qquad (k>n+2)} 이다. 예를 들어, n = 1 {\displaystyle n=1} 일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다. 특히, n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다. 모든 거스틴해버 대수는 L∞-대수를 이룬다. A∞-대수 미분 등급 대수 바탈린-빌코비스키 대수 단체 리 대수 호흐실트 호몰로지 Lada, Tom; Jim Stasheff. “Introduction to sh Lie algebras for physicists”. 《International Journal of Theoretical Physics》 (영어) 32 (7): 1087–1103. arXiv:hep-th/9209099. Bibcode:1993IJTP...32.1087L. doi:10.1007/BF00671791. ISSN 0020-7748.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Lada, Tom (1994년 6월 15일). “Strongly homotopy Lie algebras” (영어). arXiv:hep-th/9406095. Bibcode:1994hep.th....6095L.  지원되지 않는 변수 무시됨: |성-2= (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |이름-2= (도움말) Bering, Klaus; Tom Lada (2009년 9월 17일). “Examples of Homotopy Lie Algebras” (영어). arXiv:0903.5433.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “L-infinity-algebra”. 《nLab》 (영어).  “Super L-infinity algebra”. 《nLab》 (영어).