산술-기하 평균 부등식

수학에서 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic–geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다. 음이 아닌 실수들 x 1 , x 2 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geq 0} 이 주어졌다고 하자. 산술-기하 평균 부등식에 따르면, 다음이 성립한다. x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}} 특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉, x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = x 1 x 2 ⋯ x n n ⟺ x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 음이 아닌 실수 x 1 , x 2 , ⋯ , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0} 및 그 산술 평균 x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다. x n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle x^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} x n = x 1 x 2 ⋯ x n ⟺ x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x^{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 우선, n = 1 {\displaystyle n=1} 인 경우 이는 자명하게 성립한다. 그 다음, n {\displaystyle n} 에 대하여 성립한다는 가정 아래, n + 1 {\displaystyle n+1} 에 대한 산술-기하 평균 부등식 x n + 1 ≥ x 1 x 2 ⋯ x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}} x n + 1 = x 1 x 2 ⋯ x n + 1 ⟺ x 1 = x 2 = ⋯ = x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}} x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 n + 1 {\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1}}{n+1}}} 을 보이자. 만약 x 1 = x 2 = ⋯ = x n + 1 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}} 라면, 자명하게 성립한다. 만약 그렇지 않다면, x {\displaystyle x} 보다 큰 수와 x {\displaystyle x} 보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, x n > x > x n + 1 {\displaystyle x_{n}>x>x_{n+1}} 라고 하여도 무방하다. 그렇다면, ( x n − x ) ( x − x n + 1 ) > 0 {\displaystyle (x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0} ① 이다. 또한, 양의 실수 y = x n + x n + 1 − x ≥ x n − x > 0 {\displaystyle y=x_{n}+x_{n+1}-x\geq x_{n}-x>0} 를 정의하면, 다음에 따라, x {\displaystyle x} 는 n {\displaystyle n} 개의 음이 아닌 실수 x 1 , x 2 , … , x n − 1 , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},y} 의 산술 평균이기도 하다. n x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n + x n + 1 − x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + y {\displaystyle {\begin{aligned}nx&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+y\end{aligned}}} 귀납 가정에 따라, x n + 1 = x n x ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 y x {\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx} ② 이며, 또한 ①에 따라 y x − x n x n + 1 = ( x n + x n + 1 − x ) x − x n x n + 1 = ( x n − x ) ( x − x n + 1 ) > 0 {\displaystyle yx-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}+x_{n+1}-x)x-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0} 이므로, y x > x n x n + 1 {\displaystyle yx>x_{n}x_{n+1}} ③ 이다. ②와 ③에 따라, x n + 1 = x n x ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 y x ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}} ④ ④에서, x > 0 {\displaystyle x>0} 이므로, 만약 x 1 , x 2 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}} 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 그들 가운데 0이 없다면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 이렇게 n + 1 {\displaystyle n+1} 에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다. 만약 x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 이라면, 산술 평균과 기하 평균은 x 1 {\displaystyle x_{1}} 로 같다. 만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히 n > 1 {\displaystyle n>1} 이다. 서로 다른 두 항 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} 가 주어지면, ( x 1 + x 2 2 ) 2 − x 1 x 2 = 1 4 ( x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) − x 1 x 2 = 1 4 ( x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) = ( x 1 − x 2 2 ) 2 > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&=\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}>0\end{aligned}}} 이므로, x 1 + x 2 2 > x 1 x 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}} 이다. n {\displaystyle n} 이 2의 거듭제곱 꼴인 경우, k {\displaystyle k} 에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다. k = 1 {\displaystyle k=1} 인 경우, 즉 n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우는 이미 증명되었다. k − 1 {\displaystyle k-1} 에 대한 부등식의 가정 아래, k {\displaystyle k} 에 대한 부등식을 보이자. x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k = x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 + x 2 k − 1 + 2 + ⋯ + x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 = x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}} 여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로 x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 k − 1 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}} x 2 k + 1 = x 2 k + 2 = ⋯ = x 2 k {\displaystyle x_{2^{k}+1}=x_{2^{k}+2}=\cdots =x_{2^{k}}} 이어야 한다. 두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면 x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 k {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k}}} 이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서, x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k > x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}} 이다. n {\displaystyle n} 이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, n {\displaystyle n} 보다 큰, 2의 거듭제곱 꼴의 수 m {\displaystyle m} 을 취할 수 있다. 음이 아닌 실수 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} 및 그 산술 평균 x {\displaystyle x} 가 주어졌다고 하고, 그 항들을 다음과 같이 m {\displaystyle m} 개로 확장하자. x n + 1 = x n + 2 = ⋯ = x m = x {\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=x} 그렇다면, 이미 증명한 m {\displaystyle m} 에 대한 부등식에 따라, x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = m n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + m − n n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + ( m − n ) x m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 + ⋯ + x m m > x 1 x 2 ⋯ x n x n + 1 ⋯ x m m = x 1 x 2 ⋯ x n x m − n m {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}} 따라서, x m > x 1 x 2 ⋯ x n x m − n {\displaystyle x^{m}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}} 즉, x > x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}} 이다. 우선, n = 1 , 2 {\displaystyle n=1,2} 인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, n > 1 {\displaystyle n>1} 에 대하여 성립한다는 가정 아래, n + 1 > 2 {\displaystyle n+1>2} 에 대하여 증명하자. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, 당연히 x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}} 이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다. x 1 + ⋯ + x n + x n + 1 n + 1 − ( x 1 ⋯ x n x n + 1 ) 1 n + 1 > 0 {\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1})^{\frac {1}{n+1}}>0} 이는 음이 아닌 실수 x 1 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\geq 0} 을 고정하고, 함수 f ( t ) = x 1 + ⋯ + x n + t n + 1 − ( x 1 ⋯ x n t ) 1 n + 1 ( t ≥ 0 ) {\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}t)^{\frac {1}{n+1}}\qquad (t\geq 0)} 를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다. f ( x n + 1 ) > 0 {\displaystyle f(x_{n+1})>0} 극값을 구하기 위해, f {\displaystyle f} 의 미분을 취하자. f ′ ( t ) = 1 n + 1 − 1 n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n + 1 t − n n + 1 {\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}}} 따라서, f {\displaystyle f} 는 다음과 같은 임계점을 갖는다. f ′ ( t 0 ) = 0 ⟺ t 0 = ( x 1 ⋯ x n ) 1 n {\displaystyle f'(t_{0})=0\iff t_{0}=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}} 따라서, f {\displaystyle f} 의 가능한 극값은 다음과 같다. f ( 0 ) = x 1 + ⋯ + x n n + 1 > 0 {\displaystyle f(0)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}>0} f ( t 0 ) = x 1 + ⋯ + x n + ( x 1 ⋯ x n ) 1 n n + 1 − ( x 1 ⋯ x n ) 1 n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n ( n + 1 ) = x 1 + ⋯ + x n n + 1 + 1 n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n − ( x 1 ⋯ x n ) 1 n = x 1 + ⋯ + x n n + 1 − n n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n = n n + 1 ( x 1 + ⋯ + x n n − ( x 1 ⋯ x n ) 1 n ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\right)\\&>0\end{aligned}}} lim t → ∞ f ( t ) = ∞ > 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\infty >0} 여기서, f ( t 0 ) = 0 {\displaystyle f(t_{0})=0} 일 수 없는 이유는, 이미 x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}} 이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} 에 대하여, f ( t ) > 0 {\displaystyle f(t)>0} 이다. 특히, t = x n + 1 {\displaystyle t=x_{n+1}} 일 경우, f ( x n + 1 ) > 0 {\displaystyle f(x_{n+1})>0} 이다. 이렇게 n + 1 {\displaystyle n+1} 에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다. 산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 x 1 , x 2 … , x n > 0 {\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{n}>0} 에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다. ln ⁡ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n > 1 n ( ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n ) ( ¬ x 1 = x 2 = ⋯ = x n ) {\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}>{\frac {1}{n}}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})} 이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법 ( ln ⁡ x ) ″ = ( 1 x ) ′ = − 1 x 2 < 0 ( x > 0 ) {\displaystyle (\ln x)''=\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}<0\qquad (x>0)} 에 따라 성립한다. 가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, αn가 있을 때, 가중치의 합 α = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} 이라 하면 다음이 성립한다. α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α {\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}} 마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 된다. α k = 0 ( k = 0 , 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle \alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)} 를 가중치로 갖는 x k {\displaystyle x_{k}} 은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 α k {\displaystyle \alpha _{k}} 는 양수라고 가정할 수 있다. f ( x ) = l n x {\displaystyle f(x)=lnx} 에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. x > 0 {\displaystyle x>0} 일 때 f ( x ) = l n x {\displaystyle f(x)=lnx} 는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로 ln ⁡ ( α 1 x 1 + ⋯ + α n x n α ) > α 1 α ln ⁡ x 1 + ⋯ + α n α ln ⁡ x n = ln ⁡ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}} 이다. f ( x ) = l n x {\displaystyle f(x)=lnx} 는 단조증가함수이므로 α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α {\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}} 가 성립함이 증명된다. 산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 x 1 , x 2 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0} 에 대하여, 다음이 성립한다. n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n ≤ x 1 x 2 ⋯ x n n ≤ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≤ x 1 2 + x 2 2 + ⋯ x n 2 n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}} 특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉, n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n < x 1 x 2 ⋯ x n n < x 1 + x 2 + ⋯ + x n n < x 1 2 + x 2 2 + ⋯ x n 2 n ( ¬ x 1 = x 2 = ⋯ = x n ) {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})} n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n = x 1 x 2 ⋯ x n n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ x n 2 n ( x 1 = x 2 = ⋯ = x n ) {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})} 이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다. 영의 부등식 Hoffman, D. G. (1981), 〈Packing problems and inequalities〉, Klarner, David A., 《The Mathematical Gardner》, Springer, 212–225쪽, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_19  이철희. “산술기하조화평균과 부등식”. 《수학노트》.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Arithmetic-logarithmic-geometric mean inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Cauchy's mean theorem”. 《ProofWiki》 (영어).