슈티펠-휘트니 특성류

대수적 위상수학에서 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel-Whitney特性類, 영어: Stiefel–Whitney class)는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발이 천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 실수 유한 차원 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 슈티펠-휘트니 특성류 w ( E ) ∈ H ∙ ⁡ ( X ; F 2 ) {\displaystyle w(E)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})} 는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다. (직합의 분해) 임의의 벡터 다발 E , E ′ ↠ X {\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X} 에 대하여, w ( E ⊕ E ′ ) = w ( E ) ⌣ w ( E ′ ) {\displaystyle w(E\oplus E')=w(E)\smile w(E')} (당김) 임의의 연속 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 에 대하여, w ( f ∗ E ) = f ∗ w ( E ) {\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)} (계수) w ( E ) ∈ H ≤ dim R ⁡ E ⁡ ( X ) {\displaystyle w(E)\in \operatorname {H} ^{\leq \dim _{\mathbb {R} }E}(X)} 이며, w 0 ( E ) = 1 {\displaystyle w_{0}(E)=1} 이다. (규격화) 실수 사영 직선 R P 1 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}} 의 자명 선다발 O R P 1 ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {RP} ^{1}}(-1)} 의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, R P 1 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}} 의 코호몰로지 환이 H ∙ ⁡ ( R P 1 ; F 2 ) ≅ F 2 [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {RP} ^{1};\mathbb {F} _{2})\cong \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})} , deg ⁡ x = 1 {\displaystyle \deg x=1} 이라면 w ( O R P 1 ( − 1 ) ) = 1 + x {\displaystyle w({\mathcal {O}}_{\mathbb {RP} ^{1}}(-1))=1+x} 이다. 이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다. 아벨 군의 짧은 완전열 0 → Z → Z → Z / 2 → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\to 0} 에 대한 복시테인 준동형 β : H ∙ ⁡ ( X ; F 2 ) → H ∙ + 1 ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \beta \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{\bullet +1}(X;\mathbb {Z} )} 를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발 E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} 의 정수 슈티펠-휘트니 특성류 β w {\displaystyle \beta w} 는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 상이다. β w ( E ) ∈ H ≤ dim R ⁡ E + 1 ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \beta w(E)\in \operatorname {H} ^{\leq \dim _{\mathbb {R} }E+1}(X;\mathbb {Z} )} 유한 차원 실수 벡터 다발 E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} 의 우 특성류([吳]特性類, 영어: Wu class) W ( E ) {\displaystyle W(E)} 는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다. W ( E ) ∈ H ∙ ⁡ ( X ; F 2 ) {\displaystyle W(E)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})} w ( E ) = Sq ⁡ ( W ( E ) ) = ∑ i Sq i ⁡ ( W ( E ) ) {\displaystyle w(E)=\operatorname {Sq} (W(E))=\sum _{i}\operatorname {Sq} ^{i}(W(E))} 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다. 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. H i ⁡ ( E , E ∖ X ; F 2 ) = { 0 i < n H i − n ⁡ ( X ; F 2 ) i ≥ n {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})={\begin{cases}0&i<n\\\operatorname {H} ^{i-n}(X;\mathbb {F} _{2})&i\geq n\end{cases}}} 또한, H n ⁡ ( E , E ∖ X ; F 2 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})} 속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류 Φ ∈ H n ⁡ ( E , E ∖ X ; F 2 ) {\displaystyle \Phi \in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})} 가 존재한다. 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 올 π − 1 ( x ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x)} 에 국한한 코호몰로지류 Φ | ( π − 1 ( x ) , π − 1 ( x ) ∖ { x } ) ∈ H n ⁡ ( π − 1 ( x ) , π − 1 ( x ) ∖ { x } ; F 2 ) ≅ H n ⁡ ( R n , R n ∖ { 0 } ; F 2 ) ≅ H n ⁡ ( S n ; F 2 ) ≅ F 2 {\displaystyle \Phi |_{(\pi ^{-1}(x),\pi ^{-1}(x)\setminus \{x\})}\in \operatorname {H} ^{n}(\pi ^{-1}(x),\pi ^{-1}(x)\setminus \{x\};\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\};\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {F} _{2})\cong \mathbb {F} _{2}} 는 0이 아니다. 이를 톰 특성류라고 한다. 그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다. H ∙ ⁡ ( X ; F 2 ) → π ∗ H ∙ ⁡ ( E ; F 2 ) → ⌣ Φ H ∙ + n ⁡ ( E , E ∖ X ; F 2 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2}){\xrightarrow {\pi ^{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(E;\mathbb {F} _{2}){\xrightarrow {\smile \Phi }}\operatorname {H} ^{\bullet +n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})} 이 경우, ( ⌣ Φ ) ∘ π ∗ {\displaystyle (\smile \Phi )\circ \pi ^{*}} 는 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 벡터 공간의 동형 사상이다. 이를 톰 동형이라고 한다. 기본 코호몰로지류 Φ {\displaystyle \Phi } 의 총 스틴로드 제곱 Sq ⁡ Φ = ∑ i Sq i ⁡ Φ ∈ H ≥ n ⁡ ( E , E ∖ X ; F 2 ) {\displaystyle \operatorname {Sq} \Phi =\sum _{i}\operatorname {Sq} ^{i}\Phi \in \operatorname {H} ^{\geq n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})} 를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다. w ( E ) = ( ( ⌣ Φ ) ∘ π ∗ ) − 1 ( Sq ⁡ Φ ) {\displaystyle w(E)=\left((\smile \Phi )\circ \pi ^{*}\right)^{-1}(\operatorname {Sq} \Phi )} 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체 Gr n ⁡ ( R ∞ ) {\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })} 에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간 Gr 1 ⁡ ( R ∞ ) = RP ∞ {\displaystyle \operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{\infty })=\operatorname {RP} ^{\infty }} 에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간 RP ∞ = K ( Z / 2 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} /2,1)} 이다. 실수 선다발 L ↠ X {\displaystyle L\twoheadrightarrow X} 에 대응하는 연속 함수 f : X → RP ∞ {\displaystyle f\colon X\to \operatorname {RP} ^{\infty }} 를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라, hom hTop ∙ ⁡ ( X , RP ∞ ) ≅ H 1 ⁡ ( X ; F 2 ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,\operatorname {RP} ^{\infty }\right)\cong \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {F} _{2})} 이다. 그렇다면, 실수 선다발 L {\displaystyle L} 의 슈티펠-휘트니 특성류 w ( L ) = 1 + w 1 ( L ) {\displaystyle w(L)=1+w_{1}(L)} 는 다음과 같다. w 1 ( L ) = [ f ] ∈ H 1 ⁡ ( X ; F 2 ) {\displaystyle w_{1}(L)=[f]\in \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {F} _{2})} 여기서 [ f ] {\displaystyle [f]} 는 f {\displaystyle f} 의 호모토피류를 뜻한다. 일반적으로 특성류는 매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. 우 정리([吳]定理, 영어: Wu’s theorem)에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다. 처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다. 매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. 가향 벡터 다발이다. 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다. 특히, 다양체 M {\displaystyle M} 이 가향 다양체일 필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다. 매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. 스핀 구조를 갖는다. 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다. 특히, 다양체 M {\displaystyle M} 이 스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 유한 차원 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. 스핀C 구조를 갖는다. 1차 슈티펠-휘트니 특성류 w 1 ( E ) ∈ H ⁡ ( M ; F 2 ) {\displaystyle w_{1}(E)\in \operatorname {H} (M;\mathbb {F} _{2})} 가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류 β w 2 ( E ) ∈ H 3 ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \beta w_{2}(E)\in \operatorname {H} ^{3}(X;\mathbb {Z} )} 가 0이다. 특히, 다양체 M {\displaystyle M} 이 스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다. 에두아르트 슈티펠(독일어: Eduard Stiefel)과 해슬러 휘트니가 발견하였다. 우 특성류는 우원쥔(중국어 간체자: 吴文俊, 정체자: 吳文俊, 병음: Wú Wénjùn, 한자음: 오문준)이 도입하였다. 특성류 Thom, René (1954). “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (프랑스어) 28: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. ISSN 0010-2571. MR 0061823. 2016년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 24일에 확인함.  Stiefel, Eduard (1935). “Richtungsfelder und Fernparallelismus in n {\displaystyle n} -dimensionalen Mannigfaltigkeiten”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (독일어) 8 (1): 305–353. doi:10.1007/BF01199559. ISSN 0010-2571.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 42) (도움말) Whitney, Hassler (1937). “Topological properties of differentiable manifolds”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 43: 785–805. doi:10.1090/S0002-9904-1937-06642-0. ISSN 0273-0979. MR 1563640. Zbl 0018.23902.  Wu, Wen-Tsun (1955). “On Pontrjagin classes II”. 《Scientia Sinica》 (영어) 4: 455-490.  “Stiefel-Whitney class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Stiefel number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Stiefel-Whitney class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Stiefel-Whitney number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Stiefel-Whitney class”. 《nLab》 (영어).  “Integral Stiefel-Whitney class”. 《nLab》 (영어).  “Wu class”. 《nLab》 (영어).  Mathew, Akhil (2010년 12월 16일). “Stiefel-Whitney classes”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  Mathew, Akhil (2010년 12월 17일). “The Stiefel-Whitney classes of projective space”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  Mathew, Akhil (2011년 10월 18일). “Thom’s construction of the Stiefel-Whitney classes”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  Mathew, Akhil (2011년 12월 27일). “Wu’s theorem on the Stiefel-Whitney classes of a manifold”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).