없앨 수 있는 특이점

복소해석학에서, 정칙함수의 없앨 수 있는 특이점이란 그 점에서 함수가 정의되어 있지는 않지만, 결과적으로 함수가 그 점의 근방에서 정칙이 되도록 정의될 수 있는 점을 말한다. 예를 들어, (정규화되지 않은) 싱크함수 sinc ( z ) = sin ⁡ z z {\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}} 는 z = 0을 특이점으로 갖는다. 이 특이점은 sinc {\displaystyle {\text{sinc}}} 의 z가 0으로 갈 때의 극한인, sinc ( 0 ) := 1 {\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1} 으로 정의함으로써 제거될 수 있다. 결과로 얻은 함수는 정칙함수이다. 이 경우 문제는 sinc {\displaystyle {\text{sinc}}} 가 부정형으로 주어졌기 때문에 초래되었다.. 해당 특이점 주변에서 sin ⁡ ( z ) z {\displaystyle {\frac {\sin(z)}{z}}} 에 대한 거듭제곱 전개를 취하면 sinc ( z ) = 1 z ( ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k ( 2 k + 1 ) ! = 1 − z 2 3 ! + z 4 5 ! − z 6 7 ! + ⋯ . {\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .} 형식적으로, 만일 U ⊂ C {\displaystyle U\subset \mathbb {C} } 가 복소평면 C {\displaystyle \mathbb {C} } 의 열린 부분집합이고, a ∈ U {\displaystyle a\in U} 가 U {\displaystyle U} 의 점이며, f : U ∖ { a } → C {\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} } 가 정칙함수일 때, U ∖ { a } {\displaystyle U\setminus \{a\}} 에서 f {\displaystyle f} 와 일치하는 정칙함수 g : U → C {\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} } 가 있으면, a {\displaystyle a} 를 없앨 수 있는 특이점이라 한다. 이때, 그러한 g {\displaystyle g} 가 존재하면, f {\displaystyle f} 는 U {\displaystyle U} 위에 정칙적으로 확장 가능하다고 한다. 없앨 수 있는 특이점에 대한 리만의 정리는 다음과 같다. 정리. D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } 가 복소평면의 열린 부분집합이고, a ∈ D {\displaystyle a\in D} 가 D {\displaystyle D} 의 점이며 f {\displaystyle f} 가 집합 D ∖ { a } {\displaystyle D\setminus \{a\}} 에서 정의된 정칙함수라 하자. 그러면 다음은 동치이다: f {\displaystyle f} 가 a {\displaystyle a} 로 정칙적으로 확장 가능하다. f {\displaystyle f} 가 a {\displaystyle a} 로 연속적으로 확장 가능하다. f {\displaystyle f} 가 유계인 a {\displaystyle a} 의 근방이 존재한다. lim z → a ( z − a ) f ( z ) = 0 {\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0} . 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4의 함의는 자명하다. 4 ⇒ 1를 증명하기 위해, a {\displaystyle a} 에서의 정칙성이 a {\displaystyle a} 에서 해석적인 것과 동치임을 상기하자(증명), 즉 거듭제곱급수 표현을 갖는다는 것이다. 다음을 정의하자. h ( z ) = { ( z − a ) 2 f ( z ) z ≠ a , 0 z = a . {\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}} 분명히, h는 D -{a}에서 정칙이고, (4)에 의해 다음이 존재한다. h ′ ( a ) = lim z → a ( z − a ) 2 f ( z ) − 0 z − a = lim z → a ( z − a ) f ( z ) = 0 {\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0} 따라서 h는 D에서 정칙이고 a에 대한 테일러 급수 표현을 갖는다. h ( z ) = c 0 + c 1 ( z − a ) + c 2 ( z − a ) 2 + c 3 ( z − a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.} c0 = h(a) = 0이고 c1 = h'(a) = 0이므로 h ( z ) = c 2 ( z − a ) 2 + c 3 ( z − a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.} 따라서, z ≠ a일 때, 다음을 얻는다. f ( z ) = h ( z ) ( z − a ) 2 = c 2 + c 3 ( z − a ) + ⋯ . {\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.} 그런데, g ( z ) = c 2 + c 3 ( z − a ) + ⋯ . {\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.} 는 D에서 정칙이므로, f의 확장이다. 실변수 함수와 달리, 정칙함수는 충분히 그들의 특이점을 완전히 분류할 수 있을만큼 굳다. 정칙함수의 특이점은 실제로는 전혀 특이점이 아닌, 즉 없앨 수 있는 특이점이거나, 다음의 두 종류 중 하나이다. 리만의 정리에 비추어, 없앨 수 없는 특이점이 주어지면, lim z → a ( z − a ) m + 1 f ( z ) = 0 {\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0} 인 자연수 m {\displaystyle m} 이 존재하는지 물을 수도 있을 것이다. 만일 그렇다면, a {\displaystyle a} 를 f {\displaystyle f} 의 극점이라 하고, 가장 작은 m {\displaystyle m} 을 a {\displaystyle a} 의 위수라 한다. 그러므로 없앨 수 있는 특이점은 정확히 위수가 0인 극점이다. 정칙함수는 이것의 또다른 극점을 균일하게 폭발한다. 만일 f {\displaystyle f} 의 고립특이점 a {\displaystyle a} 가 없앨 수 있는 특이점도, 극점도 아니면, 이를 본질적 특이점이라 한다. 피카르의 대정리는 그러한 f {\displaystyle f} 는 모든 구멍 뚫린 열린 근방 U ∖ { a } {\displaystyle U\setminus \{a\}} 를 최대 한 점을 예외점으로 갖는 복소평면 전체로 사상함을 보여준다. 해석적 용량 없앨 수 있는 불연속점 수학 백과의 없앨 수 있는 특이점