올뭉치

위상수학에서 올뭉치(영어: fibration 파이브레이션[*]) 또는 올화(-化) 또는 파이버화(fiber化)는 올다발의 일반화이다. 올다발과 달리, 올들이 서로 호모토피 동치이지만 위상동형이 아닐 수 있다. 위상 공간 E {\displaystyle E} , B {\displaystyle B} 사이의 함수 π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B} 및 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 조건이 성립한다면, π {\displaystyle \pi } 가 X ↪ × 0 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X{\overset {\times 0}{\hookrightarrow }}X\times [0,1]} 에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다고 한다. 임의의 호모토피 f : X × [ 0 , 1 ] → B {\displaystyle f\colon X\times [0,1]\to B} π ∘ f ~ 0 = f | X × { 0 } {\displaystyle \pi \circ {\tilde {f}}_{0}=f|_{X\times \{0\}}} 인 연속 함수 f ~ 0 : X → E {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\colon X\to E} 에 대하여, 항상 다음 조건을 만족시키는 호모토피 f ~ : X × [ 0 , 1 ] → E {\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E} 가 존재한다. f = π ∘ f ~ {\displaystyle f=\pi \circ {\tilde {f}}} f ~ 0 = f ~ | X × { 0 } {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}={\tilde {f}}|_{X\times \{0\}}} 즉, 다음 그림과 같다. X → f ~ 0 E × { 0 } ↓ ↗ f ~ ↓ π X × [ 0 , 1 ] → f B {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {{\tilde {f}}_{0}}}&E\\{\scriptstyle \times \{0\}}\downarrow &\nearrow \scriptstyle {\tilde {f}}&\downarrow \scriptstyle \pi \\X\times [0,1]&{\xrightarrow[{f}]{}}&B\end{matrix}}} 위상 공간 E {\displaystyle E} , B {\displaystyle B} 사이의 함수 π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B} 가 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 후레비치 올뭉치(영어: Hurewicz fibration)라고 한다. 위상 공간 E {\displaystyle E} , B {\displaystyle B} 사이의 함수 π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B} 가 임의의 CW 복합체 X {\displaystyle X} 에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 세르 올뭉치(영어: Serre fibration)라고 한다. 후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치 π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B} 의, b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에서의 올(영어: fiber)은 원상 f − 1 ( b ) ⊆ E {\displaystyle f^{-1}(b)\subseteq E} 이다. B {\displaystyle B} 가 파라콤팩트 공간이라면, 올다발 π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B} 는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다. 만약 B {\displaystyle B} 가 경로 연결 공간이라면, 후레비치 올뭉치 E → B {\displaystyle E\to B} 의 모든 올들은 서로 호모토피 동치이다. 그러나 올들은 (올다발과 달리) 서로 위상동형일 필요가 없다. 밑 B {\displaystyle B} 가 경로 연결 공간인 올다발 E → B {\displaystyle E\to B} 의 올이 F {\displaystyle F} 라면, 전체 공간 E {\displaystyle E} 의 오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다. χ ( E ) = χ ( B ) χ ( F ) {\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F)} 이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다. 모든 올다발은 (모든 올이 서로 위상 동형인) 세르 올뭉치이다. 임의의 경로 연결 점을 가진 공간 ( X , ∙ X ) {\displaystyle (X,\bullet _{X})} 에 대하여, 고리 공간 Ω X = [ S 1 , X ] ∙ {\displaystyle \Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]_{\bullet }} 및 경로 공간 P X = [ I , X ] ∙ {\displaystyle {\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]_{\bullet }} 을 생각하자. 여기서 I {\displaystyle \mathbb {I} } 는 밑점 0을 가진 폐구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다. Ω X ↪ P X ↠ X {\displaystyle \Omega X\hookrightarrow {\mathcal {P}}X\twoheadrightarrow X} 여기서 사영 사상 P X ↠ X {\displaystyle {\mathcal {P}}X\twoheadrightarrow X} 는 다음과 같다. ( γ : [ 0 , 1 ] → X , γ ( 0 ) = ∙ X ) ↦ γ ( 1 ) {\displaystyle (\gamma \colon [0,1]\to X,\gamma (0)=\bullet _{X})\mapsto \gamma (1)} 세르 올뭉치의 개념은 장피에르 세르가 1951년에 박사 학위 논문에서 도입하였다. 후레비치 올뭉치의 개념은 비톨트 후레비치가 1955년에 도입하였다. 모형 범주 올다발 Serre, J.-P. (1951년 11월). “Homologie singulière des espaces fibres”. 《Annals of Mathematics (Second Series)》 (영어) 54 (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.  Hurewicz, Witold (1955년 11월 15일). “On the concept of fiber space”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 41 (11): 956–961. doi:10.1073/pnas.41.11.956. JSTOR 89187. MR 0073987. PMC 534313. PMID 16589780.  “Hurewicz fibration”. 《nLab》 (영어).  “Serre fibration”. 《nLab》 (영어).  “Hurewicz connection”. 《nLab》 (영어).  “Example of fiber bundle that is not a fibration” (영어). Math Overflow.