분지 유형 이론

논리학에서 분지 유형 이론(分枝類型理論, 영어: ramified type theory, 약자 RTT) 또는 복잡 유형 이론(複雜類型理論)은 단순 유형 이론보다 더 세분된 유형을 사용하는 논리 체계이다.:Chapter 2 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. (여기서 N {\displaystyle \mathbb {N} } 은 음이 아닌 정수의 집합이다.) 최대 원소를 갖지 않는 가산 무한 정렬 전순서 집합 ( V , ≤ V ) {\displaystyle ({\mathcal {V}},\leq _{\mathcal {V}})} . 그 원소를 변수(變數, 영어: variable)라고 한다. 집합 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . 그 원소를 개체(個體, 영어: individual)라고 한다. 집합 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 및 함수 arity R : R → N {\displaystyle \operatorname {arity} _{\mathcal {R}}\colon {\mathcal {R}}\to \mathbb {N} } . 각 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, arity R − 1 ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {arity} _{\mathcal {R}}^{-1}(n)} 의 원소를 n {\displaystyle n} 항 관계( n {\displaystyle n} 項關係, 영어: n {\displaystyle n} -ary relation)라고 한다. 그렇다면, ( V , ≤ V , A , R , arity R ) {\displaystyle ({\mathcal {V}},\leq _{\mathcal {V}},{\mathcal {A}},{\mathcal {R}},\operatorname {arity} _{\mathcal {R}})} 에 대한 분지 유형 이론은 다음과 같다. 분지 유형 이론에서 사용되는 분지 유형(分枝類型, 영어: ramified type)과 이들의 차수(次數, 영어: order)는 다음과 같다. ι 0 {\displaystyle \iota ^{0}} 은 0차 분지 유형이다. d 1 , … , d n {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}} 차 분지 유형 τ 1 d 1 , … , τ n d n {\displaystyle \tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}}} 및 자연수 d > max { d 1 , … , d n } {\displaystyle d>\max\{d_{1},\dots ,d_{n}\}} 에 대하여, ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 는 d {\displaystyle d} 차 분지 유형이다. 이들 가운데, 술어적 분지 유형(述語的分枝類型, 영어: predicative ramified type)은 다음과 같다. ι 0 {\displaystyle \iota ^{0}} 은 술어적 분지 유형이다. d 1 , … , d n {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}} 차 술어적 분지 유형 τ 1 d 1 , … , τ n d n {\displaystyle \tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}}} 에 대하여, ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) max { d 1 , … , d n } + 1 {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{\max\{d_{1},\dots ,d_{n}\}+1}} 는 술어적 분지 유형이다. ( n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우, ( ) 0 {\displaystyle ()^{0}} 은 술어적 분지 유형이다.) 술어적 분지 유형은 차수를 생략한 채 ι {\displaystyle \iota } 와 ( τ 1 , … , τ n ) {\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})} 으로 쓸 수 있다. 분지 유형 이론의 문맥(文脈, 영어: context)은 유한 개의 변수의 집합과 분지 유형의 집합 사이의 함수이다. 문맥은 변수 x {\displaystyle x} 와 분지 유형 τ d {\displaystyle \tau ^{d}} 의 순서쌍 x : τ d {\displaystyle x{:}\tau ^{d}} 들의 유한 집합으로 여길 수 있다. 이 경우, 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 정의역(定義域, 영어: domain)은 다음과 같이 나타낼 수 있다. dom ⁡ ( Γ ) = { x | x : τ d ∈ Γ } {\displaystyle \operatorname {dom} (\Gamma )=\{x|x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \}} 분지 유형 이론의 유사 논리식(類似論理式, 영어: pseudoformula)은 다음과 같다. n {\displaystyle n} 항 관계 R {\displaystyle R} 및 변수 또는 개체 p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} 에 대하여, R ( p 1 , … , p n ) {\displaystyle R(p_{1},\dots ,p_{n})} 은 유사 논리식이다. n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 유사 논리식 R ( ) {\displaystyle R()} 은 0항 관계 R {\displaystyle R} 와 구분되어야 한다. 분지 유형 이론에서 n {\displaystyle n} 항 관계는 유사 논리식이 아니다. 변수 x {\displaystyle x} 및 유한 개의 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} 에 대하여, x ( p 1 , … , p n ) {\displaystyle x(p_{1},\dots ,p_{n})} 는 유사 논리식이다. n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 유사 논리식 x ( ) {\displaystyle x()} 은 변수 x {\displaystyle x} 와 구분되어야 한다. 분지 유형 이론에서 변수나 개체는 유사 논리식이 아니다. 유사 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 에 대하여, ϕ ∨ ψ {\displaystyle \phi \lor \psi } 와 ¬ ϕ {\displaystyle \lnot \phi } 는 유사 논리식이다. 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 그 자유 변수 x ∈ FVar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle x\in \operatorname {FVar} (\phi )} 및 분지 유형 τ d {\displaystyle \tau ^{d}} 에 대하여, ∀ x : τ d ϕ {\displaystyle \forall x{:}\tau ^{d}\phi } 는 유사 논리식이다. 유사 논리식의 집합을 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 라고 하자. 또한 각 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, Var ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {Var} (\phi )} 가 ϕ {\displaystyle \phi } 속에 등장하는 모든 변수의 집합이라고 하고, x 1 ϕ < V ⋯ < V x | FVar ⁡ ( ϕ ) | ϕ {\displaystyle x_{1}^{\phi }<_{\mathcal {V}}\cdots <_{\mathcal {V}}x_{|{\operatorname {FVar} (\phi )}|}^{\phi }} 가 ϕ {\displaystyle \phi } 의 모든 자유 변수라고 하자. 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 에서 개체 또는 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 가 분지 유형 τ d {\displaystyle \tau ^{d}} 를 갖는다는 것은 Γ ⊢ ϕ : τ d {\displaystyle \Gamma \vdash \phi {:}\tau ^{d}} 로 표기하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. (여기서 ⊢ ϕ : τ d {\displaystyle \vdash \phi {:}\tau ^{d}} 는 ∅ ⊢ ϕ : τ d {\displaystyle \varnothing \vdash \phi {:}\tau ^{d}} 를 뜻한다.) 개체 a {\displaystyle a} 에 대하여, ⊢ a : ι 0 {\displaystyle \vdash a{:}\iota ^{0}} 이다. n {\displaystyle n} 항 관계 R {\displaystyle R} 및 개체 a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} 에 대하여, ⊢ R ( a 1 , … , a n ) : ( ) 1 {\displaystyle \vdash R(a_{1},\dots ,a_{n}){:}()^{1}} 이다. (논리 연산) 문맥 Γ , Δ {\displaystyle \Gamma ,\Delta } 및 유사 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 및 분지 유형 ( τ 1 d 1 , … , τ n d m ) d , ( τ 1 ′ d 1 ′ , … , τ n ′ d n ′ ) d ′ {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}})^{d},({\tau _{1}'}^{d_{1}'},\dots ,{\tau _{n}'}^{d_{n}'})^{d'}} 에 대하여, 만약 Γ ⊢ ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d m ) d {\displaystyle \Gamma \vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}})^{d}} 이며, Δ ⊢ ψ : ( τ 1 ′ d 1 ′ , … , τ n ′ d n ′ ) d ′ {\displaystyle \Delta \vdash \psi {:}({\tau _{1}'}^{d_{1}'},\dots ,{\tau _{n}'}^{d_{n}'})^{d'}} 이며, max dom ⁡ ( Γ ) < min dom ⁡ ( Δ ) {\displaystyle \max \operatorname {dom} (\Gamma )<\min \operatorname {dom} (\Delta )} 라면, Γ ∪ Δ ⊢ ϕ ∨ ψ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d m , τ 1 ′ d 1 ′ , … , τ n ′ d n ′ ) max { d , d ′ } {\displaystyle \Gamma \cup \Delta \vdash \phi \lor \psi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}},{\tau _{1}'}^{d_{1}'},\dots ,{\tau _{n}'}^{d_{n}'})^{\max\{d,d'\}}} Γ ⊢ ¬ ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d m ) d {\displaystyle \Gamma \vdash \lnot \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{m}})^{d}} 이다. (한정) 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 i ∈ { 1 , … , | FVar ⁡ ( ϕ ) | } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,|{\operatorname {FVar} (\phi )}|\}} 및 분지 유형 ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 에 대하여, 만약 Γ ∪ { x i ϕ : τ i d i } ⊢ ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle \Gamma \cup \{x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}}\}\vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 라면, Γ ⊢ ∀ x i ϕ : τ i d i ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ i − 1 d i − 1 , τ i + 1 d i + 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle \Gamma \vdash \forall x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}}\phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{i-1}^{d_{i-1}},\tau _{i+1}^{d_{i+1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 이다. (매개 변수에 대한 추상화) 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 그 개체이거나 유사 논리식인 매개 변수 ψ ∈ Par ⁡ ( ϕ ) ∩ ( A ∪ P ) {\displaystyle \psi \in \operatorname {Par} (\phi )\cap ({\mathcal {A}}\cup {\mathcal {P}})} 및 분지 유형 ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d , τ n + 1 d n + 1 {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d},\tau _{n+1}^{d_{n+1}}} 및 변수 y > max dom ⁡ ( Γ ) {\displaystyle y>\max \operatorname {dom} (\Gamma )} 에 대하여, 만약 Γ ⊢ ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle \Gamma \vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 이며 Γ ⊢ ψ : τ n + 1 d n + 1 {\displaystyle \Gamma \vdash \psi {:}\tau _{n+1}^{d_{n+1}}} 이라면, { x : τ d ∈ Γ ∪ { y : τ n + 1 d n + 1 } | x ∈ Var ⁡ ( ( ϕ ) Γ , ψ , y ) } ⊢ ( ϕ ) Γ , ψ , y : ( τ 1 d 1 , … , τ n + 1 d n + 1 ) max { d , d n + 1 + 1 } {\displaystyle \{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{y{:}\tau _{n+1}^{d_{n+1}}\}|x\in \operatorname {Var} ((\phi )_{\Gamma ,\psi ,y})\}\vdash (\phi )_{\Gamma ,\psi ,y}{:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n+1}^{d_{n+1}})^{\max\{d,d_{n+1}+1\}}} 이다. 여기서 ( ϕ ) Γ , ψ , y {\displaystyle (\phi )_{\Gamma ,\psi ,y}} 는 ϕ {\displaystyle \phi } 에 등장하는 ψ {\displaystyle \psi } 와 αΓ-동치인 각 매개 변수 ψ ′ {\displaystyle \psi '} 를 y {\displaystyle y} 로 대체하여 얻는 유사 논리식이다. (《수학 원리》에서 이는 ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 가 술어적 분지 유형인 경우로 제한된다.) (논리식에 대한 추상화) 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 분지 유형 ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 및 변수 y > max dom ⁡ ( Γ ) {\displaystyle y>\max \operatorname {dom} (\Gamma )} 에 대하여, 만약 Γ ⊢ ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle \Gamma \vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 이라면, { x : τ d ∈ Γ ∪ { y : ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d } | x ∈ FVar ⁡ ( ϕ ) ∪ { y } } ⊢ y ( x 1 ϕ , … , x n ϕ ) : ( τ 1 d 1 , … , τ n d n , ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d ) d + 1 {\displaystyle \{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{y{:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}\}|x\in \operatorname {FVar} (\phi )\cup \{y\}\}\vdash y(x_{1}^{\phi },\dots ,x_{n}^{\phi }){:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}},(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d})^{d+1}} 이다. (이 경우 반드시 | FVar ⁡ ( ϕ ) | = n {\displaystyle {|{\operatorname {FVar} (\phi )}|}=n} 임을 보일 수 있다.) (《수학 원리》에서 이는 ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 가 술어적 분지 유형인 경우로 제한된다.) (치환) 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 자유 변수를 갖는 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 개체 또는 유사 논리식 ψ {\displaystyle \psi } 및 분지 유형 ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 에 대하여, 만약 Γ ∪ { x 1 ϕ : τ 1 d 1 } ⊢ ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle \Gamma \cup \{x_{1}^{\phi }{:}\tau _{1}^{d_{1}}\}\vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 이며, Γ ⊢ ψ : τ 1 d 1 {\displaystyle \Gamma \vdash \psi {:}\tau _{1}^{d_{1}}} 라면, { x : τ d ∈ Γ ∪ { x 1 ϕ : τ 1 d 1 } | x ∈ Var ⁡ ( ϕ [ ψ / x 1 ϕ ] ) } ⊢ ϕ [ ψ / x 1 ϕ ] : ( τ 2 d 2 , … , τ n d n ) max ( { d 2 , … , d n } ∪ { e | ϕ [ ψ / x 1 ϕ ] = ⋯ ∀ x : τ e ⋯ } ) + 1 {\displaystyle \{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{x_{1}^{\phi }{:}\tau _{1}^{d_{1}}\}|x\in \operatorname {Var} (\phi [\psi /x_{1}^{\phi }])\}\vdash \phi [\psi /x_{1}^{\phi }]{:}(\tau _{2}^{d_{2}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{\max(\{d_{2},\dots ,d_{n}\}\cup \{e|\phi [\psi /x_{1}^{\phi }]=\cdots \forall x{:}\tau ^{e}\cdots \})+1}} 이다. (이 경우 ϕ [ ψ / x 1 ϕ ] {\displaystyle \phi [\psi /x_{1}^{\phi }]} 는 반드시 정의됨을 보일 수 있다.) (약화) 문맥 Γ , Δ {\displaystyle \Gamma ,\Delta } 및 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 분지 유형 τ d {\displaystyle \tau ^{d}} 에 대하여, 만약 Γ ⊢ ϕ : τ d {\displaystyle \Gamma \vdash \phi {:}\tau ^{d}} 이며, Γ ⊆ Δ {\displaystyle \Gamma \subseteq \Delta } 라면, Δ ⊢ ϕ : τ d {\displaystyle \Delta \vdash \phi {:}\tau ^{d}} 이다. (순열) 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 i ∈ { 1 , … , | FVar ⁡ ( ϕ ) | } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,|{\operatorname {FVar} (\phi )}|\}} 및 분지 유형 ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle (\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 및 변수 y > max dom ⁡ ( Γ ) {\displaystyle y>\max \operatorname {dom} (\Gamma )} 에 대하여, 만약 Γ ∪ { x i ϕ : τ i d i } ⊢ ϕ : ( τ 1 d 1 , … , τ n d n ) d {\displaystyle \Gamma \cup \{x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}}\}\vdash \phi {:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}})^{d}} 라면, { x : τ d ∈ Γ ∪ { x i ϕ : τ i d i , y : τ i d i } | x ∈ Var ⁡ ( ϕ [ y / x i ϕ ] ) } ⊢ ϕ [ y / x i ϕ ] : ( τ 1 d 1 , … , τ i − 1 d i − 1 , τ i + 1 d i + 1 , … , τ n d n , τ i d i ) d {\displaystyle \{x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \cup \{x_{i}^{\phi }{:}\tau _{i}^{d_{i}},y{:}\tau _{i}^{d_{i}}\}|x\in \operatorname {Var} (\phi [y/x_{i}^{\phi }])\}\vdash \phi [y/x_{i}^{\phi }]{:}(\tau _{1}^{d_{1}},\dots ,\tau _{i-1}^{d_{i-1}},\tau _{i+1}^{d_{i+1}},\dots ,\tau _{n}^{d_{n}},\tau _{i}^{d_{i}})^{d}} 이다. 주어진 문맥 속에서, 유사 논리식의 분지 유형은 존재하지 않을 수 있으나, 만약 존재한다면 이는 유일하다. 주어진 유사 논리식은 서로 다른 문맥 속에서 서로 다른 분지 유형을 가질 수 있다. 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, Γ ⊢ ϕ : τ d {\displaystyle \Gamma \vdash \phi {:}\tau ^{d}} 인 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 과 τ d {\displaystyle \tau ^{d}} 가 존재한다면, ϕ {\displaystyle \phi } 를 논리식(論理式, 영어: formula)이라고 한다. 분지 유형 이론의 각 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)의 집합 FVar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {FVar} (\phi )} , 매개 변수(媒介變數, 영어: parameter)의 집합 Par ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {Par} (\phi )} , 재귀 매개 변수(再歸媒介變數, 영어: recursive parameter)의 집합 RPar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {RPar} (\phi )} 은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. (매개 변수와 재귀 매개 변수는 이름과 달리 변수가 아닐 수 있다.) n {\displaystyle n} 항 관계 R {\displaystyle R} 및 변수 또는 개체 p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} 에 대하여, FVar ⁡ ( R ( p 1 , … , p n ) ) = V ∩ { p 1 , … , p n } {\displaystyle \operatorname {FVar} (R(p_{1},\dots ,p_{n}))={\mathcal {V}}\cap \{p_{1},\dots ,p_{n}\}} Par ⁡ ( R ( p 1 , … , p n ) ) = { p 1 , … , p n } {\displaystyle \operatorname {Par} (R(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}} RPar ⁡ ( R ( p 1 , … , p n ) ) = { p 1 , … , p n } {\displaystyle \operatorname {RPar} (R(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}} 변수 x {\displaystyle x} 및 유한 개의 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} 에 대하여, FVar ⁡ ( x ( p 1 , … , p n ) ) = V ∩ { x , p 1 , … , p n } {\displaystyle \operatorname {FVar} (x(p_{1},\dots ,p_{n}))={\mathcal {V}}\cap \{x,p_{1},\dots ,p_{n}\}} Par ⁡ ( x ( p 1 , … , p n ) ) = { p 1 , … , p n } {\displaystyle \operatorname {Par} (x(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}} RPar ⁡ ( x ( p 1 , … , p n ) ) = { p 1 , … , p n } ∪ ⋃ ϕ ∈ P ∩ { p 1 , … , p n } RPar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {RPar} (x(p_{1},\dots ,p_{n}))=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}\cup \bigcup _{\phi \in {\mathcal {P}}\cap \{p_{1},\dots ,p_{n}\}}\operatorname {RPar} (\phi )} 유사 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 에 대하여, FVar ⁡ ( ϕ ∨ ψ ) = FVar ⁡ ( ϕ ) ∪ FVar ⁡ ( ψ ) {\displaystyle \operatorname {FVar} (\phi \lor \psi )=\operatorname {FVar} (\phi )\cup \operatorname {FVar} (\psi )} Par ⁡ ( ϕ ∨ ψ ) = Par ⁡ ( ϕ ) ∪ Par ⁡ ( ψ ) {\displaystyle \operatorname {Par} (\phi \lor \psi )=\operatorname {Par} (\phi )\cup \operatorname {Par} (\psi )} RPar ⁡ ( ϕ ∨ ψ ) = RPar ⁡ ( ϕ ) ∪ RPar ⁡ ( ψ ) {\displaystyle \operatorname {RPar} (\phi \lor \psi )=\operatorname {RPar} (\phi )\cup \operatorname {RPar} (\psi )} FVar ⁡ ( ¬ ϕ ) = FVar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {FVar} (\lnot \phi )=\operatorname {FVar} (\phi )} Par ⁡ ( ¬ ϕ ) = Par ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {Par} (\lnot \phi )=\operatorname {Par} (\phi )} RPar ⁡ ( ¬ ϕ ) = RPar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {RPar} (\lnot \phi )=\operatorname {RPar} (\phi )} 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 그 자유 변수 x ∈ FVar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle x\in \operatorname {FVar} (\phi )} 에 대하여, FVar ⁡ ( ∀ x ϕ ) = FVar ⁡ ( ϕ ) ∖ { x } {\displaystyle \operatorname {FVar} (\forall x\phi )=\operatorname {FVar} (\phi )\setminus \{x\}} Par ⁡ ( ∀ x ϕ ) = Par ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {Par} (\forall x\phi )=\operatorname {Par} (\phi )} RPar ⁡ ( ∀ x ϕ ) = RPar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {RPar} (\forall x\phi )=\operatorname {RPar} (\phi )} 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 p , q 1 , … , q k {\displaystyle p,q_{1},\dots ,q_{k}} 및 서로 다른 변수 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 에 대하여, p ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ = { p p ∉ { x 1 , … , x k } q j p = x j {\displaystyle p\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ={\begin{cases}p&p\not \in \{x_{1},\dots ,x_{k}\}\\q_{j}&p=x_{j}\end{cases}}} 이라고 하자. 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 q 1 , … , q k {\displaystyle q_{1},\dots ,q_{k}} 및 서로 다른 변수 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 에 대하여, 치환 실례(置換實例, 영어: substitutional instance) ϕ [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] {\displaystyle \phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]} 는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. n {\displaystyle n} 항 관계 R {\displaystyle R} 및 변수 또는 개체 p 1 , … , p n , q 1 , … , q k {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{k}} 및 서로 다른 변수 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 에 대하여, R ( p 1 , … , p n ) [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] = R ( p 1 ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ , … , p n ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ ) {\displaystyle R(p_{1},\dots ,p_{n})[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]=R(p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ,\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle )} 변수 x {\displaystyle x} 및 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 p 1 , … , p n , q 1 , … , q k {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{k}} 및 서로 다른 변수 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 에 대하여, x ( p 1 , … , p n ) [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] = { x ( p 1 ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ , … , p n ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ ) x ∉ { x 1 , … , x k } q i ( p 1 ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ , … , p n ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ ) x = x i , q i ∈ V q i [ p 1 ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ / x 1 q i , … , p n ⟨ q 1 / x 1 , … , q k / x k ⟩ / x n q i ] x = x i , q i ∈ P , | FVar ⁡ ( q i ) | = n {\displaystyle x(p_{1},\dots ,p_{n})[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]={\begin{cases}x(p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ,\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle )&x\not \in \{x_{1},\dots ,x_{k}\}\\q_{i}(p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle ,\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle )&x=x_{i},\;q_{i}\in {\mathcal {V}}\\q_{i}[p_{1}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle /x_{1}^{q_{i}},\dots ,p_{n}\langle q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}\rangle /x_{n}^{q_{i}}]&x=x_{i},\;q_{i}\in {\mathcal {P}},\;|{\operatorname {FVar} (q_{i})}|=n\end{cases}}} 유사 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 q 1 , … , q k {\displaystyle q_{1},\dots ,q_{k}} 및 서로 다른 변수 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 에 대하여, ( ϕ ∨ ψ ) [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] = ϕ [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] ∨ ψ [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] {\displaystyle (\phi \lor \psi )[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]=\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]\lor \psi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]} ( ¬ ϕ ) [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] = ¬ ( ϕ [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] ) {\displaystyle (\lnot \phi )[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]=\lnot (\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}])} 유사 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 그 자유 변수 x ∈ FVar ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle x\in \operatorname {FVar} (\phi )} 및 분지 유형 τ d {\displaystyle \tau ^{d}} 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 q 1 , … , q k {\displaystyle q_{1},\dots ,q_{k}} 및 서로 다른 변수 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 에 대하여, ( ∀ x : τ d ϕ ) [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] = { ∀ x : τ d ( ϕ [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] ) x ∉ { x 1 , … , x n } ∀ x : τ d ( ϕ [ q 1 / x 1 , … , q i − 1 / x i − 1 , q i + 1 / x i + 1 , … , q k / x k ] ) x = x i {\displaystyle (\forall x{:}\tau ^{d}\phi )[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]={\begin{cases}\forall x{:}\tau ^{d}(\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}])&x\not \in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\\\forall x{:}\tau ^{d}(\phi [q_{1}/x_{1},\dots ,q_{i-1}/x_{i-1},q_{i+1}/x_{i+1},\dots ,q_{k}/x_{k}])&x=x_{i}\end{cases}}} 위 경우에 속하지 않는 치환 실례는 정의되지 않는다. 예를 들어, 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 p 1 , … , p n , q 1 , … , q k {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{k}} 및 서로 다른 변수 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 에 대하여, 만약 q i ∈ A {\displaystyle q_{i}\in {\mathcal {A}}} 이거나, q i ∈ P {\displaystyle q_{i}\in {\mathcal {P}}} 이며 q i {\displaystyle q_{i}} 의 자유 변수가 정확히 n {\displaystyle n} 개가 아닐 경우, x i ( p 1 , … , p n ) [ q 1 / x 1 , … , q k / x k ] {\displaystyle x_{i}(p_{1},\dots ,p_{n})[q_{1}/x_{1},\dots ,q_{k}/x_{k}]} 는 정의되지 않는다. 두 유사 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 전단사 함수 f : V → V {\displaystyle f\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}} 가 존재한다면, ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 가 서로 α-순열 동치(α-順列同値, 영어: α-equivalent modulo permutation)라고 한다. ψ {\displaystyle \psi } 는 ϕ {\displaystyle \phi } 에 등장하는 각 변수 x {\displaystyle x} 를 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 로 대체하여 얻는다. (특히, f ( Var ⁡ ( ϕ ) ) = Var ⁡ ( ψ ) {\displaystyle f(\operatorname {Var} (\phi ))=\operatorname {Var} (\psi )} 이다.) 두 유사 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 함수 f : V → V {\displaystyle f\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}} 가 존재한다면, ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 가 서로 α-동치(α-同値, 영어: α-equivalent)라고 한다. ψ {\displaystyle \psi } 는 ϕ {\displaystyle \phi } 에 등장하는 각 변수 x {\displaystyle x} 를 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 로 대체하여 얻는다. (특히, f ( Var ⁡ ( ϕ ) ) = Var ⁡ ( ψ ) {\displaystyle f(\operatorname {Var} (\phi ))=\operatorname {Var} (\psi )} 이다.) f | Var ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle f|_{\operatorname {Var} (\phi )}} 는 증가 함수이다. 즉, 임의의 x , y ∈ Var ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle x,y\in \operatorname {Var} (\phi )} 에 대하여, x < V y ⟺ f ( x ) < V f ( y ) {\displaystyle x<_{\mathcal {V}}y\iff f(x)<_{\mathcal {V}}f(y)} 두 유사 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 및 문맥 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 전단사 함수 f : V → V {\displaystyle f\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}} 가 존재한다면, ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 가 서로 αΓ-동치(αΓ-同値, 영어: αΓ-equivalent)라고 한다. ψ {\displaystyle \psi } 는 ϕ {\displaystyle \phi } 에 등장하는 각 변수 x {\displaystyle x} 를 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 로 대체하여 얻는다. (특히, f ( Var ⁡ ( ϕ ) ) = Var ⁡ ( ψ ) {\displaystyle f(\operatorname {Var} (\phi ))=\operatorname {Var} (\psi )} 이다.) f | Var ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle f|_{\operatorname {Var} (\phi )}} 는 증가 함수이다. 즉, 임의의 x , y ∈ Var ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle x,y\in \operatorname {Var} (\phi )} 에 대하여, x < V y ⟺ f ( x ) < V f ( y ) {\displaystyle x<_{\mathcal {V}}y\iff f(x)<_{\mathcal {V}}f(y)} 임의의 x ∈ V {\displaystyle x\in {\mathcal {V}}} 및 분지 유형 τ d {\displaystyle \tau ^{d}} 에 대하여, x : τ d ∈ Γ ⟺ f ( x ) : τ d ∈ Γ {\displaystyle x{:}\tau ^{d}\in \Gamma \iff f(x){:}\tau ^{d}\in \Gamma } 버트런드 러셀이 《수학 원리》에서 제시하였다. Laan, Twan; Nederpelt, Rob (1996년 10월). “A modern elaboration of the ramified theory of types”. 《Studia Logica》 (영어) 57 (2–3): 243–278. doi:10.1007/BF00370835. ISSN 0039-3215. JSTOR 20015876.  Kamareddine, Fairouz; Laan, Twan; Nederpelt, Rob (2005). 《A Modern Perspective on Type Theory》. Applied Logic Series (영어) 29. Dordrecht: Springer. doi:10.1007/1-4020-2335-9. ISBN 978-1-4020-2334-7.  박정일 (2017). “비트겐슈타인과 환원 가능성 공리” (PDF). 《논리연구》 20 (1): 69–96. ISSN 1598-7493. 2019년 5월 8일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2020년 4월 12일에 확인함.  박정일 (2018). “전기 비트겐슈타인과 유형 이론” (PDF). 《논리연구》 21 (1): 1–37. ISSN 1598-7493. 2019년 5월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2020년 4월 12일에 확인함.  오은영 (1987). “러셀의 유형 이론” (PDF). 《철학논집》 5: 166–207. ISSN 1738-8104. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]