킨친 상수

아래는 킨친 상수(Khinchin constant)에 대한 설명이다. 수 이론에서 알렉산드르 야코블레비치 킨친(Aleksandr Yakovlevich Khinchin) 은 거의 모든 실수 x {\displaystyle x} 에 대해 x {\displaystyle x} 의 연속적인 분수(연분수) 확장의 계수 a n {\displaystyle a_{n}} 의 a i {\displaystyle a_{i}} (부분적인 몫)이 x {\displaystyle x} 의 값과 무관하게 킨친(Khinchin)의 상수로 알려진 기하 평균을 가지고 있음을 증명했다. 즉, x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + 1 ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;} lim n → ∞ ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) 1 n = K 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1},a_{2},...,a_{n}\right)^{1 \over n}=K_{0}} 킨친 상수(Khinchin constant) K = K 0 = ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k ( k + 2 ) ) log 2 ⁡ k ≈ 2.6854520010 … ( O E I S A 002210 ) {\displaystyle K=K_{0}=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k(k+2)}\right)}^{\log _{2}k}\approx 2.6854520010\dots (OEISA002210)} 거의 모든 숫자가 이러한 특성을 만족하지만, 목적을 위해 구체적으로 구성 되지 않은 실수에 대해서는 입증되지 않은 경우도 있다. 연속적인 분수 확장이 이 속성을 갖지 않는 것으로 알려진 x {\displaystyle x} 는 유리수 , 2차방정식의 근 (정수의 제곱근 과 황금비 ϕ {\displaystyle \phi } 포함) 및 자연 로그 e {\displaystyle e} 의 밑수인 상수 e {\displaystyle e} 이다. "Khinchin"은 때때로 오래된 수학 문헌에서 "Khintchine" (러시아어 Хинчин의 프랑스어 음역)으로 표기된다. K = ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k 2 + 2 k ) log 2 ⁡ k = ∏ k = 1 ∞ k log 2 ⁡ ( 1 + 1 k 2 + 2 k ) {\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k^{2}+2k}\right)}^{\log _{2}k}=\prod _{k=1}^{\infty }k^{\log _{2}^{}\left(1+{1 \over k^{2}+2k}\right)}} K = ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k ( k + 2 ) ) log 2 ⁡ k = ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k ( k + 2 ) ) l n k l n 2 {\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k(k+2)}\right)}^{\log _{2}k}=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k(k+2)}\right)}^{{lnk} \over {ln2}}} K = 1 log ⁡ ( 2 ) ∑ s = 1 ∞ ζ ( 2 s ) − 1 s ∑ k = 1 2 s − 1 − 1 ( k + 1 ) k {\displaystyle K={{1} \over {\log(2)}}\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\sum _{k=1}^{2s-1}{{-1^{(k+1)}} \over {k}}} K = e x p ( 1 l n 2 ∑ k = 1 ∞ H 2 k − 1 ′ ( ζ ( 2 k ) − 1 ) k ) {\displaystyle K=exp\left({{1} \over {ln2}}\sum _{k=1}^{\infty }{{H_{2k-1}^{'}(\zeta (2k)-1)} \over {k}}\right)} H {\displaystyle H} 는 조화수, ζ {\displaystyle \zeta } 리만 제타 함수 log ⁡ ( K 0 ) = 1 log ⁡ ( 2 ) ∑ s = 1 ∞ ζ ( 2 s ) − 1 s ∑ k = 1 2 s − 1 − 1 ( k + 1 ) k {\displaystyle \log(K_{0})={{1} \over {\log(2)}}\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\sum _{k=1}^{2s-1}{{-1^{(k+1)}} \over {k}}} log ⁡ ( K 0 ) log ⁡ ( 2 ) = ∑ s = 1 ∞ ζ ( 2 s ) − 1 s ∑ k = 1 2 s − 1 − 1 ( k + 1 ) k {\displaystyle \log(K_{0}){\log(2)}=\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\sum _{k=1}^{2s-1}{{-1^{(k+1)}} \over {k}}} log ⁡ ( K 0 ) log ⁡ ( 2 ) = ∑ s = 1 ∞ ζ ( 2 s ) − 1 s ( 1 1 − 1 2 + 1 3 − ⋯ + 1 ( 2 s − 1 ) ) {\displaystyle \log(K_{0}){\log(2)}=\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\left({1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-\cdots +{1 \over (2s-1)}\right)} K p = [ ∑ k = 1 ∞ − k p log 2 ⁡ ( 1 − 1 ( k + 1 ) 2 ) ] 1 p {\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{{1} \over {(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1 \over p}} = [ 1 l n 2 ∑ k = 1 ∞ k p l n ( 1 + 1 k ( k + 2 ) ) ] 1 p {\displaystyle \;\;\;=\left[{{1} \over {ln2}}\sum _{k=1}^{\infty }k^{p}ln\left(1+{{1} \over {k(k+2)}}\right)\right]^{1 \over p}} K − 1 = 1.74540566240 … ( O E I S A 087491 ) {\displaystyle K_{-1}=1.74540566240\dots (OEISA087491)} K − 2 = 1.45034032849563 … ( O E I S A 087492 ) {\displaystyle K_{-2}=1.45034032849563\dots (OEISA087492)} K − 3 = 1.3135070786879 … ( O E I S A 087493 ) {\displaystyle K_{-3}=1.3135070786879\dots (OEISA087493)} 수학 상수 레비 상수 뤼로스 상수 http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/khinchine.pdf 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 킨친 상수 매스월드 110,000 digits of Khinchin's constant 10,000 digits of Khinchin's constant