값매김환

추상대수학에서 값매김환(-環, 영어: valuation ring) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화 Z ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}} 와 유사한 성질을 가지는 정역이다. 정역 D {\displaystyle D} 위의 값매김(영어: valuation) ( Γ , ≤ , ν ) {\displaystyle (\Gamma ,\leq ,\nu )} 은 다음과 같은 순서쌍이다. 아벨 군 Γ {\displaystyle \Gamma } . 이를 값군(값群, 영어: value group)이라고 한다. Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 전순서 ≤⊆ Γ 2 {\displaystyle \leq \subseteq \Gamma ^{2}} 군 준동형 ν : ( Frac ⁡ D ) × → Γ {\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to \Gamma } 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. (전순서의 병진 불변성) 임의의 g , h , k ∈ Γ {\displaystyle g,h,k\in \Gamma } 에 대하여, g ≤ h {\displaystyle g\leq h} 라면 g + k ≤ h + k {\displaystyle g+k\leq h+k} 이다. D = { x ∈ ( Frac ⁡ D ) × : 0 ≤ ν ( x ) } ∪ { 0 } {\displaystyle D=\{x\in (\operatorname {Frac} D)^{\times }\colon 0\leq \nu (x)\}\cup \{0\}} D {\displaystyle D} 가 정역이고, 그 분수체가 Frac ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Frac} D} 이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다. 임의의 x ∈ Frac ⁡ D {\displaystyle x\in \operatorname {Frac} D} 에 대하여, x = 0 {\displaystyle x=0} 이거나 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 이거나 x − 1 ∈ D {\displaystyle x^{-1}\in D} 이다. 베주 정역이자 국소환이다. D {\displaystyle D} 의 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다. D {\displaystyle D} 의 주 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다. 임의의 a , b ∈ D {\displaystyle a,b\in D} 에 대하여, a ∣ b {\displaystyle a\mid b} 이거나 b ∣ a {\displaystyle b\mid a} 이다. 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다. 임의의 값매김환 D {\displaystyle D} 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다. Γ = ( Frac ⁡ D ) × / D × {\displaystyle \Gamma =(\operatorname {Frac} D)^{\times }/D^{\times }} ν : ( Frac ⁡ D ) × → G {\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to G} ν : x ↦ [ x ] = x + D × {\displaystyle \nu \colon x\mapsto [x]=x+D^{\times }} [ x ] ≤ [ y ] ⟺ x y − 1 ∈ D {\displaystyle [x]\leq [y]\iff xy^{-1}\in D} 즉, 값군 G {\displaystyle G} 는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환이며, 값매김 ν {\displaystyle \nu } 는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 ( D ∖ { 0 } ) / D × {\displaystyle (D\setminus \{0\})/D^{\times }} 이다. 또한, 통상적으로 ν ( 0 ) = ∞ {\displaystyle \nu (0)=\infty } 이며, ν ( 0 ) > ν ( a ) ∀ a ≠ 0 {\displaystyle \nu (0)>\nu (a)\forall a\neq 0} 이라고 하자. 그렇다면 값매김 ν {\displaystyle \nu } 는 다음과 같은 성질을 만족한다. ν ( a b ) = ν ( a ) + ν ( b ) {\displaystyle \nu (ab)=\nu (a)+\nu (b)} ν ( a + b ) ≥ min { ν ( a ) , ν ( b ) } {\displaystyle \nu (a+b)\geq \min\{\nu (a),\nu (b)\}} ν ( a ) = ∞ {\displaystyle \nu (a)=\infty } 일 필요충분조건은 a = 0 {\displaystyle a=0} 이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식 − | a + b | ≥ − | a | − | b | {\displaystyle -|a+b|\geq -|a|-|b|} 를 강화한 것이다. 모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다. 값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 뇌터 환이다. 주 아이디얼 정역이다. 체이거나 아니면 이산 값매김환이다. 값매김 ( Γ , ν ) {\displaystyle (\Gamma ,\nu )} 를 갖춘 값매김환 D {\displaystyle D} 의 아이디얼은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 값군 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 선분(영어: segment)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Δ ⊆ Γ {\displaystyle \Delta \subseteq \Gamma } 이다. 임의의 δ ∈ Δ {\displaystyle \delta \in \Delta } 에 대하여, [ − δ , δ ] ⊆ Δ {\displaystyle [-\delta ,\delta ]\subseteq \Delta } 이다. 여기서 [ , ] {\displaystyle [,]} 는 전순서에 대한 닫힌구간이다. 값군 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 고립 부분군(영어: isolated subgroup)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다. D {\displaystyle D} 의 진 아이디얼 a ⊊ D {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq D} 에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자. a ↦ Γ ∖ ⋃ a ∈ a ∖ { 0 } { ν ( a ) , − ν ( a ) } {\displaystyle {\mathfrak {a}}\mapsto \Gamma \setminus \bigcup _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}\{\nu (a),-\nu (a)\}} 그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다. 이 함수는 D {\displaystyle D} 의 진 아이디얼들과, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다. 이 함수는 D {\displaystyle D} 의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다. 원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다. p {\displaystyle p} 가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화 Z ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}} 는 이산 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , 값매김군은 Z ≅ { p n : n ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} \cong \{p^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}} 이다. 이 경우, 그 값매김은 ν ( p n ( a / b ) ) = n {\displaystyle \nu (p^{n}(a/b))=n} ( a , b {\displaystyle a,b} 는 p {\displaystyle p} 와 서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(영어: p-adic valuation)이라고 하며, 이는 대수적 수론에서 오스트롭스키 정리에 따라 유리수체의 유한 자리들을 구성한다. p진 정수 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 들의 가환환은 이산 값매김환이며, 그 분수체는 p진수체 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 다. 모든 체는 값매김환이다. 체 K {\displaystyle K} 의 경우 값매김군은 자명군이다. 자명군의 선분은 [ 0 , 0 ] = { 0 } {\displaystyle [0,0]=\{0\}} 밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 1변수 형식적 멱급수환 K [ [ x ] ] {\displaystyle K[[x]]} 은 값매김환이다. 그 분수체는 형식적 로랑 급수의 체 K ( ( x ) ) {\displaystyle K((x))} 이며, 그 위의 값매김은 다음과 같다. ν ( ∑ i ∈ Z p i x i ) = min { i ∈ Z : p i ≠ 0 } {\displaystyle \nu \left(\sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}x^{i}\right)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon p_{i}\neq 0\}} (형식적 로랑 급수의 정의에 따라 우변은 유한하다.) Weisstein, Eric Wolfgang. “Valuation ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.