리 군 위의 입자

물리학에서 리 군 위의 입자(영어: particle on a Lie group)는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다.:§2 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다. 콤팩트 연결 리 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. G {\displaystyle G} 의 리 대수 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식 g ( t , t ′ ) = g a b t a t ′ b ( t , t ′ ∈ l i e ( G ) ) {\displaystyle g(t,t')=g_{ab}t^{a}{t'}^{b}\qquad (t,t'\in {\mathfrak {lie}}(G))} 은 G {\displaystyle G} 위의 리만 계량을 정의하며, 이는 G {\displaystyle G} 의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형 G × G → Isom ⁡ ( G , g ) {\displaystyle G\times G\to \operatorname {Isom} (G,g)} 이 존재한다 ( Isom ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Isom} (-)} 은 전단사 등거리 변환의 군). 이 경우, 라그랑지언 L ( g , g ˙ ) = − 1 2 tr ⁡ ( g − 1 g ˙ ) 2 {\displaystyle L(g,{\dot {g}})=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\right)^{2}} 을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은 δ tr ⁡ ( g − 1 g ˙ ) 2 = − 2 tr ⁡ ( g − 1 δ g d d t ( g − 1 g ˙ ) ) {\displaystyle \delta \operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\right)^{2}=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}})\right)} 이다. 유도: 우선, 0 = δ 1 = δ ( g − 1 g ) = δ ( g − 1 ) g + g − 1 δ g {\displaystyle 0=\delta 1=\delta (g^{-1}g)=\delta (g^{-1})g+g^{-1}\delta g} 이므로, δ ( g − 1 ) = − g − 1 δ g g − 1 {\displaystyle \delta (g^{-1})=-g^{-1}\delta gg^{-1}} 이며, d d t g − 1 = − g − 1 g ˙ g − 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g^{-1}=-g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}} 이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다. δ tr ⁡ ( g − 1 g ˙ ) 2 = 2 tr ⁡ ( g − 1 g ˙ δ ( g − 1 g ˙ ) ) = 2 tr ⁡ ( g − 1 g ˙ δ ( g − 1 ) g ˙ + g − 1 g ˙ g − 1 δ g ˙ ) = − 2 tr ⁡ ( g − 1 g ˙ g − 1 δ g g − 1 g ˙ ) − 2 tr ⁡ ( δ g d d t ( g − 1 g ˙ g − 1 ) ) + 2 d d t tr ⁡ ( g − 1 g ˙ g − 1 δ g ) = 2 tr ⁡ ( δ g g − 1 g ˙ d d t g − 1 ) − 2 tr ⁡ ( δ g d d t ( g − 1 g ˙ g − 1 ) ) + 2 d d t tr ⁡ ( g − 1 g ˙ g − 1 δ g ) = − 2 tr ⁡ ( δ g d d t ( g − 1 g ˙ ) g − 1 ) ) + 2 d d t tr ⁡ ( g − 1 g ˙ g − 1 δ g ) = − 2 tr ⁡ ( g − 1 δ g d d t ( g − 1 g ˙ ) ) ) + 2 d d t tr ⁡ ( g − 1 g ˙ g − 1 δ g ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta \operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}})^{2}&=2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\delta (g^{-1}{\dot {g}})\right)\\&=2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\delta (g^{-1}){\dot {g}}+g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta {\dot {g}}\right)\\&=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta gg^{-1}{\dot {g}}\right)-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=2\operatorname {tr} \left(\delta gg^{-1}{\dot {g}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g^{-1}\right)-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}})g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}))\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\end{aligned}}} 이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다. 오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은 d d t ( g − 1 g ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(g^{-1}{\dot {g}}\right)=0} 이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다. g ( t ) = g L exp ⁡ ( t λ ) g R − 1 {\displaystyle g(t)=g_{\mathrm {L} }\exp(t\lambda )g_{\mathrm {R} }^{-1}} 여기서 g L , g R ∈ G {\displaystyle g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} }\in G} 는 상수이다. 특히, g ( 0 ) = g L g R − 1 {\displaystyle g(0)=g_{\mathrm {L} }g_{\mathrm {R} }^{-1}} 는 초기 조건이다. h ⊆ l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {lie}}(G)} 는 G {\displaystyle G} 의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다. λ ∈ h {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}} 는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다. 이에 따라, ( g L , g R , λ ) {\displaystyle (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )} 를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 2 dim ⁡ G {\displaystyle 2\dim G} 차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), 2 dim ⁡ G + rank ⁡ G {\displaystyle 2\dim G+\operatorname {rank} G} 개의 성분을 갖는 ( g L , g R , λ ) {\displaystyle (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )} 좌표계는 rank ⁡ G {\displaystyle \operatorname {rank} G} 차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 G {\displaystyle G} 의 극대 원환면 exp ⁡ ( h ) ≤ G {\displaystyle \exp({\mathfrak {h}})\leq G} 이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다. g L ↦ g L h {\displaystyle g_{\mathrm {L} }\mapsto g_{\mathrm {L} }h} g R ↦ exp ⁡ ( t α ) h {\displaystyle g_{\mathrm {R} }\mapsto \exp(t\alpha )h} λ ↦ λ {\displaystyle \lambda \mapsto \lambda } h ∈ exp ⁡ ( h ) ≤ G {\displaystyle h\in \exp({\mathfrak {h}})\leq G} 게이지 변환을 도입하면, 계의 G × G {\displaystyle G\times G} 대칭이 ( h L , h R ) ⋅ ( g L , g R , λ ) = ( h L g L , g R h R − 1 , λ ) {\displaystyle (h_{\mathrm {L} },h_{\mathrm {R} })\cdot (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )=(h_{\mathrm {L} }g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} }h_{\mathrm {R} }^{-1},\lambda )} 와 같이 분해된다. 위상 공간은 리 군의 공변접다발 T ∗ G {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}G} 이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은 ( g L , g R , λ ) {\displaystyle (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )} 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다. ω ( λ , g L , g R ) = ω L ( λ , g L ) + ω R ( λ , g R ) {\displaystyle \omega (\lambda ,g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })=\omega _{\mathrm {L} }(\lambda ,g_{\mathrm {L} })+\omega _{\mathrm {R} }(\lambda ,g_{\mathrm {R} })} 콤팩트 연결 리 군 G {\displaystyle G} 위의 입자의 힐베르트 공간은 G {\displaystyle G} 위의 복소수 2차 르베그 공간 L 2 ⁡ ( G ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )} 이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는 G × G {\displaystyle G\times G} 의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다. G × G × L 2 ⁡ ( G ; C ) → L 2 ⁡ ( G ; C ) {\displaystyle G\times G\times \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )} ( ( g L , g R ) ⋅ ϕ ) ( x ) = ϕ ( g L − 1 x g R ) {\displaystyle ((g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })\cdot \phi )(x)=\phi (g_{\mathrm {L} }^{-1}xg_{\mathrm {R} })} 이에 따라서, L 2 ⁡ ( G ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )} 는 G × G {\displaystyle G\times G} 의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다. L 2 ⁡ ( G ; C ) = ⨁ ^ R ∈ IrRep ⁡ ( G ) V R ⊗ V R ¯ {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )={\widehat {\bigoplus }}_{R\in \operatorname {IrRep} (G)}V_{R}\otimes V_{\bar {R}}} ( g L , g R ) ⋅ ( v ⊗ v ¯ ) = ( g L ⋅ v ) ⊗ ( g R ⋅ v ) ( v ∈ V R , v ¯ ∈ V R ¯ ) {\displaystyle (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })\cdot (v\otimes {\bar {v}})=(g_{\mathrm {L} }\cdot v)\otimes (g_{\mathrm {R} }\cdot v)\qquad (v\in V_{R},\;{\bar {v}}\in V_{\bar {R}})} 여기서 IrRep ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {IrRep} (R)} 는 G {\displaystyle G} 의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다. ⨁ ^ {\displaystyle \textstyle {\widehat {\bigoplus }}} 는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다. V R {\displaystyle V_{R}} 는 기약 표현 R : G → U ⁡ ( V R ) {\displaystyle R\colon G\to \operatorname {U} (V_{R})} 의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다. R ¯ {\displaystyle {\bar {R}}} 는 기약 표현 R {\displaystyle R} 의 켤레 표현이다. G × G {\displaystyle G\times G} 의 무한소 작용을 나타내는 연산자 ⟨ g | J L ( t a ) | ϕ ⟩ = d d ϵ | ϵ = 0 ϕ ( exp ⁡ ( − ϵ t a ) g ) ⟩ {\displaystyle \langle g|J_{\mathrm {L} }(t^{a})|\phi \rangle =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\phi (\exp(-\epsilon t^{a})g)\rangle } ⟨ g | J R ( t a ) | ϕ ⟩ = d d ϵ | ϵ = 0 ϕ ( g exp ⁡ ( ϵ t a ) ) ⟩ {\displaystyle \langle g|J_{\mathrm {R} }(t^{a})|\phi \rangle =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\phi (g\exp(\epsilon t^{a}))\rangle } 를 생각하자. 그렇다면, 1 2 H = Δ g = g a b J ( t a ) ( J b ) = g a b J ~ a J ~ b {\displaystyle {\frac {1}{2}}H=\Delta _{g}=g_{ab}J(t^{a})(J^{b})=g_{ab}{\tilde {J}}^{a}{\tilde {J}}^{b}} 는 G {\displaystyle G} 위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다. 이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로, V R ⊗ V R ¯ {\displaystyle V_{R}\otimes V_{\bar {R}}} 위에서, 해밀토니언의 고윳값 E R {\displaystyle E_{R}} 은 g a b R ( t a ) R ( t b ) = 2 E R 1 V R g a b t a t b {\displaystyle g_{ab}R(t^{a})R(t^{b})=2E_{R}1_{V_{R}}g_{ab}t^{a}t^{b}} 로 주어진다. 양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 H {\displaystyle H} 의 핵(즉, G {\displaystyle G} 위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다. 1 vol ⁡ G ∑ R ∈ IrRep ⁡ ( G ) ( dim ⁡ V R ) exp ⁡ ( − β E R ) tr V R ⁡ ( g 0 g 1 − 1 ) = K ( g 0 , g 1 ; β ) = ∫ g ∈ W ⁡ ( g 0 , g 1 ) exp ⁡ ( − S [ g ] ) D g {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {vol} G}}\sum _{R\in \operatorname {IrRep} (G)}(\dim V_{R})\exp(-\beta E_{R})\operatorname {tr} _{V_{R}}(g_{0}g_{1}^{-1})=K(g_{0},g_{1};\beta )=\int _{g\in \operatorname {W} (g_{0},g_{1})}\exp(-S[g])\;\mathrm {D} g} 여기서 W ⁡ ( g 0 , g 1 ) {\displaystyle \operatorname {W} (g_{0},g_{1})} 은 g ( 0 ) = g 0 {\displaystyle g(0)=g_{0}} , g β = g β {\displaystyle g_{\beta }=g_{\beta }} 인 연속 함수 g : [ 0 , β ] → G {\displaystyle g\colon [0,\beta ]\to G} 로 구성된 위너 공간이다. D g {\displaystyle \mathrm {D} g} 는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다. S [ g ] = 1 2 ∫ 0 β ⟨ g − 1 g ˙ , g − 1 g ˙ ⟩ d t {\displaystyle \textstyle S[g]={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\beta }\langle g^{-1}{\dot {g}},g^{-1}{\dot {g}}\rangle \,\mathrm {d} t} 는 고전 모형의 작용이다. tr R ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {tr} _{R}(-)} 는 표현 R {\displaystyle R} 의 지표이다. 특히, β → 0 {\displaystyle \beta \to 0} 극한에서 이는 디랙 델타가 된다. G = U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle G=\operatorname {U} (1)} 인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은 H = L 2 ⁡ ( U ⁡ ( 1 ) ; C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {U} (1);\mathbb {C} )} 이다. U ⁡ ( 1 ) = R / ( 2 π Z ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)=\mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} )} 로 좌표 θ {\displaystyle \theta } 를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저 | n ⟩ = exp ⁡ ( i n θ ) ( n ∈ Z ) {\displaystyle |n\rangle =\exp(\mathrm {i} n\theta )\qquad (n\in \mathbb {Z} )} 를 갖는다. 원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며, R n : U ⁡ ( 1 ) → GL ⁡ ( 1 ; C ) = C × {\displaystyle R_{n}\colon \operatorname {U} (1)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }} R n : θ ↦ exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle R_{n}\colon \theta \mapsto \exp(\mathrm {i} \theta )} 이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다. IrRep ⁡ ( U ⁡ ( 1 ) ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {IrRep} (\operatorname {U} (1))\cong \mathbb {Z} } 힐베르트 공간의 분해 H = ⨁ ^ n ∈ Z C ⊗ C = ∑ n ∈ Z C | n ⟩ {\displaystyle H={\widehat {\bigoplus }}_{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {C} \otimes \mathbb {C} =\sum _{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {C} |n\rangle } 는 H {\displaystyle H} 의 정규 직교 기저 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 에 대한 분해이다. 해밀토니언 H = − d 2 d θ 2 {\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}} 에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은 H | n ⟩ = n 2 | n ⟩ {\displaystyle H|n\rangle =n^{2}|n\rangle } 이다. 그 위의 열핵은 K ( θ 0 , θ 1 ; β ) = 1 2 π ∑ n ∈ Z exp ⁡ ( − β n 2 ) exp ⁡ ( i n ( θ 1 − θ 0 ) ) = ∫ θ : [ 0 , β ] → U ⁡ ( 1 ) θ ( 0 ) = θ 0 , θ ( β ) = θ 1 exp ⁡ ( − 1 2 ∫ 0 β g ˙ 2 ) D g {\displaystyle K(\theta _{0},\theta _{1};\beta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(-\beta n^{2})\exp(\mathrm {i} n(\theta _{1}-\theta _{0}))=\int _{{\scriptstyle \theta \colon [0,\beta ]\to \operatorname {U} (1)} \atop {\scriptstyle \theta (0)=\theta _{0},\;\theta (\beta )=\theta _{1}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\beta }{\dot {g}}^{2}\right)\,\mathrm {D} g} 이며, 사실 1 2 π ∑ n ∈ Z exp ⁡ ( − n 2 β ) exp ⁡ ( i n θ ) = 1 4 π β ∑ n ∈ Z exp ⁡ ( θ − 2 n π ) 2 4 β {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(-n^{2}\beta )\exp(\mathrm {i} n\theta )={\frac {1}{\sqrt {4\pi \beta }}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp {\frac {(\theta -2n\pi )^{2}}{4\beta }}} 이다. G = SU ⁡ ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}} 인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은 H = L 2 ⁡ ( SU ⁡ ( 2 ) ; C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {SU} (2);\mathbb {C} )} 이다. SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 의 기약 표현은 스핀 j ∈ { 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , , ⋯ } = IrRep ⁡ ( SU ⁡ ( 2 ) ) {\displaystyle j\in \{0,1/2,1,3/2,2,,\dotsb \}=\operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2))} 에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는 H = ⨁ ^ j C 2 j + 1 ⊗ C 2 j + 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}={\widehat {\bigoplus }}_{j}\mathbb {C} ^{2j+1}\otimes \mathbb {C} ^{2j+1}} 이다. 2 j + 1 {\displaystyle 2j+1} 차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여) E j = j ( j + 1 ) {\displaystyle E_{j}=j(j+1)} 이다. Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv:hep-th/9904145.  Briant, Robert L. “Notes on geodesics on Lie groups” (PDF) (영어).  Quan, Hadrian. “Talk notes: quantum mechanics of a particle on a group” (PDF) (영어). [깨진 링크(과거 내용 찾기)]