수직 벡터 다발

미분기하학에서 수직 벡터 다발(垂直vector-, 영어: vertical vector bundle)은 올다발의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다. 반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속이라고 한다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 올다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} 이 주어졌다고 하고, E {\displaystyle E} 및 E {\displaystyle E} 의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분 T π : T E ↠ T M {\displaystyle \mathrm {T} \pi \colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow \mathrm {T} M} 을 정의할 수 있다. 그렇다면, E {\displaystyle E} 위에 다음과 같은 수직 벡터 다발 V E {\displaystyle \mathrm {V} E} 를 정의할 수 있다. V E = ker ⁡ ( T π ) {\displaystyle \mathrm {V} E=\ker(\mathrm {T} \pi )} 즉, V e E = T e ( E π ( e ) ) ∀ e ∈ E {\displaystyle \mathrm {V} _{e}E=\mathrm {T} _{e}(E_{\pi (e)})\qquad \forall e\in E} ∀ u ∈ T e E : ( u ∈ V e E ⟺ ∀ ( γ : R → E , γ ( 0 ) = e ) : d γ d t ( 0 ) = u ⟹ d ( π ∘ γ ) d t ( 0 ) = 0 ) {\displaystyle \forall u\in T_{\mathrm {e} }E\colon \left(u\in \mathrm {V} _{e}E\iff \forall (\gamma \colon \mathbb {R} \to E,\;\gamma (0)=e)\colon {\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(0)=u\implies {\frac {\mathrm {d} (\pi \circ \gamma )}{\mathrm {d} t}}(0)=0\right)} 즉, 벡터 다발 V {\displaystyle V} 의 e ∈ E {\displaystyle e\in E} 에서의 올은 E {\displaystyle E} 의 올의 접공간이다. E {\displaystyle E} 위의 벡터장 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 X ∈ Γ ( T E ) {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} E)} 라면 (즉, 만약 모든 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여 X x ∈ V e E {\displaystyle X_{x}\in \mathrm {V} _{e}E} 라면) X {\displaystyle X} 를 수직 벡터장(垂直vector場, 영어: vertical vector field)이라고 한다. 마찬가지로, E {\displaystyle E} 위의 p {\displaystyle p} 차 미분 형식 α ∈ Ω p ( E ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(E)} 에 대하여, 만약 α ( X 1 , X 2 , … , X p ) = 0 ∀ X 1 , … , X p ∈ Γ ( V E ) {\displaystyle \alpha (X_{1},X_{2},\dots ,X_{p})=0\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{p}\in \Gamma (\mathrm {V} E)} 라면, α {\displaystyle \alpha } 를 수평 미분 형식(水平微分形式, 영어: horizontal differential form)이라고 한다. 수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열 0 → V E ↪ T E ↠ π ∗ T π π ∗ T M → 0 {\displaystyle 0\to \mathrm {V} E\hookrightarrow \mathrm {T} E\;{\overset {\pi ^{*}\mathrm {T} \pi }{\twoheadrightarrow }}\;\pi ^{*}\mathrm {T} M\to 0} 이 존재한다. 이를 아티야 완전열(Atiyah完全列, 영어: Atiyah exact sequence)이라고 한다. (여기서 π ∗ T π : ( e , u ) ↦ ( e , T π ( u ) ) {\displaystyle \pi ^{*}\mathrm {T} \pi \colon (e,u)\mapsto (e,\mathrm {T} \pi (u))} 이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. E {\displaystyle E} 위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다. 두 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 과 F {\displaystyle F} 가 주어졌고, E = M × F {\displaystyle E=M\times F} 를 M {\displaystyle M} 위의 올다발로 여기자. F ← proj 2 E → proj 1 M {\displaystyle F{\xleftarrow {\operatorname {proj} _{2}}}E{\xrightarrow {\operatorname {proj} _{1}}}M} 이 경우, 자연스럽게 T ( m , f ) E = T m M ⊕ T f F ( ∀ m ∈ M , , f ∈ F ) {\displaystyle \mathrm {T} _{(m,f)}E=\mathrm {T} _{m}M\oplus \mathrm {T} _{f}F\qquad (\forall m\in M,\;,f\in F)} 이며, 수직 벡터 다발 V E {\displaystyle \mathrm {V} E} 는 다음과 같다. V E = proj 2 ∗ ⁡ T F ⊆ T E {\displaystyle \mathrm {V} E=\operatorname {proj} _{2}^{*}\mathrm {T} F\subseteq \mathrm {T} E} (이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발" proj 1 ∗ ⁡ T M ⊆ T E {\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{*}\mathrm {T} M\subseteq \mathrm {T} E} 역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.) 리 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} 가 G {\displaystyle G} -주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발 V E {\displaystyle \mathrm {V} E} 는 리 대수 g = T 1 G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {T} _{1}G} 에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다. V E ≅ g × E {\displaystyle \mathrm {V} E\cong {\mathfrak {g}}\times E} 구체적으로, 우선, 임의의 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, G {\displaystyle G} 의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을 X : g → Γ ( T P ) {\displaystyle X\colon {\mathfrak {g}}\to \Gamma (\mathrm {T} P)} X : x ↦ X x {\displaystyle X\colon x\mapsto X_{x}} 로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, X {\displaystyle X} 의 상은 P {\displaystyle P} 의 수직 벡터 다발 V P = ker ⁡ ( T π ) ⊆ T P {\displaystyle \mathrm {V} P=\ker(\mathrm {T} \pi )\subseteq \mathrm {T} P} 과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상 P × g → V P {\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {V} P} 를 정의한다. (좌변은 올이 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 인 자명한 벡터 다발이다.) 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} 이 주어졌다고 하자. 이 경우, E {\displaystyle E} 의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김 π ∗ E = E × M E {\displaystyle \pi ^{*}E=E\times _{M}E} 와 표준적으로 동형이다.:55, §6.11 V E ≅ π ∗ E = E × M E {\displaystyle \mathrm {V} E\cong \pi ^{*}E=E\times _{M}E} Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 20일에 확인함.  Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, topology and physics》 (영어) 2판. Taylor & Francis. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 978-0-7503-0606-5.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Marle, Charles-Michel (2007). 〈The works of Charles Ehresmann on connections: from Cartan connections to connections on fibre bundles〉. 《Geometry and Topology of Manifolds, May 2005, Będlewo, Poland》. Banach Center Publications (영어) 76. 바르샤바: Polish Academy of Sciences. 65–86쪽. arXiv:1401.8272. Bibcode:2014arXiv1401.8272M.  “Vertical vector field”. 《nLab》 (영어).  “Horizontal differential form”. 《nLab》 (영어).  “Geometric interpretation of horizontal and vertical lift of vector field” (영어). Math Overflow.