결합 도식

조합론에서 결합 도식(結合圖式, 영어: association scheme 어소시에이션 스킴[*]) 또는 일관 구조(一貫構造, 영어: coherent configuration)는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다. 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 보스-메스너 대수(बसु-Mesner代數, 영어: Bose–Mesner algebra)가 존재한다. 결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. 결합 도식 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:2479, Definition 1:1, §1.1 유한 집합 X {\displaystyle X} X × X {\displaystyle X\times X} 의, n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 부분 집합들 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , | R | = n + 1 {\displaystyle |{\mathcal {R}}|=n+1} 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ㉠ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 는 X × X {\displaystyle X\times X} 의 분할을 이룬다. 즉, R , R ′ ∈ R {\displaystyle R,R'\in {\mathcal {R}}} 이며 R ≠ R ′ {\displaystyle R\neq R'} 이라면 R ∩ R ′ = ∅ {\displaystyle R\cap R'=\varnothing } 이며, 또한 ⋃ R = X × X {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {R}}=X\times X} 이다. ㉡ { ( x , x ) : x ∈ X } = ⋃ R ′ {\displaystyle \textstyle \{(x,x)\colon x\in X\}=\bigcup {\mathcal {R}}'} 인 부분 집합 R ′ ⊆ R {\displaystyle {\mathcal {R}}'\subseteq {\mathcal {R}}} 가 존재한다. ㉢ ∅ ∉ R {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {R}}} ㉣ 임의의 R ∈ R {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}} 에 대하여, R op ∈ R {\displaystyle R^{\operatorname {op} }\in {\mathcal {R}}} ㉤ 임의의 R , R ′ , R ″ ∈ R {\displaystyle R,R',R''\in {\mathcal {R}}} 및 ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} 에 대하여, | { z ∈ X : x ∼ R ′ y ∼ R ″ z } | ∈ N {\displaystyle |\{z\in X\colon x\sim _{R'}y\sim _{R''}z\}|\in \mathbb {N} } 는 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 에 의존하지 않는다. 여기서 R ∈ R {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}} 에 대하여, x ∼ R y {\displaystyle x\sim _{R}y} 는 ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} 를 뜻한다. R op = { ( y , x ) : ( x , y ) ∈ R } {\displaystyle R^{\operatorname {op} }=\{(y,x)\colon (x,y)\in R\}} 는 R {\displaystyle R} 의 반대 이항 관계이다. 흔히, R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 의 원소는 ( R 0 , R 1 , … , R n ) {\displaystyle (R_{0},R_{1},\dotsc ,R_{n})} 으로 표기되며, 이 경우 R 0 = { ( x , x ) : x ∈ X } {\displaystyle R_{0}=\{(x,x)\colon x\in X\}} 이다. 또한, p i j k = | { z ∈ X : x ∼ i y ∼ j z } | ( x ∼ k y ) {\displaystyle p_{ij}^{k}=|\{z\in X\colon x\sim _{i}y\sim _{j}z\}|\qquad (x\sim _{k}y)} 는 결합 도식의 구조 상수(構造常數, 영어: structure constant)라고 한다. 결합 도식 ( X , n , A ) {\displaystyle (X,n,{\mathcal {A}})} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:13–14, §1.3 유한 집합 X = { 0 , 1 , … , q − 1 } {\displaystyle X=\{0,1,\dotsc ,q-1\}} 자연수 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 개의, 모든 성분이 0 또는 1인 q × q {\displaystyle q\times q} 정사각 행렬들의 족 A = { A 0 , A 1 , … , A n } {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A_{0},A_{1},\dotsc ,A_{n}\}} . 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ㉠ ∑ i = 0 n A i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{n}A_{i}} 는 모든 성분이 1인 k × k {\displaystyle k\times k} 정사각 행렬이다. ㉡ 1 k × k = ∑ A ′ {\displaystyle \textstyle 1_{k\times k}=\sum {\mathcal {A}}'} 인 A ′ ⊆ A {\displaystyle {\mathcal {A}}'\subseteq {\mathcal {A}}} 가 존재한다. ㉢ 0 k × k ∉ A {\displaystyle 0_{k\times k}\not \in {\mathcal {A}}} . ㉣ 임의의 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, A ⊤ ∈ A {\displaystyle A^{\top }\in {\mathcal {A}}} ㉤ 임의의 A i , A j ∈ A {\displaystyle A_{i},A_{j}\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, 그 곱 A i A j {\displaystyle A_{i}A_{j}} 는 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 원소들의 자연수 계수 선형 결합이다. 즉, 각 0 ≤ i , j , k ≤ k {\displaystyle 0\leq i,j,k\leq k} 에 대하여, A i A j = ∑ k = 0 n p i j k A k {\displaystyle \textstyle A_{i}A_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}A_{k}} 인 자연수 p i j k {\displaystyle p_{ij}^{k}} 가 존재한다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 ∼ i {\displaystyle \sim _{i}} 를 대신 정사각 행렬 ( A i ) x , y = x ∼ i y ( x , y ∈ X ) {\displaystyle (A_{i})_{x,y}=x\sim _{i}y\qquad (x,y\in X)} 로 치환하면 된다. 결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다.:2479, §Ⅱ.A 결합 도식 ( X , D , ∂ ) {\displaystyle (X,D,\partial )} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 유한 집합 X {\displaystyle X} 유한 집합 D {\displaystyle D} 함수 ∂ : X × X → D {\displaystyle \partial \colon X\times X\to D} . 이는 거리 함수(距離函數, 영어: distance)라고 한다. 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ㉡ 임의의 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여, 만약 ∂ ( x , x ) = ∂ ( y , z ) {\displaystyle \partial (x,x)=\partial (y,z)} 라면, y = z {\displaystyle y=z} 이다. ㉢ ∂ {\displaystyle \partial } 은 전사 함수이다. ㉣ 임의의 x , y , x ′ , y ′ ∈ X {\displaystyle x,y,x',y'\in X} 에 대하여, ∂ ( x , y ) = ∂ ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle \partial (x,y)=\partial (x',y')} 라면 ∂ ( y , x ) = ∂ ( y ′ , x ′ ) {\displaystyle \partial (y,x)=\partial (y',x')} ㉤ 임의의 x , y , x ′ , y ′ ∈ X {\displaystyle x,y,x',y'\in X} 에 대하여, 만약 ∂ ( x , y ) = ∂ ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle \partial (x,y)=\partial (x',y')} 라면, ∀ z ∈ X : ∂ ( x , z ) = ∂ ( x ′ , f ( z ) ) {\displaystyle \forall z\in X\colon \partial (x,z)=\partial (x',f(z))} 이자 ∀ z ∈ X : ∂ ( z , y ) = ∂ ( f ( z ) , y ′ ) {\displaystyle \forall z\in X\colon \partial (z,y)=\partial (f(z),y')} 가 되는 전단사 함수 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} 가 존재한다. 이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 α ∈ D {\displaystyle \alpha \in D} 에 대하여 이항 관계 x ∼ α y ⟺ ∂ ( x , y ) = α {\displaystyle x\sim _{\alpha }y\iff \partial (x,y)=\alpha } 를 대응시키면 된다. 같은 집합 X {\displaystyle X} 위의 두 결합 도식 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 및 ( X , R ′ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}}')} 에 대하여, 만약 R ⊆ R ′ {\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {R}}'} 이라면, ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 를 ( X , R ′ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}}')} 의 부분 결합 도식(部分結合圖式, 영어: subscheme)이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 집합 X {\displaystyle X} 위의 결합 도식 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 유한 집합 X ′ {\displaystyle X'} 위의 결합 도식 ( X ′ , R ′ ) {\displaystyle (X',{\mathcal {R}}')} 그렇다면, 결합 도식 사상(영어: morphism of association schemes) ( f , g ) : ( X , R ) → ( X ′ , R ′ ) {\displaystyle (f,g)\colon (X,{\mathcal {R}})\to (X',{\mathcal {R}}')} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:83, Chapter 5 함수 f : X → X ′ {\displaystyle f\colon X\to X'} 함수 g : R → R ′ {\displaystyle g\colon {\mathcal {R}}\to {\mathcal {R}}'} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 및 R ∈ R {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}} 에 대하여, 만약 x ∼ R y {\displaystyle x\sim _{R}y} 라면, f ( x ) ∼ g ( R ) f ( y ) {\displaystyle f(x)\sim _{g(R)}f(y)} 이다. 이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다. 결합 도식 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 대칭 결합 도식(對稱結合圖式, 영어: symmetric association scheme)이라고 한다.:2479, §II.A 조합론적 정의 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 에서, R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 의 모든 원소는 대칭 관계이다. 즉, 만약 R ∈ R {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}} 라면, R = R op {\displaystyle R=R^{\operatorname {op} }} 이다. 행렬을 통한 정의 ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} 에서, 모든 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 는 대칭 행렬이다. 기하학적 정의 ( X , ∂ ) {\displaystyle (X,\partial )} 에서, 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여 ∂ ( x , y ) = ∂ ( y , x ) {\displaystyle \partial (x,y)=\partial (y,x)} 이다. 결합 도식 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 가환 결합 도식(可換結合圖式,영어: commutative association scheme)이라고 한다. 그 보스-메스너 대수가 가환환이다. 조합론적 정의에서, 임의의 R , R ′ , R ″ ∈ R {\displaystyle R,R',R''\in {\mathcal {R}}} 및 ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} 에 대하여, | { z ∈ X : x ∼ R ′ z ∼ R ″ y } | = | { z ∈ X : x ∼ R ″ z ∼ R ′ y } | {\displaystyle |\{z\in X\colon x\sim _{R'}z\sim _{R''}y\}|=|\{z\in X\colon x\sim _{R''}z\sim _{R'}y\}|} 행렬을 통한 정의 ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} 에서, 임의의 A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 에 대하여 A B = B A {\displaystyle AB=BA} 이다. 기하학적 정의 ( X , ∂ ) {\displaystyle (X,\partial )} 에서, 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, ∀ z ∈ X : ( ∂ ( x , z ) , ∂ ( z , y ) ) = ( ∂ ( y , f ( z ) ) , ∂ ( f ( z ) , x ) ) {\displaystyle \forall z\in X\colon (\partial (x,z),\partial (z,y))=(\partial (y,f(z)),\partial (f(z),x))} 가 되는 자기 전단사 함수 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} 가 존재한다. 결합 도식 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 균등 결합 도식(均等結合圖式, 영어: homogeneous association scheme)이라고 한다. 조합론적 정의 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 에서, { ( x , x ) : x ∈ X } ∈ R {\displaystyle \{(x,x)\colon x\in X\}\in {\mathcal {R}}} 이다. 행렬을 통한 정의 ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} 에서, 1 | X | × | X | ∈ A {\displaystyle 1_{|X|\times |X|}\in {\mathcal {A}}} 이다. 기하학적 정의 ( X , ∂ ) {\displaystyle (X,\partial )} 에서, ∀ x , y ∈ X : ∂ ( x , x ) = ∂ ( y , y ) {\displaystyle \forall x,y\in X\colon \partial (x,x)=\partial (y,y)} 이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 대칭 결합 도식 ⊊ 가환 결합 도식 ⊊ 균등 결합 도식 ⊊ 결합 도식 결합 도식 ( X , ∂ ) {\displaystyle (X,\partial )} 이 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. x ≈ y ⟺ ∂ ( x , x ) = ∂ ( y , y ) {\displaystyle x\approx y\iff \partial (x,x)=\partial (y,y)} 이 동치 관계에 대한 동치류를 X {\displaystyle X} 의 올(영어: fibre)이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 ( X α ) α ∈ I {\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha \in I}} 로 표기할 때, 다음이 성립한다. ∀ R ∈ R ∃ α , β ∈ I : R ⊆ X α × X β {\displaystyle \forall R\in {\mathcal {R}}\exists \alpha ,\beta \in I\colon R\subseteq X_{\alpha }\times X_{\beta }} 증명: 임의의 x , y , y ′ ∈ X {\displaystyle x,y,y'\in X} 가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여 ∂ ( x , y ) = ∂ ( x , y ′ ) {\displaystyle \partial (x,y)=\partial (x,y')} ∂ ( y , y ) ≠ ∂ ( y ′ , y ′ ) {\displaystyle \partial (y,y)\neq \partial (y',y')} 이라고 가정하자. 그렇다면, { z ∈ X : ∂ ( x , z ) = ∂ ( x , y ) , ∂ ( z , y ) = ∂ ( y , y ) } = { y } {\displaystyle \{z\in X\colon \partial (x,z)=\partial (x,y),\;\partial (z,y)=\partial (y,y)\}=\{y\}} { z ∈ X : ∂ ( x , z ) = ∂ ( x , y ) , ∂ ( z , y ′ ) = ∂ ( y , y ) } = ∅ {\displaystyle \{z\in X\colon \partial (x,z)=\partial (x,y),\;\partial (z,y')=\partial (y,y)\}=\varnothing } 이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다. 이에 따라, 결합 도식 ( X , ∂ ) {\displaystyle (X,\partial )} 의 임의의 올 X i {\displaystyle X_{i}} 이 주어졌을 때, ( X i , ∂ ↾ X i 2 ) {\displaystyle (X_{i},\partial \upharpoonright X_{i}^{2})} 는 균등 결합 도식을 이룬다. 유한 개의 결합 도식 ( X i , R i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i},{\mathcal {R}}_{i})_{i\in I}} | I | < ℵ 0 {\displaystyle |I|<\aleph _{0}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} 위에 이항 관계 R = ∏ i ∈ I R i {\displaystyle {\mathcal {R}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {R}}_{i}} ( x i ) i ∈ I ∼ ( R i ) i ∈ I ( y i ) i ∈ I ⟺ ∀ i ∈ I : x i ∼ R i y i {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\sim _{(R_{i})_{i\in I}}(y_{i})_{i\in I}\iff \forall i\in I\colon x_{i}\sim _{R_{i}}y_{i}} 를 줄 수 있다. 그렇다면, ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 는 결합 도식을 이루며, 이를 ( X i , R i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i},{\mathcal {R}}_{i})_{i\in I}} 의 직접곱(直接곱, 영어: direct product)이라고 한다.:140, Chapter 7 이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다. 임의의 결합 도식 X {\displaystyle X} 의 구조 상수들 ( p i j k ) 1 ≤ i , j , k ≤ n {\displaystyle (p_{ij}^{k})_{1\leq i,j,k\leq n}} 은 다음을 만족시킨다. ∑ i , j , k = 0 n p i j k | R k | = | X | 3 {\displaystyle \sum _{i,j,k=0}^{n}p_{ij}^{k}|R_{k}|=|X|^{3}} 만약 R i op = R ı ¯ {\displaystyle R_{i}^{\operatorname {op} }=R_{\bar {\imath }}} R j op = R ȷ ¯ {\displaystyle R_{j}^{\operatorname {op} }=R_{\bar {\jmath }}} R k op = R k ¯ {\displaystyle R_{k}^{\operatorname {op} }=R_{\bar {k}}} 일 때, 다음이 성립한다. p j k i = p k ¯ ȷ ¯ ı ¯ {\displaystyle p_{jk}^{i}=p_{{\bar {k}}{\bar {\jmath }}}^{\bar {\imath }}} 균등 결합 도식 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 의 구조 상수들 ( p i j k ) 1 ≤ i , j , k ≤ n {\displaystyle (p_{ij}^{k})_{1\leq i,j,k\leq n}} 은 다음을 만족시킨다.:26, Exercise 1.1(a) p 0 i j = p i 0 j = δ i j {\displaystyle p_{0i}^{j}=p_{i0}^{j}=\delta _{i}^{j}} p i j 0 = p ȷ ¯ ı ¯ 0 = δ j ı ¯ p i ı ¯ 0 {\displaystyle p_{ij}^{0}=p_{{\bar {\jmath }}{\bar {\imath }}}^{0}=\delta _{j}^{\bar {\imath }}p_{i{\bar {\imath }}}^{0}} ∑ i , j = 0 n p i j 0 = ∑ i = 0 n p i ı ¯ 0 = | X | {\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}p_{ij}^{0}=\sum _{i=0}^{n}p_{i{\bar {\imath }}}^{0}=|X|} (여기서 δ i j {\displaystyle \delta _{i}^{j}} 는 크로네커 델타이다.) 대칭 결합 도식 ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프 K X {\displaystyle K_{X}} 위에, R ∖ { R 0 } {\displaystyle {\mathcal {R}}\setminus \{R_{0}\}} 의 원소를 색으로 하는 변 색칠 c : E ⁡ ( K X ) → R ∖ { R 0 } {\displaystyle c\colon \operatorname {E} (K_{X})\to {\mathcal {R}}\setminus \{R_{0}\}} 을 정의할 수 있다. c : ( x , y ) ↦ R ⟺ ( x , y ) ∈ R ( R ∈ R , R ≠ R 0 ) {\displaystyle c\colon (x,y)\mapsto R\iff (x,y)\in R\qquad (R\in {\mathcal {R}},\;R\neq R_{0})} 이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.:7–8, §1.2 (행렬을 통한 정의의) 결합 도식 ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} 이 주어졌을 때, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 선형 생성 Span Z ⁡ A ⊆ Mat ⁡ ( | X | , | X | ; Z ) {\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }{\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {Z} )} 은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 X {\displaystyle X} 에 대응하는 보스-메스너 대수라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다).:2480, Definition 2 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다. 아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다. ∏ a = 1 k Mat ⁡ ( m a , m a ; C ) {\displaystyle \prod _{a=1}^{k}\operatorname {Mat} (m_{a},m_{a};\mathbb {C} )} 이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원 E a = ( 0 , 0 , … , 0 , 1 m a × m a , 0 , … , 0 ) {\displaystyle E_{a}=(0,0,\dotsc ,0,1_{m_{a}\times m_{a}},0,\dotsc ,0)} 들을 정의할 수 있으며, 이들은 E a E b = δ a b E a ( a , b ∈ { 0 , … , k } ) {\displaystyle E_{a}E_{b}=\delta _{ab}E_{a}\qquad (a,b\in \{0,\dotsc ,k\})} 를 만족시킨다 ( δ a b {\displaystyle \delta _{ab}} 는 크로네커 델타). 또한, 편의상 E 0 = 1 | X | J | X | × | X | . {\displaystyle E_{0}={\frac {1}{|X|}}{\mathsf {J}}_{|X|\times |X|}.} 로 놓는다. 여기서 J | X | × | X | {\displaystyle {\mathsf {J}}_{|X|\times |X|}} 는 모든 성분이 1인 | X | × | X | {\displaystyle |X|\times |X|} 정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다. 특히, E a {\displaystyle E_{a}} 를 D i {\displaystyle D_{i}} 로 전개하였을 때의 계수 | X | E a = ∑ i = 0 n Q a i D j {\displaystyle |X|E_{a}=\sum _{i=0}^{n}Q_{ai}D_{j}} 를 정의할 수 있다. 가환 결합 도식 X {\displaystyle X} 의 경우, 최소 멱등원의 수는 | X | = n {\displaystyle |X|=n} 와 같으며, 멱영원들 ( E a ) 0 ≤ a ≤ n {\displaystyle (E_{a})_{0\leq a\leq n}} 은 보스-메스너 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다. D i = ∑ a = 0 n P i , a E a {\displaystyle D_{i}=\sum _{a=0}^{n}P_{i,a}E_{a}} 또한, D i {\displaystyle D_{i}} 들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, E a {\displaystyle E_{a}} 들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수 E a ◯ E b = q a b c E c {\displaystyle E_{a}\bigcirc E_{b}=q_{ab}^{c}E_{c}} 를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 q a b c = q b a c {\displaystyle q_{ab}^{c}=q_{ba}^{c}} 이다.) 이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다. 이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다. 이에 따라, 만약 두 결합 도식 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 의 복소수 계수 보스-메스너 대수 A X {\displaystyle {\mathcal {A}}_{X}} , A Y {\displaystyle {\mathcal {A}}_{Y}} 가 각각 ( A X , ⋅ , ◯ , ( D i ) i ) ≅ ( A Y , ◯ , ⋅ , ( E a ) a ) {\displaystyle ({\mathcal {A}}_{X},\cdot ,\bigcirc ,(D_{i})_{i})\cong ({\mathcal {A}}_{Y},\bigcirc ,\cdot ,(E_{a})_{a})} 라면, 서로 쌍대(영어: dual)라고 한다. 즉, 반선형 변환(영어: antilinear map) f : A X → A Y {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}_{X}\to {\mathcal {A}}_{Y}} f ( λ M ) = λ ¯ f ( M ) ( λ ∈ C , M ∈ A X ) {\displaystyle f(\lambda M)={\bar {\lambda }}f(M)\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;M\in {\mathcal {A}}_{X})} f ( M N ) = f ( M ) ◯ f ( N ) {\displaystyle f(MN)=f(M)\bigcirc f(N)} f ( M ◯ N ) = f ( M ) f ( N ) {\displaystyle f(M\bigcirc N)=f(M)f(N)} 를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다. 아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다. 특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다.:2482, Example 1 (continued) 다음은 n = 3 {\displaystyle n=3} 인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 X = { A , B , C , D , E , F } {\displaystyle X=\{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}},{\mathsf {C}},{\mathsf {D}},{\mathsf {E}},{\mathsf {F}}\}} 이다. 그 구조 상수는 다음과 같다. 1 = p 00 0 = p 01 1 = p 02 2 = p 03 3 = p 11 1 = p 23 1 = p 33 1 = p 22 2 = p 12 3 = p 13 3 {\displaystyle 1=p_{00}^{0}=p_{01}^{1}=p_{02}^{2}=p_{03}^{3}=p_{11}^{1}=p_{23}^{1}=p_{33}^{1}=p_{22}^{2}=p_{12}^{3}=p_{13}^{3}} 2 = p 11 0 = p 33 0 = p 13 2 {\displaystyle 2=p_{11}^{0}=p_{33}^{0}=p_{13}^{2}} 여기서 p i j k {\displaystyle p_{ij}^{k}} 가 수록되었다면 p j i k {\displaystyle p_{ji}^{k}} 는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다. 크기가 2 이상인 임의의 유한 집합 X {\displaystyle X} 위에 R 0 = { ( x , x ) : x ∈ X } {\displaystyle R_{0}=\{(x,x)\colon x\in X\}} R 1 = X × X ∖ R 0 {\displaystyle R_{1}=X\times X\setminus R_{0}} R = { R 0 , R 1 } {\displaystyle {\mathcal {R}}=\{R_{0},R_{1}\}} 을 정의하면, ( X , 2 , R ) {\displaystyle (X,2,{\mathcal {R}})} 는 결합 도식을 이루며, 이를 자명한 결합 도식(自明-結合圖式, 영어: trivial association scheme)이라고 한다.:§1.1 그 구조 상수는 다음과 같다. p 00 0 = p 01 1 = p 10 1 = 1 {\displaystyle p_{00}^{0}=p_{01}^{1}=p_{10}^{1}=1} p 00 1 = p 01 0 = p 10 0 = 0 {\displaystyle p_{00}^{1}=p_{01}^{0}=p_{10}^{0}=0} p 11 0 = | X | − 1 {\displaystyle p_{11}^{0}=|X|-1} p 11 1 = | X | − 2 {\displaystyle p_{11}^{1}=|X|-2} 이는 사실 n = 1 {\displaystyle n=1} 인 해밍 결합 도식과 같다. 임의의 유한 집합 X {\displaystyle X} 위에, R = { { ( x , y ) } : x , y ∈ X } {\displaystyle {\mathcal {R}}=\{\{(x,y)\}\colon x,y\in X\}} 를 정의하면, ( X , R ) {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 역시 결합 도식을 이룬다. 이를 이산 결합 도식(離散結合圖式, 영어: discrete association scheme)이라고 한다.:§1.1 그러나 | X | ≥ 2 {\displaystyle |X|\geq 2} 일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다. 크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다. 크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다. (가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다. 주어진 집합 X {\displaystyle X} 위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다.:Table 1 임의의 곱집합 X = F n {\displaystyle X=F^{n}} 위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 0 , 1 , … , n {\displaystyle 0,1,\dotsc ,n} 인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 해밍 결합 도식이라고 한다. 특히, F = { 0 , 1 } {\displaystyle F=\{0,1\}} 일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 존슨 결합 도식이라고 한다. 유한군 G {\displaystyle G} 의, 유한 집합 X {\displaystyle X} 위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, | G | = | X | {\displaystyle |G|=|X|} 이다.) 그렇다면, n = | G | {\displaystyle n=|G|} R = { { ( x , g x ) : x ∈ X } : g ∈ G } {\displaystyle {\mathcal {R}}=\{\{(x,gx)\colon x\in X\}\colon g\in G\}} 를 정의하면, ( X , n , R ) {\displaystyle (X,n,{\mathcal {R}})} 는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는 p g h k = { 1 g h = k 0 g h ≠ k ( g , h , k ∈ G ) {\displaystyle p_{gh}^{k}={\begin{cases}1&gh=k\\0&gh\neq k\end{cases}}\qquad (g,h,k\in G)} 이다. 이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 과 동형이다. 또한, G {\displaystyle G} 에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 G {\displaystyle G} 가 아벨 군인 것이다. 유한군 G {\displaystyle G} 의, 유한 집합 X {\displaystyle X} 위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, G {\displaystyle G} 는 X 2 = X × X {\displaystyle X^{2}=X\times X} 위에 다음과 같이 작용한다. g ⋅ ( x , y ) = ( g ⋅ x , g ⋅ y ) ( x , y ∈ X , g ∈ G ) {\displaystyle g\cdot (x,y)=(g\cdot x,g\cdot y)\qquad (x,y\in X,\;g\in G)} 그렇다면, G {\displaystyle G} 의 작용에 대한 궤도들은 X 2 {\displaystyle X^{2}} 의 분할 X 2 / G {\displaystyle X^{2}/G} 을 정의한다. 이 경우, ( X , X 2 / G ) {\displaystyle (X,X^{2}/G)} 는 결합 도식을 이룬다.:2482, §II.D 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다. 1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다. 보스와 시마모토의 논문에서, “결합 도식”(영어: association scheme)이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다. 1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너(영어: Dale Marsh Mesner)는 보스-메스너 대수를 도입하였다. 이후 도널드 고든 히그먼(영어: Donald Gordon Higman, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 “일관 구조”(영어: coherent configuration)라고 불렀다.:6, §3 블록 설계 Bailey, Rosemary Anne (2004). 《Association schemes: designed experiments, algebra and combinatorics》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511610882. ISBN 978-0-521-82446-0. MR 2047311.  Zieschang, Paul-Hermann (2005). 《Theory of association schemes》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-30593-9. ISBN 978-3-540-26136-0. ISSN 1439-7382.  Delsarte, Philippe; Levenshtein, Vladimir Iosifovich (1998년 10월). “Association schemes and coding theory”. 《Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Information Theory》 (영어) 44 (6): 2477–2504. doi:10.1109/18.720545. ISSN 0018-9448.  Seidel, Johan Jacob (1991). “Introduction to association schemes”. 《Séminaire Lotharingien de Combinatoire》 (영어) 26: B26g. ISSN 1286-4889. Zbl 0981.05535.  Neumaier, Arnold (1989년 3월). “Duality in coherent configurations”. 《Combinatorica》 (영어) 9 (1): 59–67. doi:10.1007/BF02122684. ISSN 0209-9683. Zbl 0673.05015. 2004년 11월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 5일에 확인함.  Cameron, Peter J. 〈Coherent configurations, association schemes and permutation groups〉 (PDF). Ivanov, A. A.; Liebeck, M. W.; Saxl, J. 《Groups, combinatorics and geometry. Durham 2001》 (영어). World Scientific. 55–71쪽. doi:10.1142/9789812564481_0004. ISBN 978-981-238-312-9. Zbl 1022.05085.  Bose, Raj Chandra; Shimamoto, T. (1952). “Classification and analysis of partially balanced incomplete block designs with two associate classes”. 《Journal of the American Statistical Association》 (영어) 47: 151–184. doi:10.1080/01621459.1952.10501161. Zbl 0048.11603.  Bose, Raj Chandra; Mesner, Dale Marsh (1959). “On linear associative algebras corresponding to association schemes of partially balanced designs”. 《Annals of Mathematical Statistics》 (영어) 30 (1): 21–38. doi:10.1214/aoms/1177706356. ISSN 0003-4851. JSTOR 2237117. MR 102157. Zbl 0089.15002.  Higman, Donald Gordon (1970). “Coherent configurations Ⅰ”. 《Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova》 (영어) 44: 1–25. MR 325420. Zbl 0279.05025.  “Association scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Bailey, Rosemary Anne (2006년 3월 20일). “MAS417 / MTHM028. Association schemes and partially balanced designs” (영어). Queen Mary University of London.  Cameron, Peter (2014년 6월 8일). “Terminology: association scheme or coherent configuration?”. 《Peter Cameron’s Blog》 (영어).  Tanaka, Hajime (2014년 6월 16일). “Delsarte 理論入門. Introduction to Delsarte theory” (PDF) (영어).