WKB 근사

양자역학에서 WKB 근사(WKB近似, 영어: WKB approximation)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다. 1차원 공간에서 에너지 E {\displaystyle E} 를 가지고 퍼텐셜 V ( x ) {\displaystyle V(x)} 에 영향을 받는 입자의 파동 함수 Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} 는 다음과 같은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 따른다. − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 Ψ ( x ) + V ( x ) Ψ ( x ) = E Ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)} . 이제 파동 함수 Ψ {\displaystyle \Psi } 를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자. Ψ ( x ) = exp ⁡ ( ∫ ( A ( x ) + i B ( x ) ) d x ) {\displaystyle \Psi (x)=\exp \left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right)} . 이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다. A ′ ( x ) + A ( x ) 2 − B ( x ) 2 = 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)} B ′ ( x ) + 2 A ( x ) B ( x ) = 0 {\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0} . 이 연립 미분 방정식을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(semiclassical approximation)을 취한다. 우선, 파동 함수 성분 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 를 디랙 상수 ℏ {\displaystyle \hbar } 에 대한 테일러 급수로 전개한다. (위 식에 따라 A , B = O ( 1 / ℏ ) {\displaystyle A,B=O(1/\hbar )} 이므로 그 첫 항은 ℏ 0 {\displaystyle \hbar ^{0}} 이 아니라 ℏ − 1 {\displaystyle \hbar ^{-1}} 이 된다.) A ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ℏ n − 1 A n ( x ) {\displaystyle A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n-1}A_{n}(x)} B ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ℏ n − 1 B n ( x ) {\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n-1}B_{n}(x)} . 디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자. A 0 ( x ) 2 − B 0 ( x ) 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)} A 0 ( x ) B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0} . 두 번째 방정식에 따라 A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} 또는 B 0 = 0 {\displaystyle B_{0}=0} 이다. 첫 번째 방정식에 따라 V ( x ) < E {\displaystyle V(x)<E} 이면 A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} , B 0 ≠ 0 {\displaystyle B_{0}\neq 0} 으로, V ( x ) > E {\displaystyle V(x)>E} 이면 A 0 ≠ 0 {\displaystyle A_{0}\neq 0} , B 0 = 0 {\displaystyle B_{0}=0} 으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 터널링이 일어나는 경우를 나타낸다. 그 다음 차수의 항은 다음과 같다. A 0 ′ ( x ) + 2 A 0 ( x ) A 1 ( x ) − 2 B 0 ( x ) B 1 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}'(x)+2A_{0}(x)A_{1}(x)-2B_{0}(x)B_{1}(x)=0} B 0 ′ ( x ) + 2 A 0 ( x ) B 1 ( x ) + 2 A 1 ( x ) B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle B_{0}'(x)+2A_{0}(x)B_{1}(x)+2A_{1}(x)B_{0}(x)=0} . 첫 번째 식에 의해, A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} 이면 B 1 = 0 {\displaystyle B_{1}=0} 이다. 두 번째 식에 의해, B 0 = 0 {\displaystyle B_{0}=0} 이어도 B 1 = 0 {\displaystyle B_{1}=0} 이다. 이 경우는 총 에너지 E {\displaystyle E} 가 위치 에너지 V ( x ) {\displaystyle V(x)} 보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} 이고, B 0 ( x ) = ± 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}} 이다. 이는 파동 함수의 진폭( A {\displaystyle A} )은 별로 변하지 않지만 그 위상( B {\displaystyle B} )이 많이 변하는 꼴이다. 다음 차수의 항 A 1 {\displaystyle A_{1}} 을 구하면 다음과 같다. A 1 = − B 0 ′ / 2 B 0 = − 1 2 ( ln ⁡ B 0 ) ′ {\displaystyle A_{1}=-B_{0}'/2B_{0}=-{\frac {1}{2}}(\ln B_{0})'} . 따라서 파동 함수 Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} 는 대략 Ψ ( x ) ≈ C B 0 − 1 / 2 exp ⁡ ( i ∫ B 0 d x ) = C + exp ⁡ ( i ∫ 2 m ℏ 2 ( E − V ( x ) ) d x ) + C − exp ⁡ ( − i ∫ 2 m ℏ 2 ( E − V ( x ) ) d x ) 2 m ℏ 2 ( E − V ( x ) ) 4 {\displaystyle \Psi (x)\approx CB_{0}^{-1/2}\exp \left(i\int B_{0}\,dx\right)={\frac {C_{+}\exp \left(i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)+C_{-}\exp \left(-i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}} 으로 근사할 수 있다. 여기서 C + {\displaystyle C_{+}} 와 C − {\displaystyle C_{-}} 는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다. 이 경우는 위치 에너지 V {\displaystyle V} 가 총 에너지 E {\displaystyle E} 보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, 터널 효과에 해당한다. 여기에는 B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle B_{0}(x)=0} 이고, A 0 ( x ) = ± 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}} 이다. 다음 차수의 항 A 1 {\displaystyle A_{1}} 을 구하면 다음과 같다. A 1 = − A 0 ′ / 2 A 0 = − 1 2 ( ln ⁡ A 0 ) ′ {\displaystyle A_{1}=-A_{0}'/2A_{0}=-{\frac {1}{2}}(\ln A_{0})'} . 따라서 파동 함수 Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} 는 대략 Ψ ( x ) ≈ D A 0 − 1 / 2 exp ⁡ ( ∫ A 0 d x ) = D + exp ⁡ ( ∫ 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) d x ) + D − exp ⁡ ( − ∫ 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) d x ) 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) 4 {\displaystyle \Psi (x)\approx DA_{0}^{-1/2}\exp \left(\int A_{0}\,dx\right)={\frac {D_{+}\exp \left(\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)+D_{-}\exp \left(-\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}} 으로 근사할 수 있다. 여기서 D + {\displaystyle D_{+}} 와 D − {\displaystyle D_{-}} 는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 지수 함수의 모양을 따른다. 고전적인 경우와 터널 효과인 경우의 해는 V ≈ E {\displaystyle V\approx E} 가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 연결 공식(connection formula)를 사용하여 두 해의 계수 C ± {\displaystyle C_{\pm }} , D ± {\displaystyle D_{\pm }} 를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다. 고전적인 영역과 터널링 영역이 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 만난다고 하자. 즉, V ( x 0 ) = E {\displaystyle V(x_{0})=E} 이라고 하자. 그렇다면 x 0 {\displaystyle x_{0}} 근처에서 퍼텐셜 V ( x ) {\displaystyle V(x)} 를 V ( x ) ≈ V ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + E {\displaystyle V(x)\approx V'(x_{0})(x-x_{0})+E} 와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. ℏ 2 2 m Ψ ″ = V ′ ( x 0 ) Ψ ( x ) ( x − x 0 ) {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''=V'(x_{0})\Psi (x)(x-x_{0})} . 이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다. Ψ ( x ) = a A i ( 2 m V ′ ( x 0 ) / ℏ 2 3 x ) + b B i ( 2 m V ′ ( x 0 ) / ℏ 2 3 x ) {\displaystyle \Psi (x)=aAi({\sqrt[{3}]{2mV'(x_{0})/\hbar ^{2}}}x)+bBi({\sqrt[{3}]{2mV'(x_{0})/\hbar ^{2}}}x)} . 여기서 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 는 임의의 상수이다. x ≫ 1 {\displaystyle x\gg 1} 일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다. A i ( x ) ≈ exp ⁡ ( − 2 3 x 3 / 2 ) 2 π x 1 / 4 {\displaystyle Ai(x)\approx {\frac {\exp(-{\frac {2}{3}}x^{3/2})}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} (분모에 2가 있는 것에 주의!) B i ( x ) ≈ exp ⁡ ( 2 3 x 3 / 2 ) π x 1 / 4 {\displaystyle Bi(x)\approx {\frac {\exp({\frac {2}{3}}x^{3/2})}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} A i ( − x ) ≈ sin ⁡ ( 2 3 x 3 / 2 + π / 4 ) π x 1 / 4 {\displaystyle Ai(-x)\approx {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} B i ( − x ) ≈ cos ⁡ ( 2 3 x 3 / 2 + π / 4 ) π x 1 / 4 {\displaystyle Bi(-x)\approx {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} . 이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 연결 공식이라고 한다. 예를 들어, x < x 0 {\displaystyle x<x_{0}} 은 고전적인 영역이고, x > x 0 {\displaystyle x>x_{0}} 은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면 D + − 2 i D − = 2 C + exp ⁡ ( − i π / 4 ) {\displaystyle D_{+}-2iD_{-}=2C_{+}\exp(-i\pi /4)} D + + 2 i D − = 2 C − exp ⁡ ( i π / 4 ) {\displaystyle D_{+}+2iD_{-}=2C_{-}\exp(i\pi /4)} 이다. 그 반대로, x > x 0 {\displaystyle x>x_{0}} 이 고전적이고 x < x 0 {\displaystyle x<x_{0}} 이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 M {\displaystyle M} 위의 입자가 퍼텐셜 V : M → R {\displaystyle V\colon M\to \mathbb {R} } 속에서 움직인다고 하자. 이 경우, 파동 함수에 대하여 다음과 같은 가설 풀이를 고르자. ψ ( x ) = exp ⁡ ( i S ( x ) / ℏ ) ∑ k = 0 ∞ a k ( x ) ℏ k {\displaystyle \psi (x)=\exp(iS(x)/\hbar )\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x)\hbar ^{k}} 여기서, 각 항의 단위는 다음과 같다. S ( x ) {\displaystyle S(x)} 는 작용의 단위를 갖는다. a k ( x ) {\displaystyle a_{k}(x)} 는 [길이]−n/2[작용]−k의 단위를 갖는다. 이를 슈뢰딩거 방정식 0 = ( − ℏ 2 ∇ 2 + 2 m ( V ( x ) − E ) ) ψ {\displaystyle 0=\left(-\hbar ^{2}\nabla ^{2}+2m(V(x)-E)\right)\psi } 에 대입하여 ℏ {\displaystyle \hbar } 의 각 계수별로 비교하면, 다음과 같은 일련의 편미분 방정식을 얻는다.:§2.2 ∇ μ S ( x ) ∇ μ S ( x ) = 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle \nabla ^{\mu }S(x)\nabla _{\mu }S(x)=2m\left(E-V(x)\right)} ( ( ∇ 2 S ( x ) ) + 2 ( ∂ μ S ) ∂ μ ) a 0 ( x ) = 0 {\displaystyle \left(\left(\nabla ^{2}S(x)\right)+2(\partial ^{\mu }S)\partial _{\mu }\right)a_{0}(x)=0} ( ( ∇ 2 S ( x ) ) + 2 ( ∂ μ S ) ∂ μ ) a k ( x ) = i ∇ 2 a k − 1 ( x ) {\displaystyle \left(\left(\nabla ^{2}S(x)\right)+2(\partial ^{\mu }S)\partial _{\mu }\right)a_{k}(x)=i\nabla ^{2}a_{k-1}(x)} 고전적 영역에서는 S {\displaystyle S} 는 실수이며, 터널 영역에서는 S {\displaystyle S} 는 허수가 된다. 처음 두 개의 편미분 방정식은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, 심플렉틱 다양체 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 의 다음과 같은 라그랑주 부분 다양체를 정의하자. L = { ( x , p ) : x ∈ M , p = ∂ μ S ( x ) ∈ T x ∗ M } ⊂ T ∗ M {\displaystyle L=\{(x,p)\colon x\in M,\;p=\partial _{\mu }S(x)\in T_{x}^{*}M\}\subset T^{*}M} 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 미분 동형을 이룬다. π : L → M {\displaystyle \pi \colon L\to M} π : ( x , p ) ↦ x {\displaystyle \pi \colon (x,p)\mapsto x} 그렇다면, 처음 두 개의 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.:§2.2 S {\displaystyle S} 에 대한 방정식은 해밀턴-야코비 방정식이며, 이는 해밀토니언을 L {\displaystyle L} 에 국한하였을 경우 상수 함수임을 뜻한다. H | L = E {\displaystyle H|_{L}=E} a 0 {\displaystyle a_{0}} 에 대한 방정식 ∇ μ ( a 2 ∂ μ S ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{\mu }(a^{2}\partial _{\mu }S)=0} 은 수송 방정식(영어: transport equation)이며, 이는 L {\displaystyle L} 위에 정의된 밀도 π ∗ ( a 0 2 ( x ) det g ( x ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) {\displaystyle \pi ^{*}\left(a_{0}^{2}(x){\sqrt {\det g(x)}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)} 가 해밀토니언 벡터장 ( X H ) I = ( ω − 1 ) I J ∂ J H {\displaystyle (X_{H})^{I}=(\omega ^{-1})^{IJ}\partial _{J}H} 에 대하여 불변인 것을 뜻한다. (해밀턴-야코비 방정식에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상 L {\displaystyle L} 의 접벡터이다.) 여기서 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 은 밀도의 리 미분이며, π ∗ {\displaystyle \pi ^{*}} 는 π {\displaystyle \pi } 에 대한 당김이다. L X H π ∗ ( a 0 2 ( x ) det g ( x ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\pi ^{*}\left(a_{0}^{2}(x){\sqrt {\det g(x)}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)=0} 따라서, 처음 두 WKB 방정식은 기하학적 양자화에서, 라그랑주 부분 다양체 및 그 위에 주어진 ½-밀도로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다. 1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스(영어: Harold Jeffreys)가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다. 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고어 벤첼(독일어: Gregor Wentzel), 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스, 프랑스의 레옹 브릴루앵 이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다. Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) 8. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9.  Jeffreys, Harold (1925). “On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어). s2-23 (1): 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428.  Wentzel, Gregor (1926). “Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik”. 《Zeitschrift für Physik A》 (독일어) 38 (6–7): 518–529. doi:10.1007/BF01397171.  Kramers, Hendrik Anthony (1926). “Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung”. 《Zeitschrift für Physik A》 (독일어) 39 (10–11): 828–840. doi:10.1007/BF01451751.  Brillouin, Léon (1926년 7월 5일). “La mécanique ondulatoire de Schrödinger; une méthode générale de résolution par approximations successives”. 《Comptes Rendus de l’Academie des Sciences》 (프랑스어) 183: 24–26.  Gough, Douglas Owen (2004년 3월). “An elementary introduction to the JWKB approximation”. 《Astronomische Nachrichten》 (영어) 328 (3–4): 273–285. arXiv:astro-ph/0702201. doi:10.1002/asna.200610730.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “WKB method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Semi-classical approximation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “WKB method”. 《nLab》 (영어).  “Semiclassical approximation”. 《nLab》 (영어).  투과계수 기하학적 양자화