등급 대수

환론에서 등급 대수(等級代數, 영어: graded algebra)는 그 원소들이 어떤 등급(等級, 영어: grade)을 가진 결합 대수이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} 모노이드 ( N , ⋅ ) {\displaystyle (N,\cdot )} 각 n ∈ N {\displaystyle n\in N} 에 대하여, K {\displaystyle K} -가군 A n {\displaystyle A_{n}} . 편의상 A = ⨁ n ∈ N A n {\displaystyle \textstyle A=\bigoplus _{n\in N}A_{n}} 로 표기하자. A {\displaystyle A} 위의 K {\displaystyle K} -결합 대수 구조 이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. A m A n ⊆ A m n ( ∀ m , n ∈ N ) {\displaystyle A_{m}A_{n}\subseteq A_{mn}\qquad (\forall m,n\in N)} ϕ ( K ) ⊆ A 1 {\displaystyle \phi (K)\subseteq A_{1}} 이 경우, A {\displaystyle A} 를 N {\displaystyle N} 등급을 가진 등급 대수라고 한다. K = Z {\displaystyle K=\mathbb {Z} } (정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 등급 대수는 등급환(等級環, 영어: graded ring)이라고 한다. 통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 N = N {\displaystyle N=\mathbb {N} } (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 초대수(超代數, 영어: superalgebra)라고 부르기도 한다. 등급 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다. 만약 a ∈ A n {\displaystyle a\in A_{n}} 인 n ∈ N {\displaystyle n\in N} 이 존재할 경우 a {\displaystyle a} 를 동급 원소(同級, 영어: homogeneous element)라고 한다. 만약 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 이라면 이는 유일하며, n {\displaystyle n} 을 a {\displaystyle a} 의 등급이라고 한다. 이는 보통 deg ⁡ A {\displaystyle \deg A} 로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.) 만약 a ∈ A n {\displaystyle a\in A_{n}} 인 n {\displaystyle n} 이 존재하지 않을 경우 a {\displaystyle a} 를 비동급 원소(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의, 모노이드 N {\displaystyle N} 등급의 두 등급 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 사이의 등급 대수 준동형(영어: graded-algebra homomorphism) f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} 은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다. deg ⁡ f ( a ) = deg ⁡ a ∀ n ∈ N , a ∈ A n ∖ { 0 } {\displaystyle \deg f(a)=\deg a\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}} 즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라, K {\displaystyle K} 위의 N {\displaystyle N} 등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체) grAlg K , N {\displaystyle \operatorname {grAlg} _{K,N}} 를 이룬다. 보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 및 K {\displaystyle K} 위의 M {\displaystyle M} 등급 대수 A {\displaystyle A} 와 N {\displaystyle N} 등급 대수 B {\displaystyle B} 가 주어졌을 때, ϕ {\displaystyle \phi } 위의 등급 대수 준동형 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} 은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다. deg ⁡ f ( a ) = ϕ ( deg ⁡ a ) ∀ n ∈ N , a ∈ A n ∖ { 0 } {\displaystyle \deg f(a)=\phi (\deg a)\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}} 가환 모노이드 ( N , + , 0 ) {\displaystyle (N,+,0)} 가 추가로 가환 반환의 구조 ( N , + , ⋅ , 0 , 1 ) {\displaystyle (N,+,\cdot ,0,1)} 를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자. σ : ( N , + , 0 ) → ( { k ∈ K : k 2 = 1 } , ⋅ ) {\displaystyle \sigma \colon (N,+,0)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)} 만약 ( N , + ) {\displaystyle (N,+)} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A {\displaystyle A} 가 다음 조건을 만족시킨다면, K {\displaystyle K} 가 등급 가환 대수(영어: graded-commutative algebra)라고 한다. a b = σ ( m n ) b a ∀ a ∈ A m , b ∈ A n {\displaystyle ab=\sigma (mn)ba\qquad \forall a\in A_{m},\;b\in A_{n}} 물론, 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2 또는 1이라면 (즉, + 1 = − 1 {\displaystyle +1=-1} 이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다. 가환환 K {\displaystyle K} 와 모노이드 N {\displaystyle N} , N ′ {\displaystyle N'} 이 주어졌을 때, N {\displaystyle N} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A {\displaystyle A} 및 N ′ {\displaystyle N'} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A ′ {\displaystyle A'} 의 직합(영어: direct sum) A ⊕ A ′ {\displaystyle A\oplus A'} 은 다음과 같은 N × N ′ {\displaystyle N\times N'} -등급 K {\displaystyle K} -대수이다. K {\displaystyle K} -가군으로서 A ⊕ A ′ {\displaystyle A\oplus A'} 은 가군의 직합이다. ( A ⊕ A ′ ) n , n ′ = A n ⊕ A n ′ ′ {\displaystyle (A\oplus A')_{n,n'}=A_{n}\oplus A'_{n'}} ( a , a ′ ) ( b , b ′ ) = ( a b , a ′ b ′ ) ∀ a , b ∈ A , a ′ , b ′ ∈ A ′ ) {\displaystyle (a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A')} 가환환 K {\displaystyle K} 와 가환 모노이드 ( N , + ) {\displaystyle (N,+)} 이 주어졌을 때, N {\displaystyle N} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A {\displaystyle A} , A ′ {\displaystyle A'} 의 텐서곱(영어: tensor product) A ⊗ K A ′ {\displaystyle A\otimes _{K}A'} 은 다음과 같은 N {\displaystyle N} -등급 K {\displaystyle K} -대수이다. K {\displaystyle K} -텐서곱으로서 A ⊗ K A ′ {\displaystyle A\otimes _{K}A'} 은 가군의 텐서곱이다. ( A ⊗ K A ′ ) n = ⨁ n 1 , n 2 ∈ N : n 1 + n 2 = n A n ⊗ K A n ′ {\displaystyle (A\otimes _{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}} ( a ⊗ K a ′ ) ( b ⊗ K b ′ ) = ( a b ) ⊗ ( a ′ b ′ ) ∀ a , b ∈ A , a ′ , b ′ ∈ A ′ {\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A'} 보다 일반적으로, N {\displaystyle N} 이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 ( N , + ) {\displaystyle (N,+)} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A {\displaystyle A} 에 대하여 A m A n ⊆ A m + n {\displaystyle A_{m}A_{n}\subseteq A_{m+n}} 이 된다. 또한, 모노이드 준동형 σ : ( N , + ) → ( { k ∈ K : k 2 = 1 } , ⋅ ) {\displaystyle \sigma \colon (N,+)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 ( N , + ) {\displaystyle (N,+)} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A {\displaystyle A} , A ′ {\displaystyle A'} 에 대하여 등급 텐서곱(영어: graded tensor product) A ⊗ ^ K A ′ {\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'} 은 다음과 같은 N {\displaystyle N} -등급 K {\displaystyle K} -대수이다. K {\displaystyle K} -텐서곱으로서 A ⊗ ^ K A ′ {\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'} 은 가군의 텐서곱 A ⊗ K A ′ {\displaystyle A\otimes _{K}A'} 이다. ( A ⊗ ^ K A ′ ) n = ⨁ n 1 , n 2 ∈ N : n 1 + n 2 = n A n ⊗ K A n ′ {\displaystyle (A{\hat {\otimes }}_{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}} ( a ⊗ K a ′ ) ( b ⊗ K b ′ ) = σ ( m , n ) ( a b ) ⊗ ( a ′ b ′ ) ∀ a ∈ A , b ∈ A m , a ′ ∈ A n ′ , b ′ ∈ A ′ {\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=\sigma (m,n)(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a\in A,\;b\in A_{m},\;a'\in A'_{n},\;b'\in A'} 이는 흔히 N = Z {\displaystyle N=\mathbb {Z} } 또는 N = N {\displaystyle N=\mathbb {N} } 또는 N = Z / 2 {\displaystyle N=\mathbb {Z} /2} 이며, σ : n ↦ ( − 1 ) n {\displaystyle \sigma \colon n\mapsto (-1)^{n}} 인 경우 사용된다. 두 등급 가환 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A {\displaystyle A} , A ′ {\displaystyle A'} 이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 A ⊗ ^ K A ′ {\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'} 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 A ⊗ K A ′ {\displaystyle A\otimes _{K}A'} 는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다. 모노이드 N {\displaystyle N} 등급을 갖는, 가환환 K {\displaystyle K} 위의 등급 대수 ( A n ) n ∈ N {\displaystyle (A_{n})_{n\in N}} 가 주어졌으며, 모노이드 준동형 q : N → N ~ {\displaystyle q\colon N\to {\tilde {N}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( A n ) n ∈ N {\displaystyle (A_{n})_{n\in N}} 에서 등급 구조를 망각하여 A n ~ = ⨁ n ∈ q − 1 ( n ~ ) A n {\displaystyle A_{\tilde {n}}=\bigoplus _{n\in q^{-1}({\tilde {n}})}A_{n}} 를 정의할 수 있으며, ⨁ n ~ ∈ N ~ A n ~ {\displaystyle \bigoplus _{{\tilde {n}}\in {\tilde {N}}}A_{\tilde {n}}} 은 N ~ {\displaystyle {\tilde {N}}} -등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자 grAlg K , N → grAlg K , N ~ {\displaystyle \operatorname {grAlg} _{K,N}\to \operatorname {grAlg} _{K,{\tilde {N}}}} 를 이룬다. 예를 들어, 자연수 등급의 대수 ( A n ) n ∈ N {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 는 N → Z / 2 {\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Z} /2} 를 통해 등급을 망각하여 초대수 ( A n ) n ∈ Z / 2 {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {Z} /2}} 로 만들 수 있다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의, 자연수 등급의 등급 대수 A = ( A n ) n ∈ N {\displaystyle A=(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A + = ⨁ n > 0 A n {\displaystyle A_{+}=\bigoplus _{n>0}A_{n}} 은 A {\displaystyle A} 의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼을 무관 아이디얼(無關ideal, 영어: irrelevant ideal)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다. A / A + ≅ A 0 {\displaystyle A/A_{+}\cong A_{0}} a + A + ↦ a ∀ a ∈ A 0 {\displaystyle a+A_{+}\mapsto a\qquad \forall a\in A_{0}} 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 코호몰로지 환 H ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X)} 은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 미분 형식의 공간 Ω ∙ ( M ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)} 은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 R {\displaystyle \mathbb {R} } -등급 대수이다. 모노이드 M {\displaystyle M} 에 대한 모노이드 환은 M {\displaystyle M} 등급을 가진 등급환이다. 클리퍼드 대수는 Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 등급을 가진 등급 대수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 M {\displaystyle M} 위의 텐서 대수 T ⁡ ( M ; K ) = ⨁ n = 0 ∞ M ⊗ K n {\displaystyle \operatorname {T} (M;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M^{\otimes _{K}n}} 는 N {\displaystyle \mathbb {N} } -등급 K {\displaystyle K} -대수이며, 이 경우 T n ⁡ ( M ; K ) = M ⊗ K n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}(M;K)=M^{\otimes _{K}n}} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 M {\displaystyle M} 위의 외대수 Λ ( M ; K ) = T ⁡ ( M ; K ) / ( m 2 ) m ∈ M {\displaystyle \Lambda (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(m^{2})_{m\in M}} 는 N {\displaystyle \mathbb {N} } -등급 K {\displaystyle K} -대수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 M {\displaystyle M} 위의 대칭 대수 Sym ⁡ ( M ; K ) = T ⁡ ( M ; K ) / ( m n − n m ) m , n ∈ M {\displaystyle \operatorname {Sym} (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(mn-nm)_{m,n\in M}} 는 N {\displaystyle \mathbb {N} } -등급 K {\displaystyle K} -대수이다. 특히, 가환환 K {\displaystyle K} 위의 다항식환 K [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle K[x_{1},...,x_{n}]} 은 N {\displaystyle \mathbb {N} } -등급 K {\displaystyle K} -대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각 A n {\displaystyle A_{n}} 들은 (0을 포함한) n {\displaystyle n} 차 동차다항식들의 집합과 같다. 미분 등급 대수 텐서 대수 Weisstein, Eric Wolfgang. “Graded algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Graded ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Graded algebra”. 《nLab》 (영어).  Yuan, Qiaochu (2009년 7월 10일). “Some examples of graded algebras”. 《Annoying Precision》 (영어).