형식적 멱급수

대수학에서 형식적 멱급수(形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대한 형식적 멱급수환 R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 는 집합으로서 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 이다. 형식적 멱급수환에서, 원소 ( r 0 , r 1 , r 2 , … ) {\displaystyle (r_{0},r_{1},r_{2},\dots )} 는 통상적으로 ∑ n = 0 ∞ r n x n = r 0 + r 1 x + r 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}=r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots } 으로 쓴다. R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 R {\displaystyle R} -가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다. ( ∑ n = 0 ∞ r n x n ) ( ∑ n = 0 ∞ s n x n ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n r k s n − k x n {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}r_{k}s_{n-k}x^{n}} 이에 따라 R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 는 결합 R {\displaystyle R} -대수를 이룬다. 형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다. R [ [ x 1 , x 2 , … , x n ] ] {\displaystyle R[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]]} 은 R [ [ x 1 ] ] [ [ x 2 ] ] ⋯ [ [ x n ] ] {\displaystyle R[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]]} 을 뜻한다. 형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 R {\displaystyle R} -선형 연산 D : R [ [ x ] ] → R [ [ x ] ] {\displaystyle D\colon R[[x]]\to R[[x]]} D : ∑ n = 0 ∞ r n x n ↦ ∑ n = 0 ∞ n r n x n − 1 {\displaystyle D\colon \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }nr_{n}x^{n-1}} 이 존재하며, 이를 미분이라고 한다. 임의의 a , b ∈ R [ [ x ] ] {\displaystyle a,b\in R[[x]]} 가 주어졌고, b 0 = 0 {\displaystyle b_{0}=0} 이라고 하자 (즉, b ∈ ( x ) {\displaystyle b\in (x)} ). 그렇다면 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 의 합성 a ∘ b ∈ R [ [ x ] ] {\displaystyle a\circ b\in R[[x]]} 은 다음과 같다. a ∘ b = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ ∑ j ∈ ( Z + ) k j 1 + ⋯ + j k = n a k b j 1 b j 2 ⋯ b j k x n {\displaystyle a\circ b=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j\in (\mathbb {Z} ^{+})^{k}}^{j_{1}+\cdots +j_{k}=n}a_{k}b_{j_{1}}b_{j_{2}}\cdots b_{j_{k}}x^{n}} 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면, R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 역시 가환환이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환 뇌터 환이라면, R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 역시 가환 뇌터 환이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 정역이라면, R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 역시 정역이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 체라면, R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 는 이산 값매김환이다. 형식적 멱급수환의 원소 a = ∑ n = 0 ∞ a n x n ∈ R [ [ x ] ] {\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a ∈ R [ [ x ] ] {\displaystyle a\in R[[x]]} 는 가역원이다. a 0 ∈ R {\displaystyle a_{0}\in R} 는 가역원이다. 구체적으로, a {\displaystyle a} 의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. ( a − 1 ) 0 = a 0 − 1 {\displaystyle (a^{-1})_{0}=a_{0}^{-1}} ( a − 1 ) n = − a 0 − 1 ∑ i = 1 n a i ( a − 1 ) n − i = − ∑ i = 1 n ( a − 1 ) n − i a i a 0 − 1 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle (a^{-1})_{n}=-a_{0}^{-1}\sum _{i=1}^{n}a_{i}(a^{-1})_{n-i}=-\sum _{i=1}^{n}(a^{-1})_{n-i}a_{i}a_{0}^{-1}\qquad (n\geq 1)} 형식적 멱급수환 R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다. d ( a , b ) = 2 − min { n ∈ N : a n ≠ b n } ( a ≠ b ) {\displaystyle d(a,b)=2^{-\min\{n\in \mathbb {N} \colon a_{n}\neq b_{n}\}}\qquad (a\neq b)} 형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.:132, §III.7, Exercise 5 이는 다항식환 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 의 완비화이다.:132, §III.7, Exercise 6 이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수 a = ∑ n = 0 ∞ a n x n ∈ R [ [ x ] ] {\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]} 는 부분합의 점렬 ( a 0 , a 0 + a 1 x , a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , … ) {\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1}x,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\dots )} 의 극한이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 형식적 로랑 급수체 K ( ( x 1 , x 2 , … , x n ) ) {\displaystyle K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))} 은 형식적 멱급수환의 분수체이다. K ( ( x 1 , x 2 , … , x n ) ) = Frac ⁡ ( K [ [ x 1 , x 2 , … , x n ] ] ) = Frac ⁡ ( K [ [ x 1 ] ] [ [ x 2 ] ] ⋯ [ [ x n ] ] ) {\displaystyle K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=\operatorname {Frac} (K[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]])=\operatorname {Frac} (K[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]])} 정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, p ∈ K ( ( x ) ) {\displaystyle p\in K((x))} 는 p = ∑ i = m ∞ p i x i {\displaystyle p=\sum _{i=m}^{\infty }p_{i}x^{i}} 의 꼴로 전개할 수 있다 ( m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } ). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다. 다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는 K [ x ] [ y ] ≅ K [ x , y ] {\displaystyle K[x][y]\cong K[x,y]} K ( x ) ( y ) ≅ K ( x , y ) {\displaystyle K(x)(y)\cong K(x,y)} K [ [ x ] ] [ [ y ] ] ≅ K [ [ x , y ] ] {\displaystyle K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]} 가 성립하지만, K ( ( x , y ) ) {\displaystyle K((x,y))} 와 K ( ( x ) ) ( ( y ) ) {\displaystyle K((x))((y))} 는 서로 다른 체이다. 일반적으로, K ( ( x , y ) ) {\displaystyle K((x,y))} 는 K ( x ) ( ( y ) ) {\displaystyle K(x)((y))} 의 부분환이며, 단사 준동형 K ( ( x , y ) ) ↪ ι x K ( x ) ( ( y ) ) ↪ K ( ( x ) ) ( ( y ) ) {\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{x}}{\hookrightarrow }}K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))} K ( ( x , y ) ) ↪ ι y K ( y ) ( ( x ) ) ↪ K ( ( y ) ) ( ( x ) ) {\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{y}}{\hookrightarrow }}K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))} 이 존재한다. 예를 들어, ι x : 1 x − y ↦ x − 1 + x − 2 y + x − 3 y 2 + ⋯ ∈ K ( x ) ( ( y ) ) {\displaystyle \iota _{x}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto x^{-1}+x^{-2}y+x^{-3}y^{2}+\cdots \in K(x)((y))} ι y : 1 x − y ↦ − y − 1 − y − 2 x − y − 3 x 2 − ⋯ ∈ K ( y ) ( ( x ) ) {\displaystyle \iota _{y}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto -y^{-1}-y^{-2}x-y^{-3}x^{2}-\cdots \in K(y)((x))} 이다. 그러나 ι x {\displaystyle \iota _{x}} 및 ι y {\displaystyle \iota _{y}} 는 동형 사상이 아니다. 예를 들어, ∑ n = 0 ∞ x − n 2 y n ∈ K ( x ) ( ( y ) ) ∖ ι x ( K ( ( x , y ) ) ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{-n^{2}}y^{n}\in K(x)((y))\setminus \iota _{x}(K((x,y)))} 이다. 다항식환 퓌죄 급수 국소화 (환론) Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732.  “Explicit elements of K((x))((y))∖K((x,y))” (영어). Math Overflow. 2015년 2월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 6일에 확인함.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Formal power series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.