방정식 xy = yx

일반적으로 지수는 교환법칙이 성립하지 않는다. 그러나 방정식 x y = y x {\displaystyle x^{y}=y^{x}} 은 x = 2 ,   y = 4 {\displaystyle x=2,\ y=4} 와 같은 근을 가진다. 이 방정식은 다니엘 베르누이가 골트바흐에게 1728년 6월 29일에 보낸 편지에 언급되어 있다. 그 편지에 따르면 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 인 경우 유리수 범위에서 ( 27 8 , 9 4 ) {\displaystyle ({\tfrac {27}{8}},{\tfrac {9}{4}})} , ( 9 4 , 27 8 ) {\displaystyle ({\tfrac {9}{4}},{\tfrac {27}{8}})} 를 비롯한 무수히 많은 해가 있음에도 자연수 범위에서는 ( 2 , 4 ) {\displaystyle (2,4)} 와 ( 4 , 2 ) {\displaystyle (4,2)} 뿐이라고 한다. 골트바흐의 답장(1729년 1월 31일)에는 y = v x {\displaystyle y=vx} 로 치환해서 일반해를 구하는 방법이 언급되어 있다. 이후 오일러도 비슷한 풀이법을 발견했다. J. van Hengel은 r , n {\displaystyle r,n} 이 모두 양의 정수이면서 r ≥ 3 {\displaystyle r\geq 3} 이면 r r + n > ( r + n ) r {\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r}} 이므로 자연수 해를 찾는다면 x = 1 {\displaystyle x=1} , x = 2 {\displaystyle x=2} 를 고려하는 것으로도 충분하다고 짚었다. 이 방정식은 여러 출판물에서 논의되었는데, 1960년에 이 방정식은 윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회의 질문 중 하나였으며 Alvin Hausner는 결과를 대수적 수체로 확장했다. 주요 출처: 양의 실수 범위에서 자명근 집합은 x = y {\displaystyle x=y} 이다. 비자명근은 람베르트 W 함수를 사용하여 양함수꼴로 표현할 수 있다. 아이디어는 방정식을 a e b = c {\displaystyle ae^{b}=c} 꼴로 변형하고 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 를 일치시키도록 양변에 같은 값을 곱하거나 지수를 취하고, 람베르트 W 함수의 정의를 적용하여 a ′ e a ′ = c ′ ⇒ a ′ = W ( c ′ ) {\displaystyle a'e^{a'}=c'\Rightarrow a'=W(c')} 와 같이 쓰는 것이다. y x = x y = exp ⁡ ( y ln ⁡ x ) y x exp ⁡ ( − y ln ⁡ x ) = 1 ( exp ⁡ ( − y ln ⁡ x ) 을 곱함 ) y exp ⁡ ( − y ln ⁡ x x ) = 1 ( 1 x  제곱 ) − y ln ⁡ x x exp ⁡ ( − y ln ⁡ x x ) = − ln ⁡ x x ( − ln ⁡ x x 을  곱함 ) {\displaystyle {\begin{aligned}y^{x}&=x^{y}=\exp \left(y\ln x\right)&\\y^{x}\exp \left(-y\ln x\right)&=1&\left(\exp \left(-y\ln x\right){\mbox{을 곱함}}\right)\\y\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&=1&\left({\frac {1}{x}}{\mbox{ 제곱}}\right)\\-y{\frac {\ln x}{x}}\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&={\frac {-\ln x}{x}}&\left({\frac {-\ln x}{x}}{\mbox{을}}{\mbox{ 곱함}}\right)\end{aligned}}} ⇒ − y ln ⁡ x x = W ( − ln ⁡ x x ) {\displaystyle \Rightarrow -y{\frac {\ln x}{x}}=W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)} ⇒ y = − x ln ⁡ x ⋅ W ( − ln ⁡ x x ) = exp ⁡ ( − W ( − ln ⁡ x x ) ) {\displaystyle \Rightarrow y={\frac {-x}{\ln x}}\cdot W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)=\exp \left(-W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)} 마지막 줄에서 람베르트 W 함수의 성질 W ( x ) x = exp ⁡ ( − W ( x ) ) {\displaystyle {\frac {W(x)}{x}}=\exp(-W(x))} 을 사용했다. 여기서 이 해를 람베르트 W 함수의 두 분지를 사용해서 구간별로 나누면 W 0 ( − ln ⁡ x x ) = − ln ⁡ x ( 0 < x ≤ e ) W − 1 ( − ln ⁡ x x ) = − ln ⁡ x ( x ≥ e ) {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &(&0<x\leq e)\\W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &(&x\geq e)\end{aligned}}} 0 < x ≤ 1 {\displaystyle 0<x\leq 1}  : ⇒ − ln ⁡ x x ≥ 0 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}\geq 0} ⇒ y = exp ⁡ ( − W 0 ( − ln ⁡ x x ) ) = exp ⁡ ( − ( − ln ⁡ x ) ) = x {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow y&=\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\&=\exp \left(-(-\ln x)\right)\\&=x\end{aligned}}} 1 < x < e {\displaystyle 1<x<e}  : ⇒ − 1 e < − ln ⁡ x x < 0 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0} ⇒ y = { exp ⁡ ( − W 0 ( − ln ⁡ x x ) ) = x exp ⁡ ( − W − 1 ( − ln ⁡ x x ) ) {\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\end{cases}}} x = e {\displaystyle x=e}  : ⇒ − ln ⁡ x x = − 1 e {\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}={\frac {-1}{e}}} ⇒ y = { exp ⁡ ( − W 0 ( − ln ⁡ x x ) ) = x exp ⁡ ( − W − 1 ( − ln ⁡ x x ) ) = x {\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}} x > e {\displaystyle x>e}  : ⇒ − 1 e < − ln ⁡ x x < 0 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0} ⇒ y = { exp ⁡ ( − W 0 ( − ln ⁡ x x ) ) exp ⁡ ( − W − 1 ( − ln ⁡ x x ) ) = x {\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}} 따라서 비자명근은 다음과 같다. y = { exp ⁡ ( − W 0 ( − ln ⁡ ( x ) x ) ) ( x > e ) exp ⁡ ( − W − 1 ( − ln ⁡ x x ) ) ( 1 < x < e ) {\displaystyle y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln(x)}{x}}\right)\right)\quad &(x>e)\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\quad &(1<x<e)\end{cases}}} 비자명근은 y = v x {\displaystyle y=vx} 로 치환함으로써 보다 쉽게 구할 수 있다. 치환한 다음 양변을 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} 제곱하고 x {\displaystyle x} 로 나누면, 다음을 얻는다. ( v x ) x = x v x = ( x v ) x . {\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.} v = x v − 1 . {\displaystyle v=x^{v-1}.} 따라서 자명하지 않은 양수 해의 매개변수꼴은 다음과 같다. x = v 1 / ( v − 1 ) , y = v v / ( v − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=v^{1/(v-1)},\\y&=v^{v/(v-1)}.\end{aligned}}} 따라서 1이 아닌 양수 v {\displaystyle v} 에 대하여 모든 근은 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다. 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다. y = x {\displaystyle y=x} 인 순서쌍 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 에 대하여 d y d x = 1 {\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=1} 이고, 그 외의 경우는 매개변수로 표현한 함수의 미분법에 따라 d y d x = v 2 ( v − 1 − ln ⁡ v v − 1 − v ln ⁡ v ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=v^{2}\left({\frac {v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}}\right)} . (단, v {\displaystyle v} 는 1이 양수) x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 중 적어도 하나가 음수인 해도 존재한다. 위의 매개변수화로부터 얻을 수 있으며 예를 들어, x = 1 − 2 3 {\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{-2}}}} , y = − 2 − 2 3 {\displaystyle y={\frac {-2}{\sqrt[{3}]{-2}}}} (여기서 세제곱근은 실수값)가 있다. 유사하게 x x {\displaystyle x^{x}} 가 실수일 때 자명근 y = x {\displaystyle y=x} ( x < 0 {\displaystyle x<0} )도 존재한다. (예를 들어 x = y = − 1 {\displaystyle x=y=-1} ) 방정식 y x = x y {\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}={\sqrt[{y}]{x}}} 의 그래프는 1 / e {\displaystyle 1/e} 에서 만나는 선과 곡선으로 이루어져 있다. 또한 곡선은 (0, 1)과 (1, 0)에서 무한대로 발산하지 않는다. 곡선 부분은 다음과 같이 양함수 형태로 표현된다. y = { e W 0 ( ln ⁡ ( x x ) ) ( 0 < x < 1 / e ) e W − 1 ( ln ⁡ ( x x ) ) ( 1 / e < x < 1 ) {\displaystyle y={\begin{cases}e^{W_{0}(\ln(x^{x}))}\quad &(0<x<1/e)\\e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))}\quad &(1/e<x<1)\end{cases}}} 이 방정식은 y y = x x {\displaystyle y^{y}=x^{x}} 와 동치인데, 양변을 x y {\displaystyle xy} 제곱하면 해당 방정식과 같기 때문이다. 이와 유사하게 방정식 y y = x x {\displaystyle {\sqrt[{y}]{y}}={\sqrt[{x}]{x}}} 는 방정식 x y = y x {\displaystyle x^{y}=y^{x}} 와 동치이다. 방정식 log x ⁡ ( y ) = log y ⁡ ( x ) {\displaystyle \log _{x}(y)=\log _{y}(x)} 의 그래프는 (1, 1)에서 서로 만나는 곡선 y = 1 x {\displaystyle y={\dfrac {1}{x}}} 과 y = x {\displaystyle y=x} 로 이루어져 있다. 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