정수적 원소

가환대수학에서 정수적 원소(整數的元素, 영어: integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다. 가환환 S {\displaystyle S} 의 부분환 R ⊆ S {\displaystyle R\subseteq S} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 s {\displaystyle s} 를 R {\displaystyle R} 의 S {\displaystyle S} 에 대한 정수적 원소라고 한다. p ( s ) = 0 {\displaystyle p(s)=0} 인 일계수 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 가 존재한다. R {\displaystyle R} 와 { s } {\displaystyle \{s\}} 로 생성되는 부분환 R [ s ] {\displaystyle R[s]} 는 R {\displaystyle R} 의 유한 생성 가군이다. R [ s ] ⊆ R ~ {\displaystyle R[s]\subseteq {\tilde {R}}} 이며 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군을 이루는 부분환 R ~ ⊆ S {\displaystyle {\tilde {R}}\subseteq S} 가 존재한다. s M ⊆ M {\displaystyle sM\subseteq M} 이며 Ann S ⁡ ( M ) ∩ R [ s ] = { 0 } {\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}(M)\cap R[s]=\{0\}} 인 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 이 존재한다. 여기서 R [ s ] = eval x ↦ s ⁡ ( S [ x ] ) = { p ( s ) : p ∈ S [ x ] } ⊆ S {\displaystyle R[s]=\operatorname {eval} _{x\mapsto s}(S[x])=\{p(s)\colon p\in S[x]\}\subseteq S} 이다. Ann S ⁡ ( M ) = { a ∈ S : a M = { 0 M } } {\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}(M)=\{a\in S\colon aM=\{0_{M}\}\}} 은 M {\displaystyle M} 의 소멸자이다. 가환환 S {\displaystyle S} 의 부분환 R ⊆ S {\displaystyle R\subseteq S} 에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, 영어: integral closure)는 R {\displaystyle R} 에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 S {\displaystyle S} 의 부분환을 이룬다. 가환환 S {\displaystyle S} 는 그 전분수환 Frac ⁡ S {\displaystyle \operatorname {Frac} S} 의 부분환이다. 만약 S {\displaystyle S} 의 Frac ⁡ S {\displaystyle \operatorname {Frac} S} 속에서의 정수적 폐포가 S {\displaystyle S} 라면, S {\displaystyle S} 를 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, 영어: integrally closed commutative ring)이라고 한다. 가환환 S {\displaystyle S} 의 부분환 R ⊆ S {\displaystyle R\subseteq S} 이 주어졌으며, S {\displaystyle S} 가 R {\displaystyle R} 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, R {\displaystyle R} -가군 S / R {\displaystyle S/R} 의 소멸자 Ann R ⁡ ( S / R ) ⊆ R {\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S/R)\subseteq R} 를 R {\displaystyle R} 의 S {\displaystyle S} 속의 도수(導手, 영어: conductor 콘덕터[*], 독일어: Führer 퓌러[*], 프랑스어: conducteur 콩뒤크퇴르[*]) f ( S / R ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}(S/R)} 라고 한다.:79 f ( S / R ) = Ann R ⁡ ( S / R ) = { r ∈ R : r S ⊆ R } {\displaystyle {\mathfrak {f}}(S/R)=\operatorname {Ann} _{R}(S/R)=\{r\in R\colon rS\subseteq R\}} 이는 소멸자이므로 R {\displaystyle R} 의 아이디얼을 이루며, R {\displaystyle R} 의 아이디얼이자 S {\displaystyle S} 의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다. R {\displaystyle R} 가 정역이며, S {\displaystyle S} 가 R {\displaystyle R} 의 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 속의 정수적 폐포라고 하고, S / R {\displaystyle S/R} 가 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. p ⊆ f ( S / R ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {f}}(S/R)} 국소화 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 S {\displaystyle S} 속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다. ( S / R ) ⊗ R R p = 0 {\displaystyle (S/R)\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=0} 이다. 즉, S ⊗ R R p = R p {\displaystyle S\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}} 이다. R {\displaystyle R} -가군 S / R {\displaystyle S/R} 는 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 f ( S / R ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}(S/R)} 로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 V ( f ( S / R ) ) {\displaystyle V({\mathfrak {f}}(S/R))} 의 여집합이다. supp ⁡ ( S / R ) = { p ∈ Spec ⁡ R : ( S / R ) ⊗ R R p ≠ 0 } = { p ∈ Spec ⁡ R : p ⊈ f ( S / R ) } = ( Spec ⁡ R ) ∖ V ( f ( S / R ) ) {\displaystyle \operatorname {supp} (S/R)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon (S/R)\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\neq 0\}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {f}}(S/R)\}=(\operatorname {Spec} R)\setminus V({\mathfrak {f}}(S/R))} 정역 R {\displaystyle R} 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다. R {\displaystyle R} 의 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 속의 정수적 폐포 S {\displaystyle S} 는 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군이다. 정역 R {\displaystyle R} 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다. Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 의 모든 유한 확대 L / Frac ⁡ R {\displaystyle L/\operatorname {Frac} R} 에 대하여, R {\displaystyle R} 의 L {\displaystyle L} 속의 정수적 폐포는 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군이다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(영어: Nagata ring)이라고 한다.:264 임의의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여, 몫환 R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} 는 N-2환이다. 임의의 정역 S {\displaystyle S} 및 환 준동형 R → S {\displaystyle R\to S} 에 대하여, 만약 이를 통하여 S {\displaystyle S} 가 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군을 이룬다면, S {\displaystyle S} 는 N-2환이다. 정역 R {\displaystyle R} 및 그 분수체 K = Frac ⁡ R {\displaystyle K=\operatorname {Frac} R} 가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 A {\displaystyle A} 에 대하여, A {\displaystyle A} 속의 R {\displaystyle R} -정환(整環, 영어: order, 독일어: Ordnung) o ⊆ A {\displaystyle {\mathcal {o}}\subseteq A} 는 다음 조건들을 만족시키는 A {\displaystyle A} 의 부분환이다. o {\displaystyle {\mathcal {o}}} 는 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수이다. o {\displaystyle {\mathcal {o}}} 는 R {\displaystyle R} -자유 가군이다. (즉, R {\displaystyle R} -격자를 이룬다.) K o = A {\displaystyle K{\mathcal {o}}=A} 이다. A {\displaystyle A} 속의 R {\displaystyle R} -정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. A {\displaystyle A} 가 가환환일 때, A {\displaystyle A} 속의 R {\displaystyle R} -정환 o ⊂ A {\displaystyle {\mathcal {o}}\subset A} 의 모든 원소는 R {\displaystyle R} -정수적 원소이다. 따라서, 최대 R {\displaystyle R} -정환이 존재하며, 이는 R {\displaystyle R} 의 A {\displaystyle A} 속의 정수적 폐포이다. (이는 A {\displaystyle A} 가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.) 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 정역 S {\displaystyle S} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. 정수적으로 닫힌 가환환이다. 임의의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ S {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} S} 에 대하여, 국소화 S p {\displaystyle S_{\mathfrak {p}}} 는 정수적으로 닫힌 국소환이다. 임의의 극대 아이디얼 m ⊆ S {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq S} 에 대하여, S m {\displaystyle S_{\mathfrak {m}}} 은 정수적으로 닫힌 국소환이다. 뇌터 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다. 정수적으로 닫힌 가환환이다. 다음 두 조건이 성립한다. R {\displaystyle R} 는 높이가 1인 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 들에 대한 국소화 R p ⊆ Frac ⁡ R {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R} 들의 (분수체 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 속에서의) 교집합이다. R = ⋂ p ∈ Spec ⁡ R ht ⁡ p = 1 R p ⊆ Frac ⁡ R {\displaystyle R=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}^{\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1}R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R} 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여, R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 이산 값매김환이다. 크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 정수적으로 닫힌 가환환이다. m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 주 아이디얼이다. R {\displaystyle R} 는 이산 값매김환이다. R {\displaystyle R} 는 데데킨트 정역이다. R {\displaystyle R} 는 정칙 국소환이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 가환환 S {\displaystyle S} S {\displaystyle S} 의 부분환 R ⊆ S {\displaystyle R\subseteq S} . 또한, S {\displaystyle S} 의 모든 원소는 R {\displaystyle R} -정수적 원소이다. R {\displaystyle R} -소 아이디얼들의 사슬 ( p i ) 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{i})_{1\leq i\leq k}} 및 S {\displaystyle S} -소 아이디얼들의 사슬 ( q i ) m ≤ i ≤ n {\displaystyle ({\mathfrak {q}}_{i})_{m\leq i\leq n}} ( 1 ≤ m ≤ n ≤ k {\displaystyle 1\leq m\leq n\leq k} ). 또한, m ≤ i ≤ n {\displaystyle m\leq i\leq n} 에 대하여 q i ∣ p i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\mid {\mathfrak {p}}_{i}} 이다. 즉, q i ∩ R = p i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\cap R={\mathfrak {p}}_{i}} 이다. q m ⊆ ⋯ ⊆ q n ⊆ S p 1 ⊆ ⋯ ⊆ p m − 1 ⊆ p m ⊆ ⋯ ⊆ p n ⊆ p n + 1 ⊆ ⋯ ⊆ p k ⊆ R {\displaystyle {\begin{matrix}&&&&{\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}&&&&&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix}}} 또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자. S {\displaystyle S} 는 정역이며, R {\displaystyle R} 는 ( Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다. m = 1 {\displaystyle m=1} 이다. 그렇다면, 코언-사이던버그 정리(영어: Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. q i ∣ p i ∀ 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\mid {\mathfrak {p}}_{i}\forall 1\leq i\leq k} 가 되게 소 아이디얼 사슬 { q i } {\displaystyle \{{\mathfrak {q}}_{i}\}} 를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 S {\displaystyle S} -소 아이디얼 { q i } i ∈ { 1 , … , m − 1 , n + 1 , … , k } {\displaystyle \{{\mathfrak {q}}_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,m-1,n+1,\dots ,k}\}} 가 존재한다. ∃ q 1 ⊆ ⋯ ⊆ ∃ q m − 1 ⊆ q m ⊆ ⋯ ⊆ q n ⊆ ∃ q n + 1 ⊆ ⋯ ⊆ ∃ q k ⊆ S p 1 ⊆ ⋯ ⊆ p m − 1 ⊆ p m ⊆ ⋯ ⊆ p n ⊆ p n + 1 ⊆ ⋯ ⊆ p k ⊆ R {\displaystyle {\begin{matrix}\exists {\mathfrak {q}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}&\subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{k}&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix}}} 여기서 q i ∣ p i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\mid {\mathfrak {p}}_{i}} 라는 것은 ( q i ) ∩ R = p i {\displaystyle ({\mathfrak {q}}_{i})\cap R={\mathfrak {p}}_{i}} 임을 뜻한다. 즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(영어: going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(영어: going down). 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. R {\displaystyle R} 는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. K = Frac ⁡ R {\displaystyle K=\operatorname {Frac} R} 는 그 전분수환이다. L {\displaystyle L} 은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형 ι : K ↪ L {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow L} 이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 L / K {\displaystyle L/K} 는 유한군이다. S ⊆ L {\displaystyle S\subseteq L} 은 R {\displaystyle R} 의 L {\displaystyle L} 속의 정수적 폐포이다. 크룰-아키즈키 정리(Krull-[秋月]定理, 영어: Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. S {\displaystyle S} 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다. S {\displaystyle S} 의 임의의 아이디얼 a ⊆ S {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq S} 에 대하여, 만약 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 ( S / a ) / ( R / ( R ∩ a ) ) {\displaystyle (S/{\mathfrak {a}})/(R/(R\cap {\mathfrak {a}}))} 는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 S / R {\displaystyle S/R} 는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.) 만약 R {\displaystyle R} 가 추가로 데데킨트 정역이라면, S {\displaystyle S} 역시 데데킨트 정역이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. R {\displaystyle R} 는 가환 뇌터 축소환이다. K = Frac ⁡ R {\displaystyle K=\operatorname {Frac} R} 는 그 전분수환이다. S {\displaystyle S} 는 R {\displaystyle R} 의 K {\displaystyle K} 속의 정수적 폐포이다. R {\displaystyle R} 는 n {\displaystyle n} 개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다. 모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. S {\displaystyle S} 는 n {\displaystyle n} 개의 크룰 정역들의 직접곱이다. 이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다. 코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(영어: Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다. 크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(일본어: 秋月 康夫, 1902~1984)가 증명하였다. 모리-나가타 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)와 나가타 마사요시 가 증명하였다. 정규 스킴 대수적 정수 Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative Ring Theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. 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