멱 규칙

미적분학에서 멱 규칙(영어: power rule)은 멱함수의 도함수를 구하는 공식이다. 멱 규칙에 따르면, 멱함수 x n {\displaystyle x^{n}} ( n ∈ R {\displaystyle n\in \mathbb {R} } )의 도함수는 다음과 같다. d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}} 멱함수의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같으며, 이는 멱 규칙과 동치이다. (여기서 C {\displaystyle C} 는 적분 상수이다.) ∫ x n d x = { x n + 1 n + 1 + C n ≠ − 1 ln ⁡ x + C n = − 1 {\displaystyle \int x^{n}dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C&n\neq -1\\\ln x+C&n=-1\end{cases}}} 보다 일반적으로, 멱함수의 고계 도함수를 구하는 공식은 다음과 같다. (여기서 n k _ {\displaystyle n^{\underline {k}}} 는 하강 계승이다.) d k d x k x n = n k _ x n − k = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) x n − k {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}=n^{\underline {k}}x^{n-k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)x^{n-k}} 미분은 선형성을 가지기 때문에, 멱 규칙으로부터 다항식의 도함수를 구하는 공식을 유도할 수 있으며, 이는 다음과 같다. d d x ∑ k = 0 n a k x k = ∑ k = 0 n k a k x k − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}} 마찬가지로 다항식의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같다. ∫ ∑ k = 0 n a k x k d x = ∑ k = 0 n a k k + 1 x k + 1 + C {\displaystyle \int \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{k+1}}x^{k+1}+C} 자연수 n {\displaystyle n} 에 대한 명제는 수학적 귀납법으로 증명 가능하다. 우선 n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우는 상수 함수의 미분이 0이라는 명제가 되므로 자명하게 성립한다. 이제 어떤 n {\displaystyle n} 에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 곱 규칙에 따라, n + 1 {\displaystyle n+1} 에 대한 명제 d d x x n + 1 = d d x ( x ⋅ x n ) = 1 ⋅ x n + x ⋅ n x n − 1 = ( n + 1 ) x n {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n+1}={\frac {d}{dx}}(x\cdot x^{n})=1\cdot x^{n}+x\cdot nx^{n-1}=(n+1)x^{n}} 역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 멱 규칙은 임의의 자연수에 대하여 성립한다. 자연수 지수의 멱 규칙은 이항 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수도 있다. d d x x n = lim Δ x → 0 ( x + Δ x ) n − x n Δ x = lim Δ x → 0 n x n − 1 Δ x + n ( n − 1 ) 2 x n − 2 ( Δ x ) 2 + ⋯ n x ( Δ x ) n − 1 + ( Δ x ) n Δ x = lim Δ x → 0 ( n x n − 1 + n ( n − 1 ) 2 x n − 2 Δ x + ⋯ + n x ( Δ x ) n − 2 + ( Δ x ) n − 1 ) = n x n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{n}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {nx^{n-1}\Delta x+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots nx(\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^{n}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left(nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}\Delta x+\cdots +nx(\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\right)=nx^{n-1}\end{aligned}}} 음의 정수 지수 − n {\displaystyle -n} 에 대한 명제는 자연수의 경우와 몫의 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. d d x x − n = d d x 1 x n = − n x n − 1 x 2 n = − n x − n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-n}={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x^{n}}}=-{\frac {nx^{n-1}}{x^{2n}}}=-nx^{-n-1}} 유리수 지수 m / n {\displaystyle m/n} 에 대한 명제는 정수의 경우와 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. m x m − 1 = d d x x m = d d x ( x m / n ) n = n ( x m / n ) n − 1 d d x x m / n {\displaystyle mx^{m-1}={\frac {d}{dx}}x^{m}={\frac {d}{dx}}(x^{m/n})^{n}=n(x^{m/n})^{n-1}{\frac {d}{dx}}x^{m/n}} 실수 지수 r {\displaystyle r} 에 대한 명제는 지수 함수 및 로그 함수의 미분과 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. d d x x r = d d x e r ln ⁡ x = e r ln ⁡ x r x = r x r − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}={\frac {d}{dx}}e^{r\ln x}=e^{r\ln x}{\frac {r}{x}}=rx^{r-1}} 예를 들어, 낮은 양의 정수 차수의 멱함수의 도함수 공식은 다음과 같다. d d x x = 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x=1} d d x x 2 = 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{2}=2x} d d x x 3 = 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}} d d x x 4 = 4 x 3 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{4}=4x^{3}} d d x x 5 = 5 x 4 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{5}=5x^{4}} 자연수가 아닌 경우에 대한 몇 가지 예시는 다음과 같다. d d x 1 x = − 1 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}} d d x 1 x 2 = − 2 x 3 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x^{2}}}=-{\frac {2}{x^{3}}}} d d x x = 1 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} d d x x 3 = 1 3 x 2 3 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt[{3}]{x}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}} d d x 1 x = − 1 2 x 3 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {x^{3}}}}}} d d x 1 x 3 = − 1 3 x 4 3 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}=-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{4}}}}}} 다항식의 도함수를 구하는 예시는 다음과 같다. d d x ( x 3 − 3 x + 1 ) = 3 x 2 − 3 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{3}-3x+1)=3x^{2}-3} d d x ( 4 x 5 − 2 x 3 + x 2 ) = 20 x 4 − 6 x 2 + 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(4x^{5}-2x^{3}+x^{2})=20x^{4}-6x^{2}+2x} 미분법 곱 규칙 몫 규칙 “Proof of the power rule”. 《PlanetMath》 (영어).  “Power rule for derivatives”. 《ProofWiki》 (영어).