특수 유니터리 군

수학에서 특수 유니터리 군(特殊unitary群, 영어: special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다. 체 K {\displaystyle K} 가 자기 동형 ¯ : K → K {\displaystyle {\bar {\quad }}\colon K\to K} 를 가진다고 하자. K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 와, V {\displaystyle V} 위의 비퇴화 반쌍선형 형식 Q : V × V → K {\displaystyle Q\colon V\times V\to K} Q ( a u + b v , w ) = a ¯ Q ( u , w ) + b ¯ Q ( v , w ) {\displaystyle Q(au+bv,w)={\bar {a}}Q(u,w)+{\bar {b}}Q(v,w)} Q ( w , a u + b v ) = a Q ( w , a ) + b Q ( w , b ) {\displaystyle Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)} 가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군 SU ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {SU} (V,Q)} 는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다. SU ⁡ ( V , Q ) = { M ∈ SL ⁡ ( V ) : Q ( M u , M v ) = Q ( u , v ) ∀ u , v ∈ V } {\displaystyle \operatorname {SU} (V,Q)=\{M\in \operatorname {SL} (V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\}} 특히, 만약 V {\displaystyle V} 가 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간이며, Q {\displaystyle Q} 가 자명한 항등 이차 형식 Q ( u , v ) = ∑ i = 1 n u ¯ v {\displaystyle Q(u,v)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {u}}v} 일 경우, 이를 SU ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n;K)} 라고 쓴다. 만약 K {\displaystyle K} 를 생략하는 경우, K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 를 뜻한다. 또한, 만약 K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, V {\displaystyle V} 가 ( p + q ) {\displaystyle (p+q)} 차원 복소수 벡터 공간이며, Q {\displaystyle Q} 의 계량 부호수가 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 라면, 이는 SU ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {SU} (p,q)} 라고 쓴다. SU ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n;K)} 의 리 대수 s u ( n ; K ) = { M ∈ g l ( n ; K ) : M † = − M } {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(n;K)\colon M^{\dagger }=-M\}} 은 n × n {\displaystyle n\times n} 반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 M † = ( M ¯ ) ⊤ = M ⊤ ¯ {\displaystyle M^{\dagger }=({\bar {M}})^{\top }={\overline {M^{\top }}}} 은 M {\displaystyle M} 에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다. 특히, s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 는 파울리 행렬로 생성되며, s u ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)} 는 겔만 행렬로 생성된다. s u ( 2 n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n;\mathbb {C} )} 의 경우, s u ∗ ( 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2n)} 또는 s l ( n ; H ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {H} )} 로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위에 심플렉틱 구조 Ω ∈ GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \Omega \in \operatorname {GL} (V;K)} Ω 2 = − 1 {\displaystyle \Omega ^{2}=-1} Ω = − Ω ⊤ {\displaystyle \Omega =-\Omega ^{\top }} 가 주어졌다고 하자. (만약 V {\displaystyle V} 가 유한 차원일 때, V {\displaystyle V} 는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서 Ω {\displaystyle \Omega } 를 Ω = ( 0 n × n 1 n × n − 1 n × n 0 n × n ) ∈ Mat ⁡ ( 2 n ; K ) {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2n;K)} 의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다. U ∗ ⁡ ( 2 n ) = { M ∈ GL ⁡ ( 2 n ; C ) : M ¯ Ω = Ω M } {\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)=\{M\in \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )\colon {\bar {M}}\Omega =\Omega M\}} SU ∗ ⁡ ( 2 n ) = U ∗ ⁡ ( 2 n ) ∩ SL ⁡ ( 2 n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(2n)=\operatorname {U} ^{*}(2n)\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )} 만약 K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 일 때, SU ∗ ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(2n)} 의 실수 리 대수는 s u ( 2 n ) ⊗ R C {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 의 실수 형태이다. K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간 H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} 위의 사원수 선형 변환의 리 군 GL ⁡ ( n ; H ) = Aut H ⁡ ( H n ) = U ∗ ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {Aut} _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{n})=\operatorname {U} ^{*}(2n)} 을 생각하자. 이는 실수 4 n 2 {\displaystyle 4n^{2}} 차원의 리 군이다. 이제, 임의의 ι ∈ { q ∈ H : q 2 = − 1 , q ¯ = − q } = { v 1 i + v 2 j + v 3 k : v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 = 1 } {\displaystyle \iota \in \{q\in \mathbb {H} \colon q^{2}=-1,\;{\bar {q}}=-q\}=\{v_{1}\mathrm {i} +v_{2}\mathrm {j} +v_{3}\mathrm {k} \colon v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=1\}} 는 H {\displaystyle \mathbb {H} } 의 복소구조 j : q ↦ ι q {\displaystyle j\colon q\mapsto \iota q} 를 정의하며, 이 복소구조에 대하여 SL ⁡ ( n ; H ) = GL ⁡ ( n ; H ) ∩ SL ⁡ ( 2 n ; C ) = SU ∗ ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )=\operatorname {SU} ^{*}(2n)} 를 정의할 수 있다. 이 정의는 ι {\displaystyle \iota } 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다. Z ⁡ ( SU ⁡ ( n ) ) = { exp ⁡ ( 2 π i k / n ) 1 n × n : k = 0 , 1 , … , n − 1 } ≅ Z / n {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SU} (n))=\{\exp(2\pi ik/n)1_{n\times n}\colon k=0,1,\dots ,n-1\}\cong \mathbb {Z} /n} 중심에 대한 몫군을 사영 특수 유니터리 군(영어: projective special unitary group)이라고 한다. 1 → Z / n ≅ Z ⁡ ( SU ⁡ ( n ) ) → SU ⁡ ( n ) → PSU ⁡ ( n ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /n\cong \operatorname {Z} (\operatorname {SU} (n))\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {PSU} (n)\to 1} 특수 유니터리 군 SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} 은 n 2 − 1 {\displaystyle n^{2}-1} 차원 단순 리 군이며, 계수는 n − 1 {\displaystyle n-1} 이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 A n − 1 {\displaystyle A_{n-1}} 이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다. ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ {\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet } 특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다. { diag ⁡ ( λ 1 , λ 2 , … , λ n − 1 , ∏ i = 1 n − 1 λ i − 1 ) : λ 1 , … , λ n − 1 ∈ U ⁡ ( 1 ) } ⊂ SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \left\{\operatorname {diag} \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n-1},\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}^{-1}\right)\colon \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n-1}\in \operatorname {U} (1)\right\}\subset \operatorname {SU} (n)} 특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다. Weyl ⁡ ( SU ⁡ ( n ) ) = Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SU} (n))=\operatorname {Sym} (n)} 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 n {\displaystyle n} 차원 순열 표현(영어: permutation representation) 및 그 부분 표현인 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원의 표준 표현(영어: standard representation)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 n {\displaystyle n} 차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다. SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} 은 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다. SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 는 3차원 초구 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 와 위상동형이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. SO ⁡ ( 2 n ) ⊃ SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2n)\supset \operatorname {SU} (n)} . 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는 SO ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2n)} 딘킨 도표에서 ∘ {\displaystyle \circ } 로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다. ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n − 3 − ∙ ∘ | − ∙ → ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n − 3 − ∙ − ∙ {\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-\bullet -\bullet } SU ⁡ ( n ) ⊃ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SO} (n)} . 이는 실수 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬을 복소수 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다. SU ⁡ ( n + 1 ) ⊃ U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)\supset \operatorname {U} (n)} . 이는 SU ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)} 딘킨 도표에서 ∘ {\displaystyle \circ } 로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다. ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n − ∘ → ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n {\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}-\circ \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}} SU ⁡ ( 2 n ) ⊃ USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {USp} (2n)} . 이는 SU ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2n)} 의 딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다. ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n − 1 ⟩ ∙ → ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n − 1 ⇐ ∙ {\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\rangle \bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\Leftarrow \bullet } E 7 ⊃ SU ⁡ ( 8 ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle E_{7}\supset \operatorname {SU} (8)/(\mathbb {Z} /2)} .:§4.12 이는 E7 딘킨 도표에서, ⊗ {\displaystyle \scriptstyle \otimes } 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ∘ {\displaystyle \circ } 을 제거하여 얻는다. ∙ − ∙ − ∙ ∘ | − ∙ − ∙ − ∙ → ⊗ − ∙ − ∙ − ∙ ∘ | − ∙ − ∙ − ∙ → ⊗ − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ {\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet } E 8 ⊃ SU ⁡ ( 9 ) / ( Z / 3 ) {\displaystyle E_{8}\supset \operatorname {SU} (9)/(\mathbb {Z} /3)} .:§5.11 이는 E8의 Z / 3 {\displaystyle \mathbb {Z} /3} 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, ⊗ {\displaystyle \scriptstyle \otimes } 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ∘ {\displaystyle \circ } 을 제거하여 얻는다. ∙ − ∙ − ∙ ∘ | − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ → ∙ − ∙ − ∙ ∘ | − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ⊗ → ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ⊗ {\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }} G 2 ⊃ SU ⁡ ( 3 ) {\displaystyle G_{2}\supset \operatorname {SU} (3)} 낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)이 성립한다. SU ⁡ ( 1 ) ≅ 1 {\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong 1} SU ⁡ ( 2 ) ≅ Spin ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)} PSU ⁡ ( 2 ) ≅ SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)} SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) ≅ Spin ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (4)} ( SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) ) / ( Z / 2 ) ≅ SO ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)\cong \operatorname {SO} (4)} SU ⁡ ( 4 ) ≅ Spin ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)} SU ⁡ ( 4 ) / ( Z / 2 ) ≅ SO ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)\cong \operatorname {SO} (6)} PSU ⁡ ( 4 ) ≅ PSO ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {PSU} (4)\cong \operatorname {PSO} (6)} SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} 의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현(영어: defining representation) ◻ {\displaystyle \square } 은 n {\displaystyle n} 차원 표현이며, 그 켤레 ◻ ¯ {\displaystyle {\bar {\square }}} 역시 n {\displaystyle n} 차원 표현이다. 또한, n 2 − 1 {\displaystyle n^{2}-1} 차원 딸림 표현이 항상 존재한다. SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 j ∈ 1 2 Z {\displaystyle j\in {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} } 에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다. SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다. Yokota, Ichiro (2009년 2월). “Exceptional Lie groups” (영어). arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Special unitary group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective special unitary group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Special unitary group”. 《nLab》 (영어).  “Special unitary Lie algebra”. 《nLab》 (영어).  SU(2) 유니터리 군 직교군 심플렉틱 군