양-밀스 순간자

미분기하학에서 양-밀스 순간자(楊-Mills瞬間子, 영어: Yang–Mills instanton)는 4차원 매끄러운 다양체 위의 주다발의 주접속 가운데, 그 주곡률의 호지 쌍대가 스스로의 −1배와 같은 것이다. 양자역학에서, 이는 양-밀스 이론의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, 순간자로 해석될 수 있다. 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간으로부터 도널드슨 불변량을 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 유향 콤팩트 리만 다양체 ( M , g , ω ) {\displaystyle (M,g,\omega )} M {\displaystyle M} 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 및 그 위의 양의 정부호 내적 ⟨ − , − ⟩ {\displaystyle \langle -,-\rangle } 그렇다면, 벡터 값 미분 형식의 공간 Ω ∙ ( M ; E ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)} 를 정의할 수 있으며, 그 호지 쌍대 ∗ : Ω ∙ ( M ; E ) → Ω 2 n − ∙ ( M ; E ) {\displaystyle *\colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{2n-\bullet }(M;E)} α ∧ ∗ β = ⟨ α , β ⟩ ω {\displaystyle \alpha \wedge *\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega } 를 정의할 수 있다. 물론, k {\displaystyle k} 차 미분 형식에 대하여 ∗ 2 = ( − ) k ( 2 n − k ) {\displaystyle *^{2}=(-)^{k(2n-k)}} 이다. 특히, 가운데 차수 ( n {\displaystyle n} 차) 미분 형식에 대하여, 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 이 경우 ∗ 2 = ( − ) n 2 {\displaystyle *^{2}=(-)^{n^{2}}} 이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수일 경우, ∗ ↾ Ω n ( M ; E ) {\displaystyle *\upharpoonright \Omega ^{n}(M;E)} 의 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간을 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다. Ω n ( M ; E ) = Ω n , + ( M ; E ) ⊕ Ω n , − ( M ; E ) {\displaystyle \Omega ^{n}(M;E)=\Omega ^{n,+}(M;E)\oplus \Omega ^{n,-}(M;E)} 여기서 Ω n , + ( M ) {\displaystyle \Omega ^{n,+}(M)} 의 원소는 자기 쌍대 미분 형식(영어: self-dual differential form), Ω − 2 ( M ) {\displaystyle \Omega _{-}^{2}(M)} 의 원소는 반 자기 쌍대 미분 형식(영어: anti-self-dual differential form)라고 한다. 이에 대한 사영 사상을 proj ± : Ω n ( M ; E ) → Ω n , + ( M ; E ) {\displaystyle \operatorname {proj} ^{\pm }\colon \Omega ^{n}(M;E)\to \Omega ^{n,+}(M;E)} 라고 표기하자. (만약 n {\displaystyle n} 이 홀수라면, ∗ {\displaystyle *} 의 고윳값은 ± i {\displaystyle \pm \mathrm {i} } 가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.) 다양체 M {\displaystyle M} 의 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다. 다음이 주어졌다고 하자. 4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 K ( − , − ) {\displaystyle K(-,-)} G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 G ↪ P ↠ M {\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M} 그렇다면, P {\displaystyle P} 의 천-베유 준동형 CW P : C [ l i e ( G ) ] G → H ∙ ⁡ ( M ; C ) {\displaystyle \operatorname {CW} _{P}\colon \mathbb {C} [{\mathfrak {lie}}(G)]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )} 을 정의할 수 있으며, K ( − , − ) {\displaystyle K(-,-)} 의 천-베유 준동형 아래의 상 CW P ⁡ ( K ) ∈ H 4 ⁡ ( M ; C ) ≅ C {\displaystyle \operatorname {CW} _{P}(K)\in \operatorname {H} ^{4}(M;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} } 를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 에 대하여 CW P ⁡ ( K ) ∈ λ Z ⊊ C {\displaystyle \operatorname {CW} _{P}(K)\in \lambda \mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {C} } 의 꼴이다. 이 경우, λ − 1 CW P ⁡ ( K ) ∈ Z {\displaystyle \lambda ^{-1}\operatorname {CW} _{P}(K)\in \mathbb {Z} } 를 주다발 P {\displaystyle P} 의 순간자수(영어: instanton number)라고 한다. (이는 λ ↦ − λ {\displaystyle \lambda \mapsto -\lambda } 아래 부호의 모호성을 가진다.) 만약 M = S 4 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{4}} (4차원 초구)이며, G {\displaystyle G} 가 콤팩트 단순 리 군이라면, S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 G {\displaystyle G} -주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다. 증명 개략: S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 그 위에 임의의 주접속 A {\displaystyle A} 를 부여하자. 또한, 어떤 임의의 점 ∞ ∈ S 4 {\displaystyle \infty \in \mathbb {S} ^{4}} 을 무한대로 여겨, R 4 ≅ S 4 ∖ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {S} ^{4}\setminus \{\infty \}} 로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 은 축약 가능 공간이므로, 그 위의 G {\displaystyle G} -주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 수 있다. A {\displaystyle A} 는 그 위의 주접속으로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 의 무한대는 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수 S 3 → G {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\to G} 를 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은 S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 서로 동형인 주다발에 정의될 수 있다. 따라서, 주다발들은 S 3 → G {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\to G} 호모토피류, 즉 G {\displaystyle G} 의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. 그런데 G {\displaystyle G} 가 콤팩트 단순 리 군이라면 이는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이며, 이는 순간자수에 해당한다. 다음이 주어졌다고 하자. 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 ( M , g , ω ) {\displaystyle (M,g,\omega )} 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 K ( − , − ) {\displaystyle K(-,-)} G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 그렇다면, P {\displaystyle P} 의 주접속들을 생각하자. 연관 벡터 다발 ad ⁡ ( P ) = P × G ad ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}\operatorname {ad} (G)} 을 정의하면, 주접속 모듈라이 공간은 Ω 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))} 에 대한 아핀 공간이다. ( ad ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (G)} 는 G {\displaystyle G} 의 딸림표현이다.) 주접속 A {\displaystyle A} 로부터, 주곡률 F ∈ Ω 2 ( M ; ad ⁡ ( G ) ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (G))} 을 정의할 수 있다. K ( − , − ) {\displaystyle K(-,-)} 가 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는 ad ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (G)} 위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 수 있다. 주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 반 자기 쌍대 주접속(영어: anti-self-dual connection) 또는 양-밀스 순간자(영어: Yang–Mills instanton)라고 한다. 이 경우, 게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군은 G = C ∞ ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 이다. 이 대신, M {\displaystyle M} 에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간 ( M , ∙ ) {\displaystyle (M,\bullet )} 을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군 G 0 = C ∙ ∞ ( ( M , ∙ ) , ( G , 1 G ) ) {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}={\mathcal {C}}_{\bullet }^{\infty }((M,\bullet ),(G,1_{G}))} 을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열 1 → G 0 → G → G → 1 {\displaystyle 1\to {\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}\to G\to 1} 을 이룬다. G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}} 에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류를 틀 갖춘 순간자(영어: framed instanton)이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} , 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을 M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} 이라고 하면, 이는 G {\displaystyle G} -주다발 G ↪ M ~ ↠ M {\displaystyle G\hookrightarrow {\tilde {\mathcal {M}}}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}} 을 이룬다. 반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간 M ASD ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)} 의 접공간은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속 [ A ] ∈ M ASD ( M , G ) {\displaystyle [A]\in {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)} 이 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 수 있으며, 이를 순간자 변형 복합체(瞬間子變形複合體, 영어: instanton deformation complex)라고 한다. 0 → Ω 0 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) → ∇ A Ω 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) → proj + ⁡ ∇ A Ω 2 , + ( M ; ad ⁡ ( P ) ) → 0 {\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\nabla _{A}}}\,\Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\operatorname {proj} ^{+}\nabla _{A}}}\,\Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))\to 0} 완전열 조건의 증명: 임의의 ϕ ∈ Ω 0 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \phi \in \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))} 가 주어졌을 때, ∇ A ∇ A ϕ = [ F , ϕ ] {\displaystyle \nabla _{A}\nabla _{A}\phi =[F,\phi ]} 이다. 여기서 F ∈ Ω 2 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))} 는 A {\displaystyle A} 의 주곡률이다. F {\displaystyle F} 가 반 자기 쌍대 2차 미분 형식이라고 가정하였으므로, proj + ⁡ ( ∇ A ∇ A ϕ ) = [ proj + ⁡ ( F ) , ϕ ] = 0 {\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}(\nabla _{A}\nabla _{A}\phi )=[\operatorname {proj} ^{+}(F),\phi ]=0} 이다. 여기서 Ω 2 , + ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))} 는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, Ω 2 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))} 의 부분 실수 벡터 공간이다. proj + : Ω 2 ( ad ⁡ ( P ) ) → Ω 2 , + ( ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}\colon \Omega ^{2}(\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{2,+}(\operatorname {ad} (P))} 는 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다. ∇ A : Ω ∙ ( M ; ad ⁡ ( P ) ) → Ω ∙ + 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \nabla _{A}\colon \Omega ^{\bullet }(M;\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{\bullet +1}(M;\operatorname {ad} (P))} 는 A {\displaystyle A} 에 대한 공변 미분이다. 순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군 H 1 = ker ⁡ ( proj + ∘ ∇ A ) im ⁡ ∇ A {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}={\frac {\ker(\operatorname {proj} ^{+}\circ \nabla _{A})}{\operatorname {im} \nabla _{A}}}} 은 M ASD ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)} 의, A ∈ M ASD ( M , G ) {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)} 에서의 접공간과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의 X ∈ Ω 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle X\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))} 에 대하여, proj + ⁡ ( ∇ A X ) = 0 {\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}(\nabla _{A}X)=0} 조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다. ∄ ϕ ∈ Ω 0 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) : ∇ A ϕ = X {\displaystyle \nexists \phi \in \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\colon \nabla _{A}\phi =X} 조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다. 순간자 변형 복합체의 오일러 지표 ind = − dim ⁡ H 0 + dim ⁡ H 1 − dim ⁡ H 2 {\displaystyle \operatorname {ind} =-\dim \operatorname {H} ^{0}+\dim \operatorname {H} ^{1}-\dim \operatorname {H} ^{2}} 를 모듈라이 공간의 가상 차원(假想次元, 영어: virtual dimension)이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다. 주다발 P {\displaystyle P} 에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다. ind = 4 h ∨ ( G ) | k | ≤ dim ⁡ M ~ {\displaystyle \operatorname {ind} =4h^{\vee }(G)|k|\leq \dim {\tilde {\mathcal {M}}}} 여기서 k {\displaystyle k} 는 순간자수이며, h ∨ ( G ) {\displaystyle h^{\vee }(G)} 는 G {\displaystyle G} 의 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 | G | {\displaystyle |G|} 만큼 작다. 4 h ∨ ( G ) | k | − dim ⁡ G ≤ dim ⁡ M {\displaystyle 4h^{\vee }(G)|k|-\dim G\leq \dim {\mathcal {M}}} 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간 M ASD ( P ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(P)} 를 생각하자. 그 위에는 M {\displaystyle M} 의 리만 계량 및 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간 M ADS ( P ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ADS}}(P)} 는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다. 4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 G {\displaystyle G} 일 경우, 1차 및 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.:§2 dim ⁡ M ~ ( k , G ) = 4 | k | h ∨ ( G ) {\displaystyle \dim {\tilde {\mathcal {M}}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)} dim ⁡ M ( k , G ) = 4 | k | h ∨ ( G ) − dim ⁡ G {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)-\dim G} 모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 은 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면, 4 | k | h ∨ ( G ) − 4 {\displaystyle 4|k|h^{\vee }(G)-4} 차원의 초켈러 다양체를 얻는다. 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구) S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 게이지 이론의 힉스 가지(영어: Higgs branch)로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 ADHM 작도라고 한다. 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다. (반) 자기 쌍대 주접속은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다. M {\displaystyle M} 위의 부피 형식 ω {\displaystyle \omega } 가 리만 계량에 의하여 주어지며, 또한 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식 K ( − , − ) {\displaystyle K(-,-)} 이 주어졌다고 하자. (반단순 리 대수의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 이 경우, Ω 2 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))} 위에 자연스러운 양의 정부호 내적 ⟨ B , C ⟩ = ∫ M K ( B ∧ ∗ C ) {\displaystyle \langle B,C\rangle =\int _{M}K(B\wedge *C)} 이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다. 이에 대한 주곡률의 노름 ⟨ F , F ⟩ {\displaystyle \langle F,F\rangle } 을 주접속의 양-밀스 작용(영어: Yang–Mills action)이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률 F ∈ Ω 2 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))} 의 (반) 자기 쌍대 성분을 F ± {\displaystyle F^{\pm }} 이라고 하자 ( F = F + + F − {\displaystyle F=F^{+}+F^{-}} , ∗ F = F + − F − {\displaystyle *F=F^{+}-F^{-}} ). 그렇다면 ⟨ F , F ⟩ = ⟨ F + , F + ⟩ + ⟨ F − , F − ⟩ ≥ | ⟨ F + , F + ⟩ − ⟨ F − , F − ⟩ | = ⟨ F , ∗ F ⟩ = | ∫ M K ( F ∧ F ) | {\displaystyle \langle F,F\rangle =\langle F_{+},F_{+}\rangle +\langle F_{-},F_{-}\rangle \geq |\langle F_{+},F_{+}\rangle -\langle F_{-},F_{-}\rangle |=\langle F,*F\rangle =\left|\int _{M}K(F\wedge F)\right|} 이다. 우변은 F {\displaystyle F} 의 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 천 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식이라고 한다. (반) 자기 쌍대 접속의 경우, F + {\displaystyle F^{+}} 또는 F − {\displaystyle F^{-}} 가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다. 4차원 유클리드 공간 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 위의, 게이지 군 G {\displaystyle G} 의 양-밀스 순간자를 생각하자. R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 의 콤팩트화 S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다. dim ⁡ M ( G , k ) = 4 h ∨ ( G ) | k | {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(G,k)=4h^{\vee }(G)|k|} 예를 들어, G = SU ⁡ ( N ) {\displaystyle G=\operatorname {SU} (N)} 인 경우 이중 콕서터 수는 h ∨ = N {\displaystyle h^{\vee }=N} 이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 4 N | k | {\displaystyle 4N|k|} 이다.:9–12 하나의 순간자( k = 1 {\displaystyle k=1} )인 경우, 이는 다음과 같다. 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동(영어: translation) 자유도가 있다. 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환(영어: dilatation) 자유도가 있다. SU ⁡ ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong S^{3}} 이므로, 원점에서 무한히 떨어진 S 3 {\displaystyle S^{3}} 에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다. SU ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {SU} (N)} 에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간 SU ⁡ ( N ) ( U ⁡ ( 2 ) × U ⁡ ( N − 2 ) ) / U ⁡ ( 1 ) = U ⁡ ( N ) U ⁡ ( 2 ) × U ⁡ ( N − 2 ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {SU} (N)}{(\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2))/\operatorname {U} (1)}}={\frac {\operatorname {U} (N)}{\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2)}}} 이고, 그 차원은 N 2 − 4 − ( N − 2 ) 2 = 4 N − 8 {\displaystyle N^{2}-4-(N-2)^{2}=4N-8} 이다. 따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은 4 + 1 + 3 + 4 N − 8 = 4 N {\displaystyle 4+1+3+4N-8=4N} 이다. 만약 순간자수가 k {\displaystyle k} 라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 4 k N {\displaystyle 4kN} 이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다. 하나의 순간자의 모듈라이 공간은 R 4 × R 4 / Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{4}/\operatorname {Cyc} (2)} 이다.:1.25 이 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다. R 3 × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}} 위의 양-밀스 순간자는 칼로론이라고 하며, 잘 알려져 있다. 점근 국소 유클리드 공간과 토브-너트 공간의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다. 토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 diag ⁡ ( exp ⁡ ( 2 π λ / l ) , exp ⁡ ( − 2 π λ / l ) ) {\displaystyle \operatorname {diag} (\exp(2\pi \lambda /l),\exp(-2\pi \lambda /l))} 을 갖는) k {\displaystyle k} 개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소 T G L ( k ; C ) × H k × TGL ⁡ ( k ; C ) × H k × TGL ⁡ ( k ; C ) × H k 2 U ⁡ ( k ) × U ⁡ ( k ) × U ⁡ ( k ) × U ⁡ ( k ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k^{2}}}{\operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)}}} 로 주어진다.:(11), §4 이는 활 도형(영어: bow diagram)으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은 dim ⁡ M l , λ , k = 4 ( k 2 + k + k 2 + k + k 2 + k 2 − k 2 − k 2 − k 2 − k 2 ) = 8 k {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{l,\lambda ,k}=4\left(k^{2}+k+k^{2}+k+k^{2}+k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}\right)=8k} 이다. 양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 사이먼 도널드슨이 1983년에 지적하였다. 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