라플라스 변환

라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다. 라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다. 함수 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 로 정의된다. F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.} 여기서 0 − {\displaystyle 0^{-}} 는 lim ϵ → 0 + − ϵ {\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0+}-\epsilon } 를 간단히 나타낸 것이고 복소수 s = σ + i ω {\displaystyle s=\sigma +i\omega \,} , σ와 ω는 실수이다. 실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 F ( s ) = L { f ( t ) } {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}} 로 표기하기도 한다. L { a f ( t ) + b g ( t ) } = a L { f ( t ) } + b L { g ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}} L { f ′ } = s L { f } − f ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)} L { f ″ } = s 2 L { f } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)} L { f ( n ) } = s n L { f } − s n − 1 f ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)} L { t f ( t ) } = − F ′ ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)} L { t n f ( t ) } = ( − 1 ) n F ( n ) ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)} L { f ( t ) t } = ∫ s ∞ F ( σ ) d σ {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma } L { ∫ 0 t f ( τ ) d τ } = L { u ( t ) ∗ f ( t ) } = 1 s F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)} L { f ( t − a ) u ( t − a ) } = e − a s F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)} L − 1 { e − a s F ( s ) } = f ( t − a ) u ( t − a ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)} 참고: u ( t ) {\displaystyle u(t)} 는 층계 함수이다. L { f ∗ g } = L { f } L { g } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}} L { f } = 1 1 − e − p s ∫ 0 p e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt} 함수 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 의 라플라스 변환을 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 라 하면 다음 식을 통해 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 로부터 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 를 구할 수 있다. f ( t ) = 1 2 π i ∫ a − i ∞ a + i ∞ F ( s ) e s t d s , i = − 1 . {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }F(s)e^{st}\,ds,\quad i={\sqrt {-1}}.} 하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어 F ( s ) = 1 s 2 + 3 s + 2 , {\displaystyle F(s)={\frac {1}{s^{2}+3s+2}},} 로 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해 F ( s ) = 1 s 2 + 3 s + 2 = 1 s + 1 − 1 s + 2 , {\displaystyle F(s)={\frac {1}{s^{2}+3s+2}}={\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}},} 를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 는 다음과 같다. f ( t ) = L − 1 { 1 s + 1 } − L − 1 { 1 s + 2 } = e − t − e − 2 t , t ≥ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s+1}}\right\}-{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s+2}}\right\}\\&=e^{-t}-e^{-2t},\quad t\geq 0.\end{aligned}}} 다음과 같은 n {\displaystyle n} 차 연립 상미분 방정식을 고려하자 x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) . {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t).} 양변에 라플라스 변환을 취하면 s X ( s ) − x ( 0 ) = A X ( s ) + B U ( s ) , {\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s),} 이고 이를 X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)} 에 관해 정리하면 X ( s ) = ( s I − A ) − 1 x ( 0 ) + ( s I − A ) − 1 B U ( s ) , {\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s),} 이다. 따라서, x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} 는 다음과 같다. x ( t ) = exp ⁡ [ A t ] x ( 0 ) + ∫ 0 t exp ⁡ [ A ( t − τ ) ] B u ( τ ) d τ . {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\exp \left[\mathbf {A} t\right]\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\exp \left[\mathbf {A} (t-\tau )\right]\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,d\tau .} 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 라플라스 변환 Kreyszig, E. (2006). 《Advanced Engineering Mathematics》 9판. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72897-9.  Chen, C.-T. (2009). 《Linear System Theory and Design》 3판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-539207-4.  푸리에 변환 Z변환