리 대수의 표현

리 대수의 표현(Lie代數-表現, 영어: representation of a Lie algebra)은 주어진 리 대수를 벡터 공간의 선형 변환의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형이다. 군의 표현과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군의 표현과 밀접한 관계를 지닌다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 표현 ( M , ϕ ) {\displaystyle (M,\phi )} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. M {\displaystyle M} 은 R {\displaystyle R} 위의 가군이다. ϕ : g → g l ( M ; R ) {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M;R)} 는 리 대수 준동형이다. 여기서 g l ( M ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(M;R)} 는 M {\displaystyle M} 의 R {\displaystyle R} -가군 자기 사상들로 구성된 단위 결합 대수의 리 대수이다. 이는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보편 포락 대수 U ( g ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})} 위의 가군과 같은 개념이다. 위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. 함수 ϕ : g × M → M {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\times M\to M} 는 다음 조건들을 모두 만족시켜야 한다. (쌍선형성) ϕ {\displaystyle \phi } 는 쌍선형 함수이다. 즉, 다음이 성립한다. (스칼라곱) 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여 ϕ ( r x , m ) = ϕ ( x , r m ) = r ϕ ( x , m ) {\displaystyle \phi (rx,m)=\phi (x,rm)=r\phi (x,m)} ( g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대한 선형성) 임의의 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여 ϕ ( x + y , m ) = ϕ ( x , m ) + ϕ ( y , m ) {\displaystyle \phi (x+y,m)=\phi (x,m)+\phi (y,m)} ( M {\displaystyle M} 에 대한 선형성) 임의의 x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} 및 m , n ∈ M {\displaystyle m,n\in M} 에 대하여 ϕ ( x , m + n ) = ϕ ( x , m ) + ϕ ( x , n ) {\displaystyle \phi (x,m+n)=\phi (x,m)+\phi (x,n)} (리 괄호의 보존) 임의의 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} 에 대하여, ϕ ( [ x , y ] , m ) = ϕ ( x , ϕ ( y , m ) ) − ϕ ( y , ϕ ( x , m ) ) {\displaystyle \phi ([x,y],m)=\phi (x,\phi (y,m))-\phi (y,\phi (x,m))} 표현 ρ : g → g l ( V ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} 의 무게(영어: weight)는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터의 고윳값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수를 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} 로 쓰면, 그 대수적 쌍대공간의 원소인 ρ {\displaystyle \rho } 의 무게 λ ∈ h ∗ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}} 는 적어도 하나의 0이 아닌 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 가 모든 ξ ∈ h {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}} 에 대하여 ρ ( ξ ) v = λ ( ξ ) v {\displaystyle \rho (\xi )v=\lambda (\xi )v} 를 만족한다. 딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 두 표현 ( M , ϕ ) {\displaystyle (M,\phi )} , ( M ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle (M',\phi ')} 이 주어졌다고 하자. 가군의 직합 M ⊕ M ′ {\displaystyle M\oplus M'} 위에 자연스럽게 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 직합이라고 한다. 가군의 텐서곱 M ⊗ R M ′ {\displaystyle M\otimes _{R}M'} 위에도 자연스럽게 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 텐서곱이라고 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 및 R {\displaystyle R} -가군 M {\displaystyle M} 이 주어졌을 때, 상수 함수 ϕ : g × M → M {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\times M\to M} ϕ : ( x , m ) → 0 {\displaystyle \phi \colon (x,m)\to 0} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌을 때, ad : g → gl ⁡ ( g ; R ) {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {gl} ({\mathfrak {g}};R)} ad : x ↦ [ x , − ] {\displaystyle \operatorname {ad} \colon x\mapsto [x,-]} 로 정의하면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 스스로의 표현을 이룬다. 이를 리 대수의 딸림표현이라고 한다. 이는 리 군 G {\displaystyle G} 의, 스스로의 리 대수 Lie ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)} 위의 군의 표현인 딸림표현의 무한소 형태이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 을 아벨 리 대수로 생각하자. 임의의 R {\displaystyle R} -가군 준동형 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to R} 가 주어졌을 때, ϕ : M × R → R {\displaystyle \phi \colon M\times R\to R} ϕ : ( m , r ) ↦ f ( m ) r {\displaystyle \phi \colon (m,r)\mapsto f(m)r} 로 정의하면 이는 M {\displaystyle M} 의 표현을 이룬다. 리 대수 근계 J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Birkhäuser, 2000