원 (기하학)

기하학에서 원(圓, 영어: circle)은 평면 위의 한 점에 이르는 거리가 일정한 평면 위의 점들의 집합으로 정의되는 도형이다. 이러한 점을 원의 중심이라고 하고, 중심과 원 위의 점을 잇는 선분 또는 이들의 공통된 길이를 원의 반지름이라고 한다. 원은 이차 곡선의 일종인 타원에서 이심률이 0인 경우이다. 원과 관련된 기본적인 용어들은 다음과 같다. 단위원: 반지름이 1인 원 동심원: 중심이 같은 두 원 반원: 중심각이 평각인 부채꼴(활꼴) 반지름: 원의 중심과 그 원 위의 점을 잇는 선분 또는 그 선분의 길이. 반지름의 길이는 지름의 2분의 1이다. 부채꼴: 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역 사분원: 중심각이 직각인 부채꼴 원주: 원의 둘레 원주각: 한 끝점을 공유하는 두 현이 원 내부에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 중심각의 1/2이다. 원판: 원으로 둘러싸인 도형 원환: 두 동심원으로 둘러싸인 도형 접선: 원과 한 점에서 만나는 직선 접현각: 원의 현과 현의 한 끝점에서의 접선이 이루는 각 중심: 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점 중심각: 호의 두 끝점을 지나는 반지름이 호와 같은 쪽에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 원주각의 2배이다. 지름: 원의 중심을 지나는 현 또는 그 길이. 길이는 반지름의 2배이다. 켤레호: 원의 합하여 원주 전체를 이루는 두 호 할선: 원과 두 점에서 만나는 직선 현: 원 위의 두 점을 잇는 선분 호: 원의 일부가 되는 곡선 활꼴: 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역 시: 할선의 중점을 수선의 발로 하는 선 기원전 5세기경 안티폰은 정다각형의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 니콜라우스는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다. 어떤 원의 반지름의 길이를 r {\displaystyle r} 라고 하고, 지름의 길이를 d {\displaystyle d} 라고 하면, 원의 둘레는 C = 2 π r = π d {\displaystyle C=2\pi r=\pi d} 이다. 여기서 π {\displaystyle \pi } 는 원주율이다. 이는 약 3.1415…를 값으로 하는 초월수이다. 어떤 원의 반지름의 길이를 r {\displaystyle r} 라고 하고, 지름의 길이를 d {\displaystyle d} 라고 하고, 둘레를 C {\displaystyle C} 라고 하면, 원(으로 둘러싸인 도형)의 넓이는 A = π r 2 = π d 2 4 = C 2 4 π {\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}={\frac {C^{2}}{4\pi }}} 이다. 등주 부등식에 따르면, 이는 둘레가 C {\displaystyle C} 인 닫힌 곡선으로 둘러싸인 도형이 가질 수 있는 최대 넓이이다. 2차원 데카르트 좌표계 위의 중심이 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 이고 반지름이 r {\displaystyle r} 인 원의 방정식은 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 이다.:22, §3 이는 피타고라스 정리를 통해 유도된다. 2차원 데카르트 좌표계 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은 x 2 + y 2 + d x + e y + f = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0} 이다. 단, d , e , f {\displaystyle d,e,f} 는 실수이며, d 2 + e 2 − f > 0 {\displaystyle d^{2}+e^{2}-f>0} 이어야 한다.:23, §3.2 좌변은 반지름의 4배에 대응하며, '=0'일 경우 한원소 집합이 되고, '<0'일 경우 공집합이 된다.:24, §3.2, Example 3.2 평면 위의 모든 원은 적절한 데카르트 좌표계를 취했을 때 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 와 같은 표준적인 방정식으로 표현된다. 단, r > 0 {\displaystyle r>0} 이어야 한다. 이러한 꼴의 방정식을 얻으려면 원의 중심을 좌표계의 원점으로 삼기만 하면 된다. 2차원 데카르트 좌표계 위의 중심이 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 이고 반지름이 r {\displaystyle r} 인 원은 다음과 같은 매개변수 방정식을 갖는다.:23, §3.2, (3.5) x = a + r cos ⁡ t y = b + r sin ⁡ t ( 0 ≤ t < 2 π ) {\displaystyle {\begin{matrix}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{matrix}}\qquad (0\leq t<2\pi )} 여기서 cos , sin {\displaystyle \cos ,\sin } 은 각각 코사인 함수와 사인 함수이고, t {\displaystyle t} 는 매개 변수이다. 데카르트 좌표 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 대신 극좌표 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} 를 사용할 수도 있다. 즉, 극좌표계 위의 중심이 ( r 0 , θ 0 ) {\displaystyle (r_{0},\theta _{0})} 이고 반지름이 R {\displaystyle R} 인 원의 방정식은 r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( θ − θ 0 ) + r 0 2 = R 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\theta _{0})+r_{0}^{2}=R^{2}} 이다. 데카르트 좌표나 극좌표를 복소수 z {\displaystyle z} 로 대신하면, 원과 직선의 통일된 방정식을 얻을 수 있다. 복소평면 위에서, 중심이 z 0 {\displaystyle z_{0}} 이고 반지름이 r > 0 {\displaystyle r>0} 인 원의 방정식은 | z − z 0 | = r {\displaystyle |z-z_{0}|=r} 이다. 여기서 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 는 복소수의 절댓값이다. 또한 복소평면 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은 A z z ¯ + B ¯ z + B z ¯ + C = 0 {\displaystyle Az{\bar {z}}+{\bar {B}}z+B{\bar {z}}+C=0} 이다. 여기서 ¯ {\displaystyle {\bar {}}} 는 켤레 복소수이다. 단, A , C {\displaystyle A,C} 는 실수이고, B {\displaystyle B} 는 복소수이며, | B | 2 − A C > 0 {\displaystyle |B|^{2}-AC>0} A ≠ 0 {\displaystyle A\neq 0} 이어야 한다. 또한, A ≠ 0 {\displaystyle A\neq 0} 대신 A = 0 {\displaystyle A=0} 을 취하고 다른 조건을 그대로 두면 복소평면 위의 직선의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다. 즉, A ≠ 0 {\displaystyle A\neq 0} 이라는 조건을 제거하고 다른 조건을 그대로 두면 일반화 원의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다. 2차원 데카르트 좌표계 위에서, 원 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 의 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} 을 접점으로 하는 접선의 방정식은 ( x 0 − a ) ( x − a ) + ( y 0 − b ) ( y − b ) = r 2 {\displaystyle (x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}} 이다. 원 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 의 기울기가 m {\displaystyle m} 인 접선의 방정식은 y − b = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 {\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}} 이다. 원은 지름에 대한 반사와 원의 중심에 대한 회전에 대하여 대칭이다.:227, §20.1, Theorem 20.3 즉, 원의 대칭군은 2차원 직교군 O ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {O} (2,\mathbb {R} )} 이다. 임의의 두 원은 서로 중심 닮음이며, 동심원이 아닐 경우 두 원의 중심을 잇는 선분의 반지름의 비에 따른 내분점 및 외분점을 닮음 중심으로 갖는다.:19, §25 반지름의 길이가 같은 모든 원은 서로 합동이다.:23, §1F 공선점이 아닌 세 점을 지나는 원은 항상 유일하게 존재한다.:23, §1F, Theorem 1.15 즉, 모든 삼각형의 외접원은 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 세 점을 지나는 일반화 원은 항상 유일하게 존재한다. 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다.:227, §20.1, Theorem 20.2 즉, 현에 수직인 지름은 현을 이등분한다.:227, §20.1, Theorem 20.2 즉, 지름이 아닌 현을 이등분하는 지름은 현에 수직이다.:227, §20.1, Theorem 20.2 지름은 원의 가장 긴 현이다.:23, §1F (방멱 정리) 원 위에 있지 않은 점 P {\displaystyle P} 를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 점 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 에서 만나고, 다른 하나는 원과 점 C {\displaystyle C} 와 D {\displaystyle D} 에서 만난다고 하면, P A ⋅ P B = P C ⋅ P D {\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD} 이다.:47, §1H, Theorem 1.35 원 위의 점과 현 사이의 거리와 지름의 곱은 점과 현의 양 끝점 사이의 거리의 곱과 같다.:71, §101 평면 위의 원과 직선의 위치 관계는 원의 중심에서 직선까지의 거리 d {\displaystyle d} 와 원의 반지름 r {\displaystyle r} 의 대소 관계에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다. 만약 d > r {\displaystyle d>r} 라면, 원과 직선은 만나지 않는다. 만약 d = r {\displaystyle d=r} 라면, 원과 직선은 한 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 접선이다. 만약 d < r {\displaystyle d<r} 라면, 원과 직선은 두 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 할선이다. 두 원의 위치 관계는 두 원의 반지름 R , r {\displaystyle R,r} 와 두 중심 사이의 거리 d {\displaystyle d} 에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다. 만약 d > R + r {\displaystyle d>R+r} 이거나 d < | R − r | {\displaystyle d<|R-r|} 라면, 두 원은 만나지 않는다. 만약 d > R + r {\displaystyle d>R+r} 라면, 두 원은 서로의 외부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다. 만약 d < | R − r | {\displaystyle d<|R-r|} 라면, 작은 원은 큰 원의 내부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다. 만약 d = R + r {\displaystyle d=R+r} 이거나 d = | R − r | {\displaystyle d=|R-r|} 라면, 두 원은 한 점에서 만난다. 즉, 두 원은 서로 접한다. 만약 d = R + r {\displaystyle d=R+r} 라면, 두 원은 서로의 외부에서 접한다. 즉, 두 원은 외접한다. 만약 d = | R − r | {\displaystyle d=|R-r|} 라면, 작은 원이 큰 원의 내부에서 큰 원에 접한다. 즉, 두 원은 내접한다. 만약 | R − r | < d < R + r {\displaystyle |R-r|<d<R+r} 라면, 두 원은 두 점에서 만난다. 주어진 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 1/2이다.:25, §1F, Theorem 1.16 같은 호에 대한 두 원주각의 크기는 서로 같다.:25, §1F 켤레호에 대한 두 중심각은 서로 보각이다. 즉, 내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이다.:26, §1F, Corollary 1.17 즉, 내접 사각형의 외각의 크기는 내대각과 같다. (탈레스 정리) 지름에 대한 원주각은 직각이다. 즉, 삼각형의 외심이 변 위에 있을 필요충분조건은 직각 삼각형이다.:30, §1F, Corollary 1.22 원의 두 현이 원 내부에서 이루는 각의 크기는 이 각과 맞꼭지각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 합의 1/2이다.:27, §1F, Corollary 1.19 원의 두 할선이 원 외부에서 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 차의 1/2이다.:27, §1F, Corollary 1.18 원 위의 한 점을 지나는 원의 접선은 유일하게 존재하고, 이는 이 점을 지나는 반지름에 수직이다.:228, §20.1, Theorem 20.4:30-31, §1F 즉, 반지름의 반지름 끝점에서의 수선은 원에 접한다.:228, §20.1, Theorem 20.4 즉, 원의 접선의 접점에서의 수선은 원의 중심을 지난다. 원 외부의 한 점을 지나는 원의 접선은 정확히 2개이고, 이 점과 두 접점 사이의 거리는 같으며, 두 접선이 이루는 각과 두 접점을 지나는 반지름이 이루는 각은 서로 보각이다. 원의 접현각의 크기는 현을 기준으로 이와 같은 쪽에 있는 호에 대한 중심각의 1/2이다.:31, §1F, Theorem 1.23 원의 접선과 할선이 원 외부에서 이루는 각은 각의 내부에 포함된 두 호의 중심각의 차의 1/2이다.:31, §1F, Corollary 1.24 외접하는 두 원의 교점을 지나는 두 공통 할선 사이의 두 현은 서로 평행한다.:31, §1F, Problem 1.25 (접선에 대한 방멱 정리)원 외부의 점 P {\displaystyle P} 를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 에서 만나고, 하나는 원에 점 T {\displaystyle T} 에서 접한다고 하면, P A ⋅ P B = P T 2 {\displaystyle PA\cdot PB=PT^{2}} 이다. 두 원의 교점에서의 두 접선이 서로 수직일 경우 두 원이 서로 직교한다고 한다.:33, §48 두 원의 반지름이 r , r ′ {\displaystyle r,r'} 이고, 두 중심 사이의 거리가 d {\displaystyle d} 라고 할 때, 두 원이 서로 직교할 필요충분조건은 r 2 + r ′ 2 = d 2 {\displaystyle r^{2}+{r'}^{2}=d^{2}} 이다.:34, §48 주어진 원에 직교하고 중심이 원 외부의 주어진 점인 원은 유일하게 존재한다.:34, §48 주어진 원에 직교하고 원의 지름이 아닌 현의 두 끝점을 지나는 원은 유일하게 존재한다.:34, §48 공선점이 아닌 세 점 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 를 지나는 원은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 작도할 수 있다. 선분 A B {\displaystyle AB} 의 수직 이등분선을 그린다. 선분 B C {\displaystyle BC} 의 수직 이등분선을 그린다. 선분 A B {\displaystyle AB} 와 B C {\displaystyle BC} 의 교점 O {\displaystyle O} 를 취한다. 점 O {\displaystyle O} 를 중심으로 하고 선분 O A {\displaystyle OA} 를 반지름으로 하는 원을 그린다. 이 경우 원은 점 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 를 지난다. 주어진 원의 중심은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 작도할 수 있다. 원 위의 두 점 A , B {\displaystyle A,B} 을 취한다. 선분 A B {\displaystyle AB} 의 점 B {\displaystyle B} 에서의 수선 B P {\displaystyle BP} 를 그린다. 직선 B P {\displaystyle BP} 와 원의 교점 C {\displaystyle C} 를 취한다. 이 경우 선분 A C {\displaystyle AC} 는 원의 지름이다. 또 다른 지름 A ′ C ′ {\displaystyle A'C'} 을 작도한다. 선분 A C {\displaystyle AC} 와 A ′ C ′ {\displaystyle A'C'} 의 교점 O {\displaystyle O} 를 취한다. 이 경우 점 O {\displaystyle O} 는 원의 중심이다. 원적 문제는 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 컴퍼스와 자로 작도하는 문제를 일컫는다. 이는 원주율 π {\displaystyle \pi } 가 초월수이므로 불가능하다. 모든 삼각형은 유일한 내접원 및 외접원과 정확히 3개의 방접원을 갖는다. 그러나, 일반적으로 다각형은 내접원이나 외접원을 가질 필요가 없다. 어떤 다각형이 모든 변에 접하는 원을 가질 경우, 이 다각형을 외접 다각형이라고 한다. 어떤 다각형이 모든 꼭짓점을 지나는 원을 가질 경우, 이 다각형을 내접 다각형이라고 한다. 동시에 외접 다각형이며 내접 다각형인 다각형을 이중중심 다각형이라고 한다. 예를 들어, 모든 삼각형과 모든 정다각형은 이중중심 다각형이다. 주어진 원의 내접 n {\displaystyle n} 각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 정 n {\displaystyle n} 각형이다.:35, §1G 에드윈 A. 애보트의 공상 수학 소설 《플랫랜드》에서는 원이 성직자로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다. 일각형 구 원기둥 부채꼴 컴퍼스 원주율 하위헌스 원리 Gibson, C. G. (2003). 《Elementary Euclidean geometry》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83448-3.  Martin, George E. (1975). 《The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5725-7. ISBN 978-1-4612-5727-1.  Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.  Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.  위키미디어 공용에 원 관련 미디어 분류가 있습니다.