소수 (기수법)

수학의 기수법에서 소수(小數, 영어: decimal)는 각각의 자리에 놓인 숫자와 소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다. 음이 아닌 실수 r {\displaystyle r} 의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다. r = r 0 . r 1 r 2 r 3 ⋯ {\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots } 여기서 각 i = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle i=0,1,2,\dots } 에 대하여, r i {\displaystyle r_{i}} 는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 n {\displaystyle n} 번째 자릿수 r n {\displaystyle r_{n}} 부터 0 = r n = r n + 1 = r n + 2 = ⋯ {\displaystyle 0=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots } 가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다. r = r 0 . r 1 r 2 r 3 ⋯ r n − 1 {\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots r_{n-1}} 엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다. r = ∑ n = 0 ∞ 10 − n r n = lim n → ∞ r 0 . r 1 r 2 ⋯ r n {\displaystyle r=\sum _{n=0}^{\infty }10^{-n}r_{n}=\lim _{n\to \infty }r_{0}.r_{1}r_{2}\cdots r_{n}} 또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다. 9 = r n = r n + 1 = r n + 2 = ⋯ {\displaystyle 9=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots } 인 n {\displaystyle n} 이 존재하지 않는다. 즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999… = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다. 유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다. 1 2 = 0.5 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=0.5} 1 3 = 0.333333 ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.333333\cdots } 무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다.. 그 예는 다음과 같다. 2 = 1.41421356 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots } π = 3.14159265358979323846 ⋯ {\displaystyle \pi =3.14159265358979323846\cdots } 소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다. 소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수(有限小數, 영어: finite decimal)라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수이다. 십진법과 이십진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 2 m 5 n {\displaystyle 2^{m}5^{n}} ( m , n {\displaystyle m,n} 은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 2 m 5 n {\displaystyle 2^{m}5^{n}} ( m , n {\displaystyle m,n} 은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다. 마찬가지로, 육진법과 십이진법과 십팔진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 2 m 3 n {\displaystyle 2^{m}3^{n}} ( m , n {\displaystyle m,n} 은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 2 m 3 n {\displaystyle 2^{m}3^{n}} ( m , n {\displaystyle m,n} 은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다. 유한 소수의 예는 다음과 같다. 가분수도 게재한다. 십진법 1 / 2 = 0.5 {\displaystyle 1/2=0.5} 3 / 4 = 0.75 {\displaystyle 3/4=0.75} 1 / 5 = 0.2 {\displaystyle 1/5=0.2} 8 / 5 = 1.6 {\displaystyle 8/5=1.6} 3 / 8 = 0.375 {\displaystyle 3/8=0.375} 1 / 16 = 0.0625 {\displaystyle 1/16=0.0625} 27 / 16 = 1.6875 {\displaystyle 27/16=1.6875} 7 / 20 = 0.35 {\displaystyle 7/20=0.35} 8 / 25 = 0.32 {\displaystyle 8/25=0.32} 1 / 50 = 0.02 {\displaystyle 1/50=0.02} 11 / 64 = 0.171875 {\displaystyle 11/64=0.171875} 1 / 80 = 0.0125 {\displaystyle 1/80=0.0125} 8 / 125 = 0.064 {\displaystyle 8/125=0.064} 13 / 160 = 0.08125 {\displaystyle 13/160=0.08125} 육진법 1 / 2 = 0.3 {\displaystyle 1/2=0.3} 1 / 3 = 0.2 {\displaystyle 1/3=0.2} 3 / 4 = 0.43 {\displaystyle 3/4=0.43} 3 / 12 = 0.213 {\displaystyle 3/12=0.213} 5 / 13 = 0.32 {\displaystyle 5/13=0.32} 41 / 13 = 2.44 {\displaystyle 41/13=2.44} 11 / 20 = 0.33 {\displaystyle 11/20=0.33} 1 / 24 = 0.0213 {\displaystyle 1/24=0.0213} 43 / 24 = 1.4043 {\displaystyle 43/24=1.4043} 1 / 30 = 0.02 {\displaystyle 1/30=0.02} 12 / 43 = 0.144 {\displaystyle 12/43=0.144} 1 / 120 = 0.0043 {\displaystyle 1/120=0.0043} 15 / 144 = 0.101043 {\displaystyle 15/144=0.101043} 1 / 213 = 0.0024 {\displaystyle 1/213=0.0024} 21 / 240 = 0.04513 {\displaystyle 21/240=0.04513} 보다 기본적으로, b {\displaystyle b} 가 2이상의 자연수일 때, b {\displaystyle b} 진법으로 소수를 나타내었을 때, 어떤 기약 분수가 유한 소수가 되기 위한 필요충분조건은 해당 분수를 기약 분수로 바꾸고 난 후 분모른 소인수분해할 때, 분모의 모든 소인수가 b {\displaystyle b} 의 소인수로 이루어져 있어야 되는 것이다. 즉, 기약분수의 분모에서 그 외의 다른 소인수가 하나 이상 들어가 있으며 b {\displaystyle b} 진법 소수 표현이 순환소수가 된다는 얘기다. 소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수(循環小數, 영어: repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다. 십진법 1 / 3 = 0. 3 ˙ = 0.333 ⋯ {\displaystyle 1/3=0.{\dot {3}}=0.333\cdots } 1 / 6 = 0.1 6 ˙ = 0.1666 ⋯ {\displaystyle 1/6=0.1{\dot {6}}=0.1666\cdots } 1 / 7 = 0. 1 ˙ 4285 7 ˙ = 0.142857142857142857 ⋯ {\displaystyle 1/7=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}=0.142857142857142857\cdots } 5 / 9 = 0. 5 ˙ = 0.555 ⋯ {\displaystyle 5/9=0.{\dot {5}}=0.555\cdots } 25 / 9 = 2. 7 ˙ = 2.777 ⋯ {\displaystyle 25/9=2.{\dot {7}}=2.777\cdots } 3 / 11 = 0. 2 ˙ 7 ˙ = 0.272727 ⋯ {\displaystyle 3/11=0.{\dot {2}}{\dot {7}}=0.272727\cdots } 8 / 27 = 0. 2 ˙ 9 6 ˙ = 0.296296 ⋯ {\displaystyle 8/27=0.{\dot {2}}9{\dot {6}}=0.296296\cdots } 1 / 48 = 0.0208 3 ˙ = 0.0208333 ⋯ {\displaystyle 1/48=0.0208{\dot {3}}=0.0208333\cdots } 1 / 81 = 0. 0 ˙ 1234567 9 ˙ = 0.012345679012345679 ⋯ {\displaystyle 1/81=0.{\dot {0}}1234567{\dot {9}}=0.012345679012345679\cdots } 육진법 1 / 5 = 0. 1 ˙ = 0.111 ⋯ {\displaystyle 1/5=0.{\dot {1}}=0.111\cdots } 12 / 5 = 1. 3 ˙ = 1.333 ⋯ {\displaystyle 12/5=1.{\dot {3}}=1.333\cdots } 1 / 11 = 0. 0 ˙ 5 ˙ = 0.050505 ⋯ {\displaystyle 1/11=0.{\dot {0}}{\dot {5}}=0.050505\cdots } 3 / 14 = 0.1 4 ˙ = 0.1444 ⋯ {\displaystyle 3/14=0.1{\dot {4}}=0.1444\cdots } 1 / 15 = 0. 0 ˙ 31345242 1 ˙ = 0.03134524210313452421 ⋯ {\displaystyle 1/15=0.{\dot {0}}31345242{\dot {1}}=0.03134524210313452421\cdots } 12 / 41 = 0. 1 ˙ 530 4 ˙ = 0.1530415304 ⋯ {\displaystyle 12/41=0.{\dot {1}}530{\dot {4}}=0.1530415304\cdots } 1 / 212 = 0.0024 1 ˙ = 0.0024111 ⋯ {\displaystyle 1/212=0.0024{\dot {1}}=0.0024111\cdots } 순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수(非循環小數, 영어: non-repeating decimal)라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수가 2와 5) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3) 이든 기타 위치 기수법을 사용하여도 무한에 따른다. 십진 표기 2 = 1.41421356 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots } π = 3.14159265 ⋯ {\displaystyle \pi =3.14159265\cdots } e = 2.718281 ⋯ {\displaystyle e=2.718281\cdots } 육진 표기 2 = 1.225245314 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.225245314\cdots } π = 3.0503300514 ⋯ {\displaystyle \pi =3.0503300514\cdots } e = 2.41505204 ⋯ {\displaystyle e=2.41505204\cdots } 무리수 (무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다 실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다. 실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다. 십진법 급수 (수학) IEEE 754 시몬 스테빈