구면 모형

통계역학에서 구면 모형(球面模型, 영어: spherical model)은 강자성을 나타내는 간단한 격자 모형이다.:Chapter 5 이징 모형과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 상전이를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다. 구면 모형은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 함수 h : V ⁡ ( Γ ) → R {\displaystyle h\colon \operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )\to \mathbb {R} } , i ↦ h i {\displaystyle i\mapsto h_{i}} . 이는 외부 자기장을 뜻한다. 함수 β : E ( Γ ) → R {\displaystyle \beta \colon {\mathsf {E}}(\Gamma )\to \mathbb {R} } , i j ↦ β i j {\displaystyle ij\mapsto \beta _{ij}} . 이는 온도의 역수를 뜻한다. 이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다. σ : V ⁡ ( Γ ) → R {\displaystyle \sigma \colon \operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )\to \mathbb {R} } ∑ i ∈ V ⁡ ( Γ ) σ i 2 = | V ⁡ ( Γ ) | {\displaystyle \sum _{i\in \operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}\sigma _{i}^{2}=|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|} 즉, 짜임새 공간은 유클리드 공간 R V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}} 속의, 반지름 | V ⁡ ( Γ ) | {\displaystyle {\sqrt {|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|}}} 의 초구이다. 구형 모형의 분배 함수는 다음과 같다. Z Γ ( β , h ) = ∫ R V ( Γ ) d | V ( Γ ) | σ exp ⁡ ( ∑ i j ∈ E ( Γ ) β i j σ i σ j + ∑ i ∈ V ( Γ ) h i σ i ) {\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h)=\int _{\mathbb {R} ^{{\mathsf {V}}(\Gamma )}}\mathrm {d} ^{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}\sigma \,\exp \left(\sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\beta _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}+\sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}h_{i}\sigma _{i}\right)} 이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, 실수 힐베르트 공간 H = R V ( Γ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbb {R} ^{{\mathsf {V}}(\Gamma )}} 위의 연산자 M : H → H {\displaystyle M\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} ⟨ i | M | j ⟩ = − β i j ⟨ i | A Γ | j ⟩ {\displaystyle \langle i|M|j\rangle =-\beta _{ij}\langle i|{\mathsf {A}}_{\Gamma }|j\rangle } 를 정의하자. 여기서 A Γ {\displaystyle {\mathsf {A}}_{\Gamma }} 는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 인접 행렬이다. ⟨ i | A Γ | j ⟩ = { 1 i j ∈ E ⁡ ( Γ ) 0 i j ∉ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \langle i|{\mathsf {A}}_{\Gamma }|j\rangle ={\begin{cases}1&ij\in \operatorname {E} (\Gamma )\\0&ij\not \in \operatorname {E} (\Gamma )\end{cases}}} 즉, 만약 β {\displaystyle \beta } 가 상수 함수라면 M = − β A Γ {\displaystyle M=-\beta {\mathsf {A}}_{\Gamma }} 이다. 그렇다면, 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다. Z Γ ( β , h ) = 1 2 π ∫ R V ⁡ ( Γ ) D σ ∫ z + i R d z exp ⁡ ( − ⟨ σ | ( M + z ) | σ ⟩ + ⟨ h | σ ⟩ + z | V ⁡ ( Γ ) | ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\Gamma }(\beta ,h)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}}\mathrm {D} \sigma \int _{z+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;\exp \left(-\langle \sigma |(M+z)|\sigma \rangle +\langle h|\sigma \rangle +z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|\right)\\\end{aligned}}} 여기서 디랙 델타를 δ ( ⟨ σ | σ ⟩ − | V ⁡ ( Γ ) | ) = ∫ a + i R d z exp ⁡ ( − z ⟨ σ | σ ⟩ + z | V ⁡ ( Γ ) | ) ( a ≫ 1 ) {\displaystyle \delta (\langle \sigma |\sigma \rangle -|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|)=\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;\exp(-z\langle \sigma |\sigma \rangle +z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|)\qquad (a\gg 1)} 로 표현하였다. 여기서, a {\displaystyle a} 는 M + z {\displaystyle M+z} 의 모든 고윳값의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다. 즉, 이 경우 Z Γ ( β , h ) = 1 2 π ∫ a + i R d z Z Γ ( β , h , z ) exp ⁡ ( z | V ⁡ ( Γ ) | + 1 4 ⟨ h | ( z + M ) − 1 | h ⟩ ) ( a ≫ 1 ) {\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h)={\frac {1}{2\pi }}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;Z_{\Gamma }(\beta ,h,z)\exp \left(z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|+{\frac {1}{4}}\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle \right)\qquad (a\gg 1)} Z Γ ( β , h , z ) = ∫ R V ⁡ ( Γ ) D σ exp ⁡ ( − ⟨ σ | ( z + M ) | σ ⟩ ) = π | V ⁡ ( Γ ) | / 2 det ( z + M ) {\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h,z)=\int _{\mathbb {R} ^{\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}}\mathrm {D} \sigma \;\exp \left(-\langle \sigma |(z+M)|\sigma \rangle \right)={\frac {\pi ^{|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|/2}}{\sqrt {\det(z+M)}}}} 이 된다. 즉, Z Γ ( β , h ) = 1 2 π | V ⁡ ( Γ ) | / 2 − 1 ∫ a + i R d z exp ⁡ ( z | V ⁡ ( Γ ) | + 1 4 ⟨ h | ( z + M ) − 1 | h ⟩ ) det ( z + M ) − 1 / 2 ( a ≫ 1 ) = 1 2 π | V ⁡ ( Γ ) | / 2 − 1 ∫ a + i R d z ∏ λ ∈ Spec ⁡ M exp ⁡ ( z + ⟨ v λ | h ⟩ 2 / ( z + λ ) − 1 ) z + λ {\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\Gamma }(\beta ,h)&={\frac {1}{2}}\pi ^{|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|/2-1}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\,\exp \left(z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|+{\frac {1}{4}}\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle \right)\det(z+M)^{-1/2}\qquad (a\gg 1)\\&={\frac {1}{2}}\pi ^{|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|/2-1}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\,\prod _{\lambda \in \operatorname {Spec} M}{\frac {\exp(z+\langle v_{\lambda }|h\rangle ^{2}/(z+\lambda )^{-1})}{\sqrt {z+\lambda }}}\end{aligned}}} 이다. 여기서 v λ {\displaystyle v_{\lambda }} 는 M {\displaystyle M} 의 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저이다. 그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 최급강하법을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자. Z = 1 2 π | V ( Γ ) | / 2 − 1 ∫ a + i R d z exp ⁡ ( | V ( Γ ) | S Γ ( z ) ) {\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\pi ^{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|/2-1}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;\exp \left(|{\mathsf {V}}(\Gamma )|S_{\Gamma }(z)\right)} S ( z ) = z + 1 | V ( Γ ) | 1 4 ⟨ h | ( z + β A Γ ) − 1 | h ⟩ − 1 2 ln ⁡ det ( z + M ) | V ( Γ ) | {\displaystyle S(z)=z+{\frac {1}{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}{\frac {1}{4}}\langle h|(z+\beta {\mathsf {A}}_{\Gamma })^{-1}|h\rangle -{\frac {1}{2}}{\ln \det(z+M)}{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}} 이다. 여기서 ln ⁡ det ( z + M ) ∝ | V ( Γ ) | {\displaystyle \ln \det(z+M)\propto |{\mathsf {V}}(\Gamma )|} ⟨ h | ( z + M ) | h ⟩ ∝ | V ( Γ ) | {\displaystyle \langle h|(z+M)|h\rangle \propto |{\mathsf {V}}(\Gamma )|} 라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 Γ = ( C L ) ◻ d {\displaystyle \Gamma =({\mathsf {C}}_{L})^{\square d}} 가 원환면 그래프( d {\displaystyle d} 개의 순환 그래프들의 그래프 데카르트 곱)이며, 자기장 h {\displaystyle h} 또한 상수 함수라면, 위 조건이 성립한다.) 그렇다면, | V ( Γ ) | → ∞ {\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|\to \infty } 인 극한에서, 1 | V ( Γ ) | ln ⁡ Z Γ ( β , h ) ≈ max z ∈ a + i R S ( z ; β , h ) + 1 2 ln ⁡ π + o ( 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}\ln Z_{\Gamma }(\beta ,h)\approx \max _{z\in a+\mathrm {i} \mathbb {R} }S(z;\beta ,h)+{\frac {1}{2}}\ln \pi +o(1)} 가 된다. Γ = ( C L ) ◻ d {\displaystyle \Gamma =({\mathsf {C}}_{L})^{\square d}} 가 크기 L {\displaystyle L} 의 순환 그래프 C L {\displaystyle {\mathsf {C}}_{L}} 의 d {\displaystyle d} 겹 그래프 데카르트 곱이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 d {\displaystyle d} 차원 L × ⋯ × L {\displaystyle L\times \dotsb \times L} 초입방체에 해당한다. 이 경우, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 스펙트럼은 다음과 같은 중복집합이다. Spec ⁡ Γ = { 2 ∑ i = 1 d cos ⁡ 2 π k i L : k i ∈ { 0 , 1 , … , L − 1 } } {\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma =\left\{2\sum _{i=1}^{d}\cos {\frac {2\pi k_{i}}{L}}\colon k_{i}\in \{0,1,\dotsc ,L-1\}\right\}} 따라서 β {\displaystyle \beta } 가 상수 함수일 때, L → ∞ {\displaystyle L\to \infty } 극한에서, ln ⁡ det ( z + M ) {\displaystyle \ln \det(z+M)} 은 따라서 [ 0 , 2 π ] d {\displaystyle [0,2\pi ]^{d}} 위의 적분으로 근사될 수 있다. 이러한 그래프에서, 상수 함수 자기장 h {\displaystyle h} 는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 인접 행렬의 고유 벡터이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다. 이 경우, 상태 방정식은 다음과 같다.:5.3.3 2 ( 1 − m 2 ) = β g ′ ( h / 2 m + d ) {\displaystyle 2(1-m^{2})=\beta g'(h/2m+d)} 여기서 T = 1 / β {\displaystyle T=1/\beta } 는 온도이다. m = ⟨ σ ⟩ {\displaystyle m=\langle \sigma \rangle } 은 σ {\displaystyle \sigma } 의 평균값이다. g ( z ) {\displaystyle g(z)} 는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 ln ⁡ det ( z + A Γ ) {\displaystyle \ln \det(z+{\mathsf {A}}_{\Gamma })} 의 적분 근사에서 유래한다. g ( z ) = ( 2 π ) − d ∫ [ 0 , 2 π ] d d d t ln ⁡ ( z − ∑ i = 1 d cos ⁡ t i ) {\displaystyle g(z)=(2\pi )^{-d}\int _{[0,2\pi ]^{d}}\mathrm {d} ^{d}t\;\ln \left(z-\sum _{i=1}^{d}\cos t_{i}\right)} 이 경우 g ′ ( z ) = ∫ 0 ∞ d t exp ⁡ ( − t z ) J 0 ( i t ) d {\displaystyle g'(z)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\exp(-tz){\mathsf {J}}_{0}(\mathrm {i} t)^{d}} :(5.4.4) 가 된다. 여기서 J 0 ( − ) {\displaystyle {\mathsf {J}}_{0}(-)} 는 0차 베셀 함수이다. 이 경우 g ′ ( d ) { = ∞ ( 0 < d ≤ 2 ) < ∞ ( 2 < d ) {\displaystyle g'(d){\begin{cases}=\infty &(0<d\leq 2)\\<\infty &(2<d)\end{cases}}} g ″ ( d ) { = ∞ ( 0 < d ≤ 4 ) < ∞ ( 4 < d ) {\displaystyle g''(d){\begin{cases}=\infty &(0<d\leq 4)\\<\infty &(4<d)\end{cases}}} 이다. 따라서, d ≤ 2 {\displaystyle d\leq 2} 일 때 구면 모형은 상전이를 갖지 않는다.:68, §5.5 즉, 퀴리 온도가 0이다. d > 2 {\displaystyle d>2} 일 때 구면 모형은 1차 상전이를 갖는다. 즉, 퀴리 온도가 (유한한) 양수이며, 그 역수는 β 0 = 1 2 g ′ ( d ) {\displaystyle \beta _{0}={\frac {1}{2}}g'(d)} 이다.:67, (5.5.1) d > 2 {\displaystyle d>2} 일 때, 임계 지수들은 다음과 같다. α = { − 4 − d d − 2 ( 2 < d < 4 ) 0 ( 4 < d ) {\displaystyle \alpha ={\begin{cases}-{\frac {4-d}{d-2}}&(2<d<4)\\0&(4<d)\end{cases}}} :(5.6.7) β = 1 2 {\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}} :(5.6.8) γ = { 2 d − 2 ( 2 < d < 4 ) 1 ( 4 < d ) {\displaystyle \gamma ={\begin{cases}{\frac {2}{d-2}}&(2<d<4)\\1&(4<d)\end{cases}}} :(5.6.11) 즉, 이 경우 임계 지수들이 d {\displaystyle d} 에 의존하게 된다. 물리학적으로, 이는 이징 모형의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 | V ⁡ ( Γ ) | {\displaystyle |\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|} 차원 유클리드 공간 속의 초입방체의 2 N {\displaystyle 2N} 개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다. 1952년에 시어도어 벌린(영어: Theodore H. Berlin, 1917-1963)과 마레크 카츠(폴란드어: Marek Kac, 1914-1984)가 도입하였다. Baxter, Rodney J. (1982). 《Exactly solved models in statistical mechanics》 (영어). Academic Press. ISBN 0-12-083180-5.  Berlin, Theodore H.; Kac, Mark (1952년 6월 15일). “The Spherical Model of a Ferromagnet”. 《Physical Review》 (영어) 86: 821. doi:10.1103/PhysRev.86.821.  Cassi, Davide; Fabbian, Linda (1999). “The spherical model on graphs” (PDF). 《Journal of Physics A》 (영어) 32: L93–L98. doi:10.1088/0305-4470/32/8/001.