CAT(κ) 공간

기하학에서 CAT(κ) 공간(-空間, 영어: CAT(κ) space)은 단면 곡률이 어디서나 κ {\displaystyle \kappa } 이하인 거리 공간이다. 임의의 실수 κ ∈ R {\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} } 에 대하여, Σ κ {\displaystyle \Sigma _{\kappa }} 가 단면 곡률이 κ {\displaystyle \kappa } 인 2차원 연결 단일 연결 공간 형식이라고 하자. 즉, κ > 0 {\displaystyle \kappa >0} 일 경우 이는 구, κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} 일 경우는 유클리드 평면, κ < 0 {\displaystyle \kappa <0} 일 경우는 쌍곡 평면이다. 이 공간 형식의 지름은 다음과 같다. diam ⁡ Σ κ = { π / κ κ > 0 ∞ κ ≤ 0 {\displaystyle \operatorname {diam} \Sigma _{\kappa }={\begin{cases}\pi /{\sqrt {\kappa }}&\kappa >0\\\infty &\kappa \leq 0\end{cases}}} 측지선 거리 공간(영어: geodesic metric space) ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 은 다음 조건을 만족시키는 길이 거리 공간이다. 임의의 두 점 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, 두 점을 잇는 측지선 γ {\displaystyle \gamma } 가 존재한다. γ : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X} γ ( 0 ) = x {\displaystyle \gamma (0)=x} γ ( 1 ) = y {\displaystyle \gamma (1)=y} d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) = | t − s | ( s , t ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle d(\gamma (s),\gamma (t))=|t-s|\qquad (s,t\in [0,1])} 두 점 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 를 잇는 측지선을 γ x y : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle \gamma _{xy}\colon [0,1]\to X} 로 표기하자. 측지선 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 속의 세 점 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 x ′ , y ′ , z ′ ∈ Σ κ {\displaystyle x',y',z'\in \Sigma _{\kappa }} 가 존재한다면, 삼각형 △ x y z {\displaystyle \triangle xyz} 가 CAT ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )} 부등식을 만족시킨다고 한다. d ( x , y ) = d ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle d(x,y)=d(x',y')} , d ( y , z ) = d ( y ′ , z ′ ) {\displaystyle d(y,z)=d(y',z')} , d ( z , x ) = d ( z ′ , x ′ ) {\displaystyle d(z,x)=d(z',x')} △ x y z {\displaystyle \triangle xyz} 위의 두 점 사이의 거리는 △ x ′ y ′ z ′ {\displaystyle \triangle x'y'z'} 위의 대응하는 하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 s , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s,t\in [0,1]} 에 대하여, d ( γ x y ( s ) , γ y z ( t ) ) ≤ d ( γ x ′ y ′ ( s ) , γ y ′ z ′ ( t ) ) {\displaystyle d(\gamma _{xy}(s),\gamma _{yz}(t))\leq d(\gamma _{x'y'}(s),\gamma _{y'z'}(t))} 임의의 s , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s,t\in [0,1]} 에 대하여, d ( γ y z ( s ) , γ z x ( t ) ) ≤ d ( γ y ′ z ′ ( s ) , γ z ′ x ′ ( t ) ) {\displaystyle d(\gamma _{yz}(s),\gamma _{zx}(t))\leq d(\gamma _{y'z'}(s),\gamma _{z'x'}(t))} 임의의 s , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s,t\in [0,1]} 에 대하여, d ( γ z x ( s ) , γ x y ( t ) ) ≤ d ( γ z ′ x ′ ( s ) , γ x ′ y ′ ( t ) ) {\displaystyle d(\gamma _{zx}(s),\gamma _{xy}(t))\leq d(\gamma _{z'x'}(s),\gamma _{x'y'}(t))} 측지선 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 속의 임의의 세 점 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여 CAT ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )} 부등식이 성립한다면, ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 를 CAT ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )} 공간이라고 한다. 완비 CAT ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (0)} 공간을 아다마르 공간(영어: Hadamard space)이라고 한다. 임의의 CAT ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )} 공간은 CAT ⁡ ( λ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\lambda )} 공간이다 ( λ > κ {\displaystyle \lambda >\kappa } ). 만약 거리 공간 X {\displaystyle X} 가 모든 λ > κ {\displaystyle \lambda >\kappa } 에 대하여 CAT ⁡ ( λ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\lambda )} 공간이라면, X {\displaystyle X} 는 CAT ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )} 공간이다. 모든 (완비일 필요가 없는) 내적 공간은 CAT ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (0)} 공간이다. 임의의 노름 공간 V {\displaystyle V} 가 어떤 실수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 CAT ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )} 공간이라면, V {\displaystyle V} 는 내적 공간이다. n {\displaystyle n} 차원 쌍곡 공간은 CAT ⁡ ( − 1 ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (-1)} 공간이다. 반지름이 r {\displaystyle r} 인 n {\displaystyle n} 차원 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 은 CAT ⁡ ( 1 / r 2 ) {\displaystyle \operatorname {CAT} (1/r^{2})} 공간이다. (이 초구의 길이 거리 공간으로서의 지름은 π r {\displaystyle \pi r} 이다.) CAT(κ) 공간의 개념은 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 " R κ {\displaystyle {\mathfrak {R}}_{\kappa }} 영역"으로 명명하였다. 이후 미하일 그로모프가 1987년의 유명한 논문에서 "CAT(κ) 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 앙리 카르탕(Cartan) · 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프(Александров) · 빅토르 안드레예비치 토포고노프(Топоногов)의 머릿글자를 딴 것이다. Ballmann, Werner (1995). 《Lectures on spaces of nonpositive curvature》. Oberwolfach Seminars (영어) 25. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9240-7. ISBN 978-3-7643-5242-4. ISSN 1661-237X. MR 1377265.  Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). 《Metric spaces of non-positive curvature》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 319. Springer. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 978-3-540-64324-1. MR 1744486.  Calegari, Danny (2012년 10월 17일). “Upper curvature bounds and CAT(K)”. 《Geometry and the Imagination》 (영어).