르베그-스틸티어스 측도

측도론에서 르베그-스틸티어스 측도(Lebesgue-Stieltjes測度, 영어: Lebesgue–Stieltjes measure)는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 측도이다. 이를 사용한 적분을 르베그-스틸티어스 적분(Lebesgue-Stieltjes積分, 영어: Lebesgue–Stieltjes integral)이라고 한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 증가 함수 g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 그렇다면, 다음과 같은 외측도 μ g {\displaystyle \mu _{g}} 를 정의할 수 있다. μ g ( S ) = inf { ∑ ( c , d ] ∈ I ( g ( d + ) − g ( c + ) ) : I ∈ P ≤ ℵ 0 ( C ) , S ⊆ ⋃ I } ( S ∈ B ( [ a , b ] ) ) {\displaystyle \mu _{g}(S)=\inf \left\{\sum _{(c,d]\in {\mathcal {I}}}(g(d^{+})-g(c^{+}))\colon {\mathcal {I}}\in {\mathcal {P}}_{\leq \aleph _{0}}({\mathcal {C}}),\;S\subseteq \bigcup {\mathcal {I}}\right\}\qquad (S\in {\mathcal {B}}([a,b]))} 여기서 C = { ( c , d ] : c , d ∈ R , c < d } {\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{(c,d]\colon c,d\in \mathbb {R} ,\;c<d\right\}} 는 실수 반(半)열린구간들의 집합족이며, P ≤ ℵ 0 ( C ) = { I ⊆ C : | I | ≤ ℵ 0 } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\leq \aleph _{0}}({\mathcal {C}})=\left\{{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {C}}\colon |{\mathcal {I}}|\leq \aleph _{0}\right\}} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이며, g ( x + ) = lim ϵ → 0 + g ( x + ϵ ) {\displaystyle g(x^{+})=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}g(x+\epsilon )} 이다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 로 생성되는 시그마 대수 σ ( C ) = B ( R ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를 g {\displaystyle g} 의 르베그-스틸티어스 측도라고 한다.:26, Definition 1.3.7 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다. ∫ R f d μ g = ∫ R f d g {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} \mu _{g}=\int _{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} g} 우선, 임의의 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간 Span Z ⁡ ( X n ) = k 1 ( x 1 , 1 , x 2 , 1 , … , x n , 1 ) + k 2 ( x 1 , 2 , x 2 , 2 , … , x n , 2 ) + ⋯ + k p ( x 1 , 1 , x 2 , 1 , … , x n , p ) ( x i , j ∈ X , k j ∈ Z ) {\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})=k_{1}(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,1})+k_{2}(x_{1,2},x_{2,2},\dots ,x_{n,2})+\cdots +k_{p}(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,p})\qquad (x_{i,j}\in X,\;k_{j}\in \mathbb {Z} )} 을 생각하자. 임의의 함수 g : X n → R {\displaystyle g\colon X^{n}\to \mathbb {R} } 를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다. g ^ : Span Z ⁡ ( X n ) → R {\displaystyle {\hat {g}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \mathbb {R} } g ^ : ∑ i = 1 p k i x → i ↦ ∑ i = 1 p k i g ( x → i ) {\displaystyle {\hat {g}}\colon \sum _{i=1}^{p}k_{i}{\vec {x}}_{i}\mapsto \sum _{i=1}^{p}k_{i}g({\vec {x}}_{i})} 이 위에 다음과 같은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -선형 연산자를 정의하자. Δ i ; b i : Span Z ⁡ ( X n ) → Span Z ⁡ ( X n ) {\displaystyle \Delta _{i;b_{i}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})} Δ i ; b i : ( a 1 , a 2 , … , a n ) ↦ ( a 1 , a 2 , … , a i − 1 , b i , a i + 1 , … , a n ) − a → {\displaystyle \Delta _{i;b_{i}}\colon (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})\mapsto (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1},b_{i},a_{i+1},\dots ,a_{n})-{\vec {a}}} 이제, 임의의 b → ∈ X n {\displaystyle {\vec {b}}\in X^{n}} 에 대하여 다음과 같은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -선형 연산자를 정의하자. Δ b → : Span Z ⁡ ( X n ) → Span Z ⁡ ( X n ) {\displaystyle \Delta _{\vec {b}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})} Δ b → = Δ 1 ; b 1 ∘ Δ 2 ; b 2 ∘ ⋯ ∘ Δ n ; b n {\displaystyle \Delta _{\vec {b}}=\Delta _{1;b_{1}}\circ \Delta _{2;b_{2}}\circ \dotsb \circ \Delta _{n;b_{n}}} 함수 g : R n → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 가 임의의 a → , b → ∈ R n {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여 ( a i ≤ b i ∀ 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle a_{i}\leq b_{i}\qquad \forall 1\leq i\leq n} ) 다음 두 조건을 만족시킨다면, 분포 함수(영어: distribution function)라고 하자. g ( b → ) ≥ g ( a → ) {\displaystyle g({\vec {b}})\geq g({\vec {a}})} g ^ ( Δ b → ( a → ) ) ≥ 0 {\displaystyle {\hat {g}}\left(\Delta _{\vec {b}}({\vec {a}})\right)\geq 0} 이 경우, 위와 같은 a → , b → ∈ R n {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다. μ g ( ∏ i = 1 n ( a i , b i ] ) = lim ϵ → → 0 + g ^ ( Δ b → + ϵ → ( a → + ϵ → ) ) {\displaystyle \mu _{g}\left(\prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\right)=\lim _{{\vec {\epsilon }}\to 0^{+}}{\hat {g}}\left(\Delta _{{\vec {b}}+{\vec {\epsilon }}}({\vec {a}}+{\vec {\epsilon }})\right)} 이를 통해 마찬가지로 보렐 시그마 대수 B ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} 위에 르베그-스틸티어스 측도 μ g : B ( R n ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu _{g}\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]} 를 정의할 수 있다.:27–28, §1.3.3 항등 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } , x ↦ x {\displaystyle x\mapsto x} 의 르베그-스틸티어스 측도는 르베그 측도라고 한다. 함수 g : x ↦ { 0 x ≤ 0 x x > 0 {\displaystyle g\colon x\mapsto {\begin{cases}0&x\leq 0\\x&x>0\end{cases}}} 를 생각하자. 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다. μ g ( S ) = μ g ( S ∩ [ 0 , ∞ ) ) {\displaystyle \mu _{g}(S)=\mu _{g}(S\cap [0,\infty ))} 함수 g : x ↦ α x {\displaystyle g\colon x\mapsto \alpha x} 를 생각하자 ( α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} ). 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다. μ g ( S ) = α ν L ( S ) {\displaystyle \mu _{g}(S)=\alpha \nu _{\text{L}}(S)} 여기서 ν L {\displaystyle \nu _{\text{L}}} 는 르베그 측도이다. 정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다. 앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 땄다. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  “Lebesgue-Stieltjes integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue-Stieltjes measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Johnson, C. (2008년 10월 27일). “The Lebesgue-Stieltjes Measure”. 《Mathematics Prelims》 (영어).