구면좌표계

구면좌표계(球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} 로 나타낸다. 원점에서의 거리 r {\displaystyle r} 은 0부터 ∞ {\displaystyle \color {Blue}\infty } 까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 θ {\displaystyle \theta } 는 0부터 π {\displaystyle \pi } 까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 ϕ {\displaystyle \phi } 는 0부터 2 π {\displaystyle 2\pi } 까지의 값을 갖는다. θ {\displaystyle \theta } 는 위도로, ϕ {\displaystyle \phi } 는 경도로 표현되는 경우도 있기도 한다. 이 세 수치를 보고, 다음과 같은 방법으로 공간의 점을 찾을 수 있다.: 원점 ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)} 에서 r {\displaystyle r} 만큼 z축을 따라 간다. 그 지점에서 x z 평면 안에 있으면서 z축에서부터 θ {\displaystyle \theta } 만큼 회전한다. 이 xz 평면 전체를 z축을 축으로 ϕ {\displaystyle \phi } 만큼 반 시계방향(+x축에서 +y축 방향으로)으로 돌린다. 구면좌표계라는 이름은 이 좌표계에서 ' r = 1 {\displaystyle r=1} '이 단위구(單位球)를 표현하기 때문에 붙여졌다. 또한 이 좌표계가 구대칭을 기치로 하기 때문이기도 하다. 구면좌표계와 원통좌표계는 평면 극좌표계를 공간으로 확장한 것이며, 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 수소원자와 같이 구대칭이 있는 경우에 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 구면좌표계를 사용한다. 아래 변환식을 통해 직교좌표계와 변환할 수 있지만, 변환식에서 사용하는 역삼각함수는 일의적이지 않기 때문에, 공간상의 각 점마다 하나의 좌표만 대응하는 직교좌표계와는 달리, 구면좌표계는 한 점을 나타내는 표현이 여러 가지일 수 있다. 예를 들어, (1, 0°, 0°), (1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°)는 모두 같은 점을 나타낼 수 있다. 세 좌표의 표시를 위한 여러 가지 다른 약속이 존재한다. 국제 표준 기구의 지침(ISO 31-11)에 따라 물리학에서는 (r, θ, φ)의 문자를 사용하여 원점에서의 거리, 천정과 이루는 각도(천정거리), 방위각 등을 표시하고, (미국의) 수학에서는 고도와 방위각이 바뀌어 'φ'와 'θ'로 표시된다. 좌표 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} 는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자. r {\displaystyle \color {Blue}r}  : 원점으로부터 P까지의 거리. θ {\displaystyle \color {Blue}\theta }  : z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각 ϕ {\displaystyle \color {Blue}\phi }  : x축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선을 xy평면에 투영시킨 직선까지의 각. 구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다. r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} 0 ≤ θ ≤ π {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi } 0 ≤ ϕ < 2 π {\displaystyle 0\leq \phi <2\pi } 다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다. 직교좌표계에서 구면좌표계로 변환시: r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos ⁡ z r ϕ = arctan ⁡ y x {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{r}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}} 구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시: x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ z = r cos ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}} δ = 90 ∘ − θ {\displaystyle {\delta }=90^{\circ }-\theta } , or θ = 90 ∘ − δ {\displaystyle {\theta }=90^{\circ }-\delta } , 원통좌표계에서 구면좌표계로 변환시: r = ρ 2 + z 2 {\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}} θ = arctan ⁡ ρ z {\displaystyle {\theta }=\operatorname {arctan} {\frac {\rho }{z}}} φ = φ {\displaystyle {\varphi }=\varphi \quad } 구면좌표계에서 원통좌표계로 변환시: ρ = r sin ⁡ θ {\displaystyle \rho =r\sin \theta \,} φ = φ {\displaystyle \varphi =\varphi \,} z = r cos ⁡ θ {\displaystyle z=r\cos \theta \,} 각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다. r ^ = d r d r | d r d r | = [ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{dr}}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{dr}}\right|}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi \\\cos \theta \end{bmatrix}}} θ ^ = d r d θ | d r d θ | = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ − sin ⁡ θ ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {\theta } }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}\right|}}={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \phi \\\cos \theta \sin \phi \\-\sin \theta \end{bmatrix}}} ϕ ^ = d r d ϕ | d r d ϕ | = [ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {\phi } }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{d\phi }}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{d\phi }}\right|}}={\begin{bmatrix}-\sin \phi \\\cos \phi \\0\end{bmatrix}}} ∂ r ^ ∂ r = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {r}}}{\partial r}}=0} ∂ θ ^ ∂ r = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\theta }}}{\partial r}}=0} ∂ ϕ ^ ∂ r = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\phi }}}{\partial r}}=0} ∂ r ^ ∂ θ = θ ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {r}}}{\partial \theta }}={\hat {\theta }}} ∂ θ ^ ∂ θ = − r ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\theta }}}{\partial \theta }}=-{\hat {r}}} ∂ ϕ ^ ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\phi }}}{\partial \theta }}=0} ∂ r ^ ∂ ϕ = sin ⁡ θ ϕ ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {r}}}{\partial \phi }}=\sin \theta {\hat {\phi }}} ∂ θ ^ ∂ ϕ = cos ⁡ θ ϕ ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\theta }}}{\partial \phi }}=\cos \theta {\hat {\phi }}} ∂ ϕ ^ ∂ ϕ = − cos ⁡ θ θ ^ − sin ⁡ θ r ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\phi }}}{\partial \phi }}=-\cos \theta {\hat {\theta }}-\sin \theta {\hat {r}}} 면적 요소 d a = r 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ {\displaystyle {d\mathbf {a} }=r^{2}\sin \theta d\theta d\phi } 부피 요소 d V = r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ {\displaystyle \,{dV}=r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi } 기울기 ∇ = r ^ ∂ ∂ r + θ ^ 1 r ∂ ∂ θ + ϕ ^ 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ ϕ {\displaystyle \nabla ={\hat {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\hat {\theta }}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\hat {\phi }}{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}} 발산 ∇ ⋅ F = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 F r + 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ F θ + 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ ϕ F ϕ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}F_{r}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta F_{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}F_{\phi }} 회전 ∇ × F = 1 r 2 sin ⁡ θ | r ^ r θ ^ r sin ⁡ θ ϕ ^ ∂ ∂ r ∂ ∂ θ ∂ ∂ ϕ F r r F θ r sin ⁡ θ F ϕ | {\displaystyle \nabla \times F={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\begin{vmatrix}{\hat {r}}&r{\hat {\theta }}&r\sin \theta {\hat {\phi }}\\\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\\F_{r}&rF_{\theta }&r\sin \theta F_{\phi }\end{vmatrix}}} 라플라시안 ∇ 2 = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}} 이러한 표시는 φ가 2차원 극좌표, 3차원 원통좌표의 방위각과 호환된다는 장점이 있다. 직교 좌표계 원통 좌표계 적도 좌표계 초구면 좌표계 극좌표계 구면 조화 함수