변형 수축

호모토피 이론에서 변형 수축(變形收縮, 영어: deformation retract)은 호모토피 유형을 보존시키면서 어떤 위상 공간을 그 부분 공간으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 호모토피 동치이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 공간 i : A ↪ X {\displaystyle i\colon A\hookrightarrow X} 에 대하여, 만약 연속 함수 r : X → A {\displaystyle r\colon X\to A} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, r {\displaystyle r} 를 X {\displaystyle X} 에서 A {\displaystyle A} 로의 약한 변형 수축이라고 한다. r ∘ i = id A {\displaystyle r\circ i=\operatorname {id} _{A}} i ∘ r ≃ id X {\displaystyle i\circ r\simeq \operatorname {id} _{X}} 즉, 그림으로는 다음과 같다. A ↪ i X id ↓ = ↓ id A ← r X A ↪ i X id ↑ ≃ ↑ id A ← r X {\displaystyle {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq &\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}} 즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 h : X × [ 0 , 1 ] → A {\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to A} 가 존재하여야 한다. h ( x , 0 ) = x ∀ x ∈ X {\displaystyle h(x,0)=x\qquad \forall x\in X} h ( x , 1 ) ∈ A ∀ x ∈ X {\displaystyle h(x,1)\in A\qquad \forall x\in X} h ( x , 1 ) = r ( x ) ∀ x ∈ X {\displaystyle h(x,1)=r(x)\qquad \forall x\in X} r ( a ) = a ∀ a ∈ A {\displaystyle r(a)=a\qquad \forall a\in A} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 공간 i : A ↪ X {\displaystyle i\colon A\hookrightarrow X} 에 대하여, 만약 연속 함수 r : X → A {\displaystyle r\colon X\to A} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, r {\displaystyle r} 를 X {\displaystyle X} 에서 A {\displaystyle A} 로의 강한 변형 수축(영어: strong deformation retract)이라고 한다.:2:361 r ∘ i = id A {\displaystyle r\circ i=\operatorname {id} _{A}} i ∘ r ≃ id X ( rel ⁡ A ) {\displaystyle i\circ r\simeq \operatorname {id} _{X}\quad (\operatorname {rel} A)} 즉, 그림으로는 다음과 같다. A ↪ i X id ↓ = ↓ id A ← r X A ↪ i X id ↑ ≃ rel ⁡ A ↑ id A ← r X {\displaystyle {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq \operatorname {rel} A&\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}} 즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 h : X × [ 0 , 1 ] → A {\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to A} 가 존재하여야 한다. h ( x , 0 ) = x ∀ x ∈ X {\displaystyle h(x,0)=x\qquad \forall x\in X} h ( x , 1 ) ∈ A ∀ x ∈ X {\displaystyle h(x,1)\in A\qquad \forall x\in X} h ( x , 1 ) = r ( x ) ∀ x ∈ X {\displaystyle h(x,1)=r(x)\qquad \forall x\in X} h ( a , t ) = a ∀ a ∈ A , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle h(a,t)=a\qquad \forall a\in A,\;t\in [0,1]} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 약한 변형 수축 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 가 주어졌을 때, A {\displaystyle A} 는 X {\displaystyle X} 와 (강하게) 호모토피 동치이다. 일반적으로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 Y {\displaystyle Y} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:16, Corollary 0.21 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 (강하게) 호모토피 동치이다. 어떤 위상 공간 Z {\displaystyle Z} 및 포함 사상 X ↪ Z {\displaystyle X\hookrightarrow Z} 및 Y ↪ Z {\displaystyle Y\hookrightarrow Z} 에 의하여, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 는 둘 다 Z {\displaystyle Z} 의 약한 변형 수축이다. 어떤 위상 공간 Z {\displaystyle Z} 및 포함 사상 X ↪ Z {\displaystyle X\hookrightarrow Z} 및 Y ↪ Z {\displaystyle Y\hookrightarrow Z} 에 의하여, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 는 둘 다 Z {\displaystyle Z} 의 강한 변형 수축이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 축약 가능 공간이다. { x } {\displaystyle \{x\}} 가 X {\displaystyle X} 의 약한 변형 수축을 이루는 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다. 그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.:18, Exercise 0.6b, 0.7 원점을 제거한 유클리드 공간 R n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} 의 부분 공간인 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 초구 S n − 1 = { x ∈ R n ∖ { 0 } : ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\colon \|\mathbf {x} \|=1\}} 는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다. h : ( R n ∖ { 0 } ) × [ 0 , 1 ] → R n ∖ { 0 } {\displaystyle h\colon \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\right)\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} h : ( x , t ) ↦ ‖ x ‖ − t x {\displaystyle h\colon (\mathbf {x} ,t)\mapsto \|\mathbf {x} \|^{-t}\mathbf {x} } 카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다. Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  Borsuk, Karol (1931). “Sur les rétractes”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 17 (1): 152–170. ISSN 0016-2736. JFM 57.0729.04. Zbl 0003.02701.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Deformation retract”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Strong deformation retract”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Deformation retract”. 《nLab》 (영어).  수축 (범주론) 호모토피 동치