Hom 함자

수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는 hom {\displaystyle {\textbf {hom}}} 함자라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다. C {\displaystyle C} 를 국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다. C {\displaystyle C} 의 모든 대상 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다. 함자 Hom ( − , B ) {\displaystyle {\text{Hom}}(-,B)} 은 대상 B {\displaystyle B} 의 점 함자라고도 한다. Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다. 한 쌍의 함자 Hom ( A , − ) , Hom ( − , B ) {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-),{\text{Hom}}(-,B)} 는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 f : B ′ → B {\displaystyle f:B'\rightarrow B} 와 h : A ′ → A {\displaystyle h:A'\rightarrow A} 에 대해 도식 은 가환이다. 두 경로 모두 g : A → B {\displaystyle g:A\rightarrow B} 를 f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′ {\displaystyle f\circ g\circ h:A'\rightarrow B'} 로 보낸다. 위 도식의 가환성은 Hom ( − , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)} 이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 C × C {\displaystyle C\times C} 에서 Set {\displaystyle {\textbf {Set}}} 로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, Hom ( − , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)} 를 Hom ( − , − ) : C op → Set {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}} 인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 C op {\displaystyle C^{\text{op}}} 는 C {\displaystyle C} 의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 Hom ( − , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)} 에 Hom C ( − , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{C}(-,-)} 표기법이 사용되는 경우가 있다. 위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상 h : A ′ → A {\displaystyle h:A'\rightarrow A} 은 자연 변환 Hom ( h , − ) : Hom ( A , − ) → Hom ( A ′ , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}(h,-):{\text{Hom}}(A,-)\rightarrow {\text{Hom}}(A',-)} 을 가져온다. 그리고 모든 사상 f : B ′ → B {\displaystyle f:B'\rightarrow B} 은 자연 변환 Hom ( − , f ) : Hom ( − , B ) → Hom ( − , B ′ ) {\displaystyle {\text{Hom}}(-,f):{\text{Hom}}(-,B)\rightarrow {\text{Hom}}(-,B')} 을 가져온다. 요네다 보조정리는 Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 함자 사이의 모든 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 함자는 함자 범주 Set C op {\displaystyle {\textbf {Set}}^{C^{\text{op}}}} (사용되는 Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 C {\displaystyle C} 를 완전하고 충실하게 매장하도록 한다. 일부 범주에는 Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 Set {\displaystyle {\textbf {Set}}} 이 아니라 범주 C {\displaystyle C} 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 내부 Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 함자라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다. [ −   − ] : C op × C → C {\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C} 곱과 같은 특성을 강조하거나 ⇒ : C op × C → C {\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C} 그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로: hom ⁡ ( − , − ) : C op × C → C . {\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.} 예를 보려면 관계 범주를 참조. 내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고 Hom ⁡ ( I , hom ⁡ ( − , − ) ) ≃ Hom ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)} 여기서 I {\displaystyle I} 는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다. Hom ⁡ ( X , Y ⇒ Z ) ≃ Hom ⁡ ( X ⊗ Y , Z ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)} 여기서 ⊗ {\displaystyle \otimes } 는 모노이드 범주를 정의 하는 내부 곱 함자인 쌍함자이다. 그 동형 사상은 X {\displaystyle X} 와 Z {\displaystyle Z} 모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 Y ⇒ Z {\displaystyle Y\Rightarrow Z} 은 내부 Hom {\displaystyle {\textbf {Hom}}} 이라고 한다. ⊗ {\displaystyle \otimes } 가 데카르트 곱 × {\displaystyle \times } 일 때, 대상 Y ⇒ Z {\displaystyle Y\Rightarrow Z} 는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 Z Y {\displaystyle Z^{Y}} 과 같이 나타낸다. 내부 Hom {\displaystyle {\text{Hom}}} 는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다. 함자 Hom ( − , A ) : C op → Set {\displaystyle {\text{Hom}}(-,A):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}} 가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 Hom ( A , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)} 은 여준층이다. 함자 F : C → Set {\displaystyle F:C\rightarrow {\textbf {Set}}} 에서 일부 A {\displaystyle A} 에 대해 자연스럽게 Hom ( A , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)} 과 동형인 집합을 표현 가능한 함자(또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 Hom ( − , A ) {\displaystyle {\text{Hom}}(-,A)} 에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다. Hom ( − , − ) : C op × C → Set {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\times C\rightarrow {\textbf {Set}}} 은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 id C : C ↛ C {\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C} 이다. 내부 hom {\displaystyle {\text{hom}}} 함자는 극한을 보존한다. hom ⁡ ( X , − ) : C → C {\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C} 는 극한을 극한으로 보내는 반면 hom ⁡ ( − , X ) : C op → C {\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C} 는 C op {\displaystyle C^{\text{op}}} 안의 극한, 즉, C {\displaystyle C} 안의 여극한을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다. A {\displaystyle {\textbf {A}}} 가 아벨 범주이고 A {\displaystyle A} 가 A {\displaystyle {\textbf {A}}} 의 대상인 경우 Hom A ( A , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {A}}(A,-)} 는 A {\displaystyle {\textbf {A}}} 에서 아벨 군의 범주 Ab {\displaystyle {\textbf {Ab}}} 까지의 공변 왼쪽 완전 함수이다. A {\displaystyle A} 가 사영인 경우에만 완전하다. R {\displaystyle R} 을 환이라고 하고 M {\displaystyle M} 을 왼쪽 R {\displaystyle R} -가군이라고 하자. 함자 Hom R ( M , − ) : Mod - R → Ab {\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {R}}(M,-):{\textbf {Mod}}{\text{-}}R\rightarrow {\textbf {Ab}}} 는 텐서 곱 함자 ⊗ R M : Ab → Mod - R {\displaystyle \otimes _{R}M:{\textbf {Ab}}\rightarrow {\textbf {Mod}}{\text{-}}R} 에 인접한다. Ext 함자 함자 범주 표현 가능 함자 Also commonly denoted Cop → Set, where Cop denotes the opposite category, and this encodes the arrow-reversing behaviour of Hom(–, B). Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9. Mac Lane, Saunders (September 1998). 《Categories for the Working Mathematician》 Seco판. Springer. ISBN 0-387-98403-8.  Goldblatt, Robert (2006) [1984]. 《Topoi, the Categorial Analysis of Logic》 Revis판. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. 2020년 3월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2009년 11월 25일에 확인함.  Jacobson, Nathan (2009). 《Basic algebra》 2 2판. Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.  “Hom functor”. 《nLab》 (영어).  “Internal Hom”. 《nLab》 (영어).