펠 방정식

펠 방정식(Pell方程式, 영어: Pell's equation)은 디오판토스 방정식의 하나이다. 펠 방정식은 다음과 같은, x , y {\displaystyle x,y} 에 대한 디오판토스 방정식이다. x 2 − n y 2 = 1 x , y ∈ Z + {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1\qquad x,y\in \mathbb {Z} ^{+}} 여기서 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 은 제곱수가 아닌 양의 정수이다. 대수적 수론의 용어를 사용하면, 펠 방정식은 이차 수체 Z [ n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]} 에서 노름이 1인 원소들 x + y n {\displaystyle x+y{\sqrt {n}}} 을 찾는 문제이다. 펠 방정식의 해법은 두 단계로 나뉜다. 주어진 n에 대하여, x 1 {\displaystyle x_{1}} 이 최소인 해 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} 을 구한다. 이 해를 기본해(영어: fundamental solution)라고 한다. 기본해로부터 다른 모든 해들을 계산한다. 펠 방정식의 기본해는 다음과 같이 계산할 수 있다. 우선 x y ( 1 − 1 / 2 x 2 − 1 / 8 x 4 − 1 / 16 x 6 − ⋯ ) = x 2 − 1 / y = n {\displaystyle {\frac {x}{y}}\left(1-1/2x^{2}-1/8x^{4}-1/16x^{6}-\cdots \right)={\sqrt {x^{2}-1}}/y={\sqrt {n}}} 이므로, x / y {\displaystyle x/y} 는 n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 을 근사하는 것을 알 수 있으며, 그 오차는 ( x > 1 {\displaystyle x>1} 이라면) 0 < x / y − n = x − x 2 − 1 y < 1 / y {\displaystyle 0<x/y-{\sqrt {n}}={\frac {x-{\sqrt {x^{2}-1}}}{y}}<1/y} 이다. 따라서, x / y {\displaystyle x/y} 는 n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 의 최적 유리 근사이다. 따라서, 기본해는 n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 의 연분수 전개를 계산하여, 이를 주어진 차수에서 절단한 유리 근사들을 계산한 뒤, 이들이 펠 방정식을 만족시키는지 시험하여 얻을 수 있다. 펠 방정식의 기본해 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} 이 주어지면, 나머지 해 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 는 모두 다음과 같은 꼴로 주어진다. x k + y k n = ( x 1 + y 1 n ) k {\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k}} 즉, 다음과 같은 점화식에 의하여 주어진다. x k + 1 = x 1 x k + n y 1 y k {\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k}} y k + 1 = x 1 y k + y 1 x k {\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}} 펠 방정식은 이미 기원전 수 세기전부터, 무리 제곱근의 유리 근삿값을 구하기 위하여 널리 연구되었다. 기원전 800년 경의 인도 수학자 바우다야나(산스크리트어: बौधायन)는 《바우다야나 슐바 수트라》(산스크리트어: बौधायन शुल्ब सूत्र) 61절~62절에서 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 에 대하여 다음과 같은 유리 근삿값을 언급한다. 정사각형의 두 배. 길이를 1/3만큼 증가시키고, 1/4만큼 증가시키고, 1/34만큼 감소시킨다. 이것이 대각선의 길이다. समस्य द्विकरणी प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत् तच् चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन सविशेषः 즉, 다음과 같은 근삿값이다. 2 ≈ 1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 17 12 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 577 408 {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {17}{12}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}} 이 근삿값들은 n = 2 {\displaystyle n=2} 펠 방정식으로부터 유도된 것으로 추측된다. 즉, n = 2 {\displaystyle n=2} 펠 방정식의 해 ( x , y ) = ( 17 , 12 ) {\displaystyle (x,y)=(17,12)} ( x , y ) = ( 577 , 408 ) {\displaystyle (x,y)=(577,408)} 로부터 유도된 것이다. 기원후 7세기의 브라마굽타는 628년 경 출판된 책 《브라마스푸타시단타》(산스크리트어: ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त)에서, 오늘날 브라마굽타 항등식이라고 불리는 공식을 사용하여 펠 방정식의 해에 대한 점화식을 발견하였다. 12세기의 바스카라 2세(산스크리트어: भास्कराचार्य, 1114–1185)는 1150년에 일반적인 n에 대한 펠 방정식의 일반해를 유도하였고, 이를 사용하여 n = 61 {\displaystyle n=61} 인 경우의 해 x = 1766319049 , y = 226153980 {\displaystyle x=1766319049,y=226153980} 를 제시하였다. 기원전 3세기에, 아르키메데스는 n = 3 {\displaystyle n=3} 펠 방정식을 사용하여 3의 제곱근에 대한 다음과 같은 유리 근삿값을 얻었다. 3 ≈ 1351 780 {\displaystyle {\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}} 기원후 205년 경에 디오판토스는 다음과 같은 디오판토스 방정식을 고려하였다. a 2 x 2 + c = y 2 {\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2}} 그는 이 방정식을 a = 1 , c = − 1 , 1 , 12 {\displaystyle a=1,c=-1,1,12} 일 때와, a = 3 , c = 3 {\displaystyle a=3,c=3} 일 때에 대하여 풀었다. 기원후 10세기 페르시아의 수학자 알카라지(페르시아어: ابوبکر کرجی)는 디오판토스의 기법을 바탕으로 하여 펠 방정식에 대한 연구를 계속하였다. 유럽 수학에서 펠 방정식의 일반해는 17세기 영국의 윌리엄 브롱커가 최초로 발견하였다. 브롱커의 해법이 옳고, 이 해법으로 모든 해를 구할 수 있다는 것은 조제프루이 라그랑주가 1766년~1769년 동안 증명하였고, 펠 방정식이 항상 무한히 많은 해를 가진다는 것을 증명하였다. "펠 방정식"이라는 이름은 영국의 수학자 존 펠(영어: John Pell, 1611 – 1685)의 이름을 딴 것이다. 펠은 펠 방정식과 별다른 관계가 없으나, 레온하르트 오일러가 1759년에 펠과 브롱커의 이름을 혼동하여 잘못 이름붙였다. Euler, Leonhard (1767). “De vsv novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo”. 《Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae》 (라틴어) 11: 29–66.  Lenstra, H. W., Jr. (2002년 2월). “Solving the Pell Equation” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 49 (2): 182–192. Zbl 1126.11312.  Williams, H. C. (2002). 〈Solving the Pell equation〉. Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. 《Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory》 (영어). Natick, MA: A K Peters. 325–363쪽. ISBN 1-56881-162-4. Zbl 1043.11027.  황석근 (2012년 2월 25일). 《ENV 정수론》. 교우 시리즈 2. 교우미디어. ISBN 978-89-968148-6-3. 2014년 4월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 4월 13일에 확인함.  오정환; 이준복 (2009). 《정수론》. 교우사. ISBN 89-8172-105-X. 2014년 4월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 4월 13일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Pell equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pell equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이철희. “펠 방정식(Pell's equation)”. 《수학노트》.