폐포 (수학)

수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘(영어: closure)은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 cl ⁡ X {\displaystyle \operatorname {cl} X} 또는 X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} . 다음이 주어졌다고 하자. 집합 S {\displaystyle S} S ∪ { ∙ } {\displaystyle S\cup \{\bullet \}} 위의 ' Ord + 1 {\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1} 항 관계' R ⊂ ( S ∪ { ∙ } ) × ( Ord + 1 ) {\displaystyle R\subset (S\cup \{\bullet \})^{\times ({\operatorname {Ord} }+1)}} . 단, 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, r Ord ∈ S {\displaystyle r_{\operatorname {Ord} }\in S} 이며, r α ∉ S ⟹ r β ∉ S ∀ α < β < Ord {\displaystyle r_{\alpha }\not \in S\implies r_{\beta }\not \in S\forall \alpha <\beta <\operatorname {Ord} } 특히, α < Ord {\displaystyle \alpha <\operatorname {Ord} } 에 대하여, S {\displaystyle S} 위의 α + 1 {\displaystyle \alpha +1} 항 관계를 위 조건 및 min { β : r β ∉ S } = α {\displaystyle \min\{\beta \colon r_{\beta }\not \in S\}=\alpha } 를 만족시키는 ' Ord + 1 {\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1} 항 관계'로 여길 수 있다. 또한, α {\displaystyle \alpha } 항 연산은 자연스럽게 α + 1 {\displaystyle \alpha +1} 항 관계로 여길 수 있다. 만약 S {\displaystyle S} 의 부분 집합 T ⊂ S {\displaystyle T\subset S} 가 다음 조건을 만족시키면, T {\displaystyle T} 가 R {\displaystyle R} 에 대하여 닫혀있다(영어: closed under R {\displaystyle R} )고 한다. 임의의 ( t α ) α < Ord ⊂ T ∪ { ∙ } {\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha <\operatorname {Ord} }\subset T\cup \{\bullet \}} 및 t Ord ∈ S {\displaystyle t_{\operatorname {Ord} }\in S} 에 대하여, ( t α ) α ≤ Ord ∈ R {\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha \leq \operatorname {Ord} }\in R} 이면 t Ord ∈ T {\displaystyle t_{\operatorname {Ord} }\in T} 보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, S ∪ { ∙ } {\displaystyle S\cup \{\bullet \}} 위의 ' Ord + 1 {\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1} 항 관계'의 집합 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 가 주어졌을 때, T ⊂ S {\displaystyle T\subset S} 가 다음 조건을 만족시키면, R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 에 대하여 닫혀있다(영어: closed under R {\displaystyle {\mathcal {R}}} )고 한다. T {\displaystyle T} 는 ⋃ R {\displaystyle \bigcup {\mathcal {R}}} 에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 R ∈ R {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}} 에 대하여, T {\displaystyle T} 는 R {\displaystyle R} 에 대하여 닫혀있다. 다음이 주어졌다고 하자. 집합 S {\displaystyle S} S {\displaystyle S} 의 부분 집합들에 대한 성질 P ⊂ P ( S ) {\displaystyle P\subset {\mathcal {P}}(S)} S {\displaystyle S} 의 부분 집합 T ⊂ S {\displaystyle T\subset S} 의 P {\displaystyle P} 에 대한 폐포 cl P ⁡ T {\displaystyle \operatorname {cl} _{P}T} 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다. T ⊂ cl P ⁡ T ∈ P {\displaystyle T\subset \operatorname {cl} _{P}T\in P} 임의의 T ⊂ U ∈ P {\displaystyle T\subset U\in P} 에 대하여, cl P ⁡ T ⊂ U {\displaystyle \operatorname {cl} _{P}T\subset U} 폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. P {\displaystyle P} 가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, T {\displaystyle T} 에 T {\displaystyle T} 의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} 가 다음 | X | + 1 {\displaystyle |X|+1} 항 관계 R {\displaystyle R} 에 대하여 닫혀있다면, X {\displaystyle X} 의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 x 0 , x 1 , … , x | X | ∈ X {\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{|X|}\in X} 에 대하여, ( x 0 , x 1 , … , x | X | ) ∈ R ⟺ x | X | ∈ a c c p t 2 ⁡ ( { x α } α < | X | ) {\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{|X|})\in R\iff x_{|X|}\in \operatorname {acc\,pt} _{2}(\{x_{\alpha }\}_{\alpha <|X|})} 여기서 a c c p t 2 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{2}} 는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} 에 대하여, 최소 닫힌집합 Y ⊂ cl ⁡ Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset \operatorname {cl} Y\subset X} 를 Y {\displaystyle Y} 의 폐포라고 한다. 비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 ω + 1 {\displaystyle \omega +1} 항 관계 R {\displaystyle R} 에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 x 0 , x 1 , … , x ω ∈ X {\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{\omega }\in X} 에 대하여, ( x 0 , x 1 , … , x ω ) ∈ R ⟺ x n → x ω {\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{\omega })\in R\iff x_{n}\to x_{\omega }} 군 G {\displaystyle G} 의 부분 집합 H ⊂ G {\displaystyle H\subset G} 가 군의 연산 집합 { 1 G , ⋅ , − 1 } {\displaystyle \{1_{G},\cdot ,{}^{-1}\}} 에 대하여 닫혀있다면, G {\displaystyle G} 의 부분군이라고 한다. S ⊂ G {\displaystyle S\subset G} 에 대하여, 최소 부분군 S ⊂ ⟨ S ⟩ ⊂ G {\displaystyle S\subset \langle S\rangle \subset G} 를 S {\displaystyle S} 로 생성되는 군이라고 한다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 의 부분체 K / L {\displaystyle K/L} 이 K {\displaystyle K} 속에서 L {\displaystyle L} 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, L {\displaystyle L} 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체 K / L {\displaystyle K/L} 의 대수적 폐포 L ¯ {\displaystyle {\bar {L}}} 는 최소 대수적으로 닫힌 체 K / L ¯ / L {\displaystyle K/{\bar {L}}/L} 이다. L {\displaystyle L} 이 K {\displaystyle K} 의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다. 집합 X {\displaystyle X} 가 (모든 집합의 모임 V {\displaystyle V} 위의) 원소 관계 ∈ {\displaystyle \in } 에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, 최소 추이적 집합 X ⊂ c l t r n ⁡ X ⊂ V {\displaystyle X\subset \operatorname {cl_{trn}} X\subset V} 를 X {\displaystyle X} 의 추이적 폐포라고 한다. 집합 S {\displaystyle S} 위의 이항 관계 R ⊂ S × S {\displaystyle R\subset S\times S} 가 S × S {\displaystyle S\times S} 위의 일항 관계 { ( s , s ) | s ∈ S } ⊂ S × S {\displaystyle \{(s,s)|s\in S\}\subset S\times S} 에 대하여 닫혀있다면, 즉, { ( s , s ) | s ∈ S } ⊂ R {\displaystyle \{(s,s)|s\in S\}\subset R} 이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 R ⊂ S × S {\displaystyle R\subset S\times S} 에 대하여, 최소 반사 관계 R ⊂ c l r e f ⁡ R ⊂ S × S {\displaystyle R\subset \operatorname {cl_{ref}} R\subset S\times S} 를 R {\displaystyle R} 의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다. 폐포 연산자