적분표

적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 유용하게 사용된다. 아래의 식들에서 C는 적분 상수이다. ∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x ( a  constant) {\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!} ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx} ∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) ∫ g ( x ) d x − ∫ [ f ′ ( x ) ( ∫ g ( x ) d x ) ] d x {\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left[f'(x)\left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx} ∫ [ f ( x ) ] n f ′ ( x ) d x = [ f ( x ) ] n + 1 n + 1 + C (for  n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!} ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln ⁡ | f ( x ) | + C {\displaystyle \int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C} ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = 1 2 [ f ( x ) ] 2 + C {\displaystyle \int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C} 아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다. 유리함수 적분표 무리함수 적분표 삼각함수 적분표 역삼각함수 적분표 쌍곡선함수 적분표 역쌍곡선함수 적분표 지수함수 적분표 로그함수 적분표 가우스함수 적분표 ∫ a d x = a x + C {\displaystyle \int a\,dx=ax+C} ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C  if  n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1} ∫ ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) + C (for  n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}} ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C {\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C} ∫ c a x + b d x = c a ln ⁡ | a x + b | + C {\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C} ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C {\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan {x}+C} ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C {\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {x}+C} ∫ − 1 1 − x 2 d x = arccos ⁡ x + C {\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arccos {x}+C} ∫ 1 | x | x 2 − 1 d x = arcsec x + C {\displaystyle \int {1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx={\mbox{arcsec}}\,{x}+C} ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x − x + C {\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C} ∫ log a ⁡ x d x = x log a ⁡ x − x ln ⁡ a + C {\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C} ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C} ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C {\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C} ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C {\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C} ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C {\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C} ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C {\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C} ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ | csc ⁡ x − cot ⁡ x | + C {\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C} ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C {\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C} ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ | sin ⁡ x | + C {\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C} ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C} ∫ csc 2 ⁡ x d x = − cot ⁡ x + C {\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C} ∫ sin 2 ⁡ m x d x = 1 2 m ( m x − sin ⁡ m x cos ⁡ m x ) + C {\displaystyle \int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C} ∫ cos 2 ⁡ m x d x = 1 2 m ( m x + sin ⁡ m x cos ⁡ m x ) + C {\displaystyle \int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C} ∫ sin n ⁡ x d x = − sin n − 1 ⁡ x cos ⁡ x n + n − 1 n ∫ sin n − 2 ⁡ x d x + C {\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx={-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx}+C} ∫ cos n ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 ⁡ x d x + C {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={{\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx}+C} ∫ sec n ⁡ x d x = sec n − 2 ⁡ x tan ⁡ x n − 1 + n − 2 n − 1 ∫ sec n − 2 ⁡ x d x + C {\displaystyle \int \sec ^{n}x\,dx={{\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx}+C} ∫ csc n ⁡ x d x = csc n − 2 ⁡ x cot ⁡ x − ( n − 1 ) + n − 2 n − 1 ∫ csc n − 2 ⁡ x d x + C {\displaystyle \int \csc ^{n}x\,dx={{\frac {\csc ^{n-2}x\cot x}{-(n-1)}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x\,dx}+C} ∫ sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ x + C {\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C} ∫ cosh ⁡ x d x = sinh ⁡ x + C {\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C} ∫ tanh ⁡ x d x = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + C {\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C} ∫ csch x d x = ln ⁡ | tanh ⁡ x 2 | + C {\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C} ∫ sech x d x = arctan ⁡ ( sinh ⁡ x ) + C {\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C} ∫ coth ⁡ x d x = ln ⁡ | sinh ⁡ x | + C {\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C} 어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다. ∫ 0 ∞ x e − x d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} Paul's Online Math Notes A. Dieckmann, Table of Integrals: Indefinite Integrals Definite Integrals Math Major: A Table of Integrals O'Brien, Francis J. Jr. “500개의 초등•특수함수 적분표”. 2021년 8월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2021년 10월 3일에 확인함.  Rule-based Integration Mathar, Richard J. (2012). “Yet another table of integrals”. arXiv:1207.5845.  Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik 울프럼 알파의 적분 예시