푸비니 정리

해석학에서 푸비니 정리(-定理, 영어: Fubini’s theorem) 또는 푸비니-토넬리 정리(-定理, 영어: Fubini-Tonelli theorem)는 이중 적분은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다. 다음이 주어졌다고 하자. 시그마 유한 측도 공간 ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} 가측 공간 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 시그마 유한 추이 측도 ν : X × G → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \nu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]} 그렇다면, 곱 가측 공간 ( X × Y , F × G ) {\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})} 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 μ × ν {\displaystyle \mu \times \nu } 가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도를 이룬다. ( μ × ν ) ( A × B ) = ∫ A ν ( x , B ) d μ ( x ) ( ∀ A ∈ F , B ∈ G ) {\displaystyle (\mu \times \nu )(A\times B)=\int _{A}\nu (x,B)\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall A\in {\mathcal {F}},\;B\in {\mathcal {G}})} 구체적으로 이 측도는 다음과 같다. ( μ × ν ) ( S ) = ∫ X ν ( x , { y ∈ Y : ( x , y ) ∈ S } ) d μ ( x ) ( ∀ S ∈ F × G ) {\displaystyle (\mu \times \nu )(S)=\int _{X}\nu (x,\{y\in Y\colon (x,y)\in S\})\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall S\in {\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})} 또한, 일반화 푸비니 정리(一般化-定理, 영어: generalized Fubini’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. 임의의 음이 아닌 가측 함수 f : X × Y → ( [ 0 , ∞ ) , B ( [ 0 , ∞ ) ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))} 에 대하여, 다음 함수는 가측 함수이다. ( X , F ) → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} x ↦ ∫ Y f ( x , y ) d ν ( x , ⋅ ) ( y ) {\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)} 임의의 가측 함수 f : X × Y → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 f {\displaystyle f} 가 ( μ × ν ) {\displaystyle (\mu \times \nu )} -적분 가능하다면, 거의 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, y ↦ f ( x , y ) {\displaystyle y\mapsto f(x,y)} 는 ν ( x , ⋅ ) {\displaystyle \nu (x,\cdot )} -적분 가능하다.):384–385, Theorem 10.7.2 ∫ X × Y f d ( μ × ν ) = ∫ X d μ ( x ) ∫ Y f ( x , y ) d ν ( x , ⋅ ) ( y ) {\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)} 두 시그마 유한 측도 공간 ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} 와 ( Y , G , ν ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},\nu )} 가 주어졌다고 하자. 또한 ( X × Y , F × G , μ × ν ) {\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}},\mu \times \nu )} 가 곱측도 공간이라고 하자. 푸비니 정리에 따르면, 다음이 성립한다.:164–165 임의의 음이 아닌 가측 함수 f : X × Y → ( [ 0 , ∞ ) , B ( [ 0 , ∞ ) ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))} 에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수이다. ( X , F ) → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} x ↦ ∫ Y f ( x , y ) d ν ( y ) {\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)} ( Y , G ) → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} y ↦ ∫ X f ( x , y ) d μ ( x ) {\displaystyle y\mapsto \int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)} 임의의 가측 함수 f : X × Y → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 f {\displaystyle f} 가 ( μ × ν ) {\displaystyle (\mu \times \nu )} -적분 가능하다면, 거의 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 y ↦ f ( x , y ) {\displaystyle y\mapsto f(x,y)} 는 ν {\displaystyle \nu } -적분 가능하며, 거의 모든 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여 x ↦ f ( x , y ) {\displaystyle x\mapsto f(x,y)} 는 μ {\displaystyle \mu } -적분 가능하다.):185, Theorem 3.4.4 ∫ X × Y f d ( μ × ν ) = ∫ X d μ ( x ) ∫ Y f ( x , y ) d ν ( y ) = ∫ Y d ν ( y ) ∫ X f ( x , y ) d μ ( x ) {\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)=\int _{Y}\mathrm {d} \nu (y)\int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)} 이는 추이 측도에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다. X × G → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]} ( x , B ) ↦ ν ( B ) {\displaystyle (x,B)\mapsto \nu (B)} Y × F → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle Y\times {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} ( y , A ) ↦ μ ( A ) {\displaystyle (y,A)\mapsto \mu (A)} 직사각형 [ a , b ] × [ c , d ] ⊆ R {\displaystyle [a,b]\times [c,d]\subseteq \mathbb {R} } 위에 정의된 함수 f : [ a , b ] × [ c , d ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} } 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. f {\displaystyle f} 는 [ a , b ] × [ c , d ] {\displaystyle [a,b]\times [c,d]} 위에서 리만 적분 가능하다. 임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여, y ↦ f ( x , y ) {\displaystyle y\mapsto f(x,y)} 는 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} 위에서 리만 적분 가능하다. 임의의 y ∈ [ a , b ] {\displaystyle y\in [a,b]} 에 대하여, x ↦ f ( x , y ) {\displaystyle x\mapsto f(x,y)} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위에서 리만 적분 가능하다. 그렇다면, 다음이 성립한다.:376 x ↦ ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 와 y ↦ ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle y\mapsto \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위에서 리만 적분 가능하다. ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x} 증명: 다르부 적분의 정의에 따라, 임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여 리만 적분 ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다. L ⁡ ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y ≤ L ⁡ ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y ≤ U ⁡ ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y ≤ U ⁡ ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \operatorname {L} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\leq \operatorname {L} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y} 여기서 U {\displaystyle \operatorname {U} } 와 L {\displaystyle \operatorname {L} } 은 각각 다르부 상적분과 다르부 하적분을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 f {\displaystyle f} 가 [ a , b ] × [ c , d ] {\displaystyle [a,b]\times [c,d]} 에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분 ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 가 존재하며 ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 이다. 남은 절반의 증명은 유사하다. 확장된 실수 a < b {\displaystyle a<b} 및 실수 c < d {\displaystyle c<d} 및 함수 f : ( a , b ) × [ c , d ] → R {\displaystyle f\colon (a,b)\times [c,d]\to \mathbb {R} } 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 이상 적분 ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x} 는 y ∈ [ c , d ] {\displaystyle y\in [c,d]} 위에서 균등 수렴한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.:391 이상 적분 ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 가 존재한다. ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다. 이탈리아의 수학자 귀도 푸비니의 이름이 붙어 있다. 카발리에리의 원리 쿠라토프스키-울람 정리 Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.  Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume I》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.  김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  “푸비니(의) 정리(fubini’s theorem)”. 《사이언스올》. 2015년 9월 9일. 2020년 9월 20일에 확인함. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] “Fubini theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fubini theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fubini theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Fubini’s theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Fubini's theorem for the Lebesgue integral”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of Fubini's theorem for the Lebesgue integral”. 《PlanetMath》 (영어).