대칭 중선

기하학에서 대칭 중선(對稱中線, 영어: symmedian 시미디언[*])은 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 중선을 같은 꼭짓점에서의 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 즉, 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 대칭 중점(對稱中點, 영어: symmedian point) 또는 르무안 점(영어: Lemoine point) 또는 그레베 점(영어: Grebe point)은 주어진 삼각형의 세 대칭 중선이 공통으로 지나는 점이다. 즉, 대칭 중점은 무게 중심의 등각 켤레점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 즉, 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 을 지나는 중선의, 내각 ∠ A {\displaystyle \angle A} , ∠ B {\displaystyle \angle B} , ∠ C {\displaystyle \angle C} 의 이등분선에 대한 반사상이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 대칭 중점 K {\displaystyle K} 은 무게 중심의 등각 켤레점이다. 즉, 세 대칭 중선의 교점이다. 직각 삼각형의 대칭 중점은 직각 꼭짓점을 지나는 빗변의 수선의 중점이다.:59, §7.4, (i) 대칭 중점은 삼각형의 세 변과의 거리의 제곱의 합이 가장 작은 점이다.:75, Exercise 7.3 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변의 길이를 a = B C {\displaystyle a=BC} , b = A C {\displaystyle b=AC} , c = A B {\displaystyle c=AB} 라고 하고, 넓이를 S {\displaystyle S} 라고 하고, 브로카르 각을 ω {\displaystyle \omega } 라고 하자. 그렇다면 대칭 중점 K {\displaystyle K} 와 세 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 사이의 거리는 다음과 같다.:268, §[XVI.]438 d ( K , B C ) = 1 2 a tan ⁡ ω = 2 a S a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle d(K,BC)={\frac {1}{2}}a\tan \omega ={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}} d ( K , A C ) = 1 2 b tan ⁡ ω = 2 b S a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle d(K,AC)={\frac {1}{2}}b\tan \omega ={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}} d ( K , A B ) = 1 2 c tan ⁡ ω = 2 c S a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle d(K,AB)={\frac {1}{2}}c\tan \omega ={\frac {2cS}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 대칭 중선 A K A {\displaystyle AK_{A}} , B K B {\displaystyle BK_{B}} , C K C {\displaystyle CK_{C}} 의 발을 K A {\displaystyle K_{A}} , K B {\displaystyle K_{B}} , K C {\displaystyle K_{C}} 라고 하고, 대칭 중점을 K {\displaystyle K} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:76, Exercise 7.4 A K K K A = b 2 + c 2 a 2 {\displaystyle {\frac {AK}{KK_{A}}}={\frac {b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}} B K K K B = a 2 + c 2 b 2 {\displaystyle {\frac {BK}{KK_{B}}}={\frac {a^{2}+c^{2}}{b^{2}}}} C K K K C = a 2 + b 2 c 2 {\displaystyle {\frac {CK}{KK_{C}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 을 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하자. 그렇다면 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 을 지나는 대칭 중선은 각각 수심 삼각형의 변 H B H C {\displaystyle H_{B}H_{C}} , H A H C {\displaystyle H_{A}H_{C}} , H A H B {\displaystyle H_{A}H_{B}} 를 이등분한다.:60, §7.4, (ii) 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 한 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 대칭 중선은 남은 두 꼭짓점 B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서의 외접원의 접선의 교점을 지난다.:60, §7.4, (iii) 제르곤 삼각형의 대칭 중점은 제르곤 점이다. 이는 위 명제의 따름정리이다. 증명: 외접원의 B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서의 접선의 교점을 D {\displaystyle D} 라고 하자. D {\displaystyle D} 를 중심으로 하고 D B {\displaystyle DB} 를 반지름으로 하는 원이 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 의 연장선과 각각 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 에서 만난다고 하자. 접현각의 크기는 원주각과 같으므로 ∠ E = ∠ D B E = ∠ A C B {\displaystyle \angle E=\angle DBE=\angle ACB} ∠ F = ∠ D C F = ∠ A B C {\displaystyle \angle F=\angle DCF=\angle ABC} 이다. 또한 사각형 A E D F {\displaystyle AEDF} 에서 ∠ E D F = 360 ∘ − ∠ A − ∠ E − ∠ F = 180 ∘ {\displaystyle \angle EDF=360^{\circ }-\angle A-\angle E-\angle F=180^{\circ }} 이므로 E {\displaystyle E} , D {\displaystyle D} , F {\displaystyle F} 는 공선점이다. 따라서 삼각형 A E F {\displaystyle AEF} 는 삼각형 A C B {\displaystyle ACB} 와 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 A E F {\displaystyle AEF} 를 ∠ A {\displaystyle \angle A} 의 이등분선에 대하여 반사시킨 뒤 다시 A {\displaystyle A} 를 중심으로 적절한 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 A C B {\displaystyle ACB} 를 얻는다. 이러한 변환은 닮음 변환이며, 특히 아핀 변환이므로 중점을 보존한다. A {\displaystyle A} 를 지나는 직선은 A {\displaystyle A} 를 중심으로 하는 중심 닮음 변환에 대하여 불변이므로 A D {\displaystyle AD} 의 상은 자신의 등각 켤레선이다. A D {\displaystyle AD} 는 삼각형 A E F {\displaystyle AEF} 의 중선이므로 A D {\displaystyle AD} 의 등각 켤레선은 삼각형 A C B {\displaystyle ACB} 의 중선이다. 즉, A D {\displaystyle AD} 는 삼각형 A C B {\displaystyle ACB} 의 대칭 중선이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원과 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 접점을 각각 T A {\displaystyle T_{A}} , T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 라고 하자. 그렇다면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원은 제르곤 삼각형 T A T B T C {\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}} 의 외접원이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 변은 삼각형 T A T B T C {\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}} 의 외접원의 각 꼭짓점 T A {\displaystyle T_{A}} , T B {\displaystyle T_{B}} , T C {\displaystyle T_{C}} 에서의 접선이며, 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 는 접선들의 교점이다. 따라서 직선 T A A {\displaystyle T_{A}A} , T B B {\displaystyle T_{B}B} , T C C {\displaystyle T_{C}C} 는 삼각형 T A T B T C {\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}} 의 대칭 중선이며, 그 교점인 제르곤 점은 대칭 중점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 한 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 대변의 수선의 중점 M {\displaystyle M} 과 대변의 중점 M A {\displaystyle M_{A}} 를 잇는 직선은 대칭 중점 K {\displaystyle K} 를 지난다.:65, §7.4, (vii) 증명: 대칭 중점 K {\displaystyle K} 를 지나는 외접원의 꼭짓점 B {\displaystyle B} 에서의 접선의 평행선 P Q {\displaystyle PQ} 와 변 A B {\displaystyle AB} , B C {\displaystyle BC} 의 교점을 각각 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 라고 하자. 대칭 중점 K {\displaystyle K} 를 지나는 외접원의 꼭짓점 C {\displaystyle C} 에서의 접선의 평행선 R S {\displaystyle RS} 와 변 A C {\displaystyle AC} , B C {\displaystyle BC} 의 교점을 각각 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 라고 하자. 그렇다면 선분 P Q {\displaystyle PQ} , R S {\displaystyle RS} 는 제2 르무안 원의 두 지름이므로 사각형 P R Q S {\displaystyle PRQS} 는 직사각형이다. 직사각형의 변 P S {\displaystyle PS} , Q R {\displaystyle QR} 의 중점을 각각 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} 라고 하자. 그렇다면 M {\displaystyle M} 이 꼭짓점 A {\displaystyle A} 에서 내린 대변의 수선 A H A {\displaystyle AH_{A}} 의 중점이므로 B {\displaystyle B} , D {\displaystyle D} , M {\displaystyle M} 은 한 직선 위의 점이며, C {\displaystyle C} , E {\displaystyle E} , M {\displaystyle M} 역시 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점 K {\displaystyle K} 는 선분 D E {\displaystyle DE} 의 중점이며 M A {\displaystyle M_{A}} 는 선분 B C {\displaystyle BC} 의 중점이므로 M {\displaystyle M} , K {\displaystyle K} , M A {\displaystyle M_{A}} 는 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점은 자기 자신의 수족 삼각형의 무게 중심이다.:72, §7.4, (x) 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 대칭 중점 K {\displaystyle K} 를 지나는 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 평행선 S T {\displaystyle ST} , U P {\displaystyle UP} , Q R {\displaystyle QR} 와 남은 두 변의 교점을 각각 S {\displaystyle S} 와 T {\displaystyle T} , U {\displaystyle U} 와 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 와 R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 6개의 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} , T {\displaystyle T} , U {\displaystyle U} 는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 K {\displaystyle K} 와 외심 O {\displaystyle O} 를 잇는 선분 K O {\displaystyle KO} 의 중점이다. 이 원을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제1 르무안 원(영어: first Lemoine circle)이라고 한다.:88, §9.2 마찬가지로, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 대칭 중점 K {\displaystyle K} 를 지나는 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 평행선 S T {\displaystyle ST} , U P {\displaystyle UP} , Q R {\displaystyle QR} 와 남은 두 변의 교점을 각각 S {\displaystyle S} 와 T {\displaystyle T} , U {\displaystyle U} 와 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 와 R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 6개의 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} , T {\displaystyle T} , U {\displaystyle U} 는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 K {\displaystyle K} 이다. 이 원을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제2 르무안 원(영어: second Lemoine circle)이라고 한다.:88, §9.2 증명: 대칭 중선은 반평행선을 이등분하므로 S K = T K {\displaystyle SK=TK} U K = P K {\displaystyle UK=PK} Q K = R K {\displaystyle QK=RK} 이다. 반평행선의 성질에 따라 ∠ K P S = ∠ A C B = ∠ K S P {\displaystyle \angle KPS=\angle ACB=\angle KSP} ∠ K Q T = ∠ C B A = ∠ K T Q {\displaystyle \angle KQT=\angle CBA=\angle KTQ} ∠ K R U = ∠ B A C = ∠ K U R {\displaystyle \angle KRU=\angle BAC=\angle KUR} 이므로 P K = S K {\displaystyle PK=SK} Q K = T K {\displaystyle QK=TK} R K = U K {\displaystyle RK=UK} 이다. 제1·제2 르무안 원은 터커 원의 특수한 경우이다. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmedian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmedian point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “First Lemoine circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lemoine hexagon”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cosine circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cosine hxagon”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.