아인슈타인 반경

아인슈타인 반경(Einstein radius)은 아인슈타인 고리의 반경이다. 중력렌즈를 일반화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 개념이다. 이하 유도에서 우리는 렌즈 역할을 하는 천체 L {\displaystyle L} 의 모든 질량 M {\displaystyle M} 이 은하 중심에 한 점으로 집중되어 있다고 가정한다. 광원 은하의 실제 위치와 천구상에서의 위치 사이의 각거리 α {\displaystyle \alpha } 는 그 크기가 매우 작으며, α {\displaystyle \alpha } 는 다음과 같이 나타낼 수 있다(슈바르츠실트 계량 참조). α = 4 G c 2 M b {\displaystyle \alpha ={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b}}} 이때 b {\displaystyle b} 는 충돌경수(광원의 빛이 지나가는 경로 중 렌즈 질량중심에서 가장 가까운 지점까지의 거리) G {\displaystyle G} 는 중력상수 c {\displaystyle c} 는 광속이다. 위 그림의 모든 각도들이 매우 작고 단위가 라디안일 때 렌즈 역할을 하는 천체까지의 거리 D L {\displaystyle D_{\rm {L}}} 과 천구상에서 렌즈 역할을 하는 천체와 광원 천체 사이의 겉보기 각거리 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 은 다음 관계를 갖는다. b = θ 1 D L {\displaystyle b={\theta _{1}}{D_{\rm {L}}}} 그리고 α {\displaystyle \alpha } 를 다음과 같이 다시 표현할 수 있다. α ( θ 1 ) = 4 G c 2 M θ 1 1 D L {\displaystyle \alpha (\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}} (식 1) 렌즈 역할 천체와 광원 천체의 실제 위치 사이의 각거리를 θ S {\displaystyle \theta _{\rm {S}}} 로 잡으면 θ 1 D S = θ S D S + α D L S {\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha \;D_{\rm {LS}}} 이것을 다시 쓰면 α ( θ 1 ) = D S D L S ( θ 1 − θ S ) {\displaystyle \alpha (\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})} (식 2) (식 1)과 (식 2)가 같다고 한 뒤 식을 정리하면 θ 1 − θ S = 4 G c 2 M θ 1 D L S D S D L {\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}} 렌즈 너머의 광원이 관찰자-렌즈와 일직선상에 있을 때, 즉 θ S = 0 {\displaystyle \theta _{\rm {S}}=0} 일 때 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 값을 아인슈타인 반경이라고 하며, 기호는 θ E {\displaystyle \theta _{\rm {E}}} 이다. 위 식에 θ S = 0 {\displaystyle \theta _{\rm {S}}=0} 을 대입하여 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 에 대하여 풀면 θ E = ( 4 G M c 2 D L S D L D S ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}} 결국 θ 1 = θ S + θ E 2 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}} 이므로 이것을 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 에 대한 2차방정식 θ 1 2 − θ S θ 1 − θ E 2 = 0 {\displaystyle {\theta _{1}}^{2}-\theta _{\rm {S}}{\theta _{1}}-\theta _{E}^{2}=0} 으로 생각하면 θ 1 ± = θ S ± θ S 2 + 4 θ E 2 {\displaystyle {\theta _{1}}_{\pm }={{\theta _{\rm {S}}\pm {\sqrt {{\theta _{\rm {S}}}^{2}+4\theta _{\rm {E}}}}} \over 2}} θ S = 0 {\displaystyle \theta _{\rm {S}}=0} 이면 θ 1 + = θ 1 − = θ E {\displaystyle {\theta _{1}}_{+}={\theta _{1}}_{-}=\theta _{\rm {E}}} 로 광원 천체가 렌즈 천체 주위의 고리 모양으로 보이며, 이것을 아인슈타인 고리라고 한다. 아인슈타인 고리의 반경은 아인슈타인 반경과 같다. θ S ≠ 0 {\displaystyle \theta _{\rm {S}}\neq 0} 이면 광원 천체는 렌즈 천체 주위에 아인슈타인 반경보다 큰 반경의 호가 하나, 아인슈타인 반경보다 작은 반경의 호가 하나의 모습으로 보이게 된다. 아인슈타인 고리 Chwolson, O (1924). “Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne”. Astronomische Nachrichten 221 (20): 329–330. Bibcode:1924AN....221..329C. doi:10.1002/asna.19242212003.  (The first paper to propose rings) Einstein, Albert (1936). “Lens-like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field”. Science 84 (2188): 506–507. Bibcode:1936Sci....84..506E. doi:10.1126/science.84.2188.506. JSTOR 1663250. PMID 17769014.  (The famous Einstein Ring paper) Renn, Jurgen; Tilman Sauer and John Stachel (1997). “The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science paper”. Science 275 (5297): 184–186. Bibcode:1997Sci...275..184R. doi:10.1126/science.275.5297.184. PMID 8985006.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)