알레프 수

집합론에서 알레프 수(ℵ數, 영어: aleph number)는 무한 기수를 나타내는 표기법이다. 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킨다. 편의상, 체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리를 가정하고, 존 폰 노이만의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 의 바로 다음 기수(영어: successor cardinal)는 다음과 같다. κ + = | inf { α ∈ Ord : κ < | α | } | {\displaystyle \kappa ^{+}=\left|\inf\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon \kappa <|\alpha |\}\right|} 하르톡스 정리에 따라 이 하한은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다. 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, 알레프 수 ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} 는 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의된다. ℵ 0 = | N | {\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |} (자연수의 집합의 크기) ℵ α + 1 = ℵ α + {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}} ( α + 1 {\displaystyle \alpha +1} 는 α {\displaystyle \alpha } 의 따름 순서수) ℵ λ = | inf { α ∈ O r d : ∀ β < λ : ℵ β < | α | } | {\displaystyle \aleph _{\lambda }=\left|\inf\{\alpha \in \mathrm {Ord} \colon \forall \beta <\lambda \colon \aleph _{\beta }<|\alpha |\}\right|} ( λ {\displaystyle \lambda } 는 극한 순서수) 알레프 수는 순서수의 고유 모임 O r d {\displaystyle \mathrm {Ord} } 에서 기수의 고유모임 C a r d {\displaystyle \mathrm {Card} } 으로 가는 "함수"이다. (물론, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정의역과 공역이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "단사 함수"이며, 그 "상"은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, ℵ α < κ < ℵ α + 1 {\displaystyle \aleph _{\alpha }<\kappa <\aleph _{\alpha +1}} 인 기수 κ {\displaystyle \kappa } 는 존재하지 않는다. 기수를 순서수로 여겨, 알레프 수의 "고정점"(즉, ℵ α = α {\displaystyle \aleph _{\alpha }=\alpha } 인 α {\displaystyle \alpha } )을 생각할 수 있다. 알레프 수는 순서수의 모임 위의 순서 보존 "함수"이므로, 모든 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 다음 부등식이 성립한다. α ≤ ℵ α {\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }} 모든 알레프 수의 고정점은 극한 기수이다. 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 알레프 수의 고정점이다. 알레프 수의 최소의 고정점은 다음과 같다. κ = sup { ℵ 0 , ℵ ω , ℵ ω ω , … } {\displaystyle \kappa =\sup \left\{\aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},\dots \right\}} 이는 약하게 도달 불가능한 기수가 아니다. 증명: 만약 κ = ℵ κ {\displaystyle \kappa =\aleph _{\kappa }} 라면, κ {\displaystyle \kappa } 는 무한 기수이며, 특히 극한 순서수이다. 따라서 κ = ℵ κ {\displaystyle \kappa =\aleph _{\kappa }} 는 극한 기수이다. 약하게 도달 불가능한 기수 ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} 가 주어졌을 때, ℵ α = cf ⁡ ℵ α = cf ⁡ α ≤ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }=\operatorname {cf} \aleph _{\alpha }=\operatorname {cf} \alpha \leq \alpha } 이다. ( cf ⁡ ℵ α = cf ⁡ α {\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{\alpha }=\operatorname {cf} \alpha } 는 α {\displaystyle \alpha } 가 극한 순서수이기 때문이다.) 따라서, ℵ α = α {\displaystyle \aleph _{\alpha }=\alpha } 이다. 일반화 연속체 가설에 따르면, ℵ α = ℶ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }} 가 성립한다. 여기서 ℶ α {\displaystyle \beth _{\alpha }} 는 베트 수이다. 이 명제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 독립적이다 (즉, 증명하거나 반증할 수 없다). 또한, 대부분의 큰 기수 공리들을 추가해도 이는 변함이 없다. 위 가설에서 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} 인 특수한 경우 ℵ 1 = 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}} 는 연속체 가설이라고 불리며, 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 및 큰 기수 공리들에 대하여 독립적이다. ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 은 가산 무한 집합의 크기이다. 예를 들어, 자연수의 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } , 정수의 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , 유리수의 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 등이 이 크기이다. ℵ 0 = | N | = | Z | = | Q | {\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |=|\mathbb {Z} |=|\mathbb {Q} |} ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 은 가장 작은 비가산 기수이다. 이는 모든 가산 순서수들의 집합의 크기이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 연속체 가설이 독립적이므로, 실제로 크기가 ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 이라고 증명할 수 있는 집합들은 그리 많지 않다. ω {\displaystyle \omega } 가 가장 작은 무한 순서수라고 하자. ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} 는 { ℵ n : n ∈ N } {\displaystyle \{\aleph _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}} 의 상한이다. 또한, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 2 ℵ 0 ≠ κ {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \kappa } 임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 κ {\displaystyle \kappa } 이다. 이 표기법은 게오르크 칸토어가 기수 및 순서수 이론을 정의하면서 도입하였다. 알레프(ℵ)는 히브리 문자의 첫 글자이다. 칸토어가 왜 이 글자를 골랐는지는 확실하지 않다. 칸토어 자신이 유대인인지는 확실하지 않지만, 칸토어의 아내 발리 구트만(독일어: Vally Guttman)은 유대인이었다. Grattan-Guinness, Ivor (1971). “Towards a biography of Georg Cantor”. 《Annals of Science》 (영어) 27: 345–391. doi:10.1080/00033797100203837.  Roitman, Judith (2011). 《Introduction to modern set theory》 (영어). Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3.  “Aleph”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Aleph-zero”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleph-0”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleph-1”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  베트 수