뇌터 환

환론에서 뇌터 환(Noether環, 영어: Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 환이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 의 부분 대상들의 부분 순서 집합 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, X {\displaystyle X} 를 뇌터 대상(영어: Noetherian object)이라고 한다.:146 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 뇌터 가군(영어: left Noetherian module)이라고 한다. M {\displaystyle M} 은 왼쪽 가군 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 속의 뇌터 대상이다. 즉, M {\displaystyle M} 의 부분 가군들의 격자 Sub ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (M)} 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.:20 M {\displaystyle M} 의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 N ⊆ M {\displaystyle N\subseteq M} 에 대하여 N = R m 1 + ⋯ + R m k {\displaystyle N=Rm_{1}+\cdots +Rm_{k}} 인 m 1 , … , m k ∈ M {\displaystyle m_{1},\dots ,m_{k}\in M} 이 존재한다.:20, (1.18) 오른쪽 뇌터 가군(영어: right Noetherian module) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다. 가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 뇌터 환(영어: left Noetherian ring)이라고 한다. R R {\displaystyle _{R}R} 는 뇌터 왼쪽 가군이다. (즉, 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. 또는, 모든 왼쪽 아이디얼은 유한 생성 아이디얼이다.) 모든 R {\displaystyle R} -유한 생성 왼쪽 가군은 뇌터 가군이다.:21, Proposition 1.21 R {\displaystyle R} -왼쪽 아이디얼들로 구성된, 공집합이 아닌 임의의 집합은 (부분 집합 관계에 대하여) 적어도 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.:19 (배스-파프 정리 영어: Bass–Papp theorem) R {\displaystyle R} 의 단사 왼쪽 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.:80–81, Theorem 3.46 (배스-파프 정리) R {\displaystyle R} 의 단사 왼쪽 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.:80–81, Theorem 3.46 (배스-파프 정리) R {\displaystyle R} 의 가산 개의 단사 왼쪽 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.:80–81, Theorem 3.46 마찬가지로 오른쪽 뇌터 환(영어: right Noetherian ring)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 (양쪽) 뇌터 환(영어: (two-sided) Noetherian ring)이라고 한다. 가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 뇌터 가환환(영어: Noetherian commutative ring)이라고 한다. 왼쪽 뇌터 환이다. 오른쪽 뇌터 환이다. 양쪽 뇌터 환이다. 그 스펙트럼 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 는 뇌터 스킴이다.:83, Proposition II.3.2 그 스펙트럼 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 는 국소 뇌터 스킴이다. (코언 정리 영어: Cohen’s theorem) 모든 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 이 유한 생성 아이디얼이다. 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 국소 뇌터 스킴(局所-, 영어: locally Noetherian scheme)이라고 한다. 뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.:83 모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.:83, Proposition II.3.2:58, Exercise 2.3.16 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 뇌터 스킴(영어: Noetherian scheme)이라고 한다. 뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.:83 국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 및 그 부분 가군 N ⊆ M {\displaystyle N\subseteq M} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:20, (1.20) M {\displaystyle M} 이 뇌터 가군이다. N {\displaystyle N} 과 M / N {\displaystyle M/N} 둘 다 뇌터 가군이다. (아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.) 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:20, (1.19) M {\displaystyle M} 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다. M {\displaystyle M} 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, M 0 ⊊ M 1 ⊊ ⋯ ⊊ M k = M {\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{k}=M} 이 존재하며, M i / M i − 1 {\displaystyle M_{i}/M_{i-1}} 은 모두 단순 가군이다. 특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 유한환 ⊊ 왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환 유한환 ⊊ 오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환 만약 R {\displaystyle R} 가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다. (힐베르트 기저 정리) 유한 개의 변수에 대한 다항식환 R [ x 1 , x 2 , … , x k ] {\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}]} 임의의 양쪽 아이디얼 a ⊲ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\vartriangleleft R} 에 대하여, 몫환 R / a {\displaystyle R/{\mathfrak {a}}} 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다. 형식적 멱급수환 R [ [ x 1 , x 2 , … , x k ] ] {\displaystyle R[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}]]} 임의의 곱셈 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여, 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 환 S {\displaystyle S} 의 부분환 R ⊆ S {\displaystyle R\subseteq S} 가 주어졌으며, R {\displaystyle R} 가 가환환이며, R S {\displaystyle _{R}S} 가 R {\displaystyle R} -유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다. S {\displaystyle S} 가 왼쪽 뇌터 환이다. R {\displaystyle R} 가 뇌터 환이다. 그러나 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다. 뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.:55, Proposition 2.3.46(a) (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여, 유일한 스킴 사상 X → Spec ⁡ Z {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 는 준분리 사상이다). 뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. X {\displaystyle X} 가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다. X {\displaystyle X} 위의 국소 유한형 스킴 Y → X {\displaystyle Y\to X} X {\displaystyle X} 의 닫힌 부분 스킴 X {\displaystyle X} 의 열린 부분 스킴 X {\displaystyle X} 가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다. X {\displaystyle X} 위의 유한형 스킴 Y → X {\displaystyle Y\to X} :96, Exercise 3.2.1 X {\displaystyle X} 의 닫힌 부분 스킴:55, Proposition 2.3.46(a) X {\displaystyle X} 의 열린 부분 스킴:55, Proposition 2.3.46(a) 특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다. 모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다. 반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다. 뇌터 가군이다. 아르틴 가군이다. 유한 차원 벡터 공간이다. 임의의 군 G {\displaystyle G} 및 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 군환 R [ G ] {\displaystyle R[G]} 를 생각하자. 이는 환을 이루며, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면 R {\displaystyle R} -결합 대수를 이룬다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. R [ G ] {\displaystyle R[G]} 는 왼쪽 뇌터 환이다. R [ G ] {\displaystyle R[G]} 는 오른쪽 뇌터 환이다. 이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 R {\displaystyle R} -결합 대수 준동형 R [ G ] → R [ G ] op {\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} }} g ↦ g − 1 ( ∀ g ∈ G ) {\displaystyle g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G)} 에 따라 일대일 대응하기 때문이다. 임의의 군 G {\displaystyle G} 및 환 R {\displaystyle R} 가 주어졌다고 하자. 만약 R [ G ] {\displaystyle R[G]} 가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, R {\displaystyle R} 는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, G {\displaystyle G} 는 뇌터 군이다. 반대로, 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 가환환이며, G {\displaystyle G} 가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면, R [ G ] {\displaystyle R[G]} 는 양쪽 뇌터 환이다. 일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 군 G {\displaystyle G} 가 존재한다.:423, Theorem 38.1 G {\displaystyle G} 는 뇌터 군이다. 임의의 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, R [ G ] {\displaystyle R[G]} 는 양쪽 뇌터 환이 아니다. 증명 (뇌터 군환의 환과 군의 뇌터성): R {\displaystyle R} 가 환, G {\displaystyle G} 가 군이며, R [ G ] {\displaystyle R[G]} 가 그 군환이라고 하자. 엄격하게 상승하는 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 아이디얼들의 열 a 0 ⊊ a 1 ⊊ a 2 ⊊ ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{2}\subsetneq \cdots } 이 주어졌을 때, a 0 [ G ] ⊊ a 1 [ G ] ⊊ a 2 [ G ] ⊊ ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}[G]\subsetneq {\mathfrak {a}}_{1}[G]\subsetneq {\mathfrak {a}}_{2}[G]\subsetneq \cdots } 는 엄격하게 상승하는 R [ G ] {\displaystyle R[G]} 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 만약 H 0 ⊊ H 1 ⊊ H 2 ⊊ ⋯ {\displaystyle H_{0}\subsetneq H_{1}\subsetneq H_{2}\subsetneq \cdots } 가 엄격하게 상승하는 G {\displaystyle G} 의 부분군들의 열이라면, b 0 ⊊ b 1 ⊊ b 2 ⊊ ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {b}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {b}}_{2}\subsetneq \cdots } b i = { ∑ g ∈ G r g g ∈ R [ G ] : ∀ g H i ∈ G / H i : ∑ h ∈ g H i r h = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{i}=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}g\in R[G]\colon \forall gH_{i}\in G/H_{i}\colon \sum _{h\in gH_{i}}r_{h}=0\right\}} 는 엄격하게 상승하는 R [ G ] {\displaystyle R[G]} 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 따라서, 만약 R [ G ] {\displaystyle R[G]} 가 왼쪽 뇌터 환이라면, R {\displaystyle R} 는 엄격하게 상승하는 왼쪽 아이디얼들의 열을 갖지 않으며, G {\displaystyle G} 는 엄격하게 상승하는 부분군들의 열을 갖지 않는다. 즉, R {\displaystyle R} 는 왼쪽 뇌터 환이며, G {\displaystyle G} 는 뇌터 군이다. 무한 차수의 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} dim K ⁡ L ≥ ℵ 0 {\displaystyle \dim _{K}L\geq \aleph _{0}} 가 주어졌다고 하자. (예를 들어, L / K = R / Q {\displaystyle L/K=\mathbb {R} /\mathbb {Q} } 를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환 ( L L 0 K ) = { ( a b 0 c ) : a , b ∈ L , c ∈ K } {\displaystyle {\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}} 를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.:22, Corollary 1.24 D {\displaystyle D} 가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체 Frac ⁡ ( D ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (D)} 는 (체이므로) 뇌터 환이며, D {\displaystyle D} 는 그 부분환이다. 삼각환 R = ( Z Q 0 Q ) {\displaystyle R=({\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{smallmatrix}})} 은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 S = ( Q Q 0 Q ) {\displaystyle S=({\begin{smallmatrix}\mathbb {Q} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{smallmatrix}})} 의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.:20, Corollary 1.23) 임의의 무한 기수 κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} 에 대한 직접곱 R = F 2 κ {\displaystyle R=\mathbb {F} _{2}^{\kappa }} 을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에서의 국소화 R p ≅ F 2 {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {F} _{2}} 는 뇌터 환이다. 에미 뇌터는 1921년 논문에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다. 뇌터 스킴 아르틴 환 Faith, Carl (1973). 《Algebra: rings, modules, and categories I》. 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