크리스토펠 기호

크리스토펠 기호(Christoffel記號, 독일어: Christoffelsymbole, 영어: Christoffel symbol)는 레비치비타 접속의 성분을 나타내는 기호다. 레비치비타 접속으로 정의된 공변 미분과 주어진 좌표에 대한 편미분의 차로 생각할 수 있다. 기호는 그리스 대문자 감마(Γ)다. 간혹 제1종 및 제2종 크리스토펠 기호를 구분하기도 한다. 이름과는 달리, 제2종이 더 근본적인 개념이다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 를 생각하자. 그렇다면, ∇ g = 0 {\displaystyle \nabla g=0} 이고 꼬임이 없는 유일한 아핀 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 가 존재한다.이를 레비치비타 접속(Levi-Civita connexion)이라고 부른다. 국소 좌표계 xi, (i = 1, 2, ..., n)가 n차원 다양체 M위에 주어지고, 그 계량 텐서가 g {\displaystyle g} 일 때, 그 접벡터 e i = ∂ ∂ x i = ∂ i , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle \mathrm {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}=\partial _{i},\quad i=1,2,\dots ,n} 에 의해 접공간 M의 정의역 각 점에서 국소 좌표계의 기저가 정의된다. 제1종 크리스토펠 기호는 제2종 크리스토펠 기호와 계량 텐서로부터 유도되어 Γ c a b = g c d Γ d a b , {\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}\Gamma ^{d}{}_{ab}\,,} 처럼 정의될 수 있으며, 또는 그 자체로써, Γ c a b = 1 2 ( ∂ g c a ∂ x b + ∂ g c b ∂ x a − ∂ g a b ∂ x c ) = 1 2 ( g c a , b + g c b , a − g a b , c ) = 1 2 ( ∂ b g c a + ∂ a g c b − ∂ c g a b ) . {\displaystyle \Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)={\frac {1}{2}}\,(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c})={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.} 처럼 정의될 수도 있다. 다른 표기 방법으로 Γ c a b = [ a b , c ] . {\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].} 로 표기하기도 한다. [ a b , c ] = [ b a , c ] {\displaystyle [ab,c]=[ba,c]} 라는 점은 주목할 필요가 있다. 제2종 크리스토펠 기호는 한 좌표 기저에서 레비치비타 접속의 접속 계수이며, 이 접속은 비틀림이 0이기 때문에, 그 기저의 접속 계수 또한 대칭이다. 다시 말해, Γ k i j = Γ k j i {\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ji}\,} 이 성립한다. 그런 이유에서 비틀림 없는 접속을 흔히 ‘대칭’이라고 한다. 다시 말해서 제2종 크리스토펠 기호 Γ k i j {\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}} 는 (때로는 Γ i j k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}} 또는 { k i j } {\displaystyle \{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}} 로도 표기한다) ∇ i e j = Γ k i j e k {\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathrm {e} _{k}} 가 성립되는 유일한 접속으로 정의되는데 여기서 ∇ i {\displaystyle \nabla _{i}} M에서 좌표방향 e i {\displaystyle \mathrm {e} _{i}} 로의 레비치비타 접속이며, 이것은 ∇ i ≡ ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}\equiv \nabla _{\mathrm {e} _{i}}} 일 때를 뜻하고, e i = ∂ i {\displaystyle \mathrm {e} _{i}=\partial _{i}} 는 국소 좌표의 홀로노믹 기저이다. 크리스토펠 기호는 공변 미분과 계량 텐서 g i k   {\displaystyle g_{ik}\ } 에 의해 표현될 수 있는데, 0 = ∇ ℓ g i k = ∂ g i k ∂ x ℓ − g m k Γ m i ℓ − g i m Γ m k ℓ = ∂ g i k ∂ x ℓ − 2 g m k Γ m i ℓ {\displaystyle 0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-2g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }} 이다. 더 짧은 표기법으로, 나블라 기호와 편미분 기호를 생략하여, 세미콜론과 콤마와 미분하는 첨자를 표기하여 0 = g i k ; ℓ = g i k , ℓ − g m k Γ m i ℓ − g i m Γ m k ℓ {\displaystyle 0=\,g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }} 와 같이도 쓴다. 아래 두 첨자에 대해 대칭이라는 점을 이용하여, 크리스토펠 기호를 계량 텐서의 함수로 나타낼 수 있는데, Γ i k ℓ = 1 2 g i m ( ∂ g m k ∂ x ℓ + ∂ g m ℓ ∂ x k − ∂ g k ℓ ∂ x m ) = 1 2 g i m ( g m k , ℓ + g m ℓ , k − g k ℓ , m ) {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m})} 이고, 여기서 ( g j k ) {\displaystyle (g^{jk})} 는 ( g j k ) {\displaystyle (g_{jk})\,} 의 역행렬이고, 크로네커 델타와 아인슈타인 표기법을 사용하면 g j i g i k = δ j k   {\displaystyle g^{ji}g_{ik}=\delta ^{j}{}_{k}\ } 인 것이다. 크리스토펠 기호는 텐서와 같은 방식으로 표기되지만, 텐서는 아니다. 좌표변환에 대해서 텐서처럼 행동하지 않는다. 독일의 엘빈 브루노 크리스토펠이 1869년에 도입하였다. 리치 곡률 텐서 슈바르츠실트 해 Ludvigsen, Malcolm (1999), 《General Relativity: A Geometrical Approach》, 88쪽  Christoffel, E.B. (1869), “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrucke zweiten Grades”, 《Jour. fur die reine und angewandte Mathematik》, B. 70: 46–70  Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). 《Vector and Tensor Analysis》. 480쪽.  Struik, D.J. (1961). 《Lectures on Classical Differential Geometry》 fir publish in 1988 Dover판. 114쪽.  Bishop, R.L.; Goldberg (1968), 《Tensor Analysis on Manifolds》, 241쪽  http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html. (Kreyszig 1991) harv error: 대상 없음: CITEREFKreyszig1991 (help), page 141 Christoffel, Elwin Bruno (1869). “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik B》 (독일어) 70: 46-70. doi:10.1515/crll.1869.70.46.  O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1997년 4월). “Elwin Bruno Christoffel”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.  “Christoffel symbol”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Christoffel symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Christoffel symbol of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Christoffel symbol of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Christoffel symbols”. 《nLab》 (영어).  이철희. “크리스토펠 기호”. 《수학노트》.