오차 방정식

오차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는 a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\;a\neq 0} 와 같다. 여기에서 a , b , c , d , e {\displaystyle a,b,c,d,e} 는 각각 x 5 , x 4 , x 3 , x 2 , x {\displaystyle x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x} 의 계수라고 한다. 또한 f {\displaystyle f} 는 상수항이라고 부른다. 그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다. 갈루아와 아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다. 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다. 실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다. 오차방정식 a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 {\displaystyle \textstyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0} 의 다섯 근을 α , β , γ , δ , ϵ {\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon } 라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다. ( x − α ) ( x − β ) ( x − γ ) ( x − δ ) ( x − ϵ ) = 0 {\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )(x-\epsilon )=0} x 5 − ( α + β + γ + δ + ϵ ) x 4 + ( α β + α γ + α δ + α ϵ + β γ + β δ + β ϵ + γ δ + γ ϵ + δ ϵ ) x 3 {\displaystyle x^{5}-(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon )x^{4}+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha \epsilon +\beta \gamma +\beta \delta +\beta \epsilon +\gamma \delta +\gamma \epsilon +\delta \epsilon )x^{3}} − ( α β γ + α β δ + α β ϵ + α γ δ + α γ ϵ + α δ ϵ + β γ δ + β γ ϵ + β δ ϵ + γ δ ϵ ) x 2 {\displaystyle -(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \epsilon +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma \epsilon +\alpha \delta \epsilon +\beta \gamma \delta +\beta \gamma \epsilon +\beta \delta \epsilon +\gamma \delta \epsilon )x^{2}} + ( α β γ δ + α β γ ϵ + α β δ ϵ + α γ δ ϵ + β γ δ ϵ ) x − α β γ δ ϵ = 0 {\displaystyle +(\alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma \epsilon +\alpha \beta \delta \epsilon +\alpha \gamma \delta \epsilon +\beta \gamma \delta \epsilon )x-\alpha \beta \gamma \delta \epsilon =0} 또한, α + β + γ + δ + ϵ = − b a {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon =-{b \over a}} α β + α γ + α δ + α ϵ + β γ + β δ + β ϵ + γ δ + γ ϵ + δ ϵ = c a {\displaystyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha \epsilon +\beta \gamma +\beta \delta +\beta \epsilon +\gamma \delta +\gamma \epsilon +\delta \epsilon ={c \over a}} α β γ + α β δ + α β ϵ + α γ δ + α γ ϵ + α δ ϵ + β δ ϵ + β δ γ + β γ ϵ + γ δ ϵ = − d a {\displaystyle \alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \epsilon +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma \epsilon +\alpha \delta \epsilon +\beta \delta \epsilon +\beta \delta \gamma +\beta \gamma \epsilon +\gamma \delta \epsilon =-{d \over a}} α β γ δ + α β γ ϵ + α β δ ϵ + α γ δ ϵ + β γ δ ϵ = e a {\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma \epsilon +\alpha \beta \delta \epsilon +\alpha \gamma \delta \epsilon +\beta \gamma \delta \epsilon ={e \over a}} α β γ δ ϵ = − f a {\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \epsilon =-{f \over a}} 의 관계가 있다. 특히 각 항( x 5 , x 4 , x 3 , x 2 , x , f {\displaystyle x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x,f} )에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다. 5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 α , β , γ , δ , ϵ {\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon } 라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 5 ! 1 ! ⋅ ( 5 − 1 ) ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 1 ! ⋅ ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 5 1 = 5 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{1!\cdot (5-1)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {1!\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}={5 \over 1}=5} 2개씩의 조합의 경우의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 5 ! 2 ! ⋅ ( 5 − 2 ) ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2 ! ⋅ ( 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 5 ⋅ 4 2 ⋅ 1 = 20 2 = 10 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{2!\cdot (5-2)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {2!\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}}={{5\cdot 4} \over {2\cdot 1}}={20 \over 2}=10} 3개씩의 조합의 경우의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 5 ! 3 ! ⋅ ( 5 − 3 ) ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ! ⋅ ( 2 ⋅ 1 ) = 5 ⋅ 4 2 ⋅ 1 = 20 2 = 10 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{3!\cdot (5-3)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {3!\cdot (2\cdot 1)}}={{5\cdot 4} \over {2\cdot 1}}={20 \over 2}=10} 4개씩의 조합의 경우의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 5 ! 4 ! ⋅ ( 5 − 4 ) ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4 ! ⋅ ( 1 ) = 5 1 = 5 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{4!\cdot (5-4)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {4!\cdot (1)}}={{5} \over {1}}=5} 이다. 5개씩의 조합의 경우의 수는 , n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! = 5 ! 5 ! ⋅ ( 5 − 5 ) ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5 ! ⋅ 0 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 120 = 1 {\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{5!\cdot (5-5)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {5!\cdot 0!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={120 \over 120}=1} 이다. a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0} 다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항( n {\displaystyle n} 차항)의 x {\displaystyle x} 의 계수, a {\displaystyle a} 로 나눈 다음 x = y − b n a {\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}} 의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다. 이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다. 먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다. x 5 + b a x 4 + c a x 3 + d a x 2 + e a x + f a = 0 {\displaystyle x^{5}+{b \over a}x^{4}+{c \over a}x^{3}+{d \over a}x^{2}+{e \over a}x+{f \over a}=0} 그리고 y로 치환한다. x = y − b 5 a {\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {5} a}} 그러면, 방정식은 y 5 + p y 3 + q y 2 + r y + s = 0 {\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0} 의 꼴로 정리된다. 여기서 p , q , r , s {\displaystyle p,q,r,s} 는 다음과 같다. p = − 2 b 2 + 5 a c 5 a 2 {\displaystyle p={{-2b^{2}+5ac} \over {5a^{2}}}} q = 4 b 3 − 15 a b c + 25 a 2 d 25 a 3 {\displaystyle q={{4b^{3}-15abc+25a^{2}d} \over {25a^{3}}}} r = − 3 b 4 + 15 a b 2 c − 50 a 2 b d + 125 a 3 e 125 a 4 {\displaystyle r={{-3b^{4}+15ab^{2}c-50a^{2}bd+125a^{3}e} \over {125a^{4}}}} s = 625 a 3 b e + 4 b 5 − 25 a b 3 c + 125 a 2 b 2 d + 3125 a 5 f 3125 a 5 {\displaystyle s={{625a^{3}be+4b^{5}-25ab^{3}c+125a^{2}b^{2}d+3125a^{5}f} \over {3125a^{5}}}} 상반방정식 5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법이나 다항식 장제법으로 ( x ± a ) {\displaystyle (x\pm a)} 의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다. 예) : a x 5 + b x 4 + c x 3 + c x 2 + b x + a = 0 {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0} 이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 − 1 {\displaystyle -1} 임을 알아야 한다. − 1 {\displaystyle -1} 이 나올 수 있는 인수는 ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)} 이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은 a x 4 + ( − a + b ) x 3 + ( a − b + c ) x 2 + ( − a + b ) x + a = 0 {\displaystyle ax^{4}+(-a+b)x^{3}+(a-b+c)x^{2}+(-a+b)x+a=0} 가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다. 이항방정식 x 5 ± a = 0 {\displaystyle x^{5}\pm a=0} 의 꼴은 이항방정식으로 a {\displaystyle a} 와 근의 계수 ω {\displaystyle \omega } 를 찾아 5개의 근을 구할 수 있다. 오차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다. 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다. a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0} 을 a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 = 0 {\displaystyle a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0} 으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 M = ( 2 n − 1 ) ⋅ ( 2 n − 1 ) {\displaystyle M=(2n-1)\cdot (2n-1)} M = [ a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 5 a 5 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 a 0 0 0 0 0 5 a 5 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 a 0 0 0 0 0 5 a 5 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 a 0 0 0 a 0 0 0 5 a 5 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 a 0 0 0 5 a 5 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0&0\\0&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&0&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&0&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0&0&0\\0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0&0\\0&0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0\\0a_{0}&0&0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\0&0a_{0}&0&0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{bmatrix}}} D = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a n − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{n(n-1) \over 2}a_{n}^{-1}M} D = ( − 1 ) 5 ( 5 − 1 ) 2 a 5 − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{5(5-1) \over 2}a_{5}^{-1}M} D = ( − 1 ) 20 2 a 5 − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{20 \over 2}a_{5}^{-1}M} D = ( − 1 ) 10 a 5 − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{10}a_{5}^{-1}M} 오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을 갖는다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 초등함수를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했다: x 5 + 5 μ 4 ( 4 ν + 3 ) ν 2 + 1 x = 4 μ 5 ( 2 ν + 1 ) ( 4 ν + 3 ) ν 2 + 1 {\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x={\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}} 그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해다: x = 2 μ 20 ν + 15 5 ν 2 + 1 4 cosh ⁡ { 1 5 arcosh [ 125 ν 2 + 1 4 ( 2 ν 2 + 1 + 2 ν − 1 ) ( 20 ν + 15 ) 3 / 2 ] } − {\displaystyle x={\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}+2\nu -1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-} − 2 μ 20 ν + 15 5 ν 2 + 1 4 sinh ⁡ { 1 5 arsinh [ 125 ν 2 + 1 4 ( 2 ν 2 + 1 − 2 ν + 1 ) ( 20 ν + 15 ) 3 / 2 ] } {\displaystyle -{\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}-2\nu +1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}} 이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예다: x 5 + 15 x = 12 {\displaystyle x^{5}+15x=12} x = 2 5 15 cosh ⁡ [ 1 5 arcosh ( 5 9 15 ) ] − 2 5 15 sinh ⁡ [ 1 5 arsinh ( 5 3 15 ) ] {\displaystyle x={\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\cosh[{\tfrac {1}{5}}{\text{arcosh}}({\tfrac {5}{9}}{\sqrt {15}})]-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\sinh[{\tfrac {1}{5}}{\text{arsinh}}({\tfrac {5}{3}}{\sqrt {15}})]} 매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있다: x 5 + x = 2 5 y − 5 / 4 ( 1 + y − y 2 ) 2 + 2 y 2 10 + 15 y − 10 y 2 4 {\displaystyle x^{5}+x={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}} x = 2 5 y − 1 / 4 10 + 15 y − 10 y 2 4 cosh ⁡ { 1 5 arcosh [ 5 5 + 5 y 2 ( 1 + 2 y ) 4 + 6 y − 4 y 2 ] } − {\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-} − 2 5 y − 1 / 4 10 + 15 y − 10 y 2 4 sinh ⁡ { 1 5 arsinh [ 5 y 5 + 5 y 2 ( 2 − y ) 4 + 6 y − 4 y 2 ] } {\displaystyle -{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}} 이 해결책 공식은 모든 실수 값 0 < y < 2에 대해 유효하다. 다음에서 이 방정식을 일반화한다: x 5 + x = w {\displaystyle x^{5}+x=w} x = 2 5 y − 1 / 4 10 + 15 y − 10 y 2 4 cosh ⁡ { 1 5 arcosh [ 5 5 + 5 y 2 ( 1 + 2 y ) 4 + 6 y − 4 y 2 ] } − {\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-} − 2 5 y − 1 / 4 10 + 15 y − 10 y 2 4 sinh ⁡ { 1 5 arsinh [ 5 y 5 + 5 y 2 ( 2 − y ) 4 + 6 y − 4 y 2 ] } {\displaystyle -{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}} y = 5 ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 5 ⟩ 2 2 ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } ⟩ 2 − 1 2 {\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}} 이 공식은 아래에 설명되어 있다. 위의 방정식에서 다음 방정식이 생성된다: w = 2 5 y − 5 / 4 ( 1 + y − y 2 ) 2 + 2 y 2 10 + 15 y − 10 y 2 4 {\displaystyle w={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}} 방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있다: ( 2 y 5 − y 6 1 + 2 y ) 1 / 2 = 3125 256 w 4 + 1 − 25 16 5 w 2 {\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}={\sqrt {{\frac {3125}{256}}w^{4}+1}}-{\frac {25}{16}}{\sqrt {5}}\,w^{2}} ( 2 y 5 − y 6 1 + 2 y ) 1 / 2 = sin ⁡ { 2 arcsin ⁡ [ ( 50 5 w 2 + 32 + 2 3125 w 4 + 256 ) − 1 / 2 ( 3125 w 4 + 256 + 16 + 5 5 4 w ) ] } {\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}=\sin {\bigl \{}2\arcsin {\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}} y = 5 ϑ 00 { q [ ( 50 5 w 2 + 32 + 2 3125 w 4 + 256 ) − 1 / 2 ( 3125 w 4 + 256 + 16 + 5 5 4 w ) ] 5 } 2 2 ϑ 00 { q [ ( 50 5 w 2 + 32 + 2 3125 w 4 + 256 ) − 1 / 2 ( 3125 w 4 + 256 + 16 + 5 5 4 w ) ] } 2 − 1 2 {\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}^{5}{\bigr \}}^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}-{\frac {1}{2}}} y = 5 ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 5 ⟩ 2 2 ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } ⟩ 2 − 1 2 {\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}} 그리스 기호는 테타 야코비 테타 함수를 나타낸다: ϑ 00 ( z ) = 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ z k 2 {\displaystyle \vartheta _{00}(z)=1+2\sum _{k=1}^{\infty }z^{k^{2}}} ϑ 00 ( z ) = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − z 2 k ) ( 1 + z 2 k − 1 ) 2 {\displaystyle \vartheta _{00}(z)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-z^{2k})(1+z^{2k-1})^{2}} 놈 함수는 문자 q로 표시된다: q ( ε ) = exp ⁡ [ − π K ( 1 − ε 2 ) K ( ε ) − 1 ] {\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]} 문자 K는 제1종 완전 타원 적분을 나타낸다: K ( r ) = ∫ 0 π / 2 1 1 − r 2 sin ⁡ ( φ ) 2 d φ {\displaystyle K(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi } 약어 ctlh 및 aclh로 렘니스케이트(lemniscate) 함수가 표시된다: s l ( φ ) = tan ⁡ ⟨ 2 arctan ⁡ { 4 G sin ⁡ ( φ G ) ∑ k = 1 ∞ cosh ⁡ [ ( 2 k − 1 ) π ] cosh ⁡ [ ( 2 k − 1 ) π ] 2 − cos ⁡ ( φ / G ) 2 } ⟩ {\displaystyle \mathrm {sl} (\varphi )=\tan {\biggl \langle }2\arctan {\biggl \{}{\frac {4}{G}}\sin {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }} c l ( φ ) = tan ⁡ ⟨ 2 arctan ⁡ { 4 G cos ⁡ ( φ G ) ∑ k = 1 ∞ cosh ⁡ [ ( 2 k − 1 ) π ] cosh ⁡ [ ( 2 k − 1 ) π ] 2 − sin ⁡ ( φ / G ) 2 } ⟩ {\displaystyle \mathrm {cl} (\varphi )=\tan {\biggl \langle }2\arctan {\biggl \{}{\frac {4}{G}}\cos {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }} [ sl ( φ ) 2 + 1 ] [ cl ( φ ) 2 + 1 ] = 2 {\displaystyle [{\text{sl}}(\varphi )^{2}+1][{\text{cl}}(\varphi )^{2}+1]=2} ctlh ( ϱ ) = cl ⁡ ( 1 2 2 ϱ ) [ sl ⁡ ( 1 2 2 ϱ ) 2 + 1 sl ⁡ ( 1 2 2 ϱ ) 2 + cl ⁡ ( 1 2 2 ϱ ) 2 ] 1 / 2 {\displaystyle {\text{ctlh}}(\varrho )=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho ){\biggl [}{\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}+1}{\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}} aclh ( s ) = 1 2 2 π G − ∫ 0 1 s s 4 t 4 + 1 d t {\displaystyle {\text{aclh}}(s)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi \,G-\int _{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {s^{4}t^{4}+1}}}\,\mathrm {d} t} G = 1 2 2 π Γ ( 3 4 ) − 2 {\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-2}} ctlh [ 1 2 a c l h ( s ) ] 2 = ( 2 s 2 + 2 + 2 s 4 + 1 ) − 1 / 2 ( s 4 + 1 + 1 + s ) {\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {aclh} (s){\bigr ]}^{2}=(2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s)} sl [ 1 2 2 a c l h ( s ) ] = s 4 + 1 − s 2 {\displaystyle {\text{sl}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {aclh} (s){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}-s^{2}}}} 문자 G는 가우스 상수를 나타낸다. 로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는 다음과 같이 정의된다: R ( z ) = z 1 / 5 ( z ; z 5 ) ∞ ( z 4 ; z 5 ) ∞ ( z 2 ; z 5 ) ∞ ( z 3 ; z 5 ) ∞ {\displaystyle R(z)=z^{1/5}{\frac {(z;z^{5})_{\infty }(z^{4};z^{5})_{\infty }}{(z^{2};z^{5})_{\infty }(z^{3};z^{5})_{\infty }}}} 두 개의 항목으로 구성된 대괄호 표현식은 포흐하머 기호를 나타낸다. R ( z ) = tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ϑ 00 ( z 1 / 2 ) 2 2 ϑ 00 ( z 5 / 2 ) 2 − 1 2 ] } 2 / 5 tan ⁡ { 1 2 arccot ⁡ [ ϑ 00 ( z 1 / 2 ) 2 2 ϑ 00 ( z 5 / 2 ) 2 − 1 2 ] } 1 / 5 {\displaystyle R(z)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}} R ( z 2 ) = tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ϑ 00 ( z ) 2 2 ϑ 00 ( z 5 ) 2 − 1 2 ] } 2 / 5 tan ⁡ { 1 2 arccot ⁡ [ ϑ 00 ( z ) 2 2 ϑ 00 ( z 5 ) 2 − 1 2 ] } 1 / 5 {\displaystyle R(z^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}} S ( z ) = tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ϑ 00 ( z ) 2 2 ϑ 00 ( z 5 ) 2 − 1 2 ] } 1 / 5 cot ⁡ { 1 2 arccot ⁡ [ ϑ 00 ( z ) 2 2 ϑ 00 ( z 5 ) 2 − 1 2 ] } 2 / 5 {\displaystyle S(z)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}} S ( z ) = R ( z 4 ) R ( z 2 ) R ( z ) {\displaystyle S(z)={\frac {R(z^{4})}{R(z^{2})R(z)}}} 이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있다: x 5 + x = w {\displaystyle x^{5}+x=w} x = S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } ⟩ 2 − R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 2 ⟩ S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } ⟩ 2 × {\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times } × 1 − R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 2 ⟩ S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } ⟩ R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 2 ⟩ 2 × {\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times } × ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 5 ⟩ ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 1 / 5 ⟩ 2 − 5 ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } 5 ⟩ 3 2 20 4 sl [ 1 2 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 5 4 5 4 w ) ] 2 } ⟩ 3 {\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}} 첫 번째 계산 예: x 5 + x = 3 {\displaystyle x^{5}+x=3} x = S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ 2 − R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } 2 ⟩ S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ 2 × {\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times } × 1 − R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } 2 ⟩ S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } 2 ⟩ 2 × {\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times } × ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } 5 ⟩ ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } 1 / 5 ⟩ 2 − 5 ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } 5 ⟩ 3 2 20 4 sl [ 1 2 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ 3 {\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}} q { ctlh [ 1 2 aclh ( 15 4 5 4 ) ] 2 } ≈ 0.452374059450344348576600264284387826377845763909 {\displaystyle q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}\approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909} x ≈ 1.132997565885065266721141634288532379816526027727 {\displaystyle x\approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727} 두 번째 계산 예: x 5 + x = 7 {\displaystyle x^{5}+x=7} x = S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ 2 − R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } 2 ⟩ S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ 2 × {\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times } × 1 − R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } 2 ⟩ S ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ R ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } 2 ⟩ 2 × {\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times } × ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } 5 ⟩ ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } 1 / 5 ⟩ 2 − 5 ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } 5 ⟩ 3 2 20 4 sl [ 1 2 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] ϑ 00 ⟨ q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } ⟩ 3 {\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}} q { ctlh [ 1 2 aclh ( 35 4 5 4 ) ] 2 } ≈ 0.53609630892200161460073096549143569900990236 {\displaystyle q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}\approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236} x ≈ 1.4108138510595771319852918753499397839215989 {\displaystyle x\approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989} 일차 방정식 이차 방정식 삼차 방정식 사차 방정식 육차 방정식 칠차 방정식 상반방정식 출처는 영문 위키피디아 Weisstein, Eric W. “Bring-Jerrard Quintic Form” (영어). 2022년 1월 24일에 확인함.  Brioschi, F. (1858년 12월 1일). “Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite — Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus —. N. 11. Mars. 1858”. doi:10.1007/bf03197334.  Deng, Ji-En; Chen, Chao-Ping (2014년 1월 24일). “Sharp Shafer-Fink type inequalities for Gauss lemniscate functions”. 《Journal of Inequalities and Applications》 2014 (1): 35. doi:10.1186/1029-242X-2014-35. ISSN 1029-242X.  Weisstein, Eric W. “Rogers-Ramanujan Continued Fraction” (영어). 2022년 1월 24일에 확인함.