아르프 불변량

이차 형식 이론에서, 아르프 불변량(Arf不變量, 영어: Arf invariant)는 표수 2의 체 위의 이차 형식을 분류하는 불변량이다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 차원 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} -벡터 공간 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 위의 비퇴화 이차 형식 Q : V → K {\displaystyle Q\colon V\to K} 그렇다면, 항상 | { v ∈ V : Q ( v ) = 0 } | ≠ | { v ∈ V : Q ( v ) = 1 } | {\displaystyle |\{v\in V\colon Q(v)=0\}|\neq |\{v\in V\colon Q(v)=1\}|} 임을 보일 수 있다. Q {\displaystyle Q} 의 아르프 불변량은 다음과 같다. Arf ⁡ ( Q ) = { 0 | { v ∈ V : Q ( v ) = 0 } | > | { v ∈ V : Q ( v ) = 1 } | 1 | { v ∈ V : Q ( v ) = 0 } | < | { v ∈ V : Q ( v ) = 1 } | ∈ F 2 {\displaystyle \operatorname {Arf} (Q)={\begin{cases}0&|\{v\in V\colon Q(v)=0\}|>|\{v\in V\colon Q(v)=1\}|\\1&|\{v\in V\colon Q(v)=0\}|<|\{v\in V\colon Q(v)=1\}|\\\end{cases}}\in \mathbb {F} _{2}} 다음이 주어졌다고 하자. 표수 2의 체 K {\displaystyle K} 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q : V → K {\displaystyle Q\colon V\to K} 그렇다면, Q {\displaystyle Q} 를 다음과 같은 꼴로 나타내는 V {\displaystyle V} 의 기저 ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})} 가 존재함을 보일 수 있다. Q = ∑ i = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a i x 2 i + x 2 i x 2 i + 1 + b i x 2 i + 1 2 {\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }a_{i}x_{2i}^{+}x_{2i}x_{2i+1}+b_{i}x_{2i+1}^{2}} a 1 , … , a ⌊ n / 2 ⌋ , b 1 , … , b ⌊ n / 2 ⌋ ∈ K {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{\lfloor n/2\rfloor },b_{1},\dots ,b_{\lfloor n/2\rfloor }\in K} 특히, 만약 V {\displaystyle V} 가 비특이 이차 형식이라면 n {\displaystyle n} 은 항상 짝수이다. 그렇다면, 다음과 같은 값을 생각하자. ∑ i = 0 ⌊ n / 2 ⌋ a i b i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }a_{i}b_{i}} 이 값은 선택한 기저 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})} 에 의존하지만, 다른 기저 ( x 1 ′ , … , x n ′ ) {\displaystyle (x'_{1},\dotsc ,x'_{n})} 를 선택하였을 경우 ∑ i = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( a i b i − a i ′ b i ′ ) ∈ { a 2 + a : a ∈ K } {\displaystyle \sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(a_{i}b_{i}-a'_{i}b'_{i})\in \{a^{2}+a\colon a\in K\}} 가 된다. 또한, 이 집합은 K {\displaystyle K} 의 덧셈 부분군을 이룬다. 증명: 임의의 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} 에 대하여, ( a 2 + a ) + ( b 2 + b ) = ( a + b ) 2 + ( a + b ) − 2 a b = ( a + b ) 2 + ( a + b ) {\displaystyle (a^{2}+a)+(b^{2}+b)=(a+b)^{2}+(a+b)-2ab=(a+b)^{2}+(a+b)} 이다. 이에 따라, 덧셈 아벨 군 ( K , + ) / { a 2 + a : a ∈ K } {\displaystyle (K,+)/\{a^{2}+a\colon a\in K\}} 속에서 취한 이 합은 Q {\displaystyle Q} 의 불변량이다. 이를 Q {\displaystyle Q} 의 아르프 불변량이라고 한다. 특히, 만약 K = F 2 {\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}} 일 경우 { a 2 + a : a ∈ F 2 } = { 0 } {\displaystyle \{a^{2}+a\colon a\in \mathbb {F} _{2}\}=\{0\}} 이므로, 아르프 불변량은 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 의 원소가 된다. K {\displaystyle K} 가 표수 2의 완전체라고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 비특이 이차 형식의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 대하여 완전히 결정된다. (그러나 이는 완전체가 아닌 경우 일반적으로 성립하지 않는다.) 자히트 아르프가 1941년에 도입하였다. 아르프 불변량은 매듭 이론 및 4 k + 2 {\displaystyle 4k+2} 의 꼴의 차원의 매끄러운 다양체의 분류에 등장한다. Arf, Cahit (1941). “Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2 (Teil Ⅰ)”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 183: 148–167. doi:10.1515/crll.1941.183.148. ISSN 0075-4102. Zbl 0025.01403.  Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2010년 4월). “On the Arf invariant in historical perspective”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 57 (1): 73–102. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. ISSN 0720-728X. Zbl 1201.01015.  Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 10월). “On the Arf invariant in historical perspective, part 2”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 58 (2): 125–136. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. ISSN 0720-728X. Zbl 1244.11032.  “Arf-invariant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Arf invariant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Arf invariant”. 《nLab》 (영어).  Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 6월 17일). “Cahit Arf and his invariant” (PDF) (영어).