홀함수와 짝함수

수학에서 홀함수(영어: odd function) 또는 기함수(奇函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 덧셈 역원인 실수 함수이다. 짝함수(영어: even function) 또는 우함수(偶函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 같은 실수 함수이다. 해석학의 테일러 급수와 푸리에 급수 이론에서 중요하게 사용되는 개념이다. 멱함수의 홀짝성이 그 지수의 홀짝성과 일치한다는 데에서 이름을 따왔다. 실수 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 의 정의역 D ⊆ R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } 가 − D = D {\displaystyle -D=D} 를 만족시키는 구간이라고 하자. 만약 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여 f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} 라면, f {\displaystyle f} 를 홀함수라고 한다. 만약 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여 f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} 라면, f {\displaystyle f} 를 짝함수라고 한다. 홀함수이자 짝함수는 영함수밖에 없다. 이는 항상 f ( x ) = ( f ( − x ) + ( − f ( − x ) ) ) / 2 = 0 {\displaystyle f(x)=(f(-x)+(-f(-x)))/2=0} 이기 때문이다. 홀함수도 짝함수도 아닌 함수는 존재한다. 예를 들어, f ( x ) = x + 1 {\displaystyle f(x)=x+1} 은 f ( − 1 ) = 0 ≠ ± 2 = ± f ( 1 ) {\displaystyle f(-1)=0\neq \pm 2=\pm f(1)} 이므로 홀함수도 짝함수도 아니다. 홀함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다. x f ( x 2 ) ( f : D → R ) {\displaystyle xf(x^{2})\qquad (f\colon D\to \mathbb {R} )} 짝함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다. f ( x 2 ) ( f : D → R ) {\displaystyle f(x^{2})\qquad (f\colon D\to \mathbb {R} )} 함수는 항상 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 이는 다음과 같다. f ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 2 + f ( x ) − f ( − x ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}} 짝함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 의 집합은 R {\displaystyle \mathbb {R} } -대수를 이루며, 홀함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 의 집합은 R {\displaystyle \mathbb {R} } -벡터 공간을 이룬다. 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 의 공간은 이들의 직합이다. R R = { f ∈ R R : f ( − x ) = f ( x ) } ⊕ { f ∈ R R : f ( − x ) = − f ( x ) } {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\colon f(-x)=f(x)\}\oplus \{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\colon f(-x)=-f(x)\}} 홀짝성이 주어진 함수의 사칙 연산의 홀짝성에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. 홀함수와 홀함수의 합·차는 홀함수이다. 짝함수와 짝함수의 합·차는 짝함수이다. 영이 아닌 홀함수와 영이 아닌 짝함수의 합·차는 홀함수도 짝함수도 아니다. 홀함수와 홀함수의 곱·몫은 짝함수이다. 홀함수와 짝함수의 곱·몫은 홀함수이다. 특히, 홀함수의 상수곱은 홀함수이다. 짝함수와 짝함수의 곱·몫은 짝함수이다. 특히, 짝함수의 상수곱은 짝함수이다. 미분 가능 함수의 경우, 다음 성질들이 성립한다. 홀함수의 미분은 짝함수이다. 짝함수의 미분은 홀함수이다. 어떤 함수가 짝함수의 필요 충분 조건은, 그래프가 y {\displaystyle y} 축에 대하여 대칭인 것이다. 어떤 함수가 홀함수일 필요 충분 조건은, 그래프가 원점에 대하여 대칭인 것이다. 홀함수 f : [ − a , a ] → R {\displaystyle f\colon [-a,a]\to \mathbb {R} } 의 적분은 다음과 같다. ∫ − a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0} 짝함수 f : [ − a , a ] → R {\displaystyle f\colon [-a,a]\to \mathbb {R} } 의 적분은 다음과 같다. ∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=2\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} x} 짝함수의 매클로린 급수는 차수가 짝수인 항으로만 구성된다. 홀함수의 테일러 급수는 차수가 홀수인 항으로만 구성된다. 짝 주기 함수의 푸리에 급수는 코사인 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다. f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ 2 n π T x {\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos {\frac {2n\pi }{T}}x}} 홀 주기 함수의 푸리에 급수는 사인 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다. f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ 2 n π T x {\displaystyle f\left(x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin {\frac {2n\pi }{T}}x}} 홀함수의 몇 가지 예는 다음과 같다. (항등 함수) x {\displaystyle x} (홀수차 멱함수) x 3 {\displaystyle x^{3}} (사인) sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} (쌍곡선 사인) sinh ⁡ x {\displaystyle \sinh x} (오차 함수) erf ⁡ x {\displaystyle \operatorname {erf} x} 짝함수의 몇 가지 예는 다음과 같다. (상수 함수) c {\displaystyle c} (짝수차 멱함수) x 2 {\displaystyle x^{2}} (절댓값) | x | {\displaystyle |x|} (코사인) cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} (쌍곡선 코사인) cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh x} (가우스 곡선) exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) {\displaystyle \exp(-x^{2}/2)} 테일러 급수 푸리에 급수 반전성 “Even function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Odd function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Odd function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Even function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Even and odd functions”. 《PlanetMath》 (영어).