C* 대수

함수해석학에서 C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다. C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다. 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다. 사실, 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 대합 대수로 정의할 수 있다. 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다. 이 정의에서, 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다. 이 정의들은 모두 서로 동치이다. 복소수 벡터 공간 A {\displaystyle A} 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자. ( A , ∗ ) {\displaystyle (A,^{*})} 는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 및 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 에 대하여 ( λ a ) ∗ = λ ¯ a ∗ {\displaystyle (\lambda a)^{*}={\bar {\lambda }}a^{*}} 이다.) ( A , ‖ ‖ ) {\displaystyle (A,\|\|)} 는 복소수 바나흐 대수이다. 그렇다면, ( A , ∗ , ‖ ‖ ) {\displaystyle (A,^{*},\|\|)} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 ( A , ∗ , ‖ ‖ ) {\displaystyle (A,^{*},\|\|)} 가 이를 만족시킨다면 C* 대수라고 한다. (C* 항등식 영어: C* identity) ‖ x ∗ x ‖ = ‖ x ‖ ‖ x ∗ ‖ {\displaystyle \Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert } (B* 항등식 영어: B* identity) ‖ x ‖ = ‖ x ∗ ‖ {\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert } (C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.) 일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다. (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 ( A , ∗ ) {\displaystyle (A,^{*})} 가 다음 조건을 만족시킨다면, C* 대수라고 한다. a ↦ sup sp ⁡ ( a ∗ a ) {\displaystyle a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)} 는 A {\displaystyle A} 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 스펙트럼 sp ⁡ ( a ∗ a ) ⊆ C {\displaystyle \operatorname {sp} (a^{*}a)\subseteq \mathbb {C} } 는 유계 집합이다. 임의의 a ∈ A ∖ { 0 } {\displaystyle a\in A\setminus \{0\}} 에 대하여, 1 + λ a ∗ a {\displaystyle 1+\lambda a^{*}a} 가 가역원이 아니게 만드는 복소수 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 가 존재한다. (삼각 부등식) 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, sup sp ⁡ ( a ∗ a + b ∗ b + a ∗ b + b ∗ a ) ≤ sup sp ⁡ ( a ∗ a ) + sup sp ⁡ ( b ∗ b ) {\displaystyle \sup \operatorname {sp} (a^{*}a+b^{*}b+a^{*}b+b^{*}a)\leq \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)+\sup \operatorname {sp} (b^{*}b)} 이다. a ↦ sup sp ⁡ ( a ∗ a ) {\displaystyle a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)} 는 완비 노름을 이룬다. 이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 ‖ a ‖ = sup sp ⁡ ( a ∗ a ) = sp ⁡ ( a a ∗ ) {\displaystyle \|a\|=\sup \operatorname {sp} (a^{*}a)=\operatorname {sp} (aa^{*})} 임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 sp ⁡ ( a b ) ∪ { 0 } = sp ⁡ ( b a ) ∪ { 0 } {\displaystyle \operatorname {sp} (ab)\cup \{0\}=\operatorname {sp} (ba)\cup \{0\}} 이므로 이는 B* 항등식을 함의한다. 복소수 대합 대수 A {\displaystyle A} 의 *-표현(영어: *-representation)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 ι : A ↪ B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} . 즉, ι {\displaystyle \iota } 는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉, ι ( a ∗ ) = ι ( a ) ∗ ∀ a ∈ A {\displaystyle \iota (a^{*})=\iota (a)*\;\forall a\in A} . 여기서 우변의 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 는 유계 작용소의 에르미트 수반이다.) 만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 C* 대수라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.) 겔판트-나이마르크 정리(Гельфанд-Наймарк定理, 영어: Gelfand–Naimark theorem)에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 A {\displaystyle A} 의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위의 작용 ι : A → B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \iota \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 ∗ {\displaystyle ^{*}} 에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다. A {\displaystyle A} 가 C* 대수라고 하고, x ∈ A {\displaystyle x\in A} 라고 하자. 만약 y ∈ A {\displaystyle y\in A} 가 존재하여 y ∗ y = x {\displaystyle y^{*}y=x} 라면, x {\displaystyle x} 를 음이 아닌 원소(陰-元素, 영어: nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다. 만약 x = x ∗ {\displaystyle x=x^{*}} 라면, x {\displaystyle x} 를 자기 수반 원소라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다. x x ∗ = x ∗ x = 1 {\displaystyle xx^{*}=x^{*}x=1} 이라면, x {\displaystyle x} 를 유니터리 원소라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다. x {\displaystyle x} 의 스펙트럼 σ ( x ) ⊂ C {\displaystyle \sigma (x)\subset \mathbb {C} } 는 λ ⋅ 1 − x {\displaystyle \lambda \cdot 1-x} 가 가역원이 아니게 되는 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 들의 집합이다. 일반적으로, σ ( x ∗ ) = σ ¯ ( x ) {\displaystyle \sigma (x^{*})={\bar {\sigma }}(x)} 이다. x {\displaystyle x} 의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 sup | σ ( x ) | = ν ( x ) {\displaystyle \sup |\sigma (x)|=\nu (x)} 를 x {\displaystyle x} 의 스펙트럼 반지름이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다. ν ( x ) = lim n → ∞ ‖ x n ‖ 1 / n {\displaystyle \nu (x)=\lim _{n\to \infty }\Vert x^{n}\Vert ^{1/n}} 유한 또는 무한 개의 C* 대수 ( A i ) i ∈ I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간 ⨁ ^ i ∈ I A i ⊆ ∏ i ∈ I A i {\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}A_{i}} a ∈ ⨁ ^ i ∈ I A i ⟺ sup i ∈ I ‖ a i ‖ A i < ∞ {\displaystyle a\in {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\iff \sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}<\infty } 위에 균등 노름 ‖ a ‖ ⨁ ^ i A i = sup i ∈ I ‖ a i ‖ A i {\displaystyle \|a\|_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=\sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}} 및 성분별 곱셈 ( a b ) i = a i b i ( i ∈ I ) {\displaystyle (ab)_{i}=a_{i}b_{i}\qquad (i\in I)} 을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은 1 ⨁ ^ i A i = ( 1 A i ) i ∈ I {\displaystyle 1_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=(1_{A_{i}})_{i\in I}} 이다. 물론, 만약 I {\displaystyle I} 가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 ⨁ i ∈ I A i {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}} 과 같다. 다음이 주어졌다고 하자. C* 대수 A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} 의 양쪽 아이디얼 I ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A} . 또한, I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 가 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, 그 몫환 A / I {\displaystyle A/{\mathfrak {I}}} 역시 C* 대수를 이룬다. C* 대수 A {\displaystyle A} 및 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 행렬 대수 Mat ⁡ ( n ; A ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)} 는 A {\displaystyle A} 성분의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여 A ⊆ B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle A\subseteq \operatorname {B} (V,V)} 라면, Mat ⁡ ( n ; A ) ⊆ B ⁡ ( V ⊕ n , V ⊕ n ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)\subseteq \operatorname {B} (V^{\oplus n},V^{\oplus n})} 으로 여길 수 있다. 만약 n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우, 이는 자명환이다. 다음이 주어졌다고 하자. (항등원을 갖는) 두 C* 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} . 즉, f {\displaystyle f} 는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 ( f ( a ∗ ) = f ( a ) ∗ ∀ a ∈ A {\displaystyle f(a^{*})=f(a)^{*}\;\forall a\in A} ). 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다. 증명: 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, C* 항등식에 따라 ‖ a ‖ A 2 = ‖ a ∗ a ‖ A {\displaystyle \|a\|_{A}^{2}=\|a^{*}a\|_{A}} 이다. a ∗ a {\displaystyle a^{*}a} 는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 스펙트럼 반지름과 같다. ‖ a ∗ a | A = s p r a d A ⁡ ( a ∗ a ) {\displaystyle \|a^{*}a|_{A}=\operatorname {sp\,rad} _{A}(a^{*}a)} A {\displaystyle A} 의 가역원의 상은 B {\displaystyle B} 의 가역원이므로 다음이 성립한다. sp A ⁡ ( a ∗ a ) ⊇ sp B ⁡ ( f ( a ∗ a ) ) {\displaystyle \operatorname {sp} _{A}(a^{*}a)\supseteq \operatorname {sp} _{B}(f(a^{*}a))} 여기서 sp ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {sp} (-)} 는 스펙트럼이다. 특히 s p r a d A ⁡ ( a ∗ a ) ≥ s p r a d B ⁡ ( f ( a ∗ a ) ) {\displaystyle \operatorname {sp\,rad} _{A}(a^{*}a)\geq \operatorname {sp\,rad} _{B}(f(a^{*}a))} 이다. 이에 따라 ‖ f ( a ) ‖ B 2 = ‖ f ( a ∗ a ) ‖ B = s p r a d B ⁡ ( f ( a ∗ a ) ) ≤ s p r a d A ⁡ ( a ∗ a ) = ‖ a ∗ a ‖ A = ‖ a ‖ A 2 {\displaystyle \|f(a)\|_{B}^{2}=\|f(a^{*}a)\|_{B}=\operatorname {sp\,rad} _{B}(f(a^{*}a))\leq \operatorname {sp\,rad} _{A}(a^{*}a)=\|a^{*}a\|_{A}=\|a\|_{A}^{2}} 이며, 즉 ‖ f ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|f\|\leq 1} 이다. 또한, 만약 f {\displaystyle f} 가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, ‖ a ‖ A = ‖ f ( a ) ‖ B ∀ a ∈ A {\displaystyle \|a\|_{A}=\|f(a)\|_{B}\;\forall a\in A} 이다. 이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 C * A l g {\displaystyle \operatorname {C*Alg} } 를 이룬다. C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여 sp ⁡ ( a ∗ ) = { λ ¯ : λ ∈ sp ⁡ ( a ) } {\displaystyle \operatorname {sp} (a^{*})=\{{\bar {\lambda }}\colon \lambda \in \operatorname {sp} (a)\}} 이다. C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 의 부분 집합이다. 모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다. 한원소 집합 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다. 임의의 유한 차원 C* 대수 A {\displaystyle A} 는 다음과 같은 꼴이다. A = ⨁ i ∈ I Mat ⁡ ( n , n ; C ) {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in I}\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )} 여기서 Mat ⁡ ( n , n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )} 는 작용소 노름이 부여된, n × n {\displaystyle n\times n} 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다. (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A {\displaystyle A} 의 스펙트럼(영어: spectrum)은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.) A ^ = hom ⁡ ( A , C ) ⊆ A ∗ {\displaystyle {\hat {A}}=\hom(A,\mathbb {C} )\subseteq A^{*}} 즉, A → C {\displaystyle A\to \mathbb {C} } *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로, A ^ ⊆ cl ⁡ ( ball A ∗ ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle {\hat {A}}\subseteq \operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} _{A^{*}}(0,1)\right)} 이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 의 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자 A ^ : c o m C * A l g → CompHausTop op {\displaystyle {\hat {\color {White}{A}}}\colon \operatorname {comC*Alg} \to \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }} 를 정의한다. 여기서 정의역은 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수와, *-준동형들의 구체적 범주이다. 공역은 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수들의 구체적 범주의 반대 범주이다. 반대로, 다음과 같은 함자 C 0 ( X , − ) : CompHausTop op → c o m C * A l g {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,-)\colon \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {comC^{*}Alg} } 를 정의할 수 있다. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, C 0 ( − , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )} 는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름 ‖ f ‖ ∞ = sup x ∈ X | f | {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f|} 및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다. 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 의 C 0 ( − , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )} 에 대한 상은 다음과 같다. C 0 ( f , C ) : C 0 ( Y , C ) → C 0 ( X , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon {\mathcal {C}}^{0}(Y,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )} C 0 ( f , C ) : ϕ ↦ ϕ ∘ f {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon \phi \mapsto \phi \circ f} 겔판트 표현 정리(Гельфанд表現定理, 영어: Gelfand representation theorem)에 따르면, C 0 ( − , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )} 와 A ^ {\displaystyle {\hat {\color {White}{A}}}} 함자는 사실 두 범주 c o m C * A l g {\displaystyle \operatorname {comC*Alg} } 와 CompHausTop op {\displaystyle \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }} 사이의 범주의 동치를 정의한다. 특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A {\displaystyle A} 에 대하여 A ≅ C 0 ( A ^ , C ) {\displaystyle A\cong {\mathcal {C}}^{0}({\hat {A}},\mathbb {C} )} 이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A {\displaystyle A} 는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다. 임의의 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 위의 모든 유계 작용소들의 집합 B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 V = C n {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}} 가 유한 차원이라면, 이는 n × n {\displaystyle n\times n} 복소수 행렬들로 구성된다. 임의의 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 K ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {K} (V,V)} 은 B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환 B ⁡ ( V , V ) K ⁡ ( V , V ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {B} (V,V)}{\operatorname {K} (V,V)}}} 은 C* 대수를 이룬다. 이를 콜킨 대수(영어: Calkin algebra)라고 한다. C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다. 겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다. 바나흐 대수 작용소 K이론 Arveson, William (1976). 《An invitation to C*-algebras》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 39. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6371-5. ISBN 978-1-4612-6373-9. ISSN 0072-5285. MR 0512360. Zbl 0344.46123.  Sakai, Shôichirô (1971). 《C*-algebras and W*-algebras》. 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