크리핑 유동

크리핑 유동은 'Stokes 유동' 또는 '저 Reynolds 수 유동'이라고 부르기도 한다. 즉, 이러한 유동은 레이놀즈 수가 매우 작다(Re≪1). 다시말해, 레이놀즈 수의 정의, R e = ρ V L μ {\displaystyle Re={\rho VL \over \mu }} 로부터 ρ , V , L {\displaystyle \rho ,V,L} 이 작거나 점성이 매우 큰 경우(또는 이러한 조건의 조합)가 이에 해당한다. 우리 주위 또는 우리 몸속에서 미생물의 주위 유동이 이에 대한 예시가 될 수 있다. 미생물은 일생을 크리핑 유동 영역에서만 살게 되는데, 이는 이들의 크기가 수 미크론( 1 μ m = 10 − 6 m {\displaystyle 1\mu m=10^{-6}m} )으로 매우 작으며, 결코 점성이 크다고 볼 수 없는 공기나 물에서(상온에서 μ a i r ≅ 1.8 × 10 − 5 N ⋅ s / m 2 {\displaystyle \mu _{air}\cong 1.8\times 10^{-5}N\cdot s/m^{2}} 와 μ w a t e r ≅ 1.0 × 10 − 3 N ⋅ s / m 2 {\displaystyle \mu _{water}\cong 1.0\times 10^{-3}N\cdot s/m^{2}} ) 느리게 움직이기 때문이다. 그림에 나타난 박테리아의 몸길이는 고작 1m이며, 몸 뒤에 있는 길이가 수 미크론인 편모를 이용하여 몸을 움직인다. 이러한 운동에 대한 Reynolds 수는 1보다 훨씬 작다. 또한, 크리핑 유동은 윤활 베어링의 아주 작은 틈 사이의 윤활유 유동에서도 나타난다. 이 경우 속도는 그렇게 작지는 않지만 그 틈이 매우 작고(수십 미크론의 차수로), 점도도 비교적 크기 때문이다(상온에서 μ ∼ 1 N ⋅ s / m 2 {\displaystyle \mu \sim 1N\cdot s/m^{2}} ). 크리핑 유동에서 무차원화된 나비에 스토크스 방정식을 근사법을 통해 정의할 수 있다. 무차원화된 Navier-Stokes 방정식 : [ S t ] ∂ V ∗ → ∂ t ∗ + ( V ∗ → ⋅ ∇ ∗ → ) V ∗ → = − [ E u ] ∇ ∗ → P ∗ + [ 1 F r 2 ] g ∗ → + [ 1 R e ] ∇ ∗ 2 V ∗ → {\displaystyle [St]{\partial {\vec {V^{*}}} \over \partial t^{*}}+({\vec {V^{*}}}\cdot {\vec {\nabla ^{*}}}){\vec {V^{*}}}=-[Eu]{\vec {\nabla ^{*}}}P^{*}+[{1 \over Fr^{2}}]{\vec {g^{*}}}+[{1 \over Re}]\nabla ^{*2}{\vec {V^{*}}}} 먼저, 단순화를 위하여 중력효과는 무시하거나 오직 정수압 요소로 작용하는 경우를 가정한다. 또한 Strouhal 수의 크기가 1(St~1) 또는 그 이하로서, 비정상 가속도 항인 [ S t ] ∂ V ∗ → ∂ t ∗ {\displaystyle [St]{\partial {\vec {V^{*}}} \over \partial t^{*}}} 의 크기 차수가 점성항인 [ 1 R e ] ∇ ∗ 2 V ∗ → {\displaystyle [{1 \over Re}]\nabla ^{*2}{\vec {V^{*}}}} 의 크기 차수보다 작으므로(Reynolds 수는 매우 작다) 정상 유동 또는 진동 유동 중의 하나로 가정한다. 무차원화된 방정식에서 대류항의 크기 차수는 1이기 때문에 ( V ∗ → ⋅ ∇ ∗ → ) V ∗ → {\displaystyle ({\vec {V^{*}}}\cdot {\vec {\nabla ^{*}}}){\vec {V^{*}}}} ~ 1 또한 사라지게 된다. 그 결과 식 좌변의 모든 항을 무시할 수 있으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다. 크리핑 유동 근사화 : [ E u ] ∇ ∗ → P ∗ ≅ {\displaystyle [Eu]{\vec {\nabla ^{*}}}P^{*}\cong } [ 1 R e ] ∇ ∗ 2 V ∗ → {\displaystyle [{1 \over Re}]\nabla ^{*2}{\vec {V^{*}}}} 다시 말하면, 유동에서의 압력(좌변) 은 우변의 상대적으로 큰 점성력과 균형을 이룰 정도로 커야 한다. 그러나, 근사화된 식의 무차원 변수의 차수가 1이기 때문에 두 항이 균형을 이룰 수 있는 유일한 방법은 Eu가 1/Re 와 같은 차수를 가질 때이다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다. [ E u ] = P 0 − P ∞ ρ V 2 ∼ [ 1 R e ] = μ ρ V L {\displaystyle [Eu]={P_{0}-P_{\infty } \over \rho V^{2}}\sim [{1 \over Re}]={\mu \over \rho VL}} 위 식을 정리하면 다음이 얻어진다. 크리핑 유동에서의 압력의 크기 : P 0 − P ∞ ∼ μ V L {\displaystyle P_{0}-P_{\infty }\sim {\mu V \over L}} 이를 참조하여, 크리핑 유동에 대한 두 가지 사실을 도출하였다. 첫째로, 압력차의 척도가 ρ V 2 {\displaystyle \rho V^{2}} 와 같은(즉 Bernoulli 방정식) 관성이 지배적인 유동이 아니라, 크리핑 유동은 점성력이 지배적인 유동이기 때문에 압력차의 척도는 μ V L {\displaystyle {\mu V \over L}} 와 같다. 이로써 Navier-Stokes 방정식의 모든 관성항은 크리핑 유동에서 사라진다. 두 번째로, 밀도는 Navier-Stokes 방정식에서 매개변수로서 완전 빠져버리게 된다. 이는 크리핑 유동장에서 근사화된 무차원식을 차원이 있는 형태로 나타내면 더욱 정확히 알 수 있다. 크리핑 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식의 근사화 : ∇ → P ≅ μ ∇ 2 V → {\displaystyle {\vec {\nabla }}P\cong \mu \nabla ^{2}{\vec {V}}} 밀도는 Reynolds 수를 계산하기 위해서 반드시 필요하지만, 크리핑 유동처럼 Re가 매우 작다고 가정하면 위의 식에 나타난 바와 같이 밀도는 더 이상 필요하지 않다. 또, 밀도는 정수압 계산에서는 필요하지만, 수직거리가 보통 수 밀리미터 혹은 수 마이크로미터이기 때문에 크리핑 유동에서 그 영향은 무시할 수 있다. 그 외에도 자유표면 효과가 없다면, 물리적인 압력 대신에 수정압력도 사용할 수 있다. 위에서 정리한 바와 같이, 크리핑 유동에서 Navier-Stokes 방정식의 밀도는 사라져버리기 때문에 크리핑 유동에서의 물체에 작용하는 공기역학적 항력은 오직 속도 V {\displaystyle V} , 물체의 어떤 특성길이 L {\displaystyle L} , 그리고 유체의 점도 μ {\displaystyle \mu } 에 대한 함수로 나하탄다. 차원해석을 통해서 F D {\displaystyle F_{D}} 에 대한 관계식을 독립변수들의 함수로 표현하면 아래와 같다. F D = c o n s t a n t ⋅ μ V L {\displaystyle F_{D}=constant\cdot \mu VL} 스토크스의 법칙 다르시의 법칙 층류 Cengel, C. (2021). Differential analysis of fluid flow. McGrawHill, Fluid Mechanics. Hanti-Media