초등각 장론

양자장론에서 초등각 장론(超等角場論, 영어: superconformal field theory, 약자 SCFT)은 등각 대칭과 초대칭을 동시에 갖는 양자장론이다. 4차원 초등각 장론은 4차원 초등각 대칭을 따르는 양자장론이며, 4차원 초대칭 양자장론의 재규격화군흐름의 적외선 극한으로 얻어진다. 4차원에서, 초전하의 수가 4 N {\displaystyle 4{\mathcal {N}}} 개인 초등각 대수는 PSU ⁡ ( 2 , 2 | N ) {\displaystyle \operatorname {PSU} (2,2|{\mathcal {N}})} 이다. 그 보손 성분은 PSU ⁡ ( 2 , 2 ) × U ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {PSU} (2,2)\times \operatorname {U} ({\mathcal {N}})} 이다. 다만, N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 일 경우 U(1) R대칭이 깨져, PSU ⁡ ( 2 , 2 ) × SU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {PSU} (2,2)\times \operatorname {SU} (4)} 가 된다. 4차원 초등각 대수의 생성원 및 이들의 보손 대칭 표현은 다음과 같다. J μ ν {\displaystyle J_{\mu \nu }} , P μ {\displaystyle P_{\mu }} , K μ {\displaystyle K^{\mu }} , D {\displaystyle D} 사이의 리 괄호는 등각 대칭과 같으며. 나머지 리 괄호들은 다음과 같다. { Q α i , Q ¯ β ˙ j } = 2 δ j i σ α β ˙ μ P μ {\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}j}\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }} { S ¯ i α ˙ , S β j } = 2 δ i j σ ¯ μ α ˙ β ˙ K μ {\displaystyle \{{\bar {S}}_{i}^{\dot {\alpha }},S^{\beta j}\}=2\delta _{i}^{j}{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}K_{\mu }} { Q α i , S j β } = δ j i ( σ μ σ ¯ ν ) α β J μ ν + δ α β ( 3 2 R j i + δ j i D ) {\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},S_{j}^{\beta }\}=\delta _{j}^{i}(\sigma ^{\mu }{\bar {\sigma }}^{\nu })_{\alpha }{}^{\beta }J_{\mu \nu }+\delta _{\alpha }^{\beta }({\frac {3}{2}}R_{j}^{i}+\delta _{j}^{i}D)} { Q ¯ α ˙ i , S ¯ β ˙ i } = δ i j ( σ ¯ μ σ ν ) α ˙ β ˙ J μ ν + δ α ˙ β ˙ ( 3 2 R j i − δ j i D ) {\displaystyle \{{\bar {Q}}_{{\dot {\alpha }}i},{\bar {S}}^{{\dot {\beta }}i}\}=\delta _{i}^{j}({\bar {\sigma }}^{\mu }\sigma ^{\nu })^{\dot {\alpha }}{}_{\dot {\beta }}J_{\mu \nu }+\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}({\frac {3}{2}}R_{j}^{i}-\delta _{j}^{i}D)} [ K μ , Q α i ] = i σ α β ˙ μ S ¯ β ˙ i {\displaystyle [K^{\mu },Q_{\alpha }^{i}]=i\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }{\bar {S}}^{{\dot {\beta }}i}} [ K μ , Q ¯ α ˙ i ] = i σ ¯ μ α ˙ β S β i {\displaystyle [K^{\mu },{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}]=i{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}\beta }S_{\beta }^{i}} [ P μ , S α i ] = i σ α β ˙ μ Q ¯ β ˙ i {\displaystyle [P^{\mu },S_{\alpha i}]=i\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}i}} [ P μ , S ¯ α ˙ i ] = i σ ¯ μ α ˙ β Q β i {\displaystyle [P^{\mu },{\bar {S}}^{{\dot {\alpha }}i}]=i{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}\beta }Q_{\beta }^{i}} [ P , Q ] = [ P , Q ¯ ] = [ K , S ] = [ K , S ¯ ] = { Q , Q } = { Q ¯ , Q ¯ } = { Q , S ¯ } = { Q ¯ , S } = { S , S } = { S ¯ , S ¯ } = 0 {\displaystyle [P,Q]=[P,{\bar {Q}}]=[K,S]=[K,{\bar {S}}]=\{Q,Q\}=\{{\bar {Q}},{\bar {Q}}\}=\{Q,{\bar {S}}\}=\{{\bar {Q}},S\}=\{S,S\}=\{{\bar {S}},{\bar {S}}\}=0} 여기서 P α β ˙ = σ α β ˙ μ P μ {\displaystyle P_{\alpha {\dot {\beta }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }} K α β ˙ = σ α β ˙ μ K μ {\displaystyle K_{\alpha {\dot {\beta }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }} 이다. 4차원 초등각 장론에서의 1차 등각장은 R대칭 표현과 등각 무게 Δ {\displaystyle \Delta } 및 로런츠 표현에 의하여 결정된다. 유니터리 초등각 장론의 경우 이 값들에 대하여 유니터리 하한(영어: unitarity bound)이라는 부등식들이 존재한다. 3차원 초등각 대수는 o s p ( N | 4 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}|4)} 이며, 그 보손 부분군은 SO ⁡ ( N ) × Sp ⁡ ( 4 , R ) ≅ SO ⁡ ( N ) × Spin + ⁡ ( 3 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})\times \operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})\times \operatorname {Spin} ^{+}(3,2)} 이다. 즉, R대칭군은 SO ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})} 이다. 2차원 초등각 대수는 비라소로 대수를 포함하므로 무한 차원의 리 초대수이며, 이에 따라 2차원 초등각 장론들은 여러 특수한 성질들을 갖는다. 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초등각 장론의 R전하 및 등각 무게는 a {\displaystyle a} -최대화(영어: a {\displaystyle a} -maximization)라는 방법으로 계산할 수 있다. 즉, 이들 값들은 항상 대수적 수이다. N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초대칭 양-밀스 이론은 4차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초등각 장론이며, 이는 D3-막의 세계부피 이론이다. 6차원 (2,0) 초등각 장론을 리만 곡면에 축소화하면, 𝒮류 이론(영어: theories of class 𝒮)이라는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초등각 장론들을 얻는다. 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초등각 장론에 대하여서는 자이베르그 이중성이라는 이중성이 존재한다. 3차원에서는 베스-추미노 모형이 재규격화군 흐름의 고정점을 만나, 초등각 장론을 이룬다. 그러나 4차원에서는 베스-추미노 모형의 적외선 극한은 자유 이론이다. 6차원에서는 6차원 (2,0) 초등각 장론이 존재한다. 이는 M5-막의 세계부피 이론이다. 등각 대칭 2차원 𝒩=1 초등각 장론 초대칭 대수 Nahm, Werner (1978). “Supersymmetries and their representations” (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어) 135: 149. 2018년 7월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 16일에 확인함.  Gates, S. J.; Grisaru, Marcus T.; Rocek, M.; Siegel, W. (1983). 《Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry》. Frontiers in Physics (영어) 58. arXiv:hep-th/0108200. 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