고전적 수반 행렬

선형대수학에서 고전적 수반 행렬(古典的隨伴行列, 영어: adjugate, classical adjoint)은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 기호는 adj {\displaystyle \operatorname {adj} } . 가환환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;R)} 의 고전적 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. adj ⁡ M = C ( M ) ⊤ ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {adj} M=\mathrm {C} (M)^{\top }\in \operatorname {Mat} (n;R)} 즉, adj ⁡ M {\displaystyle \operatorname {adj} M} 의 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -성분은 M {\displaystyle M} 의 j {\displaystyle j} 번째 행 및 i {\displaystyle i} 번째 열을 지운 여인자이다. ( adj ⁡ M ) i j = C ( M ) j i = ( − 1 ) i + j det ( M { 1 , … , n } ∖ { j } , { 1 , … , n } ∖ { i } ) {\displaystyle (\operatorname {adj} M)_{ij}=\mathrm {C} (M)_{ji}=(-1)^{i+j}\det(M_{\{1,\dots ,n\}\setminus \{j\},\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\}})} 여기서 det {\displaystyle \det } 는 행렬식이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. M adj ⁡ M = ( adj ⁡ M ) M = ( det M ) 1 n × n {\displaystyle M\operatorname {adj} M=(\operatorname {adj} M)M=(\det M)1_{n\times n}} 특히, 만약 det M ∈ R {\displaystyle \det M\in R} 가 가역원이라면 ( R {\displaystyle R} 가 체인 경우 이는 det M ≠ 0 {\displaystyle \det M\neq 0} 이라는 조건과 같다), M {\displaystyle M} 의 역행렬은 다음과 같다. M − 1 = ( det M ) − 1 adj ⁡ M {\displaystyle M^{-1}=(\det M)^{-1}\operatorname {adj} M} 그 밖에 다음 항등식들이 성립한다. det ( adj ⁡ M ) = ( det M ) n − 1 {\displaystyle \det(\operatorname {adj} M)=(\det M)^{n-1}} adj ⁡ ( M ⊤ ) = adj ⁡ M {\displaystyle \operatorname {adj} (M^{\top })=\operatorname {adj} M} 0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 I = [ 1 ] {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}} 이고, adj(0) = 0으로 정의한다. 2×2 행렬 A = [ a b c d ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} 의 수반행렬은 adj ⁡ ( A ) = [ d − b − c a ] . {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.} 이고, 직접 대입으로 다음을 보일 수 있다. A adj ⁡ ( A ) = [ a d − b c 0 0 a d − b c ] = ( det A ) I . {\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .} 이 경우에는 det(adj(A)) = det(A)이 성립하고, 결국 adj(adj(A)) = A이다. 다음 3×3 행렬은 A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.} 다음과 같이 여인자_행렬을 구하고 C = [ + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ] , {\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},} 여기서 | a i m a i n a j m a j n | = det [ a i m a i n a j m a j n ] . {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.} 수반행렬은 이 여인자행렬의 전치 행렬로 다음과 같이 구해진다. adj ⁡ ( A ) = C T = [ + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ] . {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.} 다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다. adj ⁡ [ − 3 2 − 5 − 1 0 − 2 3 − 4 1 ] = [ − 8 18 − 4 − 5 12 − 1 4 − 6 2 ] . {\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.} 이 수반행렬이 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 −6을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 수반행렬의 두번째 행 세번째 열에 −1은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행,3열)값은 여인자행렬의 (3행,2열)값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬, [ − 3 − 5 − 1 − 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.} 과 (3행,2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다. ( − 1 ) 3 + 2 det ⁡ [ − 3 − 5 − 1 − 2 ] = − ( − 3 ⋅ − 2 − − 5 ⋅ − 1 ) = − 1 , {\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,} 그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은 −1이다. 케일리-해밀턴 정리 크라메르 법칙 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  “Adjugate”. 《PlanetMath》 (영어).