이름 (강제법)

집합론에서 이름(영어: name)은 강제법에 등장하는, 집합의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수의 원소에 따라 나타내어진다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산 Q : S ↦ P ( S × X ) {\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)} 에 대한 누적 위계를 X {\displaystyle X} -이름 위계(영어: hierarchy of X {\displaystyle X} -names)라고 하며,:188, Definition VII.2.5 Name X , α {\displaystyle \operatorname {Name} _{X,\alpha }} 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다. 임의의 두 이름 σ , τ ∈ Name X {\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Name} _{X}} 에 대하여, σ ∈ τ {\displaystyle \sigma \in \tau } 의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 X {\displaystyle X} 의 부분 집합으로 나타내어진다. { x ∈ X : ( σ , x ) ∈ τ } {\displaystyle \{x\in X\colon (\sigma ,x)\in \tau \}} 즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 { ⊤ , ⊥ } {\displaystyle \{\top ,\bot \}} 대신 불 대수 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 로 나타내어진다. 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자. dom : Name X , α → P ( Name X , α ) {\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Name} _{X,\alpha }\to {\mathcal {P}}(\operatorname {Name} _{X,\alpha })} dom ⁡ ( τ ) = { σ : ( σ , x ) ∈ X } {\displaystyle \operatorname {dom} (\tau )=\{\sigma \colon (\sigma ,x)\in X\}} 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 와 P {\displaystyle P} -이름 τ {\displaystyle \tau } 가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 f : dom ⁡ τ → P ( X ) {\displaystyle f\colon \operatorname {dom} \tau \to {\mathcal {P}}(X)} 의 치역의 모든 원소가 P {\displaystyle P} 의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다. σ = { ( τ ′ , x ) : τ ′ ∈ dom ⁡ τ , x ∈ f ( τ ′ ) } {\displaystyle \sigma =\{(\tau ',x)\colon \tau '\in \operatorname {dom} \tau ,\;x\in f(\tau ')\}} 이러한 꼴의 이름을 τ {\displaystyle \tau } 에 대한 좋은 이름(영어: nice name)이라고 한다.:208, Definition VII.5.11 특히, τ {\displaystyle \tau } 에 대한 좋은 이름 σ {\displaystyle \sigma } 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. dom ⁡ σ ⊆ dom ⁡ τ {\displaystyle \operatorname {dom} \sigma \subseteq \operatorname {dom} \tau } 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, Name − , α : Set → Set {\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} } 는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, Name f , α : N ↦ { ( Name f , β ⁡ ( a ) , f ( x ) ) : ( a , x ) ∈ N , a ∈ Name X , β , β < α } {\displaystyle \operatorname {Name} _{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}} 이다. 보다 일반적으로, Rel {\displaystyle \operatorname {Rel} } 이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다. Name − , α : Rel → Set {\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Rel} \to \operatorname {Set} } Name R , α : σ ↦ { ( Name R , β ⁡ ( τ ) , y ) : ( τ , x ) ∈ σ , ( x , y ) ∈ R } {\displaystyle \operatorname {Name} _{R,\alpha }\colon \sigma \mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{R,\beta }(\tau ),y\right)\colon (\tau ,x)\in \sigma ,\;(x,y)\in R\}} 임의의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 및 한원소 집합 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 R S {\displaystyle R_{S}} 를 생각하자. ( x , ∙ ) ∈ R S ⟺ x ∈ S {\displaystyle (x,\bullet )\in R_{S}\iff x\in S} 그렇다면, 함수 Name R S : Name X → Name { ∙ } ≅ V {\displaystyle \operatorname {Name} _{R_{S}}\colon \operatorname {Name} _{X}\to \operatorname {Name} _{\{\bullet \}}\cong V} 를 생각하자. 이를 X {\displaystyle X} -이름의 S {\displaystyle S} -해석이라고 하며, val S : Name X → V {\displaystyle \operatorname {val} _{S}\colon \operatorname {Name} _{X}\to V} 로 표기한다.:189, Definition VII.2.7 강제법에서, val S ⁡ ( u ) {\displaystyle \operatorname {val} _{S}(u)} 는 포괄적 순서 아이디얼 S {\displaystyle S} 를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다. 이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.:188, §VII.2 즉, ZFC의 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} 및 X ∈ M {\displaystyle X\in M} 및 집합 τ ∈ M {\displaystyle \tau \in M} 에 대하여, 다음이 성립한다. ( M ⊨ ( τ ∈ Name X ) ) ⟺ τ ∈ Name X {\displaystyle \left(M\models (\tau \in \operatorname {Name} _{X})\right)\iff \tau \in \operatorname {Name} _{X}} 다시 말해, ( Name X ) M = Name X ∩ M {\displaystyle (\operatorname {Name} _{X})^{M}=\operatorname {Name} _{X}\cap M} 이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다. ZFC의 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} 및 원순서 집합 X ∈ M {\displaystyle X\in M} 및 두 이름 μ , σ ∈ M ∩ Name X {\displaystyle \mu ,\sigma \in M\cap \operatorname {Name} _{X}} 에 대하여, 다음이 성립하는 σ {\displaystyle \sigma } -좋은 이름 τ {\displaystyle \tau } 가 존재한다. ∀ x ∈ X : x ⊩ ( μ ⊆ σ ⟹ μ = τ ) {\displaystyle \forall x\in X\colon x\Vdash (\mu \subseteq \sigma \implies \mu =\tau )} 다시 말해, 임의의 X {\displaystyle X} 의 포괄적 순서 아이디얼 G {\displaystyle G} 및 σ ∈ Name X ∩ M {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Name} _{X}\cap M} 및 S ∈ P ( val G ⁡ ( σ ) ) ∩ M [ G ] {\displaystyle S\in {\mathcal {P}}(\operatorname {val} _{G}(\sigma ))\cap M[G]} 에 대하여, val G ⁡ ( τ ) = S {\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )=S} 인 σ {\displaystyle \sigma } -좋은 이름 τ {\displaystyle \tau } 가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 τ {\displaystyle \tau } 가 σ {\displaystyle \sigma } -좋은 이름일 때, val G ⁡ ( τ ) ⊆ val G ⁡ ( σ ) {\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )\subseteq \operatorname {val} _{G}(\sigma )} 일 필요는 없다.:209) 만약 X {\displaystyle X} 가 공집합이라면 Name ∅ = { ∅ } {\displaystyle \operatorname {Name} _{\varnothing }=\{\varnothing \}} 이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 한원소 집합이라면 Q {\displaystyle Q} 는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 (영어). North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.