자기 수반 작용소

작용소 이론에서 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator) 또는 자기 수반 연산자는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 위의 조밀 부분 집합 D ⊆ H {\displaystyle D\subseteq H} 가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환 A : D → H {\displaystyle A\colon D\to H} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 D {\displaystyle D} 위의 자기 수반 작용소라고 한다. A : D → H {\displaystyle A\colon D\to H} 대칭 작용소이며, dom ⁡ A = dom ⁡ A ∗ {\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}} 이다. 임의의 x , y ∈ D {\displaystyle x,y\in D} 에 대하여, ⟨ x | A | y ⟩ = ⟨ A x | y ⟩ {\displaystyle \langle x|A|y\rangle =\langle Ax|y\rangle } 이다. 또한, 임의의 x , y ∈ H {\displaystyle x,y\in H} 에 대하여, 만약 ⟨ x | A = ⟨ y | : H → K {\displaystyle \langle x|A=\langle y|\colon H\to \mathbb {K} } 라면, x ∈ D {\displaystyle x\in D} 이다. 특히, 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여, ⟨ x | A = ⟨ A x | : D → K {\displaystyle \langle x|A=\langle Ax|\colon D\to \mathbb {K} } 는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 H → K {\displaystyle H\to \mathbb {K} } 로 유일하게 확장된다. dom ⁡ A = dom ⁡ A ∗ {\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}} 이며, 모든 u ∈ dom ⁡ A {\displaystyle u\in \operatorname {dom} A} 에 대하여 A u = A ∗ u {\displaystyle Au=A^{*}u} 이다. 여기서 A ∗ : dom ⁡ A ∗ → H {\displaystyle A^{*}\colon \operatorname {dom} A^{*}\to H} 는 에르미트 수반이다. 그래프 graph ⁡ ( A ) = { ( x , A x ) : x ∈ H } ⊆ H ⊕ H {\displaystyle \operatorname {graph} (A)=\{(x,Ax)\colon x\in H\}\subseteq H\oplus H} 및 심플렉틱 사상 J : H ⊕ H → H ⊕ H {\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H} , ( x , y ) ↦ ( − y , x ) {\displaystyle (x,y)\mapsto (-y,x)} 에 대하여, ( J graph ⁡ A ) ⊥ = graph ⁡ A {\displaystyle (J\operatorname {graph} A)^{\perp }=\operatorname {graph} A} 이다. 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 X {\displaystyle X} 과 가측 함수 f : X → ( R , Borel ⁡ ( X ) ) {\displaystyle f\colon X\to (\mathbb {R} ,\operatorname {Borel} (X))} 과 전단사 유니터리 작용소 U H → L 2 ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle UH\to \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )} 가 존재한다. (여기서 T f : dom ⁡ T f → L 2 ⁡ ( X ; K ) , ϕ ↦ f ϕ {\displaystyle T_{f}\colon \operatorname {dom} T_{f}\to \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} ),\;\phi \mapsto f\phi } 는 f {\displaystyle f} 와의 점별 곱셈이다.) U dom ⁡ A = dom ⁡ T f {\displaystyle U\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} T_{f}} U A = T f U {\displaystyle UA=T_{f}U} 마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(영어: multiplication operator)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다. 단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.:65 유한 차원 힐베르트 공간 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 위의 작용소 A {\displaystyle A} 에 대하여, 다음이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 는 대칭 작용소이다. A {\displaystyle A} 는 자기 수반 작용소이다. A {\displaystyle A} 의 행렬은 에르미트 행렬이다. 대칭 작용소 A : dom ⁡ A → H {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to {\mathcal {H}}} 의 자기 수반 확장(영어: self-adjoint extension)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 A ~ : dom ⁡ A ~ → H {\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} {\tilde {A}}\to {\mathcal {H}}} 이다. dom ⁡ A ⊆ dom ⁡ A ~ {\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}} ∀ v ∈ dom ⁡ A : A v = A ~ v {\displaystyle \forall v\in \operatorname {dom} A\colon Av={\tilde {A}}v} 대칭 연산자 A {\displaystyle A} 의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.:81–84 U : range ⁡ ( A + i ) ⊥ → range ⁡ ( A − i ) ⊥ {\displaystyle U\colon \operatorname {range} (A+i)^{\perp }\to \operatorname {range} (A-i)^{\perp }} ( range ⁡ ( A + i ) ⊥ {\displaystyle \operatorname {range} (A+i)^{\perp }} 은 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히, A {\displaystyle A} 가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 dim ⁡ range ⁡ ( A + i ) ⊥ = dim ⁡ range ⁡ ( A − i ) ⊥ {\displaystyle \dim \operatorname {range} (A+i)^{\perp }=\dim \operatorname {range} (A-i)^{\perp }} 이다. 양변의 두 수를 A {\displaystyle A} 의 결점 지표(영어: deficiency index)라고 한다. 유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소(영어: essentially self-adjoint operator)라고 한다. 제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간 H = L 2 ⁡ ( R ; C ) {\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )} 을 생각하자. 이 위에서, 작용소 A : f ↦ ( x ↦ x f ( x ) ) {\displaystyle A\colon f\mapsto (x\mapsto xf(x))} 를 생각하자. 만약 f {\displaystyle f} 가 제곱 적분 가능 함수라도 x ↦ x f ( x ) {\displaystyle x\mapsto xf(x)} 가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, A {\displaystyle A} 는 H {\displaystyle H} 전체에 정의될 수 없다. 즉, dom ⁡ A = { f ∈ H : ( x ↦ x f ( x ) ) ∈ H } ⊊ H {\displaystyle \operatorname {dom} A=\{f\in H\colon (x\mapsto xf(x))\in H\}\subsetneq H} 이다. 이는 H {\displaystyle H} 의 조밀 부분 공간이며, 임의의 f , g ∈ dom ⁡ H {\displaystyle f,g\in \operatorname {dom} H} 에 대하여 ⟨ f | A | g ⟩ = ∫ R f ( x ) ¯ ( x g ( x ) ) d x = ∫ R ( x f ( x ) ¯ ) g ( x ) d x = ⟨ A f | g ⟩ {\displaystyle \langle f|A|g\rangle =\int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}(xg(x))\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }({\overline {xf(x)}})g(x)\,\mathrm {d} x=\langle Af|g\rangle } 이다. 따라서 A {\displaystyle A} 는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 f , g ∈ H {\displaystyle f,g\in H} 에 대하여, 만약 ⟨ f | A = ⟨ g | {\displaystyle \langle f|A=\langle g|} 라고 하자. 즉, ∀ h ∈ dom ⁡ A : ∫ R f ( x ) ¯ x h ( x ) d x = ∫ g ( x ) ¯ h ( x ) {\displaystyle \forall h\in \operatorname {dom} A\colon \int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}xh(x)\,\mathrm {d} x=\int {\overline {g(x)}}h(x)} 이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서 g = ( x ↦ x f ( x ) ) ∈ H {\displaystyle g=(x\mapsto xf(x))\in H} 이므로, 정의에 따라 ( x ↦ x f ( x ) ) ∈ dom ⁡ A {\displaystyle (x\mapsto xf(x))\in \operatorname {dom} A} 이게 된다. 즉, A {\displaystyle A} 는 자기 수반 작용소이다. 다음이 주어졌다고 하자. 측도 공간 X {\displaystyle X} 가측 함수 f : X → ( R , Borel ⁡ ( R ) ) {\displaystyle f\colon X\to (\mathbb {R} ,\operatorname {Borel} (\mathbb {R} ))} ( Borel ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Borel} (-)} 은 보렐 시그마 대수) K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 그렇다면, H = L 2 ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )} 위에 작용소 T f : ϕ ↦ ϕ f {\displaystyle T_{f}\colon \phi \mapsto \phi f} 를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. L 2 ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )} 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다. 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 및 자기 수반 작용소 A : dom ⁡ A → H {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H} 에 대하여, U dom ⁡ A = dom ⁡ T f {\displaystyle U\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} T_{f}} 이자 U A = T f U {\displaystyle UA=T_{f}U} 가 되는 측도 공간 X {\displaystyle X} 와 가측 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 와 (전단사) 유니터리 작용소 U : H → L 2 ⁡ ( R ; K ) {\displaystyle U\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )} 가 존재한다. 특히, 만약 H = K n {\displaystyle H=\mathbb {K} ^{n}} 이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 n × n {\displaystyle n\times n} 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값 { λ 1 , λ 2 , … , λ n } {\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\}} 들은 모두 실수이다. 이 경우 X = { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle X=\{1,2,\dotsc ,n\}} (크기 n {\displaystyle n} 의 이산 가측 공간) μ ( S ) = | S | {\displaystyle \mu (S)=|S|} (셈측도) f : i ↦ λ i {\displaystyle f\colon i\mapsto \lambda _{i}} 가 된다. 에르미트 수반 정규 작용소 Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.  곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1.  Berezin, F. A.; Shubin, M. A. (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer.  Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer-Verlag.  Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press.  Bonneau, Guy; Faraut, Jacques; Valent, Galliano (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.  “Self-adjoint operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hermitian operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Semi-bounded operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.