르장드르의 구면삼각형 정리

기하학에서 르장드르의 구면삼각형 정리(Legendre's theorem on spherical triangles)의 구형삼각형(구면삼각형)에 대한 정리는 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)의 이름을 따서 명명했다. ABC를 작은 변 a , b , c 가있는 구면의 구형 삼각형이라고한다면, A' , B' , C'를 같은면이있는 평면 삼각형이라고 비교할 수 있다. 그렇다면 구면삼각형의 각도가 평면 삼각형의 대응 각도를 구면과잉(spherical excess)의 약 1/3만큼 초과한다 (구형과잉 또는 구면과잉은 세 각도의 합이 π를 초과하는 양) 이 정리는 1800년경부터 20세기 중반까지 전통적 GPS 측지 측량 결과를 계산할 때 어려운 수치 작업을 간소화하는 데 매우 중요했다. 이 정리는 르장드르(Legendre,1787)가 미터(DTambambre , 1798)의 정의에 사용된 프랑스원정대의 자오선 측정보고서(French Geodesic Mission)를 보완하는 증거(1798 )를 제공 한 것으로 명시되었다. 르장드르는 그가 자신의 제공에도 불구하고 정리의 창시자라고 주장하지 않았다. 트로프케(Tropfke ,1903)는 그 방법이 당시 측량사들에 의해 일반적으로 사용되었고 페루 자오선 호 계산을 위해 라 콘다민 (La Condamine)이 1740년에 이미 사용했을지도 모른다고 언급했다. 알버트 지라드(Albert Girard)의 지라드의 정리(Girard's theorem)는 삼각형 E 의 구형 과잉(spherical excess)이 영역Δ와 동일하므로 르장드르의 정리(Legendre's theorem)는 다음과 같이 쓰여질 수 있다고 기술한다. A − A ′ ≈ B − B ′ ≈ C − C ′ ≈ 1 3 E = 1 3 Δ , a , b , c ≪ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A-A'\;\approx \;B-B'\;\approx \;C-C'\;\approx \;{\frac {1}{3}}E\;=\;{\frac {1}{3}}\Delta ,\qquad a,\;b,\;c\,\ll \,1\end{aligned}}} 작은 삼각형의 과잉영역은 매우 작다. 예를 들어 반경이 6371km 인 구형 지구상에 60km의 변이있는 정삼각형의 구형 삼각형을 생각해보면, 측면은 60/6371 = .0094 또는 약 10-2 라디안 (중심에서 0.57°의 각도를 나타냄)의 각도 거리에 해당한다. 그러한 작은 삼각형의 면적은 같은면을 가진 평면 정삼각형의 면적으로 잘 근사화된다 : 1/2a2 sin (π/3) = 0.0000433 라디안 (8.9 "에 해당). 삼각형의 변이 180km를 초과 할 때, 초과분이 약 80"인 경우, 영역과 각도의 차이는 측의 4차항의 항으로 0.01"이하로 정정되어야한다. Δ = Δ ′ ( 1 + a 2 + b 2 + c 2 24 ) , A = A ′ + Δ 3 + Δ 180 ( − 2 a 2 + b 2 + c 2 ) , B = B ′ + Δ 3 + Δ 180 ( a 2 − 2 b 2 + c 2 ) , C = C ′ + Δ 3 + Δ 180 ( a 2 + b 2 − 2 c 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=\Delta '\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{24}}\right),\\A&=A'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left(-2a^{2}+b^{2}+c^{2}\right),\\B&=B'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}-2b^{2}+c^{2}}\right),\\C&=C'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}+b^{2}-2c^{2}}\right)\end{aligned}}} (Δ'는 평면 삼각형의 면적)이 결과는 Buzengeiger (1818)에 의해 입증되었다. 확장 된 증거는 Osborne (2013) (부록 D13)에서 찾을 수 있다. 다른 결과는 Nádeník (2004)에 의해 조사되었다. a , b , c 가 진정한 길이를 주 곡률 반경 ( Osborne (2013) 5 장 참조)의 곱의 제곱근으로 나누어서 정점의 중간 위도에서 정리하면 타원체로 확장될수있다 (구형 반지름 대신). 가우스(1828 , Art. 26-28)는보다 정확한 공식을 제시했다. 구면삼각법 Buzengeiger, Karl Heribert Ignatz (1818), “Vergleichung zweier kleiner Dreiecke von gleichen Seiten, wovon das eine sphärisch, das andere eben ist”, 《Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften》 6: 264–270  Clarke, Alexander Ross (1880), 《Geodesy》, Clarendon Press. Republished at Forgotten Books.  Gauss, C. F. (1902) [1828]. 《General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825》. Princeton Univ. Lib. English translation of Disquisitiones generales circa superficies curvas (Dieterich, Göttingen, 1828).  Legendre, Adrien-Marie (1787), 《Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendant de la figure de la Terre》, Article  VI [1], 7쪽  Legendre, Adrien-Marie (1798), 《Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d’après les observations faites pour la mesure de l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone》, 12–14 (Note III [2])쪽  Nádeník, Zbynek (2004), 《Legendre theorem on spherical triangles》 (PDF), 2014년 1월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서  Osborne, Peter (2013), 《The Mercator Projections》, 2013년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서  Tropfke, Johannes (1903), 《Geschichte der Elementar-Mathematik (Volume 2).》, Verlag von Veit, 295쪽  (Spherical Trigonometry, I. Todhunter)https://www.gutenberg.org/files/19770/19770-pdf.pdf (The Project Gutenberg eBook of Spherical Trigonometry, by I. Todhunter,VIII AREA OF A SPHERICAL TRIANGLE. SPHERICAL EXCESS)http://www.gutenberg.org/files/19770/19770-pdf.pdf?session_id=70c3c9adf6c7f7405b6170750a145b9e21252bea