무한 논리

수리논리학에서 무한 논리(無限論理, 영어: infinitary logic)는 무한한 논리합·논리곱·전칭 기호·존재 기호를 나타낼 수 있는 논리 체계이며, 유한 1차 논리를 일반화한다. κ {\displaystyle \kappa } 가 무한 정칙 기수이며, λ ≤ κ {\displaystyle \lambda \leq \kappa } 역시 무한 기수라고 하자. 무한 논리 L κ λ {\displaystyle L_{\kappa \lambda }} 의 항(영어: term)들은 다음과 같다. 임의의 순서수 α ≤ λ {\displaystyle \alpha \leq \lambda } 에 대하여, 변수 x α {\displaystyle x_{\alpha }} 는 항이다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 만약 n {\displaystyle n} 항 연산 f {\displaystyle f} 및 항 t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}} 이 존재한다면, f ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n})} 은 항이다. L κ λ {\displaystyle L_{\kappa \lambda }} 의 공식(영어: formula)들은 다음과 같다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 만약 n {\displaystyle n} 항 관계 R {\displaystyle R} 및 항 t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}} 이 존재한다면, R ( t 1 , t 2 , … , t n ) {\displaystyle R(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})} 은 공식이다. (등식) 임의의 항 s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} 에 대하여, s = t {\displaystyle s=t} 는 공식이다. (부정) 임의의 공식 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, ¬ ϕ {\displaystyle \lnot \phi } 는 공식이다. (무한 논리합) 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만인, 공식들의 집합 Φ {\displaystyle \Phi } 에 대하여, ⋁ Φ {\displaystyle \bigvee \Phi } (무한 전칭 기호) 크기가 λ {\displaystyle \lambda } 미만인 변수들의 집합 X {\displaystyle X} 및 공식 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, 만약 X {\displaystyle X} 의 어느 원소도 ϕ {\displaystyle \phi } 에서 속박 변수가 아니라면, ∀ X : ϕ {\displaystyle \forall X\colon \phi } 는 공식이다. 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만인 공식들의 집합 Φ {\displaystyle \Phi } 에 대하여, ⋀ Φ {\displaystyle \bigwedge \Phi } 는 ¬ ⋁ { ¬ ϕ : ϕ ∈ Φ } {\displaystyle \lnot \bigvee \{\lnot \phi \colon \phi \in \Phi \}} 의 약자이다. 마찬가지로, 크기가 λ {\displaystyle \lambda } 미만인 변수들의 집합 X {\displaystyle X} 및 X {\displaystyle X} 가 속박 변수로 등장하지 않는 공식 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, ∃ X : ϕ {\displaystyle \exists X\colon \phi } 는 ¬ ∀ X : ¬ ϕ {\displaystyle \lnot \forall X\colon \lnot \phi } 의 약자이다. 마찬가지로, ϕ ⟹ χ {\displaystyle \phi \implies \chi } 는 ¬ ϕ ∨ χ {\displaystyle \lnot \phi \lor \chi } 의 약자이며, ϕ ⟺ χ {\displaystyle \phi \iff \chi } 는 ⋀ { ϕ ⟹ χ , χ ⟹ ϕ } {\displaystyle \bigwedge \{\phi \implies \chi ,\chi \implies \phi \}} 의 약자이다. 문장(영어: sentence)은 자유 변수가 없는 공식이다. 이론(영어: theory)은 문장들의 집합이다. 무한 논리는 (유한) 1차 논리와 마찬가지로 증명 이론과 모형 이론을 정의할 수 있다. 논리 L κ , λ {\displaystyle L_{\kappa ,\lambda }} 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 논리(영어: complete logic)라고 한다. 어떤 문장 ϕ ∈ L κ , λ {\displaystyle \phi \in L_{\kappa ,\lambda }} 이 모든 모형 M {\displaystyle M} 에서 성립한다면, ϕ {\displaystyle \phi } 의 증명이 존재한다. 논리 L κ , λ {\displaystyle L_{\kappa ,\lambda }} 가 다음 조건을 만족시키면, 강완전 논리(영어: strongly complete logic)라고 한다. 임의의 이론 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 및 문장 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, 만약 T ⊨ ϕ {\displaystyle {\mathcal {T}}\models \phi } 라면 T ⊢ ϕ {\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \phi } 이다. 여기서 T ⊨ ϕ {\displaystyle {\mathcal {T}}\models \phi } 는 임의의 모형 M {\displaystyle M} 에 대하여, 만약 M ⊨ T {\displaystyle M\models {\mathcal {T}}} 라면 M ⊨ ϕ {\displaystyle M\models \phi } 라는 뜻이다. 강완전성은 완전성보다 더 강한 조건이다. 즉, 모든 강완전 논리는 완전 논리이나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 만약 L κ κ {\displaystyle L_{\kappa \kappa }} 가 강완전 논리라면, κ {\displaystyle \kappa } 는 강콤팩트 기수이다. 대표적인 무한 논리로는 다음을 들 수 있다. L ω ω {\displaystyle L_{\omega \omega }} . 이는 (유한) 1차 논리이며, 또한 강완전 논리이다 (괴델의 완전성 정리). L ω 1 ω {\displaystyle L_{\omega _{1}\omega }} . 이는 완전 논리이지만 강완전 논리가 아니다. 데이나 스콧과 알프레트 타르스키가 1958년에 도입하였다. 무한 논리는 집합론에서 약콤팩트 기수·강콤팩트 기수 등의 큰 기수들을 정의할 때 쓰인다. Scott, D.; Tarski, A. (1958). “The sentential calculus with infinitely long expressions” (PDF). 《Colloquium Mathematicum》 (영어) 6: 165–170. ISSN 0010-1354.  Tarski, A. (1958). “Remarks on predicate logic with infinitely long expressions” (PDF). 《Colloquium Mathematicum》 (영어) 6: 171–176. ISSN 0010-1354.  Bell, John L. (2012년 2월 22일). “Infinitary logic”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어). 스탠퍼드 대학교.  Marker, David (2007). “Infinitary logic” (PDF) (영어).  약콤팩트 기수 강콤팩트 기수