순간자

양자역학과 양자장론에서 순간자(瞬間子, 영어: instanton 인스턴톤[*]) 또는 잠깐알은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다. 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 시공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널 효과를 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다. 알렉산드르 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨(러시아어: Юрий Степанович Тюпкин)이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다. 이들은 유사입자(영어: pseudoparticle)라는 이름을 사용하였다.:271 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(영어: instanton)라고 이름붙였다.:271 양자역학에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜 V ( x ) {\displaystyle V(x)} 가 두 개의 극소점 a , b {\displaystyle a,b} 를 갖는다고 하고, V ( a ) = V ( b ) = 0 {\displaystyle V(a)=V(b)=0} 으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 터널 효과가 일어날 수 있다. WKB 근사에 따라, 질량이 m {\displaystyle m} 이며 에너지가 E {\displaystyle E} 인 입자가 a {\displaystyle a} 에서 b {\displaystyle b} 로 터널 효과를 겪을 확률 진폭은 다음에 비례한다. ⟨ b | a ⟩ ∼ exp ⁡ ( − 1 ℏ ∫ a b 2 m V ( x ) d x ) {\displaystyle \langle b|a\rangle \sim \exp \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2mV(x)}}\,dx\right)} 이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 윅 회전을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자. S E = ∫ ( 1 2 m x ˙ 2 + V ( x ) ) d t {\displaystyle S_{E}=\int \left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+V(x)\right)\,dt} 즉, 이는 퍼텐셜 − V ( x ) {\displaystyle -V(x)} 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우) 1 2 m x ˙ 2 − V ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x)=0} 다. a {\displaystyle a} 에서 b {\displaystyle b} 로 가는, 유클리드 작용의 해를 순간자라고 하며, 그 작용은 S E = ∫ m x ˙ 2 d t = ∫ a b m x ˙ d x = ∫ a b 2 m V ( x ) d x {\displaystyle S_{E}=\int m{\dot {x}}^{2}\,dt=\int _{a}^{b}m{\dot {x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {2mV(x)}}\,dx} 이다. 따라서, ⟨ b | a ⟩ ∼ exp ⁡ ( − S E / ℏ ) {\displaystyle \langle b|a\rangle \sim \exp(-S_{E}/\hbar )} 임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용 S E {\displaystyle S_{E}} 로 계산된다. 순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다. 4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군 G {\displaystyle G} 를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다. S = 1 2 e 2 ∫ R 4 tr ⁡ F 2 d 4 x {\displaystyle S={\frac {1}{2e^{2}}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {tr} F^{2}\,d^{4}x} 여기서 F i j = t a F i j a = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ + i [ A μ , A ν ] {\displaystyle F_{ij}=t^{a}F_{ij}^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+i[A_{\mu },A_{\nu }]} 는 게이지 장세기이고, t a {\displaystyle t^{a}} 는 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 기저이다. 리 대수의 기저는 tr ⁡ ( t a t b ) = 1 2 t a t b {\displaystyle \operatorname {tr} (t^{a}t^{b})={\frac {1}{2}}t^{a}t^{b}} [ t a , t b ] = i f a b c t c {\displaystyle [t^{a},t^{b}]=if^{abc}t^{c}} 가 되게 규격화한다. 이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳 ‖ x ‖ → ∞ {\displaystyle \Vert x\Vert \to \infty } 에서는 F → 0 {\displaystyle F\to 0} 이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 A μ {\displaystyle A_{\mu }} 는 위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉, A μ ( x ) = g ( x ) − 1 ∂ μ g ( x ) {\displaystyle A_{\mu }(x)=g(x)^{-1}\partial _{\mu }g(x)} ( g ( x ) ∈ G {\displaystyle g(x)\in G} ) 의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 의 무한대는 S 3 {\displaystyle S^{3}} 이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수 A : S 3 → G {\displaystyle A\colon S^{3}\to G} 를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 G {\displaystyle G} 의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. [ A ] ∈ π 3 ( G ) {\displaystyle [A]\in \pi _{3}(G)} 흔히 쓰이는 게이지 군의 경우, π 3 ( SU ⁡ ( N ) ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {SU} (N))=\mathbb {Z} } ( N ≥ 2 {\displaystyle N\geq 2} ) π 3 ( SO ⁡ ( N ) ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {SO} (N))=\mathbb {Z} } ( N = 3 {\displaystyle N=3} 또는 N > 5 {\displaystyle N>5} ) 이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 순간자수(영어: instanton number)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(영어: anti-instanton)가 존재함을 뜻한다. S U ( N ) {\displaystyle SU(N)} 의 경우, 순간자수 k {\displaystyle k} 는 다음과 같다. k = 1 24 π 2 ∫ ‖ x ‖ = ∞ d 3 x n ^ μ tr ⁡ ( A ν A ρ A σ ) ϵ μ ν ρ σ ) {\displaystyle k={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\Vert x\Vert =\infty }d^{3}x\,{\hat {n}}_{\mu }\operatorname {tr} \left(A_{\nu }A_{\rho }A_{\sigma })\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\right)} A μ = ( ∂ μ g ) g − 1 {\displaystyle A_{\mu }=(\partial _{\mu }g)g^{-1}} 여기서 n ^ μ {\displaystyle {\hat {n}}^{\mu }} 는 S 3 {\displaystyle S^{3}} 의 단위 수직 벡터이며, ϵ μ ν ρ σ {\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }} 는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다. 4차원 리만 다양체 M {\displaystyle M} 에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라 ∗ : Ω 2 ( M ) → Ω 2 ( M ) {\displaystyle *\colon \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{2}(M)} 가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여 ∗ 2 = 1 {\displaystyle *^{2}=1} 이므로, 호지 쌍대 연산자 ∗ {\displaystyle *} 의 고윳값은 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라 Ω 2 ( M ) = Ω + 2 ( M ) ⊕ Ω − 2 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{2}(M)=\Omega _{+}^{2}(M)\oplus \Omega _{-}^{2}(M)} 으로 분해된다. 여기서 Ω + 2 ( M ) {\displaystyle \Omega _{+}^{2}(M)} 의 원소는 자기쌍대(영어: self-dual), Ω − 2 ( M ) {\displaystyle \Omega _{-}^{2}(M)} 의 원소는 반자기쌍대(영어: anti-self-dual)라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 F {\displaystyle F} 가 주어지면, F = F + + F − {\displaystyle F=F_{+}+F_{-}} ∗ F ± = ± F ± {\displaystyle *F_{\pm }=\pm F_{\pm }} F ± = ( F ± ∗ F ) / 2 {\displaystyle F_{\pm }=(F\pm *F)/2} 으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } 이 존재한다. ⟨ A , B ⟩ = 1 2 e 2 ∫ M d 4 x tr ⁡ ( A μ ν B μ ν ) {\displaystyle \langle A,B\rangle ={\frac {1}{2e^{2}}}\int _{M}d^{4}x\,\operatorname {tr} (A_{\mu \nu }B^{\mu \nu })} 이에 따라 양-밀스 작용은 S = ⟨ F , F ⟩ {\displaystyle S=\langle F,F\rangle } 가 된다. 장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자. F = F + + F − {\displaystyle F=F_{+}+F_{-}} 그렇다면 S = ⟨ F , F ⟩ = ⟨ F + , F + ⟩ + ⟨ F − , F − ⟩ ≥ | ⟨ F + , F + ⟩ − ⟨ F − , F − ⟩ | = | ⟨ F , ∗ F ⟩ | = 8 π 2 e 2 | k | {\displaystyle S=\langle F,F\rangle =\langle F_{+},F_{+}\rangle +\langle F_{-},F_{-}\rangle \geq |\langle F_{+},F_{+}\rangle -\langle F_{-},F_{-}\rangle |=|\langle F,*F\rangle |={\frac {8\pi ^{2}}{e^{2}}}|k|} 이다. 여기서 k {\displaystyle k} 는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 k {\displaystyle k} 를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 BPS 부등식을 만족시킨다. S ≥ 8 π 2 e 2 | k | {\displaystyle S\geq {\frac {8\pi ^{2}}{e^{2}}}|k|} 이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 순간자라고 한다. 이들은 F + = 0 {\displaystyle F_{+}=0} 또는 F − = 0 {\displaystyle F_{-}=0} , 즉 F μ ν = ± ∗ F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }=\pm *F_{\mu \nu }} 를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식 D μ F μ ν = D μ ( ∗ F ) μ ν = 0 {\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=D_{\mu }(*F)^{\mu \nu }=0} 을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다. Coleman, Sidney (1985). 〈Uses of Instantons〉. 《Aspects of Symmetry》. 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