모리타 문맥

환론에서 모리타 문맥([森田]文脈, 영어: Morita context)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, 영어: Morita ring)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, 영어: triangular (matrix) ring)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다. 환 R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:486; 503, Exercise §18.18 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle {}_{R}M_{S}} ( S , R ) {\displaystyle (S,R)} -쌍가군 S N R {\displaystyle {}_{S}N_{R}} ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군 준동형 ϕ : R ( M ⊗ S N ) R → R R R {\displaystyle \phi \colon {}_{R}(M\otimes _{S}N)_{R}\to {}_{R}R_{R}} ( S , S ) {\displaystyle (S,S)} -쌍가군 준동형 ψ : S ( N ⊗ R M ) S → S S S {\displaystyle \psi \colon {}_{S}(N\otimes _{R}M)_{S}\to {}_{S}S_{S}} 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. id M ⊗ S ψ = ϕ ⊗ R id N {\displaystyle \operatorname {id} _{M}\otimes _{S}\psi =\phi \otimes _{R}\operatorname {id} _{N}} ψ ⊗ S id N = id M ⊗ R N {\displaystyle \psi \otimes _{S}\operatorname {id} _{N}=\operatorname {id} _{M}\otimes _{R}N} 모리타 문맥 ( R , S , M , N , ϕ , ψ ) {\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )} 이 주어졌을 때, 아벨 군 R ⊕ M ⊕ N ⊕ S {\displaystyle R\oplus M\oplus N\oplus S} 위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 모리타 환(영어: Morita ring)이라고 한다. ( r , m , n , s ) ( r ′ , m ′ , n ′ , s ′ ) = ( r r ′ + ϕ ( m ⊗ S n ′ ) , r m ′ + m s ′ , n r ′ + s n ′ , s s ′ + ψ ( n ⊗ R m ′ ) ) {\displaystyle (r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi (m\otimes _{S}n'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi (n\otimes _{R}m')\right)} R ⊕ M ⊕ N ⊕ S {\displaystyle R\oplus M\oplus N\oplus S} 의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬 ( r m n s ) ( r ∈ R , m ∈ M , n ∈ N , s ∈ S ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}r&m\\n&s\end{pmatrix}}\qquad (r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S)} 로 나타내며 ϕ {\displaystyle \phi } 와 ψ {\displaystyle \psi } 를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로 ( R M N S ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}} 로 표기한다. 특수한 경우로, N = 0 {\displaystyle N=0} 이며 ϕ {\displaystyle \phi } , ψ {\displaystyle \psi } 는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다.:16, Example 1.14:503, Exercise §18.18 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 R ⊕ M ⊕ S {\displaystyle R\oplus M\oplus S} 이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다. ( r , m , s ) ( r ′ , m ′ , s ′ ) = ( r r ′ , r m ′ + m s ′ , s s ′ ) ( r , r ′ ∈ R , m , m ′ ∈ M , s , s ′ ∈ S ) {\displaystyle (r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad (r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)} 삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.:430, Theorem 6.4(c) 모리타 문맥 ( T , e ) {\displaystyle (T,e)} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. T {\displaystyle T} 는 환이다. e ∈ T {\displaystyle e\in T} 는 멱등원이다. 즉, e 2 = e {\displaystyle e^{2}=e} 를 만족시킨다. 이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, ( T , e ) {\displaystyle (T,e)} 가 주어졌을 때, R = e T e {\displaystyle R=eTe} S = ( 1 − e ) T ( 1 − e ) {\displaystyle S=(1-e)T(1-e)} M = e T ( 1 − e ) {\displaystyle M=eT(1-e)} N = ( 1 − e ) T e {\displaystyle N=(1-e)Te} ϕ : ( e T ( 1 − e ) ⊗ R ( 1 − e ) T e ) → e T e {\displaystyle \phi \colon \left(eT(1-e)\otimes _{R}(1-e)Te\right)\to eTe} ϕ : ( e t ( 1 − e ) ⊗ R ( 1 − e ) t ′ e ) ↦ e t ( 1 − e ) t ′ e {\displaystyle \phi \colon \left(et(1-e)\otimes _{R}(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e} ψ : ( ( 1 − e ) T e ⊗ S e T ( 1 − e ) ) → ( 1 − e ) T ( 1 − e ) {\displaystyle \psi \colon \left((1-e)Te\otimes _{S}eT(1-e)\right)\to (1-e)T(1-e)} ψ : ( ( 1 − e ) t e ⊗ S e t ′ ( 1 − e ) ) ↦ ( 1 − e ) t e t ′ ( 1 − e ) {\displaystyle \psi \colon \left((1-e)te\otimes _{S}et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e)} 로 놓으면, ( R , S , M , N , ϕ , ψ ) {\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )} 는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 ( R , S , M , N , ϕ , ψ ) {\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )} 이 주어졌을 때, T = ( R M N S ) {\displaystyle T={\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}} e = ( 1 R 0 M 0 N 0 S ) {\displaystyle e={\begin{pmatrix}1_{R}&0_{M}\\0_{N}&0_{S}\end{pmatrix}}} 로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다. 특히, 만약 N = ( 1 − e ) T e = 0 {\displaystyle N=(1-e)Te=0} 일 경우, ( T , e ) {\displaystyle (T,e)} 는 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 을 정의한다. 모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다. 모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 위의 풍성한 범주)이다.:430, Theorem 6.4(a) 이러한 준가법 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌으며, 그 두 대상이 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 라고 하자. 그렇다면 R = End C ⁡ ( X ) = hom C ⁡ ( X , X ) {\displaystyle R=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)=\hom _{\mathcal {C}}(X,X)} S = End C ⁡ ( Y ) = hom C ⁡ ( Y , Y ) {\displaystyle S=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)} M = hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle M=\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} N = hom C ⁡ ( Y , X ) {\displaystyle N=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)} 로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 M {\displaystyle M} 은 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군, N {\displaystyle N} 은 ( S , R ) {\displaystyle (S,R)} -쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상 ϕ : M ⊗ S N → R {\displaystyle \phi \colon M\otimes _{S}N\to R} ψ : N ⊗ S M → S {\displaystyle \psi \colon N\otimes _{S}M\to S} 이 존재한다. 만약 N = 0 {\displaystyle N=0} 일 경우 이는 삼각환을 정의한다. 2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 모리타 문맥 ( R , S , M , N , ϕ , ψ ) {\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:424–425, Definition 5.1 R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상(=0-사상)이다. M : R → S {\displaystyle M\colon R\to S} 와 N : S → R {\displaystyle N\colon S\to R} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 1-사상이다. ϕ : N ∘ M ⇒ id R {\displaystyle \phi \colon N\circ M\Rightarrow \operatorname {id} _{R}} 와 ψ : M ∘ N → id S {\displaystyle \psi \colon M\circ N\to \operatorname {id} _{S}} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 2-사상이다. 다음과 같은 쌍가군 2-범주 Bimod {\displaystyle \operatorname {Bimod} } 를 생각하자. Bimod {\displaystyle \operatorname {Bimod} } 의 대상(=0-사상)은 환이다. Bimod {\displaystyle \operatorname {Bimod} } 의 두 대상 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 사이의 1-사상은 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 ( S N T ) ∘ ( R M S ) = R ( M ⊗ S N ) T {\displaystyle (_{S}N_{T})\circ (_{R}M_{S})={}_{R}(M\otimes _{S}N)_{T}} 으로 주어진다. Bimod {\displaystyle \operatorname {Bimod} } 의 두 대상 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 사이의 두 1-사상 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} , R N S {\displaystyle _{R}N_{S}} 사이의 2-사상은 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 준동형 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 이다. 그렇다면, 2-범주 Bimod {\displaystyle \operatorname {Bimod} } 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다. 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 은 가환환이다. R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 는 가환환이며, M = 0 {\displaystyle M=0} 이다. 환 R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 및 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.:17, Proposition 1.17(1) N ⊕ S {\displaystyle N\oplus {\mathfrak {S}}} 여기서 S ⊆ S {\displaystyle {\mathfrak {S}}\subseteq S} 는 S {\displaystyle S} 의 왼쪽 아이디얼이다. N ⊆ R ⊕ M {\displaystyle N\subseteq R\oplus M} 은 R R ⊕ R M {\displaystyle _{R}R\oplus {}_{R}M} 의 R {\displaystyle R} -부분 가군이며, M S ⊆ N ∩ M {\displaystyle M{\mathfrak {S}}\subseteq N\cap M} 이다. 마찬가지로, 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.:17, Proposition 1.17(2) R ⊕ N {\displaystyle {\mathfrak {R}}\oplus N} 여기서 R ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {R}}\subseteq R} 는 R {\displaystyle R} 의 오른쪽 아이디얼이다. N ⊆ M ⊕ S {\displaystyle N\subseteq M\oplus S} 은 M S ⊕ S S {\displaystyle M_{S}\oplus S_{S}} 의 S {\displaystyle S} -부분 가군이며, R M ⊆ N ∩ M {\displaystyle {\mathfrak {R}}M\subseteq N\cap M} 이다. 마찬가지로, 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.:17, Proposition 1.17(3) r ⊕ N ⊕ s {\displaystyle {\mathfrak {r}}\oplus N\oplus {\mathfrak {s}}} 여기서 r ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {r}}\subseteq R} 는 R {\displaystyle R} 의 양쪽 아이디얼이다. s ⊆ S {\displaystyle {\mathfrak {s}}\subseteq S} 는 S {\displaystyle S} 의 양쪽 아이디얼이다. R N S ⊆ R M S {\displaystyle _{R}N_{S}\subseteq {}_{R}M{}_{S}} 은 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 의 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -부분 쌍가군이며, r M ⊆ N {\displaystyle {\mathfrak {r}}M\subseteq N} 이자 M s ⊆ N {\displaystyle M{\mathfrak {s}}\subseteq N} 이다. 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:19, Theorem 1.22 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 은 왼쪽 뇌터 환이다. R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 는 왼쪽 뇌터 환이며, R M {\displaystyle _{R}M} 은 R {\displaystyle R} -뇌터 가군이다. 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:19, Theorem 1.22 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 은 오른쪽 뇌터 환이다. R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 는 오른쪽 뇌터 환이며, M S {\displaystyle M_{S}} 은 S {\displaystyle S} -뇌터 가군이다. 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:19, Theorem 1.22 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 은 왼쪽 아르틴 환이다. R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 는 왼쪽 아르틴 환이며, R M {\displaystyle _{R}M} 은 R {\displaystyle R} -아르틴 가군이다. 삼각환 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:19, Theorem 1.22 ( R M 0 S ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})} 은 오른쪽 아르틴 환이다. R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 는 오른쪽 아르틴 환이며, M S {\displaystyle M_{S}} 은 S {\displaystyle S} -아르틴 가군이다. 만약 M = N = 0 {\displaystyle M=N=0} 이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다. ( R 0 0 S ) ≅ R × S {\displaystyle {\begin{pmatrix}R&0\\0&S\end{pmatrix}}\cong R\times S} 만약 R = S {\displaystyle R=S} 이며, M = m ⊆ R {\displaystyle M={\mathfrak {m}}\subseteq R} 과 N = n ⊆ R {\displaystyle N={\mathfrak {n}}\subseteq R} 이 R {\displaystyle R} 의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환 ( R m n R ) ⊆ Mat ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}R&{\mathfrak {m}}\\{\mathfrak {n}}&R\end{pmatrix}}\subseteq \operatorname {Mat} (2;R)} 은 R {\displaystyle R} 계수 2×2 행렬환의 부분환이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 오른쪽 가군 M R {\displaystyle M_{R}} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.:486 S = hom ⁡ ( M R , M R ) {\displaystyle S=\hom(M_{R},M_{R})} R N S = hom ⁡ ( S M R , R R R ) {\displaystyle {}_{R}N_{S}=\hom({}_{S}M_{R},{}_{R}R_{R})} ϕ : M ⊗ R N → S {\displaystyle \phi \colon M\otimes _{R}N\to S} , ( m ⊗ R n ) ↦ ( m ′ ↦ m n ( m ′ ) ) {\displaystyle (m\otimes _{R}n)\mapsto (m'\mapsto mn(m'))} ψ : N ⊗ S M → R {\displaystyle \psi \colon N\otimes _{S}M\to R} , ( n ⊗ R m ) ↦ n ( m ) {\displaystyle (n\otimes _{R}m)\mapsto n(m)} 이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 M R {\displaystyle M_{R}} 가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 생성 대상이라면, 이는 R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 사이의 모리타 동치를 정의한다. 모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(영어: Morita context)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.:460 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.  Pécsi, Bertalan (2012년 8월). “On Morita contexts in bicategories”. 《Applied Categorical Structures》 (영어) 20 (4): 415–432. doi:10.1007/s10485-011-9247-2. ISSN 0927-2852.  Chase, Stephen U. (1961). “A generalization of the ring of triangular matrices”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 18: 13–25. ISSN 0027-7630. MR 0123594. Zbl 0113.02901.  Bass, Hyman (1962). 《The Morita theorem: lecture notes》 (영어). University of Oregon.  Loustaunau, Philippe; Shapiro, Jay (1990). 〈Morita contexts〉. 《Non-commutative ring theory. 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