가역층

수학에서 가역층(可逆層, 영어: invertible sheaf)은 텐서곱에 대한 역원이 존재하는 연접층이다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 연접층 S {\displaystyle S} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 S {\displaystyle S} 를 가역층이라고 한다. S {\displaystyle S} 는 텐서곱에 대한 역원을 갖는다. 즉, 어떤 연접층 T {\displaystyle T} 에 대하여, S ⊗ S − 1 ≅ O X {\displaystyle S\otimes S^{-1}\cong {\mathcal {O}}_{X}} 이다. S {\displaystyle S} 는 1차원 국소 자유 가군층이다. 스킴 위의 층의 경우, 가역층은 보다 구체적으로 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)의 단면으로 주어진다. X {\displaystyle X} 가 스킴이라고 하자. X {\displaystyle X} 위의 대수적 선다발은 1차원 대수적 선다발이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다. 스킴 E {\displaystyle E} 전사 함수인 스킴 사상 π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X} X {\displaystyle X} 의 어떤 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 각 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 에 대하여, 스킴 동형 사상 π − 1 ( U ) → A U 1 = ( Spec ⁡ Z [ x ] ) × U {\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to \mathbb {A} _{U}^{1}=(\operatorname {Spec} \mathbb {Z} [x])\times U} 이 조건은 다음을 만족시켜야 한다. 임의의 U , V ∈ U {\displaystyle U,V\in {\mathcal {U}}} 및 아핀 열린 부분 스킴 Spec ⁡ R ↪ U ∩ V {\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap V} 에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 R [ x ] → R [ x ] {\displaystyle R[x]\to R[x]} 은 어떤 가역원 m ∈ Unit ⁡ ( R ) {\displaystyle m\in \operatorname {Unit} (R)} 에 대하여 r ↦ r ∀ r ∈ R ⊆ R [ x ] {\displaystyle r\mapsto r\forall r\in R\subseteq R[x]} , x ↦ m x {\displaystyle x\mapsto mx} 의 꼴로 주어지는 가환환 동형 사상이다. 같은 스킴 X {\displaystyle X} 위의 두 대수적 선다발 ( E , π , U ) {\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}})} , ( E ′ , π ′ , U ′ ) {\displaystyle (E',\pi ',{\mathcal {U}}')} 사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다. X {\displaystyle X} -스킴의 동형 사상 ι : E / X → E ′ / X {\displaystyle \iota \colon E/X\to E'/X} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ( E , π , U ∩ U ′ ) {\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}}\cap {\mathcal {U}}')} 은 대수적 선다발을 이룬다. 그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다. 환 달린 공간 X {\displaystyle X} 위의 가역층에 대하여, 층 코호몰로지류 H 1 ⁡ ( X ; O X × ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })} 의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이며, 또한 텐서곱을 보존한다. X {\displaystyle X} 위의 가역층들의 동형류의 아벨 군을 피카르 군 Pic ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Pic} (X)} 이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 아벨 군의 동형 Pic ⁡ ( X ) ≅ H 1 ⁡ ( X ; O X × ) {\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })} 이 존재한다. 임의의 국소 뇌터 스킴 X {\displaystyle X} 위의 카르티에 인자 D {\displaystyle D} 가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 구체적으로, 카르티에 인자 D ∈ Γ ( K X × / O X × ) {\displaystyle D\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })} 가 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 에서 f ∈ Γ ( K X × , U i ) {\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times },U_{i})} 로 표현된다고 하자. (여기서 K X {\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}} 는 유리 함수층이다.) 그렇다면, D {\displaystyle D} 에 대응되는 가역층 O X ( D ) ⊆ K X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\subseteq {\mathcal {K}}_{X}} 은 ( f i − 1 ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}^{-1})_{i\in I}} 로 생성되는 부분 가군층이다. 이 경우, 임의의 카르티에 주인자 D {\displaystyle D} 에 대하여 O X ( D ) ≅ O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\cong {\mathcal {O}}_{X}} 이므로, 이는 카르티에 인자류군에서 피카르 군으로 가는 군 준동형 CaCl ⁡ ( X ) → Pic ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {CaCl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)} 을 정의한다. 뇌터 가환환 K {\displaystyle K} 위의 사영 스킴 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. ( X {\displaystyle X} 는 축소 스킴일 필요는 없다.) 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의 모든 가역층은 카르티에 인자로 정의되는 가역층과 동형이다. 즉, 이 경우 피카르 군은 카르티에 인자류군과 동형이다. 반면, 임의의 뇌터 스킴의 경우, 카르티에 인자로 표현될 수 없는 가역층이 존재할 수 있다. 선다발 피카르 군 Pérez Rodríguez, Maria. “Divisors and invertible sheaves on Noetherian schemes” (PDF) (영어).  “Invertible sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.