제곱근

수학에서, 어떤 수의 제곱근(-根, 영어: square root) 또는 자승근은 제곱하여 그 수가 되는 모든 수이다. 즉, 실수 및 복소수 a {\displaystyle a} 에서, '제곱한 수 a {\displaystyle a} 의 뿌리가 되는 모든 수'를 뜻한다. 실수의 범위에서만 보면, 모든 양의 실수는 서로 덧셈 역원인 두 제곱근을 가지며, 이 중 음이 아닌 하나를 주요 제곱근(主要제곱根, 영어: principal square root)이라고 한다. 그러나 0의 제곱근은 0뿐이므로 이를 주요 제곱근으로 삼으며, 음의 실수의 실수 제곱근은 존재하지 않으므로 주요 제곱근을 정의할 수 없다. 예를 들어, 실수 9의 제곱근은 ±3이며, 이 중 주요 제곱근은 3이다. 또한 −4의 제곱근은 존재하지 않는다. 복소수의 범위에서 보면, 모든 0이 아닌 복소수는 서로 중심 대칭인 두 제곱근을 가지며, 이 중 편각이 원래의 반인 하나를 주요 제곱근으로 삼는다. 예를 들어, 복소수 2 i {\displaystyle 2i} 의 제곱근은 ± ( 1 + i ) {\displaystyle \pm (1+i)} 이며, 이 중 주요 제곱근은 1 + i이다. 미지수 x {\displaystyle x} 의 주요 제곱근은 근호를 써서 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} (√x)라고 적고, x {\displaystyle x} 의 제곱근 이라고 읽는다. 기원전 1800년과 기원전 1600년 사이에 작성된 YBC 7289 점토판에는 √2의 근삿값을 계산한 결과가 적혀 있다. 60진법 (1;24,51,10)을 10진법으로 바꾸면 1.41421296..으로 실제 √2의 값 1.41421356..과 소숫점 아래 다섯 자리까지 일치한다. √2가 무리수라는 것을 처음으로 증명한 사람은 피타고라스의 제자 히파소스로 알려져 있다. 페르시아의 수학자 콰리즈미(783~850)는 《약분·소거 계산론(영어판)》에서 제곱근을 ‘자드르(جذر)’라고 불렀다. ‘자드르(جذر)’는 ‘근본’·‘기반’·‘뿌리’ 등을 뜻하는데 이것에 유럽에 전해지면서 ‘뿌리’라는 뜻의 라틴어 단어 ‘라딕스(radix)’로 번역되었다. 아랍 수학자들은 ‘자드르(جذر)’의 첫글자인 짐(ﺟ)을 제곱근을 위한 기호로 썼는데, 이렇게 쓰인 가장 오래된 문헌으로는 이븐 알야사민(아랍어판)(?~1204)의 저작이 있다. 한편 유럽에서는 레기오몬타누스(1436~1476)가 대문자 R을 제곱근 기호로 쓰기 시작했다. 현대적인 근호 √의 기원은 아랍 문자 ﺟ이 변형된 것이라는 설과 소문자 r이 변형된 것이라는 설 등이 있다. 현대적인 근호가 제일 먼저 쓰인 책은 크리스토프 루돌프(독일어판)의 독일어 대수학 교과서인 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》(1525)이다. 음수가 아닌 실수 x {\displaystyle x} 의 주요 제곱근 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} 은 실수의 완비성에 따라 존재하며, 다음과 같다. x = sup { y ∈ R : y 2 < x } {\displaystyle {\sqrt {x}}=\sup\{y\in \mathbb {R} \colon y^{2}<x\}} 여기서 sup {\displaystyle \sup } 는 집합의 상한이다. 남은 한 제곱근은 물론 − x {\displaystyle -{\sqrt {x}}} 이다. 음의 실수의 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않는다. 극 형식으로 나타낸 임의의 복소수 z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} 의 주요 제곱근 z {\displaystyle {\sqrt {z}}} 은 다음과 같다. z = r e i θ / 2 {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\theta /2}} 남은 한 제곱근은 − z = r e i ( θ / 2 + π ) {\displaystyle -{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i(\theta /2+\pi )}} 이다. 이 경우 음의 실수 역시 제곱근을 가지며, 예를 들어 -3의 주요 제곱근은 3 i {\displaystyle {\sqrt {3}}i} 이다. 제곱근 함수 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} 는 음이 아닌 실수의 집합 R + ∪ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}} 에서 자기 자신으로 가는 함수이다. x {\displaystyle x} 가 유리수일 때, x {\displaystyle {\sqrt {x}}} 는 대수적 수가 된다. 제곱근 함수는 다음과 같은 성질이 성립한다. 음이 아닌 두 실수 x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 에 대하여 x y = x y {\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}} 이다. 음이 아닌 실수 x {\displaystyle x} 에 대하여 x 2 = x 2 = x {\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {x}}^{2}=x} 이다. 일반적으로 실수 x {\displaystyle x} 에 대하여 x 2 = | x | {\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|} 이다. 자연수 x {\displaystyle x} 에 대해 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} 는 자연수이거나 실수이다. 제곱근의 풀이법은 아르키메데스의 저서에서도 언급된 바 있으며, 헤론은 바빌로니아 법과 거의 비슷한 풀이를 저서에서 제시하기도 했다. 나눗셈과 비슷한 방법으로 제곱근을 구하는 전통적인 방법인 개평법도 있다. 개평법은 16세기에 발견된 풀이로써 (a1＋a2＋…＋ak)2 ＝a12＋(2a1＋a2)a2＋(2a1＋2a2＋a3)a3 ＋…＋(2a1＋2a2＋…＋ak)ak라는 항등식으로부터 유도되었다. 그러나 이 방법은 각 자리의 숫자를 정확히 구할 수 있는 대신 과정이 복잡하고 계산 효율이 낮아 현대에는 거의 사용되지 않는다. 대신에, 제곱근에 빠르게 수렴하는 수열을 만들어 근삿값을 구하는 방법인 바빌로니아 법을 이용하는 것이 보통이다. 이것은 뉴턴랩슨 법을 이용하여 이차방정식의 근사해를 구하는 것과 동일하다. 양의 실수 a {\displaystyle a} 에 대하여 다음 과정을 따라 a {\displaystyle {\sqrt {a}}} 의 근삿값을 구할 수 있다. 임의의 양의 실수 x 0 {\displaystyle x_{0}} 를 택한다. 이 값이 a {\displaystyle {\sqrt {a}}} 에 가까울수록 더 빨리 근삿값을 구할 수 있다. x n + 1 = 1 2 ( x n + a x n ) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)} 라 한다. 원하는 정밀도까지 위의 과정을 반복한다. 위에서 구한 수열 { x n } {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}} 은 lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}} 를 만족한다. 다음은 위의 방법에 따라 2 {\displaystyle \color {Blue}{\sqrt {2}}} 의 근삿값을 구한 것이다. x 0 = 1 x 1 = 3 / 2 x 2 = 17 / 12 x 3 = 577 / 408 x 4 = 665857 / 470832 x 5 = 886731088897 / 627013566048 ≈ 1.4142135623   7309504880   16896235 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=&1&\\x_{1}&=&3&/2\\x_{2}&=&17&/12\\x_{3}&=&577&/408\\x_{4}&=&665857&/470832\\x_{5}&=&886731088897&/627013566048\approx 1.4142135623~7309504880~16896235\end{aligned}}} 2 {\displaystyle \color {Blue}{\sqrt {2}}} 의 참값과 소수점 아래 23자리까지 일치한다. 이분법 또는 뉴턴 방법을 사용할 수도 있다. 다음은 소수점 아래 75자리까지 계산한 1부터 21까지의 (양의) 제곱근을 나타낸 것이다. 근(루트) 거듭제곱근 곱셈공식 방정식 “Analysis of YBC 7289”. 《ubc.ca》. 2015년 1월 19일에 확인함.  Gandz, Solomon (1928년 2월). “On the Origin of the Term "Root." Second Article”. 《The American Mathematical Monthly》 35 (2): 67-75.  * Oaks, Jeffrey A. (2012). 《Algebraic Symbolism in Medieval Arabic Algebra》 (PDF) (학위논문). Philosophica. 36쪽. 2016년 12월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서.  위키낱말사전에 관련된 항목이 있습니다. 제곱근 제곱근 - 두산세계대백과사전