반단순 리 대수

리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, 영어: semisimple Lie algebra)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, 영어: simple Lie algebra)라고 한다.:32 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 아이디얼은 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 과 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 전체 밖에 없다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, [ x , y ] ≠ 0 {\displaystyle [x,y]\neq 0} 인 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} 가 존재한다. K {\displaystyle K} 의 표수가 0이라고 하고, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 가해(영어: solvable) 아이디얼은 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 밖에 없다. 즉, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근기(영어: radical)가 g = { 0 } {\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {g}}}=\{0\}} 이다.:32 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 아벨 아이디얼은 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 밖에 없다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 단순 리 대수들의 직합이다. (카르탕 반단순성 조건 영어: Cartan’s criterion for semisimplicity) g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 킬링 형식 K ( x , y ) = tr K ⁡ ad ⁡ ( x ) ad ⁡ ( y ) {\displaystyle K(x,y)=\operatorname {tr} _{K}\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)} 는 비퇴화 쌍선형 형식이다.:50, Theorem 1.45 반단순 리 군(半單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.:105 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다. 복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 A n {\displaystyle A_{n}} , B n {\displaystyle B_{n}} , C n {\displaystyle C_{n}} , D n {\displaystyle D_{n}} , E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다. 복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다. 모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다. a k = s l ( k + 1 , C ) = s u ( k + 1 ) ⊗ C {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{k}={\mathfrak {sl}}(k+1,\mathbb {C} )={\mathfrak {su}}(k+1)\otimes \mathbb {C} } , k = 1 , 2 , … {\displaystyle k=1,2,\dots } (복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수) b k = s o ( 2 k + 1 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}={\mathfrak {so}}(2k+1,\mathbb {C} )} , k = 2 , 3 , … {\displaystyle k=2,3,\dots } (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수) c k = s p ( 2 k , C ) {\displaystyle {\mathfrak {c}}_{k}={\mathfrak {sp}}(2k,\mathbb {C} )} , k = 2 , 3 , … {\displaystyle k=2,3,\dots } (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수) d k = s o ( 2 k , C ) {\displaystyle {\mathfrak {d}}_{k}={\mathfrak {so}}(2k,\mathbb {C} )} , k = 4 , 5 , … {\displaystyle k=4,5,\dots } (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수) 𝖊6, 𝖊7, 𝖊8 𝖋4 𝖌2 이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다. 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 경우, 우선 그 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 위의 대수 g ⊗ K K ¯ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\bar {K}}} 를 분류한 뒤, 이를 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 에서 K {\displaystyle K} 로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다. 실수체 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화(영어: complexification) g ↦ g ⊗ C {\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} } 라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 실수 형식(영어: real form)이라고 한다. 실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다. 복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다. 위 표에서, n {\displaystyle n} 은 항상 복소수 리 군의 계수이다. A n ( k ) {\displaystyle A_{n(k)}} 과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 일 때, k = p − q {\displaystyle k=p-q} 이다. 즉, k {\displaystyle k} 는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 n = k {\displaystyle n=k} 이며, 콤팩트 형식의 경우 k {\displaystyle k} 는 −1 × 리 대수의 차원이다. 위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다. s l ( 2 ; C ) ≅ o ( 3 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {C} )} (3차원 회전군) s u ( 2 ) ≅ s l ( 1 ; H ) ≅ o ( 3 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {sl}}(1;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )} s l ( 2 ; R ) ≅ s u ( 1 , 1 ) ≅ o ( 1 , 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(1,1)\cong {\mathfrak {o}}(1,2)} s p ( 4 ; C ) ≅ o ( 5 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {C} )} (5차원 회전군) u s p ( 4 ) ≅ o ( 5 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {usp}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )} u s p ( 2 , 2 ) ≅ o ( 1 , 4 ) {\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(1,4)} s p ( 4 ; R ) ≅ o ( 2 , 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(2,3)} s l ( 4 ; C ) ≅ o ( 6 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {C} )} (6차원 회전군) s u ( 4 ) ≅ o ( 6 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )} s l ( 2 ; H ) ≅ o ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(5,1)} s u ( 2 , 2 ) ≅ o ( 4 , 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(4,2)} s l ( 4 ; R ) ≅ o ( 3 , 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(3,3)} s u ( 1 , 3 ) ≅ o ∗ ( 6 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)} o ∗ ( 8 ) ≅ o ( 2 , 6 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(8)\cong {\mathfrak {o}}(2,6)} (8차원 회전군) 또한, o ( 4 ) ≅ s u ( 2 ) ⊕ 2 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)^{\oplus 2}} 는 단순 리 대수가 아니다. 복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다. 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(러시아어: Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер)가 1939년에 분류하였다. 리 대수 근계 리 대수의 표현 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Cartan, Élie (1894). “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus” (프랑스어). 파리 대학교 박사 학위 논문. Librairie Nony et Cie. JFM 25.0638.02.  Gantmacher, Felix (1939). “On the classification of real simple Lie groups”. 《Математический сборник (новая серия)》 (영어) 5 (2): 217–250. JFM 65.1131.03. MR 2141. Zbl 0022.31503.  “Lie algebra, semi-simple”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Simple lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Semisimple Lie algebra”. 《nLab》 (영어).  “Simple Lie algebra”. 《nLab》 (영어).  “Semisimple Lie group”. 《nLab》 (영어).