쿠런트 준대수

미분기하학에서 쿠런트 준대수(Courant準代數, 영어: Courant algebroid)는 리 준대수와 이차 리 대수의 개념의 공통적인 일반화이다. 쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 벡터 다발 사상 ρ : E → T M {\displaystyle \rho \colon E\to \mathrm {T} M} , s ↦ ρ s {\displaystyle s\mapsto \rho _{s}} . 이를 닻(영어: anchor)이라고 한다. 이를 C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 위의 1차 미분 연산자로 간주하자. E {\displaystyle E} 위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 ⟨ − , − ⟩ : E ⊗ E → R × M {\displaystyle \langle -,-\rangle \colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M} 단면 위의 쌍선형 형식 δ : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( End ⁡ ( E ) ) {\displaystyle \delta \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (E))} , ϕ ↦ δ ϕ {\displaystyle \phi \mapsto \delta _{\phi }} . 이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. [ δ s , δ t ] = δ δ s t {\displaystyle [\delta _{s},\delta _{t}]=\delta _{\delta _{s}t}} δ s ( f t ) = ( ρ s f ) t + f δ s t {\displaystyle \delta _{s}(ft)=(\rho _{s}f)t+f\delta _{s}t} [ ρ s , ρ t ] = ρ δ s t {\displaystyle [\rho _{s},\rho _{t}]=\rho _{\delta _{s}t}} ρ s ⟨ t , u ⟩ = ⟨ δ s t , u ⟩ + ⟨ t , δ s u ⟩ = ⟨ s , δ t u + δ u t ⟩ {\displaystyle \rho _{s}\langle t,u\rangle =\langle \delta _{s}t,u\rangle +\langle t,\delta _{s}u\rangle =\langle s,\delta _{t}u+\delta _{u}t\rangle } 쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 1차 미분 연산 D : C ∞ ( M ) → Γ ∞ ( E ) {\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma ^{\infty }(E)} E {\displaystyle E} 위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 ⟨ − , − ⟩ : E ⊗ E → R × M {\displaystyle \langle -,-\rangle \colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M} E {\displaystyle E} 위의 올별 반대칭 쌍선형 형식 [ − , − ] : E ⊗ E → R × M {\displaystyle [-,-]\colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M} 이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. ⟨ D f , [ s , t ] ⟩ = ⟨ D ⟨ D f , t ⟩ , s ⟩ − ⟨ D ⟨ D f , s ⟩ , t ⟩ {\displaystyle \langle Df,[s,t]\rangle =\left\langle D\langle Df,t\rangle ,s\right\rangle -\left\langle D\langle Df,s\rangle ,t\right\rangle } [ s , f t ] = f [ s , t ] + ⟨ D f , s ⟩ t − 1 2 ⟨ s , t ⟩ D f {\displaystyle [s,ft]=f[s,t]+\langle Df,s\rangle t-{\frac {1}{2}}\langle s,t\rangle Df} ⟨ D f , D g ⟩ = 0 {\displaystyle \langle Df,Dg\rangle =0} ⟨ D ⟨ s , t ⟩ , u ⟩ = ⟨ [ u , s ] + 1 2 D ⟨ u , s ⟩ , t ⟩ + ⟨ s , [ u , t ] + 1 2 D ⟨ u , t ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle D\langle s,t\rangle ,u\rangle =\left\langle [u,s]+{\frac {1}{2}}D\langle u,s\rangle ,t\right\rangle +\left\langle s,[u,t]+{\frac {1}{2}}D\langle u,t\rangle \right\rangle } [ [ s , t ] , u ] + [ [ t , u ] , s ] + [ [ u , s ] , t ] = 1 6 ( ⟨ [ s , t ] , u ⟩ + ⟨ [ t , u ] , s ⟩ + ⟨ [ u , s ] , t ⟩ ) {\displaystyle [[s,t],u]+[[t,u],s]+[[u,s],t]={\frac {1}{6}}\left(\langle [s,t],u\rangle +\langle [t,u],s\rangle +\langle [u,s],t\rangle \right)} 이 두 정의는 서로 동치이며, 그 사이의 관계는 다음과 같다. [ s , t ] = δ s t − δ t s {\displaystyle [s,t]=\delta _{s}t-\delta _{t}s} δ s t = [ s , t ] + 1 2 D ⟨ s , t ⟩ {\displaystyle \delta _{s}t=[s,t]+{\frac {1}{2}}D\langle s,t\rangle } ⟨ D f , s ⟩ = ρ s f {\displaystyle \langle Df,s\rangle =\rho _{s}f} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 2 n {\displaystyle 2n} 차원 쿠런트 준대수 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 위의 내적 ⟨ − , − ⟩ {\displaystyle \langle -,-\rangle } 의 부호수가 ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} 이라고 하자. 그렇다면, E {\displaystyle E} 의 디랙 구조 L ⊆ E {\displaystyle L\subseteq E} 는 다음 조건을 만족시키는 부분 벡터 다발이다. dim ⁡ L = n {\displaystyle \dim L=n} ⟨ s , t ⟩ = 0 ∀ s , t ∈ Γ ∞ ( L ) {\displaystyle \langle s,t\rangle =0\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(L)} δ s t = [ s , t ] ∈ Γ ∞ ( L ) ∀ s , t ∈ Γ ∞ ( L ) {\displaystyle \delta _{s}t=[s,t]\in \Gamma ^{\infty }(L)\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(L)} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 및 닫힌 3차 미분 형식 H ∈ Ω 3 ( M ) {\displaystyle H\in \Omega ^{3}(M)} d H = 0 {\displaystyle \mathrm {d} H=0} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, E = T M ⊕ T ∗ M {\displaystyle E=\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M} 위에 δ X + ξ ( Y + η ) = [ X , Y ] + ( L X η − Y ⌟ d ξ + X ⌟ Y ⌟ H ) {\displaystyle \delta _{X+\xi }(Y+\eta )=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -Y\lrcorner \mathrm {d} \xi +X\lrcorner Y\lrcorner H)} 와 같은 괄호를 주자. 여기서 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 은 벡터장 또는 1차 미분 형식의 리 미분이다. ⌟ {\displaystyle \lrcorner } 는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다. 그렇다면, ( M , E ) {\displaystyle (M,E)} 는 쿠런트 준대수의 구조를 이룬다. 여기서 ρ : T M ⊕ T ∗ M → T M {\displaystyle \rho \colon \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M} 은 사영 사상이다. D : C ∞ ( M ) → T M ⊕ T ∗ M {\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M} 은 단순히 f ↦ 0 + d f {\displaystyle f\mapsto 0+\mathrm {d} f} 이다. 한원소 공간 위의 쿠런트 준대수의 개념은 이차 리 대수의 개념과 동치이다. 류장쥐(중국어 간체자: 刘张炬, 정체자: 劉張炬, 병음: Liú Zhāngjù, 한자음: 유장거) · 앨런 와인스틴(영어: Alan Weinstein) · 쉬핑(중국어: 徐平, 병음: Xú Píng, 한자음: 서평)이 1997년에 도입하였다. 이 개념의 이름은 미국의 수학자 시어도어 제임스 쿠런트(영어: Theodore James Courant)의 이름을 땄다. Roytenberg, Dmitry (1999). 《Courant algebroids, derived brackets, and even symplectic supermanifolds》 (영어). 박사 학위 논문. 캘리포니아 대학교 버클리. arXiv:math/9910078.  Ševera, Pavol (2000). “Letters to A. Weinstein about Courant algebroids” (영어). arXiv:1707.00265. Bibcode:2017arXiv170700265S.  Liu, Zhang-Ju; Weinstein, Alan; Xu, Ping (1997). “Manin triples for Lie bialgebroids”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 45: 647–574. arXiv:dg-ga/9508013. Bibcode:1995dg.ga.....8013L.  “Courant algebroid”. 《nLab》 (영어).  “Standard Courant algebroid”. 《nLab》 (영어).  “Courant sigma-model”. 《nLab》 (영어).