엽층

미분위상수학에서 엽층(葉層, 영어: foliation)은 매끄러운 다양체를 낮은 차원의 다양체들의 층으로 잘게 자른 것을 말한다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의, p {\displaystyle p} 차원 잎으로의 엽층은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 매끄러운 사상 ϕ i : U i → R n {\displaystyle \phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}} . 이 경우 ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} 는 U i {\displaystyle U_{i}} 와 ϕ i ( U i ) {\displaystyle \phi _{i}(U_{i})} 사이의 미분 동형을 정의한다. 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 에 대하여, 만약 U i ∩ U j ≠ ∅ {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing } 이라면 ϕ i j = ϕ j ∘ ϕ i − 1 : ϕ i ( U i ) → R n {\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}(U_{i})\to \mathbb {R} ^{n}} 은 다음과 같은 꼴이다. ϕ i j ( a , b ) = ( ϕ i j 1 ( a ) , ϕ i j 2 ( a , b ) ) ( a ∈ R n − p , b ∈ R p ) {\displaystyle \phi _{ij}(a,b)=\left(\phi _{ij}^{1}(a),\phi _{ij}^{2}(a,b)\right)\qquad (a\in \mathbb {R} ^{n-p},\;b\in \mathbb {R} ^{p})} 각 a ∈ R n − p {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n-p}} 에 대하여, M a = ⋃ ϕ i − 1 ( { a } × R p ) {\displaystyle M_{a}=\bigcup \phi _{i}^{-1}(\{a\}\times \mathbb {R} ^{p})} 는 x {\displaystyle x} 에 대응하는 엽층의 잎(영어: leaf)이라고 한다. 이는 정의에 따라 p {\displaystyle p} 차원 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다. (이는 일반적으로 매장이 아니다.) 엽층이 주어진 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에서, 같은 잎에 속하는 점들을 동치라고 여기면, 이에 대한 몫공간인 엽공간(葉空間, 영어: leaf space) M / ∼ {\displaystyle M/{\sim }} 을 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 하우스도르프 공간이 아니다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 접다발 T M {\displaystyle TM} 의 p {\displaystyle p} 차원 매끄러운 부분 벡터 다발 E ⊂ T M {\displaystyle E\subset TM} 이 주어졌다고 하자. 프로베니우스 정리(영어: Frobenius theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. (적분 가능성 영어: integrability) N {\displaystyle N} 의 단면은 리 괄호에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 벡터장 X , Y ∈ Γ ( E ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (E)} 에 대하여, [ X , Y ] ∈ Γ ( E ) {\displaystyle [X,Y]\in \Gamma (E)} 이다. 임의의 x ∈ M a {\displaystyle x\in M_{a}} 에 대하여 E = T M a ⊂ T M {\displaystyle E=TM_{a}\subset TM} 가 되는 엽층 ( M a ) a ∈ A {\displaystyle (M_{a})_{a\in A}} 이 존재한다. 접다발의 매끄러운 부분 벡터 다발은 분포(영어: distribution)라고 한다. 즉, 적분 가능 분포는 엽층과 동치인 개념이다. 올다발 F ↪ E ↠ π B {\displaystyle F\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B} 이 주어졌다고 하고, 올 F {\displaystyle F} 와 전체 공간 E {\displaystyle E} 가 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 이는 엽층을 이룬다. 엽공간은 B {\displaystyle B} 이며, b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에 대응하는 잎은 원상 π − 1 { b } {\displaystyle \pi ^{-1}\{b\}} 이다. 특수한 경우로, 곱공간 E = F × B {\displaystyle E=F\times B} 은 (자명한 올다발을 이루므로) 엽공간이 B {\displaystyle B} 인 엽층을 이룬다. 리 군 G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} 사이에 단사 몰입 H ↪ G {\displaystyle H\hookrightarrow G} 가 주어진다고 하자. 그렇다면, G / H {\displaystyle G/H} 는 엽층을 이룬다. 즉, 이 엽층에서 잎은 G {\displaystyle G} 는 H {\displaystyle H} 에 대한 잉여류이며, 엽공간은 몫공간 G / H {\displaystyle G/H} 이다. 만약 H {\displaystyle H} 의 상이 G {\displaystyle G} 속의 닫힌집합이라면, 몫공간 G / H {\displaystyle G/H} 는 (하우스도르프) 매끄러운 다양체가 되며, G ↠ G / H {\displaystyle G\twoheadrightarrow G/H} 는 H {\displaystyle H} -주다발을 이룬다. 원환면 R n / Z n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}} 에서, 잎들이 M x 0 = { x 0 + t v : t ∈ R } Z n {\displaystyle M_{\mathbf {x} _{0}}={\frac {\{\mathbf {x} _{0}+t\mathbf {v} \colon t\in \mathbb {R} \}}{\mathbb {Z} ^{n}}}} 인 엽층을 주자 ( v 1 = 1 {\displaystyle v_{1}=1} ). 이 경우, 기울기 v {\displaystyle \mathbf {v} } 의 성분들이 모두 유리수라면 각 잎들은 원환면 속의 매끄럽게 매장된 원을 이룬다. 그러나 v 1 {\displaystyle v_{1}} 을 제외한 성분들이 모두 무리수라면, 각 잎들은 매끄럽게 단사 몰입된 직선을 이룬다. 이 경우, 잎들은 매장된 부분 다양체가 아니라 몰입된 부분 다양체이다. “Foliation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Haefliger structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Foliation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Foliation leaf”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Confoliation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Foliation”. 《nLab》 (영어).  “Singular foliation”. 《nLab》 (영어).  “SImple foliation”. 《nLab》 (영어).  올다발 올뭉치