끝 (위상수학)

일반위상수학에서, 끝(영어: end)은 대략 어떤 위상 공간의 "경계"의 "연결 성분"을 뜻한다. 구체적으로, 점점 더 큰 콤팩트 집합을 잘라냈을 때 남는 연결 성분들의 사영 극한이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 이 주어졌다고 하자. 그 속의 모든 콤팩트 집합들의 부분 순서 집합 Comp ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Comp} (X)} 를 생각하자. 이제, 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 에 대하여, 그 여집합의 연결 성분들의 집합 π 0 ( X ∖ K ) {\displaystyle \pi _{0}(X\setminus K)} 을 생각할 수 있다. 각 포함 사상 K ⊆ K ′ ⊆ X {\displaystyle K\subseteq K'\subseteq X} 에 대하여 자연스러운 함수 π 0 ( X ∖ K ′ ) → π 0 ( X ∖ K ) {\displaystyle \pi _{0}(X\setminus K')\to \pi _{0}(X\setminus K)} C ′ ↦ C ⟺ C ′ ⊆ C ∀ C ∈ π 0 ( X ∖ K ) , C ′ ∈ π 0 ( X ∖ K ′ ) {\displaystyle C'\mapsto C\iff C'\subseteq C\qquad \forall C\in \pi _{0}(X\setminus K),\;C'\in \pi _{0}(X\setminus K')} 가 존재한다. 이에 따라, 사영 극한 Ends ⁡ ( X ) = lim ← K ∈ Comp ⁡ ( X ) ⁡ π 0 ( X ∖ K ) {\displaystyle \operatorname {Ends} (X)=\varprojlim _{K\in \operatorname {Comp} (X)}\pi _{0}(X\setminus K)} 를 취할 수 있다. Ends ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Ends} (X)} 를 X {\displaystyle X} 의 끝들의 집합이라고 한다. 위상 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 분리합집합 X ⊔ Ends ⁡ ( X ) {\displaystyle X\sqcup \operatorname {Ends} (X)} 에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 줄 수 있다. Open ⁡ ( X ) ∪ { U ⊔ { e } : U ∈ Open ⁡ ( X ) , e ∈ Ends ⁡ ( X ) , ∃ K ∈ Comp ⁡ ( K ) : e K ⊆ U } {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\cup \left\{U\sqcup \{e\}\colon U\in \operatorname {Open} (X),\;e\in \operatorname {Ends} (X),\;\exists K\in \operatorname {Comp} (K)\colon e_{K}\subseteq U\right\}} 여기서 Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 열린집합들의 족이다. 이를 X {\displaystyle X} 의 끝 콤팩트화(끝compact化, 영어: end compactification)라고 하며, 이는 항상 콤팩트 공간이다. 다음과 같은 두 범주를 생각하자. T o p p r o p {\displaystyle \operatorname {Top_{prop}} } 은 그 대상이 위상 공간이며, 그 사상이 연속 고유 함수인 범주이다. Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 은 집합과 함수의 범주이다. 그렇다면, 끝 집합은 함자 Ends : T o p p r o p → Set {\displaystyle \operatorname {Ends} \colon \operatorname {Top_{prop}} \to \operatorname {Set} } 를 정의한다. 구체적으로, 임의의 연속 고유 함수 f : X → X ′ {\displaystyle f\colon X\to X'} 및 끝 ( C K ) K ∈ Comp ⁡ ( X ) {\displaystyle (C_{K})_{K\in \operatorname {Comp} (X)}} 에 대하여, Ends ⁡ ( f ) : ( C K ) K ∈ Comp ⁡ ( X ) ↦ ( f ∗ , K ′ C f − 1 ( K ′ ) ) K ′ ∈ Comp ⁡ ( X ′ ) {\displaystyle \operatorname {Ends} (f)\colon (C_{K})_{K\in \operatorname {Comp} (X)}\mapsto \left(f_{*,K'}C_{f^{-1}(K')}\right)_{K'\in \operatorname {Comp} (X')}} 이다. 여기서 f ∗ , K ′ : π 0 ( X ∖ f − 1 ( K ′ ) ) → π 0 ( X ′ ∖ K ′ ) {\displaystyle f_{*,K'}\colon \pi _{0}(X\setminus f^{-1}(K'))\to \pi _{0}(X'\setminus K')} 는 f {\displaystyle f} 로 유도되는 표준적인 함수이다. 경로 연결 위상군은 두 개 이하의 끝을 갖는다.:Theorem 2 콤팩트 공간은 (정의에 따라) 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다. 실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 확장된 실수의 공간이다. 2차원 이상의 유클리드 공간은 하나의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 같은 차원의 초구이다. 콤팩트 다양체 M {\displaystyle M} 속에 유한 개의 점 x 1 , x 2 , … , x n ∈ M {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in M} 을 고르자. 그렇다면, M ∖ { x 1 , … , x n } {\displaystyle M\setminus \{x_{1},\dots ,x_{n}\}} 은 n {\displaystyle n} 개의 끝을 갖는다. 그 끝 콤팩트화는 원래의 다양체 M {\displaystyle M} 이다. 끝의 개념은 한스 프로이덴탈이 1931년에 도입하였다. Peschke, Georg (1990). “The theory of ends” (PDF). 《Nieuw Archief voor Wiskunde》 (영어) 8: 1–12.  Freudenthal, Hans (1931). “Über die Enden topologischer Räume und Gruppen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 33: 692–713. doi:10.1007/BF01174375. ISSN 0025-5874. Zbl 0002.05603.  “End compactification”. 《nLab》 (영어).  “Freudenthal compactification”. 《Mathematical Notes》 (영어).  “Ends of topological spaces. Why independent of choice of ascending sequence of compact subsets?” (영어). Math Overflow.