비에트 정리

대수학에서 비에트 정리(영어: Viète’s theorem) 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. 16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트에 의해 공식이 증명되었다. 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, n {\displaystyle n} 차 복소수 다항식 p ( x ) = a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0 ∈ C [ x ] ( a i ∈ C , a n ≠ 0 ) {\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {C} [x]\qquad (a_{i}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)} 이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면) n {\displaystyle n} 개의 영점 x 1 , … , x n ∈ C {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {C} } 를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각 k ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, 영점 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} 을 k {\displaystyle k} 차 기본 대칭 다항식에 대입한 값은 ( − 1 ) k a n − k / a n {\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n}} 과 같다. ∑ i ∈ { 1 , … , n } k i 1 < i 2 < ⋯ < i k x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle \sum _{i\in \{1,\dots ,n\}^{k}}^{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}} 즉, 다음 n {\displaystyle n} 개의 등식이 성립한다. x 1 + x 2 + ⋯ + x n = − a n − 1 a n {\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}} x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n {\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}} ⋮ {\displaystyle \vdots } ( x 1 ⋯ x n − 1 ) + ( x 1 ⋯ x n − 2 x n ) + ⋯ + ( x 2 ⋯ x n ) = ( − 1 ) n − 1 a 1 a n {\displaystyle (x_{1}\cdots x_{n-1})+(x_{1}\cdots x_{n-2}x_{n})+\cdots +(x_{2}\cdots x_{n})=(-1)^{n-1}{\frac {a_{1}}{a_{n}}}} x 1 x 2 ⋯ x n = ( − 1 ) n a 0 a n {\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}} 다음 등식 양끝의 다항식의 각 x k {\displaystyle x^{k}} 의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다. a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 = p ( x ) = a n ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n ) = a n ( x n − ( x 1 + ⋯ + x n ) x n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n x 1 ⋯ x n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}\\={}&p(x)\\={}&a_{n}(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})\\={}&a_{n}(x^{n}-(x_{1}+\cdots +x_{n})x^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}x_{1}\cdots x_{n})\end{aligned}}} (일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식 a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} 은 유일한 복소수 해 x 1 = − b a {\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{a}}} 를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다. (이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} 라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다. x 1 + x 2 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}} x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} (삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} 의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} 이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다. x 1 + x 2 + x 3 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}} x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}} x 1 x 2 x 3 = − d a {\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}} (사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0} 의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}} 라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}}} x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}}} x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = − d a {\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}}} x 1 x 2 x 3 x 4 = e a {\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}} 프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다. 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다. 데카르트 부호 법칙 뉴턴 항등식 가우스-뤼카 정리 유리근 정리 대칭 다항식 Viète, François (1646). van Schooten, Frans, 편집. 《Opera mathematica》 (라틴어). Leiden: Ex Officinâ Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum.  Girard, Albert (1884). Bierens de Haan, David, 편집. 《Invention nouvelle en l'algèbre》 (프랑스어). Leiden: Imprimé chez Muré frères.  이철희. “근과 계수와의 관계”. 《수학노트》.  “Viète theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Vieta's formulas”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Vieta's formula”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of Vieta's formula”. 《PlanetMath》 (영어).