기하 불변량 이론 몫

대수기하학에서 기하 불변량 이론 몫(幾何不變量理論몫, 영어: geometric invariant theory [GIT] quotient)은 대수군이 작용하는 대수다양체가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다. 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 상의 원상이 궤도 전체가 아닐 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 체 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 위의 아핀 스킴 X / Spec ⁡ k = Spec ⁡ A {\displaystyle X/\operatorname {Spec} k=\operatorname {Spec} A} k {\displaystyle k} 위의 대수군 G / Spec ⁡ k {\displaystyle G/\operatorname {Spec} k} 작용 G × k X → X {\displaystyle G\times _{k}X\to X} 그렇다면, A {\displaystyle A} 위에는 군의 작용 G × A → A {\displaystyle G\times A\to A} ( g . a ) ( x ) = a ( g − 1 . x ) {\displaystyle (g.a)(x)=a(g^{-1}.x)} 이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수 A G = { a ∈ A : ∀ g ∈ G : g . a = a } {\displaystyle A^{G}=\{a\in A\colon \forall g\in G\colon g.a=a\}} 를 정의할 수 있다. 이 역시 k {\displaystyle k} 위의 가환 결합 대수이다. 그렇다면, S {\displaystyle S} 의 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같다. A / / G = Spec ⁡ ( A G ) {\displaystyle A/\!/G=\operatorname {Spec} (A^{G})} 만약 A {\displaystyle A} 가 k {\displaystyle k} 위의 유한 생성 가환 결합 대수이며, G {\displaystyle G} 가 가약군이라면, A G {\displaystyle A^{G}} 역시 k {\displaystyle k} 위의 유한 생성 가환 결합 대수이다 (나가타 정리 영어: Nagata’s theorem). 다음이 주어졌다고 하자. 체 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 위의 유한형 스킴 X / Spec ⁡ k {\displaystyle X/\operatorname {Spec} k} 대수적 선다발 L ↠ X {\displaystyle L\twoheadrightarrow X} k {\displaystyle k} 위의 대수군 G / Spec ⁡ k {\displaystyle G/\operatorname {Spec} k} 작용 G × k X → X {\displaystyle G\times _{k}X\to X} 그렇다면, 이 데이터의 선형화는 L {\displaystyle L} 위의 G {\displaystyle G} 의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다. 임의의 l ∈ L {\displaystyle l\in L} 에 대하여, π ( g . l ) = g . π ( y ) {\displaystyle \pi (g.l)=g.\pi (y)} . 즉, 이는 각 올 L x {\displaystyle L_{x}} 에 대하여 사상 L x → L x {\displaystyle L_{x}\to L_{x}} 를 정의한다. 또한, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, G × k L x → L x {\displaystyle G\times _{k}L_{x}\to L_{x}} 는 k {\displaystyle k} -선형 변환이다. 이 경우, 대수적 선다발 L {\displaystyle L} 에 대하여 X {\displaystyle X} 의 기하점(대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점) Spec ⁡ K ¯ → X {\displaystyle \operatorname {Spec} {\bar {K}}\to X} 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, x {\displaystyle x} 를 준안정점이라고 한다. 어떤 양의 정수 n {\displaystyle n} 및 G {\displaystyle G} -불변 단면 s ∈ Γ ( X , L ⊗ n ) {\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})} 에 대하여, s ( x ) ≠ 0 {\displaystyle s(x)\neq 0} 이며 { y ∈ X : s ( y ) ≠ 0 } {\displaystyle \{y\in X\colon s(y)\neq 0\}} 이 아핀 열린 부분 스킴이다. 만약 위 정의에 추가로 { y ∈ X : s ( y ) ≠ 0 } {\displaystyle \{y\in X\colon s(y)\neq 0\}} 에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면 x {\displaystyle x} 를 안정점이라고 한다. 준안정점들은 열린 부분 스킴 X ss ⊆ X {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\subseteq X} 을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } 및 G {\displaystyle G} -불변 단면 s 1 , … , s n ∈ Γ ( L ⊗ N ) {\displaystyle s_{1},\dotsc ,s_{n}\in \Gamma ({\mathcal {L}}^{\otimes N})} 에 대하여 { x ∈ X : s i ( x ) ≠ 0 } ≅ Spec ⁡ R i {\displaystyle \{x\in X\colon s_{i}(x)\neq 0\}\cong \operatorname {Spec} R_{i}} ⋃ i = 1 n Spec ⁡ R i = X ss {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Spec} R_{i}=X^{\operatorname {ss} }} 가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫 V i = Spec ⁡ R i G {\displaystyle V_{i}=\operatorname {Spec} R_{i}^{G}} 를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여 k {\displaystyle k} 위의 유한형 스킴 X / / G {\displaystyle X/\!/G} 를 정의할 수 있다. 이를 X {\displaystyle X} 의 기하 불변량 이론 몫이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다. 체 k {\displaystyle k} 위의 유한형 스킴 X {\displaystyle X} 및 그 위에 작용하는 대수군 G {\displaystyle G} 및 선다발 L {\displaystyle L} 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 X s {\displaystyle X^{\operatorname {s} }} 및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 X ss {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }} 이 존재한다. 이 경우 X s {\displaystyle X^{\operatorname {s} }} 의 경우 몫공간인 스킴 X s / G {\displaystyle X^{\operatorname {s} }/G} 를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다. X s ↪ X ss ↪ X ↓ ↓ X s / G ↪ X / / G {\displaystyle {\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\hookrightarrow &X^{\operatorname {ss} }&\hookrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\hookrightarrow &X/\!/G\end{matrix}}} 아핀 스킴 A K 2 = K [ x , y ] {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}=K[x,y]} 위의, 이산군 Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)} (2차 순환군)의 작용 ( x , y ) ↦ ( − x , − y ) {\displaystyle (x,y)\mapsto (-x,-y)} 을 생각하자. 또한, char ⁡ K ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2} 라고 하자. 그렇다면, [ K [ a , b , c ] ( a c − b 2 ) ≅ K [ x , y ] G {\displaystyle {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\cong K[x,y]^{G}} ( a , b , c ) ↦ ( x 2 , x y , y 2 ) {\displaystyle (a,b,c)\mapsto (x^{2},xy,y^{2})} 가 된다. 따라서 A K 2 / / Cyc ⁡ ( 2 ) = Spec ⁡ [ K [ a , b , c ] ( a c − b 2 ) {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}/\!/\operatorname {Cyc} (2)=\operatorname {Spec} {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}} 는 3차원 아핀 공간 속의 이차 초곡면이다. 체 k {\displaystyle k} 가 주어졌다고 하자. 곱셈군 K × {\displaystyle K^{\times }} 이 사영 공간 X = P k n {\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}} 위에 다음과 같이 작용한다고 하자. λ . [ x 0 : x 1 : ⋯ : x n ] = [ λ − n x 0 : λ x 1 : ⋯ : λ x n ] {\displaystyle \lambda .[x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{n}]=[\lambda ^{-n}x_{0}:\lambda x_{1}:\dotsb :\lambda x_{n}]} 그렇다면, 닫힌 점 x = [ x 0 : ⋯ : x n ] {\displaystyle x=[x_{0}:\dotsb :x_{n}]} 는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다. 만약 x 0 ≠ 0 {\displaystyle x_{0}\neq 0} 이며 ( x 1 , … , x n ) ≠ ( 0 , … , 0 ) {\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\neq (0,\dotsc ,0)} 이라면, x {\displaystyle x} 는 안정점이다. 만약 x = [ 1 : 0 : ⋯ : 0 ] {\displaystyle x=[1:0:\dotsb :0]} 이라면, x {\displaystyle x} 는 안정점도, 준안정점도 아니다. 만약 x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} 이라면, x {\displaystyle x} 는 안정점도, 준안정점도 아니다. (이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.) 즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은 X ss ≅ A K n ∖ { 0 } {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\cong \mathbb {A} _{K}^{n}\setminus \{0\}} 이며, 그 위의 k × {\displaystyle k^{\times }} 의 작용은 λ . ( x 1 , … , x n ) = ( λ x 1 , … , λ x n ) {\displaystyle \lambda .(x_{1},\dotsc ,x_{n})=(\lambda x_{1},\dotsc ,\lambda x_{n})} 이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은 X / / k × = P k n − 1 {\displaystyle X/\!/k^{\times }=\mathbb {P} _{k}^{n-1}} 이다. Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970). “Invariant theory, old and new”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 4: 1–80. doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0. ISSN 0001-8708. MR 0255525.  Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, Frances (1994). 《Geometric invariant theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 34 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-57916-5. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 1304906.  “Geometric invariant theory”. 《nLab》 (영어).  Weisstein, Eric Wolfgang. “Geometric invariant theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Why is Mumford’s GIT quotient so effective?”. 《Math Overflow》 (영어).