야코비 타원함수

수학에서 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다. 야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수 ( u , m ) {\displaystyle (u,m)} 에 대한 함수이다. 여기서 0 ≤ m ≤ 1 {\displaystyle 0\leq m\leq 1} 이다. 다음과 같은 타원 적분을 생각하자. u = ∫ 0 ϕ d θ 1 − m sin 2 ⁡ θ {\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} 그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다. sn ⁡ ( u ; m ) = sin ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {sn} (u;m)=\sin \phi } cn ⁡ ( u ; m ) = cos ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {cn} (u;m)=\cos \phi } dn ⁡ ( u ; m ) = 1 − m sin 2 ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {dn} (u;m)={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}} 저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신 k = m {\displaystyle k={\sqrt {m}}} 또는 α = arcsin ⁡ m {\displaystyle \alpha =\arcsin {\sqrt {m}}} 을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 0 ≤ k ≤ 1 {\displaystyle 0\leq k\leq 1} , 0 ≤ α ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq \pi /2} 이다. 긴 반지름이 a ≥ 1 {\displaystyle a\geq 1} 이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다. x 2 / a 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}=1} 이들을 극좌표계 ( r , θ ) = ( x 2 + y 2 , arctan ⁡ ( x / y ) ) {\displaystyle (r,\theta )=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\arctan(x/y))} 로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다. x = x ( θ ) {\displaystyle x=x(\theta )} y = y ( θ ) {\displaystyle y=y(\theta )} r = r ( θ ) = x ( θ ) 2 + y ( θ ) 2 {\displaystyle r=r(\theta )={\sqrt {x(\theta )^{2}+y(\theta )^{2}}}} 또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다. u = ∫ 0 θ r ( ϕ ) d ϕ {\displaystyle u=\int _{0}^{\theta }\,r(\phi )\,d\phi } 그렇다면, u {\displaystyle u} 의 함수로서 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , r {\displaystyle r} 은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다. cn ⁡ ( u ) = x ( θ ) / a {\displaystyle \operatorname {cn} (u)=x(\theta )/a} sn ⁡ ( u ) = y ( θ ) {\displaystyle \operatorname {sn} (u)=y(\theta )} dn ⁡ ( u ) = r ( θ ) / a {\displaystyle \operatorname {dn} (u)=r(\theta )/a} 이 경우, m {\displaystyle m} 은 타원의 이심률의 제곱이다. m = k 2 = 1 − 1 / a 2 {\displaystyle m=k^{2}=1-1/a^{2}} 간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다. 야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. f {\displaystyle f} 가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면, f ( u ; m ) = f ( u + 4 K ( m ) ; m ) = f ( u + 4 i K ′ ( m ) ; m ) {\displaystyle f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)} 여기서 K ( m ) {\displaystyle K(m)} 과 K ′ ( m ) {\displaystyle K'(m)} 은 각각 실사분주기(영어: real quarter period)와 허사분주기(영어: imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다. K ( m ) = ∫ 0 π / 2 d θ 1 − m sin 2 ⁡ θ {\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} K ′ ( m ) = K ( 1 − m ) {\displaystyle K'(m)=K(1-m)} 즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선 C / Span Z ⁡ { 4 K ( m ) , 4 i K ′ ( m ) } {\displaystyle \mathbb {C} /\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\{4K(m),4iK'(m)\}} 위에 정의된 유리형 함수이다. sn, cn, dn 모두 u = i K ′ ( m ) {\displaystyle u=iK'(m)} 에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다. sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다. sn ⁡ ( 0 ; m ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sn} (0;m)=0} cn ⁡ ( K ( m ) ; m ) = 0 {\displaystyle \operatorname {cn} (K(m);m)=0} dn ⁡ ( K ( m ) + i K ′ ( m ) ; m ) = 0 {\displaystyle \operatorname {dn} (K(m)+iK'(m);m)=0} m = 0 {\displaystyle m=0} 일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다. sn ⁡ ( u ; 0 ) = sin ⁡ u {\displaystyle \operatorname {sn} (u;0)=\sin u} cn ⁡ ( u ; 0 ) = cos ⁡ u {\displaystyle \operatorname {cn} (u;0)=\cos u} dn ⁡ ( u ; 0 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {dn} (u;0)=1} 반대로, m = 1 {\displaystyle m=1} 일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다. sn ⁡ ( u ; 1 ) = tanh ⁡ u {\displaystyle \operatorname {sn} (u;1)=\tanh u} cn ⁡ ( u ; 1 ) = dn ⁡ ( u ; 1 ) = 1 cosh ⁡ u {\displaystyle \operatorname {cn} (u;1)=\operatorname {dn} (u;1)={\frac {1}{\cosh u}}} 야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다. sn 2 ⁡ ( u ; m ) + cn 2 ⁡ ( u ; m ) = 1 {\displaystyle \operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {cn} ^{2}(u;m)=1} m sn 2 ⁡ ( u ; m ) + dn 2 ⁡ ( u ; m ) = 1 {\displaystyle m\operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {dn} ^{2}(u;m)=1} 다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다. cn ⁡ ( x + y ) = cn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) − sn ⁡ ( x ) sn ⁡ ( y ) dn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( y ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) , sn ⁡ ( x + y ) = sn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) dn ⁡ ( y ) + sn ⁡ ( y ) cn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( x ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) , dn ⁡ ( x + y ) = dn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( y ) − k 2 sn ⁡ ( x ) sn ⁡ ( y ) cn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}} 야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다. d d z sn ⁡ z = cn ⁡ z dn ⁡ z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {sn} z=\operatorname {cn} z\operatorname {dn} z} d d z cn ⁡ z = − sn ⁡ z dn ⁡ z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {cn} z=-\operatorname {sn} z\operatorname {dn} z} d d z dn ⁡ z = − m sn ⁡ z cn ⁡ z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {dn} z=-m\operatorname {sn} z\operatorname {cn} z} 카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다. 세타 함수 바이어슈트라스 타원함수 타원 적분 타원곡선 Jacobi, C. G. J. (1829). 《Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum》 (라틴어). Königsberg: Borntraeger.  “Jacobi elliptic functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Jacobi Elliptic Functions”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.