반복 강제법

집합론에서 반복 강제법(反復強制法, 영어: iterated forcing)은 강제법 모형의 구성을 초한 번 반복하는 과정이다.:251–303, Chapter VIII:267–283, Chapter 16:§7 이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. ZFC의 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} 순서수 μ ∈ M ∩ Ord {\displaystyle \mu \in M\cap \operatorname {Ord} } M {\displaystyle M} 속의 μ {\displaystyle \mu } 단계 반복 강제법 구조( μ {\displaystyle \mu } -段階反復強制法構造, 영어: μ {\displaystyle \mu } -step iterated forcing strucure in M {\displaystyle M} )은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:273, Definition VII.5.8:280, Definition 16.29 M {\displaystyle M} 의 원소인 집합 D ∈ M {\displaystyle D\in M} M {\displaystyle M} 의 원소인 ( Q ˙ β , ≲ ˙ β ) β < μ {\displaystyle ({\dot {Q}}_{\beta },{\dot {\lesssim }}_{\beta })_{\beta <\mu }} . ( Q ˙ β , ≲ ˙ β ) {\displaystyle ({\dot {Q}}_{\beta },{\dot {\lesssim }}_{\beta })} 는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합의 P β {\displaystyle P_{\beta }} -이름이다. 각 β < μ {\displaystyle \beta <\mu } 에 대하여, ⊥ ˙ β {\displaystyle {\dot {\bot }}_{\beta }} 는 ( Q ˙ β , ≲ ˙ β ) {\displaystyle ({\dot {Q}}_{\beta },{\dot {\lesssim }}_{\beta })} 의 유일한 최소 원소이다. 집합족 I ⊆ P ( μ ) {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mu )} . 또한, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 는 P ( μ + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu +1)} 속의 순서 아이디얼을 이룬다. I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 는 μ {\displaystyle \mu } 의 모든 유한 부분 집합을 포함한다. 여기서, 다음과 같은 함수열을 정의하자. supp λ : D λ → P ( λ ) {\displaystyle \operatorname {supp} _{\lambda }\colon D^{\lambda }\to {\mathcal {P}}(\lambda )} supp λ : p ↦ { α ∈ λ : p α ≠ ⊥ ˙ μ } {\displaystyle \operatorname {supp} _{\lambda }\colon p\mapsto \left\{\alpha \in \lambda \colon p_{\alpha }\neq {\dot {\bot }}_{\mu }\right\}} 그렇다면 다음과 같은 부분 순서 집합들의 열 ( P α ) α ≤ μ {\displaystyle (P_{\alpha })_{\alpha \leq \mu }} 을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다. ∀ λ ≤ μ ∀ p ∈ D λ : p ∈ P λ ⟺ { ( p ↾ α ∈ P α ) ∧ ( p β ∈ dom ⁡ Q ˙ α ) ∧ ( p ↾ α ⊩ ( p α ∈ Q ˙ α ) ) ∃ α : α + 1 = λ ( ∀ α < λ : p ↾ α ∈ P α ) ∧ ( supp λ ⁡ p ∈ I ) ∄ α : α + 1 = λ {\displaystyle \forall \lambda \leq \mu \forall p\in D^{\lambda }\colon \qquad p\in P_{\lambda }\iff {\begin{cases}\left(p\upharpoonright \alpha \in P_{\alpha }\right)\land \left(p_{\beta }\in \operatorname {dom} {\dot {Q}}_{\alpha }\right)\land \left(p\upharpoonright \alpha \Vdash (p_{\alpha }\in {\dot {Q}}_{\alpha })\right)&\exists \alpha \colon \alpha +1=\lambda \\\left(\forall \alpha <\lambda \colon p\upharpoonright \alpha \in P_{\alpha }\right)\land (\operatorname {supp} _{\lambda }p\in {\mathcal {I}})&\nexists \alpha \colon \alpha +1=\lambda \end{cases}}} ∀ λ ≤ μ ∀ p , q ∈ P λ : p ≤ q ⟺ { ( p ↾ α ≤ q ↾ α ) ∧ ( p ↾ α ⊩ ( p α ≤ q α ) ) ∃ α + 1 = λ ∀ α < λ : ( p ↾ α ≤ q ↾ α ) ∄ α : α + 1 = λ {\displaystyle \forall \lambda \leq \mu \forall p,q\in P_{\lambda }\colon \qquad p\leq q\iff {\begin{cases}(p\upharpoonright \alpha \leq q\upharpoonright \alpha )\land (p\upharpoonright \alpha \Vdash (p_{\alpha }\leq q_{\alpha }))&\exists \alpha +1=\lambda \\\forall \alpha <\lambda \colon (p\upharpoonright \alpha \leq q\upharpoonright \alpha )&\nexists \alpha \colon \alpha +1=\lambda \end{cases}}} 임의의 α ≤ β ≤ μ {\displaystyle \alpha \leq \beta \leq \mu } 에 대하여, 함수 ι α β {\displaystyle \iota _{\alpha \beta }} 를 다음과 같이 정의하자. ι α β : P α → P β {\displaystyle \iota _{\alpha \beta }\colon P_{\alpha }\to P_{\beta }} ( q = ι α β ( p ) ) ⟺ ( ( q ↾ α = β ) ∧ ( ∀ α ≤ γ < β : q γ = ⊥ γ ) ) {\displaystyle \left(q=\iota _{\alpha \beta }(p)\right)\iff \left((q\upharpoonright \alpha =\beta )\land (\forall \alpha \leq \gamma <\beta \colon q_{\gamma }=\bot _{\gamma })\right)} 만약 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 가 유한 집합이라면, 이를 유한 지지 반복 강제법 구조(有限支持反復強制法, 영어: iterated forcing structure with finite support)이라고 한다. 만약 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 가 가산 집합이라면, 이를 가산 지지 반복 강제법 구조(可算支持反復強制法, 영어: iterated forcing structure with countable support)이라고 한다. 다음이 성립한다. 임의의 p ∈ P β {\displaystyle p\in P_{\beta }} 및 γ < β {\displaystyle \gamma <\beta } 에 대하여, p ↾ γ ∈ P β {\displaystyle p\upharpoonright \gamma \in P_{\beta }} 이다. 임의의 ( p γ ) γ < β ∈ P β {\displaystyle (p_{\gamma })_{\gamma <\beta }\in P_{\beta }} 및 γ < β {\displaystyle \gamma <\beta } 에 대하여, p γ ∈ dom ⁡ ( π γ ) {\displaystyle p_{\gamma }\in \operatorname {dom} (\pi _{\gamma })} 이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. ZFC의 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 지지 μ {\displaystyle \mu } 단계 반복 강제법 구조 ( π α ) α < μ {\displaystyle (\pi _{\alpha })_{\alpha <\mu }} P μ {\displaystyle P_{\mu }} 의 M {\displaystyle M} -포괄적 순서 아이디얼 G ⊆ P μ {\displaystyle G\subseteq P_{\mu }} 이 경우, 임의의 α ≤ μ {\displaystyle \alpha \leq \mu } 에 대하여 G α = ι α μ − 1 ( G ) ⊆ P α {\displaystyle G_{\alpha }=\iota _{\alpha \mu }^{-1}(G)\subseteq P_{\alpha }} 를 정의하자. (특히 G μ = G {\displaystyle G_{\mu }=G} 이다.) 그렇다면, 임의의 α ≤ β ≤ μ {\displaystyle \alpha \leq \beta \leq \mu } 에 대하여 M [ G α ] ⊆ M [ G β ] {\displaystyle M[G_{\alpha }]\subseteq M[G_{\beta }]} 이다. 즉, M ⊆ M [ G 0 ] ⊆ M [ G 1 ] ⊆ ⋯ ⊆ M [ G ω ] ⊆ M [ G ω + 1 ] ⊆ ⋯ ⊆ M [ G μ ] = M [ G ] {\displaystyle M\subseteq M[G_{0}]\subseteq M[G_{1}]\subseteq \cdots \subseteq M[G_{\omega }]\subseteq M[G_{\omega +1}]\subseteq \cdots \subseteq M[G_{\mu }]=M[G]} 이다. 1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움이 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.:282 Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 16일에 확인함.  Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. 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