이토 확률 과정

확률론에서 이토 확률 과정([伊藤]確率過程, 영어: Itō stochastic process)은 위너 과정의 이토 적분으로 정의되는 확률 과정이다. 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 위의 위너 확률 과정 ( W t : Ω → R ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}} 이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간 ( Ω , σ ( F t ∪ G ) , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )} 이 W {\displaystyle W} 의 자연 여과 확률 공간의 오른쪽 연속 완비화라고 하자. W {\displaystyle W} 에 대한 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정 ( X t : Ω → R ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}} 이다. X t = X 0 + ∫ 0 t Y s d s + ∫ 0 t Z s d W s {\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}Y_{s}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}Z_{s}\,\mathrm {d} W_{s}} 여기서 ( Z t : Ω → R ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (Z_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}} 는 이토 적분 가능 확률 과정이다. ( Y t : Ω → R ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (Y_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}} 는 ( Ω , σ ( F t ∪ G ) , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )} 에 대한 순응 확률 과정이다. X 0 ∈ L 2 ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle X_{0}\in \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )} 는 W {\displaystyle W} 와 독립인 확률 변수이다. ∫ d W {\displaystyle \textstyle \int \mathrm {d} W} 는 이토 적분이다. 흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항 X 0 {\displaystyle X_{0}} 을 생략하고 d X t = Y t d t + Z t d W t {\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=Y_{t}\,\mathrm {d} t+Z_{t}\,\mathrm {d} W_{t}} 와 같이 표기된다. 보다 일반적으로, 매끄러운 다양체 위의 이토 과정을 생각할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 위너 확률 과정 W t : Ω → R m {\displaystyle W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} . 이를 보렐 가측 공간으로 간주하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 값의 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정 ( X ( t ) : Ω → R ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (X(t)\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}} 이다. (미분 기하학에서 첨자를 널리 사용하므로, 편의상 시간을 첨자 대신 괄호로 표기하였다.) X μ ( t ) = X μ ( 0 ) + ∫ 0 t Y i ( s ) e i μ d s + ∫ 0 t Z i j ( t ) e j μ d W s i {\displaystyle X^{\mu }(t)=X^{\mu }(0)+\int _{0}^{t}Y^{i}(s)e_{i}^{\mu }\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}Z_{i}^{j}(t)e_{j}^{\mu }\,\mathrm {d} W_{s}^{i}} 여기서 ( Z t : Ω → R m × n ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (Z_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m\times n})_{t\in [0,\infty )}} 는 이토 적분 가능 확률 과정이다. ( Y t : Ω → R n ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (Y_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,\infty )}} 는 ( Ω , σ ( F t ∪ G ) , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )} 에 대한 순응 확률 과정이다. X ( 0 ) : Ω → M {\displaystyle X(0)\colon \Omega \to M} 은 W {\displaystyle W} 와 독립인, M {\displaystyle M} 값의 확률 변수이다. e 1 μ , … , e n μ {\displaystyle e_{1}^{\mu },\dotsc ,e_{n}^{\mu }} 은 M {\displaystyle M} 위의 n {\displaystyle n} 개의 벡터장이다. 즉, e ∈ Γ ( T M × R n ) {\displaystyle e\in \Gamma (\mathrm {T} M\times \mathbb {R} ^{n})} 이다. 매끄러운 다양체의 접다발의 지표는 μ , ν , … {\displaystyle \mu ,\nu ,\dotsc } 로, 유클리드 공간의 지표는 i , j , … {\displaystyle i,j,\dotsc } 로 표기하였다. 이토 적분에서, 변수의 변환은 일반적으로 추가 항을 갖는다. 즉, 통상적인 연쇄법칙이 성립하지 않으며, 위너 확률 과정의 스스로와의 상관 현상에 의한 추가 항이 등장한다. 이를 이토 보조 정리([伊藤]補助定理, 영어: Itō’s lemma) 또는 이토-되블린 정리(영어: Itō–Döblin theorem)라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } Ω {\displaystyle \Omega } 위의 위너 확률 과정 ( W t : Ω → R ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}} W {\displaystyle W} 에 대한 이토 확률 과정 X t = X 0 + ∫ 0 t Y s d s + ∫ 0 t Z s d W s {\displaystyle X_{t}=X_{0}+\textstyle \int _{0}^{t}Y_{s}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}Z_{s}\,\mathrm {d} W_{s}} 함수 f : R + × R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} } , ( t , x ) ↦ f ( t , x ) {\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)} . 또한, 이 함수가 첫째 변수에 대하여 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} (연속 미분 가능) 함수이며, 둘째 변수에 대하여 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} (2차 연속 미분 가능) 함수라고 하자. 그렇다면, 이토 보조 정리에 따르면, X t ′ = f ( t , X t ) {\displaystyle X'_{t}=f(t,X_{t})} 는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 또한 그 분해는 다음과 같다. f ( t , X t ) = f ( 0 , X 0 ) + ∫ 0 t ( ∂ f ∂ t ( s , X s ) + ∂ f ∂ x ( s , X s ) Y s + 1 2 ∫ 0 t Z s 2 ∂ 2 f ∂ 2 x ( s , X ( s ) ) ) d s + ∫ 0 t ∂ f ∂ x ( s , X s ) Z s d W s {\displaystyle f(t,X_{t})=f(0,X_{0})+\int _{0}^{t}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}(s,X_{s})+{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,X_{s})Y_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}Z_{s}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}(s,X(s))\right)\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,X_{s})Z_{s}\,\mathrm {d} W_{s}} 미분 표기법으로는 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다. d f ( X t ) = ∂ f ∂ t ( t , X t ) d t + ∂ f ∂ x ( t , X t ) d X t + 1 2 Z t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( t , X t ) d t {\displaystyle \mathrm {d} f(X_{t})={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,X_{t})\,\mathrm {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}(t,X_{t})\,\mathrm {d} X_{t}+{\frac {1}{2}}Z_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})\,\mathrm {d} t} 여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 연쇄법칙에 등장하지 않는 것이다. 특히, 만약 X t = W t {\displaystyle X_{t}=W_{t}} 이며, f ( t , x ) {\displaystyle f(t,x)} 가 t {\displaystyle t} 에 직접 의존하지 않는다면, 이토 보조 정리는 다음과 같이 된다. d f ( W t ) = f ′ ( W t ) d W t + 1 2 f ″ ( W t ) d t {\displaystyle \mathrm {d} f(W_{t})=f'(W_{t})\,\mathrm {d} W_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})\,\mathrm {d} t} 유클리드 공간 위의 이토 과정 d X i ( t ) = Y i ( t ) d t + Z j i ( t ) d W t j {\displaystyle \mathrm {d} X^{i}(t)=Y^{i}(t)\,\mathrm {d} t+Z_{j}^{i}(t)\,\mathrm {d} W_{t}^{j}} 의, 시간 t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle t\in [0,\infty )} 에서의 무한소 생성원은 다음과 같은 2차 미분 연산자의 족 ( D ( t ) ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (D(t))_{t\in [0,\infty )}} 이다. D ( t ) f ( x ) = lim h → 0 E ( f ( X t + h ) | X t = x ) − f ( x ) h {\displaystyle D(t)f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbb {E} (f(X_{t+h})|X_{t}=x)-f(x)}{h}}} 이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다. ( D ( t ) f ) i ( x ) = Y j ( t ) ∂ j f i + 1 2 Z j l Z k l ( t ) ∂ j ∂ k f i ( t ) {\displaystyle (D(t)f)^{i}(x)=Y^{j}(t)\partial _{j}f^{i}+{\frac {1}{2}}Z_{j}^{l}Z_{k}^{l}(t)\partial _{j}\partial _{k}f^{i}(t)} 이 경우, D ( t ) p ( x , t ) = ∂ t p ( x , t ) {\displaystyle D(t)p(x,t)=\partial _{t}p(x,t)} 와 같은 편미분 방정식을 포커르-플랑크 방정식이라고 한다. 이토 과정의 확률 분포 함수 Pr ( X t ∈ S ) = ∫ S p ( x , t ) d x {\displaystyle \Pr(X_{t}\in S)=\int _{S}p(x,t)\,\mathrm {d} x} 는 이 편미분 방정식을 따른다. “Itô process”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Itô formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ito's lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.