일반화 페테르센 그래프

그래프 이론에서 일반화 페테르센 그래프(一般化Petersen graph, 영어: generalized Petersen graph)는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 페테르센 그래프(영어: Petersen graph)라고 한다. 3 이상의 정수 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 과, n {\displaystyle n} 의 배수가 아닌 정수 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } , n ∤ k {\displaystyle n\nmid k} 가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면 n / 2 ∤ k {\displaystyle n/2\nmid k} 라고 하자. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 는 다음과 같은 그래프이다. V ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i , v i : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} E ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i u i + 1 , u i v i , v i v i + k : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} 여기서 첨자는 법 n {\displaystyle n} 으로 계산한다. 즉, u n + i = u i {\displaystyle u_{n+i}=u_{i}} 및 v n + i = u i {\displaystyle v_{n+i}=u_{i}} 로 간주한다. 일반화 페테르센 그래프의 변 가운데, u i v i {\displaystyle u_{i}v_{i}} 꼴의 변을 바큇살(영어: spoke)이라고 한다. 당연히 GPG ⁡ ( n , k ) = GPG ⁡ ( n , k + n ) = GPG ⁡ ( n , − k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)=\operatorname {GPG} (n,k+n)=\operatorname {GPG} (n,-k)} 이므로, 보통 1 ≤ k < n / 2 {\displaystyle 1\leq k<n/2} 를 가정한다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 는 2 n {\displaystyle 2n} 개의 꼭짓점과 3 n {\displaystyle 3n} 개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, { u i v i } i ∈ Z / n {\displaystyle \{u_{i}v_{i}\}_{i\in \mathbb {Z} /n}} 은 완벽 부합을 이룬다. 임의의 정수 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 및 정수 1 ≤ k , k ′ < n / 2 {\displaystyle 1\leq k,k'<n/2} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Proposition 9 GPG ⁡ ( n , k ) ≅ GPG ⁡ ( n , k ′ ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,k')} k k ′ ≡ ± 1 ( mod n ) {\displaystyle kk'\equiv \pm 1{\pmod {n}}} 예를 들어, GPG ⁡ ( 7 , 2 ) ≅ GPG ⁡ ( 7 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (7,2)\cong \operatorname {GPG} (7,3)} 이다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 의 안둘레는 항상 min { 8 , k + 3 , n / gcd { n , k } } {\displaystyle \min\{8,k+3,n/\gcd\{n,k\}\}} 이하이다.:Theorem 2.1 증명: 일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은 V ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i , v i : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} E ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i u i + 1 , u i v i , v i v i + k : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} 이다. 그 속에서 u 0 − v 0 − v k − u k − u k + 1 − v k + 1 − v 1 − u 1 − u 0 {\displaystyle u_{0}-v_{0}-v_{k}-u_{k}-u_{k+1}-v_{k+1}-v_{1}-u_{1}-u_{0}} 는 길이 8의 순환이며, u 0 − v 0 − v k − u k − u k − 1 − ⋯ − u 1 − u 0 {\displaystyle u_{0}-v_{0}-v_{k}-u_{k}-u_{k-1}-\dotsb -u_{1}-u_{0}} 는 길이 k + 3 {\displaystyle k+3} 의 순환이며, v 0 − v k − v 2 k − ⋯ − v 0 {\displaystyle v_{0}-v_{k}-v_{2k}-\dotsb -v_{0}} 는 길이 n / gcd { n , k } {\displaystyle n/\gcd\{n,k\}} 의 순환이다. 또한, 다음이 성립한다. girth ⁡ ( GPG ⁡ ( a k ± b , k ) ) ≤ a + b + 2 {\displaystyle \operatorname {girth} (\operatorname {GPG} (ak\pm b,k))\leq a+b+2} 증명: 일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은 V ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i , v i : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} E ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i u i + 1 , u i v i , v i v i + k : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} 이다. 그 속에서 u 0 − v 0 − v k − ⋯ − v a k ≡ ± b − u ± b − u ± ( b − 1 ) − ⋯ − u ± 1 − u 0 {\displaystyle u_{0}-v_{0}-v_{k}-\dotsb -v_{ak\equiv \pm b}-u_{\pm b}-u_{\pm (b-1)}-\dotsb -u_{\pm 1}-u_{0}} 은 길이 a + b + 2 {\displaystyle a+b+2} 의 순환이다 (복부호 동순). 위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 1 ≤ k < n / 2 {\displaystyle 1\leq k<n/2} 이며, k = min { 1 ≤ k ′ < n / 2 : GPG ⁡ ( n , k ) ≅ GPG ⁡ ( n , k ′ ) } {\displaystyle k=\min \left\{1\leq k'<n/2\colon \operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,k')\right\}} 일 때, 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.:Theorem 2.8 증명: 일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은 V ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i , v i : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} E ⁡ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { u i u i + 1 , u i v i , v i v i + k : i ∈ Z / n } {\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}} 이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 u i v i {\displaystyle u_{i}v_{i}} 을 포함한다. 모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환 u 0 − v 0 − v k − u k − u k + 1 − v k + 1 − v 1 − u 1 − u 0 {\displaystyle u_{0}-v_{0}-v_{k}-u_{k}-u_{k+1}-v_{k+1}-v_{1}-u_{1}-u_{0}} 을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다. 2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 u 0 − u 1 {\displaystyle u_{0}-u_{1}} 로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다. u 0 − u 1 − ⋯ − u b − v b − v b ± k − v b ± 2 k − ⋯ − v b ± a k − u 0 {\displaystyle u_{0}-u_{1}-\dotsb -u_{b}-v_{b}-v_{b\pm k}-v_{b\pm 2k}-\dotsb -v_{b\pm ak}-u_{0}} 이것이 존재하기 위해서는 a k ± b ∣ n {\displaystyle ak\pm b\mid n} 이어야 하며, 이 경우 순환의 길이는 a + b + 2 {\displaystyle a+b+2} 이다. k {\displaystyle k} 가 최솟값이어야 하므로, a k + b = n {\displaystyle ak+b=n} 및 a k + b = 0 {\displaystyle ak+b=0} 인 경우만 고려해도 된다. a k + b = 0 {\displaystyle ak+b=0} 인 경우: ( a , b ) = ( 1 , − k ) {\displaystyle (a,b)=(1,-k)} 인 경우가 최적이며, 이 경우 순환의 길이는 k + 3 {\displaystyle k+3} 이다. a k + b = n {\displaystyle ak+b=n} 인 경우: 만약 n = a k ± 1 {\displaystyle n=ak\pm 1} 인 경우, GPG ⁡ ( n , k ) ≅ GPG ⁡ ( n , a ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,a)} 이다. 따라서, 이 경우 k {\displaystyle k} 는 최솟값을 갖지 못한다. 만약 n = a k {\displaystyle n=ak} 일 경우, 이 경우 0개의 바큇살을 갖는 길이 a {\displaystyle a} 의 순환이 더 짧다. 만약 n = 2 k − b {\displaystyle n=2k-b} 일 경우, k ≥ n / 2 {\displaystyle k\geq n/2} 이다. 위 경우를 제외하면, 이러한 순환의 길이가 8 미만인 경우는 남는 것은 ( a , b ) = ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , − 2 ) {\displaystyle (a,b)=(2,2),(2,3),(3,2),(3,-2)} 이다. 0개의 바큇살을 갖는 순환은 u i {\displaystyle u_{i}} 또는 v i {\displaystyle v_{i}} 로만 구성된다. u i {\displaystyle u_{i}} 만으로 구성되는 유일한 순환의 길이는 n {\displaystyle n} 이며, v i {\displaystyle v_{i}} 만으로 구성되는 순환의 길이는 n / gcd { n , k } {\displaystyle n/\gcd\{n,k\}} 이다. 후자의 길이가 7 이하가 되려면, 가능한 경우는 n / k ∈ { 3 / 1 , 4 / 1 , 5 / 1 , 5 / 2 , 6 / 1 , 7 / 1 , 7 / 2 , 7 / 3 } {\displaystyle n/k\in \{3/1,4/1,5/1,5/2,6/1,7/1,7/2,7/3\}} 이다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 어떤 유한군의 케일리 그래프와 동형이다. k 2 ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {n}}} 예를 들어, 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 의 경우 5 2 ≡ 1 ( mod 12 ) {\displaystyle 5^{2}\equiv 1{\pmod {12}}} 이며, 이는 대칭군 Sym ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (4)} 의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 GPG ⁡ ( n , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)} 는 크기 2 n {\displaystyle 2n} 의 정이면체군 Dih ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (n)} 의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 는 케일리 그래프가 아니다. 일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리(영어: Brooks’ theorem)에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이분 그래프이다. (즉, 색칠수가 2이다.) n {\displaystyle n} 이 짝수이며, k {\displaystyle k} 는 홀수이다. 다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 의 색칠수는 다음과 같다. χ ( GPG ⁡ ( n , k ) ) = { 2 2 ∣ n ∧ 2 ∤ k 3 2 ∤ n ∨ 2 ∣ k {\displaystyle \chi (\operatorname {GPG} (n,k))={\begin{cases}2&2\mid n\land 2\nmid k\\3&2\nmid n\lor 2\mid k\end{cases}}} 여기서 ∧ {\displaystyle \land } 는 논리곱(AND), ∨ {\displaystyle \lor } 는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 의 색칠수는 3이다. 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 의 3색 그래프 색칠 데자르그 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)} 의 2색 그래프 색칠 뒤러 그래프 GPG ⁡ ( 6 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)} 의 3색 그래프 색칠 페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 9 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (9,2)} 는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다. 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 의 4색 변 색칠 뒤러 그래프 GPG ⁡ ( 6 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)} 의 3색 변 색칠 정십이면체 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)} 의 3색 변 색칠 데자르그 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)} 의 3색 변 색칠 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 의 3색 변 색칠 임의의 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} ( 3 ≤ n {\displaystyle 3\leq n} , 1 ≤ k < n / 2 {\displaystyle 1\leq k<n/2} )에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다. (가) 해밀턴 순환을 갖는다. (나) n ≡ 5 ( mod 6 ) {\displaystyle n\equiv 5{\pmod {6}}} 이며, k ∈ { 2 , ( n − 1 ) / 2 } {\displaystyle k\in \{2,(n-1)/2\}} 이다. 또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.) 예를 들어, 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다. 뒤러 그래프 GPG ⁡ ( 6 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)} 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 8 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)} 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 9 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (9,2)} 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다. 정십이면체 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)} 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다. 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다. 각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)} 은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다. 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 의 그래프 교차수는 2이다. 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다. 평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 K 5 {\displaystyle K_{5}} 또는 완전 이분 그래프 K 3 , 3 {\displaystyle K_{3,3}} 를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다. 오각기둥 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,1)} 의 교차수는 0이다. 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 의 교차수는 2이다. 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 의 교차수는 8이다. 일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다. 페테르센 그래프는 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 이다. 이는 완전 그래프 K 5 {\displaystyle K_{5}} 의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다. 뒤러 그래프(영어: Dürer graph)는 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 6 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)} 이다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)} 는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다. 데자르그 그래프(영어: Desargues graph)는 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)} 이다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)} 는 n {\displaystyle n} 각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 3 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (3,1)} 일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) GPG ⁡ ( 4 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (4,1)} 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,1)} 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 6 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,1)} 뒤러 그래프 GPG ⁡ ( 6 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)} 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 7 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (7,1)} 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 8 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,1)} 정십이면체 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)} 데자르그 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)} 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,4)} 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》(독일어: Melancholia Ⅰ)에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다. 1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며,:227, Fig. 5 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다. 연결 삼차 그래프 가운데, 임의의 변을 제거하더라도 연결 그래프로 남는 것들의 경우, 모두 변 색칠수가 3 이하이다. “데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다. 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다.:418, §2 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} 를 { n } + { n / k } {\displaystyle \{n\}+\{n/k\}} 로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다. 1969년에 마크 왓킨스(영어: Mark E. Watkins)가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”(영어: generalized Petersen graph)라고 명명하였다. “나우루 그래프”(영어: Nauru graph)라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인(영어: David Arthur Eppstein)이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다. Holton, D. A.; Sheehan, J. (1993). 《The Petersen graph》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521435943. ISBN 0-521-43594-3.  Boben, Marko; Pisanski, Tomaž; Žitni, Arjana (2005년 11월). “I-graphs and the corresponding configurations” (PDF). 《Journal of Combinatorial Designs》 (영어) 13 (6): 406–424. doi:10.1002/jcd.20054. 2018년 7월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 5일에 확인함.  Steimle, Alice; Staton, William (2009년 1월 6일). “The isomorphism classes of the generalized Petersen graphs”. 《Discrete Mathematics》 (영어) 309 (1): 231–237. doi:10.1016/j.disc.2007.12.074.  Ferrero, Daniela; Hanusch, Sarah (2014). “Component connectivity of generalized Petersen graphs” (PDF). 《International Journal of Computer Mathematics》 (영어) 91 (9): 1940–1963. doi:10.1080/00207160.2013.878023. 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