치올콥스키 로켓 방정식

치올콥스키 로켓 방정식(Tsiolkovsky's rocket equation)은 러시아의 로켓 과학자인 콘스탄틴 치올콥스키가 처음으로 유도해낸 방정식으로, 중력이나 저항 같은 외력이 작용하지 않는 계에서의 로켓의 운동을 기술한다. 그 식은 다음과 같다. v f = v i + u ln ⁡ m i m f {\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}} (여기서 v f {\displaystyle v_{f}} 는 로켓의 최종 속력, v i {\displaystyle v_{i}} 는 로켓의 초기 속력, u {\displaystyle u} 는 분출된 연료의 로켓에 대한 상대 속력, m f {\displaystyle m_{f}} 는 로켓의 최종 질량, m i {\displaystyle m_{i}} 는 로켓의 초기 질량.) 치올콥스키의 방정식을 유도하는 과정은 질량이 변하는 계(variable-mass system)에 뉴턴 법칙을 적용하는 것과 상당히 비슷하다. 뉴턴 제 2 법칙에 의하면 F → = d p → d t = d ( m v → ) d t {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d(m{\vec {v}})}{dt}}} 이다. 여기서 m을 상수로 취급하면 매우 유명한 공식인 F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} 가 되지만, m이 상수가 아닌 일반적인 경우를 고려하면 곱의 미분법으로 인해 F → = d m d t v →   +   m d v → d t {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}\ +\ m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}} 가 된다. 이 과정에서 F → = 0 ⇐⇒ d m d t v →   +   m d v → d t = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0\Leftarrow \Rightarrow {\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}\ +\ m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=0} 라고 놓고 문제를 푸는 오류를 범하기도 하는데, 언뜻 보기에는 맞는 것 같지만 이처럼 알짜힘을 0이라고 놓으면 로켓이 가속되고 있다는 사실과 모순된다. 로켓 자체만을 생각하는 대신 로켓과 방출된 연료(fuel)를 모두 포함하는 계를 고려한다면 더 납득 가능한 결론에 도달할 수 있을 것이고 계산도 더 용이해질 것이다. 이 방정식의 전제 조건은 로켓과 연료를 포함한 이 계에 중력 같은 외력이 전혀 작용하지 않는다는 점이다. 그러므로 ( F → e x t = d p → d t = 0 {\displaystyle {\vec {F}}_{ext}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=0} 이기에) 뉴턴 제 2 법칙에 따라 계의 총 운동량은 변화하지 않을 것이다. 다시 말하면 초기 운동량과 최종 운동량을 같게 놓고 풀면 치올콥스키의 방정식을 얻을 수 있다. 계의 초기 운동량은 m f u e l v → f u e l   +   m r o c k e t v → r o c k e t = 0 × 0   +   m v → = m v → {\displaystyle m_{fuel}{\vec {v}}_{fuel}\ +\ m_{rocket}{\vec {v}}_{rocket}=0\times 0\ +\ m{\vec {v}}=m{\vec {v}}} 이다. 계의 현재 운동량을 계산하려면 단계적으로 생각해볼 필요가 있다. 1) 로켓의 질량은 d t {\displaystyle dt} 의 시간 동안 m   +   d m {\displaystyle m\ +\ dm} 이 되었다 (여기서 질량이 감소했으므로 d m < 0 {\displaystyle dm<0} ). 같은 방법으로 로켓의 속도는 d t {\displaystyle dt} 의 시간 동안 v →   +   d v → {\displaystyle {\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}}} 가 되었다. 이 말은 로켓의 현재 운동량은 ( m   +   d m ) ( v →   +   d v → ) {\displaystyle (m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})} 이라는 뜻이다. 2) 방금 갓 방출된 연료의 질량은 ( d m < 0 {\displaystyle dm<0} 이므로) − d m {\displaystyle -dm} 이다. 연료의 속도를 v → f u e l {\displaystyle {\vec {v}}_{fuel}} 라고 하면 연료의 현재 운동량은 − d m   v → f u e l {\displaystyle -dm\ {\vec {v}}_{fuel}} 이다. 3) 이 둘을 더하면 ( m   +   d m ) ( v →   +   d v → ) − d m   v → f u e l {\displaystyle (m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})-dm\ {\vec {v}}_{fuel}} 이 된다. 이것이 계의 현재 운동량이다. 위의 정보를 종합해보면, 계의 초기 운동량과 현재 운동량은 같으므로 m v → = ( m   +   d m ) ( v →   +   d v → ) − d m   v → f u e l {\displaystyle m{\vec {v}}=(m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})-dm\ {\vec {v}}_{fuel}} 이다. 이제 식을 정리해보자. 식을 전개하면 m v → = m v → + m d v → + v → d m + d m d v → − d m   v → f u e l {\displaystyle m{\vec {v}}=m{\vec {v}}+md{\vec {v}}+{\vec {v}}dm+dmd{\vec {v}}-dm\ {\vec {v}}_{fuel}} 가 된다. 여기서 양변에서 m v → {\displaystyle m{\vec {v}}} 를 소거한다. 그리고 d m d v → {\displaystyle dmd{\vec {v}}} 는 그 크기(magnitude)가 너무 작으니 무시하도록 하자. 그러면 다음과 같은 식이 된다. m   d v → + v →   d m − v → f u e l   d m = 0 {\displaystyle m\ d{\vec {v}}+{\vec {v}}\ dm-{\vec {v}}_{fuel}\ dm=0} . 여기서 마지막 두 항을 d m {\displaystyle dm} 으로 묶으면 m   d v → + d m   ( v → − v → f u e l ) = 0 {\displaystyle m\ d{\vec {v}}+dm\ ({\vec {v}}-{\vec {v}}_{fuel})=0} 이 되고, 이것은 m   d v → = d m   ( v → f u e l   −   v → ) {\displaystyle m\ d{\vec {v}}=dm\ ({\vec {v}}_{fuel}\ -\ {\vec {v}})} 와 같다. 상대 속도의 정의에 따라 u → = v → f u e l   −   v → r o c k e t {\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{fuel}\ -\ {\vec {v}}_{rocket}} 이므로 m   d v → = u →   d m {\displaystyle m\ d{\vec {v}}={\vec {u}}\ dm} 이 된다. 이제 d v → {\displaystyle d{\vec {v}}} 와 u → {\displaystyle {\vec {u}}} 모두 일직선 상에 있다고 가정하고, 벡터의 크기(magnitude)만 고려하자. | d v → | = d v ,   | u → | = u {\displaystyle |d{\vec {v}}|=dv,\ |{\vec {u}}|=u} 라고 정의하자. 로켓이 나아가는 방향을 +라고 한다면, d v → {\displaystyle d{\vec {v}}} 는 d v {\displaystyle dv} 가 될 것이고, 로켓에 대해 연료는 항상 상대적으로 뒤로 가고 있으므로 u → {\displaystyle {\vec {u}}} 는 − u {\displaystyle -u} 로 쓸 수 있을 것이다. 그렇다면 식은 m   d v = − u   d m {\displaystyle m\ dv=-u\ dm} 이라고 쓸 수 있다? m   d v = − u   d m {\displaystyle m\ dv=-u\ dm} 의 양변을 d t {\displaystyle dt} 로 나누면 m d v d t = − u d m d t {\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-u{\frac {dm}{dt}}} 가 된다. 이는 m a = − u d m d t {\displaystyle ma=-u{\frac {dm}{dt}}} 와 같다. 이렇듯 로켓과 연료를 포함한 계의 운동 상태를 로켓의 질량과 가속도의 크기, 그리고 연료의 로켓에 대한 상대 속력으로만 표현하는 데 성공했다. 이제 이 공식을 이용해 미분방정식을 세우고 풀어보자. m a = − u d m d t {\displaystyle ma=-u{\frac {dm}{dt}}} 의 양변에 d t {\displaystyle dt} 를 곱하고 양변을 m {\displaystyle m} 으로 나누면 a   d t = − u   d m m {\displaystyle a\ dt=-u\ {\frac {dm}{m}}} 이 된다. (여기서 u {\displaystyle u} 는 상수라고 가정하자.) 양변을 적분하면 ∫ t i t f a   d t = ∫ m i m f − u   d m m {\displaystyle \int _{t_{i}}^{t_{f}}a\ dt=\int _{m_{i}}^{m_{f}}-u\ {\frac {dm}{m}}} 이 된다. 좌변은 Δ v = v f   −   v i {\displaystyle \Delta v=v_{f}\ -\ v_{i}} 가 되고, 우변은 − u   [ ln ⁡   | m | ] m i m f = − u   ( ln ⁡   m f   −   ln ⁡   m i ) = − u   ln ⁡ m f m i = u   ln ⁡ m i m f {\displaystyle -u\ {\Big [}\ln \ |m|{\Big ]}_{m_{i}}^{m_{f}}=-u\ (\ln \ m_{f}\ -\ \ln \ m_{i})=-u\ \ln {\frac {m_{f}}{m_{i}}}=u\ \ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}} 가 된다. 최종 속력에 대해 정리하면 v f = v i + u ln ⁡ m i m f {\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}} 이라는 식이 나온다. 비록 실제 상황보다 극히 간단한 가정을 하지만, 로켓 방정식은 로켓 비행에 있어서의 핵심적인 물리학적 원리를 간명하게 보여준다. 로켓 궤도 역학에 있어서 Δ v {\displaystyle \Delta v} 는 궤도의 이동이 얼마나 쉬운지, 혹은 어려운지를 나타내주는 양이 된다. 식에서 알 수 있듯이 큰 Δ v {\displaystyle \Delta v} 를 얻기 위해서는 m i {\displaystyle m_{i}} 가 크거나 ( Δ v {\displaystyle \Delta v} 에 비해 지수함수 적으로 커져야 함), m f {\displaystyle m_{f}} 이 작거나, 아니면 분사 속도 v {\displaystyle v} 가 매우 높아야 한다. 또는 이 세 조건이 적절히 조합되어야 한다. 공학적으로는 거대한 로켓을 만들고 ( m i {\displaystyle m_{i}} 을 키움) 다단계 로켓을 만들어 ( m f {\displaystyle m_{f}} 를 줄임) 분사 속도를 높게 할 수 있다. 아폴로 우주 계획에서 사용되었던 새턴 5호 로켓이 이런 조건을 만족하는 좋은 예가 된다. 질량비 로버트 고다드 우주선 추진