가역원

추상대수학에서 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛[*])은 환 또는 모노이드에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다. 모노이드 M {\displaystyle M} 의 원소 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 의 역원(영어: inverse) y {\displaystyle y} 는 x y = y x = 1 {\displaystyle xy=yx=1} 이 되는 원소 y ∈ M {\displaystyle y\in M} 이다. 주어진 원소의 역원은 유일한데, 이는 만약 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 이 두 역원 y , y ′ ∈ M {\displaystyle y,y'\in M} 을 갖는다면 y ′ = ( y x ) y ′ = y ( x y ′ ) = y {\displaystyle y'=(yx)y'=y(xy')=y} 가 되기 때문이다. 모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 한다. 모노이드 M {\displaystyle M} 의 가역원들로 구성된 부분 집합 Unit ⁡ ( M ) = { x ∈ M : ∃ y ∈ M : x y = y x = 1 } {\displaystyle \operatorname {Unit} (M)=\{x\in M\colon \exists y\in M\colon xy=yx=1\}} 은 M {\displaystyle M} 의 부분 모노이드이자 군을 이루며, 이를 M {\displaystyle M} 의 가역원군(영어: group of invertible elements, group of units)이라고 하며, M × {\displaystyle M^{\times }} 또는 M ∗ {\displaystyle M^{*}} 또는 Unit ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Unit} (M)} 으로 표시한다. 환의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다. 범주론적 관점에서, 모노이드는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 생각할 수 있으며, 이 경우 모노이드의 원소들은 유일한 대상의 자기 사상들에 대응한다. 이 경우, 가역원은 모노이드의 동형 사상과 같으며, 가역원군은 유일한 대상의 자기 동형군과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상의 개념의 특수한 경우이다. 임의의 작은 범주는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 가역원군을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주에서 동형 사상이 아닌 사상들을 삭제하면 준군을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 열린집합 U ⊆ V ⊆ X {\displaystyle U\subseteq V\subseteq X} 에 대하여 Γ ( U ; O X × ) = ( Γ ( U ; O X ) ) × {\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\left(\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\right)^{\times }} res U , V O X × = res U , V O X ⁡ | Γ ( U ; O X ) × {\displaystyle \operatorname {res} _{U,V}^{{\mathcal {O}}_{X}^{\times }}=\operatorname {res} _{U,V}^{{\mathcal {O}}_{X}}|_{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})^{\times }}} 인 아벨 군 값의 층 O X × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }} 가 존재하며, 이를 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 의 가역원층(可逆元層, 영어: sheaf of units)이라고 한다. (여기서 Γ ( − , − ) {\displaystyle \Gamma (-,-)} 는 층의 단면군을 뜻하며, res {\displaystyle \operatorname {res} } 는 두 층 단면군 사이의 제한 준동형을 뜻한다.) 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. R × = R ∖ { 0 } {\displaystyle R^{\times }=R\setminus \{0\}} R {\displaystyle R} 는 나눗셈환이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. R ∖ R × {\displaystyle R\setminus R^{\times }} 가 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다. R {\displaystyle R} 는 국소환이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 0 ∈ R × {\displaystyle 0\in R^{\times }} 이다. R = R × {\displaystyle R=R^{\times }} 이다. R {\displaystyle R} 는 자명환이다. 이는 만약 0이 역원을 갖는다면 1 = 0 − 1 0 = 0 {\displaystyle 1=0^{-1}0=0} 이 되기 때문이다. Z × = { ± 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\times }=\{\pm 1\}} 이다. 나눗셈환의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어, Q × = Q ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}} 이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대한 행렬환 Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} 의 가역원군은 일반선형군 Mat ⁡ ( n ; K ) × = GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)^{\times }=\operatorname {GL} (n;K)} 이다. 이는 가역행렬로 구성된 군이다. 대수기하학에서, 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 의 구조층 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 의 가역원층 O X × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }} 계수의 1차 층 코호몰로지 H 1 ⁡ ( X ; O X × ) = Pic ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 피카르 군이라고 한다. “Invertible element”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Unit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Unit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Invertible element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Invertible”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Unit”. 《nLab》 (영어).