필터 (수학)

순서론에서 필터(영어: filter)는 어떤 원순서 집합의 하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, 영어: order ideal)은 어떤 원순서 집합의 상향 하집합이다. 일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다. S {\displaystyle S} 는 하향 원순서 집합이다. S {\displaystyle S} 는 상집합이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다. S {\displaystyle S} 는 상향 원순서 집합이다. S {\displaystyle S} 는 하집합이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 필터 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, 만약 X ∖ S {\displaystyle X\setminus S} 가 아이디얼이라면, S {\displaystyle S} 를 소 필터(영어: prime filter), X ∖ S {\displaystyle X\setminus S} 를 소 순서 아이디얼(영어: prime order ideal)이라고 한다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 Filter ⁡ ( X , ≲ ) {\displaystyle \operatorname {Filter} (X,\lesssim )} 을 이루며, 만약 X {\displaystyle X} 가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 X ∈ Filter ⁡ ( X , ≲ ) {\displaystyle X\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )} 자체이다. 이 경우, Filter ⁡ ( X , ≲ ) ∖ { X } {\displaystyle \operatorname {Filter} (X,\lesssim )\setminus \{X\}} 의 극대 원소를 극대 필터(極大filter, 영어: maximal filter) 또는 초필터(超filter, 영어: ultrafilter 울트라필터[*])라고 한다. 마찬가지로, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 Ideal ⁡ ( X , ≲ ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )} 을 이루며, 만약 X {\displaystyle X} 가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 X ∈ Ideal ⁡ ( X , ≲ ) {\displaystyle X\in \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )} 자체이다. 이 경우 Ideal ⁡ ( X , ≲ ) ∖ { X } {\displaystyle \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )\setminus \{X\}} 의 극대 원소를 극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, 영어: maximal order ideal)라고 한다. ( X {\displaystyle X} 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 환 자체를 제외하는 것과 유사하다.) 같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 속의 필터들의 사슬 C ⊆ Filter ⁡ ( X , ≲ ) {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \operatorname {Filter} (X,\lesssim )} 에 대하여, 합집합 ⋃ C {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}} 은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 ⋂ C {\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}} 는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다. 예를 들어, 자연수 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } 에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 ∞ {\displaystyle \infty } , ∞ ′ {\displaystyle \infty '} 를 추가하였을 때, F i = { n ∈ N : n ≥ i } ∪ { ∞ , ∞ ′ } {\displaystyle F_{i}=\{n\in \mathbb {N} \colon n\geq i\}\cup \{\infty ,\infty '\}} 는 필터이지만, ⋂ i ∈ N F i = { ∞ , ∞ ′ } {\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }F_{i}=\{\infty ,\infty '\}} 는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 하향 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 필터 F ⊊ X {\displaystyle F\subsetneq X} 최소 원소 ⊥ ∈ X {\displaystyle \bot \in X} . 즉, 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 ⊥ ≲ x {\displaystyle \bot \lesssim x} 이다. 극대 필터 정리(極大filter定理, 영어: maximal filter theorem)에 따르면, F {\displaystyle F} 를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른 보조정리로 쉽게 증명된다. 증명: 부분 순서 집합 R = { F ′ ∈ Filter ⁡ ( X , ≲ ) : F ⊆ F ′ ≠ X } {\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{F'\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )\colon F\subseteq F'\neq X\right\}} 를 생각하자. 초른 보조정리에 따라, R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 속의 모든 사슬이 상계를 가지는 것을 보이면 족하다. R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 속의 임의의 사슬 C ⊆ R {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {R}}} 에 대하여, ⋃ C {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 상계이다. 이제 ⋃ C ≠ X {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}\neq X} 임을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, ⋃ C = X {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}=X} 라고 가정하자. 그렇다면 ⊥ ≲ C ∈ C {\displaystyle \bot \lesssim C\in {\mathcal {C}}} 인 C ∈ C {\displaystyle C\in {\mathcal {C}}} 를 찾을 수 있다. 그렇다면 C = X ∉ R {\displaystyle C=X\not \in {\mathcal {R}}} 인데, 이는 모순이다. 마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에서, X {\displaystyle X} 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다. 격자 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 I ⊆ L {\displaystyle I\subseteq L} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. I {\displaystyle I} 는 순서 아이디얼이다. 다음 세 조건이 성립한다. 공집합이 아니다. x , y ∈ I {\displaystyle x,y\in I} 에 대하여 x ∨ y ∈ I {\displaystyle x\lor y\in I} 이다. x ∈ I {\displaystyle x\in I} 및 y ∈ L {\displaystyle y\in L} 에 대하여 x ∧ y ∈ I {\displaystyle x\land y\in I} 이다. I = ϕ − 1 ( 0 ) {\displaystyle I=\phi ^{-1}(0)} 인 이음 반격자 준동형 ϕ : L → 2 {\displaystyle \phi \colon L\to 2} 가 존재한다. 격자 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 F ⊆ L {\displaystyle F\subseteq L} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. F {\displaystyle F} 는 필터이다. 다음 세 조건이 성립한다. 공집합이 아니다. x , y ∈ F {\displaystyle x,y\in F} 에 대하여 x ∧ y ∈ F {\displaystyle x\land y\in F} 이다. x ∈ F {\displaystyle x\in F} 및 y ∈ L {\displaystyle y\in L} 에 대하여 x ∨ y ∈ F {\displaystyle x\lor y\in F} 이다. F = ϕ − 1 ( 1 ) {\displaystyle F=\phi ^{-1}(1)} 인 만남 반격자 준동형 ϕ : L → 2 {\displaystyle \phi \colon L\to 2} 가 존재한다. 격자 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 I ⊆ L {\displaystyle I\subseteq L} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. I {\displaystyle I} 는 소 순서 아이디얼이다. L ∖ I {\displaystyle L\setminus I} 는 소 필터이다. I = ϕ − 1 ( 0 ) {\displaystyle I=\phi ^{-1}(0)} 인 격자 준동형 ϕ : L → 2 {\displaystyle \phi \colon L\to 2} 가 존재한다. 일반적인 격자의 순서 아이디얼/필터들의 부분 순서 집합은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 교집합이 공집합일 수 있기 때문이다. 유계 이음 반격자 S {\displaystyle S} 의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (S)} 은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합 I ⊆ Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Ideal} (S)} 의 상한과 하한은 다음과 같다. ⋁ I = { x ∈ S : x ≤ i 1 ∨ ⋯ ∨ i n , i k ∈ I k , k = 1 , … , n , I 1 , … , I n ∈ I , n = 1 , 2 , … } {\displaystyle \bigvee {\mathcal {I}}=\{x\in S\colon x\leq i_{1}\vee \cdots \vee i_{n},\;i_{k}\in I_{k},\;k=1,\dots ,n,\;I_{1},\dots ,I_{n}\in {\mathcal {I}},\;n=1,2,\dots \}} ⋀ I = ⋂ I {\displaystyle \bigwedge {\mathcal {I}}=\bigcap {\mathcal {I}}} 쌍대적으로, 유계 만남 반격자 S {\displaystyle S} 의 필터들의 부분 순서 집합 Filter ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Filter} (S)} 은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 필터들의 집합 F ⊆ Filter ⁡ ( S ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Filter} (S)} 의 상한과 하한은 다음과 같다. ⋁ F = { x ∈ S : x ≥ f 1 ∧ ⋯ ∧ f n , f k ∈ F k , k = 1 , … , n , F 1 , … , F n ∈ F , n = 1 , 2 , … } {\displaystyle \bigvee {\mathcal {F}}=\{x\in S\colon x\geq f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{n},\;f_{k}\in F_{k},\;k=1,\dots ,n,\;F_{1},\dots ,F_{n}\in {\mathcal {F}},\;n=1,2,\dots \}} ⋀ F = ⋂ F {\displaystyle \bigwedge {\mathcal {F}}=\bigcap {\mathcal {F}}} 반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.:53, Theorem 42 격자 L {\displaystyle L} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:111, Corollary 104 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 Ideal ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)} 은 분배 격자이다. 필터들의 부분 순서 집합 Filter ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {Filter} (L)} 은 분배 격자이다. L {\displaystyle L} 은 분배 격자이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가 다음 두 조건을 만족시키면, (순서) 볼록 집합(영어: (order) convex set)이라고 한다. 임의의 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 및 z ∈ X {\displaystyle z\in X} 에 대하여, 만약 x ≲ z ≲ y {\displaystyle x\lesssim z\lesssim y} 라면, z ∈ S {\displaystyle z\in S} 격자 L {\displaystyle L} 의 순서 아이디얼 I {\displaystyle I} 와 필터 F {\displaystyle F} 의 교집합 I ∩ F {\displaystyle I\cap F} 는 항상 L {\displaystyle L} 의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 공집합이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.:34, Lemma 9 증명: 격자 L {\displaystyle L} 의 순서 아이디얼 I {\displaystyle I} 와 필터 F {\displaystyle F} 가 주어졌다고 하자. I {\displaystyle I} 와 F {\displaystyle F} 가 부분 격자이므로, 교집합 역시 부분 격자이다. x , y ∈ I ∩ F {\displaystyle x,y\in I\cap F} 및 z ∈ L {\displaystyle z\in L} 이 주어졌고, x ≤ z ≤ y {\displaystyle x\leq z\leq y} 라고 하자. 그렇다면 I {\displaystyle I} 가 하집합이므로 z ∈ I {\displaystyle z\in I} 이며, F {\displaystyle F} 가 상집합이므로 z ∈ F {\displaystyle z\in F} 이다. 따라서, I ∩ F {\displaystyle I\cap F} 는 L {\displaystyle L} 의 볼록 부분 격자이다. 반대로, L {\displaystyle L} 의 볼록 부분 격자 S {\displaystyle S} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S {\displaystyle S} 는 상향 집합이자 하향 집합이다. S {\displaystyle S} 를 포함하는 최소의 순서 아이디얼 ↓ ⁡ S {\displaystyle \mathop {\downarrow } S} 및 필터 ↑ ⁡ S {\displaystyle \mathop {\uparrow } S} 를 생각하자. 그렇다면, 자명하게 S ⊆ ↓ ⁡ S ∩ ↑ ⁡ S {\displaystyle S\subseteq \mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S} 이다. 또한, S {\displaystyle S} 가 볼록 부분 격자이므로 ↓ ⁡ S ∩ ↑ ⁡ S ⊆ S {\displaystyle \mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S\subseteq S} 이다. 따라서 S {\displaystyle S} 는 순서 아이디얼 ↓ ⁡ S {\displaystyle \mathop {\downarrow } S} 와 필터 ↑ ⁡ S {\displaystyle \mathop {\uparrow } S} 의 교집합이다. 이제, L {\displaystyle L} 의 볼록 부분 격자 S = I ∩ F {\displaystyle S=I\cap F} 가 순서 아이디얼 I {\displaystyle I} 와 필터 F {\displaystyle F} 의 교집합이라고 하자. 쌍대성에 따라, I = ↓ ⁡ S {\displaystyle I=\mathop {\downarrow } S} 를 보이면 족하다. S ⊆ I {\displaystyle S\subseteq I} 이므로 ↓ ⁡ S ⊆ I {\displaystyle \mathop {\downarrow } S\subseteq I} 이다. 반대로 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 라고 하자. 임의의 y ∈ S {\displaystyle y\in S} 를 취하자. 그렇다면, y ∈ I {\displaystyle y\in I} 이므로 x ∨ y ∈ I {\displaystyle x\vee y\in I} 이며, y ∈ F {\displaystyle y\in F} 이므로 x ∨ y ∈ F {\displaystyle x\vee y\in F} 이다. 즉, x ∨ y ∈ S {\displaystyle x\vee y\in S} 이다. x ≤ x ∨ y {\displaystyle x\leq x\vee y} 이므로, x ∈ ↓ ⁡ S {\displaystyle x\in \mathop {\downarrow } S} 이다. 불 대수 ( B , ∨ , ∧ , ¬ ) {\displaystyle (B,\lor ,\land ,\lnot )} 는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다. x y = x ∧ y {\displaystyle xy=x\land y} x + y = ( x ∨ y ) ∧ ¬ ( x ∧ y ) {\displaystyle x+y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)} 또한, 불 대수 ( B , ∨ , ∧ , ¬ ) {\displaystyle (B,\lor ,\land ,\lnot )} 는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다. x ≤ y ⟺ x = x ∧ y ⟺ y = x ∨ y {\displaystyle x\leq y\iff x=x\land y\iff y=x\lor y} 그렇다면, B {\displaystyle B} 의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다. 불 대수 B {\displaystyle B} 위의 필터 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 는 극대 필터이다. 임의의 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 에 대하여, x ∈ U {\displaystyle x\in {\mathcal {U}}} 이거나 ¬ x ∈ U {\displaystyle \lnot x\in {\mathcal {U}}} 이다. B ∖ U {\displaystyle B\setminus {\mathcal {U}}} 는 극대 순서 아이디얼이다. 집합 X {\displaystyle X} 와 상향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 및 그물 x ∙ : I → X {\displaystyle x_{\bullet }\colon I\to X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 꼬리들의 집합 { { x i ′ : i ≲ i ′ } : i ∈ I } {\displaystyle \left\{\{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\colon i\in I\right\}} 은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터 { S ⊆ X : ∃ i ∈ I : { x i ′ : i ≲ i ′ } ⊆ S } {\displaystyle \left\{S\subseteq X\colon \exists i\in I\colon \{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\subseteq S\right\}} 를 그물 x ∙ {\displaystyle x_{\bullet }} 의 유도 필터(영어: derived filter)라고 한다. 마찬가지로, 집합 Y {\displaystyle Y} 와 하향 원순서 집합 ( J , ≲ ) {\displaystyle (J,\lesssim )} 및 함수 y ∙ : J → Y {\displaystyle y_{\bullet }\colon J\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( y j ) j ∈ J {\displaystyle (y_{j})_{j\in J}} 의 머리들의 집합 { { y j ′ : j ′ ≲ j } : j ∈ J } {\displaystyle \left\{\{y_{j'}\colon j'\lesssim j\}\colon j\in J\right\}} 은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼 { S ⊆ Y : ∃ j ∈ J : { x j ′ : j ′ ≲ j } ⊆ S } {\displaystyle \left\{S\subseteq Y\colon \exists j\in J\colon \{x_{j'}\colon j'\lesssim j\}\subseteq S\right\}} 를 y ∙ {\displaystyle y_{\bullet }} 의 유도 순서 아이디얼(영어: derived order ideal)라고 한다. 수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다. 모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다. 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합 ( P ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 의 부분 집합 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 가 주어졌을 때, 집합 I = { ( x , A ) : x ∈ A ∈ F } ⊆ X × F {\displaystyle I=\{(x,A)\colon x\in A\in {\mathcal {F}}\}\subseteq X\times {\mathcal {F}}} 에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다. ( x , A ) ≲ ( y , B ) ⟺ A ⊆ B {\displaystyle (x,A)\lesssim (y,B)\iff A\subseteq B} 만약 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 상향 원순서 집합이며 F ≠ { ∅ } {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \{\varnothing \}} 이라면 I {\displaystyle I} 역시 상향 원순서 집합이며, n : I → X {\displaystyle n\colon I\to X} n : ( x , A ) ↦ x {\displaystyle n\colon (x,A)\mapsto x} 는 그물을 이룬다. 반대로, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 하향 원순서 집합이며 F ≠ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq {\mathcal {P}}(X)} 라면 I {\displaystyle I} 역시 하향 원순서 집합이며, n : I op → X {\displaystyle n\colon I^{\operatorname {op} }\to X} n : ( x , A ) ↦ x {\displaystyle n\colon (x,A)\mapsto x} 는 그물을 이룬다. 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합 ( P ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 위의 필터 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 는 극대 필터이다. U ≠ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)} 이며, 임의의 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 에 대하여, 만약 A ∪ B ∈ U {\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {U}}} 라면 A ∈ U {\displaystyle A\in {\mathcal {U}}} 이거나 B ∈ U {\displaystyle B\in {\mathcal {U}}} 이다. U ≠ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)} 이며, 임의의 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, A ∈ U {\displaystyle A\in {\mathcal {U}}} 이거나 X ∖ A ∈ U {\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {U}}} 이다. 따라서, 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합 ( P ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 위의 극대 필터 U ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 는 "대부분"이거나 ( A ∈ U {\displaystyle A\in {\mathcal {U}}} ), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 ( X ∖ A ∈ U {\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {U}}} ). 한원소 부분 집합에 대한 주 필터 ↑ { x } = { S ⊆ X : x ∈ S } {\displaystyle \uparrow \{x\}=\{S\subseteq X\colon x\in S\}} 는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, κ {\displaystyle \kappa } -완비 극대 필터(영어: κ {\displaystyle \kappa } -complete maximal filter)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 이다. 임의의 V ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {V}}\subset {\mathcal {U}}} 에 대하여, 만약 | V | < κ {\displaystyle |V|<\kappa } 라면 ⋂ V ∈ U {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\in {\mathcal {U}}} 이다. 정의에 따라, 모든 극대 필터는 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -완비 극대 필터이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 극대 필터 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 완비성 κ {\displaystyle \kappa } 는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다. ⋂ V ∉ U {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\not \in {\mathcal {U}}} 이며 | V | = κ {\displaystyle |{\mathcal {V}}|=\kappa } 인 V ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {V}}\subset {\mathcal {U}}} 가 존재한다. 만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다. 임의의 하향 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 속에서, X {\displaystyle X} 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 속에서, X {\displaystyle X} 자체는 순서 아이디얼을 이룬다. 어떤 원소 x {\displaystyle x} 를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(영어: principal filter)로 부르며, ↑ x = { y ∈ X : x ≲ y } {\displaystyle \uparrow x=\{y\in X\colon x\lesssim y\}} 로 표기한다. 어떤 원소 x {\displaystyle x} 를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼(영어: principal order ideal)로 부르며, ↓ x = { y ∈ X : y ≲ x } {\displaystyle \downarrow x=\{y\in X\colon y\lesssim x\}} 로 표기한다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다. 집합 S {\displaystyle S} 및 무한 기수 ℵ 0 ≤ κ {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa } 에 대하여, F κ ( S ) = { T ⊂ S : | S ∖ T | < κ } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\kappa }(S)=\{T\subset S\colon |S\setminus T|<\kappa \}} 는 S {\displaystyle S} 위의 필터를 이룬다. 만약 κ = ℵ 0 {\displaystyle \kappa =\aleph _{0}} 이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터(영어: Fréchet filter)라고 한다. 위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다. 순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다. "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(영어: μ-ideal)이라는 이름으로 일반화하였다.:3, Definition 1 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(영어: α-ideal)이라고 명명하였다.:4, Definition 1 이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(프랑스어: filtre 필트르[*])와 "초필터"(프랑스어: ultrafiltre 윌트라필트르[*])라는 용어를 도입하였다. 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다. Grätzer, George (2011). 《Lattice Theory: Foundation》 (영어). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.  Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901.  Stone, M. H. (1934년 3월). “Boolean algebras and their application to topology”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 20 (3): 197–202. doi:10.1073/pnas.20.3.197. JFM 60.0108.02. PMC 1076376. Zbl 0010.08104.  Stone, M. H. 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