부합 (그래프 이론)

그래프 이론에서 부합(附合, 영어: matching 매칭[*])은 서로 만나지 않는 변들의 집합이다. 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부합 M ⊆ E ( Γ ) {\displaystyle M\subseteq E(\Gamma )} 은 다음을 만족시키는, 변들의 부분 집합이다. 임의의 e 1 , e 2 ∈ M {\displaystyle e_{1},e_{2}\in M} 에 대하여, e 1 {\displaystyle e_{1}} 과 e 2 {\displaystyle e_{2}} 가 하나 이상의 꼭짓점을 공유한다면 e 1 = e 2 {\displaystyle e_{1}=e_{2}} 이다. Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부합들은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서에 대하여 극대인 부합을 극대 부합(영어: maximal matching)이라고 한다. 최대 부합(영어: maximum matching)은 극대 부합 가운데, 변의 수가 최대인 부합이다. 완벽 부합(完璧附合, 영어: perfect matching)은 모든 꼭짓점을 덮는 부합이다. 따라서 완벽 부합은 꼭짓점이 짝수 개인 경우에만 존재할 수 있다. 완벽 부합은 당연히 최대 부합이다. 완벽 부합의 예 페테르센 그래프 속에서, 붉게 칠해진 변들은 완벽 부합을 이룬다. 보다 일반적으로, 모든 일반화 페테르센 그래프는 마찬가지로 완벽 부합을 갖는다. 데자르그 그래프 속에서, 붉은 색 · 푸른 색 · 녹색 변들은 각각 완벽 부합을 이룬다. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 주어졌으며, 그 가운데 크기(즉, 포함된 변의 수)가 n {\displaystyle n} 인 부합의 수를 m n {\displaystyle m_{n}} 이라고 하자. 그렇다면, 그 생성 함수 Z Γ ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ m n x n y | V ⁡ ( Γ ) | − 2 n ∈ Z [ x , y ] {\displaystyle Z_{\Gamma }(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }m_{n}x^{n}y^{|\operatorname {V} (\Gamma )|-2n}\in \mathbb {Z} [x,y]} 를 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부합 다항식(附合多項式, 영어: matching polynomial)이라고 한다. (여기서 m 0 = 1 {\displaystyle m_{0}=1} 이다.) 또한, 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 모든 부합의 수, 즉 Z Γ ( 1 , 1 ) {\displaystyle Z_{\Gamma }(1,1)} 를 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 호소야 지표([細矢]指標, 영어: Hosoya index)라고 한다. 만약 x ↦ exp ⁡ ( − β E 2 ) {\displaystyle x\mapsto \exp(-\beta E_{2})} y ↦ exp ⁡ ( − β E 1 ) {\displaystyle y\mapsto \exp(-\beta E_{1})} 로 치환하였을 때, 이는 단량체-이합체 모형의 분배 함수와 같다. (유한 또는 무한) 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 두 부합 M , M ′ ⊆ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle M,M'\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여, 그래프 Γ ′ = ( M ∖ M ′ ) ∪ ( M ′ ∖ M ) {\displaystyle \Gamma '=(M\setminus M')\cup (M'\setminus M)} 를 생각하자. 그렇다면, Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 다음과 같은 종류의 연결 성분들로만 구성된다. 짝수 길이의 순환 그래프 C 2 n {\displaystyle C_{2n}} . 또한, 그 변들은 번갈아 가며 M {\displaystyle M} 에 속하거나 M ′ {\displaystyle M'} 에 속하게 된다. 유한한 길이의 경로 그래프 P k {\displaystyle P_{k}} . 또한, 그 변들은 번갈아 가며 M {\displaystyle M} 에 속하거나 M ′ {\displaystyle M'} 에 속하게 된다. 한 쪽의 끝을 갖는 무한 경로 그래프 P ∞ + {\displaystyle P_{\infty }^{+}} . 또한, 그 변들은 번갈아 가며 M {\displaystyle M} 에 속하거나 M ′ {\displaystyle M'} 에 속하게 된다. 끝점을 갖지 않는 무한 경로 그래프 P ∞ ± {\displaystyle P_{\infty }^{\pm }} . 또한, 그 변들은 번갈아 가며 M {\displaystyle M} 에 속하거나 M ′ {\displaystyle M'} 에 속하게 된다. 증명: Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 의 각 꼭짓점은 2개 또는 1개의 변에 인접하며, 2개의 변에 인접할 경우 그 가운데 하나는 M {\displaystyle M} 에 속하며, 다른 하나는 M ′ {\displaystyle M'} 에 속하게 된다. 이 조건을 만족시키는 연결 그래프는 위의 네 족 밖에 없다. 임의의 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 속의 부합 M ⊆ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle M\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 의 덧붙임 경로(영어: augmenting path)는 다음 조건을 만족시키는 경로 ( v 0 , v 1 , v 2 , … , v 2 n + 1 ) {\displaystyle (v_{0},v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{2n+1})} 이다. 시작 꼭짓점 v 0 {\displaystyle v_{0}} 및 끝 꼭짓점 v 2 n + 1 {\displaystyle v_{2n+1}} 은 M {\displaystyle M} 에 속한 변과 인접하지 않는다. 경로의 변들은 M {\displaystyle M} 에 속한 것과 속하지 않은 것들이 교대된다. 즉, 모든 i {\displaystyle i} 에 대하여, ( v 2 i , v 2 i + 1 ) ∉ M {\displaystyle (v_{2i},v_{2i+1})\not \in M} 이지만, ( v 2 i + 1 , v 2 i + 2 ) ∈ M {\displaystyle (v_{2i+1},v_{2i+2})\in M} 이다. 베르주 정리(영어: Berge’s lemma)에 따르면, 임의의 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 속의 부합 M ⊆ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle M\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 최대 부합이다. 덧붙임 경로를 갖지 않는다. (다시 말해, 덧붙임 경로를 갖는 부합에는 덧붙임 경로를 “덧붙여서” 더 큰 부합을 만들 수 있다.) 증명 (덧붙임 경로의 존재 ⇒ 최대 부합이 아님): 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 그 속의 부합 M ⊆ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle M\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 및 그 덧붙임 경로 P {\displaystyle P} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, M ′ = ( M ∖ P ) ∪ ( P ∖ M ) {\displaystyle M'=(M\setminus P)\cup (P\setminus M)} 은 부합을 이루며, | M ′ | = | M | + 1 {\displaystyle |M'|=|M|+1} 이다. 증명 (최대 부합이 아님 ⇒ 덧붙임 경로의 존재): 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 두 부합 M {\displaystyle M} , M ′ {\displaystyle M'} 이 주어졌다고 하고, | M | < | M ′ | {\displaystyle |M|<|M'|} 이라고 하자. 그렇다면, 그래프 Γ ′ = ( M ∖ M ′ ) ∪ ( M ′ ∖ M ) {\displaystyle \Gamma '=(M\setminus M')\cup (M'\setminus M)} 를 생각하자. 이는 두 부합의 대칭차이므로, 경로 그래프 및 짝수 길이 순환 그래프로 구성된다. | M | < | M ′ | {\displaystyle |M|<|M'|} 이므로, Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 처음 및 끝 변이 M ′ {\displaystyle M'} 에 속하는 홀수 길이의 경로 그래프 P {\displaystyle P} 를 포함한다. P {\displaystyle P} 는 M {\displaystyle M} 의 덧붙임 경로를 이룬다. 텃-베르주 공식(Tutte-Berge公式, 영어: Tutte–Berge formula)에 따르면, 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 최대 부합의 크기는 다음과 같다. 1 2 min U ⊆ V ⁡ ( Γ ) ( V ⁡ ( Γ ) + | U | − odd ⁡ ( Γ ∖ U ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\min _{U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )}\left(\operatorname {V} (\Gamma )+|U|-\operatorname {odd} (\Gamma \setminus U)\right)} 여기서 V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )} 는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 모든 꼭짓점들의 집합이다. min U ⊆ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \textstyle \min _{U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )}} 는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 모든 가능한 꼭짓점 집합에 대하여 취한 최솟값이다. Γ ∖ U {\displaystyle \Gamma \setminus U} 는 Γ {\displaystyle \Gamma } 에서 U ⊆ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )} 에 속한 꼭짓점 및 U {\displaystyle U} 와 인접하는 변들을 제거하여 얻는, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부분 그래프이다. odd ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {odd} (-)} 는 어떤 그래프의 연결 성분 가운데, 홀수 개의 꼭짓점들을 갖는 연결 성분의 수이다. 특히, 만약 어떤 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 완벽 부합을 갖는 경우 1 2 | V ⁡ ( Γ ) | = 1 2 min U ⊆ V ⁡ ( Γ ) ( V ⁡ ( Γ ) + | U | − odd ⁡ ( Γ ∖ U ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}|\operatorname {V} (\Gamma )|={\frac {1}{2}}\min _{U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )}\left(\operatorname {V} (\Gamma )+|U|-\operatorname {odd} (\Gamma \setminus U)\right)} 이므로, 임의의 U ⊆ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle U\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여 | U | ≥ odd ⁡ ( Γ ∖ U ) {\displaystyle |U|\geq \operatorname {odd} (\Gamma \setminus U)} 이다. 이를 텃 정리(영어: Tutte’s theorem)라고 한다. 임의의 그래프의 호소야 지표를 계산하는 것은 샤프-P-완전 문제이므로, 매우 어렵다. 다만, 평면 그래프의 경우, 파프 방향을 사용하여 P 알고리즘이 가능하다. 완전 그래프 K n {\displaystyle K_{n}} 의 부합 다항식은 다음과 같이 에르미트 다항식 H n {\displaystyle \operatorname {H} _{n}} 으로 주어진다.:258, §1 Z K n ( − 1 , y ) = H n ⁡ ( y ) {\displaystyle Z_{K_{n}}(-1,y)=\operatorname {H} _{n}(y)} 여기서 H n ⁡ ( x ) = ( x − d d x ) n 1 {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(x)=\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}1} 이다. 마찬가지로, 완전 이분 그래프 K m , n {\displaystyle K_{m,n}} 의 부합 다항식은 다음과 같은 (일반화) 라게르 다항식으로 주어진다.:261, §3 Z K m , n ( − 1 , y ) = n ! L n ( m − n ) ⁡ ( y 2 ) {\displaystyle Z_{K_{m,n}}(-1,y)=n!\operatorname {L} _{n}^{(m-n)}(y^{2})} 텃 정리는 윌리엄 토머스 텃이 1947년에 증명하였다. 이후 1958년에 클로드 자크 베르주가 이를 텃-베르주 공식으로 일반화하였다. 베르주 정리는 1957년에 프랑스의 수학자 클로드 자크 베르주(프랑스어: Claude Jacques Berge, 1926~2002)가 증명하였다. 호소야 지표는 일본의 화학자 호소야 하루오(일본어: 細矢 治夫, 1936~)가 1971년에 유기화학에서의 응용을 위하여 도입하였다. 변 색칠 László, Lovász; Plummer, Michael David (1986). 《Matching theory》. Annals of Discrete Mathematics (영어) 29. North-Holland. doi:10.1016/S0304-0208(08)73633-8. ISBN 0-444-87916-1.  Wallis, W. D. (1997). 《One-factorizations》. Mathematics and Its Applications (영어) 390. Kluwer. doi:10.1007/978-1-4757-2564-3. 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