자이페르트 곡면

매듭 이론에서 자이페르트 곡면(Seifert曲面, 영어: Seifert surface)은 3차원 초구 속의 연결 2차원 유향 경계다양체이다. 그 경계는 연환을 정의하며, 모든 연환은 이러한 꼴로 표현될 수 있다. 어떤 주어진 연환의 자이페르트 곡면이란 이 연환을 경계로 삼은 자이페르트 곡면을 뜻한다. 차분한(영어: tame) 유향 연환 L ⊊ S 3 {\displaystyle L\subsetneq \mathbb {S} ^{3}} 의 자이페르트 곡면은 ∂ Σ = L {\displaystyle \partial \Sigma =L} 인 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 속의 2차원 유향 연결 경계다양체 Σ ⊊ S 3 {\displaystyle \Sigma \subsetneq \mathbb {S} ^{3}} 이다. 모든 연환은 자이페르트 곡면을 갖는다. 그러나 이는 유일하지 않다. 연환의 자이페르트 곡면은 구체적으로 다음과 같은 알고리즘으로 구성된다. 우선, 연환 L {\displaystyle L} 이 m {\displaystyle m} 개의 연결 성분을 갖는다고 하자. L {\displaystyle L} 의 임의의 그림(평면으로의 투영)이 주어졌다고 하자. 이 그림이 d {\displaystyle d} 개의 교차점을 갖는다고 하자. 그렇다면, ⇒ 와 같이, 그림에서 교차점들을 해소할 수 있다. 교차점을 모두 해소하면 연환의 그림은 서로 교차하지 않는 원들로 구성되는데, f {\displaystyle f} 개의 원들이 있다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 자이페르트 곡면을 구성할 수 있다. 연환면의 그림의 해소의 각 원 안에 원판을 붙인다. 즉, f {\displaystyle f} 개의 원판이 존재한다. 연환면에서, 해소된 각 교차점에 대응하는 띠를 이어붙인다. 이 경우, 아래 그림과 같이 띠를 뒤틀어 이어붙이며, 띠를 뒤트는 방향은 해소되기 이전의 교차점의 방향을 따른다. 이 경우, 교차점의 해소에서 방향을 보존해야 한다. (방향을 보존하지 않으면, 비가향 다양체를 얻을 수 있다.) 즉, 다음과 같은 꼴의 해소는 불가능하다. ⇒ ⩆ 위 알고리즘으로 구성된 자이페르트 곡면은 m {\displaystyle m} 개의 구멍을 가지며, 종수가 g = 2 + d − f − m 2 {\displaystyle g={\frac {2+d-f-m}{2}}} 인 2차원 경계다양체이다. 물론, 어떤 연환 L {\displaystyle L} 의 자이페르트 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 주어졌을 때, 임의의 원환면과의 연결합 Σ # T 2 {\displaystyle \Sigma \#\mathbb {T} ^{2}} 역시 L {\displaystyle L} 의 자이페르트 곡면이며, 그 종수는 원래 자이페르트 곡면의 종수 + 1이다. 주어진 연환의 자이페르트 곡면들의 최소 종수를 연환의 종수(種數, 영어: genus of a link/knot)라고 한다. 임의의 두 유향 매듭 K {\displaystyle K} , K ′ {\displaystyle K'} 에 대하여, 다음이 성립한다. g ( K ) + g ( K ′ ) = g ( K # K ′ ) {\displaystyle g(K)+g(K')=g(K\#K')} 즉, 매듭의 연결합은 종수를 보존한다. 연환 L {\displaystyle L} 의 자이페르트 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 주어졌다고 하고, 그 종수가 g {\displaystyle g} 라고 하자. 그렇다면, 그 1차 호몰로지 군은 다음과 같은 자유 아벨 군이다. H 1 ⁡ ( Σ ) ≅ Z 2 g {\displaystyle \operatorname {H} _{1}(\Sigma )\cong \mathbb {Z} ^{2g}} 이 경우, 그 교차 형식이 Q = ( 0 − 1 1 0 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\oplus \dotsb \oplus {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}} 가 되게 하는 기저 a 1 , a 2 , … , a 2 g ∈ H 1 ⁡ ( Σ ) {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{2g}\in \operatorname {H} _{1}(\Sigma )} 가 존재한다. 이 기저에 대한 자이페르트 행렬(Seifert行列, 영어: Seifert matrix) V ∈ Mat ⁡ ( 2 g , 2 g ; Z ) {\displaystyle V\in \operatorname {Mat} (2g,2g;\mathbb {Z} )} 은 정수 성분의 2 g × 2 g {\displaystyle 2g\times 2g} 정사각 행렬이며, 그 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 번째 성분은 a i {\displaystyle a_{i}} 와 a j {\displaystyle a_{j}} 의 연환수이다. 이 경우 V − V ⊤ = Q {\displaystyle V-V^{\top }=Q} 가 성립한다. ( ( − ) ⊤ {\displaystyle (-)^{\top }} 은 수반 행렬이다.) 반대로, V − V ⊤ = Q {\displaystyle V-V^{\top }=Q} 의 꼴인 임의의 정수 성분의 짝수 크기 정사각 행렬은 어떤 매듭의 자이페르트 곡면의 자이페르트 행렬로 표현될 수 있다. 자이페르트 행렬의 다음과 같은 행렬식 A L ( t ) = det ( V − t V ⊤ ) ∈ Z [ t ] {\displaystyle A_{L}(t)=\det(V-tV^{\top })\in \mathbb {Z} [t]} 은 연환의 알렉산더 다항식이라고 한다. 이는 자이페르트 곡면의 선택이나 그 호몰로지의 기저의 선택에 의존하지 않는, 유향 연환의 불변량이다. 이에 따라, 연환의 종수 g ( L ) {\displaystyle g(L)} 은 다음과 같은 부등식을 따른다. g ( L ) ≥ ⌈ 1 2 deg ⁡ A L ⌉ {\displaystyle g(L)\geq \left\lceil {\frac {1}{2}}\deg A_{L}\right\rceil } 자이페르트 행렬의 대칭화 V + V ⊤ {\displaystyle V+V^{\top }} 의 부호수 역시 연환의 불변량이며, 이를 연환의 부호수(符號數, 영어: signature of a link/knot)라고 한다. 공집합은 0개의 연결 성분을 갖는 연환이다. 그 자이페르트 곡면은 경계를 갖지 않는 임의의 유향 곡면이며, 이 연환의 종수는 물론 0이다. 자명한 매듭의 경우, 원판이 그 원환면이므로 그 종수는 0이다. 보다 일반적으로, k {\displaystyle k} 개의 연결 성분을 갖는 자명한 연환의 자이페르트 곡면은 k {\displaystyle k} 개의 구멍을 뚫은 구이며, 따라서 그 종수는 0이다. 종수가 0인 매듭은 자명한 매듭 밖에 없다. (그러나 종수가 0이지만 자명하지 않은 연환이 존재한다.) ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -원환면 매듭의 종수는 ( p − 1 ) ( q − 1 ) / 2 {\displaystyle (p-1)(q-1)/2} 이다. 예를 들어, (2,1)-원환면 매듭인 세잎매듭의 종수는 1이다. 세잎매듭의 그림 에서, 자이페르트 알고리즘을 가하면, ( m , d , f ) = ( 1 , 3 , 2 ) {\displaystyle (m,d,f)=(1,3,2)} 이므로 종수 ( 2 + 3 − 2 − 1 ) / 2 = 1 {\displaystyle (2+3-2-1)/2=1} 을 얻는다. (이 경우, 해소된 그림은 밖의 큰 원과 속의 작은 원으로 구성된다. 세잎그림의 그림에서 방향을 무시하는 해소를 취하면, f = 3 {\displaystyle f=3} 이지만, 이 경우 얻게 되는 곡면은 세 번 뒤튼 뫼비우스 띠이므로 유향 다양체가 아니다.) 호프 연환의 한 자이페르트 곡면은 다음과 같다. 아이소토피를 무시하면, 이는 두 개의 구멍이 뚫린 구(즉, 두 개의 원판의 연결합와 미분 동형)이다. 따라서, 호프 연환의 종수는 0이다. 8자 매듭(41번 매듭)의 종수는 1이다. 헤르베르트 자이페르트가 1934년에 도입하였다. Seifert, Herbert (1934). “Über das Geschlecht von Knoten”. 《Mathematische Annalen》 110 (1): 571–592. doi:10.1007/BF01448044.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 자이페르트 곡면 Weisstein, Eric Wolfgang. “Seifert surface”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Seifert matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Knot genus”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Seifert surface”. 《nLab》 (영어).