피카르-린델뢰프 정리

동역학계 이론에서 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem) 또는 피카르 유일성 정리(영어: Picard’s uniqueness theorem) 또는 코시-립시츠 정리(영어: Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다. 초깃값 문제 y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))} y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y(t_{0})=y_{0}} 를 생각하자. 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 연속 함수 f : [ t 0 , t 0 + a ] × U → R n {\displaystyle f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}} 가 주어졌고, f {\displaystyle f} 가 y {\displaystyle y} 에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 L ≥ 0 {\displaystyle L\geq 0} 가 존재한다고 하자 (립시츠 조건, 영어: Lipschitz condition). | f ( t , y ) − f ( t , z ) | ≤ L | y − z | ∀ ( t , y ) , ( t , z ) ∈ [ t 0 , t 0 + a ] × U {\displaystyle |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times U} 피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 y 0 ∈ U {\displaystyle y_{0}\in U} 에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 0 < δ ≤ a {\displaystyle 0<\delta \leq a} 에 대하여 유일한 국소적 해 ϕ : [ t 0 , t 0 + δ ] → U {\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U} 를 갖는다. 만약 U = R n {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}} 일 경우, 임의의 y 0 ∈ R n {\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해 ϕ : [ t 0 , t 0 + a ] → R n {\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+a]\to \mathbb {R} ^{n}} 를 갖는다.:12, §3.2, Theorem 3.1 증명 (바나흐 고정점 정리를 통한 증명): 우선 cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ⊆ U {\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)\subseteq U} 인 b > 0 {\displaystyle b>0} 및 0 < δ ≤ min { a , b sup [ t 0 , t 0 + a ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) | f | } {\displaystyle 0<\delta \leq \min \left\{a,{\frac {b}{\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|}}\right\}} 를 취하자. 그렇다면 연속 함수 [ t 0 , t 0 + δ ] → R n {\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n}} 들의 집합 C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n})} 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다. ‖ ϕ ‖ = ‖ t ↦ exp ⁡ ( − L t ) ϕ ( t ) ‖ ∞ = sup t ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] exp ⁡ ( − L t ) | ϕ ( t ) | {\displaystyle \Vert \phi \Vert =\Vert t\mapsto \exp(-Lt)\phi (t)\Vert _{\infty }=\sup _{t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}\exp(-Lt)|\phi (t)|} 이 노름은 상한 노름 ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }} 과 동치이므로 ( C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , R n ) , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n}),\Vert \cdot \Vert )} 은 바나흐 공간이다. 연속 함수 [ t 0 , t 0 + δ ] → cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) {\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)} 의 집합 C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 은 C ( [ t 0 , t 0 + a ] , R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+a],\mathbb {R} ^{n})} 의 닫힌집합이므로 ( C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)),\Vert \cdot \Vert )} 역시 바나흐 공간이다. 이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자. T : C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) → C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} T ϕ : t ↦ y 0 + ∫ t 0 t f ( s , ϕ ( s ) ) d s {\displaystyle T\phi \colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\phi (s))\mathrm {d} s} 이 작용소의 공역을 C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 로 제한할 수 있는 것은 임의의 ϕ ∈ C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 및 t ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]} 에 대하여 | ( T ϕ ) ( t ) − y 0 | ≤ ∫ t 0 t | f ( s , ϕ ( s ) ) | d s ≤ sup [ t 0 , t 0 + a ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) | f | ⋅ δ ≤ b {\displaystyle |(T\phi )(t)-y_{0}|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq \sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\cdot \delta \leq b} 이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해 ϕ ∈ C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 는 자명하게 T {\displaystyle T} 의 고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면 T {\displaystyle T} 가 (노름 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \Vert \cdot \Vert } 에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 f {\displaystyle f} 의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 ϕ ∈ C ( [ t 0 , t 0 + δ ] , cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))} 및 t ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]} 에 대하여, exp ⁡ ( − L t ) | ( T ϕ − T ψ ) ( t ) | ≤ exp ⁡ ( − L t ) ∫ t 0 t | f ( s , ϕ ( s ) ) − f ( s , ψ ( s ) ) | d s ≤ exp ⁡ ( − L t ) ∫ t 0 t L | ϕ ( s ) − ψ ( s ) | d s = exp ⁡ ( − L t ) ∫ t 0 t L e L s e − L s | ϕ ( s ) − ψ ( s ) | d s ≤ exp ⁡ ( − L t ) ∫ t 0 t L e L s d s ‖ ϕ − ψ ‖ = ( 1 − exp ⁡ ( − L t ) ) ‖ ϕ − ψ ‖ ≤ ( 1 − exp ⁡ ( − L ( t 0 + δ ) ) ) ‖ ϕ − ψ ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(-Lt)|(T\phi -T\psi )(t)|&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}L|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&=\exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}Le^{Ls}e^{-Ls}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}Le^{Ls}\mathrm {d} s\Vert \phi -\psi \Vert \\&=(1-\exp(-Lt))\Vert \phi -\psi \Vert \\&\leq (1-\exp(-L(t_{0}+\delta )))\Vert \phi -\psi \Vert \end{aligned}}} 마지막으로, 위 증명은 δ {\displaystyle \delta } 가 고정되었을 때 b {\displaystyle b} 를 ( cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) ⊆ U {\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)\subseteq U} 를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해 [ t 0 , t 0 + δ ] → U {\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U} 는 유일하게 존재한다. 만약 U = R n {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}} 일 경우 b = ∞ {\displaystyle b=\infty } 와 δ = a {\displaystyle \delta =a} 를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다. 증명 (그뢴발 부등식을 통한 증명): 국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. ϕ , ψ : [ t 0 , t 0 + δ ] → U {\displaystyle \phi ,\psi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U} ( 0 < δ ≤ a {\displaystyle 0<\delta \leq a} )가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고, h = | ϕ − ψ | {\displaystyle h=|\phi -\psi |} 라고 하자. 그렇다면, 임의의 t ∈ [ t 0 , t 0 + δ ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]} 에 대하여, h ( t ) ≤ ∫ t 0 t | f ( s , ϕ ( s ) ) − f ( s , ψ ( s ) ) | d s ≤ L ∫ t 0 t | ϕ ( s ) − ψ ( s ) | d s = L ∫ t 0 t h ( s ) d s {\displaystyle h(t)\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq L\int _{t_{0}}^{t}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s=L\int _{t_{0}}^{t}h(s)\mathrm {d} s} 이다. 그뢴발 부등식에 따라 h = 0 {\displaystyle h=0} 이며, 즉 ϕ = ψ {\displaystyle \phi =\psi } 이다. 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 연속 함수 f : [ t 0 , t 0 + a ] × U → R n {\displaystyle f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}} 가 주어졌고, f {\displaystyle f} 가 y {\displaystyle y} 에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 y 0 ∈ U {\displaystyle y_{0}\in U} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 y 0 {\displaystyle y_{0}} 의 근방 U ~ ⊆ U {\displaystyle {\widetilde {U}}\subseteq U} 및 음이 아닌 실수 L ≥ 0 {\displaystyle L\geq 0} 가 존재한다고 하자 (국소 립시츠 조건, 영어: local Lipschitz condition). | f ( t , y ) − f ( t , z ) | ≤ L | y − z | ∀ ( t , y ) , ( t , z ) ∈ [ t 0 , t 0 + a ] × U ~ {\displaystyle |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times {\widetilde {U}}} 피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 y 0 ∈ U {\displaystyle y_{0}\in U} 에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 0 < δ ≤ a {\displaystyle 0<\delta \leq a} 에 대하여 유일한 국소적 해 ϕ : [ t 0 , t 0 + δ ] → U {\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U} 를 갖는다.:265 특히, 만약 y {\displaystyle y} 에 대한 편미분 ∂ f / ∂ y {\displaystyle \partial f/\partial y} 이 연속 함수라면, f {\displaystyle f} 는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다. 증명: 임의의 y 0 ∈ U {\displaystyle y_{0}\in U} 를 고정하였을 때, f {\displaystyle f} 는 [ t 0 , t 0 + a ] × U ~ {\displaystyle [t_{0},t_{0}+a]\times {\widetilde {U}}} 로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤 [ t 0 , t 0 + δ ] {\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]} 에서 유일한 국소적 해를 갖는다. 반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 ϕ n : [ t 0 , t 0 + δ ] → U {\displaystyle \phi _{n}\colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U} 을 다음과 같이 구성할 수 있다. ϕ 0 : t ↦ y 0 {\displaystyle \phi _{0}\colon t\mapsto y_{0}} ϕ n + 1 : t ↦ y 0 + ∫ t 0 t f ( s , ϕ n ( s ) ) d s {\displaystyle \phi _{n+1}\colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\phi _{n}(s))\mathrm {d} s} 이 경우 실제 해 ϕ : [ t 0 , t 0 + δ ] → U {\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U} 와의 오차는 다음과 같다. | ϕ n ( t ) − ϕ ( t ) | ≤ L n ( n + 1 ) ! | t − t 0 | n + 1 sup [ t 0 , t 0 + a ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) | f | {\displaystyle |\phi _{n}(t)-\phi (t)|\leq {\frac {L^{n}}{(n+1)!}}|t-t_{0}|^{n+1}\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|} 증명: | ϕ 0 ( t ) − ϕ ( t ) | ≤ ∫ t 0 t | f ( s , ϕ ( s ) ) | d s ≤ | t − t 0 | sup [ t 0 , t 0 + a ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) | f | {\displaystyle |\phi _{0}(t)-\phi (t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |t-t_{0}|\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|} | ϕ n + 1 ( t ) − ϕ ( t ) | ≤ ∫ t 0 t | f ( s , ϕ n ( s ) ) − f ( s , ϕ ( s ) ) | d s ≤ L ∫ t 0 t | ϕ n ( s ) − ϕ ( s ) | d s ≤ L n + 1 ( n + 1 ) ! ∫ t 0 t | s − t 0 | n + 1 d s sup [ t 0 , t 0 + a ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) | f | = L n + 1 ( n + 2 ) ! | t − t 0 | n + 2 sup [ t 0 , t 0 + a ] × cl ⁡ ball ⁡ ( y 0 , b ) | f | {\displaystyle {\begin{aligned}|\phi _{n+1}(t)-\phi (t)|&\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi _{n}(s))-f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}|\phi _{n}(s)-\phi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq {\frac {L^{n+1}}{(n+1)!}}\int _{t_{0}}^{t}|s-t_{0}|^{n+1}\mathrm {d} s\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\\&={\frac {L^{n+1}}{(n+2)!}}|t-t_{0}|^{n+2}\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\end{aligned}}} 피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(영어: Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(영어: weak solution)의 존재만을 결론내린다. 샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)가 증명하였다. 벡터장 뉴턴 방법 오일러 방법 사다리꼴 공식 O’Regan, Donal (1997). 《Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations》. Mathematics and Its Applications (영어) 398. Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-017-1517-1. ISBN 978-90-481-4835-6.  Cid, J. Ángel (2003년 5월 1일). “On uniqueness criteria for systems of ordinary differential equations”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 281 (1): 264–275. doi:10.1016/S0022-247X(03)00096-9. ISSN 0022-247X.  Lindelöf, E. (1894). “Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences》 (프랑스어) 116: 454–457.  Coddington, Earl A.; Norman Levinson (1955). 《Theory of ordinary differential equations》 (영어). McGraw-Hill.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.  “Cauchy-Lipschitz theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's existence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.