사영 선형군

군론과 사영기하학에서 사영 선형군(射影線型群, 영어: projective linear group)은 어떤 사영 공간의 자기 동형군이다. 즉, 일반 선형군의, 그 군의 중심에 대한 몫군이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 의 사영 선형군 PGL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (V;K)} 은 다음과 같은 짧은 완전열에 대한 몫군이다. 1 → K × ↪ GL ⁡ ( V ; K ) ↠ PGL ⁡ ( V ; K ) → 1 {\displaystyle 1\to K^{\times }\hookrightarrow \operatorname {GL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PGL} (V;K)\to 1} 여기서 K × {\displaystyle K^{\times }} 는 K {\displaystyle K} 의 가역원군이다. K × ↪ GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow \operatorname {GL} (V;K)} 는 가환환의 원소의 작용 a ↦ a id V {\displaystyle a\mapsto a\operatorname {id} _{V}} 이며, 그 상은 GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)} 의 군의 중심이다. 만약 K {\displaystyle K} 가 가환환이며 V {\displaystyle V} 가 유한 n {\displaystyle n} 차원 K {\displaystyle K} -자유 가군일 때, 특수 선형군 SL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {SL} (V;K)} 를 정의할 수 있으며, 그 중심은 Z ⁡ ( SL ⁡ ( V ; K ) ) = Z ⁡ ( GL ⁡ ( V ; K ) ) ∩ SL ⁡ ( V ; K ) = { a ∈ K × : ∃ b ∈ K × : b n = a } {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (V;K))=\operatorname {Z} (\operatorname {GL} (V;K))\cap \operatorname {SL} (V;K)=\{a\in \mathbb {K} ^{\times }\colon \exists b\in K^{\times }\colon b^{n}=a\}} 이다. 사영 특수 선형군(영어: projective special linear group)은 특수 선형군의, 그 중심에 대한 몫군이다. 1 → Z ⁡ ( SL ⁡ ( V ; K ) ) → SL ⁡ ( V ; K ) ↠ PSL ⁡ ( V ; K ) → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (V;K))\to \operatorname {SL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PSL} (V;K)\to 1} 가환환 K {\displaystyle K} 및 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다. 1 → K × → GL ⁡ ( n ; K ) → PGL ⁡ ( n ; K ) → 1 ( − ) n ↓ ( − ) n ↓ ↓ 1 → SZ ⁡ ( n ; K ) → SL ⁡ ( n ; K ) → PSL ⁡ ( n ; K ) → 1 {\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &K^{\times }&\to &\operatorname {GL} (n;K)&\to &\operatorname {PGL} (n;K)&\to &1\\&&{\scriptstyle (-)^{n}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle (-)^{n}}&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SZ} (n;K)&\to &\operatorname {SL} (n;K)&\to &\operatorname {PSL} (n;K)&\to &1\\\end{matrix}}} 여기서 SZ ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {SZ} (n;K)} 는 n {\displaystyle n} 차 거듭제곱근을 (하나 이상 갖는) K {\displaystyle K} 의 가역원들의 아벨 군이다. 만약 K {\displaystyle K} 에서 모든 n {\displaystyle n} 차 거듭제곱근이 존재한다면, 즉 어떤 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 ( − ) n : K × → K × {\displaystyle (-)^{n}\colon K^{\times }\to K^{\times }} ( − ) n : α ↦ α n {\displaystyle (-)^{n}\colon \alpha \mapsto \alpha ^{n}} 가 전사 함수라면, PGL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (n;K)} 와 PSL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (n;K)} 는 서로 같다. 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 위의 사영 선형군의 크기는 다음과 같다. | PGL ⁡ ( n ; F q ) | = 1 q − 1 | GL ⁡ ( n ; F q ) | = 1 q − 1 ∏ i = 0 n − 1 ( q n − q i ) {\displaystyle |\operatorname {PGL} (n;\mathbb {F} _{q})|={\frac {1}{q-1}}|\operatorname {GL} (n;\mathbb {F} _{q})|={\frac {1}{q-1}}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{n}-q^{i})} 또한, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다. PSL ⁡ ( 2 ; F 2 ) ≅ Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)} PSL ⁡ ( 2 ; F 3 ) ≅ Alt ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{3})\cong \operatorname {Alt} (4)} PGL ⁡ ( 2 ; F 3 ) ≅ Sym ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (2;\mathbb {F} _{3})\cong \operatorname {Sym} (4)} 여기서 Sym ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (-)} 은 대칭군이며, Alt ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (-)} 는 교대군이다. 정수 계수 2차 사영 특수 선형군 PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 는 모듈러 군이며, 이는 모듈러 형식의 이론에 중요한 역할을 한다. 가역원 “Projective general linear group”. 《nLab》 (영어).  “Projective special linear group”. 《nLab》 (영어).