횔더 연속 함수

해석학에서 횔더 연속 함수(Hölder連續函數, 영어: Hölder-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수의 개념의 일반화이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 두 로비어 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} , ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} 음이 아닌 실수 α ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \alpha \in [0,\infty )} 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 가 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수라고 한다.:254, §5.1 모든 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여, d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) ≤ C d X ( x , x ′ ) α {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq Cd_{X}(x,x')^{\alpha }} 인 C > 0 {\displaystyle C>0} 가 존재한다. 만약 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 가 국소 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수(영어: locally α {\displaystyle \alpha } -Hölder-continuous function)라고 한다. 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 및 x , x ′ ∈ K {\displaystyle x,x'\in K} 에 대하여, d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) ≤ C K d X ( x , x ′ ) α {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq C_{K}d_{X}(x,x')^{\alpha }} 인 C K > 0 {\displaystyle C_{K}>0} 가 존재한다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 α ∈ R ≥ 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{\geq 0}} 에 대하여, α {\displaystyle \alpha } -횔더 반노름(영어: α {\displaystyle \alpha } -Hölder seminorm)을 다음과 같이 정의하자.:254, §5.1 ‖ f ‖ H o ¨ , α = sup x , x ′ ∈ X d ( x , x ′ ) > 0 d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ( d X ( x , x ′ ) ) α ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \|f\|_{\mathrm {H{\ddot {o}}} ,\alpha }=\sup _{x,x'\in X\;d(x,x')>0}{\frac {d_{Y}(f(x),f(x')}{(d_{X}(x,x'))^{\alpha }}}\in [0,\infty ]} 즉, 어떤 함수가 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수인 것은 유한한 α {\displaystyle \alpha } -횔더 반노름을 갖는 것과 동치이다. α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수들의 공간을 C 0 , α ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)} 로 표기하자. 이 위에는 α {\displaystyle \alpha } -횔더 반노름을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 0-횔더 연속 함수는 유계 함수이며, 1-횔더 연속 함수는 C {\displaystyle C} -립시츠 연속 함수이다. 임의의 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 에 대하여, α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수는 연속 함수이다. (그러나 물론 유계 함수는 연속 함수가 아닐 수 있다.) 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 지름이 유한하며, 임의의 0 < α ≤ β < ∞ {\displaystyle 0<\alpha \leq \beta <\infty } 에 대하여, 자연스러운 포함 사상 C 0 , β ( X , Y ) ⊆ C 0 , α ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)\subseteq {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)} 이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다. ‖ f ‖ 0 , α ≤ diam ⁡ ( X ) β − α ‖ f ‖ 0 , β {\displaystyle \|f\|_{0,\alpha }\leq \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }\|f\|_{0,\beta }} 따라서, 위 포함 관계는 연속 함수이자 사실 작용소 노름이 diam ⁡ ( X ) β − α {\displaystyle \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }} 이하인 유계 작용소이다. 또한, 아르첼라-아스콜리 정리에 의하여, C 0 , β ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)} 에서의 유계 집합은 C 0 , α ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)} 에서의 상대 콤팩트 집합이다. 함수 [ 0 , 1 / 2 ] → R {\displaystyle [0,1/2]\to \mathbb {R} } x ↦ { 0 x = 0 1 / ln ⁡ x x > 0 {\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}0&x=0\\1/\ln x&x>0\end{cases}}} 를 생각하자. 이는 연속 함수이며 (정의역이 콤팩트 공간이므로) 균등 연속 함수이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의 α < ∞ {\displaystyle \alpha <\infty } 에 대하여 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수가 되지 못한다. 임의의 0 < β < ∞ {\displaystyle 0<\beta <\infty } 에 대하여, 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } x ↦ x β {\displaystyle x\mapsto x^{\beta }} 는 0 < α ≤ β {\displaystyle 0<\alpha \leq \beta } 에 대하여 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수이지만, α > β {\displaystyle \alpha >\beta } 일 경우 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수가 아니다. 전사 1 / 2 {\displaystyle 1/2} -횔더 연속 함수 [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}} 가 존재한다. 즉, 이는 페아노 곡선의 일종이다. 그러나 α > 1 / 2 {\displaystyle \alpha >1/2} 의 경우, 전사 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수 [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}} 는 존재할 수 없다. 오토 횔더가 1882년 박사 학위 논문에서 도입하였다. Evans, Lawrence C. (2010). 《Partial differential equations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 19 2판. 2017년 2월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 25일에 확인함.  Hölder, Otto (1882). 《Beiträge zur Potentialtheorie》 (독일어). 튀빙겐 대학교 박사 학위 논문. 슈투트가르트: Druck der J. B. Metzlerschen buchdruckerei.  립시츠 연속 함수 “Hölder condition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hölder space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hölder condition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.