브라마굽타 공식

기하학에서 브라마굽타 공식(Brahmagupta公式, 영어: Brahmagupta's formula)은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수로 나타내는 공식이다. 내접 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 네 변의 길이를 A B = a {\displaystyle AB=a} , B C = b {\displaystyle BC=b} , C D = c {\displaystyle CD=c} , D A = d {\displaystyle DA=d} 라고 하자. 브라마굽타 공식에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다. S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} 여기서 s = a + b + c + d 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}} 는 반둘레이다. 내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여, B + D = 180 ∘ {\displaystyle B+D=180^{\circ }} 이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 A C D {\displaystyle ACD} 에 코사인 법칙을 적용하면 각각 A C 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ B {\displaystyle AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos B} 와 A C 2 = c 2 + d 2 − 2 c d cos ⁡ D = c 2 + d 2 + 2 c d cos ⁡ B {\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos D\\&=c^{2}+d^{2}+2cd\cos B\end{aligned}}} 를 얻으며, 이를 연립하면 2 ( a b + c d ) cos ⁡ B = a 2 + b 2 − c 2 − d 2 {\displaystyle 2(ab+cd)\cos B=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}} 를 얻는다. 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 넓이는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 A C D {\displaystyle ACD} 의 넓이의 합이므로, S = 1 2 a b sin ⁡ B + 1 2 c d sin ⁡ D = 1 2 ( a b + c d ) sin ⁡ B {\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin B+{\frac {1}{2}}cd\sin D\\&={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin B\end{aligned}}} 이다. 따라서 16 S 2 = 4 ( a b + c d ) 2 sin 2 ⁡ B = 4 ( a b + c d ) 2 − 4 ( a b + c d ) 2 cos 2 ⁡ B = ( 2 a b + 2 c d ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 = ( 2 a b + 2 c d − a 2 − b 2 + c 2 + d 2 ) ( 2 a b + 2 c d + a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) = ( ( c + d ) 2 − ( a − b ) 2 ) ( ( a + b ) 2 − ( c − d ) 2 ) = ( c + d − a + b ) ( c + d + a − b ) ( a + b − c + d ) ( a + b + c − d ) = 2 ( s − a ) ⋅ 2 ( s − b ) ⋅ 2 ( s − c ) ⋅ 2 ( s − d ) = 16 ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle {\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}\sin ^{2}B\\&=4(ab+cd)^{2}-4(ab+cd)^{2}\cos ^{2}B\\&=(2ab+2cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2ab+2cd-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})(2ab+2cd+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\\&=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})\\&=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\&=2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-d)\\&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\end{aligned}}} 가 성립한다. 헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는 S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 가 된다. 외, 내접을 모두하는 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 네 변의 길이를 A B = a {\displaystyle AB=a} , B C = b {\displaystyle BC=b} , C D = c {\displaystyle CD=c} , D A = d {\displaystyle DA=d} 라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다. S = a b c d {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}} 이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형이므로 a + c = b + d = s {\displaystyle a+c=b+d=s} 이기 때문이다. 브레치나이더 공식(Bretschneider公式, 영어: Bretschneider's formula)은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 네 변의 길이를 A B = a {\displaystyle AB=a} , B C = b {\displaystyle BC=b} , C D = c {\displaystyle CD=c} , D A = d {\displaystyle DA=d} 라고 하고, 반둘레를 s {\displaystyle s} , 넓이를 S {\displaystyle S} 라고 할 경우 다음이 성립한다. S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos 2 ⁡ A + C 2 {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}} 내접 사각형에서는 A + C = 180 ∘ {\displaystyle A+C=180^{\circ }} 이므로 cos ⁡ A + C 2 = 0 {\displaystyle \cos {\frac {A+C}{2}}=0} 이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다. 인도의 수학자 브라마굽타가 7세기경에 제시하였다.:57, §3.2 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.:188-189, §9.3 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Brahmagupta's formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Brahmagupta's formula”. 《ProofWiki》 (영어).