미분 리 대수

리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, 영어: derivation Lie algebra)는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.:AⅢ.117, §Ⅲ.10.2:383, Chapter 16:190, §25 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} -가군 A 0 , A 1 {\displaystyle A_{0},A_{1}} . A = A 0 ⊕ A 1 {\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}} 로 표기하자. K {\displaystyle K} -가군 준동형 ( ⋅ ) : A ⊗ K A → A {\displaystyle (\cdot )\colon A\otimes _{K}A\to A} , ( a ⊗ b ) ↦ a ⋅ b {\displaystyle (a\otimes b)\mapsto a\cdot b} ϵ ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \epsilon \in \{0,1\}} 그렇다면, ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} 의 ϵ {\displaystyle \epsilon } -미분은 다음과 같은 데이터로 주어진다. d 0 : A 0 → A 1 {\displaystyle d_{0}\colon A_{0}\to A_{1}} d 1 : A 1 → A 0 {\displaystyle d_{1}\colon A_{1}\to A_{0}} 편의상 d = d 0 ⊕ d 1 : A → A {\displaystyle d=d_{0}\oplus d_{1}\colon A\to A} 로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. d ( a ⋅ b ) = d a ⋅ b + a ⋅ d b ∀ a ∈ A 0 , b ∈ A {\displaystyle d(a\cdot b)=da\cdot b+a\cdot db\qquad \forall a\in A_{0},\;b\in A} d ( a ⋅ b ) = d a ⋅ b + ϵ a ⋅ d b ∀ a ∈ A 1 , b ∈ A {\displaystyle d(a\cdot b)=da\cdot b+\epsilon a\cdot db\qquad \forall a\in A_{1},\;b\in A} 이는 deg ⁡ a = { 0 a ∈ A 0 1 a ∈ A 1 ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \deg a={\begin{cases}0&a\in A_{0}\\1&a\in A_{1}\end{cases}}\in \{0,1\}} 을 정의하면 d ( a ⋅ b ) = ( d a ) ⋅ b + ( − ) ϵ deg ⁡ a a ⋅ d b {\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-)^{\epsilon \deg a}a\cdot db} 로 표기될 수 있다. ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} 위의 ϵ {\displaystyle \epsilon } -미분들의 집합을 d e r ϵ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}_{\epsilon }(A)} 로 표기하자. 그렇다면, d e r ( a ) = d e r 0 ( A ) ⊕ d e r 1 ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(a)={\mathfrak {der}}_{0}(A)\oplus {\mathfrak {der}}_{1}(A)} 위에 리 초괄호 [ d , d ′ } = d ∘ d ′ − ( − ) ϵ ϵ ′ d ′ ∘ d ( d ∈ d e r ϵ ( A ) , d ′ ∈ d e r ϵ ′ ( A ) ) {\displaystyle [d,d'\}=d\circ d'-(-)^{\epsilon \epsilon '}d'\circ d\qquad (d\in {\mathfrak {der}}_{\epsilon }(A),\;d'\in {\mathfrak {der}}_{\epsilon '}(A))} 을 정의하면, 이는 K {\displaystyle K} -리 초대수를 이룬다. 이를 ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} 의 미분 리 초대수(영어: derivation Lie superalgebra)라고 한다. 물론, 만약 A 1 = 0 {\displaystyle A_{1}=0} 일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 ( A 0 , ⋅ ) {\displaystyle (A_{0},\cdot )} 의 미분 리 대수(영어: derivation Lie algebra) d e r ( A 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A_{0})} 를 정의할 수 있다. 이는 K {\displaystyle K} -리 대수이다. 리 대수 이론에서, 리 대수 미분(영어: derivation of a Lie algebra)은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다. 특히, 이 정의는 ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} 가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 임의의 원소 x {\displaystyle x} 에 대하여, 딸림표현 ad ⁡ ( x ) : y ↦ [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]} 은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 리 대수 준동형 ad : g → d e r ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 을 정의한다. 그 상 i n n ( g ) ⊆ d e r ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})\subseteq {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한 K {\displaystyle K} -몫가군은 다음과 같은, 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어진다. d e r ( g ) i n n ( g ) = H 1 ⁡ ( g ; g ) {\displaystyle {\frac {{\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}{{\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})}}=\operatorname {H} ^{1}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}})} 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 위의 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다. g ≅ d e r ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 반면, 표수 0의 체 위에서도, g ≅ d e r ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.:961, §1 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 미분 d : g → g {\displaystyle d\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 가 멱영원이라고 하자. 즉, ∃ n ∈ N : d n = 0 : g → g {\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \colon d^{n}=0\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다. exp ⁡ ( d ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! d n : g → g {\displaystyle \exp(d)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}d^{n}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 이는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉, [ exp ⁡ ( d ) ( x ) , exp ⁡ ( d ) ( y ) ] = exp ⁡ ( d ) ( [ x , y ] ) {\displaystyle [\exp(d)(x),\exp(d)(y)]=\exp(d)([x,y])} 가 성립한다. 켈러 미분 Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). Gauthier-Villars.  Eisenbud, David (1999). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어) 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94269-8.  Matsumura, Hideyuki (1989). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0521367646.  Meng, Daoji (1999년 6월). “Complete Lie algebras”. 《Chinese Science Bulletin》 (영어) 44 (11): 961–964.  “Derivation in a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Derivation algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Derivation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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