방멱

기하학에서 방멱(方冪, 영어: power)은 평면 위의 어떤 점과 원에 의하여 결정되는 수이다. 이는 점과 원의 중심 사이의 거리의 제곱과 원의 반지름의 제곱의 차와 같다. 원 외부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 접선의 길이의 제곱이며, 원 내부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 가장 짧은 반현의 길이의 제곱의 −1배이다.:29, §41 평면 위에서, 중심이 O {\displaystyle O} 이고 반지름이 r {\displaystyle r} 인 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 점 P {\displaystyle P} 에 대한 방멱은 다음과 같이 정의된다. O P 2 − r 2 {\displaystyle OP^{2}-r^{2}} 한 점 O {\displaystyle O} 로 이루어진 집합은 중심이 O {\displaystyle O} 이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 O {\displaystyle O} 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱은 단순히 O P 2 {\displaystyle OP^{2}} 이다.:30, §43 직선 l {\displaystyle l} 은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선 l {\displaystyle l} 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 P {\displaystyle P} 를 지나는 l {\displaystyle l} 의 수선의 발이 A {\displaystyle A} 라고 하고, 직선 P A {\displaystyle PA} 위의 점 O {\displaystyle O} 를 중심으로 하고 A {\displaystyle A} 를 지나는 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 직선 P A {\displaystyle PA} 와 두 점 A , B {\displaystyle A,B} 에서 만난다고 하자. 그렇다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱과 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 지름의 비의 절댓값은 | O P 2 − r 2 2 r | = | O P + r | | O P − r | 2 r = P A ⋅ P B A B {\displaystyle \left|{\frac {OP^{2}-r^{2}}{2r}}\right|={\frac {|OP+r||OP-r|}{2r}}={\frac {PA\cdot PB}{AB}}} 이다. A {\displaystyle A} 가 고정되고 O {\displaystyle O} 와 B {\displaystyle B} 가 A {\displaystyle A} 에서 무한히 멀어질 때, P B {\displaystyle PB} 와 A B {\displaystyle AB} 의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 P A {\displaystyle PA} 로 수렴한다. 따라서, 직선 l {\displaystyle l} 과 점 P {\displaystyle P} 사이의 거리 d ( P , l ) {\displaystyle d(P,l)} 을 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 삼을 수 있다.:30, §43 평면 위에서 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 점 P {\displaystyle P} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, P {\displaystyle P} 가 Γ {\displaystyle \Gamma } 내부의 점일 필요충분조건은 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱이 양수인 것이다. P {\displaystyle P} 가 Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 점일 필요충분조건은 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱이 0인 것이다. P {\displaystyle P} 가 Γ {\displaystyle \Gamma } 외부의 점일 필요충분조건은 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱이 음수인 것이다. 평면 위에서 중심이 O {\displaystyle O} 이고 반지름이 r {\displaystyle r} 인 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 방멱이 k {\displaystyle k} 인 점들의 집합은 k > − r 2 {\displaystyle k>-r^{2}} 일 경우 중심이 O {\displaystyle O} 이고 반지름이 r 2 + k {\displaystyle {\sqrt {r^{2}+k}}} 인 원이며, k = − r 2 {\displaystyle k=-r^{2}} 일 경우 점원 O {\displaystyle O} 이며, k < − r 2 {\displaystyle k<-r^{2}} 일 경우 공집합이다.:30, §44 평면 위에서 동심원이 아닌 두 원 Γ , Γ ′ {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '} 에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원 Γ , Γ ′ {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '} 의 근축이라고 부른다. 평면 위에서 점 P {\displaystyle P} 를 지나는 직선이 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 (같을 수 있는) 두 점 A , B {\displaystyle A,B} 에서 만나며, P {\displaystyle P} 를 지나는 또 다른 직선이 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 (같을 수 있는) 두 점 C , D {\displaystyle C,D} 에서 만난다고 하자. 방멱 정리(方冪定理, 영어: power theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.:28, §2.1, Theorem 2.11 P A → ⋅ P B → = P C → ⋅ P D → {\displaystyle {\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD}}} 여기서 ⋅ {\displaystyle \cdot } 은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이 O {\displaystyle O} 를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, P A → ⋅ P B → {\displaystyle {\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}} 는 직선 P A B {\displaystyle PAB} 의 선택과 무관하다. 방멱 정리는 흔히 원 C {\displaystyle C} 에 대한 점 P {\displaystyle P} 의 상대적인 위치와 직선의 두 교점이 같은지 여부에 따라 다음과 같은 경우로 나뉘어 서술된다. 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 두 현 A B {\displaystyle AB} 와 C D {\displaystyle CD} 가 Γ {\displaystyle \Gamma } 내부의 점 P {\displaystyle P} 에서 만난다고 하자. 그렇다면, P A ⋅ P B = P C ⋅ P D {\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD} 이다. 특히, 이는 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱의 −1배와 같다. 증명::28, §2.1 각 ∠ B A D {\displaystyle \angle BAD} 와 ∠ D C B {\displaystyle \angle DCB} 는 모두 호 B D {\displaystyle BD} 에 대한 원주각이므로, ∠ B A D = ∠ D C B {\displaystyle \angle BAD=\angle DCB} 이다. 각 ∠ A P D {\displaystyle \angle APD} 와 ∠ B P C {\displaystyle \angle BPC} 는 맞꼭지각이므로, ∠ A P D = ∠ B P C {\displaystyle \angle APD=\angle BPC} 이다. 따라서, 삼각형 △ P D A {\displaystyle \triangle PDA} 와 △ P B C {\displaystyle \triangle PBC} 는 서로 닮음이며, 따라서 P A P C = P D P B {\displaystyle {\frac {PA}{PC}}={\frac {PD}{PB}}} 이다. 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 두 현 A B {\displaystyle AB} 와 C D {\displaystyle CD} 의 연장선이 Γ {\displaystyle \Gamma } 외부의 점 P {\displaystyle P} 에서 만난다고 하자. 그렇다면, P A ⋅ P B = P C ⋅ P D {\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD} 이다. 특히, 이는 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱과 같다. 증명::28, §2.1 편의상 P A < P B {\displaystyle PA<PB} 이고 P C < P D {\displaystyle PC<PD} 라고 하자. 그렇다면 각 ∠ A B C {\displaystyle \angle ABC} 와 A D C {\displaystyle ADC} 는 호 A C {\displaystyle AC} 에 대한 원주각이므로, ∠ A B C = ∠ A D C {\displaystyle \angle {ABC}=\angle {ADC}} 이다. 또한 삼각형 △ P B C {\displaystyle \triangle PBC} 와 △ P D A {\displaystyle \triangle PDA} 는 각 ∠ P {\displaystyle \angle P} 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서 P A P C = P D P B {\displaystyle {\frac {PA}{PC}}={\frac {PD}{PB}}} 이다. 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 현 A B {\displaystyle AB} 의 연장선과 Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 점 T {\displaystyle T} 에서의 접선 P T {\displaystyle PT} 가 Γ {\displaystyle \Gamma } 외부의 점 P {\displaystyle P} 에서 만난다고 하자. 그렇다면, P A ⋅ P B = P T 2 {\displaystyle PA\cdot PB=PT^{2}} 이다. 특히, 이는 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 P {\displaystyle P} 의 방멱과 같다. 증명::28, §2.1 편의상 P A < P B {\displaystyle PA<PB} 라고 하자. 그렇다면 각 ∠ P B T {\displaystyle \angle PBT} 와 ∠ P T A {\displaystyle \angle PTA} 는 각각 호 A T {\displaystyle AT} 에 대한 원주각과 접현각이므로, ∠ P B T = ∠ P T A {\displaystyle \angle PBT=\angle PTA} 이다. 또한 삼각형 P B T {\displaystyle PBT} 와 P T A {\displaystyle PTA} 는 각 ∠ P {\displaystyle \angle P} 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서 P A P T = P T P B {\displaystyle {\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}} 이다. 반대로, 만약 직선 A B {\displaystyle AB} 와 C D {\displaystyle CD} 가 점 P {\displaystyle P} 에서 만나고, P A → ⋅ P B → = P C → ⋅ P D → {\displaystyle {\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD}}} 를 만족시킨다면, A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} 는 공원점이다.:30, §42 증명::30, §42 편의상 C {\displaystyle C} 가 직선 A B {\displaystyle AB} 위의 점이 아니라고 하자. 점 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 를 지나는 원 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 직선 C D {\displaystyle CD} 와 점 D ′ {\displaystyle D'} 에서 만난다고 하자. 그렇다면, 방멱 정리에 의하여 P A → ⋅ P B → = P C → ⋅ P D ′ → {\displaystyle {\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD'}}} 이므로, D = D ′ {\displaystyle D=D'} 이다. 중심이 O , O ′ {\displaystyle O,O'} 이고 반지름이 r , r ′ {\displaystyle r,r'} 인 두 원 Γ , Γ ′ {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. Γ {\displaystyle \Gamma } 와 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.) Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 O ′ {\displaystyle O'} 의 방멱은 r ′ 2 {\displaystyle {r'}^{2}} 이다. Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 에 대한 O {\displaystyle O} 의 방멱은 r 2 {\displaystyle r^{2}} 이다. '방멱'이라는 개념은 스위스의 수학자 야코프 슈타이너가 처음 사용하였다.:30, §2.1 원 현 할선 접선 Eves, Howard Whitley (1995). 《College Geometry》 (영어). Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0-86720-475-3.  Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.  Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  “Degree of a point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Circle power”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.