준군

추상대수학과 범주론에서 준군(準群, 영어: groupoid 그루포이드[*])은 군과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다. 준군 ( G , S , ⋅ ) {\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {S}},\cdot )} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 집합 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} G × G {\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}} 의 부분 집합 S ⊆ G × G {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}} S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 위에 정의된 함수 ⋅ : S → G {\displaystyle \cdot \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {G}}} . ⋅ ( g , h ) {\displaystyle \cdot (g,h)} 를 g h {\displaystyle gh} 로 쓰자. 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. (결합 법칙) 임의의 g , h , k ∈ G {\displaystyle g,h,k\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, 만약 ( g , h ) , ( h , k ) ∈ S {\displaystyle (g,h),(h,k)\in {\mathcal {S}}} 라면 ( g , h k ) , ( g h , k ) ∈ S {\displaystyle (g,hk),(gh,k)\in {\mathcal {S}}} 이며, 또한 g ( h k ) = ( g h ) k {\displaystyle g(hk)=(gh)k} 이다. (역원의 존재) 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 g − 1 ∈ G {\displaystyle g^{-1}\in {\mathcal {G}}} 가 존재한다. 이를 g {\displaystyle g} 의 역원(逆元, 영어: inverse)이라고 한다. (정의역과 공역) ( g , g − 1 ) ∈ S {\displaystyle (g,g^{-1})\in {\mathcal {S}}} 이자 ( g − 1 , g ) ∈ S {\displaystyle (g^{-1},g)\in {\mathcal {S}}} 이다. (오른쪽 항등원의 성질) 임의의 h ∈ G {\displaystyle h\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, 만약 ( h , g ) ∈ S {\displaystyle (h,g)\in {\mathcal {S}}} 라면, h g g − 1 = h {\displaystyle hgg^{-1}=h} 이다. (왼쪽 항등원의 성질) 임의의 h ∈ G {\displaystyle h\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, 만약 ( g , h ) ∈ S {\displaystyle (g,h)\in {\mathcal {S}}} 라면, g − 1 g h = h {\displaystyle g^{-1}gh=h} 이다. 이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in {\mathcal {G}}} 에 대하여 g g − 1 ≠ h h − 1 {\displaystyle gg^{-1}\neq hh^{-1}} 일 수 있다. 범주론적으로, 준군 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 는 모든 사상이 동형 사상인 작은 범주이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다. 군의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. 집합의 개념은 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 동치이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, 작은 범주의 개념이 모노이드의 개념과 집합의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 군의 개념과 집합의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다. 군 G {\displaystyle G} 가 집합 S {\displaystyle S} 위에 작용한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 작용 준군 G ∫ S {\displaystyle \textstyle G\int S} 로 여길 수 있다. G ∫ S {\displaystyle \textstyle G\int S} 의 대상은 S {\displaystyle S} 의 원소이다. s , t ∈ S {\displaystyle s,t\in S} 에 대하여, hom G ∫ S = { g ∈ G : g s = t } {\displaystyle \hom _{G\int S}=\{g\in G\colon gs=t\}} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 기본 준군 Π ( X , S ) {\displaystyle \Pi (X,S)} 은 다음과 같다. Π ( X , S ) {\displaystyle \Pi (X,S)} 의 대상은 S {\displaystyle S} 의 원소이다. s , t ∈ S {\displaystyle s,t\in S} 에 대하여, hom Π ( X , S ) ⁡ ( s , t ) {\displaystyle \hom _{\Pi (X,S)}(s,t)} 는 s {\displaystyle s} 에서 t {\displaystyle t} 로 가는 경로들의 (양끝을 고정시킨) 호모토피류들의 집합이다. 하인리히 브란트(독일어: Heinrich Brandt)가 1926년에 도입하였다. Brandt, Heinrich (1927년 12월 1일). “Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 96 (1): 360–366. doi:10.1007/BF01209171.  Brown, Ronald (1987년 3월). “From groups to groupoids: a brief survey” (PDF). 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 19 (2): 113–134. doi:10.1112/blms/19.2.113. 2013년 5월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 12월 26일에 확인함.  Ramsay, Arlan; Jean Renault (2001). 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》. Contemporary Mathematics 282. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/282. ISBN 978-0-8218-2042-1.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Weinstein, Alan (1996년 7월). “Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 43 (7): 744–752. arXiv:math/9602220.  재출판 Weinstein, Alan (2001). 〈Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples〉. 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》 (PDF). American Mathematical Society. 1–19쪽. doi:10.1090/conm/282/04675. ISBN 978-0-8218-2042-1. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] “Groupoid”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Groupoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Groupoid”. 《nLab》 (영어).  내적 준군