수슬린 수

일반위상수학에서 수슬린 수(영어: Suslin number)는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 무게(영어: weight) w ( X ) {\displaystyle w(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 기저의 최소 크기이다. 제2 가산 공간은 w ( X ) ≤ ℵ 0 {\displaystyle w(X)\leq \aleph _{0}} 인 위상 공간이다. 무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 유사 기저(영어: pseudo-base) 또는 ψ-기저(영어: ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 B ⊆ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)} 이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { x } = ⋂ x ∈ B ∈ B B {\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in B\in {\mathcal {B}}}B} 위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T1 공간인 것이다. T1 공간 X {\displaystyle X} 의 유사 무게(영어: pseudo-weight) 또는 ψ-무게(영어: ψ-weight) ψ w ( X ) {\displaystyle \psi w(X)} 는 그 유사 기저의 최소 크기이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 π-기저(영어: π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 B ⊆ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)} 이다. Open ⁡ ( X ) ∖ { ∅ } {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}} 의 공시작 집합이다. 즉, ∅ ∉ B {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}} 이며, 임의의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, 만약 U ≠ ∅ {\displaystyle U\neq \varnothing } 라면, B ⊆ U {\displaystyle B\subseteq U} 인 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 π-무게(영어: π-weight) π ( X ) {\displaystyle \pi (X)} 는 그 π-기저의 최소 크기이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 망(영어: network)은 다음 조건을 만족시키는 집합족 N ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 이다. 임의의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, U = ⋃ S {\displaystyle U=\bigcup {\mathcal {S}}} 인 S ⊆ N {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {N}}} 이 존재한다. 따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 망 무게(영어: network weight, net weight) n w ( X ) {\displaystyle nw(X)} 는 그 망의 최소 크기이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 밀도(영어: density) d ( X ) {\displaystyle d(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 조밀 집합의 최소 크기이다. 분해 가능 공간은 d ( X ) ≤ ℵ 0 {\displaystyle d(X)\leq \aleph _{0}} 인 위상 공간이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 유전적 밀도(영어: hereditary density) d ∗ ( X ) {\displaystyle d^{*}(X)} 또는 너비(영어: width) z ( X ) {\displaystyle z(X)} 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다. d ∗ ( X ) {\displaystyle d^{*}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 을 취한다). d ∗ ( X ) = max { ℵ 0 , sup Y ⊂ X d ( Y ) } {\displaystyle d^{*}(X)=\max \left\{\aleph _{0},\sup _{Y\subset X}d(Y)\right\}} z ( X ) {\displaystyle z(X)} 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 을 취한다). 모든 상집합이 열린집합이 되는 Y {\displaystyle Y} 위의 정렬 전순서가 존재한다. 즉, d ∗ ( X ) = z ( X ) {\displaystyle d^{*}(X)=z(X)} 이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다. 증명: d ∗ ( X ) ≥ z ( X ) {\displaystyle d^{*}(X)\geq z(X)} 의 증명. Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 가 부분 집합이며, ≤ {\displaystyle \leq } 가 Y {\displaystyle Y} 위의 정렬 전순서이며, Y {\displaystyle Y} 의 모든 상집합이 Y {\displaystyle Y} 의 열린집합이라고 하자. | Y | ≤ d ∗ ( X ) {\displaystyle |Y|\leq d^{*}(X)} 를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 κ < | Y | {\displaystyle \kappa <|Y|} 에 대하여, κ + ≤ d ∗ ( X ) {\displaystyle \kappa ^{+}\leq d^{*}(X)} 임을 보이면 충분하다. α {\displaystyle \alpha } 가 ( Y , ≤ ) {\displaystyle (Y,\leq )} 의 순서형이라고 하자. κ + ≤ | Y | ≤ α {\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha } 이므로, 순서형이 κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} 인 부분 집합 Z ⊆ Y {\displaystyle Z\subseteq Y} 가 존재한다. 임의의 상집합 S ⊆ Z {\displaystyle S\subseteq Z} 는 S {\displaystyle S} 의 Y {\displaystyle Y} 에서의 상폐포와 Y {\displaystyle Y} 의 교집합이므로, Z {\displaystyle Z} 의 열린집합이다. κ + = | Z | {\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|} 는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 D ⊆ S {\displaystyle D\subseteq S} 가 조밀 집합이라면, D {\displaystyle D} 는 S {\displaystyle S} 의 공종 집합이며, | D | ≥ κ + {\displaystyle |D|\geq \kappa ^{+}} 이다. 즉, κ + = d ( Z ) ≤ d ∗ ( X ) {\displaystyle \kappa ^{+}=d(Z)\leq d^{*}(X)} 이다. d ∗ ( X ) ≤ z ( X ) {\displaystyle d^{*}(X)\leq z(X)} 의 증명. 임의의 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, d ( Y ) ≤ z ( X ) {\displaystyle d(Y)\leq z(X)} 임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 ( y α ) α < d ( Y ) ⊆ Y {\displaystyle (y_{\alpha })_{\alpha <d(Y)}\subseteq Y} 을 만들 수 있다. y α ∈ Y ∖ cl ⁡ { y β : β < α } ( ∀ α < d ( Y ) ) {\displaystyle y_{\alpha }\in Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \}\qquad (\forall \alpha <d(Y))} 이제, Z = { y α : α < d ( Y ) } {\displaystyle Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <d(Y)\}} 라고 하자. Z {\displaystyle Z} 위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 d ( Y ) {\displaystyle d(Y)} 인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 S ⊆ Z {\displaystyle S\subseteq Z} 에 대하여, 그 최소 원소가 min S = y α {\displaystyle \min S=y_{\alpha }} 라고 하면, S = { y β : α ≤ β < d ( Y ) } = Z ∩ ( Y ∖ cl ⁡ { y β : β < α } ) {\displaystyle S=\{y_{\beta }\colon \alpha \leq \beta <d(Y)\}=Z\cap (Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \})} 이므로, S ⊆ Z {\displaystyle S\subseteq Z} 는 열린집합이다. 따라서, d ( Y ) = | S | ≤ z ( X ) {\displaystyle d(Y)=|S|\leq z(X)} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 이 주어졌을 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 Open ⁡ ( X ) ∖ { ∅ } {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}} 의 강하향 반사슬들은 정확히 X {\displaystyle X} 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 수슬린 수(영어: Suslin number) 또는 세포도(영어: cellularity) c ( X ) {\displaystyle c(X)} 는 Open ⁡ ( X ) ∖ { ∅ } {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}} 의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 유전적 수슬린 수(영어: hereditary Suslin number, hereditary cellularity) c ∗ ( X ) {\displaystyle c^{*}(X)} 또는 퍼짐(영어: spread) s ( X ) {\displaystyle s(X)} 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다. c ∗ ( X ) {\displaystyle c^{*}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합의 수슬린 수의 상한이다. c ∗ ( X ) = sup Y ⊆ X c ( Y ) {\displaystyle c^{*}(X)=\sup _{Y\subseteq X}c(Y)} s ( X ) {\displaystyle s(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 이산 집합의 크기의 상한이다. 즉, c ∗ ( X ) = s ( X ) {\displaystyle c^{*}(X)=s(X)} 이다. 증명: c ∗ ( X ) ≤ s ( X ) {\displaystyle c^{*}(X)\leq s(X)} 의 증명. X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 및 Y {\displaystyle Y} 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 U ⊆ Open ⁡ ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (Y)} 가 주어졌을 때, 임의의 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 에 대하여 x U ∈ U {\displaystyle x_{U}\in U} 를 고르면, D = { x U : U ∈ U } ⊆ Y ⊆ X {\displaystyle D=\{x_{U}\colon U\in {\mathcal {U}}\}\subseteq Y\subseteq X} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다. c ∗ ( X ) ≥ s ( X ) {\displaystyle c^{*}(X)\geq s(X)} 의 증명. X {\displaystyle X} 의 이산 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 가 주어졌을 때, U = { { x } : x ∈ D } ⊆ Open ⁡ ( D ) {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\{x\}\colon x\in D\}\subseteq \operatorname {Open} (D)} 는 D {\displaystyle D} 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 임의의 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 대하여, L ( U ) {\displaystyle L({\mathcal {U}})} 가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 린델뢰프 수(영어: Lindelöf number) L ( X ) {\displaystyle L(X)} 는 다음과 같다. L ( X ) = sup U L ( U ) {\displaystyle L(X)=\sup _{\mathcal {U}}L({\mathcal {U}})} 린델뢰프 공간은 L ( X ) ≤ ℵ 0 {\displaystyle L(X)\leq \aleph _{0}} 인 위상 공간이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 유전적 린델뢰프 수(영어: hereditary Lindelöf number) L ∗ ( X ) {\displaystyle L^{*}(X)} 또는 높이(영어: height) h ( X ) {\displaystyle h(X)} 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다. L ∗ ( X ) {\displaystyle L^{*}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합의 린델뢰프 수의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 을 취한다). L ∗ ( X ) = max { ℵ 0 , sup Y ⊆ X L ( Y ) } {\displaystyle L^{*}(X)=\max \left\{\aleph _{0},\sup _{Y\subseteq X}L(Y)\right\}} h ( X ) {\displaystyle h(X)} 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 을 취한다). 모든 하집합이 열린집합이 되는 Y {\displaystyle Y} 위의 정렬 전순서가 존재한다. 즉, L ∗ ( X ) = h ( X ) {\displaystyle L^{*}(X)=h(X)} 이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.) 증명: L ∗ ( X ) ≥ h ( X ) {\displaystyle L^{*}(X)\geq h(X)} 의 증명. Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 가 부분 집합이며, ≤ {\displaystyle \leq } 가 Y {\displaystyle Y} 위의 정렬 전순서이며, Y {\displaystyle Y} 의 모든 하집합이 Y {\displaystyle Y} 의 열린집합이라고 하자. | Y | ≤ L ∗ ( X ) {\displaystyle |Y|\leq L^{*}(X)} 를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 κ < | Y | {\displaystyle \kappa <|Y|} 에 대하여 κ + ≤ L ∗ ( X ) {\displaystyle \kappa ^{+}\leq L^{*}(X)} 임을 보이면 충분하다. α {\displaystyle \alpha } 가 ( Y , ≤ ) {\displaystyle (Y,\leq )} 의 순서형이라고 하자. κ + ≤ | Y | ≤ α {\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha } 이므로, 순서형이 κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} 인 부분 집합 Z ⊆ Y {\displaystyle Z\subseteq Y} 가 존재한다. Z {\displaystyle Z} 의 모든 하집합 역시 Z {\displaystyle Z} 의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. κ + = | Z | {\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|} 는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, Z {\displaystyle Z} 의 열린 덮개 U = { ↓ ⁡ z ∖ ↑ ⁡ z : z ∈ Z } {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\mathop {\downarrow } z\setminus \mathop {\uparrow } z\colon z\in Z\}} 의 모든 부분 덮개의 크기는 κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} 이다. 즉, κ + = L ( U ) ≤ L ( Z ) ≤ L ∗ ( X ) {\displaystyle \kappa ^{+}=L({\mathcal {U}})\leq L(Z)\leq L^{*}(X)} 이다. L ∗ ( X ) ≤ h ( X ) {\displaystyle L^{*}(X)\leq h(X)} 의 증명. 임의의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 및 무한 기수 κ < L ( Y ) {\displaystyle \kappa <L(Y)} 에 대하여, κ + ≤ h ( X ) {\displaystyle \kappa ^{+}\leq h(X)} 임을 보이면 충분하다. L ( U ) > κ {\displaystyle L({\mathcal {U}})>\kappa } 인 Y {\displaystyle Y} 의 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 ( y α ) α < κ + ⊆ Y {\displaystyle (y_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq Y} 및 ( U α ) α < κ + ⊆ U {\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq {\mathcal {U}}} 을 만들 수 있다. y α ∈ Y ∖ ⋃ β < α U β ( ∀ α < κ + ) {\displaystyle y_{\alpha }\in Y\setminus \bigcup _{\beta <\alpha }U_{\beta }\qquad (\forall \alpha <\kappa ^{+})} 이제, Z = { y α : α < κ + } ⊆ Y {\displaystyle Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <\kappa ^{+}\}\subseteq Y} 라고 하자. Z {\displaystyle Z} 는 자연스럽게 순서형이 κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} 인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, Z {\displaystyle Z} 의 임의의 하집합 S = ⋃ y α ∈ S { y β : β ≤ α } = ⋃ y α ∈ S ( Z ∩ ⋃ β ≤ α U β ) = Z ∩ ⋃ y α ∈ S ⋃ β ≤ α U β {\displaystyle S=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\{y_{\beta }\colon \beta \leq \alpha \}=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\left(Z\cap \bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }\right)=Z\cap \bigcup _{y_{\alpha }\in S}\bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }} 은 Z {\displaystyle Z} 의 열린집합이다. 따라서, κ + = | Z | ≤ h ( X ) {\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|\leq h(X)} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 의 국소 지표(영어: local character) χ ( S , X ) {\displaystyle \chi (S,X)} 는 S {\displaystyle S} 의 국소 기저의 최소 크기이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 지표(영어: character) χ ( X ) {\displaystyle \chi (X)} 는 모든 점의 국소 지표의 상한이다. χ ( X ) = sup x ∈ X χ ( x , X ) {\displaystyle \chi (X)=\sup _{x\in X}\chi (x,X)} 제1 가산 공간은 χ ( X ) ≤ ℵ 0 {\displaystyle \chi (X)\leq \aleph _{0}} 인 위상 공간이다. 마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 의 국소 유사 기저(영어: local pseudo-base) 또는 국소 ψ-기저(영어: local ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 B ⊆ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)} 이다. S = ⋂ B {\displaystyle S=\bigcap {\mathcal {B}}} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 의 국소 유사 지표(영어: local pseudo-character) 또는 국소 ψ-지표(영어: local ψ-character) ψ ( S , X ) {\displaystyle \psi (S,X)} 는 S {\displaystyle S} 의 국소 유사 기저의 최소 크기이다. T1 공간 X {\displaystyle X} 의 유사 지표(영어: pseudo-character) 또는 ψ-지표(영어: ψ-character) ψ ( X ) {\displaystyle \psi (X)} 는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다. ψ ( X ) = sup x ∈ X ψ ( x , X ) {\displaystyle \psi (X)=\sup _{x\in X}\psi (x,X)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 국소 π-기저(영어: local π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 B ⊆ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)} 이다. ∅ ∉ B {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}} 이며, x {\displaystyle x} 의 임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, B ⊆ U {\displaystyle B\subseteq U} 인 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 국소 π-지표(영어: local π-character) π χ ( x , X ) {\displaystyle \pi \chi (x,X)} 는 x {\displaystyle x} 의 국소 π-기저의 최소 크기이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 π-지표(영어: π-character)는 π χ ( X ) {\displaystyle \pi \chi (X)} 는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다. π χ ( X ) = sup x ∈ X π χ ( x , X ) {\displaystyle \pi \chi (X)=\sup _{x\in X}\pi \chi (x,X)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 및 그 폐포의 점 x ∈ cl ⁡ S {\displaystyle x\in \operatorname {cl} S} 에 대하여, t ( x , S , X ) {\displaystyle t(x,S,X)} 가 x ∈ cl ⁡ T {\displaystyle x\in \operatorname {cl} T} 인 T ⊆ S {\displaystyle T\subseteq S} 의 최소 크기라고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 국소 밀착도(영어: local tightness)는 다음과 같다. t ( x , X ) = sup x ∈ cl ⁡ S ⊆ X t ( x , S , X ) {\displaystyle t(x,X)=\sup _{x\in \operatorname {cl} S\subseteq X}t(x,S,X)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 밀착도(영어: tightness)는 t ( X ) {\displaystyle t(X)} 는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다. t ( X ) = sup x ∈ X t ( x , X ) {\displaystyle t(X)=\sup _{x\in X}t(x,X)} 가산 생성 공간은 t ( X ) ≤ ℵ 0 {\displaystyle t(X)\leq \aleph _{0}} 인 위상 공간이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 이 주어졌을 때, 다음이 성립한다. (ㄱ) c ( X ) ≤ d ( X ) ≤ π ( X ) ≤ w ( X ) ≤ | Open ⁡ ( X ) | ≤ min { 2 | X | , 2 n w ( X ) } {\displaystyle c(X)\leq d(X)\leq \pi (X)\leq w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq \min\{2^{|X|},2^{nw(X)}\}} (ㄴ) max { d ( X ) , L ( X ) } ≤ n w ( X ) ≤ min { | X | , w ( X ) } {\displaystyle \max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}} (ㄷ) max { t ( x , X ) , π χ ( x , X ) } ≤ χ ( x , X ) ( x ∈ X ) {\displaystyle \max\{t(x,X),\pi \chi (x,X)\}\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)} (ㄹ) max { t ( X ) , π χ ( X ) } ≤ χ ( X ) ≤ w ( X ) ≤ | X | χ ( X ) {\displaystyle \max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)\leq w(X)\leq |X|\chi (X)} (ㅁ) π χ ( X ) ≤ π ( X ) ≤ d ( X ) π χ ( X ) {\displaystyle \pi \chi (X)\leq \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)} (ㅂ) t ( X ) ≤ | X | {\displaystyle t(X)\leq |X|} (ㅅ) | RegOpen ⁡ ( X ) | ≤ min { π ( X ) c ( X ) , 2 d ( X ) } {\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \min\{\pi (X)^{c(X)},2^{d(X)}\}} 증명 (ㄱ): c ( X ) ≤ d ( X ) {\displaystyle c(X)\leq d(X)} 의 증명. U ⊆ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (X)} 가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 가 조밀 집합이라고 하자. | U | ≤ | D | {\displaystyle |{\mathcal {U}}|\leq |D|} 임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 에 대하여 x U ∈ U ∩ D {\displaystyle x_{U}\in U\cap D} 를 고를 수 있다. U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 서로소이므로, U ↦ x U {\displaystyle U\mapsto x_{U}} 는 U → D {\displaystyle {\mathcal {U}}\to D} 단사 함수이다. 따라서 | U | ≤ | D | {\displaystyle |{\mathcal {U}}|\leq |D|} 이다. d ( X ) ≤ π ( X ) {\displaystyle d(X)\leq \pi (X)} 의 증명. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 X {\displaystyle X} 의 π-기저라고 하자. | D | ≤ | B | {\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {B}}|} 인 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 를 찾으면 족하다. 임의의 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 에 대하여 x B ∈ B {\displaystyle x_{B}\in B} 를 고르자. 그렇다면, D = { x B : B ∈ B } ⊆ X {\displaystyle D=\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq X} 는 조밀 집합이며, | D | ≤ | B | {\displaystyle |D|\leq |B|} 이다. π ( X ) ≤ w ( X ) {\displaystyle \pi (X)\leq w(X)} 의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다. w ( X ) ≤ | Open ⁡ ( X ) | {\displaystyle w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|} 의 증명. Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 기저를 이루므로 자명하다. | Open ⁡ ( X ) | ≤ 2 | X | {\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|X|}} 의 증명. Open ⁡ ( X ) ≤ P ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\leq {\mathcal {P}}(X)} 이므로 자명하다. | Open ⁡ ( X ) | ≤ 2 n w ( X ) {\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{nw(X)}} 의 증명. N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 이 X {\displaystyle X} 의 망이라고 하자. | Open ⁡ ( X ) | ≤ 2 | N | {\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|{\mathcal {N}}|}} 임을 보이면 족하다. 이는 P ( N ) → Open ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {N}})\to \operatorname {Open} (X)} S ↦ ⋃ S {\displaystyle {\mathcal {S}}\mapsto \bigcup {\mathcal {S}}} 가 전사 함수이므로 자명하다. 증명 (ㄴ): max { d ( X ) , L ( X ) } ≤ n w ( X ) ≤ min { | X | , w ( X ) } {\displaystyle \max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}} d ( X ) ≤ n w ( X ) {\displaystyle d(X)\leq nw(X)} 의 증명. N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 이 X {\displaystyle X} 의 망이라고 하자. | D | ≤ | N | {\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {N}}|} 인 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 를 찾으면 족하다. 임의의 N ∈ N {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}} 에 대하여 x N ∈ N {\displaystyle x_{N}\in {\mathcal {N}}} 을 고르자. 그렇다면, D = { x N : N ∈ N } ⊆ X {\displaystyle D=\{x_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}\subseteq X} 는 조밀 집합이며, | D | ≤ | N | {\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {N}}|} 이다. L ( X ) ≤ n w ( X ) {\displaystyle L(X)\leq nw(X)} 의 증명. N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 이 X {\displaystyle X} 의 망이라고 하자. U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 X {\displaystyle X} 의 열린 덮개라고 하자. | V | ≤ | N | {\displaystyle |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|} 인 부분 덮개 V ⊆ U {\displaystyle {\mathcal {V}}\subseteq {\mathcal {U}}} 를 찾으면 족하다. S = { N ∈ N : ∃ U ∈ U : N ⊆ U } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{N\in {\mathcal {N}}\colon \exists U\in {\mathcal {U}}\colon N\subseteq U\}} 라고 하자. 임의의 N ∈ S {\displaystyle N\in {\mathcal {S}}} 에 대하여 N ⊆ U N {\displaystyle N\subseteq U_{N}} 인 U N ∈ U {\displaystyle U_{N}\in {\mathcal {U}}} 를 고르자. 그렇다면, V = { U N : N ∈ N } {\displaystyle {\mathcal {V}}=\{U_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}} 은 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 부분 덮개이며, | V | ≤ | N | {\displaystyle |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|} 이다. n w ( X ) ≤ | X | {\displaystyle nw(X)\leq |X|} 의 증명. { { x } : x ∈ X } {\displaystyle \{\{x\}\colon x\in X\}} 가 X {\displaystyle X} 의 망이므로 자명하다. n w ( X ) ≤ w ( X ) {\displaystyle nw(X)\leq w(X)} 의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다. 증명 (ㄷ): t ( x , X ) ≤ χ ( x , X ) {\displaystyle t(x,X)\leq \chi (x,X)} 의 증명. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 x {\displaystyle x} 의 국소 기저라고 하자. S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 이며 x ∈ cl ⁡ S {\displaystyle x\in \operatorname {cl} S} 라고 하자. x ∈ cl ⁡ T {\displaystyle x\in \operatorname {cl} T} | T | ≤ | B | {\displaystyle |T|\leq |{\mathcal {B}}|} 인 T ⊆ S {\displaystyle T\subseteq S} 를 찾으면 족하다. 임의의 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 에 대하여, x B ∈ B ∩ S {\displaystyle x_{B}\in B\cap S} 를 고르자. 그렇다면, T = { x B : B ∈ B } ⊆ S {\displaystyle T=\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq S} 는 위 조건들을 만족시킨다. π χ ( x , X ) ≤ χ ( x , X ) {\displaystyle \pi \chi (x,X)\leq \chi (x,X)} 의 증명. x {\displaystyle x} 의 임의의 국소 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 에 대하여, { int ⁡ B : B ∈ B } {\displaystyle \{\operatorname {int} B\colon B\in {\mathcal {B}}\}} 는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 x {\displaystyle x} 의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 증명 (ㄹ): max { t ( X ) , π χ ( X ) } ≤ χ ( X ) {\displaystyle \max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)} 의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다. χ ( X ) ≤ w ( X ) {\displaystyle \chi (X)\leq w(X)} 의 증명. X {\displaystyle X} 의 임의의 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 및 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { B ∈ B : x ∈ B } {\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}} 는 x {\displaystyle x} 의 국소 기저이므로 자명하다. w ( X ) ≤ | X | χ ( X ) {\displaystyle w(X)\leq |X|\chi (X)} 의 증명. 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 국소 기저 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} 가 주어졌을 때, B = { int ⁡ B : B ∈ ⋃ x ∈ X B x } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\operatorname {int} B\colon B\in \bigcup _{x\in X}{\mathcal {B}}_{x}\right\}} 는 X {\displaystyle X} 의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 증명 (ㅁ): π χ ( X ) ≤ π ( X ) {\displaystyle \pi \chi (X)\leq \pi (X)} 의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다. π ( X ) ≤ d ( X ) π χ ( X ) {\displaystyle \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)} 의 증명. 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 국소 π-기저 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} 가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 가 주어졌을 때, B = ⋃ x ∈ D B x {\displaystyle {\mathcal {B}}=\bigcup _{x\in D}{\mathcal {B}}_{x}} 는 X {\displaystyle X} 의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 증명 (ㅂ): 임의의 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여 | S | ≤ | X | {\displaystyle |S|\leq |X|} 이므로 자명하다. 증명 (ㅅ): | RegOpen ⁡ ( X ) | ≤ π ( X ) c ( X ) {\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \pi (X)^{c(X)}} 의 증명. X {\displaystyle X} 의 임의의 π-기저 B ⊆ X {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 크기 c ( X ) {\displaystyle c(X)} 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수 RegClsd ⁡ ( X ) → P ≤ c ( X ) ( B ) {\displaystyle \operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}_{\leq c(X)}({\mathcal {B}})} 를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} 에 대하여, U F ⊆ B {\displaystyle {\mathcal {U}}_{F}\subseteq {\mathcal {B}}} 가 U ⊆ int ⁡ F {\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} F} 인 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 속의 서로소 열린집합 U ∈ B {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}} 들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수 F ↦ U F {\displaystyle F\mapsto {\mathcal {U}}_{F}} 를 생각하자. 자명하게 | U F | ≤ c ( X ) {\displaystyle |{\mathcal {U}}_{F}|\leq c(X)} 이다. 만약 U E = U F {\displaystyle {\mathcal {U}}_{E}={\mathcal {U}}_{F}} 라면, E = cl ⁡ ⋃ U E = cl ⁡ ⋃ U F = F {\displaystyle E=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}_{E}=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}_{F}=F} 이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다. | RegOpen ⁡ ( X ) | ≤ 2 d ( X ) {\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq 2^{d(X)}} 의 증명. 임의의 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 단사 함수 RegClsd ⁡ ( X ) → P ( D ) {\displaystyle \operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}(D)} 를 찾으면 족하다. 함수 F ↦ F ∩ D {\displaystyle F\mapsto F\cap D} 를 생각하자. 만약 E ∩ D = F ∩ D {\displaystyle E\cap D=F\cap D} 라면, E = cl ⁡ U {\displaystyle E=\operatorname {cl} U} F = cl ⁡ V {\displaystyle F=\operatorname {cl} V} 인 열린집합 U , V ⊆ X {\displaystyle U,V\subseteq X} 를 골랐을 때, E = cl ⁡ U = cl ⁡ ( cl ⁡ U ∩ D ) = cl ⁡ ( E ∩ D ) = cl ⁡ ( F ∩ D ) = cl ⁡ ( cl ⁡ V ∩ D ) = cl ⁡ V = F {\displaystyle E=\operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} U\cap D)=\operatorname {cl} (E\cap D)=\operatorname {cl} (F\cap D)=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} V\cap D)=\operatorname {cl} V=F} 이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다. 콜모고로프 공간 X {\displaystyle X} 에서, 다음이 성립한다. (ㄱ) | X | ≤ 2 w ( X ) {\displaystyle |X|\leq 2^{w(X)}} 증명 (ㄱ): X {\displaystyle X} 의 임의의 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. 단사 함수 X → P ( B ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})} 를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수 x ↦ { B ∈ B : x ∈ B } {\displaystyle x\mapsto \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}} 는 단사 함수이다. T1 공간 X {\displaystyle X} 에서, 다음이 성립한다. (ㄱ) ψ w ( X ) ≤ min { | X | , w ( X ) } ≤ | X | ≤ | Open ⁡ ( X ) | {\displaystyle \psi w(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}\leq |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|} (ㄴ) ψ ( x , X ) ≤ χ ( x , X ) ( x ∈ X ) {\displaystyle \psi (x,X)\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)} (ㄷ) ψ ( X ) ≤ min { χ ( X ) , ψ w ( X ) } {\displaystyle \psi (X)\leq \min\{\chi (X),\psi w(X)\}} (ㄹ) | X | ≤ min { 2 ψ w ( X ) , n w ( X ) ψ ( X ) } {\displaystyle |X|\leq \min\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi (X)}\}} (ㅁ) n w ( X ) ≤ ψ w ( X ) L ( X ) {\displaystyle nw(X)\leq \psi w(X)^{L(X)}} 증명 (ㄱ): ψ w ( X ) ≤ | X | {\displaystyle \psi w(X)\leq |X|} 의 증명. T1 조건에 따라 { X ∖ { x } : x ∈ X } {\displaystyle \{X\setminus \{x\}\colon x\in X\}} 가 X {\displaystyle X} 의 유사 기저이므로 자명하다. ψ w ( X ) ≤ w ( X ) {\displaystyle \psi w(X)\leq w(X)} 의 증명. T1 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다. | X | ≤ | Open ⁡ ( X ) | {\displaystyle |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|} 의 증명. T1 조건에 따라 모든 X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 은 X {\displaystyle X} 의 열린집합이므로 자명하다. 증명 (ㄴ): T1 조건에 따라 x {\displaystyle x} 의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다. 증명 (ㄷ): ψ ( X ) ≤ χ ( X ) {\displaystyle \psi (X)\leq \chi (X)} 의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다. ψ ( X ) ≤ ψ w ( X ) {\displaystyle \psi (X)\leq \psi w(X)} 의 증명. X {\displaystyle X} 의 임의의 유사 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 및 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { B ∈ B : x ∈ B } {\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}} 는 x {\displaystyle x} 의 국소 유사 기저이므로 자명하다. 증명 (ㄹ): | X | ≤ 2 ψ w ( X ) {\displaystyle |X|\leq 2^{\psi w(X)}} 의 증명. X {\displaystyle X} 의 임의의 유사 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. 단사 함수 X → P ( B ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})} 를 찾으면 족하다. 함수 x ↦ { B ∈ B : x ∈ B } {\displaystyle x\mapsto {\mathcal {\{}}B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}} 를 생각하자. 만약 { B ∈ B : x ∈ B } = { B ∈ B : y ∈ B } {\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon y\in B\}} 라면, { x } = ⋂ x ∈ B ∈ B B = ⋂ y ∈ B ∈ B B = { y } {\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in B\in {\mathcal {B}}}B=\bigcap _{y\in B\in {\mathcal {B}}}B=\{y\}} 이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다. | X | ≤ n w ( X ) ψ ( X ) {\displaystyle |X|\leq nw(X)^{\psi (X)}} 의 증명. X {\displaystyle X} 의 임의의 망 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 이 주어졌다고 하자. N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 의 크기 ψ ( X ) {\displaystyle \psi (X)} 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수 X ↦ P ≤ ψ ( X ) ( N ) {\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})} 를 찾으면 족하다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, | B x | ≤ ψ ( X ) {\displaystyle |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)} 인 x {\displaystyle x} 의 국소 유사 기저 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} 를 고르자. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 B ∈ B p {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{p}} 에 대하여, x ∈ N x , B ⊆ B {\displaystyle x\in N_{x,B}\subseteq B} 인 N x , B ∈ N {\displaystyle N_{x,B}\in {\mathcal {N}}} 을 고르자. 이제, 함수 x ↦ S x = { N x , B : B ∈ B } ⊆ N {\displaystyle x\mapsto {\mathcal {S}}_{x}=\{N_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq {\mathcal {N}}} 생각하자. ( | S x | ≤ | B x | ≤ ψ ( X ) {\displaystyle |{\mathcal {S}}_{x}|\leq |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)} 이므로 S x ∈ P ≤ ψ ( X ) ( N ) {\displaystyle {\mathcal {S}}_{x}\in {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})} 이다.) 만약 S x = S y {\displaystyle {\mathcal {S}}_{x}={\mathcal {S}}_{y}} 라면, { x } = ⋂ B x = ⋂ S x = ⋂ S y = ⋂ B y = { y } {\displaystyle \{x\}=\bigcap {\mathcal {B}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{y}=\bigcap {\mathcal {B}}_{y}=\{y\}} 이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다. 증명 (ㅁ): X {\displaystyle X} 의 임의의 유사 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 에 대하여, N = { X ∖ ⋃ S : S ⊆ B , | S | ≤ L ( X ) } {\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{X\setminus \bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}},\;|{\mathcal {S}}|\leq L(X)\right\}} 는 X {\displaystyle X} 의 망을 이루며, | N | ≤ | B | L ( X ) {\displaystyle |{\mathcal {N}}|\leq |{\mathcal {B}}|^{L(X)}} 이다. 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에서, 다음이 성립한다. (ㄱ) | X | ≤ min { 2 2 d ( X ) , d ( X ) χ ( X ) } {\displaystyle |X|\leq \min\{2^{2^{d(X)}},d(X)^{\chi (X)}\}} (ㄴ) ψ w ( X ) ≤ min { | RegOpen ⁡ ( X ) | , n w ( X ) } {\displaystyle \psi w(X)\leq \min\{\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|,nw(X)\}} 증명 (ㄱ): | X | ≤ 2 2 d ( X ) {\displaystyle |X|\leq 2^{2^{d(X)}}} 의 증명. 임의의 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 단사 함수 X → P ( P ( D ) ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(D))} 를 찾으면 족하다. 함수 x ↦ { U ∩ D : x ∈ U ∈ Open ⁡ ( X ) } {\displaystyle x\mapsto \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}} 를 생각하자. 만약 { U ∩ D : x ∈ U ∈ Open ⁡ ( X ) } = { U ∩ D : y ∈ U ∈ Open ⁡ ( X ) } {\displaystyle \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}=\{U\cap D\colon y\in U\in \operatorname {Open} (X)\}} 라면, 하우스도르프 조건에 따라 { x } = ⋂ x ∈ U ∈ Open ⁡ ( X ) cl ⁡ U = ⋂ x ∈ U ∈ Open ⁡ ( X ) cl ⁡ ( U ∩ D ) = ⋂ y ∈ U ∈ Open ⁡ ( X ) cl ⁡ ( U ∩ D ) = ⋂ x ∈ U ∈ Open ⁡ ( X ) cl ⁡ U = { y } {\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{y\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\{y\}} 이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 cl ⁡ U = cl ⁡ ( U ∩ D ) {\displaystyle \operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (U\cap D)} 이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다. | X | ≤ d ( X ) χ ( X ) {\displaystyle |X|\leq d(X)^{\chi (X)}} 의 증명. 만약 χ ( X ) < ℵ 0 {\displaystyle \chi (X)<\aleph _{0}} 이라면, X {\displaystyle X} 는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, χ ( X ) ≥ ℵ 0 {\displaystyle \chi (X)\geq \aleph _{0}} 이라고 하자. 임의의 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 단사 함수 X → P ≤ χ ( X ) ( P ≤ χ ( X ) ( D ) ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}({\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}(D))} 를 찾으면 족하다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, | B x | ≤ χ ( X ) {\displaystyle |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \chi (X)} 인 국소 기저 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} 를 고르자. 임의의 B ∈ B x {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{x}} 에 대하여 s x , B ∈ B ∩ D {\displaystyle s_{x,B}\in B\cap D} 를 고르고, S x = { s x , B : B ∈ B x } ⊆ D {\displaystyle S_{x}=\{s_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq D} A x = { B ∩ S x : B ∈ B x } ⊆ P ( S x ) ⊆ P ( D ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}=\{B\cap S_{x}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq {\mathcal {P}}(S_{x})\subseteq {\mathcal {P}}(D)} 라고 하자. 이제, 함수 x ↦ A x {\displaystyle x\mapsto {\mathcal {A}}_{x}} 를 생각하자. 자명하게 | S x | ≤ χ ( X ) {\displaystyle |S_{x}|\leq \chi (X)} | A x | ≤ χ ( X ) {\displaystyle |{\mathcal {A}}_{x}|\leq \chi (X)} 이다. 하우스도르프 조건에 따라 { x } = ⋂ B ∈ B x cl ⁡ B ⊇ ⋂ B ∈ B x cl ⁡ ( B ∩ S x ) ⊇ { x } {\displaystyle \{x\}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} B\supseteq \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} (B\cap S_{x})\supseteq \{x\}} 이다. 따라서, 만약 A x = A y {\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}={\mathcal {A}}_{y}} 라면, { x } = ⋂ B ∈ B x cl ⁡ ( B ∩ S x ) = ⋂ B ∈ B y cl ⁡ ( B ∩ S y ) = { y } {\displaystyle \{x\}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} (B\cap S_{x})=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{y}}\operatorname {cl} (B\cap S_{y})=\{y\}} 이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 증명 (ㄴ): ψ w ( X ) ≤ | RegOpen ⁡ ( X ) | {\displaystyle \psi w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|} 의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. ψ w ( X ) ≤ n w ( X ) {\displaystyle \psi w(X)\leq nw(X)} 의 증명. 만약 n w ( X ) < ℵ 0 {\displaystyle nw(X)<\aleph _{0}} 라면, X {\displaystyle X} 는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, n w ( X ) ≥ ℵ 0 {\displaystyle nw(X)\geq \aleph _{0}} 이라고 하자. X {\displaystyle X} 의 임의의 망 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 이 주어졌다고 하자. | B | ≤ | N | {\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|} 인 유사 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 를 찾으면 족하다. S = { ( M , N ) ∈ N × N : ∃ U , V ∈ Open ⁡ ( X ) : M ⊆ U , N ⊆ V , U ∩ V = ∅ } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(M,N)\in {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}\colon \exists U,V\in \operatorname {Open} (X)\colon M\subseteq U,\;N\subseteq V,\;U\cap V=\varnothing \}} 라고 하자. 임의의 ( M , N ) ∈ S {\displaystyle (M,N)\in {\mathcal {S}}} 에 대하여, M ⊆ U ( M , N ) {\displaystyle M\subseteq U_{(M,N)}} N ⊆ V ( M , N ) {\displaystyle N\subseteq V_{(M,N)}} U ( M , N ) ∩ V ( M , N ) = ∅ {\displaystyle U_{(M,N)}\cap V_{(M,N)}=\varnothing } 인 열린집합 U ( M , N ) , V ( M , N ) ⊆ X {\displaystyle U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X} 를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라, B = { U ( M , N ) : ( M , N ) ∈ S } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{U_{(M,N)}\colon (M,N)\in {\mathcal {S}}\}} 는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게 | B | ≤ | N | 2 = | N | {\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|^{2}=|{\mathcal {N}}|} 이다. 정칙 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에서, 다음이 성립한다. w ( X ) ≤ | RegOpen ⁡ ( X ) | {\displaystyle w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|} 증명 (ㄱ): 정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 콤팩트 T1 공간 X {\displaystyle X} 에서, 다음이 성립한다. (ㄱ) n w ( X ) ≤ ψ w ( X ) {\displaystyle nw(X)\leq \psi w(X)} 증명 (ㄱ): T1 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에서, 다음이 성립한다. ψ ( X ) = χ ( X ) {\displaystyle \psi (X)=\chi (X)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. w ( Y ) ≤ w ( X ) {\displaystyle w(Y)\leq w(X)} n w ( Y ) ≤ n w ( X ) {\displaystyle nw(Y)\leq nw(X)} X {\displaystyle X} 가 T1 공간일 때, ψ w ( Y ) ≤ ψ w ( X ) {\displaystyle \psi w(Y)\leq \psi w(X)} χ ( Y ) ≤ χ ( X ) {\displaystyle \chi (Y)\leq \chi (X)} X {\displaystyle X} 가 T1 공간일 때, ψ ( Y ) ≤ ψ ( X ) {\displaystyle \psi (Y)\leq \psi (X)} t ( Y ) ≤ t ( X ) {\displaystyle t(Y)\leq t(X)} 만약 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다. t ( Y ) ≤ t ( X ) {\displaystyle t(Y)\leq t(X)} Juhász, István (1980). 《Cardinal functions in topology—ten years later》. Mathematical Centre Tracts (영어) 123 2판. Amsterdam: Mathematisch Centrum. ISBN 90-6196-196-3. MR 0576927. Zbl 0479.54001.  “Suslin condition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Cardinal characteristic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.