가우스 합성

이차 형식 이론에서, 가우스 합성(Gauß合成, 영어: Gauss composition)은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 2차 자유 가군 R 2 {\displaystyle R^{2}} 위의 두 이차 형식 Q , Q ′ : R 2 → R {\displaystyle Q,Q'\colon R^{2}\to R} 이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 동치라고 하자. Q ∼ Q ′ ⟺ ∃ M ∈ GL ⁡ ( 2 ; R ) , r ∈ R × = GL ⁡ ( 1 ; R ) : r Q ( M ( − ) ) = Q ′ {\displaystyle Q\sim Q'\iff \exists M\in \operatorname {GL} (2;R),r\in R^{\times }=\operatorname {GL} (1;R)\colon rQ(M(-))=Q'} 이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 R {\displaystyle R} -자유 가군 L {\displaystyle L} 의 값을 갖는 함수 Q : V → L {\displaystyle Q\colon V\to L} 로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은 Q ∈ Sym R 2 ⁡ V ∗ ⊗ R L = L ⊗ R V ∗ ⊗ R V ∗ ( u ⊗ R v − v ⊗ R u ) u , v ∈ V ∗ {\displaystyle Q\in \operatorname {Sym} _{R}^{2}V^{*}\otimes _{R}L=L\otimes _{R}{\frac {V^{*}\otimes _{R}V^{*}}{(u\otimes _{R}v-v\otimes _{R}u)_{u,v\in V^{*}}}}} 이다. 보다 일반적으로, 임의의 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 계수 2의 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -국소 자유 가군층 V {\displaystyle V} 및 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가역 가군층 L {\displaystyle L} 이 주어졌을 때, V {\displaystyle V} 위의 L {\displaystyle L} 값의 이차 형식 Q ∈ Γ ( X ; Sym O X 2 ⁡ ( V ) ⊗ O X L ) {\displaystyle Q\in \Gamma (X;\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L)} 은 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 Sym O X 2 ⁡ ( V ) ⊗ O X L {\displaystyle \operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L} 의 단면이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군 R 2 {\displaystyle R^{2}} 위의 이차 형식 Q : R 2 → R {\displaystyle Q\colon R^{2}\to R} Q ( x , y ) = a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}} 의 판별식은 Disc ⁡ ( Q ) = b 2 − 4 a c {\displaystyle \operatorname {Disc} (Q)=b^{2}-4ac} 이다. 보다 일반적으로, 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의, 2차 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -국소 자유 가군층 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 위의, O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가역층 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 값의 이차 형식 Q ∈ Γ ( Sym O X 2 ⁡ ( M ∗ ) ⊗ O X L ) {\displaystyle Q\in \Gamma (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(M^{*})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}})} 의 판별식 Disc ⁡ ( Q ) {\displaystyle \operatorname {Disc} (Q)} 는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가역층의 대역적 단면을 이룬다. Disc ⁡ ( Q ) ∈ Γ ( X ; ( Sym O X 2 ⁡ ( M ∗ ) ⊗ O X L ) ⊗ 2 ) {\displaystyle \operatorname {Disc} (Q)\in \Gamma \left(X;\left(\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(M^{*})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}\right)^{\otimes 2}\right)} 가환환 R {\displaystyle R} 위의 이차 대수(영어: quadratic algebra) R → A {\displaystyle R\to A} 는 다음과 같은 가환 R {\displaystyle R} -결합 대수이다. 임의의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여 A ⊗ R R p {\displaystyle A\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}} 는 2차 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} -자유 가군이다. (즉, A {\displaystyle A} 는 계수 2의 R {\displaystyle R} -평탄 가군이다.) R {\displaystyle R} 위의 이차 대수 A {\displaystyle A} 위의 가군 M {\displaystyle M} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각합 가능 가군(영어: traceable module)이라고 한다. M {\displaystyle M} 은 R {\displaystyle R} 위의 계수 2의 평탄 가군이다. 임의의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다. tr A / R : A → R {\displaystyle \operatorname {tr} _{A/R}\colon A\to R} tr A / R : a ↦ tr R ⁡ ( a ⋅ : A → A ) {\displaystyle \operatorname {tr} _{A/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{R}(a\cdot \colon A\to A)} tr M / R : A → R {\displaystyle \operatorname {tr} _{M/R}\colon A\to R} tr M / R : a ↦ tr R ⁡ ( a ⋅ : M → M ) {\displaystyle \operatorname {tr} _{M/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{R}(a\cdot \colon M\to M)} 보다 일반적으로, 임의의 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 이차 대수층은 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가환 대수층 가운데 2차 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 대각합 가능 가군층 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} -가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다. O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다. 임의의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 의 단면 a ∈ Γ ( U ; A ) {\displaystyle a\in \Gamma (U;{\mathcal {A}})} 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다. tr A / O X : Γ ( U ; A ) → Γ ( U ; O X ) {\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {A}})\to \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})} tr A / O X : a ↦ tr Γ ( U ; O X ) ⁡ ( a ⋅ : A → A ) {\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}(a\cdot \colon A\to A)} tr M / O X : A → R {\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon A\to R} tr M / O X : a ↦ tr Γ ( U ; O X ) ⁡ ( a ⋅ : M → M ) {\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}(a\cdot \colon M\to M)} 두 A {\displaystyle A} -가군 M , M ′ {\displaystyle M,M'} 이 주어졌을 때, 텐서곱 M ⊗ A M ′ {\displaystyle M\otimes _{A}M'} 을 정의할 수 있으므로, A {\displaystyle A} -가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다. A {\displaystyle A} -가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다. 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 이차 대수층 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 대각합 가능 가군층 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 판별식은 대각합 사상 tr A / O X : A → O X {\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {O}}_{X}} 의 행렬식 Disc ⁡ ( A , M ) = det ( tr A / O X ) ∈ Γ ( X ; ( ⋀ 2 A ) ⊗ ( − 2 ) ) {\displaystyle \operatorname {Disc} ({\mathcal {A}},{\mathcal {M}})=\det \left(\operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\right)\in \Gamma \left(X;\left(\bigwedge ^{2}{\mathcal {A}}\right)^{\otimes (-2)}\right)} 이다. 이는 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가역층 ( ⋀ 2 A ) ⊗ ( − 2 ) {\displaystyle \textstyle \left(\bigwedge ^{2}{\mathcal {A}}\right)^{\otimes (-2)}} 의 대역적 단면이다. 임의의 가환환 R {\displaystyle R} 및 그 위의 2차 자유 가군 V = R 2 {\displaystyle V=R^{2}} 에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다. V {\displaystyle V} 위의 이차 형식들 Q : V → L {\displaystyle Q\colon V\to L} 의 동치류들의 집합 R {\displaystyle R} 위의 이차 대수 A {\displaystyle A} 와 그 위의 대각합 가능 가군 M {\displaystyle M} 들의 동치류들의 집합 구체적으로, ( A , M ) {\displaystyle (A,M)} 이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 R {\displaystyle R} -가군 준동형을 생각하자. ( A / R ) ⊗ R ⋀ 2 ( M ; R ) → Sym 2 ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle (A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)} ( a + R ) ⊗ R ( m ∧ R m ′ ) ↦ ( a m ) ⊗ R m ′ − m ⊗ R ( a m ′ ) {\displaystyle (a+R)\otimes _{R}(m\wedge _{R}m')\mapsto (am)\otimes _{R}m'-m\otimes _{R}(am')} 이는 R {\displaystyle R} -가군 ( ( A / R ) ⊗ R ⋀ 2 ( M ; R ) → Sym 2 ⁡ ( M ; R ) ) ∗ ⊗ R Sym 2 ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle \left((A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{*}\otimes _{R}\operatorname {Sym} ^{2}(M;R)} 의 원소를 정의하며, 이는 M ∗ {\displaystyle M^{*}} 위에 정의된, L = ( ( A / R ) ⊗ R ⋀ 2 ( M ; R ) → Sym 2 ⁡ ( M ; R ) ) ∗ {\displaystyle L=\left((A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{*}} 값의 이차 형식을 이룬다. 또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 원시 이차 형식(영어: primitive quadratic form)인 것은 M {\displaystyle M} 이 A {\displaystyle A} -가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 가우스 합성이라고 한다. Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 이차 형식의 GL ⁡ ( 2 ; Z ) × GL ⁡ ( 1 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {Z} )\times \operatorname {GL} (1;\mathbb {Z} )} -동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다. 2차 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -환 A D {\displaystyle A_{D}} . 이는 그 판별식 D ∈ 4 Z + { 0 , 1 } {\displaystyle D\in 4\mathbb {Z} +\{0,1\}} 으로부터 다음과 같이 결정된다. A D = { Z [ t ] / ( t 2 ) D = 0 Z ⋅ ( 1 , 1 ) + D ( Z 2 ) D ∈ Z ∖ { 0 } Z [ D + D 2 ] D ∉ Z {\displaystyle A_{D}={\begin{cases}\mathbb {Z} [t]/(t^{2})&D=0\\\mathbb {Z} \cdot (1,1)+{\sqrt {D}}(\mathbb {Z} ^{2})&{\sqrt {D}}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {D+{\sqrt {D}}}{2}}\right]&{\sqrt {D}}\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} A {\displaystyle A} -가군 M {\displaystyle M} 가운데 아벨 군으로서 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} 이며, tr A / Z : A → Z {\displaystyle \operatorname {tr} _{A/\mathbb {Z} }\colon A\to \mathbb {Z} } 가 tr M / Z : A → Z {\displaystyle \operatorname {tr} _{M/\mathbb {Z} }\colon A\to \mathbb {Z} } 가 같은 것 (둘째 조건은 M {\displaystyle M} 이 A {\displaystyle A} -아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다). 특히, D ≠ 0 {\displaystyle D\neq 0} 일 때, M {\displaystyle M} 은 항상 A D {\displaystyle A_{D}} 의 아이디얼과 동형이다. 그러나 D = 0 {\displaystyle D=0} 일 경우 일반적으로 M {\displaystyle M} 은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우 A 0 = Z [ t ] / ( t 2 ) {\displaystyle A_{0}=\mathbb {Z} [t]/(t^{2})} 이며 M = Z x ⊕ Z y {\displaystyle M=\mathbb {Z} x\oplus \mathbb {Z} y} , t x = t y = 0 M {\displaystyle tx=ty=0_{M}} 이다. Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 이차 형식의 GL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {Z} )} -동치류를 분류하려면, ( A , M ) {\displaystyle (A,M)} 및 M {\displaystyle M} 의 방향 ϵ ∈ { ± 1 } {\displaystyle \epsilon \in \{\pm 1\}} 을 사용하여야 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 가 정역일 때, R {\displaystyle R} 계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수 A {\displaystyle A} 및 A {\displaystyle A} -가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, M {\displaystyle M} 은 항상 A {\displaystyle A} 의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다. 카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다. 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수 및 스킴 계수의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다. 페르마 두 제곱수 정리 르장드르 기호 Bhargava, Manjul (2007). 〈Higher composition laws and applications〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006. Volume 2》 (영어). 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