초구

기하학에서 초구(超球, 영어: hypersphere)는 2차원 곡면인 구를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다. n {\displaystyle n} 차원 초구 S n {\displaystyle S^{n}} 은 n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다. S n = { x ∈ R n + 1 : ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon \|x\|=1\}} 이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 여길 수 있다. S n ≅ SO ⁡ ( n + 1 ) / SO ⁡ ( n ) ≅ Spin ⁡ ( n + 1 ) / Spin ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong \operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)\cong \operatorname {Spin} (n+1)/\operatorname {Spin} (n)} 반지름이 r {\displaystyle r} 인 n차원 초구의 초부피는 V n = π n 2 n 2 Γ ( n 2 ) r n = C n r n {\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}r^{n}={C_{n}r^{n}}} 이다. 여기서 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 감마 함수이다. n {\displaystyle n} 차원 초구의 겉부피는 S n − 1 = 2 π n 2 Γ ( n 2 ) r n − 1 {\displaystyle S_{n-1}={{2\pi ^{{n} \over {2}}} \over {\Gamma \left({{n} \over {2}}\right)}}r^{n-1}} 이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 π 2 r 4 2 {\displaystyle {\pi ^{2}r^{4}} \over {2}} 이고, 겉부피는 2 π 2 r 3 {\displaystyle {2\pi ^{2}r^{3}}} 이다. 초구의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다. H i ⁡ ( S n ) ≅ { Z i ∈ { 0 , n } 0 i ∉ { 0 , n } {\displaystyle \operatorname {H} _{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}} H i ⁡ ( S n ) ≅ { Z i ∈ { 0 , n } 0 i ∉ { 0 , n } {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}} 드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수 및 부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다. 초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다. 초구 S n {\displaystyle S^{n}} 의 (비축소) 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.:39 KU 0 ⁡ ( S 2 n ) = Z 2 {\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}} KU 1 ⁡ ( S 2 n ) = 0 {\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0} KU 0 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = Z {\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} } KU 1 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = Z {\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} } 초구의 축소 복소수 위상 K군들은 다음과 같다. K U ~ 0 ⁡ ( S 2 n ) = K U ~ 1 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = Z {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} } K U ~ 1 ⁡ ( S 2 n ) = K U ~ 0 ⁡ ( S 2 n + 1 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0} 초구의 축소 실수 위상 K군들은 다음과 같다.:§3.1 K O ~ m ⁡ ( S n ) = { Z n − m ≡ 0 , 4 ( mod 8 ) Z / ( 2 ) n − m ≡ 1 , 2 ( mod 8 ) 0 n − m ≡ 3 , 5 , 6 , 7 ( mod 8 ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}} n {\displaystyle n} 차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 n {\displaystyle n} 차원 세포를 가지는 세포 복합체 구조를 갖는다. 리 군과 미분 동형인 초구는 다음이 전부이다. S 0 ≅ Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\cong \operatorname {Cyc} (2)} (2차 순환군) S 1 ≅ U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\cong \operatorname {U} (1)} (원군) S 3 ≅ SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SU} (2)} (2차 특수 유니터리 군) 증명: 1차원 이하의 경우는 자명하다. 2차원 이상의 초구는 콤팩트 단일 연결 공간이다. 콤팩트 단일 연결 리 군은 단순 리 군들의 직접곱이며, 단순 리 군의 3차 코호몰로지는 항상 자명하지 않다. 따라서 가능한 경우는 3차원 초구 밖에 없다. (이 경우는 SU(2)와 미분 동형이다.) 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자. S n ≅ G / H {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong G/H} 여기서 ≅ {\displaystyle \cong } 은 미분 동형이다. (이를 호모토피 동치로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.) G {\displaystyle G} 는 연결 콤팩트 리 군이다. H {\displaystyle H} 는 G {\displaystyle G} 의 닫힌 부분군이다. G {\displaystyle G} 는 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다. 그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.:Theorem 10 특히, S n = SO ⁡ ( n + 1 ) / SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)} 이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다. 0차원 초구 S 0 {\displaystyle S^{0}} 은 두 점으로 이루어진 이산 공간이다. 1차원 초구는 원 (기하학)이다. 2차원 초구는 일반적인 구다. 3차원 초구는 리 군 SU(2)와 동형이다. 3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다. Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory” (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.  Gukov, Sergei (1999). “K-theory, reality, and orbifolds” (영어). arXiv:hep-th/9901042.  Bletz‐Siebert, Oliver (2005). “Almost transitive actions on spaces with the rational homotopy of sphere products” (PDF). 《Journal of Lie Theory》 (영어) 15: 1–11.  “Sphere”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hypersphere”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Sphere”. 《nLab》 (영어).  “Group actions on spheres”. 《nLab》 (영어).  이철희. “초구(hypersphere)”. 《수학노트》.  이철희. “N차원 구면”. 《수학노트》.  이철희. “N차원 구면의 부피(면적)”. 《수학노트》.