셔플 순열

조합론에서 셔플 순열(영어: shuffle permutation)은 카드의 셔플을 통하여 얻을 수 있는 순열이다. 원순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 의 분할 X = ⨆ i ∈ I X i {\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이 분할에 대한 셔플 순열은 순열(전단사 함수) σ : X → X {\displaystyle \sigma \colon X\to X} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다. ( x ≤ x ′ ⟹ σ ( x ) ≤ σ ( x ′ ) ) ∀ i ∈ I ∀ x , x ′ ∈ X i {\displaystyle \left(x\leq x'\implies \sigma (x)\leq \sigma (x')\right)\qquad \forall i\in I\;\forall x,x'\in X_{i}} 이다. 이러한 셔플 순열의 집합을 Sh ⁡ ( ( X i ∈ I ) i ∈ I ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ((X_{i\in I})_{i\in I})} 라고 한다. 특히, Sh ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (p,q)} 는 전순서 집합 { 1 , 2 , … , p + q } {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,p+q\}} 의 분할 { 1 , 2 , … , p } ⊔ { p + 1 , … , p + q } {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,p\}\sqcup \{p+1,\dotsc ,p+q\}} 대한 셔플 순열이다. 즉, σ ( 1 ) < σ ( 2 ) < ⋯ < σ ( p ) {\displaystyle \sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p)} σ ( p + 1 ) < σ ( p + 2 ) < ⋯ < σ ( p + q ) {\displaystyle \sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (p+q)} 을 만족시키는 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( p + q ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (p+q)} 이다. ( p 1 , p 2 , … , p k ) {\displaystyle (p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{k})} -셔플 순열의 수는 | Sh ⁡ ( p 1 , p 2 , … , p k ) | = ( p 1 + p 2 + ⋯ + p k ) ! p 1 ! p 2 ! ⋯ p k ! {\displaystyle |\operatorname {Sh} (p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{k})|={\frac {(p_{1}+p_{2}+\dotsb +p_{k})!}{p_{1}!p_{2}!\dotsm p_{k}!}}} 이다. 증명: k = 2 {\displaystyle k=2} 일 때, ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -셔플은 처음 p {\displaystyle p} 개의 원소의 위치 σ ( 1 ) , … , σ ( p ) {\displaystyle \sigma (1),\dots ,\sigma (p)} 에 의하여 완전히 결정되므로, ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -셔플의 수는 이항 계수 ( p + q p ) = ( p + q q ) {\displaystyle {\binom {p+q}{p}}={\binom {p+q}{q}}} 이다. k > 2 {\displaystyle k>2} 일 때, ( p 1 , p 2 , … , p k ) {\displaystyle (p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{k})} -셔플 순열은 ( p 1 , … , p k − 1 ) {\displaystyle (p_{1},\dotsc ,p_{k-1})} -셔플 순열과 ( p 1 + ⋯ + p k − 1 , p k ) {\displaystyle (p_{1}+\dotsb +p_{k-1},p_{k})} -셔플 순열로 결정된다. 즉, | Sh ⁡ ( p 1 , … , p k ) | = | Sh ⁡ ( p 1 , … , p k − 1 ) | ⋅ ( p 1 + ⋯ + p k p k ) = | Sh ⁡ ( p 1 , … , p k − 2 ) | ⋅ ( p 1 + ⋯ + p k − 1 p k − 1 ) ⋅ ( p 1 + ⋯ + p k p k ) ⋮ = ∏ i = 1 k ( p 1 + ⋯ + p i p i ) = ( p 1 + ⋯ + p k ) ! p 1 ! ⋯ p k ! {\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {Sh} (p_{1},\dotsc ,p_{k})|&=|\operatorname {Sh} (p_{1},\dotsc ,p_{k-1})|\cdot {\binom {p_{1}+\dotsb +p_{k}}{p_{k}}}\\&=|\operatorname {Sh} (p_{1},\dotsc ,p_{k-2})|\cdot {\binom {p_{1}+\dotsb +p_{k-1}}{p_{k-1}}}\cdot {\binom {p_{1}+\dotsb +p_{k}}{p_{k}}}\\&\;\vdots \\&=\prod _{i=1}^{k}{\binom {p_{1}+\dotsb +p_{i}}{p_{i}}}\\&={\frac {(p_{1}+\dotsb +p_{k})!}{p_{1}!\dotsm p_{k}!}}\end{aligned}}} 이다. 셔플 수열은 위상수학에서 완전 반대칭인 것들을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 미분 형식의 쐐기곱은 셔플 순열들에 대한 합으로 나타낼 수 있다. ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -셔플 순열은 p + q {\displaystyle p+q} 개의 카드를, 처음 p {\displaystyle p} 개의 카드 및 끝의 q {\displaystyle q} 개의 카드로 분리한 다음, 셔플을 하여 얻을 수 있는 순열이기 때문에 이러한 이름이 붙었다. Weisstein, Eric Wolfgang. “Riffle shuffle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “In-shuffle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Out-shuffle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Shuffle”. 《nLab》 (영어).