모듈러 곡선

수론과 대수기하학에서 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다. 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다. 모듈러 군 SL ⁡ ( 2 ; Z ) ≅ Γ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )\cong \Gamma (1)} 의 부분군 G ⊂ Γ ( 1 ) {\displaystyle G\subset \Gamma (1)} 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 N {\displaystyle N} 에 대하여 Γ ( N ) ⊃ G {\displaystyle \Gamma (N)\supset G} 라면, G {\displaystyle G} 를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 N {\displaystyle N} 을 합동 부분군 G {\displaystyle G} 의 준위(영어: level 레벨[*])라고 한다. Γ(1)은 자연스럽게 상반평면 H = { z ∈ C : Im ⁡ z > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}} 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 G {\displaystyle G} 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 G ∖ H {\displaystyle G\setminus \mathbb {H} } 를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 Y ( G ) {\displaystyle Y(G)} 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다. 콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane) H ∗ = H ∪ Q ∪ { i ∞ } {\displaystyle \mathbb {H} ^{*}=\mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}} 을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.:58 X ( G ) = G ∖ H ∗ = Y ( G ) ∪ G ∖ ( Q ∪ { i ∞ } ) {\displaystyle X(G)=G\setminus \mathbb {H} ^{*}=Y(G)\cup G\setminus (\mathbb {Q} \cup \{i\infty \})} 대표적인 합동 부분군 Γ0(N), Γ1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다. 합동 부분군 G {\displaystyle G} 의 타원점 τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } 는 그 점에서의 H {\displaystyle \mathbb {H} } -작용에 대한 안정자군 G τ {\displaystyle G_{\tau }} 가 자명하지 않는 ( ± 1 ⊂ G {\displaystyle \pm 1\subset G} 보다 더 큰) 점이다.:48 이 경우, G τ / { ± 1 } {\displaystyle G_{\tau }/\{\pm 1\}} 의 크기를 타원점 τ {\displaystyle \tau } 의 계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 G {\displaystyle G} 의 모듈러 곡선 Y ( G ) {\displaystyle Y(G)} 위의 한 점으로 간주할 수 있다. 합동 부분군 G {\displaystyle G} 의 첨점(尖點, 영어: cusp)은 : G ∖ ( Q ∪ { i ∞ } ) = X ( G ) − Y ( G ) {\displaystyle G\setminus (\mathbb {Q} \cup \{i\infty \})=X(G)-Y(G)} 의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다. 모듈러 곡선은 소위 준위 구조(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다. 예를 들어, X ( 1 ) {\displaystyle X(1)} 은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. τ ∈ H / PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 는 타원 곡선 C / Λ ( z , τ z ) {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda (z,\tau z)} 과 대응된다. 여기서 Λ = Λ ( ⟨ z , τ z ) {\displaystyle \Lambda =\Lambda (\langle z,\tau z)} 는 0 ≠ z , τ z ∈ C {\displaystyle 0\neq z,\tau z\in \mathbb {C} } 에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, z {\displaystyle z} 는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 z {\displaystyle z} 를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.) X(N)의 경우, 타원곡선 E {\displaystyle E} 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 p , q ∈ E {\displaystyle p,q\in E} 이다.:440 p {\displaystyle p} 와 q {\displaystyle q} 의 차수는 N {\displaystyle N} 의 약수이다. 즉, N p = N q = 0 {\displaystyle Np=Nq=0} 이다. p {\displaystyle p} 와 q {\displaystyle q} 의 베유 쌍(Weil pairing)은 e N ( p , q ) = exp ⁡ ( 2 π i / N ) {\displaystyle e_{N}(p,q)=\exp(2\pi i/N)} 이다. 복소수체의 경우, 두 N {\displaystyle N} 차 점 p = ( a + b τ ) / N {\displaystyle p=(a+b\tau )/N} q = ( c + d τ ) / N {\displaystyle q=(c+d\tau )/N} a , b , c , d ∈ Z / N {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} /N} 의 베유 쌍은 e N ( p , q ) = exp ⁡ ( 2 π i ( a d − b c ) / N ) {\displaystyle e_{N}(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)} 이다. 이에 따라서 { p , q } {\displaystyle \{p,q\}} 는 N차 꼬임 부분군 { z ∈ C : N z ∈ Λ } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon Nz\in \Lambda \}} 의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 τ ∈ Γ ( N ) ∖ H {\displaystyle \tau \in \Gamma (N)\backslash \mathbb {H} } 에 대하여 이는 ( p , q ) = ( 1 / N , τ / N ) ∈ C / Λ ( 1 , τ ) {\displaystyle (p,q)=(1/N,\tau /N)\in \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )} 로 주어진다. X0(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N차 순환 부분군 i : Z / n ↪ C / Λ {\displaystyle i\colon \mathbb {Z} /n\hookrightarrow C/\Lambda } 이다.:440 구체적으로, τ ∈ Γ 0 ( N ) ∖ H {\displaystyle \tau \in \Gamma _{0}(N)\backslash \mathbb {H} } 에 대하여 이는 { 0 , 1 / N , 2 / N , … , ( N − 1 ) / N } ⊂ C / Λ ( 1 , τ ) {\displaystyle \{0,1/N,2/N,\dots ,(N-1)/N\}\subset \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )} 이다. X1(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 N {\displaystyle N} 인 점 (즉, N z ∈ Λ {\displaystyle Nz\in \Lambda } 인 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } )이다.:439 구체적으로, τ ∈ Γ 1 ( N ) ∖ H {\displaystyle \tau \in \Gamma _{1}(N)\backslash \mathbb {H} } 에 대하여 이는 1 / N ∈ C / Λ ( 1 , τ ) {\displaystyle 1/N\in \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )} 이다. 모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 G {\displaystyle G} 의 콤팩트 모듈러 곡선 X ( G ) {\displaystyle X(G)} 의 종수(genus)는 다음과 같다.:68 g ( X ( G ) ) = 1 + | Γ ( 1 ) : G | / 12 − r 2 / 4 − r 3 / 3 − r ∞ / 2 {\displaystyle g(X(G))=1+|\Gamma (1):G|/12-r_{2}/4-r_{3}/3-r_{\infty }/2} 여기서 | Γ ( 1 ) : G | {\displaystyle |\Gamma (1):G|} 는 부분군의 지표다. r 2 {\displaystyle r_{2}} 는 G {\displaystyle G} 의 계수가 2인 타원점들의 수이다. r 3 {\displaystyle r_{3}} 는 계수가 3인 타원점들의 수이다. r ∞ {\displaystyle r_{\infty }} 는 G {\displaystyle G} 의 첨점들의 수이다. 모듈러 군 Γ ( 1 ) ≅ SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \Gamma (1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 X ( 1 ) {\displaystyle X(1)} 은 리만 구 C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} 와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다. j : Γ ( 1 ) ∖ H → C ^ {\displaystyle j\colon \Gamma (1)\backslash \mathbb {H} \to {\hat {\mathbb {C} }}} 이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다. 계수가 2인 타원점 1개 ( i ∈ H {\displaystyle i\in \mathbb {H} } ) 계수가 3인 타원점 1개 ( ( 1 + i 3 ) / 2 ∈ H {\displaystyle (1+i{\sqrt {3}})/2\in \mathbb {H} } ) 첨점 1개 ( i ∞ {\displaystyle i\infty } ) 를 가진다. 따라서 g = 1 + 1 / 12 − 1 / 4 − 1 / 3 − 1 / 2 = 0 {\displaystyle g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0} 이다. 이는 리만 구에 해당한다. Γ(N)의 경우 N > 1 {\displaystyle N>1} 이면 타원점이 없다.:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.:106 | Γ ( 1 ) : Γ ( N ) | = { 1 2 N 3 ∏ p | N ( 1 − 1 / p 2 ) N > 2 6 N = 2 {\displaystyle |\Gamma (1):\Gamma (N)|={\begin{cases}{\frac {1}{2}}N^{3}\prod _{p|N}(1-1/p^{2})&N>2\\6&N=2\end{cases}}} 또한, 이 경우 | Γ ( 1 ) : Γ ( N ) | / N {\displaystyle |\Gamma (1):\Gamma (N)|/N} 개의 첨점이 있다.:106 따라서 이 경우 종수는 g = 1 + | Γ ( 1 ) : Γ ( N ) | ( 1 / 12 − 1 / 2 N ) {\displaystyle g=1+|\Gamma (1):\Gamma (N)|(1/12-1/2N)} 이다. 예를 들어, N = 2 {\displaystyle N=2} 인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는 g = 1 + 6 ( 1 / 12 − 1 / 4 ) = 0 {\displaystyle g=1+6(1/12-1/4)=0} 이다. N이 소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590) g = ( p + 2 ) ( p − 3 ) ( p − 5 ) / 24 {\displaystyle g=(p+2)(p-3)(p-5)/24} 따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다. X(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 j : H / Γ ( 1 ) → C ^ {\displaystyle j\colon \mathbb {H} /\Gamma (1)\to {\hat {\mathbb {C} }}} 에 의해 주어지고, X(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 λ : H / Γ ( 2 ) → C ^ {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {H} /\Gamma (2)\to {\hat {\mathbb {C} }}} 에 의해 주어진다. Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.:57 Γ1(N)의 지표는 | Γ ( 1 ) : Γ 1 ( N ) | = | Γ ( 1 ) : Γ ( N ) | / N {\displaystyle |\Gamma (1):\Gamma _{1}(N)|=|\Gamma (1):\Gamma (N)|/N} 이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.:107 r ∞ = { 2 N = 2 , 3 3 N = 4 1 2 ∑ d | N ϕ ( d ) ϕ ( N / d ) N > 4 {\displaystyle r_{\infty }={\begin{cases}2&N=2,3\\3&N=4\\{\frac {1}{2}}\sum _{d|N}\phi (d)\phi (N/d)&N>4\end{cases}}} ( ϕ {\displaystyle \phi } 는 오일러 피 함수이다.) 따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.:107 여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다. Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다. r 2 = { 0 4 | N ∏ p | N ( 1 + ( − 1 p ) ) 4 ⧸ | N {\displaystyle r_{2}={\begin{cases}0&4|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-1}{p}}))&4\not |N\end{cases}}} r 3 = { 0 9 | N ∏ p | N ( 1 + ( − 3 p ) ) 4 ⧸ | N {\displaystyle r_{3}={\begin{cases}0&9|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-3}{p}}))&4\not |N\end{cases}}} r ∞ = ∑ 0 < k | N ϕ ( ( d , N / d ) ) {\displaystyle r_{\infty }=\sum _{0<k|N}\phi ((d,N/d))} 여기서 ϕ {\displaystyle \phi } 는 오일러 피 함수이고, ( a b ) {\displaystyle ({\tfrac {a}{b}})} 는 르장드르 기호이다. a | b {\displaystyle a|b} 는 a {\displaystyle a} 가 b {\displaystyle b} 의 인수라는 뜻이다. p | b {\displaystyle p|b} 는 p {\displaystyle p} 가 b {\displaystyle b} 의 소인수라는 뜻이다. 이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다. 모듈러성 정리 Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Silverman, Joseph H. (2009). 《The arithmetic of elliptic curves》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 106 2판. Springer. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1194.11005.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Kim, Chang Heon; Ja Kyung Koo (1996년 10월). “On the genus of some modular curves of level N”. 《Bulletin of the Australian Mathematical Society》 (영어) 54 (2): 291–297. doi:10.1017/S0004972700017755.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Panchishkin, A.A. (2001). “Modular curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.