리 초대수 표현

리 초대수 이론에서, 리 초대수의 표현(表現, 영어: representation)은 어떤 리 초대수의 원소들을 초행렬들로 나타내는 것이다.:§§32–40, §60 추상적으로, 이는 리 초대수에서, 어떤 초벡터 공간 위의 선형 초대수로 가는 리 초대수 준동형이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 초벡터 공간 V = V 0 ⊕ V 1 {\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}} 위의 선형 초대수(영어: linear superalgebra) g l ( V ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V;K)} 를 생각하자. 이는 모든 초행렬 M : V → V {\displaystyle M\colon V\to V} 들로 구성되는 리 초대수이다. 그 보손 성분은 g l 0 ( V ; K ) = g l ( V 0 ; K ) ⊕ g l ( V 1 ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{0}(V;K)={\mathfrak {gl}}(V_{0};K)\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)} 이며, 그 페르미온 성분은 g l 1 ( V ; K ) = V 0 ⊗ K V 1 ⊕ V 1 ⊗ K V 0 {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{1}(V;K)=V_{0}\otimes _{K}V_{1}\oplus V_{1}\otimes _{K}V_{0}} 이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 리 초대수 g = g 0 ⊕ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}} 의 표현은 어떤 초벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 선형 초대수로 가는 K {\displaystyle K} -리 초대수 준동형 ρ : g → g l ( V ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} 이다.:§32 즉, 구체적으로 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 리 대수의 표현 ρ 00 : g 0 → g l ( V 0 ; K ) {\displaystyle \rho _{00}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{0};K)} 리 대수의 표현 ρ 11 : g 0 → g l ( V 1 ; K ) {\displaystyle \rho _{11}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)} K {\displaystyle K} -선형 변환 ρ 01 : g 1 → V 0 ⊗ V 1 {\displaystyle \rho _{01}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}} K {\displaystyle K} -선형 변환 ρ 10 : g 1 → V 0 ⊗ V 1 {\displaystyle \rho _{10}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}} 이는 네 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ρ 00 ( { X , Y } ) = ρ 01 ( X ) ρ 10 ( Y ) + ρ 01 ( Y ) ρ 10 ( X ) ( X , Y ∈ g 1 ) {\displaystyle \rho _{00}(\{X,Y\})=\rho _{01}(X)\rho _{10}(Y)+\rho _{01}(Y)\rho _{10}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})} ρ 11 ( { X , Y } ) = ρ 10 ( X ) ρ 01 ( Y ) + ρ 10 ( Y ) ρ 01 ( X ) ( X , Y ∈ g 1 ) {\displaystyle \rho _{11}(\{X,Y\})=\rho _{10}(X)\rho _{01}(Y)+\rho _{10}(Y)\rho _{01}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})} ρ 01 ( [ X , Y ] ) = ρ 00 ( X ) ρ 01 ( Y ) − ρ 01 ( Y ) ρ 11 ( X ) ( X ∈ g 0 , Y ∈ g 1 ) {\displaystyle \rho _{01}([X,Y])=\rho _{00}(X)\rho _{01}(Y)-\rho _{01}(Y)\rho _{11}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})} ρ 10 ( [ X , Y ] ) = ρ 11 ( X ) ρ 10 ( Y ) − ρ 10 ( Y ) ρ 00 ( X ) ( X ∈ g 0 , Y ∈ g 1 ) {\displaystyle \rho _{10}([X,Y])=\rho _{11}(X)\rho _{10}(Y)-\rho _{10}(Y)\rho _{00}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})} ( X , Y ∈ g 0 {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}_{0}} 인 경우는 리 대수의 표현의 정의에 포함된다.) 임의의 리 초대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 및 초벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 값이 0인 상수 함수 g → g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} 는 자명하게 리 초대수의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다. 모든 리 초대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 스스로 위의 표현 ad g : g → g l ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} ad g ⁡ ( X ) = [ X , − } {\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}(X)=[X,-\}} 을 갖는다. 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 딸림표현이라고 한다.:§32 리 초대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에서, 만약 g 1 = { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}=\{0\}} 인 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의, 초벡터 공간 V = V 0 ⊕ V 1 {\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}} 위의 표현은 단순히 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 의 두 개의 ( V 0 {\displaystyle V_{0}} 과 V 1 {\displaystyle V_{1}} 위의) 표현에 불과하다. 등급 가군 리 대수의 표현 Frappat, L.; A. Sciarrino, P. Sorba (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)