꼬임 없는 가군

환론에서 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" r m ≠ 0 {\displaystyle rm\neq 0} 인 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" r − 1 m {\displaystyle r^{-1}m} 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다. 보다 구체적으로, 임의의 환 R {\displaystyle R} 및 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 에서, 임의의 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여 만약 r s = 0 {\displaystyle rs=0} 이라면, 당연히 r ( s M ) = 0 {\displaystyle r(sM)=0} 이다. 따라서, 임의의 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여 r m ≠ 0 {\displaystyle rm\neq 0} 일 필요 조건은 m ∉ s M {\displaystyle m\not \in sM} 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, M {\displaystyle M} 을 꼬임 없는 가군이라고 한다. 마찬가지로, 임의의 환 R {\displaystyle R} 및 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 에서, 임의의 s , r ∈ R {\displaystyle s,r\in R} 에 대하여 s r = 0 {\displaystyle sr=0} 이라고 하자. 그렇다면 s ( r M ) = 0 {\displaystyle s(rM)=0} 이므로, 임의의 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여 r − 1 m {\displaystyle r^{-1}m} 이 존재할 필요 조건은 s m = 0 {\displaystyle sm=0} 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, M {\displaystyle M} 을 나눗셈 가군이라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 나눗셈 왼쪽 가군(영어: divisible left module)이라고 한다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, Ann ⁡ ( R r ) m = 0 {\displaystyle \operatorname {Ann} (_{R}r)m=0} 이라면, m ∈ r M {\displaystyle m\in rM} 이다.:§1:70, Definition 3.16 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, Ext R 1 ⁡ ( R / R r , M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/Rr,M)=0} 이다.:Proposition 1′ 환 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군(영어: torsion-free left module)이라고 한다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, m ∉ Ann ⁡ ( r R ) M {\displaystyle m\not \in \operatorname {Ann} (r_{R})M} 이라면, r m ≠ 0 {\displaystyle rm\neq 0} 이다.:§1:83, §2.8 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, Tor 1 R ⁡ ( R / r R , M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/rR,M)=0} 이다.:Proposition 1 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 자연스러운 군 준동형 r R ⊗ R M → r M {\displaystyle rR\otimes _{R}M\to rM} 은 아벨 군의 동형이다.:83, Proposition 2.8.4 여기서 Ann ⁡ ( R r ) = { s ∈ R : s r = 0 } {\displaystyle \operatorname {Ann} (_{R}r)=\{s\in R\colon sr=0\}} Ann ⁡ ( r R ) = { s ∈ R : r s = 0 } {\displaystyle \operatorname {Ann} (r_{R})=\{s\in R\colon rs=0\}} 는 각각 r {\displaystyle r} 의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며, Ann ⁡ ( r R ) M = { s 1 m 1 + s 2 m 2 + ⋯ + s k m k : k ∈ N , s → ∈ R k , m → ∈ M k } {\displaystyle \operatorname {Ann} (r_{R})M=\{s_{1}m_{1}+s_{2}m_{2}+\cdots +s_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {s}}\in R^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}} 이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다. 모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.:Proposition 2:Corollary 3.17′ 이는 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 R A {\displaystyle _{R}{\mathfrak {A}}} 에 대하여 Ext R 1 ⁡ ( R / A , M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0} 인 것이기 때문이다.:Lemma 4.1.11 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 폰 노이만 정칙환(영어: von Neumann regular ring) 또는 절대 평탄환(영어: absolutely flat ring)이라고 한다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, r = r s r {\displaystyle r=rsr} 인 s ∈ R {\displaystyle s\in R} 가 존재한다. 모든 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.:149, §2 모든 R {\displaystyle R} -오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.:149, §2 모든 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.:149, §2 모든 R {\displaystyle R} -오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.:149, §2 모든 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다. 모든 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다. 모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, R r = R e {\displaystyle Rr=Re} 이자 e 2 = e {\displaystyle e^{2}=e} 인 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 존재한다. 모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, r R r = e R {\displaystyle rRr=eR} 이자 e 2 = e {\displaystyle e^{2}=e} 인 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 존재한다. 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r 1 , r 2 , … , r k ∈ R {\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R} 에 대하여, R r 1 + R r 2 + ⋯ + R r k = R e {\displaystyle Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re} 이자 e 2 = e {\displaystyle e^{2}=e} 인 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 존재한다. 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r 1 , r 2 , … , r k ∈ R {\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R} 에 대하여, R r 1 + R r 2 + ⋯ + R r k = R e {\displaystyle Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re} 이자 e 2 = e {\displaystyle e^{2}=e} 인 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 존재한다. 모든 왼쪽 평탄 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.:Proposition 2:128, Proposition 4.20 이는 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 A R {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{R}} 에 대하여 Tor R 1 ⁡ ( R / A , M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0} 인 것이기 때문이다. 꼬임 없는 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:84, Proposition 2.8.5 평탄 왼쪽 가군이다. 임의의 오른쪽 아이디얼 A R , B R ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R} 에 대하여, A M ∩ B M = ( A ∩ B ) M {\displaystyle {\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M} 이다. 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 A R , B R ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R} 에 대하여, A M ∩ B M = ( A ∩ B ) M {\displaystyle {\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M} 이다. 여기서 A M = { a 1 m 1 + a 2 m 2 + ⋯ + a k m k : k ∈ N , a → ∈ A k , m → ∈ M k } {\displaystyle {\mathfrak {A}}M=\{a_{1}m_{1}+a_{2}m_{2}+\cdots +a_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {a}}\in {\mathfrak {A}}^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}} 이다. Hattori, Akira (1960). “A foundation of torsion theory for modules over general rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 17: 147–158. ISSN 0027-7630. MR 0137745. Zbl 0117.02202.  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Tuganbaev, Askar. 《Rings close to regular》. Mathematics and its Applications (영어) 545. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-94-015-9878-1. ISBN 978-90-481-6116-4.  Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.  Matlis, Eben (1973년 1월). 《Torsion-free modules》 (영어). The University of Chicago Press. ISBN 978-022651074-3. MR 0344237.  “Torsion-free module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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