바이어슈트라스 에타 함수

바이어슈트라스 에타 함수(Weierstrass Eta Function) η {\displaystyle \eta \;} 는 홀함수(odd function)의 성질을 갖는 바이어슈트라스 제타 함수(Weierstrass Eta Function) ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} 와 짝함수(even function)의 성질을 갖는 바이어슈트라스 타원 함수를 연관 시킬때, ℘ ( z + 2 ω 1 ) = ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z+2\omega _{1})=\wp (z)} 로 부터 ζ ( z + 2 ω 1 ) = ζ ( z ) + 2 η 1 {\displaystyle \zeta (z+2\omega _{1})=\zeta (z)+2\eta _{1}} 에서, 보여지는 특수 함수이다. z = − ω 1 {\displaystyle z=-\omega _{1}} 를 예약하면, ζ ( z ) + 2 η 1 = ζ ( − ω 1 ) + 2 η 1 {\displaystyle \zeta (z)+2\eta _{1}=\zeta (-\omega _{1})+2\eta _{1}} ζ ( − ω 1 ) + 2 η 1 = − ζ ( ω 1 ) + 2 η 1 {\displaystyle \zeta (-\omega _{1})+2\eta _{1}=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}} 이고, 그리고, ζ ( z + 2 ω 1 ) = ζ ( z ) + 2 ζ ( ω 1 ) = ζ ( − ω 1 ) + 2 ζ ( ω 1 ) {\displaystyle \zeta (z+2\omega _{1})=\zeta (z)+2\zeta (\omega _{1})=\zeta (-\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})} 따라서, ζ ( − ω 1 ) + 2 ζ ( ω 1 ) = − ζ ( ω 1 ) + 2 η 1 {\displaystyle \zeta (-\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}} − ζ ( ω 1 ) + 2 ζ ( ω 1 ) = − ζ ( ω 1 ) + 2 η 1 {\displaystyle -\zeta (\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}} − ζ ( ω 1 ) + ζ ( ω 1 ) + 2 ζ ( ω 1 ) = 2 η 1 {\displaystyle -\zeta (\omega _{1})+\zeta (\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})=2\eta _{1}} 2 ζ ( ω 1 ) = 2 η 1 {\displaystyle 2\zeta (\omega _{1})=2\eta _{1}} ζ ( ω 1 ) = η 1 {\displaystyle \zeta (\omega _{1})=\eta _{1}} 따라서, η 1 = ζ ( ω 1 ) {\displaystyle \eta _{1}=\zeta (\omega _{1})} 그리고 또한, ζ ( z + 2 ω 2 ) = ζ ( z ) + 2 η 2 {\displaystyle \zeta (z+2\omega _{2})=\zeta (z)+2\eta _{2}} 에서, z = − ω 2 {\displaystyle z=-\omega _{2}} 를 예약하면, ζ ( z ) + 2 η 2 = ζ ( − ω 2 ) + 2 η 2 {\displaystyle \zeta (z)+2\eta _{2}=\zeta (-\omega _{2})+2\eta _{2}} ζ ( − ω 2 ) + 2 η 2 = − ζ ( ω 2 ) + 2 η 2 {\displaystyle \zeta (-\omega _{2})+2\eta _{2}=-\zeta (\omega _{2})+2\eta _{2}} 이고, 그리고, ζ ( z + 2 ω 2 ) = ζ ( z ) + 2 ζ ( ω 2 ) = ζ ( − ω 2 ) + 2 ζ ( ω 2 ) {\displaystyle \zeta (z+2\omega _{2})=\zeta (z)+2\zeta (\omega _{2})=\zeta (-\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})} 따라서, ζ ( − ω 2 ) + 2 ζ ( ω 2 ) = − ζ ( ω 2 ) + 2 η 2 {\displaystyle \zeta (-\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})=-\zeta (\omega _{2})+2\eta _{2}} − ζ ( ω 2 ) + 2 ζ ( ω 2 ) = − ζ ( ω 2 ) + 2 η 2 {\displaystyle -\zeta (\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})=-\zeta (\omega _{2})+2\eta _{2}} − ζ ( ω 2 ) + ζ ( ω 2 ) + 2 ζ ( ω 2 ) = 2 η 2 {\displaystyle -\zeta (\omega _{2})+\zeta (\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})=2\eta _{2}} 2 ζ ( ω 2 ) = 2 η 2 {\displaystyle 2\zeta (\omega _{2})=2\eta _{2}} ζ ( ω 2 ) = η 2 {\displaystyle \zeta (\omega _{2})=\eta _{2}} 따라서, η 2 = ζ ( ω 2 ) {\displaystyle \eta _{2}=\zeta (\omega _{2})} 바이어슈트라스 에타 함수는 데데킨트 에타 함수, 디리클레 에타 함수와 다른 함수이므로 혼동하지 않게 주의해야 한다. 바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수 η 1 ω 2 − η 2 ω 1 = 1 2 π i {\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}={1 \over 2}\pi i\qquad } ω 2 = Γ 3 ( 1 3 ) 4 π {\displaystyle \omega _{2}={{\Gamma ^{3}\left({1 \over 3}\right)} \over {4\pi }}} = 1.529954037.... ( O E I S A 064582 ) Γ ( z ) {\displaystyle \qquad =1.529954037....\qquad (OEISA064582)\qquad \Gamma (z)} 는 감마 함수 ω 1 = 1 2 ω 2 ( 1 + i 3 ) {\displaystyle \omega _{1}={1 \over 2}\omega _{2}\left(1+i{\sqrt {3}}\right)} = ( 1 + i 3 ) Γ 3 ( 1 3 ) 8 π {\displaystyle \qquad ={{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\Gamma ^{3}\left({1 \over 3}\right)} \over {8\pi }}} = 0.764977.... + ( 1.32497903.... ) i {\displaystyle \qquad =0.764977....+(1.32497903....)i} ( O E I S A 094961 , A 094962 ) {\displaystyle \qquad (OEISA094961,A094962)} 바이어슈트라스 시그마 함수 바이어슈트라스 에타 함수 바이어슈트라스 제타 함수 바이어슈트라스 P-함수 바이어슈트라스 타원 함수 아이젠슈타인 열 아이젠슈타인 정수 바이어슈트라스 함수 타원함수 오메가 상수 야코비 세타 함수 http://mathworld.wolfram.com/Omega-2Constant.html