곡선좌표계

기하학에서 곡선 좌표계는 유클리드 공간에 대한 좌표 시스템의 하나로서, 좌표 라인들이 휘어질 수도 있다는 특징을 갖는다. 널리 사용되는 곡선 좌표계들로는, 직각, 구, 및 원통 좌표계들이 있다. 이들 곡선 좌표계에서의 좌표들은 각 점에서의 국소적으로 가역적인(일대일 맵핑이 가능한) 변환을 통해 데카르트 좌표들의 집합으로부터 얻을 수 있다. 즉, 데카르트 좌표계에서 주어진 한 점의 좌표들은 곡선 좌표들로 변환될 수 있고 그 반대로도 변환될 수 있다. (프랑스의 수학자 Lamé가 이름 붙인) 곡선 좌표계는 그것의 좌표 표면들이 휘어져 있다는 사실에서 유래되었다. 3차원 유클리드 공간 (R3)에서의 잘 알려진 곡선 좌표계의 예들로는, 데카르트, 원통, 및 구 극좌표계들이 있다. 이 공간에서, 데카르트 좌표 표면은 좌표 평면(coordinate plane)이다. 예를 들어, z = 0은 x-y 평면을 정의한다. 같은 공간에서, 구 극 좌표계에서, r = 1인 좌표 표면은 (휘어진 모양을 갖는) 단위 구의 표면이다. 곡선 좌표계의 정식화는 표준적인 좌표계들에 대한 통일적이면서 일반적인 설명을 제공한다. 곡선 좌표들은 종종 (예를 들어 스칼라, 벡터, 또는 텐서와 같은) 물리량들의 위치 또는 분포를 정의하는 데 사용된다. (그래디언트, 발산, 회전, 및 라플라시안과 같은) 벡터 계산 및 텐서 해석에서, 이러한 양들과 관련된 수학 표현들은 스칼라, 벡터, 및 텐서에 대한 변환 규칙에 따라, 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환될 수 있다. 그러한 표현들은 어떠한 곡선 좌표계에 대해서도 유효해진다. 문제에 따라서는, 곡선 좌표계를 사용하는 것이 데카르트 좌표계를 사용하는 것보다 간단할 수 있다. 예를 들어, R3에서 정의되는 구 대칭성을 갖는 물리 문제(예 : 중심력 하에서의 입자의 운동)는 대부분 데카르트 좌표계에서보다 구형 극 좌표계에서 더 쉽게 풀린다. (그 경계 조건이 특정 곡선 좌표 시스템의 좌표 표면을 따라 주어지는) 방정식들은 그러한 곡선 좌표 시스템에서 보다 쉽게 풀린다. 예를 들어, 직사각형 상자 안에서의 입자의 운동은 직교 좌표계에서 기술하는 것이 편하고, 구 내부에서의 입자의 운동은 구 좌표계에서 기술하는 것이 선호된다. 구 좌표계는 지구 과학, 지도 제작, 물리학(특히 양자 역학, 상대성 이론), 및 공학과 같은 분야에서 가장 많이 사용되는 곡선 좌표계들 중의 하나이다. 일단은 3차원 공간부터 고려해보자. 3차원 공간에서 한 점 P (또는 그것의 위치 벡터 r)은 데카르트 좌표들 (x, y, z) [또는 (x1, x2, x3)]를 사용하여, 아래와 같이, 정의될 수 있다. r = x e x + y e y + z e z {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}} , 여기서 ex, ey, ez는 표준 기저 벡터들(standard basis vectors)이다. 그 점은 곡선 좌표들(q1, q2, q3)을 통해서도 정의될 수 있을 것이다(만일, 그러한 세개의 숫자들(q1, q2, q3)이 애매함이 없는 방식으로 그 점을 정의하기만 한다면). 좌표들 사이의 이러한 관계는 아래의 가역적 변환 함수들을 통해 표현될 수 있다. x = f 1 ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = f 2 ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = f 3 ( q 1 , q 2 , q 3 ) {\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})} q 1 = g 1 ( x , y , z ) , q 2 = g 2 ( x , y , z ) , q 3 = g 3 ( x , y , z ) {\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)} q1 = constant, q2 = constant, q3 = constant 에 의해 주어지는 표면들은 좌표 표면들이라 불리고, 짝지워진 좌표 표면들의 교차에 의해 형성되는 공간에서의 곡선들은 좌표 곡선들이라 불린다. 좌표 축들은 세 곡면들의 교점에서, 좌표 곡선들에 대한 접선들에 의해 결정된다. 좌표 축들의 방향들은 간단한 데카르트 좌표계에서는 고정되지만, 일반적으로는, 고정되지 않다. 즉, 곡선 좌표들을 위한 자연스러운 전역적 기저는 일반적으로 없다. 데카르트 좌표계에서, 표준 기저 벡터들은 다음과 같이, 국소 좌표에 대한 점 P 의 위치의 미분들을 통해 얻어질 수 있다. e x = ∂ r ∂ x ; e y = ∂ r ∂ y ; e z = ∂ r ∂ z . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.} 점 P에서 곡선 좌표계에 대해 동일한 미분을 적용하면, 다음과 같이, 자연 기저 벡터들(natural basis vectors)을 정의할 수 있다: h 1 = ∂ r ∂ q 1 ; h 2 = ∂ r ∂ q 2 ; h 3 = ∂ r ∂ q 3 . {\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}.} (벡터들의 크기와 방향이 공간 상의 점마다 달라지지는) 이러한 기저는 국소 기저라고 불린다. 곡선 좌표계들과 연관된 모든 기저들은 필연적으로, 국소적이다. (모든 점들에서 동일한) 기저 벡터들은 전역 기저들이며, 단지 선형 또는 어핀 좌표계들(linear or affine coordinate systems)과 관련된다. 주의: 이 문서에서, e는 표준 기저(데카르트 좌표계)에 대해 사용되고, h 또는 b는 곡선 기저들에 대해 사용된다. (미분을 통해 정의된) 이들 기저 벡터들은 단위 길이를 갖지 않을 수 있으며, 더 나아가 직교하지 않을 수도 있다. 이들 기저 벡터들이 (미분들이 잘 정의되는) 모든 점들에서 직교할 경우, 다음과 같이, (가브리엘 라미(Gabriel Lamé)의 이름을 딴) 라미 계수들을 정의할 수 있으며, h 1 = | h 1 | ; h 2 = | h 2 | ; h 3 = | h 3 | {\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|} 또한, 다음과 같이, 곡선 직교정규 기저 벡터들(curvilinear orthonormal basis vectors)을 정의할 수 있다: b 1 = h 1 h 1 ; b 2 = h 2 h 2 ; b 3 = h 3 h 3 . {\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.} 이러한 기저 벡터들은 P 의 위치에 의존하며, 따라서, 이들이 (점이 아니라) 어떤 영역에서 상수인 것으로 가정되지는 않는다는 것을 유념해야 한다. (기술적으로 말해, 이들은 P에서 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 의 탄젠트 번들을 위한 기저를 형성하며, 그래서 P에 대해 국소적이다) 일반적으로, 곡선 좌표계들은 자연 기저 벡터들 hi 이 상호 간에 서로 수직하지 않은 것도 허용하며, 그들이 단위 길이일 것을 요구하지도 않는다. 즉, 이들은 임의의 길이와 방향을 가질 수도 있다. 직교하는 기저가 사용될 경우, 비직교 기저가 사용되는 경우에 비해, 벡터들은 더 단순하게 다뤄질 수 있다. 하지만, 물리학 및 공학의 일부 분야들(특히, 유체 역학 및 연속체 역학)에서는, 변형 및 유체 이동을 기술하기 위해, 물리량들의 복잡한 방향 의존성들을 설명 설명하기 위해, 비직교 기저들이 요구되기도 한다. 직교하는 곡선 좌표계에서, r에 있어서의 전체 미분 변화는 아래와 같고, d r = ∂ r ∂ q 1 d q 1 + ∂ r ∂ q 2 d q 2 + ∂ r ∂ q 3 d q 3 = h 1 d q 1 b 1 + h 2 d q 2 b 2 + h 3 d q 3 b 3 {\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}} 여기서, h i = | ∂ r ∂ q i | {\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|} 는 스케일 인수들이다. 비직교 좌표계에서, d r = d q 1 h 1 + d q 2 h 2 + d q 3 h 3 {\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}} 의 길이는 d r ⋅ d r = d q i d q j h i ⋅ h j {\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}} (아인슈타인 표기법을 사용하여 단순화)의 양수 제곱근이다. 자연 기저 벡터들의 여섯개의 독립된 스칼라 곱들 gij=hi.hj은 직교 좌표계를 위해 위에서 정의된, 세개의 스케일 인수들(라미 계수들)을 일반화시킨다. 아홉개의 gij는 메트릭 텐서의 성분들이다. 직교 좌표계에서, 이러한 메트릭 텐서는 단지 세개의 영이 아닌 성분들(g11=h1h1, g22=h2h2, g33=h3h3)을 갖는다. 공간 그래디언트, 거리, 시간 미분, 및 스케일 인수들은 기저 벡터들의 두 그룹들에 의해, 하나의 좌표계 내에서 상호 연관된다: 연관된 좌표 경로 라인에 대해 국소적으로 접하는 기저 벡터들: b i = ∂ r ∂ q i {\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}} 은 (아래 첨자들을 통해 표기되는) 공변 벡터들처럼 변환한다. 또는, 다른 좌표들에 의해 만들어진 등위면(isosurface)에 국소적으로 수직한 기저 벡터들: b i = ∇ q i {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}} 은 (위 첨자에 의해 표기되는) 반변 벡터처럼 변환한다. 여기서, ∇는 델 연산자이다. 결과적으로, 일반적인 곡선 좌표계는, 모든 점들에 대해, 두 종류의 기저 벡터들의 세트들을 갖는다: {b1, b2, b3}는 공변 기저이고, {b1, b2, b3}는 반변(또는 레시프로칼) 기저이다. 직교하는 곡선 좌표계에서, 공변 및 반변 기저 벡터들은 동일한 방향을 갖지만, 일반적으로, 서로에 대해 역수의 단위들을 갖는다. 아래의 중요한 등식을 주목할 것. b i ⋅ b j = δ j i {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\delta _{j}^{i}} 여기서, δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}} 은 일반화된 크로넥커 델타를 나타낸다. 벡터 v는 공변 및 반변 기저들 중의 어느 것을 통해서도 명기될 수 있다. 즉, v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 {\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}} (아인슈타인 표기법이 사용하면) 기저 벡터들은 아래의 식들을 통해 그 성분들과 관련된다.(pp. 30–32) v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = v k δ k i = v i {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}} v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = v k δ i k = v i {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}} 그리고 v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = g k i v k {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}} v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = g k i v k {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}} 여기서, g는 메트릭 텐서이다 (아래 참조). 벡터는 (아래 첨자, vk로 쓰여지는) 공변 좌표들을 사용하여 또는 (위 첨자, vk로 쓰여지는) 반변 좌표들을 사용하여 명기될 수 있다. 위 벡터 합들로부터, 반변 좌표들은 공변 기저 벡터들과 연관지어지고, 공변 좌표들은 반변 기저 벡터들과 연관지어지는 것을 알 수 있다. 공변하는 방식(또는 반변하는 방식)으로 변환하는 벡터 성분들은 반변하는 방식(또는 공변하는 방식)으로 변환하는 기저 벡터들과 쌍을 이루며, 이런 점에서, 인덱스된 성분들 및 기저 벡터들을 통한 벡터 및 텐서의 표현의 주요 특징은 불변성이다. 도 3에 도시된 1차원 곡선을 고려하자. 원점으로 선택된, 점 P 에서, x는 데카르트 좌표들 중의 하나이고, q1 은 곡선 좌표들 중의 하나이다. (단위 크기를 갖지 않는) 국소 기저 벡터는 b1 (단위 벡터들에 대해서는 b가 사용된, 위 설명에서는 h1으로 표시되었음)이고, 이는 점 P에서 좌표 라인에 접하는 q1 축 상에 만들어진다. 이러한 q1 축과 벡터 b1은 데카르트 좌표계의 x 축 및 데카르트 기저 벡터 e1에 대해 α {\displaystyle \alpha } 의 각도를 형성한다. 삼각형 PAB 로부터, 아래를 알 수 있다. cos ⁡ α = | e 1 | | b 1 | ⇒ | e 1 | = | b 1 | cos ⁡ α {\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha } 여기서, |e1|, |b1| 은 두 기저 벡터들의 크기들(즉, 변의 스칼라 길이들 PB 및 PA)이다. PA는 또한 x 축에 대한 b1의 투영된 길이에 해당한다. 하지만, 방향 코사인을 사용하여 기저 벡터를 변환하는, 이 방법은 아래의 이유들 때문에, 곡선 좌표계들에는 적용될 수 없다: P 로부터의 거리가 증가함에 따라, 곡선 q1 과 데카르트 축 x 사이의 각도와 앞서의 각도 α {\displaystyle \alpha } 사이의 편차가 점차 증가한다. 거리 PB 에서, 실제 각도는 점 C에서의 접선이 x 축과 이루는 것으로, 이 각도는 α {\displaystyle \alpha } 와는 명백히 다르다. 점 P로 다가갈수록, q1 라인 및 그 축이 x축과 이루는 각도들은 값에 있어서는 가까워지고, 특히, P에서는 정확하게 같아진다. 점 E 는, 거리 PE가 극한적으로 작아지도록(infinitesimally small), P에 아주 가깝게 위치한다고 하자. 그러면, q1 축 상에서 측정된 PE는 q1 라인 상에서 측정된 PE와 거의 일치한다. 동시에, 비율 PD/PE (PD는 x축에 대한 PE 의 투영 길이)는 cos ⁡ α {\displaystyle \cos \alpha } 와 거의 같아진다. 이러한 극한적으로 작은 길이들 PD 및 PE를 각각 dx 및 dq1로 표기하기로 하자. 그러면, cos ⁡ α = d x d q 1 = | e 1 | | b 1 | {\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}} . 따라서, 변환들에서, 방향 코사인은 극한적으로 작은 좌표 길이들 사이의 보다 정확한 비율들로 대체될 수 있다. 이에 따라, x 축에 대한 b1의 성분(즉, 투영 길이)는 아래와 같다: p 1 = b 1 ⋅ e 1 | e 1 | = | b 1 | | e 1 | | e 1 | cos ⁡ α = | b 1 | d x d q 1 ⇒ p 1 | b 1 | = d x d q 1 {\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}} . 만일, qi = qi(x1, x2, x3) 과 xi = xi(q1, q2, q3) 이 매끄러운(즉, 연속적으로 미분가능한) 함수들이라면, 변환 비율들은 ∂ q i ∂ x j {\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}} 및 ∂ x i ∂ q j {\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}} 로서 쓰여질 수 있다. 즉, 그러한 비율들은 다른 좌표계에 속한 좌표들에 대한, 한 좌표계에 속한 좌표들의 편미분들이다. 다른 2개의 차원들에서의 좌표들에 대해 같은 과정을 수행함으로써, b1 은 아래와 같이 표현될 수 있다: b 1 = p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 = ∂ x 1 ∂ q 1 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 1 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 1 e 3 {\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}} 유사한 식들이 b2 및 b3에 대해서도 얻어질 수 있다. 그래서, 표준 기저 {e1, e2, e3}는, 아래의 식들을 통해, 국소 (순서화된 그리고 정규화된) 기저 {b1, b2, b3}로 변환된다. b 1 = ∂ x 1 ∂ q 1 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 1 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 1 e 3 b 2 = ∂ x 1 ∂ q 2 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 2 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 2 e 3 b 3 = ∂ x 1 ∂ q 3 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 3 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 3 e 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}} 유사한 논거를 통해, 국소 기저로부터 표준 기저로의 역 변환도 얻을 수 있다: e 1 = ∂ q 1 ∂ x 1 b 1 + ∂ q 2 ∂ x 1 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 1 b 3 e 2 = ∂ q 1 ∂ x 2 b 1 + ∂ q 2 ∂ x 2 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 2 b 3 e 3 = ∂ q 1 ∂ x 3 b 1 + ∂ q 2 ∂ x 3 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 3 b 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}} 선형 방정식들의 위 시스템은 아인슈타인 표기법을 사용하여, 다음과 같이 행렬 형태로 쓰여질 수 있다: ∂ x i ∂ q k e i = b k , ∂ q i ∂ x k b i = e k {\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}} . 위 선형 시스템의 계수 행렬이 변환의 야코비안 행렬(및 그 역행렬)이다. 이들은 데카르트 기저를 곡선 기저로 변환하기 위해 또는 그 반대의 과정을 위해 사용되는 방정식들이다. 3차원에서, 이들 형렬들의 확장된 형태들은 다음과 같다. J = [ ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 3 ∂ x 2 ∂ q 1 ∂ x 2 ∂ q 2 ∂ x 2 ∂ q 3 ∂ x 3 ∂ q 1 ∂ x 3 ∂ q 2 ∂ x 3 ∂ q 3 ] , J − 1 = [ ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 2 ∂ q 1 ∂ x 3 ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 2 ∂ q 2 ∂ x 3 ∂ q 3 ∂ x 1 ∂ q 3 ∂ x 2 ∂ q 3 ∂ x 3 ] {\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}} 역 변환(두번째 방정식 시스템)에서, 미지수들은 곡선 기저 벡터들이다. 특정한 위치에 대해서는, 단지 하나의 기저 벡터들의 세트 만이 존재할 수 있으며, 그렇지 않은 경우, 그 기저는 그 점에서 잘 정의된 것이 아니다. 이러한 조건은 상기 방정식 시스템이 단일 해를 갖는 경우 더 나아가 오직 그러한 경우에만, 충족된다. 선형 대수학에 따르면, 선형 방정식 시스템은 그 시스템의 행렬의 행렬식이 0이 아닐 경우에만, (무의미하지 않은; non-trivial) 단일 해를 갖는다: det ( J − 1 ) ≠ 0 {\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0} 위 식은 역-야코비안 행렬식과 관련된 위 요구 사항에 대한 근거를 보여준다. 위 정식화는 아래와 같이 임의의 유한 차원으로 확장될 수 있다. 벡터 공간인, 실수 유클리드 n차원 공간(즉, Rn = R × R × ... × R(n 번))를 고려하자. 여기서, R은 실수들의 집합이고, ×는 데카르트 곱(카르테시언 곱)(Cartesian product)을 나타낸다. 이 공간의 좌표들은 x = (x1, x2,...,xn)로 표기된다. 이것은 벡터(벡터 공간의 한 원소)이기 때문에, 다음과 같이 쓰여질 수 있다: x = ∑ i = 1 n x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}} 여기서, e1 = (1,0,0...,0), e2 = (0,1,0...,0), e3 = (0,0,1...,0),...,en = (0,0,0...,1)는 Rn 공간의 벡터들의 표준 기저 세트이고, i = 1, 2,...n는 인덱스-라벨링 성분들이다. 각 벡터는 각 차원(또는 "축")에서 정확하게 하나의 성분을 갖고, 이들은 서로 직교(수직)하며 정규화된다(즉, 단위 크기를 갖는다). 보다 일반적으로, 우리는, q = (q1, q2,...,qn)에 의존하는, 기저 벡터들 bi 을 정의할 수 있다. 즉, 이들은 점마다 달라진다: bi = bi(q). 이러한 대안적 기저를 통해 동일한 점 x를 정의하는 경우에, 이 기저에 대한 좌표들 vi 은 필연적으로 x 에도 의존한다: 즉, vi = vi(x). 그러면, 이러한 대안적 좌표들과 기저 벡터들에 대한, 이 공간에서의 벡터 v는 (각 기저 벡터 ei 와 숫자(스칼라 곱셈) vi를 곱함을 의미하는) 이러한 기저에서의 선형 조합으로서 확장될 수 있다: v = ∑ j = 1 n v ¯ j b j = ∑ j = 1 n v ¯ j ( q ) b j ( q ) {\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )} 새로운 기저에서 v를 기술하는 벡터 합은 비록, 그 합 자체는 동일하게 유지되더라도, 다른 벡터들로 구성된다. 보다 일반적이면서 추상적인 관점에 따르면, 곡선 좌표계는, 미분가능한 다양체 En (n차원의 유클리드 공간) 상의 데카르트 좌표 조각(coordinate patch)에 대해 미분동형적인, 다양체 En 상의 한 좌표 조각일 뿐이다. 미분 다양체 상의 두 미분동형적 좌표 조각들은 미분가능하게 중첩될 필요는 없다. 하나의 곡선 좌표계에 대한 이러한 단순한 정의에도 불구하고, 아래의 모든 결과들은 단순히, 미분 위상 기하학에서의 표준적인 정리들의 응용들이다. 변환 함수들은 "오래된" 및 "새로운" 좌표계들에서의 점들 사이에 일대일 관계가 존재하도록 구성된다. 즉, 그러한 함수들은 전단사 함수들로서 그들의 정의역 내에서 아래의 요구 사항들을 충족시킨다. 이들은 매끄러운 함수들이다: qi = qi(x) 역 야코비안 행렬식은 영이 아니며, J − 1 = | ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 1 ∂ x n ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ q n ∂ x 1 ∂ q n ∂ x 2 ⋯ ∂ q n ∂ x n | ≠ 0 {\displaystyle J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0} 이는 그러한 변환이 가역적(xi(q))임을 의미한다. 역함수 정리에 따르면, 야코비안 행렬식이 0이 아니라는 조건은 다른 패밀리들로부터의 세 표면들이 하나 단지 하나의 점에서 교차하고, 따라서 이 점의 위치는 일의적인 방식으로 결정할 수 있음을 나타낸다. 곡선 좌표계에서의 기초적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 오래된 과학 문헌들에서 사용되며, 1900년대 초반 및 중반부터의 작업(Green과 Zerna의 교과서)을 이해하는데 있어 필수적일 수 있다. 곡선 좌표계에서의 벡터들 및 2차 텐서들(second-order tensors)의 대수에 관한 몇몇 유용한 관계들이 이 절에서 논의된다. 표기법 및 내용은 주로 Ogden, Naghdi, Simmonds, Green and Zerna, Basar 및 Weichert, 및 Ciarlet에 기초한다. 2차 텐서는 아래와 같이 표현될 수 있다: S = S i j b i ⊗ b j = S i j b i ⊗ b j = S i j b i ⊗ b j = S i j b i ⊗ b j {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}} (아인슈타인 표기법 사용) 여기서 ⊗ {\displaystyle \scriptstyle \otimes } 는 텐서 곱을 나타낸다. 성분들 Sij 은 상기 2차 텐서의 반변 성분들이라 불리고, Si j 은 혼합된 우-공변 성분들이라 불리고, Si j 은 혼합된 좌-공변 성분들이라 불리고, Sij 은 공변 성분들이라 불린다. 2차 텐서의 성분들은 아래의 식에 의해 관련지어진다. S i j = g i k S k j = g j k S i k = g i k g j ℓ S k ℓ {\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }} 각 점에서, 우리는 작은 선 요소 dx를 구성할 수 있다. 이러한 선 요소의 길이의 제곱은 아래의 스칼라 곱 dx • dx이며 그 공간의 메트릭으로 불린다. d x ⋅ d x = ∂ x i ∂ q j ∂ x i ∂ q k d q j d q k {\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}} . 아래에 주어진, 위 식의 부분 ∂ x k ∂ q i ∂ x k ∂ q j = g i j ( q i , q j ) = b i ⋅ b j {\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}} 은 곡선 좌표계에서 유클리드 공간의 근본(또는 메트릭) 텐서로 불리는, 대칭 텐서이다. 인덱스들은 위 메트릭을 이용하여 올려지거나 내려질 수 있다. v i = g i k v k {\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}} 스케일 인수들 hi 을 아래와 같이 정의하면, h i h j = g i j = b i ⋅ b j ⇒ h i = g i i = | b i | = | ∂ x ∂ q i | {\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|} 메트릭 텐서와 라미 계수들 사이의 관계를 얻을 수 있다. 또한, g i j = ∂ x ∂ q i ⋅ ∂ x ∂ q j = ( h k i e k ) ⋅ ( h m j e m ) = h k i h k j {\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}} 여기서, hij는 라미 계수들이다. 이에 더하여, 직교 기저의 경우, 아래의 식을 얻을 수 있다. g = g 11 g 22 g 33 = h 1 2 h 2 2 h 3 2 ⇒ g = h 1 h 2 h 3 = J {\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J} 만일 R2에서 극 좌표들이 고려된다면, 다음과 같다. ( x , y ) = ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) {\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )} 여기서, (r, θ)는 곡선 좌표들이고, 변환 (r,θ) → (r cos θ, r sin θ)의 야코비안 행렬식은 r이다. 직교하는 기저 벡터들은 br = (cos θ, sin θ), bθ = (−sin θ, cos θ)이다. 스케일 인수들은 hr = 1 및 hθ= r이다. 메트릭 텐서는 g11 =1, g22 =r2, g12 = g21 =0이다. 직교정규 오른손잡이 기저에서, 3차 얼터네이팅 텐서는 다음과 같이 정의된다: E = ε i j k e i ⊗ e j ⊗ e k {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}} . 일반적인 곡선 기저에서, 동일한 텐서는 다음과 같이 표현된다: E = E i j k b i ⊗ b j ⊗ b k = E i j k b i ⊗ b j ⊗ b k {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}} 이에 더하여, 아래의 관계가 보여질 수 있다. E i j k = 1 J ε i j k = 1 + g ε i j k {\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}} 제 1 종의 크리스토펠 기호 b i , j = ∂ b i ∂ q j = Γ i j k b k ⇒ b i , j ⋅ b k = Γ i j k {\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\Gamma _{ijk}\mathbf {b} ^{k}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}=\Gamma _{ijk}} 여기서, 콤마는 편미분을 나타낸다(리찌 계산(Ricci calculus) 참조). gij를 통해 Γijk를 표현하기 위해, 다음을 주목하자. g i j , k = ( b i ⋅ b j ) , k = b i , k ⋅ b j + b i ⋅ b j , k = Γ i k j + Γ j k i g i k , j = ( b i ⋅ b k ) , j = b i , j ⋅ b k + b i ⋅ b k , j = Γ i j k + Γ k j i g j k , i = ( b j ⋅ b k ) , i = b j , i ⋅ b k + b j ⋅ b k , i = Γ j i k + Γ k i j {\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{ikj}+\Gamma _{jki}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{ijk}+\Gamma _{kji}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{kij}\end{aligned}}} 여기서, b i , j = b j , i ⇒ Γ i j k = Γ j i k {\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{ijk}=\Gamma _{jik}} 이기 때문에, 이를 사용하여 위에서의 관계들을 재배열하면, 아래의 식을 얻을 수 있다. Γ i j k = 1 2 ( g i k , j + g j k , i − g i j , k ) = 1 2 [ ( b i ⋅ b k ) , j + ( b j ⋅ b k ) , i − ( b i ⋅ b j ) , k ] {\displaystyle \Gamma _{ijk}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]} 제 2 종의 크리스토펠 기호 Γ i j k = Γ j i k , ∂ b i ∂ q j = Γ i j k b k {\displaystyle \Gamma _{ij}{}^{k}=\Gamma _{ji}{}^{k},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\Gamma _{ij}{}^{k}\mathbf {b} _{k}} 이는 다음을 함축한다. Γ i j k = ∂ b i ∂ q j ⋅ b k = − b i ⋅ ∂ b k ∂ q j {\displaystyle \Gamma _{ij}{}^{k}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}} 이어지는, 다른 관계들로는 아래의 것들이 있다. ∂ b i ∂ q j = − Γ i j k b k , ∇ b i = Γ i j k b k ⊗ b j , ∇ b i = − Γ j k i b k ⊗ b j {\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma _{ij}{}^{k}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma _{jk}{}^{i}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}} 내적: 곡선 좌표계에서 두 벡터들의 내적은(p. 32) u ⋅ v = u i v i = u i v i = g i j u i v j = g i j u i v j {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}} 외적: 두 벡터의 외적은 다음과 같이 주어진다:(pp. 32–34) u × v = ϵ i j k u j v k e i {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}} 여기서 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} 은 퍼뮤테이션 기호이고, e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} 은 테카르트 기저 벡터이다. 곡선 좌표계에서, 동등한 표현은 아래와 같다: u × v = [ ( b m × b n ) ⋅ b s ] u m v n b s = E s m n u m v n b s {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}} 여기서 E i j k {\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}} 은 3차 얼터네이팅 텐서이다. 선, 면, 및 부피 적분을 계산에 있어서, 약간의 수정이 가해질 필요가 있다. 단순함을 위해, 아래의 논의는 3차원 및 직교하는 곡선 좌표계들로 제한한다. 하지만, 동일한 논거는 n차원의 공간들에 대해서도 적용될 수 있다. 좌표계가 직교하지 않을 경우, 표현들에는 몇몇 부가적인 항들이 나타난다. Simmonds은 그의 책 "tensor analysis"에서, 다음과 같은 아인슈타인의 말을 인용하였다. "이 이론의 마법은 이 이론을 진정으로 이해하고 있는 사람은 그 누구라도, 이 이론에 강요될 수 밖에 없다는 점에 있다. 그것은 가우스, 리만, 리찌, 및 레비치비타에 의해 발견된, 철저한 미분 기하학의 방법이 일궈낸 진정한 승리를 나타낸다." 일반적인 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산은 일반 상대론에서의 4차원 곡면 다양체 상의 텐서 해석에, 휘어진 껍질들에서의 역학에, 메타물질에 대한 관심에서 맥스웰 방정식들의 불변성을 조사하는데에, 그리고 많은 다른 분야들에서 사용된다. 곡선 좌표계에서의 벡터들 및 2차 텐서들을 계산함에 있어서, 몇몇 유용한 관계들이 이 절에서 제시된다. 표기법 및 내용들은 주로 Ogden, Simmonds, Green 및 Zerna, Basar 및 Weichert, 및 Ciarlet에 기초한다. φ = φ(x)는 잘-정의된 스칼라 장이고, v = v(x)는 잘-정의된 벡터 장이고, λ1, λ2...는 좌표들의 파라미터들이라고 하자. 탄젠트 벡터: x(λ)가 데카르트 좌표계에서 곡선 C를 매개변수로서 표현하는 것이라면, ∂ x ∂ λ = ∂ x ∂ q i ∂ q i ∂ λ = ( h k i ∂ q i ∂ λ ) b k {\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}} 은 (체인 룰을 사용하면) 곡선 좌표계에서 C에 대한 접선 벡터이다. 라미 계수에 대한 정의 및 i ≠ j일 때의 메트릭 gij = 0를 사용하면, 그 크기는 아래와 같다: | ∂ x ∂ λ | = h k i h k j ∂ q i ∂ λ ∂ q j ∂ λ = g i j ∂ q i ∂ λ ∂ q j ∂ λ = h i 2 ( ∂ q i ∂ λ ) 2 {\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}} 탄젠트 평면 요소: x(λ1, λ2)가 데카르트 좌표계에서 표면 S를 매개변수로서 표현하는 것이라면, 탄젠트 벡터들에 대한 아래의 외적은 곡선 좌표계에서, 극미의 평면 요소의 크기를 갖는, S에 대한 법선 벡터이다. 위 결과를 사용하면, ∂ x ∂ λ 1 × ∂ x ∂ λ 2 = ( ∂ x ∂ q i ∂ q i ∂ λ 1 ) × ( ∂ x ∂ q j ∂ q j ∂ λ 2 ) = E k m p ( h k i ∂ q i ∂ λ 1 ) ( h m j ∂ q j ∂ λ 2 ) b p {\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}} 여기서, E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 는 퍼뮤테이션 기호이다. 행렬식의 형태로 쓰면, ∂ x ∂ λ 1 × ∂ x ∂ λ 2 = | e 1 e 2 e 3 h 1 i ∂ q i ∂ λ 1 h 2 i ∂ q i ∂ λ 1 h 3 i ∂ q i ∂ λ 1 h 1 j ∂ q j ∂ λ 2 h 2 j ∂ q j ∂ λ 2 h 3 j ∂ q j ∂ λ 2 | {\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}} 그래디언트, 발산, 및 라플라시안에 대한 표현들은 n차원으로 곧장 확장될 수 있지만, 회전에 대한 표현은 단지 3차원에서만 정의된다. 벡터 필드 bi는 qi 좌표 곡선에 대한 탄젠트로서 그 곡선 상의 각 점에서의 자연 기저를 형성한다. 이 문서의 시작에서 논의된 것처럼, 이러한 기저는 공변 곡선 기저로도 불린다. 우리는 또한 레시프로칼 기저 또는 반변 곡선 기저 bi를 정의할 수 있다. 텐서 대수에 대한 절에서 논의한 것처럼, 기저 벡터들 사이의 모든 대수적 관계들은 각 점 x에서의 자연 기저와 그것의 레시프로칼 기저에 대해서도 적용될 수 있다. [그것에 작용하는 힘이 없는] 입자가 관성 좌표계(x1, x2, x3, t)에서 표현된 위치를 갖는다면, 정의에 의해, 거기에서, 그 입자는 가속도를 갖지 않을 것이다(d2xj/dt2 = 0). 이런 맥락에서, 좌표계는, 비-직선적 시간축 또는 비-직선적 공간 축 (또는 둘 모두)에 의해서는, "관성적"일 수 없다. 다시 말해, 좌표들의 기저 벡터들은 고정된 위치들에서 시간에 따라 변하거나, 고정된 시간들에서 위치에 따라 변하거나, 또는 둘 모두에 있어서, 변할 수 있다. 운동 방정식들이 어떤 비관성 좌표계에서 표현될 때에는, 크리스토펠 기호로 불리는, 여분의 항들이 나타난다. 엄밀히 말해, 이러한 항들은 (고전 역학에서) 절대 가속의 성분들을 나타내지만, 우리는 (마치 좌표들이 관성적인 것처럼) d2xj/dt2를 가속도로서 계속 간주하고, 여분의 항들을 (마치 그들이 힘들인 것처럼)(이러한 경우에, 이들은 겉보기 힘으로 불린다) 계속 취급할 수도 있다. (입자의 경로에 수직하면서 경로의 곡률의 평면 내에 있는) 그러한 겉보기 힘의 성분들은 원심력이라 불린다. 보다 일반적인 이러한 상황은 (회전하는 좌표계에서의 그리고 정지한 곡선 좌표계에서의) 원심력에 대한 개념들 사이의 대응 관계를 명확하게 만들어 준다. (이들 개념들 모두 문헌들에 종종 나타난다.) 단순한 예로, 각속력 W로 회전하는 극 좌표계에 대해, 반경 r의 원 상에서 각속력 w로 움직이는 질량 m인 물체를 고려해보자. 반경 방향에서의 운동 방정식은 mr” = Fr + mr(w + W)2이다. 따라서, 원심력은 mr 과 입자의 절대 회전 속력(A = w + W )의 제곱의 곱이다. 만일, 입자의 속력으로 회전하는 좌표계를 선택한다면, W = A 이고 w = 0으로, 이 경우, 원심력은 mrA2이다. 반면, 정지한 좌표계를 선택한다면, W = 0 이고 w = A으로, 이 경우, 원심력은 다시 mrA2이다. 결과 값들에서의 이러한 동일성의 이유는, 두 경우 모두에서, 입자의 위치에서의 기저 벡터들이 정확하게 동일한 방식으로 시간에 따라 변하기 때문이다. 따라서, 이들은 실제로는, 정확하게 동일한 것을 기술하는 두 다른 방법들일 뿐이다. 하나는 회전하는 좌표계를 통한 기술이고, 다른 하나는 정지한 곡선 좌표계를 통한 기술로서, 이 둘 모두는 그 항의 보다 추상적인 의미에 따라 비관성적이다. 일반적인 운동을 기술할 때, 입자에 작용하는 실제 힘들은 종종 운동 경로에 접하는 순간적인 접촉 원을 참조하게 되며, 통상적인 경우에서 이러한 원은 고정된 위치에 중심을 갖지 않으며, 따라서, 원심 및 코리올리 성분들로의 분해는 계속해서 변하게 된다. 이는 그러한 운동이 정지 또는 회전 좌표계를 통해 기술되는가에 상관없이 항상 유효하다. 벡터의 공변성 및 반변성 일반상대론의 수학적 공식화 개론 직교좌표계 프레네-세레 공식 공변 미분 텐서 미분 (연속체 역학) 곡선형 원근법 원통형 및 구형 좌표의 Del J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). 《Gravitation》. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.  Simmonds, J. G. (1994). 《A brief on tensor analysis》. Springer. ISBN 0-387-90639-8.  Boothby, W. M. (2002). 《An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry》 revis판. New York, NY: Academic Press.  McConnell, A. J. (1957). 《Application of Tensor Analysis》. New York, NY: Dover Publications, Inc. Ch. 9, sec. 1. ISBN 0-486-60373-3.  Green, A. E.; Zerna, W. (1968). 《Theoretical Elasticity》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.  Ogden, R. W. (2000). 《Nonlinear elastic deformations》. Dover.  Naghdi, P. M. (1972). 〈Theory of shells and plates〉. S. Flügge. 《Handbook of Physics》. VIa/2. 425–640쪽.  Simmonds, J. G. (1994). 《A brief on tensor analysis》. Springer. ISBN 0-387-90639-8.  Basar, Y.; Weichert, D. (2000). 《Numerical continuum mechanics of solids: fundamental concepts and perspectives》. Springer.  Ciarlet, P. G. (2000). 《Theory of Shells》 1. Elsevier Science.  Simmonds, J. G. (1994). 《A brief on tensor analysis》. Springer. ISBN 0-387-90639-8.  Einstein, A. (1915). 〈Contribution to the Theory of General Relativity〉. Laczos, C. 《The Einstein Decade》. 213쪽. ISBN 0-521-38105-3.  Ogden Green, A. E.; Zerna, W. (1968). 《Theoretical Elasticity》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.  Basar, Y.; Weichert, D. (2000). 《Numerical continuum mechanics of solids: fundamental concepts and perspectives》. Springer.  Ciarlet, P. G. (2000). 《Theory of Shells》 1. Elsevier Science.  Friedman, Michael (1989). 《The Foundations of Space–Time Theories》. Princeton University Press. ISBN 0-691-07239-6.  Stommel, Henry M.; Moore, Dennis W. (1989). 《An Introduction to the Coriolis Force》. Columbia University Press. ISBN 0-231-06636-8.  Beer; Johnston (1972). 《Statics and Dynamics》 2판. McGraw–Hill. 485쪽. ISBN 0-07-736650-6.  Hildebrand, Francis B. (1992). 《Methods of Applied Mathematics》. Dover. 156쪽. ISBN 0-13-579201-0.  McQuarrie, Donald Allan (2000). 《Statistical Mechanics》. University Science Books. ISBN 0-06-044366-9.  Weber, Hans-Jurgen; Arfken, George Brown (2004). 《Essential Mathematical Methods for Physicists》. Academic Press. 843쪽. ISBN 0-12-059877-9.  Spiegel, M. R. (1959). 《Vector Analysis》. New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.  Arfken, George (1995). 《Mathematical Methods for Physicists》. Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.  Planetmath.org Derivation of Unit vectors in curvilinear coordinates MathWorld's page on Curvilinear Coordinates Prof. R. Brannon's E-Book on Curvilinear Coordinates Wikiversity:Introduction to Elasticity/Tensors#The divergence of a tensor field – Wikiversity, Introduction to Elasticity/Tensors.