베유 추측

수론과 대수기하학에서 베유 추측(영어: Weil conjectures)은 유한체 위에 정의된 대수다양체의 점의 수에 대한 네 개의 정리들이다. 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 위의 스킴 X → Spec ⁡ F q {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}} 가 매끄러운 사영 대수다양체이라고 하자. X {\displaystyle X} 의 국소 제타 함수는 다음과 같다. ζ ( X , s ) = exp ⁡ ( ∑ m = 1 ∞ 1 m # ( X / F q m ) q − s m ) {\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\#(X/\mathbb {F} _{q^{m}})q^{-sm}\right)} 여기서 # ( X / F q m ) {\displaystyle \#(X/\mathbb {F} _{q^{m}})} 은 X ⊗ Spec ⁡ F q Spec ⁡ F q 2 {\displaystyle X\otimes _{\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q^{2}}} 의 닫힌 점의 수이다. 베유 추측에 따르면, 다음 네 명제들이 성립한다.:450–451 (유리성) ζ ( X , s ) {\displaystyle \zeta (X,s)} 는 q − s {\displaystyle q^{-s}} 에 대한 유리 함수이며, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. ∏ i = 0 2 n P i ( q − s ) ( − 1 ) i + 1 = P 1 ( T ) ⋯ P 2 n − 1 ( T ) P 0 ( T ) ⋯ P 2 n ( T ) {\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}}} P i ( T ) ∈ Z [ T ] ∀ i ∈ { 0 , 1 , … , 2 n } {\displaystyle P_{i}(T)\in \mathbb {Z} [T]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,2n\}} P 0 ( T ) = 1 − T {\displaystyle P_{0}(T)=1-T} P 2 n ( T ) = 1 − q n T {\displaystyle P_{2n}(T)=1-q^{n}T} P i ( T ) = ∏ j = 1 deg ⁡ P i ( 1 − α i j T ) , ( α i j ∈ C ) {\displaystyle P_{i}(T)=\prod _{j=1}^{\deg P_{i}}(1-\alpha _{ij}T),\quad (\alpha _{ij}\in \mathbb {C} )} (함수 방정식) 어떤 정수 E {\displaystyle E} 에 대하여, 다음이 성립한다. ζ ( X , n − s ) = ± q n E 2 − E s ζ ( X , s ) {\displaystyle \zeta (X,n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,s)} (리만 가설) 모든 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 {\displaystyle 1\leq i\leq 2n-1} 및 모든 1 ≤ j ≤ deg ⁡ P i {\displaystyle 1\leq j\leq \deg P_{i}} 에 대하여, | α i , j | = q i / 2 {\displaystyle |\alpha _{i,j}|=q_{i}/2} (베티 수) 어떤 대수적 수체 K ⊂ C {\displaystyle K\subset \mathbb {C} } 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ O K {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}} 가 O K / p ≅ F q {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {F} _{q}} 를 만족시키며, 어떤 스킴 사상 X ~ → Spec ⁡ O K {\displaystyle {\tilde {X}}\to \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}} 에 대하여, X ~ ⊗ Spec ⁡ O K Spec ⁡ F q {\displaystyle {\tilde {X}}\otimes _{\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}} 가 X {\displaystyle X} 와 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} -스킴으로서 동형이라고 하자. 이 경우, deg i ⁡ P i = b i ( X ~ ⊗ Spec ⁡ O K Spec ⁡ C ) {\displaystyle \deg _{i}P_{i}=b_{i}({\tilde {X}}\otimes _{\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {Spec} \mathbb {C} )} 이다. 여기서 b i {\displaystyle b_{i}} 는 복소수체 위의 대수다양체 X ~ ⊗ Spec ⁡ O K Spec ⁡ C {\displaystyle {\tilde {X}}\otimes _{\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {Spec} \mathbb {C} } 의 특이 코호몰로지에 대한 베티 수이다. 또한, E {\displaystyle E} 는 복소수체 위의 대수다양체의 특이 코호몰로지에 대한 오일러 지표이다. 앙드레 베유가 1949년에 추측하였다. 유리성 추측은 1960년에 버나드 모리스 드워크(영어: Bernard Morris Dwork)가 증명하였고, 함수 방정식은 알렉산더 그로텐디크가 1965년에 증명하였고, 리만 가설은 피에르 들리뉴가 1974년에 증명하였다. 이 공로로 들리뉴는 필즈상을 수상하였다. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Weil conjectures”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Weil conjectures”. 《nLab》 (영어).