산란 행렬

산란 이론에서 산란 행렬(散亂行列, 영어: scattering matrix) 또는 S행렬이란 산란 과정을 겪는 소립자 또는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬이다. 기호는 S. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 자기 수반 작용소 H 0 : dom ⁡ H 0 → H {\displaystyle H_{0}\colon \operatorname {dom} H_{0}\to {\mathcal {H}}} , dom ⁡ H 0 ⊆ H {\displaystyle \operatorname {dom} H_{0}\subseteq {\mathcal {H}}} . 이를 자유 해밀토니언(영어: free Hamiltonian)이라고 하자. 자기 수반 작용소 H : dom ⁡ H → H {\displaystyle H\colon \operatorname {dom} H\to {\mathcal {H}}} , dom ⁡ H ⊆ H {\displaystyle \operatorname {dom} H\subseteq {\mathcal {H}}} . 이를 상호 작용 해밀토니언(영어: interacting Hamiltonian)이라고 하자. 복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 A {\displaystyle A} 에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 를 H = H ac , A ⊕ H sc , A ⊕ H pp , A {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{{\text{ac}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{sc}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{pp}},A}} 로 분해할 수 있다. 여기서 H ac , A {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},A}} 는 완전 연속 스펙트럼(영어: purely continuous spectrum)에 대응한다. H sc , A {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{sc}},A}} 는 특이 연속 스펙트럼(영어: singular continuous spectrum)에 대응한다. H pp , A {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{pp}},A}} 는 순수 점 스펙트럼(영어: purely point spectrum)에 대응한다. 마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소 proj ac , A , proj sc , A , proj pp , A : H → H {\displaystyle \operatorname {proj} _{{\text{ac}},A},\operatorname {proj} _{{\text{sc}},A},\operatorname {proj} _{{\text{pp}},A}\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 를 정의할 수 있다. 또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학(영어: Borel functional calculus)을 통해, x ↦ exp ⁡ ( i t x ) {\displaystyle x\mapsto \exp(\mathrm {i} tx)} 는 유계 함수이므로, 임의의 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 대하여 유니터리 작용소 exp ⁡ ( i t H 0 ) : H → H {\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} exp ⁡ ( i t H ) : H → H {\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 를 정의할 수 있다. 이제, H 0 {\displaystyle H_{0}} 와 H {\displaystyle H} 에 대한 파동 연산자(波動演算子, 영어: wave operator)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.:Definition 1.1 W ± ⁡ ( H , H 0 ) : H → H {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} W ± ⁡ ( H , H 0 ) = lim t → ∞ exp ⁡ ( ± i H t ) exp ⁡ ( ∓ i H 0 t ) proj ac , H 0 {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})=\lim _{t\to \infty }\exp(\pm \mathrm {i} Ht)\exp(\mp \mathrm {i} H_{0}t)\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}}} 여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 W ± ( H , H 0 ) {\displaystyle W_{\pm }(H,H_{0})} 의 치역이 H ac , H {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}} 라면 파동 연산자를 완비 파동 연산자(完備波動演算子, 영어: complete wave operator)라고 하며,:Definition 1.2 이는 H ac , H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} 와 H ac , H {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}} 사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다. H 0 {\displaystyle H_{0}} 와 H {\displaystyle H} 에 대한 산란 연산자(散亂演算子, 영어: scattering operator) 또는 산란 행렬은 다음과 같다. S ⁡ ( H , H 0 ) : H → H {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} S ⁡ ( H , H 0 ) = W + ∗ ⁡ ( H , H 0 ) W − ⁡ ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})=\operatorname {W} _{+}^{*}(H,H_{0})\operatorname {W} _{-}(H,H_{0})} 만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환 ( S ⁡ ( H , H 0 ) ↾ H ac , H 0 ) : H ac , H 0 → H ac , H {\displaystyle (\operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}})\colon {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}} 를 정의한다. 간혹 T 연산자를 T ⁡ ( H , H 0 ) = − i ( S ⁡ ( H , H 0 ) − proj ac , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {T} (H,H_{0})=-\mathrm {i} (\operatorname {S} (H,H_{0})-\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}})} 로 정의한다. 즉, H ac , H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} 에 제한하면, S = i T {\displaystyle \operatorname {S} =\mathrm {i} T} 이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다. 파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다. W ± ⁡ ( H , H 0 ) H 0 = H W ± ⁡ ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})H_{0}=H\operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})} 산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다. S ⁡ ( H , H 0 ) H 0 = H 0 S ⁡ ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})H_{0}=H_{0}\operatorname {S} (H,H_{0})} 위그너 정리에 따라, 만약 W ± ⁡ ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})} 가 둘 다 완비라면, S ⁡ ( H , H 0 ) ↾ H ac , H 0 {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} 는 H ac , H 0 → H ac , H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} 유니터리 작용소이다. 르베그 공간 H = L 2 ⁡ ( R n ; C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {C} )} 위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각해보자. H 0 = Δ + V 0 ( x ) {\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)} H 0 = Δ + V 0 ( x ) + V ( x ) {\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)+V(x)} V 0 , V ∈ L ∞ ⁡ ( R n ; R ) {\displaystyle V_{0},V\in \operatorname {L} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )} sup x ∈ R n V ( x ) ( 1 + x 2 ) k / 2 < ∞ {\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}V(x)(1+x^{2})^{k/2}<\infty } 여기서 k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } 는 어떤 실수이며, Δ = − ∑ i = 1 n ∂ 2 / ∂ x i 2 {\displaystyle \textstyle \Delta =-\sum _{i=1}^{n}\partial ^{2}/\partial x_{i}^{2}} 는 라플라스 연산자이다. 위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다. k > n {\displaystyle k>n} :Theorem 1.7 V 0 = 0 {\displaystyle V_{0}=0} 이며, k > 1 {\displaystyle k>1} :Theorem 2.4 반면, 예를 들어 V 0 = 0 {\displaystyle V_{0}=0} , V ( x ) = ( 1 + x 2 ) − 2 {\displaystyle V(x)=(1+x^{2})^{-2}} 일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.:§3.1 하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 H I {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{I}}} 와 나중 상태의 포크 공간 H F {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{F}}} 를 다음과 같이 적을 수 있다. H I = span ⁡ { | k 1 … k n ⟩ = a i † ( k 1 ) ⋯ a i † ( k n ) | I , 0 ⟩ I } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{I}}=\operatorname {span} \{\left|k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|I,0\right\rangle _{\text{I}}\}} H F = span ⁡ { | p 1 … p n ⟩ = a f † ( p 1 ) ⋯ a f † ( p n ) | F , 0 ⟩ F } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{F}}=\operatorname {span} \{\left|p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|F,0\right\rangle _{\text{F}}\}} 이들은 자유 해밀토니언 H 0 {\displaystyle H_{0}} 의 고유 벡터 기저를 정의한다. 따라서 산란 연산자 S {\displaystyle S} 는 다음과 같이 표현된다. ⟨ β | I S | α ⟩ I = S α β = ⟨ β | F | α ⟩ I {\displaystyle \left\langle \beta \right|_{\text{I}}S\left|\alpha \right\rangle _{\text{I}}=S_{\alpha \beta }=\left\langle \beta |_{\text{F}}|\alpha \right\rangle _{\text{I}}} . 양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다. 또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다. S | 0 ⟩ = | 0 ⟩ {\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle } (진공에서의 항등성) S | k ⟩ = | k ⟩ {\displaystyle S\left|k\right\rangle =\left|k\right\rangle } (단입자 상태에서의 항등성) 이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다. 산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다. “에스행렬이론(S-matrix theory)-사이언스피디아”. 2018년 3월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 3월 1일에 확인함.  Yafaev, Dmitri (2004). “Lectures on scattering theory” (영어). arXiv:math/0403213. Bibcode:2004math......3213Y.  Wheeler, John Archibald (1937). “On the mathematical description of light nuclei by the method of resonating group structure”. 《Physical Review》 (영어) 52 (11): 1107–1122. Bibcode:1937PhRv...52.1107W. doi:10.1103/PhysRev.52.1107.  Yafaev, Dmitry R. (1995). 《Mathematical scattering theory: the general theory》. Translations of Mathematical Monographs (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0951-8.  Yafaev, Dmitry R. (2010). 《Mathematical scattering theory: analytic theory》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 158. 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