에르되시-세케레시 정리

수학에서 에르되시-세케레시 정리는 주어진 r {\displaystyle r} , s {\displaystyle s} 에 대해 길이가 ( r − 1 ) ( s − 1 ) + 1 {\displaystyle (r-1)(s-1)+1} 이상인 서로 다른 실수들의 수열은 길이 r {\displaystyle r} 의 단조 증가하는 부분수열 또는 길이 s {\displaystyle s} 의 단조 감소하는 부분수열을 포함한다는 정리이다. 증명은 해피 엔딩 문제를 언급한 동일한 1935년 논문에 나타났다. 에르되시-세케레시 정리는 정확히 램지의 정리의 따름정리가 되는 유한한 결과 중 하나이다. 램지의 정리를 사용하면 모든 서로 다른 실수로 이루어진 무한 수열이 단조 증가하는 무한 부분 수열 또는 단조 감소하는 무한 부분 수열을 포함한다는 것을 쉽게 증명할 수 있지만 에르되시 팔과 세케레시 죄르지가 증명한 결과는 더 나아간다. r = 3 {\displaystyle r=3} 과 s = 2 {\displaystyle s=2} 의 경우에 공식에 의해 세 수의 모든 순열이 길이 3의 증가하는 부분 수열 또는 길이 2의 감소하는 부분 수열을 갖는다. 숫자 1,2,3의 6가지 순열 중: 1,2,3은 세 수 모두로 구성된 증가하는 부분 수열을 갖는다. 1,3,2는 감소하는 부분 수열 3,2를 갖는다. 2,1,3은 감소하는 부분 수열 2,1을 갖는다. 2,3,1은 두 개의 감소하는 부분 수열, 2,1과 3,1을 갖는다. 3,1,2는 두 개의 감소하는 부분 수열 3,1과 3,2를 갖는다. 3,2,1은 세 개의 감소하는 부분 수열 3,2, 3,1, 2,1을 갖는다. 수열에 있는 수의 위치를 유클리드 평면에 있는 점의 x 좌표로 해석하고 수 자체를 y 좌표로 해석할 수 있다. 반대로 평면에 있는 모든 점에 대해 두 점이 동일한 x 좌표를 갖지 않는 한 x 좌표로 정렬된 점의 y 좌표는 수열을 형성한다. 수열과 점 집합 사이의 이러한 변환으로 에르되시-세케레시 정리는 다음과 같이 해석될 수 있다: 적어도 점 r s − r − s + 2 {\displaystyle rs-r-s+2} 개를 갖는 모든 집합에서 양의 기울기 모서리 r − 1 {\displaystyle r-1} 개 또는 음의 기울기 모서리 s − 1 {\displaystyle s-1} 개로 이루어진 다각형 경로를 찾을 수 있다. 특히 r = s {\displaystyle r=s} 인 경우 최소한 n {\displaystyle n} 개의 점 집합에서 동일한 부호 기울기를 가진 최소한 ⌊ n − 1 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n-1}}\right\rfloor } 개의 모서리를 갖는 다각형 경로를 찾을 수 있다. 예를 들어 r = s = 5 {\displaystyle r=s=5} 을 취하면 17개 이상의 점으로 구성된 모든 집합은 모든 기울기가 동일한 부호를 갖는 모서리 4개의 경로를 갖는다. ( r − 1 ) × ( s − 1 ) {\displaystyle (r-1)\times (s-1)} 격자를 약간 회전시켜 이러한 경로가 포함하지 않는 점 r s − r − s + 1 {\displaystyle rs-r-s+1} 개의 집합을 구성할 수 있고, 이는 이 경계가 정확하다는 것을 보여준다. 에르되시-세케레시 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. Steele (1995) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFSteele1995 (help)은 다음 두 가지를 포함하여 에르되시-세케레스 정리의 여섯 가지 다른 증명을 조사하였다. Steele이 조사한 다른 증명에는 에르되시와 세케레시의 원본 증명과, Blackwell (1971) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFBlackwell1971 (help), Hammersley (1972) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFHammersley1972 (help), 및 Lovász (1979) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFLovász1979 (help)의 증명이 포함된다. 길이 ( r − 1 ) ( s − 1 ) + 1 {\displaystyle (r-1)(s-1)+1} 의 주어진 수열에 대해, 수열의 각 수 n i {\displaystyle n_{i}} 에 ( a i , b i ) {\displaystyle (a_{i},b_{i})} 쌍을 붙인다. 이때 a i {\displaystyle a_{i}} 는 n i {\displaystyle n_{i}} 로 끝나는 가장 긴 단조 증가 부분 수열의 길이이고 b i {\displaystyle b_{i}} 는 n i {\displaystyle n_{i}} 로 끝나는 가장 긴 단조 감소 부분 수열 끝의 길이이다. 수열의 서로 다른 두 수는 다른 값의 쌍이 붙는다. i < j {\displaystyle i<j} 이고 n i ≤ n j {\displaystyle n_{i}\leq n_{j}} 이면 a i < a j {\displaystyle a_{i}<a_{j}} 이고, n i ≥ n j {\displaystyle n_{i}\geq n_{j}} 이면 b i < b j {\displaystyle b_{i}<b_{j}} 이다. a i {\displaystyle a_{i}} 가 r {\displaystyle r} 보다 작고 b i {\displaystyle b_{i}} 가 s {\displaystyle s} 보다 작은 쌍은 많아야 ( r − 1 ) ( s − 1 ) {\displaystyle (r-1)(s-1)} 개 존재한다. 따라서 비둘기집 원리에 의해 a i {\displaystyle a_{i}} 또는 b i {\displaystyle b_{i}} 가 범위 바깥에 있는 i {\displaystyle i} 값이 존재한다. a i {\displaystyle a_{i}} 가 범위를 벗어나면 n i {\displaystyle n_{i}} 는 길이 r {\displaystyle r} 이상인 증가 부분 수열의 일부이고, b i {\displaystyle b_{i}} 가 범위를 벗어나면 n i {\displaystyle n_{i}} 는 길이 s {\displaystyle s} 이상인 감소 부분 수열의 일부이다. 스틸은 Seidenberg (1959) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFSeidenberg1959 (help)의 한 쪽 짜리 논문을 그가 조사한 증명 중 "가장 매끄럽고 체계적인" 증명으로 인정했다. 최장 증가 부분 수열 문제 http://www.numdam.org/item?id=CM_1935__2__463_0  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) (PDF), Springer-Verlag http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/PDF/VOTMSTOEAS.pdf  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말). , University of California PressJohn Hammersley  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말). As cited by Steele (1995) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFSteele1995 (help). , North-HollandLászló Lovász  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말). As cited by Steele (1995) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFSteele1995 (help). Steele, J. Michael (1995), 〈Variations on the monotone subsequence theme of Erdős and Szekeres〉, Aldous, David; Diaconis, Persi; Spencer, Joel; Steele, J. Michael, 《Discrete Probability and Algorithms》 (PDF), IMA Volumes in Mathematics and its Applications 72, Springer-Verlag, 111–131쪽, ISBN 0-387-94532-6 . Seidenberg, A. (1959), “A simple proof of a theorem of Erdős and Szekeres” (PDF), 《Journal of the London Mathematical Society》 34 (3): 352, doi:10.1112/jlms/s1-34.3.352 [깨진 링크]. Weisstein, Eric Wolfgang. “Erdős-Szekeres Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.