라그랑주 부분 다양체

심플렉틱 기하학에서 라그랑주 부분 다양체(Lagrange部分多樣體, 영어: Lagrangian submanifold)는 심플렉틱 형식의 당김이 0이 되어, 국소적으로 일반화 좌표(또는 일반화 운동량)의 부분 다양체로 간주할 수 있는 최대 차원 부분 다양체이다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 속의 매끄러운 부분 다양체 ι : N ↪ M {\displaystyle \iota \colon N\hookrightarrow M} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 등방성 부분 다양체(等方性部分多樣體, 영어: isotropic submanifold)라고 한다. ι ∗ ω = 0 {\displaystyle \iota ^{*}\omega =0} 즉, 심플렉틱 형식 ω {\displaystyle \omega } 를 N {\displaystyle N} 에 국한하였을 때 0이 되어야 한다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 심플렉틱 다양체의 n {\displaystyle n} 차원 등방성 부분 다양체를 라그랑주 부분 다양체(영어: Lagrangian submanifold)라고 한다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 최대 차원의 등방성 부분 다양체이다. 이와 마찬가지로, 만약 ι {\displaystyle \iota } 가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우, 마찬가지로 등방성 몰입(영어: isotropic immersion) 및 라그랑주 몰입(영어: Lagrangian immersion)을 정의할 수 있다. 라그랑주 올뭉치(영어: Lagrangian fibration) L ↪ ι M ↠ π B {\displaystyle L{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}M{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B} 는 일반올 L {\displaystyle L} 이 전체 공간 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치이다. 이 경우, 합성 π ∘ ι : L → B {\displaystyle \pi \circ \iota \colon L\to B} 에서, π {\displaystyle \pi } 가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 D ( π ∘ ι ) {\displaystyle D(\pi \circ \iota )} 의 계수가 n {\displaystyle n} 미민인 점들의 집합 { b ∈ B : rank ⁡ D ( π ∘ ι ) | b < n } {\displaystyle \{b\in B\colon \operatorname {rank} D(\pi \circ \iota )|_{b}<n\}} 을 라그랑주 올뭉치의 초점면(焦點面, 영어: caustic)이라고 한다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 켈러 다양체 M {\displaystyle M} 위의 부피 형식이 ω n / n ! {\displaystyle \omega ^{n}/n!} 이며, ( n , 0 ) {\displaystyle (n,0)} -복소수 미분 형식 Ω {\displaystyle \Omega } 가 Ω ∧ Ω ¯ = ω n / n ! {\displaystyle \Omega \wedge {\bar {\Omega }}=\omega ^{n}/n!} 를 만족시킨다고 하자. Ω {\displaystyle \Omega } 의 실수 성분과 허수 성분을 분해하자. Ω = Ω 1 + i Ω 2 , Ω 1 , Ω 2 ∈ H n ( M ; R ) {\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+i\Omega _{2},\qquad \Omega _{1},\Omega _{2}\in H^{n}(M;\mathbb {R} )} 그렇다면, ( M , Ω ) {\displaystyle (M,\Omega )} 속의 특수 라그랑주 부분 다양체(영어: special Lagrangian submanifold)는 다음 조건을 만족시키는 라그랑주 부분 다양체 ι : L ↪ M {\displaystyle \iota \colon L\hookrightarrow M} 이다. ι ∗ Ω 2 = 0 {\displaystyle \iota ^{*}\Omega _{2}=0} 칼라비-야우 다양체 속의 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭에서 등장한다. 임의의 두 심플렉틱 다양체 ( M 1 , ω 1 ) {\displaystyle (M_{1},\omega _{1})} , ( M 2 , ω 2 ) {\displaystyle (M_{2},\omega _{2})} 사이의 미분 동형 f : M 1 → M 2 {\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Lemma 3.14 f {\displaystyle f} 는 심플렉틱 사상이다. 즉, f ∗ ω 2 = ω 1 {\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}} 이다. f {\displaystyle f} 의 그래프 { ( x , f ( x ) ) : x ∈ M 1 } ⊂ M 1 × M 2 {\displaystyle \{(x,f(x))\colon x\in M_{1}\}\subset M_{1}\times M_{2}} 는 ( M 1 × M 2 , ω 1 ⊕ ( − ω 2 ) ) {\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\oplus (-\omega _{2}))} 의 라그랑주 부분 다양체이다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 라그랑주 부분 벡터 공간(영어: Lagrangian linear subspace)이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 라그랑주 그라스만 다양체(영어: Lagrangian Grassmannian)라고 한다. 심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주자 (이는 표준적이지 않다). 그렇다면, 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다. LagGrass ⁡ ( n ) ≅ U ⁡ ( n ) / O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {LagGrass} (n)\cong \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)} 그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군 π 1 ( LagGrass ⁡ ( n ) ) ≅ Z {\displaystyle \pi _{1}\left(\operatorname {LagGrass} (n)\right)\cong \mathbb {Z} } 이다. 이로부터 마슬로프 지표를 정의할 수 있다. 2차원 심플렉틱 다양체 ( Σ , ω ) {\displaystyle (\Sigma ,\omega )} 속의 매끄러운 곡선 γ ⊂ Σ {\displaystyle \gamma \subset \Sigma } 은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. (곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.) 예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 2차원 유클리드 공간 R 2 = T ∗ R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=T^{*}\mathbb {R} } 을 생각하자. 이 경우, 임의의 곡선 γ ⊂ R 2 {\displaystyle \gamma \subset \mathbb {R} ^{2}} 은 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이 경우, x {\displaystyle x} 축으로의 사영 π : R 2 → R {\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } π : ( x , p ) ↦ x {\displaystyle \pi \colon (x,p)\mapsto x} 을 정의한다면, 이 사영에 대한 곡선의 초점면은 기울기가 무한대가 되는 점(즉, 접선이 p {\displaystyle p} 축과 평행한 점)이다. 예를 들어, 타원 1 2 k x 2 + 1 2 m p 2 = E {\displaystyle {\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2m}}p^{2}=E} 은 해밀토니언 H ( x , p ) = k x 2 / 2 + p 2 / 2 m {\displaystyle H(x,p)=kx^{2}/2+p^{2}/2m} 의 준위 부분 집합 { ( x , p ) : H ( x , p ) = E } {\displaystyle \{(x,p)\colon H(x,p)=E\}} 인 라그랑주 부분 다양체이며, 초점면은 운동량이 0이 되는 점 { 2 E / k , − 2 E / k } {\displaystyle \{{\sqrt {2E/k}},-{\sqrt {2E/k}}\}} 이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 은 자연스럽게 심플렉틱 다양체를 이룬다. 임의의 매끄러운 함수 S : M → R {\displaystyle S\colon M\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음과 같은 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 의 부분 다양체를 정의하자. { ( x , ∂ μ S ( x ) ) : x ∈ M } ⊂ T ∗ M {\displaystyle \left\{(x,\partial _{\mu }S(x))\colon x\in M\right\}\subset T^{*}M} 그렇다면 이는 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 의 라그랑주 분 다양체를 이룬다. 특히, 상수 함수 S = 0 {\displaystyle S=0} 일 경우 이는 M ⊂ T ∗ M {\displaystyle M\subset T^{*}M} 는 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) 8. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9.  Audin, Michèle (2005). “On the topology of Lagrangian submanifolds: examples and counter-examples” (PDF). 《Portugaliae Mathematica (nova série)》 (영어) 62 (4). 2015년 10월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 11월 8일에 확인함.  Damian, Mihai (2010년 11월 15일). 《Sur la topologie des sous-variétés lagrangiennes》 (프랑스어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Michèle Audin). 스트라스부르 대학교.  “Lagrangian submanifold”. 《nLab》 (영어).  “Lagrangian subspace”. 《nLab》 (영어).  “Lagrangian correspondence”. 《nLab》 (영어).  “Isotropic submanifold”. 《nLab》 (영어).  “Lagrangian Grassmannian”. 《nLab》 (영어).  “Isotropic Grassmannian”. 《nLab》 (영어).  “What is a Lagrangian submanifold intuitively?” (영어). Math Overflow.  마슬로프 지표 기하학적 양자화