횡단성

미분기하학에서, 횡단성(橫斷性, 영어: transversality)은 두 부분 다양체 또는 (보다 일반적으로) 같은 공역을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 대칭 관계이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 교집합은 부분 다양체를 이룬다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , M {\displaystyle M} 매끄러운 함수 f : X → M {\displaystyle f\colon X\to M} , g : Y → M {\displaystyle g\colon Y\to M} 만약 다음 조건이 성립한다면, f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 가 서로 횡단적이라고 하며, f ⋔ g {\displaystyle f\pitchfork g} 로 표기한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, 만약 f ( x ) = g ( y ) = m ∈ M {\displaystyle f(x)=g(y)=m\in M} 라면, D x f ( T x X ) + D y g ( T y Y ) = T m M {\displaystyle \mathrm {D} _{x}f(\mathrm {T} _{x}X)+\mathrm {D} _{y}g(\mathrm {T} _{y}Y)=\mathrm {T} _{m}M} 이다. X → f M ← g Y x ↦ m ← ↦ ◼ ◼ y T x X → D x f T m M ← D y g T y Y {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&M&{\overset {g}{\leftarrow }}&Y\\x&\mapsto &m&{\leftarrow }\!\;\!{\mapsto \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\color {White}\!\;\blacksquare \!\!\blacksquare \!\!\!\!\!\!\!\!\!}&y\\\mathrm {T} _{x}X&{\underset {\mathrm {D} _{x}f}{\to }}&\mathrm {T} _{m}M&{\underset {\mathrm {D} _{y}g}{\leftarrow }}&\mathrm {T} _{y}Y\end{matrix}}} 부분 다양체 X ⊆ M {\displaystyle X\subseteq M} 는 포함 사상 i : X ↪ M {\displaystyle i\colon X\hookrightarrow M} 으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 매끄러운 함수)가 서로 횡단적이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 부분 다양체 X ↪ M {\displaystyle X\hookrightarrow M} 및 매끄러운 함수 g : Y → M {\displaystyle g\colon Y\to M} 가 주어졌다고 하자. 만약 X ⋔ g {\displaystyle X\pitchfork g} 라면, g − 1 ( X ) = { y ∈ Y : g ( y ) ∈ X } {\displaystyle g^{-1}(X)=\{y\in Y\colon g(y)\in X\}} 는 Y {\displaystyle Y} 의 부분 다양체이며, 그 여차원은 X {\displaystyle X} 의 여차원과 같다. codim Y ⁡ g − 1 X dim ⁡ Y − dim ⁡ g − 1 ( X ) = codim M ⁡ X = dim ⁡ M − dim ⁡ X {\displaystyle \operatorname {codim} _{Y}g^{-1}X\dim Y-\dim g^{-1}(X)=\operatorname {codim} _{M}X=\dim M-\dim X} 특히, 만약 g {\displaystyle g} 역시 매장이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체 X , Y ⊆ M {\displaystyle X,Y\subseteq M} 가 주어졌다고 하고, X ⋔ Y {\displaystyle X\pitchfork Y} 라고 하자. 그렇다면, X ∩ Y ⊆ M {\displaystyle X\cap Y\subseteq M} 역시 부분 다양체이며, codim M ⁡ ( X ∩ Y ) = codim M ⁡ X + codim M ⁡ Y {\displaystyle \operatorname {codim} _{M}(X\cap Y)=\operatorname {codim} _{M}X+\operatorname {codim} _{M}Y} 이다. 즉, dim ⁡ ( X ∩ Y ) = dim ⁡ X + dim ⁡ Y − dim ⁡ M {\displaystyle \dim(X\cap Y)=\dim X+\dim Y-\dim M} 이다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 함수 f : X → M {\displaystyle f\colon X\to M} 매끄러운 호모토피 g : [ 0 , 1 ] × Y → M {\displaystyle g\colon [0,1]\times Y\to M} , ( t , y ) ↦ g t ( y ) {\displaystyle (t,y)\mapsto g_{t}(y)} 그렇다면, 만약 f ⋔ g 0 {\displaystyle f\pitchfork g_{0}} 이라면, inf { t ∈ [ 0 , 1 ] : f ⋔ g t } > 0 {\displaystyle \inf\{t\in [0,1]\colon f\pitchfork g_{t}\}>0} 이다. 즉, 어떤 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 모든 t ∈ [ 0 , ϵ ) {\displaystyle t\in [0,\epsilon )} 에 대하여 f ⋔ g t {\displaystyle f\pitchfork g_{t}} 이게 된다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 X , Y , M {\displaystyle X,Y,M} 경계다양체 S {\displaystyle S} 매끄러운 함수 f : X → M {\displaystyle f\colon X\to M} 매끄러운 함수 g : S × Y → M {\displaystyle g\colon S\times Y\to M} , ( s , y ) ↦ g s ( y ) {\displaystyle (s,y)\mapsto g_{s}(y)} 또한, f ⋔ g {\displaystyle f\pitchfork g} f ⋔ ( g ↾ ∂ S × Y ) {\displaystyle f\pitchfork (g\upharpoonright \partial S\times Y)} 라고 하자. 톰 횡단 정리(영어: Thom transversality theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. 거의 모든 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, f ⋔ g s {\displaystyle f\pitchfork g_{s}} 이다. 거의 모든 s ∈ ∂ S {\displaystyle s\in \partial S} 에 대하여, f ⋔ g s {\displaystyle f\pitchfork g_{s}} 이다. 여기서 “거의 모든”은 S {\displaystyle S} 또는 ∂ S {\displaystyle \partial S} 의 르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는 s {\displaystyle s} 의 집합은 영집합이다. 톰 횡단 정리는 르네 톰이 증명하였다. “Transversality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Transversal mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Transversal maps”. 《nLab》 (영어).  “An introduction to transversality” (PDF) (영어).