경계다양체

미분기하학에서 경계다양체(境界多樣體, 영어: manifold-with-boundary)는 국소적으로 유클리드 공간 또는 유클리드 반(半)공간에 위상 동형인 위상 공간이다. 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 "경계"를 가질 수 있다. 일부 문헌에서는 경계다양체의 개념을 단순히 "다양체"로 부르고, 다양체의 개념을 "경계 없는 다양체"로 부른다. 임의의 자연수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 및 유클리드 반(半)공간 R n × R ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{\geq 0}} 을 정의할 수 있다. 임의의 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, n {\displaystyle n} 차원 경계다양체(영어: n {\displaystyle n} -dimensional manifold-with-boundary)는 다음 조건을 만족시키는 하우스도르프 파라콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, R n − 1 × R ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} _{\geq 0}} 의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 x ∈ U ⊆ X {\displaystyle x\in U\subseteq X} 가 존재한다. n {\displaystyle n} 차원 경계다양체 X {\displaystyle X} 의 경계(境界, 영어: boundary) ∂ X ⊆ X {\displaystyle \partial X\subseteq X} 는 다음 조건을 만족시키는 점들로 구성되는 부분 집합이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 x ∈ U ⊆ X {\displaystyle x\in U\subseteq X} 이 존재하지 않는다. 이에 따라, X ∖ ∂ X {\displaystyle X\setminus \partial X} 는 n {\displaystyle n} 차원 다양체를 이루며, ∂ X {\displaystyle \partial X} 는 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 다양체를 이룬다. n {\displaystyle n} 차원 경계다양체 X {\displaystyle X} 위의 국소 좌표계(영어: atlas)는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 열린집합들의 족 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 단사 연속 함수 ϕ i : U i → R n − 1 × R ≥ 0 {\displaystyle \phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} _{\geq 0}} . 또한, ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} 는 U i {\displaystyle U_{i}} 와 ϕ i ( U i ) {\displaystyle \phi _{i}(U_{i})} 사이의 위상 동형을 정의한다. 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 에 대하여, 만약 U i ∩ U j ≠ ∅ {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing } 이라면, ϕ j ∘ ϕ i − 1 : ϕ i ( U i ∩ U j ) → ϕ j ( U i ∩ U j ) {\displaystyle \phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})} 는 매끄러운 함수이다. 국소 좌표계가 주어진 경계다양체를 매끄러운 경계다양체(영어: smooth manifold-with-boundary)라고 한다. 서로 호환되는 두 국소 좌표계는 같은 매끄러운 경계다양체를 정의한다. 임의의 n {\displaystyle n} 차원 경계다양체 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 분리합집합 X ⊔ X = X × { 0 , 1 } {\displaystyle X\sqcup X=X\times \{0,1\}} 에 다음과 같은 동치 관계를 주자. ( x , 0 ) ∼ ( x , 1 ) ( ∀ x ∈ ∂ X ) {\displaystyle (x,0)\sim (x,1)\qquad (\forall x\in \partial X)} 그렇다면, 몫공간 X ~ = ( X ⊔ X ) / ∼ {\displaystyle {\tilde {X}}=(X\sqcup X)/\sim } 은 항상 n {\displaystyle n} 차원 다양체를 이루며, 자연스러운 사상 X ~ ↠ X {\displaystyle {\tilde {X}}\twoheadrightarrow X} 이 존재한다. 이 경우, X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 를 X {\displaystyle X} 의 이중 다양체(二重多樣體, 영어: double manifold)이라고 한다. 만약 X {\displaystyle X} 가 매끄러운 경계다양체라면, 그 이중 다양체는 항상 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. 다양체 ⇒ 경계다양체 ⇒ 오비폴드 즉, 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는 오비폴드이다. 이름과 달리 다양체가 아닌 경계다양체가 존재한다. 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 매끄러운 다양체는 매끄러운 경계다양체이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 속의 닫힌 공 cl ⁡ ( ball ⁡ ( x , r ) ) ( x ∈ R n , r ∈ R + ) {\displaystyle \operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} (\mathbf {x} ,r)\right)\qquad (\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},\;r\in \mathbb {R} ^{+})} 은 자연스럽게 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 초구이다. 이는 다양체를 이루지 않는다. 특히, n = 1 {\displaystyle n=1} 일 때, 닫힌구간은 항상 경계다양체를 이룬다. 닫힌구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 의 경계는 양끝점 { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 이다. “Manifold with boundary”. 《nLab》 (영어).  “Boundary”. 《nLab》 (영어).  “Definition of “manifold””. 《Manifold Atlas》 (영어).