끈의 진동

끈의 진동은 파동의 한 형태이다. 일정하게 진동하는 끈은 소리를 만든다. 특정 음의 진동으로부터 소리는 일정한 음을 만든다. 진동하는 끈은 기타, 피아노, 가야금등과 같은 현악기가 소리를 내는 근본적인 원리이다. 끈에 의한 파동의 전파 속력( v {\displaystyle v} )는 아래 식과 같이 나타내어 지며, 전파속도는 끈의 장력( T {\displaystyle T} )의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도( μ {\displaystyle \mu } )의 제곱근에 반비례한다. v = T μ . {\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.} 끈의 한지점 x으로부터 작은 Δ x {\displaystyle \Delta x} 의 간격을 잡고, m {\displaystyle m} 을 질량, μ {\displaystyle \mu } 를 선형밀도라고 하자. 끈의 수평축 장력이 T {\displaystyle T} (상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 x {\displaystyle x} 와 x {\displaystyle x} + Δ x {\displaystyle \Delta x} 가해지는 장력은 아래와 같이 T {\displaystyle T} 로서 근사할 수 있다. T 1 x = T 1 cos ⁡ ( α ) ≈ T . {\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.} T 2 x = T 2 cos ⁡ ( β ) ≈ T . {\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.} 각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 α {\displaystyle \alpha } 와 β {\displaystyle \beta } 가 매우 작다고 생각 하면 수평축의 알짜힘은 0이되어 상쇄된다. 따라서 수직방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같음으로 아래와 같이 y에 대한 편미분으로서 표현 할 수 있다. Σ F y = T 2 y − T 1 y = T 2 sin ⁡ ( β ) − T 1 sin ⁡ ( α ) = Δ m a ≈ μ Δ x ∂ 2 y ∂ t 2 . {\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{2y}-T_{1y}=T_{2}\sin(\beta )-T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.} 양변을 장력 T {\displaystyle T} 으로 나누어 주고 처음에 구했던 T {\displaystyle T} 관한 식을 이용하여 대입하여 주면 아래와 같다. μ Δ x T ∂ 2 y ∂ t 2 = T 2 sin ⁡ ( β ) T 2 cos ⁡ ( β ) − T 1 sin ⁡ ( α ) T 1 cos ⁡ ( α ) = tan ⁡ ( β ) − tan ⁡ ( α ) {\displaystyle {\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}-{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=\tan(\beta )-\tan(\alpha )} 각 양끝의 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 에 대한 탄젠트값이 양끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 1 Δ x ( ∂ y ∂ x | x + Δ x − ∂ y ∂ x | x ) = μ T ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}} 여기서 처음에 Δ x {\displaystyle \Delta x} 가 매우 작다고 가정하였음으로 0에 대하여 극한을 취하면 미분의 정의에 의해 y {\displaystyle y} 의 미분값의 미분 즉 y {\displaystyle y} 에 대한 이계미분이 된다. ∂ 2 y ∂ x 2 = μ T ∂ 2 y ∂ t 2 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.} 이 식은 y ( x , t ) {\displaystyle y(x,t)} 에 대한 파동방정식과 일치한다. 파동방정식에서 시간에 대한 이계미분의 항은 v − 2 {\displaystyle v^{-2}} 와 같다 따라서, v = T μ , {\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},} v {\displaystyle v} 는 끈에 의한 파동의 전파 속력이다. 하지만, 이 유도는 오직 작은 진폭으로 진동할 때만 유효하다. 큰진폭의 경우에는, Δ x {\displaystyle \Delta x} 은 좋은 근사식이 될 수 없다. 수평축의 장력은 상수 T {\displaystyle T} 로서 일정할 필요가 없다. 현악기 음향학 원형 드럼의 진동 Java simulation of waves on a string Physics of a harpsichord string A study of chaotic motion in strings A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency Archived 2011년 7월 22일 - 웨이백 머신 "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project. Java simulation of waves on a string Physics of a harpsichord string A study of chaotic motion in strings A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency Archived 2011년 7월 22일 - 웨이백 머신 "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project