K·p 섭동 이론

응집물질물리학에서 k·p 섭동 이론(k·p perturbation theory)은 띠구조를 다루는 섭동 이론의 하나다. 위치 에너지   V ( r → ) {\displaystyle \ V({\vec {r}})} 속에 있는 전자의 해밀토니언은 다음과 같다. H 0 = p 2 / 2 m + V ( r ) + 1 4 m 2 c 2 ( σ × ∇ V ) ⋅ p {\displaystyle H_{0}=\mathbf {p} ^{2}/2m+V(\mathbf {r} )+{\frac {1}{4m^{2}c^{2}}}({\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V)\cdot \mathbf {p} } . 전자 파동 함수 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 는 슈뢰딩거 방정식 H 0 ψ ( r ) = E ψ ( r ) {\displaystyle H_{0}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )} 을 만족한다. 위치 에너지   V ( r → ) {\displaystyle \ V({\vec {r}})} 은 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 따라서 파동 함수를 블로흐 파 ψ ( r ) = ∑ k exp ⁡ ( i k ⋅ r ) u k ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )} 로 나타내자. 여기서 u k {\displaystyle u_{\mathbf {k} }} 는 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 그렇다면 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다. H k u k ( r ) = E k u k ( r ) {\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )} . 여기서 H k = H 0 + H k ′ = H 0 + ℏ k ⋅ p / m + ℏ 2 k 2 / 2 m + 1 4 m 2 c 2 ( σ × ∇ V ) ⋅ k {\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H'_{\mathbf {k} }=H_{0}+\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} /m+\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}/2m+{\frac {1}{4m^{2}c^{2}}}({\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V)\cdot \mathbf {k} } 이다. 이제 H 0 {\displaystyle H_{0}} 을 제외한 항들 H k ′ {\displaystyle H'_{\mathbf {k} }} 를 원래 해밀토니언 H 0 {\displaystyle H_{0}} 에 대한 섭동항으로 간주하여 섭동 이론을 전개할 수 있다. 이 섭동 이론을 k·p 섭동 이론이라고 한다. 가장 기본적인 경우로, 스핀-궤도 결합 ( σ × ∇ V ) ⋅ p {\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V)\cdot \mathbf {p} } 를 무시한 경우를 생각히 보자. 만약 결정 구조가 원점 대칭을 가진다면, parity에 의해 ⟨ n 0 | p → | 0 n ⟩ = 0 {\displaystyle \langle n0|{\vec {p}}|0n\rangle =0} 이 성립한다. 즉, 에너지 1차 섭동은 0이다. 에너지 2차 섭동은 다음과 같다. ε n ( k → ) = ε n ( 0 ) + k → 2 2 m + 1 m 2 ∑ δ ≠ n ⟨ n 0 | p μ k μ | 0 δ ⟩ ⟨ δ 0 | p ν k ν | 0 n ⟩ ε n 0 − ε δ 0 {\displaystyle \varepsilon _{n}({\vec {k}})=\varepsilon _{n}(0)+{{\vec {k}}^{2} \over 2m}+{1 \over m^{2}}\sum _{\delta \neq n}{\langle n0|p_{\mu }k_{\mu }|0\delta \rangle \langle \delta 0|p_{\nu }k_{\nu }|0n\rangle \over \varepsilon _{n0}-\varepsilon _{\delta 0}}} 이 때, 고유함수를 1차항까지 전개하면, | k → n ⟩ = e x p ( i k → ⋅ r → ) ( | 0 n ⟩ + 1 m ∑ δ ≠ n ⟨ δ 0 | k → ⋅ p → | 0 n ⟩ ε n 0 − ε δ 0 ) {\displaystyle |{\vec {k}}n\rangle =exp(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})(|0n\rangle +{1 \over m}\sum _{\delta \neq n}{\langle \delta 0|{\vec {k}}\cdot {\vec {p}}|0n\rangle \over \varepsilon _{n0}-\varepsilon _{\delta 0}})} . 유효 질량의 정의는 다음과 같다. ( 1 m ∗ ) μ ν = ∂ ∂ k μ ∂ ∂ k ν ε n ( k → ) {\displaystyle ({1 \over m^{*}})_{\mu \nu }={\partial \over \partial {k_{\mu }}}{\partial \over \partial {k_{\nu }}}\varepsilon _{n}({\vec {k}})} 이 정의를 이용해 ε n ( k → ) {\displaystyle \varepsilon _{n}({\vec {k}})} 를 이차항까지 아래와 같은 꼴로 적어 준다. ε n ( k → ) = ε n ( 0 ) + 1 2 m ( m m ∗ ) μ ν k μ k ν {\displaystyle \varepsilon _{n}({\vec {k}})=\varepsilon _{n}(0)+{1 \over 2m}({m \over m^{*}})_{\mu \nu }k_{\mu }k_{\nu }} 이 식과 앞에서 구한, 섭동에 따른 전개식을 사용하면, 다음과 같은 결과에 도달하게 된다. ( m m ∗ ) μ ν = δ μ ν + 2 m ∑ δ ≠ n ⟨ n 0 | p μ | 0 δ ⟩ ⟨ δ 0 | p ν | 0 n ⟩ ε n 0 − ε δ 0 {\displaystyle ({m \over m^{*}})_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }+{2 \over m}\sum _{\delta \neq n}{\langle n0|p_{\mu }|0\delta \rangle \langle \delta 0|p_{\nu }|0n\rangle \over \varepsilon _{n0}-\varepsilon _{\delta 0}}} 우변의 분모가 매우 작은 경우, 유효 질량 m ∗ {\displaystyle m^{*}} 이 실제 질량 m {\displaystyle m} 보다 매우 작게 된다. 예를 들어, 반도체 CdxHg1−xTe ( x = 0.136 {\displaystyle x=0.136} )의 경우, 전도띠의 바닥 상태에서는 유효 질량이 m ∗ / m ≤ 4 ∗ 10 − 4 {\displaystyle m^{*}/m\leq 4*10^{-4}} 으로 매우 작다. 스핀-궤도 결합 효과를 고려하는 경우에는 보통 다음과 같은 역학적 운동량(mechanical momentum) π {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}} 를 정의한다. π = p + 1 m c 2 σ × ∇ V ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}=\mathbf {p} +{\frac {1}{mc^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V(\mathbf {r} )} . 그렇다면 섭동 해밀토니언 H k ′ {\displaystyle H'_{\mathbf {k} }} 는 다음과 같다. H k ′ = ℏ k ⋅ π / m + ℏ 2 k 2 / 2 m . {\displaystyle H'_{\mathbf {k} }=\hbar \mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\pi }}/m+\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}/2m.} 즉, 스핀-궤도 결합을 고려하려면 모든 공식에서 바른틀 운동량 p {\displaystyle \mathbf {p} } 를 역학적 운동량 π {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}} 로 치환하기만 하면 된다. 겹침이 있는 경우 k·p 섭동 이론은 더 복잡해진다. 기본적인 방법은 겹침이 없는 경우와 같으나, 기저를 새롭게 잡아서 해밀토니언의 섭동항의 대각 성분만 살려주도록 해야 한다. 경우에 따라 그 방법이 다양하다. 띠구조 준자유 전자 모형 띠틈 유효 질량 상태 밀도 블로흐 정리 Kittel, C. (1987). 《Quantum Theory of Solids》 2판. ISBN 0-471-62412-8.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Ashcroft, Neil W.; N. David Mermin (1976). 《Solid State Physics》 (영어). Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-083993-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)