H-공간

H-공간(H-space)과 쌍대 H-공간(co-H-space)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 연속 함수 μ : X × X → X {\displaystyle \mu \colon X\times X\to X} 항등원 e ∈ X {\displaystyle e\in X} : 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대해 x ↦ μ ( x , e ) {\displaystyle x\mapsto \mu (x,e)} 와 x ↦ μ ( e , x ) {\displaystyle x\mapsto \mu (e,x)} 가 모두 항등 함수 id x {\displaystyle \operatorname {id} _{x}} 와 호모토피 동치가 되게 한다. H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군(H-group)이라 부른다. 쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 연속 함수 μ : X → X ∨ X {\displaystyle \mu \colon X\to X\vee X} 항등원 e ∈ X {\displaystyle e\in X} 위상군 G {\displaystyle G} 와 그 연산 G × G → G {\displaystyle G\times G\to G} 는 그 자체로 H-군을 이룬다. 초구의 경우 H-공간이 되는 것은 S 0 {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}} , S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} , S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} , S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 밖에 없다. S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다. n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 일 경우 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다: 0차원 세포 1개 ∙ {\displaystyle \bullet } . 이는 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 적도 위의 한 점이다. n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 세포 1개. 즉, n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 뼈대는 초구 S n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}} 이다. 이는 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 적도에 해당한다. n {\displaystyle n} 차원 세포 2개. 이들은 각각 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 북반구와 남반구에 대응한다. 적도에 있는 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 세포 S n − 1 ↪ S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}} 에 대한 몫공간 S n / S n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}} 을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다. w n : S n ↠ S n / S n − 1 ≅ S n ∨ S n {\displaystyle w_{n}\colon \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}} 이 몫공간 함수 w n {\displaystyle w_{n}} 을 연산자로 삼아서 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다. 일반적으로 임의의 점을 가진 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 그 축소 현수 Σ X {\displaystyle \Sigma X} 는 쌍대 H-공간을 이룬다. Σ X = X ∧ S 1 = ( X × S 1 ) / ( X ∨ S 1 ) {\displaystyle \Sigma X=X\wedge \mathbb {S} ^{1}=(X\times \mathbb {S} ^{1})/(X\vee \mathbb {S} ^{1})} 위에서 연산을 다음과 같이 정의한다. ( id X ∧ w 1 ) : X ∧ S 1 → X ∧ ( S 1 ∨ S 1 ) ≅ ( X ∧ S 1 ) ∨ ( X ∧ S 1 ) {\displaystyle (\operatorname {id} _{X}\wedge w_{1})\colon X\wedge \mathbb {S} ^{1}\to X\wedge (\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1})\cong (X\wedge \mathbb {S} ^{1})\vee (X\wedge \mathbb {S} ^{1})} 여기서 ∧ {\displaystyle \wedge } 는 분쇄곱, ∨ {\displaystyle \vee } 는 쐐기합이고, w 1 {\displaystyle w_{1}} 은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 Σ S n − 1 ≃ S n {\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\simeq \mathbb {S} ^{n}} 이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다. 거꾸로 고리 공간 Ω X {\displaystyle \Omega X} 는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, Ω X {\displaystyle \Omega X} 위의 곱셈은 다음과 같다. m : ( γ , γ ′ ) ↦ ( γ ∨ γ ′ ) ∘ w 1 {\displaystyle m\colon (\gamma ,\gamma ')\mapsto (\gamma \vee \gamma ')\circ w_{1}} 여기서 γ , γ ′ : S 1 → X {\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\to X} γ ∨ γ ′ : S 1 ∨ S 1 → X {\displaystyle \gamma \vee \gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}\to X} w 1 : S 1 → S 1 ∨ S 1 {\displaystyle w_{1}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}} 이다. 아벨 군 G {\displaystyle G} 및 자연수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 는 다른 공간의 고리 공간이다. K ( G , n ) ≃ Ω K ( G , n + 1 ) {\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)} 그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 은 H-공간을 이룬다. 마찬가지로 유한 생성 아벨 군 G {\displaystyle G} 및 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 의 경우 피터슨 공간 P ( G , n ) {\displaystyle P(G,n)} 는 다른 공간의 축소 현수 공간이다. P ( G , n ) ≃ Σ P ( G , n − 1 ) {\displaystyle P(G,n)\simeq \Sigma P(G,n-1)} 그러므로 피터슨 공간 P ( G , n ) {\displaystyle P(G,n)} 은 쌍대 H-공간을 이룬다. 호모토피 군은 초구에서 공간 X {\displaystyle X} 으로 가는 호모토피류 [ S n , X ] ∙ {\displaystyle [\mathbb {S} ^{n},X]_{\bullet }} 로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 h : S n ∨ S n → S n {\displaystyle h\colon \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}} 에 의해 정의된다: [ f ] ⋅ [ g ] : x ↦ ( f ∨ g ) ( h ( x ) ) {\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(h(x))} 일반적으로, 쌍대 H-공간 ( X , μ ) {\displaystyle (X,\mu )} 에서 공간 Y {\displaystyle Y} 로 가는 호모토피류 [ X , Y ] ∙ {\displaystyle [X,Y]_{\bullet }} 위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다. [ f ] ⋅ [ g ] : x ↦ ( f ∨ g ) ( μ ( x ) ) {\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(\mu (x))} 거꾸로 공간 X {\displaystyle X} 에서 H-공간 ( Y , μ ) {\displaystyle (Y,\mu )} 로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다. [ f ] ⋅ [ g ] : x ↦ μ ( f ( x ) , g ( x ) ) {\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto \mu (f(x),g(x))} 위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 [ X , Y ] ∙ {\displaystyle [X,Y]_{\bullet }} 은 군의 구조를 가진다. 에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 Σ {\displaystyle \Sigma } 와 고리 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다: [ X , Ω Y ] ∙ ≅ [ Σ X , Y ] ∙ {\displaystyle [X,\Omega Y]_{\bullet }\cong [\Sigma X,Y]_{\bullet }} 특히, Σ S n − 1 ≅ S n {\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}} 이므로 호모토피 군에 대해 π n − 1 ( Ω X ) ≅ π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n-1}(\Omega X)\cong \pi _{n}(X)} 가 성립한다. 장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다. 위상군 체흐 코호몰로지 호프 대수 J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755.