코시 적분 공식

복소해석학에서 코시 적분 공식(-積分公式, 영어: Cauchy's integral formula)은 정칙 함수를 경곗값에 대한 경로 적분으로 나타내는 공식이다. 유계 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 의 경계 ∂ D {\displaystyle \partial D} 가 유한 개의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 f : cl ⁡ D → C {\displaystyle f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C} } 가 D {\displaystyle D} 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, 임의의 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 에 대하여, 다음이 성립한다.:87, §3.3, 정리1 f ( z 0 ) = 1 2 π i ∫ ∂ D f ( z ) z − z 0 d z {\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z} 우변의 적분을 코시 적분(-積分, 영어: Cauchy integral)이라고 부른다. 이는 f | ∂ D {\displaystyle f|_{\partial D}} 에 코시 변환을 가하여 얻는 함수이므로, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 및 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 에 대하여, f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∫ ∂ D f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z {\displaystyle f^{(n)}(z_{0})={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\mathrm {d} z} 이다. 이에 따라, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 및 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 및 0 < r < d ( z 0 , ∂ D ) {\displaystyle 0<r<d(z_{0},\partial D)} 에 대하여, | f ( n ) ( z 0 ) | ≤ n ! r n sup | z | = r | f ( z ) | {\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z|=r}|f(z)|} 이다. 이를 코시 부등식이라고 한다. 임의의 0 < r < d ( z 0 , ∂ D ) {\displaystyle 0<r<d(z_{0},\partial D)} 를 취하자. 그렇다면, 항등식 ∫ | z − z 0 | = r d z z − z 0 = 2 π i {\displaystyle \int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {\mathrm {d} z}{z-z_{0}}}=2\pi i} ∫ | z − z 0 | = r d z = 0 {\displaystyle \int _{|z-z_{0}|=r}\mathrm {d} z=0} 과 코시 적분 정리에 의하여, ∫ ∂ D f ( z ) z − z 0 d z − 2 π i f ( z 0 ) = ∫ | z − z 0 | = r f ( z ) z − z 0 d z − 2 π i f ( z 0 ) = ∫ | z − z 0 | = r f ( z ) z − z 0 d z − ∫ | z − z 0 | = r f ( z 0 ) z − z 0 d z − ∫ | z − z 0 | = r f ′ ( z 0 ) d z = ∫ | z − z 0 | = r ( f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 − f ′ ( z 0 ) ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-2\pi if(z_{0})&=\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-2\pi if(z_{0})\\&=\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-\int _{|z-z_{0}|=r}f'(z_{0})\mathrm {d} z\\&=\int _{|z-z_{0}|=r}\left({\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right)\mathrm {d} z\end{aligned}}} 이며, 따라서 | ∫ ∂ D f ( z ) z − z 0 d z − 2 π i f ( z 0 ) | ≤ lim r → 0 + ( max | z − z 0 | = r | f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 − f ′ ( z 0 ) | ∫ | z − z 0 | = r | d z | ) = 0 {\displaystyle \left|\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-2\pi if(z_{0})\right|\leq \lim _{r\to 0^{+}}\left(\max _{|z-z_{0}|=r}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|\int _{|z-z_{0}|=r}|\mathrm {d} z|\right)=0} 이다. 적분 ∫ | z | = 2 d z z 2 + 1 {\displaystyle \int _{|z|=2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}} 를 생각하자. 함수 z ↦ 1 z 2 + 1 {\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z^{2}+1}}} 는 { z ∈ C : | z | < 2 , | z − i | , | z + i | > 1 / 2 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z|<2,\;|z-i|,|z+i|>1/2\}} 의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 정리에 의하여 ∫ | z | = 2 d z z 2 + 1 = ∫ | z − i | = 1 / 2 d z z 2 + 1 + ∫ | z + i | = 1 / 2 d z z 2 + 1 = ∫ | z − i | = 1 / 2 d z ( z + i ) ( z − i ) + ∫ | z + i | = 1 / 2 d z ( z + i ) ( z − i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{|z|=2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}&=\int _{|z-i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}+\int _{|z+i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}\\&=\int _{|z-i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}+\int _{|z+i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}\end{aligned}}} 이다. 첫째 항에서 함수 z ↦ 1 z + i {\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z+i}}} 는 { z ∈ C : | z − i | < 1 / 2 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z-i|<1/2\}} 의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여 ∫ | z − i | = 1 / 2 d z ( z + i ) ( z − i ) = 2 π i z + i | z = i = π {\displaystyle \int _{|z-i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}={\frac {2\pi i}{z+i}}{\bigg |}_{z=i}=\pi } 이며, 마찬가지로 둘째 항에서 함수 z ↦ 1 z − i {\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z-i}}} 는 { z ∈ C : | z + i | < 1 / 2 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z+i|<1/2\}} 의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여 ∫ | z + i | = 1 / 2 d z ( z + i ) ( z − i ) = 2 π i z − i | z = − i = − π {\displaystyle \int _{|z+i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}={\frac {2\pi i}{z-i}}{\bigg |}_{z=-i}=-\pi } 이다. 따라서, ∫ | z | = 2 d z z 2 + 1 = 0 {\displaystyle \int _{|z|=2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}=0} 이다. 코시-리만 방정식 모레라 정리 미타그레플레르 정리 그린 함수 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1.  “Cauchy integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy integral formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.