극대 아이디얼

환론에서 극대 아이디얼(極大ideal, 영어: maximal ideal)은 환 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 부분 가군 N ⊆ M {\displaystyle N\subseteq M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군을 극대 부분 가군(極大部分加群, 영어: maximal submodule)이라고 한다. N ≠ M {\displaystyle N\neq M} 이며, M {\displaystyle M} 의 임의의 부분 가군 N ′ ⊆ M {\displaystyle N'\subseteq M} 에 대하여, 만약 N ′ ⊇ N {\displaystyle N'\supseteq N} 이라면 N ′ = M {\displaystyle N'=M} 이거나 N ′ = N {\displaystyle N'=N} 이다. 즉, N {\displaystyle N} 은 부분 순서 집합 Sub ⁡ ( M ) ∖ { M } {\displaystyle \operatorname {Sub} (M)\setminus \{M\}} 의 극대 원소이다. (여기서 Sub ⁡ ( M ) ∖ { M } {\displaystyle \operatorname {Sub} (M)\setminus \{M\}} 은 M {\displaystyle M} 의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.) 몫가군 M / N {\displaystyle M/N} 은 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군은 단순 가군이 아니다.) 마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 극대 부분 가군들의 집합을 Max ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {Max} (_{R}M)} 이라고 표기하자. 주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 근기라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군 R R {\displaystyle _{R}R} 의 부분 가군은 왼쪽 아이디얼이며, R R {\displaystyle _{R}R} 의 극대 부분 가군을 극대 왼쪽 아이디얼(영어: maximal left ideal)이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼 M ≠ R {\displaystyle {\mathfrak {M}}\neq R} 이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 R {\displaystyle R} 의 임의의 왼쪽 아이디얼 R A {\displaystyle _{R}{\mathfrak {A}}} 에 대하여, 만약 M ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {M}}\subseteq {\mathfrak {A}}} 라면 A = R {\displaystyle {\mathfrak {A}}=R} 이거나 A = M {\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {M}}} 이라는 것이다. 마찬가지로 극대 오른쪽 아이디얼(영어: maximal right ideal)은 1차 자유 오른쪽 가군 R R {\displaystyle R_{R}} 의 극대 부분 가군이다. 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 국소환이라 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 m ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 극대 아이디얼이라고 한다. 극대 왼쪽 아이디얼이다. 극대 오른쪽 아이디얼이다. R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} 은 체이다. 환의 스펙트럼 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 의 자리스키 위상에서, { m } {\displaystyle \{{\mathfrak {m}}\}} 은 닫힌 집합이다. 즉, Max ⁡ R ⊆ Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Max} R\subseteq \operatorname {Spec} R} 는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 잉여류체라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 나눗셈환이 아닐 수 있다. 가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼 특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 크룰 정리(영어: Krull’s theorem)에 따르면, 환 R {\displaystyle R} 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 R M ≠ 0 {\displaystyle _{R}M\neq 0} 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, Max ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {Max} (_{R}M)} 은 공집합이 아니다. 증명: 초른 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합 S ⊆ Sub ⁡ ( R M ) ∖ { M } {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Sub} (_{R}M)\setminus \{M\}} 에 대하여, A = ⋃ S ∈ S S {\displaystyle A=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S} 를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다. A {\displaystyle A} 는 M {\displaystyle M} -부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 증명: 임의의 a , a ′ ∈ A {\displaystyle a,a'\in A} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, a ∈ S {\displaystyle a\in S} 및 a ′ ∈ S ′ {\displaystyle a'\in S'} 이 되는 S , S ′ ∈ S {\displaystyle S,S'\in {\mathcal {S}}} 를 찾을 수 있다. 그렇다면 a , a ′ ∈ max { S , S ′ } {\displaystyle a,a'\in \max\{S,S'\}} 이므로 a + a ′ ∈ max { S , S ′ } ⊆ A {\displaystyle a+a'\in \max\{S,S'\}\subseteq A} 이다. A ≠ M {\displaystyle A\neq M} 이다. 증명: M {\displaystyle M} 이 유한 생성 왼쪽 가군이므로, R m 1 + R m 2 + ⋯ + R m k = M {\displaystyle Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{k}=M} 이 되는 m 1 , … , m k ∈ M {\displaystyle m_{1},\dots ,m_{k}\in M} 을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 A = M {\displaystyle A=M} 이라면, m i ∈ S i {\displaystyle m_{i}\in S_{i}} 가 되는 S 1 , … , S k ∈ S {\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}\in {\mathcal {S}}} 를 찾을 수 있는데, 이 경우 M = max { S 1 , … , S k } ∈ S {\displaystyle M=\max\{S_{1},\dots ,S_{k}\}\in {\mathcal {S}}} 이 되며, 이는 모순이다. 또한, 환 R {\displaystyle R} 위의, 영가군이 아닌 사영 왼쪽 가군 R M ≠ 0 {\displaystyle _{R}M\neq 0} 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, 사영 덮개를 갖는 왼쪽 가군은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 은 그 사영 덮개 R P {\displaystyle _{R}P} 의 잉여적 부분 가군 S ⊆ P {\displaystyle S\subseteq P} 에 대한 몫가군 M ≅ P / S {\displaystyle M\cong P/S} 이며, 모든 잉여적 부분 가군은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.) 특히, 자유 왼쪽 가군 R R {\displaystyle _{R}R} 는 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며, R {\displaystyle R} 가 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서, R {\displaystyle R} 는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다. (위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.) 크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다. 환 R {\displaystyle R} 의 모든 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 충분조건들은 다음을 들 수 있다. 모든 단순 왼쪽 가군의 단사 껍질은 뇌터 가군이다.:Corollary 1.1 M {\displaystyle M} 의 모든 왼쪽 가군은 사영 덮개를 갖는다. (특히, 왼쪽 아르틴 환에 대하여 이 조건이 성립한다.) 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 극대 아이디얼들은 소수 p {\displaystyle p} 에 대한 주 아이디얼 ( p ) {\displaystyle (p)} 이다. 체의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 밖에 없다. 힐베르트 영점 정리에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 다항식환 K [ x 1 , x 2 , … , x k ] {\displaystyle K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}]} 의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 아이디얼이다. ( x 1 − a 1 , x 2 − a 2 , … , x k − a k ) ( a 1 , … , a k ∈ K ) {\displaystyle (x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{k}-a_{k})\qquad (a_{1},\dots ,a_{k}\in K)} 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 가군 Z Q {\displaystyle _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} } (유리수의 덧셈 아벨 군)을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다. 크룰 정리는 볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 증명하였다. 소 아이디얼 Faith, Carl (1995). “Rings whose modules have maximal submodules”. 《Publicacions Matemàtiques》 (영어) 39 (1): 201–204. doi:10.5565/PUBLMAT_39195_12. ISSN 0210-2978. MR 1336364.  Krull, Wolfgang (1929). “Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 101: 729–744. doi:10.1007/BF01454872. ISSN 0025-5831.  “Maximal ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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