형식적 군 법칙

대수기하학에서, 형식적 군 법칙(形式的群法則, 영어: formal group law)은 리 군의 국소적 곱셈 법칙을 형식적 멱급수로 공리화하여 얻은 대수적 구조이다. 구체적으로, 이는 일종의 결합 법칙을 만족시키는 형식적 멱급수이다. 표수 0의 체의 경우 이 개념은 사실상 리 대수와 동치이나, 다른 표수의 경우 이는 추가 정보를 포함한다. 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 형식적 변수 x 1 , x 2 , … , x n , y 1 , y 2 , … , y n {\displaystyle {\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n},{\mathsf {y}}_{1},{\mathsf {y}}_{2},\dotsc ,y_{n}} 을 생각하자. 편의상 이들을 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\mathsf {x}}=({\mathsf {x}}_{1},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n})} y = ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle {\mathsf {y}}=({\mathsf {y}}_{1},\dotsc ,{\mathsf {y}}_{n})} 와 같이 표기하자. 이에 대한 형식적 멱급수환 K [ [ x , y ] ] {\displaystyle K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]} 을 생각하자. 이에 대한 형식적 군 법칙은 n {\displaystyle n} 개의 형식적 멱급수 F = ( F 1 , F 2 , … , F n ) {\displaystyle F=(F_{1},F_{2},\dotsc ,F_{n})} F 1 , … , F n ∈ K [ [ x , y ] ] {\displaystyle F_{1},\dotsc ,F_{n}\in K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]} 로 구성되며, 다음 조건을 만족시켜야 한다. F ( x , y ) = x + y + O ( x 2 , y 2 , x y ) {\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}+O({\mathsf {x}}^{2},{\mathsf {y}}^{2},{\mathsf {xy}})} (군 법칙의 최소차항) F ( x , F ( y , z ) ) = F ( F ( x , y ) , z ) {\displaystyle F({\mathsf {x}},F({\mathsf {y}},{\mathsf {z}}))=F(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}),{\mathsf {z}})} (형식적 결합 법칙) 형식적 군 법칙 F {\displaystyle F} 가 다음 조건을 따른다면, 가환 형식적 군 법칙(영어: commutative formal group law)이라고 한다. F ( x , y ) = F ( y , x ) {\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})=F({\mathsf {y}},{\mathsf {x}})} 같은 가환환 K {\displaystyle K} 를 계수로 하는 m {\displaystyle m} 차원 형식적 군 법칙 F {\displaystyle F} 와 n {\displaystyle n} 차원 형식적 군 법칙 G {\displaystyle G} 사이의 형식적 군 법칙 준동형(영어: formal group law homomorphism) f : F → G {\displaystyle f\colon F\to G} 은 다음 조건을 만족시키는 다항식 f 1 , f 2 , … , f n ∈ K [ [ x 1 , x 2 , … , x n ] ] {\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc ,f_{n}\in K[[{\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n}]]} 이다. G ( f ( x ) , f ( y ) ) = f ( F ( x , y ) ) {\displaystyle G(f({\mathsf {x}}),f({\mathsf {y}}))=f(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}))} 역원을 가지는 형식적 군 법칙 준동형을 형식적 군 법칙의 동형이라고 한다. (이는 m = n {\displaystyle m=n} 일 때에만 존재한다.) 형식적 군 법칙 동형이 f ( x ) = x + O ( x 2 ) {\displaystyle f({\mathsf {x}})={\mathsf {x}}+O({\mathsf {x}}^{2})} 이라면, 이를 순동형(純同形, 영어: strict isomorphism)이라고 한다. 형식적 군 법칙의 정의에는 역원의 존재에 대한 특별한 조건에 없지만, 이는 항상 자동적으로 성립한다. 즉, 임의의 형식적 군 법칙 F {\displaystyle F} 에 대하여, 항상 F ( x , G ( x ) ) = 0 {\displaystyle F({\mathsf {x}},G({\mathsf {x}}))=0} 인 G ∈ K [ [ x ] ] {\displaystyle G\in K[[{\mathsf {x}}]]} 가 존재한다. 만약 가환환 K {\displaystyle K} 가 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 를 포함한다면, K {\displaystyle K} 계수의 임의의 n {\displaystyle n} 차원 형식적 군 법칙 F {\displaystyle F} 는 덧셈 형식적 군 법칙와 순동형이다. 즉, 어떤 순동형 log {\displaystyle \log } 에 대하여 log ⁡ ( F ( x , y ) ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle \log(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}))=f({\mathsf {x}})+f({\mathsf {y}})} 가 된다. 임의의 n {\displaystyle n} 차원 형식적 군 법칙 F i ( x , y ) = x i + y i + ∑ j , k f i j k x j y k + ∑ j , k f i ′ j k x j x k + ∑ j , k f i ″ j k y j y k ⋯ {\displaystyle F_{i}({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}_{i}+{\mathsf {y}}_{i}+\sum _{j,k}f_{i}{}^{jk}{\mathsf {x}}^{j}{\mathsf {y}}^{k}+\sum _{j,k}f'_{i}{}^{jk}{\mathsf {x}}^{j}{\mathsf {x}}^{k}+\sum _{j,k}f''_{i}{}^{jk}{\mathsf {y}}^{j}{\mathsf {y}}^{k}\dotsb } 에서, f i j k {\displaystyle f_{i}{}^{jk}} 는 n {\displaystyle n} 차원 리 대수를 정의한다. [ x , y ] + O ( x 3 , y 3 , x y 2 , y x 2 ) = F ( x , y ) − F ( y , x ) {\displaystyle [x,y]+O(x^{3},y^{3},xy^{2},yx^{2})=F(x,y)-F(y,x)} 표수 0의 체의 경우, 형식적 군 법칙의 범주는 리 대수의 범주와 동치이다. 그러나 이는 양의 표수의 경우 성립하지 않는다. 덧셈 형식적 군 법칙은 임의의 차원 및 계수에서 정의되는 다음과 같다. F ( x , y ) = x + y {\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}} 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 에 대하여, 곱셈 군 법칙은 다음과 같은 1차원 군 법칙이다. F ( x , y ) = x + y + u x y {\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}+u{\mathsf {x}}{\mathsf {y}}} n {\displaystyle n} 차원 리 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 그 리 대수 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 의 임의의 기저를 잡고, 리 지수 함수 exp : l i e ( G ) → G {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {lie}}(G)\to G} 로서 G {\displaystyle G} 의, 항등원 1 ∈ G {\displaystyle 1\in G} 근방의 국소 좌표계를 정의할 수 있다. G {\displaystyle G} 의 곱셈은 매끄러운 함수이므로 이에 대한 테일러 급수를 취할 수 있으며, 이는 n {\displaystyle n} 차원 실수 계수 형식적 군 법칙을 이룬다. 특수 상대성 이론의 속도 덧셈 공식 F ( x , y ) = x + y 1 + x ⋅ y {\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\frac {{\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}}{1+{\mathsf {x}}\cdot {\mathsf {y}}}}} 은 형식적 군 법칙을 이룬다. 잘로몬 보흐너(독일어: Salomon Bochner)가 1946년에 도입하였다. 비트 벡터 Bochner, Salomon (1946). “Formal Lie groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 47: 192–201. doi:10.2307/1969242. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969242. MR 0015397.  “Formal group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Formal group”. 《nLab》 (영어).