유계 함수

실해석학에서 유계 함수(有界函數, 영어: bounded function)는 그 치역이 유계 집합인 함수이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 체 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 연속 함수 f : X → V {\displaystyle f\colon X\to V} f {\displaystyle f} 의 치역이 유계 집합이라면, f {\displaystyle f} 를 유계 함수라고 한다. 즉, 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 의 임의의 근방 N ∋ 0 {\displaystyle N\ni 0} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수 δ ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle \delta \in K\setminus \{0\}} 가 존재하여야 한다. δ f ( x ) ∈ N ∀ x ∈ X {\displaystyle \delta f(x)\in N\qquad \forall x\in X} 유계 함수가 아닌 함수를 무계 함수(無界函數, 영어: unbounded function)라고 한다. 유계 연속 함수 X → V {\displaystyle X\to V} 의 벡터 공간을 C bd ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)} 로 표기하며, 이 위에는 균등 수렴 위상을 부여한다. X {\displaystyle X} 가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. f {\displaystyle f} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 콤팩트 지지 연속 함수(영어: compactly supported continuous map)라고 한다. f | X ∖ K = 0 {\displaystyle f|_{X\setminus K}=0} 인 콤팩트 집합 K {\displaystyle K} 가 존재한다. (여기서 0 : X → V {\displaystyle 0\colon X\to V} 는 영벡터 상수 함수이다.) 지지 집합 supp ⁡ f = cl ⁡ { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0 } {\displaystyle \operatorname {supp} f=\operatorname {cl} \{x\in X\colon f(x)\neq 0\}} 이 콤팩트 집합이다. (여기서 cl {\displaystyle \operatorname {cl} } 은 폐포를 뜻한다.) 콤팩트 지지 연속 함수 X → V {\displaystyle X\to V} 들의 집합을 C comp ( X , V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X,V)} 로 표기하자. X {\displaystyle X} 가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 만약 f {\displaystyle f} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 무한에서 0이 되는 연속 함수(영어: continuous map vanishing at infinity)라고 한다. 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 의 임의의 근방 N ∋ 0 {\displaystyle N\ni 0} 에 대하여, im ⁡ ( f | X ∖ K ) ⊆ N {\displaystyle \operatorname {im} (f|_{X\setminus K})\subseteq N} 이 되는 콤팩트 집합 K {\displaystyle K} 가 존재한다. (여기서 im {\displaystyle \operatorname {im} } 은 치역을 의미한다.) 무한에서 0이 되는 연속 함수 X → V {\displaystyle X\to V} 들의 집합을 C 0 ( X , V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X,V)} 로 표기하자. 만약 V {\displaystyle V} 가 노름 공간이라면, C 0 ( X , V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X,V)} 에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다. ‖ f ‖ = sup x ∈ X f ( x ) {\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}f(x)} 만약 V {\displaystyle V} 가 바나흐 공간이라면, C 0 ( X , V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X,V)} 역시 바나흐 공간이다. X {\displaystyle X} 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. C comp ( X ; V ) ⊆ C 0 ( X ; V ) ⊆ C bd ( X ; V ) ⊆ C ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}_{0}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}(X;V)} 여기서 C ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X;V)} 는 모든 연속 함수 X → V {\displaystyle X\to V} 들의 공간이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 하이네-보렐 정리에 의하여 이 네 함수 공간들은 모두 다 일치한다. 또한, 모든 유계 변동 함수는 유계 함수이다. V {\displaystyle V} 가 노름 공간이라고 하면, C bd ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)} 위에 균등 노름 ‖ f ‖ = max x ∈ X ‖ f ( x ) ‖ ( f ∈ C bd ( X ; V ) ) {\displaystyle \|f\|=\max _{x\in X}\|f(x)\|\qquad (f\in {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V))} 을 정의할 수 있다. 만약 V {\displaystyle V} 가 추가로 바나흐 공간이라면, C bd ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)} 역시 바나흐 공간이다. 또한, C 0 ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X;V)} 역시 균등 노름에 의하여 바나흐 공간을 이룬다. C comp ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;V)} 는 노름 공간이지만 일반적으로 바나흐 공간이 아니며, 그 완비화는 C 0 ( X ; V ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X;V)} 이다. 리스 표현 정리에 따르면, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, C 0 ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X;\mathbb {R} )} 및 C comp ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )} 의 위상 쌍대 공간인 바나흐 공간은 X {\displaystyle X} 위의 측정 측도들의 바나흐 공간과 동형이다. 다음 함수들은 정의역과 공역이 모두 (표준적 거리 함수를 갖춘) 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이라고 가정한다. 함수 x ↦ x {\displaystyle x\mapsto x} 는 치역이 R {\displaystyle \mathbb {R} } 전체이므로 유계 함수가 아니다. 반면, 함수 x ↦ 1 / ( x 2 + 1 ) {\displaystyle x\mapsto 1/(x^{2}+1)} 는 치역이 구간 ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} 이므로 유계 함수이다. 마찬가지로, 삼각함수 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 와 cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 또한 치역이 닫힌구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 이므로 유계함수이다. 그러나 tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} 는 치역이 실수 전체이므로 유계함수가 아니다. 유리수 집합의 지시 함수 χ Q : x ↦ { 1 x ∈ Q 0 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} (디리클레 함수라고 한다)는 연속 함수가 아니지만 치역이 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 이므로 유계 함수이다. 정규 분포 확률 밀도 함수 f 1 : R → R {\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f 1 : x ↦ exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) {\displaystyle f_{1}\colon x\mapsto \exp(-x^{2}/2)} 는 무한에서 0이 되는 매끄러운 함수이지만, 콤팩트 지지 함수가 아니다. 함수 f 2 : R → R {\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f 2 : x ↦ { exp ⁡ ( − 1 / ( 1 − x 2 ) ) | x | < 1 0 | x | ≥ 1 {\displaystyle f_{2}\colon x\mapsto {\begin{cases}\exp(-1/(1-x^{2}))&|x|<1\\0&|x|\geq 1\end{cases}}} 는 콤팩트 지지 매끄러운 함수이다. 유계 집합 지지집합 균등 유계 함수족 Jerison, Meyer (1950년 9월). “The space of bounded maps into a Banach space”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 52 (2): 309–327. doi:10.2307/1969472. JSTOR 1969472.  “Function of compact support”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Compact support”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Vanishing at infinity”. 《nLab》 (영어).  “Compact support”. 《nLab》 (영어).