콜모고로프-아르놀트-모저 정리

해밀턴 역학에서 콜모고로프-아르놀트-모저 정리(Колмогоров-Арнольд-Moser定理, 영어: Kolmogorov–Arnold–Moser theorem, 약자 KAM)는 적분가능계에 충분히 작은 섭동항을 추가하였을 때, 거의 모든 준주기적 해들이 살아남는다는 정리이다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 위의 적분가능계의 작용-각도 변수가 ( I i , θ i ) {\displaystyle (I^{i},\theta _{i})} 라고 하자 ( I i ∈ R {\displaystyle I^{i}\in \mathbb {R} } , θ i ∈ R / 2 π Z {\displaystyle \theta _{i}\in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} } ). 즉, 해밀토니언 함수 H 0 ( I ) {\displaystyle H_{0}(I)} 는 작용 변수에만 의존하고, 각도 변수에 의존하지 않는다. 이 계의 운동 방정식은 I ˙ i = 0 {\displaystyle {\dot {I}}^{i}=0} θ ˙ i = ω i j I j {\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}=\omega _{ij}I^{j}} 이며, 따라서 I i {\displaystyle I^{i}} 들은 운동 상수이며, 계의 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 에 대한 주기는 1 / ( 2 π ω i j I j ) {\displaystyle 1/(2\pi \omega _{ij}I^{j})} 이다. 만약 I i {\displaystyle I^{i}} 들의 비가 유리수라면 이는 해밀턴 방정식의 주기적 해를 이루며, 무리수라면 이는 해밀턴 방정식의 준주기적(영어: quasiperiodic) 해를 이룬다. 각 ( I 1 , … , I n ) {\displaystyle (I^{1},\dots ,I^{n})} 에 대응하는 n {\displaystyle n} 차원 원환면을 불변 원환면(영어: invariant torus)이라고 한다. 이제, 해밀토니언 함수에 미세한 적분 불가능 섭동을 주자. H ( I , θ ) = H 0 ( I ) + V ( I , θ ) {\displaystyle H(I,\theta )=H_{0}(I)+V(I,\theta )} 그렇다면, 만약 V {\displaystyle V} 가 충분히 작다면 불변 원환면들이 그대로 유지되는지 물을 수 있다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리는 이 문제에 대한 해답을 제공한다. 구체적으로, 임의의 벡터 v ∈ R n {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} 가 존재한다면, v {\displaystyle v} 가 디오판토스 벡터(영어: Diophantine vector)라고 하자. ∀ u ∈ Z n ∖ { 0 } : | u ⋅ v | ≥ a ( | u 1 | + ⋯ + | u n | ) − b {\displaystyle \forall \mathbf {u} \in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}\colon |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\geq a\left(|u_{1}|+\cdots +|u_{n}|\right)^{-b}} 르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터가 디오판토스 벡터임을 보일 수 있다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리에 따르면, 만약 임의의 ( I 0 , … , I n ) ∈ R n {\displaystyle (I^{0},\dots ,I^{n})\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여 ω i j I j {\displaystyle \omega _{ij}I^{j}} 가 디오판토스 벡터이며, 헤세 행렬 ∂ 2 H 0 / ∂ I i ∂ I j {\displaystyle \partial ^{2}H_{0}/\partial I^{i}\partial I^{j}} 이 가역 행렬이라면, 충분히 작은 V {\displaystyle V} 에 대하여, 섭동된 해밀토니언 H = H 0 + V {\displaystyle H=H_{0}+V} 에 대하여 주기가 ω i j I j {\displaystyle \omega _{ij}I^{j}} 인 준주기적 해가 존재한다. (만약 H 0 {\displaystyle H_{0}} 에 대한 해가 주기적이더라도, H {\displaystyle H} 에 대한 해는 일반적으로 준주기적이다.) 여기서 "충분히 작은 V {\displaystyle V} 에 대하여"는 구체적으로 다음과 같은 뜻이다. V : R n × R n → R {\displaystyle V\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } V : ( I i , θ i ) ↦ V ( I , θ ) {\displaystyle V\colon (I^{i},\theta _{i})\mapsto V(I,\theta )} 가 { ( I 1 , … , I n ) } × R n {\displaystyle \{(I^{1},\dots ,I^{n})\}\times \mathbb {R} ^{n}} 의 복소수 닫힌 근방 { ( I 1 , … , I n ) } × R n ⊂ U ⊂ U ¯ ⊂ C n × C n {\displaystyle \{(I^{1},\dots ,I^{n})\}\times \mathbb {R} ^{n}\subset U\subset {\bar {U}}\subset \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}} 으로 해석적 연속될 수 있다고 하고, ‖ V ‖ = sup x ∈ U ¯ | V ( x ) | {\displaystyle \|V\|=\sup _{x\in {\bar {U}}}|V(x)|} 라고 할 때, ‖ V ‖ < ϵ ( a , b ) {\displaystyle \|V\|<\epsilon (a,b)} 이라면 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} -디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수 ϵ ( a , b ) ∈ R + {\displaystyle \epsilon (a,b)\in \mathbb {R} ^{+}} 이 존재한다. (이 실수는 디오판토스 벡터의 정의에서의 상수 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에 의존한다.) 안드레이 콜모고로프 · 블라디미르 아르놀트 · 위르겐 모저 가 증명하였다. 에르고딕 이론 .N. Kolmogorov. On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian. Dokl. Akad. Nauk SSR, 98:527–530, 1954 Arnol'd, V. I. "Proof of a Theorem of A. N. Kolmogorov on the Preservation of Conditionally Periodic Motions under a Small Perturbation of the Hamiltonian." Uspehi Mat. Nauk 18, 13-40, 1963 Moser, J. "On Invariant Curves of Area-Preserving Mappings of an Annulus." Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1-20, 1962 Arnold, Vladimir Igorevich (1989). 《Mathematical Methods of Classical Mechanics》 (영어). Springer. ISBN 0-387-96890-3.  Rangarajan, Govindan (1998년 4월). “Kolmogorov-Arnold-Moser theorem: Can planetary motion be stable?” (영어) 3 (4): 43–53. doi:10.1007/BF02834611. ISSN 0971-8044.  Pöschel, Jürgen (2001). 〈A lecture on the classical KAM theorem〉 (PDF). 《Smooth ergodic theory and its applications》. 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