아델 환

유체론에서 아델 환(adèle環, 영어: adèle ring)은 유리수체나 다른 대수적 수체의 모든 완비화를 대칭적으로 포함하는 위상환이다. 아델 환의 원소를 아델(영어: adèle)이라고 한다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 사유한 완비 Z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}} 는 다음과 같다. Z ^ = def lim ← ⁡ Z / n = ∏ p Z p {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}{\stackrel {\text{def}}{=}}\varprojlim \mathbb {Z} /n=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}} 여기서 후자 (모든 p진 정수환들의 곱)는 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다. 정수 아델 환(영어: ring of integral adèles) A Z {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }} 는 다음과 같다. A Z = R × Z ^ {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }=\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }}} 대역체 K {\displaystyle K} 의 아델 환은 다음과 같다.:357 A K = ∏ v ′ K v {\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{v}'K_{v}} 여기서 K v {\displaystyle K_{v}} 는 자리 v {\displaystyle v} 에 대한 완비화 국소체이며, ∏ v ′ {\displaystyle \prod _{v}'} 는 모든 자리에 대한 제약된 곱이다. 여기서 "제약된 곱"이란 다음 조건을 말한다. ∀ a ∈ A K : { v : v ( a v ) > 0 } < ℵ 0 {\displaystyle \forall a\in \mathbb {A} _{K}\colon \{v\colon v(a_{v})>0\}<\aleph _{0}} 즉, 유한 개의 원소들을 제외한 나머지는 모두 국소체의 대수적 정수환에 속해야 한다. 만약 K {\displaystyle K} 가 대수적 수체 K {\displaystyle K} 인 경우, 아델 환은 다음과 같이 정수 아델 환으로 나타낼 수도 있다. A K = K ⊗ Z A Z {\displaystyle \mathbb {A} _{K}=K\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }} 예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다. A Q = R × ∏ p ′ Q p {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}} 여기서 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 는 p진수체이고, ∏ ′ {\displaystyle \prod '} 는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. A Q {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }} 의 원소 ( a ∞ , a 2 , a 3 , a 5 , … ) {\displaystyle (a_{\infty },a_{2},a_{3},a_{5},\dots )} 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다. 수체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 아델 환 A K {\displaystyle \mathbb {A} _{K}} 의 덧셈군은 국소 콤팩트 위상군이다. 이 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군은 스스로와 동형이다. 아델 환 A K {\displaystyle \mathbb {A} _{K}} 의 가역원들의 군 A K × {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }} 를 이델 군(idèle群, 영어: idèle group)이라고 한다.:357 이 경우, 부분 공간 위상을 주면 곱셈 연산이 연속적이지 않아 위상군이 될 수 없으며, 따라서 대신 다음과 같은 위상을 준다.:361 우선, 아델 환의 곱집합 A × A {\displaystyle \mathbb {A} \times \mathbb {A} } 에 곱공간 위상을 주자. 이델 군 K × {\displaystyle \mathbb {K} ^{\times }} 는 그 속에 다음과 같은 부분 집합을 이룬다. ι : A K × ↪ A K × A K {\displaystyle \iota \colon \mathbb {A} _{K}^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}} ι : x ↦ ( x , x − 1 ) {\displaystyle \iota \colon x\mapsto (x,x^{-1})} 이 매장에 대하여 부분 공간 위상을 주면, A K × {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }} 는 위상군을 이룬다. 대역체 K {\displaystyle K} 의 이델 군 A K × {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }} 의 경우, 가역원군 K × {\displaystyle K^{\times }} 로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. i : K × → A K × {\displaystyle i\colon K^{\times }\to \mathbb {A} _{K}^{\times }} i : a ↦ ( a , a , a , … ) ∈ ∏ p ′ K p × {\displaystyle i\colon a\mapsto (a,a,a,\dots )\in \prod _{p}'K_{p}^{\times }} 이 준동형의 상을 주 이델(영어: principal idèle)이라고 한다.:359, Definition VI.1.2 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 몫군 C K {\displaystyle C_{K}} 를 이델 유군(idèle類群, 영어: idèle class group)이라고 한다.:359, Definition VI.1.2 이델 군은 국소 콤팩트 위상군을 이룬다.:361, Proposition IV.1.5 유체론에 따라서, 임의의 대역체 K {\displaystyle K} 에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군 준동형이 존재하며, 이를 대역 아르틴 준동형이라고 한다. C K → Gal ⁡ ( K ab / K ) {\displaystyle C_{K}\to \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {ab} }/K)} 여기서 K ab {\displaystyle K^{\operatorname {ab} }} 는 K {\displaystyle K} 의 극대 아벨 확대이다. 이를 통하여, 다음과 같은 사유한군의 동형이 존재한다. (여기서 좌변은 이델 유군의 사유한 완비이다.) C ^ K ≅ Gal ⁡ ( K ab / K ) {\displaystyle {\hat {C}}_{K}\cong \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {ab} }/K)} "이델"(프랑스어: idèle)의 개념은 클로드 슈발레가 도입하였다.:357 슈발레는 이를 1936년에 "아이디얼 원소"(프랑스어: élément idéal 엘레망티데알[*])이라는 이름으로 도입하였고, 1940년에는 헬무트 하세의 의견을 따라 프랑스어: idèle 이델[*]로 축약하였다. 이는 "아이디얼 원소"를 "id.el."로 축약한 것을 그대로 읽은 것이다.:357 앙드레 베유는 1938년에 함수체의 아델 환을 정의하였지만 명명하지 않았다. 이후 존 테이트는 이를 "값매김 벡터"(영어: valuation vector)라고 불렸고, 클로드 슈발레는 이를 재분배(영어: repartition)라고 불렀다. "아델"이라는 이름은 1954년에 문헌에 등장하기 시작하며, 아마 앙드레 베유가 지어낸 것으로 추측된다. "아델"(프랑스어: adèle)은 프랑스어에서 여성 이름이며, "덧셈적 이델"(프랑스어: idèle additif 이델 아디티프[*])을 줄인 것이다.:357 Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Chevalley, Claude (1936). “Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies”. 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 (프랑스어) 15: 359–371. JFM 62.1153.02.  Chevalley, Claude (1940). “La théorie du corps de classes”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (프랑스어) 41: 394–418. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969013. MR 0002357.  Weil, André (1938). “Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen”. 《Journal für Reine und Angewandte Mathematik》 (독일어) 179: 129–133. doi:10.1515/crll.1938.179.129. ISSN 0075-4102.  Tate, John T. (1950). 〈Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions〉. 《Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965)》 (영어). Thompson, Washington, D.C. 305–347쪽. ISBN 978-0-9502734-2-6. MR 0217026.  Chevalley, Claude (1951). 《Introduction to the theory of algebraic functions of one variable》. 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