카르탕 대합

리 군론에서 카르탕 대합(Cartan對合, 영어: Cartan involution)은 킬링 형식을 음의 정부호로 만드는 리 대수 대합이다. 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌으며, 그 킬링 형식 B : g ⊗ g → R {\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} } B ( x , y ) = tr ⁡ ( ad ⁡ ( x ) ad ⁡ ( y ) ) {\displaystyle B(x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))} 을 생각하자. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 자기 동형 θ : g → g {\displaystyle \theta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 카르탕 대합이라고 한다. (대합 조건) θ ∘ θ = id g {\displaystyle \theta \circ \theta =\operatorname {id} _{\mathfrak {g}}} B ( − , θ ( − ) ) {\displaystyle B(-,\theta (-))} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 음의 정부호 이차 형식이다. 모든 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 카르탕 대합을 갖는다. 또한, 임의의 두 카르탕 대합 θ {\displaystyle \theta } , θ ′ {\displaystyle \theta '} 에 대하여 θ ′ = θ ∘ Ad g {\displaystyle \theta '=\theta \circ \operatorname {Ad} _{g}} 가 되는, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대응하는 단일 연결 리 군 G {\displaystyle G} 의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 즉, 실수 반단순 리 대수에 대하여 카르탕 대합은 내부 자기 동형을 무시하면 유일하게 존재한다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 대합 θ : g → g {\displaystyle \theta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, θ {\displaystyle \theta } 의 고윳값은 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 이므로, 이에 대한 고유 공간 g = k ⊕ p {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}} θ ( k + p ) = k − p ( k ∈ k , p ∈ p ) {\displaystyle \theta (k+p)=k-p\qquad (k\in {\mathfrak {k}},\;p\in {\mathfrak {p}})} 을 정의할 수 있다. θ {\displaystyle \theta } 는 리 대수 자기 동형이므로, [ k , k ] ⊆ k {\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}} [ k , p ] ⊆ p {\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}} [ p , p ] ⊆ k {\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}} 이다. 특히, k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 는 부분 리 대수를 이룬다. 이를 대합 θ {\displaystyle \theta } 에 대한 카르탕 분해라고 한다. 만약 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 이며 θ {\displaystyle \theta } 가 카르탕 대합이라면, 다음 성질들이 추가로 성립한다. 킬링 형식 B {\displaystyle B} 는 k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 에서 음의 정부호 이차 형식이며, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에서 양의 정부호이다. k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 와 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 B {\displaystyle B} 에 대하여 서로 수직이다. 즉, B ↾ k ⊗ p = 0 {\displaystyle B\upharpoonright {\mathfrak {k}}\otimes {\mathfrak {p}}=0} 이다. s l ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )} 위의 카르탕 대합은 θ : x ↦ − x ⊤ {\displaystyle \theta \colon x\mapsto -x^{\top }} 이다. (여기서 ( − ) ⊤ {\displaystyle (-)^{\top }} 은 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬의 전치 행렬이다.) 이에 따른 카르탕 분해는 k = o ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )} p = { x ∈ s l ( n ; R ) : x = x ⊤ } {\displaystyle {\mathfrak {p}}=\{x\in {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )\colon x=x^{\top }\}} 이다. 만약 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 킬링 형식이 음의 정부호라면 (즉, 콤팩트 리 군에 대응한다면), 카르탕 대합은 항등 함수이다. 이 경우 카르탕 분해는 k = g {\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {g}}} 이며 p = 0 {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {0}}} 이다. 1880년대에 엘리 카르탕과 빌헬름 킬링의 업적에서 최초로 등장한다. “Cartan decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “CartanDecomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.