단사층

층 이론에서, 단사층(單射層, 영어: injective sheaf, 프랑스어: faisceau injectif)은 층의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주 Sh ⁡ ( X ; Ab ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )} 는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다. X {\displaystyle X} 위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상을 단사층이라고 한다. 즉, 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 만약 임의의 층 B ∈ Sh ⁡ ( X ; Ab ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\in \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 부분층 A ⊆ B {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}} 층 준동형 ϕ : A → F {\displaystyle \phi \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {F}}} 가 주어졌을 때, 항상 ϕ ~ | A = ϕ {\displaystyle {\tilde {\phi }}|_{\mathcal {A}}=\phi } 인 층 준동형 ϕ ~ : B → F {\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {F}}} 가 존재한다면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 단사층이라고 한다. 이 밖에도, 관련된 개념으로 섬세층(纖細層, 영어: fine sheaf, 프랑스어: faisceau fin) 물렁한 층(영어: soft sheaf, 프랑스어: faisceau mou) 말랑한 층(영어: flabby sheaf, 프랑스어: faisceau flasque) 비순환층(非循環層, 영어: acyclic sheaf, 프랑스어: faisceau acyclique) 이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 과 그 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 및 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 이 주어졌다고 하자. { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 에 종속된 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 단위 분할은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 자기 사상 ϕ i ∈ End ⁡ ( F ) {\displaystyle \phi _{i}\in \operatorname {End} ({\mathcal {F}})} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, supp ⁡ ϕ i ⊆ U i {\displaystyle \operatorname {supp} \phi _{i}\subseteq U_{i}} 각 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { i ∈ I : x ∈ supp ⁡ ϕ i } {\displaystyle \{i\in I\colon x\in \operatorname {supp} \phi _{i}\}} 는 유한 집합이다. ∑ i ϕ i {\displaystyle \textstyle \sum _{i}\phi _{i}} 는 항등 사상이다. 파라콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 섬세층이라고 한다. 자기 사상의 층 End ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {End} ({\mathcal {F}})} 이 물렁한 층이다. 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 그 에탈레 공간 π F : E ↠ X {\displaystyle \pi _{\mathcal {F}}\colon E\twoheadrightarrow X} 을 정의할 수 있다. X {\displaystyle X} 의 임의의 닫힌집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 에 대하여, 임의의 연속 함수 s : C → E {\displaystyle s\colon C\to E} 에 대하여, 만약 π F ∘ s = id C {\displaystyle \pi _{\mathcal {F}}\circ s=\operatorname {id} _{C}} 라면 s {\displaystyle s} 를 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 C {\displaystyle C} 위의 단면이라고 하며, 단면 집합을 Γ ( C ; F ) {\displaystyle \Gamma (C;{\mathcal {F}})} 라고 한다. 만약 X {\displaystyle X} 가 파라콤팩트 공간일 경우, 이는 C {\displaystyle C} 의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한 Γ ( C ; F ) = lim → U ⊇ C ⁡ Γ ( U ; F ) {\displaystyle \Gamma (C;{\mathcal {F}})=\varinjlim _{U\supseteq C}\Gamma (U;{\mathcal {F}})} 과 같다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 만약 닫힌집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 위의 모든 단면을 X {\displaystyle X} 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 물렁한 층이라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 만약 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 위의 모든 단면을 X {\displaystyle X} 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 콤팩트 물렁한 층(영어: c-soft sheaf)이라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의, 구체적 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 값을 갖는 층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 임의의 두 열린집합 V ⊆ U ⊆ X {\displaystyle V\subseteq U\subseteq X} 에 대하여 제한 사상 res U V : Γ ( U , F ) → Γ ( V , F ) {\displaystyle \operatorname {res} _{UV}\colon \Gamma (U,{\mathcal {F}})\to \Gamma (V,{\mathcal {F}})} 이 전사 함수라면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 말랑한 층이라고 한다.:67, Exercise 1.16:137 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다. 이름의 "말랑한"(프랑스어: flasque, 영어: flabby)은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 비순환층이라고 한다. H i ( X ; F ) = 0 ( ∀ i > 0 ) {\displaystyle H^{i}(X;{\mathcal {F}})=0\qquad (\forall i>0)} 물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 H 0 ( X ; F ) = Γ ( X ; F ) {\displaystyle H^{0}(X;{\mathcal {F}})=\Gamma (X;{\mathcal {F}})} 이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다. 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다. 단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층 단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층 그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다. 섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이에 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 위의 말랑한 층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 직상 f ∗ F ∈ Sh ⁡ ( Y ) {\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} (Y)} 역시 말랑한 층이다.:67, Exercise 1.16d 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 열린집합 U {\displaystyle U} 및 말랑한 층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 제약층 F | U {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}} 역시 말랑한 층이다. 기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.:67, Exercise 1.16a 다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다. 다양체 M {\displaystyle M} 위의 실수 연속 함수들의 층 C ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(M;\mathbb {R} )} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 실수 매끄러운 함수들의 층 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 p {\displaystyle p} 차 미분 형식들의 층 Ω p ( M ) {\displaystyle \Omega ^{p}(M)} 그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다. 드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 상수층 R _ {\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}} 은 미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다. 0 → R _ → Ω 0 ( M ) → Ω 1 ( M ) → ⋯ {\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \cdots } 미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서 H i ( X ; R _ ) ≅ H i ( Ω ∙ ( M ) ) {\displaystyle H^{i}(X;{\underline {\mathbb {R} }})\cong H^{i}(\Omega ^{\bullet }(M))} 이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다. 그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지(영어: hypercohomology)와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다. 층 코호몰로지 단사 대상 단사 가군 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Tennison, B. R. (1975). 《Sheaf theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 20. Cambridge University Press.  “Fine sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Soft sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Flabby sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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