누적 분포 함수

확률론에서 누적분포함수(累積分布函數, 영어: cumulative distribution function, 약자 cdf)는 주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수이다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 실숫값 확률 변수 X : Ω → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle X\colon \Omega \to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 의 (우연속) 누적분포함수 F X : R → R {\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 는 다음과 같다. F X ( x ) = Pr ⁡ ( X ∈ ( − ∞ , x ] ) ∀ x ∈ R {\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {Pr} (X\in (-\infty ,x])\qquad \forall x\in \mathbb {R} } 보다 일반적으로, 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 실숫값 확률 벡터 X = ( X 1 , … , X n ) : Ω → ( R n , B ( R n ) ) {\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})\colon \Omega \to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))} 의 (우연속) 누적분포함수 F X : R n → R {\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 는 다음과 같다. F X ( x 1 , … , x n ) = Pr ⁡ ( X 1 ∈ ( − ∞ , x 1 ] , … , X n ∈ ( − ∞ , x n ] ) ∀ ( x 1 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle F_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in (-\infty ,x_{1}],\dots ,X_{n}\in (-\infty ,x_{n}])\qquad \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} 위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 좌연속 누적분포함수의 정의를 얻는다. 임의의 함수 F : R → R {\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. F {\displaystyle F} 는 어떤 확률 변수의 누적분포함수이다. 다음 조건들을 만족시킨다. (증가 함수) 만약 x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } 이며 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 라면, F ( x ) ≤ F ( y ) {\displaystyle F(x)\leq F(y)} (우연속 함수) 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, F ( x + ) = F ( x ) {\displaystyle F(x^{+})=F(x)} F ( − ∞ ) = 0 {\displaystyle F(-\infty )=0} F ( ∞ ) = 1 {\displaystyle F(\infty )=1} 여기서 F ( x + ) {\displaystyle F(x^{+})} 는 우극한이며, F ( − ∞ ) {\displaystyle F(-\infty )} 와 F ( ∞ ) {\displaystyle F(\infty )} 는 음과 양의 무한대에서의 극한이다. 보다 일반적으로, 임의의 함수 F : R n → R {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. F {\displaystyle F} 는 어떤 확률 벡터의 누적분포함수이다. 다음 조건들을 만족시킨다. 만약 x , y ∈ R n {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}} 이며 x i ≤ y i ∀ i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle x_{i}\leq y_{i}\forall i\in \{1,\dots ,n\}} 이라면, ∑ t ∈ { x 1 , y 1 } × ⋯ × { x n , y n } ( − 1 ) | { i : t i = x i } | F ( t ) ≥ 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{t\in \{x_{1},y_{1}\}\times \cdots \times \{x_{n},y_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=x_{i}\}|}F(t)\geq 0} . (이 조건과 세 번째 조건은 F {\displaystyle F} 가 각 변수에 대하여 증가 함수임을 함의한다.) (우연속 함수) 임의의 x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, F ( x + ) = F ( x ) {\displaystyle F(x^{+})=F(x)} 임의의 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} 및 x 1 , … , x i − 1 , x i + 1 , … , x n ∈ R {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} } 에 대하여, F ( x 1 , … , x i − 1 , − ∞ , x i + 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{i-1},-\infty ,x_{i+1},\dots ,x_{n})=0} F ( ∞ , … , ∞ ) = 1 {\displaystyle F(\infty ,\dots ,\infty )=1} 여기서 F ( x + ) = lim y 1 → x 1 + , … , y n → x n + F ( y ) {\displaystyle F(x^{+})=\lim _{y_{1}\to x_{1}^{+},\dots ,y_{n}\to x_{n}^{+}}F(y)} F ( x 1 , … , x i − 1 , − ∞ , x i + 1 , … , x n ) = lim x i → − ∞ F ( x ) {\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{i-1},-\infty ,x_{i+1},\dots ,x_{n})=\lim _{x_{i}\to -\infty }F(x)} F ( ∞ , … , ∞ ) = lim x 1 → ∞ , … , x n → ∞ F ( x ) {\displaystyle F(\infty ,\dots ,\infty )=\lim _{x_{1}\to \infty ,\dots ,x_{n}\to \infty }F(x)} 이다. 확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다. 확률 변수 X {\displaystyle X} 가 구간 ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} 에 속할 확률과 특정 실수 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 를 취할 확률은 누적분포함수 F X {\displaystyle F_{X}} 를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다. Pr ⁡ ( X ∈ ( a , b ] ) = F X ( b ) − F X ( a ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in (a,b])=F_{X}(b)-F_{X}(a)} Pr ⁡ ( X = x ) = F X ( x ) − F X ( x − ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x^{-})} 보다 일반적으로, 확률 벡터 X = ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})} 가 ( a 1 , b 1 ] × ⋯ × ( a n , b n ] {\displaystyle (a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]} 에 속할 확률과 특정 값 x = ( x 1 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} 을 취할 확률은 각각 다음과 같다. Pr ⁡ ( X 1 ∈ ( a 1 , b 1 ] , … , X n ∈ ( a n , b n ] ) = ∑ t ∈ { a 1 , b 1 } × ⋯ × { a n , b n } ( − 1 ) | { i : t i = a i } | F X ( t ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (X_{1}\in (a_{1},b_{1}],\dots ,X_{n}\in (a_{n},b_{n}])=\sum _{t\in \{a_{1},b_{1}\}\times \cdots \times \{a_{n},b_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=a_{i}\}|}F_{X}(t)} Pr ⁡ ( X 1 = x 1 , … , X n = x n ) = lim ϵ → 0 + ∑ t ∈ { x 1 − ϵ , x 1 } × ⋯ × { x n − ϵ , x n } ( − 1 ) | { i : t i = x i − ϵ } | F X ( t ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n}=x_{n})=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\sum _{t\in \{x_{1}-\epsilon ,x_{1}\}\times \cdots \times \{x_{n}-\epsilon ,x_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=x_{i}-\epsilon \}|}F_{X}(t)} 확률 변수 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 이산 확률 변수이다. (즉, Pr ⁡ ( X ∈ A ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in A)=1} 인 가산 집합 A ∈ B ( R ) {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 이 존재한다.) ∑ x ∈ R ( F X ( x ) − lim y → x − F X ( y ) ) = 1 {\displaystyle \textstyle \sum _{x\in \mathbb {R} }\left(F_{X}(x)-\lim _{y\to x^{-}}F_{X}(y)\right)=1} 특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 확률 변수 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 연속 확률 변수이다. (즉, 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, Pr ⁡ ( X = x ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} (X=x)=0} 이다.) F X {\displaystyle F_{X}} 는 연속 함수이다. 확률 변수 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 절대 연속 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 Pr ⁡ ( X ∈ ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in \bullet )} 는 르베그 측도에 대한 절대 연속 측도이다. 또는, X {\displaystyle X} 는 확률 밀도 함수를 갖는다.) F X {\displaystyle F_{X}} 는 임의의 닫힌구간에서 절대 연속 함수이다. 확률 변수 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 특이 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 Pr ⁡ ( X ∈ ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in \bullet )} 와 르베그 측도는 서로 특이 측도이다.) 르베그 거의 어디서나 F X ′ = 0 {\displaystyle F_{X}'=0} 이다. 임의의 누적분포함수 F {\displaystyle F} 는 이산 누적분포함수 F disc {\displaystyle F_{\operatorname {disc} }} 와 절대 연속 누적분포함수 F a . c . {\displaystyle F_{\operatorname {a.c.} }} , 특이 연속 누적분포함수 F s . c . {\displaystyle F_{\operatorname {s.c.} }} 의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다. F = c F disc + c ′ F a . c . + c ″ F s . c . {\displaystyle F=cF_{\operatorname {disc} }+c'F_{\operatorname {a.c.} }+c''F_{\operatorname {s.c.} }} c , c ′ , c ″ ≥ 0 {\displaystyle c,c',c''\geq 0} c + c ′ + c ″ = 1 {\displaystyle c+c'+c''=1} 같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 는 서로 독립이다. 임의의 서로 다른 X 1 , … , X n ∈ X {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\in {\mathcal {X}}} 및 임의의 x i ∈ dom ⁡ F X i {\displaystyle x_{i}\in \operatorname {dom} F_{X_{i}}} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} )에 대하여, F ( X 1 , … , X n ) ( x 1 , … , x n ) = F X 1 ( x 1 ) ⋯ F X n ( x n ) {\displaystyle F_{(X_{1},\dots ,X_{n})}(x_{1},\dots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdots F_{X_{n}}(x_{n})} 증명: 첫 번째 조건은 두 번째 조건을 자명하게 함의한다. 이제 두 번째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 증명하자. 유한 개의 확률 변수 X = { X 1 , … , X n } {\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X_{1},\dots ,X_{n}\}} X i : ( Ω , F , Pr ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 의 경우의 증명은 다음과 같다. 일반적인 경우는 이와 유사하게 증명할 수 있다. C = { ( − ∞ , x ] : x ∈ R } {\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]\colon x\in \mathbb {R} \}} 라고 하자. 그렇다면 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 π계를 이루며, B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 다음과 같은 집합을 생각하자. L n = { B n ∈ B ( R ) | ∀ B 1 , … , B n − 1 ∈ C : Pr ⁡ ( X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n ) = Pr ⁡ ( X 1 ∈ B 1 ) ⋯ Pr ⁡ ( X n ∈ B n ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}=\{B_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|\forall B_{1},\dots ,B_{n-1}\in {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1},\dots ,X_{n}\in B_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X_{n}\in B_{n})\}} 그렇다면, 가정한 조건에 따라 C ⊆ L n {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {L}}_{n}} 이다. 또한, L n {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}} 은 λ계를 이룸을 보일 수 있다. 딘킨 π-λ 정리에 따라, L n = B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 이다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자. L n − 1 = { B n − 1 ∈ B ( R ) | ∀ B 1 , … , B n − 2 ∈ C , B n ∈ B ( R ) : Pr ⁡ ( X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n ) = Pr ⁡ ( X 1 ∈ B 1 ) ⋯ Pr ⁡ ( X n ∈ B n ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n-1}=\{B_{n-1}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|\forall B_{1},\dots ,B_{n-2}\in {\mathcal {C}},B_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\colon \operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1},\dots ,X_{n}\in B_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X_{n}\in B_{n})\}} 그렇다면, L n = B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 이므로 C ⊆ L n − 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {L}}_{n-1}} 이며, L n − 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n-1}} 은 λ계를 이룬다. 따라서 L n − 1 = B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n-1}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 임의의 B 1 , … , B n ∈ B ( R ) {\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 에 대하여, Pr ⁡ ( X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n ) = Pr ⁡ ( X 1 ∈ B 1 ) ⋯ Pr ⁡ ( X n ∈ B n ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1},\dots ,X_{n}\in B_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X_{n}\in B_{n})} 이라는 사실을 얻는다. 즉, { X 1 , … , X n } {\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}} 은 서로 독립이다. 기술통계학 Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  “Distribution function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Distribution function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.