범주 (수학)

범주론에서 범주(範疇, 영어: category)는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 범주론(範疇論, 영어: category theory)이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 컴퓨터 과학과 수리물리학에서도 쓰인다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 대상(對象, 영어: object)들의 모임 ob ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} . 이 모임의 원소를 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 ‘대상’이라고 한다. 임의의 두 대상 a , b ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle a,b\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여, a {\displaystyle a} 를 정의역으로, b {\displaystyle b} 를 공역으로 하는 사상(寫像, 영어: morphism)들의 모임 hom ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \hom(a,b)} . f ∈ hom ⁡ ( a , b ) {\displaystyle f\in \hom(a,b)} 에 대하여 f : a → b {\displaystyle f\colon a\to b} 로 쓰고, f {\displaystyle f} 를 ‘ a {\displaystyle a} 에서 b {\displaystyle b} 로 가는 사상’이라고 한다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상의 모임을 hom ⁡ ( C ) {\displaystyle \hom({\mathcal {C}})} 로 나타낸다. 임의의 세 대상 a , b , c ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle a,b,c\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여, 이항 연산 hom ⁡ ( a , b ) × hom ⁡ ( b , c ) → hom ⁡ ( a , c ) {\displaystyle \hom(a,b)\times \hom(b,c)\to \hom(a,c)} . 이를 사상의 합성(合成, 영어: composition)이라고 한다. f : a → b {\displaystyle f\colon a\to b} 와 g : b → c {\displaystyle g\colon b\to c} 의 합성은 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 또는 g f {\displaystyle gf} 등으로 나타낸다. 임의의 대상 a ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle a\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여, 특별한 사상 id a ∈ hom ⁡ ( a , a ) {\displaystyle \operatorname {id} _{a}\in \hom(a,a)} . 이를 a {\displaystyle a} 의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)이라고 한다. 이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다. (결합 법칙) 임의의 대상 a , b , c , d ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle a,b,c,d\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 a → f b → g c → h d {\displaystyle a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {g}}c{\xrightarrow {h}}d} 에 대하여, h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f {\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f} (항등원) 임의의 대상 a , b ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle a,b\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 f : a → b {\displaystyle f\colon a\to b} 에 대하여, id b ∘ f = f ∘ id a = f {\displaystyle \operatorname {id} _{b}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{a}=f} 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여, 다음을 정의한다. 만약 ob ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 와 hom ⁡ ( C ) {\displaystyle \hom({\mathcal {C}})} 가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 작은 범주라고 한다. 만약 임의의 X , Y ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X,Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여 hom ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom(X,Y)} 가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 국소적으로 작은 범주(영어: locally small category)라고 하며, 사상 모임을 사상 집합(寫像集合, 영어: hom-set)이라고 한다. 작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주(영어: large category)라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다. 만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 대하여, 다음과 같이 정의한다. 만약 ob ⁡ ( C ) ∈ U {\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})\in {\mathcal {U}}} 이며 hom ⁡ ( C ) ∈ U {\displaystyle \hom({\mathcal {C}})\in {\mathcal {U}}} 인 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -작은 범주라고 한다. 만약 임의의 X , Y ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X,Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 에 대하여 hom ⁡ ( X , Y ) ∈ U {\displaystyle \hom(X,Y)\in {\mathcal {U}}} 인 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -국소적으로 작은 범주라고 한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 반대 범주(反對範疇, 영어: opposite category) C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 를 정의할 수 있다. C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 의 대상은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상과 같다. C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 에서, 대상 X {\displaystyle X} 에서 Y {\displaystyle Y} 로 가는 사상은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, Y {\displaystyle Y} 에서 X {\displaystyle X} 로 가는 사상이다. 즉, hom C op ⁡ ( X , Y ) = hom C ⁡ ( Y , X ) {\displaystyle \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)} 이다. 반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다. 각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다. 범주의 개념은 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1942~1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 얻어 도입하였다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다. 함자 (수학) 자연 변환 Eilenberg, Samuel; Saunders Mac Lane (1945년 9월). “General theory of natural equivalences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 58 (2): 231–294. doi:10.2307/1990284.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. 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