곱집합

집합론에서 곱집합(곱集合, 영어: product set , product) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 영어: Cartesian product 카티지언 프로덕트[*])은 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 A , B {\displaystyle A,B} 의 곱집합 A × B {\displaystyle A\times B} 는 { ( a , b ) | a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle \{(a,b)|a\in A,b\in B\}} 이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다. 첨수족 { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}} 의 곱집합 ∏ i ∈ I A i {\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}A_{i}} 는 다음과 같다. ∏ i ∈ I A i = { ( a i ) i ∈ I | a i ∈ A i } {\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A_{i}\}} 특히, 유한 개의 집합 A 1 , A 2 , … , A n {\displaystyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}} 의 곱집합 A 1 × A 2 × ⋯ × A n {\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}} 은 다음과 같다. A 1 × A 2 × ⋯ × A n = { ( a 1 , a 2 , … , a n ) | a i ∈ A i } {\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})|a_{i}\in A_{i}\}} 집합 A , I {\displaystyle A,I} 에 대하여, A {\displaystyle A} 의 I {\displaystyle I} 번 곱집합 A I {\displaystyle A^{I}} 는 다음과 같다. A I = { ( a i ) i ∈ I | a i ∈ A } {\displaystyle A^{I}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A\}} 특히, 집합 A {\displaystyle A} 와 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, A {\displaystyle A} 의 α {\displaystyle \alpha } 번 곱집합 A × α {\displaystyle A^{\times \alpha }} 는 다음과 같다. A × α = { ( a β ) β < α | a β ∈ A } {\displaystyle A^{\times \alpha }=\{(a_{\beta })_{\beta <\alpha }|a_{\beta }\in A\}} 특히, 집합 A {\displaystyle A} 및 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, A {\displaystyle A} 의 n {\displaystyle n} 번 곱집합 A × n {\displaystyle A^{\times n}} 은 다음과 같다. A × n = { ( a 1 , a 2 , … , a n ) | a i ∈ A } {\displaystyle A^{\times n}=\{(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})|a_{i}\in A\}} (기수의 곱의 정의) | A × B | = | A | | B | {\displaystyle |A\times B|=|A||B|} (기수의 거듭제곱의 정의) | A B | = | A | | B | {\displaystyle |A^{B}|=|A|^{|B|}} ∅ × A = A × ∅ = ∅ {\displaystyle \varnothing \times A=A\times \varnothing =\varnothing } (교환 법칙의 실패) A × B ≠ B × A ( A , B ≠ ∅ , A ≠ B ) {\displaystyle A\times B\neq B\times A\qquad (A,B\neq \varnothing ,\;A\neq B)} 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 ( a , b ) ↦ ( b , a ) {\displaystyle (a,b)\mapsto (b,a)} 가 존재한다. (결합 법칙의 실패) ( A × B ) × C ≠ A × ( B × C ) ( A , B , C ≠ ∅ ) {\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)\qquad (A,B,C\neq \varnothing )} 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 ( ( a , b ) , c ) ↦ ( a , ( b , c ) ) {\displaystyle ((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))} 가 존재한다. (분배 법칙) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)} (분배 법칙) A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)} (분배 법칙) A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)} ∏ i ∈ I ⋃ j ∈ J A i j ⊇ ⋃ j ∈ J ∏ i ∈ I A i j {\displaystyle \prod _{i\in I}\bigcup _{j\in J}A_{ij}\supseteq \bigcup _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}} ∏ i ∈ I ⋂ j ∈ J A i j = ⋂ j ∈ J ∏ i ∈ I A i j {\displaystyle \prod _{i\in I}\bigcap _{j\in J}A_{ij}=\bigcap _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}} 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.) ∏ i ∈ I A i ⊆ ∏ i ∈ I B i {\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}B_{i}} A i = ∅ {\displaystyle A_{i}=\varnothing } 인 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 존재하거나, 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 A i ⊆ B i {\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}} 이다. 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.) ∏ i ∈ I A i = ∅ {\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\varnothing } A i = ∅ {\displaystyle A_{i}=\varnothing } 인 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 존재한다. 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다. π i : ∏ i ∈ I A i → A {\displaystyle \pi _{i}\colon \prod _{i\in I}A_{i}\to A} π i : ( a i ) i ∈ I ↦ a i {\displaystyle \pi _{i}\colon (a_{i})_{i\in I}\mapsto a_{i}} (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 { f i : B → A i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\colon B\to A_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, f i = π i ∘ f {\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f} ( i ∈ I {\displaystyle i\in I} )를 만족시키는 유일한 함수 f : B → ∏ i ∈ I A i {\displaystyle f\colon B\to \prod _{i\in I}A_{i}} 가 존재한다. { 1 , 2 } × { 3 , 4 , 5 } = { ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) } {\displaystyle \{1,2\}\times \{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}} R 2 = R × R = { ( x , y ) | x , y ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}} R 3 = R × R × R = { ( x , y , z ) | x , y , z ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y,z)|x,y,z\in \mathbb {R} \}} 르네 데카르트의 이름을 땄다. 멱집합 공리 직접곱 관계 (수학) Join (SQL) 전순서 집합 외적 곱 (범주론) 곱위상 Weisstein, Eric Wolfgang. “Cartesian product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Cartesian product”. 《nLab》 (영어).  “Cartesian product”. 《PlanetMath》 (영어).  “Generalized Cartesian product”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition:Cartesian product”. 《ProofWiki》 (영어).