절대 수렴

해석학에서 절대 수렴(絶對收斂, 영어: absolute convergence)은 급수가 각 항에 절댓값을 취하였을 때 수렴하는 성질이다. 만약 어떤 실수항 또는 복소수항 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } 항의 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} ( x n ∈ K {\displaystyle x_{n}\in \mathbb {K} } )가 주어졌을 때, 만약 각 항에 절댓값을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉 ∑ n = 0 ∞ | x n | < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|<\infty } 라면, 원래의 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 가 절대 수렴한다고 한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 항의 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} ( x n ∈ K {\displaystyle x_{n}\in \mathbb {K} } )가 주어졌다고 하자. 만약 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 이 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다 (절대 수렴 판정법, 絶對收斂判定法, 영어: absolute convergence test). 그러나 그 역은 성립하지 않는다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 항의 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다면, 조건 수렴한다고 한다. 또한, 임의의 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( { 0 , 1 , 2 , … } ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})} 에 대하여, 그 순열을 통해 항을 재배열하여 얻는 급수 ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} 역시 수렴하며, 합은 원래의 급수와 같다.:5, §1.1, Theorem 1.1.2 이는 임의의 바나흐 공간 또는 프레셰 공간 위에서도 성립한다. 증명: 실수항 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} ( x n ∈ R {\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} } )가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 0 ≤ x n + | x n | ≤ 2 | x n | {\displaystyle 0\leq x_{n}+|x_{n}|\leq 2|x_{n}|} 이므로, 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 ∑ k = 0 n ( x k + | x k | ) ≤ 2 ∑ k = 0 n | x k | {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{n}|x_{k}|} 이다. 따라서 ∑ k = 0 ∞ ( x k + | x k | ) ≤ 2 ∑ k = 0 ∞ | x k | < ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|<\infty } 이다. 즉, ∑ k = 0 ∞ ( x k + | x k | ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)} 는 수렴한다. ∑ k = 0 ∞ | x k | {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|} 역시 수렴하므로, ∑ k = 0 ∞ x k {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{k}} 는 수렴한다. 만약 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 이 조건 수렴한다면, ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} 이 발산하게 되는 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( { 0 , 1 , 2 , … } ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})} 이 존재한다. 만약 K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 이며, ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 이 조건 수렴한다면, 임의의 확장된 실수 s ∈ [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle s\in [-\infty ,\infty ]} 에 대하여, ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) = s {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s} 이게 되는 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( { 0 , 1 , 2 , … } ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})} 이 존재한다 (리만 재배열 정리).:6, §1.1, Theorem 1.1.3 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )} 위의 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} ( x n ∈ X {\displaystyle x_{n}\in X} )가 주어졌을 때, 만약 각 항에 노름을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉 ∑ n = 0 ∞ ‖ x n ‖ < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert x_{n}\Vert <\infty } 라면, 원래의 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 가 절대 수렴한다고 한다. 바나흐 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.:9, §1.3 유한 차원 노름 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.:10, §1.3, Theorem 1.3.5 이에 따라, 유한 차원 바나흐 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이다. 무한 차원 바나흐 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다 (드보레츠키-로저스 정리).:48, §4.1, Theorem 4.1.1:184, §IV.10, (10.7), Corollary 3 하우스도르프 K {\displaystyle \mathbb {K} } -국소 볼록 공간 X {\displaystyle X} 위의 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} ( x ∈ X {\displaystyle x\in X} )가 주어졌을 때, 만약 임의의 연속 반노름 ν : X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \nu \colon X\to [0,\infty )} 에 대하여, ∑ n = 0 ∞ ν ( x n ) < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\nu (x_{n})<\infty } 라면, 원래의 급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 가 절대 수렴한다고 한다. 하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.:120, §III, Exercise 23, (a) 특히, 프레셰 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴 및 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.:120, §III, Exercise 23, (b) 핵(영어: nuclear) 프레셰 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이며, 비(非)핵 프레셰 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.:138, §2.9, Theorem 2.9.14:184, §IV.10, (10.7), Corollary 2 Bogachev, V. I.; Smolyanov, O. G. (2017). 《Topological Vector Spaces and Their Applications》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-57117-1. ISBN 978-3-319-57116-4. ISSN 1439-7382. LCCN 2017939903. Zbl 1378.46001.  Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). 《Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence》. Operator Theory Advances and Applications (영어) 94. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9196-7. ISBN 978-3-0348-9942-0. Zbl 0876.46009.  Schaefer, H. H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological Vector Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002.  “Absolutely convergent series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Absolutely convergent improper integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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