그래프 라플라스 연산자

그래프 이론에서 그래프 라플라스 연산자(graph Laplace演算子, 영어: graph Laplacian operator)는 그래프의 꼭짓점들로 생성되는 힐베르트 공간 위에 정의되는 유계 작용소이다.:279–306, Chapter 13 다음이 주어졌다고 하자. 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } . 또한, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 모든 꼭짓점의 차수가 유한한 상한을 갖는다고 하자 ( sup v ∈ V ⁡ ( Γ ) deg ⁡ v < ℵ 0 {\displaystyle \textstyle \sup _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg v<\aleph _{0}} ). 체 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 그렇다면, V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )} 로 생성되는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 V = L 2 ⁡ ( V ⁡ ( Γ ) ; K ) {\displaystyle V=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {V} (\Gamma );\mathbb {K} )} 를 생각하자. 그래프 라플라스 연산자 Δ Γ : V → V {\displaystyle \Delta _{\Gamma }\colon V\to V} 는 유계 작용소이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으나, 이 두 정의는 서로 동치이다. 만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 유한 그래프라면, V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )} 위에 임의의 전순서를 부여하면 그래프 라플라스 연산자는 | V ⁡ ( Γ ) | × | V ⁡ ( Γ ) | {\displaystyle |\operatorname {V} (\Gamma )|\times |\operatorname {V} (\Gamma )|} 정수 성분 대칭 행렬로 표현된다. 이를 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 라플라스 행렬이라고 한다. 편의상, V {\displaystyle V} 의 원소는 함수 f : V ⁡ ( Γ ) → K {\displaystyle f\colon \operatorname {V} (\Gamma )\to \mathbb {K} } ∑ v ∈ V ⁡ ( Γ ) | f ( v ) | 2 < ∞ {\displaystyle \sum _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}|f(v)|^{2}<\infty } 로 여겨질 수 있다. 이제, 다음과 같은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 Δ Γ : V → V {\displaystyle \Delta _{\Gamma }\colon V\to V} 을 정의할 수 있다. Δ Γ f : v ↦ ∑ u v ∈ E ⁡ ( Γ ) ( f ( v ) − f ( u ) ) {\displaystyle \Delta _{\Gamma }f\colon v\mapsto \sum _{uv\in \operatorname {E} (\Gamma )}\left(f(v)-f(u)\right)} 즉, 임의의 두 꼭짓점 u , v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle u,v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여 다음과 같다. ⟨ u | Δ Γ | v ⟩ = { − 1 u v ∈ E ⁡ ( Γ ) deg ⁡ v u = v 0 u ≠ v , u v ∉ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \langle u|\Delta _{\Gamma }|v\rangle ={\begin{cases}-1&uv\in \operatorname {E} (\Gamma )\\\deg v&u=v\\0&u\neq v,\;uv\not \in \operatorname {E} (\Gamma )\end{cases}}} 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 (방향이 없는) 변들로 생성되는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간을 정의하자. W = L 2 ⁡ ( E ⁡ ( Γ ) ; K ) {\displaystyle W=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {E} (\Gamma );\mathbb {K} )} 또한, Γ {\displaystyle \Gamma } 위에 임의의 유향 그래프 구조를 주고, 그 유향 변들의 집합을 E o r ⁡ ( Γ ) ⊆ V ⁡ ( Γ ) 2 {\displaystyle \operatorname {E_{or}} (\Gamma )\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )^{2}} 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다. E : W → V {\displaystyle E\colon W\to V} E | u , v ⟩ = | u ⟩ − | v ⟩ ( ( u , v ) ∈ E o r ⁡ ( Γ ) ) {\displaystyle E|u,v\rangle =|u\rangle -|v\rangle \qquad \left((u,v)\in \operatorname {E_{or}} (\Gamma )\right)} 이는 자명하게 유계 작용소를 정의한다. 따라서, 그 에르미트 수반 E † : V → W {\displaystyle E^{\dagger }\colon V\to W} 를 정의할 수 있으며, 이들을 합성하여 유계 작용소 Δ Γ = E E † {\displaystyle \Delta _{\Gamma }=EE^{\dagger }} Δ Γ : V → V {\displaystyle \Delta _{\Gamma }\colon V\to V} 를 정의할 수 있다. 또한, 이것이 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 유향 그래프 구조에 의존하지 않음을 보일 수 있다. (반면, E † E : W → W {\displaystyle E^{\dagger }E\colon W\to W} 는 일반적으로 유향 그래프 구조에 의존한다.) 그래프 라플라스 연산자는 유계 작용소이자 자기 수반 작용소이며, 그 성분들은 꼭짓점에 대한 표준 정규 직교 기저에서 모두 정수이다. 즉, 모든 꼭짓점의 차수가 유한한 임의의 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 u , v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle u,v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여 ⟨ u | Δ Γ | v ⟩ = ⟨ v | Δ Γ | u ⟩ ∈ Z {\displaystyle \langle u|\Delta _{\Gamma }|v\rangle =\langle v|\Delta _{\Gamma }|u\rangle \in \mathbb {Z} } 이다. 또한, 그 고윳값들은 모두 음이 아닌 실수이다.:142, §2, Lemma 1 즉, 그래프 라플라스 연산자의 고윳값들을 (중복수를 고려하여) λ 0 ( Δ Γ ) ≤ λ 1 ( Δ Γ ) ≤ λ 2 ( Δ Γ ) ≤ ⋯ {\displaystyle \lambda _{0}(\Delta _{\Gamma })\leq \lambda _{1}(\Delta _{\Gamma })\leq \lambda _{2}(\Delta _{\Gamma })\leq \dotsb } 로 표기하면, 0 ≤ λ 0 ( Δ Γ ) {\displaystyle 0\leq \lambda _{0}(\Delta _{\Gamma })} 이다. 그래프 라플라스 연산자의 작용소 노름은 다음과 같은 상계를 갖는다.:144, Corollary ‖ Δ Γ ‖ ≤ 2 max v ∈ V ⁡ ( Γ ) deg ⁡ v {\displaystyle \|\Delta _{\Gamma }\|\leq 2\max _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg v} 다음이 주어졌다고 하자. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 임의의 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 그렇다면, Δ Γ {\displaystyle \Delta _{\Gamma }} 에서 v {\displaystyle v} 에 대응하는 행과 열을 생략한 ( | V ⁡ ( Γ ) | − 1 ) × ( | V ⁡ ( Γ ) | − 1 ) {\displaystyle (|\operatorname {V} (\Gamma )|-1)\times (|\operatorname {V} (\Gamma )|-1)} 행렬을 Δ Γ [ v ] {\displaystyle \Delta _{\Gamma }[v]} 로 표기하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 정수 det Δ Γ [ v ] ∈ Z {\displaystyle \det \Delta _{\Gamma }[v]\in \mathbb {Z} } 는 항상 자연수이다. det Δ Γ [ v ] {\displaystyle \det \Delta _{\Gamma }[v]} 는 v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 의 선택에 의존하지 않는다. det Δ Γ [ v ] {\displaystyle \det \Delta _{\Gamma }[v]} 는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 생성나무의 수와 같다.:282, Theorem 13.2.1 det Δ Γ [ v ] = | V ⁡ ( Γ ) | − 1 ∑ i = 1 | V ⁡ ( Γ ) | λ i ( Δ Γ ) {\displaystyle \textstyle \det \Delta _{\Gamma }[v]=|\operatorname {V} (\Gamma )|^{-1}\sum _{i=1}^{|\operatorname {V} (\Gamma )|}\lambda _{i}(\Delta _{\Gamma })} 이다.:284, Lemma 13.2.4 다음이 주어졌다고 하자. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 꼭짓점 집합 S ⊆ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle S\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )} 그렇다면, 다음이 성립한다.:288, Theorem 13.5.1 λ 1 ( Γ ) ≤ λ 1 ( Γ ∖ S ) + | S | {\displaystyle \lambda _{1}(\Gamma )\leq \lambda _{1}(\Gamma \setminus S)+|S|} 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 이 주어졌다고 하자. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 균형 직교 표현(영어: balanced orthogonal representation)은 다음 조건을 만족시키는 함수 ρ : V ⁡ ( Γ ) → R n {\displaystyle \rho \colon \operatorname {V} (\Gamma )\to \mathbb {R} ^{n}} 이다. (균형성) ∑ v ∈ V ⁡ ( Γ ) ρ ( v ) = 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\rho (v)=0} (직교성) ∑ v ∈ V ⁡ ( Γ ) ρ i ( v ) ρ j ( v ) = δ i j ∀ i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \textstyle \sum _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\rho _{i}(v)\rho _{j}(v)=\delta _{ij}\qquad \forall i,j\in \{1,\dotsc ,n\}} 이 두 조건에 의하여, 균형 직교 표현이 존재하려면 n ≥ 1 + V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle n\geq 1+\operatorname {V} (\Gamma )} 이어야 한다. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 속의 균형 직교 표현 ρ {\displaystyle \rho } 가 주어졌으며, 또한 λ 1 ( Δ Γ ) > 0 {\displaystyle \lambda _{1}(\Delta _{\Gamma })>0} 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:287, Theorem 13.4.1 ∑ u v ∈ E ⁡ ( Γ ) ‖ ρ ( u ) − ρ ( v ) ‖ ≥ λ 1 ( Δ Γ ) + λ 2 ( Δ Γ ) + ⋯ + λ n ( Δ Γ ) {\displaystyle \sum _{uv\in \operatorname {E} (\Gamma )}\|\rho (u)-\rho (v)\|\geq \lambda _{1}(\Delta _{\Gamma })+\lambda _{2}(\Delta _{\Gamma })+\dotsb +\lambda _{n}(\Delta _{\Gamma })} 유한 완전 그래프 K n {\displaystyle K_{n}} 의 라플라스 행렬은 다음과 같다. ⟨ u | Δ K n | v ⟩ = n ⟨ u | v ⟩ − 1 = { n − 1 u = v − 1 u ≠ v {\displaystyle \langle u|\Delta _{K_{n}}|v\rangle =n\langle u|v\rangle -1={\begin{cases}n-1&u=v\\-1&u\neq v\end{cases}}} 즉, Δ K n = n − J {\displaystyle \Delta _{K_{n}}=n-{\mathsf {J}}} 이며, 여기서 J {\displaystyle {\mathsf {J}}} 는 모든 성분이 1인 행렬(아다마르 곱의 항등원)이다. 이에 따라, K n {\displaystyle K_{n}} 속의 생성 나무의 수는 det Δ K n [ u ] = det ( n − J ( n − 1 ) × ( n − 1 ) ) = n n − 2 {\displaystyle \det \Delta _{K_{n}}[u]=\det(n-{\mathsf {J}}_{(n-1)\times (n-1)})=n^{n-2}} 이다. 특히, K 2 {\displaystyle K_{2}} 의 라플라스 행렬은 다음과 같다. Δ K 2 = ( 1 − 1 − 1 1 ) {\displaystyle \Delta _{K_{2}}={\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}} 즉, 그 고윳값은 λ 0 ( Δ K 2 ) = 0 {\displaystyle \lambda _{0}(\Delta _{K_{2}})=0} λ 1 ( Δ K 2 ) = 2 {\displaystyle \lambda _{1}(\Delta _{K_{2}})=2} 이다. 꼭짓점 차수가 상한을 갖는 (유한 또는 무한) 그래프에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 무변 그래프이다. 그래프 라플라스 연산자가 0이다. Godsil, Christopher David; Royle, Gordon. 《Algebraic graph theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 207. Springer Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-0163-9. ISBN 978-0-387-95220-8. ISSN 0072-5285.  Merris, Russell (1995). “A survey of graph Laplacians”. 《Linear and Multilinear Algebra》 (영어) 39 (1–2): 19–31. doi:10.1080/03081089508818377.  Merris, Russell (1994년 1월). “Laplacian matrices of graphs: a survey”. 《Linear Algebra and its Applications》 (영어). 197–198: 143–176. doi:10.1016/0024-3795(94)90486-3.  Newman, Michael Willian (2000년 7월 1일). 《The Laplacian spectrum of graphs》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. 매니토바 대학교. 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