감마 함수

수학에서 감마 함수(Γ函數, 영어: gamma function)는 계승 함수의 해석적 연속이다. 감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다. 양의 정수 n에 대하여 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 이 성립한다. 감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다. 감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다. Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t ( Re ⁡ z > 0 ) {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad (\operatorname {Re} z>0)} 오일러 적분은 상반평면 { z ∈ C : Re ⁡ z > 0 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} z>0\}} 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다. Γ ( z ) = lim n → ∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ n z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n ) n z ( z ≠ 0 , − 1 , − 2 , … ) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{1\cdot 2\cdot 3\cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}n^{z}\qquad (z\neq 0,-1,-2,\dots )} 이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다. Γ ( z ) = 1 z exp ⁡ ( γ z ) ∏ n = 1 ∞ exp ⁡ ( z / n ) 1 + z / n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z\exp(\gamma z)}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(z/n)}{1+z/n}}} 여기서 γ {\displaystyle \gamma } 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다. 만약 감마함수를 자연수 n {\displaystyle n} 에 대해 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma \left(n\right)=(n-1)!} 을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어 f ( x ) = Γ ( x ) cos 2 ⁡ π x {\displaystyle f(x)=\Gamma (x)\cos ^{2}\pi x\;} 또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)} 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다. 감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다. Γ ( z ) ¯ = Γ ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})} 감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 z = 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots } 에서 단순극을 가진다. 단순극 − n {\displaystyle -n} 에서 유수의 값은 ( − 1 ) n n ! {\displaystyle \textstyle {(-1)^{n} \over n!}} 이다. 감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 1 / Γ ( z ) {\displaystyle 1/\Gamma (z)} 는 전해석 함수이다. 감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)} Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}} 두 번째 공식은 오일러 반사 공식(영어: Euler’s reflection formula)이라고 불린다. 곱의 정리 Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!} 특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다. Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)} 감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 ψ 0 ( z ) {\displaystyle \psi _{0}(z)} 로 주어진다. Γ ′ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) {\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z)} 특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다. Γ ′ ( m + 1 ) = m ! ⋅ ( − γ + ∑ k = 1 m 1 k ) {\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)} 일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다. d n ( d x ) n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ln n ⁡ t d t {\displaystyle {d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt} 감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다. Res ⁡ ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}} 반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여, Γ ( 1 / 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π {\displaystyle \Gamma (1/2+n)={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}} Γ ( 1 / 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π {\displaystyle \Gamma (1/2-n)={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}} 이 공식들은 Γ ( 1 / 2 ) = π {\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}} 로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다. 몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다. Γ ( − 3 / 2 ) = 4 π 3 ≈ 2.363 Γ ( − 1 / 2 ) = − 2 π ≈ − 3.545 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = π 2 ≈ 0.886 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 π 4 ≈ 1.329 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 π 8 ≈ 3.323 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}} Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , G {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\quad ,\;\;G} 가우스 상수 감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다. 반지름이 R {\displaystyle R} 인 n {\displaystyle n} 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다. V n = π n 2 n 2 Γ ( n 2 ) R n = C n R n {\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}R^{n}={C_{n}R^{n}}} 감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 다음과 같다. f ( x ) = { 1 β α Γ ( α ) x α − 1 e − x β , if  x ≥ 0 0 , otherwise {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{1 \over \beta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-{x \over \beta }},&{\mbox{if }}x\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} 여기서 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다. 큐-감마 함수는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다. f ( x + 1 ) = 1 − q z 1 − q f ( x ) {\displaystyle f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)} q ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle q\in \left(0,1\right)} 구간 예약 f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} {\displaystyle } log ⁡ f ( x ) , x > 0 {\displaystyle \log f(x),x>0} f ( x ) = Γ q ( x ) {\displaystyle f(x)=\Gamma _{q}(x)} ∴ Γ q ( z ) = ( q ; q ) ∞ ( q z ; q ) ∞ ( 1 − q ) 1 − z {\displaystyle \therefore \Gamma _{q}(z)={{(q;q)\infty } \over {(q^{z};q)\infty }}(1-q)^{1-z}\;\;\;} 큐-포흐하머 기호 ( q ; q ) ∞ {\displaystyle \;(q;q)\infty } {\displaystyle } : {\displaystyle } : {\displaystyle } : 불완전 감마 함수 베타 함수 가우스 적분 가우스 상수 블로흐 상수 란다우 상수 George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Foreword by James R. Newman) 위키미디어 공용에 감마 함수 관련 미디어 분류가 있습니다. “Gamma-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gamma function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Askey, R. A.; R. Roy (2014년 3월 21일). “Chapter 5. Gamma Function”. 《Digital Library of Mathematical Functions》 (영어). NIST.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) 이철희. “감마함수”. 《수학노트》.