스핀C 군

리 군론에서 스핀C 군(spin C群, 영어: spinc group)은 스핀 군과 원군의 뒤틀린 곱인 리 군이다. 미분기하학에서 스핀C 다양체를 정의할 때 쓰인다. 자연수 n {\displaystyle n} 이 주어졌다고 하자. n {\displaystyle n} 차 스핀C 군 S p i n c ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin^{c}} (n)} 은 다음 짧은 완전열로 정의된다. 1 → Z 2 ↪ κ × ι Spin ⁡ ( n ) × U ⁡ ( 1 ) ↠ S p i n c ⁡ ( n ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\kappa \times \iota }{\hookrightarrow }}\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin^{c}} (n)\to 1} . 여기서 κ × ι {\displaystyle \kappa \times \iota } 는 다음 두 군 준동형의 대각 사상이다. 1 → Z 2 ↪ κ Spin ⁡ ( n ) ↠ SO ⁡ ( n ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\kappa }{\hookrightarrow }}\operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)\to 1} 1 → Z 2 ↪ ι U ⁡ ( 1 ) ↠ U ⁡ ( 1 ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {U} (1)\to 1} 스핀C 군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족시킨다. 1 → Z 2 ↪ S p i n c ⁡ ( n ) ↠ SO ⁡ ( n ) × U ⁡ ( 1 ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\hookrightarrow \operatorname {Spin^{c}} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1} . 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다. Spin ⁡ ( n ) × U ⁡ ( 1 ) ↙ ↓ ↘ SO ⁡ ( n ) × U ⁡ ( 1 ) S p i n c ⁡ ( n ) Spin ⁡ ( n ) × U ⁡ ( 1 ) ↘ ↓ ↙ SO ⁡ ( n ) × U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\!\!\!\!\!\!\\&\swarrow &\downarrow &\searrow \\\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\operatorname {Spin^{c}} (n)&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\\&\searrow &\downarrow &\swarrow \\&&\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\end{matrix}}} 여기서 각 군 준동형의 핵은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 이다. n {\displaystyle n} 차 스핀C 군 S p i n c ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin^{c}} (n)} 은 n ( n − 1 ) / 2 + 1 {\displaystyle n(n-1)/2+1} 차원 연결 콤팩트 리 군이다. n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} , n ≠ 4 {\displaystyle n\neq 4} 일 때, 낮은 차수의 호모토피 군은 π 1 ( S p i n c ⁡ ( n ) ) ≅ 0 {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong 0} π 1 ( S p i n c ⁡ ( n ) ) ≅ Z {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong \mathbb {Z} } π 2 ( S p i n c ⁡ ( n ) ) ≅ 0 {\displaystyle \pi _{2}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong 0} π 3 ( S p i n c ⁡ ( n ) ) ≅ Z {\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong \mathbb {Z} } 이다. ( n = 4 {\displaystyle n=4} 일 때는 π 3 ( S p i n c ⁡ ( 4 ) ) ≅ Z 2 {\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin^{c}} (4))\cong \mathbb {Z} ^{2}} 이다.) 스핀C 군에 대응되는 리 대수는 단순히 l i e ( S p i n c ⁡ ( n ) ) = o ( n ) ⊕ u ( 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(\operatorname {Spin^{c}} (n))={\mathfrak {o}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)} 이다. n {\displaystyle n} 차원 스핀 군의 디랙 스피너 표현 V {\displaystyle V} 를 생각하자. 이는 복소수 2 ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle 2^{\lfloor n/2\rfloor }} 차원 유니터리 표현이다. 즉, 이는 단사 군 준동형 Spin ⁡ ( n ) ↪ U ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (V)} 을 정의한다. 그런데 또한 군의 중심 U ⁡ ( 1 ) ≅ Z ⁡ ( U ⁡ ( V ) ) ↪ U ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {Z} (\operatorname {U} (V))\hookrightarrow \operatorname {U} (V)} 을 생각할 수 있으며, 이는 부분군 S p i n c ⁡ ( n ) ↪ U ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Spin^{c}} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (V)} 를 정의한다. (직관적으로, 스피너는 360도 회전하면 −1이 곱해지게 된다.) “spin^c”. 《nLab》 (영어).