부대칭 행렬

수학에서 부대칭 행렬(副對稱行列, 영어: secondary symmetric matrix, persymmetric matrix) 또는 반대각선 대칭 행렬(反對角線對稱行列, 영어: skew-diagonal symmetric matrix)은 왼쪽 아래와 오른쪽 위를 잇는 대각선에 대하여 대칭인 정사각 행렬이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 교환 행렬은 다음과 같다. J ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle J\in \operatorname {Mat} (n;K)} J i j = δ i , n + 1 − j = { 1 i = n + 1 − j 0 i ≠ n + 1 − j {\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,n+1-j}={\begin{cases}1&i=n+1-j\\0&i\neq n+1-j\end{cases}}} 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 부전치(副轉置, 영어: secondary transpose)는 J M ⊤ J {\displaystyle JM^{\top }J} 이다. 여기서 M ⊤ {\displaystyle M^{\top }} 은 전치 행렬이다. 이는 M {\displaystyle M} 을 부대각선에 대하여 전치한 것과 같다. 즉, 각 i , j {\displaystyle i,j} 에 대하여 ( J M ⊤ J ) i j = M n + 1 − j , n + 1 − i {\displaystyle (JM^{\top }J)_{ij}=M_{n+1-j,n+1-i}} 이다. 부전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다. 만약 J M ⊤ J = M {\displaystyle JM^{\top }J=M} 라면, M {\displaystyle M} 을 부대칭 행렬이라고 한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 대칭 행렬이면서 부대칭 행렬이라면, M {\displaystyle M} 을 쌍대칭 행렬(雙對稱行列, 영어: bisymmetric matrix)이라고 한다. 만약 J M ⊤ J = − M {\displaystyle JM^{\top }J=-M} 라면, M {\displaystyle M} 을 부반대칭 행렬(反副對稱行列, 영어: secondary skew-symmetric matrix, per-antisymmetric matrix)이라고 한다. 만약 J M ⊤ J = M − 1 {\displaystyle JM^{\top }J=M^{-1}} 라면, M {\displaystyle M} 을 부직교 행렬(副直交行列, 영어: secondary orthogonal matrix)이라고 한다. 2차 자기 동형 ¯ {\displaystyle {\bar {\quad }}} 을 갖는 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 부켤레 전치(副-轉置, 영어: secondary conjugate transpose)는 J M † J {\displaystyle JM^{\dagger }J} 이다. 여기서 M † {\displaystyle M^{\dagger }} 는 켤레 전치이다. 이는 M {\displaystyle M} 을 부대각선에 대하여 켤레 전치한 것과 같다. 즉, 각 i , j {\displaystyle i,j} 에 대하여 ( J M † J ) i j = M n + 1 − j , n + 1 − i ¯ {\displaystyle (JM^{\dagger }J)_{ij}={\overline {M_{n+1-j,n+1-i}}}} 이다. 부켤레 전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다. 만약 J M † J = M {\displaystyle JM^{\dagger }J=M} 라면, M {\displaystyle M} 을 부에르미트 행렬(副-行列, 영어: secondary Hermitian matrix, per-Hermitian matrix)이라고 한다. 만약 J M † J = − M {\displaystyle JM^{\dagger }J=-M} 라면, M {\displaystyle M} 을 부반에르미트 행렬(副-行列, 영어: secondary skew-Hermitian matrix)이라고 한다. 만약 J M † J = M − 1 {\displaystyle JM^{\dagger }J=M^{-1}} 라면, M {\displaystyle M} 을 부유니터리 행렬(副-行列, 영어: secondary Unitary matrix)이라고 한다. 만약 M ( J M † J ) = ( J M † J ) M {\displaystyle M(JM^{\dagger }J)=(JM^{\dagger }J)M} 라면, M {\displaystyle M} 을 부정규 행렬(副正規行列, 영어: secondary normal matrix)이라고 한다. 쌍대칭 행렬의 합, 곱, 역행렬, 전치 행렬, 부전치는 쌍대칭 행렬이다. 중심대칭행렬 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. MR 3024913. Zbl 1268.65037.  Reid, Russell M. (1997년 6월). “Some Eigenvalue Properties of Persymmetric Matrices”. 《SIAM Review》 (영어) (Society for Industrial and Applied Mathematics) 39 (2): 313-316.  De Maio, Antonio (2003). “Maximum likelihood estimation of structured persymmetric covariance matrices”. 《Signal Processing》 (영어) 83 (3): 633–640. doi:10.1016/S0165-1684(02)00450-4. ISSN 0165-1684.