마타이-퀼런 형식

미분기하학과 이론물리학에서 마타이-퀼런 형식(മത്തായി-Quillen形式, 영어: Mathai–Quillen form)은 벡터 다발의 톰 특성류를 표현하는 미분 형식이며, 벡터 다발의 올 방향으로 가우스 함수를 따른다. 무한 차원 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 대하여 정의될 수 있으며, 이는 위상 양자장론과 깊은 관계를 가진다. 다음이 주어졌다고 하자. (유한 차원) 연결 유향 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} (유한 차원) 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} -주다발 G ↪ P ↠ M {\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M} 유한 짝수 차원 실수 내적 공간 ( F , ⟨ − , − ⟩ ) {\displaystyle (F,\langle -,-\rangle )} G {\displaystyle G} 의 유한 짝수 차원 직교 표현 ρ : G → O ⁡ ( F ) {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {O} (F)} . 이로부터 연관 벡터 다발 유한 짝수 차원 벡터 다발 F ↪ E ↠ π M {\displaystyle F\hookrightarrow E\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M} 을 정의할 수 있으며, 그 올 위에는 양의 정부호 내적이 주어진다. P {\displaystyle P} 위의 주접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 이로부터 E {\displaystyle E} 의 단면에 대해서도 벡터 다발 접속이 주어진다. 그렇다면, P × F {\displaystyle P\times F} 위에 다음과 같은 미분 형식을 정의하자. Φ ∇ ( E ) | ξ = 1 ( 2 π ) 2 m ∫ R 2 m d 2 m B ∫ R 2 m d 2 m χ , exp ⁡ ( S [ ξ , χ , Ω ∇ , B ] ) {\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{2m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}B\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B])} S [ ξ , χ , Ω ∇ , B ] = − B i B i / 2 + i ξ i B i − χ i i ∇ ξ i + χ i Ω i j χ j / 2 {\displaystyle S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B]=-B^{i}B_{i}/2+i\xi ^{i}B_{i}-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2} 여기서 i , j , … {\displaystyle i,j,\dotsc } 는 F {\displaystyle F} 의 벡터 지표이다. 이는 F {\displaystyle F} 의 내적을 통하여 올리거나 내릴 수 있다. ρ i j ( Ω ∇ ) ∈ End ⁡ ( F ) {\displaystyle \rho _{ij}(\Omega _{\nabla })\in \operatorname {End} (F)} 는 주접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 의 주곡률 Ω ∇ {\displaystyle \Omega _{\nabla }} 의 ρ {\displaystyle \rho } 에 의한 표현이다. ( ξ 1 , … , ξ 2 m ) {\displaystyle (\xi ^{1},\dotsc ,\xi ^{2m})} 은 F {\displaystyle F} 위의 데카르트 좌표계를 이룬다. 이들의 공변 미분 ∇ ξ i {\displaystyle \nabla \xi ^{i}} 는 P × F {\displaystyle P\times F} 위의 G {\displaystyle G} -불변 1차 미분 형식들이다. 공변 미분의 정의에 따라, 이는 P × G F = E {\displaystyle P\times _{G}F=E} 위의 1차 미분 형식을 이룬다. ∫ d 2 m χ {\displaystyle \textstyle \int \mathrm {d} ^{2m}\chi } 는 2 m {\displaystyle 2m} 개의 형식적 반가환 변수 χ 1 , … , χ 2 m {\displaystyle \chi ^{1},\dotsc ,\chi ^{2m}} 에 대한 베레진 적분이다. 변수 χ i {\displaystyle \chi ^{i}} 는 홀수차 (가환) 미분 형식과 반가환한다. χ i ρ i j ( Ω ∇ ) χ j + i χ i ∇ ξ i {\displaystyle \chi ^{i}\rho _{ij}(\Omega _{\nabla })\chi ^{j}+\mathrm {i} \chi _{i}\nabla \xi ^{i}} 은 P × F {\displaystyle P\times F} 위의 2차 미분 형식과 1차 미분 형식의 합이다. 그 (형식적) 지수 함수는 미분 형식 쐐기곱에 대한 멱급수 전개로 정의된다. 베레진 적분은 이 멱급수에서, 미분 형식 등급이 2 m {\displaystyle 2m} 인 항만을 골라낸다. ∫ d B {\displaystyle \textstyle \int \mathrm {d} B} 는 스칼라 보조장 B {\displaystyle B} 에 대한 적분이다. 즉, 다음과 같다. 보조장 B {\displaystyle B} 에 대한 적분을 취하면, 다음을 얻는다. Φ ∇ ( E ) | ξ = 1 ( 2 π ) m ∫ R 2 m d 2 m χ , exp ⁡ ( S ′ [ ξ , χ , Ω ∇ ] ) {\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }])} S ′ [ ξ , χ , Ω ∇ ] = − ξ i ξ j / 2 − χ i i ∇ ξ i + χ i Ω i j χ j / 2 {\displaystyle S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }]=-\xi _{i}\xi ^{j}/2-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2} 이 작용은 초대칭 δ χ i = B i {\displaystyle \delta \chi _{i}=B_{i}} δ ξ i = ∇ ξ i {\displaystyle \delta \xi _{i}=\nabla \xi _{i}} δ B i = Ω i j χ j {\displaystyle \delta B^{i}=\Omega ^{ij}\chi _{j}} 을 가지며, 이에 따라 S = δ ( χ i ( i ξ i − B i / 2 ) ) {\displaystyle S=\delta (\chi _{i}(\mathrm {i} \xi ^{i}-B^{i}/2))} 이다. 베레진 적분에 의하여, Φ ∇ ( E ) {\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)} 는 P × F {\displaystyle P\times F} 위의 2 m {\displaystyle 2m} 차 미분 형식을 이룬다. 정의에 따라 이는 G {\displaystyle G} -불변이므로, 연관 벡터 다발 E = P × G F {\displaystyle E=P\times _{G}F} 위의 2 m {\displaystyle 2m} 차 미분 형식을 이룬다. 또한, 이는 초대칭 δ {\displaystyle \delta } 에 의하여 닫힌 미분 형식이다. 이를 마타이-퀼런 형식이라고 한다. 무한 차원에서는 m {\displaystyle m} 등이 무한대가 되기 때문에 이 공식을 직접 해석할 수 없지만, 일부 경우 양자장론의 경로 적분 등을 사용하여 이 값을 정의할 수 있다. 만약 X {\displaystyle X} 가 유한 차원 매끄러운 다양체일 때, s {\displaystyle s} 의 마타이-퀼런 형식 Φ ∇ ( E ) ∈ Ω 2 m ( E ) {\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)\in \Omega ^{2m}(E)} 의 드람 코호몰로지 동치류 [ Φ ∇ ( E ) ] dR ∈ H 2 m ⁡ ( E ) ⊗ Z R {\displaystyle [\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}\in \operatorname {H} ^{2m}(E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} } 는 E {\displaystyle E} 의 오일러 특성류 e ⁡ ( E ) ∈ H 2 m {\displaystyle \operatorname {e} (E)\in \operatorname {H} ^{2m}} 의 실수 계수와 같다. ( e ⁡ ( E ) ⊗ Z R ) = [ Φ ∇ ( E ) ] dR {\displaystyle (\operatorname {e} (E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} )=[\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}} 특히, 이는 사용한 단면 s : M → E {\displaystyle s\colon M\to E} 에 의존하지 않는다. 그러나 무한 차원에서는 마타이-퀼런 형식은 일반적으로 s {\displaystyle s} 에 의존하게 된다. 다음과 같은 경우를 생각하자. ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 는 n {\displaystyle n} 차원 유한 차원 콤팩트 리만 다양체이다. S β 1 = [ 0 , β ] / ( 0 ∼ β ) {\displaystyle \mathbb {S} _{\beta }^{1}=[0,\beta ]/(0\sim \beta )} 는 둘레가 β ∈ R + {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}} 인 원이다. X = L 1 , 2 ⁡ ( S β 1 , M ) {\displaystyle X=\operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} _{\beta }^{1},M)} 는 유한 에너지 고리들로 구성된 소볼레프 공간이다. 이는 힐베르트 다양체이며, M {\displaystyle M} 의 고리 공간(과 호모토피 동치)이다. 즉, 가측 함수 f : S 1 → M {\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{1}\to M} 가운데, 미분 f ˙ {\displaystyle {\dot {f}}} 가 거의 어디서나 존재하며, L2 르베그 공간에 속하는 것들로 구성된다. G {\displaystyle G} 는 직교군 O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} 에 대한 게이지 군 { ϕ : M → O ⁡ ( n ) } {\displaystyle \{\phi \colon M\to \operatorname {O} (n)\}} 이며, P {\displaystyle P} 는 리만 다양체 M {\displaystyle M} 의 틀다발로서 유도된다. F = L 1 , 2 ⁡ ( S 1 , R n ) {\displaystyle F=\operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})} 이며, ρ {\displaystyle \rho } 는 함수의 합성으로 정의된다. 이에 따라, E = P × G F = T X {\displaystyle E=P\times _{G}F=\mathrm {T} X} 는 그 접다발이다. 단면 s : X → E {\displaystyle s\colon X\to E} 는 속력 γ ↦ γ ˙ {\displaystyle \gamma \mapsto {\dot {\gamma }}} 이다. 그 영점은 상수 함수 고리들의 공간이다. 이 경우, Z = ( 2 π ) − ( dim ⁡ M ) / 2 ∫ M Pf ⁡ ( Riem ) = ( 2 π ) − ( dim ⁡ M ) / 2 ) χ ( M ) {\displaystyle Z=(2\pi )^{-(\dim M)/2}\int _{M}\operatorname {Pf} (\operatorname {Riem} )=(2\pi )^{-(\dim M)/2)}\chi (M)} 을 얻는다. 이는 Ω ( M ) {\displaystyle \Omega (M)} 의 L2 완비화를 힐베르트 공간으로 하는 초대칭 양자역학의 분배 함수와 일치한다. 만약 X {\displaystyle X} 는 어떤 4차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 G {\displaystyle G} -주다발 P {\displaystyle P} 의 주접속들의 공간이다. E {\displaystyle E} 는 M {\displaystyle M} 위의, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -값 자기 쌍대 2차 미분 형식들의 공간이다. s : F ↦ F + ∗ F {\displaystyle s\colon F\mapsto F+*F} 는 2차 미분 형식을 자기 쌍대 성분으로 대응시킨다. 이에 따라, s {\displaystyle s} 의 영점은 반 자기 쌍대 미분 형식들의 공간이다. 만약 이 공간이 0차원이라면 (점으로 구성된다면), 도널드슨 이론은 이 공간의 점의 수를 계산한다. 마타이 바르기스(말라얄람어: മത്തായി വർഗീസ്, 영어: Mathai Varghese)와 대니얼 퀼런이 1986년에 도입하였다. 이후 마이클 아티야와 리사 제프리(영어: Lisa Jeffrey)가 이 개념이 무한 차원에서 위상 양자장론에 해당한다는 것을 증명하였다. Blau, Matthias. “The Mathai–Quillen Formalism and Topological Field Theory” (영어). arXiv:hep-th/9203026. doi:10.1016/0393-0440(93)90049-K.  Wang, Zheng-Dong (1997). “Mathai–Quillen formalism — from the point of view of path integrals”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어). doi:10.1023/A:1007312606288. ISSN 0377-9017.  Mathai, Varghese; Quillen, Daniel (1986). “Superconnections, Thom classes and equivariant differential forms”. 《Topology》 25 (1): 85–110.