호지 구조

대수기하학에서 호지 구조(Hodge構造, 영어: Hodge structure)는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다. 무게가 n {\displaystyle n} 인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, 영어: pure Hodge structure) ( H , F ∙ ) {\displaystyle (H,F^{\bullet })} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:Definition 1 자유 아벨 군 H {\displaystyle H} 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과 H ⊗ Z C = F 0 ⊇ F 1 ⊇ ⋯ ⊇ F n {\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{n}} 이는 다음 성질을 만족시켜야 한다. p + q = n + 1 {\displaystyle p+q=n+1} 이라면, F p ∩ F ¯ q = { 0 } {\displaystyle F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}=\{0\}} , F p ⊕ F ¯ q = H ⊗ C {\displaystyle F^{p}\oplus {\bar {F}}^{q}=H\otimes \mathbb {C} } 순수 호지 구조 ( H , F ∙ ) {\displaystyle (H,F^{\bullet })} 에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다. H p , q = F p ∩ F ¯ q {\displaystyle H^{p,q}=F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}} 그렇다면 다음이 성립한다. H ⊗ C = H 0 , n ⊕ H 1 , n − 1 ⊕ ⋯ ⊕ H n , 0 {\displaystyle H\otimes \mathbb {C} =H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus \cdots \oplus H^{n,0}} H ¯ p , q ≅ H q , p {\displaystyle {\bar {H}}^{p,q}\cong H^{q,p}} 무게 n {\displaystyle n} 의 순수 호지 구조 ( H , F ∙ ) {\displaystyle (H,F^{\bullet })} 의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) h ∙ , n − ∙ {\displaystyle h^{\bullet ,n-\bullet }} 는 다음과 같다. h p , n − p = dim C ⁡ H p , q = dim C ⁡ gr F p ⁡ ( H ⊗ Z C ) {\displaystyle h^{p,n-p}=\dim _{\mathbb {C} }H^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )} 순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 H ⊗ Z C {\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} } 위의, 복소수 곱셈군 S ( R ) = C × {\displaystyle \mathbb {S} (\mathbb {R} )=\mathbb {C} ^{\times }} 의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, H p , q {\displaystyle H^{p,q}} 는 C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} 의 작용이 z : v ↦ z p z ¯ q v {\displaystyle z\colon v\mapsto z^{p}{\bar {z}}^{q}v} 의 꼴인 성분이다. 같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) f : H → H ′ {\displaystyle f\colon H\to H'} 은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다. f ( H p , q ) ⊂ ⨁ i ≥ 0 H ′ p + i , q − i {\displaystyle f(H^{p,q})\subset \bigoplus _{i\geq 0}H'^{p+i,q-i}} 무게 k {\displaystyle k} 의 두 개의 순수 호지 구조 H {\displaystyle H} , H ′ {\displaystyle H'} 이 주어졌을 때, 직합 H ⊕ H ′ {\displaystyle H\oplus H'} 역시 무게 k {\displaystyle k} 의 순수 호지 구조를 이룬다. 무게 k {\displaystyle k} 의 순수 호지 구조 H {\displaystyle H} 와 무게 k ′ {\displaystyle k'} 의 순수 호지 구조 H ′ {\displaystyle H'} 이 주어졌을 때, 텐서곱 H ⊗ H ′ {\displaystyle H\otimes H'} 은 무게 k k ′ {\displaystyle kk'} 의 순수 호지 구조를 이룬다. 무게 k {\displaystyle k} 의 순수 호지 구조 H {\displaystyle H} 위의 극성화(極性化, 영어: polarization) Q {\displaystyle Q} 는 다음 조건들을 만족시키는, H {\displaystyle H} 위의 정수 이차 형식이다. Q C ( a , b ) = ( − 1 ) k Q C ( b , a ) ∀ a , b ∈ H ⊗ Z C {\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=(-1)^{k}\mathbb {Q} ^{\mathbb {C} }(b,a)\qquad \forall a,b\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} } Q C ( a , b ) = 0 ∀ a ∈ H p , q , b ∈ H p ′ , q ′ , ( p , q ) ≠ ( q ′ , p ′ ) {\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\neq (q',p')} i p − q Q ( a , a ¯ ) ∈ R + ∀ a ∈ H p , q ∖ { 0 } {\displaystyle i^{p-q}Q(a,{\bar {a}})\in \mathbb {R} ^{+}\forall a\in H^{p,q}\setminus \{0\}} 혼합 호지 구조(混合Hodge構造, 영어: mixed Hodge structure) ( H , F ∙ , W ∙ ) {\displaystyle (H,F^{\bullet },W_{\bullet })} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:Definition 10(1) 아벨 군 H {\displaystyle H} H ⊗ C {\displaystyle H\otimes \mathbb {C} } 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과 H ⊗ C = F 0 ⊇ F 1 ⊇ ⋯ ⊇ F k {\displaystyle H\otimes \mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{k}} . 이를 호지 여과(Hodge濾過, 영어: Hodge filtration)라고 한다. H ⊗ Q {\displaystyle H\otimes \mathbb {Q} } 위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 W 0 ⊆ W 1 ⊆ ⋯ ⊆ W m = H ⊗ Q {\displaystyle W_{0}\subseteq W_{1}\subseteq \cdots \subseteq W_{m}=H\otimes \mathbb {Q} } . 이를 무게 여과(-濾過, 영어: weight filtration)라고 한다. 이는 다음을 만족시켜야 한다. 모든 n {\displaystyle n} 에 대하여, gr n W ⁡ H = ( W n / W n − 1 ) ⊗ C {\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=(W_{n}/W_{n-1})\otimes \mathbb {C} } 위의 감소 여과 F p gr n W ⁡ H = ( F p ∩ W n ⊗ C + W n − 1 ⊗ C ) / ( W n − 1 ⊗ C ) {\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )/(W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )} 는 무게 n {\displaystyle n} 의 순수 호지 구조를 이룬다. 혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다. 혼합 호지 구조 ( H , F ∙ , W ∙ ) {\displaystyle (H,F^{\bullet },W_{\bullet })} 의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) h ∙ , ∙ {\displaystyle h^{\bullet ,\bullet }} 는 다음과 같다.:Definition 10(3) h p , q = dim C ⁡ gr F p ⁡ gr p + q W ⁡ ( H ⊗ Z C ) {\displaystyle h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}\operatorname {gr} _{p+q}^{W}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )} 두 혼합 호지 구조 ( H , F , W ) {\displaystyle (H,F,W)} , ( H ′ , F ′ , W ′ ) {\displaystyle (H',F',W')} 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) f : H → H ′ {\displaystyle f\colon H\to H'} 은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다. f ( F p ) ⊆ F ′ p {\displaystyle f(F^{p})\subseteq F'^{p}} f ( W k H ) ⊆ W k ′ {\displaystyle f(W_{k}H)\subseteq W'_{k}} 혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(영어: Tannakian category)를 이룬다. 콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) X {\displaystyle X} 의 복소수 계수 특이 코호몰로지 H k ( X ; C ) = H k ( X ; Z ) ⊗ C {\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {C} )=H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} } 는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다. H k ( X ; Z ) ⊗ C = ⨁ p + q = k H p , q ( X ) ∀ k = 0 , 1 , … , n {\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X)\qquad \forall k=0,1,\dots ,n} 이는 무게 n {\displaystyle n} 의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합 H ( X ; Z ) = ⨁ n H n ( X ; Z ) {\displaystyle H(X;\mathbb {Z} )=\bigoplus _{n}H^{n}(X;\mathbb {Z} )} 은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는 W k = ⨁ i ≤ k H i ( X ; Z ) ⊗ Q {\displaystyle W_{k}=\bigoplus _{i\leq k}H^{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} } 이며, 호지 여과는 F p = ⨁ i ≥ p H i , n − i {\displaystyle F^{p}=\bigoplus _{i\geq p}H^{i,n-i}} 이다. 두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상 f : M → M ′ {\displaystyle f\colon M\to M'} 은 순수 호지 구조의 사상 f ∗ : H n ( M ′ ) → H n ( M ) {\displaystyle f^{*}\colon H^{n}(M')\to H^{n}(M)} 을 유도한다.:Example 7 (완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 X {\displaystyle X} 의 k {\displaystyle k} 차 특이 코호몰로지 H k ( X ; Z ) {\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )} 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 H k ( X ; Z ) {\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )} 위에 존재하는 무게는 k , k + 1 , … , min { 2 dim C ⁡ X , 2 k ) {\displaystyle k,k+1,\dots ,\min\{2\dim _{\mathbb {C} }X,2k)} 이다.:Theorem 8 gr n W ⁡ H k ( X ; Q ) ≠ 0 ⟹ k ≤ n ≤ min { 2 dim C ⁡ U , 2 k } {\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H^{k}(X;\mathbb {Q} )\neq 0\implies k\leq n\leq \min\{2\dim _{\mathbb {C} }U,2k\}} 또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다. 비특이 사영 대수다양체 X {\displaystyle X} 의 닫힌 비특이 부분다양체 Y ↪ X {\displaystyle Y\hookrightarrow X} 가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다. ⋯ → H i ( X , Y ) → H i ( X ) → H i ( Y ) → H i + 1 ( X , Y ) → H i + 1 ( X ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to \cdots } 혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다. 이 경우 H ∙ ( X ) {\displaystyle H^{\bullet }(X)} 는 순수 호지 구조이지만, H ∙ ( X , Y ) {\displaystyle H^{\bullet }(X,Y)} 및 H ∙ ( Y ) {\displaystyle H^{\bullet }(Y)} 는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다. 보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다. 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다. 호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, 영어: variation of Hodge structure)은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다. 호지 가군(Hodge加群, 영어: Hodge module)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코(일본어: 斎藤 盛彦)가 도입하였다. 임의의 아벨 군 H {\displaystyle H} 에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다. H 0 , 0 = H ⊗ Z C {\displaystyle H^{0,0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} } F 0 = H ⊗ Z C {\displaystyle F^{0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} } 만약 호지 구조의 차수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다. 아벨 군 H {\displaystyle H} 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간 H ⊗ Z R {\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} } 위의 복소구조 J : H ⊗ Z R → H ⊗ Z R {\displaystyle J\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} } J 2 = − 1 {\displaystyle J^{2}=-1} 와 같다. 이 경우, H 1 , 0 = { v ∈ H ⊗ Z C : J C v = i v } {\displaystyle H^{1,0}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=iv\}} H 0 , 1 = { v ∈ H ⊗ Z C : J C v = − i v } {\displaystyle H^{0,1}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=-iv\}} 이다. 여기서 J C : H ⊗ Z C → H ⊗ Z C {\displaystyle J^{\mathbb {C} }\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} } ( J C ) 2 = − 1 {\displaystyle (J^{\mathbb {C} })^{2}=-1} 는 J {\displaystyle J} 의 복소수체로의 선형 확대이다. 보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 H {\displaystyle H} 위에, 짝수 무게 2 n {\displaystyle 2n} 의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.:Example 1 H p , q = { H ⊗ Z C ( p , q ) = ( n , n ) { 0 } ( p , q ) ≠ ( n , n ) {\displaystyle H^{p,q}={\begin{cases}H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} &(p,q)=(n,n)\\\{0\}&(p,q)\neq (n,n)\end{cases}}} 테이트 호지 구조(영어: Tate Hodge structure) Z ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {Z} (1)} 는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위에 정의되는, 무게 − 2 {\displaystyle -2} 의 순수 호지 구조이다.:Example 2 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 − 2 n {\displaystyle -2n} 의 호지 구조는 Z ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} (n)} 으로 쓴다. 무게 k {\displaystyle k} 의 순수 호지 구조 ( H , F ∙ ) {\displaystyle (H,F^{\bullet })} 및 정수 r {\displaystyle r} 가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂(영어: Tate twist) H ( r ) {\displaystyle H(r)} 는 다음과 같은, 무게 k + 2 r {\displaystyle k+2r} 의 순수 호지 구조이다.:Example 3 아벨 군으로서, H ( r ) = H {\displaystyle H(r)=H} H ( r ) p , q = H p − r , q − r {\displaystyle H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}} 복소수 타원 곡선 E {\displaystyle E} 에 서로 다른 닫힌 점 z 1 , … , z k ∈ E {\displaystyle z_{1},\dots ,z_{k}\in E} 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.:Example 18 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다. H 0 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = 0 {\displaystyle H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0} H 1 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) ≅ Q k + 1 ( k > 1 ) {\displaystyle H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k+1}\qquad (k>1)} H 2 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = 0 ( k > 0 ) {\displaystyle H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\qquad (k>0)} 상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다. 0 → H 0 ( E , E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = 0 → H 0 ( E ; Q ) → H 0 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → H 1 ( E , E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = 0 → H 1 ( E ; Q ) → H 1 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → H 2 ( E , E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → H 2 ( E ; Q ) → H 2 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = 0 {\displaystyle 0\to H^{0}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{1}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0} 즉, 이는 다음과 같이 분해된다. 0 → H 0 ( E ; Q ) → H 0 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to 0} 0 → H 1 ( E ; Q ) → H 1 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → H 2 ( E , E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → H 2 ( E ; Q ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to 0} 긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다. 0 → H 1 ( E ; Q ) ≅ Q 2 → gr 1 W ⁡ H 1 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → gr 1 W ⁡ H 2 ( E , E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = 0 {\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{2}\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0} 0 → gr 2 W ⁡ H 1 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) → H 2 ( E , E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) ≅ Q k → H 2 ( E ; Q ) ≅ Q → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k}\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} \to 0} 즉, gr 0 W ⁡ H 0 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = H 0 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) {\displaystyle \operatorname {gr} _{0}^{W}H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )} dim Q ⁡ gr 1 W ⁡ H 1 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = 2 {\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=2} gr 2 W ⁡ H 1 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) = H 2 ( E ∖ { z 1 , … , z k } ; Q ) {\displaystyle \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )} 이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다. 대수다양체 X {\displaystyle X} 가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 X 1 {\displaystyle X_{1}} 과 X 2 {\displaystyle X_{2}} 의 합집합이며, X 1 {\displaystyle X_{1}} 과 X 2 {\displaystyle X_{2}} 는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다.:§4 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다. ⋯ → H i − 1 ( X 1 ∩ X 2 ) → δ i − 1 H i ( X ) → H i ( X 1 ) ⊕ H i ( X 2 ) → H i ( X 1 ∩ X 2 ) → δ i H i + 1 ( X ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i-1}}}H^{i}(X)\to H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})\to H^{i}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i}}}H^{i+1}(X)\to \cdots } 이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 H i ( X 1 ∩ X 2 ) {\displaystyle H^{i}(X_{1}\cap X_{2})} 와 H i ( X 1 ) ⊕ H i ( X 2 ) {\displaystyle H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})} 는 무게 i {\displaystyle i} 의 순수 호지 구조를 가지지만, H i ( X ) {\displaystyle H^{i}(X)} 는 일반적으로 무게 i {\displaystyle i} 및 i − 1 {\displaystyle i-1} 을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다. W j ( H i ( X ) ) = { H i ( X ) j ≥ i im ⁡ δ i − 1 j = i − 1 0 j < i − 1 {\displaystyle W_{j}(H^{i}(X))={\begin{cases}H^{i}(X)&j\geq i\\\operatorname {im} \delta _{i-1}&j=i-1\\0&j<i-1\end{cases}}} Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan. 〈An introduction to Hodge structures〉. 《Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics》. Fields Institute Communications (영어). Springer. arXiv:1412.8499. ISSN 1069-5265.  Deligne, Pierre (1971). 〈Théorie de Hodge I〉 (PDF). 《Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970)》 (프랑스어) 1. Gauthier-Villars. 425–430쪽. MR 0441965. 2015년 4월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 8일에 확인함.  Deligne, Pierre (1971). “Théorie de Hodge II”. 《Publications mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (프랑스어) 40: 5–57. doi:10.1007/BF02684692. ISSN 0073-8301. MR 0498551. 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