구간

수학에서 구간(區間, 영어: interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 갖춘 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다. 구간은 끝점을 포함하는지 여부에 따라 열린구간(-區間영어: open interval) 또는 개구간(開區間) 닫힌구간(-區間영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間) 반열린구간(半-區間, 영어: half-open interval) 또는 반닫힌구간(半-區間, 영어: half-closed interval) 또는 반개구간(半開區間) 또는 반폐구간(半閉區間) 의 세 가지로 나뉜다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 두 원소 a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} 에 대하여, a ≲ b ≴ a {\displaystyle a\lesssim b\not \lesssim a} 를 a < b {\displaystyle a<b} 로 표기하자. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} :11, Definition 11의 두 원소 a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} 를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 열린구간과 닫힌구간 및 두 개의 반열린구간은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여 a < b {\displaystyle a<b} 또는 a ≲ b {\displaystyle a\lesssim b} 를 요구하기도 한다). ( a , b ) = { x ∈ X : a < x < b } {\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}} [ a , b ] = { x ∈ X : a ≲ x ≲ b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}} ( a , b ] = { x ∈ X : a < x ≲ b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}} [ a , b ) = { x ∈ X : a ≲ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}} 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 원소 a ∈ X {\displaystyle a\in X} 를 왼쪽 끝점으로 하고, 오른쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다. ( a , ∞ ) = { x ∈ X : a < x } {\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}} [ a , ∞ ) = { x ∈ X : a ≲ x } {\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}} 마찬가지로, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 원소 b ∈ X {\displaystyle b\in X} 를 오른쪽 끝점으로 하고, 왼쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다. ( − ∞ , b ) = { x ∈ X : x < b } {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}} ( − ∞ , b ] = { x ∈ X : x ≲ b } {\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}} 왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은 X {\displaystyle X} 전체이다. ( − ∞ , ∞ ) = X {\displaystyle (-\infty ,\infty )=X} 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 최대 원소와 최소 원소를 추가하여 얻는 원순서 집합 X ⊔ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}} ∀ x ∈ X : − ∞ < x < ∞ {\displaystyle \forall x\in X\colon -\infty <x<\infty } 의 두 원소를 두 끝점으로 하는 X ⊔ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}} 의 구간으로 여길 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 확장된 실수를 끝점으로 한다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 부분 집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 가 다음 조건을 만족시키면, 순서 볼록 집합(영어: order-convex set)이라고 한다. 임의의 a , b ∈ C {\displaystyle a,b\in C} 에 대하여, [ a , b ] ⊆ C {\displaystyle [a,b]\subseteq C} 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 이 주어졌다고 하자. Y {\displaystyle Y} 에 포함되는 X {\displaystyle X} 의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 Y {\displaystyle Y} 의 순서 볼록 성분(영어: order-convex component)이라고 한다.:Definition 5.1:727 초른 보조정리에 따라, Y {\displaystyle Y} 에 포함되는 X {\displaystyle X} 의 임의의 순서 볼록 집합은 항상 Y {\displaystyle Y} 의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약 X {\displaystyle X} 가 전순서 집합이라면, Y {\displaystyle Y} 의 순서 볼록 성분들은 Y {\displaystyle Y} 를 분할한다. 즉, C ⊆ Y {\displaystyle C\subseteq Y} 인 순서 볼록 집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다. { y ∈ Y : ∃ c ∈ C : [ min { c , y } , max { c , y } ] ⊆ Y } {\displaystyle \{y\in Y\colon \exists c\in C\colon [\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}} 모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 부분 집합 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. I {\displaystyle I} 는 구간이다. I {\displaystyle I} 는 볼록 집합이다. I {\displaystyle I} 는 순서 볼록 집합이다. I = ∅ {\displaystyle I=\varnothing } 이거나, I {\displaystyle I} 는 연결 공간이다. I = ∅ {\displaystyle I=\varnothing } 이거나, I {\displaystyle I} 는 경로 연결 공간이다. I = ∅ {\displaystyle I=\varnothing } 이거나, I {\displaystyle I} 는 호 연결 공간이다. 보다 일반적으로, 선형 연속체 ( L , ≤ ) {\displaystyle (L,\leq )} 의 부분 집합 S ⊆ L {\displaystyle S\subseteq L} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:153, Theorem 24.1 S {\displaystyle S} 는 구간이다. S {\displaystyle S} 는 순서 볼록 집합이다. S = ∅ {\displaystyle S=\varnothing } 이거나, L {\displaystyle L} 에 순서 위상을 가했을 때 S {\displaystyle S} 는 연결 공간이다. 실수 구간의 폐포는 다음과 같다.:214, Lemma 9.1.12 cl ⁡ ( a , b ) = cl ⁡ ( a , b ] = cl ⁡ [ a , b ) = cl ⁡ [ a , b ] = [ a , b ] {\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b]} cl ⁡ ( a , + ∞ ) = cl ⁡ [ a , + ∞ ) = [ a , + ∞ ) {\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty )} cl ⁡ ( − ∞ , a ) = cl ⁡ ( − ∞ , a ] = ( − ∞ , a ] {\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a]} cl ⁡ ( − ∞ , + ∞ ) = ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty )} 격자 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 S ⊆ L {\displaystyle S\subseteq L} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. S {\displaystyle S} 는 부분 격자이며, 순서 볼록 집합이다. S = I ∩ F {\displaystyle S=I\cap F} 인 순서 아이디얼 I ⊆ L {\displaystyle I\subseteq L} 과 필터 F ⊆ L {\displaystyle F\subseteq L} 이 존재한다. 단위 구간 [ 0 , 1 ] = { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 } {\displaystyle [0,1]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leq x\leq 1\}} 은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간 ( 0 , ∞ ) = { x ∈ R : x > 0 } {\displaystyle (0,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\}} 은 모든 양의 실수들의 집합이다. 유리수의 전순서 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 부분 집합 { x ∈ Q : x 2 < 2 } ⊆ Q {\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}\subseteq \mathbb {Q} } 는 순서 볼록 집합이지만, ( 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 가 무리수이므로) Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 구간이 아니다. 호 (기하학) 부등식 선분 구간의 분할 Vind, Karl (2003). 《Independence, additivity, uncertainty》. Studies in Economic Theory (영어) 14. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-540-24757-9. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001.  Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. 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