지수 함수

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다. a {\displaystyle a} 를 양의 상수, x {\displaystyle x} 를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때 y = a x {\displaystyle y=a^{x}} 로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2^{x}} 는 지수함수다. 자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는 exp ( x ) {\displaystyle {\text{exp}}(x)} 또는 e x {\displaystyle e^{x}} 와 같이 쓴다. 이때 e {\displaystyle e} 를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 y = e x {\displaystyle y=e^{x}} 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 x {\displaystyle x} 의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 x {\displaystyle x} 축과 만나지 않지만, x {\displaystyle x} 축에 점점 접근해간다. a가 양의 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 ax 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다. ax는 R에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다. a0 = 1 ap+q = apaq 함수 f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} 에서 a > 1 {\displaystyle a>1} 일 때 위 지수함수의 극한은 lim x → ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty } , lim x → − ∞ f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0} 이고, 0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} 일 때 위 지수함수의 극한은 lim x → ∞ f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0} , lim x → − ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty } 이다. 그리고 a = 1 {\displaystyle a=1} 일 때 위 지수함수의 극한은 lim x → ∞ f ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=1} , lim x → − ∞ f ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=1} 이다. 밑이 e 인 지수 함수 ex의 도함수는 ex 자신이 된다. ex를 exp ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp(x)} 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ax는 자연로그 ln 을 사용하여, e ln ⁡ a x = e x ln ⁡ a {\displaystyle e^{\ln a^{x}}=e^{x\ln a}} 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ax의 도함수는 (ln a)ax = ax ln a가 된다. exp ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp(x)} 는 미분방정식 d y / d x = y {\displaystyle dy/dx=y} 의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 d y / d x = y , y ( 0 ) = 1 {\displaystyle dy/dx=y,\;y(0)=1} 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다. 해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다. 음함수 미분을 이용하여 d d x a x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}} 의 해를 구할 수 있다. y = a x {\displaystyle y=a^{x}} 라 하면 다음이 성립한다: ln ⁡ y = ln ⁡ a x = x ln ⁡ a {\displaystyle \ln y=\ln a^{x}=x\ln a} 좌변을 x {\displaystyle x} 에 대해 미분하면: 1 y d y d x = ln ⁡ a ⇒ d y d x = ( ln ⁡ a ) y = ( ln ⁡ a ) a x {\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a\;\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=(\ln a)y=(\ln a)a^{x}} 로그함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수의 역함수로 정의된다. 자연로그를 다음과 같이 정의하자. ln ⁡ x = ∫ 1 x 1 t d t {\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{1 \over t}\,dt} 이때 y = ln ⁡ x {\displaystyle y=\ln x} 는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 y = exp ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\exp(x)} 라고 표기한다. 이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여 d y d x = 1 d x d y = 1 1 y = y {\displaystyle {dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y} 즉, d d x exp ⁡ ( x ) = exp ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\exp(x)=\exp(x)} 이다. 또한, ln ⁡ 1 = 0 {\displaystyle \ln 1=0} 이므로, exp ⁡ ( 0 ) = 1 {\displaystyle \exp(0)=1} 이다. 그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다. exp ⁡ ( a + b ) = exp ⁡ ( a ) ⋅ exp ⁡ ( b ) {\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)} exp ⁡ ( a ) = p , exp ⁡ ( b ) = q {\displaystyle \exp(a)=p,\exp(b)=q} 로 놓으면 a = ln ⁡ p , b = ln ⁡ q {\displaystyle a=\ln p,b=\ln q} 이므로 로그의 성질에 의하여 a + b = ln ⁡ p + ln ⁡ q = ln ⁡ p q {\displaystyle a+b=\ln p+\ln q=\ln pq} 따라서 exp ⁡ ( a + b ) = p q = exp ⁡ ( a ) ⋅ exp ⁡ ( b ) {\displaystyle \exp(a+b)=pq=\exp(a)\cdot \exp(b)} 가 성립한다. 로그함수 y = ln ⁡ x {\displaystyle y=\ln x} 는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 ln ⁡ x = 1 {\displaystyle \ln x=1} 를 만족하는 해 x {\displaystyle x} 가 존재하며, 단사함수이므로 실수 x {\displaystyle x} 는 단 한개만 존재한다. 방정식 ln ⁡ x = 1 {\displaystyle \ln x=1} 의 해를 x = e {\displaystyle x=e} 라 하자. ∴ ln ⁡ e = 1 , exp ⁡ ( 1 ) = e {\displaystyle \therefore \ln e=1,\exp(1)=e} 이제 exp ⁡ ( x ) = e x {\displaystyle \exp(x)=e^{x}} 로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다. 수학적 귀납법을 이용하면 x {\displaystyle x} 가 자연수일 때 exp ⁡ ( x ) = e × e × e × ⋯ e ⏟ x {\displaystyle \exp(x)=\underbrace {e\times e\times e\times \cdots e} _{x}} 임을 보일 수 있다. 이제 일반적인 밑을 가진 지수를 a x = e x ln ⁡ a {\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}} ( a > 0 ) {\displaystyle (a>0)} 로 정의하자. 마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 x {\displaystyle x} 에 대하여 a x = a × a × a × ⋯ a ⏟ x {\displaystyle a^{x}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{x}} 임을 보일 수 있다. 증명은 다음과 같다. 1에 대하여 성립 a 1 = e ln ⁡ a = a {\displaystyle a^{1}=e^{\ln a}=a} n {\displaystyle n} 에 대하여 성립한다는 가정 아래, n + 1 {\displaystyle n+1} 에 대하여 성립 a n = a × a × a × ⋯ a ⏟ n {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}} 양변에 a를 곱하면 a n ⋅ a = a × a × a × ⋯ a ⏟ n + 1 {\displaystyle a^{n}\cdot a=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}} 위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다. a n ⋅ a = a n ⋅ a 1 = e n ln ⁡ a ⋅ e ln ⁡ a = e n ln ⁡ a + ln ⁡ a = e ( n + 1 ) ln ⁡ a = a n + 1 {\displaystyle a^{n}\cdot a=a^{n}\cdot a^{1}=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}} ∴ a n + 1 = a × a × a × ⋯ a ⏟ n + 1 {\displaystyle \therefore a^{n+1}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}} 따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 x {\displaystyle x} 에 대하여 e x ln ⁡ a {\displaystyle e^{x\ln a}} 로 정의된 a x {\displaystyle a^{x}} 는 a를 x번 곱한 것과 같다. 자연로그의 밑 행렬 지수 함수 지수열 (울프럼알파)http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(x) Archived 2018년 5월 7일 - 웨이백 머신 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 지수 함수 “Complex exponential function”. 《PlanetMath》 (영어).  Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.