곱셈적 함수

수론에서 곱셈적 함수(-的函數, 영어: multiplicative function) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다. 함수 f : Z + → C {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} } 가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다. 임의의 m , n ∈ Z + {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 만약 gcd { m , n } = 1 {\displaystyle \gcd\{m,n\}=1} 이라면, f ( m n ) = f ( m ) f ( n ) {\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)} 이다. 함수 f : Z + → C {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} } 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, 영어: completely multiplicative function)라고 한다. 임의의 m , n ∈ Z + {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, f ( m n ) = f ( m ) f ( n ) {\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)} 이다. (완전) 곱셈적 함수의 정의역은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.:413 곱셈적 함수 f : Z + → C {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} } 에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.:417 n ↦ f ( n k ) ( k ∈ Z + ) {\displaystyle n\mapsto f(n^{k})\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})} n ↦ f ( gcd { n , k } ) ( k ∈ Z ) {\displaystyle n\mapsto f(\gcd\{n,k\})\qquad (k\in \mathbb {Z} )} 곱셈적 함수 f : Z + → C {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} } 에 대하여, 만약 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 의 소인수 분해가 n = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p k a k {\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}} 일 경우, 다음이 성립한다. f ( n ) = f ( p 1 a 1 ) f ( p 2 a 2 ) ⋯ f ( p k a k ) {\displaystyle f(n)=f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}})\cdots f(p_{k}^{a_{k}})} 만약 추가로 f {\displaystyle f} 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다. f ( n ) = f ( p 1 ) a 1 f ( p 2 ) a 2 ⋯ f ( p k ) a k {\displaystyle f(n)=f(p_{1})^{a_{1}}f(p_{2})^{a_{2}}\cdots f(p_{k})^{a_{k}}} 즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.:416 곱셈적 함수 f , g : Z + → C {\displaystyle f,g\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} } 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.:415; 417; 421, 따름정리3 f ( 1 ) = 1 ∨ f ( x ) = k δ 1 , x {\displaystyle f(1)=1\vee f(x)=k\delta _{1,x}} f ( m ) f ( n ) = f ( gcd { m , n } ) f ( lcm ⁡ { m , n } ) {\displaystyle f(m)f(n)=f(\gcd\{m,n\})f(\operatorname {lcm} \{m,n\})} ∑ d ∣ n μ ( d ) f ( d ) = ∏ p ∣ n ( 1 − f ( p ) ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{p\mid n}(1-f(p))} ∑ d ∣ n μ ( d ) 2 f ( d ) = ∏ p ∣ n ( 1 + f ( p ) ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)^{2}f(d)=\prod _{p\mid n}(1+f(p))} 여기서 μ {\displaystyle \mu } 는 뫼비우스 함수이다. 곱셈적 함수 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 의 정의역 A ⊆ Z {\displaystyle A\subseteq \mathbb {Z} } 이 − 1 ∈ A {\displaystyle -1\in A} 를 만족한다면, f ( − 1 ) = ± 1 {\displaystyle f(-1)=\pm 1} 이다.:417 곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 f , g : Z + → C {\displaystyle f,g\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} } 의 디리클레 합성곱 f ∗ g : n ↦ ∑ d ∣ n f ( d ) g ( n / d ) {\displaystyle f*g\colon n\mapsto \sum _{d\mid n}f(d)g(n/d)} 와 디리클레 역원 f − 1 ( f − 1 ∗ f = f ∗ f − 1 = δ ∙ , 1 ) {\displaystyle f^{-1}\qquad (f^{-1}*f=f*f^{-1}=\delta _{\bullet ,1})} 은 곱셈적 함수이다.:423, 정리5; 429, 문제22 곱셈적 함수 f : Z + → C {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} } 에 대하여, 만약 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 의 소인수 분해가 n = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p k a k {\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}} 일 경우, 다음이 성립한다.:418, 정리1; 423, 식(27) ∑ d ∣ n f ( d ) = ∏ j = 1 k ( 1 + f ( p j ) + ⋯ + f ( p j a j ) ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^{k}(1+f(p_{j})+\cdots +f(p_{j}^{a_{j}}))} ∑ d ∣ n μ ( n / d ) f ( d ) = ∏ j = 1 k ( f ( p j a j ) − f ( p j a j − 1 ) ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^{k}(f(p_{j}^{a_{j}})-f(p_{j}^{a_{j}-1}))} 만약 추가로 f {\displaystyle f} 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다. ∑ d ∣ n f ( d ) = ∏ j = 1 k ( 1 + f ( p j ) + ⋯ + f ( p j ) a j ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^{k}(1+f(p_{j})+\cdots +f(p_{j})^{a_{j}})} ∑ d ∣ n μ ( n / d ) f ( d ) = ∏ j = 1 k ( f ( p j ) a j − f ( p j ) a j − 1 ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^{k}(f(p_{j})^{a_{j}}-f(p_{j})^{a_{j}-1})} 다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다. n ↦ n k {\displaystyle n\mapsto n^{k}} ( k {\displaystyle k} 는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수 n ↦ 1 {\displaystyle n\mapsto 1} : 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 k = 0 {\displaystyle k=0} 인 경우이다. n ↦ n {\displaystyle n\mapsto n} : 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 k = 1 {\displaystyle k=1} 인 경우이다. n ↦ δ n , 1 {\displaystyle n\mapsto \delta _{n,1}} : n {\displaystyle n} 이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다. n ↦ ( n / p ) {\displaystyle n\mapsto (n/p)} ( p {\displaystyle p} 는 소수): 르장드르 기호. n {\displaystyle n} 이 p {\displaystyle p} 에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, p {\displaystyle p} 의 배수일 경우 0을 취한다. 다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다. n ↦ ϕ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \phi (n)} : 오일러 피 함수. n {\displaystyle n} 보다 작고 n {\displaystyle n} 과 서로소인 양의 정수의 개수 n ↦ μ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \mu (n)} : 뫼비우스 함수. n {\displaystyle n} 이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, n {\displaystyle n} 의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. n {\displaystyle n} 이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다. n ↦ σ k ( n ) {\displaystyle n\mapsto \sigma _{k}(n)} ( k {\displaystyle k} 는 음이 아닌 정수): 약수 함수. n {\displaystyle n} 의 모든 양의 약수의 k {\displaystyle k} 제곱의 합 n ↦ d ( n ) {\displaystyle n\mapsto d(n)} : n {\displaystyle n} 의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 k = 0 {\displaystyle k=0} 인 경우이다. n ↦ σ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \sigma (n)} : n {\displaystyle n} 의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 k = 1 {\displaystyle k=1} 인 경우이다. 양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수 n ↦ r 2 ( n ) {\displaystyle n\mapsto r_{2}(n)} 는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다. 1 = 1 2 + 0 2 = 0 2 + 1 2 = ( − 1 ) 2 + 0 2 = 0 2 + ( − 1 ) 2 {\displaystyle 1=1^{2}+0^{2}=0^{2}+1^{2}=(-1)^{2}+0^{2}=0^{2}+(-1)^{2}} 즉, r 2 ( 1 ) = 4 ≠ 1 {\displaystyle r_{2}(1)=4\neq 1} 이다. 폰 망골트 함수 n ↦ Λ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \Lambda (n)} 는 n {\displaystyle n} 이 어떤 소수 p {\displaystyle p} 의 양의 정수 제곱일 경우 ln ⁡ p {\displaystyle \ln p} 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다. Λ ( 1 ) = 0 ≠ 1 {\displaystyle \Lambda (1)=0\neq 1} 이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다. 오일러의 곱셈 공식 潘承洞; 潘承彪 (2013년 1월). 《初等数论》. 21世纪数学规划教材·数学基础课系列 (중국어) 3판. 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-21612-5.  “Multiplicative arithmetic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Multiplicative number theoretic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.