주기함수

수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다. 0이 아닌 실수 t ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} 및 실수 부분 집합 D ⊂ R {\displaystyle D\subset \mathbb {R} } 및 실수 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f {\displaystyle f} 를 주기 함수라고 하고, 실수 t {\displaystyle t} 를 f {\displaystyle f} 의 주기(週期, 영어: period)라고 한다. 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여, f ( x + t ) = f ( x ) = f ( x − t ) {\displaystyle f(x+t)=f(x)=f(x-t)} 이다. f = ⨆ n ∈ Z T n t ( f | D ∩ I ) {\displaystyle \textstyle f=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }T_{nt}(f|_{D\cap I})} 인 유한 실수 구간 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } 이 존재한다. 즉, f {\displaystyle f} 의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다. 여기서 T t ( g ) : dom ⁡ g + t → R {\displaystyle T_{t}(g)\colon \operatorname {dom} g+t\to \mathbb {R} } 이며, T t ( g ) ( x + t ) = g ( x )   ( ∀ x ∈ dom ⁡ g ) {\displaystyle T_{t}(g)(x+t)=g(x)\ (\forall x\in \operatorname {dom} g)} 이다. 즉, T t {\displaystyle T_{t}} 는 함수의 그래프를 수평 방향으로 t {\displaystyle t} 만큼 평행 이동하는 변환이다. 이에 따라, 다음이 성립한다. 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여, x + t , x − t ∈ D {\displaystyle x+t,x-t\in D} 이다. D = ⨆ n ∈ Z ( D ∩ I + n t ) {\displaystyle \textstyle D=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }(D\cap I+nt)} 인 유한 실수 구간 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } 이 존재한다. 실수 주기 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 및 실수 T ∈ R {\displaystyle T\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수 T {\displaystyle T} 를 f {\displaystyle f} 의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다. T {\displaystyle T} 는 양의 최소 주기이다. prd ⁡ f = T Z {\displaystyle \operatorname {prd} f=T\mathbb {Z} } . 즉, f {\displaystyle f} 의 주기는 곧 … , − 2 T , − T , 0 , T , 2 T , … {\displaystyle \ldots ,-2T,-T,0,T,2T,\ldots } 이다. 실수 주기 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 의 주기와 0의 집합을 prd ⁡ f {\displaystyle \operatorname {prd} f} 로 적자. 즉, prd ⁡ f = { t ∈ R : f ( x + t ) = f ( x ) } {\displaystyle \operatorname {prd} f=\{t\in \mathbb {R} \colon f(x+t)=f(x)\}} 이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해, 임의의 t , u ∈ prd ⁡ f {\displaystyle t,u\in \operatorname {prd} f} 에 대하여, t + u , t − u ∈ prd ⁡ f {\displaystyle t+u,t-u\in \operatorname {prd} f} 이다. 특히, 임의의 t ∈ prd ⁡ f {\displaystyle t\in \operatorname {prd} f} 및 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, n t ∈ prd ⁡ f {\displaystyle nt\in \operatorname {prd} f} 이다. 따라서 prd ⁡ f {\displaystyle \operatorname {prd} f} 는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다. 실수 주기 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 가 기본 주기를 갖지 않는다. prd ⁡ f {\displaystyle \operatorname {prd} f} 가 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서 조밀 집합이다. 만약 주기 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다. 실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수 f {\displaystyle f} 는 ⋯ = f ( − 2.9 ) = f ( − 1.9 ) = f ( − 0.9 ) = 0.1 = f ( 0.1 ) = f ( 1.1 ) = f ( 2.1 ) = ⋯ {\displaystyle \cdots =f(-2.9)=f(-1.9)=f(-0.9)=0.1=f(0.1)=f(1.1)=f(2.1)=\cdots } ⋯ = f ( − 2.7 ) = f ( − 1.7 ) = f ( − 0.7 ) = 0.3 = f ( 0.3 ) = f ( 1.3 ) = f ( 2.3 ) = ⋯ {\displaystyle \cdots =f(-2.7)=f(-1.7)=f(-0.7)=0.3=f(0.3)=f(1.3)=f(2.3)=\cdots } 과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다. 삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는 2 π {\displaystyle 2\pi } , 탄젠트 함수는 π {\displaystyle \pi } 를 기본 주기로 한다. sin ⁡ ( x + 2 π ) = sin ⁡ x {\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x} cos ⁡ ( x + 2 π ) = cos ⁡ x {\displaystyle \cos(x+2\pi )=\cos x} tan ⁡ ( x + π ) = tan ⁡ x {\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan x} 상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다. 디리클레 함수 f ( x ) = { 1 x ∈ Q 0 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} 는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다. 주파수 파동