힐베르트 기호

유체론에서 힐베르트 기호(영어: Hilbert symbol)는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 힐베르트 상호 법칙(영어: Hilbert reciprocity law)이라고 한다. p ∈ { ∞ , 2 , 3 , 5 , 7 , … } {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \{\infty ,2,3,5,7,\dots \}} 가 유리수체의 자리라고 하자. 즉, Q p = { R p = ∞ Q p p = p < ∞ {\displaystyle \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}={\begin{cases}\mathbb {R} &{\mathfrak {p}}=\infty \\\mathbb {Q} _{p}&p={\mathfrak {p}}<\infty \end{cases}}} 는 실수체 또는 p진수체이다. 체 K {\displaystyle K} 의 가역원군을 K × = K ∖ { 0 } {\displaystyle K^{\times }=K\setminus \{0\}} 라고 하자. 그렇다면, 유리수체의 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에서의 힐베르트 기호는 다음과 같은 함수이다. ( − , − p ) : Q p × × Q p × → { − 1 , + 1 } {\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{\times }\times \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{\times }\to \{-1,+1\}} ( a , b p ) = { 1 ∃ ( x , y , z ) ∈ Q p 3 : z 2 = a x 2 + b y 2 − 1 ∄ ( x , y , z ) ∈ Q p 3 : z 2 = a x 2 + b y 2 {\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)={\begin{cases}1&\exists (x,y,z)\in \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{3}\colon z^{2}=ax^{2}+by^{2}\\-1&\nexists (x,y,z)\in \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{3}\colon z^{2}=ax^{2}+by^{2}\end{cases}}} 위의 힐베르트 기호는 유리수체의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 대수적 수체에 대하여 일반화할 수 있다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 자리 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, 다음과 같은 함수를 힐베르트 기호라고 한다.:201, §II.7.3.1:333, Proposition V.3.1 ( − , − p ) : K p × × K p × → μ ( K × ) {\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon K_{\mathfrak {p}}^{\times }\times K_{\mathfrak {p}}^{\times }\to \mu (K^{\times })} ( a , b p ) = ( K p ( a m ) / K p b ) a m a m {\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)={\frac {({\frac {K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}}{b}}){\sqrt[{m}]{a}}}{\sqrt[{m}]{a}}}} 여기서 K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} 는 자리 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에서의 국소체이다. μ ( K × ) ⊆ K {\displaystyle \mu (K^{\times })\subseteq K} 는 K {\displaystyle K} 에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다. m = | μ ( K ) | {\displaystyle m=|\mu (K)|} 는 K {\displaystyle K} 에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다. ( K p ( a m ) / K p b ) ∈ Gal ⁡ ( K p ( a m ) / K p ) {\displaystyle ({\tfrac {K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}}{b}})\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}})} 는 원분 확대 K p ( a m ) / K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}} 에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소 a m ∈ K p ( a m ) {\displaystyle {\sqrt[{m}]{a}}\in K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})} 위에 작용한다. 사실, 힐베르트 기호는 m {\displaystyle m} 제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다. ( − , − p ) : K p × ( K p × ) m × K p × ( K p × ) m → μ ( K × ) {\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon {\frac {K_{\mathfrak {p}}^{\times }}{(K_{\mathfrak {p}}^{\times })^{m}}}\times {\frac {K_{\mathfrak {p}}^{\times }}{(K_{\mathfrak {p}}^{\times })^{m}}}\to \mu (K^{\times })} 만약 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 가 복소수 자리라면 ( K p ≅ C {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} } ), K p ( a m ) / K p ≅ C / C {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} /\mathbb {C} } 는 자명한 확대이므로, 그 갈루아 군 Gal ⁡ ( K p ( a m ) / K p ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}})=1} 은 자명군이며, 따라서 ( a , b p ) = 1 ∀ a , b ∈ K p ≅ C {\displaystyle ({\tfrac {a,b}{\mathfrak {p}}})=1\;\forall a,b\in K_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} } 이다. 임의의 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 자리 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.:195, Proposition II.7.1.1:334, Proposition V.3.2 ( a , 1 − a ) p = 1 ∀ a ∈ K p ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle (a,1-a)_{\mathfrak {p}}=1\qquad \forall a\in K_{\mathfrak {p}}\setminus \{0,1\}} ( a , − a ) p = 1 ∀ a ∈ K p × {\displaystyle (a,-a)_{\mathfrak {p}}=1\qquad \forall a\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }} ( a , b ) p = ( b , a ) p − 1 ∀ a , b ∈ K p × {\displaystyle (a,b)_{\mathfrak {p}}=(b,a)_{\mathfrak {p}}^{-1}\qquad \forall a,b\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }} ( a , b c ) p = ( a , b ) p ( a , c ) p ∀ a , b , c ∈ K p × {\displaystyle (a,bc)_{\mathfrak {p}}=(a,b)_{\mathfrak {p}}(a,c)_{\mathfrak {p}}\qquad \forall a,b,c\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }} ( a b , c ) p = ( a , c ) p ( b , c ) p ∀ a , b , c ∈ K p × {\displaystyle (ab,c)_{\mathfrak {p}}=(a,c)_{\mathfrak {p}}(b,c)_{\mathfrak {p}}\qquad \forall a,b,c\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }} 실수체에서는 ( a , b ∞ ) = { + 1 max a , b > 0 − 1 max a , b < 0 {\displaystyle \left({\frac {a,b}{\infty }}\right)={\begin{cases}+1&\max {a,b}>0\\-1&\max {a,b}<0\end{cases}}} 이다. 2진수체에서, a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 가 정수이고 a = 2 α u {\displaystyle a=2^{\alpha }u} b = 2 β v {\displaystyle b=2^{\beta }v} 2 ∤ u , v {\displaystyle 2\nmid u,v} 라면, ( a , b 2 ) = ( − 1 ) ( u − 1 ) ( v − 1 ) / 4 + α ( v 2 − 1 ) / 8 + β ( u 2 − 1 ) / 8 {\displaystyle \left({\frac {a,b}{2}}\right)=(-1)^{(u-1)(v-1)/4+\alpha (v^{2}-1)/8+\beta (u^{2}-1)/8}} 이다. 홀수 소수 p {\displaystyle p} 에 대한 p {\displaystyle p} 진수체에서, a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 가 정수이고 a = p α u {\displaystyle a=p^{\alpha }u} b = p β v {\displaystyle b=p^{\beta }v} p ∤ u , v {\displaystyle p\nmid u,v} 라면, ( a , b p ) = ( − 1 ) α β ( p − 1 ) / 2 ( u p ) β ( v p ) α {\displaystyle \left({\frac {a,b}{p}}\right)=(-1)^{\alpha \beta (p-1)/2}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }} 이다. 여기서 ( a b ) {\displaystyle \textstyle ({\frac {a}{b}})} 는 르장드르 기호이다. 힐베르트 상호 법칙(Hilbert相互法則, 영어: Hilbert reciprocity law)에 따르면, 임의의 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 두 원소 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} 에 대하여, ( a , b p ) ≠ 1 {\displaystyle ({\tfrac {a,b}{\mathfrak {p}}})\neq 1} 인 자리 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 수는 유한하며, 또한 ∏ p ( a , b p ) = 1 {\displaystyle \prod _{\mathfrak {p}}\left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)=1} 이다.:201, §I.7.3.1:414, Theorem VI.8.1 여기서 ∏ p {\displaystyle \textstyle \prod _{\mathfrak {p}}} 는 모든 자리에 대한 곱이다. 힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다. ( a , b ∞ ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a,b}{\infty }}\right)=1} ( a , b 2 ) = ( − 1 ) ( a − 1 ) ( b − 1 ) / 4 {\displaystyle \left({\frac {a,b}{2}}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}} ( a , b p ) = 1 ( a ≠ p ≠ b ) {\displaystyle \left({\frac {a,b}{p}}\right)=1\qquad (a\neq p\neq b)} ( a , b a ) = ( b a ) {\displaystyle \left({\frac {a,b}{a}}\right)=\left({\frac {b}{a}}\right)} ( a , b b ) = ( a b ) {\displaystyle \left({\frac {a,b}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)} 따라서 ∏ p ( a , b p ) = ( − 1 ) ( a − 1 ) ( b − 1 ) / 4 ( a b ) ( b a ) = 1 {\displaystyle \prod _{\mathfrak {p}}\left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=1} 이다. 다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다. 아즈마야 대수 Gras, Georges (2003). 《Class field theory: From theory to practice》. Springer Monographs in Mathematics (영어). H. Cohen 역 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-662-11323-3. ISBN 978-3-642-07908-5. ISSN 1439-7382. Zbl 1019.11032.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Hilbert, David (1897). “Die Theorie der algebraischen Zahlkörper”. 《Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung》 (독일어) 4: 175–546. ISSN 0012-0456.  Vostokov, Sergei V. (2000). 〈I.8 Explicit formulas for the Hilbert symbol〉. 《Invitation to higher local fields》. Geom. Topol. Monogr (영어) 3. 81–89쪽. arXiv:math/0012139.  “Norm-residue symbol”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.