프레드홀름 작용소

함수해석학에서 프레드홀름 작용소(Fredholm作用素, 영어: Fredholm operator)는 두 바나흐 공간 사이의, 핵과 여핵이 유한 차원인 유계 작용소이다. 이 경우, 핵의 차원과 여핵의 차원의 차를 그 지표(指標, 영어: index 인덱스[*])라고 한다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 이며, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이라고 하자. X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 사이의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -유계 작용소 T ∈ B ( X , Y ; K ) {\displaystyle T\in B(X,Y;\mathbb {K} )} 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -유계 작용소를 프레드홀름 작용소라고 한다. T {\displaystyle T} 의 핵 ker ⁡ T = T − 1 ( 0 ) {\displaystyle \ker T=T^{-1}(0)} 과 여핵 coker ⁡ T = Y / im ⁡ T {\displaystyle \operatorname {coker} T=Y/\operatorname {im} T} 이 유한 차원의 벡터 공간이다.:156 여기서 Y / im ⁡ T {\displaystyle Y/\operatorname {im} T} 는 공역의 그 상에 대한 몫공간이다. 핵 ker ⁡ T {\displaystyle \ker T} 과 여핵 coker ⁡ T {\displaystyle \operatorname {coker} T} 이 유한 차원이며, 또한 그 상 T ( X ) {\displaystyle T(X)} 가 닫힌집합이다. T {\displaystyle T} 는 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 S ∈ B ( Y , X ) {\displaystyle S\in B(Y,X)} 가 존재하여, Id X − S T {\displaystyle \operatorname {Id} _{X}-ST} 와 Id Y − T S {\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}-TS} 둘 다 콤팩트 작용소이다. 프레드홀름 작용소 T {\displaystyle T} 의 지표 ind ⁡ T {\displaystyle \operatorname {ind} T} 는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차다. ind ⁡ T = dim ⁡ ker ⁡ T − dim ⁡ coker ⁡ T {\displaystyle \operatorname {ind} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T} . 프레드홀름 작용소들은 합성에 대하여 닫혀 있으며, 이는 지표에 대하여 가법(加法)이다. 즉, 임의의 세 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소 X → T Y → U Z {\displaystyle X{\xrightarrow {T}}Y{\xrightarrow {U}}Z} 가 주어졌을 때, U ∘ T : X → Z {\displaystyle U\circ T\colon X\to Z} 역시 프레드홀름 작용소이며, ind ⁡ ( U ∘ T ) = ind ⁡ ( U ) + ind ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T)} 이다. 프레드홀름 작용소와 콤팩트 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 즉, 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 프레드홀름 작용소 F : X → Y {\displaystyle F\colon X\to Y} 와 콤팩트 작용소 K : X → Y {\displaystyle K\colon X\to Y} 가 주어졌을 때, ind ⁡ ( F + K ) = ind ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {ind} (F+K)=\operatorname {ind} (F)} 이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -유계 작용소의 공간 B ⁡ ( X , Y ; K ) {\displaystyle \operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )} 에 작용소 노름을 부여하자. 그렇다면, 프레드홀름 작용소들의 집합 Fred ⁡ ( X , Y ; K ) ⊆ B ⁡ ( X , Y ; K ) {\displaystyle \operatorname {Fred} (X,Y;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )} 은 그 속의 열린집합이다. 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 아티야-싱어 지표 정리로 계산된다. 만약 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 유한 차원 바나흐 공간이라면, 그 사이의 모든 유계 작용소는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다. 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 위의 항등 함수는 (자명하게) 지표 0의 프레드홀름 작용소이다. 분해 가능 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 정규 직교 기저 ( e i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (e_{i})_{i=0}^{\infty }} 를 생각하자. 그렇다면, 밀기 연산자(영어: shift operator) S : e i ↦ e i + 1 ∀ i ∈ N {\displaystyle S\colon e_{i}\mapsto e_{i+1}\qquad \forall i\in \mathbb {N} } 를 생각할 수 있다. 이 경우 ker ⁡ S = { 0 } {\displaystyle \ker S=\{0\}} im ⁡ S = ( Span K ⁡ { e 0 } ) ⊥ {\displaystyle \operatorname {im} S=\left(\operatorname {Span} _{\mathbb {K} }\{e_{0}\}\right)^{\perp }} 이므로 ind ⁡ S = dim ⁡ ker ⁡ S − dim ⁡ coker ⁡ S = − 1 {\displaystyle \operatorname {ind} S=\dim \ker S-\dim \operatorname {coker} S=-1} 이다. 적분 방정식 이론을 개척한 스웨덴의 수학자 에리크 이바르 프레드홀름의 이름을 땄다. Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). 《An invitation to operator theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 50. American Mathematical Society. ISBN 082182146-6.  Fredholm, Ivar (1900). “Sur une nouvelle méthode pour la résolution du probléme de Dirichlet”. 《Kong. Vetenskaps-Akademiens Fbrh. Stockholm》 (프랑스어): 39–46.  Fredholm, Ivar (1903년 12월). “Sur une classe d’équations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 27 (1): 365–390. doi:10.1007/BF02421317.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) D.E. Edmunds, W.D. Evans (1987). 《Spectral theory and differential operators》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.  Driver, Bruce K. (2003년 6월 9일). 《Analysis Tools with Applications》 (PDF) (영어). 579–600쪽.  “Fredholm operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.