리프먼-슈윙거 방정식

양자역학에서 리프먼-슈윙거 방정식(Lippmann–Schwinger equation)은 입자의 산란을 다루는 방정식이다. 미국의 버너드 리프먼(Bernard A. Lippmann)과 줄리언 슈윙거가 1950년에 유도하였다. 자유 해밀토니언이 H 0 {\displaystyle H_{0}} 인 계에 퍼텐셜 V {\displaystyle V} 가 산란을 일으킨다고 하자. 입사(入射) 입자 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 는 자유 해밀토니언에 대하여 에너지 E {\displaystyle E} 를 가진 고유 상태라고 하자. H 0 | ϕ ⟩ = E | ϕ ⟩ {\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle } . 산란 이론의 목표는 V {\displaystyle V} 에 의하여 산란된 입자의 파동 함수 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 를 계산하는 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 를 구한다. ( H 0 + V ) | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ {\displaystyle (H_{0}+V)|\psi \rangle =E|\psi \rangle } . 이 두 식을 더하고, 항을 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다. ( E − H 0 ) | ψ ⟩ = ( E − H 0 ) | ϕ ⟩ + V | ψ ⟩ {\displaystyle (E-H_{0})|\psi \rangle =(E-H_{0})|\phi \rangle +V|\psi \rangle } . 이제 양변에 ( E − H 0 ) − 1 {\displaystyle (E-H_{0})^{-1}} 를 곱할 수 있다면, 다음과 같은 식을 얻을 것이다. | ψ ⟩ = ? | ϕ ⟩ + ( E − H 0 ) − 1 V | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle {\stackrel {?}{=}}|\phi \rangle +(E-H_{0})^{-1}V|\psi \rangle } . 하지만 ( E − H 0 ) − 1 {\displaystyle (E-H_{0})^{-1}} 은 H 0 {\displaystyle H_{0}} 에 대한 고윳값이 E {\displaystyle E} 일 경우에는 정의할 수 없다. 섭동 이론에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 적절한 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신, E {\displaystyle E} 를 복소수로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 하자. | ψ ± ⟩ = | ϕ ⟩ + ( E ± i ϵ − H 0 ) − 1 V | ψ ± ⟩ {\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle =|\phi \rangle +(E\pm i\epsilon -H_{0})^{-1}V|\psi ^{\pm }\rangle } ( ϵ ≪ 1 {\displaystyle \epsilon \ll 1} ). 이렇게 하여 | ψ ± ⟩ {\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle } 을 나타낼 수 있다. 이 식을 리프먼-슈윙거 방정식이라고 한다. 리프먼-슈윙거 방정식은 경로적분법을 통해 풀 수 있으며, 그 해 가운데 | ψ + ⟩ {\displaystyle |\psi ^{+}\rangle } 는 초기 상태, | ψ − ⟩ {\displaystyle |\psi ^{-}\rangle } 는 나중 상태의 파동 함수이다. 리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같이 위치 고유벡터 | r ⟩ {\displaystyle |\mathbf {r} \rangle } 을 삽입해 적분 방정식으로 나타낼 수 있다. ⟨ r | ψ ± ⟩ = ⟨ r | ϕ ⟩ + ∫ ⟨ r ′ | ( E ± i ϵ − H 0 ) − 1 V | r ′ ⟩ ⟨ r ′ | ψ ± ⟩ d r ′ {\displaystyle \langle \mathbf {r} |\psi ^{\pm }\rangle =\langle \mathbf {r} |\phi \rangle +\int \langle \mathbf {r} '|(E\pm i\epsilon -H_{0})^{-1}V|\mathbf {r} '\rangle \langle \mathbf {r} '|\psi ^{\pm }\rangle \,d\mathbf {r} '} . 통상적인 경우, 퍼텐셜 항은 위치에만 의존한다. V = V ( r ) {\displaystyle V=V(\mathbf {r} )} 그러면 이 식은 다음과 같다. ⟨ r | ψ ± ⟩ = ⟨ r | ϕ ⟩ + ∫ ⟨ r | ( E ± i ϵ + ∇ 2 / 2 m ) − 1 | r ′ ⟩ V ( r ′ ) ⟨ r ′ | ψ ± ⟩ d r ′ {\displaystyle \langle \mathbf {r} |\psi ^{\pm }\rangle =\langle \mathbf {r} |\phi \rangle +\int \langle \mathbf {r} |(E\pm i\epsilon +\nabla ^{2}/2m)^{-1}|\mathbf {r} '\rangle V(\mathbf {r} ')\langle \mathbf {r} '|\psi ^{\pm }\rangle \,d\mathbf {r} '} . 여기서 다음과 같이 그린 함수 G ± ( r , r ′ ) {\displaystyle G^{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} 를 정의하자. G ± ( r , r ′ ) = ⟨ r | ( E ± i ϵ + ∇ 2 / 2 m ) − 1 | r ′ ⟩ {\displaystyle G^{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\langle \mathbf {r} |(E\pm i\epsilon +\nabla ^{2}/2m)^{-1}|\mathbf {r} '\rangle } . 이를 대입하고, 브라-켓 표기법을 일반 함수 표기법으로 바꾸면 다음과 같은 적분 방정식을 얻는다. ψ ± ( r ) = ϕ ( r ) + ∫ G ± ( r , r ′ ) V ( r ′ ) ψ ± ( r ′ ) d r ′ {\displaystyle \psi ^{\pm }(\mathbf {r} )=\phi (\mathbf {r} )+\int G^{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')V(\mathbf {r} ')\psi ^{\pm }(\mathbf {r} ')\,d\mathbf {r} '} . 빛의 속도보다 매우 느린 입자의 경우 H 0 {\displaystyle H_{0}} 은 다음과 같다. H 0 = p 2 / 2 m = − ℏ 2 ∇ 2 / 2 m {\displaystyle H_{0}=\mathbf {p} ^{2}/2m=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}/2m} . 이에 해당하는 그린 함수 G ± ( r , r ′ ) {\displaystyle G^{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} 는 경로적분법을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다. G ± ( r , r ′ ) = − 2 m ℏ 2 exp ⁡ ( ± i 2 m E ‖ r − r ′ ‖ / ℏ ) 4 π ‖ r − r ′ ‖ {\displaystyle G^{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {\exp(\pm i{\sqrt {2mE}}\Vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\Vert /\hbar )}{4\pi \Vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\Vert }}} . 리프먼-슈윙거 방정식의 해는 보른 근사법(Born approximation)을 통해 급수로 나타낼 수 있다. 1차 보른 근사법이란 리프먼-슈윙거 방정식 우변에서 총 파동 함수 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 를 입사 파동 함수 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 으로 치환하여 푸는 것이다. (즉, 이미 산란된 입자가 재차로 산란되는 경우를 무시한다.) | ψ ( 1 ) ⟩ = | ϕ ⟩ + ( E + i ϵ − H 0 ) − 1 V | ϕ ⟩ {\displaystyle |\psi ^{(1)}\rangle =|\phi \rangle +(E+i\epsilon -H_{0})^{-1}V|\phi \rangle } . 이 해를 리프먼-슈윙거 방정식에 도입해 2차 이상의 보른 근사를 차례로 계산할 수 있다. | ψ ( n + 1 ) ⟩ = | ϕ ⟩ + ( E + i ϵ − H 0 ) − 1 V | ψ ( n ) ⟩ {\displaystyle |\psi ^{(n+1)}\rangle =|\phi \rangle +(E+i\epsilon -H_{0})^{-1}V|\psi ^{(n)}\rangle } . Bernard A. Lippmann, Julian Schwinger (1950). “Variational Principles for Scattering Processes I”. 《Physical Review》 79 (3): 469–480. doi:10.1103/PhysRev.79.469.  Born, Max (1933). 《Optik: Ein Lehrbuch der elektromagnetische Lichttheorie》. Springer-Verlag.  Max Born, Emil Wolf (1999). 《Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light》 7판. Cambridge University Press. ISBN 9780521642224.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) (1판: Max Born, Emil Wolf (1959). 《Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light》 1판. Pergamon.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)) Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917.