리 대수 코호몰로지

리 군론에서 리 대수 코호몰로지(Lie代數cohomology, 영어: Lie algebra cohomology)는 리 대수 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. Ext 함자의 특수한 경우이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보편 포락 대수가 U g {\displaystyle U{\mathfrak {g}}} 라고 하고, M {\displaystyle M} 이 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 표현(즉, U {\displaystyle U} 위의 가군)이라고 하자. R {\displaystyle R} 를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 자명한 표현이라고 여기면, 리 대수 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다. H n ⁡ ( g ; M ) = Ext U g n ⁡ ( R ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R;M)} 즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자 M ↦ M g = { m ∈ M : g m = 0 } {\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\colon {\mathfrak {g}}m=0\}} 의 오른쪽 유도 함자이다. 마찬가지로, 리 대수 호몰로지(영어: Lie algebra homology)는 다음과 같은 Tor 함자이다. H n ⁡ ( g ; M ) = Tor n U g ⁡ ( R ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} _{n}({\mathfrak {g}};M)=\operatorname {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R;M)} 즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자 M ↦ M g = M / g M {\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}=M/{\mathfrak {g}}M} 의 왼쪽 유도 함자이다. 연결 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 그 드람 코호몰로지는 그 리 대수 Lie ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)} 의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다. H ∙ ⁡ ( G ; R ) ≅ H ∙ ⁡ ( Lie ⁡ ( G ) ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;\mathbb {R} )\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Lie} (G);\mathbb {R} )} (같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응할 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수인 드람 코호몰로지로 구별할 수 없다.) 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 복합체(Chevalley-Eilenberg複合體, 영어: Chevalley–Eilenberg complex)라는 공사슬 복합체로 계산할 수 있다. 구체적으로, n {\displaystyle n} 차 슈발레-에일렌베르크 공사슬(영어: Chevalley–Eilenberg n {\displaystyle n} -cochain)은 K {\displaystyle K} -선형 변환 hom K ⁡ ( ⋀ n g ; M ) {\displaystyle \hom _{K}\left(\bigwedge ^{n}{\mathfrak {g}};M\right)} 이며, 그 공경계는 다음과 같다. ( δ f ) ( x 1 , … , x n + 1 ) = ∑ i ( − 1 ) i + 1 x i f ( x 1 , … , x ^ i , … , x n + 1 ) + ∑ i < j ( − 1 ) i + j f ( [ x i , x j ] , x 1 , … , x ^ i , … , x ^ j , … , x n + 1 ) {\displaystyle (\delta f)(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f([x_{i},x_{j}],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1})} 여기서 x ^ i {\displaystyle {\hat {x}}_{i}} 는 해당 항을 생략하라는 뜻이다. 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 콤팩트 단일 연결 리 군 G {\displaystyle G} 의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는 G {\displaystyle G} 위의 M {\displaystyle M} 계수 G {\displaystyle G} -불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다. 정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다. H 0 ⁡ ( g ; M ) = M g = { m ∈ M ∣ g m = 0 } {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid {\mathfrak {g}}m=0\}} 리 대수의 미분(영어: derivation)은 다음 조건을 만족시키는 R {\displaystyle R} -가군 준동형이다. δ : g → M {\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\to M} δ [ x , y ] = x δ y − y δ x ∀ x , y ∈ g {\displaystyle \delta [x,y]=x\delta y-y\delta x\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}} 미분들은 R {\displaystyle R} -가군을 이루며, 이를 Der ⁡ ( g ; M ) {\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}};M)} 이라고 쓰자. 임의의 가군 원소 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, x ↦ x m ∀ x ∈ g {\displaystyle x\mapsto xm\;\forall x\in {\mathfrak {g}}} 는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 내부 미분(영어: inner derivation)이라고 한다. 내부 미분들 역시 R {\displaystyle R} -가군을 이루며, 이를 IDer ⁡ ( g ; M ) {\displaystyle \operatorname {IDer} ({\mathfrak {g}};M)} 이라고 쓰자. 그렇다면, 1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다. H 1 ⁡ ( g ; M ) ≅ Der ⁡ ( g ; M ) / IDer ⁡ ( g ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}({\mathfrak {g}};M)\cong \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}};M)/\operatorname {IDer} ({\mathfrak {g}};M)} 2차 리 대수 코호몰로지 군 H 2 ⁡ ( g ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {g}};M)} 은 리 대수의 확대 0 → M → h → g → 0 {\displaystyle 0\to M\to {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}\to 0} 의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서 M {\displaystyle M} 은 아벨 리 대수로 간주한다.) 체 K {\displaystyle K} 위의 아벨 리 대수 V {\displaystyle V} 와 그 자명한 표현 W {\displaystyle W} 를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다. H ∙ ⁡ ( V ; W ) = hom K -Vect ⁡ ( ⋀ ∙ V ; W ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;W)=\hom _{K{\text{-Vect}}}(\bigwedge ^{\bullet }V;W)} 특히, W = K {\displaystyle W=K} 라고 하자. 그렇다면 H ∙ ⁡ ( V ; K ) = ⋀ ∙ V ∗ {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)=\bigwedge ^{\bullet }V^{*}} 이며, V {\displaystyle V} 가 유한 차원일 경우 dim K ⁡ H ∙ ⁡ ( V ; K ) = ( dim ⁡ V ∙ ) {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)={\binom {\dim V}{\bullet }}} 이다. 기하학적으로, K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 라고 하고, 아벨 리 군 U ⁡ ( 1 ) n {\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}} 을 생각하자. 이는 위상수학적으로 n {\displaystyle n} 차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는 H dR ∙ ⁡ ( T n ) ≅ R ( n ∙ ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{\bullet }(\mathbb {T} ^{n})\cong \mathbb {R} ^{\binom {n}{\bullet }}} 이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 및 가군 준동형 ϕ ∈ hom R -Mod ⁡ ( M , R ) {\displaystyle \phi \in \hom _{R{\text{-Mod}}}(M,R)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 을 R {\displaystyle R} 위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한 R {\displaystyle R} 위에 m ⋅ r = ϕ ( m ) r {\displaystyle m\cdot r=\phi (m)r} 로 정의하여 R {\displaystyle R} 를 아벨 리 대수 M {\displaystyle M} 의 표현으로 생각하자. 이 경우, R {\displaystyle R} 계수의 M {\displaystyle M} 의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 ( R , M , ϕ ) {\displaystyle (R,M,\phi )} 에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수 g = Span ⁡ { x , y } {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y\}} [ x , y ] = x {\displaystyle [x,y]=x} 가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수이다. 그렇다면, K {\displaystyle K} 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다. δ 1 : C 1 → C 0 {\displaystyle \delta _{1}\colon C_{1}\to C_{0}} δ 1 : x , y ↦ 0 {\displaystyle \delta _{1}\colon x,y\mapsto 0} δ 2 : C 2 → C 1 {\displaystyle \delta _{2}\colon C_{2}\to C_{1}} δ 2 : x ∧ y ↦ − [ x , y ] = − x {\displaystyle \delta _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-x} 즉, K {\displaystyle K} 계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다. H 0 = C 0 ≅ K {\displaystyle \operatorname {H} _{0}=C_{0}\cong K} H 1 = C 1 / im ⁡ δ 2 = Span ⁡ { y } ≅ K {\displaystyle \operatorname {H} _{1}=C_{1}/\operatorname {im} \delta _{2}=\operatorname {Span} \{y\}\cong K} H 2 = ker ⁡ δ 2 = { 0 } {\displaystyle \operatorname {H} _{2}=\ker \delta _{2}=\{0\}} 즉, 호몰로지 베티 수는 각각 dim K ⁡ H 0 = 1 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{0}=1} , dim K ⁡ H 1 = 1 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{1}=1} , dim K ⁡ H 2 = 0 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{2}=0} 이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다. d 0 : C 0 → C 1 {\displaystyle d_{0}\colon C^{0}\to C^{1}} d 0 : a ↦ ( x , y ↦ 0 ) {\displaystyle d_{0}\colon a\mapsto (x,y\mapsto 0)} d 1 : C 1 → C 2 {\displaystyle d_{1}\colon C^{1}\to C^{2}} d 1 : ( x ↦ a , y ↦ b ) ↦ ( x ∧ y ↦ − a ) {\displaystyle d_{1}\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto (x\wedge y\mapsto -a)} 따라서, 코호몰로지의 차원도 dim K ⁡ H 0 = 1 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{0}=1} , dim K ⁡ H 1 = 1 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{1}=1} , dim K ⁡ H 2 = 0 {\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{2}=0} 이다. 3차원 직교군의 리 대수 s o ( 3 ; R ) ≅ s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)} 의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자. s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 의 기저는 다음과 같다. [ x , y ] = z {\displaystyle [x,y]=z} [ y , z ] = x {\displaystyle [y,z]=x} [ z , x ] = y {\displaystyle [z,x]=y} 따라서, R {\displaystyle \mathbb {R} } 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다. ∂ 1 : C 1 → C 0 {\displaystyle \partial _{1}\colon C_{1}\to C_{0}} ∂ 1 : x , y , z ↦ 0 {\displaystyle \partial _{1}\colon x,y,z\mapsto 0} ∂ 2 : C 2 → C 1 {\displaystyle \partial _{2}\colon C_{2}\to C_{1}} ∂ 2 : x ∧ y ↦ − [ x , y ] = − z {\displaystyle \partial _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z} ∂ 2 : y ∧ z ↦ − [ y , z ] = − x {\displaystyle \partial _{2}\colon y\wedge z\mapsto -[y,z]=-x} ∂ 2 : z ∧ x ↦ − [ z , x ] = − y {\displaystyle \partial _{2}\colon z\wedge x\mapsto -[z,x]=-y} ∂ 3 : C 3 → C 2 {\displaystyle \partial _{3}\colon C_{3}\to C_{2}} ∂ 3 : x ∧ y ∧ z ↦ 0 {\displaystyle \partial _{3}\colon x\wedge y\wedge z\mapsto 0} 따라서, 이 경우 dim R ⁡ H 0 = 1 {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{0}=1} dim R ⁡ H 1 = 0 {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{1}=0} dim R ⁡ H 2 = 0 {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{2}=0} dim R ⁡ H 3 = 1 {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{3}=1} 이다. 리 군 SU ⁡ ( 2 ) = Spin ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\operatorname {Spin} (3)} 은 3차원 초구 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다. 클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 도입하였다. Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel (1948). “Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 63 (1): 85–124. doi:10.2307/1990637. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990637. MR 0024908.  “Lie algebra cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Nonabelian Lie algebra cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Lie group cohomology”. 《nLab》 (영어).