연관 소 아이디얼

환론에서, 가군의 연관 소 아이디얼(聯關素ideal, 영어: associated prime ideal)은 특정 부분 가군의 소멸자로 표현될 수 있는 소 아이디얼이다. 가환환 위의 가군의 연관 소 아이디얼은 대수기하학적으로 준연접층으로서의 지지 집합과 관련되며, 또 부분 가군의 으뜸 분해에 사용된다. 환 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 다음 조건을 만족시킨다면, M {\displaystyle M} 을 소가군(영어: prime module)이라고 한다. 임의의 부분 가군 R N ⊆ R M {\displaystyle _{R}N\subseteq {}_{R}M} 에 대하여, N = 0 {\displaystyle N=0} 이거나 Ann ⁡ ( R N ) = Ann ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {Ann} (_{R}N)=\operatorname {Ann} (_{R}M)} 이다. (여기서 Ann {\displaystyle \operatorname {Ann} } 은 소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.:85 증명: 만약 양쪽 아이디얼 a , b {\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}} 가 a b ⊆ Ann R ⁡ M {\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\subseteq \operatorname {Ann} _{R}M} 을 만족시키며 a ⊈ Ann R ⁡ M {\displaystyle {\mathfrak {a}}\not \subseteq \operatorname {Ann} _{R}M} 이라면, { 0 } ≠ a M {\displaystyle \{0\}\neq {\mathfrak {a}}M} 이므로 b ⊆ Ann R ⁡ ( a M ) = Ann R ⁡ M {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq \operatorname {Ann} _{R}({\mathfrak {a}}M)=\operatorname {Ann} _{R}M} 이다. R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 연관 소 아이디얼(영어: associated prime ideal)은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다.:86 R M {\displaystyle _{R}M} 의 연관 소 아이디얼의 집합을 Ass ⁡ ( R M ) ⊆ Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}M)\subseteq \operatorname {Spec} R} 로 표기한다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환일 때, Ass ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}M)} 의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 고립 연관 소 아이디얼(영어: isolated associated prime ideal), 아닌 것을 매장 연관 소 아이디얼(영어: embedded associated prime ideal)이라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 부분 가군 N ⊆ M {\displaystyle N\subseteq M} 에 대하여, Ass ⁡ ( N ) ⊆ Ass ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{N})\subseteq \operatorname {Ass} (_{M})} 이다. 만약 N {\displaystyle N} 이 본질적 부분 가군이라면 Ass ⁡ ( N ) = Ass ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{N})=\operatorname {Ass} (_{M})} 이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, R {\displaystyle R} 위의 모든 유한 생성 왼쪽 가군은 적어도 하나 이상의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 은 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 준연접층을 정의한다. 그 지지 집합 supp ⁡ ( R M ) = { p ∈ Spec ⁡ R : R p ⊗ R ≠ 0 } {\displaystyle \operatorname {supp} (_{R}M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}\neq 0\}} 을 생각하자. 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 가환환이라면, 다음이 성립한다. Ass ⁡ ( R M ) ⊆ supp ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}M)\subseteq \operatorname {supp} (_{R}M)} Ass ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}M)} 의 극소 원소들의 집합은 supp ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {supp} (_{R}M)} 의 극소 원소들의 집합과 같다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 연관 소 아이디얼들의 합집합은 M {\displaystyle M} 의 영인자들의 집합과 같다. ⋂ Ass ⁡ ( R M ) = { r ∈ R : ∃ m ∈ M ∖ { 0 } : r m = 0 } {\displaystyle \bigcap \operatorname {Ass} (_{R}M)=\{r\in R\colon \exists m\in M\setminus \{0\}\colon rm=0\}} 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:391, Exercise 10.9.7 가군의 길이가 유한하다. 유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다. 임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다. Ass ⁡ ( R 0 ) = ∅ {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}0)=\varnothing } Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Cohn, P. M. (2003). 《Basic Algebra》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-85729428-9.