제2 가산 공간

일반위상수학에서 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 무게(영어: weight) wt ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {wt} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서는 정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.) 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다. wt ⁡ ( X ) ≤ ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {wt} (X)\leq \aleph _{0}} X {\displaystyle X} 는 가산 기저를 갖는다. X {\displaystyle X} 위의 임의의 기저 B ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, B ′ ⊂ B {\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {B}}} 이며 기저를 이루는 가산 집합 B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 이 존재한다. 모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다. 제1 가산 공간이다. 분해 가능 공간이다. 린델뢰프 공간이다. 증명: X {\displaystyle X} 가 제2 가산 공간이며, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 X {\displaystyle X} 위의 가산 기저라고 하자. X {\displaystyle X} 는 제1 가산 공간. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { B ∈ B : x ∈ B } {\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}} 는 x {\displaystyle x} 위의 가산 국소 기저를 이룬다. X {\displaystyle X} 는 분해 가능 공간. 임의의 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 에서 한 점 x B ∈ B {\displaystyle x_{B}\in B} 를 골랐을 때, { x B : B ∈ B } {\displaystyle \{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}} 는 X {\displaystyle X} 의 가산 조밀 집합이다. X {\displaystyle X} 는 린델뢰프 공간. X {\displaystyle X} 의 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 주어졌다고 하자. 이제, S = { B ∈ B : ∃ U ∈ U : B ⊆ U } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon \exists U\in {\mathcal {U}}\colon B\subseteq U\}} 라고 하고, 임의의 B ∈ S {\displaystyle B\in {\mathcal {S}}} 에 대하여 B ⊆ U B {\displaystyle B\subseteq U_{B}} 인 U B ∈ U {\displaystyle U_{B}\in {\mathcal {U}}} 를 고르자. 이제, { U B : B ∈ S } {\displaystyle \{U_{B}\colon B\in {\mathcal {S}}\}} 가 X {\displaystyle X} 의 덮개임을 보이면 족하다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 주어졌다고 하자. U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 덮개이므로, x ∈ U {\displaystyle x\in U} 인 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 가 존재하며, x ∈ B ⊆ U {\displaystyle x\in B\subseteq U} 인 기저의 원소 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 따라서 사실 B ∈ S {\displaystyle B\in {\mathcal {S}}} 이며, 결국 x ∈ U B {\displaystyle x\in U_{B}} 이다. 거리화 가능 공간 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다. M {\displaystyle M} 은 제2 가산 공간이다. M {\displaystyle M} 은 분해 가능 공간이다. M {\displaystyle M} 은 린델뢰프 공간이다. 우리손 거리화 정리에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간은 유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 거리화 가능 공간이다. 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, { B ∩ Y : B ∈ B } {\displaystyle \{B\cap Y\colon B\in {\mathcal {B}}\}} 는 Y {\displaystyle Y} 위의 기저를 이룬다. 따라서 wt ⁡ ( Y ) ≤ wt ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {wt} (Y)\leq \operatorname {wt} (X)} 이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다. 제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 X {\displaystyle X} 및 열린집합 U {\displaystyle U} 에 대하여, 동치 관계 x ∼ y ⟺ x = y ∨ x ∈ U ∋ y {\displaystyle x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y} 를 주었을 때, 몫공간 X / ∼= X / U {\displaystyle X/\sim =X/U} 은 역시 제2 가산 공간이다. 임의의 곱공간 X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} 및 각 X i {\displaystyle X_{i}} 위의 기저 B i ⊆ P ( X i ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq {\mathcal {P}}(X_{i})} 에 대하여, { ∏ i ∈ I B i : B i ∈ B i , { i ∈ I : B i ≠ X i } < ℵ 0 } {\displaystyle \left\{\prod _{i\in I}B_{i}\colon B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i},\;\{i\in I\colon B_{i}\neq X_{i}\}<\aleph _{0}\right\}} 는 X {\displaystyle X} 위의 기저를 이룬다. 따라서 wt ⁡ ( X ) ≤ ∑ J ⊆ I J < ℵ 0 ∏ i ∈ J wt ⁡ ( X i ) ≤ max ( { wt ⁡ ( X i ) : i ∈ I } ∪ { | I | , ℵ 0 } ) {\displaystyle \operatorname {wt} (X)\leq \sum _{J\subseteq I}^{J<\aleph _{0}}\prod _{i\in J}\operatorname {wt} (X_{i})\leq \max \left(\{\operatorname {wt} (X_{i})\colon i\in I\}\cup \{|I|,\aleph _{0}\}\right)} 이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 κ {\displaystyle \kappa } 개 이하의, 무게가 κ {\displaystyle \kappa } 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 κ {\displaystyle \kappa } 이하이다. 위상 공간들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 의 분리합집합 X = ⨆ i ∈ I X i {\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}} 의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다. wt ⁡ ( X ) = ∑ i ∈ I wt ⁡ ( X i ) {\displaystyle \operatorname {wt} (X)=\sum _{i\in I}\operatorname {wt} (X_{i})} 따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다. 제2 가산 공간의 열린집합의 수는 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이하이다. 제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다. 증명: 제2 가산 공간 X {\displaystyle X} 위의 임의의 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 에 대하여, B ′ ⊂ B {\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {B}}} 인 가산 기저 B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 을 찾으면 족하다. 제2 가산성에 의하여, X {\displaystyle X} 위에는 가산 기저 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 가 존재한다. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 기저이므로, 임의의 D ∈ D {\displaystyle D\in {\mathcal {D}}} 에 대하여, D = ⋃ B ∈ B D B {\displaystyle D=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}_{D}}B} 인 B D ⊂ B {\displaystyle {\mathcal {B}}_{D}\subset {\mathcal {B}}} 가 존재한다. D {\displaystyle D} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합이므로 제2 가산 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 따라서, D = ⋃ B ∈ B D ′ B {\displaystyle D=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}_{D}'}B} 인 가산 집합 B D ′ ⊂ B D {\displaystyle {\mathcal {B}}_{D}'\subset {\mathcal {B}}_{D}} 가 존재한다. 이제, B ′ = ⋃ D ∈ D B D ′ ⊂ B {\displaystyle {\mathcal {B}}'=\bigcup _{D\in {\mathcal {D}}}{\mathcal {B}}_{D}'\subset {\mathcal {B}}} 는 X {\displaystyle X} 위의 기저임을 쉽게 알 수 있다. 또한, D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 와 모든 B D ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}_{D}'} 가 가산 집합이므로 B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 는 가산 집합이다. 흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 힐베르트 차원이 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 이하인 힐베르트 공간 가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체 (다양체 = 파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간) 이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 X {\displaystyle X} 의 밀도는 그 집합의 크기와 같다. wt ⁡ ( X ) = | X | {\displaystyle \operatorname {wt} (X)=|X|} 특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다. 비이산 공간 X {\displaystyle X} 의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) { X } {\displaystyle \{X\}} 이다. 따라서, 비이산 공간 X {\displaystyle X} 의 밀도는 다음과 같다. wt ⁡ ( X ) = min { 1 , | X | } {\displaystyle \operatorname {wt} (X)=\min\{1,|X|\}} 특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다. 긴 직선은 T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. 위상 공간 X = [ 0 , 1 ] ∪ [ 2 , 3 ] ∪ [ 4 , 5 ] ∪ ⋯ {\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \cdots } 의 몫공간 X ′ = X { 0 , 2 , 4 , … } {\displaystyle X'={\frac {X}{\{0,2,4,\dots \}}}} 을 생각하자. X {\displaystyle X} 는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 X ′ {\displaystyle X'} 은 { 0 , 2 , 4 , … } {\displaystyle \{0,2,4,\dots \}} 에서 국소 지표 χ ( X ′ , { 0 , 2 , 4 , … } ) = 2 ℵ 0 {\displaystyle \chi (X',\{0,2,4,\dots \})=2^{\aleph _{0}}} 를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Second axiom of countability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Second countable topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Second-countable space”. 《nLab》 (영어).  “Second-countable space”. 《Topospaces》 (영어).  “Definition: second-countable space”. 《ProofWiki》 (영어).