몫 규칙

미적분학에서 몫 규칙(-規則, 영어: quotient rule) 또는 몫의 미분법은 두 함수의 몫을 미분할 때 쓰이는 공식이다. 두 함수 f , g : I → R {\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} } 가 x 0 ∈ I ⊆ R {\displaystyle x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R} } 에서 미분 가능하다고 하자. 또한, g ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle g(x_{0})\neq 0} 이라고 하자. 그렇다면, f / g {\displaystyle f/g} 역시 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다. ( f g ) ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) − f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x_{0})={\frac {f'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{g(x_{0})^{2}}}} 함수의 선형 근사 d ( − ) {\displaystyle d(-)} 를 사용하여 표기하면 다음과 같다. d ( f g ) | x = x 0 = g d f − f d g g 2 | x = x 0 {\displaystyle \left.d\left({\frac {f}{g}}\right)\right|_{x=x_{0}}=\left.{\frac {gdf-fdg}{g^{2}}}\right|_{x=x_{0}}} ( 4 x − 2 ) ( x 2 + 1 ) {\displaystyle {\frac {(4x-2)}{(x^{2}+1)}}} 의 미분은: d d x 4 x − 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) ( 4 ) − ( 4 x − 2 ) ( 2 x ) ( x 2 + 1 ) 2 = ( 4 x 2 + 4 ) − ( 8 x 2 − 4 x ) ( x 2 + 1 ) 2 = − 4 x 2 + 4 x + 4 ( x 2 + 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\frac {4x-2}{x^{2}+1}}&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}} 위의 예제에서는 g ( x ) = 4 x − 2 {\displaystyle g(x)=4x-2} h ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle h(x)=x^{2}+1} 로 지정했다. sin ⁡ ( x ) / x 2 {\displaystyle \sin(x)/x^{2}} 의 미분 ( x {\displaystyle x} ≠ 0 일 때): cos ⁡ ( x ) x 2 − sin ⁡ ( x ) 2 x x 4 {\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}} 또다른 예로 : f ( x ) = 2 x 2 x 3 {\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}} 를 미분할 경우에: g ( x ) = 2 x 2 {\displaystyle g(x)=2x^{2}} and h ( x ) = x 3 {\displaystyle h(x)=x^{3}} , and g ′ ( x ) = 4 x {\displaystyle g'(x)=4x} and h ′ ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle h'(x)=3x^{2}} 라는 것을 볼 수 있고, 따라서 f ′ ( x ) = ( 4 x ⋅ x 3 ) − ( 2 x 2 ⋅ 3 x 2 ) ( x 3 ) 2 = 4 x 4 − 6 x 4 x 6 = − 2 x 4 x 6 = − 2 x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}\\&={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}\\&={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}\\&=-{\frac {2}{x^{2}}}\end{aligned}}} 이다. 만약 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}} 이며 h ( x ) ≠ 0 {\displaystyle h(x)\neq 0} 이 성립하고 g {\displaystyle g} 와 h {\displaystyle h} 는 미분 가능한 함수라면: f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 1 Δ x ( g ( x + Δ x ) h ( x ) − g ( x ) h ( x + Δ x ) h ( x ) h ( x + Δ x ) ) = lim Δ x → 0 1 Δ x ( ( g ( x + Δ x ) h ( x ) − g ( x ) h ( x ) ) − ( g ( x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x ) ) h ( x ) h ( x + Δ x ) ) = lim Δ x → 0 1 Δ x ( h ( x ) ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) − g ( x ) ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) h ( x ) h ( x + Δ x ) ) = lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x h ( x ) − g ( x ) h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x h ( x ) h ( x + Δ x ) = lim Δ x → 0 ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x ) h ( x ) − g ( x ) lim Δ x → 0 ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x ) h ( x ) h ( lim Δ x → 0 ( x + Δ x ) ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) [ h ( x ) ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}\\&={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}\end{aligned}}} 만약 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}} 라면 g ( x ) = f ( x ) h ( x ) {\displaystyle g(x)=f(x)h(x)} g ′ ( x ) = f ′ ( x ) h ( x ) + f ( x ) h ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)} 나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 식 오른쪽에서 없애야 한다. f ′ ( x ) = g ′ ( x ) − f ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) − g ( x ) h ( x ) ⋅ h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) ( h ( x ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}\end{aligned}}} 이어서 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)={{g(x)} \over {h(x)}}} 에서 g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} 일때 ( f ( x ) ) ′ = ( 1 h ( x ) ) ′ {\displaystyle (f(x))^{'}=\left({{1} \over {h(x)}}\right)^{'}} = ( − h ( x ) ) ′ ( h ( x ) ) 2 {\displaystyle \;\;\;={{\left(-h(x)\right)^{'}} \over {(h(x))^{2}}}} = − h ′ ( x ) h 2 ( x ) {\displaystyle \;\;\;=-{{h'(x)} \over {h^{2}(x)}}} 곱 규칙 연쇄 법칙 뉴턴의 차분몫