리만-로흐 정리

대수기하학에서 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다. M {\displaystyle M} 이 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. M {\displaystyle M} 위의 인자는 M {\displaystyle M} 의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 D {\displaystyle D} 는 다음과 같은 꼴이다. D = ∑ i n i x i {\displaystyle D=\sum _{i}n_{i}x_{i}} ( x i ∈ M {\displaystyle x_{i}\in M} , n i ∈ Z {\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} } ) 인자의 차수(degree)는 다음과 같다. deg ⁡ ∑ i n i x i = ∑ i n i {\displaystyle \deg \sum _{i}n_{i}x_{i}=\sum _{i}n_{i}} . α {\displaystyle \alpha } 가 M {\displaystyle M} 위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) α {\displaystyle \alpha } 는 극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이 p i {\displaystyle p_{i}} 이고, 그 차수가 각각 − n ( p i ) {\displaystyle -n(p_{i})} 라고 하자. 영점들이 q j {\displaystyle q_{j}} 이고, 그 차수가 각각 n ( q j ) {\displaystyle n(q_{j})} 라고 하자. 그렇다면 α {\displaystyle \alpha } 의 인자를 다음과 같이 정의한다. div ⁡ ( α ) = ∑ i n ( p i ) p i + ∑ j n ( q j ) q j {\displaystyle \operatorname {div} (\alpha )=\sum _{i}n(p_{i})p_{i}+\sum _{j}n(q_{j})q_{j}} . 유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자(canonical divisor)라고 한다. 인자 D {\displaystyle D} 에 대하여, div ⁡ ( f ) + D {\displaystyle \operatorname {div} (f)+D} 의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 f {\displaystyle f} 들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 I ( D ) {\displaystyle I(D)} 라고 하자. D {\displaystyle D} 가 M {\displaystyle M} 위의 인자이고, K {\displaystyle K} 가 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. I ( D ) − I ( K − D ) = deg ⁡ D + χ ( M ) / 2 {\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D+\chi (M)/2} . 여기서 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 은 M {\displaystyle M} 의 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) g {\displaystyle g} 로 쓰면 I ( D ) − I ( K − D ) = deg ⁡ D − g + 1 {\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D-g+1} 이다. 인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 M {\displaystyle M} 위에 정칙 선다발 L {\displaystyle L} 이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 ( L {\displaystyle L} 계수 돌보 코호몰로지) H 0 ⁡ ( M , O ( L ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))} 및 H 1 ⁡ ( M , O ( L ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))} 을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 dim ⁡ H k = h k {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{k}=h^{k}} 로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다. χ ( M , L ) = dim ⁡ H 0 ⁡ ( M , O ( L ) ) − dim ⁡ H 1 ⁡ ( M , O ( L ) ) = deg ⁡ L − g + 1 {\displaystyle \chi (M,L)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))=\deg L-g+1} (여기서 χ ( M , L ) {\displaystyle \chi (M,L)} 은 L {\displaystyle L} 의 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여, H 1 ⁡ ( M , O ( L ) ) ∗ ≅ H 0 ⁡ ( M , O ( L − 1 ⊗ K ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))^{*}\cong \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L^{-1}\otimes K))} 따라서, L {\displaystyle L} 에 대응하는 인자류가 [ D ] {\displaystyle [D]} 라고 한다면 h 0 ( M , O ( L ) ) = I ( D ) {\displaystyle h^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))=I(D)} h 1 ( M , O ( L ) ) = I ( K − D ) {\displaystyle h^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))=I(K-D)} 가 된다. 보다 일반적으로, 리만 곡면 M {\displaystyle M} 위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다. χ ( M , E ) = dim ⁡ H 0 ⁡ ( M , E ) − dim ⁡ H 1 ⁡ ( M , E ) = deg ⁡ E + ( 1 − g ) rk ⁡ E {\displaystyle \chi (M,E)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,E)=\deg E+(1-g)\operatorname {rk} E} 여기서 rk ⁡ E {\displaystyle \operatorname {rk} E} 는 E {\displaystyle E} 의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.) 정칙 벡터 다발의 차수는 deg ⁡ E = deg ⁡ ( E ∧ rk ⁡ E ) {\displaystyle \deg E=\deg(E^{\wedge \operatorname {rk} E})} 이다. 여기서 E ∧ rk ⁡ E {\displaystyle E^{\wedge \operatorname {rk} E}} 는 E {\displaystyle E} 의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다. x {\displaystyle x} 가 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 I ( D ) {\displaystyle I(D)} 는 다음과 같다. g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2} 이며 deg ⁡ D ≤ g {\displaystyle \deg D\leq g} 인 경우, 특수한 점에서 I ( D ) {\displaystyle I(D)} 가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 I ( K − D ) > g − deg ⁡ D {\displaystyle I(K-D)>g-\deg D} 이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어, g = 2 {\displaystyle g=2} 인 경우 I ( 2 x ) = 2 {\displaystyle I(2x)=2} 인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다. 리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수가 g {\displaystyle g} 인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 K {\displaystyle K} 의 차수가 deg ⁡ K = 2 g − 2 {\displaystyle \deg K=2g-2} 임을 보일 수 있다. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, I ( 0 ) = 1 {\displaystyle I(0)=1} 이다. 물론 deg ⁡ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \deg(0)=0} 이다. D = 0 {\displaystyle D=0} 으로 놓자. 그렇다면 1 − I ( K ) = − g + 1 {\displaystyle 1-I(K)=-g+1} 이다. 즉, I ( K ) = g {\displaystyle I(K)=g} 이다. D = K {\displaystyle D=K} 로 놓자. 그렇다면 I ( K ) − 1 = deg ⁡ K − g 1 {\displaystyle I(K)-1=\deg K-g1} 이다. 즉, deg ⁡ K = 2 g − 2 {\displaystyle \deg K=2g-2} 이다. 예를 들어, g = 0 {\displaystyle g=0} 인 경우인 리만 구 P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}} 를 생각하자. 이 경우, 각 차수 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류 O ( k ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(k)} 가 존재하며, 그 단면의 차원은 dim ⁡ H 0 ⁡ ( P 1 , O ( k ) ) = max { k + 1 , 0 } {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\max\{k+1,0\}} dim ⁡ H 0 ⁡ ( P 1 , O ( k ) ) = dim ⁡ H 0 ⁡ ( P 1 , O ( − 2 − k ) ) = max { − k − 1 , 0 } {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2-k))=\max\{-k-1,0\}} 이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다. 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우, dim ⁡ H 1 ⁡ ( P 1 , O ( 1 ) ) = 1 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(1))=1} 이다. 이는 상수 함수 f ( z ) = 1 {\displaystyle f(z)=1} 에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수는 상수 함수 밖에 없다.) 2차 선다발은 정칙 접다발 O ( 2 ) ≅ T P 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}(2)\cong \mathrm {T} \mathbb {P} ^{1}} 이다. (예를 들어, 벡터장 ∂ / ∂ z {\displaystyle \partial /\partial z} 는 w = 1 / z {\displaystyle w=1/z} 에서 − w 2 ∂ / ∂ w {\displaystyle -w^{2}\partial /\partial w} 가 된다.) 이 경우, dim ⁡ H 0 ⁡ ( P 1 , O ( 2 ) ) = 3 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))=3} 이며, 그 기저는 { ∂ / ∂ z , z ∂ / ∂ z , z 2 ∂ / ∂ z } {\displaystyle \{\partial /\partial z,z\partial /\partial z,z^{2}\partial /\partial z\}} 이다. −2차 선다발은 표준 선다발 O ( − 2 ) ≅ T ∗ P 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)\cong \mathrm {T} ^{*}\mathbb {P} ^{1}} 이다. (예를 들어, 복소수 미분 형식 d z {\displaystyle \mathrm {d} z} 는 w = 1 / z {\displaystyle w=1/z} 에서 − w − 2 d w {\displaystyle -w^{-2}\mathrm {d} w} 가 된다.) 이 경우, dim ⁡ H 0 ⁡ ( P 1 , O ( − 2 ) ) = 0 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0} 이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면 dim ⁡ H 1 ⁡ ( P 1 , O ( − 2 ) ) = 1 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=1} 이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량 ( 1 + z z ¯ ) − 2 d z ∧ d z ¯ {\displaystyle (1+z{\bar {z}})^{-2}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}} 로 주어진다. 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는 { ∂ / ∂ z , z ∂ / ∂ z } {\displaystyle \textstyle \{{\sqrt {\partial /\partial z}},z{\sqrt {\partial /\partial z}}\}} 이다. 대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.:362–363 대수적으로 닫힌 체 k {\displaystyle k} 에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(영어: complete) 대수다양체) X {\displaystyle X} 위에 베유 인자 D {\displaystyle D} 가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표를 χ ( D ) {\displaystyle \chi (D)} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. χ ( D ) = 1 + p a ( X ) + 1 2 D . ( D − K ( X ) ) {\displaystyle \chi (D)=1+p_{\text{a}}(X)+{\frac {1}{2}}D.(D-K(X))} 여기서 K ( X ) {\displaystyle K(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 표준 인자이고, D . D ′ {\displaystyle D.D'} 는 두 인자 사이의 교차수(영어: intersection number)이며, p a {\displaystyle p_{\text{a}}} 는 X {\displaystyle X} 의 산술종수이다. 곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리나 그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다. 곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 I ( K − D ) {\displaystyle I(K-D)} 를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다. 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다. 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다. 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다. 그로텐디크-리만-로흐 정리 히르체브루흐-리만-로흐 정리 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Riemann, Bernhard (1857). “Theorie der Abel'schen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1857 (54): 115–155. doi:10.1515/crll.1857.54.115. ISSN 1435-5345.  Roch, Gustav (1865). “Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1865 (64): 372–376. doi:10.1515/crll.1865.64.372. ISSN 1435-5345.  “Riemann-Roch theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemann-Roch theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.