부호 측도

측도론에서 부호 측도(符號測度, 영어: signed measure)는 측도를 음의 값을 취할 수 있도록 일반화한 개념이다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 부호 측도는 다음 조건들을 만족시키는 함수 μ : Σ → R ¯ {\displaystyle \mu \colon \Sigma \to {\bar {\mathbb {R} }}} 이다. (가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합들의 족 A ⊂ Σ {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset \Sigma } ( | A | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq \aleph _{0}} )에 대하여, μ ( ⋃ A ) = ∑ A ∈ A μ ( A ) {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)=\sum _{A\in {\mathcal {A}}}\mu (A)} 특히, 이는 μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} 을 함의한다. 특히, 부호 측도는 양과 음의 무한대 값을 동시에 가질 수 없다. 증명: 가산 가법성에서 A = ∅ {\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing } 을 취하면 μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} 을 얻는다. 만약 μ ( A ) = ∞ {\displaystyle \mu (A)=\infty } μ ( B ) = − ∞ {\displaystyle \mu (B)=-\infty } 인 두 가측 집합 A , B ∈ Σ {\displaystyle A,B\in \Sigma } 가 존재한다면, ∞ = μ ( A ) + μ ( B ∖ A ) = μ ( A ∪ B ) = μ ( B ) + μ ( A ∖ B ) = − ∞ {\displaystyle \infty =\mu (A)+\mu (B\setminus A)=\mu (A\cup B)=\mu (B)+\mu (A\setminus B)=-\infty } 이며, 이는 모순이다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 부호 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 X {\displaystyle X} 의 두 가측 집합 X + , X − ∈ Σ {\displaystyle X^{+},X^{-}\in \Sigma } 가 존재하며, 이를 μ {\displaystyle \mu } 의 한 분해(-分解, 영어: Hahn decomposition)라고 한다. X + ∩ X − = ∅ {\displaystyle X^{+}\cap X^{-}=\varnothing } X = X + ∪ X − {\displaystyle X=X^{+}\cup X^{-}} μ ( A ∩ X − ) ≤ 0 ≤ μ ( A ∩ X + ) ∀ A ∈ Σ {\displaystyle \mu (A\cap X^{-})\leq 0\leq \mu (A\cap X^{+})\qquad \forall A\in \Sigma } 한 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, μ {\displaystyle \mu } 의 두 한 분해 ( X 1 + , X 1 − ) {\displaystyle (X_{1}^{+},X_{1}^{-})} , ( X 2 + , X 2 − ) {\displaystyle (X_{2}^{+},X_{2}^{-})} 에 대하여, 항상 다음이 성립한다. μ ( A ∩ ( X 1 + △ X 2 + ) ) = μ ( A ∩ ( X 1 − △ X 2 − ) ) = 0 ∀ A ∈ Σ {\displaystyle \mu (A\cap (X_{1}^{+}\bigtriangleup X_{2}^{+}))=\mu (A\cap (X_{1}^{-}\bigtriangleup X_{2}^{-}))=0\qquad \forall A\in \Sigma } 여기서 △ {\displaystyle \bigtriangleup } 은 대칭차이다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 부호 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 특이 측도 μ + {\displaystyle \mu ^{+}} , μ − {\displaystyle \mu ^{-}} 가 유일하게 존재하며, 이를 μ {\displaystyle \mu } 의 조르당 분해(-分解, 영어: Jordan decomposition)라고 한다. μ = μ + − μ − {\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}} 만약 특이 조건을 없앨 경우 이러한 분해는 유일하지 않다. 조르당 분해는 두 측도의 차로의 분해 가운데 ‘최소’이다. 즉, μ = ν − λ {\displaystyle \mu =\nu -\lambda } 를 만족시키는 두 측도 ν {\displaystyle \nu } , λ {\displaystyle \lambda } 에 대하여, 항상 μ + ≤ ν {\displaystyle \mu ^{+}\leq \nu } μ − ≤ λ {\displaystyle \mu ^{-}\leq \lambda } 이다. 조르당 분해는 구체적으로 다음과 같다. μ + ( A ) = μ ( A ∩ X + ) = sup B ∈ Σ B ⊆ A μ ( B ) {\displaystyle \mu ^{+}(A)=\mu (A\cap X^{+})=\sup _{\scriptstyle B\in \Sigma \atop \scriptstyle B\subseteq A}\mu (B)} μ − ( A ) = μ ( A ∩ X − ) = sup B ∈ Σ B ⊆ A ( − μ ( B ) ) ∀ A ∈ Σ {\displaystyle \mu ^{-}(A)=\mu (A\cap X^{-})=\sup _{\scriptstyle B\in \Sigma \atop \scriptstyle B\subseteq A}(-\mu (B))\qquad \forall A\in \Sigma } 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 속의 가측 집합 A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } 에 대하여, Part ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Part} (A)} 가 A {\displaystyle A} 의 가산 가측 분할들의 집합이라고 하자. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 부호 측도 μ {\displaystyle \mu } 의 전변동 측도(全變動測度, 영어: total variation measure) | μ | {\displaystyle |\mu |} 는 다음과 같다. | μ | ( A ) = μ + ( A ) + μ − ( A ) = sup P ∈ Part ⁡ ( A ) ∑ P ∈ P | μ ( P ) | ∀ A ∈ Σ {\displaystyle |\mu |(A)=\mu ^{+}(A)+\mu ^{-}(A)=\sup _{{\mathcal {P}}\in \operatorname {Part} (A)}\sum _{P\in {\mathcal {P}}}|\mu (P)|\qquad \forall A\in \Sigma } 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 부호 측도 μ {\displaystyle \mu } 의 전변동 노름(全變動-, 영어: total variation norm)은 다음과 같다. ‖ μ ‖ = | μ | ( X ) {\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)} 시그마 유한 부호 측도(-有限符號測度, 영어: sigma-finite signed measure)는 전변동 측도가 시그마 유한 측도인 부호 측도이다. 유한 부호 측도(有限符號測度, 영어: finite signed measure)는 전변동 측도가 유한 측도인 부호 측도이다. 즉, 전변동 노름이 유한한 부호 측도이다. 측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 측도에 대한 모든 절대 연속 부호 측도는 라돈-니코딤 도함수를 갖는다. 특히, 모든 시그마 유한 부호 측도는 전변동 측도에 대한 라돈-니코딤 도함수 d μ / d | μ | {\displaystyle \mathrm {d} \mu /\mathrm {d} |\mu |} 를 가지며, 이는 | μ | {\displaystyle |\mu |} -거의 어디서나 유한하므로 유한한 값의 함수로 취할 수 있다. 유한 부호 측도는 d μ / d | μ | {\displaystyle \mathrm {d} \mu /\mathrm {d} |\mu |} 가 적분 가능한 조건과 동치이다. 시그마 유한 부호 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여, X + = { x ∈ X : d μ d | μ | ≥ 0 } {\displaystyle X^{+}=\left\{x\in X\colon {\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}}\geq 0\right\}} X − = { x ∈ X : d μ d | μ | < 0 } {\displaystyle X^{-}=\left\{x\in X\colon {\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}}<0\right\}} 은 μ {\displaystyle \mu } 의 한 분해를 이루며, μ {\displaystyle \mu } 의 조르당 분해는 μ + = ∫ X max { d μ d | μ | , 0 } d | μ | {\displaystyle \mu ^{+}=\int _{X}\max \left\{{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}},0\right\}\mathrm {d} |\mu |} μ + = ∫ X max { − d μ d | μ | , 0 } d | μ | {\displaystyle \mu ^{+}=\int _{X}\max \left\{-{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}},0\right\}\mathrm {d} |\mu |} 이다. 측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 부호 측도에 대하여, 모든 시그마 유한 부호 측도는 르베그 분해를 갖는다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 유한 부호 측도의 집합은 자연스럽게 실수 벡터 공간을 이루며, 전변동 노름을 갖췄을 때 실수 바나흐 공간을 이룬다.:124, Proposition 4.2.6 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 유계 변동 함수이다. 어떤 ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 위의 유한 부호 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여 f : x ↦ μ ( [ a , x ] ) {\displaystyle f\colon x\mapsto \mu ([a,x])} ( x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ) 꼴로 나타낼 수 있다. 전변동 Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  “Signed measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hahn decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Jordan decomposition (of a signed measure)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Jordan measure decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.