군 스킴

대수기하학에서 군 스킴(群scheme, 영어: group scheme, 프랑스어: schéma en groupe)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다. 군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다. 스킴 S {\displaystyle S} 가 주어졌다고 하자. S {\displaystyle S} 위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주 Sch ⁡ / S {\displaystyle \operatorname {Sch} /S} 속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 ( G , m , e , i ) {\displaystyle (G,m,e,i)} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. G / S {\displaystyle G/S} 는 S {\displaystyle S} -스킴이다. m : G × S G → G {\displaystyle m\colon G\times _{S}G\to G} 는 S {\displaystyle S} -스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다. e : S → G {\displaystyle e\colon S\to G} 는 S {\displaystyle S} -스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다. i : G → G {\displaystyle i\colon G\to G} 는 S {\displaystyle S} -스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다. 이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다. 스킴 S {\displaystyle S} 위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자 G : ( Sch ⁡ / S ) op → Grp {\displaystyle G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} } 이다. Forget ∘ G : ( Sch ⁡ / S ) op → Set {\displaystyle \operatorname {Forget} \circ G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 는 표현 가능 함자이다. 즉, Forget ∘ G ≅ hom Sch ⁡ / S ⁡ ( − , X ) {\displaystyle \operatorname {Forget} \circ G\cong \hom _{\operatorname {Sch} /S}(-,X)} 가 되는 S {\displaystyle S} -스킴 X {\displaystyle X} 가 존재한다. 여기서 Forget : Grp → Set {\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} } 는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, Sch ⁡ / S {\displaystyle \operatorname {Sch} /S} 속의 군 대상 G {\displaystyle G} 가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 hom ⁡ ( − , G ) {\displaystyle \hom(-,G)} 는 둘째 정의에 부합한다. 스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자 Sch → Top {\displaystyle \operatorname {Sch} \to \operatorname {Top} } 를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다. 반면, 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 위의 군 스킴 G {\displaystyle G} 의 K {\displaystyle K} -유리점의 집합 G ( K ) {\displaystyle G(K)} 을 취할 수 있다. 이 경우, ( G × Spec ⁡ K G ) ( K ) = G ( K ) × Set G ( K ) {\displaystyle (G\times _{\operatorname {Spec} K}G)(K)=G(K)\times _{\operatorname {Set} }G(K)} 이므로, 집합 G ( K ) {\displaystyle G(K)} 위에는 군의 구조가 존재한다. 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다. 스킴 S {\displaystyle S} 위의 군 스킴 G m {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }} 은 스킴으로서 원점을 제거한 S {\displaystyle S} -아핀 직선 A S 1 ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}\setminus \{0\}} 이다. 함자로서 이는 다음과 같다. G m : ( Sch ⁡ / S ) op → Grp {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} } G m : ( X , O X ) ↦ Γ ( X , O X × ) {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })} 여기서 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, O X × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }} 는 구조층 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 의 가역원군층이다. 특히, 만약 S = Spec ⁡ R {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R} 가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은 R {\displaystyle R} 계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다. G m ≅ Spec ⁡ [ x , x − 1 ] = Spec ⁡ R [ x , y ] / ( x y − 1 ) {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\cong \operatorname {Spec} [x,x^{-1}]=\operatorname {Spec} R[x,y]/(xy-1)} 이 경우, 군 이항 연산 G m × Spec ⁡ R G m → G m {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }} 은 다음과 같은 R {\displaystyle R} -결합 대수의 준동형에 대응한다. R [ x , x − 1 ] → R [ y , y − 1 , z , z − 1 ] = R [ y , y − 1 ] ⋆ R R [ z , z − 1 ] {\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R[y,y^{-1},z,z^{-1}]=R[y,y^{-1}]\star _{R}R[z,z^{-1}]} x ↦ y z {\displaystyle x\mapsto yz} 마찬가지로, 항등원 Spec ⁡ R → G m {\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }} 은 다음과 같은 R {\displaystyle R} -결합 대수의 준동형에 대응한다. R [ x , x − 1 ] → R {\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R} x ↦ 1 {\displaystyle x\mapsto 1} 이는 로랑 다항식환 R [ x , x − 1 ] {\displaystyle R[x,x^{-1}]} 의 호프 대수 구조에서 유래한다. 보다 일반적으로, 스킴 S {\displaystyle S} 위의 일반 선형군 스킴(一般線型郡scheme, 영어: general linear group scheme) GL ⁡ ( n ; S ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)} 는 함자로서 다음과 같다. GL ⁡ ( n ; S ) : ( Sch ⁡ / S ) op → Grp {\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} } GL ⁡ ( n ; S ) : ( X , O X ) ↦ Mat ⁡ ( n ; Γ ( X , O X × ) ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \operatorname {Mat} (n;\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }))} 여기서 Mat ⁡ ( ; ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (;)} 는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 G m = GL ⁡ ( 1 ; S ) {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }=\operatorname {GL} (1;S)} 이다. 스킴 S {\displaystyle S} 위의 군 스킴 G a {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }} 는 스킴으로서 S {\displaystyle S} -아핀 직선 A S 1 = Spec ⁡ ( S [ x ] ) {\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (S[x])} 이다. 함자로서 이는 다음과 같다. G a : ( Sch ⁡ / S ) op → Grp {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} } G a : ( X , O X ) ↦ Γ ( X , O X ) {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})} 여기서 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다. 특히, 만약 S = Spec ⁡ R {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R} 가 아핀 스킴이라면, G a = A S 1 = Spec ⁡ R [ x ] {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }=\mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} R[x]} 이다. 이 경우, 군의 이항 연산 G a × Spec ⁡ R G a → G a {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }} 은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다. R [ x ] → R [ y , z ] = R [ y ] ⋆ R R [ z ] {\displaystyle R[x]\to R[y,z]=R[y]\star _{R}R[z]} x ↦ y + z {\displaystyle x\mapsto y+z} 군의 항등원 사상 Spec ⁡ R → G a {\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }} 은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다. R [ x ] → R {\displaystyle R[x]\to R} x ↦ 0 {\displaystyle x\mapsto 0} 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 1의 n {\displaystyle n} 제곱근 군 스킴(영어: group scheme of n {\displaystyle n} th roots of unity) μ n {\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}} 은 n {\displaystyle n} 제곱 사상 G m → G m {\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }} 의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다. μ n : ( Sch ⁡ / S ) op → Grp {\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} } μ n : ( X , O X ) → { s ∈ Γ ( X , O X ) : s n = 1 Γ ( X , O X ) } {\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to \{s\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\colon s^{n}=1_{\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}\}} 특히, 만약 S = Spec ⁡ R {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R} 가 아핀 스킴이라면, μ n = Spec ⁡ ( R [ x ] / ( x n − 1 ) ) {\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}=\operatorname {Spec} (R[x]/(x^{n}-1))} 이다. 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 스킴 S {\displaystyle S} 위의 상수 군 스킴(영어: constant group scheme) G S {\displaystyle G_{S}} 는 스킴으로서 분리합집합 S ⊔ G {\displaystyle S^{\sqcup G}} 이다 (즉, 위상 공간으로서 G {\displaystyle G} 에 이산 위상을 준다면 G × S {\displaystyle G\times S} 이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 G {\displaystyle G} 의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다. G S : ( Sch ⁡ / S ) op → Grp {\displaystyle G_{S}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} } G S : X ↦ G × c o n n c o m p ⁡ ( X ) {\displaystyle G_{S}\colon X\mapsto G^{\times \operatorname {conn\,comp} (X)}} 여기서 c o n n c o m p ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {conn\,comp} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다. 특히, G {\displaystyle G} 가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘 S / S {\displaystyle S/S} 는 S {\displaystyle S} 위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든 S {\displaystyle S} 위의 스킴을 자명군에 대응시킨다. 아벨 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 스킴 S {\displaystyle S} 위의 대각화 가능 군 스킴(영어: diagonalizable group scheme) Diag ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Diag} (G)} 는 함자로서 다음과 같다. Diag ⁡ ( G ) : ( Sch ⁡ / S ) op → Grp {\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} } Diag ⁡ ( G ) : ( X , O X ) ↦ hom Ab ⁡ ( G , ( Γ ( X , O X ) × ) {\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \hom _{\operatorname {Ab} }\left(G,(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})^{\times }\right)} 만약 S = Spec ⁡ R {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R} 가 아핀 스킴이라면, Diag ⁡ G = Spec ⁡ ( R [ G ] ) {\displaystyle \operatorname {Diag} G=\operatorname {Spec} (R[G])} 는 군환 R [ G ] {\displaystyle R[G]} 의 스펙트럼이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가환 호프 대수 H {\displaystyle H} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 Spec ⁡ H {\displaystyle \operatorname {Spec} H} 는 표준적으로 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} -군 스킴을 이룬다. 반대로, Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 모든 아핀 군 스킴은 R {\displaystyle R} 위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다. 안정점 기하 불변량 이론 몫 불변량 이론 Waterhouse, William C. (1979). 《Introduction to affine group schemes》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 66. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6217-6. ISBN 978-0-387-90421-4. ISSN 0072-5285. MR 0547117.  Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). 《Introduction to algebraic geometry and algebraic groups》 (영어). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-85443-6.  Conrad, Brian. 〈Reductive group schemes〉. 《Autour des schémas en groupes. École d’été “Schémas en groupes”. Volume I》. Panoramas et Synthèses (영어) 42. Société Mathématique de France. ISBN 978-2-85629-794-0. Zbl 06479627. 2016년 4월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 1일에 확인함.  Demazure, M.; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 1》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 151. Springer. doi:10.1007/BFb0058993. ISBN 978-3-540-05179-4. ISSN 0075-8434.  Demazure, M.; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 2》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 152. Springer. doi:10.1007/BFb0059005. ISBN 978-3-540-05180-0. ISSN 0075-8434.  Michel, Demazure; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 3》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 153. Springer. doi:10.1007/BFb0059027. ISBN 978-3-540-05181-7. ISSN 0075-8434.  “Group scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Group scheme”. 《nLab》 (영어).  “Diagonalizable group scheme”. 《nLab》 (영어).  “Unipotent group scheme”. 《nLab》 (영어).  “Multiplicative group scheme”. 《nLab》 (영어).  Youcis, Alex (2014년 7월 9일). “Group schemes and affine group schemes”. 《Hard Arithmetic》 (영어).