스코로호드 공간

확률론과 실해석학에서 스코로호드 공간(Скороход空間, 영어: Skorokhod space)은 실수 구간 위에 정의된, 왼쪽 극한을 가지며 오른쪽 연속인 함수들의 폴란드 공간이다.:Chapter 3 그 원소를 카들라그 함수(càdlàg函數, 영어: càdlàg function)라고 한다. 그 위의 위상인 스코로호드 위상(Скороход位相, 영어: Skorokhod topology)에서의 수렴은 시간의 측정(특히, 함수의 불연속점이 발생하는 시각)이 오차를 가질 수 있음을 반영한다. 다음이 주어졌다고 하자. 분해 가능 완비 거리 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} 닫힌구간 [ a , b ] ⊊ R {\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} } 그렇다면, 함수 f : [ a , b ] → X {\displaystyle f\colon [a,b]\to X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 카들라그 함수라고 한다.:121, Chapter 3 ∀ s ∈ [ a , b ) : f ( s ) = lim t → s + f ( t ) {\displaystyle \forall s\in [a,b)\colon f(s)=\lim _{t\to s^{+}}f(t)} ∀ s ∈ ( a , b ] : ∃ lim t → s − f ( t ) {\displaystyle \forall s\in (a,b]\colon \exists \lim _{t\to s^{-}}f(t)} 즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 둘 다 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다. 카들라드 함수들의 집합을 D ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle \mathbb {D} ([a,b],X)} 라고 하자. 이 위에, 다음과 같은 거리 함수를 주자.:125, (12.16) d D ( f , g ) = inf θ ∈ Aut ⁡ ( [ a , b ] ) max { sup t ∈ [ a , b ] d X ( f ( t ) , g ( θ ( t ) ) ) , sup a ≤ s < t ≤ b | ln ⁡ θ ( t ) − θ ( s ) t − s | } {\displaystyle d_{\mathbb {D} }(f,g)=\inf _{\theta \in \operatorname {Aut} ([a,b])}\max \left\{\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(\theta (t))),\;\sup _{a\leq s<t\leq b}\left|\ln {\frac {\theta (t)-\theta (s)}{t-s}}\right|\right\}} 여기서 Aut ⁡ ( [ a , b ] ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ([a,b])} 는 [ a , b ] → [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\to [a,b]} 전단사 증가 연속 함수들의 군이다. 그렇다면, 이는 분해 가능 완비 거리 공간을 이룬다.:Theorem 12.2 ( D ( [ a , b ] , X ) , d D ) {\displaystyle (\mathbb {D} ([a,b],X),d_{\mathbb {D} })} 를 스코로호드 공간이라고 한다. 스코로호드 공간에 다음과 같은, 더 단순한 거리 함수를 줄 수도 있다. d D ′ ( f , g ) = inf θ ∈ Aut ⁡ ( E , E ) max { sup t ∈ [ a , b ] d X ( f ( t ) , g ( θ ( t ) ) ) , sup a ≤ s ≤ t ≤ b | θ ( t ) − s | } {\displaystyle d'_{\mathbb {D} }(f,g)=\inf _{\theta \in \operatorname {Aut} (E,E)}\max \left\{\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(\theta (t))),\;\sup _{a\leq s\leq t\leq b}|\theta (t)-s|\right\}} 이는 d D {\displaystyle d_{\mathbb {D} }} 와 같은 위상을 정의하지만, 이는 일반적으로 완비 거리 공간을 정의하지 못한다.:125, Example 12.2 임의의 θ ∈ Aut ⁡ ( [ a , b ] ) {\displaystyle \theta \in \operatorname {Aut} ([a,b])} 에 대하여, ( ∘ θ ) : D ( [ a , b ] , X ) → D ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle (\circ \theta )\colon D([a,b],X)\to \mathbb {D} ([a,b],X)} 는 정의에 따라 전단사 등거리 변환을 이룬다. 정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. C 0 ( [ a , b ] , X ) ⊊ D ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)\subsetneq \mathbb {D} ([a,b],X)} 만약 C 0 ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)} 에 거리 함수 d ( f , g ) = sup t ∈ [ a , b ] d X ( f ( t ) , g ( t ) ) {\displaystyle d(f,g)=\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(t))} 를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치이다. 따라서, C 0 ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)} 는 D ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle \mathbb {D} ([a,b],X)} 의 닫힌집합을 이룬다. 스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열 ( f i ) i = 0 ∞ ⊆ D ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {D} ([a,b],X)} 이 f ∈ D ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle f\in \mathbb {D} ([a,b],X)} 로 수렴할 필요 충분 조건은 다음과 같다. 어떤 함수열 ( θ i ) i = 0 ∞ ⊆ Aut ⁡ ( [ a , b ] ) {\displaystyle (\theta _{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \operatorname {Aut} ([a,b])} 에 대하여, f i ∘ θ i {\displaystyle f_{i}\circ \theta _{i}} 가 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴하며, 또한 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 가 항등 함수 id [ a , b ] {\displaystyle \operatorname {id} _{[a,b]}} 로 균등 수렴한다. 특히, 만약 함수열 f i {\displaystyle f_{i}} 가 연속 함수만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은 f i {\displaystyle f_{i}} 의 균등 수렴과 동치이다.:124, §12 D ( [ a , b ] , X ) {\displaystyle \mathbb {D} ([a,b],X)} 위에 L∞ 노름 ‖ f ‖ = sup t ∈ [ a , b ] f ( t ) {\displaystyle \|f\|=\sup _{t\in [a,b]}f(t)} 을 주면 이는 바나흐 공간을 이루지만, 이는 분해 가능 공간을 이루지 못한다. 이 때문에 이 위상은 확률론에서 잘 사용되지 않는다. “카들라그 함수”(프랑스어: fonction càdlàg)라는 용어는 프랑스어: continue à droite, limite à gauche 콩티뉘 아 드루아트, 리미트 아 고슈[*](오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 극한)의 머리글자를 딴 것이다. 카들라그 함수의 공간 위의 스코로호드 위상은 L∞ 노름의 분해 가능성의 실패를 고치기 위하여 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(우크라이나어: Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д, 러시아어: Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д 아나톨리 블라디미로비치 스코로호트[*], 1930〜2011)가 1956년에 도입하였다. 이 논문에서 스코로호드는 여러 개의 위상들( M 1 {\displaystyle M_{1}} , M 2 {\displaystyle M_{2}} , J 1 {\displaystyle \mathbf {J} _{1}} , J 2 {\displaystyle \mathbf {J} _{2}} )을 정의하였는데, 그 가운데 오늘날 ‘스코로호드 위상’이라고 불리는 것은 J 1 {\displaystyle \mathbf {J} _{1}} 이다. Billingsley, Patrick (1999). 《Convergence of probability measures》. Wiley Series in Probability and Statistics (영어) 2판. John Wiley and Sons. doi:10.1002/9780470316962. ISBN 978-0-471-19745-4.  Skorokhod, A. V. (1956). “Limit theorems for stochastic processes”. 《Theory of Probability and Applications》 (영어) 1–3: 261–290. doi:10.1137/1101022.  “Skorokhod topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Skorokhod space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Mazany, Agnieszka. “Cadlag function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Jakubowski, Adam (2007). 〈The Skorokhod space in functional convergence: a short introduction〉. 《International conference: Skorokhod Space. 50 years on, 17-23 June 2007, Kyiv, Ukraine. Part I》 (영어). 11-18쪽.