나폴레옹 정리

기하학에서 나폴레옹 정리(Napoléon定理, 영어: Napoleon theorem)는 주어진 삼각형의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 정삼각형의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외측에서 삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} , E B C A {\displaystyle E_{B}CA} , E C A B {\displaystyle E_{C}AB} 가 정삼각형이 되게 만드는 점 E A {\displaystyle E_{A}} , E B {\displaystyle E_{B}} , E C {\displaystyle E_{C}} 를 잡고 (예를 들어 E A {\displaystyle E_{A}} 는 B C {\displaystyle BC} 에 대하여 A {\displaystyle A} 의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} , E B C A {\displaystyle E_{B}CA} , E C A B {\displaystyle E_{C}AB} 의 무게 중심을 각각 N A {\displaystyle N_{A}} , N B {\displaystyle N_{B}} , N C {\displaystyle N_{C}} 라고 하자. 마찬가지로, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내측에서 삼각형 E A ′ B C {\displaystyle E_{A}'BC} , E B ′ A C {\displaystyle E_{B}'AC} , E C ′ A B {\displaystyle E_{C}'AB} 가 정삼각형이 되게 만드는 점 E A ′ {\displaystyle E_{A}'} , E B ′ {\displaystyle E_{B}'} , E C ′ {\displaystyle E_{C}'} 를 잡고 (예를 들어 E A ′ {\displaystyle E_{A}'} 는 B C {\displaystyle BC} 에 대하여 A {\displaystyle A} 와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형 E A ′ B C {\displaystyle E_{A}'BC} , E B ′ A C {\displaystyle E_{B}'AC} , E C ′ A B {\displaystyle E_{C}'AB} 의 무게 중심을 각각 N A ′ {\displaystyle N_{A}'} , N B ′ {\displaystyle N_{B}'} , N C ′ {\displaystyle N_{C}'} 라고 하자. 나폴레옹 정리에 따르면, 삼각형 N A N B N C {\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}} 와 N A ′ N B ′ N C ′ {\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'} 은 모두 정삼각형이다. 삼각형 N A N B N C {\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}} 를 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외측 나폴레옹 삼각형(外側Napoléon三角形, 영어: outer Napoleon triangle)이라고 하고, 삼각형 N A ′ N B ′ N C ′ {\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'} 를 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내측 나폴레옹 삼각형(內側Napoléon三角形, 영어: inner Napoleon triangle)이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다. 1825년에 영국의 수학자 윌리엄 러더퍼드(영어: William Rutherford)가 《레이디스 다이어리》(영어: The Ladies' Diary)의 〈새로운 수학 문제〉(영어: New Mathematical Questions)란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.:495 프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.:497 다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다. 외측 나폴레옹 삼각형 N A N B N C {\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}} 의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자. N A N B {\displaystyle N_{A}N_{B}} 와 N A N C {\displaystyle N_{A}N_{C}} 에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 내심은 일치하므로, N A {\displaystyle N_{A}} , N B {\displaystyle N_{B}} , N C {\displaystyle N_{C}} 는 각각 정삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} , E B C A {\displaystyle E_{B}CA} , E C A B {\displaystyle E_{C}AB} 의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히 ∠ N A C B = 30 ∘ = ∠ N B C A {\displaystyle \angle N_{A}CB=30^{\circ }=\angle N_{B}CA} 이며, 양변에 ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} 를 더하면 ∠ N A C A = ∠ N B C B {\displaystyle \angle N_{A}CA=\angle N_{B}CB} 를 얻는다. 또한 N A C = 1 3 E A C , N B C = 1 3 A C {\displaystyle N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}C,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}AC} 이므로, 삼각형 N A N B C {\displaystyle N_{A}N_{B}C} 와 E A A C {\displaystyle E_{A}AC} 는 서로 닮음이다. 다시 말해, 삼각형 N A N B C {\displaystyle N_{A}N_{B}C} 를 C {\displaystyle C} 를 중심으로 30도 회전한 뒤 C {\displaystyle C} 를 중심으로 하고 1 / 3 {\displaystyle 1/{\sqrt {3}}} 를 비로 하는 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 E A A C {\displaystyle E_{A}AC} 를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 N A N C B {\displaystyle N_{A}N_{C}B} 와 E A A B {\displaystyle E_{A}AB} 역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시 1 / 3 {\displaystyle 1/{\sqrt {3}}} 이다. 따라서 N A N B = 1 3 E A A = N A N C {\displaystyle N_{A}N_{B}={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}A=N_{A}N_{C}} 가 성립한다. 우선 삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} , E B C A {\displaystyle E_{B}CA} , E C A B {\displaystyle E_{C}AB} 의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자.:61-63, §3.3 편의상 삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} , E B C A {\displaystyle E_{B}CA} 의 외접원의 C {\displaystyle C} 가 아닌 교점을 P {\displaystyle P} 라고 하자. 편의상 P {\displaystyle P} 가 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} 에 대하여 각각 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면 ∠ B P C = 180 ∘ − ∠ B E A C = 120 ∘ {\displaystyle \angle BPC=180^{\circ }-\angle BE_{A}C=120^{\circ }} ∠ A P C = 180 ∘ − ∠ A E B C = 120 ∘ {\displaystyle \angle APC=180^{\circ }-\angle AE_{B}C=120^{\circ }} 이므로 ∠ A P B = 360 ∘ − ∠ B P C − ∠ A P C = 120 ∘ = 180 ∘ − ∠ E C A B {\displaystyle \angle APB=360^{\circ }-\angle BPC-\angle APC=120^{\circ }=180^{\circ }-\angle E_{C}AB} 이며, P {\displaystyle P} 는 삼각형 E C A B {\displaystyle E_{C}AB} 의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다. 이제 외측 나폴레옹 삼각형 N A N B N C {\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}} 의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상 ∠ N B N A N C {\displaystyle \angle N_{B}N_{A}N_{C}} 에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} 와 E B C A {\displaystyle E_{B}CA} 의 외접원의 중심선 N A N B {\displaystyle N_{A}N_{B}} 는 공통현 P C {\displaystyle PC} 의 수직 이등분선이다. 마찬가지로 삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} 와 E C A B {\displaystyle E_{C}AB} 의 외접원의 중심선 N A N C {\displaystyle N_{A}N_{C}} 역시 공통현 P B {\displaystyle PB} 의 수직 이등분선이다. 따라서 ∠ N B N A N C = 360 ∘ − 90 ∘ − 90 ∘ − ∠ B P C = 60 ∘ {\displaystyle \angle N_{B}N_{A}N_{C}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-\angle BPC=60^{\circ }} 이다. 외측 나폴레옹 삼각형 N A N B N C {\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}} 의 변 N A N B {\displaystyle N_{A}N_{B}} 의 길이를 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변의 길이 B C = a {\displaystyle BC=a} , C A = b {\displaystyle CA=b} , A B = c {\displaystyle AB=c} 에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 대칭 함수라면 남은 두 변 N B N C {\displaystyle N_{B}N_{C}} , N C N A {\displaystyle N_{C}N_{A}} 의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형 N A N B C {\displaystyle N_{A}N_{B}C} 에서 ∠ N A C N B = C + 60 ∘ {\displaystyle \angle N_{A}CN_{B}=C+60^{\circ }} N A C = 1 3 a , N B C = 1 3 b {\displaystyle N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}a,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}b} 이므로, 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다. N A N B 2 = N A C 2 + N B C 2 − 2 ⋅ N A C ⋅ N B C ⋅ cos ⁡ ∠ N A C N B = 1 3 ( a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( C + 60 ∘ ) ) = 1 3 ( a 2 + b 2 − a b cos ⁡ C + 3 a b sin ⁡ C ) = 1 6 ( a 2 + b 2 + c 2 + 4 3 S ) {\displaystyle {\begin{aligned}{N_{A}N_{B}}^{2}&=N_{A}C^{2}+N_{B}C^{2}-2\cdot N_{A}C\cdot N_{B}C\cdot \cos \angle N_{A}CN_{B}\\&={\frac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C+60^{\circ }))\\&={\frac {1}{3}}\left(a^{2}+b^{2}-ab\cos C+{\sqrt {3}}ab\sin C\right)\\&={\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S)\end{aligned}}} 여기서 S {\displaystyle S} 는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 넓이이다. 마지막 함수는 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 길이를 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 라고 하고, 넓이를 S {\displaystyle S} 라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형 N A N B N C {\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}} , N A ′ N B ′ N C ′ {\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'} 의 변의 길이는 N A N B = N B N C = N C N A = a 2 + b 2 + c 2 + 4 3 S 6 {\displaystyle N_{A}N_{B}=N_{B}N_{C}=N_{C}N_{A}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{6}}}} N A ′ N B ′ = N B ′ N C ′ = N C ′ N A ′ = a 2 + b 2 + c 2 − 4 3 S 6 {\displaystyle N_{A}'N_{B}'=N_{B}'N_{C}'=N_{C}'N_{A}'={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{6}}}} 이며, 넓이는 S △ N A N B N C = a 2 + b 2 + c 2 + 4 3 S 8 3 {\displaystyle S_{\triangle N_{A}N_{B}N_{C}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}} S △ N A ′ N B ′ N C ′ = a 2 + b 2 + c 2 − 4 3 S 8 3 {\displaystyle S_{\triangle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}} 이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.:64, Theorem 3.38 삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심은 같다.:65, §3.3, Exercise 4 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다. 증명::178-179, §5F 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 무게 중심을 G {\displaystyle G} 라고 하자. 편의상 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점이 시개 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 평면 위의 벡터들에 대한 변환 T {\displaystyle T} 가 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시킨다고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 에 대하여 X Y → {\displaystyle {\overrightarrow {XY}}} 와 T ( X Y → ) {\displaystyle T({\overrightarrow {XY}})} 사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면 T {\displaystyle T} 는 선형 변환이다. 삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} 는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로 C E A → = T ( C B → ) {\displaystyle {\overrightarrow {CE_{A}}}=T({\overrightarrow {CB}})} 이며, 또한 N A {\displaystyle N_{A}} 은 삼각형 E A B C {\displaystyle E_{A}BC} 의 무게 중심이므로 0 → = N A E A → + N A B → + N A C → = N A C → + C E A → + N A B → + N A C → = N A B → + 2 N A C → + T ( C B → ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {0}}&={\overrightarrow {N_{A}E_{A}}}+{\overrightarrow {N_{A}B}}+{\overrightarrow {N_{A}C}}\\&={\overrightarrow {N_{A}C}}+{\overrightarrow {CE_{A}}}+{\overrightarrow {N_{A}B}}+{\overrightarrow {N_{A}C}}\\&={\overrightarrow {N_{A}B}}+2{\overrightarrow {N_{A}C}}+T({\overrightarrow {CB}})\end{aligned}}} 이다. 마찬가지로, 0 → = N B C → + 2 N B A → + T ( A C → ) {\displaystyle {\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {N_{B}C}}+2{\overrightarrow {N_{B}A}}+T({\overrightarrow {AC}})} 0 → = N C A → + 2 N C B → + T ( B A → ) {\displaystyle {\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {N_{C}A}}+2{\overrightarrow {N_{C}B}}+T({\overrightarrow {BA}})} 가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면 0 → = N A B → + 2 N A C → + N B C → + 2 N B A → + N C A → + 2 N C B → = 3 ( G A → + G B → + G C → ) − 3 ( G N A → + G N B → + G N C → ) = − 3 ( G N A → + G N B → + G N C → ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {0}}&={\overrightarrow {N_{A}B}}+2{\overrightarrow {N_{A}C}}+{\overrightarrow {N_{B}C}}+2{\overrightarrow {N_{B}A}}+{\overrightarrow {N_{C}A}}+2{\overrightarrow {N_{C}B}}\\&=3({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}})-3({\overrightarrow {GN_{A}}}+{\overrightarrow {GN_{B}}}+{\overrightarrow {GN_{C}}})\\&=-3({\overrightarrow {GN_{A}}}+{\overrightarrow {GN_{B}}}+{\overrightarrow {GN_{C}}})\end{aligned}}} 를 얻는다. 즉, G {\displaystyle G} 는 외측 나폴레옹 삼각형 N A N B N C {\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}} 의 무게 중심이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외측에서 P + Q + R = 180 ∘ {\displaystyle P+Q+R=180^{\circ }} 를 만족시키는 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 를 잡자. 그렇다면, 삼각형 P B C {\displaystyle PBC} , A Q C {\displaystyle AQC} , A B R {\displaystyle ABR} 의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형 P B C {\displaystyle PBC} , A Q C {\displaystyle AQC} , A B R {\displaystyle ABR} 가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외측에서 삼각형 P B C {\displaystyle PBC} , A Q C {\displaystyle AQC} , A B R {\displaystyle ABR} 가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 를 잡고, 삼각형 P B C {\displaystyle PBC} , A Q C {\displaystyle AQC} , A B R {\displaystyle ABR} 의 무게 중심을 각각 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 그렇다면, 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형 P B C {\displaystyle PBC} , A Q C {\displaystyle AQC} , A B R {\displaystyle ABR} 가 정삼각형인 특수한 경우이다. 나폴레옹의 문제 몰리 삼등분 정리 Grünbaum, Branko (2012). “Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 119 (6): 496-501. doi:10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. ISSN 0002-9890. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. Zbl 1264.01010.  Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Napoleon's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer Napoleon triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner Napoleon triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer Napoleon circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner Napoleon circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “First Napoleon point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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