톰 스펙트럼

보충 경계 이론에서, 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)은 직교군의 분류 공간의 톰 공간들로 구성된 스펙트럼이다. 이 스펙트럼에 대응하는 호몰로지 이론은 보충 경계환이다. 분류 공간 O ⁡ ( n ) ↪ EO ⁡ ( n ) ↠ BO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {EO} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)} 위의 연관 벡터 다발 R n ↪ ( EO ⁡ ( n ) × O ⁡ ( n ) R n ) ↠ BO ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)} 의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자. MO ⁡ ( n ) = Th ⁡ ( EO ⁡ ( n ) × O ⁡ ( n ) R n ) {\displaystyle \operatorname {MO} (n)=\operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})} 리 군의 포함 관계 O ⁡ ( n ) ↪ O ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)} 로부터 유도되는 분류 공간의 포함 관계 g n : BO ⁡ ( n ) ↪ BO ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle g_{n}\colon \operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)} 로부터, 벡터 다발의 당김 올다발 g n ∗ ( EO ⁡ ( n + 1 ) × O ⁡ ( n + 1 ) R n ) ↠ BO ⁡ ( n ) {\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EO} (n+1)\times _{\operatorname {O} (n+1)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)} 을 정의할 수 있다. 이 경우, g n ∗ ( EO ⁡ ( n + 1 ) × O ⁡ ( n + 1 ) R n ) = EO ⁡ ( n ) ⊕ BO ⁡ ( n ) ( BO ⁡ ( n ) × R ) {\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EO} (n+1)\times _{\operatorname {O} (n+1)}\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {EO} (n)\oplus _{\operatorname {BO} (n)}(\operatorname {BO} (n)\times \mathbb {R} )} 은 자명한 1차원 벡터 다발을 직합으로 더한 것이다. 톰 공간을 취했을 때, 이는 축소 현수를 이룬다. Th ⁡ ( g n ∗ ( EO ⁡ ( n + 1 ) × O ⁡ ( n + 1 ) R n ) ) = Σ Th ⁡ ( EO ⁡ ( n ) × O ⁡ ( n ) R n ) = Σ MO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Th} \left(g_{n}^{*}(\operatorname {EO} (n+1)\times _{\operatorname {O} (n+1)}\mathbb {R} ^{n})\right)=\Sigma \operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})=\Sigma \operatorname {MO} (n)} 즉, 이는 사상 Σ MO ⁡ ( n ) → MO ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \Sigma \operatorname {MO} (n)\to \operatorname {MO} (n+1)} 을 정의한다. 이 사상들은 스펙트럼 MO {\displaystyle \operatorname {MO} } 을 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)이라고 한다. 위와 유사하게, 실수와 직교군 대신 복소수와 유니터리 군을 사용하여 스펙트럼 MU {\displaystyle \operatorname {MU} } 를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계 g n : BU ⁡ ( n ) ↪ BU ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle g_{n}\colon \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)} 에 의하여, g n ∗ ( EU ⁡ ( n + 1 ) × U ⁡ ( n + 1 ) C n ) = EU ⁡ ( n ) ⊕ ( BU ⁡ ( n ) × C ) {\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EU} (n+1)\times _{\operatorname {U} (n+1)}\mathbb {C} ^{n})=\operatorname {EU} (n)\oplus (\operatorname {BU} (n)\times \mathbb {C} )} 이므로, Th ⁡ ( g n ∗ ( EU ⁡ ( n + 1 ) × U ⁡ ( n + 1 ) C n ) ) = Σ 2 Th ⁡ ( EU ⁡ ( n ) × U ⁡ ( n ) C n ) = Σ 2 MU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Th} \left(g_{n}^{*}(\operatorname {EU} (n+1)\times _{\operatorname {U} (n+1)}\mathbb {C} ^{n})\right)=\Sigma ^{2}\operatorname {Th} (\operatorname {EU} (n)\times _{\operatorname {U} (n)}\mathbb {C} ^{n})=\Sigma ^{2}\operatorname {MU} (n)} 이다. 그러나 복소평면은 (실수선과 달리) 2차원이므로, 이는 스펙트럼의 짝수차 성분만을 정의한다. 마찬가지로, 사원수와 콤팩트 심플렉틱 군 USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 을 사용하여 스펙트럼 MUSp {\displaystyle \operatorname {MUSp} } 를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계 g n : BUSp ⁡ ( 2 n ) ↪ BUSp ⁡ ( 2 n + 2 ) {\displaystyle g_{n}\colon \operatorname {BUSp} (2n)\hookrightarrow \operatorname {BUSp} (2n+2)} 에 의하여, g n ∗ ( EUSp ⁡ ( 2 n + 2 ) × USp ⁡ ( 2 n + 2 ) H n ) = EUSp ⁡ ( 2 n ) ⊕ ( BUSp ⁡ ( 2 n ) × H ) {\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EUSp} (2n+2)\times _{\operatorname {USp} (2n+2)}\mathbb {H} ^{n})=\operatorname {EUSp} (2n)\oplus (\operatorname {BUSp} (2n)\times \mathbb {H} )} 이므로, Th ⁡ ( g n ∗ ( EUSp ⁡ ( 2 n + 2 ) × USp ⁡ ( 2 n + 2 ) H n ) ) = Σ 4 Th ⁡ ( EUSp ⁡ ( 2 n ) × USp ⁡ ( 2 n ) H n ) = Σ 4 MUSp ⁡ ( 4 n ) {\displaystyle \operatorname {Th} \left(g_{n}^{*}(\operatorname {EUSp} (2n+2)\times _{\operatorname {USp} (2n+2)}\mathbb {H} ^{n})\right)=\Sigma ^{4}\operatorname {Th} (\operatorname {EUSp} (2n)\times _{\operatorname {USp} (2n)}\mathbb {H} ^{n})=\Sigma ^{4}\operatorname {MUSp} (4n)} 이다. 사원수 공간은 4차원이므로, 이는 스펙트럼의 4의 배수차 성분만을 정의한다. 르네 톰의 이름을 땄다. “Thom spectrum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Thom spectrum”. 《nLab》 (영어).