뒤틀린 드람 코호몰로지

미분기하학과 대수적 위상수학과 이론물리학에서 뒤틀린 드람 코호몰로지(뒤틀린de Rham cohomology, 영어: twisted de Rham cohomology)는 홀수 차수 드람 코호몰로지류를 갖춘 매끄러운 다양체 위에 정의되는 코호몰로지이다.:§1.4 정수 등급을 갖는 (뒤틀리지 않은) 드람 코호몰로지와 달리, 뒤틀린 드람 코호몰로지의 등급은 오직 0 또는 1 밖에 없다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 그 위에 미분 형식의 공간 Ω ∙ ( M ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)} 을 정의할 수 있다. 짝수 차수 미분 형식의 공간 Ω 2 Z ( M ) = ⨁ i = 0 ∞ Ω 2 i ( M ) {\displaystyle \textstyle \Omega ^{2\mathbb {Z} }(M)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }\Omega ^{2i}(M)} 과 홀수 차수 미분 형식의 공간 Ω 1 + 2 Z ( M ) = ⨁ i = 0 ∞ Ω 2 i + 1 ( M ) {\displaystyle \textstyle \Omega ^{1+2\mathbb {Z} }(M)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }\Omega ^{2i+1}(M)} 을 정의할 수 있다. 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 이에 따라 벡터 값 미분 형식의 공간 Ω ∙ ( M ; E ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)} 을 정의할 수 있다. 평탄 벡터 다발 접속 ∇ : Γ ( E ) → Γ ( E ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)} 이에 따라 벡터 값 미분 형식의 외미분 d ∇ : Ω ∙ ( M ; E ) → Ω ∙ + 1 ( M ; E ) {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)} 을 정의할 수 있으며, d ∇ ∘ d ∇ = 0 {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\circ \mathrm {d} _{\nabla }=0} 이다. 홀수 차수 닫힌 미분 형식 H ∈ Ω 1 + 2 Z ( M ) {\displaystyle H\in \Omega ^{1+2\mathbb {Z} }(M)} 그렇다면, d ∇ H = d ∇ + H ∧ : Ω ∙ + 2 Z ( M ; E ) → Ω ∙ + 1 + 2 Z ( M ; E ) {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }^{H}=\mathrm {d} _{\nabla }+H\wedge \colon \Omega ^{\bullet +2\mathbb {Z} }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1+2\mathbb {Z} }(M;E)} 을 정의할 수 있다. 이 경우 d ∇ H ∘ d ∇ H = 0 {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }^{H}\circ \mathrm {d} _{\nabla }^{H}=0} 이므로, 완전열 ⋯ → Ω 2 Z ( M ; E ) → d ∇ H Ω 1 + 2 Z ( M ; E ) → d ∇ H Ω 2 Z ( M ; E ) → d ∇ H Ω 1 + 2 Z ( M ; E ) → ⋯ {\displaystyle \dotsb \to \Omega ^{2\mathbb {Z} }(M;E)\,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }^{H}}{\to }}\,\Omega ^{1+2\mathbb {Z} }(M;E)\,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }^{H}}{\to }}\,\Omega ^{2\mathbb {Z} }(M;E)\,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }^{H}}{\to }}\,\Omega ^{1+2\mathbb {Z} }(M;E)\to \dotsb } 을 정의할 수 있다. 그 코호몰로지 H H i + 2 Z ⁡ ( M ; E ) ( i ∈ { 0 , 1 } ) {\displaystyle \operatorname {H} _{H}^{i+2\mathbb {Z} }(M;E)\qquad (i\in \{0,1\})} 를 뒤틀린 드람 코호몰로지라고 한다. 뒤틀린 드람 코호몰로지는 사실 드람 코호몰로지류에만 의존한다. 즉, 임의의 H ∈ Ω 1 + 2 Z ( M ) {\displaystyle H\in \Omega ^{1+2\mathbb {Z} }(M)} B ∈ Ω 2 Z ( M ) {\displaystyle B\in \Omega ^{2\mathbb {Z} }(M)} 에 대하여, 항상 표준적으로 H H ∙ + 2 Z ⁡ ( M ; E ) ≅ H H + d B ∙ + 2 Z ⁡ ( M ; E ) {\displaystyle \operatorname {H} _{H}^{\bullet +2\mathbb {Z} }(M;E)\cong \operatorname {H} _{H+\mathrm {d} B}^{\bullet +2\mathbb {Z} }(M;E)} 이다. 증명: d ∇ H + d B = exp ⁡ ( − B ∧ ) d ∇ H exp ⁡ ( B ∧ ) {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }^{H+\mathrm {d} B}=\exp(-B\wedge )\mathrm {d} _{\nabla }^{H}\exp(B\wedge )} 이다. 홀수 차수 미분 형식 H = ∑ i = 0 ∞ H 2 i + 1 {\displaystyle H=\sum _{i=0}^{\infty }H_{2i+1}} H 2 i + 1 ∈ Ω 2 i + 1 ( M ) {\displaystyle H_{2i+1}\in \Omega ^{2i+1}(M)} 으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지에서, H 1 ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle H_{1}\in \Omega ^{1}(M)} 은 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 접속으로 흡수할 수 있다. 즉, E {\displaystyle E} 의 벡터 다발 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 를 d ∇ ′ = d ∇ + H 1 ∧ {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla '}=\mathrm {d} _{\nabla }+H_{1}\wedge } H ′ = H − H 1 {\displaystyle H'=H-H_{1}} 로 재정의하면, d ∇ ′ H ′ = d ∇ H {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla '}^{H'}=\mathrm {d} _{\nabla }^{H}} 이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 H 1 = 0 {\displaystyle H_{1}=0} 로 놓을 수 있다. 홀수 차수 미분 형식 H = ∑ i = 0 ∞ H 2 i + 1 {\displaystyle H=\sum _{i=0}^{\infty }H_{2i+1}} H 2 i + 1 ∈ Ω 2 i + 1 ( M ) {\displaystyle H_{2i+1}\in \Omega ^{2i+1}(M)} 으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지가 주어졌다고 하자. 다음을 정의하자. H ( t ) = ∑ i = 1 ∞ t i H 2 i + 1 ( t ∈ R × ) {\displaystyle H(t)=\sum _{i=1}^{\infty }t^{i}H_{2i+1}\qquad (t\in \mathbb {R} ^{\times })} 그렇다면, 다음이 성립한다.:Proposition 1.1 H H i + 2 Z ⁡ ( M ; E ) ≅ H H i + 2 Z ⁡ ( M ; E ) {\displaystyle \operatorname {H} _{H}^{i+2\mathbb {Z} }(M;E)\cong \operatorname {H} _{H}^{i+2\mathbb {Z} }(M;E)} 구체적으로, c ( t ) : Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ ( M ) {\displaystyle c(t)\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet }(M)} c ( t ) ↾ Ω i ( M ) = t ⌊ i / 2 ⌋ {\displaystyle c(t)\upharpoonright \Omega ^{i}(M)=t^{\lfloor i/2\rfloor }} 를 정의하면, c ( t ) ∘ d ∇ H ↾ Ω i + 2 Z ( M ; E ) = λ i d ∇ H ( t ) ∘ c ( t ) {\displaystyle c(t)\circ \mathrm {d} _{\nabla }^{H}\upharpoonright \Omega ^{i+2\mathbb {Z} }(M;E)=\lambda ^{i}\mathrm {d} _{\nabla }^{H(t)}\circ c(t)} 이다. 이 변환에서, 1차 성분 H 1 {\displaystyle H_{1}} 은 t {\displaystyle t} 에 의하여 변하지 않는다. 만약 1차 성분을 재정의할 경우 코호몰로지 차원이 바뀔 수 있다. H {\displaystyle H} 가 3차 미분 형식이며, E = M × R {\displaystyle E=M\times \mathbb {R} } 가 자명한 접속을 갖는 자명한 벡터 다발인 경우를 생각하자. 이 경우, 만약 M {\displaystyle M} 이 형식적 공간이라면, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 (뒤틀리지 않은) 드람 코호몰로지와 동형이다.:Theorem 1.6 H H ∙ ⁡ ( M ; R ) ≅ H ∙ ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} _{H}^{\bullet }(M;\mathbb {R} )\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {R} )} 끈 이론에서, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 라몽-라몽 장의 장세기를 나타낸다. 특히, 위상 T-이중성은 서로 T-이중성으로 관련된 두 공간 사이의 뒤틀린 드람 코호몰로지의 동형을 정의한다.:§3.2 이 경우, 0 또는 1인 등급이 서로 뒤바뀌게 되는데, 이 두 등급은 각각 ⅡA 및 ⅡB형 초끈 이론에 해당한다. Cavalcanti, Gil (2004). 《New aspects of the ddc lemma》 (영어). 박사 학위 논문. 옥스퍼드 대학교. arXiv:math/0501406.  Mathai, Varghese; Wu, Siye (2011). “Analytic torsion for de Rham complexes”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 88: 297–332. arXiv:0810.4204.  Bouwknegt, Peter; Evslin, Jarah; Mathai, Varghese (2004). “T-duality: topology change from H-flux”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 249 (2): 383–415. arXiv:hep-th/0306062. doi:10.1007/s00220-004-1115-6.  “Twisted de Rham cohomology”. 《nLab》 (영어).