결정 코호몰로지

대수기하학에서 결정 코호몰로지(結晶cohomology, 영어: crystalline cohomology, 프랑스어: cohomologie cristalline)는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다. 스킴 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 속으로의 결정 열린 몰입(영어: crystalline open immersion) ( U , T , δ ) {\displaystyle (U,T,\delta )} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 스킴 ( U , O U ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{U})} (자리스키) 열린 몰입 U ↪ X {\displaystyle U\hookrightarrow X} U {\displaystyle U} 의 (자리스키) 닫힌 부분 스킴 T {\displaystyle T} . 이는 물론 어떤 준연접 O U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}} -아이디얼 층 I ⊆ O U {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{U}} 를 정의한다. δ {\displaystyle \delta } 는 ( U , I ) {\displaystyle (U,{\mathcal {I}})} 위의 분할 거듭제곱 구조이다. 즉, ( U , I , δ ) {\displaystyle (U,{\mathcal {I}},\delta )} 는 분할 거듭제곱 스킴을 이룬다. 다음이 주어졌다고 하자. 분할 거듭제곱 스킴 ( S , I , γ ) {\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )} 스킴 X {\displaystyle X} 및 스킴 사상 X → S {\displaystyle X\to S} (작은) 결정 위치(-結晶位置, 영어: (small) crystalline site) Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 는 범주로서 다음과 같다. Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 의 대상은 X {\displaystyle X} 속으로의 결정 열린 몰입 ( U , T , δ ) {\displaystyle (U,T,\delta )} 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다. U {\displaystyle U} 와 T {\displaystyle T} 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다. Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 ( U , T , δ ) → ( U ′ , T ′ , δ ′ ) {\displaystyle (U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')} 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 ( S , I , γ ) {\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )} 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다. 이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다. 유사하게, 다음과 같은 큰 결정 위치(영어: big crystalline site) CRIS ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {CRIS} (X/S)} 를 정의할 수 있다. 이는 작은 범주를 이루지 못한다. CRIS ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {CRIS} (X/S)} 의 대상은 분할 거듭제곱 스킴 사상 ( U , T , δ ) → ( S , I , γ ) {\displaystyle (U,T,\delta )\to (S,{\mathcal {I}},\gamma )} 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다. U {\displaystyle U} 와 T {\displaystyle T} 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다. CRIS ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {CRIS} (X/S)} 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 ( U , T , δ ) → ( U ′ , T ′ , δ ′ ) {\displaystyle (U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')} 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 ( S , I , γ ) {\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )} 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다. 이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다. 작은 결정 위치 위의 층의 층 코호몰로지 군 H i ⁡ ( Cris ⁡ ( X / S ) ; F ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\operatorname {Cris} (X/S);{\mathcal {F}})} 을 결정 코호몰로지라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 스킴 사상 X → S {\displaystyle X\to S} . 이를 통해 결정 위치 Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 를 정의할 수 있다. 결정 위치 Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 위의 O X / S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X/S}} -가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 그렇다면, Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 속의 임의의 두 대상 ( U , T , δ ) {\displaystyle (U,T,\delta )} , ( U ′ , T ′ , δ ′ ) {\displaystyle (U',T',\delta ')} 사이의 사상 f : ( U , T , δ ) → ( U ′ , T ′ , δ ′ ) {\displaystyle f\colon (U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')} 에 대하여, 자연스러운 사상 f ∗ F T ⟶ F T ′ {\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}_{T}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{T'}} 이 존재한다. 만약 이 사상이 항상 Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 의 동형 사상이라면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 결정(結晶, 영어: crystal 크리스털[*])이라고 한다. 이는 X / S {\displaystyle X/S} 에 있는 결정 구조에 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 “자연스럽게 배여 있다”는 것이다. 구조층 O X / S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X/S}} 자체는 Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 위의 결정을 이룬다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} 분할 거듭제곱 환 ( R , I , γ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )} 환 준동형 f : K → R {\displaystyle f\colon K\to R} R {\displaystyle R} -가군 M ∈ Mod R {\displaystyle M\in \operatorname {Mod} _{R}} M {\displaystyle M} 속의 접속(接續, 영어: connection)이란 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형 ∇ : M → Ω R / K , I , γ 1 ⊗ R M {\displaystyle \nabla \colon M\to \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}\otimes _{R}M} 이다. ∇ ( r m ) = r ∇ m + m ⊗ B d r ∀ m ∈ M , r ∈ R {\displaystyle \nabla (rm)=r\nabla m+m\otimes _{B}\mathrm {d} r\qquad \forall m\in M,\;r\in R} 여기서 Ω R / K , I , γ 1 {\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}} 는 ( R , I , γ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )} 위의 분할 거듭제곱 미분 가군이다. 이 경우, 항등식 ∇ ( m ⊗ R ω ) = ∇ m ∧ ω + m ⊗ R d ω ( m ∈ M , ω ∈ Ω R / K , I , γ ∙ ) {\displaystyle \nabla (m\otimes _{R}\omega )=\nabla m\wedge \omega +m\otimes _{R}\mathrm {d} \omega \qquad (m\in M,\;\omega \in \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet })} 를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분 ∇ : M ⊗ R Ω R / K , I , γ ∙ → M ⊗ R Ω R / K , I , γ ∙ + 1 {\displaystyle \nabla \colon M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet }\to M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet +1}} 을 정의할 수 있다. 만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약 M ⊗ R Ω R / K , I , γ 0 → ∇ M ⊗ R Ω R / K , I , γ 1 → ∇ M ⊗ R Ω R / K , I , γ 2 → ⋯ {\displaystyle M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{0}{\xrightarrow {\nabla }}M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}{\xrightarrow {\nabla }}M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{2}\to \dotsb } 가 사슬 복합체라면, 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 를 M {\displaystyle M} 속의 적분 가능 접속(積分可能接續, 영어: integrable connection)이라고 한다. 결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자. 분할 거듭제곱 스킴 ( S , I , γ ) {\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )} 스킴 X {\displaystyle X} 및 스킴 사상 X → S {\displaystyle X\to S} X {\displaystyle X} 의 결정 열린 부분 스킴 ( U , T , δ ) ∈ Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle (U,T,\delta )\in \operatorname {Cris} (X/S)} Cris ⁡ ( X / S ) {\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)} 위의 결정 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 그렇다면, O T ′ := O T ⊗ Ω T , δ 1 , ( U ( 1 ) , T ( 1 ) , δ ( 1 ) ) = ( U , T , δ ) × ( S , I , γ ) ( U , T , δ ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{T'}:={\mathcal {O}}_{T}\otimes \Omega _{T,\delta }^{1},(U(1),T(1),\delta (1))=(U,T,\delta )\times _{(S,I,\gamma )}(U,T,\delta )} 로 정의하고, p 0 , p 1 : T ( 1 ) → T {\displaystyle p_{0},p_{1}\colon T(1)\to T} 로 사영을 잡았을 때, p 0 ∗ F T ⟶ c 0 F T ′ ⟵ c 1 p 1 ∗ F T {\displaystyle p_{0}^{*}{\mathcal {F}}_{T}{\overset {c_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {F}}_{T'}{\overset {c_{1}}{\longleftarrow }}p_{1}^{*}{\mathcal {F}}_{T}} 를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다. s ∈ Γ ( T , F T ) {\displaystyle s\in \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})} 를 생각하면 ∇ ( s ) = p 1 ∗ s − c ( p 0 ∗ s ) {\displaystyle \nabla (s)=p_{1}^{*}s-c(p_{0}^{*}s)} 로 정의하자. 여기에서 c = c 1 − 1 ∘ c 0 {\displaystyle c=c_{1}^{-1}\circ c_{0}} 다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분 ∇ X ( Y ) = X Y − Y X {\displaystyle \nabla _{X}(Y)=XY-YX} 를 모방한 것이다. 그러면 이는 ∇ : Γ ( T , F T ) ⟶ Γ ( T , F T ⊗ O X / S Ω T / X , δ 1 ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})\longrightarrow \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X/S}}\Omega _{T/X,\delta }^{1})} 를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다. 미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의하자. ( A , I , γ ) {\displaystyle (A,I,\gamma )} 가 분할 거듭제곱 환이고 A → B {\displaystyle A\to B} 가 환 준동형이라면 적당한 P = A [ x i ] {\displaystyle P=A[x_{i}]} 를 잡아서 P → C {\displaystyle P\to C} 가 전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵을 J {\displaystyle J} 라고 하면 D = lim ← e ⁡ D B , γ ( J ) / p e D B , γ ( J ) {\displaystyle D=\varprojlim _{e}D_{B,\gamma }(J)/p^{e}D_{B,\gamma }(J)} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 X / S {\displaystyle X/S} 의 (결정 위치에서) 준연접층은 서로 일대일 대응한다. 다음을 생각하자. 가환환 K {\displaystyle K} 유한 집합 I {\displaystyle I} K {\displaystyle K} 계수의, I {\displaystyle I} 개 변수 분할 거듭제곱 다항식환 P = K ⟨ ( x i ) i ∈ I ⟩ {\displaystyle P=K\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle } K {\displaystyle K} 위의 임의의 가군 M {\displaystyle M} 그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체 Ω P / K ∙ {\displaystyle \Omega _{P/K}^{\bullet }} 의 각 항에 M {\displaystyle M} 의 텐서곱을 취하여도, 이는 완전열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 완전열이 존재한다. 0 → M → M ⊗ K Ω P / K 1 → M ⊗ K Ω P / K 2 → M ⊗ K Ω P / A 3 → ⋯ {\displaystyle 0\to M\to M\otimes _{K}\Omega _{P/K}^{1}\to M\otimes _{K}\Omega _{P/K}^{2}\to M\otimes _{K}\Omega _{P/A}^{3}\to \cdots } 이 완전열의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환 A [ x i ] {\displaystyle A[x_{i}]} 의 경우에는 성립하지 않는다 ( ( x n ) ′ = n x n − 1 {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}} 이기 때문). 보다 일반적으로, 다음을 생각하자. 가환환 K {\displaystyle K} 분할 거듭제곱 환 ( R , I , γ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )} 및 환 준동형 f : K → R {\displaystyle f\colon K\to R} R {\displaystyle R} 위의 분할 거듭제곱 다항식환 P = R ⟨ ( x i ) i ∈ I ⟩ {\displaystyle P=R\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle } R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 적분 가능 접속 ∇ : M → M ⊗ R Ω R / K , δ 1 {\displaystyle \nabla \colon M\to M\otimes _{R}\Omega _{R/K,\delta }^{1}} 그렇다면, P {\displaystyle P} 속의 아이디얼 J = I P + P + {\displaystyle {\mathfrak {J}}={\mathfrak {I}}P+P_{+}} 를 생각하자. 여기서 P + ⊆ P {\displaystyle P_{+}\subseteq P} 는 양의 차수 항들로 구성된 P {\displaystyle P} 의 부분 집합이다. 또한, ( P , J ) {\displaystyle (P,{\mathfrak {J}})} 위에 자명한 분할 거듭제곱 구조 δ {\displaystyle \delta } 를 부여한다. 그렇다면, K {\displaystyle K} -가군 범주의 유도 범주 D ⁡ ( Mod K ) {\displaystyle \operatorname {D} (\operatorname {Mod} _{K})} 안에서 M ⊗ R Ω R / K , γ ∙ → ∼ M ⊗ P Ω P / K , δ ∙ {\displaystyle M\otimes _{R}\Omega _{R/K,\gamma }^{\bullet }{\xrightarrow {\sim }}M\otimes _{P}\Omega _{P/K,\delta }^{\bullet }} 이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다). 이제 다음을 생각하자. X / S {\displaystyle X/S} 의 결정 위치를 C r i s ( X / S ) {\displaystyle \mathrm {Cris} (X/S)} 로 표기하자. D ( n ) = ∏ n D {\displaystyle D(n)=\prod ^{n}D} 그러면 D ( 0 ) ⟶ D ( 1 ) ⟶ ⋯ {\displaystyle D(0)\longrightarrow D(1)\longrightarrow \cdots } 는 R Γ ( C r i s ( X / S ) , F ) {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})} 하고 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 결정 위치에서 준연접층이라고 하고 M {\displaystyle M} 를 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 하고 대응되는 p진으로 완벽한 D {\displaystyle D} -가군이라고 하면 R Γ ( C r i s ( X / S ) , F ) {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})} 는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 M ⊗ D Ω D ∗ {\displaystyle M\otimes _{D}\Omega _{D}^{*}} 하고 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다. 알렉산더 그로텐디크가 1966년에 도입하였다. 이후 피에르 베르틀로(프랑스어: Pierre Berthelot)가 그 이론에 공헌하였다. 결정 코호몰로지는 대수적 수론에서 중요한 역할을 한다. 어떤 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 위의 스킴 X / F q {\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}} 가 주어졌을 때, 그냥 결정 코호몰로지 군 H c r i s i ⁡ ( X / F q , O X ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\mathrm {cris} }^{i}(X/\mathbb {F} _{q},{\mathcal {O}}_{X})} 를 계산하는 것은 별로 도움이 되지 않는다. 이는 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 결정 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 A ⟨ x i ⟩ {\displaystyle A\langle x_{i}\rangle } 만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다. 하지만 표수가 커지면 커질수록 A ⟨ x i ⟩ {\displaystyle A\langle x_{i}\rangle } 는 A [ x i ] {\displaystyle A[x_{i}]} 와 “가까워진다”. 따라서, 비트 벡터를 생각해서 H c r i s i ⁡ ( X ) := lim ← ⁡ H c r i s i ( X / W n ( F q ) , O X ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\mathrm {cris} }^{i}(X):=\varprojlim H_{\mathrm {cris} }^{i}(X/W_{n}(\mathbb {F} _{q}),{\mathcal {O}}_{X})} 를 생각할 수 있고, 이것을 ℓ = p {\displaystyle \ell =p} 일 때의 코호몰로지로 에탈 코호몰로지 대신 쓸 수 있다. 모티브 코호몰로지 드람 코호몰로지 Illusie, Luc (1976). “Cohomologie cristalline (d’après P. Berthelot)”. 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 17: 456. MR 444668. Zbl 0345.14005.  Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 407. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0068636. ISBN 978-3-540-06852-5. MR 0384804.  Grothendieck, Alexander (1966). “On the de Rham cohomology of algebraic varieties”. 《Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques》 (영어) 29 (29): 95–103. doi:10.1007/BF02684807. ISSN 0073-8301. MR 199194. Zbl 145.17602.  “Crystalline cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Crystalline cohomology” (PDF). 《The Stacks Project》 (영어). 컬럼비아 대학교. 2016년 4월 10일.