대칭군 (군론)

수학에서 대칭군(對稱群, 영어: symmetric group)은 주어진 원소들을 재배열하는 방법(순열)들로 구성된 군이다. 순열군(順列群, 영어: permutation group) 또는 치환군(置換群)은 대칭군의 부분군을 뜻한다. 집합 X {\displaystyle X} 의 대칭군은 X {\displaystyle X} 에서 X {\displaystyle X} 로 가는 모든 전단사 함수의 집합에 군 구조를 준 것으로, 기호로는 S X {\displaystyle S_{X}} 또는 Sym ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (X)} 로 표기한다. 이 때, 군 연산은 함수의 합성이다. 즉, 두 함수 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 를 합성하여 새로운 전단사 함수 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 를 얻을 수 있다. 이 때, f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 는 X {\displaystyle X} 의 모든 원소 x에 대해 ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))} 로 정의한다. 이 연산과 함께 Sym ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (X)} 는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 f g {\displaystyle fg} 로 쓸 수도 있다. 특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 X = { 1 , ⋯ , n } {\displaystyle X=\{1,\cdots ,n\}} 의 경우이다. 이 집합의 대칭군 Sym ⁡ ( { 1 , ⋯ , n } ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (\{1,\cdots ,n\})} 를 간단히 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 으로 표기한다. Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 의 원소들을 X {\displaystyle X} 의 순열이라 한다. n개 원소에 대한 대칭군의 표시는 다음과 같다. Sym ⁡ ( n ) ≅ ⟨ σ 1 , … , σ n − 1 | σ i 2 = ( σ i σ j ) 2 = ( σ i σ i + 1 ) 3 = 1 ( j ≠ i ± 1 ) ⟩ {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\cong \langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2}=(\sigma _{i}\sigma _{j})^{2}=(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1\qquad (j\neq i\pm 1)\rangle } 여기서 σ i {\displaystyle \sigma _{i}} 는 순열 ( i , i + 1 ) {\displaystyle (i,i+1)} 에 대응한다. n개 원소에 대한 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 크기가 n ! {\displaystyle n!} 인 유한군이다. 무한 대칭군의 경우, 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 인 집합 위의 대칭군의 크기는 | Sym ⁡ ( κ ) | = κ κ {\displaystyle |\operatorname {Sym} (\kappa )|=\kappa ^{\kappa }} 이다. 대칭군은 오직 n ≤ 2 {\displaystyle n\leq 2} 인 경우에만 아벨 군이며, 오직 n ≤ 4 {\displaystyle n\leq 4} 일 경우에만 가해군이다. 이것이 아벨-루피니 정리(5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다. 대칭군의 두 순열 σ 1 , σ 2 ∈ Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in \operatorname {Sym} (n)} 이 같은 켤레류에 속할 필요충분조건은 두 순열의 순환(영어: cycle) 구조가 같다는 것이다. 즉, 두 순열이 같은 수의 순환들로 구성되고, 각 순환들의 길이가 같을 때 서로 같은 켤레류에 속한다. 대칭군의 낮은 차수의 군 호몰로지는 다음과 같다. 군의 정수 계수 1차 호몰로지는 그 아벨화와 같으며, 대칭군의 아벨화는 다음과 같다. H 1 ⁡ ( Sym ⁡ ( n ) , Z ) = { 0 n < 2 Cyc ⁡ ( 2 ) n ≥ 2 {\displaystyle \operatorname {H} _{1}(\operatorname {Sym} (n),\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\operatorname {Cyc} (2)&n\geq 2\end{cases}}} 군의 정수 계수 2차 호몰로지는 그 슈어 승수(영어: Schur multiplier)의 군과 같으며, 대칭군의 경우 이는 다음과 같다. H 2 ⁡ ( Sym ⁡ ( n ) , Z ) = { 0 n < 4 Cyc ⁡ ( 2 ) n ≥ 4 {\displaystyle \operatorname {H} _{2}(\operatorname {Sym} (n),\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\operatorname {Cyc} (2)&n\geq 4\end{cases}}} 대칭군의 자기 동형군과 중심은 다음과 같다. 대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. 갈루아 이론에서, n차 대칭군은 일반적 n차 다항식의 갈루아 군이다. 리 군의 이론에서, n차 대칭군은 일반선형군 GL ⁡ ( n , C ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )} 및 특수선형군 SL ⁡ ( n + 1 , C ) = A n {\displaystyle \operatorname {SL} (n+1,\mathbb {C} )=A_{n}} 의 바일 군이며, 슈어 함자(영어: Schur functor)에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 콕서터 군 A n {\displaystyle A_{n}} 과 같다. 낮은 차수의 대칭군은 다음과 같다. 스테인하우스-존슨-트로터 알고리즘 “Symmetric group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmetric group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Symmetric group”. 《Groupprops》 (영어).  “Contrasting symmetric groups of various degrees”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group on finite set”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group of prime degree”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group of prime power degree”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S3”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S4”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S5”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S6”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S7”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S8”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S9”. 《Groupprops》 (영어).  “Symmetric group:S10”. 《Groupprops》 (영어).  이철희. “대칭군 (symmetric group)”. 《수학노트》.  이철희. “대칭군의 표현론”. 《수학노트》.