유한환

환론에서 유한환(有限環, 영어: finite ring)은 유한 집합인 환이다. 환 · 유사환 · 가환환 · 가환 유사환 가운데, 유한 집합인 것을 각각 유한환 · 유한 유사환 · 유한 가환환 · 유한 가환 유사환이라고 한다. 이 문서에서, 환 · 가환환은 항상 곱셈 항등원을 가지며, (가환) 유사환은 곱셈 항등원을 가지지 않을 수 있다. 모든 유한환은 자명하게 좌·우 뇌터 환이자 아르틴 환이다. 가환 유한환의 크룰 차원은 0차원이며, 그 스펙트럼은 유한 개의 점으로 구성된 이산 공간이다. 모든 유한환 R {\displaystyle R} 에서, 모든 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 는 영인자이거나 아니면 가역원이다. 구체적으로, 만약 r ⋅ : R → R {\displaystyle r\cdot \colon R\to R} 가 전단사 함수라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 영인자를 갖거나 아니면 유한체이다 (웨더번 정리). 모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다. Mat ⁡ ( n ; F p k ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;\mathbb {F} _{p^{k}})} 유한 유사환 ( R , + , 0 , ⋅ ) {\displaystyle (R,+,0,\cdot )} 의 크기의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자. | R | = ∏ i p i n i {\displaystyle |R|=\prod _{i}p_{i}^{n_{i}}} 그렇다면 R {\displaystyle R} 는 다음과 같은 유사환 직합으로 나타낼 수 있다. R = ⨁ i R i {\displaystyle R=\bigoplus _{i}R_{i}} | R i | = p i n i {\displaystyle |R_{i}|=p_{i}^{n_{i}}} 즉, 유한 유사환을 분류하려면, 크기가 소수의 거듭제곱인 것만을 분류하면 족하다. 크기가 p n {\displaystyle p^{n}} 인 유한 유사환 ( R , + , 0 , ⋅ ) {\displaystyle (R,+,0,\cdot )} 을 생각하자. 이는 아벨 군 ( R , + , 0 ) {\displaystyle (R,+,0)} 에 따라 일차적으로 분류된다. (유한 아벨 군은 모두 완전히 분류되었다.) 또한, 이 아벨 군이 순환군인 경우, 해당하는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서, 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만을 분류하면 된다. 추가로, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환인 경우, R {\displaystyle R} 는 (크기가 소수의 거듭제곱인) 유한 국소환의 직합으로 나타낼 수 있다. 덧셈 아벨 군이 순환군 Cyc ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)} 인 유사환 R {\displaystyle R} 는 다음과 같이 간단히 분류된다.:Theorem 1 덧셈 아벨 군의 생성원을 a {\displaystyle a} 라고 하자. 즉, { 0 , a , 2 a , 3 a , … , ( n − 1 ) a } {\displaystyle \{0,a,2a,3a,\dots ,(n-1)a\}} 의 꼴이다. 이러한 유사환의 곱셈 구조는 a 2 = k a {\displaystyle a^{2}=ka} 인 k ∈ Z / n {\displaystyle k\in \mathbb {Z} /n} 에 의하여 완전히 결정된다. 이러한 유사환은 ⟨ a | n a , a 2 − k a ⟩ {\displaystyle \langle a|na,a^{2}-ka\rangle } 와 같이 적을 수 있다. 또한, 이러한 두 유사환이 서로 동형일 필요충분조건은 ⟨ a | n a , a 2 − k a ⟩ ≅ ⟨ a | n a , a 2 − k ′ a ⟩ ⟺ gcd { k , n } = gcd { k ′ , n } {\displaystyle \langle a|na,a^{2}-ka\rangle \cong \langle a|na,a^{2}-k'a\rangle \iff \gcd\{k,n\}=\gcd\{k',n\}} 이다. 따라서, 순환군 Cyc ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)} 위의 유사환들은 n {\displaystyle n} 의 약수들과 일대일 대응한다. 이 가운데, 약수 k ≡ n ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle k\equiv n\equiv 0{\pmod {n}}} 인 경우는 영유사환이며, k ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle k\equiv 1{\pmod {n}}} 인 경우는 정수환의 몫환 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 이다. k ≢ 1 ( mod n ) {\displaystyle k\not \equiv 1{\pmod {n}}} 인 경우는 곱셈 항등원이 없어 환을 이루지 않는다. Z / p ⊕ Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p\oplus \mathbb {Z} /p} 위의 유사환은 총 8개이며, 다음과 같다.:Theorem 2 가환환 3개: 유한체 F p 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{2}}} F p ⊕ F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}\oplus \mathbb {F} _{p}} F p [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(x^{2})} (:Theorem 2에서는 G로 수록) 가환환이 아닌 가환 유사환 3개: Cyc ⁡ ( p ) ⊕ Cyc ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)\oplus \operatorname {Cyc} (p)} 위의 영유사환 F p ⊕ Cyc ⁡ ( p ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}\oplus \operatorname {Cyc} (p)} . 여기서 Cyc ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)} 는 동명의 순환군 위의 영유사환이다. ( x ) ⊂ F p [ x ] / ( x 3 ) {\displaystyle (x)\subset \mathbb {F} _{p}[x]/(x^{3})} (:Theorem 2에서는 I로 수록) 비가환 유사환 2개 { ( a 0 b 0 ) : a , b ∈ F p } ⊂ Mat ⁡ ( 2 ; F p ) {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {F} _{p}\right\}\subset \operatorname {Mat} (2;\mathbb {F} _{p})} (에서는 E로 수록) 위 행렬 유사환의 반대유사환 (:Theorem 2에서는 F로 수록) 아벨 군 Cyc ⁡ ( p 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (p^{2})\oplus \operatorname {Cyc} (p)} 위의 유사환은 p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 총 20개, p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} 일 경우 총 2 p + 19 {\displaystyle 2p+19} 개가 있다. 이는 다음과 같다. 가환환 3개 ( p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 4개) Z / ( p 2 ) ⊕ F p {\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{2})\oplus \mathbb {F} _{p}} ( Z / ( p 2 ) ) [ x ] / ( p x , x 2 ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /(p^{2}))[x]/(px,x^{2})} ( Z / ( p 2 ) ) [ x ] / ( p x , x 2 − p ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /(p^{2}))[x]/(px,x^{2}-p)} ( Z / ( p 2 ) ) [ x ] / ( p x , x 2 − m p ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /(p^{2}))[x]/(px,x^{2}-mp)} , m ∈ Z / ( p ) {\displaystyle m\in \mathbb {Z} /(p)} 은 제곱잉여가 아닌 정수. ( p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 이는 불가능하다.) 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다. 아벨 군 Cyc ⁡ ( p ) ⊕ 3 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)^{\oplus 3}} 위의 유사환은 28개 ( p = 2 {\displaystyle p=2} 인 경우) 또는 p + 27 {\displaystyle p+27} 개 ( p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} 인 경우)이다. 이 가운데, (곱셈 단위원을 갖춘) 환은 7개이다.:Theorem 14 이 가운데 가환환이 아닌 것은 하나밖에 없으며, 유한체 위의 삼각행렬의 환 Upper ⁡ ( 2 ; F p ) = { ( a b 0 c ) : a , b , c ∈ F p } {\displaystyle \operatorname {Upper} (2;\mathbb {F} _{p})=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {F} _{p}\right\}} 이다 (이 환은 스스로의 반대환과 동형이다). 아벨 군 Cyc ⁡ ( p ) ⊕ 3 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)^{\oplus 3}} 위의 6개의 가환환은 다음과 같다. F p ⊕ 3 {\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\oplus 3}} F p 2 ⊕ Z / ( p ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{2}}\oplus \mathbb {Z} /(p)} F p [ x ] / ( x 2 ) ⊕ Z / ( p ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(x^{2})\oplus \mathbb {Z} /(p)} 유한체 F p 3 {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{3}}} F p [ x ] / ( x 3 ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(x^{3})} F p [ x , y ] / ( x 2 , x y , y 2 ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x,y]/(x^{2},xy,y^{2})} 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ( n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } ). 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, … (OEIS의 수열 A27623) 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 가환 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ( n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } ). 1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2, … (OEIS의 수열 A37289) 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한환의 동형류의 수는 다음과 같다 ( n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } ). 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, … (OEIS의 수열 A37291) 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 가환환의 동형류의 수는 다음과 같다 ( n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } ). 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 37, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 11, 4, 1, 1, 1, … (OEIS의 수열 A127707) “Classification of finite rings of order p 2 {\displaystyle p^{2}} ” (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) 66 (4): 248–252. 1993년 10월. doi:10.2307/2690742. 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