보손 끈 이론

보손 끈 이론(boson끈理論, 영어: bosonic string theory)은 초대칭을 도입하지 않은 끈 이론이다. 끈이란 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 고리 모양인 (원과 동형인) 닫힌 끈(영어: closed string)과 끊어진 (선분과 동형인) 열린 끈(영어: open string)이 있다. 따라서 끈은 (0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리) 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를 ξ a {\displaystyle \xi ^{a}} ( a ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a\in \{0,1\}} )로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다 (무차원). 끈은 시공간 안에 존재한다. 시공간을 1차원의 시간과 D − 1 {\displaystyle D-1} 차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정하자. (관측에 따르면 D = 4 {\displaystyle D=4} 이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표를 X μ {\displaystyle X^{\mu }} ( μ ∈ { 0 , 1 , … , D − 1 } {\displaystyle \mu \in \{0,1,\dots ,D-1\}} )로 쓰자. 시공간의 계량 텐서를 G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} 로 표기하자. 끈의 시공 속의 위치를 매장 X μ ( ξ a ) {\displaystyle X^{\mu }(\xi ^{a})} 로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서 h a b = ∂ a X μ ∂ b X ν G μ ν {\displaystyle h_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }G_{\mu \nu }} 를 정의할 수 있다. 끈을 다루는 가장 간단한 작용은 난부-고토 작용 S [ X μ ] = − T ∫ d 2 ξ − det h {\displaystyle S[X^{\mu }]=-T\int d^{2}\xi \;{\sqrt {-\det h}}} 이나, 이는 제곱근 때문에 양자화가 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용 S [ X μ , h a b ] = − 1 2 T ∫ d 2 ξ − det h h a b ∂ a X ⋅ ∂ b X {\displaystyle S[X^{\mu },h_{ab}]=-{\frac {1}{2}}T\int d^{2}\xi \;{\sqrt {-\det h}}h^{ab}\partial _{a}X\cdot \partial _{b}X} 를 쓴다. 여기서 T = 1 / ( 2 π α ′ ) {\displaystyle T=1/(2\pi \alpha ')} 는 작용을 무차원화시키기 위한 상수로서, 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타낸다. α ′ {\displaystyle \alpha '} 는 레제 기울기(영어: Regge slope) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다. 보다 일반적으로, 보손 끈은 일반적으로 운동 방정식 p 2 = 0 {\displaystyle p^{2}=0} 만으로 결정된다.:§2 (여기서 p μ {\displaystyle p^{\mu }} 는 끈 전체의 운동량이다.) 이로부터 작용을 다음과 같이 재구성할 수 있다. 좌표 ξ = ( τ , σ ) {\displaystyle \xi =(\tau ,\sigma )} 에 대하여, 세계면 위의, ∂ a X μ {\displaystyle \partial _{a}X^{\mu }} 에 대응하는 정준 운동량장 P a μ ( ξ ) {\displaystyle P_{a}^{\mu }(\xi )} 를 정의하자. 그렇다면, 작용 S ∝ ∫ d 2 ξ − det h h a b g μ ν ( X ( ξ ) ) P μ a ( ξ ) P ν b ( ξ ) + P μ a ( ξ ) ∂ a X μ ( ξ ) {\displaystyle S\propto \int \mathrm {d} ^{2}\xi {\sqrt {-\det h}}h_{ab}g^{\mu \nu }(X(\xi ))P_{\mu }^{a}(\xi )P_{\nu }^{b}(\xi )+P_{\mu }^{a}(\xi )\partial _{a}X^{\mu }(\xi )} 을 적을 수 있다. 여기서 첫째 항은 운동 방정식 p 2 = 0 {\displaystyle p^{2}=0} 에서 오며, 둘째 항은 P μ a {\displaystyle P_{\mu }^{a}} 와 ∂ a X μ {\displaystyle \partial _{a}X^{\mu }} 사이의 정준 관계를 나타낸다. 이제, P μ a ( ξ ) {\displaystyle P_{\mu }^{a}(\xi )} 의 오일러-라그랑주 방정식은 P μ a ( ξ ) = − g μ ν ( X ( ξ ) ) η a b ∂ b X ν {\displaystyle P_{\mu }^{a}(\xi )=-g_{\mu \nu }(X(\xi ))\eta ^{ab}\partial _{b}X^{\nu }} 가 된다. 이를 작용에 대입하면, 폴랴코프 작용 S ∝ ∫ d 2 ξ − det h G μ ν ( X ( ξ ) η a b ∂ a X μ ( ξ ) ∂ b X ν ( ξ ) {\displaystyle S\propto \int \mathrm {d} ^{2}\xi {\sqrt {-\det h}}G_{\mu \nu }(X(\xi )\eta ^{ab}\partial _{a}X^{\mu }(\xi )\partial _{b}X^{\nu }(\xi )} 를 얻는다. 사실, 닫힌 끈의 경우, 끈의 공간 좌표 ξ 1 = σ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \xi ^{1}=\sigma \in [0,2\pi )} 라고 할 때, P ( τ , σ ) {\displaystyle P(\tau ,\sigma )} 는 서로 상호작용하지 않는 두 개의 장 P ± ( τ , σ ) {\displaystyle P^{\pm }(\tau ,\sigma )} 이다. 반면, 열린 끈의 경우, 공간 좌표가 ξ 1 = σ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \xi ^{1}=\sigma \in [0,\pi ]} 라고 할 때, 하나의 P μ a {\displaystyle P_{\mu }^{a}} 가 σ ∈ [ − π , π ] {\displaystyle \sigma \in [-\pi ,\pi ]} 에 정의되게 된다. 두 경우 모두, P μ a {\displaystyle P_{\mu }^{a}} 는 원 위의 주기적 경계 조건을 만족시킨다. 즉, 닫힌 끈은 ( σ {\displaystyle \sigma } 의 범위를 무시하면) 서로 상호작용하지 않는 두 개의 열린 끈으로 취급할 수 있다. 보손 끈의 폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서 h a b {\displaystyle h_{ab}} 에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정 h a b = ( − 1 0 0 1 ) {\displaystyle h_{ab}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}} 을 가할 수 있다. 사실, 흔히 빛원뿔 좌표계가 사용된다. 이 게이지 대칭은 작용 L ∝ η P 2 + P ∂ X {\displaystyle L\propto \eta P^{2}+P\partial X} 에서 생성원 P 2 ( σ ) {\displaystyle P^{2}(\sigma )} 에 의하여 생성된다. 이것의 리 괄호는 [ 1 2 P 2 ( σ ) , 1 2 P 2 ( σ ′ ) ] = i δ ′ ( σ ′ − σ ) ( 1 2 P 2 ( σ ) + 1 2 P 2 ( σ ′ ) ) {\displaystyle \left[{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ),{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ')\right]=\mathrm {i} \delta '(\sigma '-\sigma )\left({\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma )+{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ')\right)} 이다.:(2.2b) (여기서 δ ′ ( − ) {\displaystyle \delta '(-)} 은 디랙 델타의 분포로서의 도함수이다.) 즉, 이는 일종의 아핀 리 대수를 이룬다. 이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장 C {\displaystyle C} 에 대하여 Q = ∫ d 1 σ ( 1 2 P ( σ ) 2 C ( σ ) + i C ′ ( σ ) δ δ C ( σ ) ) {\displaystyle Q=\int \mathrm {d} ^{1}\sigma \,\left({\frac {1}{2}}P(\sigma )^{2}C(\sigma )+\mathrm {i} C'(\sigma ){\frac {\delta }{\delta C(\sigma )}}\right)} 이다.:(2.4) 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는 C ( σ ) {\displaystyle C(\sigma )} , δ / δ C {\displaystyle \delta /\delta C} 는 양자화 이후 ( c , b ) {\displaystyle (c,b)} 유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다. 폴랴코프 작용을 h a b = diag ⁡ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle h_{ab}=\operatorname {diag} (-1,1)} 인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식 ◻ X μ = 0 {\displaystyle \square X^{\mu }=0} 과 게이지 조건 ( ∂ 0 ± ∂ 1 X ) 2 = 0 {\displaystyle (\partial _{0}\pm \partial _{1}X)^{2}=0} 을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 우선 닫힌 끈의 경우 X μ ( ξ 0 , ξ 1 ) = X μ ( ξ 0 , ξ 1 + 2 π ) {\displaystyle X^{\mu }(\xi ^{0},\xi ^{1})=X^{\mu }(\xi ^{0},\xi ^{1}+2\pi )} 의 주기성 (periodicity) 조건을 주자. 그리고 편의상 빛원뿔 좌표계 ξ ± = ξ 0 ± ξ 1 {\displaystyle \xi ^{\pm }=\xi ^{0}\pm \xi ^{1}} 를 정의하자. 그렇다면 파동 방정식의 해는 (왼쪽 방식(영어: mode)과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면) X μ ( ξ ) = X L μ ( ξ + ) + X R μ ( ξ − ) {\displaystyle X^{\mu }(\xi )=X_{\mathrm {L} }^{\mu }(\xi ^{+})+X_{\mathrm {R} }^{\mu }(\xi ^{-})} X L μ ( ξ + ) = 1 2 x μ + 1 2 α ′ p μ + α ′ 2 ∑ n ≠ 0 1 n exp ⁡ ( − i n ξ + ) α n μ {\displaystyle X_{\mathrm {L} }^{\mu }(\xi ^{+})={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}\alpha 'p^{\mu }+{\sqrt {\frac {\alpha '}{2}}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{+})\alpha _{n}^{\mu }} X R μ ( ξ − ) = 1 2 x μ + 1 2 α ′ p μ + α ′ 2 ∑ n ≠ 0 1 n exp ⁡ ( − i n ξ − ) β n μ {\displaystyle X_{\mathrm {R} }^{\mu }(\xi ^{-})={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}\alpha 'p^{\mu }+{\sqrt {\frac {\alpha '}{2}}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{-})\beta _{n}^{\mu }} 이 된다. 여기서 p μ {\displaystyle p^{\mu }} 는 뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건 ( ∂ ± X ) 2 = 0 {\displaystyle (\partial _{\pm }X)^{2}=0} 을 적용하면 임의의 m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } 에 대하여 0 = ∑ n = − ∞ ∞ exp ⁡ ( − i n ξ + ) α − n + m ⋅ α n = ∑ n = − ∞ ∞ exp ⁡ ( − i n ξ − ) β − n + m ⋅ β n {\displaystyle 0=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{+})\alpha _{-n+m}\cdot \alpha _{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{-})\beta _{-n+m}\cdot \beta _{n}} 의 조건을 얻는다. (여기서 α 0 μ = β 0 μ = α ′ 2 p μ {\displaystyle \alpha _{0}^{\mu }=\beta _{0}^{\mu }={\sqrt {\frac {\alpha '}{2}}}p^{\mu }} 로 정의한다.) 이 가운데 m = 0 {\displaystyle m=0} 인 조건으로부터 끈의 질량 공식 M 2 = − p 2 = 4 α ′ ∑ n = 1 ∞ α − n ⋅ α n = 4 α ′ ∑ n = 1 ∞ β − n ⋅ β n {\displaystyle M^{2}=-p^{2}={\frac {4}{\alpha '}}\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{-n}\cdot \alpha _{n}={\frac {4}{\alpha '}}\sum _{n=1}^{\infty }\beta _{-n}\cdot \beta _{n}} 을 얻는다. 끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표 X ± = 1 2 ( X 0 ± X 1 ) {\displaystyle X^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X^{0}\pm X^{1})} 을 정의하자. 그리고 잉여 게이지 자유로 X + ( ξ ) = x μ + α ′ p μ ξ 0 {\displaystyle X^{+}(\xi )=x^{\mu }+\alpha 'p^{\mu }\xi ^{0}} 으로 쓰자. 이렇게 쓰면 계의 자유도는 x ± {\displaystyle x^{\pm }} , p + {\displaystyle p^{+}} , x i , p i , α i , β i {\displaystyle x^{i},p^{i},\alpha ^{i},\beta ^{i}} ( i ∈ { 2 , … , D − 2 } {\displaystyle i\in \{2,\dots ,D-2\}} )이다. 다음에 바른틀 교환자 관계 (영어: canonical commutation relation)를 적용시킨다. [ x i , p i ] = i δ i j {\displaystyle [x^{i},p^{i}]=\mathrm {i} \delta ^{ij}} [ x ± , p ∓ ] = − i {\displaystyle [x^{\pm },p^{\mp }]=-\mathrm {i} } [ α m i , α n j ] = n δ i j δ m + n , 0 . {\displaystyle [\alpha _{m}^{i},\alpha _{n}^{j}]=n\delta ^{ij}\delta _{m+n,0}.} ( p − {\displaystyle p^{-}} 는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 정렬 모호성(영어: ordering ambiguity)으로 인해 질량 공식이 M 2 = 4 α ′ ( − D − 2 24 + ∑ n = 1 ∞ α − n ⋅ α n ) = 4 α ′ ( − D − 2 24 + ∑ n = 1 ∞ β − n ⋅ β n ) {\displaystyle M^{2}={\frac {4}{\alpha '}}\left(-{\frac {D-2}{24}}+\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{-n}\cdot \alpha _{n}\right)={\frac {4}{\alpha '}}\left(-{\frac {D-2}{24}}+\sum _{n=1}^{\infty }\beta _{-n}\cdot \beta _{n}\right)} 가 된다. 여기서 연산자 N = ∑ n = 1 ∞ α − n ⋅ α n {\displaystyle N=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{-n}\cdot \alpha _{n}} N ~ = ∑ n = 1 ∞ β − n ⋅ β n {\displaystyle {\tilde {N}}=\sum _{n=1}^{\infty }\beta _{-n}\cdot \beta _{n}} 을 준위(準位, 영어: level) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다. N = N ~ = 0 {\displaystyle N={\tilde {N}}=0} 인 경우 M 2 < 0 {\displaystyle M^{2}<0} 이므로 이는 타키온을 나타낸다. N = N ~ = 1 {\displaystyle N={\tilde {N}}=1} 인 경우엔 로런츠 대칭을 위하여 M 2 = 0 {\displaystyle M^{2}=0} 이어야 하므로, D = 26 {\displaystyle D=26} 임을 알 수 있다. 즉 보손 끈 이론의 임계 차원은 26차원이다. 이 경우 입자는 무질량 입자인데, 이는 스핀 2의 중력자 G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} , 스핀 1의 캘브-라몽 장 B μ ν {\displaystyle B_{\mu \nu }} (영어: Kalb–Ramond field), 스핀 0의 딜라톤 Φ {\displaystyle \Phi } 을 포함한다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (영어: Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field)으로 부른다. N = 2 {\displaystyle N=2} 이상의 입자는 질량이 ∝ 1 / α ′ {\displaystyle \propto 1/{\sqrt {\alpha '}}} 이므로 (대략 플랑크 질량으로 추정) 너무 커 관측되지 않는다. 보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여, 장난감 모형으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 다음과 같은 특성을 지닌다. 보손 끈 이론은 초대칭이 없으므로 페르미온을 포함하지 않는다. 즉 오직 NS-NS 장만을 포함한다. 보손 끈 이론은 타키온을 포함한다. 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다. (이에 반하여 초끈 이론은 GSO 사영을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.) 보손 초끈 이론은 임계 차원이 26 = 3 3 − 1 {\displaystyle 26=3^{3}-1} 차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 로런츠 대칭을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다. (초끈 이론에서는 초대칭에 따른 β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } 유령 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.) 보손 끈 이론은 1960년대에 끈 이론 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 강입자의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, 중간자를 구성하는 두 쿼크를 잇는 글루온은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수 α ′ {\displaystyle \alpha '} 은 중간자의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다. α ′ {\displaystyle \alpha '} 의 이름인 “레제 기울기”는 툴리오 레제의 이름을 땄으며, 여기서 유래하였다. 보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실은 클로드 러블레이스(영어: Claud Lovelace, 1934~2012)가 1971년에 발견하였다. 난부-고토 작용 폴랴코프 작용 Siegel, Warren (1985년 1월 13일). “Classical superstring mechanics”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 263 (1): 93–104. Bibcode:1986NuPhB.263...93S. doi:10.1016/0550-3213(86)90029-5.  Lovelace, Claud (1971년 3월 29일). “Pomeron form factors and dual Regge cuts”. 《Physics Letters B》 34 (6): 500–506. doi:10.1016/0370-2693(71)90665-4.  Lovelace, Claud (2012). 〈Dual amplitudes in higher dimensions: a personal view〉. 《The Birth of String Theory》. Cambridge: Cambridge University Press. 198–201쪽. doi:10.1017/CBO9780511977725.018. ISBN 9780521197908.  “Bosonic string”. 《nLab》 (영어).