타이히뮐러 공간

수학에서 타이히뮐러 공간(영어: Teichmüller space)은 주어진 (위상수학적) 곡면의 복소 구조들의 모듈라이 공간이다. 이는 자연스럽게 복소 구조 및 다양한 계량들을 가진다. 오스발트 타이히뮐러(독일어: Oswald Teichmüller)의 이름을 땄다. 2차원 다양체 Σ {\displaystyle \Sigma } 위에 복소 구조들의 집합을 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 라고 하자. 여기에, 다음과 같은 동치관계를 정의하자. J ∼ ϕ ∗ J ∀ ϕ ∈ Homeo 0 ⁡ ( Σ ) {\displaystyle J\sim \phi ^{*}J\forall \phi \in \operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )} 여기서 Homeo ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} (\Sigma )} 는 위상동형사상 ϕ : Σ → Σ {\displaystyle \phi \colon \Sigma \to \Sigma } 들의 군이며, Homeo 0 ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )} 는 그 가운데 단위원(항등함수)을 포함하는 연결 성분인 부분군이다. 이 동치관계에 대한 동치류 J / ∼ = T Σ {\displaystyle {\mathcal {J}}/{\sim }={\mathcal {T}}_{\Sigma }} 는 자연스럽게 유한차원 다양체를 이루며, 또한 자연스러운 복소 구조가 존재한다. 복소 구조의 모듈라이 공간은 Homeo 0 ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )} 대신 Homeo ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} (\Sigma )} 를 사용하여 정의한다. 따라서, 0 → Homeo 0 ⁡ ( Σ ) ↪ Homeo ⁡ ( Σ ) ↠ MCG ⁡ ( Σ ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )\hookrightarrow \operatorname {Homeo} (\Sigma )\twoheadrightarrow \operatorname {MCG} (\Sigma )\to 0} 이므로, 복소 구조의 모듈러스 공간은 타이히뮐러 공간에 MCG ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {MCG} (\Sigma )} 에 대한 몫공간을 취한 오비폴드다. 여기서 MCG ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {MCG} (\Sigma )} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 사상류군(영어: mapping class)이다. 타이히뮐러 공간과 모듈러스 공간의 차이에 대하여, 윌리엄 서스턴은 다음과 같이 적었다. 종수가 g {\displaystyle g} 이고, n {\displaystyle n} 개의 점을 제거한 리만 곡면 Σ g , n {\displaystyle \Sigma _{g,n}} 의 타이히뮐러 공간을 T g , n {\displaystyle {\mathcal {T}}_{g,n}} 으로 쓰며, 복소 모듈러스 공간을 M g , n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}} 이라고 쓴다. 즉, M g , n = T g , n / MCG ⁡ ( Σ g , n ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}={\mathcal {T}}_{g,n}/\operatorname {MCG} (\Sigma _{g,n})} 이다. 타이히뮐러 공간 T g , 0 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{g,0}} 의 접공간은 다음과 같다. T Σ T g , 0 = H 1 ⁡ ( Σ ; T ) = H 0 ⁡ ( Σ ; 2 K ) ∗ {\displaystyle \mathrm {T} _{\Sigma }{\mathcal {T}}_{g,0}=\operatorname {H} ^{1}(\Sigma ;T)=\operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;2K)^{*}} 여기서 T = T + Σ {\displaystyle T=\mathrm {T} ^{+}\Sigma } 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 정칙 벡터 다발들의 선다발의 인자이다. K = − T = Ω 1 , 0 Σ {\displaystyle K=-T=\Omega ^{1,0}\Sigma } 는 리만 곡면의 표준 선다발의 인자이다. 두 번째 등식은 세르 쌍대성에 의한 것이다. 즉, 그 공변접공간은 이차 미분(선다발 2 K {\displaystyle 2K} 의 단면)으로 구성된다. g > 1 {\displaystyle g>1} 인 경우, 타이히뮐러 공간 T g , n {\displaystyle {\mathcal {T}}_{g,n}} 의 차원은 다음과 같다. dim ⁡ T g , n = 3 g − 3 + n {\displaystyle \dim {\mathcal {T}}_{g,n}=3g-3+n} n = 0 {\displaystyle n=0} 일 때의 유도: 타이히뮐러 공간의 차원은 그 공변접공간의 차원과 같다. dim ⁡ T g , 0 = dim ⁡ H 0 ⁡ ( Σ ; 2 K ) {\displaystyle \dim {\mathcal {T}}_{g,0}=\dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;2K)} g = 0 {\displaystyle g=0} 일 경우, 이는 리만 구이다. 그 위의 모든 선다발은 O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} 의 꼴이며, 그 가운데 대역적 단면을 갖는 것은 자명한 선다발 O ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(0)} 밖에 없다. 특히, dim ⁡ H 0 ⁡ ( Σ ; 2 K ) = 0 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;2K)=0} 이며, 타이히뮐러 공간은 한원소 공간이다. 리만-로흐 정리에 따라, dim ⁡ H 0 ( Σ ; − K ) − dim ⁡ H 0 ( Σ ; 2 K ) = deg ⁡ ( − K ) + 1 − g {\displaystyle \dim H^{0}(\Sigma ;-K)-\dim H^{0}(\Sigma ;2K)=\deg(-K)+1-g} 이다. 그런데 deg ⁡ ( − K ) = − deg ⁡ K = 2 − 2 g {\displaystyle \deg(-K)=-\deg K=2-2g} 이다. 즉, dim ⁡ M g = dim ⁡ H 0 ( Σ ; 2 K ) = 3 g − 3 + dim ⁡ H 0 ( Σ ; T ) {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{g}=\dim H^{0}(\Sigma ;2K)=3g-3+\dim H^{0}(\Sigma ;T)} 이다. 여기서 dim ⁡ H 0 ( Σ ; T ) {\displaystyle \dim H^{0}(\Sigma ;T)} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 정칙 벡터장들의 공간의 차원이다. g > 1 {\displaystyle g>1} 이면 이러한 벡터장이 존재하지 않으므로, dim ⁡ T g , 0 = 3 g − 3 {\displaystyle \dim {\mathcal {T}}_{g,0}=3g-3} 이다. g = 1 {\displaystyle g=1} 일 경우, 복소수 원환면 전체에 정의되는 정칙 벡터장은 상수 벡터장이며, 그 공간은 1차원이다. 따라서 dim ⁡ T 1 , 0 = 3 g − 3 + 1 = 1 {\displaystyle \dim {\mathcal {T}}_{1,0}=3g-3+1=1} 이다. g = 0 {\displaystyle g=0} 일 경우, − K = O ( deg ⁡ K ) = O ( 2 ) {\displaystyle -K={\mathcal {O}}(\deg K)={\mathcal {O}}(2)} 이며, dim ⁡ H 0 ⁡ ( O ( d ) ) = max { d + 1 , 0 } {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}({\mathcal {O}}(d))=\max\{d+1,0\}} 이므로 dim ⁡ H 0 ⁡ ( Σ ; − K ) = 3 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;-K)=3} 이다. 따라서 dim ⁡ T 0 , 0 = 3 g − 3 + 3 = 0 {\displaystyle \dim {\mathcal {T}}_{0,0}=3g-3+3=0} 이다. 타이히뮐러 공간 위에는 베유-페테르손 계량(영어: Weil–Petersson metric)이라는 켈러 구조가 존재한다. 이는 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다. 이 경우, 임의의 접벡터 ψ , χ ∈ T M g ≅ H 0 ( Σ ; K ) {\displaystyle \psi ,\chi \in T{\mathcal {M}}_{g}\cong H^{0}(\Sigma ;K)} 에 대하여, 베유-페테르손 계량은 다음과 같다. ⟨ ψ , χ ⟩ = [ Σ ] ⌢ ( ψ ⌣ χ ) = ∫ σ ψ ∧ χ {\displaystyle \langle \psi ,\chi \rangle =[\Sigma ]\frown (\psi \smile \chi )=\int _{\sigma }\psi \wedge \chi } 여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소의 선택에 의존하지 않는다. 타이히뮐러 공간에는 자연스러운 콤팩트화가 존재한다. 이는 윌리엄 서스턴이 도입하였고, 서스턴 콤팩트화(영어: Thurston compactification)라고 한다. 이 밖에도 다른 여러 콤팩트화를 정의할 수 있지만, 서스턴 콤팩트화에서는 모듈러 군의 작용이 콤팩트화 타이히뮐러 공간 전체에 연속적으로 작용하게 되므로 가장 많이 쓰인다. 모듈러스 공간 M g , n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}} 의 경우, 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(영어: Deligne–Mumford compactification) 또는 크누드센-들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(영어: Knudsen–Deligne–Mumford compactification) 또는 안정 콤팩트화(영어: stable compactification)가 존재한다. 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화 모듈러스 공간 위에서, 베유-페테르손 계량은 완비 계량이다. 종수가 0인 리만 곡면은 리만 구면 C ^ = C ∩ { ∞ ^ } {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cap \{{\hat {\infty }}\}} 이 유일하다. 즉, 복소 모듈러스 공간 M 0 = { ∙ } {\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}=\{\bullet \}} 은 하나의 점만을 포함한다. 타이히뮐러 공간 T 0 , 0 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{0,0}} , T 0 , 1 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{0,1}} , T 0 , 2 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{0,2}} , T 0 , 3 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{0,3}} 은 모두 하나의 점만을 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여, 임의의 3개의 점을 다른 임의의 점으로 보낼 수 있기 때문이다. 즉, 서로 다른 3개의 점 z 1 , z 2 , z 3 ∈ C ^ {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in {\hat {\mathbb {C} }}} 이 주어진다면, 다음과 같은 뫼비우스 변환을 사용해 이들을 각각 0 , 1 , ∞ ^ ∈ C ^ {\displaystyle 0,1,{\hat {\infty }}\in {\hat {\mathbb {C} }}} 로 보낼 수 있다. z ↦ ( z − z 1 ) ( z 2 − z 3 ) ( z − z 3 ) ( z 2 − z 1 ) {\displaystyle z\mapsto {\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}} T 0 , 4 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{0,4}} 는 1차원으로, 복소 상반평면 H {\displaystyle \mathbb {H} } 와 동형이다. 이 경우 복소 모듈러스 공간은 M 0 , 4 ≅ C ^ ∖ { 0 , 1 , ∞ ^ } {\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,4}\cong {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\hat {\infty }}\}} 이다. 여기에 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화를 가하면 삭제된 점들이 추가돼 M ^ 0 , 4 ≅ C ^ {\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{0,4}\cong {\hat {\mathbb {C} }}} 이 된다. 일반적으로, 모듈러스 공간 M 0 , n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,n}} 은 다음과 같다. M 0 , n = ( C ^ n ∖ Δ n ) / PGL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,n}=({\hat {\mathbb {C} }}^{n}\setminus \Delta _{n})/\operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )} 여기서 Δ n = { ( z 1 , … , z i , … , z n ) ∈ C ^ n : ∃ i ≠ j : z i = z j } {\displaystyle \Delta _{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{i},\dots ,z_{n})\in {\hat {\mathbb {C} }}^{n}\colon \exists i\neq j\colon z_{i}=z_{j}\}} 는 두 개 이상의 좌표가 겹치는 점들의 집합이다. PGL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )} 는 C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} 에 작용하는 뫼비우스 변환들의 군이며, C ^ n {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}^{n}} 에는 대각형(diagonal)으로 작용한다. 종수 1의 리만 곡면은 (비특이 복소) 타원 곡선이다. 이는 복소 평면에 2차원 격자에 대한 몫공간을 취해 얻을 수 있다. z ↦ z + n 1 ω 1 + n 2 ω 2 {\displaystyle z\mapsto z+n_{1}\omega _{1}+n_{2}\omega _{2}} ( n 1 , n 2 ∈ Z {\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} } ) 복소 구조는 두 주기의 비 τ = ω 2 / ω 1 {\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}} 에만 의존하게 된다. 이 경우, 복소 구조 모듈러스 공간 M 0 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}} 은 상반평면 H {\displaystyle \mathbb {H} } 에 다음과 같은 몫공간을 취한 오비폴드이다. τ ∼ a τ + b c τ + d {\displaystyle \tau \sim {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}} ( ( a b c d ) ∈ SL ⁡ ( 2 , Z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )} ) 이 경우, 사상류군 MCG ⁡ ( T 2 ) = SL ⁡ ( 2 , Z ) / ( M ∼ − M ) = PSL ⁡ ( 2 , Z ) = Γ {\displaystyle \operatorname {MCG} (T^{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )/(M\sim -M)=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )=\Gamma } 은 모듈러 군이라고 한다. 이 경우 타이히뮐러 공간은 물론 T 1 , 0 = H {\displaystyle {\mathcal {T}}_{1,0}=\mathbb {H} } 이다. 이 몫공간은 다음과 같은 기본 영역(基本領域, 영어: fundamental domain)으로 나타낼 수 있다. R = { τ ∈ H : | τ | > 1 , | Re ⁡ τ | < 1 / 2 } {\displaystyle R=\{\tau \in \mathbb {H} \colon |\tau |>1,|\operatorname {Re} \tau |<1/2\}} 타원 곡선 모듈라이 공간 M 1 ≅ H / Γ {\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}\cong \mathbb {H} /\Gamma } 는 위상수학적으로 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 와 위상동형이다. 여기에 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)을 통해 S 2 {\displaystyle S^{2}} 와 위상동형인 콤팩트화 모듈러스 공간 M ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{1}} 을 정의할 수 있다. 이 경우, 추가된 점은 기본 영역에서 z = + i ∞ {\displaystyle z=+i\infty } 에 해당한다. 이 경우, 위상동형사상은 j-불변량 j : M ^ 1 → C ^ {\displaystyle j\colon {\hat {\mathcal {M}}}_{1}\to {\hat {\mathbb {C} }}} 으로 주어진다. T 1 , 0 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{1,0}} , T 1 , 1 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{1,1}} 은 모두 복소 상반평면 H {\displaystyle \mathbb {H} } 와 동형이다. 종수 2 이상의 경우, 차원 공식에 따라서 복소 모듈러스 공간 및 타이히뮐러 공간은 유한차원이다. 이 경우, 그 사상류군은 타이히뮐러 모듈러 군(영어: Teichmüller modular group)이라고 한다. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology Wolpert, Scott A. 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