실베스터 행렬

가환대수학에서 실베스터 행렬(Sylvester行列, 영어: Sylvester matrix)은 두 다항식의 공약 다항식에 대한 정보를 담고 있는 정사각 행렬이다. 가환환 R {\displaystyle R} 계수를 갖는 두 0이 아닌 다항식 p , q ∈ R [ x ] {\displaystyle p,q\in R[x]} 의 실베스터 행렬은 ( deg ⁡ p + deg ⁡ q ) × ( deg ⁡ p + deg ⁡ q ) {\displaystyle (\deg p+\deg q)\times (\deg p+\deg q)} 정사각 행렬이다. 구체적으로, 만약 p ( x ) = ∑ i = 0 m p i x i {\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{m}p_{i}x^{i}} q ( x ) = ∑ i = 0 n q i x i {\displaystyle q(x)=\sum _{i=0}^{n}q_{i}x^{i}} p m q n ≠ 0 {\displaystyle p_{m}q_{n}\neq 0} 라면, p {\displaystyle p} 와 q {\displaystyle q} 의 실베스터 행렬은 다음과 같은 ( m + n ) × ( m + n ) {\displaystyle (m+n)\times (m+n)} 행렬이다. S ( p , q ) = ( p m p m − 1 ⋯ p 1 p 0 0 ⋯ 0 0 0 p m p m − 1 ⋯ p 1 p 0 0 ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 p m p m − 1 ⋯ p 1 p 0 0 0 0 ⋯ 0 p m p m − 1 ⋯ p 1 p 0 q n q n − 1 ⋯ q 1 q 0 0 ⋯ 0 0 0 q n q n − 1 ⋯ q 1 q 0 0 ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 q n q n − 1 ⋯ q 1 q 0 0 0 0 ⋯ 0 q n q n − 1 ⋯ q 1 q 0 ) {\displaystyle S(p,q)={\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0&0\\0&p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0\\0&0&\cdots &0&p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}\\q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0&0\\0&q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0\\0&0&\cdots &0&q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}} 가환환 계수를 갖는 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식은 두 다항식의 종결식과 같다. 가환환 계수의 다항식의 판별식은 자기 자신과 그 도함수의 종결식을 사용하여 나타낼 수 있으므로, 역시 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있다. 두 다항식 p , q ∈ R [ x ] {\displaystyle p,q\in R[x]} 에 대하여, deg ⁡ ( gcd ( p , q ) ) = deg ⁡ p + deg ⁡ q − rank ⁡ S ( p , q ) {\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=\deg p+\deg q-\operatorname {rank} S(p,q)} 이다. 여기서 rank {\displaystyle \operatorname {rank} } 는 행렬의 계수이다. 특히, 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 및 두 다항식 p , q ∈ K [ x ] {\displaystyle p,q\in K[x]} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 실베스터 행렬이 가역 행렬이다. 종결식이 0이다. 최대 공약수가 0차 다항식이 아니다. 적어도 하나 이상의 근을 공유한다. 제임스 조지프 실베스터가 도입하였다. 실베스터는 판별식을 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타내는 정리를 증명했다. 종결식 에티엔 베주 (한국수학사학회지 The Korean Journal for History of Mathematics 제24권 제4호 (2011년 11월), 143–155 방정식의 판별식과 교육과정에서 활용 방안 Discriminant of Polynomial in highschool mathematics curriculum 최은미 Eunmi Choi)https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO201134953224676.pdf (The London and Edinburgh Philosophical Magazine and Journal of Science,Richard and John E. Taylor, 1840)Sylvester J. J. XXIII A method of determining by mere inspection the derivatives from two equations of any degree. Philosophical Magazine, 16 (1840), 132–135. Google Books - https://books.google.co.kr/books?id=_HPkAAAAMAAJ&q=The+London+and+Edinburgh+Philosophical+Magazine+and+Journal+of+Science+1840&dq=The+London+and+Edinburgh+Philosophical+Magazine+and+Journal+of+Science+1840&hl=ko&sa=X&ved=2ahUKEwijm8Ch5LnwAhVD7WEKHcDUC_s4ChDoATADegQIAxAC (On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure, Sylvester, J. J. Philosophical Transactions, 143 (1853), 407–548) https://archive.org/details/jstor-108572/ Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylvester matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.