곱 규칙

미적분학에서 곱 규칙(-規則, 영어: product rule) 또는 곱의 미분법 또는 라이프니츠 법칙(영어: Leibniz rule)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다. 만약 두 함수 f , g : I → R {\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} } 가 x 0 ∈ I ⊆ R {\displaystyle x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R} } 에서 미분 가능하다면, f g {\displaystyle fg} 역시 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다. ( f g ) ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) + f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) {\displaystyle (fg)'(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})} 이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다. d d x ( f g ) ( x 0 ) = g d f d x ( x 0 ) + f d g d x ( x 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)(x_{0})=g{\frac {df}{dx}}(x_{0})+f{\frac {dg}{dx}}(x_{0})} 선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다. d ( f g ) | x = x 0 = ( g d f + f d g ) | x = x 0 {\displaystyle d(fg)|_{x=x_{0}}=(gdf+fdg)|_{x=x_{0}}} 만약 함수 f 1 , … , f k : I → R {\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}\colon I\to \mathbb {R} } 가 x 0 ∈ I ⊆ R {\displaystyle x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R} } 에서 미분 가능하다면, f 1 f 2 ⋯ f k {\displaystyle f_{1}f_{2}\cdots f_{k}} 의 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서의 미분은 다음과 같다. ( f 1 f 2 ⋯ f k ) ′ ( x 0 ) = f 1 ′ ( x 0 ) f 2 ( x 0 ) ⋯ f k ( x 0 ) + f 1 ( x 0 ) f 2 ′ ( x 0 ) ⋯ f k ( x 0 ) + ⋯ f 1 ( x 0 ) f 2 ( x 0 ) ⋯ f k ′ ( x 0 ) {\displaystyle (f_{1}f_{2}\cdots f_{k})'(x_{0})=f_{1}'(x_{0})f_{2}(x_{0})\cdots f_{k}(x_{0})+f_{1}(x_{0})f_{2}'(x_{0})\cdots f_{k}(x_{0})+\cdots f_{1}(x_{0})f_{2}(x_{0})\cdots f_{k}'(x_{0})} 보다 일반적으로, 만약 f , g {\displaystyle f,g} 가 n {\displaystyle n} 계 도함수를 갖는다면, f g {\displaystyle fg} 역시 n {\displaystyle n} 계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.) ( f g ) ( n ) ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) ( x ) g ( k ) ( x ) {\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)} 만약 f 1 , f 2 , … , f k {\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc ,f_{k}} 가 n {\displaystyle n} 계 도함수를 갖는다면, f 1 f 2 ⋯ f k {\displaystyle f_{1}f_{2}\cdots f_{k}} 의 n {\displaystyle n} 계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.) ( f 1 f 2 ⋯ f k ) ( n ) ( x ) = ∑ n 1 , n 2 , … , n k ≥ 0 n 1 + n 2 + ⋯ + n k = n n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! f 1 ( n 1 ) ( x ) f 2 ( n 2 ) ( x ) ⋯ f k ( n k ) ( x ) {\displaystyle (f_{1}f_{2}\cdots f_{k})^{(n)}(x)=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}\geq 0}^{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}=n}{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{k}!}}f_{1}^{(n_{1})}(x)f_{2}^{(n_{2})}(x)\cdots f_{k}^{(n_{k})}(x)} 두 함수 f , g : U → R {\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {R} } 가 x 0 ∈ U ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에서 변수 x i {\displaystyle x_{i}} 에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면 f g {\displaystyle fg} 역시 그러하며, 그 x i {\displaystyle x_{i}} 에 대한 편미분은 다음과 같다. ∂ ∂ x i ( f g ) ( x 0 ) = g ( x 0 ) ∂ f ∂ x i ( x 0 ) + f ( x 0 ) ∂ g ∂ x i ( x 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(fg)(\mathbf {x} _{0})=g(\mathbf {x} _{0}){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} _{0})+f(\mathbf {x} _{0}){\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} _{0})} 함수 f를 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)h(x)} 로 정의한다. 이때 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 를 도함수의 정의에 따라 구하면, f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}} = lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x ) Δ x {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}} = lim Δ x → 0 g ( x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x ) + g ( x + Δ x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x + Δ x ) Δ x {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}} = lim Δ x → 0 g ( x ) ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) + h ( x + Δ x ) ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) Δ x {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}} = lim Δ x → 0 ( g ( x ) h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x + h ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x ) {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}\left(g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}+h(x+\Delta x){\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)} 여기에서 h ( x ) {\displaystyle h(x)} 는 x {\displaystyle x} 에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다. lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) = h ( x ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)} 따라서 다음의 결과가 나온다. f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 [ g ( x ) ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x ) + h ( x + Δ x ) ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x ) ] {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)\right]} = [ lim Δ x → 0 g ( x ) ] [ lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x ] + [ lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) ] [ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x ] {\displaystyle =\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]} = g ( x ) h ′ ( x ) + h ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle =g(x)h'(x)+h(x)g'(x)} 고계도함수 테일러급수 연쇄법칙