요네다 보조정리

범주론에서 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 A ∈ C {\displaystyle A\in {\mathcal {C}}} 에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 ( Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 는 집합의 범주). hom ⁡ ( A , − ) : C → Set {\displaystyle \hom(A,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } hom ⁡ ( A , − ) : B ↦ hom ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \hom(A,-)\colon B\mapsto \hom(A,B)} 이 함자에서, 사상 f : B → C {\displaystyle f\colon B\to C} 의 상은 다음과 같다. hom ⁡ ( A , f ) : hom ⁡ ( A , B ) → hom ⁡ ( A , C ) {\displaystyle \hom(A,f)\colon \hom(A,B)\to \hom(A,C)} hom ⁡ ( A , f ) : g ↦ f ∘ g {\displaystyle \hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g} 마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 ( op {\displaystyle ^{\operatorname {op} }} 는 반대 범주). hom ⁡ ( − , A ) : C op → Set {\displaystyle \hom(-,A)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } hom ⁡ ( − , A ) : B ↦ hom ⁡ ( B , A ) {\displaystyle \hom(-,A)\colon B\mapsto \hom(B,A)} hom ⁡ ( f , A ) : hom ⁡ ( C , A ) → hom ⁡ ( B , A ) ( f : B → C ) {\displaystyle \hom(f,A)\colon \hom(C,A)\to \hom(B,A)\qquad (f\colon B\to C)} hom ⁡ ( f , A ) : g ↦ g ∘ f {\displaystyle \hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f} 그리고 함자 F : C → Set {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상 A ∈ C {\displaystyle A\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다. Nat ⁡ ( hom ⁡ ( A , − ) , F ) ≅ F ( A ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\cong F(A)} 이 때, Nat ⁡ ( hom ⁡ ( A , − ) , F ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)} 은 모든 자연 변환 Φ : hom ⁡ ( A , − ) ⇒ F {\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F} 들의 집합이다. F ( A ) ∈ Set {\displaystyle F(A)\in \operatorname {Set} } 는 A {\displaystyle A} 의 상이다. 위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다. Φ ↦ Φ A ( id A ) ∈ F ( A ) {\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)} 이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 ( Set C {\displaystyle \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}} 는 함자 C → Set {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 와 자연 변환의 범주).:61 Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , − ) , − ) : C × Set C → Set {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , − ) , − ) : ( A , F ) ↦ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( A , − ) , F ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)} − ( − ) : C × Set C → Set {\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } − ( − ) : ( A , F ) ↦ F ( A ) {\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)} 즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 ( f : A → B , Φ : F ⇒ G ) {\displaystyle (f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)} 의 상은 다음과 같다. Nat ⁡ ( hom ⁡ ( f , − ) , Φ ) : Nat ⁡ ( hom ⁡ ( A , − ) , F ) → Nat ⁡ ( hom ⁡ ( B , − ) , G ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(B,-),G)} Nat ⁡ ( hom ⁡ ( f , − ) , Φ ) = Nat ⁡ ( hom ⁡ ( B , − ) , Φ ) ∘ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( f , − ) , F ) = Nat ⁡ ( hom ⁡ ( f , − ) , G ) ∘ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( A , − ) , Φ ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )} Nat ⁡ ( hom ⁡ ( f , − ) , Φ ) : Ψ ↦ Φ ∘ Ψ ∘ hom ⁡ ( f , − ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)} 두 번째 함자에서, 사상 ( f : A → B , Φ : F ⇒ G ) {\displaystyle (f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)} 의 상은 다음과 같다. Φ f : F ( A ) → G ( B ) ( f : A → B , Φ : F ⇒ G ) {\displaystyle \Phi _{f}\colon F(A)\to G(B)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)} Φ f = Φ B ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ Φ A {\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}} 마찬가지로, 모든 함자 F : C op → Set {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 및 대상 A ∈ C {\displaystyle A\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다. Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , A ) , F ) ≅ F ( A ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)\cong F(A)} 이 때 Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , A ) , F ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)} 는 자연 변환 Φ : hom ⁡ ( − , A ) ⇒ F {\displaystyle \Phi \colon \hom(-,A)\Rightarrow F} 들의 집합이다. F ( A ) {\displaystyle F(A)} 는 A {\displaystyle A} 의 상이다. 이 일대일 대응 Φ ↦ Φ A ( id A ) ∈ F ( A ) {\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)} 들은 함자 Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , − ) , − ) ′ : C op × Set C op → Set {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} } Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , − ) , − ) ′ : ( A , F ) ↦ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , A ) , F ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)} Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , f ) , Φ ) : Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , B ) , F ) → Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , A ) , G ) ( f : A → B , Φ : F ⇒ G ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(-,B),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(-,A),G)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)} Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , f ) , Φ ) = Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , A ) , Φ ) ∘ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , f ) , F ) = Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , f ) , G ) ∘ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( B , − ) , Φ ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(-,A),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(-,f),F)=\operatorname {Nat} (\hom(-,f),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )} Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , f ) , Φ ) : Ψ ↦ Φ ∘ Ψ ∘ hom ⁡ ( − , f ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(-,f)} 와 − ( − ) ′ : C op × Set C op → Set {\displaystyle -(-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} } − ( − ) ′ : ( A , F ) ↦ F ( A ) {\displaystyle -(-)'\colon (A,F)\mapsto F(A)} Φ f : F ( B ) → G ( A ) ( f : A → B , Φ : F ⇒ G ) {\displaystyle \Phi _{f}\colon F(B)\to G(A)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)} Φ f = Φ A ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ Φ B {\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{A}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{B}} 사이의 자연 동형을 이룬다. 쌍대성에 따라, 함자 F {\displaystyle F} 가 C → Set {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 인 경우를 증명하면 충분하다. ( F : C op → Set {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 의 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 그 반대 범주로 대체한다.) 임의의 자연 변환 Φ : hom ⁡ ( A , − ) ⇒ F {\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F} 에 대해 Φ A ( id A ) {\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})} 를 생각할 수 있다. Φ A {\displaystyle \Phi _{A}} 는 A → A {\displaystyle A\to A} 함자를 F ( A ) {\displaystyle F(A)} 의 원소로 옮겨야 하고, id A : A → A {\displaystyle \operatorname {id} _{A}\colon A\to A} 이므로, Φ A ( id A ) ∈ F ( A ) {\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)} 임을 알 수 있다. 이제, 모든 u ∈ F ( A ) {\displaystyle u\in F(A)} 에 대해 Φ A ( id A ) = u {\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u} 인 유일한 자연 변환 Φ {\displaystyle \Phi } 를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다. 자연 변환 Φ X ( f ) = ( F f ) u {\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u} 은 자명하게 Φ A ( id A ) = u {\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u} 를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, Φ A ( id A ) = u {\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u} 를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, u ∈ F ( A ) {\displaystyle u\in F(A)} 의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다. 국소적으로 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 A ∈ C {\displaystyle A\in {\mathcal {C}}} 와 함자 F = hom ⁡ ( − , B ) : C op → Set {\displaystyle F=\hom(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다. hom ⁡ ( A , B ) ≅ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( − , A ) , hom ⁡ ( − , B ) ) {\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(-,A),\hom(-,B))} f ↦ hom ⁡ ( − , f ) {\displaystyle f\mapsto \hom(-,f)} 사실, 이는 함자 범주 Set C op {\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}} 로 가는 함자 hom ⁡ ( − , − ) : C → Set C op {\displaystyle \hom(-,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}} hom ⁡ ( − , − ) : A ↦ hom ⁡ ( − , A ) {\displaystyle \hom(-,-)\colon A\mapsto \hom(-,A)} hom ⁡ ( − , − ) : f ↦ hom ⁡ ( − , f ) {\displaystyle \hom(-,-)\colon f\mapsto \hom(-,f)} 를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 그 성질 그대로 Set C op {\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}} 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장([米田]埋藏, 영어: Yoneda embedding)이라고 부른다. 마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수 hom ⁡ ( A , B ) ≅ Nat ⁡ ( hom ⁡ ( B , − ) , hom ⁡ ( A , − ) ) {\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\hom(A,-))} f ↦ hom ⁡ ( f , − ) {\displaystyle f\mapsto \hom(f,-)} 는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다. hom ⁡ ( − , − ) ′ : C op → Set C {\displaystyle \hom(-,-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}} hom ⁡ ( − , − ) ′ : A ↦ hom ⁡ ( A , − ) {\displaystyle \hom(-,-)'\colon A\mapsto \hom(A,-)} hom ⁡ ( − , − ) ′ : f ↦ hom ⁡ ( f , − ) {\displaystyle \hom(-,-)'\colon f\mapsto \hom(f,-)} 일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-0-387-98403-2. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  Nobuo, Yoneda (1954). “On the homology theory of modules”. 《Journal of the Faculty of Science of the University of Tokyo. Section I》 (영어) 7: 193–227. Zbl 0058.01902.  “Grothendieck functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Representable functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Yoneda lemma”. 《nLab》 (영어).  “Yoneda embedding”. 《nLab》 (영어).  “Representable functor”. 《nLab》 (영어).  “Enriched Yoneda lemma”. 《nLab》 (영어).  표현 가능 함자