미분법

이 문서는 미분표에 관한 내용이다. 이 문단에선 라그랑주의 표기법이 사용되었다. f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 를 미분 가능한 함수라 하면 (선형성) ( c f ) ′ = c f ′ {\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'} ( c {\displaystyle c} 는 상수) ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'} ( f − g ) ′ = f ′ − g ′ {\displaystyle \left({f-g}\right)'=f'-g'} (곱의 법칙) ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'} (연쇄 법칙) ( f ∘ g ) ′ = ( f ′ ∘ g ) g ′ {\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'} 조금 더 넓게 다음까지도 기본 공식으로 취급하기도 한다. (역수 법칙) ( 1 f ) ′ = − f ′ f 2 {\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'=-{\frac {f'}{f^{2}}}} (몫의 법칙) ( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}}  (단, g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0} ) (역함수 법칙) f ( g ( y ) ) = y {\displaystyle f(g(y))=y} 라 하면 g ′ = 1 f ′ ∘ f − 1 {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}} d d x c = 0 {\displaystyle {d \over dx}c=0} d d x x = 1 {\displaystyle {d \over dx}x=1} d d x | x | = x | x | = sgn ⁡ x , x ≠ 0 {\displaystyle {d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0} d d x x c = c x c − 1 {\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}} d d x x = 1 2 x {\displaystyle {d \over dx}{\sqrt {x}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}} d d x ( 1 x ) = − 1 x 2 {\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x}\right)=-{1 \over x^{2}}} d d x a f ( x ) = a f ( x ) f ′ ( x ) ln ⁡ a , a > 0 {\displaystyle {d \over dx}a^{f(x)}={a^{f(x)}f'(x)\ln a},\qquad a>0} d d x c x = c x ln ⁡ c , c > 0 {\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0} d d x e x = e x {\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}} d d x log c ⁡ x = 1 x ln ⁡ c , c > 0 , c ≠ 1 {\displaystyle {d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1} d d x ln ⁡ x = 1 x {\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}} d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x} d d x cos ⁡ x = − sin ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x} d d x tan ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\tan x={1 \over \cos ^{2}x}=\sec ^{2}x} d d x csc ⁡ x = − 1 tan ⁡ x sin ⁡ x = − cot ⁡ x csc ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\csc x=-{1 \over \tan x\sin x}=-\cot x\csc x} d d x sec ⁡ x = tan ⁡ x sec ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\sec x=\tan x\sec x} d d x cot ⁡ x = − 1 sin 2 ⁡ x = − csc 2 ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cot x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-\csc ^{2}x} d d x sin − 1 ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\sin ^{-1}x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x cos − 1 ⁡ x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\cos ^{-1}x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x tan − 1 ⁡ x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\tan ^{-1}x={1 \over 1+x^{2}}} d d x csc − 1 ⁡ x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\csc ^{-1}x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x sec − 1 ⁡ x = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\sec ^{-1}x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x cot − 1 ⁡ x = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\cot ^{-1}x={-1 \over 1+x^{2}}} d d x sinh ⁡ x = cosh ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x} d d x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x} d d x tanh ⁡ x = sech 2 x {\displaystyle {d \over dx}\tanh x={\mbox{sech}}^{2}\,x} d d x csch x = − coth x csch x {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{csch}}\,x=-\,{\mbox{coth}}\,x\,{\mbox{csch}}\,x} d d x sech x = − tanh ⁡ x sech x {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{sech}}\,x=-\tanh x\,{\mbox{sech}}\,x} d d x coth x = − csch 2 x {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{coth}}\,x=-\,{\mbox{csch}}^{2}\,x} d d x sinh − 1 ⁡ x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {d \over dx}\sinh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}} d d x cosh − 1 ⁡ x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\cosh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x tanh − 1 ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\tanh ^{-1}x={1 \over 1-x^{2}}} d d x csch − 1 x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}{\mbox{csch}}^{-1}\,x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x sech − 1 x = 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}{\mbox{sech}}^{-1}\,x={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x coth − 1 x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}{\mbox{coth}}^{-1}\,x={1 \over 1-x^{2}}} 적분표