카라테오도리 확장 정리

측도론에서 카라테오도리 확장 정리(Carathéodory擴張定理, 영어: Carathéodory’s extension theorem) 또는 한-콜모고로프 정리(Hahn-Колмого́ров定理, 영어: Hahn–Kolmogorov theorem)는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다. 다음이 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} 집합 반환(集合半環, 영어: semiring of sets) Σ 0 ⊆ P ( X ) {\displaystyle \Sigma _{0}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} . 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다. ∅ ∈ Σ 0 {\displaystyle \varnothing \in \Sigma _{0}} (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 A , B ∈ Σ 0 {\displaystyle A,B\in \Sigma _{0}} 에 대하여, A ∩ B ∈ Σ 0 {\displaystyle A\cap B\in \Sigma _{0}} 임의의 A , B ∈ Σ 0 {\displaystyle A,B\in \Sigma _{0}} 에 대하여, A ∖ B = ⋃ i = 1 n C i {\displaystyle \textstyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}} 인 유한 개의 서로소 집합 C 1 , … , C n ∈ Σ 0 {\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in \Sigma _{0}} 이 존재한다. 준측도(準測度, 영어: premeasure) μ 0 : Σ 0 → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu _{0}\colon \Sigma _{0}\to [0,\infty ]} . 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다. μ 0 ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu _{0}(\varnothing )=0} (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합 A 1 , A 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}} 에 대하여, 만약 ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ Σ 0 {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \Sigma _{0}} 이라면, μ 0 ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ) {\displaystyle \textstyle \mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})} (단조성) 특히, 만약 A , B ∈ Σ 0 {\displaystyle A,B\in \Sigma _{0}} 이며 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 라면, μ 0 ( A ) ≤ μ 0 ( B ) {\displaystyle \textstyle \mu _{0}(A)\leq \mu _{0}(B)} 이다. (아래 증명 참고) (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 A 1 , A 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}} 이며 ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ Σ 0 {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \Sigma _{0}} 이라면, μ 0 ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ) {\displaystyle \textstyle \mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})} 이다. (아래 증명 참고) 또한, μ ∗ : P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} μ ∗ : A ↦ inf { ∑ i = 0 ∞ μ 0 ( A i ) : A ⊆ ⋃ i = 0 ∞ A i , A i ∈ Σ 0 } ( A ⊆ X ) {\displaystyle \mu ^{*}\colon A\mapsto \inf \left\{\sum _{i=0}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\colon A\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\;A_{i}\in \Sigma _{0}\right\}\qquad (A\subseteq X)} 가 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 으로 유도된 외측도라고 하고, Σ = { A ⊆ X : ∀ S ⊆ X : μ ∗ ( S ) = μ ∗ ( S ∩ A ) + μ ∗ ( S ∖ A ) } {\displaystyle \Sigma =\{A\subseteq X\colon \forall S\subseteq X\colon \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap A)+\mu ^{*}(S\setminus A)\}} 가 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} -카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. 카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음이 성립한다. Σ {\displaystyle \Sigma } 는 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 시그마 대수를 이룬다. μ = μ ∗ | Σ {\displaystyle \mu =\mu ^{*}|_{\Sigma }} 는 완비 측도를 이룬다. Σ 0 ⊆ Σ {\displaystyle \Sigma _{0}\subseteq \Sigma } (따라서 σ ( Σ 0 ) ⊆ Σ {\displaystyle \sigma (\Sigma _{0})\subseteq \Sigma } ) μ | Σ 0 = μ 0 {\displaystyle \mu |_{\Sigma _{0}}=\mu _{0}} 만약 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 이 시그마 유한 준측도라면 (즉, X = ⋃ i = 1 ∞ A i {\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}} 이며 ∀ i ∈ Z + : μ 0 ( A i ) < ∞ {\displaystyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \mu _{0}(A_{i})<\infty } 인 A 1 , A 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}} 이 존재한다면), μ | σ ( Σ 0 ) {\displaystyle \mu |_{\sigma (\Sigma _{0})}} 은 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 을 확장하여 얻을 수 있는 σ ( Σ 0 ) {\displaystyle \sigma (\Sigma _{0})} 위의 유일한 측도이다. 여기서 σ ( Σ 0 ) {\displaystyle \sigma (\Sigma _{0})} 은 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 을 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 우선, μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게 μ ∗ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0} 이며, 또한 만약 A ⊆ B ⊆ X {\displaystyle A\subseteq B\subseteq X} 라면 μ ∗ ( A ) ≤ μ ∗ ( B ) {\displaystyle \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)} 이다. 따라서 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 A 1 , A 2 , ⋯ ⊆ X {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 및 i ∈ Z + {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, ∑ j = 1 ∞ μ 0 ( A i j ) ≤ μ ∗ ( A i ) + ϵ 2 i {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{ij})\leq \mu ^{*}(A_{i})+{\frac {\epsilon }{2^{i}}}} 이며 A i ⊆ ⋃ j = 1 ∞ A i j {\displaystyle \textstyle A_{i}\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }A_{ij}} 인 A i 1 , A i 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle A_{i1},A_{i2},\dots \in \Sigma _{0}} 이 존재한다. 그렇다면 ⋃ i = 1 ∞ A i ⊆ ⋃ i = 1 ∞ ⋃ j = 1 ∞ A i j {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{ij}} 이므로, μ ∗ ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ μ 0 ( A i j ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ ∗ ( A i ) + ϵ {\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{ij})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i})+\epsilon } 이다. μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} -카라테오도리 가측 집합의 집합 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 시그마 대수라는 사실과 μ = μ ∗ | Σ {\displaystyle \mu =\mu ^{*}|_{\Sigma }} 는 그 위의 완비 측도라는 사실은 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, Σ {\displaystyle \Sigma } 가 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게 ∅ ∈ Σ {\displaystyle \varnothing \in \Sigma } 이며, 임의의 A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } 에 대하여 X ∖ A ∈ Σ {\displaystyle X\setminus A\in \Sigma } 이다. 따라서 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 A , B ∈ Σ {\displaystyle A,B\in \Sigma } 및 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, μ ∗ ( S ) = μ ∗ ( S ∩ A ) + μ ∗ ( S ∖ A ) = μ ∗ ( ( S ∩ A ) ∩ B ) + μ ∗ ( ( S ∩ A ) ∖ B ) + μ ∗ ( ( S ∖ A ) ∩ B ) + μ ∗ ( ( S ∖ A ) ∖ B ) ) = μ ∗ ( S ∩ ( A ∩ B ) ) + μ ∗ ( S ∩ ( A ∖ B ) ) + μ ∗ ( S ∩ ( B ∖ A ) ) + μ ∗ ( S ∖ ( A ∪ B ) ) ≥ μ ∗ ( S ∩ ( A ∪ B ) ) + μ ∗ ( S ∖ ( A ∪ B ) ) ≥ μ ∗ ( S ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{*}(S)&=\mu ^{*}(S\cap A)+\mu ^{*}(S\setminus A)\\&=\mu ^{*}((S\cap A)\cap B)+\mu ^{*}((S\cap A)\setminus B)+\mu ^{*}((S\setminus A)\cap B)+\mu ^{*}((S\setminus A)\setminus B))\\&=\mu ^{*}(S\cap (A\cap B))+\mu ^{*}(S\cap (A\setminus B))+\mu ^{*}(S\cap (B\setminus A))+\mu ^{*}(S\setminus (A\cup B))\\&\geq \mu ^{*}(S\cap (A\cup B))+\mu ^{*}(S\setminus (A\cup B))\\&\geq \mu ^{*}(S)\end{aligned}}} 이므로, A ∪ B ∈ Σ {\displaystyle A\cup B\in \Sigma } 이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각 A , B ∈ Σ {\displaystyle A,B\in \Sigma } 때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 가산 준가법성 때문이다. 이제, Σ {\displaystyle \Sigma } 가 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합 A 1 , A 2 , … , ∈ Σ {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,\in \Sigma } 및 임의의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, μ ∗ ( S ) = μ ∗ ( S ∩ ⋃ i = 1 n A i ) + μ ∗ ( S ∖ ⋃ i = 1 n A i ) ≥ μ ∗ ( S ∩ ⋃ i = 1 n A i ) + μ ∗ ( S ∖ ⋃ i = 1 ∞ A i ) = μ ∗ ( S ∩ A n ) + μ ∗ ( S ∩ ⋃ i = 1 n − 1 A i ) + μ ∗ ( S ∖ ⋃ i = 1 ∞ A i ) = μ ∗ ( S ∩ A n ) + μ ∗ ( S ∩ A n − 1 ) + μ ∗ ( S ∩ ⋃ i = 1 n − 2 A i ) + μ ∗ ( S ∖ ⋃ i = 1 ∞ A i ) ⋮ = ∑ i = 1 n μ ∗ ( S ∩ A i ) + μ ∗ ( S ∖ ⋃ i = 1 ∞ A i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{*}(S)&=\mu ^{*}\left(S\cap \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(S\setminus \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\\&\geq \mu ^{*}\left(S\cap \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\\&=\mu ^{*}(S\cap A_{n})+\mu ^{*}\left(S\cap \bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\\&=\mu ^{*}(S\cap A_{n})+\mu ^{*}(S\cap A_{n-1})+\mu ^{*}\left(S\cap \bigcup _{i=1}^{n-2}A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\\&\vdots \\&=\sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(S\cap A_{i})+\mu ^{*}\left(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\end{aligned}}} 이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각 ⋃ i = 1 n A i , A n ∈ Σ {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i},A_{n}\in \Sigma } 때문이며, 둘째 줄의 등호는 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 단조성 때문이다. 이에 n {\displaystyle n} 에 대한 극한을 취하면 μ ∗ ( S ) ≥ ∑ i = 1 ∞ μ ∗ ( S ∩ A i ) + μ ∗ ( S ∖ ⋃ i = 1 ∞ A i ) ≥ μ ∗ ( S ∩ ⋃ i = 1 ∞ A i ) + μ ∗ ( S ∖ ⋃ i = 1 ∞ A i ) ≥ μ ∗ ( S ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{*}(S)&\geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(S\cap A_{i})+\mu ^{*}\left(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\\&\geq \mu ^{*}\left(S\cap \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\\&\geq \mu ^{*}(S)\end{aligned}}} 를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 가산 준가법성 때문이다. 이제, μ = μ ∗ | Σ {\displaystyle \mu =\mu ^{*}|_{\Sigma }} 가 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 S = ⋃ j = 1 ∞ A j {\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}} 를 취하면 μ ∗ ( ⋃ j = 1 ∞ A j ) = ∑ i = 1 ∞ μ ∗ ( ⋃ j = 1 ∞ A j ∩ A i ) + μ ∗ ( ⋃ j = 1 ∞ A j ∖ ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ μ ∗ ( A i ) + μ ∗ ( ∅ ) = ∑ i = 1 ∞ μ ∗ ( A i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)&=\sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\cap A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i})+\mu ^{*}(\varnothing )\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i})\end{aligned}}} 를 얻으며, 이에 따라 μ {\displaystyle \mu } 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} -카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 가 μ ∗ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu ^{*}(A)=0} 을 만족시키며, 또한 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 라고 하자. 그렇다면, μ ∗ ( S ) ≤ μ ∗ ( S ∩ B ) + μ ∗ ( S ∖ B ) = μ ∗ ( S ∖ B ) ≤ μ ∗ ( S ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{*}(S)&\leq \mu ^{*}(S\cap B)+\mu ^{*}(S\setminus B)\\&=\mu ^{*}(S\setminus B)\\&\leq \mu ^{*}(S)\end{aligned}}} 이다. 첫째 줄의 부등호는 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는 S ∩ B ⊆ A {\displaystyle S\cap B\subseteq A} 및 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 단조성, 셋째 줄의 부등호는 S ∖ B ⊆ S {\displaystyle S\setminus B\subseteq S} 및 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 단조성 때문이다. 이제, Σ 0 ⊆ Σ {\displaystyle \Sigma _{0}\subseteq \Sigma } 를 증명하자. 임의의 A ∈ Σ 0 {\displaystyle A\in \Sigma _{0}} 및 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ) ≤ μ ∗ ( S ) + ϵ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\leq \mu ^{*}(S)+\epsilon } 이며 S ⊆ ⋃ i = 1 ∞ A i {\displaystyle \textstyle S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}} 인 A 1 , A 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}} 이 존재한다. 각 i ∈ Z + {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, A i ∖ A = ⋃ j = 1 n i B i j {\displaystyle \textstyle A_{i}\setminus A=\bigcup _{j=1}^{n_{i}}B_{ij}} 인 서로소 집합 B i 1 , … , B i n i ∈ Σ 0 {\displaystyle B_{i1},\dots ,B_{in_{i}}\in \Sigma _{0}} 을 취하자. 그렇다면, S ∩ A ⊆ ⋃ i = 1 ∞ ( A i ∩ A ) {\displaystyle S\cap A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }(A_{i}\cap A)} S ∖ A ⊆ ⋃ i = 1 ∞ ( A i ∖ A ) = ⋃ i = 1 ∞ ⋃ j = 1 n i B i j {\displaystyle S\setminus A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }(A_{i}\setminus A)=\bigcup _{i=1}^{\infty }\bigcup _{j=1}^{n_{i}}B_{ij}} 이므로, μ ∗ ( S ) ≤ μ ∗ ( S ∩ A ) + μ ∗ ( S ∖ A ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ∩ A ) + ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 n i μ 0 ( B i j ) = ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ) ≤ μ ∗ ( S ) + ϵ {\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{*}(S)&\leq \mu ^{*}(S\cap A)+\mu ^{*}(S\setminus A)\\&\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}\cap A)+\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{n_{i}}\mu _{0}(B_{ij})\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\\&\leq \mu ^{*}(S)+\epsilon \end{aligned}}} 이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 의 가산 가법성 때문이다. 이제, μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 의 단조성을 증명하자. A , B ∈ Σ 0 {\displaystyle A,B\in \Sigma _{0}} 이며 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 라고 하자. 그렇다면 B ∖ A = ⋃ i = 1 n C i {\displaystyle \textstyle B\setminus A=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}} 인 서로소 집합 C 1 , … , C n ∈ Σ 0 {\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in \Sigma _{0}} 을 고를 수 있다. 그렇다면 μ 0 ( B ) = μ 0 ( A ) + ∑ i = 1 n μ 0 ( C i ) ≥ μ ( A ) {\displaystyle \mu _{0}(B)=\mu _{0}(A)+\sum _{i=1}^{n}\mu _{0}(C_{i})\geq \mu (A)} 이다. 이제, 준측도 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 의 가산 준가법성을 증명하자. A 1 , A 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}} 이며 ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ Σ 0 {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \Sigma _{0}} 이라고 하자. 그렇다면 각 i ∈ Z + {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, B i = A i ∖ ⋃ j = 1 i − 1 A j = ⋃ j = 1 n i B i j {\displaystyle B_{i}=A_{i}\setminus \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}=\bigcup _{j=1}^{n_{i}}B_{ij}} 인 서로소 집합 B i 1 , … , B i n i ∈ Σ 0 {\displaystyle B_{i1},\dots ,B_{in_{i}}\in \Sigma _{0}} 을 고를 수 있다. 그렇다면 각 i ∈ Z + {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 C i = A i ∩ ⋃ j = 1 i − 1 A j = A i ∩ ⋃ k = 1 i − 1 B k = ⋃ k = 1 i − 1 ⋃ j = 1 n j ( A i ∩ B k j ) {\displaystyle C_{i}=A_{i}\cap \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}=A_{i}\cap \bigcup _{k=1}^{i-1}B_{k}=\bigcup _{k=1}^{i-1}\bigcup _{j=1}^{n_{j}}(A_{i}\cap B_{kj})} 이므로, ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ) = ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( B i ∪ C i ) = ∑ i = 1 ∞ ( ∑ j = 1 n i μ 0 ( B i j ) + ∑ k = 1 i − 1 ∑ j = 1 n k μ 0 ( A i ∩ B k j ) ) ≥ ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 n i μ 0 ( B i j ) = μ 0 ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})&=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(B_{i}\cup C_{i})\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{j=1}^{n_{i}}\mu _{0}(B_{ij})+\sum _{k=1}^{i-1}\sum _{j=1}^{n_{k}}\mu _{0}(A_{i}\cap B_{kj})\right)\\&\geq \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{n_{i}}\mu _{0}(B_{ij})\\&=\mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\end{aligned}}} 이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 의 가산 가법성 때문이다. 이제, μ | Σ 0 = μ 0 {\displaystyle \mu |_{\Sigma _{0}}=\mu _{0}} 를 증명하자. 임의의 A ∈ Σ 0 {\displaystyle A\in \Sigma _{0}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ) < μ ∗ ( A ) + ϵ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})<\mu ^{*}(A)+\epsilon } 이며 A ⊆ ⋃ i = 1 ∞ A i {\displaystyle \textstyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}} 인 A 1 , A 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}} 이 존재한다. 그렇다면 μ ∗ ( A ) ≤ μ 0 ( A ) = μ 0 ( ⋃ i = 1 ∞ ( A ∩ A i ) ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A ∩ A i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ 0 ( A i ) < μ ∗ ( A ) + ϵ {\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{*}(A)&\leq \mu _{0}(A)\\&=\mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }(A\cap A_{i})\right)\\&\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A\cap A_{i})\\&\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\\&<\mu ^{*}(A)+\epsilon \end{aligned}}} 이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 의 가산 준가법성, 단조성 때문이다. 마지막으로, 확장된 측도의 σ ( Σ 0 ) {\displaystyle \sigma (\Sigma _{0})} 에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 μ 1 , μ 2 : Σ → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}\colon \Sigma \to [0,\infty ]} 에 대하여, 만약 μ 1 | Σ 0 = μ 2 | Σ 0 {\displaystyle \mu _{1}|_{\Sigma _{0}}=\mu _{2}|_{\Sigma _{0}}} 이며, 준측도 μ 1 | Σ 0 {\displaystyle \mu _{1}|_{\Sigma _{0}}} 이 시그마 유한 준측도라면, μ 1 | σ ( Σ 0 ) = μ 2 | σ ( Σ 0 ) {\displaystyle \mu _{1}|_{\sigma (\Sigma _{0})}=\mu _{2}|_{\sigma (\Sigma _{0})}} 임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다. A = { A ∈ Σ : ∀ B ∈ Σ 0 ∖ μ 1 − 1 ( ∞ ) : μ 1 ( A ∩ B ) = μ 2 ( A ∩ B ) } {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in \Sigma \colon \forall B\in \Sigma _{0}\setminus \mu _{1}^{-1}(\infty )\colon \mu _{1}(A\cap B)=\mu _{2}(A\cap B)\}} 라고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 λ계이며 Σ 0 ⊆ A {\displaystyle \Sigma _{0}\subseteq {\mathcal {A}}} 이므로, π-λ 정리에 따라 σ ( Σ 0 ) ⊆ A {\displaystyle \sigma (\Sigma _{0})\subseteq {\mathcal {A}}} 이다. X = ⋃ i = 1 ∞ B i {\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}} 이며 ∀ i ∈ Z + : μ 1 ( B i ) < ∞ {\displaystyle \textstyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \mu _{1}(B_{i})<\infty } 인 B 1 , B 2 , ⋯ ∈ Σ 0 {\displaystyle B_{1},B_{2},\dots \in \Sigma _{0}} 을 취하자. 그렇다면, 임의의 A ∈ σ ( Σ 0 ) {\displaystyle A\in \sigma (\Sigma _{0})} 에 대하여, μ 1 ( A ) = μ 1 ( ⋃ i = 1 ∞ ( A ∩ B i ) ) = lim n → ∞ μ 1 ( ⋃ i = 1 n ( A ∩ B i ) ) = lim n → ∞ ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n μ 1 ( A ∩ B i 1 ∩ ⋯ ∩ B i k ) = lim n → ∞ ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n μ 2 ( A ∩ B i 1 ∩ ⋯ ∩ B i k ) = μ 2 ( A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}(A)&=\mu _{1}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }(A\cap B_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\mu _{1}\left(\bigcup _{i=1}^{n}(A\cap B_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}\mu _{1}(A\cap B_{i_{1}}\cap \cdots \cap B_{i_{k}})\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}\mu _{2}(A\cap B_{i_{1}}\cap \cdots \cap B_{i_{k}})\\&=\mu _{2}(A)\end{aligned}}} 이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n {\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n} 에 대하여 B i 1 ∩ ⋯ ∩ B i k ∈ Σ 0 ∖ μ 1 − 1 ( ∞ ) {\displaystyle B_{i_{1}}\cap \cdots \cap B_{i_{k}}\in \Sigma _{0}\setminus \mu _{1}^{-1}(\infty )} 이기 때문이다. 오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다. 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다. 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프, 한스 한, 에베르하르트 호프의 논문·저서에 소개되었다. 외측도 Carathéodory, C. (1914). “Über das lineare Maß von Punktmengen”. 《Nachr. Ges. Wiss. G¨ottingen, Math.-phys》 (독일어): 404–426.  Carathéodory, C. (1918). 《Vorlesungen über Reelle Funktionen》 (독일어). Leipzig–Berlin: B.G. Teubner.  Fréchet, M. (1924). “Des familles et fonctions additives d’ensembles abstraits. Suite”. 《Fund. Math.》 (프랑스어) 5: 206–251.  Kolmogorov, A. N. (1929). “General measure theory and probability calculus”. 《Trudy Komm. Akad. Matem.》 (러시아어) 1: 8–21.  Kolmogorov, A. N. (1933). 《Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung》 (독일어). Berlin: Springer.  Hahn, H. (1933). “Über die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen”. 《Annali Scuola Norm. Super. Pisa》 (독일어) 2 (2): 429–452.  Hopf, E. (1934). “On causality, statistics and probability”. 《J. Math. Phys.》 (영어) 13: 51–102.  Hopf, E. (1937). 《Ergodentheorie》 (독일어). Berlin: Springer.  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). 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