균등 수렴 위상

해석학에서 균등 수렴 위상(均等收斂位相, 영어: topology of uniform convergence)은 일반위상수학적인 극한이 균등 수렴과 일치하게 하는, 함수 공간 위의 위상이다. 이 경우, 공역에 위상 벡터 공간 또는 (보다 일반적으로) 균등 공간 구조가 필요하다. 만약 공역에 거리 공간이나 노름 공간과 같은 구조가 주어지면, 이 위상 및 균등 공간 구조와 호환되는 균등 거리 함수(영어: uniform metric) 및 균등 노름(영어: uniform norm)을 정의할 수 있다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 그렇다면, 함수 집합 Y X {\displaystyle Y^{X}} 위에 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다. B = { { ( f , g ) ∈ F 2 : f ( x ) ≈ ϵ g ( x ) ∀ x ∈ X } : ϵ ∈ E Y } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\{(f,g)\in {\mathcal {F}}^{2}\colon f(x)\approx _{\epsilon }g(x)\qquad \forall x\in X\}\colon \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}\right\}} 이를 Y X {\displaystyle Y^{X}} 위의 균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 균등 수렴 위상이라고 한다.:TG X.2, Définition X.1.1 보다 일반적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 의 덮개 U ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 그렇다면, 함수 집합 Y X {\displaystyle Y^{X}} 위에 다음 조건을 만족시키는 가장 엉성한 균등 공간 구조를 부여할 수 있다. 임의의 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 에 대하여, 제약 사상 ( − ) | U : Y X → Y U {\displaystyle (-)|_{U}\colon Y^{X}\to Y^{U}} 는 ( Y U {\displaystyle Y^{U}} 에 균등 수렴 균등 구조를 부여할 때) 균등 연속 함수이다. 이를 Y X {\displaystyle Y^{X}} 위의 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -균등 수렴 위상이라고 한다.:TG X.2, Définition X.1.2 만약 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 한원소 덮개라면 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -균등 수렴 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 같다. 만약 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 X {\displaystyle X} 의 유한 부분 집합들로 구성된 덮개라면, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -균등 수렴 균등 구조는 곱 균등 구조이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 위상 공간이며, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 콤팩트 집합들로 구성된 덮개라면, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -균등 수렴 균등 구조는 모든 콤팩트 집합 위에서 균등 수렴을 수렴 조건으로 하는 균등 구조이다. 확장 거리 함수(영어: extended metric)는 거리 함수와 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle X\times X\to [0,\infty ]} 이다. 확장 거리 함수 d {\displaystyle d} 에 대하여 d ′ ( x , y ) = min { 1 , d ( x , y ) } {\displaystyle d'(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}} 는 거리 함수를 이루며, d {\displaystyle d} 와 d ′ {\displaystyle d'} 은 같은 위상을 정의한다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} 거리 공간 ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} 그렇다면, Y X {\displaystyle Y^{X}} 위에 다음과 같은 확장 거리 함수를 부여할 수 있다. d ( f , g ) = sup x ∈ X d Y ( f ( x ) , g ( x ) ) ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))\in [0,\infty ]} 이를 Y X {\displaystyle Y^{X}} 위의 균등 수렴 확장 거리 함수(영어: extended metric of uniform convergence) 또는 단순히 균등 거리 함수(영어: uniform metric)이라고 한다. 균등 수렴 확장 거리 함수가 유도하는 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 일치한다. 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 확장 노름(영어: extended norm)은 노름과 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 V → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle V\to [0,\infty ]} 이다. (이때 0 ∞ = 0 {\displaystyle 0\infty =0} 으로 놓는다.) 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} 노름 공간 ( Y , ν Y ) {\displaystyle (Y,\nu _{Y})} 그렇다면, 함수 집합 Y X {\displaystyle Y^{X}} 위에 다음과 같은 확장 노름을 부여할 수 있다. ν ( f ) = sup x ∈ X ν Y ( f ( x ) ) ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \nu (f)=\sup _{x\in X}\nu _{Y}(f(x))\in [0,\infty ]} 만약 이를 유계 함수의 집합 { f ∈ Y X : sup x ∈ X ν Y ( f ( x ) ) < ∞ } {\displaystyle \left\{f\in Y^{X}\colon \sup _{x\in X}\nu _{Y}(f(x))<\infty \right\}} 으로 국한한다면, 이는 참된 노름을 정의한다. 이를 균등 노름(영어: uniform norm) 또는 상한 노름(영어: supremum norm)이라고 한다. 균등 노름이 유도하는 거리 함수는 (확장 노름에 대응하는 확장 거리 함수에 대한) 균등 수렴 확장 거리 함수와 일치한다. 만약 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 가 완비 균등 공간이라면, Y X {\displaystyle Y^{X}} 위의 균등 수렴 균등 구조 역시 완비 균등 공간이다. Bourbaki, Nicolas (1974). 《Topologie générale. Chapitres 5 à 10》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. doi:10.1007/978-3-540-34486-5.  “Topology of uniform convergence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Supremum norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Definition: supremum norm”.