형식적 실체

체론에서 형식적 실체(形式的實體, 영어: formally real field)는 순서체로 만들 수 있는 체이다. 체 K {\displaystyle K} 의 수준(水準, 독일어: Stufe 슈투페[*]) Stufe ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Stufe} K} 은 − 1 {\displaystyle -1} 을 제곱수들의 합으로 나타내었을 때 필요한 항들의 수의 최솟값이다. 만약 − 1 {\displaystyle -1} 을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없는 경우, 수준은 ∞ {\displaystyle \infty } 이다. Stufe ⁡ K = min { | S | : ∑ s ∈ S s 2 = − 1 , S ⊆ K , | S | < ℵ 0 } ∈ Z + ∪ { ∞ } {\displaystyle \operatorname {Stufe} K=\min \left\{|S|\colon \sum _{s\in S}s^{2}=-1,\;S\subseteq K,|S|<\aleph _{0}\right\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}} 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 형식적 실체(영어: formally real field)라고 한다. 수준이 무한대이다. Stufe ⁡ K = ∞ {\displaystyle \operatorname {Stufe} K=\infty } 피타고라스 수가 무한대이며 (즉, 제곱수의 합이 아닌 원소가 존재하며), 표수가 2가 아니다. K {\displaystyle K} 의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 S {\displaystyle S} 에 대하여, 만약 ∑ s ∈ S s 2 = 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{s\in S}s^{2}=0} 이라면 S {\displaystyle S} 의 모든 원소들은 0이다. K {\displaystyle K} 의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 S {\displaystyle S} 에 대하여, 만약 ∑ s ∈ S s 2 = 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{s\in S}s^{2}=0} 이라면 S {\displaystyle S} 의 모든 원소들은 0이다. K {\displaystyle K} 는 순서체가 될 수 있다. 즉, K {\displaystyle K} 를 순서체로 만드는 전순서가 존재한다. 모든 체의 수준은 항상 무한대이거나 아니면 2의 거듭제곱이다. Stufe ⁡ K ∈ { ∞ , 1 , 2 , 4 , 8 , … } {\displaystyle \operatorname {Stufe} K\in \{\infty ,1,2,4,8,\dots \}} 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2라면, 그 수준은 항상 1이다. char ⁡ K = 2 ⟹ Stufe ⁡ K = 1 {\displaystyle \operatorname {char} K=2\implies \operatorname {Stufe} K=1} 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 양수라면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다. char ⁡ K > 0 ⟹ Stufe ⁡ K ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \operatorname {char} K>0\implies \operatorname {Stufe} K\in \{1,2\}} 만약 K {\displaystyle K} 에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면, K {\displaystyle K} 의 수준은 항상 1이다. ( ∀ a ∈ K ∃ b ∈ K : b 2 = a ) ⟹ Stufe ⁡ K = 1 {\displaystyle \left(\forall a\in K\exists b\in K\colon b^{2}=a\right)\implies \operatorname {Stufe} K=1} 지겔 정리(영어: Siegel’s theorem)에 따르면, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다. K {\displaystyle K} 의 준위는 피타고라스 수 Pyth ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Pyth} K} 와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다. Pyth ⁡ K ≤ Stufe ⁡ K + 1 {\displaystyle \operatorname {Pyth} K\leq \operatorname {Stufe} K+1} 형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다. Stufe ⁡ K < ∞ ⟹ Stufe ⁡ K ≤ Pyth ⁡ K ≤ Stufe ⁡ K + 1 {\displaystyle \operatorname {Stufe} K<\infty \implies \operatorname {Stufe} K\leq \operatorname {Pyth} K\leq \operatorname {Stufe} K+1} 모든 형식적 실체는 (순서체로 만들 수 있으므로) 표수가 0이다. 모든 실폐체는 형식적 실체이다. 형식적 실폐 K {\displaystyle K} 의 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 가 주어졌을 때, K {\displaystyle K} 를 포함하는 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 속의 유일한 실폐체 K re {\displaystyle K^{\operatorname {re} }} 가 존재하며, 이를 K {\displaystyle K} 의 실폐포(영어: real closure)라고 한다. 대표적인 체의 수준은 다음과 같다. Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.  Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.  Prestel, A. (1984). 《Lectures on formally real fields》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1093. Springer. doi:10.1007/BFb0101548. ISBN 978-3-540-13885-3. ISSN 0075-8434.  “Formally real field”. 《nLab》 (영어).  “Formally real algebra”. 《nLab》 (영어).  피타고라스 체 실폐체