반연속 함수

해석학과 위상수학에서 상반연속 함수(上半連續函數, 영어: upper semicontinuous function)와 하반연속 함수(下半連續函數, 영어: lower semicontinuous function)는 연속 함수의 성질을 약화한 개념이다. 대략, 상반연속 함수에서, 정의역의 점이 x {\displaystyle x} 에 가까울 때 함수의 값은 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 에 가깝거나 보다 작다. 반대로, 하반연속 함수의 정의역의 점이 x {\displaystyle x} 에 가까우면 함수 값은 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 에 가깝거나 크다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에서 전순서 집합 ( Y , ≤ ) {\displaystyle (Y,\leq )} 로 가는 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면, 상반연속 함수라고 한다. Y {\displaystyle Y} 에 하위상을 가했을 때, f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 즉, 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, { x ∈ X : f ( x ) < y } {\displaystyle \{x\in X\colon f(x)<y\}} 는 열린집합이다. 마찬가지로, f {\displaystyle f} 가 다음 조건을 만족시키면, 하반연속 함수라고 한다. Y {\displaystyle Y} 에 상위상을 가했을 때, f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 즉, 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, { x ∈ X : f ( x ) > y } {\displaystyle \{x\in X\colon f(x)>y\}} 는 열린집합이다. 실수 값의 함수의 경우 상·하반연속 함수의 개념은 상극한과 하극한을 통해 정의할 수 있다. 즉, 위상 공간 X {\displaystyle X} 에서 실수선으로 가는 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 상반연속 함수이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, lim sup y → x f ( y ) ≤ f ( x ) {\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)} 마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 하반연속 함수이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, lim inf y → x f ( y ) ≥ f ( x ) {\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 에서 전순서 집합 ( Y , ≤ ) {\displaystyle (Y,\leq )} 로 가는 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 상반연속 함수이다. f {\displaystyle f} 를 반대 전순서 집합 ( Y , ≤ ) op = ( Y , ≥ ) {\displaystyle (Y,\leq )^{\operatorname {op} }=(Y,\geq )} 를 공역으로 하는 함수로 여겼을 때, 하반연속 함수이다. 특히, x ↦ − x {\displaystyle x\mapsto -x} 가 실수의 전순서 집합과 그 반대 전순서 집합 사이의 순서 동형이므로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 에서 실수선으로 가는 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 상반연속 함수이다. − f {\displaystyle -f} 는 하반연속 함수이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에서 전순서 집합 ( Y , ≤ ) {\displaystyle (Y,\leq )} 로 가는 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 공역에 순서 위상을 가했을 때, 연속 함수이다. 상반연속 함수이자 하반연속 함수이다. 이는 순서 위상이 하위상과 상위상보다 섬세한 가장 엉성한 위상이기 때문이다. 상반연속 또는 하반연속 함수 X → R {\displaystyle X\to \mathbb {R} } 의 불연속점의 집합은 제1 범주 집합을 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 정규 공간이다. 임의의 상반연속 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 및 하반연속 함수 g : X → R {\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 만약 ∀ x ∈ X : f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq g(x)} 라면, ∀ x ∈ X : f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq h(x)\leq g(x)} 인 연속 함수 h : X → R {\displaystyle h\colon X\to \mathbb {R} } 가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:159, Exercise 21B 정규 공간이며, 가산 파라콤팩트 공간이다. 임의의 상반연속 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 및 하반연속 함수 g : X → R {\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 만약 ∀ x ∈ X : f ( x ) < g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)<g(x)} 라면, ∀ x ∈ X : f ( x ) < h ( x ) < g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)<h(x)<g(x)} 인 연속 함수 h : X → R {\displaystyle h\colon X\to \mathbb {R} } 가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 완전 정규 공간이다. 임의의 상반연속 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 및 하반연속 함수 g : X → R {\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 만약 ∀ x ∈ X : f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq g(x)} 라면, ∀ x ∈ X : f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq h(x)\leq g(x)} 이며, f ( x ) < g ( x ) {\displaystyle f(x)<g(x)} 일 때 f ( x ) < h ( x ) < g ( x ) {\displaystyle f(x)<h(x)<g(x)} 인 연속 함수 h : X → R {\displaystyle h\colon X\to \mathbb {R} } 가 존재한다. 임의의 상(하)반연속 함수 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, x ↦ min { f ( x ) , g ( x ) } {\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}} x ↦ max { f ( x ) , g ( x ) } {\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}} 는 둘 다 상(하)반연속 함수이다. 임의의 상(하)반연속 함수 f , g : X → R {\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 두 함수의 합 f + g : X → R {\displaystyle f+g\colon X\to \mathbb {R} } 는 상(하)반연속 함수이다. 임의의 상(하)반연속 함수 f , g : X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f,g\colon X\to [0,\infty )} 에 대하여, 곱 f ⋅ g : X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f\cdot g\colon X\to [0,\infty )} 는 상(하)반연속 함수이다. 다음과 같이 조각적으로 정의된 함수 f = −1 (x < 0 에 대해) and f = 1 (x ≥ 0 에 대해)를 생각해보자. 이 함수는 c = 0에서 위에서 반연속이다. 하지만 아래서 반연속은 아니다. x보다 같거나 작은 정수 중 가장 큰 값을 주는 내림함수 f(x)=⌊x⌋는 전구간에서 위에서 반연속이다. 비슷하게, 올림함수 f(x)=⌈x⌉는 아래로 반연속이다. 또한, 굳이 좌연속 또는 우연속일 필요 없이 함수는 반연속성을 가질 수 있다. 예를 들어, 함수 f ( x ) = { x 2 if  0 ≤ x < 1 , 2 if  x = 1 , 1 / 2 + ( 1 − x ) if  x > 1 , {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{if }}0\leq x<1,\\2&{\text{if }}x=1,\\1/2+(1-x)&{\text{if }}x>1,\end{cases}}} 는 x = 1에서 좌연속 또는 우연속도 아니지만 위에서 반연속이다. 우극한의 값은 1/2, 좌극한의 값은 1이지만, 둘 다 2보다는 작다. 비슷하게 함수 f ( x ) = { sin ⁡ ( 1 / x ) if  x ≠ 0 , 1 if  x = 0 , {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0,\\1&{\text{if }}x=0,\end{cases}}} 는 x = 0에서 좌극한과 우극한이 존재하진 않지만, 위에서 반연속이다. Willard, Stephen (1970). 《General topology》. Addison-Wesley Series in Mathematics (영어). Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. Zbl 0205.26601.  “Semicontinuous function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Semicontinuous map”. 《nLab》 (영어).  “Semicontinuous topology”. 《nLab》 (영어).