칼손의 부등식

칼손의 부등식(Carlson's inequality, -不等式)은 스웨덴 수학자 프리츠 다비드 칼손(Fritz David Carlson)이 1934년 제출하여 그의 이름이 붙은 부등식이다. 여러 종류의 형식이 있는데, 대표적인 것은 코시-슈바르츠 부등식에서 순수하게 대수적으로 유도할 수 있는 합 형태와 L 2 {\displaystyle L_{2}} 공간에서 실해석학의 기법으로 유도할 수 있는 적분 형태의 두 종류이다. 두 경우 모두 자주 쓰이는 형태는 유사한데, 이산 형태와 연속 형태로 불리기도 한다. 합 형태 칼손의 부등식은 보통 다음과 같은 두 형태 중 하나로 사용된다. 임의의 실수 a 1 , a 2 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}} 에 대하여, ( ∑ i = 1 n a i ) 2 < π 2 6 ( ∑ i = 1 n i 2 a i 2 ) . {\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})^{2}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}(\sum _{i=1}^{n}i^{2}a_{i}^{2}).} 임의의 실수 a 1 , a 2 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}} 에 대하여, ( ∑ i = 1 n a i ) 4 < π 2 ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n i 2 a i 2 ) . {\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})^{4}<\pi ^{2}(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2})(\sum _{i=1}^{n}i^{2}a_{i}^{2}).} 둘 모두 코시-슈바르츠 부등식에서 쉽게 유도가능하다. 위의 a i {\displaystyle {a_{i}}} 및 임의 n개의 0이 아닌 실수 c 1 , c 2 , . . . , c n {\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}} 에 대하여 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면, ( a 1 + . . . + a n ) 2 = ( a 1 ⋅ c 1 ⋅ 1 c 1 + . . . + a n ⋅ c n ⋅ 1 c n ) 2 ≤ ( a 1 2 c 1 2 + . . . + a n 2 c n 2 ) ( 1 c 1 2 + . . . + 1 c n 2 ) . {\displaystyle (a_{1}+...+a_{n})^{2}=(a_{1}\cdot c_{1}\cdot {\frac {1}{c_{1}}}+...+a_{n}\cdot c_{n}\cdot {\frac {1}{c_{n}}})^{2}\leq (a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2})({\frac {1}{c_{1}^{2}}}+...+{\frac {1}{c_{n}^{2}}}).} 을 얻는다. 여기서 C n := 1 c 1 2 + . . . + 1 c n 2 {\displaystyle C_{n}:={\frac {1}{c_{1}^{2}}}+...+{\frac {1}{c_{n}^{2}}}} 라 쓰면, 이는 다음과 같은 일반적인 부등식이 된다. ( a 1 + . . . + a n ) 2 ≤ C n ( a 1 2 c 1 2 + . . . + a n 2 c n 2 ) . {\displaystyle (a_{1}+...+a_{n})^{2}\leq C_{n}(a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2}).} 여기서 c i = i {\displaystyle c_{i}=i} 라 할 경우, C n < ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle C_{n}<\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}} 으로부터 첫 번째 부등식이 증명된다. 다음으로, 양수 t에 대해 c i 2 = t + i 2 t {\displaystyle c_{i}^{2}=t+{\frac {i^{2}}{t}}} 로 놓고 전개하면, C n = t t 2 + 1 2 + t t 2 + 2 2 + . . . + t t 2 + n 2 < π 2 . {\displaystyle C_{n}={\frac {t}{t^{2}+1^{2}}}+{\frac {t}{t^{2}+2^{2}}}+...+{\frac {t}{t^{2}+n^{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.} 이 된다. P := a 1 2 + . . . + a n 2 , Q := a 1 2 + 2 2 a 2 2 + . . . + n 2 a n 2 {\displaystyle P:=a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2},Q:=a_{1}^{2}+2^{2}a_{2}^{2}+...+n^{2}a_{n}^{2}} 라 두고 t = Q P {\displaystyle t={\sqrt {\frac {Q}{P}}}} 를 만족하도록 t를 잡으면, 다음과 같이 식을 전개할 수 있다. ( a 1 + . . . + a n ) 2 ≤ C n ( a 1 2 c 1 2 + . . . + a n 2 c n 2 ) < π 2 ( t ( a 1 2 + . . . + a n 2 ) + 1 t ( a 1 2 + 2 2 a 2 2 + . . . + n 2 a n 2 ) ) = π 2 ( t P + 1 t Q ) = π P Q . {\displaystyle (a_{1}+...+a_{n})^{2}\leq C_{n}(a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2})<{\frac {\pi }{2}}(t(a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})+{\frac {1}{t}}(a_{1}^{2}+2^{2}a_{2}^{2}+...+n^{2}a_{n}^{2}))={\frac {\pi }{2}}(tP+{\frac {1}{t}}Q)=\pi {\sqrt {PQ}}.} 이제 양 변에 제곱을 취하면 두 번째 부등식을 얻는다. 적분 형태 칼손의 부등식도 위와 같은 두 가지 형태가 모두 가능하다. 두 번째 형태만 직접 서술해 보면 다음과 같다. 만약 f가 실수값 함수이고 f , x f ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle f,xf\in L_{2}(0,\infty )} 이면, ( ∫ 0 ∞ f ( x ) d x ) 4 < π 2 ( ∫ 0 ∞ f 2 ( x ) d x ) ( ∫ 0 ∞ x 2 f 2 ( x ) d x ) . {\displaystyle (\int _{0}^{\infty }f(x)dx)^{4}<\pi ^{2}(\int _{0}^{\infty }f^{2}(x)dx)(\int _{0}^{\infty }x^{2}f^{2}(x)dx).} Arthur Engel (1997), Problem-Solving Strategies, Springer Verlag, p.175. ibid., p.176. Arthur Engel (1997), Problem-Solving Strategies, Springer Verlag, ISBN 0-387-98219-1 (영어) 슈프링어 온라인 레퍼런스