집합족적 정규 공간

일반위상수학에서 집합족적 정규 공간(영어: collectionwise normal space)은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 집합족 { S i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족(영어: discrete family)이라고 한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { i ∈ I : N ∩ S i ≠ ∅ } {\displaystyle \{i\in I\colon N\cap S_{i}\neq \varnothing \}} 이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 N ∋ x {\displaystyle N\ni x} 이 존재한다. { cl ⁡ S i } i ∈ I {\displaystyle \{\operatorname {cl} S_{i}\}_{i\in I}} 는 서로소 집합족이며, 임의의 J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} 에 대하여 ⋃ j ∈ J cl ⁡ S j {\displaystyle \textstyle \bigcup _{j\in J}\operatorname {cl} S_{j}} 는 닫힌집합이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 집합족 { S i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족(영어: separated family) 또는 거의 이산 집합족(영어: almost discrete family)이라고 한다. 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, S i ∩ cl ⁡ ⋃ j ∈ I ∖ { i } S j = ∅ {\displaystyle \textstyle S_{i}\cap \operatorname {cl} \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}S_{j}=\varnothing } 이다. { S i } i ∈ I {\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}} 는 ⋃ i ∈ I S i {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}} 의 이산 집합족이다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X {\displaystyle X} 를 집합족적 정규 공간이라고 한다. 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 { F i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, ∀ i ∈ I : F i ⊆ U i {\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}} 인 열린집합들의 서로소 집합족 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 이 존재한다. 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 { F i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, ∀ i ∈ I : F i ⊆ U i {\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}} 인 열린집합들의 이산 집합족 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 이 존재한다. 임의의 이산 집합족 { F i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, ∀ i ∈ I : F i ⊆ U i {\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}} 인 열린집합들의 서로소 집합족 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 이 존재한다. 임의의 이산 집합족 { F i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, ∀ i ∈ I : F i ⊆ U i {\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}} 인 열린집합들의 이산 집합족 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 이 존재한다. 증명: 만약 { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}} 가 이산 집합족이라면, { cl ⁡ A i } i ∈ I {\displaystyle \{\operatorname {cl} A_{i}\}_{i\in I}} 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 { F i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, ∀ i ∈ I : F i ⊆ U i {\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}} 인 열린집합들의 서로소 집합족 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 는 자명하게 정규 공간이다. 또한, { F i } i ∈ I {\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}} 는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서, ⋃ i ∈ I F i ⊆ V ⊆ cl ⁡ V ⊆ ⋃ i ∈ I U i {\displaystyle \bigcup _{i\in I}F_{i}\subseteq V\subseteq \operatorname {cl} V\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}} 인 열린집합 V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X} 가 존재한다. 그렇다면, { U i ∩ V } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\cap V\}_{i\in I}} 는 열린집합들로 이루어진 집합족이며, ∀ i ∈ I : F i ⊆ U i ∩ V {\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}\cap V} 이다. 따라서 { U i ∩ V } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\cap V\}_{i\in I}} 가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, N ∩ U i ≠ ∅ {\displaystyle N\cap U_{i}\neq \varnothing } 인 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 하나 이하인 근방 N ∋ x {\displaystyle N\ni x} 를 찾아야 한다. 만약 x ∉ cl ⁡ V {\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} V} 라면, N = X ∖ cl ⁡ V {\displaystyle N=X\setminus \operatorname {cl} V} 를 취한다. 만약 x ∈ cl ⁡ V {\displaystyle x\in \operatorname {cl} V} 라면, N {\displaystyle N} 을 x ∈ U i {\displaystyle x\in U_{i}} 인 유일한 U i {\displaystyle U_{i}} 로 잡을 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X {\displaystyle X} 를 완비 집합족적 정규 공간(영어: completely collectionwise normal space) 또는 유전 집합족적 정규 공간(영어: hereditarily collectionwise normal space)이라고 한다. X {\displaystyle X} 의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다. 임의의 분리 집합족 { S i } i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, ∀ i ∈ I : S i ⊆ U i {\displaystyle \forall i\in I\colon S_{i}\subseteq U_{i}} 인 열린집합들의 서로소 집합족 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 이 존재한다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 (마이클-나가미 정리, 영어: Michael–Nagami theorem).:322, Theorem 5.3.3 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:182, Theorem 10 거리화 가능 공간이다. 무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다. 순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 은 완전 정규 공간이 아니다. 집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.:184, Example G Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.  Bing, R. H. (1951). “Metrization of topological spaces”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 3: 175–186. doi:10.4153/CJM-1951-022-3. ISSN 0008-414X. MR 0043449. Zbl 0042.41301.  Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.  “Collectionwise normal space”. 《Topospaces》 (영어).  “Hereditarily collectionwise normal space”. 《Topospaces》 (영어).  “Collectionwise normal”. 《PlanetMath》 (영어).