슈바르츠 보조정리

복소해석학에서 슈바르츠 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz lemma)는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다. 열린 단위 원판 B ⁡ ( 0 , 1 ) ⊆ C {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C} } 위의 정칙 함수 f : B ⁡ ( 0 , 1 ) → B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)} 가 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다. 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여, | f ( z ) | ≤ | z | {\displaystyle |f(z)|\leq |z|} 이다. | f ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |f'(0)|\leq 1} 다음 두 조건이 서로 동치이다. | f ( z ) | = | z | {\displaystyle |f(z)|=|z|} 인 0 ≠ z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle 0\neq z\in \operatorname {B} (0,1)} 가 존재하거나, | f ′ ( 0 ) | = 1 {\displaystyle |f'(0)|=1} 이다. 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여 f ( z ) = a z {\displaystyle f(z)=az} 이다. 여기서 a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } 는 | a | = 1 {\displaystyle |a|=1} 인 상수이다. (즉, f {\displaystyle f} 는 B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)} 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.) 이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다. 함수 g : B ⁡ ( 0 , 1 ) → C {\displaystyle g\colon \operatorname {B} (0,1)\to \mathbb {C} } 를 다음과 같이 정의하자. g ( z ) = { f ( z ) / z z ≠ 0 f ′ ( 0 ) z = 0 ∀ z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle g(z)={\begin{cases}f(z)/z&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)} 그렇다면, g {\displaystyle g} 는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 및 | z | < r < 1 {\displaystyle |z|<r<1} 에 대하여, | g ( z ) | ≤ sup | w | = r | g ( w ) | ≤ 1 r {\displaystyle |g(z)|\leq \sup _{|w|=r}|g(w)|\leq {\frac {1}{r}}} 이며, 따라서 | g ( z ) | ≤ lim r → 1 − 1 r = 1 {\displaystyle |g(z)|\leq \lim _{r\to 1^{-}}{\frac {1}{r}}=1} 이다. 즉, z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} 일 경우 | f ( z ) | ≤ | z | {\displaystyle |f(z)|\leq |z|} 이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 | f ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |f'(0)|\leq 1} 이다. 만약 | f ( z ) | = | z | {\displaystyle |f(z)|=|z|} 인 0 ≠ z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle 0\neq z\in \operatorname {B} (0,1)} 가 존재하거나, | f ′ ( 0 ) | = 1 {\displaystyle |f'(0)|=1} 이라면, | g | {\displaystyle |g|} 는 B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)} 에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여 g ( z ) = a {\displaystyle g(z)=a} 인 a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } 가 존재하며, | a | = 1 {\displaystyle |a|=1} 이다. 즉, 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여, f ( z ) = a z {\displaystyle f(z)=az} 이다. 만약 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여 f ( z ) = a z {\displaystyle f(z)=az} 이며, a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } 가 | a | = 1 {\displaystyle |a|=1} 인 상수라면, 자명하게 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여 | f ( z ) | = | z | {\displaystyle |f(z)|=|z|} 이며, 또한 | f ′ ( 0 ) | = 1 {\displaystyle |f'(0)|=1} 이다. 열린 단위 원판 B ⁡ ( 0 , 1 ) ⊆ C {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C} } 위의 쌍정칙 함수 f : B ⁡ ( 0 , 1 ) → B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다. f ( z ) = a z − z 0 1 − z 0 ¯ z ∀ z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle f(z)=a{\frac {z-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)} 여기서 a , z 0 ∈ C {\displaystyle a,z_{0}\in \mathbb {C} } 는 | a | = 1 {\displaystyle |a|=1} 이며 | z 0 | < 1 {\displaystyle |z_{0}|<1} 인 상수이다. 이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 φ f ( 0 ) : B ⁡ ( 0 , 1 ) → B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \varphi _{f(0)}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)} 를 다음과 같이 정의하자. φ f ( 0 ) ( z ) = z − f ( 0 ) 1 − f ( 0 ) ¯ z ∀ z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \varphi _{f(0)}(z)={\frac {z-f(0)}{1-{\overline {f(0)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)} 이는 B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)} 위의 쌍정칙 함수이며, φ f ( 0 ) ( f ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle \varphi _{f(0)}(f(0))=0} 이다. 따라서, g = φ f ( 0 ) ∘ f : B ⁡ ( 0 , 1 ) → B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle g=\varphi _{f(0)}\circ f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)} 는 B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)} 위의 쌍정칙 함수이며, g ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=0} 이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 1 ≤ 1 | ( g − 1 ) ′ ( 0 ) | = | g ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle 1\leq {\frac {1}{|(g^{-1})'(0)|}}=|g'(0)|\leq 1} 이므로, | g ′ ( 0 ) | = 1 {\displaystyle |g'(0)|=1} 이다. 따라서, 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여 g ( z ) = a z {\displaystyle g(z)=az} 인 a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } 가 존재하며, | a | = 1 {\displaystyle |a|=1} 이다. 즉, z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여, f ( z ) = φ f ( 0 ) − 1 ( g ( z ) ) = a z + f ( 0 ) a − 1 1 + f ( 0 ) ¯ a z {\displaystyle f(z)=\varphi _{f(0)}^{-1}(g(z))=a{\frac {z+f(0)a^{-1}}{1+{\overline {f(0)}}az}}} 이다. 즉, z 0 = − f ( 0 ) a − 1 {\displaystyle z_{0}=-f(0)a^{-1}} 를 취하면 된다. 열린 단위 원판 B ⁡ ( 0 , 1 ) ⊆ C {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C} } 위의 정칙 함수 f : B ⁡ ( 0 , 1 ) → B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)} 가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz-Pick lemma)에 따르면, 다음이 성립한다. 임의의 z , w ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z,w\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여, | f ( z ) − f ( w ) 1 − f ( z ) ¯ f ( w ) | ≤ | z − w 1 − z ¯ w | {\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(w)}{1-{\overline {f(z)}}f(w)}}\right|\leq \left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|} 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여, | f ′ ( z ) | ≤ 1 − | f ( z ) | 2 1 − | z | 2 {\displaystyle |f'(z)|\leq {\frac {1-|f(z)|^{2}}{1-|z|^{2}}}} 다음 두 조건이 서로 동치이다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z , w ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z,w\in \operatorname {B} (0,1)} 이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 이 존재한다. 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여 f ( z ) = a ( z − z 0 ) / ( 1 − z 0 ¯ z ) {\displaystyle f(z)=a(z-z_{0})/(1-{\overline {z_{0}}}z)} 이다. 여기서 a , z 0 ∈ C {\displaystyle a,z_{0}\in \mathbb {C} } 는 | a | = 1 {\displaystyle |a|=1} 이고 | z 0 | < 1 {\displaystyle |z_{0}|<1} 인 상수이다. (즉, f {\displaystyle f} 는 B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)} 위의 쌍정칙 함수이다.) 이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리 d ( z , w ) = tanh − 1 ⁡ | z − w 1 − z ¯ w | {\displaystyle d(z,w)=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|} 를 증가시키지 않는다. 임의의 w ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle w\in \operatorname {B} (0,1)} 를 취하고, 다음과 같은 함수 φ w , φ f ( w ) : B ⁡ ( 0 , 1 ) → B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \varphi _{w},\varphi _{f(w)}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)} 을 정의하자. φ w ( z ) = z − w 1 − w ¯ z {\displaystyle \varphi _{w}(z)={\frac {z-w}{1-{\bar {w}}z}}} φ f ( w ) ( z ) = z − f ( w ) 1 − f ( w ) ¯ z ∀ z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \varphi _{f(w)}(z)={\frac {z-f(w)}{1-{\overline {f(w)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)} 이들은 B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)} 위의 쌍정칙 함수이며, φ w ( w ) = φ f ( w ) ( f ( w ) ) = 0 {\displaystyle \varphi _{w}(w)=\varphi _{f(w)}(f(w))=0} 이므로, g = φ f ( w ) ∘ f ∘ φ w − 1 : B ⁡ ( 0 , 1 ) → B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)} 는 정칙 함수이며, g ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=0} 이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 에 대하여, | g ( φ w ( z ) ) | ≤ | φ w ( z ) | {\displaystyle |g(\varphi _{w}(z))|\leq |\varphi _{w}(z)|} | g ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |g'(0)|\leq 1} 이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z , w ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z,w\in \operatorname {B} (0,1)} 이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)} 이 존재하는 것은 g = φ f ( w ) ∘ f ∘ φ w − 1 {\displaystyle g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}} 가 B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (0,1)} 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 f {\displaystyle f} 가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다. 독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다. 보렐-카라테오도리 정리 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 275-276쪽. “Schwarz lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Schwarz's lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Schwarz-Pick lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.