완비 범주

범주론에서 완비 범주(完備範疇, 영어: complete category)는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다. (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 및 함자 F : J → C {\displaystyle F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}} 에 대하여, F {\displaystyle F} 는 극한 lim ← ⁡ F {\displaystyle \varprojlim F} 를 갖는다. 다음 두 조건이 성립한다. (동등자의 존재) 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 동등자 Eq ⁡ { f , g } {\displaystyle \operatorname {Eq} \{f,g\}} 가 존재한다. (작은 곱의 존재) 임의의 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상들의 집합 S ⊆ C {\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}} 에 대하여, 곱 ∏ S {\displaystyle \prod S} 가 존재한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, 영어: cocomplete category)라고 한다. (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 및 함자 F : J → C {\displaystyle F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}} 에 대하여, F {\displaystyle F} 는 쌍대극한 lim → ⁡ F {\displaystyle \varinjlim F} 를 갖는다. 다음 두 조건이 성립한다. (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 쌍대동등자 Coeq ⁡ { f , g } {\displaystyle \operatorname {Coeq} \{f,g\}} 가 존재한다. (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상들의 집합 S ⊆ C {\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}} 에 대하여, 쌍대곱 ∐ S {\displaystyle \coprod S} 가 존재한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다. (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 및 함자 F : J → C {\displaystyle F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}} 에 대하여, F {\displaystyle F} 는 극한 lim ← ⁡ F {\displaystyle \varprojlim F} 를 갖는다. 다음 두 조건이 성립한다. (동등자의 존재) 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 동등자 Eq ⁡ { f , g } {\displaystyle \operatorname {Eq} \{f,g\}} 가 존재한다. (유한 곱의 존재) 임의의 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상들의 유한 집합 S ⊆ C {\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}} 에 대하여, 곱 ∏ S {\displaystyle \prod S} 가 존재한다. 다음 두 조건이 성립한다. (당김의 존재) 임의의 X → f Z ← g Y {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y} 에 대하여, 당김 X × Z Y {\displaystyle X\times _{Z}Y} 가 존재한다. (끝 대상의 존재) 끝 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 가 존재한다. 다음 세 조건이 성립한다. (동등자의 존재) 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 동등자 Eq ⁡ { f , g } {\displaystyle \operatorname {Eq} \{f,g\}} 가 존재한다. (이항 곱의 존재) 임의의 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 두 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 곱 X × Y {\displaystyle X\times Y} 가 존재한다. (끝 대상의 존재) 끝 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 가 존재한다. 작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 완비 범주이다. 쌍대 완비 범주이다. 또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.:78, Exercise D 모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다. 대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 군의 범주 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 아벨 군의 범주 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 환의 범주 Ring {\displaystyle \operatorname {Ring} } 가환환의 범주 CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군들의 범주 R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} 작은 범주들의 범주 Cat {\displaystyle \operatorname {Cat} } 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 부분 순서 집합 P {\displaystyle P} 를 얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다. P {\displaystyle P} 는 완비 범주이다. G {\displaystyle G} 는 완비 격자이다. 군 G {\displaystyle G} 를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다. G {\displaystyle G} 는 완비 범주이다. G {\displaystyle G} 는 자명군이다. 체의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 곱이나 쌍대곱이 존재하지 않는다. 모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대 완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다. Freyd, Peter J. (2003). “Abelian categories”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 2003 (3): 1–164. MR 2050440. Zbl 1041.18001.  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  “Complete category”. 《nLab》 (영어).  “Cocomplete category”. 《nLab》 (영어).  “Finitely complete category”. 《nLab》 (영어).  “Finitely cocomplete category”. 《nLab》 (영어).  “Complete small category”. 《nLab》 (영어).  “M-complete category”. 《nLab》 (영어).