항등 정리

복소해석학에서 항등 정리(恒等定理, 영어: identity theorem)는 연결 열린집합 위의 정칙 함수가 정의역에서 극한점을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 두 정칙 함수 f , g : D → C {\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {C} } 가 주어졌고, 집합 { z ∈ D : f ( z ) = g ( z ) } {\displaystyle \{z\in D\colon f(z)=g(z)\}} 가 D {\displaystyle D} 에서 극한점을 갖는다고 하자. 항등 정리에 따르면, 임의의 z ∈ D {\displaystyle z\in D} 에 대하여 f ( z ) = g ( z ) {\displaystyle f(z)=g(z)} 이다.:209 특히, 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 정칙 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 의 영점의 집합은 D {\displaystyle D} 전체이거나, D {\displaystyle D} 에서 극한점을 갖지 않는다.:208, Theorem 10.18 후자의 경우, f {\displaystyle f} 의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 정칙 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 의 영점의 집합이 D {\displaystyle D} 에 속하는 극한점 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 를 갖는다고 하자. 또한, S = { z ∈ D : 0 = f ( z ) = f ′ ( z ) = f ″ ( z ) = ⋯ } {\displaystyle S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots \}} 라고 하자. 그렇다면 S = D {\displaystyle S=D} 임을 보이는 것으로 족하다. 우선 S ≠ ∅ {\displaystyle S\neq \varnothing } 임을 보이자. z 0 ∈ S {\displaystyle z_{0}\in S} 를 보이는 것으로 족하다. 귀류법을 사용하여 z 0 ∉ S {\displaystyle z_{0}\not \in S} 라고 하자. 그렇다면 m = min { n ≥ 0 : f ( n ) ( z 0 ) ≠ 0 } {\displaystyle m=\min\{n\geq 0\colon f^{(n)}(z_{0})\neq 0\}} 이 정의된다. f {\displaystyle f} 는 연속 함수이므로, f ( z 0 ) = 0 {\displaystyle f(z_{0})=0} 이며, 따라서 m ≥ 1 {\displaystyle m\geq 1} 이다. B ⁡ ( z 0 , r ) ⊆ D {\displaystyle \operatorname {B} (z_{0},r)\subseteq D} 인 r > 0 {\displaystyle r>0} 을 고정하자. 그렇다면, 임의의 z ∈ B ⁡ ( z 0 , r ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (z_{0},r)} 에 대하여, f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n = ∑ n = m ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}} 이다. 즉, 정칙 함수 g : B ⁡ ( z 0 , r ) → C {\displaystyle g\colon \operatorname {B} (z_{0},r)\to \mathbb {C} } 를 g ( z ) = ∑ n = m ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n − m ( z ∈ B ⁡ ( z 0 , r ) ) {\displaystyle g(z)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n-m}\qquad (z\in \operatorname {B} (z_{0},r))} 와 같이 정의할 경우, g ( z 0 ) = f ( m ) ( z 0 ) m ! ≠ 0 {\displaystyle g(z_{0})={\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}\neq 0} 이고, 임의의 z ∈ B ⁡ ( z 0 , r ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (z_{0},r)} 에 대하여 f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) {\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)} 이다. 따라서 r {\displaystyle r} 을 충분히 작게 다시 정의할 경우 g {\displaystyle g} 가 B ⁡ ( z 0 , r ) {\displaystyle \operatorname {B} (z_{0},r)} 에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 f {\displaystyle f} 는 B ⁡ ( z 0 , r ) ∖ { z 0 } {\displaystyle \operatorname {B} (z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}} 에서 영점을 갖지 않는다. 이는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 이 E {\displaystyle E} 의 극한점인 데 모순이다. 이제 S {\displaystyle S} 가 열린집합임을 보이자. 임의의 z 1 ∈ S {\displaystyle z_{1}\in S} 를 고정하고, B ⁡ ( z 1 , r ) ⊆ D {\displaystyle \operatorname {B} (z_{1},r)\subseteq D} 인 r > 0 {\displaystyle r>0} 을 고정하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 z 1 {\displaystyle z_{1}} 에서 정칙 함수이므로, 임의의 z ∈ B ⁡ ( z 1 , r ) {\displaystyle z\in \operatorname {B} (z_{1},r)} 에 대하여 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( z 1 ) n ! ( z − z 1 ) n = 0 {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{1})}{n!}}(z-z_{1})^{n}=0} 이다. 즉, z ∈ S {\displaystyle z\in S} 이며, 따라서 z 1 {\displaystyle z_{1}} 은 S {\displaystyle S} 의 내부점이다. 마지막으로 S {\displaystyle S} 가 D {\displaystyle D} 의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 z 2 ∈ S ′ ∩ D {\displaystyle z_{2}\in S'\cap D} 를 고정하자. (여기서 ( − ) ′ {\displaystyle (-)'} 는 C {\displaystyle \mathbb {C} } 에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 에 대하여, f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} 이 연속 함수이므로 f ( n ) ( z 2 ) = 0 {\displaystyle f^{(n)}(z_{2})=0} 이다. 즉, z 2 ∈ S {\displaystyle z_{2}\in S} 이다. 즉, S {\displaystyle S} 는 D {\displaystyle D} 의 열린닫힌집합이며, S ≠ ∅ {\displaystyle S\neq \varnothing } 이다. D {\displaystyle D} 는 연결 집합이므로, S = D {\displaystyle S=D} 이다. 특히, 임의의 z ∈ D {\displaystyle z\in D} 에 대하여, f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} 이다. 항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 U ⊆ C {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } 가 두 연결 성분 D , U ∖ D {\displaystyle D,U\setminus D} 를 가질 때, 함수 f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } f ( z ) = { 0 z ∈ D 1 z ∈ U ∖ D ( z ∈ U ) {\displaystyle f(z)={\begin{cases}0&z\in D\\1&z\in U\setminus D\end{cases}}\qquad (z\in U)} 는 정칙 함수이며, 영점 집합 D {\displaystyle D} 는 정의역 U {\displaystyle U} 전체가 아니지만, D {\displaystyle D} 는 U {\displaystyle U} 에서 D {\displaystyle D} 의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.:210 항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수 f : C ∖ { 0 } → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} } f ( z ) = sin ⁡ 1 z ( z ∈ C ∖ { 0 } ) {\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})} 의 영점 집합 { 1 π , 1 2 π , 1 3 π , … } {\displaystyle \left\{{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}} 은 0 ∉ C ∖ { 0 } {\displaystyle 0\not \in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 을 극한점으로 한다.:97, §3.4, 예3 항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f ( x ) = { exp ⁡ ( − 1 / x 2 ) sin ⁡ ( 1 / x ) x ≠ 0 0 x = 0 ( x ∈ R ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-1/x^{2}\right)\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\qquad (x\in \mathbb {R} )} 는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합 { 0 , 1 π , 1 2 π , 1 3 π , … } {\displaystyle \left\{0,{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}} 의 극한점이다.:96, §3.4, 예2 반사 원리 해석적 연속 Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1.  강승필 (2007). 《해설 복소함수론》. 경문사.