KR이론

수학에서, KR이론(KR理論, 영어: KR-theory)은 대합을 갖춘 위상 공간 위의 안정 벡터 다발을 분류하는, 위상 K이론의 일종이다. 대합 공간(영어: space with involution, Real space) ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 대합인 연속 자기 함수 τ : X → X {\displaystyle \tau \colon X\to X} , τ ∘ τ = id X {\displaystyle \tau \circ \tau =\operatorname {id} _{X}} 대합 공간 ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} 위의 대합 벡터 다발(영어: vector bundle with involution, Real vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 복소수 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} E {\displaystyle E} 위의 연속 대합 τ E : E → E {\displaystyle \tau _{E}\colon E\to E} 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. 영단면을 0 E : X → E {\displaystyle 0_{E}\colon X\to E} 라고 하면, π ∘ τ E ∘ 0 E = τ {\displaystyle \pi \circ \tau _{E}\circ 0_{E}=\tau } 이다. E → τ E E 0 E ↑ 0 E π ↓ π X → τ X {\displaystyle {\begin{matrix}E&{\overset {\tau _{E}}{\to }}&E\\{\scriptstyle \!\!\!\!0_{E}}\uparrow {\scriptstyle \color {White}0_{E}\!\!\!\!}&&{\scriptstyle \color {White}\!\!\!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \pi \!\!\!\!}\\X&{\underset {\tau }{\to }}&X\end{matrix}}} τ E : E → E {\displaystyle \tau _{E}\colon E\to E} 는 ( τ : X → X {\displaystyle \tau \colon X\to X} 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 x ∈ E {\displaystyle x\in E} 에 대하여 ( τ E ↾ E x ) : E x → E τ ( x ) {\displaystyle (\tau _{E}\upharpoonright E_{x})\colon E_{x}\to E_{\tau (x)}} 는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉, v ∈ E x {\displaystyle v\in E_{x}} 및 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 에 대하여 τ E ( λ v ) = λ ¯ τ E ( v ) {\displaystyle \tau _{E}(\lambda v)={\bar {\lambda }}\tau _{E}(v)} 이다. 대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드의 그로텐디크 구성을 대합 공간의 KR군이라고 한다. 복소수 벡터 다발의 위상 K군 KU 0 ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(-)} 과 실수 벡터 다발의 위상 K군 KO 0 ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {KO} ^{0}(-)} 은 KR군의 특별한 경우로 주어진다. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위에 항등 함수인 대합 id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} 을 부여하자. 그렇다면, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발 ( E , τ E ) {\displaystyle (E,\tau _{E})} 이 주어졌을 때, 항상 실수 벡터 다발 E R = { v ∈ E : τ E ( v ) = v } {\displaystyle E_{\mathbb {R} }=\{v\in E\colon \tau _{E}(v)=v\}} E ≅ E R ⊗ C {\displaystyle E\cong E_{\mathbb {R} }\otimes \mathbb {C} } 을 정의할 수 있으며, 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은 X {\displaystyle X} 위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 따라서, 이 경우 KR군은 KO군과 같다. KR 0 ⁡ ( X , id X ) = KO 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {KR} ^{0}(X,\operatorname {id} _{X})=\operatorname {KO} ^{0}(X)} 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, X × { ± 1 } {\displaystyle X\times \{\pm 1\}} 위에 대합 ( x , ± 1 ) ↦ ( x , ∓ 1 ) {\displaystyle (x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1)} 을 부여하자. 그렇다면, X × { ± 1 } {\displaystyle X\times \{\pm 1\}} 위의 대합 벡터 다발은 X {\displaystyle X} 위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서, 이 경우 X × { ± 1 } {\displaystyle X\times \{\pm 1\}} 의 KR군은 X {\displaystyle X} 의 KU군과 같다. KR 0 ⁡ ( X × { ± 1 } , ( x , ± 1 ) ↦ ( x , ∓ 1 ) ) = KU 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {KR} ^{0}(X\times \{\pm 1\},(x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1))=\operatorname {KU} ^{0}(X)} 일반 위상 K이론과 마찬가지로, 축소 KR군(영어: reduced KR-group) K R ~ 0 , 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KR}} ^{0,0}(X)} 을 정의할 수 있다. 유클리드 공간 R m + n {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}} 위에 대합 ( x , y ) ↦ ( x , − y ) ( x ∈ R m , y ∈ R n ) {\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)\qquad (x\in \mathbb {R} ^{m},\;y\in \mathbb {R} ^{n})} 을 부여한 것을 R m , n {\displaystyle \mathbb {R} ^{m,n}} 으로 표기하자. 그 속의 m + n − 1 {\displaystyle m+n-1} 차원 공 및 초구를 다음과 같이 표기하자. D m , n = { ( x , y ) ∈ R m , n : ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 ≤ 1 } ≅ D m + n {\displaystyle \mathbb {D} ^{m,n}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{m,n}\colon \|x\|^{2}+\|y\|^{2}\leq 1\}\cong \mathbb {D} ^{m+n}} S m , n = { ( x , y ) ∈ R m , n : ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 = 1 } ≅ S m + n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{m,n}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{m,n}\colon \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=1\}\cong \mathbb {S} ^{m+n-1}} 그렇다면, 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다. KR m , n ⁡ ( X ) = KR 0 , 0 ⁡ ( X × D m , n ) {\displaystyle \operatorname {KR} ^{m,n}(X)=\operatorname {KR} ^{0,0}(X\times \mathbb {D} ^{m,n})} K R ~ m , n ⁡ ( X ) = K R ~ 0 , 0 ⁡ ( X ∧ D m , n ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KR}} ^{m,n}(X)=\operatorname {\widetilde {KR}} ^{0,0}(X\wedge \mathbb {D} ^{m,n})} (여기서 ∧ {\displaystyle \wedge } 는 분쇄곱이다.) 그렇다면, 다음과 같은 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이 성립한다. KR m , n ⁡ ( X ) ≅ KR m + 1 , n + 1 ⁡ ( X ) ≅ KR m + 8 , n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {KR} ^{m,n}(X)\cong \operatorname {KR} ^{m+1,n+1}(X)\cong \operatorname {KR} ^{m+8,n}(X)} 즉, KR군은 오직 ( m − n ) mod 8 {\displaystyle (m-n){\bmod {8}}} 에만 의존한다. 보통 K R ~ m , n ⁡ ( X ) = K R ~ n − m ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KR}} ^{m,n}(X)=\operatorname {\widetilde {KR}} ^{n-m}(X)} 으로 표기한다. 특히, S m , n {\displaystyle \mathbb {S} ^{m,n}} 은 ‘ m − n − 1 {\displaystyle m-n-1} 차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다. 실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다. 끈 이론에서, 오리엔티폴드가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막들은 KR군에 의하여 분류된다.:§6 1966년에 마이클 아티야가 도입하였다. 이름 ‘KR’에서, ‘K’는 원래 K이론에서 딴 것이다. (이는 독일어: Klasse 클라세[*]의 첫 글자이다.) ‘R’는 영어: real 리얼[*]의 첫 글자이다. Olsen, Kasper; Szabo, Richard J. (1999). “Constructing D-branes from K-theory” (영어). arXiv:hep-th/9907140.  Atiyah, Michael Francis (1966). “K-theory and reality”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 17 (1): 367–386. doi:10.1093/qmath/17.1.367. ISSN 0033-5606. MR 0206940.  “KR cohomology theory”. 《nLab》 (영어).