대수적 수체

대수적 수론에서 대수적 수체(代數的數體, 영어: algebraic number field), 줄여서 수체(數體, 영어: number field)는 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 는 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다. 오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 수체 K {\displaystyle K} 위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다. 실수로의 매장 ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } 에 대하여, | ⋅ | ι = | ⋅ | R ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota } . 여기서 | ⋅ | R {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }} 는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실수 무한 자리(實數無限-, 영어: real infinite place)라고 한다. 복소수로의 매장 ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } 에 대하여 ( ι ( K ) ⊄ R {\displaystyle \iota (K)\not \subset \mathbb {R} } ), | ⋅ | ι = | ⋅ | C ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota } . 여기서 | ⋅ | C {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }} 는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, ι {\displaystyle \iota } 와 ι ¯ {\displaystyle {\bar {\iota }}} 는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소수 무한 자리(複素數無限-, 영어: complex infinite place)라고 한다. 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(有限-, 영어: finite place)라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 p진수체의 대수적 폐포 Q ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 로의 매장과 대응한다. 즉, p ∣ ( p ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid (p)} 라면, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 자리는 매장 K ↪ Q ¯ p {\displaystyle K\hookrightarrow {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 을 정의하며, 절대 갈루아 군 Gal ⁡ ( Q ¯ p / Q p ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})} 의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다. 예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다. 자명 자리 | ⋅ | 0 {\displaystyle |\cdot |_{0}} 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, p {\displaystyle p} 진 자리 | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{p}} 하나의 실 무한 자리 | ⋅ | ∞ {\displaystyle |\cdot |_{\infty }} 수체 K {\displaystyle K} 에서, 실수 자리의 수를 r 1 {\displaystyle r_{1}} , 복소수 자리의 수를 r 2 {\displaystyle r_{2}} 라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다. [ K : Q ] = r 1 + 2 r 2 {\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r_{1}+2r_{2}} 이는 K {\displaystyle K} 에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.) 대수적 수체 K {\displaystyle K} 는 대역체이므로, 다음과 같은 곱 공식(영어: product formula)이 성립한다.:185, Proposition III.1.3 ∏ v | a | v = 1 , ∀ a ∈ K × {\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,\forall a\in K^{\times }} 여기서 ∏ v {\displaystyle \textstyle \prod _{v}} 는 K {\displaystyle K} 의 모든 자리에 대한 곱이며, | − | v {\displaystyle |-|_{v}} 는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수 a = s ∏ p p n p , s ∈ { ± 1 } {\displaystyle a=s\prod _{p}p^{n_{p}},\;s\in \{\pm 1\}} 의 경우 | a | ∞ = ∏ p p n p {\displaystyle |a|_{\infty }=\prod _{p}p^{n_{p}}} | a | p = p − n p {\displaystyle |a|_{p}=p^{-n_{p}}} 이므로 | a | ∞ | a | 2 | a | 3 ⋯ = ∏ p p n p ⋅ ∏ p p − n p = 1 {\displaystyle |a|_{\infty }|a|_{2}|a|_{3}\cdots =\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{-n_{p}}=1} 이다. 가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다. 모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다. 정의에 따라 유한 확대이며, 따라서 대수적 확대이다. 그 차수는 r 1 + 2 r 2 {\displaystyle r_{1}+2r_{2}} 와 같다 ( r 1 {\displaystyle r_{1}} 은 실수 자리의 수, r 2 {\displaystyle r_{2}} 는 복소수 자리의 수). 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이다. 그러나 정규 확대(즉, 갈루아 확대)가 아닌 수체가 존재한다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} 는 다음과 같은 아델 환의 몫이다. K ^ ≅ A K / K {\displaystyle {\hat {K}}\cong \mathbb {A} _{K}/K} 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환(代數的整數環, 영어: ring of algebraic integers) O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 Z ⊂ K {\displaystyle \mathbb {Z} \subset K} 의, K {\displaystyle K} 속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다. O K = { a ∈ K : ∃ p ( x ) ∈ Z [ x ] : p  is monic;  p ( a ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon \exists p(x)\in \mathbb {Z} [x]\colon p{\mbox{ is monic; }}p(a)=0\}} 이는 K {\displaystyle K} 의 부분환을 이룬다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.:192 모든 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다. O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 정수적으로 닫힌 정역이다. O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 뇌터 환이다. 0 이 아닌 모든 영이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 즉, 이 환의 크룰 차원은 1이다. 대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다. 모든 대수적 수체 K {\displaystyle K} 에서, 다음이 성립한다. O K ∩ Q = Z {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} } K = Frac ⁡ O K {\displaystyle K=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}} 여기서 Frac {\displaystyle \operatorname {Frac} } 은 분수체를 뜻한다. 대수적 수체의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 의 차수와 같다. rank ⁡ O K = [ K : Q ] = r 1 ( K ) + 2 r 2 ( K ) {\displaystyle \operatorname {rank} {\mathcal {O}}_{K}=[K:\mathbb {Q} ]=r_{1}(K)+2r_{2}(K)} 차수 n의 수체 K {\displaystyle K} 의 정수 기저(영어: integral basis)는 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 { b 1 , … , b n } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}} 이다. 따라서 K {\displaystyle K} 의 모든 대수적 정수들을 ∑ i = 1 n k i b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}b_{i}} ( k i ∈ Z {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} } ) 로 유일하게 나타낼 수 있고, K {\displaystyle K} 의 모든 원소들을 ∑ i = 1 n r i b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r_{i}b_{i}} ( r i ∈ Q {\displaystyle r_{i}\in \mathbb {Q} } ) 의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 일부 수체의 경우, 정수 기저가 b i = b 1 i , ∀ i = 1 , … , r 1 + 2 r 2 {\displaystyle b_{i}=b_{1}^{i},\forall i=1,\dots ,r_{1}+2r_{2}} 가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 거듭제곱 정수 기저(영어: power integral basis)라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 단일생성체(영어: monogenic field)라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다. n {\displaystyle n} 차 수체 K {\displaystyle K} 의 정수 기저 v 1 , … , v n ⊂ O K {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\subset {\mathcal {O}}_{K}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다. x v i = ∑ a i j v j . {\displaystyle xv_{i}=\sum a_{ij}v_{j}.} 따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬 X = ( a i j ) i , j = 1 , … , n {\displaystyle X=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}} 로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1, ..., vn에 대한 정칙 표현(正則表現, 영어: regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량은 x {\displaystyle x} 가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다. X {\displaystyle X} 의 고유 다항식 det ( λ − X ) = λ n + c 1 λ n − 1 + ⋯ + c n {\displaystyle \det(\lambda -X)=\lambda ^{n}+c_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{n}} 은 x {\displaystyle x} 를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, X {\displaystyle X} 의 대각합과 행렬식은 다음과 같다. tr ⁡ X = − c 1 {\displaystyle \operatorname {tr} X=-c_{1}} det X = ( − 1 ) n c n {\displaystyle \det X=(-1)^{n}c_{n}} 이 경우, X {\displaystyle X} 의 대각합은 T K / Q ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)} 로 쓰고, x {\displaystyle x} 의 대각합이라고 한다. 마찬가지로, X {\displaystyle X} 의 행렬식은 N K / Q ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)} 로 쓰고, x {\displaystyle x} 의 노름이라 한다. 대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다. (대각합의 선형성) T K / Q ⁡ ( a x + b y ) = a T K / Q ⁡ ( x ) + b T K / Q ⁡ ( y ) ∀ x , y ∈ K , a , b ∈ Q {\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(ax+by)=a\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)+b\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a,b\in \mathbb {Q} } (노름의 승법성) N K / Q ⁡ ( a x y ) = a n N K / Q ⁡ ( x ) N K / Q ⁡ ( y ) ∀ x , y ∈ K , a ∈ Q {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(axy)=a^{n}\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a\in \mathbb {Q} } 수체의 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다. 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 정수 기저 { b 1 , … , b r } ⊂ O K {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{r}\}\subset O_{K}} 를 고르자 ( r = r 1 + 2 r 2 {\displaystyle r=r_{1}+2r_{2}} ). K {\displaystyle K} 의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자. σ 1 R , … , σ r 1 R : K ↪ R {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } σ 1 C , … , σ r 2 C : K ↪ C {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 그렇다면 다음과 같은 r × r {\displaystyle r\times r} 정사각 행렬을 정의할 수 있다. M = ( σ 1 R ( b 1 ) ⋯ σ r 1 R ( b 1 ) σ 1 C ( b 1 ) ⋯ σ r 2 C ( b 1 ) σ ¯ 1 ( b 1 ) ⋯ σ ¯ r 2 ( b 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ σ 1 R ( b r ) ⋯ σ r 1 R ( b r ) σ 1 C ( b r ) ⋯ σ r 2 C ( b r ) σ ¯ 1 ( b r ) ⋯ σ ¯ r 2 ( b r ) ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{1})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{1})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{1})\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{r})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{r})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{r})\\\end{pmatrix}}} 이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 K {\displaystyle K} 의 판별식 Δ K {\displaystyle \Delta _{K}} 라고 한다. Δ K = ( det M ) 2 {\displaystyle \Delta _{K}=(\det M)^{2}} 수체의 판별식 Δ K {\displaystyle \Delta _{K}} 는 다음과 같은 성질을 가진다. 브릴 정리(영어: Brill’s theorem): 수체의 판별식의 부호는 sgn ⁡ Δ K = ( − 1 ) r 2 ( K ) {\displaystyle \operatorname {sgn} \Delta _{K}=(-1)^{r_{2}(K)}} 이다. (판별식은 항상 0이 아니다.) 슈티켈베르거 정리(영어: Stickelberger’s theorem): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다. Δ K ≡ 0 , 1 ( mod 4 ) {\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0,1{\pmod {4}}} 민코프스키 하한(영어: Minkowski’s bound): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 r = r 1 + 2 r 2 = [ K : Q ] {\displaystyle r=r_{1}+2r_{2}=[K:\mathbb {Q} ]} 이다. | Δ K | ≥ r r r ! ( π 4 ) r 2 {\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}\geq {\frac {r^{r}}{r!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}} 민코프스키 정리(영어: Minkowski’s theorem): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다. | Δ K | ≥ 2 ( K ≠ Q ) {\displaystyle |\Delta _{K}|\geq 2\qquad (K\neq \mathbb {Q} )} 에르미트-민코프스키 정리(영어: Hermite–Minkowski theorem): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다. K {\displaystyle K} 에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군이며, Tors ⁡ ( O K × ) {\displaystyle \operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })} 라고 하자. 이는 항상 유한 순환군이다. 즉, K {\displaystyle K} 에 속한 1의 거듭제곱근들의 수가 w K {\displaystyle w_{K}} 라고 하면 Tors ⁡ ( O K × ) = Cyc ⁡ ( w K ) {\displaystyle \operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })=\operatorname {Cyc} (w_{K})} 이다. 디리클레 가역원 정리(Dirichlet可逆元定理, 영어: Dirichlet unit theorem)에 따르면, K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 가역원군 O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} 은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다. O K × ≅ Cyc ⁡ ( w k ) ⊕ Z ⊕ ( r 1 + r 2 − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (w_{k})\oplus \mathbb {Z} ^{\oplus (r_{1}+r_{2}-1)}} 즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 r 1 + r 2 − 1 {\displaystyle r_{1}+r_{2}-1} 이다. 예를 들어, 다음과 같다. 수체의 가역원 기준(可逆元基準, 영어: regulator 레귤레이터[*])은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다. 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 가역원군 O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} 이 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} 에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 Cyc ⁡ ( m ) = { 1 , ζ m , ζ m 2 , … } {\displaystyle \operatorname {Cyc} (m)=\{1,\zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \}} 에 대한 몫군 O K × / Cyc ⁡ ( r ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)} 을 생각하자. 이 군의 생성원 O K × / Cyc ⁡ ( r ) = ⟨ u 1 , … , u r ⟩ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)=\langle u_{1},\dots ,u_{r}\rangle } 을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, r = r 1 ( K ) + r 2 ( K ) − 1 {\displaystyle r=r_{1}(K)+r_{2}(K)-1} 이다 ( r 1 ( K ) {\displaystyle r_{1}(K)} 은 실수 자리의 수, r 2 ( K ) {\displaystyle r_{2}(K)} 는 복소수 자리의 수). K {\displaystyle K} 의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자. σ 1 R , … , σ r 1 R : K ↪ R {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } σ 1 C , … , σ r 2 C : K ↪ C {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 그렇다면 다음과 같은 r × ( r + 1 ) {\displaystyle r\times (r+1)} 행렬을 생각하자. M = ( ln ⁡ | σ 1 R ( u 1 ) | ⋯ ln ⁡ | σ r 1 R ( u 1 ) | 2 ln ⁡ | σ 1 C ( u 1 ) | ⋯ 2 ln ⁡ | σ r 2 C ( u 1 ) | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ln ⁡ | σ 1 R ( u r ) | ⋯ ln ⁡ | σ r 1 R ( u r ) | 2 ln ⁡ | σ 1 C ( u r ) | ⋯ 2 ln ⁡ | σ r 2 C ( u r ) | ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{1})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{1})|\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{r})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{r})|\\\end{pmatrix}}} M {\displaystyle M} 의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다. ∑ j M i , j = ln ⁡ | f 1 ( u i ) ⋯ f r 1 ( u i ) g 1 ( u i ) 2 ⋯ g r 2 ( u i ) 2 | = ln ⁡ | N K / Q ⁡ ( u i ) | = 0 ∀ i = 1 , … , r {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}=\ln \left|f_{1}(u_{i})\cdots f_{r_{1}}(u_{i})g_{1}(u_{i})^{2}\cdots g_{r_{2}}(u_{i})^{2}\right|=\ln |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(u_{i})|=0\quad \forall i=1,\dots ,r} M {\displaystyle M} 에서 임의의 한 열 M − , j {\displaystyle M_{-,j}} 을 제거한 r × r {\displaystyle r\times r} 정사각 행렬을 M − , j ^ {\displaystyle M_{-,{\hat {j}}}} 라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 det M − , j ^ {\displaystyle \det M_{-,{\hat {j}}}} 는 j {\displaystyle j} 에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 u i {\displaystyle u_{i}} 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 K {\displaystyle K} 의 가역원 기준 Reg K {\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}} 라고 한다. Reg K = det M − , j ^ ∀ j = 1 , … , r + 1 {\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}=\det M_{-,{\hat {j}}}\quad \forall j=1,\dots ,r+1} 대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다. 유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 H K {\displaystyle H_{K}} 및 그 크기인 유수(類數) h K = | H K | {\displaystyle h_{K}=|H_{K}|} 를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다. 대수기하학적으로, 포함 관계 Z ↪ O K {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}} 는 반대로 스킴 사상 Spec ⁡ O K ↠ Spec ⁡ Z {\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다. 수체 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 및 소수 p ∈ Z + {\displaystyle p\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 주어졌을 때, p {\displaystyle p} 로 생성되는 주 아이디얼은 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다. ( p ) = p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p k e k {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}{\mathfrak {p}}_{2}^{e_{2}}\dotsb {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}} 여기서 e i {\displaystyle e_{i}} 를 K {\displaystyle K} 의 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} 에서의 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다. 이 경우, p {\displaystyle p} 는 다음과 같이 세 가지로 분류된다. 만약 e i > 1 {\displaystyle e_{i}>1} 인 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} 가 존재한다면, p {\displaystyle p} 는 분기화된다(영어: ramified). 만약 모든 e i = 1 {\displaystyle e_{i}=1} 이라면, p {\displaystyle p} 는 분기화되지 않는다(영어: unramified) 만약 k = 1 {\displaystyle k=1} 이라면, p {\displaystyle p} 는 분해되지 않는다(영어: unsplit). 만약 k > 1 {\displaystyle k>1} 이지만 e 1 = e 2 = ⋯ = e k = 1 {\displaystyle e_{1}=e_{2}=\dots =e_{k}=1} 이라면, p {\displaystyle p} 는 (다른 소수들의 곱으로) 분해된다(영어: split). 수체 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 소수 p {\displaystyle p} 는 분기화된다. O K / ( p ) = ∏ i O K / p i e i {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)=\prod _{i}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}} 는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리) p ∣ Δ K {\displaystyle p\mid \Delta _{K}} . 여기서 Δ K {\displaystyle \Delta _{K}} 는 K {\displaystyle K} 의 판별식이다. 판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다. 대수기하학적으로, 포함 관계 Z ↪ O K {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}} 는 반대로 스킴 사상 Spec ⁡ O K ↠ Spec ⁡ Z {\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다. 위에 정의된 불변량 (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등) 밖에도, 수체 K {\displaystyle K} 에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다. K {\displaystyle K} 의 종수체(영어: genus field) G / K {\displaystyle G/K} . 이는 K {\displaystyle K} 의 아벨 확대이다. 그 갈루아 군은 종수군(영어: genus group)이라고 하며, 종수체의 차수는 종수(영어: genus) g ( K ) = [ G : K ] {\displaystyle g(K)=[G:K]} 라고 한다. 이는 양의 정수이며, 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보인다. K {\displaystyle K} 의 힐베르트 유체(영어: Hilbert class field) E / K {\displaystyle E/K} . 이 역시 K {\displaystyle K} 의 아벨 확대이다. E / K {\displaystyle E/K} 의 갈루아 군은 K {\displaystyle K} 의 아이디얼 유군과 같다. K {\displaystyle K} 의 데데킨트 제타 함수 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} . 이는 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다. 아델 환 A K {\displaystyle \mathbb {A} _{K}} . 이는 위상환을 이룬다. 그 가역원군은 이델 군이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다. 다음과 같은 예들이 있다. 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 이차 수체 원분체 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 는 정규 확대가 아닌 수체이다. 이는 x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} 의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다. x 3 − x 2 − 2 x − 8 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8} 의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다. 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다. 오스트롭스키 정리(영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 다음과 같은 자리들을 가진다. 자명한 자리 | x | = { 0 x = 0 1 x ≠ 0 {\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}} 표준 자리 (통상적인 절댓값) 소수 p에 대하여, p진 자리 { | 0 | = 0 | p n a / b | p = p − n {\displaystyle {\begin{cases}|0|&=0\\|p^{n}a/b|_{p}=p^{-n}\end{cases}}} ( a , b , p {\displaystyle a,b,p} 는 서로소) 특히, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다. r 1 ( Q ) = 1 {\displaystyle r_{1}(\mathbb {Q} )=1} r 2 ( Q ) = 0 {\displaystyle r_{2}(\mathbb {Q} )=0} 유리수체의 대수적 정수환은 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다. 유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다. T Q / Q ⁡ ( x ) = N Q / Q ⁡ ( x ) = x {\displaystyle \operatorname {T} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=\operatorname {N} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=x} 유리수체의 대수적 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 정수 기저는 { 1 } {\displaystyle \{1\}} 을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다. Δ Q = ( det ( 1 ) ) 2 = 1 {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} }=\left(\det {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\right)^{2}=1} 유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 { ± 1 } {\displaystyle \{\pm 1\}} 이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다. Reg Q = 1 {\displaystyle \operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }=1} 유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} 이다. 리만 제타 함수의 s = 1 {\displaystyle s=1} 에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다. 1 = 2 r 1 ( Q ) ( 2 π ) r 2 ( Q ) h Q Reg Q | Tors ⁡ ( O Q × ) | | Δ Q | = 2 1 ⋅ ( 2 π ) 0 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ | 1 | = 1 {\displaystyle 1={\frac {2^{r_{1}(\mathbb {Q} )}(2\pi )^{r_{2}(\mathbb {Q} )}h_{\mathbb {Q} }\operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }}{|\operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }^{\times })|{\sqrt {|\Delta _{\mathbb {Q} }|}}}}={\frac {2^{1}\cdot (2\pi )^{0}\cdot 1\cdot 1}{2\cdot {\sqrt {|1|}}}}=1} 제곱 인수가 없는 정수 d {\displaystyle d} 에 대하여, 이차 수체 Q ( d ) = Q + d Q = Q [ x ] / ( x 2 − d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} +{\sqrt {d}}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-d)} 를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, d {\displaystyle d} 가 양수일 경우 실수 이차 수체, 음수일 경우 허수 이차 수체라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수체 Q ( i ) = Q + i Q = Q [ x ] / ( x 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)=\mathbb {Q} +i\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-1)} 가 있다. 다른 예로, Q ( − 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})} 는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, 6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-}}5)(1-{\sqrt {-}}5)} 이다. 기저를 { 1 , d } {\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}} 로 잡으면, 각 원소 a + b d ∈ Q ( d ) {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} 는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 적을 수 있다. a + b d ↦ ( a d b b a ) {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}} 이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다. T ( a + b d ) = 2 a {\displaystyle T(a+b{\sqrt {d}})=2a} N ( a + b d ) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} 이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 d {\displaystyle d} 에 대하여, Δ Q ( d ) = { d d ≡ 1 ( mod 4 ) 4 d d ≡ 2 , 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}} 이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 기본 판별식(영어: fundamental discriminant)이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다. 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … (OEIS의 수열 A003658) 음의 기본 판별식들은 다음과 같다. −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … (OEIS의 수열 A003657) 원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} 을 추가하여 정의한다. Q ( ζ n ) = Q [ x ] / ( x n − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})=\mathbb {Q} [x]/(x^{n}-1)} 특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 Q ( ζ 3 ) = Q + Q ( ζ 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{3})=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} (\zeta _{3})} 가 있다. n > 2 {\displaystyle n>2} 일 때, 원분체 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} 의 판별식은 다음과 같다. Δ Q ( ζ n ) = ( − 1 ) φ ( n ) / 2 n φ ( n ) ∏ p | n p − φ ( n ) / ( p − 1 ) {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\varphi (n)/2}n^{\varphi (n)}\prod _{p|n}p^{-\varphi (n)/(p-1)}} 여기서 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 은 오일러 피 함수이다. ∏ p | n {\displaystyle \prod _{p|n}} 은 n {\displaystyle n} 의 소인수들에 대한 곱이다. 다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다. Q ( π ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )/\mathbb {Q} } 는 초월 확대이므로 수체가 아니다. R / Q {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} } 나 C / Q {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} } 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다. Q ( x ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (x)/\mathbb {Q} } 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다. 대수적 수의 체를 Q ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}} 라고 하자. Q ¯ / Q {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} } 는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다. C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다. 국소체 대역체 아델 환 하세-민코프스키 정리 버치-스위너턴다이어 추측 Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Cassels, J.W.S. (1986). 《Local fields》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.  Lang, Serge (1994). 《Algebraic number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 110 2판. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Ireland, Kenneth; Michael Rosen (1990). 《A classical introduction to modern number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 84 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISSN 0072-5285.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Algebraic number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Abelian number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Non-Abelian number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Proskuryakov, I.V. (2001). “Discriminant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Regulator of an algebraic number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring of integers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Regulator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fundamental unit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Number field”. 《nLab》 (영어).  “Ring of integers”. 《nLab》 (영어).  “Regulator of a number field”. 《nLab》 (영어).  “Genus of a number field”. 《nLab》 (영어).  이철희. “디리클레 단위 정리와 수체의 regulator”. 《수학노트》.  “Do finite places of a number field also correspond to embeddings?”. 《Math Overflow》 (영어).