A∞-오퍼라드

오퍼라드 이론에서 A∞-오퍼라드(영어: A∞-operad)는 호모토피를 무시한다면 결합 법칙이 성립하는 대수들을 나타내는 오퍼라드이다. 위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 A {\displaystyle A} 에 대하여, 만약 A ( n ) {\displaystyle A(n)} 이 (이산 공간의 위상을 준) 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 과 호모토피 동치이며, 또한 A ( n ) {\displaystyle A(n)} 위의 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면, A {\displaystyle A} 를 A∞-오퍼라드라고 한다. A∞-오퍼라드를 벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현하면, A∞-대수를 얻는다. A∞-대수 A {\displaystyle A} 는 다음과 같이 정수 등급을 갖는 벡터 공간이며, A = ⨁ p ∈ Z A p {\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A^{p}} 다음과 같은 무한한 수의 연산들을 갖는다. 모든 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 에 대하여, n {\displaystyle n} 항 n {\displaystyle n} 겹선형 연산 m n : A ⊕ n → A {\displaystyle m_{n}\colon A^{\oplus n}\to A} deg ⁡ m n = 2 − n {\displaystyle \deg m_{n}=2-n} 이 존재한다. 이들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 에 대하여 다음이 성립한다. ∑ r + s + t = n ( − 1 ) r + s t m r + 1 + t ( a 1 , … , a r , m s ( b 1 , … , b s ) , c 1 , … , c t ) = 0 ∀ a i , b i , c i ∈ A {\displaystyle \sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}m_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(b_{1},\dots ,b_{s}),c_{1},\dots ,c_{t})=0\qquad \forall a_{i},b_{i},c_{i}\in A} 처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서 m 1 = δ {\displaystyle m_{1}=\delta } , m 2 = ⋅ {\displaystyle m_{2}=\cdot } 으로 쓰자. (공경계의 멱영성) δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} (곱 규칙) δ ( a b ) = ( δ a ) b + a ( δ b ) {\displaystyle \delta (ab)=(\delta a)b+a(\delta b)} (호모토피 결합 법칙) a ( b c ) − ( a b ) c = δ m 3 ( a , b , c ) + m 3 ( δ a , b , c ) + m 3 ( a , δ b , c ) + m 3 ( a , b , δ c ) {\displaystyle a(bc)-(ab)c=\delta m_{3}(a,b,c)+m_{3}(\delta a,b,c)+m_{3}(a,\delta b,c)+m_{3}(a,b,\delta c)} m 3 ( a b , c , d ) − m 3 ( a , b c , d ) + m 3 ( a , b , c d ) − m 3 ( a , b , c ) d − a m 3 ( b , c , d ) = − δ m 4 ( a , b , c , d ) + m 4 ( δ a , b , c , d ) + m 4 ( a , δ b , c , d ) + m 4 ( a , b , δ c , d ) + m 4 ( a , b , c , δ d ) {\displaystyle m_{3}(ab,c,d)-m_{3}(a,bc,d)+m_{3}(a,b,cd)-m_{3}(a,b,c)d-am_{3}(b,c,d)=-\delta m_{4}(a,b,c,d)+m_{4}(\delta a,b,c,d)+m_{4}(a,\delta b,c,d)+m_{4}(a,b,\delta c,d)+m_{4}(a,b,c,\delta d)} ⋮ {\displaystyle \vdots } 따라서, ( A , δ ) {\displaystyle (A,\delta )} 는 공사슬 복합체를 이룬다. 두 A∞-대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 에 대하여, 차수 1 − n {\displaystyle 1-n} 인 겹선형 사상 f n : A ⊗ n → B {\displaystyle f_{n}\colon A^{\otimes n}\to B} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 에 대하여, ∑ r + s + t = n ( − 1 ) r + s t f r + 1 + t ( a 1 , … , a r , m s ( a r + 1 , … , a r + s ) , a r + s + 1 , … , a n ) = ∑ k = 1 n ∑ i 1 + ⋯ + i k = n ( − 1 ) ∑ ℓ = 1 k ( k − ℓ ) ( i ℓ − 1 ) m r ( f i 1 ( a 1 , … , a i 1 , f 2 ( … ) , … , f i k ( … , a n ) ) {\displaystyle \sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}f_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(a_{r+1},\dots ,a_{r+s}),a_{r+s+1},\dots ,a_{n})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n}(-1)^{\sum _{\ell =1}^{k}(k-\ell )(i_{\ell }-1)}m_{r}(f_{i_{1}}(a_{1},\dots ,a_{i_{1}},f_{2}(\dots ),\dots ,f_{i_{k}}(\dots ,a_{n}))} 구체적으로, 처음 몇 n {\displaystyle n} 에 대하여 이 조건은 다음과 같다. f 1 ∘ δ = δ ∘ f 1 {\displaystyle f_{1}\circ \delta =\delta \circ f_{1}} f 1 ( a ⋅ b ) = f 1 ( a ) ⋅ f 1 ( b ) + δ f 2 ( a , b ) + f 2 ( δ a , b ) + f 2 ( a , δ b ) {\displaystyle f_{1}(a\cdot b)=f_{1}(a)\cdot f_{1}(b)+\delta f_{2}(a,b)+f_{2}(\delta a,b)+f_{2}(a,\delta b)} ⋮ {\displaystyle \vdots } A∞-대수 A {\displaystyle A} 의 코호몰로지 H ∙ ( A ) {\displaystyle H^{\bullet }(A)} 를 취하자. 그렇다면, H ∙ ( A ) {\displaystyle H^{\bullet }(A)} 위에도 자연스러운 A∞-대수의 구조가 존재하며, 이 경우 m 1 = 0 {\displaystyle m_{1}=0} 이 된다. 결합 오퍼라드는 A ( n ) = Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle A(n)=\operatorname {Sym} (n)} 인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다. 작은 구간 오퍼라드(영어: little interval operad)의 경우, A ( n ) {\displaystyle A(n)} 은 단위 구간 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 속에 존재하는 n {\displaystyle n} 개의 서로소 열린 구간들의 공간이다. A∞-대수 오퍼라드 고리 공간 Keller, Bernhard (2001). “Introduction to A-infinity algebras and modules”. 《Homology, Homotopy and Applications》 (영어) 3 (1): 1-35. arXiv:math/9910179. doi:10.4310/hha.2001.v3.n1.a1. ISSN 1532-0073. MR 1854636. Zbl 0989.18009.  Keller, Bernhard (2002). “Addendum to: ‘Introduction to A-infinity algebras and modules’”. 《Homology, Homotopy and Applications》 (영어) 4 (1): 25–28. doi:10.4310/hha.2001.v3.n1.a2. ISSN 1532-0073. MR 1905779.  Vallette, Bruno (2014). 〈Algebra + homotopy = operad〉. 《Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 62. 101–162쪽. arXiv:1202.3245. Bibcode:2012arXiv1202.3245V.  Markl, Martin. “Transferring A∞ (strongly homotopy associative) structures” (영어). arXiv:math/0401007. Bibcode:2004math......1007M.  “A-infinity operad”. 《nLab》 (영어).  “A-infinity-algebra”. 《nLab》 (영어).