삼각 치환

미적분학에서 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다. 삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.:342 R ( x , a 2 − x 2 ) , R ( x , a 2 + x 2 ) , R ( x , x 2 − a 2 ) {\displaystyle R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})} 여기서 R {\displaystyle R} 는 유리 함수이며 a > 0 {\displaystyle a>0} 이다. 이는 R ( x , a x 2 + b x + c ) {\displaystyle R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})} 의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 x {\displaystyle x} 를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.:533:51 새 변수 θ {\displaystyle \theta } 의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.:342:482 다음과 같은 적분을 구하자.:49, Example 1:249, 例6.2.8 ∫ d x a 2 − x 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}} 여기서 a > 0 {\displaystyle a>0} 이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자. x = a sin ⁡ θ , a 2 − x 2 = a cos ⁡ θ , d x = a cos ⁡ θ d θ , θ = arcsin ⁡ x a {\displaystyle x=a\sin \theta ,\;{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta ,\;\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}} 그러면 다음을 얻는다. 이 적분은 x / a = t {\displaystyle x/a=t} 와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.:252, 例6.2.14 이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다. 다음을 구하자.:48, Example 1 ∫ d x a 2 + x 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}} 여기서 a > 0 {\displaystyle a>0} 이다. 다음을 사용하자. x = a tan ⁡ θ , a 2 + x 2 = a sec ⁡ θ , d x = a sec 2 ⁡ θ d θ , θ = arctan ⁡ x a {\displaystyle x=a\tan \theta ,\;{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta ,\;\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arctan {\frac {x}{a}}} 그러면 다음을 얻는다. 이 적분은 치환 x / a = t {\displaystyle x/a=t} 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.:253, 例6.2.16 이 적분은 쌍곡 치환 x = a sinh ⁡ t {\displaystyle x=a\sinh t} 을 통해서도 구할 수 있다. 편의상 x > 0 {\displaystyle x>0} 이라고 하고 다음을 구하자.:50, Example 1 ∫ d x x x 2 − a 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}} 여기서 a > 0 {\displaystyle a>0} 이다. 다음을 사용하자. x = a sec ⁡ θ , x 2 − a 2 = a | tan ⁡ θ | , d x = a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ , θ = arcsec ⁡ x a {\displaystyle x=a\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a|\tan \theta |,\;\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}} 그러면 다음을 얻는다. 이 적분은 치환 x / a = t {\displaystyle x/a=t} 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.:253, 例6.2.15 이 적분은 쌍곡 치환 x = a cosh ⁡ t {\displaystyle x=a\cosh t} 를 통해서도 구할 수 있다. 다음과 같은 적분을 구하자.:536, Example 4 ∫ 3 2 x 2 − 3 x d x {\displaystyle \int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x} 다음을 사용하자. x = 3 sec ⁡ θ , x 2 − 3 = 3 tan ⁡ θ , d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ , θ = arcsec ⁡ x a {\displaystyle x={\sqrt {3}}\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-3}}={\sqrt {3}}\tan \theta ,\;\mathrm {d} x={\sqrt {3}}\sec \theta \tan \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}} 만약 x = 3 {\displaystyle x={\sqrt {3}}} 일 경우 cos ⁡ θ = 1 {\displaystyle \cos \theta =1} 이므로 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 이며, 만약 x = 2 {\displaystyle x=2} 일 경우 cos ⁡ θ = 3 / 2 {\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {3}}/2} 이므로 θ = π / 6 {\displaystyle \theta =\pi /6} 이다. 따라서 다음이 성립한다. ∫ 3 2 x 2 − 3 x d x = 3 ∫ 0 π / 6 tan 2 ⁡ θ d θ = 3 ∫ 0 π / 6 ( sec 2 ⁡ θ − 1 ) d θ = 3 [ tan ⁡ θ − θ ] 0 π / 6 = 1 − 3 π 6 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}\tan ^{2}\theta \mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}(\sec ^{2}\theta -1)\mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}{\bigg [}\tan \theta -\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi /6}\\&=1-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}\end{aligned}}} 바이어슈트라스 치환 周民强 (2010). 《数学分析习题演练. 第一册》 (중국어) 2판. 北京: 科学出版社. ISBN 978-7-03-028183-8.  Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101.  Gunther, Charles O.; Webb, J. Burkitt (1907). 《Integration by trigonometric and imaginary substitution》 (영어). New York: D. Van Nostrand company. LCCN 07040021.  Stewart, James (2011). 《Single Variable Calculus: Early Transcendentals》 (영어) 7판. Belmont, CA: Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49867-8. LCCN 2010936598.  伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.  이철희. “삼각치환”. 《수학노트》.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Trigonometric substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.