게이지 변환군

이론물리학과 미분기하학에서 게이지 변환군(gauge變換群, 영어: group of gauge transformations)은 어떤 주다발의 자기 동형으로 구성된 위상군이다. 그 원소를 게이지 변환(gauge變換, 영어: gauge transformation)이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 그렇다면, P {\displaystyle P} 의 게이지 변환은 P {\displaystyle P} 의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수 ϕ ∈ C ∞ ( P , G ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)} 가운데, 등변 함수 조건 ϕ ( p ⋅ g ) = g − 1 ϕ ( p ) g ∀ ( p , g ) ∈ P × G {\displaystyle \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\qquad \forall (p,g)\in P\times G} 을 만족시키는 것이다.:539, (2.1) 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다. P × G → ( ⋅ ) P ( ϕ , id ) ↓ ( ϕ , id ) ϕ ↓ ϕ G × G → ( h , g ) ↦ g − 1 h g G {\displaystyle {\begin{matrix}P\times G&{\overset {(\cdot )}{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!(\phi ,\operatorname {id} )}\downarrow {\scriptstyle \color {White}(\phi ,\operatorname {id} )\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\phi }\downarrow {\scriptstyle \phi \!\!\!\!\!\!}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}} 두 게이지 변환 ϕ , χ {\displaystyle \phi ,\chi } 는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다. ( ϕ χ ) ( p ) = ϕ ( p ) χ ( p ) {\displaystyle (\phi \chi )(p)=\phi (p)\chi (p)} 그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 게이지 변환군이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 그렇다면, 연관 다발 Ad ⁡ ( P ) = P × G G {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G} 을 취할 수 있다. 여기서 G {\displaystyle G} 의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레 g ⋅ h = g h g − 1 {\displaystyle g\cdot h=ghg^{-1}} 이다. 이 올다발의 매끄러운 단면 ϕ ∈ Γ ∞ ( Ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))} 을 P {\displaystyle P} 의 게이지 변환이라고 한다. 이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.:539, §2 게이지 변환군 Aut ⁡ ( P ) = Γ ∞ ( Ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)=\Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))} 에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발 ad ⁡ ( P ) = P × G g {\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {g}}} 의 매끄러운 단면 Γ ∞ ( ad ⁡ ( G ) ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))} 의 실수 벡터 공간이다. 이 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 괄호는 G {\displaystyle G} 의 딸림표현 작용에 공변이므로, [ ad ⁡ ( g ) x , ad ⁡ ( g ) y ] = ad ⁡ ( [ x , y ] ) {\displaystyle [\operatorname {ad} (g)x,\operatorname {ad} (g)y]=\operatorname {ad} ([x,y])} 이는 Γ ∞ ( ad ⁡ ( G ) ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))} 위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 무한소 게이지 변환(영어: infinitesimal gauge transformation)으로 해석될 수 있다. 게이지 변환군 Aut ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)} 는 위상군이며, 그 연결 성분의 군 π 0 ( Aut ⁡ ( P ) ) = Aut ⁡ ( P ) Aut 0 ⁡ ( P ) {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (P))={\frac {\operatorname {Aut} (P)}{\operatorname {Aut} _{0}(P)}}} 을 정의할 수 있다. 이를 큰 게이지 변환(영어: large gauge transformation)의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분 Aut 0 ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(P)} 의 원소를 작은 게이지 변환(영어: small gauge transformation)이라고 한다. 임의의 M {\displaystyle M} 위의 G {\displaystyle G} 의 유한 차원 실수 표현 G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V)} 이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발 E = P × G V {\displaystyle E=P\times _{G}V} 의 매끄러운 단면의 공간 Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)} 를 생각할 수 있다. 게이지 변환군 Aut ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)} 은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다. ( ϕ ⋅ s ) ( x ) = q ( p , ϕ ( p ) v ) ( s ( x ) = q ( p , v ) , ( p , v ) ∈ P × V ) {\displaystyle (\phi \cdot s)(x)=q(p,\phi (p)v)\qquad (s(x)=q(p,v),\;(p,v)\in P\times V)} 여기서 q : P × V ↠ P × G V = E {\displaystyle q\colon P\times V\twoheadrightarrow P\times _{G}V=E} 는 연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 G {\displaystyle G} -주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 위의 주접속 A ∈ Ω 1 ( P ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 이 주어졌다고 하자. P {\displaystyle P} 의 게이지 변환 ϕ ∈ Γ ( Ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \phi \in \Gamma (\operatorname {Ad} (P))} 는 주다발의 자기 동형 ϕ # : P → P {\displaystyle \phi _{\#}\colon P\to P} ϕ # : p ↦ p ⋅ ϕ ( p ) {\displaystyle \phi _{\#}\colon p\mapsto p\cdot \phi (p)} 를 정의하며, 따라서 주접속 위에도 ϕ ⋅ A = ϕ # ∗ A {\displaystyle \phi \cdot A=\phi _{\#}^{*}A} 와 같이 작용한다. 게이지 변환군은 주접속 A ∈ Ω 1 ( P ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 의 곡률 F ∈ Ω 2 ( P ; g ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})} 위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다. F ↦ ϕ # ∗ F {\displaystyle F\mapsto \phi _{\#}^{*}F} 반면, 예를 들어, 킬링 형식 B ( − , − ) {\displaystyle B(-,-)} 및 준 리만 계량 g {\displaystyle g} 에 대하여, 양-밀스 라그랑지언 B ( F , F # ) ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle B(F,F^{\#})\in \Omega ^{0}(M)} 는 게이지 불변이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 주다발 P {\displaystyle P} 를 생각하자. 어떤 작용 S {\displaystyle S} 가 게이지 변환 ϕ ∈ Γ ∞ ( Ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))} 에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자. 1 2 π S ↦ 1 2 π S + ∑ i ∫ M F i ∧ ϕ ∗ α i {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge \phi ^{*}\alpha _{i}} α i ∈ Ω d i ( G ) {\displaystyle \alpha _{i}\in \Omega ^{d_{i}}(G)} , ( ( − ) g ) ∗ α i = α i {\displaystyle ((-)^{g})^{*}\alpha _{i}=\alpha _{i}} ( ( − ) g : G → G , h ↦ g h g − 1 {\displaystyle (-)^{g}\colon G\to G,\;h\mapsto ghg^{-1}} ) d α i = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \alpha _{i}=0} F i ∈ Ω n − d i ( M ) {\displaystyle F_{i}\in \Omega ^{n-d_{i}}(M)} d F i = 0 {\displaystyle \mathrm {d} F_{i}=0} 여기서 α i {\displaystyle \alpha _{i}} 의 당김은 켤레 변환 불변성에 대하여 Ad ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)} 의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다. 이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉, exp ⁡ ( i S ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)} 가 게이지 불변이려면), 항상 ∑ i ∫ M F i ∧ g ∗ α i ∈ Z {\displaystyle \sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge g^{*}\alpha _{i}\in \mathbb {Z} } 이어야 한다. 만약 g {\displaystyle g} 가 작은 게이지 변환이라면, α i {\displaystyle \alpha _{i}} 가 완전 미분 형식이 된다. 즉, α i = d β i {\displaystyle \alpha _{i}=\mathrm {d} \beta _{i}} 라고 하면, 1 2 π S ↦ 1 2 π S + ∑ i ∫ M F i ∧ ϕ ∗ d β i = 1 2 π S + ∑ i ( − ) ( n − d i ) ∫ M d ( F i ∧ ϕ ∗ β i ) = 1 2 π S {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}\mathrm {F} _{i}\wedge \phi ^{*}\mathrm {d} \beta _{i}={\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}(-)^{(n-d_{i})}\int _{M}\mathrm {d} (F_{i}\wedge \phi ^{*}\beta _{i})={\frac {1}{2\pi }}S} 가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약 α i {\displaystyle \alpha _{i}} 가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서 [ M ] ⌢ ( [ F i ] ⌣ H d i ⁡ ( M ; R ) ) ∈ Z {\displaystyle [M]\frown ([F_{i}]\smile \operatorname {H} ^{d_{i}}(M;\mathbb {R} ))\in \mathbb {Z} } 의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서 [ M ] ∈ H n ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {R} )} 는 실수 계수 기본류이다.) 특히, 만약 d i = n {\displaystyle d_{i}=n} 일 경우, 이는 F i ∈ Z {\displaystyle F_{i}\in \mathbb {Z} } 를 유도한다. 이 경우, 이 값 F i ∈ Z {\displaystyle F_{i}\in \mathbb {Z} } 를 레벨(영어: level)이라고 한다. 예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다. P = M × G {\displaystyle P=M\times G} 가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로 Ad ⁡ ( P ) = M × G {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=M\times G} 가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 M → G {\displaystyle M\to G} 가 된다. 함수를 통한 정의: 만약 P = M × G {\displaystyle P=M\times G} 가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수 ϕ ∈ C ∞ ( M , G ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 에 대응하는 게이지 변환은 ϕ ( m , g ) = g − 1 ϕ ( m ) g ∀ ( m , g ) ∈ P = M × G {\displaystyle \phi (m,g)=g^{-1}\phi (m)g\qquad \forall (m,g)\in P=M\times G} 이다. 연관 다발을 통한 정의: 만약 P = M × G {\displaystyle P=M\times G} 가 자명한 주다발이라면, Ad ⁡ ( P ) = M × G {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=M\times G} 이다. 구체적으로, Ad ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)} 의 올을 G × G G = G × G ( g k , h ) ∼ ( g , k h k − 1 ) {\displaystyle G\times _{G}G={\frac {G\times G}{(gk,h)\sim (g,khk^{-1})}}} 로 정의하면, 모든 동치류는 ( g , h ) ∼ ( 1 , g h g − 1 ) {\displaystyle (g,h)\sim (1,ghg^{-1})} 의 동치 관계 아래 ( 1 , g ) {\displaystyle (1,g)} 의 꼴의 대표원을 갖는다. 만약 M = S n {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{n}} 이 초구이며, P = M × G {\displaystyle P=M\times G} 가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군 π n ( G ) {\displaystyle \pi _{n}(G)} 과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다. 특히, 만약 M = S 3 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{3}} 이며, G {\displaystyle G} 가 콤팩트 단순 리 군일 경우, π 3 ( G ) = Cyc ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \pi _{3}(G)=\operatorname {Cyc} (\infty )} (무한 순환군)이 된다. 만약 G {\displaystyle G} 가 아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발 P {\displaystyle P} 를 생각하자. 이 경우, G {\displaystyle G} 위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로 Ad ⁡ ( P ) = P × G G = M × G {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G=M\times G} 가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 M → G {\displaystyle M\to G} 가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식 Ω 1 ( M ) ⊗ R l i e ( G ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)} 가 된다. 이 경우, 주접속의 곡률은 사실 M {\displaystyle M} 위의 리 대수 값 미분 형식 F ∈ Ω 2 ( M ) ⊗ R l i e ( G ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)} 가 되며, 이는 게이지 불변이다. 게이지 대칭 (수학) 게이지 이론 게이지 이론 (수학) 주다발 Wockel, Christoph (2006). 《Infinite-dimensional Lie theory for gauge groups》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Karl-Hermann Neeb). 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