점렬 공간

일반위상수학에서 점렬 공간(點列空間, 영어: sequential space)은 위상수학적 구조를 그물 대신 점렬만으로 다룰 수 있는 위상 공간이다. 점렬성은 제1 가산 공간의 조건을 매우 약화시킨 것이다. 점렬 공간의 범주는 범주론적으로 여러 좋은 성질들을 갖는다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 이 다음 조건을 만족시키면, 점렬 열린집합(點列-集合, 영어: sequentially open set)이라고 한다. 임의의 점렬 ( x i ) i = 0 ∞ ⊆ X {\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq X} 에 대하여, 만약 x i → u {\displaystyle x_{i}\to u} 인 u ∈ U {\displaystyle u\in U} 가 존재한다면, 충분히 큰 i {\displaystyle i} 에 대하여 x i ∈ U {\displaystyle x_{i}\in U} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 이 다음 조건을 만족시키면, 점렬 닫힌집합(點列-集合, 영어: sequentially closed set)이라고 한다. 임의의 점렬 ( x i ) i = 0 ∞ ⊆ C {\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq C} 에 대하여, 만약 x i → x {\displaystyle x_{i}\to x} 인 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다면, x ∈ C {\displaystyle x\in C} 이다. 위 정의에서, "점렬"을 그물 또는 필터로 대체하면 표준적인 열린집합·닫힌집합의 정의와 동치인 개념을 얻는다. 즉, 모든 열린집합은 점렬 열린집합이며 모든 닫힌집합은 점렬 닫힌집합이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 점렬 공간이라고 한다. 모든 점렬 열린집합은 열린집합이다. 모든 점렬 닫힌집합은 닫힌집합이다. 제1 가산 공간의 몫공간이다. 거리화 가능 공간의 몫공간이다. 임의의 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 및 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 가 점렬 연속 함수라면 f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 즉, 점렬 공간에서는 열린집합 · 닫힌집합 · 연속 함수의 개념을 그물 또는 필터 대신 점렬만으로 다룰 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 의 점렬 폐포(點列閉包, 영어: sequential closure) c l s e q ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl_{seq}} A} 는 A {\displaystyle A} 속의 점렬들의 극한들로 구성된 X {\displaystyle X} 의 부분 집합이다. c l s e q ⁡ A = { x ∈ X : ∃ ( a i ) i = 0 ∞ ⊆ A : a i → x } {\displaystyle \operatorname {cl_{seq}} A=\left\{x\in X\colon \exists (a_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq A\colon a_{i}\to x\right\}} 점렬 폐포는 멱등 연산이 아니다. 즉, 일반적으로 c l s e q ⁡ c l s e q ⁡ A ≠ c l s e q ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl_{seq}} \operatorname {cl_{seq}} A\neq \operatorname {cl_{seq}} A} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A {\displaystyle A} 에 대하여, 초한 점렬 폐포열(超限點列閉包列, 영어: transfinite sequential closure sequence) A α {\displaystyle A_{\alpha }} 는 다음과 같이 정의된다. A 0 = A {\displaystyle A_{0}=A} 따름 순서수 α + 1 {\displaystyle \alpha +1} 에 대하여, A α + 1 = c l s e q ⁡ A α {\displaystyle A_{\alpha +1}=\operatorname {cl_{seq}} A_{\alpha }} 이다. 극한 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, A α = ⋃ β < α A β {\displaystyle A_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }A_{\beta }} 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, A α = A α + 1 {\displaystyle A_{\alpha }=A_{\alpha +1}} 이 되는 최소의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 가 존재하며, 또한 항상 α ≤ ω 1 {\displaystyle \alpha \leq \omega _{1}} 이다. ( ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 은 최소의 비가산 순서수이다.) 이 경우 A α {\displaystyle A_{\alpha }} 를 A {\displaystyle A} 의 초한 점렬 폐포(超限點列閉包, 영어: transfinite sequential closure)라고 한다. 점렬 공간 속에서, 초한 점렬 폐포는 항상 (일반적) 폐포와 일치한다. 점렬 공간 X {\displaystyle X} 의 점렬 순서수(點列順序數, 영어: sequential order)는 모든 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여 A α = cl ⁡ A {\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {cl} A} 가 되는 최소의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 프레셰-우리손 공간(Fréchet-Урысон空間, 영어: Fréchet–Urysohn space)이라고 한다.. X {\displaystyle X} 의 모든 부분 집합은 점렬 공간이다. X {\displaystyle X} 의 모든 부분 집합의 폐포는 점렬 폐포와 같다. 즉, X {\displaystyle X} 의 점렬 순서수는 1이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 제2 가산 공간 ∪ 거리화 가능 공간 ⊊ 제1 가산 공간 ⊊ 프레셰-우리손 공간 ⊊ 점렬 공간 ⊊ 콤팩트 생성 공간 ∩ 가산 생성 공간 점렬 공간에 다음과 같은 연산을 가하여도 점렬 공간을 얻는다. 점렬 공간의 몫공간은 점렬 공간이다. 점렬 공간 X {\displaystyle X} 및 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 및 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌고, f {\displaystyle f} 가 닫힌 사상이거나 열린 사상이라고 하자. 그렇다면 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 는 점렬 공간이다. (그러나 f {\displaystyle f} 가 닫힌 사상도, 열린 사상도 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다. 임의의 수의 점렬 공간들의 분리합집합은 점렬 공간이다. 점렬 공간의 열린집합과 닫힌집합은 점렬 공간이다. (그러나 일반적인 부분 공간에 대하여 이는 성립하지 않을 수 있다.) 점렬 공간의 곱공간은 일반적으로 점렬 공간이 아니다. 점렬 공간과 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루며, 따라서 모든 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다. (점렬 공간의 범주에서의 범주론적 곱은 (위상 공간의 범주에서의) 곱공간과 일치하지 않는다.) 즉, 점렬 공간은 노먼 스틴로드가 정의한 (위상수학에서) "편리한 범주"(영어: convenient category)를 이룬다. 데카르트 닫힌 범주를 넘어서, 점렬 공간을 충만한 부분 범주로 갖는 토포스를 정의할 수 있으며, 이를 존스톤 토포스(영어: Johnstone’s topos)라고 한다. 수학에서 다루는 거의 모든 위상 공간은 점렬 공간이다. 모든 CW 복합체와 모든 다양체는 점렬 공간이다. 가산 무한 개의 원들의 쐐기합 R / N = { { r } : r ∈ R ∖ N } ∪ { N } {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} =\{\{r\}\colon r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {N} \}\cup \{\mathbb {N} \}} (즉, 실수 집합에서, 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 몫공간)은 프레셰-우리손 공간이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 N ∈ R / N {\displaystyle \mathbb {N} \in \mathbb {R} /\mathbb {N} } 은 가산 국소 기저를 갖지 않기 때문이다. 아렌스 공간(영어: Arens space) S 2 = N × ( { 0 } ∪ { 1 / i : i ∈ Z + } ) ∀ i ∈ Z + : ( 0 , 1 / i ) ∼ ( i , 0 ) {\displaystyle S_{2}={\frac {\mathbb {N} \times (\{0\}\cup \{1/i\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\})}{\forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon (0,1/i)\sim (i,0)}}} 은 (제1 가산 공간의 몫공간이므로) 점렬 공간이며, 완전 정규 하우스도르프 공간이지만, 프레셰-우리손 공간이 아니다.:54–55, Example 1.6.19 구체적으로, 점 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 은 집합 S 2 ∖ { ( 0 , 1 / i ) : i ∈ Z + } {\displaystyle S_{2}\setminus \{(0,1/i)\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 의 폐포에 속하지만, ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 으로 수렴하는 점렬은 상수 점렬과 ( ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 / 2 ) , … ) {\displaystyle ((0,1),(0,1/2),\dots )} 의 부분 점렬밖에 없다. 비가산 집합에서, 닫힌집합을 가산 부분 집합으로 정의하자. 이 위상 공간에서, 수렴하는 점렬은 충분히 큰 첨자에 대하여 상수 점렬인 것 밖에 없다. 따라서, 모든 부분 집합은 점렬 열린집합이며, 이 위상 공간은 점렬 공간이 아니다. 아렌스 공간의 부분 공간 S 2 ∖ { ( 0 , 1 / i ) : i ∈ Z + } {\displaystyle S_{2}\setminus \{(0,1/i)\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 은 점렬 공간이 아니다.:55, Example 1.6.20 오랫동안 제1 가산 공간에서는 일반적으로 그물을 사용하여 정의되는 각종 위상수학적 성질들이 점렬을 사용하여 정의되는 것들과 동치인 것이 알려져 있었다. 1956년에 스탠리 프랭클린(영어: Stanley P. 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