단체 리 대수

호모토피 이론에서 단체 리 대수(單體Lie代數, 영어: simplicial Lie algebra)는 리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 단체 집합 구조로 주어지며 리 괄호와 호환되는 위상을 갖춘 리 대수이다.:§Ⅰ.4 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} -단체 리 대수는 K {\displaystyle K} -리 대수의 범주 LieAlg K {\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}} 속의 단체 대상이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, K {\displaystyle K} -리 대수 g n {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}} g ∙ {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\bullet }} 위의 단체 집합 구조 ∂ ∙ n : g n → g n − 1 {\displaystyle \partial _{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}}_{n}\to {\mathfrak {g}}_{n-1}} , s ∙ n : g n → g n + 1 {\displaystyle s_{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}}_{n}\to {\mathfrak {g}}_{n+1}} . 또한, 함수들은 모두 K {\displaystyle K} -리 대수 준동형이어야 한다. 단체 리 대수의 범주에서, K {\displaystyle K} -리 대수 → K {\displaystyle K} -가군 망각 함자 LieAlg K → Mod K {\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {Mod} _{K}} 를 통해, 망각 함자 [ △ op , LieAlg K ] → [ △ op , Mod K ] ≃ Ch ∙ ≥ 0 ⁡ ( Mod K ) {\displaystyle [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K}]\simeq \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})} 를 정의할 수 있다. 여기서 Ch ∙ ≥ 0 ⁡ ( Mod K ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})} 는 자연수 등급의 K {\displaystyle K} -가군 사슬 복합체의 아벨 범주이며, 마지막 범주의 동치는 돌트-칸 대응이다. 이 망각 함자를 N : [ △ op , LieAlg K ] → Ch ∙ ≥ 0 ⁡ ( Mod K ) {\displaystyle \mathrm {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})} 라고 하자. K {\displaystyle K} 가 표수 0의 체라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 g ∙ {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\bullet }} 에 대하여, 사슬 복합체 ( N g ) ∙ {\displaystyle (\mathrm {N} {\mathfrak {g}})_{\bullet }} 위에 다음과 같은 리 괄호를 줄 수 있다. N g ⊗ K N g → N ( g ⊗ K g ) → N g {\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {g}}\otimes _{K}\mathrm {N} {\mathfrak {g}}\to \mathrm {N} ({\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}})\to \mathrm {N} {\mathfrak {g}}} 여기서 첫째 사상은 에일렌베르크-질버 사상이며, 둘째 사상은 성분별로 리 괄호를 취하는 것이다. 그렇다면, ( N g ) ∙ {\displaystyle (\mathrm {N} {\mathfrak {g}})_{\bullet }} 는 K {\displaystyle K} -미분 등급 리 대수를 이룬다. 이는 함자 N : [ △ op , LieAlg K ] → dgLieAlg K {\displaystyle \operatorname {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {dgLieAlg} _{K}} 를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자 N ∗ : dgLieAlg K → [ △ op , LieAlg K ] : N {\displaystyle \operatorname {N} ^{*}\colon \operatorname {dgLieAlg} _{K}\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\colon \operatorname {N} } 를 가진다. 구체적으로, N ∗ ⁡ g = F r e e L i e A l g ⁡ ( N − 1 g ) I {\displaystyle \operatorname {N} ^{*}{\mathfrak {g}}={\frac {\operatorname {Free_{LieAlg}} (\mathrm {N} ^{-1}{\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}} 이다. 여기서 F r e e L i e A l g : Mod K → LieAlg K {\displaystyle \operatorname {Free_{LieAlg}} \colon \operatorname {Mod} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}} 는 자유 리 대수 함자이다. ( F r e e L i e A l g ∘ ) : [ △ op , Mod K ] → [ △ op , LieAlg K ] {\displaystyle (\operatorname {Free_{LieAlg}} \circ )\colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]} 는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 자유 리 대수 함자이다. I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 는 { [ [ N − 1 x , N − 1 y ] ] − N − 1 [ x , y ] : x ∈ g m , y ∈ g n } {\displaystyle \{[[\mathrm {N} ^{-1}x,\mathrm {N} ^{-1}y]]-\mathrm {N} ^{-1}[x,y]\colon x\in {\mathfrak {g}}_{m},\,y\in {\mathfrak {g}}_{n}\}} 로 생성되는 단체 리 대수 아이디얼이다. 여기서 [ [ − , − ] ] : g m ⊗ g n → g m + n {\displaystyle [[-,-]]\colon \mathrm {g} _{m}\otimes {\mathfrak {g}}_{n}\to {\mathfrak {g}}_{m+n}} 은 에일렌베르크-질버 사상 g m ⊗ g n → ( g ⊗ g ) m + n {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{m}\otimes {\mathfrak {g}}_{n}\to ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})_{m+n}} 을 취한 뒤 각 성분별 리 괄호 ( g ⊗ g ) m + n → g m + n {\displaystyle ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})_{m+n}\to {\mathfrak {g}}_{m+n}} 를 취한 것이다. 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 단체 리 대수의 범주 [ △ op , LieAlg K ] {\displaystyle [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]} 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다. 올뭉치는 칸 올뭉치(즉, 단체 집합의 모형 범주의 올뭉치)이다. 약한 동치는 단체 집합의 약한 동치(즉, 기하학적 실현에 대한 약한 호모토피 동치)이다. 또한, 이에 따라 함자 N : [ △ op , LieAlg K ] → dgLieAlg K {\displaystyle \mathrm {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {dgLieAlg} _{K}} 는 퀼런 동치를 이룬다. 미분 등급 리 대수 Quillen, Daniel. “Rational homotopy theory”. 《Annals of Mathematics》 (영어). doi:10.2307/1970725. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970725.  “Simplicial Lie algebra”. 《nLab》 (영어).  “Model structure on simplicial Lie algebras”. 《nLab》 (영어).