몰리 삼등분 정리

기하학에서 몰리 삼등분 정리(Morley三等分定理, 영어: Morley's trisector theorem)는 삼각형의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형의 꼭짓점을 이룬다. 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 의 각 ∠ B {\displaystyle \angle B} 와 ∠ C {\displaystyle \angle C} 의 변 B C {\displaystyle BC} 와 더 가까운 삼등분선의 교점이 X {\displaystyle X} 라고 하자. 마찬가지로 각 ∠ A {\displaystyle \angle A} 와 ∠ C {\displaystyle \angle C} 의 변 A C {\displaystyle AC} 와 더 가까운 삼등분선의 교점이 Y {\displaystyle Y} 라고 하고, 각 ∠ A {\displaystyle \angle A} 와 ∠ B {\displaystyle \angle B} 의 변 A B {\displaystyle AB} 와 가까운 삼등분선의 교점이 Z {\displaystyle Z} 라고 하자. 몰리 삼등분 정리에 따르면, 삼각형 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 는 정삼각형이다. 삼각형 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 를 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 의 몰리 삼각형(Morley三角形, 영어: Morley triangle)이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다. 정삼각형 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 를 고정하자.:82-85, §2G 임의의 삼각형 △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \triangle A'B'C'} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 를 찾는 것으로 족하다. 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 와 △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \triangle A'B'C'} 은 서로 닮음이다. 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 의 몰리 삼각형은 삼각형 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 이다. 우선 ∠ A ′ = 3 α , ∠ B ′ = 3 β , ∠ C ′ = 3 γ {\displaystyle \angle A'=3\alpha ,\;\angle B'=3\beta ,\;\angle C'=3\gamma } 이라고 하자. 그렇다면 α + β + γ = 60 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }} 이다. 삼각형 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 외부의 세 점 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 를 다음과 같이 정의하자. ∠ B Z X = ∠ C Y X = 60 ∘ + α {\displaystyle \angle BZX=\angle CYX=60^{\circ }+\alpha } ∠ C X Y = ∠ A Z Y = 60 ∘ + β {\displaystyle \angle CXY=\angle AZY=60^{\circ }+\beta } ∠ A Y Z = ∠ B X Z = 60 ∘ + γ {\displaystyle \angle AYZ=\angle BXZ=60^{\circ }+\gamma } 그렇다면 ∠ Y A Z = α , ∠ X B Z = β , ∠ X C Y = γ {\displaystyle \angle YAZ=\alpha ,\;\angle XBZ=\beta ,\;\angle XCY=\gamma } 이다. 이제 A Y {\displaystyle AY} 와 A Z {\displaystyle AZ} , B X {\displaystyle BX} 와 B Z {\displaystyle BZ} , C X {\displaystyle CX} 와 C Y {\displaystyle CY} 가 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 B Z {\displaystyle BZ} 와 C Y {\displaystyle CY} 의 교점이 U {\displaystyle U} 라고 하고, 직선 A Z {\displaystyle AZ} 와 C X {\displaystyle CX} 의 교점이 V {\displaystyle V} 라고 하고, 직선 A Y {\displaystyle AY} 와 B X {\displaystyle BX} 의 교점을 W {\displaystyle W} 라고 하자. 그렇다면 ∠ U Y Z = ∠ U Z Y = 60 ∘ − α {\displaystyle \angle UYZ=\angle UZY=60^{\circ }-\alpha } 이므로 U Y = U Z {\displaystyle UY=UZ} 이며, 삼각형 △ U Y X {\displaystyle \triangle UYX} 와 △ U Z X {\displaystyle \triangle UZX} 는 서로 합동이다. 특히, 반직선 U X {\displaystyle UX} 는 각 ∠ U {\displaystyle \angle U} 의 이등분선이다. 또한, ∠ B U C = 180 ∘ − ∠ U Y Z − ∠ U Z Y = 60 ∘ + 2 α {\displaystyle \angle BUC=180^{\circ }-\angle UYZ-\angle UZY=60^{\circ }+2\alpha } ∠ B X C = 180 ∘ − ∠ C X W = 120 ∘ + γ {\displaystyle \angle BXC=180^{\circ }-\angle CXW=120^{\circ }+\gamma } 이므로, ∠ B X C = 90 ∘ + 1 2 ∠ B U C {\displaystyle \angle BXC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BUC} 이다. 즉, X {\displaystyle X} 는 삼각형 △ B C U {\displaystyle \triangle BCU} 의 내심이며, 반직선 B X {\displaystyle BX} 와 C X {\displaystyle CX} 는 각 ∠ C B U {\displaystyle \angle CBU} 와 ∠ B C U {\displaystyle \angle BCU} 의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 A Y {\displaystyle AY} 와 C Y {\displaystyle CY} 는 삼각형 △ A C V {\displaystyle \triangle ACV} 의 두 각의 이등분선이며, 반직선 A Z {\displaystyle AZ} 와 B Z {\displaystyle BZ} 는 삼각형 △ A B W {\displaystyle \triangle ABW} 의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 는 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 의 몰리 삼각형이다. 또한, ∠ B A C = 3 α = ∠ A ′ {\displaystyle \angle BAC=3\alpha =\angle A'} ∠ A B C = 3 β = ∠ B ′ {\displaystyle \angle ABC=3\beta =\angle B'} ∠ A C B = 3 γ = ∠ C ′ {\displaystyle \angle ACB=3\gamma =\angle C'} 이므로, 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 와 △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \triangle A'B'C'} 은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \triangle A'B'C'} 의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다. 몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.:43-44, §10.2 삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 의 외접원의 반지름이 R {\displaystyle R} 라고 하고, ∠ B A C = 3 α , ∠ A B C = 3 β , ∠ A C B = 3 γ {\displaystyle \angle BAC=3\alpha ,\;\angle ABC=3\beta ,\;\angle ACB=3\gamma } 라고 하자. 그렇다면 α + β + γ = 60 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }} 이다. 삼각형 △ B C X {\displaystyle \triangle BCX} 에 사인 법칙을 적용하면 C X = B C ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ ( 180 ∘ − β − γ ) = 2 R sin ⁡ 3 α sin ⁡ β sin ⁡ ( 60 ∘ − α ) = 8 R sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( 60 ∘ + α ) {\displaystyle {\begin{aligned}CX&={\frac {BC\cdot \sin \beta }{\sin(180^{\circ }-\beta -\gamma )}}\\&={\frac {2R\sin 3\alpha \sin \beta }{\sin(60^{\circ }-\alpha )}}\\&=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\alpha )\end{aligned}}} 를 얻는다. 마지막 등호는 항등식 sin ⁡ 3 α = 3 sin ⁡ α − 4 sin 3 ⁡ α = 4 sin ⁡ α ( ( 3 2 ) 2 − sin 2 ⁡ α ) = 4 sin ⁡ α ( sin ⁡ 60 ∘ + sin ⁡ α ) ( sin ⁡ 60 ∘ − sin ⁡ α ) = 4 sin ⁡ α ⋅ 2 sin ⁡ 60 ∘ + α 2 cos ⁡ 60 ∘ − α 2 ⋅ 2 sin ⁡ 60 ∘ − α 2 cos ⁡ 60 ∘ + α 2 = 4 sin ⁡ α sin ⁡ ( 60 ∘ + α ) sin ⁡ ( 60 ∘ − α ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3\alpha &=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \\&=4\sin \alpha \left(\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}\alpha \right)\\&=4\sin \alpha (\sin 60^{\circ }+\sin \alpha )(\sin 60^{\circ }-\sin \alpha )\\&=4\sin \alpha \cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}}\cos {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}}\cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}}\cos {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}}\\&=4\sin \alpha \sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }-\alpha )\end{aligned}}} 때문이다. 마찬가지로, C Y = 8 R sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( 60 ∘ + β ) {\displaystyle CY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )} 가 성립한다. 삼각형 △ C X Y {\displaystyle \triangle CXY} 에 코사인 법칙을 적용하면 X Y 2 = C X 2 + C Y 2 − 2 C X ⋅ C Y ⋅ sin ⁡ γ = 64 R 2 sin 2 ⁡ α sin 2 ⁡ β ( sin 2 ⁡ ( 60 ∘ + α ) + sin 2 ⁡ ( 60 ∘ + β ) − 2 sin ⁡ ( 60 ∘ + α ) sin ⁡ ( 60 ∘ + β ) cos ⁡ γ ) = 64 R 2 sin 2 ⁡ α sin 2 ⁡ β sin 2 ⁡ γ {\displaystyle {\begin{aligned}XY^{2}&=CX^{2}+CY^{2}-2CX\cdot CY\cdot \sin \gamma \\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta (\sin ^{2}(60^{\circ }+\alpha )+\sin ^{2}(60^{\circ }+\beta )-2\sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }+\beta )\cos \gamma )\\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma \end{aligned}}} 를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 60 ∘ + α {\displaystyle 60^{\circ }+\alpha } 와 60 ∘ + β {\displaystyle 60^{\circ }+\beta } 및 γ {\displaystyle \gamma } 인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉, X Y = 8 R sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ {\displaystyle XY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma } 이다. 이는 α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } 에 대하여 대칭적이므로, X Y = X Z = Y Z {\displaystyle XY=XZ=YZ} 가 성립한다. 미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다. 나폴레옹 정리 Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.  Bottema, O. (2008). 《Topics in Elementary Geometry》 (영어). 번역 Erné, Reinie 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-78131-0. ISBN 978-0-387-78130-3. LCCN 2008931335.  Morley, F. (1900년 4월). “On the Metric Geometry of the Plane N-Line”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 1 (2): 97-115. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986387.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Morley's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.