대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理, 영어: fundamental theorem of algebra)는 상수가 아닌 복소수 계수 다항식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 정리다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, 복소수체는 실수체와 달리 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다. 상수가 아닌 실수 계수 다항식의 복소수체에서 인수 분해하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 켤레 불변이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 판별식이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 동치다. 이름과는 달리 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 발견하지 못했으며, 실수의 완비성 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 또한 대수학의 기본 정리는 추상대수학의 기초가 되는 정리는 아니다. 다항식 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 의 근은 p ( a ) = 0 {\displaystyle p(a)=0} 인 a {\displaystyle a} 를 뜻한다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 양의 차수의 복소수 계수 다항식 p ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 0 ∈ C [ x ] ( a n ≠ 0 , n ≥ 1 ) {\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\in \mathbb {C} [x]\qquad (a_{n}\neq 0,\;n\geq 1)} 은 근 a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } 을 갖는다. 수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 Cours d'Analyse(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다. 다음은 복소해석학 또는 위상수학을 이용한 증명이다. 복소 다항식 p ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 0   ( a n ≠ 0 , n ≥ 1 ) {\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)} 가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 z {\displaystyle z} 에 대해 p ( z ) ≠ 0 {\displaystyle p(z)\neq 0} 라고 가정하자. 그러면 1 p ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{p(z)}}} 는 전해석 함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여 | p ( z ) | = | z n ( a n + a n − 1 z + ⋯ + a 0 z n ) | ≥ | z | n | | a n | − | a n − 1 z + ⋯ + a 0 z n | | ⋯ ⋯ ( a ) {\displaystyle |p(z)|=\left|z^{n}(a_{n}+{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}})\right|\geq |z|^{n}\left||a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\right|\cdots \cdots (a)} 를 얻고, C = | a n − 1 | + ⋯ + | a 0 | {\displaystyle C=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|} 라 하면, 양수 M > 1 {\displaystyle M>1} 에 대해 | z | ≥ M {\displaystyle |z|\geq M} 이면 | a n − 1 z + ⋯ + a 0 z n | ≤ | a n − 1 | | z | + ⋯ + | a 0 | | z | n ≤ | a n − 1 | + ⋯ + | a 0 | | z | ≤ C M {\displaystyle \left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\leq {\frac {|a_{n-1}|}{|z|}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{|z|^{n}}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +{|a_{0}|}}{|z|}}\leq {\frac {C}{M}}} 이다. 여기서 M {\displaystyle M} 을 충분히 큰 값으로 선택하여 C M < | a n | 2 {\displaystyle {\frac {C}{M}}<{\frac {|a_{n}|}{2}}} 가 되도록 하면 부등식 | a n | − | a n − 1 z + ⋯ + a 0 z n | > | a n | 2 {\displaystyle |a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|>{\frac {|a_{n}|}{2}}} 이 성립하므로 식 (a)로부터 | 1 p ( z ) | ≤ 2 | a n | M n {\displaystyle \left|{\frac {1}{p(z)}}\right|\leq {\frac {2}{|a_{n}|M^{n}}}} 을 얻는다. 즉, 1 p ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{p(z)}}} 는 유계인 전해석 함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 1 p ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{p(z)}}} 는 상수 함수이고, p ( z ) {\displaystyle p(z)} 도 상수 함수이다. 즉 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다. p ( z ) {\displaystyle p(z)} 은 n차 다항식이므로 최대 n개의 근을 갖는다. 따라서 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 의 근들이 복소평면에서 반지름이 R인 원판 안에 들어오도록 하는 어떤 양의 실수 R을 잡을 수 있다. 이제 r>R인 실수 r에 대해 편각 원리를 적용하면, 1 2 π i ∫ c ( r ) p ′ ( z ) p ( z ) d z = N {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz=N} 이 성립한다. 여기서 c(r)은 반지름이 r인 원의 반시계 방향 경로를 의미하고, N은 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 의 근의 개수를 의미한다. 한편 1 2 π i ∫ c ( r ) n z d z = 1 2 π i ∫ 0 2 π n r e i θ i r e i θ d θ = n {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {n}{z}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {n}{re^{i\theta }}}ire^{i\theta }\,d\theta =n} 이므로 1 2 π i ∫ c ( r ) ( p ′ ( z ) p ( z ) − n z ) d z = 1 2 π i ∫ c ( r ) z p ′ ( z ) − n p ( z ) z p ( z ) d z = N − n {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz=N-n} 이 성립한다. 여기서 두 번째 식의 적분을 보면 분자는 n-1차 다항식이고 분모는 n+1차 다항식이다. 따라서 r이 충분히 커질수록 적분 값은 0에 수렴한다. 즉 N-n이 0에 수렴하므로 N=n이다. 복소 다항식 p ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 0   ( a n ≠ 0 , n ≥ 1 ) {\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)} 에 대해, z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} 이면 p ( z ) a n z n = 1 + 1 a n ( a n − 1 z + ⋯ + a 0 z ) {\displaystyle {\frac {p(z)}{a_{n}z^{n}}}=1+{\frac {1}{a_{n}}}\left({\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z}}\right)} 이다. 그러면 r > max { | a n − 1 | + ⋯ + | a 0 | | a n | , 1 } {\displaystyle r>\max\{{\frac {|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}{|a_{n}|}},1\}} 인 r에 대해 | z | = r {\displaystyle |z|=r} 일 때 | p ( z ) a n z n − 1 | ≤ [ | a n − 1 | r + ⋯ + | a 0 | r n ] 1 | a n | ≤ | a n − 1 | + ⋯ + | a 0 | | a n | r < 1 {\displaystyle \left|{\frac {p(z)}{a_{n}z^{n}}}-1\right|\leq \left[{\frac {|a_{n-1}|}{r}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{r^{n}}}\right]{\frac {1}{|a_{n}|}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}{|a_{n}|r}}<1} 이므로 | p ( z ) − a n z n | < | a n z n | {\displaystyle |p(z)-a_{n}z^{n}|<|a_{n}z^{n}|} 이다. a n z n {\displaystyle a_{n}z^{n}} 은 | z | = r {\displaystyle |z|=r} 내부에서 n개의 근을 가지므로 루셰 정리에 의해 p ( z ) = ( p ( z ) − a n z n ) + a n z n {\displaystyle p(z)=(p(z)-a_{n}z^{n})+a_{n}z^{n}} 도 n개의 근을 가진다. 복소수 계수 n {\displaystyle n} 차 일계수 다항식 p ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + x n ∈ C [ x ] {\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +x^{n}\in \mathbb {C} [x]} 이 근을 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle t\in [0,\infty )} 에 대하여, 원 위에 다음과 같은 함수를 정의하자. f t : S 1 → S 1 {\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} f t : z ↦ p ( t z ) / | p ( t z ) | {\displaystyle f_{t}\colon z\mapsto p(tz)/|p(tz)|} (이 함수는 항상 | p ( t z ) | ≠ 0 {\displaystyle |p(tz)|\neq 0} 이므로 잘 정의된다.) 그렇다면, f 0 {\displaystyle f_{0}} 은 함수 f ∞ : S 1 → S 1 {\displaystyle f_{\infty }\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} f ∞ : z ↦ z n {\displaystyle f_{\infty }\colon z\mapsto z^{n}} 와 호모토픽하다. f 0 {\displaystyle f_{0}} 은 상수 함수이므로 f ∞ {\displaystyle f_{\infty }} 는 널호모토픽하다. 그러나 f ∞ {\displaystyle f_{\infty }} 로부터 유도되는 기본군 사이의 군 준동형 π 1 ( S 1 ) → π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\to \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})} 은 자명하지 않다. 이는 π 1 ( S 1 ) ≅ Z {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} } 이기 때문인데, 이는 피복 공간 이론을 사용하여 보일 수 있으며 초등적인 증명도 존재한다. 따라서 f ∞ {\displaystyle f_{\infty }} 는 널호모토픽하지 않으며, 이는 모순이다. 대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 모든 n {\displaystyle n} 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 n {\displaystyle n} 개의 근을 갖는다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식 p ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 0   ( a n ≠ 0 , n ≥ 1 ) {\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)} 에 대해 복소수 z 1 , ⋯ , z n {\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{n}} 이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.) p ( z ) = a n ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) ⋯ ( z − z n ) {\displaystyle p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\dotsb (z-z_{n})} 와 같이 쓸 수 있다. 증명: 1차 다항식이 하나의 근만을 가짐은 자명하다. 이제 수학적 귀납법을 쓰기 위해 n차 이하의 다항식이 n개의 근을 가진다고 가정하고, n+1차 다항식 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 가 주어졌다 하자. 대수학의 기본 정리에 의해 p ( z 1 ) = 0 {\displaystyle p(z_{1})=0} 인 복소수 z 1 {\displaystyle z_{1}} 이 존재하므로 p ( z ) = ( z − z 1 ) p 1 ( z ) {\displaystyle p(z)=(z-z_{1})p_{1}(z)} 인 n차 다항식 p 1 ( z ) {\displaystyle p_{1}(z)} 이 존재한다. 귀납적 가정에 의해 p 1 ( z ) {\displaystyle p_{1}(z)} 는 n개의 근을 가지므로 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 는 n+1개의 근을 가진다. ◼ {\displaystyle \blacksquare } 실계수 n {\displaystyle n} 차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 n {\displaystyle n\,} 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 n {\displaystyle n\,} 개의 근을 갖지 않을 수도 있다. 실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 2 {\displaystyle 2} 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 a + b i {\displaystyle a+bi\,} 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 a − b i {\displaystyle a-bi\,} 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은 ( x − ( a + b i ) ) ( x − ( a − b i ) ) = ( ( x − a ) − b i ) ( ( x − a ) + b i ) = ( ( x − a ) 2 + b 2 ) {\displaystyle (x-(a+bi))(x-(a-bi))=((x-a)-bi)((x-a)+bi)=((x-a)^{2}+b^{2})\,} 와 같이 ( a , b {\displaystyle a,b} 는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다. 만일 z 0 {\displaystyle z_{0}\,} 가 실계수 다항식 p ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 , a j ∈ R , n ≥ 1 , a n ≠ 0 {\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},\,\,\,a_{j}\in \mathbb {R} ,\,\,n\geq 1,\,\,a_{n}\neq 0} 의 복소수 근이면 즉, p ( z 0 ) = 0 {\displaystyle p(z_{0})=0\,} 이면 p ( z 0 ¯ ) = 0 {\displaystyle p({\overline {z_{0}}})=0\,} 이다. 복소켤레 연산의 성질에 의해 p ( z 0 ¯ ) = a n z 0 ¯ n + a n − 1 z 0 ¯ n − 1 + ⋯ + a 1 z 0 ¯ + a 0 {\displaystyle p({\overline {z_{0}}})=a_{n}{\overline {z_{0}}}^{n}+a_{n-1}{\overline {z_{0}}}^{n-1}+\cdots +a_{1}{\overline {z_{0}}}+a_{0}} = a n z 0 n ¯ + a n − 1 z 0 n − 1 ¯ + ⋯ + a 1 z 0 ¯ + a 0 ¯ {\displaystyle ={\overline {a_{n}z_{0}^{n}}}+{\overline {a_{n-1}z_{0}^{n-1}}}+\cdots +{\overline {a_{1}z_{0}}}+{\overline {a_{0}}}} = a n z 0 n + a n − 1 z 0 n − 1 + ⋯ + a 1 z 0 + a 0 ¯ {\displaystyle ={\overline {a_{n}z_{0}^{n}+a_{n-1}z_{0}^{n-1}+\cdots +a_{1}z_{0}+a_{0}}}} = p ( z 0 ) ¯ = 0 {\displaystyle ={\overline {p(z_{0})}}=0} 이다. 대수학의 기본정리에 의해 n {\displaystyle n\,} 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 n {\displaystyle n\,} 개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다. 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