U-이중성

M이론에서 U-이중성(U-二重性, 영어: U-duality)은 S-이중성과 T-이중성에 의하여 생성되는, M이론의 이산 대칭군이다. M이론을 1 ≤ n ≤ 8 {\displaystyle 1\leq n\leq 8} 차원 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 에 축소화하였다고 하자. 그렇다면 그 U-이중성군은 일반적으로 예외 단순 리 군 En(n)의 이산 부분군이다. (En(n)은 En의 갈린(영어: split) 비콤팩트 실수 형태이다.) 이들은 다음과 같다.:345–350,636:278–281 여기서 n = 1 {\displaystyle n=1} 인 경우는 ⅡB 초끈 이론의 SL(2;ℤ) S-이중성이다. 이들 U-이중성군 En(n)은 T-이중성군 O ( n − 1 , n − 1 ; Z ) {\displaystyle O(n-1,n-1;\mathbb {Z} )} 과 n {\displaystyle n} 차원 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 의 자기 동형군 SL ⁡ ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )} 둘 다를 부분군으로 가진다. 즉, (실수 형식을 무시하면) E 8 ⊃ O ( 14 ) , S L ( 8 ) {\displaystyle E_{8}\supset O(14),SL(8)} E 7 ⊃ O ( 12 ) , S L ( 7 ) {\displaystyle E_{7}\supset O(12),SL(7)} E 6 ⊃ O ( 10 ) , S L ( 6 ) {\displaystyle E_{6}\supset O(10),SL(6)} E 5 = O ( 10 ) ⊃ O ( 8 ) , S L ( 5 ) {\displaystyle E_{5}=O(10)\supset O(8),SL(5)} E 4 = S L ( 5 ) ⊃ O ( 6 ) = S L ( 4 ) , S L ( 4 ) {\displaystyle E_{4}=SL(5)\supset O(6)=SL(4),SL(4)} E 3 = S L ( 2 ) × S L ( 3 ) ⊃ O ( 4 ) = S L ( 2 ) × S L ( 2 ) , S L ( 3 ) {\displaystyle E_{3}=SL(2)\times SL(3)\supset O(4)=SL(2)\times SL(2),SL(3)} E 2 = S L ( 2 ) × U ( 1 ) ⊃ O ( 3 ) = S L ( 2 ) , S L ( 2 ) {\displaystyle E_{2}=SL(2)\times U(1)\supset O(3)=SL(2),SL(2)} E 1 = S L ( 2 ) ⊃ O ( 2 ) = U ( 1 ) , S L ( 1 ) = 1 {\displaystyle E_{1}=SL(2)\supset O(2)=U(1),SL(1)=1} 또한, 이 U-이중성 가운데 일부는 행렬 이론으로 설명될 수 있다.:636:§7 여기서, E n ( n ) ( Z ) {\displaystyle {\mathsf {E}}_{n(n)}(\mathbb {Z} )} 는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 리 군 E n ( n ) {\displaystyle {\mathsf {E}}_{n(n)}} 는 다음과 같은 두 부분군을 가진다. SO ⁡ ( n − 1 , n − 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {R} )} SL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {R} )} 이에 따라서, E n ( n ) ( Z ) {\displaystyle {\mathsf {E}}_{n(n)}(\mathbb {Z} )} 는 다음과 같은 두 이산 부분군의 합집합으로 생성되는 부분군이다.:(4.10) SO ⁡ ( n − 1 , n − 1 ; Z ) ∪ SL ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {Z} )\cup \operatorname {SL} (n;\mathbb {Z} )} 이 두 이산 부분군은 각각 다음과 같이 유래한다. SL ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {Z} )} 는 M이론을 콤팩트화한 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 의 (방향 보존) 사상류군이다. (M이론은 일반 상대성 이론을 포함하므로, 미분 동형 사상은 이론의 대칭이어야 한다.) 이는 특히 ⅡB 초끈 이론의 S-이중성 SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 을 포함한다. SO ⁡ ( n − 1 , n − 1 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {Z} )} 는 T n − 1 {\displaystyle \mathbb {T} ^{n-1}} 위에 콤팩트화한 ⅡA 초끈 이론의 T-이중성 대칭군이다. 크리스토퍼 마이클 헐(Christopher Michael Hull)과 폴 킹즐리 타운젠드(Paul Kingsley Townsend)가 1995년 발견하고 명명하였다. Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John Henry (2006년 12월). 《String theory and M-theory: a modern introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864. 2015년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 13일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Johnson, Clifford V. (2003). 《D-Branes》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511606540. ISBN 9780521809122.  Mizoguchi, Shun’ya; Schröder, Germar (2000년 2월 21일). “On discrete U-duality in M-theory”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 17 (4): 835–870. arXiv:hep-th/9909150. Bibcode:2000CQGra..17..835M. doi:10.1088/0264-9381/17/4/308. ISSN 0264-9381.  Malek, Emanuel (2012). “U-duality in three and four dimensions” (영어). arXiv:1205.6403. Bibcode:2012arXiv1205.6403M.  Obers, N. A.; Pioline, B. (1999). “U-duality and M-theory” (영어) 318: 113–225. arXiv:hep-th/9809039. doi:10.1016/S0370-1573(99)00004-6.  지원되지 않는 변수 무시됨: |널= (도움말) Hull, Christopher Michael; Paul Kingsley Townsend (1995년 3월 27일). “Unity of superstring dualities”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 438 (1–2): 109–137. arXiv:hep-th/9410167. Bibcode:1995NuPhB.438..109H.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “U-duality”. 《nLab》 (영어).  “U-duality — table”. 《nLab》 (영어).  Distler, Jacques (2007년 3월 22일). “Split real forms”. 《Musings》 (영어).