마요라나 스피너

이론물리학과 표현론에서 마요라나 스피너(영어: Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.:Chapter 3 마요라나 페르미온의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다. ( s , t ) {\displaystyle (s,t)} 차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간 R s , t {\displaystyle \mathbb {R} ^{s,t}} 위의 클리퍼드 대수 Cl ⁡ ( s , t ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)} 를 생각하자. 즉, { γ i , γ j } = 2 η i j {\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=2\eta ^{ij}} 에서, η {\displaystyle \eta } 는 s {\displaystyle s} 개의 +부호와 t {\displaystyle t} 개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의 γ {\displaystyle \gamma } 만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수 Cl + ⁡ ( s , t ) ⊆ Cl ⁡ ( s , t ) {\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s,t)\subseteq \operatorname {Cl} (s,t)} 가 존재한다. 그렇다면, 실수 클리퍼드 대수 Cl ⁡ ( s , t ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)} 는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다. 여기서 N ( s , t ) = 2 ⌊ ( s + t ) / 2 ⌋ {\displaystyle N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor }} 는 디랙 스피너의 복소수 차원이며, R {\displaystyle \mathbb {R} } , C {\displaystyle \mathbb {C} } , H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다. 위 표에서, Cl ⁡ ( s , t ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)} 의 계수 ∈ { R , C , H } {\displaystyle \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}} 는 감마 행렬의 성질을 결정한다. 계수가 R {\displaystyle \mathbb {R} } 인 경우 (즉, s − t ∈ { 0 , 6 , 7 } {\displaystyle s-t\in \{0,6,7\}} , 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 Pin ⁡ ( s , t ) {\displaystyle \operatorname {Pin} (s,t)} 의 실수 표현이 존재한다. 이를 마요라나 피너(영어: Majorana pinor)라고 한다. 만약 계수가 R {\displaystyle \mathbb {R} } 가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 R {\displaystyle \mathbb {R} } 라면 (즉, Cl ⁡ ( t , s ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (t,s)} 가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 유사 마요라나 피너(영어: pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다. 계수가 H {\displaystyle \mathbb {H} } 일 경우, 만약 2 k {\displaystyle 2k} 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 2 k {\displaystyle 2k} 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 k {\displaystyle k} 차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너(영어: symplectic-Majorana pinor)라고 한다. Cl + ⁡ ( s , t ) {\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s,t)} 의 계수는 스피너의 성질을 결정한다. n {\displaystyle n} 차원 시공간의 디랙 피너(영어: Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수 Cl ⁡ ( n ; C ) = { Mat ⁡ ( N ; C ) 2 ∤ n Mat ⁡ ( N / 2 ; C ) ⊕ Mat ⁡ ( N / 2 ; C ) 2 ∣ n {\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )={\begin{cases}\operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )&2\nmid n\\\operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )&2\mid n\end{cases}}} N = 2 ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle N=2^{\lfloor n/2\rfloor }} 의 N {\displaystyle N} 차원 정의 표현이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수인 경우, 이는 두 개의 N / 2 {\displaystyle N/2} 차원 바일 피너(영어: Weyl pinor)로 분해된다. 복소수 클리퍼드 대수 Cl ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )} 는 에르미트 형식 ⟨ − | − ⟩ {\displaystyle \langle -|-\rangle } 을 가지며, 이는 ⟨ γ μ ψ | χ ⟩ = ± ⟨ ψ | γ μ χ ⟩ {\displaystyle \langle \gamma ^{\mu }\psi |\chi \rangle =\pm \langle \psi |\gamma ^{\mu }\chi \rangle } 를 만족시킨다. (여기서 ± {\displaystyle \pm } 는 n {\displaystyle n} 의 값에만 의존한다.) 이제, 어떤 부호 τ ∈ { ± 1 } {\displaystyle \tau \in \{\pm 1\}} 를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식 C {\displaystyle {\mathsf {C}}} 가 존재하는지 여부를 따질 수 있다. C ( γ μ ψ , χ ) = ± C ( ψ , γ μ χ ) {\displaystyle {\mathsf {C}}(\gamma ^{\mu }\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\psi ,\gamma ^{\mu }\chi )} C ( ψ , χ ) = ± C ( χ , ψ ) {\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\chi ,\psi )} (복부호 동순이 아님) 이 경우, 만약 C {\displaystyle {\mathsf {C}}} 가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 C {\displaystyle {\mathsf {C}}} 가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다. 만약 디랙 피너 공간 V {\displaystyle V} 가 실수 구조를 갖는다면, C ( ψ , − ) = ⟨ ψ | − ⟩ ∈ V ∗ {\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}} 를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너라고 한다. 만약 디랙 피너 공간 V {\displaystyle V} 가 사원수 구조를 갖는다면, C ( ψ , − ) = ⟨ ψ | − ⟩ ∈ V ∗ {\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}} 를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간 ( W , Ω ) {\displaystyle (W,\Omega )} 에 대하여, V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} 위에서, C ( ψ , − ) = ⟨ Ω ψ , − ⟩ {\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \Omega \psi ,-\rangle } 를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너라고 한다. 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다. 마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다. 만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다. 1차원에서는 Cl ⁡ ( 1 , 0 ) = Mat ⁡ ( 1 ; C ) = C {\displaystyle \operatorname {Cl} (1,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} } Cl ⁡ ( 0 , 1 ) = Mat ⁡ ( 1 ; R ) ⊕ Mat ⁡ ( 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (0,1)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )} 이다. 즉, 부호수가 ( s , t ) = ( 1 , 0 ) {\displaystyle (s,t)=(1,0)} 일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은 γ 0 = ( 1 ) {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}} 이다. 2차원에서는 SO ⁡ ( 2 ; R ) ≅ U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {U} (1)} SO ⁡ ( 1 , 1 ; R ) ≅ R {\displaystyle \operatorname {SO} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {R} } 이며, 이 경우 클리퍼드 대수는 Cl ⁡ ( 1 , 1 ) = Cl ⁡ ( 0 , 2 ) = Mat ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (1,1)=\operatorname {Cl} (0,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )} Cl ⁡ ( 2 , 0 ) = Mat ⁡ ( 1 ; H ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (2,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {H} )} 이다. 즉, 부호수 ( t , s ) = ( 1 , 1 ) {\displaystyle (t,s)=(1,1)} 일 때, γ 0 = i σ 2 = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} γ 1 = σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} 로 놓으면, { γ 0 , γ 0 } = − 1 {\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-1} { γ 1 , γ 1 } = 1 {\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=1} { γ 0 , γ 1 } = 0 {\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1}\}=0} 이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다. 마찬가지로, 부호수 ( s , t ) = ( 0 , 2 ) {\displaystyle (s,t)=(0,2)} 일 때, γ 1 = σ 1 {\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}} γ 2 = σ 3 {\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}} 로 놓으면, { γ 1 , γ 1 } = { γ 2 , γ 2 } = 1 {\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=1} { γ 1 , γ 2 } = 0 {\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{2}\}=0} 이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다. 3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다. Cl ⁡ ( 0 , 3 ) = H ⊕ H {\displaystyle \operatorname {Cl} (0,3)=\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} } Cl ⁡ ( 1 , 2 ) = Mat ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (1,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )} Cl ⁡ ( 2 , 1 ) = Mat ⁡ ( 2 ; R ) ⊕ Mat ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (2,1)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )} Cl ⁡ ( 3 , 0 ) = Mat ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (3,0)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )} 부호수 ( s , t ) = ( 2 , 1 ) {\displaystyle (s,t)=(2,1)} 일 때, γ 0 = i σ 2 = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} γ 1 = σ 1 = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} γ 2 = σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} 는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상 Spin ⁡ ( 2 , 1 ) ≅ SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 에서 비롯한다. 마찬가지로, ( s , t ) = ( 1 , 2 ) {\displaystyle (s,t)=(1,2)} 일 때, 위 행렬들에 모두 i {\displaystyle \mathrm {i} } 를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다. ( t , s ) = ( 0 , 3 ) {\displaystyle (t,s)=(0,3)} 또는 ( 3 , 0 ) {\displaystyle (3,0)} 일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬 σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}} 은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다. 다만, 부호수 ( s , t ) = ( 0 , 3 ) {\displaystyle (s,t)=(0,3)} 에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상 Spin ⁡ ( 3 ) ≅ USp ⁡ ( 1 ; R ) = U ⁡ ( 1 ; H ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {USp} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {U} (1;\mathbb {H} )} 에서 유래한다. 즉, 부호수 ( s , t ) = ( 0 , 3 ) {\displaystyle (s,t)=(0,3)} 의 경우, 사원수 감마 행렬 γ − 2 = ( i ) {\displaystyle \gamma ^{-2}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} \end{pmatrix}}} γ − 1 = ( j ) {\displaystyle \gamma ^{-1}={\begin{pmatrix}\mathrm {j} \end{pmatrix}}} γ 0 = ( k ) {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\mathrm {k} \end{pmatrix}}} 를 정의하면, { γ − 2 , γ − 2 } = { γ − 1 , γ − 1 } = { γ 0 , γ 0 } = − 2 {\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-2}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2} { γ − 2 , γ − 1 } = { γ − 1 , γ 0 } = { γ 0 , γ − 2 } = 0 {\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{0}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{-2}\}=0} 이다. 4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다. Cl ⁡ ( 4 , 0 ) ≅ Cl ⁡ ( 0 , 4 ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (4,0)\cong \operatorname {Cl} (0,4)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )} Cl ⁡ ( 1 , 3 ) ≅ Cl ⁡ ( 2 , 2 ) ≅ Mat ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (1,3)\cong \operatorname {Cl} (2,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )} Cl ⁡ ( 3 , 1 ) ≅ Mat ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (3,1)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )} 즉, 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다. 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다. 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 예를 들어, ( s , t ) = ( 3 , 1 ) {\displaystyle (s,t)=(3,1)} 차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간), γ 0 = ( 0 1 2 × 2 − 1 2 × 2 0 ) = i σ 2 ⊗ 1 2 × 2 {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&1_{2\times 2}\\-1_{2\times 2}&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}} γ 1 = ( 1 2 × 2 0 0 − 1 2 × 2 ) = σ 3 ⊗ 1 2 × 2 {\displaystyle \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}1_{2\times 2}&0\\0&-1_{2\times 2}\end{pmatrix}}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}} γ 2 = ( 0 σ 1 σ 1 0 ) = σ 1 ⊗ σ 1 {\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}} γ 3 = ( 0 σ 3 σ 3 0 ) = σ 1 ⊗ σ 3 {\displaystyle \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{3}\\\sigma ^{3}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{3}} 는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형 o ( 3 , 1 ) ≅ sl ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\cong \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )} 에서 유래한다. 여기서 ⊗ {\displaystyle \otimes } 는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다. 부호수가 ( s , t ) = ( 2 , 2 ) {\displaystyle (s,t)=(2,2)} 일 때, 실수 리 대수 동형 o ( 2 , 2 ) ≅ s l ( 2 , R ) ⊕ s l ( 2 , R ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )} 이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우, γ − 1 = σ 1 ⊗ i σ 2 {\displaystyle \gamma ^{-1}=\sigma ^{1}\otimes \mathrm {i} \sigma ^{2}} γ 0 = i σ 2 ⊗ 1 2 × 2 {\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}} γ 1 = σ 3 ⊗ 1 2 × 2 {\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}} γ 2 = σ 1 ⊗ σ 1 {\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}} 를 적으면, { γ − 1 , γ − 1 } = { γ 0 , γ 0 } = − 2 {\displaystyle \{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2} { γ 1 , γ 1 } = { γ 2 , γ 2 } = 2 {\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=2} { γ i , γ j } = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=0\qquad (i\neq j)} 이다. 부호수 ( s , t ) = ( 4 , 0 ) {\displaystyle (s,t)=(4,0)} 일 때, Spin ⁡ ( 4 ) ≅ U ⁡ ( 1 ; H ) × U ⁡ ( 1 ; H ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )} 에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다. 5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다. Cl ⁡ ( 3 , 2 ) ≅ Mat ⁡ ( 4 ; R ) ⊕ Mat ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (3,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )} Cl ⁡ ( 0 , 5 ) ≅ Cl ⁡ ( 2 , 3 ) ≅ Cl ⁡ ( 1 , 4 ) ≅ Mat ⁡ ( 4 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (0,5)\cong \operatorname {Cl} (2,3)\cong \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )} Cl ⁡ ( 1 , 4 ) ≅ Cl ⁡ ( 2 ; C ) ⊕ Cl ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )} 즉, 부호수가 ( s , t ) = ( 3 , 2 ) {\displaystyle (s,t)=(3,2)} 일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형 Spin ⁡ ( 3 , 2 ) ≅ Sp ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (3,2)\cong \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )} 에서 기인한다. 다른 부호수의 경우, Spin ⁡ ( 4 , 1 ) ≅ USp ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (4,1)\cong \operatorname {USp} (2,2)} Spin ⁡ ( 5 ) ≅ USp ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)} 으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다. 6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다. Cl ⁡ ( 0 , 6 ) = Cl ⁡ ( 3 , 3 ) = Cl ⁡ ( 4 , 2 ) = Mat ⁡ ( 8 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (0,6)=\operatorname {Cl} (3,3)=\operatorname {Cl} (4,2)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {R} )} Cl ⁡ ( 1 , 5 ) = Cl ⁡ ( 2 , 4 ) = Cl ⁡ ( 6 , 0 ) = Mat ⁡ ( 4 ; H ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (1,5)=\operatorname {Cl} (2,4)=\operatorname {Cl} (6,0)=\operatorname {Mat} (4;\mathbb {H} )} Cl ⁡ ( 5 , 1 ) = Mat ⁡ ( 8 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (5,1)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {C} )} 즉, 부호수 ( s , t ) = ( 0 , 6 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 2 ) {\displaystyle (s,t)=(0,6),(3,3),(4,2)} 일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형 o ( 6 ; R ) ≅ s u ( 4 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(4;\mathbb {C} )} o ( 3 , 3 ; R ) ≅ s l ( 4 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )} o ( 2 , 4 ) ≅ su ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,4)\cong \operatorname {su} (2,2)} 에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 SL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 의 정의 표현이다. 부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형 s l ( 1 , 5 ) ≅ s u ∗ ( 4 ) = s l ( 2 ; H ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(1,5)\cong {\mathfrak {su}}^{*}(4)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )} 로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 에토레 마요라나의 이름을 땄다. 물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다. 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