유계 변동 함수

실해석학에서 유계 변동 함수(有界變動函數, 영어: function of bounded variation)는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다. 닫힌구간 [ a , b ] ⊊ R {\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} } 의 분할은 다음과 같은 수열이다. P = ( p 0 , p 1 , p 2 , … , p | P | ) ( a = p 0 ≤ p 1 ≤ p 2 ≤ ⋯ ≤ p | P | = b ) {\displaystyle P=(p_{0},p_{1},p_{2},\dots ,p_{|P|})\qquad (a=p_{0}\leq p_{1}\leq p_{2}\leq \dotsb \leq p_{|P|}=b)} 닫힌구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 의 모든 분할들의 집합을 Part ⁡ ( [ a , b ] ) {\displaystyle \operatorname {Part} ([a,b])} 라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다. Part ⁡ ( [ a , b ] ) = ⨆ N = 1 ∞ Part N ⁡ ( [ a , b ] ) ≅ ⨆ N = 1 ∞ △ N − 1 {\displaystyle \operatorname {Part} ([a,b])=\bigsqcup _{N=1}^{\infty }\operatorname {Part} _{N}([a,b])\cong \bigsqcup _{N=1}^{\infty }\triangle ^{N-1}} 여기서 Part N ⁡ ( [ a , b ] ) {\displaystyle \operatorname {Part} _{N}([a,b])} 은 크기 N {\displaystyle N} 의 분할들의 공간이며, 이는 N − 1 {\displaystyle N-1} 차원 단체 △ N − 1 {\displaystyle \triangle ^{N-1}} 와 동형이다. 임의의 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 및 분할 P ∈ Part ⁡ ( [ a , b ] ) {\displaystyle P\in \operatorname {Part} ([a,b])} 에 대하여, 변동 ∑ i = 1 | P | ‖ f ( p i ) − f ( p i − 1 ) ‖ ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty )} 을 정의할 수 있다. f {\displaystyle f} 의 전변동(全變動, 영어: total variation) ‖ f ‖ BV {\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} }} 는 모든 변동들의 상한이다.:530 V ⁡ ( f ) = sup P ∈ Part ⁡ ( [ a , b ] ) ∑ i = 1 | P | ‖ f ( p i ) − f ( p i − 1 ) ‖ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup _{P\in \operatorname {Part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty ]} 임의의 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다. V ⁡ ( f ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {V} (f)<\infty } f = g − h {\displaystyle f=g-h} 인 두 증가 함수 g , h : [ a , b ] → R {\displaystyle g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} } , a ≤ s ≤ t ≤ b ⟹ g ( s ) ≤ g ( t ) , h ( s ) ≤ h ( t ) {\displaystyle a\leq s\leq t\leq b\implies g(s)\leq g(t),\;h(s)\leq h(t)} 가 존재한다. 연속 함수의 공간 C 0 ( [ a , b ] ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b])} 위에 유계 작용소 C 0 ( [ a , b ] ) → R {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b])\to \mathbb {R} } , g ↦ ∫ g d f {\displaystyle g\mapsto \textstyle \int g\,\mathrm {d} f} 를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.) 이 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다.:530 유계 변동 함수들의 공간을 BV ⁡ ( [ a , b ] , R ) {\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )} 로 표기하자. 그렇다면, ( BV ⁡ ( [ a , b ] , R ) , ‖ − ‖ L 1 + V ⁡ ( − ) ) {\displaystyle (\operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} ),\|-\|_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (-))} 는 노름 공간을 이룬다. 유계 열린집합 Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} 이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 f ∈ L 1 ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )} 의 전변동을 다음과 같이 정의하자. V ⁡ ( f ) = sup g ∈ X ∫ Ω f ( x ) ∇ ⋅ g ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup _{\mathbf {g} \in X}\int _{\Omega }f(x)\nabla \cdot \mathbf {g} (x)\,\mathrm {d} x} 여기서 X = cl ⁡ ( ball L ∞ ⁡ ( Ω , R n ) ) ⁡ ( 0 , 1 ) ) ∩ C comp 1 ( Ω , R n ) {\displaystyle X=\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\operatorname {L} ^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}))}(0,1))\cap {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})} 는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 g : Ω → R n {\displaystyle \mathbf {g} \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} 로 구성된 공간이다. 연속 미분 가능 함수이다 ( C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} ). 어떤 콤팩트 집합 K ⊆ Ω {\displaystyle K\subseteq \Omega } 에 대하여, ∀ x ∈ Ω ∖ K : g ( x ) = 0 {\displaystyle \forall x\in \Omega \setminus K\colon \mathbf {g} (x)=\mathbf {0} } 이다. 노름이 1 이하이다. 즉, ∀ x ∈ Ω : ‖ g ( x ) ‖ ≤ 1 {\displaystyle \forall x\in \Omega \colon \|\mathbf {g} (x)\|\leq 1} 이다. 여기서 vol ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {vol} (-)} 은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, g {\displaystyle \mathbf {g} } 의 L ∞ {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }} -노름이 1 이하이다.) 그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을 BV ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )} 라고 하자. BV ⁡ ( Ω , R ) = { f ∈ L 1 ⁡ ( Ω , R ) : ‖ f ‖ BV < ∞ } {\displaystyle \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )=\{f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\colon \|f\|_{\operatorname {BV} }<\infty \}} 그렇다면, 그 위에 ‖ f ‖ BV = ‖ f ‖ L 1 + V ⁡ ( f ) {\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} }=\|f\|_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (f)} 를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다. 임의의 열린집합 Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, 만약 f , g ∈ BV ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle f,g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )} 라면, 다음이 성립한다. f + g ∈ BV ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle f+g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )} f g ∈ BV ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle fg\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )} ( | f | + a ) − 1 ∈ BV ⁡ ( Ω , R ) ∀ a > 0 {\displaystyle (|f|+a)^{-1}\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )\qquad \forall a>0} 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. C comp 1 ( Ω , R ) ⊆ BV ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )} 그러나 C comp 0 ( Ω , R ) ⊈ BV ⁡ ( Ω , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{0}(\Omega ,\mathbb {R} )\not \subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )} 이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다. 만약 f ∈ C 2 ( [ a , b ] ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}([a,b])} 일 경우, 그 전변동은 다음과 같다. V ⁡ f = ∫ a b | f ′ ( x ) | d x {\displaystyle \operatorname {V} f=\int _{a}^{b}\,|f'(x)|\,\mathrm {d} x} 마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 Ω {\displaystyle \Omega } 에 대하여 cl ⁡ ( Ω ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\Omega )} 가 콤팩트 집합이며, ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } 가 어떤 매끄러운 다양체의 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 매장이라면, f : cl ⁡ ( Ω ) → R {\displaystyle f\colon \operatorname {cl} (\Omega )\to \mathbb {R} } 의 경우 f ↾ Ω {\displaystyle f\upharpoonright \Omega } 는 유계 변동 함수이며, V ⁡ ( f ↾ Ω ) = ∫ Ω | ∇ f | {\displaystyle \operatorname {V} (f\upharpoonright \Omega )=\int _{\Omega }|\nabla f|} 이다. 유계 변동 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 는 두 증가 함수의 차이므로, [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다. BV ⁡ ( [ a , b ] , R ) {\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )} 는 분해 가능 공간이 아니다. 증명: 임의의 α ∈ ( a , b ) {\displaystyle \alpha \in (a,b)} 에 대하여, 지시 함수 1 [ α , b ] ∈ BV ⁡ ( [ a , b ] , R ) {\displaystyle 1_{[\alpha ,b]}\in \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )} 를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다. ‖ 1 [ α , b ] − 1 [ β , b ] ‖ BV = 2 + | α − β | ∀ α , β ∈ [ a , b ] , α ≠ β {\displaystyle \|1_{[\alpha ,b]}-1_{[\beta ,b]}\|_{\operatorname {BV} }=2+|\alpha -\beta |\qquad \forall \alpha ,\beta \in [a,b],\;\alpha \neq \beta } 이제, 임의의 α ∈ ( a , b ) {\displaystyle \alpha \in (a,b)} 에 대하여 열린 공들의 족 ball ⁡ ( 1 [ α , b ] , 1 ) {\displaystyle \operatorname {ball} (1_{[\alpha ,b]},1)} 을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서 BV ⁡ ( [ a , b ] , R ) {\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )} 는 분해 가능 공간이 아니다. 다음과 같은 함수는 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 유계 함수이고 ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} 에서 연속 함수지만, [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 유계 변동 함수가 아니다. 다음과 같은 함수는 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 유계 함수이고 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 연속 함수지만 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 유계 변동 함수가 아니다. 다음과 같은 함수는 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다. 르베그 공간 라돈 측도 전변동 이차변동성 전변동 잡음제거 전변동 점감 Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001 “Function of bounded variation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Bounded variation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.