교곱

대수적 위상수학에서 교곱(交곱, 영어: cap product 캡 프로덕트[*])은 호몰로지류와 코호몰로지류를 하나의 호몰로지류로 축약시키는 연산이다. X가 위상 공간이며, R가 가환환이라고 하자. 그렇다면 R {\displaystyle R} 계수의 교곱 ⌢ {\displaystyle \frown } 은 다음과 같은 R {\displaystyle R} -선형 변환이다. ⌢ : H p ⁡ ( X ; R ) × H q ⁡ ( X ; R ) → H p − q ⁡ ( X ; R ) ( p ≥ q ) {\displaystyle \frown \colon \operatorname {H} _{p}(X;R)\times \operatorname {H} ^{q}(X;R)\to \operatorname {H} _{p-q}(X;R)\qquad (p\geq q)} 여기서 H ∙ ⁡ ( X ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(X;R)} 및 H ∙ ⁡ ( X ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;R)} 는 각각 R {\displaystyle R} 계수의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지이다. 이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬 ψ ∈ C q ( X ; R ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)} 및 특이 단체 σ : △ p →   X {\displaystyle \sigma \colon \triangle ^{p}\to \ X} 에 대하여, σ ⌢ ψ = def ψ ( σ ∘ ι { 0 , … , q } ) ⋅ σ ∘ ι { q , … , p } {\displaystyle \sigma \frown \psi {\stackrel {\text{def}}{=}}\psi (\sigma \circ \iota _{\{0,\dots ,q\}})\cdot \sigma \circ \iota _{\{q,\dots ,p\}}} 여기서 ι S : △ | S | − 1 ↪ △ p + q {\displaystyle \iota _{S}\colon \triangle ^{|S|-1}\hookrightarrow \triangle ^{p+q}} ( S ⊂ { 0 , 1 , . . . , p + q } {\displaystyle S\subset \{0,1,...,p+q\}} )는 | S | − 1 {\displaystyle |S|-1} 차원 표준 단체를 꼭짓점들이 { 0 , 1 , … , p + q } {\displaystyle \{0,1,\dots ,p+q\}} 인 p + q {\displaystyle p+q} 차원 표준 단체의, S {\displaystyle S} 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다. 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 및 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 이 주어졌을 때, R {\displaystyle R} 계수의 경사곱(傾斜-, 영어: slant product) ∖ R {\displaystyle \backslash _{R}} 은 다음과 같은 R {\displaystyle R} -선형 변환이다. ∖ R : H p ⁡ ( X ; M ) × H q ⁡ ( X × Y ; N ) → H q − p ⁡ ( Y ; M ⊗ R ) ( q ≥ p ) {\displaystyle \backslash _{R}\colon \operatorname {H} _{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X\times Y;N)\to \operatorname {H} ^{q-p}(Y;M\otimes _{R})\qquad (q\geq p)} 구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다. f : C p ( X ; M ) × C q ( Y ; N ) → C p + q ( X × Y ; M ⊗ R N ) {\displaystyle f\colon C_{p}(X;M)\times C_{q}(Y;N)\to C_{p+q}(X\times Y;M\otimes _{R}N)} 만약 세포 호몰로지를 사용할 경우 이는 두 CW 복합체의 곱공간 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 특이 호몰로지를 사용할 경우, 이는 α : △ p → X {\displaystyle \alpha \colon \triangle ^{p}\to X} β : △ q → Y {\displaystyle \beta \colon \triangle ^{q}\to Y} 에 대하여, 단체의 곱공간 △ p × △ q {\displaystyle \triangle ^{p}\times \triangle ^{q}} 위에 부여한 임의의 단체 복합체 구조 아래 기본류를 나타내는 특이 순환 γ = ∑ i ∈ I r i γ i ∈ C p + q ( △ p × △ q ; R ) {\displaystyle \gamma =\sum _{i\in I}r_{i}\gamma _{i}\in C_{p+q}(\triangle ^{p}\times \triangle ^{q};R)} γ i : △ p + q → △ p × △ q {\displaystyle \gamma _{i}\colon \triangle ^{p+q}\to \triangle ^{p}\times \triangle ^{q}} 을 골랐을 때 f : ( α , β ) ↦ ∑ i ∈ I r i ( ( α , β ) ∘ γ i ) {\displaystyle f\colon (\alpha ,\beta )\mapsto \sum _{i\in I}r_{i}\left((\alpha ,\beta )\circ \gamma _{i}\right)} 이다. 그렇다면, 경사곱은 다음과 같다. ∖ R : H p ⁡ ( X ; M ) × H q ⁡ ( X × Y ; N ) → H q − p ⁡ ( Y ; M ⊗ R N ) {\displaystyle \backslash _{R}\colon \operatorname {H} _{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X\times Y;N)\to \operatorname {H} ^{q-p}(Y;M\otimes _{R}N)} α ∖ R β : σ ↦ β ( f ( α , σ ) ) {\displaystyle \alpha \backslash _{R}\beta \colon \sigma \mapsto \beta (f(\alpha ,\sigma ))} 교곱은 1936년 에두아르트 체흐가 처음으로 도입하였으며, 1938년에 해슬러 휘트니도 독립적으로 재발견하였다. 교곱의 기호 ⌢ {\displaystyle \frown } 는 휘트니가 고안하였다. 합곱 푸앵카레 쌍대성 특이 호몰로지 호몰로지 Čech, Eduard (1936년 7월). “Multiplications on a complex”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 37 (3): 681–697. doi:10.2307/1968483. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968483. MR 1503304. Zbl 0015.13101.  Whitney, Hassler (1937년 5월). “On products in a complex”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 23: 285–291. doi:10.1073/pnas.23.5.285. ISSN 0027-8424. JFM 63.1160.02. Zbl 0016.42001.  Whitney, Hassler (1938년 5월). “On products in a complex”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 39: 397–432. doi:10.2307/1968795. ISSN 0003-486X. JFM 64.1265.04. JSTOR 1968795. MR 1503416. Zbl 0019.14204.  조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 2015년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 7일에 확인함.  Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.  “Cap product”. 《nLab》 (영어).  “Slant product”. 《nLab》 (영어).