케일리 변환

기하학에서 케일리 변환(Cayley變換, 영어: Cayley transform)은 환 위의 사영 직선의 특별한 자기 동형이다. 행렬의 경우, 이는 반대칭 행렬과 직교 행렬 사이의 대응을 정의하며, 복소수체의 경우, 이는 허수축과 단위 원 사이의 대응을 정의한다. 2가 가역원인 환 R ∋ 2 − 1 {\displaystyle R\ni 2^{-1}} 위의 사영 직선 P R 1 = R 2 / ∼ {\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{1}=R^{2}/\sim } [ x , y ] ∼ [ a x , a y ] ∀ x , y , a ∈ R {\displaystyle [x,y]\sim [ax,ay]\qquad \forall x,y,a\in R} 을 생각하자. 그 위의 케일리 변환은 다음과 같다. f : [ x , y ] ↦ [ y − x , x + y ] {\displaystyle f\colon [x,y]\mapsto [y-x,x+y]} 이는 멱등 함수이다. f ∘ f = 1 {\displaystyle f\circ f=1} 따라서, 이는 R {\displaystyle R} -사영 직선 위의 전단사 함수를 정의한다. 보다 일반적으로, 임의의 가역원 u ∈ Unit ⁡ ( R ) {\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (R)} 에 대하여, f u : [ x , y ] ↦ [ y u − x , y u + x ] {\displaystyle f_{u}\colon [x,y]\mapsto [yu-x,yu+x]} 를 정의할 수 있다. 그 역사상은 다음과 같다. f u − 1 : [ x , y ] ↦ [ y − x , ( x + y ) u − 1 ] {\displaystyle f_{u}^{-1}\colon [x,y]\mapsto [y-x,(x+y)u^{-1}]} 케일리 변환 f : z ↦ 1 − z 1 + z {\displaystyle f\colon z\mapsto {\frac {1-z}{1+z}}} 은 리만 구 P C 1 = C ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} 위의 뫼비우스 변환을 이룬다. 이는 다음과 같은 성질을 갖는다. 즉, 이는 허수축과 단위원을 뒤바꾸며, 실수축을 고정시킨다. 또한, 음이 아닌 실수 성분을 가진 반평면은 닫힌 원판에 대응된다. n × n {\displaystyle n\times n} 실수 정사각 행렬의 환 Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )} 위의 케일리 변환을 생각하자. f : Mat ⁡ ( n ; R ) ∖ X → Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle f\colon \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )\setminus X\to \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )} M ↦ ( 1 − M ) ( 1 + M ) − 1 = ( 1 + M ) − 1 ( 1 − M ) {\displaystyle M\mapsto (1-M)(1+M)^{-1}=(1+M)^{-1}(1-M)} 여기서 X {\displaystyle X} 는 1 + M {\displaystyle 1+M} 이 가역 행렬이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이다. 이 변환에서, 만약 M ∈ o ( n ; R ) {\displaystyle M\in {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )} 이 반대칭 행렬이라면 ( M ⊤ = − M {\displaystyle M^{\top }=-M} ), 1 + M {\displaystyle 1+M} 은 항상 가역 행렬이며, f ( M ) ⊤ = ( 1 − M ) ( 1 + M ) − 1 = ( 1 − M ) − 1 ( 1 + M ) {\displaystyle f(M)^{\top }=(1-M)(1+M)^{-1}=(1-M)^{-1}(1+M)} 이므로 f ( M ) ⊤ f ( M ) = f ( M ) f ( M ) ⊤ = 1 {\displaystyle f(M)^{\top }f(M)=f(M)f(M)^{\top }=1} 이 된다. 즉, f ( M ) ∈ O ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle f(M)\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )} 이며, 특히 det f ( M ) ∈ { ± 1 } {\displaystyle \det f(M)\in \{\pm 1\}} 이다. 그런데 det ∘ ( f ↾ o ( n ; R ) ) : o ( n ; R ) ∖ X → { ± 1 } {\displaystyle \det \circ (f\upharpoonright {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} ))\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )\setminus X\to \{\pm 1\}} 은 연속 함수이며, 그 정의역 o ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )} 은 연결 공간이다. 따라서 이는 상수 함수이며, 그 값은 det f ( 0 ) = 1 {\displaystyle \det f(0)=1} 이다. 즉, 케일리 변환은 매끄러운 함수 f : o ( n ; R ) → SO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle f\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} f : 0 ↦ 1 {\displaystyle f\colon 0\mapsto 1} 를 정의한다. (물론, 이는 전사 함수가 아니다. o ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )} 는 축약 가능 공간이지만 SO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 는 축약 가능 공간이 아니기 때문이다.) 마찬가지로, 복소수 정사각 행렬의 환 Mat ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )} 위의 케일리 변환을 생각하자. 이를 제한하면 마찬가지로 매끄러운 함수 ( f 1 ↾ o ( n ; C ) ) : o ( n ; C ) → SO ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle (f_{1}\upharpoonright {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} ))\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} ( f 1 ↾ u ( n ; C ) ) : u ( n ; C ) → U ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle (f_{1}\upharpoonright {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} ))\colon {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} )\to \operatorname {U} (n;\mathbb {C} )} 를 정의할 수 있다. 여기서 o ( n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} )} 는 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수이다. u ( n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} )} 는 복소수 반에르미트 행렬의 실수 리 대수이다. SO ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} 는 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군이다. U ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {U} (n;\mathbb {C} )} 는 유니터리 군이다. 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 위의 케일리 변환 f : H ∪ { ∞ } → H ∪ { ∞ } {\displaystyle f\colon \mathbb {H} \cup \{\infty \}\to \mathbb {H} \cup \{\infty \}} f : q ↦ 1 − q 1 + q {\displaystyle f\colon q\mapsto {\frac {1-q}{1+q}}} 을 생각하자. ( 1 − q {\displaystyle 1-q} 와 1 + q {\displaystyle 1+q} 는 서로 가환하므로 나눗셈을 왼쪽에서 취하든, 오른쪽에서 취하든 상관이 없다.) 이는 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화 ( i R + j R + k R ) ∪ { ∞ } {\displaystyle (\mathrm {i} \mathbb {R} +\mathrm {j} \mathbb {R} +\mathrm {k} \mathbb {R} )\cup \{\infty \}} 를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구 S 3 = { q ∈ H : | q | = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=\{q\in \mathbb {H} \colon |q|=1\}} 에 대응시킨다. 이는 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} (의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 여길 수 있다. (이는 리 대응과 다른 사상이다.) 아서 케일리가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입하였다. Cayley, Arthur (1846). “Sur quelques propriétés des déterminants gauches”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (프랑스어) 32: 119–123. doi:10.1515/crll.1846.32.119. ISSN 0075-4102.  “Cayley transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.