사영 평면

사영기하학에서 사영 평면(射影平面, 영어: projective plane)은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 결합 구조이다. 결합 구조 ( X , L , ⊲ ) {\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )} 속의, 크기 n {\displaystyle n} 의 유한 집합 P ⊆ X {\displaystyle P\subseteq X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, n {\displaystyle n} 각형( n {\displaystyle n} 角形, 영어: n {\displaystyle n} -gon)이라고 한다. 임의의 서로 다른 세 점 x , y , z ∈ P {\displaystyle x,y,z\in P} 에 모두 인접하는 직선 l ∈ L {\displaystyle l\in L} 은 존재하지 않는다. 결합 구조 ( X , L , ⊲ ) {\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )} 가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 사영 평면이라고 한다. 임의의 서로 다른 두 점 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} ( x ≠ y {\displaystyle x\neq y} )에 대하여, x ⊲ l ⊳ y {\displaystyle x\vartriangleleft l\vartriangleright y} 인 유일한 직선 l ∈ L {\displaystyle l\in L} 이 존재한다. 이를 보통 x y ¯ {\displaystyle {\overline {xy}}} 로 표기한다. 임의의 서로 다른 두 선 l , m ∈ L {\displaystyle l,m\in L} 에 대하여, l ⊳ x ⊲ m {\displaystyle l\vartriangleright x\vartriangleleft m} 인 유일한 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 이 존재한다. 이를 l m _ {\displaystyle {\underline {lm}}} 으로 표기하자. 사각형이 존재한다. 사영 평면 ( X , L , ⊲ ) {\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )} 속의 두 삼각형 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} , ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle (x',y',z')} 이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 ( l , m , n ) , ( l ′ , m ′ , n ′ ) {\displaystyle (l,m,n),(l',m',n')} 이라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 축배경적(영어: axially in perspective)이라고 한다. l l ′ _ {\displaystyle {\underline {ll'}}} , m m ′ _ {\displaystyle {\underline {mm'}}} , n n ′ _ {\displaystyle {\underline {nn'}}} 세 점에 모두 인접하는 직선이 존재한다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 중심 배경적(영어: centrally in perspective)이라고 한다. x x ′ ¯ {\displaystyle {\overline {xx'}}} , y y ′ ¯ {\displaystyle {\overline {yy'}}} , z z ′ ¯ {\displaystyle {\overline {zz'}}} 세 직선에 모두 인접한 점이 존재한다. 만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면이 데자르그 사영 평면(Desargues영어: Desarguesian projective plane)이라고 한다. 사영 평면 P = ( X , L , ⊲ ) {\displaystyle P=(X,L,\vartriangleleft )} 이 주어졌을 때, ( L , X , ⊳ ) {\displaystyle (L,X,\vartriangleright )} , 즉 P {\displaystyle P} 의 각 점에 대응하는 직선을 가지며, P {\displaystyle P} 의 각 직선에 대응하는 점을 가지며, P {\displaystyle P} 에서 인접하는 점과 직선은 인접하는 직선과 점에 대응되는 사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 P {\displaystyle P} 의 쌍대 사영 평면(영어: dual projective plane)이라고 한다. 모든 사영 평면 ( X , L , ⊳ ) {\displaystyle (X,L,\vartriangleright )} 에 대하여, 다음이 성립한다. ∀ l ∈ L : | { x ∈ X : x ⊲ l } | = q + 1 {\displaystyle \forall l\in L\colon |\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}|=q+1} 인 2 이상의 (유한 또는 무한) 기수 q {\displaystyle q} 가 존재한다. 즉, 모든 직선은 q + 1 {\displaystyle q+1} 개의 점과 인접한다. 모든 점은 q + 1 {\displaystyle q+1} 개의 직선과 인접한다. | X | = | L | = q 2 + q + 1 {\displaystyle |X|=|L|=q^{2}+q+1} 이다. q ∉ { 6 , 10 } {\displaystyle q\not \in \{6,10\}} 이다. 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다. 유한 사영 평면의 차수 q {\displaystyle q} 는 항상 소수의 거듭제곱이다 (즉, 크기 q {\displaystyle q} 의 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 가 존재한다.) 예를 들어, P 2 ( F q ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{q})} 는 차수 q {\displaystyle q} 의 유한 사영 평면이다. 또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다. 소수 차수 p {\displaystyle p} 의 사영 평면은 P 2 ( F p ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{p})} 밖에 없다. 결합 구조 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다. X = L = ∅ {\displaystyle X=L=\varnothing } . 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 A {\displaystyle A} 로 표기하자. X {\displaystyle X} 와 L {\displaystyle L} 은 공집합이 아닌 임의의 집합, x ∈ X {\displaystyle x\in X} , l ∈ L {\displaystyle l\in L} , R = { x } × L ∪ X × { l } {\displaystyle R=\{x\}\times L\cup X\times \{l\}} . 이를 B | X | , | L | {\displaystyle B_{|X|,|L|}} 로 표기하자. B | X | , | L | {\displaystyle B_{|X|,|L|}} 의 쌍대 사영 평면은 B | L | , | X | {\displaystyle B_{|L|,|X|}} 이다. S {\displaystyle S} 는 임의의 집합, L = { l } ⊔ S {\displaystyle L=\{l\}\sqcup S} , X = { x } ⊔ S {\displaystyle X=\{x\}\sqcup S} , R = { x } × S ∪ S × { l } ∪ { ( s , s ) : s ∈ S } {\displaystyle R=\{x\}\times S\cup S\times \{l\}\cup \{(s,s)\colon s\in S\}} . 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 C | X | {\displaystyle C_{|X|}} 로 표기하자. B 2 , 2 = C 2 {\displaystyle B_{2,2}=C_{2}} 이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 서로소이다. 모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 나눗셈환 K {\displaystyle K} 에 대하여, X = K × K × K ∖ { ( 0 , 0 , 0 ) } ( x , y , z ) ∼ ( a x , a y , a z ) ∀ a ∈ K × , x , y , z ∈ K {\displaystyle X={\frac {K\times K\times K\setminus \{(0,0,0)\}}{(x,y,z)\sim (ax,ay,az)\qquad \forall a\in K^{\times },x,y,z\in K}}} L {\displaystyle L} 의 원소는 K × K × K {\displaystyle K\times K\times K} 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다. 이를 P K 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{2}} 로 표기한다. 특히, 크기 2의 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위의 사영 평면은 파노 사영 평면(영어: Fano projective plane)이라고 한다. 작은 차수 q {\displaystyle q} 의 유한 사영 평면들을 생각하자. q ≤ 10 {\displaystyle q\leq 10} 인 유한 사영 평면들은 다음과 같다. 유한체 위의 사영 평면 P 2 ( F 2 ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{2})} , P 2 ( F 3 ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{3})} , P 2 ( F 4 ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{4})} , P 2 ( F 5 ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{5})} , P 2 ( F 7 ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{7})} , P 2 ( F 8 ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{8})} , P 2 ( F 9 ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{9})} 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다. 교대 대수 ( A , + , 0 , ⋆ ) {\displaystyle (A,+,0,\star )} 에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 무팡 사영 평면(영어: Moufang projective plane)이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다. 모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다. 블록 설계 결합 구조 일반화 다각형 사영기하학 Hungerbühler, Norbert; Kusejko, Katharina (2014). “Poncelet’s Theorem in the four non-isomorphic finite projective planes of order 9” (영어). arXiv:1406.7857.  Weibel, Charles (2007년 11월). “Survey of non-Desarguesian planes” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (10): 1294–1303.  Salzmann, Helmut; Betten, Dieter; Grundhöfer, Theo; Hähl, Hermann; Löwen, Rainer; Stroppel, Markus (1995). 《Compact projective planes. With an introduction to octonion geometry》. De Gruyter Expositions in Mathematics (영어) 21. Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-11-087683-3. 2015년 11월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 16일에 확인함.  “Projective plane”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective plane”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective plane PK²”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Moufang plane”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.