이중 장론

이론물리학에서 이중 장론(二重場論, 영어: double field theory, DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다. 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여, d {\displaystyle d} 차원 시공간을 묘사하기 위하여 2 d {\displaystyle 2d} 차원의 매끄러운 다양체를 사용한다. 일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자. D {\displaystyle D} 차원 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 및 그 위의 비퇴화 이차 형식 η : V → R {\displaystyle \eta \colon V\to \mathbb {R} } 두 리 군 H ≤ G ≤ GL ⁡ ( V ; R ) {\displaystyle H\leq G\leq \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )} . 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자. H → G ↓ ↓ O ⁡ ( V , η ) → GL ⁡ ( V ; R ) {\displaystyle {\begin{matrix}H&\to &G\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {O} (V,\eta )&\to &\operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )\end{matrix}}} D {\displaystyle D} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 및 그 접다발의 구조군 G {\displaystyle G} . 즉, 어떤 G {\displaystyle G} -주다발 (틀다발) F G {\displaystyle F_{G}} 및 벡터 다발의 동형 사상 F G × G R N → T M {\displaystyle F_{G}\times _{G}\mathbb {R} ^{N}\to \mathrm {T} M} 이 주어져 있다. 접다발의, H {\displaystyle H} 로의 구조 축소. 즉, H {\displaystyle H} -주다발 F H {\displaystyle F_{H}} 및 벡터 다발의 동형 사상 E : F H × H V → T M {\displaystyle E\colon F_{H}\times _{H}V\to \mathrm {T} M} . M {\displaystyle M} 의 접다발 지표를 M , N , … {\displaystyle M,N,\dotsc } , V {\displaystyle V} 의 지표를 A , B , … {\displaystyle A,B,\dotsc } 로 표기하면, E {\displaystyle E} 의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다. T x M → V {\displaystyle \mathrm {T} _{x}M\to V} X M ↦ E M A X M {\displaystyle X^{M}\mapsto E_{M}^{A}X^{M}} 이제, E {\displaystyle E} 는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조 G M N {\displaystyle G_{MN}} 를 정의한다. (그 부호수는 η {\displaystyle \eta } 의 부호수와 같다.) G M N = η A B E M A E N B {\displaystyle G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}} 이제, E {\displaystyle E} 에 다음과 같은 H {\displaystyle H} -게이지 대칭을 부여하자. E A M ↦ T A B E M B ( T ∈ C ∞ ( M , H ) ) {\displaystyle E^{A}{}_{M}\mapsto T^{A}{}_{B}E_{M}^{B}\qquad (T\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,H))} 그렇다면, E {\displaystyle E} 는 각 점에서 물리적으로 동차 공간 G H {\displaystyle {\frac {G}{H}}} 의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서 G M N {\displaystyle G_{MN}} 는 ( H ≤ O ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle H\leq \operatorname {O} (V,Q)} 이므로) 게이지 불변이다. 이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다. 즉, G / H = GL ⁡ ( D ) / O ⁡ ( 1 , D − 1 ) {\displaystyle G/H=\operatorname {GL} (D)/\operatorname {O} (1,D-1)} 인 경우는 D {\displaystyle D} 차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면, G / H = O ⁡ ( d , d ) / O ⁡ ( 1 , d − 1 ) 2 {\displaystyle G/H=\operatorname {O} (d,d)/\operatorname {O} (1,d-1)^{2}} 인 경우, 이는 d 2 {\displaystyle d^{2}} 개의 성분을 가지며, 이는 d × d {\displaystyle d\times d} 대칭 행렬(중력장)과 d × d {\displaystyle d\times d} 반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다. 구체적으로, 필바인 E M A {\displaystyle E_{M}^{A}} 에 의하여 정의되는 계량 텐서 G M N = η A B E M A E N B {\displaystyle G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}} 를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다. 편의상, η A B {\displaystyle \eta _{AB}} 를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자. η = ( 0 1 d × d 1 d × d 0 ) {\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}0&1_{d\times d}\\1_{d\times d}&0\end{pmatrix}}} 즉, 이는 분해 V = V + ⊕ V − {\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}} dim ⁡ V + = dim ⁡ V − = d {\displaystyle \dim V_{+}=\dim V_{-}=d} η ± : V ± → V ∓ ∗ {\displaystyle \eta _{\pm }\colon V_{\pm }\to V_{\mp }^{*}} 를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.) V {\displaystyle V} 는 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간 T x M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}M} 의 마찬가지 분해 T M = T + M ⊕ T − M {\displaystyle \mathrm {T} M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M} 를 정의한다. 이러한 게이지에서, O ⁡ ( d , d ) {\displaystyle \operatorname {O} (d,d)} 의 원소 H N P ∈ O ⁡ ( d , d ) {\displaystyle H^{N}{}_{P}\in \operatorname {O} (d,d)} η M N H N P = ( g − 1 − g − 1 b b g − 1 g − b g − 1 b ) ∈ O ⁡ ( d , d ) {\displaystyle \eta _{MN}H^{N}{}_{P}={\begin{pmatrix}g^{-1}&-g^{-1}b\\bg^{-1}&g-bg^{-1}b\end{pmatrix}}\in \operatorname {O} (d,d)} 를 정의할 수 있다. 여기서, g {\displaystyle g} 는 중력장을 나타내며, b {\displaystyle b} 는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다. 이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면, η {\displaystyle \eta } 및 H {\displaystyle H} 와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만,:§4.2 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며,:§4.2, Table 1 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다. 일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다.:(3.52), (3.53) 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다. E ∈ O ⁡ ( d , d ) O ⁡ ( 1 , D − 1 ) × O ⁡ ( 1 , d − 1 ) {\displaystyle E\in {\frac {\operatorname {O} (d,d)}{\operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}}} 여기서 O ⁡ ( 1 , d − 1 ) × O ⁡ ( 1 , d − 1 ) {\displaystyle \operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)} 은 O ⁡ ( d , d ) {\displaystyle \operatorname {O} (d,d)} 의 블록 대각 행렬 부분군이다. 즉, 이는 대표원 E M A ∈ O ⁡ ( d , d ) {\displaystyle E_{M}^{A}\in \operatorname {O} (d,d)} 에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환 E M A ↦ L A B E M A ( L A B ∈ O ⁡ ( 1 , D − 1 ) × O ⁡ ( 1 , D − 1 ) ) {\displaystyle E_{M}^{A}\mapsto L^{A}{}_{B}E_{M}^{A}\qquad (L^{A}{}_{B}\in \operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,D-1))} 을 겪는다. 여기서 A , B , … {\displaystyle A,B,\dotsc } 는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는 H M N = E A M H A B E B N {\displaystyle H_{MN}=E^{A}{}_{M}H_{AB}E^{B}{}_{N}} 이다. 필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 일반화 바이첸뵈크 접속(영어: generalized Weitzenböck connection)을 정의할 수 있다.:(3.59) Ω A B C = − Ω A C B = E A M ∂ M ( E B N E C P η P N ) {\displaystyle \Omega _{ABC}=-\Omega _{ACB}=E_{A}{}^{M}\partial _{M}(E_{B}{}^{N}E_{C}{}^{P}\eta _{PN})} 이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.:(3.60) S = ∫ d 2 D x exp ⁡ ( − 2 ϕ ) ( S 1 + S 2 ) {\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{2D}x\,\exp(-2\phi )(S_{1}+S_{2})} 여기서 S 1 = 9 Ω [ A B C ] Ω [ D E F ] ( 1 4 H A D η B E η C F − 1 12 H A D H B E H C F − 1 6 η A D η B E η C F ) + exp ⁡ ( 2 ϕ ) ( η A B − H A B ) {\displaystyle S_{1}=9\Omega _{[ABC]}\Omega _{[DEF]}\left({\frac {1}{4}}H^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}-{\frac {1}{12}}H^{AD}H^{BE}H^{CF}-{\frac {1}{6}}\eta ^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}\right)+\exp(2\phi )(\eta ^{AB}-H^{AB})} S 2 = F A F B ( η A B − H A B ) {\displaystyle S_{2}=F_{A}F_{B}(\eta ^{AB}-H^{AB})} F A = η B C Ω B C A + 2 E A M ∂ M ϕ {\displaystyle F_{A}=\eta ^{BC}\Omega _{BCA}+2E_{A}{}^{M}\partial _{M}\phi } 여기서 ϕ {\displaystyle \phi } 는 딜라톤 스칼라장이다. 이는 M {\displaystyle M} 위의, O ⁡ ( d , d ) {\displaystyle \operatorname {O} (d,d)} 구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다. 위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.:(3.81) S 1 = 0 {\displaystyle S_{1}=0} 2 ( H C [ A − η D [ C ) ∂ B ] F C + ( F C − ∂ − C ) F C [ A B ] + F C D [ A F C D E η B ] E = 0 {\displaystyle 2(H^{C[A}-\eta ^{D[C})\partial ^{B]}F_{C}+(F_{C}-\partial -C)F^{C[AB]}+F^{CD[A}F_{CDE}\eta ^{B]E}=0} 이들은 각각 ϕ {\displaystyle \phi } 및 E A M {\displaystyle E_{A}{}^{M}} 에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다. M {\displaystyle M} 위의 장들은 2 d {\displaystyle 2d} 차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은 d {\displaystyle d} 차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 단면 조건(영어: section condition)이라고 하며, 스칼라장 Φ {\displaystyle \Phi } 에 대하여 다음과 같은 꼴이다.:(3.29), (3.30) η M N ∂ M ∂ N Φ = 0 {\displaystyle \eta ^{MN}\partial _{M}\partial _{N}\Phi =0} 워런 시걸(영어: Warren Siegel)이 1993년에 도입하였다. Aldazabal, Gerardo; Marqués, Diego; Núñez, Carmen (2013). “Double field theory: a pedagogical review”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 30: 163001. arXiv:1305.1907. doi:10.1088/0264-9381/30/16/163001.  Siegel, Warren (1993). “Superspace duality in low-energy superstrings”. 《Physical Review D》 (영어) 48: 2826. arXiv:hep-th/9305073.  Siegel, Warren (1993). “Two vierbein formalism for string inspired axionic gravity”. 《Physical Review D》 (영어) 47: 5453. arXiv:hep-th/9302036.  “Double field theory”. 《nLab》 (영어).  “T-fold”. 《nLab》 (영어).