부분 정의 함수

수학에서 부분 정의 함수(部分定義函數, 영어: partially defined function) 또는 부분 함수(部分函數, 영어: partial function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다. 집합 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 에서 Y {\displaystyle Y} 로 가는 부분 정의 함수는 정의역 dom ⁡ f {\displaystyle \operatorname {dom} f} 이 X {\displaystyle X} 의 부분 집합이며, 공역이 Y {\displaystyle Y} 인 함수 f {\displaystyle f} 이다. 이들의 집합을 Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)} 로 표기하자. Pfn ⁡ ( X , Y ) = ⨆ A ⊆ X Y A {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)=\bigsqcup _{A\subseteq X}Y^{A}} 부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합 X ∙ = X ⊔ { ∙ X } {\displaystyle X_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{X}\}} Y ∙ = X ⊔ { ∙ Y } {\displaystyle Y_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{Y}\}} 를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다. 부분 정의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 점을 보존하는 함수 f ∙ : X ∙ → Y ∙ {\displaystyle f_{\bullet }\colon X_{\bullet }\to Y_{\bullet }} 함수 f ∙ | X : X → Y ∙ {\displaystyle f_{\bullet }|_{X}\colon X\to Y_{\bullet }} 이 경우 dom ⁡ f = f ∙ − 1 ( Y ) = f ∙ − 1 ( Y ∙ ∖ { ∙ Y } ) {\displaystyle \operatorname {dom} f=f_{\bullet }^{-1}(Y)=f_{\bullet }^{-1}(Y_{\bullet }\setminus \{\bullet _{Y}\})} 이다. 특히, Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)} 는 지수 집합 Y ∙ X {\displaystyle Y_{\bullet }^{X}} 와 표준적으로 일대일 대응한다. X → Y {\displaystyle X\to Y} 부분 정의 함수들의 집합을 Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)} 라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다. f ≤ g ⟺ ( dom ⁡ f ⊆ dom ⁡ g ∧ g | dom ⁡ f = f ) {\displaystyle f\leq g\iff \left(\operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} g\land g|_{\operatorname {dom} f}=f\right)} 그렇다면 Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)} 는 부분 순서 집합을 이룬다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 는 정의역의 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.:211, Definition VII.6.1 Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) = { f ∈ Pfn ⁡ ( X , Y ) : | dom ⁡ f | < κ } = ⨆ A ⊆ X | A | < κ Y A {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)\colon |\operatorname {dom} f|<\kappa \}=\bigsqcup _{A\subseteq X}^{|A|<\kappa }Y^{A}} 이 역시 부분 순서 집합을 이룬다. Pfn ⁡ ( X , Y ) ≅ Y ∙ X {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)\cong Y_{\bullet }^{X}} 의 크기는 다음과 같다. | Pfn ⁡ ( X , Y ) | = ( | Y | + 1 ) | X | = ∑ A ∈ P ( X ) | Y | | A | = ∑ 0 ≤ κ ≤ | X | | Y | κ ( | X | κ ) {\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y)|=(|Y|+1)^{|X|}=\sum _{A\in {\mathcal {P}}(X)}|Y|^{|A|}=\sum _{0\leq \kappa \leq |X|}|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}} (이는 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 가 무한 집합일 경우에도 성립한다.) Pfn ⁡ ( X , Y ; λ ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )} 의 크기는 다음과 같다. | Pfn ⁡ ( X , Y ; λ ) | = ∑ 0 ≤ κ < λ | Y | κ ( | X | κ ) {\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )|=\sum _{0\leq \kappa <\lambda }|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}} Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)} 의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다. Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)} 의 극대 원소는 dom ⁡ f = X {\displaystyle \operatorname {dom} f=X} 인 함수 f ∈ Y X ⊆ Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle f\in Y^{X}\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y)} 이다. 만약 Y {\displaystyle Y} 가 가산 집합이라면, Pfn ⁡ ( X , Y ; ℵ 0 ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\aleph _{0})} 는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.) 임의의 집합 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 및 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌다고 하고, λ = ( | Y | < κ ) + = ( sup κ ′ < κ | Y | κ ) + {\displaystyle \lambda =(|Y|^{<\kappa })^{+}=\left(\sup _{\kappa '<\kappa }|Y|^{\kappa }\right)^{+}} 라고 하자. 그렇다면, Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 는 λ {\displaystyle \lambda } -강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. 임의의 기수 κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} 및 Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 의 포괄적 순서 아이디얼 G ⊆ Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 sup G ∈ Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle \sup G\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.:211, Lemma VII.6.2 만약 ℵ 0 ≤ κ {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa } 라면, dom ⁡ sup G = X {\displaystyle \operatorname {dom} \sup G=X} 이다. 즉, sup G ∈ Y X {\displaystyle \sup G\in Y^{X}} 는 ( X {\displaystyle X} 전체에 정의된) 함수이다. 증명: 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, x {\displaystyle x} 에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 D x = { f ∈ Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) : x ∈ dom ⁡ f } {\displaystyle D_{x}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon x\in \operatorname {dom} f\}} 는 Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 의 공종 집합이다. 따라서 f ∈ G ∩ D x {\displaystyle f\in G\cap D_{x}} 가 존재하며, 특히 f ≤ sup G {\displaystyle f\leq \sup G} 이자 x ∈ dom ⁡ f ⊆ dom ⁡ sup G {\displaystyle x\in \operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} \sup G} 이다. 만약 ℵ 0 ≤ κ ≤ | X | {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa \leq |X|} 라면, im ⁡ sup G = Y {\displaystyle \operatorname {im} \sup G=Y} 이다. 즉, sup G ∈ Y X {\displaystyle \sup G\in Y^{X}} 는 전사 함수이다. 증명: 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, y {\displaystyle y} 가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 D y = { f ∈ Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) : y ∈ im ⁡ f } {\displaystyle D_{y}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon y\in \operatorname {im} f\}} 는 Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 의 공종 집합이다. 따라서 f ∈ G ∩ D y {\displaystyle f\in G\cap D_{y}} 가 존재하며, 특히 f ≤ sup G {\displaystyle f\leq \sup G} 이자 y ∈ im ⁡ f ⊆ im ⁡ sup G {\displaystyle y\in \operatorname {im} f\subseteq \operatorname {im} \sup G} 이다. 다음과 같은 범주 S e t p a r t {\displaystyle \operatorname {Set_{part}} } 를 생각하자. S e t p a r t {\displaystyle \operatorname {Set_{part}} } 의 대상은 집합이다. 두 집합 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 은 부분 정의 함수 f ∈ Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)} 이다. 그렇다면, S e t p a r t {\displaystyle \operatorname {Set_{part}} } 는 점을 가진 집합의 범주 Set ∙ {\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }} 와 동치이다.:10 S e t p a r t ≃ Set ∙ {\displaystyle \operatorname {Set_{part}} \simeq \operatorname {Set} _{\bullet }} 다음과 같은 범주 S e t p a r t , i n j {\displaystyle \operatorname {Set_{part,inj}} } 를 생각하자. S e t p a r t {\displaystyle \operatorname {Set_{part}} } 의 대상은 집합이다. 두 집합 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 은 단사 부분 정의 함수 f ∈ Pfn ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)} 이다. (즉, 이는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합과 Y {\displaystyle Y} 의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.) 그렇다면 S e t p a r t , i n j {\displaystyle \operatorname {Set_{part,inj}} } 는 스스로의 반대 범주와 동치이다.:289, Exercise 5.7.3 S e t p a r t , i n j ≃ S e t p a r t , i n j op {\displaystyle \operatorname {Set_{part,inj}} \simeq \operatorname {Set_{part,inj}} ^{\operatorname {op} }} (편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.) ZFC의 가산 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} 및 X , Y ∈ M {\displaystyle X,Y\in M} 과 κ ∈ Card M {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} ^{M}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 M {\displaystyle M} 속에서 Pfn ⁡ ( X , Y , κ ) M ∈ M {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}\in M} 을 구성할 수 있다. 그렇다면, M {\displaystyle M} 에 Pfn ⁡ ( X , Y , κ ) M {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}} 의 포괄적 순서 아이디얼 G ⊆ Pfn ⁡ ( X , Y , κ ) M {\displaystyle G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}} 를 추가한 강제법 모형 M [ G ] {\displaystyle M[G]} 를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 한다.:§VII.5 구체적으로, S ∈ M {\displaystyle S\in M} 에 대하여 X = S × N {\displaystyle X=S\times \mathbb {N} } 이자 Y = { 0 , 1 } {\displaystyle Y=\{0,1\}} , κ = ℵ 0 {\displaystyle \kappa =\aleph _{0}} 이라고 놓자. ( ℵ 0 = N = ω {\displaystyle \aleph _{0}=\mathbb {N} =\omega } 는 절대적이다.) 또한 M ⊨ | S | ≥ ℵ 2 {\displaystyle M\models |S|\geq \aleph _{2}} 라고 하자. 즉, | S | ≥ ω 2 M {\displaystyle |S|\geq \omega _{2}^{M}} 이라고 하자. (여기서 ω 1 M ∈ Ord M = Ord ∩ M {\displaystyle \omega _{1}^{M}\in \operatorname {Ord} ^{M}=\operatorname {Ord} \cap M} 은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면 M [ G ] ⊨ ¬ C H {\displaystyle M[G]\models \lnot {\mathsf {CH}}} 임을 보일 수 있다:208, §VII.5 ( C H {\displaystyle {\mathsf {CH}}} 는 연속체 가설). 증명: 순서 아이디얼 조건에 의하여 sup G ∈ G {\displaystyle \sup G\in G} 이며, 또한 sup G {\displaystyle \sup G} 는 포괄성 조건에 따라서 사실 X = S × N {\displaystyle X=S\times \mathbb {N} } 전체에 정의된 함수이다. 다음을 정의하자. H = ( sup G ) − 1 ( 1 ) ⊆ S × N {\displaystyle H=\left(\sup G\right)^{-1}(1)\subseteq S\times \mathbb {N} } H s = { n ∈ N : ( s , n ) ∈ H } ⊆ N ( s ∈ S ) {\displaystyle H_{s}=\{n\in \mathbb {N} \colon (s,n)\in H\}\subseteq \mathbb {N} \qquad (s\in S)} 그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다. H s ∉ M {\displaystyle H_{s}\not \in M} s ≠ t ⟹ H s ≠ H t {\displaystyle s\neq t\implies H_{s}\neq H_{t}} H s ∈ M [ G ] {\displaystyle H_{s}\in M[G]} 따라서, { H s } s ∈ S {\displaystyle \{H_{s}\}_{s\in S}} 는 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 | S | {\displaystyle |S|} 개의 부분 집합들을 이루며, 따라서 M [ G ] ⊨ 2 ℵ 0 ≥ | S | {\displaystyle M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|} 이다.:205, Lemma VII.5.3 이제, M {\displaystyle M} 속에서 Pfn ⁡ ( X , Y , κ ) M {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}} 는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 | S | {\displaystyle |S|} 의 크기는 M {\displaystyle M} 과 M [ G ] {\displaystyle M[G]} 속에서 같으며, 따라서 M [ G ] ⊨ 2 ℵ 0 ≥ | S | > ℵ 0 {\displaystyle M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|>\aleph _{0}} 이다. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 8일에 확인함.  Schröder, Lutz (2001). 〈Categories: a free tour〉. Koslowski, Jürgen; Melton, Austin. 《Categorical perspectives》. Trends in Mathematics (영어). Birkhäuser. 1–27쪽. doi:10.1007/978-1-4612-1370-3_1. ISBN 978-1-4612-7117-8. Zbl 0985.18001.  Borceux, Francis (1994). 《Handbook of categorical algebra. Volume 2: categories and structures》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511525865. ISBN 978-0-521-44179-7. Zbl 0843.18001.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 부분 정의 함수 Weisstein, Eric Wolfgang. “Pointed map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Partial function”. 《nLab》 (영어).  “Definition: many-to-one relation”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: partial function”. 《ProofWiki》 (영어).