힐베르트 다양체

기하학에서, 힐베르트 다양체(Hilbert多樣體, 영어: Hilbert manifold)는 국소적으로 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간이다. 힐베르트 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 분해 가능 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 분해 가능 무한 차원 실수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I ⊆ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}\subseteq \operatorname {Open} (X)} 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 단사 연속 함수 ϕ i : U i → H {\displaystyle \phi _{i}\colon U_{i}\to {\mathcal {H}}} . 또한, 이는 U i {\displaystyle U_{i}} 와 ϕ i ( U i ) {\displaystyle \phi _{i}(U_{i})} 사이의 위상 동형을 정의한다. 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 에 대하여, 만약 U i ∩ U j ≠ ∅ {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing } 이라면, ϕ j ∘ ϕ i − 1 : ϕ i − 1 ( U i ∩ U j ) → H {\displaystyle \phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}^{-1}(U_{i}\cap U_{j})\to {\mathcal {H}}} 는 매끄러운 함수이다. 여기서, 함수 f : U → H {\displaystyle f\colon U\to {\mathcal {H}}} , U ⊆ H {\displaystyle U\subseteq {\mathcal {H}}} 가 ‘매끄러운 함수’라는 것은 임의의 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 f ( x + Δ x ) = f ( x ) + D 1 ( Δ x ) + D 2 ( Δ x , Δ x ) + ⋯ + D k ( Δ x , … , Δ x ) + o ( ‖ Δ x ‖ k ) {\displaystyle f(x+\Delta x)=f(x)+D_{1}(\Delta x)+D_{2}(\Delta x,\Delta x)+\dotsb +D_{k}(\Delta x,\dotsc ,\Delta x)+o(\|\Delta x\|^{k})} 가 되는 유계 작용소들 D i : H ⊕ i → H ( 1 ≤ i ≤ k ) {\displaystyle D_{i}\colon {\mathcal {H}}^{\oplus i}\to {\mathcal {H}}\qquad (1\leq i\leq k)} 이 존재함을 뜻한다. 모든 위상 힐베르트 공간 위에는 유일한 매끄러움 구조가 존재한다. 즉, 주어진 위상 공간 위의 매끄러운 힐베르트 공간 구조는 만약 존재한다면 유일하다. 두 힐베르트 다양체 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 서로 호모토피 동치이다. 위상 동형이다. 미분 동형이다. 또한, 두 힐베르트 다양체 사이의 임의의 위상 동형은 (위상 동형을 통하여) 미분 동형과 아이소토픽하다. 서로 호모토픽한 두 위상 동형은 아이소토픽하다. 임의의 힐베르트 다양체 X {\displaystyle X} 는 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 열린집합과 미분 동형이다. 분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간의 임의의 열린집합 U {\displaystyle U} 는 힐베르트 다양체이다. 다음이 주어졌다고 하자. (유한 차원) 콤팩트 리만 다양체 M {\displaystyle M} (유한 차원) 매끄러운 다양체 N {\displaystyle N} 이제, 소볼레프 공간 W n , 2 ⁡ ( M , N ) {\displaystyle \operatorname {W} ^{n,2}(M,N)} 을 생각하자. 즉, 그 원소의 n {\displaystyle n} 차 미분의 L2 노름이 유한하다고 하자. 만약 2 n > dim ⁡ M {\displaystyle 2n>\dim M} 이라면, 이는 (매끄러운) 힐베르트 다양체를 이룬다.:781 특히, 이 경우 만약 매끄러운 함수 f ∈ C ∞ ( M , N ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)} 에 대하여 f {\displaystyle f} 의 접공간은 표준적으로 힐베르트 공간인 소볼레프 공간 W n , 2 ⁡ ( f ∗ T N ) {\displaystyle \operatorname {W} ^{n,2}(f^{*}\mathrm {T} N)} 이다. 예를 들어, M = S 1 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{1}} 이 원이라고 하자. 그렇다면, 힐베르트 다양체를 이루는 고리 공간 W 1 , 2 ⁡ ( S 1 , N ) {\displaystyle \operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},N)} 을 생각할 수 있다. 이 경우, 소볼레프 조건은 고리 γ : S 1 → N {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to N} 의 에너지 1 2 ∮ γ ˙ 2 d t {\displaystyle {\frac {1}{2}}\oint {\dot {\gamma }}^{2}\,\mathrm {d} t} 가 유한함을 뜻한다. Eells, James, Jr. (1966). “A setting for global analysis”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 72 (5): 751–807. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11558-6. MR 203742. Zbl 0191.44101.  Biliotti, Leonardo; Mercuri, Francesco (2017). 〈Riemannian Hilbert manifolds〉. 《Hermitian–Grassmannian Submanifolds》. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics (영어) 203. Springer-Verlag. arXiv:1610.01527. doi:10.1007/978-981-10-5556-0_22.  “Hilbert manifold”. 《nLab》 (영어).  Meier, Lennart (2010년 1월 26일). “A Hilbert space model for mapping spaces” (PDF) (영어).