영다양체

미분위상수학에서 영다양체(零多樣體, 영어: nilmanifold)는 멱영 리 군의 몫공간으로 얻어지는 동차공간이다. 해다양체의 특수한 경우이며, 기하화 추측에서 3차원 다양체를 분류하는 기하 가운데 하나이다. 연결 멱영 리 군 N {\displaystyle N} 속의 격자(영어: lattice)는 다음 조건들을 만족시키는 부분군 Γ ≤ N {\displaystyle \Gamma \leq N} 이다. Γ {\displaystyle \Gamma } 는 이산 공간이다. 몫공간 N / Γ {\displaystyle N/\Gamma } 는 콤팩트 공간이다. 연결 멱영 리 군 N {\displaystyle N} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. N {\displaystyle N} 은 (하나 이상의) 격자를 갖는다. (말체프 조건 영어: Mal’cev condition) 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수 Lie ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (N)} 의 기저가 존재한다. 연결 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 연결 매끄러운 다양체를 영다양체라고 한다. 연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간이다. 즉, 연결 멱영 리 군 N {\displaystyle N} 의 추이적 작용 ⋅ : N × M → M {\displaystyle \cdot \colon N\times M\to M} 이 존재하며, 모든 g ∈ N {\displaystyle g\in N} 에 대하여 g ⋅ : M → M {\displaystyle g\cdot \colon M\to M} 이 미분 동형을 이룬다. M ≅ Γ ∖ N {\displaystyle M\cong \Gamma \backslash N} 이 되는 연결 멱영 리 군 N {\displaystyle N} 및 격자 Γ ≤ N {\displaystyle \Gamma \leq N} 이 존재한다. 반복된 U(1) 주다발과 유클리드 공간의 곱공간과 미분 동형이다. 즉, M ≅ R k × P n {\displaystyle M\cong \mathbb {R} ^{k}\times P_{n}} 이며 M 0 = { ∙ } {\displaystyle M_{0}=\{\bullet \}} (한원소 공간)인 매끄러운 주다발의 열 U ⁡ ( 1 ) → M i → M i − 1 {\displaystyle \operatorname {U} (1)\to M_{i}\to M_{i-1}} ( i ∈ { 1 , … , n } ) {\displaystyle (i\in \{1,\dotsc ,n\})} 이 존재한다.:Theorem 1 즉, 멱영 리 군에 대한 동차 공간의 안정자군은 격자를 이룬다. 모든 영다양체는 자명하게 해다양체이며, 따라서 해다양체의 성질들을 만족시킨다. 특히, 영다양체의 2차 이상 호모토피 군은 모두 자명하며, 콤팩트 영다양체는 그 기본군으로 완전히 분류된다. 모든 영다양체는 콤팩트 영다양체와 유클리드 공간의 곱공간이다. 따라서 영다양체의 분류는 콤팩트 영다양체의 분류로 귀결된다. 원환면이 아닌 콤팩트 영다양체는 형식적 공간이 아니며, 특히 켈러 구조를 가질 수 없다. 정의에 따라, 모든 영다양체는 가향 다양체이며, 추가로 평행화 가능 다양체이다.:163, Corollary 4.1.3 군 G {\displaystyle G} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. G ≅ π 1 ( M ) {\displaystyle G\cong \pi _{1}(M)} 이 되는 영다양체 M {\displaystyle M} 이 존재한다. G {\displaystyle G} 는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군이다. 모든 연결 아벨 리 군은 영다양체이다. 특히, 원환면 T n ≅ R n / Z n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}} 은 콤팩트 영다양체이다. 하이젠베르크 군 H ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {R} )} 는 n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} 차원 멱영 리 군을 이룬다. 정수 계수 하이젠베르크 군 H ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {Z} )} 은 그 속의 격자를 이루며, H ⁡ ( n ; R ) / H ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {R} )/\operatorname {H} (n;\mathbb {Z} )} 은 영다양체를 이룬다. 2차원 이하의 연결 영다양체는 원환면과 유클리드 공간의 곱공간 밖에 없다. 콤팩트 영다양체를 구성하려면, 1차원에서는 한원소 공간 위에 하나의 U(1) 주다발이 존재하며, 2차원에서는 원 위의 U(1) 주다발은 역시 하나 밖에 없다. (원 위에는 두 개의 원다발이 존재하며, 이는 각각 원환면과 클라인 병에 해당한다. 그러나 후자의 경우는 U(1) 주다발을 이루지 못한다.) 3차원 콤팩트 영다양체는 자연수에 의하여 분류된다. 구체적으로, 2차원 원환면 T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} 위의 U(1) 주다발 P {\displaystyle P} 는 그 연관 복소수 선다발의 천 특성류의 적분인 2차 코호몰로지 c 1 ⁡ ( P ) ∈ H 2 ⁡ ( T 2 ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {c} _{1}(P)\in \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {T} ^{2})\cong \mathbb {Z} } 로 분류된다. 그런데 이 경우 P {\displaystyle P} 와 반대 방항을 갖는 주다발 P ¯ {\displaystyle {\bar {P}}} 은 서로 미분 동형인 다양체를 정의한다. 즉, 3차원 연결 콤팩트 영다양체의 미분 동형 동치류는 자연수 p ∈ N {\displaystyle p\in \mathbb {N} } 로 분류된다. 이 가운데, 3차원 원환면은 p = 0 {\displaystyle p=0} 에 해당한다. 이는 다음과 같이 하이젠베르크 군의 몫으로 표현될 수 있다.:161, Example 4.1.1 하이젠베르크 군 Heis ⁡ ( 1 ; R ) = { ( 1 x z 0 1 y 0 0 1 ) : x , y , z ∈ R } {\displaystyle \operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon x,y,z\in \mathbb {R} \right\}} 속에서, 리 군 곱셈 규칙이 ( x , y , z ) ⋅ ( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( x + x ′ , y + y ′ , x y ′ + z + z ′ ) {\displaystyle (x,y,z)\cdot (x',y',z')=(x+x',y+y',xy'+z+z')} 이므로, 격자 Γ m , n , p = { ( 1 x z 0 1 y 0 0 1 ) : x ∈ m − 1 Z , y ∈ n − 1 Z , z ∈ m − 1 n − 1 p − 1 Z } ( m , n , p ∈ Z + ) {\displaystyle \Gamma _{m,n,p}=\left\{{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon x\in m^{-1}\mathbb {Z} ,\;y\in n^{-1}\mathbb {Z} ,\;z\in m^{-1}n^{-1}p^{-1}\mathbb {Z} \right\}\qquad (m,n,p\in \mathbb {Z} ^{+})} 를 고를 수 있으며, Γ m , n , p ∖ Heis ⁡ ( 1 ; R ) {\displaystyle \Gamma _{m,n,p}\backslash \operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )} 는 콤팩트 영다양체를 이룬다. 사영 사상 Γ m , n , p ∖ Heis ⁡ ( 1 ; R ) ↠ ( R / m − 1 Z ) × ( R / n − 1 Z ) = T 2 {\displaystyle \Gamma _{m,n,p}\backslash \operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )\twoheadrightarrow (\mathbb {R} /m^{-1}\mathbb {Z} )\times (\mathbb {R} /n^{-1}\mathbb {Z} )=\mathbb {T} ^{2}} ( x , y , z ) ↦ ( x , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y)} 아래, 이는 2차원 원환면 위의 원다발을 이룬다. 이 경우, Γ m , n , p ∖ Heis ⁡ ( 1 ; R ) {\displaystyle \Gamma _{m,n,p}\backslash \operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )} 는 Γ 1 , 1 , p ∖ Heis ⁡ ( 1 ; R ) {\displaystyle \Gamma _{1,1,p}\backslash \operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )} 와 미분 동형이다.:163, §4.1.3 다시 말해, 모든 3차원 콤팩트 연결 영다양체는 T 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}} 또는 Γ 1 , 1 , p ∖ Heis ⁡ ( 1 ; R ) {\displaystyle \Gamma _{1,1,p}\backslash \operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )} ( p ∈ Z + {\displaystyle p\in \mathbb {Z} ^{+}} )와 미분 동형이다.:162–163, Corollary 4.1.2 아나톨리 말체프가 1949년에 도입하였고, ‘영다양체’(러시아어: нильмногообразие 닐므노고오브라지예[*])라는 용어를 정의하였다. Belegradek, Igor (2018). “Iterated circle bundles and infranilmanifolds” (영어). arXiv:1805.06585.  Gorbatsevich, V. V.; Onishchik, A. L. 《Lie Groups and Lie Algebras Ⅱ. Lie Transformation Groups》 (영어).  Мальцев, Анатолий Иванович (1949). “Об одном классе однородных пространств”. 《Известия академии наук СССР. Серия математическая.》 (러시아어) 13 (1): 9–32. MR 0028842. Zbl 0034.01701.  “Nil manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Nil flow”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Nilmanifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.