산술의 기본 정리

산술의 기본 정리(算術의基本定理, 영어: fundamental theorem of arithmetic)는 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 갖는다는 정리이다. 소수의 집합을 P ⊂ Z + {\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {Z} ^{+}} 라고 하자. 산술의 기본 정리에 따르면, 임의의 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 곱하여 n {\displaystyle n} 이 되는 소수의 유한 중복집합이 유일하게 존재한다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 p 1 , … , p k ⊂ P {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}\subset \mathbb {P} } 및 r 1 , … , r k ∈ Z + {\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재하며, 이는 i = 1 , … , k {\displaystyle i=1,\dots ,k} 의 순열을 무시하면 유일하다. n = p 1 r 1 p 2 r 2 ⋯ p k r k {\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}} 만약 n = 1 {\displaystyle n=1} 인 경우, k = 0 {\displaystyle k=0} 이며, 이 소수 중복집합은 공집합이 된다. 추상대수학의 용어를 사용하면, 이는 정수의 환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 가 유일 인수 분해 정역이라는 명제와 동치이다. 이 정리의 증명은 다음과 같은 두 단계로 나뉜다. 첫 번째로 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 표현할 수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 n {\displaystyle n} 의 두 번째로 작은 약수는 반드시 소수여야한다.(첫 번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 m {\displaystyle m} 이 두 번째로 작은 약수이고, 소수가 아니라고 한다면 (즉 합성수라면), 합성수의 정의에 의해서 1 < l < m {\displaystyle 1<l<m} 이면서 m {\displaystyle m} 을 나누는 양의 정수 l {\displaystyle l} 이 존재하게 되고, 따라서 l {\displaystyle l} 은 n {\displaystyle n} 도 나눌 수 있기 때문에, m {\displaystyle m} 이 두 번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 n {\displaystyle n} 은 반드시 소수인 약수를 갖게 되며 이를 다음과 같이 표현할 수 있다. n = p 1 n 1 {\displaystyle n=p_{1}n_{1}} 만약, n 1 {\displaystyle n_{1}} 이 소수라면, 증명은 여기서 종료된다. 하지만, n 1 {\displaystyle n_{1}} 가 소수가 아니라면, n 1 {\displaystyle n_{1}} 역시 1을 제외한 약수 중에 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다. n = p 1 p 2 n 2 {\displaystyle n=p_{1}p_{2}n_{2}} 이를 소수만 남을때까지 반복 할 수 있기 때문에, 따라서, 1보다 큰 모든 양의 정수는, 소수의 곱으로 표현 가능하다. 두 번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면) 유일함을 귀류법으로 증명한다. 만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다 큰 양의 정수가 있다고 가정해 보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면, n = p 1 p 2 p 3 . . . p k = q 1 q 2 q 3 . . . q l , {\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}=q_{1}q_{2}q_{3}...q_{l},} ( p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ . . . ≤ p k , q 1 ≤ q 2 ≤ q 3 ≤ . . . ≤ q l {\displaystyle p_{1}\leq p_{2}\leq p_{3}\leq ...\leq p_{k},q_{1}\leq q_{2}\leq q_{3}\leq ...\leq q_{l}} 이고, p i {\displaystyle p_{i}} 와 q j {\displaystyle q_{j}} 는 소수, 그리고 p i ≠ q j {\displaystyle p_{i}\neq q_{j}} ) ( p i = q j {\displaystyle p_{i}=q_{j}} 이면, n ′ = n p i = n q j < n {\displaystyle n'={\frac {n}{p_{i}}}={\frac {n}{q_{j}}}<n} 인 n ′ {\displaystyle n'} 을 얻을 수 있는데 이는 소수의 곱이 유일하지 않은 1 보다 큰 정수 중 가장 작은 수가 n이라는 가정과 모순된다.) 한편 p 1 2 ≤ n , q 1 2 ≤ n {\displaystyle p_{1}^{2}\leq n,q_{1}^{2}\leq n} 이고 p 1 2 {\displaystyle p_{1}^{2}} 과 q 1 2 {\displaystyle q_{1}^{2}} 은 동시에 n {\displaystyle n} 이 될 수 없으므로, 0 < p 1 q 1 < n {\displaystyle 0<p_{1}q_{1}<n} N = n − p 1 q 1 {\displaystyle N=n-p_{1}q_{1}} 이라고 한다면, 0 < N < n {\displaystyle 0<N<n} 이고, 또한 p 1 | N {\displaystyle p_{1}|N} , q 1 | N {\displaystyle q_{1}|N} 이기 때문에, N {\displaystyle N} 의 유일한 소인수분해의 표현에는 p 1 {\displaystyle p_{1}} 과 q 1 {\displaystyle q_{1}} 가 동시에 존재하여야 한다. 따라서, p 1 q 1 | N {\displaystyle p_{1}q_{1}|N} 이므로 N = p 1 q 1 S {\displaystyle N=p_{1}q_{1}S} ( S {\displaystyle S} 는 양의정수) n = N + p 1 q 1 = p 1 q 1 ( S + 1 ) {\displaystyle n=N+p_{1}q_{1}=p_{1}q_{1}(S+1)} 양변을 p 1 {\displaystyle p_{1}} 으로 나누면 n p 1 = q 1 ( S + 1 ) {\displaystyle {\frac {n}{p_{1}}}=q_{1}(S+1)} p 2 p 3 p 4 . . . p k = q 1 ( S + 1 ) {\displaystyle p_{2}p_{3}p_{4}...p_{k}=q_{1}(S+1)} , 즉 q 1 | p 2 p 3 p 4 . . . p k {\displaystyle q_{1}|p_{2}p_{3}p_{4}...p_{k}} 그러나 n p 1 {\displaystyle {\frac {n}{p_{1}}}} 는 n {\displaystyle n} 보다 작기 때문에 소인수분해가 유일하고 , q 1 ≠ p i {\displaystyle q_{1}\neq p_{i}} 이면서, 동시에 q 1 {\displaystyle q_{1}} 은 소수이므로, 소수의 곱이 유일하지 않는 양의 정수가 있다는 가정은 모순이다. 대수학의 기본 정리 리만 제타 함수 오일러의 곱셈 공식 유일 인수 분해 정역 제곱수