합곱

대수적 위상수학에서 합곱(合곱, 영어: cup product 컵 프로덕트[*])은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 가환환 R {\displaystyle R} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 합곱은 다음과 같은 R {\displaystyle R} -선형 변환이다. ⌣ : C p ( X ; R ) × C q ( X ; R ) → C p + q ( X ; R ) {\displaystyle \smile \colon C^{p}(X;R)\times C^{q}(X;R)\to C^{p+q}(X;R)} 이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 p {\displaystyle p} 차 특이 쌍대사슬 c ∈ C p ( X ; R ) {\displaystyle c\in C^{p}(X;R)} 및 q {\displaystyle q} 차 특이 쌍대사슬 d ∈ C q ( X ; R ) {\displaystyle d\in C^{q}(X;R)} 및 ( p + q ) {\displaystyle (p+q)} 차 특이 단체 σ : △ p + q → X {\displaystyle \sigma \colon \triangle ^{p+q}\to X} 에 대하여, c ⌣ d : σ ↦ c ( σ ∘ ι 0 , 1 , . . . p ) ⋅ d ( σ ∘ ι p , p + 1 , . . . , p + q ) {\displaystyle c\smile d\colon \sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})} 여기서 ι S : △ | S | − 1 ↪ △ p + q {\displaystyle \iota _{S}\colon \triangle ^{|S|-1}\hookrightarrow \triangle ^{p+q}} ( S ⊂ { 0 , 1 , . . . , p + q } {\displaystyle S\subset \{0,1,...,p+q\}} )는 | S | − 1 {\displaystyle |S|-1} 차원 표준 단체를 꼭짓점들이 { 0 , 1 , … , p + q } {\displaystyle \{0,1,\dots ,p+q\}} 인 p + q {\displaystyle p+q} 차원 표준 단체의, S {\displaystyle S} 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다. 쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계 δ {\displaystyle \delta } 와 호환된다. δ ( c ⌣ d ) = δ c ⌣ d + ( − 1 ) deg ⁡ c ( c ⌣ δ d ) {\displaystyle \delta (c\smile d)=\delta c\smile d+(-1)^{\deg c}(c\smile \delta d)} 따라서, 쌍대사슬의 합곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 합곱 ⌣ : H p ( X ; R ) × H q ( X ; R ) → H p + q ( X ; R ) {\displaystyle \smile \colon H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\to H^{p+q}(X;R)} 이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 H ∙ ( X ; R ) {\displaystyle H^{\bullet }(X;R)} 는 등급환을 이룬다. 두 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 및 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다. ⊗ R : C p ( X ; M ) × C q ( Y ; N ) → C p + q ( X × Y ; M ⊗ R N ) {\displaystyle \otimes _{R}\colon C^{p}(X;M)\times C^{q}(Y;N)\to C^{p+q}(X\times Y;M\otimes _{R}N)} c ⊗ R d : σ ↦ c ( proj X X × Y ∘ σ ∘ ι 0 , 1 , . . . p ) ⊗ R d ( proj Y X × Y ∘ σ ∘ ι p , p + 1 , . . . , p + q ) ∈ M ⊗ R N {\displaystyle c\otimes _{R}d\colon \sigma \mapsto c\left(\operatorname {proj} _{X}^{X\times Y}\circ \sigma \circ \iota _{0,1,...p}\right)\otimes _{R}d\left(\operatorname {proj} _{Y}^{X\times Y}\circ \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}\right)\in M\otimes _{R}N} 여기서 proj X X × Y : X × Y → X {\displaystyle \operatorname {proj} _{X}^{X\times Y}\colon X\times Y\to X} proj Y X × Y : X × Y → Y {\displaystyle \operatorname {proj} _{Y}^{X\times Y}\colon X\times Y\to Y} 는 곱공간의 사영 사상이다. 이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 텐서곱 ⊗ R : H p ⁡ ( X ; M ) × H q ⁡ ( Y ; N ) → H p + q ⁡ ( X × Y ; M ⊗ R N ) {\displaystyle \otimes _{R}\colon \operatorname {H} ^{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(Y;N)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;M\otimes _{R}N)} 을 정의할 수 있다. 만약 M = N = R {\displaystyle M=N=R} 라면, R ⊗ R = R {\displaystyle R\otimes _{R}=R} 이므로 이는 ⊗ R : H p ⁡ ( X ; R ) × H q ⁡ ( Y ; R ) → H p + q ⁡ ( X × Y ; R ) {\displaystyle \otimes _{R}\colon \operatorname {H} ^{p}(X;R)\times \operatorname {H} ^{q}(Y;R)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;R)} 이다. 이 사상은 퀴네트 정리에 등장하는 사상과 같다. 코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다. α ⌣ β = ( − 1 ) deg ⁡ α deg ⁡ β ( β ⌣ α ) {\displaystyle \alpha \smile \beta =(-1)^{\deg \alpha \deg \beta }(\beta \smile \alpha )} 합곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 코호몰로지로 인한 당김 f ∗ : H ∙ ( Y ) → H ∙ ( X ) {\displaystyle f^{*}\colon H^{\bullet }(Y)\to H^{\bullet }(X)} 을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 α , β ∈ H ∙ ( Y ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in H^{\bullet }(Y)} 에 대하여, f ∗ ( α ⌣ β ) = f ∗ ( α ) ⌣ f ∗ ( β ) , {\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),} 즉, f ∗ {\displaystyle f^{*}} 는 등급환의 준동형을 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상 diag X : X → X 2 {\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{2}} 이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상의 당김 diag X ∗ ⁡ ( − ⊗ R − ) : H p ⁡ ( X ; M ) × H q ⁡ ( X ; N ) → H p + q ⁡ ( X ; M ⊗ R N ) {\displaystyle \operatorname {diag} _{X}^{*}(-\otimes _{R}-)\colon \operatorname {H} ^{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X;N)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X;M\otimes _{R}N)} 이 존재한다. 만약 M = N = R {\displaystyle M=N=R} 라면, 이는 합곱 ⌣ {\displaystyle \smile } 과 일치한다. 1935년 9월 4일~10일 동안 모스크바에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회(영어: International Topological Conference)에서 제임스 워델 알렉산더와 안드레이 콜모고로프는 독자적으로 코호몰로지류의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다. 이후 에두아르트 체흐와 해슬러 휘트니는 코호몰로지류의 합곱을 구체적으로 정의하였다. 1944년에 사무엘 에일렌베르크는 그 정의를 일반화하였다. 합곱의 기호 ⌣ {\displaystyle \smile } 는 휘트니가 고안하였다. 특이 호몰로지 호몰로지 교곱 매시 곱 Becker, James C.; Gottlieb, Daniel Henry. “A history of duality in algebraic topology” (PDF) (영어).  Čech, Eduard (1936년 7월). “Multiplications on a complex”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 37 (3): 681–697. doi:10.2307/1968483. 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