고리 공간

호모토피 이론에서 고리 공간(-空間, 영어: loop space)은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 고리들의 공간이다. 축소 현수의 오른쪽 수반 함자이다. 점을 가진 공간 X {\displaystyle X} 위의 고리 공간은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 hom Top ∙ ⁡ ( S 1 , X ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Top} _{\bullet }}(\mathbb {S} ^{1},X)} 이며, Ω X {\displaystyle \Omega X} 로 쓴다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 자유 고리 공간(영어: free loop space)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 hom Top ⁡ ( S 1 , X ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Top} }(\mathbb {S} ^{1},X)} 이며, L X {\displaystyle {\mathcal {L}}X} 로 쓴다. 위상군 G {\displaystyle G} 는 항등원 1 ∈ G {\displaystyle 1\in G} 을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 Ω G {\displaystyle \Omega G} 및 자유 고리 공간 L G {\displaystyle {\mathcal {L}}G} 는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다. α β : θ ↦ α ( θ ) β ( θ ) {\displaystyle \alpha \beta \colon \theta \mapsto \alpha (\theta )\beta (\theta )} 이를 각각 고리군(영어: loop group) 및 자유 고리군(영어: free loop group)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형 ev 0 : L G → G {\displaystyle \operatorname {ev} _{0}\colon {\mathcal {L}}G\to G} ev 0 : α ↦ α ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {ev} _{0}\colon \alpha \mapsto \alpha (0)} 이 존재하며, 그 핵은 고리군이다. Ω G = ker ⁡ ev 0 {\displaystyle \Omega G=\ker \operatorname {ev} _{0}} M {\displaystyle M} 이 (유한 차원) 리만 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다. 구체적으로, M {\displaystyle M} 위의 고리 γ : [ 0 , 1 ] → M {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M} γ ( 0 ) = γ ( 1 ) {\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)} 가운데, 일종의 소볼레프 공간 L 1 , 2 ⁡ ( S 1 , M ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},M)} 에 속하는 것들을 생각하자. 즉, ∫ [ 0 , 1 ] g ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t < ∞ {\displaystyle \int _{[0,1]}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t<\infty } 인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다. 그렇다면, 이는 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간) L M {\displaystyle {\mathcal {L}}M} 을 이룬다. 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간 L 1 , 2 ⁡ ( S 1 , R dim ⁡ M ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{\dim M})} 과 동형이다. 또한, 표준적으로 T L M ≅ L T M {\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {L}}M\cong {\mathcal {L}}\mathrm {T} M} 가 된다. 소볼레프 매장 정리(영어: Sobolev embedding theorem)에 의하여, 모든 L 1 , 2 {\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}} 함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다. M {\displaystyle M} 이 (유한 차원) 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 매끄러운 함수 γ : S 1 → M {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to M} 들의 공간 C ∞ ( S 1 , M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},M)} 에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간 C ∞ ( S , R dim ⁡ M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ,\mathbb {R} ^{\dim M})} 과 동형이다. 고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같다. π k + 1 ( X ) = π k ( Ω X ) {\displaystyle \pi _{k+1}(X)=\pi _{k}(\Omega X)} 특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다. 에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다. [ Σ X , Y ] ≅ [ X , Ω Y ] {\displaystyle [\Sigma X,Y]\cong [X,\Omega Y]} 여기서 Σ X {\displaystyle \Sigma X} 는 X {\displaystyle X} 의 축소 현수이며, [ − , − ] {\displaystyle [-,-]} 는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다. 또한 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만 이는 동형 사상은 아니다. [ X × S 1 , Y ] ↔ [ X , L Y ] {\displaystyle [X\times \mathbb {S} ^{1},Y]\leftrightarrow [X,{\mathcal {L}}Y]} 고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산 Ω X × Ω X → Ω X {\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X} 이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 A∞-공간을 이룬다. 유한 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 자유 고리 공간 L M {\displaystyle {\mathcal {L}}M} 을 생각하자. 이 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 작용한다. ( exp ⁡ ( 2 π i t ) ⋅ γ ) ( s ) = γ ( s + t ) {\displaystyle (\exp(2\pi \mathrm {i} t)\cdot \gamma )(s)=\gamma (s+t)} 이는 벡터장 X ∈ Γ ( T L M ) {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} {\mathcal {L}}M)} 을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱 X ⌟ : Ω ∙ ( L M ) → Ω ∙ − 1 ( L M ) {\displaystyle X\lrcorner \colon \Omega ^{\bullet }({\mathcal {L}}M)\to \Omega ^{\bullet -1}({\mathcal {L}}M)} 이 존재한다. 고리 공간 위에는 천 미분 형식(영어: Chen differential form) 또는 반복 적분(영어: iterated integral)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다. 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 미분 형식 α 1 , … , α k ∈ Ω ( M ) {\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k}\in \Omega (M)} deg ⁡ α i = n i + 1 {\displaystyle \deg \alpha _{i}=n_{i}+1} 일 때, 천 미분 형식 ∫ ( α 1 , … , α k ) ∈ Ω n 1 + ⋯ + n k + 1 ( L M ) {\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})\in \Omega ^{n_{1}+\dotsb +n_{k}+1}({\mathcal {L}}M)} 을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다. ∫ ( α 1 , … , α k ) = ∫ ⋯ ∫ 0 ≤ t 1 ≤ ⋯ ≤ t k ≤ 1 d t 1 ⋯ d t k ( X ⌟ ev t 1 ∗ ⁡ α 1 ) ∧ ⋯ ∧ ( X ⌟ ev t k ∗ ⁡ α k ) {\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})=\int \dotsi \int _{0\leq t_{1}\leq \dotsb \leq t_{k}\leq 1}\mathrm {d} t_{1}\dotsm \mathrm {d} t_{k}(X\lrcorner \operatorname {ev} _{t_{1}}^{*}\alpha _{1})\wedge \dotsb \wedge (X\lrcorner \operatorname {ev} _{t_{k}}^{*}\alpha _{k})} 여기서 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여, 값매김 사상 ev t : L M → M {\displaystyle \operatorname {ev} _{t}\colon {\mathcal {L}}M\to M} 은 γ ↦ γ ( t ) {\displaystyle \gamma \mapsto \gamma (t)} 이다. ev t ∗ {\displaystyle \operatorname {ev} _{t}^{*}} 은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다. ∫ ⋯ ∫ 0 ≤ t 1 ≤ ⋯ ≤ t k ≤ 1 {\displaystyle \textstyle \int \dotsi \int _{0\leq t_{1}\leq \dotsb \leq t_{k}\leq 1}} 은 k {\displaystyle k} 차원 단체 △ k {\displaystyle \triangle _{k}} 위의 적분이다. 특히, 만약 한 1차 미분 형식 A {\displaystyle A} 만이 주어졌을 때, 이는 함수 L M → R {\displaystyle {\mathcal {L}}M\to \mathbb {R} } γ ↦ ∫ γ A {\displaystyle \gamma \mapsto \int _{\gamma }A} 에 해당한다. 천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다. ∫ ( α 1 , … , α k ) ∧ ∫ ( α k + 1 , … , α k + l ) = ∑ σ ∈ Sh ⁡ ( k , l ) ( − ) σ ∫ ( α σ ( 1 ) , … , α σ ( k + l ) ) {\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})\wedge \int (\alpha _{k+1},\dotsc ,\alpha _{k+l})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,l)}(-)^{\sigma }\int (\alpha _{\sigma (1)},\dotsc ,\alpha _{\sigma (k+l)})} 여기서 Sh ⁡ ( k , l ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (k,l)} 은 셔플 순열의 집합이다. 즉, { 1 , … , k + l } {\displaystyle \{1,\dotsc ,k+l\}} 의 순열 가운데 σ ( 1 ) ≤ ⋯ ≤ σ ( k ) {\displaystyle \sigma (1)\leq \dotsb \leq \sigma (k)} 이며 σ ( k + 1 ) ≤ ⋯ ≤ σ ( k + l ) {\displaystyle \sigma (k+1)\leq \dotsb \leq \sigma (k+l)} 인 것이다. ( − ) σ ∈ { ± 1 } {\displaystyle (-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}} 는 순열의 홀짝성이다. 천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.:Proposition 1.6 d ∫ ( α 1 , … , α k ) = − ∑ i = 1 k ( − ) n 1 + ⋯ + n i − 1 ∫ ( α 1 , … , α i − 1 , d α i , α i + 1 , … , α k ) − ev 0 ∗ ⁡ α 1 ∧ ∫ ( α k , … , α k ) − ( − ) n 1 ∫ ( α 1 ∧ α 2 , α 3 , … , α k ) − ( − ) n 1 + n 2 ∫ ( α 1 , α 2 ∧ α 3 , α 4 , … , α k ) − ⋯ − ( − ) n 1 + ⋯ + n k − 1 ( ∫ ( α 1 , … , α k 1 ) ) ∧ ev 1 ∗ ⁡ α k {\displaystyle \mathrm {d} \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})=-\sum _{i=1}^{k}(-)^{n_{1}+\dotsb +n_{i-1}}\int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{i-1},\mathrm {d} \alpha _{i},\alpha _{i+1},\dotsc ,\alpha _{k})-\operatorname {ev} _{0}^{*}\alpha _{1}\wedge \int (\alpha _{k},\dotsc ,\alpha _{k})-(-)^{n_{1}}\int (\alpha _{1}\wedge \alpha _{2},\alpha _{3},\dotsc ,\alpha _{k})-(-)^{n_{1}+n_{2}}\int (\alpha _{1},\alpha _{2}\wedge \alpha _{3},\alpha _{4},\dotsc ,\alpha _{k})-\dotsb -(-)^{n_{1}+\dotsb +n_{k-1}}\left(\int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k_{1}})\right)\wedge \operatorname {ev} _{1}^{*}\alpha _{k}} Adams, John Frank (1978). 《Infinite loop spaces》. 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