정칙함수의 해석성

복소해석학에서 복소수 z를 변수로 가지는 복소 함수 : 점 a를 중심으로 하는 일부 열린 원판의 모든 점에서 미분가능하다면 정칙함수라고 불리며, a를 중심으로 하는 열린 원판에서 수렴하는 멱급수로 확장할 수 있으면 a에서 해석적이라고 불린다 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}} (이것은 수렴반경이 양수라는 것을 내포한다). 복소해석학에서 가장 중요한 점은 정칙함수는 해석적이라는 것이다. 이 이론의 증명들은 각 함수의 정의역의 교집합에서 집적점이 있는 무한집합 S의 모든 점에서 일치하는 두 정칙함수가 S를 포함한 모든 정의역의 연결된 열린 부분 집합에서 일치하는 항등 정리와, 멱급수가 무한히 미분가능하며, 정칙함수도 그러하다(이것은 미분가능한 실수 함수와는 반대의 결과다)는 사실과 수렴반경이 항상 중심 a에서 가장 가까운 특이점까지의 거리라는 사실과; 만약 특이점이 없다면 (예를 들어 ƒ가 전해석 함수라면), 수렴반경은 무한이다. 엄밀히 말하면 이것은 이론의 추론이 아니고 증명의 부산물이다. 어떤 복소평면위의 범프 함수도 전해석적이지 않다.In 특히 어떤 복소평면의 정칙적인 연결된 열린 부분집합에서 정의된 범프 함수는 있을 수 없다. T이것은 단위분할의 사용을 배제하기 때문에 복소 다양체 연구에서 중요한 파급효과를 가진다. 대조적으로, 단위분할은 실 다양체에서 쓰이는 도구이다. 코시가 처음 제시한 논증은 코시 적분식과 1 w − z {\displaystyle {\frac {1}{w-z}}} 의 멱급수 전개에 달려있다. D를 a를 중심으로하는 열린 원판이라고 하고 ƒ 가 D의 경계를 포함하여 열린 주변에서 미분가능하다고 가정하자. D의 경계인 C를 양의 방향(즉, 반시계 방향)의 원이라 가정하고, z를 D의 한 점이라고 가정하자. 코시 적분식에서 시작하자 f ( z ) = 1 2 π i ∫ C f ( w ) w − z d w = 1 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) − ( z − a ) d w = 1 2 π i ∫ C 1 w − a ⋅ 1 1 − z − a w − a f ( w ) d w = 1 2 π i ∫ C 1 w − a ⋅ ∑ n = 0 ∞ ( z − a w − a ) n f ( w ) d w = ∑ n = 0 ∞ 1 2 π i ∫ C ( z − a ) n ( w − a ) n + 1 f ( w ) d w . {\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}} 적분과 무한 합을 교환하는 것은 C의 모든 w에 대해  f ( w ) / ( w − a ) {\displaystyle f(w)/(w-a)} 가 C에서 어떤 양수 M에 대한 유계함수라는 것을 통해 정당화된다. | z − a w − a | ≤ r < 1 {\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1} 여기서 r은 적당한 양수이다. 우리는 따라서 C에 대해서 다음을 알 수 있다: | ( z − a ) n ( w − a ) n + 1 f ( w ) | ≤ M r n , {\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n},} 그리고 바이어슈트라스 M-판정법을 사용함으로써 급수는 C에서 균등하게 수렴한다는 것을 보여주므로, 급수와 적분이 교환될 수 있다. 인자 (z − a)n 는 적분변수 w에 의존하지 않기 때문에 적분기호 밖으로 빠져나올 수 있다 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( z − a ) n 1 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n + 1 d w , {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,} 이것은 우리가 원하던 z로 표현되는 형태이다: f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}} 계수 Cn는 다음과 같다: c n = 1 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n + 1 d w . {\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.} 멱급수는 항 별로 미분가능하기 때문에 위의 인자를 반대방향으로 적용하고 다음의 멱급수 표현 1 ( w − z ) n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}} 은 다음을 도출한다 f ( n ) ( a ) = n ! 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n + 1 d w . {\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.} 이것은 도함수의 코시 적분식이다. 따라서 위의 식을 포함하는 멱급수는 f의 테일러 급수이다. 인수는 z가 ƒ의 특이점보다 중심 a에 가까우면 작용한다. 따라서 테일러 급수의 수렴반경은 a에서 가까운 특이점 까지의 거리보다 작을 수 없다(또한 멱급수는 수렴반경 내부에서 특이점이 없으므로 클 수도 없다). 특별한 경우의 항등 정리는 이전의 비고를 따른다. 만약 두 정칙함수가 (충분히 작은) a의 열린 주변 U에서 동일하다면 이것들은 열린 원판 Bd(a)에서 일치한다. 여기서 d는 a에서 가장 가까운 특이점 까지의 거리이다. “Existence of power series”. 《PlanetMath》 (영어).