미분 연산자

수학에서 미분 연산자(微分演算子, 영어: differential operator)는 미분 연산을 포함할 수 있는, 함수 또는 단면 공간 위의 국소적 선형 변환이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 두 매끄러운 벡터 다발 E , F ↠ M {\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M} 그렇다면, E {\displaystyle E} 와 F {\displaystyle F} 의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간 Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)} Γ ∞ ( F ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)} 을 생각하자. E {\displaystyle E} 와 F {\displaystyle F} 사이의 미분 연산자는 특별한 꼴의 실수 선형 변환 D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다. 임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자. s ∇ X 1 ∇ X 2 ⋯ ∇ X k : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle s\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 여기서 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 는 자연수(음이 아닌 정수)이다. ∇ {\displaystyle \nabla } 는 E {\displaystyle E} 의 임의의 코쥘 접속이다. s ∈ Γ ∞ ( E ∗ ⊗ F ) {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)} 는 E ∗ ⊗ F {\displaystyle E^{*}\otimes F} 의 임의의 매끄러운 단면이다. X 1 , … , X k ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 는 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터장이다. 그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 ( D i ) i ∈ I {\displaystyle (D_{i})_{i\in I}} 들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다. 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ( U j ) j ∈ J {\displaystyle (U_{j})_{j\in J}} 에 대하여, 각 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 에 대하여 { i ∈ I : D i ↾ U j ≠ ∅ } {\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}} 은 유한 집합이다. (만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.) 위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 k {\displaystyle k} 를 미분 연산자의 차수(영어: degree)라고 한다. (만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.) 실수 선형 변환 D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, D {\displaystyle D} 를 k {\displaystyle k} 차 미분 연산자라고 한다. D = T ∘ j k {\displaystyle D=T\circ \mathrm {j} ^{k}} 여기서 j k : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( J k E ) {\displaystyle \mathrm {j} ^{k}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {J} ^{k}E)} 는 E {\displaystyle E} 의 k {\displaystyle k} 차 제트 연장이다. J k E {\displaystyle \mathrm {J} ^{k}E} 는 E {\displaystyle E} 의 k {\displaystyle k} 차 제트 다발이다. T : J k E → F {\displaystyle T\colon \mathrm {J} ^{k}E\to F} 는 벡터 다발 사상이다. 미분 연산자는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 ( D i ) i ∈ I {\displaystyle (D_{i})_{i\in I}} 들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다. 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ( U j ) j ∈ J {\displaystyle (U_{j})_{j\in J}} 에 대하여, 각 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 에 대하여 { i ∈ I : D i ↾ U j ≠ ∅ } {\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}} 은 유한 집합이다. (만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.) 실수 벡터 공간 값의 층 사상 D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. 임의의 매끄러운 단면 s ∈ Γ ∞ ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)} 에 대하여, supp ⁡ ( D s ) ⊆ supp ⁡ s {\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} s} . 여기서 supp {\displaystyle \operatorname {supp} } 은 층의 지지 집합이다. 그렇다면, D {\displaystyle D} 를 미분 연산자라고 한다. 이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, 페트레 정리(Peetre定理, 영어: Peetre’s theorem)라고 한다. 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 두 벡터 다발 E , F {\displaystyle E,F} 가 주어졌다고 하자. E → F {\displaystyle E\to F} 미분 연산자의 공간을 D ( E , F ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(E,F)} 로 표기하자. 그렇다면, 모든 미분 연산자 Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과 Γ ∞ ( E ∗ ⊗ F ) = D 0 ( E , F ) ⊆ D 1 ( E , F ) ⊆ ⋯ ⊆ D ∞ ( E , F ) = D ( E , F ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)={\mathcal {D}}_{0}(E,F)\subseteq {\mathcal {D}}_{1}(E,F)\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {D}}_{\infty }(E,F)={\mathcal {D}}(E,F)} 가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다. 미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다. D n ( E ′ , E ″ ) ∘ D m ( E , E ′ ) ⊆ D m + n ( E , E ″ ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}(E',E'')\circ {\mathcal {D}}_{m}(E,E')\subseteq {\mathcal {D}}_{m+n}(E,E'')} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 C ∞ ( M , C ) → C ∞ ( M , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )} 미분 연산자는 유사 미분 연산자이다. 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 벡터 다발 E {\displaystyle E} 이 주어졌다고 하자. 편의상 D ( E ) = D ( E , E ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(E)={\mathcal {D}}(E,E)} 와 같이 표기하자. 이제, 다음과 같이 등급 대수를 정의할 수 있다. gr ⁡ D ( E ) = ⨁ i = 0 ∞ D i ( E ) D i − 1 ( E ) {\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }{\frac {{\mathcal {D}}_{i}(E)}{{\mathcal {D}}_{i-1}(E)}}} (여기서 편의상 D i − 1 ( E ) = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{i-1}(E)=\{0\}} 으로 간주한다.) 이에 대하여 다음과 같은 등급 대수 동형 사상이 존재한다.:64, Proposition 2.1 Γ ∞ ( Sym ⁡ ( T M ) ⊗ End ⁡ ( E ) ) ≅ gr ⁡ D ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)\otimes \operatorname {End} (E)\right)\cong \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)} 여기서 Sym ⁡ ( T M ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)} 은 그 올이 접공간의 대칭 대수인 벡터 다발이다. End ⁡ ( E ) = E ⊗ E ∗ {\displaystyle \operatorname {End} (E)=E\otimes E^{*}} 는 E {\displaystyle E} 위의 자기 벡터 다발 사상으로 구성된 벡터 다발이다. 이는 다음과 같다. X 1 ⊗ X 2 ⊗ ⋯ ⊗ X k ⊗ T ↦ [ T ∇ X 1 ∇ X 2 ⋯ ∇ X k ] ∀ X 1 , … , X k ∈ Γ ∞ ( T M ) , T ∈ Γ ∞ ( E ⊗ E ∗ ) {\displaystyle X_{1}\otimes X_{2}\otimes \cdots \otimes X_{k}\otimes T\mapsto [T\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}]\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M),\;T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})} 여기서 ∇ {\displaystyle \nabla } 는 E {\displaystyle E} 위에 정의된 임의의 코쥘 접속이다. 주표상(主表象, 영어: principal symbol)은 미분 연산자의 차수를 나타내는, 여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 ∂ i ↦ ξ i {\displaystyle \partial _{i}\mapsto \xi _{i}} 로 치환한 것이다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E , F → X {\displaystyle E,F\to X} 사이의 미분 연산자 D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 u ∈ Γ ∞ ( E ) {\displaystyle u\in \Gamma ^{\infty }(E)} 에 대하여, 국소 좌표계에서 D {\displaystyle D} 가 D : u ( x ) ↦ ∑ I P I ( x ) ∂ I u {\displaystyle D\colon u(x)\mapsto \sum _{I}P^{I}(x)\partial _{I}u} 의 꼴이라고 하자. 여기서 I {\displaystyle I} 는 다중지표이고, D I : E → F {\displaystyle D^{I}\colon E\to F} 는 다발 사상이다. 여기서 D I {\displaystyle D^{I}} 는 다중지표의 성분들의 순열에 무관하다. D {\displaystyle D} 의 차수 k = max { | I | : P I ≠ 0 } {\displaystyle k=\max\{|I|\colon P^{I}\neq 0\}} 가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 D {\displaystyle D} 의 주표상 σ D ∈ Γ ∞ ( Sym k ⁡ ( T X ) ⊗ E ∗ ⊗ F ) {\displaystyle \sigma _{D}\in \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} X)\otimes E^{*}\otimes F\right)} 은 ( k , 0 ) {\displaystyle (k,0)} 차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다. σ D = ∑ | I | = k P I {\displaystyle \sigma _{D}=\sum _{|I|=k}P^{I}} 이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다. 실수선 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다. D = ∑ n = 0 ∞ f n ( x ) d n d x n {\displaystyle D=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}} 여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다. ∀ x ∈ R ∃ ϵ ∈ R + ∀ y ∈ ( x − ϵ , x + ϵ ) ∃ N ∈ N ∀ n > N : f n ( y ) = 0 {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \exists \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\forall y\in (x-\epsilon ,x+\epsilon )\exists N\in \mathbb {N} \forall n>N\colon f_{n}(y)=0} 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 실수 값 매끄러운 함수는 자명한 벡터 다발 R × R n {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}} 의 매끄러운 단면이며, 벡터장은 자명한 벡터 다발 R n × R n = T ⁡ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {T} \mathbb {R} ^{n}} 의 매끄러운 단면이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기 grad : C ∞ ( R n , R ) → C ∞ ( R n , R n ) {\displaystyle \operatorname {grad} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})} 와 발산 div : C ∞ ( R n , R n ) → C ∞ ( R n , R ) {\displaystyle \operatorname {div} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )} 및 회전 curl : C ∞ ( R n , R n ) → C ∞ ( R n , R n ) {\displaystyle \operatorname {curl} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})} 은 모두 1차 미분 연산자이다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자 Δ : C ∞ ( X ) → C ∞ ( X ) {\displaystyle \Delta \colon C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)} 가 존재하며, 그 주표상은 σ Δ ( ξ ) = g − 1 ( ξ , ξ ) {\displaystyle \sigma _{\Delta }(\xi )=g^{-1}(\xi ,\xi )} 이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 리만 다양체라면 이는 타원형 미분 연산자이다. 스핀 다양체 M {\displaystyle M} 위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자 D = γ i ∇ i : S M → S M {\displaystyle D=\gamma ^{i}\nabla _{i}\colon SM\to SM} 의 주표상은 σ D ( ξ ) = γ i ξ i {\displaystyle \sigma _{D}(\xi )=\gamma ^{i}\xi _{i}} 이다. 여기서 S M {\displaystyle SM} 은 M {\displaystyle M} 의 스피너 다발이고, γ i {\displaystyle \gamma ^{i}} 는 디랙 행렬이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다. 미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast, 1759~1803)의 1800년 저서가 최초라고 여겨진다.:169, §2.1 페트레 정리는 야크 페트레(에스토니아어: Jaak Peetre, 1935~)가 증명하였다. 타원형 미분 연산자 회전 (벡터) 분수계 미적분학 유사 미분 연산자 아티야-싱어 지표 정리 Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. 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