라돈 측도

측도론에서 라돈 측도(Radon測度, 영어: Radon measure)는 위상 공간의 구조와 특별히 잘 호환되는, 보렐 시그마 대수 위에 정의되는 측도이다. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 범함수로 나타낼 수 있다. 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위의 시그마 대수 Σ ⊆ P ( X ) {\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)} 위의 측도 μ : Σ → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]} 가 주어졌다고 하자. X {\displaystyle X} 의 콤팩트 집합들의 집합족을 Compact ⁡ ( X ) ⊆ Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Compact} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)} 로, 열린집합들의 집합족을 Open ⁡ ( X ) ⊆ Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)} 로 표기하자. 가측 집합 S ∈ Σ {\displaystyle S\in \Sigma } 가 다음 조건을 만족시킨다면, μ {\displaystyle \mu } -내부 정칙 가측 집합(영어: μ {\displaystyle \mu } -inner regular measurable set)이라고 한다. μ ( S ) = sup K ∈ Compact ⁡ ( X ) ∩ Σ K ⊆ S μ ( K ) {\displaystyle \mu (S)=\sup _{K\in \operatorname {Compact} (X)\cap \Sigma }^{K\subseteq S}\mu (K)} 가측 집합 S ∈ Σ {\displaystyle S\in \Sigma } 가 다음 조건을 만족시킨다면, μ {\displaystyle \mu } -외부 정칙 가측 집합(영어: μ {\displaystyle \mu } -outer regular measurable set)이라고 한다. μ ( S ) = inf U ∈ Open ⁡ ( X ) ∩ Σ U ⊇ S μ ( U ) {\displaystyle \mu (S)=\inf _{U\in \operatorname {Open} (X)\cap \Sigma }^{U\supseteq S}\mu (U)} 만약 모든 가측 집합이 μ {\displaystyle \mu } -내부 정칙 가측 집합이라면, μ {\displaystyle \mu } 를 내부 정칙 측도(영어: inner-regular measure)라고 한다. 만약 모든 가측 집합이 μ {\displaystyle \mu } -외부 정칙 가측 집합이라면, μ {\displaystyle \mu } 를 외부 정칙 측도(영어: outer-regular measure)라고 한다. X {\displaystyle X} 가 하우스도르프 공간이라고 하자. 보렐 시그마 대수 B ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X)} 위의 측도 μ {\displaystyle \mu } 가 다음을 만족시키면 라돈 측도라고 한다. (내부 정칙성) 내부 정칙 측도이다. 즉, 모든 보렐 집합은 μ {\displaystyle \mu } -내부 정칙 집합이다. (국소 유한성) 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, μ ( U x ) < ∞ {\displaystyle \mu (U_{x})<\infty } 인 열린 근방 U x ∋ x {\displaystyle U_{x}\ni x} 가 존재한다. X {\displaystyle X} 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합 K {\displaystyle K} 에 대하여, K {\displaystyle K} 를 지지집합으로 하는 실수값 연속 함수들의 집합 C K ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}(X;\mathbb {R} )} 은 노름 ‖ f ‖ = max x ∈ K | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|=\max _{x\in K}|f(x)|} 에 따라서 바나흐 공간을 이룬다. X {\displaystyle X} 위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합 C comp ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )} 을 생각하자. 그렇다면 C comp ( X ; R ) = ⋃ K  compact C K ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )=\bigcup _{K{\text{ compact}}}{\mathcal {C}}_{K}(X;\mathbb {R} )} 이므로, C comp ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )} 는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다. 어떤 실수값 함수 공간 V ⊆ R X {\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{X}} 위의 범함수 ϕ : V → R {\displaystyle \phi \colon V\to \mathbb {R} } 에 대하여, 만약 f ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ X {\displaystyle f(x)\geq 0\forall x\in X} 인 f ∈ V {\displaystyle f\in V} 에 대하여 ϕ ( f ) ≥ 0 {\displaystyle \phi (f)\geq 0} 이라면, ϕ {\displaystyle \phi } 를 음이 아닌 범함수(영어: nonnegative functional)라고 하자. 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 라돈 측도들의 집합과 C K ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}(X;\mathbb {R} )} 위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여, f ∈ C comp ( X ; R ) ↦ ∫ X f d μ {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )\mapsto \int _{X}f\,d\mu } 는 음이 아닌 범함수이다. 보렐 시그마 대수에 국한시킨 르베그 측도는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다. 임의의 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, X {\displaystyle X} 의 보렐 시그마 대수 위에 디랙 측도 δ x {\displaystyle \delta _{x}} 를 다음과 같이 정의하자. δ x ( B ) = { 1 x ∈ B 0 x ∉ B ∀ B ∈ B ( X ) {\displaystyle \delta _{x}(B)={\begin{cases}1&x\in B\\0&x\not \in B\end{cases}}\qquad \forall B\in {\mathcal {B}}(X)} 그렇다면 이는 라돈 측도이다. 유클리드 공간 위의, 보렐 시그마 대수에 국한시킨 셈측도는 라돈 측도가 아니다. 요한 라돈의 이름을 땄다. “Radon measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular Borel measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.