야코비 행렬

벡터 미적분학에서 야코비 행렬(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬이다. 야코비 행렬식(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다. 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 정의된 함수 f : U → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}} 가 점 a ∈ U {\displaystyle \mathbf {a} \in U} 에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서의 야코비 행렬 J ( f ) ( a ) {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )} 은 다음과 같다. J ( f ) ( a ) = ( ( ∂ f 1 / ∂ x 1 ) ( a ) ( ∂ f 1 / ∂ x 2 ) ( a ) ⋯ ( ∂ f 1 / ∂ x n ) ( a ) ( ∂ f 2 / ∂ x 1 ) ( a ) ( ∂ f 2 / ∂ x 2 ) ( a ) ⋯ ( ∂ f 2 / ∂ x n ) ( a ) ⋮ ⋮ ⋮ ( ∂ f m / ∂ x 1 ) ( a ) ( ∂ f m / ∂ x 2 ) ( a ) ⋯ ( ∂ f m / ∂ x n ) ( a ) ) = ( ∇ f 1 ( a ) ∇ f 2 ( a ) ⋮ ∇ f m ( a ) ) = ( ( ∂ f / ∂ x 1 ) ( a ) ( ∂ f / ∂ x 2 ) ( a ) ⋯ ( ∂ f / ∂ x n ) ( a ) ) ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )={\begin{pmatrix}(\partial f_{1}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{1}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{1}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\\(\partial f_{2}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{2}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{2}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(\partial f_{m}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{m}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{m}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\nabla f_{1}(\mathbf {a} )\\\nabla f_{2}(\mathbf {a} )\\\vdots \\\nabla f_{m}(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\partial \mathbf {f} /\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial \mathbf {f} /\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial \mathbf {f} /\partial x_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )} 즉, 각 J ( f ) ( a ) i j = ( ∂ f i / ∂ x j ) ( a ) {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )_{ij}=(\partial f_{i}/\partial x_{j})(\mathbf {a} )} 는 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 i {\displaystyle i} 번째 성분의 j {\displaystyle j} 번째 변수에 대한 편도함수이다. 만약 n = m {\displaystyle n=m} 일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식 det J ( f ) ( a ) {\displaystyle \det J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )} 을 취할 수 있다. 이를 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서의 야코비 행렬식이라고 한다. 특히, 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 정의된 미분 가능 함수 f : U → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}} 의 야코비 행렬 J ( f ) {\displaystyle J(\mathbf {f} )} 은 다음과 같다. J ( f ) : U → Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon U\to \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )} J ( f ) : x ↦ J ( f ) ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon \mathbf {x} \mapsto J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U} 야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다. J ( f ) {\displaystyle J(\mathbf {f} )} f ′ {\displaystyle \mathbf {f} '} D f {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} } ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dotsc ,f_{m})}{\partial (x_{1},\dotsc ,x_{n})}}} 마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다. 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 정의된 함수 f : U → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}} 가 점 a ∈ U {\displaystyle \mathbf {a} \in U} 에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. f ( a + Δ x ) − f ( a ) = J ( f ) ( a ) Δ x + o ( ‖ Δ x ‖ ) ( Δ x → 0 ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} +\Delta x)-\mathbf {f} (\mathbf {a} )=J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )\Delta \mathbf {x} +\mathbf {o} (\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )} 즉, J ( f ) ( a ) {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )} 는 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서의 프레셰 도함수이다. 다음과 같은 함수 f : R 2 → R 2 {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} 를 생각하자. f ( x , y ) = ( x y , sin ⁡ x y ) ∀ x , y ∈ R {\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(xy,\sin xy)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 모든 편도함수는 다음과 같다. ∂ f 1 ∂ x = y , ∂ f 1 ∂ y = x , ∂ f 2 ∂ x = y cos ⁡ x y , ∂ f 2 ∂ y = x cos ⁡ x y ∀ x , y ∈ R {\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y,\;{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=x,\;{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos xy,\;{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cos xy\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 따라서, f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 야코비 행렬은 다음과 같다. J ( f ) ( x ) = ( y x y cos ⁡ x y x cos ⁡ x y ) ∀ x , y ∈ R {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}y&x\\y\cos xy&x\cos xy\end{pmatrix}}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 또한, f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 야코비 행렬식은 다음과 같다. det J ( f ) ( x ) = 0 ∀ x , y ∈ R {\displaystyle \det J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )=0\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 헤세 행렬 설계 행렬 Weisstein, Eric Wolfgang. “Jacobian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.