도널드슨 불변량

위상수학에서 도널드슨 불변량(Donaldson不變量, 영어: Donaldson invariant)은 4차원 매끄러운 다양체의 불변량의 하나로, 게이지 이론의 순간자 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다. 도널드슨 불변량은 더 계산하기 쉬운 자이베르그-위튼 불변량과 동치인 것으로 추측된다. 도널드슨 불변량을 연구하는 위상수학의 분야를 도널드슨 이론(Donaldson理論, 영어: Donaldson theory)이라고 한다. 도널드슨 불변량은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다. 푸앵카레 쌍대성과 합곱을 사용해 2차 코호몰로지 H 2 ⁡ ( M ; Q ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )} 위에 다음과 같은 교차 형식(영어: intersection form)을 정의할 수 있다. I : H 2 ⁡ ( M ; Q ) × H 2 ⁡ ( M ; Q ) → Q {\displaystyle I\colon \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )\times \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )\to \mathbb {Q} } I ( α , β ) = [ M ] ⌢ ( α ⌣ β ) {\displaystyle I(\alpha ,\beta )=[M]\frown (\alpha \smile \beta )} 여기서 [ M ] {\displaystyle [M]} 은 M {\displaystyle M} 의 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 b 2 + ( M ) {\displaystyle b_{2}^{+}(M)} , 음의 고윳값의 수를 b 2 − ( M ) {\displaystyle b_{2}^{-}(M)} 이라고 하자. 물론 b 2 + ( M ) + b 2 − ( M ) = b 2 f ( M ) {\displaystyle b_{2}^{+}(M)+b_{2}^{-}(M)=b_{2}f(M)} 은 M {\displaystyle M} 의 2차 베티 수이다. 앞으로, b 2 + > 1 {\displaystyle b_{2}^{+}>1} 이라고 가정하자. M {\displaystyle M} 에 임의의 리만 계량 g {\displaystyle g} 와 SU(2) 벡터다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 을 부여하자. 이 경우, E {\displaystyle E} 의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간 M E , g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}} 를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.:(2), (3) dim ⁡ M E = { − 8 c 2 ( E ) − 3 ( 1 − b 1 ( M ) + b 2 − ( M ) ) c 2 ( E ) < 0 8 c 2 ( E ) − 3 ( 1 − b 1 ( M ) + b 2 + ( M ) ) c 2 ( E ) > 0 {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{E}={\begin{cases}-8c_{2}(E)-3(1-b_{1}(M)+b_{2}^{-}(M))&c_{2}(E)<0\\8c_{2}(E)-3(1-b_{1}(M)+b_{2}^{+}(M))&c_{2}(E)>0\end{cases}}} 으로 주어진다. (만약 이 수가 음수라면 M E , g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}} 는 공집합이다.) 여기서 c 2 ( E ) {\displaystyle c_{2}(E)} 는 E {\displaystyle E} 의 2차 천 수이고, b i ( M ) {\displaystyle b_{i}(M)} 은 M {\displaystyle M} 의 i {\displaystyle i} 차 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.) C E {\displaystyle {\mathcal {C}}_{E}} 가 E {\displaystyle E} 위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다. M E , g ↪ C E {\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}\hookrightarrow {\mathcal {C}}_{E}} M E , g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}} 는 물론 리만 계량 g {\displaystyle g} 에 의존하지만, b 2 + ( M ) > 1 {\displaystyle b_{2}^{+}(M)>1} 이라면 호몰로지류 [ M E , g ] ∈ H ∙ ⁡ ( C E ) {\displaystyle [{\mathcal {M}}_{E,g}]\in \operatorname {H} _{\bullet }({\mathcal {C}}_{E})} 는 g {\displaystyle g} 에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서 [ M E ] ∈ H ∙ ⁡ ( C E ) {\displaystyle [{\mathcal {M}}_{E}]\in \operatorname {H} _{\bullet }({\mathcal {C}}_{E})} 를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, M {\displaystyle M} 의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다. 스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다. μ : H k ⁡ ( M ; Q ) → H 4 − k ( C E ; Q ) {\displaystyle \mu \colon \operatorname {H} _{k}(M;\mathbb {Q} )\to H^{4-k}({\mathcal {C}}_{E};\mathbb {Q} )} M {\displaystyle M} 은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로, M {\displaystyle M} 의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다. H 0 ⁡ ( M ; Q ) = Q {\displaystyle \operatorname {H} _{0}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} } H 1 ⁡ ( M ; Q ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} _{1}(M;\mathbb {Q} )=0} H 2 ⁡ ( M ; Q ) = Q b 2 = span ⁡ { γ 1 , … , γ b 2 } {\displaystyle \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{b_{2}}=\operatorname {span} \{\gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}\}} H 3 ⁡ ( M ; Q ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} _{3}(M;\mathbb {Q} )=0} H 4 ⁡ ( M ; Q ) = Q {\displaystyle \operatorname {H} _{4}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} } 여기서 γ 1 , … , γ b 2 {\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}} 는 임의로 잡은 H 2 ( M ; Q ) {\displaystyle H_{2}(M;\mathbb {Q} )} 의 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다. μ ( H 4 ⁡ ( M ; Q ) ) = 0 {\displaystyle \mu (\operatorname {H} _{4}(M;\mathbb {Q} ))=0} C E {\displaystyle {\mathcal {C}}_{E}} 의 코호몰로지 환 H ∙ ( C E ; Q ) {\displaystyle H^{\bullet }({\mathcal {C}}_{E};\mathbb {Q} )} 는 μ {\displaystyle \mu } 에 의하여 다항식환 Q [ x , γ 1 , … , γ b 2 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [x,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}]} 와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서 x {\displaystyle x} 는 H 0 ( M ; Q ) {\displaystyle H_{0}(M;\mathbb {Q} )} 에 대응하는 생성원이다. 이제, 도널드슨 다항식(Donaldson多項式, 영어: Donaldson polynomial) D E : Q [ x , γ 1 , … , γ b 2 ] → Q {\displaystyle D_{E}\colon \mathbb {Q} [x,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}]\to \mathbb {Q} } 은 다음과 같은 사상이다. Q E ( p ) = [ M E ] ⌢ p ( μ ( x ) , μ ( γ 1 ) , … , μ ( γ b 2 ) ) {\displaystyle Q_{E}(p)=[{\mathcal {M}}_{E}]\frown p\left(\mu (x),\mu (\gamma _{1}),\dots ,\mu (\gamma _{b_{2}})\right)} 4차원 다양체 M {\displaystyle M} 의 도널드슨 다항식 불변량은 M {\displaystyle M} 위에 존재하는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭 게이지 이론의 상관 함수로 정의할 수 있다. M {\displaystyle M} 위에 임의의 리만 계량을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 콤팩트 반단순 리 군 G {\displaystyle G} 인 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭 양-밀스 이론을 생각하자. 이 이론은 로런츠 대칭과 R대칭을 갖는데, 로런츠 군 SU ⁡ ( 2 ) left × SU ⁡ ( 2 ) right ≅ Spin ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{left}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{right}}\cong \operatorname {Spin} (4)} 는 4차원 스핀 군이고, N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} R대칭군은 SU(2)R이다. 이제 새 로런츠 부분군 SU ⁡ ( 2 ) right ′ {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{right}}'} 을 SU ⁡ ( 2 ) right {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{right}}} 와 SU ⁡ ( 2 ) R {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{R}}} 의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다. 따라서, 뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, ( A μ , ψ μ ) {\displaystyle (A_{\mu },\psi _{\mu })} , ( λ , η ) {\displaystyle (\lambda ,\eta )} 는 Q {\displaystyle Q} 에 대한 초다중항을 이룬다. χ {\displaystyle \chi } 는 F + = 0 {\displaystyle F^{+}=0} 제약에 대응하며, ϕ {\displaystyle \phi } 는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다. 이제, 초대칭 연산자 Q {\displaystyle Q} 를 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을 Q {\displaystyle Q} 에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. 이제, 다음과 같은 게이지 불변, Q {\displaystyle Q} -닫힌 연산자를 생각하자. O 0 = 1 8 π 2 tr ⁡ ϕ 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{0}={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\operatorname {tr} \phi ^{2}} 이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다. d O 0 = i { Q , O 1 } {\displaystyle d{\mathcal {O}}_{0}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{1}\}} d O 1 = i { Q , O 2 } {\displaystyle d{\mathcal {O}}_{1}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{2}\}} d O 2 = i { Q , O 3 } {\displaystyle d{\mathcal {O}}_{2}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{3}\}} d O 3 = i { Q , O 4 } {\displaystyle d{\mathcal {O}}_{3}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{4}\}} d O 4 = 0 {\displaystyle d{\mathcal {O}}_{4}=0} O k {\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}} 는 k {\displaystyle k} 차 코호몰로지류이다. 따라서, 임의의 k i {\displaystyle k_{i}} 차 호몰로지류 Σ i {\displaystyle \Sigma _{i}} 들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다. ⟨ ∫ Σ 1 O k 1 ⋯ ∫ Σ i O k i ⋯ ⟩ {\displaystyle \left\langle \int _{\Sigma _{1}}{\mathcal {O}}_{k_{1}}\cdots \int _{\Sigma _{i}}{\mathcal {O}}_{k_{i}}\cdots \right\rangle } 이 경우, O 4 ∝ F ∧ F ∝ c 2 ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{4}\propto F\wedge F\propto c_{2}(E)} 는 CP 위반항이므로, ∫ M O 4 ∼ ∫ M F ∧ F = [ M ] ⌢ c 2 ( E ) {\displaystyle \int _{M}{\mathcal {O}}_{4}\sim \int _{M}F\wedge F=[M]\frown c_{2}(E)} 는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서 O 4 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{4}} 의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류 Σ i ∈ H 2 ( M ) {\displaystyle \Sigma _{i}\in H_{2}(M)} 및 0차 호몰로지 류 x i ∈ H 0 ( M ) {\displaystyle x_{i}\in H_{0}(M)} 를 사용하여, 상관 함수 ⟨ ∫ O 0 ( x 1 ) ⋯ ∫ Σ 1 O 2 ⋯ ⟩ {\displaystyle \left\langle \int {\mathcal {O}}_{0}(x_{1})\cdots \int _{\Sigma _{1}}{\mathcal {O}}_{2}\cdots \right\rangle } 를 정의할 수 있다. 이를 도널드슨 다항식이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다. 게이지 군 G {\displaystyle G} 가 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 단순형 다양체(영어: manifold of simple type)라고 하자. Q 8 + deg ⁡ p ( x 2 p ( x , γ → ) ) = 4 Q deg ⁡ p ( p ( x , γ → ) ) {\displaystyle Q_{8+\deg p}(x^{2}p(x,{\vec {\gamma }}))=4Q_{\deg p}(p(x,{\vec {\gamma }}))} 여기서 p ∈ Q [ x , γ → ] {\displaystyle p\in \mathbb {Q} [x,{\vec {\gamma }}]} 이며, deg ⁡ p {\displaystyle \deg p} 는 x {\displaystyle x} 를 차수 4, γ → {\displaystyle {\vec {\gamma }}} 를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다. 이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다. D ( γ → ) = ∑ n ( Q 2 n ( γ d ) d ! + Q 2 n + 4 ( x γ d ) 2 d ! ) {\displaystyle D({\vec {\gamma }})=\sum _{n}\left({\frac {Q_{2n}(\gamma ^{d})}{d!}}+{\frac {Q_{2n+4}(x\gamma ^{d})}{2d!}}\right)} D ( γ → ) = D ( 0 , γ → ) + 1 2 ∂ ∂ x D ( 0 , γ → ) {\displaystyle \mathbb {D} ({\vec {\gamma }})=D(0,{\vec {\gamma }})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}D(0,{\vec {\gamma }})} 이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다. D ( γ ) = exp ⁡ ( γ . γ / 2 ) ∑ x ∈ H 2 ( M ; Z ) exp ⁡ ( x ⋅ γ ) n x {\displaystyle \mathbb {D} (\gamma )=\exp(\gamma .\gamma /2)\sum _{x\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}\exp(x\cdot \gamma )n_{x}} 여기서 n x ≠ 0 {\displaystyle n_{x}\neq 0} 인 2차 코호몰로지 원소들을 크론하이머-므로카 기본류(영어: Kronheimer–Mrowka basic class)라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 n x {\displaystyle n_{x}} 들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다. 사이먼 도널드슨이 1983년에 도입하였다. 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론의 위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다. 피터 크론하이머와 토머스 므로카(영어: Thomasz S. Mrowka)가 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다. 같은 해에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다. 순간자 플뢰어 호몰로지 양-밀스 방정식 Donaldson, Simon K.; Kronheimer, P. B. (1997년 8월 28일). 《The geometry of four-manifolds》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850269-2.  Freed, Daniel S.; Uhlenbeck, Karen K. (1991). 《Instantons and four-manifolds》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 1 2판. 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