다치 논리

논리학에서 다치 논리는 두 개 이상의 진릿값이 있는 명제 논리이다. 전통적으로 아리스토텔레스의 논리 미적분학 에서는 모든 명제에 대해 두 가지 가능한 값(즉, "참"과 "거짓")만 있었다. 고전적인 이치 논리는 n 이 2보다 큰 경우 n 값 논리로 확장될 수 있다. 문헌에서 가장 인기 있는 것은 3치 (예: 우카시에비치 및 클레이니, "true", "false" 및 "unknown" 값을 허용함), 4치, 9치, 그리고 유한 치, 그리고 퍼지 논리 및 확률 논리와 같은 무한 치이다. 배중률의 법칙을 완전히 받아들이지 않은 최초의 알려진 고전 논리학자는 아리스토텔레스였다. 아리스토텔레스는 자신의 법칙이 미래의 사건에 모두 적용되는 것은 아니라고 인정했다. 그러나 그는 이 고립된 발언을 설명하기 위해 다치 논리 시스템을 만들지 않았다. 20세기가 오기 전까지 논리학자들은 배중률을 포함하거나 가정하는 아리스토텔레스 논리를 따랐다. 20세기는 다치 논리의 개념을 다시 불러일으켰다. 폴란드 논리학자이자 철학자인 얀 우카시에비치는 미래시점 우연명제의 문제를 다루기 위해 세 번째 값인 "가능"을 사용하여 다치 논리 시스템을 만들기 시작했다. 한편, 미국 수학자 에밀 포스트도 n≥ 2(n 은 진리값)의 공식화를 도입했다.나중에, 우카시에비치과 알프레트 타르스키는 함께 n≥ 2일 때의 공식화를 도입했다. 1932년 한스 라이헨바흐는 n →∞인 많은 진리값의 논리를 공식화했다. 쿠르트 괴델은 직관 논리가 유한치 논리가 아니라는 것을 보여주었고, 고전 논리와 직관 논리 사이의 중간인 괴델 논리 체계를 정의했다. 이러한 논리는 초직관 논리이다. 클레이니의 "(강한) 불확정성 논리" K3 (때때로 K 3 S {\displaystyle K_{3}^{S}} ) 및 Priest의 "역설의 논리"는 세 번째 "정의되지 않은" 또는 "불확정한" 진리 값 I 가 추가된다. 부정 (¬), 논리곱 (∧), 논리합 (∨) 등에 대한 진리 함수는 다음과 같이 주어진다. 두 논리의 차이점은 동어반복이 정의되는 방식에 있다. K3 에서는 T 만이 지정된 진리값 이고 P3에서는 T 와 I 둘 다 그러하다. 또 다른 논리는 Dmitry Bochvar의 "내부" 3치 논리이다. B 3 I {\displaystyle B_{3}^{I}} , Kleene의 약한 3치 논리라고도 한다. 부정과 조건을 제외하고 진리표는 모두 위와 다르다. Bochvar의 "내부" 논리에서 중간 진리값은 다른 변수의 값에 관계없이 공식으로 전파되기 때문에 "전염성"이라고 설명할 수 있다. Belnap 의 논리 B4 콤바인 K3 P3 과잉 결정된 진리값은 여기에서 B 로 표시되고 과소 결정된 진리값은 N으로 표시 된다. 1932년 괴델은 G k {\displaystyle G_{k}} 를 많은 진리값 0 , 1 k − 1 , 2 k − 1 , … , k − 2 k − 1 , 1 {\displaystyle 0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1} , 을 갖는 다치 논리로 정의했다. 비슷한 방식으로 그는 무한히 많은 진리값을 가진 논리를 정의했다. G ∞ {\displaystyle G_{\infty }} , 여기서 진리값은 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 구간의 모든 실수이다. ∧ {\displaystyle \wedge } 그리고 ∨ {\displaystyle \vee } 최소값과 최대값으로 각각 정의된다. u ∧ v := min { u , v } u ∨ v := max { u , v } {\displaystyle {\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}} ¬ G {\displaystyle \neg _{G}} 그리고 → G {\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}} 다음과 같이 정의된다. ¬ G u = { 1 , if  u = 0 0 , if  u > 0 u → G v = { 1 , if  u ≤ v v , if  u > v {\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\u{\xrightarrow[{G}]{}}v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}} 괴델 논리는 완전히 공리화될 수 있다. 즉, 모든 동어반복이 증명 가능한 논리적 미적분학을 정의하는 것이 가능하다. → L {\displaystyle {\xrightarrow[{L}]{}}} 그리고 ¬ L {\displaystyle {\underset {L}{\neg }}} 는 얀 우카시에비치는 다음 함수를 통해 정의했다. ¬ L u := 1 − u u → L v := min { 1 , 1 − u + v } {\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u{\xrightarrow[{L}]{}}v&:=\min\{1,1-u+v\}\end{aligned}}} 처음에 그는 1920년에 자신의 3치 논리를 위해 이러한 정의를 사용했다.1922년 그는 무한히 많은 값을 가진 논리를 개발했다. L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} , 진리값이 구간의 실수에 걸쳐 있는 경우 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . 두 경우 모두 지정된 진리값은 1이었다. 괴델 논리와 같은 방식으로 정의된 진리값을 채택함으로써 0 , 1 v − 1 , 2 v − 1 , … , v − 2 v − 1 , 1 {\displaystyle 0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1} , 유한 가치 논리 계열을 만드는 것이 가능하다. L v {\displaystyle L_{v}} , 위에서 언급한 L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} 그리고 논리 L ℵ 0 {\displaystyle L_{\aleph _{0}}} , 여기서 진리값은 구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 의 유리수로 주어진다. 다치 논리의 적용은 대략 두 그룹으로 분류할 수 있다. 첫 번째 그룹은 다치 논리를 사용하여 이진 문제를 보다 효율적으로 해결한다. 예를 들어, 다중 출력 불 함수를 나타내는 잘 알려진 접근 방식은 출력 부분을 단일 다값 변수로 처리하고 단일 출력 특성 함수 (특히 지시 함수 )로 변환하는 것이다. 두 번째 그룹은 다치 메모리, 산술 회로, FPGA(Field Programmable Gate Array )와 같이 2개 이상의 개별 신호 레벨을 사용하는 전자 회로 설계를 목표로 한다. 퍼지 논리 에밀 포스트 연관 논리 거짓 딜레마 IEEE 1164 베릴로그 세-상태 * S. Gottwald, A Treatise on Many-Valued Logics. Studies in Logic and Computation, vol. 9, Research Studies Press: Baldock, Hertfordshire, England, 2001. (Bergmann 2008) harv error: 대상 없음: CITEREFBergmann2008 (help) Gödel, Kurt (1932). “Zum intuitionistischen Aussagenkalkül”. 《Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien》 (69): 65f.  Kreiser, Lothar; Gottwald, Siegfried; Stelzner, Werner (1990). 《Nichtklassische Logik. Eine Einführung》. Berlin: Akademie-Verlag. 41ff – 45ff쪽. ISBN 978-3-05-000274-3.  Dubrova, Elena (2002). Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization, in Hassoun S. and Sasao T., editors, Logic Synthesis and Verification, Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114