치른하우스 변형

치른하우스 변형(독일어: Tschirnhaus transformation)은 독일의 수학자 에렌프리트 발터 폰 치른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)에 의해 제안되고 증명된 방법이다. 2차 이상 다항식에서 포물선 또는 보다 복잡한 곡선을 결과적으로 가정했을 때 그 축과의 관계를 정리한 것이다. 2차식 이상에서의 다항 방정식 변형을 위한 과정에 응용된다. x 2 + b a x + c a = 0 , x = y − b 2 a {\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x=y-{b \over \mathbf {2} a}} ( y − b 2 a ) 2 + b a ( y − b 2 a ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0} 우선, ( y − b 2 a ) 2 = ( y − b 2 a ) ( y − b 2 a ) = ( y 2 − b 2 a y − b 2 a y + ( b 2 a ) 2 ) {\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}=\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)=\left(y^{2}-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)} = ( y 2 − 2 b 2 a y + ( b 2 a ) 2 ) = ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) {\displaystyle =\left(y^{2}-2{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)=\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)} 따라서, ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) + b a ( y − b 2 a ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0} ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) + ( b a y − b a b 2 a ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b \over a}{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0} ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) + ( b a y − b 2 2 a 2 ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}\right)+{c \over a}=0} y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 + b a y − b 2 2 a 2 + c a = 0 {\displaystyle y^{2}{\cancel {-{b \over a}y}}+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}{\cancel {+{b \over a}y}}-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}+{c \over a}=0} y 2 + ( 1 4 ( b a ) 2 − 1 2 ( b a ) 2 ) + c a = 0 {\displaystyle y^{2}+\left({1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}-{1 \over 2}\left({b \over a}\right)^{2}\right)+{c \over a}=0} y 2 − 1 4 ( b a ) 2 + c a = 0 {\displaystyle y^{2}-{1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}+{c \over a}=0} y 2 − ( b 2 4 a 2 ) + c a = 0 {\displaystyle y^{2}-\left({b^{2} \over 4a^{2}}\right)+{c \over a}=0} y 2 = b 2 4 a 2 − c a {\displaystyle y^{2}={b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}} y 2 = a b 2 − 4 a 2 c 4 a 3 {\displaystyle y^{2}={{ab^{2}-4a^{2}c} \over 4a^{3}}} y 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle y^{2}={{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}} y 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 = 0 {\displaystyle y^{2}-{{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}=0} y 2 + p = 0 {\displaystyle y^{2}+p=0} 의 형태로 정리된다. 이러한 압축정리( z i p p i n g {\displaystyle zipping} )를 위한 값 − b n a {\displaystyle -{b \over \mathbf {n} a}} 는 n {\displaystyle n} 차함수의 곡선 꼭지점 및 축의 정보이다. 여기서 p {\displaystyle p} 는 − b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle -{{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}} 이다. 결과적으로 이러한 절차로 정리하는 것은 차고차항이 압축되어 없어지게 함으로써 방정식을 보다 단순화시킬 수 있게 된다. 1786년에 브링(E.S. Bring)은 일반적인 5차 방정식이 이러한 형태로 축소 될 수 있음을 보여주었다. 다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차 항( n {\displaystyle n} 차항)의 x {\displaystyle x} 의 계수 a {\displaystyle a} 로 나눈 다음 x = y − b n a {\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}} 의 형태로 치환해서 차고차 항(최고차 항의 바로 아랫차항)의 정보를 변형된 다른 항들로 분산시키고 사라지게 할 수 있다. 예를 들어, 3차 방정식 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} 은 x = y − b 3 a {\displaystyle x=y-{{b} \over {3a}}} 에서 다음의 꼴로 정리되고, x 3 + b a x 2 + c a x + d = 0 {\displaystyle x^{3}+{b \over a}x^{2}+{c \over a}x+d=0} y 3 + p y + q = 0 {\displaystyle y^{3}+py+q=0} 의 형태로 정보가 압축된다. 그리고 p = 3 a c − b 2 3 a 2 {\displaystyle p={{3ac-b^{2}} \over {3a^{2}}}} q = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 {\displaystyle q={{2b^{3}-9abc+27a^{2}d} \over {27a^{3}}}} 3차방정식 포물선 C. B. Boyer,수학의 역사. New York : Wiley, pp. 472-473, 1968 Tschirnhaus. Acta Eruditorum. 1683 http://mathworld.wolfram.com/TschirnhausenTransformation.html