비트 벡터

가환대수학에서 비트 벡터 환(Witt vector環, 영어: ring of Witt vectors)은 주어진 가환환 속의 열들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. p진 정수환의 일반화이다. 비트 다항식(영어: Witt polynomial)들은 다음과 같은 다항식열이다. W n ( x 1 , … , x n ) = ∑ d ∣ n d x d n / d ∈ Z [ x 1 , x 2 , … , x n ] ∀ n ∈ Z + {\displaystyle W_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{d\mid n}dx_{d}^{n/d}\in \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}} 가환환 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, R {\displaystyle R} 속의 열의 집합 R Z + {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다. W n , R : R Z + → R Z + {\displaystyle W_{n,R}\colon R^{\mathbb {Z} ^{+}}\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}} W R : ( r 1 , r 2 , … ) ↦ ( W 1 ( r 1 ) , W 2 ( r 1 , r 2 ) , W 3 ( r 1 , r 2 , r 3 ) , … ) {\displaystyle W_{R}\colon (r_{1},r_{2},\dots )\mapsto \left(W_{1}(r_{1}),W_{2}(r_{1},r_{2}),W_{3}(r_{1},r_{2},r_{3}),\dots \right)} 그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들 p ( i ) ∈ Z [ x 1 , … , y 1 , y 2 , … ] ∀ i ∈ Z + {\displaystyle p^{(i)}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,y_{1},y_{2},\dots ]\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}} s ( i ) ∈ Z [ x 1 , … , y 1 , y 2 , … ] ∀ i ∈ Z + {\displaystyle s^{(i)}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,y_{1},y_{2},\dots ]\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}} 이 유일하게 존재한다. w → + w → ′ = ( s ( 1 ) ( w → , w → ′ ) , s ( 2 ) ( w → , w → ′ ) , … ) {\displaystyle {\vec {w}}+{\vec {w}}'=(s^{(1)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),s^{(2)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),\dots )} 및 ( w → ) ( w → ′ ) = ( p ( 1 ) ( w → , w → ′ ) , p ( 2 ) ( w → , w → ′ ) , … ) {\displaystyle ({\vec {w}})({\vec {w}}')=(p^{(1)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),p^{(2)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),\dots )} 를 정의하였을 때, R Z + {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 은 환을 이룬다. 이 환을 WittVector ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)} 이라고 하자. W : WittVector ⁡ ( R ) → R Z + {\displaystyle W\colon \operatorname {WittVector} (R)\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 R Z + {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 은 가환환 R {\displaystyle R} 의 가산 무한 개 직접곱이다. 이 가환환을 R {\displaystyle R} 계수의 비트 벡터 환(영어: ring of Witt vectors with coefficients in R {\displaystyle R} )이라고 한다. 비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다. WittVector : CRing → CRing {\displaystyle \operatorname {WittVector} \colon \operatorname {CRing} \to \operatorname {CRing} } 가환환 R {\displaystyle R} 와 집합 1 ∈ S ⊆ Z + {\displaystyle 1\in S\subseteq \mathbb {Z} ^{+}} 이 다음 조건을 만족시킨다고 하자. d ∣ n , n ∈ S ⟹ d ∈ S {\displaystyle d\mid n,\;n\in S\implies d\in S} (즉, S {\displaystyle S} 는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형 W : WittVector ⁡ ( R ) → R Z + {\displaystyle W\colon \operatorname {WittVector} (R)\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 에서, 아이디얼 R S ⊆ R Z + {\displaystyle R^{S}\subseteq R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 의 원상 W − 1 ( R S ) = WittVector p ⁡ ( R ) ⊆ WittVector ⁡ ( R ) {\displaystyle W^{-1}(R^{S})=\operatorname {WittVector} _{p}(R)\subseteq \operatorname {WittVector} (R)} 을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를 R {\displaystyle R} 계수의 S {\displaystyle S} -비트 벡터 환(영어: ring of S {\displaystyle S} -Witt vectors with coefficients in R {\displaystyle R} )이라고 한다. (그러나 이는 WittVector ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)} 의 항등원을 포함하지 않으므로, WittVector ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)} 의 부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형 ( W i ) i ∈ S : WittVector S ⁡ ( R ) → R S ≅ R Z + {\displaystyle (W_{i})_{i\in S}\colon \operatorname {WittVector} _{S}(R)\to R^{S}\cong R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다. WittVector S : CRing → CRing {\displaystyle \operatorname {WittVector} _{S}\colon \operatorname {CRing} \to \operatorname {CRing} } 특히, 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, S = { 1 , p , p 2 , p 3 , … } {\displaystyle S=\{1,p,p^{2},p^{3},\dots \}} 일 경우를 R {\displaystyle R} 계수의 p {\displaystyle p} -비트 벡터 환(영어: ring of p {\displaystyle p} -Witt vectors with coefficients in R {\displaystyle R} )이라고 한다. 또한, 소수 p {\displaystyle p} 및 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, S = { 1 , p , p 2 , … , p n } {\displaystyle S=\{1,p,p^{2},\dots ,p^{n}\}} 일 경우를 R {\displaystyle R} 계수의 길이 n {\displaystyle n} 의 p {\displaystyle p} -비트 벡터 환(영어: ring of p {\displaystyle p} -Witt vectors of length n {\displaystyle n} with coefficients in R {\displaystyle R} )이라고 한다. 구체적으로, p-비트 벡터의 연산은 다음과 같다. r → + s → = ( r 0 + s 0 , r 1 + s 1 + ( r 0 p + s 0 p − ( r 0 + s 0 ) p ) / p , … ) {\displaystyle {\vec {r}}+{\vec {s}}=\left(r_{0}+s_{0},r_{1}+s_{1}+(r_{0}^{p}+s_{0}^{p}-(r_{0}+s_{0})^{p})/p,\dots \right)} r → s → = ( r 0 s 0 , r 0 p s 1 + s 1 r 0 p + p r 1 s 1 , … ) {\displaystyle {\vec {r}}{\vec {s}}=\left(r_{0}s_{0},r_{0}^{p}s_{1}+s_{1}r_{0}^{p}+pr_{1}s_{1},\dots \right)} S {\displaystyle S} -비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형 W S : WittVector S ⁡ ( R ) → R S {\displaystyle W_{S}\colon \operatorname {WittVector} _{S}(R)\to R^{S}} 및 유일한 환 준동형 ι : Z → R {\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to R} 을 생각하자. 만약 ι ( S ) ⊆ R × {\displaystyle \iota (S)\subseteq R^{\times }} 이라면 (즉, S {\displaystyle S} 의 모든 원소들이 R {\displaystyle R} 에서 가역원이라면), W S {\displaystyle W_{S}} 는 전단사 함수이다. 만약 ι ( S ) ⊆ R {\displaystyle \iota (S)\subseteq R} 가 모두 영인자가 아니라면, W S {\displaystyle W_{S}} 는 단사 함수이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 비트 벡터 WittVector ⁡ ( R ) = WittVector Z + ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)=\operatorname {WittVector} _{\mathbb {Z} ^{+}}(R)} 는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다. 만약 S = { 1 } {\displaystyle S=\{1\}} 일 경우, WittVector { 1 } ⁡ ( R ) ≅ R {\displaystyle \operatorname {WittVector} _{\{1\}}(R)\cong R} 이다. 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 위의 p {\displaystyle p} -비트 벡터 환은 p {\displaystyle p} 진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 과 동형이다. 구체적으로, p {\displaystyle p} 진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 의 타이히뮐러 대표원의 집합은 0 및 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 속의 1의 p {\displaystyle p} 제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다. { 0 } ∪ { x ∈ Z p : x p = x ≠ 1 } {\displaystyle \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}} (이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상 f : Z p → Z p / ( p ) ≅ F p {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}/(p)\cong \mathbb {F} _{p}} 아래 f | { 0 } ∪ { x ∈ Z p : x p = x ≠ 1 } : { 0 } ∪ { x ∈ Z p : x p = x ≠ 1 } → F p {\displaystyle f|_{\{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}}\colon \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}\to \mathbb {F} _{p}} 는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 p {\displaystyle p} 진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다. a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + ⋯ ( a i ∈ { 0 } ∪ { x ∈ Z p : x p = x ≠ 1 } ∀ i ∈ N ) {\displaystyle a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots \qquad (a_{i}\in \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}\forall i\in \mathbb {N} )} 그렇다면, p {\displaystyle p} 진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다. 에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 의 체 위의 p n {\displaystyle p^{n}} 차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다. Witt, Ernst (1936). “Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pn”. 《Journal für Reine und Angewandte Mathematik》 (독일어) 176: 126–140. doi:10.1515/crll.1937.176.126. ISSN 0075-4102.  Hazewinkel, Michiel (2009). 〈Witt vectors. Part 1〉. Hazewinkel, Michiel. 《Handbook of algebra. Volume 6》 (영어). Elsevier. 319–472쪽. arXiv:0804.3888. Bibcode:2008arXiv0804.3888H. doi:10.1016/S1570-7954(08)00207-6. ISBN 978-0-444-53257-2. MR 2553661.  “Witt vector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Ring of Witt vectors”. 《nLab》 (영어).  “Witt cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Hochschild-Witt complex”. 《nLab》 (영어).  “De Rham-Witt complex”. 《nLab》 (영어).  “Non-commutative Witt vectors”. 《nLab》 (영어).  “Is there a universal property for Witt vectors?” (영어). 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