호지-라플라스 연산자

미분기하학에서 호지-라플라스 연산자(Hodge-Laplace演算子, 영어: Hodge–Laplace operator) 또는 호지-드람 라플라스 연산자(Hodge-de Rham-Laplace演算子, 영어: Hodge–de Rham Laplacian) 또는 라플라스-드람 연산자(Laplace-de Rham演算子, 영어: Laplace–de Rham operator)는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 호지-라플라스 연산자의 값이 0인 미분 형식을 조화 미분 형식(調和微分形式, 영어: harmonic differential form)이라고 하며, 호지 이론에 따라 이는 실수 계수 코호몰로지류와 표준적으로 대응된다. 콤팩트 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 미분 형식의 실수 벡터 공간 Ω ∙ ( M ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)} 을 생각하자. 임의의 n ∈ { 0 , 1 , … , dim ⁡ M } {\displaystyle n\in \{0,1,\dotsc ,\dim M\}} 에 대하여, n {\displaystyle n} 차 미분 형식의 벡터 다발의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서의 올공간 ⋀ n T x ∗ M {\displaystyle \bigwedge ^{n}\mathrm {T} _{x}^{*}M} 은 ( dim ⁡ M n ) {\displaystyle \textstyle {\binom {\dim M}{n}}} 차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량 g | x {\displaystyle g|_{x}} 로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉, n {\displaystyle n} 차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다. ⟨ α | β ⟩ = 1 ( n ! ) 2 ∫ M α i 1 i 2 ⋯ i n β j 1 j 2 ⋯ j n g i 1 j 1 ⋯ g i n j n det g d dim ⁡ M x ∀ α , β ∈ Ω n ( M ) {\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle ={\frac {1}{(n!)^{2}}}\int _{M}\alpha _{i_{1}i_{2}\dotsb i_{n}}\beta _{j_{1}j_{2}\dotsb j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{n}j_{n}}{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} ^{\dim M}x\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega ^{n}(M)} 이에 따라 Ω ( M ) {\displaystyle \Omega (M)} 의 완비화 Ω ¯ ( M ) {\displaystyle {\bar {\Omega }}(M)} 를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분 d : Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ + 1 ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)} 의 에르미트 수반 d † : dom ⁡ ( d † ) → Ω ¯ ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }\colon \operatorname {dom} (\mathrm {d} ^{\dagger })\to {\bar {\Omega }}(M)} ⟨ α | d † β ⟩ = ⟨ d α | β ⟩ ∀ α , β ∈ Ω ( M ) {\displaystyle \langle \alpha |\mathrm {d} ^{\dagger }\beta \rangle =\langle \mathrm {d} \alpha |\beta \rangle \qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega (M)} dom ⁡ d † ⊆ Ω ¯ ∙ ( M ) {\displaystyle \operatorname {dom} \mathrm {d} ^{\dagger }\subseteq {\bar {\Omega }}^{\bullet }(M)} 을 Ω ¯ ( M ) {\displaystyle {\bar {\Omega }}(M)} 의 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로 ( d † ) 2 = 0 {\displaystyle (\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}=0} 이다. 호지-라플라스 연산자는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다. Δ dR = d d † + d † d = ( d + d † ) 2 {\displaystyle \Delta _{\text{dR}}=\mathrm {d} \mathrm {d} ^{\dagger }+\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} =(\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}} 그 핵은 조화 미분 형식이라고 한다. Δ dR = ( d + d † ) 2 {\displaystyle \Delta _{\text{dR}}=(\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}} 이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다. 리만 다양체 M {\displaystyle M} 위의 임의의 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 차 텐서장 X j 1 … j q i 1 … i p {\displaystyle X_{j_{1}\dotsc j_{q}}^{i_{1}\dotso i_{p}}} 에 대하여, 레비치비타 접속을 사용하여 다음과 같은 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다. ( Δ X ) X j 1 … j q i 1 … i p = g k l ∇ k ∇ l X j 1 … j q i 1 … i p {\displaystyle (\Delta X)X_{j_{1}\dotsc j_{q}}^{i_{1}\dotso i_{p}}=g^{kl}\nabla _{k}\nabla _{l}X_{j_{1}\dotsc j_{q}}^{i_{1}\dotso i_{p}}} 만약 p = 0 {\displaystyle p=0} 일 경우, ( 0 , q ) {\displaystyle (0,q)} 차 텐서장은 q {\displaystyle q} 차 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 바이첸뵈크 항등식(영어: Weitzenböck identity)이라고 한다. 다만, 스칼라 함수의 경우 ( p = q = 0 {\displaystyle p=q=0} ), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다. g i j ∇ j ∂ i f = − d † d f = − Δ dR f {\displaystyle g^{ij}\nabla _{j}\partial _{i}f=-\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} f=-\Delta _{\text{dR}}f} 증명: 차수로 인하여, f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} 에 대하여 d † f = 0 {\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }f=0} 이다. 따라서 Δ dR f = d d † f + d † d f = d † d f {\displaystyle \Delta _{\text{dR}}f=\mathrm {d} \mathrm {d} ^{\dagger }f+\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} f=\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} f} 이다. 따라서, 임의의 함수 g ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle g\in \Omega ^{0}(M)} 에 대하여 ∫ M g i j ∇ i ∇ j f det g d x = ⟨ d g | d f ⟩ {\displaystyle \int _{M}g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}f\,{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} x=\langle \mathrm {d} g|\mathrm {d} f\rangle } 임을 보이면 족하다. 그런데 스토크스 정리에 의하여 ∫ M g i j ∇ i ∇ j f det g d x = − ∫ M g i j ∇ i f ∇ j g det g = − ⟨ d f | d g ⟩ {\displaystyle \int _{M}g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}f\,{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} x=-\int _{M}g^{ij}\nabla _{i}f\nabla _{j}g\,{\sqrt {\det g}}=-\langle \mathrm {d} f|\mathrm {d} g\rangle } 이다. Δ dR {\displaystyle \Delta _{\text{dR}}} 가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지 H ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} (M;\mathbb {R} )} 와 표준적으로 동형이다. 구체적으로, 닫힌 미분 형식 α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} 의 동치류 [ α ] = { β ∈ Ω k ( M ) : ∃ γ ∈ Ω K − 1 ( M ) : α − β = d γ } {\displaystyle [\alpha ]=\{\beta \in \Omega ^{k}(M)\colon \exists \gamma \in \Omega ^{K-1}(M)\colon \alpha -\beta =\mathrm {d} \gamma \}} 를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수 ‖ − ‖ : [ α ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \|-\|\colon [\alpha ]\to [0,\infty )} 를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다. Warner, Frank (1971). 《Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3. MR 722297.  “Harmonic differential form”. 《nLab》 (영어).