리만 재배열 정리

실해석학에서 리만 재배열 정리(-再配列定理, 영어: Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem)는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대로 수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다. 실수항 급수 ∑ n = 0 ∞ x n ( x n ∈ R ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}\qquad (x_{n}\in \mathbb {R} )} 가 조건 수렴한다고 하자. 리만 재배열 정리에 따르면, 임의의 확장된 실수 s ∈ R ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle s\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} 에 대하여, 다음을 만족시키는 순열 σ : N → N {\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } 이 존재한다.:6, §1.1, Theorem 1.1.3:193, §8.2, Theorem 8.2.8 ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) = s {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s} 자연수(음이 아닌 정수)의 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } 을 다음과 같이 분할하자. N = { m 0 , m 1 , m 2 , … } ∪ { n 0 , n 1 , n 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{m_{0},m_{1},m_{2},\dots \}\cup \{n_{0},n_{1},n_{2},\dots \}} x m k ≥ 0 ∀ k {\displaystyle x_{m_{k}}\geq 0\qquad \forall k} x n k < 0 ∀ k {\displaystyle x_{n_{k}}<0\qquad \forall k} 그렇다면, ∑ k = 0 ∞ x m k = ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{m_{k}}=\infty } ∑ k = 0 ∞ x n k = − ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{n_{k}}=-\infty } 임을 보일 수 있다. (만약 두 급수가 모두 실수로 수렴한다면, ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 은 절대 수렴하므로 모순이다. 만약 두 급수가 하나는 무한대로 발산하고 하나는 실수로 수렴한다면, ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 은 무한대로 발산하므로 모순이다.) 특히, { m 0 , m 1 , … } {\displaystyle \{m_{0},m_{1},\dots \}} 와 { n 0 , n 1 , … } {\displaystyle \{n_{0},n_{1},\dots \}} 는 모두 무한 집합이다. 이제, 급수가 s {\displaystyle s} 로 수렴하도록 항을 재배열하는 방법을 찾자. 편의상 s ≥ 0 {\displaystyle s\geq 0} 이라고 하자. 우선 ∑ k = 0 i 0 − 1 x m k ≤ s < ∑ k = 0 i 0 x m k {\displaystyle \sum _{k=0}^{i_{0}-1}x_{m_{k}}\leq s<\sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}} 인 자연수 i 0 ∈ N {\displaystyle i_{0}\in \mathbb {N} } 를 취할 수 있다. 이 경우 s < ∑ k = 0 i 0 x m k ≤ s + x m i 0 {\displaystyle s<\sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}\leq s+x_{m_{i_{0}}}} 이다. 이제 ∑ k = 0 i 0 x m k + ∑ k = 0 j 0 x n k < s ≤ ∑ k = 0 i 0 x m k + ∑ k = 0 j 0 − 1 x n k {\displaystyle \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}}x_{n_{k}}<s\leq \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}-1}x_{n_{k}}} 인 자연수 j 0 ∈ N {\displaystyle j_{0}\in \mathbb {N} } 을 취하자. 그렇다면 마찬가지로 s + x n j 0 ≤ ∑ k = 0 i 0 x m k + ∑ k = 0 j 0 x n k < s {\displaystyle s+x_{n_{j_{0}}}\leq \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}}x_{n_{k}}<s} 가 성립한다. 위와 같은 과정을 반복하면 다음을 만족시키는 자연수열 ( i r ) r = 0 ∞ {\displaystyle (i_{r})_{r=0}^{\infty }} 및 ( j r ) r = 0 ∞ {\displaystyle (j_{r})_{r=0}^{\infty }} 을 얻는다. i 0 < i 1 < i 2 < ⋯ {\displaystyle i_{0}<i_{1}<i_{2}<\cdots } j 0 < j 1 < j 2 < ⋯ {\displaystyle j_{0}<j_{1}<j_{2}<\cdots } s < ∑ k = 0 i r x m k + ∑ k = 0 j r − 1 x n k ≤ s + x m i r ∀ r ∈ N {\displaystyle s<\sum _{k=0}^{i_{r}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r-1}}x_{n_{k}}\leq s+x_{m_{i_{r}}}\qquad \forall r\in \mathbb {N} } s + x n j r ≤ ∑ k = 0 i r − 1 x m k + ∑ k = 0 j r x n k < s ∀ r ∈ N {\displaystyle s+x_{n_{j_{r}}}\leq \sum _{k=0}^{i_{r-1}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r}}x_{n_{k}}<s\qquad \forall r\in \mathbb {N} } 이제, 순열 σ : N → N {\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } 을 다음과 같이 정의하자. ( σ ( n ) ) n = 0 ∞ = ( m 0 , m 1 , … , m i 0 , n 0 , n 1 , … , n j 0 , m i 0 + 1 , m i 0 + 2 , … , m i 1 , n j 0 + 1 , n j 0 + 2 , … , n j 1 , … ) {\displaystyle (\sigma (n))_{n=0}^{\infty }=(m_{0},m_{1},\dots ,m_{i_{0}},n_{0},n_{1},\dots ,n_{j_{0}},m_{i_{0}+1},m_{i_{0}+2},\dots ,m_{i_{1}},n_{j_{0}+1},n_{j_{0}+2},\dots ,n_{j_{1}},\dots )} 그렇다면, 임의의 K ∈ N {\displaystyle K\in \mathbb {N} } 에 대하여, | ∑ n = 0 σ − 1 ( m K ) x σ ( n ) − s | = | ∑ k = 0 K x m k + ∑ k = 0 j r x n k − s | < x m i r ( i r − 1 < K ≤ i r ) {\displaystyle \left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(m_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|=\left|\sum _{k=0}^{K}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r}}x_{n_{k}}-s\right|<x_{m_{i_{r}}}\qquad (i_{r-1}<K\leq i_{r})} | ∑ n = 0 σ − 1 ( n K ) x σ ( n ) − s | = | ∑ k = 0 i r x m k + ∑ k = 0 K x n k − s | < − x n j r ( j r − 1 < K ≤ j r ) {\displaystyle \left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(n_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|=\left|\sum _{k=0}^{i_{r}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{K}x_{n_{k}}-s\right|<-x_{n_{j_{r}}}\qquad (j_{r-1}<K\leq j_{r})} 이므로 lim sup N → ∞ | ∑ n = 0 N x σ ( n ) − s | ≤ lim sup K → ∞ max { | ∑ n = 0 σ − 1 ( m K ) x σ ( n ) − s | , | ∑ n = 0 σ − 1 ( n K ) x σ ( n ) − s | } ≤ lim sup r → ∞ max { x m i r , − x n j r } = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{N\to \infty }\left|\sum _{n=0}^{N}x_{\sigma (n)}-s\right|&\leq \limsup _{K\to \infty }\max \left\{\left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(m_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|,\left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(n_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|\right\}\\&\leq \limsup _{r\to \infty }\max\{x_{m_{i_{r}}},-x_{n_{j_{r}}}\}\\&=0\end{aligned}}} 이다. 즉, ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) = s {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s} 이다. 조화 급수에 대응하는 교대 급수 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}} 를 생각하자. 이 급수는 ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} 로 수렴한다. 그러나 하나의 양의 실수항과 2개의 음의 실수항을 번갈아 가며 배열하여 얻는 새로운 급수는 1 2 ln ⁡ 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\ln 2} 로 수렴한다. 1 − 1 2 − 1 4 + 1 3 − 1 6 − 1 8 + 1 5 − 1 10 − 1 12 + ⋯ = ( 1 − 1 2 ) − 1 4 + ( 1 3 − 1 6 ) − 1 8 + ( 1 5 − 1 10 ) − 1 12 + ⋯ = 1 2 ( 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ ) = 1 2 ln ⁡ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots ={}&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}\\&+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)\\={}&{\frac {1}{2}}\ln 2\end{aligned}}} 베른하르트 리만의 이름을 땄다. Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). 《Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence》. Operator Theory Advances and Applications (영어) 94. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9196-7. ISBN 978-3-0348-9942-0. Zbl 0876.46009.  Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.  “Riemann theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemann series theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.