제곱근 5

제곱근 5 또는 루트 5 또는 5의 양의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 루트 25가 되는 양의 실수이다. 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 로 표기한다. 5의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 루트 25가 되는 실수이다. 5의 양의 제곱근과 5의 음의 제곱근이 있으며, ± 5 {\displaystyle \pm {\sqrt {5}}} 로 표기한다. 5의 제곱근은 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다. 실제 5의 제곱근의 값은 순환되지 않는 무한소수로 소수점이하 59자리까지의 근삿값은 다음과 같다. 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089 ⋯ {\displaystyle 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089\cdots } 5 = 3 − 10 ( 1 5 + ( 1 5 + ( 1 5 + ( 1 5 + ⋯ ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 = 9 4 − 4 ( 1 16 − ( 1 16 − ( 1 16 − ( 1 16 − ⋯ ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 = 9 4 − 5 ( 1 20 + ( 1 20 + ( 1 20 + ( 1 20 + ⋯ ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=3-10\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-5\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\end{aligned}}} 5 + 1 2 = φ {\displaystyle {{{\sqrt {5}}+1} \over {2}}=\varphi } n {\displaystyle n} 번째 피보나치 수 F n {\displaystyle F_{n}} 은 F n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } = ( 1 + 5 ) n − ( 1 − 5 ) n 2 n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n} \over 2^{n}{\sqrt {5}}}} 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 와 다중근호 5 = 5 5 5 5 5 5 5 5 … 3 3 3 3 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + . . . = 21 + 1 2 = 1 + 5 − 5 − 5 − 5 − 5 − . . . {\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {21}}+1} \over {2}}=1+{\sqrt {5-{\sqrt {5-{\sqrt {5-{\sqrt {5-{\sqrt {5-...}}}}}}}}}}} 라마누잔의 공식을 사용한 표현 x + n + a = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + 1 n ) + ( n + a ) 2 + ( x + 1 n ) a ( x + 2 n ) + ( n + a ) 2 + ( x + 2 n ) a ( x + 3 n ) + ( n + a ) 2 + ( x + 3 n ) ⋯ {\displaystyle {x+n+a}={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+1n)+(n+a)^{2}+(x+1n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {a(x+3n)+(n+a)^{2}+(x+3n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}} a = 0 , n = 1 {\displaystyle a=0,n=1} 일때, x + 1 = 1 + x 1 + ( x + 1 ) 1 + ( x + 2 ) 1 + ⋯ {\displaystyle x+1={\sqrt {1+x{\sqrt {1+(x+1){\sqrt {1+(x+2){\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}} 5 = 4 + 1 = 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 1 + ⋯ {\displaystyle 5=4+1={\sqrt {1+4{\sqrt {1+5{\sqrt {1+6{\sqrt {1+7{\sqrt {1+8{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}}}}} 따라서, 5 = 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 1 + ⋯ {\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt {\sqrt {1+4{\sqrt {1+5{\sqrt {1+6{\sqrt {1+7{\sqrt {1+8{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}}}}}} 라마누잔의 R 5 {\displaystyle R_{5}} 5 + 5 + 5 − 5 + 5 + 5 + 5 − ⋯ = 2 + 5 + 15 − 6 5 2 {\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}\;={{2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}} \over {2}}} 황금비 다중근호 Ramanujan 1911, Ramanujan 2000, p. 323; Pickover 2002, p. 310 Bruce C. Berndt; Robert Alexander Rankin (2001). Ramanujan: essays and surveys. American Mathematical Society, London Mathematical Society. p. 219. ISBN 0-8218-2624-7.