조화급수

조화급수(harmonic series) 란 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 급수로, 다음의 발산하는 무한급수를 가리킨다. ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!} 조화급수라는 명칭은 배음 또는 음악의 화성학에서 유래되었다. 악기의 진동하는 현의 배음의 파장은 현의 기본 파장의 1/2, 1/3, 1/4, ...에 해당하는 값이다. 첫 번째 값 이후에 나오는 모든 값들은 이웃 값의 조화 평균이다. 조화 평균이라는 명칭 또한 음악에서 유래하였다. 조화급수가 발산한다는 사실은 14세기 니콜 오렘에 의해 처음 증명되었으나, 이 발견은 세상에서 잊혀졌다. 그 후 17세기 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli), 요한 베르누이, 야코프 베르누이에 의해 다시 증명되었다. 역사적으로 조화급수는 건축가들에게 특히 인기 있었다. 이러한 경향은 바로크 시대에 특히 강해서, 건축가들은 교회와 궁전을 건축할 때 평면도 및 입면도상의 비례와 건물 내·외부간의 건축 디테일의 조화를 위해 조화급수를 사용하였다. 수열 각각의 항은 점차 0 에 가까워지고 있음에도 불구하고, 총합은 무한대로 발산한다. 발산하는 속도는 매우 느려서 ln ⁡ n {\displaystyle \ln n} 에 가깝다(그래서, 조화수열과 자연로그의 오차의 극한을 나타내는 상수로 오일러-마스케로니 상수가 있다). 조화급수는 최초 10 43 {\displaystyle 10^{43}} 개의 항을 더해도 100을 넘지 않는다. 따라서 이 급수는 수열의 항의 극한값이 0임에도 급수의 값은 수렴하지 않는 예로 자주 등장한다. 니콜 오렘의 가장 유명한 발산 증명으로 2 n {\displaystyle 2^{n}} 개씩 항을 묶어 비교하여 작은 쪽 값의 수열의 합이 발산함을 보여서 큰 값의 수열도 발산함을 증명하는 다음과 같은 기법이다. ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 +   1 2       + 1 2   +   1 2     +     1 2   +   ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots \end{aligned}}} = 1 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;=1+0.5+0.5+0.5+0.5+\cdots } = 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;\;\;=1+1+1+\cdots } 조화급수보다 작은 급수가 발산하므로, 조화급수도 발산하게 된다. 적분판정법으로도 간단하게 발산함을 증명할 수 있다. 조화급수는 우측 그림에서 색칠한 사각형들의 넓이를 모두 더한 것이 된다. 그런데 만약 곡선 y = 1 / x {\displaystyle y=1/x} 의 아래쪽 넓이가 무한대로 발산한다면, 조화급수도 발산하게 된다. 곡선 아래쪽의 넓이는 적분으로 다음과 같이 계산한다. 조화급수의 최초 k {\displaystyle k} 항까지 더한 값( ∑ k = 1 ∞ 1 k {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}} )과 1부터 k + 1 {\displaystyle k+1} 까지의 구간을 적분한 값( ∫ 1 k + 1 1 x d x {\displaystyle \int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx\;} )은 적분판정법에 의하여 동시에 발산하게 된다. 그런데 ∫ 1 ∞ 1 x d x = lim k → ∞ ∫ 1 k + 1 1 x d x = lim k → ∞ ln ⁡ ( k + 1 ) = ∞ {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\lim _{k\to \infty }\ln(k+1)=\infty } 이다. 따라서 적분 판정법에 의해 조화급수도 동시에 발산하게 된다. 이 무한급수는 리만 제타 함수에 1을 대입했을 때 얻어지는 수열이다. 따라서 리만 제타 함수는 1에서 특이점을 가지게 된다. 부호를 번갈아가며 쓴 교대조화급수(alternating harmonic series)는 수렴한다. 그 수렴 값은 ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} 이다. 하지만, 교대조화급수의 경우 원래의 조화급수가 발산하므로 절대 수렴하지 않는다. 따라서, 교대조화급수의 경우 항을 재배치하여 원하는 어떤 실수 값이든 만들어낼 수 있다. 리만 가설 조화 수열 조화수 리만 제타 함수 George L. Hersey (2002년 12월 1일). 《Architecture and Geometry in the Age of the Baroque》. University Of Chicago Press. 11-12, 37-51쪽. ISBN 0226327841.