그로텐디크 군

K이론에서 그로텐디크 군(Grothendieck群, 영어: Grothendieck group)은 아벨 범주 또는 퀼런 완전 범주로부터 정의되며, 그 짧은 완전열들에 대한 정보를 담고 있는 아벨 군이다. 0차 대수적 K군과 같다. 작은 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 아벨 범주) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 짧은 완전열 A ↣ B ↠ C {\displaystyle A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C} 에 대하여, 형식적 관계 [ A ] + [ C ] = [ B ] {\displaystyle [A]+[C]=[B]} 를 정의하자. 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 그로텐디크 군이라고 하며, K ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {K} ({\mathcal {A}})} 로 표기한다. (이 기호 K ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {K} (-)} 는 K이론에서 딴 것이다.) 작은 가법 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 주자. A → A ⊕ B → B {\displaystyle A\to A\oplus B\to B} (여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. ⊕ {\displaystyle \oplus } 는 곱 (범주론)=쌍대곱이다.) 이는 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다. 이 경우, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다. 우선, 일반적으로, 가환 모노이드의 범주 CMon {\displaystyle \operatorname {CMon} } 와 아벨 군의 아벨 범주 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 사이의 포함 함자 Ab → CMon {\displaystyle \operatorname {Ab} \to \operatorname {CMon} } 는 (둘 다 대수 구조 다양체이므로) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 함자를 F : CMon → Ab {\displaystyle F\colon \operatorname {CMon} \to \operatorname {Ab} } 라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다. 함자 F {\displaystyle F} 의 구성: 가환 모노이드 ( M , + ) {\displaystyle (M,+)} 의 상은 다음과 같다. F ( M ) ≅ ( M × M ∼ , + ) {\displaystyle F(M)\cong \left({\frac {M\times M}{\sim }},+\right)} ( m , n ) ∼ ( m + p , n + p ) ( m , n , p ∈ M ) {\displaystyle (m,n)\sim (m+p,n+p)\qquad (m,n,p\in M)} [ ( m , n ) ] ∼ + [ ( m ′ , n ′ ) ] ∼ = [ ( m + m ′ , n + n ′ ) ] ∼ {\displaystyle [(m,n)]_{\sim }+[(m',n')]_{\sim }=[(m+m',n+n')]_{\sim }} 여기서 순서쌍 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 의 동치류는 보통 m − n {\displaystyle m-n} 으로 표기된다. 위 연산에서, ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 의 의 동치류의 역원은 ( n , m ) {\displaystyle (n,m)} 의 동치류이며, 덧셈 항등원은 (임의의 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여) ( m , m ) {\displaystyle (m,m)} 의 동치류이다. 두 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 의 상은 다음과 같다. F ( f ) : [ ( m , m ′ ) ] ∼ ↦ [ ( f ( m ) , f ( m ′ ) ] ∼ {\displaystyle F(f)\colon [(m,m')]_{\sim }\mapsto [(f(m),f(m')]_{\sim }} 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 Iso ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Iso} ({\mathcal {A}})} 을 생각하면, ( Iso ⁡ ( A ) , ⊕ ) {\displaystyle (\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )} 는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 그로텐디크 군은 다음과 같다. K ⁡ ( A ) = F ( Iso ⁡ ( A ) , ⊕ ) {\displaystyle \operatorname {K} ({\mathcal {A}})=F(\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )} 간혹 일부 문헌에서는 함자 F {\displaystyle F} 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 위의 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 다발들의 범주 Vect ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Vect} (X)} 를 생각하자. 이는 가법 범주이며, 그 대상(들의 동형류)들은 집합을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 X {\displaystyle X} 의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 K이론이라고 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주 fgMod R {\displaystyle \operatorname {fgMod} _{R}} 를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 K ⁡ ( fgMod R ) {\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgMod} _{R})} 를 취할 수 있다. 또한, 가환환 R {\displaystyle R} 위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주 fgpMod R {\displaystyle \operatorname {fgpMod} _{R}} 를 생각하자. 이는 아벨 범주가 아니지만, 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군 K ⁡ ( fgpMod R ) {\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} _{R})} 를 취할 수 있다. 또한, 가환환 R {\displaystyle R} 위의 모든 단순군들의 동형류들은 집합을 이루며, 따라서 이로 생성되는 자유 아벨 군 Z ⊕ Iso ⁡ ( simpleMod R ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} _{R})}} 을 생각할 수 있다. 만약 R {\displaystyle R} 가 어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 위의 세 아벨 군은 서로 동형이다. K ⁡ ( fgMod R ) ≅ K ⁡ ( fgpMod R ) ≅ Z ⊕ Iso ⁡ ( simpleMod R ) {\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgMod} _{R})\cong \operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} _{R})\cong \mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} _{R})}} 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주 fgMod K {\displaystyle \operatorname {fgMod} _{K}} 를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 자연수의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다. dim K : Iso ⁡ ( fgMod K ) → N {\displaystyle \dim _{K}\colon \operatorname {Iso} (\operatorname {fgMod} _{K})\to \mathbb {N} } dim K : K ⊕ n ↦ n {\displaystyle \dim _{K}\colon K^{\oplus n}\mapsto n} 벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, fgMod K {\displaystyle \operatorname {fgMod} _{K}} 의 그로텐디크 군은 무한 순환군 F ( N ) = Z {\displaystyle F(\mathbb {N} )=\mathbb {Z} } 이다. 알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 정의하였다. 분수체 국소화 (환론) 위상 K이론 “Grothendieck group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Group completion”. 《nLab》 (영어).  “Grothendieck group”. 《nLab》 (영어).  “Definition of a Grothendieck ring” (영어). Math Overflow.