바닥 함수와 천장 함수

수학과 컴퓨터 과학에서 바닥 함수(영어: floor function)는 각 실수 이하의 최대 정수를 구하는 함수이다. 천장 함수(天障函數, 영어: ceiling function)는 각 실수 이상의 최소 정수를 구하는 함수이다. 바닥 함수는 내림 함수 · 버림 함수 · 최대 정수 함수(最大整數函數, 영어: greatest integer function)라고도 하며, 천장 함수는 올림 함수 · 최소 정수 함수(最小整數函數, 영어: least integer function)라고도 한다. 바닥 함수 ⌊ − ⌋ : R → Z {\displaystyle \lfloor -\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} } 는 다음과 같다. ⌊ x ⌋ = max { n ∈ Z : n ≤ x } {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \colon n\leq x\}} 즉, 실수 x {\displaystyle x} 의 바닥 함수 값은 x {\displaystyle x} 와 같거나 그보다 작은 정수 가운데 가장 큰 하나이다. 예를 들어, 다음과 같다. ⌊ 5.2 ⌋ = 5 {\displaystyle \lfloor 5.2\rfloor =5} ⌊ − 5.2 ⌋ = − 6 {\displaystyle \lfloor -5.2\rfloor =-6} ⌊ 3 ⌋ = 3 {\displaystyle \lfloor 3\rfloor =3} ⌊ − 4 ⌋ = − 4 {\displaystyle \lfloor -4\rfloor =-4} 바닥 함수의 여러 가지 표기법은 다음과 같다. ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } [ x ] {\displaystyle [x]} 이를 가우스 기호라고 한다. 하지만 바닥 함수는 가우스 함수와 관련이 없다. floor ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {floor} (x)} 마찬가지로, 천장 함수 ⌈ − ⌉ : R → Z {\displaystyle \lceil -\rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} } 는 다음과 같다. ⌈ x ⌉ = min { n ∈ Z : n ≥ x } {\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \colon n\geq x\}} 즉, 실수 x {\displaystyle x} 의 천장 함수 값은 x {\displaystyle x} 와 같거나 그보다 큰 정수 가운데 가장 작은 하나이다. 예를 들어, 다음과 같다. ⌈ 3.72 ⌉ = 4 {\displaystyle \lceil 3.72\rceil =4} ⌈ − 3.72 ⌉ = − 3 {\displaystyle \lceil -3.72\rceil =-3} ⌈ 4 ⌉ = 4 {\displaystyle \lceil 4\rceil =4} ⌈ − 2 ⌉ = − 2 {\displaystyle \lceil -2\rceil =-2} 천장 함수의 여러 가지 표기법은 다음과 같다. ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } ceil ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {ceil} (x)} 분수 부분 함수(分數部分函數, 영어: fractional part function) { − } : R → [ 0 , 1 ) {\displaystyle \{-\}\colon \mathbb {R} \to [0,1)} 는 다음과 같다. { x } = x − ⌊ x ⌋ = min { y ∈ R ≥ 0 : x − y ∈ Z } {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor =\min\{y\in \mathbb {R} _{\geq 0}\colon x-y\in \mathbb {Z} \}} 예를 들어, 다음과 같다. { 8.21 } = 0.21 {\displaystyle \{8.21\}=0.21} { − 8.21 } = 0.79 {\displaystyle \{-8.21\}=0.79} { 5 } = 0 {\displaystyle \{5\}=0} { − 7 } = 0 {\displaystyle \{-7\}=0} 분수 부분 함수의 여러 가지 표기법은 다음과 같다. { x } {\displaystyle \{x\}} frac ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {frac} (x)} 다음과 같은 부등식들이 성립한다. ⌊ x ⌋ ≤ x < ⌊ x ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1} ⌈ x ⌉ − 1 < x ≤ ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil -1<x\leq \lceil x\rceil } 비슷하게, 다음과 같은 부등식들이 성립한다. x − 1 < ⌊ x ⌋ ≤ x {\displaystyle x-1<\lfloor x\rfloor \leq x} x ≤ ⌈ x ⌉ < x + 1 {\displaystyle x\leq \lceil x\rceil <x+1} 0 ≤ { x } < 1 {\displaystyle 0\leq \{x\}<1} 삼각 부등식과 닮은 다음과 같은 부등식들이 성립한다. ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1} ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil } 바닥 함수와 천장 함수를 통해 실수 부등식과 동치인 정수 부등식을 얻을 수 있다. 즉, 임의의 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다. n > x {\displaystyle n>x} n > ⌊ x ⌋ {\displaystyle n>\lfloor x\rfloor } 마찬가지로, n {\displaystyle n} 및 x {\displaystyle x} 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다. n < x {\displaystyle n<x} n < ⌈ x ⌉ {\displaystyle n<\lceil x\rceil } 마찬가지로, n {\displaystyle n} 및 x {\displaystyle x} 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다. n ≥ x {\displaystyle n\geq x} n ≥ ⌈ x ⌉ {\displaystyle n\geq \lceil x\rceil } 마찬가지로, n {\displaystyle n} 및 x {\displaystyle x} 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다. n ≤ x {\displaystyle n\leq x} n ≤ ⌊ x ⌋ {\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor } 천장 함수를 다음과 같이 바닥 함수를 써서 나타낼 수 있다. ⌈ x ⌉ = − ⌊ − x ⌋ = { ⌊ x ⌋ x ∈ Z ⌊ x ⌋ + 1 x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}\lfloor x\rfloor &x\in \mathbb {Z} \\\lfloor x\rfloor +1&x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} 비슷하게, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. ⌊ − x ⌋ = { − ⌊ x ⌋ x ∈ Z − ⌊ x ⌋ − 1 x ∉ Z {\displaystyle \lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}-\lfloor x\rfloor &x\in \mathbb {Z} \\-\lfloor x\rfloor -1&x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} ⌈ − x ⌉ = { − ⌈ x ⌉ x ∈ Z − ⌈ x ⌉ + 1 x ∉ Z {\displaystyle \lceil -x\rceil ={\begin{cases}-\lceil x\rceil &x\in \mathbb {Z} \\-\lceil x\rceil +1&x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} { − x } = { 0 x ∈ Z − { x } + 1 x ∉ Z {\displaystyle \{-x\}={\begin{cases}0&x\in \mathbb {Z} \\-\{x\}+1&x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} 임의의 정수는 바닥 함수와 천장 함수의 고정점이다. ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n n ∈ Z {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n\qquad n\in \mathbb {Z} } 바닥 함수와 천장 함수의 정의에 따라, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. max { n ∈ Z : n ≤ x } = ⌊ x ⌋ {\displaystyle \max\{n\in \mathbb {Z} \colon n\leq x\}=\lfloor x\rfloor } min { n ∈ Z : n ≥ x } = ⌈ x ⌉ {\displaystyle \min\{n\in \mathbb {Z} \colon n\geq x\}=\lceil x\rceil } min { n ∈ Z : n > x } = ⌊ x ⌋ + 1 {\displaystyle \min\{n\in \mathbb {Z} \colon n>x\}=\lfloor x\rfloor +1} max { n ∈ Z : n < x } = ⌈ x ⌉ − 1 {\displaystyle \max\{n\in \mathbb {Z} \colon n<x\}=\lceil x\rceil -1} 바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수의 합성은 다음과 같다. 특히, 바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수는 모두 멱등 함수이다. ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor } ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil } { { x } } = { x } {\displaystyle \{\{x\}\}=\{x\}} ⌈ ⌊ x ⌋ ⌉ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lceil \lfloor x\rfloor \rceil =\lfloor x\rfloor } ⌊ ⌈ x ⌉ ⌋ = ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lfloor \lceil x\rceil \rfloor =\lceil x\rceil } { ⌊ x ⌋ } = 0 {\displaystyle \{\lfloor x\rfloor \}=0} ⌊ { x } ⌋ = 0 {\displaystyle \lfloor \{x\}\rfloor =0} { ⌈ x ⌉ } = 0 {\displaystyle \{\lceil x\rceil \}=0} ⌈ { x } ⌉ = { 0 x ∈ Z 1 x ∉ Z {\displaystyle \lceil \{x\}\rceil ={\begin{cases}0&x\in \mathbb {Z} \\1&x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} 임의의 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 특히, 분수 부분 함수는 양의 최소 주기가 1인 주기 함수이다. ⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n {\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n} ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n {\displaystyle \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n} { x + n } = { x } {\displaystyle \{x+n\}=\{x\}} 임의의 m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } ( n > 0 {\displaystyle n>0} ) 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. ⌊ x + m n ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ + m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor } ⌈ x + m n ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ + m n ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil } ⌈ m n ⌉ = ⌊ m + n − 1 n ⌋ {\displaystyle {\biggl \lceil }{\frac {m}{n}}{\biggr \rceil }=\left\lfloor {\frac {m+n-1}{n}}\right\rfloor } 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. ⌊ ⌊ x / y ⌋ / n ⌋ = ⌊ x / ( y n ) ⌋ {\displaystyle \lfloor \lfloor x/y\rfloor /n\rfloor =\lfloor x/(yn)\rfloor } ⌈ ⌈ x / y ⌉ / n ⌉ = ⌈ x / ( y n ) ⌉ {\displaystyle \lceil \lceil x/y\rceil /n\rceil =\lceil x/(yn)\rceil } 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이를 에르미트 항등식이라고 한다. ⌊ n x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 n ⌋ + ⋯ + ⌊ x + n − 1 n ⌋ {\displaystyle \lfloor nx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{n}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor x+{\frac {n-1}{n}}\right\rfloor } ⌈ n x ⌉ = ⌈ x ⌉ + ⌈ x − 1 n ⌉ + ⋯ + ⌈ x − n − 1 n ⌉ {\displaystyle \lceil nx\rceil =\lceil x\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{n}}\right\rceil +\cdots +\left\lceil x-{\frac {n-1}{n}}\right\rceil } 특히, x = m / n {\displaystyle x=m/n} ( m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } )인 경우 다음과 같다. m = ⌊ m n ⌋ + ⌊ m + 1 n ⌋ + ⋯ + ⌊ m + n − 1 n ⌋ = ⌈ m n ⌉ + ⌈ m − 1 n ⌉ + ⋯ + ⌈ m − n + 1 n ⌉ {\displaystyle {\begin{aligned}m&={\biggl \lfloor }{\frac {m}{n}}{\biggr \rfloor }+\left\lfloor {\frac {m+1}{n}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {m+n-1}{n}}\right\rfloor \\&={\biggl \lceil }{\frac {m}{n}}{\biggr \rceil }+\left\lceil {\frac {m-1}{n}}\right\rceil +\cdots +\left\lceil {\frac {m-n+1}{n}}\right\rceil \end{aligned}}} 특히, n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다. m = ⌊ m 2 ⌋ + ⌈ m 2 ⌉ {\displaystyle m={\biggl \lfloor }{\frac {m}{2}}{\biggr \rfloor }+{\biggl \lceil }{\frac {m}{2}}{\biggr \rceil }} 임의의 m , n ∈ Z + {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음이 성립한다. ⌊ x n ⌋ + ⌊ x + m n ⌋ + ⌊ x + 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ x + ( n − 1 ) m n ⌋ = ⌊ x m ⌋ + ⌊ x + n m ⌋ + ⌊ x + 2 n m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + ( m − 1 ) n m ⌋ {\displaystyle {\biggl \lfloor }{\frac {x}{n}}{\biggr \rfloor }+{\biggl \lfloor }{\frac {x+m}{n}}{\biggr \rfloor }+\left\lfloor {\frac {x+2m}{n}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {x+(n-1)m}{n}}\right\rfloor ={\biggl \lfloor }{\frac {x}{m}}{\biggr \rfloor }+{\biggl \lfloor }{\frac {x+n}{m}}{\biggr \rfloor }+\left\lfloor {\frac {x+2n}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {x+(m-1)n}{m}}\right\rfloor } 즉, 이러한 합 공식은 m , n {\displaystyle m,n} 의 순서와 무관하다. 특히, x = 0 {\displaystyle x=0} 인 경우 합이 다음과 같이 주어진다. ⌊ m n ⌋ + ⌊ 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 2 ) m n ⌋ = ( m − 1 ) ( n − 1 ) + gcd { m , n } − 1 2 {\displaystyle {\biggl \lfloor }{\frac {m}{n}}{\biggr \rfloor }+\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(n-2)m}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd\{m,n\}-1}{2}}} 특히, m , n {\displaystyle m,n} 이 서로소인 경우 (즉, gcd { m , n } = 1 {\displaystyle \gcd\{m,n\}=1} 인 경우) 다음과 같다. ⌊ m n ⌋ + ⌊ 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 2 ) m n ⌋ = ( m − 1 ) ( n − 1 ) 2 {\displaystyle {\biggl \lfloor }{\frac {m}{n}}{\biggr \rfloor }+\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(n-2)m}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}} 분수 부분 함수는 1-주기 함수이며, 그 푸리에 급수는 다음과 같다. { x } = 1 2 − 1 π ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 n π x ) n x ∉ Z {\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2n\pi x)}{n}}\qquad x\not \in \mathbb {Z} } 바닥 함수와 천장 함수는 주기 함수가 아니므로, 이들의 푸리에 급수는 균등 수렴하지 않는다. 바닥 함수와 천장 함수는 조각마다 일차 함수이며, 분수 부분 함수는 조각마다 상수 함수이다. 이 셋의 불연속점 집합은 모두 정수 집합이다. 실수 x {\displaystyle x} 의 정수 부분은 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } 이며, 분수 부분은 { x } {\displaystyle \{x\}} 이다. 분수 부분은 소수 부분이라 하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같다. ⌊ 2.34 ⌋ = 2 {\displaystyle \lfloor 2.34\rfloor =2} { 2.34 } = 0.34 {\displaystyle \{2.34\}=0.34} 컴퓨터 과학에서는 정수 부분과 분수 부분을 조금 다르게 정의하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같은 변형된 정수 부분 함수와 분수 부분 함수가 쓰인다. ip ⁡ ( x ) := sgn ⁡ ( x ) ⌊ | x | ⌋ = { ⌊ x ⌋ x ≥ 0 ⌈ x ⌉ x < 0 {\displaystyle \operatorname {ip} (x):=\operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor ={\begin{cases}\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}} fp ⁡ ( x ) := x − ip ⁡ ( x ) = sgn ⁡ ( x ) ( | x | − ⌊ | x | ⌋ ) = { x − ⌊ x ⌋ x ≥ 0 x − ⌈ x ⌉ x < 0 {\displaystyle \operatorname {fp} (x):=x-\operatorname {ip} (x)=\operatorname {sgn}(x)(|x|-\lfloor |x|\rfloor )={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}} 실수 x {\displaystyle x} 를 정수로 내림한 값은 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } 이며, 정수로 올림한 값은 ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } 이다. 컴퓨터 과학에서는 변형된 내림·올림이 쓰이기도 한다. 즉, 실수 x {\displaystyle x} 를 정수로 내림(올림)한 값을 ip ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {ip} (x)} 로 정의한다. 실수 x {\displaystyle x} 를 정수로 반올림한 값은 ⌊ x + 0.5 ⌋ {\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor } 이다. 예를 들어, 다음과 같다. ⌊ 2.34 + 0.5 ⌋ = 2 {\displaystyle \lfloor 2.34+0.5\rfloor =2} ⌊ 7.5 + 0.5 ⌋ = 8 {\displaystyle \lfloor 7.5+0.5\rfloor =8} 컴퓨터 과학에서는 반올림의 여러 가지 변형이 사용되는데, 이들은 반정수의 경우를 달리 정의하며, 그 밖의 경우는 원래의 반올림과 일치한다. 원래의 반올림은 반정수를 비교적 큰 정수로 근사한다. 반정수를 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 x ↦ ⌈ x − 0.5 ⌉ {\displaystyle x\mapsto \lceil x-0.5\rceil } 이며, 반정수를 절댓값이 비교적 큰 정수로 근사하는 반올림은 x ↦ sgn ⁡ ( x ) ⌊ | x | + 0.5 ⌋ {\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|+0.5\rfloor } 이며, 반정수를 절댓값이 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 x ↦ sgn ⁡ ( x ) ⌈ | x | − 0.5 ⌉ {\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x)\lceil |x|-0.5\rceil } 이다. 또한, 최근 정수 함수(最近整數函數, 영어: nearest integer function)라고 불리는 다음과 같은 함수는 반정수를 짝수로 근사하는 반올림 함수이다. nint ⁡ ( x ) = ⌊ x ⌉ := ⌊ x − 0.5 ⌋ − ⌊ x − 0.5 2 ⌋ − ⌊ − x − 0.5 2 ⌋ = { ⌊ x + 0.5 ⌋ x ∉ 2 Z + 0.5 ⌊ x − 0.5 ⌋ x ∈ 2 Z + 0.5 {\displaystyle \operatorname {nint} (x)=\lfloor x\rceil :=\lfloor x-0.5\rfloor -\left\lfloor {\frac {x-0.5}{2}}\right\rfloor -\left\lfloor -{\frac {x-0.5}{2}}\right\rfloor ={\begin{cases}\lfloor x+0.5\rfloor &x\not \in 2\mathbb {Z} +0.5\\\lfloor x-0.5\rfloor &x\in 2\mathbb {Z} +0.5\end{cases}}} 두 정수 m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } ( n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} )의 나머지 있는 나눗셈의 결과를 바닥 함수를 통해 나타낼 수 있다. 즉, 몫은 ⌊ m n ⌋ {\displaystyle {\biggl \lfloor }{\frac {m}{n}}{\biggr \rfloor }} 이며, 나머지는 m − ⌊ m n ⌋ n {\displaystyle m-{\biggl \lfloor }{\frac {m}{n}}{\biggr \rfloor }n} 이다. b {\displaystyle b} 진법에서 정수 n {\displaystyle n} 의 자릿수는 ⌊ log b ⁡ | n | ⌋ + 1 = ⌈ log b ⁡ ( | n | + 1 ) ⌉ {\displaystyle \lfloor \log _{b}|n|\rfloor +1=\lceil \log _{b}(|n|+1)\rceil } 이다. 양의 정수 n {\displaystyle n} 및 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, p e ∣ n ! {\displaystyle p^{e}\mid n!} 인 최대 e {\displaystyle e} 는 ⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⋯ + ⌊ n p ⌊ log p ⁡ n ⌋ ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\cdots +{\biggl \lfloor }{\frac {n}{p^{\lfloor \log _{p}n\rfloor }}}{\biggr \rfloor }} 이다. 이를 르장드르 공식이라고 한다. 1808년에 카를 프리드리히 가우스는 이차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 기호 [ x ] {\displaystyle [x]} 를 사용하여 바닥 함수를 정의하였다. 이 기호는 1962년에 케네스 아이버슨이 《프로그래밍 언어》(A Programming Language)라는 책에서 바닥 함수와 천장 함수라는 용어를 정의하고 기호로 각각 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } 와 ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } 로 나타낼 때까지 표준 형태였다. 지금은 두 사람의 기호가 모두 쓰이고 있다. 수학 기호 Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, pp. 10, 23., ISBN 3-540-66957-4 Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley, p. 12. Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM, p. 25., ISBN 0-89871-420-6 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 바닥 함수와 천장 함수 “Floor function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Floor function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ceiling function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Definition:Floor function”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition:Ceiling function”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition:Fractional part”. 《ProofWiki》 (영어).