비라소로 대수

리 군론과 이론물리학에서 비라소로 대수(Virasoro代數, 영어: Virasoro algebra)는 원의 미분 동형 자기 동형군의 리 대수의 (유일하게 자명하지 않은) 중심 확대인 무한 차원 리 대수이다. 물리학에서, 2차원 등각 장론의 대칭으로 사용된다. 비라소로 대수 V i r {\displaystyle {\mathfrak {Vir}}} 는 L n {\displaystyle L_{n}} ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )과 c {\displaystyle c} 로 인하여 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다. [ c , L n ] = 0 {\displaystyle [{\mathsf {c}},{\mathsf {L}}_{n}]=0} [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c 12 ( m + 1 ) m ( m − 1 ) δ m + n {\displaystyle [{\mathsf {L}}_{m},{\mathsf {L}}_{n}]=(m-n){\mathsf {L}}_{m+n}+{\frac {\mathsf {c}}{12}}(m+1)m(m-1)\delta _{m+n}} 중심 원소 c {\displaystyle c} 가 0인 대수를 비트 대수(영어: Witt algebra) W i t t {\displaystyle {\mathfrak {Witt}}} 라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다. 이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열 0 → C c → V i r → W i t t → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {C} {\mathsf {c}}\to {\mathfrak {Vir}}\to {\mathfrak {Witt}}\to 0} 이 존재한다. 비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형(영어: antilinear) 사상이다.) i ↦ − i {\displaystyle \mathrm {i} \mapsto -\mathrm {i} } L n ↦ − L − n {\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}\mapsto -{\mathsf {L}}_{-n}} c ↦ − c {\displaystyle {\mathsf {c}}\mapsto -{\mathsf {c}}} 이는 L n {\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}} 을 원 위의 벡터장 L n = − i exp ⁡ ( − i n t ) d d t {\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}=-\mathrm {i} \exp(-\mathrm {i} nt){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}} :77, §5.2 으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점 L n − L − n {\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}-{\mathsf {L}}_{-n}} i ( L n + L − n ) {\displaystyle \mathrm {i} ({\mathsf {L}}_{n}+{\mathsf {L}}_{-n})} i c {\displaystyle \mathrm {i} {\mathsf {c}}} 을 생각하자. 이는 실수 리 대수 V i r R ⊊ V i r {\displaystyle {\mathfrak {Vir}}^{\mathbb {R} }\subsetneq {\mathfrak {Vir}}} 를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열 0 → i R c → V i r R → W i t t R → 0 {\displaystyle 0\to \mathrm {i} \mathbb {R} {\mathsf {c}}\to {\mathfrak {Vir}}^{\mathbb {R} }\to {\mathfrak {Witt}}^{\mathbb {R} }\to 0} 을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계 W i t t R ↪ V e c t ( S 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {Witt}}^{\mathbb {R} }\hookrightarrow {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})} 가 존재한다. 1차원 매끄러운 다양체인 원 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 V e c t ( S 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})} 를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. C [ z , z − 1 ] ↪ V e c t ( S 1 ) ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\hookrightarrow {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } R [ z + z − 1 , i ( z − z − 1 ) ] ↪ V e c t ( S 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\hookrightarrow {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})} z ↦ exp ⁡ ( i t ) d d t ( t ∈ R / ( 2 π Z ) ) {\displaystyle {\mathsf {z}}\mapsto \exp({\mathsf {i}}t)\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\qquad (t\in \mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} ))} 이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다. V e c t ( S 1 ) × V e c t ( S 1 ) → R {\displaystyle {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})\times {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})\to \mathbb {R} } ( f ( t ) d d t , g ( t ) d d t ) ↦ ∮ d f d t d 2 g d t 2 d t = − ∮ d f 2 d t 2 d g d t d t ( f , g ∈ C ∞ ( S 1 , R ) ) {\displaystyle \left(f(t){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}},g(t){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)\mapsto \oint {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} t^{2}}}\,\mathrm {d} t=-\oint {\frac {\mathrm {d} f^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\qquad (f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ))} 이를 겔판트-푹스 공사슬(영어: Gelfand–Fuchs cocycle)이라고 한다.:67, Definition/Proposition Ⅱ.2.1 이에 대한 중심 확장 0 → R c → V i r ^ → V e c t ( S 1 ) → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {R} {\mathsf {c}}\to {\widehat {\mathfrak {Vir}}}\to {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})\to 0} 을 생각할 수 있다. V i r ^ {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {Vir}}}} 역시 프레셰 공간이다. V i r ^ ⊗ C {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {Vir}}}\otimes \mathbb {C} } 속에서, C [ z , z − 1 ] {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]} 과 C c {\displaystyle \mathbb {C} {\mathsf {c}}} 로 생성되는 부분 리 대수를 비라소로 대수라고 한다. V i r ⊊ V i r ^ {\displaystyle {\mathfrak {Vir}}\subsetneq {\widehat {\mathfrak {Vir}}}} 1차원 매끄러운 다양체인 원 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 을 생각하자. 그 (매끄러운) 자기 미분 동형 사상들의 군 Diff ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (\mathbb {S} ^{1})} 을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이룬다. 이는 두 개의 연결 성분을 가지는데, 만약 원에 임의의 방향을 부여하여 유향 다양체로 만든다면, 한 연결 성분은 방향을 보존하지만, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 물론, 항등 함수는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 Diff + ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})} 이라고 하자. 이 경우, 그 실수 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 실수 프레셰 공간이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 V e c t ( S 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})} 이다. 프레셰 리 군 Diff + ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})} 은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.:84, §5.4:§6.8 우선, 르베그 복소수 힐베르트 공간 H = L 2 ⁡ ( S 1 ; C ) ≅ L 2 ⁡ ( Z ; C ) {\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\cong \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {Z} ;\mathbb {C} )} 을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 생각할 수 있다. H + = L 2 ⁡ ( N ; C ) ⊊ L 2 ⁡ ( Z ; C ) {\displaystyle H^{+}=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )\subsetneq \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {Z} ;\mathbb {C} )} H − = L 2 ⁡ ( Z ∖ N ; C ) ⊊ L 2 ⁡ ( Z ; C ) {\displaystyle H^{-}=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} ;\mathbb {C} )\subsetneq \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {Z} ;\mathbb {C} )} H = H + + H − ≅ H + ⊕ H − − {\displaystyle H=H^{+}+H^{-}\cong H^{+}\oplus H^{-}-} (여기서 N = { 0 , 1 , 2 , … , } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dotsc ,\}} 은 자연수의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 파동 함수와 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간들이다. 이제, Diff ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (\mathbb {S} ^{1})} 은 H {\displaystyle H} 위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다. ρ : Diff ⁡ ( S 1 ) → U ⁡ ( H ) {\displaystyle \rho \colon \operatorname {Diff} (\mathbb {S} ^{1})\to \operatorname {U} (H)} | f ′ ( θ ) | 1 / 2 ⟨ f ( θ ) | ( ρ f ) | ψ ⟩ = ⟨ θ | ψ ⟩ ( θ ∈ R / ( 2 π Z ) , ψ ∈ C 1 ( S 1 , C ) ⊊ H ) {\displaystyle |f'(\theta )|^{1/2}\langle f(\theta )|(\rho f)|\psi \rangle =\langle \theta |\psi \rangle \qquad (\theta \in \mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} ),\;\psi \in {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {C} )\subsetneq H)} 그렇다면, 이제 다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의할 수 있다.:53, Definition 3.16:§6.2 U r e s ⁡ ( H + , H − ) = { ( T + + T + − T − + T − − ) ∈ U ⁡ ( H + ⊕ H − ) : T + − ∈ S 2 ( H − , H + ) , T − + ∈ S 2 ( H + , H − ) } {\displaystyle \operatorname {U_{res}} (H^{+},H^{-})=\left\{{\begin{pmatrix}T_{++}&T_{+-}\\T_{-+}&T_{--}\end{pmatrix}}\in \operatorname {U} (H^{+}\oplus H^{-})\colon T_{+-}\in {\mathfrak {S}}_{2}(H^{-},H^{+}),\;T_{-+}\in {\mathfrak {S}}_{2}(H^{+},H^{-})\right\}} 여기서 S 2 ( H + , H − ) {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}(H^{+},H^{-})} 는 H + → H − {\displaystyle H^{+}\to H^{-}} 힐베르트-슈미트 작용소들의 공간이다. 이제, H {\displaystyle H} 를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, H = H + ⊕ H − {\displaystyle H=H^{+}\oplus H^{-}} 를 그 심플렉틱 구조로 삼자. 그렇다면, 기하학적 양자화에 따라, 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다. H = ( ⋀ H + + ⊗ ⋀ H ¯ − ) ^ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\left(\bigwedge H^{+}+\otimes \bigwedge {\bar {H}}^{-}\right)^{\hat {}}} 여기서 ( − ) ^ {\displaystyle (-)^{\hat {}}} 은 내적 공간을 힐베르트 공간으로 만드는 완비화이다. H ¯ − {\displaystyle {\bar {H}}^{-}} 는 H − {\displaystyle H^{-}} 의 복소켤레 a v ¯ = a ¯ v ¯ ( v ∈ H − ) {\displaystyle a{\bar {v}}={\overline {{\bar {a}}v}}\qquad (v\in H^{-})} 이다. ⋀ {\displaystyle \textstyle \bigwedge } 는 외대수이다. 기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현 Φ : H → B ⁡ ( H ) {\displaystyle \Phi \colon H\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}})} 가 존재한다. ( B ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}})} 는 H → H {\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 유계 작용소의 공간이다.) 이에 따라서, H {\displaystyle H} 위의 유니터리 작용소 U ∈ U ⁡ ( H ) {\displaystyle U\in \operatorname {U} (H)} 가 다음과 같이 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위에 U ~ ∈ U ⁡ ( H ) {\displaystyle {\tilde {U}}\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})} 로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다. U ~ Φ ( v ) = Φ ( U v ) U ~ ∀ f ∈ H {\displaystyle {\tilde {U}}\Phi (v)=\Phi (Uv){\tilde {U}}\qquad \forall f\in H} 이 경우, 위 조건을 만족시키는 U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}} 가 존재할 필요 충분 조건은 U ∈ U r e s ⁡ ( H + , H − ) {\displaystyle U\in \operatorname {U_{res}} (H^{+},H^{-})} 인 것이다. 이러한 U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}} 는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간 U ~ r e s ⁡ ( H + , H − ) = { U ~ ∈ U ⁡ ( H ) : ∃ U ∈ U ⁡ ( H ) ∀ f ∈ H : U ~ Φ ( v ) = Φ ( U v ) U ~ } {\displaystyle \operatorname {{\tilde {U}}_{res}} (H^{+},H^{-})=\{{\tilde {U}}\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})\colon \exists U\in \operatorname {U} (H)\forall f\in H\colon {\tilde {U}}\Phi (v)=\Phi (Uv){\tilde {U}}\}} 을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열 1 → U ⁡ ( 1 ) → U ~ r e s ⁡ ( H + , H − ) → U ⁡ ( H + , H − ) → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to \operatorname {{\tilde {U}}_{res}} (H^{+},H^{-})\to \operatorname {U} (H^{+},H^{-})\to 1} 을 이룬다. 이제, 단사 군 준동형 Diff + ⁡ ( S 1 ) ↪ U r e s ⁡ ( H + , H − ) {\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})\hookrightarrow \operatorname {U_{res}} (H^{+},H^{-})} 을 통해 U ~ r e s ⁡ ( H + , H − ) {\displaystyle \operatorname {{\tilde {U}}_{res}} (H^{+},H^{-})} 속에 부분군 D i f f ~ ⁡ ( S 1 ) ⊊ U ~ r e s ⁡ ( H + , H − ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {Diff}} (\mathbb {S} ^{1})\subsetneq \operatorname {{\tilde {U}}_{res}} (H^{+},H^{-})} 을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열 1 → U ⁡ ( 1 ) → D i f f ~ + ⁡ ( S 1 ) → Diff + ⁡ ( S 1 ) → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to \operatorname {\widetilde {Diff}} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})\to \operatorname {Diff} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})\to 1} 을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다. 이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다. 0 → R c → V i r ^ → V e c t ( S 1 ) → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {R} {\mathsf {c}}\to {\widehat {\mathfrak {Vir}}}\to {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})\to 0} 이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다. 특히, 복소수 리 대수 V i r ^ ⊗ C {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {Vir}}}\otimes \mathbb {C} } 속에 다음과 같은 부분 집합 { c } ∪ { exp ⁡ ( i n t ) d d t : n ∈ Z } {\displaystyle \{{\mathsf {c}}\}\cup \left\{\exp(\mathrm {i} nt){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\colon n\in \mathbb {Z} \right\}} 으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수 V i r ⊊ V i r ^ ⊗ C {\displaystyle {\mathfrak {Vir}}\subsetneq {\widehat {\mathfrak {Vir}}}\otimes \mathbb {C} } 를 비라소로 대수라고 한다. V i r ^ ⊗ C {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {Vir}}}\otimes \mathbb {C} } 는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, D i f f ~ + ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {\widetilde {Diff}} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})} 는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다. 비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 위의 표현 ρ : V i r → B ⁡ ( H ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {Vir}}\to \operatorname {B} (H)} 가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 유니터리 표현이라고 한다. ρ ( L n ) † = ρ ( L − n ) {\displaystyle \rho ({\mathsf {L}}_{n})^{\dagger }=\rho ({\mathsf {L}}_{-n})} 비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다. 비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수 Span C ⁡ { L 0 , c } ⊊ V i r {\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{{\mathsf {L}}_{0},{\mathsf {c}}\}\subsetneq {\mathfrak {Vir}}} 를 생각하자. 각 기약 표현 ρ {\displaystyle \rho } 에서 ρ ( c ) ∈ [ 0 , ∞ ) id H {\displaystyle \rho ({\mathsf {c}})\in [0,\infty )\operatorname {id} _{H}} ρ ( L 0 ) ∈ [ 0 , ∞ ) id H {\displaystyle \rho ({\mathsf {L}}_{0})\in [0,\infty )\operatorname {id} _{H}} 이게 되며, 반대로 주어진 두 실수 ( c , h ) = ( ρ ( c ) , ρ ( L 0 ) ) {\displaystyle (c,h)=(\rho ({\mathsf {c}}),\rho ({\mathsf {L}}_{0}))} 에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 ( c , h ) {\displaystyle (c,h)} 에 대응되는 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다. 비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다. c ≥ 1 {\displaystyle c\geq 1} 인 경우, 모든 h ≥ 0 {\displaystyle h\geq 0} 에 대한 표현 ( c , h ) {\displaystyle (c,h)} 가 존재한다. 0 ≤ c < 1 {\displaystyle 0\leq c<1} 인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다. c = 1 − 6 m ( m + 1 ) {\displaystyle c=1-{\frac {6}{m(m+1)}}} h = h ( c ; p , q ) = ( ( m + 1 ) p − m q ) 2 − 1 4 m ( m + 1 ) {\displaystyle h=h(c;p,q)={\frac {((m+1)p-mq)^{2}-1}{4m(m+1)}}} m = 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle m=2,3,4,\dots } p = 1 , 2 , … , m − 1 {\displaystyle p=1,2,\dots ,m-1} q = 1 , 2 , … , p {\displaystyle q=1,2,\dots ,p} 0 ≤ c < 1 {\displaystyle 0\leq c<1} 의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 최소 모형의 구성에 등장한다. 함수 h ( c ; p , q ) {\displaystyle h(c;p,q)} 는 다음과 같은 대칭을 가진다. h ( c ; p , q ) = h ( c ; m − p , m + 1 − q ) {\displaystyle h(c;p,q)=h(c;m-p,m+1-q)} 특히, p = q = 1 {\displaystyle p=q=1} 인 경우 h = 0 {\displaystyle h=0} 이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류(영어: current)에 해당한다. (2차원 등각 장론은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 h {\displaystyle h} 가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) m − 1 = p = q = 1 {\displaystyle m-1=p=q=1} 인 경우는 ( c , h ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (c,h)=(0,0)} 이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다. 비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 ( c , h ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (c,h)=(0,0)} 을 제외하면 무한 차원 표현이다. ( ( c , h ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (c,h)=(0,0)} 인 자명한 표현은 물론 1차원이다.) 비라소로 대수의 실수 형태 V i r R {\displaystyle {\mathfrak {Vir}}^{\mathbb {R} }} 의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.:82–84, §5.4 비트 대수의 지수 사상 exp : V e c t ( S 1 ) → Diff ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {Vect}}(\mathbb {S} ^{1})\to \operatorname {Diff} (\mathbb {S} ^{1})} 을 생각하자. 이는 존재하지만, 프레셰 다양체 Diff ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (\mathbb {S} ^{1})} 에서 항등 함수의 임의의 근방에서, exp {\displaystyle \exp } 의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.:14, Proposition 1.23:28, Proposition 3.3.1 엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다. 비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록(영어: Richard Earl Block)과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(러시아어: Дми́трий Бори́сович Фукс) (1968)가 발견하였다. 아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로(스페인어: Miguel Ángel Virasoro)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 (영어: J. H. Weis)가 도입하였다. 등각 장론 2차원 𝒩=1 초등각 장론 W-대수 Schottenloher, Martin (2008). 《A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg》 (영어). Lecture Notes in Physics 759, Lecture Notes in Physics Monographs 43 2판. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-68628-6. ISBN 978-3-540-68625-5. MR 2492295. Zbl 1161.17014.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Khesin, Boris; Wendt, Robert (2009). 《The geometry of infinite-dimensional groups》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) 51. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-77263-7. ISBN 978-3-540-77262-0.  Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). 《Loop groups》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press.  Goddard, P.; Kent, A.; Olive, D. (1986). “Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 103 (1): 105–119. doi:10.1007/BF01464283. ISSN 0010-3616. MR 0826859. 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