이차 방정식

이차방정식(二次方程式, 영어: quadratic equation)은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다. ' x {\displaystyle x} 에 대한 이차식=0' 꼴로 나타내는 방정식을 x {\displaystyle x} 에 대한 이차방정식이라고 한다. x {\displaystyle x} 에 관한 이차 방정식의 일반적인 형태는 a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0} 와 같고, 여기서 x {\displaystyle x} 는 변수, a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 는 각각 x 2 , x {\displaystyle x^{2},x} 의 계수라고 하며, c {\displaystyle c} 는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서 a x 2 {\displaystyle ax^{2}} 에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다. 복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다. 다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다. a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , 단, a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 는 실수이고 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 일 때, 이 방정식의 두 해 x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} 는 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} 이다. 이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다. x 1 , 2 = 2 c − b ± b 2 − 4 a c   {\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}} , 단 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} 일 경우에만 성립한다. 여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 D {\displaystyle D} 로 나타낸다. 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다. 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다. 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다. 따라서, 제곱근 기호 {\displaystyle {\sqrt {\;\;}}} 안의 수, 즉 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} 는 이 이차방정식의 판별식이 된다. 제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 ± {\displaystyle \pm {\sqrt {\;\;}}} 가 살아있는 2 {\displaystyle 2} 개의 값이 되고, 루트의 내부가 0 {\displaystyle 0} 이면 루트는 없어짐으로 1 {\displaystyle 1} 개의 중복된 실수근을 갖게되고, 루트 내부에 음수가 존재하면 허수 − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1\;}}} 의 i {\displaystyle i} 가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다. 또한, 루트의 내부가 0 {\displaystyle 0} 이면 루트는 없어짐으로 1 {\displaystyle 1} 개의 중복된 실수근을 갖게 될때는, − b ± b 2 − 4 a c 2 a = − b ± 0 2 a = − b 2 a {\displaystyle {{{-b}{\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}} \over {2a}}={{{-b}{\cancel {\pm {\sqrt {0}}}}} \over {2a}}=-{{b} \over {2a}}} 따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고, 따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은 − b 2 a {\displaystyle -{{b} \over {2a}}} 가 된다. 이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다. 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 에서, a {\displaystyle a} 는 0 {\displaystyle 0} 이 아니므로 양변을 a {\displaystyle a} 로 나눌 수 있다. 이렇게 이차항 x 2 {\displaystyle x^{2}} 의 계수를 1 {\displaystyle 1} 로 만든다. x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0} 가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면 x 2 + b a x = − c a {\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}} 일차항 x {\displaystyle x} 의 계수를 2 {\displaystyle 2} 로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다. x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 = − c a + ( b 2 a ) 2 {\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}} ( x + b 2 a ) 2 = − c a + b 2 4 a 2 = − 4 a 2 c + a b 2 4 a 3 = − 4 a c + b 2 4 a 2 {\displaystyle \left(\textstyle x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={-{4a^{2}c}+{ab^{2}} \over {4a^{3}}}={-{4ac}+{b^{2}} \over {4a^{2}}}} 제곱근을 취하면   x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle \ x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}} x = − b 2 a ± b 2 − 4 a c   2 a = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} (단, a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ) 가 얻어진다. 이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식 D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} 가 0 {\displaystyle 0} 일때, 즉 b 2 − 4 a c = 0 {\displaystyle b^{2}-4ac=0} 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다. D = ( b a ) 2 − 4 ( b 2 a ) 2 = 0 {\displaystyle D=\left({b \over a}\right)^{2}-4\left({b \over 2a}\right)^{2}=0} 이차 방정식에서 일차항의 계수 b {\displaystyle b} 가 짝수인 경우 b ′ = b 2 {\displaystyle \scriptstyle b'={\frac {b}{2}}} 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다. x = − b ′ ± b ′ 2 − a c   a {\displaystyle x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac\ }}}{a}}} 이차 방정식 x 2 + x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0} 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자. 근의 공식 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면 x 1 , 2 = − 1 ± 1 2 + 4   2 {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}+4\ }}}{2}}} x 1 , 2 = − 1 ± 5   2 {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {5\ }}}{2}}} 이다. 다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( n {\displaystyle n} 차항)의 x {\displaystyle x} 의 계수, a {\displaystyle a} 로 나눈 다음 x = y − b n a {\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}} 의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때, 이차 방정식 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 은 다음의 꼴로 정리되고, x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0} 그리고 y 2 + p = 0 {\displaystyle y^{2}+p=0} 의 꼴로 정리해서, x = y − b n a {\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}} 로 다시 정리하면 되겠다. 따라서, x 2 + b a x + c a = 0 , x = y − b 2 a {\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x=y-{b \over \mathbf {2} a}} ( y − b 2 a ) 2 + b a ( y − b 2 a ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0} 우선, ( y − b 2 a ) 2 = ( y − b 2 a ) ( y − b 2 a ) = ( y 2 − b 2 a y − b 2 a y + ( b 2 a ) 2 ) {\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}=\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)=\left(y^{2}-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)} = ( y 2 − 2 b 2 a y + ( b 2 a ) 2 ) = ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) {\displaystyle =\left(y^{2}-2{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)=\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)} 따라서, ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) + b a ( y − b 2 a ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0} ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) + ( b a y − b a b 2 a ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b \over a}{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0} ( y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 ) + ( b a y − b 2 2 a 2 ) + c a = 0 {\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}\right)+{c \over a}=0} y 2 − b a y + ( b 2 a ) 2 + b a y − b 2 2 a 2 + c a = 0 {\displaystyle y^{2}{\cancel {-{b \over a}y}}+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}{\cancel {+{b \over a}y}}-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}+{c \over a}=0} y 2 + ( 1 4 ( b a ) 2 − 1 2 ( b a ) 2 ) + c a = 0 {\displaystyle y^{2}+\left({1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}-{1 \over 2}\left({b \over a}\right)^{2}\right)+{c \over a}=0} y 2 − 1 4 ( b a ) 2 + c a = 0 {\displaystyle y^{2}-{1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}+{c \over a}=0} y 2 − ( b 2 4 a 2 ) + c a = 0 {\displaystyle y^{2}-\left({b^{2} \over 4a^{2}}\right)+{c \over a}=0} y 2 = b 2 4 a 2 − c a {\displaystyle y^{2}={b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}} y 2 = a b 2 − 4 a 2 c 4 a 3 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle y^{2}={{ab^{2}-4a^{2}c} \over 4a^{3}}={{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}} y 2 = ± b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle {\sqrt {y^{2}}}=\pm {\sqrt {{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}}} y = ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle y={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}} x = y − b n a {\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}} 에서, x = ± b 2 − 4 a c 2 a − b 2 a {\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}-{b \over 2a}} x = ± b 2 − 4 a c − b 2 a {\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b \over 2a}} x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}} 여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. 여기서는 완전제곱식은 y 2 {\displaystyle y^{2}} 이다. 이러한 b n a {\displaystyle {b \over \mathbf {n} a}} 값은 이차함수의 꼭지점인 축의 값과 관계있다. a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 의 두 근 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 를 각각 α = − b + b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle \alpha ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} β = − b − b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle \beta ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} 이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관) α + β = − b − b + b 2 − 4 a c   − b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {-b-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} α + β = − 2 b 2 a {\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {-2b}{2a}}} ∴ α + β = − b a {\displaystyle \therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}} α β = b 2 − ( b 2 − 4 a c   ) 2 ( 2 a ) 2 {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {b^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac\ }})^{2}}{(2a)^{2}}}} α β = b 2 − b 2 + 4 a c 4 a 2 {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}} α β = 4 a c 4 a 2 {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {4ac}{4a^{2}}}} ∴ α β = c a {\displaystyle \therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}} | α − β | = | − b + b 2 − 4 a c   + b + b 2 − 4 a c   2 a | {\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}+b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|} | α − β | = | 2 b 2 − 4 a c   2 a | {\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {2{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|} ∴ | α − β | = b 2 − 4 a c   | a | {\displaystyle \therefore \left|\alpha -\beta \right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{\left|a\right|}}} 단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.) a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 의 두근 을 각 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 라고 정의하고 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 을 근으로 갖는 이차방정식을 ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )=0} 이라 한 후 이 이차방정식 앞에 계수 a {\displaystyle a} (단, a {\displaystyle a} 는 0 {\displaystyle 0} 이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로) a x 2 + b x + c = 0 ⟺ a ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\iff a(x-\alpha )(x-\beta )=0} (∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로) 먼저 두 번째 이차방정식인 a ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\displaystyle a(x-\alpha )(x-\beta )=0} 의 계수를 나누고 전개해주면 x 2 + ( − α − β ) x + α β {\displaystyle x^{2}+(-\alpha -\beta )x+\alpha \beta } - ⓐ 또한, 첫 번째 이차방정식인 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로 최고차항 a x 2 {\displaystyle ax^{2}} 의 계수 a {\displaystyle a} 로 나눠주면 x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0} - ⓑ ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서 − α − β = b a , − ( α + β ) = b a {\displaystyle -\alpha -\beta ={\frac {b}{a}},-(\alpha +\beta )={\frac {b}{a}}} ∴ α + β = − b a {\displaystyle \therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}} ∴ α β = c a {\displaystyle \therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}} 참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다. 일차 방정식 삼차 방정식 사차 방정식 오차 방정식 육차 방정식 칠차 방정식 방정식 비에트 정리 일차 함수 이차 함수 황금비 물론, 이차방정식이므로 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 도 만족해야 한다. 위키미디어 공용에 이차 방정식 관련 미디어 분류가 있습니다.