파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼의 이름을 따 명명되었지만, 그가 처음 발견한 것은 아니고 수세기 전에 인도, 페르시아, 중국, 독일, 이탈리아 등에서 이미 연구된 바가 있다. 간단히 말하자면, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다. 첫 번째 줄에는 1을 쓴다. 그 다음 줄을 만들 때 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다(오른쪽 그림 참고). 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다. 파스칼의 법칙을 이용해 이 규칙을 아래와 같이 수학적으로 표현할 수 있다. n 번째 줄의 k 번째 값을 a n k {\displaystyle a_{nk}} 라고 할 때, a n 1 = 1 {\displaystyle a_{n1}=1} a n n = 1 {\displaystyle a_{nn}=1} a n k = a n − 1 k − 1 + a n − 1 k {\displaystyle a_{nk}=a_{{n-1}{k-1}}+a_{{n-1}{k}}} ( n , k >= 0 ) {\displaystyle (n,k>=0)} 으로 정의된다. 이때, ( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}} 가장자리의 수는 없는 부분이 '0' 이라고 생각해서 1을 더하고 나온 값인 1을 그대로 내려온다.               1 {\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ 1}   1                     1 {\displaystyle \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1} 파스칼의 삼각형의 3열의 모든 숫자는 자신의 상위 열의 2개 숫자를 더해서 만든다. 가장자리의 수는 계속해서 0과 1을 더한다고 생각하고 1을 그대로 내린다.                   1 {\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1}           1             1 {\displaystyle \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 1}   1             2             1 {\displaystyle \ 1\ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ 1} 파스칼 삼각형의 6열. 네 번째 줄의 1과 3을 더해 다섯 번째 줄의 4를 만든다. 네 번째 줄의 3과 3을 더해 다섯 번째 줄의 6을 만든다. 1 -> n=0 일때 1 1 -> n=1 일때 1 2 1 -> n=2 일때 1 3 3 1 . 1 4 6 4 1 . 1 5 10 10 5 1 . 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 파스칼의 삼각형은 이항정리에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어서 ( x + 1 ) 2 = 1 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 1 {\displaystyle (x+1)^{2}=1\cdot x^{2}+2\cdot x+1} 라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다. 일반적으로, ( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n − 1 y 1 + a 2 x n − 2 y 2 + ⋯ + a n − 2 x 2 y n − 2 + a n − 1 x 1 y n − 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-2}x^{2}y^{n-2}+a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} 와 같은 전개식에서, a i = ( n + 1 k ) {\displaystyle a_{i}={n+1 \choose k}} 가 성립한다. 즉, a i {\displaystyle a_{i}} 는 파스칼의 삼각형의 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 번째 행(row)의 ( k ) {\displaystyle (k)} 번째 열(column) 값과 순차적으로 대응된다. def pTriangle(n): p = [] for row in range(n): tmp = [1] * (row + 1) for col in range(1, row): tmp[col] = p[row-1][col-1] + p[row-1][col] p.append(tmp) return p //파스칼 삼각형 소스코드 var height:Int = 0 def pTriangle(given:Array[Int], stop:Int):Unit = { println(given.deep.toString) height = height + 1 if (height < stop) { val next = Array.ofDim[Int](given.length + 1) for (i <- 0 until next.length) { if (i == 0 || i == next.length-1) next(i) = 1 else next(i) = given(i-1) + given(i) } pTriangle(next, stop) } else { height = 0 } } C# public class PascalsTriangle { static void PascalTriangle(int n) { for (int line = 1; line <= n; line++) { int c = 1; for (int i = 1; i <= line; i++) { Console.WriteLine(c); c = c * (line - i) / i; } Console.WriteLine("\n"); } } public static int Main(int input) { PascalTriangle(input); return input; } } 파스칼의 삼각형은 더 높은 차원으로 확장하여 일반화할 수 있다. 3차원 형태는 파스칼의 피라미드 또는 파스칼의 4면체로 부른다. 더 높은 차원의 유사체를 일반적으로 총칭하여 "파스칼의 단체"라고 말한다. Maurice Winternitz, History of Indian Literature, Vol. III Coolidge, J. L. (1949), “The story of the binomial theorem”, 《The American Mathematical Monthly》 56 (3): 147–157, doi:10.2307/2305028, JSTOR 2305028, MR 0028222 . Peter Fox (1998). 《Cambridge University Library: the great collections》. Cambridge University Press. 13쪽. ISBN 978-0-521-62647-7.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 파스칼의 삼각형 피라미드 사면체 단체(單體) 곱셈 공식