페리 수열

수론에서 페리 수열(영어: Farey sequence)은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다. F n {\displaystyle F_{n}} : 0 ≤ h ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq h\leq k\leq n} 이고 gcd ( h , k ) = 1 {\displaystyle \gcd(h,k)=1} 을 만족하는 h k {\displaystyle {\frac {h}{k}}} 를 오름차순으로 나열한 수열 한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다. n번째 페리 수열 F n {\displaystyle F_{n}} 의 정의에 따라 F n {\displaystyle F_{n}} 의 길이와 F n + 1 {\displaystyle F_{n+1}} 의 길이의 차이는, n+1보다 작으면서 동시에 n+1과 서로소인 자연수의 개수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 점화식은 오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다. | F n + 1 | = | F n | + φ ( n + 1 ) {\displaystyle |F_{n+1}|=|F_{n}|+\varphi (n+1)} 즉, | F n | {\displaystyle |F_{n}|} 은 계차가 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 인 계차수열이고 | F 1 | = 2 {\displaystyle |F_{1}|=2} 이기 때문에, 시그마 기호를 사용하여 | F n | {\displaystyle |F_{n}|} 의 일반항을 나타내면 | F n | = 1 + ∑ m = 1 n φ ( m ) {\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)} 페리 수열 F n {\displaystyle F_{n}} 의 연속된 두 항을 각각 순서대로 h 1 / k 1 , h 2 / k 2 {\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}} 라고 하면, k 1 h 2 − k 2 h 1 = 1 {\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1} 따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다. h 2 k 2 − h 1 k 1 = k 1 h 2 − k 2 h 1 k 1 k 2 = 1 k 1 k 2 {\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}-{\frac {h_{1}}{k_{1}}}={\frac {k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}}{k_{1}k_{2}}}={\frac {1}{k_{1}k_{2}}}} 연속된 세 항을 차례대로 h 1 / k 1 , h 2 / k 2 , h 3 / k 3 {\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}} 라고 할 경우, h 2 k 2 = h 1 + h 3 k 1 + k 3 {\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}} 이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다. h 1 / k 1 , h 2 / k 2 , h 3 / k 3 {\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}} 가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 h 1 / k 1 , h 2 / k 2 {\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}} 와 h 2 / k 2 , h 3 / k 3 {\displaystyle h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}} 는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로 k 1 h 2 − k 2 h 1 = 1 {\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1} ... (1) k 2 h 3 − k 3 h 2 = 1 {\displaystyle k_{2}h_{3}-k_{3}h_{2}=1} ... (2) (1) × h 3 {\displaystyle \times h_{3}} + {\displaystyle +} (2) × h 1 {\displaystyle \times h_{1}} 와 (1) × k 3 {\displaystyle \times k_{3}} + {\displaystyle +} (2) × k 1 {\displaystyle \times k_{1}} 를 각각 계산하여 정리하면 h 1 + h 3 = h 2 ( k 1 h 3 − h 1 k 3 ) {\displaystyle h_{1}+h_{3}=h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})} k 1 + k 3 = k 2 ( k 1 h 3 − h 1 k 3 ) {\displaystyle k_{1}+k_{3}=k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})} 따라서, h 1 + h 3 k 1 + k 3 = h 2 ( k 1 h 3 − h 1 k 3 ) k 2 ( k 1 h 3 − h 1 k 3 ) = h 2 k 2 {\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}={\frac {h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}{k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}}={\frac {h_{2}}{k_{2}}}} 물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다. 한편, 페리 수열의 인접한 두 항 h 1 / k 1 , h 2 / k 2 {\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}} 의 중앙값 h 1 + h 2 k 1 + k 2 {\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{2}}{k_{1}+k_{2}}}} 의 분모 k 1 + k 2 {\displaystyle k_{1}+k_{2}} 는 항상 n {\displaystyle n} 보다 크다. k 1 + k 2 > n {\displaystyle k_{1}+k_{2}>n} 또한 인접한 두 항의 중앙값은 k 1 + k 2 {\displaystyle k_{1}+k_{2}} 번 째 페리 수열 F k 1 + k 2 {\displaystyle F_{k_{1}+k_{2}}} 에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간 ( h 1 k 1 , h 2 k 2 ) {\displaystyle \left({\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}\right)} 사이에 존재하게 된다. n=1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다. F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1} 1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로(영어: Charles Haros)가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세(영어: John Farey, Sr.)가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다. Hardy, G. H.; E. M. Wright (2008). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 6판. Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) 하디-리틀우드 원 방법