상수 함수

수학에서 상수 함수(常數函數, 영어: constant function)는 정의역의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 f ( x ) = 3 {\displaystyle f(x)=3} 은 x {\displaystyle x} 의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다. 정의역 X {\displaystyle X} 와 공역 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f {\displaystyle f} 를 상수 함수라고 한다. 임의의 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여 f ( x ) = f ( x ′ ) {\displaystyle f(x)=f(x')} 이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} 가 되는 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 가 존재하며, y {\displaystyle y} 는 x {\displaystyle x} 에 의존하지 않는다. X {\displaystyle X} 가 공집합이거나, 또는 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} 가 되는, x {\displaystyle x} 에 의존하지 않는 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 가 유일하게 존재한다. X {\displaystyle X} 에 비이산 위상을 부여하고, Y {\displaystyle Y} 에 이산 위상을 부여하였을 때, f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 정의역 X {\displaystyle X} 와 공역 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하고, 정의역 X {\displaystyle X} 에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f {\displaystyle f} 를 국소 상수 함수(局所常數函數, 영어: locally constant function)라고 한다. 만약 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f | U {\displaystyle f|_{U}} 가 상수 함수가 되는 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 가 존재한다. Y {\displaystyle Y} 에 이산 위상을 부여하였을 때, f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 상수 함수의 개념을 집합의 범주에서 임의의 범주로 일반화할 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면 상수 사상(영어: constant morphism)이라고 한다. 임의의 대상 W ∈ C {\displaystyle W\in {\mathcal {C}}} 및 사상 g , h : W → X {\displaystyle g,h\colon W\to X} 에 대하여, f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h} . 즉, 다음 그림이 가환한다. W → h X g ↓ ↓ f X → f Y {\displaystyle {\begin{matrix}W&\xrightarrow {h} &X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}} 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면 쌍대 상수 사상(영어: coconstant morphism)이라고 한다. 임의의 대상 W ∈ C {\displaystyle W\in {\mathcal {C}}} 및 사상 g , h : X → W {\displaystyle g,h\colon X\to W} 에 대하여, g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f} . 즉, 다음 그림이 가환한다. W ← h X g ↑ ↑ f X ← f Y {\displaystyle {\begin{matrix}W&{\xleftarrow {h}}&X\\{\scriptstyle g}\uparrow &&\uparrow \scriptstyle f\\X&{\xleftarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}} 상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 영 사상(영어: zero morphism)이라고 한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 0 X Y : X → Y {\displaystyle 0_{XY}\colon X\to Y} 가 존재한다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 영 사상을 갖는 범주(영어: category with zero morphisms)라고 한다. 임의의 대상 X , Y , Z ∈ C {\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}} 및 사상 X → f Y → g Z {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z} 에 대하여, X → 0 X Y Y g ↓ ↘ 0 X Z ↓ f Y → 0 Y Z Z {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {0_{XY}}}&Y\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle 0_{XZ}&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\xrightarrow[{0_{YZ}}]{}}&Z\end{matrix}}} 이 경우, 0 X Y {\displaystyle 0_{XY}} 들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 0 X Y {\displaystyle 0_{XY}} 들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 점을 가진 집합의 (분쇄곱을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다. 두 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 사이의 매끄러운 함수 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } 는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 의 도함수 D f {\displaystyle Df} 는 어디서나 0이다. f {\displaystyle f} 는 상수 함수이다. 상수 함수는 (정의역에 주어진 위상에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 상수 함수이다. X {\displaystyle X} 에 비이산 위상을 부여하였을 때, X {\displaystyle X} 는 국소 상수 함수이다. X {\displaystyle X} 에 임의의 위상을 부여하였을 때, X {\displaystyle X} 는 국소 상수 함수이다. 즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 국소 상수 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 모든 연결 성분 X 0 {\displaystyle X_{0}} 에 대하여, f | X 0 {\displaystyle f|_{X_{0}}} 는 상수 함수이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 국소 연결 공간이라면 연결 성분이 열린집합을 이루며, 따라서 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 국소 상수 함수이다. X {\displaystyle X} 의 임의의 연결 성분 X 0 ⊂ X {\displaystyle X_{0}\subset X} 에 대하여, f | X 0 {\displaystyle f|_{X_{0}}} 는 상수 함수이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위에, 실수 값의 상수 함수들의 준층을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층이다. 끝 대상 1 {\displaystyle 1} 을 갖는 범주에서, 상수 사상은 X → 1 → Y {\displaystyle X\to 1\to Y} 의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 0 {\displaystyle 0} 을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 X → 0 → Y {\displaystyle X\to 0\to Y} 의 꼴의 사상들이다. 영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상 X → 0 → Y {\displaystyle X\to 0\to Y} 이다. 정의역이 이산 공간인 모든 함수는 국소 상수 함수이다. 공역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합을 정의역으로 하는 함수이다. 군의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 상이 항등원 1인 상수 함수이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군들의 범주 R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} 는 영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} 에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다. 상수층 Weisstein, Eric Wolfgang. “Constant function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Constant map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Zero map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Constant map”. 《nLab》 (영어).  “Locally constant function”. 《nLab》 (영어).  “Zero function”. 《nLab》 (영어).  “Constant morphism”. 《nLab》 (영어).  “Constant functor”. 《nLab》 (영어).