작용소 K이론

수학에서, 작용소 K이론(作用素K異論, 영어: operator K-theory)는 C* 대수에 대응되는 K이론이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 C* 대수의 경우 겔판트 표현 정리에 의하여 이는 위상 K이론과 일치한다. (항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 가 만약 a 2 = a ∗ = a {\displaystyle a^{2}=a^{*}=a} 를 만족시킨다면, a {\displaystyle a} 를 사영원(영어: projection element)이라고 한다. 사영원의 집합을 P ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {P} (A)} 로 표기하자. 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 만약 a ∗ a ∈ P ⁡ ( A ) {\displaystyle a^{*}a\in \operatorname {P} (A)} 라면, a {\displaystyle a} 를 부분 등거리원(영어: partial isometry)이라고 한다. 만약 a {\displaystyle a} 가 부분 등거리원이라면, a ∗ {\displaystyle a^{*}} 역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을 PI ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {PI} (A)} 로 표기하자. P ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {P} (A)} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. a ∼ b ⟺ ∃ c ∈ PI ⁡ ( A ) : a = c ∗ c , b = c c ∗ {\displaystyle a\sim b\iff \exists c\in \operatorname {PI} (A)\colon a=c^{*}c,\;b=cc^{*}} (항등원을 갖는) C* 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 성분의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬들의 C* 대수 Mat ⁡ ( n ; A ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)} 를 정의할 수 있다. n × n {\displaystyle n\times n} 행렬에 모든 성분이 0인 n + 1 {\displaystyle n+1} 번째 행 및 열을 추가하는 사상을 ι n : Mat ⁡ ( n ; A ) → Mat ⁡ ( n + 1 ; A ) {\displaystyle \iota _{n}\colon \operatorname {Mat} (n;A)\to \operatorname {Mat} (n+1;A)} 라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다. Mat ⁡ ( ∞ ; A ) = lim n → ∞ Mat ⁡ ( n ; A ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {Mat} (n;A)} 이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다. Mat ⁡ ( ∞ ; A ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)} 위에 이항 연산 M ⊕ N = ( M 0 m × n 0 n × m N ) ( M ∈ Mat ⁡ ( m ; A ) , N ∈ Mat ⁡ ( n ; A ) ) {\displaystyle M\oplus N={\begin{pmatrix}M&0_{m\times n}\\0_{n\times m}&N\end{pmatrix}}\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))} 을 정의하자. Mat ⁡ ( ∞ ; A ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. M ∼ N ⟺ ∃ P ∈ Mat ⁡ ( m , n ; A ) : M = P P ∗ , N = P ∗ P ( M ∈ Mat ⁡ ( m ; A ) , N ∈ Mat ⁡ ( n ; A ) ) {\displaystyle M\sim N\iff \exists P\in \operatorname {Mat} (m,n;A)\colon M=PP^{*},\;N=P^{*}P\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))} 그렇다면, Mat ⁡ ( ∞ ; A ) / ∼ {\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)/\sim } 는 가환 모노이드를 이룬다. 이를 D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} (A)} 로 표기하자. D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} (A)} 의 그로텐디크 군을 A {\displaystyle A} 의 0차 K군이라고 하며, K 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {K} _{0}(A)} 로 표기한다. 마찬가지로, A {\displaystyle A} 계수의 일반 선형군 GL ⁡ ( n ; A ) = Unit ⁡ ( Mat ⁡ ( n ; A ) ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;A)=\operatorname {Unit} \left(\operatorname {Mat} (n;A)\right)} 및 GL ⁡ ( ∞ ; A ) = lim n → ∞ GL ⁡ ( n ; A ) {\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n;A)} 를 정의하자. ( GL ⁡ ( ∞ ; A ) {\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)} 는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우, A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 차 K군은 다음과 같다. K i ⁡ ( A ) = π i − 1 ( GL ⁡ ( ∞ ; A ) ) ( i ≥ 1 ) {\displaystyle \operatorname {K} _{i}(A)=\pi _{i-1}(\operatorname {GL} (\infty ;A))\qquad (i\geq 1)} 보트 주기성에 따라 K i + 2 ⁡ ( A ) = K i ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {K} _{i+2}(A)=\operatorname {K} _{i}(A)} 이다. 1차원 C* 대수 C {\displaystyle \mathbb {C} } 를 생각하자. K 0 ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {C} )} 는 다음과 같다. D ⁡ ( C ) ≅ N {\displaystyle \operatorname {D} (\mathbb {C} )\cong \mathbb {N} } K 0 ⁡ ( C ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} } 구체적으로, n ↦ [ 1 n × n ] ( n ∈ N ) {\displaystyle n\mapsto [1_{n\times n}]\qquad (n\in \mathbb {N} )} 이다. 이는 복소수 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )} 가운데 M 2 = 1 {\displaystyle M^{2}=1} 이라면 M = diag ⁡ ( e 1 , e 2 , … , e n ) {\displaystyle M=\operatorname {diag} (e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n})} e 1 , … , e n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}\in \{0,1\}} 의 꼴이기 때문이다. Rordam, M.; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000년 1월). 《An introduction to K-theory for C*-algebras》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 49. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511623806. ISBN 978-0-521-78334-7.  Brodzky, Jacek (1996). “An introduction to K-theory and cyclic cohomology” (영어). arXiv:funct-an/9606001. Bibcode:996funct.an..6001B.  Blackadar, Bruce (1986). 《K-theory for operator algebras》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 5. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9572-0. ISBN 978-1-4613-9574-4. ISSN 0940-4740.  “Operator K-theory”. 《nLab》 (영어).  Matthies, Rainer; Szymański, Wojciech. “Lecture notes on the K-theory of operator algebras” (PDF) (영어).  Chatterji, I. L. (2002년 11월 7일). “Crash-course on topological K-theory for C*-algebras” (PDF) (영어).  Voigt, Christian. “K-Theorie für Operatoralgebren” (PDF) (독일어).