픽 정리

픽의 정리(영어: Pick's theorem)는 격자점 위의 단순 다각형에서 그 내부, 외부의 격자 수와 그 다각형의 넓이 사이의 관계를 설명하는 정리로, 이 정리는 오스트리아의 게오르그 픽(Georg Alexander Pick)에 의해 1899년에 만들어졌다. 모든 꼭짓점이 격자점 위에 존재하는 단순 다각형의 넓이를 A, 격자 다각형의 내부에 있는 점의 수를 i, 변 위에 있는 점의 수를 b라고 하면, 이들 사이에 다음의 식이 성립한다는 것이 알려져 있다. 이 내용이 "픽의 정리"이다. A = i + b 2 − 1 {\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1} 오른쪽 그림에서는 i의 값은 9이고 b의 값은 13이다. 픽의 정리를 사용하면 이 다각형의 넓이는 14.5임을 알 수 있다. 이 증명을 위해서는 두 개의 보조정리가 필요하다. 격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 i=0, b=3인 경우 그 넓이는 항상 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 이다. 이것을 기본 삼각형이라고 부른다. 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형을 기본 삼각형으로 분할할 수 있다. 격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형 P {\displaystyle P} 를 N {\displaystyle N} 개의 기본 삼각형으로 나눈다. 증명전략은 N {\displaystyle N} 개의 기본삼각형의 내각의 합을 서로 다른 방법으로 구하여, 연립하는 것이다. 여기에서 모든 기본 삼각형들의 내각의 합 S {\displaystyle S} 를 나타내는 방법은 두 가지이다. 첫째로 삼각형의 내각의 합은 π {\displaystyle \pi } 이므로 S = N π {\displaystyle S=N\pi } 로 나타낼 수 있다. 둘째로는 각 점에서 생기는 각의 크기를 모두 더하는 방법이 있다. P {\displaystyle P} 내부의 점 i {\displaystyle i} 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 2 π {\displaystyle 2\pi } 이고, 따라서 모든 점 i {\displaystyle i} 에서 만들어지는 각들의 합은 2 i π {\displaystyle 2i\pi } 이다. 또, 꼭짓점이 아닌 변 위의 점 b {\displaystyle b} 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 π {\displaystyle \pi } 이다. P {\displaystyle P} 가 k {\displaystyle k} 각형이라고 했을 때, 모든 점 b {\displaystyle b} 에서 만들어지는 각들의 합은 ( b − k ) π {\displaystyle (b-k)\pi } 이다. 마지막으로, P {\displaystyle P} 의 내각의 크기의 합은 ( k − 2 ) π {\displaystyle (k-2)\pi } 이다. S = 2 i π + ( b − k ) π + ( k − 2 ) π {\displaystyle S=2i\pi +(b-k)\pi +(k-2)\pi } 이므로, 정리하면 모든 기본 삼각형의 내각의 합은 S = 2 i π + b π − 2 π {\displaystyle S=2i\pi +b\pi -2\pi } 라고 나타낼 수 있다. S = N π {\displaystyle S=N\pi } 와 S = 2 i π + b π − 2 π {\displaystyle S=2i\pi +b\pi -2\pi } 를 연립하면 다음과 같다. N π = 2 i π + b π − 2 π {\displaystyle N\pi =2i\pi +b\pi -2\pi } 여기서 양변을 π {\displaystyle \pi } 로 나누면 N = 2 i + b − 2 {\displaystyle N=2i+b-2} 가 된다. 두 번째 보조정리에서 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있다고 했으므로 A = 1 2 N {\displaystyle A={\frac {1}{2}}N} 이 유도된다. 따라서 A = 1 2 N = 1 2 ( 2 i + b − 2 ) = i + b 2 − 1 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}N={\frac {1}{2}}(2i+b-2)=i+{\frac {b}{2}}-1} 이므로 픽의 정리가 성립함을 알 수 있다. 픽의 정리는 오일러 지표로부터 유도될 수 있다. 이 관계를 알기 위해서는 "edge theorem"이라는 보조 정리가 필요하다. "edge theorem"에 의하면 임의의 다각형에서 내부와 경계선 위의 점들을 연결하여 기본 삼각형들로 분할했을 때 생기는 변의 개수를 e {\displaystyle e} , 내부에 있는 점의 수를 i {\displaystyle i} , 변 위에 있는 점의 수를 b {\displaystyle b} 라고 할 때 다음이 성립한다. e = 3 i + 2 b − 3 {\displaystyle e=3i+2b-3} b {\displaystyle b} =3이고 i {\displaystyle i} =0이면 삼각형이 만들어지면서 e {\displaystyle e} 의 값은 언제나 3이고 위 등식을 만족한다. 이 삼각형 내부에 점을 한 개 추가하면( i {\displaystyle i} =1) 모서리의 수는 3만큼 늘어난다( e {\displaystyle e} =6). 이 경우 역시 위 등식을 만족한다. 변 위에 있는 점을 한 개 추가하는 상황에서 x {\displaystyle x} 개의 변 위에 있는 점들이 내부에 있는 점으로 바뀐다고 하면, e {\displaystyle e} 값은 ( x {\displaystyle x} +2)개 증가, b {\displaystyle b} 값은 ( x {\displaystyle x} -1)개 감소한다. 이 내용을 위 등식에 대입하면 마찬가지로 등식을 만족하게 된다. 따라서 i {\displaystyle i} 값과 b {\displaystyle b} 값에 변동이 있어도 위 등식은 항상 성립함을 알 수 있다. 오일러 지표에 의하면 평면 그래프에서 v {\displaystyle v} 가 꼭짓점의 개수이고, e {\displaystyle e} 가 모서리의 개수이고, f {\displaystyle f} 가 모서리들로 나누어진 면의 개수일 때 다음이 성립한다. v − e + f = 2 {\displaystyle v-e+f=2} 이 등식을 이용하기 위해 꼭짓점이 격자점 위에 있는 격자다각형을 기본 삼각형들로 분할하고, 그 도형을 평면 그래프라고 생각한다. 그러면 삼각형 내부의 점과 변 위의 점을 합한 것이 v {\displaystyle v} 의 값이므로 v = i + b {\displaystyle v=i+b} 이고, 'edge theorem'에 의해 e = 3 i + 2 b − 3 {\displaystyle e=3i+2b-3} 임을 알 수 있다. 이것을 위 등식에 대입하면 i + b − 3 i − 2 b + 3 + f = 2 {\displaystyle i+b-3i-2b+3+f=2} f = 2 i + b − 1 {\displaystyle f=2i+b-1} 마지막으로 면의 수 f {\displaystyle f} 의 경우, 평면 그래프의 관점에서는 넓이가 무한한 면 한 개가 포함되어 있기 때문에 실제 면의 수는 기본 삼각형들의 수보다 하나 더 많다. 따라서 주어진 다각형을 분할하는 기본 삼각형의 수는 ( f − 1 ) {\displaystyle (f-1)} 이고, 각 기본 삼각형의 넓이는 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 이므로 주어진 다각형의 넓이는 A = 1 2 ( f − 1 ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(f-1)} 가 된다. 이 식을 앞에서 구한 식과 연립하면 다음과 같이 픽의 정리가 유도된다. 1 2 ( f − 1 ) = A = 1 2 ( 2 i + b − 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(f-1)=A={\frac {1}{2}}(2i+b-2)} A = i + b 2 − 1 {\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1} Grünbaum & Shephard, 1993 Pick's theorem[깨진 링크(과거 내용 찾기)] Raman&Ohman, beautiful proofs of Pick's theorem W. W. Funkenbusch, The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6 (Jun. - Jul., 1974), pp. 647-648