등변 코호몰로지

대수적 위상수학에서 등변 코호몰로지(等變cohomology, 영어: equivariant cohomology)는 군 코호몰로지와 특이 코호몰로지를 일반화하는 코호몰로지 이론이다. X {\displaystyle X} 가 위상 공간이고, G {\displaystyle G} 가 위상군이라고 하자. 군의 작용 X × G → G {\displaystyle X\times G\to G} 를 생각하자. 그렇다면 등변 코호몰로지 H G ∙ ( X ) {\displaystyle H_{G}^{\bullet }(X)} 는 호모토피 궤도 공간(영어: homotopy orbit space)이라는 위상 공간 X h G {\displaystyle X_{{\text{h}}G}} 의 특이 코호몰로지이다. H G ∙ ( X ) = H ∙ ( X h G ) {\displaystyle H_{G}^{\bullet }(X)=H^{\bullet }(X_{{\text{h}}G})} 호모토피 궤도 공간은 다음과 같이 정의된다. G {\displaystyle G} 의 분류 공간 E G → B G {\displaystyle EG\to BG} 를 생각하자. 그렇다면 E G {\displaystyle EG} 는 G {\displaystyle G} -주다발이므로 G {\displaystyle G} 의 작용이 존재한다. 따라서, X × B G {\displaystyle X\times BG} 에 (대각) G {\displaystyle G} -작용이 존재한다. 호모토피 궤도 공간 X h G {\displaystyle X_{{\text{h}}G}} 는 이 작용의 궤도 공간이다. X h G = X × G E G {\displaystyle X_{{\text{h}}G}=X\times _{G}EG} 매끄러운 다양체의 복소수 계수 등변 코호몰로지는 등변 미분 형식을 통해 드람 코호몰로지와 유사하게 계산된다. G {\displaystyle G} 가 자명군이라고 하자. 자명군의 분류 공간은 한원소 공간 B G = E G = { ∙ } {\displaystyle BG=EG=\{\bullet \}} 이다. 따라서, X × G E G ≅ X {\displaystyle X\times _{G}EG\cong X} 이며, 이 경우 H G ∙ ( X ) ≅ H ∙ ( X ) {\displaystyle H_{G}^{\bullet }(X)\cong H^{\bullet }(X)} 이다. 즉, 자명군에 대한 등변 코호몰로지는 단순히 특이 코호몰로지이다. 반대로, X {\displaystyle X} 가 한원소 공간 X = { ∙ } {\displaystyle X=\{\bullet \}} 이라고 하자. 이 경우, X × G E G ≅ B G {\displaystyle X\times _{G}EG\cong BG} 이므로, H G ∙ ( X ) ≅ H ∙ ( B G ) {\displaystyle H_{G}^{\bullet }(X)\cong H^{\bullet }(BG)} 는 단순히 G {\displaystyle G} 의 군 코호몰로지이다. 등변 미분 형식 Tu, Loring Wuliang (2011년 3월). “What is … equivariant cohomology?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 58 (3): 423–426. Zbl 1226.55001.  Tymoczko, Julianna S. (2005). “An introduction to equivariant cohomology and homology, following Goresky, Kottwitz, and MacPherson” (영어). arXiv:math/0503369. Bibcode:2005math......3369T.  Guillemin, Victor W.; Shlomo Sternberg, Jochen Brüning (1999). 《Supersymmetry and Equivariant de Rham Theory》 (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-662-03992-2. ISBN 978-3-540-64797-3. Zbl 0934.55007.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Bott, R. (1999). 〈An Introduction to Equivariant Cohomology〉. 《Quantum Field Theory: Perspective and Prospective》. NATO Science Series (영어) 530. Springer. 35–57쪽. doi:10.1007/978-94-011-4542-8_3. ISBN 978-0-7923-5673-8. ISSN 1389-2185. Zbl 0970.55003.  Libine, Matvei. “Lecture notes on equivariant cohomology” (영어). arXiv:0709.3615. Bibcode:2007arXiv0709.3615L.  Vergne, Michèle (2007). 〈Applications of equivariant cohomology〉. 《Proceedings of the international congress of mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume I: Plenary lectures and ceremonies》 (영어). European Mathematical Society. arXiv:math/0607389. Bibcode:2006math......7389V. Zbl 1123.19004.  Atiyah, Michael; Raoul Bott (1984). “The moment map and equivariant cohomology”. 《Topology》 (영어) 23 (1): 1–28. doi:10.1016/0040-9383(84)90021-1. MR 0721448. Zbl 0521.58025.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) May, Peter (2012년 5월 5일). “What is equivariant cohomology and what is it good for?” (비디오). 코넬 대학교 수학과.  Sklyarenko, E.G. (2001). cohomology “Equivariant cohomology” |url= 값 확인 필요 (도움말). 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.