리우빌 미분 형식

미분기하학에서, 리우빌 미분 형식(Liouville微分形式, 영어: Liouville differential form)은 매끄러운 다양체의 공변접다발(의 외대수) 위에 정의되는 표준적인 미분 형식이다. 그 외미분은 심플렉틱 다양체(또는 멀티심플렉틱 다양체)의 구조를 정의한다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 자연수 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 의 k {\displaystyle k} 차 올별 외대수 E = ⋀ k T M {\displaystyle E=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M} 를 생각하자. 그 국소 좌표는 ( x , p ) : x ∈ M , p ∈ E x = ⋀ k T x ∗ M {\displaystyle (x,p)\colon x\in M,\;p\in E_{x}=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M} 의 꼴이다. 이 경우 동형 사상 T ( x , p ) E ≅ T x M ⊕ E x {\displaystyle \mathrm {T} _{(x,p)}E\cong \mathrm {T} _{x}M\oplus E_{x}} 및 ⋀ k T ( x , p ) E ≅ ⋀ k ( E x ⊕ T x M ) ≅ ⨁ i = 0 k ⋀ k − i E x ⊗ ⋀ i T x M = ⋀ k T x M ⊕ E x ⊗ ⋀ k − 1 T x M ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ k E x {\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{(x,p)}E\cong \bigwedge ^{k}(E_{x}\oplus \mathrm {T} _{x}M)\cong \bigoplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E_{x}\otimes \bigwedge ^{i}\mathrm {T} _{x}M=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\oplus E_{x}\otimes \bigwedge ^{k-1}\mathrm {T} _{x}M\oplus \dotsb \oplus \bigwedge ^{k}E_{x}} 에 의하여, 사영 사상 π : ⋀ k T ( x , p ) E ↠ ⋀ k T x M {\displaystyle \pi \colon \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{(x,p)}E\twoheadrightarrow \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M} 이 존재한다. 그렇다면, 임의의 점 ( x , p ) ∈ M {\displaystyle (x,p)\in M} 에 대하여 θ | ( x , p ) : ⋀ k T x M → R {\displaystyle \theta |_{(x,p)}\colon \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R} } θ | ( x , p ) : w ↦ p ( π ( w ) ) ( x ∈ M , p ∈ ⋀ k T x ∗ M , w ∈ ⋀ k T x E ) {\displaystyle \theta |_{(x,p)}\colon w\mapsto p(\pi (w))\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M,\;w\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}E\right)} 를 정의할 수 있다. 이는 E {\displaystyle E} 위의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식 θ ∈ Ω k ( E ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{k}(E)} 를 정의한다. 이를 E {\displaystyle E} 위의 리우빌 미분 형식이라고 한다. 위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다. x ∈ M {\displaystyle x\in M} 근처의 국소 좌표계 x i {\displaystyle x^{i}} 를 생각하자. 이 경우 E {\displaystyle E} 의 국소 좌표는 ( x i , p j 1 j 2 … j k ) {\displaystyle (x^{i},p_{j_{1}j_{2}\dotso j_{k}})} 의 꼴이다. 이 경우 θ = 1 k ! p i 1 i 2 … i k d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \theta ={\frac {1}{k!}}p_{i_{1}i_{2}\dotso i_{k}}\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \mathrm {d} x^{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}} 이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여, E = ⋀ k T ∗ M {\displaystyle E=\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M} 위의 리우빌 미분 형식 θ ∈ Ω k ( E ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{k}(E)} 가 주어졌을 때, d θ ∈ Ω k + 1 ( E ) {\displaystyle \mathrm {d} \theta \in \Omega ^{k+1}(E)} 는 E {\displaystyle E} 위의 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 이룬다. 특히, k = 1 {\displaystyle k=1} 일 때, 공변접다발의 전체 공간 E = T ∗ M {\displaystyle E=\mathrm {T} ^{*}M} 은 항상 표준적으로 심플렉틱 다양체를 이룬다. k = 0 {\displaystyle k=0} 일 때, 0차 리우빌 미분 형식은 ⋀ 0 T ∗ M = M × R {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{0}\mathrm {T} ^{*}M=M\times \mathbb {R} } 위의 0차 미분 형식 (매끄러운 함수) θ ∈ C ∞ ( M × R , R ) {\displaystyle \theta \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M\times \mathbb {R} ,\mathbb {R} )} θ : ( x , t ) ↦ t {\displaystyle \theta \colon (x,t)\mapsto t} 이다. k > dim ⁡ M {\displaystyle k>\dim M} 일 때, ⋀ k T ∗ M = M {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M=M} 이므로, 이 경우 k {\displaystyle k} 차 리우빌 미분 형식은 0이다. k = dim ⁡ M {\displaystyle k=\dim M} 일 때, ⋀ k T ∗ M {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M} 은 선다발이다. M {\displaystyle M} 이 가향 다양체일 때, 임의의 부피 형식 ω {\displaystyle \omega } 를 고르면, 이는 자명한 선다발로 여길 수 있다. 그렇다면 θ ∈ Ω dim ⁡ M ( M × R ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{\dim M}(M\times \mathbb {R} )} θ ( x , t ) = t ω | x {\displaystyle \theta _{(x,t)}=t\omega |_{x}} 이다. 조제프 리우빌의 이름을 땄다. “Liouville-Poincaré 1-form”. 《nLab》 (영어).