디랙 괄호

해밀턴 역학에서 디랙 괄호(영어: Dirac bracket)는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다. 해밀턴 계 ( M , ω , H ) {\displaystyle (M,\omega ,H)} 가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 는 계의 위상 공간이고, H {\displaystyle H} 는 계의 해밀토니언이다. M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 함수들의 대수를 C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호 { f , g } = ( ω − 1 ) μ ν ∂ μ f ∂ ν g {\displaystyle \{f,g\}=(\omega ^{-1})^{\mu \nu }\partial _{\mu }f\partial _{\nu }g} 가 존재한다. 이 계 위에 주어진 구속(영어: constraint) Φ ⊂ C ∞ {\displaystyle \Phi \subset {\mathcal {C}}^{\infty }} 는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다. Φ {\displaystyle \Phi } 는 C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 의 아이디얼이자, C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 에 대한 자유 가군이다. 즉, 임의의 함수 f ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 및 제약 ϕ ∈ Φ {\displaystyle \phi \in \Phi } 에 대하여, f ϕ i ∈ Φ {\displaystyle f\phi ^{i}\in \Phi } 이다. 임의의 ϕ , ϕ ′ ∈ Φ {\displaystyle \phi ,\phi '\in \Phi } 에 대하여, ϕ + ϕ ′ ∈ Φ {\displaystyle \phi +\phi '\in \Phi } 이다. Φ {\displaystyle \Phi } 의 기저 { ϕ i } i ∈ I ⊂ Φ {\displaystyle \{\phi ^{i}\}_{i\in I}\subset \Phi } 가 존재한다. 즉, 임의의 ϕ ∈ Φ {\displaystyle \phi \in \Phi } 를 ϕ = u i ϕ i {\displaystyle \phi =u_{i}\phi ^{i}} ( u i ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle u_{i}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} )의 꼴로 나타낼 수 있다. (일관성) 쌍대가군 Φ ∗ = hom ⁡ ( Φ , C ∞ ( M ) ) {\displaystyle \Phi ^{*}=\hom(\Phi ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M))} 의 원소 u ∈ Φ ∗ {\displaystyle u\in \Phi ^{*}} 가 존재하여, 다음을 만족시킨다. ( { ϕ , H } + u i { ϕ , ϕ i } ) | M ~ = 0 ∀ ϕ ∈ Φ {\displaystyle (\{\phi ,H\}+u_{i}\{\phi ,\phi ^{i}\})|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi } 여기서, M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 은 구속된 상태 공간 M ~ ⊂ M {\displaystyle {\tilde {M}}\subset M} 으로, 다음과 같다. M ~ = { x ∈ M | ϕ i ( x ) = 0 ∀ ϕ ∈ Φ } {\displaystyle {\tilde {M}}=\{x\in M|\phi ^{i}(x)=0\forall \phi \in \Phi \}} 즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다. 1종 구속(영어: first-class constraint)의 집합 Φ 1 ⊂ Φ {\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi } 은 다음과 같다. Φ 1 = { ϕ 1 ∈ Φ : { ϕ 1 , Φ } | M ~ = 0 } {\displaystyle \Phi _{1}=\{\phi _{1}\in \Phi \colon \{\phi _{1},\Phi \}|_{\tilde {M}}=0\}} 모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다. { Φ 1 , H } = 0 {\displaystyle \{\Phi _{1},H\}=0} 또한, 1종 구속들의 집합 Φ 1 {\displaystyle \Phi _{1}} 역시 C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 의 아이디얼이자, C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} -가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 f ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 와 1종 제약 ϕ 1 ∈ Φ 1 {\displaystyle \phi _{1}\in \Phi _{1}} 에 대하여, f ϕ 1 ∈ Φ 1 {\displaystyle f\phi _{1}\in \Phi _{1}} 이다. 이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다. 짧은 완전열 0 → Φ 1 ↪ Φ ↠ Φ 2 → 0 {\displaystyle 0\to \Phi _{1}\hookrightarrow \Phi \twoheadrightarrow \Phi _{2}\to 0} 은 분할 완전열이며, 따라서 Φ {\displaystyle \Phi } 를 다음과 같이 나타낼 수 있다. Φ ≅ Φ 1 ⊕ Φ 2 {\displaystyle \Phi \cong \Phi _{1}\oplus \Phi _{2}} 물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. Φ 2 ≅ Φ / Φ 1 {\displaystyle \Phi _{2}\cong \Phi /\Phi _{1}} 을 2종 구속(영어: second-class constraint)들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다. 2차 구속 Φ 2 {\displaystyle \Phi _{2}} 의 기저를 { ϕ 2 i } i ∈ I {\displaystyle \{\phi _{2}^{i}\}_{i\in I}} 로 잡자. 그렇다면 행렬 C i j {\displaystyle C_{ij}} 를 다음과 같이 정의하자. { ϕ 2 i , ϕ 2 j } C j k = δ i k {\displaystyle \{\phi _{2}^{i},\phi _{2}^{j}\}C_{jk}=\delta _{i}^{k}} 이 경우, 디랙 괄호 { , } D {\displaystyle \{,\}_{\text{D}}} 는 다음과 같다. { f , g } D = { f , g } − { f , ϕ 2 i } C i j { ϕ 2 j , g } {\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}-\{f,\phi _{2}^{i}\}C_{ij}\{\phi _{2}^{j},g\}} 제약된 해밀턴 계 ( M , ω , H , Φ ) {\displaystyle (M,\omega ,H,\Phi )} 에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 f ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} 의 시간 변화 f ˙ {\displaystyle {\dot {f}}} 는 다음과 같다. f ˙ = { f , H } D {\displaystyle {\dot {f}}=\{f,H\}_{\text{D}}} 이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다. { ϕ , H } D | M ~ = 0 ∀ ϕ ∈ Φ {\displaystyle \{\phi ,H\}_{\text{D}}|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi } 즉, 임의의 2종 구속 ϕ 2 i {\displaystyle \phi _{2}^{i}} 의 경우 { ϕ 2 i , H } D = 0 {\displaystyle \{\phi _{2}^{i},H\}_{\text{D}}=0} 이고, 임의의 1종 구속 ϕ 1 i {\displaystyle \phi _{1}^{i}} 의 경우 { ϕ 1 i , H } D = { ϕ 1 1 , H } = 0 {\displaystyle \{\phi _{1}^{i},H\}_{\text{D}}=\{\phi _{1}^{1},H\}=0} 이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 에 국한하면 유일하다. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 위에, 전하 q {\displaystyle q} 의 입자가 자기장 B μ ν = B ω μ ν {\displaystyle B_{\mu \nu }=B\omega _{\mu \nu }} 와 위치 에너지 V : M → R {\displaystyle V\colon M\to \mathbb {R} } 에 영향을 받는다고 하자. 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다. L ( x , x ˙ ) = q A μ x ˙ μ − V ( x ) {\displaystyle L(x,{\dot {x}})=qA_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-V(x)} 여기서 A μ {\displaystyle A_{\mu }} 는 자기 퍼텐셜로, ( d A ) μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ = B ω μ ν {\displaystyle (dA)_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }=B\omega _{\mu \nu }} 를 만족시킨다. 편의상 A ν = 1 2 B x μ ω μ ν {\displaystyle A_{\nu }={\frac {1}{2}}Bx^{\mu }\omega _{\mu \nu }} 으로 놓을 수 있다. 즉, L ( x , x ˙ ) = 1 2 q B x μ x ˙ ν ω μ ν − V ( x ) {\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\omega _{\mu \nu }-V(x)} 이다. 이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다. p ν = ∂ L ∂ x ˙ ν = 1 2 q B x μ ω μ ν {\displaystyle p_{\nu }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\nu }}}={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }} 즉, 해밀토니언은 다음과 같다. H = p μ x ˙ μ − L = V ( x ) {\displaystyle H=p_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-L=V(x)} 또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} , y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} 를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다. ϕ ν = p ν − 1 2 q B x μ ω μ ν = 0 {\displaystyle \phi _{\nu }=p_{\nu }-{\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }=0} 이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다. { ϕ μ , ϕ ν } = q B ω μ ν {\displaystyle \{\phi _{\mu },\phi _{\nu }\}=qB\omega _{\mu \nu }} 이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다. { f , g } D = { f , g } + 1 q B { f , ϕ μ } ω μ ν { ϕ ν , g } {\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+{\frac {1}{qB}}\{f,\phi _{\mu }\}\omega ^{\mu \nu }\{\phi _{\nu },g\}} 특히, { x μ , x μ } D = − ω μ ν / ( q B ) {\displaystyle \{x^{\mu },x^{\mu }\}_{\text{D}}=-\omega ^{\mu \nu }/(qB)} 이므로, 이를 양자화하면 [ x μ , x ν ] = − i ℏ ω μ ν / ( q B ) {\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=-i\hbar \omega ^{\mu \nu }/(qB)} 이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다. 이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간 M {\displaystyle M} 자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 A μ {\displaystyle A_{\mu }} 가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조 ω μ ν {\displaystyle \omega _{\mu \nu }} 의 코호몰로지류 [ ω ] ∈ H 2 ( M ; R ) {\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(M;\mathbb {R} )} 가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 가 심플렉틱 구조 ω μ ν {\displaystyle \omega _{\mu \nu }} 와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 V ( x ) {\displaystyle V(x)} 의 경우 순서가 모호하게 된다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에 존재하는, 질량 m {\displaystyle m} 의 입자가 위치 에너지 V ( x ) {\displaystyle V(\mathbf {x} )} 의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 C : M → R {\displaystyle C\colon M\to \mathbb {R} } 의 영집합 C − 1 ( 0 ) ⊂ M {\displaystyle C^{-1}(0)\subset M} 에 구속되었다고 하자. 이 경우, 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다. H = 1 2 m g μ ν p μ p ν + V ( x ) {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}g^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }+V(x)} 물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다. ϕ 1 = C ( x ) = 0 {\displaystyle \phi ^{1}=C(x)=0} ϕ 2 = g μ ν p μ ∂ ν C ( x ) = 0 {\displaystyle \phi ^{2}=g^{\mu \nu }p_{\mu }\partial _{\nu }C(x)=0} 이 경우, { ϕ 1 , ϕ 2 } = g μ ν ∂ μ C ∂ ν C = ( ∂ C ) 2 {\displaystyle \{\phi ^{1},\phi ^{2}\}=g^{\mu \nu }\partial _{\mu }C\partial _{\nu }C=(\partial C)^{2}} 이다. 따라서, 만약 C − 1 ( 0 ) {\displaystyle C^{-1}(0)} 에서 ∂ C ≠ 0 {\displaystyle \partial C\neq 0} 이라면, ϕ 1 {\displaystyle \phi ^{1}} 과 ϕ 2 {\displaystyle \phi ^{2}} 둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여 C − 1 ( 0 ) {\displaystyle C^{-1}(0)} 이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.) 이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다. { f , g } D = { f , g } + ( ∂ C ) − 2 { f , ϕ i } ϵ i j { ϕ j , g } {\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C)^{-2}\{f,\phi ^{i}\}\epsilon _{ij}\{\phi ^{j},g\}} 예를 들어, { x μ , x ν } D = 0 {\displaystyle \{x^{\mu },x^{\nu }\}_{\text{D}}=0} { x μ , p ν } D = δ ν μ − ( ∂ C ) − 2 ∂ μ C ∂ ν C {\displaystyle \{x^{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=\delta _{\nu }^{\mu }-(\partial C)^{-2}\partial ^{\mu }C\partial _{\nu }C} { p μ , p ν } D = ( ∂ C ) − 2 p ρ ( ( ∇ ρ ∂ μ C ) ( ∂ ν C ) − ( ∂ μ C ) ( ∇ ρ ∂ ν C ) ) {\displaystyle \{p_{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=(\partial C)^{-2}p^{\rho }\left((\nabla _{\rho }\partial _{\mu }C)(\partial _{\nu }C)-(\partial _{\mu }C)(\nabla _{\rho }\partial _{\nu }C)\right)} 가 된다. 해밀턴 역학 푸아송 괄호 라그랑지언 Mukunda, N.; E. C. G. Sudarshan (1968년 3월). “Structure of the Dirac bracket in classical mechanics” (PDF). 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 9 (3): 411–417. Bibcode:1968JMP.....9..411M. doi:10.1063/1.1664594. 2012년 8월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 10일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Wipf, Andreas W. (1994). 〈Hamilton’s formalism for systems with constraints〉. 《Canonical Gravity: From Classical to Quantum. Proceedings of the 117th WE Heraeus Seminar Held at Bad Honnef, Germany, 13–17 September 1993》. Lecture Notes in Physics (영어) 434. 22–58쪽. arXiv:hep-th/9312078. Bibcode:1994LNP...434...22W. doi:10.1007/3-540-58339-4_14. ISBN 978-3-540-58339-4.  Salisbury, D. C. “Peter Bergmann and the invention of constrained Hamiltonian dynamics” (영어). arXiv:physics/0608067. Bibcode:2006physics...8067S.  Dirac, P. A. M. (1950년 2월). “Generalized Hamiltonian dynamics”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 2: 129–148. doi:10.4153/CJM-1950-012-1. MR 0043724. Zbl 0036.14104.  Dirac, P. A. M. 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