리 준군

미분기하학에서, 리 준군(Lie準群, 영어: Lie groupoid)은 대상과 사상의 공간이 각각 매끄러운 다양체를 이루는 준군이다. (이산) 준군과 리 군의 공통적인 일반화이다. 리 준군은 매끄러운 다양체의 범주 속의 준군 대상이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 다양체 X 0 {\displaystyle X_{0}} , X 1 {\displaystyle X_{1}} 매끄러운 함수 dom : X 1 → X 0 {\displaystyle \operatorname {dom} \colon X_{1}\to X_{0}} , codom : X 1 → X 0 {\displaystyle \operatorname {codom} \colon X_{1}\to X_{0}} . 이들은 사상의 정의역과 공역을 나타낸다. 사상의 합성 { ( f , g ) ∈ X 1 × X 1 : codom ⁡ f = dom ⁡ g } → X 1 {\displaystyle \{(f,g)\in X_{1}\times X_{1}\colon \operatorname {codom} f=\operatorname {dom} g\}\to X_{1}} 매끄러운 함수 id : X 0 → X 1 {\displaystyle \operatorname {id} \colon X_{0}\to X_{1}} . 이는 항등 사상을 나타낸다. 이 데이터는 준군의 공리들을 만족시켜야 한다. 마찬가지로, 리 2-준군(영어: Lie 2-groupoid), 리 3-준군(영어: Lie 3-groupoid) 등등을 정의할 수 있다. 예를 들어, 리 2-준군은 2-범주 가운데, 모든 1-사상과 2-사상이 가역원을 가지며, 또한 0-사상, 1-사상, 2-사상들이 각각 매끄러운 다양체 X 0 {\displaystyle X_{0}} , X 1 {\displaystyle X_{1}} , X 2 {\displaystyle X_{2}} 를 이루며, 정의에 등장하는 모든 사상들이 매끄러운 함수가 되는 경우이다. 리 군 G {\displaystyle G} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 하나의 대상만을 갖는 자명한 준군으로 여길 수 있으며, 이는 리 준군을 이룬다. 이를 G {\displaystyle G} 와 구별하기 위하여 B ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {B} (G)} 로 쓴다. (이에 대응하는 슈발레-에일렌베르크 대수를 설리번 대수로 여기면, 이에 대응하는 위상 공간은 G {\displaystyle G} 의 분류 공간이다.) 만약 G {\displaystyle G} 가 아벨 리 군일 때는, 마찬가지로 B 2 ⁡ ( G ) = B ⁡ ( B ⁡ ( G ) ) {\displaystyle \operatorname {B} ^{2}(G)=\operatorname {B} (\operatorname {B} (G))} , B 3 ⁡ ( G ) = B ⁡ ( B ⁡ ( B ⁡ ( G ) ) ) {\displaystyle \operatorname {B} ^{3}(G)=\operatorname {B} (\operatorname {B} (\operatorname {B} (G)))} 등등을 정의할 수 있다. 즉, B k ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {B} ^{k}(G)} 는 하나의 0-사상, 1-사상, ……, 하나의 k − 2 {\displaystyle k-2} -사상을 가지며, 그 ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} -사상의 매끄러운 다양체는 G {\displaystyle G} 이다. 만약 G {\displaystyle G} 가 아벨 군이 아니라면, 고차에서의 구성에서, 수평 합성이 수직 합성과 아래와 같이 가환해야 한다는 조건이 성립하지 못한다. 매끄러운 다양체 X {\displaystyle X} 의 열린 덮개 U = ( U i ) i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 체흐 준군(영어: Čech groupoid) C ˇ ⁡ ( U ) {\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})} 은 다음과 같은 리 준군이다. C ˇ ⁡ ( U ) {\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})} 의 대상들의 매끄러운 다양체는 ⨆ i ∈ I U i {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}U_{i}} 이다. 즉, 그 대상은 x ∈ U i {\displaystyle x\in U_{i}} 가 되는 순서쌍 ( x , U i ) {\displaystyle (x,U_{i})} 이다. C ˇ ⁡ ( U ) {\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})} 의 사상들의 매끄러운 다양체는 ⨆ i , j ∈ I U i ∩ U j {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i,j\in I}U_{i}\cap U_{j}} 이다. 즉, 사상 ( x , U i ) → ( x , U j ) {\displaystyle (x,U_{i})\to (x,U_{j})} 은 순서쌍 ( x , U i , U j ) {\displaystyle (x,U_{i},U_{j})} 이다. 두 사상의 합성은 단순히 ( x , U j , U k ) ∘ ( x , U i , U j ) = ( x , U i , U k ) {\displaystyle (x,U_{j},U_{k})\circ (x,U_{i},U_{j})=(x,U_{i},U_{k})} 이다. 항등 사상은 단순히 ( x , U i , U i ) {\displaystyle (x,U_{i},U_{i})} 의 꼴의 사상이다. 그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다. C ˇ ⁡ ( U ) → X {\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})\to X} ( x , U i ) ↦ x {\displaystyle (x,U_{i})\mapsto x} ( x , U i , U j ) ↦ id x {\displaystyle (x,U_{i},U_{j})\mapsto \operatorname {id} _{x}} (이 함자의 공역은 모든 사상이 항등 사상인 자명한 리 준군이다.) 보다 일반적으로, 임의의 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 체흐 n {\displaystyle n} -준군을 정의할 수 있다. 이 경우, k {\displaystyle k} -사상의 매끄러운 다양체는 ⨆ i 1 , … , i k ∈ I U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k {\displaystyle \bigsqcup _{i_{1},\dotsc ,i_{k}\in I}U_{i_{1}}\cap \dotsb \cap U_{i_{k}}} 이다. 임의의 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음과 같은 순서쌍 리 준군(영어: pair Lie groupoid)을 정의할 수 있다. 그 대상(0-사상)의 매끄러운 다양체는 M {\displaystyle M} 이다. 1-사상의 매끄러운 다양체는 M × M {\displaystyle M\times M} 이다. 1-사상 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} , ( y , z ) {\displaystyle (y,z)} 의 합성은 ( x , z ) {\displaystyle (x,z)} 이다. 이에 대응하는 리 준대수는 M {\displaystyle M} 위의 벡터장들의 리 준대수 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 이다. Weinstein, Alan (1996년 7월). “Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 43 (7): 744–752. arXiv:math/9602220.  재출판 Weinstein, Alan (2001). 〈Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples〉. 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》 (PDF). American Mathematical Society. 1–19쪽. doi:10.1090/conm/282/04675. ISBN 978-0-8218-2042-1. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie groupoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Lie groupoid”. 《nLab》 (영어).