영혼 (기하학)

리만 기하학에서 영혼(靈魂, 영어: soul 솔[*])은 음이 아닌 단면 곡률을 갖는 리만 다양체에 대하여 존재하는 특별한 콤팩트 부분 다양체이다. 이를 통해, 음이 아닌 단면 곡률을 갖는 다양체의 연구는 콤팩트한 경우로 귀결된다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 영혼은 다음 조건들을 만족시키는 부분 다양체 S ↪ M {\displaystyle S\hookrightarrow M} 이다. 콤팩트 공간이다. S {\displaystyle S} 의 측지선은 M {\displaystyle M} 의 측지선이다. 임의의 두 점 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 을 잇는 M {\displaystyle M} 속의 임의의 측지선 γ {\displaystyle \gamma } 는 S {\displaystyle S} 에 속한다. M {\displaystyle M} 은 S {\displaystyle S} 의 법다발 N M S {\displaystyle \mathrm {N} _{M}S} 과 미분 동형이다. 임의의 측지선 완비 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 이, 모든 점에서, 모든 방향에서 단면 곡률이 음이 아닌 실수라고 하자. K M ( u , v ) ≥ 0 ∀ x ∈ M , u , v ∈ T x M ∖ { 0 } , u ∉ R v {\displaystyle K_{M}(u,v)\geq 0\qquad \forall x\in M,\;u,v\in \mathrm {T} _{x}M\setminus \{0\},\;u\not \in \mathbb {R} v} 그렇다면, M {\displaystyle M} 은 영혼을 갖는다. 이를 영혼 정리(靈魂定理, 영어: soul theorem)라고 한다. 단면 곡률이 음이 아닌 실수인 측지선 완비 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 두 영혼 S {\displaystyle S} , S ′ {\displaystyle S'} 사이에는 등거리 전단사 함수가 존재한다. 단면 곡률이 음이 아닌 실수인 연결 측지선 완비 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 주어졌다고 하고, 다음 조건을 만족시키는 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 이 주어졌다고 하자. K M ( u , v ) > 0 ∀ u , v ∈ T x M ∖ { 0 } , u ∉ R v {\displaystyle K_{M}(u,v)>0\qquad \forall u,v\in \mathrm {T} _{x}M\setminus \{0\},\;u\not \in \mathbb {R} v} 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 (임의의) 영혼은 한원소 공간이다. 이를 영혼 추측(靈魂推測, 영어: soul conjecture)이라고 한다. (이름과 달리 이는 이미 증명된 정리이다.) 콤팩트 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 에 대하여, S = M {\displaystyle S=M} 은 스스로의 영혼이다. 유클리드 공간 M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} 을 생각하자. 그렇다면, 그 속의 임의의 한원소 공간 { x } ⊆ R n {\displaystyle \{x\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 은 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 영혼을 이룬다. 모든 단면 곡률이 음이 아닌 실수인 측지선 완비 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 영혼이 한원소 공간이다. 유클리드 공간과 미분 동형이다. (이는 영혼의 정의에 따라 자명하다.) 콤팩트 리만 다양체 ( K , g K ) {\displaystyle (K,g_{K})} 가 주어졌을 때, 곱공간 M = K × R n = { ( x , a → ) : x ∈ K , a → ∈ R n } {\displaystyle M=K\times \mathbb {R} ^{n}=\{(x,{\vec {a}})\colon x\in K,\;{\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{n}\}} 위에 곱공간 리만 계량을 부여하자. 그렇다면, 임의의 a → ∈ R n {\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, K × { a → } ⊆ M {\displaystyle K\times \{{\vec {a}}\}\subseteq M} 은 M {\displaystyle M} 의 영혼을 이룬다. 3차원 유클리드 공간 속의 포물면 M = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 = z } {\displaystyle M=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}=z\}} 을 생각하자. 이는 모든 점에서 양수 단면 곡률을 갖는다. 이 경우, 원점 ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M {\displaystyle (0,0,0)\in M} (으로 구성된 한원소 공간)은 M {\displaystyle M} 의 영혼을 이룬다. 그러나 다른 점의 경우 일반적으로 영혼을 이루지 못할 수 있다. M {\displaystyle M} 은 폐곡선인 측지선을 갖는데, 이에 따라 폐곡선인 측지선 위에 있는 점의 경우 완전 볼록성 조건이 성립하지 못하기 때문이다. 영혼 정리는 1972년에 제프 치거와 데틀레프 그로몰(독일어: Detlef Gromoll, 1938~2008)이 증명하였다.:422, Theorem 1.11 같은 논문에서 치거와 그로몰은 “영혼”(영어: soul 솔[*])이라는 용어를 도입하였으며,:414 영혼 추측을 추측하였다.:442, §10 그리고리 페렐만이 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다. Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972년 11월). “On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 96 (3): 413–443. doi:10.2307/1970819. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970819. MR 0309010.  Perelman, Grigori (1994). “Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 40 (1): 209–212. doi:10.4310/jdg/1214455292. ISSN 0022-040X. MR 1285534. Zbl 0818.53056.