폰트랴긴 특성류

위상수학에서 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, 영어: Pontryagin class)는 실수 벡터 다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다. E {\displaystyle E} 가 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} -주다발인 틀다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 의 연관 벡터 다발이라고 하자. P {\displaystyle P} 의 주곡률 F {\displaystyle F} 를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 s o ( dim ⁡ E ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(\dim E)} 의 값을 갖는 2차 미분 형식이다. 그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다. det ( I + t F / 2 π ) = ∑ k = 0 ∞ t 2 k p k ( E ) {\displaystyle \det(I+tF/2\pi )=\sum _{k=0}^{\infty }t^{2k}p_{k}(E)} . 우변에서 k {\displaystyle k} 가 홀수인 항들은 F {\displaystyle F} 의 반대칭성에 의하여 사라진다. p k {\displaystyle p_{k}} 는 미분 형식으로 간주하면 E {\displaystyle E} 의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 p k ∈ H 4 k ( M , Q ) {\displaystyle p_{k}\in H^{4k}(M,\mathbb {Q} )} 는 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 위상수학적 불변량이다. 이를 k {\displaystyle k} 차 폰트랴긴 특성류라고 한다. 총 폰트랴긴 특성류(total Pontryagin class) p {\displaystyle p} 는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉 p = ∑ k = 0 ∞ p k ( E ) = det ( I + F / 2 π ) ∈ H ∙ ( M , Q ) {\displaystyle p=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(E)=\det(I+F/2\pi )\in H^{\bullet }(M,\mathbb {Q} )} 이다. O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} -주다발 P {\displaystyle P} 는 분류 공간 BO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {BO} (n)} 으로 가는 연속 함수 f : M → BO ⁡ ( n ) {\displaystyle f\colon M\to \operatorname {BO} (n)} 의 호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군은 유니터리 군의 부분군이다. ι : O ⁡ ( n ) ↪ U ⁡ ( n ) {\displaystyle \iota \colon \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n)} 따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다. B ι : BO ⁡ ( n ) → BU ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)} (이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.) BU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {BU} (n)} 위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류 c k ∈ H 2 k ⁡ ( BU ⁡ ( n ) ) {\displaystyle c_{k}\in \operatorname {H} ^{2k}(\operatorname {BU} (n))} 가 존재한다. 이를 당김으로서 BO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {BO} (n)} 위에 정의할 수 있는데, 이 경우 ( B ι ) ∗ c 2 k + 1 = 0 ∈ H 4 k + 2 ⁡ ( BO ⁡ ( n ) ) {\displaystyle (\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k+1}=0\in \operatorname {H} ^{4k+2}(\operatorname {BO} (n))} 이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) 폰트랴긴 특성류라고 한다. p k = ( − ) k ( B ι ) ∗ c 2 k ∈ H 4 k ⁡ ( BO ⁡ ( n ) ) {\displaystyle p_{k}=(-)^{k}(\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))} 이 경우, E {\displaystyle E} 의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김 p k ( E ) = f ∗ p k ∈ H 4 k ⁡ ( M ) {\displaystyle p_{k}(E)=f^{*}p_{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(M)} 이다. 서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다. 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다. 직교군과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다. O ⁡ ( n ) ↪ ι U ⁡ ( n ) ↪ ι ′ O ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)\,{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {U} (n)\,{\overset {\iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {O} (2n)} 이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류) BO ⁡ ( n ) ↪ B ι BU ⁡ ( n ) ↪ B ι ′ BO ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {BO} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BU} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BO} (2n)} 를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다. p k = ( − ) ( B ι ) ∗ c k ∈ H 4 k ⁡ ( BO ⁡ ( n ) ) {\displaystyle \operatorname {p} _{k}=(-)(\mathrm {B} \iota )^{*}\operatorname {c} _{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))} ( − ) k ( B ι ′ ) ∗ p k = ∑ i + j = 2 k ( − ) i c i ⁡ c j ∈ H 4 k ⁡ ( BU ⁡ ( n ) ) {\displaystyle (-)^{k}(\mathrm {B} \iota ')^{*}\operatorname {p} _{k}=\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}\operatorname {c} _{j}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BU} (n))} 이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다. 사상 B ι : BO ⁡ ( n ) → BU ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)} 는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다. 사상 B ι ′ : BU ⁡ ( n ) → BO ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \mathrm {B} \iota '\colon \operatorname {BU} (n)\to \operatorname {BO} (2n)} 은 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다. 즉, 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 E ⊗ C {\displaystyle E\otimes \mathbb {C} } 의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다. p k ⁡ ( E ) = ( − ) k c 2 k ⁡ ( E ⊗ C ) ∈ H 4 k ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\operatorname {c} _{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in \operatorname {H} ^{4k}(M)} 천 특성류 c k {\displaystyle c_{k}} 는 2 k {\displaystyle 2k} 차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 p k {\displaystyle p_{k}} 는 4 k {\displaystyle 4k} 차 코호몰로지 원소이다. ( E ⊗ C {\displaystyle E\otimes \mathbb {C} } 의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.) 반대로, 복소수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다. p k ⁡ ( E ) = ( − ) k ∑ i + j = 2 k ( − ) i c i ⁡ ( E ) c j ⁡ ( E ) ∈ H 4 k ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}(E)\operatorname {c} _{j}(E)\in \operatorname {H} ^{4k}(M)} M {\displaystyle M} 위의 n {\displaystyle n} 차원 유향 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 스핀 구조는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다. BSpin ⁡ ( n ) ↗ B q ↓ B q M → BSO ⁡ ( n ) {\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BSpin} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}} 여기서 B q {\displaystyle \mathrm {B} q} 는 몫사상 q : Spin ⁡ ( n ) ↠ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle q\colon \operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)} 에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상 B q : BSpin ⁡ ( n ) → BSO ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathrm {B} q\colon \operatorname {BSpin} (n)\to \operatorname {BSO} (n)} 이다. 이 경우, 스핀 군은 단일 연결 단순 리 군이므로 π i ( Spin ⁡ ( n ) ) = 0 ( i < 3 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))=0\qquad (i<3)} π 3 ( Spin ⁡ ( n ) ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} } 이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간의 호모토피 군은 π i ( BSpin ⁡ ( n ) ) = 0 ( i < 4 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {BSpin} (n))=0\qquad (i<4)} π 4 ( Spin ⁡ ( n ) ) = Z {\displaystyle \pi _{4}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} } 이므로, 후레비치 준동형이 동형이며, H 4 ⁡ ( BSpin ⁡ ( n ) ) = Z {\displaystyle \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))=\mathbb {Z} } 이다. 따라서, 그 생성원을 α {\displaystyle \alpha } 라고 하자. 그렇다면, ( B q ) ∗ p 1 = 2 α ∈ H 4 ⁡ ( BSpin ⁡ ( n ) ) {\displaystyle (\mathrm {B} q)^{*}\operatorname {p} _{1}=2\alpha \in \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))} 임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여, p 1 ⁡ ( E ) = 2 ⋅ ( 1 2 p 1 ⁡ ( E ) ) ∈ 2 H 4 ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {p} _{1}(E)=2\cdot ({\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E))\in 2\operatorname {H} ^{4}(M)} 가 되는 특성류 1 2 p 1 ⁡ ( E ) ∈ H 4 ⁡ ( M ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E)\in \operatorname {H} ^{4}(M)} 를 정의할 수 있다. 이를 1차 분수 폰트랴긴 특성류(一次分數Понтрягин特性類, 영어: first fractional Pontryagin class)라고 한다.:§4.4.1 마찬가지로, 만약 E {\displaystyle E} 가 끈 구조(영어: string structure)를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림 BString ⁡ ( n ) ↗ B q ↓ B q M → BSO ⁡ ( n ) {\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BString} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}} 이 존재한다면, 2차 분수 폰트랴긴 특성류(二次分數Понтрягин特性類, 영어: second fractional Pontryagin class) 1 6 p 2 ⁡ ( E ) ∈ H 8 ⁡ ( E ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\operatorname {p} _{2}(E)\in \operatorname {H} ^{8}(E)} 가 존재한다.:§4.4.2 여기서 String ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {String} (n)} 은 끈 군이다. 낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다. p 0 = 1 {\displaystyle \operatorname {p} _{0}=1} p 1 = − 1 2 ( 2 π ) 2 tr ⁡ F 2 {\displaystyle \operatorname {p} _{1}=-{\frac {1}{2(2\pi )^{2}}}\operatorname {tr} F^{2}} p 2 = 1 8 ( 2 π ) 4 ( ( tr ⁡ F 2 ) 2 − 2 tr ⁡ F 4 ) {\displaystyle \operatorname {p} _{2}={\frac {1}{8(2\pi )^{4}}}\left((\operatorname {tr} F^{2})^{2}-2\operatorname {tr} F^{4}\right)} 러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다. 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다. 천-사이먼스 형식 Milnor, John Willard; Stasheff, James Dillon (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) 76. Princeton University Press. ISBN 978-069108122-9.  Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector bundles and K-Theory》 2.1판.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Новиков, С. П. (1966). “О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы)”. 《Известия Академии наук СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия математическая》 (러시아어) 30 (1): 207–246. MR 196765. Zbl 0199.58202. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] “Fivebrane structures” (영어). arXiv:0805.0564.  Понтрягин, Лев С. (1947). “Характеристические циклы дифференцируемых многообразий”. 《Математический сборник》 (러시아어) 21 (2): 233–284. MR 22667. Zbl 0037.10305. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] “Pontryagin class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Pontryagin class”. 《nLab》 (영어).