준반사

선형대수학과 군론에서 준반사(準反射, 영어: pseudoreflection 슈도리플렉션[*])는 유한 차원 벡터 공간 위의, 고정점 공간의 여차원이 1인 멱일 자기 선형 변환이다. 유클리드 공간에서의 반사의 개념을 실수체 대신 임의의 체에 대하여 일반화한 것이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 준반사는 다음과 같은 자기 선형 변환 f : V → V {\displaystyle f\colon V\to V} 이다. 멱일원이다. 즉, f r = id {\displaystyle f^{r}=\operatorname {id} } 인 양의 정수 r ∈ N {\displaystyle r\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 고정점 부분 벡터 공간 V f = { v ∈ V : f v = v } ⊆ V {\displaystyle V^{f}=\{v\in V\colon fv=v\}\subseteq V} 의 여차원은 1이다. 여기서 f r = 1 {\displaystyle f^{r}=1} 이 되는 최소의 양의 정수 r {\displaystyle r} 는 f {\displaystyle f} 의 차수(영어: order)라고 한다. 이는 항상 2 이상의 양의 정수이다 (1일 경우, 여차원이 0이 된다). 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 준반사 f {\displaystyle f} 의 차수 r ∈ Z + {\displaystyle r\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다. char ⁡ K > 0 {\displaystyle \operatorname {char} K>0} 이며, r = 2 {\displaystyle r=2} 이다. { a ∈ K : a r = 1 } ⊋ { 1 } {\displaystyle \{a\in K\colon a^{r}=1\}\supsetneq \{1\}} 이다. 즉, 특히 실수체 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 일 경우, 표수 0이며, 1의 거듭제곱근이 ±1 밖에 없으므로, 준반사의 차수는 항상 2이다. 즉, 이 경우 준반사의 개념은 기초 기하학에서의 반사의 개념과 동치이다. 반면, 예를 들어 복소수체의 경우, 준반사의 차수는 2 이상의 임의의 양의 정수가 될 수 있다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 준반사 f {\displaystyle f} 의 차수가 r {\displaystyle r} 이라고 하자. 만약 f {\displaystyle f} 가 대각화될 수 있다면, f {\displaystyle f} 는 다음과 같이 표현된다. f = diag ⁡ ( 1 , 1 , … , 1 , α ) {\displaystyle f=\operatorname {diag} (1,1,\dotsc ,1,\alpha )} 여기서 α {\displaystyle \alpha } 는 1이 아닌 1의 거듭제곱근이다. 만약 f {\displaystyle f} 가 대각화될 수 없다면, f {\displaystyle f} 는 다음과 같이 표현된다. f = ( 1 1 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 1 ) {\displaystyle f={\begin{pmatrix}1&1&0&\dotsm &0\\0&1&0&\dotsm &0\\0&0&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\\0&0&0&&1\end{pmatrix}}} 대각화될 수 없는 준반사를 이환(移環, 영어: transvection)이라고 한다. 이 경우 차수는 항상 2이다. 만약 char ⁡ K ∤ n {\displaystyle \operatorname {char} K\not \mid n} 이라면, f {\displaystyle f} 는 항상 대각화될 수 있다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환으로 구성된 임의의 유한군 G ≤ GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle G\leq \operatorname {GL} (V;K)} | G | < ℵ 0 {\displaystyle |G|<\aleph _{0}} 이 주어졌을 때, 다음을 정의할 수 있다. V {\displaystyle V} 값의 변수를 갖는 자유 가환 결합 대수 K [ V ] = Sym ⁡ ( V ∗ ) {\displaystyle K[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})} . 그 위에는 G {\displaystyle G} 가 ( g ⋅ p ) ( v ) = p ( g − 1 v ) ( p ∈ K [ V ] , v ∈ V , g ∈ G ) {\displaystyle (g\cdot p)(v)=p(g^{-1}v)\qquad (p\in K[V],\;v\in V,\;g\in G)} 와 같이 작용하여, 이는 군환 K [ G ] {\displaystyle K[G]} 의 가군을 이룬다. G {\displaystyle G} 에 대한 불변 다항식들의 부분 대수 K [ V ] G = { p ∈ K [ V ] : g ⋅ p = p ∀ g ∈ G } {\displaystyle K[V]^{G}=\{p\in K[V]\colon g\cdot p=p\;\forall g\in G\}} . 또한, 다음을 가정하자. char ⁡ K = 0 {\displaystyle \operatorname {char} K=0} 이거나, 또는 char ⁡ K ∤ | G | {\displaystyle \operatorname {char} K\not \mid |G|} 슈발레-셰퍼드-토드 정리(Chevalley-Shepard-Todd定理, 영어: Chevalley–Shepard–Todd theorem)에 따르면, G {\displaystyle G} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. G {\displaystyle G} 를 생성하는 (유한 개의) 준반사들의 집합 P ⊆ GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle P\subseteq \operatorname {GL} (V;K)} 이 존재한다. K [ V ] G {\displaystyle K[V]^{G}} 는 K {\displaystyle K} 위의 자유 결합 가환 대수(다항식환)이다. K [ V ] G {\displaystyle K[V]^{G}} 의 모든 소 아이디얼에서의 국소화는 정칙 국소환이다. K [ V ] {\displaystyle K[V]} 는 K [ V ] G {\displaystyle K[V]^{G}} 위의 자유 가군이다. K [ V ] {\displaystyle K[V]} 는 K [ V ] G {\displaystyle K[V]^{G}} 위의 사영 가군이다. 이러한 꼴로 표현될 수 있는 유한군을 K {\displaystyle K} -준반사군(準反射群, 영어: pseudoreflection group)이라고 한다. 두 K {\displaystyle K} -준반사군의 직접곱은 역시 K {\displaystyle K} -준반사군이다. 증명: 두 K {\displaystyle K} -준반사군 G ≤ GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle G\leq \operatorname {GL} (V;K)} H ≤ GL ⁡ ( W ; K ) {\displaystyle H\leq \operatorname {GL} (W;K)} 이 주어졌을 때, 자연스럽게 G × H ≤ GL ⁡ ( V ; K ) × GL ⁡ ( W ; K ) ≤ GL ⁡ ( V ⊕ W ; K ) {\displaystyle G\times H\leq \operatorname {GL} (V;K)\times \operatorname {GL} (W;K)\leq \operatorname {GL} (V\oplus W;K)} 이다. 슈발레-셰퍼드-토드 정리는 복소수체의 경우 제프리 콜린 셰퍼드(영어: Geoffrey Colin Shephard)와 존 아서 토드(영어: John Arthur Todd, 1908~1994)가 1954년에 증명하였으며, 1955년에 클로드 슈발레가 더 간략한 증명을 발표하였다. 이후 장피에르 세르가 이 정리를 양의 표수에 대하여 일반화하였다. Shephard, Geoffrey Colin; Todd, John Arthur (1954). “Finite unitary reflection groups”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 6: 274–304. doi:10.4153/CJM-1954-028-3. ISSN 0008-414X. MR 0059914.  Chevalley, Claude (1955년 10월). “Invariants of finite groups generated by reflections”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 77 (4): 778–782. doi:10.2307/2372597. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372597.  “Polynomial invariants of finite groups. A survey of recent developments”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 34: 211–250. 1997. doi:10.1090/S0273-0979-97-00724-6. MR 1433171.  “Reflection group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.