삼각 적분 함수

삼각 적분 함수(영어: Trigonometric integrals)은 삼각 함수의 변형의 적분들을 묶어서 말하는 것이다. 일반적인 삼각 함수의 적분은 적분표에서 볼 수 있으나 약간만 변형해도 비초등함수가 됨이 알려져 있다. 여러 다른 사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다. S i ( x ) = ∫ 0 x sin ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt} s i ( x ) = − ∫ x ∞ sin ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt} S i ( x ) {\displaystyle {\rm {Si}}(x)} 은 sin ⁡ x / x {\displaystyle \sin x/x} 의 x = 0 {\displaystyle x=0} 에서 시작하는 정적분이며, s i ( x ) {\displaystyle {\rm {si}}(x)} 은 sin ⁡ x / x {\displaystyle \sin x/x} 의 x = ∞ {\displaystyle x=\infty } 에서 끝나는 정적분이다. 여기서 sin ⁡ t t {\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}} 는 싱크 함수혹은 0번째 구면 베셀 함수이다. x = ∞ {\displaystyle x=\infty } 이면 디리클레 적분이 된다. 여러 다른 코사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다. C i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cos ⁡ t − 1 t d t {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt} c i ( x ) = − ∫ x ∞ cos ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt} C i n ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt} c i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)} 은 x = ∞ {\displaystyle x=\infty } 에서 끝나는 cos ⁡ x / x {\displaystyle \cos x/x} 의 정적분이다. 다음이 성립한다. c i ( x ) = C i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,} C i n ( x ) = γ + ln ⁡ x − C i ( x ) {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,} 쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다. S h i ( x ) = ∫ 0 x sinh ⁡ t t d t = s h i ( x ) . {\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).} 그리고 이 함수의 테일러 급수는 다음과 같다. S h i ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) 2 ( 2 n ) ! = x + x 3 3 ! ⋅ 3 + x 5 5 ! ⋅ 5 + x 7 7 ! ⋅ 7 + ⋯ . {\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}(2n)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots .} 쌍곡 코사인 적분함수는 다음과 같이 정의된다. C h i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cosh ⁡ t − 1 t d t = c h i ( x ) {\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)} 여기서 γ {\displaystyle \gamma } 는 오일러-마스케로니 상수이다. 삼각 적분 함수의 계산을 위해 다양한 전개가 사용된다. S i ( x ) = π 2 − cos ⁡ x x ( 1 − 2 ! x 2 + ⋯ ) − sin ⁡ x x ( 1 x − 3 ! x 3 + ⋯ ) {\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+\cdots \right)} C i ( x ) = sin ⁡ x x ( 1 − 2 ! x 2 + ⋯ ) − cos ⁡ x x ( 1 x − 3 ! x 3 + ⋯ ) {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+\cdots \right)} 이 급수는 점근 전개(asymptotic expansion)이고 발산한다. 하지만   R e ( x ) ≫ 1   {\displaystyle ~{\rm {Re}}(x)\gg 1~} 인 경우에도 근사값을 구하는데 이용할 수 있다. S i ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! ⋅ 3 + x 5 5 ! ⋅ 5 − x 7 7 ! ⋅ 7 ± ⋯ {\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots } C i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 n 2 n ( 2 n ) ! = γ + ln ⁡ x − x 2 2 ! ⋅ 2 + x 4 4 ! ⋅ 4 ∓ ⋯ {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots } 이 급수는 모든 복소수   x   {\displaystyle ~x~} 에 대해 수렴하며, | x | ≫ 1 {\displaystyle |x|\gg 1} 이어도 점점 느리게 수렴하지만 고정밀도의 계산을 하려면 많은 항이 필요하다. 아래의 함수는 지수 적분 함수라고 불리며 E 1 ( z ) = ∫ 1 ∞ exp ⁡ ( − z t ) t d t ( R e ( z ) ≥ 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(z)\geq 0)} Si 와 Ci와 관련이 있다.: E 1 ( i   x ) = i ( − π 2 + S i ( x ) ) − C i ( x ) = i   s i ( x ) − c i ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)} x에 음수를 넣지 않는한, 두 함수는 해석적이다. 유효한 구간의 면적은 x의 실수부가 양수인 R e ( x ) > 0 {\displaystyle {\rm {Re}}(x)>0} 구간으로 확장할 수 있다. 이 범위를 벗어나면, π {\displaystyle \pi } 의 정수배 항이 등장한다. 일반화된 지수 적분 함수에 허수를 대입했을 때는 다음과 같다. ∫ 1 ∞ cos ⁡ ( a x ) ln ⁡ x x d x = − π 2 24 + γ ( γ 2 + ln ⁡ a ) + ln 2 ⁡ a 2 + ∑ n ≥ 1 ( − a 2 ) n ( 2 n ) ! ( 2 n ) 2 , {\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}},} 이것은 아래 식의 실수부이다. ∫ 1 ∞ e i a x ln ⁡ x x d x = − π 2 24 + γ ( γ 2 + ln ⁡ a ) + ln 2 ⁡ a 2 − π 2 i ( γ + ln ⁡ a ) + ∑ n ≥ 1 ( i a ) n n ! n 2 . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i(\gamma +\ln a)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}.} 비슷하게 ∫ 1 ∞ e i a x ln ⁡ x x 2 d x = 1 + i a [ − π 2 24 + γ ( γ 2 + ln ⁡ a − 1 ) + ln 2 ⁡ a 2 − ln ⁡ a + 1 − i π 2 ( γ + ln ⁡ a − 1 ) ] + ∑ n ≥ 1 ( i a ) n + 1 ( n + 1 ) ! n 2 . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}dx=1+ia[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1-{\frac {i\pi }{2}}(\gamma +\ln a-1)]+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}.} 지수 적분 함수 로그 적분 함수 Gibbs phenomenon Ringing artifacts 틀:AS ref Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), 〈Section 6.8.2. Cosine and Sine Integrals〉, 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》 3판, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, 2011년 8월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2013년 2월 23일에 확인함  Temme, N. M. (2010), 〈Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals〉, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., 《NIST Handbook of Mathematical Functions》, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248  Mathar, R. J. (2009). “Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(iπx)·x1/x between 1 and ∞”. arXiv:0912.3844. , Appendix B. Sine Integral Taylor series proof. Archived 2015년 11월 5일 - 웨이백 머신