코시 부등식

복소해석학에서 코시 부등식(-不等式, 영어: Cauchy's inequality) 또는 코시 추정(-推定, 영어: Cauchy's estimate)은 정칙 함수의 테일러 급수 계수의 상계를 제시하는 부등식이다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 정칙 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 가 주어졌다고 하자. 코시 부등식에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 및 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 및 0 < r < d ( z 0 , ∂ D ) {\displaystyle 0<r<d(z_{0},\partial D)} 에 대하여, 다음이 성립한다. | f ( n ) ( z 0 ) | ≤ n ! r n sup | z − z 0 | = r | f ( z ) | {\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|} 여기서 d ( z 0 , ∂ D ) = inf z ∈ ∂ D | z − z 0 | {\displaystyle d(z_{0},\partial D)=\inf _{z\in \partial D}|z-z_{0}|} 이다. 코시 부등식은 코시 적분 공식으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다. | f ( n ) ( z 0 ) | = | n ! 2 π i ∫ | z − z 0 | = r f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z | ≤ n ! 2 π ∫ | z − z 0 | = r | f ( z ) | | z − z 0 | n + 1 | d z | ≤ n ! 2 π r n + 1 ⋅ sup | z − z 0 | = r | f ( z ) | ⋅ ∫ | z − z 0 | = r | d z | = n ! r n sup | z − z 0 | = r | f ( z ) | {\displaystyle {\begin{aligned}|f^{(n)}(z_{0})|&=\left|{\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|^{n+1}}}\left|\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi r^{n+1}}}\cdot \sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\cdot \int _{|z-z_{0}|=r}|\mathrm {d} z|\\&={\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\end{aligned}}} 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 정칙 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 및 콤팩트 집합 K ⊆ D {\displaystyle K\subseteq D} 및 z 0 ∈ K {\displaystyle z_{0}\in K} 에 대하여, 다음이 성립한다.:102, §3.5, 정리2 | f ( n ) ( z 0 ) | ≤ n ! d ( K , ∂ D ) n sup z ∈ D | f ( z ) | {\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|} 여기서 d ( K , ∂ D ) = inf z ∈ K , z ′ ∈ ∂ D | z − z ′ | {\displaystyle d(K,\partial D)=\inf _{z\in K,\;z'\in \partial D}|z-z'|} 이다. 이는 코시 부등식에 의하여, 임의의 0 < r < d ( K , ∂ D ) ≤ d ( z 0 , ∂ D ) {\displaystyle 0<r<d(K,\partial D)\leq d(z_{0},\partial D)} 에 대하여 | f ( n ) ( z 0 ) | ≤ n ! r n sup | z − z 0 | = r | f ( z ) | ≤ n ! r n sup z ∈ D | f ( z ) | {\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|} 이므로, | f ( n ) ( z 0 ) | ≤ lim r → d ( K , ∂ D ) − n ! r n sup z ∈ D | f ( z ) | = n ! d ( K , ∂ D ) n sup z ∈ D | f ( z ) | {\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq \lim _{r\to d(K,\partial D)^{-}}{\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|={\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|} 이기 때문이다. 연결 열린 집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 정칙 함수열 f n : D → C {\displaystyle f_{n}\colon D\to \mathbb {C} } 가 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 로 콤팩트 수렴한다고 하자. (이 경우 f {\displaystyle f} 는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 k {\displaystyle k} 에 대하여, f n ( k ) {\displaystyle f_{n}^{(k)}} 역시 f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} 로 콤팩트 수렴한다. 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ D {\displaystyle K\subseteq D} 를 취하자. 그렇다면, K ~ = { z ∈ D : d ( z , K ) ≤ d ( K , ∂ D ) / 2 } {\displaystyle {\tilde {K}}=\{z\in D\colon d(z,K)\leq d(K,\partial D)/2\}} 역시 콤팩트 집합이므로, f n {\displaystyle f_{n}} 은 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 에서 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다. 또한, 코시 부등식에 의하여, 임의의 z ∈ K {\displaystyle z\in K} 에 대하여, | f n ( k ) ( z ) − f ( k ) ( z ) | ≤ k ! d ( K , ∂ K ~ ) k sup z ∈ K ~ | f n ( z ) − f ( z ) | {\displaystyle |f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{d(K,\partial {\tilde {K}})^{k}}}\sup _{z\in {\tilde {K}}}|f_{n}(z)-f(z)|} 이다. 따라서, f n ( k ) {\displaystyle f_{n}^{(k)}} 는 K {\displaystyle K} 에서 f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} 로 균등 수렴한다. 리우빌 정리에 따르면, 모든 유계 전해석 함수는 상수 함수이다. 유계 전해석 함수 f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 코시 부등식에 의하여, 임의의 z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} } 및 r > 0 {\displaystyle r>0} 에 대하여, | f ′ ( z 0 ) | ≤ 1 r sup z ∈ C | f ( z ) | {\displaystyle |f'(z_{0})|\leq {\frac {1}{r}}\sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|} 이므로, | f ′ ( z 0 ) | ≤ lim r → 0 + 1 r sup z ∈ C | f ( z ) | = 0 {\displaystyle |f'(z_{0})|\leq \lim _{r\to 0^{+}}{\frac {1}{r}}\sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|=0} 이다. 즉, 임의의 z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} } 에 대하여, f ′ ( z 0 ) = 0 {\displaystyle f'(z_{0})=0} 이며, 따라서 f {\displaystyle f} 는 상수 함수이다. 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1.  강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007 “The Cauchy inequality for the modulus of a regular analytic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.