유클리드 군

기하학에서 유클리드 군(Euclid群, 영어: Euclidean group)은 유클리드 공간의 등거리 변환들로 구성된 리 군이다. 즉, 거리와 각도가 정의되지만, 원점이 정의되지 않는 유클리드 공간의 대칭군이다. 아벨 리 군(병진 변환)과 직교군(회전)의 반직접곱이다. 유클리드 군(영어: Euclidean group) IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} 은 다음과 같은 리 군 반직접곱이다. IO ⁡ ( n ) = R n ⋊ O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)} 여기서 직교군 O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} 의 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 작용은 다음과 같은, n × n {\displaystyle n\times n} 행렬의 n {\displaystyle n} 차원 벡터 위의 작용이다. O ⁡ ( n ) → Aut ⁡ ( R n ) = GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )} R ↦ ( x ↦ R x ) {\displaystyle R\mapsto (\mathbf {x} \mapsto R\mathbf {x} )} 이는 유클리드 공간의 등거리 변환 I : R n → R n {\displaystyle I\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 들의 위상군과 같다. 마찬가지로, 특수 유클리드 군(特殊Euclid群영어: special Euclidean group) ISO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)} 은 직교군 대신 특수 직교군을 사용한 다음과 같은 리 군 반직접곱이다. ISO ⁡ ( n ) = R n ⋊ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)} ISO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)} 과 IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} 은 각각 SE ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SE} (n)} 및 E ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {E} (n)} 으로 표기하기도 한다. 유클리드 대칭군 ISO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)} (또는 IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} )의 리 대수는 유클리드 대수(Euclid代數, 영어: Euclidean algebra) i s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {iso}}(n)} 이라고 한다. 그 생성원은 다음과 같다. (물리학 관례에 따라 i {\displaystyle i} 를 추가하여 적었다.) i P i ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle iP_{i}\;(i=1,\dots ,n)} (병진 이동) i J i j ( i = 1 , … , n , J i j = − J j i ) {\displaystyle iJ_{ij}\;(i=1,\dots ,n,\;J_{ij}=-J_{ji})} (회전) 이들의 리 괄호는 다음과 같다. [ P i , P j ] = 0 {\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0} [ J i j , P k ] = i ( δ i k P j − δ j k P i ) {\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i\left(\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}\right)} [ J i j , J k l ] = i ( δ i k J j l − δ i l J j k − δ j k J i l + δ j l J i k ) {\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i\left(\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}\right)} ISO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)} 과 IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} 은 둘 다 n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle n(n+1)/2} 차원 리 군이다. ISO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)} 은 연결 공간이며, IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} 은 두 개의 연결 성분을 갖는다. ISO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)} 은 IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} 의 두 연결 성분 가운데 항등원을 포함하는 성분이다. 반직접곱 표현에 따라, ISO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)} 은 SO ⁡ ( n ) × R n {\displaystyle \operatorname {SO} (n)\times \mathbb {R} ^{n}} 과 미분 동형이다. 특히, 유클리드 군의 기본군은 다음과 같다. π 1 ( ISO ⁡ ( n ) ) = π 1 ( SO ⁡ ( n ) ) = { Z / 2 n ≥ 3 Z n = 2 1 n = 1 {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {ISO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (n))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\geq 3\\\mathbb {Z} &n=2\\1&n=1\end{cases}}} n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 일 경우, 그 2겹 범피복군 ISpin ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISpin} (n)} 을 정의할 수 있다. n = 2 {\displaystyle n=2} 일 경우, 그 범피복군은 무한겹이다. 유클리드 대수의 2차 리 대수 코호몰로지는 자명하다. 즉, 유클리드 군의 범피복군은 중심 확대를 갖지 않는다. 2차원 유클리드 군 ISO ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (2)} 는 비안키 분류의 VII0에 해당한다. 베크먼-퀄스 정리(영어: Beckman–Quarles theorem)에 따르면, n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 일 때 함수 f : R n → R n {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 전단사 등거리 변환이다. f {\displaystyle f} 는 (전사가 아닐 수 있는) 등거리 변환이다. (단위 길이 등거리성) 임의의 x , y ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, 만약 d ( x , y ) = 1 {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1} 이라면, d ( f ( x ) , f ( y ) ) = 1 {\displaystyle d(f(\mathbf {x} ),f(\mathbf {y} ))=1} 이다. n = 1 {\displaystyle n=1} 일 경우, 처음 두 조건은 동치이지만 세 번째 조건은 처음 둘보다 더 약하다. 예를 들어, R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } x ↦ { x + 1 x ∈ Z x x ∈ R {\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}x+1&x\in \mathbb {Z} \\x&x\in \mathbb {R} \end{cases}}} 는 세 번째 조건을 만족시키지만, 등거리 변환이 아니다. 또한, 베크번-퀄스 정리는 무한 차원 힐베르트 공간에서도 성립하지 않는다. 유클리드 군 IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} 의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 적을 수 있다. R n → R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} x ↦ R x + y , R ∈ O ⁡ ( n ) , y ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \mapsto R\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\qquad R\in \operatorname {O} (n),\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} 만약 y ∈ im ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {im} (1-R)} 라면 이는 고정점 집합 x 0 + ker ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)} 를 갖고, 아니라면 고정점을 갖지 않는다. 또한, det R ∈ { ± 1 } {\displaystyle \det R\in \{\pm 1\}} 인데, 만약 det R = + 1 {\displaystyle \det R=+1} 이라면 이는 방향을 보존하고, det R = − 1 {\displaystyle \det R=-1} 이라면 이는 방향을 보존하지 않는다. det R = + 1 {\displaystyle \det R=+1} 인 경우 고정점 집합을 회전축(回轉軸, 영어: axis of rotation)이라고 하며, det R = − 1 {\displaystyle \det R=-1} 인 경우 고정점 집합을 반사 초평면(反射超平面, 영어: hyperplane of reflection)이라고 한다. 유클리드 군의 원소들은 방향의 보존 여부와 고정점의 유무에 따라 다음과 같이 4종류로 분류된다. 각각의 설명은 다음과 같다. 회전(回轉, 영어: rotation): R ∈ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle R\in \operatorname {SO} (n)} 이며 y ∈ im ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {im} (1-R)} 인 경우. 이 경우, 고정점 집합 x 0 + ker ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)} 를 회전축(영어: rotation axis)이라고 한다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면 짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전축이 0차원이라면, 이를 회전 중심(영어: center of rotation)이라고 한다. 고정점 집합은 회전축이다. 고정점 집합이 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 전체인 경우는 항등 함수이다. 이는 회전의 자명한 경우이다. 회전 평행 이동(回轉平行移動, 영어: rototranslation): R ∈ SO ⁡ ( n ) ∖ { 1 } {\displaystyle R\in \operatorname {SO} (n)\setminus \{1\}} 이며 y ∉ im ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {y} \not \in \operatorname {im} (1-R)} 인 경우. 이 경우, im ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \operatorname {im} (1-R)} 를 회전 초평면(영어: rotation hyperplane)이라고 하며, 이는 n {\displaystyle n} 이 짝수라면 짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전 초평면에 수직인 성분 y ⊥ = proj ( im ⁡ ( 1 − R ) ) ⊥ ⁡ y {\displaystyle \mathbf {y} ^{\perp }=\operatorname {proj} _{(\operatorname {im} (1-R))^{\perp }}\mathbf {y} } 를 평행 이동 벡터(영어: translation vector)라고 한다. 이 경우 고정점은 없다. 특히, R = 1 {\displaystyle R=1} 인 경우(즉, rank ⁡ ( 1 − R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {rank} (1-R)=0} 인 경우)를 평행 이동(平行移動, 영어: translation)이라고 한다. 2차원 이하에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 반사(反射, 영어: reflection): R ∈ O ⁡ ( n ) ∖ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle R\in \operatorname {O} (n)\setminus \operatorname {SO} (n)} 이며 y ∈ im ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {im} (1-R)} 인 경우. 이 경우, 고정점 집합 x 0 + ker ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)} 를 반사의 반사 초평면(영어: reflection hyperplane)이라고 한다. 반사 초평면은 n {\displaystyle n} 이 짝수일 경우 홀수 차원이며, n {\displaystyle n} 이 홀수일 경우 짝수 차원이다. 미끄러짐 반사(-反射, 영어: glide reflection): x ↦ R ( x − x 0 ) + x 0 + y ⊥ {\displaystyle \mathbf {x} \mapsto R(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+\mathbf {x} _{0}+\mathbf {y} ^{\perp }} , R ∈ O ⁡ ( n ) ∖ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle R\in \operatorname {O} (n)\setminus \operatorname {SO} (n)} , y ⊥ ∈ ( im ⁡ ( 1 − R ) ) ⊥ {\displaystyle \mathbf {y} ^{\perp }\in \left(\operatorname {im} (1-R)\right)^{\perp }} . 이는 반사와 평행 이동의 합성이다. 고정점은 없다. 마찬가지로, 아핀 부분 공간 x 0 + ker ⁡ ( 1 − R ) {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)} 을 미끄러짐 반사의 반사 초평면이라고 하며, 이는 n {\displaystyle n} 이 짝수일 경우 홀수 차원이며, n {\displaystyle n} 이 홀수일 경우 짝수 차원이다. 이는 2차원 이상에서만 존재한다. R = − 1 {\displaystyle R=-1} , y = 0 {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} } 인 경우를 반전 변환(영어: parity reversal)이라고 한다. 이는 n {\displaystyle n} 이 짝수일 때 회전이며, 홀수일 때 반사이다. 1차원에서 회전은 항등 함수밖에 없으며, 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이며, 미끄러짐 반사는 존재하지 않는다. 회전축은 1차원이며, 반사 초평면은 0차원이다. 1차원 유클리드 공간을 실직선으로 나타내면, 등거리 변환은 다음과 같은 꼴이다. x ↦ σ x + a ( σ ∈ { ± 1 } , a ∈ R ) {\displaystyle x\mapsto \sigma x+a\qquad (\sigma \in \{\pm 1\},a\in \mathbb {R} )} σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} , a = 0 {\displaystyle a=0} 인 경우는 항등 함수이다. 이는 자명한 회전이다. σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} , a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 인 경우는 a {\displaystyle a} 만큼의 평행 이동이다. σ = − 1 {\displaystyle \sigma =-1} 인 경우는 반사이며, 반사 초평면은 { a / 2 } {\displaystyle \{a/2\}} 이다. 2차원에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 회전축은 0차원 또는 2차원이며, 반사 초평면은 모두 1차원이다. 2차원인 경우는 항등 함수이며, 0차원인 경우 회전축을 회전 중심(영어: center or rotation)이라고 한다. 2차원 유클리드 공간은 복소평면 C {\displaystyle \mathbb {C} } 으로 간편하게 나타낼 수 있다. 이 경우, 2차원 유클리드 공간의 등거리 변환은 다음과 같이 나타내어진다. 아래 표에서 α {\displaystyle \alpha } 는 절댓값이 1인 복소수이다. 3차원에서, 회전의 회전축은 1차원 또는 3차원이며, 반사의 반사 초평면은 0차원 또는 2차원이다. 회전축이 3차원인 경우는 항등 함수인 경우이다. 반사 초평면이 0차원인 경우는 회전 반사(回轉反射, 영어: rotoreflection)인 경우이며, 2차원인 경우는 반사 평면(영어: plane of reflection)이라고 한다. 유클리드 군은 반직접곱 ISO ⁡ ( n ) = R n ⋊ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)} 이며, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 은 아벨 리 군이다. 따라서, 모든 복소수 기약 표현은 SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 의 복소수 기약 표현의 유도 표현이다. 구체적으로, 유클리드 대수 i s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {iso}}(n)} 의 보편 포락 대수의 중심 원소는 다음이 있다. 이들은 슈어 보조정리에 따라, 기약 표현에서 항등 함수의 스칼라배로 표현된다. P 2 {\displaystyle P^{2}} . 유니터리 표현의 경우 이는 양수이거나 0이다. 이를 m 2 {\displaystyle m^{2}} 로 쓰자. m {\displaystyle m} 은 유클리드 계량 부호수에서의 질량에 해당한다. W 2 {\displaystyle W^{2}} (파울리-루반스키 벡터의 제곱 노름) SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 의 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 작용에서, 궤도는 카시미르 불변량 m {\displaystyle m} 에 의하여 분류된다. 이 경우, 안정자군은 m = 0 {\displaystyle m=0} (무질량)인 경우와 m > 0 {\displaystyle m>0} (유질량)인 경우가 다르다. m > 0 {\displaystyle m>0} 일 경우, 평행 이동군 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 은 P {\displaystyle \mathbf {P} } 공간에 추이적으로 작용한다. 이러한 경우 안정자군은 SO ⁡ ( n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n-1)} 이다. 따라서, 유니터리 표현은 SO ⁡ ( n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n-1)} 의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다. m = 0 {\displaystyle m=0} 일 경우, 안정자군은 SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 전체이다. 따라서, 유니터리 표현은 SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다. Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953), “On isometries of Euclidean spaces”, 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 4: 810–815, doi:10.2307/2032415, MR 0058193  Townsend, Carl G. (1970), “Congruence-preserving mappings”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 43: 37–38, doi:10.2307/2688111, MR 0256252  Bishop, Richard L. (1973), “Characterizing motions by unit distance invariance”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 46: 148–151, doi:10.2307/2687969, MR 0319026  공간군 브라베 격자 푸앵카레 군 갈릴레이 군 Weisstein, Eric Wolfgang. “Euclidean group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.