J-불변량

수학에서 j {\displaystyle j} -불변량(j-不變量, 영어: j-invariant)은 모듈러 함수의 하나다. j {\displaystyle j} -불변량의 모든 유리 함수 또한 모듈러 함수이며, 모든 모듈러 함수는 j {\displaystyle j} -불변량의 유리 함수로 나타낼 수 있다. 상반평면 τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } 에 대하여, 다음과 같은 함수들을 정의하자. g 2 ( τ ) = 60 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m + n τ ) − 4 {\displaystyle g_{2}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4}} g 3 ( τ ) = 140 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m + n τ ) − 6 {\displaystyle g_{3}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6}} 그렇다면 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다. j ( τ ) = 1728 g 2 ( τ ) 3 g 2 ( τ ) 3 − 27 g 3 ( τ ) 2 {\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}} 이를 j {\displaystyle j} -불변량이라고 한다. 일부 문헌에서는 j ( τ ) {\displaystyle j(\tau )} 대신 J ( τ ) = j ( τ ) / 1728 {\displaystyle J(\tau )=j(\tau )/1728} 을 사용하기도 한다. 특별한 점에서 j {\displaystyle j} -불변량의 값은 다음과 같다. 이 가운데, 7, 11, 19, 43, 67은 헤그너 수이다. d {\displaystyle d} 가 헤그너 수라면 j ( ( 1 + i d ) / 2 ) {\displaystyle j((1+i{\sqrt {d}})/2)} 는 정수이다. 따라서, 그 푸리에 급수에 따라서 j ( ( 1 + i d ) / 2 ) = 1 q + 744 + 196884 q + ⋯ {\displaystyle j((1+i{\sqrt {d}})/2)={\frac {1}{q}}+744+196884q+\cdots } 이다. 여기서 d {\displaystyle d} 가 크다면 q = − exp ⁡ ( − π d ) {\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {d}})} 의 절댓값은 매우 작다. 따라서 푸리에 급수의 고차항을 버리고, 다음과 같은 근사식을 쓸 수 있다. exp ⁡ ( π d ) + 744 ≈ j ( ( 1 + i d ) / 2 ) ∈ Z {\displaystyle \exp(\pi {\sqrt {d}})+744\approx j((1+i{\sqrt {d}})/2)\in \mathbb {Z} } 즉, exp ⁡ ( π d ) {\displaystyle \exp(\pi {\sqrt {d}})} 는 정수에 매우 가까운 초월수이다. 가장 큰 헤그너 수 d = 163 {\displaystyle d=163} 을 사용하면 e π 163 = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 25 ⋯ {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\cdots } 이다. 이는 스리니바사 라마누잔이 발견하였고, 라마누잔 수(영어: Ramanujan number)라고 한다. j-불변량의 푸리에 급수는 q = exp ⁡ ( 2 π i τ ) {\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )} 를 사용하여 적으면 다음과 같다 (OEIS의 수열 A000521) j ( τ ) = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + 864299970 q 3 + 20245856256 q 4 + 333202640600 q 5 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+333202640600q^{5}+\cdots } 이 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 관계있다. 1 = 1 196884 = 196883 + 1 21493760 = 21296876 + 196883 + 1 864299970 = 842609326 + 21296876 + 2 ⋅ 196883 + 2 ⋅ 1 20245856256 = 18538750076 + 2 ⋅ 842609326 + 21296876 + 3 ⋅ 196883 + 3 ⋅ 1 = 19360062527 + 842609326 + 2 ⋅ 21296876 + 3 ⋅ 196883 + 2 ⋅ 1 333202640600 = 293553734298 + 2 ⋅ 18538750076 + 3 ⋅ 842609326 + 2 ⋅ 21296876 + 5 ⋅ 196883 + 5 ⋅ 1 = 293553734298 + 19360062527 + 18538750076 + 2 ⋅ 842609326 + 3 ⋅ 21296876 + 5 ⋅ 196883 + 4 ⋅ 1 4252023300096 = 3879214937598 + 293553734298 + 4 ⋅ 18538750076 + 6 ⋅ 842609326 + 2 ⋅ 21296876 + 7 ⋅ 196883 + 7 ⋅ 1 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}1&=1\\196884&=196883+1\\21493760&=21296876+196883+1\\864299970&=842609326+21296876+2\cdot 196883+2\cdot 1\\20245856256&=18538750076+2\cdot 842609326+21296876+3\cdot 196883+3\cdot 1\\&=19360062527+842609326+2\cdot 21296876+3\cdot 196883+2\cdot 1\\333202640600&=293553734298+2\cdot 18538750076+3\cdot 842609326+2\cdot 21296876+5\cdot 196883+5\cdot 1\\&=293553734298+19360062527+18538750076+2\cdot 842609326+3\cdot 21296876+5\cdot 196883+4\cdot 1\\4252023300096&=3879214937598+293553734298+4\cdot 18538750076+6\cdot 842609326+2\cdot 21296876+7\cdot 196883+7\cdot 1\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}} 이 관계를 가공할 헛소리(영어: monstrous moonshine 몬스트러스 문샤인[*])라고 한다. 여기서 영어: monstrous(가공할, 말도 안 되는)는 괴물 군(영어: monster group)에 대한 말장난이다. 이 놀라운 관계는 원래 존 매케이(영어: John McKay, 1939–)가 1970년대에 최초로 발견하였고, 존 호턴 콘웨이가 이러한 이름을 붙였다. 이 사실은 리처드 보처즈가 리치 격자(Leech lattice)에 축소화한 보손 끈 이론을 사용해 설명하였고, 이 공로로 필즈상을 수상하였다. 바이어슈트라스 제타 함수 자기동형 형식 클래스 넘버 문제 Apostol, Tom M. (1990). 《Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory》. Graduate Texts in Mathematics 41 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0999-7. ISBN 0-387-97127-0. ISSN 0072-5285. MR 1027834.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Berndt, Bruce C.; Heng Huat Chan (1999년 12월). “Ramanujan and the modular j-invariant”. 《Canadian Mathematical Bulletin》 42 (4): 427–440. doi:10.4153/CMB-1999-050-1. ISSN 0008-4395. MR 1727340.  Cox, David A. (1989). 《Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication》. New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons. MR 1028322.  Conway, John Horton; Simon P. Norton (1979). “Monstrous moonshine”. 《Bulletin of the London Mathematical Society》 11 (3): 308–339. doi:10.1112/blms/11.3.308. ISSN 0024-6093. MR 0554399.  Rankin, Robert A. (1977). 《Modular forms and functions》. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511566035. ISBN 978-0-52121212-0. MR 0498390.  Piezas, Tito III, Weisstein, Eric W. “j-Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) Weisstein, Eric Wolfgang. “Klein's Absolute Invariant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이철희. “타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)”. 《수학노트》.