코시 수렴 판정법

해석학에서 코시 수렴 판정법(영어: Cauchy’s convergence test)은 급수의 수렴 판정법의 하나이다. 이 판정법에 의하면, 급수가 수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } 위의 수열 ( x n ) n = 0 ∞ ⊆ K {\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} } 이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 은 수렴한다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다. 임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 에 대하여, | ∑ k = m + 1 n x k | < ϵ {\displaystyle \textstyle \left|{\sum _{k=m+1}^{n}x_{k}}\right|<\epsilon } 여기서 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 는 절댓값이다. 증명: 첫 번째 조건은 부분합 ∑ k = 0 n x k {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}x_{k}} 의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )} 위의 점렬 ( x n ) n = 0 ∞ ⊆ X {\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq X} 이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:8, §1.2, Theorem 1.2.1 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 은 수렴한다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다. 임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 에 대하여, ‖ ∑ k = m + 1 n x k ‖ < ϵ {\displaystyle \textstyle \Vert {\sum _{k=m+1}^{n}x_{k}}\Vert <\epsilon } 증명: 첫 번째 조건은 부분합 ∑ k = 0 n x k {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}x_{k}} 의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. X {\displaystyle X} 는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다. 집합 S {\displaystyle S} 및 K {\displaystyle \mathbb {K} } 값 함수열 f n : S → K {\displaystyle f_{n}\colon S\to \mathbb {K} } ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 은 균등 수렴한다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다. 임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, | ∑ k = m + 1 n f k ( s ) | < ϵ {\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|<\epsilon } 증명: ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ {\displaystyle N_{\epsilon }} 가 존재한다. 임의의 n > N ϵ {\displaystyle n>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, | ∑ k = 0 n f k ( s ) − ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) | < ϵ 2 {\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right|<{\frac {\epsilon }{2}}} 따라서, 임의의 n > m > N ϵ {\displaystyle n>m>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, | ∑ k = m + 1 n f n ( s ) | = | ∑ k = 0 n f k ( s ) − ∑ k = 0 m f k ( s ) | ≤ | ∑ k = 0 n f k ( s ) − ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) | + | ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) − ∑ k = 0 m f k ( s ) | < ϵ {\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{n}(s)\right|=\left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|\leq \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right|+\left|\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|<\epsilon } 이다. 반대로, 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다고 가정하자. 임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, | ∑ k = m + 1 n f k ( s ) | < ϵ {\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|<\epsilon } 그렇다면, 각 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에서의 부분합 ∑ k = 0 n f k ( s ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 위의 코시 수열이며, 따라서 ∑ n = 0 ∞ f n ( s ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(s)} 은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 을 취하면 다음을 얻는다. 임의의 m > N ϵ {\displaystyle m>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, | ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) − ∑ k = 0 m f k ( s ) | < ϵ {\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|<\epsilon } 이에 따라, ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 은 균등 수렴한다. 보다 일반적으로, 집합 S {\displaystyle S} 및 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )} 및 X {\displaystyle X} 값 함수열 f n : S → X {\displaystyle f_{n}\colon S\to X} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 은 균등 수렴한다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다. 임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, ‖ ∑ k = m + 1 n f k ( s ) ‖ < ϵ {\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon } 증명: ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ {\displaystyle N_{\epsilon }} 가 존재한다. 임의의 n > N ϵ {\displaystyle n>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, ‖ ∑ k = 0 n f k ( s ) − ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) ‖ < ϵ 2 {\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right\Vert <{\frac {\epsilon }{2}}} 따라서, 임의의 n > m > N ϵ {\displaystyle n>m>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, ‖ ∑ k = m + 1 n f n ( s ) ‖ = ‖ ∑ k = 0 n f k ( s ) − ∑ k = 0 m f k ( s ) ‖ ≤ ‖ ∑ k = 0 n f k ( s ) − ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) ‖ + ‖ ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) − ∑ k = 0 m f k ( s ) ‖ < ϵ {\displaystyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{n}(s)\right\Vert =\left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert \leq \left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right\Vert +\left\Vert \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon } 이다. 반대로, 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다고 가정하자. 임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, ‖ ∑ k = m + 1 n f k ( s ) ‖ < ϵ {\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon } 그렇다면, 각 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에서의 부분합 ∑ k = 0 n f k ( s ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 위의 코시 수열이며, 따라서 ∑ n = 0 ∞ f n ( s ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(s)} 은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 을 취하면 다음을 얻는다. 임의의 m > N ϵ {\displaystyle m>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, ‖ ∑ k = 0 ∞ f k ( s ) − ∑ k = 0 m f k ( s ) ‖ < ϵ {\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon } 이에 따라, ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 은 균등 수렴한다. 임의의 집합 S {\displaystyle S} 및 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )} 에 대하여, 유계 함수 S → X {\displaystyle S\to X} 의 집합 B ( S , X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)} 은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 또한 다음과 같은 상한 노름에 대하여 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. ‖ f ‖ ∞ = sup s ∈ S ‖ f ( s ) ‖ ( f ∈ B ( S , X ) ) {\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }=\sup _{s\in S}\Vert f(s)\Vert \qquad (f\in {\mathcal {B}}(S,X))} 만약 각 f n {\displaystyle f_{n}} 이 유계 함수라면, 첫 번째 조건은 ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 이 상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합 ∑ k = 0 n f k {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}} 이 상한 노름에 대하여 B ( S , X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)} 위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다. 일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 n = m + 1 {\displaystyle n=m+1} 을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다. 모든 절대 수렴 급수는 수렴한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다. 바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다. 임의의 열린구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 및 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 및 함수 f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 함수의 극한 lim x → a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)} 이 존재한다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 δ ϵ > 0 {\displaystyle \delta _{\epsilon }>0} 가 존재한다. 임의의 0 < | x − a | , | y − a | < δ ϵ {\displaystyle 0<|x-a|,|y-a|<\delta _{\epsilon }} 에 대하여, | f ( x ) − f ( y ) | < ϵ {\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon } 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x} f : [ a , ∞ ) → K {\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {K} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x} 는 수렴한다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 M > a {\displaystyle M>a} 가 존재한다. 임의의 x , y > M {\displaystyle x,y>M} 에 대하여, | ∫ x y f ( t ) d t | < ϵ {\displaystyle \textstyle \left|{\int _{x}^{y}f(t)\mathrm {d} t}\right|<\epsilon } Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). 《Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence》. Operator Theory Advances and Applications (영어) 94. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9196-7. ISBN 978-3-0348-9942-0. Zbl 0876.46009.  “Cauchy test”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy criterion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.