단체 집합

호모토피 이론에서 단체 집합(單體集合, 영어: simplicial set)은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다. 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다. 단체 집합은 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 속의 단체 대상, 즉 함자 X ∙ : △ op → Set {\displaystyle X_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 이다. 마찬가지로, 첨가 단체 집합(添加單體集合, 영어: augmented simplicial set)은 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 속의 첨가 단체 대상, 즉 함자 X ∙ : △ + op → Set {\displaystyle X_{\bullet }\colon \triangle _{+}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 이다. 여기서 △ {\displaystyle \triangle } 은 단체 범주이며, △ + {\displaystyle \triangle _{+}} 는 첨가 단체 범주이다. 다시 말해, X − 1 = S {\displaystyle X_{-1}=S} 인 첨가 단체 집합 X ∙ {\displaystyle X_{\bullet }} 은 조각 범주 Set ⁡ / S {\displaystyle \operatorname {Set} /S} 위의 단체 대상과 같다. 단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다. 단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합 ∅ ∙ : △ op → Set {\displaystyle \varnothing _{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } ∅ ∙ : n ↦ ∅ ∀ n ∈ △ {\displaystyle \varnothing _{\bullet }\colon n\mapsto \varnothing \qquad \forall n\in \triangle } 이며, 끝 대상은 한원소 공간 1 ∙ : △ op → Set {\displaystyle 1_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 1 ∙ : n ↦ { ∙ } ∀ n ∈ △ {\displaystyle 1_{\bullet }\colon n\mapsto \{\bullet \}\qquad \forall n\in \triangle } 이다. (여기서 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다. 단체 집합의 범주 s ⁡ ( Set ) {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )} 와 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다. s ⁡ ( Set ) ⇆ | ⋅ | S Top {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )\,{\overset {S}{\underset {|\cdot |}{\leftrightarrows }}}\,\operatorname {Top} } | ⋅ | ⊣ Sing {\displaystyle |\cdot |\dashv \operatorname {Sing} } 여기서 Sing {\displaystyle \operatorname {Sing} } 을 특이 단체 함자(特異單體函子, 영어: singular simplex functor), | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 을 기하학적 실현 함자(幾何學的實現函子, 영어: geometric realization functor)라고 한다. 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 특이 단체 집합(영어: singular simplicial set) Sing ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {Sing} (Y)} 는 다음과 같다. Sing ⁡ ( Y ) n = hom top ⁡ ( △ n , Y ) {\displaystyle \operatorname {Sing} (Y)_{n}=\hom _{\operatorname {top} }(\triangle ^{n},Y)} 여기서 △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 은 n {\displaystyle n} 차원 단체이다. 즉, 함자 Sing ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {Sing} (Y)} 의 n {\displaystyle n} 차 성분은 Y {\displaystyle Y} 의 n {\displaystyle n} 차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다. 단체 집합 X {\displaystyle X} 에 대응하는 기하학적 실현 | X | {\displaystyle |X|} 는 다음과 같은 위상 공간이다. | X | = ( ⨆ n X n × △ n ) / ∼ {\displaystyle |X|=\left(\bigsqcup _{n}X_{n}\times \triangle ^{n}\right)/{\sim }} 여기서 △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 은 n {\displaystyle n} 차원 표준 단체이며, ∼ {\displaystyle \sim } 은 ( x , S i ( p ) ) ∼ ( s i ( x ) , p ) ∀ p ∈ △ n {\displaystyle (x,S_{i}(p))\sim (s_{i}(x),p)\qquad \forall p\in \triangle ^{n}} ( x , D i ( p ) ) ∼ ( d i ( x ) , p ) ∀ p ∈ △ n {\displaystyle (x,D_{i}(p))\sim (d_{i}(x),p)\qquad \forall p\in \triangle ^{n}} 로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서 d i : { 0 , 1 , … , n − 1 } → { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle d_{i}\colon \{0,1,\dots ,n-1\}\to \{0,1,\dots ,n\}} 는 상이 { 0 , 1 , … , n } ∖ { i } {\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}\setminus \{i\}} 인 유일한 증가 단사 함수이며, s i : { 0 , 1 , … , n } → { 0 , 1 , … , n − 1 } {\displaystyle s_{i}\colon \{0,1,\dots ,n\}\to \{0,1,\dots ,n-1\}} 는 i ∈ { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{0,1,\dots ,n\}} 를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. D i : △ n → △ n + 1 {\displaystyle D_{i}\colon \triangle ^{n}\to \triangle ^{n+1}} 및 S i : △ n → △ n − 1 {\displaystyle S_{i}\colon \triangle ^{n}\to \triangle ^{n-1}} 는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다. 단체 집합 X ∙ {\displaystyle X_{\bullet }} 이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자. C n = Z ⊕ X n {\displaystyle C_{n}=\mathbb {Z} ^{\oplus X_{n}}} 그렇다면, 이 위에 ∂ n , i {\displaystyle \partial _{n,i}} 및 s n , i {\displaystyle s_{n,i}} 를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, C n {\displaystyle C_{n}} 은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체 ∂ n : C n → C n − 1 {\displaystyle \partial _{n}\colon C_{n}\to C_{n-1}} ∂ n = ∑ i = 0 n ∂ n , i {\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}\partial _{n,i}} 의 호몰로지를 단체 집합 X {\displaystyle X} 의 단체 호몰로지(單體homology, 영어: simplicial homology)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.) 표준 단체 △ n = { t → ∈ R n + 1 : ∑ i = 0 n t i = 1 } {\displaystyle \triangle ^{n}=\left\{{\vec {t}}\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon \sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right\}} 위의 유리수 계수 다항식 미분 형식(영어: rational-coefficient polynomial differential form)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다. ϕ i 0 , i 1 , … , i n d t i 0 ∧ d t i 1 ∧ ⋯ ∧ d t i n ( ϕ i 0 , i 1 , … , i n ∈ Q [ t 0 , … , t n ] , i 0 < i 1 < ⋯ < i n ) {\displaystyle \phi _{i_{0},i_{1},\dotsc ,i_{n}}\mathrm {d} t_{i_{0}}\wedge \mathrm {d} t_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} t_{i_{n}}\qquad (\phi _{i_{0},i_{1},\dotsc ,i_{n}}\in \mathbb {Q} [t_{0},\dotsc ,t_{n}],\;i_{0}<i_{1}<\dotsb <i_{n})} 이들의 유리수 벡터 공간을 Ω PL ( n ) {\displaystyle \Omega _{\text{PL}}(n)} 으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이제, 함자 Ω PL : △ → CDGA ≥ 0 op {\displaystyle \Omega _{\text{PL}}\colon \triangle \to \operatorname {CDGA} _{\geq 0}^{\operatorname {op} }} 를 다음과 같이 정의할 수 있다. Ω PL : n ↦ Ω PL ( n ) {\displaystyle \Omega _{\text{PL}}\colon n\mapsto \Omega _{\text{PL}}(n)} 임의의 증가 함수 f : { 0 , 1 , … , m } → { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle f\colon \{0,1,\dotsc ,m\}\to \{0,1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, Ω PL ( f ) : t i ↦ ∑ j ∈ f − 1 ( i ) t j {\displaystyle \Omega _{\text{PL}}(f)\colon t_{i}\mapsto \sum _{j\in f^{-1}(i)}t_{j}} Ω PL ( f ) : d t i ↦ ∑ j ∈ f − 1 ( i ) d t j {\displaystyle \Omega _{\text{PL}}(f)\colon \mathrm {d} t_{i}\mapsto \sum _{j\in f^{-1}(i)}\mathrm {d} t_{j}} 그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자 Ω PL : s ⁡ ( Set ) → CDGA ≥ 0 op {\displaystyle \Omega _{\text{PL}}\colon \operatorname {s} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {CDGA} _{\geq 0}^{\operatorname {op} }} 를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 유리수 계수 다항식 미분 형식들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다. 이는 오른쪽 수반 함자 R : CDGA ≥ 0 op → s ⁡ ( Set ) {\displaystyle R\colon \operatorname {CDGA} _{\geq 0}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {s} (\operatorname {Set} )} 를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자 Ω PL ⊣ R {\displaystyle \Omega _{\text{PL}}\dashv R} 를 이룬다.:§8 단체 집합의 범주 s ⁡ ( Set ) {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )} 는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다. 기하학적 실현 함자 | ⋅ | : s ⁡ ( Set ) → Top {\displaystyle |\cdot |:\operatorname {s} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {Top} } 는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 CGHaus {\displaystyle \operatorname {CGHaus} } 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.:49 또한, 단체 집합 X {\displaystyle X} 의 기하학적 실현 | X | {\displaystyle |X|} 는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.:p. 46 단체 집합의 범주 s ⁡ ( Set ) {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )} 는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다. 약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다. 올뭉치는 칸 올뭉치(Kan올뭉치, 영어: Kan fibration)이다. 올대상은 칸 복합체(Kan複合體, 영어: Kan complex)이다. 단체 집합 E {\displaystyle E} , B {\displaystyle B} 사이의 사상 π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 칸 올뭉치(영어: Kan fibration)라고 한다. 임의의 단체 △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 의 뿔 ι : ∧ k n ↪ △ n {\displaystyle \iota \colon \wedge _{k}^{n}\hookrightarrow \triangle ^{n}} 및 사상 f ~ 0 : ∧ k n → X {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\colon \wedge _{k}^{n}\to X} 및 f : △ n → B {\displaystyle f\colon \triangle ^{n}\to B} 에 대하여, 만약 f ∘ ι = π ∘ f ~ 0 {\displaystyle f\circ \iota =\pi \circ {\tilde {f}}_{0}} 라면, f ~ ∘ ι = f ~ 0 {\displaystyle {\tilde {f}}\circ \iota ={\tilde {f}}_{0}} 이고 π ∘ f ~ = f {\displaystyle \pi \circ {\tilde {f}}=f} 인 f ~ : △ n → E {\displaystyle {\tilde {f}}\colon \triangle ^{n}\to E} 가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다. ∧ k n → f ~ 0 E ι ↓ ↗ ∃ f ~ ↓ π △ n → f B {\displaystyle {\begin{matrix}\wedge _{k}^{n}&{\xrightarrow {{\tilde {f}}_{0}}}&E\\{\scriptstyle \iota }\downarrow &\nearrow \scriptstyle \exists {\tilde {f}}&\downarrow \scriptstyle \pi \\\triangle ^{n}&{\xrightarrow[{f}]{}}&B\end{matrix}}} 이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다. ∙ {\displaystyle \bullet } 이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, 칸 복합체(Kan複合體, 영어: Kan complex)는 ∙ {\displaystyle \bullet } 으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 단체 집합의 범주에서 표준 n {\displaystyle n} 차원 단체(영어: standard n {\displaystyle n} -simplex) △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 는 hom △ ⁡ ( − , Δ n ) {\displaystyle \hom _{\triangle }(-,\Delta _{n})} 로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해 hom s ⁡ ( Set ) ⁡ ( △ n , Y ) ≅ Y ( n ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {s} (\operatorname {Set} )}(\triangle ^{n},Y)\cong Y(n)} 가 성립한다. 표준 n {\displaystyle n} 차원 단체 △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 가 주어졌을 때, k ∈ { 0 , … , n } {\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}} 에 대하여, ∧ k n {\displaystyle \wedge _{k}^{n}} 가 ∂ △ n {\displaystyle \partial \triangle ^{n}} 에서 k {\displaystyle k} 번째 면들을 제거한 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 뿔(영어: horn)이라고 한다. 만약 C → Set {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 가 구체적 범주일 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. (추상적) 단체 복합체 ( Σ n ) n ∈ N {\displaystyle (\Sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }} . 여기서 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 은 꼭짓점들의 집합이며, Σ i ⊆ P ( Σ 0 ) {\displaystyle \Sigma _{i}\subseteq {\mathcal {P}}(\Sigma _{0})} 는 i + 1 {\displaystyle i+1} 개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다. 꼭짓점 집합 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 위의 전순서 ≤ {\displaystyle \leq } 그렇다면, 다음을 정의하자. 양의 정수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 집합 Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} 의 원소 M {\displaystyle M} 은 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 의 원소들로 구성된, 크기 n + 1 {\displaystyle n+1} 의 중복집합 M {\displaystyle M} 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 | M | {\displaystyle |M|} 이 ⨆ n = 0 ∞ Σ n {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{n=0}^{\infty }\Sigma _{n}} 에 속하는 것이다. 꼭짓점 중복집합 M ∈ Δ n {\displaystyle M\in \Delta _{n}} 이 주어졌다고 하자. M {\displaystyle M} 에서, i + 1 {\displaystyle i+1} 번째로 작은 원소를 m i ∈ Σ 0 {\displaystyle m_{i}\in \Sigma _{0}} 라고 하자 ( 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle 0\leq i\leq n} ). 그렇다면, ∂ n i ( M ) {\displaystyle \partial _{n}^{i}(M)} 및 s n i ( M ) {\displaystyle s_{n}^{i}(M)} 을 다음과 같이 정의하자. ∂ n i ( M ) = M ∖ { m i } ∈ Δ n − 1 {\displaystyle \partial _{n}^{i}(M)=M\setminus \{m_{i}\}\in \Delta _{n-1}} s n i ( M ) = M ⊔ { m i } ∈ Δ n + 1 {\displaystyle s_{n}^{i}(M)=M\sqcup \{m_{i}\}\in \Delta _{n+1}} 그렇다면, ( Δ n , ∂ n i , s n i ) n , i {\displaystyle (\Delta _{n},\partial _{n}^{i},s_{n}^{i})_{n,i}} 는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 ( Σ n ) n ∈ N {\displaystyle (\Sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }} 의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다. 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 nerve ⁡ C {\displaystyle \operatorname {nerve} {\mathcal {C}}} 가 존재하며, 이를 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자 nerve : Cat → sSet {\displaystyle \operatorname {nerve} \colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {sSet} } 를 정의한다. 단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다. 정규화 사슬 복합체 Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. 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