보고몰니 방정식

양자장론에서 보고몰니 방정식(Богомольный方程式, 영어: Bogomol’nyi equation)은 3차원 공간 위의 주접속과 딸림표현 스칼라장에 대한 1차 비선형 편미분 방정식이다. 그 해는 자기 홀극을 나타낸다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 3차원 유향 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 이를 통하여, 호지 쌍대 ∗ : Ω ∙ ( M ) → Ω 3 − ∙ ( M ) {\displaystyle *\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{3-\bullet }(M)} 가 존재한다. 콤팩트 단순 리 군 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} -주다발 π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M} 이로부터 G {\displaystyle G} 의 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발 ad ⁡ ( P ) = P × G l i e ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)} 을 정의할 수 있다. π {\displaystyle \pi } 의 주접속 ∇ A {\displaystyle \nabla _{A}} 그 곡률을 F ∈ Ω 2 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))} 라고 하자. ad ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {ad} (P)} 의 매끄러운 단면 ϕ ∈ Γ ∞ ( ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (P))} 이에 대한 공변 미분 ∇ A ϕ ∈ Ω 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \nabla _{A}\phi \in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))} 을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이 데이터에 대한 다음과 같은 1차 편미분 방정식을 보고몰니 방정식이라고 한다. F A = ∗ ∇ A ϕ {\displaystyle F_{A}=*\nabla _{A}\phi } 보고몰니 방정식의 해는 물리학적으로 자기 홀극을 나타낸다. 편의상, 게이지 군 G = SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)} 및 M = R 3 {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}} 를 생각하자. 보고몰니 방정식의 해 가운데, 유한한 에너지 ∫ M ( ⟨ F , F ⟩ + ⟨ D ϕ , D ϕ ⟩ ) d 3 x < ∞ {\displaystyle \int _{M}(\langle F,F\rangle +\langle \mathrm {D} \phi ,\mathrm {D} \phi \rangle )\,\mathrm {d} ^{3}x<\infty } 를 가지는 것들의, 게이지 변환군 C ∞ ( R 3 , SU ⁡ ( 2 ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\operatorname {SU} (2))} 의 작용에 대한 동치류를 자기 홀극이라고 한다. 만약 M = R 3 {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}} 인 경우, 이는 다음 조건을 함의한다.:15, (2.4) | ϕ | = ϕ 0 − k 2 r + O ( r − 2 ) {\displaystyle |\phi |=\phi _{0}-{\frac {k}{2r}}+{\mathcal {O}}(r^{-2})} ∂ | ϕ | ∂ θ = O ( r − 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial |\phi |}{\partial \theta }}={\mathcal {O}}(r^{-2})} | D ϕ | = O ( r − 2 ) {\displaystyle |\mathrm {D} \phi |={\mathcal {O}}(r^{-2})} 여기서 θ {\displaystyle \theta } 는 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 의 구면 좌표에서 임의의 방향으로의 각 좌표이며, r {\displaystyle r} 는 원점으로부터의 거리이다. Φ 0 {\displaystyle \Phi _{0}} 는 임의의 상수이며, k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 는 자하(磁荷, 영어: magnetic charge)이다. 주어진 자하의 보고몰니 방정식의 모듈라이 공간을 N k {\displaystyle {\mathcal {N}}_{k}} 라고 하자. 이 대신, R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 의 임의의 한 방향을 골라, 이 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 가할 수 있다. 이러한 게이지 환의 군을 G 0 ≤ G = C ∞ ( R 3 , SU ⁡ ( 2 ) ) {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\leq {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\operatorname {SU} (2))} 라고 하자. 그렇다면 유한 에너지 보고몰니 방정식 해의 G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}} 동치류를 틀 갖춘 자기 홀극(영어: framed monopole)이라고 하자.:15–16. 자하가 k {\displaystyle k} 인 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간을 M k {\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}} 라고 하자. 그렇자면 정의에 따라 이는 U(1) 주다발 U ⁡ ( 1 ) ↪ M k ↠ N k {\displaystyle \operatorname {U} (1)\hookrightarrow {\mathcal {M}}_{k}\twoheadrightarrow {\mathcal {N}}_{k}} 을 이룬다. 보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자가 따르는 자기 쌍대성 방정식 F ( 4 ) = ± ∗ F ( 4 ) {\displaystyle F^{(4)}=\pm *F^{(4)}} 을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 이 경우, 4차원의 게이지 퍼텐셜 A {\displaystyle A} 는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 분해된다. 즉, 4차원 주접속의 곡률은 F ( 4 ) = ( 0 ∇ A Φ − ∇ A Φ F ) {\displaystyle F^{(4)}={\begin{pmatrix}0&\nabla _{A}\Phi \\-\nabla _{A}\Phi &F\end{pmatrix}}} 의 꼴이다. 따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은 F = ± ∗ ∇ A Φ {\displaystyle F=\pm *\nabla _{A}\Phi } 가 된다. 물론, 부호 ±는 Φ {\displaystyle \Phi } 를 재정의하여 없앨 수 있다. R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 위의 SU(2) 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간 M k {\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}} 는 4 k {\displaystyle 4k} 차원 리만 다양체이며, 초켈러 다양체이다. (그 위의 리만 계량은 해의 L2 계량으로 주어진다.) 즉, N k {\displaystyle {\mathcal {N}}_{k}} 는 4 k − 1 {\displaystyle 4k-1} 차원 리만 다양체이다. 또한, 이 위에는 아벨 리 군 R 3 × U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \operatorname {U} (1)} 이 작용하며, 이에 대한 몫공간 M k R 3 × U ⁡ ( 1 ) = M ~ k {\displaystyle {\frac {{\mathcal {M}}_{k}}{\mathbb {R} ^{3}\times \operatorname {U} (1)}}={\tilde {\mathcal {M}}}_{k}} 을 정의할 수 있다. M ~ k {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{k}} 는 4 ( k − 1 ) {\displaystyle 4(k-1)} 차원 초켈러 다양체이다. 특히, M 1 = R 3 × U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}=\mathbb {R} ^{3}\times \operatorname {U} (1)} 이다. 즉, 하나의 자기 홀극은 자명한 모듈라이 공간을 갖는다. 이러한 k = 1 {\displaystyle k=1} 해는 프라사드-소머필드 해(영어: Prasad–Sommerfield solution)라고 하며, 다음과 같다. A = ( 1 sinh ⁡ r − 1 r ) ϵ i j k x j r σ k d x i {\displaystyle A=\left({\frac {1}{\sinh r}}-{\frac {1}{r}}\right)\epsilon _{ijk}{\frac {x^{j}}{r}}\sigma ^{k}\,\mathrm {d} x^{i}} ϕ = ( 1 tanh ⁡ r − 1 r ) x i r σ i {\displaystyle \phi =\left({\frac {1}{\tanh r}}-{\frac {1}{r}}\right){\frac {x^{i}}{r}}\sigma _{i}} 여기서 σ i {\displaystyle \sigma _{i}} 는 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 의 기저를 이루는 파울리 행렬이다. k = 2 {\displaystyle k=2} 일 때, M ~ 2 {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{2}} 는 아티야-히친 다양체이다. 이는 점근 국소 평탄 공간이며, ADE 분류에서 D0형에 해당한다. (반면, A−1형은 R 3 × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}} 이며, A₀형은 토브-너트 공간이며, An은 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 중 토브-너트 공간이다. E형은 존재하지 않는다.) 아티야-히친 다양체는 SU(2) 등거리군을 가지며, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 아티야-히친 다양체의 2겹 피복 공간은 D₁형 점근 국소 평탄 공간이다. 보고몰니 방정식의 해는 남 방정식으로 구성된다.:Chapter 16 예브게니 보리소비치 보고몰니(러시아어: Евге́ний Бори́сович Богомо́льный)가 도입하였다. 긴즈부르크-란다우 이론 자이베르그-위튼 이론 Atiyah, Michael; Hitchin, Nigel (1988). 《The geometry and dynamics of magnetic monopoles》. M. B. Porter Lectures (영어). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08480-0. MR 934202.  Hanany, Amihay; Pioline, Boris. “(Anti-)Instantons andthe Atiyah-Hitchin Manifold” (영어). arXiv:hep-th/0005160.  Foscolo, Lorenzo. “ALF gravitational instantons and collapsing Ricci-flat metrics on the K3 surface” (영어). arXiv:1603.06315.  Богомольный, Евгений Борисович (1976). “Устойчивость Классических Решений” (러시아어) 24: 861–870. ISSN 0044-0027.  Murray, Michael K.; Singer, Michael A. (2003). “A note on monopole moduli spaces” (영어). arXiv:math-ph/0302020.  “Magnetic monopole”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.