분배 이음 반격자

순서론에서 분배 이음 반격자(영어: distributive join-semilattice)와 분배 만남 반격자(영어: distributive meet-semilattice)는 분배 격자의 반격자 일반화이다. 이음 반격자 ( S , ∨ ) {\displaystyle (S,\vee )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 이음 반격자라고 한다. 임의의 a , b , c ∈ S {\displaystyle a,b,c\in S} 에 대하여, 만약 c ≤ a ∨ b {\displaystyle c\leq a\vee b} 라면, c = a ′ ∨ b ′ {\displaystyle c=a'\vee b'} 인 a ′ ≤ a {\displaystyle a'\leq a} 및 b ′ ≤ b {\displaystyle b'\leq b} 가 존재한다. S {\displaystyle S} 의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (S)} 은 분배 격자를 이룬다.:167, Lemma 184(iii) 마찬가지로, 만남 반격자 ( S , ∧ ) {\displaystyle (S,\wedge )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 만남 반격자라고 한다. 임의의 a , b , c ∈ S {\displaystyle a,b,c\in S} 에 대하여, 만약 c ≥ a ∧ b {\displaystyle c\geq a\wedge b} 라면, c = a ′ ∧ b ′ {\displaystyle c=a'\wedge b'} 인 a ′ ≥ a {\displaystyle a'\geq a} 및 b ′ ≥ b {\displaystyle b'\geq b} 가 존재한다. S {\displaystyle S} 의 필터들의 부분 순서 집합 Filter ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Filter} (S)} 은 분배 격자를 이룬다. 증명: 이음 반격자 S {\displaystyle S} 가 주어졌으며, a , b , c ∈ S {\displaystyle a,b,c\in S} 에 대하여, 만약 c ≤ a ∨ b {\displaystyle c\leq a\vee b} 라면, c = a ′ ∨ b ′ {\displaystyle c=a'\vee b'} 인 a ′ ≤ a {\displaystyle a'\leq a} 및 b ′ ≤ b {\displaystyle b'\leq b} 가 존재한다고 하자. 모든 이음 반격자의 순서 아이디얼 집합은 이음 반격자를 이룬다. 가정한 조건에 따라, S {\displaystyle S} 가 하향 집합을 이루므로, 두 순서 아이디얼의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서, Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (S)} 는 격자를 이룬다. 이제, Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (S)} 가 분배 격자임을 보이려면, 임의의 세 순서 아이디얼 I , J , K ∈ Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle I,J,K\in \operatorname {Ideal} (S)} 에 대하여, I ∨ ( J ∧ K ) = ( I ∨ J ) ∧ ( I ∨ K ) {\displaystyle I\vee (J\wedge K)=(I\vee J)\wedge (I\vee K)} 임을 보이면 족하다. ≤ {\displaystyle \leq } 는 모든 격자 위에서 성립한다. 이제 임의의 a ∈ ( I ∨ J ) ∧ ( I ∨ K ) {\displaystyle a\in (I\vee J)\wedge (I\vee K)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가정에 따라 a = i ∨ j = i ′ ∨ k {\displaystyle a=i\vee j=i'\vee k} 인 i , i ′ ∈ I {\displaystyle i,i'\in I} 및 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 및 k ∈ K {\displaystyle k\in K} 가 존재한다. j ≤ i ∨ j = i ′ ∨ k {\displaystyle j\leq i\vee j=i'\vee k} 이므로, j = i ″ ∨ k ′ {\displaystyle j=i''\vee k'} 인 i ″ ≤ i ′ {\displaystyle i''\leq i'} 및 k ′ ≤ k {\displaystyle k'\leq k} 가 존재한다. 이 경우 i ″ ∈ I {\displaystyle i''\in I} 이며, k ′ ≤ i ″ ∨ k ′ = j {\displaystyle k'\leq i''\vee k'=j} 이므로 k ′ ∈ J ∧ K {\displaystyle k'\in J\wedge K} 이다. 따라서, a = i ∨ j = i ∨ ( i ″ ∨ k ′ ) = ( i ∨ i ″ ) ∨ k ′ ∈ I ∨ ( J ∧ K ) {\displaystyle a=i\vee j=i\vee (i''\vee k')=(i\vee i'')\vee k'\in I\vee (J\wedge K)} 이다. 반대로, 이음 반격자 S {\displaystyle S} 에 대하여, Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (S)} 가 격자이며, 또한 분배 격자라고 하자. 또한, a , b , c ∈ S {\displaystyle a,b,c\in S} 이며, c ≤ a ∨ b {\displaystyle c\leq a\vee b} 라고 하자. 주 순서 아이디얼 ↓ ⁡ a , ↓ ⁡ b , ↓ ⁡ c ∈ Ideal ⁡ ( S ) {\displaystyle \mathop {\downarrow } a,\mathop {\downarrow } b,\mathop {\downarrow } c\in \operatorname {Ideal} (S)} 을 생각하자. 분배 법칙에 따라, ↓ ⁡ c = ↓ ⁡ c ∧ ↓ ⁡ ( a ∨ b ) = ↓ ⁡ c ∧ ( ↓ ⁡ a ∨ ↓ ⁡ b ) = ( ↓ ⁡ c ∧ ↓ ⁡ a ) ∨ ( ↓ ⁡ c ∧ ↓ ⁡ b ) {\displaystyle \mathop {\downarrow } c=\mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } (a\vee b)=\mathop {\downarrow } c\wedge (\mathop {\downarrow } a\vee \mathop {\downarrow } b)=(\mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } a)\vee (\mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } b)} 이다. 특히, c ≤ a ′ ∨ b ′ {\displaystyle c\leq a'\vee b'} 인 a ′ ∈ ↓ ⁡ c ∧ ↓ ⁡ a {\displaystyle a'\in \mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } a} 및 b ′ ∈ ↓ ⁡ c ∧ ↓ ⁡ b {\displaystyle b'\in \mathop {\downarrow } c\wedge \mathop {\downarrow } b} 가 존재한다. a ′ , b ′ ≤ c {\displaystyle a',b'\leq c} 이므로, c ≤ a ′ ∨ b ′ {\displaystyle c\leq a'\vee b'} 이다. 모든 분배 이음 반격자는 (공집합이 아니라면) 하향 집합이다. 모든 분배 만남 반격자는 (공집합이 아니라면) 상향 집합이다.:167, Lemma 184(ii) 증명: 분배 이음 반격자 S {\displaystyle S} 및 임의의 원소 a , b ∈ S {\displaystyle a,b\in S} 가 주어졌다고 하자. a ≤ a ∨ b {\displaystyle a\leq a\vee b} 이므로, a = a ′ ∨ b ′ {\displaystyle a=a'\vee b'} 인 a ′ ≤ a {\displaystyle a'\leq a} 및 b ′ ≤ b {\displaystyle b'\leq b} 가 존재한다. 또한, b ′ ≤ a ′ ∨ b ′ = a {\displaystyle b'\leq a'\vee b'=a} 이다. 따라서 b ′ {\displaystyle b'} 은 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 의 하계이다. 분배 격자와 달리, 분배 (이음/만남) 반격자의 모임은 (부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않으므로) 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 사실, 반격자들로 구성된 대수 구조 다양체는 분배 격자를 반격자에 대하여 일반화할 수 없다 (즉, 격자의 경우에 분배 격자와 일치할 수 없다). 격자 ( L , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:167, Lemma 184(i) 이음 반격자 ( L , ∨ ) {\displaystyle (L,\vee )} 는 분배 이음 반격자이다. 만남 반격자 ( L , ∧ ) {\displaystyle (L,\wedge )} 는 분배 만남 반격자이다. 격자 ( L , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge )} 는 분배 격자이다. 증명: 분배 격자 ( L , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge )} 및 a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} 이 주어졌으며, c ≤ a ∨ b {\displaystyle c\leq a\vee b} 라고 하자. 그렇다면, 분배 법칙에 따라 c = c ∧ ( a ∨ b ) = ( c ∧ a ) ∨ ( c ∧ b ) {\displaystyle c=c\wedge (a\vee b)=(c\wedge a)\vee (c\wedge b)} c ∧ a ≤ a {\displaystyle c\wedge a\leq a} c ∧ b ≤ b {\displaystyle c\wedge b\leq b} 이다. 따라서 ( L , ∨ ) {\displaystyle (L,\vee )} 는 분배 이음 반격자이다. 이제, 격자 ( L , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge )} 가 분배 격자가 아니라고 하자. 그렇다면, L {\displaystyle L} 은 오각형 부분 격자 { m , a , b , c , n } {\displaystyle \{m,a,b,c,n\}} m ≤ a ≤ b ≤ n {\displaystyle m\leq a\leq b\leq n} m ≤ c ≤ n {\displaystyle m\leq c\leq n} 또는 다이아몬드 부분 격자 { m , a , b , c , n } {\displaystyle \{m,a,b,c,n\}} m ≤ a , b , c ≤ n {\displaystyle m\leq a,b,c\leq n} 를 갖는다. 이 경우, b ≤ n = a ∨ c {\displaystyle b\leq n=a\vee c} 이지만, b = a ′ ∨ c ′ {\displaystyle b=a'\vee c'} a ′ ≤ a {\displaystyle a'\leq a} c ′ ≤ c {\displaystyle c'\leq c} 인 a ′ , c ′ ∈ L {\displaystyle a',c'\in L} 을 찾을 수 없다. (만약 이러한 a ′ , c ′ ∈ L {\displaystyle a',c'\in L} 이 존재한다면, b = a ′ ∨ c ′ ≤ a ∨ ( c ∧ ( a ′ ∨ c ′ ) ) = a ∨ ( c ∧ b ) = a ∨ m = a {\displaystyle b=a'\vee c'\leq a\vee (c\wedge (a'\vee c'))=a\vee (c\wedge b)=a\vee m=a} 이므로 모순이다.) 따라서, ( L , ∨ ) {\displaystyle (L,\vee )} 는 분배 이음 반격자가 아니다. Grätzer, George (2011). 《Lattice Theory: Foundation》 (영어). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.  Ertola-Biraben, Rodolfo C.; Esteva, Francesc; Godo, Lluís (2021). 〈On distributive join semilattices〉. Fazio, D.; Ledda, A.; Paoli, F. 《Algebraic Perspectives on Substructural Logics》. Trends in Logic (영어) 55. Cham: Springer. arXiv:1902.01656. doi:10.1007/978-3-030-52163-9_3. ISBN 978-3-030-52162-2. MR 4175062. Zbl 07326288.