초선택 규칙

양자역학에서 초선택 규칙(超選擇規則, 영어: superselection rule 슈퍼셀렉션 룰[*])은 특정한 꼴의 중첩 상태의 존재를 막는 규칙으로 선택규칙의 확장이다. 양자역학에서 상태 공간인 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 를 생각하자. 여기서, 두 상태 | ϕ ⟩ , | ψ ⟩ ∈ H {\displaystyle |\phi \rangle ,|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}} 가 다음 조건을 만족한다고 하자. 모든 관측가능량 O {\displaystyle O} 에 대하여, ⟨ ϕ | O | ψ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \phi |O|\psi \rangle =0} . 이와 같은 경우, | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 와 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 사이에 초선택 규칙이 존재한다고 한다. 두 상태 사이에 초선택 규칙이 존재할 경우, 한 상태에서 다른 상태로 절대 전이할 수 없다. 해밀토니언 H {\displaystyle H} 는 항상 관측가능량이므로, ⟨ ϕ | H | ψ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \phi |H|\psi \rangle =0} 이기 때문에 시간 진행에 따라서 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 는 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 와 섞일 수 없다. 또한, 관측가능량을 측정하여 파동 함수 붕괴를 일으킬 경우에도 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 는 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 와 절대 섞일 수 없다. 따라서, | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 와 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 의 중첩은 무의미하다. 다시 말하면, 초선택 규칙이 존재하는 두 상태들의 중첩은 두 상태들을 포함하는 통계역학적 앙상블(밀도 행렬)과 실험적으로 구별할 수 없고, 양자 얽힘 따위의 효과를 관찰할 수 없다. 서로 간에 초선택 규칙이 존재하지 않는 상태들이 이루는 부분공간을 초선택 구역(superselection sector)이라고 한다. 상태 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 는 초선택 구역 부분공간들의 직합으로 나타낼 수 있다. 즉, 초선택 구역들을 H i {\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}} 라고 쓰면, H = ⨁ i H i {\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigoplus _{i}{\mathcal {H}}_{i}} 의 꼴이다. 자발적으로 깨지지 않는 전반적 대칭(global symmetry)이 존재할 경우, 이에 대응하는 보존되는 전하가 존재한다. 이 때, 서로 다른 전하를 가진 상태들 사이에는 초선택 규칙이 존재한다. 다만, 자발 대칭 깨짐이 일어나는 경우에는 이에 따른 초선택 규칙이 없다. 예를 들어, 초전도체 속에서는 양자전기역학의 게이지 대칭이 자발적으로 깨지므로 (BCS 이론), 서로 다른 총 전하를 가진 상태에도 초선택 규칙이 존재하지 않는다. 이는 초전도성에 인하여, 다량의 전하가 "쉽게" 생길 수 있기 때문이다. 페르미온을 포함하는 이론의 경우, 총 스핀이 정수인 상태와 총 스핀이 반정수인 상태 사이에는 초선택 규칙이 존재한다. 이론에 위상수학적 불변량이 존재하는 경우, 이에 따른 위상수학적 구역(topological sector)들 사이에는 초선택 규칙이 존재한다. 간단한 예로, 둘레가 L = 2 π r {\displaystyle L=2\pi r} 인 원 위에 입자가 존재하고, 원 속에 자기 선속이 존재한다고 하자.:3–12 이 경우, 입자의 파동 함수에 ψ ( x + L ) = exp ⁡ ( i θ ) ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x+L)=\exp(i\theta )\psi (x)} 와 같은 경계 조건을 부여할 수 있다. 이 경우 서로 다른 θ {\displaystyle \theta } 값의 경계 조건을 만족하는 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 이는 아로노프-봄 효과에 해당한다. 양자 색역학과 같이, 진공각(영어: vacuum angle)이 존재하는 경우, 서로 다른 진공각을 갖는 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 이론이 상전이를 겪는 경우, 대칭이 깨진 상에서 보통 초선택 규칙이 존재한다. 예를 들어, 2차원 이상에서의 이징 모형의 경우 낮은 온도에서는 평균 스핀이 양수인 상태들과 평균 스핀이 음수인 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 물론, 상전이 온도보다 더 높은 온도에서는 이러한 초선택 규칙이 존재하지 않는다. 초선택 규칙의 개념은 잔카를로 위크(이탈리아어: Gian-Carlo Wick)와 아서 와이트먼, 유진 위그너가 1952년에 도입하였다.:3–13 위크와 와이트먼, 위그너는 총 스핀이 정수인 상태들과 총 스핀이 반정수인 상태들 사이에 초선택 규칙이 있다는 사실을 증명하였고, 또 서로 다른 총 전하량을 가진 상태들 사이에도 초선택 규칙이 있다고 제안하였다. Wick, G. C.; A. S. Wightman, E. P. Wigner (1952년 10월). “The intrinsic parity of elementary particles” (영어) 88: 101–105. Bibcode:1952PhRv...88..101W. doi:10.1103/PhysRev.88.101.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) David, François (2012). “A short introduction to the quantum formalism[s]” (영어). arXiv:1211.5627. Bibcode:2012arXiv1211.5627D.  Bartlett, Stephen D.; Terry Rudolph, Robert W. Spekkens (2007년 4월 5일). “Reference frames, superselection rules, and quantum information”. 《Review of Modern Physics》 (영어) 79: 555–606. arXiv:quant-ph/0610030. Bibcode:2007RvMP...79..555B. doi:10.1103/RevModPhys.79.555. ISSN 0034-6861.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Streater, R. F. (1975년 7월). “Outline of axiomatic relativistic quantum field theory”. 《Reports on Progress in Physics》 (영어) 38 (7): 771–846. Bibcode:1975RPPh...38..771S. doi:10.1088/0034-4885/38/7/001. ISSN 0034-4885.