독립 (확률론)

확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 사건들의 집합 S ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {F}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 가 서로 독립이라고 한다. 모든 유한 집합 { S 1 , … , S n } ⊂ S {\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{n}\}\subset {\mathcal {S}}} 에 대하여, Pr ( S 1 ∩ S 2 ∩ ⋯ ∩ S n ) = Pr ( S 1 ) Pr ( S 2 ) ⋯ Pr ( S n ) {\displaystyle \Pr(S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n})=\Pr(S_{1})\Pr(S_{2})\cdots \Pr(S_{n})} 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 부분 시그마 대수들의 집합 G ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 이 다음 성질을 만족시킬 경우, G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 서로 독립이라고 한다. 모든 유한 집합 { G 1 , … , G n } ⊂ G {\displaystyle \{{\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{n}\}\subset {\mathfrak {G}}} 및 S i ∈ G i {\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {G}}_{i}} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} )에 대하여, Pr ( ⋂ i = 1 n S i ) = ∏ i = 1 n Pr ( S i ) {\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})} 사건의 집합 S ∈ F {\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다. S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 는 사건의 집합으로서 서로 독립이다. { σ ( S ) : S ∈ S } {\displaystyle \{\sigma (S)\colon S\in {\mathcal {S}}\}} 는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서 σ ( S ) = { ∅ , S , Ω ∖ S , Ω } {\displaystyle \sigma (S)=\{\varnothing ,S,\Omega \setminus S,\Omega \}} 는 S {\displaystyle S} 를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다. 같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합 X i : ( Ω , F , Pr ) → ( S i , G i ) ( i ∈ I ) {\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )\to (S_{i},{\mathcal {G}}_{i})\qquad (i\in I)} 에 대하여, 시그마 대수 F i = { X i − 1 ( T ) : T ∈ G i } ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{X_{i}^{-1}(T)\colon T\in {\mathcal {G}}_{i}\}\subset {\mathcal {F}}} 를 정의할 수 있다. 만약 { F i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{i}\}_{i\in I}} 가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 이 서로 독립이라고 한다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 π계의 집합 P ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. { σ ( P ) : P ∈ P } {\displaystyle \{\sigma ({\mathcal {P}})\colon {\mathcal {P}}\in {\mathfrak {P}}\}} 는 서로 독립이다. 모든 유한 집합 { P 1 , … , P n } ⊂ P {\displaystyle \{{\mathcal {P}}_{1},\dots ,{\mathcal {P}}_{n}\}\subset {\mathfrak {P}}} 및 S i ∈ P i {\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} )에 대하여, Pr ( ⋂ i = 1 n S i ) = ∏ i = 1 n Pr ( S i ) {\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})} 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 시그마 대수의 집합 G ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 및 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 의 분할 { G i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathfrak {G}}_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, 만약 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 서로 독립이라면, { σ ( ⋃ G i ) : i ∈ I } {\displaystyle \left\{\sigma \left(\bigcup {\mathfrak {G}}_{i}\right)\colon i\in I\right\}} 역시 서로 독립이다. 동분산성 정규성 “Independence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Independent statistics”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Independent events”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.