리에나르-비헤르트 퍼텐셜

리에나르-비헤르트 퍼텐셜(Liénard–Wiechert potential)은 움직이는 대전된 입자가 만드는 뒤처진 전자기 퍼텐셜이다. 프랑스의 알프레드마리 리에나르(프랑스어: Alfred-Marie Liénard, 1869〜1958)가 1898년 에, 독일의 에밀 요한 비헤르트(독일어: Emil Johann Wiechert, 1861〜1928)가 1900년에 독립적으로 유도하였다. 전하 q {\displaystyle q} 를 가진 입자가 시간 t ′ {\displaystyle t'} 에 따라 경로 y ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {y} (t')} 를 만들며 움직인다고 하자. 이 점전하가 만든, 시각 t {\displaystyle t} 와 위치 x {\displaystyle \mathbf {x} } 에서의 전위 ϕ ( t , x ) {\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )} 와 벡터 퍼텐셜 A ( t , x ) {\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )} 는 뒤쳐진 시간 t ret {\displaystyle t_{\text{ret}}} 에서의 점입자의 위치 y ret {\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}} 와 속도 y ˙ ret {\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}} 에 의해 결정되며, 주어진 시각 t {\displaystyle t} 와 위치 x {\displaystyle \mathbf {x} } 에 대해 뒤쳐진 시간 t ret {\displaystyle t_{\text{ret}}} 은 방정식 t ret = t − | x − y ( t ret ) | c {\displaystyle t_{\text{ret}}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} (t_{\text{ret}})|}{c}}} 를 풀어서 구할 수 있다. 로렌츠 게이지에서, 전위와 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다. ϕ ( t , x ) = q 4 π ϵ 0 r ( 1 − r ^ ⋅ y ˙ ret / c ) {\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}}} A ( t , x ) = μ 0 q y ˙ ret 4 π r ( 1 − r ^ ⋅ y ˙ ret / c ) {\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}q{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}}{4\pi r(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}}} . 여기서 r ^ = ( x − y ret ) / ‖ x − y ret ‖ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}})/\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}}\Vert } 은 입자의 뒤처진 위치 y ret {\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}} 에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 x {\displaystyle \mathbf {x} } 를 가리키는 단위벡터이고, r = ‖ x − y ret ‖ {\displaystyle r=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}}\Vert } 은 입자의 뒤처진 위치 y ret {\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}} 에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 x {\displaystyle \mathbf {x} } 까지의 거리다. c {\displaystyle c} 는 빛의 속도이고, ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 은 진공의 유전율이고, μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 은 진공의 투자율이다. 만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 ( y ˙ ret = 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}=\mathbf {0} } ) 입자의 퍼텐셜은 그냥 쿨롱 퍼텐셜이 된다. ϕ ( t , x ) = q 4 π ϵ 0 r {\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r}}} A ( t , x ) = 0 {\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )=\mathbf {0} } . 리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장을 리에나르-비헤르트 장(Liénard–Wiechert field)이라고 하며, 다음과 같다. E = q 4 π ϵ 0 ( 1 − r ^ ⋅ y ˙ ret / c ) 3 ( ( 1 − ‖ y ˙ ret ‖ 2 / c 2 ) ( r ^ − y ˙ ret / c ) r 2 + ( y ¨ ret × ( r ^ − y ˙ ret / c ) ) × r ^ r c ) {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)^{3}}}\left({\frac {(1-\Vert {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}\Vert ^{2}/c^{2})({\hat {\mathbf {r} }}-{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}{r^{2}}}+{\frac {({\ddot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}\times ({\hat {\mathbf {r} }}-{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c))\times {\hat {\mathbf {r} }}}{rc}}\right)} B = r ^ × E / c {\displaystyle \mathbf {B} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /c} . 즉, 원거리장(far field)은 입자의 (뒤처진) 가속도 y ¨ ret {\displaystyle {\ddot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}} 에 비례한다. 리에나르-비헤르트 장의 포인팅 벡터를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식을 얻는다. 맥스웰 방정식 고전 전자기학 상대론적 전자기학 특수 상대성이론 뤼드베리 공식 예피멘코 방정식 라모 공식 Liénard, A.-M. (1898). “Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique concentrée en un point et animée d’un movement quelconque”. 《L’Éclairage Électrique》 16: 5–14, 53–59, 106–112.  Wiechert, E. (1900). “Elektrodynamische Elementargesetze”. 《Archives Néerlandes》 5: 549–573.  Griffiths, David J. (1999). 《Introduction to Electrodynamics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0138053260.  Jackson, J. D. (1962, 1975, 1998). 《Classical Electrodynamics》 (영어). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. OCLC 535998. 2013년 8월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 8월 17일에 확인함.  다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말)