BRST 양자화

BRST 양자화(영어: BRST quantization) 또는 베키-루에-스토라-튜틴 양자화(영어: Becchi–Rouet–Stora–Tyutin quantization)는 게이지 이론을 양자화하는 한 방법이다. 게이지 이론은 비물리적인 대칭(게이지 대칭)을 지녀 그냥 양자화하기 어렵다. 게이지 대칭을 무시하고 그냥 양자화하면 그 힐베르트 공간이 양의 정부호의 내적을 얻지 못한다. 따라서 상태공간에 차수(grading)를 붙이고 코호몰로지를 만들어 물리적 힐베르트 공간을 얻는다. 카를로 베키(이탈리아어: Carlo Maria Becchi), 알랭 루에(프랑스어: Alain Rouet), 레몽 스토라(프랑스어: Raymond Félix Stora), 러시아의 물리학자 이고리 빅토로비치 튜틴(러시아어: И́горь Ви́кторович Тю́тин) 이 1970년대에 도입하였다. 게이지 이론의 상태공간 H {\displaystyle H} 는 ℤ₂×ℝ차수가 붙은 벡터 공간 (graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 반전성이고, ℝ은 유령수(영어: ghost number)다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자 Q {\displaystyle Q} 는 반전성 − 1 {\displaystyle -1} (홀수), 유령수 1을 가진다. H n {\displaystyle H_{n}} 이 유령수 n {\displaystyle n} 을 가진 상태공간의 부분공간이라고 하자. 그러면 Q : H n → H n + 1 {\displaystyle Q:H_{n}\to H_{n+1}} 이다. Q 2 = 0 {\displaystyle Q^{2}=0} 이므로, 이는 코호몰로지를 이룬다. 이를 BRST 코호몰로지라고 한다. 실재하는 상태는 Q {\displaystyle Q} 의 코호몰로지, 즉 벡터 공간 ker ⁡ Q n + 1 / Im ⁡ Q n {\displaystyle \ker Q_{n+1}/\operatorname {Im} Q_{n}} 의 원소다. 일련의 장 ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} 와 게이지 대칭 δ α {\displaystyle \delta _{\alpha }} 를 생각하자. 이들이 리 대수 [ δ α , δ β ] = f α β γ δ γ {\displaystyle [\delta _{\alpha },\delta _{\beta }]={f_{\alpha \beta }}^{\gamma }\delta _{\gamma }} 를 만족한다고 하자. 경로적분을 위하여 게이지 고정 조건 F A ( ϕ i ) = 0 {\displaystyle F^{A}(\phi _{i})=0} 을 가하자. 원래 이론의 (게이지 고정 전) 작용이 S 0 {\displaystyle S_{0}} 이라고 하면, 이론의 경로적분은 다음과 같다. 1 V gauge ∫ D ϕ exp ⁡ ( − S 0 ) = ∫ D ϕ D B A ; D b A D c α exp ⁡ ( − S ) {\displaystyle {\frac {1}{V_{\text{gauge}}}}\int D\phi \;\exp(-S_{0})=\int D\phi \;DB_{A};Db_{A}Dc^{\alpha }\exp(-S)} 여기서 새 작용은 다음과 같다. S = S 0 + i ∫ B A F A ( ϕ ) + ∫ b ( δ α F A ) c α {\displaystyle S=S_{0}+i\int B_{A}F^{A}(\phi )+\int b(\delta _{\alpha }F^{A})c^{\alpha }} 여기서 b A {\displaystyle b_{A}} , c α {\displaystyle c^{\alpha }} 는 그라스만 장이다. 게이지 고정한 작용 S {\displaystyle S} 는 다음과 같은 BRST 대칭을 만족한다. δ ϕ i = − i ϵ c α δ α ϕ i {\displaystyle \delta \phi _{i}=-i\epsilon c^{\alpha }\delta _{\alpha }\phi _{i}} δ b A = − ϵ B A {\displaystyle \delta b_{A}=-\epsilon B_{A}} δ c α = − 1 2 ϵ c β c γ f β γ α {\displaystyle \delta c^{\alpha }=-{\frac {1}{2}}\epsilon c^{\beta }c^{\gamma }{f_{\beta \gamma }}^{\alpha }} δ B A = 0 {\displaystyle \delta B_{A}=0} 여기서 ϵ {\displaystyle \epsilon } 은 그라스만 도움변수다. 이 연산자를 Q {\displaystyle Q} 라고 부르자. 이는 Q 2 = 0 {\displaystyle Q^{2}=0} 을 만족한다. 따라서 실재하는 상태는 ker ⁡ Q / Im ⁡ Q {\displaystyle \ker Q/\operatorname {Im} Q} 이다. 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 게이지군을 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 즉 게이지장은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 값을 지닌 장이다. 게이지 고정 조건 G a = ξ ∂ μ A μ a {\displaystyle G^{a}=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}} 을 도입하자. 이렇게 하면 게이지장 밖에 파데예프-포포프 유령장 b a {\displaystyle b^{a}} 와 c a {\displaystyle c^{a}} 가 필요하다. 여기에 보조장 B a {\displaystyle B^{a}} 를 추가하자. 그러면 작용은 다음과 같다. L = − 1 4 g 2 Tr ⁡ [ F μ ν F μ ν ] + 1 2 g 2 Tr ⁡ [ B B ] − 1 g 2 Tr ⁡ [ B G ] − ξ g 2 Tr ⁡ [ ∂ μ b D μ c ] {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]} 여기에 BRST 연산자 Q {\displaystyle Q} 를 다음과 같이 정의하자. Q A = D c {\displaystyle QA=Dc} Q c = i 2 [ c , c ] L {\displaystyle Qc={i \over 2}[c,c]_{L}} Q B = 0 {\displaystyle QB=0} Q b = B {\displaystyle Qb=B} 바탈린-빌코비스키 대수 Becchi, C.; A. Rouet; R. Stora (1974년 10월 14일). “The abelian Higgs Kibble model, unitarity of the S-operator”. 《Physics Letters B》 (영어) 52 (3): 344–346. Bibcode:1974PhLB...52..344B. doi:10.1016/0370-2693(74)90058-6.  C. Becchi; A. Rouet; R. Stora (1976년 6월). “Renormalization of gauge theories”. 《Annals of Physics》 (영어) 98 (2): 287–321. Bibcode:1976AnPhy..98..287B. doi:10.1016/0003-4916(76)90156-1.  Tyutin, Igor V. (1975). “Gauge invariance in field theory and statistical physics in operator formalism”. arXiv:0812.0580. Bibcode:2008arXiv0812.0580T.  Becchi, Carlo Maria (2008). “Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry”. 《Scholarpedia》 (영어) 3 (10): 7135. doi:10.4249/scholarpedia.7135.  Becchi, Carlo (1996). “Introduction to BRS symmetry” (영어). arXiv:hep-th/9607181.  D. R. Bes; O. Civitarese (2002년 5월). “Illustrations of the Becchi–Rouet–Stora–Tyutin invariance by means of simple toy models”. 《American Journal of Physics》 (영어) 70 (5): 548–555. doi:10.1119/1.1450574.  Horuzhy, S. S.; A. V. Voronin (1989년 12월). “Remarks on mathematical structure of BRST theories”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 123 (4): 677–685. doi:10.1007/BF01218591.  Barnich, Glenn; Friedemann Brandt; Marc Henneaux (2000년 11월). “Local BRST cohomology in gauge theories”. 《Physics Reports》 (영어) 338 (5): 439–569. arXiv:hep-th/0002245. doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1.  van Holten, J.W. (2005). 〈Aspects of BRST quantization〉. 《Topology and Geometry in Physics》 (영어). Lecture Notes in Physics 659. Berlin, Heidelberg: Springer. 99–166쪽. Bibcode:2005LNP...659...99V. doi:10.1007/978-3-540-31532-2_3. ISBN 978-3-540-23125-7. ISSN 0075-8450.