뒤틀린 K이론

K이론에서, 뒤틀린 K이론(뒤틀린K理論, 영어: twisted K-theory)은 어떤 3차 특이 코호몰로지류에 의존하는, 위상 K이론의 일반화이다. 다음이 주어졌다고 하자. 하우스도르프 콤팩트 공간 M {\displaystyle M} 3차 특이 코호몰로지류 H ∈ H 3 ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )} 임의의 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 프레드홀름 작용소의 공간을 Fred ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})} 라고 하자. 이는 작용소 노름을 통하여 거리 공간을 이루며, 이는 0차 복소수 위상 K군의 분류 공간이다. K 0 ⁡ ( − ) = [ − , Fred ⁡ ( H ) ] {\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(-)=[-,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 사영 유니터리 군 1 → C × id H → PU ⁡ ( H ) → U ⁡ ( H ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {C} ^{\times }\operatorname {id} _{\mathcal {H}}\to \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {U} ({\mathcal {H}})\to 1} 을 생각하자. 그 호모토피 유형은 무한 순환군의 2차 에일렌베르크-매클레인 공간 K ⁡ ( Z , 2 ) {\displaystyle \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)} 이다. PU ⁡ ( H ) ≃ K ⁡ ( Z , 2 ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\simeq \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)} 따라서, H {\displaystyle H} 에 대응되는 PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} -주다발 PU ⁡ ( H ) ↪ P ↠ M {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M} 을 고를 수 있다. 그렇다면, PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} 는 P {\displaystyle P} 및 Fred ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})} 위의 오른쪽 군 작용을 갖는다. Fred ⁡ ( H ) × PU ⁡ ( H ) → Fred ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})} ( A , [ U ] ) ↦ U − 1 A U ∀ U ∈ U ⁡ ( H ) {\displaystyle (A,[U])\mapsto U^{-1}AU\qquad \forall U\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})} 따라서, 등변 함수 P → Fred ⁡ ( H ) {\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})} 의 개념을 정의할 수 있다. M {\displaystyle M} 의, H {\displaystyle H} 에 대한 뒤틀린 K군은 등변 연속 함수 공간의 연결 성분의 집합 K ⁡ ( M , H ) = [ P H , Fred ⁡ ( H ) ] PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[P_{H},\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}} 이다. 연관 벡터 다발 P H × PU ⁡ ( H ) Fred ⁡ ( H ) {\displaystyle P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})} 를 생각하자. M {\displaystyle M} 의, H {\displaystyle H} 에 대한 뒤틀린 K군은 그 연속 단면의 공간의 연결 성분의 집합이다. K ⁡ ( M , H ) = [ M , P H × PU ⁡ ( H ) ] M {\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[M,P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}]_{M}} 뒤틀린 K군은 아벨 군을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다. K 0 ⁡ ( M ; H ) × K 0 ⁡ ( M ; H ′ ) → K 0 ⁡ ( M ; H ) × K 0 ⁡ ( M ; H + H ′ ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H')\to \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H+H')} 즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 가환환을 이룬다. 일반 위상 K이론의 분류 공간은 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 즉, 어떤 위상 공간 M {\displaystyle M} 의 0차 복소수 위상 K군은 호모토피류로 주어진다. K 0 ⁡ ( M ) = [ M , Fred ⁡ ( H ) ] {\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[M,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]} 즉, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 자명한 PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} -주다발 P = M × PU ⁡ ( H ) {\displaystyle P=M\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} 을 정의하였을 때, 함수 P → Fred ⁡ ( H ) {\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})} 가운데 PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} 의 작용에 대한 등변 함수인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 위상 K군과 같다. K 0 ⁡ ( M ) = [ P , Fred ⁡ ( H ) ] PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[P,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}} 이제, 위 구성을 자명한 PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} -주다발 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 사영 유니터리 군 PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} 은 따라서, PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})} -주다발은 M {\displaystyle M} 의 3차 코호몰로지류 H 3 ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )} 로 분류된다. 뒤틀린 K이론은 끈 이론의 D-막을 분류한다. 이 경우, 사용된 3차 코호몰로지류는 캘브-라몽 장의 장세기이다. 막스 카루비(프랑스어: Max Karoubi)와 피터 도노번(영어: Peter Donovan)이 1960년대 말에 도입하였다. 물리학에서 K이론 베스-추미노-위튼 모형 다발 제르브 Karoubi, Max (2007). “Twisted K-theory old and new” (영어). arXiv:math/0701789.  Maldacena, Juan; Moore, Gregory; Seiberg, Nathan (2010). “D-brane instantons and K-theory charges” (영어). arXiv:hep-th/0108100.  Karoubi, Max (1968). “Algèbres de Clifford et K-théorie”. 《Ann. Sci. École Normal Superieur》 (프랑스어): 161–270.  Donovan, Peter; Karoubi, Max (1970). “Graded Brauer groups and K-theory with local coefficients”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (영어) 38: 5–25.  “Twisted K-theory”. 《nLab》 (영어).