코호몰로지 연산

대수적 위상수학에서 코호몰로지 연산(cohomology演算, 영어: cohomology operation)은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류이다. 자연수 m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } 및 아벨 군 G , H ∈ Ab {\displaystyle G,H\in \operatorname {Ab} } 에 대하여, ( m , n ; G , H ) {\displaystyle (m,n;G,H)} 형 1차 코호몰로지 연산(영어: primary cohomology operation of type ( m , n ; G , H ) {\displaystyle (m,n;G,H)} )은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류 A : K ( G , m ) → K ( H , n ) {\displaystyle A\colon K(G,m)\to K(H,n)} 이다. ( m , n ; G , H ) {\displaystyle (m,n;G,H)} 형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지 H n ⁡ ( K ( G , m ) ; H ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)} 를 이룬다. ( m , n ; G , H ) {\displaystyle (m,n;G,H)} 형 1차 코호몰로지 연산 α {\displaystyle \alpha } 는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환 A ∗ : H m ⁡ ( − ; G ) ⇒ H n ⁡ ( − ; H ) {\displaystyle A_{*}\colon \operatorname {H} ^{m}(-;G)\Rightarrow \operatorname {H} ^{n}(-;H)} 을 유도한다. 에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다. K ( H , n − 1 ) ≃ Ω K ( H , n ) ↪ P K ( H , n ) ↠ K ( H , n ) {\displaystyle K(H,n-1)\simeq \Omega K(H,n)\hookrightarrow {\mathcal {P}}K(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n)} 여기서 Ω X = [ S 1 , X ] ∙ {\displaystyle \Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]_{\bullet }} 는 고리 공간, P X = [ I , X ] ∙ {\displaystyle {\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]_{\bullet }} 는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 α ∈ H n ⁡ ( K ( G , m ) ; H ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)} 에 대하여, 올뭉치의 당김 K ( H , n − 1 ) ↪ ι α ∗ P K ( H , n ) ↠ π K ( G , m ) {\displaystyle K(H,n-1){\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n){\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}K(G,m)} 을 정의할 수 있다. A {\displaystyle A} 위의 ( H ′ , n ′ ) {\displaystyle (H',n')} 형 2차 코호몰로지 연산은 A ∗ P K ( H , n ) {\displaystyle A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)} 위의 코호몰로지류 B ∈ H n ′ ⁡ ( α ∗ P K ( H , n ) , n ′ ) {\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')} 이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다. K ( H , n − 1 ) ↪ ι A ∗ P K ( H , n ) ↠ π K ( G , m ) ↓ B K ( H ′ , n ′ ) {\displaystyle {\begin{matrix}K(H,n-1)&{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}&A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)&{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}&K(G,m)\\&&\downarrow \scriptstyle B\\&&K(H',n')\end{matrix}}} 그렇다면, B ∘ ι : K ( H , n − 1 ) → A ∗ P K ( H , n ) → K ( H ′ , n ′ ) {\displaystyle B\circ \iota \colon K(H,n-1)\to A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)\to K(H',n')} 를 사용하여 ( B ∘ ι ) ∗ : H n − 1 ⁡ ( X ; H ) → H n ′ ⁡ ( X ; H ′ ) {\displaystyle (B\circ \iota )_{*}\colon \operatorname {H} ^{n-1}(X;H)\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')} 를 정의할 수 있다. 2차 코호몰로지 연산 B ∈ H n ′ ⁡ ( α ∗ P K ( H , n ) , n ′ ) {\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')} 는 코호몰로지류 위의 함수 B ∗ : ( ker ⁡ A ∗ ⊆ H m ⁡ ( X , G ) ) → H n ′ ⁡ ( X ; H ′ ) ( B ∘ ι ) ∗ H n − 1 ⁡ ( X ; H ) {\displaystyle B_{*}\colon (\ker A_{*}\subseteq \operatorname {H} ^{m}(X,G))\to {\frac {\operatorname {H} ^{n'}(X;H')}{(B\circ \iota )_{*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}}} 를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류 α : X → K ( G , m ) {\displaystyle \alpha \colon X\to K(G,m)} 가 주어졌을 때, B ∗ ( α ) = B ∘ π − 1 ∘ a : X → H n ′ ⁡ ( X ; H ′ ) {\displaystyle B_{*}(\alpha )=B\circ \pi ^{-1}\circ a\colon X\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')} 이다. 여기서 사용한 역함수 π − 1 {\displaystyle \pi ^{-1}} 는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만, π − 1 {\displaystyle \pi ^{-1}} 는 ker ⁡ A ∗ {\displaystyle \ker A_{*}} 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다. π − 1 {\displaystyle \pi ^{-1}} 는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 ( B ∘ ι ) ∗ H n − 1 ⁡ ( X ; H ) {\displaystyle (B\circ \iota )_{*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)} 에 속한다. 보다 일반적으로, k {\displaystyle k} 차 코모홀로지 연산에 대응하는 k + 1 {\displaystyle k+1} 차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 A 1 : K ( G 0 , n 0 ) → K ( G 1 , n 1 ) {\displaystyle A_{1}\colon K(G_{0},n_{0})\to K(G_{1},n_{1})} 에 대한 2차 코호몰로지 연산 A 2 : A 1 ∗ P K ( G 1 , n 1 ) → K ( G 2 , n 2 ) {\displaystyle A_{2}\colon A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})\to K(G_{2},n_{2})} 이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 A 3 : A 2 ∗ P K ( G 2 , n 2 ) → K ( G 3 , n 3 ) {\displaystyle A_{3}\colon A_{2}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{2},n_{2})\to K(G_{3},n_{3})} 이다. 즉, 다음과 같다. K ( G 1 , n 1 − 1 ) ↪ ι 1 A 1 ∗ P K ( G 1 , n 1 ) ↠ π 1 K ( G 0 , n 0 ) ↓ A 2 K ( G 2 , n 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{1},n_{1}-1)&{\stackrel {\iota _{1}}{\hookrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})&{\stackrel {\pi _{1}}{\twoheadrightarrow }}&K(G_{0},n_{0})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{2}\\&&K(G_{2},n_{2})\end{matrix}}} K ( G 2 , n 2 − 1 ) ↪ ι 2 A 2 ∗ P K ( G 2 , n 2 ) ↠ π 2 A 1 ∗ P K ( G 1 , n 1 ) ↓ A 3 K ( G 3 , n 3 ) {\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{2},n_{2}-1)&{\stackrel {\iota _{2}}{\hookrightarrow }}&A_{2}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{2},n_{2})&{\stackrel {\pi _{2}}{\twoheadrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{3}\\&&K(G_{3},n_{3})\end{matrix}}} 이는 연산 A 3 ∗ : ( ker ⁡ A 2 ∗ ⊆ H n 0 ⁡ ( − ; G 0 ) ) → H n 3 ⁡ ( − ; G 3 ) ( A 3 ∘ ι 2 ) ∗ H n 2 − 1 ⁡ ( − ; G 2 ) {\displaystyle A_{3}^{*}\colon \left(\ker A_{2}^{*}\subseteq \operatorname {H} ^{n_{0}}(-;G_{0})\right)\to {\frac {\operatorname {H} ^{n_{3}}(-;G_{3})}{(A_{3}\circ \iota _{2})^{*}\operatorname {H} ^{n_{2}-1}(-;G_{2})}}} 을 정의한다. 특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다. 합곱 ⌣ : K ( G , m ) × K ( G , n ) → K ( G , m + n ) {\displaystyle \smile \colon K(G,m)\times K(G,n)\to K(G,m+n)} . 이는 불안정 연산이다. 스틴로드 제곱 Sq i : K ( Z / 2 , n ) → K ( Z / 2 , n + i ) {\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}\colon K(\mathbb {Z} /2,n)\to K(\mathbb {Z} /2,n+i)} 스틴로드 축소 제곱 P i : K ( Z / p , n ) → K ( Z / p , n + 2 i ( p − 1 ) {\displaystyle P^{i}\colon K(\mathbb {Z} /p,n)\to K(\mathbb {Z} /p,n+2i(p-1)} , p {\displaystyle p} 소수 폰트랴긴 제곱 K ( Z / p r , 2 n ) → K ( Z / p r + 1 , 2 p n ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} /p^{r},2n)\to K(\mathbb {Z} /p^{r+1},2pn)} 아벨 군의 짧은 완전열 G / N = H {\displaystyle G/N=H} 에 대하여, 복시테인 준동형 K ( H , n ) → K ( N , n + 1 ) {\displaystyle K(H,n)\to K(N,n+1)} 포스트니코프 제곱 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다. Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C. (1968). 《Cohomology operations and applications in homotopy theory》 (영어). Harper & Row. MR 0226634.  Steenrod, N. E. (1962). 《Cohomology operations》. Annals of Mathematics Studies (영어) 50. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07924-0. MR 0145525.  Baues, Hans-Joachim (2006). 《The algebra of secondary cohomology operations》. Progress in Mathematics (영어) 247. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7448-8. MR 2220189.  Harper, John R. (2002). 《Secondary cohomology operations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 49. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3198-4. MR 1913285.  “Cohomology operation”. 《nLab》 (영어).  “Power operation”. 《nLab》 (영어).  “Logarithmic cohomology operation”. 《nLab》 (영어).  “Integral cohomology (stable) operations” (영어). Math Overflow.