분리 사상

대수기하학에서 분리 사상(分離寫像, 영어: separated morphism, 프랑스어: morphisme séparé)은 스킴 사이의 사상의 일종이다. 정수환의 스펙트럼으로 가는 유일한 사상이 분리 사상인 스킴을 분리 스킴(分離scheme, 영어: separated scheme, 프랑스어: schéma séparé)이라고 한다. 스킴이 분리 스킴인 것은 위상 공간이 하우스도르프 공간인 것과 유사한 조건이다.:95 스킴의 범주는 모든 올곱을 갖는다. 임의의 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여 올곱 X × Y X {\displaystyle X\times _{Y}X} 을 취할 수 있으며, 대각 사상 diag f : X → X × Y X {\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X} 이 항상 보편 성질에 의하여 존재한다. 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 준분리 사상(準分離寫像, 영어: quasiseparated morphism)이라고 한다. 대각 사상 diag f : X → X × Y X {\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X} 은 준콤팩트 함수이다. 준분리 스킴(準分離scheme, 영어: quasiseparated scheme)은 X → Spec ⁡ Z {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 가 준분리 사상인 스킴 X {\displaystyle X} 이다. 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 사상을 분리 사상이라고 한다. 대각 사상 diag f : X → X × Y X {\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X} 의 상이 닫힌집합이다.:96, Corollary II.4.2 대각 사상 diag f : X → X × Y X {\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X} 이 닫힌 몰입이다.:96 (값매김 조건 영어: valuative criterion):142, Proposition 7.2.3 준분리 사상이며, 임의의 값매김환 R {\displaystyle R} 및 표준적 포함 사상 i : Spec ⁡ Frac ⁡ R → Spec ⁡ R {\displaystyle i\colon \operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R\to \operatorname {Spec} R} 에 대하여, 오른쪽 올림이 만약 존재한다면 유일하다. 즉, 임의의 값매김환 R {\displaystyle R} 및 임의의 사상 x : Spec ⁡ R → X {\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} R\to X} 및 임의의 사상 y ¯ : Spec ⁡ R → X {\displaystyle {\bar {y}}\colon \operatorname {Spec} R\to X} 에 대하여, 만약 y ¯ ∘ i = f ∘ x {\displaystyle {\bar {y}}\circ i=f\circ x} 라면, x = x ¯ ∘ i {\displaystyle x={\bar {x}}\circ i} 인 사상 x ¯ : Spec ⁡ R → X {\displaystyle {\bar {x}}\colon \operatorname {Spec} R\to X} 는 만약 존재한다면 유일하다. Spec ⁡ Frac ⁡ R → x X i ↓ ↗ x ¯ ↓ f Spec ⁡ R → y ¯ Y {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R&{\xrightarrow {x}}&X\\{\scriptstyle i}\downarrow &\nearrow {\scriptstyle {\bar {x}}}&\downarrow \scriptstyle f\\\operatorname {Spec} R&{\xrightarrow[{\bar {y}}]{}}&Y\end{matrix}}} 분리 스킴은 X → Spec ⁡ Z {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 가 분리 사상인 스킴 X {\displaystyle X} 이다.:96 만약 Y {\displaystyle Y} 가 국소 뇌터 스킴이며, f {\displaystyle f} 가 국소 유한형 사상이라면, 값매김 조건에서 "모든 값매김환 R {\displaystyle R} …"를 "모든 이산 값매김환 R {\displaystyle R} …"로 약화시킬 수 있다.:142, Proposition 7.2.3:97, Theorem II.4.3 국소 뇌터 스킴을 정의역으로 하는 모든 스킴 사상은 준분리 사상이므로, 만약 X {\displaystyle X} 또한 국소 뇌터 스킴이라고 가정한다면 " f {\displaystyle f} 는 준분리 사상이며, …" 역시 생략할 수 있다. 분리 사상의 값매김 조건에서 "존재한다면 유일하다"를 "유일하게 존재한다"로 바꾸면, 고유 사상의 값매김 조건을 얻는다. 임의의 두 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이다.:96, Proposition II.4.1 특히, 모든 아핀 스킴은 분리 스킴이다. 이 경우, 대각 사상 Spec ⁡ R → Spec ⁡ R × Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \operatorname {Spec} R\times \operatorname {Spec} R} 은 자연스러운 환 준동형 사상 ϕ : R ⊗ R → R {\displaystyle \phi \colon R\otimes R\to R} ∑ i r i ⊗ s i ↦ ∑ i r i s i {\displaystyle \sum _{i}r_{i}\otimes s_{i}\mapsto \sum _{i}r_{i}s_{i}} 이다. 이는 항상 전사 준동형임을 알 수 있다. 모든 분리 스킴은 준분리 스킴이다. 모든 대수다양체는 분리 스킴이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 두 개의 아핀 직선 A K 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}} 을, 0을 제외한 열린 집합 A K 1 ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}\setminus \{0\}} 에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.:75–76, Example II.2.3.6; 96, Example II.4.0.1 원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 1권 초판에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(영어: prescheme, 프랑스어: préschéma)라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.:xv 고유 사상 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 8. doi:10.1007/bf02699291. ISSN 0073-8301. MR 0217084. 2017년 1월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 26일에 확인함.  Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4 (1): 5–214. doi:10.1007/BF02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. Zbl 0118.36206.  Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1971). 《Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (프랑스어) 166 2판. Springer. ISBN 978-3-540-05113-8. Zbl 0203.23301.  “Scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Separated morphism of schemes”. 《nLab》 (영어).  “Valuative criterion of separatedness”. 《nLab》 (영어).  “Quasi-separated morphism”. 《nLab》 (영어).  “Semiseparated scheme”. 《nLab》 (영어).  “Separated schemes” (영어). Math Overflow.  “Non-quasi-separated morphisms” (영어). Math Overflow.