단위구

수학에서 단위구는 고정된 중심점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 단위공은 고정된 중심점에서 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다. 예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다. 단위구는 단순히 반지름이 1인 구이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동과 크기변환만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다. n차원 공간의 유클리드 공간에서, (n−1)차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} 이다: x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 = 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1} n차원 열린 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다: x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 < 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1} 그리고 n차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다: x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ≤ 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1} 단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 x-, y-, 또는 z-축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다: f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} n차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 해석학의 중요한 공식에 등장한다. n차원 단위공의 부피 Vn은 감마 함수를 사용해서 표현할 수 있다: V n = π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = { π n / 2 / ( n / 2 ) ! i f   n ≥ 0   i s   e v e n ,   π ⌊ n / 2 ⌋ 2 ⌈ n / 2 ⌉ / n ! ! i f   n ≥ 0   i s   o d d , {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}} 이 때 n!!은 이중 팩토리얼이다. (n−1)차원 단위구의 초부피 An(즉, n차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다: A n = n V n = n π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) , {\displaystyle A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,} 여기서 마지막 등식은 n > 0일 때만 성립한다. 일부 n {\displaystyle n} 값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다: n ≥ 2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다. An값은 재귀를 만족시킨다: A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} A 1 = 2 {\displaystyle A_{1}=2} A 2 = 2 π {\displaystyle A_{2}=2\pi } A n = 2 π n − 2 A n − 2 {\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}} for n > 2 {\displaystyle n>2} . Vn값도 재귀를 만족시킨다: V 0 = 1 {\displaystyle V_{0}=1} V 1 = 2 {\displaystyle V_{1}=2} V n = 2 π n V n − 2 {\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}} for n > 1 {\displaystyle n>1} . An과 Vn의 공식은 어떤 실수 n ≥ 0에 대해서도 계산할 수 있고, n이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다. 반지름이 r인 (n–1)차원 구의 표면적은 An rn−1이고, 반지름이 r인 n차원 공의 부피는 Vn rn이다. 예를 들어, 반지름이 r인 삼차원 공의 표면적은 A = 4π r 2이다. 반지름이 r인 삼차원 공의 부피는 V = 4π r 3 / 3이다. 더 정확하게, 노름이 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 의 노름 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 열린 단위구는 다음과 같다: { x ∈ V : ‖ x ‖ < 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}} 이것은 (V,||·||)의 닫힌 단위공의 내부이다: { x ∈ V : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}} 후자는 전자와 그 공통 경계인 단위구의 서로소 연합이고, (V,||·||)의 단위구는 다음과 같다: { x ∈ V : ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}} 단위공의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 Rn의 노름 l∞의 경우에는[−1,1]n처럼 보일 수도 있다. 둥근 공은 일상적인 유클리드 거리의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 단위구를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 p에 대한 이차원 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 공간의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 p < 1일 때는 오목하고 p ≥ 1일 때는 볼록하다): 모든 노름 공간의 단위공은 삼각 부등식에 의해서 반드시 볼록해야 하기 때문에 이것은 조건 p ≥ 1이 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 의 정의에 중요한지 보여준다. 이 이차원 단위공의 지름 C p {\displaystyle C_{p}} 에 대해서 주목하라: C 0 = C ∞ = 8 {\displaystyle C_{0}=C_{\infty }=8} 은 최대값이다. C 1 = 4 2 {\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}} 은 최솟값이다. C 2 = 2 π . {\displaystyle C_{2}=2\pi \,.} 위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다. V가 실이차 형식 F:V → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ V : F(p) = 1 }은 단위구또는 V의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}} 에 대해서 집합이 1과 같을 때, 분할복소수평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x2는 쌍대수평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다. 위키낱말사전에 관련된 항목이 있습니다. unit sphere 공 초구 구 (기하학) 초타원 단위원 단위 디스크 단위구 묶음 단위정사각형 단위정육면체 Takashi Ono (1994) Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps, chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, Plenum Press, ISBN 0-306-44789-4 F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, "Generalized Spheres", page 42, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces, page 24, Springer-Verlag. Deza, E.; Deza, M. (2006), 《Dictionary of Distances》, Elsevier, ISBN 0-444-52087-2 . Reviewed in Newsletter of the European Mathematical Society 64 (June 2007), p. 57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description. Weisstein, Eric Wolfgang. “Unit sphere”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.