추이 측도

측도론과 확률론에서 추이 측도(推移測度, 영어: transition measure)는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다. 두 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 와 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 사이의 추이 측도는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 μ : X × G → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]} 이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, B ↦ μ ( x , B ) {\displaystyle B\mapsto \mu (x,B)} 는 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 위의 측도이다. 임의의 B ∈ G {\displaystyle B\in {\mathcal {G}}} 에 대하여, x ↦ μ ( x , B ) {\displaystyle x\mapsto \mu (x,B)} 는 ( X , F ) → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} 가측 함수이다. 만약 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 B ↦ μ ( x , B ) {\displaystyle B\mapsto \mu (x,B)} 가 확률 측도라면, μ {\displaystyle \mu } 를 확률 추이 측도(確率推移測度, 영어: probability transition measure)이라고 한다. 두 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 와 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 사이의 추이 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 B ⊂ G {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}} 가 존재한다면, μ {\displaystyle \mu } 를 시그마 유한 추이 측도(-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다. | B | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}} Y = ⋃ B {\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}} μ ( x , B ) < ∞ ∀ x ∈ X , B ∈ B {\displaystyle \mu (x,B)<\infty \qquad \forall x\in X,\;B\in {\mathcal {B}}} 두 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 와 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 사이의 추이 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 A ⊂ G {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {G}}} 및 B ⊂ G {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}} 가 존재한다면, μ {\displaystyle \mu } 를 균등 시그마 유한 추이 측도(均等-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다. | A | , | B | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {A}}|,|{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}} X = ⋃ A {\displaystyle X=\bigcup {\mathcal {A}}} Y = ⋃ B {\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}} sup x ∈ A μ ( x , B ) < ∞ ∀ A ∈ A , B ∈ B {\displaystyle \sup _{x\in A}\mu (x,B)<\infty \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {B}}} 다음이 주어졌다고 하자. 유한 개의 가측 공간 ( X i , F i ) i = 1 , … , n {\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,\dots ,n}} 각 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 에 대하여, ( ∏ j = 1 i − 1 X j , ∏ j = 1 i − 1 F j ) {\displaystyle \textstyle (\prod _{j=1}^{i-1}X_{j},\prod _{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}_{j})} 와 ( X i , F i ) {\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})} 사이의 시그마 유한 추이 측도 μ i {\displaystyle \mu _{i}} . (특히, μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} 은 ( X 1 , F 1 ) {\displaystyle (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})} 위의 시그마 유한 측도이다.) 그렇다면, 곱 가측 공간 ( ∏ i = 1 n X i , ∏ i = 1 n F i ) {\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{n}X_{i},\prod _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{i})} 위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다. μ : S ↦ ∫ X 1 ∫ X 2 ⋯ ∫ X n 1 S ( x 1 , … , x n ) μ n ( x 1 , … , x n − 1 , d x n ) ⋯ μ 2 ( x 1 , d x 2 ) μ 1 ( d x 1 ) ∀ S ∈ ∏ i = 1 n F i {\displaystyle \mu \colon S\mapsto \int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}1_{S}(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall S\in \prod _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{i}} 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다. μ ( ∏ i = 1 n A i ) = ∫ A 1 ∫ A 2 ⋯ ∫ A n μ n ( x 1 , … , x n − 1 , d x n ) ⋯ μ 2 ( x 1 , d x 2 ) μ 1 ( d x 1 ) ∀ A 1 ∈ F 1 , … , A n ∈ F n {\displaystyle \mu \left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}} 또한, 임의의 적분 가능 가측 함수 f : ∏ i = 1 n X i → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle \textstyle f\colon \prod _{i=1}^{n}X_{i}\to \mathbb {(} \mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 에 대하여, 다음이 성립한다. ∫ ∏ i = 1 n X i f d μ = ∫ X 1 ∫ X 2 ⋯ ∫ X n f ( x 1 , … , x n ) μ n ( x 1 , … , x n − 1 , d x n ) ⋯ μ 2 ( x 1 , d x 2 ) μ 1 ( d x 1 ) {\displaystyle \int _{\prod _{i=1}^{n}X_{i}}f\mathrm {d} \mu =\int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})} 다음이 주어졌다고 하자. 가산 무한 개의 가측 공간 ( X i , F i ) i = 1 , 2 , … {\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,2,\dots }} 각 i = 1 , 2 , … {\displaystyle i=1,2,\dots } 에 대하여, ( ∏ j = 1 i − 1 X j , ∏ j = 1 i − 1 F j ) {\displaystyle \textstyle (\prod _{j=1}^{i-1}X_{j},\prod _{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}_{j})} 와 ( X i , F i ) {\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})} 사이의 확률 추이 측도 P i {\displaystyle P_{i}} . (특히, P 1 {\displaystyle P_{1}} 은 ( X 1 , F 1 ) {\displaystyle (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})} 위의 확률 측도이다.) 그렇다면, 이오네스쿠툴체아 정리(-定理, 영어: Ionescu Tulcea theorem)에 따르면 곱 가측 공간 ( ∏ i = 1 ∞ X i , ∏ i = 1 ∞ F i ) {\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{\infty }X_{i},\prod _{i=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{i})} 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도 P {\displaystyle P} 가 존재한다. P ( ∏ i = 1 n A i × ∏ i = n + 1 ∞ X i ) = ∫ A 1 ∫ A 2 ⋯ ∫ A n P n ( x 1 , … , x n − 1 , d x n ) ⋯ P 2 ( x 1 , d x 2 ) P 1 ( d x 1 ) ∀ n = 1 , 2 , … , A 1 ∈ F 1 , … , A n ∈ F n {\displaystyle P\left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\times \prod _{i=n+1}^{\infty }X_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots P_{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})P_{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall n=1,2,\dots ,\;A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}} 3개의 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} , ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} , ( Z , H ) {\displaystyle (Z,{\mathcal {H}})} 및 X × G {\displaystyle X\times {\mathcal {G}}} 위의 확률 추이 측도 μ {\displaystyle \mu } 및 Y × H {\displaystyle Y\times {\mathcal {H}}} 위의 확률 추이 측도 ν {\displaystyle \nu } 가 주어졌을 때, X × H {\displaystyle X\times {\mathcal {H}}} 위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다. ν ∘ μ : ( x , C ) ↦ ∫ Y ν ( y , C ) μ ( x , d y ) {\displaystyle \nu \circ \mu \colon (x,C)\mapsto \int _{Y}\nu (y,C)\mu (x,\mathrm {d} y)} 확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다. 두 가측 공간 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} , ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 및 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 위의 측도 μ {\displaystyle \mu } 가 주어졌을 때, 함수 ( x , B ) ↦ μ ( B ) {\displaystyle (x,B)\mapsto \mu (B)} 는 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 와 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})} 사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 μ {\displaystyle \mu } 가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다. 유한 이산 가측 공간 ( Ω , P ( Ω ) ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))} 이 주어졌고, 행렬 p : Ω × Ω → [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\colon \Omega \times \Omega \to [0,1]} 가 ∑ y ∈ Ω p ( x , y ) = 1 ∀ x ∈ Ω {\displaystyle \sum _{y\in \Omega }p(x,y)=1\qquad \forall x\in \Omega } 를 만족시킬 때, 함수 ( x , B ) ↦ ∑ y ∈ B p ( x , y ) {\displaystyle (x,B)\mapsto \sum _{y\in B}p(x,y)} 는 ( Ω , P ( Ω ) ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))} 위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다. 이오네스쿠툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠툴체아(루마니아어: Cassius Tocqueville Ionescu-Tulcea)가 증명하였다. Ionescu-Tulcea, Cassius Tocqueville (1949). “Mesures dans les espaces produits”. 《Atti della Accademia Nazionale dei Lincei Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (8)》 (프랑스어) 7: 208–211. MR 36288.  Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.  Parthasarathy, K. R. (2005). 《Introduction to Probability and Measure》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 33. Gurgaon: Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-27-9. ISBN 978-81-85931-55-5. ISSN 2366-8717.