모듈러 람다 함수

수학에서 모듈러 람다 함수(영어: modular lambda function)는 합동 부분군 Γ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma (2)} 에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선은 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. H {\displaystyle \mathbb {H} } 가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수 λ : H → C {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} } 는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 τ = ω 2 / ω 1 {\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}} 이라면, λ ( τ ) = ℘ ( ω 1 / 2 + ω 2 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) − ℘ ( ω 2 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) ℘ ( ω 1 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) − ℘ ( ω 2 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})-\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}{\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})-\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}}} 이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다. λ ( τ ) = θ 2 4 ( 0 , τ ) θ 3 4 ( 0 , τ ) = ( 2 η ( τ / 2 ) η 2 ( 2 τ ) η 3 ( τ ) ) 8 {\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=\left({\frac {{\sqrt {2}}\eta (\tau /2)\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}\right)^{8}} 바이어슈트라스 타원함수 ℘ ( − ; ω 1 , ω 2 ) : C / ⟨ ω 1 , ω 2 ⟩ → C ^ {\displaystyle \wp (-;\omega _{1},\omega _{2})\colon \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle \to {\widehat {\mathbb {C} }}} 는 타원 곡선 C / ⟨ 1 , τ ⟩ {\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle } 에서 리만 구면 C ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}} 으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점 e 1 = ℘ ( ω 1 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle e_{1}=\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})} e 2 = ℘ ( ω 2 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle e_{2}=\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})} e 3 = ℘ ( ω 1 / 2 + ω 2 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle e_{3}=\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})} e 4 = ℘ ( 0 ; ω 1 , ω 2 ) = ∞ ^ {\displaystyle e_{4}=\wp (0;\omega _{1},\omega _{2})={\widehat {\infty }}} 에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다. λ ( ω 2 / ω 1 ) = ( e 3 − e 2 ) ( e 4 − e 1 ) ( e 1 − e 2 ) ( e 4 − e 3 ) = e 3 − e 2 e 1 − e 2 {\displaystyle \lambda (\omega _{2}/\omega _{1})={\frac {(e_{3}-e_{2})(e_{4}-e_{1})}{(e_{1}-e_{2})(e_{4}-e_{3})}}={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}} 이에 따라, λ {\displaystyle \lambda } 는 비조화군(anharmonic group) Γ ( 1 ) / Γ ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \Gamma (1)/\Gamma (2)\cong S_{3}} 의 작용에 따라 변환한다. 모듈러 람다 함수 λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )} 는 합동 부분군 Γ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma (2)} 에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든 τ ∈ C {\displaystyle \tau \in \mathbb {C} } 에 대하여, 다음이 성립한다. λ ( τ + 2 ) = λ ( τ / ( 1 − 2 τ ) ) = λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau +2)=\lambda (\tau /(1-2\tau ))=\lambda (\tau )} 이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 X ( 2 ) = H / Γ ( 2 ) {\displaystyle X(2)=\mathbb {H} /\Gamma (2)} 와 리만 구면 C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다. 모듈러 군 Γ ( 1 ) = PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \Gamma (1)=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 에 대해서는 다음과 같이 변환한다. λ ( τ + 1 ) = λ ( τ ) λ ( τ ) − 1 {\displaystyle \lambda (\tau +1)={\frac {\lambda (\tau )}{\lambda (\tau )-1}}} λ ( − 1 / τ ) = λ ( τ ) − 1 {\displaystyle \lambda (-1/\tau )=\lambda (\tau )-1} q = exp ⁡ ( π i τ ) {\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )} 에 대한 급수 전개는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A115977) λ ( τ ) = 16 q − 128 q 2 + 704 q 3 − 3072 q 4 + 11488 q 5 − 38400 q 6 + … {\displaystyle \lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots } 함수 λ*(x) 람다 별은 타원 모듈러스를 제공하므로 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다. K [ 1 − λ ∗ ( x ) 2 ] K [ λ ∗ ( x ) ] = x {\displaystyle {\frac {K[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}} K는 제 1 종 완전 타원 적분이다. 함수 λ*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다: λ ∗ ( x ) = ϑ 2 2 [ 0 ; exp ⁡ ( − π x ) ] ϑ 3 2 [ 0 ; exp ⁡ ( − π x ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{2}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}{\vartheta _{3}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}}} λ ∗ ( x ) = { ∑ a = − ∞ ∞ exp ⁡ [ − ( a + 1 / 2 ) 2 π x ] } 2 [ ∑ a = − ∞ ∞ exp ⁡ ( − a 2 π x ) ] − 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}^{2}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-2}} λ ∗ ( x ) = { ∑ a = − ∞ ∞ sech ⁡ [ ( a + 1 / 2 ) π x ] } [ ∑ a = − ∞ ∞ sech ⁡ ( a π x ) ] − 1 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-1}} 함수 λ*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다: λ ∗ ( x ) = λ ( i x ) {\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}} 양의 유리수의 모든 λ*(x)-값은 대수적이다. λ ∗ ( x ∈ Q + ) ∈ A + {\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}} 다음 표현식은 모든 n ∈ ℕ에 유효한다: n = ∑ a = 1 n dn ⁡ { 2 a n K [ λ ∗ ( 1 n ) ] ; λ ∗ ( 1 n ) } {\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr \}}} 표현 dn은 진폭의 델타 야코비 타원함수를 나타낸다. 하나의 람다 값에서 다음과 같이 다른 람다 값이 파생 될 수 있다. λ ∗ ( n 2 x ) = λ ∗ ( x ) n ∏ a = 1 n sn ⁡ { 2 a − 1 n K [ λ ∗ ( x ) ] ; λ ∗ ( x ) } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}} 표현 sn은 진폭의 사인 야코비 타원함수를 나타낸다. 그 표현에서 n은 자연수 ℕ에 속해야한다. 이 모든 방정식도 유효하다: λ ∗ ( x ) 2 + λ ∗ ( 1 / x ) 2 = 1 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1} λ ∗ ( 4 x ) = 1 − 1 − λ ∗ ( x ) 2 1 + 1 − λ ∗ ( x ) 2 = tan ⁡ { arcsin ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] / 2 } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan\{\arcsin[\lambda ^{*}(x)]/2\}^{2}} tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] } tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( 4 / x ) ] } = 1 {\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(4/x)]\}=1} λ ∗ ( x ) λ ∗ ( 4 / x ) + λ ∗ ( x ) + λ ∗ ( 4 / x ) = 1 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(4/x)+\lambda ^{*}(x)+\lambda ^{*}(4/x)=1} λ ∗ ( x ) − λ ∗ ( 9 x ) = 2 λ ∗ ( x ) 1 / 4 λ ∗ ( 9 x ) 1 / 4 − 2 λ ∗ ( x ) 3 / 4 λ ∗ ( 9 x ) 3 / 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2\lambda ^{*}(x)^{1/4}\lambda ^{*}(9x)^{1/4}-2\lambda ^{*}(x)^{3/4}\lambda ^{*}(9x)^{3/4}} tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] } − tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( 9 x ) ] } = {\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}=} = 2 2 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] } 1 / 4 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( 9 x ) ] } 1 / 4 + 2 2 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] } 3 / 4 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( 9 x ) ] } 3 / 4 {\displaystyle =2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{1/4}+2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{3/4}} tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] } 1 / 2 − tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( 25 x ) ] } 1 / 2 = {\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/2}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/2}=} = 2 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] } 1 / 12 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( 25 x ) ] } 1 / 12 + 2 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( x ) ] } 5 / 12 tan ⁡ { 2 arctan ⁡ [ λ ∗ ( 25 x ) ] } 5 / 12 {\displaystyle =2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/12}+2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{5/12}} 홀수 (8z+1) 위치의 람다 값: λ ∗ ( 1 ) = 1 2 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}} λ ∗ ( 9 ) = 1 2 ( 3 − 1 ) ( 2 − 3 4 ) {\displaystyle \lambda ^{*}(9)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})} λ ∗ ( 17 ) = sin ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 5 4 + 1 4 17 − 1 4 10 17 + 26 ) 3 ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(17)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[({\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}})^{3}]\}} λ ∗ ( 25 ) = 1 2 2 ( 5 − 2 ) ( 3 − 2 5 4 ) {\displaystyle \lambda ^{*}(25)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})} λ ∗ ( 33 ) = sin ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 10 − 3 11 ) ( 2 − 3 ) 3 ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(33)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\}} λ ∗ ( 41 ) = sin ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 1 8 41 + 5 8 + 1 8 2 41 + 10 − 1 4 58 41 + 370 + 3 41 + 3 ) 6 ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(41)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[({\tfrac {1}{8}}{\sqrt {41}}+{\tfrac {5}{8}}+{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2{\sqrt {41}}+10}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {58{\sqrt {41}}+370}}+3{\sqrt {41}}+3}})^{6}]\}} λ ∗ ( 49 ) = 1 1024 2 [ 2 2 − 28 8 3 + 7 ( 28 4 − 7 + 1 ) ] 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(49)={\tfrac {1}{1024}}{\sqrt {2}}[2{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {3+{\sqrt {7}}}}({\sqrt[{4}]{28}}-{\sqrt {7}}+1)]^{4}} 홀수 (8z+5) 위치의 람다 값: λ ∗ ( 5 ) = sin ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( 5 − 2 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}(5)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)]} λ ∗ ( 13 ) = sin ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( 5 13 − 18 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}(13)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)]} λ ∗ ( 21 ) = sin ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 8 − 3 7 ) ( 2 7 − 3 3 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(21)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[(8-3{\sqrt {7}})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\}} 홀수 (4z+3) 위치의 람다 값: λ ∗ ( 3 ) = 1 4 2 ( 3 − 1 ) {\displaystyle \lambda ^{*}(3)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)} λ ∗ ( 7 ) = 1 8 2 ( 3 − 7 ) {\displaystyle \lambda ^{*}(7)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {7}})} λ ∗ ( 11 ) = 1 16 2 ( 11 + 3 ) ( 1 3 6 3 + 2 11 3 − 1 3 6 3 − 2 11 3 + 1 3 11 − 1 ) 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(11)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}+3)({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1)^{4}} λ ∗ ( 15 ) = 1 16 2 ( 3 − 5 ) ( 5 − 3 ) ( 2 − 3 ) {\displaystyle \lambda ^{*}(15)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})} λ ∗ ( 19 ) = 1 16 2 ( 3 19 + 13 ) [ 1 6 ( 19 − 2 + 3 ) 3 3 − 19 3 − 1 6 ( 19 − 2 − 3 ) 3 3 + 19 3 − 1 3 ( 5 − 19 ) ] 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(19)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3{\sqrt {19}}+13)[{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})]^{4}} λ ∗ ( 23 ) = 1 32 2 ( 5 + 23 ) [ 2 3 + 1 6 ( 3 + 1 ) 100 − 12 69 3 − 1 6 ( 3 − 1 ) 100 + 12 69 3 ] 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(23)={\tfrac {1}{32}}{\sqrt {2}}(5+{\sqrt {23}})[{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}]^{4}} 짝수 (8z+2) 위치의 람다 값: λ ∗ ( 2 ) = 2 − 1 {\displaystyle \lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1} λ ∗ ( 10 ) = ( 10 − 3 ) ( 2 − 1 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}} λ ∗ ( 18 ) = ( 2 − 3 ) 2 ( 2 − 1 ) 3 {\displaystyle \lambda ^{*}(18)=(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}} λ ∗ ( 26 ) = ( 26 + 5 ) ( 2 − 1 ) 2 tan ⁡ [ 1 4 π − arctan ⁡ ( 1 3 3 3 + 26 3 − 1 3 3 3 − 26 3 + 1 6 26 − 1 2 2 ) ] 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(26)=({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]^{4}} λ ∗ ( 34 ) = tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ( 1 4 14 + 2 17 − 1 4 2 17 − 2 ) 12 ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(34)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14+2{\sqrt {17}}}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}-2}})^{12}]\}} λ ∗ ( 42 ) = ( 8 − 3 7 ) ( 7 − 6 ) ( 2 − 3 ) 2 ( 2 − 1 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(42)=(8-3{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}-{\sqrt {6}})(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}} λ ∗ ( 50 ) = ( 2 − 1 ) tan ⁡ [ arctan ⁡ ( 1 3 5 − 1 3 6 30 + 4 5 3 + 1 3 6 30 − 4 5 3 ) − 1 8 π ] 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(50)=({\sqrt {2}}-1)\tan[\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}})-{\tfrac {1}{8}}\pi ]^{4}} λ ∗ ( 58 ) = ( 13 58 − 99 ) ( 2 − 1 ) 6 {\displaystyle \lambda ^{*}(58)=(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}} λ ∗ ( 66 ) = tan ⁡ { 1 4 arcsin ⁡ [ ( 13 62 + 1 186 33 − 1 186 3426 33 − 17790 ) 2 ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(66)=\tan\{{\tfrac {1}{4}}\arcsin[({\tfrac {13}{62}}+{\tfrac {1}{186}}{\sqrt {33}}-{\tfrac {1}{186}}{\sqrt {3426{\sqrt {33}}-17790}})^{2}]\}} 짝수 (8z+6) 위치의 람다 값: λ ∗ ( 6 ) = ( 2 − 3 ) ( 3 − 2 ) {\displaystyle \lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})} λ ∗ ( 14 ) = tan ⁡ [ 1 4 arcsin ⁡ ( 8 7 2 − 11 7 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}(14)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {8}{7}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {11}{7}})]} λ ∗ ( 22 ) = ( 10 − 3 11 ) ( 3 11 − 7 2 ) {\displaystyle \lambda ^{*}(22)=(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})} λ ∗ ( 30 ) = ( 4 − 15 ) ( 6 − 5 ) ( 2 − 3 ) ( 3 − 2 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(30)=(4-{\sqrt {15}})({\sqrt {6}}-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}} λ ∗ ( 38 ) = tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ( 2 − 1 ) 6 ( 1 6 12 114 + 12 57 + 52 2 + 36 3 − 1 6 12 114 + 12 57 − 52 2 − 36 3 + 1 3 2 ) 12 ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(38)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {2}}-1)^{6}({\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}}+12{\sqrt {57}}+52{\sqrt {2}}+36}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}}+12{\sqrt {57}}-52{\sqrt {2}}-36}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}})^{12}]\}} λ ∗ ( 46 ) = tan ⁡ [ 1 4 arcsin ⁡ ( 104 207 2 − 49 69 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}(46)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {104}{207}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {49}{69}})]} λ ∗ ( 54 ) = ( 2 − 3 ) 3 ( 3 − 2 ) 3 tan ⁡ [ arctan ⁡ ( 2 3 3 2 + 1 3 + 2 3 6 2 − 1 3 + 1 3 6 − 1 3 3 ) − 1 4 π ] 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(54)=(2-{\sqrt {3}})^{3}({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{3}\tan[\arctan({\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{4}}\pi ]^{4}} λ ∗ ( 62 ) = tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ( 1 4 9 + 5 2 + 1 4 2 + 1 − 1 4 2 14 2 + 19 + 6 2 − 6 ) 12 ] } {\displaystyle \lambda ^{*}(62)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {9+5{\sqrt {2}}}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {14{\sqrt {2}}+19}}+6{\sqrt {2}}-6}})^{12}]\}} λ ∗ ( 70 ) = ( 3 14 − 5 5 ) ( 8 − 3 7 ) ( 6 − 35 ) ( 2 2 − 7 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(70)=(3{\sqrt {14}}-5{\sqrt {5}})(8-3{\sqrt {7}})(6-{\sqrt {35}})(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}} 짝수 4z 위치의 람다 값: λ ∗ ( 4 ) = ( 2 − 1 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}} λ ∗ ( 8 ) = ( 2 + 1 − 2 2 + 2 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(8)=({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}})^{2}} λ ∗ ( 12 ) = ( 3 − 2 ) 2 ( 2 − 1 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(12)=({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}} λ ∗ ( 16 ) = ( 2 + 1 ) 2 ( 2 4 − 1 ) 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(16)=({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}} Chandrasekharan, K. (1985), 《Elliptic Functions》, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 281, Springer, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001  Rankin, Robert A. (1977), 《Modular Forms and Functions》 (영어), Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020  Weisstein, Eric Wolfgang. “Elliptic lambda function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  http://amsacta.unibo.it/3883/1/JNT3-2013PostUnibo.pdf https://arxiv.org/pdf/2006.12034.pdf