절댓값 (대수학)

대수학 및 대수적 수론에서 절댓값(絶對값, 영어: absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다. 정역 D {\displaystyle D} 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 | ⋅ | : D → R ≥ 0 {\displaystyle |\cdot |\colon D\to \mathbb {R} _{\geq 0}} 이다.:116, Definition 3.1 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여, | x | = 0 ⟺ x = 0 {\displaystyle |x|=0\iff x=0} 임의의 x , y ∈ D {\displaystyle x,y\in D} 에 대하여, | x y | = | x | | y | {\displaystyle |xy|=|x||y|} (삼각 부등식) 임의의 x , y ∈ D {\displaystyle x,y\in D} 에 대하여, | x + y | ≤ | x | + | y | {\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|} 정역 D {\displaystyle D} 위의 절댓값은 그 분수체 K = Frac ⁡ D {\displaystyle K=\operatorname {Frac} D} 위로 다음과 같이 확장할 수 있다. | x / y | = | x | / | y | ∀ x , y ∈ D {\displaystyle |x/y|=|x|/|y|\qquad \forall x,y\in D} 절댓값을 갖춘 정역 ( D , | ⋅ | ) {\displaystyle (D,|\cdot |)} 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다. d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} 절댓값의 공리에 따라, | 1 | = | − 1 | = 1 {\displaystyle |1|=|-1|=1} 이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다. | n | ≤ n ∀ n ∈ N {\displaystyle |n|\leq n\qquad \forall n\in \mathbb {N} } 정역 D {\displaystyle D} 위의 절댓값 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(영어: non-Archimedean absolute value)이라고 한다. (초거리 부등식) 임의의 x , y ∈ D {\displaystyle x,y\in D} 에 대하여, | x + y | ≤ max { | x | , | y | } {\displaystyle |x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}} { | 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏞ n | : n ∈ N } {\displaystyle \{|\overbrace {1+1+\cdots +1} ^{n}|\colon n\in \mathbb {N} \}} 이 유계 집합이다. 비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(영어: Archimedean absolute value)이라고 한다. 비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, a ↦ − log ⁡ | a | {\displaystyle a\mapsto -\log |a|} 는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 v {\displaystyle v} 가 주어졌다면, 그 지수 함수 a ↦ exp ⁡ ( − v ( a ) ) {\displaystyle a\mapsto \exp(-v(a))} 는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다. 비아르키메데스 절댓값 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 을 갖춘 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 K {\displaystyle K} 의 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 에 대한 정수환(영어: ring of integers)이라고 한다. 같은 정역 D {\displaystyle D} 위의 두 절댓값 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} , | ⋅ | ′ {\displaystyle |\cdot |'} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 동치라고 한다. 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여, 만약 | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} 이면 | x | ′ < 1 {\displaystyle |x|'<1} 이다. 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여, | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} 과 | x | ′ < 1 {\displaystyle |x|'<1} 이 동치이다. | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 과 | ⋅ | ′ {\displaystyle |\cdot |'} 은 D {\displaystyle D} 위에 같은 위상을 정의한다. | ⋅ | = | ⋅ | s {\displaystyle |\cdot |=|\cdot |^{s}} 인 양의 실수 s ∈ R + {\displaystyle s\in \mathbb {R} ^{+}} 가 존재한다. 절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류를 자리(영어: place)라고 한다. 절댓값을 갖춘 정역 D {\displaystyle D} 는 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 ( x i ) i ∈ N ⊂ D {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset D} 들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 D {\displaystyle D} 의 절댓값 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 에 대한 완비화(영어: completion)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다. 임의의 정역 D {\displaystyle D} 위의 자명 절댓값(영어: trivial absolute value)은 다음과 같다. | x | 0 = { 0 x = 0 1 x ≠ 0 {\displaystyle |x|_{0}={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}} 유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다. | ⋅ | R : x ↦ { x x ≥ 0 − x x < 0 {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }\colon x\mapsto {\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}} | ⋅ | C : x + i y ↦ x 2 + y 2 {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }\colon x+iy\mapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} 데데킨트 정역 D {\displaystyle D} 가 주어졌을 때, D {\displaystyle D} 의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 절댓값(영어: p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -adic absolute value) | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}} 은 D {\displaystyle D} 위의 절댓값이며, 다음과 같다. | x | p = { 0 x = 0 exp ⁡ ( − n ) ( x ) = p n q , p ∤ q , n ∈ N {\displaystyle |x|_{\mathfrak {p}}={\begin{cases}0&x=0\\\exp(-n)&(x)={\mathfrak {p}}^{n}{\mathfrak {q}},\qquad {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {q}},\qquad n\in \mathbb {N} \end{cases}}} 이는 물론 Frac ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Frac} D} 위의 절댓값으로 확대할 수 있다. 오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체 K {\displaystyle K} 위의 자리들의 목록은 다음과 같다. 자명 절댓값 | ⋅ | 0 {\displaystyle |\cdot |_{0}} 과 동치인 자리. 이를 자명 자리(영어: trivial place)라고 한다. 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(영어: finite place)라고 한다. 실수로의 매장 ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } 에 대하여, | ⋅ | ι = | ⋅ | R ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota } . 여기서 | ⋅ | R {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }} 는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(영어: real infinite place)라고 한다. 복소수로의 매장 ι : K ↪ C {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 에 대하여 ( ι ( K ) ⊄ R {\displaystyle \iota (K)\not \subset \mathbb {R} } ), | ⋅ | ι = | ⋅ | C ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota } . 여기서 | ⋅ | C {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }} 는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, ι {\displaystyle \iota } 와 ι ¯ {\displaystyle {\bar {\iota }}} 는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(영어: complex infinite place)라고 한다. 예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다. 자명 자리 | ⋅ | 0 {\displaystyle |\cdot |_{0}} 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, p {\displaystyle p} 진 자리 | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{p}} 하나의 실 무한 자리 | ⋅ | ∞ {\displaystyle |\cdot |_{\infty }} 겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, 영어: Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.:192 퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Cassels, J.W.S. (1986). 《Local fields》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.  Kürschák, Josef (1913). “Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 142: 211–253. doi:10.1515/crll.1913.142.211. JFM 44.0239.01.  “Norm on a field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Valuation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Valuation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.