유리 표준형

선형대수학에서 유리 표준형(有理標準型, 영어: rational canonical form) 또는 프로베니우스 표준형(Frobenius標準型, 영어: Frobenius canonical form)은 임의의 체를 성분으로 하는 정사각 행렬을 그와 닮은, 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다. 체 K {\displaystyle K} 를 계수로 하는 일계수 다항식 p ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ a deg ⁡ p − 1 x deg ⁡ p − 1 + x deg ⁡ p ∈ K [ x ] {\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{\deg p-1}x^{\deg p-1}+x^{\deg p}\in K[x]} a 0 , a 1 , … , a deg ⁡ p − 1 ∈ K {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{\deg p-1}\in K} 의 동반 행렬(同伴行列, 영어: companion matrix)은 다음과 같은 deg ⁡ p × deg ⁡ p {\displaystyle \deg p\times \deg p} 정사각 행렬이다. C ( p ) = ( 0 0 ⋯ 0 − a 0 1 0 ⋯ 0 − a 1 0 1 ⋯ 0 − a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 1 − a deg ⁡ p − 1 ) ∈ Mat ⁡ ( deg ⁡ p ; K ) {\displaystyle C(p)={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&\cdots &1&-a_{\deg p-1}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (\deg p;K)} 체 K {\displaystyle K} 위의 임의의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 G ∈ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)} 및 유일한 일계수 다항식 집합 { d 1 , d 2 , … , d k } ⊂ K [ x ] {\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dots ,d_{k}\}\subset K[x]} 이 존재하며, G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 를 M {\displaystyle M} 의 (불변 인자) 유리 표준형(영어: (invariant factors) rational canonical form)이라고 한다. G − 1 M G = diag ⁡ ( C ( d 1 ) , C ( d 2 ) , … , C ( d k ) ) {\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(d_{1}),C(d_{2}),\dots ,C(d_{k}))} d k ( x ) ∣ d k − 1 ( x ) ∣ ⋯ ∣ d 1 ( x ) {\displaystyle d_{k}(x)\mid d_{k-1}(x)\mid \cdots \mid d_{1}(x)} deg ⁡ d i ≥ 1 ( ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , k } ) {\displaystyle \deg d_{i}\geq 1\qquad (\forall i\in \{1,2,\dots ,k\})} 이는 M {\displaystyle M} 으로 유도되는 K [ x ] {\displaystyle K[x]} -가군 K n {\displaystyle K^{n}} x ⋅ v = M v ( ∀ v ∈ K n ) {\displaystyle x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})} 의 불변 인자 분해 K n ≅ K [ x ] / ( d 1 ( x ) ) ⊕ K [ x ] / ( d 2 ( x ) ) ⊕ ⋯ ⊕ K [ x ] / ( d k ( x ) ) {\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(d_{1}(x))\oplus K[x]/(d_{2}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(d_{k}(x))} 에서, M {\displaystyle M} 에 대응하는 K {\displaystyle K} -선형 변환 v ↦ x ⋅ v {\displaystyle v\mapsto x\cdot v} 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다. { 1 + ( d i ( x ) ) , x + ( d i ( x ) ) , … , x deg ⁡ d i − 1 + ( d i ( x ) ) } ⊂ K [ x ] / ( d i ( x ) ) ( i = 1 , 2 , … , k ) {\displaystyle \left\{1+(d_{i}(x)),x+(d_{i}(x)),\dots ,x^{\deg d_{i}-1}+(d_{i}(x))\right\}\subset K[x]/(d_{i}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,k)} 체 K {\displaystyle K} 위의 임의의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 G ∈ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)} 및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합 { p 1 e 1 , p 2 e 2 , … , p l e l } ⊂ K [ x ] {\displaystyle \{p_{1}^{e_{1}},p_{2}^{e_{2}},\dots ,p_{l}^{e_{l}}\}\subset K[x]} 이 존재하며, G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 를 M {\displaystyle M} 의 으뜸 유리 표준형(영어: primary rational canonical form) 또는 초등 인자 유리 표준형(영어: elementary divisors rational canonical form)이라고 한다. G − 1 M G = diag ⁡ ( C ( p 1 e 1 ) , C ( p 2 e 2 ) , … , C ( p l e l ) ) {\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(p_{1}^{e_{1}}),C(p_{2}^{e_{2}}),\dots ,C(p_{l}^{e_{l}}))} 이는 K [ x ] {\displaystyle K[x]} -가군 K n {\displaystyle K^{n}} x ⋅ v = M v ( ∀ v ∈ K n ) {\displaystyle x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})} 의 으뜸 분해 K n ≅ K [ x ] / ( p 1 e 1 ( x ) ) ⊕ K [ x ] / ( p 2 e 2 ( x ) ) ⊕ ⋯ ⊕ K [ x ] / ( p l e l ( x ) ) {\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(p_{1}^{e_{1}}(x))\oplus K[x]/(p_{2}^{e_{2}}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(p_{l}^{e_{l}}(x))} 에서, K {\displaystyle K} -선형 변환 v ↦ x ⋅ v {\displaystyle v\mapsto x\cdot v} 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다. { 1 + ( p i e i ( x ) ) , x + ( p i e i ( x ) ) , … , x deg ⁡ ( p i e i ) − 1 + ( p i e i ( x ) ) } ⊂ K [ x ] / ( p i e i ( x ) ) ( i = 1 , 2 , … , l ) {\displaystyle \left\{1+(p_{i}^{e_{i}}(x)),x+(p_{i}^{e_{i}}(x)),\dots ,x^{\deg(p_{i}^{e_{i}})-1}+(p_{i}^{e_{i}}(x))\right\}\subset K[x]/(p_{i}^{e_{i}}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,l)} 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다. ‘유리’(영어: rational)라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다. 스미스 표준형 Hungerford, Thomas W. (1974). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 73. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN 978-0-387-90518-1. ISSN 0072-5285. MR 0600654. Zbl 0442.00002.  Roman, Steven (2008). 《Advanced Linear Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 135 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-72831-5. ISBN 978-0-387-72828-5. ISSN 0072-5285. LCCN 2007934001. MR 2344656. Zbl 1132.15002.  Frobenius, G. (1879). “Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 86: 146–208. ISSN 1435-5345. MR 1579769.  Hawkins, Thomas (1977). “Weierstrass and the Theory of Matrices”. 《Archive for History of Exact Sciences》 (영어) 17 (2): 119–163. doi:10.1007/BF02464978. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133484. MR 528299.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Rational canonical form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.