천-베유 준동형

미분기하학에서 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다. 다음이 주어졌다고 하자. 연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 G {\displaystyle G} 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. G {\displaystyle G} 의 복소수 리 대수 g = Lie ⁡ ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 다항식환 C [ g ] {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]} C [ g ] {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]} 위의 G {\displaystyle G} 의 딸림표현 작용. 이에 따라 C [ g ] {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]} 는 군환 C [ G ] {\displaystyle \mathbb {C} [G]} 의 왼쪽 가군을 이룬다. ( g ⋅ p ) ( x ) = p ( Ad g ⁡ x ) ( g ∈ G , p ∈ C [ g ] , x ∈ g ) {\displaystyle (g\cdot p)(x)=p(\operatorname {Ad} _{g}x)\qquad (g\in G,\;p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}],\;x\in {\mathfrak {g}})} G {\displaystyle G} 의 작용에 대한 불변량 부분 대수 C [ g ] G {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}} . C [ g ] G = { p ∈ C [ g ] : p = g ⋅ p } {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\left\{p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\colon p=g\cdot p\right\}} G {\displaystyle G} 의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다. C [ g ] G = ⨁ k = 0 ∞ C k [ g ] G {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}} p ∈ C k [ g ] G ⟺ ∀ λ ∈ C , x ∈ g : p ( λ x ) = λ k p ( x ) {\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}\iff \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {g}}\colon p(\lambda x)=\lambda ^{k}p(x)} 동차 다항식 p ∈ C k [ g ] G {\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 k {\displaystyle k} 개의 변수를 갖는 함수 p ¯ : g ⊕ k → C {\displaystyle {\bar {p}}\colon {\mathfrak {g}}^{\oplus k}\to \mathbb {C} } 가 존재한다. p ¯ ( x , … , x ) = p ( x ) ∀ x ∈ g {\displaystyle {\bar {p}}(x,\dotsc ,x)=p(x)\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}} p ¯ ( x 1 , … , x k ) = p ¯ ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( k ) ) ∀ σ ∈ Sym ⁡ ( k ) , ( x i ) 1 ≤ i ≤ k ∈ g ⊕ k {\displaystyle {\bar {p}}(x_{1},\dotsc ,x_{k})={\bar {p}}(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (k)})\qquad \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (k),\;(x_{i})_{1\leq i\leq k}\in {\mathfrak {g}}^{\oplus k}} 또한, 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M} 그렇다면, 천-베유 준동형은 다음과 같은 C {\displaystyle \mathbb {C} } -결합 대수 준동형이다. C [ g ] G → H ∙ ⁡ ( M ; C ) {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )} 리 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 분류 공간 E G ↠ B G {\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G} 를 생각하자. ( G {\displaystyle G} 의 기본군은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다. H ∙ ⁡ ( B G ; C ) ≅ C [ g ] G {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}} (복소수 계수이므로, 좌변은 G {\displaystyle G} 의 기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다. 이에 따라, G {\displaystyle G} -주다발 P {\displaystyle P} 는 어떤 연속 함수 f : M → B G {\displaystyle f\colon M\to \mathrm {B} G} 에 의하여 P = f ∗ E B {\displaystyle P=f^{*}\mathrm {E} B} 로서 주어진다. 또한, 이 f {\displaystyle f} 는 코호몰로지 환의 등급환 준동형 f ∗ : H ∙ ( B G ; Z ) → H ∙ ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle f^{*}\colon \mathrm {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )} 을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면, f ∗ {\displaystyle f^{*}} 는 등급환 준동형 C [ g ] G → H ∙ ⁡ ( M ; C ) {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )} 을 정의한다. 이를 천-베유 준동형이라고 한다. 콤팩트 실수 리 군 G {\displaystyle G} 은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다. 천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선, P {\displaystyle P} 위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률이 F ∈ Ω 2 ( P ; g ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})} 라고 하자. 그렇다면, p ∈ C k [ g ] G {\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}} 에 대하여 다음을 정의하자. p ( F ) ∈ Ω 2 k ( P ; g ) {\displaystyle p(F)\in \Omega ^{2k}(P;{\mathfrak {g}})} p ( F ) ( v 1 , … , v 2 k ) = 1 ( 2 k ) ! ∑ σ ∈ Sym ⁡ ( 2 k ) ( − ) σ p ¯ ( F ( v σ ( 1 ) , v σ ( 2 ) ) , … , F ( v σ ( 2 k − 1 ) , v σ ( 2 k ) ) ) {\displaystyle p(F)(v_{1},\dotsc ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2k)}(-)^{\sigma }{\bar {p}}\left(F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dotsc ,F(v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)})\right)} 여기서 사용된 기호는 다음과 같다. s ∈ P {\displaystyle s\in P} 는 주다발 전체 공간의 점 v 1 , … , v 2 k ∈ T s P {\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{2k}\in \mathrm {T} _{s}P} 는 주다발의 한 접공간의 2 k {\displaystyle 2k} 개의 벡터들 ( − ) σ {\displaystyle (-)^{\sigma }} 는 순열의 부호수 Sym ⁡ ( 2 k ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (2k)} 는 크기 ( 2 k ) ! {\displaystyle (2k)!} 의 대칭군 그렇다면, 다음을 보일 수 있다. p {\displaystyle p} 의 G {\displaystyle G} -불변성에 의하여, p ( F ) {\displaystyle p(F)} 는 P {\displaystyle P} 위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, d p ( F ) = 0 {\displaystyle \mathrm {d} p(F)=0} 이다. p ( Ω ) = π ∗ α F {\displaystyle p(\Omega )=\pi ^{*}\alpha _{F}} 가 되는 유일한 미분 형식 α F ∈ Ω 2 k ( M ; C ) {\displaystyle \alpha _{F}\in \Omega ^{2k}(M;\mathbb {C} )} 가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다. 또한, α F {\displaystyle \alpha _{F}} 는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 [ α F ] ∈ H ∙ ⁡ ( M ; C ) {\displaystyle [\alpha _{F}]\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )} 는 주접속에 의존하지 않는다. 이에 따라, 천-베유 준동형은 다음과 같다. C [ g ] G → H ∙ ⁡ ( M ; C ) {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )} p ↦ [ α F ] {\displaystyle p\mapsto [\alpha _{F}]} GL ⁡ ( 1 ; C ) = C × {\displaystyle \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }} (또는 이에 대응하는 콤팩트 군 U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} )을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간 B U ⁡ ( 1 ) ≃ C P ∞ {\displaystyle \mathrm {B} \operatorname {U} (1)\simeq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty }} 이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수 H ∙ ⁡ ( C P ∞ ; C ) = Span C ⁡ { 1 , x , x 2 , … } {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{1,x,x^{2},\dotsc \}} deg ⁡ x = 2 {\displaystyle \deg x=2} d x = 0 {\displaystyle \mathrm {d} x=0} 이다. C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} 는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우 C [ x ] ≅ H ∙ ⁡ ( C P ∞ ; C ) {\displaystyle \mathbb {C} [x]\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )} 이다. C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} -주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류 p ( x ) ↦ p ( c 1 ⁡ ( F ) ) {\displaystyle p(x)\mapsto p(\operatorname {c} _{1}(F))} 로서 주어진다. 보다 일반적으로, G = GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle G=\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )} -매끄러운 주다발을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자. p ( x ) = det ( 1 − x 2 π i ) ( x ∈ g l ( n ; C ) ) {\displaystyle p(x)=\det \left(1-{\frac {x}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))} p ∈ C [ g l ( n ; C ) ] GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}} 그렇다면, 이에 대응하는 특성류는 총 천 특성류 c ⁡ ( P ) ∈ H ∙ ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle \operatorname {c} (P)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )} 이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여 ∑ k = 0 n t k p k ( x ) = det ( 1 − t x 2 π i ) ( t ∈ C , x ∈ g l ( n ; C ) ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}t^{k}p_{k}(x)=\det \left(1-{\frac {tx}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (t\in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))} p k ∈ C k [ g l ( n ; C ) ] GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle p_{k}\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}} k {\displaystyle k} 차 천 특성류 c k ⁡ ( P ) ∈ H 2 k ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle \operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )} 를 정의할 수 있다. 이 경우, GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )} -주다발 P {\displaystyle P} 대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) 연관 다발 E = P × GL ⁡ ( n ; C ) C n {\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}} 을 사용하여 c k ⁡ ( E ) = c k ⁡ ( P ) ∈ H 2 k ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle \operatorname {c} _{k}(E)=\operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )} 로 적을 수 있다. 1940년대 말에 천싱선과 앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,:64–65, §Ⅲ.6 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다. Chern, Shiing-shen (1951). 《Topics in differential geometry》 (영어). The Institute for Advanced Study.  Bott, R. (1973), “On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, 《Advances in Mathematics》 11: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 . Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0. Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 . Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), 《Foundations of Differential Geometry, Vol. 2》 new판, Wiley-Interscience (2004에 출판됨) . Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, 《Amer. J. Math.》 83: 563–572, doi:10.2307/2372896, JSTOR 2372896 . Morita, Shigeyuki (2000), “Geometry of Differential Forms”, 《Translations of Mathematical Monographs》 201 . “Chern-Weil theory”. 《nLab》 (영어).  “Chern-Weil homomorphism”. 《nLab》 (영어).  “Splitting principle”. 《nLab》 (영어).  Han, Fei (2003년 11월 1일). “Chern–Weil theory and some results on classical genera” (PDF) (영어).