슈톨츠-체사로 정리

해석학에서 슈톨츠-체사로 정리(영어: Stolz–Cesàro theorem)는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다. 두 실수열 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} , ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다. (0에 수렴하는 순단조수열) b 1 < b 2 < ⋯ {\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots } 이거나 b 1 > b 2 > ⋯ {\displaystyle b_{1}>b_{2}>\cdots } 이며, 또한 lim n → ∞ b n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0} (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) b 1 < b 2 < ⋯ {\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots } 이며, lim n → ∞ b n = + ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty } (이는 무계 순증가수열과 동치이다.) (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) b 1 > b 2 > ⋯ {\displaystyle b_{1}>b_{2}>\cdots } 이며, lim n → ∞ b n = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty } (이는 무계 순감소수열과 동치이다.) (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) lim n → ∞ Δ a n Δ b n ∈ R ⊔ { ± ∞ } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}} 그렇다면, 슈톨츠-체사로 정리에 따르면 다음이 성립한다. lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ Δ a n Δ b n ∈ R ⊔ { ± ∞ } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}} 가장 기본적인, ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자. lim n → ∞ Δ a n Δ b n = ℓ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}=\ell } 그렇다면, ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } 이 존재하여, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 다음이 성립한다. ( ℓ − ϵ ) Δ b n < Δ a n < ( ℓ + ϵ ) Δ b n {\displaystyle (\ell -\epsilon )\Delta b_{n}<\Delta a_{n}<(\ell +\epsilon )\Delta b_{n}} 이를 n {\displaystyle n} 에 N , N + 1 , … , n {\displaystyle N,N+1,\dots ,n} 를 대입하여 합을 구하면 ( ℓ − ϵ ) ( b n − b N ) < a n − a N < ( ℓ + ϵ ) ( b n − b N ) {\displaystyle (\ell -\epsilon )(b_{n}-b_{N})<a_{n}-a_{N}<(\ell +\epsilon )(b_{n}-b_{N})} 이다. 또한 ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로, ( ℓ − ϵ ) ( 1 − b N b n ) < a n b n − a N b n < ( ℓ + ϵ ) ( 1 − b N b n ) {\displaystyle (\ell -\epsilon )\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-{\frac {a_{N}}{b_{n}}}<(\ell +\epsilon )\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)} 이다. 여기서 lim n → ∞ b n = + ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty } 이므로, N ′ ∈ N {\displaystyle N'\in \mathbb {N} } 이 존재하여, 임의의 n ≥ N ′ {\displaystyle n\geq N'} 에 대하여, ℓ − 2 ϵ < a n b n < ℓ + 2 ϵ {\displaystyle \ell -2\epsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\ell +2\epsilon } 이다. 즉, lim n → ∞ a n b n = ℓ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell } 슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열 ( a n ) = ( 10 , 10 , 100 , 100 , 1000 , 1000 , … ) {\displaystyle (a_{n})=(10,10,100,100,1000,1000,\ldots )} ( b n ) = ( 10 , 11 , 100 , 101 , 1000 , 1001 , … ) {\displaystyle (b_{n})=(10,11,100,101,1000,1001,\ldots )} 을 정의하였을 때, ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, lim n → ∞ a n b n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1} 이지만, Δ a n Δ b n {\displaystyle {\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}} 의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} , ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. b n , Δ b n ≠ 0 ∀ n ∈ N {\displaystyle b_{n},\Delta b_{n}\neq 0\qquad \forall n\in \mathbb {N} } ( b n Δ b n ) n ∈ N {\displaystyle \left({b_{n} \over \Delta b_{n}}\right){}_{n\in \mathbb {N} }} 은 유계 수열이다. lim n → ∞ a n b n ∈ R ⊔ { ± ∞ } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}} 그렇다면, 다음이 성립한다. lim n → ∞ Δ a n Δ b n = lim n → ∞ a n b n ∈ R ⊔ { ± ∞ } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}} 슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} , ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. a n , b n > 0 ∀ n ∈ N {\displaystyle a_{n},b_{n}>0\qquad \forall n\in \mathbb {N} } ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다. lim n → ∞ a n + 1 a n b n + 1 − b n ∈ R ⊔ { ± ∞ } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}} 그렇다면, 다음이 성립한다. lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ a n + 1 a n b n + 1 − b n ∈ R ⊔ { ± ∞ } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}} 슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다. 실수열 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 ( b n ) n ∈ N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 에 대하여 다음이 성립한다. lim inf n → ∞ Δ a n Δ b n ≤ lim inf n → ∞ a n b n ≤ lim sup n → ∞ a n b n ≤ lim sup n → ∞ Δ a n Δ b n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}} 슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자. lim n → ∞ 1 + 2 k + ⋯ + n k n k + 1 = 1 k + 1 ( k ∈ N ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+2^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}={\frac {1}{k+1}}\qquad (k\in \mathbb {N} )} 분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, ( n k + 1 ) n ∈ N ( k ∈ N ) {\displaystyle (n^{k+1})_{n\in \mathbb {N} }\qquad (k\in \mathbb {N} )} 는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다. lim n → ∞ 1 + 2 k + ⋯ + n k n k + 1 = lim n → ∞ ( n + 1 ) k ( n + 1 ) k + 1 − n k + 1 = lim n → ∞ n k + k n k − 1 + ⋯ ( k + 1 ) n k + k ( k + 1 ) 2 n k − 1 + ⋯ = lim n → ∞ 1 + k ⋅ 1 n + ⋯ ( k + 1 ) + k ( k + 1 ) 2 ⋅ 1 n + ⋯ = 1 k + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1+2^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+kn^{k-1}+\cdots }{(k+1)n^{k}+{\frac {k(k+1)}{2}}n^{k-1}+\cdots }}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+k\cdot {\frac {1}{n}}+\cdots }{(k+1)+{\frac {k(k+1)}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}+\cdots }}\\&={\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}} 슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a} 인 실수열 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 에 대하여 다음이 성립한다. (산술 평균의 극한) lim n → ∞ a 1 + a 2 + ⋯ + a n n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}=a} (기하 평균의 극한) lim n → ∞ a 1 a 2 ⋯ a n n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}=a} (조화 평균의 극한) lim n → ∞ n 1 a 1 + 1 a 2 + ⋯ + 1 a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}=a} (멱평균의 극한) lim n → ∞ a 1 p + a 2 p + ⋯ + a n p n p = a ( p ≠ 0 ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}}=a\qquad (p\neq 0)} (일반화된 f-평균의 극한) lim n → ∞ f − 1 ( f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + ⋯ + f ( a n ) n ) = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f^{-1}\left({\frac {f(a_{1})+f(a_{2})+\cdots +f(a_{n})}{n}}\right)=a} ( f {\displaystyle f} 는 가역 연속 함수) 마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 w n > 0 ∀ n ∈ N {\displaystyle w_{n}>0\forall n\in \mathbb {N} } 이며 ∑ n = 0 ∞ w n = + ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }w_{n}=+\infty } 이다.) (가중 산술 평균의 극한) lim n → ∞ w 1 a 1 + w 2 a 2 + ⋯ + w n a n w 1 + w 2 + ⋯ + w n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {w_{1}a_{1}+w_{2}a_{2}+\cdots +w_{n}a_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}=a} (가중 기하 평균의 극한) lim n → ∞ a 1 w 1 a 2 w 2 ⋯ a n w n w 1 + w 2 + ⋯ + w n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}]{a_{1}^{w_{1}}a_{2}^{w_{2}}\cdots a_{n}^{w_{n}}}}=a} (가중 조화 평균의 극한) lim n → ∞ w 1 + w 2 + ⋯ + w n w 1 a 1 + w 2 a 2 + ⋯ + w n a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{a_{1}}}+{\frac {w_{2}}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {w_{n}}{a_{n}}}}}=a} (가중 멱평균의 극한) lim n → ∞ w 1 a 1 p + w 2 a 2 p + ⋯ + w n a n p w 1 + w 2 + ⋯ + w n p = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {w_{1}a_{1}^{p}+w_{2}a_{2}^{p}+\cdots +w_{n}a_{n}^{p}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}}=a} (가중 일반화된 f-평균의 극한) lim n → ∞ f − 1 ( w 1 f ( a 1 ) + w 2 f ( a 2 ) + ⋯ + w n f ( a n ) w 1 + w 2 + ⋯ + w n ) = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f^{-1}\left({\frac {w_{1}f(a_{1})+w_{2}f(a_{2})+\cdots +w_{n}f(a_{n})}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}\right)=a} ( f {\displaystyle f} 는 가역 연속 함수) 슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다. 오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(독일어: Otto Stolz)와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(이탈리아어: Ernesto Cesàro)가 제시하였다. 로피탈의 정리 타우버의 정리 코시 수렴 판정법 수열의 극한 점근 표기법 체사로 평균 체사로 합 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.  “L’Hopital’s Theorem”. 《IMOmath》 (영어). 2021년 5월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 28일에 확인함.  Stolz, Otto (1885), 《Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten》 (독일어), Leipzig: Teubners, 173–175쪽, JFM 17.0116.01  Cesàro, Ernesto (1888). “Sur la convergence des séries”. 《Nouvelles annales de mathématiques (series 3)》 (프랑스어) 7: 49–59. JFM 20.0242.01.  Mureşan, Marian (2008), 《A Concrete Approach to Classical Analysis》 (영어), Berlin: Springer, 85쪽, ISBN 978-0-387-78932-3 . Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), 《Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis》 (독일어) I, Berlin: Springer . Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2001. — Т. 1. G. M., Fichtenholz (2002). 《Rachunek różniczkowy i całkowy》 (폴란드어) 1 12판. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN. 55-56쪽. ISBN 83-01-02175-6.  “Stolz-Cesaro theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of Stolz-Cesaro theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Generalizations of Stolz-Cesaro Theorems”. 《PlanetMath》 (영어).  “Example using Stolz-Cesaro theorem”. 《PlanetMath》 (영어).