위상 양자장론

물리학과 수학에서 위상 양자장론(位相量子場論, 영어: topological quantum field theory, 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 미분구조조차 고려하지 않는 위상다양체에서 하는 것은 아니고, 정확히는 리만 계량을 고려하지 않는 미분다양체위에서 하므로 위상 양자장론보다는 미분 위상 양자장론이 더 어울리는 이름이다. 입자 물리학과 끈 이론, 응집물질물리학과 대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다. 대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 위상 양자장론이라고 한다. 오늘날 알려진 위상 양자장론은 시바르츠형(Schwarz-type)과 코호몰로지형(영어: cohomological, 또는 위튼형 Witten-type)) 크게 두 종류가 있다. 시바르츠형 위상 양자장론은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다. d {\displaystyle d} 차원 시공간에서, d {\displaystyle d} 차 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론과 BF 모형 등이 있다. 알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고, 다음과 같은 꼴이다. S = ∫ M A ∧ d A {\displaystyle S=\int _{M}A\wedge dA} . 여기서 A {\displaystyle A} 는 1차 미분형식이고, M {\displaystyle M} 은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다. 코호몰로지형 위상 양자장론 또는 위튼형 위상 양자장론은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틂(topological twist)을 가하여 만든다. 에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다. 위튼은 4차원 N = 2 {\displaystyle N=2} 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다. 시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다. d차원 코호몰로지형 위상 양자장론은 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 와, 다음과 같은 두 연산자 Q , G μ {\displaystyle Q,G_{\mu }} 로 구성된다.:63–66 { Q , Q } = { G μ , G ν } = 0 {\displaystyle \{Q,Q\}=\{G_{\mu },G_{\nu }\}=0} { Q , G μ } = P μ {\displaystyle \{Q,G_{\mu }\}=P_{\mu }} 여기서 P μ {\displaystyle P_{\mu }} 는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 Q , G μ {\displaystyle Q,G_{\mu }} 는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 가 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다). Q | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle Q|0\rangle =0} 그렇다면 Q {\displaystyle Q} 를 BRST 연산자로 생각하여, 물리적 힐베르트 공간 H phys {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{phys}}} 을 Q {\displaystyle Q} 에 대한 코호몰로지로 정의한다. H phys = H Q ( H ) = ker ⁡ Q / im ⁡ Q {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{phys}}=H_{Q}({\mathcal {H}})=\ker Q/\operatorname {im} Q} 또한, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위의 연산자들에 대해서도 [ Q , ⋅ } {\displaystyle [Q,\cdot \}} 에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 Q {\displaystyle Q} 에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 닫혀 있다. 주어진 물리적 스칼라 연산자 O ( 0 ) {\displaystyle O^{(0)}} 에 대하여, G μ {\displaystyle G_{\mu }} 를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다. O ( i + 1 ) = [ G , O ( i ) ] {\displaystyle O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}]} O ( i ) {\displaystyle O^{(i)}} 는 i {\displaystyle i} 차 미분형식을 이루며, 다음과 같은 내림 방정식(영어: descent equation)을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다. d O ( i ) = [ Q , O ( i + 1 ) ] {\displaystyle dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}]} 따라서 i > 0 {\displaystyle i>0} 의 경우, O ( i ) {\displaystyle O^{(i)}} 는 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 M {\displaystyle M} 의 임의의 i {\displaystyle i} 차 호몰로지 C i ∈ H i ( M ; Z ) {\displaystyle C_{i}\in H_{i}(M;\mathbb {Z} )} 에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉, ∫ C i O ( i ) {\displaystyle \int _{C_{i}}O^{(i)}} 은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다. ⟨ ⋯ ∫ C i O ( i ) ⋯ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdots \int _{C_{i}}O^{(i)}\cdots \right\rangle } 예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다. 마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다. 이에 따라, d + 1 {\displaystyle d+1} 차원 위상 양자장론은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 모든 d {\displaystyle d} 차원 콤팩트 (경계가 없는) 유향 다양체 Y {\displaystyle Y} 에 대하여, 복소 벡터 공간인 상태 공간 E ( Y ) {\displaystyle E(Y)} 모든 d + 1 {\displaystyle d+1} 차원 (경계를 가진) 유향 다양체 ( X , ∂ X ) {\displaystyle (X,\partial X)} 에 대하여, 경로 적분 Z ( X ) ∈ E ( ∂ X ) {\displaystyle Z(X)\in E(\partial X)} 이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. (함자성) (공간 대칭의 작용) 임의의 방향을 보존시키는 미분 동형 f : Y → Y ′ {\displaystyle f\colon Y\to Y'} 에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 E ( f ) : E ( Y ) → E ( Y ′ ) {\displaystyle E(f)\colon E(Y)\to E(Y')} 가 존재한다. (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 방향 및 경계를 보존시키는 미분 동형 g : X → X ′ {\displaystyle g\colon X\to X'} 에 대하여, E ( f | ∂ X ) : Z ( X ) ↦ Z ( X ′ ) {\displaystyle E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')} 이다. (대합성) − Y {\displaystyle -Y} 를 Y {\displaystyle Y} 에 반대 방향을 준 유향 다양체라고 한다면, E ( − Y ) = E ( Y ) ∗ {\displaystyle E(-Y)=E(Y)^{*}} 이다. 여기서 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 는 V {\displaystyle V} 의 쌍대 공간이다. (승법성) (상태 공간의 승법성) E ( Y ⊔ Y ′ ) = E ( Y ) ⊗ E ( Y ′ ) {\displaystyle E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y')} (짜깁기 법칙 영어: sewing law) ∂ X 1 = Y 1 ⊔ Y 3 {\displaystyle \partial X_{1}=Y_{1}\sqcup Y_{3}} , ∂ X 2 = Y 2 ⊔ − Y 3 {\displaystyle \partial X_{2}=Y_{2}\sqcup -Y_{3}} 이라면, X 1 {\displaystyle X_{1}} 과 X 2 {\displaystyle X_{2}} 를 Y 3 {\displaystyle Y_{3}} 으로 이어붙여 X = X 1 ∪ X 2 {\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}} , ∂ X = Y 1 ⊔ Y 2 {\displaystyle \partial X=Y_{1}\sqcup Y_{2}} 를 만들 수 있다. 이 경우, Z ( X ) = ⟨ Z ( X 1 ) , Z ( X 2 ) ⟩ {\displaystyle Z(X)=\langle Z(X_{1}),Z(X_{2})\rangle } 이다. 여기서 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : E ( Y 1 ) ⊗ E ( Y 3 ) ⊗ E ( Y 3 ) ∗ ⊗ E ( Y 2 ) → E ( Y 1 ) ⊗ E ( Y 2 ) {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon E(Y_{1})\otimes E(Y_{3})\otimes E(Y_{3})^{*}\otimes E(Y_{2})\to E(Y_{1})\otimes E(Y_{2})} 는 E ( Y 3 ) {\displaystyle E(Y_{3})} 의 내적이다. (비자명성) (상태 공간의 비자명성) E ( ∅ ) = C {\displaystyle E(\varnothing )=\mathbb {C} } 이다. (경로 적분의 비자명성) Z ( ∅ ) = 1 {\displaystyle Z(\varnothing )=1} 이다. (시간 변화) Z ( Y × [ 0 , 1 ] ) = Id E ( Y ) ∈ E ( Y ) ⊗ E ( Y ) ∗ {\displaystyle Z(Y\times [0,1])=\operatorname {Id} _{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^{*}} 이다. 여기서 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 은 닫힌 구간이고, Id E ( Y ) : E ( Y ) → E ( Y ) {\displaystyle \operatorname {Id} _{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)} 는 E ( Y ) {\displaystyle E(Y)} 의 항등함수다. 일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 E ( Y ) {\displaystyle E(Y)} 에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 E ( Y ) ≅ E ∗ ( Y ) {\displaystyle E(Y)\cong E^{*}(Y)} 이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다. 초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다. 2차원 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 초등각 장론의 R대칭은 U(1)2이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 A-뒤틂(영어: A-twist) 및 B-뒤틂(영어: B-twist)라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다. 4차원 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다. 코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 양-밀스 이론의 대칭군은 SU ⁡ ( 2 ) l × SU ⁡ ( 2 ) r × SU ⁡ ( 4 ) R {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{l}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}\times \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}} 이다. 여기서 SU(2)l×SU(2)r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 ( Q , Q ¯ ) {\displaystyle (Q,{\bar {Q}})} 는 표현 ( 1 / 2 , 0 , 4 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 , 4 ) {\displaystyle (1/2,0,\mathbf {4} )\oplus (0,1/2,\mathbf {4} )} 를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 j = 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , … {\displaystyle j=0,1/2,1,3/2,\dots } 으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형 SU ⁡ ( 2 ) l ′ × SU ⁡ ( 2 ) r ′ → SU ⁡ ( 2 ) l × SU ⁡ ( 2 ) r × SU ⁡ ( 4 ) R {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{{\text{l}}'}\times \operatorname {SU} (2)_{{\text{r}}'}\to \operatorname {SU} (2)_{\text{l}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}\times \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}} 에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 ( Q , Q ¯ ) {\displaystyle (Q,{\bar {Q}})} 의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한 위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.:Table 6 바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 A-뒤틂 및 B-뒤틂으로 불리기도 한다.:§4.2 장들의 분해는 다음과 같다. 도널드슨-위튼 뒤틂(영어: Donaldson–Witten twist)에서는 SU ⁡ ( 4 ) R {\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}} 대칭을 SU ⁡ ( 4 ) R → SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) F × U ⁡ ( 1 ) U {\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}\to \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)_{\text{F}}\times \operatorname {U} (1)_{\text{U}}} 으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 SU ⁡ ( 2 ) r {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}} 와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 SU ⁡ ( 2 ) F {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{F}}} 는 맛깔 대칭, U ⁡ ( 1 ) U {\displaystyle \operatorname {U} (1)_{\text{U}}} 는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, SU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (4)} 의 표현들은 다음과 같이 깨진다.:§1 4 → ( 1 / 2 , 0 ) + 1 ⊕ ( 1 / 2 , 0 ) − 1 {\displaystyle \mathbf {4} \to (1/2,0)^{+1}\oplus (1/2,0)^{-1}} 6 → ( 1 / 2 , 1 / 2 ) 0 ⊕ ( 0 , 0 ) ± 2 {\displaystyle \mathbf {6} \to (1/2,1/2)^{0}\oplus (0,0)^{\pm 2}} 바파-위튼 뒤틂(영어: Vafa–Witten twist) 또는 A-뒤틂(영어: A-twist)에서는 SU ⁡ ( 4 ) R {\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}} 대칭군을 우선 SU ⁡ ( 4 ) ≅ Spin ⁡ ( 6 ) → Spin ⁡ ( 4 ) ≅ SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)\to \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)} 로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 SU ⁡ ( 2 ) r {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}} 와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 SU ⁡ ( 2 ) U {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{U}}} 로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 SU ⁡ ( 2 ) 2 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)^{2}} 표현으로 깨진다. 4 → ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle \mathbf {4} \to (1/2,1/2)} 6 → ( 1 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {6} \to (1,0)\oplus (0,1)} 유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다. 마커스 뒤틂(영어: Marcus twist) 또는 B-뒤틂(영어: B-twist)은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다. 이에 따라 U(1)U 유령수 대칭만이 남게 된다. 3차원에서는 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭은 SO ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})} 이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 N ≥ 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}\geq 4} 이어야 한다. 3차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 에서, R대칭은 Spin ⁡ ( 4 ) ≅ SU ⁡ ( 2 ) N × SU ⁡ ( 2 ) R {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}} 이다. 3차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 에서, 벡터 초장의 SU ⁡ ( 2 ) E × SU ⁡ ( 2 ) N × SU ⁡ ( 2 ) R {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}} 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.) 따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 SU ⁡ ( 2 ) E ′ {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E'}} 을 SU ⁡ ( 2 ) E × SU ⁡ ( 2 ) R {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{R}} 의 대각선 부분군으로 잡거나, SU ⁡ ( 2 ) E × SU ⁡ ( 2 ) N {\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}} 의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 A-뒤틂(영어: A-twist), 후자는 B-뒤틂(영어: B-twist)이라고 한다. 초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 카푸스틴-비아스 모형(영어: Kapustin–Vyas model),, B-뒤틂은 로잔스키-위튼 모형(영어: Rozansky–Witten model)이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 블라우-톰프슨 모형(영어: Blau–Thompson model)이라고 한다.:§4.3 3차원 N = 8 {\displaystyle {\mathcal {N}}=8} 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.:§5.1 하나는 4차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다. 하나는 4차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다. 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다. 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다. Kaul, R. K.; T. R. Govindarajan, P. Ramadevi (2005). “Schwarz type topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0504100. Bibcode:2005hep.th....4100K.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Schwarz, Albert (1978년 1월). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 2 (3): 247–252. Bibcode:1978LMaPh...2..247S. doi:10.1007/BF00406412. Zbl 0383.70017.  Witten, Edward (1991년 7월 10일). “Introduction to cohomological field theories”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 6 (16): 2775–2792. Bibcode:1991IJMPA...6.2775W. doi:10.1142/S0217751X91001350. ISSN 0217-751X.  Witten, Edward (1988). “Topological quantum field theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 117 (3): 353–386. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. doi:10.1007/BF01223371. MR 953828.  Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D.  Atiyah, Michael (1988년 1월). “Topological quantum field theories”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 68 (1): 175–186. doi:10.1007/BF02698547. ISSN 0073-8301. MR 1001453. Zbl 0692.53053.  일부 경우, 실수 및 유한체에 대한 벡터 공간도 사용 가능하다. Gadde, A.; Gukov, S.; Putrov, P. “Fivebranes and 4-manifolds”. arXiv:1306.4320.  Vafa, Cumrun; Witten, Edward. “A Strong Coupling Test of S-Duality” (영어). arXiv:hep-th/9408074.  Marcus, Neil. “The other topological twisting of N = 4 {\displaystyle N=4} Yang–Mills” (영어). arXiv:hep-th/9506002.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 35) (도움말) Kapustin, Anton; Witten, Edward. “Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program”. arXiv:hep-th/0604151.  Blau, Matthias; Thompson. “Aspects of N T ≥ 2 {\displaystyle N_{T}\geq 2} topological gauge theories and D-branes” (영어). arXiv:hep-th/9612143.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 12) (도움말) Kapustin, Anton; Vyas, Ketan. “A-models in three and four dimensions” (영어). arXiv:1002.4241.  Rozansky, Lev; Witten, Edward. “Hyper-Kähler Geometry and Invariants of Three-Manifolds” (영어). arXiv:hep-th/9612216.  Schwarz, Albert (2000). “Topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0011260. Bibcode:2000hep.th...11260S.  Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic (2008년 12월 11일). “Undergraduate lecture notes in topological quantum field theory” (영어). arXiv:0810.0344. Bibcode:2008arXiv0810.0344I.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Birmingham, Danny; Blau, Matthias; Rakowski, Mark; Thompson, George (1991년 12월). “Topological field theory”. 《Physics Reports》 (영어) 209 (4–5): 129-340. Bibcode:1991PhR...209..129B. doi:10.1016/0370-1573(91)90117-5. ISSN 0370-1573.  Labastida, José M. F.; Carlos Lozano. “Lectures in topological quantum field theory” (영어). arXiv:hep-th/9709192. Bibcode:1997hep.th....9192L.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Labastida, José M. F. (2002). “Knot theory from the perspective of field and string theory” (영어). arXiv:hep-th/0201038. Bibcode:2002hep.th....1038L.  Labastida, José M. F. (2000). “Knot theory from a Chern-Simons gauge theory point of view” (영어). arXiv:hep-th/0002221. Bibcode:2000hep.th....2221L.  Bartlett, Bruce H. (2005). 《Categorical aspects of topological quantum field theories》 (영어). 석사 학위 논문. 위트레흐트 대학교. arXiv:math/0512103. Bibcode:2005math.....12103B.  Picken, R. F.; P. A. Semiao (1999). “TQFT — a new direction in algebraic topology” (영어). arXiv:math/9912085. Bibcode:1999math.....12085P.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Topological quantum field theory”. 《nLab》 (영어).  “2d TQFT”. 《nLab》 (영어).  “3d TQFT”. 《nLab》 (영어).  “4d TQFT”. 《nLab》 (영어).  “TCFT”. 《nLab》 (영어).  “Topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory”. 《nLab》 (영어).  “Kapustin-Witten TQFT”. 《nLab》 (영어).  천-사이먼스 이론 위상 끈 이론 BF 모형