바이어슈트라스 치환

미적분학에서 바이어슈트라스 치환(-置換, 영어: Weierstrass substitution) 또는 탄젠트 반각 치환(-半角置換, 영어: tangent half-angle substitution) 또는 t-치환(-置換, 영어: t-substitution)은 반각의 탄젠트를 새로운 변수로 대신하는 치환 적분이다. 삼각 함수의 유리 함수를 적분하는 데 사용된다. 모든 삼각 함수의 유리 함수는 어떤 2변수 유리 함수 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 에 대하여 R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) {\displaystyle R(\sin x,\cos x)} 와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 바이어슈트라스 치환은 이러한 함수를 적분하는 데 사용되는 다음과 같은 치환 적분 기법이다. tan ⁡ x 2 = t {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=t} 이 경우 다음이 성립한다. sin ⁡ x = 2 t 1 + t 2 , cos ⁡ x = 1 − t 2 1 + t 2 , x = 2 arctan ⁡ t , d x = 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\;\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t} 따라서 R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) {\displaystyle R(\sin x,\cos x)} 의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.:263-264:351 ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t} 모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수이므로, 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수이다.:264 바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.:264-265:351 만약 R ( − u , v ) = − R ( u , v ) {\displaystyle R(-u,v)=-R(u,v)} 라면, 이는 항상 R ( u , v ) = u R 1 ( u 2 , v ) {\displaystyle R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)} 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 cos ⁡ x = t {\displaystyle \cos x=t} 와 같이 치환하는 것이 좋다. ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ sin ⁡ x R 1 ( sin 2 ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = − ∫ R 1 ( 1 − t 2 , t ) d t {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)dx=-\int R_{1}(1-t^{2},t)dt} 만약 R ( u , − v ) = − R ( u , v ) {\displaystyle R(u,-v)=-R(u,v)} 라면, 이는 R ( u , v ) = v R 1 ( u , v 2 ) {\displaystyle R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})} 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 sin ⁡ x = t {\displaystyle \sin x=t} 와 같이 치환하는 것이 좋다. ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ cos ⁡ x R 1 ( sin ⁡ x , cos 2 ⁡ x ) d x = ∫ R 1 ( t , 1 − t 2 ) d t {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)dx=\int R_{1}(t,1-t^{2})dt} 만약 R ( − u , − v ) = R ( u , v ) {\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v)} 라면, R ( u , v ) = R 1 ( u / v , v 2 ) {\displaystyle R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})} 꼴이므로, 이 경우 tan ⁡ x = t {\displaystyle \tan x=t} 와 같이 치환하는 것이 좋다. ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ R 1 ( tan ⁡ x , cos 2 ⁡ x ) d x = ∫ R 1 ( t , 1 1 + t 2 ) 1 1 + t 2 d t {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)dx=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}dt} 사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다. R ( u , v ) = R ( u , v ) − R ( − u , v ) 2 + R ( − u , v ) − R ( − u , − v ) 2 + R ( − u , − v ) + R ( u , v ) 2 {\displaystyle R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}} 바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환(雙曲-半變數置換, 영어: hyperbolic tangent half-argument substitution 또는 쌍곡 t-치환(雙曲-置換, 영어: hyperbolic t-substitution)은 쌍곡선 함수의 유리 함수 R ( sinh ⁡ x , cosh ⁡ x ) {\displaystyle R(\sinh x,\cosh x)} 를 적분하는 데 사용되며, 이는 다음과 같다.:185, Exercise 13 tanh ⁡ x 2 = t {\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}=t} 이 경우 다음이 성립한다. sinh ⁡ x = 2 t 1 − t 2 , cosh ⁡ x = 1 + t 2 1 − t 2 , x = 2 tanh − 1 ⁡ t , d x = 2 1 − t 2 d t {\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\;\cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\;x=2\tanh ^{-1}t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t} 따라서 R ( sinh ⁡ x , cosh ⁡ x ) {\displaystyle R(\sinh x,\cosh x)} 의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.:29 ∫ R ( sinh ⁡ x , cosh ⁡ x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 − t 2 , 1 + t 2 1 − t 2 ) 2 1 − t 2 d t {\displaystyle \int R(\sinh x,\cosh x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1-t^{2}}},{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\right){\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t} 따라서 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수이다. 다음과 같은 적분들을 생각하자.:352, 例6.3.8, (3), (4):265, 例6.3.4 ∫ sin ⁡ x 1 + sin ⁡ x d x , ∫ d x 5 + 3 sin ⁡ x + 4 cos ⁡ x , ∫ cos 3 ⁡ x 1 + sin 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int {\frac {\sin x}{1+\sin x}}\mathrm {d} x,\;\int {\frac {\mathrm {d} x}{5+3\sin x+4\cos x}},\;\int {\frac {\cos ^{3}x}{1+\sin ^{2}x}}\mathrm {d} x} 첫째 적분은 바이어슈트라스 치환 tan ⁡ ( x / 2 ) = t {\displaystyle \tan(x/2)=t} 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ sin ⁡ x 1 + sin ⁡ x d x = ∫ 4 t ( 1 + t ) 2 ( 1 + t 2 ) d t = ∫ ( − 2 ( 1 + t ) 2 + 2 1 + t 2 ) d t = 2 1 + t + 2 arctan ⁡ t + C = 2 1 + tan ⁡ ( x / 2 ) + x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sin x}{1+\sin x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {4t}{(1+t)^{2}(1+t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int \left(-{\frac {2}{(1+t)^{2}}}+{\frac {2}{1+t^{2}}}\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{1+t}}+2\arctan t+C\\&={\frac {2}{1+\tan(x/2)}}+x+C\end{aligned}}} 둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환 tan ⁡ ( x / 2 ) = t {\displaystyle \tan(x/2)=t} 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ d x 5 + 3 sin ⁡ x + 4 cos ⁡ x = ∫ 2 5 ( 1 + t 2 ) + 6 t + 4 ( 1 − t 2 ) d t = ∫ 2 ( 3 + t ) 2 d t = − 2 3 + t + C = − 2 3 + tan ⁡ ( x / 2 ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{5+3\sin x+4\cos x}}&=\int {\frac {2}{5(1+t^{2})+6t+4(1-t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int {\frac {2}{(3+t)^{2}}}\mathrm {d} t\\&=-{\frac {2}{3+t}}+C=-{\frac {2}{3+\tan(x/2)}}+C\end{aligned}}} 셋째 적분은 R ( sin ⁡ x , − cos ⁡ x ) = − R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) {\displaystyle R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)} 를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환을 사용할 필요가 없다. 이는 치환 sin ⁡ x = t {\displaystyle \sin x=t} 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ cos 3 ⁡ x 1 + sin 2 ⁡ x d x = ∫ 1 − t 2 1 + t 2 d t = ∫ ( 2 1 + t 2 − 1 ) d t = 2 arctan ⁡ t − t + C = 2 arctan ⁡ sin ⁡ x − sin ⁡ x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\cos ^{3}x}{1+\sin ^{2}x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\\&=\int \left({\frac {2}{1+t^{2}}}-1\right)\mathrm {d} t\\&=2\arctan t-t+C\\&=2\arctan \sin x-\sin x+C\end{aligned}}} 다음과 같은 적분을 생각하자.:29, 例4 ∫ d x 1 + 2 cosh ⁡ x {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+2\cosh x}}} 이는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환 tanh ⁡ ( x / 2 ) = t {\displaystyle \tanh(x/2)=t} 를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ d x 1 + 2 cosh ⁡ x = ∫ 2 1 − t 2 + 2 ( 1 + t 2 ) d t = ∫ 2 3 + t 2 d t = 2 3 arctan ⁡ t 3 + C = 2 3 arctan ⁡ tanh ⁡ ( x / 2 ) 3 + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{1+2\cosh x}}&=\int {\frac {2}{1-t^{2}+2(1+t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int {\frac {2}{3+t^{2}}}\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}}+C\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {\tanh(x/2)}{\sqrt {3}}}+C\end{aligned}}} 삼각 치환 오일러 치환 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.  周民强 (2010). 《数学分析习题演练. 第一册》 (중국어) 2판. 北京: 科学出版社. ISBN 978-7-03-028183-8.  Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2.  李中强; 李效民 (1994). “双曲函数及其在积分中的应用”. 《河南电大》 (중국어). 1994년 (1): 26–29. ISSN 1003-1448.  이철희. “바이어슈트라스 치환”. 《수학노트》.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Weierstrass substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Weierstrass substitution formulas”. 《PlanetMath》 (영어).