삼진환

사영기하학에서 삼진환(三進環, 영어: ternary ring)은 사영 평면의 점의 일종의 좌표계를 구성할 수 있는 대수 구조이며, 하나의 3항 연산을 갖는다. 삼진환 ( R , ⊤ , 0 , 1 ) {\displaystyle (R,\top ,0,1)} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. ⊤ : R × R × R → R {\displaystyle \top \colon R\times R\times R\to R} 는 3항 연산이다. 0 ∈ R {\displaystyle 0\in R} 및 1 ∈ R {\displaystyle 1\in R} 는 상수(0항 연산)이다. 이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. 0 ≠ 1 {\displaystyle 0\neq 1} 임의의 x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in R} 에 대하여, ⊤ ( x , 0 , y ) = ⊤ ( 0 , x , y ) = ⊤ ( 1 , y , 0 ) = ⊤ ( y , 1 , 0 ) = y {\displaystyle \top (x,0,y)=\top (0,x,y)=\top (1,y,0)=\top (y,1,0)=y} 임의의 x , y , x ′ , y ′ ∈ X {\displaystyle x,y,x',y'\in X} 에 대하여, 만약 x ≠ x ′ {\displaystyle x\neq x'} 라면, ⊤ ( z , x , y ) = ⊤ ( z , x ′ , y ′ ) {\displaystyle \top (z,x,y)=\top (z,x',y')} 인 z ∈ X {\displaystyle z\in X} 가 유일하게 존재한다. 임의의 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여, ⊤ ( x , y , w ) = z {\displaystyle \top (x,y,w)=z} 인 w ∈ X {\displaystyle w\in X} 가 유일하게 존재한다. 임의의 x , y , x ′ , y ′ {\displaystyle x,y,x',y'} 에 대하여, 만약 x ≠ x ′ {\displaystyle x\neq x'} 라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 z , w ∈ X {\displaystyle z,w\in X} 를 갖는다. ⊤ ( x , z , w ) = y {\displaystyle \top (x,z,w)=y} ⊤ ( x ′ , z , w ) = y ′ {\displaystyle \top (x',z,w)=y'} 삼진환 ( R , ⊤ ) {\displaystyle (R,\top )} 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의하자. x ⊕ y = ⊤ ( x , 1 , y ) {\displaystyle x\oplus y=\top (x,1,y)} x ⊗ y = ⊤ ( x , y , 0 ) {\displaystyle x\otimes y=\top (x,y,0)} 그렇다면, ( R , ⊕ , 0 ) {\displaystyle (R,\oplus ,0)} 및 ( R , ⊗ , 1 ) {\displaystyle (R,\otimes ,1)} 은 각각 항등원을 갖는 유사군을 이룬다. 삼진환 ( R , ⊤ ) {\displaystyle (R,\top )} 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 다음과 같은 사영 평면 ( X , L , ⊲ ) {\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )} 을 구성할 수 있다. 우선, 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다. X = L = R 2 ⊔ R ⊔ R 0 = { ( ) } {\displaystyle X=L=R^{2}\sqcup R\sqcup R^{0}=\{()\}} 이 사이의 인접 관계 ⊲⊆ X × L {\displaystyle \vartriangleleft \subseteq X\times L} 는 다음과 같다. ( a , b ) ⊲ ( c , d ) ⟺ ⊤ ( a , c , d ) = b {\displaystyle (a,b)\vartriangleleft (c,d)\iff \top (a,c,d)=b} ( a , b ) ⊲ ( c ) ⟺ ( a ) ⊲ ( c , d ) ⟺ a = c {\displaystyle (a,b)\vartriangleleft (c)\iff (a)\vartriangleleft (c,d)\iff a=c} ( a , b ) ⋪ ( ) {\displaystyle (a,b)\not \vartriangleleft ()} ( ) ⋪ ( c , d ) {\displaystyle ()\not \vartriangleleft (c,d)} ( a ) ⋪ ( c ) {\displaystyle (a)\not \vartriangleleft (c)} ( a ) ⊲ ( ) {\displaystyle (a)\vartriangleleft ()} ( ) ⊲ ( c ) {\displaystyle ()\vartriangleleft (c)} ( ) ⊲ ( ) {\displaystyle ()\vartriangleleft ()} 또한, ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( ) , ( 0 ) ∈ X {\displaystyle (0,0),(1,1),(),(0)\in X} 은 그 속의 사각형을 이룬다. 사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다. 서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다. ( K , + , 0 , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (K,+,0,\cdot ,1)} 가 나눗셈환이라고 하자. 그렇다면, ⊤ ( x , y , z ) = x y + z {\displaystyle \top (x,y,z)=xy+z} 를 정의한다면, 이는 삼중환을 이룬다. 1941년에 마셜 홀(영어: Marshall Hall)이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”(영어: ternary ring)이라는 용어를 도입하였다. 이름과 달리, 삼진환은 환이 아니다. 일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, 영어: ternary field) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, 영어: planar ternary ring) 등으로 불린다. Grari, A. (2004년 9월). “A necessary and sufficient condition so that two planar ternary rings induce isomorphic projective planes”. 《Archiv der Mathematik》 (영어) 83 (2): 183–192. doi:10.1007/s00013-003-4580-9. Zbl 1067.51002.  Hall, Marshall (1943). “Projective planes”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 54: 229–277. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008892-4. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990331. MR 8892. Zbl 0060.32209.  “Ternary field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Busch, Arthur (2001년 12월 5일). “Planar ternary rings” (영어). 2019년 7월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 18일에 확인함.  “When does a planar ternary ring uniquely coordinitise a projective plane?”. 《Math Overflow》 (영어). 2016년 4월 9일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 18일에 확인함.