꼭짓점 연산자 대수

수학에서 꼭짓점 연산자 대수(-點演算子代數, 영어: vertex operator algebra)는 등각 장론의 특정 국소적 연산자와 유사한 구조를 지니는 수학적 구조이다. 대략, 벡터를 행렬의 로랑 급수에 대응시키는 연산을 지닌 벡터 공간이다. 리 대수에서, 구조 상수를 로랑 급수로 일반화한 것으로도 생각할 수 있다. 꼭짓점 연산자 대수(vertex operator algebra) ( V , Y , 1 , ω ) {\displaystyle (V,Y,1,\omega )} 는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다. V = ⨁ n = k ∞ V n {\displaystyle V=\bigoplus _{n=k}^{\infty }V_{n}} 는 정수 차수 붙은(graded) 복소 벡터 공간이다. 각 차수 부분공간 V n < ∞ {\displaystyle V_{n}<\infty } 은 유한 차원이다. k {\displaystyle k} 는 임의의 정수다. Y : V ⊗ V → V ( ( z ) ) {\displaystyle Y\colon V\otimes V\to V((z))} 는 V ⊗ V {\displaystyle V\otimes V} 에서 형식적 로랑 급수 V ( ( z ) ) {\displaystyle V((z))} 로 가는 선형 사상이다. 이는 Y : V → ( End ⁡ V ) ( ( z ) ) {\displaystyle Y\colon V\to (\operatorname {End} V)((z))} 로도 생각할 수 있다. 즉, 일종의 곱셈 연산이다. 이를 상태-연산자 사상(state–operator map)이라고 한다. 편의상 a ∈ V {\displaystyle a\in V} 이면 Y ( a ) ( z ) = ∑ n ∈ Z a n z − n − 1 {\displaystyle Y(a)(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{-n-1}} 으로 표기한다. 여기서 a n ∈ End ⁡ V {\displaystyle a_{n}\in \operatorname {End} V} 이다. 간혹 a ∈ V {\displaystyle a\in V} 에 대하여, Y {\displaystyle Y} 를 생략하고 a ( z ) = Y ( a ) ( z ) ∈ End ⁡ ( ( z ) ) {\displaystyle a(z)=Y(a)(z)\in \operatorname {End} ((z))} 로 쓰기도 한다. 1 ∈ V 0 {\displaystyle 1\in V_{0}} 는 벡터 공간의 한 원소다. 이를 진공 상태라고 한다. ω ∈ V 2 {\displaystyle \omega \in V_{2}} 는 등각 상태(conformal state)이다. 통상적으로 L n = ω n + 1 {\displaystyle L_{n}=\omega _{n+1}} 으로 표기한다. 이는 다음과 같은 공리를 만족하여야 한다. (차수의 성질) a ∈ V i {\displaystyle a\in V_{i}} , b ∈ V j {\displaystyle b\in V_{j}} 이면 a n b ∈ V i + j − n − 1 {\displaystyle a_{n}b\in V_{i+j-n-1}} 이다. 또한, a ∈ V n {\displaystyle a\in V_{n}} 이면 L 0 a = n a {\displaystyle L_{0}a=na} 이다. (진공의 성질) 1 ( z ) {\displaystyle 1(z)} 는 단위 연산자이다. 또한, 모든 a ∈ V {\displaystyle a\in V} 에 대하여 a − 1 1 = a {\displaystyle a_{-1}1=a} 이다. 모든 a , b ∈ V {\displaystyle a,b\in V} 에 대하여, n {\displaystyle n} 이 충분히 크다면 a n b = 0 {\displaystyle a_{n}b=0} 이다. (병진 연산자의 표현) 임의의 a ∈ V {\displaystyle a\in V} 에 대하여, ( L − 1 a ) ( z ) = ( d / d z ) a ( z ) {\displaystyle (L_{-1}a)(z)=(d/dz)a(z)} 이다. (비라소로 대수) [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + δ m + n , 0 ( m 3 − m ) c / 12 {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c/12} . 여기서 c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } 는 비라소로 대수의 중심 전하(central charge)라고 한다. (야코비 항등식) z − 1 δ ( ( x − y ) / z ) a ( x ) b ( y ) − z − 1 δ ( ( x − y ) / z ) b ( y ) a ( x ) = y − 1 δ ( ( x − z ) / y ) ( a ( z ) b ) ( y ) {\displaystyle z^{-1}\delta ((x-y)/z)a(x)b(y)-z^{-1}\delta ((x-y)/z)b(y)a(x)=y^{-1}\delta ((x-z)/y)(a(z)b)(y)} . 여기서 δ ( z ) = ∑ n ∈ Z z n {\displaystyle \delta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }z^{n}} 은 디랙 델타 함수다. Dong, Chongying (1995). “Introduction to vertex operator algebras I”. arXiv:q-alg/9504017.  Nozaradan, Christophe (2008). “Introduction to vertex algebras”. arXiv:0809.1380.  Borcherds, Richard E. (1986년 5월 15일). “Vertex algebras, Kac–Moody algebras, and the monster”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 83 (10): 3068–3071. doi:10.1073/pnas.83.10.3068.  Gebert, Chongying (1993년 12월 20일). “Introduction to vertex algebras, Borcherds algebras, and the monster Lie algebra I”. 《International Journal of Modern Physics A》 8 (31). arXiv:hep-th/9308151. Bibcode:1993IJMPA...8.5441G. doi:10.1142/S0217751X93002162.  Gaitsgory, Dennis (1998). “Notes on 2D conformal field theory and string theory”. arXiv:math/9811061. Bibcode:1998math.....11061G.  “Vertex operator algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Sadowski, Christopher (2007년 6월 26일). “A Vertex Operator Algebra” (PDF). 2016년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 11월 11일에 확인함.