닫힌 작용소

함수해석학에서 닫힌 작용소(영어: closed operator)는 그 그래프가 닫힌집합인, 조밀 집합 위에 정의된 선형 변환이다. 닫힐 수 있는 작용소(영어: closable operator)는 그 그래프의 폐포를 취하여 닫힌 작용소로 만들 수 있는 작용소이다. 이 경우, 에르미트 수반 등의 연산이 잘 정의된다. 다음이 주어졌다고 하자. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 E {\displaystyle E} 하우스도르프 K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 F {\displaystyle F} E {\displaystyle E} 의 조밀 K {\displaystyle \mathbb {K} } -부분 벡터 공간 D ⊆ E {\displaystyle D\subseteq E} K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 A : D → F {\displaystyle A\colon D\to F} 그렇다면, A {\displaystyle A} 의 그래프 graph ⁡ A = { ( x , A x ) : x ∈ D } ⊆ E ⊕ F {\displaystyle \operatorname {graph} A=\{(x,Ax)\colon x\in D\}\subseteq E\oplus F} 를 생각할 수 있다. A {\displaystyle A} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 A {\displaystyle A} 를 닫힌 작용소라고 한다.:63 A {\displaystyle A} 의 그래프가 위상 벡터 공간 E ⊕ F {\displaystyle E\oplus F} 의 닫힌집합이다. 임의의 x ∈ E {\displaystyle x\in E} 및 그물 ( x i ) i ∈ I ⊆ D {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq D} 에 대하여, 만약 lim i → ∞ x i = x {\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=x} 이며 lim i → ∞ A x i = y ∈ F {\displaystyle \lim _{i\to \infty }Ax_{i}=y\in F} 라면, x ∈ D {\displaystyle x\in D} 이며 y = A x {\displaystyle y=Ax} 이다. 물론, 만약 E {\displaystyle E} 및 F {\displaystyle F} 가 프레셰 공간이라면, 둘째 조건에서 그물 대신 점렬을 사용해도 된다. 다음이 주어졌다고 하자. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 E {\displaystyle E} K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 F {\displaystyle F} E {\displaystyle E} 의 조밀 K {\displaystyle \mathbb {K} } -부분 벡터 공간 D ⊆ E {\displaystyle D\subseteq E} 연속 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 A : D → F {\displaystyle A\colon D\to F} 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 A {\displaystyle A} 를 닫힐 수 있는 작용소라고 한다.:63 graph ⁡ A ¯ = cl ⁡ ( graph ⁡ A ) {\displaystyle \operatorname {graph} {\bar {A}}=\operatorname {cl} (\operatorname {graph} A)} 인 연속 선형 변환 A ¯ : D ¯ → F {\displaystyle {\bar {A}}\colon {\bar {D}}\to F} 이 존재한다. (여기서 D ¯ = proj E ⁡ graph ⁡ A ¯ {\displaystyle {\bar {D}}=\operatorname {proj} _{E}\operatorname {graph} {\bar {A}}} 이다.) 임의의 x ∈ E {\displaystyle x\in E} 및 두 그물 ( x i ) i ∈ I ⊆ D {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq D} 및 ( x i ′ ′ ) i ′ ∈ I ′ ⊆ D {\displaystyle (x'_{i'})_{i'\in I'}\subseteq D} 에 대하여, 만약 lim i → ∞ x i = lim i ′ → ∞ x i ′ = x {\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=\lim _{i'\to \infty }x_{i'}=x} 이며 lim i → ∞ A x i = y {\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }Ax_{i}=y} 이며 \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'</math>라면, y = y ′ {\displaystyle y=y'} 이다. 다시 말해, 닫힐 수 있는 작용소에서는, 임의의 E {\displaystyle E} 의 원소에서 A {\displaystyle A} 의 값을 그물 또는 점렬의 극한으로 정의하려고 한다면, 이러한 가능한 정의는 (만약 가능하다면) 유일하다. 이 경우, cl ⁡ ( graph ⁡ A ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {graph} A)} 로 정의되는 작용소를 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 로 표기하며, A {\displaystyle A} 의 폐포(영어: closure)라고 한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 의 조밀 부분 집합 D ⊆ E {\displaystyle D\subseteq E} 위의 선형 변환 A : H → H {\displaystyle A\colon H\to H} 의 에르미트 수반을 정의하려 한다고 하자. 이 경우, 그 수반의 정의역은 dom ⁡ A ∗ = { x ∈ H : ⟨ x | A ∈ H ∗ ≅ H } {\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}=\left\{x\in H\colon \langle x|A\in {\mathcal {H}}^{*}\cong {\mathcal {H}}\right\}} 이다. 이것이 조밀 집합일 필요 충분 조건은 A {\displaystyle A} 가 닫힐 수 있는 작용소인 것이다. 이 경우, A {\displaystyle A} 가 닫힐 수 있는 작용소일 때 A ¯ = A ∗ ∗ {\displaystyle {\bar {A}}=A^{**}} 이다. 즉, 닫힌 작용소의 경우 A = A ¯ = A ∗ ∗ {\displaystyle A={\bar {A}}=A^{**}} 이다. 힐베르트 공간 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소( A = A ∗ {\displaystyle A=A^{*}} )는 닫힌 작용소이다. 즉, 힐베르트 공간 위에서 다음 포함 관계가 성립한다. 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 사이의, E {\displaystyle E} 전체에 정의된 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 A : E → F {\displaystyle A\colon E\to F} 을 생각하자. 이 경우, A {\displaystyle A} 가 닫힌 작용소인 것은 A {\displaystyle A} 가 유계 작용소인 것과 동치이다. 이를 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)라고 한다. Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.  “Closed operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Stover, Christopher. “ClosedOperator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “CloseableOperator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.