비각운동량

천체 역학에서 비각운동량 h → {\displaystyle {\vec {h}}} 는 이체 문제의 분석에서 중추적인 역할을 한다. 뉴턴 역학에서 이러한 물리량이 이상적인 궤도에 대한 상수 벡터임을 보일 수 있다. 이는 본질적으로 케플러의 제2법칙을 증명해준다. 이 값은 각운동량 L → {\displaystyle {\vec {L}}} 이 아니라 각운동량에 질량을 나눈 값이므로 비각운동량이라고 한다. 따라서 "비"라는 단어는 "질량비" 또는 질량으로 나눈 것임을 뜻한다. h → = L → m {\displaystyle {\vec {h}}={\frac {\vec {L}}{m}}} 따라서 SI 단위는 m 2 · s −1이다. m {\displaystyle m} 은 환산 질량 1 m = 1 m 1 + 1 m 2 {\displaystyle {\frac {1}{m}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}} 을 나타낸다. 상대 비각운동량은 상대 위치 벡터 r → {\displaystyle {\vec {r}}} 과 상대 속도 벡터 v → {\displaystyle {\vec {v}}} 의 외적으로 정의된다. h → = r → × v → = L → m {\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}={\frac {\vec {L}}{m}}} h → {\displaystyle {\vec {h}}} 벡터는 항상 순간 회전 궤도면과 수직하며, 순간 회전 궤도면은 순간 섭동 궤도와 일치한다. 따라서 h → {\displaystyle {\vec {h}}} 벡터는 수년간의 섭동이 포함된 평균 평면과는 수직하지 않는다. 물리학에서 늘 그렇듯이 벡터 h → {\displaystyle {\vec {h}}} 의 크기는 h {\displaystyle h} 로 표시된다: h = ‖ h → ‖ {\displaystyle h=\left\|{\vec {h}}\right\|} 다음 증명은 뉴턴의 만유인력 법칙에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다. 점질량 m 1 {\displaystyle m_{1}} 과 m 2 {\displaystyle m_{2}} 가 서로 거리 r {\displaystyle r} 만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로 F → = G m 1 m 2 r 2 r → r {\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}} 의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 계에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 관성의 법칙을 만족한다. 추가적인 단순화를 위해 m 1 ≫ m 2 {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}} 를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서 m 1 {\displaystyle m_{1}} 은 중심체이며, m 2 {\displaystyle m_{2}} 주위를 도는 위성이다. 이때 환산질량은 m 2 {\displaystyle m_{2}} 와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다. r → ¨ = − μ r 2 r → r {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}} μ = G m 1 {\displaystyle \mu =Gm_{1}} 은 표준 중력 변수이며, 거리 벡터 r → {\displaystyle {\vec {r}}} (절대값: r {\displaystyle r} )은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다. 때때로 μ {\displaystyle \mu } 를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수 μ {\displaystyle \mu } 를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다. 2체 문제의 방정식을 거리 벡터 r → {\displaystyle {\vec {r}}} 와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다. r → × r → ¨ = − r → × μ r 2 r → r = − μ r 3 ( r → × r → ) {\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {r}}\times {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\vec {r}}\times {\vec {r}}\right)} 벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다. r → × r → ¨ = r → ˙ × r → ˙ + r → × r → ¨ = d ( r → × r → ˙ ) d t = 0 {\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\frac {\mathrm {d} \left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)}{\mathrm {d} t}}=0} 이는 r → × r → ˙ {\displaystyle {\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}} 가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다. h → = r → × r → ˙  is const. {\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}{\text{ is const.}}} 이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다. 비행 경로 각도 ϕ {\displaystyle \phi } 의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다. h = r v cos ⁡ ϕ {\displaystyle h=rv\cos \phi } h = r 2 θ ˙ {\displaystyle h=r^{2}{\dot {\theta }}} h = μ p {\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}} 이때 p {\displaystyle p} 는 곡선의 원뿔 곡선 이라고 부른다. 케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 통해 거의 직접적으로 증명될 수 있다. 증명은 이체 문제의 방정식에서 시작된다. 이번에는 방정식에 상대 비각운동량을 외적한다. r → ¨ × h → = − μ r 2 r → r × h → {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {h}}} 좌변은 각운동량은 일정하기 때문에 d d t ( r → ˙ × h → ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)} 와 같다. 우변은 다음과 같이 정리할 수 있다: − μ r 3 ( r → × h → ) = − μ r 3 ( ( r → ⋅ v → ) r → − r 2 v → ) = − ( μ r 2 r ˙ r → − μ r v → ) = μ d d t ( r → r ) {\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\vec {r}}\times {\vec {h}}\right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left({\vec {r}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {r}}-r^{2}{\vec {v}}\right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}{\vec {r}}-{\frac {\mu }{r}}{\vec {v}}\right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\vec {r}}{r}}\right)} 이 두 식을 동일하게 설정하고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음과 같다(이때 적분 상수 C → {\displaystyle {\vec {C}}} 또한 고려). r → ˙ × h → = μ r → r + C → {\displaystyle {\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}} 이제 이 방정식에 r → {\displaystyle {\vec {r}}} 을 내적하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다. r → ⋅ ( r → ˙ × h → ) = r → ⋅ ( μ r → r + C → ) ⇒ ( r → × r → ˙ ) ⋅ h → = μ r + r C cos ⁡ θ ⇒ h 2 = μ r + r C cos ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r}}\cdot \left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)&={\vec {r}}\cdot \left(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}\right)\\\Rightarrow {}\left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)\cdot {\vec {h}}&=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow {}h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}} 마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 의미한다. r = h 2 μ 1 + C μ cos ⁡ θ {\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}} 이것은 반통경(semi-latus rectum) p = h 2 μ {\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}} 와 이심률 e = C μ {\displaystyle e={\frac {C}{\mu }}} 일 때 극좌표계에서 원뿔 단면의 방정식이다. 이는 곧 케플러의 제1법칙과 같다. The orbit of a planet is an ellipse with the Sun at one focus. — 요하네스 케플러, Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis, 두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다. 두 번째 방정식에 의해 도출된 식 d t = r 2 h   d θ {\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\ \mathrm {d} \theta } 과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인 d A = r 2 2   d θ {\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\ \mathrm {d} \theta } 을 다음과 같이 통합할 수 있다. d t = 2 h   d A {\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\ \mathrm {d} A} 위 식을 문장으로 풀어 쓰면 다음과 같다. The line joining the planet to the Sun sweeps out equal areas in equal times. — Johannes Kepler, Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis, 케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 공전 주기를 얻을 수 있다. T = 2 π a b h {\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}} π a b {\displaystyle \pi ab} 는 타원의 면적이다. 단반경에 b = a p {\displaystyle b={\sqrt {ap}}} 를 대입하고, 상대 비각운동량에 h = μ p {\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}} 를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다. T = 2 π a 3 μ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}} 따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다. The square of the period of a planet is proportional to the cube of its mean distance to the Sun. — 요하네스 케플러, Harmonices Mundi libri V, 궤도 비에너지, 2체 문제에서 보존된 또 다른 양. 고전적인 중심력 문제#특정 각운동량 고유 궤도 에너지 내용주 이러한 가정을 하지 않고도 비각운동량을 유도할 수 있다. 이 경우 표준 중력 상수는 μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)} 가 된다. 참조주 Vallado, David Anthony (2001). 《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》. Springer. 24쪽. ISBN 0-7923-6903-3.  Vallado, David Anthony (2001). 《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》. Springer. 28쪽. ISBN 0-7923-6903-3.  Vallado, David Anthony (2001). 《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》. Springer. 10쪽. ISBN 0-7923-6903-3.  Vallado, David Anthony (2001). 《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》. Springer. 30쪽. ISBN 0-7923-6903-3.