동치 관계

수학에서 동치 관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는, X {\displaystyle X} 위의 이항 관계 ∼ ⊆ X 2 {\displaystyle {\sim }\subseteq X^{2}} 이다. (반사 관계) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, x ∼ x {\displaystyle x\sim x} (대칭 관계) 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, 만약 x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 라면, y ∼ x {\displaystyle y\sim x} (추이적 관계) 임의의 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여, 만약 x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 이고 y ∼ z {\displaystyle y\sim z} 라면 x ∼ z {\displaystyle x\sim z} 집합 X {\displaystyle X} 위에 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이 주어졌을 때, 원소 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의, ∼ {\displaystyle \sim } 에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class) [ x ] ∼ {\displaystyle [x]_{\sim }} 는 x {\displaystyle x} 와 동치인 원소들을 모은 집합이다. [ x ] ∼ = { y ∈ X : x ∼ y } {\displaystyle [x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}} 집합 X {\displaystyle X} 위에 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 의 ∼ {\displaystyle \sim } 에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set) X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} 은 모든 동치류들을 모은 집합이다. X / ∼ = { [ x ] ∼ : x ∈ X } {\displaystyle X/{\sim }=\{[x]_{\sim }\colon x\in X\}} 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다. 모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 X {\displaystyle X} 위의 동치 관계는 곱모임 X 2 {\displaystyle X^{2}} 의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다. 모임 X {\displaystyle X} 위에 동치 관계 ∼ ⊆ X 2 {\displaystyle {\sim }\subseteq X^{2}} 가 주어졌다고 하자. 원소 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.:65 [ x ] ∼ ′ = { y ∈ X : x ∼ y ∧ ( ∀ z ∈ X : x ∼ z ⟹ rank ⁡ y ≤ rank ⁡ z ) } {\displaystyle [x]'_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\land (\forall z\in X\colon x\sim z\implies \operatorname {rank} y\leq \operatorname {rank} z)\}} 즉, [ x ] ∼ ′ {\displaystyle [x]'_{\sim }} 는 x {\displaystyle x} 와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 α {\displaystyle \alpha } 라고 할 때, [ x ] ∼ ′ {\displaystyle [x]'_{\sim }} 는 집합 V α + 1 {\displaystyle V_{\alpha +1}} 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임 ( X / ∼ ) ′ = { [ x ] ′ : x ∈ X } {\displaystyle (X/{\sim })'=\{[x]'\colon x\in X\}} 을 정의할 수 있다.:65 집합 X {\displaystyle X} 위에 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다. X → X / ∼ {\displaystyle X\to X/{\sim }} x ↦ [ x ] {\displaystyle x\mapsto [x]} 즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다. 집합 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 위의 동치 관계들과 X {\displaystyle X} 의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합 X {\displaystyle X} 위에 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이 주어졌을 때, 몫집합 X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} 은 집합의 분할이다. 즉, X {\displaystyle X} 의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 X {\displaystyle X} 의 분할 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 가 주어졌다고 하자 (즉, P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 집합이며, X {\displaystyle X} 의 임의의 원소는 정확히 하나의 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 의 원소에 속한다). X {\displaystyle X} 위에 다음과 같은 이항 관계 ∼ P {\displaystyle \sim _{\mathcal {P}}} 를 정의하자. x ∼ P y ⟺ ∃ A ∈ P : x , y ∈ A ( x , y ∈ X ) {\displaystyle x\sim _{\mathcal {P}}y\iff \exists A\in P\colon x,y\in A\qquad (x,y\in X)} 그렇다면 ∼ P {\displaystyle \sim _{\mathcal {P}}} 는 X {\displaystyle X} 위의 동치 관계이다. ∼ ↦ X / ∼ {\displaystyle {\sim }\mapsto X/{\sim }} 과 P ↦ ∼ P {\displaystyle {\mathcal {P}}\mapsto {\sim }_{\mathcal {P}}} 는 서로 역함수이다. 즉, ∼ X / ∼ = ∼ {\displaystyle {\sim }_{X/{\sim }}={\sim }} X / ∼ P = P {\displaystyle X/{\sim }_{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}} 이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다. 집합 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 R ⊆ X 2 {\displaystyle R\subseteq X^{2}} 에 대하여, R {\displaystyle R} 를 포함하는 최소의 동치 관계 ∼ R {\displaystyle \sim _{R}} 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다. x ∼ R y {\displaystyle x\sim _{R}y} 다음 조건을 만족시키는 열 x 0 , x 1 , … , x n ∈ X {\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in X} 가 존재한다. x 0 = x {\displaystyle x_{0}=x} x n = y {\displaystyle x_{n}=y} i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 에 대하여, ( x i − 1 , x i ) ∈ R {\displaystyle (x_{i-1},x_{i})\in R} 이거나 ( x i , x i − 1 ) ∈ R {\displaystyle (x_{i},x_{i-1})\in R} 집합 X {\displaystyle X} 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 Eq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Eq} (X)} 는 완비 격자이다. Eq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Eq} (X)} 의 최소 원소는 ( X {\displaystyle X} 로 국한된) 등호 = {\displaystyle =} 이며, 최대 원소는 전체 관계 X 2 ⊆ X 2 {\displaystyle X^{2}\subseteq X^{2}} 이다. 동치 관계들의 집합 { ∼ i } i ∈ I {\displaystyle \{\sim _{i}\}_{i\in I}} 의 만남 ⋀ i ∈ I ∼ i {\displaystyle \bigwedge _{i\in I}{\sim }_{i}} 는 교집합 ( x , y ) ∈ ⋀ i ∈ I ∼ i ⟺ ∀ i ∈ I : x ∼ i y {\displaystyle (x,y)\in \bigwedge _{i\in I}{\sim }_{i}\iff \forall i\in I\colon x\sim _{i}y} 이다. { ∼ i } i ∈ I {\displaystyle \{\sim _{i}\}_{i\in I}} 의 이음 ⋁ i ∈ I ∼ i {\displaystyle \bigvee _{i\in I}\sim _{i}} 은 합집합 ⋃ i ∈ I ∼ i {\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\sim }_{i}} 을 포함하는 최소의 동치 관계 ( x , y ) ∈ ⋁ i ∈ I ∼ i ⟺ ∃ n ∈ N ∃ x 0 , … , x n ∈ X ∃ i 1 , … , i n ∈ I : x = x 0 ∼ i 1 x 1 ∼ i 2 ⋯ ∼ i n x n = y {\displaystyle (x,y)\in \bigvee _{i\in I}\sim _{i}\iff \exists n\in \mathbb {N} \exists x_{0},\dots ,x_{n}\in X\exists i_{1},\dots ,i_{n}\in I\colon x=x_{0}\sim _{i_{1}}x_{1}\sim _{i_{2}}\cdots \sim _{i_{n}}x_{n}=y} 이다. 동치 관계 격자 Eq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Eq} (X)} 는 항상 대수적 격자(영어: algebraic lattice)이자 반모듈러 격자(영어: semimodular lattice)이다. 유한 집합 X {\displaystyle X} 의 경우, Eq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Eq} (X)} 는 단순 격자(영어: simple lattice, 합동 관계가 자명한 격자)이다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 위에서, 등호 = {\displaystyle =} 는 동치 관계를 이룬다. 평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계 x ∼ f y ⟺ f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle x\sim _{f}y\iff f(x)=f(y)} 는 정의역 X {\displaystyle X} 위의 동치 관계이다. 이를테면, X {\displaystyle X} 가 어떤 사람들의 집합이며, f {\displaystyle f} 가 사람의 생일을 찾는 함수라면, ∼ f {\displaystyle \sim _{f}} 는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 위에서, 공관계 ∅ ⊆ X 2 {\displaystyle \varnothing \subseteq X^{2}} 는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 X ≠ ∅ {\displaystyle X\neq \varnothing } 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다. 정수의 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 표준적인 순서 x ≤ y ⟺ ∃ z ∈ Z ≥ 0 : y = x + z {\displaystyle x\leq y\iff \exists z\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\colon y=x+z} 를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq 1} 이지만, 1 ≰ 0 {\displaystyle 1\not \leq 0} 이다. 정수 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 이항 관계 ( x , y ) ∈ R ⟺ y = x + 1 ∨ y = x − 1 {\displaystyle (x,y)\in R\iff y=x+1\lor y=x-1} 는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다. 집합의 분할 Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. MR 1940513. Zbl 1007.03002.  이철희. “동치관계”. 《수학노트》.  “Equivalence relation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Equivalence relation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Equivalence relation”. 《nLab》 (영어).  “Equivalence relation”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition: equivalence relation”. 《ProofWiki》 (영어).