정규 확대

체론에서 정규 확대(正規擴大, 영어: normal extension)는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다. 체 K {\displaystyle K} 의 대수적 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다. K [ x ] {\displaystyle K[x]} 의 기약 다항식 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 가 L {\displaystyle L} 에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, p ( x ) {\displaystyle p(x)} 는 L [ x ] {\displaystyle L[x]} 에서 완전히 인수분해된다. 즉, p ( x ) = a ∏ i = 1 n ( x − b i ) {\displaystyle p(x)=a\prod _{i=1}^{n}(x-b_{i})} ( a , b i ∈ L {\displaystyle a,b_{i}\in L} )의 꼴로 나타낼 수 있다. L / K {\displaystyle L/K} 는 일련의 다항식들의 집합 P ⊂ K [ x ] {\displaystyle P\subset K[x]} 의 분해체와 ( K {\displaystyle K} 의 확대로서) 동형이다. 모든 매장 L → K ¯ {\displaystyle L\to {\bar {K}}} 는 L {\displaystyle L} 의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 ι K L : K ↪ L {\displaystyle \iota _{KL}\colon K\hookrightarrow L} 로 쓰자. 또한, L {\displaystyle L} 은 대수적 확대이므로, K {\displaystyle K} 의 대수적 폐포 ι K K ¯ : K ↪ K ¯ {\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}\colon K\hookrightarrow {\bar {K}}} 로 가는 매장 ι L K ¯ : L ↪ K ¯ {\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}} 이 존재하며, 또한 ι L K ¯ ∘ ι K L = ι K K ¯ {\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}} 이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 ι ~ L K ¯ : L ↪ K ¯ {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}} 에 대하여, ι ~ L K ¯ ∘ ι K L = ι K K ¯ {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}} 라면 ι L K ¯ ( L ) = ι ~ L K ¯ ( L ) ⊂ K ¯ {\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}(L)={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)\subset {\bar {K}}} 이다. 증명: 첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, p a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}\in K[x]} 가 a {\displaystyle a} 의 K {\displaystyle K} 에 대한 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라 L {\displaystyle L} 은 모든 p a {\displaystyle p_{a}} 의 모든 근을 포함한다. 즉, L {\displaystyle L} 은 { p a : a ∈ L } {\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}} 의 K {\displaystyle K} 에 대한 어떤 분해체를 포함한다. 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 은 p a {\displaystyle p_{a}} 의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉, L {\displaystyle L} 은 { p a : a ∈ L } {\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}} 의 분해체를 이룬다. 둘째 조건 ⇒ 셋째 조건. ι K L : K → L {\displaystyle \iota _{KL}\colon K\to L} ι K K ¯ : K → K ¯ {\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}\colon K\to {\bar {K}}} ι L K ¯ : L → K ¯ {\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}} ι ~ L K ¯ : L → K ¯ {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}} ι L K ¯ ∘ ι K L = ι ~ L K ¯ ∘ ι K L = ι K K ¯ {\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}} 가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상 K ⊆ L ⊆ K ¯ {\displaystyle K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}} 이며 ι K L {\displaystyle \iota _{KL}} , ι K K ¯ {\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}} , ι L K ¯ {\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}} 가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건 ι ~ L K ¯ ∘ ι K L = ι K K ¯ {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}} 는 ι ~ L K ¯ | K = id K {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}|_{K}=\operatorname {id} _{K}} 가 된다. S ⊆ L {\displaystyle S\subseteq L} 이 P {\displaystyle P} 속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라 L = K ( S ) {\displaystyle L=K(S)} ι ~ L K ¯ ( L ) = K ( ι ~ L K ¯ ( S ) ) {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=K({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S))} 이다. 따라서, ι ~ L K ¯ ( L ) = L {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=L} 임을 보이려면 ι ~ L K ¯ ( S ) = S {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)=S} 임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 p ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n ∈ P {\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in P} 가 주어졌다고 하자. 그 L [ x ] {\displaystyle L[x]} 에서의 인수 분해가 p ( x ) = a n ( x − b 1 ) ⋯ ( x − b n ) {\displaystyle p(x)=a_{n}(x-b_{1})\cdots (x-b_{n})} 이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식들이 등장하는 일련의 등식 a 0 = ( − 1 ) n a n b 1 ⋯ b n {\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}a_{n}b_{1}\cdots b_{n}} a 1 = ( − 1 ) n − 1 a n ( b 2 ⋯ b n + ⋯ + b 1 ⋯ b n − 1 ) {\displaystyle a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}(b_{2}\cdots b_{n}+\cdots +b_{1}\cdots b_{n-1})} ⋮ {\displaystyle \vdots } a n = a n {\displaystyle a_{n}=a_{n}} 과 동치이다. 여기에 매장 ι ~ L K ¯ : L → K ¯ {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}} 를 가하면 b i {\displaystyle b_{i}} 가 ι ~ L K ¯ ( b i ) {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{i})} 로 대체된 등식들을 얻는다. a 0 = ( − 1 ) n a n ι ~ L K ¯ ( b 1 ) ⋯ ι ~ L K ¯ ( b n ) {\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}a_{n}{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})} a 1 = ( − 1 ) n − 1 a n ( ι ~ L K ¯ ( b 2 ) ⋯ ι ~ L K ¯ ( b n ) + ⋯ + ι ~ L K ¯ ( b 1 ) ⋯ ι ~ L K ¯ ( b n − 1 ) ) {\displaystyle a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{2})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})+\cdots +{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n-1}))} ⋮ {\displaystyle \vdots } a n = a n {\displaystyle a_{n}=a_{n}} a 0 , a 1 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}} 은 K {\displaystyle K} 의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉, p ( x ) {\displaystyle p(x)} 의 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 에서의 인수 분해는 p ( x ) = a n ( x − ι ~ L K ¯ ( b 1 ) ) ⋯ ( x − ι ~ L K ¯ ( b n ) ) {\displaystyle p(x)=a_{n}(x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}))\cdots (x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n}))} 이다. K ¯ [ x ] {\displaystyle {\bar {K}}[x]} 는 유일 인수 분해 정역이므로, p ( x ) {\displaystyle p(x)} 의 두 인수 분해는 일치한다. 즉, { b 1 , … , b n } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}} 과 { ι ~ L K ¯ ( b 1 ) , … , ι ~ L K ¯ ( b n ) } {\displaystyle \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}} 은 중복집합으로서 같고, 특히 집합으로서 같다. 그런데 S {\displaystyle S} 는 모든 p {\displaystyle p} 들에 대한 { b 1 , … , b n } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}} 들의 합집합이며, ι ~ L K ¯ ( S ) {\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)} 는 모든 p {\displaystyle p} 들에 대한 { ι ~ L K ¯ ( b 1 ) , … , ι ~ L K ¯ ( b n ) } {\displaystyle \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}} 들의 합집합이다. 따라서, S = ι ~ L K ¯ ( S ) {\displaystyle S={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)} 이다. 셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. K {\displaystyle K} 를 부분체로 포함하는 L {\displaystyle L} 을 부분체로 포함하는 K {\displaystyle K} 의 대수적 폐포 K ⊆ L ⊆ K ¯ {\displaystyle K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}} 를 잡자. 기약 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 및 p {\displaystyle p} 의 근 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 및 p {\displaystyle p} 의 근 b ∈ K ¯ {\displaystyle b\in {\bar {K}}} 가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자. K ( a ) → K ( b ) {\displaystyle K(a)\to K(b)} f ( a ) ↦ f ( b ) ( ∀ f ∈ K [ x ] ) {\displaystyle f(a)\mapsto f(b)\qquad (\forall f\in K[x])} 만약 f ( a ) = g ( a ) {\displaystyle f(a)=g(a)} 라면, ( f − g ) ( a ) = 0 {\displaystyle (f-g)(a)=0} 이므로 p ( x ) ∣ f ( x ) − g ( x ) {\displaystyle p(x)\mid f(x)-g(x)} 이며, 따라서 f ( b ) = g ( b ) {\displaystyle f(b)=g(b)} 이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약 f ( b ) = g ( b ) {\displaystyle f(b)=g(b)} 라면 f ( a ) = g ( a ) {\displaystyle f(a)=g(a)} 이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수이며, K {\displaystyle K} 의 원소를 움직이지 않으므로, 체의 확대 K ( a ) / K {\displaystyle K(a)/K} 와 K ( b ) / K {\displaystyle K(b)/K} 사이의 동형 사상을 이룬다. L / K ( a ) {\displaystyle L/K(a)} 는 대수적 확대이며, K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 는 K ( b ) {\displaystyle K(b)} 의 대수적 폐포를 이루므로, 이 동형 사상을 확장하는 체의 매장 ι : L ↪ K ¯ {\displaystyle \iota \colon L\hookrightarrow {\bar {K}}} ι | K = id K {\displaystyle \iota |_{K}=\operatorname {id} _{K}} ι : a ↦ b {\displaystyle \iota \colon a\mapsto b} 가 존재한다. 이는 초른 보조정리을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라, ι ( L ) = L {\displaystyle \iota (L)=L} 이며, 특히 b = ι ( a ) ∈ ι ( L ) = L {\displaystyle b=\iota (a)\in \iota (L)=L} 이다. 이에 따라, L {\displaystyle L} 은 p {\displaystyle p} 의 모든 근을 포함하며, p {\displaystyle p} 는 L {\displaystyle L} 에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 대수적 확대 L / K {\displaystyle L/K} 의 정규 폐포(正規閉包, 영어: normal closure)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 N / L {\displaystyle N/L} 이다. N / K {\displaystyle N/K} 는 정규 확대이다. 임의의 중간체 L ⊆ M ⊆ N {\displaystyle L\subseteq M\subseteq N} 에 대하여, 만약 M / K {\displaystyle M/K} 가 정규 확대라면, M = N {\displaystyle M=N} 이다. 임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여 p a {\displaystyle p_{a}} 가 a {\displaystyle a} 의 L / K {\displaystyle L/K} 에서의 최소 다항식이라고 하였을 때, { p a : a ∈ L } ⊆ K [ x ] {\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}\subseteq K[x]} 의 분해체는 L / K {\displaystyle L/K} 의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포 K ¯ / L / K {\displaystyle {\bar {K}}/L/K} 가 주어졌을 때, K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 속 L / K {\displaystyle L/K} 의 정규 폐포는 다음과 같다. N = K ( ⋃ σ ∈ hom ⁡ ( L , K ¯ ) σ | K = id K σ ( L ) ) ⊆ K ¯ {\displaystyle N=K\left(\bigcup _{\sigma \in \hom(L,{\bar {K}})}^{\sigma |_{K}=\operatorname {id} _{K}}\sigma (L)\right)\subseteq {\bar {K}}} 여기서 K ( ⋃ i ∈ I K i ) = { a 1 + ⋯ + a m b 1 + ⋯ + b n : a 1 ∈ K i 1 , … , a m ∈ K i m , b 1 ∈ K j 1 , … , b n ∈ K j n , i 1 , … , i m , j 1 , … , j n ∈ I } {\displaystyle K\left(\bigcup _{i\in I}K_{i}\right)=\left\{{\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{b_{1}+\cdots +b_{n}}}\colon a_{1}\in K_{i_{1}},\dots ,a_{m}\in K_{i_{m}},\;b_{1}\in K_{j_{1}},\dots ,b_{n}\in K_{j_{n}},\;i_{1},\dots ,i_{m},j_{1},\dots ,j_{n}\in I\right\}} 는 주어진 체 L / K i / K {\displaystyle L/K_{i}/K} 들을 포함하는 최소의 체이다. 체 K {\displaystyle K} 의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. L / K {\displaystyle L/K} 는 정규 확대이다. L {\displaystyle L} 은 어떤 기약 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 의 분해체 K [ x ] / ( p ) {\displaystyle K[x]/(p)} 와 동형이다. 대수적 확대 L / K {\displaystyle L/K} 의 정규 폐포 N / L {\displaystyle N/L} 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. L / K {\displaystyle L/K} 가 유한 확대라면, N / K {\displaystyle N/K} 역시 유한 확대이다. L / K {\displaystyle L/K} 가 분해 가능 확대라면, N / K {\displaystyle N/K} 역시 분해 가능 확대이다. 체의 확대의 탑 M / L / K {\displaystyle M/L/K} 에 대하여, 만약 M / K {\displaystyle M/K} 가 정규 확대라면, M / L {\displaystyle M/L} 역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 M ⊇ L , L ′ ⊇ K {\displaystyle M\supseteq L,L'\supseteq K} 에 대하여, 만약 L / K {\displaystyle L/K} 가 정규 확대라면, K ( L ∪ L ′ ) / L ′ {\displaystyle K(L\cup L')/L'} 역시 정규 확대이다. 체의 확대 M / K {\displaystyle M/K} 의 부분 확대 M ⊇ L i ⊇ K {\displaystyle M\supseteq L_{i}\supseteq K} ( i ∈ I {\displaystyle i\in I} )들에 대하여, 만약 모든 L i / K {\displaystyle L_{i}/K} 가 정규 확대라면, K ( ⋃ i ∈ I L i ) / K {\displaystyle \textstyle K\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)/K} 와 ⋂ i ∈ I L i / K {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}L_{i}/K} 역시 정규 확대이다. 정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, 대수적 확대 Q ( 2 4 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q} } 는 두 번의 정규 확대 Q ( 2 4 ) / Q ( 2 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} } 로 얻어지지만, x 4 − 2 {\displaystyle x^{4}-2} 의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다. 대수적 확대 Q ( 2 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} } 는 정규 확대이다. 대수적 확대 Q ( 2 3 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} } 는 정규 확대가 아니다. Q [ x ] {\displaystyle \mathbb {Q} [x]} 의 기약 다항식 x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} 는 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 에서 x 3 − 2 = ( x − 2 3 ) ( x 2 + 2 3 x + ( 2 3 ) 2 ) {\displaystyle x^{3}-2=(x-{\sqrt[{3}]{2}})\left(x^{2}+{\sqrt[{3}]{2}}x+({\sqrt[{3}]{2}})^{2}\right)} 이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다. 갈루아 확대 Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Normal extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.