내접 사각형

기하학에서 내접 사각형(內接四角形, 영어: cyclic quadrilateral)은 네 꼭짓점이 한 원 위의 점인 사각형이다. 즉, 이는 어떤 원에 내접하는 사각형이며, 다시 말해 이는 외접원을 갖는 사각형이다. (볼록) 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 네 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} 가 공원점이라면, 이 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 를 내접 사각형이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 외접원이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 외심이라고 한다. 내접 사각형은 두 대각의 합이 180도인 사각형과 동치이다. 다시 말해, 내접 사각형의 외각은 내대각과 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 즉, 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 는 내접 사각형이다. A + C = 180 ∘ {\displaystyle A+C=180^{\circ }} B + D = 180 ∘ {\displaystyle B+D=180^{\circ }} 증명: 만약 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 는 내접 사각형이라면, 꼭짓점 A {\displaystyle A} 와 C {\displaystyle C} 에서의 내각은 각각 B {\displaystyle B} 와 D {\displaystyle D} 를 끝점으로 하는 합이 외접원의 두 켤레호에 대한 원주각이므로 합은 180도이다. 만약 A + C = 180 ∘ {\displaystyle A+C=180^{\circ }} 라면, 또한 A {\displaystyle A} 와 C {\displaystyle C} 는 직선 B D {\displaystyle BD} 의 서로 반대쪽에 위치하므로, A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} 는 공원점이며, 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 는 내접 사각형이다. 사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.:35, §4.1 증명: 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} , B {\displaystyle B} 와 C {\displaystyle C} , C {\displaystyle C} 와 D {\displaystyle D} , D {\displaystyle D} 와 A {\displaystyle A} 에서의 내각의 이등분선이 각각 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 P = 180 ∘ − 1 2 A − 1 2 B {\displaystyle P=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}A-{\frac {1}{2}}B} R = 180 ∘ − 1 2 C − 1 2 D {\displaystyle R=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}C-{\frac {1}{2}}D} 이므로 P + R = 360 ∘ − 1 2 ( A + B + C + D ) = 180 ∘ {\displaystyle P+R=360^{\circ }-{\frac {1}{2}}(A+B+C+D)=180^{\circ }} 이다. 프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형은 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같은 사각형과 동치이다. 즉, 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 는 내접 사각형이다. A C ⋅ B D = A B ⋅ C D + A D ⋅ B C {\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC} 브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} 라고 하고, 반둘레를 s {\displaystyle s} 라고 할 경우, 이 내접 사각형의 넓이는 S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} 이다.:57, §3.2, Theorem 3.22 만약 d = 0 {\displaystyle d=0} 이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식 S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 가 된다.:57, §3.2 내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, 영어: anticenter)이라고 한다.:36, §4.2 내접 사각형의 반중심은 무게 중심에 대한 외심의 반사상이다. 증명: 내접 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 각 변 A B {\displaystyle AB} , B C {\displaystyle BC} , C D {\displaystyle CD} , D A {\displaystyle DA} 의 중점을 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 라고 하고, 무게 중심 G {\displaystyle G} 에 대한 외심 O {\displaystyle O} 의 반사상을 T {\displaystyle T} 라고 하자. 그렇다면 G {\displaystyle G} 는 선분 O T {\displaystyle OT} 와 P R {\displaystyle PR} 의 공통 중점이므로, 삼각형 P T G {\displaystyle PTG} 와 R O G {\displaystyle ROG} 는 서로 G {\displaystyle G} 에 대한 반사상이며, 특히 P T {\displaystyle PT} 와 O R {\displaystyle OR} 는 평행한다. O R {\displaystyle OR} 는 선분 C D {\displaystyle CD} 의 수직 이등분선이므로, P T {\displaystyle PT} 역시 C D {\displaystyle CD} 의 수선이다. 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다.:39, §4.2 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 즉, 만약 내접 사각형의 두 대각선이 직교한다면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다. 증명: 내접 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 대각선 A C {\displaystyle AC} , B D {\displaystyle BD} 의 교점을 P {\displaystyle P} 라고 하고, 선분 A C {\displaystyle AC} 의 중점을 M {\displaystyle M} , B D {\displaystyle BD} 의 중점을 N {\displaystyle N} 이라고 하자. 그렇다면 G {\displaystyle G} 는 선분 M N {\displaystyle MN} 의 중점이다. 또한 이는 외심 O {\displaystyle O} 와 반중심 T {\displaystyle T} 를 잇는 선분 O T {\displaystyle OT} 의 중점이므로, 삼각형 M T G {\displaystyle MTG} 와 N O G {\displaystyle NOG} 는 서로 G {\displaystyle G} 에 대한 반사상이며, 특히 M T {\displaystyle MT} 와 O N {\displaystyle ON} 은 평행한다. O N {\displaystyle ON} 은 선분 B D {\displaystyle BD} 의 수직 이등분선이며, 특히 이는 삼각형 P M N {\displaystyle PMN} 의 변 P N {\displaystyle PN} 의 수선이다. 따라서 M T {\displaystyle MT} 역시 P N {\displaystyle PN} 의 수선이다. 마찬가지로 N T {\displaystyle NT} 는 P M {\displaystyle PM} 의 수선이다. 즉, T {\displaystyle T} 는 삼각형 P M N {\displaystyle PMN} 의 수심이다. 외접원 방멱 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic quadrilateral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Anticenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.