사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 사슬 복합체(-複合體, 영어: chain complex)는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사슬 복합체 ( C ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 각 정수 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상 C i ∈ A {\displaystyle C_{i}\in {\mathcal {A}}} 각 정수 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 사상 ∂ i : C i → C i − 1 {\displaystyle \partial _{i}\colon C_{i}\to C_{i-1}} ⋯ → C i + 1 → ∂ i + 1 C i → ∂ i C i − 1 → ∂ i − 1 C i − 2 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\xrightarrow {\partial _{i+1}}}C_{i}{\xrightarrow {\partial _{i}}}C_{i-1}{\xrightarrow {\partial _{i-1}}}C_{i-2}\to \cdots } 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 정수 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, ∂ i − 1 ∘ ∂ i = 0 {\displaystyle \partial _{i-1}\circ \partial _{i}=0} 이 경우, 사상 ∂ ∙ {\displaystyle \partial _{\bullet }} 은 경계 사상(境界寫像, 영어: boundary map)라고 하고, C i {\displaystyle C_{i}} 의 원소는 i차 사슬(영어: i-chain)이라고 한다. ∂ i α = 0 {\displaystyle \partial _{i}\alpha =0} 인 i차 사슬 α ∈ C i {\displaystyle \alpha \in C_{i}} 을 i {\displaystyle i} 차 순환( i {\displaystyle i} 次循環, 영어: i {\displaystyle i} -cycle 사이클[*])이라고 한다. 공사슬 복합체(共사슬複合體, 영어: cochain complex}) ( C ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (C^{\bullet },\mathrm {d} ^{\bullet })} 는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다. ⋯ → C i − 2 → d C i − 2 C i − 1 → d C i − 1 C i → d C i C i + 1 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to C^{i-2}{\xrightarrow {\mathrm {d} _{C}^{i-2}}}C^{i-1}{\xrightarrow {\mathrm {d} _{C}^{i-1}}}C^{i}{\xrightarrow {\mathrm {d} _{C}^{i}}}C^{i+1}\to \cdots } 이 경우, 사상 d ∙ {\displaystyle \mathrm {d} ^{\bullet }} 은 공경계 사상(共境界寫像, 영어: coboundary map)라고 하고, C i {\displaystyle C^{i}} 의 원소는 i차 공사슬( i {\displaystyle i} 次共사슬, 영어: i-cochain)이라고 한다. d i α = 0 {\displaystyle \mathrm {d} ^{i}\alpha =0} 인 i차 공사슬 α ∈ C i {\displaystyle \alpha \in C^{i}} 을 i {\displaystyle i} 차 공순환( i {\displaystyle i} 次共循環, 영어: i {\displaystyle i} -cocycle 코사이클[*])이라고 한다. A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\bullet }({\mathcal {A}})} 라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 A i ↦ A − i {\displaystyle A_{i}\mapsto A^{-i}} 로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 두 사슬 복합체 ( C ∙ , ∂ ∙ C ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet }^{C})} , ( D ∙ , ∂ ∙ D ) {\displaystyle (D_{\bullet },\partial _{\bullet }^{D})} 사이의 사슬 사상(사슬寫像, 영어: chain map) f ∙ : C ∙ → D ∙ {\displaystyle f_{\bullet }\colon C_{\bullet }\to D_{\bullet }} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 정수 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사상 f i : C i → D i {\displaystyle f_{i}\colon C_{i}\to D_{i}} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 각 정수 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, ∂ i D ∘ f i = f i − 1 ∘ ∂ i C {\displaystyle \partial _{i}^{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ \partial _{i}^{C}} . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다. ⋯ → C i + 1 → ∂ i + 1 C C i → ∂ i C C i − 1 → ⋯ f i + 1 ↓ f i + 1 f i ↓ f i f i − 1 ↓ f i − 1 ⋯ → D i + 1 → ∂ i + 1 D D i → ∂ i D D i − 1 → ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \to &C_{i+1}&{\overset {\partial _{i+1}^{C}}{\to }}&C_{i}&{\overset {\partial _{i}^{C}}{\to }}&C_{i-1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f_{i+1}}\downarrow {\scriptstyle f_{i+1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f_{i}}\downarrow {\scriptstyle f_{i}}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f_{i-1}}\downarrow {\scriptstyle f_{i-1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D_{i+1}&{\underset {\partial _{i+1}^{D}}{\to }}&D_{i}&{\underset {\partial _{i}^{D}}{\to }}&D_{i-1}&\to \cdots \\\end{matrix}}} 마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 두 공사슬 복합체 ( C ∙ , d C ∙ ) {\displaystyle (C^{\bullet },\mathrm {d} _{C}^{\bullet })} , ( D ∙ , d D ∙ ) {\displaystyle (D^{\bullet },\mathrm {d} _{D}^{\bullet })} 사이의 공사슬 사상(영어: cochain map) f ∙ : C ∙ → D ∙ {\displaystyle f^{\bullet }\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 정수 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사상 f i : C i → D i {\displaystyle f^{i}\colon C^{i}\to D^{i}} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 각 정수 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, d D i ∘ f i = f i + 1 ∘ d C i {\displaystyle \mathrm {d} _{D}^{i}\circ f^{i}=f^{i+1}\circ \mathrm {d} _{C}^{i}} . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다. ⋯ → C i − 1 → d C i − 1 C i → d C i C i + 1 → ⋯ f i − 1 ↓ f i − 1 f i ↓ f i f i + 1 ↓ f i + 1 ⋯ → D i − 1 → d D i − 1 D i → d D i D i + 1 → ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \to &C^{i-1}&{\overset {\mathrm {d} _{C}^{i-1}}{\to }}&C^{i}&{\overset {\mathrm {d} _{C}^{i}}{\to }}&C^{i+1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i-1}}\downarrow {\scriptstyle f^{i-1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i}}\downarrow {\scriptstyle f^{i}}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i+1}}\downarrow {\scriptstyle f^{i+1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D^{i-1}&{\underset {\mathrm {d} _{D}^{i-1}}{\to }}&D^{i}&{\underset {\mathrm {d} _{D}^{i}}{\to }}&D^{i+1}&\to \cdots \\\end{matrix}}} 사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는 Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 또는 Kom ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는 영어: chain 체인[*] 또는 복합체를 뜻하는 독일어: Komplex 콤플렉스[*]를 딴 것이다. 임의의 두 사슬 복합체 C ∙ , D ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle C_{\bullet },D_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합 hom Ch ∙ ⁡ ( A ) ⁡ ( C ∙ , D ∙ ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}(C_{\bullet },D_{\bullet })} 위에는 사슬 호모토피라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다. Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다. Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 음의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다. ⋯ → A 2 → A 1 → A 0 → 0 → 0 → ⋯ {\displaystyle \dotsb \to A_{2}\to A_{1}\to A_{0}\to 0\to 0\to \dotsb } 마찬가지로, Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 음의 차수 성분들이 모두 0인 공사슬 복합체들의 범주이다. (이는 양의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체로 여겨질 수 있다.) ⋯ → 0 → 0 → A 0 → A 1 → A 2 → ⋯ {\displaystyle \dotsb \to 0\to 0\to A_{0}\to A_{1}\to A_{2}\to \dotsb } Ch ≤ ∙ ≤ {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\leq \bullet \leq }} 는 유계 사슬 복합체(有界사슬複合體, 영어: bounded chain complex), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다. ⋯ → 0 → 0 → A n → A n − 1 → ⋯ → A m + 1 → A m → 0 → 0 → ⋯ {\displaystyle \dotsb \to 0\to 0\to A_{n}\to A_{n-1}\to \dotsb \to A_{m+1}\to A_{m}\to 0\to 0\to \dotsb } 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사슬 복합체 A k ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle A_{k}\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 와 정수 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} 의 k {\displaystyle k} 차 현수( k {\displaystyle k} 次懸垂, 영어: k {\displaystyle k} th suspension) A [ k ] ∙ {\displaystyle A[k]_{\bullet }} 는 다음과 같은 사슬 복합체이다. A [ k ] n = A n − k ∀ n ∈ N {\displaystyle A[k]_{n}=A_{n-k}\qquad \forall n\in \mathbb {N} } ∂ n A [ k ] = ( − ) k ∂ n − k {\displaystyle \partial _{n}^{A[k]}=(-)^{k}\partial _{n-k}} 즉, 각 성분의 차수를 k {\displaystyle k} 만큼 추가하고, 만약 k {\displaystyle k} 가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다. 사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다. 예를 들어, 두 사슬 복합체 A ∙ , B ∙ {\displaystyle A_{\bullet },B_{\bullet }} 의 직합 ( A ⊕ B ) ∙ {\displaystyle (A\oplus B)_{\bullet }} 은 다음과 같다. ( A ⊕ B ) n = A n ⊕ A B n {\displaystyle (A\oplus B)_{n}=A_{n}\oplus _{\mathcal {A}}B_{n}} ( n ∈ Z ) {\displaystyle n\in \mathbb {Z} )} ∂ n : ( A ⊕ B ) n → ( A ⊕ B ) n − 1 {\displaystyle \partial _{n}\colon (A\oplus B)_{n}\to (A\oplus B)_{n-1}} ∂ n = ∂ n A ⊕ ∂ n B {\displaystyle \partial _{n}=\partial _{n}^{A}\oplus \partial _{n}^{B}} 마찬가지로, 사슬 복합체 사상 f ∙ : A ∙ → B ∙ {\displaystyle f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }} 의 핵 ( ker ⁡ f ) ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle (\ker f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} ( ker ⁡ f ) n = ker ⁡ ( f n ) {\displaystyle (\ker f)_{n}=\ker(f_{n})} 및 여핵 ( coker ⁡ f ) ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle (\operatorname {coker} f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} ( coker ⁡ f ) n = coker ⁡ ( f n ) {\displaystyle (\operatorname {coker} f)_{n}=\operatorname {coker} (f_{n})} 및 상 ( im ⁡ f ) ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle (\operatorname {im} f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} ( im ⁡ f ) n = im ⁡ ( f n ) {\displaystyle (\operatorname {im} f)_{n}=\operatorname {im} (f_{n})} 및 여상 ( coim ⁡ f ) ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle (\operatorname {coim} f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} ( coim ⁡ f ) n = coim ⁡ ( f n ) {\displaystyle (\operatorname {coim} f)_{n}=\operatorname {coim} (f_{n})} 이 성분별로 정의된다. 사슬 복합체 A ∙ ∈ Ch ⁡ ( A ) {\displaystyle A_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})} 의 경우, 호몰로지 H ∙ ⁡ ( A ) = ker ∙ im ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(A)={\frac {\ker _{\bullet }}{\operatorname {im} _{\bullet }}}\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 코호몰로지라고 불린다. 두 사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} , D ∙ {\displaystyle D_{\bullet }} 사이의 유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)은 다음과 같은 사슬 사상 q : C → D {\displaystyle q\colon C\to D} 이다. q {\displaystyle q} 로부터 유도되는 호몰로지 사상 q ∗ : H ∙ ⁡ ( C ) → H ∙ ⁡ ( D ) {\displaystyle q_{*}\colon \operatorname {H} _{\bullet }(C)\to \operatorname {H} _{\bullet }(D)} 는 각 성분마다 동형 사상이다. 서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 위의 ( A , A ) {\displaystyle (A,A)} -쌍가군들의 아벨 범주 Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})} 를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체 C ∙ , D ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) {\displaystyle C_{\bullet },D_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 E ∙ , ∙ {\displaystyle E_{\bullet ,\bullet }} 를 정의할 수 있다. E m , n = C m ⊗ A D n {\displaystyle E_{m,n}=C_{m}\otimes _{A}D_{n}} ∂ m , n h , E : ∂ m , n h , E → ∂ m − 1 , n h , E {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} ,E}} ∂ m , n h , E = ∂ m C ⊗ id D n {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}=\partial _{m}^{C}\otimes \operatorname {id} _{D_{n}}} ∂ m , n v , E : ∂ m , n h , E → ∂ m , n − 1 h , E {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} ,E}} ∂ m , n v , E = id C m ⊗ ∂ n D {\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}=\operatorname {id} _{C_{m}}\otimes \partial _{n}^{D}} 이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 ( C ⊗ D ) ∙ = Tot ∙ ⁡ ( E ) {\displaystyle (C\otimes D)_{\bullet }=\operatorname {Tot} _{\bullet }(E)} 를 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} 와 D ∙ {\displaystyle D_{\bullet }} 의 텐서곱이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다. ( C ⊗ D ) ∙ ∈ Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) {\displaystyle (C\otimes D)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})} ( C ⊗ D ) n = ⨁ p + q = n C p ⊗ A D q {\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\bigoplus _{p+q=n}C_{p}\otimes _{A}D_{q}} ∂ n : ( C ⊗ D ) n → ( C ⊗ D ) n − 1 {\displaystyle \partial _{n}\colon (C\otimes D)_{n}\to (C\otimes D)_{n-1}} ∂ n : ⨁ p + q = n ( ∂ p C ⊗ A id D q + ( − ) p id C p ⊗ ∂ p D ) {\displaystyle \partial _{n}\colon \bigoplus _{p+q=n}\left(\partial _{p}^{C}\otimes _{A}\operatorname {id} _{D_{q}}+(-)^{p}\operatorname {id} _{C_{p}}\otimes \partial _{p}^{D}\right)} 이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다. 1 ∙ ∈ Ch ⁡ ( A ) {\displaystyle 1_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})} 1 n = { 0 n ≠ 0 A n = 0 {\displaystyle 1_{n}={\begin{cases}0&n\neq 0\\A&n=0\end{cases}}} 그렇다면, ( Ch ⁡ ( A Mod A ) , ⊗ , 1 ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {Ch} (_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1_{\bullet })} 은 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 마찬가지로, ( Ch ≥ 0 ⁡ ( A Mod A ) , ⊗ , 1 ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {Ch} _{\geq 0}(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1^{\bullet })} ( Ch ≥ 0 ⁡ ( A Mod A ) , ⊗ , 1 ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1_{\bullet })} ( Ch ≤ ∙ ≤ ⁡ ( A Mod A ) , ⊗ , 1 ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {Ch} _{\leq \bullet \leq }(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1_{\bullet })} 역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히, ( Ch ≥ 0 ⁡ ( A Mod A ) , ⊗ , 1 ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1^{\bullet })} 속의 모노이드 대상을 미분 등급 대수라고 한다. 또한, Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})} 의 두 사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} , D ∙ {\displaystyle D_{\bullet }} 에 대하여, 다음과 같은 내적 사상 대상(內的寫像對象, 영어: internal homomorphism-object) hom ∙ ⁡ ( C , D ) ∈ Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) {\displaystyle \hom _{\bullet }(C,D)\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})} 을 정의할 수 있다. hom n ⁡ ( C , D ) = ∏ i ∈ Z hom A Mod A ⁡ ( C i , D i + n ) {\displaystyle \hom _{n}(C,D)=\prod _{i\in \mathbb {Z} }\hom _{_{A}\operatorname {Mod} _{A}}(C_{i},D_{i+n})} ∂ n hom ⁡ ( C , D ) f = ∏ i ∈ Z ( ∂ i + n D ∘ f − ( − ) n f ∘ ∂ i X ) {\displaystyle \partial _{n}^{\hom(C,D)}f=\prod _{i\in \mathbb {Z} }(\partial _{i+n}^{D}\circ f-(-)^{n}f\circ \partial _{i}^{X})} 이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 ( Ch ∙ ⁡ ( A Mod A ) , ⊗ , hom ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,\hom _{\bullet })} 는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 범주 Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 에서, 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면, 유도 범주 D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 를 얻으며, 표준적 함자 Ch ∙ ⁡ ( A ) → D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 가 존재한다. 사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다. 마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다. 아벨 범주 위의 단체 대상 X ∙ {\displaystyle X_{\bullet }} 에 대하여, 항상 정규화 사슬 복합체 N ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(X)} 라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 와 단체 대상의 범주 A △ op {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}} 사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다. Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) ≃ A △ op {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}} 이를 돌트-칸 대응이라고 한다. 마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 쌍대 단체 대상의 범주 A △ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\triangle }} 와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다. Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) ≃ A △ {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle }} 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 사슬 복합체의 범주 Ch ∙ ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, 영어: double chain complex, bicomplex)라고 한다. (공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다. 미분 등급 대수 미분 등급 리 대수 정규화 사슬 복합체 Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.  “Complex (in homological algebra)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Chain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Cochain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Complex”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain complex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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