초대칭 대수

초대칭 대수(超對稱代數, 영어: supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다. 푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 P μ {\displaystyle P_{\mu }} 와 로런츠 변환 M μ ν {\displaystyle M_{\mu \nu }} 로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 Q α i {\displaystyle Q_{\alpha }^{i}} 와 Q ¯ α ˙ i {\displaystyle {\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}} 를 추가한다. (만약 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 개의 초대칭이 있으면 i = 1 , 2 , … , N {\displaystyle i=1,2,\dots ,{\mathcal {N}}} .) 이들은 초대칭을 나타낸다. 푸앵카레 대수는 D {\displaystyle D} 차원의 시공에서 D {\displaystyle D} 개의 병진 생성자와 D ( D − 1 ) / 2 {\displaystyle D(D-1)/2} 개의 로런츠 변환으로 총 D + D ( D − 1 ) / 2 {\displaystyle D+D(D-1)/2} 차원이다. ( D = 4 {\displaystyle D=4} 일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 D + D ( D − 1 ) / 2 + dim ⁡ ( spinor ) × N {\displaystyle D+D(D-1)/2+\dim({\text{spinor}})\times {\mathcal {N}}} 차원이 된다. 주어진 시공간 차원에서, 초전하(영어: supercharge)의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 이며, N > 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}>1} 인 경우를 확장 초대칭(영어: extended supersymmetry)이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭은 4개의 초전하를 가진다. 초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원 N = 8 {\displaystyle {\mathcal {N}}=8} 초중력 등이 그 예이다. 만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 양-밀스 이론이나 4차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초대칭 양-밀스 이론 이 그 예이다. 다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.) 4차원에서, N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 4 N {\displaystyle 4{\mathcal {N}}} 개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} , N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} , N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 및 N = 8 {\displaystyle {\mathcal {N}}=8} 초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, N > 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}>4} 인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 N = 8 {\displaystyle {\mathcal {N}}=8} 까지만 가능하다. 주어진 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다. 병진 변환 P μ {\displaystyle P_{\mu }} 회전 J μ ν {\displaystyle J_{\mu \nu }} 초대칭 Q α i {\displaystyle Q_{\alpha }^{i}} , Q ¯ α ˙ i {\displaystyle {\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}} ( i = 1 , … , N {\displaystyle i=1,\dots ,{\mathcal {N}}} ). 이는 R대칭군의 크기가 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 b a i j {\displaystyle b^{ai}{}_{j}} 라고 쓰자. R대칭 R a {\displaystyle R^{a}} 는 R대칭군 R ⊆ U ( N ) {\displaystyle R\subseteq U({\mathcal {N}})} 의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 f a b c {\displaystyle f^{ab}{}_{c}} 라고 쓰자. 중심 원소 Z i j {\displaystyle Z^{ij}} 이들의 리 초괄호는 다음과 같다. [ P μ , P ν ] = 0 {\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0} [ J μ ν , P ρ ] = i ( η μ ρ P ν − η ν ρ P μ ) {\displaystyle [J_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)} [ J μ ν , J ρ σ ] = i ( η μ ρ J ν σ − η μ σ J ν ρ − η ν ρ J μ σ + η ν σ J μ ρ ) {\displaystyle [J_{\mu \nu },J_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }J_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }J_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }J_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }J_{\mu \rho }\right)} { Q α i , Q β j } = ϵ α β Z i j {\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},Q_{\beta }^{j}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{ij}} [ Q α i , M μ ν ] = 1 2 ( σ μ ν ) β α Q β i {\displaystyle [Q_{\alpha }^{i},M_{\mu \nu }]={\frac {1}{2}}(\sigma _{\mu \nu })^{\beta }{}_{\alpha }Q_{\beta }^{i}} [ Q ¯ α ˙ i , M μ ν ] = − 1 2 ( σ μ ν ) β ˙ α ˙ Q ¯ β ˙ i {\displaystyle [{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i},M_{\mu \nu }]=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{\mu \nu })^{\dot {\beta }}{}_{\dot {\alpha }}{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{i}} { Q ¯ i , Q ¯ j } = − ϵ α ˙ β ˙ ( Z i j ) † ) {\displaystyle \{{\bar {Q}}^{i},{\bar {Q}}^{j}\}=-\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(Z^{ij})\dagger )} { Q α i , Q ¯ α ˙ j } = 2 σ α α ˙ μ δ i j P μ {\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{j}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu }} [ Q i , R a ] = b a i j Q j {\displaystyle [Q^{i},R^{a}]=b^{ai}{}_{j}Q^{j}} [ Q i , R a ] = − ( b a i j ) † Q ¯ j {\displaystyle [Q^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }{\bar {Q}}^{j}} [ Q ¯ i , R a ] = − ( b a i j ) † Q j {\displaystyle [{\bar {Q}}^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }Q^{j}} [ Q ¯ i , R j k ] = − δ k i Q ¯ j {\displaystyle [{\bar {Q}}^{i},R^{j}{}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\bar {Q}}^{j}} [ Z i j , P μ ] = [ Z i j , J μ ν ] = [ Z i j , R a ] = [ Z i j , Q ] = 0 {\displaystyle [Z^{ij},P_{\mu }]=[Z^{ij},J_{\mu \nu }]=[Z^{ij},R^{a}]=[Z^{ij},Q]=0} 즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다. 4차원에서는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 또는 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 인 경우 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 인 경우는 SU(2) R대칭을 Spin ⁡ ( 4 ) = SU ⁡ ( 2 ) 2 {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)^{2}} 로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다. 4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 손지기 초다중항(영어: chiral multiplet): 복소 스칼라장, 바일 스피너 벡터 초다중항(영어: vector multiplet): 바일 스피너, 게이지장 중력자 초다중항(graviton supermultiplet): 중력자, 바일 그래비티노 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 하이퍼 초다중항(영어: hypermultiplet): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너 서로 다른 나선도의 두 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 R, 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 R을 따른다. 벡터 초다중항: 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현) N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 손지기 초다중항으로 구성된다. 중력자 초다중항: 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 벡터 초다중항: 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장 중력자 초다중항 N = 8 {\displaystyle {\mathcal {N}}=8} 중력자 초다중항 3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다. 이 경우 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다. { Q i , Q ¯ j } = i σ α β μ δ i j P μ + Z i j {\displaystyle \{Q^{i},{\bar {Q}}^{j}\}=i\sigma _{\alpha \beta }^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu }+Z^{ij}} 여기서 중심 확대 Z i j {\displaystyle Z^{ij}} 는 반대각화하여 ⌊ N / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor {\mathcal {N}}/2\rfloor } 개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭에서는 하나의 중심 전하 Z {\displaystyle Z} 가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 M {\displaystyle M} 은 BPS 부등식 M ≥ Z {\displaystyle M\geq Z} 를 만족시킨다.:(19) 3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 ∗ F = ϕ {\displaystyle *F=\phi } 로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다. N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} : 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다. N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} : 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다. 마찬가지로 N = 4 , 8 , 16 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4,8,16} 등이 존재한다. 6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다. N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} . R대칭은 SU(2)이다. 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1) 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1) 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1) N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} . R대칭은 SO(4)이다. 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4) N = ( 2 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)} . R대칭은 SO(5)이다. 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5) 아딘크라 (물리학) 초등각 장론 2차원 𝒩=2 초등각 장론 Ferrara, Sergio; Alessio Marrani (2011년 3월). “Perturbative and non-perturbative aspects of N = 8 {\displaystyle {\mathcal {N}}=8} supergravity” (영어). arXiv:1103.5138. Bibcode:2011arXiv1103.5138F.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); |제목=에 지움 문자가 있음(위치 46) (도움말) Seiberg, Nathan (1998). “Notes on theories with 16 supercharges”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplement》 (영어) 67 (1–3): 158–171. arXiv:hep-th/9705117. Bibcode:1998NuPhS..67..158S. doi:10.1016/S0920-5632(98)00128-5.  McKeon, D. G. C.; T. N. Sherry. “Supersymmetry in three dimensions” (영어). arXiv:hep-th/0108074.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Aharony, O.; Hanany, A.; Intriligator, K.; Seiberg, N.; Strassler, M.J. “Aspects of N=2 supersymmetric gauge theories in three dimensions” (영어). arXiv:hep-th/9703110.  Terning, John (2005). 《Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality》. International Series of Monographs on Physics (영어) 132. Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198567639.001.0001. ISBN 978-019856763-9. Zbl 1087.81006.  “Supersymmetry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.