복소함수

수학에서 복소 함수(複素函數, 영어: function of a complex variable)는 정의역과 공역의 원소가 모두 복소수인 함수이다. 복소 함수는 f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 꼴의 함수이다. 그 대응 규칙은 다음과 같다. f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)} 여기서 u , v : R 2 → R {\displaystyle u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } 이다. 복소 함수에는 복소 지수 함수, 복소 삼각 함수, 복소로그 함수 등이 있다. 복소 지수 함수는 다음과 같이 표현되는 복소 함수이다. e z = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) {\displaystyle e^{z}\,=\,e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right)} 다음과 같은 성질을 갖는다. e i y = cos ⁡ y + i sin ⁡ y {\displaystyle e^{iy}\,=\,\cos y+i\sin y} (오일러 공식) 이며, z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} 는 e 2 π i = 1 {\displaystyle e^{2\pi i}=1} 로 나타낼 수 있다. 또한 e z + 2 π i = e z {\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}} 이므로, w = e z {\displaystyle w=e^{z}} 가 가질 수 있는 값은 폭 2 π {\displaystyle 2\pi } 인 수평띠 − π < y ≤ π {\displaystyle -\pi <y\leq \pi } 안에 있게 되는데, 이 무한 띠를 e z {\displaystyle e^{z}} 의 기본영역(fundamental region)이라 부른다. cos ⁡ z = 1 2 ( e i z + e − i z ) , sin ⁡ z = 1 2 i ( e i z − e − i z ) {\displaystyle \cos z={\frac {1}{2}}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right),\sin z={\frac {1}{2i}}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)} 실삼각함수에 대한 모든 익숙한 공식은 복소값에 대해서도 성립한다. cos ⁡ ( z 1 ± z 2 ) = cos ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 ∓ sin ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 sin ⁡ ( z 1 ± z 2 ) = sin ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 ± sin ⁡ z 2 cos ⁡ z 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\sin z_{2}\\&\sin \left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm \sin z_{2}\cos z_{1}\\\end{aligned}}} cosh ⁡ z = 1 2 ( e z + e − z ) , sinh ⁡ z = 1 2 ( e z − e − z ) {\displaystyle \cosh z={\frac {1}{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right),\sinh z={\frac {1}{2}}\left(e^{z}-e^{-z}\right)} 복소쌍곡선함수와 삼각함수의 관계는 다음과 같다. cosh ⁡ i z = cos ⁡ z , sinh ⁡ i z = i sin ⁡ z , tanh ⁡ i z = i tan ⁡ z {\displaystyle \cosh iz=\cos z,\,\sinh iz=i\sin z,\,\tanh iz=i\tan z} 복소삼각함수와 쌍곡선함수의 관계는 다음과 같다. cos ⁡ i z = cosh ⁡ z , sin ⁡ i z = i sinh ⁡ z , tan ⁡ i z = i tanh ⁡ z {\displaystyle \cos iz=\cosh z,\,\sin iz=i\sinh z,\,\tan iz=i\tanh z} z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} 의 자연로그(natural logarithm)는 ln z {\displaystyle \ln \,z} 로 표시하고 지수함수의 역함수로 정의한다. ln ⁡ z = ln ⁡ r + i θ ( r = | z | > 0 , θ = arg ⁡ z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\ln z=\ln r+i\theta \\&\left(r=\left|z\right|>0,\theta =\arg z\right)\\\end{aligned}}} 이때, 실미적분학과 다른 점을 발견할 수 있다. z {\displaystyle z} 의 편각은 2 π {\displaystyle 2\pi } 의 임의의 정수배를 더한 값들로 결정되므로, 복소자연로그 ln ⁡ z   ( z ≠ 0 ) {\displaystyle \ln z\ \left(z\neq 0\right)} 는 무한히 많은 값을 갖는다. Arg z {\displaystyle \operatorname {Arg} \,\,z} 에 상응하는 ln z {\displaystyle \ln \,z} 의 값을 Ln z {\displaystyle \operatorname {Ln} \,\,z} 로 표기하고, ln z {\displaystyle \ln \,z} 의 주값(principal value)이라 부른다. 따라서, Ln z = ln ⁡ | z | + i Arg z {\displaystyle \operatorname {Ln} \,z=\ln \left|z\right|+i\operatorname {Arg} \,z} 이다. Arg z {\displaystyle \operatorname {Arg} \,z} 의 다른 값들은 2 π {\displaystyle 2\pi } 의 정수배만큼 다르므로 ln z {\displaystyle \ln \,z} 의 다른 값들은 ln ⁡ z = Ln z ± 2 n π i {\displaystyle \ln z=\operatorname {Ln} \,z\pm 2n\pi i} 이 된다. 복소수 z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} 의 일반 거듭제곱 공식 z c = e c ln ⁡ z {\displaystyle z^{c}\,=\,e^{c\ln z}} 로 정의된다. Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.