마이어-피토리스 열

대수적 위상수학에서 마이어-피토리스 열(Mayer-Vietoris列, 영어: Mayer–Vietoris sequence)는 어떤 위상 공간을 두 열린 부분공간으로 나눈 경우, 그 호몰로지 군들에 대한 긴 완전열이다. 기본군의 자이페르트-판 캄펀 정리와 유사하게, 공간의 호몰로지 군을 더 단순한 부분 공간들로 쪼개어 계산하는 데 쓰인다. 대수적 위상수학에서 가장 핵심적인 도구 가운데 하나다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 두 부분 집합 A , B ⊂ X {\displaystyle A,B\subset X} 들의 내부 int ⁡ ( A ) , int ⁡ ( B ) ⊂ X {\displaystyle \operatorname {int} (A),\operatorname {int} (B)\subset X} 가 X {\displaystyle X} 의 열린 덮개를 이룬다고 하자. 즉, int ⁡ ( A ) ∪ int ⁡ ( B ) = X {\displaystyle \operatorname {int} (A)\cup \operatorname {int} (B)=X} 라고 하자. 이 사이에 포함 사상들을 다음과 같이 적자. i : A ∩ B ↪ A {\displaystyle i\colon A\cap B\hookrightarrow A} j : A ∩ B ↪ B {\displaystyle j\colon A\cap B\hookrightarrow B} k : A ↪ X {\displaystyle k\colon A\hookrightarrow X} l : B ↪ X {\displaystyle l\colon B\hookrightarrow X} 이에 따라서 다음과 같은 호몰로지 군 사이의 군 준동형을 유도할 수 있다. i ∗ : H n ( A ∩ B ) → H n ( A ) {\displaystyle i_{*}\colon H_{n}(A\cap B)\to H_{n}(A)} j ∗ : H n ( A ∩ B ) → H n ( B ) {\displaystyle j_{*}\colon H_{n}(A\cap B)\to H_{n}(B)} k ∗ : H n ( A ) → H n ( X ) {\displaystyle k_{*}\colon H_{n}(A)\to H_{n}(X)} l ∗ : H n ( B ) → H n ( X ) {\displaystyle l_{*}\colon H_{n}(B)\to H_{n}(X)} 또한, 다음과 같은 군 준동형을 생각하자. 임의의 닫힌 n {\displaystyle n} 차 특이 호몰로지 사슬 x ∈ C n ( X ) {\displaystyle x\in C_{n}(X)} 는 A {\displaystyle A} 에 속한 사슬과 B {\displaystyle B} 에 속한 사슬로 분해할 수 있다. (이러한 분해는 물론 유일하지 않다.) x = u + v {\displaystyle x=u+v} ( u ∈ C n ( A ) {\displaystyle u\in C_{n}(A)} , v ∈ C n ( B ) {\displaystyle v\in C_{n}(B)} ) ∂ u = − ∂ v ∈ C n − 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \partial u=-\partial v\in C_{n-1}(A\cap B)} 그렇다면 군 준동형 ∂ ∗ : H n ( X ) → H n − 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \partial _{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n-1}(A\cap B)} 을 다음과 같이 정의할 수 있다. ∂ ∗ : [ x ] ↦ [ ∂ u ] = − [ ∂ v ] ∈ H n − 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \partial _{*}\colon [x]\mapsto [\partial u]=-[\partial v]\in H_{n-1}(A\cap B)} 그렇다면, 다음과 같은 특이 호몰로지 사슬 복합체에 대한 짧은 완전열이 존재한다. 0 → C ∙ ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) C ∙ ( A ) ⊕ C ∙ ( B ) → k ∗ − l ∗ C ∙ ( X ) → 0 {\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}C_{\bullet }(A)\oplus C_{\bullet }(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}C_{\bullet }(X)\to 0} 이 짧은 완전열에 지그재그 보조정리를 적용해, 다음과 같은 긴 완전열이 존재함을 알 수 있다. 이 완전열을 마이어-피토리스 열이라고 한다. ⋯ → H n + 1 ( X ) → ∂ ∗ H n ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A ) ⊕ H n ( B ) → k ∗ − l ∗ H n ( X ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B ) → ⋯ → H 0 ( A ) ⊕ H 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H 0 ( X ) → 0 {\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}H_{n}(A)\oplus H_{n}(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}H_{0}(X)\to 0} 축소 호몰로지(reduced homology) H ~ n ( X ) = H n ( X ) / H n ( { ∙ } ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=H_{n}(X)/H_{n}(\{\bullet \})} 에 대해서도 비슷한 긴 완전열이 존재한다. 오스트리아의 수학자 발터 마이어(독일어: Walther Mayer)와 레오폴트 피토리스(독일어: Leopold Vietoris)가 도입하였다. 마이어는 1926~1927년 동료 수학자 피토리스의 위상수학 강의를 듣게 되었다. 이 강의에서 피토리스는 오늘날 마이어-피토리스 열이라고 불리는 관계에 대한 가설을 세웠다. 그때까지 위상수학에 대하여 전혀 몰랐던 마이어는 피토리스의 강의를 듣고 곧 1929년에 가설을 호몰로지의 베티 수에 대하여 증명하였다. 이듬해 (1930년) 피토리스는 베티 수뿐만 아니라 호몰로지 군 자체에 대한 마이어-피토리스 열의 존재를 증명하였다. 이후 사무엘 에일렌베르크와 노먼 스틴로드가 완전열의 개념을 도입하면서, 마이어와 피토리스의 준동형들이 긴 완전열을 이룸을 지적하였다. 지그재그 보조정리 Mayer, Walther (1929). “Über abstrakte Topologie”. 《Monatshefte für Mathematik》 (독일어) 36 (1): 1–42. doi:10.1007/BF02307601. ISSN 0026-9255.  Vietoris, Leopold (1930). “Über die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe”. 《Monatshefte für Mathematik》 (독일어) 37 (1): 159–62. doi:10.1007/BF01696765. ISSN 0026-9255.  조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 2015년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 8월 25일에 확인함.  우무하; 김재룡 (1994년 10월 23일). 《대수적 위상 수학》. 대우학술총서 자연과학 97. 서울: 민음사. ISBN 978-89-374-3597-3.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic Topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.  “Homology theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Mayer-Vietoris sequence”. 《nLab》 (영어).  “Mayer-Vietoris homology sequence”. 《Topospaces》 (영어).  “Mathematically mature way to think about Mayer–Vietoris” (영어). Math Overflow.