자이베르그 이중성

양자장론에서 자이베르그 이중성(זייברג二重性, 영어: Seiberg duality)은 서로 다른 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 게이지 이론의 저에너지 유효 이론이 일치하는 현상이다. 즉, 이 두 이론들은 재규격화군 흐름에 의하여 같은 등각 장론 부동점으로 흘러가고, 이 등각 장론은 서로 다른 두 고에너지 이론에 대응하는, 서로 다른 두 개의 변수 집합으로 기술할 수 있다. 나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다. 다음과 같은 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} SU(N) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. SU(Nc) 벡터 초장 (글루온과 글루이노) F개의 기본 표현 오른손 초장 Q {\displaystyle Q} 및 왼손 초장 Q c {\displaystyle Q^{c}} (쿼크와 스쿼크) 이에 대응하는 이중 이론은 다음과 같은 초장을 포함하는 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} S U ( N ~ ) {\displaystyle SU({\tilde {N}})} 초대칭 게이지 이론이다. 초퍼텐셜은 0이다. 특히, 쿼크 질량은 0이다. 이에 대응하는, 다음과 같은 이중 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} SU(Ñ) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. SU(Ñ) 벡터 초장 (이중 글루온과 이중 글루이노) F개의 기본 표현 오른손 초장 Q {\displaystyle Q} 및 왼손 초장 Q c {\displaystyle Q^{c}} (이중 쿼크와 이중 스쿼크) F ⊗ F ¯ {\displaystyle F\otimes {\bar {F}}} 맛깔 표현의 손지기 초장 M {\displaystyle M} (중간자) 초퍼텐셜 W ~ = M Q c ~ Q ~ {\displaystyle {\tilde {W}}=M{\tilde {Q^{c}}}{\tilde {Q}}} . 그렇다면 자이베르그 이중성에 따라, N + N ~ = F {\displaystyle N+{\tilde {N}}=F} 인 경우, 이 두 이론의 저에너지 재규격화군 부동점은 서로 같다. 두 이론의 대칭군은 S U ( F ) L × S U ( F ) R × U ( 1 ) B × U ( 1 ) R {\displaystyle SU(F)_{L}\times SU(F)_{R}\times U(1)_{B}\times U(1)_{R}} 로 같으며, 이에 대한 장들은 다음과 같다. F개의 기본 표현 디랙 페르미온을 포함하는, 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} SU(N) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 이 경우, 저에너지 유효 이론은 다음과 같은 상들을 가질 수 있다.:§1.6 F = 0 {\displaystyle F=0} 인 경우 (물질이 없는 경우) 이론은 색가둠을 보이며, 낮은 에너지 자유도는 무색의 글루볼이다. 0 < F < N {\displaystyle 0<F<N} 인 경우 양자역학적인 진공이 존재하지 않는다. F = N {\displaystyle F=N} 인 경우 이론은 색가둠을 보인다.:§4.2 이 경우 저에너지 자유도는 무질량 강입자(중간자와 중입자)이다. 이 경우 손지기 대칭 SU(F)L×SU(F)R이 변칙적으로 부분군으로 깨지며, 정확히 어떤 군이 살아남는지는 모듈러스 공간 위치에 따라 다르다. 이 경우 이중 이론은 무질량 강입자들을 기본 입자로 하고, 게이지 대칭이 없는 손지기 유효 이론(chiral effective theory)이다. F = N + 1 {\displaystyle F=N+1} 인 경우에도 이론은 색가둠을 보인다.:§4.3 그러나 이 경우 손지기 대칭이 깨지지 않으며, 고전적 모듈러스 공간이 양자역학적인 보정을 받지 않는다. 이중 이론은 F = N {\displaystyle F=N} 경우와 마찬가지인 손지기 유효 이론이다. N + 2 ≤ F ≤ ( 3 / 2 ) N {\displaystyle N+2\leq F\leq (3/2)N} 인 경우, 이론은 자유 자기 상에 있다. 즉, 낮은 에너지에서 결합 상수가 로그 꼴로 발산하고, 반대로 자기 결합 상수는 점근 자유성을 보인다. 낮은 에너지에서 자유 입자는 무질량 중간자와 분수 중입자수 및 자하를 가진 솔리톤이다. 즉, 중입자들이 여러 솔리톤들로 분해된다. 이 입자들은 이중 이론의 기본 입자들에 해당한다. ( 3 / 2 ) N < F < 3 N {\displaystyle (3/2)N<F<3N} 인 경우, 재규격화군 흐름에 자명하지 않은 저에너지 부동점이 존재한다. 즉, 저에너지 유효 이론은 일종의 초등각 장론이다. 이 경우 이론은 쿨롱 상에 있다. 이 경우를 등각 창(영어: conformal window)라고 한다. 3 N ≤ F {\displaystyle 3N\leq F} 인 경우, 이론은 점근 자유성을 상실하고, 자유 전기 상에 있다. 이 경우 쿼크, 스쿼크, 글루온, 글루이노 등 유색 입자들은 가둠을 받지 않고 자유롭다. 높은 에너지에서 이 이론은 란다우 극을 보여, 결합 상수가 무한대로 발산하며, 이론이 더 이상 일관적이지 않게 된다. 자이베르그 이중성은 N + 2 ≤ F {\displaystyle N+2\leq F} 인 경우에 적용된다. 이 경우 원래 이론과 이중 이론의 상들은 다음과 같다. 자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종이다. 즉, 원래 이론에서 결합 상수가 큰 경우, 이중 이론에서 결합 상수가 작게 된다. 구체적으로, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다. 원래 이론의 글루온은 이중 이론에서 게이지 자기장이 된다. 즉, 이는 전기-자기 이중성의 일종이다. 원래 이론의 쿼크는 이중 이론의 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이 된다. 반대로, 이중 이론의 쿼크는 원래 이론의 자기 홀극이다. 합성 입자인 원래 이론의 중간자 Q Q c {\displaystyle QQ^{c}} 들은 이중 이론에서 기본 입자 M {\displaystyle M} 으로 대응된다. 합성 입자인 원래 이론의 중간자 Q … Q {\displaystyle Q\dots Q} 들은 이중 이론에서도 합성 입자 Q ~ … Q ~ {\displaystyle {\tilde {Q}}\dots {\tilde {Q}}} 가 된다. 그러나 중입자에 포함되는 쿼크 수는 물론 다르다 (원래 이론의 경우 N, 이중 이론의 경우 Ñ). 원래 이론의 가둠 상은 이중 이론의 힉스 상이 된다. 두 이론의 대역적인 대칭 S U ( F ) L × S U ( F ) R × U ( 1 ) B × U ( 1 ) R {\displaystyle SU(F)_{L}\times SU(F)_{R}\times U(1)_{B}\times U(1)_{R}} 은 일치한다. 대응되는 장들은 이 대칭에 대하여 같은 양자수들을 가진다. 두 이론의 게이지 대칭은 일반적으로 서로 다르다. 그러나 게이지 대칭은 낮은 에너지에서 (가둠 또는 힉스 메커니즘을 통해) 관찰할 수 없으므로 이는 일치하지 않아도 된다. 이중 이론에서 중간자가 기본 입자로 존재하는 것은 손지기 섭동 이론(영어: chiral perturbation theory, χPT)에서 기본 중간자장 U = exp ⁡ ( i M ) {\displaystyle U=\exp(iM)} 를 도입하는 것과 유사하다. 원래 이론이 가둠 상에 있는 경우, 이중 이론에서의 이중 글루온은 힉스 메커니즘을 통해 무게를 얻게 된다. 이는 벡터 중간자인 로 중간자에 해당한다. 로 중간자가 힉스 메커니즘을 거친, 숨겨진 맛깔 게이지 대칭에 대한 게이지 보손이라는 가설은 오래된 개념으로, 이미 1960년대부터 거론되어 왔다. 자이베르그 이중성을 도입하면 이를 엄밀하게 해석할 수 있다. 자이베르그 이중성은 여러 가지로 확인해 볼 수 있다. 두 이론은 같은 대칭군을 가진다. 또한, 이들을 게이지화하려 할 경우, 이에 대한 변칙들이 일치한다 (변칙 일치 조건). 두 이론의 무색 합성 입자(중입자와 중간자)들이 같은 양자수들을 가진다. 두 이론의 모듈러스 공간이 일치한다. 이는 끈 이론에서 하나니-위튼 전이에서와 유사한 D-막 교차점 유효 이론으로 설명할 수 있다. SO(N)과 USp(2N) 게이지 군의 경우에도 자이베르그 이중성이 존재한다. SO(N)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다.:182–187:§5.1–5.6 이중 초대칭 게이지 이론은 SO(Ñ) 게이지 군을 가지고, 이 경우 N + N ~ = F + 4 {\displaystyle N+{\tilde {N}}=F+4} 이다. 이 경우 무색 입자들은 다음과 같이 대응한다. USp(2N)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다.:187–188:§5.7 이중 초대칭 게이지 이론은 USp(2Ñ) 게이지 군을 가지고, 이 경우 N + N ~ = F − 2 {\displaystyle N+{\tilde {N}}=F-2} 이다. 심플렉틱 군의 경우 중입자가 존재하지 않는다. 이는 레비치비타 기호가 심플렉틱 형식들로 나타내어지기 때문이다. 즉, 중입자 연산자는 중간자 연산자들로 나타낼 수 있다. ϵ i 1 i 2 … i 2 N = J [ i 1 i 2 J i 3 i 4 ⋯ J i 2 N − 1 i 2 N ] {\displaystyle \epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{2N}}=J_{[i_{1}i_{2}}J_{i_{3}i_{4}}\cdots J_{i_{2N-1}i_{2N}]}} 예외적 리 군의 경우에 대해서는 아직 확실히 알려진 바가 없다. 자이베르그 이중성은 끈 이론에서 하나니-위튼 전이와 같은 꼴로 해석할 수 있다. Terning, John (2005). 《Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality》 (영어). Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198567639.001.0001. ISBN 978-019856763-9.  Strassler, Matthew J. 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