폰 노이만 대수

함수해석학에서 폰 노이만 대수(von Neumann代數, 영어: von Neumann algebra)는 어떤 복소수 바나흐 공간의 연속 쌍대 공간으로 나타낼 수 있는 C* 대수이다. 이러한 C* 대수는 항상 적절한 위상에 대하여 닫힌집합을 이루는, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 나타낼 수 있다. 폰 노이만 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다. 추상적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 C* 대수로 정의될 수 있다. 구체적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 적절한 위상에 대하여 닫힌집합인, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의될 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. C* 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 주어졌다고 하자. 이는 복소수 바나흐 대수, 특히 복소수 바나흐 공간을 이룬다. 만약 A ≅ V ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}\cong V^{*}} 가 되는 복소수 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 가 존재한다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 를 폰 노이만 대수라고 한다. (여기서 ≅ {\displaystyle \cong } 은 복소수 바나흐 공간 사이의 등거리 복소수 선형 전단사 함수의 존재이며, V ∗ {\displaystyle V^{*}} 는 V {\displaystyle V} 의 복소수 연속 쌍대 공간이다.) 사실, 이러한 복소수 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 는 (등거리 복소수 선형 전단사 함수 아래) 유일하다. 이를 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 원쌍대 공간(영어: predual)이라고 한다. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위의 유계 작용소들의 C* 대수 B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 를 생각하자. 그 부분 집합 A ⊆ B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 가 덧셈과 합성과 에르미트 수반과 복소수 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으며 항등원을 포함한다고 하자. 이제, 집합 A ′ = { T ∈ B ⁡ ( H , H ) : ∀ A ∈ A : T A = A T } {\displaystyle {\mathcal {A}}'=\{T\in \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})\colon \forall A\in {\mathcal {A}}\colon TA=AT\}} 및 A ″ = { T ∈ B ⁡ ( H , H ) : ∀ A ′ ∈ A ′ : T A ′ = A ′ T } {\displaystyle {\mathcal {A}}''=\{T\in \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})\colon \forall A'\in {\mathcal {A}}'\colon TA'=A'T\}} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 폰 노이만 정리에 따르면, B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 의 다음 세 부분 집합이 모두 같다. A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 강한 작용소 위상(즉, 점별 노름 수렴 위상)에서의 폐포 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 약한 작용소 위상(즉, 점별 약한-* 위상 수렴 위상)에서의 폐포 A ″ {\displaystyle {\mathcal {A}}''} 만약 A = A ″ {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}''} 이라면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} (와 동형인 C* 대수)를 폰 노이만 대수라고 한다. 이 정의에 따라, 임의의 부분 집합 S ⊆ B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 가 주어졌을 때 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수 vN ⁡ ( S ) = ( Span C ⁡ { S 1 S 2 ⋯ S n : n ∈ N , S 1 , S 2 , … , S n ∈ S ∪ S ∗ } ) ″ {\displaystyle \operatorname {vN} ({\mathcal {S}})=\left(\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{S_{1}S_{2}\dotsm S_{n}\colon n\in \mathbb {N} ,S_{1},S_{2},\dotsc ,S_{n}\in {\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}^{*}\}\right)''} 가 존재함을 알 수 있다. 이를 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 로 생성되는 폰 노이만 대수(영어: von Neumann algebra generated by S {\displaystyle {\mathcal {S}}} )라고 한다. 추상적 정의에 따른 임의의 폰 노이만 대수에 대하여, 겔판트-나이마르크 정리를 통해 이를 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 표현할 수 있다. 반대로, 구체적 정의에 대한 폰 노이만 대수는 (힐베르트 공간 위의 작용을 무시할 때) 항상 추상적 정의에 부합한다. 폰 노이만 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 만약 a = b ∗ b {\displaystyle a=b^{*}b} 인 b ∈ A {\displaystyle b\in A} 가 존재한다면, a {\displaystyle a} 를 양원소(陽元素, 영어: positive element)라고 한다. 양원소의 집합을 A + {\displaystyle A^{+}} 로 표기하자. 이들의 집합은 반환 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 위의 가군을 이룬다. 마찬가지로, [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 는 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 위의 가군을 이룬다. [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} -선형 함수 ω : A + → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \omega \colon A^{+}\to [0,\infty ]} 를 무게라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ω ( α a + β b ) = α ω ( a ) + β ω ( b ) ∀ α , β ∈ R , a , b ∈ A + {\displaystyle \omega (\alpha a+\beta b)=\alpha \omega (a)+\beta \omega (b)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\;a,b\in A^{+}} 위 정의에서 0 ⋅ ∞ = 0 {\displaystyle 0\cdot \infty =0} 으로 놓는다. 만약 무게 ω {\displaystyle \omega } 가 ω ( 1 ) = 1 {\displaystyle \omega (1)=1} 을 만족시킨다면, 이를 상태(狀態, 영어: state)라고 한다. 무게 ω {\displaystyle \omega } 가 ω ( a a ∗ ) = ω ( a ∗ a ) ∀ a ∈ A {\displaystyle \omega (aa^{*})=\omega (a^{*}a)\qquad \forall a\in A} 를 만족시킨다면, 이를 대각합(對角合, 영어: trace)이라고 한다. 폰 노이만 대수 A {\displaystyle A} 가운데, 만약 Z ⁡ ( A ) = C ⋅ 1 A {\displaystyle \operatorname {Z} (A)=\mathbb {C} \cdot 1_{A}} 라면, A {\displaystyle A} 를 폰 노이만 인자(von Neumann因子, 영어: von Neumann factor)라고 하자. (여기서 Z ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Z} (-)} 는 환으로서의 중심이다.) 모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분(영어: direct integral) A = ∫ X ⊕ A x d μ ( x ) {\displaystyle A=\int _{X}^{\oplus }A_{x}\;\mathrm {d} \mu (x)} 으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 사실상 유일하다. 따라서, 폰 노이만 대수의 분류는 인자 대수의 분류로 귀결된다. 인자 대수의 분류는 상당 부분 알려져 있다. 임의의 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 에 대하여, 모든 유계 작용소의 대수 B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 대각합을 부여한, 대각합류 작용소의 복소수 바나흐 공간 ( S 1 ( H , H ) , tr ) {\displaystyle ({\mathfrak {S}}_{1}({\mathcal {H}},{\mathcal {H}}),\operatorname {tr} )} 이다. X {\displaystyle X} 가 시그마 유한 측도 공간이라고 하자. 복소수 값 ∞-르베그 공간 L ∞ ⁡ ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )} 은 (점별 덧셈과 곱셈 및 복소수 켤레에 대하여) 폰 노이만 대수를 이룬다. 그 원쌍대 공간은 1-르베그 공간 L 1 ⁡ ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{1}(X;\mathbb {C} )} 이다. L ∞ ⁡ ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )} 는 복소수 힐베르트 공간 L 2 ⁡ ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {C} )} 위에 작용하는 유계 작용소 대수로 여길 수 있다. 즉, 다음과 같은 표준적인 매장이 존재한다. L ∞ ⁡ ( X ; C ) ↪ B ⁡ ( L 2 ⁡ ( X ; C ) , L 2 ⁡ ( R ; C ) ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )\hookrightarrow \operatorname {B} (\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {C} ),\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} ))} [ f ] ↦ ( [ g ] ↦ [ f g ] ) {\displaystyle [f]\mapsto ([g]\mapsto [fg])} 셔먼-다케다 정리(Sherman-[武田]定理, 영어: Sherman–Takeda theorem)에 따르면, 임의의 C*-대수 A {\displaystyle A} 에 대하여, 그 이중 연속 쌍대 공간 A ∗ ∗ {\displaystyle A^{**}} 는 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, A ∗ ∗ {\displaystyle A^{**}} 를 A {\displaystyle A} 의 포락 폰 노이만 대수(영어: enveloping von Neumann algebra)라고 한다. 폰 노이만 정리는 존 폰 노이만이 증명하였다. 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(영어: Francis Joseph Murray, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다. 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로(일본어: 境 正一郎, 1928~)가 도입하였다. 셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼(영어: Seymour Sherman, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며, 1954년에 다케다 지로(일본어: 武田 二郎)가 증명을 출판하였다. 이후 알랭 콘과 본 존스 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다. Dixmier, J. 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