지수열

복소기하학에서, 지수열(指數列, 영어: exponential sequence)은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다. 복소다양체 M {\displaystyle M} 위에서, O M {\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}} 이 정칙 함수의 층, O M × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{\times }} 이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수 exp ⁡ ( 2 π i ⋅ ( − ) ) : C → C × {\displaystyle \exp(2\pi i\cdot (-))\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }} 로부터, 층의 사상 exp : O X → O X × {\displaystyle \exp \colon {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }} 을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다. 0 → Z _ → O M → exp ⁡ ( 2 π i ⋅ ) O M × → 0 {\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {Z} }}\to {\mathcal {O}}_{M}{\xrightarrow {\exp(2\pi i\cdot )}}{\mathcal {O}}_{M}^{\times }\to 0} 여기서 Z _ {\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} }}} 는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 값을 갖는 상수층이다. 임의의 열린집합 U ⊆ M {\displaystyle U\subseteq M} 에 대하여, 단면 함자 Γ ( U ; − ) {\displaystyle \Gamma (U;-)} 를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다. 0 → H 0 ( U ; Z _ ) → H 0 ( U ; O M ) → H 0 ( U ; O M × ) → H 1 ( U ; Z _ ) → H 1 ( U ; O M ) → H 1 ( U ; O M × ) → H 2 ( U ; Z _ ) → H 2 ( U ; O M ) → H 2 ( U ; O M × ) → ⋯ {\displaystyle 0\to H^{0}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{1}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{2}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to \cdots } 이를 지수열이라고 한다.:446–447, §B.5 지수열 0 → H 0 ( U ; Z _ ) → H 0 ( U ; O M ) → exp ⁡ ( 2 π i ⋅ ) H 0 ( U ; O M × ) → H 1 ( U ; Z _ ) {\displaystyle 0\to H^{0}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M}){\xrightarrow {\exp(2\pi i\cdot )}}H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{1}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})} 에서, 지수 함수 exp {\displaystyle \exp } 의 역함수 log {\displaystyle \log } 가 (적어도 하나 이상) 존재하려면, exp {\displaystyle \exp } 가 전사 함수여야 한다. 따라서, U {\displaystyle U} 가 단일 연결 공간이라면 ( H 0 ( U ; Z ) ≅ H 1 ( U ; Z ) ≅ 0 {\displaystyle H^{0}(U;\mathbb {Z} )\cong H^{1}(U;\mathbb {Z} )\cong 0} ), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다. 예를 들어, U = C × {\displaystyle U=\mathbb {C} ^{\times }} 인 경우, z ↦ 1 / z {\displaystyle z\mapsto 1/z} 는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다. 지수열 ⋯ → H 1 ( U ; Z _ ) → H 1 ( U ; O M ) → H 1 ( U ; O M × ) → H 2 ( U ; Z _ ) → H 2 ( U ; O M ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{1}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{2}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to \cdots } 에서, H 1 ( U ; O M × ) {\displaystyle H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })} 는 U {\displaystyle U} 의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다.:446–447 따라서, 사상 H 1 ( U ; O M × ) → H 2 ( M ; Z ) {\displaystyle H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{2}(M;\mathbb {Z} )} 는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다. 만약 U {\displaystyle U} 가 슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여 H 1 ( U ; O M ) ≅ H 2 ( U ; O M ) ≅ 0 {\displaystyle H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M})\cong H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M})\cong 0} 이다. 따라서 H 1 ( U ; O M × ) ≅ H 2 ( U ; Z ) {\displaystyle H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\cong H^{2}(U;\mathbb {Z} )} 이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다. Σ g {\displaystyle \Sigma _{g}} 가 종수 g {\displaystyle g} 의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다. H 1 ( Σ g ; Z _ ) ≅ Z 2 g {\displaystyle H^{1}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})\cong \mathbb {Z} ^{2g}} H 0 ( Σ g ; Z _ ) ≅ H 2 ( Σ g ; Z _ ) ≅ Z {\displaystyle H^{0}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})\cong H^{2}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})\cong \mathbb {Z} } H i ( Σ g ; Z _ ) = 0 ∀ i > 2 {\displaystyle H^{i}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})=0\qquad \forall i>2} 또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다. H 0 ( Σ g ; O Σ g ) ≅ C {\displaystyle H^{0}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} } H 0 ( Σ g ; O Σ g ) ≅ C × {\displaystyle H^{0}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} ^{\times }} 또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다. H 1 ( Σ g ; O Σ g ) ≅ C h 0 , 1 = C g {\displaystyle H^{1}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} ^{h^{0,1}}=\mathbb {C} ^{g}} H p ( Σ g ; O Σ g ) ≅ C h 0 , p = 0 ∀ p > 1 {\displaystyle H^{p}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} ^{h^{0,p}}=0\qquad \forall p>1} 따라서, 지수열은 다음과 같다. 0 → Z → C → C × → Z 2 g → C g → Pic ⁡ ( Σ g ) → Z → 0 → 0 → 0 → ⋯ {\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {Z} ^{2g}\to \mathbb {C} ^{g}\to \operatorname {Pic} (\Sigma _{g})\to \mathbb {Z} \to 0\to 0\to 0\to \cdots } 여기서, exp ⁡ ( 2 π i ⋅ ) : C → C × {\displaystyle \exp(2\pi i\cdot )\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }} 는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.:447 0 → Z 2 g → C g → Pic ⁡ ( Σ g ) → Z → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{2g}\to \mathbb {C} ^{g}\to \operatorname {Pic} (\Sigma _{g})\to \mathbb {Z} \to 0} 따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다. J ⁡ ( Σ g ) = Pic 0 ⁡ ( Σ g ) ≅ C g / Z 2 g {\displaystyle \operatorname {J} (\Sigma _{g})=\operatorname {Pic} ^{0}(\Sigma _{g})\cong \mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g}} 또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다. NS ⁡ ( Σ g ) = Pic ⁡ ( X ) / J ⁡ ( Σ g ) = Z {\displaystyle \operatorname {NS} (\Sigma _{g})=\operatorname {Pic} (X)/\operatorname {J} (\Sigma _{g})=\mathbb {Z} } 이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다. 쿠쟁 문제 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  “Exponential exact sequence”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 25일에 확인함.