푸앵카레-벤딕손 정리

동적계 이론에서 푸앵카레-벤딕손 정리(영어: Poincaré–Bendixson theorem)는 2차원 평면 위의 연속 시간 동적계에서는 혼돈이 일어나지 않는다는 정리이다. U ⊆ R 2 {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{2}} 가 평면 속의 열린집합이라고 하자. U {\displaystyle U} 위의 2차원 연속 시간 동역학계 Φ : R × U → U {\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} \times U\to U} Φ ( t , Φ ( t ′ , x ) ) = Φ ( t + t ′ , x ) ∀ t , t ′ ∈ R , x ∈ U {\displaystyle \Phi (t,\Phi (t',x))=\Phi (t+t',x)\qquad \forall t,t'\in \mathbb {R} ,\;x\in U} 가 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 함수라고 하자. x ∈ U {\displaystyle x\in U} 의 궤도(영어: orbit) γ ( x ) {\displaystyle \gamma (x)} 는 다음과 같다. γ ( x ) := { Φ ( t , x ) : t ∈ R } {\displaystyle \gamma (x):=\{\Phi (t,x)\colon t\in \mathbb {R} \}} x ∈ U {\displaystyle x\in U} 의 ω+-극한 집합(영어: ω+-limit set) ω + ( x ) {\displaystyle \omega _{+}(x)} 은 다음과 같다. ω + ( x ) := { y ∈ U : ∃ ( t i ) i ∈ N : lim i → ∞ t i = ∞ , lim Φ ( t i , x ) = y } {\displaystyle \omega _{+}(x):=\left\{y\in U\colon \exists (t_{i})_{i\in \mathbb {N} }\colon \lim _{i\to \infty }t_{i}=\infty ,\;\lim \Phi (t_{i},x)=y\right\}} x ∈ U {\displaystyle x\in U} 의 ω−-극한 집합(영어: ω−-limit set) ω − ( x ) {\displaystyle \omega _{-}(x)} 은 다음과 같다. ω − ( x ) := { y ∈ U : ∃ ( t i ) i ∈ N : lim i → ∞ t i = − ∞ , lim Φ ( t i , x ) = y } {\displaystyle \omega _{-}(x):=\left\{y\in U\colon \exists (t_{i})_{i\in \mathbb {N} }\colon \lim _{i\to \infty }t_{i}=-\infty ,\;\lim \Phi (t_{i},x)=y\right\}} ω + ( x ) {\displaystyle \omega _{+}(x)} 가 다음 네 조건들을 만족시킨다고 하자. ω + ( x ) ≠ ∅ {\displaystyle \omega _{+}(x)\neq \varnothing } ω + ( x ) {\displaystyle \omega _{+}(x)} 는 콤팩트 집합이다. ω + ( x ) {\displaystyle \omega _{+}(x)} 는 연결 공간이다. ω + ( x ) {\displaystyle \omega _{+}(x)} 에 속하는 고정점은 유한 개이다. 그렇다면, 푸앵카레-벤딕손 정리에 따르면 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.:223, Theorem 7.16 ω + ( x ) = { x 1 } {\displaystyle \omega _{+}(x)=\{x_{1}\}} 는 고정점이다. ω + ( x ) = γ ( y ) {\displaystyle \omega _{+}(x)=\gamma (y)} 는 (양의 주기를 갖는) 주기적 궤도이다. 즉, Φ ( t , y ) = y {\displaystyle \Phi (t,y)=y} 인 t > 0 {\displaystyle t>0} 가 존재한다. ω + ( x ) = { x 1 , … , x k } ∪ γ ( y 1 ) ∪ ⋯ ∪ γ ( y n ) {\displaystyle \omega _{+}(x)=\{x_{1},\dots ,x_{k}\}\cup \gamma (y_{1})\cup \cdots \cup \gamma (y_{n})} 는 유한 개의 고정점 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} 과 비주기 궤도 γ ( y 1 ) , … , γ ( y n ) {\displaystyle \gamma (y_{1}),\dots ,\gamma (y_{n})} 들로 구성되며, 모든 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 및 σ ∈ { + , − } {\displaystyle \sigma \in \{+,-\}} 에 대하여, ω σ ( y i ) = { x j ( σ , i ) } {\displaystyle \omega _{\sigma }(y_{i})=\{x_{j(\sigma ,i)}\}} 가 되는 j : { + , − } × { 1 , … , n } → { 1 , … , k } {\displaystyle j\colon \{+,-\}\times \{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,k\}} 가 존재한다. 즉, 각 γ ( y i ) {\displaystyle \gamma (y_{i})} 는 x j ( − , i ) {\displaystyle x_{j(-,i)}} 에서 x j ( + , i ) {\displaystyle x_{j(+,i)}} 로 가는 궤도이다. ω − {\displaystyle \omega _{-}} 에 대해서도 마찬가지 정리가 성립한다. 푸앵카레-벤딕손 정리는 1차원에서도 (자명하게) 성립한다.:277, Problem 7.9 즉, R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 열린집합 위에서의 연속 시간 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 동역학계에서, 공집합이 아닌, 유한 개의 고정점을 포함하는 콤팩트 연결 ω + {\displaystyle \omega _{+}} -극한 집합은 다음 두 가지 가운데 하나이다. ω + ( x ) = { x 1 } {\displaystyle \omega _{+}(x)=\{x_{1}\}} 은 고정점이다. ω + ( x ) = [ x 0 , x 1 ] {\displaystyle \omega _{+}(x)=[x_{0},x_{1}]} 에서, x 0 {\displaystyle x_{0}} 과 x 1 {\displaystyle x_{1}} 은 고정점이며, γ ( y ) = ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle \gamma (y)=(x_{0},x_{1})} 인 y ∈ ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle y\in (x_{0},x_{1})} 가 존재한다. 이는 "1차원 벡터장"(=실수 함수)의 중간값 정리의 보조 정리이다. 푸앵카레-벤딕손 정리는 평면의 부분 집합에서만 성립한다. 예를 들어, 원환면 위에서는 콤팩트 조밀 비주기 궤도가 존재할 수 있다. 이 경우, ω + {\displaystyle \omega _{+}} -극한 집합은 원환면 전체가 된다. 푸앵카레-벤딕손 정리는 3차원 이상에서 성립하지 않는다. 3차원 이상에서는 로렌즈 방정식과 같이 야릇한 끌개가 존재할 수 있다. 푸앵카레-벤딕손 정리는 이산 시간 동적계에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 로지스틱 사상은 혼돈 현상을 보이지만, 1차원 계이다. 앙리 푸앵카레 가 1880년대에 제시하였지만, 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. 이후 1901년에 이바르 오토 벤딕손(스웨덴어: Ivar Otto Bendixson)이 엄밀한 증명을 제시하였다. 회전수 Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.  Poincaré, Henri (1880). “Sur les courbes définies par une équation différentielle”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 90: 673–675. JFM 12.0588.01.  Poincaré, Henri (1881). “Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle” (PDF). 《Journal de mathématiques pures et appliquées (série 3)》 (프랑스어) 7: 375–422. JFM 13.0591.01.  Poincaré, Henri (1882). “Sur les courbes définies par les équations différentielles”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 93: 951–952. JFM 13.0591.02.  Poincaré, Henri (1882). “Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (deuxième partie)” (PDF). 《Journal de mathématiques pures et appliquées (série 3)》 (프랑스어) 8: 251–296. JFM 14.0666.01.  Poincaré, Henri (1884). “Sur les courbes définies par les équations différentielles”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 98: 287–289. 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