애트우드 기계

애트우드 기계(Atwood machine)는 1784년에 조지 애트우드가 등가속도 운동에서 뉴턴의 운동 법칙을 증명하기 위해 고안한 실험 장치이다. 고전역학의 기본적 원리를 설명하는 수업 자료로 종종 사용된다. 이상적인 애트우드 기계는 질량 m 1 {\displaystyle m_{1}} , m 2 {\displaystyle m_{2}} 인 물체 두 개를 질량과 신축성을 무시할 수 있는 줄로 연결하여 질량을 무시할 수 있는 도르래에 걸어놓은 형태이다. m 1 {\displaystyle m_{1}} ＝ m 2 {\displaystyle m_{2}} 라면, 질량의 위치에 관계없이 기계는 역학적 평형을 이룬다. m 1 {\displaystyle m_{1}} ≠ m 2 {\displaystyle m_{2}} 라면, 두 질량은 일정한 가속도로 운동하게 된다. 힘을 분석하여 가속도의 방정식을 유도할 수 있다. 줄의 질량과 신축성, 도르래의 질량을 무시할 수 있다고 할 때, 이 계에서 고려해야 하는 힘은 장력( T {\displaystyle T} ), 두 물체의 무게( W 1 {\displaystyle W_{1}} 과 W 2 {\displaystyle W_{2}} ) 뿐이다. 가속도를 알아내기 위해 두 물체에 각각 작용하는 힘을 밝힐 필요가 있다. 뉴턴 제2법칙을 사용하여( m 1 {\displaystyle m_{1}} ＞ m 2 {\displaystyle m_{2}} 라고 기호 약속한다) 가속도( a {\displaystyle a} )를 구하기 위한 연립 방정식을 세울 수 있다. 가속도 a {\displaystyle a} 는 m 1 {\displaystyle m_{1}} 에서는 아래 방향이 양의 방향, m 2 {\displaystyle m_{2}} 에서는 위 방향이 양의 방향이라고 약속하자. m 1 {\displaystyle m_{1}} 과 m 2 {\displaystyle m_{2}} 의 무게는 각각 W 1 = m 1 g {\displaystyle W_{1}=m_{1}g} 와 W 2 = m 2 g {\displaystyle W_{2}=m_{2}g} 로 나타난다. m1에 작용하는 힘은 m 1 g − T = m 1 a {\displaystyle \;m_{1}g-T=m_{1}a} m2에 작용하는 힘은 T − m 2 g = m 2 a {\displaystyle \;T-m_{2}g=m_{2}a} 위의 두 방정식을 통째로 더하면 다음 식을 얻는다. m 1 g − m 2 g = m 1 a + m 2 a {\displaystyle \;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a} , 그러므로 가속도 식을 다음과 같이 얻을 수 있다. a = m 1 − m 2 m 1 + m 2 g {\displaystyle a={m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}g} 역으로, 물체들의 운동 시간을 측정하여 등가속도 운동식 d = 1 2 a t 2 {\displaystyle d={1 \over 2}at^{2}} 에 대입 계산함으로써 중력가속도 g {\displaystyle g} 를 구할 수도 있다. 라그랑주 역학에서 운동방정식을 유도할 때도 애트우드 기계가 사용되는 경우도 있다. 장력을 알아볼 때는, 앞에서 구한 가속도를 두 물체의 힘 방정식 중 어느 한 쪽에 대입하면 된다. a = m 1 − m 2 m 1 + m 2 g {\displaystyle a={m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}g} 예컨대 이것을 m 1 a = m 1 g − T {\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T} 에 대입하면, T = 2 g m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}} 를 얻는다. 이와 같은 방법으로 장력을 얻을 수 있다. m 1 {\displaystyle m_{1}} 과 m 2 {\displaystyle m_{2}} 의 질량 차 이가 매우 작다면, 반경 r {\displaystyle r} 인 도르래의 회전관성 I {\displaystyle I} 를 무시할 수 없다. 줄이 미끄러지지 않는 상황에서 도르래의 각가속도 α {\displaystyle \alpha } 는 다음과 같이 주어진다. α = a r {\displaystyle \alpha ={a \over r}} 이때 알짜 회전력 τ n e t {\displaystyle \tau _{net}} 는 다음과 같다. τ n e t = ( T 1 − T 2 ) r − τ f r i c t i o n = I α {\displaystyle \tau _{net}=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha } 매달린 물체들에 뉴턴 제2법칙을 적용한 것과 조합하면 다음과 같은 a {\displaystyle a} , T 1 {\displaystyle T_{1}} , T 2 {\displaystyle T_{2}} 를 얻는다. 가속도 a {\displaystyle a} 는 a = ( m 1 − m 2 ) − τ f r i c t i o n r g m 1 + m 2 + I r 2 g {\displaystyle a={{(m_{1}-m_{2})-{\tau _{friction} \over rg}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g} 줄의 m 1 {\displaystyle m_{1}} 에 가장 가까운 부분의 장력 T 1 {\displaystyle T_{1}} 은 T 1 = m 1 g ( 2 m 2 + I r 2 + τ f r i c t i o n r g ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} 줄의 m 2 {\displaystyle m_{2}} 에 가장 가까운 부분의 장력 T 2 {\displaystyle T_{2}} 는 T 2 = m 2 g ( 2 m 1 + I r 2 + τ f r i c t i o n r g ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} 줄의 마찰을 무시한다면(하지만 도르래의 관성과 도르래에 걸친 줄의 변형력은 무시할 수 없다), 다음과 같이 방정식을 간략화할 수 있다. 가속도 a {\displaystyle a} 는 a = ( m 1 − m 2 ) m 1 + m 2 + I r 2 g {\displaystyle a={{(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g} 줄의 m 1 {\displaystyle m_{1}} 에 가장 가까운 부분의 장력 T 1 {\displaystyle T_{1}} 은 T 1 = m 1 g ( 2 m 2 + I r 2 ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} 줄의 m 2 {\displaystyle m_{2}} 에 가장 가까운 부분의 장력 T 2 {\displaystyle T_{2}} 는 T 2 = m 2 g ( 2 m 1 + I r 2 ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} 캐터의 진자 흔들리는 애트우드 기계 Tipler, Paul A. (1991). 《Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version》. New York: Worth Publishers. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160. Goldstein, Herbert (1980). 《Classical Mechanics, second Edition》. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 애트우드 기계 Professor Greenslade's account on the Atwood Machine Archived 2015년 1월 19일 - 웨이백 머신 "Atwood's Machine" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.