룽게-쿠타 방법

수치 해석에서 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta方法, 영어: Runge–Kutta method)은 적분 방정식 중 초기값 문제를 푸는 방법 중 하나이다. 1900년 경 독일의 수학자 카를 룽게와 마르틴 빌헬름 쿠타가 개발하였다. 일반적으로 사용하는 룽게-쿠타 방법은 4차 룽게-쿠타 방법으로 보통 "RK4" 라고 쓴다. 별다른 수식어 없이 룽게-쿠타 방법을 쓴다고 말한다면 대체로 4차 룽게-쿠타 방법을 쓴다는 뜻이다. 다음과 같이 정의된 초기값 문제를 두자: y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.} y는 시간 t에 대한 미지의 함수이며, 우리가 근사하려는 것이다. y의 변화인 y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} 는 t와 y자신으로 이루어진 함수이고, 초기시간 t 0 {\displaystyle t_{0}} 에 대응하는 y의 초기값은 y 0 {\displaystyle y_{0}} 이며, 함수 f와 t 0 {\displaystyle t_{0}} , y 0 {\displaystyle y_{0}} 의 값은 주어져 있다. 이제 h > 0 인 단계 크기로 다음을 정의한다. y n + 1 = y n + 1 6 h ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) t n + 1 = t n + h {\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {1}{6}}h\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}} n = 0, 1, 2, 3, ... 에서, 다음을 사용한다. k 1 = f ( t n , y n ) k 2 = f ( t n + 1 2 h , y n + 1 2 h k 1 ) k 3 = f ( t n + 1 2 h , y n + 1 2 h k 2 ) k 4 = f ( t n + h , y n + h k 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n})\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hk_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hk_{2})\\k_{4}&=f(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3})\end{aligned}}} 여기서 y n + 1 {\displaystyle {y}_{n+1}} 이란 y ( t n + 1 ) {\displaystyle y(t_{n+1})} 의 RK4 근사 항이며, 다음 단계의 값( y n + 1 {\displaystyle {y}_{n+1}} )은 현재 단계의 값( y n {\displaystyle y_{n}} )에 네 구간의 크기 h의 증분치들의 가중평균을 더한 값이다. k 1 {\displaystyle k_{1}} 은 구간의 시작부분의 기울기에 의한 증분값이며, y {\displaystyle y} 를 사용한다.(오일러 방법) k 2 {\displaystyle k_{2}} 는 구간의 중간의 기울기에 의한 증분값이며, y + h 2 k 1 {\displaystyle y+{\frac {h}{2}}k_{1}} 을 사용한다. k 3 {\displaystyle k_{3}} 는 마찬가지로 구간의 중간의 기울기에 의한 증분값이나, y + h 2 k 2 {\displaystyle y+{\frac {h}{2}}k_{2}} 를 사용한다. k 4 {\displaystyle k_{4}} 은 구간의 끝의 기울기에 의한 증분값이며, y + h k 3 {\displaystyle y+hk_{3}} 를 사용한다. 네 증분을 평균을 낼 때, 중간 부분에서 더 많은 무게의 증분이 더해진다. 만약 함수 f {\displaystyle f} 가 y {\displaystyle y} 에 대하여 독립적이라면, 미분방정식은 단순한 적분이 되어 RK4는 심프슨 공식이 된다. RK4 방법은 4차 해법이다. 이는 각 단계에서의 오류는 점근 표기법으로 O ( h 5 ) {\displaystyle O(h^{5})} , 총 누적 오류는 O ( h 4 ) {\displaystyle O(h^{4})} 라는 것을 의미한다. 양함수적(명시적, explicit) 룽게-쿠타 방법은 위에서 설명된 RK4 방법의 일반화이다. 이것은 다음과 같이 주어진다. y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 s b i k i {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}} 이때 각 k i {\displaystyle k_{i}} 는 다음과 같다. k 1 = f ( t n , y n ) , k 2 = f ( t n + c 2 h , y n + h ( a 21 k 1 ) ) , k 3 = f ( t n + c 3 h , y n + h ( a 31 k 1 + a 32 k 2 ) ) , ⋯ k s = f ( t n + c s h , y n + h ( a s 1 k 1 + a s 2 k 2 + ⋯ + a s , s − 1 k s − 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),\\&\cdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+h(a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1})).\end{aligned}}} 특정한 방법을 지정하기 위해서는, 정수 s (각 단계들의 수) 가 주어져야 하고, 각각의 계수들 aij (1 ≤ i < j ≤ s), bi (i = 1, 2, ..., s), ci (i=2, 3, ..., s) 가 필요하다. 행렬 [aij]는 룽게-쿠타 행렬이며, bi 와ci 는 알려져 있듯이 무게 와 마디이다. 이 값들은 부처 태블로(Butcher tableau)이라는 기억장치 내에서 배열되어있다. 존 찰스 부처의 이름을 딴 것이다. 0 c 2 a 21 c 3 a 31 a 32 ⋮ ⋮ ⋱ c s a s 1 a s 2 ⋯ a s , s − 1 b 1 b 2 ⋯ b s − 1 b s {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\c_{2}&a_{21}\\c_{3}&a_{31}&a_{32}\\\vdots &\vdots &&\ddots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\cdots &a_{s,s-1}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{s-1}&b_{s}\\\end{array}}} 룽게-쿠타 방법은 다음을 만족할 때 일관성이 있다. ∑ j = 1 i − 1 a i j = c i   f o r   i = 2 , … , s . {\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ for\ i=2,\dots ,s.} 만약 하나가 특정 차수 p,즉 지역 절단 오차가 O ( h p + 1 ) {\displaystyle O(h^{p+1})} 이 되도록 이 방법이 요구되면 거기에는 또한 부수적인 요구사항이 있다. 이것은 절단오차의 정의에 의해서 나타난다. 예를 들어 2차 방법은 b 1 + b 2 = 1 {\displaystyle b_{1}+b_{2}=1} , b 2 c 2 = 1 / 2 {\displaystyle b_{2}c_{2}=1/2} , a 21 = c 2 {\displaystyle a_{21}=c_{2}} 일 때 차수가 2이다. 일반적으로, s단계의 explicit 룽게-쿠타 방법이 p의 차수를 가진다면, s ≥ p {\displaystyle s\geq p} 이고, 만약 p ≥ 5 {\displaystyle p\geq 5} 일 때는 s > p {\displaystyle s>p} 이다. s단계 explicit 룽게-쿠타 방법이 열린문제에서 p의 차수를 가지기 위해서는 최소한의 s가 필요하다. 몇 개의 알려진 값들은 다음과 같다. p 1 2 3 4 5 6 7 8 min s 1 2 3 4 6 7 9 11 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}} RK4는 이 방법에 맞아들어가며, 그 테이블은 다음과 같다. 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 1 0 0 1 1 / 6 1 / 3 1 / 3 1 / 6 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\1/2&1/2\\1/2&0&1/2\\1&0&0&1\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\end{array}}} 이 룽게-쿠타 방법에서의 약간의 변형을 준 방법은 쿠타에 의해서 연구되었고 3/8법칙 이라고 불린다. 이 방법의 가장 큰 장점은 다른 일반적인 방법들보다 오차계수가 작은 것이나, 이 방법은 매 단계마다 조금 더 많은 FLOP(부동소수점 연산)들이 필요하다. 그 Butcher 테이블은 다음과 같다. 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3 − 1 / 3 1 1 1 − 1 1 1 / 8 3 / 8 3 / 8 1 / 8 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\1/3&1/3\\2/3&-1/3&1\\1&1&-1&1\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\end{array}}} 그러나, 가장 간단한 룽게-쿠타 방법은 (전방)오일러 방법이다. 공식은 y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})} 이다. 이것은 오직 한 단계 뿐인 explicit 룽게-쿠타 방법이다. 대응되는 테이블은 다음과 같다. 0 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\\hline &1\end{array}}} 간단한 예로 두 단계의 2차 방법인 중간점 방법을 보면 다음과 같다. y n + 1 = y n + h f ( t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f ( t n , y n ) ) . {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf{\biggl (}t_{n}+{\frac {1}{2}}h,y_{n}+{\frac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}){\biggr )}.} 대응되는 테이블은 다음과 같다. 0 1 / 2 1 / 2 0 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\1/2&1/2\\\hline &0&1\\\end{array}}} 두 단계의 2차 룽게-쿠타 방법은 중간점 방법 밖에 없는 것은 아니다. 이런 종류의 방법은 α에 의해 다음과 같이 매개변수화되어 있다. y n + 1 = y n + h ( ( 1 − 1 2 α ) f ( t n , y n ) + 1 2 α f ( t n + α h , y n + α h f ( t n , y n ) ) ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h{\Biggl (}{\biggl (}1-{\frac {1}{2\alpha }}{\biggr )}f(t_{n},y_{n})+{\frac {1}{2\alpha }}f{\bigl (}t_{n}+\alpha h,y_{n}+\alpha hf(t_{n},y_{n}){\bigr )}{\Biggr )}} 그 Butcher 테이블은 다음과 같다. 0 α α ( 1 − 1 2 α ) 1 2 α {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\\alpha &\alpha \\\hline &(1-{\frac {1}{2\alpha }})&{\frac {1}{2\alpha }}\\\end{array}}} 이 때 α = 1 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}} 일 때는 중간점 방법이 되며, α = 1 {\displaystyle \alpha =1} 일 때는 호인의 방법이 된다. 예를 들어 α=2/3인 두 단계의 2차 룽게 쿠타 방법을 보자, 이것은 라슬톤 방법 이라고 알려져있다. 테이블은 다음과 같이 주어져 있다. 0 2 / 3 2 / 3 1 / 4 3 / 4 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\2/3&2/3\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}} 대응되는 등식은 다음과 같다. k 1 = f ( t n , y n ) , k 2 = f ( t n + 2 3 h , y n + 2 3 h k 1 ) , y n + 1 = y n + h ( 1 4 k 1 + 3 4 k 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\frac {2}{3}}h,y_{n}+{\frac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h{\Bigl (}{\frac {1}{4}}k_{1}+{\frac {3}{4}}k_{2}{\Bigr )}.\end{aligned}}} 다음의 초기치 문제를 풀기 위하여 이 방법을 사용한다. y ′ = tan ⁡ ( y ) + 1 , y 0 = 1 , t ∈ [ 1 , 1.1 ] {\displaystyle y^{\prime }=\tan(y)+1,\quad y_{0}=1,t\in [1,1.1]} h = 0.025의 크기로 구간을 잡으면 이 방법은 네 단계가 필요하다. 이 방법의 결과는 다음과 같다: t 0 = 1 : y 0 = 1 t 1 = 1.025 : y 0 = 1 k 1 = 2.557407725 k 2 = f ( t 0 + 2 3 h , y 0 + 2 3 h k 1 ) = 2.713898184 y 1 = y 0 + h ( 1 4 k 1 + 3 4 k 2 ) = 1.066869388 _ t 2 = 1.05 : y 1 = 1.066869388   k 1 = 2.813524695 k 2 = f ( t 1 + 2 3 h , y 1 + 2 3 h k 1 ) y 2 = y 1 + h ( 1 4 k 1 + 3 4 k 2 ) = 1.141332181 _ t 3 = 1.075 : y 2 = 1.141332181   k 1 = 3.183536647 k 2 = f ( t 2 + 2 3 h , y 2 + 2 3 h k 1 ) y 3 = y 2 + h ( 1 4 k 1 + 3 4 k 2 ) = 1.227417567 _ t 4 = 1.1 : y 3 = 1.227417567   k 1 = 3.796866512 k 2 = f ( t 3 + 2 3 h , y 3 + 2 3 h k 1 ) y 4 = y 3 + h ( 1 4 k 1 + 3 4 k 2 ) = 1.335079087 _ . {\displaystyle {\begin{array}{l}t_{0}=1:\\&y_{0}=1\\t_{1}=1.025:\\&y_{0}=1\qquad \qquad \qquad k_{1}=2.557407725\quad k_{2}=f(t_{0}+{\frac {2}{3}}h,y_{0}+{\frac {2}{3}}hk_{1})=2.713898184\\&y_{1}=y_{0}+h({\frac {1}{4}}k_{1}+{\frac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.066869388}}\\t_{2}=1.05:\\&y_{1}=1.066869388\quad \ k_{1}=2.813524695\quad k_{2}=f(t_{1}+{\frac {2}{3}}h,y_{1}+{\frac {2}{3}}hk_{1})\\&y_{2}=y_{1}+h({\frac {1}{4}}k_{1}+{\frac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.141332181}}\\t_{3}=1.075:\\&y_{2}=1.141332181\quad \ k_{1}=3.183536647\quad k_{2}=f(t_{2}+{\frac {2}{3}}h,y_{2}+{\frac {2}{3}}hk_{1})\\&y_{3}=y_{2}+h({\frac {1}{4}}k_{1}+{\frac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.227417567}}\\t_{4}=1.1:\\&y_{3}=1.227417567\quad \ k_{1}=3.796866512\quad k_{2}=f(t_{3}+{\frac {2}{3}}h,y_{3}+{\frac {2}{3}}hk_{1})\\&y_{4}=y_{3}+h({\frac {1}{4}}k_{1}+{\frac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.335079087}}.\\\end{array}}} 수치해석적 결과는 밑줄친 값들이다. Adaptive한 방법은 단일 룽게-쿠타 방법의 지역적인 절단 오차의 추정치를 찾기 위해 고안되었다. 이것은 테이블에서 차수가 p {\displaystyle p} 와 p − 1 {\displaystyle p-1} 인 두 방법들을 가져서 이루어졌다. 낮은 차수의 단계는 다음과 같이 주어진다. y n + 1 ∗ = y n + h ∑ i = 1 s b i ∗ k i , {\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},} k i {\displaystyle k_{i}} 가 높은 차원의 방법에서도 같다면 오차는 다음과 같다. e n + 1 = y n + 1 − y n + 1 ∗ = h ∑ i = 1 s ( b 1 − b i ∗ ) k i , {\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{1}-b_{i}^{*})k_{i},} 오차는 O ( h p ) {\displaystyle O(h^{p})} 이다. 이런 종류의 Butcher 테이블은 b i 8 {\displaystyle b_{i}^{8}} 의 값을 얻기 위하여 확장 되었다. 0 c 2 a 21 c 3 a 31 a 32 ⋮ ⋮ ⋱ c s a s 1 a s 2 ⋯ a s , s − 1 b 1 b 2 ⋯ b s − 1 b s b 1 ∗ b 2 ∗ ⋯ b s − 1 ∗ b s ∗ {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\c_{2}&a_{21}\\c_{3}&a_{31}&a_{32}\\\vdots &\vdots &&\ddots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\cdots &a_{s,s-1}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{s-1}&b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\cdots &b_{s-1}^{*}&b_{s}^{*}\\\end{array}}} 룽게-쿠타-펠베르크 방법은 차수가 5와 4인 두 방법을 가지고 있다. 그 확장된 부처 태블로는 다음과 같다: 1 1 / 4 1 / 4 3 / 8 3 / 32 9 / 32 12 / 13 1932 / 2197 − 7200 / 2197 7296 / 2197 1 439 / 219 − 8 3680 / 513 − 845 / 4104 1 / 2 − 8 / 27 2 − 3544 / 2565 1859 / 4104 − 11 / 40 16 / 135 0 6656 / 12825 28561 / 56430 − 9 / 50 2 / 55 25 / 216 0 1408 / 2565 2197 / 4104 − 1 / 5 0 {\displaystyle {\begin{array}{l|ll}1\\1/4&1/4\\3/8&3/32&9/32\\12/13&1932/2197&-7200/2197&7296/2197\\1&439/219&-8&3680/513&-845/4104\\1/2&-8/27&2&-3544/2565&1859/4104&-11/40\\\hline &16/135&0&6656/12825&28561/56430&-9/50&2/55\\&25/216&0&1408/2565&2197/4104&-1/5&0\\\end{array}}} 하지만 가장 간단한 adaptive 룽게-쿠타 방법은 2차인 호인의 방법과 1차인 오일러 방법과 결합되어 있다. 그 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다: 0 1 1 1 / 2 1 / 2 1 0 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}} 오차 추정은 단계 크기를 제어하기 위해 사용된다. 다른 adaptive 룽게-쿠타 방법은 Bogacki–Shampine 방법(3과 2의 차수), Cash–Karp 방법과 Dormand–Prince 방법(둘 다 5,4의 차수)이 있다. 위에서 언급된 모든 룽게-쿠타 방법들은 모두 explict 방법들이다. explict 룽게-쿠타 방법은 일반적으로 stiff equation에는 맞지 않는다. 왜냐하면 그들의 절대적인 안정성의 범위가 작기 때문이다; 특히, 그 식들은 한정되어 있다. 이 문제는 편미분방정식의 솔루션에서 특히 중요하다. explict 룽게-쿠타 방법의 불안정성은 음함수적(암시적, implicit)한 방법을 만들게 되었다. implicit 룽게-쿠타 방법은 다음의 형태를 가진다. y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 s b i k i {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}} 이 때, k i = f ( t n + c i h , y n + h ∑ j = 1 s a i j k j ) , i = 1 , … , s . {\displaystyle k_{i}=f{\Biggl (}t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}{\Biggr )},\quad i=1,\dots ,s.} explict 방법간의 차이는 explict 방법은 시그마의 위에 i - 1이 들어간다는 것이다. 이것은 Butcher 테이블에서도 나타난다: explict 방법의 계수들의 행렬은 하 삼각 행렬이다. implicit 방법은 시그마 위에 s가 올라가고 계수들의 행렬은 다음과 같이 삼각행렬이 아니다. c 1 a 11 a 12 ⋯ a 1 s c 2 a 21 a 22 ⋯ a 2 s ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c s a s 1 a s 2 ⋯ a s s b 1 b 2 ⋯ b s b 1 ∗ b 2 ∗ ⋯ b s ∗ = c A b T {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\cdots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\cdots &b_{s}^{*}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}c&A\\\hline &b^{T}\\\end{array}}} 이 차이는 매 단계마다, 대수적인 방정식의 시스템을 풀어야 한다는 점이다. 이것은 계산비용을 상당히 증가시킨다. m개의 성분이 있는 미분방정식을 s단계의 방법을 사용하면 대수적인 방정식은 ms개의 성분이 있다.이것은 implict한 선형 다단계 방법(ODE들의 다른 방법)과 대조된다: implicit한 s단계의 선형 다단계 방법은 m개의 성분을 가진 방정식을 풀기 위해서 단계수가 늘어나도 시스템의 크기가 늘어나지 않는다 가장 간단한 implicit 룽게-쿠타 방법은 역 오일러 방법이다: y n + 1 = y n + h f ( t n + h , y n + 1 ) . {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n}+h,y_{n+1}).} Butcher 테이블은 다음과 같다. 1 1 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}} 이 Butcher 테이블에 대응하는 식은 다음과 같다. k 1 = f ( t n + h , y n + h k 1 ) a n d y n + 1 = y n + h k 1 {\displaystyle k_{1}=f(t_{n}+h,y_{n}+hk_{1})\quad and\quad y_{n+1}=y_{n}+hk_{1}} 이것은 위에서 나온 역 오일러 방법의 형태로 바꿀 수 있다. 다른 implicit 룽게-쿠타 방법의 예는 사다리꼴 법칙이다. 그 Butcher 테이블은 다음과 같다. 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&1&0\\\end{array}}} {\displaystyle } 사다리꼴 법칙은 배열 방법이다. 모든 배열 방법들은 모두 implicit 룽게-쿠타 방법이지만 모든 implicit룽게-쿠타 방법은 배열 방법이 아니다. Gauss-Legendre 방법은 가우스 구적법에 기반한 배열 방법이다. s단계의 Gauss-Legendre 방법은 차수가 2s이다(따라서 임의의 높은 차수의 방법들이 구성될 수 있다).두 단계의 방법(차수는 4이다)의 Buther 테이블은 다음과 같다: 1 2 − 1 6 3 1 4 1 4 − 1 6 3 1 2 + 1 6 3 1 4 + 1 6 3 1 4 1 2 1 2 1 2 + 1 2 3 1 2 − 1 2 3 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}} explicit한 룽게-쿠타 방법에 비교하여 implicit 방법의 장점은 안정도가 특히 딱딱한 방정식에서 높다는 것이다. 다음의 선형 방정식 y'=λy를 고려해 보자. 룽게-쿠타 방법을 가용하면 이 식은 다음 y n + 1 = r ( h λ ) y n {\displaystyle y_{n+1}=r(h\lambda )y_{n}} 의 반복으로 줄며, r은 다음과 같다. r ( z ) = 1 + z b T ( I − z A ) − 1 e = det ( I − z A + z e b T ) det ( I − z A ) , {\displaystyle r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},} 여기서 e는 1들의 벡터를 나타낸다. 함수 r은 안정도 함수라고 불린다. 만약 이 방법이 s단계라면 r은 차수 s의 두 다항식의 몫의 형태를 띈다. explicit 방법은 순상삼각행렬인 행렬 A를 가진다. 이것은 det(I-zA) = 1이라는 것을 의미하며 그 안정도 함수는 다항함수이다. 위의 선형방정식은 | r ( z ) | < 1 {\displaystyle |r(z)|<1} 이고 z = h λ {\displaystyle z=h\lambda } 일 때, 수치적 해법은 0이 된다. 이런z들의 집합은 절대 안정성의 영역이라고 부른다. 특히 이 방법은 모든 실수부가 음인 z가 절대 안정성의 영역 안에 있을 때 A-안정하다고 불린다. explicit 룽게-쿠타 방법의 안정도 함수는 다항함수이기 때문에 explicit 룽게 쿠타 방법은 A-안정할 수 없다. C/C++ 코드 //C/C++ code of 4th order Runge-Kutta method # include<stdio.h> # include<conio.h> # include<math.h> float f(float t,float y) { return(t*y+1); } void main() { float t0,y0,t1,y1,h,i,at,k1,k2,k3,k4; clrscr(); printf("\n Enter Value Of t0 and y0"); scanf("%f %f",&t0,&y0); printf("\n Enter Value of h"); scanf("%f",&h); printf("\n Enter Final Value of t"); scanf("%f",&at); printf("\nt\ty"); printf("\n_______________________________________\n"); do { k1=h*f(t0,y0); k2=h*f(t0+h/2,y0+k1/2); k3=h*f(t0+h/2,y0+k2/2); k4=h*f(t0+h,y0+k3); y1=y0+h/6*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4); t1=t0+h; printf("\n%.4f\t%.4f",t1,y1); t0=t1; y0=y1; }while(t0<at); getch(); } Python #Program Of Runge-Kutta 4th Order from math import * def f(t,y): return sin(y**t) def main(): t0,y0=input("initial time:"),input("initial value:") h=input("interval size:") t=input("terminal time:") print"t\ty\n",'_'*16 while t0<t: k1=f(t0,y0) k2=f(t0+h/2.,y0+(k1*h)/2.) k3=f(t0+h/2.,y0+(k2*h)/2.) k4=f(t0+h,y0+(k3*h)) y1,t1=y0+h/6.*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4),t0+h print"%.4f\t%.4f"%(t1,y1) t0,y0=t1,y1 main() “Runge-Kutta method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Runge–Kutta 4th-Order Method Tracker Component Library Implementation in Matlab — Implements 32 embedded Runge Kutta algorithms in RungeKStep, 24 embedded Runge-Kutta Nyström algorithms in RungeKNystroemSStep and 4 general Runge-Kutta Nyström algorithms in RungeKNystroemGStep.