세르 쌍대성

대수기하학에서 세르 쌍대성(Serre雙對性, 영어: Serre duality)은 복소다양체의 코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다. 다음이 주어졌다고 하자. 복소수 n {\displaystyle n} 차원 (실수 2 n {\displaystyle 2n} 차원) 콤팩트 에르미트 다양체 M {\displaystyle M} 그렇다면, 호지 쌍대에 따라서 ∗ : Ω p , q ( M ) → Ω n − q , n − p ( M ) {\displaystyle *\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{n-q,n-p}(M)} ∗ ∘ ∗ = ( − ) ( p + q ) ( 2 n − p − q ) = ( − ) p + q {\displaystyle *\circ *=(-)^{(p+q)(2n-p-q)}=(-)^{p+q}} 가 존재한다. 이는 복소수 선형 변환이다. 또한, 복소켤레에 따라서 ( − ) ¯ : Ω p , q ( M ) → Ω q , p ( M ) {\displaystyle {\overline {(-)}}\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{q,p}(M)} ( − ) ¯ ∘ ( − ) ¯ = 1 {\displaystyle {\overline {(-)}}\circ {\overline {(-)}}=1} 이 존재한다. 이는 실수 선형 변환이지만, 복소수 반선형 변환이다. 이 두 사상은 서로 가환한다. Ω p , q ( M ) → ∗ Ω n − q , n − p ( M ) ( − ) ¯ ↓ ( − ) ¯ ( − ) ¯ ↓ ( − ) ¯ Ω q , p ( M ) → ∗ Ω n − p , n − q ( M ) {\displaystyle {\begin{matrix}\Omega ^{p,q}(M)&{\overset {*}{\to }}&\Omega ^{n-q,n-p}(M)\\{\scriptstyle {\overline {(-)}}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\overline {(-)}}}&&{\scriptstyle \color {White}{\overline {(-)}}}\downarrow {\scriptstyle {\overline {(-)}}}\\\Omega ^{q,p}(M)&{\underset {*}{\to }}&\Omega ^{n-p,n-q}(M)\end{matrix}}} 이제, ⟨ − , − ⟩ : Ω p , q ( M ) × Ω p , q ↦ C {\displaystyle \langle -,-\rangle \colon \Omega ^{p,q}(M)\times \Omega ^{p,q}\mapsto \mathbb {C} } ⟨ α , β ⟩ ↦ ∫ M ∗ α ¯ ∧ β {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \mapsto \int _{M}*{\bar {\alpha }}\wedge \beta } 를 정의하자. 이는 Ω p , q ( M ) {\displaystyle \Omega ^{p,q}(M)} 위의 에르미트 형식을 정의한다. ⟨ z α , w β ⟩ = z ¯ w ⟨ α , β ⟩ ∀ z , w ∈ C {\displaystyle \langle z\alpha ,w\beta \rangle ={\bar {z}}w\langle \alpha ,\beta \rangle \qquad \forall z,w\in \mathbb {C} } ⟨ α , β ⟩ = ⟨ β , α ⟩ ¯ {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle ={\overline {\langle \beta ,\alpha \rangle }}} 이는 일반적으로 양의 정부호가 아니지만, 돌보 코호몰로지로의 몫을 취하면 이는 양의 정부호가 된다. 특히, 이 경우 코호몰로지의 동형 H p , q ⁡ ( M ) ≅ H n − p , n − q ⁡ ( M ) ∗ {\displaystyle \operatorname {H} ^{p,q}(M)\cong \operatorname {H} ^{n-p,n-q}(M)^{*}} 이 존재한다. 이를 세르 쌍대성이라고 한다. 보다 일반적으로, 정칙 벡터 다발의 계수를 생각할 수 있다. 즉, 다음이 주어졌다고 하자. M {\displaystyle M} 위의 유한 차원 정칙 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 그렇다면, 그 쌍대 벡터 다발 E ∗ ↠ M {\displaystyle E^{*}\twoheadrightarrow M} 을 정의할 수 있다. 이 경우, 마찬가지로 Ω q ( M ; E ) × Ω n − q ( M ; Ω n ⊗ C E ∗ ) → C {\displaystyle \Omega ^{q}(M;E)\times \Omega ^{n-q}(M;\Omega ^{n}\otimes _{\mathbb {C} }E^{*})\to \mathbb {C} } ( α , β ) ↦ ∫ M α ∧ β {\displaystyle (\alpha ,\beta )\mapsto \int _{M}\alpha \wedge \beta } 가 존재한다. 여기서 Ω n = ⋀ n T ∗ M {\displaystyle \Omega ^{n}=\bigwedge ^{n}\mathrm {T} ^{*}M} 은 M {\displaystyle M} 의 표준 선다발이다. 이는 복소수 쌍선형 함수를 이루며, 마찬가지로 층 코호몰로지를 취하면 비퇴화이다. 즉, 복소수 벡터 공간의 동형 사상 H q ⁡ ( M ; E ) ∗ ≅ Ω n − q ( M ; Ω n ⊗ C E ∗ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{q}(M;E)^{*}\cong \Omega ^{n-q}(M;\Omega ^{n}\otimes _{\mathbb {C} }E^{*})} 이 존재한다. 이를 E {\displaystyle E} 계수의 세르 쌍대성이라고 한다. 푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 기본류 [ M ] {\displaystyle [M]} 에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 K {\displaystyle K} 에 대하여 축약시켜 얻는다. 더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 대수적으로 닫힌 체 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 위의 순수하게 n {\displaystyle n} 차원 사영 스킴 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 의 사영 공간으로의 매장 X ↪ P k m {\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{m}} . 그 여차원이 r = m − n {\displaystyle r=m-n} 이라고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 쌍대화층(영어: dualizing sheaf) ω X = Ext _ O P k m r ( O X , ω P m ) {\displaystyle \omega _{X}={\underline {\operatorname {Ext} }}_{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{k}^{m}}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{m}})} 을 정의할 수 있다. 이에 따라서, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다. Ext n − q ⁡ ( F , ω X ) ≅ H q ⁡ ( M , F ) ∗ {\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n-q}({\mathcal {F}},\omega _{X})\cong \operatorname {H} ^{q}(M,{\mathcal {F}})^{*}} 여기서 H n − q ⁡ ∗ = hom ⁡ ( H n − q , k ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n-q}{}^{*}=\hom(H^{n-q},k)} 는 쌍대 공간이고, Ext는 Ext 함자다. Σ {\displaystyle \Sigma } 가 콤팩트 리만 곡면이라고 하고, L ↠ Σ {\displaystyle L\twoheadrightarrow \Sigma } 이 그 위의 정칙 선다발이라고 하자. 그렇다면, 이 경우 H i ⁡ ( Σ ; L ) = 0 ∀ i ≥ 2 {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\Sigma ;L)=0\qquad \forall i\geq 2} 이며, 세르 쌍대성에 따라서 H 1 ⁡ ( Σ ; L ) ≅ H 0 ⁡ ( Σ ; K Σ ⊗ C L − 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ;L)\cong \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;K_{\Sigma }\otimes _{\mathbb {C} }L^{-1})} H 0 ⁡ ( Σ ; L ) ≅ H 1 ⁡ ( Σ ; K Σ ⊗ C L − 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;L)\cong \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ;K_{\Sigma }\otimes _{\mathbb {C} }L^{-1})} 이다. 여기서 K Σ = T ∗ Σ {\displaystyle K_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{*}\Sigma } 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 표준 선다발이다. 칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다. h p , q = h p , n − q {\displaystyle h^{p,q}=h^{p,n-q}} 여기서 h p , q = dim C ⁡ H q ⁡ ( M , Ω p ) {\displaystyle h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p})} 는 호지 수이다. 푸앵카레 쌍대성 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  “Duality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Serre duality”. 《nLab》 (영어).  Siegel, Charles (2008년 5월 29일). “Serre duality”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).