아인슈타인 다양체

미분기하학에서 아인슈타인 다양체(Einstein多樣體, 영어: Einstein manifold)는 리치 곡률 텐서가 계량 텐서와 비례하는 준 리만 다양체다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 주어졌을 때, 그 리치 곡률 Ric {\displaystyle \operatorname {Ric} } 을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)차 텐서장이다. 만약 다음 조건을 만족시키는 상수 k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } 가 존재한다면, ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 를 아인슈타인 다양체라고 한다. Ric μ ν = k g μ ν {\displaystyle \operatorname {Ric} _{\mu \nu }=kg_{\mu \nu }} 여기서 물론 k = ( g μ ν Ric μ ν ) / ( dim ⁡ M ) = ( tr ⁡ Ric ) / ( dim ⁡ M ) {\displaystyle k=(g^{\mu \nu }\operatorname {Ric} _{\mu \nu })/(\dim M)=(\operatorname {tr} \operatorname {Ric} )/(\dim M)} 이다. 즉, 만약 리치 곡률 텐서에서 대각합 성분을 제거한 텐서 R i c ~ = Ric − 1 dim ⁡ M ( tr ⁡ Ric ) g {\displaystyle \operatorname {\widetilde {Ric}} =\operatorname {Ric} -{\frac {1}{\dim M}}(\operatorname {tr} \operatorname {Ric} )g} 를 정의한다면, 다양체가 아인슈타인 다양체일 필요 충분 조건은 무대각합 리치 곡률 텐서가 0인 것이다. R i c ~ = 0 {\displaystyle \operatorname {\widetilde {Ric}} =0} 켈러 다양체나 사사키 다양체가 위 조건을 만족시키는 경우, 켈러-아인슈타인 다양체 또는 사사키-아인슈타인 다양체라고 부른다. 임의의 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 에서, 국소적으로 조화 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 함수 x 1 , … , x n {\displaystyle x^{1},\dotsc ,x^{n}} 에 대하여 Δ x i = 0 {\displaystyle \Delta x^{i}=0} 이다. (여기서 Δ {\displaystyle \Delta } 는 라플라스-벨트라미 연산자이다.) 이 좌표계에서 진공 아인슈타인 방정식은 − 1 2 Δ g i j + Q ( g , ∂ g ) = k g i j {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\Delta g_{ij}+Q(g,\partial g)=kg_{ij}} 의 꼴이며, Q {\displaystyle Q} 는 g {\displaystyle g} 와 ∂ g {\displaystyle \partial g} 에 대한 2차 형식이다. 리만 계량이 양의 정부호라면, 이는 타원형 편미분 방정식이므로, 그 해는 매끄러운 함수이다.:§2 임의의 콤팩트 아인슈타인 리만 다양체에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다. 오일러 지표가 음수가 아니다. 구체적으로, 2차 특이 호몰로지의 교차 형식의 부호수가 τ {\displaystyle \tau } 이며, 오일러 지표가 χ {\displaystyle \chi } 라면, 다음과 같은 부등식이 성립한다. | τ | ≤ 2 3 χ {\displaystyle |\tau |\leq {\frac {2}{3}}\chi } 일반 상대성 이론에서, 시공간의 차원이 3 이상일 때, 우주 상수 Λ {\displaystyle \Lambda } 를 가진 진공 해는 아인슈타인 다양체에 해당한다. 물질의 에너지-운동량 텐서가 0인 경우, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다. R μ ν − 1 2 g μ ν g ρ σ R ρ σ + g μ ν Λ = 0 {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }g^{\rho \sigma }R_{\rho \sigma }+g_{\mu \nu }\Lambda =0} 따라서 R μ ν = 2 Λ n − 2 g μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {2\Lambda }{n-2}}g_{\mu \nu }} 임을 알 수 있다. 여기서 n = dim ⁡ M {\displaystyle n=\dim M} (시공간의 차원)이다. 즉, n > 2 {\displaystyle n>2} 인 경우, 일반 상대성 이론에서의 진공은 k = 2 Λ / ( n − 2 ) {\displaystyle k=2\Lambda /(n-2)} 인 준 리만 아인슈타인 다양체를 이룬다. 모든 1차원 준 리만 다양체는 (리치 곡률 텐서가 0이므로) 아인슈타인 다양체이다. 모든 2차원 준 리만 다양체는 아인슈타인 다양체이다. 이 경우, k {\displaystyle k} 는 가우스 곡률이다. 초구와 평면, 쌍곡공간 모두 아인슈타인 다양체다. 마찬가지로, 로런츠 계량 부호수에서는 더 시터르 공간과 민코프스키 공간, 반 더 시터르 공간 모두 아인슈타인 다양체다. 푸비니-슈투디 계량을 갖춘 복소수 사영 공간은 아인슈타인 다양체다. 모든 사원수 켈러 다양체는 아인슈타인 다양체다. 또한, 칼라비-야우 다양체나 초켈러 다양체는 (리치 곡률이 0이므로) k = 0 {\displaystyle k=0} 인 아인슈타인 다양체다. 다음과 같은 다양체 위에는 임의의 양의 정부호 리만 계량을 주더라도 아인슈타인 다양체로 만들 수 없다. S 1 × S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{2}} :§4 S 1 × S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{3}} :435 T 4 # T 4 {\displaystyle \mathbb {T} ^{4}\#\mathbb {T} ^{4}} (두 4차원 원환면의 연결합):435 C P 2 # ⋯ # C P 2 ⏟ n {\displaystyle \underbrace {\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}\#\dotsb \#\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}} _{n}} , n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} :436 Besse, Arthur L. (1987). 《Einstein Manifolds》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer. doi:10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 978-3-540-74120-6. ISSN 1431-0821.  Anderson, T. “A survey of Einstein metrics on 4-manifolds” (영어). arXiv:0810.4830.  Sambusetti, Andrea. “Einstein manifolds and obstructions to the existence of Einstein metrics” (PDF) (영어). 2019년 11월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 11월 17일에 확인함.  Hitchin, Nigel (1974). “Compact four-dimensional Einstein manifolds”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 9 (3): 435–441. doi:10.4310/jdg/1214432419.  “Einstein manifold”. 《nLab》 (영어).