디니 정리

해석학에서, 디니 정리(Dini's theorem)는 콤팩트 공간 위에 정의된 실수 값 연속 함수들의 단조수열이 연속 함수로 점별 수렴한다면, 균등 수렴한다는 정리이다. K {\displaystyle K} 에서 정의된 실함수열 { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} 이 다음 조건들을 만족한다고 하자. K {\displaystyle K} 는 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리에 의해 K {\displaystyle K} 는 유계인 닫힌집합이다.) { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} 은 단조(즉, 증가거나 감소)인 연속함수열이다. (i.e., ∀ x ∈ K , ∀ n ∈ N , f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) {\displaystyle \forall x\in K,\forall n\in \mathbb {N} ,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)} ∨ {\displaystyle \lor } f n ( x ) ≥ f n + 1 ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\geq f_{n+1}(x)} ) f n {\displaystyle f_{n}} 이 K {\displaystyle K} 에서 연속인 (극한)함수 f : K → R {\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} } 로 점별 수렴한다. (i.e, ∃ {\displaystyle \exists } continuous function f : K → R {\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} } such that f n → f {\displaystyle f_{n}\rightarrow f} on K {\displaystyle K} ) 그렇다면, { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} 이 K {\displaystyle K} 에서 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다. 즉, f n ⇉ f {\textstyle f_{n}\rightrightarrows f} on K {\displaystyle K} 이다. 일반성을 잃지 않고, { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} 이 증가하는 연속함수열이라 하자. (만약 { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} 이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.) 함수 g n : K → R {\displaystyle g_{n}:K\rightarrow \mathbb {R} } 을 g n = f − f n {\displaystyle g_{n}=f-f_{n}} 이라 정의하자. 조건에 의해 f {\displaystyle f} 와 f n {\displaystyle f_{n}} 는 연속함수이므로 g n {\displaystyle g_{n}} 도 연속함수이다. 먼저, 집합 O n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}} 을 O n = { x ∈ K : g n ( x ) < ϵ } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=\left\{x\in K:g_{n}(x)<\epsilon \right\}} 이라 정의하자. 집합 O n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}} 의 정의에 의해 O n = g − 1 ( − ∞ , ϵ ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )} 임을 알 수 있다. 또한 ( − ∞ , ϵ ) {\displaystyle (-\infty ,\epsilon )} 는 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서 열린집합이고 g n {\displaystyle g_{n}} 이 연속함수이므로 ( − ∞ , ϵ ) {\displaystyle (-\infty ,\epsilon )} 의 역상 O n = g − 1 ( − ∞ , ϵ ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )} 은 K {\displaystyle K} 에서 열린집합이다. 이제 K ⊆ ⋃ i ∈ N O i {\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}} 임을 보이기 위해 x ∈ K {\displaystyle x\in K} 라 하자. 조건에 의해 f n {\displaystyle f_{n}} 이 K {\displaystyle K} 에서 연속인 극한함수 f : K → R {\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} } 로 점별 수렴하므로, f n ( x ) → f ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x)} 이다. 따라서, n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 일 때 | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle \left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon } 이 되도록 하는 양의 정수 N {\displaystyle N} 이 존재한다. g n {\displaystyle g_{n}} 과 O n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}} 의 정의에 의해 x ∈ {\displaystyle x\in } O N {\displaystyle {\mathcal {O}}_{N}} 임을 알 수 있으므로 x ∈ {\displaystyle x\in } ⋃ i ∈ N O i {\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}} 이 성립한다. 따라서, 집합족 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 C = { O n : n ∈ N } {\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{{\mathcal {O}}_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}} 이라 정의하면 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 K {\displaystyle K} 의 열린덮개가 된다. K {\displaystyle K} 는 조건에 의해 콤팩트이므로 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 유한 열린 부분 덮개 C ′ = { O 1 , O 2 , ⋯ , O m } {\displaystyle {\mathcal {C'}}=\left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}} 이 존재하여 K ⊆ ⋃ i = 1 m O i {\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}} 이다. 특히 임의의 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대해 O n ⊆ K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}\subseteq K} 이므로, ⋃ i = 1 m O i ⊆ K {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}\subseteq K} 이다. 따라서, K = ⋃ i = 1 m O i {\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}} 이다. 또한 O n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}} ⊆ O n + 1 {\displaystyle \subseteq {\mathcal {O}}_{n+1}} 임을 알 수 있으므로, 양의 정수 M = m a x { O 1 , O 2 , ⋯ , O m } {\displaystyle M=\mathrm {max} \left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}} 에 대하여 K = O M {\displaystyle K={\mathcal {O}}_{M}} 이다. 이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여 n ≥ M {\displaystyle n\geq M} 이고 x ∈ K {\displaystyle x\in K} 라고 하자. 그러면 x ∈ K = O M ⊆ O n {\displaystyle x\in K={\mathcal {O}}_{M}\subseteq {\mathcal {O}}_{n}} 이므로 f ( x ) − f n ( x ) < ϵ {\displaystyle f(x)-f_{n}(x)<\epsilon } 이다. 또한 가정에 의해 { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} 이 증가하는 연속함수열이므로, 0 ≤ f ( x ) − f n ( x ) < ϵ {\displaystyle 0\leq f(x)-f_{n}(x)<\epsilon } 임을 알 수 있다. 따라서 | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle \left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon } 이다. 즉, { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} 이 K {\displaystyle K} 에서 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다. Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2010). 〈Chapter 8 SEQUENCE OF FUNCTIONS / Section 8.2. Interchange of Limits〉. 《Introduction to real analysis》 4판. New York Weinheim: Wiley. 252쪽. ISBN 978-0-471-43331-6.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)