기본 대칭 다항식

가환대수학에서, 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 영어: elementary symmetric polynomial)은 주어진 차수에 대하여, 이 차수의 모든 가능한 항들을 (계수 1로서) 정확히 하나씩 포함하는 다변수 대칭 다항식이다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들로 유일하게 구성된다. 차수 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 에 대하여, n {\displaystyle n} 개의 변수 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}} 에 대한 k {\displaystyle k} 차 기본 대칭 다항식은 다음과 같은 대칭 다항식이다. e k ( x 1 , … , x n ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n x i 1 ⋯ x i k ∈ Z [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{k}}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 특히, k > n {\displaystyle k>n} 이라면 e k ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=0} 이다. 즉, 0이 아닌 기본 대칭 다항식은 e 0 , … , e n {\displaystyle e_{0},\dotsc ,e_{n}} 이다. (항상 e 0 ( x 1 , … , x n ) = 1 {\displaystyle e_{0}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=1} 이다.) 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, n {\displaystyle n} 개의 변수에 대한 대칭 다항식의 가환환 K [ x 1 , … , x n ] Sym ⁡ ( n ) = { p ∈ K [ x 1 , … , x n ] : ∀ σ ∈ Sym ⁡ ( n ) : p ( x 1 , … , x n ) = p ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( n ) ) } {\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}=\{p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\colon \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (n)\colon p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=p(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\}} 을 정의할 수 있다. 이 경우, 기본 대칭 다항식을 통한 환 준동형 K [ y 1 , … , y n ] → K [ x 1 , … , x n ] Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]\to K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}} y i ↦ e i ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle y_{i}\mapsto e_{i}(x_{1},\dotsc ,x_{n})} 을 생각할 수 있다. 이 환 준동형은 항상 가환환의 동형 사상이다. 다시 말해, 임의의 대칭 다항식 p ∈ K [ x 1 , … , x n ] Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}} 에 대하여, p ( x 1 , … , x n ) = q ( e 1 ( x 1 , … , x n ) , … , e n ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=q(e_{1}(x_{1},\dotsc ,x_{n}),\dotsc ,e_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n}))} 이 되는 다항식 q ∈ K [ y 1 , … , y n ] {\displaystyle q\in K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]} 이 유일하게 존재한다. 낮은 값의 n {\displaystyle n} 에 대한 기본 대칭 다항식은 다음과 같다. n = 1 {\displaystyle n=1} e 0 ( x ) = 1 {\displaystyle e_{0}(x)=1} e 1 ( x ) = x {\displaystyle e_{1}(x)=x} n = 2 {\displaystyle n=2} e 0 ( x , y ) = 1 {\displaystyle e_{0}(x,y)=1} e 1 ( x , y ) = x + y {\displaystyle e_{1}(x,y)=x+y} e 2 ( x , y ) = x y {\displaystyle e_{2}(x,y)=xy} n = 3 {\displaystyle n=3} e 0 ( x ) = 1 {\displaystyle e_{0}(x)=1} e 1 ( x , y , z ) = x + y + z {\displaystyle e_{1}(x,y,z)=x+y+z} e 2 ( x , y , z ) = x y + y z + x z {\displaystyle e_{2}(x,y,z)=xy+yz+xz} e 3 ( x , y , z ) = x y z {\displaystyle e_{3}(x,y,z)=xyz} n = 4 {\displaystyle n=4} e 0 ( x , y , z , w ) = 1 {\displaystyle e_{0}(x,y,z,w)=1} e 1 ( x , y , z , w ) = x + y + z + w {\displaystyle e_{1}(x,y,z,w)=x+y+z+w} e 2 ( x , y , z , w ) = x y + y z + z w + w x + x z + y w {\displaystyle e_{2}(x,y,z,w)=xy+yz+zw+wx+xz+yw} e 3 ( x , y , z , w ) = x y z + y z w + z w x + w x y {\displaystyle e_{3}(x,y,z,w)=xyz+yzw+zwx+wxy} e 4 ( x , y , z , w ) = x y z w {\displaystyle e_{4}(x,y,z,w)=xyzw} 대칭 다항식 뉴턴 항등식 뉴턴의 부등식 매클로린의 부등식 대칭 함수 표현론 (수학) Macdonald, I. G. (1995). 《Symmetric functions and Hall polynomials》 (영어) 2판. Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.  “Elementary symmetric polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Elementary symmetric polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Elementary symmetric polynomial”. 《nLab》 (영어).  이철희. “초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)”. 《수학노트》.  “Elementary symmetric polynomial”. 《Groupprops》 (영어).  “Elementary symmetric polynomial”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of fundamental theorem of symmetric polynomials”. 《PlanetMath》 (영어).  “Elementary symmetric polynomial”. 《ProofWiki》 (영어).  “Fundamental theorem of symmetric polynomials”. 《ProofWiki》 (영어).