등각 대칭

양자장론에서 등각 대칭(等角對稱, 영어: conformal symmetry)은 양자장론이 가질 수 있는 대칭의 하나이다. 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론을 등각 장론이라 한다. d차원 민코프스키 공간의 등각 대칭군은 SO ⁡ ( d , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (d,2)} 이다. 이는 푸앵카레 군 ISO ⁡ ( d − 1 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (d-1,1)} 을 부분군으로 포함한다. μ , ν , ⋯ ∈ { 1 , 2 , … , d } {\displaystyle \mu ,\nu ,\dots \in \{1,2,\dots ,d\}} 라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다. 이 가운데 M {\displaystyle M} 만 남기면 로런츠 군, M {\displaystyle M} 과 P {\displaystyle P} 만 남기면 푸앵카레 군이 된다. 등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.:(4.19) [ D , K μ ] = − i K μ {\displaystyle [D,K^{\mu }]=-iK^{\mu }} [ D , P μ ] = i P μ {\displaystyle [D,P_{\mu }]=iP_{\mu }} [ K μ , P ν ] = 2 i ( η μ ν D − M μ ν ) {\displaystyle [K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })} [ K μ , M ν ρ ] = i ( η μ ν K ρ − η μ ρ K ν ) {\displaystyle [K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })} [ P ρ , M μ ν ] = i ( η ρ μ P ν − η ρ ν P μ ) {\displaystyle [P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })} [ M μ ν , M ρ σ ] = i ( η ν ρ M μ σ + η μ σ M ν ρ − η μ ρ M ν σ − η ν σ M μ ρ ) {\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })} 여기서 η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }} 는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다. 방사 양자화(영어: radial quantization) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. (등각 장론에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.) D † = − D {\displaystyle D^{\dagger }=-D} ( P μ ) † = K μ {\displaystyle (P_{\mu })^{\dagger }=K^{\mu }} ( M μ ν ) † = M μ ν {\displaystyle (M_{\mu \nu })^{\dagger }=M^{\mu \nu }} 등각 대칭군이 SO ⁡ ( d , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (d,2)} 임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자. M − 1 , 0 = D {\displaystyle M_{-1,0}=D} M − 1 , μ = 1 2 ( P μ − K μ ) {\displaystyle M_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })} M 0 , μ = 1 2 ( P μ + K μ ) {\displaystyle M_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })} 그렇다면, 지표 M , N ∈ { − 1 , 0 , 1 , … , d } {\displaystyle M,N\in \{-1,0,1,\dots ,d\}} 에 대하여 M M , N {\displaystyle M_{M,N}} 은 SO ⁡ ( d , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (d,2)} 의 표준적인 생성원을 이룬다. [ M M N , M P Q ] = i ( η M Q J N P + η N P J A Q − η M P M N Q − η N Q J M P ) {\displaystyle [M_{MN},M_{PQ}]=i(\eta _{MQ}J_{NP}+\eta _{NP}J_{AQ}-\eta _{MP}M_{NQ}-\eta _{NQ}J_{MP})} ( M M N ) † = M M N {\displaystyle (M_{MN})^{\dagger }=M^{MN}} 여기서 η − 1 , − 1 = − 1 {\displaystyle \eta _{-1,-1}=-1} η 0 , 0 = 1 {\displaystyle \eta _{0,0}=1} 이다. 등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.:98, (4.18) M μ ν ≡ i ( x μ ∂ ν − x ν ∂ μ ) {\displaystyle M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })} P μ ≡ − i ∂ μ {\displaystyle P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }} D ≡ − i x μ ∂ μ {\displaystyle D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }} K μ ≡ i ( x 2 ∂ μ − 2 x μ x ν ∂ ν ) {\displaystyle K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })} 4차원의 경우, 등각 대칭군 SO ⁡ ( 4 , 2 ) ∼ SU ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4,2)\sim \operatorname {SU} (2,2)} 의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다. 등각 사상 공형군 콜먼-맨듈라 정리 재규격화군 초등각 장론 Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-94785-X. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 5월 7일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Mack, G. (1977). “All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 55 (1): 1–96. Bibcode:1977CMaPh..55....1M. doi:10.1007/BF01613145. MR 0447493. Zbl 0352.22012.  Knapp, A.W.; B. Speh (1982년 1월). “Irreducible unitary representations of SU(2, 2)”. 《Journal of Functional Analysis》 (영어) 45 (1): 41–73. doi:10.1016/0022-1236(82)90004-0. Zbl 0543.22011.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)