누적 위계

집합론에서 누적 위계(累積位階, 영어: cumulative hierarchy)는 주어진 연산을 초한 점화식을 사용하여 초한 번 반복하여 구성되는 모임이다. Q {\displaystyle Q} 가 집합을 집합에 대응시키는 연산이라고 하자. 또한, 추이적 집합 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 α ∈ Ord {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} } 에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다. Q α ( X ) = { X ∪ ⋃ β < α X β ∄ β : α = β + 1 Q ( Q β ( X ) ) α = β + 1 ( α ∈ Ord ) {\displaystyle Q^{\alpha }(X)={\begin{cases}X\cup \bigcup _{\beta <\alpha }X_{\beta }&\nexists \beta \colon \alpha =\beta +1\\Q\left(Q^{\beta }(X)\right)&\alpha =\beta +1\end{cases}}\qquad (\alpha \in \operatorname {Ord} )} 또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다. Q Ord ( X ) = ⋃ α ∈ Ord ( X ) {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=\bigcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }(X)} 여기서 Ord {\displaystyle \operatorname {Ord} } 는 모든 순서수의 모임이다. 이러한 구성을 누적 위계라고 하며, 임의의 대상 x ∈ Q Ord ( X ) {\displaystyle x\in Q^{\operatorname {Ord} }(X)} 에 대하여, min { α : x ∈ Q α } {\displaystyle \min\{\alpha \colon x\in Q^{\alpha }\}} 를 x {\displaystyle x} 의 Q Ord ( X ) {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)} 에서의 계수(영어: rank)라고 한다. (만약 Q {\displaystyle Q} 가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.) Q {\displaystyle Q} 가 집합을 집합으로 대응시키므로, 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 Q α ( X ) {\displaystyle Q^{\alpha }(X)} 는 항상 집합이다. 그러나 Q Ord ( X ) {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)} 는 집합이 아니라 고유 모임일 수 있다. 이는 칸토어 역설의 일종이다. 어떤 집합 A {\displaystyle A} 에 대하여, Q {\displaystyle Q} 가 상수 함수 X ↦ A {\displaystyle X\mapsto A} 일 때, Q {\displaystyle Q} 에 대한 위계는 Q Ord = A {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }=A} 가 된다. Q {\displaystyle Q} 가 항등 함수 X ↦ X {\displaystyle X\mapsto X} 일 때, Q {\displaystyle Q} 에 대한, X {\displaystyle X} 로부터 시작하는 위계는 Q Ord ( X ) = X {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=X} 이다. 보다 일반적으로, 어떤 순서수 α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} 가 다음 성질을 갖는다고 하자. 임의의 α ≥ α 0 {\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}} 에 대하여 Q {\displaystyle Q} 는 X α {\displaystyle X_{\alpha }} 에 대하여 항등 함수이다. 그렇다면 Q Ord ( X ) = Q α ( X ) {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=Q^{\alpha }(X)} 이다. Q = P {\displaystyle Q={\mathcal {P}}} (멱집합 연산)일 때, Q α ( ∅ ) {\displaystyle Q^{\alpha }(\varnothing )} 는 V α {\displaystyle V_{\alpha }} 로 표기하며, V = Q Ord ( ∅ ) {\displaystyle V=Q^{\operatorname {Ord} }(\varnothing )} 를 폰 노이만 전체(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe)라고 한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 V {\displaystyle V} 는 모든 집합의 모임과 같으며, 집합 S {\displaystyle S} 의 계수 rank ⁡ S {\displaystyle \operatorname {rank} S} 는 다음과 같은 순서수이다. rank ⁡ S = min { α ∈ Ord : S ⊂ V α } {\displaystyle \operatorname {rank} S=\min\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon S\subset V_{\alpha }\}} 즉, S {\displaystyle S} 가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다. V {\displaystyle V} 는 (모든 집합을 포함하므로) 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 ω {\displaystyle \omega } 로 쓰면, V ω {\displaystyle V_{\omega }} 는 계승적 유한 집합들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. κ {\displaystyle \kappa } 가 도달 불가능한 기수일 경우 V κ {\displaystyle V_{\kappa }} 는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, V κ + 1 {\displaystyle V_{\kappa +1}} 은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 V κ {\displaystyle V_{\kappa }} 를 그로텐디크 전체라고 한다. Q = Def A 1 , … , A n {\displaystyle Q=\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}} (정의 가능 멱집합 연산)일 때, Q α ( X ) {\displaystyle Q^{\alpha }(X)} 는 L α [ A 1 , … , A n ] ( X ) {\displaystyle L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)} 로 표기하며, L ( X ) = Q Ord ( X ) {\displaystyle L(X)=Q^{\operatorname {Ord} }(X)} 를 X {\displaystyle X} -구성 가능 집합(영어: X {\displaystyle X} -constructible universe)이라고 한다. 흔히 X = ∅ {\displaystyle X=\varnothing } 일 경우 L [ A 1 , A 2 , … , A n ] ( ∅ ) = L {\displaystyle L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L} 로 표기하며, n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 흔히 L ( X ) {\displaystyle L(X)} 로 표기한다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산 Q : S ↦ P ( S × X ) {\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)} 에 대한 누적 위계를 X {\displaystyle X} -이름 위계(영어: hierarchy of X {\displaystyle X} -names)라고 하며,:188, Definition VII.2.5 Name X , α {\displaystyle \operatorname {Name} _{X,\alpha }} 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다. 1889년에 주세페 페아노는 참 또는 모든 대상들의 모임을 라틴어: vērum 베룸[*](참)의 머리글자 V로 나타내었다.:VIII, XI (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.) 이후 1928년에 존 폰 노이만이 초한 귀납법을 도입하였으나, 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.:279, §4.10 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 V {\displaystyle V} 를 최초로 도입하였다.:36–40:270, §4.9 Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 (영어). 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