에르미트 다항식

수학에서 에르미트 다항식(Hermite多項式, 영어: Hermite polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다. 에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) 에르미트 다항식 H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} 은 다음과 같다. H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 = ( x − d d x ) n 1 = exp ⁡ ( − 1 2 d 2 d x 2 ) x n {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1=\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)x^{n}} 물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 H ~ n ( x ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)} 은 다음과 같다. H ~ n ( x ) = 2 n / 2 H n ( 2 x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 = ( 2 x − d d x ) n 1 {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)=2^{n/2}H_{n}({\sqrt {2}}x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1} 이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다. 확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자. exp ⁡ ( − t 2 / 2 ) = ∑ n = 0 ∞ h n t n / n ! {\displaystyle \exp(-t^{2}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }h_{n}t^{n}/n!} h n = { ( − 1 ) n / 2 ( n / 2 ) ! ! 2 ∣ n 0 2 ∤ n {\displaystyle h_{n}={\begin{cases}(-1)^{n/2}(n/2)!!&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}} 여기서 n ! ! = ∏ k = 0 m ( n − 2 k ) = n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ {\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{m}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots } 는 이중 계승(영어: double factorial)이다. 그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다. H n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) h n {\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}h_{n}} 이는 아펠 다항식열의 음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 h {\displaystyle {\mathsf {h}}} 에 대하여 선형 범함수 L : h n → h n {\displaystyle L\colon {\mathsf {h}}^{n}\to h_{n}} 를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다. H n ( x ) = L ( ( x + h ) n ) {\displaystyle H_{n}(x)=L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)} H ~ n ( x ) = L ( ( 2 x + 2 h ) n ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)=L\left((2x+{\sqrt {2}}{\mathsf {h}})^{n}\right)} 즉, 구체적으로 L {\displaystyle L} 은 다음과 같다. L : Q [ x + h ] ↦ Q [ x ] {\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]\mapsto \mathbb {Q} [x]} L = eval x + h ↦ x ⁡ exp ⁡ ( − d 2 d ( x + h ) 2 ) {\displaystyle L=\operatorname {eval} _{x+{\mathsf {h}}\mapsto x}\exp \left(-{\frac {d^{2}}{d(x+{\mathsf {h}})^{2}}}\right)} L {\displaystyle L} 의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다. L − 1 : Q [ x ] ↦ Q [ x + h ] {\displaystyle L^{-1}\colon \mathbb {Q} [x]\mapsto \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]} L − 1 = eval x ↦ x + h ⁡ exp ⁡ ( 1 2 d 2 d x 2 ) {\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} _{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)} (확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다. ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) d x = 2 π n ! δ m n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx={\sqrt {2\pi }}n!\delta _{mn}} 여기서 δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} 은 크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 L 2 ( R , exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))} 의 완비기저를 이룬다. 여기서 L 2 ( R , exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))} 은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다. ⟨ f | g ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f ¯ ( x ) g ( x ) exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) d x {\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\bar {f}}(x)g(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx} (확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 에르미트 미분 방정식(영어: Hermite differential equation)의 해를 이룬다. d d x ( exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) d d x H ) = λ exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) H {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}H\right)=\lambda \exp(-x^{2}/2)H} 여기서 λ {\displaystyle \lambda } 는 임의의 상수이다. 즉, H {\displaystyle H} 는 미분 연산자 exp ⁡ ( x 2 / 2 ) d d x exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) d d x {\displaystyle \exp(x^{2}/2){\frac {d}{dx}}\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}} 의 고유함수이다. (확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수 L − 1 : H n ( x ) ↦ ( x + h ) n {\displaystyle L^{-1}\colon H_{n}(x)\mapsto (x+{\mathsf {h}})^{n}} L − 1 = eval x ↦ x + h ⁡ exp ⁡ ( 1 2 d 2 d x 2 ) {\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} _{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)} 를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다. H n + 1 ( x ) = ( x − d d ( d / d x ) ln ⁡ exp ⁡ ( ( d / d x ) 2 / 2 ) ) H n ( x ) = ( x − d d x ) H n ( x ) = x H n ( x ) − n H n − 1 ( x ) {\displaystyle H_{n+1}(x)=\left(x-{\frac {d}{d(d/dx)}}\ln \exp \left((d/dx)^{2}/2\right)\right)H_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)H_{n}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x)} 즉 H n + 1 ( x ) = x H n ( x ) − n H n − 1 ( x ) {\displaystyle H_{n+1}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x)} H ~ n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)} 이다. 에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다. ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n / n ! = exp ⁡ ( x t − t 2 / 2 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(xt-t^{2}/2)} ∑ n = 0 ∞ H ~ n ( x ) t n / n ! = exp ⁡ ( 2 x t − t 2 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tilde {H}}_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(2xt-t^{2})} 이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수 ∑ n = 0 ∞ h n t n / n ! = L ( t h ) = exp ⁡ ( − t 2 / 2 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h_{n}t^{n}/n!=L(t{\mathsf {h}})=\exp(-t^{2}/2)} 로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면, ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n / n ! = L ∑ n = 0 ∞ exp ⁡ ( t ( x + h ) ) = exp ⁡ ( x t ) L exp ⁡ ( t h ) = exp ⁡ ( x t − t 2 / 2 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x)t^{n}/n!=L\sum _{n=0}^{\infty }\exp \left(t(x+{\mathsf {h}})\right)=\exp(xt)L\exp(t{\mathsf {h}})=\exp(xt-t^{2}/2)} 이다. (확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다. d d x H n ( x ) = n H n − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}H_{n}(x)=nH_{n-1}(x)} d d x H ~ n ( x ) = 2 n H ~ n − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\tilde {H}}_{n}(x)=2n{\tilde {H}}_{n-1}(x)} 에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다. d d x H n ( x ) = d d x L ( ( x + h ) n ) = L ( d d x ( x + h ) n ) = L ( n ( x + h ) n − 1 ) = n H n − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}H_{n}(x)={\frac {d}{dx}}L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left({\frac {d}{dx}}(x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left(n(x+{\mathsf {h}})^{n-1}\right)=nH_{n-1}(x)} 확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A096713) H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1} H 1 ( x ) = x {\displaystyle H_{1}(x)=x} H 2 ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1} H 3 ( x ) = x 3 − 3 x {\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x} H 4 ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 3 {\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3} H 5 ( x ) = x 5 − 10 x 3 + 15 x {\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x} H 6 ( x ) = x 6 − 15 x 4 + 45 x 2 − 15 {\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15} H 7 ( x ) = x 7 − 21 x 5 + 105 x 3 − 105 x {\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x} H 8 ( x ) = x 8 − 28 x 6 + 210 x 4 − 420 x 2 + 105 {\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105} H 9 ( x ) = x 9 − 36 x 7 + 378 x 5 − 1260 x 3 + 945 x {\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x} H 10 ( x ) = x 10 − 45 x 8 + 630 x 6 − 3150 x 4 + 4725 x 2 − 945 {\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945} 물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. H ~ 0 ( x ) = 1 {\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(x)=1} H ~ 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle {\tilde {H}}_{1}(x)=2x} H ~ 2 ( x ) = 4 x 2 − 2 {\displaystyle {\tilde {H}}_{2}(x)=4x^{2}-2} H ~ 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x {\displaystyle {\tilde {H}}_{3}(x)=8x^{3}-12x} H ~ 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 {\displaystyle {\tilde {H}}_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12} H ~ 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x {\displaystyle {\tilde {H}}_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x} H ~ 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 {\displaystyle {\tilde {H}}_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120} H ~ 7 ( x ) = 128 x 7 − 1344 x 5 + 3360 x 3 − 1680 x {\displaystyle {\tilde {H}}_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x} H ~ 8 ( x ) = 256 x 8 − 3584 x 6 + 13440 x 4 − 13440 x 2 + 1680 {\displaystyle {\tilde {H}}_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680} H ~ 9 ( x ) = 512 x 9 − 9216 x 7 + 48384 x 5 − 80640 x 3 + 30240 x {\displaystyle {\tilde {H}}_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x} H ~ 10 ( x ) = 1024 x 10 − 23040 x 8 + 161280 x 6 − 403200 x 4 + 302400 x 2 − 30240 {\displaystyle {\tilde {H}}_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240} 에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다. 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다. 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고, 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다. 에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다. 르장드르 다항식 Laplace, P. S. (1810). “Mémoire sur les intégrales définies, et leur application aux probabilités, et spécialment à la recherche du milieu qu’il faut choisir entre les résultats des observations” (PDF). 《Mémoires de la classe des sciences mathematiques et physiques de l’Institut national de France》 (프랑스어) 58: 279–347. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 27일에 확인함.  Chebyshev, P. L. (1859). “Sur le développement des fonctions à une seule variable”. 《Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg》 (프랑스어) 1: 193–200.  Hermite, Charles (1864). “Sur un nouveau développement en série des fonctions”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 58: 93–100.  Hermite, Charles (1864). “Sur un nouveau développement en série des fonctions”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 58: 266–273. doi:10.1017/CBO9780511702761.022.  Szegő, Gábor (1955). 《Orthogonal Polynomials》 (영어) 2판. 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