곱위상

일반위상수학에서 곱위상(-位相, 영어: product topology)은 위상 공간들의 곱집합에 표준적으로 부여되는 위상이다. 위상 공간들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱집합 ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다. 곱위상. 이는 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서의 범주론적 곱이다. 상자 위상. 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. I {\displaystyle I} 가 유한 집합이라면 이는 곱위상과 일치한다. 만약 X i {\displaystyle X_{i}} 에 거리 함수가 주어졌다면, 균등 위상을 정의할 수 있다. Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱. 이는 곱위상보다 더 섬세하며, I {\displaystyle I} 가 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다. 곱위상(-位相, 영어: product topology) 또는 티호노프 위상(Тихонов位相, 영어: Tychonoff topology)은 사영 함수 proj i : ∏ i ∈ I X i → X i {\displaystyle \operatorname {proj} _{i}\colon \prod _{i\in I}X_{i}\to X_{i}} 의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 곱위상의 한 기저는 다음과 같다. B = { ∏ i ∈ I U i : U i ∈ T ( X i ) , ℵ 0 > | { i ∈ I : U i ≠ X i } | } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\colon U_{i}\in {\mathcal {T}}(X_{i}),\;\aleph _{0}>|\{i\in I\colon U_{i}\neq X_{i}\}|\right\}} 여기서 T ( X i ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(X_{i})} 는 X i {\displaystyle X_{i}} 의 열린집합들의 집합이다. 즉, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 원소는 각 X i {\displaystyle X_{i}} 의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 X i {\displaystyle X_{i}} 전체와 다른 것이다. 위 기저에서 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 를 사용하여 위상의 기저 B κ = { ∏ i ∈ I U i : U i ∈ T ( X i ) , κ > | { i ∈ I : U i ≠ X i } | } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\kappa }=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\colon U_{i}\in {\mathcal {T}}(X_{i}),\;\kappa >|\{i\in I\colon U_{i}\neq X_{i}\}|\right\}} 를 정의할 수 있으며, ( X i {\displaystyle X_{i}} 들이 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 κ ≤ | I | {\displaystyle \kappa \leq |I|} 에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 만약 이 기수가 충분히 클 때 (즉, κ > | I | {\displaystyle \kappa >|I|} 일 때), 추가 조건은 자명해진다. B κ = B box = { ∏ i ∈ I U i : U i ∈ T ( X i ) } ( κ > | I | ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\kappa }={\mathcal {B}}_{\text{box}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\colon U_{i}\in {\mathcal {T}}(X_{i})\right\}\qquad (\kappa >|I|)} 이 기저로 생성되는 위상을 상자 위상(箱子位相, 영어: box topology)이라고 한다.:114 따라서, ( X i {\displaystyle X_{i}} 들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 ℵ 0 ≤ κ ≤ | I | + {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa \leq |I|^{+}} 에 대하여, κ {\displaystyle \kappa } 가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다. B = B ℵ 0 ⊊ B ℵ 1 ⊊ ⋯ ⊊ B | I | ⊊ B | I | + = B box {\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}_{\aleph _{0}}\subsetneq {\mathcal {B}}_{\aleph _{1}}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {B}}_{|I|}\subsetneq {\mathcal {B}}_{|I|^{+}}={\mathcal {B}}_{\text{box}}} 상자 위상을 포함한 B κ {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\kappa }} -위상은 만약 I {\displaystyle I} 가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다. 거리 공간들의 집합 { ( X i , d i ) } i ∈ I {\displaystyle \{(X_{i},d_{i})\}_{i\in I}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 ∏ i X i {\displaystyle \textstyle \prod _{i}X_{i}} 위에 다음과 같이 균등 거리 함수(영어: uniform metric) d unif {\displaystyle d_{\text{unif}}} 를 줄 수 있다. d unif ( x , y ) = min { 1 , sup i ∈ I d i ( x , y ) } {\displaystyle d_{\text{unif}}(x,y)=\min\{1,\sup _{i\in I}d_{i}(x,y)\}} 그렇다면 ( ∏ i X i , d unif ) {\displaystyle (\textstyle \prod _{i}X_{i},d_{\text{unif}})} 는 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 균등 위상(영어: uniform topology)이라고 한다. 균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.:Theorem 20.4 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 완비 쌍대 반사 부분 범주 I : C ↪ Top {\displaystyle I\colon {\mathcal {C}}\hookrightarrow \operatorname {Top} } 가 주어졌고, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 한원소 공간을 포함한다고 하자. 쌍대 반사 부분 범주라는 것은 포함 함자 I {\displaystyle I} 가 충실충만한 함자이며 오른쪽 수반 함자 R : Top → C {\displaystyle R\colon \operatorname {Top} \to {\mathcal {C}}} 를 갖는다는 것이다. 수반 함자의 일반적 성질에 의하여 I {\displaystyle I} 는 모든 쌍대극한을 보존하며, 반대로 R {\displaystyle R} 는 모든 극한을 보존하게 된다. 또한, 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 은 구체적 범주의 망각 함자 Top → Set {\displaystyle \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} } 를 표현하므로, 망각 함자 C → Top → Set {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} } 역시 극한을 보존하게 된다. 위상 공간의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌다고 하고, 이들이 모두 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 원소들로 구성되었다고 하자. 그렇다면, 이들의 곱을 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속에서 취할 수 있다. 이를 ∏ i ∈ I C X i = R ( ∏ i ∈ I X i ) {\displaystyle \prod _{i\in I}^{\mathcal {C}}X_{i}=R\left(\prod _{i\in I}X_{i}\right)} 로 표기하자. 망각 함자 C → Set {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 가 극한을 보존하므로, 이는 집합으로서 단순히 곱집합이다. 그러나 I {\displaystyle I} 가 극한을 보존하지 않는다면, 이는 곱위상(즉, Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서의 곱)과 다를 수 있다. 보다 일반적으로, ( C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 속하지 않을 수 있는) 임의의 위상 공간들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 의 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -곱공간을 R ( ∏ i ∈ I X i ) = ∏ i ∈ I C R ( X i ) {\displaystyle R\left(\prod _{i\in I}X_{i}\right)=\prod _{i\in I}^{\mathcal {C}}R(X_{i})} 로 정의할 수 있다. 이 가운데 대표적인 것은 콤팩트 생성 공간의 범주 CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 이다. 모든 위상 공간의 범주와 달리 이는 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 콤팩트 생성화 k : Top → CGTop {\displaystyle k\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CGTop} } 라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 k ( X × Y ) {\displaystyle k(X\times Y)} 는 일반적으로 곱위상 X × Y {\displaystyle X\times Y} 보다 더 섬세하다. 대수적 위상수학에서는 곱위상 X × Y {\displaystyle X\times Y} 보다 콤팩트 생성 곱공간 k ( X × Y ) {\displaystyle k(X\times Y)} 이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은 ( Top {\displaystyle \operatorname {Top} } ) 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다. 곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.) 일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다. 가산 무한 개의 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 들의 곱집합 R ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph _{0}}} 에서 상자 위상을 부여하자.:Counterexample 109 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다. 콤팩트 공간이 아니다. 연결 공간이 아니다. 제1 가산 공간이 아니다. 분해 가능 공간이 아니다. 이는 완비 정칙 공간이다. 만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다. 상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.:300, Historical Notes §8 곱위상은 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 1930년에 도입하였다.:300, Historical Notes §8 콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(영어: Edwin Henry Spanier)가 1959년에 "약한 위상"(영어: weak topology)이라는 이름으로 도입하였다. 스패니어는 ⟨ X × Y ⟩ {\displaystyle \langle X\times Y\rangle } 라는 기호를 사용하였다. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  Williams, Scott W. (1984). 〈Chapter 4. Box products〉. Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E. 《Handbook of set-theoretic topology》 (영어). 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