보손화

보손화(boson化, 영어: bosonization)는 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 서로 동등한 현상이다. 이에 따라, 2차원 등각장론에서는 일반적인 스핀-통계 정리가 무의미하며, 임의로 입자의 통계를 정할 수 있다. 대략, 한 쌍의 페르미온이 짝을 지어 보손을 이루는 것으로 이해할 수 있다. 2차원 등각 장론에서 바일 스피너로 다루는 페르미온을 생각하자. 2차원 바일 스피너는 하나의 복소수 성분을 지니고, 또 전칙함수 및 반정칙함수의 합 ψ ( z , z ¯ ) = ψ ( z ) + ψ ¯ ( z ¯ ) {\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})} 으로 나타낼 수 있다. 또한 (반)전칙함수로 나타나는 복소 스칼라 ϕ ( z ) {\displaystyle \phi (z)} 와 ϕ ¯ ( z ¯ ) {\displaystyle {\bar {\phi }}({\bar {z}})} 를 생각하고, 스칼라장의 전파 인자를 다음과 같이 규격화하자. ⟨ ϕ ( z ) ϕ ( z ′ ) ⟩ = − α ′ 2 ln ⁡ ( z − z ′ ) {\displaystyle \langle \phi (z)\phi (z')\rangle =-{\frac {\alpha '}{2}}\ln(z-z')} ⟨ ϕ ¯ ( z ¯ ) ϕ ¯ ( z ¯ ′ ) ⟩ = − α ′ 2 ln ⁡ ( z ¯ − z ¯ ′ ) {\displaystyle \langle {\bar {\phi }}({\bar {z}}){\bar {\phi }}({\bar {z}}')\rangle =-{\frac {\alpha '}{2}}\ln({\bar {z}}-{\bar {z}}')} 이 경우, 일차장들의 등각 무게 ( h , h ¯ ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})} 는 다음과 같다. 따라서, ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)} 와 exp ⁡ ( − i 2 / α ′ ϕ ) {\displaystyle \exp(-i{\sqrt {2/\alpha '}}\phi )} 의 무게가 일치하는 것을 볼 수 있다. 또한, 이들의 연산자 곱 전개 (OPE) 및 에너지-운동량 텐서를 비교해 보면, ψ ( z ) =: exp ⁡ ( − i 2 / α ′ ϕ ( z ) ) : {\displaystyle \psi (z)=:\exp(-i{\sqrt {2/\alpha '}}\phi (z)):} ψ ¯ ( z ¯ ) =: exp ⁡ ( − i 2 / α ′ ϕ ¯ ( z ¯ ) ) : {\displaystyle {\bar {\psi }}({\bar {z}})=:\exp(-i{\sqrt {2/\alpha '}}{\bar {\phi }}({\bar {z}})):} : ψ ( z ) ψ ¯ ( z ) := i ∂ ϕ ( z ) {\displaystyle :\psi (z){\bar {\psi }}(z):=i\partial \phi (z)} 와 같이 대응시키면 모든 성질이 같은 사실을 알 수 있다. 여기서 : ⋯ : {\displaystyle :\cdots :} 는 표준 순서다. 즉 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 동등하다는 사실을 알 수 있다. 마찬가지로, 디랙 페르미온 ψ ( z , z ¯ ) = ψ ( z ) + ψ ¯ ( z ¯ ) {\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})} 은 주기가 2 π {\displaystyle 2\pi } 인 실수 스칼라 보손 ϕ ( z , z ¯ ) = ϕ ( z ) + ϕ ¯ ( z ¯ ) ∈ R / 2 π {\displaystyle \phi (z,{\bar {z}})=\phi (z)+{\bar {\phi }}({\bar {z}})\in \mathbb {R} /2\pi } 으로 보손화된다. 구체적으로, 대응 관계는 다음과 같다. 여기서 μ {\displaystyle \mu } 는 표준 순서 : ⋯ : {\displaystyle :\cdots :} 를 가하는 에너지 눈금이다. (질량항의 경우, 등각 대칭을 깨므로 이 에너지 눈금이 중요해진다.) 만약 페르미온 계가 비아벨 맛깔 대칭 등을 갖는다고 하자. 2차원에서는 이에 따라 계가 아핀 리 대수 대칭을 갖게 된다. 이 경우, 보손화는 이 대칭을 보존하여야 한다. 이 경우, 일반적인 (아벨) 보손화 대신 비아벨 보손화(영어: non-Abelian bosonization)를 사용한다. 이 경우, 페르미온 계의 보손화는 적절한 아핀 리 대수 대칭을 갖는 베스-추미노-위튼 모형이다. 이를 사용하여, 예를 들어 2차원 양자 색역학을 보손화하여 완전히 풀 수 있다. 비아벨 보손화는 에드워드 위튼이 1984년 도입하였다. 보손화를 통해, 하나의 보손 장을 가진 사인-고든 모형과 하나의 페르미온 장을 가진 티링 모형이 서로 동등하게 된다. 이는 S-이중성의 간단한 예이다. 상호작용하는 페르미온을 나타내는 도모나가-루팅거 모형(영어: Tomonaga-Luttinger model)은 보손화를 통해 자유 보손 이론으로 치환하여, 완전히 풀 수 있다. 보손화는 응집물질물리학에서 중요한 역할을 한다. 초전도체를 다루는 BCS 이론에서는 두 전자가 쿠퍼 쌍을 이루어 보손처럼 행동하여 초전도를 가능하게 한다. 또한, 헬륨-3이나 리튬-7과 같은 페르미온이 보손화하면 보스-아인슈타인 응축 상태에 도달할 수 있다. 보손화는 끈 이론에서도 쓰인다. 예를 들어, RNS 초끈을 다룰 때 나타나는 페르미온 장 ψ {\displaystyle \psi } 와 페르미온 유령 β , γ {\displaystyle \beta ,\gamma } 는 보손화를 통하여 간단히 다룰 수 있다. Stone, Michael (1994). 《Bosonization》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/9789812812650. ISBN 978-981-02-1847-8.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Gogolin, Alexander O.; Alexander A. Nersesyan, Alexei M. Tsvelik (2004년 12월). 《Bosonization and Strongly Correlated Systems》 (영어). Cambridge University Press. arXiv:cond-mat/9909069. Bibcode:1999cond.mat..9069G. ISBN 9780521617192.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Frishman, Yitzhak; Jacob Sonnenschein (2010). 《Non-perturbative field theory: from two-dimensional conformal field theory to QCD in four dimensions》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. arXiv:1004.4859. doi:10.1017/CBO9780511770838. ISBN 978-052166265-9. Zbl 1213.81007.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Witten, Edward (1984). “Non-abelian bosonization in two dimensions”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 92 (4): 455–594. doi:10.1007/BF01215276. ISSN 0010-3616. MR 0736403. Zbl 0536.58012.  Sénéchal, David (2003). 〈An introduction to bosonization〉. 《Theoretical Methods for Strongly Correlated Electrons》 (영어). Springer. 139–186쪽. arXiv:cond-mat/9908262. Bibcode:1999cond.mat..8262S. doi:10.1007/0-387-21717-7_4. ISBN 0387008950.  Rao, Sumathi; Diptiman Sen (2000). “An introduction to bosonization and some of its applications” (영어). arXiv:cond-mat/0005492. Bibcode:2000cond.mat..5492R.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Jan von Delft, Herbert Schoeller (1998년 11월). “Bosonization for beginners — refermionization for experts”. 《Annalen der Physik》 (영어) 7 (4): 225–305. arXiv:cond-mat/9805275. Bibcode:1998AnP.....7..225V. doi:10.1002/(SICI)1521-3889(199811)7:4<225::AID-ANDP225>3.0.CO;2-L.  Miranda, E. (2003). “Introduction to Bosonization” (PDF). 《Brazilian Journal of Physics》 (영어) 33 (1): 3–35. ISSN 0103-9733.