라리타-슈윙거 방정식

라리타-슈윙거 방정식(영어: Rarita–Schwinger equation)은 그래비티노와 같은 스핀 1½인 페르미온을 다루는 파동 방정식이다. 다음이 주어졌다고 하자. 스핀 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 (디랙 또는 마요라나 또는 바일 또는 마요라나-바일) 스피너 다발 S ↠ M {\displaystyle S\twoheadrightarrow M} 필바인 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} , e μ a ∈ Ω 1 ( M ; E ) {\displaystyle e_{\mu }^{a}\in \Omega ^{1}(M;E)} 그렇다면, ψ μ d x μ ∈ Ω 1 ( M ; S ) {\displaystyle \psi _{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }\in \Omega ^{1}(M;S)} 에 대하여 다음과 같은 편미분 방정식을 적을 수 있으며, 이를 (무질량) 라리타-슈윙거 방정식이라고 한다.:(5.2) γ μ ∂ [ μ ψ ν ] = 0 {\displaystyle \gamma ^{\mu }\partial _{[\mu }\psi _{\nu ]}=0} 이는 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도된다. L = − ∫ d D x ( det e ) ψ ¯ μ γ μ ν ρ ∂ ν ψ ρ {\displaystyle {\mathcal {L}}=-\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e){\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }} γ μ ν ρ = 1 6 ( γ μ γ ν γ ρ − γ μ γ ρ γ ν + γ ν γ ρ γ μ − γ ν γ μ γ ρ + γ ρ γ μ γ ν − γ ρ γ ν γ μ ) {\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }={\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }+\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)} 일부 경우 여기에 질량항을 추가할 수도 있다. 2 n {\displaystyle 2^{n}} 개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 라리타-슈윙거 장은 (질량 껍질 밖에서) 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.틀:Rp§5 2 n ( D − 1 ) {\displaystyle 2^{n}(D-1)} 즉, 이는 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원의 게이지 변환 ψ μ ↦ ψ μ + ∂ μ ϵ {\displaystyle \psi _{\mu }\mapsto \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon } 을 겪는다. 예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가진다. 이 경우, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 SO ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)} (의 범피복군)의 ( 1 , 1 2 ) ⊕ ( 1 2 , 1 ) {\displaystyle (1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)} 표현에 해당한다. 마찬가지로, (1,5)차원의 경우, 바일 스피너는 4개의 복소수 성분을 가지며, 이에 기반하는 라리타-슈윙거 장은 4×5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 SO ⁡ ( 1 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,5)} 의 콤팩트화 Spin ⁡ ( 6 ) ≅ SU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)} 의 20차원 표현 Sym 3 ⁡ 4 = 20 {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{3}\mathbf {4} =\mathbf {20} } 에 해당한다. 마찬가지로, (1,10)차원의 경우, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이 경우 마요라나-슈윙거 장은 32×10 = 320개의 실수 성분을 갖는다. 질량 껍질 위에서, 2 n {\displaystyle 2^{n}} 개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 (무질량) 라리타-슈윙거 장은 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.:§5 1 2 ( D − 3 ) 2 n {\displaystyle {\frac {1}{2}}(D-3)2^{n}} 예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가지며, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×1×½ = 2개의 자유도를 갖는다. (1,3)차원에서 중력장은 1 2 D ( D − 3 ) = 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}D(D-3)=2} 개의 자유도를 가지므로, (1,3)차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭에서 이들은 하나의 초다중항을 이룰 수 있다. 1941년에 미국의 윌리엄 라리타(영어: William R. Rarita, 1907~1999)와 줄리언 슈윙거가 도입하였다. Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2011년 11월). “Ingredients of supergravity”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 59 (11–12): 1118–1126. arXiv:1106.1097. Bibcode:2011ForPh..59.1118F. doi:10.1002/prop.201100059.  Rarita, William R.; Schwinger, Julian (1941). “On a theory of particles with half-integral spin”. 《Physical Review》 (영어) 60: 61. doi:10.1103/PhysRev.60.61.  Pilling, Terry (2004). “Symmetry of massive Rarita–Schwinger fields” (영어). arXiv:hep-th/0404131.  “Rarita-Schwinger field”. 《nLab》 (영어).