매트로이드 마이너

매트로이드 이론에서 매트로이드 마이너(영어: matroid minor)는 주어진 매트로이드에서 일부 원소를 “삭제”하거나, 일부 원소를 “축약”하여 얻어지는 매트로이드이다. 그래프 마이너의 일반화이다. (유한 또는 무한) 매트로이드 ( X , I ) {\displaystyle (X,{\mathcal {I}})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, X ↾ S = ( S , { I ∩ S } I ∈ I ) {\displaystyle X\upharpoonright S=(S,\{I\cap S\}_{I\in {\mathcal {I}}})} 역시 매트로이드를 이룬다.:Theorem 3.4 이를 X {\displaystyle X} 의 S {\displaystyle S} 로의 제한이라고 한다. (즉, 이 과정은 X ∖ S {\displaystyle X\setminus S} 의 삭제(영어: deletion)이다.) 증명: I S = { I ∩ S } I ∈ I = { I ∈ I : I ⊆ S } {\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}=\{I\cap S\}_{I\in {\mathcal {I}}}=\{I\in {\mathcal {I}}\colon I\subseteq S\}} 로 놓자. (유한 또는 무한) 매트로이드의 네 공리들:§1.1은 다음과 같이 확인할 수 있다. (I1) ∅ ∈ { I ∩ S } I ∈ I {\displaystyle \varnothing \in \{I\cap S\}_{I\in {\mathcal {I}}}} : 자명하게 참이다. (I2) 만약 J ⊆ I ∈ I {\displaystyle J\subseteq I\in {\mathcal {I}}} 일 때, J ∩ S ⊆ I ∩ S ∈ I S {\displaystyle J\cap S\subseteq I\cap S\in {\mathcal {I}}_{S}} 이므로 J ∩ S ∈ I S {\displaystyle J\cap S\in {\mathcal {I}}_{S}} 이다. (IM) 임의의 I ∈ I S ⊆ I {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}_{S}\subseteq {\mathcal {I}}} 및 I ⊆ T ⊆ S ⊆ X {\displaystyle I\subseteq T\subseteq S\subseteq X} 에 대하여, { J ∈ I S : I ⊆ J ⊆ T } = { J ∈ I : I ⊆ J ⊆ T } {\displaystyle \{J\in {\mathcal {I}}_{S}\colon I\subseteq J\subseteq T\}=\{J\in {\mathcal {I}}\colon I\subseteq J\subseteq T\}} 는 매트로이드의 공리에 따라 극대 원소를 갖는다. 유일하게 자명하지 않은 것은 공리 (I3)이다. 임의의 I ∈ I S {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}_{S}} , J ∈ max I S {\displaystyle J\in \max {\mathcal {I}}_{S}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (IM) 공리를 사용하여, J ⊆ J ′ ∈ max I {\displaystyle J\subseteq J'\in \max {\mathcal {I}}} 를 찾을 수 있으며, J ∈ max I S {\displaystyle J\in \max {\mathcal {I}}_{S}} 이므로 J ′ ∩ S = J {\displaystyle J'\cap S=J} 이다. (I3) 공리를 거듭 사용하여, I ⊆ I ′ ⊆ I ∪ J ′ {\displaystyle I\subseteq I'\subseteq I\cup J'} I ′ ∈ max I {\displaystyle I'\in \max {\mathcal {I}}} 인 I ′ {\displaystyle I'} 을 찾을 수 있다. 이제, I ′ ∩ S ∈ max I S {\displaystyle I'\cap S\in \max {\mathcal {I}}_{S}} I ⊆ I ′ ∩ S ⊆ I ∪ J {\displaystyle I\subseteq I'\cap S\subseteq I\cup J} 를 보이면 족하다. 이 가운데 유일하게 자명하지 않은 것은 I ′ ∩ S ⊆ I ∪ J {\displaystyle I'\cap S\subseteq I\cup J} 이며, 그 증명은 I ′ ∩ S ⊆ ( I ∪ J ′ ) ∩ S = ( I ∩ S ) ∪ ( J ′ ∩ S ) = I ∪ J {\displaystyle I'\cap S\subseteq (I\cup J')\cap S=(I\cap S)\cup (J'\cap S)=I\cup J} 이다. (유한 또는 무한) 매트로이드 ( X , I ) {\displaystyle (X,{\mathcal {I}})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, 쌍대 매트로이드의 제한의 쌍대 매트로이드 X . S = ( X ∗ ↾ S ) ∗ = ( S , ⋃ B ∈ max I Pow ⁡ ( S ∖ B ) ) {\displaystyle X.S=(X^{*}\upharpoonright S)^{*}=\left(S,\bigcup _{B\in \max {\mathcal {I}}}\operatorname {Pow} (S\setminus B)\right)} 를 정의할 수 있다. ( Pow ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (-)} 는 멱집합이다.) 이는 매트로이드를 이루며, 이를 X {\displaystyle X} 의, S {\displaystyle S} 로의 축약(영어: contraction)하여 얻는 매트로이드라고 한다.:§3 (즉, 이 과정은 X ∖ S {\displaystyle X\setminus S} 의 축약이라고 한다.) 축약과 제한을 거듭 사용하여 얻는 매트로이드 ( X ′ , I ′ ) {\displaystyle (X',{\mathcal {I}}')} X ′ ⊆ X {\displaystyle X'\subseteq X} 를 X {\displaystyle X} 의 마이너라고 한다. 그래프 마이너는 매트로이드 마이너의 특수한 경우이다. 구체적으로, (유한 또는 무한) 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 (유한형) 순환 매트로이드를 M ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma )} 라고 하자. 또한, 임의의 변의 집합 S ⊆ M ⁡ ( Γ ) {\displaystyle S\subseteq \operatorname {M} (\Gamma )} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. M ⁡ ( Γ ↾ S ) = M ⁡ ( Γ ) ↾ S {\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma \upharpoonright S)=\operatorname {M} (\Gamma )\upharpoonright S} M ⁡ ( Γ . S ) = M ⁡ ( Γ ) . S {\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma .S)=\operatorname {M} (\Gamma ).S} M ⁡ ( Γ ⊔ K 0 ) = M ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma \sqcup K_{0})=\operatorname {M} (\Gamma )} 즉, 그래프에서 S {\displaystyle S} 에 속하지 않는 변들의 삭제는 순환 매트로이드에서 S {\displaystyle S} 에 속하지 않는 원소들의 삭제와 같다. 그래프에서 S {\displaystyle S} 에 속하지 않는 변들의 축약은 순환 매트로이드에서 S {\displaystyle S} 에 속하지 않는 원소들의 축약과 같다. 그래프에서, 홑 꼭짓점(아무 변과 결합하지 않는 꼭짓점)의 삭제는 그 순환 매트로이드에 영향을 주지 않는다. 이에 따라, 그래프의 순환 매트로이드의 매트로이드 마이너는 그래프 마이너의 순환 매트로이드이다. 유한 그래프의 그래프 마이너 관계는 정렬 원순서를 이룬다 (로버트슨-시모어 정리). 즉, 유한 그래프의 순환 매트로이드들로 국한하였을 때, 매트로이드 마이너 관계는 정렬 원순서를 이룬다. 그러나 모든 유한 매트로이드의 집합 위에서, 매트로이드 마이너 관계는 정렬 원순서를 이루지 못한다. Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Pendavingh, Rudi A.; Wollan, Paul (2013년 6월 1일). “Axioms for infinite matroids”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 239: 18–46. arXiv:1003.3919. Bibcode:2010arXiv1003.3919B. doi:10.1016/j.aim.2013.01.011. 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