산술 기하 평균

수학에서 산술 기하 평균(算術幾何平均, 영어: arithmetic–geometric mean)은 산술 평균과 기하 평균 연산에 의한 점화 수열에 극한을 취하여 얻어진 평균값이다. 구체적으로, 두 실수 x, y의 산술 기하 평균 M(x, y)는 다음과 같이 정의된다. 우선 두 수 x, y의 산술 평균을 a1, 기하 평균을 g1라고 하자. a 1 = x + y 2 {\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}} g 1 = x y {\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}} 이후 a1과 g1을 x와 y 자리에 넣어 이 연산을 반복하면 두 수열 (an), (gn)을 얻게 된다. a n + 1 = a n + g n 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}} g n + 1 = a n g n {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}} 이 두 수열은 같은 값으로 수렴하며, 이 수렴값을 x와 y의 산술 기하 평균이라 한다. M(x, y) 또는 agm(x, y)로 표기한다. 일반화적인 산술평균 및 기하평균은 다음과 같다. 24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다. a 1 = 24 + 6 2 = 15 {\displaystyle a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15} g 1 = 24 × 6 = 12 {\displaystyle g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=12} 이 과정을 다음과 같이 반복한다. a 2 = 15 + 12 2 = 13.5 g 2 = 15 × 12 = 13.41640786499 … … {\displaystyle {\begin{aligned}a_{2}&={\frac {15+12}{2}}=13.5\\g_{2}&={\sqrt {15\times 12}}=13.41640786499\dots \\\dots \end{aligned}}} 다섯번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다. 반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 되는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다. 두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 라그랑주의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 가우스에 의해 분석되었다. 기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다(산술-기하 평균 부등식), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최댓값보다 작다. 이러한 이유로 인해 min { x , y } ≤ g 1 ≤ g 2 ≤ ⋯ ≤ M ( x , y ) ≤ ⋯ ≤ a 2 ≤ a 1 ≤ max { x , y } {\displaystyle \min\{x,y\}\leq g_{1}\leq g_{2}\leq \cdots \leq M(x,y)\leq \cdots \leq a_{2}\leq a_{1}\leq \max\{x,y\}} 이 성립한다. x = y인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다. 위에서 알 수 있듯이, M(x, y)는 x와 y 사이에서, 더 정확히는 기하 평균과 산술 평균의 사이에서 값을 취한다. r ≥ 0에 대해, M(rx, ry) = r · M(x, y)의 등식이 성립한다. 다음은 M(x, y)의 적분 형식이다. M ( x , y ) = π 2 / ∫ 0 π 2 d θ x 2 cos 2 ⁡ θ + y 2 sin 2 ⁡ θ = π 4 ⋅ x + y K ( x − y x + y ) {\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}} 여기서 K(k)는 제1종 완전 타원 적분이다. K ( k ) = ∫ 0 π 2 d θ 1 − k 2 sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}} 산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터의 설계 등에 사용되기도 한다. 1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수는 가우스 상수라고 불린다. G = 1 M ( 1 , 2 ) = 0.8346268 … {\displaystyle G={\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\ldots } 기하 조화 평균은 이와 비슷하게 기하 평균과 조화 평균을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 기하 평균과 같다. 산술 기하 평균은 로그와 제1종 완전 타원 적분을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 제2종 완전 타원 적분을 효율적으로 계산할 수 있다. 두 수열 (an), (gn)은 항상 같은 값으로 수렴한다. 다음은 이를 증명한 것이다. 산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 n에 대해 다음이 성립한다. g n ≤ a n {\displaystyle g_{n}\leq a_{n}} x ≤ y는 증명에 영향을 주지 않는 가정이다. 이 때 다음이 성립한다. x ≤ g 1 a 1 ≤ y {\displaystyle {\begin{aligned}x&\leq g_{1}\\a_{1}&\leq y\end{aligned}}} 또한 다음과 같이 (an), (gn) 모두가 단조수열임을 보일 수 있다. g n + 1 = g n a n ≥ g n g n = g n {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}g_{n}}}=g_{n}} a n + 1 = g n + a n 2 ≤ a n + a n 2 = a n {\displaystyle a_{n+1}={\frac {g_{n}+a_{n}}{2}}\leq {\frac {a_{n}+a_{n}}{2}}=a_{n}} 모든 부등식을 연립하면 다음을 얻는다. x ≤ g 1 ≤ g 2 ≤ ⋯ ≤ a 2 ≤ a 1 ≤ y {\displaystyle x\leq g_{1}\leq g_{2}\leq \cdots \leq a_{2}\leq a_{1}\leq y} 따라서 (an), (gn) 모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한 a n = g n + 1 2 g n {\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}} 의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다. 멱평균 산술-기하 평균 부등식 가우스-르장드르 알고리즘 agm(24, 6) - WolframAlpha David A. Cox (2004). 〈The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss〉. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein. 《Pi: A Source Book》 (영어). Springer. 481쪽. ISBN 978-0-387-20571-7.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) 여기에 처음 출간됨: L'Enseignement Mathématique t. 30 (1984), 275-330쪽 Hercules G. Dimopoulos (2011). 《Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis》 (영어). Springer. 147–155쪽. ISBN 978-94-007-2189-0.  Adlaj, Semjon (September 2012), “An eloquent formula for the perimeter of an ellipse” (PDF), 《Notices of the AMS》 (영어) 59 (8): 1094–1099, doi:10.1090/noti879, 2013년 12월 14일에 확인함  Adlaj, Semjon (September 2012). “An eloquent formula for the perimeter of an ellipse” (PDF). 《Notices of the AMS》 (영어) 59 (8): 1094–1099. doi:10.1090/noti879.  Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem. Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218. Hazewinkel, M. (2001). “Arithmetic-geometric mean process”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Arithmetic-Geometric Mean”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.