유계 집합

수학에서 유계 집합(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 부분 집합이다. 유계성은 순서나 거리를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다. 유계 집합은 원순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 무계 집합(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 부분 집합 S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다면, S {\displaystyle S} 가 위로 유계(영어: bounded from above)라고 하며, x {\displaystyle x} 를 S {\displaystyle S} 의 상계(영어: upper bound)라고 한다. 임의의 s ∈ X {\displaystyle s\in X} 에 대하여, s ≲ x {\displaystyle s\lesssim x} 마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다면, S {\displaystyle S} 가 아래로 유계(영어: bounded from below)라고 하며, x {\displaystyle x} 를 S {\displaystyle S} 의 하계(영어: lower bound)라고 한다. 임의의 s ∈ X {\displaystyle s\in X} 에 대하여, x ≲ s {\displaystyle x\lesssim s} 유계 집합은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 부분 집합 S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다면, S {\displaystyle S} 가 유계 집합이라고 한다. sup s ∈ S d ( x , s ) < ∞ {\displaystyle \sup _{s\in S}d(x,s)<\infty } 만약 M {\displaystyle M} 전체가 유계라면, M {\displaystyle M} 은 유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 S ⊂ V {\displaystyle S\subset V} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 S {\displaystyle S} 를 (폰 노이만) 유계 집합이라고 한다. 영벡터의 임의의 근방 N ∋ 0 {\displaystyle N\ni 0} 에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 a ∈ K {\displaystyle a\in \mathbb {K} } 가 존재한다. S ⊂ a N {\displaystyle S\subset aN} 영벡터의 임의의 근방 N ∋ 0 {\displaystyle N\ni 0} 에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 양의 실수 r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}} 가 존재한다. 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in \mathbb {K} } 에 대하여, 만약 | a | ≥ r {\displaystyle |a|\geq r} 라면 S ⊂ a N {\displaystyle S\subset aN} 임의의 점렬 ( s n ) n = 0 ∞ ⊂ S {\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }\subset S} 및 ( a n ) n = 0 ∞ ⊂ K {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {K} } 에 대하여, 만약 a n → 0 {\displaystyle a_{n}\to 0} 이라면, a n s n → 0 {\displaystyle a_{n}s_{n}\to 0} 이다.:23, Theorem 1.30 이때 a N = { a n : n ∈ N } {\displaystyle aN=\{an\colon n\in N\}} 이다. 일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서나 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다. 노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 국소 볼록 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다. 실수의 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 경우 전순서와 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에서, 모든 콤팩트 집합은 유계 집합이다. 특히, 모든 유한 집합은 유계 집합이다. 모든 상대 콤팩트 집합은 (콤팩트 집합의 부분 집합이므로) 유계 집합이다. 반대로, 모든 유계 집합은 약한 위상에 대한 상대 콤팩트 집합이다. 모든 코시 점렬은 유계 집합이지만, 코시 그물이 유계 집합일 필요는 없다. 만약 V {\displaystyle V} 가 하우스도르프 공간이라면, V {\displaystyle V} 의 모든 (영공간이 아닌) 부분 공간은 유계 집합이 아니다. 유계 집합의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다. 집합 A의 모든 가산 부분집합이 유계이면 집합 A는 유계이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에서, 유계 집합의 부분 집합은 자명하게 유계 집합이다. 유계 집합의 폐포는 유계 집합이다. 만약 V {\displaystyle V} 가 국소 볼록 공간이라면, 유계 집합의 볼록 폐포는 유계 집합이다. (국소 볼록성이 없다면, 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 인 L p {\displaystyle L^{p}} 공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.) 유계 집합의 유한한 합집합이나 유한합은 유계 집합이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 사이의 모든 연속 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 는 유계 작용소(즉, 유계 집합의 상은 유계 집합)이다. 만약 V {\displaystyle V} 가 제1 가산 공간이라면, 모든 유계 작용소 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 는 연속 함수이다. (반면, 0이 아닌 선형 변환은 유계 함수일 수 없다.) K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에서, 영벡터 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 가 유계 근방을 갖는다면, V {\displaystyle V} 가 국소 유계 공간(영어: locally bounded space)이라고 한다. 모든 국소 유계 공간은 제1 가산 공간이다.:13, Theorem 1.15(c) 증명: B ∋ 0 {\displaystyle B\ni 0} 가 0의 근방이며, 유계 집합이라고 하자. 유계 집합의 정의에 따라 { ( 1 / n ) B : n ∈ Z + } {\displaystyle \{(1/n)B\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 가 0의 국소 기저임을 보일 수 있으며, 이는 가산 집합이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 반노름화 가능 공간이다. 국소 유계 공간이다. 유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 R에 있는 위상 가군 M의 부분집합 A는 0M의 모든 근방 N에 대해서 w A ⊂ N가 성립하도록 하는 0R의 근방 w이 있을 때, 유계 집합이라고 한다. 상한과 하한 유계 함수 순서론 완전 유계 공간 경계점 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.  Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 44–46쪽.  H.H. Schaefer (1970). 《Topological Vector Spaces》. GTM 3. Springer-Verlag. 25–26쪽. ISBN 0-387-05380-8.  “Bounded set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.