공종도

집합론에서 공종도(共終度, 영어: cofinality)는 주어진 원순서 집합의 공종 집합의 최소 크기이다. 이는 원순서 집합의 일종의 복잡도를 나타낸다. 임의의 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여, X {\displaystyle X} 의 공종도 cf ⁡ X {\displaystyle \operatorname {cf} X} 는 X {\displaystyle X} 의 공종 집합들의 크기들의 최솟값이다.:198, §1 마찬가지로, X {\displaystyle X} 의 공시작도 cf ⁡ ( X op ) {\displaystyle \operatorname {cf} (X^{\operatorname {op} })} 는 X {\displaystyle X} 의 공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다. 정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수 α {\displaystyle \alpha } 의 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 α {\displaystyle \alpha } 의 공종도와 일치한다.:32, Definition I.10.30 기수 κ {\displaystyle \kappa } 의 공종도 cf ⁡ κ {\displaystyle \operatorname {cf} \kappa } 는 순서수로서의 공종도이다. 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다. cf ⁡ κ = min { | I | : κ = ∑ i ∈ I λ i , ∀ i : λ i < κ } {\displaystyle \operatorname {cf} \kappa =\min \left\{|I|\colon \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i},\;\forall i\colon \lambda _{i}<\kappa \right\}} 즉, κ {\displaystyle \kappa } 를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다. 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 정칙 기수(正則基數, 영어: regular cardinal)라고 한다. 공종도 함수의 고정점이다. 즉, α = cf ⁡ α {\displaystyle \alpha =\operatorname {cf} \alpha } 이다.:198, §1:33, Definition I.10.34 임의의 순서수들의 집합 S ⊆ Ord {\displaystyle S\subseteq \operatorname {Ord} } 에 대하여, α = sup Ord S {\displaystyle \textstyle \alpha =\sup _{\operatorname {Ord} }S} 라면 (즉, S ⊆ α {\displaystyle S\subseteq \alpha } 가 공종 집합이라면) α {\displaystyle \alpha } 는 ( S , ≤ ) {\displaystyle (S,\leq )} 와 순서 동형이다. α {\displaystyle \alpha } 는 기수이며, α ≠ 2 {\displaystyle \alpha \neq 2} 이며, α {\displaystyle \alpha } 개 미만의, α {\displaystyle \alpha } 미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합 ( κ i ) i ∈ I {\displaystyle (\kappa _{i})_{i\in I}} 에 대하여 α ≤ ∑ i ∈ I κ {\displaystyle \textstyle \alpha \leq \sum _{i\in I}\kappa } 라면 | I | ≥ α {\displaystyle |I|\geq \alpha } 이거나, κ i ≥ α {\displaystyle \kappa _{i}\geq \alpha } 인 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 존재한다. (여기서 ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } 은 기수의 합이다.) α ≠ 2 {\displaystyle \alpha \neq 2} 는 기수이며, 크기가 α {\displaystyle \alpha } 미만인 집합들의 범주 Set < α {\displaystyle \operatorname {Set} _{<\alpha }} 는 크기 κ {\displaystyle \kappa } 미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다. (일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.) 만약 κ > cf ⁡ κ {\displaystyle \kappa >\operatorname {cf} \kappa } 라면, κ {\displaystyle \kappa } 를 특이 기수(特異基數, 영어: singular cardinal)라고 한다. κ < cf ⁡ κ {\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} \kappa } 는 불가능하다. 공종도 함수는 멱등 함수이다.:33, Corollary I.10.33 즉, 모든 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 cf ⁡ cf ⁡ α = cf ⁡ α {\displaystyle \operatorname {cf} \operatorname {cf} \alpha =\operatorname {cf} \alpha } 이다. 즉, cf ⁡ α {\displaystyle \operatorname {cf} \alpha } 는 항상 정칙 기수이다. 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 다음이 성립한다. cf ⁡ α ≤ α {\displaystyle \operatorname {cf} \alpha \leq \alpha } 이는 α {\displaystyle \alpha } 전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다. 임의의 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.) cf ⁡ κ ≤ κ < min { cf ⁡ ( 2 κ ) , κ cf ⁡ ( κ ) } ≤ 2 κ {\displaystyle \operatorname {cf} \kappa \leq \kappa <\min \left\{\operatorname {cf} (2^{\kappa }),\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}\right\}\leq 2^{\kappa }} 1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다. 임의의 양의 자연수 n > 0 {\displaystyle n>0} 의 경우, (따름 순서수이므로) cf ⁡ n = 1 {\displaystyle \operatorname {cf} n=1} 이다. 0의 경우 cf ⁡ 0 = 0 {\displaystyle \operatorname {cf} 0=0} 이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다. 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다. cf ⁡ α = 0 {\displaystyle \operatorname {cf} \alpha =0} α = 0 {\displaystyle \alpha =0} 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다. cf ⁡ α = 1 {\displaystyle \operatorname {cf} \alpha =1} α {\displaystyle \alpha } 는 따름 순서수이다. 이는 { α } {\displaystyle \{\alpha \}} 가 α + 1 {\displaystyle \alpha +1} 의 공종 집합이기 때문이다. 임의의 극한 순서수 λ {\displaystyle \lambda } 에 대하여, ℵ λ = ∑ α < λ ℵ α {\displaystyle \aleph _{\lambda }=\sum _{\alpha <\lambda }\aleph _{\alpha }} 이므로 cf ⁡ ℵ λ = cf ⁡ λ {\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{\lambda }=\operatorname {cf} \lambda } 이다. cf ⁡ ℵ 0 = ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{0}=\aleph _{0}} 이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 cf ⁡ ℵ α + 1 = ℵ α + 1 {\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha +1}} 이다. 정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} 이며, cf ⁡ ℵ ω = cf ⁡ ω = ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{\omega }=\operatorname {cf} \omega =\aleph _{0}} 이다. 반면 ℵ 0 < cf ⁡ ( 2 ℵ 0 ) {\displaystyle \aleph _{0}<\operatorname {cf} (2^{\aleph _{0}})} 이므로, 2 ℵ 0 ≠ ℵ ω {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }} 이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 은 ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} 보다 클 수도, 작을 수도 있다. 편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다. ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, ℵ α + 1 {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}} 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, cf ⁡ κ {\displaystyle \operatorname {cf} \kappa } 실수의 전순서 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 공종도는 cf ⁡ ( R ) = ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {cf} (\mathbb {R} )=\aleph _{0}} 이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 N ⊆ R {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {R} } 이 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 공종 집합이기 때문이다. 확장된 실수의 전순서 집합 R ¯ = [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]} 의 공종도는 1이다. 이는 R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 가 최대 원소 ∞ {\displaystyle \infty } 를 갖기 때문이다. 집합 S {\displaystyle S} 의 진부분 집합들의 멱집합 Pow ⁡ ( S ) ∖ { S } {\displaystyle \operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}} 의 공종도는 | S | {\displaystyle |S|} 이다. 이는 공종 집합 { S ∖ { s } : s ∈ S } ⊆ Pow ⁡ ( S ) ∖ { S } {\displaystyle \{S\setminus \{s\}\colon s\in S\}\subseteq \operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}} 이 최소의 공종 집합이기 때문이다. 닫힌 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공종도는 X {\displaystyle X} 의 극대 원소들의 동치류들의 수이다. Shelah, Saharon (1992년 4월). “Cardinal arithmetic for skeptics”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 26 (2): 197–210. arXiv:math/9201251. Bibcode:1992math......1251S. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6. ISSN 0273-0979. MR 1112424.  Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 9월 12일에 확인함.  “Ordinal number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Cofinality”. 《nLab》 (영어).  “Regular cardinal”. 《nLab》 (영어).  “Definition: cofinality”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: regular cardinal”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: singular cardinal”. 《ProofWiki》 (영어).