내림 데이터

범주론에서 내림 데이터(-data, 영어: descent datum, 프랑스어: donnée de descente)는 어떤 올범주의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 수학 분야를 내림 이론(영어: descent theory, 프랑스어: théorie de la descente)이라고 한다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 올범주 Π : F → C {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 U ∈ C {\displaystyle U\in {\mathcal {C}}} U {\displaystyle U} 위의 체 S ⊆ hom C ⁡ ( − , U ) {\displaystyle S\subseteq \hom _{\mathcal {C}}(-,U)} 그렇다면, S {\displaystyle S} 는 함자 C op → Set {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } X ↦ S ( X ) {\displaystyle X\mapsto S(X)} ( X → f Y ) ↦ ( S ( Y ) → f ∗ S ( X ) ) {\displaystyle \left(X{\xrightarrow {f}}Y\right)\mapsto \left(S(Y){\xrightarrow {f^{*}}}S(X)\right)} 로 생각할 수 있다. 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가하여 올범주 Π S : Elem ⁡ ( S ) → C {\displaystyle \Pi _{S}\colon \operatorname {Elem} (S)\to {\mathcal {C}}} 를 정의할 수 있다. 여기서 Elem ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Elem} (S)} 의 대상 ( X , ι ) {\displaystyle (X,\iota )} 는 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 및 ( ι : X → U ) ∈ S ( X ) {\displaystyle (\iota \colon X\to U)\in S(X)} 로 구성된다. 즉, X {\displaystyle X} 위의 올은 S ( X ) {\displaystyle S(X)} 이다. S {\displaystyle S} 위의 내림 데이터는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -올범주의 사상 F : Elem ⁡ ( S ) / C → F / C {\displaystyle F\colon \operatorname {Elem} (S)/{\mathcal {C}}\to {\mathcal {F}}/{\mathcal {C}}} 이다. 즉, 가환 그림 Elem ⁡ ( S ) → F ↘ ↓ C {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Elem} (S)&\to &{\mathcal {F}}\\&\searrow &\downarrow \\&&{\mathcal {C}}\end{matrix}}} 을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 함자이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 위치 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 올범주 Π : F → C {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 U ∈ C {\displaystyle U\in {\mathcal {C}}} U {\displaystyle U} 의 덮개체 { ι i : U i → U } i ∈ I {\displaystyle \{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}} 그렇다면, S {\displaystyle S} 위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 대상 F i ∈ F ( U i ) {\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})} 임의의 사상 u : U i → U j {\displaystyle u\colon U_{i}\to U_{j}} 에 대하여 ( ι j ∘ u = ι i {\displaystyle \iota _{j}\circ u=\iota _{i}} ), Π ( ϕ u ) = u {\displaystyle \Pi (\phi _{u})=u} 인 데카르트 사상 ϕ u : F i → F j {\displaystyle \phi _{u}\colon F_{i}\to F_{j}} 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. u = id U i {\displaystyle u=\operatorname {id} _{U_{i}}} 일 때, ϕ id U i = id F i {\displaystyle \phi _{\operatorname {id} _{U_{i}}}=\operatorname {id} _{F_{i}}} 임의의 U i → u U j → v U k {\displaystyle U_{i}{\xrightarrow {u}}U_{j}{\xrightarrow {v}}U_{k}} 에 대하여 ( ι j ∘ u = ι i {\displaystyle \iota _{j}\circ u=\iota _{i}} , ι k ∘ v = ι j {\displaystyle \iota _{k}\circ v=\iota _{j}} ), ϕ v ∘ u = ϕ v ∘ ϕ u {\displaystyle \phi _{v\circ u}=\phi _{v}\circ \phi _{u}} 만약 올범주 F / C {\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {C}}} 의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림 u ∗ F j → F j {\displaystyle u^{*}F_{j}\to F_{j}} 이 주어지며, 이 경우 (데카르트 사상의 보편 성질에 의하여) ϕ u {\displaystyle \phi _{u}} 는 (유일하게 결정되는) 동형 사상 F i → u ∗ F j {\displaystyle F_{i}\to u^{*}F_{j}} 으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다. 체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합 { ι i : U i → U } {\displaystyle \{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}} 에 대하여 적용되도록 번역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 모든 당김을 갖는 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 올범주 Π : F → C {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 U ∈ C {\displaystyle U\in {\mathcal {C}}} U {\displaystyle U} 를 공역으로 하는 사상들의 집합 { ι i : U i → U } i ∈ I {\displaystyle \{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}} . 그렇다면, S {\displaystyle S} 위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 및 사상 f : X → U i {\displaystyle f\colon X\to U_{i}} 에 대하여, 대상 F i , f ∈ F ( X ) {\displaystyle F_{i,f}\in {\mathcal {F}}(X)} 각 가환 오각형 X → f U i → ι i U u ↓ ‖ X ′ → f ′ U j → ι j U {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&U_{i}&{\overset {\iota _{i}}{\to }}&U\\\scriptstyle u\downarrow &&&&\|\\X'&{\underset {f'}{\to }}&U_{j}&{\underset {\iota _{j}}{\to }}&U\end{matrix}}} 에 대하여, Π ( F i , f , u , j , f ′ ) = u {\displaystyle \Pi (F_{i,f,u,j,f'})=u} 인 데카르트 사상 ϕ i , f , u , j , f ′ : F i , f → F j , f ′ {\displaystyle \phi _{i,f,u,j,f'}\colon F_{i,f}\to F_{j,f'}} 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. f : X → U i {\displaystyle f\colon X\to U_{i}} 에 대하여, ϕ i , f id X , i , f = id F i {\displaystyle \phi _{i,f\operatorname {id} _{X},i,f}=\operatorname {id} _{F_{i}}} 임의의 당김 U i × U U j → U i ↓ ↓ ι i U j → ι j U {\displaystyle {\begin{matrix}U_{i}\times _{U}U_{j}&\to &U_{i}\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \iota _{i}\\U_{j}&{\underset {\iota _{j}}{\to }}&U\end{matrix}}} 에 대하여, F i , proj U i = F j , proj U j {\displaystyle F_{i,\operatorname {proj} _{U_{i}}}=F_{j,\operatorname {proj} _{U_{j}}}} 임의의 가환 그림 X → f U i → ι i U u ↓ ‖ X ′ → f ′ U j → ι j U v ↓ ‖ X ″ → f ″ U k → ι k U {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&U_{i}&{\overset {\iota _{i}}{\to }}&U\\\scriptstyle u\downarrow &&&&\|\\X'&{\underset {f'}{\to }}&U_{j}&{\underset {\iota _{j}}{\to }}&U\\\scriptstyle v\downarrow &&&&\|\\X''&{\underset {f''}{\to }}&U_{k}&{\underset {\iota _{k}}{\to }}&U\end{matrix}}} 에 대하여, ϕ j , f ′ , v , k , f ″ ∘ ϕ i , f , u , j , f ′ = ϕ k , f ″ , v ∘ u , i , f {\displaystyle \phi _{j,f',v,k,f''}\circ \phi _{i,f,u,j,f'}=\phi _{k,f'',v\circ u,i,f}} 올범주 F / C {\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {C}}} 의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각 F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} 및 f ∈ Mor ⁡ ( C ) {\displaystyle f\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})} 에 대하여 올림 f ∗ X → ϕ f , X X {\displaystyle f^{*}X{\xrightarrow {\phi _{f,X}}}X} 가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 대상 F i ∈ F ( U i ) {\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})} 각 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 및 당김 U i ← proj U i U i × U U j → proj U j U j {\displaystyle U_{i}{\xleftarrow {\operatorname {proj} _{U_{i}}}}U_{i}\times _{U}U_{j}{\xrightarrow {\operatorname {proj} _{U_{j}}}}U_{j}} 에 대하여, 동형 사상 ϕ i j : proj U j ∗ ⁡ F j → proj U i ∗ ⁡ F i {\displaystyle \phi _{ij}\colon \operatorname {proj} _{U_{j}}^{*}F_{j}\to \operatorname {proj} _{U_{i}}^{*}F_{i}} 이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. 모든 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 ϕ i , i = id {\displaystyle \phi _{i,i}=\operatorname {id} } 이며, ϕ i , j ∘ ϕ j , i = id {\displaystyle \phi _{i,j}\circ \phi _{j,i}=\operatorname {id} } 이다. (공사슬 조건 영어: cocycle condition) 모든 i , j , k ∈ I {\displaystyle i,j,k\in I} 에 대하여, proj 13 ∗ ⁡ ϕ i , k = proj 12 ∗ ⁡ ϕ i , j ∘ proj 23 ∗ ⁡ ϕ j , k : proj 3 ∗ ⁡ F i → proj 1 ∗ ⁡ F k {\displaystyle \operatorname {proj} _{13}^{*}\phi _{i,k}=\operatorname {proj} _{12}^{*}\phi _{i,j}\circ \operatorname {proj} _{23}^{*}\phi _{j,k}\colon \operatorname {proj} _{3}^{*}F_{i}\to \operatorname {proj} _{1}^{*}F_{k}} . 여기서 proj ( − ) {\displaystyle \operatorname {proj} _{(-)}} 는 U i × U U j × U U k {\displaystyle U_{i}\times _{U}U_{j}\times _{U}U_{k}} 의 각종 사영 사상이다. 그렇다면, 임의의 사상 f : X → U i {\displaystyle f\colon X\to U_{i}} 에 대하여 F i , f = dom ⁡ f ∗ F i {\displaystyle F_{i,f}=\operatorname {dom} f^{*}F_{i}} 인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다. 올범주 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 및 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 위의 그로텐디크 위상 및 대상 U ∈ B {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}} 및 그 덮개 { U i → U } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\to U\}_{i\in I}} 에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다. U {\displaystyle U} 위의 올 E ( U ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(U)} 덮개 { U i → U } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\to U\}_{i\in I}} 에 대한 내림 데이터의 범주 Desc ⁡ ( { U i → U } i ∈ I ) {\displaystyle \operatorname {Desc} (\{U_{i}\to U\}_{i\in I})} 또한, Π {\displaystyle \Pi } 위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자 E ( U ) → Desc ⁡ ( { ι i : U i → U } i ∈ I ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(U)\to \operatorname {Desc} (\{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I})} 가 존재한다. 이 함자는 F ∈ E ( U ) {\displaystyle F\in {\mathcal {E}}(U)} 에 대하여, F i {\displaystyle F_{i}} 에 대하여 F i = ι i ∗ F {\displaystyle F_{i}=\iota _{i}^{*}F} 를 대응시킨다. 만약 이 함자 E ( U ) → Desc ⁡ ( { ι i } i ∈ I ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(U)\to \operatorname {Desc} (\{\iota _{i}\}_{i\in I})} 가 충실충만한 함자라면, 덮개 { ι i } i ∈ I {\displaystyle \{\iota _{i}\}_{i\in I}} 가 충실충만한 내림(充實充滿-, 영어: fully faithful descent)을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 범주의 동치라면, 덮개 { ι i } i ∈ I {\displaystyle \{\iota _{i}\}_{i\in I}} 가 효과적 내림(效果的-, 영어: effective descent)을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터 E ( U ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(U)} 속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.) 올범주 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 및 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 위의 그로텐디크 위상에 대하여, 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면, Π {\displaystyle \Pi } 를 준스택(영어: prestack)이라고 한다. 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면, Π {\displaystyle \Pi } 를 스택(영어: stack)이라고 한다. 위상 공간의 범주의 화살표 범주 Top → {\displaystyle \operatorname {Top} ^{\to }} 를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자 cod : Top → → Top {\displaystyle \operatorname {cod} \colon \operatorname {Top} ^{\to }\to \operatorname {Top} } 에 의하여, 이는 올범주를 이루며, X {\displaystyle X} 위의 올은 조각 범주 Top ⁡ / X {\displaystyle \operatorname {Top} /X} 이다. 이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉, Top → {\displaystyle \operatorname {Top} ^{\to }} 은 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 위의 스택을 이룬다. 준연접층 QCoh ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (-)} 는 스킴의 범주 Sch {\displaystyle \operatorname {Sch} } 위의 올범주를 이룬다. Sch {\displaystyle \operatorname {Sch} } 위의, fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서, QCoh {\displaystyle \operatorname {QCoh} } 는 (fpqc 위상을 부여한) Sch {\displaystyle \operatorname {Sch} } 위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다. 보다 일반적으로, 임의의 스킴 S ∈ Sch {\displaystyle S\in \operatorname {Sch} } 에 대하여, QCoh ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (-)} 는 조각 범주 Sch ⁡ / S {\displaystyle \operatorname {Sch} /S} 위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다. 내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권에서 도입되었다. 스택 (수학) 그로텐디크 위상 Grothendieck, A., 편집. (1971). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 224. Springer. arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058656. ISBN 978-3-540-05614-0. ISSN 0075-8434.  Brochard, Sylvain (2012). “Topologies de Grothendieck, descente, quotients” (프랑스어). arXiv:1210.0431. Bibcode:2012arXiv1210.0431B.  Vistoli, Angelo (2007년 5월 17일). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). arXiv:math/0412512. Bibcode:2004math.....12512V.  “Form of an (algebraic) structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Category of descent data”. 《nLab》 (영어).  “Descent”. 《nLab》 (영어).  “Descent morphism”. 《nLab》 (영어).  “Descent object”. 《nLab》 (영어).  “descent of affine schemes”. 《nLab》 (영어).  “Cohomological descent”. 《nLab》 (영어).  “Monadic descent”. 《nLab》 (영어).  “Higher monadic descent”. 《nLab》 (영어).  “Descent in noncommutative algebraic geometry”. 《nLab》 (영어).  Beardsley, Jon (2013년 11월 27일). “Thoughts on descent”. 《Chromotopy》 (영어). 2015년 3월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 20일에 확인함.  “What is descent theory?” (영어). Math Overflow.  “What is descent data of higher categories, conceptually?” (영어). Math Overflow.