띠그래프

그래프 이론과 위상수학에서, 띠그래프(영어: ribbon graph 리본 그래프[*]) 또는 뚱뚱한 그래프(영어: fat graph)는 주어진 꼭짓점에 인접한 변들에 대한 순환 순열이 주어진 그래프이다. 주어진 띠그래프로부터, 이에 대응하는 곡면을 구성할 수 있다. 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 반변(半邊, 영어: half-edge) 또는 유향변(有向邊, 영어: oriented edge)는 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 와, 이에 인접한 변 e = { v , u } ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle e=\{v,u\}\in \operatorname {E} (\Gamma )} 의 순서쌍이다. (이는 변 ( v , u ) {\displaystyle (v,u)} 의 v {\displaystyle v} 쪽 “절반”, 즉 “ ( v , [ u + v ] / 2 ) {\displaystyle (v,[u+v]/2)} ”로 생각할 수 있다. 이에 따라, 반변의 집합 E ¯ ⁡ ( Γ ) ⊆ V ⁡ ( Γ ) × V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )\times \operatorname {V} (\Gamma )} 은 V ⁡ ( Γ ) × V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )\times \operatorname {V} (\Gamma )} 의 부분 집합이다. 반변의 집합 E ¯ ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )} 위에는 다음과 같은 자연스러운 집합의 분할이 존재한다. E ¯ ⁡ ( Γ ) = ⨆ v ∈ V E ¯ v ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )=\bigsqcup _{v\in V}\operatorname {\bar {E}} _{v}(\Gamma )} E ¯ v ⁡ ( Γ ) = { ( v , u ) : ( v , u ) ∈ E ¯ ⁡ ( Γ ) , u ∈ V ⁡ ( Γ ) } {\displaystyle \operatorname {\bar {E}} _{v}(\Gamma )=\{(v,u)\colon (v,u)\in \operatorname {\bar {E}} (\Gamma ),\;u\in \operatorname {V} (\Gamma )\}} 띠그래프 ( Γ , σ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:Definition 1.5 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 그래프이며, 모든 꼭짓점의 차수는 유한하다. 즉, 임의의 v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여 E ¯ v ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {\bar {E}} _{v}(\Gamma )} 는 유한하다. σ : E ¯ ⁡ ( Γ ) → E ¯ ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \sigma \colon \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )\to \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )} 는 전단사 함수(즉, 순열)이며, 다음 조건을 만족시킨다. 순열 σ {\displaystyle \sigma } 에 따라, E ¯ ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )} 는 σ {\displaystyle \sigma } 의 순환들로 분할되는데, 이 분할은 ⨆ v ∈ V E ¯ v ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{v\in V}\operatorname {\bar {E}} _{v}(\Gamma )} 과 일치한다. 띠그래프 ( Γ , σ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma )} 가 주어졌을 때, 다음을 정의하자. 각 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여, deg ⁡ v = k {\displaystyle \deg v=k} 일 때, k {\displaystyle k} -정다각형 e v {\displaystyle e_{v}} . 정다각형의 변들은 각각 v {\displaystyle v} 와 인접한 반변 ( v , u 1 ) , … , ( v , u k ) {\displaystyle (v,u_{1}),\dotsc ,(v,u_{k})} 들과 대응시킬 수 있으며, 이들은 (시계 반대 방향으로) σ {\displaystyle \sigma } 에 의하여 정의된 순환 순열에 따라 배치된다. 그렇다면, 이 정다각형의 족 ( e v ) v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (e_{v})_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}} 가 주어졌을 때, 이들을 다음과 같이 짜깁기할 수 있다. 각 변 ( u , v ) ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여, e u {\displaystyle e_{u}} 에서 v {\displaystyle v} 에 대응하는 변과 e v {\displaystyle e_{v}} 에서 u {\displaystyle u} 에 대응하는 변을 (방향을 보존하며) 짜깁기한다. 그렇다면, 어떤 유향 곡면(2차원 다양체) Σ Γ , σ {\displaystyle \Sigma _{\Gamma ,\sigma }} 를 얻는다. 이를 띠그래프 ( Γ , σ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma )} 의 기하학적 실현(영어: geometric realization)이라고 한다. 계량 띠그래프(영어: metric ribbon graph) ( Γ , σ , ℓ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma ,\ell )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. ( Γ , σ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma )} 는 유한 개의 꼭짓점과 변을 갖는 연결 띠그래프이다. ℓ : E ⁡ ( Γ ) → R + {\displaystyle \ell \colon \operatorname {E} (\Gamma )\to \mathbb {R} ^{+}} 는 각 변에 양의 실수를 대응시키는 함수이다. 이를 변의 길이(영어: length)라고 한다. 그렇다면, 각 계량 띠그래프에 표준적으로 어떤 연결 콤팩트 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 및 그 속의 유한 집합 { z 1 , … , z n } {\displaystyle \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}} 및 이에 대한 슈트레벨 미분을 대응시킬 수 있다.:§5 또한, Σ ∖ { z 1 , … , z n } {\displaystyle \Sigma \setminus \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}} 은 ( Γ , σ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma )} 의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 구체적으로, 계량 띠그래프 ( Γ , σ , ℓ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma ,\ell )} 에 대하여 다음을 정의하자. r = min ( u , v ) ∈ E ⁡ ( Γ ) ℓ ( u , v ) {\displaystyle \textstyle r=\min _{(u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )}\ell (u,v)} . (사실 이는 이 값 이하의 임의의 양의 실수로 놓아도 된다.) 각 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여, 원 U v = { z ∈ C : | z | < r } {\displaystyle U_{v}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<r\}} . 각 유향변 ( u , v ) ∈ E ¯ ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (u,v)\in \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )} 에 대하여, 복소평면의 부분 집합 U ( u , v ) = { z ∈ C : 0 < Re ⁡ ( z ) < ℓ ( u , v ) } {\displaystyle U_{(u,v)}=\{z\in \mathbb {C} \colon 0<\operatorname {Re} (z)<\ell (u,v)\}} 각 경계 성분 b = ( v 1 , v 2 , … , v k ) {\displaystyle b=(v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{k})} 에 대하여, 단위 원 U b = { z ∈ C : | z | < 1 } {\displaystyle U_{b}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}} 각 유향변 ( u , v ) ∈ E ¯ ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (u,v)\in \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )} 에 대하여, 함수 f ( u , v ) : U ( u , v ) → U ( v , u ) {\displaystyle f_{(u,v)}\colon U_{(u,v)}\to U_{(v,u)}} f ( u , v ) : z ↦ ℓ ( u , v ) − z {\displaystyle f_{(u,v)}\colon z\mapsto \ell (u,v)-z} 각 꼭짓점 v {\displaystyle v} 및 k ∈ { 1 , … , deg ⁡ v } {\displaystyle k\in \{1,\dotsc ,\deg v\}} 번째 유향변 ( v , u i ) ∈ E ¯ v ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (v,u_{i})\in \operatorname {\bar {E}} _{v}(\Gamma )} 에 대하여, 함수 g ( v , u k ) : { z ∈ U ( v , u k ) : | z | < r → U v {\displaystyle g_{(v,u_{k})}\colon \{z\in U_{(v,u_{k})\colon |z|<r}\to U_{v}} g ( v , u k ) : z ↦ ( exp ⁡ 2 π i k deg ⁡ v ) z 2 / deg ⁡ v {\displaystyle g_{(v,u_{k})}\colon z\mapsto \left(\exp {\frac {2\pi \mathrm {i} k}{\deg v}}\right)z^{2/\deg v}} 길이 n {\displaystyle n} 의 경계 성분 b = ( v 0 , v 1 , v 2 , … , v n − 1 , v n = v 0 ) {\displaystyle b=(v_{0},v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{n-1},v_{n}=v_{0})} 및 k ∈ { 0 , … , n − 1 } {\displaystyle k\in \{0,\dotsc ,n-1\}} 에 대하여, 함수 h b , k : { z ∈ U ( v k , v k + 1 ) : Im ⁡ z > 0 } → U b {\displaystyle h_{b,k}\colon \{z\in U_{(v_{k},v_{k+1})}\colon \operatorname {Im} z>0\}\to U_{b}} h b , k : z ↦ exp ⁡ ( 2 π i ( ℓ ( v 0 , v 1 ) + ℓ ( v 1 , v 2 ) + ⋯ + ℓ ( v k − 1 , v k ) + z ) ) ℓ ( v 0 , v 1 ) + ℓ ( v 1 , v 2 ) + ⋯ + ℓ ( v n − 1 , v n ) ) {\displaystyle h_{b,k}\colon z\mapsto \exp \left(2\pi \mathrm {i} {\frac {\left(\ell (v_{0},v_{1})+\ell (v_{1},v_{2})+\dotsb +\ell (v_{k-1},v_{k})+z)\right)}{\ell (v_{0},v_{1})+\ell (v_{1},v_{2})+\dotsb +\ell (v_{n-1},v_{n})}}\right)} 그렇다면, 모든 U v {\displaystyle U_{v}} 들과 U ( u , v ) {\displaystyle U_{(u,v)}} 들과 U b {\displaystyle U_{b}} 들을 정칙 함수 f , g , h {\displaystyle f,g,h} 들로 짜깁기하여 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 를 만들 수 있다. U ( u , v ) {\displaystyle U_{(u,v)}} 의 경계들은 모두 U v {\displaystyle U_{v}} 및 U b {\displaystyle U_{b}} 에 의하여 덮이므로, 이는 콤팩트 리만 곡면이다. 또한, U b {\displaystyle U_{b}} 들의 원점들은 특별한 유한 집합 { z 1 , … , z n } ⊊ Σ {\displaystyle \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}\subsetneq \Sigma } 을 구성한다. U ( u , v ) {\displaystyle U_{(u,v)}} 위의 상수 정칙 이차 미분들은 짜깁기를 통해 Σ ∖ { z 1 , … , z n } {\displaystyle \Sigma \setminus \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}} 위의 정칙 이차 미분을 구성한다. 이는 각 z i {\displaystyle z_{i}} 근처에서 2차 극을 가져, Σ ∖ { z 1 , … , z n } {\displaystyle \Sigma \setminus \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}} 의 슈트레벨 미분을 이룬다. 이 경우, 경계 성분 b {\displaystyle b} 에 대응되는 양의 실수는 b {\displaystyle b} 를 구성하는 유향변들의 길이들의 합이다. ( Γ , σ , ℓ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma ,\ell )} 가 계량 띠그래프이며, 그 어떤 꼭짓점도 차수가 0, 1 또는 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 6.5 ( Γ , σ , ℓ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma ,\ell )} 로 정의되는 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 는 대수적 수의 체 Q ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}} 위의 대수 곡선을 이룬다. 즉, 벨리 사상 Σ → C P 1 {\displaystyle \Sigma \to \mathbb {CP} ^{1}} 및 이에 대응되는 데생당팡이 존재한다. 모든 변의 길이가 같다. 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 띠그래프 구조들의 수는 다음과 같다. ∏ v ∈ V ⁡ ( Γ ) ( deg Γ ⁡ v − 1 ) ! {\displaystyle \prod _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\deg _{\Gamma }v-1)!} 여기서 deg Γ ⁡ ( − ) {\displaystyle \deg _{\Gamma }(-)} 는 꼭짓점의 차수(즉, 꼭짓점과 인접한 변의 수)이다. 특히, 모든 꼭짓점의 차수가 2 이하라면, 띠그래프 구조는 유일하다. 띠그래프는 (CW 복합체로 여겼을 때) 그 기하학적 실현과 항상 호모토피 동치이지만, 보통 위상 동형이 아니다. 띠그래프 ( Γ , σ ) {\displaystyle (\Gamma ,\sigma )} 가 주어졌을 때, 전단사 함수 i : E ¯ ⁡ ( Γ ) → E ¯ ⁡ ( Γ ) {\displaystyle i\colon \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )\to \operatorname {\bar {E}} (\Gamma )} i : ( u , v ) ↦ ( v , u ) {\displaystyle i\colon (u,v)\mapsto (v,u)} 를 생각하자. 그렇다면, f ∘ i {\displaystyle f\circ i} 와 i ∘ f {\displaystyle i\circ f} 의 순환들을 생각할 수 있다. 그렇다면, 다음 세 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 순열 σ ∘ i {\displaystyle \sigma \circ i} 의 순환들의 집합 순열 i ∘ σ {\displaystyle i\circ \sigma } 의 순환들의 집합 Σ Γ , σ {\displaystyle \Sigma _{\Gamma ,\sigma }} 의 구멍들의 집합 또한, Γ {\displaystyle \Gamma } 가 연결 유한 그래프이고, Σ Γ , σ {\displaystyle \Sigma _{\Gamma ,\sigma }} 의 구멍들의 수를 n {\displaystyle n} 이라고 하고, 그 종수를 g {\displaystyle g} 라고 할 때, 다음이 성립한다. g = 1 2 ( 2 − | V ⁡ ( Γ ) | + | E ⁡ ( Γ ) | − n ) {\displaystyle g={\frac {1}{2}}\left(2-|\operatorname {V} (\Gamma )|+|\operatorname {E} (\Gamma )|-n\right)} 나무에 대응되는 곡면은 (띠그래프 구조에 상관 없이) 항상 Σ 0 , 1 {\displaystyle \Sigma _{0,1}} , 즉 하나의 구멍이 뚫린 구이다. 꼭짓점 k {\displaystyle k} 개의 순환 그래프는 유일한 띠그래프 구조를 갖는다. 구체적으로, 꼭짓점들을 ( v i ) i ∈ Z / ( k ) {\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {Z} /(k)}} 라고 하면, σ : ( v i , v i + 1 ) ↦ ( v i , v i − 1 ) {\displaystyle \sigma \colon (v_{i},v_{i+1})\mapsto (v_{i},v_{i-1})} σ : ( v i , v i − 1 ) ↦ ( v i , v i + 1 ) {\displaystyle \sigma \colon (v_{i},v_{i-1})\mapsto (v_{i},v_{i+1})} 이다. 이에 대응하는 곡면은 Σ 0 , 2 {\displaystyle \Sigma _{0,2}} , 즉 두 개의 구멍이 뚫린 구이다. 순환 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 경우 | V ⁡ ( Γ ) | = | E ⁡ ( Γ ) | = k {\displaystyle |\operatorname {V} (\Gamma )|=|\operatorname {E} (\Gamma )|=k} 이며, 순열 σ ∘ i : ( v i , v i + 1 ) ↦ ( v i + 1 , v i + 2 ) {\displaystyle \sigma \circ i\colon (v_{i},v_{i+1})\mapsto (v_{i+1},v_{i+2})} σ ∘ i : ( v i , v i − 1 ) ↦ ( v i − 1 , v i − 2 ) {\displaystyle \sigma \circ i\colon (v_{i},v_{i-1})\mapsto (v_{i-1},v_{i-2})} 및 i ∘ σ : ( v i , v i + 1 ) ↦ ( v i − 1 , v i ) {\displaystyle i\circ \sigma \colon (v_{i},v_{i+1})\mapsto (v_{i-1},v_{i})} i ∘ σ : ( v i , v i − 1 ) ↦ ( v i + 1 , v i ) {\displaystyle i\circ \sigma \colon (v_{i},v_{i-1})\mapsto (v_{i+1},v_{i})} 둘 다 각각 두 개의 순환을 갖는다. 이에 따라 종수가 g = 1 2 ( 2 − k + k − 2 ) = 0 {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(2-k+k-2)=0} 임을 알 수 있다. Mulase, Motohico; Penkava, Michael (1998). “Ribbon graphs, quadratic differentials on Riemann surfaces, and algebraic curves defined over ℚ̄”. 《The Asian Journal of Mathematics》 (영어) 2 (4): 875–920. arXiv:math-ph/9811024. Bibcode:1998math.ph..11024M.  “Ribbon graph”. 《nLab》 (영어).  “Why does (Ribbon) Graph (co)Homology Compute (co)Homology of MCG?” (영어). Math Overflow. 2015년 10월 31일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 28일에 확인함.