절대 논리식

모형 이론에서 절대 논리식(絶對論理式, 영어: absolute formula)은 모든 모형에서 참인 논리식이다. 1차 논리 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의 구조들의 모임 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 이 주어졌다고 하자. (예를 들어, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 어떤 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의 문장들의 집합 T ⊆ Sent ⁡ ( L ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})} 이 성립하는 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -구조들의 모임일 수 있다.) 1차 논리 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의 문장 ϕ ∈ Sent ⁡ ( L ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})} 이 다음 조건을 만족시킨다면, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 속에서 절대 문장(영어: absolute sentence)이라고 한다. 임의의 두 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -구조 M , M ′ ∈ M {\displaystyle M,M'\in {\mathcal {M}}} 에 대하여, M ⊨ ϕ ⟺ M ′ ⊨ ϕ {\displaystyle M\models \phi \iff M'\models \phi } 이다. 즉, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 에 속하는 모든 구조에서 동시에 참이거나 동시에 거짓이다. 1차 논리 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의 구조 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -논리식 ϕ ( x 1 , … , x n ) ∈ wff ⁡ ( L ) {\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})\in \operatorname {wff} ({\mathcal {L}})} 가 n {\displaystyle n} 개의 자유 변수 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} 를 갖는다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, ϕ {\displaystyle \phi } 가 M {\displaystyle M} -하향 절대 논리식(영어: downward-absolute formula)이라고 한다. M {\displaystyle M} 의 임의의 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -부분 구조 M ′ ⊆ M {\displaystyle M'\subseteq M} 및 임의의 m 1 , m 2 , … , m n ∈ M ′ {\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\in M'} 에 대하여, M ⊨ ϕ [ m 1 , … , m n ] ⟹ M ′ ⊨ ϕ [ m 1 , … , m n ] {\displaystyle M\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]\implies M'\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]} 이다. 마찬가지로, 만약 다음 조건이 성립한다면, ϕ {\displaystyle \phi } 가 M {\displaystyle M} -상향 절대 논리식(영어: upward-absolute formula)이라고 한다. M {\displaystyle M} 을 부분 구조로 포함하는 임의의 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -구조 ( M ′ , ∈ ) {\displaystyle (M',\in )} 및 임의의 m 1 , m 2 , … , m n ∈ M {\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\in M} 에 대하여, M ⊨ ϕ [ m 1 , … , m n ] ⟸ M ′ ⊨ ϕ [ m 1 , … , m n ] {\displaystyle M\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]\Longleftarrow M'\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]} 이다. 집합론의 명제의 경우, 폰 노이만 전체 V {\displaystyle V} 는 집합론의 언어 L ∈ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }} 의 고유 모임 구조이다. 이 경우, L ∈ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }} -논리식 ϕ ( x 1 , … , x n ) ∈ wff ⁡ ( L ∈ ) {\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})\in \operatorname {wff} ({\mathcal {L}}_{\in })} 이 다음 조건을 만족시킨다면, ϕ {\displaystyle \phi } 가 추이적 절대 논리식이라고 한다.:117, Definition IV.3.1(2) Z F C {\displaystyle {\mathsf {ZFC}}} 의 표준 추이적 모형 M ∈ M {\displaystyle M\in {\mathcal {M}}} 및 집합 m 1 , … , m k ∈ M {\displaystyle m_{1},\dots ,m_{k}\in M} 에 대하여, ( M ⊨ ϕ [ m 1 , … , m k ] ) ⟺ ϕ [ m 1 , … , m k ] {\displaystyle (M\models \phi [m_{1},\dots ,m_{k}])\iff \phi [m_{1},\dots ,m_{k}]} 다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이다. x = ∅ {\displaystyle x=\varnothing } x {\displaystyle x} 는 (폰 노이만 정의) 순서수이다. x {\displaystyle x} 는 유한 순서수이다. x = ω {\displaystyle x=\omega } x {\displaystyle x} 는 함수의 그래프이다. 다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이 아니다. x {\displaystyle x} 는 가산 집합이다. 체르멜로-프렝켈 집합론( Z F {\displaystyle {\mathsf {ZF}}} )의 모형 M {\displaystyle M} 이 주어졌을 때, 그 속의 자연수 집합 N M {\displaystyle \mathbb {N} ^{M}} 은 페아노 공리계의 모형을 이룬다. 체르멜로-프렝켈 집합론( Z F {\displaystyle {\mathsf {ZF}}} )의 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} 과, 그 속의 구성 가능 전체 L M ⊆ M {\displaystyle L^{M}\subseteq M} 를 생각하자. 그렇다면, L M {\displaystyle L^{M}} 을 포함하는, M {\displaystyle M} 의 부분 구조 가운데 Z F {\displaystyle {\mathsf {ZF}}} 의 모형인 것들의 집합 { M ′ ⊆ M : L M ⊆ M ′ , M ′ ⊨ Z F } {\displaystyle \{M'\subseteq M\colon L^{M}\subseteq M',\;M'\models {\mathsf {ZF}}\}} 을 생각하자. 그렇다면 이 모형들의 자연수 집합들 N = { N M ′ ⊆ M : L M ⊆ M ′ , M ′ ⊨ Z F } {\displaystyle {\mathcal {N}}=\{\mathbb {N} ^{M'}\subseteq M\colon L^{M}\subseteq M',\;M'\models {\mathsf {ZF}}\}} 을 생각할 수 있다. 숀필드 절대성 정리(영어: Shoenfield absoluteness theorem)에 따르면, 페아노 공리계의 언어의 Π 2 1 {\displaystyle \Pi _{2}^{1}} 문장과 Σ 2 1 {\displaystyle \Sigma _{2}^{1}} 문장들은 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 에 대하여 절대 문장이다. 보존적 확장 Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 8일에 확인함.