대수 구조 다양체

보편 대수학에서 대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 어떤 항등식들을 만족시키는 대수 구조들의 모임이다. 주어진 형 τ {\displaystyle \tau } 의 대수 구조들의 모임 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 에 대하여, 다음 두 성질이 서로 동치이다. V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다. 준동형에 대한 상. 즉, A ∈ V {\displaystyle A\in {\mathcal {V}}} 이고 준동형 ϕ : A → B {\displaystyle \phi \colon A\to B} 이 존재한다면, ϕ ( A ) ∈ V {\displaystyle \phi (A)\in {\mathcal {V}}} 이다. 곱 대수. 즉, A ⊆ V {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {V}}} 가 부분 집합이라면, ∏ A ∈ V {\displaystyle \prod {\mathcal {A}}\in {\mathcal {V}}} 이다. (만약 A = ∅ {\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing } 일 경우, ∏ ∅ {\displaystyle \prod \varnothing } 은 하나의 원소를 가진 자명 대수 1 = { ∙ } {\displaystyle 1=\{\bullet \}} 이다.) 부분 대수. 즉, A ∈ V {\displaystyle A\in {\mathcal {V}}} 이고 B ⊂ A {\displaystyle B\subset A} 가 부분 대수라면, B ∈ V {\displaystyle B\in {\mathcal {V}}} 이다. V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 는 일련의 항등식 I {\displaystyle I} 들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란 ∀ x 1 , … , x m , y 1 , … , y n ∈ A : f ( x 1 , x 2 , … , x m ) = g ( y 1 , y 2 , … , y n ) {\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}\in A\colon f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=g(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})} 꼴의 조건이며, f {\displaystyle f} 는 τ {\displaystyle \tau } 에 속한 연산들 및 변수 x 1 , … , x m {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}} 만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며, g {\displaystyle g} 는 τ {\displaystyle \tau } 에 속한 연산들 및 변수 y 1 , … , y n {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}} 만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다. 대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 동치라는 사실은 버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리(영어: Birkhoff’s HPS theorem)라고 하며, 개릿 버코프가 증명하였다. 대수 구조 다양체를 형 τ {\displaystyle \tau } 와 항등식 집합 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 의 순서쌍으로 적자. 두 대수 구조 다양체 ( τ , I ) {\displaystyle (\tau ,{\mathcal {I}})} , ( τ ′ , I ′ ) {\displaystyle (\tau ',{\mathcal {I}}')} 사이의 준동형 ϕ : ( τ , I ) → ( τ ′ , I ′ ) {\displaystyle \phi \colon (\tau ,{\mathcal {I}})\to (\tau ',{\mathcal {I}}')} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 각 n {\displaystyle n} 항 연산 t ∈ τ {\displaystyle t\in \tau } 에 대하여, τ ′ {\displaystyle \tau '} 의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} 이는 다음 성질을 만족시켜야 한다. 모든 항등식 I ∈ I {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}} 에 대하여, I {\displaystyle I} 에 등장하는 각 연산 t {\displaystyle t} 를 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} 로 대응시킨 항등식은 I ′ {\displaystyle {\mathcal {I}}'} 으로부터 함의된다. 이에 따라, 대수 구조 다양체들의 모임은 범주를 이룬다. 같은 연산들을 갖는 두 다양체의 교모임 역시 다양체를 이룬다. 대수 구조 다양체는 준동형을 사상으로 하는 구체적 범주를 이룬다. 범주론적으로, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론(영어: Lawvere theory) L {\displaystyle L} 로부터 집합의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는, 곱을 보존하는 함자들의 범주 Prod ⁡ ( L , Set ) {\displaystyle \operatorname {Prod} (L,\operatorname {Set} )} 와 동치이다. 모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다. 항상 자유 대수가 존재한다. 즉, 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 의 망각 함자 G : V → Set {\displaystyle G\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set} } 의 왼쪽 수반 함자 F : Set → V {\displaystyle F\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}} , F ⊣ G {\displaystyle F\dashv G} 가 존재한다. 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 극한과 쌍대극한이 존재한다. 이 경우 쌍대극한을 귀납적 극한, 극한을 사영 극한이라고 한다. 범주론적 곱이 항상 존재하며, 직접곱이라고 한다. 또한, 망각 함자 아래 이는 곱집합 위에 정의된 대수이다. 쌍대곱 역시 항상 존재하며, 자유곱이라고 한다. 이는 일반적으로 집합의 쌍대곱(분리 합집합)과 호환되지 않는다. 끝 대상은 하나의 원소만을 갖는 대수이다. 시작 대상은 공집합으로부터 생성되는 자유 대수이다. 집합의 모임 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임 Set ∙ {\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }} 은 다음과 같은 다양체이다. 연산: 영항연산 ∙ {\displaystyle \bullet } 항등식: 없음 크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다. 연산: 없음 항등식: x = y {\displaystyle x=y} 크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다. 연산: 영항연산 ∙ {\displaystyle \bullet } 항등식: x = y {\displaystyle x=y} 유한 집합들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 곱집합은 유한 집합이 아니기 때문이다. 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌을 때, G {\displaystyle G} 의 작용을 갖춘 집합들의 모임 G -Set {\displaystyle G{\text{-Set}}} 는 다음과 같은 다양체이다. 연산: 각 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, 일항연산 g ⋅ {\displaystyle g\cdot } 항등식: 모든 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 에 대하여, g ⋅ ( h ⋅ x ) = ( g h ) ⋅ x {\displaystyle g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x} 1 ⋅ x = x {\displaystyle 1\cdot x=x} 군의 모임 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 은 다음과 같은 다양체이다. 연산: 이항연산 ⋅ {\displaystyle \cdot } , 일항연산 − 1 {\displaystyle {}^{-1}} , 영항연산 1 {\displaystyle 1} 항등식: ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)} , x x − 1 = 1 {\displaystyle xx^{-1}=1} , x − 1 x = 1 {\displaystyle x^{-1}x=1} , 1 ⋅ x = x {\displaystyle 1\cdot x=x} , x ⋅ 1 = x {\displaystyle x\cdot 1=x} 아벨 군의 모임 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 은 군의 다양체의 부분다양체이며, 다음과 같은 항등식이 추가된다. 항등식: x ⋅ y = y ⋅ x {\displaystyle x\cdot y=y\cdot x} 이 밖에도, Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 의 부분다양체들은 다음을 들 수 있다. n {\displaystyle n} -번사이드 군: 모든 원소의 차수가 n {\displaystyle n} 의 약수인 군. 유도 길이가 k {\displaystyle k} 이하인 가해군 SolvGrp k {\displaystyle \operatorname {SolvGrp} _{k}} . 예를 들어, SolvGrp 1 = Ab {\displaystyle \operatorname {SolvGrp} _{1}=\operatorname {Ab} } 이며, SolvGrp 2 {\displaystyle \operatorname {SolvGrp} _{2}} 를 정의하는 항등식은 1 = x y x − 1 y − 1 z w z − 1 w − 1 y x y − 1 x − 1 w z w − 1 z − 1 {\displaystyle 1=xyx^{-1}y^{-1}zwz^{-1}w^{-1}yxy^{-1}x^{-1}wzw^{-1}z^{-1}} 이다. 중심 길이가 k {\displaystyle k} 이하인 멱영군 NilpGrp k {\displaystyle \operatorname {NilpGrp} _{k}} ( [ ⋯ [ G , G ] , G ] , G ] , ⋯ ] ⏞ k = 1 {\displaystyle \overbrace {[\cdots [G,G],G],G],\cdots ]} ^{k}=1} 인 군 G {\displaystyle G} ) 유사환의 모임 Rng {\displaystyle \operatorname {Rng} } 은 다음과 같은 다양체이다. 연산: 이항연산 ⋅ {\displaystyle \cdot } 및 + {\displaystyle +} , 일항연산 − {\displaystyle -} , 영항연산 0 {\displaystyle 0} 항등식: (유사환의 정의) 가환 유사환의 모임 CRng {\displaystyle \operatorname {CRng} } 은 Rng {\displaystyle \operatorname {Rng} } 의 부분다양체이다. 환의 모임 Ring {\displaystyle \operatorname {Ring} } 은 다음과 같은 다양체이다. 연산: Rng {\displaystyle \operatorname {Rng} } 의 연산 및 영항연산 1 {\displaystyle 1} 항등식: Rng {\displaystyle \operatorname {Rng} } 의 항등식 및 1 ⋅ x = x ⋅ 1 {\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1} 가환환의 모임 CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 은 CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 의 부분다양체이다. 이 밖에도, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 표수가 n {\displaystyle n} 의 약수인 환들의 모임은 다양체를 이룬다. 체의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 체의 곱셈 역원 − 1 {\displaystyle ^{-1}} 은 0에 대하여 정의되지 않으며, 이 연산을 무시하고 체를 단순히 Ring {\displaystyle \operatorname {Ring} } 의 부분 모임으로 본다면, 체의 모임은 곱 대수 및 부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않다. 다만, 0 − 1 {\displaystyle 0^{-1}} 으로 정의한다면, 체의 모임은 가환 폰 노이만 정규환(영어: commutative von Neumann-regular ring)의 다양체의 부분 모임이며, 이는 체들을 포함하는 가장 작은 다양체이다. 가환 폰 노이만 정규환의 모임은 다음과 같은 다양체이다. 연산: CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 의 연산 및 일항연산 − 1 {\displaystyle ^{-1}} 항등식: CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 의 항등식 및 x x − 1 x = x {\displaystyle xx^{-1}x=x} , x − 1 x x − 1 = x − 1 {\displaystyle x^{-1}xx^{-1}=x^{-1}} 이 경우, 항등식들에 따라 항상 0 − 1 = 0 {\displaystyle 0^{-1}=0} 이 된다. 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다. 연산: 이항연산 ∨ {\displaystyle \vee } 및 ∧ {\displaystyle \wedge } 항등식: (교환 법칙) a ∨ b = b ∨ a {\displaystyle a\vee b=b\vee a} , a ∧ b = b ∧ a {\displaystyle a\wedge b=b\wedge a} (결합 법칙) ( a ∨ b ) ∨ c = a ∨ ( b ∨ c ) {\displaystyle (a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)} , ( a ∧ b ) ∧ c = a ∧ ( b ∧ c ) {\displaystyle (a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)} (흡수 법칙) a ∨ ( a ∧ b ) = a ∧ ( a ∨ b ) = a {\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a} 모듈러 격자의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, 분배 격자의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다. 유계 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다. 연산: 격자의 연산 및 영항연산 ⊥ {\displaystyle \bot } 및 ⊤ {\displaystyle \top } 항등식: 격자의 항등식 및 a ∨ ⊥ = a {\displaystyle a\vee \bot =a} , a ∧ ⊤ = a {\displaystyle a\wedge \top =a} 헤이팅 대수의 모임과 불 대수의 모임 역시 다양체를 이룬다. 완비 격자의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다. Hyland, Martin; John Power (2007년 4월 1일). “The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads” (PDF). 《Electronic Notes in Theoretical Computer Science》 (영어) 172: 437–458. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 10월 20일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “What is the smallest variety of algebras containing all fields”. 《MathOverflow》 (영어).  Burris, Stanley N.; Hanamantagouda P. Sankappanavar (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Variety of universal algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Algebraic systems, variety of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Algebraic systems, class of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Variety of groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Variety of semi-groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Variety of rings”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “PI-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.