점근 국소 유클리드 공간

미분기하학에서 점근 국소 유클리드 공간(漸近局所Euclid空間, 영어: asymptotically locally Euclidean space, ALE space)는 무한대에서 4차원 유클리드 공간의 오비폴드로 근사되는 4차원 초켈러 다양체이다. SU(2)의 유한 부분군 Γ ≤ SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {SU} (2)} 가 주어졌다고 하자. 이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다. 4차원 초켈러 다양체 M {\displaystyle M} 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 점근 국소 유클리드 공간이라고 한다.:§5 어떤 콤팩트 집합 K ⊆ M {\displaystyle K\subseteq M} 을 제외하면, M ∖ K {\displaystyle M\setminus K} 는 R 4 ∖ ball ⁡ ( 0 , R ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\setminus \operatorname {ball} (0,R)} 와 미분 동형이며, 적절한 좌표계에서 다음과 같은 꼴이다. | g i j − δ i j | ∈ O ( r − 4 ) {\displaystyle |g_{ij}-\delta _{ij}|\in {\mathcal {O}}(r^{-4})} | ∂ k 1 k 2 … k p g i j | ∈ O ( r − 4 − p ) {\displaystyle |\partial _{k_{1}k_{2}\dotso k_{p}}g_{ij}|\in {\mathcal {O}}(r^{-4-p})} 여기서 r {\displaystyle r} 는 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 의 원소의 L2 노름이며, R {\displaystyle R} 는 충분히 큰 임의의 상수이다. SU(2)의 유한 부분군 Γ ≤ SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {SU} (2)} 가 주어졌다고 하자. (이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.) 그렇다면, 복소수 아핀 대수다양체 X = C 2 / Γ {\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}/\Gamma } 의 최소 분해(영어: minimal resolution) π : X ~ → X {\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\to X} 를 생각하자. 즉, 그 예외 인자 π − 1 ( 0 ) {\displaystyle \pi ^{-1}(0)} 는 사영 직선들의 합집합이며, 특히 그 2차 특이 호몰로지는 (예외 인자를 구성하는 사영 직선들로 생성되므로) 유한 생성 자유 아벨 군이다. H 2 ⁡ ( X ~ ; Z ) ≅ Z n {\displaystyle \operatorname {H} _{2}({\tilde {X}};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{n}} 여기서 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 은 π − 1 ( 0 ) {\displaystyle \pi ^{-1}(0)} 을 구성하는 사영 직선의 수이다. π − 1 ( 0 ) = L 1 ∪ L 2 ∪ ⋯ ∪ L n {\displaystyle \pi ^{-1}(0)=L_{1}\cup L_{2}\cup \dotsb \cup L_{n}} 또한, 이 사영 직선 L i {\displaystyle L_{i}} 들의 교차 형식은 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 매케이 화살집의 카르탕 행렬의 −1배와 같다.:§5 이 경우, X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 의 2차 드람 코호몰로지류 α 1 , α 2 , α 3 ∈ H 2 ⁡ ( X ~ ; R ) {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in \operatorname {H} ^{2}({\tilde {X}};\mathbb {R} )} 가운데 다음 조건이 성립한다고 하자. 임의의 L ∈ H 2 ⁡ ( X ~ ; Z ) {\displaystyle L\in \operatorname {H} _{2}({\tilde {X}};\mathbb {Z} )} 에 대하여, 만약 L . L = − 2 {\displaystyle L.L=-2} 라면, ∫ L α i ≠ 0 {\displaystyle \textstyle \int _{L}\alpha _{i}\neq 0} 인 i ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle i\in \{1,2,3\}} 가 존재한다. 그렇다면, 이 데이터를 사용하여 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 위에 어떤 표준적인 초켈러 구조를 구성할 수 있으며, 이 경우 세 개의 켈러 구조의 드람 코호몰로지류는 각각 α 1 , α 2 , α 3 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}} 이다. 또한, 반대로, 임의의 점근 국소 유클리드 공간은 위와 같이 ( Γ , X ~ , α 1 , α 2 , α 3 ) {\displaystyle (\Gamma ,{\tilde {X}},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})} 의 데이터로 결정된다. 점근 국소 유클리드 공간 가운데, A형은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표 τ ∈ R / ( 4 π Z ) {\displaystyle \tau \in \mathbb {R} /(4\pi \mathbb {Z} )} r → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}} 를 정의하자. 그렇다면, An형 점근 국소 유클리드 공간의 계량은 다음과 같다. d s 2 = V ( | r → | ) d r → 2 + 1 V ( | r → | ) ( d τ + ω ) 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V(|{\vec {r}}|)\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+{\frac {1}{V(|{\vec {r}}|)}}(\mathrm {d} \tau +\omega )^{2}} V ( | r → | ) = ∑ i = 1 N 1 2 | r → | {\displaystyle V(|{\vec {r}}|)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2|{\vec {r}}|}}} 여기서 ω = ω → ⋅ d r → ∈ Ω 1 ( R 3 ) {\displaystyle \omega ={\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})} 는 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 위의 1차 미분 형식 가운데 d ω = ⋆ d V {\displaystyle \mathrm {d} \omega =\star \mathrm {d} V} 인 것이다. 이 경우 N = 1 {\displaystyle N=1} 인 경우는 평탄 공간과 같으며,:363 N = 2 {\displaystyle N=2} 인 경우는 에구치-핸슨 공간이다.:363 즉, A형 점근 국소 유클리드 공간은 여러 개의 에구치-핸슨 공간들을 겹친 것으로 이해할 수 있다. 모든 종류의 점근 국소 유클리드 공간은 초켈러 몫으로 구성될 수 있다. 이러한 공간들은 원래 일반 상대성 이론에서 중력의 ‘순간자’로서 최초로 거론되었다. 최초로 발견된 점근 국소 유클리드 공간은 (4차원 유클리드 공간 자체를 제외하면) 에구치-핸슨 공간이다. 이후 1989년에 피터 크론하이머가 이들을 모두 분류하였다. 점근 국소 유클리드 공간은 초끈 이론에서 자주 등장한다. Kronheimer, Peter B. (1989). “A Torelli‐type theorem for gravitational instantons”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 29: 685–697. doi:10.4310/jdg/1214443067. MR 992335. Zbl 0671.53046.  Anderson, Michael T. (2009). “A survey of Einstein metrics on 4-manifolds” (영어). arXiv:0810.4830.  Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980년 12월). “Gravitation, gauge theories and differential geometry”. 《Physics Reports》 (영어) 66 (6): 213–393. doi:10.1016/0370-1573(80)90130-1.  Kronheimer, Peter B. (1989). “The construction of ALE spaces as hyper-Kähler quotients”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 2 (3): 665–683. doi:10.4310/jdg/1214443066. MR 992334. Zbl 0671.53045.  Johnson, Clifford; Myers, Robert (1997). “Aspects of type ⅡB theory on ALE spaces”. 《Physical Review D》 (영어) 55: 6382–6393. arXiv:hep-th/9610140.  “ALE space”. 《nLab》 (영어).