적분의 점화식

적분 미적분학에서 적분의 점화식은 점화식의 형태로 된 적분 공식이다. 주로 초등함수의 거듭제곱, 초월함수와 n차다항식의 곱의 형태 같은 정수 매개변수를 포함하는 수식을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다. 이러한 점화식과 다른 적분법을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다. 이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다. 적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분 분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 I n {\displaystyle I_{n}} (예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 : I n − 1 {\displaystyle I_{n-1}} 또는 I n − 2 {\displaystyle I_{n-2}} )에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분 I n = ∫ f ( x , n ) d x , {\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,} 을 k < n {\displaystyle k<n} 인 정수 k {\displaystyle k} 에 대하여 I k = ∫ f ( x , k ) d x , {\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,} 의 형태로 나타내는 것이다. 점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 I n {\displaystyle I_{n}} 의 적분을 점화식을 사용하여 I n − 1 {\displaystyle I_{n-1}} 또는 I n − 2 {\displaystyle I_{n-2}} 에 대한 적분으로 나타내야 한다. I n {\displaystyle I_{n}} 이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 I n {\displaystyle I_{n}} 을 계산한다. 아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다. 코사인함수의 적분 일반적으로 ∫ cos n ⁡ x d x , {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!} 와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다. I n = ∫ cos n ⁡ x d x . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!} 라고 하자. I n = ∫ cos n − 1 ⁡ x cos ⁡ x d x , {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!} cos ⁡ x d x = d ( sin ⁡ x ) , {\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!} 라고 치환하면 I n = ∫ cos n − 1 ⁡ x d ( sin ⁡ x ) . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!} 부분 적분을 이용하면 ∫ cos n ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x − ∫ sin ⁡ x d ( cos n − 1 ⁡ x ) = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ sin ⁡ x cos n − 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 ⁡ x ( 1 − cos 2 ⁡ x ) d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 ⁡ x d x − ( n − 1 ) ∫ cos n ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n , {\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,} I n   + ( n − 1 ) I n   = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x   +   ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,} n I n   = cos n − 1 ⁡ ( x ) sin ⁡ x   + ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,} I n   = 1 n cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x   + n − 1 n I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,} 따라서 적분의 점화식은 다음과 같다. ∫ cos n ⁡ x d x   = 1 n cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + n − 1 n ∫ cos n − 2 ⁡ x d x . {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!} 이 예시를 보충하기 위해 n = 5를 대입해 보면. I 5 = ∫ cos 5 ⁡ x d x . {\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!} n=5, n=3을 대입하면 n = 5 , I 5 = 1 5 cos 4 ⁡ x sin ⁡ x + 4 5 I 3 , {\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,} n = 3 , I 3 = 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 I 1 , {\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,} 결과를 대입하면 ∵ I 1   = ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C 1 , {\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,} ∴ I 3   = 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 sin ⁡ x + C 2 , C 2   = 2 3 C 1 , {\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,} I 5   = 1 5 cos 4 ⁡ x sin ⁡ x + 4 5 [ 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 sin ⁡ x ] + C , {\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,} 여기서 C는 적분상수이다. 지수함수의 적분 또 다른 전형적인 예는 다음과 같다. ∫ x n e a x d x . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} I n = ∫ x n e a x d x . {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} 라고 하자. 치환 적분을 하면 x n d x = d ( x n + 1 ) n + 1 , {\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!} 로 치환하면 I n = 1 n + 1 ∫ e a x d ( x n + 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!} 부분 적분을 하면 ∫ e a x d ( x n + 1 ) = x n + 1 e a x − ∫ x n + 1 d ( e a x ) = x n + 1 e a x − a ∫ x n + 1 e a x d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!} ( n + 1 ) I n = x n + 1 e a x − a I n + 1 , {\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!} n + 1 → n, n → n – 1으로 바꾸면 n I n − 1 = x n e a x − a I n , {\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!} I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} 따라서 적분의 점화식은 다음과 같다. ∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} e a x {\displaystyle e^{ax}} 를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다. e a x d x = d ( e a x ) a , {\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!} I n = 1 a ∫ x n d ( e a x ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!} ∫ x n d ( e a x ) = x n e a x − ∫ e a x d ( x n ) = x n e a x − n ∫ e a x x n − 1 d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!} 결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다. I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} 즉 ∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} 다음의 적분 은 아래를 포함한다: 선형 라디칼 a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} 선형 인수 p x + q {\displaystyle {px+q}\,\!} 또는 선형 라디칼 a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} 이차식 x 2 + a 2 {\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!} 이차식 x 2 − a 2 {\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!} ( x > a {\displaystyle x>a\,\!} ) 이차식 a 2 − x 2 {\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!} ( x < a {\displaystyle x<a\,\!} ) (기약 다항식) a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!} 기약 다항식 a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!} 의 라디칼 지수법칙에 따라: I n + 1 2 = I 2 n + 1 2 = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 2 d x = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 d x {\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!} 다음의 적분 은 아래의 함수들을 포함하는 함수들이다: 사인 코사인 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫 x의 거듭 제곱과 지수함수의 곱 사인 / 코사인과 지수함수의 곱 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5 http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.