골롬-딕맨 상수

골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant) 또는 골롬 상수 λ {\displaystyle \;\lambda \;} 수학에서 골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant)는 무작위 순열 (랜덤 순열)이론과 수 이론에서 각각 보여진다.이것은 정수들의 확장에서 소수들간의 출현길이와 무작위한 랜덤 순열을 가장 크게 확장했을 때의 분포가 일치하는 값을 보이고 있다는 사실을 보여주는 놀라운 상수들간의 관계이다. 딕맨(Dickman,1930)에 의해 가장 큰 정수들 집합 { 1 , . . . . , n } {\displaystyle \{1,....,n\}} 중에서 균일하게 선택된 임의의 정수의 소수(prime number) 요소 P 1 {\displaystyle P_{1}} 에서, E ( l o g P 1 l o g n ) → 0.62432 {\displaystyle E\left({{logP_{1}} \over {logn}}\right)\to 0.62432} 딕맨 함수로 알려진 이 상수는 가장 큰 소수의 자릿수로 예상되는 수에서 해석된다. 이러한 "가장 크다고 여겨질수있는 무작위 정수의 자릿수에 대한 비율문제" 이후로, 골롬(Golomb,1964)이 무작위 순열에서 가장 긴 주기의 길이 L 1 {\displaystyle L_{1}} 을 연구했을때, S n {\displaystyle S_{n}} 에서 E ( L 1 n ) → 0.62432 {\displaystyle E\left({{L_{1}} \over n}\right)\to 0.62432} 를 발견했다. 여기서 딕맨의 상수가 골롬이 발견한 상수와 동일함에도 이 두 상수의 상관관계가 곧 바로 강하게 연관되지는 못했다. 그러나 이들의 관계가 확률상의 푸아송 분포와 정규 분포 lim n → ∞ P ( α 1 = 0 ) = 1 e {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\alpha _{1}=0)={1 \over e}} lim n → ∞ P ( α j = k ) = 1 k ! e − 1 j j − k {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\alpha _{j}=k)={1 \over k!}e^{-1 \over j}j^{-k}} lim n → ∞ P ( ( ∑ j = 1 ∞ α j − ln ⁡ n ) ( ln ⁡ n ) − 1 2 ≤ x ) = Φ ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left(\left(\sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}-\ln n\right)(\ln n)^{-1 \over 2}\leq x\right)=\Phi (x)} 로 약하게 연관되어 설명되고나서(Shepp and Lloyd 1966, Wilf 1990), F ( x ) = lim n → ∞ P ( x , n ) = { 1 i f x ≥ 1 ∫ 0 x F ( t 1 − t ) d t t i f 0 ≤ x < 1 } {\displaystyle F(x)=\lim _{n\to \infty }P(x,n)={\begin{Bmatrix}1&if\;x\geq 1\\\int _{0}^{x}F\left({{t} \over {1-t}}\right){{dt} \over {t}}&if\;0\leq x<1\end{Bmatrix}}} 에서 딕맨 상수 μ = lim n → ∞ ⟨ x ⟩ {\displaystyle \mu =\lim _{n\to \infty }\left\langle x\right\rangle }   = lim n → ∞ ⟨ ln ⁡ P ln ⁡ n ⟩ {\displaystyle \;\ =\lim _{n\to \infty }\left\langle {{\ln P} \over {\ln n}}\right\rangle } = ∫ 0 1 x d F d x d x {\displaystyle \;\;=\int _{0}^{1}x{{d\;F} \over {d\;x}}dx} = ∫ 0 1 F ( 1 1 − t ) d t {\displaystyle \;\;=\int _{0}^{1}F\left({{1} \over {1-t}}\right)dt} = 0.62432999... {\displaystyle \;\;=0.62432999...} 는 골롬 상수 λ {\displaystyle \lambda } 가 f ( x ) = 1 ( 1 ≤ x ≤ 2 ) , d f d x = − f ( x − 1 ) x − 1 {\displaystyle f(x)=1\;\;(1\leq x\leq 2)\;\;,{{df} \over {dx}}=-{{f(x-1)} \over {x-1}}} 에서, λ = ∫ 1 ∞ f ( x ) x 2 d x , f ( x ) = 1 ( x > 2 ) {\displaystyle \lambda =\int _{1}^{\infty }{{f(x)} \over {x^{2}}}dx\;\;,f(x)=1\;\;(x>2)} λ = ∫ 0 ∞ e x p ( − x − ( ∫ x ∞ e − y y d y ) ) {\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }exp\left(-x-\left(\int _{x}^{\infty }{{e^{-y}} \over {y}}dy\right)\right)} λ = ∫ 0 1 e x p ( ∫ 0 x d y ln ⁡ y ) d x {\displaystyle \lambda =\int _{0}^{1}exp\left(\int _{0}^{x}{{dy} \over {\ln y}}\right)dx} λ = 0.62432998854355087099293638310083724 … ( O E I S A 084945 ) {\displaystyle \lambda =0.62432998854355087099293638310083724\dots (OEISA084945)} 로 쉐프 와 로이드(Shepp and Lloyd , 1966)가 유도됨을 보였다. 이것은 구간 x ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \;x\in (0,1)} 에서, μ = lim n → ∞ ⟨ x ⟩ = lim n → ∞ ⟨ ln ⁡ P ln ⁡ n ⟩ = ∫ 0 1 x d F d x d x = ∫ 0 1 F ( 1 1 − t ) d t = λ = ∫ 0 1 e x p ( ∫ 0 x d y ln ⁡ y ) d x {\displaystyle \mu =\lim _{n\to \infty }\left\langle x\right\rangle =\lim _{n\to \infty }\left\langle {{\ln P} \over {\ln n}}\right\rangle =\int _{0}^{1}x{{d\;F} \over {d\;x}}dx=\int _{0}^{1}F\left({{1} \over {1-t}}\right)dt=\lambda =\int _{0}^{1}exp\left(\int _{0}^{x}{{dy} \over {\ln y}}\right)dx} 이다. 확률 이론에서, λ n {\displaystyle \lambda n} 은 균일 분포에서 가장 긴주기의 예상 크기 n {\displaystyle n} 세트의 랜덤순열이다. 수 이론에서 골롬-딕맨 상수는 정수의 가장 큰 소수 인자의 평균 크기와 관련되어 나타난다. λ = lim n   → ∞ a n n {\displaystyle \lambda =\lim _{n\ \to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}} λ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 2 n log ⁡ ( P 1 ( k ) ) log ⁡ ( k ) {\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{1 \over n}\sum _{k=2}^{n}{{\log(P_{1}(k))} \over {\log(k)}}} 여기서 P 1 ( k ) {\displaystyle P_{1}(k)} 는 k {\displaystyle k} 의 가장 큰 소수 인자이다. 따라서 k {\displaystyle k} 가 d {\displaystyle d} 자릿수 인 경우, λ d {\displaystyle \lambda d} 는 k {\displaystyle k} 의 최대 소수 자릿수의 평균 자릿수이다. 커누스(Knuth 1981)의 임의의 상수 β {\displaystyle \beta } 와 B {\displaystyle B} 에 대한 추측 lim n → ∞ n β ( ⟨ M ( x ) ⟩ − γ n − 1 2 γ ) = B {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\beta }\left(\left\langle M(x)\right\rangle -\gamma n-{1 \over 2}\gamma \right)=B} 이 있었고, 고든(Gourdon 1986)이 아래과 같이 증명하였다. j = e 2 π i 3 {\displaystyle j=e^{{2\pi i} \over {3}}} 에서, ⟨ M ( α ) ⟩ = λ ( n + 1 2 ) − e γ 24 n + 1 48 e γ − 1 8 ( − 1 ) n n 2 + 17 3840 e γ + 1 8 ( − 1 ) n + 1 6 j 1 + 2 n + 1 6 j 2 + n n 3 {\displaystyle \left\langle M(\alpha )\right\rangle =\lambda \left(n+{1 \over 2}\right)-{{e^{\gamma }} \over {24n}}+{{1 \over 48}e^{\gamma }-{1 \over 8}(-1)^{n} \over {n^{2}}}+{{{17 \over 3840}e^{\gamma }+{1 \over 8}(-1)^{n}+{1 \over 6}j^{1+2n}+{{1 \over 6}j^{2+n}}} \over {n^{3}}}} E ( M ( α ) ) = λ n + λ 2 − e γ 24 1 n + ( e γ 48 − ( − 1 ) n 8 ) 1 n 2 + ( 17 e γ 3840 + ( − 1 ) n 8 + e 2 ( 2 n + 1 ) π i 3 6 + e 2 ( n + 2 ) π i 3 6 ) 1 n 3 + O ( 1 n 4 ) {\displaystyle E(M(\alpha ))=\lambda n+{\lambda \over 2}-{e^{\gamma } \over 24}{1 \over n}+\left({{e^{\gamma }} \over 48}-{{(-1)^{n}} \over 8}\right){1 \over n^{2}}+\left({{17e^{\gamma }} \over 3840}+{(-1)^{n} \over 8}+{{e^{2(2n+1)\pi i} \over 3} \over 6}+{{e^{2(n+2)\pi i} \over 3} \over 6}\right){1 \over n^{3}}+O\left({1 \over n^{4}}\right)} M ( α ) = m a x j { j : α j > 0 } {\displaystyle M(\alpha )={\underset {j}{max}}\{j:\alpha _{j}>0\}} γ {\displaystyle \gamma } 오일러-마스케로니 상수 지수 적분 λ = ∫ 0 ∞ e − t − E 1 ( t ) d t {\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-E_{1}(t)}dt} E 1 ( t ) {\displaystyle E_{1}(t)} 지수 적분 함수 딕맨 함수 λ = ∫ 0 ∞ ρ ( t ) t + 2 d t {\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt} λ = ∫ 0 ∞ ρ ( t ) ( t + 1 ) 2 d t {\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}dt} ρ ( t ) {\displaystyle \rho (t)} 딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function) 조화 수열 ⟨ ∑ j = 1 ∞ α j ⟩ = ∑ i = 1 n 1 i {\displaystyle \left\langle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{1 \over i}} = ln ⁡ n + γ + O ( 1 n ) {\displaystyle \quad =\ln n+\gamma +O\left({1 \over n}\right)} = H n {\displaystyle \quad =H_{n}} H n {\displaystyle H_{n}} 는 조화수 , b i g O {\displaystyle ,\;\;big\;O} 점근 표기법 수학 상수 구간 푸아송 분포 완전순열 https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8MnJRLcEerMJ:https://stacks.stanford.edu/file/druid:cw152bn7919/James-Zhao-PhD-Thesis-augmented.pdf+&cd=4&hl=ko&ct=clnk&gl=kr&client=firefox-b CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition ( Eric W. Weisstein) ,p1211 Golomb-Dickman Constant(CRC Press) Mathematical Constants ( Steven R. Finch) ,p285 Golomb-Dickman constant(Cambridge University Press) Weisstein, Eric Wolfgang. “Golomb-Dickman Constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  "Sloane's A084945". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation(oeis.org)