제도 (논리학)

수리논리학과 컴퓨터 과학에서 제도(制度, 영어: institution 인스티튜션[*])는 문법과 모형 이론이 부여된 논리 체계의 추상화이다. 작은 범주의 범주의 반대 범주 Cat op {\displaystyle \operatorname {Cat} ^{\operatorname {op} }} 에서 집합의 범주의 반대 범주로 가는, 사상을 잊는 망각 함자 Ob op : Cat op → Set op {\displaystyle \operatorname {Ob} ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Cat} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }} 와 멱집합 함자 P : Set → Set op {\displaystyle {\mathcal {P}}\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }} P : X ↦ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}\colon X\mapsto {\mathcal {P}}(X)} P : ( f : X → Y ) ↦ ( f − 1 : P ( Y ) → P ( X ) ) {\displaystyle {\mathcal {P}}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto (f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X))} 를 생각하자. 그렇다면 쉼표 범주 I = Ob op ↓ P {\displaystyle {\mathcal {I}}=\operatorname {Ob} ^{\operatorname {op} }\downarrow {\mathcal {P}}} 를 생각할 수 있다. 즉, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 는 구체적으로 다음과 같다. I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 의 대상 ( S , M , ⊨ ) {\displaystyle (S,{\mathcal {M}},\models )} 은 다음과 같은 순서쌍이다. 집합 S {\displaystyle S} . S {\displaystyle S} 를 문장의 집합이라고 한다. 작은 범주 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} . M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 원소를 모형이라고 한다. 함수 ⊨ : Ob ⁡ ( M ) → P ( S ) {\displaystyle {\models }\colon \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {P}}(S)} . 이를 만족 관계(영어: satisfaction relation)라고 한다. 보통, ϕ ∈ S {\displaystyle \phi \in S} 및 M ∈ M {\displaystyle M\in {\mathcal {M}}} 에 대하여, ϕ ∈ ⊨ ⁡ ( M ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {\models } (M)} 를 이항 관계 M ⊨ ϕ {\displaystyle M\models \phi } 로 표기한다. I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 의 사상 ( f , G ) : ( S , M , ⊨ ) → ( S ′ , M ′ , ⊨ ′ ) {\displaystyle (f,G)\colon (S,{\mathcal {M}},\models )\to (S',{\mathcal {M}}',\models ')} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. f : S → S ′ {\displaystyle f\colon S\to S'} 는 함수이다. G : M ′ → M {\displaystyle G\colon {\mathcal {M}}'\to {\mathcal {M}}} 는 함자이다. 이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 모형 M ′ ∈ M ′ {\displaystyle M'\in {\mathcal {M}}'} 및 문장 ϕ ∈ S {\displaystyle \phi \in S} 에 대하여, M ′ ⊨ ′ f S ( ϕ ) ⟺ G ( M ′ ) ⊨ ϕ {\displaystyle M'\models 'f_{S}(\phi )\iff G(M')\models \phi } 이다. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다. Ob ⁡ ( M ′ ) → Ob ⁡ ( G ) Ob ⁡ ( M ) ⊨ ′ ↓ ⊨ ′ ⊨ ↓ ⊨ P ( S ′ ) → f S − 1 P ( S ) {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ob} ({\mathcal {M}}')&{\overset {\operatorname {Ob} (G)}{\to }}&\operatorname {Ob} ({\mathcal {M}})\\{\scriptstyle \models '}\downarrow {}{\color {White}\scriptstyle \models '}&&{\color {White}\scriptstyle \models }\downarrow {}\scriptstyle \models \\{\mathcal {P}}(S')&{\underset {f_{S}^{-1}}{\to }}&{\mathcal {P}}(S)\\\end{matrix}}} 범주 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 에 대하여, L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 위의 제도(영어: institution)는 함자 I : L → I {\displaystyle I\colon {\mathcal {L}}\to {\mathcal {I}}} 이다. 이 경우, L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 을 제도 I {\displaystyle I} 의 언어들의 범주라고 한다. 같은 언어 위의 두 제도 사이의 사상은 자연 변환이다. 제도 I : L → I {\displaystyle I\colon {\mathcal {L}}\to {\mathcal {I}}} 가 다음 두 성질을 만족시킨다면, ( S , ⊨ ) {\displaystyle (S,\models )} 가 불 제도(영어: Boolean institution)라고 한다. (부정의 존재) 임의의 언어 L ∈ L {\displaystyle L\in {\mathcal {L}}} 및 모형 M ∈ M ( L ) {\displaystyle M\in {\mathcal {M}}(L)} 및 문장 ϕ ∈ S ( L ) {\displaystyle \phi \in S(L)} 에 대하여, M ⊨ ϕ ⟺ M ⊭ χ {\displaystyle M\models \phi \iff M\not \models \chi } 가 되는 문장 χ ∈ S ( L ) {\displaystyle \chi \in S(L)} 이 존재한다. (논리곱의 존재) 임의의 언어 L ∈ L {\displaystyle L\in {\mathcal {L}}} 및 모형 M ∈ Model ⁡ ( L ) {\displaystyle M\in \operatorname {Model} (L)} 및 두 문장 ϕ , χ ∈ S ( L ) {\displaystyle \phi ,\chi \in S(L)} 에 대하여, M ⊨ ψ ⟺ ( M ⊨ ϕ ∧ M ⊨ ψ ) {\displaystyle M\models \psi \iff (M\models \phi \land M\models \psi )} 가 되는 문장 ψ ∈ S ( L ) {\displaystyle \psi \in S(L)} 이 존재한다. 이 경우, 부정과 논리곱을 사용하여 고전 명제 논리의 연산(논리합, 함의, 동치 등)들을 정의할 수 있다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌다고 하자. 제도 I : L → I {\displaystyle I\colon {\mathcal {L}}\to {\mathcal {I}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, κ {\displaystyle \kappa } -콤팩트 제도(영어: compact institution)라고 한다. 임의의 언어 L ∈ L {\displaystyle L\in {\mathcal {L}}} 및 임의의 부분 집합 A ⊆ S ( L ) {\displaystyle A\subseteq S(L)} 에 대하여, 다음이 성립한다. ( ∃ M ∈ M ( L ) : M ⊨ A ) ⟺ ( ∀ A ′ ∈ P < κ ( A ) ∃ M ∈ M ( L ) : M ⊨ A ′ ) {\displaystyle \left(\exists M\in {\mathcal {M}}(L)\colon M\models A\right)\iff \left(\forall A'\in {\mathcal {P}}_{<\kappa }(A)\exists M\in {\mathcal {M}}(L)\colon M\models A'\right)} 여기서, 문장들의 집합 A {\displaystyle A} 및 모형 M {\displaystyle M} 에 대하여 M ⊨ A {\displaystyle M\models A} 는 ∀ ϕ ∈ A : M ⊨ ϕ {\displaystyle \forall \phi \in A\colon M\models \phi } 를 뜻한다. P < κ ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\kappa }(A)} 는 A {\displaystyle A} 의, 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만의 부분 집합들의 족이다. 1차 논리와 그 표준적 모형은 제도를 이룬다. 이 밖에도, 다른 많은 논리 체계들을 제도로 나타낼 수 있다. 제도의 개념은 1970년대에 조지프 애머디 고겐(영어: Joseph Amadee Goguen, 1941~2006)과 로드니 마티노 버스톨(영어: Rodney Martineau Burstall, 1934~)이 도입하였다. Goguen, Joseph; Burstall, Rodney M. (1984). 〈Introducing institutions〉. Clarke, Edmund; Kozen, Dexter. 《Logics of programs: workshop, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, June 6–8, 1983》. Lecture Notes in Computer Science (영어) 164. Springer-Verlag. 221–256쪽. doi:10.1007/3-540-12896-4_366. ISBN 978-3-540-12896-0. ISSN 0302-9743. Zbl 0543.68021.  Goguen, J. A.; Burstall, R. M. (1992년 1월). “Institutions: abstract model theory for specification and programming”. 《Journal of the Association for Computing Machinery》 (영어) 39 (1): 95–146. doi:10.1145/147508.147524. Zbl 0799.68134.  Diaconescu, Răzvan (2008). 《Institution-independent model theory》. Studies in Universal Logic (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8708-2. ISBN 978-3-7643-8707-5. ISSN 2297-0282. Zbl 1144.03001.  Diaconescu, Răzvan (2007). 〈Institutions, Madhyamaka, and universal model theory〉. Béziau, Jean-Yves; Costa-Leite, Alexandre. 《Perspectives on universal logic》 (PDF) (영어). Polimetrica International Scientific Publisher. 41–65쪽. 2012년 2월 9일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 31일에 확인함.  “Abstract model theory”. 《nLab》 (영어).  Diaconescu, Răzvan. “Institution theory”. 《Internet Encyclopedia of Philosophy》 (영어). ISSN 2161-0002.  Goguen, Joseph A. (2006년 1월 6일). “Institutions” (영어).  Goguen, Joseph A. “Institutions and Peirce's triadic semiotics” (영어).