멀티심플렉틱 다양체

미분기하학에서 멀티심플렉틱 다양체(multisymplectic多樣體, 영어: multisymplectic manifold)는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 내부곱이 0이 아닌 닫힌 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.:Chapter 2 심플렉틱 다양체와 부피 형식의 개념의 공통적인 일반화이다. 자연수 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 구조(영어: k {\displaystyle k} -multisymplectic structure) ω ∈ Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k+1}(M)} 은 다음과 같은 성질을 갖는 k + 1 {\displaystyle k+1} 차 닫힌 미분 형식이다. 임의의 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 접벡터 v ∈ T x M ∖ { 0 } {\displaystyle v\in \mathrm {T} _{x}M\setminus \{0\}} 에 대하여, v ⌟ ω x ≠ 0 ∈ ⋀ k T x ∗ M {\displaystyle v\lrcorner \omega _{x}\neq 0\in \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M} 이다. 여기서 ⌟ : T x M × ⋀ k + 1 T ∗ M → ⋀ k T ∗ M {\displaystyle \lrcorner \colon \mathrm {T} _{x}M\times \bigwedge ^{k+1}\mathrm {T} ^{*}M\to \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M} 는 x {\displaystyle x} 에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다. k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 다양체(영어: k {\displaystyle k} -multisymplectic manifold) ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 는 매끄러운 다양체와 그 위의 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 위에 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다. k + 1 ≤ n ≤ ( n k ) {\displaystyle k+1\leq n\leq {\binom {n}{k}}} 여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 k + 1 {\displaystyle k+1} 차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 ⋀ k T x ∗ M {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M} 의 차원이 T x M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}M} 의 차원보다 작지 않을 조건이다. 일반적으로, n ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6} 차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜 n − 4 {\displaystyle n-4} 차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.:Remark 2.7 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 위의 해밀토니언 미분 형식(영어: Hamiltonian differential form)은 다음 조건을 만족시키는 k − 1 {\displaystyle k-1} 차 미분 형식 α ∈ Ω k − 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k-1}(M)} 이다. ∃ X ∈ Vect ⁡ ( M ) : d α = X ⌟ ω {\displaystyle \exists X\in \operatorname {Vect} (M)\colon \mathrm {d} \alpha =X\lrcorner \omega } 그 공간을 Ω Ham k − 1 ( M ) {\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)} 이라고 하자. 이제, 등급 벡터 공간 L = ⨁ i = 0 n − 1 L i {\displaystyle L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}L_{i}} L 0 = Ω Ham k − 1 ( M ) {\displaystyle L_{0}=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)} L i = Ω k − 1 − i ( M ) ( i ∈ { 1 , 2 , … , n − 1 } {\displaystyle L_{i}=\Omega ^{k-1-i}(M)\qquad (i\in \{1,2,\dotsc ,n-1\}} 위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.:Theorem 3.14 [ α ] = d α ∀ α ∈ L , deg ⁡ α > 0 {\displaystyle [\alpha ]=\mathrm {d} \alpha \qquad \forall \alpha \in L,\;\deg \alpha >0} [ α 1 , … , α p ] = ( − ) 1 + ⌈ p / 2 ⌉ ( X 1 ∧ ⋯ ∧ X p ) ⌟ ω ( α 1 , … , α k ∈ Ω Ham k − 1 ( M ) , ∀ i : d α i = X i ⌟ ω ) {\displaystyle [\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{p}]=(-)^{1+\lceil p/2\rceil }(X_{1}\wedge \dotsb \wedge X_{p})\lrcorner \omega \qquad (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k}\in \Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M),\;\forall i\colon \mathrm {d} \alpha _{i}=X_{i}\lrcorner \omega )} (서로 다른 차원일 수 있는) 두 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 다양체 ( M 1 , ω 1 ) {\displaystyle (M_{1},\omega _{1})} , ( M 2 , ω 2 ) {\displaystyle (M_{2},\omega _{2})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱공간 M = M 1 × M 2 {\displaystyle M=M_{1}\times M_{2}} π i : M ↠ M i {\displaystyle \pi _{i}\colon M\twoheadrightarrow M_{i}} 에 대하여, ω = π 1 ∗ ω 1 + π 2 ∗ ω 2 {\displaystyle \omega =\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}} 를 정의하자. 만약 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} 이라면, 이는 M {\displaystyle M} 위의 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다. 증명: 임의의 x = ( x 1 , x 2 ) ∈ M {\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in M} 에서, 접벡터 v = ( v 1 , v 2 ) ∈ T x M = T x 1 M 1 ⊕ T x 2 M 2 {\displaystyle v=(v_{1},v_{2})\in \mathrm {T} _{x}M=\mathrm {T} _{x_{1}}M_{1}\oplus \mathrm {T} _{x_{2}}M_{2}} 에 대하여, v ⌟ ω = v 1 ⌟ ω 1 + v 2 ⌟ ω 2 {\displaystyle v\lrcorner \omega =v_{1}\lrcorner \omega _{1}+v_{2}\lrcorner \omega _{2}} 이다. k > 0 {\displaystyle k>0} 이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요 충분 조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 M 1 {\displaystyle M_{1}} 과 M 2 {\displaystyle M_{2}} 가 각각 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 v 1 {\displaystyle v_{1}} 과 v 2 {\displaystyle v_{2}} 가 각각 0인 것이다. 0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다. 1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다. n {\displaystyle n} 차원 n − 1 {\displaystyle n-1} 차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다. 콤팩트 단순 리 군이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다. G {\displaystyle G} 의 실수 리 대수를 g = l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)} 라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수(영어: string algebra) s t r i n g ( g ) = g ⊕ R [ 1 ] {\displaystyle {\mathfrak {string}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} [1]} [ x , y , z ] = μ ( x , y , z ) ∈ R [ 1 ] ∀ x , y , z ∈ g {\displaystyle [x,y,z]=\mu (x,y,z)\in \mathbb {R} [1]\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}} 를 정의할 수 있다. 2-멀티심플렉틱 다양체 G {\displaystyle G} 에 대응되는 L₂-대수 L ( G ) = Ω Ham 1 ( G ) ⊕ Ω 0 ( G ) [ 1 ] {\displaystyle L(G)=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)\oplus \Omega ^{0}(G)[1]} 를 생각하자. G {\displaystyle G} 는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수 L ( G ) G = Ω Ham 1 ( G ) G ⊕ Ω 0 ( G ) G [ 1 ] {\displaystyle L(G)^{G}=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\oplus \Omega ^{0}(G)^{G}[1]} 를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로 Ω Ham 1 ( G ) G ≅ g ∗ ≅ g {\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}} Ω 0 ( G ) G ≅ R {\displaystyle \Omega ^{0}(G)^{G}\cong \mathbb {R} } 이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다. 홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 ω 1 , ω 2 , ω 3 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}} 이 주어졌을 때 ω 1 ∧ ω 1 + ω 2 ∧ ω 2 + ω 3 ∧ ω 3 {\displaystyle \omega _{1}\wedge \omega _{1}+\omega _{2}\wedge \omega _{2}+\omega _{3}\wedge \omega _{3}} 은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.:Example 2.11 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 이 주어졌을 때, 그 공변접다발의 k {\displaystyle k} 차 외대수 ⋀ k T ∗ M {\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M} 을 생각하자. 그 위에는 표준적인 k {\displaystyle k} 차 미분 형식 θ ∈ Ω k ( ⋀ k T x ∗ M ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{k}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)} θ | ( x , p ) = p i 1 … i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ( x ∈ M , p ∈ ⋀ k T x ∗ M ) {\displaystyle \theta |_{(x,p)}=p_{i_{1}\dotso i_{k}}\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)} 이 존재한다. 그 외미분 ω = d θ ∈ Ω k + 1 ( ⋀ k T x ∗ M ) {\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta \in \Omega ^{k+1}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)} ω | ( x , p ) = d p i 1 … i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ( x ∈ M , p ∈ ⋀ k T x ∗ M ) {\displaystyle \omega |_{(x,p)}=\mathrm {d} p_{i_{1}\dotso i_{k}}\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)} 은 n + ( n k ) {\displaystyle n+\textstyle {\binom {n}{k}}} 차원 매끄러운 다양체 ⋀ k T ∗ M {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M} 위의 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.:Example 2.10 다음이 주어졌다고 하자. m {\displaystyle m} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} k {\displaystyle k} 차원 매끄러운 다양체 Σ {\displaystyle \Sigma } Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 부피 형식 ω ∈ Ω k ( Σ ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(\Sigma )} 그렇다면 벡터 다발 T Σ ⊗ M × Σ T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} \Sigma \otimes _{M\times \Sigma }\mathrm {T} ^{*}M} 의 전체 공간의 국소 좌표를 ( x μ , ϕ i , π i μ ) ( x ∈ Σ , ϕ ∈ M , π ∈ T x Σ ⊗ T x ∗ M ) {\displaystyle (x^{\mu },\phi ^{i},\pi _{i}^{\mu })\qquad (x\in \Sigma ,\;\phi \in M,\;\pi \in \mathrm {T} _{x}\Sigma \otimes \mathrm {T} _{x}^{*}M)} 위에 다음과 같은 구조를 생각하자. θ = π i μ d ϕ i ∧ ∂ ∂ x μ ⌟ ω {\displaystyle \theta =\pi _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega } 이는 k {\displaystyle k} 차 미분 형식을 이룬다. 그 외미분 d θ = d π i μ d ϕ i ∧ ∂ ∂ x μ ⌟ ω {\displaystyle \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega } 은 k + 1 {\displaystyle k+1} 차 미분 형식이며, 만약 k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} 일 경우 k {\displaystyle k} 차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 증명: 임의의 x ∈ Σ {\displaystyle x\in \Sigma } ϕ ∈ M {\displaystyle \phi \in M} v μ ∂ ∂ x μ ∈ T x Σ {\displaystyle v^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\in \mathrm {T} _{x}\Sigma } χ i ∂ ∂ ϕ i ∈ T ϕ M {\displaystyle \chi ^{i}{\frac {\partial }{\partial \phi ^{i}}}\in \mathrm {T} _{\phi }M} ν μ i d π i μ ∈ T ϕ M ⊗ T x ∗ N {\displaystyle \nu _{\mu }^{i}\,\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\in \mathrm {T} _{\phi }M\otimes \mathrm {T} _{x}^{*}N} 에 대하여, ( v , χ , ν ) ⌟ d θ = d π i μ ∧ d ϕ i ∧ v ν ψ ν μ − χ i d π i μ ∧ ψ μ + ν i μ d ϕ i ∧ ψ μ {\displaystyle (v,\chi ,\nu )\lrcorner \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\wedge \mathrm {d} \phi ^{i}\wedge v^{\nu }\psi _{\nu \mu }-\chi ^{i}\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\wedge \psi _{\mu }+\nu _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge \psi _{\mu }} 이다. 여기서 편의상 ψ μ = ∂ ∂ x ν ⌟ ω {\displaystyle \psi _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\lrcorner \omega } ψ μ ν = ∂ ∂ x μ ⌟ ∂ ∂ x ν ⌟ ω {\displaystyle \psi _{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner {\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\lrcorner \omega } 으로 정의하였다. k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} 일 경우 ψ ν μ ≠ 0 {\displaystyle \psi _{\nu \mu }\neq 0} 이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 필요 충분 조건은 v {\displaystyle v} 와 χ {\displaystyle \chi } 와 ν {\displaystyle \nu } 가 각각 0인 것이다. 이 구성은 Σ → M {\displaystyle \Sigma \to M} 시그마 모형의 공변 위상 공간(영어: covariant phase space)으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 π i μ {\displaystyle \pi _{i}^{\mu }} 는 일반화 운동량에 해당한다. Rogers, Christopher Lee (2011년 6월). 《Higher symplectic geometry》 (영어). 박사 학위 논문. University of California Riverside. arXiv:1106.4068.  “n-plectic geometry”. 《nLab》 (영어).  “n-plectic vector space”. 《nLab》 (영어).  “n-plectic form”. 《nLab》 (영어).  “multisymplectic geometry”. 《nLab》 (영어).