모듈러 자기 동형

함수해석학에서 모듈러 자기 동형(modular自己同型, 영어: modular automorphism)은 힐베르트 공간의 한 단위 벡터로 정의되는, 폰 노이만 대수의 특별한 자기 동형이다. 이를 사용하여 인자 대수 및 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} 위에 작용하는 폰 노이만 대수 A ⊆ B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} (H,H)} 다음 두 조건을 만족시키는 단위 벡터 | v ⟩ ∈ H {\displaystyle |v\rangle \in H} A | v ⟩ {\displaystyle {\mathcal {A}}|v\rangle } 는 H {\displaystyle H} 의 조밀 집합이다. A → H {\displaystyle {\mathcal {A}}\to H} , A ↦ A | v ⟩ {\displaystyle A\mapsto A|v\rangle } 는 단사 함수이다. 이제, 다음과 같은 실수 선형 변환을 정의하자. S : D → H {\displaystyle S\colon D\to H} S A | v ⟩ = A ∗ | v ⟩ ∀ A ∈ A , | v ⟩ ∈ A − 1 ( D ) {\displaystyle SA|v\rangle =A^{*}|v\rangle \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;|v\rangle \in A^{-1}(D)} 이는 복소수 반선형 변환이다. S | α u ⟩ = α ¯ S | u ⟩ ∀ | u ⟩ ∈ D , α ∈ C {\displaystyle S|\alpha u\rangle ={\bar {\alpha }}S|u\rangle \qquad \forall |u\rangle \in D,\;\alpha \in \mathbb {C} } 정의역 D ⊆ H {\displaystyle D\subseteq H} 는 H {\displaystyle H} 의 조밀 집합이다. S {\displaystyle S} 의 극분해(영어: polar decomposition)가 다음과 같다고 하자. S = J Δ 1 / 2 = D − 1 / 2 J {\displaystyle S=J\Delta ^{1/2}=D^{-1/2}J} J 2 = 1 {\displaystyle J^{2}=1} , J = J ∗ {\displaystyle J=J^{*}} 여기서 스펙트럼 이론을 사용하여, 모든 실수 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 대하여 Δ i t {\displaystyle \Delta ^{\mathrm {i} t}} 를 정의할 수 있다. 도미타 정리(영어: Tomita’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. J | v ⟩ = | v ⟩ = Δ | v ⟩ {\displaystyle J|v\rangle =|v\rangle =\Delta |v\rangle } J A J = C B ⁡ ( H , H ) ⁡ ( A ) {\displaystyle J{\mathcal {A}}J=\operatorname {C} _{\operatorname {B} (H,H)}({\mathcal {A}})} Δ i t A Δ − i t = A ∀ t ∈ R {\displaystyle \Delta ^{\mathrm {i} t}{\mathcal {A}}\Delta ^{-\mathrm {i} t}={\mathcal {A}}\qquad \forall t\in \mathbb {R} } 여기서 C B ⁡ ( H , H ) ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {B} (H,H)}(-)} 는 B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \operatorname {B} (H,H)} 에서 취한 중심화 부분환이다. 이에 따라, Δ i t ( − ) Δ − i t : A → A {\displaystyle \Delta ^{\mathrm {i} t}(-)\Delta ^{-\mathrm {i} t}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}} A ↦ Δ i t A Δ − i t {\displaystyle A\mapsto \Delta ^{\mathrm {i} t}A\Delta ^{-\mathrm {i} t}} 는 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 자기 동형을 이룬다. 이를 | v ⟩ {\displaystyle |v\rangle } 에 대응하는 모듈러 자기 동형(영어: modular automorphism)이라고 한다. 임의의 대합환 ( A , ∗ ) {\displaystyle (A,^{*})} 가 주어졌을 때, 임의의 유니터리 원소 u ∈ U ⁡ ( A ) {\displaystyle u\in \operatorname {U} (A)} (즉, u u ∗ = u ∗ u = 1 {\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=1} 인 원소)에 대하여 A ↦ A {\displaystyle A\mapsto A} a ↦ u a u ∗ {\displaystyle a\mapsto uau^{*}} 는 A {\displaystyle A} 의 자기 동형을 이룬다. 이는 군 준동형 U ⁡ ( A ) → Aut ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {U} (A)\to \operatorname {Aut} (A)} 를 정의하며, 따라서 외부 자기 동형군(영어: outer automorphism group) Out ⁡ ( A ) = Aut ⁡ ( A ) / U ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Out} (A)=\operatorname {Aut} (A)/\operatorname {U} (A)} 을 정의할 수 있다. 폰 노이만 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 및 위 조건을 만족시키는 두 단위 벡터 | v ⟩ , | v ′ ⟩ ∈ H {\displaystyle |v\rangle ,|v'\rangle \in H} 에 대하여, 각각 모듈러 자기 동형을 정의할 수 있다. Δ i t ( − ) Δ − i t : A → A {\displaystyle \Delta ^{\mathrm {i} t}(-)\Delta ^{-\mathrm {i} t}\colon A\to A} Δ ′ i t ( − ) Δ ′ − i t : A → A {\displaystyle \Delta '^{\mathrm {i} t}(-)\Delta '^{-\mathrm {i} t}\colon A\to A} 이 둘은 일반적으로 서로 다르지만, 같은 외부 자기 동형류를 정의한다. 즉, 이들이 정의하는 군 준동형 δ : ( R , + ) → Out ⁡ ( A ) {\displaystyle \delta \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Out} (A)} 은 서로 일치한다. 이 군 준동형의 상을 콘 모듈러 군(영어: Connes modular group)이라고 하며, 이는 선택한 단위 벡터에 의존하지 않는, 폰 노이만 대수 고유의 불변량이다. 콘 준동형을 사용하여 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다. 구체적으로, 폰 노이만 대수 A {\displaystyle A} 의 콘 준동형 δ : R → Out ⁡ ( A ) {\displaystyle \delta \colon \mathbb {R} \to \operatorname {Out} (A)} 를 생각하자. 그 핵 ker ⁡ δ {\displaystyle \ker \delta } 는 ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} 의 부분군이다. 만약 A {\displaystyle A} 가 인자 대수라면, 다음이 성립한다. 도미타-다케사키 이론은 도미타 미노루(일본어: 冨田 稔, 1924~2015)가 1967년에 도입하였다. 그러나 도미타의 논문은 매우 난해하여 별로 주목받지 못했다. 이후 다케사키 마사미치(일본어: 竹崎 正道, 1933~)가 1970년에 도미타의 이론을 개량하여 출판하였으며, 이후 학계에서 주목받게 되었다. 이후 알랭 콘이 콘 모듈러 군을 정의하였다. Takesaki, Masamichi (1970). 《Tomita’s theory of modular Hilbert algebras and its applications》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 128. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0065832. ISBN 978-3-540-04917-3.  Summers, Stephen J. (2006). 〈Tomita–Takesaki modular theory〉. 《Encyclopedia of Mathematical Physics》 (영어). Elsevier. 251–257쪽. arXiv:math-ph/0511034. doi:10.1016/B0-12-512666-2/00019-5.  Dereziński, Jan; Pillet, Claude-Alain. “Tomita–Takesaki theory” (PDF) (영어).  Borchers, H. J. (2000). “On revolutionizing quantum field theory with Tomita’s modular theory”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 41: 3604. doi:10.1063/1.533323.  “Tomita-Takesaki theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.