계수-퇴화차수 정리

선형대수학에서 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity theorem)는 행렬의 상과 핵의 차원의 관계에 대한 정리이다. 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 의 정의역 V {\displaystyle V} 가 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다. dim ⁡ im ⁡ T + dim ⁡ ker ⁡ T = dim ⁡ V {\displaystyle \dim \operatorname {im} T+\dim \ker T=\dim V} 여기서 dim {\displaystyle \dim } 은 차원이며, im ⁡ T {\displaystyle \operatorname {im} T} 는 T {\displaystyle T} 의 상이며, ker ⁡ T {\displaystyle \ker T} 는 T {\displaystyle T} 의 핵이다. 상의 차원을 계수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자. rank ⁡ T = dim ⁡ im ⁡ T {\displaystyle \operatorname {rank} T=\dim \operatorname {im} T} 핵의 차원을 퇴화차수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자. nul ⁡ T = dim ⁡ ker ⁡ T {\displaystyle \operatorname {nul} T=\dim \ker T} 그렇다면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.:71 rank ⁡ T + nul ⁡ T = dim ⁡ V {\displaystyle \operatorname {rank} T+\operatorname {nul} T=\dim V} 사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간의 제1 동형 정리 V / ker ⁡ T ≅ im ⁡ T {\displaystyle V/\ker T\cong \operatorname {im} T} 의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.:71 dim ⁡ V = n {\displaystyle \dim V=n} 이라고 하자. ker ⁡ T {\displaystyle \ker T} 의 기저 { v 1 , v 2 , … , v r } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}} ( r ≤ n {\displaystyle r\leq n} )를 취한 뒤, 이를 확장하여 V {\displaystyle V} 의 기저 { v 1 , v 2 , … , v r , v r + 1 , … , v n } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r},v_{r+1},\dots ,v_{n}\}} 을 만들자. 정리를 증명하려면, { T v r + 1 , T v r + 2 , … , T v n } {\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}} 이 im ⁡ T {\displaystyle \operatorname {im} T} 의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다. { T v r + 1 , T v r + 2 , … , T v n } {\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}} 은 선형 독립이다. 증명: ∑ j = r + 1 n a j T v j = 0 {\displaystyle \sum _{j=r+1}^{n}a_{j}Tv_{j}=0} 이며 a r + 1 , a r + 2 , … , a n ∈ K {\displaystyle a_{r+1},a_{r+2},\dots ,a_{n}\in K} 라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 T ( ∑ j = r + 1 n a j v j ) = 0 {\displaystyle T\left(\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\right)=0} 이며, ker ⁡ T {\displaystyle \ker T} 의 정의에 따라 ∑ j = r + 1 n a j v j ∈ ker ⁡ T {\displaystyle \sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\in \ker T} 이다. { v 1 , v 2 , … , v r } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}} 가 ker ⁡ T {\displaystyle \ker T} 의 기저이므로, ∑ j = r + 1 n a j v j = ∑ k = 1 r a k v k {\displaystyle \sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}v_{k}} 인 a 1 , a 2 , … , a r ∈ K {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{r}\in K} 가 존재한다. 따라서, ∑ k = 1 r a k v k − ∑ j = r + 1 n a j v j = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{r}a_{k}v_{k}-\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}=0} 인데, { v 1 , v 2 , … , v n } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}} 이 V {\displaystyle V} 의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=0} 이며, 특히 a r + 1 = a r + 2 = ⋯ = a n = 0 {\displaystyle a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots =a_{n}=0} 이다. { T v r + 1 , T v r + 2 , … , T v n } {\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}} 은 im ⁡ T {\displaystyle \operatorname {im} T} 를 선형 생성한다. 증명: w ∈ im ⁡ T {\displaystyle w\in \operatorname {im} T} 라고 하자. 그렇다면, im ⁡ T {\displaystyle \operatorname {im} T} 의 정의에 따라 w = T v {\displaystyle w=Tv} 인 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 가 존재한다. 이 v {\displaystyle v} 는 기저 { v 1 , v 2 , … , v n } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}} 의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, v = ∑ i = 1 n b i v i {\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i}} 인 b 1 , b 2 , … , b n ∈ K {\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in K} 가 존재한다. 따라서 w = T v = ∑ i = 1 n b i T v i {\displaystyle w=Tv=\sum _{i=1}^{n}b_{i}Tv_{i}} 인데, v 1 , v 2 , … , v r ∈ ker ⁡ T {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\in \ker T} 이므로, T v 1 = T v 2 = ⋯ = T v r = 0 {\displaystyle Tv_{1}=Tv_{2}=\cdots =Tv_{r}=0} 이다. 즉, w = ∑ i = r + 1 n b i T v i {\displaystyle w=\sum _{i=r+1}^{n}b_{i}Tv_{i}} 이다. 즉, 임의의 w ∈ im ⁡ T {\displaystyle w\in \operatorname {im} T} 는 { T v r + 1 , T v r + 2 , … , T v n } {\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}} 의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 이에 따라, { T v r + 1 , T v r + 2 , … , T v n } {\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}} 은 im ⁡ T {\displaystyle \operatorname {im} T} 의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Rank-nullity theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Rank-nullity theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of rank-nullity theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Rank plus nullity theorem”. 《ProofWiki》 (영어).