핀슬러 다양체

미분기하학에서 핀슬러 다양체(영어: Finsler manifold)는 리만 다양체의 일반화이다. 각 접공간 위에 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이 주어진 리만 다양체와 달리, 대신 (일반화) 노름이 주어진다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 접다발 T M {\displaystyle TM} 위의 핀슬러 함수(영어: Finsler function)는 다음 조건을 만족시키는 함수 F : T M → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle F\colon TM\to [0,\infty )} 이다. F {\displaystyle F} 는 T M ∖ M {\displaystyle TM\setminus M} 위에서 매끄러운 함수이다. ( x , v ) ∈ T M {\displaystyle (x,v)\in TM} 에 대하여, 만약 v = 0 {\displaystyle v=0} 이라면 F ( x , v ) = 0 {\displaystyle F(x,v)=0} 이며, v ≠ 0 {\displaystyle v\neq 0} 이라면 F ( x , v ) > 0 {\displaystyle F(x,v)>0} 이다. (동차성) 임의의 λ ∈ R + {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}} 및 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 v ∈ T x M {\displaystyle v\in T_{x}M} 에 대하여, λ F ( x , v ) = F ( x , λ v ) {\displaystyle \lambda F(x,v)=F(x,\lambda v)} (준가법성) 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 u , v ∈ T x M {\displaystyle u,v\in T_{x}M} 에 대하여, F ( x , u + v ) ≤ F ( x , u ) + F ( x , v ) {\displaystyle F(x,u+v)\leq F(x,u)+F(x,v)} 핀슬러 함수를 갖춘 매끄러운 다양체 ( M , F ) {\displaystyle (M,F)} 를 핀슬러 다양체라고 한다. 만약 핀슬러 다양체 ( M , F ) {\displaystyle (M,F)} 에 대하여, 임의의 ( x , v ) ∈ T M {\displaystyle (x,v)\in TM} 에 대하여 F ( x , v ) = F ( x , − v ) {\displaystyle F(x,v)=F(x,-v)} 라면 이를 가역 핀슬러 다양체(영어: reversible Finsler manifold)라고 한다. 가역 핀슬러 함수는 다양체의 각 접공간 위에 노름을 정의한다. 핀슬러 다양체 ( M , F ) {\displaystyle (M,F)} 위의 매끄러운 곡선 γ : [ a , b ] → M {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M} 의 길이(영어: length)는 다음과 같다. length ⁡ [ γ ] = ∫ a b F ( γ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t {\displaystyle \operatorname {length} [\gamma ]=\int _{a}^{b}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt} 곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 미분 동형 s : [ a , b ] → [ a ′ , b ′ ] {\displaystyle s\colon [a,b]\to [a',b']} 에 대하여, length ⁡ [ γ ∘ s ] = length ⁡ [ γ ] {\displaystyle \operatorname {length} [\gamma \circ s]=\operatorname {length} [\gamma ]} 이다. 임의의 두 점 x , y ∈ M {\displaystyle x,y\in M} 사이의 거리(영어: distance) dist ⁡ ( x , y ) {\displaystyle \operatorname {dist} (x,y)} 는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다. dist ⁡ ( x , y ) = inf γ : [ 0 , 1 ] → M γ ( 0 ) = x , γ ( 1 ) = y L ( γ ) {\displaystyle \operatorname {dist} (x,y)=\inf _{\gamma \colon [0,1]\to M}^{\gamma (0)=x,\;\gamma (1)=y}L(\gamma )} 그렇다면, ( M , dist ) {\displaystyle (M,\operatorname {dist} )} 는 길이 거리 공간을 이룬다. 따라서, 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 다음과 같은 에너지 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킨다. E [ γ ] = 1 2 ∫ a b ( F ( γ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) ) 2 d t {\displaystyle E[\gamma ]={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left(F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\right)^{2}\,dt} 핀슬러 다양체 ( M , F ) {\displaystyle (M,F)} 가 주어졌을 때, 1 2 F 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}F^{2}} 의 접공간 방향의 헤세 행렬은 T M ∖ M {\displaystyle TM\setminus M} 위에 다음과 같은 대칭 (0,2)-텐서 g {\displaystyle g} 를 이루며, 이를 기본 텐서(영어: fundamental tensor)라고 한다. ( g | x , v ) i j = 1 2 ∂ v i ∂ v j F 2 ∀ ( x , v ) ∈ T M {\displaystyle (g|_{x,v})_{ij}={\frac {1}{2}}{\frac {}{\partial v^{i}\partial v^{j}}}F^{2}\qquad \forall (x,v)\in TM} 이는 접공간 방향에서 무게 0으로 동차이므로, 이는 사실 사영 접다발 P T M = T M ∖ M ( x , v ) ∼ ( x , λ v ) ∀ λ ∈ R + {\displaystyle PTM={\frac {TM\setminus M}{(x,v)\sim (x,\lambda v)\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}}} 위에 정의된다. 반대로, 동차 함수에 대한 오일러 정리에 따라서 F ( x , v ) 2 = ∑ i j g i j ( x , v ) v i v j {\displaystyle F(x,v)^{2}=\sum _{ij}g_{ij}(x,v)v^{i}v^{j}} 가 된다. 즉, 기본 텐서로부터 핀슬러 구조 전체를 재구성할 수 있다. 기본 형식이 T M {\displaystyle TM} 위에서 양의 정부호라면, ( M , F ) {\displaystyle (M,F)} 를 강하게 볼록 핀슬러 다양체(영어: strongly convex Finsler manifold)라고 한다. 일부 문헌에서는 핀슬러 다양체의 정의에 강한 볼록성 조건을 추가하기도 한다. 핀슬러 다양체 ( M , F ) {\displaystyle (M,F)} 의 사영 접다발 P T M {\displaystyle PTM} 위에 다음과 같은 힐베르트 형식(영어: Hilbert form)이라는 1차 미분 형식을 정의할 수 있다. ω = ∑ i ∂ F ( x , v ) ∂ v i d x i {\displaystyle \omega =\sum _{i}{\frac {\partial F(x,v)}{\partial v^{i}}}dx^{i}} ω {\displaystyle \omega } 의 외미분 d ω {\displaystyle d\omega } 는 일종의 에레스만 접속을 정의한다. 모든 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 는 다음과 같은 핀슬러 함수로 자연스럽게 핀슬러 다양체를 이룬다. F ( x , v ) = g | x ( v , v ) ∀ ( x , v ) ∈ T M {\displaystyle F(x,v)=g|_{x}(v,v)\qquad \forall (x,v)\in TM} 반대로, 리만 계량을 핀슬러 함수로부터 재구성할 수 있다. 따라서, 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 개념의 일반화이다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에 1차 미분 형식 b ∈ Ω 1 M {\displaystyle b\in \Omega ^{1}M} 이 주어졌으며, 또한 g − 1 ( b , b ) | x ≤ 1 ∀ x ∈ M {\displaystyle g^{-1}(b,b)|_{x}\leq 1\qquad \forall x\in M} 이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함수는 핀슬러 함수를 이룬다. F : ( x , v ) ↦ g − 1 ( b , b ) | x + b ( v ) {\displaystyle F\colon (x,v)\mapsto {\sqrt {g^{-1}(b,b)}}|_{x}+b(v)} 이러한 꼴의 핀슬러 다양체를 란데르스 다양체(영어: Randers manifold)라고 한다. 이는 노르웨이의 군나르 란데르스(노르웨이어: Gunnar Randers)가 도입하였다. 복소다양체 위의 카라테오도리 계량과 고바야시 계량은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다. 독일의 수학자 파울 핀슬러(독일어: Paul Finsler, 1894~1970)가 1918년 박사 학위 논문에서 연구하였다. 이후 1933년에 엘리 카르탕이 "핀슬러 공간"(프랑스어: espace de Finsler)이라는 용어를 도입하였다. Randers, Gunnar (1941). “On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity”. 《Physical Review》 (영어) 59 (2): 195–199. doi:10.1103/PhysRev.59.195.  Finsler, Paul (1918). 《Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen》. 괴팅겐 대학교 박사 학위 논문 (지도 교수 콘스탄티노스 카라테오도리). O. Füssli. JFM 46.1131.02.  Cartan, Élie (1933). “Sur les espaces de Finsler”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 196: 582–586. Zbl 0006.22501.  Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). 《An introduction to Riemann–Finsler geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 200. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. ISSN 0072-5285.  Rund, Hanno (1959). 《The differential geometry of Finsler spaces》. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 101. Springer. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. ISSN 0072-7830.  Shen, Zhongmin (2001). 《Lectures on Finsler geometry》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/4619. 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