측지선

기하학에서 측지선(測地線, geodesic) 또는 지름길이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다. 많은 경우, 측지선은 표면의 두 지점 사이의 가장 짧은 경로를 나타내는 곡선이다. (준 리만 다양체, 예를 들어 로렌츠 다양체의 경우 정의는 더 복잡하다.) 아핀 접속을 갖는 매끄러운 다양체에서도 정의될 수 있다. 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 과 닫힌구간 [ a , b ] ⊆ R {\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 만약 함수 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수 v ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle v\in [0,\infty )} 가 존재한다면, γ {\displaystyle \gamma } 를 (대역적) 측지선((大域的)測地線, 영어: (global) geodesic)이라고 한다.:4, Definition 1.3:Definition 7.1(2) ∀ s , t ∈ [ a , b ] : s ≤ t ⟹ d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) = v ( t − s ) {\displaystyle \forall s,t\in [a,b]\colon s\leq t\implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)} 이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 물론 v ( b − a ) {\displaystyle v(b-a)} 이다. v {\displaystyle v} 를 측지선 γ {\displaystyle \gamma } 의 속력(速力, 영어: speed)이라고 한다. 만약 닫힌구간 [ a , b ] ⊆ R {\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} } 위에 정의된 함수 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 측지선(局所測地線, 영어: local geodesic)이라고 한다.:4, Definition 1.3:Definition 7.1(2) 임의의 t ∈ [ a , b ] {\displaystyle t\in [a,b]} 에 대하여, 제한 γ ↾ [ c , d ] {\displaystyle \gamma \upharpoonright [c,d]} 가 대역적 측지선이 되는 닫힌 근방 [ a , b ] ⊇ [ c , d ] ∋ t {\displaystyle [a,b]\supseteq [c,d]\ni t} 가 존재한다. 사실 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수 v ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle v\in [0,\infty )} 및 양의 실수 ϵ ∈ R + {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}} 의 존재와 동치이다. ∀ s , t ∈ [ a , b ] : 0 ≤ t − s < ϵ ⟹ d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) = v ( t − s ) {\displaystyle \forall s,t\in [a,b]\colon 0\leq t-s<\epsilon \implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)} 이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시 v ( b − a ) {\displaystyle v(b-a)} 이다. 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여, 다음 조건들을 정의하자. 만약 임의의 두 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, γ ( a ) = x {\displaystyle \gamma (a)=x} 이자 γ ( b ) = y {\displaystyle \gamma (b)=y} 인 대역적 측지선 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 가 존재한다면, ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 를 측지선 로비어 공간(測地線Lawvere空間, 영어: geodesic Lawvere space)이라고 한다.:4, Definition 1.3 만약 임의의 두 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, γ ( 0 ) = x {\displaystyle \gamma (0)=x} 이자 γ ( 1 ) = y {\displaystyle \gamma (1)=y} 인 대역적 측지선 γ : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X} 가 유일하게 존재한다면, ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 를 유일 측지선 로비어 공간(唯一測地線Lawvere空間, 영어: uniquely geodesic Lawvere space)이라고 한다.:4, Definition 1.3 모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 아핀 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 실수 닫힌구간 [ a , b ] ⊆ R , ( a ≤ b ) {\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} ,\qquad (a\leq b)} 이 경우, M {\displaystyle M} 위의 에너지 측지선은 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 곡선 γ : [ a , b ] → M {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M} 이다. 우선, γ {\displaystyle \gamma } 의 상을 포함하는 임의의 열린집합 U ⊇ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle U\supseteq \gamma ([a,b])} 위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 고르자. X ∈ Γ ∞ ( U , T U ) {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(U,\mathrm {T} U)} ∀ t ∈ [ a , b ] : γ ˙ ( t ) = X γ ( t ) {\displaystyle \forall t\in [a,b]\colon {\dot {\gamma }}(t)=X_{\gamma (t)}} 그렇다면, X {\displaystyle X} 는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 측지선 방정식(測地線方程式, geodesic equation)이라고 한다. ∀ t ∈ [ a , b ] : ( ∇ X X ) γ ( t ) = 0 ∈ T γ ( t ) M {\displaystyle \forall t\in [a,b]\colon (\nabla _{X}X)_{\gamma (t)}=0\in {\mathrm {T} }_{\gamma (t)}M} 측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다. 이 조건이 성립하는지 여부는 사실 X {\displaystyle X} 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다. γ ¨ k + ∑ i , j Γ i j k γ ˙ i γ ˙ j = 0 {\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{k}+\sum _{i,j}\Gamma _{ij}^{k}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}=0} 여기서 Γ i j k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}} 는 ∇ {\displaystyle \nabla } 의 크리스토펠 기호이다. 임의의 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 및 임의의 양의 실수 C ∈ R + {\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{+}} 가 주어졌을 때, ( X , C d ) {\displaystyle (X,Cd)} 역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우, ( X , C d ) {\displaystyle (X,Cd)} 의 (국소) 측지선은 다음과 같다. 임의의 함수 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 에 대하여, γ {\displaystyle \gamma } 가 측지선인 것은 γ ′ : [ C a , C b ] → ( X , C d ) {\displaystyle \gamma '\colon [Ca,Cb]\to (X,Cd)} , t ↦ γ ( t / c ) {\displaystyle t\mapsto \gamma (t/c)} 가 측지선인 것과 동치이다. 임의의 함수 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 에 대하여, γ {\displaystyle \gamma } 가 국소 측지선인 것은 γ ′ : [ C a , C b ] → ( X , C d ) {\displaystyle \gamma '\colon [Ca,Cb]\to (X,Cd)} , t ↦ γ ( t / c ) {\displaystyle t\mapsto \gamma (t/c)} 가 국소 측지선인 것과 동치이다. 마찬가지로, 반대 로비어 공간 X op = ( X , d op ) {\displaystyle X^{\operatorname {op} }=(X,d^{\operatorname {op} })} 위의 측지선은 다음과 같다. 임의의 함수 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 에 대하여, b > a {\displaystyle b>a} 일 때, γ {\displaystyle \gamma } 가 측지선인 것은 γ ′ : [ a , b ] → X op {\displaystyle \gamma '\colon [a,b]\to X^{\operatorname {op} }} , t ↦ γ ( b − ( t − a ) / ( a − b ) ) {\displaystyle t\mapsto \gamma (b-(t-a)/(a-b))} 가 측지선인 것과 동치이다. 임의의 함수 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 에 대하여, b > a {\displaystyle b>a} 일 때, γ {\displaystyle \gamma } 가 국소 측지선인 것은 γ ′ : [ a , b ] → X op {\displaystyle \gamma '\colon [a,b]\to X^{\operatorname {op} }} , t ↦ γ ( b − ( t − a ) / ( a − b ) ) {\displaystyle t\mapsto \gamma (b-(t-a)/(a-b))} 가 국소 측지선인 것과 동치이다. 임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속 ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} 에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다. 임의 확장 유사 거리 공간(즉, 대칭 계량을 갖는 로비어 공간)에서, (상수 v {\displaystyle v} 에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수 v {\displaystyle v} 에 대한) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다. 일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상 { [ c , d ) ∩ [ a , b ] : c , d ∈ R } : {\displaystyle \{[c,d)\cap [a,b]\colon c,d\in \mathbb {R} \}\colon } 을 부여할 때, 측지선 [ a , b ] → X {\displaystyle [a,b]\to X} 는 X {\displaystyle X} 의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.) 길이 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 경우, 함수 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은 γ {\displaystyle \gamma } 가 두 점 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} 를 잇는 최단의 길이를 갖는 곡선인 것이다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 매끄러운 함수 γ : [ a , b ] → M {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M} 에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다. length ⁡ ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t {\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\;\mathrm {d} t} energy ⁡ ( γ ) = 1 2 ∫ a b g γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t {\displaystyle \operatorname {energy} (\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\;\mathrm {d} t} 이 둘은 γ {\displaystyle \gamma } 에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다. length ⁡ ( γ ) {\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )} 는 곡선의 길이이며, energy ⁡ ( γ ) {\displaystyle \operatorname {energy} (\gamma )} 는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다. 임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수 energy {\displaystyle \operatorname {energy} } 의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다. 유도: 편의상 아인슈타인 표기법을 사용하자. 에너지 범함수는 다음과 같은 라그랑지언의 적분이다. L ( x , v ) = 1 2 g i j v i v j {\displaystyle {\mathcal {L}}(x,v)={\frac {1}{2}}g_{ij}v^{i}v^{j}} 일반화 운동량은 다음과 같다. p i ( x , v ) = ∂ L ∂ v i = g i j v j {\displaystyle p_{i}(x,v)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v^{i}}}=g^{ij}v_{j}} ∂ p i ∂ v j = g i j {\displaystyle {\frac {\partial p_{i}}{\partial v^{j}}}=g_{ij}} ∂ p i ∂ x j = v k ∂ j g i k {\displaystyle {\frac {\partial p_{i}}{\partial x^{j}}}=v^{k}\partial _{j}g_{ik}} 마찬가지로, 일반화 힘은 다음과 같다. F i = ∂ L ∂ x i = 1 2 v j v k ∂ i g j k {\displaystyle F_{i}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{2}}v^{j}v^{k}\partial _{i}g_{jk}} 따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음에 v ˙ i ↦ γ ¨ i ( t ) {\displaystyle {\dot {v}}_{i}\mapsto {\ddot {\gamma }}^{i}(t)} , v i ↦ γ ˙ i ( t ) {\displaystyle v^{i}\mapsto {\dot {\gamma }}^{i}(t)} , x i ↦ γ ( t ) {\displaystyle x^{i}\mapsto \gamma (t)} 를 대입하여 얻는다. F i = ∂ p i ∂ v j v ˙ j + ∂ p i ∂ x j v j = g i j v ˙ j + v j v k ∂ j g i k {\displaystyle F_{i}={\frac {\partial p_{i}}{\partial v^{j}}}{\dot {v}}^{j}+{\frac {\partial p_{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}=g_{ij}{\dot {v}}^{j}+v^{j}v^{k}\partial _{j}g_{ik}} 즉, 다음과 같다. 1 2 γ ˙ j γ ˙ k ∂ i g j k = g i j γ ¨ j + γ ˙ j γ ˙ k ∂ j g i k {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{j}{\dot {\gamma }}^{k}\partial _{i}g_{jk}=g_{ij}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\dot {\gamma }}^{j}{\dot {\gamma }}^{k}\partial _{j}g_{ik}} 즉, 이를 재정리하면 다음과 같다. γ ¨ k = 1 2 γ ˙ i γ ˙ j g k l ( ∂ l g i j − 2 ∂ i g j l ) = 1 2 γ ˙ i γ ˙ j g k l ( ∂ l g i j − ∂ i g j l − ∂ j g i l ) = − γ ˙ i γ ˙ j Γ i j k {\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{k}={\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}g^{kl}\left(\partial _{l}g_{ij}-2\partial _{i}g_{jl}\right)={\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}g^{kl}\left(\partial _{l}g_{ij}-\partial _{i}g_{jl}-\partial _{j}g_{il}\right)=-{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}\Gamma _{ij}^{k}} 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 는 매끄러운 다양체이며, 또한 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선 γ : [ a , b ] → M {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M} 의 경우, γ ∘ f {\displaystyle \gamma \circ f} 가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 [ a ′ , b ′ ] → [ a , b ] {\displaystyle [a',b']\to [a,b]} 가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선 γ : [ a , b ] → M {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M} 의 경우, γ : g {\displaystyle \gamma \colon g} 가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 [ a ′ , b ′ ] → M {\displaystyle [a',b']\to M} 이 존재한다. 임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체 X {\displaystyle X} 위의 상수 곡선 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} γ : t ↦ x ∀ t ∈ [ a , b ] {\displaystyle \gamma \colon t\mapsto x\qquad \forall t\in [a,b]} 는 자명하게 측지선을 이룬다. 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 집합 X {\displaystyle X} 위에 유사 거리 함수 d ( x , y ) = { 0 x = y ∞ x ≠ y ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\\infty &x\neq y\end{cases}}\qquad \forall x,y\in X} 를 부여하자. (이는 이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다. 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 집합 X {\displaystyle X} 위에 로비어 공간 구조 d ( x , y ) = 0 ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d(x,y)=0\qquad \forall x,y\in X} 를 주자. (이는 비이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선 γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} 은 측지선이다. 노름 공간 ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} 가 주어졌다고 하자. 만약 거리 함수 d ( u , v ) = ‖ u − v ‖ = ‖ v − u ‖ {\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|} 를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} 사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다. γ : [ 0 , ‖ u − v ‖ ] → V {\displaystyle \gamma \colon [0,\|u-v\|]\to V} γ : t ↦ u + t ‖ v − u ‖ ( v − u ) ( u ≠ v ) {\displaystyle \gamma \colon t\mapsto u+{\frac {t}{\|v-u\|}}(v-u)\qquad (u\neq v)} 특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다. 유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호가 0이다. Γ i j k = 0 {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=0} 따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다. γ ¨ = 0 {\displaystyle {\ddot {\gamma }}=0} 초구 위의 측지선은 대원이라고 한다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자. d ( x , x ′ ) = ∫ x x ′ g ( y ) d y ( x ≤ x ′ ) {\displaystyle d(x,x')=\int _{x}^{x'}{\sqrt {g(y)}}\,\mathrm {d} y\qquad (x\leq x')} g : R → R + {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} 그렇다면, 이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같다. Γ ( x ) = 1 2 g ( x ) g ˙ ( x ) = 1 2 d d x ln ⁡ ( g ( x ) ) {\displaystyle \Gamma (x)={\frac {1}{2g(x)}}{\dot {g}}(x)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(g(x))} 측지선 방정식은 다음과 같다. γ ¨ ( t ) + Γ ( γ ( t ) ) γ ˙ ( t ) 2 = 0 {\displaystyle {\ddot {\gamma }}(t)+\Gamma (\gamma (t)){\dot {\gamma }}(t)^{2}=0} 이는 2차 상미분 방정식이다. 이는 위치 및 속도 의존 힘 F = − Γ ( γ ( t ) ) γ ˙ 2 {\displaystyle F=-\Gamma (\gamma (t)){\dot {\gamma }}^{2}} 의 영향을 받는 입자의 운동이다. 예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉 g ( x ) = g 0 exp ⁡ ( 2 Γ x ) {\displaystyle g(x)=g_{0}\exp(2\Gamma x)} 인 경우, 이 방정식은 γ ¨ ( t ) + Γ γ ˙ ( t ) 2 = 0 {\displaystyle {\ddot {\gamma }}(t)+\Gamma {\dot {\gamma }}(t)^{2}=0} 이며, 그 해는 γ ˙ ( t ) = ( v 0 + Γ t ) − 1 {\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=\left(v_{0}+\Gamma t\right)^{-1}} γ ( t ) = Γ − 1 ln ⁡ | v 0 + Γ t | + x 0 {\displaystyle \gamma (t)=\Gamma ^{-1}\ln |v_{0}+\Gamma t|+x_{0}} 이다. ‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부) 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선", 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다. 측지선은 헤아릴 측(測), 땅 지(地), 줄 선(線) 자를 쓴다. 일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자(에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다. 지름길 일반 상대성 이론의 지름길 굽은 시공간 타원면에 대한 측지선 지오데식 Bridson, Martin R.; Häfliger, André. 《Metric spaces of non-positive curvature》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 319. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 978-3-540-64324-1. ISSN 0072-7830.  Mennucci, Andrea C. G. “Geodesics in Asymmetric Metric Spaces” (PDF). 《Analysis and Geometry in Metric Spaces》 (영어).  최용기; 박기용 (2015). 《토목기사 과년도 시리즈 - 측량학》. 성안당. 1-11쪽. ISBN 9788931568080.  대한수학회 수학용어 https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=geodesic 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.kr/content/voca/search.php?et=en&find_kw=geodesic https://hanja.dict.naver.com/#/entry/ccko/83282c49222c435c9e1b9edc2802fe48 “Geodesic line”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Geodesic distance”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Geodesic flow”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Geodesic triangle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Geodesic hypothesis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Geodesic geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic curvature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Geodesic”. 《nLab》 (영어).  Rademacher, Hans-Bert (2013). “Totally geodesic submanifold - definition” (PDF). 《Bulletin of the Manifold Atlas》 (영어).