아이디얼 노름

대수적 수론에서 아이디얼 노름(영어: ideal norm)은 임의의 분수 아이디얼에 대하여 정의되는, 체 노름의 일반화이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 데데킨트 정역 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} 의 분수체 K = Frac ⁡ R {\displaystyle K=\operatorname {Frac} R} 의 유한 분해 가능 확대 L / K {\displaystyle L/K} 그렇다면, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 R {\displaystyle R} 의 L {\displaystyle L} 속의 정수적 폐포 R ⊆ S ⊆ K {\displaystyle R\subseteq S\subseteq K} 역시 데데킨트 정역을 이룬다. 그렇다면, 상대 아이디얼 노름(영어: relative ideal norm)은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다. N S / R : FracIdeal ⁡ ( S ) → FracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)} 여기서 FracIdeal ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (-)} 은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다. 이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다. 상대 아이디얼 노름 N S / R : FracIdeal ⁡ ( S ) → FracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)} 은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.:Proposition 1.5.14 N S / R ⁡ ( ( 0 ) S ) = ( 0 ) R {\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}((0)_{S})=(0)_{R}} . 여기서 ( 0 ) {\displaystyle (0)} 은 영 아이디얼이다. 임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 q ⊆ S {\displaystyle {\mathfrak {q}}\subseteq S} 및 p ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R} 에 대하여, 만약 q ∣ p {\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}} 라면, N S / R ⁡ ( q ) = p [ S / q : R / p ] {\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]}} 여기서 [ S / q : R / p ] {\displaystyle [S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]} 는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다. 여기서 q ∣ p {\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}} 라는 것은 분기화에 대하여 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 가 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 를 S {\displaystyle S} 에서 소인수 분해하면 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 는 그 소인수 가운데 하나이다. 아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다.:Proposition I.8.2:25, §4 분수 아이디얼 A ∈ FracIdeal ⁡ S {\displaystyle {\mathfrak {A}}\in \operatorname {FracIdeal} S} 의 아이디얼 노름 N S / R ⁡ ( A ) ∈ FracIdeal ⁡ R {\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})\in \operatorname {FracIdeal} R} 은 다음과 같은 분수 아이디얼이다. N S / R ⁡ ( A ) = { r 1 N L / K ⁡ ( a 1 ) + r 2 N L / K ⁡ ( a 1 ) + ⋯ + r n N L / K ⁡ ( a n ) : n ∈ N , a 1 , … , a n ∈ A , r 1 , … , r n ∈ R } ∈ FracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})=\{r_{1}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+r_{2}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+\cdots +r_{n}\operatorname {N} _{L/K}(a_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathfrak {A}},\;r_{1},\dots ,r_{n}\in R\}\in \operatorname {FracIdeal} (R)} 즉, N L / K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}} 아래 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} 의 상으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 N L / K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}} 는 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대한 체 노름이다. 대수적 수체 L / Q {\displaystyle L/\mathbb {Q} } 이 주어졌을 때, K = Q {\displaystyle K=\mathbb {Q} } , S = O L {\displaystyle S={\mathcal {O}}_{L}} , R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 주 아이디얼 정역이므로) FracIdeal ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (\mathbb {Z} )} 은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 Q ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {Q} _{\geq 0}} 로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형 N O L / Z : FracIdeal ⁡ ( O L ) → Q ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}} 을 정의하며, 절대 아이디얼 노름이라고 한다. 절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 L / Q {\displaystyle L/\mathbb {Q} } 의 대수적 정수환 O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} 의 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 의 절대 아이디얼 노름은 다음과 같다.:34, §I.6 N L ⁡ ( a ) = { | O L / a | 0 a = ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})={\begin{cases}|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}|\\0&{\mathfrak {a}}=(0)\end{cases}}} 즉, 만약 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 가 영 아이디얼이 아니라면 몫환 O L / a {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}} 의 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다. N O L / Z : Ideal ⁡ ( O L ) → N {\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {N} } N O L / Z ⁡ ( a b ) = N L ⁡ ( a ) N K ⁡ ( b ) {\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})\operatorname {N} _{K}({\mathfrak {b}})} N O L / Z ⁡ ( O L ) = 1 {\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathcal {O}}_{L})=1} 여기서 Ideal ⁡ ( O L ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})} 은 O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} 의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, N {\displaystyle \mathbb {N} } 은 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다. 보다 일반적으로, O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} -아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} -분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다. N L ⁡ ( a / b ) = N L ⁡ ( a ) / N L ⁡ ( ( b ) ) ( a / b ∈ FracIdeal ⁡ ( O L ) , b ∈ O L ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}}/b)=\operatorname {N} _{L}(\operatorname {a} )/\operatorname {N} _{L}((b))\qquad \left({\mathfrak {a}}/b\in \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L}),\;b\in {\mathcal {O}}_{L}\right)} (여기서 ( b ) {\displaystyle (b)} 는 b {\displaystyle b} 로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다. N L : FracIdeal ⁡ ( O L ) → Q ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {N} _{L}\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}} 여기서 FracIdeal ⁡ ( O L ) {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})} 은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} 의 분수 아이디얼들의 곱셈 모노이드이다. Q ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {Q} _{\geq 0}} 는 음이 아닌 유리수들의 곱셈 모노이드이다. 대수적 수체 L {\displaystyle L} 의 무한 또는 유한 자리 q ∣ p {\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}} ( p ∈ { 2 , 3 , 5 , 7 , … , ∞ } {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \{2,3,5,7,\dots ,\infty \}} )에 대하여 다음을 정의하자. κ ( q ) {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {q}})} 는 값매김환 O L q {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}} 의 잉여류체이다. (만약 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 가 무한 위치라면 O L q = L q {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}=L_{\mathfrak {q}}} 이다.) 마찬가지로 κ ( p ) {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})} 는 값매김환 O K p {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{\mathcal {p}}}} 의 잉여류체이다. f p = [ κ ( q ) : κ ( p ) ] {\displaystyle f_{\mathfrak {p}}=[\kappa ({\mathfrak {q}}):\kappa ({\mathfrak {p}})]} 는 분기화 S / R {\displaystyle S/R} 에 대한 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 의 관성 차수이다. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다. N ⁡ ( q ) = { q ν ( q ) q ∤ ∞ e ν ( q ) q ∣ ∞ {\displaystyle \operatorname {N} ({\mathfrak {q}})={\begin{cases}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathrm {e} ^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}} 그렇다면 임의의 아라켈로프 인자 A = ∏ q q ν ( q ) ν ( q ) ∈ { Z q ∤ ∞ R q ∣ ∞ {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\prod _{\mathfrak {q}}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}\qquad \nu ({\mathfrak {q}})\in {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathbb {R} &{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}} 의 아이디얼 노름은 다음과 같다.:186, Definition III.1.5 N ⁡ ( A ) = ∏ q N ⁡ ( q ) ν ( q ) ∈ R + {\displaystyle \operatorname {N} ({\mathfrak {A}})=\prod _{\mathfrak {q}}\operatorname {N} ({\mathfrak {q}})^{\nu ({\mathfrak {q}})}\in \mathbb {R} ^{+}} 이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 으로 가는 군 준동형을 정의한다. 보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 상대 이델 노름(영어: relative idèle norm)이 존재한다. N L / K : A L × → A K × {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon \mathbb {A} _{L}^{\times }\to \mathbb {A} _{K}^{\times }} N L / K : ( a q ) q ∈ Places ⁡ L ↦ ∏ q ∣ p N L q / K p ⁡ ( a q ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} L}\mapsto \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}\operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}(a_{\mathfrak {q}})} 여기서 ∏ q ∣ p {\displaystyle \textstyle \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}} 는 K {\displaystyle K} 의 모든 자리 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 및 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 가 분기화하는 모든 L {\displaystyle L} 의 자리 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 들에 대한 곱이다. N L q / K p {\displaystyle \operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}} 는 완비체의 확대 L q / K p {\displaystyle L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}} 에 대한 체 노름이다. 이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. a ∈ L × {\displaystyle a\in L^{\times }} 에 의하여 정의되는 주 이델 ( a ) ∈ A L × {\displaystyle (a)\in \mathbb {A} _{L}^{\times }} 의 상은 K {\displaystyle K} 의 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형 C L → C K {\displaystyle C_{L}\to C_{K}} 을 정의한다. 마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 절대 이델 노름(영어: absolute idèle norm)이 존재한다. N K : A K × → R + {\displaystyle \operatorname {N} _{K}\colon \mathbb {A} _{K}^{\times }\to \mathbb {R} ^{+}} N K : ( a q ) q ∈ Places ⁡ K ↦ ∏ p | a | p {\displaystyle \operatorname {N} _{K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} K}\mapsto \prod _{\mathfrak {p}}|a|_{\mathfrak {p}}} 이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. a ∈ K × {\displaystyle a\in K^{\times }} 에 의하여 생성되는 주 이델 ( a ) ∈ A K × {\displaystyle (a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times }} 의 절대 이델 노름은 항상 1이다.:185, Proposition III.1.3 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형 C K → R + {\displaystyle C_{K}\to \mathbb {R} ^{+}} 을 정의한다. 임의의 대수적 수체의 대수적 정수환 O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} 에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 N K / Q {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }} 의 절댓값이다. 보다 일반적으로, L = Frac ⁡ O L {\displaystyle L=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{L}} 의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 ( a O L ) {\displaystyle (a{\mathcal {O}}_{L})} 의 절대 아이디얼 노름은 체 노름의 절댓값이다. N O L / Z ⁡ ( a O L ) = | N K / Q ⁡ ( a ) | ( a ∈ K ) {\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }(a{\mathcal {O}}_{L})=|\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|\qquad (a\in K)} 그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다. 임의의 대수적 수체 L / Q {\displaystyle L/\mathbb {Q} } 에 대하여, L {\displaystyle L} 의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 hom CRing ⁡ ( L , C ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {CRing} }(L,\mathbb {C} )} 의 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 이는 항상 정수이다)를 s C ( L ) {\displaystyle s_{\mathbb {C} }(L)} 라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 a ⊆ O L {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{L}} 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.:35, Lemma I.6.2 ( π 2 ) s C ( L ) ≤ | Δ L | N O L / Z ⁡ ( a ) min a ∈ a ∖ { 0 } | N L / Q ⁡ ( a ) | {\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s_{\mathbb {C} }(L)}\leq {\frac {{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}})}{\min _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}|\operatorname {N} _{L/\mathbb {Q} }(a)|}}} 여기서 Δ L {\displaystyle \Delta _{L}} 은 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다. 일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.:Proposition 1.5.14 체 노름 데데킨트 제타 함수 Serre, Jean-Pierre (1979). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67. Marvin Jay Greenberg 역. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. MR 554237.  Janusz, Gerald J. (1996). 《Algebraic number fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 7 2판. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. MR 1362545.  Swinnerton-Dyer, Peter (2001년 2월). 《A brief guide to algebraic number theory》. London Mathematical Society Student Texts (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139173360. ISBN 978-0-52100423-7.  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.