호프 대수

수학에서 호프 대수(영어: Hopf algebra)는 곱셈과 쌍대곱셈(comultiplication)이 정의되고, 두 구조가 앤티포드(영어: antipode)라는 연산을 통해 호환되는 결합 대수이다. R가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. R계수를 가진 호프 대수 H는 다음과 같은 구조를 갖춘다. (곱셈 영어: multiplication) ∇ : H ⊗ H → H {\displaystyle \nabla \colon H\otimes H\to H} (단위원 영어: unit) η : R → H {\displaystyle \eta \colon R\to H} (쌍대곱셈 영어: comultiplication) Δ : H → H ⊗ H {\displaystyle \Delta \colon H\to H\otimes H} (쌍대단위원 영어: counit) ϵ : H → R {\displaystyle \epsilon \colon H\to R} (앤티포드 영어: antipode) S : H → H {\displaystyle S\colon H\to H} 이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. ( a , b , c ∈ H {\displaystyle a,b,c\in H} , r ∈ R {\displaystyle r\in R} ) H {\displaystyle H} 는 R {\displaystyle R} 에 대한 가군이고, ∇ , η , Δ , ϵ , S {\displaystyle \nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon ,S} 모두 R-선형 변환이다. ( H , ∇ , η ) {\displaystyle (H,\nabla ,\eta )} 는 결합법칙을 만족시키고, 단위원을 갖춘 대수다. 즉, (결합법칙) ∇ ∘ ( id ⊗ ∇ ) = ∇ ∘ ( ∇ ⊗ id ) {\displaystyle \nabla \circ (\operatorname {id} \otimes \nabla )=\nabla \circ (\nabla \otimes \operatorname {id} )} (단위원의 존재) ∇ ∘ ( id ⊗ η ) = ∇ ∘ ( η ⊗ id ) = id {\displaystyle \nabla \circ (\operatorname {id} \otimes \eta )=\nabla \circ (\eta \otimes \operatorname {id} )=\operatorname {id} } ( H , Δ , ϵ ) {\displaystyle (H,\Delta ,\epsilon )} 은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉, (쌍대결합법칙) ( id ⊗ Δ ) ∘ Δ = ( Δ ⊗ id ) ∘ Δ {\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \operatorname {id} )\circ \Delta } (쌍대단위원의 존재) ( id ⊗ ϵ ) ∘ Δ = ( ϵ ⊗ id ) ∘ Δ = id {\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \epsilon )\circ \Delta =(\epsilon \otimes \operatorname {id} )\circ \Delta =\operatorname {id} } 대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, H는 이중대수(영어: bialgebra)를 이룬다. 즉, (곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) Δ ∘ ∇ = ( ∇ ⊗ ∇ ) ∘ ( id ⊗ τ ⊗ id ) ∘ ( Δ ⊗ Δ ) {\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \otimes \nabla )\circ (\operatorname {id} \otimes \tau \otimes \operatorname {id} )\circ (\Delta \otimes \Delta )} . 여기서 τ : a ⊗ b → b ⊗ a {\displaystyle \tau \colon a\otimes b\to b\otimes a} 이다. (곱셈과 쌍대단위원의 호환성) ϵ ⊗ ϵ = ϵ ∘ ∇ {\displaystyle \epsilon \otimes \epsilon =\epsilon \circ \nabla } (쌍대곱셈과 단위원의 호환성) η ⊗ η = Δ ∘ η {\displaystyle \eta \otimes \eta =\Delta \circ \eta } (단위원과 쌍대단위원의 호환성) ϵ ∘ η = id {\displaystyle \epsilon \circ \eta =\operatorname {id} } (앤티포드) ∇ ∘ ( S ⊗ id ) ∘ Δ = η ∘ ϵ = ∇ ∘ ( id ⊗ S ) ∘ Δ {\displaystyle \nabla \circ (S\otimes \operatorname {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\operatorname {id} \otimes S)\circ \Delta } 마지막 공리는 다음과 같은 가환 그림(영어: commutative diagram)으로 나타낼 수 있다. 하인츠 호프의 이름을 땄다. 호프 대수의 개념은 이론물리학에서 특수한 대칭을 묘사하기 위하여 사용된다. 호프 대수의 개념은 하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다. Dăscălescu, Sorin; Constantin Năstăsescu, Șerban Raianu (2001). 《Hopf Algebras: An introduction》 (영어). Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 235. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0481-9. MR 1786197. Zbl 0962.16026.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Sweedler, Moss E. (1969). 《Hopf algebras》 (영어). Mathematics Lecture Note Series. New York: W. A. Benjamin, Inc. MR 0252485. Zbl 0194.32901.  Karaali, Gizem (2008년 12월 12일). “On Hopf algebras and their generalizations”. 《Communications in Algebra》 (영어) 36 (12): 4341–4367. arXiv:math/0703441. Bibcode:2007math......3441K. doi:10.1080/00927870802182424. ISSN 0092-7872. MR 2473333. Zbl 1166.16019.  Aschieri, Paolo (2007). “Lectures on Hopf algebras, quantum groups and twists” (영어). arXiv:hep-th/0703013. Bibcode:2007hep.th....3013A.  Baianu, Ion C.; James F. Glazebrook, Ronald Brown (2009년 4월 23일). “Algebraic topology foundations of supersymmetry and symmetry breaking in quantum field theory and quantum gravity: a review”. 《Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications》 (영어) 5: 51. arXiv:0904.3644. Bibcode:2009SIGMA...5..051B. doi:10.3842/SIGMA.2009.051. ISSN 1815-0659. MR 2506161. Zbl 1160.81300.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Torrielli, Alessandro (2010). “Review of AdS/CFT integrability, Chapter VI.2: Yangian algebra” (영어). arXiv:1012.4005.  Hopf, Heinz (1941년 1월). “Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen”. 《Annals of Mathematics》 (독일어) 42 (1): 22–52. doi:10.2307/1968985. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968985.  양자군 Onishchik, A.L. (2001). “Hopf algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Timothy Kohl. “Hopf algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.