초타원 곡선

대수기하학에서 초타원 곡선(超楕圓曲線, 영어: hyperelliptic curve)은 사영 직선 위의 2차 분지 피복을 이루는 대수 곡선이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 초타원 곡선은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:287, Definition 7.4.7 크룰 차원이 1인 스킴 C {\displaystyle C} 매끄러운 사상 ϕ : C → Spec ⁡ K {\displaystyle \phi \colon C\to \operatorname {Spec} K} . 또한, ϕ {\displaystyle \phi } 가 기하학적 기약 사상(영어: geometrically irreducible morphism)이라고 하자. (즉, C ⊗ K K ¯ {\displaystyle C\otimes _{K}{\bar {K}}} 은 기약 스킴이다.) 이 조건에 따라서 C {\displaystyle C} 는 기약 스킴이자 축소 스킴이다. K {\displaystyle K} 위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상 f : C → P K 1 {\displaystyle f\colon C\to \mathbb {P} _{K}^{1}} . (즉, 체의 확대 K ( C ) / K {\displaystyle {\mathcal {K}}(C)/K} 는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서 P K 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}} 는 사영 직선이다. 이 조건에 따라서 ϕ {\displaystyle \phi } 는 유한형 사상이다. 특히, 만약 K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다. 크룰 차원이 1인 정칙 기약 스킴 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} 위의, 차수 2의 유한 사상 f : C → P K 1 {\displaystyle f\colon C\to \mathbb {P} _{K}^{1}} 종수 g {\displaystyle g} 의 초타원 곡선 ( C , f ) {\displaystyle (C,f)} 는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, P K 1 = Proj ⁡ ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}=\operatorname {Proj} (x_{0},x_{1})} 에서 아핀 좌표 x = x 1 / x 0 {\displaystyle x=x_{1}/x_{0}} x ~ = x 0 / x 1 = 1 / x {\displaystyle {\tilde {x}}=x_{0}/x_{1}=1/x} 를 고르자. 그렇다면, 만약 char ⁡ K ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2} 인 경우, f {\displaystyle f} 는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다. ϕ : K [ x ] → K [ x , y ] / ( y 2 − P ( x ) ) {\displaystyle \phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-P(x))} ϕ ~ : K [ x ~ ] → K [ x ~ , y ~ ] / ( y ~ 2 − P ~ ( x ~ ) ) {\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))} P ~ ( x ~ ) = x ~ 2 g + 2 P ( 1 / x ~ ) {\displaystyle {\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})} P ( x ) = x 2 g + 2 P ~ ( 1 / x ) {\displaystyle P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)} P ≠ 0 {\displaystyle P\neq 0} deg ⁡ P ∈ { 2 g + 1 , 2 g + 2 } {\displaystyle \deg P\in \{2g+1,2g+2\}} 이 경우 C {\displaystyle C} 를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다. y = x g + 1 y ~ {\displaystyle y=x^{g+1}{\tilde {y}}} y ~ = x ~ g + 1 y {\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y} 즉, 다음과 같다. Spec ⁡ K [ x , y ] ( y 2 − P ( x ) ) ⊃ Spec ⁡ K [ x , y ] ( y 2 − P ( x ) ) ∖ Spec ⁡ K [ x , y ] ( x , y 2 − P ( x ) ) ≅ x ~ g + 1 y = y ~ y = x g + 1 y ~ Spec ⁡ K [ x ~ , y ~ ] ( y ~ 2 − P ~ ( x ~ ) ) ∖ Spec ⁡ K [ x ~ , y ~ ] ( x ~ , y ~ 2 − P ~ ( x ~ ) ) ⊂ Spec ⁡ K [ x ~ , y ~ ] ( y ~ 2 − P ~ ( x ~ ) ) ↓ ↓ ↓ ↓ Spec ⁡ K [ x ] ⊃ Spec ⁡ K [ x ] ∖ Spec ⁡ K [ x ] ( x ) ≅ 1 / x = x ~ x = 1 / x ~ Spec ⁡ K [ x ~ ] ∖ Spec ⁡ K [ x ~ ] ( x ~ ) ⊂ Spec ⁡ [ x ~ ] {\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}} 표수가 2인 경우, f {\displaystyle f} 는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다. ϕ : K [ x ] → K [ x , y ] / ( y 2 − Q ( x ) y − P ( x ) ) {\displaystyle \phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-Q(x)y-P(x))} ϕ ~ : K [ x ~ ] → K [ x ~ , y ~ ] / ( y ~ 2 − Q ~ ( x ~ ) y ~ − P ~ ( x ~ ) ) {\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))} P ~ ( x ~ ) = x ~ 2 g + 2 P ( 1 / x ~ ) {\displaystyle {\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})} P ( x ) = x 2 g + 2 P ~ ( 1 / x ) {\displaystyle P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)} Q ~ ( x ~ ) = x ~ g + 1 Q ( 1 / x ~ ) {\displaystyle {\tilde {Q}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{g+1}Q(1/{\tilde {x}})} Q ( x ) = x g + 1 Q ~ ( 1 / x ) {\displaystyle Q(x)=x^{g+1}{\tilde {Q}}(1/x)} { P , Q } ≠ { 0 } {\displaystyle \{P,Q\}\neq \{0\}} max { deg ⁡ P , 2 deg ⁡ Q } ∈ { 2 g + 1 , 2 g + 2 } {\displaystyle \max\{\deg P,2\deg Q\}\in \{2g+1,2g+2\}} 이 경우 C {\displaystyle C} 를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다. y = x g + 1 y ~ {\displaystyle y=x^{g+1}{\tilde {y}}} y ~ = x ~ g + 1 y {\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y} 즉, 다음과 같다. Spec ⁡ K [ x , y ] ( y 2 − Q ( x ) y − P ( x ) ) ⊃ Spec ⁡ K [ x , y ] ( y 2 − Q ( x ) y − P ( x ) ) ∖ Spec ⁡ K [ x , y ] ( x , y 2 − Q ( x ) y − P ( x ) ) ≅ x ~ g + 1 y = y ~ y = x g + 1 y ~ Spec ⁡ K [ x ~ , y ~ ] ( y ~ 2 − Q ~ ( x ~ ) y ~ − Q ~ ( x ~ ) y ~ − P ~ ( x ~ ) ) ∖ Spec ⁡ K [ x ~ , y ~ ] ( x ~ , y ~ 2 − Q ~ ( x ~ ) y ~ − P ~ ( x ~ ) ) ⊂ Spec ⁡ K [ x ~ , y ~ ] ( y ~ 2 − Q ~ ( x ~ ) y ~ − P ~ ( x ~ ) ) ↓ ↓ ↓ ↓ Spec ⁡ K [ x ] ⊃ Spec ⁡ K [ x ] ∖ Spec ⁡ K [ x ] ( x ) ≅ 1 / x = x ~ x = 1 / x ~ Spec ⁡ K [ x ~ ] ∖ Spec ⁡ K [ x ~ ] ( x ~ ) ⊂ Spec ⁡ [ x ~ ] {\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}} 표수가 2가 아닌 경우, 항상 y ↦ y + Q ( x ) / 2 {\displaystyle y\mapsto y+Q(x)/2} 를 통해 Q = Q ~ = 0 {\displaystyle Q={\tilde {Q}}=0} 으로 놓을 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다. char ⁡ K ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2} : P ↦ λ 2 P ( λ ∈ K × ) {\displaystyle P\mapsto \lambda ^{2}P\qquad (\lambda \in K^{\times })} char ⁡ K = 2 {\displaystyle \operatorname {char} K=2} : ( P , Q ) ↦ ( λ 2 P , λ Q ) {\displaystyle (P,Q)\mapsto (\lambda ^{2}P,\lambda Q)} , ( P , Q ) ↦ ( P + f 2 + Q f , Q ) ( f ∈ K [ x ] , deg ⁡ f ≤ g + 1 ) {\displaystyle (P,Q)\mapsto (P+f^{2}+Qf,Q)\qquad (f\in K[x],\;\deg f\leq g+1)} 즉, 이 경우 가중 사영 공간 P K ( 1 , g + 1 , 1 ) = P K 1 [ s , t , u ] {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,g+1,1)=\mathbb {P} _{K}^{1}[s,t,u]} 속에서 부분 대수다양체 t 2 = Q ( u / s ) s g + 1 t + P ( u / s ) s 2 g + 2 {\displaystyle t^{2}=Q(u/s)s^{g+1}t+P(u/s)s^{2g+2}} 를 이룬다. 이 경우 f {\displaystyle f} 는 C → P K 1 = Proj ⁡ K [ s , u ] {\displaystyle C\to \mathbb {P} _{K}^{1}=\operatorname {Proj} K[s,u]} [ s : t : u ] ↦ [ s : u ] {\displaystyle [s:t:u]\mapsto [s:u]} 이다. 표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상 C {\displaystyle C} 는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은 P K 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}} 의 닫힌 점 x ∈ P K 1 {\displaystyle x\in \mathbb {P} _{K}^{1}} 가운데, 올 f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} 이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} 는 항상 두 개의 점으로 구성된다.) 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 P {\displaystyle P} 의 사영 공간에서의 근이다. 즉, deg ⁡ P = 2 g + 2 {\displaystyle \deg P=2g+2} 라면, 분지점은 P {\displaystyle P} 의 2 g + 2 {\displaystyle 2g+2} 개의 근이다. deg ⁡ P = 2 g + 1 {\displaystyle \deg P=2g+1} 라면, 분지점은 P {\displaystyle P} 의 2 g + 1 {\displaystyle 2g+1} 개의 근 및 ∞ {\displaystyle \infty } 이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합 [ s , t , u ] ↦ [ s , − t , u ] {\displaystyle [s,t,u]\mapsto [s,-t,u]} 의 고정점이다. 표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 Q {\displaystyle Q} 의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합 [ s , t , u ] ↦ [ s , t + Q ( s / u ) u g + 1 , u ] {\displaystyle [s,t,u]\mapsto [s,t+Q(s/u)u^{g+1},u]} 의 고정점이다. 다음 조건이 주어졌다고 하자. 분지점의 수가 r {\displaystyle r} 라고 할 때, | K | > r {\displaystyle |K|>r} 이다. 이 경우, P K 1 ∖ { ∞ } = A K 1 = Spec ⁡ K [ x ] {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}\setminus \{\infty \}=\mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]} 위에서 f {\displaystyle f} 는 다음과 같은 꼴이 된다. y 2 = f ( x ) = ∑ i = 0 d a d x d {\displaystyle y^{2}=f(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{d}x^{d}} f ∈ K [ x ] {\displaystyle f\in K[x]} K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가 g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2} 일 때, 초타원 곡선은 그 2 g + 2 {\displaystyle 2g+2} 개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈라이 공간은 Conf 0 ⁡ ( 2 g + 2 ) Aut ⁡ ( P K 1 ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {Conf} _{0}(2g+2)}{\operatorname {Aut} (\mathbb {P} _{K}^{1})}}} 이다. 그 차원은 2 g + 2 − 3 = 2 g − 1 {\displaystyle 2g+2-3=2g-1} 이다. 보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서 y 2 = B ( x , z ) {\displaystyle y^{2}=B(x,z)} 의 꼴로 표현되며, B ( x , z ) {\displaystyle B(x,z)} 는 (종수 g {\displaystyle g} 의 경우) 2 g + 2 {\displaystyle 2g+2} 차 2변수 형식(영어: binary form)이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다. Menezes, Alfred J.; Wu, Yi-Hong; Zuccherato, Robert J. (1998). 〈An elementary introduction to hyperelliptic curves〉 (PDF). Koblitz, Neal. 《Algebraic Aspects of Cryptography》. Algorithms and Computation in Mathematics (영어) 3. Springer-Verlag. 155-178쪽. doi:10.1007/978-3-662-03642-6. 2018년 12월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 1월 28일에 확인함.  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 1월 28일에 확인함.  “Hyper-elliptic curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Stoll, Michael (2014). “Arithmetic of hyperelliptic curves” (PDF) (영어).