남 변환

미분기하학과 이론물리학에서 남 변환(Nahm變換, 영어: Nahm transform)은 기본적으로 4차원 원환면 위에 정의된 양-밀스 순간자를 그 쌍대 원환면 위의 양-밀스 순간자 위에 대응시키는 변환이다. 4차원 원환면 M = R 4 / Λ {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}/\Lambda } 및 그 쌍대 원환면 M ~ = R 4 / Λ ∗ {\displaystyle {\tilde {M}}=\mathbb {R} ^{4}/\Lambda ^{*}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 임의의 점 m ~ ∈ M ~ {\displaystyle {\tilde {m}}\in {\tilde {M}}} 에 대하여, M {\displaystyle M} 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 T M ⊗ C {\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} } 위의 평탄 접속 ( ∂ + i B ( m ~ ) ) μ = ∂ μ + i m ~ μ {\displaystyle (\partial +\mathrm {i} B^{({\tilde {m}})})_{\mu }=\partial _{\mu }+\mathrm {i} {\tilde {m}}_{\mu }} 을 정의할 수 있다. 마찬가지로, M {\displaystyle M} 의 임의의 점 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 T M ~ ⊗ C {\displaystyle \mathrm {T} {\tilde {M}}\otimes \mathbb {C} } 위의 평탄 접속 ( ∂ + i B ~ ( m ) ) μ = ∂ μ + i m μ {\displaystyle (\partial +\mathrm {i} {\tilde {B}}^{(m)})^{\mu }=\partial ^{\mu }+\mathrm {i} m^{\mu }} 을 정의할 수 있다. 이제, 다음이 주어졌다고 하자. M {\displaystyle M} 위의 k {\displaystyle k} 차원 복소수 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 속의 접속 A {\displaystyle A} . 또한, 그 곡률은 반(半) 자기 쌍대이므로, 이는 SU ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {SU} (k)} 양-밀스 순간자를 이룬다. 그렇다면, 남 변환은 ( E , A ) {\displaystyle (E,A)} 를 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 위의 복소수 벡터 다발 E ~ ↠ M {\displaystyle {\tilde {E}}\twoheadrightarrow M} 및 그 속의 양-밀스 순간자 A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} 에 대응시킨다. 구체적으로, 각 m ~ ∈ M ~ {\displaystyle {\tilde {m}}\in {\tilde {M}}} 에 대하여, M {\displaystyle M} 위의 4 k {\displaystyle 4k} 차원 차원 복소수 벡터 다발 E ⊗ M T M ↠ M {\displaystyle E\otimes _{M}\mathrm {T} M\twoheadrightarrow M} 위의 접속 A ⊗ 1 + 1 ⊗ B ( m ~ ) {\displaystyle A\otimes 1+1\otimes B^{({\tilde {m}})}} 을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 디랙 연산자 D ( m ~ ) : Γ ( E ⊗ T M ⊗ S + ) → Γ ( E ⊗ T M ⊗ S − ) {\displaystyle D^{({\tilde {m}})}\colon \Gamma (E\otimes \mathrm {T} M\otimes S^{+})\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} M\otimes S^{-})} 를 정의할 수 있다. 임의의 m ~ ∈ M ~ {\displaystyle {\tilde {m}}\in {\tilde {M}}} 에 대하여 그 핵은 항상 0차원이며, 따라서 그 여핵은 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 위의 복소수 벡터 다발을 이룬다. E ~ m ~ = coker ⁡ D ( m ~ ) {\displaystyle {\tilde {E}}_{\tilde {m}}=\operatorname {coker} D^{({\tilde {m}})}} 복소수 힐베르트 공간 L 2 ⁡ ( E ⊗ M ⊗ S − ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(E\otimes M\otimes S^{-})} 를 올로 하는 자명한 힐베르트 다발 H ↠ M ~ {\displaystyle {\mathcal {H}}\twoheadrightarrow {\tilde {M}}} 을 생각하자. 그렇다면, 정의에 따라 자연스러운 사영 사상 q : H ↠ E ~ {\displaystyle q\colon {\mathcal {H}}\twoheadrightarrow {\tilde {E}}} 이 존재하며, 따라서 E ~ {\displaystyle {\tilde {E}}} 를 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 부분 벡터 다발로 간주할 수 있다. E ~ ≅ ( ker ⁡ q ) ⊥ {\displaystyle {\tilde {E}}\cong (\ker q)^{\perp }} 이에 따라서, 자명 벡터 다발 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위의 자명한 접속으로부터 E ~ {\displaystyle {\tilde {E}}} 위의 자명한 접속을 유도할 수 있다. 이를 A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} 로 정의한다. 남 변환은 M {\displaystyle M} 위의, 순간자수 n의 SU(k) 양-밀스 순간자를 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 위의, 순간자수 k의 SU(n) 양-밀스 순간자에 대응시킨다. 이 변환은 또한 전단사 함수이며, 대합이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면, 원래 양-밀스 순간자를 얻는다. 남 변환은 초끈 이론으로 해석할 수 있다. 구체적으로, 4차원 원환면 M {\displaystyle M} 위에 감은 k {\displaystyle k} 개의 D(4+p)-막을 생각하자. 그 위의 초대칭 게이지 이론 속에, n {\displaystyle n} 개의 양-밀스 순간자가 존재한다고 하자. 순간자는 D(4+p)-막 속에 녹은 Dp-막으로 해석할 수 있다. 이제, 4차원 원환면을 따라 T-이중성을 가하자. 그렇다면, k개의 D(4+p)-막들은 Dp-막이 되며, 반대로 n개의 Dp-막들은 D(4+p)-막이 된다. 이는 남 변환과 같다. 베르너 남(독일어: Werner Nahm)의 이름을 땄다. Jardim, Marcos (2004년 11월). “A survey on the Nahm transform”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 52 (3): 313–332. arXiv:math/0309305. Bibcode:2004JGP....52..313J. doi:10.1016/j.geomphys.2004.03.006.  Hori, Kentaro (1999). “D-branes, T-duality, and index theory”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 3: 281–342. arXiv:hep-th/9902102.  “Nahm transform”. 《nLab》 (영어).