주접속

미분기하학에서 주접속(主接續, 영어: principal bundle connection)은 주다발 위에 정의되며, 그 군 작용과 호환되는 에레스만 접속이다. 이를 통해, 주다발 위에 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} . 그 실수 리 대수를 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 라 하자. 매끄러운 주다발 π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M} P {\displaystyle P} 위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다. 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 값의 1차 미분 형식 ω ∈ Ω 1 ( P ; l i e ( G ) ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))} 으로 정의할 수 있다. 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속 H ⊆ T P {\displaystyle H\subseteq \mathrm {T} P} 으로 정의할 수 있다. 주접속은 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다. 이 정의들은 모두 서로 동치이다. P {\displaystyle P} 의 주접속 ω ∈ Ω 1 ( P ; l i e ( G ) ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))} 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는, P {\displaystyle P} 위의 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 값을 가진 1차 미분 형식이다. Ad ⁡ ( g ) ( ⋅ g ) ∗ ω = ω ∀ g ∈ G {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)(\cdot g)^{*}\omega =\omega \qquad \forall g\in G} :144, §Ⅳ.3, (ω.2) ω ( X ξ ) = ξ ∀ ξ ∈ l i e ( G ) {\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi \qquad \forall \xi \in {\mathfrak {lie}}(G)} :144, §Ⅳ.3, (ω.1) 여기서 ( ⋅ g ) : P → P {\displaystyle (\cdot g)\colon P\to P} 는 군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수 h ↦ h ⋅ g {\displaystyle h\mapsto h\cdot g} 이다. ( ⋅ g ) ∗ ω ∈ Ω 1 ( P ; l i e ( G ) ) {\displaystyle (\cdot g)^{*}\omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))} 는 1차 미분 형식 ω {\displaystyle \omega } 의, ( ⋅ g ) {\displaystyle (\cdot g)} 에 대한 당김이다. Ad ⁡ ( g ) : l i e ( G ) → l i e ( G ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)\colon {\mathfrak {lie}}(G)\to {\mathfrak {lie}}(G)} 는 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 딸림표현이다. X ξ ∈ Γ ( T P ) {\displaystyle X_{\xi }\in \Gamma (\mathrm {T} P)} 는 G {\displaystyle G} 의, P {\displaystyle P} 위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다. P {\displaystyle P} 의 에레스만 접속 H ⊆ T P {\displaystyle H\subseteq \mathrm {T} P} 가 다음 조건을 만족시킨다면, H {\displaystyle H} 를 주접속이라고 한다. H p ⋅ g = ( T ( ⋅ g ) ) ( H p ) ∀ p ∈ P , g ∈ G {\displaystyle H_{p\cdot g}=(\mathrm {T} (\cdot g))(H_{p})\qquad \forall p\in P,\;g\in G} 여기서 ( ⋅ g ) : : P → P {\displaystyle (\cdot g)\colon \colon P\to P} 는 g {\displaystyle g} 의 P {\displaystyle P} 위의 오른쪽 작용이다. T ( ⋅ g ) : T P → T P {\displaystyle \mathrm {T} (\cdot g)\colon \mathrm {T} P\to \mathrm {T} P} 는 위 매끄러운 함수의 미분이다. 미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 ω ∈ Ω 1 ( P ; l i e ( G ) ) = Γ ( T ∗ P ⊗ l i e ( G ) ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))=\Gamma (\mathrm {T} ^{*}P\otimes {\mathfrak {lie}}(G))} 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, G {\displaystyle G} 의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을 X : l i e ( G ) → Γ ( T P ) {\displaystyle X\colon {\mathfrak {lie}}(G)\to \Gamma (\mathrm {T} P)} X : x ↦ X x {\displaystyle X\colon x\mapsto X_{x}} 로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, X {\displaystyle X} 의 상은 P {\displaystyle P} 의 수직 벡터 다발 V P = ker ⁡ ( T π ) ⊆ T P {\displaystyle \mathrm {V} P=\ker(\mathrm {T} \pi )\subseteq \mathrm {T} P} 과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상 P × l i e ( G ) → V P {\displaystyle P\times {\mathfrak {lie}}(G)\to \mathrm {V} P} 를 정의한다. (좌변은 올이 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, ω {\displaystyle \omega } 를 T ∗ P ⊗ V P {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}P\otimes \mathrm {V} P} 의 단면으로 여길 수 있으며, ω {\displaystyle \omega } 는 벡터 다발 사상 ω : T P → V P ⊆ T P {\displaystyle \omega \colon \mathrm {T} P\to \mathrm {V} P\subseteq \mathrm {T} P} 를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 ( ω ∘ ω = ω {\displaystyle \omega \circ \omega =\omega } ), 따라서 그 핵으로 완전히 명시된다. 그 핵 ker ⁡ ω ⊆ T P {\displaystyle \ker \omega \subseteq \mathrm {T} P} 은 에레스만 접속이다. 딸림표현의 연관 벡터 다발:545–546, §3 ad ⁡ ( P ) = P × G l i e ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)} 을 생각하자. 또한, G {\displaystyle G} 는 접다발 T P {\displaystyle \mathrm {T} P} 위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간 T P / G {\displaystyle \mathrm {T} P/G} 를 정의할 수 있다. 그 차원은 2 ( dim ⁡ M ) + ( dim ⁡ G ) {\displaystyle 2(\dim M)+(\dim G)} 이며, 또한 벡터장의 밂 π ∗ : T P / G ↠ T M {\displaystyle \pi _{*}\colon \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M} 는 매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.) T P / G ↠ M {\displaystyle \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow M} 은 매끄러운 벡터 다발을 이룬다. 올다발 T P / G ↠ T M {\displaystyle \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M} 을 주접속 다발(영어: bundle of principal connections)이라고 한다.:141, §Ⅳ.1 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다. T P → T P / G → T M ↓ ↓ ↓ P → P / G = M {\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {T} P&\to &\mathrm {T} P/G&\to &\mathrm {T} M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\P&\to &P/G&=&M\end{matrix}}} 이는 다음과 같은 표준적인 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.:547, (3.2) 0 → ad ⁡ ( P ) → ι T P G → π ∗ T M → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {ad} (P)\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\frac {\mathrm {T} P}{G}}\,{\xrightarrow {\pi _{*}}}\,\mathrm {T} M\to 0} G {\displaystyle G} 는 이 열 위에 작용하며, ι {\displaystyle \iota } 와 π ∗ {\displaystyle \pi _{*}} 는 G {\displaystyle G} 의 작용 아래 불변이다. 이 경우, P {\displaystyle P} 의 주접속은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주의 분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다. ι : ad ⁡ ( P ) → T P / G {\displaystyle \iota \colon \operatorname {ad} (P)\to \mathrm {T} P/G} 의 왼쪽 역사상인 M {\displaystyle M} -매끄러운 벡터 다발 사상 A : T P / G → ad ⁡ ( P ) {\displaystyle A\colon \mathrm {T} P/G\to \operatorname {ad} (P)} π ∗ : T P / G ↠ T M {\displaystyle \pi _{*}\colon \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M} 의 오른쪽 역사상인 M {\displaystyle M} -매끄러운 벡터 다발 사상 A : T M → T P / G {\displaystyle A\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} P/G} :142, §Ⅳ.1 짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상 T M → ad ⁡ ( P ) {\displaystyle \mathrm {T} M\to \operatorname {ad} (P)} 를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식 Ω 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))} 의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다. π {\displaystyle \pi } 를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의 M {\displaystyle M} 의 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 를 골랐다고 하자. 그렇다면, P {\displaystyle P} 의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식 A i ∈ Ω 1 ( U i ; l i e ( G ) ) {\displaystyle A_{i}\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 에 대하여, 만약 U i ∩ U j ≠ 0 {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq 0} 이라면, 어떤 매끄러운 함수 g i j : U i ∩ U j → G {\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G} 에 대하여, 다음이 성립해야 한다. A j = Ad ⁡ ( g i j ) − 1 A i + g i j − 1 d g i j {\displaystyle A_{j}=\operatorname {Ad} (g_{ij})^{-1}A_{i}+g_{ij}^{-1}\mathrm {d} g_{ij}} 여기서 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다. Ad : G → GL ⁡ ( l i e ( G ) ) {\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {lie}}(G))} 는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다. 같은 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 위에 정의된 두 주접속 ( A i ) i ∈ I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} , ( A i ′ ) i ∈ I {\displaystyle (A'_{i})_{i\in I}} 에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족 ( g i : U i → G ) i ∈ I {\displaystyle (g_{i}\colon U_{i}\to G)_{i\in I}} 에 대하여 A i ′ = Ad ⁡ ( g i ) − 1 A i + g i − 1 d g i {\displaystyle A'_{i}=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}} 라면, A {\displaystyle A} 와 A ′ {\displaystyle A'} 을 같은 주접속으로 간주한다. 이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 게이지 변환이라고 한다. 이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을 P {\displaystyle P} 위에 정의된 1차 미분 형식 A ∈ Ω 1 ( P ; l i e ( G ) ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))} 으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 에 대한 국소 자명화는 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대한 매끄러운 단면 s i ∈ Γ ( U , P ) {\displaystyle s_{i}\in \Gamma (U,P)} 으로 주어진다. 이 경우, A i = s i ∗ A ∈ Ω 1 ( U i ; l i e ( G ) ) {\displaystyle A_{i}=s_{i}^{*}A\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))} 로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를 s i ′ = s i g i {\displaystyle s'_{i}=s_{i}g_{i}} 와 같이 바꾸면 A i ′ = ( s i ′ ) ∗ A = Ad ⁡ ( g i ) − 1 A i + g i − 1 d g i {\displaystyle A'_{i}=(s'_{i})^{*}A=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}} 가 되어, 같은 주접속을 얻는다. 주접속 ω ∈ Ω 1 ( P ; l i e ( G ) ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))} 의 곡률(曲率, 영어: curvature) Ω ∈ Ω 2 ( P ; l i e ( G ) ) {\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {lie}}(G))} 는 다음과 같다. Ω = d ω + 1 2 [ ω ∧ ω ] {\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]} 여기서 [ ⋅ ∧ ⋅ ] {\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]} 는 리 괄호와 외적을 결합한 연산으로, [ α ⊗ x ∧ β ⊗ y ] = ( α ∧ β ) ⊗ [ x , y ] {\displaystyle [\alpha \otimes x\wedge \beta \otimes y]=(\alpha \wedge \beta )\otimes [x,y]} 와 같이 정의한다. 곡률은 벡터 값 미분 형식 F ∈ Ω 2 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))} 를 정의하며,:548, §3 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다. 곡률이 0인 주접속을 평탄 주접속이라고 한다. 다음과 같은 연관 다발 Ad ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)} 를 생각하자.:539, §2 Ad ⁡ ( P ) = P × G G {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G} 이는 G {\displaystyle G} 의, 스스로 위의 켤레 작용 g ↦ ( h ↦ g h g − 1 ) {\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})} 에 대한, P {\displaystyle P} 의 연관 다발이다. Ad ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)} 의 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.:539, §2 Γ ∞ ( M , Ad ⁡ ( P ) ) ≅ { ϕ ∈ C ∞ ( P , G ) : ϕ ( p ⋅ g ) = g − 1 ϕ ( p ) g } ≅ Aut ⁡ ( P ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {Ad} (P))\cong \{\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)\colon \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\}\cong \operatorname {Aut} (P)} G = Γ ∞ ( M , Ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {Ad} (P))} 는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 게이지 변환이라고 한다. 또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.:545–546, §3 ad ⁡ ( P ) = P × G l i e ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)} 그 매끄러운 단면의 벡터 공간은 게이지 변환군 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 에 대응하는 리 대수이다. Lie ⁡ ( G ) = Γ ∞ ( M , ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \operatorname {Lie} ({\mathcal {G}})=\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {ad} (P))} 그렇다면, G {\displaystyle G} -주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 위의 주접속의 모듈라이 공간 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.:547, §3 T A A ≅ Ω 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \mathrm {T} _{A}{\mathcal {A}}\cong \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))} 게이지 변환군 G ≅ Aut ⁡ ( P ) {\displaystyle {\mathcal {G}}\cong \operatorname {Aut} (P)} 는 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다. ϕ ⋅ A = ϕ ∗ A ( A ∈ Ω 1 ( M ; ad ⁡ ( P ) ) , ϕ ∈ Aut ⁡ ( P ) ≅ G ) {\displaystyle \phi \cdot A=\phi ^{*}A\qquad (A\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P)),\;\phi \in \operatorname {Aut} (P)\cong {\mathcal {G}})} 만약 P = M × G {\displaystyle P=M\times G} 가 자명한 주다발일 경우, ad ⁡ ( P ) = M × l i e ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (P)=M\times {\mathfrak {lie}}(G)} 는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속 A = 0 {\displaystyle A=0} 이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식의 실수 벡터 공간 Ω 1 ( M ; l i e ( G ) ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {lie}}(G))} 를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다. 만약 M = { ∙ } {\displaystyle M=\{\bullet \}} 이 한원소 공간이라고 하자. 이 경우, 주다발 P ↠ { ∙ } {\displaystyle P\twoheadrightarrow \{\bullet \}} 은 G {\displaystyle G} -토서(영어: torsor, 군에서 원점을 망각한 구조)이다. 표준적으로 ad ⁡ ( P ) = l i e ( G ) {\displaystyle \operatorname {ad} (P)={\mathfrak {lie}}(G)} 이다. T P / G = Vect ⁡ ( P ) G {\displaystyle \mathrm {T} P/G=\operatorname {Vect} (P)^{G}} 는 P {\displaystyle P} 위의, G {\displaystyle G} -오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.) 따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다. P {\displaystyle P} 위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다. Kobayaschi, Shoshichi (1957). “Theory of connections”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (영어) 43 (1): 119–194. doi:10.1007/BF02411907. ISSN 0373-3114. Zbl 0124.37604.  Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1983년 3월 17일). “The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces”. 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences》 (영어) 308 (1505): 523–615. JSTOR 37156.  Eschenburg, Jost. “Connection on a principal bundle”. 《The Manifold Atlas》 (영어).  “Ehresmann connection”. 《nLab》 (영어).  “Moduli space of connections”. 《nLab》 (영어).