헨젤 환

가환대수학에서 헨젤 환(Hensel環, 영어: Henselian ring)은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다. 국소 가환환 ( R , m , κ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )} 이 주어졌다고 하자. (여기서 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 R {\displaystyle R} 의 유일한 극대 아이디얼이며, κ = R / m {\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}} 은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상 R → κ {\displaystyle R\to \kappa } 으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형 ϕ : R [ x ] → κ [ x ] {\displaystyle \phi \colon R[x]\to \kappa [x]} 이 존재한다. 임의의 일계수 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ϕ ( p ) ∈ κ [ x ] {\displaystyle \phi (p)\in \kappa [x]} 역시 일계수 다항식이다. 체 계수의 다항식환은 유일 인수 분해 정역이므로, ϕ ( p ) {\displaystyle \phi (p)} 는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다. ϕ ( p ) = q ~ 1 q ~ 2 ⋯ q ~ k {\displaystyle \phi (p)={\tilde {q}}_{1}{\tilde {q}}_{2}\dotsm {\tilde {q}}_{k}} q ~ 1 , q ~ 2 , … , q ~ k ∈ κ [ x ] {\displaystyle {\tilde {q}}_{1},{\tilde {q}}_{2},\dotsc ,{\tilde {q}}_{k}\in \kappa [x]} (반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.) 이제, 이 인수 분해가 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 에서 유래하는지, 즉 ϕ ( q i ) = q ~ i ( i ∈ { 1 , … , k } ) {\displaystyle \phi (q_{i})={\tilde {q}}_{i}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,k\})} p = q 1 q 2 ⋯ q k {\displaystyle p=q_{1}q_{2}\dotsm q_{k}} 가 되는 ( q i ) i ∈ { 1 , … , k } {\displaystyle (q_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,k\}}} 가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다. 특히, 만약 q ~ i = ( x − a ~ i ) {\displaystyle {\tilde {q}}_{i}=(x-{\tilde {a}}_{i})} 인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, q i = ( x − a i ) {\displaystyle q_{i}=(x-a_{i})} 라면, κ {\displaystyle \kappa } 계수에서 존재하는 근 a ~ i {\displaystyle {\tilde {a}}_{i}} 가 R {\displaystyle R} 에서도 존재한다는 것이 된다. 국소 가환환 ( R , m , κ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 헨젤 국소환(Hensel局所環, 영어: Henselian local ring)이라고 한다. 임의의 일계수 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 및 ϕ ( p ) ( a ~ ) = 0 {\displaystyle \phi (p)({\tilde {a}})=0} 이며 ( d ϕ ( p ) / d x ) ( a ~ ) ≠ 0 {\displaystyle (\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0} 인 a ~ ∈ κ {\displaystyle {\tilde {a}}\in \kappa } 에 대하여, p ( a ) = 0 {\displaystyle p(a)=0} 이자 ϕ ( a ) = a ~ {\displaystyle \phi (a)={\tilde {a}}} 인 a ∈ R {\displaystyle a\in R} 가 존재한다. 임의의 일계수 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 및 ϕ ( p ) ( a ~ ) = 0 {\displaystyle \phi (p)({\tilde {a}})=0} 이며 ( d ϕ ( p ) / d x ) ( a ~ ) ≠ 0 {\displaystyle (\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0} 인 a ~ ∈ κ {\displaystyle {\tilde {a}}\in \kappa } 에 대하여, p ( a ) = 0 {\displaystyle p(a)=0} 이자 ϕ ( a ) = a ~ {\displaystyle \phi (a)={\tilde {a}}} 인 a ∈ R {\displaystyle a\in R} 가 유일하게 존재한다. 임의의 일계수 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 및 q ~ r ~ = ϕ ( p ) {\displaystyle {\tilde {q}}{\tilde {r}}=\phi (p)} 인 q ~ , r ~ ∈ κ [ x ] {\displaystyle {\tilde {q}},{\tilde {r}}\in \kappa [x]} 에 대하여, 만약 gcd κ [ x ] { q ~ , r ~ } = 1 {\displaystyle \textstyle \gcd _{\kappa [x]}\{{\tilde {q}},{\tilde {r}}\}=1} 이라면, ϕ ( q ) = q ~ {\displaystyle \phi (q)={\tilde {q}}} , ϕ ( r ) = r ~ {\displaystyle \phi (r)={\tilde {r}}} , p = q r {\displaystyle p=qr} 인 q , r ∈ R [ x ] {\displaystyle q,r\in R[x]} 가 존재한다. 만약 헨젤 국소환 ( R , m , κ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )} 의 잉여류체 κ {\displaystyle \kappa } 가 스스로의 분해 가능 폐포라면 ( κ = κ sep {\displaystyle \kappa =\kappa ^{\operatorname {sep} }} ), R {\displaystyle R} 를 순 헨젤 국소환(純Hensel局所環, 영어: strictly Henselian local ring)이라고 한다. 헨젤 환은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다. 헨젤 국소환의 범주 HensLocRing {\displaystyle \operatorname {HensLocRing} } 는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 CLocRing {\displaystyle \operatorname {CLocRing} } 의 충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 HensLocRing ↪ CLocRing {\displaystyle \operatorname {HensLocRing} \hookrightarrow \operatorname {CLocRing} } 의 왼쪽 수반 함자 ( − ) h : CLocRing → HensLocRing {\displaystyle (-)^{\operatorname {h} }\colon \operatorname {CLocRing} \to \operatorname {HensLocRing} } 가 존재한다. 이를 국소 가환환의 헨젤화(Hensel化, 영어: henselization)라고 한다. 즉, 국소 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환 ( R h , m h ) {\displaystyle (R^{\operatorname {h} },{\mathfrak {m}}^{\operatorname {h} })} 및 국소환 준동형 h : R → R h {\displaystyle \operatorname {h} \colon R\to R^{\operatorname {h} }} 이 항상 존재하며, 이를 R {\displaystyle R} 의 헨젤화라고 한다. 임의의 헨젤 국소환 ( R ′ , m ′ ) {\displaystyle (R',{\mathfrak {m}}')} 및 국소환 준동형 f : R → R ′ {\displaystyle f\colon R\to R'} 에 대하여, f = g ∘ h {\displaystyle f=g\circ \operatorname {h} } 인 국소환 준동형 g : R h → R ′ {\displaystyle g\colon R^{\operatorname {h} }\to R'} 이 유일하게 존재한다. 반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 순 헨젤화(영어: strict henselization)를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다. 다음과 같은 환들은 헨젤 환이다. 임의의 체 임의의 완비 국소환 p {\displaystyle p} 진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 형식적 멱급수환 K [ [ x ] ] {\displaystyle K[[x]]} 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환 임의의 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, p진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 은 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 ( p ) {\displaystyle (p)} 이며, 잉여류체는 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실 Z p = lim ← n → ∞ ⁡ F p n {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}} 이므로, 이는 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다. 이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 q ∈ Z [ x ] {\displaystyle q\in \mathbb {Z} [x]} 이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 a ~ ∈ Z {\displaystyle {\tilde {a}}\in \mathbb {Z} } 에 대하여 q ( a ~ ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle q({\tilde {a}})\equiv 0{\pmod {p}}} d q d x ( a ~ ) ≢ 0 ( mod p ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}({\tilde {a}})\not \equiv 0{\pmod {p}}} 라고 하자. 그렇다면, 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, q ( a n ) ≡ 0 ( mod p k ) {\displaystyle q(a_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}} 인 a n ∈ Z {\displaystyle a_{n}\in \mathbb {Z} } 이 존재한다. p {\displaystyle p} 진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약 q ( a k ) ≡ 0 ( mod p k ) {\displaystyle q(a_{k})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}} ( d q / d x ) ( a k ) ≢ 0 ( mod p k ) {\displaystyle (\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k})\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}} 인 a k ∈ Z {\displaystyle a_{k}\in \mathbb {Z} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 a k + 1 = a k − q ( a k ) ( d q / d x ) ( a k ) {\displaystyle a_{k+1}=a_{k}-{\frac {q(a_{k})}{(\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k})}}} 로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 ( ( d q / d x ) ( a k ) ) − 1 {\displaystyle ((\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k}))^{-1}} 는 p {\displaystyle p} 진 정수이며, 따라서 a k + 1 {\displaystyle a_{k+1}} 은 p {\displaystyle p} 진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서 q ( a k ) ≡ a k + d q d x ( a k ) ( mod p k + 1 ) {\displaystyle q(a_{k})\equiv a_{k}+{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}(a_{k}){\pmod {p^{k+1}}}} 이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 p {\displaystyle p} 진 정수 a ∞ {\displaystyle a_{\infty }} 로 수렴하는 수열 a 1 , a 2 , … {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc } 을 얻는다. 대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다. 쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) p {\displaystyle p} 진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 가 헨젤 국소환임을 증명하였다. 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다. 나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다. Hensel, Kurt (1904). “Neue Grundlagen der Arithmetik”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 127: 51–84. doi:10.1515/crll.1904.127.51. ISSN 0075-4102.  Hensel, Kurt (1908). 《Theorie der algebraischen Zahlen. Erster Band》 (독일어). Druck und Verlag von B. G. Teubner. Zbl 39.0269.01.  Azumaya, Gorô (1951). “On maximally central algebras”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 2: 119–150. ISSN 0027-7630. MR 0040287.  Nagata, Masayoshi (1953). “On the theory of Henselian rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 5: 45–57. ISSN 0027-7630. MR 0051821.  Kurke, H.; Pfister, G.; Roczen, M. (1975). 《Henselsche Ringe und algebraische Geometrie》. Mathematische Monographien (독일어) 2. Volkseigener Betrieb Deutscher Verlag der Wissenschaften. MR 0491694.  Raynaud, Michel (1970). 《Anneaux locaux henséliens》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 169. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0069571. ISBN 978-3-540-05283-8. ISSN 0075-8434. 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