반직선 유군

유체론에서 반직선 유군(半直線類群, 영어: ray class group)은 임의의 모듈러스에 대한, 아이디얼 유군의 일반화이다. 대수적 수체의 아벨 확대에서의 분기화 현상을 나타낸다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 위의 모듈러스 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 이 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} 의 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대한 반직선(영어: ray)은 K m , 1 = { a ∈ K × : a ≡ 1 ( mod m ) } {\displaystyle K_{{\mathfrak {m}},1}=\{a\in K^{\times }\colon a\equiv 1{\pmod {\mathfrak {m}}}\}} 이다. 이는 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. I m {\displaystyle I^{\mathfrak {m}}} 이 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 과 서로소인 소 아이디얼들로 생성되는 분수 아이디얼들의 아벨 군이라고 하자. 즉, a / b ( p ∣ m ⟹ p ∤ a , b ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}}\qquad ({\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {m}}\implies {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})} 의 꼴의 분수 아이디얼들로 구성된 아벨 군이다. 주 아이디얼 사상 i : a ↦ ( a ) {\displaystyle i\colon a\mapsto (a)} 은 군 준동형 i : K m , 1 → I m {\displaystyle i\colon K_{{\mathfrak {m}},1}\to I^{\mathfrak {m}}} 을 정의한다. K {\displaystyle K} 의 M {\displaystyle M} 에 대한 반직선 유군은 몫군 Cl ⁡ o m = I m / i ( K m ) {\displaystyle \operatorname {Cl} {\mathcal {o}}_{\mathfrak {m}}=I^{\mathfrak {m}}/i(K_{\mathfrak {m}})} 이며, 반직선류(半直線類, 영어: ray class)는 반직선 유군의 원소이다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 및 그 모듈러스 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대하여, 이델 군 A K × {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }} 의 다음과 같은 부분군을 생각하자. U m = ∏ p U p {\displaystyle U_{\mathfrak {m}}=\prod _{p}U_{p}} 여기서 p {\displaystyle p} 가 복소 자리라면, U p = C × {\displaystyle U_{p}=\mathbb {C} ^{\times }} p {\displaystyle p} 가 실수 자리이며 p ∈ m ∞ {\displaystyle p\in {\mathfrak {m}}_{\infty }} 라면, U p = R + {\displaystyle U_{p}=\mathbb {R} ^{+}} p {\displaystyle p} 가 실수 자리이며 p ∉ m ∞ {\displaystyle p\not \in {\mathfrak {m}}_{\infty }} 라면, U p = R × {\displaystyle U_{p}=\mathbb {R} ^{\times }} p {\displaystyle p} 가 유한 자리이며 p ∤ m 0 {\displaystyle p\nmid {\mathfrak {m}}_{0}} 라면, U p = o K p × {\displaystyle U_{p}={\mathcal {o}}_{K_{p}}^{\times }} ( K p {\displaystyle K_{p}} 는 K {\displaystyle K} 의 p {\displaystyle p} 에서의 완비화) p {\displaystyle p} 가 유한 자리이며 p n ∣ m 0 {\displaystyle p^{n}\mid {\mathfrak {m}}_{0}} 이지만 p n + 1 ∤ m 0 {\displaystyle p^{n+1}\nmid {\mathfrak {m}}_{0}} 라면, U p = 1 + p n ⊂ o K p × {\displaystyle U_{p}=1+{\mathfrak {p}}^{n}\subset {\mathcal {o}}_{K_{p}}^{\times }} ( p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 이산 값매김환 o K p {\displaystyle {\mathcal {o}}_{K_{p}}} 의 유일한 극대 아이디얼) 이델 유군 C K {\displaystyle C_{K}} 는 대각 사상 i : K × ↪ A K × {\displaystyle i\colon K^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}^{\times }} 의 상에 대한 몫군 C K = A K × / i ( K × ) {\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/i(K^{\times })} 인데, U m ′ = i ( U m ) {\displaystyle U_{\mathfrak {m}}'=i(U_{\mathfrak {m}})} 이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 군 동형이 존재한다. Cl m ⁡ o K ≅ C K / U m ′ {\displaystyle \operatorname {Cl} _{\mathfrak {m}}{\mathcal {o}}_{K}\cong C_{K}/U_{\mathfrak {m}}'} 대수적 수체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 자명한 모듈러스 m = 1 {\displaystyle {\mathfrak {m}}=1} 에 대한 반직선류군은 아이디얼 유군 Cl ⁡ o K {\displaystyle \operatorname {Cl} {\mathcal {o}}_{K}} 이다. 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 및 양의 정수 m {\displaystyle m} 에 대하여, 유한 모듈러스 ( m ) {\displaystyle (m)} 에 대한 반직선류군은 가역원군의 몫군 Cl ( m ) ⁡ Z ≅ ( Z / ( m ) ) × / { ± 1 } {\displaystyle \operatorname {Cl} _{(m)}\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /(m))^{\times }/\{\pm 1\}} 이며, 모듈러스 ( m ) ∞ {\displaystyle (m)\infty } 에 대한 반직선류군은 가역원군 Cl ( m ) ∞ ⁡ Z ≅ ( Z / ( m ) ) × {\displaystyle \operatorname {Cl} _{(m)\infty }\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /(m))^{\times }} 이다. Cohn, Harvey (1985). 《Introduction to the construction of class fields》. Cambridge studies in advanced mathematics (영어) 6. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-24762-7.  “Modulus in algebraic number theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  모듈러스 (수론) 아이디얼 유군 이델 유군