브라우너 공간

함수해석학에서 브라우너 공간(Brauner空間, 영어: Brauner space)은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 완비 콤팩트 생성 국소 볼록 공간 X {\displaystyle X} 이다. 스테레오 공간의 이론에서, 프레셰 공간의 개념의 쌍대 개념이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -국소 볼록 공간 X {\displaystyle X} 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, K {\displaystyle \mathbb {K} } -브라우너 공간이라고 한다. X {\displaystyle X} 는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.) 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다. 반콤팩트 공간이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 K 0 ⊆ K 1 ⊆ K 2 ⊆ ⋯ ⊆ X {\displaystyle K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \dotsb \subseteq X} 이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.) 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 에 대하여, K ⊆ K i {\displaystyle K\subseteq K_{i}} 인 자연수 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 가 존재한다. (즉, min { i ∈ N : K ⊆ K i } < ∞ {\displaystyle \min\{i\in \mathbb {N} \colon K\subseteq K_{i}\}<\infty } 이다.) 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 X {\displaystyle X} 의 연속 쌍대 공간 X ∗ {\displaystyle X^{*}} 위에, X {\displaystyle X} 의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간(영어: stereotype dual space)이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 스테레오 공간 X {\displaystyle X} 이 브라우너 공간이다. 스테레오 쌍대 공간 X ∗ {\displaystyle X^{*}} 은 프레셰 공간이다. 즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다. 시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 이제, 연속 함수의 공간 C 0 ( M , K ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )} 위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자. 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ M {\displaystyle K\subseteq M} 에 대하여, 함수열 f i ↾ K {\displaystyle f_{i}\upharpoonright K} 는 f ↾ K {\displaystyle f\upharpoonright K} 로 균등 수렴한다. 그렇다면 이는 위상 벡터 공간을 이룬다. 그 연속 쌍대 공간 X = ( C 0 ( M , K ) ) ∗ {\displaystyle X=({\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} ))^{*}} 은 측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자. 임의의 콤팩트 집합 K ⊆ C 0 ( M , K ) {\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )} 에 대하여, 범함수열 ϕ i ↾ K {\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {K}}} 는 ϕ i ↾ K {\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {K}}} 로 균등 수렴한다. 그렇다면, X {\displaystyle X} 는 브라우너 공간이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 C ∞ ( M , K ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {K} )} 위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자. 임의의 콤팩트 공간 K ⊆ M {\displaystyle K\subseteq M} 에 대하여, 함수열 f i {\displaystyle f_{i}} 의 임의의 차수 도함수 ∇ X 1 ∇ X 2 ⋯ ∇ X n f i {\displaystyle \nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\dotsb \nabla _{X_{n}}f_{i}} 는 K {\displaystyle K} 위에서 ∇ X 1 ⋯ ∇ X n f {\displaystyle \nabla _{X_{1}}\dotsb \nabla _{X_{n}}f} 로 균등 수렴한다. 이제, 이 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 공간 X = ( C ∞ ( M , K ) ) ∗ {\displaystyle X=({\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {K} ))^{*}} 은 분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자. 임의의 유계 집합 B ⊆ C 0 ( M , K ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )} 에 대하여, 범함수열 ϕ i ↾ B {\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {B}}} 는 ϕ i ↾ B {\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {B}}} 로 균등 수렴한다. 그렇다면, X {\displaystyle X} 는 브라우너 공간이다. M {\displaystyle M} 이 슈타인 다양체(영어: Stein manifold)라고 하자. O ( M ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(M)} 을 M {\displaystyle M} 에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 M {\displaystyle M} 에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. O ( M ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(M)} 에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 M {\displaystyle M} 에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 O ⋆ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(M)} 은 브라우너 공간이다. 또한, G {\displaystyle G} 를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. G {\displaystyle G} 의 지수형 정칙 함수(영어: exponential-type holomorphic function)의 공간 O exp ( G ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\exp }(G)} 은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다. 칼만 조지 브라우너 2세(영어: Kalman George Brauner, Jr.)가 이 개념을 최초로 연구하였다. S.S.Akbarov (2003) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFS.S.Akbarov2003 (help). S.S.Akbarov (2009) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFS.S.Akbarov2009 (help). K.Brauner (1973) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFK.Brauner1973 (help). Schaefer, Helmuth H. (1966). 《Topological vector spaces》. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6.  Robertson, A.P.; Robertson, W.J. (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press.  Brauner, K. (1973). “Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem”. 《Duke Math. Jour.》 40 (4): 845–855. doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7.  Akbarov, S.S. (2003). “Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra”. 《Journal of Mathematical Sciences》 113 (2): 179–349. doi:10.1023/A:1020929201133. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Akbarov, S.S. (2009). “Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity”. 《Journal of Mathematical Sciences》 162 (4): 459–586. doi:10.1007/s10958-009-9646-1. (구독 필요).  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)[깨진 링크(과거 내용 찾기)]