멱집합

집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 또는 2 X {\displaystyle 2^{X}} 는 X {\displaystyle X} 의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. 즉, 이는 다음과 같다. P ( X ) = { S | S ⊆ X } = { S | ∀ s ∈ S : s ∈ X } {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(X)&=\{S|S\subseteq X\}\\&=\{S|\forall s\in S\colon s\in X\}\end{aligned}}} 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 멱집합 공리(영어: axiom of power set)는 다음과 같은 명제이다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합 Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} 가 존재한다. 임의의 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여, 만약 (임의의 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여 s ∈ X {\displaystyle s\in X} )라면, S ∈ Y {\displaystyle S\in {\mathcal {Y}}} 이다. 이는 ZFC의 공리이며, 특히 참이다. 멱집합 공리 및 다른 ZFC 공리들로부터, 임의의 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합의 존재를 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 집합 Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} 를 잡자. 그렇다면, 분류 공리꼴에 따라, 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다. Y ′ = { S ∈ Y | ∀ s ∈ S : s ∈ X } {\displaystyle {\mathcal {Y}}'=\{S\in {\mathcal {Y}}|\forall s\in S\colon s\in X\}} 또한, Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} 의 선택에 따라, Y ′ {\displaystyle {\mathcal {Y}}'} 는 X {\displaystyle X} 의 멱집합을 이룬다. 확장 공리에 따라, 임의의 집합의 멱집합은 유일하다. 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 크기는 | P ( X ) | = 2 | X | {\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}} 이다. 여기서 | X | {\displaystyle |X|} 는 X {\displaystyle X} 의 크기를 나타내며, 2 | X | {\displaystyle 2^{|X|}} 는 기수의 거듭제곱을 나타낸다. 만약 X {\displaystyle X} 가 유한 집합일 경우, | X | {\displaystyle |X|} 는 ( X {\displaystyle X} 의 원소 개수를 나타내는) 자연수이며, 기수의 거듭제곱 연산은 자연수의 거듭제곱 연산과 일치한다. 특히, 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이다. 다음과 같은 부등식이 성립한다. | P ( X ) | = 2 | X | ≥ | X | + > | X | {\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}\geq |X|^{+}>|X|} 여기서 | X | + {\displaystyle |X|^{+}} 는 | X | {\displaystyle |X|} 보다 큰 최소의 기수이다 (선택 공리를 가정하면 이는 항상 존재한다). 이를 칸토어 정리라고 한다. 이에 따라, 멱집합 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 크기는 항상 원래 집합 X {\displaystyle X} 의 크기보다 크다. 특히, X {\displaystyle X} 가 가산 무한 집합인 경우 2 ℵ 0 ≥ ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}} 이다. 명제 2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}} 는 연속체 가설이라고 부른다. 연속체 가설과 그 부정 모두 ZFC에서 증명할 수 없다. 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합은 부분 집합 관계에 대하여 완비 불 대수 ( P ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 를 이룬다. 최소 원소는 공집합 ∅ ∈ P ( X ) {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}(X)} , 최대 원소는 원래의 집합 X ∈ P ( X ) {\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(X)} , 이음은 합집합 ∪ {\displaystyle \cup } , 만남은 교집합 ∩ {\displaystyle \cap } 이다. 또한, 임의의 부분 집합 S ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 의 상한은 합집합 ⋃ S = ⋃ S ∈ S S ∈ P ( X ) {\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\in {\mathcal {P}}(X)} 으로 주어지며, 하한은 교집합 ⋂ S = ⋂ S ∈ S S ∈ P ( X ) {\displaystyle \bigcap {\mathcal {S}}=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\in {\mathcal {P}}(X)} 으로 주어진다 ( ⋂ ∅ = X {\displaystyle \textstyle \bigcap \varnothing =X} ). 멱집합과 상은 집합의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 위의 함자 Set → Set {\displaystyle \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} } X → P ( X ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)} ( f : X → Y ) ↦ ( S ↦ f ( S ) ) {\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (S\mapsto f(S))} 를 이룬다. 멱집합과 원상은 함자 Set op → Set {\displaystyle \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } X → P ( X ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)} ( f : X → Y ) ↦ ( T ↦ f − 1 ( T ) ) {\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (T\mapsto f^{-1}(T))} 를 이룬다. 공집합의 멱집합은 공집합을 원소로 가지는 한원소 집합이다. P ( ∅ ) = { ∅ } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}} 한원소 집합 { x } {\displaystyle \{x\}} 은 공집합과 자기 자신을 부분 집합으로 하므로 그 멱집합은 P ( { x } ) = { ∅ , { x } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{x\})=\{\varnothing ,\{x\}\}} 이다. 두원소 집합 { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다. ∅ {\displaystyle \varnothing } { a } {\displaystyle \{a\}} { b } {\displaystyle \{b\}} { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 따라서 그 멱집합은 P ( { a , b } ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}} 이다. 세원소 집합 { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} 의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다. ∅ {\displaystyle \varnothing } { a } {\displaystyle \{a\}} { b } {\displaystyle \{b\}} { c } {\displaystyle \{c\}} { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} { a , c } {\displaystyle \{a,c\}} { b , c } {\displaystyle \{b,c\}} { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} 따라서 그 멱집합은 P ( { a , b , c } ) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b,c\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}} 이다. 베트 수 수학사랑 Q & A (멱집합) “Power set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Axiom of the power set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Power set”. 《nLab》 (영어).  “Power set”. 《PlanetMath》 (영어).  “Axiom of power set”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition: power set”. 《ProofWiki》 (영어).