멱영 리 대수

리 군론에서 멱영 리 대수(冪零Lie代數, 영어: nilpotent Lie algebra)는 유한한 길이의 내림 중심열을 갖는 리 대수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 내림 중심렬(-中心列, 영어: lower central series)은 다음과 같다. g = g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}} g i + 1 = [ g i , g ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}=[{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}]} g = g 0 ⊇ g 1 ⊇ g 2 ⊇ ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supseteq {\mathfrak {g}}_{1}\supseteq {\mathfrak {g}}_{2}\supseteq \cdots } 만약 어떤 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 g n = 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=0} 이라면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 멱영 리 대수라고 한다. ( 0 {\displaystyle 0} 은 유일한 0차원 리 대수이다.) 즉, 다음 명제가 성립하는 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 이 존재해야 한다. [ x 1 , [ x 2 , [ x 3 , ⋯ [ x n , y ] ⋯ ] ] ] = 0 ∀ x 1 , … , x n , y ∈ g {\displaystyle [x_{1},[x_{2},[x_{3},\dotsb [x_{n},y]\dotsb ]]]=0\qquad \forall x_{1},\dotsc ,x_{n},y\in {\mathfrak {g}}} 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 엥겔 조건 리 대수(영어: Engel condition Lie algebra)라고 하자. [ x , [ x , [ x , ⋯ [ x ⏞ n ( x , y ) , y ] ⋯ ] ] ] = 0 ∀ x , y ∈ g {\displaystyle \overbrace {[x,[x,[x,\dotsb [x} ^{n(x,y)},y]\dotsb ]]]=0\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}} 가 되는 함수 n : g × g → Z + {\displaystyle n\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하자. 리 군 G {\displaystyle G} 의 리 대수가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 라고 할 때, 다음 조건들이 서로 동치이다.:105 항등원을 포함하는 연결 성분 G 0 ⊆ G {\displaystyle G_{0}\subseteq G} 은 (군으로서) 멱영군이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 멱영 리 대수이다. 멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다. 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. K {\displaystyle K} -아벨 리 대수 ⊆ K {\displaystyle K} -멱영 리 대수 ⊆ K {\displaystyle K} -가해 리 대수 ⊆ K {\displaystyle K} -리 대수 K {\displaystyle K} -멱영 리 대수 ⊆ K {\displaystyle K} -엥겔 조건 리 대수 ⊆ K {\displaystyle K} -리 대수 엥겔 정리에 따르면, (임의의 표수의) 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 엥겔 조건 리 대수는 항상 멱영 리 대수이다.:46, Theorem 1.35 멱영 리 대수의 모든 부분 리 대수는 멱영 리 대수이다. 멱영 리 대수의 모든 몫 리 대수 역시 멱영 리 대수이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음과 같은 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬들의 집합을 생각하자. n ( n ; K ) = { M ∈ gl ⁡ ( n ; K ) : ∀ i , j ∈ { 1 , … , n } : i ≥ j ⟹ M i , j = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {n}}(n;K)=\{M\in \operatorname {gl} (n;K)\colon \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}\colon i\geq j\implies M_{i,j}=0\}} 즉, 대각 성분이 0인 상삼각 행렬의 집합이다. 이는 g l ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;K)} 의 부분 리 대수를 이루며, 또한 멱영 리 대수이다. 구체적으로, n ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {n}}(n;K)} 의 n {\displaystyle n} 번째 내림 중심열은 0이다. 엥겔 정리에 따라서, 모든 멱영 리 대수는 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대한 n ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {n}}(n;K)} 의 부분 리 대수로 나타낼 수 있다. 엥겔 정리는 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 1890년 7월 20일 빌헬름 킬링에게 보낸 편지에서 대략적으로 증명하였다. 이후 엥겔의 제자 카를 아르투어 움라우프(독일어: Karl Arthur Umlauf)가 1891년 박사 학위 논문에서 이 정의의 완전한 증명을 제시하였다. Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Umlauf, Karl Arthur (1891). 《Über die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen, insbesondre der Gruppen vom Range Null》 (독일어). 라이프치히 대학교 박사 학위 논문. 라이프치히: Druck von Breitkopf & Härtel.  “Lie algebra, nilpotent”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Lie algebra, nil”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Lie group, nilpotent”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Nilpotent Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Nilpotent Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebra lower central series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  멱영군 가해 리 대수 이와사와 분해 영다양체