극대 원환면

리 군론에서 극대 원환면({極大圓環面, 영어: maximal torus 맥시멀 토러스[*])은 어떤 콤팩트 리 군 속의 연결 콤팩트 닫힌 아벨 부분군 가운데 극대 원소인 것이다. G {\displaystyle G} 가 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. G {\displaystyle G} 속의, 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 과 미분 동형인 닫힌 부분군 T ⊆ G {\displaystyle T\subseteq G} 들의 집합을 생각하자. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 G {\displaystyle G} 의 극대 원환면이라고 한다. 연결 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 는 (임의의) 극대 원환면 T {\displaystyle T} 의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상 x − 1 g x ∈ T {\displaystyle x^{-1}gx\in T} 가 되는 x ∈ G {\displaystyle x\in G} 를 찾을 수 있다. 증명: 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, x − 1 g x ∈ T {\displaystyle x^{-1}gx\in T} 가 되는 x ∈ G {\displaystyle x\in G} 를 찾아야 한다. 이러한 x {\displaystyle x} 는 g x ∈ x T {\displaystyle gx\in xT} 이므로, G / T {\displaystyle G/T} 위의 G {\displaystyle G} 의 왼쪽 군 작용의 고정점을 이룬다. T {\displaystyle T} 가 부분군이므로, 반대로 G / T {\displaystyle G/T} 의 모든 고정점 x T {\displaystyle xT} 은 이러한 x {\displaystyle x} 에 대응한다. G / T {\displaystyle G/T} 가 콤팩트 공간이므로, 렙셰츠 고정점 정리를 사용하여, g {\displaystyle g} 의 작용의 렙셰츠 수가 0이 아님을 보이면 족하다. 렙셰츠 수는 호모토피류에 대하여 불변량이다. G {\displaystyle G} 가 경로 연결 공간이므로, g {\displaystyle g} 의 작용은 1 G ∈ G {\displaystyle 1_{G}\in G} 의 작용(즉, 항등 함수)과 호모토픽하며, 항등 함수의 렙셰츠 수는 오일러 지표와 같다. 즉, G / T {\displaystyle G/T} 의 오일러 지표 χ ( G / T ) {\displaystyle \chi (G/T)} 가 0이 아님을 보이면 족하다. 이를 계산하기 위하여, 원소 t ∈ T {\displaystyle t\in T} 가운데, t {\displaystyle t} 로 생성되는 부분군 t Z {\displaystyle t^{\mathbb {Z} }} 가 T {\displaystyle T} 의 조밀 집합을 이루는 것을 고르자. ( T {\displaystyle T} 가 원환면이므로, 이는 항상 가능하며, 거의 모든 t ∈ T {\displaystyle t\in T} 에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면, t {\displaystyle t} 의 작용의 고정점은 T {\displaystyle T} 의 정규화 부분군 N G ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(T)} 의 원소이다. 즉, G / T {\displaystyle G/T} 위의 고정점의 집합은 N G ⁡ ( T ) / T {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(T)/T} 이다. T {\displaystyle T} 가 극대 원환면이라면, 이는 유한 집합이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점 T = 1 G T ∈ N G ⁡ T {\displaystyle T=1_{G}T\in \operatorname {N} _{G}T} 의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, χ ( G / T ) = | N G ⁡ ( T ) / T | ≥ 1 {\displaystyle \chi (G/T)=|\operatorname {N} _{G}(T)/T|\geq 1} 이며, 모든 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여 x − 1 g x ∈ T {\displaystyle x^{-1}gx\in T} 인 x ∈ G {\displaystyle x\in G} 가 존재한다. 모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다. 증명: 임의의 두 극대 원환면 T {\displaystyle T} , T ′ {\displaystyle T'} 이 주어졌으며, t ∈ T {\displaystyle t\in T} 및 t ′ ∈ T ′ {\displaystyle t'\in T'} 에 대하여, t {\displaystyle t} 로 생성되는 부분군이 T {\displaystyle T} 의 조밀 집합이며, t ′ {\displaystyle t'} 도 T ′ {\displaystyle T'} 에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상 g t g − 1 = t ′ {\displaystyle gtg^{-1}=t'} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 를 찾을 수 있으므로, g T g − 1 = T ′ {\displaystyle gTg^{-1}=T'} 가 된다. 즉, 연결 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다. 단순 리 군과 단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다. 연결 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 의 극대 원환면의 차원은 G {\displaystyle G} 의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 를 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합 l i e ( G ) = s ⊕ a {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}} 으로 분해하였을 때, T {\displaystyle T} 의 차원은 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 의 차원과 s {\displaystyle {\mathfrak {s}}} 의 딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다. dim ⁡ T = dim ⁡ a ⊕ | V ⁡ ( Dynkin ⁡ ( s ) ) | {\displaystyle \dim T=\dim {\mathfrak {a}}\oplus |\operatorname {V} (\operatorname {Dynkin} ({\mathfrak {s}}))|} 연결 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 의 극대 원환면 T {\displaystyle T} 가 주어졌을 때, 그 바일 군 Weyl ⁡ ( G , T ) = N G ⁡ ( T ) / C G ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (G,T)=\operatorname {N} _{G}(T)/\operatorname {C} _{G}(T)} 은 T {\displaystyle T} 위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간 T / Weyl ⁡ ( G / T ) {\displaystyle T/\operatorname {Weyl} (G/T)} 은 G {\displaystyle G} 의 켤레류의 공간과 동형이다. 유니터리 군 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다. T = { diag ⁡ ( exp ⁡ ( i θ 1 ) , exp ⁡ ( i θ 2 ) , … , exp ⁡ ( i θ n ) ) : θ 1 , θ 2 , … , θ n ∈ R } ≤ U ⁡ ( n ) {\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\exp(\mathrm {i} \theta _{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n}))\colon \theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {U} (n)} 특수 유니터리 군 SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다. T = { diag ⁡ ( exp ⁡ ( i θ 1 ) , exp ⁡ ( i θ 2 ) , … , exp ⁡ ( i θ n − 1 ) , exp ⁡ ( − i ( θ 1 + θ 2 + ⋯ + θ n − 1 ) ) : θ 1 , θ 2 , … , θ n − 1 ∈ R } ≤ SU ⁡ ( n ) {\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\exp(\mathrm {i} \theta _{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n-1}),\exp(-\mathrm {i} (\theta _{1}+\theta _{2}+\dotsb +\theta _{n-1}))\colon \theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n-1}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SU} (n)} 특수 직교군 SO ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2n)} 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다. T = { diag ⁡ ( R ( θ 1 ) , R ( θ 2 ) , … , R ( θ n ) ) : θ 1 , … , θ n ∈ R } ≤ SO ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta _{1}),R(\theta _{2}),\dotsc ,R(\theta _{n}))\colon \theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n)} 여기서 R ( θ ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) {\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}} 이다. 특수 직교군 SO ⁡ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2n+1)} 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다. T = { diag ⁡ ( R ( θ 1 ) , R ( θ 2 ) , … , R ( θ n ) , 0 1 × 1 ) : θ 1 , … , θ n ∈ R } ≤ SO ⁡ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta _{1}),R(\theta _{2}),\dotsc ,R(\theta _{n}),0_{1\times 1})\colon \theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n+1)} 카르탕 부분 대수 브뤼아 분해 바일 지표 공식 Humphreys, James E. 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》 (영어).  Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal torus”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal tori theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Maximal torus”. 《nLab》 (영어).