중심 닮음 변환

아핀 기하학에서 중심 닮음 변환(中心-變換, 영어: homothety 호모세티[*])은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 와 점 a 0 ∈ A {\displaystyle a_{0}\in A} 및 0이 아닌 상수 λ ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in K\setminus \{0\}} 이 주어졌다고 하자. a 0 {\displaystyle a_{0}} 을 중심으로 하고 λ {\displaystyle \lambda } 를 비로 하는 A {\displaystyle A} 의 중심 닮음 변환은 다음과 같다. H a 0 , λ : A → A {\displaystyle H_{a_{0},\lambda }\colon A\to A} H a 0 , λ : a ↦ a 0 + λ ( a − a 0 ) ( a ∈ A ) {\displaystyle H_{a_{0},\lambda }\colon a\mapsto a_{0}+\lambda (a-a_{0})\qquad (a\in A)} 특히, λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} 일 경우 이는 항등 함수이며, λ = − 1 {\displaystyle \lambda =-1} 일 경우 이는 중심점에 대한 반사와 같다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 위 함수 D : A → A {\displaystyle D\colon A\to A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 D {\displaystyle D} 를 확대 변환(擴大變換, 영어: dilatation)이라고 한다. 다음 두 조건을 만족시킨다. D {\displaystyle D} 는 아핀 변환이다. D {\displaystyle D} 의 선형 변환 성분은 일반 선형군 GL ⁡ ( V ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V(A))} 의 중심 K ∖ { 0 } ⊆ GL ⁡ ( V ( A ) ) {\displaystyle K\setminus \{0\}\subseteq \operatorname {GL} (V(A))} 의 원소이다. (여기서 V ( A ) {\displaystyle V(A)} 는 A {\displaystyle A} 의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간이다.) D {\displaystyle D} 는 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. (사실, 평행 이동은 무한원점을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.) 증명: 만약 D {\displaystyle D} 가 중심 닮음 변환이라면, 중심을 a 0 ∈ A {\displaystyle a_{0}\in A} 라고 하고, 비를 λ ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in K\setminus \{0\}} 이라고 하자. 그렇다면 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여 D ( a ) − D ( a 0 ) = ( a 0 + λ ( a − a 0 ) ) − a 0 = λ ( a − a 0 ) {\displaystyle D(a)-D(a_{0})=(a_{0}+\lambda (a-a_{0}))-a_{0}=\lambda (a-a_{0})} 이다. 즉, D {\displaystyle D} 는 λ {\displaystyle \lambda } 를 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다. 만약 D ∈ V ( A ) {\displaystyle D\in V(A)} 가 평행 이동이라면, 평행 이동 벡터를 v ∈ V ( A ) {\displaystyle v\in V(A)} 라고 하자. 그렇다면 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, D ( b ) − D ( a ) = ( b + v ) − ( a + v ) = b − a {\displaystyle D(b)-D(a)=(b+v)-(a+v)=b-a} 이다. 즉, D {\displaystyle D} 는 항등 함수 1 ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle 1\in K\setminus \{0\}} 을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다. 만약 D {\displaystyle D} 가 K ∖ { 0 } {\displaystyle K\setminus \{0\}} 의 원소 λ ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in K\setminus \{0\}} 을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이라면, 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 를 취하자. 만약 λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} 이라면, 임의의 b ∈ A {\displaystyle b\in A} 에 대하여 D ( b ) = D ( a ) + ( b − a ) = b + ( D ( a ) − a ) {\displaystyle D(b)=D(a)+(b-a)=b+(D(a)-a)} 이므로, D {\displaystyle D} 는 D ( a ) − a {\displaystyle D(a)-a} 를 평행 이동 벡터로 하는 평행 이동이다. 만약 λ ≠ 1 {\displaystyle \lambda \neq 1} 이라면, 아핀 결합 a 0 = D ( a ) − λ a 1 − λ {\displaystyle a_{0}={\frac {D(a)-\lambda a}{1-\lambda }}} 는 D {\displaystyle D} 의 고정점이다. 따라서 임의의 b ∈ A {\displaystyle b\in A} 에 대하여, D ( b ) = D ( a 0 ) + λ ( b − a 0 ) = a 0 + λ ( b − a 0 ) {\displaystyle D(b)=D(a_{0})+\lambda (b-a_{0})=a_{0}+\lambda (b-a_{0})} 이므로, 이는 a 0 {\displaystyle a_{0}} 을 중심으로 하고 λ {\displaystyle \lambda } 를 비로 하는 중심 닮음 변환이다. 아핀 공간 A {\displaystyle A} 위의 확대 변환들은 아핀 군 Aff ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (A)} 의 정규 부분군 Dil ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Dil} (A)} 를 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 전단사 아핀 변환이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 위 함수 D : A → A {\displaystyle D\colon A\to A} 가 주어졌고, dim ⁡ A ≠ 1 {\displaystyle \dim A\neq 1} 이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} 는 확대 변환이다. 다음 두 조건을 만족시킨다. D {\displaystyle D} 는 전단사 함수이다. 임의의 아핀 직선 L ⊆ A {\displaystyle L\subseteq A} 에 대하여, D ( L ) {\displaystyle D(L)} 은 L {\displaystyle L} 에 평행하는 아핀 직선이다. 증명: 편의상 dim ⁡ A ≥ 2 {\displaystyle \dim A\geq 2} 라고 하자. 만약 D {\displaystyle D} 가 확대 변환이라면, 우선 D {\displaystyle D} 가 아핀 변환이므로, 임의의 아핀 직선 L ⊆ A {\displaystyle L\subseteq A} 에 대하여, D ( L ) {\displaystyle D(L)} 역시 아핀 직선이다. D {\displaystyle D} 의 선형 변환 성분을 λ {\displaystyle \lambda } 라고 하고, 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 를 취하자. 그렇다면 D ( b ) − D ( a ) = λ ( b − a ) {\displaystyle D(b)-D(a)=\lambda (b-a)} 이다. 따라서, D ( L ) {\displaystyle D(L)} 은 L {\displaystyle L} 에 평행한다. 만약 D {\displaystyle D} 가 임의의 아핀 직선의 상이 이와 평행하는 아핀 직선인 전단사 함수라면, 임의의 아핀 직선 L ⊆ A {\displaystyle L\subseteq A} 를 취하고, L {\displaystyle L} 이 { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 로 생성된다고 하자. 그렇다면 D ( L ) {\displaystyle D(L)} 은 L {\displaystyle L} 에 평행하는 아핀 직선이며, { D ( a ) , D ( b ) } {\displaystyle \{D(a),D(b)\}} 로 생성된다. 또한, 다음을 만족시키는 유일한 확대 변환 D ′ ∈ Dil ⁡ ( A ) {\displaystyle D'\in \operatorname {Dil} (A)} 가 존재한다. D ′ ( a ) = D ( a ) {\displaystyle D'(a)=D(a)} D ′ ( b ) = D ( b ) {\displaystyle D'(b)=D(b)} 임의의 c ∈ A ∖ L {\displaystyle c\in A\setminus L} 에 대하여, D {\displaystyle D} 에 대한 가정에 의하여, { D ( a ) , D ( c ) } {\displaystyle \{D(a),D(c)\}} , { D ( b ) , D ( c ) } {\displaystyle \{D(b),D(c)\}} 로 생성된 아핀 직선은 각각 { a , c } {\displaystyle \{a,c\}} , { b , c } {\displaystyle \{b,c\}} 로 생성된 아핀 직선에 평행한다. D ′ {\displaystyle D'} 은 확대 변환이므로, D ′ ( c ) {\displaystyle D'(c)} 는 { D ( a ) , D ( c ) } {\displaystyle \{D(a),D(c)\}} , { D ( b ) , D ( c ) } {\displaystyle \{D(b),D(c)\}} 로 생성된 아핀 직선의 교점이다. 즉, D ′ ( c ) = D ( c ) {\displaystyle D'(c)=D(c)} 이다. dim ⁡ A ≥ 2 {\displaystyle \dim A\geq 2} 이므로 L {\displaystyle L} 과 평행하는 L {\displaystyle L} 이 아닌 아핀 직선 L ′ ⊆ A ∖ L {\displaystyle L'\subseteq A\setminus L} 가 존재하며, 이를 L {\displaystyle L} 대신 사용하면 임의의 c ∈ A ∖ L ′ {\displaystyle c\in A\setminus L'} 에 대하여 D ′ ( c ) = D ( c ) {\displaystyle D'(c)=D(c)} 라는 사실을 얻는다. 따라서 D = D ′ {\displaystyle D=D'} 이며, D {\displaystyle D} 는 확대 변환이다. 중심 닮음 변환에 대한 상 H a 0 , λ ( a ) {\displaystyle H_{a_{0},\lambda }(a)} 는 중심 a 0 {\displaystyle a_{0}} 과 원래 점 a {\displaystyle a} 를 잇는 직선 위의 점이다. 유클리드 공간의 중심 닮음 변환에 대한 상과 이에 대한 원상은 양의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 같은 쪽이며, 음의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 반대쪽이다. 유클리드 공간의 λ {\displaystyle \lambda } 를 비로 하는 중심 닮음 변환은 모든 두 점 사이의 거리를 | λ | {\displaystyle |\lambda |} 의 비율로 확대·축소시킨다. 즉, 이는 | λ | {\displaystyle |\lambda |} 를 비로 하는 닮음 변환이다. 3차원 유클리드 공간 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 의 원점 ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)} 을 중심으로 하고 2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환은 다음과 같다. H ( 0 , 0 , 0 ) , 2 : R 3 → R 3 {\displaystyle H_{(0,0,0),2}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} H ( 0 , 0 , 0 ) , 2 : ( x , y , z ) ↦ ( 2 x , 2 y , 2 z ) ( x , y , z ∈ R ) {\displaystyle H_{(0,0,0),2}\colon (x,y,z)\mapsto (2x,2y,2z)\qquad (x,y,z\in \mathbb {R} )} Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.  Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.  “Homothety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dilation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Homothetic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Homothetic center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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