결합 대수

추상대수학에서 결합 대수(結合代數, 영어: associative algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군과 유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군이 아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환을 일반화한다. 가환 유사환 R {\displaystyle R} 위의 유사 결합 대수(영어: (possibly) non-unital associative algebra) ( M , 0 , + , { r ⋅ } r ∈ R , ∗ ) {\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)} 는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다. ( M , 0 , + , { r ⋅ } r ∈ R ) {\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R})} 는 R {\displaystyle R} 의 가군을 이룬다. ( M , 0 , + , ∗ ) {\displaystyle (M,0,+,*)} 은 유사환을 이룬다. 이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다. 모든 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m , n ∈ M {\displaystyle m,n\in M} 에 대하여, r ⋅ ( m ∗ n ) = ( r ⋅ m ) ∗ n = m ∗ ( r ⋅ n ) {\displaystyle r\cdot (m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n)} 이는 유사환의 준동형 R → Z ( M ) {\displaystyle R\to Z(M)} 과 같다. 여기서 Z ( M ) = { z ∈ M : m ∗ z = z ∗ m } {\displaystyle Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}} 은 M {\displaystyle M} 의 중심이다. 유사 결합 대수의 준동형은 ( 0 , + , { r ⋅ } r ∈ R , ∗ ) {\displaystyle (0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)} 를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 R -nuAssoc {\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}} 이라고 하자. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 (단위) 결합 대수(單位結合代數, 영어: (unital) associative algebra) ( M , 0 , + , { r ⋅ } r ∈ R , ∗ , 1 ) {\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*,1)} 는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다. ( M , 0 , + , { r ⋅ } r ∈ R , ∗ ) {\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)} 는 R {\displaystyle R} 위의 유사 결합 대수를 이룬다. ( M , 0 , 1 , + , ∗ ) {\displaystyle (M,0,1,+,*)} 은 환을 이룬다. 이는 환 준동형 R → Z ( M ) {\displaystyle R\to Z(M)} 과 같다. 여기서 Z ( M ) = { z ∈ M : m ∗ z = z ∗ m } {\displaystyle Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}} 은 M {\displaystyle M} 의 중심이다. 결합 대수의 준동형은 ( 0 , 1 , + , { r ⋅ } r ∈ R , ∗ ) {\displaystyle (0,1,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)} 를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 R -Assoc {\displaystyle R{\text{-Assoc}}} 이라고 하자. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 가환 대수(영어: commutative algebra)라고 한다. R {\displaystyle R} 위의 단위 가환 대수 M {\displaystyle M} 은 가환환 준동형 R → M {\displaystyle R\to M} 과 같다. 결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다. 즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다. 또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 텐서곱 ⊗ R {\displaystyle \otimes _{R}} 이 존재하며, 이는 R {\displaystyle R} 위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자 R -nuAssoc → Rng {\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}\to \operatorname {Rng} } 및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자 R -Assoc → Ring {\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to \operatorname {Ring} } 가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는 S ↦ R ⊗ Z S {\displaystyle S\mapsto R\otimes _{\mathbb {Z} }S} 이다. 또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자 R -Assoc → R -nuAssoc {\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to R{\text{-nuAssoc}}} 가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 단위원이 없는 유사 결합 대수 A {\displaystyle A} 를 A ↦ R ⊕ A {\displaystyle A\mapsto R\oplus A} 로 대응시킨다 ( ⊕ {\displaystyle \oplus } 는 아벨 군의 직합). 이 경우, R ⊕ A {\displaystyle R\oplus A} 위의 연산은 다음과 같다. s ⋅ ( r , a ) = ( s r , s ⋅ a ) {\displaystyle s\cdot (r,a)=(sr,s\cdot a)} ( r , a ) ∗ ( s , b ) = ( r s , s ⋅ a , r ⋅ b , a ∗ b ) {\displaystyle (r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)} 복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다. C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 1차원 결합 대수는 C {\displaystyle \mathbb {C} } 자체 밖에 없다. C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다. C [ x ] / ( x 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2}-1)} C [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})} 둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다. C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다. C [ x , y ] / ( x 2 − x , y 2 − y , x y ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2}-y,xy)} C [ x , y ] / ( x 2 − x , y 2 , x y ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2},xy)} C [ x , y ] / ( x 2 , y 2 , x y ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2},y^{2},xy)} C [ x ] / ( x 4 ) {\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{4})} C ⟨ x , y ⟩ / ( x 2 − 1 , y 2 , ( x − 1 ) y , y ( x − 1 ) ) {\displaystyle \mathbb {C} \langle x,y\rangle /\left(x^{2}-1,y^{2},(x-1)y,y(x-1)\right)} 이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다. 특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다. 모든 환 S {\displaystyle S} 는 스스로의 중심 Z ( S ) { r ∈ S : r s = s r ∀ s ∈ S } {\displaystyle Z(S)\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\}} 에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여 환 준동형 R → Z ( S ) {\displaystyle R\to Z(S)} 가 주어졌다면, S {\displaystyle S} 는 R {\displaystyle R} 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 R → S {\displaystyle R\to S} 가 주어졌다면, S {\displaystyle S} 는 R {\displaystyle R} 위의 가환 결합 대수를 이룬다. 리 대수의 보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수나 외대수는 결합 대수이다. 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 와 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 a + b i ⊆ { a + b i + c j + d k } {\displaystyle a+bi\subseteq \{a+bi+cj+dk\}} 를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다. R {\displaystyle R} 가 위상환이라고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 연속 함수 C ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X;R)} 의 집합은 자연스럽게 R {\displaystyle R} 위의 결합 대수의 구조가 존재한다. r ⋅ f : x ↦ r ⋅ f ( x ) {\displaystyle r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)} f ∗ g : x ↦ f ( x ) ⋅ g ( x ) {\displaystyle f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)} 0 : x ↦ 0 R {\displaystyle 0\colon x\mapsto 0_{R}} 1 : x ↦ 1 R {\displaystyle 1\colon x\mapsto 1_{R}} 마찬가지로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 함수의 집합 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다. Rakhimov, I. S.; Rikhsiboev, I. M.; Basri, W. “Complete lists of low dimensional complex associative algebras” (영어). arXiv:0910.0932. Bibcode:2009arXiv0910.0932R.  Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242. Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285.  “Associative rings and algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). 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