사영 표현

군 표현론에서, 사영 표현(射影表現, 영어: projective representation)은 어떤 군의 원소들을 어떤 벡터 공간 위의 행렬 또는 선형 변환으로 나타내되, 행렬로서의 교환자가 군의 연산과 단위 행렬의 스칼라배만큼 다른 것을 허용한 것이다. 다음이 주어졌다고 하자. 체 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} -벡터 공간 V {\displaystyle V} 군 G {\displaystyle G} 그렇다면, G {\displaystyle G} 의 V {\displaystyle V} 위의 K {\displaystyle K} -선형 사영 표현은 군 준동형 G → PGL ⁡ ( V ; K ) = GL ⁡ ( V ; K ) / K × {\displaystyle G\to \operatorname {PGL} (V;K)=\operatorname {GL} (V;K)/K^{\times }} 이다. 여기서 PGL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (V)} 는 사영 선형군이다. 다음이 주어졌다고 하자. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 리 군 G {\displaystyle G} 그렇다면, H {\displaystyle H} 의 사영 유니터리 표현(射影unitary表現, 영어: projective unitary representation)은 연속 함수인 군 준동형 G → PU ⁡ ( H ) = U ⁡ ( H ) / K × {\displaystyle G\to \operatorname {PU} (H)=\operatorname {U} (H)/\mathbb {K} ^{\times }} 이다. 여기서 PU ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {PU} (-)} 는 사영 유니터리 군을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다. 모든 (선형) 표현 G → GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V;K)} 이 주어졌을 때, 몫군 사상 q : GL ⁡ ( V ; K ) ↠ PGL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle q\colon \operatorname {GL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PGL} (V;K)} 을 통하여 사영 표현 G → PGL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle G\to \operatorname {PGL} (V;K)} 을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다. 반대로, 사영 표현 ρ : G → PGL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {PGL} (V;K)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 군을 정의하자. H = G × π , q GL ⁡ ( V ; K ) = { ( g , T ) ∈ G × GL ⁡ ( V ; K ) : π ( g ) = q ( T ) } {\displaystyle H=G\times _{\pi ,q}\operatorname {GL} (V;K)=\{(g,T)\in G\times \operatorname {GL} (V;K)\colon \pi (g)=q(T)\}} 이는 군의 범주의 다음과 같은 올곱이다. H → ρ H GL ⁡ ( V ; K ) ϕ ↓ ϕ q ↓ q G → ρ PGL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle {\begin{matrix}H&{\overset {\rho _{H}}{\to }}&\operatorname {GL} (V;K)\\{\scriptstyle \phi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \phi }&&{\scriptstyle \color {White}q}\downarrow {\scriptstyle q}\\G&{\underset {\rho }{\to }}&\operatorname {PGL} (V;K)\\\end{matrix}}} 이에 따라서, 군 준동형 ρ H : H → GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \rho _{H}\colon H\to \operatorname {GL} (V;K)} ρ H : ( g , T ) ↦ T {\displaystyle \rho _{H}\colon (g,T)\mapsto T} 이 존재한다. 또한, 군 준동형 ϕ : H → G {\displaystyle \phi \colon H\to G} ϕ : ( g , T ) ↦ g {\displaystyle \phi \colon (g,T)\mapsto g} 은 전사 함수이며, 그 핵인 정규 부분군은 H ≥ Z ⁡ ( H ) ≥ ker ⁡ ϕ = { ( 1 G , α 1 V ) : α ∈ K × } ≅ K × {\displaystyle H\geq \operatorname {Z} (H)\geq \ker \phi =\{(1_{G},\alpha 1_{V})\colon \alpha \in K^{\times }\}\cong K^{\times }} 이다. 즉, H {\displaystyle H} 는 G {\displaystyle G} 의 중심 확대이며, 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다. 1 → K × → H → G → 1 {\displaystyle 1\to K^{\times }\to H\to G\to 1} 리 군 G {\displaystyle G} 의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군 G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} 의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 임의의 연결 리 군 G {\displaystyle G} 의 사영 유니터리 표현 ρ : G → PU ⁡ ( n ) {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {PU} (n)} 이 주어졌을 때, 항상 다음 가환 네모를 완성하는 유니터리 표현 ρ ~ : G ~ → U ⁡ ( n ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}\colon {\tilde {G}}\to \operatorname {U} (n)} 을 찾을 수 있다. G → ρ PU ⁡ ( n ) ↑ ↑ G ~ → ρ ~ U ⁡ ( n ) {\displaystyle {\begin{matrix}G&{\overset {\rho }{\to }}&\operatorname {PU} (n)\\\uparrow &&\uparrow \\{\tilde {G}}&{\underset {\tilde {\rho }}{\to }}&\operatorname {U} (n)\end{matrix}}} 무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 바르그만 정리(영어: Bargmann’s theorem)에 따르면, 만약 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지 H 2 ⁡ ( l i e ( G ) ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {lie}}(G);\mathbb {R} )} 가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다. 특수 직교군 SO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 의 유한 차원 실수 사영 유니터리 표현 가운데 선형 표현으로부터 유도되지 않는 것은 스피너 사영 표현이다. 이들은 중심 확대이자 범피복군인 스핀 군 1 → Cyc ⁡ ( 2 ) ≅ Z ⁡ ( Spin ⁡ ( n ) ) → Spin ⁡ ( n ) → SO ⁡ ( n ) → 1 ( n ≥ 3 ) {\displaystyle 1\to \operatorname {Cyc} (2)\cong \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n))\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1\qquad (n\geq 3)} 의 유니터리 표현으로부터 유도된다. 아벨 리 군 R 2 n = { ( x , p ) : x , p ∈ R n } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )\colon \mathbf {x} ,\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}\}} 의, 르베그 공간 L 2 ⁡ ( R n ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})} 위의 다음과 같은 사영 표현 ρ : R 2 n → L 2 ⁡ ( R n ) {\displaystyle \rho \colon \mathbb {R} ^{2n}\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})} 을 생각하자. ρ ( x , 0 ) f ( y ) = f ( y − x ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,\mathbf {0} )f(\mathbf {y} )=f(\mathbf {y} -\mathbf {x} )} ρ ( 0 , p ) f ( y ) = exp ⁡ ( i p ⋅ y ) f ( y ) {\displaystyle \rho (\mathbf {0} ,\mathbf {p} )f(\mathbf {y} )=\exp(\mathrm {i} \mathbf {p} \cdot \mathbf {y} )f(\mathbf {y} )} 이는 양자역학에서 위치 및 운동량 연산자에 해당한다. 이 두 연산자의 교환자는 절댓값 1의 복소수이므로, 이는 사영 유니터리 표현을 이룬다. R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 은 단일 연결 공간이다 (스스로의 범피복군이다). 그러나 이 사영 유니터리 표현은 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 의 유니터리 표현으로부터 유도되지 못하며, R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 의 중심 확장인 하이젠베르크 군 1 → R × → Heis ⁡ ( n ; R ) → R 2 n → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {Heis} (n;\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{2n}\to 1} 의 유니터리 표현으로 유도된다. 바르그만 정리는 발렌티네 바르그만(독일어: Valentine Bargmann, 1908〜1989)이 1954년에 증명하였다. 군의 확대 입자물리학과 표현론의 관계 스피너 하이젠베르크 군 Bargmann, Valentine (1954). “On unitary ray representations of continuous groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 59: 1–46.  “Projective representation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Projective representation”. 《nLab》 (영어).