고차 논리

고차 논리(高次論理, 영어: higher-order logic)는 관계 또는 관계의 관계 등을 지칭하는 변수에 전칭·존재 기호를 가할 수 있는 일련의 논리 체계들이다. 모든 고차 논리는 ω차 논리(ω次論理, 영어: ω-order logic)의 부분 논리 체계로 생각할 수 있다.:Chapter 5, §50 d ∈ { 2 , 3 , … , ω } {\displaystyle d\in \{2,3,\dots ,\omega \}} 가 2 이상의 자연수 또는 가장 작은 무한 극한 순서수 ω {\displaystyle \omega } 라고 하자. d차 논리(d次論理, 영어: dth-order logic)의 종류(種類, 영어: sort)와 이들의 차수(次數, 영어: order)는 다음과 같다. (편의상 연산의 종류를 다루는 것을 생략하자.) ı {\displaystyle \imath } 는 0차 종류이다. 차수가 각각 d 1 , … , d n {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}} 인 종류 σ 1 , … , σ n {\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}} 에 대하여, 만약 max { d 1 , … , d n } + 1 < d {\displaystyle \max\{d_{1},\dots ,d_{n}\}+1<d} 라면, ( σ 1 ⋯ σ n ) {\displaystyle (\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})} 은 max { d 1 , … , d n } + 1 {\displaystyle \max\{d_{1},\dots ,d_{n}\}+1} 차 종류이다. d차 논리의 언어는 각 종류의 변수와 상수들로 구성된다. 종류가 ı {\displaystyle \imath } 인 변수를 개체 변수(個體變數, 영어: individual variable)라고 하며, 종류가 ( ) {\displaystyle ()} 인 변수를 명제 변수(命題變數, 영어: propositional variable)라고 한다. d차 논리의 논리식(論理式, 영어: (well-formed) formula)은 다음과 같다. 종류 ( σ 1 ⋯ σ n ) {\displaystyle (\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})} 의 변수 또는 상수 t ( σ 1 ⋯ σ n ) {\displaystyle t^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}} 및 종류가 각각 σ 1 , … , σ n {\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}} 인 변수 또는 상수 u 1 σ 1 , … , u n σ n {\displaystyle u_{1}^{\sigma _{1}},\dots ,u_{n}^{\sigma _{n}}} 에 대하여, t ( σ 1 ⋯ σ n ) ( u 1 σ 1 , … , u n σ n ) {\displaystyle t^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}(u_{1}^{\sigma _{1}},\dots ,u_{n}^{\sigma _{n}})} 은 논리식이다. d − 1 {\displaystyle d-1} 차 미만의 같은 종류 σ {\displaystyle \sigma } 의 두 변수 또는 상수 t σ , u σ {\displaystyle t^{\sigma },u^{\sigma }} 에 대하여, t σ = u σ {\displaystyle t^{\sigma }=u^{\sigma }} 는 논리식이다. 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 및 변수 x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 에 대하여, ¬ ϕ {\displaystyle \lnot \phi } 는 논리식이다. 만약 ϕ {\displaystyle \phi } 의 속박 변수가 ψ {\displaystyle \psi } 에 등장하지 않으며, ψ {\displaystyle \psi } 의 속박 변수가 ϕ {\displaystyle \phi } 에 등장하지 않는다면, ϕ ⟹ ψ {\displaystyle \phi \implies \psi } 는 논리식이다. 만약 x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 가 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수라면, ∀ x σ ϕ {\displaystyle \forall x^{\sigma }\phi } 는 논리식이다. 여기서 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 와 그 속에 등장하는 변수 x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 에 대하여, 만약 ϕ {\displaystyle \phi } 가 ∀ x σ {\displaystyle \forall x^{\sigma }} 를 포함하지 않는다면, x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 를 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)라고 하며, 그렇지 않다면 x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 를 ϕ {\displaystyle \phi } 의 속박 변수(束縛變數, 영어: bound variable)라고 한다. 다음과 같은 기호들을 사용하자. ϕ {\displaystyle \phi } , ψ {\displaystyle \psi } , χ {\displaystyle \chi } 는 임의의 논리식이다. 각 종류 σ {\displaystyle \sigma } 에 대하여, x σ {\displaystyle x^{\sigma }} , y σ {\displaystyle y^{\sigma }} , z σ {\displaystyle z^{\sigma }} , y i σ {\displaystyle y_{i}^{\sigma }} , z i σ {\displaystyle z_{i}^{\sigma }} 는 종류 σ {\displaystyle \sigma } 의 변수이다. 각 종류 σ {\displaystyle \sigma } 에 대하여, t σ {\displaystyle t^{\sigma }} 는 종류 σ {\displaystyle \sigma } 의 변수 또는 상수이다. d차 논리의 추론 규칙들은 다음과 같다. (전건 긍정) ϕ ϕ ⟹ ψ ψ {\displaystyle {\begin{matrix}\phi \qquad \phi \implies \psi \\\hline \psi \end{matrix}}} (일반화) ϕ ∀ x ϕ {\displaystyle {\begin{matrix}\phi \\\hline \forall x\phi \end{matrix}}} 여기서 x {\displaystyle x} 는 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수이어야 한다. d차 논리의 공리 기본꼴들은 다음과 같다. ϕ ⟹ ( ψ ⟹ ϕ ) {\displaystyle \phi \implies (\psi \implies \phi )} ( ϕ ⟹ ( ψ ⟹ χ ) ) ⟹ ( ( ϕ ⟹ ψ ) ⟹ ( ϕ ⟹ χ ) ) {\displaystyle (\phi \implies (\psi \implies \chi ))\implies ((\phi \implies \psi )\implies (\phi \implies \chi ))} ( ¬ ϕ ⟹ ¬ ψ ) ⟹ ( ψ ⟹ ϕ ) {\displaystyle (\lnot \phi \implies \lnot \psi )\implies (\psi \implies \phi )} ∀ x σ ϕ ⟹ ϕ [ t σ / x σ ] {\displaystyle \forall x^{\sigma }\phi \implies \phi [t^{\sigma }/x^{\sigma }]} 여기서 x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 는 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수이며, ϕ [ t σ / x σ ] {\displaystyle \phi [t^{\sigma }/x^{\sigma }]} 는 ϕ {\displaystyle \phi } 에 등장하는 자유 변수 x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 를 모두 t σ {\displaystyle t^{\sigma }} 로 대체하여 얻는 논리식이다. 만약 t σ {\displaystyle t^{\sigma }} 가 변수일 경우, x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 는 ϕ {\displaystyle \phi } 의 ∀ t σ ⋯ {\displaystyle \forall t^{\sigma }\cdots } 꼴의 부분 논리식 속에 등장하지 않아야 한다. ∀ x σ ( ϕ ⟹ ψ ) ⟹ ( ϕ ⟹ ∀ x σ ψ ) {\displaystyle \forall x^{\sigma }(\phi \implies \psi )\implies (\phi \implies \forall x^{\sigma }\psi )} 여기서 x σ {\displaystyle x^{\sigma }} 는 ϕ {\displaystyle \phi } 에 등장하지 않는 변수이며, ψ {\displaystyle \psi } 의 자유 변수이어야 한다. (분류 공리 기본꼴) ∃ x ( σ 1 ⋯ σ n ) ∀ y 1 σ 1 ⋯ ∀ y n σ n ( x ( σ 1 ⋯ σ n ) ( y 1 σ 1 , … , y n σ n ) ⟺ ϕ ) {\displaystyle \exists x^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}\forall y_{1}^{\sigma _{1}}\cdots \forall y_{n}^{\sigma _{n}}(x^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}(y_{1}^{\sigma _{1}},\dots ,y_{n}^{\sigma _{n}})\iff \phi )} 여기서 x ( σ 1 ⋯ σ n ) {\displaystyle x^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}} 은 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수일 수 없다. x σ = x σ {\displaystyle x^{\sigma }=x^{\sigma }} ( x σ = y σ ) ⟹ ( z ( σ ) ( x σ ) ⟹ z ( σ ) ( y σ ) ) {\displaystyle (x^{\sigma }=y^{\sigma })\implies (z^{(\sigma )}(x^{\sigma })\implies z^{(\sigma )}(y^{\sigma }))} (확장 공리) ∀ z 1 σ 1 ⋯ ∀ z n σ n ( x ( σ 1 ⋯ σ n ) ( z 1 σ 1 , … , z n σ n ) ⟺ y ( σ 1 ⋯ σ n ) ( z 1 σ 1 , … , z n σ n ) ) ⟹ ( x ( σ 1 ⋯ σ n ) = y ( σ 1 ⋯ σ n ) ) {\displaystyle \forall z_{1}^{\sigma _{1}}\cdots \forall z_{n}^{\sigma _{n}}(x^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}(z_{1}^{\sigma _{1}},\dots ,z_{n}^{\sigma _{n}})\iff y^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}(z_{1}^{\sigma _{1}},\dots ,z_{n}^{\sigma _{n}}))\implies (x^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})}=y^{(\sigma _{1}\cdots \sigma _{n})})} 물론 모든 공리는 d차 논리의 유효한 논리식이어야 한다. 예를 들어, 확장 공리는 3차 논리에서부터 사용된다. (다른 공리들은 2차 논리에도 존재한다.) 1차 논리 Andrews, Peter B. (2002). 《An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory》. Applied Logic Series (영어). Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-015-9934-4. ISBN 978-90-481-6079-2.