천-페이턴 인자

천-페이턴 인자(陳-Paton 因子, 영어: Chan–Paton factor)는 열린 끈의 끝에 붙어 있는 자유도이다. 겹친 D-막에 의하여 생긴 자유도로 해석할 수 있다. 끈 이론에서 게이지 대칭을 도입하는 한 방법이다. 가향 열린 끈의 경우 끈의 끝에 정수 { 1 , 2 , … , N } {\displaystyle \{1,2,\dots ,N\}} 값을 가질 수 있는 자유도가 있다고 하자. 그렇다면 이를 한쪽 끝에는 기본 표현 N, 다른 끝에는 반기본 표현 N이라고 생각할 수 있다. 이에 따라 총 N 2 {\displaystyle N^{2}} 개의 게이지 장 A i j {\displaystyle A_{ij}} 가 존재하게 되고, 이들은 유니터리 군 U( N {\displaystyle N} )을 이룬다. 비가향 열린 끈의 경우, 방향 역전(orientation reversal) 연산자에 대하여 대칭이거나 반대칭일 수 있다. 대칭일 경우엔 총 N ( N + 1 ) / 2 {\displaystyle N(N+1)/2} 가지가 가능하므로 ( N {\displaystyle N} 이 짝수일 경우) 심플렉틱 군 USp ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {USp} (N)} 을 이루며, 반대칭일 경우엔 총 N ( N − 1 ) / 2 {\displaystyle N(N-1)/2} 가지가 가능하므로 특수직교군 SO ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {SO} (N)} 을 이룬다. 비가향 게이지 군은 다음과 같이 유도할 수 있다. N {\displaystyle N} 개의 D-막이 겹쳐 있다고 하자. 비가향 열린 끈의 경우, 끈의 상태는 방향 역전 연산자 Ω {\displaystyle \Omega } 에 대하여 불변하여야 한다. 방향 역전 연산자는 진동 모드의 방향을 바꾸고, Ω : α n ↦ ( − 1 ) n α n {\displaystyle \Omega \colon \alpha _{n}\mapsto (-1)^{n}\alpha _{n}} 또한 천-페이턴 인자 λ i j {\displaystyle \lambda _{ij}} 를 다음과 같이 바꾼다. Ω : λ ↦ ( γ λ γ − 1 ) T {\displaystyle \Omega \colon \lambda \mapsto (\gamma \lambda \gamma ^{-1})^{T}} . 여기서 γ {\displaystyle \gamma } 는 임의의 행렬이다. Ω {\displaystyle \Omega } 는 천-페이턴 인자뿐만 아니라, 끈의 진동 모드의 방향을 바꾸지만, Ω 2 {\displaystyle \Omega ^{2}} 는 순수하게 천-페이턴 인자에만 작용한다. 비가향 열린 끈의 상태는 Ω {\displaystyle \Omega } 에 불변하여야 하는데, Ω {\displaystyle \Omega } 의 경우 λ {\displaystyle \lambda } 가 달라져도 진동 모드의 방향이 바뀌어 불변일 수 있지만, Ω 2 {\displaystyle \Omega ^{2}} 의 경우 λ {\displaystyle \lambda } 에만 작용하므로 Ω 2 ( λ ) = ( λ T ) − 1 γ λ γ − 1 λ T = λ {\displaystyle \Omega ^{2}(\lambda )=(\lambda ^{T})^{-1}\gamma \lambda \gamma ^{-1}\lambda ^{T}=\lambda } 이어야 한다. 즉, γ T = ± γ {\displaystyle \gamma ^{T}=\pm \gamma } 이어야 한다. 이에 따라, γ {\displaystyle \gamma } 는 대칭행렬이거나 반대칭행렬이다. γ {\displaystyle \gamma } 가 대칭행렬일 경우를 생각해 보자. 이 경우, 기저를 재정의하여 γ = 1 {\displaystyle \gamma =1} (단위행렬)로 놓을 수 있다. 이 경우, 천-페이턴 인자 λ {\displaystyle \lambda } 가 대칭이면 방향 역전에 따라 부호가 바뀌지 않고, 반대칭이면 방향 역전에 따라 부호가 바뀐다. 비가향 끈 이론에서 모든 상태는 방향 역전에 따라 바뀌지 않아야 하는데, 게이지 보손 상태 α 1 μ | 0 , λ ⟩ {\displaystyle \alpha _{1}^{\mu }|0,\lambda \rangle } 의 경우 진동 모드 α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} 에 의하여 부호가 바뀌므로 천-페이턴 인자 λ {\displaystyle \lambda } 가 N × N {\displaystyle N\times N} 반대칭 행렬이어야 한다. 반대칭 행렬은 직교군 S O ( N ) {\displaystyle SO(N)} 의 리 대수이므로, 이 경우 게이지 군은 S O ( N ) {\displaystyle SO(N)} 이다. γ {\displaystyle \gamma } 가 반대칭행렬일 경우를 생각해 보자. 이 경우, γ {\displaystyle \gamma } 는 가역 반대칭행렬이므로 N {\displaystyle N} 은 짝수다. 기저를 재정의하여 γ = ( 0 I N / 2 − I N / 2 0 ) {\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{N/2}\\-I_{N/2}&0\end{pmatrix}}} 으로 놓을 수 있다. 여기서 I N / 2 {\displaystyle I_{N/2}} 는 N / 2 × N / 2 {\displaystyle N/2\times N/2} 단위행렬이다. 이 경우, 천-페이턴 인자 λ {\displaystyle \lambda } 가 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix, γ λ {\displaystyle \gamma \lambda } 가 대칭행렬인 경우))이면 방향 역전 아래 부호가 바뀌고, 반해밀턴 행렬(anti-Hamiltonian matrix, γ λ {\displaystyle \gamma \lambda } 가 반대칭행렬인 경우)이면 부호가 바뀌지 않는다. 게이지 보손 상태의 경우 방향 역전 아래 진동 모드의 부호가 바뀌므로, 천-페이턴 인자의 부호도 바뀌어야 한다. 따라서 이 경우 게이지 보손의 천-페이턴 인자는 해밀턴 행렬이다. 해밀턴 행렬들은 심플렉틱 군의 리 대수를 이루므로, 이 경우 게이지 군은 USp ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {USp} (N)} 이다. 잭 페이턴(영어: Jack E. Paton)과 천홍모(중국어 정체자: 陳匡武, 간체자: 陈匡武, 병음: Chén Kuāngwŭ 천쾅우[*], 영어: Hong-Mo Chan)가 1969년에 도입하였다. 페이턴과 천은 원래 중간자를 설명하려고 천-페이턴 인자를 도입하였다. 중간자를 끝에 쿼크가 달려 있는 열린 끈으로 본다면 쿼크의 색을 나타내는 자유도가 필요했기 때문이다. Bianchi, Massimo (2004). 〈Chan–Paton Factor〉. 《Concise Encyclopedia of Supersymmetry and Noncommutative Structures in Mathematics and Physics》. Houten: Springer. 85쪽. doi:10.1007/1-4020-4522-0_90. ISBN 978-1-4020-1338-6.  Polchinski, pp. 189 Jack E. Paton, Chan Hong-Mo (1969). “Generalized Veneziano model with isospin”. 《Nuclear Physics B》 10 (3): 516–520. doi:10.1016/0550-3213(69)90038-8.  Johnson, Clifford V. (2003). 《D-Branes》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511606540. ISBN 0-521-80912-6.