사다리꼴 공식

수치 해석에서 사다리꼴 공식(-公式, 영어: trapezoidal rule)은 정적분을 근사하는 한 수치적분 방법이다. 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 사다리꼴들의 넓이의 합으로 근사한다. 사다리꼴 공식은 뉴턴-코츠 공식이라는 적분 근사법들의 족(族)의 특수한 경우이며, 매끄러운 함수의 경우 비슷한 계산 복잡도를 갖는 심프슨의 법칙보다 일반적으로 덜 정확하다. 반면, 주기 함수를 적분할 때 사다리꼴 공식은 특별히 더 정확한데, 이는 오일러-매클로린 합산식으로 설명이 가능하다. 반면, 비주기적이며, 매끄럽지 않을 수 있는 함수를 적분할 때에는 클렌쇼-커티스 구적법 또는 가우스 구적법 따위가 더 적합하다. 닫힌구간 [ t 0 , t N ] {\displaystyle [t_{0},t_{N}]} 위의 적분 가능 함수 f : [ t 0 , t N ] → R {\displaystyle f\colon [t_{0},t_{N}]\to \mathbb {R} } 및 수열 t 0 ≤ t 1 ≤ … ≤ t N − 1 ≤ t N {\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq \dotsc \leq t_{N-1}\leq t_{N}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분 F = ∫ t 0 t N f ( x ) d x {\displaystyle F=\int _{t_{0}}^{t_{N}}f(x)\,\mathrm {d} x} 의 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다. F ~ = ∑ i = 0 N − 1 ( t i + 1 − t i ) ( f ( t i + 1 ) + f ( t i ) ) 2 {\displaystyle {\tilde {F}}=\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {(t_{i+1}-t_{i})(f(t_{i+1})+f(t_{i}))}{2}}} 특히, N = 1 {\displaystyle N=1} 일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다. F ~ = ( t 1 − t 0 ) ( f ( t 1 ) + f ( t 0 ) ) 2 {\displaystyle {\tilde {F}}={\frac {(t_{1}-t_{0})(f(t_{1})+f(t_{0}))}{2}}} 사다리꼴 공식 근사의 오차 F ~ − F {\displaystyle {\tilde {F}}-F} 를 생각하자. 만약 f {\displaystyle f} 가 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 ξ ∈ [ t 0 , t N ] {\displaystyle \xi \in [t_{0},t_{N}]} 가 존재한다. F ~ − F = 1 12 f ″ ( ξ ) ∑ i = 0 N − 1 ( t i + 1 − t i ) 3 {\displaystyle {\tilde {F}}-F={\frac {1}{12}}f''(\xi )\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}} 증명: 다음과 같은 함수들을 정의하자. g i : [ 0 , t i + 1 − t i ] → R {\displaystyle g_{i}\colon [0,t_{i+1}-t_{i}]\to \mathbb {R} } g i ( s ) = 1 2 s ( f ( t i ) + f ( t i + s ) ) − ∫ t i t i + t f ( x ) d x {\displaystyle g_{i}(s)={\frac {1}{2}}s(f(t_{i})+f(t_{i}+s))-\int _{t_{i}}^{t_{i}+t}f(x)\,\mathrm {d} x} 즉, F ~ − F = ∑ i = 0 N − 1 g i ( t i + 1 − t i ) {\displaystyle {\tilde {F}}-F=\sum _{i=0}^{N-1}g_{i}(t_{i+1}-t_{i})} 이다. 그러면 g i ( 0 ) = g i ′ ( 0 ) = g i ″ ( 0 ) = 0 {\displaystyle g_{i}(0)=g_{i}'(0)=g_{i}''(0)=0} g i ′ ( s ) = 1 2 ( f ( t i ) − f ( t i + s ) ) + 1 2 s f ′ ( t i + s ) {\displaystyle g_{i}'(s)={\frac {1}{2}}\left(f(t_{i})-f(t_{i}+s)\right)+{\frac {1}{2}}sf'(t_{i}+s)} g i ″ ( s ) = 1 2 s f ″ ( t i + s ) {\displaystyle g_{i}''(s)={\frac {1}{2}}sf''(t_{i}+s)} 이다. 즉, K = min x ∈ [ t 0 , t N ] f ″ ( x ) {\displaystyle K=\min _{x\in [t_{0},t_{N}]}f''(x)} L = max x ∈ [ t 0 , t N ] f ″ ( x ) {\displaystyle L=\max _{x\in [t_{0},t_{N}]}f''(x)} 를 정의하면, 1 2 K s ≤ g i ″ ( s ) ≤ 1 2 L s {\displaystyle {\frac {1}{2}}Ks\leq g''_{i}(s)\leq {\frac {1}{2}}Ls} 이며, 이를 두 번 적분하면 1 12 K s 3 ≤ g i ( s ) ≤ 1 12 L s 3 {\displaystyle {\frac {1}{12}}Ks^{3}\leq g_{i}(s)\leq {\frac {1}{12}}Ls^{3}} 가 된다. 즉, K 12 ∑ i = 0 N − 1 ( t i + 1 − t i ) 3 ≤ F ~ − F ≤ L 12 ∑ i = 0 N − 1 ( t i + 1 − t i ) 3 {\displaystyle {\frac {K}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}\leq {\tilde {F}}-F\leq {\frac {L}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}} 이다. f ″ {\displaystyle f''} 가 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라 f ″ ( ξ ) = F ~ − F ∑ i = 0 N − 1 ( t i + 1 − t i ) 3 {\displaystyle f''(\xi )={\frac {{\tilde {F}}-F}{\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}}}} 인 ξ ∈ [ t 0 , t N ] {\displaystyle \xi \in [t_{0},t_{N}]} 가 존재한다. 특히, 만약 t i {\displaystyle t_{i}} 들이 산술 수열을 이룬다면, 1 12 ∑ i = 0 N − 1 ( t i + 1 − t i ) 3 = ( t N − t 0 ) 3 12 N − 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}={\frac {(t_{N}-t_{0})^{3}}{12}}N^{-2}} 가 된다. 즉, N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } 일 때, 오차는 N − 2 {\displaystyle N^{-2}} 의 속도로 0으로 수렴한다. 특히, 만약 f ″ {\displaystyle f''} 가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 F ~ {\displaystyle {\tilde {F}}} 는 F {\displaystyle F} 보다 더 작으며, 반대로 f ‴ {\displaystyle f'''} 가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 F ~ {\displaystyle {\tilde {F}}} 는 F {\displaystyle F} 보다 더 크다. 가우스 구적법 뉴턴-코츠 공식 롬베르크 적분 심프슨 공식 Atkinson, Kendall E. 《An introduction to numerical analysis》 (영어) 2판. ISBN 0-47162489-6. OCLC 17551990.  “Trapezium formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Trapezoidal rule”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.