토포스

범주론, 논리학과 대수기하학에서 토포스(영어: topos, 복수형 영어: topoi 토포이[*])는 어떤 공간 위의 층들의 범주와 유사한 성질을 갖는 범주이다. 토포스는 대수기하학에서는 위상 공간의 개념의 일반화로서 등장하며, 반면 논리학에서는 토포스는 집합의 범주의 일반화로서 등장한다. 이러한 다른 토포스에서도 집합의 범주와 유사한 내부 언어(영어: internal language)를 사용할 수 있다. 토포스(영어: (elementary) topos)는 다음 조건들을 만족시키는 범주이다. 유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다. 데카르트 닫힌 범주이다. 부분 대상 분류자 ( Ω , ⊤ ) {\displaystyle (\Omega ,\top )} 를 갖는다. 부분 분류 대상 분류자 대신, 멱대상(영어: power object)의 개념을 도입하여 둘째 및 셋째 조건을 "모든 대상은 멱대상을 갖는다"로 대체할 수 있다. 그로텐디크 토포스(영어: Grothendieck topos)는 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층들의 범주와 동치인 범주이다. 이는 지로 정리(영어: Giraud’s theorem)를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다. 모든 그로텐디크 토포스는 토포스임을 보일 수 있다. 구체적으로, 지로 정리에 의하면 다음 두 조건이 서로 동치이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 그로텐디크 토포스이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 다음 조건들을 만족시킨다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 유한 쌍대 완비 범주이다. 생성 집합을 갖는다. 쌍대 극한은 올곱과 가환한다. (쌍대곱의 서로소성) 쌍대곱 X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 에 대한 당김 X × X ⊔ Y Y {\displaystyle X\times _{X\sqcup Y}Y} 은 시작 대상 0 ∈ C {\displaystyle 0\in {\mathcal {C}}} 과 같다. 모든 동치 관계는 유효 동치 관계이다. 여기서 임의의 범주에서의 동치 관계는 다음 조건을 만족시키는 사상 r : R → X × X {\displaystyle r\colon R\to X\times X} 이다. 임의의 대상 Y {\displaystyle Y} 에 대하여, r {\displaystyle r} 로부터 유도되는 사상 모임 사이의 사상 r ∗ : hom ⁡ ( Y , R ) → hom ⁡ ( Y , X ) × hom ⁡ ( Y , X ) {\displaystyle r^{*}\colon \hom(Y,R)\to \hom(Y,X)\times \hom(Y,X)} 은 (모임 위의) 동치 관계를 이룬다. 동치 관계에 대하여, 두 사영 사상에 대한 쌍대동등자 X ↠ X / R {\displaystyle X\twoheadrightarrow X/R} 를 정의할 수 있다. 표준적 사상 R → X X / R X {\displaystyle R\to X_{X/R}X} 이 동형 사상이라면, r {\displaystyle r} 를 유효 동치 관계라고 한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 준토포스(準topos, 영어: quasitopos)라고 한다. 유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다. 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 강한 부분 대상 분류자 ( Ω , ⊤ : 1 → Ω ) {\displaystyle (\Omega ,\top \colon 1\to \Omega )} 가 존재한다. 모든 토포스는 준토포스이다. 준토포스는 토포스의 정의에서 부분 대상 분류자의 존재를 강한 부분 대상 분류자의 존재로 약화시킨 것이다. 위치 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 층 범주 Sh ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})} 가 토포스를 이루는 것처럼, 위치 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 분리 준층 범주 SepPSh ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {SepPSh} ({\mathcal {C}})} 는 준토포스를 이룬다. 보다 일반적으로, 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위에 두 개의 그로텐디크 위상 j {\displaystyle j} 및 k {\displaystyle k} 가 주어졌으며, j {\displaystyle j} 가 k {\displaystyle k} 보다 더 엉성할 때 ( j ⊆ k {\displaystyle j\subseteq k} ), j {\displaystyle j} -층인 k {\displaystyle k} -분리 준층들의 범주 Sh ⁡ ( C , j ) ∩ sepPSh ⁡ ( C , k ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}},j)\cap \operatorname {sepPSh} ({\mathcal {C}},k)} 는 준토포스를 이룬다. 이와 같이 나타낼 수 있는 준토포스를 그로텐디크 준토포스(영어: Grothendieck quasitopos)라고 한다. 그로텐디크 토포스에 대한 지로 정리와 마찬가지로, 그로텐디크 준토포스에 대해서도 지로 정리가 존재한다. 토포스를 위상 공간의 일반화로 생각하여, 위상 공간 위의 여러 개념들을 토포스에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다. 두 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} , Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} 사이의 기하학적 사상(영어: geometric morphism) f : X → Y {\displaystyle f\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}} 는 다음 조건을 만족시키는 수반 함자쌍 f ∗ ⊣ f ∗ {\displaystyle f^{*}\dashv f_{*}} f ∗ : X → Y {\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}} f ∗ : Y → X {\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {Y}}\to {\mathcal {X}}} 이다. f ∗ {\displaystyle f^{*}} 는 모든 유한 극한을 보존한다. 기하학적 사상 ( f ∗ , f ∗ ) {\displaystyle (f^{*},f_{*})} 에서, 만약 f ∗ {\displaystyle f^{*}} 가 추가로 왼쪽 수반 함자 f ! ⊣ f ∗ ⊣ f ∗ {\displaystyle f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}} 를 갖는다면, 이를 본질적 기하학적 사상(영어: essential geometric morphism)이라고 한다. 만약 Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (X)} 와 Sh ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (Y)} 가 위상 공간 위의 그로텐디크 토포스이며, 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다면, 층의 직상 f ∗ : Sh ⁡ ( X ) → Sh ⁡ ( Y ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)} 및 역상 f ∗ : Sh ⁡ ( Y ) → Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y)\to \operatorname {Sh} (X)} 은 기하학적 사상을 이룬다. 집합의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 는 한원소 공간 위의 그로텐디크 토포스 Sh ⁡ ( { ∙ } ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (\{\bullet \})} 이다. 즉, 이는 한원소 토포스로 생각할 수 있다. 토포스와 기하학적 사상의 범주에서, 이는 끝 대상을 이룬다. 그로텐디크 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에서 한원소 토포스 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는 유일한 기하학적 사상 ( f ! , f ∗ , f ∗ ) {\displaystyle (f_{!},f^{*},f_{*})} 은 다음과 같이 해석할 수 있다. 상수층 함자(영어: constant sheaf functor) f ∗ : Set → X {\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {X}}} 는 (만약 X = Sh ⁡ ( C ) {\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})} 라면) 집합 S {\displaystyle S} 를 상수층 S _ {\displaystyle {\underline {S}}} 으로 대응시킨다. 대역 단면 함자(영어: global section functor) f ∗ : X → Set {\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} } 는 대상 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 (층으로 생각하였을 때) 대역 단면 집합 hom C ⁡ ( 1 C , F ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(1_{\mathcal {C}},{\mathcal {F}})} 으로 대응시킨다. 여기서 1 C {\displaystyle 1_{\mathcal {C}}} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 끝 대상(="전체 집합")이다. 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 의 점(點, 영어: point)은 집합의 범주에서 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 로 가는 기하학적 사상 f : Set → X {\displaystyle f\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {X}}} 이다. 공집합이 아닌 위상 공간은 하나 이상의 점을 갖지만, 점을 갖지 않는 자명하지 않는 토포스가 존재한다.:412, §7.4 국소적으로 작은 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 속의 연결 대상(영어: connected object)은 사상 집합 함자 hom X ⁡ ( X , − ) : X → Set {\displaystyle \hom _{\mathcal {X}}(X,-)\colon {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} } 가 모든 유한 쌍대극한을 보존시키는 대상 X ∈ X {\displaystyle X\in {\mathcal {X}}} 이다. 그로텐디크 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 그로텐디크 토포스를 국소 연결 토포스(영어: locally connected topos)라고 한다. 임의의 대상 A ∈ X {\displaystyle A\in {\mathcal {X}}} 은 연결 대상들의 집합의 쌍대곱 ∐ i ∈ I A i {\displaystyle \textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}} 으로 나타낼 수 있다. 유일한 기하학적 사상 X → Set {\displaystyle {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} } 은 본질적 기하학적 사상이다. 국소 연결 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에서 한원소 토포스 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는 (유일한) 본질적 기하학적 사상 ( f ! , f ∗ , f ∗ ) {\displaystyle (f_{!},f^{*},f_{*})} 에서 f ! {\displaystyle f_{!}} 은 다음과 같이 해석할 수 있다. 연결 성분 함자(영어: connected component functor) f ! : X → Set {\displaystyle f_{!}\colon {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} } 는 대상 ∐ i ∈ I A i {\displaystyle \textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}} 을 그 연결 성분의 집합 I {\displaystyle I} 로 대응시킨다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 국소 연결 공간이다. Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (X)} 는 국소 연결 토포스이다. 연결 토포스(영어: connected topos) X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 는 그 상수층 함자 X → Set {\displaystyle {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} } 가 충실충만한 함자인 토포스이다. 국소 연결 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 연결 토포스이다. 연결 성분 함자 X → Set {\displaystyle {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} } 는 끝 대상을 보존한다. 즉, "공간 전체" 1 X {\displaystyle 1_{\mathcal {X}}} 는 하나의 연결 성분을 갖는다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 연결 공간이다. Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (X)} 는 연결 토포스이다. 그로텐디크 토포스에 대하여, 기본군의 개념을 정의할 수 있다.:§4, 123 이는 위상 공간의 기본군의 사유한 완비나, 스킴의 에탈 기본군을 일반화한다. 그로텐디크 토포스 Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})} 가 주어졌을 때, 그 속에 국소 상수층들의 부분 범주 S h l o c C o n s t ⁡ ( X ) ↪ Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh_{locConst}} ({\mathcal {X}})\hookrightarrow \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})} 를 정의할 수 있다. 그로텐디크 토포스 Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})} 의 밑점(영어: base point)은 특정한 조건들을 만족시키는, 유한 집합의 범주로 가는 함자 B : S h l o c C o n s t ⁡ ( X ) → S e t f i n {\displaystyle B\colon \operatorname {Sh_{locConst}} ({\mathcal {X}})\to \operatorname {Set_{fin}} } 이다. (구체적으로, 이는 "사표현 가능 함자"(영어: pro-representable functor)이어야 한다.) 그로텐디크 토포스 Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})} 의 밑점 B {\displaystyle B} 가 대상 P ∈ Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle P\in \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})} 으로 표현된다고 하자. 그렇다면 그로텐디크 토포스 Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})} 의, 밑점 B {\displaystyle B} 에서의 기본군 π 1 ( Sh ⁡ ( X ) , B ) {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}}),B)} 는 P {\displaystyle P} 의 자기 동형군 Aut Sh ⁡ ( X ) ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Aut} _{\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}(P)} 이다. 이는 항상 사유한군이며, 또한 범주의 동치 S h l o c C o n s t ⁡ ( X ) ≃ π 1 ( Sh ⁡ ( X ) , B ) -Set fin {\displaystyle \operatorname {Sh_{locConst}} ({\mathcal {X}})\simeq \pi _{1}(\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}}),B){\text{-Set}}_{\operatorname {fin} }} 가 존재한다. (우변은 사유한군 π 1 ( Sh ⁡ ( X ) , B ) {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}}),B)} 의 작용을 갖는 유한군들로 구성된 범주이다.) 두 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} , Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} 사이의 논리적 사상(영어: logical morphism) f : X → Y {\displaystyle f\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}} 는 유한 극한과 멱대상을 보존하는 함자이다. 임의의 고차 논리 (유형 이론) 명제를 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 속에서 해석할 수 있다. 이를 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 의 미첼-베나부 언어(영어: Mitchell–Bénabou language)라고 하며,:§VI.5 이 언어 가운데 참인 명제들의 집합을 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 의 내적 논리(영어: internal logic)이라고 한다. 이 경우, 직관 논리의 모든 공리들이 성립하지만, 고전적 논리는 성립하지 않는다. 또한, 선택 공리(=모든 전사 사상은 분할 전사 사상) 역시 성립하지 않을 수 있다. 고전적 집합론은 집합의 토포스 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 의 논리학이다. 일반적으로, 그로텐디크 토포스 Sh ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})} 의 내적 논리에서 정의한 어떤 구조 S {\displaystyle S} 는 (외적 논리에서) " S {\displaystyle S} 값의 층"에 대응한다. 예를 들어, Sh ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})} 속에서 정의한 국소환은 사실 국소환 달린 공간을 정의한다. 만약 S {\displaystyle S} 가 대수 구조 다양체를 이룬다면 이렇게 내적 논리를 사용하지 않아도 된다 (즉, S {\displaystyle S} 의 범주 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 가 주어졌을 때, S {\displaystyle S} 값의 층은 층 조건을 만족시키는 준층 C op → S {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {S}}} 와 같다). 그러나 S {\displaystyle S} 의 정의가 대수적이지 않을 때, " S {\displaystyle S} 값의 층"은 "층 조건을 만족시키는 준층 C op → S {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {S}}} "과 다르며, 전자가 옳은 정의이다 (즉, 수학적으로 더 유용하다). 예를 들어, 국소환의 경우, 극대 아이디얼이 유일하다는 조건은 존재 기호 또는 전칭 기호를 필요로 하므로, 국소환의 개념은 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에서, 각 대상 X ∈ X {\displaystyle X\in {\mathcal {X}}} 은 형(영어: type)을 정의한다. 명제의 형은 부분 대상 분류자 Ω {\displaystyle \Omega } 이다. 토포스 속의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 형 X {\displaystyle X} 를 형 Y {\displaystyle Y} 로 대응시키는 변환이다. 즉, 형 X {\displaystyle X} 의 매개변수를 갖는 형 Y {\displaystyle Y} 의 대상이다. 특히, 형 X {\displaystyle X} 의 매개변수 x {\displaystyle x} 를 갖는 명제 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 는 사상 X → Ω {\displaystyle X\to \Omega } 에 대응한다. 부분 대상 분류자의 성질에 의하여, 이는 X {\displaystyle X} 의 부분 대상 ϕ ∈ Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Sub} (X)} 에 대응한다. 명제의 형 Ω {\displaystyle \Omega } (또는 Ω X {\displaystyle \Omega ^{X}} )가 존재한다는 것은, 명제에 대하여 존재 기호 · 전칭 기호를 씌울 수 있음을 뜻한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 고차 논리를 이룬다. 토포스 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에서, 임의의 대상 X ∈ X {\displaystyle X\in {\mathcal {X}}} 의 부분 대상 부분 순서 집합 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 는 헤이팅 대수를 이룬다. (주어진 부분 순서 집합 위의 헤이팅 대수는 만약 존재한다면 유일하다. 부분 대상 분류자 Ω {\displaystyle \Omega } 의 존재에 의하여, 부분 대상 A ∈ Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle A\in \operatorname {Sub} (X)} 는 사상 A → Ω {\displaystyle A\to \Omega } 와 동치이다.) 토포스에서, 임의의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 이로부터 유도되는 증가 함수 f ∗ : Sub ⁡ ( Y ) → Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sub} (Y)\to \operatorname {Sub} (X)} 를 생각하자. 부분 순서 집합을 작은 범주로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 왼쪽 수반 함자 및 오른쪽 수반 함자를 갖는다. ∃ f ⊣ f ∗ ⊣ ∀ f {\displaystyle \exists _{f}\dashv f^{*}\dashv \forall _{f}} 이 경우, ∃ f {\displaystyle \exists _{f}} 는 존재 기호, ∀ f {\displaystyle \forall _{f}} 는 전칭 기호에 해당한다. A ⊂ X → { f ( x ) : ∀ x ∈ X : f ( x ) ∈ A Y } {\displaystyle A\subset X\to \{f(x)\colon \forall x\in X\colon f(x)\in A_{Y}\}} 대상 X {\displaystyle X} 속의 부분 대상 a , b ∈ Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle a,b\in \operatorname {Sub} (X)} a : A ↪ X {\displaystyle a\colon A\hookrightarrow X} b : B ↪ X {\displaystyle b\colon B\hookrightarrow X} 이 주어졌으며, 그 만남 a ∧ b : A ∧ X B ↪ X {\displaystyle a\land b\colon A\land _{X}B\hookrightarrow X} 이 주어졌을 때, 헤이팅 대수 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 에서의 헤이팅 함의 관계 a ⟹ b {\displaystyle a\implies b} 는 다음과 같이 정의된다. ( a ⟹ b ) = ∀ a ∧ b ⊤ Sub ⁡ ( A ∧ X B ) ∈ Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle (a\implies b)=\forall _{a\land b}\top _{\operatorname {Sub} (A\land _{X}B)}\in \operatorname {Sub} (X)} 여기서 ∀ a ∧ b : A ∧ X B → X {\displaystyle \forall _{a\land b}\colon A\land _{X}B\to X} 는 부분 대상 a ∧ b ∈ Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle a\land b\in \operatorname {Sub} (X)} 에 대응하는 단사 사상이며, ⊤ Sub ⁡ ( A ∧ X B ) ∈ Sub ⁡ ( A ∧ X B ) {\displaystyle \top _{\operatorname {Sub} (A\land _{X}B)}\in \operatorname {Sub} (A\land _{X}B)} 는 Sub ⁡ ( A ∧ X B ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (A\land _{X}B)} 의 최대 원소이다. 토포스 위의 미첼-베나부 언어에 대하여, 크립키-주아얄 의미론(영어: Kripke–Joyal semantics)이라는 의미론이 존재한다.:§VI.6 이는 솔 크립키와 앙드레 주아얄이 도입하였다. 토포스의 공리들로부터, 다음과 같은 추가 성질들을 유도할 수 있다. 유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다. 특히, 유한곱 A 1 × A 2 × ⋯ × A n {\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}} 및 끝 대상 1 {\displaystyle 1} 이 존재한다. 유한 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 쌍대 극한(colimit)이 존재한다. 특히, 유한 쌍대곱 A 1 ⊔ A 2 ⊔ ⋯ ⊔ A n {\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots \sqcup A_{n}} 및 시작 대상 0 {\displaystyle 0} 이 존재한다. 서로 비동형인 두 대상이 존재하는 토포스에서는 0과 1이 서로 동형이지 않다 (즉, 영 대상이 존재하지 않는다). 부분 대상 분류자 2 {\displaystyle 2} 가 존재한다. 임의의 두 대상 A , B {\displaystyle A,B} 에 대하여, 지수 대상 A B {\displaystyle A^{B}} (함수들의 집합과 유사한 역할을 하는 대상)이 존재한다. 특히, 멱대상 2 B {\displaystyle 2^{B}} 이 존재하며, 이에 대하여 모든 토포스는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 그로텐디크 토포스는 토포스이며, 또한 다음과 같은 추가 성질을 가진다. 그로텐디크 토포스는 항상 자연수 대상(영어: natural numbers object)을 가지며, 이는 자연수 집합을 값으로 하는 상수층 N _ {\displaystyle {\underline {\mathbb {N} }}} 이다. 토포스의 예는 다음을 들 수 있다. 집합의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 이는 한 점으로 구성되는 공간 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 유한 집합의 범주 FinSet {\displaystyle \operatorname {FinSet} } 이는 그로텐디크 토포스가 아니다. 군 G {\displaystyle G} 의 작용을 갖춘 집합 및 작용에 호환되는 함수들의 범주 G -Set {\displaystyle G{\text{-Set}}} 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여, 함자 범주 Set C {\displaystyle \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}} 작은 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주는 그로텐디크 토포스이며, 따라서 역시 토포스이다. 토포스 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 대상 X ∈ T {\displaystyle X\in {\mathcal {T}}} 에 대한 조각 범주 T / X {\displaystyle {\mathcal {T}}/X} 또한 토포스이다. 토포스의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 대수기하학과 층 이론의 관점에서 1960년대에 도입하였다. 그로텐디크가 창안한 단어 프랑스어: topos 토포스[*] (복수 프랑스어: topoï 토포이[*])는 고대 그리스어: τόπος 토포스[*](장소, 복수 고대 그리스어: τόποι 토포이[*])에서 유래하였다. 프랜시스 윌리엄 로비어와 마일스 티어니(영어: Myles Tierney)는 수리논리학에 토포스의 개념을 응용하였고, 그로텐디크 토포스의 개념을 (기초적) 토포스로 일반화하였다. 지로 정리는 장 지로(프랑스어: Jean Giraud)가 증명하였다. Garner, Richard; Lack, Stephen (2012년 4월 1일). “Grothendieck quasitoposes”. 《Journal of Algebra》 (영어) 355 (1): 111–127. arXiv:1106.5331. Bibcode:2011arXiv1106.5331G. doi:10.1016/j.jalgebra.2011.12.016.  Grothendieck, Alexander; Verdier, Jean-Louis. 〈Exposé Ⅳ. Topos〉. 《Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos》 (PDF). Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie (프랑스어) 4. doi:10.1007/BFb0081555. 2015년 6월 12일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 10일에 확인함.  Barr, Michael (1974년 12월). “Toposes without points”. 《Journal of Pure and Applied Algebra》 (영어) 5 (3): 265–280. doi:10.1016/0022-4049(74)90037-1. ISSN 0022-4049.  Grothendieck, Alexander (1971). 〈Exposé V. Le groupe fondamental: généralités〉. 《Revêtements étales et groupe fondamental》. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie (프랑스어) 1. arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058661.  Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). 《Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory》. Universitext (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0927-0. ISBN 978-0-387-97710-2. ISSN 0172-5939. MR 1300636. Zbl 0822.18001.  McLarty, Colin (1990년 9월). “The uses and abuses of the history of topos theory” (PDF). 《The British Journal for the Philosophy of Science》 (영어) 41 (3): 351–375. doi:10.1093/bjps/41.3.351. ISSN 0007-0882. JSTOR 687825. Zbl 0709.18002. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 10월 9일에 확인함.  Illusie, Luc (2004년 9월). “What is a ... topos?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어). Zbl 1071.18003.  Bell, John Lane (2005). 〈The development of categorical logic〉 (PDF). 《Handbook of Philosophical Logic, vol. 12》 (영어). Springer. 279쪽. ISBN 978-1-4020-3091-8.  Leinster, Tom (2010). “An informal introduction to topos theory” (영어). arXiv:1012.5647. Bibcode:2010arXiv1012.5647L.  McLarty, Colin (1992). 《Elementary categories, elementary toposes》. Oxford Logic Guides (영어) 21. Oxford University Press. ISBN 978-0-19851473-2. MR 1182992. Zbl 0762.18001.  Barr, Michael; Wells, Charles (2005). 《Toposes, triples and theories》. Reprints in Theory and Applications of Categories (영어) 12 2판. MR 2178101. Zbl 1081.18006.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Johnstone, Peter T. (1977). 《Topos theory》. London Mathematical Society Monographs (영어) 10. Academic Press. MR 0470019. Zbl 0368.18001.  Johnstone, Peter T. (2002). 《Sketches of an elephant: a topos theory compendium I》. Oxford Logic Guides (영어) 43. Oxford Science Publications. ISBN 0-19-853425-6. MR 1953060. Zbl 1071.18001. 2014년 10월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 10일에 확인함.  Johnstone, Peter T. (2002). 《Sketches of an elephant: a topos theory compendium II》. Oxford Logic Guides (영어) 44. Oxford Science Publications. ISBN 0-19-851598-7. MR 2063092. Zbl 1071.18002. 2014년 10월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 10일에 확인함.  “Topos”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Topos”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Baez, John (2006년 4월 12일). “Topos theory in a nutshell” (영어).  “Sheaf and topos theory”. 《nLab》 (영어).  “Topos”. 《nLab》 (영어).  “Grothendieck topos”. 《nLab》 (영어).  “Giraud's theorem”. 《nLab》 (영어).  “Category of toposes”. 《nLab》 (영어).  “Base topos”. 《nLab》 (영어).  “Indexed topos”. 《nLab》 (영어).  “Well-pointed topos”. 《nLab》 (영어).  “Locally connected topos”. 《nLab》 (영어).  “Connected topos”. 《nLab》 (영어).  “Geometric morphism”. 《nLab》 (영어).  “Essential geometric morphism”. 《nLab》 (영어).  “Etale geometric morphism”. 《nLab》 (영어).  Trimble, Todd (2000). “Three topos theorems in one”. 《nLab》 (영어).  “Mitchell-Bénabou language”. 《nLab》 (영어).  “Quasitopos”. 《nLab》 (영어).  “Pretopos”. 《nLab》 (영어).  Street, Ross (1978년 4월). “A survey of topos theory” (PDF) (영어).