쌍곡선 함수

수학에서 쌍곡선 함수(雙曲線函數, 영어: hyperbolic function)는 일반적인 삼각함수와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 매개변수로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준쌍곡선을 매개변수로 표시할 때 나온다. 삼각함수(원함수)의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 추론되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다. 쌍곡사인(hyperbolic sine) sinh ⁡ x = e x − e − x 2 = − i sin ⁡ i x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!} 쌍곡코사인(hyperbolic cosine) cosh ⁡ x = e x + e − x 2 = cos ⁡ i x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!} 쌍곡탄젠트(hyperbolic tangent) tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}} = e x − e − x 2 e x + e − x 2 = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 = − i tan ⁡ i x {\displaystyle ={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!} 쌍곡코시컨트(hyperbolic cosecant) csch ⁡ x = 1 sinh ⁡ x = 2 e x − e − x = i csc i x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!} 쌍곡시컨트(hyperbolic secant) sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = 2 e x + e − x = sec ⁡ i x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!} 쌍곡코탄젠트(hyperbolic cotangent) coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}} = e x + e − x 2 e x − e − x 2 = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 = i cot ⁡ i x {\displaystyle ={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!} 2차원 평면상에서 매개변수 t {\displaystyle t} 를 사용한 자취 ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) {\displaystyle (\cos t,\,\sin t)} 가 단위원 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 을 그리는 것처럼, ( cosh ⁡ t , sinh ⁡ t ) {\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)} 은 쌍곡선 x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 을 그린다. 이는 다음과 같은 간단한 관계를 통해 쉽게 알 수 있다. cosh 2 ⁡ t − sinh 2 ⁡ t = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,} 그러나 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 주기함수가 아니라는 차이가 있다. 매개변수 t {\displaystyle t} 가 단위원을 그리는 삼각함수의 경우에 각을 뜻하는 양인 것과는 달리 쌍곡선 함수의 경우에는 평면상의 면적에 대응하는 쌍곡각(雙曲角, hyperbolic angle)에 대응한다. 쌍곡각은 x {\displaystyle x} 축과 쌍곡선, 그리고 ( cosh ⁡ t , sinh ⁡ t ) {\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)} 위의 점과 원점을 지나는 직선이 이루어지는 면적을 두배한 양으로 정의된다. cosh x {\displaystyle \cosh \,x} 는 짝함수 즉 y {\displaystyle y} 축에 대해 대칭이며, cosh ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cosh 0\,=\,1} 이다. sinh y {\displaystyle \sinh \,y} 는 홀함수 즉 원점에 대해 대칭이며, sinh ⁡ 0 = 0 {\displaystyle \sinh 0\,=\,0} 이다. 쌍곡선 함수는 삼각함수 공식과 매우 유사한 항등식을 만족한다. 실제로 오스본 법칙에 따라 어떤 삼각함수 항등식이라도 쌍곡선 항등식으로 변환될 수 있다. 예를 들어 삼각함수의 덧셈정리와 반각공식은 다음과 같은 쌍곡선 함수의 덧셈 정리와 반각 공식으로 바뀐다. 덧셈 정리 sinh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,} cosh ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ x cosh ⁡ y + sinh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,} tanh ⁡ ( x + y ) = tanh ⁡ x + tanh ⁡ y 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ y {\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,} 반각 공식 cosh 2 ⁡ x 2 = cosh ⁡ x + 1 2 {\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}} sinh 2 ⁡ x 2 = cosh ⁡ x − 1 2 {\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}} 쌍곡선 함수의 역함수는 다음과 같다. arcsinh ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) arccosh ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 arctanh ⁡ ( x ) = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) ; | x | < 1 arccsch ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) ; x ≠ 0 arcsech ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 x + 1 − x 2 x ) ; 0 < x ≤ 1 arccoth ⁡ ( x ) = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 x − 1 ) ; | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arccosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {arctanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arccsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\\\operatorname {arcsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arccoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\end{aligned}}} d d x arcsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}} d d x arccosh x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x arctanh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arctanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} d d x arccsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}} d d x arcsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} d d x arccoth x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} ∫ d u a 2 + u 2 = a − 1 arcsinh ⁡ ( u a ) + C ∫ d u u 2 − a 2 = a − 1 arccosh ⁡ ( u a ) + C ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 arctanh ⁡ ( u a ) + C ; u 2 < a 2 ∫ d u u a 2 + u 2 = − a − 1 arccsch ⁡ | u a | + C ∫ d u u a 2 − u 2 = − a − 1 arcsech ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arcsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arccosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\operatorname {arctanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arccsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arcsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\end{aligned}}} C는 적분상수이다. 지수함수가 모든 복소수를 인자로 받을 수 있기 때문에, 지수함수의 사칙연산으로 정의된 쌍곡선 함수 또한 복소수까지 확장시킬 수 있다. 이때, sinh z와 cosh z는 복소평면 위 어떤 점에서도 해석적인 전해석 함수(entire function)이다. 삼각함수와의 관계는 복소수에 대한 오일러 공식으로 다음과 같이 주어진다. e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x} cosh ⁡ ( i x ) = e i x + e − i x 2 = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cosh(ix)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos(x)} sinh ⁡ ( i x ) = e i x − e − i x 2 = i sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sinh(ix)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin(x)} tanh ⁡ ( i x ) = i tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tanh(ix)=i\tan(x)\,} sinh ⁡ ( x ) = − i sin ⁡ ( i x ) {\displaystyle \sinh(x)=-i\sin(ix)\,} cosh ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( i x ) {\displaystyle \cosh(x)=\cos(ix)\,} tanh ⁡ ( x ) = − i tan ⁡ ( i x ) {\displaystyle \tanh(x)=-i\tan(ix)\,} arsinh ⁡ ( x ) = i arcsin ⁡ ( − i x ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=i\arcsin(-ix)} arcosh ⁡ ( x ) = i arccos ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=i\arccos(x)} artanh ⁡ ( x ) = i arctan ⁡ ( − i x ) {\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=i\arctan(-ix)} sinh ⁡ x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} cosh ⁡ x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} 이 테일러 급수는 sinh와 cosh의 미분을 이용해서 얻을 수도 있고, e x {\displaystyle e^{x}} 와 e − x {\displaystyle e^{-x}} 의 테일러 전개를 sinh와 cosh의 정의식에 대입해서 얻을 수도 있다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 쌍곡선 함수 현수선(懸垂線, catenary): cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh x} 는 일정한 중력장에서 양끝이 고정되어 있고 밀도가 일정한 줄이 아래로 늘어질 때 그리는 곡선이다. 삼각함수 쌍곡선