푸아송 분포

푸아송 분포(Poisson分布, 영어: Poisson distribution)는 확률론에서 단위 시간 안에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현하는 이산 확률 분포이다. 단위 시간 대신 다른 단위(가령, 공장의 생산량 묶음 단위인 로트(lot) 등)를 사용할 수 있다. 이때 일어날 확률은 일정하고, 매우 작아야 한다. 19세기에 시메옹 드니 푸아송이 1838년 저서 《민사 사건과 형사 사건 재판에서의 확률에 관한 연구 및 일반적인 확률 계산 법칙에 대한 서문》(프랑스어: Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés)에서 최초로 사용하였다. 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값을 λ {\displaystyle \lambda } 라고 했을 때, 그 사건이 k {\displaystyle k} 회 일어날 확률은 다음과 같다. f ( k ; λ ) = λ k e − λ k ! , {\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},\,\!} 여기서 e {\displaystyle e} 는 자연상수이다. 어떤 단위구간(예, 1일)동안 이를 더 짧은 작은 단위의 구간(예: 1시간)로 나눌 수 있고 이러한 더 짧은 단위구간 중에 어떤 사건이 발생할 확률은 전체 척도 중에서 항상 일정해야 한다. 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 가깝다. 어떤 단위구간의 사건의 발생은 다른 단위구간의 발생으로부터 독립적이다. 특정 구간에서의 사건 발생확률은 그 구간의 크기에 비례한다. 푸아송분포 확률 변수의 기댓값과 분산은 모두 λ이다. 다음과 같은 확률적인 문제를 알아내기 위해 쓰이고 있다. 주어진 일정 시간 동안에 도착한 고객의 수 1킬로미터 도로에 있는 흠집의 수 주어진 일정 생산시간 동안 발생하는 불량 수 하룻동안 발생하는 출생자 수 어떤 시간 동안 톨게이트를 통과하는 차량의 수 어떤 페이지 하나를 완성하는 데 발생하는 오타의 발생률 어떤 특정 량의 방사선을 DNA에 쬐였을 때 발생하는 돌연변이의 수 어떤 특정 면적의 다양한 종류의 나무가 섞여 자라는 삼림에서 소나무의 수 어떤 특정 진도 이상의 지진이 발생하는 수 1분마다 학생회관에 도착할 학생들의 수는 푸아송 분포를 따르지 않을 수도 있다. 왜냐하면, 그 비율이 일정하지 않기 때문이다. (수업 중에는 그 비율이 낮고, 쉬는 시간에는 그 비율이 높을 것이다.) 또, 각 학생들의 도착 사건이 독립적이지 않다. (학생들은 보통 그룹지어서 이동하는 경향이 있다) 매년 캘리포니아에서 진도 5의 지진 발생 수는 푸아송 분포를 따르지 않을 것이다. 왜냐하면 한 번의 지진이 그 다음 일어날 지진의 가능성에 영향을 끼치기 때문이다. 집중 치료 병동의 환자들 중, 그 병동에서 보낼 날의 수는 푸아송 분포를 따르지 않을 것이다. 왜냐하면, 병동에서 하루도 지내지 않는 경우는 없기 때문이다. 이러한 경우 zero-truncated poisson distribution을 통한 모델링이 가능하다. 한 번도 사건이 일어나지 않는 시간 간격의 수가 기본 푸아송 분포를 통해 예측된 것보다 더 많은 경우 (쉽게 생각하면 푸아송 분포에서 계산된 P(k=0)보다 더 높은 P(k=0)을 가지는 경우), zero-inflated 모델을 적용할 수 있다. 푸아송 분포는 시행 횟수가 무한히 많아지고, 예상 성공 횟수가 고정되어 있으므로 이항 분포의 한 사례라고 볼 수 있다. 따라서 n {\displaystyle n} 이 충분히 크고, p {\displaystyle p} 가 충분히 작으면 이항 분포의 정규 근사로 이끌어 낼 수 있다. 푸아송 분포는 n {\displaystyle n} 이 100 이상이고, n p {\displaystyle np} 가 10 이하인 경우 좋은 결과값을 얻을 수 있는 근사치라고 판단할 수 있다. F B {\displaystyle F_{B}} 와 F P {\displaystyle F_{P}} 를 각각 베르누이 분포와 푸아송 분포의 확률 질량 함수라고 하면, 다음과 같은 관계가 나타난다. F B ( k ; n , p ) ≈ F P ( k ; λ = n p ) {\displaystyle F_{B}(k;n,p)\approx F_{P}(k;\lambda =np)} 이 식을 도출해내는 데에는 확률 생성 함수(probability generating function)를 사용한다. 베르누이 시도에서 한번의 성공의 확률을 λ ≤ 1 {\displaystyle \lambda \leq 1} 이라고 가정하고 각 간격을 n {\displaystyle n} 으로 하여 이항 분포로 나타낼 수 있다. P k ( n ) = ( n k ) ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k {\displaystyle P_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}} 이 함수의 생성 함수는 다음과 같다. P ( n ) ( x ) = ∑ k = 0 n p k ( n ) x k = ∑ k = 0 n ( n k ) ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k x k = ∑ k = 0 n ( n k ) ( x λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k = ( 1 − λ n + λ n x ) n {\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left(x{\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}=(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x)^{n}} 여기에서 n {\displaystyle n} 을 ∞ {\displaystyle \infty } 로 보내고 곱셈의 극한 정의를 지수 함수로 바꾸면 푸아송 분포의 생성함수로 바뀌게 된다. lim n → ∞ P ( n ) ( x ) = lim n → ∞ ( 1 + λ ( x − 1 ) n ) n = e λ ( x − 1 ) = ∑ k = 0 ∞ e − λ λ k k ! x k {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}} 푸아송 분포를 따르고 서로 독립인 확률변수 X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} 에 대하여, 확률변수 Y = X 1 − X 2 {\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}} 는 skellam distribution을 따른다. 푸아송 분포를 따르고 서로 독립인 확률변수 X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} 에 대하여, X 1 + X 2 = k {\displaystyle X_{1}+X_{2}=k} 라는 조건이 주어진다면 X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} 는 종속적이게 되고, X 1 + X 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}} 의 조건부 분포 X 1 {\displaystyle X_{1}} 는 이항 분포를 따른다. X 1 | X 1 + X 2 = k ∼ B i n o m i a l ( k , λ 1 λ 1 + λ 2 ) {\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim Binomial\left(k,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\right)} 두 푸아송 분포의 합이 주어졌을 때 각 변수의 확률을 이항 분포로 모델링 할 수 있다는 것이고, 달리 말하면 두 독립적인 푸아송 분포의 조건부 분포는 이항 분포로 나타낼 수 있다. 일반화하여, X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} 이 매개변수 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}} 를 갖는 서로 독립인 푸아송 확률 변수라면 다음과 같이 이항 분포로 나타낼 수 있다. X i | ∑ j = i n X j = k ∼ B i n o m ( k , λ i ∑ j = 1 n λ j ) {\displaystyle X_{i}|\sum _{j=i}^{n}X_{j}=k\sim Binom\left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right)} 더하여, 여러 개의 푸아송 분포를 따르는 변수들이 주어지면, 각 푸아송 변수가 특정 비율로 성공할 확률을 다항 분포(Multinomial distribution)로 나타낼 수 있다. 즉, 여러 개의 서로 독립인 푸아송 변수가 있으면, 그 조건부분포는 다항 분포로 표현될 수 있다. X i ∼ M u l t i n o m ( k , λ i ∑ j = 1 n λ j ) {\displaystyle X_{i}\sim Multinom\left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right)} X ∼ P o i s ( λ ) {\displaystyle X\sim Pois(\lambda )} 이고, X = k {\displaystyle X=k} 일 때, Y {\displaystyle Y} 의 조건부 분포가 Y | ( X = k ) ∼ B ( k , p ) {\displaystyle Y|(X=k)\sim B(k,p)} 이면, Y {\displaystyle Y} 의 분포는 푸아송 분포 Y ∼ P o i s ( λ p ) {\displaystyle Y\sim Pois(\lambda p)} 를 따른다. 또한, X = k {\displaystyle X=k} 일때, Y i {\displaystyle Y_{i}} 가 다항 분포를 따르면, { Y i } | ( X = k ) ∼ M u l t i n o m ( k , p ) {\displaystyle \left\{Y_{i}\right\}|(X=k)\sim Multinom(k,p)} 이며, 각 Y i {\displaystyle Y_{i}} 는 서로 독립적인 푸아송 분포 Y i ∼ P o i s ( λ p i ) {\displaystyle Y_{i}\sim Pois(\lambda p_{i})} 를 따른다. 이때 상관계수 ρ ( Y i , Y j ) = 0 {\displaystyle \rho (Y_{i},Y_{j})=0} 이다. 즉 두 변수는 선형적 상관관계가 없고, 독립적이다. 제곱근 변환: X {\displaystyle X} ~ P o i s ( λ ) {\displaystyle Pois(\lambda )} 인 경우 Y = 2 X ≈ N ( 2 λ , 1 ) {\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx N(2{\sqrt {\lambda }},1)} 그리고 Y = X ≈ N ( X ; 1 / 4 ) {\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx N({\sqrt {X}};1/4)} 이 변환을 거친후에는 변환되지 않은 변수보다 정상성에 대한 수렴이 휠씬 빠르다. 다소 복잡하지만 다른 분산 안정화 변환도 사용 가능한데, 그 중 하나가 앤스컴 변환(Anscombe transform)이다. t>0인 모든 t에 대해 시간 간격 [0,t] 내의 도착 횟수가 평균 λ t {\displaystyle \lambda t} 인 푸아송 분포를 따르면, 도착간 시간 간격의 차례는 평균 1 / λ {\displaystyle 1/\lambda } 인 독립적이고 동일한 지수 분포를 따른다. 푸아송 분포와 카이제곱 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같은 관계식이 나타난다. F p o i s s o n ( k ; λ ) = 1 − F x 2 ( 2 λ ; 2 ( k + 1 ) ) k | k ∈ N {\displaystyle F_{poisson}(k;\lambda )=1-F_{x^{2}}(2\lambda ;2(k+1)){k|k\in N}} P ( X = k ) = F x 2 ( 2 λ ; 2 ( k + 1 ) ) − F x 2 ( 2 λ ; 2 k ) {\displaystyle P(X=k)=F_{x^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{x^{2}}(2\lambda ;2k)} 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 푸아송 분포 이산 확률 분포 이항 분포 베르누이 분포 Poisson, S.D. (1837). 《Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés》 (프랑스어). Paris, France: Bachelier.  Prokhorov, A.V. (2001). “Poisson distribution”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Poisson distribution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.