판별식

수학에서 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 계수의 0이 아닌 다항식 p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) ∈ K [ x ] {\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})\in K[x]} a 0 , a 1 , a 2 , … , a n ∈ K {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in K} a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} x 1 , x 2 , … , x n ∈ K {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in K} 의 판별식은 다음과 같다.:204 Disc ⁡ ( p ) = a n 2 n − 2 ∏ i < j ( x i − x j ) 2 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n 2 n − 2 ∏ i ≠ j ( x i − x j ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n − 1 res ⁡ ( p , p ′ ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n − 1 | a n a n − 1 ⋯ a 1 a 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ a 1 a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ a 1 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ a 1 | {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (p)&=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}\operatorname {res} (p,p')\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} 여기서 ( − ) ′ {\displaystyle (-)'} 는 형식적 미분이다. res {\displaystyle \operatorname {res} } 는 종결식이다. | − | {\displaystyle \left|-\right|} 는 행렬식이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 및 0이 아닌 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. p {\displaystyle p} 는 중복근을 갖는다. Disc ⁡ ( p ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Disc} (p)=0} 복소수 계수 2차 다항식 p ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c} 의 판별식은 다음과 같다. Disc ⁡ ( p ) = b 2 − 4 a c {\displaystyle \operatorname {Disc} (p)=b^{2}-4ac} 만약 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 가 모두 실수일 경우 판별식은 실수가 되는데, 만약 양의 실수라면 두 서로 다른 실근을 가지며, 음의 실수라면 두 서로 다른 허근을 가진다. 만약 0이라면 2중 실근을 갖는다. 복소수 계수 3차 다항식 p ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} 의 판별식은 다음과 같다. Disc ⁡ ( p ) = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle \operatorname {Disc} (p)=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd} 특히, 다항식 x 3 + α x + β {\displaystyle x^{3}+\alpha x+\beta } 의 판별식은 − 4 α 3 − 27 β 2 {\displaystyle -4\alpha ^{3}-27\beta ^{2}} 이다. 복소수 계수 4차 다항식 p ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle p(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e} 의 판별식은 Disc ⁡ ( p ) = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (p)&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\&\qquad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\&\qquad \qquad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}\\&\qquad \qquad \qquad +18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}} 이다. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial discriminant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.