코쥘 복합체

가환대수학에서 코쥘 복합체(Koszul複合體, 영어: Koszul complex)는 가환환의 가군 및 가군의 특별한 원소로부터 정의되는 미분 등급 대수이다. 이를 통하여 가군의 코쥘 코호몰로지(영어: Koszul cohomology)를 정의할 수 있다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. (단위원을 갖는) 가환환 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} R {\displaystyle R} -가군 준동형 ϕ : M → R {\displaystyle \phi \colon M\to R} 그렇다면 외대수 K ∙ = ⋀ ∙ M {\displaystyle K_{\bullet }=\bigwedge ^{\bullet }M} 은 쐐기곱을 통해 결합 등급 가환 R {\displaystyle R} -대수가 된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 정의하자. ∂ i : K i → K i − 1 {\displaystyle \partial _{i}\colon K_{i}\to K_{i-1}} ∂ i : e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ↦ ∑ i = 1 n ( − 1 ) i + 1 ϕ ( e i ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ i ∧ ⋯ e n {\displaystyle \partial _{i}\colon e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}\mapsto \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\phi (e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {e}}_{i}\wedge \cdots e_{n}} 여기서 ⋯ ∧ e ^ i ∧ ⋯ {\displaystyle \cdots \wedge {\hat {e}}_{i}\wedge \cdots } 는 쐐기곱에서 e i {\displaystyle e_{i}} 만을 제외한다는 뜻이다. ∂ i ∘ ∂ i + 1 = 0 {\displaystyle \partial _{i}\circ \partial _{i+1}=0} 이므로, ( K ∙ ( R , M , ϕ ) , ∂ ) {\displaystyle (K_{\bullet }(R,M,\phi ),\partial )} 은 사슬 복합체이자 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 코쥘 복합체라고 한다. R {\displaystyle R} -가군 M {\displaystyle M} 및 사상 ϕ : M → R {\displaystyle \phi \colon M\to R} 이 주어졌을 때, M {\displaystyle M} 의 코쥘 호몰로지는 그 코쥘 복합체의 호몰로지다. H i ( M , ϕ ) = ker ⁡ ∂ i im ⁡ ∂ i − 1 {\displaystyle H_{i}(M,\phi )={\frac {\ker \partial _{i}}{\operatorname {im} \partial _{i-1}}}} 마찬가지로, M {\displaystyle M} 의 코쥘 코호몰로지는 그 쌍대 복합체 K i = hom R -Mod ⁡ ( K i , R ) {\displaystyle K^{i}=\hom _{R{\text{-Mod}}}(K_{i},R)} 의 코호몰로지다. M = R {\displaystyle M=R} 이며 ϕ : r ↦ x r {\displaystyle \phi \colon r\mapsto xr} 이라고 하자 ( x ∈ R {\displaystyle x\in R} ). 그렇다면, 코쥘 복합체는 0 → R → x R → 0 {\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {x}}R\to 0} 이 된다. 즉, 이는 길이가 2인 사슬 복합체이며, 그 호몰로지는 H 0 = R / ( x ) {\displaystyle \operatorname {H} _{0}=R/(x)} H 1 = Ann R ⁡ ( x ) = { r ∈ R : r x = 0 } {\displaystyle \operatorname {H} _{1}=\operatorname {Ann} _{R}(x)=\{r\in R\colon rx=0\}} 이다 ( Ann {\displaystyle \operatorname {Ann} } 은 소멸자). 마찬가지로, M {\displaystyle M} 이 자유 가군 M = R n {\displaystyle M=R^{n}} 이며 ϕ : ( r 1 , … , r n ) ↦ x 1 r 1 + ⋯ + x n r n {\displaystyle \phi \colon (r_{1},\dots ,r_{n})\mapsto x_{1}r_{1}+\cdots +x_{n}r_{n}} 이라고 하자 ( x ∈ R n {\displaystyle x\in R^{n}} ). 그렇다면, 코쥘 복합체는 K i = ⋀ i R n ≅ R ( n i ) {\displaystyle K_{i}=\bigwedge ^{i}R^{n}\cong R^{\binom {n}{i}}} 가 되며, 복합체의 길이는 n + 1 {\displaystyle n+1} 이 된다. 대수다양체나 스킴 위의 연접층의 층 코호몰로지는 코쥘 코호몰로지의 귀납적 극한으로 계산할 수 있다. 장루이 코쥘이 1950년에 리 대수 코호몰로지를 정의하기 위해 도입하였다. Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.  Aprodu, Marian; Jan Nagel (2010). 《Koszul cohomology and algebraic geometry》. University Lecture Series (영어) 52. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4964-4. MR 2573635. Zbl 1189.14001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Green, Mark L. (1989). 〈Koszul cohomology and geometry〉. Maurizio Cornalba, X. Gómez-Mont, A. Verjovsky. 《Lectures on Riemann Surfaces: Proceedings of the College on Riemann Surfaces, International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy, 9 Nov.–18 Dec, 1987》 (영어). World Scientific. 177–200쪽. ISBN 9789971509026. MR 1082354. Zbl 0800.14004.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) Aprodu, Marian; Gavril Farkas (2011). 〈Koszul cohomology and applications to moduli〉. David A. Ellwood, Emma Previato. 《Grassmannians, moduli spaces and vector bundles》. Clay Mathematics Proceedings 14 (영어). American Mathematical Society, Clay Mathematical Institute. 25–50쪽. arXiv:0811.3117. ISBN 978-0-8218-5205-7. Zbl 1248.14039. 2014년 11월 27일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 11월 13일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Koszul, Jean-Louis (1950). “Homologie et cohomologie des algèbres de Lie”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 78: 65–127. ISSN 0037-9484. MR 36511. Zbl 0039.02901.  “Koszul complex”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Koszul complex”. 《nLab》 (영어).  Mathew, Akhil (2010년 11월 7일). “The Koszul complex I”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  Mathew, Akhil (2010년 11월 14일). “The Koszul complex II”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  Mathew, Akhil (2010년 11월 14일). “Koszul cohomology and Cech cohomology II”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  “History of Koszul complex”. 《Math Overflow》 (영어).  “Urge/reason for inventing interior product (Grassmann algebra)” (영어). Math Overflow.