국소 콤팩트 공간

일반위상수학에서 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 영어: locally compact space)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다. 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, X {\displaystyle X} 를 국소 콤팩트 공간이라고 한다.:182, §29 X {\displaystyle X} 의 모든 점은 항상 콤팩트 근방을 갖는다. 하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. (1) 국소 콤팩트 공간이다. (2) X {\displaystyle X} 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 근방을 갖는다. (2’) X {\displaystyle X} 의 모든 점은 상대 콤팩트 근방을 갖는다. (2’’) X {\displaystyle X} 의 모든 점은 상대 콤팩트 국소 기저를 갖는다. (3) X {\displaystyle X} 의 모든 점은 콤팩트 국소 기저를 갖는다. (4) X {\displaystyle X} 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 국소 기저를 갖는다. (5) X {\displaystyle X} 는 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린집합과 위상동형이다.:185, Corollary 29.4 (5’) X {\displaystyle X} 의 알렉산드로프 콤팩트화가 하우스도르프 공간이다.:183 그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다. 마지막 두 조건은 스스로 하우스도르프 조건을 함의하며, 조건 (4)는 (완비) 정칙 조건을 함의한다. 위 조건들의 일반적인 함의 관계는 다음과 같다. 콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.:182 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다. 증명 (국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간): X {\displaystyle X} 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} 가 닫힌집합이며, x ∈ X ∖ F {\displaystyle x\in X\setminus F} 라고 하자. x {\displaystyle x} 의 상대 콤팩트 근방 U {\displaystyle U} 를 고르자. 그렇다면 cl ⁡ U {\displaystyle \operatorname {cl} U} 는 콤팩트 집합이므로, 티호노프 공간이다. 따라서 x {\displaystyle x} 와 F 0 = ( cl ⁡ U ∖ U ) ∪ ( cl ⁡ U ∩ F ) {\displaystyle F_{0}=(\operatorname {cl} U\setminus U)\cup (\operatorname {cl} U\cap F)} 를 분리하는 연속 함수 f 0 : cl ⁡ U → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{0}\colon \operatorname {cl} U\to [0,1]} f 0 ( x ) = 0 {\displaystyle f_{0}(x)=0} f 0 | F 0 = 1 {\displaystyle f_{0}|_{F_{0}}=1} 가 존재한다. cl ⁡ U {\displaystyle \operatorname {cl} U} 와 X ∖ U {\displaystyle X\setminus U} 가 X {\displaystyle X} 의 유한 닫힌 덮개를 이루며, 그 교집합은 F 0 {\displaystyle F_{0}} 에 포함되므로, 함수 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} f | cl ⁡ U = f 0 {\displaystyle f|_{\operatorname {cl} U}=f_{0}} f | X ∖ U = 1 {\displaystyle f|_{X\setminus U}=1} 는 잘 정의되며, 연속 함수이다. 또한 f {\displaystyle f} 는 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} f | F = 1 {\displaystyle f|_{F}=1} 을 만족한다. 국소 콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 와 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 존재한다면, Y {\displaystyle Y} 역시 국소 콤팩트 공간이다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합과 열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.:185, Corollary 29.3 반대로, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 조밀 집합은 열린집합이다.:149, Theorem 3.3.9:392 즉, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 집합은 항상 열린집합과 닫힌집합의 교집합이다. 증명: 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 의 부분집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 가 국소 콤팩트 집합이자 조밀 집합이라고 하자. 임의의 x ∈ D {\displaystyle x\in D} 에 대하여, x ∈ U ⊆ D {\displaystyle x\in U\subseteq D} 인 X {\displaystyle X} 의 열린집합 U {\displaystyle U} 를 찾으면 족하다. x ∈ D ∩ U ⊆ K ⊆ D {\displaystyle x\in D\cap U\subseteq K\subseteq D} 인 X {\displaystyle X} 의 열린집합 U {\displaystyle U} 및 콤팩트 집합 K {\displaystyle K} 를 고르자. cl ⁡ D = X {\displaystyle \operatorname {cl} D=X} 이며, K {\displaystyle K} 가 X {\displaystyle X} 의 닫힌집합이므로, x ∈ U = U ∩ X = U ∩ cl ⁡ D ⊆ cl ⁡ ( U ∩ D ) ⊆ cl ⁡ K = K ⊆ D {\displaystyle x\in U=U\cap X=U\cap \operatorname {cl} D\subseteq \operatorname {cl} (U\cap D)\subseteq \operatorname {cl} K=K\subseteq D} 이다. 위상 공간들의 집합 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 곱공간 ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}X_{i}} 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 X i {\displaystyle X_{i}} 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 유한 개를 제외하면 콤팩트 공간이다. G {\displaystyle G} 가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 G / H {\displaystyle G/H} 는 국소 콤팩트 공간이다.:186, Exercise 29.9 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 하우스도르프 K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:16–18, Theorems 1.21–23 국소 콤팩트 공간이다. 국소 유계 공간이며, 모든 유계 닫힌집합은 콤팩트 집합이다. 유한 차원 공간이다. 즉, 벡터 공간 K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )과 동형이다. 위상 벡터 공간 K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )과 동형이다. (유한 차원) 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 R ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph _{0}}} 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.:182–183, Example 29.2 p진수선 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다. 유리수 공간 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.:186, Exercise 3.1 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.  Gompa, Raghu R. (1992). “What is "locally compact"?”. 《Pi Mu Epsilon Journal》 (영어) 9 (6): 390–392. ISSN 0031-952X. JSTOR 24340250.  Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.  “Locally compact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally compact”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Locally compact topological space”. 《nLab》 (영어).  “Locally compact locale”. 《nLab》 (영어).