열핵

해석학에서 열핵(熱核, 영어: heat kernel)은 열 방정식의 그린 함수이다. 해석학에서 함수를 매끄럽게 만들기 위해 쓰인다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 위의 라플라스형 연산자는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의, E {\displaystyle E} 위의 2차 미분 연산자이다.:65, Definition 2.2 H : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) {\displaystyle H\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)} H = g i j ( x ) ∂ i ∂ j + A i ( x ) ∂ i + B ( x ) ( A i ∈ Γ ∞ ( E ⊗ T M ) , B ∈ Γ ∞ ( E ) ) {\displaystyle H=g^{ij}(x)\partial _{i}\partial _{j}+A^{i}(x)\partial _{i}+B(x)\qquad (A^{i}\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} M),\;B\in \Gamma ^{\infty }(E))} 여기서 Γ ∞ {\displaystyle \Gamma ^{\infty }} 는 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 Γ 0 {\displaystyle \Gamma ^{0}} 로 표기하자. 다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량 g {\displaystyle g} 와 코쥘 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 및 매끄러운 단면 T ∈ Γ ∞ ( E ⊗ E ∗ ) {\displaystyle T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})} 에 대하여 H s = g i j ∇ i ∇ j s + T s {\displaystyle Hs=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}s+Ts} 의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다. 이제, | Λ ( M ) | 1 / 2 {\displaystyle |\Lambda (M)|^{1/2}} 가 M {\displaystyle M} 위의, 무게 n / 2 {\displaystyle n/2} 의 밀도 다발이라고 하자. (이는 M {\displaystyle M} 의 방향과 관계없이 정의된다.) 그렇다면, R + × M × M {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times M\times M} 위에 다음과 같은, ( dim ⁡ E ) 2 {\displaystyle (\dim E)^{2}} 차원 벡터 다발을 생각하자. F = ( E ⊗ R | Λ ( M ) | 1 / 2 ) ⊠ ( E ∗ ⊗ R | Λ ( M ) | 1 / 2 ) {\displaystyle F=(E\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})\boxtimes (E^{*}\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})} M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간일 경우, H {\displaystyle H} 의 열핵 K ( t , x , y ) ∈ Γ 0 ( F ) {\displaystyle K(t,x,y)\in \Gamma ^{0}(F)} 은 다음 조건들을 만족시키는, F {\displaystyle F} 의 (연속) 단면이다. t {\displaystyle t} 에 대하여 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 함수이다. 즉, ∂ K ( t , x , y ) / ∂ t {\displaystyle \partial K(t,x,y)/\partial t} 가 존재하며, 연속 함수 R + × M × M → F {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times M\times M\to F} 를 이룬다. x {\displaystyle x} 에 대하여 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} 함수이다. 즉, ∂ 2 K ( t , x , y ) / ∂ x i ∂ x j {\displaystyle \partial ^{2}K(t,x,y)/\partial x^{i}\partial x^{j}} 가 연속적으로 존재한다. 열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다. ( ∂ ∂ t − H ) K ( t , x , y ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(t,x,y)=0} (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 s ∈ Γ ∞ ( E ⊗ R | Λ ( M ) | 1 / 2 ) {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }({\mathcal {E}}\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})} 에 대하여, lim t → 0 ∫ K ( t , x , y ) s ( y ) d y = s ( x ) {\displaystyle \lim _{t\to 0}\int K(t,x,y)s(y)\,\mathrm {d} y=s(x)} 여기서 극한은 M {\displaystyle M} 위의 균등 노름에 대한 것이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체라고 하고, E {\displaystyle E} 가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한, 마찬가지로 E {\displaystyle E} 위의 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자. 이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 n {\displaystyle n} 이라고 하자. 그렇다면, 단면 s ∈ Γ ∞ ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)} 위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다. s ↾ ∂ M = s 0 {\displaystyle s\upharpoonright \partial M=s_{0}} 또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다. ( ∇ X s ) ↾ ∂ M + A ( s ↾ ∂ M ) = s 0 {\displaystyle (\nabla _{X}s)\upharpoonright \partial M+A(s\upharpoonright \partial M)=s_{0}} 여기서 A ∈ Γ ∞ ( ∂ M , End ⁡ E ) {\displaystyle A\in \Gamma ^{\infty }(\partial M,\operatorname {End} E)} 이다. 이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다. 만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다. 콤팩트 리만 다양체 M {\displaystyle M} 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자. H f = Δ f + ∇ X f + C {\displaystyle Hf=\Delta f+\nabla _{X}f+C} 여기서 X ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 는 M {\displaystyle M} 위의 임의의 벡터장이며, C ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 는 임의의 스칼라장이다. 이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다. ∂ ∂ t ∫ M K ( t , x , y ) d x = ∫ M H K ( t , x , y ) d x = ∫ M ( Δ + ∇ X + C ) K ( t , x , y ) d x = C ( y ) ∫ M K ( t , x , y ) d x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{M}HK(t,x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{M}(\Delta +\nabla _{X}+C)K(t,x,y)\,\mathrm {d} x=C(y)\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x} 즉, F ( t , y ) = ∫ M K ( t , x , y ) d x {\displaystyle F(t,y)=\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x} 로 놓으면 다음이 성립한다. F ( t 0 + s , y ) = exp ⁡ ( C ( y ) s ) F ( t 0 , y ) {\displaystyle F(t_{0}+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_{0},y)} 특히, 만약 C = 0 {\displaystyle C=0} 이라고 하면, F ( t , y ) {\displaystyle F(t,y)} 는 t {\displaystyle t} 에 의존하지 않으며, 이 경우 t → 0 {\displaystyle t\to 0} 에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수 F ( t , y ) = 1 {\displaystyle F(t,y)=1} 가 된다. 콤팩트 리만 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 위의 라플라스형 연산자 H {\displaystyle H} 의 열핵 K ( t , x , y ) {\displaystyle K(t,x,y)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. K ( t + t ′ , x , y ) = ∫ M K ( t , x , z ) K ( t ′ , z , y ) d z {\displaystyle K(t+t',x,y)=\int _{M}K(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm {d} z} 즉, 이는 반군 준동형 K : ( R + , + ) → ( E ⊗ | Λ M | 1 / 2 ) ⊠ ( E ∗ ⊗ | Λ M | 1 / 2 ) {\displaystyle K\colon (\mathbb {R} ^{+},+)\to (E\otimes |\Lambda M|^{1/2})\boxtimes (E^{*}\otimes |\Lambda M|^{1/2})} K : t ↦ K ( t , − , − ) {\displaystyle K\colon t\mapsto K(t,-,-)} 을 정의한다. (여기서 ( R + , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},+)} 는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.) 이를 열핵의 반군 성질(半群性質, 영어: semigroup property)이라고 한다. 이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, E = M × R {\displaystyle E=M\times \mathbb {R} } 가 자명한 선다발이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 t 0 ∈ R + {\displaystyle t_{0}\in \mathbb {R} ^{+}} 에서, 콤팩트 공간 M × M {\displaystyle M\times M} 위의 실수 값 연속 함수 K ( t 0 , − , − ) {\displaystyle K(t_{0},-,-)} 는 최댓값 max ( x , y ) ∈ M 2 K ( t 0 , x , x ) = C t 0 {\displaystyle \max _{(x,y)\in M^{2}}K(t_{0},x,x)=C_{t_{0}}} 을 갖는다. 그렇다면, t 0 {\displaystyle t_{0}} 초과의 임의의 시각 t ∈ R + {\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}} , t > t 0 {\displaystyle t>t_{0}} 에서, K ( t , x , y ) = ∫ M K ( t 0 , x , z ) K ( t − t 0 , z , y ) d z ≤ C t 0 ∫ M K ( t − t 0 , z , y ) d z = C t 0 {\displaystyle K(t,x,y)=\int _{M}K(t_{0},x,z)K(t-t_{0},z,y)\,\mathrm {d} z\leq C_{t_{0}}\int _{M}K(t-t_{0},z,y)\,\mathrm {d} z=C_{t_{0}}} 이다. 따라서, 함수 C : R + → R + {\displaystyle C\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}} C : t ↦ max ( x , y ) ∈ M 2 K ( t , x , y ) {\displaystyle C\colon t\mapsto \max _{(x,y)\in M^{2}}K(t,x,y)} 는 항상 감소 함수이다. 콤팩트 n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} 위의 라플라스형 연산자 H {\displaystyle H} 가 주어졌을 때, 그 열핵 K H {\displaystyle K_{H}} 는 다음과 같은 꼴로 전개된다.:81–82, §2.5:(1.13) K H ( t , x , y ) = 1 ( 4 π t ) n / 2 exp ⁡ ( − d ( x , y ) / 4 t ) ∑ i = 0 ∞ t i f i ( x , y ) {\displaystyle K_{H}(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\exp(-d(x,y)/4t)\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}f_{i}(x,y)} 여기서 f i ∈ Γ ∞ ( ( E ⊗ | Λ M | ) ⊠ ( E ∗ ⊗ | Λ M | ) ) {\displaystyle f_{i}\in \Gamma ^{\infty }\left((E\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\boxtimes (E^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\right)} 이다. 약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 f ∈ Γ ∞ ( End ⁡ ( E ) ) {\displaystyle f\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (E))} 에 대하여,:(2.21) tr ⁡ ( f exp ⁡ ( − t H ) ) = ∑ i ∈ 2 N t ( i − n ) / 2 a i ( f , H ) {\displaystyle \operatorname {tr} (f\exp(-tH))=\sum _{i\in 2\mathbb {N} }t^{(i-n)/2}a_{i}(f,H)} 위 합에서는 오직 짝수 i {\displaystyle i} 만이 등장한다.:§4.1 만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수 i {\displaystyle i} 역시 등장할 수 있다. M {\displaystyle M} 위의 라플라스형 연산자 H = g i j ∇ i ∇ j + T {\displaystyle H=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}+T} 가 주어졌다고 하자. 만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 다양체이며, T {\displaystyle T} 가 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면, H {\displaystyle H} 를 복소수 힐베르트 공간 H = L 2 ⁡ ( M ; E ⊗ R C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )} 에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약 T {\displaystyle T} 의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다. 0 = λ 0 < − λ 1 ≤ − λ 2 ≤ − λ 3 ≤ ⋯ {\displaystyle 0=\lambda _{0}<-\lambda _{1}\leq -\lambda _{2}\leq -\lambda _{3}\leq \cdots } 이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간 L 2 ⁡ ( M ; E ⊗ R C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(M;E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )} 의 정규 직교 기저를 ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} 라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다. K ( t , x , y ) = ∑ i = 0 ∞ exp ⁡ ( − λ i ) ϕ i ( x ) ϕ i ( y ) {\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i})\phi _{i}(x)\phi _{i}(y)} 그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자 H = Δ + C {\displaystyle H=\Delta +C} 의 열핵은 다음과 같다.:(1.12) K ( t , x , y ) = 1 ( 4 π t ) n / 2 exp ⁡ ( t C − ‖ x − y ‖ 2 / 4 t ) {\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\exp(tC-\|x-y\|^{2}/4t)} 이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다. 예를 들어, 구 S 2 = SU ⁡ ( 2 ) / U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\operatorname {SU} (2)/\operatorname {U} (1)} 위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.:328, (1) K ( t , g U ⁡ ( 1 ) , 1 SU ⁡ ( 2 ) U ⁡ ( 1 ) ) = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) exp ⁡ ( − n ( n + 1 ) t / 2 ) P n ⁡ ( ( tr ⁡ g ) 2 + ( tr ⁡ ( i σ 3 g ) ) 2 2 − 1 ) ( t ∈ R + , g ∈ SU ⁡ ( 2 ) ) {\displaystyle K(t,g\operatorname {U} (1),1_{\operatorname {SU} (2)}\!\operatorname {U} (1))=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\exp(-n(n+1)t/2)\operatorname {P} _{n}\left({\frac {\left(\operatorname {tr} g\right)^{2}+\left(\operatorname {tr} (\mathrm {i} \sigma _{3}g)\right)^{2}}{2}}-1\right)\qquad \left(t\in \mathbb {R} ^{+},\;g\in \operatorname {SU} (2)\right)} 여기서 i σ 3 = ( i 0 0 − i ) ∈ SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {i} \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2)} 는 파울리 행렬이며, P n ( − ) {\displaystyle \mathrm {P} _{n}(-)} 는 르장드르 다항식이다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자. H = 1 2 m d 2 d x 2 − 1 2 m x 2 − E {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {1}{2}}mx^{2}-E} 이는 무게 m {\displaystyle m} 의 조화 진동자의 해밀토니언 연산자이다. H {\displaystyle H} 의 열핵은 다음과 같다. K ( t , x , y ) = m 2 π sinh ⁡ t exp ⁡ ( − m ( x 2 + y 2 ) 2 tanh ⁡ t + m x y sinh ⁡ ( m x y ) − E t ) {\displaystyle K(t,x,y)={\sqrt {\frac {m}{2\pi \sinh t}}}\exp \left(-{\frac {m(x^{2}+y^{2})}{2\tanh t}}+{\frac {mxy}{\sinh(mxy)}}-Et\right)} 이를 멜러 핵(Mehler核, 영어: Mehler kernel)이라고 한다.:154, §4.2 멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(독일어: Gustav Ferdinand Mehler, 1835~1895)가 도입하였다.:173–174 Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.  Grigor’yan, Alexander (2009). 《Heat kernel and analysis on manifolds》. American Mathematical Society/International Press Studies in Advanced Mathematics (영어) 47. American Mathematical Society, International Press. ISBN 978-0-8218-9393-7. 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