일반화 복소다양체

미분기하학에서 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)는 복소다양체와 심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 B {\displaystyle B} 가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 일반화 개복소구조(一般化槪複素構造, 영어: generalized almost complex structure)는 실수 벡터 다발 T M ⊕ T ∗ M {\displaystyle TM\oplus T^{*}M} 위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상 J : T M ⊕ T ∗ M → T M ⊕ T ∗ M {\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M} 이다. J 2 = − id {\displaystyle J^{2}=-\operatorname {id} } ⟨ J ( X + ξ ) , J ( Y + η ) ⟩ = ⟨ X , η ⟩ + ⟨ Y , ξ ⟩ {\displaystyle \langle J(X+\xi ),J(Y+\eta )\rangle =\langle X,\eta \rangle +\langle Y,\xi \rangle } 여기서 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } 는 부호수 ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} 의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 개복소다양체(一般化槪複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다. 일반화 개복소다양체 위의 일반화 정칙접다발(영어: generalized holomorphic tangent bundle)은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다. E = { X + ξ ∈ Γ ( ( T M ⊕ T ∗ M ) ⊗ C ) : J ( X + ξ ) = i ( X + ξ ) } {\displaystyle E=\{X+\xi \in \Gamma ((\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes \mathbb {C} )\colon J(X+\xi )=\mathrm {i} (X+\xi )\}} 이에 따라 ( T M ⊕ T ∗ M ) ⊗ C ≅ E ⊕ E ¯ {\displaystyle (\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes C\cong E\oplus {\bar {E}}} 가 된다. T M ⊕ T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M} 의 두 매끄러운 단면 X + ξ {\displaystyle X+\xi } , Y + η {\displaystyle Y+\eta } 에 대하여, 다음과 같이 쿠란트 괄호(Courant括弧, 영어: Courant bracket)를 정의하자. [ X + ξ , Y + η ] = [ X , Y ] + L X η − L Y ξ − 1 2 d ( ⟨ X , η ⟩ − ⟨ Y , ξ ⟩ ) {\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(\langle X,\eta \rangle -\langle Y,\xi \rangle )} 여기서 L X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} 는 리 미분이며, d {\displaystyle d} 는 외미분이다. 일반화 개복소구조 가운데, E {\displaystyle E} 의 매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 일반화 복소구조(一般化複素構造, 영어: generalized complex structure)라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다. n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌을 때, V ⊕ V ∗ {\displaystyle V\oplus V^{*}} 위에는 자연스러운 SO ⁡ ( n , n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n,n)} 구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은 s o ( V ⊕ V ∗ ) ≅ g l ( V ; R ) ⊕ ⋀ 2 V ∗ ⊕ ⋀ 2 V {\displaystyle {\mathfrak {so}}(V\oplus V^{*})\cong {\mathfrak {gl}}(V;\mathbb {R} )\oplus \bigwedge ^{2}V^{*}\oplus \bigwedge ^{2}V} 이다. V ⊕ V ∗ {\displaystyle V\oplus V^{*}} 는 외대수 ⋀ ∙ V ∗ {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\bullet }V^{*}} 위에 다음과 같은 작용을 갖는다. ( X + η ) ⋅ ϕ = ι ( X ) ϕ + ξ ∧ ϕ {\displaystyle (X+\eta )\cdot \phi =\iota (X)\phi +\xi \wedge \phi } 이 경우 ( X + η ) ⋅ ( ( X + η ) ⋅ ϕ ) = ⟨ X , η ⟩ ϕ {\displaystyle (X+\eta )\cdot \left((X+\eta )\cdot \phi \right)=\langle X,\eta \rangle \phi } 이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여, V ⊕ V ∗ {\displaystyle V\oplus V^{*}} 의 디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다. Δ ( V ⊕ V ∗ ) ≅ ⋀ n V ⊗ ⋀ ∙ V ∗ {\displaystyle \Delta (V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{\bullet }V^{*}} 이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다. Δ ( V ⊕ V ∗ ) = Δ + ( V ⊕ V ∗ ) ⊕ Δ − ( V ⊕ V ∗ ) {\displaystyle \Delta (V\oplus V^{*})=\Delta ^{+}(V\oplus V^{*})\oplus \Delta ^{-}(V\oplus V^{*})} Δ + ( V ⊕ V ∗ ) ≅ ⋀ n V ⊗ ⋀ 2 ∙ V ∗ {\displaystyle \Delta ^{+}(V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{2\bullet }V^{*}} Δ − ( V ⊕ V ∗ ) ≅ ⋀ n V ⊗ ⋀ 2 ∙ + 1 V ∗ {\displaystyle \Delta ^{-}(V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{2\bullet +1}V^{*}} 스피너 ϕ ∈ Δ ± ( V ⊕ V ∗ ) {\displaystyle \phi \in \Delta ^{\pm }(V\oplus V^{*})} 가운데, dim ⁡ ker ⁡ ( ⋅ ϕ ) = dim ⁡ { X + η ∈ V ⊕ V ∗ : ( X + η ) ⋅ ϕ = 0 } = n {\displaystyle \dim \ker(\cdot \phi )=\dim\{X+\eta \in V\oplus V^{*}\colon (X+\eta )\cdot \phi =0\}=n} 인 것을 V ⊕ V ∗ {\displaystyle V\oplus V^{*}} 의 순수 스피너(純粹spinor, 영어: pure spinor)라고 한다. 이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 일반화 접다발 T M ⊕ T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M} 이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면, ( M , E ) {\displaystyle (M,E)} 를 일반화 칼라비-야우 다양체라고 한다. 즉, ϕ ∈ Ω ± M ⊗ C {\displaystyle \phi \in \Omega ^{\pm }M\otimes \mathbb {C} } 가 T M ⊕ T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M} 의 순수 스피너이며, d ϕ = 0 {\displaystyle d\phi =0} 이며, 또한 모든 곳에서 ⟨ ϕ , ϕ ¯ ⟩ ≠ 0 {\displaystyle \langle \phi ,{\bar {\phi }}\rangle \neq 0} 이라면 M {\displaystyle M} 은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 일반화 칼라비-야우 다양체 ( M , ϕ ) {\displaystyle (M,\phi )} 가 주어졌을 때, ker ⁡ ( ⋅ ϕ ) ⊂ ( T M ⊕ T ∗ M ) ⊗ C {\displaystyle \ker(\cdot \phi )\subset (\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes \mathbb {C} } 은 M {\displaystyle M} 위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다. 모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 k {\displaystyle k} 차원 복소다양체 M {\displaystyle M} 의 경우, E {\displaystyle E} 는 정칙 벡터장 및 ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} -복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다. E = T + M ⊕ Ω 1 , 0 M {\displaystyle E=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \Omega ^{1,0}M} 이 경우, 순수 스피너는 ( k , 0 ) {\displaystyle (k,0)} -복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 Ω ∈ Γ ( Ω k , 0 M ) {\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Omega ^{k,0}M)} 이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 2 k {\displaystyle 2k} 차원 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다. exp ⁡ ( i ω ) f ( f ∈ C ∞ ( M , C ) ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} \omega )f\qquad (f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} ))} 순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다. X − i ω ( X , − ) ( X ∈ Γ ( T M ) ) {\displaystyle X-\mathrm {i} \omega (X,-)\qquad (X\in \Gamma (\mathrm {T} M))} 나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다. 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리(이탈리아어: Marco Gualtieri)가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다. Hitchin, Nigel J. (2003). “Generalized Calabi–Yau manifolds”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 54: 281-308. arXiv:math/0209099. Bibcode:2002math......9099H. doi:10.1093/qmath/hag025.  Gualtieri, Marco (2003). 《Generalized complex geometry》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 N. J. Hitchin). 옥스퍼드 대학교. arXiv:math/0401221. Bibcode:2004math......1221G.  Gualtieri, Marco (2007). “Generalized complex geometry” (영어). arXiv:math/0703298. Bibcode:2007math......3298G.  Graña, Mariana (2006). “Flux compactifications in string theory: a comprehensive review”. 《Physics Reports》 (영어) 423: 91-158. arXiv:hep-th/0509003. Bibcode:2006PhR...423...91G. doi:10.1016/j.physrep.2005.10.008.  “Generalized complex geometry”. 《nLab》 (영어).  “Generalized Calabi-Yau manifold”. 《nLab》 (영어).  “Generalized tangent bundle”. 《nLab》 (영어).  “Generalized vielbein”. 《nLab》 (영어).  “Generalized G2-manifold”. 《nLab》 (영어).  “Exceptional generalized geometry”. 《nLab》 (영어).