푸아송 괄호

푸아송 괄호(영어: Poisson bracket)란 해밀턴 역학에서 쓰이는 중요한 연산자로, 어떤 물리량의 시간적 변화를 기술하는 데 중요한 역할을 하고 있다. 좀 더 일반적인 방법으로, 푸아송 괄호는 푸아송 다양체의 푸아송 대수를 정의하는 데 쓰인다. 위의 푸아송과 관련된 이름을 가진 것들은 모두 프랑스의 물리학자이자 수학자인 푸아송의 이름에서 따온 이름들이다. 일반화 좌표 ( q i , p i , t ) {\displaystyle (q_{i},\;p_{i},\;t)} 에서, 다음과 같은 두 함수 F ( q i , p i , t ) {\displaystyle F(q_{i},\;p_{i},\;t)} , G ( q i , p i , t ) {\displaystyle G(q_{i},\;p_{i},\;t)} 에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다. { F , G } = ∑ i [ ∂ F ∂ q i ∂ G ∂ p i − ∂ F ∂ p i ∂ G ∂ q i ] {\displaystyle \{F,\;G\}=\sum _{i}\left[{\partial F \over \partial q_{i}}{\partial G \over \partial p_{i}}-{\partial F \over \partial p_{i}}{\partial G \over \partial q_{i}}\right]} 몇몇 경우에는 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하기도 하므로 유의하자. { F , G } = ∑ i [ ∂ F ∂ p i ∂ G ∂ q i − ∂ F ∂ q i ∂ G ∂ p i ] {\displaystyle \{F,\;G\}=\sum _{i}\left[{\partial F \over \partial p_{i}}{\partial G \over \partial q_{i}}-{\partial F \over \partial q_{i}}{\partial G \over \partial p_{i}}\right]} 두 정의의 차이점은 서로 부호가 반대이다는 점 뿐이다. 여기서는 첫 번째 정의를 사용하는 것으로 하자. 일반화 좌표 ( q i , p i , t ) {\displaystyle (q_{i},\;p_{i},\;t)} 에서, 다음과 같은 세 함수 A ( q i , p i , t ) {\displaystyle A(q_{i},\;p_{i},\;t)} , B ( q i , p i , t ) {\displaystyle B(q_{i},\;p_{i},\;t)} , C ( q i , p i , t ) {\displaystyle C(q_{i},\;p_{i},\;t)} 에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같은 반대칭성을 가진다. { A , B } = − { B , A } {\displaystyle \{A,\;B\}=-\{B,\;A\}} 또한 다음과 같은 야코비 항등식을 만족한다. { A , { B , C } } + { B , { C , A } } + { C , { A , B } }   =   0 {\displaystyle \{A,\;\{B,\;C\}\}+\{B,\;\{C,\;A\}\}+\{C,\;\{A,\;B\}\}\ =\ 0} 일반화 좌표 q i {\displaystyle q_{i}} 와 일반화 운동량 p i {\displaystyle p_{i}} 사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립하며 { p i , q j } = δ i j {\displaystyle \{p_{i},\;q_{j}\}=\delta _{ij}} { p i , p j } = { q i , q j } = 0 {\displaystyle \{p_{i},\;p_{j}\}=\{q_{i},\;q_{j}\}=0} 함수 A ( q i , p i , t ) {\displaystyle A(q_{i},\;p_{i},\;t)} 와 일반화 좌표 q i {\displaystyle q_{i}} 와 운동량 p i {\displaystyle p_{i}} 사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립한다. { A , q i } = − ∂ A ∂ p i {\displaystyle \{A,\;q_{i}\}=-{\partial A \over \partial p_{i}}} { A , p i } = ∂ A ∂ q i {\displaystyle \{A,\;p_{i}\}={\partial A \over \partial q_{i}}} 푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 운동 방정식들을 나타낼 수 있다. 일반화 좌표 ( q i , p i , t ) {\displaystyle (q_{i},\;p_{i},\;t)} 에서의 해밀턴 방정식 p ˙ i = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}} q ˙ i =     ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}} 은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다. p ˙ i = − { H , p i } {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-\{H,\;p_{i}\}} q ˙ i = − { H , q i } {\displaystyle {\dot {q}}_{i}=-\{H,\;q_{i}\}} 원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표 q i {\displaystyle q_{i}} 와 일반화 운동량 p i {\displaystyle p_{i}} 사이에 무언가 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 해밀턴 방정식에선 q i {\displaystyle q_{i}} 와 p i {\displaystyle p_{i}} 사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다. 만약 어떤 동역학적 물리량 F ( q i , p i , t ) {\displaystyle F(q_{i},\;p_{i},\;t)} 가 운동상수, 즉 보존되는 물리량 d F d t = 0 {\displaystyle {dF \over dt}=0} 이라면 물리량이 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며 ∂ F ∂ t = 0 {\displaystyle {\partial F \over \partial t}=0} 해밀토니안 H {\displaystyle H} 와 물리량 F {\displaystyle F} 의 푸아송 괄호가 0이 되어야 한다. { H , F } = 0 {\displaystyle \{H,\;F\}=0} 이는, 맨 첫 번째 방정식을 연쇄법칙을 이용해 전개하고 해밀턴 방정식을 대입하면 증명할 수 있다. 0 = d d t F ( q i , p i ) = ∑ i [ ∂ F ∂ q i d q i d t + ∂ F ∂ p i d p i d t ] = ∑ i [ ∂ F ∂ q i ∂ H ∂ p i − ∂ F ∂ p i ∂ H ∂ q i ] = { F , H } = − { H , F } {\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dt}}F(q_{i},\;p_{i})\\&=\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}\right]\\&=\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right]\\&=\{F,\;H\}\\&=-\{H,\;F\}\end{aligned}}} 어떤 동역학적 물리량 F ( q i , p i , t ) {\displaystyle F(q_{i},\;p_{i},\;t)} 가 주어졌을 때, 위상 공간에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다. d d t F ( q i , p i , t ) = ∂ F ∂ t + ∑ i [ ∂ F ∂ q i d q i d t + ∂ F ∂ p i d p i d t ] {\displaystyle {\frac {d}{dt}}F(q_{i},\;p_{i}\;,t)={\frac {\partial F}{\partial t}}+\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}\right]} 여기에 해밀턴 방정식 q ˙ i = ∂ H / ∂ p i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\partial H}/{\partial p_{i}}} 와 p ˙ i = − ∂ H / ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\partial H}/{\partial q_{i}}} 을 대입하면 d d t F ( q i , p i , t ) = ∂ F ∂ t + ∑ i [ ∂ F ∂ q i ∂ H ∂ p i − ∂ F ∂ p i ∂ H ∂ q i ] = ∂ F ∂ t − { H , F } {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}F(q_{i},\;p_{i},\;t)&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right]\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}-\{H,\;F\}\end{aligned}}} 이 된다. 따라서 물리량 F {\displaystyle F} 의 시변(시간변화 부분)은 d d t F = ( ∂ ∂ t − { H , ⋅ } ) F {\displaystyle {\frac {d}{dt}}F=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\;\cdot \}\right)F} 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 연산자 − { H , ⋅ } {\displaystyle -\{H,\;\cdot \}} 는 리우빌리안이라 불리기도 한다. 푸아송 대수 해밀턴 역학 교환자 라그랑주 괄호 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 317-9쪽. 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 318쪽.