놈 (수학)

수학에서, 특히 타원 함수의 이론인 놈(nome)은 특별한 함수이며 다음과 같이 주어진다. q = e − π K ′ K = e i π ω 2 ω 1 = e i π τ {\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}=e^{\frac {{\rm {i}}\pi \omega _{2}}{\omega _{1}}}=e^{{\rm {i}}\pi \tau }\,} 여기서 K {\displaystyle K} 와 i K ′ {\displaystyle iK'} 는 1 / 4 {\displaystyle 1/4} 기간(주기) 이고, ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 과 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} 는 기본 기간 쌍이다. 표기상, 1 / 4 {\displaystyle 1/4} 기간 K {\displaystyle K} 와 i K ′ {\displaystyle iK'} 는 야코비 타원 함수의 문맥에서만 일반적으로 사용되는 반면, 절반 기간(반기, 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 주기) ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 과 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} 는 보통 바이어슈트라스(Weierstrass) 타원 함수의 맥락에서만 사용된다. 일부 저자들은 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 과 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} 를 사용하여 반기가 아닌 전체 기간(주기,구간)을 나타낸다. 놈(nome)은 타원 함수와 모듈 형식을 설명 할 수 있는 값으로 자주 사용된다. 반면에 1 / 4 {\displaystyle 1/4} 주기는 타원 계수의 함수이기도 하기 때문에 함수로 생각할 수도 있다. 이러한 모호함은 타원 계수의 실제 값에 대해 1 / 4 {\displaystyle 1/4} 주기를 따라서 놈이 고유하게 결정되기 때문에 발생한다. 함수 τ = i K ′ K = ω 2 ω 1 {\displaystyle \tau ={{iK'} \over {K}}={{\omega _{2}} \over {\omega _{1}}}} 은 종종 타원 함수의 두 절반주기(반기) ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 과 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} 의 비율이므로 반주기 비율이라고도 한다. 보완적인 n 1 {\displaystyle n1} 은 다음과 같이 주어진다. q 1 = e − π K K ′ {\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}} 그러나 일부 출처는 관습에 따라 다음을 그대로 사용하기도 한다. q = e 2 i π τ {\displaystyle q=e^{{2{\rm {i}}}\pi \tau }} 또는 q = e 2 i π z {\displaystyle q=e^{{2{\rm {i}}}\pi z}} 놈(nome)에 대한 추가 정의 및 관계에 대해서는 분기( 1 / 4 {\displaystyle 1/4} 주기) 및 타원 적분에 대한 항목을 참조할 수 있다. 변수에 대한 함수로 타원 놈은 다음과 같이 정의된다: q ( x ) = exp ⁡ [ − π K ( 1 − x 2 ) K ( x ) − 1 ] {\displaystyle q(x)=\exp {\bigl [}-\pi \,K({\sqrt {1-x^{2}}})\,K(x)^{-1}{\bigr ]}} 그리고 제1종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다: K ( ε ) = ∫ 0 π / 2 1 1 − ε 2 sin ⁡ ( φ ) 2 d φ {\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi } K ( ε ) = ∫ 0 1 2 ( w 2 + 1 ) 2 − 4 ε 2 w 2 d w {\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(w^{2}+1)^{2}-4\,\varepsilon ^{2}w^{2}}}}\,\mathrm {d} w} 두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다. 놈 기능의 무한 시리즈는 다음과 같이 표시될 수 있다: q ( x ) = ∑ n = 1 ∞ Kt ( n ) 16 n x 2 n {\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)}{16^{n}}}\,x^{2n}} 이 무한급수의 수렴 반경은 1이다. 여기서 Kt ( n ) {\displaystyle {\text{Kt}}(n)} (OEIS A005797)는 배타적으로 자연수 Kt ( n ) ∈ N {\displaystyle {\text{Kt}}(n)\in \mathbb {N} } 의 시퀀스다. 모든 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대해 이 정수 시퀀스는 기본적으로는 아니다. 정수열 Kt(n)의 정의는 다음과 같다: Kt ( 1 ) = 1 {\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1} Kt ( n + 1 ) = 1 n ∑ k = 1 n k Kt ( k ) [ 16 Ap ( n + 1 − k ) − Ap ( n + 2 − k ) ] {\displaystyle {\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)[16\,{\text{Ap}}(n+1-k)-{\text{Ap}}(n+2-k)]} Ap ( n ) = ∑ a = 0 n − 1 ( 2 a a ) 2 ( 2 n − 2 − 2 a n − 1 − a ) 2 {\displaystyle {\text{Ap}}(n)=\sum _{a=0}^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}} 이 정수열 Kt ( n ) {\displaystyle {\text{Kt}}(n)} 는 1956년에 태어난 체코 수학자이자 체스 작곡가 Václav Kotěšovec에 의해 연구되었다. 특별히 수정된 Apéry 시퀀스(OEIS A036917)를 나타내는 정수 시퀀스 Ap ( n ) {\displaystyle {\text{Ap}}(n)} 를 추가함으로써 Kotěšovec 시퀀스 숫자 Kt ( n ) {\displaystyle {\text{Kt}}(n)} 를 생성할 수 있다. 시퀀스 Kt ( n ) {\displaystyle {\text{Kt}}(n)} 의 시작 값은 Kt ( 1 ) = 1 {\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1} 값이고 이 시퀀스의 다음 값은 모든 숫자 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 유효한 두 수식으로 생성된다. 다음 표는 일련 번호를 보여준다: 놈의 경우 두 번째 시리즈를 개발할 수 있다: q ( x ) = ∑ n = 1 ∞ Sw ( n ) 2 4 n − 3 ( 1 − 1 − x 2 4 1 + 1 − x 2 4 ) 4 n − 3 = x 2 { 1 2 + [ ∑ n = 1 ∞ Sw ( n + 1 ) 2 4 n + 1 x 2 n ] } 4 {\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}} 정수 시퀀스 S w ( n ) {\displaystyle Sw(n)} 은 Schwarz 수를 나타낸다. 실레지아 독일 수학자 Hermann Amandus Schwarz는 54-56페이지의 "Berechnung der Grösse k" 장에서 "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen" 이라는 저서에서 정수 수열을 썼다. 이 슈바르츠 수열 S w ( n ) {\displaystyle Sw(n)} 은 20세기 수학자 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass와 Louis Melville Milne-Thomson에 의해 분석되었다. 수학자 Adolf Kneser는 다음 패턴을 기반으로 이 시퀀스에 대한 합성 방법을 결정했다. Sw ( 1 ) = 1 {\displaystyle {\text{Sw}}(1)=1} Sw ( n + 1 ) = 2 n ∑ m = 1 n Sw ( m ) Kn ( n + 1 − m ) {\displaystyle {\text{Sw}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sw}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)} Schwarz 시퀀스 S w ( n ) {\displaystyle Sw(n)} 은 번호 A002103 아래의 숫자 시퀀스의 온라인 백과사전에서 입력되고 Kneser 시퀀스 K n ( n ) {\displaystyle Kn(n)} 은 번호 A227503 아래에 입력된다. Kneser 정수 시퀀스 K n ( n ) {\displaystyle Kn(n)} 은 다음과 같이 정의된 특수 Apéry 시퀀스 A p ( n ) {\displaystyle Ap(n)} (OEIS A036917)를 사용하여 구성할 수 있다. Ap ( n ) = ∑ a = 0 n − 1 ( 2 a a ) 2 ( 2 n − 2 − 2 a n − 1 − a ) 2 {\displaystyle {\text{Ap}}(n)=\sum _{a=0}^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}} 이러한 방식으로 모든 자연수 n에 대해 Kneser 수열을 정의할 수 있다. Kn ( n + 1 ) = 2 4 n + 1 − 1 8 Ap ( n + 2 ) − ∑ b = 1 n Kn ( b ) Ap ( n + 2 − b ) {\displaystyle {\text{Kn}}(n+1)=2^{4n+1}-{\tfrac {1}{8}}{\text{Ap}}(n+2)-\sum _{b=1}^{n}{\text{Kn}}(b){\text{Ap}}(n+2-b)} Kneser 시퀀스는 생성 함수에 의해 다음과 같이 생성될 수도 있다. π 2 8 x ( 1 − x 2 ) K ( x ) 2 − 1 2 x = ∑ n = 1 ∞ Kn ( n ) 2 4 n − 2 x 2 n − 1 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}} 다음 표에는 슈바르츠 수와 크네저 수와 아페리 수가 포함되어 있다. 다음에서 놈의 일부 기능 값이 제공된다. 다음은 렘니스케이트 값이다. q ( 0 ) = 0 {\displaystyle q(0)=0} q ( 1 ) = 1 {\displaystyle q(1)=1} q ( − 1 ) = 1 {\displaystyle q(-1)=1} q ( 1 2 2 ) = e − π {\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\text{e}}^{-\pi }} q [ ( 2 − 1 ) 2 ] = e − 2 π {\displaystyle q[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-2\pi }} q [ 2 2 4 ( 2 − 1 ) ] = exp ⁡ ( − 1 2 π ) {\displaystyle q[2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)]=\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi )} q [ 1 2 ( 3 − 1 ) ( 2 − 3 4 ) ] = e − 3 π {\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]={\text{e}}^{-3\pi }} q [ 1 2 ( 3 − 1 ) ( 2 + 3 4 ) ] = exp ⁡ ( − 1 3 π ) {\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )} q [ 1 2 ( 10 − 2 2 ) ( 3 − 2 5 4 ) ] = e − 5 π {\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}})(3-2{\sqrt[{4}]{5}})]={\text{e}}^{-5\pi }} q [ 1 2 ( 10 − 2 2 ) ( 3 + 2 5 4 ) ] = exp ⁡ ( − 1 5 π ) {\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}})(3+2{\sqrt[{4}]{5}})]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi )} 일부 비 렘니스케이트 값은 다음과 같다: q [ 1 4 ( 6 − 2 ) ] = e − 3 π {\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {3}}\pi }} q [ 1 4 ( 6 + 2 ) ] = exp ⁡ ( − 1 3 3 π ) {\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )} q { sin ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( 5 − 2 ) ] } = e − 5 π {\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi }} q { cos ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( 5 − 2 ) ] } = exp ⁡ ( − 1 5 5 π ) {\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )} q [ 1 8 ( 3 2 − 14 ) ] = e − 7 π {\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {7}}\pi }} q [ 1 8 ( 3 2 + 14 ) ] = exp ⁡ ( − 1 7 7 π ) {\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})]=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )} q [ 1 16 ( 22 + 3 2 ) ( 1 3 6 3 + 2 11 3 − 1 3 6 3 − 2 11 3 + 1 3 11 − 1 ) 4 ] = e − 11 π {\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {11}}\pi }} q [ 1 16 ( 22 − 3 2 ) ( 1 3 6 3 + 2 11 3 − 1 3 6 3 − 2 11 3 + 1 3 11 + 1 ) 4 ] = exp ⁡ ( − 1 11 11 π ) {\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )} q { sin ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( 5 13 − 18 ) ] } = e − 13 π {\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {13}}\pi }} q { cos ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( 5 13 − 18 ) ] } = exp ⁡ ( − 1 13 13 π ) {\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )} q ⟨ sin ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 1 4 17 + 1 4 − 1 4 2 17 + 2 ) 6 ] } ⟩ = e − 17 π {\displaystyle q{\bigl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}+2}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {17}}\pi }} q ⟨ cos ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 1 4 17 + 1 4 − 1 4 2 17 + 2 ) 6 ] } ⟩ = exp ⁡ ( − 1 17 17 π ) {\displaystyle q{\bigl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}+2}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{17}}{\sqrt {17}}\,\pi )} q ⟨ sin ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 37 − 6 ) 3 ] } ⟩ = e − 37 π {\displaystyle q{\bigl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {37}}\pi }} q ⟨ cos ⁡ { 1 2 arcsin ⁡ [ ( 37 − 6 ) 3 ] } ⟩ = exp ⁡ ( − 1 37 37 π ) {\displaystyle q{\bigl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{37}}{\sqrt {37}}\,\pi )} 다음 값은 홀수의 제곱근과 함께 Gelfold 상수의 역수의 거듭제곱으로 발생한다: q ( 2 − 1 ) = e − 2 π {\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)={\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi }} q ( 2 2 − 2 ) = exp ⁡ ( − 1 2 2 π ) {\displaystyle q({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}})=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi )} q [ ( 2 − 3 ) ( 3 − 2 ) ] = e − 6 π {\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi }} q [ ( 2 − 3 ) ( 3 + 2 ) ] = exp ⁡ ( − 1 3 6 π ) {\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )} q [ ( 10 − 3 ) ( 2 − 1 ) 2 ] = e − 10 π {\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-{\sqrt {10}}\pi }} q [ ( 10 − 3 ) ( 2 + 1 ) 2 ] = exp ⁡ ( − 1 5 10 π ) {\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )} q ⟨ tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ( 2 + 1 2 − 1 2 4 2 + 5 ) 3 ] } ⟩ = e − 14 π {\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}{\bigr )}^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {14}}\pi }} q ⟨ tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ( 2 + 1 2 + 1 2 4 2 + 5 ) 3 ] } ⟩ = exp ⁡ ( − 1 7 14 π ) {\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}{\bigr )}^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,\pi )} q [ ( 10 − 3 11 ) ( 3 11 − 7 2 ) ] = e − 22 π {\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {22}}\pi }} q [ ( 10 − 3 11 ) ( 3 11 + 7 2 ) ] = exp ⁡ ( − 1 11 22 π ) {\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}+7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )} q { ( 26 + 5 ) ( 2 − 1 ) 2 tan ⁡ [ 1 4 π − arctan ⁡ ( 1 3 3 3 + 26 3 − 1 3 3 3 − 26 3 + 1 6 26 − 1 2 2 ) ] 4 } = e − 26 π {\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {26}}\pi }} q { ( 26 + 5 ) ( 2 + 1 ) 2 tan ⁡ [ arctan ⁡ ( 1 3 3 3 + 26 3 − 1 3 3 3 − 26 3 + 1 6 26 + 1 2 2 ) − 1 4 π ] 4 } = exp ⁡ ( − 1 13 26 π ) {\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}+1)^{2}\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {26}}\,\pi )} q ⟨ tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ( 1 4 17 + 3 4 − 1 4 6 17 + 10 ) 6 ] } ⟩ = e − 34 π {\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {6{\sqrt {17}}+10}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {34}}\pi }} q ⟨ tan ⁡ { 1 2 arctan ⁡ [ ( 1 4 17 + 3 4 + 1 4 6 17 + 10 ) 6 ] } ⟩ = exp ⁡ ( − 1 17 34 π ) {\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {6{\sqrt {17}}+10}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{17}}{\sqrt {34}}\,\pi )} q [ ( 13 58 − 99 ) ( 2 − 1 ) 6 ] = e − 58 π {\displaystyle q[(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}]={\text{e}}^{-{\sqrt {58}}\pi }} q [ ( 13 58 − 99 ) ( 2 + 1 ) 6 ] = exp ⁡ ( − 1 29 58 π ) {\displaystyle q[(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}+1)^{6}]=\exp(-{\tfrac {1}{29}}{\sqrt {58}}\,\pi )} 놈를 제곱하면 다음 값이 된다: q { tan ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( 2 − 1 ) ] 2 } = e − 2 2 π {\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {2}}\pi }} q [ ( 3 − 2 ) 2 ( 2 − 1 ) 2 ] = e − 2 3 π {\displaystyle q[({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-2{\sqrt {3}}\pi }} q [ ( 3 − 2 ) 2 ( 2 + 1 ) 2 ] = exp ⁡ ( − 2 3 3 π ) {\displaystyle q[({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}+1)^{2}]=\exp(-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )} q { tan ⁡ [ 1 4 arcsin ⁡ ( 5 − 2 ) ] 2 } = e − 2 5 π {\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {5}}\pi }} q { tan ⁡ [ 1 4 π − 1 4 arcsin ⁡ ( 5 − 2 ) ] 2 } = exp ⁡ ( − 2 5 5 π ) {\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )} q [ ( 2 − 1 ) 4 ( 2 2 − 7 ) 2 ] = e − 2 7 π {\displaystyle q[({\sqrt {2}}-1)^{4}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]={\text{e}}^{-2{\sqrt {7}}\pi }} q [ ( 2 − 1 ) 4 ( 2 2 + 7 ) 2 ] = exp ⁡ ( − 2 7 7 π ) {\displaystyle q[({\sqrt {2}}-1)^{4}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]=\exp(-{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )} q { tan ⁡ [ 1 4 arcsin ⁡ ( 5 13 − 18 ) ] 2 } = e − 2 13 π {\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {13}}\pi }} q { tan ⁡ [ 1 4 π − 1 4 arcsin ⁡ ( 5 13 − 18 ) ] 2 } = exp ⁡ ( − 2 13 13 π ) {\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {2}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )} 가치의 특정 사중주가 아래에 나열되어 있다: 대수 숫자의 놈를 밑수로 하고 양의 유리수를 지수로 사용하는 모든 거듭제곱은 대수 숫자의 놈이 된다: q ( x 1 ∈ A ) w ∈ Q + = q ( x 2 ∈ A ) {\displaystyle q(x_{1}\in \mathbb {A} )^{w\in \mathbb {Q^{+}} }=q(x_{2}\in \mathbb {A} )^{}} 야코비 타원 함수를 사용하여 정리를 설명하는 경우 정리에 대해 다음 공식을 설정할 수 있다: q ( x ) 2 = q [ x 2 ( 1 + 1 − x 2 ) − 2 ] {\displaystyle q(x)^{2}=q[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]} q ( x ) 3 = q { x 3 sn ⁡ [ 1 3 K ( x ) ; x ] 4 } {\displaystyle q(x)^{3}=q\{x^{3}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(x);x]^{4}\}} q ( x ) 5 = q { x 5 sn ⁡ [ 1 5 K ( x ) ; x ] 4 sn ⁡ [ 3 5 K ( x ) ; x ] 4 } {\displaystyle q(x)^{5}=q\{x^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(x);x]^{4}\}} q ( x ) 7 = q { x 7 sn ⁡ [ 1 7 K ( x ) ; x ] 4 sn ⁡ [ 3 7 K ( x ) ; x ] 4 sn ⁡ [ 5 7 K ( x ) ; x ] 4 } {\displaystyle q(x)^{7}=q\{x^{7}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{7}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(x);x]^{4}\}} 실수 값 구간 [-1;1]의 대수적 x 값의 경우 표시된 야코비 사인 진폭 표현식은 항상 대수적이다. 일반적으로 모든 자연수 n에 대해: q ( x ) 2 n + 1 = q { x 2 n + 1 ∏ k = 1 n sn ⁡ [ 2 k − 1 2 n + 1 K ( x ) ; x ] 4 } {\displaystyle q(x)^{2n+1}=q{\biggl \{}x^{2n+1}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n+1}}K(x);x{\bigr ]}^{4}{\biggr \}}} 입방체에 대한 정리는 단순화된 방식으로 매개변수화할 수도 있다: q [ u ( u 4 − u 2 + 1 − u 2 + 1 ) ] 3 = q [ u ( u 4 − u 2 + 1 + u 2 − 1 ) ] {\displaystyle q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]} 이 공식은 모든 값 − 1 < u < 1 {\displaystyle -1<u<1} 에 유효하다. 다음 반사 정리는 타원 놈에 대해 유효하다: ln ⁡ ⟨ q { sin ⁡ [ 1 4 π − 1 2 arctan ⁡ ( x ) ] } ⟩ ln ⁡ ⟨ q { sin ⁡ [ 1 4 π + 1 2 arctan ⁡ ( x ) ] } ⟩ = π 2 {\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}} ln ⁡ { q [ 1 2 2 − 2 x ( x 2 + 1 ) − 1 / 2 ] } ln ⁡ { q [ 1 2 2 + 2 x ( x 2 + 1 ) − 1 / 2 ] } = π 2 {\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}} ln ⁡ ⟨ q { tan ⁡ [ 1 8 π − 1 4 arctan ⁡ ( x ) ] } ⟩ ln ⁡ ⟨ q { tan ⁡ [ 1 8 π + 1 4 arctan ⁡ ( x ) ] } ⟩ = 2 π 2 {\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}} ln ⁡ { q [ ( x 2 + 1 + x ) 2 + 1 − x 2 + 1 − x ] } ln ⁡ { q [ ( x 2 + 1 − x ) 2 + 1 − x 2 + 1 + x ] } = 2 π 2 {\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}} 타원 놈 함수는 다음과 같이 파생된다: d d x q ( x ) = π 2 2 x ( 1 − x 2 ) K ( x ) 2 q ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)} 2차 도함수는 다음과 같다: d 2 d x 2 q ( x ) = π 4 + 2 π 2 ( 1 + x 2 ) K ( x ) 2 − 4 π 2 K ( x ) E ( x ) 4 x 2 ( 1 − x 2 ) 2 K ( x ) 4 q ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x)={\frac {\pi ^{4}+2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1-x^{2})^{2}K(x)^{4}}}q(x)} 그리고 3차 도함수는 다음과 같은 형식을 취한다: d 3 d x 3 q ( x ) = π 6 + 6 π 4 ( 1 + x 2 ) K ( x ) 2 + 8 π 2 ( 1 + x 2 ) 2 K ( x ) 4 + 12 π 2 K ( x ) E ( x ) [ − π 2 − 2 ( 1 + x 2 ) K ( x ) 2 + 2 K ( x ) E ( x ) ] 8 x 3 ( 1 − x 2 ) 3 K ( x ) 6 q ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x)={\frac {\pi ^{6}+6\pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}+8\pi ^{2}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}+12\pi ^{2}K(x)E(x)[-\pi ^{2}-2(1+x^{2})K(x)^{2}+2K(x)E(x)]}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}q(x)} 두 번째 종류의 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다: E ( ε ) = ∫ 0 π / 2 1 − ε 2 sin ⁡ ( φ ) 2 d φ {\displaystyle E(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\mathrm {d} \varphi } E ( ε ) = 2 ∫ 0 1 ( w 2 + 1 ) 2 − 4 ε 2 w 2 ( w 2 + 1 ) 2 d w {\displaystyle E(\varepsilon )=2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(w^{2}+1)^{2}-4\,\varepsilon ^{2}w^{2}}}{(w^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} w} 두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다. 제2종 완전 타원 적분을 지우면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다: 3 [ d 2 d x 2 q ( x ) ] 2 − 2 [ d d x q ( x ) ] [ d 3 d x 3 q ( x ) ] = π 8 − 4 π 4 ( 1 + x 2 ) 2 K ( x ) 4 16 x 4 ( 1 − x 2 ) 4 K ( x ) 8 q ( x ) 2 {\displaystyle 3{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2})^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}} 따라서 이 3차 미분방정식은 유효하다: x 2 ( 1 − x 2 ) 2 [ 2 q ( x ) 2 q ′ ( x ) q ‴ ( x ) − 3 q ( x ) 2 q ″ ( x ) 2 + q ′ ( x ) 4 ] = ( 1 + x 2 ) 2 q ( x ) 2 q ′ ( x ) 2 {\displaystyle x^{2}(1-x^{2})^{2}[2q(x)^{2}q'(x)q'''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q(x)^{2}q'(x)^{2}} 타원 놈는 Richard Dedekind에 의해 연구되었으며 이것은 그의 에타 함수 이론의 기초를 형성한다. 타원형 놈는 Lambert 급수의 구성에서 시작점을 형성하고 산술 기하 평균의 대수적 조합에 대한 Carl Gustav Jacobi의 테타 함수에서 가로 좌표로 지정된다. 일반적으로 많은 시리즈 확장은 타원 놈로 설명된다: ∑ n = 1 ∞ q ( x ) n 2 = 1 2 ϑ 00 [ q ( x ) ] − 1 2 = 1 2 2 π − 1 K ( x ) − 1 2 = 1 2 agm ⁡ ( 1 − x ; 1 + x ) − 1 / 2 − 1 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{n^{2}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}} ∑ n = 1 ∞ q ( x ) ( 2 n − 1 ) 2 = 1 4 ϑ 00 [ q ( x ) ] − 1 4 ϑ 01 [ q ( x ) ] = 1 4 ( 1 − 1 − x 2 4 ) 2 π − 1 K ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{(2n-1)^{2}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}} ∑ n = 1 ∞ 2 q ( x ) n q ( x ) 2 n + 1 = 1 2 ϑ 00 [ q ( x ) ] 2 − 1 2 = π − 1 K ( x ) − 1 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}} ∑ n = 1 ∞ 2 q ( x ) 2 n − 1 q ( x ) 4 n − 2 + 1 = 1 4 ϑ 00 [ q ( x ) ] 2 − 1 4 ϑ 01 [ q ( x ) ] 2 = 1 2 ( 1 − 1 − x 2 ) π − 1 K ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\,\pi ^{-1}K(x)} ∑ n = 1 ∞ n 2 q ( x ) n 2 = 2 − 1 / 2 π − 5 / 2 K ( x ) 3 / 2 [ E ( x ) − ( 1 − x 2 ) K ( x ) ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{2}q(x)^{n^{2}}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]} ∑ n = 1 ∞ [ 2 q ( x ) n 1 + q ( x ) 2 n ] 2 = 2 π − 2 E ( x ) K ( x ) − 1 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac {1}{2}}} ∑ n = 1 ∞ [ 2 q ( x ) n 1 − q ( x ) 2 n ] 2 = 2 3 π − 2 ( 2 − x 2 ) K ( x ) 2 − 2 π − 2 K ( x ) E ( x ) + 1 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3}}\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{6}}} ∏ n = 1 ∞ [ 1 − q ( x ) 2 n ] [ 1 + q ( x ) 2 n − 1 ] 2 = 2 π − 1 K ( x ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^{2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}} ∏ n = 1 ∞ [ 1 − q ( x ) 2 n ] [ 1 − q ( x ) 2 n − 1 ] 2 1 − x 2 4 2 π − 1 K ( x ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^{2}{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}} 세 가지 주요 테타 함수는 다음과 같이 정의된다: ϑ 00 ( y ) = 1 + 2 ( ∑ n = 1 ∞ y n 2 ) {\displaystyle \vartheta _{00}(y)=1+2{\biggl (}\sum _{n=1}^{\infty }y^{n^{2}}{\biggr )}} ϑ 01 ( y ) = 1 + 2 [ ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n y n 2 ] {\displaystyle \vartheta _{01}(y)=1+2{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}y^{n^{2}}{\biggr ]}} ϑ 10 ( y ) = 2 [ ∑ n = 1 ∞ y ( n − 1 / 2 ) 2 ] {\displaystyle \vartheta _{10}(y)=2{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }y^{(n-1/2)^{2}}{\biggr ]}} 야코비 정체성는 이 세 가지 함수을 수학적 조합으로 제공한다: ϑ 10 ( y ) = ϑ 00 ( y ) 4 − ϑ 01 ( y ) 4 4 {\displaystyle \vartheta _{10}(y)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(y)^{4}-\vartheta _{01}(y)^{4}}}} 테타 함수와 타원형 놈 함수는 서로 다음과 같은 관계를 갖는다: ϑ 00 [ q ( x ) ] = 2 π − 1 K ( x ) {\displaystyle \vartheta _{00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}} ϑ 01 [ q ( x ) ] = 1 − x 2 4 2 π − 1 K ( x ) {\displaystyle \vartheta _{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}} ϑ 00 [ q ( x ) 2 ] = cos ⁡ [ 1 2 arcsin ⁡ ( x ) ] 2 π − 1 K ( x ) {\displaystyle \vartheta _{00}[q(x)^{2}]=\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(x){\bigr ]}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}} ϑ 01 [ q ( x ) 2 ] = 1 − x 2 8 2 π − 1 K ( x ) {\displaystyle \vartheta _{01}[q(x)^{2}]={\sqrt[{8}]{1-x^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}} Abel-Ruffini 정리에 따르면 5차 방정식의 일반적인 경우는 기본적으로 풀 수 없다. 그러나 타원 명사와 세타 함수의 조합으로 모든 오차 방정식을 풀 수 있다. 다음의 브링-제라드 정규형의 5차 다항식에 대해 언급된 타원 함수가 있는 실제 솔루션이 이제 표현된다: x 5 + 5 x = 4 c {\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c} Q = q [ ( 2 c 2 + 2 + 2 c 4 + 1 ) − 1 / 2 ( c 4 + 1 + 1 + c ) ] {\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}} x = [ ϑ 00 ( Q 1 / 5 ) 2 − 5 ϑ 00 ( Q 5 ) 2 ] ϑ 00 ( Q 1 / 5 ) 2 + 5 ϑ 00 ( Q 5 ) 2 − 4 ϑ 00 ( Q ) 2 − 2 ϑ 00 ( Q 1 / 5 ) ϑ 00 ( Q 5 ) 4 ϑ 10 ( Q ) ϑ 01 ( Q ) ϑ 00 ( Q ) {\displaystyle x={\frac {{\bigl [}\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}{\bigr ]}{\sqrt {\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}-2\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})\,\vartheta _{00}(Q^{5})}}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}} 기본 함수로 풀 수 있는 방정식의 예: 첫 번째 계산 예: 두 번째 계산 예: 타원 함수로만 풀 수 있는 계산 예: x 5 + 5 x = 2 2 4 {\displaystyle x^{5}+5\,x=2{\sqrt[{4}]{2}}} Q = q [ ( 2 c 2 + 2 + 2 c 4 + 1 ) − 1 / 2 ( c 4 + 1 + 1 + c ) ] ( c = 2 − 3 / 4 ) = q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] {\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}(c=2^{-3/4})=q{\bigl [}\cos {\bigl (}{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}} Q ≈ 0.11785793531185771914155254110648923544545944879394196130445 {\displaystyle Q\approx 0.11785793531185771914155254110648923544545944879394196130445} x = ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] 1 / 5 } 2 − 5 ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] 5 } 2 4 ϑ 10 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] } ϑ 01 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] } ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] } × {\displaystyle x={\frac {\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{1/5}{\bigr \}}^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{5}{\bigr \}}^{2}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\,\vartheta _{01}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\,\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}}}\times } × ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] 1 / 5 } 2 + 5 ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] 5 } 2 − 4 ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] } 2 − 2 ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] 1 / 5 } ϑ 00 { q [ cos ⁡ ( 1 8 π ) ] 5 } {\displaystyle \times {\sqrt {\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{1/5}{\bigr \}}^{2}+5\,\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{5}{\bigr \}}^{2}-4\,\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-2\,\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{1/5}{\bigr \}}\,\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{5}{\bigr \}}}}} x ≈ 0.4710447387949811740242434591671230417409496435087081512857 {\displaystyle x\approx 0.4710447387949811740242434591671230417409496435087081512857} 이제 솔루션이 타원 함수의 도움으로만 표현될 수 있는 두 번째 예가 표시된다: x 5 + 5 x = 4 {\displaystyle x^{5}+5\,x=4} Q = q [ ( 2 c 2 + 2 + 2 c 4 + 1 ) − 1 / 2 ( c 4 + 1 + 1 + c ) ] ( c = 1 ) = q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] {\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl (}c=1{\bigr )}=q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}} Q ≈ 0.18520287008030014142515182307361246060360377625 {\displaystyle Q\approx 0.18520287008030014142515182307361246060360377625} x = ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] 1 / 5 } 2 − 5 ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] 5 } 2 4 ϑ 10 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] } ϑ 01 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] } ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] } × {\displaystyle x={\frac {\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}^{2}-5\,\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}^{2}}{4\,\vartheta _{10}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}\,\vartheta _{01}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}\,\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}}}\times } × ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] 1 / 5 } 2 + 5 ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] 5 } 2 − 4 ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] } 2 − 2 ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] 1 / 5 } ϑ 00 { q [ 2 4 2 + sin ⁡ ( π 8 ) ] 5 } {\displaystyle \times {\sqrt {\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}^{2}+5\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}^{2}-4\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}^{2}-2\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}\,\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}}}} x ≈ 0.75192639869405948026865366345020738740978383913 {\displaystyle x\approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913} 바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수 오일러 등식 Milton Abramowitz and Irene A. 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