변형 함자

수학에서, 변형 함자(變形函子, 영어: deformation functor)는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 변형 이론(變形理論, 영어: deformation theory)이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 F {\displaystyle F} 의, 어떤 아르틴 가환환 A {\displaystyle A} 에 대한 값 F ( A ) {\displaystyle F(A)} 는 다루고자 하는 대상의, A {\displaystyle A} 위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다. 체 k {\displaystyle k} 위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환 ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} 이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환 A {\displaystyle A} 는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다. A = k [ x 1 , x 2 , … , x m ] / ( x 1 n 1 , x 2 n 2 , … , x m n m , p 1 , p 2 , … , p r ) {\displaystyle A=k[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}]/(x_{1}^{n_{1}},x_{2}^{n_{2}},\dotsc ,x_{m}^{n_{m}},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r})} p 1 , … , p r ∈ k [ x 1 , … , x m ] {\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{r}\in k[x_{1},\dotsc ,x_{m}]} p i ( 0 , 0 , … , 0 ) = 0 ∈ k ∀ i ∈ { 1 , … , r } {\displaystyle p_{i}(0,0,\dotsc ,0)=0\in k\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,r\}} m = ( x 1 , x 2 , … , x m ) ⊊ A {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m})\subsetneq A} 또한, A {\displaystyle A} 의 스펙트럼 Spec ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Spec} A} 은 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체 k {\displaystyle k} 가 주어졌을 때 k [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle k[x]/(x^{2})} 는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼은 m = ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x)} 이다. 체 k {\displaystyle k} 에 대하여, 범주 LocArt ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)} 를 다음과 같이 정의하자. LocArt k {\displaystyle \operatorname {LocArt} _{k}} 의 대상 i : k → A {\displaystyle i\colon k\to A} 은 k {\displaystyle k} 를 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환 ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} 을 공역으로 하는 환 준동형 가운데, k → A → A / m {\displaystyle k\to A\to A/{\mathfrak {m}}} 가 환의 동형 사상을 이루는 것이다. LocArt k {\displaystyle \operatorname {LocArt} _{k}} 의 사상 ( A , m A , i A ) → ( B , m B , i B ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A},i_{A})\to (B,{\mathfrak {m}}_{B},i_{B})} 은 구조 사상과 호환되는 환 준동형 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} 이다. 즉, f ∘ i A = i B {\displaystyle f\circ i_{A}=i_{B}} 이어야 한다. 이 범주에서, ( k , m k = ( 0 ) , id k ) {\displaystyle (k,{\mathfrak {m}}_{k}=(0),\operatorname {id} _{k})} 는 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 의 곱 A × LocArt ⁡ ( k ) B {\displaystyle A\times _{\operatorname {LocArt} (k)}B} 는 곱집합과 다르며, 구체적으로 ( A , m A , i A ) × LocArt ⁡ ( k ) ( B , m B , i B ) = { ( a , b ) ∈ A × Set B : i A − 1 ( a + m A ) = i B − 1 ( b + m B ) } {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A},i_{A})\times _{\operatorname {LocArt} (k)}(B,{\mathfrak {m}}_{B},i_{B})=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon i_{A}^{-1}(a+{\mathfrak {m}}_{A})=i_{B}^{-1}(b+{\mathfrak {m}}_{B})\}} 이다. (여기서 × Set {\displaystyle \times _{\operatorname {Set} }} 은 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환의 직접곱 A × CRing B {\displaystyle A\times _{\operatorname {CRing} }B} 의 부분환으로서 주어진다. 보다 일반적으로, 세 대상 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 및 사상 A → f C ← g B {\displaystyle A{\xrightarrow {f}}C{\xleftarrow {g}}B} 이 주어졌을 때, 올곱 A × C B = { ( a , b ) ∈ A × Set B : f ( a ) = g ( b ) } {\displaystyle A\times _{C}B=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon f(a)=g(b)\}} 이 존재한다.:209 이 범주에서, 대상 A = k [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle A=k[x]/(x^{2})} 을 생각하자. 이 경우, A × A ≅ k [ x , y ] / ( x 2 , y 2 , x y ) {\displaystyle A\times A\cong k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy)} 이다. 표준적인 환 준동형 A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} ( a + b x + c y ) ↦ ( a + ( b + c ) x ) {\displaystyle (a+bx+cy)\mapsto (a+(b+c)x)} 을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다. 두 국소 아르틴 가환환 ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} ( A ′ , m ′ ) {\displaystyle (A',{\mathfrak {m}}')} 사이의 환 준동형 f : A → A ′ {\displaystyle f\colon A\to A'} 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 작은 농화(-濃化, 영어: small thickening)라고 한다. 전사 함수이다. ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} 는 A ′ {\displaystyle A'} 의 주 아이디얼이다. ( ker ⁡ f ) m ′ = 0 {\displaystyle (\ker f){\mathfrak {m}}'=0} 이다. 이에 따라, ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} 는 1차원 A / m {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}} -벡터 공간이다. 예를 들어, 체 k {\displaystyle k} 및 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 k [ x ] / ( x n + 1 ) → k [ x ] / ( x n ) {\displaystyle k[x]/(x^{n+1})\to k[x]/(x^{n})} 은 작은 농화이다. 두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다. 체 k {\displaystyle k} 가 주어졌을 때, LocArt ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)} 에서 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는 함자 F : LocArt ⁡ ( k ) → Set {\displaystyle F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, LocArt ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)} 속의 두 환 준동형 B → A ← C {\displaystyle B\to A\leftarrow C} 에 대하여, 올곱의 보편 성질에 의하여 함수 g : F ( B × A C ) → F ( B ) × F ( A ) F ( C ) {\displaystyle g\colon F(B\times _{A}C)\to F(B)\times _{F(A)}F(C)} 가 표준적으로 존재한다. 이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다. (H0) 집합 F ( k ) {\displaystyle F(k)} 는 한원소 집합이다. 여기서 F ( k ) {\displaystyle F(k)} 의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다. (H1) 만약 C → A {\displaystyle C\to A} 가 작은 농화라면, g {\displaystyle g} 가 전사 함수이다. (H2) 만약 A = k {\displaystyle A=k} 이며, C = k [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle C=k[x]/(x^{2})} 라면, g {\displaystyle g} 가 전단사 함수이다. (H4) 만약 C → A {\displaystyle C\to A} 가 작은 농화이며 B → A {\displaystyle B\to A} 가 동형 사상이라면, g {\displaystyle g} 가 전단사 함수이다. (H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 F {\displaystyle F} 를 변형 함자라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 준변형 함자 영어: pre-deformation functor라고 한다.) 변형 함자 F {\displaystyle F} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 F ( k [ x ] / ( x 2 ) ) {\displaystyle F(k[x]/(x^{2}))} 를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 k {\displaystyle k} -벡터 공간 구조를 정의할 수 있다. α v = F ( σ α ) v ∀ α ∈ k , v ∈ F ( k [ x ] / ( x 2 ) ) {\displaystyle \alpha v=F(\sigma _{\alpha })v\qquad \forall \alpha \in k,\;v\in F(k[x]/(x^{2}))} v + w = F ( μ ) g − 1 ( v , w ) {\displaystyle v+w=F(\mu )g^{-1}(v,w)} 여기서 σ α : k [ x ] / ( x 2 ) → k [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle \sigma _{\alpha }\colon k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})} σ α : x ↦ α x {\displaystyle \sigma _{\alpha }\colon x\mapsto \alpha x} 는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며, g : F ( k [ x ] / ( x 2 ) × k [ x ] / ( x 2 ) ) → F ( k [ x ] / ( x 2 ) ) × F ( k [ x ] / ( x 2 ) ) {\displaystyle g\colon F(k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2}))\to F(k[x]/(x^{2}))\times F(k[x]/(x^{2}))} 는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며, μ : k [ x ] / ( x 2 ) × k [ x ] / ( x 2 ) → k [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle \mu \colon k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})} 는 k [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle k[x]/(x^{2})} 위의 군 대상 구조이다. 이 경우, 벡터 공간 F ( k [ x ] / ( x 2 ) ) {\displaystyle F(k[x]/(x^{2}))} 를 변형 함자 F {\displaystyle F} 의 접공간(接空間, 영어: tangent space)이라고 한다. 변형 함자 F : LocArt ⁡ ( k ) → Set {\displaystyle F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set} } 가 주어졌다고 하자. ComplLocNoeth ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {ComplLocNoeth} (k)} 가 k {\displaystyle k} -대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 k {\displaystyle k} -대수 ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} 에 대하여, 다음을 정의할 수 있다. F ^ ( A ) = lim ← n → ∞ ⁡ F ( A / m n ) {\displaystyle {\hat {F}}(A)=\varprojlim _{n\to \infty }F(A/{\mathfrak {m}}^{n})} 여기서 유한한 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 A / m n {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}^{n}} 이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자 F ^ : ComplLocNoeth ⁡ ( k ) → Set {\displaystyle {\hat {F}}\colon \operatorname {ComplLocNoeth} (k)\to \operatorname {Set} } 를 정의한다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. F ^ {\displaystyle {\hat {F}}} 가 표현 가능 함자이다. (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원 k {\displaystyle k} -벡터 공간이다. 대수적으로 닫힌 체 k {\displaystyle k} 위의 매끄러운 대수다양체 X 0 {\displaystyle X_{0}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자. 국소 아르틴 k {\displaystyle k} -대수 A {\displaystyle A} 스킴 X A {\displaystyle X_{A}} 평탄 사상 X A → Spec ⁡ A {\displaystyle X_{A}\to \operatorname {Spec} A} 스킴 사상 X 0 → X {\displaystyle X_{0}\to X} 이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자. 다음 네모가 가환 그림을 이룬다. X 0 → X A ↓ ↓ Spec ⁡ k → Spec ⁡ A {\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X_{A}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} k&\to &\operatorname {Spec} A\end{matrix}}} 이 네모로부터, 올곱의 보편 성질로 정의되는 사상 X 0 → X A × Spec ⁡ A Spec ⁡ k {\displaystyle X_{0}\to X_{A}\times _{\operatorname {Spec} A}\operatorname {Spec} k} 는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 X 0 {\displaystyle X_{0}} 이다.) 그렇다면, F ( A ) {\displaystyle F(A)} 가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우, F {\displaystyle F} 는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은 H 1 ⁡ ( X 0 , T X 0 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X_{0},\mathrm {T} X_{0})} 이다. 변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(영어: John Michael Schlessinger)가 도입하였다. Schlessinger, Michael (1968). “Functors of Artin rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 130: 208–222. doi:10.1090/S0002-9947-1968-0217093-3. ISSN 0002-9947. JSTOR 994967. MR 217093.  “Deformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Deformation functor”. 《nLab》 (영어).  “Deformation theory”. 《nLab》 (영어).  Ward, Matt (2012년 5월 10일). “Galois Deformations 1: Schlessinger” (영어). 2018년 9월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 9월 27일에 확인함.  Osserman, Brian. “A glimpse of deformation theory” (PDF) (영어).  Osserman, Brian. “Beyond Schlessinger: deformation stacks” (PDF) (영어).  Hartshorne, Robin (2004). “Lectures on deformation theory” (PDF) (영어).