자기 동형탑

군론에서, 어떤 군의 자기 동형탑(自己同型塔, 영어: automorphism tower)은 자기 동형군을 반복적으로 취하여 만들어지는 군의 열이다. 군 G {\displaystyle G} 의 자기 동형탑 ( Aut α ⁡ ( G ) , ϕ α β ) {\displaystyle (\operatorname {Aut} ^{\alpha }(G),\phi _{\alpha \beta })} 은 다음과 같은 데이터들의 튜플이다. 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, 군 Aut α ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)} α ≤ β {\displaystyle \alpha \leq \beta } 인 순서수 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 에 대하여, 군 준동형 ϕ α β : Aut α ⁡ ( G ) → Aut β ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\colon \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)\to \operatorname {Aut} ^{\beta }(G)} . 또한, α = β {\displaystyle \alpha =\beta } 인 경우, ϕ α α {\displaystyle \phi _{\alpha \alpha }} 는 항등 함수이다. 이는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다. Aut 0 ⁡ ( G ) = G {\displaystyle \operatorname {Aut} ^{0}(G)=G} 따름 순서수 α + 1 {\displaystyle \alpha +1} 에 대하여, Aut α + 1 ⁡ ( G ) = Aut ⁡ ( Aut α ⁡ ( G ) ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha +1}(G)=\operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} ^{\alpha }(G))} 는 Aut α ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)} 의 자기 동형군이다. ϕ α , α + 1 : Aut α ⁡ ( G ) → Aut α + 1 ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi _{\alpha ,\alpha +1}\colon \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)\to \operatorname {Aut} ^{\alpha +1}(G)} 는 임의의 g ∈ Aut α ⁡ ( G ) {\displaystyle g\in \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)} 를 그에 대응하는 내부 자기 동형 ϕ α , α + 1 ( g ) : h ↦ g h g − 1 {\displaystyle \phi _{\alpha ,\alpha +1}(g)\colon h\mapsto ghg^{-1}} 으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다. 극한 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, ( Aut α ⁡ ( G ) , ( ϕ β α ) β < α ) {\displaystyle (\operatorname {Aut} ^{\alpha }(G),(\phi _{\beta \alpha })_{\beta <\alpha })} 는 유향 체계 ( ( Aut β ⁡ ( G ) ) β < α , ( ϕ β γ ) β ≤ γ < α ) {\displaystyle ((\operatorname {Aut} ^{\beta }(G))_{\beta <\alpha },(\phi _{\beta \gamma })_{\beta \leq \gamma <\alpha })} 의 귀납적 극한이다. 군 G {\displaystyle G} 의 자기 동형탑 높이(영어: automorphism tower height) τ Aut ( G ) {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)} 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수이다. ϕ τ Aut ( G ) , τ Aut ( G ) + 1 {\displaystyle \phi _{\tau _{\operatorname {Aut} }(G),\tau _{\operatorname {Aut} }(G)+1}} 는 군의 동형이다. 즉, Aut τ Aut ( G ) ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\tau _{\operatorname {Aut} }(G)}(G)} 는 완비군이다. 이 경우, 임의의 순서수 β ≥ α ≥ τ Aut ( G ) {\displaystyle \beta \geq \alpha \geq \tau _{\operatorname {Aut} }(G)} 에 대하여 ϕ α β {\displaystyle \phi _{\alpha \beta }} 는 군의 동형이다. 즉, τ Aut ( G ) {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)} 는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다. 임의의 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 그 내부 자기 동형군은 자기 동형군의 정규 부분군을 이룬다. 만약 G {\displaystyle G} 의 중심이 자명군이라면, 그 내부 자기 동형군의 자기 동형군에서의 중심화 부분군은 자명군이다. C Aut ⁡ ( G ) ⁡ ( Inn ⁡ ( G ) ) = 1 {\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {Aut} (G)}(\operatorname {Inn} (G))=1} 특히, 만약 G {\displaystyle G} 의 중심이 자명군이라면, Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G)} 의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 군 준동형 ϕ 0 , 1 : G → Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi _{0,1}\colon G\to \operatorname {Aut} (G)} 이 단사 함수인 조건과 동치이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군 G {\displaystyle G} 의 자기 동형탑 G ⊲ Aut ⁡ ( G ) ⊲ Aut ⁡ ( Aut ⁡ ( G ) ) ⊲ ⋯ ⊲ Aut ω ⁡ ( G ) ⊲ Aut ω + 1 ⁡ ( G ) ⊲ ⋯ {\displaystyle G\vartriangleleft \operatorname {Aut} (G)\vartriangleleft \operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} (G))\vartriangleleft \dotsb \vartriangleleft \operatorname {Aut} ^{\omega }(G)\vartriangleleft \operatorname {Aut} ^{\omega +1}(G)\vartriangleleft \dotsb } 은 점점 커지는 일련의 (정규) 부분군들의 열이다. 자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 충분조건은 다음과 같다. 만약 G {\displaystyle G} 가 자명한 중심을 갖는 유한군이라면, τ Aut ( G ) < ω {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\omega } 이다. 만약 G {\displaystyle G} 가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, 영어: Chernikov group)이라면, τ Aut ( G ) < ω {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\omega } 이다. 만약 G {\displaystyle G} 가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, 영어: polycyclic group)이라면, τ Aut ( G ) < ω 1 {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\omega _{1}} 이다. 만약 G {\displaystyle G} 가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면, τ ( G ) < ω 1 {\displaystyle \tau (G)<\omega _{1}} 이다.:95, Theorem 1.6 임의의 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 군 G {\displaystyle G} 의 자기 동형탑 높이는 ( 2 κ ) + {\displaystyle (2^{\kappa })^{+}} 미만이며 (여기서, ( 2 κ ) + {\displaystyle (2^{\kappa })^{+}} 는 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }} 의 따름 기수이다), 이는 선택 공리를 필요로 하지 않는다. 또한, 임의의 순서수 α < κ + {\displaystyle \alpha <\kappa ^{+}} 에 대하여, 자기 동형탑 높이가 α {\displaystyle \alpha } 인, 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 자명한 중심을 갖는 군 G {\displaystyle G} 가 존재한다. 즉, κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, τ Aut ( κ ) {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )} 가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자. 임의의 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 자명한 중심을 갖는 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, τ Aut ( G ) < τ Aut ( κ ) {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )} 그렇다면, 위 결론들에 따라 κ + ≤ τ Aut ( κ ) ≤ ( 2 κ ) + {\displaystyle \kappa ^{+}\leq \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )\leq (2^{\kappa })^{+}} 이다. 하지만 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 자명한 중심을 갖는 군은 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }} 개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다. κ + ≤ τ Aut ( κ ) < ( 2 κ ) + {\displaystyle \kappa ^{+}\leq \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )<(2^{\kappa })^{+}} 즉, ( 2 κ ) + {\displaystyle (2^{\kappa })^{+}} 는 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 무중심군의 자기 동형군 높이 τ Aut ( G ) {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)} 에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약 κ {\displaystyle \kappa } 가 비가산 기수라면, ( 2 κ ) + {\displaystyle (2^{\kappa })^{+}} 는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 명제 τ Aut ( κ ) < ( 2 κ ) + {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )<(2^{\kappa })^{+}} 를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 강제법을 사용하여 보일 수 있다.:245, Theorem 1.4 (이러한 일이 가능한 것은 τ Aut ( κ ) {\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )} 의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.) 임의의 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, Aut α ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)} 의 중심이 자명군인 순서수 α {\displaystyle \alpha } 가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다. Thomas, Simon (1998). “The automorphism tower problem. II”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 103: 93–109. doi:10.1007/BF02762269. ISSN 0021-2172. MR 1613552. Zbl 0919.20026.  Kaplan, Itay; Shelah, Saharon (2009). “The automorphism tower of a centerless group without choice”. 《Archive for Mathematical Logic》 (영어) 48 (8): 799–815. arXiv:math/0606216. doi:10.1007/s00153-009-0154-2. ISSN 0933-5846. MR 2563819. Zbl 1192.03026.  Just, Winfried; Shelah, Saharon; Thomas, Simon (1999). “The automorphism tower problem revisited”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 148 (2): 243–265. arXiv:math/0003120. doi:10.1006/aima.1999.1852. ISSN 0001-8708. MR 1736959. Zbl 0951.20026.