기하학적 양자화

수리물리학에서 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다. 대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} . 이는 계의 상태 공간(phase space)이다. 해밀토니언 H : M → R {\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} } . 이는 계의 시간 변화를 나타낸다. 고전적 관측가능량들은 M {\displaystyle M} 위의 함수로 나타내어진다. 기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다. 준양자화(영어: prequantization) 양자화 메타플렉틱 보정(영어: metaplectic correction) 심플렉틱 형식 ω {\displaystyle \omega } 가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, 영어: prequantization condition)을 만족시킨다고 하자. [ ω / 2 π ] ∈ H 2 ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle [\omega /2\pi ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} )} 즉, ω / 2 π {\displaystyle \omega /2\pi } 의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.) 매끄러운 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 위의 준양자 구조(準量子構造, 영어: prequantum structure)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. M {\displaystyle M} 위의 복소수 선다발 L ↠ M {\displaystyle L\twoheadrightarrow M} L {\displaystyle L} 위의 코쥘 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다. c 1 ⁡ ( L ) = [ ω / 2 π ] {\displaystyle \operatorname {c} _{1}(L)=[\omega /2\pi ]} F ∇ = i ω {\displaystyle F_{\nabla }=\mathrm {i} \omega } 여기서 c 1 {\displaystyle c_{1}} 은 1차 천 특성류이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.) ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 의 준양자 구조 ( L , ∇ ) {\displaystyle ({\mathcal {L}},\nabla )} 가 주어졌다면, L → L ⊗ n {\displaystyle {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}^{\otimes n}} 은 ( M , n ω ) {\displaystyle (M,n\omega )} 의 준양자 구조를 이룬다. 일반화 위치 q i {\displaystyle q^{i}} 를 고정시킨다면 일반화 운동량이 p i = q j ω i j {\displaystyle p_{i}=q_{j}\omega _{ij}} 이므로, 이는 p i ↦ n p i {\displaystyle p_{i}\mapsto np_{i}} 와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 S {\displaystyle S} 는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는 S / ℏ ↦ n S / ℏ = S / ( ℏ / n ) {\displaystyle S/\hbar \mapsto nS/\hbar =S/(\hbar /n)} 이다. 양자역학의 파인만 경로 적분은 S / ℏ {\displaystyle S/\hbar } 에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의 ℏ ↦ ℏ / n {\displaystyle \hbar \mapsto \hbar /n} 으로 생각할 수 있다. 따라서, n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 극한은 ℏ → 0 {\displaystyle \hbar \to 0} , 즉 반고전적(영어: semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다. 다양체 M {\displaystyle M} 위의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 T M C {\displaystyle TM^{\mathbb {C} }} 의 부분 벡터 다발 P ⊂ T M C {\displaystyle P\subset TM^{\mathbb {C} }} 이다.:Definition 7.4:§4 (적분 가능성) 모든 u , v ∈ P {\displaystyle u,v\in P} 에 대하여, [ u , v ] ∈ P {\displaystyle [u,v]\in P} 이다. 여기서 [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} 는 리 미분이다. (극대성) P {\displaystyle P} 보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, M {\displaystyle M} 이 유한 차원이라면, P {\displaystyle P} 의 차원은 dim R ⁡ P = dim ⁡ M {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }P=\dim M} 이다.) 극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 ( M , L , ∇ , P ) {\displaystyle (M,L,\nabla ,P)} 에 대하여, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 는 L {\displaystyle L} 의 제곱 적분 가능 단면 가운데, P {\displaystyle P} 의 방향으로 일정한 단면들이다. H = { s ∈ L 2 ⁡ ( M , L ) : ∇ P s = 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{s\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)\colon \nabla _{P}s=0\}} 이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(영어: projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다. 여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. P {\displaystyle P} 는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간(영어: leaf space) M / P {\displaystyle M/P} 를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 M {\displaystyle M} 으로부터 유도된 측도가 존재한다. ∇ P s = 0 {\displaystyle \nabla _{P}s=0} 을 만족시키는 단면의 경우 M / P {\displaystyle M/P} 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 M / P {\displaystyle M/P} 위에 유도된 측도에 대한 것이다. 양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조(영어: metaplectic structure)를 정의해야 한다. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 의 접다발 T M {\displaystyle TM} 은 심플렉틱 구조로 인해 Sp ⁡ ( dim ⁡ M , R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (\dim M,\mathbb {R} )} 구조를 갖는다. 메타플렉틱 군 Mp ⁡ ( 2 k , R ) {\displaystyle \operatorname {Mp} (2k,\mathbb {R} )} 는 Sp ⁡ ( 2 k , R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2k,\mathbb {R} )} 의 연결 두 겹 피복군이다. ( π 1 ( Sp ⁡ ( 2 k , R ) ) = Z {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sp} (2k,\mathbb {R} ))=\mathbb {Z} } 이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 의 메타플렉틱 구조는 접다발의 Sp ⁡ ( dim ⁡ M , R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (\dim M,\mathbb {R} )} 구조를 메타플렉틱 구조 Mp ⁡ ( dim ⁡ M , R ) {\displaystyle \operatorname {Mp} (\dim M,\mathbb {R} )} 로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.) 준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} 과 그 위에 정의된 L {\displaystyle L} 의 단면 s ∈ Γ ( N , L ⊗ det T ∗ N ) {\displaystyle s\in \Gamma (N,L\otimes {\sqrt {\det T^{*}N}})} 이다. s 2 {\displaystyle s^{2}} 는 N {\displaystyle N} 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 원소 s ~ ∈ L 2 ⁡ ( M , L ) {\displaystyle {\tilde {s}}\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)} 로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다. 특히, 이 경우 자주 선다발 L {\displaystyle L} 을 L ⊗ K {\displaystyle L\otimes {\sqrt {K}}} 로 대체한다. 여기서 K = ⋀ dim ⁡ M ( T M / P ) ∗ {\displaystyle K=\textstyle \bigwedge ^{\dim M}(\mathrm {T} M/P)^{*}} 이다. 만약 P {\displaystyle P} 가 정칙 극성화라면 K {\displaystyle K} 는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며, 만약 P {\displaystyle P} 가 실수 극성화라면 K {\displaystyle K} 는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 예를 들어, T ∗ N {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}N} 의 실수 극성화의 경우, 상태는 N {\displaystyle N} 위의 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 대신 f ( x ) d dim ⁡ N x {\displaystyle f(x){\sqrt {\mathrm {d} ^{\dim N}x}}} 의 꼴이게 되며, 그 제곱 | f ( x ) | 2 d dim ⁡ N x {\displaystyle |f(x)|^{2}\,\mathrm {d} ^{\dim N}x} 은 자연스럽게 N {\displaystyle N} 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 n ω ℏ {\displaystyle n\omega \hbar } 대신 ( n + 1 / 2 ) ω ℏ {\displaystyle (n+1/2)\omega \hbar } 가 된다. 기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다. M {\displaystyle M} 이 공변접다발 M = T ∗ N {\displaystyle M=\mathrm {T} ^{*}N} 인 경우. 이는 짜임새 공간 N {\displaystyle N} 이 존재하여, 라그랑주 역학이 적용 가능한 경우다. M {\displaystyle M} 이 켈러 다양체인 경우. 공변접다발 M = T ∗ N {\displaystyle M=\mathrm {T} ^{*}N} 의 경우, 심플렉틱 미분 형식 ω = d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\mathrm {d} p_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}} 에 대한 리우빌 미분 형식 θ = p i ∧ d q i {\displaystyle \theta =p_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}} 이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, ω = d θ {\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta } 는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발 L ≅ M × C {\displaystyle {\mathcal {L}}\cong M\times \mathbb {C} } 은 자명하고, 그 위에 θ {\displaystyle \theta } 를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적으로 T ( x , p ) M ≅ T x N ⊕ T x ∗ N ( x ∈ M , p ∈ T x ∗ M ) {\displaystyle \mathrm {T} _{(x,p)}M\cong \mathrm {T} _{x}N\oplus \mathrm {T} _{x}^{*}N\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} _{x}^{*}M)} T ( x , p ) M C ≅ T x N C ⊕ T x ∗ N C ( x ∈ M , p ∈ T x ∗ M ) {\displaystyle \mathrm {T} _{(x,p)}M^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {T} _{x}N^{\mathbb {C} }\oplus \mathrm {T} _{x}^{*}N^{\mathbb {C} }\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} _{x}^{*}M)} 이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다. P = T ∗ N C ⊂ T M C {\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathrm {T} ^{*}N^{\mathbb {C} }\subset TM^{\mathbb {C} }} 이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다. 따라서 복소수 힐베르트 공간은 N {\displaystyle N} 위의 르베그 공간 H = L 2 ⁡ ( N , C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(N,\mathbb {C} )} 과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은 x ^ i : f ↦ x i f {\displaystyle {\hat {x}}^{i}\colon f\mapsto x_{i}f} p ^ i : f ↦ − i ∂ i f {\displaystyle {\hat {p}}_{i}\colon f\mapsto -i\partial _{i}f} 으로 대응된다. 그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 2 π {\displaystyle 2\pi } 배)인 켈러 다양체 M {\displaystyle M} 을 생각하자. 이 경우, ω / 2 π {\displaystyle \omega /2\pi } 에 대응하는 정칙 선다발 L ↠ M {\displaystyle L\twoheadrightarrow M} 이 존재하며, 그 위에 곡률이 i ω {\displaystyle i\omega } 인 접속을 정의할 수 있다. 켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발 T M C {\displaystyle TM^{\mathbb {C} }} 를 다음과 같이 분해할 수 있다. T M C = T M + ⊕ T M − {\displaystyle \mathrm {T} M^{\mathbb {C} }=\mathrm {T} M^{+}\oplus \mathrm {T} M^{-}} 여기서 T M + {\displaystyle \mathrm {T} M^{+}} 는 정칙 벡터장들의 다발이고, T M − {\displaystyle \mathrm {T} M^{-}} 는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를 P = T M − {\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathrm {T} M^{-}} 로 잡을 수 있다. 이에 따라서, H = H 0 ( M , L ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=H^{0}(M,L)} 은 L {\displaystyle L} 의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은 z ^ i : f ↦ z i f {\displaystyle {\hat {z}}^{i}\colon f\mapsto z^{i}f} − i ∂ i : f ↦ − i ∂ i f {\displaystyle -\mathrm {i} \partial _{i}\colon f\mapsto -\mathrm {i} \partial _{i}f} 에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다. 구체적으로, 위상 공간이 2 n {\displaystyle 2n} 차원 유클리드 공간 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 인 계를 생각하자. 이를 공변접다발 R 2 n ≅ T ∗ R n = Span R ⁡ { x 1 , … , x n , p 1 , … , p n } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\cong T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\dots ,p_{n}\}} 으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜 θ = ∑ i = 1 n p i d x i {\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{n}p_{i}dx_{i}} 에 대응하는 접속은 다음과 같다. ∇ ∂ / ∂ p i = ∂ ∂ p i {\displaystyle \nabla _{\partial /\partial p_{i}}={\frac {\partial }{\partial p_{i}}}} ∇ ∂ / ∂ q i = ∂ ∂ q i − 2 π i p i {\displaystyle \nabla _{\partial /\partial q_{i}}={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-2\pi ip_{i}} 극성화 Span ⁡ { ∂ ∂ p } {\displaystyle \operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial p}}\right\}} 에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다. H = { f ∈ L 2 ( R 2 n ) : ∂ f ∂ p i = 0 ∀ i = 1 , … , n } ≅ L 2 ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2n})\colon {\frac {\partial f}{\partial p^{i}}}=0\forall i=1,\dots ,n\right\}\cong L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} 반대로, 운동량 방향의 극성화 Span ⁡ { ∂ ∂ x } {\displaystyle \operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial x}}\right\}} 에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.:Example 7.5 H = { f ∈ L 2 ( R 2 n ) : ∂ f ∂ x i − 2 π i p i f ( x ) = 0 ∀ i = 1 , … , n } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2n})\colon {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}-2\pi ip_{i}f(x)=0\forall i=1,\dots ,n\right\}} 즉, f ( x , p ) = f ( p ) exp ⁡ ( 2 π i ∑ i = 1 n p i x i ) {\displaystyle f(x,p)=f(p)\exp \left(2\pi i\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)} 의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다. 평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.:Example 7.10 구체적으로, 위상 공간이 2 n {\displaystyle 2n} 차원 유클리드 공간 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다. ∇ i = ∂ ∂ x i + x i {\displaystyle \nabla _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+x_{i}} 여기에 복소구조를 주어 R 2 n ≅ C n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\cong \mathbb {C} ^{n}} z i = x i + x i + n , i = 1 , … , n {\displaystyle z_{i}=x_{i}+x_{i+n},\quad i=1,\dots ,n} ∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)} ∂ ∂ z ¯ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)} 으로 생각하고, 켈러 극성화 P = Span C ⁡ { ∂ ∂ z ¯ 1 , … , ∂ ∂ z ¯ } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}_{1},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\right\}} 를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L2 함수 s : C n → C {\displaystyle s\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} } 가운데 ∇ ∂ / ∂ z s ( z , z ¯ ) = ( 2 ∂ ∂ z ¯ + z ) s ( z , z ¯ ) = 0 {\displaystyle \nabla _{\partial /\partial z}s(z,{\bar {z}})=\left(2{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}+z\right)s(z,{\bar {z}})=0} 인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는 s ( z , z ¯ ) = f ( z ) exp ⁡ ( − ∑ i z i z ¯ i / 2 ) {\displaystyle s(z,{\bar {z}})=f(z)\exp \left(-\sum _{i}z_{i}{\bar {z}}^{i}/2\right)} 의 꼴이며, 여기서 f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다. ∫ C | f ( z ) | 2 exp ⁡ ( − ∑ i z i z ¯ i ) d 2 n z < ∞ {\displaystyle \int _{\mathbb {C} }|f(z)|^{2}\exp \left(-\sum _{i}z_{i}{\bar {z}}_{i}\right)\,d^{2n}z<\infty } 이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다. s α = z α exp ⁡ ( − z z ¯ / 2 ) , α ∈ N n {\displaystyle s_{\alpha }=z^{\alpha }\exp(-z{\bar {z}}/2),\qquad \alpha \in \mathbb {N} ^{n}} 이들은 n {\displaystyle n} 차원 조화 진동자의 α {\displaystyle \alpha } 번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간(영어: Segal–Bargmann–Fock space)이라고 한다. 리만 구 C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 k {\displaystyle k} 의 인자 D {\displaystyle D} 에 대응하는 선다발 O ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(D)} 로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다. H ( k ) = { f ∈ Γ ( O ( D ) ) : ∂ ¯ f = 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}(k)=\{f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(D))\colon {\bar {\partial }}f=0\}} 이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 dim C ⁡ H ( k ) = max { k + 1 , 0 } {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {H}}(k)=\max\{k+1,0\}} 이다. 이는 스핀 k / 2 {\displaystyle k/2} 의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, k {\displaystyle k} 를 k − 1 {\displaystyle k-1} 로 치환하여야 한다.) 보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 D {\displaystyle D} 에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간 H ( D ) = H 0 ( Σ , O ( D ) ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(D)=H^{0}(\Sigma ,{\mathcal {O}}(D))} 을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다. 보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 M {\displaystyle M} 위에, 양의 정수 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 곡률이 k ω {\displaystyle k\omega } 가 되는 복소수 정칙 선다발 L ⊗ k {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지 H ( k ) = H 0 ( M , L ⊗ n ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(k)=H^{0}(M,{\mathcal {L}}^{\otimes n})} 가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 k {\displaystyle k} 에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.:Example 7.11 H ( k ) = ∫ M exp ⁡ ( k ω ) Td ⁡ M ( k ≫ 1 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(k)=\int _{M}\exp(k\omega )\operatorname {Td} M\qquad (k\gg 1)} 여기서 Td ⁡ M {\displaystyle \operatorname {Td} M} 은 토드 특성류이다. 특히, M {\displaystyle M} 이 복소수 n {\displaystyle n} 차원이라면 ∫ M exp ⁡ ( k ω ) Td ⁡ M = ∑ i = 0 n ∫ M k i ω i i ! Td ⁡ M = k n ∫ M ω n / n ! + 1 ( n − 1 ) ! 2 k n − 1 ∫ M ω c 1 + ⋯ {\displaystyle \int _{M}\exp(k\omega )\operatorname {Td} M=\sum _{i=0}^{n}\int _{M}{\frac {k^{i}\omega ^{i}}{i!}}\operatorname {Td} M=k^{n}\int _{M}\omega ^{n}/n!+{\frac {1}{(n-1)!2}}k^{n-1}\int _{M}\omega c_{1}+\cdots } 이 되므로, 고전 극한 k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } 에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 ∫ M ( k ω ) n / n ! {\displaystyle \int _{M}(k\omega )^{n}/n!} 에 수렴하는 것을 알 수 있다. Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) 8. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9.  Ritter, William Gordon (2002). “Geometric quantization” (영어). arXiv:math-ph/0208008. Bibcode:2002math.ph...8008R.  Woodhouse, Nicholas M. J. (1997년 8월 28일). 《Geometric Quantization》. Oxford Mathematical Monographs (영어) 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850270-8. MR 1183739.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Echeverría-Enríquez, Arturo; Miguel C. 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