부정적분

미적분학에서 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다. 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ( x ∈ I {\displaystyle x\in I} )가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 F ( x ) {\displaystyle F(x)} ( x ∈ I {\displaystyle x\in I} )가 존재한다면, 이를 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 원함수(原函數, 영어: antiderivative) 또는 역도함수(逆導函數)라고 한다. F ′ ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ I {\displaystyle F'(x)=f(x)\qquad \forall x\in I} 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ( x ∈ I {\displaystyle x\in I} )의 한 원함수 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 가 존재할 경우, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다. ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C {\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=F(x)+C} 이를 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 부정적분이라고 한다. 여기서 C {\displaystyle C} 는 임의의 상수이며, 이를 적분상수라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 C {\displaystyle C} 에 대하여, ( C ) ′ = 0 {\displaystyle (C)'=0} 이므로, ( F ( x ) + C ) ′ = f ( x ) {\displaystyle (F(x)+C)'=f(x)} 이다. 즉, F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} 는 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 G ( x ) {\displaystyle G(x)} 에 대하여, ( G ( x ) − F ( x ) ) ′ = 0 {\displaystyle (G(x)-F(x))'=0} 이므로, 평균값 정리에 따라 G ( x ) − F ( x ) {\displaystyle G(x)-F(x)} 는 상수 함수이다. 따라서 G ( x ) {\displaystyle G(x)} 는 G ( x ) = F ( x ) + C {\displaystyle G(x)=F(x)+C} 꼴로 나타낼 수 있다. 위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, f ( x ) = 1 / x 2 {\displaystyle f(x)=1/x^{2}} 에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} 및 ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} 가운데 하나를 선택하여야 한다.:398-399 ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{x}}+C} 전체 정의역 ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )} 에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.:398-399 ∫ 1 x 2 d x = { − 1 x + C x > 0 − 1 x + C ′ x < 0 {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C&x>0\\\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C'&x<0\end{cases}}} 만약 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다. ( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) {\displaystyle \left(\int f(x)\mathrm {d} x\right)'=f(x)} 만약 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다. ∫ F ′ ( x ) d x = F ( x ) + C {\displaystyle \int F'(x)\mathrm {d} x=F(x)+C} 이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다. 연속 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다. F ( x ) = ∫ a x f ( x ) d x {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\mathrm {d} x} 반대로, 연속 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 한 원함수 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다. ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)} 함수 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} 의 부정적분이 존재한다면, f ( x ) ± g ( x ) {\displaystyle f(x)\pm g(x)} 의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다. ∫ f ( x ) ± g ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\pm g(x)\mathrm {d} x=\int f(x)\mathrm {d} x\pm \int g(x)\mathrm {d} x} 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 부정적분이 존재한다면, 상수 c {\displaystyle c} 에 대하여 c f ( x ) {\displaystyle cf(x)} 의 부정적분 역시 존재하며, c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} 일 경우 다음이 성립한다. ∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int cf(x)\mathrm {d} x=c\int f(x)\mathrm {d} x} 이에 따라 부정적분은 선형 연산이다. 만약 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 한 원함수 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 가 존재하며, g ( t ) {\displaystyle g(t)} 가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.:246, 정리6.2.1 ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t = ∫ f ( x ) d x = F ( g ( t ) ) + C {\displaystyle \int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=\int f(x)\mathrm {d} x=F(g(t))+C} 만약 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 가 미분 가능 함수이며, g ′ ( t ) ≠ 0 {\displaystyle g'(t)\neq 0} 가 성립하며, f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) {\displaystyle f(g(t))g'(t)} 의 한 원함수 H ( t ) {\displaystyle H(t)} 가 존재한다면, 다음이 성립한다.:252, 정리6.2.2 ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t = H ( g − 1 ( x ) ) + C {\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=H(g^{-1}(x))+C} 만약 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} 가 미분 가능 함수이며, f ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle f'(x)g(x)} 의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다. ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm {d} x} 모든 (실수) 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다. A ( x − a ) m {\displaystyle {\frac {A}{(x-a)^{m}}}} B x + C ( x 2 + p x + q ) n {\displaystyle {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}} 여기서 A , B , C , a , p , q ∈ R {\displaystyle A,B,C,a,p,q\in \mathbb {R} } 은 실수이며 m , n ∈ Z + {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}} 은 양의 정수이다. 또한 p 2 − 4 q < 0 {\displaystyle p^{2}-4q<0} 을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ A x − a d x = A ln ⁡ ( x − a ) + C {\displaystyle \int {\frac {A}{x-a}}\mathrm {d} x=A\ln(x-a)+C} ∫ A ( x − a ) m d x = − A ( m − 1 ) ( x − a ) m − 1 + C ( m > 1 ) {\displaystyle \int {\frac {A}{(x-a)^{m}}}\mathrm {d} x=-{\frac {A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}}+C\qquad (m>1)} ∫ B x + C x 2 + p x + q d x = B 2 ln ⁡ ( x 2 + p x + q ) + 2 C − B p 4 q − p 2 arctan ⁡ 2 x + p 4 q − p 2 + C {\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}\mathrm {d} x={\frac {B}{2}}\ln(x^{2}+px+q)+{\frac {2C-Bp}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\arctan {\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}+C} ∫ B x + C ( x 2 + p x + q ) n d x = − B 2 ( n − 1 ) ( x 2 + p x + q ) n − 1 + ( C − B p / 2 ) ∫ 1 ( x 2 + p x + q ) n d x ( n > 1 ) {\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {B}{2(n-1)(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(C-Bp/2)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x\qquad (n>1)} ∫ 1 ( x 2 + p x + q ) n d x = 1 2 ( n − 1 ) ( q − p 2 / 4 ) ( x + p / 2 ( x 2 + p x + q ) n − 1 + ( 2 n − 3 ) ∫ 1 ( x 2 + p x + q ) n − 1 d x ) ( n > 1 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2(n-1)(q-p^{2}/4)}}\left({\frac {x+p/2}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(2n-3)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}\mathrm {d} x\right)\qquad (n>1)} 부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다. 삼각 유리 함수는 R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) {\displaystyle R(\sin x,\cos x)} 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자. tan ⁡ x 2 = t , x = 2 arctan ⁡ t , d x = 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t} 그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다. ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t} 만약 R ( − u , v ) = − R ( u , v ) {\displaystyle R(-u,v)=-R(u,v)} 라면, 이는 항상 R ( u , v ) = u R 1 ( u 2 , v ) {\displaystyle R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)} 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다. ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ sin ⁡ x R 1 ( sin 2 ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = − ∫ R 1 ( 1 − t 2 , t ) d t ( cos ⁡ x = t ) {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)\mathrm {d} x=-\int R_{1}(1-t^{2},t)\mathrm {d} t\qquad (\cos x=t)} 마찬가지로, 만약 R ( u , − v ) = − R ( u , v ) {\displaystyle R(u,-v)=-R(u,v)} 라면, 이는 R ( u , v ) = v R 1 ( u , v 2 ) {\displaystyle R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})} 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다. ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ cos ⁡ x R 1 ( sin ⁡ x , cos 2 ⁡ x ) d x = ∫ R 1 ( t , 1 − t 2 ) d t ( sin ⁡ x = t ) {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(t,1-t^{2})\mathrm {d} t\qquad (\sin x=t)} 만약 R ( − u , − v ) = R ( u , v ) {\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v)} 라면, R ( u , v ) = R 1 ( u / v , v 2 ) {\displaystyle R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})} 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다. ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ R 1 ( tan ⁡ x , cos 2 ⁡ x ) d x = ∫ R 1 ( t , 1 1 + t 2 ) 1 1 + t 2 d t ( tan ⁡ x = t ) {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\qquad (\tan x=t)} 사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. R ( u , v ) = R ( u , v ) − R ( − u , v ) 2 + R ( − u , v ) − R ( − u , − v ) 2 + R ( − u , − v ) + R ( u , v ) 2 {\displaystyle R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}} 무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다. R ( x , a x + b c x + d n ) {\displaystyle R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)} 여기서 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 는 2변수 유리 함수이며, m ∈ Z + {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}} 는 양의 정수이며, a , b , c , d ∈ R {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} } 는 실수이다. 또한 a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} 을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자. a x + b c x + d n = t , x = d t n − b a − c t n , d x = n ( a d − b c ) t n − 1 ( a − c t n ) 2 d t {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}=t,\;x={\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},\;\mathrm {d} x={\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t} 그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다. ∫ R ( x , a x + b c x + d n ) d x = ∫ R ( d t n − b a − c t n , t ) n ( a d − b c ) t n − 1 ( a − c t n ) 2 d t {\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},t\right){\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t} 함수 ( a + b z ) p z q {\displaystyle (a+bz)^{p}z^{q}} 를 생각하자. 여기서 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } 는 실수이며, p , q ∈ Q {\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} } 는 유리수이다. p , q , p + q {\displaystyle p,q,p+q} 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. p = r / s {\displaystyle p=r/s} 이며 q = r ′ / s ′ {\displaystyle q=r'/s'} 라고 하자. 여기서 r , s , r ′ , s ′ ∈ Z {\displaystyle r,s,r',s'\in \mathbb {Z} } 는 정수이다. 만약 p ∈ Z {\displaystyle p\in \mathbb {Z} } 일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 z s ′ {\displaystyle {\sqrt[{s'}]{z}}} 뿐이므로, 치환 적분 z s ′ = t {\displaystyle {\sqrt[{s'}]{z}}=t} 를 통해 구할 수 있다. 만약 q ∈ Z {\displaystyle q\in \mathbb {Z} } 일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 a + b z s {\displaystyle {\sqrt[{s}]{a+bz}}} 뿐이므로, 역시 치환 적분 a + b z s = t {\displaystyle {\sqrt[{s}]{a+bz}}=t} 를 통해 구할 수 있다. 만약 p + q ∈ Z {\displaystyle p+q\in \mathbb {Z} } 일 경우, 함수를 ( ( a + b z ) / z ) p z p + q {\displaystyle ((a+bz)/z)^{p}z^{p+q}} 와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 ( a + b z ) / z s {\displaystyle \textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}} 뿐이므로, 치환 적분 ( a + b z ) / z s = t {\displaystyle \textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}=t} 를 통해 구할 수 있다. 보다 일반적으로, 함수 x m ( a + b x n ) p {\displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p}} 를 생각하자. 여기서 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } 는 실수이며, m , n , p ∈ Q {\displaystyle m,n,p\in \mathbb {Q} } 는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자. x n = z , x = z 1 / n , d x = 1 n z 1 / n − 1 d z {\displaystyle x^{n}=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}z^{1/n-1}\mathrm {d} z} 그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다. ∫ x m ( a + b x n ) p d x = 1 n ∫ ( a + b z ) p z ( m + 1 ) / n − 1 d z {\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}\int (a+bz)^{p}z^{(m+1)/n-1}\mathrm {d} z} 따라서 p , q = ( m + 1 ) / n − 1 , p + q {\displaystyle p,q=(m+1)/n-1,p+q} 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 p , q , p + q {\displaystyle p,q,p+q} 가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다. 초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다. (오차 함수) ∫ e − x 2 d x {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\mathrm {d} x} (프레넬 함수) ∫ sin ⁡ x 2 d x {\displaystyle \int \sin x^{2}\mathrm {d} x} (삼각 적분 함수) ∫ sin ⁡ x x d x {\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x} (로그 적분 함수) ∫ 1 ln ⁡ x d x {\displaystyle \int {\frac {1}{\ln x}}\mathrm {d} x} ∫ x x d x {\displaystyle \int x^{x}\mathrm {d} x} ∫ 1 1 − x 4 d x {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x} 정적분 적분표 기호적분 적분상수 Stewart, James (2011). 《Single Variable Calculus: Early Transcendentals》 (영어) 7판. Belmont, CA: Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49867-8. LCCN 2010936598.  伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.