쌍곡공간

쌍곡 기하학에서 쌍곡공간(雙曲空間, 영어: hyperbolic space)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다. n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간 H n {\displaystyle H^{n}} 은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(영어: sectional curvature)이 −1인 n {\displaystyle n} 차원 연결 단일 연결 최대 대칭(영어: maximally symmetric) 리만 다양체이다. 쌍곡공간 H n {\displaystyle H^{n}} 은 n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 과 위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다. 쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다. R i j k l = − ( g i k g j l − g i l g j k ) {\displaystyle R_{ijkl}=-(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})} 여기서 g i j {\displaystyle g_{ij}} 는 쌍곡공간의 계량 텐서이다. 쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군 O + ⁡ ( 1 , n ) {\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(1,n)} 이다. n {\displaystyle n} 차원 쌍곡공간 H n {\displaystyle H^{n}} 은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다. n차원 열린 상반공간 R + × R n − 1 = { ( z , x ) | z > 0 , x ∈ R n − 1 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}=\{(z,\mathbf {x} )|z>0,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n-1}\}} 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. d s 2 = z − 2 ( d z 2 + ‖ d x ‖ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=z^{-2}(dz^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2})} 이 리만 다양체는 H n {\displaystyle H^{n}} 과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(영어: Poincaré half-space model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 z = 0 {\displaystyle z=0} 평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다. dist ⁡ ( z 1 , x 1 ; z 2 , x 2 ) = cosh − 1 ⁡ ( 1 + ‖ x 1 − x 2 ‖ 2 + ( z 1 − z 2 ) 2 2 z 1 z 2 ) {\displaystyle \operatorname {dist} (z_{1},\mathbf {x} _{1};z_{2},\mathbf {x} _{2})=\cosh ^{-1}\left(1+{\frac {\Vert \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\Vert ^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)} 반지름이 1인 n차원 열린 초공 B n = { x ∈ R n | ‖ x ‖ < 1 } {\displaystyle B^{n}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}|\Vert \mathbf {x} \Vert <1\}} 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서 ( r , Ω ) {\displaystyle (r,\Omega )} 는 구면좌표계이다 ( r ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle r\in [0,1)} , Ω ∈ S n − 1 {\displaystyle \Omega \in S^{n-1}} ). d s 2 = 4 ( 1 − r 2 ) 2 ( d r 2 + r 2 d Ω 2 ) {\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{(1-r^{2})^{2}}}(dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})} 이 리만 다양체는 H n {\displaystyle H^{n}} 과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(영어: Poincaré ball model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면 ∂ B n = S n − 1 = { x ∈ R n | ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \partial B^{n}=S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}|\Vert \mathbf {x} \Vert =1\}} 에 수직인 원호이다. n차원 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. d s 2 = d r ~ 2 1 + r ~ 2 + r ~ 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}={\frac {d{\tilde {r}}^{2}}{1+{\tilde {r}}^{2}}}+{\tilde {r}}^{2}d\Omega ^{2}} 여기서 ( r ~ , Ω ) {\displaystyle ({\tilde {r}},\Omega )} 는 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 구면좌표계이다. 이 리만 다양체는 H n {\displaystyle H^{n}} 과 등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(영어: Gans model)이라고 한다. 갠스 모형 ( r ~ , Ω ) {\displaystyle ({\tilde {r}},\Omega )} 은 푸앵카레 공 모형 ( r , Ω ) {\displaystyle (r,\Omega )} 과 다음과 같이 대응한다. r ~ = 2 r / ( 1 − r 2 ) {\displaystyle {\tilde {r}}=2r/(1-r^{2})} 갠스 모형은 쌍곡면 모형 ( t , ρ , Ω ) {\displaystyle (t,\rho ,\Omega )} 과 다음과 같이 대응한다. ( t , ρ ) = ( 1 + r 2 , r ) {\displaystyle (t,\rho )=({\sqrt {1+r^{2}}},r)} 즉, 이는 쌍곡면 모형 ( t , x ) {\displaystyle (t,\mathbf {x} )} 을 x {\displaystyle \mathbf {x} } 공간으로 그대로 사영한 것이다. n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 민코프스키 공간 R 1 , n = { ( t , x ) | t ∈ R , x ∈ R n } {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,n}=\{(t,\mathbf {x} )|t\in \mathbb {R} ,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\}} 은 다음과 같은 계량을 갖는다. d s 2 = − d t 2 + ‖ d x ‖ 2 {\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2}} 민코프스키 공간 속의, 다음과 같은 n {\displaystyle n} 차원 초곡면을 생각하자. { ( t , x ) ∈ R 1 , n | t 2 − ‖ x ‖ 2 = 1 , t > 0 } {\displaystyle \{(t,\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{1,n}|t^{2}-\Vert \mathbf {x} \Vert ^{2}=1,\;t>0\}} 이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는 H n {\displaystyle H^{n}} 과 등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(영어: hyperboloid model)이라고 한다. 쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다. H n ≅ O + ⁡ ( 1 , n ) / O ⁡ ( n ) {\displaystyle H^{n}\cong \operatorname {O} ^{+}(1,n)/\operatorname {O} (n)} 여기서 O + ⁡ ( 1 , n ) {\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(1,n)} 은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군이며, O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} 은 직교군이다. Gans, David (1996년 3월). “A new model of the hyperbolic plane”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 73 (3). doi:10.2307/2315350. JSTOR 2315350.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyperbolic geometry”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Lobachevskii geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  쌍곡 기하학 반 더 시터르 공간