3차원 초구

기하학에서 3차원 초구(三次元超球, 영어: 3-sphere, glome)는 4차원 공간 속의 단위 벡터로 구성된 리만 다양체이다. 그 위에는 리 군 SU(2)의 구조를 줄 수 있다. 3차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다. S 3 ≅ SU ⁡ ( 2 ) ≅ Sp ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)} S 3 ≅ SO ⁡ ( 4 ) / SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SO} (4)/\operatorname {SO} (3)} 또한, S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 는 노름 1의 사원수의 공간으로 여길 수 있다. S 3 = { x ∈ H : ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=\{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}} 리만 구 S 2 ≅ P C 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\cong \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} 위의 정칙 선다발 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} 에 대응하는 U(1) 주다발의 전체 공간은 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 와 동형이다. 이는 호프 올다발 S 1 ↪ S 3 ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} 을 정의한다. 3차원 초구 위에는 여러 개의 유용한 좌표계들이 존재한다. 3차원 초구 위에는 구면 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 ( ψ , θ , ϕ ) {\displaystyle (\psi ,\theta ,\phi )} 에 대하여 ψ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \psi \in [0,\pi ]} θ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} ϕ ∈ R / 2 π Z {\displaystyle \phi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} } 이며, 매장 S 3 ↪ R 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{4}} 은 다음과 같다. ( ψ , θ , ϕ ) ↦ ( cos ⁡ ψ , sin ⁡ ψ cos ⁡ θ , sin ⁡ ψ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ , sin ⁡ ψ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ) {\displaystyle (\psi ,\theta ,\phi )\mapsto (\cos \psi ,\sin \psi \cos \theta ,\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,\sin \psi \sin \theta \sin \phi )} 이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다. d s 2 = d ψ 2 + sin 2 ⁡ ψ ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}\right)} 부피 형식은 다음과 같다. ω = sin 2 ⁡ ψ sin ⁡ θ d ψ ∧ d θ ∧ d ϕ {\displaystyle \omega =\sin ^{2}\psi \sin \theta \mathrm {d} \psi \wedge \mathrm {d} \theta \wedge \mathrm {d} \phi } 3차원 초구 위의 호프 좌표계(Hopf座標系, 영어: Hopf coordinate system) ( η , ξ , ξ ′ ) {\displaystyle (\eta ,\xi ,\xi ')} 는 다음과 같다.:§2,§8 ξ , ξ ′ ∈ R / ( 2 π Z ) {\displaystyle \xi ,\xi '\in \mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} )} η ∈ [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle \eta \in [0,\pi /2]} 매장 S 3 ↪ C 2 ≅ R 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}} 은 다음과 같다. ( η , ξ , ξ ′ ) ↦ ( cos ⁡ η exp ⁡ ( i ξ ) , sin ⁡ η exp ⁡ ( i ξ ′ ) ) {\displaystyle (\eta ,\xi ,\xi ')\mapsto \left(\cos \eta \exp(\mathrm {i} \xi ),\sin \eta \exp(\mathrm {i} \xi ')\right)} 이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다. d s 2 = d η 2 + cos 2 ⁡ η d ξ 2 + sin 2 ⁡ η d ξ ′ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \eta ^{2}+\cos ^{2}\eta \,\mathrm {d} \xi ^{2}+\sin ^{2}\eta \,\mathrm {d} {\xi '}^{2}} 부피 형식은 다음과 같다. ω = sin ⁡ η cos ⁡ η d η ∧ d ξ ∧ d ξ ′ {\displaystyle \omega =\sin \eta \cos \eta \,\mathrm {d} \eta \wedge \mathrm {d} \xi \wedge \mathrm {d} \xi '} 이 좌표계에서, 호프 올다발은 다음과 같다. S 3 ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} ( η , ξ , ξ ′ ) ↦ ( 2 η , ξ − ξ ′ ) {\displaystyle (\eta ,\xi ,\xi ')\mapsto (2\eta ,\xi -\xi ')} 여기서 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위의 좌표는 구면 좌표계이다. 즉, z = exp ⁡ ( i ξ ) sin ⁡ η {\displaystyle z=\exp(\mathrm {i} \xi )\sin \eta } z ′ = exp ⁡ ( i ξ ′ ) cos ⁡ η {\displaystyle z'=\exp(\mathrm {i} \xi ')\cos \eta } 라고 적으면, cos ⁡ ( 2 η ) = | z | 2 − | z ′ | {\displaystyle \cos(2\eta )=|z|^{2}-|z'|} sin ⁡ ( 2 η ) exp ⁡ ( i ( ξ − ξ ′ ) ) = 2 z z ′ ¯ {\displaystyle \sin(2\eta )\exp(\mathrm {i} (\xi -\xi '))=2z{\bar {z'}}} 이므로 ( z , z ′ ) ↦ ( | z | 2 − | z ′ | 2 , 2 z z ′ ¯ ) {\displaystyle (z,z')\mapsto (|z|^{2}-|z'|^{2},2z{\bar {z'}})} 가 되며, ( | z | 2 − | z ′ | 2 ) 2 + | 2 z z ′ ¯ | 2 = ( | z | 2 + | z ′ | 2 ) 2 = 1 {\displaystyle (|z|^{2}-|z'|^{2})^{2}+|2z{\bar {z'}}|^{2}=(|z|^{2}+|z'|^{2})^{2}=1} 이 된다. S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 위에는 리 군 O ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {O} (4)} 가 작용한다. 그 가운데 SO ⁡ ( 4 ) ≅ SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) / { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , − 1 ) } {\displaystyle \operatorname {SO} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)/\{(1,1),(-1,-1)\}} 은 SU(2)의, 스스로 위의 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 작용에 해당한다. 호프 올다발로 인하여, S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 는 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위의 U(1) 주다발을 이루며, 이는 O ⁡ ( 3 ) × U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {O} (3)\times \operatorname {U} (1)} 의 작용을 정의한다. 이는 O ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {O} (4)} 의 부분군이다. 리 군 SU(2)의 곱셈 연산에 해당하는 매끄러운 함수 S 3 × S 3 → S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}} 가 존재한다. 이는 노름 1의 사원수의 곱셈으로 생각할 수도 있다. 호프 올다발에 의하여, S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 부피 형식을 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 에 당길 수 있다. 이는 물론 2차 완전 미분 형식이다. 이는 호프 올다발의 U(1)×SO(3) 대칭 가운데 U(1)의 작용에 대하여 불변이다. 단위원 정팔포체 파울리 행렬 클리포드 원환면 Yershova, Anna; Jain, Swati; LaValle,, Steven M.; Mitchell, Julie C. (2010년 6월). “Generating uniform incremental grids on SO(3) using the Hopf fibration” (PDF). 《The International Journal of Robotics Research》 (영어) 26 (7). doi:10.1177/0278364909352700. PMC 2896220.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Glome”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “3-sphere”. 《nLab》 (영어).