입방체 범주

호모토피 이론에서 입방체 범주(立方體範疇, 영어: cube category)는 각 차원의 초입방체를 대상으로 하는 작은 범주이다. 단체 범주와 유사하지만, 단체 대신 초입방체를 사용한다. 입방체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자를 입방체 대상(立方體對象, 영어: cubical object)이라고 한다. 이는 다양한 차원의 초입방체들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, 집합의 범주 속의 입방체 대상을 입방체 집합(立方體集合, 영어: cubical set)이라고 한다. 입방체 범주 ◻ {\displaystyle \square } 는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다. 입방체 범주는 구체적으로 초입방체들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 연속 함수를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다. 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 모노이드 범주로서 정의될 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 입방체 대상은 함자 ◻ op → C {\displaystyle \square ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}} 를 뜻한다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 입방체 대상의 범주를 c ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {c} ({\mathcal {C}})} 로 표기하자. 입방체 집합은 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주 ◻ {\displaystyle \square } 위의 (집합 값의) 준층이다. PSh ⁡ ( ◻ ) = hom Cat ⁡ ( ◻ op , Set ) {\displaystyle \operatorname {PSh} (\square )=\hom _{\operatorname {Cat} }(\square ^{\operatorname {op} },\operatorname {Set} )} 입방체 집합의 범주 c ⁡ ( Set ) {\displaystyle \operatorname {c} (\operatorname {Set} )} 은 물론 그로텐디크 토포스를 이룬다. 입방체 범주 ◻ {\displaystyle \square } 의 대상들은 자연수(음이 아닌 정수) n {\displaystyle n} 이다. 이는 n {\displaystyle n} 차원 초입방체 I n {\displaystyle \mathbb {I} ^{n}} 에 해당한다. 이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다. 각 σ ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \sigma \in \{0,1\}} 및 i ∈ { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, δ i σ : I n → I n + 1 {\displaystyle \delta _{i}^{\sigma }\colon \mathbb {I} ^{n}\to \mathbb {I} ^{n+1}} . 이는 초입방체의 i {\displaystyle i} 번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는 σ {\displaystyle \sigma } 에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다. ( t 0 , t 1 , … , t n − 1 ) ↦ ( t 0 , t 1 , … , t i − 1 , σ , t i , t n − 1 ) {\displaystyle (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n-1})\mapsto (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{i-1},\sigma ,t_{i},t_{n-1})} 각 i ∈ { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, ϵ i : I n → I n − 1 {\displaystyle \epsilon _{i}\colon \mathbb {I} ^{n}\to \mathbb {I} ^{n-1}} . 이는 n {\displaystyle n} 차원 초입방체를 두께가 0인 n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다. ( t 0 , t 1 , … , t n − 1 ) ↦ ( t 0 , t 1 , … , t i − 1 , t i + 1 , … , t n − 1 ) {\displaystyle (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n-1})\mapsto (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{i-1},t_{i+1},\dotsc ,t_{n-1})} 이는 다음을 만족시킨다. ϵ i ∘ δ i σ = id I n ( i ∈ { 0 , 1 , … , n } , σ ∈ { 0 , 1 } ) {\displaystyle \epsilon _{i}\circ \delta _{i}^{\sigma }=\operatorname {id} _{\mathbb {I} ^{n}}\qquad (i\in \{0,1,\dotsc ,n\},\;\sigma \in \{0,1\})} 모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 항등 사상이다.) 우선, 다음과 같은 범주 ◻ ≤ 1 {\displaystyle \square _{\leq 1}} 를 생각하자. ◻ ≤ 1 {\displaystyle \square _{\leq 1}} 의 대상은 1 {\displaystyle 1} 과 I {\displaystyle \mathbb {I} } 두 개이다. hom ◻ ≤ 1 ⁡ ( 1 , I ) = { ι 0 , ι 1 } {\displaystyle \hom _{\square _{\leq 1}}(1,\mathbb {I} )=\{\iota _{0},\iota _{1}\}} 이며, hom ◻ ≤ 1 ⁡ ( I , 1 ) = { π } {\displaystyle \hom _{\square _{\leq 1}}(\mathbb {I} ,1)=\{\pi \}} 이며, hom ◻ ≤ 1 ⁡ ( I , I ) = { ι 0 ∘ π , π ∘ ι 1 , id I } {\displaystyle \hom _{\square _{\leq 1}}(\mathbb {I} ,\mathbb {I} )=\{\iota _{0}\circ \pi ,\pi \circ \iota _{1},\operatorname {id} _{\mathbb {I} }\}} 이다. 사상의 합성은 다음과 같다. π ∘ ι 0 = π ∘ ι 1 = id 1 {\displaystyle \pi \circ \iota _{0}=\pi \circ \iota _{1}=\operatorname {id} _{1}} 이 범주에서 끝 대상은 1 {\displaystyle 1} 이며, 시작 대상은 존재하지 않는다. 이제, ◻ ≤ 1 {\displaystyle \square _{\leq 1}} 로 생성되며, 1 {\displaystyle 1} 을 항등원으로 갖는 엄격한(영어: strict) 모노이드 범주 ( ◻ , × , 1 ) {\displaystyle (\square ,\times ,1)} 를 입방체 범주 ◻ {\displaystyle \square } 라고 한다. 즉, 그 대상들은 I n = I × I × ⋯ × I {\displaystyle \mathbb {I} ^{n}=\mathbb {I} \times \mathbb {I} \times \dotsb \times \mathbb {I} } 이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및 ◻ ≤ 1 {\displaystyle \square _{\leq 1}} 으로 유도된다. 단체 집합과 마찬가지로, 기하학적 실현 함자(영어: geometric realization functor) | − | : cSet → Top {\displaystyle |-|\colon \operatorname {cSet} \to \operatorname {Top} } 및 특이 입방체 복합체 함자(영어: singular cubical complex functor) Sing : Top → cSet {\displaystyle \operatorname {Sing} \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {cSet} } 가 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다. | − | ⊣ Sing {\displaystyle |-|\dashv \operatorname {Sing} } 단체 집합의 단체 호몰로지와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 입방체 호몰로지(영어: cubical homology)를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 단체 호몰로지 및 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 입방체 대상 X ∙ : ◻ op → A {\displaystyle X_{\bullet }\colon \square ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 사슬 복합체를 정의할 수 있다. C n ⁡ ( X ) = X n {\displaystyle \operatorname {C} _{n}(X)=X_{n}} ∂ n : C n ⁡ ( X ) → C n − 1 ⁡ ( X ) {\displaystyle \partial _{n}\colon \operatorname {C} _{n}(X)\to \operatorname {C} _{n-1}(X)} ∂ n = ∑ i = 0 n ( id 1 ⊗ ⋯ ⊗ id 1 ⏞ i ⊗ ι 0 ⊗ id 1 ⊗ ⋯ ⊗ id 1 ⊗ ⏞ n − i − 1 ) op − ( id 1 ⊗ ⋯ ⊗ id 1 ⏞ i ⊗ ι 1 ⊗ id 1 ⊗ ⋯ ⊗ id 1 ⊗ ⏞ n − i − 1 ) op {\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}\left(\overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}} ^{i}\otimes \iota _{0}\otimes \overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}\otimes } ^{n-i-1}\right)^{\operatorname {op} }-\left(\overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}} ^{i}\otimes \iota _{1}\otimes \overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}\otimes } ^{n-i-1}\right)^{\operatorname {op} }} (이 사슬 복합체는 단체 대상의 무어 사슬 복합체와 유사하다.) 그렇다면, 이 사슬 복합체의 호몰로지를 X ∙ {\displaystyle X_{\bullet }} 의 입방체 호몰로지라고 한다. 입방체 집합 X ∙ {\displaystyle X_{\bullet }} 의 입방체 호몰로지는 각 성분별 자유 아벨 군으로 정의되는 입방체 아벨 군 Z [ X ∙ ] ∈ c ⁡ ( Mod Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} [X_{\bullet }]\in \operatorname {c} (\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} })} 의 입방체 호몰로지이다. 마찬가지로, n {\displaystyle n} 차원 입방체를 n {\displaystyle n} 차원 단체들로 분할하는 삼각 분할 함자(영어: triangulation functor) Tri : ◻ → sSet {\displaystyle \operatorname {Tri} \colon \square \to \operatorname {sSet} } Tri : I n → ( △ 1 ) × n {\displaystyle \operatorname {Tri} \colon \mathbb {I} ^{n}\to (\triangle ^{1})^{\times n}} 가 존재한다. (여기서 sSet {\displaystyle \operatorname {sSet} } 은 단체 집합의 범주이다.) 이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자 cSet → sSet {\displaystyle \operatorname {cSet} \to \operatorname {sSet} } 가 존재한다. 입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따라 그 호모토피 범주는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주 hTop {\displaystyle \operatorname {hTop} } 및 단체 집합의 호모토피 범주와 동치이다. Jardine, John Frederick (2002). “Cubical homotopy theory: a beginning” (PDF) (영어). 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 6월 29일에 확인함.  “Category of cubes”. 《nLab》 (영어).  “Category of cubes — exposition”. 《nLab》 (영어).  “Cubical set”. 《nLab》 (영어).  “Model structure on cubical sets”. 《nLab》 (영어).  Newstead, Clive. “Cubical sets” (PDF) (영어). 2017년 3월 29일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 6월 29일에 확인함.  “What is the intuition of connections for cubical sets?” (영어). Math Overflow.  “Cubical vs. simplicial singular homology” (영어). Math Overflow.