볼록 집합

기하학에서 볼록 집합(영어: convex set)은 임의의 두 점을 잇는 선분을 포함하는, 유클리드 공간의 부분 집합이다. K ∈ { R , K } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {K} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 가 다음 조건을 만족시키면, 볼록 집합이라고 한다. 임의의 u , v ∈ S {\displaystyle u,v\in S} 및 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여, ( 1 − t ) u + t v ∈ S {\displaystyle (1-t)u+tv\in S} 국소 볼록 집합(영어: locally convex set)은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 근방을 갖는 부분 집합이다. 실수 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 가 다음 조건을 만족시키면, 다각 연결 집합(영어: polygonally connected set)이라고 한다. 임의의 u , v ∈ S {\displaystyle u,v\in S} 에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 u 0 , u 1 , u 2 , … , u n ∈ S {\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\dotsc ,u_{n}\in S} 가 존재한다. u 0 = u {\displaystyle u_{0}=u} u n = v {\displaystyle u_{n}=v} 각 i ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} 및 임의의 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여, ( 1 − t ) u i − 1 + t u i ∈ S {\displaystyle (1-t)u_{i-1}+tu_{i}\in S} 위 정의에서 n {\displaystyle n} 을 어떤 자연수로 고정하면, n {\displaystyle n} -다각 연결 집합(영어: n {\displaystyle n} -polygonally connected set)의 정의를 얻는다. 이 경우, 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 동치이다. 볼록 집합들의 교집합은 볼록 집합이다. 볼록 집합들의 상향 집합의 합집합은 볼록 집합이다. (더 일반적인 결과는 성립하지 않는다. 예를 들어, 서로 만나는 두 직선의 합집합은 볼록 집합이 아니다.) 볼록 집합의 폐포·내부는 볼록 집합이다. 모든 다각 연결 집합은 경로 연결 공간이다. 모든 n {\displaystyle n} -다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. (그러나 다각 연결 집합은 어떤 n {\displaystyle n} 에 대하여 n {\displaystyle n} -다각 연결 집합일 필요가 없다.) 모든 별모양 집합은 2-다각 연결 집합이다. 모든 (공집합이 아닌) 볼록 집합은 별모양 집합이다. 실수 노름 공간의 연결 열린집합은 항상 다각 연결 집합이다.:81, Exercise 3.4.2 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 부분 집합 S ⊆ R n {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, 만약 S {\displaystyle S} 가 닫힌집합이며, 연결 공간이며, 국소 볼록 집합이라면, S {\displaystyle S} 는 볼록 집합이다 (티체-나카지마 정리, 영어: Tietze–Nakajima theorem).:1306 보다 일반적으로, 만약 S {\displaystyle S} 가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, n {\displaystyle n} 개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면, S {\displaystyle S} 는 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -다각 연결 집합이다.:1305, Theorem 1 보다 일반적으로, 만약 S {\displaystyle S} 가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, S {\displaystyle S} 의 국소 비볼록점의 집합이 (서로소일 필요가 없는) n {\displaystyle n} 개의 볼록 집합의 합집합이라면, S {\displaystyle S} 는 ( 2 n + 1 ) {\displaystyle (2n+1)} -다각 연결 집합이다.:1305, Theorem 2 실수 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 가 주어졌다고 하자. S {\displaystyle S} 의 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 S {\displaystyle S} 의 볼록 성분(영어: convex component)이라고 한다. S {\displaystyle S} 의 임의의 볼록 집합은 S {\displaystyle S} 의 볼록 성분에 포함되며, 임의의 볼록 성분은 연결 집합이므로, S {\displaystyle S} 의 유일한 연결 성분에 포함된다. 그러나 연결 성분과 달리, 볼록 성분들은 서로소일 필요가 없다. 다시 말해, S {\displaystyle S} 의 주어진 볼록 집합을 포함하는 극대 볼록 집합은 유일하지 않을 수 있다. 만약 S {\displaystyle S} 가 닫힌집합이라면, 모든 볼록 성분 역시 닫힌집합이다. 실수 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 가 가산 개의 S {\displaystyle S} 의 서로소 볼록 닫힌집합 S i {\displaystyle S_{i}} 들의 합집합이라면, S {\displaystyle S} 의 볼록 성분들은 정확히 S i {\displaystyle S_{i}} 들이며, 특히 S {\displaystyle S} 의 볼록 성분들은 S {\displaystyle S} 의 분할을 이룬다.:Theorem 2.10 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 볼록 집합은 단순히 구간이다. 집합 { ( x , x 2 ) : x ∈ R } {\displaystyle \{(x,x^{2})\colon x\in \mathbb {R} \}} 은 경로 연결 공간이지만, R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 의 다각 연결 집합이 아니다. 티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)와 나카지마(영어: S. Nakajima)가 모두 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다. 크레인-밀만 정리 볼록 폐포 Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Valentine, F. A. (1965). “Local convexity and Ln sets”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 1305–1310. doi:10.2307/2035920. ISSN 0002-9939. MR 0185510. Zbl 0135.40702.  García-Pacheco, F. J. (2015). “Convex components and multi-slices in real topological vector spaces”. 《Annals of Functional Analysis》 (영어) 6 (3): 73–86. doi:10.15352/afa/06-3-7. ISSN 2639-7390. MR 3336906. Zbl 1391.15002.  Tietze, Heinrich (1928). “Über Konvexheit im kleinen und im großen und über gewisse den Punkten einer Menge zugeordnete Dimensionszahlen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 28: 697–707. doi:10.1007/BF01181191. ISSN 0025-5874. JFM 54.0797.01. MR 1544985.  Nakajima, S. (1928). “Über konvexe Kurven und Flächen”. 《Tohoku Mathematical Journal》 (독일어) 29: 227–230. ISSN 0040-8735. JFM 54.0799.04.  위키미디어 공용에 볼록 집합 관련 미디어 분류가 있습니다. “Convex set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Convex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “What are the open subsets of Rn that are diffeomorphic to Rn”. 《Stack Exchange》 (영어).  “Proof that convex open sets in Rn are homeomorphic?”. 《Stack Exchange》 (영어).