삼진 골레 부호

군론과 컴퓨터 과학에서 삼진 골레 부호(三進Golay符號, 영어: ternary Golay code 터너리 골레이 코드[*])는 마티외 군을 자기 동형군으로 갖는 삼진 선형 부호이다. 표준형 생성 행렬 G = ( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 1 1 1 0 1 2 2 1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 0 1 1 1 2 2 1 0 ) {\displaystyle G={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1\\1&0&1&2&2&1\\1&1&0&1&2&2\\1&2&1&0&1&2\\1&2&2&1&0&1\\1&1&2&2&1&0\end{pmatrix}}} 으로 정의되는, F 3 12 {\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{12}} 속의 삼진 선형 부호 im ⁡ G ⊊ F 3 12 {\displaystyle \operatorname {im} G\subsetneq \mathbb {F} _{3}^{12}} 를 (확장) 삼진 골레 부호(영어: (extended) ternary Golay code) G 12 {\displaystyle G_{12}} 라고 한다. 확장 삼진 골레 부호에서, 임의의 한 성분을 삭제하면, 완전 삼진 골레 부호(영어: perfect ternary Golay code) G 11 {\displaystyle G_{11}} 를 얻는다. 확장 삼진 골레 부호는 [12,6,6]3-선형 부호이다. 즉, 만약 각 블록마다 3개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 교정할 수 있다. 만약 각 블록마다 5개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 발견할 수 있다. 완전 삼진 골레 부호는 [11,6,5]3-선형 부호이며, 완전 블록 부호이다. 즉, 만약 각 블록마다 2개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 교정할 수 있다. 만약 각 블록마다 4개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 발견할 수 있다. 해밍 상계를 포화시킨다. 확장 삼진 골레 부호는 3 6 = 729 {\displaystyle 3^{6}=729} 개의 부호어를 가지며, 그 부호어의 해밍 무게는 { 0 , 6 , 9 , 12 } {\displaystyle \{0,6,9,12\}} 의 원소이다. 각 해밍 무게를 갖는 부호어의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A105683) 예를 들어, 해밍 무게가 12인 부호어에서, 값이 0인 성분은 12 − 12 = 0 {\displaystyle 12-12=0} 개이며, 값이 1인 성분은 1개 또는 5개 또는 7개 또는 11개이며, 값이 2인 성분은 12 − 1 = 11 {\displaystyle 12-1=11} 개 또는 12 − 5 = 7 {\displaystyle 12-5=7} 개 또는 12 − 7 = 5 {\displaystyle 12-7=5} 개 또는 12 − 11 = 1 {\displaystyle 12-11=1} 개이다. 마찬가지로, 완전 삼진 골레 부호는 3 6 = 729 {\displaystyle 3^{6}=729} 개의 부호어를 가지며, 그 부호어의 해밍 무게는 { 0 , 5 , 6 , 8 , 9 , 11 } {\displaystyle \{0,5,6,8,9,11\}} 의 원소이다. 각 해밍 무게를 갖는 부호어의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A105684) 확장 삼진 골레 부호의 자기 동형군 Aut ⁡ ( G 12 ) ≤ Sym ⁡ ( 12 ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G_{12})\leq \operatorname {Sym} (12)} 은 마티외 군 M 12 {\displaystyle M_{12}} 의 2차 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군 짧은 완전열이 존재한다. 1 → Cyc ⁡ ( 2 ) ↪ Aut ⁡ ( G 12 ) ↠ M 12 → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Cyc} (2)\hookrightarrow \operatorname {Aut} (G_{12})\twoheadrightarrow M_{12}\to 1} 또한 Cyc ⁡ ( 2 ) ≤ Z ⁡ ( Aut ⁡ ( G 12 ) ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\leq \operatorname {Z} (\operatorname {Aut} (G_{12}))} 이다. 완전 삼진 골레 부호의 자기 동형군은 다음과 같은 마티외 군이다. M 11 ≅ Aut ⁡ ( G 12 ) ≤ Sym ⁡ ( 11 ) {\displaystyle M_{11}\cong \operatorname {Aut} (G_{12})\leq \operatorname {Sym} (11)} 삼진 골레 부호는 이미 1947년에 핀란드의 축구 애호가 유나히 비르타칼리오(핀란드어: Junahi Virtakallio, 필명 핀란드어: Jukka 유카[*])가 토토칼초를 짜기 위하여 한 토토칼초 잡지 《베이카야》(핀란드어: Veikkaaja)에 기고한 글에 수록되었다.:401, §15.3 :25 이 글에서 비르타칼리오는 다음과 같이 적었다. 이후 스위스의 수학자 마르셀 쥘 에두아르 골레(프랑스어: Marcel Jules Édouard Golay, 1902~1989)가 1949년에 1쪽도 채 되지 않는 “논문”에서 이진 골레 부호와 함께 삼진 골레 부호를 재발견하였다. 이진 골레 부호 Jukka (1947년 8월 1일). 《Veikkaaja》 (핀란드어).  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) Cohen, G.; Honkala, I.; Litsyn, S.; Lobstein, A. (1997년 4월 14일). 《Covering codes》. North-Holland Mathematical Library (영어) 54. North-Holland. doi:10.1016/S0924-6509(13)70001-1. ISBN 978-044482511-7. 2013년 6월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 19일에 확인함.  Barg, Alexander (1993). “At the dawn of the theory of codes” (PDF). 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 15 (1): 20–26. doi:10.1007/BF03025254. ISSN 0343-6993. MR 1199273. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Golay, Marcel Jules Édouard (1949년 6월). “Correspondence. Notes on digital coding”. 《Proceedings of the Institute of Radio Engineers》 (영어) 37 (6): 657–657. doi:10.1109/JRPROC.1949.233620.  “Golay code”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Pegg, Ed, Jr. “Golay code”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.