가중 사영 공간

대수기하학에서 가중 사영 공간(加重射影空間, 영어: weighted projective space)은 사영 공간의 개념의 일반화이다. 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} 양의 정수 a 0 , a 1 , … , a n ∈ Z + {\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n}\in \mathbb {Z} ^{+}} 그렇다면, 등급환인 가환환 A = K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle A=K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} deg ⁡ x i = a i {\displaystyle \deg x_{i}=a_{i}} 을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼 Proj ⁡ A = P K ( a 0 , a 1 , … , a n ) {\displaystyle \operatorname {Proj} A=\mathbb {P} _{K}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})} 을 무게 ( a 0 , a 1 , … , a n ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})} 의 가중 사영 공간이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과 K {\displaystyle K} 의 곱이다. P K ( a 0 , a 1 , … , a n ) = P Z ( a 0 , a 1 , … , a n ) × K {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})\times K} 즉, 만약 K {\displaystyle K} 가 체일 때, K × {\displaystyle K^{\times }} 는 Spec ⁡ K [ x 0 , … , x n ] ∖ Spec ⁡ K [ x 0 , … , x n ] / ( x 0 , … , x n ) {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]/(x_{0},\dotsc ,x_{n})} 에 고정점 없이 다음과 같이 작용한다. λ ⋅ x i = λ a i x i {\displaystyle \lambda \cdot x_{i}=\lambda ^{a_{i}}x_{i}} 따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다. P K ( a 0 , … , a n ) = Spec ⁡ K [ x 0 , … , x n ] ∖ Spec ⁡ K [ x 0 , … , x n ] / ( x 0 , … , x n ) G m K {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{n})={\frac {\operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]/(x_{0},\dotsc ,x_{n})}{\mathbb {G} _{\mathrm {m} }^{K}}}} 그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다. { ( x 0 , x 1 , … , x n ) ∈ K n + 1 } ∖ { ( 0 , … , 0 ) } ( x 0 , … , x n ) ∼ ( λ a 0 x 0 , … , λ a 0 x n ) ∀ λ ∈ K × {\displaystyle {\frac {\{(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})\in K^{n+1}\}\setminus \{(0,\dotsc ,0)\}}{(x_{0},\dotsc ,x_{n})\sim (\lambda ^{a_{0}}x_{0},\dotsc ,\lambda ^{a_{0}}x_{n})\qquad \forall \lambda \in K^{\times }}}} K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 임의의 양의 정수 b ∈ Z + {\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 i ∈ { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다. P ( a 0 , a 1 , … , a n ) ≅ P ( d a 0 , d a 1 , … , d a i − 1 , a i , d a i + 1 , … , d a n ) ≅ P ( d a 0 , d a 1 , … , d a i , … , d a n ) {\displaystyle \mathbb {P} (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i-1},a_{i},da_{i+1},\dotsc ,da_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i},\dotsc ,da_{n})} 무게 ( a 0 , a 1 , … , a n ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})} 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 잘 만들어진 무게(영어: well formed weights)라고 하자. 임의의 n {\displaystyle n} 개의 성분들의 최대공약수는 1이다. 즉, 임의의 i ∈ { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, gcd { a 0 , … , a i ^ , … , a n } = 1 {\displaystyle \gcd\{a_{0},\dotsc ,{\widehat {a_{i}}},\dotsc ,a_{n}\}=1} . (여기서 a i ^ {\displaystyle {\widehat {a_{i}}}} 는 a i {\displaystyle a_{i}} 를 생략하라는 뜻이다.) 따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다. 정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 가중 사영 공간은 K {\displaystyle K} 위의 사영 대수다양체를 이룬다.:Theorem 4.3.9 가환환 K {\displaystyle K} 에 대하여, 가중 사영 공간 P K ( a 0 , … , a i ) {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{i})} 는 다음과 같이 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 i ∈ { 0 , … , n } {\displaystyle i\in \{0,\dotsc ,n\}} 에 대하여, x i {\displaystyle x_{i}} 로 정의되는 열린집합 U i = { p ∈ P K ( a 0 , … , a n ) : ( x i ) ⊈ p } {\displaystyle U_{i}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{n})\colon (x_{i})\not \subseteq {\mathfrak {p}}\}} 은 아핀 스킴이다. 특히, K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, U i {\displaystyle U_{i}} 에 대응되는 가환환은 다음과 같다. A i = K [ x 0 , … , x ^ i , … , x n ] / μ a i {\displaystyle A_{i}=K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]/\mu _{a_{i}}} 여기서 μ a i = { λ ∈ K × : λ a i = 1 } {\displaystyle \mu _{a_{i}}=\{\lambda \in K^{\times }\colon \lambda ^{a_{i}}=1\}} 는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은 λ ⋅ x j = λ a j x j {\displaystyle \lambda \cdot x_{j}=\lambda ^{a_{j}}x_{j}} 이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫(영어: GIT quotient) A i = Spec ⁡ ( K [ x 0 , … , x ^ i , … , x n ] μ a i ) {\displaystyle A_{i}=\operatorname {Spec} \left(K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]^{\mu _{a_{i}}}\right)} 이다. 여기서 R G {\displaystyle R^{G}} 는 G {\displaystyle G} 의 작용에 불변인 R {\displaystyle R} 의 원소들의 부분환이다. 이 경우, 만약 ( a 0 , … , a ^ i , … , a n ) ≠ ( 1 , … , 1 ) {\displaystyle (a_{0},\dotsc ,{\hat {a}}_{i},\dotsc ,a_{n})\neq (1,\dotsc ,1)} 인 경우, 이는 원점 ( x 0 , … , x ^ i , … , x n ) = ( 0 , … , 0 ) {\displaystyle (x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n})=(0,\dotsc ,0)} 에서 특이점을 갖는다. 만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) 사영 공간과 같다. P K ( 1 , 1 , … , 1 ⏟ n + 1 ) = P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(\underbrace {1,1,\dotsc ,1} _{n+1})=\mathbb {P} _{K}^{n}} 0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다. P K ( n ) ≅ P K 0 = Spec ⁡ K {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(n)\cong \mathbb {P} _{K}^{0}=\operatorname {Spec} K} 1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다. P K ( m , n ) ≅ P K ( m , 1 ) ≅ P K ( 1 , 1 ) = P K 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(m,n)\cong \mathbb {P} _{K}(m,1)\cong \mathbb {P} _{K}(1,1)=\mathbb {P} _{K}^{2}} 2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은 P K ( 1 , 1 , n ) {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,n)} 이다. 이는 닫힌 몰입 P K ( 1 , 1 , n ) → P K n + 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,n)\to \mathbb {P} _{K}^{n+1}} [ x : y : z ] ↦ [ x n : x n − 1 y : y n − 2 y 2 : ⋯ : x k y n − k : ⋯ : y n : z ] {\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x^{n}:x^{n-1}y:y^{n-2}y^{2}:\dotsb :x^{k}y^{n-k}:\dotsb :y^{n}:z]} 을 가지며, 이는 사영 대수다양체 P K ( 1 , 1 , n ) ≅ Proj ⁡ K [ X 0 , X 1 , … , X n , Y ] ( { X i − 1 X j − X i X j − 1 : i , j ∈ { 0 , 1 , … , n − 1 } } ) {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,n)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X_{0},X_{1},\dotsc ,X_{n},Y]}{(\{X_{i-1}X_{j}-X_{i}X_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})}}} 를 이룬다. 이는 좌표 Y {\displaystyle Y} 에 의존하지 않으므로, 유리 곡선 Proj ⁡ K [ X 0 , … , X n ] / ( { X i − 1 X j − X i X j − 1 : i , j ∈ { 0 , 1 , … , n − 1 } } ) {\displaystyle \operatorname {Proj} K[X_{0},\dotsc ,X_{n}]/(\{X_{i-1}X_{j}-X_{i}X_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})} 위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은 [ 0 : 0 : ⋯ : 0 : 1 ] {\displaystyle [0:0:\dotsb :0:1]} 이다. 예를 들어, n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우 P K ( 1 , 1 , 2 ) → P K 3 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,2)\to \mathbb {P} _{K}^{3}} [ x : y : z ] ↦ [ x 2 : x y : y 2 : z ] {\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x^{2}:xy:y^{2}:z]} 이며, 이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다. P K ( 1 , 1 , 2 ) ≅ Proj ⁡ K [ X , Y , Z , W ] ( X Z − Y 2 ) {\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,2)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^{2})}}} 이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면이다. 가환환 K {\displaystyle K} 에 대하여, 사영 공간 P K n = Proj ⁡ K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 를 생각하자. 그 위에는 대칭군 Sym ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n+1)} 이 좌표 ( x 0 , … , x n ) {\displaystyle (x_{0},\dotsc ,x_{n})} 에 대한 순열로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫 P K n / Sym ⁡ ( n + 1 ) = Proj ⁡ ( K [ x 0 , … , x n ] Sym ⁡ ( n + 1 ) ) {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})} 을 생각하자. 이 경우, K [ x 0 , … , x n ] Sym ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)}} 은 다음과 같은 기초 대칭 함수로 생성된다. X 1 = x 0 + x 1 + ⋯ + x n {\displaystyle X_{1}=x_{0}+x_{1}+\dotsb +x_{n}} X 2 = x 0 x 1 + x 0 x 2 + ⋯ + x i x j + ⋯ + x n − 1 x n {\displaystyle X_{2}=x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+\dotsb +x_{i}x_{j}+\dotsb +x_{n-1}x_{n}} ⋮ {\displaystyle \vdots } X n + 1 = x 0 x 1 ⋯ x n {\displaystyle X_{n+1}=x_{0}x_{1}\dotsm x_{n}} deg ⁡ X i = i ( i ∈ { 1 , … , n + 1 } ) {\displaystyle \deg X_{i}=i\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n+1\})} 따라서 이는 가중 사영 공간 P K n / Sym ⁡ ( n + 1 ) = Proj ⁡ ( K [ x 0 , … , x n ] Sym ⁡ ( n + 1 ) ) = P K ( 1 , 2 , … , n , n + 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})=\mathbb {P} _{K}(1,2,\dotsc ,n,n+1)} 을 이룬다. 이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름(프랑스어: Charles Delorme)이 ‘비등방 사영 공간’(프랑스어: espace projectif anisotrope)이라는 이름으로 연구하였다. Dolgachev, Igor (1982). 〈Weighted projective varieties〉 (PDF). Carrell, J.B. 《Group actions and vector fields. Proceedings of a Polish-North American Seminar Held at the University of British Columbia, January 15 - February 15, 1981》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 956. Springer-Verlag. 34–71쪽. doi:10.1007/BFb0101508. ISBN 978-3-540-11946-3. MR 0704986.  Hosgood, Timothy (2016). “An introduction to varieties in weighted projective space” (영어). arXiv:1604.02441. Bibcode:2016arXiv160402441H.  Delorme, Charles (1975). “Espaces projectifs anisotropes”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 103: 203–223. doi:10.24033/bsmf.1802. MR 404277. Zbl 0314.14016.  Reid, Miles (2002). “Graded rings and varieties in weighted projective space” (PDF) (영어).  Iano-Fletcher, A. R. “Working with weighted complete intresections” (영어).