극분해

선형대수학과 함수해석학에서 극분해(極分解, 영어: polar decomposition)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 핵의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 위의 유계 작용소 A : H → H {\displaystyle A\colon H\to H} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 의 극분해는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 순서쌍 ( U , P ) {\displaystyle (U,P)} 이다. U , P : H → H {\displaystyle U,P\colon H\to H} 는 유계 작용소이다. A = U ∘ P {\displaystyle A=U\circ P} 이다. U : H → H {\displaystyle U\colon H\to H} 의 경우, H / ker ⁡ U → H {\displaystyle H/\ker U\to H} 는 등거리 변환이다. (그러나 단사 함수일 필요도, 전사 함수일 필요도 없다.) P {\displaystyle P} 는 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 v ∈ H {\displaystyle v\in H} 에 대하여 ⟨ v | H | v ⟩ ∈ [ 0 , ∞ ) ⊆ C {\displaystyle \langle v|H|v\rangle \in [0,\infty )\subseteq \mathbb {C} } 이다. ( ker ⁡ U ) ⊥ = cl ⁡ ( P H ) {\displaystyle (\ker U)^{\perp }=\operatorname {cl} (PH)} 이다. (여기서 cl ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {cl} (-)} 은 폐포이다.) 사실, 항상 P = A ∗ A = | A | {\displaystyle P={\sqrt {A^{*}A}}=|A|} 임을 보일 수 있다. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 위의 유계 작용소 A : H → H {\displaystyle A\colon H\to H} 의 극분해 ( U , P ) {\displaystyle (U,P)} 는 항상 존재하며, 항상 유일하다. P {\displaystyle P} 는 { A } {\displaystyle \{A\}} 로 생성되는 C* 대수의 원소이다. U {\displaystyle U} 는 { A } {\displaystyle \{A\}} 로 생성되는 폰 노이만 대수의 원소이다. 만약 A {\displaystyle A} 가 B ⁡ ( H , H ) {\displaystyle \operatorname {B} (H,H)} 의 가역원이라면 (즉, 전단사 함수이며 유계 역함수를 갖는다면), U {\displaystyle U} 는 { A } {\displaystyle \{A\}} 로 생성되는 C* 대수의 원소이다. 이에 따라, 임의의 폰 노이만 대수의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, C* 대수의 가역원의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다. 만약 H {\displaystyle H} 가 유한 차원이며 A {\displaystyle A} 가 가역 행렬이라면, A {\displaystyle A} 의 극분해 ( U , P ) {\displaystyle (U,P)} 에서 U {\displaystyle U} 는 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 H {\displaystyle H} 가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다. 또한, H {\displaystyle H} 가 유한 차원일 때, det A = det U det P {\displaystyle \det A=\det U\det P} 이므로 det P = | det A | ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \det P=|\det A|\in [0,\infty )} det U ∈ { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \det U\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 이다. 임의의 복소수 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 를 유계 작용소 z ⋅ : C → C {\displaystyle z\cdot \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다. z = exp ⁡ ( i θ ) ⋅ r ( r ∈ [ 0 , ∞ ) ) {\displaystyle z=\exp(\mathrm {i} \theta )\cdot r\qquad (r\in [0,\infty ))} 보다 일반적으로, C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 위의 대각 행렬 diag ⁡ ( r 1 exp ⁡ ( i θ 1 ) , … , r n exp ⁡ ( i θ n ) ) : C n → C n ( θ 1 , … , θ n ∈ R , r 1 , … , r n ∈ R ≥ 0 ) {\displaystyle \operatorname {diag} \left(r_{1}\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,r_{n}\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}\qquad \left(\theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} ,\;r_{1},\dotsc ,r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right)} 의 극분해는 다음과 같다. diag ⁡ ( r 1 exp ⁡ ( i θ 1 ) , … , r n exp ⁡ ( i θ n ) ) = diag ⁡ ( exp ⁡ ( i θ 1 ) , … , exp ⁡ ( i θ n ) ) diag ⁡ ( r 1 , … , r n ) {\displaystyle \operatorname {diag} \left(r_{1}\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,r_{n}\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)=\operatorname {diag} \left(\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)\operatorname {diag} (r_{1},\dotsc ,r_{n})} 르베그 공간 H = ℓ 2 ( N ; C ) {\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )} 을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자 A : ( z 0 , z 1 , … ) ↦ ( 0 , z 0 , z 1 , … ) {\displaystyle A\colon (z_{0},z_{1},\dotsc )\mapsto (0,z_{0},z_{1},\dotsc )} 를 생각하자. 이 경우, A ∗ A = 1 {\displaystyle A^{*}A=1} 이므로 극분해 ( P , U ) {\displaystyle (P,U)} 는 P = 1 {\displaystyle P=1} U = A {\displaystyle U=A} 이다. 특히, U {\displaystyle U} 는 유니터리 작용소가 되지 못한다. 카르탕 대합 행렬 분해 “Polar decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Moslehian, Mohammad Sal. “Polar decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Polar decomposition”. 《nLab》 (영어).