음악 동형

미분기하학에서 음악 동형(音樂同型, 영어: musical isomorphism)은 매끄러운 다양체의 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상이다. 준 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 경우 표준적인 음악 동형이 존재한다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 음악 동형은 그 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 과 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 사이의 벡터 다발 동형 사상이다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 표기된다. ♭ : T M → T ∗ M {\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M} ♯ : T ∗ M → T M {\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M} ♯ ∘ ♭ = id T M {\displaystyle \sharp \circ \flat =\operatorname {id} _{\mathrm {T} M}} ♭ ∘ ♯ = id T ∗ M {\displaystyle \flat \circ \sharp =\operatorname {id} _{\mathrm {T} ^{*}M}} 이를 사용하여, 벡터장을 1차 미분 형식에 대응시킬 수 있으며, 또 그 역도 가능하다. 이는 다음과 같이 표기된다. Γ ( T M ) ∋ X ↦ X ♭ ∈ Γ ( T ∗ M ) {\displaystyle \Gamma (\mathrm {T} M)\ni X\mapsto X^{\flat }\in \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M)} Γ ( T ∗ M ) ∋ α ↦ α ♯ ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M)\ni \alpha \mapsto \alpha ^{\sharp }\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 임의의 매끄러운 다양체에서, 음악 동형은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않다. (사실, 임의의 매끄러운 다양체 위에는 항상 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다.) 음악 동형이 주어졌을 때, 각 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서 접공간 T x M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}M} 위에 쌍선형 형식 B ( − , − ) : T x M ⊗ T x M → R {\displaystyle B(-,-)\colon \mathrm {T} _{x}M\otimes \mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R} } B ( X , Y ) = ⟨ X ♭ , Y ⟩ {\displaystyle B(X,Y)=\langle X^{\flat },Y\rangle } 이 존재한다. 이 쌍선형 형식은 대칭 쌍선형 형식일 필요가 없으며, 일반적으로 다음과 같이 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다. g ( X , Y ) = B ( X , Y ) + B ( Y , X ) 2 {\displaystyle g(X,Y)={\frac {B(X,Y)+B(Y,X)}{2}}} ω ( X , Y ) = B ( X , Y ) − B ( Y , X ) 2 {\displaystyle \omega (X,Y)={\frac {B(X,Y)-B(Y,X)}{2}}} 만약 ω = 0 {\displaystyle \omega =0} 이라면, g {\displaystyle g} 는 M {\displaystyle M} 위의 준 리만 다양체 구조를 정의한다. 마찬가지로, 만약 g = 0 {\displaystyle g=0} 이라면, ω {\displaystyle \omega } 는 M {\displaystyle M} 위의 준 심플렉틱 다양체(영어: almost symplectic manifold) 구조를 정의한다. (만약 추가로 d ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega =0} 이라면, 이는 심플렉틱 다양체 구조를 이룬다.) 반대로, 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 주어졌을 때, 음악 동형 ♭ : T M → T ∗ M {\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M} ♭ | x : v ↦ g ( v , − ) ( x ∈ M , v ∈ T x M ) {\displaystyle \flat |_{x}\colon v\mapsto g(v,-)\qquad (x\in M,\;v\in \mathrm {T} _{x}M)} ♯ : T ∗ M → T M {\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M} ♯ | x : ϕ ↦ g x − 1 ( ϕ ) ( x ∈ M , ϕ ∈ T x ∗ M ) {\displaystyle \sharp |_{x}\colon \phi \mapsto g_{x}^{-1}(\phi )\qquad (x\in M,\;\phi \in \mathrm {T} _{x}^{*}M)} 을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 준 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 가 주어졌을 때, 음악 동형 ♭ : T M → T ∗ M {\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M} ♭ | x : v ↦ ω ( v , − ) ( x ∈ M , v ∈ T x M ) {\displaystyle \flat |_{x}\colon v\mapsto \omega (v,-)\qquad (x\in M,\;v\in \mathrm {T} _{x}M)} 을 정의할 수 있다. ‘음악 동형’이라는 용어는 마르셀 베르제가 1971년에 이미 사용하였다.:21 ‘음악 동형’이라는 용어 및 그 기호는 일종의 말장난이다. 물리학에서는 보통 벡터장(접다발의 단면)을 윗첨자 X μ {\displaystyle X^{\mu }} 로, 1차 미분 형식(공변접다발의 단면)을 아랫첨자 X μ {\displaystyle X_{\mu }} 로 표기한다. 그런데 물리학과 달리 수학에서는 보통 이와 같은 첨자 표기법을 잘 사용하지 않으며, 다른 표기법이 필요하다. 이에 따라, 접다발을 공변접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “올리는” 것이므로, 음악의 올림표(♯)를 사용하여 표기하며, 반대로 공변접다발을 접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “내리는” 것이므로, 음악의 내림표(♭)를 사용하여 표기한다. 이 두 기호가 음악에서 유래하였으므로 이러한 벡터 다발 동형 사상에 ‘음악 동형’이라는 이름이 붙었다. 쌍대성 호지 쌍대 벡터 다발 내림표 Berger, Marcel; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond. 《Le Spectre d’une variété riemannienne》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 194. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0064643. ISSN 0075-8434.  Lee, J. M. (2003). 《Introduction to Smooth manifolds》. Springer Graduate Texts in Mathematics 218. ISBN 0-387-95448-1.  Lee, J. M. (1997). 《Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature》. Springer Graduate Texts in Mathematics 176. New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.  Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). 《An Introduction to Clifford Algebras and Spinors》. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878-292-6.  “The origin of musical isomorphisms”. 《Math Overflow》 (영어).