메넬라오스 정리

기하학에서 메넬라오스 정리(영어: Menelaus' theorem)는 삼각형의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다. 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 각각 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선 위의 점이라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 공선점이다. A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = − 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1} 두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, A F / F B {\displaystyle AF/FB} 는 F {\displaystyle F} 가 A B {\displaystyle AB} 의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 유효하다. 예를 들어, F {\displaystyle F} 가 직선 A B {\displaystyle AB} 위의 무한원점일 경우, D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 공선점일 필요충분조건은 D E {\displaystyle DE} 가 A B {\displaystyle AB} 에 평행하는 것이며, A F / F B = − 1 {\displaystyle AF/FB=-1} 이 성립한다. 우선 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자.:66-67, §3.4 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서 직선 D E {\displaystyle DE} 에 내린 수선의 발을 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 A P {\displaystyle AP} , B Q {\displaystyle BQ} , C R {\displaystyle CR} 는 평행선이므로 | A F F B | = | A P B Q | , | B D D C | = | B Q C R | , | C E E A | = | C R A P | {\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {AP}{BQ}}\right|,\;\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BQ}{CR}}\right|,\;\left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {CR}{AP}}\right|} 이다. 따라서 | A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A | = | A P B Q ⋅ B Q C R ⋅ C R A P | = 1 {\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {AP}{BQ}}\cdot {\frac {BQ}{CR}}\cdot {\frac {CR}{AP}}\right|=1} 가 성립한다. 반대로 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = − 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1} 이라고 가정하고 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 공선점임을 보이자. 직선 D E {\displaystyle DE} 가 직선 A B {\displaystyle AB} 와 F ′ {\displaystyle F'} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여 A F ′ F ′ B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = − 1 {\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1} 이며, 따라서 A F F B = A F ′ F ′ B {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}} 이다. 직선 A B {\displaystyle AB} 를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 F = F ′ {\displaystyle F=F'} 이며, 특히 F {\displaystyle F} 는 직선 D E {\displaystyle DE} 위의 점이다. 우선 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 공선점이라고 가정하자.:147-148, §13.1 꼭짓점 B {\displaystyle B} 를 지나는 직선 D E {\displaystyle DE} 의 평행선이 대변 A C {\displaystyle AC} 의 직선과 점 X {\displaystyle X} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 A B X {\displaystyle ABX} 와 A F E {\displaystyle AFE} 는 서로 닮음이며, 삼각형 B C X {\displaystyle BCX} 와 D C E {\displaystyle DCE} 역시 서로 닮음이다. 특히 | A F F B | = | A E E X | , | B D D C | = | X E E C | {\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {AE}{EX}}\right|,\;\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {XE}{EC}}\right|} 이므로, | A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A | = | A E E X ⋅ X E E C ⋅ C E E A | = 1 {\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {AE}{EX}}\cdot {\frac {XE}{EC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1} 가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다. 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 각각 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 공선점이다. D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 는 공선점이다. 이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 내각 또는 외각의 이등분선 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 대변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선과 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 공선점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 라고 하고, 수심 삼각형 P Q R {\displaystyle PQR} 의 세 변 Q R {\displaystyle QR} , R P {\displaystyle RP} , P Q {\displaystyle PQ} 가 각각 원래 삼각형의 세 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 와 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심축이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서의 접선이 대변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선과 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 공선점이다. 임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다. A E E B ⋅ B F F C ⋅ C G G D ⋅ D H H A = 1 {\displaystyle {\frac {AE}{EB}}\cdot {\frac {BF}{FC}}\cdot {\frac {CG}{GD}}\cdot {\frac {DH}{HA}}=1} 직선이 다각형을 지나지 않아도 된다. 알렉산드리아의 메넬라오스(고대 그리스어: Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς)는 저서 《구면학》(라틴어: Sphaerica)의 제3권에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다.:121, §5.6 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.:121, §5.6 체바 정리 하루키 정리 체바 직선 등각 켤레점 각의 이등분선 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 메넬라오스의 정리 “Menelaus theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Menelaus' theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Menelaus's theorem”. 《ProofWiki》 (영어).