측도 수렴 함수열

측도론에서, 측도 수렴 함수열(測度收斂函數列, 영어: convergent sequence of functions in measure)은 극한과의 오차가 큰 부분이 점차 사라지는 가측 함수의 열이다. 다음이 주어졌다고 하자. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} 가측 함수의 열 ( f i : X → Y ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y)_{i\in \mathbb {N} }} 및 가측 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면, ( f i ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 이 f {\displaystyle f} 로 측도 수렴한다고 한다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, lim i → ∞ μ ( { x ∈ X : d Y ( f i , f ) > ϵ } ) = 0 {\displaystyle \lim _{i\to \infty }\mu (\{x\in X\colon d_{Y}(f_{i},f)>\epsilon \})=0} 가측 함수의 열 ( f i : X → Y ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y)_{i\in \mathbb {N} }} 이 다음 조건을 만족시키면, 측도 코시 열(測度-列, 영어: Cauchy sequence in measure)이라고 한다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, lim n → ∞ sup i , j ≥ n μ ( { x ∈ X : d Y ( f i , f j ) > ϵ } ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{i,j\geq n}\mu (\{x\in X\colon d_{Y}(f_{i},f_{j})>\epsilon \})=0} 만약 μ {\displaystyle \mu } 가 확률 측도일 경우, 확률 수렴(確率收斂, 영어: convergence in probability)과 확률 코시 열(確率-列, 영어: Cauchy sequence in probability)이라는 용어를 대신 사용하기도 한다. 만약 ( f i : X → Y ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y)_{i\in \mathbb {N} }} 이 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 로 측도 수렴한다면, 거의 어디서나 f = g {\displaystyle f=g} 이다. 모든 측도 수렴 함수열은 항상 거의 어디서나 수렴 부분 함수열을 갖는다. 만약 X {\displaystyle X} 가 가산 집합일 경우, 모든 측도 수렴 함수열은 거의 어디서나 수렴한다. 만약 μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } 일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ( f i ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 는 f {\displaystyle f} 로 측도 수렴한다. 임의의 부분열 ( f i ( j ) ) j ∈ N {\displaystyle (f_{i(j)})_{j\in \mathbb {N} }} 에 대하여, f {\displaystyle f} 로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 ( f i ( j ( k ) ) ) k ∈ N {\displaystyle (f_{i(j(k))})_{k\in \mathbb {N} }} 이 존재한다. (특히, μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } 일 경우 모든 거의 어디서나 수렴 함수열은 측도 수렴한다.) 모든 측도 수렴 함수열은 측도 코시 열이다. 만약 μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } 이며, Y {\displaystyle Y} 가 분해 가능 완비 거리 공간일 경우, 모든 측도 코시 열은 측도 수렴한다. 확률 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 이 주어졌다고 하자. 또한, 실수 값 가측 함수 X → R {\displaystyle X\to \mathbb {R} } 에 대하여 측도 수렴과 거의 어디서나 수렴이 동치라고 하자. 그렇다면 μ {\displaystyle \mu } 는 원자적 측도다.:165, Exercise 2.12.71 보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖춘 실수선 ( R , B ( R ) , μ L ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu _{\operatorname {L} })} 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자. f i : R → R {\displaystyle f_{i}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f i : x ↦ { 1 x ∈ [ n , ∞ ) 0 x ∉ [ n , ∞ ) {\displaystyle f_{i}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in [n,\infty )\\0&x\not \in [n,\infty )\end{cases}}} 그렇다면 ( f i ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 은 0으로 점별 수렴하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지만, 측도 수렴하지 않는다. 실수 구간 ( [ 0 , 1 ] , B ( [ 0 , 1 ] ) , μ L ) {\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\mu _{\operatorname {L} })} 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자. f i : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f_{i}\colon [0,1]\to \mathbb {R} } f i : x ↦ { 1 i = ( 1 + 2 + ⋯ + n ) + j , 0 ≤ j ≤ n , x ∈ [ j / ( n + 1 ) , ( j + 1 ) / ( n + 1 ) ] 0 i = ( 1 + 2 + ⋯ + n ) + j , 0 ≤ j ≤ n , x ∉ [ j / ( n + 1 ) , ( j + 1 ) / ( n + 1 ) ] {\displaystyle f_{i}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&i=(1+2+\cdots +n)+j,\;0\leq j\leq n,\;x\in [j/(n+1),(j+1)/(n+1)]\\0&i=(1+2+\cdots +n)+j,\;0\leq j\leq n,\;x\not \in [j/(n+1),(j+1)/(n+1)]\end{cases}}} 그렇다면 ( f i ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 은 0으로 측도 수렴하지만, 모든 곳에서 발산하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지 않는다. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume I》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.  Klenke, Achim (2020). 《Probability Theory. A Comprehensive Course》. Universitext (영어) 3판. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-030-56402-5. ISBN 978-3-030-56401-8. ISSN 0172-5939.  “Convergence in probability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.