삼각 분할 범주

호몰로지 대수학에서 삼각 분할 범주(三角分割範疇, 영어: triangulated category)는 유도 범주 및 안정 호모토피 범주와 유사한 성질을 가지는 범주이다. 이 위에 일반적인 코호몰로지 함자의 개념을 정의할 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 자기 동치 Σ : C → C {\displaystyle \Sigma \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. ( C , Σ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\Sigma )} 위의 삼각형(영어: triangle)은 다음과 같은 꼴의 사상들이다. X → f Y → g Z → h Σ X {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z{\xrightarrow {h}}\Sigma X} 이를 ( f , g , h ) {\displaystyle (f,g,h)} 로 쓰자. ( C , Σ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\Sigma )} 속의 두 삼각형 X → f Y → g Z → h Σ X {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z{\xrightarrow {h}}\Sigma X} X ′ → f ′ Y ′ → g ′ Z ′ → h ′ Σ X ′ {\displaystyle X'{\xrightarrow {f'}}Y'{\xrightarrow {g'}}Z'{\xrightarrow {h'}}\Sigma X'} 사이의 동형은 다음 조건을 만족시키는 동형 사상 i X : X → X ′ {\displaystyle i_{X}\colon X\to X'} i Y : Y → Y ′ {\displaystyle i_{Y}\colon Y\to Y'} i X : Z → Z ′ {\displaystyle i_{X}\colon Z\to Z'} 이다. f ′ = i Y ∘ f ∘ i X − 1 {\displaystyle f'=i_{Y}\circ f\circ i_{X}^{-1}} g ′ = i Z ∘ g ∘ i Y − 1 {\displaystyle g'=i_{Z}\circ g\circ i_{Y}^{-1}} h ′ = Σ ( i Z ) ∘ h ∘ i Z − 1 {\displaystyle h'=\Sigma (i_{Z})\circ h\circ i_{Z}^{-1}} 삼각 분할 범주는 다음과 같은 데이터로 구성된다. Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } -풍성한 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 자기 동치 Σ : C → C {\displaystyle \Sigma \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 삼각형들로 구성된 모임. 이 모임의 원소를 특별 삼각형(영어: distinguished triangle)이라고 한다. 이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 유한 완비 범주이다. (즉, 가법 범주이다.) 이에 따라 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 영 대상을 갖는다. 임의의 대상 X {\displaystyle X} 에 대하여, X → id X X → 0 → Σ X {\displaystyle X{\xrightarrow {\operatorname {id} _{X}}}X\to 0\to \Sigma X} 는 특별 삼각형이다. 임의의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, X → f Y → Z → Σ X {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y\to Z\to \Sigma X} 와 같은 꼴의 특별 삼각형이 존재한다. 이 경우 Z {\displaystyle Z} 를 f {\displaystyle f} 의 사상뿔(영어: mapping cone)이라고 한다. 특별 삼각형과 동형인 삼각형은 특별 삼각형이다. 특별 삼각형 X → f Y → g Z → h Σ X {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z{\xrightarrow {h}}\Sigma X} 이 주어졌을 때, Y → g Z → h Σ X → Σ f Y {\displaystyle Y{\xrightarrow {g}}Z{\xrightarrow {h}}\Sigma X{\xrightarrow {\Sigma f}}Y} 및 Z → h Σ X → Σ f Σ Y → Σ g Σ Z {\displaystyle Z{\xrightarrow {h}}\Sigma X{\xrightarrow {\Sigma f}}\Sigma Y{\xrightarrow {\Sigma g}}\Sigma Z} 역시 특별 삼각형이다. 정팔면체 공리(영어: octahedral axiom)가 성립한다. 이에 따르면, 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 가 주어졌을 때, f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} , g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 에 대한 세 개의 삼각뿔 Z ′ {\displaystyle Z'} , X ′ {\displaystyle X'} , Y ′ {\displaystyle Y'} 이 주어졌을 때 이들을 짜기워 특별 삼각형 Z ′ → Y ′ → X ′ → Σ Z ′ {\displaystyle Z'\to Y'\to X'\to \Sigma Z'} 을 만들 수 있다. 즉, 다음과 같은 정팔면체 그림이 존재한다. X ′ → Z ↘ d ↗ ↓ c Y c ↑ ↙ d ↖ Z ′ → X X ′ → Z ↖ c ↙ ↓ d Y ′ d ↑ ↗ c ↘ Z ′ → X {\displaystyle {\begin{matrix}X'&&\to &&Z\\&\searrow &\scriptstyle {\mathsf {d}}&\nearrow \\\downarrow &\scriptstyle {\mathsf {c}}&Y&\scriptstyle {\mathsf {c}}&\uparrow \\&\swarrow &\scriptstyle {\mathsf {d}}&\nwarrow \\Z'&&\to &&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}X'&&\to &&Z\\&\nwarrow &\scriptstyle {\mathsf {c}}&\swarrow \\\downarrow &\scriptstyle {\mathsf {d}}&Y'&\scriptstyle {\mathsf {d}}&\uparrow \\&\nearrow &\scriptstyle {\mathsf {c}}&\searrow \\Z'&&\to &&X\end{matrix}}} 위 그림은 정팔면체의 북반구와 남반구를 분리하여 그린 것이다. 여기서 c {\displaystyle {\mathsf {c}}} 는 가환 삼각형을 나타낸다. d {\displaystyle {\mathsf {d}}} 는 특별 삼각형을 나타낸다. Z ′ → X {\displaystyle Z'\to X} , X ′ → Y {\displaystyle X'\to Y} , Y ′ → X {\displaystyle Y'\to X} , X ′ → Z ′ {\displaystyle X'\to Z'} 은 (특별 삼각형의 셋째 변이므로) 등급이 1이다. 즉, 사실 Z ′ → Σ X {\displaystyle Z'\to \Sigma X} 와 같은 사상이다. 이 정팔면체 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다. d Z ′ → ∃ Y ′ → ∃ X ′ c ↙ d ↖ c ‖ X → Z ‖ ↗ d ↘ c ↗ d ↘ Z ′ ← Y ← X ′ {\displaystyle {\begin{matrix}&&&&\scriptstyle {\mathsf {d}}\\Z'&&{\xrightarrow {\exists }}&&Y'&&{\xrightarrow {\exists }}&&X'\\&\scriptstyle {\mathsf {c}}&&\swarrow &\scriptstyle {\mathsf {d}}&\nwarrow &&\scriptstyle {\mathsf {c}}\\\|&&X&&\to &&Z&&\|\\&\nearrow &\scriptstyle {\mathsf {d}}&\searrow &\scriptstyle {\mathsf {c}}&\nearrow &\scriptstyle {\mathsf {d}}&\searrow \\Z'&&\leftarrow &&Y&&\leftarrow &&X'\end{matrix}}\qquad } 여기서 맨 위의 d {\displaystyle {\mathsf {d}}} 는 이 그림의 둘레를 따르는 삼각형 Z ′ → Y ′ → X ′ → Σ Z ′ {\displaystyle Z'\to Y'\to X'\to \Sigma Z'} 이 특별 삼각형임을 뜻한다. 이 그림에서 사각형 Y → Z ↓ ↓ Z ′ → Y ′ {\displaystyle {\begin{matrix}Y&\to &Z\\\downarrow &&\downarrow \\Z'&\to &Y'\end{matrix}}} 및 Y ′ → X ↓ ↓ X ′ → Y {\displaystyle {\begin{matrix}Y'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\X'&\to &Y\end{matrix}}} 역시 가환 사각형을 이루어야 한다. 또한, 이 정팔각형 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다. X ↓ ↘ Y → Z ↓ ↓ ↘ Z ′ → ∃ Y ′ → ∃ X ′ ↘ ↓ ↓ ↘ Σ X → Σ Y → Σ Z ′ {\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow &\searrow \\Y&\to &Z\\\downarrow &&\downarrow &\searrow \\Z'&{\overset {\exists }{\to }}&Y'&{\overset {\exists }{\to }}&X'\\&\searrow &\downarrow &&\downarrow &\searrow \\&&\Sigma X&\to &\Sigma Y&\to &\Sigma Z'\end{matrix}}} 이 그림에서는 모든 삼각형·사각형이 가환 다각형이다. 삼각 분할 범주에서, 모든 단사 사상은 분할 단사 사상이며 모든 전사 사상은 분할 전사 사상이다. 삼각 분할 범주 위에서 코호몰로지의 개념을 정의할 수 있다. 삼각 분할 범주에서 두 특별 삼각형 X → Y → Z → Σ X {\displaystyle X\to Y\to Z\to \Sigma X} 및 X ′ → Y ′ → Z ′ → Σ X ′ {\displaystyle X'\to Y'\to Z'\to \Sigma X'} 및 처음 두 꼭짓점들 사이의 사상 X → X ′ {\displaystyle X\to X'} , Y → Y ′ {\displaystyle Y\to Y'} 이 주어졌을 때, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 Z → Z ′ {\displaystyle Z\to Z'} 이 존재한다. X → Y → Z → Σ X ↓ ↓ ∃ ↓ ↓ Σ X ′ → Y ′ → Z ′ → Σ X ′ {\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &Y&\to &Z&\to &\Sigma X\\\downarrow &&\downarrow &&{\scriptstyle \exists }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \Sigma \\X'&\to &Y'&\to &Z'&\to &\Sigma X'\end{matrix}}} 이 성질은 베르디에의 원래 논문에서 삼각 분할 범주의 4개의 공리 가운데 셋째(TR3)로 제시되었으나, 이후 존 피터 메이(영어: Jon Peter May)가 셋째 공리를 다른 공리들로부터 유도할 수 있음을 보였다.:41, Lemma 2.2 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간들의 범주 Vect K {\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}} 위에 다음과 같이 삼각 분할 범주의 구조를 줄 수 있다. 자기 동치는 항등 함자 Σ = Id {\displaystyle \Sigma =\operatorname {Id} } 이다. 특별 삼각형은 완전열 U → V → W → U → V {\displaystyle U\to V\to W\to U\to V} 이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 호모토피 범주 K ( A ) {\displaystyle {\mathcal {K}}({\mathcal {A}})} (즉, 대상은 사슬 복합체, 사상은 사슬 사상의 호모토피류)는 삼각 분할 범주를 이룬다. 이 경우 특별 삼각형은 호몰로지 대수학에서의 사상뿔과 동형인 삼각형이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 호모토피 범주 K ( A ) {\displaystyle {\mathcal {K}}({\mathcal {A}})} 의 약한 동치를 국소화하면 유도 범주 D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 를 얻는다. 이 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 이는 약한 동치의 국소화가 삼각 분할 구조와 호환되기 때문이다. 스펙트럼들로 구성된 안정 호모토피 범주 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 자기 동치 Σ {\displaystyle \Sigma } 는 스펙트럼의 현수이다. 장루이 베르디에가 1963년 박사 학위 논문에서 유도 범주와 함께 정의하였다. 베르디에는 유도 범주에서 등장하는 특별 삼각형들의 성질들을 공리화하여 삼각 분할 범주의 개념을 추출하였다. D가군 May, Jon Peter (2001년 10월 15일). “The additivity of traces in triangulated categories” (PDF). 《Advances in Mathematics》 (영어) 163: 34–73. doi:10.1006/aima.2001.1995.  Verdier, Jean-Louis (1996). “Des catégories dérivées des catégories abéliennes”. 《Astérisque》 (프랑스어) (Société Mathématique de France) 239. ISSN 0303-1179. MR 1453167.  Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.  Gelfand, Sergei I.; Yuri Ivanovich Manin (1999). 《Homological algebra》 (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65378-3.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Neeman, A. (2001). 《Triangulated Categories》. Annals of Mathematics Studies (영어). Princeton University Press. 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