마팅게일

확률론에서 마팅게일(영어: martingale 마턴게일[*], 프랑스어: martingale 마르탱갈[*])은 확률 과정의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 기댓값이 현재 값과 동일한 과정이다. 다음이 주어졌다고 하자. 전순서 집합 ( T , ≤ ) {\displaystyle (T,\leq )} 여과 확률 공간 ( Ω , F t , Pr ) t ∈ T {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T}} 유클리드 공간 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} . 이는 보렐 가측 공간으로 가정한다. (르베그 시그마 대수가 아니다.) 그렇다면, ( Ω , F t , Pr ) t ∈ T ∪ { ∞ } {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T\cup \{\infty \}}} 위의 순응 확률 과정 ( X t : Ω → ) t ∈ T {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to )_{t\in T}} 이 만약 다음 두 조건을 만족시킨다면, 마팅게일이라고 한다. (기댓값의 존재) 임의의 t ∈ T {\displaystyle t\in T} 에 대하여, E ⁡ ( ‖ X t ‖ ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} (\|X_{t}\|)<\infty } . 즉, X t ∈ L 1 ⁡ ( Ω ; R d ) {\displaystyle X_{t}\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{d})} 이다. (마팅게일 성질) 임의의 s , t ∈ T {\displaystyle s,t\in T} 에 대하여, 만약 s ≤ t {\displaystyle s\leq t} 라면, E ( X s | F s ) = E ( X t | F s ) : F s → R d {\displaystyle \mathbb {E} (X_{s}|{\mathcal {F}}_{s})=\mathbb {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})\colon {\mathcal {F}}_{s}\to \mathbb {R} ^{d}} 이다. 즉, 임의의 A ∈ Σ s {\displaystyle A\in \Sigma _{s}} 에 대하여, E ( X t | A ) = E ( X s | A ) ∈ R d {\displaystyle \mathbb {E} (X_{t}|A)=\mathbb {E} (X_{s}|A)\in \mathbb {R} ^{d}} 이다. 여기서 1 A : Ω → R {\displaystyle 1_{A}\colon \Omega \to \mathbb {R} } 는 A {\displaystyle A} 의 지시 함수이다. 물론, 이 정의에서 s = t {\displaystyle s=t} 인 경우는 자명하게 참이다. 여기서 E ( − | − ) {\displaystyle \mathbb {E} (-|-)} 는 조건부 기댓값을 뜻한다. 마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 풀어 해석할 수 있다. 현재 s {\displaystyle s} 까지의 정보( A ∈ F s {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{s}} )만을 알고 있다면, 미래 t ≥ s {\displaystyle t\geq s} 에서의 X {\displaystyle X} 의 값 X t {\displaystyle X_{t}} 의 기댓값 E ( X t | A ) {\displaystyle \mathbb {E} (X_{t}|A)} 은 현재의 기댓값 E ⁡ ( X s | A ) {\displaystyle \operatorname {E} (X_{s}|A)} 과 같다. d = 1 {\displaystyle d=1} 이라고 하자. 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, 열마팅게일(劣martingale, 영어: submartingale 서브마팅게일[*])의 개념을 얻는다. (열마팅게일 조건) 임의의 s , t ∈ T {\displaystyle s,t\in T} 에 대하여, 만약 s ≤ t {\displaystyle s\leq t} 라면, E ( X s | F s ) ≤ E ( X t | F s ) : F s → R d {\displaystyle \mathbb {E} (X_{s}|{\mathcal {F}}_{s})\leq \mathbb {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})\colon {\mathcal {F}}_{s}\to \mathbb {R} ^{d}} 이다. 마찬가지로, 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, 우마팅게일(優martingale, 영어: supermartingale 슈퍼마팅게일[*])은 의 개념을 얻는다. (우마팅게일 조건) 임의의 s , t ∈ T {\displaystyle s,t\in T} 에 대하여, 만약 s ≤ t {\displaystyle s\leq t} 라면, E ( X s | F s ) ≥ E ( X t | F s ) : F s → R d {\displaystyle \mathbb {E} (X_{s}|{\mathcal {F}}_{s})\geq \mathbb {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})\colon {\mathcal {F}}_{s}\to \mathbb {R} ^{d}} 이다. 만약 ( X t ) t ∈ T {\displaystyle (X_{t})_{t\in \mathbb {T} }} 가 열마팅게일이라면, ( − X t ) t ∈ T {\displaystyle (-X_{t})_{t\in T}} 는 우마팅게일이며, 그 역도 마찬가지다. 열마팅게일이자 우마팅게일인 확률 과정은 마팅게일이다. 다음과 같은 특별한 경우를 생각하자. ( Ω , F t , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )} 가 ( Y t : Ω → R d ) t ∈ T {\displaystyle (Y_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{d})_{t\in T}} 의 자연 여과 확률 공간이다. 그렇다면, 마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 나타내어진다. E ( X t | { Y r } r ≤ s ) = E ( X s | { Y r } r ≤ s ) {\displaystyle \mathbb {E} (X_{t}|\{Y_{r}\}_{r\leq s})=\mathbb {E} (X_{s}|\{Y_{r}\}_{r\leq s})} 특히, X = Y {\displaystyle X=Y} 인 경우를 생각할 수 있다. 예를 들어, T = N = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle T=\mathbb {N} =\{0,1,2,\dotsc \}} (자연수 집합)인 경우를 생각하자. 이는 이산 시간 확률 과정에 해당한다. 이 경우, ( X t : Ω → R d ) t ∈ Z {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{d})_{t\in \mathbb {Z} }} 가 마팅게일이 될 조건은 다음과 같다. (기댓값의 존재) 임의의 t ∈ N {\displaystyle t\in \mathbb {N} } 에 대하여, E ( ‖ X t ‖ ) < ∞ {\displaystyle \mathbb {E} (\|X_{t}\|)<\infty } (마팅게일 성질) E ( X s + 1 | X 0 , X 1 , … , X s ) = E ⁡ ( X s ) {\displaystyle \mathbb {E} (X_{s+1}|X_{0},X_{1},\dotsc ,X_{s})=\operatorname {E} (X_{s})} 이 조건은 t = s + 1 {\displaystyle t=s+1} 인 경우로, 일반적 정의보다 더 약한 것처럼 보이지만, 사실 E ( X s + 2 | X 0 , … , X s ) = E ( X s + 2 | X 0 , … , X s , X s + 1 ) ↾ F s = E ( X s + 1 | X 0 , … , X s , X s + 1 ) ↾ F s = E ( X s + 1 | X 0 , … , X s ) = E ( X s ) {\displaystyle \mathbb {E} (X_{s+2}|X_{0},\dotsc ,X_{s})=\mathbb {E} (X_{s+2}|X_{0},\dotsc ,X_{s},X_{s+1})\upharpoonright {\mathcal {F}}_{s}=\mathbb {E} (X_{s+1}|X_{0},\dotsc ,X_{s},X_{s+1})\upharpoonright {\mathcal {F}}_{s}=\mathbb {E} (X_{s+1}|X_{0},\dotsc ,X_{s})=\mathbb {E} (X_{s})} 와 같이 수학적 귀납법으로 모든 t ≥ s {\displaystyle t\geq s} 에 대하여 성립함을 보일 수 있다. 여기서 F s {\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}} 는 X {\displaystyle X} 의 자연 여과 확률 공간이다. 마팅게일의 대표적인 예로는 무작위 행보가 있다. 마팅게일(프랑스어: martingale 마르탱갈[*])이라는 단어는 프랑스 남부의 지명 마르티그에서 유래한다. 마르탱갈은 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다.:§2 이 전략은 한 판을 이겼을 때 얻는 금액과 한 판을 졌을 때 잃는 금액이 같고 이길 확률과 질 확률 역시 동일한 형태의 도박을 할 때 사용할 수 있는 전략으로, 졌을 때 다음 판에 이번 판의 두 배에 해당하는 판돈을 걸면 결국 언젠가 이기는 순간 첫 판의 판돈에 해당하는 금액이 최종 수익으로 남게 된다는 점에 착안하여 이에 상응하는 베팅 방식을 고수한다. 만약 도박을 하는 사람의 재산이 무한하다면 거의 확실하게 이기는 순간이 오기 때문에 언젠가는 돈을 딸 수 있지만, 실제로는 재산이 유한하기 때문에 돈을 따기 전에 가진 돈을 잃을 확률이 존재하게 된다. ‘마르탱갈’이라는 단어는 이 전략의 어리석음을 마르티그 지방 사람들의 (파리 사람들의 편견에 따르면) 어리숙하고 순진함에 빗댄 것이다.:108, §4 폴 피에르 레비(프랑스어: Paul Pierre Lévy)가 처음으로 확률론에 이 마팅게일 전략을 도입하였으며, 조지프 두브 역시 마팅게일의 이론적 발전에 크게 기여하였다. 확률론에 마팅게일이 도입된 이유 중의 하나는 마팅게일 전략으로 도박을 통해 수익을 얻는 것이 불가능하다는 것을 증명하고자 하는 데 있었다. 브라운 운동 마르코프 연쇄 마르코프 확률 과정 정규수 (수론) 준마팅게일 Williams, David (1991). 《Probability with martingales》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.  Mansuy, Roger (2005). “Histoire de martingales”. 《Mathématiques & Sciences Humaines / Mathematical Social Sciences》 (프랑스어) 169. doi:10.4000/msh.2945. ISSN 0987-6936.  Shiryaev, A.N. (2001). “Martingale”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Martingale”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.