리 대수 근기

리 군론에서 리 대수 근기(Lie代數根基, 영어: Lie algebra radical)는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 생각하자. 그렇다면, 그 아이디얼(영어: ideal)은 부분 리 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다. [ g , h ] ⊆ h {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}} 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 아이디얼 가운데, 가해 리 대수를 이루는 것들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근기라고 하며,:32, §I.2 rad ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathcal {g}})} 로 표기한다. 정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다. 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 K {\displaystyle K} -뇌터 가군일 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근기가 존재한다. 증명: 다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다. ㈎ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다. ㈏ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 임의의 부분 가군들의 족 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 에 대하여, ∑ I = ∑ I ′ {\displaystyle \textstyle \sum {\mathcal {I}}=\sum {\mathcal {I}}'} 가 되는 유한 집합 I ′ ⊆ I {\displaystyle {\mathcal {I}}'\subseteq {\mathcal {I}}} 가 존재한다. ㈎의 증명: g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자. a , b ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 그렇다면, a + b {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}} 는 역시 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 아이디얼이다. 또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다. 짧은 완전열 0 → a → a + b → a + b a ≅ b a ∩ b → 0 {\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\to {\frac {{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}{\mathfrak {a}}}\cong {\frac {\mathfrak {b}}{{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}}}\to 0} 에 의하여, a + b {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}} 는 가해 리 대수 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} 의 몫 b / ( a ∩ b ) {\displaystyle {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})} 의, 가해 리 대수 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다. ㈏의 증명: g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 K {\displaystyle K} -부분 가군들의 족 I ⊆ Pow ⁡ ( g ) {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Pow} ({\mathfrak {g}})} 이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합 I ′ ⊆ I {\displaystyle {\mathcal {I}}'\subseteq {\mathcal {I}}} | I ′ | < ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {I}}'|<\aleph _{0}} 에 대하여 ∑ I ′ ⊊ ∑ I {\displaystyle \sum {\mathcal {I}}'\subsetneq \sum {\mathcal {I}}} 라고 가정하자. 그렇다면, 선택 공리를 사용하여, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 의 원소들의 열 a 0 , a 1 , … {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0},{\mathfrak {a}}_{1},\dotsc } 을 다음과 같이 재귀적으로 고르자. 임의의 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 에 대하여, 귀류법 가정에 따라 ∑ j < i a j ⊊ ∑ I {\displaystyle \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a}}_{j}\subsetneq \sum {\mathcal {I}}} 이므로, { b ∈ I : b ⊈ ∑ j < i a j } ≠ ∅ {\displaystyle \{{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}\colon {\mathfrak {b}}\not \subseteq \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a}}_{j}\}\neq \varnothing } 이다. 선택 공리를 사용하여, a i ∈ { b ∈ I : b ⊈ ∑ j < i a j } {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\in \{{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}\colon {\mathfrak {b}}\not \subseteq \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a}}_{j}\}} 를 임의로 고른다. 그렇다면, 구성에 따라 0 ⊊ a 0 ⊊ a 0 + a 1 ⊊ a 0 + a 1 + a 2 ⊊ ⋯ {\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {a}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{0}+{\mathfrak {a}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{0}+{\mathfrak {a}}_{1}+{\mathfrak {a}}_{2}\subsetneq \dotsb } 이다. 이는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다. 특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 근기를 갖는다.:32, Proposition 1.12 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근기가 0이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 반단순 리 대수이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 리 대수에 대하여, 만약 rad ⁡ g = Z ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {rad} {\mathfrak {g}}=\operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})} 라면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 가약 리 대수(可約Lie代數, 영어: reductive Lie algebra)라고 한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가해 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근기는 (항상 존재하며) g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 전체이다. Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)