위상의 비교

일반위상수학과 범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 섬세한 구조(纖細-構造, 영어: finer structure) 또는 더 엉성한 구조(-構造, 영어: coarser structure)라고 한다. 두 범주 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} , B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 사이의 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 X ^ ∈ B {\displaystyle {\hat {X}}\in {\mathcal {B}}} 에 대하여, 다음과 같은 범주 Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 를 생각할 수 있다. Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 의 대상은 Π ( X ) = X ^ {\displaystyle \Pi (X)={\hat {X}}} 인 대상 X ∈ E {\displaystyle X\in {\mathcal {E}}} 이다. Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 의 사상은 Π ( f ) = id X ^ {\displaystyle \Pi (f)=\operatorname {id} _{\hat {X}}} 인 사상 f ∈ Mor ⁡ ( E ) {\displaystyle f\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {E}})} 이다. 만약 Π {\displaystyle \Pi } 가 충실한 함자라면, Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 는 얇은 범주이며, 이는 X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} 위에 존재할 수 있는 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조들의 범주로 생각할 수 있다. Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 는 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다. X ≲ X ′ ⟺ ∃ f ∈ hom Π − 1 ( id X ^ ) ⁡ ( X , X ′ ) {\displaystyle X\lesssim X'\iff \exists f\in \hom _{\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})}(X,X')} 이 관계를 엉성함이라고 한다.:30, Definition 1.1.4 즉, 만약 Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 속에서 사상 f : X → X ′ {\displaystyle f\colon X\to X'} 가 존재한다면, X ′ {\displaystyle X'} 이 X {\displaystyle X} 보다 더 엉성한(영어: coarser) E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조이며, 반대로 X {\displaystyle X} 는 X ′ {\displaystyle X'} 보다 더 섬세한(영어: finer) E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조이다. 이 정의는 특히 위상 함자 Π : E → Set {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set} } 에 대하여 적용된다. Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조)가 존재한다면, 이를 X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} 위의 비이산 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조(영어: indiscrete E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -structure)라고 한다. 반대로, Π − 1 ( id X ^ ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})} 에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조)가 존재한다면, 이를 X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} 위의 이산 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조(영어: discrete E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -structure)라고 한다. Π {\displaystyle \Pi } 가 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조와 끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여, Π − 1 ( id X ) {\displaystyle \Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{X})} 는 완비 원격자를 이룬다. 위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자 U : Top → Set {\displaystyle U\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} } 는 위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 엉성한 위상과 더 섬세한 위상의 개념을 정의할 수 있다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 두 위상 (열린집합의 족) U , U ′ ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {U}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:77–78 U ′ {\displaystyle {\mathcal {U}}'} 이 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수 ( X , U ) → ( X , U ′ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})\to (X,{\mathcal {U}}')} 이 연속 함수이다. U ⊇ U ′ {\displaystyle {\mathcal {U}}\supseteq {\mathcal {U}}'} 이다. 즉, 항등 함수 ( X , U ′ ) → ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}}')\to (X,{\mathcal {U}})} 가 열린 함수이다. 주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다. 흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"(영어: weaker/stronger topology)이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"(영어: stronger/weaker topology)이라는 용어를 사용한다. 보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 TopBase {\displaystyle \operatorname {TopBase} } 를 생각하자. TopBase {\displaystyle \operatorname {TopBase} } 의 원소 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 는 집합 X {\displaystyle X} 와 그 위의 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 순서쌍이다. TopBase {\displaystyle \operatorname {TopBase} } 의 사상 f : ( X , B X ) → ( Y , B Y ) {\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {B}}_{X})\to (Y,{\mathcal {B}}_{Y})} 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다. ∀ ϵ ∈ B Y ∀ x ∈ f − 1 ( ϵ ) ∃ δ ∈ B Y : ( x ∈ δ ⊆ f − 1 ( ϵ ) ) {\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {B}}_{Y}\forall x\in f^{-1}(\epsilon )\exists \delta \in {\mathcal {B}}_{Y}\colon \left(x\in \delta \subseteq f^{-1}(\epsilon )\right)} 그렇다면 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 은 TopBase {\displaystyle \operatorname {TopBase} } 의 충만한 부분 범주를 이룬다. 그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 두 기저 B , B ′ ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 이 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 보다 더 엉성하다. 임의의 ϵ ∈ B ′ {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {B}}'} 및 x ∈ ϵ {\displaystyle x\in \epsilon } 에 대하여, x ∈ δ ⊆ ϵ {\displaystyle x\in \delta \subseteq \epsilon } 인 δ ∈ B {\displaystyle \delta \in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 에 의해 생성되는 위상 { ⋃ S : S ⊆ B ′ } {\displaystyle \textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}'\}} 은 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 에 의해 생성되는 위상 { ⋃ S : S ⊆ B } {\displaystyle \textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}\}} 보다 더 엉성하다. 주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 TopSubbase {\displaystyle \operatorname {TopSubbase} } 를 생각하자. TopSubbase {\displaystyle \operatorname {TopSubbase} } 의 원소 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 는 집합 X {\displaystyle X} 와 그 위의 임의의 집합족 B ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 의 순서쌍이다. (이는 X {\displaystyle X} 의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.) TopSubbase {\displaystyle \operatorname {TopSubbase} } 의 사상 f : ( X , B X ) → ( Y , B Y ) {\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {B}}_{X})\to (Y,{\mathcal {B}}_{Y})} 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다. ∀ ϵ ∈ B Y ∀ x ∈ f − 1 ( ϵ ) ∃ n ∈ N , δ 1 , … , δ n ∈ B Y : ( x ∈ δ 1 ∩ δ 2 ∩ ⋯ ∩ δ n ⊆ f − 1 ( ϵ ) ) {\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {B}}_{Y}\forall x\in f^{-1}(\epsilon )\exists n\in \mathbb {N} ,\;\delta _{1},\dots ,\delta _{n}\in {\mathcal {B}}_{Y}\colon \left(x\in \delta _{1}\cap \delta _{2}\cap \cdots \cap \delta _{n}\subseteq f^{-1}(\epsilon )\right)} 그렇다면 TopBase {\displaystyle \operatorname {TopBase} } 는 TopSubbase {\displaystyle \operatorname {TopSubbase} } 의 충만한 부분 범주를 이룬다. 그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 두 부분 기저 B , B ′ ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 이 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 보다 더 엉성하다. 임의의 ϵ ∈ B ′ {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {B}}'} 및 x ∈ ϵ {\displaystyle x\in \epsilon } 에 대하여, x ∈ δ 1 ∩ δ 2 ∩ ⋯ ∩ δ n ⊆ ϵ {\displaystyle x\in \delta _{1}\cap \delta _{2}\cap \cdots \cap \delta _{n}\subseteq \epsilon } 인 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 δ 1 , … , δ n ∈ B {\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{n}\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 에 의해 생성되는 위상 { ⋃ S : S ⊆ { ⋂ T : T ⊆ B ′ , | T | < ℵ 0 } } {\displaystyle \textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq \{\bigcap T\colon T\subseteq {\mathcal {B}}',\;|T|<\aleph _{0}\}\}} 은 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 에 의해 생성되는 위상 { ⋃ S : S ⊆ { ⋂ T : T ⊆ B , | T | < ℵ 0 } } {\displaystyle \textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq \{\bigcap T\colon T\subseteq {\mathcal {B}},\;|T|<\aleph _{0}\}\}} 보다 더 엉성하다. 주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다. 다음과 같은 구체적 범주 Cover {\displaystyle \operatorname {Cover} } 를 생각하자. Cover {\displaystyle \operatorname {Cover} } 의 대상 ( X , C ) {\displaystyle (X,{\mathcal {C}})} 은 집합 X {\displaystyle X} 와 그 위의 덮개 C ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 의 순서쌍이다. Cover {\displaystyle \operatorname {Cover} } 의 사상 f : ( X , C X ) → ( Y , C Y ) {\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {C}}_{X})\to (Y,{\mathcal {C}}_{Y})} 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. ∀ C X ∈ C X ∃ C Y ∈ C Y : f ( C X ) ⊆ C Y {\displaystyle \forall C_{X}\in {\mathcal {C}}_{X}\exists C_{Y}\in {\mathcal {C}}_{Y}\colon f(C_{X})\subseteq {\mathcal {C}}_{Y}} 이렇게 정의하였을 때, 같은 집합 X {\displaystyle X} 위의 두 덮개 C , C ′ ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. C ′ {\displaystyle {\mathcal {C}}'} 이 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 보다 더 엉성하다. C ′ {\displaystyle {\mathcal {C}}'} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 세분이다. 유계형 집합의 범주 BornSet {\displaystyle \operatorname {BornSet} } 은 Cover {\displaystyle \operatorname {Cover} } 의 충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다. 다음과 같은 범주 FilterBase {\displaystyle \operatorname {FilterBase} } 를 생각하자. FilterBase {\displaystyle \operatorname {FilterBase} } 의 대상 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 는 집합 X {\displaystyle X} 와 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 위의 필터 기저 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 이다. FilterBase {\displaystyle \operatorname {FilterBase} } 의 사상 f : ( X , F X ) → ( Y , F Y ) {\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {F}}_{X})\to (Y,{\mathcal {F}}_{Y})} 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. ∀ F Y ∈ F Y : ∃ F X ∈ F X : f − 1 ( F Y ) ⊇ F X {\displaystyle \forall F_{Y}\in {\mathcal {F}}_{Y}\colon \exists F_{X}\in {\mathcal {F}}_{X}\colon f^{-1}(F_{Y})\supseteq F_{X}} 그렇다면, 집합 X {\displaystyle X} 위의 두 필터 기저 F , F ′ ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. F ′ {\displaystyle {\mathcal {F}}'} 이 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 보다 더 엉성하다. ↑ F ′ ⊆↑ F {\displaystyle \uparrow {\mathcal {F}}'\subseteq \uparrow {\mathcal {F}}} 이다. 여기서 ↑ {\displaystyle \uparrow } 는 필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다. 가측 공간과 가측 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자 U : Measble → Set {\displaystyle U\colon \operatorname {Measble} \to \operatorname {Set} } 는 위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다. Preuss, Gerhard (2002). 《Foundations of topology: an approach to convenient topology》 (영어). Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/978-94-010-0489-3. ISBN 978-94-010-3940-6.  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  “Finer topology”. 《Topospaces》 (영어).  “Coarser topology”. 《Topospaces》 (영어).  “Coarser uniform structure”. 《Topospaces》 (영어).  “Definition: finer topology”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: coarser topology”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: comparable topologies”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: refinement of cover”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: superfilter”. 《ProofWiki》 (영어).