보편 완비 가측 공간

측도론에서, 가측 공간 위의 보편 완비 가측 공간(普遍完備可測空間, 영어: universally complete measurable space)은 모든 시그마 유한 완비화에 대하여 가측 집합이 되는 부분 집합들만을 가측 집합으로 삼는 가측 공간이다. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 시그마 유한 측도 공간(영어: sigma-finite measure space)이라고 한다. X = ⋃ S {\displaystyle \textstyle X=\bigcup {\mathcal {S}}} 인 가산 집합 S ⊆ { S ∈ Σ : μ ( S ) < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{S\in \Sigma \colon \mu (S)<\infty \}} 가 존재한다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 시그마 유한 측도들의 집합을 σ - f i n M e a s ⁡ ( X , Σ ) {\displaystyle \operatorname {\sigma -finMeas} (X,\Sigma )} 라고 표기하고, ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 확률 측도들의 집합을 probMeas ⁡ ( X , Σ ) {\displaystyle \operatorname {probMeas} (X,\Sigma )} 라고 표기하자. 그렇다면, 집합족 Σ univ {\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}} 를 다음과 같이 정의하자. Σ univ = ⋂ μ ∈ probMeas ⁡ ( X , Σ ) Σ ¯ μ = ⋂ μ ∈ σ - f i n M e a s ⁡ ( X , Σ ) Σ ¯ μ {\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}=\bigcap _{\mu \in \operatorname {probMeas} (X,\Sigma )}{\bar {\Sigma }}_{\mu }=\bigcap _{\mu \in \operatorname {\sigma -finMeas} (X,\Sigma )}{\bar {\Sigma }}_{\mu }} 이다. 여기서 Σ ¯ μ {\displaystyle {\bar {\Sigma }}_{\mu }} 는 측도 μ {\displaystyle \mu } 에 대한 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 완비화이다. 두 항의 일치의 증명: 시그마 유한 완비 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 에 대하여, 같은 가측 집합들과 영집합들을 갖는 확률 공간 구조 ( X , Σ , μ ″ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu '')} 를 구성하면 족하다. 시그마 유한 조건의 정의에 따라 X = ⋃ i = 0 ∞ S i {\displaystyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }S_{i}} ∀ i ∈ N : ( S i ∈ Σ ∧ μ ( S i ) < ∞ ) {\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon (S_{i}\in \Sigma \land \mu (S_{i})<\infty )} 라고 하자. 그렇다면, S i ′ = S i ∖ ( S 0 ∪ S 1 ∪ ⋯ ∪ S i − 1 ) {\displaystyle S_{i}'=S_{i}\setminus (S_{0}\cup S_{1}\cup \cdots \cup S_{i-1})} 를 정의하고, 또한 Σ {\displaystyle \Sigma } 위에 다음과 같은 두 측도를 정의하자.:524, §4.6 μ ′ ( A ) = ∑ i = 0 ∞ 2 − i μ ( A ∩ S i ′ ) μ ( S i ′ ) + 1 ∀ A ∈ Σ {\displaystyle \mu '(A)=\sum _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {\mu (A\cap S'_{i})}{\mu (S'_{i})+1}}\qquad \forall A\in \Sigma } μ ″ ( A ) = μ ′ ( A ) μ ′ ( X ) ∀ A ∈ Σ {\displaystyle \mu ''(A)={\frac {\mu '(A)}{\mu '(X)}}\qquad \forall A\in \Sigma } 그렇다면, ( X , Σ , μ ″ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu '')} 는 확률 공간을 이룬다. 또한, ∀ A ∈ Σ : μ ( A ) = 0 ⟺ μ ″ ( A ) = 0 {\displaystyle \forall A\in \Sigma \colon \mu (A)=0\iff \mu ''(A)=0} 인 것은 쉽게 확인할 수 있다. Σ univ {\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}} 의 원소를 Σ {\displaystyle \Sigma } -보편 가측 집합( Σ {\displaystyle \Sigma } -普遍可測集合, 영어: Σ {\displaystyle \Sigma } -universally measurable set)이라고 한다.:155, §21.D Σ univ {\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}} 역시 X {\displaystyle X} 위의 가측 공간 구조를 이루며, ( X , Σ univ ) {\displaystyle (X,\Sigma ^{\text{univ}})} 를 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 의 보편 완비화(普遍完備化, 영어: universal completion)라고 한다.:526–527, §4.6 만약 Σ = Σ univ {\displaystyle \Sigma =\Sigma ^{\text{univ}}} 라면, ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 를 보편 완비 가측 공간이라고 한다. 만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 개의 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다. 만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 준열린집합이 아닌 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.:21 유클리드 공간의 보렐 가측 공간 위의 르베그 측도는 시그마 유한 완비 측도이다. 따라서, 모든 보편 가측 집합은 르베그 가측 집합이나, 그 역은 성립하지 않는다. 폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 해석적 집합은 보편 가측 집합이다.:155, Theorem 21.10 사영 결정 공리를 가정한다면, 폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 사영 집합은 보편 가측 집합이다.:326, §38.17(ii) Doberkat, Ernst-Erich (2015). 《Special topics in mathematics for computer scientists: sets, categories, topologies and measures》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-22750-4. ISBN 978-3-319-22749-8.  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.  Larson, Paul; Neeman, Itay; Shelah, Saharon. “Universally measurable sets in generic extensions”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 208 (2): 173–192. arXiv:1003.2479. Bibcode:2010arXiv1003.2479L. doi:10.4064/fm208-2-4. ISSN 0016-2736. Zbl 1196.03064.  “Universally measurable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.