다항식의 나머지 정리

대수학에서 (다항식) 나머지 정리((多項式)-定理, 영어: (polynomial) remainder theorem) 또는 베주의 소정리(영어: Little Bézout's theorem, 프랑스의 수학자인 에티엔 베주에서 이름을 따옴)는 다항식을 1차 다항식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이다. 대략 다항식 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 를 1차 다항식 x − a {\displaystyle x-a} 로 나눈 나머지가 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 라고 말한다. 나눗셈 정리의 따름정리이며 인수 정리를 특수한 경우로 포함한다. 후자에 따르면 x − a {\displaystyle x-a} 는 f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} 인 경우에만 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 약수이다. 여러 개의 근을 갖는 다항식은 인수 정리를 반복적으로 적용하여 인수분해 할 수 있다. 가환환 R {\displaystyle R} 및 다항식 f ∈ R [ x ] {\displaystyle f\in R[x]} 및 a ∈ R {\displaystyle a\in R} 가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 를 다항식 x − a {\displaystyle x-a} 로 나눈 나머지는 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 이다. 더 일반적으로, 환 R {\displaystyle R} 및 다항식 f ∈ R [ x ] {\displaystyle f\in R[x]} 및 환의 중심의 원소 a ∈ Z ⁡ ( R ) {\displaystyle a\in \operatorname {Z} (R)} 가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 를 다항식 x − a {\displaystyle x-a} 로 나눈 나머지는 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 이다. 나눗셈 정리를 통한 증명: x − a {\displaystyle x-a} 가 1차 일계수 다항식이므로, 다항식의 나눗셈 정리에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 q ∈ R [ x ] {\displaystyle q\in R[x]} 및 나머지 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 유일하게 존재한다. f ( x ) = ( x − a ) q ( x ) + r {\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r} 나머지 r {\displaystyle r} 가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 r = 0 {\displaystyle r=0} 이거나 deg ⁡ r < deg ⁡ ( x − a ) = 1 {\displaystyle \deg r<\deg(x-a)=1} 이어야 하기 때문이다. 따라서 f ( a ) = ( a − a ) q ( a ) + r = 0 q ( a ) + r = r {\displaystyle f(a)=(a-a)q(a)+r=0q(a)+r=r} 이다. 테일러 전개를 통한 증명: 다음 등식을 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 위에서 보일 수 있다. f ( x ) = f ( x − a + a ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( max { deg ⁡ f , 0 } ) ( a ) n ! ( x − a ) max { deg ⁡ f , 0 } {\displaystyle f(x)=f(x-a+a)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(\max\{\deg f,0\})}(a)}{n!}}(x-a)^{\max\{\deg f,0\}}} 여기서 f ( i ) ( x ) i ! = ∑ k = i max { deg ⁡ f , 0 } ( k i ) a k x k − i ∈ R [ x ] {\displaystyle {\frac {f^{(i)}(x)}{i!}}=\sum _{k=i}^{\max\{\deg f,0\}}{\binom {k}{i}}a_{k}x^{k-i}\in R[x]} 는 R {\displaystyle R} 의 표수가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, f {\displaystyle f} 를 x − a {\displaystyle x-a} 로 나눈 나머지는 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 이다. 인수 분해를 통한 증명: f ( x ) − f ( a ) {\displaystyle f(x)-f(a)} 가 x − a {\displaystyle x-a} 의 배수임을 보이면 된다. f ( x ) − f ( a ) {\displaystyle f(x)-f(a)} 는 x i − a i = ( x − a ) ( x i − 1 + x i − 2 a + ⋯ + x a i − 2 + a i − 1 ) {\displaystyle x^{i}-a^{i}=(x-a)(x^{i-1}+x^{i-2}a+\cdots +xa^{i-2}+a^{i-1})} 꼴의 다항식들의 R {\displaystyle R} -선형 결합이므로 x − a {\displaystyle x-a} 의 배수가 맞다. 다항식 f ( x ) = x 3 − 12 x 2 − 42 {\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42} 에서 x − 3 {\displaystyle x-3} 으로 나눈 몫과 나머지는 각각 x 2 − 9 x − 27 {\displaystyle x^{2}-9x-27} 과 − 123 {\displaystyle -123} 이다. 따라서 f ( 3 ) = − 123 {\displaystyle f(3)=-123} 이다. 나머지 정리에 따라, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 를 x − a {\displaystyle x-a} 로 나누는 조립제법을 통해 계산할 수 있다. 함수에의 대입은 직접 계산하는 것보다 조립제법을 사용하는 방법이 계산의 대가가 더 적다. 인수 정리는 나머지 정리에서 f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} 인 특수한 경우이다. Piotr Rudnicki (2004년). “Little Bézout Theorem (Factor Theorem)” (PDF). 《Formalized Mathematics》 12 (1): 49–58.  Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning “나머지정리, 인수정리”. 《수학방》.  “Bezout theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial remainder theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Remainder theorem and factor theorem”. 《Math is Fun》 (영어).