그래프 그리기

그래프 이론에서 그래프 그리기(영어: graph drawing)는 어떤 그래프 또는 다중 그래프를 어떤 곡면 위에, 변이 교차할 수 있게 표시한 것이다. 다음이 주어졌다고 하자. 2차원 다양체 Σ {\displaystyle \Sigma } 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의, X {\displaystyle X} 속의 그리기는 다음 조건들을 모두 만족시키는 함수 f : Γ → X {\displaystyle f\colon \Gamma \to X} 이다. Γ {\displaystyle \Gamma } 에 CW 복합체 위상을 주었을 때, f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, | f − 1 ( x ) | ≤ 2 {\displaystyle |f^{-1}(x)|\leq 2} 이다. 변의 교차점은 꼭짓점이 아니다. 즉, { x ∈ X : | f − 1 ( x ) | = 2 } ∩ f ( V ⁡ ( Γ ) ) = ∅ {\displaystyle \{x\in X\colon |f^{-1}(x)|=2\}\cap f(\operatorname {V} (\Gamma ))=\varnothing } 이다. 임의의 두 변의 교차점은 유한 개이다. 즉, 임의의 두 변 e , f ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle e,f\in \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여, { ( s , t ) : f ( s ) = f ( t ) , s ∈ t , t ∈ t } {\displaystyle \{(s,t)\colon f(s)=f(t),\;s\in t,t\in t\}} 는 유한 집합이다. ( e ≠ f {\displaystyle e\neq f} 일 필요는 없다. 즉, 변은 스스로와 유한 번 교차할 수 있다.) 임의의 교차점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f ↾ U = ι V ∘ f ~ ∘ ι U {\displaystyle f\upharpoonright U=\iota _{V}\circ {\tilde {f}}\circ \iota _{U}} 가 되는, 다음과 같은 U , V , ι U , ι V {\displaystyle U,V,\iota _{U},\iota _{V}} 가 존재한다. U ⊆ Γ {\displaystyle U\subseteq \Gamma } 는 열린집합이다. V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X} 는 열린집합이다. ι V : D 2 → X {\displaystyle \iota _{V}\colon \mathbb {D} ^{2}\to X} 는 열린 원판에서 V {\displaystyle V} 로 가는 위상 동형이다. ι U : ( − 1 , 1 ) ⊔ ( − 1 , 1 ) → U {\displaystyle \iota _{U}\colon (-1,1)\sqcup (-1,1)\to U} 는 두 열린구간의 분리합집합에서 U {\displaystyle U} 로 가는 위상 동형이다. 여기서 f ~ : ( − 1 , 1 ) ⊔ ( − 1 , 1 ) → D 2 {\displaystyle {\tilde {f}}\colon (-1,1)\sqcup (-1,1)\to \mathbb {D} ^{2}} 는 다음과 같다. ( − 1 , 1 ) ⊔ ( − 1 , 1 ) ≅ ( − 1 , 1 ) × { x , y } {\displaystyle (-1,1)\sqcup (-1,1)\cong (-1,1)\times \{{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}\}} 라면, f ( t , x ) = ( 0 , t ) {\displaystyle f(t,{\mathsf {x}})=(0,t)} 이며 f ( t , y ) = ( t , 0 ) {\displaystyle f(t,{\mathsf {y}})=(t,0)} 이다. 특히, 유한 그래프의 그리기는 유한 개의 꼭짓점을 갖는다. 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 그리기 f : X → Γ {\displaystyle f\colon X\to \Gamma } 의 교차수는 기수 | { x ∈ X : | f − 1 ( x ) | = 2 } | {\displaystyle |\{x\in X\colon |f^{-1}(x)|=2\}|} 이다. 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 교차수는 평면 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 속의 그리기의 교차수의 최솟값이며, 이를 cr ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {cr} (\Gamma )} 로 표기하자. 보다 일반적으로, 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 속의 그리기의 교차수의 최솟값을 cr Σ ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {cr} _{\Sigma }(\Gamma )} 로 표기하자. 교차수가 0인 그래프 그리기를 그래프 매장(埋藏, 영어: graph embedding)이라고 한다. 다중 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 종수(種數, 영어: genus)는 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 매장을 갖는 연결 콤팩트 2차원 유향 다양체 ( T 2 ) # g {\displaystyle (\mathbb {T} ^{2})^{\#g}} 의 최소 종수 g ∈ N {\displaystyle g\in \mathbb {N} } 이다. genus ⁡ ( Γ ) = min { g ∈ N : cr ( T 2 ) # g ⁡ ( Γ ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {genus} (\Gamma )=\min \left\{g\in \mathbb {N} \colon \operatorname {cr} _{(\mathbb {T} ^{2})^{\#g}}(\Gamma )=0\right\}} 임의의 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음이 성립한다. 만약 | E ⁡ ( Γ ) | > 7 | V ⁡ ( Γ ) | {\displaystyle |\operatorname {E} (\Gamma )|>7|\operatorname {V} (\Gamma )|} 라면, 29 cr ⁡ ( Γ ) | V ⁡ ( Γ ) | 2 ≥ | E ⁡ ( Γ ) | 3 {\displaystyle 29\operatorname {cr} (\Gamma )|\operatorname {V} (\Gamma )|^{2}\geq |\operatorname {E} (\Gamma )|^{3}} 이다. 만약 | E ⁡ ( Γ ) | > 4 | V ⁡ ( Γ ) | {\displaystyle |\operatorname {E} (\Gamma )|>4|\operatorname {V} (\Gamma )|} 라면, 64 cr ⁡ ( Γ ) | V ⁡ ( Γ ) | 2 ≥ | E ⁡ ( Γ ) | 3 {\displaystyle 64\operatorname {cr} (\Gamma )|\operatorname {V} (\Gamma )|^{2}\geq |\operatorname {E} (\Gamma )|^{3}} 이다. 모든 평면 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 교차수와 종수는 정의에 따라 cr ⁡ ( Γ ) = genus ⁡ ( Γ ) = 0 {\displaystyle \operatorname {cr} (\Gamma )=\operatorname {genus} (\Gamma )=0} 이다. 완전 그래프의 교차수는 아직 완전히 알려지지 않있다. 다만, 다음과 같은 부등식이 알려져 있다. cr ⁡ ( K n ) ≤ 1 4 ⌊ n 2 ⌋ ⌊ n − 1 2 ⌋ ⌊ n − 2 2 ⌋ ⌊ n − 3 2 ⌋ {\displaystyle \operatorname {cr} (K_{n})\leq {\frac {1}{4}}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-3}{2}}\right\rfloor } 이 부등식은 n ≤ 12 {\displaystyle n\leq 12} 에 대하여 등식이라는 것이 알려져 있다. 이 부등식이 n > 12 {\displaystyle n>12} 인 경우에 대하여 역시 등식이 된다고 추측되지만, 이는 미해결 난제이다. 유한 완전 그래프의 종수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A933) genus ⁡ ( K n ) = { ⌈ ( n − 3 ) ( n − 4 ) / 12 ⌉ n ≥ 3 0 n ≤ 4 {\displaystyle \operatorname {genus} (K_{n})={\begin{cases}\left\lceil (n-3)(n-4)/12\right\rceil &n\geq 3\\0&n\leq 4\end{cases}}} K 3 {\displaystyle K_{3}} 는 평면 그래프이다. 즉, 그 교차수와 종수는 0이다. K 4 {\displaystyle K_{4}} 는 평면 그래프이다. 즉, 그 교차수와 종수는 0이다. K 5 {\displaystyle K_{5}} (왼쪽)의 교차수는 1이며, K 3 , 4 {\displaystyle K_{3,4}} (오른쪽)의 교차수는 2이다. 완전 이분 그래프의 교차수는 아직 완전히 알려지지 않있다. 다만, 다음과 같은 상계가 알려져 있다. cr ⁡ ( K m , n ) ≤ ⌊ m 2 ⌋ ⌊ m − 1 2 ⌋ ⌊ n 2 ⌋ ⌊ n − 1 2 ⌋ {\displaystyle \operatorname {cr} (K_{m,n})\leq \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor } 상계의 증명: K m , n {\displaystyle K_{m,n}} 이 주어졌다고 하고, m {\displaystyle m} 개의 검은 꼭짓점 및 n {\displaystyle n} 개의 흰 꼭짓점으로 그래프 색칠을 부여하자. 그렇다면, 유클리드 평면에 이들을 다음과 같이 배열한다. m {\displaystyle m} 개의 검은 꼭짓점들은 x {\displaystyle x} 축에 다음과 같이 배열된다. ( − ⌊ m / 2 ⌋ , 0 ) , … , ( − 2 , 0 ) , ( − 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , … , ( ⌈ m / 2 ⌉ , 0 ) {\displaystyle (-\lfloor m/2\rfloor ,0),\dotsc ,(-2,0),(-1,0),(1,0),(2,0),\dotsc ,(\lceil m/2\rceil ,0)} n {\displaystyle n} 개의 흰 꼭짓점들은 y {\displaystyle y} 축에 다음과 같이 배열된다. ( 0 , − ⌊ n / 2 ⌋ ) , … , ( 0 , − 2 ) , ( 0 , − 1 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) , … , ( 0 , ⌈ n / 2 ⌉ ) {\displaystyle (0,-\lfloor n/2\rfloor ),\dotsc ,(0,-2),(0,-1),(0,1),(0,2),\dotsc ,(0,\lceil n/2\rceil )} 이제, 이를 이으면 평면 속의 K m , n {\displaystyle K_{m,n}} 의 그리기가 된다. 이 그리기의 교차수는 다음과 같다. 우선, 제1 사분면에서, 변 ( a , 0 ) − ( 0 , b ) {\displaystyle (a,0)-(0,b)} 와 ( a ′ , 0 ) − ( 0 , b ′ ) {\displaystyle (a',0)-(0,b')} 이 교차할 필요 충분 조건은 ( a − a ′ ) ( b − b ′ ) < 0 {\displaystyle (a-a')(b-b')<0} 인 것이다. 즉, 제1 사분면에서 교차하는 변의 쌍의 수는 | { ( a , a ′ , b , b ′ ) : 0 < a < a ′ ≤ ⌈ m 2 ⌉ , 0 < b ′ < b ≤ ⌈ n 2 ⌉ } | = ( 1 + 2 + ⋯ + ⌈ m 2 − 1 ⌉ ) ( 1 + 2 + ⋯ + ⌈ n 2 − 1 ⌉ ) = 1 4 ⌈ m 2 − 1 ⌉ ⌈ m 2 ⌉ ⌈ n 2 − 1 ⌉ ⌈ n 2 ⌉ {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\left\{(a,a',b,b')\colon 0<a<a'\leq \left\lceil {\frac {m}{2}}\right\rceil ,0<b'<b\leq \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil \right\}\right|&=\left(1+2+\dotsb +\left\lceil {\frac {m}{2}}-1\right\rceil \right)\left(1+2+\dotsb +\left\lceil {\frac {n}{2}}-1\right\rceil \right)\\&={\frac {1}{4}}\left\lceil {\frac {m}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {m}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {n}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil \end{aligned}}} 이다. 나머지 사분면들도 마찬가지로 계산된다. 즉, 이 그래프 그리기의 교차점의 수는 다음과 같다. cr ⁡ ( K m , n ) ≤ 1 4 ( ⌈ m 2 − 1 ⌉ ⌈ m 2 ⌉ + ⌊ m 2 − 1 ⌋ ⌊ m 2 ⌋ ) ( ⌈ n 2 − 1 ⌉ ⌈ n 2 ⌉ + ⌊ n 2 − 1 ⌋ ⌊ n 2 ⌋ ) = ⌊ m 2 ⌋ ⌊ m − 1 2 ⌋ ⌊ n 2 ⌋ ⌊ n − 1 2 ⌋ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cr} (K_{m,n})&\leq {\frac {1}{4}}\left(\left\lceil {\frac {m}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {m}{2}}\right\rceil +\left\lfloor {\frac {m}{2}}-1\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \right)\left(\left\lceil {\frac {n}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil +\left\lfloor {\frac {n}{2}}-1\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \right)\\&=\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \end{aligned}}} 또한, 이 부등식이 등식이 될 다음과 같은 충분 조건이 알려져 있다. min { m , n } ≤ 6 {\displaystyle \min\{m,n\}\leq 6} 일 때 7 = min { m , n } ≤ max { m , n } ≤ 9 {\displaystyle 7=\min\{m,n\}\leq \max\{m,n\}\leq 9} 자란키에비치 추측(Zarankiewicz推測, 영어: Zarankiewicz conjecture)에 따르면, 이 부등식이 항상 등식이 된다고 추측되지만, 이는 미해결 난제이다. 유한 완전 이분 그래프의 종수는 다음과 같다. genus ⁡ ( K m , n ) = { ⌈ ( m − 2 ) ( n − 2 ) / 4 ⌉ min { m , n } ≥ 2 0 min { m , n } ≤ 2 {\displaystyle \operatorname {genus} (K_{m,n})={\begin{cases}\left\lceil (m-2)(n-2)/4\right\rceil &\min\{m,n\}\geq 2\\0&\min\{m,n\}\leq 2\end{cases}}} K 1 , 4 {\displaystyle K_{1,4}} 의 교차수는 0이다. K 2 , 2 {\displaystyle K_{2,2}} 의 교차수는 0이다. K 2 , 3 {\displaystyle K_{2,3}} 의 교차수는 0이다. K 3 , 3 {\displaystyle K_{3,3}} 의 교차수는 1이다. K 4 , 7 {\displaystyle K_{4,7}} 의 교차수는 18이다. 각기둥 그래프 GPG ⁡ ( n , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)} 은 평면 그래프이므로, 교차수와 종수가 0이다. GPG ⁡ ( 6 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)} 역시 평면 그래프이다. 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 의 교차수는 2이다. 일반화 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 8 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)} 의 교차수는 4이며, 그 종수는 1이다. 데자르그 그래프 GPG ⁡ ( 10 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)} 의 교차수는 6이다. 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 의 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다. 팔각 기둥 그래프 GPG ⁡ ( 8 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,1)} 은 평면 그래프이므로, 그 교차수와 종수는 0이다. 페테르센 그래프 GPG ⁡ ( 5 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 의 교차수는 2이다. 나우루 그래프 GPG ⁡ ( 12 , 5 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 의 교차수는 8이다. GPG ⁡ ( 8 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)} 의, 원환면 T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} 속의 매장. 따라서, GPG ⁡ ( 8 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)} 의 종수는 1이다. 하나니-텃 정리는 하임 하나니(히브리어: חַיִּים חַנַנִי, 舊名 폴란드어: Chaim Chojnacki 하임 호이나츠키[*], 1912~1991)가 1934년에 증명하였으나, 하나니는 이를 논문에 매우 간접적으로 언급하였다. 1970년에 윌리엄 토머스 텃이 이 정리를 (직접적으로) 다시 언급하였다. 완전 이분 그래프의 교차수를 계산하는 문제는 투란 팔이 1944년에 최초로 제시하였다. 이에 대하여 투란은 다음과 같이 적었다. 투란에게서 이 문제를 들은 카지미에시 자란키에비치(폴란드어: Kazimierz Zarankiewicz, 1902~1959)와 카지미에시 우르바니크(폴란드어: Kazimierz Urbanik, 1930~2005)는 둘 다 각각 1950년대 초에 이 문제를 “해결”하는 논문을 출판하였으나, 이들의 증명은 훗날 오류가 있어, 오직 교차수의 상계만을 증명한다는 것이 밝혀졌다. 교차수 부등식은 1980년대 초에 어이터이 미클로시(헝가리어: Ajtai Miklós, 1946~) · 바츨라프 흐바탈(체코어: Václav Chvátal, 1946~) · 몬로 몬티 뉴본(영어: Monroe Monty Newborn, 1938~) · 세메레디 엔드레와 프랭크 톰슨 레이턴(영어: Frank Thomson Leighton, 1956~)이 최초로 증명하였으며, 이후 후대 수학자들이 그 상수를 개선하였다. Schaefer, Marcus (2014년 5월 15일). “The graph crossing number and its variants: a survey”. 《The Electronic Journal of Combinatorics》 (영어) DS: 21.  Ackerman, Eyal (2013). “On topological graphs with at most four crossings per edge” (영어). arXiv:1509.01932. Bibcode:2015arXiv150901932A.  Kleitman, Daniel J. (1970). “The crossing number of K5,n”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 9: 315–323. doi:10.1016/s0021-9800(70)80087-4. MR 0280403.  Woodall, D. R. (1993년 12월). “Cyclic-order graphs and Zarankiewicz's crossing-number conjecture”. 《Journal of Graph Theory》 (영어) 17 (6): 657–671. doi:10.1002/jgt.3190170602. ISSN 0364-9024. MR 1244681.  Chojnacki, Chaim (1934). “Über wesentlich unplättbare Kurven im dreidimensionalen Raume”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 23 (1): 135–142. ISSN 0016-2736. JFM 60.0528.02. Zbl 0009.41104.  Tutte, William Thomas (1970). “Toward a theory of crossing numbers”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 8: 45–53. doi:10.1016/s0021-9800(70)80007-2. MR 0262110. Zbl 0187.20803.  Beineke, Lowell; Wilson, Robin (2010년 6월). “The early history of the brick factory problem”. 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 32 (2): 41–48. doi:10.1007/s00283-009-9120-4.  Székely, László A. (2016). 〈Turán’s brick factory problem: the status of the conjectures of Zarankiewicz and Hill〉. Gera, Ralucca; Hedetniemi, Stephen; Larson, Craig. 《Graph theory: favorite conjectures and open problems 1》. Problem Books in Mathematics (영어). 211–230쪽. doi:10.1007/978-3-319-31940-7_13. ISBN 978-3-319-31938-4. ISSN 0941-3502.  Turán, Pál (1977). “A note of welcome”. 《Journal of Graph Theory》 (영어) 1: 7–9. doi:10.1002/jgt.3190010105.  Zarankiewicz, Kazimierz (1954). “On a problem of P. Turan concerning graphs”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 41: 137–145. ISSN 0016-2736. MR 63641. Zbl 0055.41605.  Urbanik, Kazimierz (1953년 1월 2일). “Solution du problème posé par P. Turán” (PDF). 《Colloquium Mathematicum》 (프랑스어) 3: 200–201. ISSN 0010-1354.  Guy, Richard Kenneth (1969). 〈The decline and fall of Zarankiewicz’s theorem〉. Harary, Frank. 《Proof techniques in graph theory. Proceedings of the Second Ann Arbor Graph Theory Conference 1968》 (영어). Academic Press. 63–69쪽. ISBN 978-012324260-0. Zbl 0192.60601.  Ajtai, Miklós; Chvátal, Václav; Newborn, Monroe Monty; Szemerédi, Endre (1982). 〈Crossing-free subgraphs〉. Rosa, Alexander; Sabidussi, Gert; Turgeon, Jean. 《Theory and practice of combinatorics. A collection of articles honoring Anton Kotzig on the occasion of his sixtieth birthday》. Annals of Discrete Mathematics (영어) 12. North-Holland. 9–12쪽. doi:10.1016/S0304-0208(08)73484-4. ISBN 978-0-444-86318-8. MR 806962. Zbl 0502.05021.  Leighton, Frank Thomson (1983). 《Complexity issues in VLSI. Optimal layouts for the shuffle-exchange graph and other networks》. Foundations of Computing Series (영어). Massachusetts Institute of Technology Press. ISBN 978-0-262-62178-6.  “Graph imbedding”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Zarankiewicz crossing number conjecture”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Graph embedding”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Graph crossing number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Toroidal crossing number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective plane crossing number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Zarankiewicz’s conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Straight line drawing”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Rectilinear crossing number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral embedding”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Unit-distance drawing”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Graph genus”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Orden, David (2013년 8월 13일). “The fascinating history of the brick factory problem”. 《Mapping Ignorance》 (영어). Euskal Herriko Unibertsitatea. ISSN 2529-8992.