리 지수 사상

리 군론에서 리 지수 사상(指數寫像, 영어: Lie exponential map)은 어떤 리 군을 공역으로 하고, 그 리 대수를 정의역으로 하는 특별한 함수이다. 행렬군의 경우 이는 행렬의 지수 함수와 같다. (유한 차원) 리 군 G {\displaystyle G} 의 리 대수 Lie ⁡ ( G ) = T 1 G = g {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\mathrm {T} _{1}G={\mathfrak {g}}} 를 생각하자. 그렇다면, 임의의 x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} 에 대하여, γ x : R → G {\displaystyle \gamma _{x}\colon \mathbb {R} \to G} γ x ( 0 ) = 1 {\displaystyle \gamma _{x}(0)=1} γ ˙ x ( 0 ) = x ∈ T 1 G = g {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{x}(0)=x\in \mathrm {T} _{1}G={\mathfrak {g}}} 가 되는 매끄러운 함수인 군 준동형이 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 이에 따라, G {\displaystyle G} 의 리 지수 사상은 다음과 같은 함수이다. exp G : g → G {\displaystyle \exp _{G}\colon {\mathfrak {g}}\to G} exp G : x ↦ γ x ( 1 ) {\displaystyle \exp _{G}\colon x\mapsto \gamma _{x}(1)} 리 군 G {\displaystyle G} 가 다음과 같이 행렬군의 부분군이라고 하자. G ↪ GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle G\hookrightarrow \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )} 즉, G {\displaystyle G} 가 충실한 n {\displaystyle n} 차원 실수 표현을 갖는다고 하자. 그렇다면, G {\displaystyle G} 의 리 대수 Lie ⁡ ( G ) = g {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}} 역시 실수 표현 g ↪ g l ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} )} 을 갖는다. 이 경우, G {\displaystyle G} 의 리 지수 사상은 행렬 지수 함수와 같다. exp G : g → G {\displaystyle \exp _{G}\colon {\mathfrak {g}}\to G} exp G : x ↦ ∑ k = 0 ∞ 1 k ! x n = 1 + x + 1 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle \exp _{G}\colon x\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\dotsb } 리 지수 사상은 매끄러운 함수이며, 그 치역은 리 군 G {\displaystyle G} 의 항등원을 포함하는 연결 성분 G 1 {\displaystyle G_{1}} 의 부분 집합이다. exp G : g → G 1 {\displaystyle \exp _{G}\colon {\mathfrak {g}}\to G_{1}} 리 지수 사상은 다음을 만족시킨다. exp ⁡ ( ( s + t ) x ) = exp ⁡ ( s x ) exp ⁡ ( t x ) ( s , t ∈ R , x ∈ g ) {\displaystyle \exp((s+t)x)=\exp(sx)\exp(tx)\qquad (s,t\in \mathbb {R} ,\;x\in {\mathfrak {g}})} exp ⁡ ( − x ) = exp ⁡ ( x ) − 1 ( x ∈ g ) {\displaystyle \exp(-x)=\exp(x)^{-1}\qquad (x\in {\mathfrak {g}})} exp ⁡ ( x + y ) = exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( y ) ( x , y ∈ g , [ x , y ] = 0 ) {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;[x,y]=0)} 또한, 리 군의 스스로의 리 대수 위의 딸림표현 Ad : G × g → g {\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} Ad : ( g , x ) ↦ Ad g ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ad} \colon (g,x)\mapsto \operatorname {Ad} _{g}(x)} 에 대하여, 다음이 성립한다. Ad exp ⁡ x ⁡ ( y ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ad x k ⁡ ( y ) = y + [ x , y ] + 1 2 [ x , [ x , y ] ] + 1 6 [ x , [ x , [ x , y ] ] ] + ⋯ {\displaystyle \operatorname {Ad} _{\exp x}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\operatorname {ad} _{x}^{k}(y)=y+[x,y]+{\frac {1}{2}}[x,[x,y]]+{\frac {1}{6}}[x,[x,[x,y]]]+\dotsb } 리 지수 함수는 유한 차원 실수 리 대수의 범주 fdLie R {\displaystyle \operatorname {fdLie} _{\mathbb {R} }} 에서, 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형 f : G → H {\displaystyle f\colon G\to H} 가 주어졌다고 하자. 이는 리 대수 사이의 준동형 f ∗ : Lie ⁡ ( G ) → Lie ⁡ ( H ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)} 를 유도한다. 그렇다면, 지수 함수는 다음 그림을 가환 그림으로 만든다. 즉, 리 지수 함수는 함자성을 갖는다. Lie ⁡ ( G ) → f ∗ Lie ⁡ ( H ) exp ↓ exp exp ↓ exp G → f H {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Lie} (G)&{\overset {f_{*}}{\to }}&\operatorname {Lie} (H)\\{\scriptstyle \exp }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exp }&&{\color {White}\scriptstyle \exp }\downarrow {\scriptstyle \exp }\\G&{\underset {f}{\to }}&H\end{matrix}}} 리 군 G {\displaystyle G} 가 만약 다음 세 조건 가운데 적어도 하나 이상을 만족시킨다면, 그 리 지수 사상은 전사 함수이다. G {\displaystyle G} 는 연결 공간이며 콤팩트 공간이다. G {\displaystyle G} 는 연결 공간이며 멱영군이다. G {\displaystyle G} 는 GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )} 의, 이산군에 대한 몫군이다. G = R n {\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}} 이 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 그 리 지수 사상은 다음과 같다. g = R n {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{n}} exp G : g → G {\displaystyle \exp _{G}\colon {\mathfrak {g}}\to G} exp G : ( x 1 , … , x n ) ↦ ( exp ⁡ x 1 , … , exp ⁡ x n ) {\displaystyle \exp _{G}\colon (x_{1},\dotsc ,x_{n})\mapsto (\exp x_{1},\dotsc ,\exp x_{n})} 마찬가지로, G = U ⁡ ( 1 ) = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle G=\operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 가 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 리 지수 사상은 다음과 같다. g = i R {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {i} \mathbb {R} } exp G : g → G {\displaystyle \exp _{G}\colon {\mathfrak {g}}\to G} exp G : i θ ↦ exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle \exp _{G}\colon \mathrm {i} \theta \mapsto \exp(\mathrm {i} \theta )} SU(2)는 절댓값이 1인 사원수의 리 군과 동형이다. SU ⁡ ( 2 ) = { q ∈ H : | q | = 1 } {\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\{q\in \mathbb {H} \colon |q|=1\}} 이 경우, 그 리 대수는 순수 허수 성분만을 갖는 사원수의 실수 벡터 공간이다. s u ( 2 ) = i R + j R + k R = { a i + b j + c k : a , b , c ∈ R } = { q ∈ H : q ¯ = − q } {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\mathrm {i} \mathbb {R} +\mathrm {j} \mathbb {R} +\mathrm {k} \mathbb {R} =\{a\mathrm {i} +b\mathrm {j} +c\mathrm {k} \colon a,b,c\in \mathbb {R} \}=\{q\in \mathbb {H} \colon {\bar {q}}=-q\}} 이 경우, 리 지수 함수는 사원수의 지수 함수와 같다. exp ⁡ ( q ) = { cos ⁡ | q | + q sin ⁡ | q | | q | q ≠ 0 1 q = 0 {\displaystyle \exp(q)={\begin{cases}\cos |q|+{\frac {q\sin |q|}{|q|}}&q\neq 0\\1&q=0\end{cases}}} 리 군 SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 리 지수 사상은 전사 함수가 아니다. 그 치역은 다음 조건들 가운데 적어도 하나를 만족시키는 2×2 실수 행렬들로 구성된다.:Exercise 3.22 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 실수이다. 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 절댓값이 1인 복소수이다. 고윳값 1이 중복해서 등장한다. diag ⁡ ( − 1 , − 1 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (-1,-1)} 이다. 특히, 예를 들어 diag ⁡ ( − 1 , − 2 ) ∈ SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {diag} (-1,-2)\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 는 리 지수 사상의 치역에 포함되지 않는다. 행렬 지수 함수 Hall, Brian C. (2015). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 222 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3319134666.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Exponential map”. 《nLab》 (영어).