랴푸노프 안정성

동역학계 이론에서 랴푸노프 안정성(Ляпунов安定性, 영어: Lyapunov stability)은 동역학계의 평형점이 가질 수 있는 안정성 성질 가운데 하나이다. 대략, 랴푸노프 안정 평형점 부근에서 시작하는 동역학계의 모든 해는 영원히 이 평형점 주변에 머무르게 된다. 랴푸노프 안정성보다 더 강한 개념으로 점근적 안정성(漸近的安定性, 영어: asymptotic stability)과 지수적 안정성(指數的安定性, 영어: exponential stability)이 있다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 열린집합 D ⊆ R n {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 위에 다음과 같은 자율 동역학계가 주어졌다고 하자. x ( t ) ∈ D {\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}} x ˙ ( t ) = f ( x ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t))} x ( 0 ) = x 0 ∈ D {\displaystyle x(0)=x_{0}\in D} 또한, f : D → R n {\displaystyle f\colon {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} ^{n}} 는 립시츠 연속 함수이며, f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 이라고 하자. 즉, 원점은 평형점을 이룬다. (만약 평형점 x = x e {\displaystyle x=x_{e}} 이 다른 곳에 있을 경우, x − x e = y {\displaystyle x-x_{e}=y} 로 치환하여, 항상 평형점을 원점으로 놓을 수 있다.) 이 경우, 이 자율 동역학계의 평형점 x = 0 {\displaystyle x=0} 의 안정성은 다음과 같은 용어로 표현할 수 있다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, ‖ x ( 0 ) ‖ < δ {\displaystyle \|x(0)\|<\delta } 이라면 sup t ≥ 0 ‖ x ( t ) ‖ < ϵ {\displaystyle \sup _{t\geq 0}\|x(t)\|<\epsilon } 인 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 가 존재한다면, 평형점 x = 0 {\displaystyle x=0} 이 랴푸노프 안정(영어: Lyapunov-stable)하다고 한다. 만약 평형점 x = 0 {\displaystyle x=0} 이 랴푸노프 안정하고, 또한 ‖ x ( 0 ) ‖ < δ {\displaystyle \|x(0)\|<\delta } 이면 lim t → ∞ ‖ x ( t ) ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|x(t)\|=0} 인 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 가 존재하면, 평형점 x = 0 {\displaystyle x=0} 이 점근적으로 안정(영어: asymptotically stable)하다고 한다. 만약 평형점 x = 0 {\displaystyle x=0} 이 점근적으로 안정하고, 0 < ‖ x ( 0 ) ‖ < δ {\displaystyle 0<\|x(0)\|<\delta } 이면 sup t ≥ 0 exp ⁡ ( β t ) ‖ x ( t ) ‖ / ‖ x ( 0 ) ‖ ≤ α {\displaystyle \sup _{t\geq 0}\exp(\beta t)\|x(t)\|/\|x(0)\|\leq \alpha } 인 α , β , δ > 0 {\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0} 가 존재한다면, 평형점 x = 0 {\displaystyle x=0} 이 지수적으로 안정(영어: exponentially stable)하다고 한다. 대략, 위 정의는 다음과 같이 생각할 수 있다. 랴푸노프 안정 평형점에서 "충분히 가까이" ( δ {\displaystyle \delta } 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 평형점에 "충분히 가까이" ( ϵ {\displaystyle \epsilon } 이내의 거리에) 머문다. 또한, 허용 오차 ϵ {\displaystyle \epsilon } 을 임의로 줄일 수 있다. 점근적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐만 아니라, 충분한 시간이 지나면 해당 평형점으로 수렴한다. 지수적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분한 시간이 지나면 적어도 어떤 알려진 비율에 따라 지수함수적으로 해당 평형점으로 수렴한다. 동역학계의 평형점의 안정 여부는 랴푸노프 함수(Ляпунов函數, 영어: Lyapunov function)라는 함수를 찾아 증명할 수 있다. 동역학계 x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} 의 평형점이 x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} 이라 하자. 그리고 D ⊆ R n {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 을 x = 0 {\displaystyle x=0} 을 포함하는 정의역으로 두자. 다음과 같은 도함수가 연속인 함수 V : D → R {\displaystyle V\colon {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} } 을 고려하자. V ( 0 ) = 0  and  V ( x ) > 0 , ∀ x ∈ D ∖ { 0 } {\displaystyle V(0)=0{\text{ and }}V(x)>0,\,\forall x\in {\mathcal {D}}\setminus \{0\}} V ˙ ( x ) ≤ 0 ∀ x ∈ D {\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0\;\forall x\in {\mathcal {D}}} 그러면 x = 0 {\displaystyle x=0} 은 랴푸노프 안정하다. 만약 V ˙ ( x ) < 0 , ∀ x ∈ ( D − { 0 } ) {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0,\;\forall x\in ({\mathcal {D}}-\{0\})} 이라면 x = 0 {\displaystyle x=0} 은 점근적으로 안정하다. 이러한 함수 V {\displaystyle V} 를 랴푸노프 함수라고 한다. 랴푸노프 안정성은 러시아의 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 땄다. 랴푸노프는 1892년 박사 학위 논문 《운동의 안정성에 관한 일반적 문제》에서 최초로 비선형 동역학계의 어떤 평형점 근처에서의 선형화를 다뤘다. 이 책은 러시아어로 출판되었고, 그 후 프랑스어로 번역되었는데, 오랫동안 주목을 받지 못하였다. 랴푸노프 이론은 냉전 시절에 항공우주 유도 시스템의 안정성을 다루기 위해 학계에서 주목받기 시작하였다. 이러한 동역학계는 보통 심하게 비선형적이어서, 랴푸노프 제2 방법 이외로는 쉽게 다룰 수 없다. 이후 관련 분야들이 제어 이론 및 동역학계 관련 문헌에서 널리 다뤄지고 있다. 더욱 최근에는 랴푸노프의 제1 방법에서 쓰이는 랴푸노프 지수가 혼돈 이론에서 응용되고 있다. 섭동 이론 Khalil, Hassan K. (2002). 《Nonlinear Systems》 (영어) 3판. Prentice Hall. ISBN 0-13-067389-7. Zbl 1003.34002.  Ляпунов, А.М. (1892). “Общая задача об устойчивости движения” (러시아어). 하르키우 대학교 박사 학위 논문. JFM 24.0876.02.  Летов, A.M. 《Устойчивость нелинейных регулируемых систем》 (러시아어). 모스크바: Гостехиздат.  Kalman, R. E.; Bertram, J. F. (1960). “Control system analysis and design via the second method of Lyapunov”. 《Journal of Basic Engineering》 (영어) 88: 371–394.  LaSalle, J. P.; Lefschetz, S. (1961). 《Stability by Liapunov's direct method: with applications》. Mathematics in Science and Engineering (영어) 4. Academic Press. Zbl 0098.06102.  Kalman, R. E. (1963). “Lyapunov functions for the problem of Lur’e in automatic control”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 49 (2): 201–205. doi:10.1073/pnas.49.2.201. PMC 299777. PMID 16591048.  “Lyapunov stability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.