페르마 두 제곱수 정리

수론에서 페르마 두 제곱수 정리(-數定理, 영어: Fermat's theorem on sums of two squares)는 홀수 소수가 두 개의 제곱수의 합일 필요 충분 조건이 4에 대한 나머지가 1이라는 것이라는 정리이다. 홀수 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌다고 하자. 페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. p = x 2 + y 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}} 인 정수 x , y {\displaystyle x,y} 가 존재한다. p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} 사실, 4에 대한 나머지가 1인 소수는 무한히 많이 존재하며, 이에 대한 두 제곱수로의 표현은 (더하는 순서를 무시하면) 유일하다. 작은 소수의 경우는 다음과 같다. 전자가 후자를 함의하는 것은 자명하다. 이는 제곱수의 4에 대한 나머지는 0이거나 1이므로, 두 제곱수의 합의 4에 대한 나머지는 0, 1, 2이기 때문이다. 반대 방향에 대한 몇 가지 증명은 아래와 같다. 처음 출판된 증명은 레온하르트 오일러가 제시하였다. 이 증명은 무한 강하법을 사용하며, 이후에 제시된 증명들에 비하면 복잡하다. 이는 대략 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 명제를 증명하자. 어떤 두 제곱수의 합인 수 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 가 두 제곱수의 합인 소인수 c 2 + d 2 {\displaystyle c^{2}+d^{2}} 를 갖는다면, 몫 ( a 2 + b 2 ) / ( c 2 + d 2 ) {\displaystyle (a^{2}+b^{2})/(c^{2}+d^{2})} 은 두 제곱수의 합이다. 가정에 의하여, 다음이 성립한다. c 2 + d 2 ∣ c 2 ( a 2 + b 2 ) − a 2 ( c 2 + d 2 ) = ( b c + a d ) ( b c − a d ) {\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid c^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(c^{2}+d^{2})=(bc+ad)(bc-ad)} 즉, c 2 + d 2 ∣ b c + a d {\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid bc+ad} 이거나, c 2 + d 2 ∣ b c − a d {\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid bc-ad} 이다. 편의상 전자를 가정하자. 그렇다면, 브라마굽타-피보나치 항등식 ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( b c + a d ) 2 + ( b d − a c ) 2 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(bc+ad)^{2}+(bd-ac)^{2}} 에 의하여, c 2 + d 2 ∣ b c + a d {\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid bc+ad} 이므로, 두 수의 몫은 다음과 같이 두 제곱수의 합이다. a 2 + b 2 c 2 + d 2 = ( b c + a d c 2 + d 2 ) 2 + ( b d − a c c 2 + d 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}=\left({\frac {bc+ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {bd-ac}{c^{2}+d^{2}}}\right)^{2}} 이제, 다음과 같은 명제를 증명하자. 어떤 두 제곱수의 합인 수 n {\displaystyle n} 가 두 제곱수의 합이 아닌 약수 p {\displaystyle p} 를 갖는다면, 몫 n / p {\displaystyle n/p} 는 두 제곱수의 합이 아닌 약수를 갖는다. 귀류법을 사용하여, n / p {\displaystyle n/p} 의 모든 약수가 두 제곱수의 합이라고 하자. 그렇다면, 특히 n / p {\displaystyle n/p} 의 한 소인수 q {\displaystyle q} 는 두 제곱수의 합이며, 이전의 명제에 따라, n / q {\displaystyle n/q} 는 두 제곱수의 합이다. 이를 n / p {\displaystyle n/p} 의 (중복도를 감안한) 모든 소인수에 대하여 반복하면, p {\displaystyle p} 가 두 제곱수의 합이라는 결론을 얻으며, 이는 모순이다. 이제, 다음과 같은 명제를 증명하자. 정수 a , b , p {\displaystyle a,b,p} 가 gcd { a , b } = 1 {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1} 이고, p ∣ a 2 + b 2 {\displaystyle p\mid a^{2}+b^{2}} 이라고 하자. 그렇다면, gcd { c , d } = 1 {\displaystyle \gcd\{c,d\}=1} 이고, p ∣ c 2 + d 2 {\displaystyle p\mid c^{2}+d^{2}} 이며, c 2 + d 2 ≤ p 2 / 2 {\displaystyle c^{2}+d^{2}\leq p^{2}/2} 인 정수 c , d {\displaystyle c,d} 가 존재한다. 다음과 같은 정수 c , d {\displaystyle c,d} 을 취하자. a ≡ c , b ≡ d ( mod p ) {\displaystyle a\equiv c,\;b\equiv d{\pmod {p}}} | c | , | d | ≤ p 2 {\displaystyle |c|,|d|\leq {\frac {p}{2}}} 그렇다면, gcd { a , b } = 1 {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1} 이므로 c 2 + d 2 ≠ 0 {\displaystyle c^{2}+d^{2}\neq 0} 이고, 또한 c 2 + d 2 ≡ a 2 + b 2 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle c^{2}+d^{2}\equiv a^{2}+b^{2}\equiv 0{\pmod {p}}} 이다. g , c ′ , d ′ {\displaystyle g,c',d'} 을 다음과 같이 정의하자. g = gcd { c , d } , c ′ = c g , d ′ = d g {\displaystyle g=\gcd\{c,d\},\;c'={\frac {c}{g}},\;d'={\frac {d}{g}}} 그렇다면, gcd { c ′ , d ′ } = 1 {\displaystyle \gcd\{c',d'\}=1} 이다. 또한, gcd { a , b } = 1 {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1} 이므로, gcd { g , p } = 1 {\displaystyle \gcd\{g,p\}=1} 이며, g 2 ∣ ( c 2 + d 2 ) / p {\displaystyle g^{2}\mid (c^{2}+d^{2})/p} 이다. 따라서, 다음이 성립한다. p ∣ c 2 + d 2 g 2 p ⋅ p = c ′ 2 + d ′ 2 {\displaystyle p\mid {\frac {c^{2}+d^{2}}{g^{2}p}}\cdot p={c'}^{2}+{d'}^{2}} c ′ 2 + d ′ 2 ≤ c 2 + d 2 ≤ 2 ⋅ ( p 2 ) 2 = p 2 2 {\displaystyle {c'}^{2}+{d'}^{2}\leq c^{2}+d^{2}\leq 2\cdot \left({\frac {p}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{2}}} 즉, c ′ , d ′ {\displaystyle c',d'} 는 명제의 조건을 만족시킨다. 이제, 다음과 같은 명제를 증명하자. 정수 a , b {\displaystyle a,b} 가 gcd { a , b } = 1 {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1} 이라면, a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 의 모든 약수는 두 제곱수의 합이다. 귀류법을 사용하여, p ∣ a 2 + b 2 {\displaystyle p\mid a^{2}+b^{2}} 가 두 제곱수의 합이 아니라고 가정하자. 이전의 명제에 따라, 다음을 만족시키는 정수 c , d {\displaystyle c,d} 를 취하자. gcd { c , d } = 1 , p ∣ c 2 + d 2 , c 2 + d 2 ≤ p 2 2 {\displaystyle \gcd\{c,d\}=1,\;p\mid c^{2}+d^{2},\;c^{2}+d^{2}\leq {\frac {p^{2}}{2}}} 그렇다면, ( c 2 + d 2 ) / p {\displaystyle (c^{2}+d^{2})/p} 는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 q ∣ ( c 2 + d 2 ) / p {\displaystyle q\mid (c^{2}+d^{2})/p} 를 갖는다. 또한 q ≤ p / 2 {\displaystyle q\leq p/2} 이다. 이를 q {\displaystyle q} 와 c 2 + d 2 {\displaystyle c^{2}+d^{2}} 에 대하여 반복할 수 있다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 e , f {\displaystyle e,f} 를 취하자. gcd { e , f } = 1 , q ∣ e 2 + f 2 , e 2 + f 2 ≤ q 2 2 {\displaystyle \gcd\{e,f\}=1,\;q\mid e^{2}+f^{2},\;e^{2}+f^{2}\leq {\frac {q^{2}}{2}}} 그렇다면, ( e 2 + f 2 ) / q {\displaystyle (e^{2}+f^{2})/q} 는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 r ∣ ( e 2 + f 2 ) / q {\displaystyle r\mid (e^{2}+f^{2})/q} 를 가지며, r ≤ q / 2 {\displaystyle r\leq q/2} 이다. 이와 같이 반복하면, 양의 정수의 순감소 무한 수열 p > q > r > ⋯ {\displaystyle p>q>r>\cdots } 를 얻으며, 이는 모순이다. 이제, 두 제곱수 정리를 증명하자. 소수 p {\displaystyle p} 가 어떤 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 p = 4 n + 1 {\displaystyle p=4n+1} 라고 하자. 다음과 같은 정수 a , b {\displaystyle a,b} 가 존재한다고 가정하자. gcd { a , b } = 1 {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1} p ∤ a , b , a 2 n − b 2 n {\displaystyle p\nmid a,b,a^{2n}-b^{2n}} 그렇다면, 페르마 소정리에 따라, p ∣ a 4 n − b 4 n {\displaystyle p\mid a^{4n}-b^{4n}} 이다. 따라서 p ∣ a 2 n + b 2 n {\displaystyle p\mid a^{2n}+b^{2n}} 이며, 이전의 명제에 따라 p {\displaystyle p} 는 두 제곱수의 합이다. 즉, 두 제곱수 정리를 증명하려면 위와 같은 a , b {\displaystyle a,b} 를 찾으면 된다. 이를 위해, 수열 ( 1 2 n , 2 2 n , … , ( 2 n + 1 ) 2 n ) {\displaystyle (1^{2n},2^{2n},\dots ,(2n+1)^{2n})} 의 1계 유한 차분 ( 2 2 n − 1 2 n , 3 2 n − 2 2 n , … , ( 2 n + 1 ) 2 n − ( 2 n ) 2 n ) {\displaystyle (2^{2n}-1^{2n},3^{2n}-2^{2n},\dots ,(2n+1)^{2n}-(2n)^{2n})} 을 생각하자. 귀류법을 사용하여, 1계 유한 차분의 모든 항이 p {\displaystyle p} 를 약수로 가진다고 가정하자. 그렇다면, 2계 유한 차분의 모든 항 역시 p {\displaystyle p} 를 약수로 가지며, 마찬가지로 3계, 4계, …, 2 n {\displaystyle 2n} 계 유한 차분의 모든 항 역시 p {\displaystyle p} 를 약수로 가진다. 그러나 수열 1 2 n , 2 2 n , … , ( 2 n + 1 ) 2 n {\displaystyle 1^{2n},2^{2n},\dots ,(2n+1)^{2n}} 의 2 n {\displaystyle 2n} 계 유한 차분은 모든 항이 ( 2 n ) ! {\displaystyle (2n)!} 이며, p {\displaystyle p} 는 ( 2 n ) ! {\displaystyle (2n)!} 의 약수가 아니다. 이는 모순이므로, 어떤 b ∈ { 1 , … , 2 n } {\displaystyle b\in \{1,\dots ,2n\}} 에 대하여 p ∤ ( b + 1 ) 2 n − b 2 n {\displaystyle p\nmid (b+1)^{2n}-b^{2n}} 이 성립한다. 즉, b {\displaystyle b} 와 a = b + 1 {\displaystyle a=b+1} 은 위와 같은 조건을 만족시킨다. 만약 p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} 라고 하자.:167-168 그렇다면, −1은 p {\displaystyle p} 에 대한 제곱 잉여이므로, a 2 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{2}\equiv -1{\pmod {p}}} 인 정수 a {\displaystyle a} 가 존재한다. 또한 gcd { p , a } = 1 {\displaystyle \gcd\{p,a\}=1} 이므로, 투에 보조정리에 따라, a x ≡ y ( mod p ) {\displaystyle ax\equiv y{\pmod {p}}} 0 < | x | , | y | < p {\displaystyle 0<|x|,|y|<{\sqrt {p}}} 를 만족시키는 정수 x , y {\displaystyle x,y} 가 존재한다. 따라서, y 2 ≡ ( a x ) 2 ≡ − x 2 ( mod p ) {\displaystyle y^{2}\equiv (ax)^{2}\equiv -x^{2}{\pmod {p}}} 이며, p ∣ x 2 + y 2 {\displaystyle p\mid x^{2}+y^{2}} 이다. 또한, 0 < x 2 + y 2 < 2 p {\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}<2p} 이므로, x 2 + y 2 = p {\displaystyle x^{2}+y^{2}=p} 이다. 유한 집합:144 S = { ( x , y , z ) ∈ N 3 : p = x 2 + 4 y z } {\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}\colon p=x^{2}+4yz\}} 위의 대합 ( x , y , z ) ↦ { ( x + 2 z , z , y − x − z ) x < y − z ( 2 y − x , y , x − y + z ) y − z < x < 2 y ( x − 2 y , x − y + z , y ) x > 2 y ∀ ( x , y , z ) ∈ S {\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z)&x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z)&y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y)&x>2y\end{cases}}\qquad \forall (x,y,z)\in S} 는 유일한 고정점 ( 1 , 1 , ( p − 1 ) / 4 ) {\displaystyle (1,1,(p-1)/4)} 를 가지므로, | S | {\displaystyle |S|} 는 홀수이다. 따라서 또 하나의 대합 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) ∀ ( x , y , z ) ∈ S {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)\qquad \forall (x,y,z)\in S} 역시 적어도 하나의 고정점 ( x , y , y ) {\displaystyle (x,y,y)} 을 가지며, 이는 x 2 + ( 2 y ) 2 = p {\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p} 를 만족시킨다. 임의의 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. n = x 2 + y 2 {\displaystyle n=x^{2}+y^{2}} 인 정수 x , y {\displaystyle x,y} 가 존재한다. n {\displaystyle n} 은 4에 대한 나머지가 3인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다. 충분 조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요 조건의 증명에는 제곱 잉여의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. 홀수 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, 다음 두 조건 역시 서로 동치이다. p = x 2 + 2 y 2 {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}} 인 정수 x , y {\displaystyle x,y} 가 존재한다. p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3{\pmod {8}}} 우선, p = x 2 + 2 y 2 {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}} 인 정수 x , y {\displaystyle x,y} 가 존재한다고 가정하자.:321–322 그렇다면, gcd { p , x } = gcd { p , y } = 1 {\displaystyle \gcd\{p,x\}=\gcd\{p,y\}=1} 이므로, 어떤 정수 z {\displaystyle z} 에 대하여 y z ≡ x ( mod p ) {\displaystyle yz\equiv x{\pmod {p}}} 가 성립한다. 따라서, 0 ≡ x 2 + 2 y 2 ≡ y 2 ( z 2 + 2 ) ( mod p ) {\displaystyle 0\equiv x^{2}+2y^{2}\equiv y^{2}(z^{2}+2){\pmod {p}}} 이므로, z 2 ≡ − 2 ( mod p ) {\displaystyle z^{2}\equiv -2{\pmod {p}}} 이다. 즉, −2는 p {\displaystyle p} 에 대한 제곱 잉여이며, 이는 p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3{\pmod {8}}} 와 동치이다. 반대로, p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3{\pmod {8}}} 라고 가정하자. 이는 −2가 p {\displaystyle p} 에 대한 제곱 잉여인 것과 동치이므로, 어떤 정수 z {\displaystyle z} 에 대하여 z 2 ≡ − 2 ( mod p ) {\displaystyle z^{2}\equiv -2{\pmod {p}}} 가 성립한다. 다음과 같은 집합을 생각하자. { ϕ p ( r z + s ) : r , s ∈ { 0 , 1 , … , ⌊ p ⌋ } } ⊆ Z / ( p ) {\displaystyle \{\phi _{p}(rz+s)\colon r,s\in \{0,1,\dots ,\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor \}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)} 여기서 ϕ p ( − ) {\displaystyle \phi _{p}(-)} 는 p {\displaystyle p} 에 대한 나머지를 구하는 함수이다. 이 집합의 원소는 많아야 p {\displaystyle p} 개여야 하므로, 다음을 만족시키는 r , r ′ , s , s ′ ∈ { 0 , 1 , … , ⌊ p ⌋ } {\displaystyle r,r',s,s'\in \{0,1,\dots ,\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor \}} 가 존재한다. ( r , s ) ≠ ( r ′ , s ′ ) {\displaystyle (r,s)\neq (r',s')} r z + s ≡ r ′ z + s ′ ( mod p ) {\displaystyle rz+s\equiv r'z+s'{\pmod {p}}} 사실, 다음과 같은 동치 관계에 따라, r ≠ r ′ {\displaystyle r\neq r'} 이며 s ≠ s ′ {\displaystyle s\neq s'} 이다. r = r ′ ⟺ r − r ′ ≡ 0 ( mod p ) ⟺ ( r − r ′ ) z ≡ 0 ( mod p ) ⟺ s − s ′ ≡ 0 ( mod p ) ⟺ s = s ′ {\displaystyle {\begin{aligned}r=r'&\iff r-r'\equiv 0{\pmod {p}}\\&\iff (r-r')z\equiv 0{\pmod {p}}\\&\iff s-s'\equiv 0{\pmod {p}}\\&\iff s=s'\end{aligned}}} 이제, 정수 x , y {\displaystyle x,y} 를 다음과 같이 정의하자. x = | s − s ′ | , y = | r − r ′ | {\displaystyle x=|s-s'|,\;y=|r-r'|} 그렇다면, y z ≡ ± x ( mod p ) {\displaystyle yz\equiv \pm x{\pmod {p}}} 0 < x , y < p {\displaystyle 0<x,y<{\sqrt {p}}} 이며, 0 ≡ y 2 ( z 2 + 2 ) ≡ x 2 + 2 y 2 ( mod p ) {\displaystyle 0\equiv y^{2}(z^{2}+2)\equiv x^{2}+2y^{2}{\pmod {p}}} 이다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 m {\displaystyle m} 이 존재한다. m p = x 2 + 2 y 2 {\displaystyle mp=x^{2}+2y^{2}} 또한, 0 < x 2 + 2 y 2 < 3 p {\displaystyle 0<x^{2}+2y^{2}<3p} 이므로, m ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle m\in \{1,2\}} 이다. 만약 m = 1 {\displaystyle m=1} 이라면, p {\displaystyle p} 는 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다. 만약 m = 2 {\displaystyle m=2} 이라면, 2 ∣ x {\displaystyle 2\mid x} 이며, p = y 2 + 2 ( x 2 ) 2 {\displaystyle p=y^{2}+2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}} 이므로, 역시 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다. 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. n = x 2 + 2 y 2 {\displaystyle n=x^{2}+2y^{2}} 인 정수 x , y {\displaystyle x,y} 가 존재한다. n {\displaystyle n} 은 8에 대한 나머지가 5, 7인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다. 프랑스의 알베르 지라르가 1632년 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 피에르 드 페르마가 1640년 마랭 메르센에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 크리스티안 골트바흐에게 보내는 편지에서였다. 투에 보조정리 라그랑주 네 제곱수 정리 Euler, Leonhard (1758). “De numeris, qui sunt aggregata duorum quadratorum”. 《Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae》 (라틴어) 4: 3–40.  Euler, Leonhard (1760). “Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum”. 《Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae》 (라틴어) 5: 3–13.  오정환; 이준복 (2003). 《정수론》.  Zagier, D. (1990년 2월). “A One-Sentence Proof that Every Prime p≡1(mod4) is a Sum of Two Squares”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 97 (2): 144. doi:10.2307/2323918. ISSN 0002-9890. JSTOR 2323918.  Deza, Elena; Deza, Michel Marie (2012). 《Figurate Numbers》 (영어). World Scientific. ISBN 978-981-4355-48-3.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fermat's 4n+1 theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.