부분 행렬

선형대수학에서 부분 행렬(部分行列, 영어: submatrix)은 주어진 행렬의 일부 행과 일부 열을 취한 더 작은 행렬이다. 소행렬식(小行列式, 영어: minor)은 부분 정사각 행렬의 행렬식이다. 부분 행렬과 그 행렬식은 라플라스 전개와 코시-비네 공식 등의 항등식에서 등장한다. 양의 정부호 행렬의 한 가지 필요충분조건도 부분 행렬의 행렬식을 통해 기술할 수 있다. 환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 과 그 행의 집합 I ⊆ { 1 , 2 , … , m } {\displaystyle I\subseteq \{1,2,\dots ,m\}} 및 열의 집합 J ⊆ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle J\subseteq \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, A {\displaystyle A} 의 ( I , J ) {\displaystyle (I,J)} -부분 행렬 A I , J ∈ Mat ⁡ ( | I | , | J | ; R ) {\displaystyle A_{I,J}\in \operatorname {Mat} (|I|,|J|;R)} 은 A {\displaystyle A} 의 I {\displaystyle I} 에 속하는 행과 J {\displaystyle J} 에 속하는 열을 취하여 원래의 순서대로 배열한 | I | × | J | {\displaystyle |I|\times |J|} 행렬이다. 즉, 만약 I = { i 1 , i 2 , … , i | I | } ( i 1 < i 2 < ⋯ < i | I | ) {\displaystyle I=\{i_{1},i_{2},\dots ,i_{|I|}\}\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{|I|})} J = { j 1 , j 2 , … , j | J | } ( j 1 < j 2 < ⋯ < j | J | ) {\displaystyle J=\{j_{1},j_{2},\dots ,j_{|J|}\}\qquad (j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{|J|})} 라고 하면, 이는 다음과 같다. ( A I , J ) r , s = A i r , j s ( r = 1 , 2 , … , | I | , s = 1 , 2 , … , | J | ) {\displaystyle (A_{I,J})_{r,s}=A_{i_{r},j_{s}}\qquad (r=1,2,\dots ,|I|,\;s=1,2,\dots ,|J|)} 특히, A {\displaystyle A} 의 I {\displaystyle I} 에 대한 주부분 행렬(主部分行列, 영어: principal submatrix)은 부분 행렬 A I , I {\displaystyle A_{I,I}} 를 뜻한다.:24, §1.3.3 A {\displaystyle A} 의 k × k {\displaystyle k\times k} 선행 주부분 행렬(先行主部分行列, 영어: leading principal submatrix)은 부분 행렬 A { 1 , … , k } , { 1 , … , k } {\displaystyle A_{\{1,\dots ,k\},\{1,\dots ,k\}}} 를 뜻한다.:24, §1.3.3 A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 번째 행벡터(行-, 영어: row vector)는 A i , { 1 , … , n } {\displaystyle A_{i,\{1,\dots ,n\}}} 이다. A {\displaystyle A} 의 j {\displaystyle j} 번째 열벡터(列-, 영어: column vector)는 A { 1 , … , m } , j {\displaystyle A_{\{1,\dots ,m\},j}} 이다. 가환환 성분의 행렬의 부분 정사각 행렬의 행렬식은 흔히 소행렬식이라고 부른다. 주부분 행렬의 행렬식은 주소행렬식(主小行列式, 영어: principal minor)이라고 하며, 선행 주부분 행렬의 행렬식은 선행 주소행렬식(先行主小行列式, 영어: leading principal minor)이라고 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)} 및 크기가 같은 행과 열의 집합 I , J ⊆ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle I,J\subseteq \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여 ( | I | = | J | {\displaystyle |I|=|J|} ), A {\displaystyle A} 의 ( I , J ) {\displaystyle (I,J)} -소행렬식 M ( A ) I , J {\displaystyle M(A)_{I,J}} 은 I {\displaystyle I} 에 속하는 행과 J {\displaystyle J} 에 속하는 열을 제거한 부분 행렬의 행렬식이다. A {\displaystyle A} 의 ( I , J ) {\displaystyle (I,J)} -여인자 C ( A ) I , J {\displaystyle C(A)_{I,J}} 는 ( I , J ) {\displaystyle (I,J)} -소행렬식에 적절한 부호 ( − 1 ) ∑ I + ∑ J {\displaystyle (-1)^{\sum I+\sum J}} 를 추가한 것이다. M ( A ) I , J = det A { 1 , … , n } ∖ I , { 1 , … , n } ∖ J ∈ R {\displaystyle M(A)_{I,J}=\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J}\in R} C ( A ) I , J = ( − 1 ) ∑ I + ∑ J det A { 1 , … , n } ∖ I , { 1 , … , n } ∖ J ∈ R {\displaystyle C(A)_{I,J}=(-1)^{\sum I+\sum J}\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J}\in R} 가환환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)} 의 여인자 행렬(餘因子行列, 영어: cofactor matrix) C ( A ) ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle C(A)\in \operatorname {Mat} (n;R)} 는 각 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -여인자 C ( A ) i j = ( − 1 ) i + j det A { 1 , … , n } ∖ { i } , { 1 , … , n } ∖ { i } {\displaystyle C(A)_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\},\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\}}} 를 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -성분으로 하는 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬이다. 실수 3×3 행렬 ( 2 − 1 0 3 1 9 − 5 7 − 12 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0\\3&1&9\\-5&7&-12\end{pmatrix}}} 에서 2번째 행과 1번째 열을 제거한 부분 행렬은 ( − 1 0 7 − 12 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\7&-12\end{pmatrix}}} 이다. 따라서 (2,1)-여인자는 ( − 1 ) 2 + 1 | − 1 0 7 − 12 | = ( − 1 ) × ( ( − 1 ) × ( − 12 ) − 0 × 7 ) = − 12 {\displaystyle (-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}-1&0\\7&-12\end{vmatrix}}=(-1)\times ((-1)\times (-12)-0\times 7)=-12} 이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 A {\displaystyle A} 및 행·열의 집합 I ⊆ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, 다음이 성립한다. det A = ∑ J ⊆ { 1 , … , n } | J | = | I | ( det A I , J ) ( − 1 ) ∑ I + ∑ J ( det A { 1 , … , n } ∖ I , { 1 , … , n } ∖ J ) = ∑ J ⊆ { 1 , … , n } | J | = | I | ( det A J , I ) ( − 1 ) ∑ J + ∑ I ( det A { 1 , … , n } ∖ J , { 1 , … , n } ∖ I ) {\displaystyle \det A=\sum _{J\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|J|=|I|}(\det A_{I,J})(-1)^{\sum I+\sum J}(\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J})=\sum _{J\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|J|=|I|}(\det A_{J,I})(-1)^{\sum J+\sum I}(\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus J,\{1,\dots ,n\}\setminus I})} 가환환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A {\displaystyle A} 및 n × m {\displaystyle n\times m} 행렬 B {\displaystyle B} 에 대하여, 다음이 성립한다 ( m ≤ n {\displaystyle m\leq n} ). det ( A B ) = ∑ I ⊆ { 1 , … , n } | I | = m det A { 1 , … , m } , I det B I , { 1 , … , m } {\displaystyle \det(AB)=\sum _{I\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|I|=m}\det A_{\{1,\dots ,m\},I}\det B_{I,\{1,\dots ,m\}}} 가환환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 A {\displaystyle A} 의 고전적 수반 행렬 adj ⁡ A {\displaystyle \operatorname {adj} A} 은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 가역 행렬 A {\displaystyle A} 의 역행렬은 고전적 수반 행렬과 행렬식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다. A − 1 = 1 det A adj ⁡ A {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A} 에르미트 행렬 A {\displaystyle A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 양의 정부호 행렬이다. 모든 선행 주소행렬식이 양의 실수이다. 또한 다음 두 조건이 서로 동치이다. 양의 준정부호 행렬이다. 모든 주소행렬식이 음이 아닌 실수이다. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. MR 3024913. Zbl 1268.65037.  Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Minor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cofactor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.