반단순환

환론에서 반단순환(半單純環, 영어: semisimple ring)은 모든 가군이 반단순 가군인 환이다. 유한 개의 나눗셈환들의 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반단순환이라고 한다. 스스로에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군이다. 스스로에 대한 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이다. R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군들의 범주 R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} 에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다. R {\displaystyle R} 의 오른쪽 가군들의 범주 Mod- R {\displaystyle {\text{Mod-}}R} 에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다. R {\displaystyle R} 위의 모든 왼쪽 가군이 반단순 가군이다. R {\displaystyle R} 위의 모든 오른쪽 가군이 반단순 가군이다. 왼쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다. 오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다. 유한 개의 아르틴 단순환들의 직접곱이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 동치이다.) (아르틴-웨더번 정리 영어: Artin–Wedderburn theorem) 유한 개의 나눗셈환들 D 1 , … , D k {\displaystyle D_{1},\dots ,D_{k}} 에 대한 직접곱 ∏ i Mat ⁡ ( n i ; D i ) {\displaystyle \textstyle \prod _{i}\operatorname {Mat} (n_{i};D_{i})} 과 동형이다. 모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 뇌터 환이며, 오른쪽 뇌터 환이며, 반원시환이다. 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.:173 만약 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.:173, Proposition 11.7 단순환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 반단순환이다. 왼쪽 아르틴 환이다. 오른쪽 아르틴 환이다. 특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다. 가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 반단순환이다. 아르틴 축소환이다. 유한 개의 체들의 직접곱이다. 유한 개의 반단순환들의 직접곱은 반단순환이다. 반단순환의 구조는 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)로서 완전히 알려져 있다.:40, Theorem 1.11 구체적으로, 반단순환 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, 정의에 따라 R R {\displaystyle _{R}R} 는 반단순 가군이며, 이를 유한 개의 단순 가군의 직합으로 나타내어진다. R R = ⨁ i = 1 k R M i ⊕ n i ( i ≠ j ⟹ M i ≇ M j ) {\displaystyle _{R}R=\bigoplus _{i=1}^{k}{}_{R}M_{i}^{\oplus n_{i}}\qquad (i\neq j\implies M_{i}\not \cong M_{j})} 이 경우, R op ≅ End ⁡ ( R R ) ≅ ∏ i = 1 k Mat ⁡ ( n i ; End R ⁡ ( M i ) ) {\displaystyle R^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {End} (_{R}R)\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} _{R}(M_{i}))} R ≅ End ⁡ ( R R ) op ≅ ∏ i = 1 k Mat ⁡ ( n i ; End ⁡ ( R M i ) ) op ≅ ∏ i = 1 k Mat ⁡ ( n i ; End ⁡ ( R M i ) op ) {\displaystyle R\cong \operatorname {End} (_{R}R)^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i}))^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} })} 가 된다. 슈어 보조정리에 의하여 End ⁡ ( R M i ) op {\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} }} 는 나눗셈환이다. 즉, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 반원시환이지만 아르틴 환이 아니므로 반단순환이 아니다. 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합인데, 이렇게 표기될 수 없는 아벨 군들이 존재한다. 바일 대수 Q ⟨ x , p ⟩ / ( x p − p x − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \langle x,p\rangle /(xp-px-1)} 는 단순환이자 영역이지만, 반단순환이 아니다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 대수 A ⊆ Mat ⁡ ( n , n ; C ) = End C ⁡ ( C n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )=\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})} 가 주어졌을 때, 만약 A = { A ∗ : A ∈ A } {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A^{*}\colon A\in {\mathcal {A}}\}} 라면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 반단순 대수이다. (여기서 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 는 에르미트 수반이다.) 증명: A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 유한 차원 복소수 결합 대수이므로, 아르틴 환이다. 따라서 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 반원시환임(즉, 제이컵슨 근기가 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 임)을 보이면 족하다. 임의의 M ∈ A {\displaystyle M\in {\sqrt {\mathcal {A}}}} 라고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 유한 차원 결합 대수이므로, 제이컵슨 근기 rad ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathcal {A}})} 는 멱영 아이디얼이다. 따라서 ( M ∗ M ) k = 0 {\displaystyle (M^{*}M)^{k}=0} 인 양의 정수 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다. 그런데 M ∗ M {\displaystyle M^{*}M} 은 양의 준정부호 행렬이며, 따라서 M ∗ M = 0 {\displaystyle M^{*}M=0} 이다. 이에 따라, 임의의 v ∈ C n {\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}} 에 대하여 ‖ M v ‖ 2 = v ∗ M ∗ M v = 0 {\displaystyle \|Mv\|^{2}=v^{*}M^{*}Mv=0} 이며, 즉 M v = 0 {\displaystyle Mv=0} 이다. 따라서 M = 0 {\displaystyle M=0} 이다. 유한군 G {\displaystyle G} 와 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌고, 또 char ⁡ K ∤ | G | {\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|} 라고 하자. (즉, G {\displaystyle G} 의 크기는 K {\displaystyle K} 의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 K [ G ] {\displaystyle K[G]} 를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 K [ G ] {\displaystyle K[G]} 는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.  Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). 《Noncommutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 144. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. ISBN 978-1-4612-6936-6. ISSN 0072-5285.  Maschke, Heinrich (1898). “Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 50 (4): 492–498. doi:10.1007/BF01444297. JFM 29.0114.03. MR 1511011.  Maschke, Heinrich (1899). “Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 52 (2–3): 363–368. doi:10.1007/BF01476165. JFM 30.0131.01. MR 1511061.  “Classical semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Semi-simple algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Wedderburn-Artin theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Semisimple Artinian ring”. 《Commalg》 (영어).  이철희. “아틴-웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)”. 《수학노트》.