위너 확률 과정

확률 과정 이론에서, 위너 확률 과정(Wiener確率過程, 영어: Wiener stochastic process) 또는 위너 과정(Wiener過程)은 시간차 Δ t {\displaystyle \Delta t} 의 증분의 확률 분포가 평균 0, 분산 Δ t {\displaystyle \Delta t} 의 정규 분포를 이루며, 각 증분이 서로 독립이며, 그 궤적이 거의 확실하게 연속적인 연속 시간 확률 과정이다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 차원 유클리드 공간 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 확률 과정 ( W t : Ω → R n ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,\infty )}} 이 다음 조건들을 만족시킨다면, 위너 확률 과정(영어: Wiener stochastic process)이라고 한다. 임의의 t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle t\in [0,\infty )} 및 Δ t > 0 {\displaystyle \Delta t>0} 에 대하여, 확률 변수 W t + Δ t − W t : Ω → V {\displaystyle W_{t+\Delta t}-W_{t}\colon \Omega \to V} 의 확률 분포는 평균이 0이며 분산이 t {\displaystyle t} 인 정규 분포 N ( 0 , Δ t ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\Delta t)} 이다. (초기 조건) Pr ( W 0 = 0 ) = 1 {\displaystyle \Pr(W_{0}=0)=1} . 즉, 거의 확실하게 W 0 = 0 {\displaystyle W_{0}=0} 이다. 임의의 0 ≤ s ≤ t ≤ u {\displaystyle 0\leq s\leq t\leq u} 에 대하여, W u − W t {\displaystyle W_{u}-W_{t}} 와 W s {\displaystyle W_{s}} 는 서로 독립이다. Pr ( W t ∈ C 0 ( R , V ) ) = 1 {\displaystyle \Pr(W_{t}\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ,V))=1} . 즉, W t {\displaystyle W_{t}} 는 거의 확실하게 연속 함수 R → V {\displaystyle \mathbb {R} \to V} 를 이룬다. 다시 말해, 임의의 ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } 및 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 및 임의의 t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle t\in [0,\infty )} 에 대하여, ∀ s ∈ ( t − δ , t + δ ) : ‖ W max { 0 , s } ( ω ) − W t ( ω ) ‖ < ϵ {\displaystyle \forall s\in (t-\delta ,t+\delta )\colon \|W_{\max\{0,s\}}(\omega )-W_{t}(\omega )\|<\epsilon } 이 되게 하는 양의 실수 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 가 존재한다. 위너 확률 과정 ( W t : Ω → R n ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,\infty )}} 이 주어졌을 때, 확률 과정 α − 1 W α 2 t {\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}} 역시 위너 확률 과정을 이룬다. 즉, 그 그래프는 일종의 프랙털을 이룬다. W t {\displaystyle W_{t}} 가 유클리드 공간 V {\displaystyle V} 값의 위너 확률 과정이라고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 벡터 공간 V ′ ≤ V {\displaystyle V'\leq V} 에 대하여, proj V ′ ⁡ W t {\displaystyle \operatorname {proj} _{V'}W_{t}} 역시 V ′ {\displaystyle V'} 값의 위너 확률 과정이다. 임의의 직교 행렬 M ∈ O ⁡ ( V ) {\displaystyle M\in \operatorname {O} (V)} 및 V {\displaystyle V} 값의 위너 확률 과정 ( W t : Ω → V ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to V)_{t\in [0,\infty )}} 에 대하여, M W t {\displaystyle MW_{t}} 역시 V {\displaystyle V} 값의 위너 확률 과정이다. 다음이 주어졌다고 하자. 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 실수 힐베르트 공간 L 2 ⁡ ( [ 0 , 1 ] , R ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )} 의 정규 직교 기저 ( f i : [ 0 , 1 ] → R ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon [0,1]\to \mathbb {R} )_{i\in I}} . 여기서 I {\displaystyle I} 는 임의의 가산 무한 집합이다. 서로 독립이며, 평균 0, 분산 1의 정규 분포를 따르는 확률 변수들의 열 ( X i : Ω → R ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{i\in I}} 그렇다면, 임의의 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여, 급수 W ( t ) = ∑ i ∈ I X i ⟨ 1 [ 0 , t ] | f i ⟩ L 2 ⁡ ( [ 0 , 1 ] , R ) ∈ L 2 ⁡ ( [ 0 , 1 ] , R ) {\displaystyle W(t)=\sum _{i\in I}X_{i}\langle 1_{[0,t]}|f_{i}\rangle _{\operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}\in \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )} 는 ( L 2 ⁡ ( [ 0 , 1 ] , R ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )} 의 거리 위상에서) 수렴한다. (여기서 1 [ 0 , t ] {\displaystyle 1_{[0,t]}} 는 폐구간의 지시 함수이다.) 이는 위너 확률 과정의 정의를 거의 확실한 연속성만을 제외하고 모두 만족시킨다. 만약 정규 직교 기저를 f i ( x ) = { 2 cos ⁡ ( π i x ) i ∈ { 1 , 2 , … } 1 i = 0 {\displaystyle f_{i}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2}}\cos(\pi ix)&i\in \{1,2,\dotsc \}\\1&i=0\end{cases}}} 로 잡는다면, 위 급수가 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여 균등 수렴하는 것을 보일 수 있으며, 이 경우 이 급수는 위너 확률 과정을 이룬다. 노버트 위너의 이름을 땄다. 위너 공간 프랙탈 Weisstein, Eric Wolfgang. “Wiener process”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Wiener process”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.