침몰 (수학)

미분기하학에서, 침몰(沈沒, 영어: submersion)은 접공간 사이의 전사 함수를 유도하는 매끄러운 함수이다. 몰입의 쌍대 개념이다. 다음이 주어졌다고 하자. 두 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 그렇다면, 각 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서, 실수 선형 변환 T x f : T x M → T f ( x ) N {\displaystyle \mathrm {T} _{x}f\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{f(x)}N} 을 정의할 수 있다. 여기서 T x M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}M} 은 M {\displaystyle M} 의 x {\displaystyle x} 에서의 접공간이다. 만약 T x f {\displaystyle \mathrm {T} _{x}f} 가 전사 함수라면, f {\displaystyle f} 를 x {\displaystyle x} 에서의 침몰이라고 하며, x {\displaystyle x} 를 f {\displaystyle f} 의 정칙점(영어: regular point)이라고 한다. 만약 f {\displaystyle f} 가 모든 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서 침몰이라면, f {\displaystyle f} 를 단순히 침몰이라고 한다. (반대로, 만약 T x f {\displaystyle \mathrm {T} _{x}f} 가 단사 함수라면 f {\displaystyle f} 를 몰입이라고 한다.) m {\displaystyle m} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 과 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 N {\displaystyle N} 사이에서, 정칙점을 하나 이상 갖는 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 가 존재할 필요 조건은 m ≥ n {\displaystyle m\geq n} 인 것이다. 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 가 주어졌다고 하자. 만약 y ∈ N {\displaystyle y\in N} 에 대하여, 모든 f − 1 { y } ⊆ M {\displaystyle f^{-1}\{y\}\subseteq M} 의 원소가 정칙점이라면, y ∈ N {\displaystyle y\in N} 를 f {\displaystyle f} 의 정칙치(正則値, 영어: regular value)라고 한다. 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 의 정칙치 y ∈ N {\displaystyle y\in N} 에 대하여, f − 1 { y } ⊆ M {\displaystyle f^{-1}\{y\}\subseteq M} 은 매끄러운 다양체를 이룬다. m {\displaystyle m} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 과 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 N {\displaystyle N} 사이의 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 의 정칙점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 이 주어졌다고 하자. 침몰 정리(영어: submersion theorem)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 열린 근방 V ∋ f ( x ) {\displaystyle V\ni f(x)} 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) ϕ : U → R m {\displaystyle \phi \colon U\to \mathbb {R} ^{m}} 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) χ : V → R n {\displaystyle \chi \colon V\to \mathbb {R} ^{n}} 가 항상 존재한다. χ ∘ f ∘ ϕ − 1 = π m , n ↾ ϕ ( U ) {\displaystyle \chi \circ f\circ \phi ^{-1}=\pi _{m,n}\upharpoonright \phi (U)} 여기서 π m , n : R m − n × R n ↠ R n {\displaystyle \pi _{m,n}\colon \mathbb {R} ^{m-n}\times \mathbb {R} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {R} ^{n}} 은 사영 함수이다. 임의의 두 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 이 주어졌을 때, 사영 함수 π : M × N ↠ N {\displaystyle \pi \colon M\times N\twoheadrightarrow N} 은 침몰이다. 보다 일반적으로, 임의의 매끄러운 벡터 다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} 은 침몰이다. Arnold, V. I.; Gusein-Zade, S. M.; Varchenko, A. N. (1985). 《Singularities of Differentiable Maps: Volume 1》. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.  Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), 《Curves and Singularities》, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4  Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). 《Applicable differential geometry》. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.  do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). 《Riemannian Geometry》. ISBN 978-0-8176-3490-2.  Frankel, Theodore (1997). 《The Geometry of Physics》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1.  Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). 《Riemannian Geometry》 3판. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.  Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. 《Differential manifolds》. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.  Lang, Serge (1999). 《Fundamentals of Differential Geometry》. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.  Sternberg, Shlomo Zvi (2012). 《Curvature in Mathematics and Physics》. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.  Rowland, Todd. “Submersion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.