BF 모형

이론물리학에서 BF 모형(BF模型, 영어: BF model)은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다. 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다. M {\displaystyle M} 이 d {\displaystyle d} 차원 매끄러운 다양체이고, 그 위에 올이 리 군 G {\displaystyle G} 인 주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 이 주어졌다고 하자. 또한, G {\displaystyle G} 의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위에 비퇴화 쌍선형 형식 K : g × g → R {\displaystyle K\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} } 이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식의 스칼라배를 사용한다.) BF 모형은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다. A {\displaystyle A} 는 P {\displaystyle P} 의 주접속이다. 즉, 게이지 보손에 해당한다. B ∈ Ω d − 2 ( M ; g ) {\displaystyle B\in \Omega ^{d-2}(M;{\mathfrak {g}})} 는 M {\displaystyle M} 위에 정의된, 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 값을 갖는 ( d − 2 ) {\displaystyle (d-2)} 차 미분 형식이다. 두 장 모두 게이지 대칭을 가진다. A ↦ A + d α + [ A , α ] {\displaystyle A\mapsto A+\mathrm {d} \alpha +[A,\alpha ]} B ↦ B + [ B , α ] + d Λ + [ A , Λ ] {\displaystyle B\mapsto B+[B,\alpha ]+\mathrm {d} \Lambda +[A,\Lambda ]} 여기서 α ∈ Ω 1 ( M ; g ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} 이며, Λ ∈ Ω d − 3 ( M ; g ) {\displaystyle \Lambda \in \Omega ^{d-3}(M;{\mathfrak {g}})} 이다. 즉, B {\displaystyle B} 는 미분 형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다. BF 모형의 작용은 다음과 같다. S = ∫ M K ( B ∧ F ) {\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F)} 여기서 F = d A A {\displaystyle F=d_{A}A} 는 A {\displaystyle A} 의 곡률 (장세기)이다. 만약 d = 3 , 4 {\displaystyle d=3,4} 일 경우, 특별히 다음과 같은 “우주 상수” λ {\displaystyle \lambda } 항을 추가할 수 있다. S = ∫ M K ( B ∧ F + λ B ∧ B ) ( d = 4 ) {\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B)\qquad (d=4)} S = ∫ M K ( B ∧ F + λ B ∧ B ∧ B ) ( d = 3 ) {\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B\wedge B)\qquad (d=3)} 우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다. F = 0 {\displaystyle F=0} d A B = 0 {\displaystyle d_{A}B=0} 따라서, 고전적으로 A {\displaystyle A} 는 평탄 주접속이고, B {\displaystyle B} 는 닫힌 미분 형식이다. 우주 상수 항을 추가하면, d = 4 {\displaystyle d=4} 에서 오일러-라그랑주 방정식은 대신 다음과 같다. F + 2 λ B = 0 {\displaystyle F+2\lambda B=0} d A B = 0 {\displaystyle d_{A}B=0} 편의상, 시공간 M = R × Σ {\displaystyle M=\mathbb {R} \times \Sigma } dim ⁡ Σ = d − 1 {\displaystyle \dim \Sigma =d-1} 을 생각하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 은 Σ {\displaystyle \Sigma } 와 호모토피 동치이므로, 사실 Σ {\displaystyle \Sigma } 위에 G {\displaystyle G} -주다발 P ↠ Σ {\displaystyle P\twoheadrightarrow \Sigma } 이 주어졌다고 가정할 수 있다. 이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, 위상 공간 M Σ {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\Sigma }} 은 다음과 같다. M Σ = T ∗ A Σ flat {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{*}{\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}} 여기서 A Σ flat {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}} 는 P ↠ Σ {\displaystyle P\twoheadrightarrow \Sigma } 의 평탄 주접속들의 공간이다. 이 경우, 주접속 A μ a {\displaystyle A_{\mu }^{a}} 에 대응하는 일반화 운동량은 B μ 1 ⋯ μ d − 2 a {\displaystyle B_{\mu _{1}\dotsb \mu _{d-2}}^{a}} 이다. 즉, 정준 교환 관계는 다음과 같다. { B μ 1 … μ d − 2 a ( x ) , A b μ d − 1 ( y ) } = δ b a vol μ 1 … μ d − 1 Σ ⁡ δ ( x , y ) {\displaystyle \{B_{\mu _{1}\dotso \mu _{d-2}}^{a}(x),A_{b\mu _{d-1}}(y)\}=\delta _{b}^{a}\operatorname {vol} _{\mu _{1}\dotso \mu _{d-1}}^{\Sigma }\delta (x,y)} 여기서 vol μ 1 … μ d − 1 Σ {\displaystyle \operatorname {vol} _{\mu _{1}\dotso \mu _{d-1}}^{\Sigma }} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 부피 형식이다. 따라서, 그 힐베르트 공간은 단순히 H = L 2 ⁡ ( A Σ flat ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}({\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}})} 이다. 천-사이먼스 이론과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 리만 곡면의 구조를 가지므로, A Σ flat {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}} 는 이미 켈러 다양체의 구조를 가지며, A Σ flat {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}} 자체가 위상 공간이며, A {\displaystyle A} 는 스스로의 일반화 운동량이 된다. 그러나 BF 이론에서는 A Σ flat {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}} 는 위상 공간이 아니라 배위 공간이다. 우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상 F = 0 {\displaystyle F=0} 이 아니게 된다. 우선, (평탄하거나 평탄하지 않을 수 있는) 주접속의 (무한 차원) 공간을 A Σ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }} 라고 하자. 그렇다면, 위상 공간은 T ∗ A Σ {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}{\mathcal {A}}_{\Sigma }} 속에서, F + 2 λ B = 0 {\displaystyle F+2\lambda B=0} 을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는 G {\displaystyle G} 에 대한 게이지 변환에 대하여 불변인, A Σ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }} 위의 함수 ψ {\displaystyle \psi } 가운데, 0 = ( F μ ν a − 2 i λ vol μ ν ρ Σ ⁡ δ δ A ρ a ) ψ {\displaystyle 0=\left(F_{\mu \nu }^{a}-2\mathrm {i} \lambda \operatorname {vol} _{\mu \nu \rho }^{\Sigma }{\frac {\delta }{\delta A_{\rho a}}}\right)\psi } 을 만족시키는 것이다. 만약 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 G {\displaystyle G} -주다발이 (위상수학적으로) 자명한 올다발이라면, 이 편미분 방정식은 하나의 일차 독립 해를 가지며, 이는 구체적으로 ψ ( A ) = exp ⁡ ( − i S CS ( A ) / 4 λ ) {\displaystyle \psi (A)=\exp \left(-\mathrm {i} S_{\text{CS}}(A)/4\lambda \right)} 이다. 여기서 S CS ( A ) = ∫ Σ tr ⁡ ( A ∧ d A + 2 3 A ∧ A ∧ A ) {\displaystyle S_{\text{CS}}(A)=\int _{\Sigma }\operatorname {tr} \left(A\wedge \mathrm {d} A+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A\right)} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 천-사이먼스 이론의 작용(천-사이먼스 형식)이다. 이는 δ S CS δ A ρ a = vol Σ μ ν ρ ⁡ F μ ν a {\displaystyle {\frac {\delta S_{\text{CS}}}{\delta A_{\rho a}}}=\operatorname {vol} _{\Sigma }^{\mu \nu \rho }F_{\mu \nu }^{a}} 이기 때문이다. BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다. 양-밀스 이론의 작용은 S YM = ∫ M 1 g 2 K ( F ∧ ∗ F ) {\displaystyle S_{\text{YM}}=\int _{M}{\frac {1}{g^{2}}}K(F\wedge *F)} 이다. 여기서 g 2 {\displaystyle g^{2}} 는 결합 상수이고, ∗ {\displaystyle *} 는 호지 쌍대이다. 여기에 보조장 B {\displaystyle B} 를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다. S YM ′ = ∫ M ( K ( B ∧ F ) + 1 2 g 2 K ( B ∧ ∗ B ) ) {\displaystyle S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}K(B\wedge *B))} 이제, 결합 상수를 0으로 보내자. g 2 → 0 {\displaystyle g^{2}\to 0} 그렇다면 lim g 2 → 0 S YM ′ = ∫ M K ( B ∧ F ) = S B F {\displaystyle \lim _{g^{2}\to 0}S_{\text{YM}}'=\int _{M}K(B\wedge F)=S_{BF}} 가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다. 호지 쌍대 ∗ {\displaystyle *} 를 대신 부피 형식 ω {\displaystyle \omega } 와 내적 ⟨ X , Y ⟩ ω = K ( X ∧ ∗ Y ) {\displaystyle \langle X,Y\rangle \omega =K(X\wedge *Y)} 로 쓰자. 그렇다면 S YM ′ = ∫ M ( K ( B ∧ F ) + 1 2 g 2 ω ⟨ B , B ⟩ ) {\displaystyle S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}\omega \langle B,B\rangle )} 이 된다. 이는 ω ′ = g 2 ω {\displaystyle \omega '=g^{2}\omega } 에만 의존하게 된다. 이는 다양체 M {\displaystyle M} 의 "부피" vol ⁡ ( M ) = ∫ M ω ′ = ∫ M g 2 ω {\displaystyle \operatorname {vol} (M)=\int _{M}\omega '=\int _{M}g^{2}\omega } 로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 ω ′ {\displaystyle \omega '} 로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다. BF 모형에 초대칭을 추가하여 초대칭 BF 모형(영어: supersymmetric BF model)을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은 G {\displaystyle G} 의 딸림표현을 따른다. 게이지 초장 ( A , ψ ) {\displaystyle (A,\psi )} . 여기서 A {\displaystyle A} 는 U(1) 게이지 보손이며, ψ {\displaystyle \psi } 는 벡터 페르미온이다. 이 경우 Q A = ψ {\displaystyle QA=\psi } 이다. 라그랑주 승수 초장 ( χ , B ) {\displaystyle (\chi ,B)} . 여기서 B {\displaystyle B} 는 ( d − 2 ) {\displaystyle (d-2)} 차 미분 형식인 보손이며, χ {\displaystyle \chi } 역시 ( d − 2 ) {\displaystyle (d-2)} 차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 Q χ = B {\displaystyle Q\chi =B} 이다. 유령 초장 ( ϕ ¯ , η ) {\displaystyle ({\bar {\phi }},\eta )} . Q ϕ ¯ = η {\displaystyle Q{\bar {\phi }}=\eta } 이며 Q η = [ ϕ ¯ , ϕ ] {\displaystyle Q\eta =[{\bar {\phi }},\phi ]} 이다. 이에 따라, 작용은 다음과 같다.:§4.1 S = Q ∫ ( χ F + ϕ ¯ d ∗ ψ ) = ∫ ( B F + ( − 1 ) d χ d ψ + η d ∗ ψ + ϕ ¯ [ ψ , ∗ ψ ] − ϕ ¯ d ∗ d ϕ ) {\displaystyle S=Q\int (\chi F+{\bar {\phi }}d*\psi )=\int \left(BF+(-1)^{d}\chi d\psi +\eta d*\psi +{\bar {\phi }}[\psi ,*\psi ]-{\bar {\phi }}d*d\phi \right)} 초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은 M {\displaystyle M} 위의 G {\displaystyle G} -평탄 주접속들의 모듈라이 공간의 특성을 계산한다. 만약 시공간이 3차원일 경우 ( d = 3 {\displaystyle d=3} ), 이 이론은 추가로 N T = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}_{T}=2} 위상 초대칭을 갖는다.:§4.1:238 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래 ( χ , ψ ) {\displaystyle (\chi ,\psi )} 는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.:§4.3 스핀 거품 Broda, Bogusław (2004). 〈BF system〉. 《Concise encyclopedia of supersymmetry and noncommutative structures in mathematics and physics》. 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