수심 (기하학)

기하학에서 수심(垂心, 영어: orthocenter)은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심 H {\displaystyle H} 라고 한다. 증명 (원주각을 통한 증명): 꼭짓점 B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하고, 두 수선 B H B {\displaystyle BH_{B}} , C H C {\displaystyle CH_{C}} 의 교점을 H {\displaystyle H} 라고 하자. 그렇다면 ∠ A H B H = ∠ A H C H = ∠ B H B C = ∠ B H C C = 90 ∘ {\displaystyle \angle AH_{B}H=\angle AH_{C}H=\angle BH_{B}C=\angle BH_{C}C=90^{\circ }} 이므로 H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 는 선분 A H {\displaystyle AH} 를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분 B C {\displaystyle BC} 를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 A {\displaystyle A} , H B {\displaystyle H_{B}} , H {\displaystyle H} , H C {\displaystyle H_{C}} 는 한 원 위의 점이며, 점 B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 역시 한 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라 ∠ H A B = ∠ H H B H C = ∠ B C H C {\displaystyle \angle HAB=\angle HH_{B}H_{C}=\angle BCH_{C}} 이다. 따라서 ∠ H A B + ∠ A B C = ∠ B C H C + ∠ A B C = ∠ A H C C = 90 ∘ {\displaystyle \angle HAB+\angle ABC=\angle BCH_{C}+\angle ABC=\angle AH_{C}C=90^{\circ }} 이며, A H {\displaystyle AH} 는 B C {\displaystyle BC} 의 수선이다. 증명 (외심과 무게 중심을 통한 증명)::17, §2.1 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외심을 O {\displaystyle O} , 무게 중심을 G {\displaystyle G} , 변 B C {\displaystyle BC} 의 중점을 M A {\displaystyle M_{A}} 라고 하자. 그렇다면 O ≠ G {\displaystyle O\neq G} 이다. 유향 선분 O G {\displaystyle OG} 의 연장선 위에서 G H = 2 O G {\displaystyle GH=2OG} 인 점 H {\displaystyle H} 를 잡자. 그렇다면 G {\displaystyle G} 는 선분 A M A {\displaystyle AM_{A}} 위의 점이며 A G = 2 G M A {\displaystyle AG=2GM_{A}} , ∠ A G H = ∠ M A G O {\displaystyle \angle AGH=\angle M_{A}GO} 이므로, 삼각형 A G H {\displaystyle AGH} 와 M A G O {\displaystyle M_{A}GO} 는 닮음이다. 특히 ∠ G A H = ∠ G M A O {\displaystyle \angle GAH=\angle GM_{A}O} 이므로 A H {\displaystyle AH} 와 O M A {\displaystyle OM_{A}} 는 평행하며, O M A {\displaystyle OM_{A}} 는 B C {\displaystyle BC} 의 수선이므로 A H {\displaystyle AH} 역시 변 B C {\displaystyle BC} 의 수선이다. 마찬가지로 B H {\displaystyle BH} , C H {\displaystyle CH} 는 각각 변 A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 의 수선이다. 증명 (근축을 통한 증명)::38, §2.4 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하자. 그렇다면 변 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 를 지름으로 하는 두 원은 두 점 A {\displaystyle A} , H A {\displaystyle H_{A}} 에서 만나므로 두 원의 근축은 직선 A H A {\displaystyle AH_{A}} 이다. 마찬가지로, 변 A B {\displaystyle AB} 와 B C {\displaystyle BC} 를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 B H B {\displaystyle BH_{B}} 이며, 변 A C {\displaystyle AC} , B C {\displaystyle BC} 를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 C H C {\displaystyle CH_{C}} 이다. 따라서 세 직선 A H A {\displaystyle AH_{A}} , B H B {\displaystyle BH_{B}} , C H C {\displaystyle CH_{C}} 는 세 원의 근심에서 만난다. 증명 (체바 정리를 통한 증명): 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하자. 그렇다면 A H C H C B ⋅ B H A H A C ⋅ C H B H B A = b cos ⁡ A a cos ⁡ B ⋅ c cos ⁡ B b cos ⁡ C ⋅ a cos ⁡ C c cos ⁡ A = 1 {\displaystyle {\frac {AH_{C}}{H_{C}B}}\cdot {\frac {BH_{A}}{H_{A}C}}\cdot {\frac {CH_{B}}{H_{B}A}}={\frac {b\cos A}{a\cos B}}\cdot {\frac {c\cos B}{b\cos C}}\cdot {\frac {a\cos C}{c\cos A}}=1} 이므로 체바 정리에 따라 직선 A H A {\displaystyle AH_{A}} , B H B {\displaystyle BH_{B}} , C H C {\displaystyle CH_{C}} 는 한 점에서 만난다. 예각 삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형의 외부에 속한다. 삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 외심과 대변 사이의 거리의 2배이다.:23, §2.4 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심 H {\displaystyle H} 를 각 변에 대하여 반사시킨 상은 외접원 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하고, 수선 A H A {\displaystyle AH_{A}} , B H B {\displaystyle BH_{B}} , C H C {\displaystyle CH_{C}} 의 연장선과 외접원의 교점을 H A ′ {\displaystyle H_{A}'} , H B ′ {\displaystyle H_{B}'} , H C ′ {\displaystyle H_{C}'} 이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:18, §2.2 H H A = H A H A ′ {\displaystyle HH_{A}=H_{A}H_{A}'} H H B = H B H B ′ {\displaystyle HH_{B}=H_{B}H_{B}'} H H C = H C H C ′ {\displaystyle HH_{C}=H_{C}H_{C}'} 증명: 원주각의 성질에 따라 ∠ H A ′ = ∠ C = 90 ∘ − ∠ H B H A = ∠ B H H A ′ {\displaystyle \angle H_{A}'=\angle C=90^{\circ }-\angle HBH_{A}=\angle BHH_{A}'} 이므로 B H = B H A ′ {\displaystyle BH=BH_{A}'} 이다. B H A {\displaystyle BH_{A}} 는 H H A ′ {\displaystyle HH_{A}'} 의 수선이므로 H A {\displaystyle H_{A}} 는 선분 H H A ′ {\displaystyle HH_{A}'} 의 중점이다. 삼각형의 외심은 중점 삼각형의 수심이다. 삼각형의 수심과 외심은 등각 켤레점이다.:71, §7.4, (ix) 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심을 H {\displaystyle H} , 외심을 O {\displaystyle O} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:37, §2.4, (2.42) ∠ O A H = | ∠ A B C − ∠ A C B | {\displaystyle \angle OAH=|\angle ABC-\angle ACB|} ∠ O B H = | ∠ B A C − ∠ A C B | {\displaystyle \angle OBH=|\angle BAC-\angle ACB|} ∠ O C H = | ∠ B A C − ∠ A B C | {\displaystyle \angle OCH=|\angle BAC-\angle ABC|} 증명: 점 A {\displaystyle A} 를 지나는 외접원의 지름을 A A ′ {\displaystyle AA'} 이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라 ∠ O A C = 90 ∘ − ∠ A A ′ C = 90 ∘ − ∠ B = ∠ H A B {\displaystyle \angle OAC=90^{\circ }-\angle AA'C=90^{\circ }-\angle B=\angle HAB} 이다. 따라서 ∠ O A H = | ∠ B A C − ∠ H A B − ∠ O A C | = | ∠ B A C − 2 ( 90 ∘ − ∠ B ) | = | ∠ B A C + 2 ∠ B − ( ∠ B A C + ∠ B + ∠ C ) | = | ∠ B − ∠ C | {\displaystyle \angle OAH=|\angle BAC-\angle HAB-\angle OAC|=|\angle BAC-2(90^{\circ }-\angle B)|=|\angle BAC+2\angle B-(\angle BAC+\angle B+\angle C)|=|\angle B-\angle C|} 이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변의 길이를 B C = a {\displaystyle BC=a} , A C = b {\displaystyle AC=b} , A B = c {\displaystyle AB=c} , 반둘레를 s {\displaystyle s} , 외접원의 반지름을 R {\displaystyle R} , 내접원의 반지름을 r {\displaystyle r} 라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 O {\displaystyle O} , 내심 I {\displaystyle I} , 수심 H {\displaystyle H} 를 잇는 삼각형 O I H {\displaystyle OIH} 의 넓이는 다음과 같다.:2, §1.1.1, Theorem B1 S O I H = 2 R 2 sin ⁡ A − B 2 sin ⁡ B − C 2 sin ⁡ C − A 2 = | a − b | | b − c | | c − a | 8 r = − s 4 + 2 s 2 ( 2 R 2 + 10 R r − r 2 ) − r ( 4 R + r ) 3 4 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{OIH}&=2R^{2}\sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {B-C}{2}}\sin {\frac {C-A}{2}}\\&={\frac {|a-b||b-c||c-a|}{8r}}\\&={\frac {\sqrt {-s^{4}+2s^{2}(2R^{2}+10Rr-r^{2})-r(4R+r)^{3}}}{4}}\end{aligned}}} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심을 H {\displaystyle H} 라고 하고, 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하고, 외접원의 반지름을 R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:36, §2.4, (2.41) A H A = b c 2 R = b sin ⁡ C = c sin ⁡ B {\displaystyle AH_{A}={\frac {bc}{2R}}=b\sin C=c\sin B} B H B = a c 2 R = a sin ⁡ C = c sin ⁡ A {\displaystyle BH_{B}={\frac {ac}{2R}}=a\sin C=c\sin A} C H C = a b 2 R = a sin ⁡ B = b sin ⁡ A {\displaystyle CH_{C}={\frac {ab}{2R}}=a\sin B=b\sin A} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심을 H {\displaystyle H} 라고 하고, 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:19, §2.2, (b):37, §2.4, (2.44) A H A ⋅ H H A = B H A ⋅ C H A {\displaystyle AH_{A}\cdot HH_{A}=BH_{A}\cdot CH_{A}} B H B ⋅ H H B = A H B ⋅ C H B {\displaystyle BH_{B}\cdot HH_{B}=AH_{B}\cdot CH_{B}} C H C ⋅ H H C = A H C ⋅ B H C {\displaystyle CH_{C}\cdot HH_{C}=AH_{C}\cdot BH_{C}} A H ⋅ H H A = B H ⋅ H H B = C H ⋅ H H C {\displaystyle AH\cdot HH_{A}=BH\cdot HH_{B}=CH\cdot HH_{C}} 증명: 수선 A H A {\displaystyle AH_{A}} 의 연장선과 외접원의 교점을 H A ′ {\displaystyle H_{A}'} 이라고 하자. 그렇다면 점 H A {\displaystyle H_{A}} 를 지나는 외접원의 두 현 A H A ′ {\displaystyle AH_{A}'} , B C {\displaystyle BC} 에 대한 방멱 정리에 따라 A H A ⋅ H H A = A H A ⋅ H A H A ′ = B H A ⋅ C H A {\displaystyle AH_{A}\cdot HH_{A}=AH_{A}\cdot H_{A}H_{A}'=BH_{A}\cdot CH_{A}} 이다. 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} 는 한 원 위의 점이므로, 점 H {\displaystyle H} 를 지나는 두 현 A H A {\displaystyle AH_{A}} 와 B H B {\displaystyle BH_{B}} 에 대한 방멱 정리에 따라 A H ⋅ H H A = B H ⋅ H H B {\displaystyle AH\cdot HH_{A}=BH\cdot HH_{B}} 이다. 마지막 등식에 따라, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 두 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동심원의 근축은 수심 H {\displaystyle H} 를 지난다.:38, §2.4, Theorem 2.45 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동축원의 근심은 수심 H {\displaystyle H} 이다.:38, §2.4, Theorem 2.46 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 및 직선 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 위의 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 주어졌다고 하자. 만약 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} , A E F {\displaystyle AEF} , B D F {\displaystyle BDF} , C D E {\displaystyle CDE} 의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.:39, §2.4, Theorem 2.47 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심 H {\displaystyle H} , 무게 중심 G {\displaystyle G} , 외심 O {\displaystyle O} 는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다. G H → = 2 O G → {\displaystyle {\overrightarrow {GH}}=2{\overrightarrow {OG}}} 만약 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 정삼각형이라면, H = G = O {\displaystyle H=G=O} 이다. 만약 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 정삼각형이 아니라면, 수심 H {\displaystyle H} , 무게 중심 G {\displaystyle G} , 외심 O {\displaystyle O} 를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 오일러 직선이라고 한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} , 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 의 중점 M A {\displaystyle M_{A}} , M B {\displaystyle M_{B}} , M C {\displaystyle M_{C}} , 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분 A H A {\displaystyle AH_{A}} , B H B {\displaystyle BH_{B}} , C H C {\displaystyle CH_{C}} 의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 구점원이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 구점원의 중심 N {\displaystyle N} 은 무게 중심과 외심을 잇는 선분 O G {\displaystyle OG} 의 중점이다. 특히 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심 N {\displaystyle N} 은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 및 외접원 위의 점 P {\displaystyle P} 가 주어졌다고 하자. 점 P {\displaystyle P} 와 수심 H {\displaystyle H} 를 잇는 선분 P H {\displaystyle PH} 의 중점은 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 점 P {\displaystyle P} 의 심슨 직선 위의 점이자 구점원 위의 점이다.:47, §5.3 특히 점 P {\displaystyle P} 를 각 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심 H {\displaystyle H} 를 지난다.:43, §5.1 증명: 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 외접원의 지름을 A A ′ {\displaystyle AA'} 이라고 하자. 편의상 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 예각 삼각형이며 P {\displaystyle P} 가 호 B A ′ {\displaystyle BA'} 위의 점이라고 가정하자. 점 P {\displaystyle P} 를 지나는 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 의 수선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하고, 점 P {\displaystyle P} 를 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 에 대하여 반사시킨 상을 D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 이라고 하자. 우선 선분 P H {\displaystyle PH} 의 중점이 P {\displaystyle P} 의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자. H E ′ {\displaystyle HE'} 과 D E {\displaystyle DE} 가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분 B H {\displaystyle BH} 의 연장선과 A C {\displaystyle AC} 및 외접원의 교점을 H B {\displaystyle H_{B}} , H B ′ {\displaystyle H_{B}'} 이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라 H H B = H B H B ′ {\displaystyle HH_{B}=H_{B}H_{B}'} 이다. 선분 P H B ′ {\displaystyle PH_{B}'} 과 A C {\displaystyle AC} 의 교점을 Q {\displaystyle Q} 라고 하자. 그렇다면 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , H B ′ {\displaystyle H_{B}'} 을 직선 A C {\displaystyle AC} 에 대하여 반사시킨 상은 각각 H {\displaystyle H} , Q {\displaystyle Q} , E ′ {\displaystyle E'} 이므로, Q {\displaystyle Q} 는 선분 H E ′ {\displaystyle HE'} 위의 점이다. P E ′ {\displaystyle PE'} 과 H H B ′ {\displaystyle HH_{B}'} 은 평행하며, C {\displaystyle C} , E {\displaystyle E} , D {\displaystyle D} , P {\displaystyle P} 는 한 원 위의 점이므로, 엇각 및 원주각의 성질에 따라 ∠ P E ′ H = ∠ E ′ P Q = ∠ P H B ′ B = ∠ P C B = ∠ P E D {\displaystyle \angle PE'H=\angle E'PQ=\angle PH_{B}'B=\angle PCB=\angle PED} 이다. 따라서 H E ′ {\displaystyle HE'} 과 D E {\displaystyle DE} 는 평행한다. 이제 선분 P H {\displaystyle PH} 의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심 H {\displaystyle H} 를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 생각하자. 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에 이 변환을 가한 상은 각각 선분 A H {\displaystyle AH} , B H {\displaystyle BH} , C H {\displaystyle CH} 의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분 P H {\displaystyle PH} 의 중점은 외접원 위의 점 P {\displaystyle P} 에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다. 삼각형의 키페르트 포물선(영어: Kiepert’s parabola)의 준선은 오일러 직선이다.:200 삼각형의 모든 내접 포물선의 준선은 수심을 지난다.:200 직각 삼각형이 아닌 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심 삼각형(垂心三角形, 영어: orthic triangle) H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 수족 삼각형이자 수심의 체바 삼각형이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다. 예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며,:17, §1.6, Theorem 1.61 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다.:18, §1.6, Exercise 3 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다. 증명: 편의상 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서 대변에 내린 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하고, 수심을 H {\displaystyle H} 라고 하자. 그렇다면 사각형 C H A H H B {\displaystyle CH_{A}HH_{B}} , B C H B H C {\displaystyle BCH_{B}H_{C}} , B H C H H A {\displaystyle BH_{C}HH_{A}} 는 모두 내접 사각형이므로 ∠ A H A H B = ∠ H B C H C = ∠ H B B H C = ∠ A H A H C {\displaystyle \angle AH_{A}H_{B}=\angle H_{B}CH_{C}=\angle H_{B}BH_{C}=\angle AH_{A}H_{C}} 이다. 따라서, A H A {\displaystyle AH_{A}} 는 삼각형 H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 의 H A {\displaystyle H_{A}} 에서의 내각 이등분선이며, B C {\displaystyle BC} 는 삼각형 H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 의 H A {\displaystyle H_{A}} 에서의 외각 이등분선이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하자. 만약 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 이다. 이를 파냐노 문제(영어: Pagnano’s problem)라고 한다. 만약 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이 A {\displaystyle A} 라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형 A A H A {\displaystyle AAH_{A}} 이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).:88–89, §4.5:86–89, §2H, Problem 2.39 증명 1: 편의상 ∠ A B C {\displaystyle \angle ABC} 와 ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} 가 예각이라고 하자. D {\displaystyle D} 가 변 B C {\displaystyle BC} 위의 고정된 점이라고 하고, D ′ {\displaystyle D'} , D ″ {\displaystyle D''} 이 각각 점 P {\displaystyle P} 를 변 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면 ∠ D ′ A D ″ = ∠ D ′ A B + ∠ B A C + ∠ C A D ″ = ∠ D A B + ∠ B A C + ∠ C A D = 2 ∠ B A C {\displaystyle \angle D'AD''=\angle D'AB+\angle BAC+\angle CAD''=\angle DAB+\angle BAC+\angle CAD=2\angle BAC} 이며, 변 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 위의 점 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 에 대하여, 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 둘레는 p D E F = D E + E F + F D = D ′ E + E F + F D ″ {\displaystyle p_{DEF}=DE+EF+FD=D'E+EF+FD''} 이다. 만약 ∠ B A C < 90 ∘ {\displaystyle \angle BAC<90^{\circ }} 라면, ∠ D ′ A D ″ < 180 ∘ {\displaystyle \angle D'AD''<180^{\circ }} 이므로 선분 D ′ D ″ {\displaystyle D'D''} 은 변 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 와 교점 E D {\displaystyle E_{D}} , F D {\displaystyle F_{D}} 를 갖는다. 고정된 점 D {\displaystyle D} 에 대하여, 이 두 점 E D {\displaystyle E_{D}} , F D {\displaystyle F_{D}} 는 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는 p D E D F D = D ′ D ″ = 2 A D ′ cos ⁡ ∠ A D ′ D ″ = 2 A D cos ⁡ ( ( 180 ∘ − ∠ D ′ A D ″ ) / 2 ) = 2 A D cos ⁡ ( 90 ∘ − ∠ B A C ) = 2 A D sin ⁡ A {\displaystyle p_{DE_{D}F_{D}}=D'D''=2AD'\cos \angle AD'D''=2AD\cos((180^{\circ }-\angle D'AD'')/2)=2AD\cos(90^{\circ }-\angle BAC)=2AD\sin A} 이다. 따라서 최소 둘레 p D E D F D {\displaystyle p_{DE_{D}F_{D}}} 를 가장 작게 만드는 점 D {\displaystyle D} 는 선분 A D {\displaystyle AD} 의 길이를 가장 작게 만드는 점 H A {\displaystyle H_{A}} 이다. 만약 ∠ B A C ≥ 90 ∘ {\displaystyle \angle BAC\geq 90^{\circ }} 라면, ∠ D ′ A D ″ ≥ 180 ∘ {\displaystyle \angle D'AD''\geq 180^{\circ }} 이므로 선분 D ′ D ″ {\displaystyle D'D''} 은 변 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 와 교점을 갖지 않는다. 변 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 위의 점 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 에 대하여, 유향 선분 D ′ A {\displaystyle D'A} 의 연장선과 선분 D ″ F {\displaystyle D''F} 의 교점을 A ′ {\displaystyle A'} 이라고 하자. 그렇다면 p D E F = D ′ E + E F + F D ″ ≥ D ′ F + F D ″ ≥ D ′ A ′ + A ′ D ″ ≥ D ′ A + A D ″ {\displaystyle p_{DEF}=D'E+EF+FD''\geq D'F+FD''\geq D'A'+A'D''\geq D'A+AD''} 이다. 따라서 고정된 점 D {\displaystyle D} 에 대하여, 둘레 p D E F {\displaystyle p_{DEF}} 를 가장 작게 만드는 두 점 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 A {\displaystyle A} , A {\displaystyle A} 이다. 이 경우 최소 둘레는 p D A A = 2 A D {\displaystyle p_{DAA}=2AD} 이며, 이를 가장 작게 만드는 점 D {\displaystyle D} 는 점 H A {\displaystyle H_{A}} 이다. 증명 2: 예각 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 내접 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 가 주어졌다고 하자 ( D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 위의 점이다). 이를 차례로 직선 A C {\displaystyle AC} , C 1 B 1 {\displaystyle C_{1}B_{1}} , B 2 A 2 {\displaystyle B_{2}A_{2}} , A 3 C 3 {\displaystyle A_{3}C_{3}} , C 4 B 4 {\displaystyle C_{4}B_{4}} 에 대하여 반사시켜 삼각형 A 1 B 1 C 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}} 와 내접 삼각형 D 1 E 1 F 1 {\displaystyle D_{1}E_{1}F_{1}} , 삼각형 A 2 B 2 C 2 {\displaystyle A_{2}B_{2}C_{2}} 와 내접 삼각형 D 2 E 2 F 2 {\displaystyle D_{2}E_{2}F_{2}} , 삼각형 A 3 B 3 C 3 {\displaystyle A_{3}B_{3}C_{3}} 와 내접 삼각형 D 3 E 3 F 3 {\displaystyle D_{3}E_{3}F_{3}} , 삼각형 A 4 B 4 C 4 {\displaystyle A_{4}B_{4}C_{4}} 와 내접 삼각형 D 4 E 4 F 4 {\displaystyle D_{4}E_{4}F_{4}} , 삼각형 A 5 B 5 C 5 {\displaystyle A_{5}B_{5}C_{5}} 와 내접 삼각형 D 5 E 5 F 5 {\displaystyle D_{5}E_{5}F_{5}} 를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분 A 5 B 5 {\displaystyle A_{5}B_{5}} 는 선분 A B {\displaystyle AB} 를 평행 이동시킨 상이다. 벡터 F F 5 → {\displaystyle {\overrightarrow {FF_{5}}}} 는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 선택과 무관하다. 꺾인 선 F E 1 D 2 F 3 E 4 D 5 F 5 {\displaystyle FE_{1}D_{2}F_{3}E_{4}D_{5}F_{5}} 는 내접 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 가 수심 삼각형 H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 라는 것이다. 따라서 예각 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서 대변에 내린 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하고, 직선 H B H C {\displaystyle H_{B}H_{C}} 와 B C {\displaystyle BC} 의 교점을 D {\displaystyle D} , 직선 H A H C {\displaystyle H_{A}H_{C}} 와 A C {\displaystyle AC} 의 교점을 E {\displaystyle E} , 직선 H A H B {\displaystyle H_{A}H_{B}} 와 A B {\displaystyle AB} 의 교점을 F {\displaystyle F} 라고 하자. 그렇다면 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심축(영어: orthic axis)이라고 한다.:151, §13.2, (ii) 증명: 편의상 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 는 수심 삼각형 H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 의 외각 이등분선이다. 따라서 H A F F H B ⋅ H B D D H C ⋅ H C E E H A = − H A H C H B H C ⋅ H A H B H A H C ⋅ H B H C H A H B = − 1 {\displaystyle {\frac {H_{A}F}{FH_{B}}}\cdot {\frac {H_{B}D}{DH_{C}}}\cdot {\frac {H_{C}E}{EH_{A}}}=-{\frac {H_{A}H_{C}}{H_{B}H_{C}}}\cdot {\frac {H_{A}H_{B}}{H_{A}H_{C}}}\cdot {\frac {H_{B}H_{C}}{H_{A}H_{B}}}=-1} 이며, 메넬라오스 정리에 따라 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 공선점이다. 평면 위의 세 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 직각 삼각형이라면, 수심 H {\displaystyle H} 는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 직각 삼각형이 아니라면, A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 와 수심 H {\displaystyle H} 는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며, A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 역시 각각 삼각형 B C H {\displaystyle BCH} , A C H {\displaystyle ACH} , A B H {\displaystyle ABH} 의 수심이다. 이 경우 네 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , H {\displaystyle H} 가 수심계(垂心系, 영어: orthocentric system)를 이룬다고 한다.:61–62, §2C 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다. 증명: 점 H {\displaystyle H} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심인 것은 직선 A H {\displaystyle AH} , B H {\displaystyle BH} , C H {\displaystyle CH} 는 각각 직선 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , H {\displaystyle H} 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , H {\displaystyle H} 의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 H {\displaystyle H} 대신 남은 세 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다. 수심계 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , H {\displaystyle H} 속 네 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} , A B H {\displaystyle ABH} , A C H {\displaystyle ACH} , B C H {\displaystyle BCH} 의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다. 증명: 네 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , H {\displaystyle H} 가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선 A H {\displaystyle AH} 와 B C {\displaystyle BC} , B H {\displaystyle BH} 와 A C {\displaystyle AC} , C H {\displaystyle CH} 와 A B {\displaystyle AB} 의 교점을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하자. 그렇다면 삼각형 H A H B H C {\displaystyle H_{A}H_{B}H_{C}} 는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심 H {\displaystyle H} 에서 직교하는 두 직선이 직선 B C {\displaystyle BC} 와 점 D 1 {\displaystyle D_{1}} , D 2 {\displaystyle D_{2}} 에서, 직선 A C {\displaystyle AC} 와 점 E 1 {\displaystyle E_{1}} , E 2 {\displaystyle E_{2}} 에서, 직선 A B {\displaystyle AB} 와 점 F 1 {\displaystyle F_{1}} , F 2 {\displaystyle F_{2}} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분 D 1 D 2 {\displaystyle D_{1}D_{2}} , E 1 E 2 {\displaystyle E_{1}E_{2}} , F 1 F 2 {\displaystyle F_{1}F_{2}} 의 중점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 드로츠파르니 직선(영어: Droz-Farny line)이라고 한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 대변의 수선의 발을 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 라고 하고, 발 H A {\displaystyle H_{A}} , H B {\displaystyle H_{B}} , H C {\displaystyle H_{C}} 을 지나는 변 A B {\displaystyle AB} 와 A C {\displaystyle AC} , B C {\displaystyle BC} 와 A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} 와 B C {\displaystyle BC} 의 수선의 발을 각각 P {\displaystyle P} 와 Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} , T {\displaystyle T} 와 U {\displaystyle U} 라고 하자. 그렇다면 6개의 점 P {\displaystyle P} 와 Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} , T {\displaystyle T} , U {\displaystyle U} 는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 테일러 원(영어: Taylor circle)이라고 한다.:95, §9.6 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우이다. 증명: 편의상 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접 비단순 육각형 P Q R S T U {\displaystyle PQRSTU} 가 터커 원의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라 P Q {\displaystyle PQ} 와 S T {\displaystyle ST} 가 각각 B C {\displaystyle BC} 의 반평행선과 평행선임을 보이면 된다. 우선 P Q {\displaystyle PQ} 와 B C {\displaystyle BC} 가 반평행함을 증명하자. 사각형 A P D Q {\displaystyle APDQ} 가 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라 ∠ A P Q = ∠ A D Q = 90 ∘ − ∠ D A C = ∠ A C B {\displaystyle \angle APQ=\angle ADQ=90^{\circ }-\angle DAC=\angle ACB} 이므로 P Q {\displaystyle PQ} 는 반평행선이다. 이제 S T {\displaystyle ST} 가 B C {\displaystyle BC} 와 평행함을 증명하자. R S {\displaystyle RS} 와 T U {\displaystyle TU} 가 반평행선이므로 ∠ S R U = ∠ B A C = ∠ T U R {\displaystyle \angle SRU=\angle BAC=\angle TUR} 이다. 따라서 R S = T U {\displaystyle RS=TU} 임을 보이는 것으로 충분하며, 이는 P Q = R S = T U {\displaystyle PQ=RS=TU} 를 보이면 된다. 삼각법에 따라 P D = c cos ⁡ B sin ⁡ B = 2 R 0 sin ⁡ B sin ⁡ C cos ⁡ B {\displaystyle PD=c\cos B\sin B=2R_{0}\sin B\sin C\cos B} Q D = b cos ⁡ C sin ⁡ C = 2 R 0 sin ⁡ B sin ⁡ C cos ⁡ C {\displaystyle QD=b\cos C\sin C=2R_{0}\sin B\sin C\cos C} ∠ P D Q = 180 ∘ − A {\displaystyle \angle PDQ=180^{\circ }-A} 이다. 여기서 R 0 {\displaystyle R_{0}} 은 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙에 따라 세 내각의 크기가 180 ∘ − A {\displaystyle 180^{\circ }-A} , 90 ∘ − B {\displaystyle 90^{\circ }-B} , 90 ∘ − C {\displaystyle 90^{\circ }-C} 인 삼각형의 세 변의 길이의 비는 sin ⁡ A : cos ⁡ B : cos ⁡ C {\displaystyle \sin A:\cos B:\cos C} 이므로, 코사인 법칙에 따라 sin 2 ⁡ A = cos 2 ⁡ B + cos 2 ⁡ C + 2 cos ⁡ B cos ⁡ C cos ⁡ A {\displaystyle \sin ^{2}A=\cos ^{2}B+\cos ^{2}C+2\cos B\cos C\cos A} 이다. 이제 삼각형 P D Q {\displaystyle PDQ} 에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다. P Q 2 = P D 2 + Q D 2 + 2 ⋅ P D ⋅ Q D ⋅ cos ⁡ A = 4 R 0 2 sin 2 ⁡ B sin 2 ⁡ C ( cos 2 ⁡ B + cos 2 ⁡ C + 2 cos ⁡ B cos ⁡ C cos ⁡ A ) = 4 R 0 2 sin 2 ⁡ A sin 2 ⁡ B sin 2 ⁡ C {\displaystyle {\begin{aligned}PQ^{2}&=PD^{2}+QD^{2}+2\cdot PD\cdot QD\cdot \cos A\\&=4R_{0}^{2}\sin ^{2}B\sin ^{2}C(\cos ^{2}B+\cos ^{2}C+2\cos B\cos C\cos A)\\&=4R_{0}^{2}\sin ^{2}A\sin ^{2}B\sin ^{2}C\end{aligned}}} 이는 3개의 반평행선에서 P Q {\displaystyle PQ} 를 선택한 것과 무관하다. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.  Mitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Volenec, V. (1989). 《Recent Advances in Geometric Inequalities》. Mathematics and Its Applications (영어) 28. Dordrecht: Springer Science+Business Media, B.V. doi:10.1007/978-94-015-7842-4. ISBN 978-90-481-8442-2.  Eddy, R. H.; Fritsch, R. (1994년 6월). “The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle”. 《Mathematics Magazine》 (영어) 67 (3): 188–205. doi:10.2307/2690610. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690610.  Ayme, Jean-Louis (2004). “A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem” (PDF). 《Forum Geometricorum》 (영어) 4: 219–224. ISSN 1534-1178. 2019년 12월 31일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2020년 6월 16일에 확인함.  “Orthocentre”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthocenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthic triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthocentric system”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fagnano’s problem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  van Lamoen, Floor; Weisstein, Eric W. “Droz-Farny theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Grinberg, Darij; Weisstein, Eric W. “Taylor circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.