완비 국소환

가환대수학에서 완비 국소환(完備局所環, 영어: complete local ring)은 극대 아이디얼에서 스스로의 완비화와 같은 국소 가환환이다. 국소 가환환 ( R , m , κ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )} 이 주어졌다고 하자. 이 경우 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 의 거듭제곱에 대한 몫환 ⋯ → R / m 3 → R / m 2 → R / m = κ {\displaystyle \dotsb \to R/{\mathfrak {m}}^{3}\to R/{\mathfrak {m}}^{2}\to R/{\mathfrak {m}}=\kappa } 을 취할 수 있으며, 이에 대한 완비화 R ^ = lim ← n → ∞ ⁡ R m n {\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\frac {R}{{\mathfrak {m}}^{n}}}} 를 취할 수 있으며, 환 준동형 ϕ n : R → R / m n {\displaystyle \phi _{n}\colon R\to R/{\mathfrak {m}}^{n}} 으로부터 표준적인 환 준동형 ϕ ∞ : R → R ^ {\displaystyle \phi _{\infty }\colon R\to {\hat {R}}} 이 존재한다. 만약 이 준동형이 전단사 함수라면(즉, 환의 동형 사상이라면), R {\displaystyle R} 를 완비 국소환이라고 한다. 이는 위상환을 이룬다. 보다 구체적으로, 다음 두 조건이 성립해야 한다. (하우스도르프 조건) ⋂ n = 0 ∞ m n = 0 {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=0} (완비성) 임의의 원소열 r 0 , r 1 , r 2 , … ∈ R {\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2},\dotsc \in R} 에 대하여, 만약 r i − r i − 1 ∈ m i {\displaystyle r_{i}-r_{i-1}\in {\mathfrak {m}}^{i}} 라면, 충분히 큰 i {\displaystyle i} 에 대하여 r = r i = r i + 1 = r i + 2 = ⋯ {\displaystyle r=r_{i}=r_{i+1}=r_{i+2}=\dotsb } 가 되는 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 존재한다. 모든 완비 국소환은 헨젤 환이다. 모든 아르틴 국소 가환환은 (자명하게) 뇌터 완비 국소 가환환이다. 이 경우 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 m n = 0 {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}=0} 이다. 모든 뇌터 완비 가환환은 탁월한 가환환이다. ( R , m , κ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )} 가 뇌터 완비 국소환이며, E {\displaystyle E} 가 κ {\displaystyle \kappa } 의 단사 껍질이라고 하자. 그렇다면, R {\displaystyle R} 위의 뇌터 가군의 범주 NoetMod R {\displaystyle \operatorname {NoetMod} _{R}} 의 반대 범주와 아르틴 가군의 범주 ArtMod R {\displaystyle \operatorname {ArtMod} _{R}} 사이에 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다. D : NoetMod R op → ArtMod R {\displaystyle D\colon \operatorname {NoetMod} _{R}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {ArtMod} _{R}} D : M ↦ hom R ⁡ ( M , E ) {\displaystyle D\colon M\mapsto \hom _{R}(M,E)} D − 1 : M ↦ hom R ⁡ ( M , E ) {\displaystyle D^{-1}\colon M\mapsto \hom _{R}(M,E)} 이를 매틀리스 쌍대성(영어: Matlis duality)이라고 한다. 특히, 뇌터 가군이자 아르틴 가군인 가군(즉, 길이가 유한한 가군)의 범주는 스스로의 반대 범주와 동치이다. 임의의 국소 가환환 ( R , m , κ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )} 에 대하여, 완비화를 통해 완비 국소환 R ^ = lim ← n → ∞ ⁡ R m n {\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\frac {R}{{\mathfrak {m}}^{n}}}} 을 정의할 수 있다. 이는 국소환과 국소 준동형의 범주에서 완비 국소환과 국소 준동형의 범주로 가는 함자 ^ : LocCRing → compLocCRing {\displaystyle {\hat {}}\colon \operatorname {LocCRing} \to \operatorname {compLocCRing} } 를 정의한다. 이 함자 아래, R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 의 극대 아이디얼은 m ^ = { ( r 1 + m , r 2 + m 2 , … ) ∈ R ^ : r 1 + m = m } {\displaystyle {\hat {\mathfrak {m}}}=\{(r_{1}+{\mathfrak {m}},r_{2}+{\mathfrak {m}}^{2},\dotsc )\in {\hat {R}}\colon r_{1}+{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}\}} 이다. 그 잉여류체는 원래 국소환의 잉여류체와 표준적으로 같다. R / m ≅ R ^ / m ^ {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}\cong {\hat {R}}/{\hat {\mathfrak {m}}}} 이 함자 아래, 다음 두 조건이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 가 뇌터 국소 가환환이다. R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 가 뇌터 완비 국소환이다. 코언 구조 정리(영어: Cohen structure theorem)에 따르면, 모든 뇌터 완비 국소환은 어떤 완비 정칙 국소환의 몫환으로 표현될 수 있다. 모든 완비 정칙 국소환은 완전히 분류되었다. 구체적으로, 완비 정칙 국소환의 목록은 다음과 같다. 어떤 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 형식적 멱급수환 K [ [ x 1 , x 2 , … , x n ] ] {\displaystyle K[\![x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]\!]} 이 경우, 크룰 차원은 n {\displaystyle n} 이다. 어떤 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 p {\displaystyle p} -코언 환 K {\displaystyle K} 에 대하여, 형식적 멱급수환 K [ [ x 1 , x 2 , … , x n ] ] {\displaystyle K[\![x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]\!]} 이 경우, 크룰 차원은 n + 1 {\displaystyle n+1} 이다. 어떤 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 p {\displaystyle p} -코언 환 K {\displaystyle K} 에 대하여, 형식적 멱급수환의 몫 K [ [ x 1 , x 2 , … , x n ] ] / ( p − x ) {\displaystyle K[\![x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]\!]/(p-x)} . 여기서 x ∈ m 2 ∖ ( p ) {\displaystyle x\in {\mathfrak {m}}^{2}\setminus (p)} 이며, m = ( p , x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})} 은 K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle K[\![x_{1},\dotsc ,x_{n}]\!]} 의 유일한 극대 아이디얼이다. 이 경우, 크룰 차원은 n {\displaystyle n} 이다. 여기서, 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, p {\displaystyle p} -코언 환(영어: Cohen ring)은 완비 이산 값매김환 ( D , m , κ ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa )} 가운데, char ⁡ D = 0 {\displaystyle \operatorname {char} D=0} 이며 char ⁡ κ = p {\displaystyle \operatorname {char} \kappa =p} 이며 m = ( p ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p)} 인 것이다. 예를 들어, p {\displaystyle p} 진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 는 코언 환이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 형식적 멱급수환 K [ [ x ] ] {\displaystyle K[\![x]\!]} 은 완비 국소환이다. 또한, 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여 p {\displaystyle p} 진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 는 완비 국소환이다. p {\displaystyle p} 진수체 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 의 대수적 폐포의 완비화 C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 를 생각하자. 이 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 이에 대응하는 값매김환(즉, C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 에서 p {\displaystyle p} 진 값매김이 음이 아닌 정수인 원소로 구성된 부분환)의 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 0 ≠ m = m 2 = m 3 = ⋯ {\displaystyle 0\neq {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}^{2}={\mathfrak {m}}^{3}=\dotsb } 을 만족시킨다. 따라서 이는 하우스도르프 조건을 만족시키지 못해 완비 가환환을 이루지 못한다. 코언 구조 정리는 1946년에 어빈 솔 코언이 증명하였다. Wehrfritz, Bertram A. F. 《Lectures around complete local rings》 (영어).  Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094.  “Example of a non-Noetherian complete local ring”. 《Stack Exchange》 (영어).  Hochster, Melvin. “The structure theory of complete local rings” (PDF) (영어).  “Complete local ring”. 《Commalg》 (영어).