체흐 신경

범주론과 대수적 위상수학에서 체흐 신경(Čech神經, 영어: Čech nerve)은 (충분한 올곱을 갖는) 범주에서, 어떤 사상을 통해 정의되는 단체 대상이다. 기하학적으로, 이 사상은 대략 어떤 “덮개”로 해석된다. 체흐 코호몰로지를 구성하는 데 사용된다. 다음이 주어졌다고 하자. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 사상 f : U → X {\displaystyle f\colon U\to X} 그렇다면, (만약 모든 올곱들이 존재한다면) 다음과 같은 단체 대상 C ˇ ⁡ ( f ) : △ op → C {\displaystyle \operatorname {\check {C}} (f)\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}} 을 정의할 수 있다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, C ˇ ⁡ ( f ) n = U × X ( n + 1 ) = U × X U × X ⋯ × X U ⏞ n + 1 {\displaystyle \operatorname {\check {C}} (f)_{n}=U^{\times _{X}(n+1)}=\overbrace {U\times _{X}U\times _{X}\dotsb \times _{X}U} ^{n+1}} 면 사상은 다음과 같다. (즉, i {\displaystyle i} 번째 성분만을 제외한, 올곱의 표준적 사영 사상이다.) ∂ i n : U × X ( n + 1 ) → U × X n ( 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \partial _{i}^{n}\colon U^{\times _{X}(n+1)}\to U^{\times _{X}n}\qquad (0\leq i\leq n)} ∂ i n = proj 0 , 1 , 2 , … , ı ^ , … , n = id U × X ⋯ × X id U ⏟ i × X f × X id U × X ⋯ × X id U ⏟ n − i {\displaystyle \partial _{i}^{n}=\operatorname {proj} _{0,1,2,\dotsc ,{\hat {\imath }},\dotsc ,n}=\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{i}\times _{X}f\times _{X}\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{n-i}} 퇴화 단체 사상은 다음과 같다. s i n : U × X ( n + 1 ) → U × X ( n + 2 ) ( 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle s_{i}^{n}\colon U^{\times _{X}(n+1)}\to U^{\times _{X}(n+2)}\qquad (0\leq i\leq n)} s n = id U × X ⋯ × X id U ⏟ i × X diag U × X id U × X ⋯ × X id U ⏟ n − i {\displaystyle s^{n}=\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{i}\times _{X}\operatorname {diag} _{U}\times _{X}\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{n-i}} 이를 U → X {\displaystyle U\to X} 의 체흐 신경이라고 한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 Diff {\displaystyle \operatorname {Diff} } 에서, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 열린 덮개 U = { U i } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. (대신 위상 공간의 범주를 사용할 수도 있다.) 그렇다면, X ~ = ⨆ i ∈ I U i {\displaystyle {\tilde {X}}=\bigsqcup _{i\in I}U_{i}} 를 정의하면, 표준적인 사영 사상 f : X ~ → X {\displaystyle f\colon {\tilde {X}}\to X} 이 존재하며, 이에 대한 체흐 신경을 구성할 수 있다. 즉, 이 경우 구체적으로 0차 단체는 x ∈ U i {\displaystyle x\in U_{i}} 인 순서쌍 ( x , i ) {\displaystyle (x,i)} 이다. 0차 단체의 공간은 X ~ = ⨆ i ∈ I U i {\displaystyle {\tilde {X}}=\textstyle \bigsqcup _{i\in I}U_{i}} 이다. 1차 단체는 x ∈ U i ∩ U j {\displaystyle x\in U_{i}\cap U_{j}} 인 순서쌍 ( x , i , j ) {\displaystyle (x,i,j)} 이다. 2차 단체의 공간은 X ~ × X X ~ = ⨆ i , j ∈ I U i ∩ U j {\displaystyle \textstyle {\tilde {X}}\times _{X}{\tilde {X}}=\bigsqcup _{i,j\in I}U_{i}\cap U_{j}} 이다. 1차 단체 ( x , i , j ) {\displaystyle (x,i,j)} 의 두 면(끝점)은 ∂ 0 1 ( x , i , j ) = ( x , j ) {\displaystyle \partial _{0}^{1}(x,i,j)=(x,j)} 및 ∂ 1 1 ( x , i , j ) = ( x , i ) {\displaystyle \partial _{1}^{1}(x,i,j)=(x,i)} 이다. 0차 단체 ( x , i ) {\displaystyle (x,i)} 에 대응하는 퇴화 1차 단체는 s 0 0 ( x , i ) = ( x , i , i ) {\displaystyle s_{0}^{0}(x,i)=(x,i,i)} 이다. 2차 단체는 x ∈ U i ∩ U j ∩ U k {\displaystyle x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}} 인 순서쌍 ( x , i , j , k ) {\displaystyle (x,i,j,k)} 이다. 2차 단체의 공간은 X ~ × X X ~ × X X ~ = ⨆ i , j , k ∈ I U i ∩ U j ∩ U k {\displaystyle \textstyle {\tilde {X}}\times _{X}{\tilde {X}}\times _{X}{\tilde {X}}=\bigsqcup _{i,j,k\in I}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}} 이다. 2차 단체 ( x , i , j , k ) {\displaystyle (x,i,j,k)} 의 세 면(변)은 ∂ 0 2 ( x , i , j , k ) = ( x , j , k ) {\displaystyle \partial _{0}^{2}(x,i,j,k)=(x,j,k)} , ∂ 1 2 ( x , i , j , k ) = ( x , i , k ) {\displaystyle \partial _{1}^{2}(x,i,j,k)=(x,i,k)} , ∂ 2 2 ( x , i , j , k ) = ( x , i , j ) {\displaystyle \partial _{2}^{2}(x,i,j,k)=(x,i,j)} 이다. 1차 단체 ( x , i , j ) {\displaystyle (x,i,j)} 에 대응하는 퇴화 2차 단체는 s 0 1 ( x , i , j ) = ( x , i , i , j ) {\displaystyle s_{0}^{1}(x,i,j)=(x,i,i,j)} , s 1 1 ( x , i , j ) = ( x , i , j , j ) {\displaystyle s_{1}^{1}(x,i,j)=(x,i,j,j)} 이다. 체흐 코호몰로지는 이 단체 대상에 대한 코호몰로지 이론이다. 위상군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 이제, 자명군으로 가는 (유일한) 군 준동형 G → 1 {\displaystyle G\to 1} 을 생각하자. 이에 대한 체흐 신경은 다음과 같다. 0차 단체는 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 이다. 0차 단체의 공간은 G {\displaystyle G} 이다. 1차 단체는 ( g , h ) ∈ G 2 {\displaystyle (g,h)\in G^{2}} 이다. 1차 단체의 공간은 G 2 {\displaystyle G^{2}} 이다. 0차 단체의 퇴화 단체는 ( g , g ) {\displaystyle (g,g)} 의 꼴이다. 1차 단체의 면은 ∂ 0 1 ( g , h ) = h {\displaystyle \partial _{0}^{1}(g,h)=h} , ∂ 1 1 ( g , h ) = g {\displaystyle \partial _{1}^{1}(g,h)=g} 이다. 2차 단체는 ( g , h , k ) ∈ G 3 {\displaystyle (g,h,k)\in G^{3}} 이다. 2차 단체의 공간은 G 3 {\displaystyle G^{3}} 이다. 이와 같이, 단체군 E G {\displaystyle \mathrm {E} G} 를 정의할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 G {\displaystyle G} 의 오른쪽 군 작용이 존재한다. g : ( h 0 , h 1 , h 2 , … , h n ) ↦ ( h 0 g , h 1 g , h 2 g , … , h n g ) {\displaystyle g\colon (h_{0},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})\mapsto (h_{0}g,h_{1}g,h_{2}g,\dots ,h_{n}g)} 이 오른쪽 군 작용은 추이적 작용이며, 기하학적 실현을 취하면 이는 G {\displaystyle G} -주다발 G ↪ E G ↠ B G = E G G {\displaystyle G\hookrightarrow \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G={\frac {\mathrm {E} G}{G}}} 을 이룬다. 이는 위상군 G {\displaystyle G} 의 분류 공간이며, 만약 G {\displaystyle G} 가 이산군이라면 에일렌베르크-매클레인 공간 K ⁡ ( G , 1 ) {\displaystyle \operatorname {K} (G,1)} 을 이룬다. 이러한 “단체”는 위상 공간의 범주에서 에두아르트 체흐가 도입하였다. Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). 《Etale homotopy》. Springer.  “Nerve theorem”. 《nLab》 (영어).  Samuel Eilenberg and Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952, p. 234. “Čech nerve”. 《nLab》 (영어).  “Čech methods”. 《nLab》 (영어).  “Čech cohomology”. 《nLab》 (영어).