스핀 다양체

미분위상수학에서 스핀 다양체(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다. 즉, 직교 틀다발 P SO M → M {\displaystyle P_{\operatorname {SO} }M\to M} 을 이중 피복 공간 Spin ⁡ ( n ) → SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)} 에 대하여 적절히 주다발 P S p i n M → M {\displaystyle P_{\mathrm {Spin} }M\to M} 으로 확장할 수 있는 가향 (준) 리만 다양체다. 임의의 두 자연수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 에 대하여, 스핀 군에서 특수 직교군으로 가는 표준적인 2겹 전사 군 준동형 ρ : Spin ⁡ ( p , q ) → SO ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \rho \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )} 이 존재한다. 파라콤팩트 공간 M {\displaystyle M} 위의 SO ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)} -주다발 π SO : P ↠ M {\displaystyle \pi _{\operatorname {SO} }\colon P\twoheadrightarrow M} 위의 스핀 구조(spin構造, 영어: spin structure)란 다음 데이터로 구성된다. Spin(p,q)-주다발 π Spin : P S p i n ( M ) → M {\displaystyle \pi _{\operatorname {Spin} }\colon P_{\mathrm {Spin} }(M)\to M} 이중 피복 공간 p : P Spin ( M ) ↠ P SO ( M ) {\displaystyle p\colon P_{\operatorname {Spin} }(M)\twoheadrightarrow P_{\operatorname {SO} }(M)} 이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. π SO ∘ p = π Spin {\displaystyle \pi _{\operatorname {SO} }\circ p=\pi _{\operatorname {Spin} }} 임의의 x ∈ P Spin {\displaystyle x\in P_{\operatorname {Spin} }} , h ∈ Spin ⁡ ( n ) {\displaystyle h\in \operatorname {Spin} (n)} 에 대하여 p ( x ⋅ h ) = p ( x ) ⋅ ρ ( h ) {\displaystyle p(x\cdot h)=p(x)\cdot \rho (h)} 이다. (여기서 ⋅ {\displaystyle \cdot } 은 주다발 위의 군의 작용이다.) 즉, 군의 작용은 p {\displaystyle p} 와 가환한다. 파라콤팩트 공간 M {\displaystyle M} 위의 유향(有向) 벡터 다발 E {\displaystyle E} 위의 스핀 구조는 E {\displaystyle E} 의 직교 틀다발 P SO ( E ) {\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)} 위의 스핀 구조이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 스핀 구조는 그 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} (의 틀다발) 위의 스핀 구조이다. 스핀 다양체는 스핀 구조를 지닌 가향 준 리만 다양체다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하고, 스핀 군 Spin ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)} 의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 표현 κ : Spin ⁡ ( p , q ) → GL ⁡ ( Δ ; K ) {\displaystyle \kappa \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {GL} (\Delta ;\mathbb {K} )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올이 Δ {\displaystyle \Delta } 인 복소수 연관 벡터 다발 S = P Spin × κ Δ {\displaystyle S=P_{\operatorname {Spin} }\times _{\kappa }\Delta } 을 정의할 수 있다. 특히, Spin ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)} 는 항상 2 ⌊ ( p + q ) / 2 ⌋ {\displaystyle 2^{\lfloor (p+q)/2\rfloor }} 차원 복소수 표현(디랙 스피너)을 갖는다. 이에 대응되는 복소수 벡터 다발을 디랙 스피너 다발 S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 이라고 한다. 만약 p + q {\displaystyle p+q} 가 짝수라면, 디랙 스피너는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너의 직합으로 표현되며, 디랙 스피너 다발은 다음과 같은 두 바일 스피너 다발의 직합으로 분해된다. S M = S + M ⊕ S − M {\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M} 만약 ( p − q ) mod 8 ∈ { 0 , ± 1 , ± 2 } {\displaystyle (p-q){\bmod {8}}\in \{0,\pm 1,\pm 2\}} 라면, 마찬가지로 마요라나 스피너 다발 S R M {\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }M} 을 정의할 수 있다. 이는 실수 벡터 다발이며, S M = S R M ⊗ C {\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} _{\mathbb {R} }M\otimes \mathbb {C} } 이다. 만약 p − q {\displaystyle p-q} 가 8의 배수라면, 마요라나-바일 스피너 다발 S R ± M {\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{\pm }M} 이 존재하며, S R ± M ⊗ C = S ± M {\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{\pm }M\otimes \mathbb {C} =\mathrm {S} ^{\pm }M} S R + M ⊕ S R − M = S R M {\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{+}M\oplus \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{-}M=\mathrm {S} _{\mathbb {R} }M} 이다. 스핀 다양체 위의 스피너장(spinor場, 영어: spinor field)은 스피너 다발의 매끄러운 단면이다. 가향 다양체 M {\displaystyle M} 위에 스핀 구조가 존재할 필요 충분 조건은 2차 슈티펠-휘트니 특성류 w 2 ( M ) ∈ H 2 ( M , Z / 2 ) {\displaystyle \mathrm {w} _{2}(M)\in \mathrm {H} ^{2}(M,\mathbb {Z} /2)} 가 0인지 여부이다.:115, Proposition 3.34 만약 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 H 1 ⁡ ( M , Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)} 의 집합과 일대일 대응한다.:115, Proposition 3.34 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 H 1 ⁡ ( M , Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)} 에 대한 아핀 공간이다. 직관적으로 해석하면, 축약 불가능 폐곡선들을 따라 스피너를 평행 운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 양자장론에서 페르미온의 라몽 경계 조건(영어: Ramond boundary condition, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건(영어: Neveu–Schwartz boundary condition, −)의 선택에 대응한다. 다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다. 종수 g의 콤팩트 리만 곡면은 22g개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 세타 지표(영어: theta characteristic)라고 불린다. 모든 3차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀 구조를 갖는다. 초구 Sn는 모두 스핀 구조를 갖는다. n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1} 일 때 이는 유일하며, 원 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 은 두 개의 스핀 구조를 갖는다. 홀수 차원 복소수 사영 공간 C P 2 k + 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{2k+1}} 은 스핀 구조를 갖는다. 모든 칼라비-야우 다양체는 스핀 구조를 갖는다. 다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다. 짝수 차원 복소수 사영 공간 C P 2 k {\displaystyle \mathbb {CP} ^{2k}} 은 스핀 구조를 갖지 않는다. 0차원에서는 Spin(0) = SO(0)이므로, 스핀 구조는 자명하다. 이는 1차원에서도 마찬가지다. 2차원에서는 Spin(2) = U(1) = SO(2)이지만, 이 경우 Spin(2)는 SO(2)의 2겹 피복이다. 이를 2차원 벡터 다발로 여길 경우, SO(2)=U(1) 구조를 갖는 2차원 벡터 다발은 에르미트 계량을 가진 복소수 선다발에 해당한다. 이 경우, 이 복소수 선다발 L {\displaystyle L} 의 스핀 구조는 복소수 선다발의 (텐서곱에 대한) 제곱근, 즉 L ⊗ L ≅ L {\displaystyle {\sqrt {L}}\otimes {\sqrt {L}}\cong L} 이 되는 복소수 선다발 L {\displaystyle L} 에 해당한다. Lawson, H. Blaine; Marie-Louise Michelsohn (1989). 《Spin Geometry》. Princeton Mathematical Series (영어) 38. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Friedrich, Thomas (2000). 《Dirac Operators in Riemannian Geometry》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 25. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2055-1.  Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.  Ebert, Johannes Felix (2006년 7월). 《Characteristic classes of spin surface bundles: Applications of the Madsen-Weiss theory》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Universität Bohn. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 18일에 확인함.  스핀 접속 스피너 스핀C 다양체 Alekseevskii, D.V. (2001). “Spinor structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Spin structure”. 《nLab》 (영어).  “Twisted spin structure”. 《nLab》 (영어).  “Differential spin structure”. 《nLab》 (영어).