빛원뿔 좌표계

이론물리학에서 빛원뿔 좌표계(빛圓뿔座標系, 영어: lightcone coordinate system) 또는 광추 좌표계(光錐座標系)란 민코프스키 공간의 좌표계의 하나다. 이 좌표계에서는 공간의 한 특정한 방향을 차별하여, 그 방향에 대한 인과성 구조를 명확히 드러낸다. ( 1 , D − 1 ) {\displaystyle (1,D-1)} 차원 민코프스키 공간의 직교 좌표계 ( x 0 , x 1 , … , x D − 1 ) {\displaystyle (x^{0},x^{1},\dots ,x^{D-1})} 를 생각하자. 직교 좌표계에서는 그 계량 텐서는 d s 2 = − ( d x 0 ) 2 + ∑ i = 1 D − 1 ( d x i ) 2 {\displaystyle ds^{2}=-(dx^{0})^{2}+\sum _{i=1}^{D-1}(dx^{i})^{2}} 가 된다. 여기서 x ± = ( x 1 ± x 0 ) / 2 {\displaystyle x^{\pm }=(x^{1}\pm x^{0})/{\sqrt {2}}} 를 정의하면, 빛원뿔 좌표계는 ( x + , x − , x 2 , … , x D − 1 ) {\displaystyle (x^{+},x^{-},x^{2},\dots ,x^{D-1})} 이다. 빛원뿔 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같다. d s 2 = 2 d x + d x − + ∑ i = 2 D − 1 ( d x i ) 2 {\displaystyle ds^{2}=2dx^{+}dx^{-}+\sum _{i=2}^{D-1}(dx^{i})^{2}} 이 경우, x ± = 2 x ∓ {\displaystyle x_{\pm }=2x^{\mp }} 가 된다. 빛원뿔 좌표계는 등각 불변이므로, 질량이 0인 입자나 막 따위를 다룰 때 용이하다. 예를 들어, ( 1 , D − 1 ) {\displaystyle (1,D-1)} 차원 시공간에서의 무질량 입자를 생각하자. 질량이 0이므로, 이는 SO ⁡ ( 2 , D ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2,D)} 등각 대칭을 갖는다. 이 입자의 작용은 S = ∫ d t 1 2 e ( t ) 2 x ˙ μ ( t ) x ˙ μ ( x ) {\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\,{\frac {1}{2}}e(t)^{2}{\dot {x}}^{\mu }(t){\dot {x}}_{\mu }(x)} 이다. 여기서 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 는 세계선의 임의의 좌표이며, x μ : R → R 1 , D − 1 {\displaystyle x^{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{1,D-1}} 는 입자의 위치를 나타내는 t {\displaystyle t} 의 함수이며, x ˙ μ = d d t x μ {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x^{\mu }} 는 t {\displaystyle t} 에 대한 속력이며, e : R → R + {\displaystyle e\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} 는 세계선 위의 필바인이다. 그러나 이 작용에서는 등각 대칭이 명백히 드러나지 못한다. 이를 위하여, 가상의 “시간” 차원과 “공간” 차원을 추가하여, 민코프스키 공간 R 2 , D {\displaystyle \mathbb {R} ^{2,D}} 을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 적을 수 있다.:§2, 2715 S = ∫ d t ( 1 2 X ˙ M X ˙ M − 1 2 λ X M X M ) {\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\left({\frac {1}{2}}{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}-{\frac {1}{2}}\lambda X^{M}X_{M}\right)} X M : R → R 2 , D {\displaystyle X^{M}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2,D}} λ : R → R {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 이는 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다. δ X ( t ) = ϵ ( t ) X ˙ M ( t ) − 1 2 ϵ ˙ ( t ) X M {\displaystyle \delta X(t)=\epsilon (t){\dot {X}}^{M}(t)-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}(t)X^{M}} δ λ ( t ) = ϵ ( t ) λ ˙ ( t ) + 2 ϵ ˙ ( t ) λ ( t ) + 1 2 ϵ ⋯ ( t ) {\displaystyle \delta \lambda (t)=\epsilon (t){\dot {\lambda }}(t)+2{\dot {\epsilon }}(t)\lambda (t)+{\frac {1}{2}}{\overset {\cdots }{\epsilon }}(t)} 이제, 보조장 λ {\displaystyle \lambda } 의 운동 방정식은 X M X M = 0 {\displaystyle X^{M}X_{M}=0} 이다. 새로 추가한 두 차원의 빛원뿔 좌표를 X M X M = X μ X μ + 2 X + X − {\displaystyle X^{M}X_{M}=X^{\mu }X_{\mu }+2X_{+}X_{-}} 라고 하자. 그렇다면, X − = − X μ X μ 2 X + {\displaystyle X_{-}=-{\frac {X^{\mu }X_{\mu }}{2X_{+}}}} 가 된다. 이제 e = X + {\displaystyle e=X_{+}} x μ = X μ / X + {\displaystyle x^{\mu }=X^{\mu }/X_{+}} 로 놓으면, S = 1 2 ∫ d t X ˙ M X ˙ M = 1 2 ∫ d t ( d d t ( e x μ ) d d t ( e x μ ) − e ˙ d d t ( x μ x μ e ) ) = 1 2 ∫ d t e 2 x ˙ μ x ˙ μ {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex^{\mu }){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex_{\mu })-{\dot {e}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(x^{\mu }x_{\mu }e)\right)={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,e^{2}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }} 가 되어, 원래 작용을 얻게 된다. Siegel, W. (1988). “Conformal invariance of extended spinning particle mechanics”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 3 (11): 2713–2718. Bibcode:1988IJMPA...3.2713S. doi:10.1142/S0217751X88001132.