준연접층

대수기하학과 복소기하학에서 준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층은 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 이는 연접층의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주인 준연접 가군층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 국소 단면 생성 가군층(局所斷面生成加群層, 영어: sheaf of modules locally generated by sections)이라고 한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 층의 완전열 O X ⊕ λ | U → F | U → 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0} 이 존재하게 되는 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 와 기수 λ {\displaystyle \lambda } 가 존재한다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층이라고 한다.:45, (5.1.3) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 층의 완전열 O X ⊕ κ | U → O X ⊕ λ | U → F | U → 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \kappa }|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0} 이 존재하게 되는 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 와 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 가 존재한다. 국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 가 자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다. 임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 연접층 ⊆:47, (5.3.2) 유한 표시 가군층 ⊆:46, (5.2.5) 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층 국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층:48, (5.4.1) 국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆:48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층 스킴 X {\displaystyle X} 위의 가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 준연접 가군층이다. 임의의 아핀 열린 부분 스킴 Spec ⁡ R ⊆ X {\displaystyle \operatorname {Spec} R\subseteq X} 에 대하여, F | Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R}} 는 O Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}} -가군층으로서 어떤 R {\displaystyle R} -가군으로부터 유도된 O Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}} -가군층과 동형이다. X {\displaystyle X} 의 어떤 아핀 열린 덮개 { Spec ⁡ R i } i ∈ I {\displaystyle \{\operatorname {Spec} R_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, F | Spec ⁡ R i {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R_{i}}} 는 O Spec ⁡ R i {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}} -가군층으로서 어떤 R i {\displaystyle R_{i}} -가군으로부터 유도된 O Spec ⁡ R i {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}} -가군층과 동형이다. 다음이 주어졌다고 하자. 두 스킴 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 그렇다면, Y {\displaystyle Y} 위의 준연접층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 당김 f ∗ F {\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}} 는 X {\displaystyle X} 위의 준연접층이다. 반대로, X {\displaystyle X} 위의 준연접층 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 가 주어졌으며, f {\displaystyle f} 가 준콤팩트 준분리 사상이라면 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 밂 f ∗ F {\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}} 는 Y {\displaystyle Y} 위의 연접층이다. 일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주 QCoh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)} 는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약 X {\displaystyle X} 가 스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다. 그로텐디크 아벨 범주이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주이다. 포함 함자 I : QCoh ⁡ ( X ) → O X -Mod {\displaystyle I\colon \operatorname {QCoh} (X)\to {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}} 는 오른쪽 수반 함자 Q : O X -Mod → QCoh ⁡ ( X ) {\displaystyle Q\colon {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}\to \operatorname {QCoh} (X)} 를 가진다. 따라서, I {\displaystyle I} 는 모든 쌍대 극한을 보존하며 오른쪽 완전 함자이다. (모든 가군층의 범주 O X -Mod {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}} 역시 그로텐디크 아벨 범주이며 특히 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.) 따라서, Q {\displaystyle Q} 는 모든 극한을 보존하며 왼쪽 완전 함자이다. 즉, QCoh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)} 에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. QCoh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)} 에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 Q {\displaystyle Q} 를 가한 것이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다. R {\displaystyle R} -가군의 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} R {\displaystyle R} 의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 QCoh ⁡ ( Spec ⁡ R ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (\operatorname {Spec} R)} 구체적으로, R {\displaystyle R} -가군 M {\displaystyle M} 에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 이다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, Γ ( Spec ⁡ ( R r ) ; M ~ ) = R r ⊗ R M {\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} (R_{r});{\tilde {M}})=R_{r}\otimes _{R}M} 여기서 R r = ( { 1 , r , r 2 , … } ) − 1 R {\displaystyle R_{r}=(\{1,r,r^{2},\dots \})^{-1}R} 는 r {\displaystyle r} 로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼은 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 의 열린집합을 정의한다. 반대로, Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 준연접 가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대응하는 R {\displaystyle R} -가군은 Γ ( Spec ⁡ R ; F ) {\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {F}})} 이다. 스킴 X {\displaystyle X} 의 닫힌 부분 스킴 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다. 특히, X {\displaystyle X} 전체에 대응하는 영 준연접층 0 {\displaystyle 0} 은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합 ∅ {\displaystyle \varnothing } 에 대응하는 구조층 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 역시 준연접층이다. (반면, 국소 뇌터 스킴이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층이 아닐 수 있다.) 체 K {\displaystyle K} 의 스펙트럼 Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두 K {\displaystyle K} -벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이다.) 이산 값매김환 ( D , m , κ = D / m ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa =D/{\mathfrak {m}})} 의 스펙트럼 Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 는 시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대응하며, 이는 잉여류체 κ {\displaystyle \kappa } 에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼 0 {\displaystyle 0} 에 대응하며, 이는 분수체 Frac ⁡ D = K {\displaystyle \operatorname {Frac} D=K} 에 해당한다. 시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합의 합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층이 층을 이룬다. Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 위의 임의의 가군 (준)층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다. Γ ( F , Spec ⁡ D ) = M {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\operatorname {Spec} D)=M} . 이는 D {\displaystyle D} -가군이다. Γ ( F , { 0 } ) = N {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\{0\})=N} . 이는 K {\displaystyle K} -벡터 공간이다. Spec ⁡ D → { 0 } {\displaystyle \operatorname {Spec} D\to \{0\}} 의 제약 사상 ϕ : M ⊗ D K → N {\displaystyle \phi \colon M\otimes _{D}K\to N} . 이는 K {\displaystyle K} -선형 변환이다. 즉, Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 위의 가군층은 위와 같은 ( M , N , ϕ ) {\displaystyle (M,N,\phi )} 로 주어진다. 아핀 스킴 Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 위의 준연접 가군층은 D {\displaystyle D} -가군 M {\displaystyle M} 만으로 주어진다. 이 경우, { 0 } {\displaystyle \{0\}} 의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라) M ⊗ A K {\displaystyle M\otimes _{A}K} 이다. 즉, Spec ⁡ D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} -가군층 ( M , N , ϕ ) {\displaystyle (M,N,\phi )} 가운데 준연접층인 것은 ϕ {\displaystyle \phi } 가 K {\displaystyle K} -벡터 공간의 동형 사상인 것이다. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4. doi:10.1007/bf02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. 2016년 3월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 1월 27일에 확인함.  Stacks project: 29.9 “Quasi-coherent sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Quasicoherent sheaf”. 《nLab》 (영어).  Mathew, Akhil (2011년 7월 30일). “Quasi-coherent sheaves, presentable categories, and a result of Gabber”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  “Does Qcoh(X) admit a generating set?” (영어). Math Overflow.  “Examples of 𝒪X-modules that are not quasi-coherent sheaves”. 《Stack Exchange》 (영어).