수족 삼각형

기하학에서 수족 삼각형(垂足三角形, 영어: pedal triangle)은 주어진 점에서 삼각형의 세 변에 내린 수선의 발들로 이루어진 삼각형이다. 점 P {\displaystyle P} 에서 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 에 내린 수선의 발을 각각 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 만약 P {\displaystyle P} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이라면, D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 한 직선 위의 점이며, 이 직선을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 점 P {\displaystyle P} 의 심슨 직선이라고 한다. 만약 P {\displaystyle P} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이 아니라면, D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 한 직선 위의 점이 아니며, 이 경우 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 를 점 P {\displaystyle P} 에 대한 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수족 삼각형이라고 한다. 점 P {\displaystyle P} 에서 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 에 내린 수선의 발을 각각 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하고, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변의 길이를 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , 외접원의 반지름을 R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 사인 법칙에 따라 수족 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 세 변의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.:23, §1.9, Theorem 1.91 E F = A P ⋅ sin ⁡ A = A P ⋅ a 2 R {\displaystyle EF=AP\cdot \sin A={\frac {AP\cdot a}{2R}}} F D = B P ⋅ sin ⁡ B = B P ⋅ b 2 R {\displaystyle FD=BP\cdot \sin B={\frac {BP\cdot b}{2R}}} D E = C P ⋅ sin ⁡ C = C P ⋅ c 2 R {\displaystyle DE=CP\cdot \sin C={\frac {CP\cdot c}{2R}}} 점 P {\displaystyle P} 에서 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 에 내린 수선의 발을 각각 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 그렇다면 수족 삼각형의 세 꼭짓점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 원래 삼각형의 변을 나누는 길이는 다음 등식을 만족시킨다.:85–86 A F 2 + B D 2 + C E 2 = F B 2 + D C 2 + E A 2 {\displaystyle AF^{2}+BD^{2}+CE^{2}=FB^{2}+DC^{2}+EA^{2}} 등각 켤레점을 이루는 두 점에 대한 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 공통 외접원의 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다.:67, §7.4, (viii) 같은 점에 대한 수족 삼각형의 수족 삼각형의 수족 삼각형은 원래 삼각형과 닮음이다. 즉, 점 P {\displaystyle P} 에 대한 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수족 삼각형을 D 1 E 1 F 1 {\displaystyle D_{1}E_{1}F_{1}} 라고 하고, 같은 점 P {\displaystyle P} 에 대한 삼각형 D 1 E 1 F 1 {\displaystyle D_{1}E_{1}F_{1}} 의 수족 삼각형을 D 2 E 2 F 2 {\displaystyle D_{2}E_{2}F_{2}} 라고 하고, 같은 점 P {\displaystyle P} 에 대한 삼각형 D 2 E 2 F 2 {\displaystyle D_{2}E_{2}F_{2}} 의 수족 삼각형을 D 3 E 3 F 3 {\displaystyle D_{3}E_{3}F_{3}} 라고 하자. 그렇다면 삼각형 D 3 E 3 F 3 {\displaystyle D_{3}E_{3}F_{3}} 은 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 닮음이다.:24, §1.9, Theorem 1.92 보다 일반적으로, n {\displaystyle n} 각형이 주어졌을 때, 같은 점에 대한 n {\displaystyle n} 번째 수족 n {\displaystyle n} 각형은 원래 n {\displaystyle n} 각형과 닮음이다. 증명: 마주보는 두 각이 직각인 사각형의 네 꼭짓점은 한 원 위의 점이므로, 원주각의 성질에 따라 ∠ P A C = ∠ P F 1 E 1 = ∠ P E 2 D 2 = ∠ P D 3 F 3 {\displaystyle \angle PAC=\angle PF_{1}E_{1}=\angle PE_{2}D_{2}=\angle PD_{3}F_{3}} ∠ P A B = ∠ P E 1 F 1 = ∠ P F 2 D 2 = ∠ P D 3 E 3 {\displaystyle \angle PAB=\angle PE_{1}F_{1}=\angle PF_{2}D_{2}=\angle PD_{3}E_{3}} 이다. 따라서 ∠ B A C = ∠ E 3 D 3 F 3 {\displaystyle \angle BAC=\angle E_{3}D_{3}F_{3}} 이다. 마찬가지로 ∠ A B C = ∠ D 3 E 3 F 3 {\displaystyle \angle ABC=\angle D_{3}E_{3}F_{3}} 임을 보일 수 있다. 따라서 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 삼각형 D 3 E 3 F 3 {\displaystyle D_{3}E_{3}F_{3}} 은 닮음이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 및 점 P {\displaystyle P} 가 주어졌다고 하자. 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는, 직선 P A {\displaystyle PA} , P B {\displaystyle PB} , P C {\displaystyle PC} 의 평행선의 세 교점을 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 라고 하자. 만약 점 P {\displaystyle P} 가 직선 B C {\displaystyle BC} 또는 C A {\displaystyle CA} 또는 A B {\displaystyle AB} 위의 점이라면, 세 직선 가운데 한 쌍은 평행하며 세 교점 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 가운데 하나는 무한 원점이다. 만약 점 P {\displaystyle P} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이라면, 세 직선은 한 점 X = Y = Z {\displaystyle X=Y=Z} 에서 만난다.:225, §XII.360 만약 점 P {\displaystyle P} 가 직선 B C {\displaystyle BC} 또는 C A {\displaystyle CA} 또는 A B {\displaystyle AB} 위의 점이 아니며 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이 아니라면, 세 교점 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 는 삼각형의 꼭짓점을 이루며, 이 경우 삼각형 X Y Z {\displaystyle XYZ} 를 점 P {\displaystyle P} 에 대한 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 반수족 삼각형(反垂足三角形, 영어: antipedal triangle)이라고 한다. 이 경우 반수족 삼각형은 원래 삼각형을 수족 삼각형으로 하는 유일한 삼각형이다. 주어진 점에 대한 반수족 삼각형은 그 등각 켤레점에 대한 수족 삼각형과 중심 닮음이다.:225, §XII.360 일부 특수한 점에 대한 수족 삼각형 또는 반수족 삼각형은 다음과 같다. 내심에 대한 수족 삼각형은 제르곤 삼각형이다. 외심에 대한 수족 삼각형은 중점 삼각형이다. 수심에 대한 수족 삼각형은 수심 삼각형이다. 내심에 대한 반수족 삼각형은 방심 삼각형이다. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). 《Challenging Problems in Geometry》 (영어) 2판. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-69154-3. LCCN 95052535.  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Stewart, B. M. (1940). “Cyclic Properties of Miquel Polygons”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 47 (7): 462–466. doi:10.2307/2303956. ISSN 0002-9890. JSTOR 2303956.  Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Antipedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Bogomolny, Alexander. “Pedal triangle and isogonal conjugacy”. 《Cut the Knot》 (영어).