고유 궤도 에너지

이체 문제에서 고유 궤도 에너지 ϵ {\displaystyle \epsilon } (specific orbital energy) 또는 활력에너지(vis-viva energy)는 궤도에 관여하는 두 물체의 위치 에너지 ϵ p {\displaystyle \epsilon _{p}} 와 운동 에너지 ϵ k {\displaystyle \epsilon _{k}} 의 합을 환산 질량으로 나눈 값으로, 활력방정식에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m2⋅s−2 또는 MJ/kg = km2⋅s−2이다. ϵ = ϵ k + ϵ p = v 2 2 − μ r = − 1 2 μ 2 h 2 ( 1 − e 2 ) = − μ 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &=\epsilon _{k}+\epsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}} v {\displaystyle v} 은 상대 궤도 속도이다. r {\displaystyle r} 은 두 물체 사이의 거리이다. μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})} 은 두 물체의 표준 중력 변수의 합이다. h {\displaystyle h} 은 상대 비각운동량이다. e {\displaystyle e} 은 궤도 이심률이다. a {\displaystyle a} 은 궤도 긴반지름이다. 타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다. 타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 상대 비각운동량과 결합하면 다음으로 단순화된다. ϵ = − μ 2 a {\displaystyle \epsilon =-{\frac {\mu }{2a}}} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)} 은 표준 중력 변수이다. a {\displaystyle a} 은 궤도 긴반지름이다. 증명 타원 궤도에서 고유 각운동량 h는 다음으로 구해진다. h 2 = μ p = μ a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)} 고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다. ϵ = v 2 2 − μ r {\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}} 궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다. v p 2 = h 2 r p 2 = h 2 a 2 ( 1 − e ) 2 = μ a ( 1 − e 2 ) a 2 ( 1 − e ) 2 = μ ( 1 − e 2 ) a ( 1 − e ) 2 {\displaystyle v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}} 따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다. ϵ = μ a [ 1 − e 2 2 ( 1 − e ) 2 − 1 1 − e ] = μ a [ ( 1 − e ) ( 1 + e ) 2 ( 1 − e ) 2 − 1 1 − e ] = μ a [ 1 + e 2 ( 1 − e ) − 2 2 ( 1 − e ) ] = μ a [ e − 1 2 ( 1 − e ) ] = − μ 2 a {\displaystyle \epsilon ={\mu \over a}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\mu \over a}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}=-{\mu \over 2a}} 포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다. ϵ = 0 {\displaystyle \epsilon =0} 쌍곡선 궤도에서는 a의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지( C 3 {\displaystyle C_{3}} )로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다. ϵ = μ 2 a {\displaystyle \epsilon ={\mu \over 2a}} 쌍곡선 초과 속도 v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} 와는 다음의 관계가 있다. 2 ϵ = C 3 = v ∞ 2 . {\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.} 따라서, 궤도 위치 벡터 r {\displaystyle \mathbf {r} } 또는 궤도 속도 벡터 v {\displaystyle \mathbf {v} } 를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다. 타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다. μ 2 a 2 {\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})} 은 표준 중력 변수이다. a {\displaystyle a\,\!} 은 궤도 긴반지름이다. 궤도 중심체의 반지름이 R이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.   − μ 2 a + μ R = μ ( 2 a − R ) 2 a R {\displaystyle \ -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}} 2 a − R {\displaystyle 2a-R} 은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 a {\displaystyle a} 가 R {\displaystyle R} 에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 ( g R / 2 ) {\displaystyle (gR/2)} 로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다. V 2 2 = g R 2 {\displaystyle {\frac {V^{2}}{2}}={\frac {gR}{2}}} , V = g R {\displaystyle V={\sqrt {gR}}} 보이저 1호의 궤도 수치는 다음과 같다. 태양의 표준 중력 변수: μ = G M {\displaystyle \mu =GM} = 132,712,440,018 km3⋅s−2 r = 17×10^9 km v = 17.1 km/s 따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다. ϵ = ϵ k + ϵ p = v 2 2 − μ r {\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}} = 146 km2⋅s−2 − 8 km2⋅s−2 = 138 km2⋅s−2 또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다. v ∞ = {\displaystyle v_{\infty }=} 16.6 km/s 로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는 v ⋅ a {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} } 으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값 v ⋅ ( a − g ) {\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )} 과 위치 에너지 측의 값 v ⋅ g {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} } 의 합이다. a은 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다. g은 중력장의 세기이다. v은 로켓의 속도이다. 로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며, v ⋅ a | a | {\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}} 이는 |v|에 v와 a 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다. 따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 a가 v의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다. 로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 v와 g 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다. 반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, a가 v와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, v와 g 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다. a의 방향이 v와 같다면 식은 다음이 된다. Δ ϵ = ∫ v d ( Δ v ) = ∫ v a d t {\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt} 치올콥스키 로켓 방정식 Wie, Bong (1998). 〈Orbital Dynamics〉. 《Space Vehicle Dynamics and Control》. AIAA Education Series. Reston, Virginia: American Institute of Aeronautics and Astronautics. 220쪽. ISBN 1-56347-261-9.