끝 (범주론)

범주론에서 끝(영어: end 엔드[*])과 쌍대끝(雙對-, 영어: coend 코엔드[*])은 어떤 데이터들을 범주론적으로 “이어붙이는” 연산이다. 다음이 주어졌다고 하자. 범주 C , D {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}} 함자 F : C op × C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 그렇다면, F {\displaystyle F} 의 쐐기(영어: wedge)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 대상 W ∈ D {\displaystyle W\in {\mathcal {D}}} 각 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 사상 w x : W → F ( X op , X ) {\displaystyle w_{x}\colon W\to F(X^{\operatorname {op} },X)} 이는 임의의 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 및 사상 f ∈ hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle f\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만들어야 한다. W → w X C ( X , X ) w Y ↓ w Y F ( id X , f ) ↓ F ( id X , f ) C ( Y , Y ) → F ( f op , id Y ) C ( X , Y ) {\displaystyle {\begin{matrix}W&{\overset {w_{X}}{\to }}&C(X,X)\\{\!\!\!\!\scriptstyle w_{Y}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}w_{Y}\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\color {White}\scriptstyle F(\operatorname {id} _{X},f)}\downarrow \scriptstyle F(\operatorname {id} _{X},f)\!\!\!\!\\C(Y,Y)&{\underset {F(f^{\operatorname {op} },\operatorname {id} _{Y})}{\to }}&C(X,Y)\end{matrix}}} 마찬가지로, 함자 G : C op × C → D {\displaystyle G\colon C^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 의 쌍대쐐기(영어: cowedge) ( W , ( w X : C ( X , X ) → W ) X ∈ C ) {\displaystyle (W,(w_{X}\colon C(X,X)\to W)_{X\in {\mathcal {C}}})} 는 G op : C op × C → D op {\displaystyle G^{\operatorname {op} }\colon C^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }} 의 쐐기이다. 함자 F {\displaystyle F} 의 끝 ( E , e ) {\displaystyle (E,e)} 은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 쐐기이다. 임의의 쐐기 ( W , w ) {\displaystyle (W,w)} 에 대하여, ∀ X ∈ C : w X = e X ∘ i {\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}}\colon w_{X}=e_{X}\circ i} 인 사상 i : W → E {\displaystyle i\colon W\to E} 이 유일하게 존재한다. 이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 이를 ∫ c ∈ C F ( c , c ) {\displaystyle \int _{c\in {\mathcal {C}}}F(c,c)} 로 표기한다. 마찬가지로, 함자 G : C op × C → D {\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 의 쌍대끝은 G op : C op × C → D op {\displaystyle G^{\operatorname {op} }\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }} 의 끝이다. 이를 ∫ c ∈ C G ( c , c ) {\displaystyle \int ^{c\in {\mathcal {C}}}G(c,c)} 로 표기한다. 다음이 주어졌다고 하자. 범주 C , D , E {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}},{\mathcal {E}}} 함자 F : ( C × D ) op × C × D → E {\displaystyle F\colon ({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}})^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}} 끝에 대한 푸비니 정리(영어: Fubini theorem for ends)에 따르면, 만약 ∫ ( X , Y ) ∈ C × D F ( X , Y , X , Y ) {\displaystyle \int _{(X,Y)\in {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}F(X,Y,X,Y)} 와 ∫ X ∈ C ∫ Y ∈ D F ( X , Y , X , Y ) {\displaystyle \int _{X\in {\mathcal {C}}}\int _{Y\in {\mathcal {D}}}F(X,Y,X,Y)} 와 ∫ Y ∈ D ∫ X ∈ C F ( X , Y , X , Y ) {\displaystyle \int _{Y\in {\mathcal {D}}}\int _{X\in {\mathcal {C}}}F(X,Y,X,Y)} 가 존재한다면, 이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다.:Remark 1.10(2) (이 이름은 측도론의 푸비니 정리에 빗댄 것이다.) 다음이 주어졌다고 하자. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 국소적으로 작은 범주 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 함자 F , G : X → D {\displaystyle F,G\colon X\to {\mathcal {D}}} 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다. hom D ⁡ ( F ( − ) , G ( − ) ) : C op × C → Set {\displaystyle \hom _{\mathcal {D}}(F(-),G(-))\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 이 함자의 끝 ∫ X ∈ C hom D ⁡ ( F ( X ) , G ( X ) ) = Nat ⁡ ( F , G ) {\displaystyle \int _{X\in {\mathcal {C}}}\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))=\operatorname {Nat} (F,G)} 은 두 함자 F {\displaystyle F} 와 G {\displaystyle G} 사이의 자연 변환들의 집합과 같으며, 그 성분 Nat ⁡ ( F , G ) → hom ⁡ ( F ( X ) , G ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {Nat} (F,G)\to \hom(F(X),G(X))} 는 다음과 같다. ( η : F ⇒ G ) ↦ ( η X : F ( X ) → G ( X ) ) {\displaystyle (\eta \colon F\Rightarrow G)\mapsto (\eta _{X}\colon F(X)\to G(X))} 즉, 자연 변환들의 집합을 그 성분들의 집합 hom D ⁡ ( F ( X ) , G ( X ) ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))} 들을 이어붙인 것으로 여길 수 있다. 위상 공간의 범주 속의 단체 대상 X : △ op → Top {\displaystyle X\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} } 과, 단체의 위상 공간 모형 함자 G : △ → Top {\displaystyle G\colon \triangle \to \operatorname {Top} } 를 생각하자. 그렇다면, 함자 F : △ × △ op → Top {\displaystyle F\colon \triangle \times \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} } F : n ↦ G ( n ) × X ( n ) {\displaystyle F\colon n\mapsto G(n)\times X(n)} 을 정의할 수 있다. (여기서 우변은 위상 공간의 곱공간이다.) 그렇다면, 그 쌍대끝 | X | = ∫ n ∈ △ G ( n ) × X ( n ) {\displaystyle |X|=\int ^{n\in \triangle }G(n)\times X(n)} 을 X {\displaystyle X} 의 기하학적 실현이라고 한다. 특히, 만약 X {\displaystyle X} 의 각 성분이 이산 공간일 때 (즉, 단체 집합일 때), 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 이룬다. 입방체 집합의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다. X : ◻ op → Top {\displaystyle X\colon \square ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} } G : ◻ → Top {\displaystyle G\colon \square \to \operatorname {Top} } | X | = ∫ n ∈ ◻ G ( n ) × X ( n ) {\displaystyle |X|=\int ^{n\in \square }G(n)\times X(n)} Loregian, Fosco (2015). “This is the (co)end, my only (co)friend” (영어). arXiv:1501.02503. Bibcode:2015arXiv150102503L.  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “End”. 《nLab》 (영어).  “Intuition for coends”. 《Math Overflow》 (영어).  “Why do we denote (co)ends with integral notation?”. 《Math Overflow》 (영어).  Upmeier, Markus. “Dinatural transformations” (PDF) (영어). 2017년 8월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 8월 13일에 확인함.  Willerton, Simon (2014년 1월 5일). “Ends”. 《The n-Category Café》 (영어).  Milewski, Bartosz (2017년 3월 29일). “Ends and coends”. 《Bartosz Milewski’s Programming Cafe》 (영어).  Milewski, Bartosz (2014년 7월 15일). “Natural transformations and ends”. 《Bartosz Milewski’s Programming Cafe》 (영어).