비 판정법

미적분학에서 비 판정법(比判定法, 영어: ratio test) 또는 달랑베르 비 판정법(영어: d'Alembert's ratio test) 또는 코시 비 판정법(영어: Cauchy ratio test)은 양의 실수 항의 급수의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법이다. 실수 항의 급수의 절대 수렴 여부를 판단할 수도 있다. 이웃하는 두 항의 비의 극한을 사용한다. 공비에 따른 기하급수의 수렴 여부에 기반한다. 다른 급수를 “표준 급수”로 삼아 더 정교한 판정법을 만들 수 있다. 그러나 이렇게 만든 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다. 즉, 임의의 급수에 대하여, 이 급수에 기반한 판정법이 효력을 잃는 급수를 구성할 수 있다. 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 가 주어졌다고 하자 ( a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} ). 또한, 극한 L = lim n → ∞ a n + 1 a n ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]} 가 존재한다고 하자. 비 판정법에 따르면, 다음이 성립한다. 만약 L < 1 {\displaystyle L<1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 L > 1 {\displaystyle L>1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 증명: 만약 L < 1 {\displaystyle L<1} 이며, L < q < 1 {\displaystyle L<q<1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n + 1 a n < q {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q} 이다. 따라서 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여, a n = a N ⋅ a N + 1 a N ⋅ a N + 2 a N + 1 ⋅ ⋯ ⋅ a n a n − 1 ≤ a N q n − N {\displaystyle a_{n}=a_{N}\cdot {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\leq a_{N}q^{n-N}} 이다. 0 ≤ q < 1 {\displaystyle 0\leq q<1} 이므로, 기하급수 ∑ n = 0 ∞ q n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}} 은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 L > 1 {\displaystyle L>1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n + 1 a n > 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1} 이다. 즉, ( a N , a N + 1 , … ) {\displaystyle (a_{N},a_{N+1},\dots )} 은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 보다 일반적으로, 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 가 주어졌다고 하자 ( a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} ). 또한, R = lim sup n → ∞ a n + 1 a n ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]} r = lim inf n → ∞ a n + 1 a n ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]} 라고 하자 (이는 항상 존재하며, 항상 r ≤ R {\displaystyle r\leq R} 이다). 비 판정법에 따르면, 다음이 성립한다. 만약 R < 1 {\displaystyle R<1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 r > 1 {\displaystyle r>1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 만약 극한 L {\displaystyle L} 이 존재한다면 L = R = r {\displaystyle L=R=r} 이다. 따라서 후자가 더 일반적인 결과다. 만약 r ≤ 1 ≤ R {\displaystyle r\leq 1\leq R} 이라면 (특히, 만약 L = 1 {\displaystyle L=1} 이라면), 비 판정법을 적용할 수 없으므로 다른 방법을 사용하여야 한다. 만약 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 a n + 1 a n ≥ 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1} 이라면, lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} 일 수 없으므로 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. (만약 r > 1 {\displaystyle r>1} 이라면 이 조건이 성립한다. 만약 이 조건이 성립한다면 r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} 이지만, r > 1 {\displaystyle r>1} 일 필요는 없다.) 근 판정법이나 라베 판정법 등 더 정교한 방법을 사용할 수도 있다. 증명: 만약 R < 1 {\displaystyle R<1} 이며, R < q < 1 {\displaystyle R<q<1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n + 1 a n < q {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q} 이다. 따라서 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여, a n = a N ⋅ a N + 1 a N ⋅ a N + 2 a N + 1 ⋅ ⋯ ⋅ a n a n − 1 ≤ a N q n − N {\displaystyle a_{n}=a_{N}\cdot {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\leq a_{N}q^{n-N}} 이다. 0 ≤ q < 1 {\displaystyle 0\leq q<1} 이므로, 기하급수 ∑ n = 0 ∞ q n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}} 은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 r > 1 {\displaystyle r>1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n + 1 a n > 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1} 이다. 즉, ( a N , a N + 1 , … ) {\displaystyle (a_{N},a_{N+1},\dots )} 은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ n 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}} 을 생각하자. a n = n 2 n {\displaystyle a_{n}={\frac {n}{2^{n}}}} 이라고 하자. 이웃하는 두 항의 비의 극한은 L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n ) = lim n → ∞ n + 1 2 n = 1 2 < 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n+1}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{2n}}={\frac {1}{2}}<1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}n!}{n^{n}}}} 을 생각하자. a n = 2 n n ! n n {\displaystyle a_{n}={\frac {2^{n}n!}{n^{n}}}} 이라고 하자. 그렇다면, L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 ⋅ n n 2 n n ! ) = lim n → ∞ 2 ( 1 + 1 / n ) n = 2 e < 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}\cdot {\frac {n^{n}}{2^{n}n!}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {2}{\mathrm {e} }}<1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 급수 ∑ n = 0 ∞ ( 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n + 1 ) n ! ⋅ 1 2 n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n+1)}{n!}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}\right)} 를 생각하자. 이는 양의 실수 항의 급수가 아니지만, 비 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. a n = 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n + 1 ) n ! ⋅ 1 2 n {\displaystyle a_{n}={\frac {100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n+1)}{n!}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}} 이라고 하자. 그렇다면, L = lim n → ∞ | a n + 1 | | a n | = lim n → ∞ | 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n ) ( n + 1 ) ! ⋅ 1 2 n + 1 ⋅ n ! 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n + 1 ) ⋅ 2 n | = lim n → ∞ n − 100 2 ( n + 1 ) = 1 2 < 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n)}{(n+1)!}}\cdot {\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {n!}{100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n+1)}}\cdot {2^{n}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {n-100}{2(n+1)}}={\frac {1}{2}}<1} 비 판정법에 의하여, 이 급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 2 n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n}}} 을 생각하자. a n = 2 n n {\displaystyle a_{n}={\frac {2^{n}}{n}}} 이라고 하자. 그렇다면, L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( 2 n + 1 n + 1 ⋅ n 2 n ) = lim n → ∞ 2 n n + 1 = 2 > 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{2^{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{n+1}}=2>1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 3 n n ! n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}n!}{n^{n}}}} 을 생각하자. a n = 3 n n ! n n {\displaystyle a_{n}={\frac {3^{n}n!}{n^{n}}}} 이라고 하자. 그렇다면, L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( 3 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 ⋅ n n 3 n n ! ) = lim n → ∞ 3 ( 1 + 1 / n ) n = 3 e > 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}\cdot {\frac {n^{n}}{3^{n}n!}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {3}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {3}{\mathrm {e} }}>1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다. 급수 ∑ n = 0 ∞ 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1} 을 생각하자. 자명하게 L = 1 {\displaystyle L=1} 이다. 하지만 a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} 이라고 하였을 때, 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 a n a n + 1 ≥ 1 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\geq 1} 이다. 따라서 비 판정법의 더 일반적인 형태에 의하여, 이 급수는 발산한다. 사실, 비 판정법을 사용하지 않더라도, 이 급수의 항이 0으로 수렴하지 않음은 자명하므로, 급수가 발산함은 자명하다. 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 가 주어졌다고 하자 ( a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} ). 라베 판정법(영어: Raabe’s test)에 따르면, 다음이 성립한다. 만약 s = lim inf n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) > 1 {\displaystyle s=\liminf _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)>1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 s ′ = lim sup n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) < 1 {\displaystyle s'=\limsup _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)<1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 만약 R < 1 {\displaystyle R<1} 이라면 s = ∞ {\displaystyle s=\infty } 이며, 만약 r > 1 {\displaystyle r>1} 이라면 s ′ = − ∞ {\displaystyle s'=-\infty } 이다. 따라서 라베 판정법은 비 판정법을 일반화한다. 라베 판정법은 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n t {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{t}}}} 의, t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 따른 수렴 여부에 기반한다. 이 급수는 t > 1 {\displaystyle t>1} 일 때 수렴하며, t ≤ 1 {\displaystyle t\leq 1} 일 때 발산한다. (이는 코시 응집 판정법이나 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, s ′ < 1 {\displaystyle s'<1} 을 다음 조건으로 약화하여도 명제가 성립한다. “충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여, n ( a n a n + 1 − 1 ) ≤ 1 {\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\leq 1} .” 증명: 임의의 t > u > 1 {\displaystyle t>u>1} 이 주어졌을 때, 어떤 ϵ t , u > 0 {\displaystyle \epsilon _{t,u}>0} 및 임의의 0 ≤ x < ϵ t , u {\displaystyle 0\leq x<\epsilon _{t,u}} 에 대하여 다음 부등식이 성립한다. 1 + t x ≥ ( 1 + x ) u {\displaystyle 1+tx\geq (1+x)^{u}} 이는 f : [ 0 , ∞ ) → R {\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } f ( x ) = 1 + t x − ( 1 + x ) u {\displaystyle f(x)=1+tx-(1+x)^{u}} 라고 하였을 때 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} f ′ ( 0 ) = t − u > 0 {\displaystyle f'(0)=t-u>0} 이며, f ′ {\displaystyle f'} 이 연속 함수이기 때문이다. 만약 s > t > u > 1 {\displaystyle s>t>u>1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n a n + 1 > 1 + t n ≥ ( 1 + 1 n ) u = ( n + 1 ) u n u {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}>1+{\frac {t}{n}}\geq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{u}={\frac {(n+1)^{u}}{n^{u}}}} 이다. 즉, n u a n > ( n + 1 ) u a n + 1 {\displaystyle n^{u}a_{n}>(n+1)^{u}a_{n+1}} 이다. 따라서, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 n u a n ≤ ( n − 1 ) u a n − 1 ≤ ⋯ ≤ N u a N {\displaystyle n^{u}a_{n}\leq (n-1)^{u}a_{n-1}\leq \cdots \leq N^{u}a_{N}} 이다. 즉, a n ≤ N u a N n u {\displaystyle a_{n}\leq {\frac {N^{u}a_{N}}{n^{u}}}} 이다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n u {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{u}}}} 가 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 s ′ < 1 {\displaystyle s'<1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n a n + 1 < 1 + 1 n = n + 1 n {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}<1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}} 이다. 즉, n a n < ( n + 1 ) a n + 1 {\displaystyle na_{n}<(n+1)a_{n+1}} 이다. 따라서, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 n a n ≥ ( n − 1 ) a n − 1 ≥ ⋯ ≥ N a N {\displaystyle na_{n}\geq (n-1)a_{n-1}\geq \cdots \geq Na_{N}} 이다. 즉, a n ≥ N a N n {\displaystyle a_{n}\geq {\frac {Na_{N}}{n}}} 이다. 조화급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} 은 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} 를 생각하자. a n = ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle a_{n}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}} 이라고 하자. 그렇다면, s = lim n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ n ( ( n + 1 ) 2 n 2 − 1 ) = lim n → ∞ n ( n 2 + 2 n + 1 n 2 − 1 ) = lim n → ∞ 2 n 2 + n n 2 = 2 > 1 {\displaystyle s=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {(n+1)^{2}}{n^{2}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n^{2}+n}{n^{2}}}=2>1} 이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. (라베 판정법의 표준적인 증명은 이 급수가 수렴한다는 사실을 사용한다는 데 주의하자.) 적분 판정법이나 코시 응집 판정법을 사용할 수도 있다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다. 급수 ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}} 를 생각하자. a n = ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle a_{n}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}} 이라고 하자. 그렇다면, s ′ = lim n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ n ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ⋅ ( 2 n + 2 ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! ! − 1 ) = lim n → ∞ n ( 2 n + 2 2 n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ n 2 n + 1 = 1 2 < 1 {\displaystyle s'=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {(2n+2)!!}{(2n+1)!!}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {2n+2}{2n+1}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n+1}}={\frac {1}{2}}<1} 이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다. 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 가 주어졌다고 하자 ( a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} ). 베르트랑 판정법(영어: Raabe’s test)에 따르면, 다음이 성립한다. 만약 b = lim inf n → ∞ ln ⁡ n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) > 1 {\displaystyle b=\liminf _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)>1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 b ′ = lim sup n → ∞ ln ⁡ n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) < 1 {\displaystyle b'=\limsup _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)<1} 이라면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 만약 s > 1 {\displaystyle s>1} 이라면, b = ∞ {\displaystyle b=\infty } 이다. 만약 s ′ < 1 {\displaystyle s'<1} 이라면, b ′ = − ∞ {\displaystyle b'=-\infty } 이다. 따라서 베르트랑 판정법은 라베 판정법보다 강하다. 베르트랑 판정법의 본질은 주어진 급수를 급수 ∑ n = 2 ∞ 1 n ln t ⁡ n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{t}n}}} ( t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } )와 비교하는 것이다. 이 급수는 t > 1 {\displaystyle t>1} 일 때 수렴하며, t ≤ 1 {\displaystyle t\leq 1} 일 때 발산한다. (이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, b ′ < 1 {\displaystyle b'<1} 조건은 “충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 ln ⁡ n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) ≤ 1 {\displaystyle \ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\leq 1} ” 조건으로 약화할 수 있다. 증명: 라베 판정법의 증명에서 다음 사실을 증명하였다. 임의의 t > u > 1 {\displaystyle t>u>1} 이 주어졌을 때, 어떤 ϵ t , u > 0 {\displaystyle \epsilon _{t,u}>0} 및 임의의 0 ≤ x < ϵ t , u {\displaystyle 0\leq x<\epsilon _{t,u}} 에 대하여 다음 부등식이 성립한다. 1 + t x ≥ ( 1 + x ) u {\displaystyle 1+tx\geq (1+x)^{u}} 베르트랑 판정법의 증명은 다음 사실을 추가로 사용한다. 임의의 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다. x ≥ ln ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle x\geq \ln(1+x)} 이는 g : [ 0 , ∞ ) → R {\displaystyle g\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } g ( x ) = x − ln ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle g(x)=x-\ln(1+x)} 라고 하였을 때 g ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=0} g ′ ( x ) = 1 − 1 1 + x ≥ 0 {\displaystyle g'(x)=1-{\frac {1}{1+x}}\geq 0} 이기 때문이다. 만약 b > t > u > 1 {\displaystyle b>t>u>1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n a n + 1 > 1 + 1 n + t n ln ⁡ n ≥ 1 n + ( 1 + 1 n ln ⁡ n ) u = 1 n + ( n ln ⁡ n + 1 n ln ⁡ n ) u = 1 n + ( ln ⁡ n + 1 / n ln ⁡ n ) u ≥ 1 n + ( ln ⁡ n + ln ⁡ ( 1 + 1 / n ) ln ⁡ n ) u = 1 n + ( ln ⁡ ( n + 1 ) ln ⁡ n ) u = 1 n + ln u ⁡ ( n + 1 ) ln u ⁡ n = ln u ⁡ ( n + 1 ) + n ln u ⁡ ( n + 1 ) n ln u ⁡ n = ( n + 1 ) ln u ⁡ ( n + 1 ) n ln u ⁡ n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}&>1+{\frac {1}{n}}+{\frac {t}{n\ln n}}\\&\geq {\frac {1}{n}}+\left(1+{\frac {1}{n\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+\left({\frac {n\ln n+1}{n\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+\left({\frac {\ln n+1/n}{\ln n}}\right)^{u}\\&\geq {\frac {1}{n}}+\left({\frac {\ln n+\ln(1+1/n)}{\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+\left({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+{\frac {\ln ^{u}(n+1)}{\ln ^{u}n}}\\&={\frac {\ln ^{u}(n+1)+n\ln ^{u}(n+1)}{n\ln ^{u}n}}\\&={\frac {(n+1)\ln ^{u}(n+1)}{n\ln ^{u}n}}\end{aligned}}} 이다. 급수 ∑ n = 2 ∞ 1 n ln u ⁡ n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{u}n}}} 이 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 만약 b ′ < 1 {\displaystyle b'<1} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 a n a n + 1 < 1 + 1 n + 1 n ln ⁡ n = ( n + 1 ) ln ⁡ n + 1 n ln ⁡ n ≤ ( n + 1 ) ln ⁡ n + n ln ⁡ ( 1 + 1 / n ) n ln ⁡ n < ( n + 1 ) ln ⁡ n + ( n + 1 ) ln ⁡ ( 1 + 1 / n ) n ln ⁡ n = ( n + 1 ) ln ⁡ ( n + 1 ) n ln ⁡ n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}&<1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}\\&={\frac {(n+1)\ln n+1}{n\ln n}}\\&\leq {\frac {(n+1)\ln n+n\ln(1+1/n)}{n\ln n}}\\&<{\frac {(n+1)\ln n+(n+1)\ln(1+1/n)}{n\ln n}}\\&={\frac {(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}}\end{aligned}}} 이다. 급수 ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n}}} 이 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}} 를 생각하자. 이는 양의 항의 급수가 아니지만, 베르트랑 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. a n = ( − 1 ) n − 1 1 n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}} 이라고 하자. 그렇다면, b ′ = lim n → ∞ ln ⁡ n ( n ( | a n | | a n + 1 | − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln ⁡ n ( n ( n + 1 n − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln ⁡ n ( n ⋅ 1 n − 1 ) = 0 < 1 {\displaystyle b'=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}-1\right)-1\right)=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {n+1}{n}}-1\right)-1\right)=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\cdot {\frac {1}{n}}-1\right)=0<1} 이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. (이 사실은 베르트랑 판정법의 증명에서 사용된다.) 이 급수는 양의 항의 급수가 아니므로, 수렴 여부를 판단하려면 다른 방법을 사용해야 한다. 교대급수 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. 즉, 이 급수는 조건 수렴한다. 비 판정법이나 근 판정법 또는 라베 판정법으로는 이 급수의 절대 수렴 여부를 알 수 없다. 급수 ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}} 를 생각하자. a n = ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 {\displaystyle a_{n}=\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}} 이라고 하자. 그렇다면, b ′ = lim n → ∞ ln ⁡ n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln ⁡ n ( n ( ( 2 n − 1 ) ! ! 2 ( 2 n ) ! ! 2 ⋅ ( 2 n + 2 ) ! ! 2 ( 2 n + 1 ) ! ! 2 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln ⁡ n ( n ( ( 2 n + 2 ) 2 ( 2 n + 1 ) 2 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln ⁡ n ( n ( 4 n 2 + 8 n + 4 4 n 2 + 4 n + 1 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln ⁡ n ( 4 n 2 + 3 n 4 n 2 + 4 n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ − ( n + 1 ) ln ⁡ n 4 n 2 + 4 n + 1 = 0 < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}b'&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {(2n-1)!!^{2}}{(2n)!!^{2}}}\cdot {\frac {(2n+2)!!^{2}}{(2n+1)!!^{2}}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {(2n+2)^{2}}{(2n+1)^{2}}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {4n^{2}+8n+4}{4n^{2}+4n+1}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left({\frac {4n^{2}+3n}{4n^{2}+4n+1}}-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }-{\frac {(n+1)\ln n}{4n^{2}+4n+1}}\\&=0\\&<1\end{aligned}}} 이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 사실, s = s ′ = 1 {\displaystyle s=s'=1} 이지만, 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 n ( a n a n + 1 − 1 ) ≤ 1 {\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\leq 1} 이다. 따라서 베르트랑 판정법 대신 라베 판정법의 약간 더 일반적인 형태를 사용하여도 좋다. 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 가 주어졌다고 하자 ( a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} ). 쿠머 판정법(영어: Kummer’s test)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.:Theorem, (1) ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. 어떤 양의 실수의 수열 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} ( b n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle b_{n}>0\forall n\geq 0} )에 대하여, lim inf n → ∞ ( b n a n a n + 1 − b n + 1 ) > 0 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left(b_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}\right)>0} 마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.:Theorem, (2) ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 어떤 양의 실수의 수열 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} ( b n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle b_{n}>0\forall n\geq 0} )에 대하여, ∑ n = 0 ∞ 1 b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}} 은 발산하며, 모든 n {\displaystyle n} 에 대하여 lim sup n → ∞ ( b n a n a n + 1 − b n + 1 ) < 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(b_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}\right)<0} 증명 (충분성): 만약 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 양의 실수의 수열이며 lim inf n → ∞ ( b n a n a n + 1 − b n + 1 ) > ϵ > 0 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left(b_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}\right)>\epsilon >0} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 b n a n − b n + 1 a n + 1 > ϵ a n + 1 > 0 {\displaystyle b_{n}a_{n}-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}>0} 이다. 따라서 ( b n a n ) n = N ∞ {\displaystyle (b_{n}a_{n})_{n=N}^{\infty }} 은 양의 실수로 구성된 감소 수열이며, 특히 수렴한다. 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ ( b n a n − b n + 1 a n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}a_{n}-b_{n+1}a_{n+1})} 을 생각하자. 이 급수의 부분합은 ∑ k = 0 n ( b k a k − b k + 1 a k + 1 ) = b 0 a 0 − b n + 1 a n + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(b_{k}a_{k}-b_{k+1}a_{k+1})=b_{0}a_{0}-b_{n+1}a_{n+1}} 이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. b n a n − b n + 1 a n + 1 > ϵ a n + 1 {\displaystyle b_{n}a_{n}-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}} 이므로, 비교 판정법에 의하여 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 역시 수렴한다. 만약 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 양의 실수의 수열이며, ∑ n = 0 ∞ 1 b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}} 이 발산하며, lim sup n → ∞ ( b n a n a n + 1 − b n + 1 ) < 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(b_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}\right)<0} 이라면, 어떤 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 b n a n − b n + 1 a n + 1 < 0 {\displaystyle b_{n}a_{n}-b_{n+1}a_{n+1}<0} 이다. 따라서, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여 b n a n ≥ b n − 1 a n − 1 ≥ ⋯ ≥ b N a N {\displaystyle b_{n}a_{n}\geq b_{n-1}a_{n-1}\geq \cdots \geq b_{N}a_{N}} 이다. 즉, a n ≥ b N a N b n {\displaystyle a_{n}\geq {\frac {b_{N}a_{N}}{b_{n}}}} 이다. 비교 판정법에 의하여 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 발산한다. 증명 (필요성): 만약 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 수렴한다면, b n = ∑ i = n + 1 ∞ a n a n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle b_{n}={\frac {\sum _{i=n+1}^{\infty }a_{n}}{a_{n}}}\qquad (n\geq 0)} 은 양의 실수의 수열이며, 임의의 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 에 대하여 b n ⋅ a n a n + 1 − b n + 1 = ∑ i = n + 1 ∞ a n a n + 1 − ∑ i = n + 2 ∞ a n a n + 1 = a n + 1 a n + 1 = 1 {\displaystyle b_{n}\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}={\frac {\sum _{i=n+1}^{\infty }a_{n}}{a_{n+1}}}-{\frac {\sum _{i=n+2}^{\infty }a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{n+1}}}=1} 이다. 만약 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 발산한다면, b n = ∑ i = 0 n a i a n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle b_{n}={\frac {\sum _{i=0}^{n}a_{i}}{a_{n}}}\qquad (n\geq 0)} 은 양의 실수의 수열이며, 임의의 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 에 대하여 b n ⋅ a n a n + 1 − b n + 1 = ∑ i = 0 n a i a n + 1 − ∑ i = 0 n + 1 a i a n + 1 = − a n + 1 a n + 1 = − 1 {\displaystyle b_{n}\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}={\frac {\sum _{i=0}^{n}a_{i}}{a_{n+1}}}-{\frac {\sum _{i=0}^{n+1}a_{i}}{a_{n+1}}}=-{\frac {a_{n+1}}{a_{n+1}}}=-1} 이다. 이제, ∑ n = 0 ∞ 1 b n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}=\infty } 임을 보이는 일만 남았다. 임의의 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 이 주어졌을 때 어떤 n N ≥ N {\displaystyle n_{N}\geq N} 에 대하여 ∑ i = N n N 1 b i > 1 2 {\displaystyle \sum _{i=N}^{n_{N}}{\frac {1}{b_{i}}}>{\frac {1}{2}}} 임을 보이면 충분하다. (그렇다면 급수의 부분합은 코시 열이 아니며, 따라서 이 급수는 발산한다.) 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 발산하므로, 임의의 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} 이 주어졌을 때 어떤 n N ≥ N {\displaystyle n_{N}\geq N} 에 대하여 ∑ i = N n N a i ≥ ∑ i = 0 N − 1 a i {\displaystyle \sum _{i=N}^{n_{N}}a_{i}\geq \sum _{i=0}^{N-1}a_{i}} 이다. 따라서 ∑ i = N n N 1 b i = ∑ i = N n N a i a 0 + a 1 + ⋯ + a i ≥ a N + a N + 1 + ⋯ + a n N a 0 + a 1 + ⋯ + a n N ≥ 1 2 {\displaystyle \sum _{i=N}^{n_{N}}{\frac {1}{b_{i}}}=\sum _{i=N}^{n_{N}}{\frac {a_{i}}{a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{i}}}\geq {\frac {a_{N}+a_{N+1}+\cdots +a_{n_{N}}}{a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n_{N}}}}\geq {\frac {1}{2}}} 이다. 쿠머 판정법의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다. 다른 판정법과 달리, 쿠머 판정법은 양의 항의 급수가 수렴·발산할 필요충분조건을 제시하며, 모든 급수에 대하여 유효하다. 하지만 쿠머 판정법은 적절한 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 을 찾는 방법을 제공하지 않는다. 또한, 모든 급수에 대하여 유효한 하나의 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 존재하지 않는다. 구체적으로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 에 대하여, lim n → ∞ y n x n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}=\infty } 인 양의 실수 항 수렴급수 ∑ n = 0 ∞ y n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n}} 가 존재하며, 또한 임의의 양의 실수 항 발산급수 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} 에 대하여, lim n → ∞ y n x n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}=0} 인 양의 실수 항 발산급수 ∑ n = 0 ∞ y n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n}} 가 존재한다. 비 판정법은 장 르 롱 달랑베르가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 에른스트 쿠머가 제시하였다. 이후 반 세기 동안 수 차례 재발견되었으며, 최초의 발견자에 대하여 논란이 일었다. 근 판정법 Tong, Jingcheng (1994). “Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 101 (5): 450–452. doi:10.2307/2974907. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974907. MR 1272945. Zbl 0804.40001.  Kummer, Ernst Eduard (1835). “Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen”. 《Journal für die Reine und Angewandte Mathematik》 (영어) 13: 171–184. doi:10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102. MR 1578040. Zbl 013.0480cj.  d'Alembert, J. (1768), 《Opuscules》 (영어) V, 171–183쪽 . Apostol, Tom M. (1974), 《Mathematical analysis》 (영어) 2판, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 : §8.14. Knopp, Konrad (1956), 《Infinite Sequences and Series》 (영어), New York: Dover publications, Inc., ISBN 0-486-60153-6 : §3.3, 5.4. Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.  Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판, Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 :§2.36, §2.37 “D'Alembert criterion (convergence of series)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Bertrand criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Gauss criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Kummer criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ratio test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Raabe’s test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gauss’s test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Bertrand’s test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Kummer’s test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.