Ext 함자

호몰로지 대수학에서 Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다. Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다. Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다. 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다. 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다. 대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다. 임의의 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에 대하여, 0차 Ext 함자는 다음과 같은 사상군 함자이다. Ext A 0 ⁡ ( − , − ) = hom A ⁡ ( − , − ) : A op × A → Ab {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}(-,-)=\hom _{\mathcal {A}}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} } 임의 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상 A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, A {\displaystyle A} 의 B {\displaystyle B} 에 대한 확대(영어: extension of A {\displaystyle A} by B {\displaystyle B} )는 다음과 같은 짧은 완전열이다. 0 → B → X → A → 0 {\displaystyle 0\to B\to X\to A\to 0} 두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 X → X ′ {\displaystyle X\to X'} 이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다. 0 → B → X → A → 0 ‖ ↓ ≀ ‖ 0 → B → X ′ → A → 0 {\displaystyle {\begin{matrix}0\to &B&\to &X&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow \scriptstyle \wr &&\|\\0\to &B&\to &X'&\to &A&\to 0\end{matrix}}} (이 사상 X → X ′ {\displaystyle X\to X'} 은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다. 확대의 동치류들은 베어 합(영어: Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.:78, Definition 3.4.4 두 확대 0 → B → ι X → π A → 0 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0} , 0 → B → ι ′ X ′ → π ′ A → 0 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0} 가 주어졌을 때, Y {\displaystyle Y} 를 X {\displaystyle X} 와 X ′ {\displaystyle X'} 의 A {\displaystyle A} 에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다. X ⊕ X ⊇ Y = { ( x , x ′ ) ∈ X ⊕ X ′ : π ( x ) = π ′ ( x ) } ⊇ ι ( B ) ⊕ ι ′ ( B ) {\displaystyle X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi (x)=\pi '(x)\}\supseteq \iota (B)\oplus \iota '(B)} 즉, Y {\displaystyle Y} 는 B {\displaystyle B} 를 두 번 부분 대상으로 포함한다. 대각 사상 diag B : B → B ⊕ B {\displaystyle \operatorname {diag} _{B}\colon B\to B\oplus B} 사용하여, Y {\displaystyle Y} 의 몫대상 X ″ = Y ( ( ι , − ι ′ ) ∘ diag B ) ( B ) {\displaystyle X''={\frac {Y}{\left((\iota ,-\iota ')\circ \operatorname {diag} _{B}\right)(B)}}} 을 정의할 수 있다. 이는 Y {\displaystyle Y} 속에 존재하는 두 개의 B {\displaystyle B} 를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면 0 → B → X ″ → A → 0 {\displaystyle 0\to B\to X''\to A\to 0} 는 짧은 완전열을 이룬다. 0 → X → X ″ → A → 0 {\displaystyle 0\to X\to X''\to A\to 0} 의 동치류를 0 → B → ι X → π A → 0 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0} , 0 → B → ι ′ X ′ → π ′ A → 0 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0} 의 동치류의 베어 합(영어: Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 0 → B → A ⊕ B → A → 0 {\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0} 이며, 확대 0 → B → ι X → π A → 0 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0} 의 베어 합에 대한 역원은 0 → B → − ι X → π A → 0 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {-\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0} 또는 0 → B → ι X → − π A → 0 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {-\pi }}A\to 0} 이다. (이 둘은 서로 동치이다.) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 대상 A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, 1차 Ext 함자 Ext A 1 ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(A,B)} 는 A {\displaystyle A} 의 B {\displaystyle B} 에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자 Ext A 1 ⁡ ( − , − ) : A op × A → Ab {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} } 를 정의한다. 또한, 각 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 에 대하여 Ext A 1 ⁡ ( A , − ) : A op → Ab {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(A,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} } Ext A 1 ⁡ ( − , A ) : A op → Ab {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} } 는 둘 다 가법 함자를 이룬다. 위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.:131, Exercise 6.A 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다. 2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.:79–80, Vista 3.4.6:82–87, §III.5 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 주어졌다고 하자. A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 대상 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 에 대하여, A {\displaystyle A} 의 B {\displaystyle B} 에 대한 n {\displaystyle n} 차 확대(영어: n {\displaystyle n} -fold extension of A {\displaystyle A} by B {\displaystyle B} )는 다음과 같은 완전열이다. 0 → B → X n → X n − 1 → ⋯ → X 1 → A → 0 {\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to X_{n-1}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0} 두 n {\displaystyle n} 차 확대 ( B , X ∙ , A ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)} , ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')} 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, ( B , X ∙ , A ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)} 가 ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')} 의 닮은 확대(영어: similar extension)라고 한다. 0 → B → X n → ⋯ → X 1 → A → 0 ‖ ↓ ⋯ ↓ ‖ 0 → B ′ → X n ′ → ⋯ → X 1 ′ → A ′ → 0 {\displaystyle {\begin{matrix}0\to &B&\to &X_{n}&\to &\cdots &\to &X_{1}&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\|\\0\to &B'&\to &X_{n}'&\to &\cdots &\to &X_{1}'&\to &A'&\to 0\end{matrix}}} 닮음 관계를 ( B , X ∙ , A ) ≺ ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)\prec (B',X_{\bullet }',A')} 로 표기하자. 닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 n {\displaystyle n} 차 확대 ( B , X ∙ , A ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)} , ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')} 사이에 다음과 같은 n {\displaystyle n} 차 확대들의 열 ( B , X ∙ , A ) = ( B ( 0 ) , X ∙ ( 0 ) , A ( 0 ) ) , ( B ( 1 ) , X ∙ ( 1 ) , A ( 1 ) ) , … , ( B ( k ) , X ∙ ( k ) , A ( k ) ) = ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)=(B^{(0)},X_{\bullet }^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_{\bullet }^{(1)},A^{(1)}),\dots ,(B^{(k)},X_{\bullet }^{(k)},A^{(k)})=(B',X_{\bullet }',A')} 이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, ( B , X ∙ , A ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)} 와 ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')} 가 서로 동치라고 하자. 모든 i = 1 , 2 , … , k {\displaystyle i=1,2,\dots ,k} 에 대하여, ( B ( i − 1 ) , X ∙ ( i − 1 ) , A ( i − 1 ) ) ≺ ( B ( i ) , X ∙ ( i ) , A ( i ) ) {\displaystyle (B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec (B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})} 이거나 또는 ( B ( i ) , X ∙ ( i ) , A ( i ) ) ≺ ( B ( i − 1 ) , X ∙ ( i − 1 ) , A ( i − 1 ) ) {\displaystyle (B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})\prec (B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})} 이다. 사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다. ( B , X ∙ , A ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)} 와 ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')} 가 서로 동치이다. ( B , X ∙ , A ) ≺ ( B ″ , X ∙ ″ , A ″ ) ≻ ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)\prec (B'',X_{\bullet }'',A'')\succ (B',X_{\bullet }',A')} 인 n {\displaystyle n} 차 확대 ( B ″ , X ∙ ″ , A ″ ) {\displaystyle (B'',X_{\bullet }'',A'')} 가 존재한다. ( B , X ∙ , A ) ≻ ( B ″ , X ∙ ″ , A ″ ) ≺ ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)\succ (B'',X_{\bullet }'',A'')\prec (B',X_{\bullet }',A')} 인 n {\displaystyle n} 차 확대 ( B ″ , X ∙ ″ , A ″ ) {\displaystyle (B'',X_{\bullet }'',A'')} 가 존재한다. 그렇다면, n {\displaystyle n} 차 Ext 함자 Ext A n ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)} 는 A {\displaystyle A} 의 B {\displaystyle B} 에 대한 n {\displaystyle n} 차 확대들의 동치류 집합이다. 두 n {\displaystyle n} 차 확대 ( B , X ∙ , A ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)} , ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')} 가 주어졌을 때, Y i {\displaystyle Y_{i}} 를 다음과 같이 정의하자. i = 1 {\displaystyle i=1} 일 때, Y 1 {\displaystyle Y_{1}} 은 X 1 {\displaystyle X_{1}} 과 X 1 ′ {\displaystyle X_{1}'} 의 A {\displaystyle A} 에 대한 당김이다. 1 < i < n {\displaystyle 1<i<n} 일 때, Y i = X 1 ⊕ X 1 ′ {\displaystyle Y_{i}=X_{1}\oplus X_{1}'} 이다. i = n {\displaystyle i=n} 일 때, X n → f Y ~ ← f ′ X n ′ {\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {f}}{\tilde {Y}}{\xleftarrow {f'}}X_{n}'} 를 B → ι X n {\displaystyle B{\xrightarrow {\iota }}X_{n}} 과 B → ι ′ X n {\displaystyle B{\xrightarrow {\iota '}}X_{n}} 의 B {\displaystyle B} 에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 diag B : B → B ⊕ B {\displaystyle \operatorname {diag} _{B}\colon B\to B\oplus B} 를 사용하여, ( f ∘ ι , − f ′ ∘ ι ′ ) ∘ diag B : B → Y ~ {\displaystyle (f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} _{B}\colon B\to {\tilde {Y}}} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, Y n = Y ~ / ( ( f ∘ ι , − f ′ ∘ ι ′ ) ∘ diag B ) ( B ) {\displaystyle Y_{n}={\tilde {Y}}/((f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} _{B})(B)} 이다. 그렇다면 ( B , Y ∙ ′ , A ) {\displaystyle (B,Y_{\bullet }',A)} 는 n {\displaystyle n} 차 확대를 이룬다. ( B , X ∙ , A ) {\displaystyle (B,X_{\bullet },A)} 의 동치류와 ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) {\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')} 의 동치류의 합을 ( B , Y ∙ ′ , A ) {\displaystyle (B,Y_{\bullet }',A)} 의 동치류로 정의하자. [ ( B , X ∙ , A ) ] + [ ( B ′ , X ∙ ′ , A ′ ) ] = [ ( B , Y ∙ ′ , A ) ] {\displaystyle [(B,X_{\bullet },A)]+[(B',X_{\bullet }',A')]=[(B,Y_{\bullet }',A)]} 그렇다면, 이 합에 대하여 Ext A n ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)} 는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자 Ext A n ⁡ ( − , − ) : A op × A → Ab {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} } 를 이루며, 각 A ∈ C {\displaystyle A\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 Ext A n ⁡ ( A , − ) : A → Ab {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} } Ext A n ⁡ ( − , A ) : A op → Ab {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} } 둘 다 가법 함자를 이룬다. Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상 A , B , C ∈ A {\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}} 에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 ⊗ {\displaystyle \otimes } 는 아벨 군의 텐서곱이다.) Ext A n ⁡ ( A , B ) ⊗ hom A ⁡ ( B , C ) → Ext A n ⁡ ( A , C ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)\otimes \hom _{\mathcal {A}}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,C)} hom A ⁡ ( A , B ) ⊗ Ext A n ⁡ ( B , C ) → Ext A n ⁡ ( A , C ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,C)} 이는 Ext A 0 = hom A {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}=\hom _{\mathcal {A}}} 와 Ext A n {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}} 를 곱하는 것으로 볼 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 자연수 m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } 에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성(영어: Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.:82–87, §III.5 Ext A m ⁡ ( A , B ) ⊗ Ext A n ⁡ ( B , C ) → Ext A m + n ⁡ ( A , C ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{m}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{m+n}(A,C)} 이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열 0 → A → X 1 → ⋯ → X m → π B → 0 ( m ≥ 1 ) {\displaystyle 0\to A\to X_{1}\to \cdots \to X_{m}{\xrightarrow {\pi }}B\to 0\qquad (m\geq 1)} 0 → B → ι Y 1 → ⋯ → Y n → C → 0 ( m ≥ 1 ) {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}Y_{1}\to \cdots \to Y_{n}\to C\to 0\qquad (m\geq 1)} 이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다. 0 → A → X 1 → ⋯ → X m → ι ∘ π Y 1 → ⋯ → Y n → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to X_{1}\to \cdots \to X_{m}{\xrightarrow {\iota \circ \pi }}Y_{1}\to \cdots \to Y_{n}\to C\to 0} 그렇다면 ( A , X ∙ , B ) {\displaystyle (A,X_{\bullet },B)} 의 동치류와 ( B , Y ∙ , C ) {\displaystyle (B,Y_{\bullet },C)} 의 동치류의 요네다 합성은 ( A , X ∙ , Y ∙ , C ) {\displaystyle (A,X_{\bullet },Y_{\bullet },C)} 의 동치류이다. 요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 GrAb N {\displaystyle \operatorname {GrAb} _{\mathbb {N} }} 위의 풍성한 범주 Ext ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}} 를 다음과 같이 정의할 수 있다. Ext ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}} 의 대상은 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상과 같다. Ext ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}} 의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다. hom Ext ⁡ A ⁡ ( A , B ) = ⨁ n Ext A n ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,B)=\bigoplus _{n}\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)} Ext ⁡ ( A {\displaystyle \operatorname {Ext} ({\mathcal {A}}} 에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다. Ext ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}} 에서 항등 사상은 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에서의 항등 사상과 같다. Ext ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}} 에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, Ext A 0 = hom A {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}=\hom _{\mathcal {A}}} 만 남으므로 원래 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 를 얻는다. 특히, 대상 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, Ext ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}} 에서의 자기 사상 등급 아벨 군 hom Ext ⁡ A ⁡ ( A , A ) = ⨁ n Ext A n ⁡ ( A , A ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,A)=\bigoplus _{n}\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,A)} 은 자연수 등급환을 이룬다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 대상 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, hom A ⁡ ( A , − ) : A → Ab {\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} } 는 왼쪽 완전 함자이며, hom A ⁡ ( − , A ) : A op → Ab {\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} } 는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 hom A ⁡ ( A , − ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(A,-)} 의 오른쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다. Ext C n ⁡ ( A , − ) = R n ⁡ hom C ⁡ ( A , − ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,-)=\operatorname {R} ^{n}\hom _{\mathcal {C}}(A,-)} 만약 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 hom A ⁡ ( − , A ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(-,A)} 의 왼쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다. Ext C n ⁡ ( − , A ) = L n ⁡ hom C ⁡ ( − , A ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(-,A)=\operatorname {L} ^{n}\hom _{\mathcal {C}}(-,A)} 이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다. 특히, 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 Ext R n ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(-,-)} 로 표기한다. Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 주어졌다고 하자. A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 사슬 복합체 범주 Ch ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})} 의 충만한 부분 범주를 이룬다. A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사슬 복합체 A {\displaystyle A} 에 대하여, A [ i ] ∙ = X ∙ + i {\displaystyle A[i]^{\bullet }=X^{\bullet +i}} d A [ i ] = ( − 1 ) n d | A {\displaystyle d_{A[i]}=(-1)^{n}d|_{A}} 로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 deg ⁡ d = + 1 {\displaystyle \deg d=+1} 이다.) 또한, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 두 대상 A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 에 대한 n {\displaystyle n} 차 Ext 함자는 유도 범주 D ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 의 다음과 같은 사상군이다. Ext A n ⁡ ( A , B ) = hom D ⁡ ( A ) ⁡ ( A , B [ i ] ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)=\hom _{\operatorname {D} ({\mathcal {A}})}(A,B[i])} (이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.) 만약 M {\displaystyle M} 이 사영 가군이거나 N {\displaystyle N} 이 단사 가군이라면, Ext R n ⁡ ( M , N ) = 0 ∀ n > 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(M,N)=0\qquad \forall n>0} 이다. 또한, 다음이 성립한다. Ext R n ⁡ ( ⨁ i ∈ I M i , ∏ j ∈ J N j ) ≅ ∏ i ∈ I ∏ j ∈ J Ext R n ⁡ ( M i , N j ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i},\prod _{j\in J}N_{j}\right)\cong \prod _{i\in I}\prod _{j\in J}\operatorname {Ext} _{R}^{n}(M_{i},N_{j})} 체 K {\displaystyle K} 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다. 0 → V → I 0 = V → 0 {\displaystyle 0\to V\to I^{0}=V\to 0} 0 → P 0 = V → V → 0 {\displaystyle 0\to P^{0}=V\to V\to 0} 따라서, K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. Ext K 0 ⁡ ( V , W ) = hom ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{K}^{0}(V,W)=\hom(V,W)} Ext K n ⁡ ( V , W ) = 0 ∀ n > 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{K}^{n}(V,W)=0\qquad \forall n>0} 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G {\displaystyle G} 는 자유 아벨 군 P 0 {\displaystyle P^{0}} 의 몫군 P 0 / P 1 {\displaystyle P^{0}/P^{1}} 으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다. 0 → G → P 0 → P 1 → 0 {\displaystyle 0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0} 마찬가지로, 임의의 아벨 군 G {\displaystyle G} 는 나눗셈군 I 0 {\displaystyle I^{0}} 의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다. 0 → G → I 0 → I 1 → 0 {\displaystyle 0\to G\to I^{0}\to I^{1}\to 0} 아벨 군 G {\displaystyle G} , H {\displaystyle H} 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. G {\displaystyle G} 의 사영 분해가 G ≅ P 0 / P 1 {\displaystyle G\cong P^{0}/P^{1}} 이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다. 0 → hom Ab ⁡ ( P 0 , H ) → res hom Ab ⁡ ( P 1 , H ) → 0 {\displaystyle 0\to \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H){\xrightarrow {\operatorname {res} }}\hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)\to 0} 여기서 res : hom Ab ⁡ ( P 0 , H ) → hom Ab ⁡ ( P 1 , H ) {\displaystyle \operatorname {res} \colon \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H)\to \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)} 은 포함 사상 P 1 ↪ P 0 {\displaystyle P^{1}\hookrightarrow P^{0}} 으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다. 따라서, Ext Z 0 ⁡ ( G , H ) ≅ hom Ab ⁡ ( G , H ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{0}(G,H)\cong \hom _{\operatorname {Ab} }(G,H)} 이며, Ext Z 1 ⁡ ( G , H ) ≅ hom Ab ⁡ ( P 1 , H ) / res ⁡ ( hom Ab ⁡ ( P 0 , H ) ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)\cong \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)/\operatorname {res} (\hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H))} 는 군의 확대 0 → H → E → G → 0 {\displaystyle 0\to H\to E\to G\to 0} 들의 동형류와 일대일 대응한다. 나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다. Ext Z n ⁡ ( G , H ) = 0 ∀ n ≥ 2 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(G,H)=0\qquad \forall n\geq 2} 또한, 임의의 나눗셈군 H {\displaystyle H} 에 대하여 Ext Z 1 ⁡ ( G , H ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)=0} 이다. 특히, 유리수의 군 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 나 그 몫군 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } 은 나눗셈군이므로 Ext Z 1 ⁡ ( G , Q ) = Ext Z 1 ⁡ ( G , Q / Z ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} )=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=0} 이다. 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다. H ∙ ⁡ ( X , F ) = Ext ∙ ⁡ ( Z _ , F ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Ext} ^{\bullet }({\underline {\mathbb {Z} }},{\mathcal {F}})} 여기서 Ext 함자는 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다. Z _ {\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} }}} 는 정수환 값의 상수층이다. 스킴 X {\displaystyle X} 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다. Ext 1 ⁡ ( O X , O X ) = H 1 ⁡ ( X , O X ) {\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})} ‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 G {\displaystyle G} 를 다른 아벨 군 H {\displaystyle H} 로 확대한다면, 가능한 확대들은 Ext Z 1 ⁡ ( G , H ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)} 와 일대일 대응한다. Tor 함자 그로텐디크 군 호몰로지 차원 Yoneda, Nobuo (1954). “On the homology theory of modules”. 《Journal of the Faculty of Sciences of the University of Tokyo. Section I》 (영어) 7: 193–227. MR 0068832.  Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. 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