하이네-칸토어 정리

해석학에서 하이네-칸토어 정리(Heine-Cantor定理, 영어: Heine–Cantor theorem)는 두 균등 공간 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 콤팩트 공간이라면 연속 함수의 개념과 균등 연속 함수의 개념이 일치한다는 정리다. 콤팩트 균등 공간 ( X , E X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})} 와 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 하이네-칸토어 정리에 따르면, f {\displaystyle f} 가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.:198, Theorem 6.31 증명: 모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ∀ x , y ∈ X : x ≈ δ y ⟹ f ( x ) ≈ ϵ f ( y ) {\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx _{\delta }y\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(y)} 가 성립하는 측근 δ ∈ E X {\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}} 를 찾으면 족하다. 우선, ∀ x , y , z ∈ Y : x ≈ ϵ ^ y ≈ ϵ ^ z ⟹ x ≈ ϵ z {\displaystyle \forall x,y,z\in Y\colon x\approx _{\hat {\epsilon }}y\approx _{\hat {\epsilon }}z\implies x\approx _{\epsilon }z} 인 대칭 측근 ϵ ^ ∈ E Y {\displaystyle {\hat {\epsilon }}\in {\mathcal {E}}_{Y}} 를 찾자. f {\displaystyle f} 가 연속 함수이므로, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 δ x ∈ E X {\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {E}}_{X}} 들이 존재한다. ∀ x , y ∈ X : x ≈ δ x y ⟹ f ( x ) ≈ ϵ ^ f ( y ) {\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx _{\delta _{x}}y\implies f(x)\approx _{\hat {\epsilon }}f(y)} 이제 ∀ x , y , z , w ∈ X : y ≈ δ ^ x z ≈ δ ^ x w ⟹ y ≈ δ x w {\displaystyle \forall x,y,z,w\in X\colon y\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}z\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}w\implies y\approx _{\delta _{x}}w} 인 측근 δ ^ x ∈ E X {\displaystyle {\hat {\delta }}_{x}\in {\mathcal {E}}_{X}} 들을 고르자. 이제, { { y ∈ X : x ≈ δ ^ x y } : x ∈ X } {\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}y\}\colon x\in X\right\}} 는 X {\displaystyle X} 의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개 { { y ∈ X : x ≈ δ ^ x ~ y } : x ~ ∈ X ~ } {\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}y\}\colon {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\right\}} X ~ ⊆ X {\displaystyle {\tilde {X}}\subseteq X} | X ~ | < ℵ 0 {\displaystyle |{\tilde {X}}|<\aleph _{0}} 가 존재한다. 이제, ∀ y , z ∈ X : y ≈ δ z ⟹ ∀ x ~ ∈ X ~ : y ≈ δ x ~ z {\displaystyle \forall y,z\in X\colon y\approx _{\delta }z\implies \forall {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\colon y\approx _{\delta _{\tilde {x}}}z} 인 측근 δ ∈ E X {\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}} 를 고르자. 이제, 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여 x ≈ δ y {\displaystyle x\approx _{\delta }y} 이라고 하자. 그렇다면, x ~ ≈ δ ^ x ~ x ≈ δ y {\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}x\approx _{\delta }y} 인 x ~ ∈ X ~ {\displaystyle {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}} 가 존재한다. 따라서 x ~ ≈ δ ^ x ~ x ≈ δ ^ x ~ y {\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}x\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}y} 이므로 x ~ ≈ δ x ~ x {\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{\delta _{\tilde {x}}}x} x ~ ≈ δ x ~ y {\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{\delta _{\tilde {x}}}y} 이며, 따라서 f ( x ) ≈ ϵ ^ f ( x ~ ) ≈ ϵ ^ f ( y ) {\displaystyle f(x)\approx _{\hat {\epsilon }}f({\tilde {x}})\approx _{\hat {\epsilon }}f(y)} 이며, 따라서 f ( x ) ≈ ϵ f ( y ) {\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(y)} 이다. 균등 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다 (하이네-보렐 정리). 만약 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다. 탄젠트 함수 tan : ( − π / 2 , π / 2 ) → R {\displaystyle \tan \colon (-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} } 는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다. 지수 함수 exp : R → R {\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다. 게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.:188, Lehrsatz B.3.6 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다. Kelley, John L. (1975). 《General topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 27 2판. Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002.  Heine, Eduard (1872). “Die Elemente der Functionenlehre”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 74: 172–188. doi:10.1515/crll.1872.74.172. ISSN 0075-4102.  Cadenas Aldana, Reinaldo Antonio. “Continuidad y teorema de Heine-Cantor” (PDF). 《Divulgaciones Matemáticas》 (스페인어) 15 (1): 71–76. ISSN 1315-2068. Zbl 1147.26301.  “Cantor theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Heine–Cantor theorem”. 《ProofWiki》 (영어).