삼각 함수의 덧셈 정리

이 문서는 삼각함수의 덧셈 정리에 대해 설명한다. sin ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y} sin ⁡ ( x − y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y − cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y} cos ⁡ ( x + y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y} cos ⁡ ( x − y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y} tan ⁡ ( x + y ) = tan ⁡ x + tan ⁡ y 1 − tan ⁡ x tan ⁡ y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{\tan x+\tan y} \over {1-\tan x\tan y}}} tan ⁡ ( x − y ) = tan ⁡ x − tan ⁡ y 1 + tan ⁡ x tan ⁡ y {\displaystyle \tan \left(x-y\right)={{\tan x-\tan y} \over {1+\tan x\tan y}}} 예각 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 넓이 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 에 대해서, △ A B C = △ A H B + △ A H C {\displaystyle \triangle ABC=\triangle AHB+\triangle AHC} △ A B C = 1 2 b c sin ⁡ ( α + β ) {\displaystyle \triangle ABC={1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )} △ A H B + △ A H C {\displaystyle \triangle AHB+\triangle AHC} = 1 2 B H ¯ A H ¯ + 1 2 C H ¯ A H ¯ {\displaystyle ={1 \over {2}}\;{\overline {BH}}\;{\overline {AH}}+{1 \over {2}}\;{\overline {CH}}\;{\overline {AH}}} = 1 2 c sin ⁡ α b cos ⁡ β + 1 2 b sin ⁡ β c cos ⁡ α {\displaystyle ={1 \over {2}}c\sin \alpha \;b\cos \beta +{1 \over {2}}b\sin \beta \;c\cos \alpha } = 1 2 c b ( sin ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ β cos ⁡ α ) {\displaystyle ={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )} 따라서, 1 2 b c sin ⁡ ( α + β ) = 1 2 c b ( sin ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ β cos ⁡ α ) {\displaystyle {1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )} sin ⁡ ( α + β ) = ( sin ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ β cos ⁡ α ) {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )} 둔각삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle {ABC}} 에서 , B D ¯ {\displaystyle ,\;{\overline {BD}}} 의 임의의 한점 C {\displaystyle C} 에 대해서, B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) {\displaystyle {\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)} A B ¯ 2 = B D ¯ 2 + A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;} 그리고, A C ¯ 2 = C D ¯ 2 + A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;} A C ¯ 2 − C D ¯ 2 = A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}\;\;} 따라서, A B ¯ 2 = B D ¯ 2 + A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}} A B ¯ 2 = ( B C ¯ 2 + C D ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) ) + ( A C ¯ 2 − C D ¯ 2 ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}=\left({\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)\right)+\left({\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}\right)} A B ¯ 2 = B C ¯ 2 + A C ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)} 그리고 cos ⁡ ( π − α ) = C D ¯ A C ¯ {\displaystyle \cos(\pi -\alpha )={{\overline {CD}} \over {\overline {AC}}}} C D ¯ = A C ¯ cos ⁡ ( π − α ) {\displaystyle {\overline {CD}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\alpha )} C D ¯ = − A C ¯ cos ⁡ α {\displaystyle {\overline {CD}}=-{\overline {AC}}\cos \alpha } 따라서, A B ¯ 2 = B C ¯ 2 + A C ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)} A B ¯ 2 = B C ¯ 2 + A C ¯ 2 − 2 ( B C ¯ ⋅ A C ¯ cos ⁡ α ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-2\left({\overline {BC}}\cdot {{\overline {AC}}\cos \alpha }\right)} c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ α {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha } 이것은 제2코사인법칙이고, 한편, 이것은, 제2코사인법칙에서는, P Q ¯ 2 = O P ¯ 2 + O Q ¯ 2 − 2 ( O P ¯ ⋅ O Q ¯ cos ⁡ ( α − β ) ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2\left({\overline {OP}}\cdot {{\overline {OQ}}\cos(\alpha -\beta )}\right)} P Q ¯ 2 = 1 2 + 1 2 − 2 ( 1 ⋅ 1 cos ⁡ ( α − β ) ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1\cos(\alpha -\beta )}\right)} P Q ¯ 2 = 2 − 2 ( cos ⁡ ( α − β ) ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({\cos(\alpha -\beta )}\right)} 그리고 두 점 사이의 거리에서, P Q ¯ 2 = 2 − 2 ( cos ⁡ ( α − β ) ) = 2 − 2 ( cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α sin ⁡ β ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({\cos(\alpha -\beta )}\right)=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)} 따라서, cos ⁡ ( α − β ) = ( cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α sin ⁡ β ) {\displaystyle {\cos(\alpha -\beta )}=\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)} tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x {\displaystyle \tan x={{\sin x} \over {\cos x}}} tan ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ ( x + y ) cos ⁡ ( x + y ) {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{\sin \left(x+y\right)} \over {\cos \left(x+y\right)}}} tan ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{\sin x\cos y+\cos x\sin y} \over {\cos x\cos y-\sin x\sin y}}} tan ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{{{\sin x\cos y} \over {\cos x\cos y}}+{{\cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}} \over {{{\cos x\cos y} \over {\cos x\cos y}}-{{\sin x\sin y} \over {\cos x\cos y}}}}} tan ⁡ ( x + y ) = tan ⁡ x + tan ⁡ y 1 − tan ⁡ x tan ⁡ y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{{\tan x}+{\tan y}} \over {1-{\tan x\tan y}}}} sin ⁡ ( − θ ) = − sin ⁡ θ , cos ⁡ ( − θ ) = cos ⁡ θ {\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta \;\;,\;\;\cos(-\theta )=\cos \theta } 따라서, sin ⁡ ( x + ( − y ) ) = sin ⁡ x cos ⁡ ( − y ) + cos ⁡ x sin ⁡ ( − y ) {\displaystyle \sin \left(x+(-y)\right)=\sin x\cos(-y)+\cos x\sin(-y)} sin ⁡ ( x − y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y − cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y} 그리고, cos ⁡ ( x − ( − y ) ) = cos ⁡ x cos ⁡ ( − y ) + sin ⁡ x sin ⁡ ( − y ) {\displaystyle \cos \left(x-(-y)\right)=\cos x\cos(-y)+\sin x\sin(-y)} cos ⁡ ( x + y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y} 그리고, tan ⁡ ( − θ ) = sin ⁡ ( − θ ) cos ⁡ ( − θ ) = − sin ⁡ θ cos ⁡ θ = − tan ⁡ θ {\displaystyle \tan(-\theta )={{\sin(-\theta )} \over {\cos(-\theta )}}={-{\sin \theta } \over {\cos \theta }}=-\tan \theta } tan ⁡ ( x + ( − y ) ) = tan ⁡ x + tan ⁡ ( − y ) 1 − tan ⁡ x tan ⁡ ( − y ) {\displaystyle \tan(x+(-y))={{{\tan x}+{\tan(-y)}} \over {1-{\tan x\tan(-y)}}}} tan ⁡ ( x − y ) = tan ⁡ x − tan ⁡ y 1 + tan ⁡ x tan ⁡ y {\displaystyle \tan(x-y)={{{\tan x}-{\tan y}} \over {1+{\tan x\tan y}}}} 삼각 함수 항등식 예각삼각형 둔각삼각형 삼각함수 회전행렬 유클리드 원론 유클리드 기하학 원론 2권 법칙13 (구텐베르크 프로젝트,John Casey, 퍼블릭 도메인) 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) 유클리드 기하학 원론 2권 법칙12 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) 유클리드 기하학 원론 2권 법칙4 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) 유클리드 기하학 원론 2권 법칙7 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) 유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain) 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain) (유클리드 기하학 원론 3권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) (유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)