내적 범주

범주론에서 내적 범주(內的範疇, 영어: internal category)는 작은 범주의 정의에서 사용되는 집합의 범주를 대체하여, 임의의 범주 속에서 범주처럼 작동하는 구조이다. 작은 범주의 개념의 일반화이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 유한 곱 및 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 내적 범주(영어: internal category) ( O , M , i , s , t , c ) {\displaystyle (O,M,i,s,t,c)} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. O ∈ C {\displaystyle O\in {\mathcal {C}}} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다. M ∈ C {\displaystyle M\in {\mathcal {C}}} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다. e : O → M {\displaystyle e\colon O\to M} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다. s : M → O {\displaystyle s\colon M\to O} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다. t : M → O {\displaystyle t\colon M\to O} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다. M s × t M {\displaystyle M_{s}\times _{t}M} 이 M → s O ← t M {\displaystyle M{\xrightarrow {s}}O{\xleftarrow {t}}M} 의 당김이라면, c : M s × t M → M {\displaystyle c\colon M_{s}\times _{t}M\to M} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다. 이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다. (항등 사상의 정의역과 공역) s ∘ e = t ∘ e = id O {\displaystyle s\circ e=t\circ e=\operatorname {id} _{O}} . 즉, 다음 그림이 가환한다. M ← e O → e M s ↘ ↓ id O ↙ t O {\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xleftarrow {e}}&O&{\xrightarrow {e}}&M\\&{\scriptstyle s}\searrow &\downarrow \scriptstyle {\operatorname {id} _{O}}&\swarrow \scriptstyle t\\&&O\end{matrix}}} (합성 사상의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다. M ← π 1 M s × t M → π 2 M t ↓ c ↓ ↓ s O ← t M → s O {\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xleftarrow {\pi _{1}}}&M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow {\pi _{2}}}&M\\{\scriptstyle t}\downarrow &&{\scriptstyle c}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle s\\O&{\xleftarrow[{t}]{}}&M&{\xrightarrow[{s}]{}}&O\end{matrix}}} (합성의 결합 법칙) 다음 그림이 가환한다. M s × t M s × t M → id M × c M s × t M c × id M ↓ ↓ c M s × t M → c M {\displaystyle {\begin{matrix}M_{s}\times _{t}M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow {\operatorname {id} _{M}\times c}}&M_{s}\times _{t}M\\{\scriptstyle c\times \operatorname {id} _{M}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle c\\M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow[{c}]{}}&M\end{matrix}}} (항등원의 흡수 법칙) 다음 그림이 가환한다. O × t M → e × t id M M s × t M ← id M ⁡ s × e M × s O π 2 ↘ ↓ c ↙ π 1 M {\displaystyle {\begin{matrix}O\times _{t}M&{\xrightarrow {e\times _{t}\operatorname {id} _{M}}}&M_{s}\times _{t}M&{\xleftarrow {\operatorname {id} _{M}{}_{s}\times e}}&M\times _{s}O\\&{\scriptstyle \pi _{2}}\searrow &\downarrow \scriptstyle c&\swarrow \scriptstyle \pi _{1}\\&&M\end{matrix}}} 유한 곱과 당김을 갖는 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 내적 준군(영어: internal groupoid) ( O , M , s , t , e , i ) {\displaystyle (O,M,s,t,e,i)} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. ( O , M , s , t , e ) {\displaystyle (O,M,s,t,e)} 는 내적 범주를 이룬다. i : M → M {\displaystyle i\colon M\to M} 은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다. 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. (역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다. M → e ← e M s ↘ ↓ t O {\displaystyle {\begin{matrix}M&{{\xrightarrow {e}} \atop {\xleftarrow[{e}]{}}}&M\\&{\scriptstyle s}\searrow &\downarrow \scriptstyle t\\&&O\end{matrix}}} (역원의 존재) 다음 그림이 가환한다. M t × t M ← diag M M i × id ↓ ↘ s M s × t M → c M ← e O id × i ↑ ↗ t M s × s M ← diag M M {\displaystyle {\begin{matrix}M_{t}\times _{t}M&{\xleftarrow {\operatorname {diag} _{M}}}&M\\{\scriptstyle i\times \operatorname {id} }\downarrow &&&\searrow \scriptstyle s&\\M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow[{c}]{}}&M&{\xleftarrow[{e}]{}}&O\\{\scriptstyle \operatorname {id} \times i}\uparrow &&&\nearrow \scriptstyle t&\\M_{s}\times _{s}M&{\xleftarrow[{\operatorname {diag} _{M}}]{}}&M\\\end{matrix}}} 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 속의 내적 범주는 작은 범주이다. 군과 군 준동형의 범주 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 속의 내적 범주는 작은 범주의 범주 Cat {\displaystyle \operatorname {Cat} } 속의 군 대상과 사실상 같으며,:269 교차 가군(영어: crossed module)이라고 불린다.:285–287 Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  “Internal category”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 12일에 확인함.  군 대상