끈 장론

끈 장론(영어: string field theory)이란 끈 이론에서 끈을 양자장론의 도구로 다루는 이론이다. 대개 끈 이론은 일차양자화를 거쳐, 어떤 주어진 산란행렬의 원소를 계산하려면 필요한 세계면을 가정하고 그 위에 등각장론을 이용하여 산란진폭을 계산한다. 그 반면 끈 장론은 이를 이차양자화하여 세계면 자체를 일종의 장으로 다룬다. 끈을 BRST 양자화를 하면 유령수에 따라 차수 붙은 벡터 공간(graded vector space) V {\displaystyle V} 를 얻는다. 여기에는 자연스럽게 BRST 연산자 Q : V i → V i + ! {\displaystyle Q\colon V_{i}\to V_{i+!}} 가 존재한다. 일차양자화 끈 이론에서는 Q | Ψ ⟩ = 0 {\displaystyle Q|\Psi \rangle =0} | Ψ ⟩ ∼ | Ψ ⟩ + Q | Λ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle \sim |\Psi \rangle +Q|\Lambda \rangle } 와 같은 BRST 코호몰로지 구속을 가한다. 끈 장론에서는 대신 | Ψ ⟩ ∼ | Ψ ⟩ + Q | Λ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle \sim |\Psi \rangle +Q|\Lambda \rangle } 을 게이지 대칭으로, Q | Ψ ⟩ = 0 {\displaystyle Q|\Psi \rangle =0} 을 운동방정식으로 본다. | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } 은 유령수가 1인 상태다. (유령수가 1이 아닌 경우 작용은 0이다.) 이에 따라, 다음과 같은 게이지 불변 운동항을 쓸 수 있다. S [ Ψ ] = 1 2 ⟨ Ψ | Q | Ψ ⟩ {\displaystyle S[\Psi ]={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q|\Psi \rangle } 이는 앙드레 느뵈(프랑스어: André Neveu), 헤르만 니콜라이(독일어: Hermann Nicolai), 피터 웨스트(영어: Peter C. West)가 1986년에 밝혔다. 여기에 상호작용하는 끈을 다루려면 다음과 같은 상호작용항을 추가하여야 한다. S ( Ψ ) = 1 2 ⟨ Ψ | Q | Ψ ⟩ + 1 3 g ⟨ Ψ , Ψ , Ψ ⟩ {\displaystyle S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}g\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle } , g {\displaystyle g} 는 임의의 결합상수로, 장을 재정의하여 g = 1 {\displaystyle g=1} 로 놓을 수 있다. ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ {\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle } 은 세겹선형식으로, 총 유령수가 3인 세 끈 장을 받아 하나의 수로 바꾸는 함수다. 이는 에드워드 위튼이 1986년에 도입하였다. 다음과 같이 ∫ {\displaystyle \textstyle \int } 와 ∗ {\displaystyle *} 기호를 정의하자. ∫ : V → C {\displaystyle \int \colon V\to \mathbb {C} } , ∗ : V i × V j → V i + j {\displaystyle *\colon V_{i}\times V_{j}\to V_{i+j}} ⟨ Σ | Φ ∗ Ψ ⟩ = ⟨ Σ , Φ , Ψ ⟩ {\displaystyle \langle \Sigma |\Phi *\Psi \rangle =\langle \Sigma ,\Phi ,\Psi \rangle } ∫ Φ ∗ Ψ = ⟨ Φ | Ψ ⟩ {\displaystyle \int \Phi *\Psi =\langle \Phi |\Psi \rangle } 그렇다면 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다. S ( Ψ ) = ∫ ( 1 2 Ψ ∗ Q Ψ + 1 3 g Ψ ∗ Ψ ∗ Ψ ) {\displaystyle S(\Psi )=\int ({\tfrac {1}{2}}\Psi *Q\Psi +{\tfrac {1}{3}}g\Psi *\Psi *\Psi )} . 이 기호들은 다음과 같이 공리화할 수 있다. 무제곱성 Q 2 = 0 {\displaystyle Q^{2}=0} 부분적분 ∫ Q = 0 {\displaystyle \int Q=0} 라이프니츠 법칙 Q ( Ψ ∗ Φ ) = Q Ψ ∗ Φ + ( − ) G ( Ψ ) Ψ ∗ Q Φ {\displaystyle Q(\Psi *\Phi )=Q\Psi *\Phi +(-)^{G(\Psi )}\Psi *Q\Phi } ( G ( Ψ ) {\displaystyle G(\Psi )} 는 Ψ {\displaystyle \Psi } 의 유령수) 차수가 붙은 교환법칙 ∫ Ψ ∗ Φ = ( − ) G ( Ψ ∗ Φ ) ∫ Φ ∗ Ψ {\displaystyle \int \Psi *\Phi =(-)^{G(\Psi *\Phi )}\int \Phi *\Psi } 결합법칙 ( Φ ∗ Ψ ) ∗ Ξ = Φ ∗ ( Ψ ∗ Ξ ) {\displaystyle (\Phi *\Psi )*\Xi =\Phi *(\Psi *\Xi )} 이 공리로부터, 작용이 게이지 변환 δ Ψ = Q Λ + g ( Ψ ∗ Λ − Λ ∗ Ψ ) {\displaystyle \delta \Psi =Q\Lambda +g(\Psi *\Lambda -\Lambda *\Psi )} 에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 이에 따라서 다음과 같은 운동방정식을 얻는다. Q Ψ + g Ψ ∗ Ψ = 0 {\displaystyle Q\Psi +g\Psi *\Psi =0} . 즉 g → 0 {\displaystyle g\to 0} 이면 기존의 끈 이론에서의 코호몰로지 조건인 Q Ψ = 0 {\displaystyle Q\Psi =0} 을 얻는다. 이는 준위절단(level truncation)을 통하여 수치적으로 풀 수도 있고, 해석적으로 풀 수도 있다. 이를 양자화하려면 바탈린-빌코비스키 양자화를 써서 무한한 수의 유령을 도입하여야 한다. 이에 따라 임의의 수의 열린 끈의 산란진폭을 계산할 수 있는데, 이는 기존의 (일차양자화) 끈 이론으로 계산한 값과 같다. 닫힌 끈의 장론은 바르톤 츠비바흐(스페인어: Barton Zwiebach Cantor)가 도입하였다. 초끈의 장론은 아직 잘 알려지지 않았다. 끈 이론 타키온 응축 André Neveu, Hermann Nicolai, Peter C. West (1986년 2월). “New Symmetries And Ghost Structure Of Covariant String Theories”. 《Physics Letters B》 167 (3): 307–314. doi:10.1016/0370-2693(86)90351-5.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 여러 이름 (링크) Witten, Edward (1986년 5월). “Non-commutative Geometry and String Field Theory”. 《Nuclear Physics B》 268 (2): 253–294. doi:10.1016/0550-3213(86)90155-0.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Kostelecky, V.; S. 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