테이트 코호몰로지 군

수학에서 테이트 코호몰로지군(영어: Tate cohomology group)은 유한군의 일반적인 코호몰로지 군들을 약간 변형한 형태로 호몰로지 군과 코호몰로지 군을 하나의 열로 합친 것이다. 1952년 존 테이트가 도입하였다. 정수론의 한 부분야인 유체론에 등장한다. G {\displaystyle G} 가 유한군이고 A {\displaystyle A} 가 G {\displaystyle G} -가군 이면 자연 사상 N {\displaystyle N} N : H 0 ( G , A ) → H 0 ( G , A ) {\displaystyle N:H_{0}(G,A)\rightarrow H^{0}(G,A)} , a ↦ ∑ g ∈ G g a {\displaystyle a\mapsto \sum _{g\in G}ga} ∑ g ∈ G g a {\displaystyle \sum _{g\in G}ga} ( a {\displaystyle a} 의 모든 G {\displaystyle G} -켤레에 대한 합)이 있다. 테이트 코호몰로지 군 H ^ n ( G , A ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)} 는 다음과 같이 정의된다: H ^ n ( G , A ) = H n ( G , A ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)} ∀ n ≥ 1 {\displaystyle \forall n\geq 1} H ^ 0 ( G , A ) = coker ⁡ N = {\displaystyle {\hat {H}}^{0}(G,A)=\operatorname {coker} N=} H 0 ( G , A ) {\displaystyle H^{0}(G,A)} 의 몫 A {\displaystyle A} 원소의 노름에 의해, H ^ − 1 ( G , A ) = ker ⁡ N = {\displaystyle {\hat {H}}^{-1}(G,A)=\ker N=} A {\displaystyle A} 의 주 원소에 의한 A {\displaystyle A} 의 노름 0 원소의 몫, H ^ n ( G , A ) = H − n − 1 ( G , A ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)} ∀ n ≤ − 2 {\displaystyle \forall n\leq -2} . 만약 0 ⟶ A ⟶ B ⟶ C ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0} 가 G {\displaystyle G} -가군의 짧은 완전열이면, 테이트 코호몰로지 군의 일반적인 긴 완전열을 얻는다. ⋯ ⟶ H ^ n ( G , A ) ⟶ H ^ n ( G , B ) ⟶ H ^ n ( G , C ) ⟶ H ^ n + 1 ( G , A ) ⟶ H ^ n + 1 ( G , B ) ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots } A 가 유도된 G 가군이면 A 의 모든 테이트 코호몰로지 군이 사라진다. A 의 0번째 테이트 코호몰로지 군은 ( A {\displaystyle A} 에 대한 G {\displaystyle G} 의 고정점들)/( A {\displaystyle A} 에 작용하는 G {\displaystyle G} 의 자명한 고정점들) 이다. 여기서 "자명한" 고정점은 ∑ g a {\displaystyle \sum ga} 형태을 의미한다. 즉, 어떤 의미에서 영 코호몰로지 군은 A {\displaystyle A} 에 작용하는 G {\displaystyle G} 의 자명하지 않은 고정점을 설명한다. 테이트 정리(Tate 1952) harv error: 대상 없음: CITEREFTate1952 (help)는 코호몰로지 군 간의 동형사상이 되도록 코호몰로지류에 의한 곱셈에 대한 조건을 제공한다. 약간 다른 버전이 몇 가지 있다. 유체론에 특히 편리한 버전은 다음과 같다. A {\displaystyle A} 는 유한 군 G {\displaystyle G} 에 대한 가군이고 a {\displaystyle a} 는 G {\displaystyle G} 의 모든 부분군 E {\displaystyle E} 에 대해 H 1 ( E , A ) {\displaystyle H^{1}(E,A)} 이 자명하고 H 2 ( E , A ) {\displaystyle H^{2}(E,A)} 은 Res ⁡ ( a ) {\displaystyle \operatorname {Res} (a)} 에 의해 생성된다. 위수 E 를 가진다. 인 H 2 ( G , A ) {\displaystyle H^{2}(G,A)} 의 원소라고 가정한다. 그러면 모든 n {\displaystyle n} 에 대해 a {\displaystyle a} 와의 컵곱은 동형사상 H ^ n ( G , Z ) ⟶ H ^ n + 2 ( G , A ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)} 이다. 즉, A {\displaystyle A} 의 등급 테이트 코호몰로지는 적분 계수가 있는 테이트 코호몰로지와 동형이며 차수는 2만큼 이동한다. F. 토마스 파렐은 테이트 코호몰로지 군을 유한 가상 코호몰로지 차원의 모든 군 G의 경우로 확장했다. 파렐의 이론에 따르면, 군 H ^ n ( G , A ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)} 들은 n이 군 G의 가상 코호몰로지 차원보다 클 때마다 일반 코호몰로지 군과 동형이다. 유한군은 가상 코호몰로지 차원 0을 가지며, 이 경우 파렐의 코호몰로지 군은 테이트의 코호몰로지 군과 같다. 허브랜드 지수 특성류 구성 M. F. Atiyah and C. T. C. Wall, "코호몰로지 of Groups", in Algebraic Number Theory by J. W. S. Cassels, A. Frohlich ISBN 0-12-163251-2, Chapter IV. See section 6. Brown, Kenneth S. (1982). 《Cohomology of Groups》. Graduate Texts in Mathematics 87. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90688-6. MR 0672956.  Farrell, F. Thomas (1977). “An extension of tate cohomology to a class of infinite groups”. 《Journal of Pure and Applied Algebra》 10 (2): 153–161. doi:10.1016/0022-4049(77)90018-4. MR 0470103.  Tate, John (1952), “The higher dimensional cohomology groups of class field theory”, 《Annals of Mathematics》, 2 56: 294–297, doi:10.2307/1969801, JSTOR 1969801, MR 0049950