정초 관계

집합론에서 정초 관계(整礎關係, 영어: well-founded relation)는 (무한히 재귀적이지 않은) 집합의 원소 관계로서 나타낼 수 있는 이항 관계이다. 정초 관계가 주어진 집합 위에서는 초한 귀납법(超限歸納法, 영어: transfinite induction)과 초한 재귀(超限再歸, 영어: transfinite recursion)를 사용할 수 있다. 초한 귀납법은 모든 원소가 어떤 성질을 만족시킴을 증명할 때 사용한다. 초한 귀납법에 따르면, 어떤 술어가 모든 원소에 대하여 참임을 보이려면, 주어진 원소 ‘이전’의 모든 원소들에 대하여 참임을 가정한 채로, 그 주어진 원소에 대하여 참임을 보이면 충분하다. 이는 자연수에 대한 수학적 귀납법을 일반화한다. 초한 재귀는 정초 관계가 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수를 정의하는 방법이다. 초한 재귀에 따르면, 주어진 원소의 함숫값을 그 ‘이전’의 원소들의 함숫값들로부터 결정하는 방법(#초한 귀납법에서의 함수 g {\displaystyle g} )이 정해졌을 때, 모든 원소에 대한 함숫값은 유일하게 결정된다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 이항 관계 R ⊆ X 2 {\displaystyle R\subseteq X^{2}} 에 대하여 다음 다섯 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이항 관계를 정초 관계라고 한다.:98, Definition III.3.1 임의의 부분 집합 ∅ ≠ S ⊆ X {\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X} 에 대하여, ∀ s ∈ S : ( s , m ) ∉ R {\displaystyle \forall s\in S\colon (s,m)\not \in R} 인 m ∈ S {\displaystyle m\in S} 가 존재한다. 다음 조건을 만족시키는 열 ( x i ) i = 0 ∞ ⊆ X {\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq X} 이 존재하지 않는다. 임의의 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 에 대하여, ( x i + 1 , x i ) ∈ R {\displaystyle (x_{i+1},x_{i})\in R} 다음 조건을 만족시키는 정렬 전순서 집합 ( Y , ≤ ) {\displaystyle (Y,\leq )} 과 단사 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 존재한다.:352, Appendix B 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, ( x , y ) ∈ R ⟹ f ( x ) < f ( y ) {\displaystyle (x,y)\in R\implies f(x)<f(y)} (모스토프스키 붕괴 정리) 다음 조건을 만족시키는 집합 M {\displaystyle M} 과 단사 함수 j : X → M {\displaystyle j\colon X\to M} 가 존재한다. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, ( x , y ) ∈ R ⟺ j ( x ) ∈ j ( y ) {\displaystyle (x,y)\in R\iff j(x)\in j(y)} (모스토프스키 붕괴 정리) 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합 M {\displaystyle M} 과 전단사 함수 j : X → M {\displaystyle j\colon X\to M} 가 유일하게 존재한다. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, ( x , y ) ∈ R ⟺ j ( x ) ∈ j ( y ) {\displaystyle (x,y)\in R\iff j(x)\in j(y)} 마지막 두 조건은 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 필요로 한다. 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 공집합이다. X {\displaystyle X} 위에 반사 관계인 정초 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 가 존재한다. 이는 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대한 상수열은 x ∼ x ∼ x ∼ ⋯ {\displaystyle x\sim x\sim x\sim \cdots } 이므로 정초 관계의 정의를 위반하기 때문이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 정초 관계 R {\displaystyle R} 및 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, R {\displaystyle R} 의 제한 R ↾ S {\displaystyle R\upharpoonright S} 역시 S {\displaystyle S} 위의 정초 관계이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 정초 관계 ∼ R {\displaystyle \sim _{R}} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 초한 귀납법을 사용할 수 있다. 임의의 술어 P ( − ) {\displaystyle P(-)} 에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 만약 ∀ y ∈ X : y ∼ R x ⟹ P ( y ) {\displaystyle \forall y\in X\colon y\sim _{R}x\implies P(y)} 라면, P ( x ) {\displaystyle P(x)} 이다. 그렇다면, ∀ x ∈ X : P ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon P(x)} 가 성립한다. 증명: 귀류법을 사용하여, { x ∈ X : ¬ P ( x ) } {\displaystyle \{x\in X\colon \lnot P(x)\}} 가 공집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면, ∼ R {\displaystyle \sim _{R}} 의 정초성에 따라 다음 두 조건을 만족시키는 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 가 존재한다. P ( x 0 ) {\displaystyle P(x_{0})} 은 거짓이다. ∀ x ∈ X : ¬ P ( x ) ⟹ ¬ ( x ∼ R x 0 ) {\displaystyle \forall x\in X\colon \lnot P(x)\implies \lnot (x\sim _{R}x_{0})} 두 번째 조건에 대우를 취하면 다음과 같다. ∀ x ∈ X : x ∼ R x 0 ⟹ P ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon x\sim _{R}x_{0}\implies P(x)} 따라서, P ( − ) {\displaystyle P(-)} 가 만족시켜야 한다고 가정한 조건에 의하여 P ( x 0 ) {\displaystyle P(x_{0})} 은 참이 되는데, 이는 모순이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 정초 관계 ∼ R {\displaystyle \sim _{R}} 가 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하는 함수를 초한 재귀를 통해 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다. 임의의 집합 Y {\displaystyle Y} 및 함수 g : X × ⨆ S ⊆ X Y S → Y {\displaystyle g\colon X\times \bigsqcup _{S\subseteq X}Y^{S}\to Y} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 존재한다. ∀ x ∈ X : f ( x ) = g ( x , f ↾ { y ∈ X : y ∼ R x } ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)=g(x,f\upharpoonright \{y\in X\colon y\sim _{R}x\})} 여기서 ↾ {\displaystyle \upharpoonright } 은 함수의 제한이다. 증명: 다음 세 조건을 만족시키는 함수 h : dom ⁡ h → Y {\displaystyle h\colon \operatorname {dom} h\to Y} 들의 집합 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 생각하자. dom ⁡ h ⊆ X {\displaystyle \operatorname {dom} h\subseteq X} 임의의 x ∈ dom ⁡ h {\displaystyle x\in \operatorname {dom} h} 및 y ∈ X {\displaystyle y\in X} 에 대하여, y ∼ R x {\displaystyle y\sim _{R}x} 라면, y ∈ dom ⁡ h {\displaystyle y\in \operatorname {dom} h} 임의의 x ∈ dom ⁡ h {\displaystyle x\in \operatorname {dom} h} 에 대하여, h ( x ) = g ( x , h ↾ { y ∈ X : y ∼ R x } ) {\displaystyle h(x)=g(x,h\upharpoonright \{y\in X\colon y\sim _{R}x\})} 그렇다면, 다음 사실들을 보일 수 있다. 임의의 h , h ′ ∈ F {\displaystyle h,h'\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, h ↾ dom ⁡ h ∩ dom ⁡ h ′ = h ′ ↾ dom ⁡ h ∩ dom ⁡ h ′ {\displaystyle h\upharpoonright \operatorname {dom} h\cap \operatorname {dom} h'=h'\upharpoonright \operatorname {dom} h\cap \operatorname {dom} h'} 증명: 초한 귀납법을 사용하여, x ∈ dom ⁡ h ∩ dom ⁡ h ′ {\displaystyle x\in \operatorname {dom} h\cap \operatorname {dom} h'} 이며, h ↾ { y ∈ X : y ∼ R x } = h ′ ↾ { y ∈ X : y ∼ R x } {\displaystyle h\upharpoonright \{y\in X\colon y\sim _{R}x\}=h'\upharpoonright \{y\in X\colon y\sim _{R}x\}} 라고 가정하자. 그렇다면 h ( x ) = g ( x , h ↾ { y ∈ X : y ∼ R x } ) = g ( x , h ′ ↾ { y ∈ X : y ∼ R x } ) = h ′ ( x ) {\displaystyle h(x)=g(x,h\upharpoonright \{y\in X\colon y\sim _{R}x\})=g(x,h'\upharpoonright \{y\in X\colon y\sim _{R}x\})=h'(x)} 이다. ⋃ h ∈ F dom ⁡ h = X {\displaystyle \textstyle \bigcup _{h\in {\mathcal {F}}}\operatorname {dom} h=X} 증명: 초한 귀납법을 사용하여, x ∈ X {\displaystyle x\in X} 이며 { y ∈ X : y ∼ R x } ⊆ ⋃ h ∈ F dom ⁡ h {\displaystyle \textstyle \{y\in X\colon y\sim _{R}x\}\subseteq \bigcup _{h\in {\mathcal {F}}}\operatorname {dom} h} 라고 가정하자. h ~ : { x } ∪ ⋃ h ∈ F dom ⁡ h → Y {\displaystyle \textstyle {\tilde {h}}\colon \{x\}\cup \bigcup _{h\in {\mathcal {F}}}\operatorname {dom} h\to Y} 이며, ∀ h ∈ F : h ~ ↾ dom ⁡ h = h {\displaystyle \forall h\in {\mathcal {F}}\colon {\tilde {h}}\upharpoonright \operatorname {dom} h=h} 이며, h ~ ( x ) = g ( x , h ~ ↾ { y ∈ X : y ∼ R x } ) {\displaystyle {\tilde {h}}(x)=g(x,{\tilde {h}}\upharpoonright \{y\in X\colon y\sim _{R}x\})} 라고 정의하자. 그렇다면, h ~ ∈ F {\displaystyle {\tilde {h}}\in {\mathcal {F}}} 이며, 따라서 x ∈ ⋃ h ∈ F dom ⁡ h {\displaystyle \textstyle x\in \bigcup _{h\in {\mathcal {F}}}\operatorname {dom} h} 이다. 이제, f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} ∀ h ∈ F : f ↾ dom ⁡ h = h {\displaystyle \forall h\in {\mathcal {F}}\colon f\upharpoonright \operatorname {dom} h=h} 라고 하자. 그렇다면 f {\displaystyle f} 는 원하는 조건을 만족시킨다. 또한, 첫 번째 사실에 따라 이러한 f {\displaystyle f} 는 유일하다. 집합 X {\displaystyle X} 에서, 원소 관계 ∈ {\displaystyle \in } 가 X {\displaystyle X} 위의 정초 관계라면, X {\displaystyle X} 를 정초 집합(整礎集合, 영어: well-founded set)이라고 한다. 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)의 정칙성 공리(正則性公理, 영어: axiom of regularity)에 따르면 모든 집합은 정초 집합이다. 사실, 정칙성 공리에 따라 모든 모임은 정초 모임이다 (즉, 공집합이 아닌 모든 부분 모임은 원소 관계에 대한 극소 원소를 갖는다). 증명: 임의의 모임 X ≠ ∅ {\displaystyle X\neq \varnothing } 에 대하여, Y ∩ X = ∅ {\displaystyle Y\cap X=\varnothing } 인 Y ∈ X {\displaystyle Y\in X} 가 존재함을 보이면 충분하다. 임의의 Y ∈ X {\displaystyle Y\in X} 를 고르자. 만약 Y ∩ X = ∅ {\displaystyle Y\cap X=\varnothing } 라면 증명은 끝난다. Y ∩ X ≠ ∅ {\displaystyle Y\cap X\neq \varnothing } 라고 가정하자. Y ¯ = Y ∪ ⋃ Y ∪ ⋃ ⋃ Y ∪ ⋯ {\displaystyle {\bar {Y}}=Y\cup \bigcup Y\cup \bigcup \bigcup Y\cup \cdots } 가 Y {\displaystyle Y} 의 추이적 폐포라고 하자. 그렇다면 Z ∩ X ∩ Y ¯ = ∅ {\displaystyle Z\cap X\cap {\bar {Y}}=\varnothing } 인 Z ∈ X ∩ Y ¯ {\displaystyle Z\in X\cap {\bar {Y}}} 가 존재한다. Y ¯ {\displaystyle {\bar {Y}}} 가 추이적 집합이므로, Z ⊆ Y ¯ {\displaystyle Z\subseteq {\bar {Y}}} 이다. 즉, Z ∩ X = ∅ {\displaystyle Z\cap X=\varnothing } 이다. 보다 일반적으로, 모임 X {\displaystyle X} 및 이항 관계 R ⊆ X 2 {\displaystyle R\subseteq X^{2}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 임의의 부분 집합 ∅ ≠ S ⊆ X {\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X} 에 대하여, ∀ s ∈ S : s ≁ R m {\displaystyle \forall s\in S\colon s\not \sim _{R}m} 인 m ∈ S {\displaystyle m\in S} 가 존재한다. 임의의 부분 모임 ∅ ≠ S ⊆ X {\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X} 에 대하여, ∀ s ∈ S : s ≁ R m {\displaystyle \forall s\in S\colon s\not \sim _{R}m} 인 m ∈ S {\displaystyle m\in S} 가 존재한다. (물론, 두 번째 조건은 모임에 대하여 전칭을 가하므로 ZF 내에서 형식화할 수 없다.) 증명: 임의의 부분 집합 ∅ ≠ S ⊆ X {\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X} 이 R {\displaystyle R} 에 대한 극소 원소를 갖는다고 가정하고, 임의의 부분 모임 ∅ ≠ Y ⊆ X {\displaystyle \varnothing \neq Y\subseteq X} 의 R {\displaystyle R} -극소 원소를 찾는 것으로 충분하다. 임의의 집합 A ∈ Y {\displaystyle A\in Y} 를 고르고, Z = ⋃ n = 0 ∞ Z n {\displaystyle Z=\bigcup _{n=0}^{\infty }Z_{n}} Z 0 = { A } {\displaystyle Z_{0}=\{A\}} Z n + 1 = { B ∈ Y | ∃ C ∈ Z n : B ∼ R C ∧ rank ⁡ B = min { rank ⁡ B ′ | ∃ C ∈ Z n : B ′ ∼ R C } } {\displaystyle Z_{n+1}=\{B\in Y|\exists C\in Z_{n}\colon B\sim _{R}C\land \operatorname {rank} B=\min\{\operatorname {rank} B'|\exists C\in Z_{n}\colon B'\sim _{R}C\}\}} 라고 하자 ( rank {\displaystyle \operatorname {rank} } 는 폰 노이만 전체에서의 계수). 그렇다면, ∅ ≠ Z ⊆ Y ⊆ X {\displaystyle \varnothing \neq Z\subseteq Y\subseteq X} 는 집합이며, R {\displaystyle R} -극소 원소 B ∈ Z {\displaystyle B\in Z} 를 갖는다. 이제, B {\displaystyle B} 가 Y {\displaystyle Y} 의 R {\displaystyle R} -극소 원소임을 보이면 족하다. 만약 C ′ ∼ R B {\displaystyle C'\sim _{R}B} 인 C ′ ∈ Y {\displaystyle C'\in Y} 가 존재한다면, 이들 사이에서 최소의 계수를 갖는 C ∈ Y {\displaystyle C\in Y} 를 고를 수 있다. 이 경우, 만약 B ∈ Z n {\displaystyle B\in Z_{n}} 이라면 C ∈ Z n + 1 {\displaystyle C\in Z_{n+1}} 이다. 즉, C ∈ Z {\displaystyle C\in Z} 이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:116, Remark 5 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 는 정렬 원순서 집합이다. P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 위의 원순서 S ≲ ⋆ T ⟺ S ⊆↓ T {\displaystyle S\lesssim ^{\star }T\iff S\subseteq \downarrow T} 를 정의하였을 때, 이항 관계 S ≺ ⋆ T ⟺ S ≲ ⋆ T ≴ ⋆ S {\displaystyle S\prec ^{\star }T\iff S\lesssim ^{\star }T\not \lesssim ^{\star }S} 는 정초 관계이다. (여기서 ↓ {\displaystyle \downarrow } 는 하폐포를 뜻한다.) 순서수의 정렬 전순서 모임 Ord {\displaystyle \operatorname {Ord} } 위에서는 흔히 다음과 같은 (조금 더 약한) 초한 귀납법이 사용된다. 임의의 술어 P ( − ) {\displaystyle P(-)} 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. 만약 P ( α ) {\displaystyle P(\alpha )} 라면, P ( α + 1 ) {\displaystyle P(\alpha +1)} 이다. 극한 순서수 λ {\displaystyle \lambda } 에 대하여, 만약 ∀ α < λ : P ( α ) {\displaystyle \forall \alpha <\lambda \colon P(\alpha )} 라면, P ( λ ) {\displaystyle P(\lambda )} 이다. 특히, P ( 0 ) {\displaystyle P(0)} 이다. 그렇다면, ∀ α ∈ Ord : P ( α ) {\displaystyle \forall \alpha \in \operatorname {Ord} \colon P(\alpha )} 이다. 순서수의 정렬 전순서 모임 Ord {\displaystyle \operatorname {Ord} } 위에서는 흔히 다음과 같은 특수한 꼴의 초한 재귀가 사용된다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 및 함수 F : X → X {\displaystyle F\colon X\to X} G : ⨆ α ∈ Ord X α → X {\displaystyle G\colon \bigsqcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }X^{\alpha }\to X} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 f : Ord → X {\displaystyle f\colon \operatorname {Ord} \to X} 가 존재한다. 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, f ( α + 1 ) = F ( f ( α ) ) {\displaystyle f(\alpha +1)=F(f(\alpha ))} 임의의 극한 순서수 λ {\displaystyle \lambda } 에 대하여, f ( λ ) = G ( f ↾ λ ) {\displaystyle f(\lambda )=G(f\upharpoonright \lambda )} 특히, f ( 0 ) = G ( ∅ → X ) {\displaystyle f(0)=G(\varnothing \to X)} (순서수의 모임은 고유 모임이지만, 초한 귀납법과 초한 재귀는 정초 관계가 주어진 모임 위에서도 성립한다.) Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 23일에 확인함.  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-0-387-94374-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.  Forster, Thomas (2003). “Better-quasi-orderings and coinduction”. 《Theoretical Computer Science》 (영어) 309 (1–3): 111–123. doi:10.1016/S0304-3975(03)00131-2. ISSN 0304-3975.  “Well-founded relation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Noetherian induction”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Transfinite recursion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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