Fpqc 위상

층 이론에서, fpqc 위상(fpqc位相, 영어: fpqc topology)은 스킴의 범주 위에 정의되는 매우 섬세한 그로텐디크 위상이다. 이러한 섬세함에도 불구하고, fpqc 위상에서 다양한 내림 이론을 전개할 수 있다. fpqc 사상(영어: fpqc morphism)은 다음 조건들을 만족시키는 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다.:Definition 2.34 전사 함수이다. 평탄 사상이다. Y {\displaystyle Y} 의 모든 콤팩트 열린집합 K Y ⊆ Y {\displaystyle K_{Y}\subseteq Y} 에 대하여, f ( K X ) = K Y {\displaystyle f(K_{X})=K_{Y}} 가 되는 콤팩트 열린집합 K X ⊆ X {\displaystyle K_{X}\subseteq X} 가 존재한다. (여기서 콤팩트 공간의 정의는 하우스도르프 조건을 포함하지 않는다.) 스킴의 범주 Sch {\displaystyle \operatorname {Sch} } 는 모든 쌍대곱을 가지며, 집합으로서 이는 분리합집합이다. (그러나 밂은 일반적으로 존재하지 않는다.) 같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합 { f i : U i → U } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}} 에 대하여, 만약 보편 성질에 의하여 존재하는 사상 f = ⨆ i ∈ I f i : ⨆ i ∈ I U i → U {\displaystyle f=\bigsqcup _{i\in I}f_{i}\colon \bigsqcup _{i\in I}U_{i}\to U} 이 fpqc 사상이라면, { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 를 fpqc 덮개라고 한다. fpqc 덮개들은 Sch {\displaystyle \operatorname {Sch} } 위의 그로텐디크 준위상을 이루며, 이로부터 유도되는 그로텐디크 위상을 fpqc 위상(영어: fpqc topology)이라고 한다. 같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합 { f i : U i → U } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}} 에 대하여, 보편 성질에 의하여 존재하는 사상 f = ⨆ i ∈ I f i : ⨆ i ∈ I U i → U {\displaystyle f=\bigsqcup _{i\in I}f_{i}\colon \bigsqcup _{i\in I}U_{i}\to U} 을 생각하자. 만약 f i {\displaystyle f_{i}} 가 각각 국소 유한 표시 사상이자 평탄 사상이며 f {\displaystyle f} 가 전사 함수라면 { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 를 fppf 덮개라고 한다.:Example 2.32 fppf 덮개들은 Sch {\displaystyle \operatorname {Sch} } 위의 그로텐디크 준위상을 이루며, 이로부터 유도되는 그로텐디크 위상을 fppf 위상(영어: fppf topology)이라고 한다. 모든 fppf 덮개는 fpqc 덮개이다. 따라서, fpqc 위상은 fppf 위상보다 더 섬세하다. 마찬가지로, fppf 위상은 에탈 위상보다 더 섬세하다. fpqc 위상에서 모든 표현 가능 준층이 층을 이루므로, fpqc 위상은 표준 위상보다는 더 엉성하다. fpqc 위상을 스킴의 범주 위에 흔히 사용되는 위상 가운데 가장 섬세한 것이며, fpqc 위상(및 그보다 더 엉성한 모든 위상)의 경우 준연접층에 대한 내림이 성립한다. fpqc 위상은 (더 엉성한 위상과 달리) 여러 집합론적 문제를 가진다. fppf 위상이나 에탈 위상 등의 경우, 주어진 스킴 S {\displaystyle S} 위에, 다음 조건을 만족시키는 덮개들의 집합 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathcal {U}}_{i}\}_{i\in I}} 이 존재한다. 임의의 S {\displaystyle S} 의 덮개에 대하여 그보다 더 섬세한 덮개 U i {\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}} 가 존재한다. 그러나 fpqc 위상의 경우 이 조건이 성립하지 않는다. 즉, 이러한 조건을 만족시키는 덮개들의 모임은 일반적으로 고유 모임이다. 이에 따라, fpqc 위상 위의 준층의 층화는 일반적으로 존재하지 않는다.:605, Theorem 5.5 "fpqc"라는 이름은 프랑스어: fidèlement plat et quasi-compact(충실하게 평탄하며 준콤팩트)라는 뜻이다. 여기서 "충실하게 평탄"하다는 것은 전사 함수이자 평탄 사상이라는 것이다. 이름과 달리, fpqc 위상은 ⨆ i f i {\displaystyle \bigsqcup _{i}f_{i}} 가 준콤팩트 전사 평탄 사상인 덮개로서 정의할 수 없다.:§2.3.2 이러한 사상들로 그로텐디크 위상을 정의할 수는 있지만, 이 위상은 준표준 위상이 아니다 (즉, 층을 이루지 않는 표현 가능 준층이 존재한다). "fppf"라는 이름은 프랑스어: fidèlement plat et de présentation finie(충실하게 평탄하며 유한 표시)라는 뜻이다. 이름과는 달리, 그 정의에서는 유한 표시 사상 대신 국소 유한 표시 사상을 사용한다. Vistoli, Angelo (2007). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). arXiv:math/0412512. Bibcode:2004math.....12512V.  Waterhouse, William C. (1975). “Basically bounded functors and flat sheaves”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 57 (2): 597–610. doi:10.2140/pjm.1975.57.597. ISSN 0030-8730. MR 0396578. Zbl 0316.14008.  “fpqc site”. 《nLab》 (영어).  “fpqc topology”. 《nLab》 (영어).  “fppf site”. 《nLab》 (영어).  Mathew, Akhil (2010년 9월 9일). “The fpqc topology”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  Ward, Matt (2013년 6월 5일). “What’s up with the fppf site?”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 10월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 2일에 확인함.  Belmans, Pieter (2013년 12월 31일). “The fppf topology is generated by Zariski coverings and surjective finite locally free morphisms”. 《On Music, Computing and Math》 (영어).  de Jong, Johan (2011년 3월 3일). “Comparing topologies”. 《The Stacks Project Blog》 (영어).  “What is the purpose of the flat/fppf/fpqc topologies?” (영어). Math Overflow.  “fpqc covers of stacks” (영어). Math Overflow.