뇌터 정리

수리물리학에서 뇌터의 정리(-定理, 영어: Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다. 여기서 한 물리계의 작용이란 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도 함수의 공간적분)이다. 뇌터 정리는 그동안 실험적 근거만을 가지던 여러 보존 법칙들을 더욱 간단한 물리학 이론의 대칭성들로부터 이끌어 내었다는 근본적인 의미를 갖는다. 이 정리는 현대 이론물리학의 기본적인 도구이며, 현대 이론물리학의 연구 방식에 지대한 영향을 끼쳤다. 이 정리는 라그랑주 역학, 양자장론 등 라그랑지안으로 다룰 수 있는 모든 계에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우 레일리 발산 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다. 어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자. x ′ μ = x μ + δ ϵ x μ {\displaystyle x'^{\mu }=x^{\mu }+\delta _{\epsilon }x^{\mu }} ϕ ′ ( x ′ ) = ϕ ( x ) + δ ϵ ϕ ( x ) = ϕ ( x ′ ) + δ ϵ ϕ ( x ′ ) − ∂ μ ϕ ( x ′ ) δ ϵ x μ ( x ′ ) {\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)+\delta _{\epsilon }\phi (x)=\phi (x')+\delta _{\epsilon }\phi (x')-\partial _{\mu }\phi (x')\delta _{\epsilon }x^{\mu }(x')} 만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다. L ( ϕ ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) , x ) − L ( ϕ ( x ) , ϕ ( x ) , x ) = ∂ μ ( ϵ J μ ( x ) − δ ϵ x μ L ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\partial _{\mu }(\epsilon J^{\mu }(x)-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}(x))} (만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 J = 0 {\displaystyle J=0} 이 된다.) 이제 L ( ϕ ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) , x ) − L ( ϕ ( x ) , ϕ ( x ) , x ) = ( ∂ L ∂ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ∂ μ + ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ∂ μ ∂ ν + ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ∂ ρ ϕ ) ∂ μ ∂ ν ∂ ρ + ⋯ ) ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\left({\frac {\partial L}{\partial \phi }}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\mu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }+\cdots \right)\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)} = δ L δ ϕ ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) + ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ) + ∂ μ ( ∂ ν ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ) − ∂ μ ( ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ) + ⋯ {\displaystyle ={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\right)+\partial _{\mu }\left(\partial _{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right)-\partial _{\mu }\left(\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right)+\cdots } 이다. 여기서 δ L δ ϕ = ∂ L ∂ ϕ − ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) + ∂ μ ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) − ∂ μ ∂ ν ∂ ρ ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ∂ ρ ϕ ) + ⋯ {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}+\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}-\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }\phi )}}+\cdots } 는 변분이다. 따라서, ϵ j μ = J μ − δ ϵ x μ L − ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) − ∂ ν ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ⋯ {\displaystyle \epsilon j^{\mu }=J^{\mu }-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)-\partial _{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots } = J μ − δ ϵ x μ L − ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ( δ ϵ ϕ − δ ϵ x μ ∂ μ ϕ ) − ∂ ν ( δ ϵ ϕ − δ ϵ x μ ∂ μ ϕ ) ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ( δ ϵ ϕ − δ ϵ x μ ∂ μ ϕ ) ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ⋯ {\displaystyle =J^{\mu }-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right)-\partial _{\nu }\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots } 로 정의한다면 ϵ ∂ ⋅ j = − δ L δ ϕ ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) {\displaystyle \epsilon \partial \cdot j=-{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)} 이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 δ L / δ ϕ = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}/\delta \phi =0} 이므로, 이러한 경로에서는 j μ {\displaystyle j^{\mu }} 가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다. Q = ∫ j 0 ( x ) d 3 x {\displaystyle Q=\int j^{0}(x)\;d^{3}x} 고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며, ∂ μ ↦ d d t {\displaystyle \partial _{\mu }\mapsto {\frac {d}{dt}}} x μ → t {\displaystyle x^{\mu }\to t} 로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환 q ′ ( t ′ ) = q ( t ) + δ ϵ q ( t ) {\displaystyle q'(t')=q(t)+\delta _{\epsilon }q(t)} t ′ = t + δ ϵ t {\displaystyle t'=t+\delta _{\epsilon }t} 에 대하여, 라그랑지언 L ( q , q ˙ , q ¨ , … , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},\dots ,t)} 가 L [ q ′ ( t ) , t ] − L [ q , t ] = − L ˙ δ t + ϵ J ˙ {\displaystyle L[q'(t),t]-L[q,t]=-{\dot {L}}\delta t+\epsilon {\dot {J}}} 를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량 Q = J − δ ϵ t L − ∂ L ∂ q ˙ ( δ ϵ ϕ − δ ϵ t q ˙ ) − d d t ( δ ϵ q − δ ϵ t q ˙ ) ∂ L ∂ q ¨ + ( δ ϵ q − δ ϵ t q ˙ ) d d t ∂ L ∂ q ¨ + ⋯ {\displaystyle Q=J-\delta _{\epsilon }t{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right)-{\frac {d}{dt}}\left(\delta _{\epsilon }q-\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\left(\delta _{\epsilon }q-\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\cdots } 은 Q ˙ = − δ L δ q ( δ ϵ ϕ − δ ϵ t q ˙ ) {\displaystyle {\dot {Q}}=-{\frac {\delta L}{\delta q}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right)} 이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 q ( t ) {\displaystyle q(t)} 에 대하여 보존된다. 흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다. Noether, Emmy (1918). “Invariante Variationsprobleme”. 《Nachrichten von der Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse》 (독일어): 235–257.  Baez, John (2006년 3월 4일). “Symmetry under boosts gives what conserved quantity?” (영어).  Callan, Curtis G., Jr.; Sidney Coleman, Roman Jackiw (1970년 7월). “A new improved energy-momentum tensor”. 《Annals of Physics》 (영어) 59 (1): 42–73. doi:10.1016/0003-4916(70)90394-5.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Forger, Michael; Hartmann Römer (2004년 2월). “Currents and the energy-momentum tensor in classical field theory: a fresh look at an old problem”. 《Annals of Physics》 (영어) 309 (2): 306–389. arXiv:hep-th/0307199. doi:10.1016/j.aop.2003.08.011.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). 《The Noether theorems: invariance and conservation laws in the twentieth century》. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (영어). Springer. ISBN 978-0-387-87867-6.  Lanczos, C. (1970). 《The variational principles of mechanics》 (영어) 4판. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65067-7.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Olver, Peter (1993). 《Applications of Lie groups to differential equations》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 107 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4684-0274-2. ISBN 0-387-95000-1. Zbl 0785.58003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Byer, Nina (1999). 〈E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws〉. 《The Heritage of Emmy Noether》. Israel Mathematical Conference Proceedings (영어) 12. American Mathematical Society.  Ne'eman, Yuval (1999). 〈The impact of Emmy Noether's theorems on XXIst century physics〉. 《The Heritage of Emmy Noether》. Israel Mathematical Conference Proceedings (영어) 12. American Mathematical Society.  라그랑주 역학 워드-다카하시 항등식 해밀턴-야코비 방정식 “Noether theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Noether's Symmetry Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  박성찬 (2009년 3월 23일). “가장 위대한 여성 수학자: 뇌터”. 《Physics and Fun》. 2014년 7월 14일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 7월 5일에 확인함.