군 코호몰로지

군론에서 군 코호몰로지(群cohomology, 영어: group cohomology)와 군 호몰로지(群homology, 영어: group homology)는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다. 다음이 주어졌다고 하자. 군 G {\displaystyle G} . 이로부터 군환 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 를 정의할 수 있다. Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -왼쪽 가군 Z [ G ] M {\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}M} 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 계수 n {\displaystyle n} 차 군 호몰로지 H n ⁡ ( G ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;M)} 및 G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 계수 n {\displaystyle n} 차 군 코호몰로지 H n ⁡ ( G ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)} 는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다. 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다. 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다. 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다. 군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다. 구체적으로, 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 의 왼쪽 가군들의 범주 Z [ G ] Mod {\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}} 는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다. 다음과 같은 함자를 정의하자. ( − ) G : Z [ G ] Mod → Ab {\displaystyle (-)^{G}\colon {}_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab} } ( − ) G : M ↦ M G = ⋂ g ∈ G ker M ⁡ ( 1 − g ) = { m ∈ M : ∀ g ∈ M : m = g m } {\displaystyle (-)^{G}\colon M\mapsto M^{G}=\bigcap _{g\in G}\ker _{M}(1-g)=\{m\in M\colon \forall g\in M\colon m=gm\}} 즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다. ( − ) G {\displaystyle (-)^{G}} 는 왼쪽 완전 함자이다. 그 n {\displaystyle n} 번째 오른쪽 유도 함자를 G {\displaystyle G} 의 n {\displaystyle n} 차 군 코호몰로지라고 한다. H n ⁡ ( G ; − ) = R n ⁡ ( − ) G {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;-)=\operatorname {R} ^{n}(-)^{G}} 마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자. ( − ) G : Z [ G ] Mod → Ab {\displaystyle (-)_{G}\colon {}_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab} } ( − ) G : M ↦ M D ⁡ ( M ) {\displaystyle (-)_{G}\colon M\mapsto {\frac {M}{\operatorname {D} (M)}}} 여기서 D ⁡ ( M ) = ∑ g ∈ G ( 1 − g ) M ⊆ M {\displaystyle \operatorname {D} (M)=\sum _{g\in G}(1-g)M\subseteq M} 이다. 즉, M G {\displaystyle M_{G}} 는 M {\displaystyle M} 의 쌍대 불변량(영어: coinvariant)으로 구성된다. ( − ) G {\displaystyle (-)_{G}} 는 오른쪽 완전 함자이다. 그 n {\displaystyle n} 번째 왼쪽 유도 함자를 G {\displaystyle G} 의 n {\displaystyle n} 차 군 호몰로지라고 한다. H n ⁡ ( G ; − ) = L n ⁡ ( − ) G {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;-)=\operatorname {L} ^{n}(-)_{G}} 군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다. 구체적으로, 군 G {\displaystyle G} 및 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -왼쪽 가군 Z [ G ] M {\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 를 자명한 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 및 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여 g ⋅ n = n {\displaystyle g\cdot n=n} 이다.) 그렇다면, Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -왼쪽 가군의 범주 Z [ G ] Mod {\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}\operatorname {Mod} } 에서 Ext 함자를 취할 수 있다. G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다. H n ⁡ ( G ; M ) = Ext Z [ G ] n ⁡ ( Z , M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)} 마찬가지로, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 를 자명한 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 및 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여 n ⋅ g = n {\displaystyle n\cdot g=n} 이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 Z Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{\mathbb {Z} [G]}} 와 왼쪽 가군 Z [ G ] M {\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}M} 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다. G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다. H n ⁡ ( G ; M ) = Tor n Z [ G ] ⁡ ( Z , M ) {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)} G {\displaystyle G} 가 군이고 M {\displaystyle M} 이 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -가군이라고 하자. 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, n {\displaystyle n} 차 공사슬(共사슬, 영어: cochain)을 G n → M {\displaystyle G^{n}\to M} 함수로 정의하고, n {\displaystyle n} 차 공사슬의 집합을 C n ( G , M ) {\displaystyle C^{n}(G,M)} 으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 G n {\displaystyle G^{n}} 은 군의 직접곱 G × G × ⋯ × G {\displaystyle G\times G\times \dotsb \times G} 이다.) 공경계 준동형(共境界準同形, 영어: coboundary homomorphism) d n : C n ( G , M ) → C n + 1 ( G , M ) {\displaystyle d^{n}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)} 을 다음과 같이 정의하자. ( d n φ ) ( g 0 , … , g n ) = g 0 ⋅ φ ( g 1 , … , g n ) {\displaystyle \left(d^{n}\varphi \right)(g_{0},\dots ,g_{n})=g_{0}\cdot \varphi (g_{1},\dots ,g_{n})} + ∑ i = 1 n ( − 1 ) i φ ( g 0 , … , g i − 2 , g i − 1 g i , g i + 1 , … , g n ) {\displaystyle {}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi (g_{0},\dots ,g_{i-2},g_{i-1}g_{i},g_{i+1},\dots ,g_{n})} + ( − 1 ) n + 1 φ ( g 0 , … , g n − 1 ) {\displaystyle {}+(-1)^{n+1}\varphi (g_{0},\dots ,g_{n-1})} 이렇게 정의하면 d n + 1 ∘ d n = 0 {\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0} 임을 알 수 있다. 따라서 C n {\displaystyle C^{n}} 은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라 H n ⁡ ( G ; M ) = ker ⁡ d n im ⁡ d n − 1 {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)={\frac {\ker d^{n}}{\operatorname {im} d^{n-1}}}} 과 같이 코호몰로지 군 H n ⁡ ( G ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)} 을 정의할 수 있다. 이를 M {\displaystyle M} 계수를 가진 G {\displaystyle G} 의 n {\displaystyle n} 차 군 코호몰로지라고 한다. G {\displaystyle G} 가 군이고 M {\displaystyle M} 이 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -왼쪽 가군이라고 하자. 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, n {\displaystyle n} 차 사슬(영어: cochain)의 집합은 C n ( G ; M ) = Z [ G × n ] ⊗ Z M {\displaystyle C_{n}(G;M)=\mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes _{\mathbb {Z} }M} 이다. 그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, 영어: boundary homomorphism)을 정의하자. ∂ : ( g 1 , g 2 , … , g n , m ) ↦ ( g 2 , … , g n , m ) + ∑ i = 1 n − 1 ( − ) i ( g 1 , … , g i − 1 , g i g i + 1 , g i + 2 , … , g n , m ) + ( − ) n ( g 1 , … , g n − 1 , g n m ) {\displaystyle \partial \colon (g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{n},m)\mapsto (g_{2},\dotsc ,g_{n},m)+\sum _{i=1}^{n-1}(-)^{i}(g_{1},\dotsc ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\dotsc ,g_{n},m)+(-)^{n}(g_{1},\dotsc ,g_{n-1},g_{n}m)} 그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다. ⋯ → ∂ C 2 ( G ; M ) → ∂ C 1 ( G ; M ) → ∂ C 0 ( G ; M ) → 0 {\displaystyle \dotsb {\xrightarrow {\partial }}C_{2}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C_{1}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C_{0}(G;M)\to 0} (이는 막대 복합체 Bar n Z ⁡ ( Z , Z [ G ] , M ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)} 과 같다.) 그 호몰로지 군 H n ⁡ ( G ; M ) = ker ⁡ ∂ n im ⁡ ∂ n + 1 {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;M)={\frac {\ker \partial _{n}}{\operatorname {im} \partial _{n+1}}}} 을 M {\displaystyle M} 계수를 가진 G {\displaystyle G} 의 n {\displaystyle n} 차 군 호몰로지라고 한다. 구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다. 우선, 아벨 군의 아벨 범주 Ab = Mod Z {\displaystyle \operatorname {Ab} =\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} }} 에서, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -결합 대수 (즉, 환) Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 의 왼쪽 가군 Z [ G ] Z {\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} } 및 오른쪽 가군 Z [ G ] Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]_{\mathbb {Z} [G]}} 를 생각하자. 그렇다면, 물론 Z [ G ] ⊗ Z [ G ] Z ≅ Z {\displaystyle \mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} } 이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자. Bar n Z ⁡ ( Z [ G ] , Z [ G ] , Z ) = Z [ G ] ⊗ Z ⋯ ⊗ Z Z [ G ] ⏞ n + 1 ⊗ Z Z ≅ Z [ G × ⋯ × G ⏞ n ] {\displaystyle \operatorname {Bar} _{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )=\overbrace {\mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} }\dotsb \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [G]} ^{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} [\overbrace {G\times \dotsb \times G} ^{n}]} 그렇다면, ⋯ → ∂ Z [ G × G ] → ∂ Z [ G ] ↠ Z {\displaystyle \dotsb {\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G\times G]{\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G]\twoheadrightarrow \mathbb {Z} } 는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 분해를 이룬다. 막대 복합체의 모든 성분들은 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -사영 가군이므로, 막대 복합체 Bar ⁡ ( Z [ G ] , Z [ G ] , Z ) {\displaystyle \operatorname {Bar} (\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )} 는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 Ext Z [ G ] n ⁡ ( Z , M ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)} 은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다. 0 → hom Z [ G ] ⁡ ( Z [ G ] , M ) → hom Z [ G ] ⁡ ( Z [ G × G ] , M ) → ⋯ {\displaystyle 0\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],M)\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G\times G],M)\to \dotsb } 그런데 Z [ G × ( n + 1 ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]} 은 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다. hom Set ⁡ ( G × n , M ) → hom Z [ G ] ⁡ ( Z [ G × ( n + 1 ) ] , M ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}],M)} 여기서 hom Set ⁡ ( G × n , M ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)} 은 모든 함수 G n → M {\displaystyle G^{n}\to M} 의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 n {\displaystyle n} 차 공사슬의 집합과 같다. 마찬가지로, Tor 함자 Tor ∙ Z [ G ] ⁡ ( Z , M ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{\bullet }^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)} 은 Z Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{\mathbb {Z} [G]}} 의 사영 분해 Bar ∙ Z ⁡ ( Z , Z [ G ] , Z [ G ] ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G])} 를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체 Bar ∙ Z ⁡ ( Z , Z [ G ] , M ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)} 의 호몰로지로 계산된다. ⋯ → Z [ G × 3 ] ⊗ Z [ G ] M → Z [ G × 2 ] ⊗ Z [ G ] M → Z [ G ] ⊗ Z [ G ] M ≅ M {\displaystyle \dotsb \to \mathbb {Z} [G^{\times 3}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G^{\times 2}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\cong M} 그런데 Z [ G × ( n + 1 ) ] ⊗ Z [ G ] M ≅ Z [ G × n ] ⊗ Z M {\displaystyle \mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\cong \mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes _{\mathbb {Z} }M} 이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 n {\displaystyle n} 차 사슬의 집합과 같다. 군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다. C 0 ( G ; M ) = M {\displaystyle C^{0}(G;M)=M} C 1 ( G ; M ) = hom Set ⁡ ( G , M ) {\displaystyle C^{1}(G;M)=\hom _{\operatorname {Set} }(G,M)} C 2 ( G ; M ) = hom Set ⁡ ( G × G , M ) {\displaystyle C^{2}(G;M)=\hom _{\operatorname {Set} }(G\times G,M)} d 0 ( m ) : g ↦ g m − m ( m ∈ M , g ∈ G ) {\displaystyle \mathrm {d} ^{0}(m)\colon g\mapsto gm-m\qquad (m\in M,\;g\in G)} d 1 ( ϕ ) : ( g , h ) ↦ g ϕ ( h ) − ϕ ( g h ) + ϕ ( g ) ( g , h ∈ G , ϕ ∈ hom Set ⁡ ( G , M ) ) {\displaystyle \mathrm {d} ^{1}(\phi )\colon (g,h)\mapsto g\phi (h)-\phi (gh)+\phi (g)\qquad (g,h\in G,\;\phi \in \hom _{\operatorname {Set} }(G,M))} 마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다. C 0 ( G ; M ) = M {\displaystyle C_{0}(G;M)=M} C 1 ( G ; M ) = Z [ G ] ⊗ Z M {\displaystyle C_{1}(G;M)=\mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} }M} C 2 ( G ; M ) = Z [ G × G ] ⊗ Z {\displaystyle C_{2}(G;M)=\mathbb {Z} [G\times G]\otimes _{\mathbb {Z} }} ∂ 0 : C 1 ( G ; M ) → C 0 ( G ; M ) {\displaystyle \partial _{0}\colon C_{1}(G;M)\to C_{0}(G;M)} ∂ 1 : ( g , m ) ↦ m − g m {\displaystyle \partial _{1}\colon (g,m)\mapsto m-gm} ∂ 2 : ( g , h , m ) ↦ ( h , m ) − ( g h , m ) + ( g , h m ) {\displaystyle \partial _{2}\colon (g,h,m)\mapsto (h,m)-(gh,m)+(g,hm)} 이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.) 특히, 만약 G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다. H 0 ⁡ ( G ; M ) = M {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(G;M)=M} H 0 ⁡ ( G ; M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} _{0}(G;M)=0} H 1 ⁡ ( G ; M ) = hom Grp ⁡ ( G , M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(G;M)=\hom _{\operatorname {Grp} }(G,M)} 2차 군 코호몰로지 H 1 ⁡ ( G ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(G;M)} 는 군 ( G , ⋅ ) {\displaystyle (G,\cdot )} 의 아벨 군 ( M , + ) {\displaystyle (M,+)} 에 대한 확대들을 분류한다. 만약 G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 B G {\displaystyle \mathrm {B} G} 의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다. H k ⁡ ( G ; M ) = H k sing ⁡ ( B G ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(G;M)=\operatorname {H} _{k}^{\text{sing}}(\mathrm {B} G;M)} H k ⁡ ( G ; M ) = H sing k ⁡ ( B G ; M ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(G;M)=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{k}(\mathrm {B} G;M)} 증명: G {\displaystyle G} 의 분류 공간은 단체 집합 Bar ∙ Set ⁡ ( 1 , G , 1 ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Set} }(1,G,1)} 이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체 Bar ∙ Z ⁡ ( Z , Z [ G ] , Z ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )} 로 주어지며, M {\displaystyle M} 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체 Bar ∙ Z ⁡ ( Z , Z [ G ] , Z ) ⊗ Z M {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }M} 으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다. 마찬가지로, 분류 공간 B ⁡ G {\displaystyle \operatorname {B} G} 의 M {\displaystyle M} 계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체 hom Z ⁡ ( Bar ∙ Z ⁡ ( Z , Z [ G ] , Z ) , M ) {\displaystyle \hom _{\mathbb {Z} }\left(\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} ),M\right)} , 로 주어진다. 그런데 이는 G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 계수 군 코호몰로지와 같다. 보다 일반적으로, 만약 G {\displaystyle G} 의 작용이 자명하지 않다면, M {\displaystyle M} 은 B G {\displaystyle \mathrm {B} G} 위의 일종의 층 M _ {\displaystyle {\underline {M}}} 을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 G {\displaystyle G} 의 M {\displaystyle M} 계수 군 (코)호몰로지와 같다. H ∙ ⁡ ( G ; M ) ≅ H ∙ ⁡ ( B G ; M _ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})} H ∙ ⁡ ( G ; M ) ≅ H ∙ ⁡ ( B G ; M _ ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} _{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})} k {\displaystyle k} 개의 원소로 생성되는 자유군 F k {\displaystyle F_{k}} 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다. H n ⁡ ( F k ; M ) = H n ⁡ ( F k ; M ) = { M n = 0 M ⊕ k n = 1 0 n > 1 {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(F_{k};M)=\operatorname {H} _{n}(F_{k};M)={\begin{cases}M&n=0\\M^{\oplus k}&n=1\\0&n>1\end{cases}}} k {\displaystyle k} 차 순환군 Cyc ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (k)} 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다. H n ⁡ ( Cyc ⁡ ( k ) ; M ) = H n ⁡ ( Cyc ⁡ ( k ) ; M ) = { M n = 0 ( ker ⁡ n ) ⊆ M 2 ∤ n M / n M 2 ∣ n > 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)=\operatorname {H} _{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)={\begin{cases}M&n=0\\(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\M/nM&2\mid n>0\\\end{cases}}} 여기서 ker ⁡ n = { m ∈ M : n m = 0 } {\displaystyle \ker n=\{m\in M\colon nm=0\}} 은 M {\displaystyle M} 의 n {\displaystyle n} -꼬임 부분군이다. 이는 순환군의 분류 공간인 S ∞ / Cyc ⁡ ( k ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (k)} 의 특이 호몰로지와 같다. 특히, k = 2 {\displaystyle k=2} 일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 RP ∞ {\displaystyle \operatorname {RP} ^{\infty }} 의 특이 호몰로지이다. k {\displaystyle k} 차 자유 아벨 군 Z ⊕ k {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus k}} 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다. H n ⁡ ( Z ⊕ k ; M ) = H n ⁡ ( Z ⊕ k ; M ) = M ⊕ ( k n ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=\operatorname {H} _{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=M^{\oplus {\binom {k}{n}}}} 여기서 ( k n ) {\displaystyle \textstyle {\binom {k}{n}}} 은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 T k {\displaystyle \mathbb {T} ^{k}} 의 특이 호몰로지와 같다. 포스트니코프 탑 Isaksen, Daniel C. (2002년 11월). “A cohomological viewpoint on elementary school arithmetic” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 109 (9): 796–805. doi:10.2307/3072368. ISSN 0002-9890. JSTOR 3072368. MR 1933702. Zbl 1026.20029. 2014년 1월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 1월 16일에 확인함.  Adem, Alejandro; Milgram, R. James (2004). 《Cohomology of finite groups》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 309 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-06280-7. ISBN 978-3-540-20283-7. ISSN 0072-7830. MR 2035696. Zbl 1061.20044.  Brown, Kenneth Stephen (1982). 《Cohomology of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 87. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9327-6. ISBN 978-0-387-90688-1. ISSN 0072-5285. MR 0672956. Zbl 0584.20036.  Rotman, Joseph (1995). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94285-8. MR 1307623. Zbl 0810.20001.  “Cohomology of groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Group cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Cohomology group”. 《Groupprops》 (영어).  “First cohomology group”. 《Groupprops》 (영어).  “Second cohomology group”. 《Groupprops》 (영어).  “Second cohomology group for trivial group action”. 《Groupprops》 (영어).  “Group cohomology of finite cyclic groups”. 《Groupprops》 (영어).  “Group cohomology of Klein four-group”. 《Groupprops》 (영어).  “Group cohomology of elementary abelian groups”. 《Groupprops》 (영어).  “Group cohomology of dicyclic groups”. 《Groupprops》 (영어).  “Group cohomology of symmetric groups”. 《Groupprops》 (영어).  “Group cohomology of free groups”. 《Groupprops》 (영어).  “Homology group”. 《Groupprops》 (영어).  “Homology group for trivial group action”. 《Groupprops》 (영어).  “Group cohomology of elementary abelian groups”. 《Groupprops》 (영어).  Sharifi, Romyar. “Group and Galois cohomology” (PDF) (영어). 2014년 2월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 4월 1일에 확인함.  Milne, James S. (2013년 3월 23일). 《Class field theory》 (PDF) (영어) 4.02판. 2013년 6월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 4월 1일에 확인함.  Buzzard, Kevin (2012년 2월 9일). “Notes on the definitions of group cohomology and homology” (PDF) (영어).  Conrad, Brian. “The bar resolution” (PDF) (영어).  “Kuenneth-formula for group cohomology with nontrivial action on the coefficient”. 《Math Overflow》 (영어).