아이디얼 몫

가환대수학에서 아이디얼 몫(영어: ideal quotient)은 같은 가환환 속의 두 아이디얼에 대하여 정의되는 이항 연산이다. 이는 아이디얼에 대한, 나눗셈의 일반화이다. 대수기하학에서, 이는 두 부분 대수다양체의 ‘차집합’에 해당한다. (대수기하학에서 아이디얼의 곱셈은 대략 부분 대수다양체의 ‘합집합’에 해당하며, 이는 그 역연산에 ‘가장 가까운’ 연산이다.) 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 i , j ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}\subseteq R} 가 주어졌다고 하자. 그 몫 아이디얼은 다음과 같은 부분 집합이다. ( i : j ) = { r ∈ R : r j ⊆ i } {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})=\{r\in R\colon r{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}\}} 이는 R {\displaystyle R} 의 아이디얼을 이룬다. 증명: 다음 조건들을 모두 증명하면 족하다. ( i : j ) {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})} 가 덧셈에 대하여 가환 모노이드를 이룸: 만약 r , s ∈ ( i : j ) {\displaystyle r,s\in ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})} 라면, ( r + s ) j ⊆ r j + s j ⊆ i + i = i {\displaystyle (r+s){\mathfrak {j}}\subseteq r{\mathfrak {j}}+s{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}+{\mathfrak {i}}={\mathfrak {i}}} ( i : j ) {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})} 가 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룸: 만약 r ∈ ( i : j ) {\displaystyle r\in ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})} 라면, ( − r ) j = r ( − j ) = r j ⊆ i {\displaystyle (-r){\mathfrak {j}}=r(-{\mathfrak {j}})=r{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}} ( i : j ) {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})} 가 R {\displaystyle R} 의 가군을 이룸: 만약 r ∈ ( i : j ) {\displaystyle r\in ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})} 이며 s ∈ R {\displaystyle s\in R} 라면, ( s r ) j = r ( s j ) ⊆ r j ⊆ i {\displaystyle (sr){\mathfrak {j}}=r(s{\mathfrak {j}})\subseteq r{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}} 다음이 성립한다. ( i : R ) = i {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:R)={\mathfrak {i}}} ( R : j ) = R {\displaystyle (R:{\mathfrak {j}})=R} ( 0 : j ) = Ann R ⁡ ( j ) {\displaystyle (0:{\mathfrak {j}})=\operatorname {Ann} _{R}({\mathfrak {j}})} (아이디얼의 소멸자) ( i : 0 ) = R {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:0)=R} 보다 일반적으로, 만약 j ⊆ i {\displaystyle {\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}} 라면, 다음이 성립한다. ( i : j ) = R {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})=R} 기하학적으로, 이는 만약 J ⊇ I {\displaystyle J\supseteq I} 일 때 I ∖ J = ∅ {\displaystyle I\setminus J=\varnothing } 임에 해당한다. 아이디얼 몫은 다음과 같은 ‘분배 법칙’을 따른다. ( i : ( j + k ) ) = ( i : j ) ∩ ( i : k ) {\displaystyle ({\mathfrak {i}}:({\mathfrak {j}}+{\mathfrak {k}}))=({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})\cap ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {k}})} 대수기하학적으로, 아이디얼의 합은 대략 부분 대수다양체의 교집합에 해당하며, 아이디얼의 교집합은 대략 부분 대수다양체의 합집합에 해당한다. 따라서 이는 집합론적 항등식 I ∖ ( J ∩ K ) = ( I ∖ J ) ∪ ( I ∖ K ) {\displaystyle I\setminus (J\cap K)=(I\setminus J)\cup (I\setminus K)} 에 해당한다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 다항식환 K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 의 두 아이디얼 i , j ⊆ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}\subseteq K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 이 주어졌다고 하자. 또한, i = i {\displaystyle {\mathfrak {i}}={\sqrt {\mathfrak {i}}}} 라고 하자 (즉, i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} 는 스스로의 소근기와 일치한다). 그렇다면, 다음이 성립한다. Z ( i : J ) = cl ⁡ ( Z ( i ) ∖ Z ( j ) ) {\displaystyle Z({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {J}})=\operatorname {cl} (Z({\mathfrak {i}})\setminus Z({\mathfrak {j}}))} 여기서 cl ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {cl} (-)} 은 자리스키 위상에서 부분 집합의 폐포이다. Z ( j ) {\displaystyle Z({\mathfrak {j}})} 는 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 가운데 p / j ∈ Spec ⁡ ( R / j ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}/{\mathfrak {j}}\in \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {j}})} 인 것이다. 즉, 이는 j {\displaystyle {\mathfrak {j}}} 에 대응하는 부분 대수다양체의 점들이다. 예를 들어, C [ x , y , z ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]} (복소수 3차원 아핀 공간) 속의 아이디얼 ( x y z ) {\displaystyle (xyz)} ( x {\displaystyle x} 평면· y {\displaystyle y} 평면 · z {\displaystyle z} 평면의 합집합)와 ( x y ) {\displaystyle (xy)} ( x {\displaystyle x} 평면과 y {\displaystyle y} 평면의 합집합)를 생각하자. 이 경우 ( ( x y z ) : ( x y ) ) = ( z ) {\displaystyle ((xyz):(xy))=(z)} 이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 이 경우 아이디얼 몫은 다음과 같다. ( ( m ) : ( n ) ) = ( m gcd { m , n } ) {\displaystyle ((m):(n))=\left({\frac {m}{\gcd\{m,n\}}}\right)} 여기서 gcd {\displaystyle \gcd } 는 최대공약수이다. 또한, gcd { m , 0 } = m {\displaystyle \gcd\{m,0\}=m} 0 0 = 1 {\displaystyle {\frac {0}{0}}=1} 로 간주한다. 즉, 풀어 쓴다면 ( ( m ) : ( n ) ) = { ( m / gcd { m , n } ) m ≠ 0 ≠ n ( 1 ) n = 0 ( 0 ) m = 0 ≠ n {\displaystyle ((m):(n))={\begin{cases}(m/\gcd\{m,n\})&m\neq 0\neq n\\(1)&n=0\\(0)&m=0\neq n\end{cases}}} 이다. 특히, 만약 m {\displaystyle m} 이 n {\displaystyle n} 의 배수일 경우 ( ( m ) : ( n ) ) = ( m / n ) {\displaystyle ((m):(n))=(m/n)} 이 된다. 반면, 만약 m {\displaystyle m} 과 n {\displaystyle n} 이 서로소인 경우 ( ( m ) : ( n ) ) = ( m ) {\displaystyle ((m):(n))=(m)} 이다. Weisstein, Eric Wolfgang. “Ideal quotient”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Tsumura, Yu (2016년 11월 29일). “Ideal quotient (colon ideal) is an ideal”. 《Problems in Mathematics》 (영어).