쌍가군

환론에서 쌍가군(雙加群, 영어: bimodule 바이모듈[*])은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다. 환 R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군(영어: ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -bimodule) R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 아벨 군 ( M , + ) {\displaystyle (M,+)} M {\displaystyle M} 위의 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 구조 R M {\displaystyle _{R}M} M {\displaystyle M} 위의 S {\displaystyle S} -오른쪽 가군 구조 M S {\displaystyle M_{S}} 이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다. 모든 r ∈ R {\displaystyle r\in R} , s ∈ S {\displaystyle s\in S} , m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, ( r m ) s = r ( m s ) {\displaystyle (rm)s=r(ms)} 보다 일반적으로, 가환환 K {\displaystyle K} 와 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 아벨 군 ( M , + ) {\displaystyle (M,+)} M {\displaystyle M} 위의 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 구조 R M {\displaystyle _{R}M} M {\displaystyle M} 위의 S {\displaystyle S} -오른쪽 가군 구조 M S {\displaystyle M_{S}} 이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다. 모든 r ∈ R {\displaystyle r\in R} , s ∈ S {\displaystyle s\in S} , m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, ( r m ) s = r ( m s ) {\displaystyle (rm)s=r(ms)} 모든 k ∈ K {\displaystyle k\in K} 에 대하여, k m = m k {\displaystyle km=mk} ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군은 K = Z {\displaystyle K=\mathbb {Z} } 일 때 ( Z ; R , S ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,S)} -쌍가군의 개념과 같다. 두 ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} , R N S {\displaystyle _{R}N_{S}} 사이의 쌍가군 준동형(영어: bimodule homomorphism) ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다. ϕ {\displaystyle \phi } 는 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, r ϕ ( m ) = ϕ ( r m ) ∀ r ∈ R , m ∈ M {\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\;\forall r\in R,\;m\in M} 이다. ϕ {\displaystyle \phi } 는 S {\displaystyle S} -오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, ϕ ( m ) s = ϕ ( m s ) ∀ s ∈ S , m ∈ M {\displaystyle \phi (m)s=\phi (ms)\;\forall s\in S,\;m\in M} 이다. 다음 네 개념들이 서로 동치이다. ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군 ( K ; S op , R op ) {\displaystyle (K;S^{\operatorname {op} },R^{\operatorname {op} })} -쌍가군 R ⊗ K S op {\displaystyle R\otimes _{K}S^{\operatorname {op} }} -왼쪽 가군 R op ⊗ K S {\displaystyle R^{\operatorname {op} }\otimes _{K}S} -오른쪽 가군 (여기서 ( − ) op {\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }} 는 반대환을 뜻한다.) 다음 세 개념들이 서로 동치이다. 아벨 군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -가군 ( Z , Z ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )} -쌍가군 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 R op {\displaystyle R^{\operatorname {op} }} -오른쪽 가군 ( R , Z ) {\displaystyle (R,\mathbb {Z} )} -쌍가군 ( Z , R op ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,R^{\operatorname {op} })} -쌍가군 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} -오른쪽 가군 R op {\displaystyle R^{\operatorname {op} }} -왼쪽 가군 ( Z , R ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,R)} -쌍가군 ( R op , Z ) {\displaystyle (R^{\operatorname {op} },\mathbb {Z} )} -쌍가군 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} -가군 ( R ; R , R ) {\displaystyle (R;R,R)} -쌍가군 ( Z , R ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,R)} -쌍가군 ( R , Z ) {\displaystyle (R,\mathbb {Z} )} -쌍가군 또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군 준동형은 R ⊗ K S op {\displaystyle R\otimes _{K}S^{\operatorname {op} }} -왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다. 즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다. 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 모든 R {\displaystyle R} -가군 (즉, ( R ; R , R ) {\displaystyle (R;R,R)} -쌍가군)은 망각을 통하여 ( Z ; R , R ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,R)} -쌍가군을 이루지만, 일반적으로 ( R ; R , R ) {\displaystyle (R;R,R)} -쌍가군이 아닌 ( Z ; R , R ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,R)} -쌍가군이 존재한다. ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 및 ( S , T ) {\displaystyle (S,T)} -쌍가군 S N T {\displaystyle _{S}N_{T}} 이 주어졌을 때, 텐서곱 R M ⊗ S N T {\displaystyle _{R}M\otimes _{S}N_{T}} 은 자연스럽게 ( R , T ) {\displaystyle (R,T)} -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자 ( R M ⊗ S − ) : S Mod T → R Mod T {\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}} ( − ⊗ S N T ) : R Mod S → R Mod T {\displaystyle (-\otimes _{S}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}} 를 정의한다. 또한, ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 및 ( R , T ) {\displaystyle (R,T)} -쌍가군 R N T {\displaystyle _{R}N_{T}} 가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군 hom R Mod ⁡ ( R M S , R N T ) {\displaystyle \hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})} 은 ( s f t ) ( m ) = ( f ( m s ) ) t ∀ s ∈ S , t ∈ T , m ∈ M , f ∈ hom R Mod ⁡ ( R M S , R N T ) {\displaystyle (sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad \forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})} 를 통해 ( S , T ) {\displaystyle (S,T)} -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자 hom R ⁡ ( R M S , − ) : R Mod T → S Mod T {\displaystyle \hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}} hom R ⁡ ( − , R N T ) : R Mod S → S Mod T op {\displaystyle \hom _{R}(-,{}_{R}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}^{\operatorname {op} }} 를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 및 ( T , S ) {\displaystyle (T,S)} -쌍가군 T N S {\displaystyle _{T}N_{S}} 가 주어졌을 때, 준동형군 hom Mod S ⁡ ( R M S , T N S ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})} 은 ( t f r ) ( m ) = t ( f ( r m ) ) ∀ r ∈ R , t ∈ T , m ∈ M , f ∈ hom Mod S ⁡ ( R M S , T N S ) {\displaystyle (tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad \forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})} 를 통해 ( T , R ) {\displaystyle (T,R)} 쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자 hom S ⁡ ( R M S , − ) : T Mod S → T Mod R {\displaystyle \hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{T}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}} hom S ⁡ ( − , T N S ) : R Mod S → T Mod R op {\displaystyle \hom _{S}(-,{}_{T}N_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }} 를 정의한다. 이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다. ( R M ⊗ S − ) ⊣ hom R ⁡ ( R M S , − ) {\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)} ( − ⊗ R M S ) ⊣ hom S ⁡ ( R M S , − ) {\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)} 특히, T = Z {\displaystyle T=\mathbb {Z} } 또는 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 또는 S = Z {\displaystyle S=\mathbb {Z} } 를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다. ( R M ⊗ S − ) : S Mod → R Mod {\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to {}_{R}\operatorname {Mod} } ( − ⊗ R M S ) : Mod R → Mod S {\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Mod} _{S}} hom R ⁡ ( R M S , − ) : R Mod → S Mod {\displaystyle \hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to {}_{S}\operatorname {Mod} } hom R ⁡ ( − , R M S ) : R Mod → Mod S op {\displaystyle \hom _{R}(-,{}_{R}M_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{S}^{\operatorname {op} }} hom S ⁡ ( R M S , − ) : Mod S → Mod R {\displaystyle \hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R}} hom S ⁡ ( − , R M S ) : Mod S → R Mod op {\displaystyle \hom _{S}(-,{}_{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }} ( R M ⊗ S ) ⊣ hom R ⁡ ( R M S , − ) {\displaystyle (_{R}M\otimes _{S})\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)} ( − ⊗ R M S ) ⊣ hom S ⁡ ( R M S , − ) {\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)} 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 와 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 에 대하여, ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군을 대상으로 하고, ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 R K -uAssocAlg S {\displaystyle _{R}K{\text{-uAssocAlg}}_{S}} 가 존재한다. K = Z {\displaystyle K=\mathbb {Z} } 인 경우 이는 단순히 R Mod S {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} _{S}} 로 표기한다. 보다 일반적으로, 가환환 K {\displaystyle K} 에 대하여 다음과 같은 2-범주 Bimod K {\displaystyle \operatorname {Bimod} _{K}} 가 존재한다. Bimod K {\displaystyle \operatorname {Bimod} _{K}} 의 대상은 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수이다. (즉, K -uAssocAlg {\displaystyle K{\text{-uAssocAlg}}} 의 대상과 같다.) Bimod K {\displaystyle \operatorname {Bimod} _{K}} 에서, 단위 결합 대수 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 사이의 1-사상은 ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 이다. R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 의 정의역은 R {\displaystyle R} , 공역은 S {\displaystyle S} 이다. 두 쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} , S N T {\displaystyle _{S}N_{T}} 의 합성은 쌍가군의 텐서곱 R M ⊗ S N T {\displaystyle _{R}M\otimes _{S}N_{T}} 이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 항등 사상은 R R R {\displaystyle _{R}R_{R}} 이다. 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} , R N S {\displaystyle _{R}N_{S}} 사이의 2-사상은 ( K ; R , S ) {\displaystyle (K;R,S)} -쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 hom Bimod ⁡ ( R , S ) = R K -uAssocAlg S {\displaystyle \hom _{\operatorname {Bimod} }(R,S)={}_{R}K{\text{-uAssocAlg}}_{S}} 이다. 환 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 아이디얼은 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 R {\displaystyle R} -오른쪽 가군을 이룬다. R {\displaystyle R} 의 양쪽 아이디얼 a ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R} 은 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군을 이룬다. 특히, R {\displaystyle R} 전체는 R {\displaystyle R} 의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군을 이룬다. 보다 일반적으로, 가환환 K {\displaystyle K} 위의 단위 결합 대수 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, K {\displaystyle K} -가군을 이루는 R {\displaystyle R} -양쪽 아이디얼 a ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R} 는 ( K ; R , R ) {\displaystyle (K;R,R)} -쌍가군을 이룬다. 특히, R {\displaystyle R} 전체는 ( K ; R , R ) {\displaystyle (K;R,R)} -쌍가군을 이룬다. ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 및 R {\displaystyle R} 의 부분환 R ~ ⊆ R {\displaystyle {\tilde {R}}\subseteq R} 와 S {\displaystyle S} 의 부분환 S ~ ⊆ S {\displaystyle {\tilde {S}}\subseteq S} 가 주어졌을 때, M {\displaystyle M} 은 망각을 통해 자연스럽게 R ~ M S ~ {\displaystyle _{\tilde {R}}M_{\tilde {S}}} -쌍가군을 이룬다. 특히, 환 R {\displaystyle R} 의 부분환 R ~ ⊆ R {\displaystyle {\tilde {R}}\subseteq R} 가 주어졌을 때, 쌍가군 R R R {\displaystyle _{R}R_{R}} 에 망각을 가하여 쌍가군 R ~ R R {\displaystyle _{\tilde {R}}R_{R}} 및 R R R ~ {\displaystyle _{R}R_{\tilde {R}}} 및 R ~ R R ~ {\displaystyle _{\tilde {R}}R_{\tilde {R}}} 를 정의할 수 있다. 환 R {\displaystyle R} 위의 오른쪽 가군 M R {\displaystyle M_{R}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 는 가법 범주이므로 M R {\displaystyle M_{R}} 의 자기 사상 집합 End Mod R ⁡ ( M R ) = hom Mod R ⁡ ( M R , M R ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R})=\hom _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R},M_{R})} 는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은 M R {\displaystyle M_{R}} 의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 M R {\displaystyle M_{R}} 는 ( End ⁡ M , R ) {\displaystyle (\operatorname {End} M,R)} -쌍가군을 이룬다. 마찬가지로, R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 은 자연스럽게 ( R , ( End ⁡ M ) op ) {\displaystyle \left(R,(\operatorname {End} M)^{\operatorname {op} }\right)} -쌍가군을 이룬다. 이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다. 환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬로 구성된 아벨 군 Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)} 을 생각하자. 만약 m = n {\displaystyle m=n} 이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) Mat ⁡ ( n , n ; R ) = Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;R)=\operatorname {Mat} (n;R)} 는 환을 이룬다. 행렬의 곱셈은 자연스러운 R {\displaystyle R} -쌍선형 함수 Mat ⁡ ( m , n ; R ) ⊗ R Mat ⁡ ( n , p ; R ) → Mat ⁡ ( m , p ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)\otimes _{R}\operatorname {Mat} (n,p;R)\to \operatorname {Mat} (m,p;R)} 를 이룬다. 이에 따라, Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)} 는 자연스럽게 ( Mat ⁡ ( m ; R ) , Mat ⁡ ( n ; R ) ) {\displaystyle (\operatorname {Mat} (m;R),\operatorname {Mat} (n;R))} -쌍가군을 이룬다. 물론, R {\displaystyle R} 는 (대각 행렬로서) Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 의 부분환을 이룬다. 이에 따라, Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)} 는 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군을 이룬다. 이 경우, Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)} 는 단순히 자유 가군 R m n ⊕ {\displaystyle R^{mn\oplus }} 으로 생각할 수 있다. 쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다. 쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다. “Bimodule”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Bimodule”. 《nLab》 (영어).  Yuan, Qiaochu (2012년 2월 16일). “Morita equivalence and the bicategory of bimodules”. 《Annoying Precision》 (영어). 2015년 9월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 14일에 확인함.