정상 집합

집합론에서 클럽 집합(club集合, 영어: club set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, 정상 집합(定常集合, 영어: stationary set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다. 극한 순서수 α {\displaystyle \alpha } 가 주어졌다고 하자. 부분 집합 C ⊆ α {\displaystyle C\subseteq \alpha } 가 다음 두 조건을 만족시키면 α {\displaystyle \alpha } -클럽 집합(영어: α {\displaystyle \alpha } -club set)이라고 한다. 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 0 < β < α {\displaystyle 0<\beta <\alpha } 에 대하여, sup ( C ∩ β ) = β {\displaystyle \sup(C\cap \beta )=\beta } 라면, β ∈ C {\displaystyle \beta \in C} 이다. sup Ord C = α {\displaystyle \textstyle \sup _{\operatorname {Ord} }C=\alpha } 이다. 즉, 임의의 순서수 β < α {\displaystyle \beta <\alpha } 에 대하여, β < β ′ ∈ C {\displaystyle \beta <\beta '\in C} 가 존재한다. 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 부분 집합 S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } 가 주어졌으며, κ {\displaystyle \kappa } 의 공종도가 비가산이라고 하자. 만약 S {\displaystyle S} 와 임의의 κ {\displaystyle \kappa } -클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, S {\displaystyle S} 를 정상 집합이라고 한다. 클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 두 κ {\displaystyle \kappa } -클럽 집합 C , C ′ ⊆ κ {\displaystyle C,C'\subseteq \kappa } 가 주어졌을 때, C ∩ C ′ {\displaystyle C\cap C'} 역시 κ {\displaystyle \kappa } -클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다. 이를 κ {\displaystyle \kappa } 의 클럽 필터(영어: club filter)라고 한다. 클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 κ {\displaystyle \kappa } -정상 집합 S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } 와 κ {\displaystyle \kappa } -클럽 집합 C ⊆ κ {\displaystyle C\subseteq \kappa } 가 주어졌을 때, S ∩ C {\displaystyle S\cap C} 역시 정상 집합이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 정칙 비가산 기수 κ {\displaystyle \kappa } 정상 집합 S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } 그렇다면, 솔로베이 정상 집합 분할 정리(Solovay定常集合分割定理, 영어: Solovay’s theorem on partitions of stationary sets)에 따르면, S {\displaystyle S} 는 κ {\displaystyle \kappa } 개의 정상 집합들로 분할될 수 있다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 정칙 비가산 기수 κ {\displaystyle \kappa } 정상 집합 S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } 함수 f : S → κ {\displaystyle f\colon S\to \kappa } 또한, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0 < α ∈ S {\displaystyle 0<\alpha \in S} 에 대하여, f ( α ) < α {\displaystyle f(\alpha )<\alpha } 포도르 정리(영어: Fodor’s theorem)에 따르면, f | S ′ = α ′ {\displaystyle f|_{S'}=\alpha '} 인 정상 부분 집합 S ′ ⊆ S {\displaystyle S'\subseteq S} 와 순서수 α ′ < κ {\displaystyle \alpha '<\kappa } 가 존재한다.:Theorem 1.5 κ {\displaystyle \kappa } -정상 집합들의 모임을 S κ {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\kappa }} 로 표기하자. 기수의 모임 Card {\displaystyle \operatorname {Card} } 의 부분 모임 P ⊆ Card {\displaystyle P\subseteq \operatorname {Card} } 에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다. κ ∈ Mahlo ⁡ ( P ) ⟺ ( κ ∈ P ) ∧ ( κ ∩ P ∈ S κ ) ∧ cf ⁡ ( κ ) > ω {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)\iff (\kappa \in P)\land (\kappa \cap P\in {\mathfrak {S}}_{\kappa })\land \operatorname {cf} (\kappa )>\omega } 이를 말로 연산(Mahlo演算, 영어: Mahlo operation)이라고 한다.:18 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 말로 기수(Mahlo基數, 영어: Mahlo cardinal)라고 한다. 만약 P {\displaystyle P} 가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, κ ∈ Mahlo ⁡ ( P ) {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)} 이다.:21 임의의 R ⊆ V κ {\displaystyle R\subseteq V_{\kappa }} 에 대하여, ⟨ V α , ∈ , R ∩ V α ⟩ ≺ ⟨ V κ , ∈ , R ⟩ {\displaystyle \langle V_{\alpha },\in ,R\cap V_{\alpha }\rangle \prec \langle V_{\kappa },\in ,R\rangle } 가 되는 도달 불가능한 기수 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } 가 존재한다.:57, Proposition 6.2(b) 여기서 V α {\displaystyle V_{\alpha }} 는 폰 노이만 전체의 단계이며, ⟨ V κ , ∈ , R ⟩ {\displaystyle \langle V_{\kappa },\in ,R\rangle } 는 이항 연산 ∈ {\displaystyle \in } 과 상수 기호 R {\displaystyle R} 를 갖춘 구조이며, ≺ {\displaystyle \prec } 는 기본 매장의 존재를 의미한다. 마찬가지로, 만약 P {\displaystyle P} 가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, Mahlo ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Mahlo} (P)} 의 원소를 약한 말로 기수(弱-Mahlo基數, 영어: weakly Mahlo cardinal)라고 한다.:17 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,:18 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다. 말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다. Mahlo α ⁡ ( P ) = { Mahlo ⁡ ( Mahlo β ⁡ ( P ) ) β + 1 = α P ∩ ⋂ β < α Mahlo β ⁡ ( P ) ∄ β ∈ Ord : β + 1 = α {\displaystyle \operatorname {Mahlo} ^{\alpha }(P)={\begin{cases}\operatorname {Mahlo} (\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P))&\beta +1=\alpha \\P\cap \bigcap _{\beta <\alpha }\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P)&\nexists \beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}} 이를 사용하여, α {\displaystyle \alpha } -말로 기수의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다. 말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.) 기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.) 도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.:§9 Inaccble ⊇ Mahlo ⁡ ( Inaccble ) ⊇ Measble ⊇ Mahlo ⁡ ( Measble ) ⊇ Supercomp ⊇ Mahlo ⁡ ( Supercomp ) ⊇ Extble ⊇ Mahlo ⁡ ( Extble ) ⊇ Superhuge {\displaystyle \operatorname {Inaccble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Inaccble} )\supseteq \operatorname {Measble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Measble} )\supseteq \operatorname {Supercomp} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Supercomp} )\supseteq \operatorname {Extble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Extble} )\supseteq \operatorname {Superhuge} } 여기서 Inaccble {\displaystyle \operatorname {Inaccble} } : 도달 불가능한 기수의 모임 Measble {\displaystyle \operatorname {Measble} } : 가측 기수의 모임 Supercomp {\displaystyle \operatorname {Supercomp} } : 초콤팩트 기수의 모임 Extble {\displaystyle \operatorname {Extble} } : 확장 가능 기수(영어: extendible cardinal)의 모임 Superhuge {\displaystyle \operatorname {Superhuge} } : 초거대 기수(영어: superhuge cardinal)의 모임 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 κ {\displaystyle \kappa } -정상 집합 S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } 에 대하여, ( κ , S ) {\displaystyle (\kappa ,S)} -다이아몬드 집합렬(영어: ( κ , S ) {\displaystyle (\kappa ,S)} -diamond sequence) A : S → P ( κ ) {\displaystyle A\colon S\to {\mathcal {P}}(\kappa )} 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. 임의의 α ∈ S {\displaystyle \alpha \in S} 에 대하여, A α ⊆ α {\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha } 임의의 T ⊆ κ {\displaystyle T\subseteq \kappa } 에 대하여, { α ∈ S : T ∩ α = A α } {\displaystyle \{\alpha \in S\colon T\cap \alpha =A_{\alpha }\}} 는 κ {\displaystyle \kappa } -정상 집합이다. ( κ , S ) {\displaystyle (\kappa ,S)} -다이아몬드 원리( ( κ , S ) {\displaystyle (\kappa ,S)} -diamond原理, 영어: ( κ , S ) {\displaystyle (\kappa ,S)} -diamond principle) ♢ κ ( S ) {\displaystyle \diamondsuit _{\kappa }(S)} 는 ( κ , S ) {\displaystyle (\kappa ,S)} -다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다. ♢ ω 1 ( ω 1 ) {\displaystyle \diamondsuit _{\omega _{1}}(\omega _{1})} 은 흔히 다이아몬드 원리 ♢ {\displaystyle \diamondsuit } 라고 표기한다. 구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다. V = L ⟹ ♢ ⟹ ( ¬ S H ∧ C H ) {\displaystyle V=L\implies \diamondsuit \implies (\lnot {\mathsf {SH}}\land {\mathsf {CH}})} 즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다. 1911년에 프리드리히 파울 말로(독일어: Friedrich Paul Mahlo, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ0-수"(독일어: ρ0-Zahl)라는 이름으로 1911년에 도입하였다. 정상 집합의 개념은 제라르 블로크(프랑스어: Gérard Bloch)가 1953년에 도입하였다.:§1.1 포도르 정리는 포도르 게저(헝가리어: Fodor Géza, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다. 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다. 다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen, 1936~)이 1972년에 도입하였다. "클럽 집합"(영어: club set)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(영어: closed and unbounded)의 머리글자를 딴 것이다.:Definition 1.1 Jech, Thomas (2010). 〈Stationary sets〉 (PDF). Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro. 《Handbook of set theory》 (영어). Springer-Verlag. 93–128쪽. doi:10.1007/978-1-4020-5764-9_2. ISBN 978-1-4020-4843-2. 2016년 4월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함.  Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Shulman, Michael A. (2008). “Set theory for category theory” (영어). arXiv:0810.1279. Bibcode:2008arXiv0810.1279S.  Rinot, Assaf (2011). 〈Jensen’s diamond principle and its relatives〉. Babinkostova, L.; Caicedo, A. E.; Geschke, S.; Scheepers, M. 《Set Theory and Its Applications》. Contemporary Mathematics (영어) 533. arXiv:0911.2151. 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