벡터 값 미분 형식

미분기하학에서 벡터 값 미분 형식(vector값微分形式, 영어: vector-valued differential form)의 개념은 미분 형식의 개념의 일종의 일반화이다. 벡터 값 미분 형식은 미분 형식 다발과 임의의 벡터 다발과의 텐서곱 다발의 단면이며, 일종의 "뒤틀린 미분 형식"으로 여겨질 수 있다. 그 위에는 당김과 쐐기곱이 정의되지만, 일반적으로 외미분은 정의되지 않는다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} 그렇다면, M {\displaystyle M} 위의 E {\displaystyle E} 값 미분 형식들의 벡터 다발은 다음과 같다. E ⊗ ⨁ p = 0 dim ⁡ M ⋀ p T ∗ M {\displaystyle E\otimes \bigoplus _{p=0}^{\dim M}\bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{*}M} 즉, E {\displaystyle E} 값의 p {\displaystyle p} 차 미분 형식은 다음 단면 공간의 원소이다. Ω p ( M ; E ) = Γ ( E ⊗ ⋀ p T ∗ M ) = Ω p ( M ) ⊗ Ω 0 ( M ) Γ ( E ) {\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)=\Gamma \left(E\otimes \bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{*}M\right)=\Omega ^{p}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (E)} 특히, Ω 0 ( M ; E ) = Γ ( E ) {\displaystyle \Omega ^{0}(M;E)=\Gamma (E)} 이며, 또한 자명한 벡터 다발 E = M × R {\displaystyle E=M\times \mathbb {R} } 에 대하여 Ω p ( M ; E ) = Ω p ( M ) {\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)=\Omega ^{p}(M)} 이다. 만약 E = M × V {\displaystyle E=M\times V} 가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통 Ω p ( M ; E ) {\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)} 를 Ω p ( M ; V ) {\displaystyle \Omega ^{p}(M;V)} 로도 표기한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 매끄러운 함수 f : N → M {\displaystyle f\colon N\to M} M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} M {\displaystyle M} 위의, E {\displaystyle E} 값의 p {\displaystyle p} 차 미분 형식 ω ∈ Ω p ( M ; E ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M;E)} 그렇다면, ω {\displaystyle \omega } 의, f {\displaystyle f} 에 대한 당김 f ∗ ω ∈ Ω p ( N ; f ∗ E ) {\displaystyle f^{*}\omega \in \Omega ^{p}(N;f^{*}E)} 를 자연스럽게 정의할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} M {\displaystyle M} 위의, E {\displaystyle E} 값의 p {\displaystyle p} 차 미분 형식 α ∈ Ω p ( M ; E ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M;E)} M {\displaystyle M} 위의, F {\displaystyle F} 값의 q {\displaystyle q} 차 미분 형식 β ∈ Ω p ( M ; E ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{p}(M;E)} 그렇다면, α {\displaystyle \alpha } 와 β {\displaystyle \beta } 의 쐐기곱 α ∧ β ∈ Ω p + q ( M ; E ⊗ F ) {\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{p+q}(M;E\otimes F)} 을 정의할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} . 또한, E {\displaystyle E} 의 각 올들이 단순히 실수 벡터 공간이 아니라, 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 구조를 갖춘다고 하자. E {\displaystyle E} 값의 p {\displaystyle p} 차 미분 형식 α ∈ Ω p ( M ; E ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M;E)} E {\displaystyle E} 값의 q {\displaystyle q} 차 미분 형식 β ∈ Ω q ( M ; E ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{q}(M;E)} 그렇다면, 이 경우 위의 쐐기곱과, 리 괄호를 동시에 적용한 연산 [ α ∧ β ] ∈ Ω p + q ( M ; E ) {\displaystyle [\alpha \wedge \beta ]\in \Omega ^{p+q}(M;E)} 를 정의할 수 있다. 이 경우, [ α ∧ β ] = ( − 1 ) p q + 1 [ β ∧ α ] {\displaystyle [\alpha \wedge \beta ]=(-1)^{pq+1}[\beta \wedge \alpha ]} 가 성립한다. 일반적으로, 벡터 값 미분 형식의 경우 (벡터 다발이 자명하지 않다면) 외미분을 정의할 수 없다. 물론, 자명한 벡터 다발의 경우 자명하게 외미분이 정의된다. 보다 일반적으로, 벡터 다발에 평탄한 (즉, 곡률이 0인) 코쥘 접속이 주어진다면 그 위에 일종의 외미분을 정의할 수 있다. “Differential form”. 《nLab》 (영어).  “Groupoid of Lie-algebra valued forms”. 《nLab》 (영어).