아핀 사상

대수기하학에서, 아핀 사상(affine寫像, 영어: affine morphism)은 모든 아핀 열린집합의 원상이 아핀 열린집합인 스킴 사상이다. 아핀 스킴의 개념의 상대화(相對化)이다. 두 스킴 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 아핀 사상이라고 한다. Y {\displaystyle Y} 의 임의의 아핀 열린집합 Spec ⁡ R ≅ U ⊆ Y {\displaystyle \operatorname {Spec} R\cong U\subseteq Y} 에 대하여, 열린집합 f − 1 ( U ) ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(U)\subseteq X} 역시 아핀 스킴이다.:128, Exercise II.5.17(a) 모든 f {\displaystyle f} -원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 U i ⊆ Y {\displaystyle U_{i}\subseteq Y} 들로 구성된 Y {\displaystyle Y} 의 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 가 존재한다.:128, Exercise II.5.17 다음이 주어졌다고 하자. 분리 스킴 X → Spec ⁡ Z {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 스킴 Y {\displaystyle Y} 준콤팩트 함수인 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre affine性條件, 영어: Serre’s criterion of affineness)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 아핀 사상이다. 준연접층 범주 사이의 직상 함자 f ∗ : QCoh ⁡ ( X ) → QCoh ⁡ ( Y ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {QCoh} (X)\to \operatorname {QCoh} (Y)} 는 완전 함자이다. 특히, Y = Spec ⁡ Z {\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 아핀 스킴이다. 위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, X {\displaystyle X} 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 F ∈ QCoh ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {QCoh} (X)} 에 대하여, ∀ i ∈ Z + : H i ⁡ ( X ; F ) = 0 {\displaystyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \operatorname {H} ^{i}(X;{\mathcal {F}})=0} 이다. 유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다. 아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 및 아핀 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 스킴 사상 g : Z → Y {\displaystyle g\colon Z\to Y} 에 대하여, ( f , g ) {\displaystyle (f,g)} 에 대한 올곱 X Y Z {\displaystyle X_{Y}Z} 를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 π Z : X × Y Z → Z {\displaystyle \pi _{Z}\colon X\times _{Y}Z\to Z} 역시 아핀 사상이다. X × Y Z → π Z Z π X ↓ π X g ↓ g X → f Y {\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{Y}Z&{\overset {\pi _{Z}}{\to }}&Z\\{\scriptstyle \pi _{X}}\downarrow \color {White}{\scriptstyle \pi _{X}}&&{\color {White}\scriptstyle g}\downarrow \scriptstyle g\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}} 모든 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이다. 모든 유한 사상은 아핀 사상이다. 두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다. 임의의 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 아핀 스킴이다. 즉, X ≅ Spec ⁡ R {\displaystyle X\cong \operatorname {Spec} R} 인 가환환 R {\displaystyle R} 가 존재한다. 유일한 스킴 사상 X → Spec ⁡ Z {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 가 아핀 사상이다. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  ÉGA II 5.2.2, ÉGA IV 1.7.17 “Affine morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Affine morphism”. 《nLab》 (영어).  “Serre's criterion of affineness”. 《nLab》 (영어).  Mathew, Akhil (2012년 8월 1일). “Serre’s criterion for affineness as Morita theory”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  “Affine morphisms in different settings coincide?” (영어). Math Overflow.