푸앵카레 군

푸앵카레 군(Poincaré群, Poincaré group)은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방향으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 를 추가한 군이다. d 차원 푸앵카레 군은 병진 변환의 아벨 군 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 과 로런츠 군 S O ( d − 1 , 1 ) {\displaystyle SO(d-1,1)} 의 반직접곱이다. 즉, ISO ⁡ ( d − 1 , 1 ) = R d ⋊ SO ⁡ ( 3 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (d-1,1)=\mathbb {R} ^{d}\rtimes \operatorname {SO} (3,1)} 이다. 이때 사용되는 작용은 SO ⁡ ( d − 1 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (d-1,1)} 의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, M ∈ SO ⁡ ( d − 1 , 1 ) {\displaystyle M\in \operatorname {SO} (d-1,1)} 의 v ∈ R d {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{d}} 에 대한 작용은 M : v → M v {\displaystyle M\colon v\to Mv} 이며, M v {\displaystyle Mv} 는 행렬로서의 곱셈이다. d차원 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 군의 차원은 dim ⁡ ISO ⁡ ( 1 , d − 1 ) = d + d ( d − 1 ) 2 = d ( d + 1 ) / 2 {\displaystyle \dim \operatorname {ISO} (1,d-1)=d+{\frac {d(d-1)}{2}}=d(d+1)/2} 이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다. 푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 ( Λ ν μ , a μ ) {\displaystyle (\Lambda _{\nu }^{\mu },a^{\mu })} 은 사차원 벡터 x μ {\displaystyle x^{\mu }} 에 다음과 같이 작용한다. x μ ↦ x ′ μ = Λ μ ν x ν + a μ {\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{'\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }+a^{\mu }} . 여기서 Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }} 는 임의의 로런츠 변환이고, a μ {\displaystyle a^{\mu }} 는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다. 푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적 x μ x μ = x μ x ν η μ ν = ( c t ) 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle x^{\mu }x_{\mu }=x^{\mu }x^{\nu }\eta _{\mu \nu }=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} 을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다. 푸앵카레 변환 가운데 a μ = 0 {\displaystyle a^{\mu }=0} 인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 로런츠 군(Lorentz group, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성(Lorentz symmetry)이라고 한다. 앞의 변환 x μ → x ′ μ = Λ μ ν x ν + a μ {\displaystyle x^{\mu }\to x^{'\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }+a^{\mu }} 의 연산자를 ( Λ , a ) {\displaystyle (\Lambda ,a)} 라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다. ( Λ , a ) ( M , b ) = ( Λ M , Λ b + a ) {\displaystyle (\Lambda ,a)(M,b)=(\Lambda M,\Lambda b+a)} ( Λ , a ) − 1 = ( Λ − 1 , − Λ − 1 a ) {\displaystyle (\Lambda ,a)^{-1}=(\Lambda ^{-1},-\Lambda ^{-1}a)} [ ( Λ , a ) ( M , b ) ] ( N , c ) = ( Λ , a ) [ ( M , b ) ( N , c ) ] {\displaystyle [(\Lambda ,a)(M,b)](N,c)=(\Lambda ,a)[(M,b)(N,c)]} 푸앵카레 군의 군 표현론은 위그너 분류라고 불린다. 푸앵카레 대칭군의 리 대수는 다음과 같다. 이것은 등각 대칭이다. [ P μ , P ν ] = 0 {\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0} [ M μ ν , P ρ ] = i ( η μ ρ P ν − η ν ρ P μ ) {\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)} [ M μ ν , M ρ σ ] = i ( η μ ρ M ν σ − η μ σ M ν ρ − η ν ρ M μ σ + η ν σ M μ ρ ) {\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\right)} 헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다. 앙리 푸앵카레는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 로런츠 군이 군을 이룬다는 사실을 보였고, 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다. 유클리드 군 위그너 분류 파울리-루반스키 벡터 입자물리학과 표현론의 관계 Minkowski, Hermann (1908). “Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse》 (독일어): 53–111. JFM 39.0909.02.  Minkowski, Hermann (1909). “Raum und Zeit”. 《Physikalische Zeitschrift》 (독일어) 10: 75–88.  Poincaré, Henri (1906). “Sur la dynamique de l’électron”. 《Rendiconti del Circolo matematico di Palermo》 (프랑스어) 21: 129–176. JFM 37.0886.01.  “Poincaré group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.