폐포 (위상수학)

위상수학에서 폐포(閉包, 영어: closure)는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다. A {\displaystyle A} 의 폐포는 cl ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} A} 또는 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 cl ( X , T ) ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,{\mathcal {T}})}A} 또는 cl X ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A} 또는 cl T ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} _{\mathcal {T}}A} 와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 d {\displaystyle d} 로 유도되었을 경우 cl ( X , d ) ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,d)}A} 또는 cl d ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} _{d}A} 와 같이 써도 좋다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 이 주어졌다고 하자. 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 이 다음 조건을 만족시킨다면, A {\displaystyle A} 의 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라고 한다. x {\displaystyle x} 의 모든 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, U ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle U\cap A\neq \varnothing } 이다. 만약 x {\displaystyle x} 의 국소 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. x {\displaystyle x} 는 A {\displaystyle A} 의 폐포점이다. 모든 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 에 대하여, B ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle B\cap A\neq \varnothing } 이다. 특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 의 폐포 cl ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} A} 는 A {\displaystyle A} 의 모든 폐포점들의 집합이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. x {\displaystyle x} 는 A {\displaystyle A} 의 폐포점이다. x ∈ A {\displaystyle x\in A} 이거나, x {\displaystyle x} 는 A {\displaystyle A} 의 극한점이다. 즉, A {\displaystyle A} 의 폐포는 A {\displaystyle A} 와 그 유도 집합의 합집합이다. cl ⁡ A = A ∪ A ′ {\displaystyle \operatorname {cl} A=A\cup A'} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 닫힌집합이다. cl ⁡ A = A {\displaystyle \operatorname {cl} A=A} cl ⁡ A ⊆ A {\displaystyle \operatorname {cl} A\subseteq A} A ′ ⊆ A {\displaystyle A'\subseteq A} 반대로, A {\displaystyle A} 의 폐포는 A {\displaystyle A} 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 A {\displaystyle A} 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. x {\displaystyle x} 는 A {\displaystyle A} 의 폐포점이다. x {\displaystyle x} 는 A {\displaystyle A} 의 내부점이거나 경계점이다. x {\displaystyle x} 는 A {\displaystyle A} 의 여집합 X ∖ A {\displaystyle X\setminus A} 의 내부점이 아니다. 즉, A {\displaystyle A} 의 폐포는 A {\displaystyle A} 의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 A {\displaystyle A} 의 내부와 경계의 분리 합집합이다. cl ⁡ A = X ∖ int ⁡ ( X ∖ A ) {\displaystyle \operatorname {cl} A=X\setminus \operatorname {int} (X\setminus A)} cl ⁡ A = int ⁡ A ⊔ ∂ A {\displaystyle \operatorname {cl} A=\operatorname {int} A\sqcup \partial A} 반대로, A {\displaystyle A} 의 경계는 A {\displaystyle A} 와 그 여집합의 폐포의 교집합이다. ∂ A = cl ⁡ A ∩ cl ⁡ ( X ∖ A ) {\displaystyle \partial A=\operatorname {cl} A\cap \operatorname {cl} (X\setminus A)} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 및 집합족 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다. cl ⁡ ∅ = ∅ {\displaystyle \operatorname {cl} \varnothing =\varnothing } cl ⁡ X = X {\displaystyle \operatorname {cl} X=X} cl ⁡ ( A ∪ B ) = cl ⁡ A ∪ cl ⁡ B {\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} A\cup \operatorname {cl} B} cl ⁡ ( ⋃ A ) ⊇ ⋃ A ∈ A cl ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\supseteq \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A} cl ⁡ ( ⋂ A ) ⊆ ⋃ A ∈ A cl ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} \left(\bigcap {\mathcal {A}}\right)\subseteq \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A} 또한, 만약 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 국소 유한 집합족이라면, 다음이 성립한다. cl ⁡ ( ⋃ A ) = ⋃ A ∈ A cl ⁡ A {\displaystyle \operatorname {cl} \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)=\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A} 즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하며, 보다 일반적으로 국소 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다. 반례: 표준적인 위상을 갖춘 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자. A n = ( 1 / n , 1 ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle A_{n}=(1/n,1)\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} A = ( 0 , 1 ) {\displaystyle A=(0,1)} B = ( 1 , 2 ) {\displaystyle B=(1,2)} 그렇다면, A n {\displaystyle A_{n}} 의 합집합 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 의 폐포 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 는 A n {\displaystyle A_{n}} 의 폐포 [ 1 / n , 1 ] {\displaystyle [1/n,1]} 의 합집합 ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} 을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 A {\displaystyle A} 의 폐포 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 와 B {\displaystyle B} 의 폐포 [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} 의 교집합 { 1 } {\displaystyle \{1\}} 의 진부분 집합이다. 이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다. 비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다. K ∈ { R , C , H } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}} 에 대하여, (노름 위상을 갖춘) K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 위의 열린 공 b a l l o p e n ⁡ ( 0 , 1 ) = { v ∈ V : ‖ v ‖ < 1 } {\displaystyle \operatorname {ball_{open}} (0,1)=\{v\in V\colon \Vert v\Vert <1\}} 의 폐포는 닫힌 공 cl ⁡ ( b a l l o p e n ⁡ ( 0 , 1 ) ) = b a l l c l o s e d ⁡ ( 0 , 1 ) = { v ∈ V : ‖ v ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball_{open}} (0,1))=\operatorname {ball_{closed}} (0,1)=\{v\in V\colon \Vert v\Vert \leq 1\}} 이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위에서, x {\displaystyle x} 를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다. b a l l o p e n ⁡ ( x , 1 ) = { x } {\displaystyle \operatorname {ball_{open}} (x,1)=\{x\}} b a l l c l o s e d ⁡ ( x , 1 ) = X {\displaystyle \operatorname {ball_{closed}} (x,1)=X} 하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 | X | ≥ 2 {\displaystyle |X|\geq 2} 인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다. (균등 위상을 갖춘) 균등 공간 ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 의 폐포는 A {\displaystyle A} 의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.:104, Corollary 8.10 cl ⁡ A = ⋂ E = E − 1 ∈ E { y : ∃ x ∈ A : ( x , y ) ∈ E } {\displaystyle \operatorname {cl} A=\bigcap _{E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}}\{y\colon \exists x\in A\colon (x,y)\in E\}} 증명: 임의의 측근 E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} 에 대하여, F = E ∩ E − 1 ⊆ E {\displaystyle F=E\cap E^{-1}\subseteq E} 는 측근이며, F = F − 1 {\displaystyle F=F^{-1}} 이다. 따라서, 임의의 y ∈ X {\displaystyle y\in X} 에 대하여, { { x : ( y , x ) ∈ E } : E = E − 1 ∈ E } {\displaystyle \{\{x\colon (y,x)\in E\}\colon E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}\}} 은 x {\displaystyle x} 의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다. cl ⁡ A = { y ∈ X : ∀ E ∈ E : E = E − 1 ⟹ { x : ( y , x ) ∈ E } ∩ A ≠ ∅ } = { y ∈ X : ∀ E ∈ E : E = E − 1 ⟹ ( ∃ x ∈ A : ( y , x ) ∈ E ) } = { y ∈ X : ∀ E ∈ E : E = E − 1 ⟹ ( ∃ x ∈ A : ( x , y ) ∈ E ) } = ⋂ E = E − 1 ∈ E { y : ∃ x ∈ A : ( x , y ) ∈ E } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} A&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies \{x\colon (y,x)\in E\}\cap A\neq \varnothing \}\\&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies (\exists x\in A\colon (y,x)\in E)\}\\&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies (\exists x\in A\colon (x,y)\in E)\}\\&=\bigcap _{E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}}\{y\colon \exists x\in A\colon (x,y)\in E\}\end{aligned}}} 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.:Remark II-1.4 cl ⁡ { a } = ↓ ⁡ a {\displaystyle \operatorname {cl} \{a\}=\mathop {\downarrow } a} Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001.  Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.  “Closure of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological closure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Closure”. 《PlanetMath》 (영어).