직교 배열

조합론에서 직교 배열(直交配列, 영어: orthogonal array)은 좌표들의 부분 집합으로 제한하였을 때 모든 가능한 벡터들이 균등하게 분포되어 있는, 주어진 유한 집합 위의 벡터들의 유한 집합이다. 자연수 t ∈ N {\displaystyle t\in \mathbb {N} } 가 주어졌다고 하자. t {\displaystyle t} -직교 배열 ( Σ , B ) {\displaystyle (\Sigma ,B)} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 크기 q {\displaystyle q} 의 유한 집합 Σ {\displaystyle \Sigma } . 이를 알파벳이라고 하며, 그 원소를 수준(水準, 영어: level)이라고 한다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . 이를 인자수(因子數, 영어: number of factors)라고 한다. 부분 집합 B ⊆ Σ n {\displaystyle B\subseteq \Sigma ^{n}} . 그 원소를 실험 실행(實驗實行, 영어: experimental run)라고 한다. 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 의 n {\displaystyle n} 개의 좌표 가운데 임의의 t {\displaystyle t} 개를 골랐을 때, 수준의 모든 t {\displaystyle t} -순서쌍들은 (선택한 레벨 및 좌표에 상관없이) 같은 수 λ t {\displaystyle \lambda _{t}} 번 만큼 등장한다. 즉, 임의의 단사 함수 f : { 1 , 2 , … , t } → { 1 , … , n } {\displaystyle f\colon \{1,2,\dots ,t\}\to \{1,\dotsc ,n\}} 및 임의의 x ∈ Σ t {\displaystyle x\in \Sigma ^{t}} 에 대하여, 자연수 λ t = | { b ∈ B : ∀ 1 ≤ i ≤ t : x i = b f ( i ) } | ∈ N {\displaystyle \lambda _{t}=|\{b\in B\colon \forall 1\leq i\leq t\colon x_{i}=b_{f(i)}\}|\in \mathbb {N} } 는 f {\displaystyle f} 및 x {\displaystyle x} 의 선택에 의존하지 않는다. 이는 해밍 결합 도식 H ⁡ ( n , Σ ) {\displaystyle \operatorname {H} (n,\Sigma )} 속의 블록 설계의 개념과 같다. 여기서, t {\displaystyle t} 를 직교 배열의 강도(強度, 영어: strength)라고 하며, λ t {\displaystyle \lambda _{t}} 를 t {\displaystyle t} -직교 배열의 지수(指數, 영어: index)라고 한다. 상수 λ t {\displaystyle \lambda _{t}} 에 대한 t {\displaystyle t} -직교 배열 ( Σ , B ⊆ Σ n ) {\displaystyle (\Sigma ,B\subseteq \Sigma ^{n})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 자연수 t ′ ≤ t {\displaystyle t'\leq t} 임의의 단사 함수 f : { 1 , 2 , … , t ′ } → { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle f\colon \{1,2,\dotsc ,t'\}\to \{1,2,\dotsc ,n\}} 임의의 x ∈ Σ t ′ {\displaystyle x\in \Sigma ^{t'}} 에 대하여, 다음이 성립한다. | { b ∈ B : ∀ 1 ≤ i ≤ t ′ : x i = b f ( i ) } | = λ t ′ = λ t | Σ | t − t ′ {\displaystyle |\{b\in B\colon \forall 1\leq i\leq t'\colon x_{i}=b_{f(i)}\}|=\lambda _{t'}=\lambda _{t}|\Sigma |^{t-t'}} 즉, λ 0 = λ t | Σ | t {\displaystyle \lambda _{0}=\lambda _{t}|\Sigma |^{t}} 를 정의하면, 임의의 t {\displaystyle t} -직교 배열은 임의의 t ′ ≤ t {\displaystyle t'\leq t} 에 대하여 t ′ {\displaystyle t'} -직교 배열을 이루며, 그 상수는 λ t ′ = λ 0 | Σ | − t ′ {\displaystyle \lambda _{t'}=\lambda _{0}|\Sigma |^{-t'}} 이다. 여기서, λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} 는 물론 B {\displaystyle B} 의 크기와 같다. 이에 따라, 임의의 Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 속에서 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. Pow ⁡ ( Σ n ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (\Sigma ^{n})} = 0-직교 배열 ⊇ 1-직교 배열 ⊇ 2-직교 배열 ⊇ … ⊇ n {\displaystyle n} -직교 배열 = { ∅ , Σ n } {\displaystyle \{\varnothing ,\Sigma ^{n}\}} 임의의 유한 집합 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대하여, Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 속의 유일한 n {\displaystyle n} -직교 배열은 B = ∅ {\displaystyle B=\varnothing } 및 B = Σ n {\displaystyle B=\Sigma ^{n}} 이며, 이 경우 각각 λ n = 0 {\displaystyle \lambda _{n}=0} 및 λ n = 1 {\displaystyle \lambda _{n}=1} 이다. 반대로, Σ n {\displaystyle \Sigma ^{n}} 의 임의의 부분 집합은 0-직교 배열을 이룬다. q × q {\displaystyle q\times q} 라틴 방진 M {\displaystyle M} 은 ( λ 2 , λ 1 , λ 0 ) = ( 1 , q , q 2 ) {\displaystyle (\lambda _{2},\lambda _{1},\lambda _{0})=(1,q,q^{2})} 인 2-직교 배열 Σ = { 1 , 2 , … , q } {\displaystyle \Sigma =\{1,2,\dotsc ,q\}} B ⊆ Σ 3 {\displaystyle B\subseteq \Sigma ^{3}} | B | = λ 0 = q 2 {\displaystyle |B|=\lambda _{0}=q^{2}} 에 해당한다. (즉, 2-직교 배열과 라틴 방진 사이의 관계는 2-블록 설계와 2-슈타이너 계 사이의 관계와 같다.) 예를 들어, 3×3 라틴 방진 은 다음과 같은 표의 9개 행들로 구성되는 2-직교 배열을 이룬다. 알파벳 Σ = { A , B , C , D } {\displaystyle \Sigma =\{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}},{\mathsf {C}},{\mathsf {D}}\}} 위에서, 다음 표의 16개 행들로 구성된 부분 집합 B ⊊ Σ 5 {\displaystyle B\subsetneq \Sigma ^{5}} | B | = λ 0 = 16 {\displaystyle |B|=\lambda _{0}=16} 은 지수 ( λ 2 , λ 1 , λ 0 ) = ( 1 , 4 , 16 ) {\displaystyle (\lambda _{2},\lambda _{1},\lambda _{0})=(1,4,16)} 을 갖는 2-직교 배열을 이룬다. 알파벳 Σ = { A , B , C } {\displaystyle \Sigma =\{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}},{\mathsf {C}}\}} 위에서, 다음 표의 27개 행들로 구성된 부분 집합 B ⊊ Σ 5 {\displaystyle B\subsetneq \Sigma ^{5}} | B | = λ 0 = 27 {\displaystyle |B|=\lambda _{0}=27} 은 지수 ( λ 2 , λ 1 , λ 0 ) = ( 3 , 9 , 27 ) {\displaystyle (\lambda _{2},\lambda _{1},\lambda _{0})=(3,9,27)} 을 갖는 2-직교 배열을 이룬다. 1947년에 칼리암푸디 라다크리슈나 라오가 도입하였다. Hedayat, Abdos Samad; Sloane, Neil James Alexander; Stufken, John (1999). 《Orthogonal arrays: theory and applications》. 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