보렐-칸텔리 보조정리

확률론에서, 보렐-칸텔리 보조정리(영어: Borel–Cantelli lemma)는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다. 보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리(영어: (first) Borel–Cantelli lemma)와 제2 보렐-칸텔리 보조정리(영어: second Borel–Cantelli lemma)로 구성된다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 ( A i ) i = 1 ∞ ⊂ F {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음이 성립한다. (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 ∑ i = 1 ∞ Pr ⁡ ( A i ) < ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})<\infty } 라면, Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=0} 이다. (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 ∑ i = 1 ∞ Pr ⁡ ( A i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty } 이며 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} 가 독립이라면, Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=1} 이다. 제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명: 증명 1: 가정 및 확률 측도의 성질에 따라 0 = lim n → ∞ ∑ i = n ∞ Pr ⁡ ( A i ) ≥ lim n → ∞ Pr ⁡ ( ⋃ i = n ∞ A i ) = Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) {\displaystyle 0=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})\geq \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)} 이다. 따라서 Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=0} 이다. 증명 2: 다음과 같은, 확장된 실수 값의 확률 변수를 정의하자. N = ∑ i = 1 ∞ 1 A i {\displaystyle N=\sum _{i=1}^{\infty }1_{A_{i}}} 그렇다면 단조 수렴 정리에 따라 다음이 성립한다. ∞ > ∑ i = 1 ∞ Pr ⁡ ( A i ) = E ⁡ ( N ) ≥ ∞ ⋅ Pr ⁡ ( N = ∞ ) = ∞ ⋅ Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) {\displaystyle \infty >\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\operatorname {E} (N)\geq \infty \cdot \operatorname {Pr} (N=\infty )=\infty \cdot \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)} 따라서 Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=0} 이다. 제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명: 미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다. 1 − x ≤ exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle 1-x\leq \exp(-x)} 이 부등식과 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} 의 독립성에 따라, 임의의 n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } 에 대하여 다음이 성립한다. Pr ⁡ ( ⋂ i = n ∞ ( Ω ∖ A i ) ) = lim m → ∞ Pr ⁡ ( ⋂ i = n m ( Ω ∖ A i ) ) = lim m → ∞ ∏ i = n m ( 1 − Pr ⁡ ( A i ) ) ≤ lim m → ∞ ∏ i = n m exp ⁡ ( − Pr ⁡ ( A i ) ) = lim m → ∞ exp ⁡ ( − ∑ i = n m Pr ⁡ ( A i ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)&=\lim _{m\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{m}(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=\lim _{m\to \infty }\prod _{i=n}^{m}(1-\operatorname {Pr} (A_{i}))\\&\leq \lim _{m\to \infty }\prod _{i=n}^{m}\exp(-\operatorname {Pr} (A_{i}))\\&=\lim _{m\to \infty }\exp \left(-\sum _{i=n}^{m}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)\\&=0\end{aligned}}} 따라서 다음이 성립한다. Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) = 1 − Pr ⁡ ( ⋃ n = 1 ∞ ⋂ i = n ∞ ( Ω ∖ A i ) ) = 1 − lim n → ∞ Pr ⁡ ( ⋂ i = n ∞ ( Ω ∖ A i ) ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)&=1-\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=1-\lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=1\end{aligned}}} 제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 ( A i ) i = 1 ∞ ⊂ F {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}} 에 대하여, L = lim inf n → ∞ ∑ i , j = 1 n Pr ⁡ ( A i ∩ A j ) ( ∑ i = 1 n Pr ⁡ ( A i ) ) 2 {\displaystyle L=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{i,j=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i}\cap A_{j})}{\left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)^{2}}}} 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. L ≥ 1 {\displaystyle L\geq 1} 만약 ∑ i = 1 ∞ Pr ⁡ ( A i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty } 라면, Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) ≥ 1 / L {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\geq 1/L} 이다. 특히, 만약 L < ∞ {\displaystyle L<\infty } 라면 위 확률은 0보다 크다. 특히, 만약 L = 1 {\displaystyle L=1} 이라면 위 확률은 1이다.:88, §[1.]6, Theorem 6.3 만약 ∑ i = 1 ∞ Pr ⁡ ( A i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty } 이며 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} 가 쌍마다 독립이라면, L = 1 {\displaystyle L=1} 이다.:89, §[1.]6, Example 6.4 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 ( A i ) i = 1 ∞ ⊂ F {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}} 및 임의의 실수 H ∈ R {\displaystyle H\in \mathbb {R} } 에 대하여, α H = lim inf n → ∞ ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( Pr ⁡ ( A i ∩ A j ) − H Pr ⁡ ( A i ) Pr ⁡ ( A j ) ) ( ∑ i = 1 n Pr ⁡ ( A i ) ) 2 {\displaystyle \alpha _{H}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{1\leq i<j\leq n}(\operatorname {Pr} (A_{i}\cap A_{j})-H\operatorname {Pr} (A_{i})\operatorname {Pr} (A_{j}))}{\left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)^{2}}}} 라고 하자. 그렇다면, 만약 ∑ i = 1 ∞ Pr ⁡ ( A i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty } 라면, Pr ⁡ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) ≥ 1 / ( H + 2 α H ) {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\geq 1/(H+2\alpha _{H})} 이다. 특히, 코첸-스톤 부등식은 H = 0 {\displaystyle H=0} 인 특수한 경우이다. 에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(이탈리아어: Francesco Paolo Cantelli)가 제시하였다. 사이먼 버나드 코첸(영어: Simon Bernhard Kochen)과 찰스 졸 스톤(영어: Charles Joel Stone)이 한 가지 일반화를 제시하였다. 발렌틴 블라디미로비치 페트로프(러시아어: Валентин Владимирович Петров)는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다. 무한 원숭이 정리 Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.  Kochen, Simon; Stone, Charles (1964). “A note on the Borel–Cantelli lemma”. 《Illinois Journal of Mathematics》 (영어) 8 (2): 248–251. doi:10.1215/ijm/1256059668. ISSN 0019-2082. MR 0161355. Zbl 0139.35401.  Petrov, Valentin V. (2002년 7월 1일). “A note on the Borel–Cantelli lemma”. 《Statistics & Probability Letters》 (영어) 58 (3): 283–286. doi:10.1016/S0167-7152(02)00113-X. ISSN 0167-7152.  Petrov, Valentin V. (2004년 4월 15일). “A generalization of the Borel–Cantelli lemma”. 《Statistics & Probability Letters》 (영어) 67 (3): 233–239. doi:10.1016/j.spl.2004.01.008. ISSN 0167-7152.  Prokhorov, A. V. (2001). “Borel-Cantelli lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.