기둥 집합

함수해석학과 측도론에서, 기둥 집합은 유한 개의 연속 범함수만으로 정의될 수 있는, 위상 벡터 공간의 부분 집합이다. 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 기둥 집합 C ⊆ V {\displaystyle C\subseteq V} 은 다음과 같은 꼴로 표현되는 부분 집합 C ⊆ V {\displaystyle C\subseteq V} 이다. C = ϕ − 1 ( S ) {\displaystyle C=\phi ^{-1}(S)} 여기서 ϕ : V → R n {\displaystyle \phi \colon V\to \mathbb {R} ^{n}} 은 어떤 전사 연속 선형 변환이다. S ⊆ R n {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 는 보렐 집합이다. 즉, 어떤 ϕ 1 , … , ϕ n ∈ V ∗ {\displaystyle \phi _{1},\dotsc ,\phi _{n}\in V^{*}} 에 대하여 C = { x ∈ V : ( ϕ 1 ( x ) , … , ϕ n ( x ) ) ∈ S } {\displaystyle C=\{x\in V\colon (\phi _{1}(x),\dotsc ,\phi _{n}(x))\in S\}} 가 된다. (여기서 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.) V {\displaystyle V} 의 기둥 집합들의 족을 Cyl ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (V)} 라고 표기하자. 기둥 집합은 이는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 특히, 공집합(0개의 집합들의 합집합)과 V {\displaystyle V} 전체(0개의 집합들의 교집합)는 V {\displaystyle V} 의 기둥 집합이다. 정의에 따라, 모든 기둥 집합은 보렐 집합이다. 기둥 집합은 일반적으로 가산 무한 합집합 또는 교집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 따라서 시그마 대수를 이루지 못한다. 그러나 Cyl ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (V)} 로 생성되는 시그마 대수 σ ( Cyl ⁡ ( V ) ) {\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (V))} 를 생각할 수 있다. 만약 V {\displaystyle V} 가 분해 가능 바나흐 공간이라면, 기둥 집합의 족으로 생성되는 시그마 대수는 V {\displaystyle V} 의 보렐 시그마 대수와 일치한다.:Lemma 4.4 그러나 이는 분해 불가능 바나흐 공간에 대하여 성립하지 않는다.:Exercise 4.5 임의의 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여, 이를 정규 직교 기저로 갖는 힐베르트 공간 H = ℓ 2 ( S ) {\displaystyle H=\ell ^{2}(S)} 을 생각하자. 이 공간이 분해 가능 공간일 필요 충분 조건은 S {\displaystyle S} 가 가산 집합인 것이다. 이제, 어떤 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 다음과 같은 집합족을 생각하자. S ( κ ) ⊆ Pow ⁡ ( H ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\kappa )\subseteq \operatorname {Pow} (H)} S ( κ ) = { π A − 1 ( T ) : A ⊆ S , | A | < κ , T ∈ Borel ⁡ ( ℓ 2 ( A ) ) } {\displaystyle {\mathcal {S}}(\kappa )=\{\pi _{A}^{-1}(T)\colon A\subseteq S,\;|A|<\kappa ,\;T\in \operatorname {Borel} (\ell ^{2}(A))\}} 여기서 π A : ℓ 2 ( S ) → ℓ 2 ( A ) {\displaystyle \pi _{A}\colon \ell ^{2}(S)\to \ell ^{2}(A)} 는 자연스러운 사영 사상이다. Borel ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Borel} (-)} 은 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 정의에 따라 S ( ℵ 0 ) = Cyl ⁡ ( H ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\aleph _{0})=\operatorname {Cyl} (H)} 이다. S ( ℵ 1 ) = σ ( Cyl ⁡ ( H ) ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\aleph _{1})=\sigma (\operatorname {Cyl} (H))} 이다.:Exercise 4.5 자명하게 S ( | S | + ) = Borel ⁡ ( H ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(|S|^{+})=\operatorname {Borel} (H)} 이다. 여기서 | S | + {\displaystyle |S|^{+}} 는 S {\displaystyle S} 바로 다음의 기수이다. 특히, 유한 차원 힐베르트 공간(=유클리드 공간, | S | < ℵ 0 {\displaystyle |S|<\aleph _{0}} )의 경우 Cyl ⁡ ( R n ) = σ ( Cyl ⁡ ( R n ) ) = Borel ⁡ ( R n ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (\mathbb {R} ^{n})=\sigma (\operatorname {Cyl} (\mathbb {R} ^{n}))=\operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n})} 이며, 분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간( | S | = ℵ 0 {\displaystyle |S|=\aleph _{0}} )의 경우 Cyl ⁡ ( H ) ⊊ σ ( Cyl ⁡ ( H ) ) = Borel ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)\subsetneq \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)} 이지만, 분해 불가능 힐베르트 공간의 경우 Cyl ⁡ ( H ) ⊊ σ ( Cyl ⁡ ( H ) ) ⊊ Borel ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)\subsetneq \sigma (\operatorname {Cyl} (H))\subsetneq \operatorname {Borel} (H)} 이다. Eldredge, Nathan (2016). “Analysis and probability on infinite-dimensional spaces”. arXiv:1607.03591.