르레 스펙트럼 열

층 이론에서, 르레 스펙트럼 열(Leray spectrum列, 영어: Leray spectral sequence)은 층 코호몰로지를 그 직상의 층 코호몰로지로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. 세르 스펙트럼 열(Serre spectrum列, 영어: Serre spectral sequence)은 세르 올뭉치에 대한, 층 코호몰로지가 단순히 특이 코호몰로지가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다. 르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다. Sh ⁡ ( X ; Ab ) → f ∗ Sh ⁡ ( Y ; Ab ) → Γ X Ab {\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab} } 여기서 f ∗ {\displaystyle f_{*}} 는 위상 공간 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 의하여 유도되는 층의 직상이며, Γ X {\displaystyle \Gamma _{X}} 는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 Sh ⁡ ( { ∙ } , Ab ) ≃ Ab {\displaystyle \operatorname {Sh} (\{\bullet \},\operatorname {Ab} )\simeq \operatorname {Ab} } 로의 직상)이다. 층의 직상 f ∗ : Sh ⁡ ( X ; Ab ) → Sh ⁡ ( Y ; Ab ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )} 은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상 f ∗ : Sh ⁡ ( Y ; Ab ) → Sh ⁡ ( X ; Ab ) {\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )} f ∗ ⊣ f ∗ {\displaystyle f^{*}\dashv f_{*}} 을 가지므로, 직상 f ∗ {\displaystyle f_{*}} 은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다. 르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다. E 2 p , q ( F ) = H p ⁡ ( Y ; R q ⁡ f ∗ F ) ⇒ H p + q ⁡ ( X ; F ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}({\mathcal {F}})=\operatorname {H} ^{p}(Y;\operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;{\mathcal {F}})} 여기서 H ∙ ⁡ ( − ; − ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(-;-)} 은 층 코호몰로지이다. 이를 사용하여 X {\displaystyle X} 위의 층 코호몰로지를 Y {\displaystyle Y} 위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다. 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로, f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 올이 F {\displaystyle F} 인 세르 올뭉치라고 하고, F = G _ {\displaystyle {\mathcal {F}}={\underline {G}}} 가 X {\displaystyle X} 위의, 아벨 군 G {\displaystyle G} 값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. Y {\displaystyle Y} 는 경로 연결 CW 복합체이다. 기본군 π 1 ( Y ) {\displaystyle \pi _{1}(Y)} 는 H ∙ ⁡ ( Y ; G ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(Y;G)} 위에 자명하게 작용한다. 그렇다면 R q ⁡ f ∗ F = H q ⁡ ( F ; G ) _ {\displaystyle \operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}}={\underline {\operatorname {H} ^{q}(F;G)}}} 가 된다. 즉, R q ⁡ f ∗ F {\displaystyle \operatorname {R} ^{q}f_{*}{\mathcal {F}}} 는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.:8, Theorem 1.3 E 2 p , q = H p ⁡ ( Y ; H q ⁡ ( F ; G ) ) ⇒ H p + q ⁡ ( X ; G ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}\left(Y;\operatorname {H} ^{q}(F;G)\right)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;G)} 여기서 H {\displaystyle \operatorname {H} } 는 특이 코호몰로지이다. 이를 세르 스펙트럼 열(영어: Serre spectral sequence)이라고 한다. 양의 정수 n > 0 {\displaystyle n>0} 이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 초구 ( S n , ∙ S n ) {\displaystyle (\mathbb {S} ^{n},\bullet _{\mathbb {S} ^{n}})} 에 대하여, 경로 공간 올뭉치 Ω S n ↪ P S n ↠ S n {\displaystyle \Omega \mathbb {S} ^{n}\hookrightarrow {\mathcal {P}}\mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}} 를 생각하자. ( n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우, 0차원 초구는 경로 연결 공간이 아니므로 이는 올뭉치를 이루지 않는다.) 여기서 Ω {\displaystyle \Omega } 는 고리 공간이며, P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) 경로들의 공간이다. 이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다. E p , q 2 = H p ⁡ ( S n ; H q ⁡ ( Ω S n ) ) {\displaystyle E_{p,q}^{2}=\operatorname {H} _{p}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{q}(\Omega \mathbb {S} ^{n}))} Ω S n {\displaystyle \Omega \mathbb {S} ^{n}} 은 경로 연결 공간이므로, q = 0 {\displaystyle q=0} 일 경우 E p , 0 2 = H p ⁡ ( S n ; Z ) = { 0 p ≠ 0 , n Z p = 0 , n {\displaystyle E_{p,0}^{2}=\operatorname {H} _{p}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&p\neq 0,n\\\mathbb {Z} &p=0,n\end{cases}}} 이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은 p = 0 {\displaystyle p=0} 및 p = n {\displaystyle p=n} 밖에 없다. 경로 공간은 (밑점에서의 상수 함수로) 축약 가능 공간이므로, E p , q ∞ = { Z p = q = 0 0 p ≠ 0 ∨ q ≠ 0 {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }={\begin{cases}\mathbb {Z} &p=q=0\\0&p\neq 0\lor q\neq 0\end{cases}}} 이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는 E n , 0 2 = Z {\displaystyle E_{n,0}^{2}=\mathbb {Z} } 성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은 p = 0 {\displaystyle p=0} 및 p = n {\displaystyle p=n} 밖에 없으므로, E n , 0 2 {\displaystyle E_{n,0}^{2}} 는 오직 n {\displaystyle n} 번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다. n {\displaystyle n} 번째 쪽에서 deg ⁡ d n = ( − n , n − 1 ) {\displaystyle \deg d^{n}=(-n,n-1)} 이므로, E n , 0 2 {\displaystyle E_{n,0}^{2}} 은 E 0 , n − 1 2 {\displaystyle E_{0,n-1}^{2}} 과 상쇄되어야 한다. 즉, E 0 , n − 1 2 = H 0 ⁡ ( S n ; H n − 1 ⁡ ( Ω S n ; Z ) ) = Z {\displaystyle E_{0,n-1}^{2}=\operatorname {H} _{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z} } 이다. 따라서 H n − 1 ⁡ ( Ω S n ; Z ) = Z {\displaystyle \operatorname {H} _{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} } 이다. 그런데 이제 E n , n − 1 2 = Z {\displaystyle E_{n,n-1}^{2}=\mathbb {Z} } 역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은 n {\displaystyle n} 번째 쪽이며, 이는 E 0 , 2 ( n − 1 ) 2 {\displaystyle E_{0,2(n-1)}^{2}} 과 상쇄되어야 한다. 따라서 E 0 , 2 ( n − 1 ) 2 = H 0 ⁡ ( S n ; H 2 ( n − 1 ) ⁡ ( Ω S n ; Z ) ) = Z {\displaystyle E_{0,2(n-1)}^{2}=\operatorname {H} _{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} _{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z} } 이며 H 2 ( n − 1 ) ⁡ ( Ω S n ; Z ) = Z {\displaystyle \operatorname {H} _{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} } 이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 고리 공간의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다. H k ⁡ ( Ω S n ; Z ) = { Z k ∣ n − 1 0 k ∤ n − 1 {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\mid n-1\\0&k\nmid n-1\end{cases}}} 올이 초구인 세르 올뭉치 S k ↪ E ↠ B {\displaystyle \mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B} 가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열 E ∙ p , q {\displaystyle E_{\bullet }^{p,q}} 은 오직 q = 0 , k {\displaystyle q=0,k} 인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는 k + 2 {\displaystyle k+2} 번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해 E {\displaystyle E} 의 코호몰로지와 B {\displaystyle B} 의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 귀진 완전열이라고 한다. 1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다. 그로텐디크 스펙트럼 열 Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801.  Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802.  Hatcher, A. 《Spectral Sequences in Algebraic Topology》 (영어).  Serre, Jean-Pierre (1951년 11월). “Homologie singulière des espaces fibrés”. 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 54 (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.  “Leray spectral sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Leray spectral sequence”. 《nLab》 (영어).  “Serre spectral sequence”. 《nLab》 (영어).