바탈린-빌코비스키 대수

이론물리학과 수학에서 바탈린-빌코비스키 대수(영어: Batalin–Vilkovisky algebra)는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다. (단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수 A = ⨁ i ∈ Z A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}} a b = ( − ) deg ⁡ a deg ⁡ b b a {\displaystyle ab=(-)^{\deg a\deg b}ba} 가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자 L a b = a b {\displaystyle {\mathsf {L}}_{a}b=ab} 및 초괄호 [ a , b } = a b − ( − ) deg ⁡ a deg ⁡ b b a {\displaystyle [a,b\}=ab-(-)^{\deg a\deg b}ba} 를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다. 이 위의 연산자 D : A ∙ → A ∙ k {\displaystyle D\colon A_{\bullet }\to A_{\bullet _{k}}} deg ⁡ D = k {\displaystyle \deg D=k} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 n {\displaystyle n} 차 k {\displaystyle k} 등급 미분 연산자(영어: n {\displaystyle n} th-order degree- k {\displaystyle k} operator)라고 한다. D ( 1 A ) = 0 {\displaystyle D(1_{A})=0} [ … [ [ D , L a 0 } , L a 1 } , … , L a n } ( 1 A ) = 0 ∀ a 0 , … , a k ∈ A {\displaystyle [\dotso [[D,{\mathsf {L}}_{a_{0}}\},{\mathsf {L}}_{a_{1}}\},\dotsc ,{\mathsf {L}}_{a_{n}}\}(1_{A})=0\qquad \forall a_{0},\dotsc ,a_{k}\in A} 여기서 초괄호에서 deg ⁡ L a = deg ⁡ a {\displaystyle \deg {\mathsf {L}}_{a}=\deg a} 및 deg ⁡ D = k {\displaystyle \deg D=k} 로 간주한다. 예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우 D 1 = 0 {\displaystyle D1=0} 인 것이다. 1차 미분 연산자는 0 = [ [ D , L a } , L b } 1 = D ( a b ) − ( − ) k deg ⁡ a a ( D b ) − ( − ) ( k + deg ⁡ a ) deg ⁡ b b ( D a ) {\displaystyle 0=[[D,{\mathsf {L}}_{a}\},{\mathsf {L}}_{b}\}1=D(ab)-(-)^{k\deg a}a(Db)-(-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da)} 인 것이다. 즉, D ( a b ) = ( D a ) b + ( − ) k deg ⁡ a a ( D b ) {\displaystyle D(ab)=(Da)b+(-)^{k\deg a}a(Db)} 이며, 이는 곱 규칙이다. 홀수 등급 2차 미분 연산자 Δ {\displaystyle \Delta } 는 Δ ( a b c ) − Δ ( a b ) c − ( − 1 ) deg ⁡ a a Δ ( b c ) − ( − 1 ) ( deg ⁡ a + 1 ) deg ⁡ b b Δ ( a c ) + Δ ( a ) b c − ( − 1 ) deg ⁡ a a Δ ( b ) c + ( − 1 ) deg ⁡ ( a b ) a b Δ ( c ) = 0 {\displaystyle \Delta (abc)-\Delta (ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta (bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta (ac)+\Delta (a)bc-(-1)^{\deg a}a\Delta (b)c+(-1)^{\deg(ab)}ab\Delta (c)=0} 를 만족시킨다. 등급 가환 결합 대수 A = ⨁ i ∈ Z A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}} 및 A {\displaystyle A} 위의 사슬 복합체 구조 ∂ : A ∙ → A ∙ − 1 {\displaystyle \partial \colon A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}} ∂ 1 = 0 {\displaystyle \partial _{1}=0} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다. Φ n + 1 ( a 0 , a 1 , … , a n ) = [ [ ⋯ [ [ ∂ , L a 0 } , L a 1 } , … } , L a n } 1 {\displaystyle \Phi ^{n+1}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})=[[\dotsb [[\partial ,{\mathsf {L}}_{a_{0}}\},{\mathsf {L}}_{a_{1}}\},\dotsc \},{\mathsf {L}}_{a_{n}}\}1} 이를 n + 1 {\displaystyle n+1} 항 거스틴해버 괄호라고 한다. 예를 들어 Φ 0 ( ) = 0 {\displaystyle \Phi ^{0}()=0} Φ 1 ( a ) = ∂ a {\displaystyle \Phi ^{1}(a)=\partial a} Φ 2 ( a , b ) = ∂ ( a b ) − ( − ) deg ⁡ a a ∂ b − ( ∂ a ) b {\displaystyle \Phi ^{2}(a,b)=\partial (ab)-(-)^{\deg a}a\partial b-(\partial a)b} 이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면, ( A , Φ ∙ ) {\displaystyle (A,\Phi ^{\bullet })} 는 L∞-대수를 이룬다. 물론, 만약 ∂ {\displaystyle \partial } 이 n {\displaystyle n} 차 미분 연산자라면, 오직 Φ 1 , … , Φ n {\displaystyle \Phi ^{1},\dotsc ,\Phi ^{n}} 만이 0이 아닐 수 있다. 바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 거스틴해버 괄호(영어: Gerstenhaber bracket) 또는 반괄호(영어: antibracket) ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 를 정의할 수 있다. ( a , b ) = ( − 1 ) deg ⁡ a Φ 2 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)=(-1)^{\deg a}\Phi ^{2}(a,b)} 이는 다음과 같은 성질들을 따른다. (차수 −1) deg ⁡ ( a , b ) = deg ⁡ a + deg ⁡ b − 1 {\displaystyle \deg(a,b)=\deg a+\deg b-1} (등급가환성) ( a , b ) = − ( − 1 ) ( deg ⁡ a + 1 ) ( deg ⁡ b + 1 ) ( b , a ) {\displaystyle (a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a)} (등급 야코비 항등식) ( − 1 ) ( deg ⁡ a + 1 ) ( deg ⁡ c + 1 ) ( a , ( b , c ) ) + ( − 1 ) ( deg ⁡ b + 1 ) ( deg ⁡ a + 1 ) ( b , ( c , a ) ) + ( − 1 ) ( deg ⁡ c + 1 ) ( deg ⁡ b + 1 ) ( c , ( a , b ) ) = 0 {\displaystyle (-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0} (등급 라이프니츠 규칙) ( a b , c ) = a ( b , c ) + ( − 1 ) deg ⁡ a deg ⁡ b b ( a , c ) {\displaystyle (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)} 바탈린-빌코비스키 대수 ( A , Δ ) {\displaystyle (A,\Delta )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:§8 등급 가환 결합 대수 A = ⨁ i ∈ Z A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}} A {\displaystyle A} 위의 2차 −1등급 미분 연산자 Δ : A ∙ → A ∙ − 1 {\displaystyle \Delta \colon A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}} . 이를 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 한다. 바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다. 게이지 이론이 장 ϕ i {\displaystyle \phi ^{i}} 와 고전적 작용 S 0 ( ϕ ) {\displaystyle S_{0}(\phi )} 에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자. δ ϕ i = R α 1 i ϵ α 1 {\displaystyle \delta \phi ^{i}=R_{\alpha _{1}}^{i}\epsilon ^{\alpha _{1}}} 여기서 ϵ i 1 {\displaystyle \epsilon ^{i_{1}}} 는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다. R i p + 1 i p R i p i 0 = C α p + 1 i j δ S 0 δ ϕ j 0 {\displaystyle R_{i_{p+1}}^{i_{p}}R_{i_{p}}^{i_{0}}=C_{\alpha _{p+1}}^{ij}{\frac {\delta S_{0}}{\delta \phi ^{j_{0}}}}} 이다. 여기서 C α p + 1 i j {\displaystyle C_{\alpha _{p+1}}^{ij}} 는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은 1차 게이지 변환 δ ϕ i / δ ϵ α 1 {\displaystyle \delta \phi ^{i}/\delta \epsilon ^{\alpha _{1}}} 2차 게이지 변환 δ ϵ α 1 / δ ϵ α 2 {\displaystyle \delta \epsilon ^{\alpha _{1}}/\delta \epsilon ^{\alpha _{2}}} 3차 게이지 변환 δ ϵ α 2 / δ ϵ α 3 {\displaystyle \delta \epsilon ^{\alpha _{2}}/\delta \epsilon ^{\alpha _{3}}} 등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다. 그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 δ / δ ϵ α p {\displaystyle \delta /\delta \epsilon ^{\alpha _{p}}} 에 대응하는 유령장 c α p {\displaystyle c^{\alpha _{p}}} 을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 ϕ i {\displaystyle \phi ^{i}} 에 대응하는 반대장(反對場, 영어: antifield) ϕ i ∗ {\displaystyle \phi _{i}^{*}} , c α p ∗ {\displaystyle c_{\alpha _{p}}^{*}} 를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 유령수(幽靈數, 영어: ghost number)라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, p {\displaystyle p} 차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 p {\displaystyle p} , 그리고 유령수 g {\displaystyle g} 에 대응하는 반대장은 유령수 − g − 1 {\displaystyle -g-1} 을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다. 즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다. 모든 장들을 통칭해 Φ A = ( ϕ i , c α p ) {\displaystyle \Phi ^{A}=(\phi ^{i},c^{\alpha _{p}})} Φ A ∗ = ( ϕ i ∗ , c α p ∗ ) {\displaystyle \Phi _{A}^{*}=(\phi _{i}^{*},c_{\alpha _{p}}^{*})} 로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다. Δ = ( − 1 ) σ ( Φ A ) δ L δ Φ A δ L δ Φ A ∗ {\displaystyle \Delta =(-1)^{\sigma (\Phi ^{A})}{\frac {\delta ^{L}}{\delta \Phi ^{A}}}{\frac {\delta ^{L}}{\delta \Phi _{A}^{*}}}} 또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다. ( X , Y ) = δ R X δ Φ A δ L Y δ Φ A ∗ − δ R X δ Φ A ∗ δ L Y δ Φ A . {\displaystyle (X,Y)={\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi ^{A}}}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi _{A}^{*}}}-{\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi _{A}^{*}}}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi ^{A}}}.} 이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 δ L / δ Φ A {\displaystyle \delta ^{L}/\delta \Phi ^{A}} 와 δ R / δ Φ A {\displaystyle \delta ^{R}/\delta \Phi ^{A}} 는 각각 좌·우미분이다. 고전적 작용 S 0 ( ϕ i ) {\displaystyle S_{0}(\phi ^{i})} 는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다. S = S 0 + S 1 + S 2 + … {\displaystyle S=S_{0}+S_{1}+S_{2}+\dots } 여기서 S p {\displaystyle S_{p}} 는 p {\displaystyle p} 개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, S {\displaystyle S} 의 유령수는 0이다. deg ⁡ S = 0 {\displaystyle \deg S=0} 이렇게 교정된 작용 S {\displaystyle S} 는 다음과 같은 고전 으뜸 방정식(영어: classical master equation)을 만족시킨다. ( S , S ) = 0 {\displaystyle (S,S)=0} 이로부터 S {\displaystyle S} 를 완전히 계산할 수 있다. 이 경우, 이론의 BRST 대칭은 δ BRST = ( S , ⋅ ) {\displaystyle \delta _{\text{BRST}}=(S,\cdot )} 의 꼴이다. 이 경우 자동적으로 δ BRST S = ( S , S ) = 0 {\displaystyle \delta _{\text{BRST}}S=(S,S)=0} 이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다. δ BRST 2 = 0 {\displaystyle \delta _{\text{BRST}}^{2}=0} 임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지 H p ( δ BRST ) {\displaystyle H^{p}(\delta _{\text{BRST}})} 를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 H 0 ( δ BRST ) {\displaystyle H^{0}(\delta _{\text{BRST}})} 의 원소이다. 고전적인 연산자 O 0 {\displaystyle O_{0}} 가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다. O = O 0 + O 1 + O 2 + ⋯ {\displaystyle O=O_{0}+O_{1}+O_{2}+\cdots } δ BRST O = ( S , O ) = 0 {\displaystyle \delta _{\text{BRST}}O=(S,O)=0} 유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 ψ {\displaystyle \psi } 를 선택하자. 이를 게이지 고정 페르미온(영어: gauge-fixing fermion)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.:§6:§6.1 Φ A ∗ ↦ δ ψ δ Φ A {\displaystyle \Phi _{A}^{*}\mapsto {\frac {\delta \psi }{\delta \Phi ^{A}}}} 작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다. 게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.:§6.2 양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은 Δ S = 0 {\displaystyle \Delta S=0} 이다.:§6 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다. 만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 ℏ {\displaystyle \hbar } 에 비례하게 된다. 즉, S = S ^ ( 0 ) {\displaystyle S={\hat {S}}^{(0)}} 으로 놓으면, S ^ = S ^ ( 0 ) + ℏ S ( 1 ) + ℏ 2 S ( 2 ) + ⋯ {\displaystyle {\hat {S}}={\hat {S}}^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar ^{2}S^{(2)}+\cdots } 이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식(영어: quantum master equation)은 Δ ( exp ⁡ ( i S ^ / ℏ ) ) = 0 {\displaystyle \Delta (\exp(i{\hat {S}}/\hbar ))=0} 이다.:§9 다음 표현은 위와 동치이다. ( S ^ , S ^ ) = 2 i ℏ Δ S ^ {\displaystyle ({\hat {S}},{\hat {S}})=2i\hbar \Delta {\hat {S}}} 이다. 이를 전개하면 ( S ^ ( 0 ) , S ^ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle ({\hat {S}}^{(0)},{\hat {S}}^{(0)})=0} ( S ^ ( 0 ) , S ^ ( 1 ) ) = i Δ S ^ ( 0 ) {\displaystyle ({\hat {S}}^{(0)},{\hat {S}}^{(1)})=i\Delta {\hat {S}}^{(0)}} ( S ^ ( 0 ) , S ^ ( 2 ) ) + 1 2 ( S ^ ( 1 ) , S ^ ( 1 ) ) = i Δ S ^ ( 1 ) {\displaystyle ({\hat {S}}^{(0)},{\hat {S}}^{(2)})+{\frac {1}{2}}({\hat {S}}^{(1)},{\hat {S}}^{(1)})=i\Delta {\hat {S}}^{(1)}} 등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다. 피적분량 X {\displaystyle X} 를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.:§6.1 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분 ∫ exp ⁡ ( i S / ℏ ) {\displaystyle \int \exp(iS/\hbar )} 를 고려하면 양자 으뜸 방정식 Δ exp ⁡ ( i S / ℏ ) = 0 {\displaystyle \Delta \exp(iS/\hbar )=0} 이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 O {\displaystyle O} 가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로 ( W , O ) = i ℏ Δ O {\displaystyle (W,O)=i\hbar \Delta O} 가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, exp ⁡ ( i S / ℏ ) {\displaystyle \exp(iS/\hbar )} 를 다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 D Φ {\displaystyle D\Phi } 를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, D Φ exp ⁡ ( i S / ℏ ) {\displaystyle D\Phi \,\exp(iS/\hbar )} 는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 Δ {\displaystyle \Delta } 이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 N {\displaystyle N} 위의 적분은 ∫ N Δ X = 0 {\displaystyle \int _{N}\Delta X=0} 이고, 또한 만약 Δ Y = 0 {\displaystyle \Delta Y=0} 이라면 ∫ N Y {\displaystyle \int _{N}Y} 는 N {\displaystyle N} 의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, N {\displaystyle N} 의 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 D Φ O exp ⁡ ( i S / ℏ ) {\displaystyle D\Phi \,O\exp(iS/\hbar )} 가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다. 로런츠 지표는 μ , ν , … {\displaystyle \mu ,\nu ,\dots } 로, 게이지 리 대수 지표는 a , b , … {\displaystyle a,b,\dots } 로 쓰자. 비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 A μ a {\displaystyle A_{\mu }^{a}} 는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다. δ A μ a = ∂ μ ϵ a + g f a b c A μ b ϵ c {\displaystyle \delta A_{\mu }^{a}=\partial _{\mu }\epsilon ^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}\epsilon ^{c}} 따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 c a {\displaystyle c^{a}} 및 반대장 ϕ a ∗ {\displaystyle \phi _{a}^{*}} , c a ∗ {\displaystyle c_{a}^{*}} 가 존재한다. 작용 S 0 = − 1 4 ∫ d d x F 2 {\displaystyle S_{0}=-{\frac {1}{4}}\int d^{d}x\,F^{2}} 에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.:§5.2 S = S 0 + ∫ d d x A a ∗ μ D μ c a + 1 2 ∫ d d x c a ∗ f a b c c b c c {\displaystyle S=S_{0}+\int d^{d}x\,A_{a}^{*\mu }D_{\mu }c^{a}+{\frac {1}{2}}\int d^{d}x\,c_{a}^{*}f^{a}{}_{bc}c^{b}c^{c}} 게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 c ¯ a {\displaystyle {\bar {c}}_{a}} 와 유령수 0의 보손 b a {\displaystyle b_{a}} 를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.:§6 S ′ = S − i ∫ d d x c ¯ ∗ a b a {\displaystyle S'=S-i\int d^{d}x\,{\bar {c}}^{*a}b_{a}} 그렇다면 게이지 고정 페르미온 ψ = i ∫ d d x c ¯ a ( ∂ μ A μ a + ξ b a / 2 ) {\displaystyle \psi =i\int d^{d}x\,{\bar {c}}_{a}\left(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)} 를 삽입한다. 여기서 ξ {\displaystyle \xi } 는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다. S = ∫ d d x ( − 1 4 F 2 − i ∂ μ c ¯ a D μ c a + ( ∂ μ A μ a + ξ b a / 2 ) b a ) {\displaystyle S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac {1}{4}}F^{2}-i\partial ^{\mu }{\bar {c}}_{a}D_{\mu }c^{a}+\left(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)b_{a}\right)} p차 미분형식 전기역학의 경우, p차 미분형식 게이지 퍼텐셜 A ( p ) {\displaystyle A^{(p)}} 는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다. δ A ( p ) δ ϵ ( p − 1 ) = d ϵ ( p − 1 ) {\displaystyle {\frac {\delta A^{(p)}}{\delta \epsilon ^{(p-1)}}}=d\epsilon ^{(p-1)}} δ ϵ ( p − 1 ) δ ϵ ( p − 2 ) = d ϵ ( p − 2 ) {\displaystyle {\frac {\delta \epsilon ^{(p-1)}}{\delta \epsilon ^{(p-2)}}}=d\epsilon ^{(p-2)}} ⋮ δ ϵ ( 1 ) δ ϵ ( 0 ) = d ϵ ( 0 ) {\displaystyle {\frac {\delta \epsilon ^{(1)}}{\delta \epsilon ^{(0)}}}=d\epsilon ^{(0)}} 여기서 ϵ ( k ) {\displaystyle \epsilon ^{(k)}} 는 k {\displaystyle k} 차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다. 유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.:§5.5 S = ∫ d d x ( − 1 2 F ( p + 1 ) ∧ ∗ F ( p + 1 ) + ∗ A ∗ ( p ) ∧ d c ( p − 1 ) + ∑ k = 0 p − 2 ∗ c ∗ ( k + 1 ) ∧ d c ( k ) ) {\displaystyle S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac {1}{2}}F^{(p+1)}\wedge *F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)}+\sum _{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}\right)} 이고리 아니톨리예비치 바탈린(러시아어: И́горь Анато́льевич Бата́лин)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(러시아어: Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다. 거스틴해버 대수 Henneaux, Marc; Claudio Teitelboim (1992). 《Quantization of Gauge Systems》 (영어). Princeton University Press.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Barnich, Glenn; Friedemann Brandt, Marc Henneaux (2000년 11월). “Local BRST cohomology in gauge theories”. 《Physics Reports》 (영어) 338 (5): 439–569. arXiv:hep-th/0002245. Bibcode:2000PhR...338..439B. doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1. MR 1792979.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Fuster, Andrea; Marc Henneaux, Axel Maas (2005년 10월). “BRST-antifield quantization: a short review”. 《International Journal of Geometric Methods in Modern Physics》 (영어) 2 (5): 939–963. arXiv:hep-th/0506098. Bibcode:2005hep.th....6098F. doi:10.1142/S0219887805000892.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Fiorenza, Domenico (2004). “An introduction to the Batalin–Vilkovisky formalism” (영어). arXiv:math/0402057. Bibcode:2004math......2057F.  Gomis, Joaquim; Jordi Paris, Stuart Samuel (1995년 8월). “Antibracket, antifields and gauge-theory quantization”. 《Physics Reports》 (영어) 259 (1): 1–145. arXiv:hep-th/9412228. Bibcode:1995PhR...259....1G. doi:10.1016/0370-1573(94)00112-G.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1981년 6월 4일). “Gauge algebra and quantization”. 《Physics Letters B》 (영어) 102 (1): 27–31. Bibcode:1981PhLB..102...27B. doi:10.1016/0370-2693(81)90205-7.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1983년 11월 15일). “Quantization of gauge theories with linearly dependent generators”. 《Physical Review D》 (영어) 28 (10): 2567–2582. Bibcode:1983PhRvD..28.2567B. doi:10.1103/PhysRevD.28.2567.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) 오류 정정 Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1984년 7월 15일). “Erratum: Quantization of gauge theories with linearly dependent generators”. 《Physical Review D》 (영어) 30 (2): 508–508. Bibcode:1984PhRvD..30..508B. doi:10.1103/PhysRevD.30.508.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Gwilliam, Owen; Theo Johnson-Freyd (2012). “How to derive Feynman diagrams for finite-dimensional integrals directly from the BV formalism” (영어). arXiv:1202.1554. Bibcode:2012arXiv1202.1554G.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Schwarz, Albert (1993년 7월). “Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 155 (2): 249–260. arXiv:hep-th/9205088. Bibcode:1993CMaPh.155..249S. doi:10.1007/BF02097392.  Alexandrov, M.; M. Kontsevich, A. Schwarz, O. Zaboronsky (1997년 3월 20일). “The geometry of the master equation and topological quantum field theory”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 12 (7): 1405–1429. arXiv:hep-th/9502010. Bibcode:1997IJMPA..12.1405A. doi:10.1142/S0217751X97001031.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “BV-BRST formalism”. 《nLab》 (영어).  “What is the Batalin-Vilkovisky formalism, and what are its uses in mathematics?” (영어). MathOverflow.