대수적 벡터 다발

대수기하학에서 대수적 벡터 다발(代數的vector다발, 영어: algebraic vector bundle)이란 전이 함수가 다항함수인 벡터 다발의 개념이다. 이는 다양체 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다. 대수적 벡터 다발의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 스킴 사상으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 가군층으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 스킴 X {\displaystyle X} 자연수 n {\displaystyle n} 만약 다음 조건들이 성립한다면, π {\displaystyle \pi } 를 n {\displaystyle n} 차원 대수적 벡터 다발이라고 한다. 스킴 E {\displaystyle E} 전사 함수인 스킴 사상 π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X} X {\displaystyle X} 의 어떤 열린 덮개 U = { U i } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}} 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 스킴 동형 사상 π − 1 ( U i ) → A U i n = A Z n × U i {\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to \mathbb {A} _{U_{i}}^{n}=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times U_{i}} 이 조건은 다음을 만족시켜야 한다. 임의의 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 및 아핀 열린 부분 스킴 Spec ⁡ R ↪ U i ∩ U j {\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U_{i}\cap U_{j}} 에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 R [ x 1 , … , x n ] → R [ y 1 , … , y n ] {\displaystyle R[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\to R[y_{1},\dotsc ,y_{n}]} 은 어떤 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n , n ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;R)} 에 대하여 r ↦ r ∀ r ∈ R {\displaystyle r\mapsto r\;\forall r\in R} , x i ↦ ∑ i = 1 n x i M i j {\displaystyle x_{i}\mapsto \textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}M_{ij}} 로 주어진다. 또한, 이는 환의 동형 사상이어야 한다. 즉, M {\displaystyle M} 은 가역 행렬이다. 같은 스킴 X {\displaystyle X} 위의 두 대수적 벡터 다발 ( E , π , U ) {\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}})} , ( E ′ , π ′ , U ′ ) {\displaystyle (E',\pi ',{\mathcal {U}}')} 사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다. X {\displaystyle X} -스킴의 동형 사상 ι : E / X → E ′ / X {\displaystyle \iota \colon E/X\to E'/X} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ( E , π , U ∩ U ′ ) {\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}}\cap {\mathcal {U}}')} 은 대수적 벡터 다발을 이룬다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 국소 자유 가군층은 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, E ↾ U i ≅ ( O X ↾ U ) ⊕ n {\displaystyle {\mathcal {E}}\upharpoonright U_{i}\cong ({\mathcal {O}}_{X}\upharpoonright U)^{\oplus n}} 인 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 과 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} dㅣ 존재한다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 n {\displaystyle n} 차원 대수적 벡터 다발(또는 유한 계수 국소 자유층)은 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다. 어떤 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 에 대하여, 다음이 성립한다. ∀ i ∈ I : E ↾ U i ≅ ( O X ⊕ ⋯ ⊕ O X ⏟ n ) ↾ U i {\displaystyle \forall i\in I\colon {\mathcal {E}}\upharpoonright U_{i}\cong (\underbrace {{\mathcal {O}}_{X}\oplus \dotsb \oplus {\mathcal {O}}_{X}} _{n})\upharpoonright U_{i}} 즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다. 층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.:128–129, Exercise Ⅱ.5.18 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발 π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X} 의 단면들은 가군층을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다. 가가 정리에 따라서, 복소수 사영 대수다양체에 대응되는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  “Vector bundle, algebraic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Algebraic vector bundle”. 《nLab》 (영어).