그로모프-위튼 불변량

수학에서, 그로모프-위튼 불변량(Громов-Witten不變量, 영어: Gromov–Witten invariant)은 주어진 심플렉틱 다양체 위의 정칙 곡선의 수를 헤아리는 불변량이다. 위상 끈 이론의 A모형의 관측 가능량이다. ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 이 2 d {\displaystyle 2d} 차원 콤팩트 심플렉틱 다양체이며, α ∈ H 2 ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )} 이 주어졌다고 하자. M g , n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}} 이 n {\displaystyle n} 개의 점들이 주어진 종수 g {\displaystyle g} 의 리만 곡면의 모듈러스 스택이라고 하자. M {\displaystyle M} 위에 심플렉틱 구조 ω {\displaystyle \omega } 와 호환되는 임의의 개복소구조 J {\displaystyle J} 를 주고, M g , n ( M ; α ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )} 가 안정 사상(영어: stable map) f : Σ g → M {\displaystyle f\colon \Sigma _{g}\to M} 가운데, f ( Σ g ) ≃ α {\displaystyle f(\Sigma _{g})\simeq \alpha } 인 것들의 모듈라이 공간이라고 하자. M g , n ( M ; α ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )} 의 차원은 다음과 같다. dim ⁡ M g , n ( M ; α ) = 2 c 1 M ( α ) + ( 2 d − 6 ) ( 1 − g ) + 2 n {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )=2c_{1}^{M}(\alpha )+(2d-6)(1-g)+2n} M g , n ( M ; α ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )} 의 점들은 다음과 같은 꼴이다. ( Σ , z 1 , … , z n , f ) {\displaystyle (\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)} 여기서 Σ {\displaystyle \Sigma } 는 종수 g {\displaystyle g} 의 리만 곡면이며, z 1 , … , z n ∈ Σ {\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}\in \Sigma } 은 리만 곡면 위의 점들이며, f : Σ → M {\displaystyle f\colon \Sigma \to M} 은 J {\displaystyle J} 에 대하여 정칙 사상이다. 다음과 같은 값매김 사상(영어: evaluation map)이 존재한다. ev : M g , n ( M ; α ) → M g , n × M n {\displaystyle \operatorname {ev} \colon {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )\to {\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n}} ev : ( Σ , z 1 , … , z n , f ) ↦ ( Σ , f ( z 1 ) , … , f ( z n ) ) {\displaystyle \operatorname {ev} \colon (\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)\mapsto (\Sigma ,f(z_{1}),\dots ,f(z_{n}))} 그렇다면 M {\displaystyle M} 의 그로모프-위튼 호몰로지류 GW g , n M , α {\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }} 은 M {\displaystyle M} 의 기본류의 값매김 사상에 대한 상이다. GW g , n M , α = ev ⁡ ( [ M ] ) ∈ H dim ⁡ M g , n ( X , α ) ⁡ ( M g , n × M n ; Q ) {\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }=\operatorname {ev} ([M])\in \operatorname {H} _{\dim {\mathcal {M}}_{g,n}(X,\alpha )}({\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n};\mathbb {Q} )} 임의의 호몰로지류 β ∈ M g , n {\displaystyle \beta \in {\mathcal {M}}_{g,n}} γ 1 , … , γ n ∈ H ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}\in \operatorname {H} (M;\mathbb {Z} )} 에 대하여, 그로모프-위튼 불변량은 다음과 같은 유리수이다. GW g , n M , α ⁡ ( β , γ 1 , … , γ n ) = PD ⁡ ( GW g , n M , α ) ( β × γ 1 × ⋯ × γ n ) ∈ Q {\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})=\operatorname {PD} (\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha })(\beta \times \gamma _{1}\times \cdots \times \gamma _{n})\in \mathbb {Q} } 여기서 PD {\displaystyle \operatorname {PD} } 는 푸앵카레 쌍대를 뜻한다. 그로모프-위튼 불변량 GW g , n M , α ⁡ ( β , γ 1 , … , γ n ) {\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})} 은 정칙 사상 f : Σ g → M {\displaystyle f\colon \Sigma _{g}\to M} 가운데 f ( [ Σ g ] ) ≃ α {\displaystyle f([\Sigma _{g}])\simeq \alpha } Σ g ∈ β {\displaystyle \Sigma _{g}\in \beta } f ( z i ) ∈ γ i {\displaystyle f(z_{i})\in \gamma _{i}} 인 것들의 수를 센다. 이는 가상적(영어: virtual) 수이며, 따라서 음수이거나 유리수일 수 있다. 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.  조용승 (2000). “심플렉틱 다양체의 불변량”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (3): 391–434. ISSN 1225-1763. 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.  McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2012). 《 J {\displaystyle J} -holomorphic curves and symplectic topology》. American Mathematical Society colloquium publications (영어) 52 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 1) (도움말) Fulton, W.; Pandharipande, R. (1996). “Notes on stable maps and quantum cohomology” (영어). arXiv:alg-geom/9608011.  “Gromov-Witten invariants”. 《nLab》 (영어).  김범식 (2010). “거울대칭, 그리고 곡선 세기” (PDF). 《과학의 지평》. 4–10쪽. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함.  정대웅 (2010). “Gromov-Witten 이론의 연구동향” (PDF). 《과학의 지평》. 18–18쪽. 2015년 7월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함.  양자 코호몰로지 위상 끈 이론