모듈러 군

수학에서 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 S {\displaystyle S} , T {\displaystyle T} 로 주어진다. 기호는 PSL ⁡ ( 2 , Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )} 또는 Γ {\displaystyle \Gamma } . 모듈러 군 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 다음과 같은 표시를 갖는 군이다. Γ = ⟨ S , T | S 2 = ( S T ) 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \Gamma =\langle {\mathsf {S}},{\mathsf {T}}|{\mathsf {S}}^{2}=({\mathsf {S}}{\mathsf {T}})^{3}=1\rangle } 즉, 이는 2차 순환군과 3차 순환군의 자유곱이다. Γ = Cyc ⁡ ( 2 ) ⋆ Cyc ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \Gamma =\operatorname {Cyc} (2)\star \operatorname {Cyc} (3)} 모듈러 군은 가산 무한 개의 원소를 가지는 군이며, 아벨 군이 아니다. 그 중심은 자명군이다. 모듈러 군은 상반평면 H = { τ ∈ C : Im ⁡ τ > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} \tau >0\}} 에 유리 함수로 작용한다. 이 경우 생성원 S {\displaystyle {\mathsf {S}}} , T {\displaystyle {\mathsf {T}}} 의 작용은 다음과 같다. S : z ↦ − 1 / z {\displaystyle {\mathsf {S}}\colon z\mapsto -1/z} T : z ↦ z + 1 {\displaystyle {\mathsf {T}}\colon z\mapsto z+1} 따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다. ( a b c d ) : z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}} . ( ( a b c d ) ∈ SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} ) 이 경우 행렬 + M , − M ∈ SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle +M,-M\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 의 작용이 같으므로, 이는 SL ⁡ ( 2 ; Z ) / ( − I ) = PSL ⁡ ( 2 ; Z ) = Γ {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )/(-I)=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )=\Gamma } 의 작용임을 알 수 있다. 모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역(영어: fundamental domain)은 다음과 같다. { z ∈ H : | Re ⁡ ( z ) | ≤ 1 / 2 , | z | ≥ 1 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {H} \colon |\operatorname {Re} (z)|\leq 1/2,\;|z|\geq 1\}} 보다 일반적으로, 이 작용은 리만 구의 반구 { τ ∈ C : Im ⁡ τ ≥ 0 } ⊔ { ∞ } = H ⊔ P R 1 {\displaystyle \{\tau \in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} \tau \geq 0\}\sqcup \{\infty \}=\mathbb {H} \sqcup \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{1}} 위로 확장될 수 있다. 이 경우, 이는 실수 사영 직선 P R 1 = R ⊔ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{1}=\mathbb {R} \sqcup \{\infty \}} 위에 다음과 같이 따로 작용한다. 사실, 이 작용은 대수적 수의 집합(+∞) 또는 유리수체(+∞)로 제한될 수 있다. 즉, 모듈러 군은 다음과 같은 부분 집합 위에 각각 작용한다. H {\displaystyle \mathbb {H} } (허수 성분이 양수인 복소수) R ∖ Q ¯ {\displaystyle \mathbb {R} \setminus {\bar {\mathbb {Q} }}} (초월수) Q ¯ ∩ R ∖ Q {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } (대수적 무리수) Q ⊔ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {Q} \sqcup \{\infty \}} (유리수 및 무한대) 모듈러 군은 유리수 사영 직선 P Q 1 = Q ⊔ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{1}=\mathbb {Q} \sqcup \{\infty \}} 위에 작용한다. 구체적으로, 다음과 같은 집합을 생각하자. X = { ( p , q ) ∈ Z 2 : gcd { p , q } = 1 , p q ≠ 0 } {\displaystyle X=\{(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\colon \gcd\{p,q\}=1,\;pq\neq 0\}} 그렇다면, 그 위에 SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 의 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다. ( a b c d ) ⋅ p q = a p + b q c p + d q ( ( a b c d ) ∈ SL ⁡ ( 2 ; Z ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot {\frac {p}{q}}={\frac {ap+bq}{cp+dq}}\qquad \left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )\right)} 이 경우, 위 행렬이 특수 선형군에 속하므로 그 행렬식이 1이다. 즉, a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} 다. 따라서, gcd { p , q } = 1 {\displaystyle \gcd\{p,q\}=1} 일 때 gcd { a p + b q , c p + d q } = 1 {\displaystyle \gcd\{ap+bq,cp+dq\}=1} 이게 된다. 이 작용은 추이적 작용이다. 즉, 임의의 ( p , q ) , ( p ′ , q ′ ) ∈ X {\displaystyle (p,q),(p',q')\in X} 에 대하여, 항상 M ⋅ ( p , q ) = ( p ′ , q ′ ) {\displaystyle M\cdot (p,q)=(p',q')} 인 M ∈ SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle M\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 이 존재한다. 이제, 다음과 같은 전사 함수를 생각하자. X → P Q 1 = Q ⊔ { ∞ } {\displaystyle X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{1}=\mathbb {Q} \sqcup \{\infty \}} ( p , q ) ↦ p q ( q ≠ 0 ) {\displaystyle (p,q)\mapsto {\frac {p}{q}}\qquad (q\neq 0)} ( ± 1 , 0 ) ↦ ∞ {\displaystyle (\pm 1,0)\mapsto \infty } 즉, ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 를 약분 불가능 분수 p / q {\displaystyle p/q} 로 간주하자. 물론 p / q = ( − p ) / ( − q ) {\displaystyle p/q=(-p)/(-q)} 이므로, 이는 SL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )} 의 몫군 PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 의, 유리수 사영 직선 위의 작용을 정의한다. 이 작용 역시 따라서 추이적 작용이다. 이 작용 아래 S {\displaystyle {\mathsf {S}}} 와 T {\displaystyle {\mathsf {T}}} 의 작용은 다음과 같다. S ⋅ p q = − q p {\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\frac {p}{q}}=-{\frac {q}{p}}} T ⋅ p q = p + q q = p q + 1 {\displaystyle {\mathsf {T}}\cdot {\frac {p}{q}}={\frac {p+q}{q}}={\frac {p}{q}}+1} 이 작용은 모듈러 군의, 복소수 상반평면 위의 작용을 유리수로 제한한 것이다. 모듈러 군의 보편 중심 확대는 3차 꼬임군 Braid ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Braid} (3)} 이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다. Cyc ⁡ ( ∞ ) ↪ Braid ⁡ ( 3 ) ↠ PSL ⁡ ( 2 ; Z ) ‖ ↓ ↓ Cyc ⁡ ( ∞ ) ↪ SL ⁡ ( 2 ; R ) ¯ ↠ PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Cyc} (\infty )&\hookrightarrow &\operatorname {Braid} (3)&\twoheadrightarrow &\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )\\\|&&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cyc} (\infty )&\hookrightarrow &{\overline {\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}}&\twoheadrightarrow &\operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\end{matrix}}} 여기서 SL ⁡ ( 2 ; R ) ¯ {\displaystyle {\overline {\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}}} 는 2차원 실수 특수선형군의 범피복군이며, Cyc ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )} 는 무한 순환군(정수의 덧셈군)이다. 모듈러 군은 합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, 합동 부분군은 (아래에 정의된) Γ ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)} 을 부분군으로 가지는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부분군 Γ ( N ) ⊂ G ⊂ Γ ( 1 ) {\displaystyle \Gamma (N)\subset G\subset \Gamma (1)} 이다. 이 경우, 이러한 최소 N {\displaystyle N} 을 합동 부분군 G {\displaystyle G} 의 준위(영어: level 레벨[*], 독일어: Stufe 슈튜페[*])라고 한다. 흔히 쓰이는 합동 부분군으로는 Γ ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)} , Γ 0 ( N ) {\displaystyle \Gamma _{0}(N)} , Γ 1 ( N ) {\displaystyle \Gamma _{1}(N)} 이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다. Γ ( N ) ⊂ Γ 1 ( N ) ⊂ Γ 0 ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)\subset \Gamma _{1}(N)\subset \Gamma _{0}(N)} 모듈러 군 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 주합동 부분군(主合同部分群, 영어: principal congruence subgroup)이라는 중요한 부분군들을 가진다. N ≥ 2 {\displaystyle N\geq 2} 가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 N {\displaystyle N} 에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. Γ = PSL ⁡ ( 2 ; Z ) → PSL ⁡ ( 2 ; Z / N Z ) {\displaystyle \Gamma =\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )\to \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )} 이 군 준동형의 핵을 레벨 N의 주합동 부분군 Γ ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)} 이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다. 1 → Γ ( N ) ↪ Γ ↠ PSL ⁡ ( 2 ; Z / N Z ) → 1 {\displaystyle 1\to \Gamma (N)\hookrightarrow \Gamma \twoheadrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1} 구체적으로, Γ ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)} 은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬 ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} 에 대하여, a ≡ d ≡ ± 1 ( mod N ) {\displaystyle a\equiv d\equiv \pm 1{\pmod {N}}} b ≡ c ≡ 0 ( mod N ) {\displaystyle b\equiv c\equiv 0{\pmod {N}}} 특히, Γ ( 2 ) = Λ {\displaystyle \Gamma (2)=\Lambda } 는 Λ 모듈러 군(영어: modular group Λ)라고 불린다. 이 경우 SL ⁡ ( 2 ; Z / 2 ) ≅ Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} /2)\cong \operatorname {Sym} (3)} 은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉, Λ {\displaystyle \Lambda } 는 지표가 6인 부분군이다. 모듈러 군 Γ1(N)은 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬 ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} 에 대하여, a ≡ d ≅ 1 {\displaystyle a\equiv d\cong 1} c ≡ 0 ( mod N ) {\displaystyle c\equiv 0{\pmod {N}}} 모듈러 군 Γ0(N)은 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬 ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} 에 대하여, c ≡ 0 ( mod N ) {\displaystyle c\equiv 0{\pmod {N}}} 즉, 위와 같이 Γ → PSL ⁡ ( 2 ; Z / N Z ) {\displaystyle \Gamma \to \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )} 와 같은 군 준동형에서, 상이 상삼각행렬인 원소들이다. Γ ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)} 은 Γ 0 ( N ) {\displaystyle \Gamma _{0}(N)} 의 부분군이다. Apostol, Tom M. (1990). 《Modular functions and Dirichlet series in number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 41 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0999-7. ISBN 978-0-387-97127-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0697.10023.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Panchishkin, A. A. (2001). “Modular group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Modular Group Gamma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Modular Group Lambda”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Modular Group Gamma_0”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이철희. “모듈라 군(modular group)”. 《수학노트》.  푹스 군 모듈러 형식 2차원 실수 특수선형군 뫼비우스 변환