스핀 표현

수학에서 스핀 표현(영어: Spin representation)은 직교군 또는 특수 직교군의 특정한 사영 표현이다. 보다 정확하게는, 특수 직교군의 이중 덮개인 스핀군의 두 가지 표현이다. 일반적으로 실수체 또는 복소수체의 경우에 대해 연구하지만 다른 체에 대해서도 정의하여 연구할 수 있다. 스핀 표현의 원소를 스피너라고 한다. 스핀 표현은 여러 가지 방법으로 구성될 수 있지만, 일반적으로 군의 벡터 표현에서 최대 등방적 부분 공간을 선택하는 것과 암시적으로 연관된다. 실수에 대해서는 일반적으로 벡터 표현을 복소화 해야 한다. 이러한 이유로 먼저 복소수에 대한 스핀 표현을 정의하고 실수 구조를 도입하여 실수 표현을 유도하는 것이 편리하다. 스핀 표현의 속성은 직교군의 차원과 부호수에 따라 달라진다. 특히 스핀 표현은 종종 스핀 군을 고전적인 리 군에 묻는 데 사용할 수 있는 불변 쌍선형 형식을 허용한다. 낮은 차원에서 이러한 묻기는 전사이며 스핀 군과 더 친숙한 리군 사이의 특수 동형을 결정한다. 이것은 이러한 차원에서 스피너의 특성을 설명한다. V {\displaystyle V} 를 비축퇴 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 주어진 유한 차원 실 또는 복소 선형 공간이라고 하자. Q {\displaystyle Q} 를 보존하는 선형 사상은 직교군 O ( V , Q ) {\displaystyle {\text{O}}(V,Q)} 을 형성한다. 군의 항등 성분은 특수 직교군 SO ( V , Q ) {\displaystyle {\text{SO}}(V,Q)} 라고 한다. (부정 이차 형식이 주어진 실 선형 공간 V {\displaystyle V} 에 대해 이 용어는 표준이 아니다. 특수 직교군은, 이 경우, 두 개의 성분이 있는 부분군으로 정의된다.) 스핀군 Spin ( V , Q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(V,Q)} 는 SO ( V , Q ) {\displaystyle {\text{SO}}(V,Q)} 의 유일한 연결 이중 덮개다. 따라서 군 동형사상 h : Spin ( V , Q ) → SO ( V , Q ) {\displaystyle h:{\text{Spin}}(V,Q)\rightarrow {\text{SO}}(V,Q)} 의 핵에는 1 , − 1 {\displaystyle 1,-1} 로 표시되는 두 개의 원소가 있으며 여기서 1은 항등원이다. 따라서 Spin ( V , Q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(V,Q)} 의 원소 g {\displaystyle g} 와 − g {\displaystyle -g} 는 SO ( V , Q ) {\displaystyle {\text{SO}}(V,Q)} 에 대한 준동형함수 값이 동일하다. 즉, Spin ( V , Q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(V,Q)} 의 모든 g {\displaystyle g} 에 대해 h ( g ) = h ( − g ) {\displaystyle h(g)=h(-g)} 이다. O ( V , Q ) {\displaystyle {\text{O}}(V,Q)} , SO ( V , Q ) {\displaystyle {\text{SO}}(V,Q)} , Spin ( V , Q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(V,Q)} 은 모두 리 군이며, 고정된 ( V , Q ) {\displaystyle (V,Q)} 에 대해 이 리 군들의 리 대수는 모두 s o ( V , Q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,Q)} 이다. V {\displaystyle V} 가 실 선형 공간인 경우, V {\displaystyle V} 는 V {\displaystyle V} 의 복소화 V C = V ⊗ R C {\displaystyle V_{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 의 실 부분 공간이고, 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 는 자연스럽게 V C {\displaystyle V_{\mathbb {C} }} 에서 이차 형식 Q C {\displaystyle Q_{\mathbb {C} }} Q C {\displaystyle Q_{\mathbb {C} }} 로 확장된다. SO ( V C , Q C ) {\displaystyle {\text{SO}}(V_{\mathbb {C} },Q_{\mathbb {C} })} 는 부분군으로 SO ( V , Q ) {\displaystyle {\text{SO}}(V,Q)} 를 포함하므로, Spin ( V , Q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(V,Q)} 를 Spin ( V C , Q C ) {\displaystyle {\text{Spin}}(V_{\mathbb {C} },Q_{\mathbb {C} })} 의 부분군으로 구현할 수 있다. 또한, s o ( V C , Q C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(V_{\mathbb {C} },Q_{\mathbb {C} })} 는 s o ( V , Q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,Q)} 의 복소화이다. 복소 선형 공간의 경우, 이차 형식은 V {\displaystyle V} 의 차원 n {\displaystyle n} 에 의해 동형 사상까지 유일하게 결정된다. 구체적으로, V = C n {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}} 이고 V = C n {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}} Q ( z 1 , … , z n ) = z 1 2 + z 2 2 + ⋯ + z n 2 . {\displaystyle Q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.} 이라고 가정할 수 있다. 해당 리 군들은 O ( n , C ) , SO ( n , C ) , Spin ( n , C ) {\displaystyle {\text{O}}(n,\mathbb {C} ),{\text{SO}}(n,\mathbb {C} ),{\text{Spin}}(n,\mathbb {C} )} 로 표시되며 리 대수는 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 로 표시된다. 실 선형 공간에서 이차 형식은 음이 아닌 정수 쌍 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 으로 결정된다. 여기서 n = p + q {\displaystyle n=p+q} 는 V {\displaystyle V} 의 차원이고 p − q {\displaystyle p-q} 는 부호수이다. 구체적으로 V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} , Q ( x 1 , … , x n ) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x p 2 − ( x p + 1 2 + ⋯ + x p + q 2 ) . {\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).} 이라고 가정할 수 있다. 해당 리 군 및 리 대수는 기호로 O ( p , q ) , SO ( p , q ) , Spin ( p , q ) {\displaystyle {\text{O}}(p,q),{\text{SO}}(p,q),{\text{Spin}}(p,q)} ; s o ( p , q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)} 로 표시한다. 부호수을 명시하기 위해 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 대신 R p , q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}} 를 쓴다. 어떤 의미에서 스핀 표현은 SO ( n , C ) {\displaystyle {\text{SO}}(n,\mathbb {C} )} 와 SO ( p , q ) {\displaystyle {\text{SO}}(p,q)} 표현으로부터 나오지 않는 Spin ( n , C ) {\displaystyle {\text{Spin}}(n,\mathbb {C} )} 와 Spin ( p , q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)} 의 가장 간단한 표현이다. 따라서, 스핀 표현은, − 1 ∉ ker ⁡ ρ {\displaystyle -1\notin \ker \rho } 인 군 준동형 사상 ρ : Spin ( n , C ) o r Spin ( p , q ) ⟶ GL ( S ) {\displaystyle \rho :{\text{Spin}}(n,\mathbb {C} )\;or\;{\text{Spin}}(p,q)\longrightarrow {\text{GL}}(S)} 이 주어진 실 또는 복소 선형 공간 S {\displaystyle S} 이다. S {\displaystyle S} 가 그러한 표현이라면, 리 군과 리 대수의 관계에 따라 리 대수 표현, 즉 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 또는 s o ( p , q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)} 에서 교환자 괄호가 있는 S {\displaystyle S} 의 자기 사상들의 리 대수 g l ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(S)} 로의 리 대수 동형 사상을 유도한다. 스핀 표현은 다음에 따라 분석할 수 있다: S {\displaystyle S} 가 Spin ( p , q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)} 의 실 스핀 표현인 경우, 그 복소화는 Spin ( p , q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)} 의 복소 스핀 표현이다. s o ( p , q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)} 의 표현으로 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 복소 표현으로 확장된다. 역순으로 진행하므로 먼저 Spin ( n , C ) {\displaystyle {\text{Spin}}(n,\mathbb {C} )} 및 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 복소 스핀 표현을 구성한 다음 s o ( p , q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)} 및 Spin ( p , q ) {\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)} 의 복소 스핀 표현으로 제한한 다음 마지막으로 실 스핀 표현에 대한 가능한 축약를 분석한다. 다음이 성립하도록 표준 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 이 주어진 V = C n {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}} 를 고려하자. s o ( V , Q ) = s o ( n , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).} Q {\displaystyle Q} 와 연관된 V {\displaystyle V} 의 대칭 쌍선형 형식은 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 로 나타낸다. 표준적으로, s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 스핀 표현은 W ∩ W ∗ = 0 {\displaystyle W\cap W^{*}=0} 인 V {\displaystyle V} 의 ( Q {\displaystyle Q} 에 대한) 극대 완전 등방 부분 공간의 쌍 ( W , W ∗ ) {\displaystyle (W,W^{*})} 의 선택으로 구성된다. V {\displaystyle V} 의 차원 n = 2 m {\displaystyle n=2m} 또는 n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} 이면 W {\displaystyle W} 와 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 둘 다 차원이 m {\displaystyle m} 이다. n = 2 m {\displaystyle n=2m} 이면 V = W ⊕ W ∗ {\displaystyle V=W\oplus W^{*}} 이고, n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} 이면 V = W ⊕ U ⊕ W ∗ {\displaystyle V=W\oplus U\oplus W^{*}} 이다. 여기서 U {\displaystyle U} 는 W ⊕ W ∗ {\displaystyle W\oplus W^{*}} 에 대한 1차원 직교 여공간이다. Q {\displaystyle Q} 와 연관된 이중 선형 형식 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 는 W {\displaystyle W} 와 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 사이의 쌍을 유도하는데, 이는 W {\displaystyle W} 와 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 가 완전 등방 부분 공간이고 Q {\displaystyle Q} 가 비축퇴이기 때문에 축퇴되지 않아야 한다. 따라서 W {\displaystyle W} 와 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 는 쌍대 선형 공간이다. 보다 구체적으로, a 1 , … , a m {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}} 가 W {\displaystyle W} 의 기저라 하자. 그러면 다음과 같은 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 의 유일한 기저 α 1 , … , α m {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{m}} 가 존재한다: ⟨ α i , a j ⟩ = δ i j . {\displaystyle \langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.} A {\displaystyle A} 가 m × m {\displaystyle m\times m} 행렬이면 A {\displaystyle A} 는 이 기저에 대해 W {\displaystyle W} 의 자기 사상을 유도하고 전치 A T {\displaystyle A^{T}} 는 다음과 같이 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 의 변환을 유도한다: ∀ w ∈ W {\displaystyle \forall w\in W} , ∀ w ∗ ∈ W ∗ {\displaystyle \forall w^{*}\in W^{*}} , ⟨ A w , w ∗ ⟩ = ⟨ w , A T w ∗ ⟩ {\displaystyle \langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle } W {\displaystyle W} 에서 A {\displaystyle A} , W ∗ {\displaystyle W^{*}} 에서 − A T {\displaystyle -A^{T}} , U {\displaystyle U} 에서 0( n {\displaystyle n} 이 홀수인 경우)과 같이, V {\displaystyle V} 의 자기 사상 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 는 반대칭적이다: ⟨ ρ A u , v ⟩ = − ⟨ u , ρ A v ⟩ ∀ u , v ∈ V . {\displaystyle \langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle \;\;\forall u,v\in V.} 따라서 (고전군 참조) s o ( n , C ) ⊂ End ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )\subset {\text{End}}(V)} 의 원소이다. 이 구성에서 대각 행렬을 사용하여 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 를 정의한다. s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 랭크는 m {\displaystyle m} 이고, n × n {\displaystyle n\times n} 대각 행렬은 m {\displaystyle m} 차원 아벨 부분 대수를 결정한다. ϵ 1 , … , ϵ m {\displaystyle \epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{m}} 을 대각 행렬 A {\displaystyle A} 에 대해 ϵ k ( ρ A ) {\displaystyle \epsilon _{k}(\rho _{A})} 가 A {\displaystyle A} 의 k {\displaystyle k} 번째 대각 성분인 h ∗ {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}} 의 기저라 하자. 이것은 확실히 h ∗ {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}} 의 기저이다. 쌍선형 형식은 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} , ∧ 2 V {\displaystyle \wedge ^{2}V} 를 다음과 같이 명시적으로 규명한다: x ∧ y ↦ φ x ∧ y , φ x ∧ y ( v ) = 2 ( ⟨ y , v ⟩ x − ⟨ x , v ⟩ y ) , x ∧ y ∈ ∧ 2 V , x , y , v ∈ V , φ x ∧ y ∈ s o ( n , C ) . {\displaystyle x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=2(\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).} 이제 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 와 관련된 근계를 쉽게 구성할 수 있다. 근 공간 ( h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 작용에 대한 동시 고유 공간)은 다음 원소들로 생성된다. a i ∧ a j , i ≠ j , {\displaystyle a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,} 근(동시 고유값) ε i + ε j {\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}} a i ∧ α j {\displaystyle a_{i}\wedge \alpha _{j}} ( i = j {\displaystyle i=j} 이면 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 에 있음) 근 ε i − ε j {\displaystyle \varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}} α i ∧ α j , i ≠ j , {\displaystyle \alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,} 근 − ε i − ε j {\displaystyle -\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}} n {\displaystyle n} 이 홀수이고 u {\displaystyle u} 가 U {\displaystyle U} 의 0이 아닌 원소인 경우, a i ∧ u , {\displaystyle a_{i}\wedge u,} 근 ε i {\displaystyle \varepsilon _{i}} α i ∧ u , {\displaystyle \alpha _{i}\wedge u,} 근 − ε i . {\displaystyle -\varepsilon _{i}.} 따라서 기저 ϵ 1 , … , ϵ m {\displaystyle \epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{m}} 에 대해 근들은 ( ± 1 , ± 1 , 0 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)} 의 치환인 h ∗ {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}} 의 벡터들이다. ( n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} 인 경우 ( ± 1 , 0 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,0,0,\dots ,0)} 의 치환들) 양의 근계는 εi + εj (i ≠ j), εi − εj (i < j) 및 ( n 홀수인 경우) ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}} 로 주어진다. 해당 단순 근은 다음과 같다: ε 1 − ε 2 , ε 2 − ε 3 , … , ε m − 1 − ε m , { ε m − 1 + ε m n = 2 m ε m n = 2 m + 1. {\displaystyle \varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.} 양의 근들은 단순 근들의 음이 아닌 정수 선형 결합이다. s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 스핀 표현은 다음 외대수들을 통해 구성 될 수 있다: S = ∧ ∙ W {\displaystyle S=\wedge ^{\bullet }W} 및 S ′ = ∧ ∙ W ∗ . {\displaystyle S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.} ∀ v = w + v ∗ ∈ W ⊕ W ∗ {\displaystyle \forall v=w+v^{*}\in W\oplus W^{*}} , ∀ ψ ∈ S {\displaystyle \forall \psi \in S} 에 대해 다음과 같이 주어진 V {\displaystyle V} 의 작용이 있다: v ⋅ ψ = 2 1 2 ( w ∧ ψ + ι ( w ∗ ) ψ ) , {\displaystyle v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),} 여기서 두 번째 항은 쌍선형 형식을 사용하여 정의된 축약(내부곱)이며 W {\displaystyle W} 와 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 를 쌍으로 만든다. 이 작용은 클리포드 관계 v 2 = Q ( v ) 1 {\displaystyle v^{2}=Q(v)1} 을 만족하므로 V {\displaystyle V} 의 클리포드 대수 Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 에서 End ( S ) {\displaystyle {\text{End}}(S)} 로 가는 준동형 사상을 유도한다. 유사한 작용을 S ′ {\displaystyle S'} 에 정의할 수 있으므로 S {\displaystyle S} 와 S ′ {\displaystyle S'} 는 모두 클리포드 가군이다. 리 대수 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 는 덮개 Spin ( n ) → SO ( n ) {\displaystyle {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)} 에 의해 유도된 사상을 통해, Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 안의 복소화된 리 대수 C {\displaystyle \mathbb {C} } 와 동형이다. v ∧ w ↦ 1 4 [ v , w ] . {\displaystyle v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].} 따라서 S {\displaystyle S} 와 S ′ {\displaystyle S'} 는 모두 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 표현이다. 이들 은 실제로 동등한 표현이므로, S {\displaystyle S} 에 중점을 두겠다. 명시적 설명은 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 원소 α i ∧ a i {\displaystyle \alpha _{i}\wedge a_{i}} 가 다음과 같이 S {\displaystyle S} 에 작용함을 보여준다. ( α i ∧ a i ) ⋅ ψ = 1 4 ( 2 1 2 ) 2 ( ι ( α i ) ( a i ∧ ψ ) − a i ∧ ( ι ( α i ) ψ ) ) = 1 2 ψ − a i ∧ ( ι ( α i ) ψ ) . {\displaystyle (\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).} 다음 형식의 원소들은 S {\displaystyle S} 의 기저이다: 0 ≤ k ≤ m {\displaystyle 0\leq k\leq m} 및 i 1 < ⋯ < i k {\displaystyle i_{1}<\cdots <i_{k}} 에 대해, a i 1 ∧ a i 2 ∧ ⋯ ∧ a i k . {\displaystyle a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}.} 이것들은 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 작용에 대한 가중치 공간을 생성한다. 어떤 j {\displaystyle j} 에 대해 i = i j {\displaystyle i=i_{j}} 인 경우, 주어진 기저 벡터에서 α i ∧ a i {\displaystyle \alpha _{i}\wedge a_{i}} 는 고유값 − 1 / 2 {\displaystyle -1/2} 를 갖고 그렇지 않은 경우 고유값 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 를 갖는다. S {\displaystyle S} 의 가중치는 다음의 모든 가능한 조합이다. ( ± 1 2 , ± 1 2 , … ± 1 2 ) {\displaystyle {\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}} 각 가중치 공간은 1차원이다. S {\displaystyle S} 의 원소는 디랙 스피너 라고 한다. n {\displaystyle n} 이 짝수일 때, S {\displaystyle S} 는 기약 표현이 아니다. S + = ∧ e v e n W {\displaystyle S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W} 와 S − = ∧ o d d W {\displaystyle S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W} 는 불변 부분 공간이다. 가중치는 빼기 기호가 짝수개인 가중치와 빼기 기호가 홀수개인 가중치로 나뉜다. S + {\displaystyle S_{+}} 와 S − {\displaystyle S_{-}} 는 둘 다 2 m − 1 {\displaystyle 2^{m-1}} 차원 기약 표현이며, 이들의 원소를 바일 스피너라고 부른다. 키랄 스핀 표현 또는 반정수 스핀 표현이라고도 한다. 위의 양의 근계과 관련하여 S + {\displaystyle S_{+}} 와 S − {\displaystyle S_{-}} 의 최고 가중치는 각각 다음과 같다: ( 1 2 , 1 2 , … 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}} , ( 1 2 , 1 2 , … 1 2 , − 1 2 ) {\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}} 클리포드 작용은 Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 를 End ( S ) {\displaystyle {\text{End}}(S)} 로 규명하고 짝수 부분 대수는 S + {\displaystyle S_{+}} 와 S − {\displaystyle S_{-}} 를 보존 하는 자기 사상들로 규명된다. 다른 클리포드 가군 S ′ {\displaystyle S'} 는 이 경우 S {\displaystyle S} 와 동형이다. n {\displaystyle n} 이 홀수일 때, S {\displaystyle S} 는 2 m {\displaystyle 2^{m}} 차원인 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 기약 표현이다. 단위 벡터 u ∈ U {\displaystyle u\in U} 의 클리포드 작용은 다음과 같이 주어진다: u ⋅ ψ = { ψ if  ψ ∈ ∧ e v e n W − ψ if  ψ ∈ ∧ o d d W {\displaystyle u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.} 따라서 u ∧ w {\displaystyle u\wedge w} 또는 u ∧ w ∗ {\displaystyle u\wedge w^{*}} 형식인 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 원소들은 W {\displaystyle W} 의 외대수의 짝수 부분과 홀수 부분을 보존하지 않는다. S {\displaystyle S} 의 최고 가중치는 ( 1 2 , 1 2 , … 1 2 ) . {\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.} 클리포드 작용은 S {\displaystyle S} 에 대해 충실하지 않다. Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 는 End ( S ) ⊕ End ( S ′ ) {\displaystyle {\text{End}}(S)\oplus {\text{End}}(S')} 로 규명될 수 있다. 여기서 u {\displaystyle u} 는 S ′ {\displaystyle S'} 에 반대 부호로 작용한다. 보다 정확하게는, 두 표현은 짝수 대수의 항등식인 Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 의 홀짝성 대합 함수 α {\displaystyle \alpha } (주 자기 동형 사상이라고도 함)로 서로 관련되며 Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 의 홀수 부분 항등식을 뺀다. 즉, S {\displaystyle S} 에서 S ′ {\displaystyle S'} 로의 선형 동형 사상이 존재하며, 이는 Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 안에 있는 S {\displaystyle S} 위의 A {\displaystyle A} 의 작용을 S ′ {\displaystyle S'} 위의 α ( A ) {\displaystyle \alpha (A)} 의 작용으로 규명한다. λ {\displaystyle \lambda } 가 S {\displaystyle S} 의 가중치이면 − λ {\displaystyle -\lambda } 도 마찬가지이다. 따라서 S {\displaystyle S} 는 쌍대 표현 S ∗ {\displaystyle S^{*}} 와 동형이다. n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} 이 홀수일 때, 동형 사상 B : S → S ∗ {\displaystyle B:S\rightarrow S^{*}} 는 S {\displaystyle S} 가 기약이기 때문에 슈어 보조정리에 의해 유일하며, 다음을 통해 S {\displaystyle S} 에서 비축퇴 불변 쌍선형 형식 β {\displaystyle \beta } 를 정의한다: β ( φ , ψ ) = B ( φ ) ( ψ ) . {\displaystyle \beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).} 여기서 불변성은 다음을 의미한다: s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 모든 ξ {\displaystyle \xi } 와 S {\displaystyle S} 의 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 에 대해 β ( ξ ⋅ φ , ψ ) + β ( φ , ξ ⋅ ψ ) = 0 {\displaystyle \beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0} 즉, ξ {\displaystyle \xi } 의 작용은 β {\displaystyle \beta } 에 대해 반대칭적이다. 더욱이, S ∗ {\displaystyle S^{*}} 는 반 클리포드 대수의 표현이며, 따라서 Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 에는 홀짝성 대합 α {\displaystyle \alpha } 와 관련된 두 개의 자명하지 않은 단순 가군 S {\displaystyle S} 와 S ′ {\displaystyle S'} 만 있으므로, Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 의 모든 A {\displaystyle A} 에 대해 β ( A ⋅ φ , ψ ) = β ( φ , τ ( A ) ⋅ ψ ) ( 1 ) {\displaystyle \quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)} 인 Cl n C {\displaystyle {\text{Cl}}_{n}\mathbb {C} } 의 반 자기 동형 사상 τ {\displaystyle \tau } 가 있다. 사실 τ {\displaystyle \tau } 는 짝수 m {\displaystyle m} 에 대한 reversion( V {\displaystyle V} 의 항등원에 의해 유도된 반 자기 동형 사상)이고, 홀수 m {\displaystyle m} 에 대한 활용( V {\displaystyle V} 의 항등원 빼기에 의해 유도된 반 자기 동형 사상)이다. 이 두 가지 반 자기 동형 사상들은 V {\displaystyle V} 의 항등원을 뺀 값으로 유도된 자기 동형 사상인 홀짝 대합 α {\displaystyle \alpha } 에 의해 연관된다. 둘 다 ξ ∈ s o ( n , C ) {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 에 대해 τ ( ξ ) = − ξ {\displaystyle \tau (\xi )=-\xi } 를 만족한다. n = 2 m {\displaystyle n=2m} 일 때 상황은 m {\displaystyle m} 의 홀짝성에 더 민감하게 의존한다. m {\displaystyle m} 이 짝수인 경우, 가중치 λ {\displaystyle \lambda } 가 짝수개의 음의 부호를 가짐과 − λ {\displaystyle -\lambda } 가 짝수개의 음의 부호를 가짐은 동치다. 그것은 개별적인 동형 사상 B ± : S ± → S ± ∗ {\displaystyle B_{\pm }:S_{\pm }\rightarrow S_{\pm }^{*}} 가 이중으로 각 반정수 스핀 표현에 있으며, 각각은 규모에 따라 고유하게 결정된다. 이들은 동형 사상 B : S → S ∗ {\displaystyle B:S\rightarrow S^{*}} 로 조합될 수 있다. 홀수 m {\displaystyle m} 의 경우 λ {\displaystyle \lambda } 가 S + {\displaystyle S_{+}} 의 가중치임과 − λ {\displaystyle -\lambda } 가 S − {\displaystyle S_{-}} 의 가중치임은 동치이다. 따라서 S + {\displaystyle S_{+}} 에서 S − ∗ {\displaystyle S_{-}^{*}} 로 가는 동형 사상이 유일하고, 그 전치는 S − {\displaystyle S_{-}} 에서 S + ∗ {\displaystyle S_{+}^{*}} 로의 동형 사상을 제공한다. 이들은 다시 동형 사상 B : S → S ∗ {\displaystyle B:S\rightarrow S^{*}} 로 조합될 수 있다. 짝수 m {\displaystyle m} 및 홀수 m {\displaystyle m} 모두에 대해, B {\displaystyle B} 의 선택은 B {\displaystyle B} 에 해당하는 쌍선형 형식 β {\displaystyle \beta } 가 (1)을 만족하는 조건을 추가함으로써 전체 규모로 제한될 수 있다. 여기서 τ {\displaystyle \tau } 는 고정된 반 자기 동형 사상(복귀 또는 접합)이다. β : S ⊗ S → C {\displaystyle \beta :S\otimes S\rightarrow \mathbb {C} } 의 대칭 특성은 클리포드 대수 또는 표현론을 사용하여 결정할 수 있다. 실제로 훨씬 더 많은 것을 말할 수 있다: 텐서 제곱 S ⊗ S {\displaystyle S\otimes S} 는 다양한 k {\displaystyle k} 에 대해 V {\displaystyle V} 에서 k {\displaystyle k} 형식의 직합으로 분해되어야 한다 − 그 가중치는 구성 원소가 { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle \{-1,0,1\}} . 이제 동치인 선형 사상들 S ⊗ S → ∧ k V ∗ {\displaystyle S\otimes S\rightarrow \wedge ^{k}V^{*}} 는 불변 사상들 ∧ k V ∗ ⊗ S ⊗ S → C {\displaystyle \wedge ^{k}V^{*}\otimes S\otimes S\rightarrow \mathbb {C} } 과 1대1 대응되며, 0이 아닌 이러한 사상은 ∧ k V ∗ {\displaystyle \wedge ^{k}V^{*}} 를 클리포드 대수에 포함시켜 구성할 수 있다. 또한 β ( ϕ , ψ ) = ϵ β ( ψ , ϕ ) {\displaystyle \beta (\phi ,\psi )=\epsilon \beta (\psi ,\phi )} 이고 τ {\displaystyle \tau } 가 ∧ k V ∗ {\displaystyle \wedge ^{k}V^{*}} 에서 부호가 ϵ k {\displaystyle \epsilon _{k}} 이면 β ( A ⋅ φ , ψ ) = ε ε k β ( A ⋅ ψ , φ ) {\displaystyle \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )} ∀ ∈ ∧ k V ∗ {\displaystyle \forall \in \wedge ^{k}V^{*}} . n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} 이 홀수이면 슈어 보조정리에서 다음을 따른다: S ⊗ S ≅ ⨁ j = 0 m ∧ 2 j V ∗ {\displaystyle S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}} (양쪽의 차원은 2 2 m {\displaystyle 2^{2m}} 이고 오른쪽의 표현은 동일하지 않다). 대칭은 켤레 또는 reversion인 대합 τ {\displaystyle \tau } 에 의해 지배되기 때문에 ∧ 2 j V ∗ {\displaystyle \wedge ^{2j}V^{*}} 성분의 대칭은 j {\displaystyle j} 와 번갈아 나타난다. 초등적 조합론으로 다음을 알 수 있다: ∑ j = 0 m ( − 1 ) j dim ∧ 2 j C 2 m + 1 = ( − 1 ) 1 2 m ( m + 1 ) 2 m = ( − 1 ) 1 2 m ( m + 1 ) ( dim ⁡ S 2 S − dim ∧ 2 S ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)} 부호는 S 2 S {\displaystyle S^{2}S} 에서 발생하는 표현과 ∧ 2 S {\displaystyle \wedge ^{2}S} 에서 발생하는 표현을 결정한다. 특히 β ( ϕ , ψ ) = ( − 1 ) 1 2 m ( m + 1 ) β ( ψ , ϕ ) , {\displaystyle \beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),} 그리고 β ( v ⋅ ϕ , ψ ) = ( − 1 ) m ( − 1 ) 1 2 m ( m + 1 ) β ( v ⋅ ψ , ϕ ) = ( − 1 ) m β ( ϕ , v ⋅ ψ ) {\displaystyle \beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )} v ∈ V {\displaystyle v\in V} ( ∧ 2 m V {\displaystyle \wedge ^{2m}V} 와 동형)에 대해 τ {\displaystyle \tau } 가 짝수 m {\displaystyle m} 에 대한 reversion이고 홀수 m {\displaystyle m} 에 대한 켤레임을 확인한다. n = 2 m {\displaystyle n=2m} 이 짝수이면 분석이 더 복잡하지만,, 결과적으로 더 세분화된 분해이다: S 2 S ± {\displaystyle S^{2}S_{\pm }} , ∧ 2 S ± {\displaystyle \wedge ^{2}S_{\pm }} 및 S + ⊗ S − {\displaystyle S_{+}\otimes S_{-}} 는 각각 k {\displaystyle k} - 형식들의 직합으로 분해된다.(여기서 k = m {\displaystyle k=m} 에 대해 자기 쌍대 및 반자기 쌍대 m {\displaystyle m} -형식으로의 추가 분해가 있음). 주요 결과는 다음 표에서처럼 n mod 8 {\displaystyle n\mod 8} 따라 S {\displaystyle S} 에 대한 고전적인 리 대수학의 부분 대수로서 s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 를 구현한다: n ≤ 6 {\displaystyle n\leq 6} 의 경우 이러한 묻기는 동형 사상이다( n = 6 {\displaystyle n=6} 의 경우 g l {\displaystyle {\mathfrak {gl}}} 이 아닌 s l {\displaystyle {\mathfrak {sl}}} 로). s o ( 2 , C ) ≅ g l ( 1 , C ) ( = C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )} s o ( 3 , C ) ≅ s p ( 2 , C ) ( = s l ( 2 , C ) ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))} s o ( 4 , C ) ≅ s p ( 2 , C ) ⊕ s p ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )} s o ( 5 , C ) ≅ s p ( 4 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )} s o ( 6 , C ) ≅ s l ( 4 , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).} s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} 의 복소 스핀 표현은 작용을 실수 부분 대수로 제한하여 s o ( p , q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)} 의 실 표현 S {\displaystyle S} 를 생성한다. 그러나 실 리 대수의 작용 하에서 변하지 않는 추가 "실" 구조가 있다. 이들은 세 가지 유형이 있다. 불변 복소 반선형 사상 r : S → S {\displaystyle r:S\rightarrow S} 와 r 2 = id S {\displaystyle r^{2}={\text{id}}_{S}} 가 있다. 그러면 r {\displaystyle r} 의 고정 소수점 집합은 S R ⊗ C = S {\displaystyle S_{\mathbb {R} }\otimes \mathbb {C} =S} 인 S {\displaystyle S} 의 실 부분 공간 S R {\displaystyle S_{\mathbb {R} }} 이다. 이것을 실 구조라고 한다. 불변 복소 반선형 사상 j : S → S {\displaystyle j:S\rightarrow S} j 2 = − id S {\displaystyle j^{2}=-{\text{id}}_{S}} 인 가 있다. 세 쌍 i , j , k := i j {\displaystyle i,j,k:=ij} 는 S {\displaystyle S} 를 사원수 선형 공간 S H {\displaystyle S_{\mathbb {H} }} 로 만든다. 이것을 사원(四元) 구조라고 한다. 가역적인 불변 복소 반선형 사상 b : S → S ∗ {\displaystyle b:S\rightarrow S^{*}} 가 있다 이것은 S {\displaystyle S} 에서 유사 에르미트 쌍선형 형식을 정의하고 에르미트 구조라고 한다. s o ( p , q ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)} 에 대해 불변인 구조의 유형들은 부호수 p − q mod 8 {\displaystyle p-q\mod 8} 에만 의존하며 다음 표에 나와 있다: 여기서 R {\displaystyle \mathbb {R} } , C {\displaystyle \mathbb {C} } 및 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 각각 실, 에르미트 및 사원 구조를 나타내며, R + R {\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} } 및 H + H {\displaystyle \mathbb {H} +\mathbb {H} } 는 반정수 스핀 표현이 각각 실 또는 사원 구조를 허용함을 나타낸다. 실 표현에 대한 설명을 완료하려면 이러한 구조가 불변 쌍선형 형식과 어떻게 상호 작용하는지 설명해야 한다. n = p + q ≡ p − q mod 2 {\displaystyle n=p+q\equiv p-q\mod 2} 이므로 두 가지 경우가 있다. 차원과 부호수이 모두 짝수인 경우와 차원과 부호수가 모두 홀수인 경우이다. 홀수인 경우는 더 간단하다. 복소 스핀 표현 S {\displaystyle S} 가 하나만 있고, 에르미트 구조가 발생하지 않는다. 자명한 경우인 n = 1 {\displaystyle n=1} 을 제외하고 S {\displaystyle S} 는 항상 짝수 차원이다. 예를 들어 dim S = 2 N {\displaystyle {\text{dim}}S=2N} 이다. s o ( 2 N , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2N,\mathbb {C} )} 의 실수형은 K + L = 2 N {\displaystyle K+L=2N} 인 s o ( K , L ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(K,L)} 이므로 ∗(N, H)인 반면 s p ( 2 N , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {C} )} 의 실수형은 s p ( 2 N , R ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {R} )} 및 s o ( K , L ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(K,L)} K + L = N {\displaystyle K+L=N} S {\displaystyle S} 에 대한 V {\displaystyle V} 의 클리포드 작용의 존재는 p q = 0 {\displaystyle pq=0} 이 아닌 경우 두 경우 모두에서 K = L {\displaystyle K=L} 이 성립해야 한다. 이 경우 K L = 0 {\displaystyle KL=0} 이며 간단히 s o ( 2 N ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2N)} 또는 s p ( N ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(N)} 로 표시된다. 따라서 홀수 스핀 표현은 다음 표와 같이 요약될 수 있다: (†) N {\displaystyle N} 은 n > 3 {\displaystyle n>3} 인 경우 짝수이고 n = 3 {\displaystyle n=3} n = 3 {\displaystyle n=3} 인 경우 s p ( 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(1)} 이다. 짝수 차원의 경우도 비슷하다. n > 2 {\displaystyle n>2} n > 2 {\displaystyle n>2} 의 경우 복소수 반회전 표현은 짝수 차원이다. 우리는 추가로 에르미트 구조와 s l ( 2 N , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2N,\mathbb {C} )} 의 실 형태를 다루어야 한다: s l ( 2 N , R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2N,\mathbb {R} )} , K + L = 2 N {\displaystyle K+L=2N} 일 때 s u ( K , L ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(K,L)} , s l ( N , H ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(N,\mathbb {H} )} . 그 결과 짝수 스핀 표현은 다음 표와 같이 요약된다: (*) p q = 0 {\displaystyle pq=0} 의 경우 대신에 s o ( 2 N ) + s o ( 2 N ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2N)+{\mathfrak {so}}(2N)} s o ( 2 N ) + s o ( 2 N ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2N)+{\mathfrak {so}}(2N)} (†) N {\displaystyle N} 은 n > 4 {\displaystyle n>4} 이고 p q = 0 {\displaystyle pq=0} ( N = 1 {\displaystyle N=1} 인 n = 4 {\displaystyle n=4} 포함)인 경우 짝수이다. 대신 s p ( N ) + s p ( N ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(N)+{\mathfrak {sp}}(N)} 복소 경우의 저차원 동형 사상은 다음과 같은 실 형식을 갖는다. 이 표에서 누락된 실 리 대수의 유일한 특수 동형 사상은 다음과 같다. s o ∗ ( 3 , H ) ≅ s u ( 3 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)} 과 s o ∗ ( 4 , H ) ≅ s o ( 6 , 2 ) . {\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).} Fulton & Harris 1991 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFFultonHarris1991 (help) Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction. since if α : q → ( v → q . v . q − 1 ) {\displaystyle \alpha :q\to (v\to q.v.q^{-1})} is the covering, then d α : q → ( v → q . v − v . q ) {\displaystyle d\alpha :q\to (v\to q.v-v.q)} , so d α ( v . w ) = 2 φ v , w {\displaystyle d\alpha (v.w)=2\varphi _{v,w}} and since v . w + w . v {\displaystyle v.w+w.v} is a scalar, we get d α ( 1 / 4 [ v , w ] ) = φ v , w {\displaystyle d\alpha (1/4[v,w])=\varphi _{v,w}} This sign can also be determined from the observation that if φ is a highest weight vector for S then φ⊗φ is a highest weight vector for ∧mV ≅ ∧m+1V, so this summand must occur in S2S. Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935), “Spinors in n dimensions”, 《American Journal of Mathematics》 (American Journal of Mathematics, Vol. 57, No. 2) 57 (2): 425–449, doi:10.2307/2371218, JSTOR 2371218 . Cartan, Élie (1966), 《The theory of spinors》, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9 . Chevalley, Claude (1954), 《The algebraic theory of spinors and Clifford algebras》, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9 . Deligne, Pierre (1999), 〈Notes on spinors〉, P. Deligne; P. Etingof; D. S. Freed; L. C. Jeffrey; D. Kazhdan; J. W. Morgan; D. R. Morrison; E. Witten, 《Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians》, Providence: American Mathematical Society, 99–135쪽 . See also the programme website for a preliminary version. Fulton, William; Harris, Joe (1991), 《Representation theory. A first course》, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249 . Harvey, F. Reese (1990), 《Spinors and Calibrations》, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4 . Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), 《Spin Geometry》, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0 . Weyl, Hermann (1946), 《The Classical Groups: Their Invariants and Representations》 2판, Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9 .