번스타인 상수

번스타인 상수(영어: Bernstein constant)는 1914년 번스타인이 자신의 논문에서 언급한 상수이다. 일반적으로 그리스 문자 베타 ( β {\displaystyle \beta } )로 표시되며 대략 0.2801694990.... {\displaystyle 0.2801694990....} 와 같다. E 2 n ( | x | ) {\displaystyle E_{2n}(|x|)} 는 | x | {\displaystyle |x|} 에 대한 최상의 평균 근사의 오차를 나타낸다. 1914년에 유명한 러시아의 수학자 번스타인은 β = lim n → ∞ 2 n E 2 n ( | x | ) {\displaystyle \beta =\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(|x|)} 에 대한 양의 상수 β {\displaystyle \beta } 의 존재를 확립했다. 번스타인은 또한 β {\displaystyle \beta } 에대한 상한 및 하한을 0.278 {\displaystyle 0.278} 과 0.286 {\displaystyle 0.286} 에서 결정했다. 0.278 < β = 1 2 π < 0.286 {\displaystyle 0.278<\beta ={1 \over {2{\sqrt {\pi }}}}<0.286} E n ( f ) {\displaystyle E_{n}(f)} 는 차수 n {\displaystyle n} 이하의 실수 다항식에 의해 구간 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 에서 실제 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 에 대한 최적의 균등 근사 오차라고하자. f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|\;\;} 에서 번스타인은 한계값, β = lim n → ∞ 2 n E 2 n ( f ) {\displaystyle \beta =\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(f)} 번스타인 상수 ( Bernstein 's constant )가 존재하며 0.278 {\displaystyle 0.278} 과 0.286 {\displaystyle 0.286} 사이에 존재한다고 추측했다. 번스타인이 제안한 한계값은 다음과 같다. 1 2 π = 0.28209 … {\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}=0.28209\dots } ( 0.278.... + 0.286.... ) 2 = 0.282.... {\displaystyle {{(0.278....+0.286....)} \over {2}}=0.282....} 1984년 바르가와 카펜터에 의해 반증되었는데, 수정된 번스타인 상수의 한계값은 다음과 같다. 보다 엄격한 상한선과 하한선을 결정하면, l 18 < l 19 < l 20 = 0.2801685460.... ≤ β ≤ 0.2801733791.... = 2 μ 100 < 2 μ 99 < 2 μ 98 {\displaystyle l_{18}<l_{19}<l_{20}=0.2801685460....\leq \beta \leq 0.2801733791....=2\mu _{100}<2\mu _{99}<2\mu _{98}} β = 0.280169499023 … {\displaystyle \beta =0.280169499023\dots } 상한계수 번스타인 상수의 상한계수는 다음과 같다. k μ k {\displaystyle k\quad \mu _{k}} 0 0.25 {\displaystyle 0\;\;0.25} 1 0.1549083241.... {\displaystyle 1\;\;0.1549083241....} 2 0.1448223214.... {\displaystyle 2\;\;0.1448223214....} 3 0.1422928116.... {\displaystyle 3\;\;0.1422928116....} 4 0.1413408222.... {\displaystyle 4\;\;0.1413408222....} 5 0.1408899963.... {\displaystyle 5\;\;0.1408899963....} μ k = ‖ c o s ( π t ) { F ( t ) − ( a ^ 0 ( k ) + ∑ n = 1 k ( 2 n − 1 ) a ^ n ( k ) t 2 − ( 2 n − 1 2 ) 2 ) } ‖ L ( ∞ ) [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle \mu _{k}={\begin{Vmatrix}cos(\pi t){\begin{Bmatrix}F(t)-\left({\hat {a}}_{0}(k)+\sum _{n=1}^{k}{{(2n-1){\hat {a}}_{n}(k)} \over {t^{2}-\left({{2n-1} \over {2}}\right)^{2}}}\right)\end{Bmatrix}}\end{Vmatrix}}_{L_{(\infty )}[0,+\infty )}} F ( t ) = t 2 { ψ ( t 2 + 3 4 ) − ψ ( t 2 + 1 4 ) } ( t ≥ 0 ) {\displaystyle F(t)={t \over 2}{\begin{Bmatrix}\psi \left({t \over 2}+{3 \over 4}\right)-\psi \left({t \over 2}+{1 \over 4}\right)\end{Bmatrix}}\qquad (t\geq 0)} 폴리감마 함수 ψ a ^ {\displaystyle \psi \quad {\hat {a}}} 추정량 , ‖ ‖ {\displaystyle \;\;,\;\;{\begin{Vmatrix}\end{Vmatrix}}} 노름 , [ 0 , 1 ) {\displaystyle ,\;\;[0,1)} 구간 하한계수 번스타인 상수의 하한계수는 다음과 같다. k l k {\displaystyle k\quad l_{k}} 1 0.2719823590.... {\displaystyle 1\;\;0.2719823590....} 2 0.2789309228.... {\displaystyle 2\;\;0.2789309228....} 3 0.2798110004.... {\displaystyle 3\;\;0.2798110004....} 4 0.2800243339.... {\displaystyle 4\;\;0.2800243339....} 5 0.2800977913.... {\displaystyle 5\;\;0.2800977913....} l k := s u p { B k ( λ 1 , λ 2 , . . . . , λ k ) : { λ j } j − 1 k , ( j − 1 < λ j < j , j ≥ 1 ) } {\displaystyle l_{k}:=sup\{B_{k}(\lambda _{1},\lambda _{2},....,\lambda _{k}):\{\lambda _{j}\}_{j-1}^{k}\quad ,\quad (j-1<\lambda _{j}<j,j\geq 1)\}} B k ( λ 1 , λ 2 , . . . . , λ k ) := ∑ i = 1 k φ k ( λ i ) ψ k ′ ( λ i ) ( 1 − ( 2 λ i λ i + 1 2 ) F ( λ i + 1 2 ) ) ∑ i = 1 k φ k ( λ i ) ψ k ′ ( λ i ) ( 2 π λ i + t a n ( π 2 ( λ i − i + 1 ) ) ) {\displaystyle B_{k}(\lambda _{1},\lambda _{2},....,\lambda _{k}):={{\sum _{i=1}^{k}{{\varphi _{k}(\lambda _{i})} \over {\psi _{k}^{'}(\lambda _{i})}}\left(1-\left({{2\lambda _{i}} \over {\lambda _{i}+{1 \over 2}}}\right)F\left(\lambda _{i}+{1 \over 2}\right)\right)} \over {\sum _{i=1}^{k}{{\varphi _{k}(\lambda _{i})} \over {\psi _{k}^{'}(\lambda _{i})}}\left({{2} \over {\pi \lambda _{i}}}+tan\left({\pi \over 2}(\lambda _{i}-i+1)\right)\right)}}} φ k ( λ i ) ψ k ′ ( λ i ) = ∏ j = 1 i − 1 ( λ i 2 − j 2 ) ⋅ ∏ j = i k − 1 ( j 2 − λ i 2 ) 2 λ i ∏ j = 1 i − 1 ( λ i 2 − λ j 2 ) ⋅ ∏ j = i + 1 k ( λ j 2 − λ i 2 ) , ( 1 ≤ i ≤ k ) , s u p { . . . . } {\displaystyle {{\varphi _{k}(\lambda _{i})} \over {\psi _{k}^{'}(\lambda _{i})}}={{\prod _{j=1}^{i-1}(\lambda _{i}^{2}-j^{2})\cdot \prod _{j=i}^{k-1}(j^{2}-\lambda _{i}^{2})} \over {2\lambda _{i}\prod _{j=1}^{i-1}(\lambda _{i}^{2}-\lambda _{j}^{2})\cdot \prod _{j=i+1}^{k}(\lambda _{j}^{2}-\lambda _{i}^{2})}}\qquad ,\quad (1\leq i\leq k)\;\;,\;\;sup\{....\}} 상한 수학 상수 폴리감마 함수 가우스-쿠즈민-비어징 상수 상한과 하한 SORIN G, GAL (2016년 2월 22일). “ON THE BERNSTEIN’S CONSTANT IN CONVEX APPROXIMATION” (PDF). 《Open Problems in Mathematics》 3: 1-3.  Bernstein, S. N. (1914), “Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés”, 《Acta Math.》 37: 1–57, doi:10.1007/BF02401828  Varga, Richard S.; Carpenter, Amos J. (1985년 12월). “On the bernstein conjecture in approximation theory”. 《Constructive Approximation》 1 (1): 333-348. doi:10.1007/BF01890040.  http://mathworld.wolfram.com/BernsteinsConstant.html Varga, Richard S.; Carpenter, Amos J. (1987), “A conjecture of S. Bernstein in approximation theory”, 《Math. USSR Sbornik》 57 (2): 547–560, doi:10.1070/SM1987v057n02ABEH003086, MR 0842399  http://www.mathnet.ru/links/175d10936abf1e059a1c38f893b4fa60/sm1844.pdf , Richard S. Varga and Amos J. Carpenter, On the Bernstein conjecture in approximation theory, Const. Approx. 1 (1985), 333-348. MR 87g:41066. MR 88f:41030. Zbl. 648.41013. (http://www.math.kent.edu/~varga/pub/paper_150.pdf)