망원급수

수학에서 망원급수(영어: telescoping series)란 부분적 항들의 합이 소거 후에 결과적으로 고정된 값만이 남는 수열을 일컫는다. 이러한 테크닉은 “차(差)의 방법”, 또는 “상쇄 합”이라고도 불린다. 예를 들어, ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}} 와 같은 급수는 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = lim N → ∞ ∑ n = 1 N ( 1 n − 1 n + 1 ) = lim N → ∞ [ ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 N − 1 N + 1 ) ] = lim N → ∞ [ 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 N + 1 N ) − 1 N + 1 ] = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}} 으로 단순화된다. 먼저 a n {\displaystyle a_{n}} 을 수열로 정의하자. 이때, ∑ n = 1 N ( a n − a n − 1 ) = a N − a 0 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0},} 이고, a n → 0 {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0} 이라면 ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n − 1 ) = − a 0 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}.} 비록 상쇄 합은 유용한 테크닉이나, 잘못 사용할 경우 쉽게 함정에 빠질 수도 있다. 그란디 급수라고도 불리는 다음의 경우를 살펴보면, 0 = ∑ n = 1 ∞ 0 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 − 1 ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 + 1 ) = 1 {\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1+1)=1\,} 는 잘못된 결론인데, 이런 오류는 각 항이 0으로 수렴하지 않는 급수를 다루었기 때문에 발생한다. 이런 오류를 미연에 방지하기 위해서는 N번째 항에 대한 합을 구한 다음에 N이 무한으로 발산할 경우를 따져 보면 된다. ∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 N ( 1 n − 1 n + 1 ) = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 N − 1 N + 1 ) = 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 N + 1 N ) − 1 N + 1 = 1 − 1 N + 1 → 1   a s   N → ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{N+1}}\to 1\ \mathrm {as} \ N\to \infty .\end{aligned}}} 많은 삼각함수는 차로써의 표현이 인정되므로 망원급수에서 쓰이는 소거법이 연속된 항들에 적용될 수 있다. ∑ n = 1 N sin ⁡ ( n ) = ∑ n = 1 N 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ( 2 sin ⁡ ( 1 2 ) sin ⁡ ( n ) ) = 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ∑ n = 1 N ( cos ⁡ ( 2 n − 1 2 ) − cos ⁡ ( 2 n + 1 2 ) ) = 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ( cos ⁡ ( 1 2 ) − cos ⁡ ( 2 N + 1 2 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}} 다음과 같은 형태의 합 ∑ n = 1 N f ( n ) g ( n ) , {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)},} ”f”와 “g”가 다항식이고 각 항이 부분 분수로 쪼개질 수 있을 때, 상쇄 합 방법은 실패할 수도 있다. 예를 들어, ∑ n = 0 ∞ 2 n + 3 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) = ( 1 1 + 1 2 ) + ( 1 2 + 1 3 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ⋯ ⋯ + ( 1 n − 1 + 1 n ) + ( 1 n + 1 n + 1 ) + ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) + ⋯ = ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\&{}=\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\&{}=\infty .\end{aligned}}} 문제는 각 항이 소거, 상쇄되지 않는다는 점이다. ‘’k’’를 양의 정수라 하자. 이때 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + k ) = H k k {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}} Hk는 ‘’k’’번째 조화수이다. 1/(k − 1) 이후의 모든 항은 소거된다. 렙셰츠 고정점정리 소수의 역수의 합의 발산성 호몰로지 Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3 Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85