데데킨트 에타 함수

수학에서 데데킨트 에타 함수(Dedekind eta function)은 복소평면의 열린 상반평면 위에 정의된, 원환면의 모듈러 군 대칭을 따르는 정칙함수다. 리하르트 데데킨트의 이름을 땄다. 기호는 그리스 소문자 에타 η ( τ ) {\displaystyle \;\;\eta (\tau )} 열린 상반평면을 H {\displaystyle \mathbb {H} } 라고 쓰자. 데데킨트 에타 함수 η : H → C {\displaystyle \eta \colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} } 는 다음과 같은 함수이다. η ( τ ) = exp ⁡ ( π i τ / 12 ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − exp ⁡ ( 2 n π i τ ) ) {\displaystyle \eta (\tau )=\exp(\pi i\tau /12)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\exp(2n\pi i\tau )\right)} . 보통 q ( τ ) = exp ⁡ ( 2 π i τ ) {\displaystyle q(\tau )=\exp(2\pi i\tau )} 를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다. η ( τ ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) {\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})} . 데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나, 복소 평면 전체로 해석적 연속할 수 없다. 데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군 Γ 0 ( 1 ) {\displaystyle \Gamma _{0}(1)} 에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다. η ( τ + 1 ) = exp ⁡ ( π i / 12 ) η ( τ ) {\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp(\pi i/12)\eta (\tau )} η ( − 1 / τ ) = − i τ η ( τ ) {\displaystyle \eta (-1/\tau )={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau )} . 보다 일반적으로, 임의의 뫼비우스 변환 τ ↦ a τ + b c τ + d {\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}} ( a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} , c ≥ 0 {\displaystyle c\geq 0} ) 에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. η ( a τ + b c τ + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) ( c τ + d ) 1 2 η ( τ ) {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau )} . 여기서 ϵ ( a , b , c , d ) = exp ⁡ ( i π b / 12 ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp(i\pi b/12)} ( c = 0 , d = 1 {\displaystyle c=0,d=1} 인 경우) ϵ ( a , b , c , d ) = exp ⁡ ( i π ( ( a + d ) / ( 12 c ) − s ( d , c ) − 1 / 4 ) ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp \left(i\pi \left((a+d)/(12c)-s(d,c)-1/4\right)\right)} ( c > 0 {\displaystyle c>0} 인 경우) 여기서 s ( h , k ) = ∑ n = 1 k − 1 n k ( h n k − ⌊ h n k ⌋ − 1 2 ) {\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)} 를 데데킨트 합(Dedekind sum)이라고 한다. 함수 방정식 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다. η ( i ) = Γ ( 1 / 4 ) 2 π 3 / 4 {\displaystyle \eta (i)={\frac {\Gamma (1/4)}{2\pi ^{3/4}}}} η ( i / 2 ) = Γ ( 1 / 4 ) 2 7 / 8 π 3 / 4 {\displaystyle \eta (i/2)={\frac {\Gamma (1/4)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}} η ( 2 i ) = Γ ( 1 / 4 ) 2 11 / 8 π 3 / 4 {\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma (1/4)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}} η ( 4 i ) = − 1 + 2 4 Γ ( 1 / 4 ) 2 29 / 16 π 3 / 4 {\displaystyle \eta (4i)={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\Gamma (1/4)}{2^{{29}/16}\pi ^{3/4}}}} 여기서 Γ ( 1 / 4 ) ≈ 3.626 {\displaystyle \Gamma (1/4)\approx 3.626} 는 감마 함수이다. 데데킨트 제타 함수 Siegel, Carl Ludwig (1954년 6월). “A simple proof of η ( − 1 / τ ) = η ( τ ) τ / i {\displaystyle \eta (-1/\tau )=\eta (\tau ){\sqrt {\tau /i}}} ”. 《Mathematika》 1 (1): 4–4. doi:10.1112/S0025579300000462.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); |제목=에 지움 문자가 있음(위치 19) (도움말) Köhler, Günter. 《Eta products and theta series identities》 (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-642-16152-0. ISBN 978-3-642-16151-3. ISSN 1439-7382.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dedekind Eta Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이철희. “데데킨트 에타함수”. 《수학노트》.