완전제곱식 만들기

초등대수학에서 완전제곱식 만들기(영어: completing the square)는 이차 다항식을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배(완전제곱식)와 상수의 합의 꼴 a ( x − h ) 2 + k {\displaystyle a(x-h)^{2}+k} 로 나타내는 기법이다.:101–102 완전제곱식 만들기는 이차 방정식의 풀이에 사용된다. 임의의 복소수 계수 이차 다항식 f ( x ) = a x 2 + b x + c ( a , b , c ∈ C , a ≠ 0 ) {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\qquad (a,b,c\in \mathbb {C} ,\;a\neq 0)} 은 항상 다음과 같이 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. f ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b x a ) + c = a ( x 2 + 2 ⋅ b 2 a ⋅ x + ( b 2 a ) 2 ) + c − b 2 4 a = a ( x + b 2 a ) 2 + c − b 2 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=a\left(x^{2}+2\cdot {\frac {b}{2a}}\cdot x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}} 이러한 기법을 흔히 완전제곱식 만들기라고 부른다. n {\displaystyle n} 개의 변수 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}} 에 대한 복소수 계수 이차 다변수 다항식 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = x ⊤ A x + b ⊤ x + c = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n A i j x i x j + ∑ k = 1 n b k x k + c {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=x^{\top }Ax+b^{\top }x+c=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}+c} 이 주어졌다고 하자. 여기서 x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , b = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) {\displaystyle x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},\;b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}} 은 복소수 열벡터이며 ( b i ∈ C {\displaystyle b_{i}\in \mathbb {C} } ), A {\displaystyle A} 는 영행렬이 아닌 복소수 n × n {\displaystyle n\times n} 대칭 행렬이며 ( A i j = A j i ∈ C {\displaystyle A_{ij}=A_{ji}\in \mathbb {C} } , ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n A i j 2 ≠ 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}^{2}\neq 0} ), ⊤ {\displaystyle ^{\top }} 은 전치 행렬이다. 만약 추가로 A {\displaystyle A} 가 가역 행렬이라면, f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})} 는 새로운 변수 x ′ = x + ( 1 / 2 ) A − 1 b {\displaystyle x'=x+(1/2)A^{-1}b} 에 대한 이차 동차 다항식과 상수의 합으로 나타낼 수 있다. f ( x ) = x ⊤ A x + b ⊤ x + c = x ⊤ A x + 1 2 x ⊤ b + 1 2 b ⊤ x + 1 4 b ⊤ A − 1 b + c − 1 4 b ⊤ A − 1 b = x ⊤ A ( x + 1 2 A − 1 b ) + 1 2 b ⊤ ( x + 1 2 A − 1 b ) + c − 1 4 b ⊤ A − 1 b = ( x ⊤ + 1 2 b ⊤ A − 1 ) A ( x + 1 2 A − 1 b ) + c − 1 4 b ⊤ A − 1 b = ( x + 1 2 A − 1 b ) ⊤ A ( x + 1 2 A − 1 b ) + c − 1 4 b ⊤ A − 1 b {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{\top }Ax+b^{\top }x+c\\&=x^{\top }Ax+{\frac {1}{2}}x^{\top }b+{\frac {1}{2}}b^{\top }x+{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=x^{\top }A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+{\frac {1}{2}}b^{\top }\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=\left(x^{\top }+{\frac {1}{2}}b^{\top }A^{-1}\right)A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)^{\top }A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\end{aligned}}} 이차 함수를 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내어, 이차 함수의 여러 성질들을 구할 수 있다. 실수 이차 함수 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 {\displaystyle f(x)=x^{2}-2x-3} 을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내면 다음과 같다. f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = x 2 − 2 x + 1 − 4 = ( x − 1 ) 2 − 4 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-2x-3\\&=x^{2}-2x+1-4\\&=(x-1)^{2}-4\end{aligned}}} 이로부터, 이 다항식의 다음과 같은 성질들을 구할 수 있다. 대칭축은 직선 x = 1 {\displaystyle x=1} 이다. 최솟값은 f ( 1 ) = − 4 {\displaystyle f(1)=-4} 이다. 또한, f ( x ) = 0 ⟺ ( x − 1 ) 2 = 4 ⟺ x − 1 = ± 2 {\displaystyle f(x)=0\iff (x-1)^{2}=4\iff x-1=\pm 2} 이므로, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 두 근은 x = − 1 {\displaystyle x=-1} 과 x = 3 {\displaystyle x=3} 이다. 더 일반적으로, 실수 이차 함수 f ( x ) = a ( x − h ) 2 + k ( a , h , k ∈ R , a ≠ 0 ) {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\qquad (a,h,k\in \mathbb {R} ,\;a\neq 0)} 의 대칭축은 직선 x = h {\displaystyle x=h} 이다. a > 0 {\displaystyle a>0} 인 경우 최솟값은 f ( h ) = k {\displaystyle f(h)=k} 이며, a < 0 {\displaystyle a<0} 인 경우 최댓값이 f ( h ) = k {\displaystyle f(h)=k} 이다. h {\displaystyle h} 나 k {\displaystyle k} 가 변화할 때, 이 이차 함수의 그래프는 h {\displaystyle h} 가 증가하는 만큼 오른쪽으로 평행 이동하며, k {\displaystyle k} 가 증가하는 만큼 위로 평행 이동한다. 만약 k > 0 {\displaystyle k>0} 이라면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 두 개의 서로 다른 실근을 가진다. 만약 k = 0 {\displaystyle k=0} 이라면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 중복도가 2인 하나의 실근을 가진다. 만약 k < 0 {\displaystyle k<0} 이라면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 실근을 가지지 않으며, 두 개의 서로 다른 허근을 갖는다. 이차 함수 f ( x ) = ( x − h ) 2 {\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}} 의 그래프 ( h = 0 , 5 , 10 , 15 {\displaystyle h=0,5,10,15} ) 이차 함수 f ( x ) = x 2 + k {\displaystyle f(x)=x^{2}+k} 의 그래프 ( k = 0 , 5 , 10 , 15 {\displaystyle k=0,5,10,15} ) 이차 함수 f ( x ) = ( x − h ) 2 + k {\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}+k} 의 그래프 ( h = k = 0 , 5 , 10 , 15 {\displaystyle h=k=0,5,10,15} ) Gelfand, Israel M.; Shen, Alexander (1993). 《Algebra》 (영어). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3677-7. Zbl 0785.00001.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 완전제곱식 만들기 이철희. “완전제곱식 만들기”. 《수학노트》.