알렉산드로프 콤팩트화

일반위상수학에서 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, 영어: Alexandroff compactification)는 주어진 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화(영어: one-point compactification)이라고 부르기도 한다. 스톤-체흐 콤팩트화와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다. X {\displaystyle X} 가 임의의 위상 공간이라고 하자. 여기에 한 점 ∞ {\displaystyle \infty } 를 추가하여, X + = X ⊔ { ∞ } {\displaystyle X_{+}=X\sqcup \{\infty \}} 에 다음과 같은 위상을 부여하자. X + {\displaystyle X_{+}} 의 부분집합 U ⊂ X + {\displaystyle U\subset X_{+}} 가 열린 집합일 조건은 다음과 같다. 만약 ∞ ∉ U {\displaystyle \infty \not \in U} 라면, U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} 가 X {\displaystyle X} 의 위상에서 열린 집합일 때 만약 ∞ ∈ U {\displaystyle \infty \in U} 라면, X + ∖ U ⊂ X {\displaystyle X_{+}\setminus U\subset X} 가 X {\displaystyle X} 의 위상에서 닫힌 집합이며 콤팩트 집합일 때 이렇게 위상을 부여한 위상 공간 X + {\displaystyle X_{+}} 는 항상 콤팩트 공간이다. 증명: X + {\displaystyle X_{+}} 의 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 주어졌다고 하자. 그 유한 부분 덮개를 찾으면 족하다. 열린 덮개의 정의에 따라, ∞ ∈ U ∈ U {\displaystyle \infty \in U\in {\mathcal {U}}} 가 존재한다. 알렉산드로프 콤팩트화의 정의에 따라, X + ∖ U {\displaystyle X_{+}\setminus U} 는 콤팩트 공간이며, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 를 이에 제한하면 이는 X + ∖ U {\displaystyle X_{+}\setminus U} 의 열린 덮개를 이룬다. 따라서 그 유한 부분 덮개 U ′ ⊆ U {\displaystyle {\mathcal {U}}'\subseteq {\mathcal {U}}} 를 찾을 수 있다. 이제, U ′ ∪ { U } {\displaystyle {\mathcal {U}}'\cup \{U\}} 는 U ∪ ( X + ∖ U ) = X + {\displaystyle U\cup (X_{+}\setminus U)=X_{+}} 를 덮는 유한 부분 덮개이다. 이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 또한, 자연스러운 포함 사상 i : X ↪ X + {\displaystyle i\colon X\hookrightarrow X_{+}} 가 존재하며, X + {\displaystyle X_{+}} 는 밑점 ∞ ∈ X + {\displaystyle \infty \in X_{+}} 로 인하여 자연스럽게 점을 가진 공간을 이룬다. 포함 사상 i : X ↪ X + {\displaystyle i\colon X\hookrightarrow X_{+}} 는 항상 연속 함수이며 (열린집합의 원상은 열린집합) 열린 함수이다 (열린집합의 상은 열린집합). 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트하지 않은 경우 i {\displaystyle i} 의 상은 조밀 집합이다. 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. X + {\displaystyle X_{+}} 가 하우스도르프 공간이다. X {\displaystyle X} 가 하우스도르프 국소 콤팩트 공간이다. 임의의 두 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 에 대하여, 다음이 성립한다. ( X × Y ) + ≅ X + ∧ Y + {\displaystyle (X\times Y)_{+}\cong X_{+}\wedge Y_{+}} 여기서 ≅ {\displaystyle \cong } 은 점을 가진 공간의 위상 동형이며, ∧ {\displaystyle \wedge } 는 두 점을 가진 공간의 분쇄곱이다. 다음과 같은 두 범주를 생각하자. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상은 위상 공간이며, 사상은 연속 함수인 고유 함수이다. D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 의 대상은 위상 공간과 연속 함수의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 화살표 범주이다. (즉, 그 대상은 연속 함수이며, 그 사상은 두 연속 함수 사이의 가환 네모이다.) 그렇다면, 알렉산드로프 콤팩트화는 함자 C → D {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 를 이룬다. 특히, 임의의 연속 고유 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음과 같은 가환 네모를 만족시키는 자연스러운 연속 함수 f + : X + → Y + {\displaystyle f_{+}\colon X_{+}\to Y_{+}} 가 존재한다. X → f Y ↓ ↓ X + → f + Y + {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\X_{+}&{\underset {f_{+}}{\to }}&Y_{+}\end{matrix}}} 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구 S n {\displaystyle S^{n}} 과 위상 동형이다. 가산 무한 개의 열린 구간 ( 0 , 1 ) × Z {\displaystyle (0,1)\times \mathbb {Z} } 의 알렉산드로프 콤팩트화는 하와이 귀고리와 위상 동형이다. 파벨 세르게예비치 알렉산드로프가 1924년 정의하였다. Alexandroff, P.S. (1924년 9월). “Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 92 (3–4): 294–301. doi:10.1007/BF01448011. ISSN 0025-5831. JFM 50.0128.04.  “Aleksandrov compactification”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “One-point compactification”. 《nLab》 (영어).  Cortzen, Allan. “One-point compactification”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Ruiz Sánchez, Carlos Jesús (2014년 6월). 《La compactificación de Alexandroff》 (PDF) (스페인어). 학사 학위 논문. Universidad de Murcia.