수술 (수학)

미분위상수학에서 수술(手術, 영어: surgery 서저리[*])은 다양체 속의 원기둥을 도려내고 그 자리에 다른 모양의 원기둥을 붙여 전체의 위상을 바꾸는 연산이다. 수술은 고차원 (5차원 이상) 다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 하며, 그 이론을 수술 이론(手術理論, 영어: surgery theory)이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. p + q {\displaystyle p+q} 차원 다양체 M {\displaystyle M} 연속인 매장 ϕ : S p × D q ↪ M {\displaystyle \phi \colon \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\hookrightarrow M} 여기서 S p {\displaystyle \mathbb {S} ^{p}} 는 p {\displaystyle p} 차원 초구이며 D q {\displaystyle \mathbb {D} ^{q}} 는 q {\displaystyle q} 차원 닫힌 공이다. 이 때 ϕ {\displaystyle \phi } 의 상에 해당하는 M {\displaystyle M} 의 부분다양체 N := im ⁡ ϕ {\displaystyle N:=\operatorname {im} \phi } 의 경계는 D p + 1 × S q − 1 {\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}} 의 경계와 같다. ∂ ( N ) ≃ ∂ ( S p × D q ) ≃ S p × S q − 1 ≃ ∂ ( D p + 1 × S q − 1 ) {\displaystyle \partial (N)\simeq \partial (\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q})\simeq \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}\simeq \partial (\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1})} 그러므로 N {\displaystyle N} 을 도려내고 그 자리에 ( D p + 1 × S q − 1 ) {\displaystyle (\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1})} 를 채워넣어 새로운 p + q {\displaystyle p+q} 차원 다양체 M ′ {\displaystyle M'} 을 만들 수 있다. M ′ := ( M ∖ N ) ∪ ∂ ( N ) ( D p + 1 × S q − 1 ) {\displaystyle M':=\left(M\setminus N\right)\cup _{\partial (N)}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)} 이와 같은 과정을 p {\displaystyle p} -수술이라고 한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 매끄러운 다양체일 경우, 수술한 자리 주변에 매끄럽게 하는 작업(smoothing)을 가해서 M ′ {\displaystyle M'} 이 매끄러운 구조를 가지도록 만들 수 있다. 조각적 선형 다양체일 경우에도 비슷한 작업이 가능하다. 원 위에서 0-수술을 다음과 같이 가하자. 즉, 원 속에서 S 0 × D 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}} 을 도려내고, 그 속에 다른 방향으로 D 1 × S 0 {\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}} 를 이어붙인다. 이 경우, 수술의 방향에 따라 두 가지가 존재하는데, 하나는 한 개의 원, 다른 하나는 두 개의 원을 얻는다. 구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위에 1-수술을 가한다면, 두 개의 구를 얻는다. 구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위에 0-수술을 가하자. 이 경우, S 0 × D 2 ≅ D 2 ⊔ D 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\cong \mathbb {D} ^{2}\sqcup \mathbb {D} ^{2}} 를 도려내면 원기둥 S 1 × D 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}} 을 얻으며, 여기에 D 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} 을 이어붙인다면 이는 방향에 따라 원환면 T 2 = S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} 또는 클라인 병을 얻는다. n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 모스 함수 f {\displaystyle f} 의 임곗값 c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 이 정확히 하나의 임계점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대응한다고 하고, x {\displaystyle x} 의 모스 지표가 p + 1 {\displaystyle p+1} 이라고 하자. 모스 이론에 따르면 이 때 충분히 작은 ϵ ∈ R + {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여 다양체 f − 1 ( c − ϵ ) {\displaystyle f^{-1}(c-\epsilon )} 를 f − 1 ( c + ϵ ) {\displaystyle f^{-1}(c+\epsilon )} 에 p {\displaystyle p} -수술을 가하여 얻을 수 있다. Browder, William (1972). 《Surgery on simply-connected manifolds》 (영어). Berlin, New York: Springer-Verlag. MR 0358813.  Ranicki, Andrew (2002). 《Algebraic and Geometric Surgery》. Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press (영어). ISBN 978-0-19-850924-0. MR 2061749.  Wall, C. T. C. (1999). 《Surgery on compact manifolds》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 69 2판. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0942-6. MR 1687388.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Surgery”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Surgery”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.