프로베니우스 다양체

미분기하학에서 프로베니우스 다양체(영어: Frobenius manifold)는 접공간에 프로베니우스 대수의 구조가 정의된, 평탄한 리만 다양체이다. 이들은 2차원 위상 양자장론의 모듈라이 공간을 나타낸다. 보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 정의하였다. 편의상 아인슈타인 표기법을 사용한다. 프로베니우스 다양체 ( M , g , A ) {\displaystyle (M,g,A)} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 리만 다양체 ( M , g i j ) {\displaystyle (M,g_{ij})} 3차 텐서장 A i j k {\displaystyle A_{ijk}} . 이는 두 벡터장의 곱 ( X ∗ Y ) k = A i j k X i Y j {\displaystyle (X*Y)^{k}=A_{ij}{}^{k}X_{i}Y_{j}} 를 정의한다. 이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다. (평탄성) ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 리만 곡률이 0이다. 즉, R i j k l = 0 {\displaystyle R_{ij}{}^{k}{}_{l}=0} 이며, 따라서 공변 미분 ∇ {\displaystyle \nabla } 이 일반 편미분 ∂ {\displaystyle \partial } 과 일치한다. (적분가능성) 국소적으로, A i j k = ∂ i ∂ j ∂ k Φ {\displaystyle A_{ijk}=\partial _{i}\partial _{j}\partial _{k}\Phi } 인 함수 Φ {\displaystyle \Phi } 가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 프리퍼텐셜(영어: prepotential) 또는 자유 에너지라고 부른다.:73 이에 따라 A i j k {\displaystyle A_{ijk}} 는 완전 대칭이다. 즉, A i j k = A j i k = A k i j {\displaystyle A_{ijk}=A_{jik}=A_{kij}} 이다. (결합성) ∗ {\displaystyle *} 는 결합법칙을 따른다. 즉, ( X ∗ Y ) ∗ Z = X ∗ ( Y ∗ Z ) {\displaystyle (X*Y)*Z=X*(Y*Z)} 이다. 성분으로 쓰면, A i j l A l k m = A i l m A j k l {\displaystyle A_{ij}{}^{l}A_{lk}{}^{m}=A_{il}{}^{m}A_{jk}{}^{l}} 이다. 결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다. ( ∂ i ∂ j ∂ l Φ ) g l l ′ ( ∂ l ′ ∂ k ∂ m Φ ) = ( ∂ i ∂ l ∂ m Φ ) g l l ′ ( ∂ j ∂ k ∂ l Φ ) {\displaystyle (\partial _{i}\partial _{j}\partial _{l}\Phi )g^{ll'}(\partial _{l'}\partial _{k}\partial _{m}\Phi )=(\partial _{i}\partial _{l}\partial _{m}\Phi )g^{ll'}(\partial _{j}\partial _{k}\partial _{l}\Phi )} 이를 위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식(영어: Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation) 또는 WDVV 방정식이라고 하며, 에드워드 위튼, 로베르튀스 데이크흐라프, 에릭 페를린더(Erik Verlinde), 헤르만 페를린더(Herman Verlinde)가 발견하였다. Dubrovin, Boris. “Geometry of 2d topological field theories” (영어). arXiv:hep-th/9407018. Zbl 0841.58065.  Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D.  Witten, Edward (1990). “Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space”. 《Surveys in Differential Geometry》 (영어) 1: 243–310. doi:10.4310/SDG.1990.v1.n1.a5. Zbl 0757.53049.  Dijkgraaf, Robbert; Herman Verlinde, Erik Verlinde. “Topological strings in d < 1 {\displaystyle d<1} ” (영어). Bibcode:1991NuPhB.352...59D. doi:10.1016/0550-3213(91)90129-L.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); |제목=에 지움 문자가 있음(위치 24) (도움말) Manin, Yuri I. (1999). 《Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces》. Colloquium Publications (영어) 47. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1917-3. Zbl 0952.14032.  Dubrovin, Boris. “Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds” (영어). arXiv:math/9807034. Bibcode:1998math......7034D. Zbl 0916.32018.  Manin, Yu. I. (1998). “Three constructions of Frobenius manifolds: a comparative study” (영어). arXiv:math/9801006. Bibcode:1998math......1006M.  Manin, Yu. I.; S. A. Merkulov (1997년 3월). “Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of P r {\displaystyle \mathbb {P} ^{r}} ” (PDF). 《Topological Methods in Nonlinear Analysis》 (영어) 9 (1): 107–161. arXiv:alg-geom/9702014. Bibcode:1997alg.geom..2014M. Zbl 0908.53011. 2013년 10월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 22일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); |제목=에 지움 문자가 있음(위치 65) (도움말) Manin, Yu. I. “Manifolds with multiplication on the tangent sheaf” (영어). arXiv:math/0502578. Bibcode:2005math......2578M. Zbl 1268.14049.  Looijenga, Eduard (2009). “Introduction to Frobenius manifolds. Notes for the MRI master class 2009” (PDF) (영어). 2013년 10월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 22일에 확인함.