코시-슈바르츠 부등식

선형대수학에서 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz不等式, 영어: Cauchy–Schwarz inequality) 또는 코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식(Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, 영어: Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality)은 내적 공간 위에 성립하는 부등식이다. 이 부등식은 무한 급수 · 함수 공간 · 확률론의 분산과 공분산 등에 널리 응용된다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 위의 양의 준정부호 에르미트 형식 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } ( K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 일 때, 이는 양의 준정부호 쌍선형 형식과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.) ⟨ w , α u + v ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + ⟨ w , v ⟩ = ⟨ α u + v , w ⟩ ¯ ∀ α ∈ K , u , v ∈ V {\displaystyle \langle w,\alpha u+v\rangle =\alpha \langle w,u\rangle +\langle w,v\rangle ={\overline {\langle \alpha u+v,w\rangle }}\qquad \forall \alpha \in \mathbb {K} ,\;u,v\in V} 그렇다면, 코시-슈바르츠 부등식에 의하면 다음이 성립한다. | ⟨ u , v ⟩ | 2 ≤ ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ ∀ u , v ∈ V {\displaystyle |\langle u,v\rangle |^{2}\leq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V} 증명: 만약 ⟨ u , u ⟩ = ⟨ v , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0} 이며 K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라 0 ≤ 1 2 ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , v ⟩ = − 1 2 ⟨ u − v , u − v ⟩ ≤ 0 {\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u-v,u-v\rangle \leq 0} 이므로 자명하게 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 마찬가지로, 만약 ⟨ u , u ⟩ = ⟨ v , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0} 이며 K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라 0 ≤ 1 2 ⟨ u + v , u + v ⟩ = Re ⁡ ⟨ u , v ⟩ = − 1 2 ⟨ u − v , u − v ⟩ ≤ 0 {\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\langle u+v,u+v\rangle =\operatorname {Re} \langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u-v,u-v\rangle \leq 0} 0 ≤ 1 2 ⟨ u − i v , u − i v ⟩ = Im ⁡ ⟨ u , v ⟩ = − 1 2 ⟨ u + i v , u + i v ⟩ ≤ 0 {\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\langle u-iv,u-iv\rangle =\operatorname {Im} \langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u+iv,u+iv\rangle \leq 0} 이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. (양의 정부호 에르미트 형식의 경우 ⟨ u , u ⟩ = ⟨ v , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0} 은 u = v = 0 {\displaystyle u=v=0} 을 함의하며 이는 자명하게 ⟨ u , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle u,v\rangle =0} 을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서, ⟨ u , u ⟩ {\displaystyle \langle u,u\rangle } 또는 ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \langle v,v\rangle } 가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 ⟨ v , v ⟩ > 0 {\displaystyle \langle v,v\rangle >0} 라고 하자. 양의 준정부호 조건에 의하여, 임의의 λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } 에 대하여 0 ≤ ⟨ u − λ v , u − λ v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + | λ | 2 ⟨ v , v ⟩ − λ ⟨ u , v ⟩ − λ ¯ ⟨ v , u ⟩ {\displaystyle 0\leq \langle u-\lambda v,u-\lambda v\rangle =\langle u,u\rangle +|\lambda |^{2}\langle v,v\rangle -\lambda \langle u,v\rangle -{\bar {\lambda }}\langle v,u\rangle } 이다. 이제, λ = ⟨ v , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \lambda ={\frac {\langle v,u\rangle }{\langle v,v\rangle }}} 를 대입하면 다음과 같다. 0 ≤ ⟨ u , u ⟩ − | ⟨ u , v ⟩ | 2 ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle 0\leq \langle u,u\rangle -{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\langle v,v\rangle }}} 이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다. | ⟨ u , v ⟩ | 2 ≤ ⟨ u , u ⟩ ⋅ ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle |\langle u,v\rangle |^{2}\leq \langle u,u\rangle \cdot \langle v,v\rangle } 또한, 만약 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } 가 양의 정부호라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 필요 충분 조건은 u {\displaystyle u} 와 v {\displaystyle v} 일차 종속인 경우이다. 일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 위의 쌍선형 형식 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } . 또한, { v ∈ V : ⟨ v , v ⟩ < 0 } ∪ { 0 } {\displaystyle \{v\in V\colon \langle v,v\rangle <0\}\cup \{0\}} 은 1차원 부분 벡터 공간이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.:185, §10.2, Theorem 88(ii) (정부호의 경우에 대하여 부호가 반대인 것에 주의.) ∀ u , v ∈ V : min { ⟨ u , u ⟩ , ⟨ v , v ⟩ } ≤ 0 ⟹ | ⟨ u , v ⟩ | 2 ≥ ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ ∀ u , v ∈ V {\displaystyle \forall u,v\in V\colon \min\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\leq 0\implies |\langle u,v\rangle |^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V} 증명: 만약 max { ⟨ u , u ⟩ , ⟨ v , v ⟩ } ≥ 0 {\displaystyle \max\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\geq 0} 이라면 (좌변은 음이 아닌 실수, 우변은 양이 아닌 실수이므로) 부등식이 자명하게 성립한다. 따라서 ⟨ u , u ⟩ {\displaystyle \langle u,u\rangle } 와 ⟨ v , v {\displaystyle \langle v,v} 둘 다 양이 아닌 실수라고 가정하자. 또한, 만약 u {\displaystyle u} 와 v {\displaystyle v} 가 선형 종속이라면 이 부등식은 자명하게 (등식으로) 성립한다. 따라서 이 둘이 선형 독립이라고 가정하자. 이에 따라, 가정에 따라 Span ⁡ { u , v } {\displaystyle \operatorname {Span} \{u,v\}} 는 ⟨ w , w ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle w,w\rangle \geq 0} 인 원소 w ∈ Span ⁡ { u , v } ∖ { 0 } {\displaystyle w\in \operatorname {Span} \{u,v\}\setminus \{0\}} 를 포함한다. 편의상 이것이 w = u + λ 0 v {\displaystyle w=u+\lambda _{0}v} 라고 가정하자. 실수 λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } 에 대하여, 2차 다항식 p ( λ ) = ⟨ u + λ v ⟩ = λ 2 ⟨ v , v ⟩ + 2 λ ⟨ u , v ⟩ + ⟨ u , u ⟩ {\displaystyle p(\lambda )=\langle u+\lambda v\rangle =\lambda ^{2}\langle v,v\rangle +2\lambda \langle u,v\rangle +\langle u,u\rangle } 를 생각하자. 그렇다면 이는 λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} 에서 양이 아닌 실수이지만, λ = λ 0 {\displaystyle \lambda =\lambda _{0}} 에서는 p ( λ ) {\displaystyle p(\lambda )} 가 음이 아닌 실수이게 된다. 즉, p ( λ ) = 0 {\displaystyle p(\lambda )=0} 는 적어도 하나의 근을 갖는다. 이것이 성립할 필요 충분 조건은 판별식 D = ⟨ u , v ⟩ 2 − ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle D=\langle u,v\rangle ^{2}-\langle u,u\rangle \langle v,v\rangle } 이 음이 아닌 실수인 것이며, 따라서 ⟨ u , v ⟩ 2 ≥ ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \langle u,v\rangle ^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle } 이다. 또한, 2차원 민코프스키 공간의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 위의 쌍선형 형식 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } . 또한, { v ∈ V : ⟨ v , v ⟩ < 0 } ∪ { 0 } {\displaystyle \{v\in V\colon \langle v,v\rangle <0\}\cup \{0\}} 은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며, { v ∈ V : ⟨ v , v ⟩ > 0 } ∪ { 0 } {\displaystyle \{v\in V\colon \langle v,v\rangle >0\}\cup \{0\}} 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다. 그렇다면, 다음이 성립한다. ∀ u , v ∈ V : | ⟨ u , v ⟩ | 2 ≥ ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ ∀ u , v ∈ V {\displaystyle \forall u,v\in V\colon |\langle u,v\rangle |^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V} 증명: 임의의 두 벡터 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} 에 대하여, 항상 다음 두 경우 가운데 하나가 성립한다. 만약 min { ⟨ u , u ⟩ , ⟨ v , v ⟩ } ≤ 0 {\displaystyle \min\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\leq 0} 일 때: 위의 정리를 사용한다. 만약 max { ⟨ u , u ⟩ , ⟨ v , v ⟩ } ≥ 0 {\displaystyle \max\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\geq 0} 일 때: 위의 정리를 ( V , − ⟨ , ⟩ ) {\displaystyle (V,-\langle ,\rangle )} 에 사용한다. V = K n {\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}} 일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 꼴이 된다. | a ¯ 1 b 1 + a ¯ 2 b 2 + ⋯ + a ¯ n b n | 2 ≤ ( | a 1 | 2 + | a 2 | 2 + ⋯ + | a n | 2 ) ( | b 1 | 2 + | b 2 | 2 + ⋯ + | b n | 2 ) ∀ a i , b i ∈ K {\displaystyle \left|{\bar {a}}_{1}b_{1}+{\bar {a}}_{2}b_{2}+\dotsb +{\bar {a}}_{n}b_{n}\right|^{2}\leq \left(|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\dotsb +|a_{n}|^{2}\right)\left(|b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}+\dotsb +|b_{n}|^{2}\right)\qquad \forall a_{i},b_{i}\in \mathbb {K} } 특히, n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다. | a ¯ c + b ¯ d | 2 ≤ ( | a | 2 + | b | 2 ) ( | c | 2 + | d | 2 ) ∀ a , b , c , d ∈ K {\displaystyle |{\bar {a}}c+{\bar {b}}d|^{2}\leq (|a|^{2}+|b|^{2})(|c|^{2}+|d|^{2})\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {K} } 특히, 2차원 민코프스키 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다. ( a c − b d ) 2 ≥ ( a 2 − b 2 ) ( c 2 − d 2 ) ∀ a , b , c , d ∈ R {\displaystyle (ac-bd)^{2}\geq (a^{2}-b^{2})(c^{2}-d^{2})\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} } 가측 공간 X {\displaystyle X} 위의 p = 2 {\displaystyle p=2} 르베그 공간 V = L 2 ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle V=\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )} 은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다. | ∫ f ( x ) ¯ g ( x ) d x | 2 ≤ ∫ | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ | g ( x ) | 2 d x ∀ f , g ∈ L 2 ⁡ ( X ; K ) {\displaystyle \left|\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx\qquad \forall f,g\in \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )} 이는 횔더 부등식의 특수한 경우이다. C* 대수 A {\displaystyle A} 위의 상태 f : A → C {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} } 가 주어졌을 때, ⟨ a , b ⟩ = f ( a ∗ b ) ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \langle a,b\rangle =f(a^{*}b)\qquad \forall a,b\in A} 는 A {\displaystyle A} 위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다. | f ( a ∗ b ) | 2 ≤ f ( a ∗ a ) f ( b ∗ b ) ∀ a , b ∈ A {\displaystyle |f(a^{*}b)|^{2}\leq f(a^{*}a)f(b^{*}b)\qquad \forall a,b\in A} 1821년에 오귀스탱 루이 코시가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다. 1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(러시아어: Ви́ктор Я́ковлевич Буняко́вский, 우크라이나어: Ві́ктор Я́кович Буняко́вський 빅토르 야코비치 부냐코우시키[*], 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다. 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 헤르만 아만두스 슈바르츠가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다. 1896년에 앙리 푸앵카레가 “슈바르츠 부등식”(프랑스어: inégalité de Schwarz)이라는 용어를 최초로 사용하였다.:73, §II.2 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 “코시-슈바르츠 부등식”으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 “부냐콥스키 부등식” 또는 “코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식” 등으로 일컫는다. Steele, J. 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