융합 규칙

이론물리학과 추상대수학에서 융합 규칙(融合規則, 영어: fusion rule 퓨전룰[*])은 2차원 등각 장론에 대응되는 특별한 대수 구조이다. 융합 규칙은 1차장 사이의 연산자 곱 전개에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 페를린더 공식(영어: Verlinde formula)이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 융합환(融合環, 영어: fusion ring 퓨전링[*]) 또는 페를린더 대수(Verlinde代數, 영어: Verlinde algebra)라는 가환환이 대응된다. 유한 집합 I {\displaystyle I} 및 대합 ( − ) ∗ : I → I {\displaystyle (-)^{*}\colon I\to I} ( − ) ∗ ∘ ( − ) ∗ = id I {\displaystyle (-)^{*}\circ (-)^{*}=\operatorname {id} _{I}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 가환 모노이드 N I = { ∑ i n i i : ∀ i ∈ I : n i ∈ N } {\displaystyle \mathbb {N} ^{I}=\left\{\sum _{i}n_{i}i\colon \forall i\in I\colon n_{i}\in \mathbb {N} \right\}} 를 생각할 수 있다. 그 원소는 I {\displaystyle I} 의 원소들로 구성된 중복집합으로 생각할 수 있다. I {\displaystyle I} 위의 융합 규칙은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 N : N I → Z {\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} } 이다. (규격화) N ( 0 ) = 1 {\displaystyle N(0)=1} (대합에 대한 대칭) N ( x ∗ ) = N ( x ) ∀ x ∈ N I {\displaystyle N(x^{*})=N(x)\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}} (융합) N ( x + y ) = ∑ k ∈ I N ( x + k ) N ( y + k ∗ ) ∀ x , y ∈ N I {\displaystyle N(x+y)=\sum _{k\in I}N(x+k)N(y+k^{*})\forall x,y\in \mathbb {N} ^{I}} (부호) ∃ i ∈ I : N ( i ) > 0 {\displaystyle \exists i\in I\colon N(i)>0} (비퇴화성) ∀ i ∈ I ∃ x ∈ N I : N ( i + x ) ≠ 0 {\displaystyle \forall i\in I\exists x\in \mathbb {N} ^{I}\colon N(i+x)\neq 0} 임의의 융합 규칙 N : N I → Z {\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} } 가 주어졌을 때, 어떤 원소 η ∈ I {\displaystyle \eta \in I} 에 대하여 N ( i ) = { 1 i = η 0 i ≠ η {\displaystyle N(i)={\begin{cases}1&i=\eta \\0&i\neq \eta \end{cases}}} η ∗ = η {\displaystyle \eta ^{*}=\eta } 이게 된다. 이를 융합 규칙의 항등원(영어: identity element)이라고 하며, 보통 단순히 1 {\displaystyle 1} 로 표기한다. (이는 2차원 등각 장론에서 항등 연산자에 해당한다.) 증명: 공리로부터, 1 = N ( 0 ) = N ( 0 + 0 ) = ∑ i ∈ I N ( i ) N ( i ∗ ) = ∑ i ∈ I N ( i ) 2 {\displaystyle 1=N(0)=N(0+0)=\sum _{i\in I}N(i)N(i^{*})=\sum _{i\in I}N(i)^{2}} 이다. N ( i ) 2 ∈ N {\displaystyle N(i)^{2}\in \mathbb {N} } 이므로, 이는 어떤 η ∈ I {\displaystyle \eta \in I} 인 경우 N ( η ) ∈ { ± 1 } {\displaystyle N(\eta )\in \{\pm 1\}} 이며 다른 나머지 j ∈ I ∖ { η } {\displaystyle j\in I\setminus \{\eta \}} 에 대하여 N ( j ) = 0 {\displaystyle N(j)=0} 임을 의미한다. 그런데 공리에 의하여 N ( i ) > 0 {\displaystyle N(i)>0} 인 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 존재하여야 하므로, 이는 i = η {\displaystyle i=\eta } 일 수 밖에 없으며, N ( η ) = 1 {\displaystyle N(\eta )=1} 이다. N ( η ∗ ) = 1 {\displaystyle N(\eta ^{*})=1} 이므로 η = η ∗ {\displaystyle \eta =\eta ^{*}} 이다. 이는 다음과 같이 항등원을 이룬다. N ( 1 + x ) = N ( x ) ∀ x ∈ N I {\displaystyle N(1+x)=N(x)\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}} 증명: 공리로부터, N ( x ) = N ( 0 + x ) = ∑ i ∈ I N ( i ∗ ) ( i + x ) = N ( 1 + x ) {\displaystyle N(x)=N(0+x)=\sum _{i\in I}N(i^{*})(i+x)=N(1+x)} 이다. 또한, 항상 다음이 성립한다. N ( i + j ) = { 1 i = j ∗ 0 i ≠ j ∗ {\displaystyle N(i+j)={\begin{cases}1&i=j^{*}\\0&i\neq j^{*}\end{cases}}} 증명: 공리로부터, N ( i + i ∗ ) = ∑ j ∈ I N ( i + j ) N ( j ∗ + i ∗ ) = ∑ j ∈ I N ( i + j ) 2 ≥ N ( i + i ∗ ) 2 {\displaystyle N(i+i^{*})=\sum _{j\in I}N(i+j)N(j^{*}+i^{*})=\sum _{j\in I}N(i+j)^{2}\geq N(i+i^{*})^{2}} 이다. k ≥ k 2 {\displaystyle k\geq k^{2}} 를 만족시키는 정수 k {\displaystyle k} 는 0 및 1 밖에 없다. 이 경우 k = k 2 {\displaystyle k=k^{2}} 이므로 0 = N ( i + i ∗ ) − N ( i + i ∗ ) 2 = ∑ j ∈ I ∖ { i } N ( i + j ) 2 {\displaystyle 0=N(i+i^{*})-N(i+i^{*})^{2}=\sum _{j\in I\setminus \{i\}}N(i+j)^{2}} 이며, 따라서 N ( i + j ) = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle N(i+j)=0\qquad (i\neq j)} 이다. 만약 N ( i + i ∗ ) = 0 {\displaystyle N(i+i^{*})=0} 이라면, 임의의 x ∈ N I {\displaystyle x\in \mathbb {N} ^{I}} 에 대하여 N ( i + x ) = ∑ j ∈ I N ( i + j ∗ ) N ( j + x ) = 0 {\displaystyle N(i+x)=\sum _{j\in I}N(i+j^{*})N(j+x)=0} 인데, 이는 공리에 의하여 불가능하다. 따라서 항상 N ( i + i ∗ ) = 1 {\displaystyle N(i+i^{*})=1} 이다. 사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다. 항등원 1 ∈ I {\displaystyle 1\in I} 3점 계수 N ↾ { i + j + k : i , j , k ∈ I ∖ { 1 } } {\displaystyle N\upharpoonright \{i+j+k\colon i,j,k\in I\setminus \{1\}\}} 증명: 2점 이하의 계수는 1 ∈ I {\displaystyle 1\in I} 로 완전히 결정된다. 또한, N ( i 1 + i 2 + ⋯ + i + i k ) = ∑ j ∈ I N ( i 1 + i 2 + j ∗ ) N ( j + i 3 + ⋯ + i k ) ( k ≥ 3 , i 1 , i 2 , … , i k ∈ I ) {\displaystyle N(i_{1}+i_{2}+\dotsb +i+i_{k})=\sum _{j\in I}N(i_{1}+i_{2}+j^{*})N(j+i_{3}+\dotsb +i_{k})\qquad (k\geq 3,\;i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{k}\in I)} 이므로, k {\displaystyle k} 점의 계수는 3점 계수와 k − 1 {\displaystyle k-1} 점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수 N ( i + j + k ) {\displaystyle N(i+j+k)} 에서 만약 i , j , k {\displaystyle i,j,k} 가운데 하나가 1 {\displaystyle 1} 에 속한다면 그 값은 자명하다. 보통 3점 계수는 N ( i + j + k ∗ ) = N i j k {\displaystyle N(i+j+k^{*})=N_{ij}^{k}} 로 표기한다. 대칭에 의하여 N i j k = N j i k = N k ∗ i j = N i ∗ j ∗ k ∗ {\displaystyle N_{ij}^{k}=N_{ji}^{k}=N_{k^{*}i}^{j}=N_{i^{*}j^{*}}^{k^{*}}} N 1 i j = N i j ∗ 1 = δ i j {\displaystyle N_{1i}^{j}=N_{ij^{*}}^{1}=\delta _{i}^{j}} 가 된다. ( δ {\displaystyle \delta } 는 크로네커 델타이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다. N ( i + j + k + l ∗ ) = ∑ m ∈ I N i j m N k m l = ∑ m ∈ I N i k m N j m l ( ∀ i , j , k , l ∈ I ) {\displaystyle N(i+j+k+l^{*})=\sum _{m\in I}N_{ij}^{m}N_{km}^{l}=\sum _{m\in I}N_{ik}^{m}N_{jm}^{l}\qquad (\forall i,j,k,l\in I)} s 만약 N i j k {\displaystyle N_{ij}^{k}} 를 행렬 N i {\displaystyle N_{i}} 로 표기한다면, 이는 다음과 같다. N j N k = N k N j {\displaystyle N_{j}N_{k}=N_{k}N_{j}} 즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 교환 법칙을 따르는 것으로 해석할 수 있다.:(2.131) 따라서, 복소수 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 기저를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다. 융합 규칙 N : N I → Z {\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} } 및 자연수 g {\displaystyle g} 에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다. N g ( x ) = ∑ i ∈ I N g − 1 ( x + i + i ∗ ) ∀ x ∈ N I {\displaystyle N_{g}(x)=\sum _{i\in I}N_{g-1}(x+i+i^{*})\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}} N 0 = N {\displaystyle N_{0}=N} 이들은 2차원 등각 장론에서, 종수 g {\displaystyle g} 의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수에 대응된다. 그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.:Remark 5.10 N g + h ( x + y ) = ∑ i ∈ I N g ( x + i ∗ ) N h ( i + y ) ∀ x , y ∈ N I , g , h ∈ N {\displaystyle N_{g+h}(x+y)=\sum _{i\in I}N_{g}(x+i^{*})N_{h}(i+y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {N} ^{I},\;g,h\in \mathbb {N} } 융합 규칙 N : N I → Z {\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} } 이 주어졌을 때, I {\displaystyle I} 로 생성되는 자유 아벨 군 R = Z I {\displaystyle R=\mathbb {Z} ^{I}} 위에 다음과 같은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다. i 1 ⋅ i 2 ⋅ ⋯ ⋅ i k = ∑ j ∈ I N ( i 1 + ⋯ + i k + j ∗ ) j ( k ∈ N , i 1 , … , i k ∈ I ) {\displaystyle i_{1}\cdot i_{2}\cdot \dotsb \cdot i_{k}=\sum _{j\in I}N(i_{1}+\dotsb +i_{k}+j^{*})j\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;i_{1},\dotsc ,i_{k}\in I)} 이는 항등원 1 ∈ I {\displaystyle 1\in I} 을 갖는 가환환을 이루며, 융합환이라고 한다. 특히, 융합환 R {\displaystyle R} 의 가환환으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로, ∑ j ∈ I N ( j ∗ ) j = 1 {\displaystyle \sum _{j\in I}N(j^{*})j=1} 이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은 i = ∑ j ∈ I N ( i + j ∗ ) j {\displaystyle i=\sum _{j\in I}N(i+j^{*})j} 이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다. 융합환 R {\displaystyle R} 위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형 t : ( R , + ) → ( Z , + ) {\displaystyle t\colon (R,+)\to (\mathbb {Z} ,+)} 이 존재한다.:Proposition 5.3 t ( i 1 i 2 ⋯ i k ) = N ( i 1 + i 2 + ⋯ + i n ) ∀ i 1 , … , i k ∈ I {\displaystyle t(i_{1}i_{2}\dotsm i_{k})=N(i_{1}+i_{2}+\dotsb +i_{n})\qquad \forall i_{1},\dotsc ,i_{k}\in I} 따라서 t {\displaystyle t} 는 R {\displaystyle R} -가군의 동형 사상 R → R ∨ = hom Z ⁡ ( R , Z ) {\displaystyle R\to R^{\vee }=\hom _{\mathbb {Z} }(R,\mathbb {Z} )} r ↦ ( s ↦ t ( r s ) ) {\displaystyle r\mapsto (s\mapsto t(rs))} 을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 고런스틴 환이다. 이 가군 동형에서, 대각합 tr ∈ R ∨ {\displaystyle \operatorname {tr} \in R^{\vee }} tr : i ↦ ∑ j ∈ I N i j j ( i , j , k ∈ I ) {\displaystyle \operatorname {tr} \colon i\mapsto \sum _{j\in I}N_{ij}^{j}\qquad (i,j,k\in I)} 에 대응되는 R {\displaystyle R} 의 원소는 카시미르 원소 ∑ i ∈ I i i ∗ {\displaystyle \sum _{i\in I}ii^{*}} 이다. 2차원 등각 장론 가운데 최소 모형이 주어졌다고 하자. 이 경우, I {\displaystyle I} 를 1차장의 집합으로 놓고, ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 를 항등 함수로 놓고, N i j k = { 0 C i j k = 0 1 C i j k ≠ 0 {\displaystyle N_{ij}^{k}={\begin{cases}0&C_{ijk}=0\\1&C_{ijk}\neq 0\end{cases}}} 로 놓자. (여기서 C i j k {\displaystyle C_{ijk}} 는 등각 장론의 3점 상관 함수의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다. 보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수나 아핀 리 대수(베스-추미노-위튼 모형)에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 이 자명하지 않을 수 있다. 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에서, 최고 무게 표현들의 지표가 Z ( τ ) = ∑ i ∈ I χ i ( τ ) {\displaystyle Z(\tau )=\sum _{i\in I}\chi _{i}(\tau )} 라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성 Z ( τ ) = Z ( − 1 / τ ) {\displaystyle Z(\tau )=Z(-1/\tau )} 에 의하여 χ i ( − 1 / τ ) = ∑ j ∈ I S i j χ j ( τ ) {\displaystyle \chi _{i}(-1/\tau )=\sum _{j\in I}S_{i}{}^{j}\chi _{j}(\tau )} 가 되는 행렬 S : Z I → Z J {\displaystyle S\colon \mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{J}} 이 존재한다. (보다 일반적으로, C I {\displaystyle \mathbb {C} ^{I}} 위에는 PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 의 표현이 존재한다.) S {\displaystyle S} 는 항상 유니터리 행렬이며, 대칭 행렬이며 (※에르미트 행렬이 아니다), S 4 = 1 {\displaystyle S^{4}=1} 이다. 이 경우, 다음과 같은 페를린더 공식(영어: Verlinde formula)이 성립한다.:143, (4.55) N i j k = ∑ l ∈ I S i l S j l S ¯ l k S 1 l {\displaystyle N_{ij}^{k}=\sum _{l\in I}{\frac {S_{il}S_{jl}{\bar {S}}_{lk}}{S_{1l}}}} 여기서 S ¯ {\displaystyle {\bar {S}}} 는 성분별 복소켤레이다 (즉, ( S ¯ ) ⊤ = S † {\displaystyle ({\bar {S}})^{\top }=S^{\dagger }} ). 임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형 c = 1 / 2 {\displaystyle c=1/2} 을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다. 이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.:80, §2.11 I = { 1 , σ , ϵ } {\displaystyle I=\{1,\sigma ,\epsilon \}} ( − ) ∗ = id I {\displaystyle (-)^{*}=\operatorname {id} _{I}} N ( 2 σ ) = 1 {\displaystyle N(2\sigma )=1} N ( 2 ϵ ) = 1 {\displaystyle N(2\epsilon )=1} N ( 2 σ + ϵ ) = 1 {\displaystyle N(2\sigma +\epsilon )=1} N ( 1 + 2 ϵ ) = 1 {\displaystyle N(1+2\epsilon )=1} N ( 1 + 2 σ ) = 1 {\displaystyle N(1+2\sigma )=1} N ( ϵ + 2 σ ) = 1 {\displaystyle N(\epsilon +2\sigma )=1} 이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다. A = Z [ σ , ϵ ] / ( σ 2 − 1 − ϵ , ϵ σ − σ , ϵ 2 − 1 ) {\displaystyle A=\mathbb {Z} [\sigma ,\epsilon ]/(\sigma ^{2}-1-\epsilon ,\epsilon \sigma -\sigma ,\epsilon ^{2}-1)} 즉, 곱셈이 다음과 같다. 다음이 주어졌다고 하자. 복소수 단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 따라서, 근계 R ⁡ ( g , h ) {\displaystyle \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 를 정의할 수 있다. 근계 R ⁡ ( g , h ) {\displaystyle \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근 θ ∈ R ⁡ ( g , h ) {\displaystyle \theta \in \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 을 고를 수 있다. 양의 정수 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 이제, g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 우세 무게 λ {\displaystyle \lambda } 가운데 ⟨ λ | θ ⟩ ≤ k {\displaystyle \langle \lambda |\theta \rangle \leq k} 인 것들의 집합을 P k {\displaystyle P_{k}} 라고 하자. 이들은 아핀 리 대수 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 준위 k {\displaystyle k} 의 표현들과 일대일로 대응한다. λ ∈ P k {\displaystyle \lambda \in P_{k}} 에 대응하는 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} -표현을 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 라고 표기하자. 이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 콤팩트 연결 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } Σ {\displaystyle \Sigma } 의 유한 부분 집합 X = { x 1 , … , x n } ⊆ Σ {\displaystyle X=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}\subseteq \Sigma } 함수 λ : X → P k {\displaystyle \lambda \colon X\to P_{k}} 그렇다면, g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 표현 ⨂ x ∈ X H λ ( x ) {\displaystyle \bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{\lambda (x)}} 을 생각하자. 또한, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값 정칙 함수의 복소수 리 대수 O ( Σ ∖ X ) ⊗ C g {\displaystyle {\mathcal {O}}(\Sigma \setminus X)\otimes _{\mathbb {C} }{\mathfrak {g}}} 는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다. V ( X , λ ) = ( ⨂ x ∈ X H λ ( x ) ) O ( Σ ∖ X ) ⊗ C g {\displaystyle V(X,\lambda )=\left(\bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{\lambda (x)}\right)_{{\mathcal {O}}(\Sigma \setminus X)\otimes _{\mathbb {C} }{\mathfrak {g}}}} 여기서 W g {\displaystyle W_{\mathfrak {g}}} 는 W {\displaystyle W} 의, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 불변인, W {\displaystyle W} 의 가장 큰 몫 벡터 공간이다. 아핀 리 대수 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 표현을 갖는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간 V ( X , λ ) {\displaystyle V(X,\lambda )} 는 각 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 λ ( x ) {\displaystyle \lambda (x)} 에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 등각 블록이다. 두 유한 집합 X {\displaystyle X} , X ′ {\displaystyle X'} 및 전단사 함수 i : X → X ′ {\displaystyle i\colon X\to X'} 가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상 V Σ ( X , λ ) ≅ V Σ ( X ′ , λ ∘ i ) {\displaystyle V_{\Sigma }(X,\lambda )\cong V_{\Sigma }(X',\lambda \circ i)} 이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.:Example 5.2a N ( ∑ λ i ) = dim ⁡ V P C 1 ( { x 1 , … , x n } , ( x i ↦ λ i ) ) {\displaystyle N\left(\sum \lambda _{i}\right)=\dim V_{\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}(\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\},(x_{i}\mapsto \lambda _{i}))} 즉, 이는 리만 구 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다. 에릭 페를린더(네덜란드어: Erik Verlinde, 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론을 연구하기 위하여 도입하였다. Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Beauville, Arnaud (1996). 〈Conformal blocks, fusion rules and the Verlinde formula〉. Teicher, Mina. 《Proceedings of the Hirzebruch 65 Conference on Algebraic Geometry: May 2–7, 1993》. Israel Mathematics Conference Proceedings (영어) 9. אוניברסיטת בר-אילן‬. 75–96쪽. arXiv:alg-geom/9405001. Bibcode:1994alg.geom..5001B.  Fuchs, Jürgen (1994). “Fusion rules in conformal field theory”. 《Fortschrifte der Physik》 (영어) 42: 1–48. arXiv:hep-th/9306162. Bibcode:1994ForPh..42....1F. doi:10.1002/prop.2190420102.  Verlinde, Erik (1988). “Fusion rules and modular transformations in 2D conformal field theory”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 300 (3): 360–376. doi:10.1016/0550-3213(88)90603-7.  “Fusion ring”. 《nLab》 (영어).  “Verlinde ring”. 《nLab》 (영어).  “Verlinde formula”. 《nLab》 (영어).  “Fusion category”. 《nLab》 (영어).