베르마 가군

리 대수의 표현론에서 베르마 가군(वर्मा加群, 영어: Verma module)은 주어진 무게에 대한 가장 “일반적인” 최고 무게 가군이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 체 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 리 대수 p ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {g}}} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 표현 V {\displaystyle V} (즉, U ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})} 의 왼쪽 가군) 그렇다면, 이에 대응되는 일반화 베르마 가군(一般化वर्मा加群, 영어: generalized Verma module)은 다음과 같다. U ⁡ ( g ) ⊗ U ⁡ ( p ) V {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V} 여기서 U ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {U} (-)} 는 리 대수의 보편 포락 대수이다. U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 의 오른쪽 U ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})} -작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리에 의하여 U ⁡ ( p ) ⊆ U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})\subseteq \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 이므로) 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다. 특히, 다음과 같은 경우를 생각하자. K {\displaystyle K} 는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 K {\displaystyle K} 위의 반단순 리 대수이다. p = b {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}} 는 보렐 부분 대수이다. V = C {\displaystyle V=\mathbb {C} } 는 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} 의 무게 λ : b → b / [ b , b ] → C {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {b} \to {\mathfrak {b}}/[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\to \mathbb {C} } 를 이루는 1차원 표현이다. 이 경우를 베르마 가군이라고 한다. 복소수체 위의 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 및 그 포물형 부분 대수 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위에 자연스러운 등급 g = ⨁ i = − k k g i {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}} 이 주어지며, p = ⨁ i = 0 k g i {\displaystyle {\mathfrak {p}}=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}} h = g 0 {\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}}_{0}} 이다. 즉, U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 는 등급 { − k , − k + 1 , … , k − 1 , k } {\displaystyle \{-k,-k+1,\dotsc ,k-1,k\}} 에 대한 복소수 등급 대수이며, U ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})} 는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다. 임의의 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 표현 V {\displaystyle V} 에 대하여, ( g , p , V ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},V)} -일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리를 사용하면) 다음과 같다. U ⁡ ( g ) ⊗ U ⁡ ( p ) V = ⨁ i = − k − 1 U ⁡ ( g i ) ⊗ K V {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V=\bigoplus _{i=-k}^{-1}\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}_{i})\otimes _{K}V} 베르마 가군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 무게 λ ∈ h ∨ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }} 에 대응하는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -최고 무게 가군 V {\displaystyle V} 에 대하여, 유일한 전사 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -표현 준동형 M λ ↠ V {\displaystyle M_{\lambda }\twoheadrightarrow V} 가 존재한다. s l ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )} 의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저 s l ( 2 ; C ) = Span C ⁡ { a , a † , c } {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{a,a^{\dagger },c\}} [ a † , a ] = c {\displaystyle [a^{\dagger },a]=c} [ a † , c ] = − 2 a † {\displaystyle [a^{\dagger },c]=-2a^{\dagger }} [ a , c ] = 2 a {\displaystyle [a,c]=2a} 로 표현될 수 있다. 여기서 h = Span C ⁡ { c } {\displaystyle {\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c\}} 를 카르탕 부분 대수로, b = Span C ⁡ { c , a † } {\displaystyle {\mathfrak {b}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c,a^{\dagger }\}} 를 보렐 부분 대수로 잡자. h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 무게는 하나의 복소수 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 로 결정된다. 그 기저를 | λ ⟩ {\displaystyle |\lambda \rangle } 로 적자. 즉, c | λ ⟩ = λ | λ ⟩ {\displaystyle c|\lambda \rangle =\lambda |\lambda \rangle } a | λ ⟩ = 0 {\displaystyle a|\lambda \rangle =0} 이다. 그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저를 갖는다. W λ = Span C ⁡ { | λ ⟩ , α † | λ ⟩ , ( α † ) 2 | λ ⟩ , … } {\displaystyle W_{\lambda }=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\left\{|\lambda \rangle ,\alpha ^{\dagger }|\lambda \rangle ,(\alpha ^{\dagger })^{2}|\lambda \rangle ,\dotsc \right\}} 이 위의 s l ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )} 의 작용은 구체적으로 다음과 같다. c ( a † ) n | λ ⟩ = ( λ − 2 n ) ( a † ) n | λ ⟩ {\displaystyle c(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle =(\lambda -2n)(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle } a ( a † ) n | λ ⟩ = { n ( λ − n + 1 ) ( a † ) n − 1 | λ ⟩ n > 0 0 n = 0 {\displaystyle a(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle ={\begin{cases}n(\lambda -n+1)(a^{\dagger })^{n-1}|\lambda \rangle &n>0\\0&n=0\end{cases}}} 만약 λ ∈ N {\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} } (음이 아닌 정수)일 경우, a ( a † ) λ + 1 | λ ⟩ = 0 {\displaystyle a(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle =0} 이며, 따라서 베르마 가군 W λ {\displaystyle W_{\lambda }} 의 부분 공간 Span C ⁡ { ( a † ) λ + 1 | λ ⟩ , ( a † ) λ + 2 | λ ⟩ , … } ⊆ W λ {\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle ,(a^{\dagger })^{\lambda +2}|\lambda \rangle ,\dotsc \}\subseteq W_{\lambda }} 는 W λ {\displaystyle W_{\lambda }} 의 부분 가군을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는 s l ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )} 의 n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 표현을 이룬다. 이 조건은 λ {\displaystyle \lambda } 가 정수 우세 무게인 것에 해당한다. 다야난드 베르마가 도입하였다. 리 대수의 표현 Verma, Daya-Nand (1968). “Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 74 (1): 160-166. ISSN 0273-0979. MR 0218417.  “Weyl module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “BGG resolution”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Verma module”. 《nLab》 (영어).  “BGG resolution”. 《nLab》 (영어).