로랑 다항식

추상대수학에서 로랑 다항식(Laurent多項式, 영어: Laurent polynomial)은 어떤 형식적 변수의 음 또는 양의 거듭제곱을 단항식으로 하고, 유한 개의 단항식들로 구성된 다항식이다. 로랑 다항식들의 집합은 가환 및 쌍대가환 호프 대수를 이루며, 이는 다항식환의 국소화 또는 군환으로서 구성될 수 있다. 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 로랑 다항식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. K {\displaystyle K} 계수의 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[{\mathsf {x}}]} 에서, x {\displaystyle {\mathsf {x}}} 로 생성되는 곱셈 부분 모노이드 S = { 1 , x , x 2 , x 3 , … } ⊆ K [ x ] {\displaystyle S=\{1,{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{2},{\mathsf {x}}^{3},\dotsc \}\subseteq K[{\mathsf {x}}]} 를 생각하자. 이에 대한 국소화 ( K [ x ] ) x {\displaystyle (K[{\mathsf {x}}])_{\mathsf {x}}} 를 취할 수 있다. 이를 K [ x , x − 1 ] {\displaystyle K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]} 로 표기하며, K {\displaystyle K} 계수의 로랑 다항식의 대수라고 한다. 무한 순환군 ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle {\mathsf {x}}\rangle } 의 K {\displaystyle K} 계수의 군환을 로랑 다항식의 대수라고 한다. 구체적으로, 편의상, 무한 순환군의 군 연산을 곱셈으로 표기하자. 즉, ⟨ x ⟩ = { … , x − 2 , x − 1 , 1 , x , x 2 , … } {\displaystyle \langle {\mathsf {x}}\rangle =\{\dotsc ,{\mathsf {x}}^{-2},{\mathsf {x}}^{-1},1,{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{2},\dotsc \}} 이다. 이 경우, 그 원소는 p = ∑ i ∈ Z p i x i ( p i ∈ K ) {\displaystyle p=\sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}{\mathsf {x}}^{i}\qquad (p_{i}\in K)} 의 꼴이 된다. 군환의 일반적 성질에 따라서, 로랑 다항식의 대수는 호프 대수를 이룬다. K {\displaystyle K} 계수의 로랑 다항식은 다음과 같은 형식적 다항식이다. p = ∑ k ∈ Z p k x k ( p i ∈ K ) {\displaystyle p=\sum _{k\in \mathbb {Z} }p_{k}{\mathsf {x}}^{k}\qquad (p_{i}\in K)} | { k ∈ Z : p k ≠ 0 } | < ∞ {\displaystyle |\{k\in \mathbb {Z} \colon p_{k}\neq 0\}|<\infty } 즉, 이는 형식적 변수 x {\displaystyle {\mathsf {x}}} 의 양 또는 음의 차수의 거듭제곱들의 항으로 구성된 다항식이며, 항의 수는 유한하다. 그 덧셈과 곱셈은 다음과 같다. p + q = ∑ k ∈ Z ( p k + q k ) x k {\displaystyle p+q=\sum _{k\in {\mathsf {Z}}}(p_{k}+q_{k}){\mathsf {x}}^{k}} p q = ∑ k ∈ Z ( ∑ i + j = k p i q j ) x k {\displaystyle pq=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\sum _{i+j=k}p_{i}q_{j}\right){\mathsf {x}}^{k}} 이에 따라, 로랑 다항식들의 집합은 K {\displaystyle K} 위의, 항등원을 갖는 가환 결합 대수를 이룬다. 이를 K [ x , x − 1 ] {\displaystyle K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]} 로 표기한다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, K [ x , x − 1 ] {\displaystyle {\mathsf {K}}[x,x^{-1}]} 는 뇌터 가환환이다. 그러나 이는 아르틴 가환환이 아니다. 만약 K {\displaystyle K} 가 정역일 경우, K [ x , x − 1 ] {\displaystyle K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]} 의 가역원의 집합은 다음과 같다. Unit ⁡ ( K [ x , x − 1 ] ) = { a x i ∈ K [ x , x − 1 ] : a ∈ Unit ⁡ ( K ) , i ∈ Z } {\displaystyle \operatorname {Unit} (K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}])=\{a{\mathsf {x}}^{i}\in K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]\colon a\in \operatorname {Unit} (K),\;i\in \mathbb {Z} \}} 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 의 가역원 u ∈ Unit ⁡ ( K ) {\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (K)} 에 대하여, 다음과 같은 값매김 준동형(영어: evaluation homomorphism)이 존재한다. ev u : K [ x , x − 1 ] → K {\displaystyle \operatorname {ev} _{u}\colon K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]\to K} ev u : p ↦ ∑ i ∈ Z p i u i ∈ K {\displaystyle \operatorname {ev} _{u}\colon p\mapsto \sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}u^{i}\in K} 이는 K {\displaystyle K} -가환 결합 대수의 준동형이다. 로랑 다항식환 위에는 다음과 같은 형식적 미분이 정의된다. d d x : K [ x , x − 1 ] → K [ x , x − 1 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {x}}}}\colon K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]\to K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]} d d x : p ↦ ∑ i ∈ Z ( i + 1 ) p i + 1 x i {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {x}}}}\colon p\mapsto \sum _{i\in \mathbb {Z} }(i+1)p_{i+1}{\mathsf {x}}^{i}} ‘로랑 다항식’이라는 용어는 피에르 알퐁스 로랑의 이름을 딴 것이며, 복소해석학에서 쓰이는 정칙 함수의 로랑 급수에 빗댄 것이다. 그러나 이름과 달리 로랑 급수는 일반적으로 무한 개의 음의 차수 단항식 및 무한 개의 양의 차수 단항식들을 가질 수 있으므로 일반적으로 로랑 다항식이 아니다. 존스 다항식 Weisstein, Eric Wolfgang. “Laurent polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Laurent polynomial”. 《nLab》 (영어).