테일러 정리

미적분학에서 테일러 정리(-定理, 영어: Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다. 만약 f : ( a − r , a + r ) → R {\displaystyle f\colon (a-r,a+r)\to \mathbb {R} } 가 n {\displaystyle n} 계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다. f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + o ( x − a ) n ( x → a ) {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o(x-a)^{n}\qquad (x\to a)} 여기서 o ( x − a ) n {\displaystyle o(x-a)^{n}} 는 ( x − a ) n {\displaystyle (x-a)^{n}} 과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가 ( x − a ) n {\displaystyle (x-a)^{n}} 보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을 n {\displaystyle n} 차 테일러 다항식(-次-多項式, 영어: n {\displaystyle n} -th order Taylor polynomial)이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 나머지항(-項, 영어: remainder term)이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항 o ( x − a ) n {\displaystyle o(x-a)^{n}} 을 페아노 나머지항(-項, 영어: Peano remainder term)이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인 n {\displaystyle n} 차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다. 만약 f : [ a ′ , b ′ ] → R {\displaystyle f\colon [a',b']\to \mathbb {R} } 가 n {\displaystyle n} 번 연속 미분 가능 함수이며, ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a',b')} 에서 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 계 도함수를 가진다면, 임의의 a , x ∈ [ a ′ , b ′ ] {\displaystyle a,x\in [a',b']} 에 대하여, 다음이 성립한다.:15 f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}} 여기서 ξ ∈ { a + θ ( x − a ) : 0 < θ < 1 } {\displaystyle \xi \in \{a+\theta (x-a)\colon 0<\theta <1\}} 이다. 이와 같은 나머지항을 라그랑주 나머지항(-項, 영어: Lagrange remainder term)이라고 한다. 이는 평균값 정리의 일반화이다. 만약 I {\displaystyle I} 가 구간이며, f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 가 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 a , x ∈ I {\displaystyle a,x\in I} 에 대하여, 다음이 성립한다.:83, Theorem 16 f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + 1 n ! ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}\mathrm {d} t} 이와 같은 나머지항을 적분 나머지항(積分-項, 영어: integral remainder form)이라고 한다. 만약 I {\displaystyle I} 가 구간이며, f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 가 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 a , x ∈ I {\displaystyle a,x\in I} 에 대하여, 다음이 성립한다. f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) n ! ( x − ξ ) n ( x − a ) {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-a)} 여기서 ξ ∈ { a + θ ( x − a ) : 0 < θ < 1 } {\displaystyle \xi \in \{a+\theta (x-a)\colon 0<\theta <1\}} 이다. 이와 같은 나머지항을 코시 나머지항(-項, 영어: Cauchy remainder term)이라고 한다. 만약 f : B R d ⁡ ( a , r ) → R {\displaystyle f\colon \operatorname {B} _{\mathbb {R} ^{d}}(\mathbf {a} ,r)\to \mathbb {R} } 의 모든 n {\displaystyle n} 계 편도함수가 연속 함수라면, 다음이 성립한다. f ( x ) = ∑ k = 0 n 1 k ! ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j k = 1 d ∂ k f ( a ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j k ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j k − a j k ) + o ( ‖ x − a ‖ n ) ( x → a ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+o(\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert ^{n})\qquad (\mathbf {x} \to \mathbf {a} )} 만약 D ⊆ R d {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}} 가 연결 열린집합이며, f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 의 모든 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여 a + t ( x − a ) ∈ D {\displaystyle \mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} )\in D} 라면, 다음이 성립한다. f ( x ) = ∑ k = 0 n 1 k ! ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j k = 1 d ∂ k f ( a ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j k ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j k − a j k ) + 1 ( n + 1 ) ! ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j n + 1 = 1 d ∂ n + 1 f ( ξ ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j n + 1 ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j n + 1 − a j n + 1 ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+{\frac {1}{(n+1)!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^{d}{\frac {\partial ^{n+1}f({\boldsymbol {\xi }})}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})} 여기서 ξ ∈ { a + θ ( x − a ) : 0 < θ < 1 } {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \{\mathbf {a} +\theta (\mathbf {x} -\mathbf {a} )\colon 0<\theta <1\}} 이다. 만약 D ⊆ R d {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}} 가 연결 열린집합이며, f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 의 모든 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여 a + t ( x − a ) ∈ D {\displaystyle \mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} )\in D} 라면, 다음이 성립한다.:13-14 f ( x ) = ∑ k = 0 n 1 k ! ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j k = 1 d ∂ k f ( a ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j k ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j k − a j k ) + 1 n ! ∫ 0 1 ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j n + 1 = 1 d ∂ n + 1 f ( a + t ( x − a ) ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j n + 1 ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j n + 1 − a j n + 1 ) ( 1 − t ) n d t {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^{d}{\frac {\partial ^{n+1}f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})(1-t)^{n}\mathrm {d} t} 함수 f {\displaystyle f} 의 테일러 다항식을 T n , f , a ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{n,f,a}(x)} 로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다. lim x → a f ( x ) − T n , f , a ⁡ ( x ) ( x − a ) n = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-\operatorname {T} _{n,f,a}(x)}{(x-a)^{n}}}=0} 모든 k ∈ { 0 , … , n } {\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}} 에 대하여 f ( k ) ( a ) = T n , f , a ( k ) ⁡ ( a ) {\displaystyle f^{(k)}(a)=\operatorname {T} _{n,f,a}^{(k)}(a)} 이므로, 로피탈 법칙을 사용하면 다음을 얻는다. lim x → a f ( x ) − T n , f , a ⁡ ( x ) ( x − a ) n = lim x → a f ( n − 1 ) ( x ) − T n , f , a ( n − 1 ) ⁡ ( x ) n ! ( x − a ) = lim x → a 1 n ! ( f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( a ) x − a − f ( n ) ( a ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-\operatorname {T} _{n,f,a}(x)}{(x-a)^{n}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-\operatorname {T} _{n,f,a}^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}\\&=\lim _{x\to a}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{x-a}}-f^{(n)}(a)\right)\\&=0\end{aligned}}} 첫 등호는 로피탈 법칙을 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 번 반복한 결과이며, 마지막 등호는 f ( n ) ( a ) {\displaystyle f^{(n)}(a)} 의 정의에 의한다. 다음이 성립한다고 가정하자. f ( x ) = a 0 + a 1 ( x − a ) + a 2 ( x − a ) 2 + ⋯ + a n ( x − a ) n + o ( x − a ) n ( x → a ) {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+\cdots +a_{n}(x-a)^{n}+o(x-a)^{n}\qquad (x\to a)} 여기서 a 0 , … , a n ∈ R {\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} } 는 상수이다. 이 식에 x → a {\displaystyle x\to a} 를 취하면 a 0 = f ( a ) {\displaystyle a_{0}=f(a)} 를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자. f ( x ) − f ( a ) x − a = a 1 + a 2 ( x − a ) 2 + ⋯ + a n ( x − a ) n − 1 + o ( x − a ) n − 1 ( x → a ) {\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=a_{1}+a_{2}(x-a)^{2}+\cdots +a_{n}(x-a)^{n-1}+o(x-a)^{n-1}\qquad (x\to a)} 여기에 x → a {\displaystyle x\to a} 를 취하면 a 1 = f ′ ( a ) {\displaystyle a_{1}=f'(a)} 를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자. f ( x ) − f ( a ) − f ′ ( a ) ( x − a ) ( x − a ) 2 = a 2 + a 3 ( x − a ) + ⋯ + a n ( x − a ) n − 2 + o ( x − a ) n − 2 ( x → a ) {\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^{2}}}=a_{2}+a_{3}(x-a)+\cdots +a_{n}(x-a)^{n-2}+o(x-a)^{n-2}\qquad (x\to a)} 여기에 x → a {\displaystyle x\to a} 를 취하면 a 2 = f ″ ( a ) / 2 {\displaystyle a_{2}=f''(a)/2} 를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든 k ∈ { 0 , … , n } {\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}} 에 대하여 a k = f ( k ) ( a ) / k ! {\displaystyle a_{k}=f^{(k)}(a)/k!} 임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다. 편의상 x ≠ a {\displaystyle x\neq a} 라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수 F , G : [ a , x ] ∪ [ x , a ] → R {\displaystyle F,G\colon [a,x]\cup [x,a]\to \mathbb {R} } 를 정의하자. F ( t ) = f ( x ) − ( f ( t ) + f ′ ( t ) ( x − t ) + f ″ ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( t ) n ! ( x − t ) n ) {\displaystyle F(t)=f(x)-\left(f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\right)} G ( t ) = ( x − t ) n + 1 {\displaystyle G(t)=(x-t)^{n+1}} 그러면 F , G {\displaystyle F,G} 는 연속 함수이며, 임의의 t ∈ ( a , x ) ∪ ( x , a ) {\displaystyle t\in (a,x)\cup (x,a)} 에 대하여 다음이 성립한다. F ′ ( t ) = − f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n {\displaystyle F'(t)=-{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}} G ′ ( t ) = − ( n + 1 ) ( x − t ) n {\displaystyle G'(t)=-(n+1)(x-t)^{n}} 또한 F ( x ) = G ( x ) = 0 {\displaystyle F(x)=G(x)=0} 이므로, 코시 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다. F ( a ) G ( a ) = F ( a ) − F ( x ) G ( a ) − G ( x ) = F ′ ( ξ ) G ′ ( ξ ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! {\displaystyle {\frac {F(a)}{G(a)}}={\frac {F(a)-F(x)}{G(a)-G(x)}}={\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}} 여기서 ξ ∈ ( a , x ) ∪ ( x , a ) {\displaystyle \xi \in (a,x)\cup (x,a)} 이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다. 미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립한다. f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x f ′ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {d} t} 부분 적분을 반복하면 다음을 얻는다. f ( x ) = f ( a ) − ∫ a x f ′ ( t ) d ( x − t ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + ∫ a x ( x − t ) f ″ ( t ) d t = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) − 1 2 ∫ a x f ″ ( t ) d ( x − t ) 2 = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ( x − a ) 2 + 1 2 ∫ a x ( x − t ) 2 f ‴ ( t ) d t ⋮ = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)-\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {d} (x-t)\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\mathrm {d} t\\&=f(a)+f'(a)(x-a)-{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}f''(t)\mathrm {d} (x-t)^{2}\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}(x-t)^{2}f'''(t)\mathrm {d} t\\&\vdots \\&=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t\end{aligned}}} 따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.:224–225 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다. 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다. 1 n ! ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t = f ( n + 1 ) ( ξ ) n ! ( x − ξ ) n ∫ a x d t = f ( n + 1 ) ( ξ ) n ! ( x − ξ ) n ( x − a ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}\mathrm {d} t&={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}\int _{a}^{x}\mathrm {d} t\\&={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-a)\end{aligned}}} 여기서 ξ ∈ { a + θ ( x − a ) : 0 < θ < 1 } {\displaystyle \xi \in \{a+\theta (x-a)\colon 0<\theta <1\}} 이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다. 라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 g : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle g\colon [0,1]\to \mathbb {R} } 을 정의하자. g ( t ) = f ( a + t ( x − a ) ) {\displaystyle g(t)=f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))} 그러면 g {\displaystyle g} 는 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다. g ( 1 ) = ∑ k = 0 n g ( k ) ( 0 ) k ! + g ( n + 1 ) ( θ ) ( n + 1 ) ! {\displaystyle g(1)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}+{\frac {g^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}} 여기서 θ ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \theta \in (0,1)} 이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다. g ( k ) ( t ) = ( ∑ j = 1 d ( x j − a j ) ∂ ∂ x j ) k f ( a + t ( x − a ) ) = ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j k = 1 d ∂ k f ( a + t ( x − a ) ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j k ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j k − a j k ) {\displaystyle {\begin{aligned}g^{(k)}(t)&=\left(\sum _{j=1}^{d}(x_{j}-a_{j}){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{k}f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))\\&=\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})\end{aligned}}} 이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다. f ( x ) = ∑ k = 0 n 1 k ! ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j k = 1 d ∂ k f ( a ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j k ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j k − a j k ) + 1 ( n + 1 ) ! ∑ j 1 = 1 d ⋯ ∑ j n + 1 = 1 d ∂ n + 1 f ( a + θ ( x − a ) ) ∂ x j 1 ⋯ ∂ x j n + 1 ( x j 1 − a j 1 ) ⋯ ( x j n + 1 − a j n + 1 ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+{\frac {1}{(n+1)!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^{d}{\frac {\partial ^{n+1}f(\mathbf {a} +\theta (\mathbf {x} -\mathbf {a} ))}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})} 평균값 정리 테일러 급수 로랑 급수 Kharab, Abdelwahab; Guenther, Ronald B. (2013). 《(이공학도를 위한) 수치해석: matlab 활용》. 번역 백태현; 박태선; 박시현; 우경식; 유은종; 이광훈; 이주성; 최덕기. 서울: 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.  지원되지 않는 변수 무시됨: |번역자표시= (도움말) Godement, Roger (2005). 《Analysis II》. Universitext (영어). 번역 Spain, Philip. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-29926-2. ISBN 978-3-540-20921-8. LCCN 2003066673.  Hörmander, Lars (2003). 《The Analysis of Linear Partial Differential Operators I》. Classics in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61497-2. ISBN 978-3-540-00662-6. ISSN 1431-0821. LCCN 2003050516.  김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  “Taylor formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.