단조 정규 공간

일반위상수학에서 단조 정규 공간(영어: monotonically normal space)은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 ( X , T X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})} X {\displaystyle X} 의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 A ⊆ P ( X ) × P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)} 그렇다면, 단조 정규성 연산자(영어: monotone normality operator) G : A → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}} 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다. A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에 부분 순서 ( A , B ) ≤ ( A ′ , B ′ ) ⟺ A ⊆ A ′ ∧ B ⊇ B ′ {\displaystyle (A,B)\leq (A',B')\iff A\subseteq A'\land B\supseteq B'} 를 주었을 때, G {\displaystyle G} 는 단조함수이다. ∀ ( A , B ) ∈ A : A ⊆ G ( A , B ) ⊆ cl ⁡ G ( A , B ) ⊆ X ∖ B {\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\colon A\subseteq G(A,B)\subseteq \operatorname {cl} G(A,B)\subseteq X\setminus B} 만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, 자기 서로소 단조 정규성 연산자(영어: self-disjoint monotonical normality operator)라고 한다. ∀ ( A , B ) ∈ A ∩ A − 1 : G ( A , B ) ∩ G ( B , A ) = ∅ {\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\cap {\mathcal {A}}^{-1}\colon G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing } 단조 정규성 연산자 G : A → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 주어졌을 때, 만약 A = A − 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}^{-1}} 라면, H : A → T X {\displaystyle H\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}} H ( E , F ) = G ( E , F ) ∖ cl ⁡ G ( F , E ) {\displaystyle H(E,F)=G(E,F)\setminus \operatorname {cl} G(F,E)} 는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다. 다음과 같은 집합들을 정의하자. S X = { ( A , B ) ∈ P ( X ) × P ( X ) op : A ∩ cl ⁡ B = cl ⁡ A ∩ B = ∅ } ⊆ P ( X ) × P ( X ) op {\displaystyle {\mathcal {S}}_{X}=\{(A,B)\in {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }\colon A\cap \operatorname {cl} B=\operatorname {cl} A\cap B=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }} D X = { ( E , F ) : Clsd ⁡ ( X ) × Clsd ⁡ ( X ) op : E ∩ F = ∅ } ⊆ P ( X ) × P ( X ) op {\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}=\{(E,F)\colon \operatorname {Clsd} (X)\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon E\cap F=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }} N X = { ( x , F ) ∈ X × Clsd ⁡ ( X ) op : x ∈ X ∖ F } ⊆ P ( X ) × P ( X ) op {\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}=\{(x,F)\in X\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon x\in X\setminus F\}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }} 그렇다면, 항상 D X ⊆ S X {\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}} 이며, X {\displaystyle X} 가 T1 공간이라면 N X ⊆ D X {\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\subseteq {\mathcal {D}}_{X}} 이다. 위상 공간 ( X , T X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})} 가 다음 조건을 만족시키면, 단조 정규 공간이라고 한다. 단조 정규성 연산자 D X → T X {\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 존재한다. T1 공간 ( X , T X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:Lemma 2.2 단조 정규성 연산자 S X → T X {\displaystyle {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 존재한다. 단조 정규성 연산자 D X → T X {\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 존재한다. 자기 서로소 단조 정규성 연산자 N X → T X {\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 존재한다. 증명: X {\displaystyle X} 가 T1 공간이므로, N X ⊆ D X ⊆ S X {\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\subseteq {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}} 이다. 따라서, 만약 G : S X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 단조 정규성 연산자라면, G ↾ D X : D X → T X {\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {D}}_{X}\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 G : D X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면, G ↾ N X : N X → T X {\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {N}}_{X}\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자 G : N X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자. H : S X → T X {\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} H ( A , B ) = ⋃ a ∈ A G ( a , cl ⁡ B ) {\displaystyle H(A,B)=\bigcup _{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)} 만약 ( A , B ) , ( A ′ , B ′ ) ∈ S X {\displaystyle (A,B),(A',B')\in {\mathcal {S}}_{X}} A ⊆ A ′ {\displaystyle A\subseteq A'} B ⊇ B ′ {\displaystyle B\supseteq B'} 라면, 자명하게 H ( A , B ) ⊆ H ( A ′ , B ′ ) {\displaystyle H(A,B)\subseteq H(A',B')} 이다. 또한, 임의의 ( A , B ) ∈ S X {\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}_{X}} 에 대하여, A = ⋃ a ∈ A { a } ⊆ ⋃ a ∈ A G ( a , cl ⁡ B ) = H ( A , B ) {\displaystyle A=\bigcup _{a\in A}\{a\}\subseteq \bigcup _{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)=H(A,B)} B = ⋃ b ∈ B { b } ⊆ ⋃ b ∈ B G ( b , cl ⁡ A ) = int ⁡ ⋃ b ∈ B G ( b , cl ⁡ A ) ⊆ int ⁡ ( X ∖ H ( A , B ) ) = X ∖ cl ⁡ H ( A , B ) {\displaystyle B=\bigcup _{b\in B}\{b\}\subseteq \bigcup _{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)=\operatorname {int} \bigcup _{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {int} (X\setminus H(A,B))=X\setminus \operatorname {cl} H(A,B)} H ( A , B ) ∩ H ( B , A ) = ⋃ a ∈ A ⋃ b ∈ B ( G ( a , cl ⁡ B ) ∩ G ( b , cl ⁡ A ) ) ⊆ ⋃ a ∈ A ⋃ b ∈ B ( G ( a , b ) ∩ G ( b , a ) ) = ⋃ a ∈ A ⋃ b ∈ B ∅ = ∅ {\displaystyle H(A,B)\cap H(B,A)=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,\operatorname {cl} B)\cap G(b,\operatorname {cl} A))\subseteq \bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,b)\cap G(b,a))=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}\varnothing =\varnothing } 이다. 따라서, H {\displaystyle H} 는 단조 정규성 연산자이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 증명 (거리화 가능 공간 → 단조 정규 하우스도르프 공간): 모든 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자. G : D X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} G ( E , F ) = { x ∈ X : d ( x , E ) d ( x , E ) + d ( x , F ) ∈ [ 0 , 1 / 2 ) } {\displaystyle G(E,F)=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in [0,1/2)\right\}} 그렇다면, x ↦ d ( x , E ) d ( x , E ) + d ( x , F ) {\displaystyle x\mapsto {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}} 가 연속 함수 X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\to [0,1]} 이므로, G ( E , F ) ⊆ X {\displaystyle G(E,F)\subseteq X} 는 열린집합이다. 만약 ( E , F ) , ( E ′ , F ′ ) ∈ D X {\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}_{X}} E ⊆ E ′ {\displaystyle E\subseteq E'} F ⊇ F ′ {\displaystyle F\supseteq F'} 라면, ∀ x ∈ X : d ( x , E ) d ( x , E ) + d ( x , F ) ≥ d ( x , E ′ ) d ( x , E ′ ) + d ( x , F ′ ) {\displaystyle \forall x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\geq {\frac {d(x,E')}{d(x,E')+d(x,F')}}} 이므로, G ( E , F ) ⊆ G ( E ′ , F ′ ) {\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')} 이다. 또한, E = { x ∈ X : d ( x , E ) d ( x , E ) + d ( x , F ) = 0 } ⊆ G ( E , F ) {\displaystyle E=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=0\right\}\subseteq G(E,F)} F = { x ∈ X : d ( x , E ) d ( x , E ) + d ( x , F ) = 1 } ⊆ { x ∈ X : d ( x , E ) d ( x , E ) + d ( x , F ) ∈ ( 1 / 2 , 1 ] } ⊆ X ∖ cl ⁡ G ( E , F ) {\displaystyle F=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=1\right\}\subseteq \left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in (1/2,1]\right\}\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(E,F)} 이다. 즉, G : D X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 는 단조 정규성 연산자이다. 증명 (단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간): 단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 및 자기 서로소 단조 정규성 연산자 G : D X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 및 닫힌집합들의 이산 집합족 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} ∀ x ∈ X ∃ U ∈ T X : x ∈ U ∧ | { F ∈ F : U ∩ F ≠ ∅ } | < ℵ 0 {\displaystyle \forall x\in X\exists U\in {\mathcal {T}}_{X}\colon x\in U\land |\{F\in {\mathcal {F}}\colon U\cap F\neq \varnothing \}|<\aleph _{0}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족 { U ( F ) } F ∈ F ⊆ T X {\displaystyle \{U(F)\}_{F\in {\mathcal {F}}}\subseteq {\mathcal {T}}_{X}} ∀ E ∈ F ∀ F ∈ F ∖ { E } : U ( E ) ∩ U ( F ) = ∅ {\displaystyle \forall E\in {\mathcal {F}}\forall F\in {\mathcal {F}}\setminus \{E\}\colon U(E)\cap U(F)=\varnothing } ∀ F ∈ F : F ⊆ U ( F ) {\displaystyle \forall F\in {\mathcal {F}}\colon F\subseteq {\mathcal {U}}(F)} 을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, U ( F ) = G ( F , ⋃ F ∖ { F } ) ⊆ X {\displaystyle U(F)=G\left(F,\bigcup {\mathcal {F}}\setminus \{F\}\right)\subseteq X} 라고 하자. G {\displaystyle G} 의 정의에 따라, U ( F ) {\displaystyle U(F)} 는 열린집합이며, F ⊆ U ( F ) {\displaystyle F\subseteq U(F)} 이다. 만약 E , F ∈ F {\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}} 이며 E ≠ F {\displaystyle E\neq F} 라면, U ( E ) ∩ U ( F ) ⊆ G ( E , F ) ∩ G ( F , E ) = ∅ {\displaystyle U(E)\cap U(F)\subseteq G(E,F)\cap G(F,E)=\varnothing } 이다. 즉, { U ( F ) } F ∈ F {\displaystyle \{U(F)\}_{F\in {\mathcal {F}}}} 는 서로소 집합족이다. 순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.:Theorem 5.3 증명: 임의의 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다. (T1) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다. (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 G : N X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 존재한다. T1. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { x } = [ x , x ] = X ∖ ( ( − ∞ , x ) ∪ ( x , ∞ ) ) {\displaystyle \{x\}=[x,x]=X\setminus \left((-\infty ,x)\cup (x,\infty )\right)} 이므로 한원소 집합 { x } {\displaystyle \{x\}} 는 닫힌집합이다. 단조 정규성. 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라, X {\displaystyle X} 위에 임의의 정렬 전순서 W {\displaystyle W} 를 주자. 임의의 닫힌집합 F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} 및 점 x ∈ X ∖ F {\displaystyle x\in X\setminus F} 에 대하여, 다음과 같이 정의하자. 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle C(x,F)} 는 x {\displaystyle x} 를 포함하는 X ∖ F {\displaystyle X\setminus F} 의 순서 볼록 성분이다. 만약 C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) ≠ ∅ {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing } 이라면, a ( x , F ) = min ( X , W ) ( C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) ) {\displaystyle a(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (-\infty ,x))} 만약 C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) ≠ ∅ {\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )\neq \varnothing } 이라면, b ( x , F ) = min ( X , W ) ( C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) ) {\displaystyle b(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (x,\infty ))} 이제, G ( x , F ) = { ( a ( x , F ) , b ( x , F ) ) C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) ≠ ∅ ≠ C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) ( a ( x , F ) , x ] C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) ≠ ∅ = C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) [ x , b ( x , F ) ) C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) = ∅ ≠ C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) { x } C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) = ∅ = C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) {\displaystyle G(x,F)={\begin{cases}(a(x,F),b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\(a(x,F),x]&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\\{}[x,b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\\{x\}&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\end{cases}}} 라고 하자. G : N X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다. G ( x , F ) {\displaystyle G(x,F)} 는 열린집합이다. C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) ≠ ∅ = C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )} 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) x ∈ X ∖ F {\displaystyle x\in X\setminus F} 이며 X ∖ F {\displaystyle X\setminus F} 가 열린집합이므로, x ∈ ( a , b ) ⊆ X ∖ F {\displaystyle x\in (a,b)\subseteq X\setminus F} 인 a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} 가 존재한다. ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 는 x {\displaystyle x} 를 포함하는 순서 볼록 집합이므로, ( a , b ) ⊆ C ( x , F ) {\displaystyle (a,b)\subseteq C(x,F)} 이다. C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) = ∅ {\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )=\varnothing } 이므로, ( x , b ) = ∅ {\displaystyle (x,b)=\varnothing } 이다. 따라서, ( a ( x , F ) , b ) = ( a ( x , F ) , x ] = G ( x , F ) {\displaystyle (a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)} 이다. x ∈ G ( x , F ) {\displaystyle x\in G(x,F)} 이는 자명하다. cl ⁡ G ( x , F ) ⊆ X ∖ F {\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)\subseteq X\setminus F} C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) ≠ ∅ = C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )} 인 경우를 생각하자. 이 경우, cl ⁡ G ( x , F ) = cl ⁡ ( a ( x , F ) , x ] ⊆ [ a ( x , F ) , x ] ⊆ C ( x , F ) ⊆ X ∖ F {\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)=\operatorname {cl} (a(x,F),x]\subseteq [a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F} 이다. 만약 E , F ⊆ X {\displaystyle E,F\subseteq X} 가 닫힌집합이며, x ∈ X ∖ F ⊆ X ∖ E {\displaystyle x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E} 라면, G ( x , E ) ⊆ G ( x , F ) {\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)} C ( x , E ) ∩ ( − ∞ , x ) ≠ ∅ = C ( x , E ) ∩ ( x , ∞ ) {\displaystyle C(x,E)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,E)\cap (x,\infty )} 이며 C ( x , F ) ∩ ( − ∞ , x ) ≠ ∅ = C ( x , F ) ∩ ( x , ∞ ) {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )} 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, G ( x , E ) = ( a ( x , E ) , x ] {\displaystyle G(x,E)=(a(x,E),x]} , G ( x , F ) = ( a ( x , F ) , x ] {\displaystyle G(x,F)=(a(x,F),x]} 이다. 만약 a ( x , E ) = a ( x , F ) {\displaystyle a(x,E)=a(x,F)} 라면, G ( x , E ) = G ( x , F ) {\displaystyle G(x,E)=G(x,F)} 이며, 특히 G ( x , E ) ⊆ G ( x , F ) {\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)} 이다. 이제, a ( x , E ) ≠ a ( x , F ) {\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)} 라고 가정하자. X ∖ F ⊆ X ∖ E {\displaystyle X\setminus F\subseteq X\setminus E} 이므로, C ( x , F ) ⊆ C ( x , E ) {\displaystyle C(x,F)\subseteq C(x,E)} 이다. 따라서, a ( x , E ) ≤ W a ( x , F ) {\displaystyle a(x,E)\leq _{W}a(x,F)} 이며, a ( x , E ) ≠ a ( x , F ) {\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)} 이므로 a ( x , E ) < W a ( x , F ) {\displaystyle a(x,E)<_{W}a(x,F)} 이다. a ( x , F ) {\displaystyle a(x,F)} 의 정의에 따라, a ( x , E ) {\displaystyle a(x,E)} 는 C ( x , F ) {\displaystyle C(x,F)} 의 원소일 수 없다. 따라서, a ( x , E ) < a ( x , F ) {\displaystyle a(x,E)<a(x,F)} 이며, G ( x , E ) ⊆ G ( x , F ) {\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)} 이다. 임의의 서로 다른 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, G ( x , y ) ∩ G ( y , x ) = ∅ {\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing } C ( x , y ) ∩ ( − ∞ , x ) = ∅ ≠ C ( x , y ) ∩ ( x , ∞ ) {\displaystyle C(x,y)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,y)\cap (x,\infty )} 이며 C ( y , x ) ∩ ( − ∞ , y ) ≠ ∅ = C ( y , x ) ∩ ( y , ∞ ) {\displaystyle C(y,x)\cap (-\infty ,y)\neq \varnothing =C(y,x)\cap (y,\infty )} 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, G ( x , y ) = [ x , b ( x , y ) ) {\displaystyle G(x,y)=[x,b(x,y))} , G ( y , x ) = ( a ( y , x ) , y ] {\displaystyle G(y,x)=(a(y,x),y]} 이다. 귀류법을 사용하여, G ( x , y ) ∩ G ( y , x ) ≠ ∅ {\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)\neq \varnothing } 이라고 가정하자. [ x , b ( x , y ) ] ⊆ C ( x , y ) ⊆ X ∖ { y } {\displaystyle [x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus \{y\}} , [ a ( y , x ) , y ] ⊆ C ( y , x ) ⊆ X ∖ { x } {\displaystyle [a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus \{x\}} 이므로, x < a ( y , x ) < b ( x , y ) < y {\displaystyle x<a(y,x)<b(x,y)<y} 일 수밖에 없다. 따라서 a ( y , x ) = min ( X , W ) ( x , y ) = b ( x , y ) {\displaystyle a(y,x)=\min \nolimits _{(X,W)}(x,y)=b(x,y)} 이며, 이는 모순이다. 단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 증명: 단조 정규 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 및 단조 정규성 연산자 G : S X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {\mathcal {T}}}_{X}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, S Y ⊆ S X {\displaystyle {\mathcal {S}}_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}} 이며, H : S Y → T Y {\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}_{Y}\to {\mathcal {T}}_{Y}} H ( A , B ) = G ( A , B ) ∩ Y {\displaystyle H(A,B)=G(A,B)\cap Y} 는 단조 정규성 연산자이다. 단조 정규 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 및 닫힌 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 그 상 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.:Theorem 2.6 증명: 편의상 f ( X ) = Y {\displaystyle f(X)=Y} 라고 하자. 단조 정규성 연산자 G : D X → T X {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자. H : D Y → T Y {\displaystyle H\colon {\mathcal {D}}_{Y}\to {\mathcal {T}}_{Y}} H ( E , F ) = Y ∖ f ( X ∖ G ( f − 1 ( E ) , f − 1 ( F ) ) ) {\displaystyle H(E,F)=Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))} 이는 자명하게 단조함수이다. f − 1 ( H ) ⊆ G ( f − 1 ( H ) , f − 1 ( K ) ) {\displaystyle f^{-1}(H)\subseteq G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))} f − 1 ( K ) ⊆ X ∖ cl ⁡ G ( f − 1 ( H ) , f − 1 ( K ) ) {\displaystyle f^{-1}(K)\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))} 이므로, H ⊆ Y ∖ f ( X ∖ G ( f − 1 ( E ) , f − 1 ( F ) ) ) = H ( E , F ) {\displaystyle H\subseteq Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))=H(E,F)} K ⊆ Y ∖ f ( cl ⁡ G ( f − 1 ( H ) , f − 1 ( K ) ) ) = int ⁡ ( Y ∖ f ( cl ⁡ G ( f − 1 ( H ) , f − 1 ( K ) ) ) ) = int ⁡ f ( X ∖ G ( f − 1 ( H ) , f − 1 ( K ) ) ) = int ⁡ ( X ∖ H ( E , F ) ) = X ∖ cl ⁡ H ( E , F ) {\displaystyle {\begin{aligned}K&\subseteq Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))))\\&=\operatorname {int} f(X\setminus G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (X\setminus H(E,F))\\&=X\setminus \operatorname {cl} H(E,F)\end{aligned}}} 이다. 따라서, H {\displaystyle H} 는 단조 정규성 연산자이다. 단조 정규 하우스도르프 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 및 닫힌집합 Z ⊆ X {\displaystyle Z\subseteq X} 및 연속 함수 f : Z → Y {\displaystyle f\colon Z\to Y} 에 대하여, 붙임 공간 X ∪ f Y {\displaystyle X\cup _{f}Y} 는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.:Theorem 1.1 증명: 다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다. X ∪ f Y {\displaystyle X\cup _{f}Y} 는 T1 공간이다. 즉, 모든 한원소집합은 닫힌집합이다. X ∪ f Y {\displaystyle X\cup _{f}Y} 는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 G : D X ∪ f Y → T X ∪ f Y {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}\to {\mathcal {T}}_{X\cup _{f}Y}} 가 존재한다. T1. 표준적인 연속 함수 g : X → X ∪ f Y {\displaystyle g\colon X\to X\cup _{f}Y} h : Y → X ∪ f Y {\displaystyle h\colon Y\to X\cup _{f}Y} 를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 U ⊆ X ∪ f Y {\displaystyle U\subseteq X\cup _{f}Y} 이 열린집합일 필요충분조건은 g − 1 ( U ) ⊆ X {\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X} 와 h − 1 ( U ) ⊆ Y {\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y} 가 둘 다 열린집합인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합일 필요충분조건은 g − 1 ( U ) ⊆ X {\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X} 와 h − 1 ( U ) ⊆ Y {\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y} 가 둘 다 닫힌집합인 것이다. 또한, g ↾ X ∖ Z {\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z} 는 열린 위상수학적 매장이며, h {\displaystyle h} 는 닫힌 위상수학적 매장이며, g ( X ∖ Z ) ∪ h ( Y ) = X ∪ f Y {\displaystyle g(X\setminus Z)\cup h(Y)=X\cup _{f}Y} g ( X ∖ Z ) ∩ h ( Y ) = ∅ {\displaystyle g(X\setminus Z)\cap h(Y)=\varnothing } 이다. (그러나 X ∪ f Y {\displaystyle X\cup _{f}Y} 는 두 상의 분리합공간일 필요가 없다.) 이제, 임의의 x ∈ X ∖ Z {\displaystyle x\in X\setminus Z} 및 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, g − 1 ( g ( x ) ) = { x } ⊆ X {\displaystyle g^{-1}(g(x))=\{x\}\subseteq X} h − 1 ( g ( x ) ) = ∅ ⊆ Y {\displaystyle h^{-1}(g(x))=\varnothing \subseteq Y} g − 1 ( h ( y ) ) = f − 1 ( y ) ⊆ Z ⊆ X {\displaystyle g^{-1}(h(y))=f^{-1}(y)\subseteq Z\subseteq X} h − 1 ( h ( y ) ) = { y } ⊆ Y {\displaystyle h^{-1}(h(y))=\{y\}\subseteq Y} 이다. 따라서, g ( x ) {\displaystyle g(x)} 와 h ( y ) {\displaystyle h(y)} 는 닫힌집합이며, X ∪ f Y {\displaystyle X\cup _{f}Y} 는 T1 공간이다. 단조 정규성. 단조 정규성 연산자 G 1 : S X → T X {\displaystyle G_{1}\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}} G 2 : S Y → S Y {\displaystyle G_{2}\colon {\mathcal {S}}_{Y}\to {\mathcal {S}}_{Y}} 가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 E , F ⊆ X ∪ f Y {\displaystyle E,F\subseteq X\cup _{f}Y} 에 대하여, ( g − 1 ( E ) , g − 1 ( F ) ) ∈ D X ⊆ S X {\displaystyle (g^{-1}(E),g^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}} ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ∈ D Y ⊆ S Y {\displaystyle (h^{-1}(E),h^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}_{Y}} 이다. 이제, A ( E , F ) = g − 1 ( E ) ∪ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ X {\displaystyle A(E,F)=g^{-1}(E)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X} B ( E , F ) = g − 1 ( F ) ∪ Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ X {\displaystyle B(E,F)=g^{-1}(F)\cup Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X} 라고 하자. 그렇다면, ( A , B ) ∈ S X {\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}_{X}} 이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다. cl X ⁡ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) = Z ∖ ( Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))&\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=Z\setminus (Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}} cl X ⁡ ( Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) = cl X ⁡ ( Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) ∩ Z = cl Z ⁡ ( Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) = Z ∖ int Z ⁡ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ X ∖ int Z ⁡ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) = X ∖ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))&=\operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\&=\operatorname {cl} _{Z}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=Z\setminus \operatorname {int} _{Z}f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq X\setminus \operatorname {int} _{Z}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=X\setminus f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}} cl X ⁡ g − 1 ( E ) ⊆ g − 1 ( cl X ∪ f Y ⁡ E ) = g − 1 ( E ) ⊆ ( X ∖ Z ) ∪ ( g − 1 ( E ) ∩ Z ) = ( X ∖ Z ) ∪ f − 1 ( h − 1 ( E ) ) ⊆ ( X ∖ Z ) ∪ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ ( X ∖ cl X ⁡ ( Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) ) ∪ ( X ∖ cl X ⁡ ( Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) ) = X ∖ cl X ⁡ ( Z ∖ f − 1 ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}g^{-1}(E)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}E)\\&=g^{-1}(E)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(E)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(E))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}} cl X ⁡ g − 1 ( F ) ⊆ g − 1 ( cl X ∪ f Y ⁡ F ) = g − 1 ( F ) ⊆ ( X ∖ Z ) ∪ ( g − 1 ( F ) ∩ Z ) = ( X ∖ Z ) ∪ f − 1 ( h − 1 ( F ) ) ⊆ ( X ∖ Z ) ∪ f − 1 ( Y ∖ cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ ( X ∖ cl X ⁡ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) ∪ ( X ∖ cl X ⁡ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) = X ∖ cl X ⁡ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}g^{-1}(F)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}F)\\&=g^{-1}(F)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(F)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus \operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}} 이제, f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) = V ( E , F ) ∩ Z {\displaystyle f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))=V(E,F)\cap Z} 인 열린집합 V ( E , F ) ⊆ X {\displaystyle V(E,F)\subseteq X} 을 잡고, U ( E , F ) = G 1 ( A ( E , F ) , B ( E , F ) ) ∩ ( X ∖ Z ∪ V ( E , F ) ) ⊆ X {\displaystyle U(E,F)=G_{1}(A(E,F),B(E,F))\cap (X\setminus Z\cup V(E,F))\subseteq X} G ( E , F ) = g ( U ( E , F ) ) ∪ h ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ X ∪ f Y {\displaystyle G(E,F)=g(U(E,F))\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X\cup _{f}Y} 라고 하자. g − 1 ( G ( E , F ) ) = U ( E , F ) ∪ f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) = U ( E , F ) ∪ ( f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ∩ G 1 ( A ( E , F ) , B ( E , F ) ) ) ∩ = U ( E , F ) ∪ ( V ( E , F ) ∩ Z ∩ G 1 ( A ( E , F ) , B ( E , F ) ) ) = U ( E , F ) ∪ ( U ( E , F ) ∩ Z ) = U ( E , F ) ⊆ X {\displaystyle {\begin{aligned}g^{-1}(G(E,F))&=U(E,F)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=U(E,F)\cup (f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\cap G_{1}(A(E,F),B(E,F)))\cap \\&=U(E,F)\cup (V(E,F)\cap Z\cap G_{1}(A(E,F),B(E,F)))\\&=U(E,F)\cup (U(E,F)\cap Z)\\&=U(E,F)\subseteq X\end{aligned}}} h − 1 ( G ( E , F ) ) = h − 1 ( g ( U ( E , F ) ∩ Z ) ) ∪ h − 1 ( h ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) = h − 1 ( g ( f − 1 ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) ∪ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) = G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ⊆ Y {\displaystyle {\begin{aligned}h^{-1}(G(E,F))&=h^{-1}(g(U(E,F)\cap Z))\cup h^{-1}(h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=h^{-1}(g(f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\&=G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y\end{aligned}}} 는 모두 열린집합이므로, G ( E , F ) ⊆ X ∪ f Y {\displaystyle G(E,F)\subseteq X\cup _{f}Y} 는 열린집합이다. 또한, E = ( E ∩ g ( X ∖ Z ) ) ∪ ( E ∩ h ( Y ) ) ⊆ g ( g − 1 ( E ) ∖ Z ) ∪ h ( h − 1 ( E ) ) ⊆ g ( A ( E , F ) ∖ Z ) ∪ h ( h − 1 ( E ) ) ⊆ g ( G 1 ( A ( E , F ) , B ( E , F ) ) ∖ Z ) ∪ h ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ⊆ g ( U ( E , F ) ) ∪ h ( G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) = G ( E , F ) {\displaystyle {\begin{aligned}E&=(E\cap g(X\setminus Z))\cup (E\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(E)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(A(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(G_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq g(U(E,F))\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=G(E,F)\end{aligned}}} F = ( F ∩ g ( X ∖ Z ) ) ∪ ( F ∩ h ( Y ) ) ⊆ g ( g − 1 ( F ) ∖ Z ) ∪ h ( h − 1 ( F ) ) ⊆ g ( B ( E , F ) ∖ Z ) ∪ h ( h − 1 ( F ) ) ⊆ g ( X ∖ cl X ⁡ G 1 ( A ( E , F ) , B ( E , F ) ) ∖ Z ) ∪ ( X ∪ f Y ∖ h ( cl Y ⁡ G 2 ( h − 1 ( E ) , h − 1 ( F ) ) ) ) ⊆ X ∪ f Y ∖ cl X ∪ f Y ⁡ G ( E , F ) {\displaystyle {\begin{aligned}F&=(F\cap g(X\setminus Z))\cup (F\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(B(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(X\setminus \operatorname {cl} _{X}G_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup (X\cup _{f}Y\setminus h(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&\subseteq X\cup _{f}Y\setminus \operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}G(E,F)\end{aligned}}} 이며 ( g ↾ X ∖ Z {\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z} 가 열린 매장이며 h {\displaystyle h} 가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약 ( E , F ) , ( E ′ , F ′ ) ∈ D X ∪ f Y {\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}} E ⊆ E ′ {\displaystyle E\subseteq E'} F ⊇ F ′ {\displaystyle F\supseteq F'} 라면 U ( E , F ) ∖ Z ⊆ U ( E ′ , F ′ ) ∖ Z {\displaystyle U(E,F)\setminus Z\subseteq U(E',F')\setminus Z} U ( E , F ) ∩ Z ⊆ U ( E ′ , F ′ ) ∩ Z {\displaystyle U(E,F)\cap Z\subseteq U(E',F')\cap Z} 이므로 G ( E , F ) ⊆ G ( E ′ , F ′ ) {\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')} 이다. 따라서, G : D X ∪ f Y → T X ∪ f Y {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}\to {\mathcal {T}}_{X\cup _{f}Y}} 는 단조 정규성 연산자이다. Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. (1973). “Monotonically normal spaces”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 178: 481–493. doi:10.2307/1996713. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009.  Miwa, Takuo (1983). “Adjunction spaces of monotonically normal spaces and spaces dominated by monotonically normal subsets”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 87 (3): 536-538. doi:10.2307/2043646. ISSN 0002-9939. MR 0684653. Zbl 0512.54011.  “Monotonically normal space”. 《Topospaces》 (영어).