라그랑주 정리 (군론)

군론에서 라그랑주 정리(영어: Lagrange’s theorem)는 유한군의 부분군의 크기가 원래 군의 크기의 약수라는 정리다.:100, §II.10, Theorem 10.10:12, §I.3, Proposition 2.2:30, §2.3, Theorem 2.27 임의의 군 G {\displaystyle G} 및 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다. | G | = | G : H | | H | {\displaystyle |G|=|G:H||H|} 여기서 | G : H | {\displaystyle |G:H|} 는 H {\displaystyle H} 의 왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며 (이는 오른쪽 잉여류들의 집합의 크기와 같다), | G : H | {\displaystyle |G:H|} 와 | H | {\displaystyle |H|} 사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다. 특히, G {\displaystyle G} 가 유한군일 경우, | H | {\displaystyle |H|} 는 | G | {\displaystyle |G|} 의 약수이다. 보다 일반적으로, 군 G {\displaystyle G} 의 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 과 이에 대한 부분군 K ≤ H {\displaystyle K\leq H} 에 대하여, 다음이 성립한다. | G : K | = | G : H | | H : K | {\displaystyle |G:K|=|G:H||H:K|} 라그랑주 정리는 ( G {\displaystyle G} 가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리와 동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다. 우선, 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, | g H | = | H | {\displaystyle |gH|=|H|} 이다. 이는 함수 H → g H {\displaystyle H\to gH} h ↦ g h ( h ∈ H ) {\displaystyle h\mapsto gh\qquad (h\in H)} 가 전단사 함수이기 때문이다. 또한 H {\displaystyle H} 의 왼쪽 잉여류들의 집합 G / H {\displaystyle G/H} 는 G {\displaystyle G} 의 분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 g , g ′ ∈ G {\displaystyle g,g'\in G} 에 대하여, 만약 g H ∩ g ′ H ≠ ∅ {\displaystyle gH\cap g'H\neq \varnothing } 이라면, g ″ ∈ g H ∩ g ′ H {\displaystyle g''\in gH\cap g'H} 인 g ″ ∈ G {\displaystyle g''\in G} 가 존재한다. g ″ = g h = g ′ h ′ {\displaystyle g''=gh=g'h'} 인 h , h ′ ∈ H {\displaystyle h,h'\in H} 를 취하면 g H = g h H = g ″ H = g ′ h ′ H = g ′ H {\displaystyle gH=ghH=g''H=g'h'H=g'H} 이다. 이에 따라, G {\displaystyle G} 는 G / H {\displaystyle G/H} 속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다. 선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 A ∈ G / H {\displaystyle A\in G/H} 에 대하여, g A ∈ A {\displaystyle g_{A}\in A} 인 군의 원소 g A ∈ G {\displaystyle g_{A}\in G} 를 취하는 함수 g ∙ : G / H → G {\displaystyle g_{\bullet }\colon G/H\to G} 가 존재하며, 이 경우 임의의 A ∈ G / H {\displaystyle A\in G/H} 에 대하여 A = g A H {\displaystyle A=g_{A}H} 이다. ( G {\displaystyle G} 가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서, | G | = ∑ A ∈ G / H | A | = ∑ A ∈ G / H | g A H | = ∑ A ∈ G / H | H | = | G : H | | H | {\displaystyle |G|=\sum _{A\in G/H}|A|=\sum _{A\in G/H}|g_{A}H|=\sum _{A\in G/H}|H|=|G:H||H|} 가 성립한다. 만약 G {\displaystyle G} 가 유한군이라면, 위 등식의 | G | {\displaystyle |G|} , | G : H | {\displaystyle |G:H|} , | H | {\displaystyle |H|} 는 모두 양의 정수이므로, | H | {\displaystyle |H|} 는 | G | {\displaystyle |G|} 의 약수가 된다. 유한군 G {\displaystyle G} 의 임의의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 g {\displaystyle g} 의 위수 ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} g} 는 | G | {\displaystyle |G|} 의 약수이다. 이는 ord ⁡ g {\displaystyle \operatorname {ord} g} 가 순환 부분군 ⟨ g ⟩ ≤ G {\displaystyle \langle g\rangle \leq G} 의 크기이기 때문이다. 특히, 항상 g | G | = 1 G {\displaystyle g^{|G|}=1_{G}} 가 성립한다. 여기서 1 G {\displaystyle 1_{G}} 는 G {\displaystyle G} 의 항등원이다. 이를 이용하면 페르마 소정리나 오일러 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, n {\displaystyle n} 과 서로소인 정수의 합동류들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 오일러 피 함수 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여 ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} 이 되기 때문이다. 소수 크기의 군은 순환군이자 단순군이다. 즉, 유한군 G {\displaystyle G} 에 대하여, | G | = p {\displaystyle |G|=p} 가 소수라고 하자. 그렇다면 g ≠ 1 G {\displaystyle g\neq 1_{G}} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 를 취할 수 있으며, ord ⁡ g ∣ p {\displaystyle \operatorname {ord} g\mid p} 이므로 ord ⁡ g = 1 {\displaystyle \operatorname {ord} g=1} 이거나 ord ⁡ g = p {\displaystyle \operatorname {ord} g=p} 이다. 그러나 g ≠ 1 G {\displaystyle g\neq 1_{G}} 이므로 ord ⁡ g ≠ 1 {\displaystyle \operatorname {ord} g\neq 1} 이므로 ord ⁡ g = p {\displaystyle \operatorname {ord} g=p} 이며, 즉 G = ⟨ g ⟩ {\displaystyle G=\langle g\rangle } 는 g {\displaystyle g} 로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 에 대하여, | H | = 1 {\displaystyle |H|=1} 이거나 | H | = p {\displaystyle |H|=p} 이며, 만약 | H | = 1 {\displaystyle |H|=1} 이라면 H = { 1 G } {\displaystyle H=\{1_{G}\}} , 만약 | H | = p {\displaystyle |H|=p} 라면 H = G {\displaystyle H=G} 이다. 즉, G {\displaystyle G} 는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히 G {\displaystyle G} 는 단순군이다. 유한군 G {\displaystyle G} 와 양의 정수 d {\displaystyle d} 가 주어졌고, d {\displaystyle d} 가 | G | {\displaystyle |G|} 의 약수라고 할 때, 크기가 d {\displaystyle d} 인 G {\displaystyle G} 의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 교대군 Alt ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (4)} 의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만, Alt ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (4)} 는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다.:145, §III.15, Example 15.6 그러나, 쉴로브 정리에 따르면, d {\displaystyle d} 가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가 d {\displaystyle d} 인 G {\displaystyle G} 의 부분군은 항상 존재한다. 라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다. 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다. 이 정리는 이후에 코시 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다. 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