곱

수학에서 곱(영어: product)은 곱셈 연산의 결과가 되는 값, 또는 곱하는 요소들을 표현한 식이다. 예를 들어 6은 2와 3의 곱(곱셈의 결과값)이며, x ⋅ ( 2 + x ) {\displaystyle x\cdot (2+x)} 은 x {\displaystyle x} 와 ( 2 + x ) {\displaystyle (2+x)} 의 곱이다. 실수 또는 복소수는 곱해지는 순서가 결과에 영향을 주지 않는데, 이를 곱셈의 교환법칙이라 한다. 반면 행렬이나 결합 대수의 여러 대수 구조들은 일반적으로 곱해지는 순서에 따라 그 결과가 달라진다. 즉 행렬 곱셈은 비가환이다. 수학에는 다양한 종류의 곱이 존재한다. 일반적인 수의 곱셈 외에도 다항식이나 행렬, 대수 구조 등에 대해 곱을 정의할 수 있다. 어떤 물체가 가로로 r {\displaystyle r} 개, 세로로 s {\displaystyle s} 개 놓여있다면 물체의 총 개수는 r ⋅ s = ∑ i = 1 s r = r + r + ⋯ + r ⏟ s  times = ∑ j = 1 r s = s + s + ⋯ + s ⏟ r  times {\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}} 개가 된다. 정수에는 양수와 음수가 존재한다. 두 정수의 곱은 각 정수의 절댓값을 곱한 값에 다음 규칙에 맞는 부호를 달아 구할 수 있다. ⋅ − + − + − + − + {\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}} 즉 양수와 음수를 곱하면 음수가 되고, 양수와 양수 또는 음수와 음수를 곱하면 그 결과값은 양수가 된다. 이때 정수의 부호는 두 정수 간 덧셈과 곱셈의 분배법칙으로부터 유도되는 결과이다. 두 유리수의 곱은 각 유리수를 분수로 나타낸 뒤 분자와 분모끼리 곱하여 구할 수 있다. z n ⋅ z ′ n ′ = z ⋅ z ′ n ⋅ n ′ {\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}} 두 실수의 곱의 엄밀한 정의는 실수의 구성에 따른 결과로 나타난다. 실수를 구성했을 때, 임의의 실수 a에 대해 유리수를 원소로 가지고 a가 상한인 집합 A가 존재한다. a = sup x ∈ A x {\displaystyle a=\sup _{x\in A}x} b가 집합 B의 상한이 되는 실수일 때, 두 실수의 곱 a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} 는 a ⋅ b = sup x ∈ A , y ∈ B x ⋅ y {\displaystyle a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y} 로 정의된다. 이 경우 두 실수의 곱은 어떤 집합 A와 B를 선택하느냐에 관계없이 같다. 즉 집합의 상한이 변하는 것이 아니라면, 어떤 집합을 선택하든지 두 실수의 곱 a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} 는 동일하다. 두 복소수의 곱은 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} 이라는 것과 분배법칙을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다. ( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = a ⋅ c + a ⋅ d i + b i ⋅ c + b ⋅ d ⋅ i 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}} 복소수는 극좌표에 점으로 나타낼 수 있다. 복소수 a + b i {\displaystyle a+b\,i} 가 극좌표에서 반지름이 r이고 각이 φ {\displaystyle \varphi } 이면 a + b i = r ⋅ ( cos ⁡ ( φ ) + i sin ⁡ ( φ ) ) = r ⋅ e i φ {\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }} 이다. 한편 c + d i = s ⋅ ( cos ⁡ ( ψ ) + i sin ⁡ ( ψ ) ) = s ⋅ e i ψ {\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi }} 라 하면 두 복소수 a + b i {\displaystyle a+b\,i} 와 c + d i {\displaystyle c+d\,i} 의 곱은 아래와 같다. ( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i = r ⋅ s ⋅ e i ( φ + ψ ) {\displaystyle (a+b\,i)\cdot (c+d\,i)=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}} 즉, 극좌표에서 두 복소수의 곱은 두 복소수의 반지름의 곱을 반지름으로 하고 두 복소수의 각의 합을 각으로 가지는 복소수가 된다. 사원수 참조. 사원수의 곱셈에서는 일반적으로 a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} 와 b ⋅ a {\displaystyle b\cdot a} 가 같지 않다. 수열의 곱에서는 곱셈 연산자로 대문자 그리스어 알파벳 파이 Π를 사용한다.(합 기호로 대문자 시그마 Σ를 쓰는 것과 유사하다.) 예를 들어, ∏ i = 1 6 i 2 {\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}} 는 1 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 16 ⋅ 25 ⋅ 36 {\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36} 를 의미한다. 하나의 수로만 이루어진 수열의 곱은 그 수 자신과 같다. 수열에서 곱할 수가 없는 경우 그 수열의 곱은 1과 같다. 가환환에도 곱 연산이 존재한다. 환의 Z / N Z {\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} } 의 합동류의 덧셈은 아래와 같고, ( a + N Z ) + ( b + N Z ) = a + b + N Z {\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} } 곱은 아래처럼 정의된다. ( a + N Z ) ⋅ ( b + N Z ) = a ⋅ b + N Z {\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} } 두 실함수를 곱하는 또다른 방법으로 합성곱이 있다. 두 함수 f, g가 ∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t < ∞ , ∫ − ∞ ∞ | g ( t ) | d t < ∞ {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty } 을 만족할 때 합성곱은 아래와 같이 정의된다. ( f ∗ g ) ( t ) := ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ⋅ g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau } 다항식환에서 두 다항식의 곱은 다음과 같이 구할 수 있다. ( ∑ i = 0 n a i X i ) ⋅ ( ∑ j = 0 m b j X j ) = ∑ k = 0 n + m c k X k {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}} 여기서 c k = ∑ i + j = k a i ⋅ b j {\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}} 이다. 선형대수학에서는 여러 종류의 곱을 다룬다. 벡터 공간의 정의에 의해 스칼라와 벡터를 곱해 벡터를 얻는 사상 R × V → V {\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V} 인 스칼라 곱셈을 할 수 있다. v ⋅ v > 0 {\displaystyle v\cdot v>0} 인 모든 0 ≠ v ∈ V {\displaystyle 0\not =v\in V} 에 대해 스칼라곱은 아래와 같이 정의되는 이중선형사상이다. ⋅ : V × V → R {\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} } n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간에서 스칼라곱(점곱이라고도 한다.)은 다음과 같다. ( ∑ i = 1 n α i e i ) ⋅ ( ∑ i = 1 n β i e i ) = ∑ i = 1 n α i β i {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}} 스칼라곱으로부터 노름을 ‖ v ‖ := v ⋅ v {\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}} 로 정의할 수 있다. 두 벡터 사이의 각 또한 스칼라곱으로 정의한다. cos ⁡ ∠ ( v , w ) = v ⋅ w ‖ v ‖ ⋅ ‖ w ‖ {\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}} 3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱은 두 벡터로부터 만들어지는 평행사변형의 넓이를 길이로 가지는 벡터가 된다. 벡터곱은 아래와 같은 행렬식으로도 구할 수 있다. u × v = | i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | {\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}} 체 F 위의 두 벡터 공간 V와 W에 대하여 아래조건을 만족하는 함수 f를 선형 사상이라 한다. f ( t 1 x 1 + t 2 x 2 ) = t 1 f ( x 1 ) + t 2 f ( x 2 ) , ∀ x 1 , x 2 ∈ V , ∀ t 1 , t 2 ∈ F . {\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .} 유한 차원 벡터 공간에 대해, bV와 bW를 각각 V와 W의 기저라 하고 vi를 v의 bVi 방향 성분이라 하면 다음과 같이 된다. f ( v ) = f ( v i b V i ) = v i f ( b V i ) = f i j v i b W j , {\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},} 여기서 식은 아인슈타인 표기법을 따랐다. 그러면 이제 유한 차원 벡터 공간 위의 두 선형 사상에 대하여 함수를 합성할 수 있다. f를 V에서 W로의 선형 사상, g를 W에서 U로의 선형 사상이라 하자. 그러면 V에서 U로 가는 f와 g의 합성 g ∘ f는 다음과 같이 구할 수 있다. g ∘ f ( v ) = g ( f i j v i b W j ) = g j k f i j v i b U k . {\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.} 또는 행렬 F와 G에 대해 Fij=fji, Gij=gji라 하면 함수의 합성은 다음과 같다. g ∘ f ( v ) = G F v , {\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,} 둘 이상의 선형 사상의 합성은 행렬 곱셈을 이용해 비슷한 방식으로 나타낼 수 있다. 두 행렬 A = ( a i , j ) i = 1 … s ; j = 1 … r ∈ R s × r {\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}} B = ( b j , k ) j = 1 … r ; k = 1 … t ∈ R r × t {\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}} 에 대해 두 행렬의 행렬곱은 아래와 같다. B ⋅ A = ( ∑ j = 1 r a i , j ⋅ b j , k ) i = 1 … s ; k = 1 … t ∈ R s × t {\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}} 두 유한 차원 벡터 공간 V와 W에 대해, 두 벡터 공간의 텐서곱은 다음을 만족하는 (2, 0)-텐서로 정의할 수 있다. V ⊗ W ( v , m ) = V ( v ) W ( w ) , ∀ v ∈ V ∗ , ∀ w ∈ W ∗ , {\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},} 여기서 V*와 W*는 각각 V와 W의 쌍대 공간이다. 아다마르 곱 크로네커 곱 텐서의 곱: 쐐기곱 내부곱 외적 텐서곱 집합론에서, 데카르트 곱은 여러 집합으로부터 새로운 집합을 만드는 연산이다. 즉, 집합 A와 B에 대해 데카르트 곱 A × B는 a ∈ A이고 b ∈ B인 모든 순서쌍 (a, b)들로 이루어진 집합이다. 집합의 데카르트 곱 군의 직접곱, 반직접곱, 화환곱 군의 자유곱 환의 곱 아이디얼의 곱 곱위상 대수적 위상수학의 교곱, 합곱, 매시 곱 호모토피의 분쇄곱, 쐐기곱 이전까지의 곱들은 보다 일반화한 개념인 범주론에서의 곱의 특수한 경우에 해당한다. 한편 범주론에는 다른 종류의 곱들도 존재한다. 당김 초곱 곱셈 무한곱 논리곱 Weisstein, Eric W. “Product”. 《mathworld.wolfram.com》 (영어). 2020년 8월 16일에 확인함.  “Summation and Product Notation”. 《math.illinoisstate.edu》. 2023년 8월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 8월 16일에 확인함.  Clarke, Francis (2013). 《Functional analysis, calculus of variations and optimal control》. Dordrecht: Springer. 9–10쪽. ISBN 1447148207.  Boothby, William M. (1986). 《An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry》 2판. Orlando: Academic Press. 200쪽. ISBN 0080874398.  Moschovakis, Yiannis (2006). 《Notes on set theory》 2판. New York: Springer. 13쪽. ISBN 0387316094.