쉴로브 정리

군론에서 쉴로브 정리(영어: Sylow theorems) 또는 실로우 정리는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다. 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수가 p {\displaystyle p} 의 거듭제곱인 군이다. 쉴로브 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 극대 p-부분군이다. 즉, 군 G {\displaystyle G} 의 p-부분군 H {\displaystyle H} 가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 p-부분군이라고 한다. 임의의 p-부분군 K ⊆ G {\displaystyle K\subseteq G} 에 대하여, 만약 H ⊆ K {\displaystyle H\subseteq K} 라면, K = G {\displaystyle K=G} 또는 K = H {\displaystyle K=H} 이다. 쉴로브 p-부분군의 집합을 Syl ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {Syl} (p;G)} 로 표기하자. 유한군 G {\displaystyle G} 와 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 n ∈ Z + ∪ { 0 } {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}} 와 양의 정수 m ∈ Z + {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 | G | = p n m {\displaystyle |G|=p^{n}m} 이며 p {\displaystyle p} 와 m {\displaystyle m} 이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 k ∈ { 0 , … , n } {\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}} 에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다. 제1 쉴로브 정리(영어: first Sylow theorem): 크기가 p k {\displaystyle p^{k}} 인 G {\displaystyle G} 의 부분군이 존재한다. 제2 쉴로브 정리(영어: second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 p-부분군 H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 및 p-부분군 K ⊆ G {\displaystyle K\subseteq G} 에 대하여, K ⊆ g H g − 1 {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 특히, G {\displaystyle G} 의 모든 쉴로브 p-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 p-부분군의 크기는 p n {\displaystyle p^{n}} 이다. 제3 쉴로브 정리(영어: third Sylow theorem): 크기가 p k {\displaystyle p^{k}} 인 G {\displaystyle G} 의 부분군의 총수가 n ( p k ; G ) {\displaystyle n(p^{k};G)} 이며 (특히 n ( p n ; G ) = | Syl ⁡ ( p ; G ) | {\displaystyle n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|} ), H {\displaystyle H} 가 G {\displaystyle G} 의 임의의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. n ( p k ; G ) ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle n(p^{k};G)\equiv 1{\pmod {p}}} n ( p n ; G ) ∣ m {\displaystyle n(p^{n};G)\mid m} n ( p n ; G ) = | G : N G ⁡ ( H ) | {\displaystyle n(p^{n};G)=|G:\operatorname {N} _{G}(H)|} . (여기서 N G ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(-)} 는 정규화 부분군이다.) 다음은 k = n {\displaystyle k=n} 인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 k {\displaystyle k} 에 대한 경우에도 적용 가능하다. 크기가 p n {\displaystyle p^{n}} 인 G {\displaystyle G} 의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 | G | {\displaystyle |G|} 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. { g 1 , … , g k } ⊆ G {\displaystyle \{g_{1},\dots ,g_{k}\}\subseteq G} 가 한원소 집합이 아닌 G {\displaystyle G} 의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다. | G | = | Z ⁡ ( G ) | + ∑ i = 1 k | G | | C G ⁡ ( g i ) | {\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|}}} 이 경우 각 i ∈ { 1 , … , k } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}} 에 대하여 C G ⁡ ( g i ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g_{i})} 는 G {\displaystyle G} 의 진부분군이다. 만약 p n {\displaystyle p^{n}} 이 | C G ⁡ ( g i ) | {\displaystyle |{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|} 의 약수가 되는 i ∈ { 1 , … , k } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}} 가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 C G ⁡ ( g i ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g_{i})} 는 | H | = p n {\displaystyle |H|=p^{n}} 인 부분군 H {\displaystyle H} 를 가지며, 이는 자명하게 G {\displaystyle G} 의 부분군이다. 이제, 임의의 i ∈ { 1 , … , k } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}} 에 대하여, p n {\displaystyle p^{n}} 이 | C G ⁡ ( g i ) | {\displaystyle |{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|} 의 약수가 아니라고 하자. n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우는 자명하다. 만약 n > 0 {\displaystyle n>0} 이라면, p {\displaystyle p} 는 | Z ⁡ ( G ) | {\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|} 의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 Z ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Z} (G)} 는 | K | = p {\displaystyle |K|=p} 인 부분군 K {\displaystyle K} 를 가지며, 이는 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 G / K {\displaystyle G/K} 는 크기가 p n − 1 {\displaystyle p^{n-1}} 인 쉴로브 p-부분군 H / K {\displaystyle H/K} 를 가지며, 이 경우 H {\displaystyle H} 는 크기가 p n {\displaystyle p^{n}} 인 G {\displaystyle G} 의 부분군이다. 헬무트 빌란트(독일어: Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 n > 0 {\displaystyle n>0} 이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자. S = { S ⊆ G : | S | = p n } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{S\subseteq G\colon |S|=p^{n}\}} 이 위에 G {\displaystyle G} 는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다. G × S → S {\displaystyle G\times {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}} ( g , S ) ↦ g S ( g ∈ G , S ∈ S ) {\displaystyle (g,S)\mapsto gS\qquad (g\in G,\;S\in {\mathcal {S}})} 이 작용의 궤도들의 대표원을 { S 1 , … , S k } ⊂ S {\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{k}\}\subset {\mathcal {S}}} 라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다. | S | = ∑ i = 1 k | G | | G S i | {\displaystyle |{\mathcal {S}}|=\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}} 또한 | S | = ( p n m p n ) = m ( p n m − 1 p n − 1 ) = m ∏ k = 1 p n − 1 p n m − k p n − k {\displaystyle |{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod _{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}} 은 p {\displaystyle p} 와 서로소이므로 (이는 각 k ∈ { 1 , … , p n − 1 } {\displaystyle k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}} 에 대하여 p n m − k {\displaystyle p^{n}m-k} 와 p n − k {\displaystyle p^{n}-k} 의 소인수 p {\displaystyle p} 의 중복도가 k {\displaystyle k} 의 소인수 p {\displaystyle p} 의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 | G | | G S i | {\displaystyle {\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}} 가 p {\displaystyle p} 와 서로소인 i ∈ { 1 , … , k } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}} 가 존재한다. S i {\displaystyle S_{i}} 의 안정자군을 H = G S i {\displaystyle H=G_{S_{i}}} 라고 하자. 그렇다면, H {\displaystyle H} 는 G {\displaystyle G} 의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 | H | {\displaystyle |H|} 는 p n {\displaystyle p^{n}} 을 약수로 갖는다. 또한 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, H → S {\displaystyle H\to S} h ↦ h s ( h ∈ H ) {\displaystyle h\mapsto hs\qquad (h\in H)} 는 단사 함수이므로, | H | = p n {\displaystyle |H|=p^{n}} 이다. 임의의 쉴로브 p-부분군(즉, 극대 p-부분군) H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 에 대하여 | H | = p n {\displaystyle |H|=p^{n}} 임을 보이는 것으로 족하다. H {\displaystyle H} 의 정규화 부분군 N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)} 를 생각하자. 그렇다면 H {\displaystyle H} 는 N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)} 의 정규 부분군이므로, 몫군 N G ⁡ ( H ) / H {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)/H} 를 취할 수 있다. 우선, p {\displaystyle p} 가 | N G ⁡ ( H ) | | H | {\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}} 의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 p {\displaystyle p} 가 | N G ⁡ ( H ) | | H | {\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}} 의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 | K / H | = p {\displaystyle |K/H|=p} 인 부분군 K / H ⊆ N G ⁡ ( H ) / H {\displaystyle K/H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)/H} 가 존재한다. 이 경우 부분군 H ⊆ K ⊆ N G ⁡ ( H ) {\displaystyle H\subseteq K\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)} 는 G {\displaystyle G} 의 부분군이며, | K | = p | H | > | H | {\displaystyle |K|=p|H|>|H|} 를 만족시킨다. 이는 H {\displaystyle H} 가 쉴로브 p-부분군인 데 모순이다. 이제, p {\displaystyle p} 가 | G | | N G ⁡ ( H ) | {\displaystyle {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}} 의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 G / N G ⁡ ( H ) {\displaystyle G/\operatorname {N} _{G}(H)} 위에서 H {\displaystyle H} 가 다음과 같이 작용한다고 하자. H × G / N G ⁡ ( H ) → G / N G ⁡ ( H ) {\displaystyle H\times G/\operatorname {N} _{G}(H)\to G/\operatorname {N} _{G}(H)} ( h , g N G ⁡ ( H ) ) ↦ h g N G ⁡ ( H ) ( h ∈ H , g ∈ G ) {\displaystyle (h,g\operatorname {N} _{G}(H))\mapsto hg\operatorname {N} _{G}(H)\qquad (h\in H,\;g\in G)} 그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다. | G | | N G ⁡ ( H ) | ≡ | { g N G ⁡ ( H ) ∈ G / N G ⁡ ( H ) : H g N G ⁡ ( H ) = g N G ⁡ ( H ) } | ( mod p ) {\displaystyle {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}\equiv |\{g\operatorname {N} _{G}(H)\in G/\operatorname {N} _{G}(H)\colon Hg\operatorname {N} _{G}(H)=g\operatorname {N} _{G}(H)\}|{\pmod {p}}} 따라서, N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)} 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 임의의 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 에 대하여 h g N G ⁡ ( H ) = g N G ⁡ ( H ) {\displaystyle hg\operatorname {N} _{G}(H)=g\operatorname {N} _{G}(H)} 를 만족시킨다면, g − 1 h g ∈ N G ⁡ ( H ) {\displaystyle g^{-1}hg\in \operatorname {N} _{G}(H)} 이며, H {\displaystyle H} 는 p-군이므로 h {\displaystyle h} 의 위수는 p {\displaystyle p} 의 거듭제곱이다. 따라서 g − 1 h g H {\displaystyle g^{-1}hgH} 의 ( N G ⁡ ( H ) / H {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)/H} 에서의) 위수 역시 p {\displaystyle p} 의 거듭제곱이며, 또한 이는 | N G ⁡ ( H ) | | H | {\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}} 의 약수이므로, g − 1 h g H {\displaystyle g^{-1}hgH} 의 위수는 1이다. 즉, g − 1 h g H = H {\displaystyle g^{-1}hgH=H} 이며, g − 1 h g ∈ H {\displaystyle g^{-1}hg\in H} 이다. 즉, g ∈ N G ⁡ ( H ) {\displaystyle g\in \operatorname {N} _{G}(H)} 가 성립한다. 이 두 가지 사실을 종합하면 | H | = p n {\displaystyle |H|=p^{n}} 을 얻는다. 이는 | G | = | N G ⁡ ( H ) | | H | ⋅ | G | | N G ⁡ ( H ) | ⋅ | H | {\displaystyle |G|={\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}\cdot {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}\cdot |H|} 때문이다. 크기가 | H | = p n {\displaystyle |H|=p^{n}} 인 쉴로브 p-부분군 H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 를 취하자. 임의의 p-부분군 K ⊆ G {\displaystyle K\subseteq G} 에 대하여, K ⊆ g H g − 1 {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 G / H {\displaystyle G/H} 위에서 K {\displaystyle K} 가 다음과 같이 작용한다고 하자. K × G / H → G / H {\displaystyle K\times G/H\to G/H} ( k , g H ) ↦ k g H ( k ∈ K , g ∈ G ) {\displaystyle (k,gH)\mapsto kgH\qquad (k\in K,\;g\in G)} 또한, G / H {\displaystyle G/H} 의 크기는 p {\displaystyle p} 와 서로소이므로, 궤도의 크기가 p {\displaystyle p} 와 서로소인 원소 g H ∈ G / H {\displaystyle gH\in G/H} 를 가지며, 이에 대한 안정자군은 K {\displaystyle K} 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다. K = K g H = G g H ∩ K = g G H g − 1 ∩ K = g H g − 1 ∩ K ⊆ g H g − 1 {\displaystyle K=K_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_{H}g^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}} 크기가 | H | = p n {\displaystyle |H|=p^{n}} 인 쉴로브 p-부분군 H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 를 취하자. 임의의 p-부분군 K ⊆ G {\displaystyle K\subseteq G} 에 대하여, K ⊆ g H g − 1 {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합 K ∖ G / H = { K g H : g ∈ G } {\displaystyle K\backslash G/H=\{KgH\colon g\in G\}} 는 G {\displaystyle G} 의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다. | G | = ∑ K g H ∈ K ∖ G / H | K g H | = ∑ K g H ∈ K ∖ G / H | K | | H | | K ∩ g H g − 1 | {\displaystyle |G|=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K||H|}{|K\cap gHg^{-1}|}}} 즉, | G | | H | = ∑ K g H ∈ K ∖ G / H | K | | K ∩ g H g − 1 | {\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}} 이다. 또한 | G | | H | {\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}} 는 p {\displaystyle p} 와 서로소이므로, | K | | K ∩ g H g − 1 | {\displaystyle {\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}} 가 p {\displaystyle p} 와 서로소가 되는 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 즉, 이 g {\displaystyle g} 에 대하여 | K | | K ∩ g H g − 1 | = 1 {\displaystyle {\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}=1} 이다. 따라서, K = K ∩ g H g − 1 ⊆ g H g − 1 {\displaystyle K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}} 이 성립한다. 쉴로브 p-부분군의 집합을 Syl ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {Syl} (p;G)} 라고 하고, 이 위의 켤레 작용 G × Syl ⁡ ( p ; G ) → Syl ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle G\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)} ( g , H ) ↦ g H g − 1 ( g ∈ G , H ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) ) {\displaystyle (g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad (g\in G,\;H\in \operatorname {Syl} (p;G))} 를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 H ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle H\in \operatorname {Syl} (p;G)} 에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)} 이다. 따라서 n ( p n ; G ) = | Syl ⁡ ( p ; G ) | = | G | | N G ⁡ ( H ) | {\displaystyle n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}} 이며, 이는 | G | | H | = m {\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}=m} 의 약수이다. 이제, 임의의 H ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle H\in \operatorname {Syl} (p;G)} 에 제한된 켤레 작용 H × Syl ⁡ ( p ; G ) → Syl ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle H\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)} ( h , K ) ↦ h K h − 1 ( h ∈ H , K ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) ) {\displaystyle (h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad (h\in H,\;K\in \operatorname {Syl} (p;G))} 를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식 n ( p n ; G ) ≡ | { K ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) : ∀ h ∈ H : h K h − 1 = K } | ( mod p ) {\displaystyle n(p^{n};G)\equiv |\{K\in \operatorname {Syl} (p;G)\colon \forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|{\pmod {p}}} 가 성립한다. 이제 H {\displaystyle H} 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 K ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle K\in \operatorname {Syl} (p;G)} 가 임의의 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 에 대하여 h K h − 1 = K {\displaystyle hKh^{-1}=K} 를 만족시킨다면, H ⊆ N G ⁡ ( K ) {\displaystyle H\subseteq \operatorname {N} _{G}(K)} 이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 g ∈ N G ⁡ ( K ) {\displaystyle g\in \operatorname {N} _{G}(K)} 가 존재한다. H = g K g − 1 = K {\displaystyle H=gKg^{-1}=K} 따라서, 합동식 n ( p n ; G ) ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}} 가 성립한다. 집합 T = { S ∈ S : | G S | = p n } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{S\in {\mathcal {S}}\colon |G_{S}|=p^{n}\}} 을 생각하자. 그렇다면, T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 는 정확히 다음과 같은 집합이다. T = ⨆ H ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) H ∖ G = { H g : H ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) , g ∈ G } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigsqcup _{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in \operatorname {Syl} (p;G),\;g\in G\}} 여기서 H ∖ G {\displaystyle H\backslash G} 는 H {\displaystyle H} 의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 p-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서, | T | = ∑ H ∈ Syl ⁡ ( p ; G ) | G | | H | = n ( p n ; G ) m {\displaystyle |{\mathcal {T}}|=\sum _{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}{\frac {|G|}{|H|}}=n(p^{n};G)m} 이다. 임의의 S ∈ S {\displaystyle S\in {\mathcal {S}}} 의 안정자군 G S {\displaystyle G_{S}} 은 p-부분군이다. 이는 임의의 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, G S s ⊆ S {\displaystyle G_{S}s\subseteq S} 이므로, S {\displaystyle S} 가 G S {\displaystyle G_{S}} 의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, S ∖ T {\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}} 의 원소들의 안정자군은 p-부분군이다. 또한, S ∖ T {\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}} 는 G {\displaystyle G} 의 작용에 대하여 닫혀있으므로, S ∖ T {\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}} 속 궤도들의 대표원 { S 1 , … , S k } ⊆ S ∖ T {\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{k}\}\subseteq {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}} 를 취할 수 있으며, 이 경우 | S ∖ T | = ∑ i = 1 k | G | | G S i | ≡ 0 ( mod p m ) {\displaystyle |{\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}|=\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}\equiv 0{\pmod {pm}}} 가 성립한다. 또한, | S | = ( p n m p n ) = m ( p n m − 1 p n − 1 ) = m ∏ k = 1 p n − 1 p n m − k p n − k ≡ m ( mod p m ) {\displaystyle |{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod _{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}\equiv m{\pmod {pm}}} 가 성립한다. 이는 임의의 k ∈ { 1 , … , p n − 1 } {\displaystyle k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}} 에 대하여, k {\displaystyle k} 의 소인수 p {\displaystyle p} 의 중복도가 e {\displaystyle e} 라고 할 때, p n − e m − k p − e ≡ p n − e − k p − e ≢ 0 ( mod p ) {\displaystyle p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not \equiv 0{\pmod {p}}} 이기 때문이다. 이들 결론을 종합하면 n ( p n ; G ) m ≡ m ( mod p m ) {\displaystyle n(p^{n};G)m\equiv m{\pmod {pm}}} 을 얻으며, m > 0 {\displaystyle m>0} 이므로 n ( p n ; G ) ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}} 가 성립한다. 유한군 G {\displaystyle G} 와 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌다고 하자. 만약 H {\displaystyle H} 가 G {\displaystyle G} 의 쉴로브 p-부분군이며, N {\displaystyle N} 이 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다. H ∩ N {\displaystyle H\cap N} 은 N {\displaystyle N} 의 쉴로브 p-부분군이다. H N / N {\displaystyle HN/N} 은 G / N {\displaystyle G/N} 의 쉴로브 p-부분군이다. 증명: K {\displaystyle K} 가 N {\displaystyle N} 의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 K ⊆ g H g − 1 {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 따라서 K ⊆ g H g − 1 ∩ N = g ( H ∩ N ) g − 1 {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1}} 이며, | H ∩ N | ≥ | K | {\displaystyle |H\cap N|\geq |K|} 이다. H ∩ N {\displaystyle H\cap N} 은 N {\displaystyle N} 의 p-부분군이므로, | H ∩ N | = | K | {\displaystyle |H\cap N|=|K|} 이며, H ∩ N {\displaystyle H\cap N} 은 N {\displaystyle N} 의 쉴로브 p-부분군이다. 두 번째 명제는 첫 번째 명제와 | H N / N | = | H | | H ∩ N | {\displaystyle |HN/N|={\frac {|H|}{|H\cap N|}}} 으로부터 유도된다. 만약 H {\displaystyle H} 가 G {\displaystyle G} 의 p-부분군이며, H = N G ⁡ ( H ) {\displaystyle H=\operatorname {N} _{G}(H)} 라면, H {\displaystyle H} 는 G {\displaystyle G} 의 쉴로브 p-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 증명: H {\displaystyle H} 가 H {\displaystyle H} 의 켤레 부분군의 집합 S = { g H g − 1 : g ∈ G } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{gHg^{-1}\colon g\in G\}} 위에서 다음과 같이 작용한다고 하자. H × S → S {\displaystyle H\times {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}} ( h , K ) ↦ h K h − 1 ( h ∈ H , K ∈ S ) {\displaystyle (h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad (h\in H,\;K\in {\mathcal {S}})} 그렇다면, 각 궤도의 크기는 | H | {\displaystyle |H|} 의 약수이며, 특히 p {\displaystyle p} 의 거듭제곱이다. 이제, H {\displaystyle H} 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 K ∈ S {\displaystyle K\in {\mathcal {S}}} 가 임의의 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 에 대하여 h K h − 1 = K {\displaystyle hKh^{-1}=K} 를 만족시킨다면, K = g H g − 1 {\displaystyle K=gHg^{-1}} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 를 취하면 H ⊆ N G ⁡ ( K ) = g N G ⁡ ( H ) g − 1 = g H g − 1 = K {\displaystyle H\subseteq \operatorname {N} _{G}(K)=g\operatorname {N} _{G}(H)g^{-1}=gHg^{-1}=K} 이므로, K = H {\displaystyle K=H} 이다. 따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여 1 ≡ | S | = | G | | N G ⁡ ( H ) | = | G | | H | ( mod p ) {\displaystyle 1\equiv |{\mathcal {S}}|={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}={\frac {|G|}{|H|}}{\pmod {p}}} 이며, 특히 H {\displaystyle H} 는 G {\displaystyle G} 의 쉴로브 p-부분군이다. 만약 O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)} 가 G {\displaystyle G} 의 모든 쉴로브 p-부분군의 교집합이라고 하면, O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)} 는 G {\displaystyle G} 의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 만약 H {\displaystyle H} 가 G {\displaystyle G} 의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, n ( p n ; G ) = 1 {\displaystyle n(p^{n};G)=1} 이며, H = O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle H=\operatorname {O} (p;G)} 는 G {\displaystyle G} 의 유일한 쉴로브 p-부분군이다. 증명: 우선, O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)} 가 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 p-부분군 H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 에 대하여, O ⁡ ( p ; G ) = ⋂ g ∈ G g H g − 1 = Core G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}=\operatorname {Core} _{G}(H)} 가 H {\displaystyle H} 의 정규핵이기 때문이다. 이제, O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)} 가 G {\displaystyle G} 의 모든 정규 p-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 p-부분군 N ⊆ G {\displaystyle N\subseteq G} 및 쉴로브 p-부분군 H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 에 대하여, N ⊆ H {\displaystyle N\subseteq H} 임을 보이면 된다. N H {\displaystyle NH} 이 G {\displaystyle G} 의 부분군이며, | N H | = | N | | H | | N ∩ H | {\displaystyle |NH|={\frac {|N||H|}{|N\cap H|}}} 이므로 이는 p-부분군이다. 따라서 N H = H {\displaystyle NH=H} 이며, 특히 N ⊆ H {\displaystyle N\subseteq H} 이다. 이에 따라 O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)} 는 G {\displaystyle G} 의 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 극대 정규 p-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 ϕ ∈ Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)} 에 대하여, ϕ ( O ⁡ ( p ; G ) ) {\displaystyle \phi (\operatorname {O} (p;G))} 역시 G {\displaystyle G} 의 극대 정규 p-부분군이며, 따라서 ϕ ( O ⁡ ( p ; G ) ) = O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \phi (\operatorname {O} (p;G))=\operatorname {O} (p;G)} 이다. 즉, O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)} 는 G {\displaystyle G} 의 특성 부분군이다. 만약 H {\displaystyle H} 가 G {\displaystyle G} 의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, N G ⁡ ( H ) = G {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)=G} 이므로, n ( p n ; G ) = | G | | N G ⁡ ( H ) | = 1 {\displaystyle n(p^{n};G)={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}=1} 이며, 따라서 H = O ⁡ ( p ; G ) {\displaystyle H=\operatorname {O} (p;G)} 이다. 다음과 같은 조건을 생각하자. O ⁡ ( p ; G ) = H ∩ K {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)=H\cap K} 인 두 쉴로브 p-부분군 H , K ⊆ G {\displaystyle H,K\subseteq G} 가 존재한다. 이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다. p {\displaystyle p} 는 홀수 비(非)메르센 소수이다. | G | {\displaystyle |G|} 는 홀수이다. p = 2 {\displaystyle p=2} 이며, | G | {\displaystyle |G|} 는 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다. 만약 N {\displaystyle N} 이 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군이며, H {\displaystyle H} 가 N {\displaystyle N} 의 쉴로브 p-부분군이라면, G = N N G ⁡ ( H ) {\displaystyle G=N\operatorname {N} _{G}(H)} 이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 H {\displaystyle H} 가 G {\displaystyle G} 의 쉴로브 p-부분군, K {\displaystyle K} 가 G {\displaystyle G} 의 부분군이며, N G ⁡ ( H ) ⊆ K {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)\subseteq K} 라면, N G ⁡ ( K ) = K {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(K)=K} 이다. 특히, N G ⁡ ( N G ⁡ ( H ) ) = N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(H))=\operatorname {N} _{G}(H)} 가 성립한다. 실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. p {\displaystyle p} 와 q {\displaystyle q} 가 소수이며, p < q {\displaystyle p<q} 라고 하자. p ∤ q − 1 {\displaystyle p\nmid q-1} 일 경우, 크기가 p q {\displaystyle pq} 인 군은 순환군과 동형이다. p ∣ q − 1 {\displaystyle p\mid q-1} 일 경우, 크기가 p q {\displaystyle pq} 이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다. 크기가 p m q n {\displaystyle p^{m}q^{n}} ( m , n ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle m,n\in \{1,2\}} )인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다. 노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다. 쉴로브 기저 Mann, Avionam (1975년 12월). “The Intersection of Sylow Subgroups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 262-264. ISSN 0002-9939. JSTOR 2039991.  “Sylow theorems”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylow theorems”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.