닫힌 원순서 집합

순서론에서 닫힌 원순서 집합(-原順序集合, 영어: closed preordered set)이란 모든 사슬이 상계를 갖는 원순서 집합이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 정렬 사슬은 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬이다. X {\displaystyle X} 의 정렬 사슬들의 집합을 woChain ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {woChain} (X)} 로 표기하자. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 닫힌 원순서 집합(영어: closed proset)이라고 한다. 임의의 사슬 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 에 대하여, 만약 C {\displaystyle C} 가 정렬 전순서 집합이라면, C {\displaystyle C} 는 상계 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 를 갖는다. 사실, 모든 전순서 집합은 공종 정렬 전순서 집합을 가지므로, 위 정의에서 "정렬 사슬"을 모든 사슬에 대하여 강화시킬 수 있다. 보다 일반적으로, 순서수 λ ∈ Ord {\displaystyle \lambda \in \operatorname {Ord} } 에 대하여, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 다음 조건을 만족시킨다면, λ {\displaystyle \lambda } -닫힌 원순서 집합(영어: λ {\displaystyle \lambda } -closed proset)이라고 한다.:214, Definition VII.6.12 임의의 사슬 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 에 대하여, 만약 C {\displaystyle C} 가 정렬 전순서 집합이며 그 순서형이 λ {\displaystyle \lambda } 미만이라면, C {\displaystyle C} 는 상계 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 를 갖는다. 만약 λ > | X | {\displaystyle \lambda >|X|} 라면, X {\displaystyle X} 가 λ {\displaystyle \lambda } -닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다. 초른 보조정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여, X =↓ max X {\displaystyle X=\downarrow \max X} 이다. 여기서 ↓ {\displaystyle \downarrow } 는 하폐포이며, max X {\displaystyle \max X} 는 X {\displaystyle X} 의 극대 원소들의 집합이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. ∀ x ∈ X : f ( x ) ≳ x {\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x} 부르바키-비트 정리(Bourbaki-Witt定理, 영어: Bourbaki–Witt theorem)에 따르면, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f {\displaystyle f} 는 ↑ x {\displaystyle \uparrow x} 에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다. ∃ y ∈ X : f ( y ) = y ≳ x {\displaystyle \exists y\in X\colon f(y)=y\gtrsim x} 초른의 보조 정리를 통한 증명: 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여 m ∈↑ x ∩ max X {\displaystyle m\in \uparrow x\cap \max X} 을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여 f ( m ) ∼ m ≳ x {\displaystyle f(m)\sim m\gtrsim x} 이다. 직접적인 증명: x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 주어졌다고 하자. 함수 g : woChain ⁡ ( X ) → X {\displaystyle g\colon \operatorname {woChain} (X)\to X} 가, X {\displaystyle X} 속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자 ( g ( ∅ ) = x {\displaystyle g(\varnothing )=x} ). 귀류법을 사용하여, X {\displaystyle X} 가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의 y ≳ x {\displaystyle y\gtrsim x} 에 대하여 f ( y ) ≳ y ≵ f ( y ) {\displaystyle f(y)\gtrsim y\not \gtrsim f(y)} 라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수 α ∈ Ord {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} } 에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자. x α = { f ( x β ) ∃ β : β + 1 = α g ( { x β : β < α } ) ∄ β : β + 1 = α {\displaystyle x_{\alpha }={\begin{cases}f(x_{\beta })&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\g(\{x_{\beta }\colon \beta <\alpha \})&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}} 귀류법 가정 아래 { x β : β < α } {\displaystyle \{x_{\beta }\colon \beta <\alpha \}} 는 정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수 x ∙ : Ord → X {\displaystyle x_{\bullet }\colon \operatorname {Ord} \to X} 를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임 Ord {\displaystyle \operatorname {Ord} } 은 집합이 될 수 없으므로, x α + 1 ∼ f ( x α ) ∼ x α {\displaystyle x_{\alpha +1}\sim f(x_{\alpha })\sim x_{\alpha }} 인 α ∈ Ord {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} } 가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. ZFC의 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} 두 집합 X , Y ∈ M {\displaystyle X,Y\in M} λ ∈ Card M {\displaystyle \lambda \in \operatorname {Card} ^{M}} . 여기서 Card M ⊆ Ord ∩ M {\displaystyle \operatorname {Card} ^{M}\subseteq \operatorname {Ord} \cap M} 는 M {\displaystyle M} 에서 기수가 되는 순서수들의 집합이다. 원순서 집합 P ∈ M {\displaystyle P\in M} P {\displaystyle P} 의 부분 집합 G ⊆ M {\displaystyle G\subseteq M} 또한, 다음 조건이 성립한다고 하자. M ⊨ ( | X | < λ ) {\displaystyle M\models (|X|<\lambda )} M ⊨ ( {\displaystyle M\models (} P {\displaystyle P} 는 λ {\displaystyle \lambda } -닫힌 원순서 집합이다 ) {\displaystyle )} M ⊨ ( {\displaystyle M\models (} G {\displaystyle G} 는 P {\displaystyle P} 의 포괄적 순서 아이디얼이다 ) {\displaystyle )} 그렇다면, X → Y {\displaystyle X\to Y} 함수들은 M {\displaystyle M} 과 강제법 모형 M [ G ] {\displaystyle M[G]} 사이에서 절대적이다. 즉, M [ G ] {\displaystyle M[G]} 속의 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 이미 M {\displaystyle M} 의 원소이다.:214, Theorem 2.6.14 ( Y X ) M [ G ] = ( Y X ) M {\displaystyle (Y^{X})^{M[G]}=(Y^{X})^{M}} 특히, 이와 같은 경우 M {\displaystyle M} 속의, λ {\displaystyle \lambda } 이하의 공종도 및 λ {\displaystyle \lambda } 이하의 기수들이 보존된다.:215, Corollary 2.6.15 부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키와 에른스트 비트가 증명하였다. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함.  Bourbaki, Nicolas (1949). “Sur le théorème de Zorn”. 《Archiv der Mathematik》 (프랑스어) 2 (6): 434–437. doi:10.1007/BF02036949. ISSN 0003-889X.  Witt, Ernst (1951). “Beweisstudien zum Satz von M. Zorn. Herrn Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet”. 《Mathematische Nachrichten》 (독일어) 4: 434–438. doi:10.1002/mana.3210040138.