슈발레 기저

리 군론에서 슈발레 기저(Chevalley基底, 영어: Chevalley basis)는 모든 구조 상수가 정수인, 반단순 리 대수의 특별한 기저이다. 이를 통해, 정수환 또는 임의의 가환환을 계수로 하는 반단순 리 대수의 형태를 정의할 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근계 Φ ⊆ h = R rank ⁡ ( g ) {\displaystyle \Phi \subseteq {\mathfrak {h}}=\mathbb {R} ^{\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})}} 를 고르자. 그렇다면, 근계의 기저의 지표를 i ∈ { 1 , … , rank ⁡ ( g ) } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})\}} 라고 하면, 카르탕-베유 기저 [ H i , E α ] = α i E α ( α ∈ Φ ) {\displaystyle [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }\qquad (\alpha \in \Phi )} [ H i , H j ] = 0 {\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0} [ E α , E β ] = { N α , β E α + β α + β ∈ Φ 0 0 ≠ α + β ∉ Φ H i α + β = 0 {\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]={\begin{cases}N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }&\alpha +\beta \in \Phi \\0&0\neq \alpha +\beta \not \in \Phi \\H_{i}&\alpha +\beta =0\end{cases}}} N α , β ∈ Z {\displaystyle N_{\alpha ,\beta }\in \mathbb {Z} } 를 잡을 수 있다. 그러나 이 기저에서의 구조 상수 α i ∈ R {\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} } 는 일반적으로 정수가 아니다. 이제, Φ {\displaystyle \Phi } 의 단순근 Σ ⊆ Φ {\displaystyle \Sigma \subseteq \Phi } | Σ | = rank ⁡ ( g ) {\displaystyle |\Sigma |=\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})} 을 고르고, 그 카르탕 행렬이 A i j = ( α i , α j ∨ ) = 2 ( α i , α j ) ( α j , α j ) ∈ Z {\displaystyle A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })={\frac {2(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}\in \mathbb {Z} } 라고 하자. 이제, V {\displaystyle V} 의 다른 기저 H ~ σ = ( σ i ∨ , H i ) ( σ ∈ Σ ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{\sigma }=(\sigma _{i}^{\vee },H_{i})\qquad (\sigma \in \Sigma )} 를 정의하자. 그렇다면, [ H ~ σ , H ~ σ ′ ] = 0 {\displaystyle [{\tilde {H}}_{\sigma },{\tilde {H}}_{\sigma '}]=0} [ H ~ σ , E α ] = A i j E α {\displaystyle [{\tilde {H}}_{\sigma },E_{\alpha }]=A_{ij}E_{\alpha }} [ E α , E β ] = { N α , β E α + β α + β ∈ Φ 0 0 ≠ α + β ∉ Φ ∑ σ ∈ Σ ( σ , β ) H σ α + β = 0 {\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]={\begin{cases}N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }&\alpha +\beta \in \Phi \\0&0\neq \alpha +\beta \not \in \Phi \\\sum _{\sigma \in \Sigma }(\sigma ,\beta )H_{\sigma }&\alpha +\beta =0\end{cases}}} 가 되어, 모든 구조 상수가 정수가 된다. 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 슈발레 기저라고 한다. 이에 따라, 위 리 괄호로 정의되는 정수 리 대수 g ( Z ) {\displaystyle \mathbb {g} (\mathbb {Z} )} 를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 에 대하여, K {\displaystyle K} -리 대수 g ( K ) = g ( Z ) ⊗ Z K {\displaystyle {\mathfrak {g}}(K)={\mathfrak {g}}(\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }K} 를 정의할 수 있다. 만약 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 일 경우, 이는 반단순 리 대수의 분할 형태(영어: split form)이다. s l ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )} 의 경우, 슈발레 기저는 H = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} E + = ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle E_{+}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}} E − = ( 0 0 1 0 ) {\displaystyle E_{-}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}} [ E + , E − ] = H {\displaystyle [E_{+},E_{-}]=H} [ H , E ± ] = ± 2 E + {\displaystyle [H,E_{\pm }]=\pm 2E_{+}} 이다. 즉, 이 경우 정수 계수를 취하면 s l ( 2 ; Z ) = { ( a b c − a ) : a , b , c ∈ Z } {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {Z} \right\}} 를 얻는다. 클로드 슈발레가 유한 단순군을 연구하기 위하여 도입하였다. “Cartan-Weyl basis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Tao, Terry (2013년 4월 27일). “Notes on the classification of complex Lie algebras”. 《What’s New》 (영어). 2017년 12월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 23일에 확인함.