복시테인 준동형

호몰로지 대수학에서 복시테인 준동형(Бокштейн準同型, 영어: Bockstein homomorphism)은 아벨 군의 짧은 완전열에 의하여 생성되는 코호몰로지 연산이다. 공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자. 0 → C ∙ → ι D ∙ → π E ∙ → 0 {\displaystyle 0\to C^{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}D^{\bullet }{\xrightarrow {\pi }}E^{\bullet }\to 0} 그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다. Σ H ∙ ⁡ ( E ) → β H ∙ ⁡ ( C ) → ι ∗ H ∙ ⁡ ( D ) → π ∗ H ∙ ⁡ ( E ) {\displaystyle \Sigma \operatorname {H} _{\bullet }(E){\xrightarrow {\beta }}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {\iota _{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(D){\xrightarrow {\pi _{*}}}\operatorname {H} _{\bullet }(E)} 연결 사상 β {\displaystyle \beta } 을 복시테인 준동형이라고 한다. 여기서 ( Σ C ) ∙ = C ∙ − 1 {\displaystyle (\Sigma C)_{\bullet }=C_{\bullet -1}} 는 사슬 복합체의 현수이다. 사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 deg ⁡ d {\displaystyle \deg d} 라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 deg ⁡ d {\displaystyle \deg d} 이다. 공사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} 의, 등급 n {\displaystyle n} 의 단사 자기 사상 f : Σ n C ∙ → C ∙ {\displaystyle f\colon \Sigma ^{n}C^{\bullet }\to C^{\bullet }} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 짧은 완전열을 적을 수 있다. 0 → Σ n C ∙ → f C ∙ → q coker ⁡ f → 0 {\displaystyle 0\to \Sigma ^{n}C^{\bullet }{\xrightarrow {f}}C^{\bullet }{\xrightarrow {q}}\operatorname {coker} f\to 0} 그렇다면, 이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 완전쌍을 얻는다. Σ n H ∙ ⁡ ( C ) → f ∗ H ∙ ⁡ ( C ) → q ∗ H ∙ ⁡ ( coker ⁡ f ) → β Σ − 1 H ∙ ⁡ ( coker ⁡ f ) {\displaystyle \Sigma ^{n}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {q_{*}}}\operatorname {H} _{\bullet }(\operatorname {coker} f){\xrightarrow {\beta }}\Sigma ^{-1}\operatorname {H} _{\bullet }(\operatorname {coker} f)} 이에 대하여 유도되는 스펙트럼 열을 복시테인 스펙트럼 열(Бокштейн spectrum列, 영어: Bockstein spectral sequence)이라고 하며, 그 첫 쪽은 다음과 같다.:Theorem 3.8(a) E 1 p , q = { H p ( 1 − n ) + q ⁡ ( coker ⁡ f ) p ≥ 0 0 p < 0 {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}\operatorname {H} ^{p(1-n)+q}(\operatorname {coker} f)&p\geq 0\\0&p<0\end{cases}}} d n = q ∗ ∘ β {\displaystyle d^{n}=q_{*}\circ \beta } deg ⁡ d n = ( r , 1 − r ) {\displaystyle \deg d^{n}=(r,1-r)} 만약 n > 0 {\displaystyle n>0} 이며 H ∙ ⁡ ( coker ⁡ f ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {coker} f)} 가 하계를 갖는다면 (즉, { n ∈ Z : H n ⁡ ( coker ⁡ f ) ≠ 0 } {\displaystyle \{n\in \mathbb {Z} \colon \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {coker} f)\neq 0\}} 가 하계를 갖는다면), 이는 다음으로 수렴한다.:Theorem 3.8(b) E n p , q ⇒ H p + q ⁡ ( C ) {\displaystyle E_{n}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(C)} 마찬가지로 호몰로지의 경우에도 복시테인 스펙트럼 열을 적을 수 있다. 가장 흔히 쓰이는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도한, 코호몰로지에 대한 준동형들이다. 0 → Z / n → Z / n 2 → Z / n → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /n^{2}\to \mathbb {Z} /n\to 0} 그렇다면, 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 특이 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다. 0 → C ( X ) ⊗ Z / n → C ( X ) ⊗ Z / n 2 → C ( X ) ⊗ Z / n → 0 {\displaystyle 0\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n^{2}\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to 0} 이로부터 다음과 같은 복시테인 준동형을 유도한다. β : H n ( X , Z / n ) → H n + 1 ( X , Z / n ) {\displaystyle \beta \colon H^{n}(X,\mathbb {Z} /n)\to H^{n+1}(X,\mathbb {Z} /n)} 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. β 2 = 0 {\displaystyle \beta ^{2}=0} ( n {\displaystyle n} 은 3 이상의 소수) β ( a ⌣ b ) = β ( a ) ⌣ b + ( − ) deg ⁡ a a ⌣ β ( b ) {\displaystyle \beta (a\smile b)=\beta (a)\smile b+(-)^{\deg a}a\smile \beta (b)} 따라서, 이 복시테인 준동형은 (등급 달린) 라이프니츠 법칙을 만족시키는 (등급) 미분을 이룬다. 이와 비슷하게, 짧은 완전열 0 → Z / n → Z → Z → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to 0} 에 대한 복시테인 준동형 β : H n ( X , Z / n ) → H n + 1 ( X , Z ) {\displaystyle \beta \colon H^{n}(X,\mathbb {Z} /n)\to H^{n+1}(X,\mathbb {Z} )} 또한 쓰인다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류 W n ( X ) ∈ H n ( X , Z ) {\displaystyle W^{n}(X)\in H^{n}(X,\mathbb {Z} )} 는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 w n − 1 ( X ) ∈ H n − 1 ( X , Z / 2 ) {\displaystyle w^{n-1}(X)\in H^{n-1}(X,\mathbb {Z} /2)} 에 복시테인 준동형을 가하여 얻는다. 메예르 펠릭소비치 복시테인(러시아어: Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йн, 1913~1990)이 도입하였다. Palmieri, J. H. (2005). “A user’s guide to the Bockstein spectral sequence” (PDF) (영어).  Bockstein, M. (1942). “Universal systems of ∇-homology rings”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (영어) 37: 243–245. MR 0008701. Zbl 0060.40901.  Bockstein, M. (1943). “A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (영어) 38: 187–189. MR 0009115. Zbl 0060.40902.  Bockstein, Meyer (1958). “Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d’homologie”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 247: 396–398. MR 0103918. Zbl 0082.16501.  Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic Topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.  “Bockstein homomorphism”. 《nLab》 (영어).  “Bockstein spectral sequence”. 《nLab》 (영어).