명제 논리

명제 논리(命題論理, 영어: propositional logic)는 내부 구조가 없는 명제에 논리합이나 부정 따위의 논리 연산을 가하여 구성한 명제들을 다루는 논리 체계이다.:30, Chapter 3 집합 I {\displaystyle I} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, I {\displaystyle I} 에 대한 명제 논리의 언어 L I {\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}} 는 다음과 같은 기호들로 구성된다. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 원자 명제(原子命題, 영어: atomic proposition) p i {\displaystyle {\mathsf {p}}_{i}} 부정(否定, 영어: negation) ¬ {\displaystyle \lnot } 과 실질적 함의(實質的含意, 영어: material implication) ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } 다른 논리 연산 기호들은 이 두 논리 연산을 통해 나타낼 수 있으므로 사용할 필요가 없다. 다른 함수적 완전 집합을 사용하여도 좋다. 명제 논리의 논리식(論理式, 영어: (well-formed) formula)은 다음 문법을 따르는 명제 논리 기호들의 문자열이다. 모든 원자 명제는 논리식이다. 논리식 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 에 대하여, ¬ P {\displaystyle \lnot P} 와 P ⟹ Q {\displaystyle P\Longrightarrow Q} 는 논리식이다. 주어진 논리 체계의 문장(文章, 영어: sentence)은 자유 변수를 갖지 않는 논리식으로 정의된다. 명제 논리의 논리식은 변수를 포함하지 않으므로 모든 논리식은 문장이다. 명제 논리의 추론 규칙과 공리 기본꼴들은 (임의의 논리식을 나타내는 기호 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 를 사용하여) 다음과 같이 나타낼 수 있다. 추론 규칙 (전건 긍정의 형식) P , P ⟹ Q Q {\displaystyle {\begin{matrix}P,\;P\Longrightarrow Q\\\hline Q\end{matrix}}} 공리 기본꼴 P ⟹ ( Q ⟹ P ) {\displaystyle P\Longrightarrow (Q\Longrightarrow P)} ( P ⟹ ( Q ⟹ R ) ) ⟹ ( ( P ⟹ Q ) ⟹ ( P ⟹ R ) ) {\displaystyle (P\Longrightarrow (Q\Longrightarrow R))\Longrightarrow ((P\Longrightarrow Q)\Longrightarrow (P\Longrightarrow R))} ( ¬ P ⟹ ¬ Q ) ⟹ ( Q ⟹ P ) {\displaystyle (\lnot P\Longrightarrow \lnot Q)\Longrightarrow (Q\Longrightarrow P)} 명제 논리는 또 다른 함수적 완전 집합 { ¬ , ∨ } {\displaystyle \{\lnot ,\lor \}} 을 사용하여 전개할 수 있으며, 이 경우 명제 논리의 추론 규칙과 공리 기본꼴들은 (임의의 논리식을 나타내는 기호 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 를 사용하여) 다음과 같이 나타낼 수 있다. 추론 규칙 (선언 도입, 영어: disjunction introduction, 또는 확장 규칙, 영어: expansion rule) P P ∨ Q {\displaystyle {\begin{matrix}P\\\hline P\lor Q\end{matrix}}} (축소 규칙, 영어: contraction rule) P ∨ P P {\displaystyle {\begin{matrix}P\lor P\\\hline P\end{matrix}}} (결합 규칙, 영어: associative rule) P ∨ ( Q ∨ R ) ( P ∨ Q ) ∨ R {\displaystyle {\begin{matrix}P\lor (Q\lor R)\\\hline (P\lor Q)\lor R\end{matrix}}} (절단 규칙, 영어: cut rule) P ∨ Q , ¬ P ∨ R Q ∨ R {\displaystyle {\begin{matrix}P\lor Q,\;\lnot P\lor R\\\hline Q\lor R\end{matrix}}} 공리 기본꼴 (배중률) P ∨ ¬ P {\displaystyle P\lor \lnot P} 명제 논리의 모든 논리식의 집합을 Sent ⁡ ( L I ) {\displaystyle \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{I})} 라고 표기하자. 그렇다면 명제 논리의 구조(構造, 영어: structure)는 다음 조건들을 만족시키는 함수 v : Sent ⁡ ( L I ) → { 0 , 1 } {\displaystyle v\colon \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{I})\to \{0,1\}} 이다. 모든 논리식 P {\displaystyle P} 에 대하여, v ( ¬ P ) = { 1 v ( P ) = 0 0 v ( P ) = 1 {\displaystyle v(\lnot P)={\begin{cases}1&v(P)=0\\0&v(P)=1\end{cases}}} 모든 논리식 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 에 대하여, v ( P ⟹ Q ) = { 1 v ( P ) = 0 ∨ v ( Q ) = 1 0 v ( P ) = 1 ∧ v ( Q ) = 0 {\displaystyle v(P\Longrightarrow Q)={\begin{cases}1&v(P)=0\lor v(Q)=1\\0&v(P)=1\land v(Q)=0\end{cases}}} (여기서 ∨ {\displaystyle \lor } , ∧ {\displaystyle \land } 는 메타 언어의 논리합·논리곱 기호이다.) 논리식 P {\displaystyle P} 와 구조 v {\displaystyle v} 에 대하여 v ( P ) = 1 {\displaystyle v(P)=1} 이 성립한다면, v {\displaystyle v} 가 P {\displaystyle P} 를 만족(滿足, 영어: satisfy)시킨다고 하며, 이를 v ⊨ P {\displaystyle v\models P} 로 표기한다. 명제 논리의 논리식의 집합(즉, Sent ⁡ ( L I ) {\displaystyle \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{I})} 의 부분 집합)을 명제 논리의 이론(理論, 영어: theory)이라고 한다. 명제 논리의 이론 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 와 구조 v {\displaystyle v} 가 주어졌을 때, 임의의 P ∈ T {\displaystyle P\in {\mathcal {T}}} 에 대하여 v ⊨ P {\displaystyle v\models P} 라면, v {\displaystyle v} 가 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 모형(模型, 영어: model)이라고 하며, 이를 v ⊨ T {\displaystyle v\models {\mathcal {T}}} 로 표기한다. 모형을 갖는 이론을 만족 가능 이론(滿足可能理論, 영어: satisfiable theory)이라고 한다. 명제 논리는 건전성, 완전성, 콤팩트성 정리를 만족시킨다. n {\displaystyle n} 개의 원자 명제로 구성된 명제 논리의 논리식이 가질 수 있는 진리표는 총 2 2 n {\displaystyle 2^{2^{n}}} 개이다. 특히, 명제 논리는 총 16개의 (서로 동치가 아닌) 2항 논리 연산이 존재하며, 이들은 다음과 같다. 주어진 명제 논리의 2항 이하의 논리 연산의 집합으로부터 구성된 논리식이 모든 진리표를 나타낼 수 있고, 임의의 한 논리 연산을 제거하였을 때 나타낼 수 없는 진리표가 존재하게 된다면, 이 집합을 (극소) 함수적 완전 집합((極小)函數的完全集合, 영어: (minimal) functionally complete set)이라고 한다. 명제 논리의 극소 함수적 완전 집합은 정확히 다음과 같다.:132 크기 1 (총 2개) { ↑ } {\displaystyle \{\uparrow \}} { ↓ } {\displaystyle \{\downarrow \}} 크기 2 (총 18개) { ⟹ , ¬ } {\displaystyle \{\Longrightarrow ,\lnot \}} { ⟸ , ¬ } {\displaystyle \{\Longleftarrow ,\lnot \}} { ⟹̸ , ¬ } {\displaystyle \{\not \Longrightarrow ,\lnot \}} { ⟸̸ , ¬ } {\displaystyle \{\not \Longleftarrow ,\lnot \}} { ∧ , ¬ } {\displaystyle \{\land ,\lnot \}} { ∨ , ¬ } {\displaystyle \{\lor ,\lnot \}} { ⟹ , ⊥ } {\displaystyle \{\Longrightarrow ,\bot \}} { ⟸ , ⊥ } {\displaystyle \{\Longleftarrow ,\bot \}} { ⟹ , ⟺̸ } {\displaystyle \{\Longrightarrow ,\not \Longleftrightarrow \}} { ⟸ , ⟺̸ } {\displaystyle \{\Longleftarrow ,\not \Longleftrightarrow \}} { ⟹̸ , ⊤ } {\displaystyle \{\not \Longrightarrow ,\top \}} { ⟸̸ , ⊤ } {\displaystyle \{\not \Longleftarrow ,\top \}} { ⟹̸ , ⟺ } {\displaystyle \{\not \Longrightarrow ,\Longleftrightarrow \}} { ⟸̸ , ⟺ } {\displaystyle \{\not \Longleftarrow ,\Longleftrightarrow \}} { ⟹ , ⟹̸ } {\displaystyle \{\Longrightarrow ,\not \Longrightarrow \}} { ⟹ , ⟸̸ } {\displaystyle \{\Longrightarrow ,\not \Longleftarrow \}} { ⟸ , ⟹̸ } {\displaystyle \{\Longleftarrow ,\not \Longrightarrow \}} { ⟸ , ⟸̸ } {\displaystyle \{\Longleftarrow ,\not \Longleftarrow \}} 크기 3 (총 6개) { ⟺ , ∧ , ⊤ } {\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\land ,\top \}} { ⟺ , ∨ , ⊤ } {\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\lor ,\top \}} { ⟺̸ , ∧ , ⊥ } {\displaystyle \{\not \Longleftrightarrow ,\land ,\bot \}} { ⟺̸ , ∨ , ⊥ } {\displaystyle \{\not \Longleftrightarrow ,\lor ,\bot \}} { ⟺ , ⟺̸ , ∧ } {\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\not \Longleftrightarrow ,\land \}} { ⟺ , ⟺̸ , ∨ } {\displaystyle \{\Longleftrightarrow ,\not \Longleftrightarrow ,\lor \}} 크기 4 이상의 극소 함수적 완전 집합은 존재하지 않는다. 1차 논리 2차 논리 고차 논리 불 대수 부울 도메인 불 함수 조합 논리 선언적 삼단 논법 장 뷔리당 논리 기호 부정논리합 수리 논리학 연산 (수학) 대칭차 진리표 Srivastava, S. M. (2008). 《A Course on Mathematical Logic》. Universitext (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-76277-7. ISBN 978-0-387-76275-3. LCCN 2008920049.  Wernick, William (1942년 1월). “Complete Sets of Logical Functions”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (1): 117-132. doi:10.2307/1989982. ISSN 0002-9947. JSTOR 1989982.  “Propositional calculus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Propositional calculus”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이 문서에는 다음커뮤니케이션(현 카카오)에서 GFDL 또는 CC-SA 라이선스로 배포한 글로벌 세계대백과사전의 내용을 기초로 작성된 글이 포함되어 있습니다.