고런스틴 환

가환대수학에서 고런스틴 환(Gorenstein環, 영어: Gorenstein ring)은 국소적으로 표준 선다발의 단면의 가군층이 자유 가군층인 가환환이다.:519 즉, 특이점을 가질 수 있지만, 특이점이 비교적으로 "정칙적인" 아핀 스킴에 대응하는 가환환이다. 뇌터 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소환을 고런스틴 국소환(영어: Gorenstein local ring)이라고 한다.:141–142, Theorem 18.1 R {\displaystyle R} 의 단사 차원이 유한하다. R {\displaystyle R} 의 단사 차원이 크룰 차원과 같다. (뇌터 국소환의 크룰 차원은 항상 유한하다.) Ext R n ⁡ ( R / m , R ) ≅ { 0 n ≠ dim ⁡ R R / m n = dim ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {m}},R)\cong {\begin{cases}0&n\neq \dim R\\R/{\mathfrak {m}}&n=\dim R\end{cases}}} Ext R n ⁡ ( R / m , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {m}},R)=0} 인 n > dim ⁡ R {\displaystyle n>\dim R} 가 존재한다. 다음 두 조건이 성립한다. 모든 n < dim ⁡ R {\displaystyle n<\dim R} 에 대하여, Ext R n ⁡ ( R / m , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {m}},R)=0} Ext R dim ⁡ R ⁡ ( R / m , R ) ≅ R / m {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{\dim R}(R/{\mathfrak {m}},R)\cong R/{\mathfrak {m}}} R {\displaystyle R} 는 코언-매콜리 환이며, Ext R dim ⁡ n ⁡ ( R / m , R ) ≅ R / m {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{\dim n}(R/{\mathfrak {m}},R)\cong R/{\mathfrak {m}}} 여기서 dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} 는 R {\displaystyle R} 의 크룰 차원이며, Ext R n {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}} 는 Ext 함자이다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 고런스틴 환(영어: Gorenstein ring)이라고 한다.:145 모든 극대 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다. 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다. 마찬가지로, 국소 뇌터 스킴에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 고런스틴 스킴(영어: Gorenstein scheme)이라고 한다. 모든 닫힌 점(극대 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다. 모든 점(소 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 정칙환 ⊊ 완비교차환(영어: complete intersection ring) ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환 뇌터 국소환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:145, Theorem 18.3 R {\displaystyle R} 가 고런스틴 국소환이다. R {\displaystyle R} 의 (극대 아이디얼에서의) 완비화 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 가 고런스틴 국소환이다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 위의 아르틴 가환 결합 대수(즉, K {\displaystyle K} -벡터 공간으로서 유한 차원인 것) R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 3.15, Theorem 16.23 고런스틴 환이다. 어떤 K {\displaystyle K} -선형 변환 t : R → K {\displaystyle t\colon R\to K} 에 대하여, 대칭 쌍선형 형식 ⟨ x , y ⟩ = t ( x y ) {\displaystyle \langle x,y\rangle =t(xy)} 이 비퇴화 쌍선형 형식이다. 크룰 차원이 0인 임의의 뇌터 국소환 ( R , m , κ = R / m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa =R/{\mathfrak {m}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 고런스틴 국소환이다. hom R ⁡ ( κ , R ) {\displaystyle \hom _{R}(\kappa ,R)} 는 κ {\displaystyle \kappa } -벡터 공간으로서 1차원이다. 다음이 주어졌다고 하자. 고런스틴 스킴 X {\displaystyle X} 체 K {\displaystyle K} 유한형 사상 f : X → Spec ⁡ K {\displaystyle f\colon X\to \operatorname {Spec} K} 그렇다면, 세르 쌍대성에서, 쌍대화 복합체는 사실 하나만의 가역층으로 주어진다. (이는 쌍대화 복합체에서 등급 − dim ⁡ X {\displaystyle -\dim X} 의 성분이다.) 물론, 만약 f {\displaystyle f} 가 매끄러운 사상이라면, 이 가역층은 dim ⁡ X {\displaystyle \dim X} 차 미분 형식의 가역층인 표준 선다발이다. 대니얼 고런스틴(영어: Daniel Gorenstein)의 대수 곡선에 대한 논문을 바탕으로, 알렉산더 그로텐디크가 도입하였다. 고런스틴 자신은 "나는 고런스틴 환의 정의조차 이해하지 못한다"고 말하는 것을 좋아했다고 한다.:230 Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Gorenstein, Daniel (1952). “An arithmetic theory of adjoint plane curves”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 72: 414–436. doi:10.2307/1990710. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990710. MR 0049591.  Grothendieck, Alexander (1957). 〈Exposé 149. Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents〉. 《Séminaire Bourbaki. Volume 4: Années 1956/57 – 1957/58. Exposés 137–168》 (프랑스어). Paris: Société Mathématique de France. 169–193쪽. MR 1610898. Zbl 0227.14014.  “Gorenstein ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gorenstein ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Geometric interpretation and differences of Gorenstein rings, complete intersections and regular rings” (영어). Math Overflow.  코언-매콜리 환