초다양체

초다양체(超多樣體, 영어: supermanifold)는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다. 음이 아닌 정수 p , q {\displaystyle p,q} 를 생각하자. ( p {\displaystyle p} 는 보손적 차원의 수, q {\displaystyle q} 는 페르미온적 차원의 수다.) p | q {\displaystyle p|q} 차원의 초공간은 다음과 같은 데이터로 주어진 환 달린 공간이다. 두 실수 벡터 공간 X {\displaystyle X} , V {\displaystyle V} ( dim ⁡ X = p {\displaystyle \dim X=p} , dim ⁡ V = q {\displaystyle \dim V=q} ) 자명한 벡터 다발 E = X × ⋀ ( V ∗ ) ↠ X {\displaystyle \textstyle E=X\times \bigwedge (V^{*})\twoheadrightarrow X} E {\displaystyle E} 의 매끄러운 단면으로 구성되는, Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급 실수 결합 대수의 층 Γ ∞ ( X , E ) = C ∞ ( X ) ⊗ ⋀ ( V ∗ ) {\displaystyle \textstyle \Gamma ^{\infty }(X,E)={\mathcal {C}}^{\infty }(X)\otimes \bigwedge (V^{*})} 이 층의 단면 f ∈ C ∞ ( X , ⋀ V ∗ ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }\left(X,\bigwedge V^{*}\right)} 은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다. f = ∑ I , J 1 I ! f I , J x I ξ J + o ( 1 ) {\displaystyle f=\sum _{I,J}{\frac {1}{I!}}f_{I,J}x^{I}\xi ^{J}+o(1)} I ∈ N dim ⁡ V {\displaystyle I\in \mathbb {N} ^{\dim V}} J ∈ { 0 , 1 } dim ⁡ V {\displaystyle J\in \{0,1\}^{\dim V}} 이에 따라, 이는 “가환 좌표” ( x 1 , … , x p ) {\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{p})} 와 “반가환 좌표” ( ξ 1 , … , ξ q ) {\displaystyle (\xi ^{1},\dotsc ,\xi ^{q})} 에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다. 이 환 달린 공간을 R p | q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p|q}} 로 표기하자. 음이 아닌 정수 p , q {\displaystyle p,q} 를 생각하자. ( p {\displaystyle p} 는 보손적 차원의 수, q {\displaystyle q} 는 페르미온적 차원의 수다.) p | q {\displaystyle p|q} 차원의 초다양체는 다양체이자, 국소적으로 R p | q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p|q}} 와 동형인 환 달린 공간이다. 이는 일반적 매끄러운 다양체의 정의 (국소적으로 C ∞ ( R p ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})} 와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다. 데카르트 좌표계 ( x 1 , … , x p , θ 1 , … , θ q ) {\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{p},\theta ^{1},\dotsc ,\theta ^{q})} 를 갖는 초공간 R p | q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p|q}} 위의 미분 형식들의 층은 다음과 같은, Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급 미분 등급 대수의 층이다. Ω ( R p | q ) = C ∞ ( R p ) ⊗ R ⋀ Span R ⁡ { d x 1 , … , d x p , θ 1 , … , θ q , d θ 1 , … , d θ q } {\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{p|q})={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes _{\mathbb {R} }\bigwedge \operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\left\{\mathrm {d} x^{1},\dotsc ,\mathrm {d} x^{p},\,\theta ^{1},\dotsc ,\theta ^{q},\mathrm {d} \theta ^{1},\dotsc ,\mathrm {d} \theta ^{q}\right\}} deg ⁡ x i = deg ⁡ d θ = 0 {\displaystyle \deg x^{i}=\deg \mathrm {d} \theta =0} deg ⁡ d x i = deg ⁡ θ i = 1 {\displaystyle \deg \mathrm {d} x^{i}=\deg \theta ^{i}=1} 임의의 p | q {\displaystyle p|q} 차원 초다양체 M {\displaystyle M} 의 미분 형식들의 층은 초공간 위의 미분 형식의 층들을 짜깁기하여 얻어진다. M {\displaystyle M} 이 매끄러운 다양체라고 하고, E {\displaystyle E} 가 M {\displaystyle M} 위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 ⋀ ∙ ( E ∗ ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\bullet }(E^{*})} 의 매끄러운 단면들의 층을 갖춘 M {\displaystyle M} 은 초다양체를 이룬다. 이를 Π E {\displaystyle \Pi E} 라고 쓴다. Π {\displaystyle \Pi } 는 매끄러운 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다. Π : VectBdl → sMfd {\displaystyle \Pi \colon \operatorname {VectBdl} \to \operatorname {sMfd} } 특히, E = T M {\displaystyle E=\mathrm {T} M} (접다발)인 경우 Π T M {\displaystyle \Pi \mathrm {T} M} 은 미분 형식들의 층 Ω ( M ) {\displaystyle \Omega (M)} 이다. 배첼러 정리(Batchelor定理, 영어: Batchelor's theorem)에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉. 모든 초다양체는 Π E {\displaystyle \Pi E} 의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 또한, 함자 Π {\displaystyle \Pi } 는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} , F ↠ N {\displaystyle F\twoheadrightarrow N} 이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상 ϕ : E → F {\displaystyle \phi \colon E\to F} 은 초다양체의 사상 Π ϕ : Π ( E ) → Π ( F ) {\displaystyle \Pi \phi \colon \Pi (E)\to \Pi (F)} 을 유도하는데, 층 단면의 밂 ( Π ϕ ) ∗ : Γ ( O Π ( E ) ) → Γ ( O Π ( F ) ) {\displaystyle (\Pi \phi )_{*}\colon \Gamma ({\mathcal {O}}_{\Pi (E)})\to \Gamma ({\mathcal {O}}_{\Pi (F)})} 는 (외대수에서 유도되는) N {\displaystyle \mathbb {N} } 값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 차수만을 보존한다. 임의의 두 초다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 에 대하여, 다음이 성립한다. hom sMfd ⁡ ( M , N ) ≅ hom sAlg R ⁡ ( Γ ( O N ) , Γ ( O M ) ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {sMfd} }(M,N)\cong \hom _{\operatorname {sAlg} _{\mathbb {R} }}(\Gamma ({\mathcal {O}}_{N}),\Gamma ({\mathcal {O}}_{M}))} 여기서 sAlg R {\displaystyle \operatorname {sAlg} _{\mathbb {R} }} 는 실수 위의, Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급을 갖는 실수 등급 대수의 범주이다. 즉, 이는 함자 sMfd → sAlg R op {\displaystyle \operatorname {sMfd} \to \operatorname {sAlg} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }} 를 정의한다. 또한, 이는 충실충만한 함자이다. Rogers, Alice (2007년 4월). 《Supermanifolds: theory and applications》 (영어). Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1878. ISBN 978-981-02-1228-5.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Cattaneo, Alberto S.; Florian Schätz (2011년 7월). “Introduction to supergeometry”. 《Reviews in mathematical physics》 (영어) 23 (6): 669. arXiv:1011.3401. Bibcode:2011RvMaP..23..669C. doi:10.1142/S0129055X11004400. ISSN 0129-055X.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Sardanashvily, G. (2009). “Lectures on supergeometry” (영어). arXiv:0910.0092. Bibcode:2009arXiv0910.0092S.  Witten, Edward (2012). “Notes on supermanifolds and integration” (영어). arXiv:1209.2199. Bibcode:2012arXiv1209.2199W.  Witten, Edward (2012). “Notes on super Riemann surfaces and their moduli” (영어). arXiv:1209.2459. 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