갈릴레이 군

물리학과 수학에서 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다. n {\displaystyle n} 차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 R × R n {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}} 위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, 영어: Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다. ( t , x ) ↦ ( t + s , t v + R x + y ) , ( s ∈ R , v ∈ R n , R ∈ SO ⁡ ( n ; R ) ) {\displaystyle (t,\mathbf {x} )\mapsto (t+s,t\mathbf {v} +R\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\;(s\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))} 이들은 함수의 합성 아래 ( n + 1 ) ( n + 2 ) / 2 {\displaystyle (n+1)(n+2)/2} 차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group) Gal ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)} 이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다. Gal ⁡ ( n + 1 ) = R n + 1 ⋊ ISO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\mathbb {R} ^{n+1}\rtimes \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )} 여기서 ISO ⁡ ( n ; R ) = R n ⋊ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)} 은 유클리드 군이다. ISO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )} 는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다. ISO ⁡ ( n ; R ) = { ( 1 v 0 R ) : v ∈ R n , R ∈ SO ⁡ ( n ; R ) } {\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&\mathbf {v} \\\mathbf {0} &R\end{pmatrix}}\colon \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\;R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\right\}} 그렇다면, 반직접곱에서 ISO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )} 의 R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} 위의 작용은 다음과 같다. ISO ⁡ ( n ; R ) → Aut ⁡ ( R n + 1 ) = GL ⁡ ( R n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n+1})=\operatorname {GL} (\mathbb {R} ^{n+1})} ( 1 0 v R ) : ( t , x ) ↦ ( 1 0 v R ) ( t x ) = ( t R x + v t ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon (t,\mathbf {x} )\mapsto {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t\end{pmatrix}}} 갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다. Gal ⁡ ( n + 1 ) = { ( 1 0 0 s 1 0 y v R ) : R ∈ SO ⁡ ( n ) , v , y ∈ R n , s ∈ R } {\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon R\in \operatorname {SO} (n),\;\mathbf {v} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},\;s\in \mathbb {R} \right\}} 이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다. ( 1 0 0 s 1 0 y v R ) : ( 1 t x ) ↦ ( 1 0 0 s 1 0 y v R ) ( 1 t x ) = ( 1 t + s R x + v t + y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon {\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\t+s\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t+\mathbf {y} \end{pmatrix}}} 갈릴레이 군 Gal ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)} 의 리 대수를 갈릴레이 대수(Galilei代數, 영어: Galilean algebra) g a l ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {gal}}(n+1)} 이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자. 그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 i {\displaystyle i} 가 곱해져 있다.) [ H , P i ] = [ P i , P j ] = [ J i j , H ] = [ C i , C j ] = [ C i , P j ] = 0 {\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=[C_{i},P_{j}]=0} [ J i j , J k l ] = i [ δ i k J j l − δ i l J j k − δ j k J i l + δ j l J i k ] {\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]} [ J i j , P k ] = i [ δ i k P j − δ j k P i ] {\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]} [ J i j , C k ] = i [ δ i k C j − δ j k C i ] {\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]} [ C i , H ] = i P i {\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}} 갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.:191, §Ⅳ.7 dim ⁡ H 2 ⁡ ( g a l ( 3 + 1 ) ) = 1 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {gal}}(3+1))=1} 이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 M {\displaystyle M} 을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다. [ H , P i ] = [ P i , P j ] = [ J i j , H ] = [ C i , C j ] = 0 {\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=0} [ J i j , J k l ] = i [ δ i k J j l − δ i l J j k − δ j k J i l + δ j l J i k ] {\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]} [ J i j , P k ] = i [ δ i k P j − δ j k P i ] {\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]} [ J i j , C k ] = i [ δ i k C j − δ j k C i ] {\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]} [ C i , H ] = i P i {\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}} [ C i , P j ] = i M δ i j {\displaystyle [C_{i},P_{j}]=iM\delta _{ij}} 따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다. 3+1차원 갈릴레이 대수 g a l ( 3 + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {gal}}(3+1)} 의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다. 우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다. 중심 전하 M {\displaystyle M} . 이는 질량에 해당한다. 질량껍질 불변량 M E − P 2 / 2 {\displaystyle ME-P^{2}/2} . 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다. W i j = M J i j + P i C j − P j C i {\displaystyle W_{ij}=MJ_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}} W i j k = P i J j k + P j J k i + P k J i j {\displaystyle W_{ijk}=P_{i}J_{jk}+P_{j}J_{ki}+P_{k}J_{ij}} W i j {\displaystyle W_{ij}} 및 W i j k {\displaystyle W_{ijk}} 는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다. 슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각 m {\displaystyle m} m E 0 {\displaystyle mE_{0}} w i j {\displaystyle w_{ij}} w i j k {\displaystyle w_{ijk}} 라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, m {\displaystyle m} 은 실수이다. 물리학적으로 E 0 ≥ 0 {\displaystyle E_{0}\geq 0} 이어야만 한다. m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0} 인 경우를 생각하자. ( E , P ) {\displaystyle (E,\mathbf {P} )} 공간 위에 질량껍질 제약 m E = m E 0 + P 2 / 2 {\displaystyle mE=mE_{0}+P^{2}/2} 을 가한 초곡면을 질량껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환 C i {\displaystyle C_{i}} 는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다. 유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, C i {\displaystyle C_{i}} 의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 J i j {\displaystyle J_{ij}} 에 의해 생성되는 스핀 군 Spin ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)} 이다 ( n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ). n = 3 {\displaystyle n=3} 인 경우, 3차원 스핀 군 Spin ⁡ ( 3 ) = SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)=\operatorname {SU} (2)} 의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 s ∈ { 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , … } {\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,\dots \}} 에 의하여 완전히 분류된다. 즉, m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0} 인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 Spin ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)} 의 유니터리 표현 s {\displaystyle s} 및 질량 m {\displaystyle m} , 정지 에너지 E 0 {\displaystyle E_{0}} 에 의하여 분류된다. m = 0 {\displaystyle m=0} 인 경우, 유니터리 표현이므로 m E − p 2 / 2 = − p 2 / 2 ≤ 0 {\displaystyle mE-\mathbf {p} ^{2}/2=-\mathbf {p} ^{2}/2\leq 0} 이다. 유도 표현 방법에 따르면, ( E , P ) {\displaystyle (E,\mathbf {P} )} 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다. p 2 = 0 {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=0} 인 경우: 이 경우 안정자군은 J i j {\displaystyle J_{ij}} 와 C i {\displaystyle C_{i}} 에 의하여 생성되는 유클리드 군 ISO ⁡ ( n ) ≅ R n ⋊ SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)\cong \mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)} 이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다. p 2 > 0 {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}>0} 인 경우: 이 경우 안정자군은 ISO ⁡ ( n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)} 이며, 이는 p {\displaystyle \mathbf {p} } 에 대하여 수직인 방향의 C i {\displaystyle C_{i}} 및 P i {\displaystyle P_{i}} 에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 ISO ⁡ ( n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)} 의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(영어: action at a distance)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다. 0+1차원 갈릴레이 대수 g a l ( 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1)} 은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 Gal ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (1)} 은 1차원 아벨 리 군 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이다. 1+1차원 갈릴레이 대수 g a l ( 1 + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1+1)} 은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 h ( 3 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )} 와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저 h ( 3 ; R ) = Span ⁡ { x , p , ℏ } {\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )=\operatorname {Span} \{x,p,\hbar \}} [ x , p ] = i ℏ {\displaystyle [x,p]=i\hbar } [ x , ℏ ] = [ p , ℏ ] = 0 {\displaystyle [x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0} 가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다. C ↦ x {\displaystyle C\mapsto x} H ↦ p {\displaystyle H\mapsto p} P ↦ ℏ {\displaystyle P\mapsto \hbar } 이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다. 마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.) 갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다. 실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(영어: Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다. 갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.:191–196 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다. Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1990). 《Geometric asymptotics》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 14 2판. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1633-0.  Galilei, Galileo (1638). 《Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuoue ſcienze Attinenti alla Mecanica & i Movimenti Locali. Con vna Appendice del centro di grauità d’alcuni Solidi》 (이탈리아어). 레이던: Appreſſo gli Elſevirii.  Arnold, Vladimir I. (1997). 《Mathematical methods of classical mechanics》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Bargmann, Valentine (1954). “On unitary ray representations of continuous groups”. 《Annals of Mathematics》. 2 (영어) 59 (1): 1–46. doi:10.2307/1969831. JSTOR 1969831.  Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967). “Nonrelativistic particles and wave equations”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 6 (4): 286–311. Bibcode:1967CMaPh...6..286L. doi:10.1007/bf01646020.  “Galilean group”. 《nLab》 (영어).  “Classical anomaly”. 《nLab》 (영어).  “Galilean, SE(3), Poincare groups - Central Extension” (영어). StackExchange.  YAN Kun(2004). 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