순서쌍

수학에서 순서쌍(順序雙, 영어: ordered pair)이란 두 개의 수학적 대상을 순서를 정하여 짝지어 나타낸 쌍이다. 두 대상 a, b로부터 순서를 생각하여 만든 쌍을 흔히 (a, b)로 적는다. 이는 a와 b가 같지 않는 한, (b, a)와 다른 순서쌍이다. 순서쌍은 2-튜플, 또는 두짝(영어: 2-tuple)이라고도 불린다. 순서쌍 (a, b)에서의 a, b를 각각 첫 번째, 두 번째 성분(영어: first (second) entry)이라고 한다. 때로는 첫 번째, 두 번째 좌표(영어: first (second) coordinate)라고도 한다. 두 순서쌍이 같을 필요충분조건은, 두 순서쌍의 첫째와 둘째 성분이 각각 같은 것이다. 집합론에서는 이 성질을 구현하기 위해 (a, b) := {{a}, {a, b}}와 같은 정의를 자주 사용한다. 순서쌍의 성분은 스칼라이거나(2 차원 벡터), 다른 순서쌍일 수 있다. 이로써, 순서쌍을 이용해 순서있는 n-튜플을 귀납적으로 정의하는 것이 가능하다. 예를 들어, 순서쌍 (a, b, c)는 (a, (b, c))로 정의할 수 있다. 곱집합, 함수를 비롯한 이항관계와 같은 수학 개념은 순서쌍을 이용하여 정의되었다. 순서쌍의 가장 기본적인 성질은, 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같은 것이라는 것이다. 즉, ( a , b ) = ( c , d )   ⟺   a = c ∧ b = d {\displaystyle (a,b)=(c,d)\ \iff \ a=c\wedge b=d} 이러한 성질을 순서쌍을 정의내리는 데에 사용할 수 있다. 첫 번째 성분을 집합 A {\displaystyle A} , 두 번째 성분을 집합 B {\displaystyle B} 에서 취한 모든 순서쌍의 집합을 곱집합이라고 하고 A × B {\displaystyle A\times B} 로 표기한다. 집합 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 사이의 이항 관계는 A × B {\displaystyle A\times B} 의 부분집합이다. 순서쌍의 통상적인 표기법은 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 꼴이지만, 개구간 등의 표기와 혼동하지 않기 위해 ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } 로 나타내기도 한다. 순서쌍의 위 성질은 순서쌍의 본질을 보여주고 있다. 이 본질적인 성질을 공리로 두어 순서쌍을 무정의 용어로 취급할 수 있다. 이는 니콜라 부르바키 단체의 1954년 출간된 《집합론》에서 사용된 처리법이다. 1970년 출간된 2 판에서 쿠라토프스키의 정의가 추가되었다. 수학기초론의 일원인 공리적 집합론에서는 모든 개념을 집합으로서 정의한다. 순서쌍의 집합론적 정의의 예로는 다음의 것들이 있다. 순서쌍의 최초 집합론적 정의는 1914년 노버트 위너에 의해 제안되었다. ( a , b ) := { { { a } , ∅ } , { { b } } } {\displaystyle (a,\,b):=\{\{\{a\},\,\emptyset \},\,\{\{b\}\}\}} 그에 의하면 이러한 정의는 《수학 원리》의 모든 유형을 집합으로 정의될 수 있게 한다. (《수학 원리》의 관계를 비롯한 유형들은 본래 모두 정의내리지 않는 원시 개념이다.) 그는 정의와 유형 이론이 양립하게 하기 위해(즉, 집합의 원소가 모두 같은 유형이어야 한다), { b } {\displaystyle \{b\}} 가 아닌 { { b } } {\displaystyle \{\{b\}\}} 를 사용하였다, 이렇게 하면 { { b } } {\displaystyle \{\{b\}\}} 는 { { a } , ∅ } {\displaystyle \{\{a\},\,\emptyset \}} 와 같은 유형이 된다. 위너와 비슷한 시기에(1914), 펠릭스 하우스도르프는 다른 정의를 제안하였다. ( a , b ) := { { a , 1 } , { b , 2 } } {\displaystyle (a,\,b):=\{\{a,\,1\},\,\{b,\,2\}\}} 여기서 1, 2(1 ≠ 2)는 a, b와 다른 대상이다. 오늘날에 쓰이는 정의는 카지미에시 쿠라토프스키가 1912년에 제시하였다. ( a ,   b ) K = { { a } ,   { a ,   b } } {\displaystyle (a,\ b)_{K}=\{\{a\},\ \{a,\ b\}\}} 이 정의는 두 성분이 같은 경우에 쓰여도 무방하다. ( x ,   x ) K = { { x } ,   { x ,   x } = { { x } ,   { x } } = { { x } } {\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\ \{x,\ x\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}} 임의의 순서쌍 p {\displaystyle p} 의 첫 번째 성분은 다음 조건들의 동치성에 의해 추출할 수 있다. a {\displaystyle a} 는 순서쌍 p {\displaystyle p} 의 첫 번째 성분이다. ∀ Y ∈ p : a ∈ Y {\displaystyle \forall Y\in p:a\in Y} a = ⋃ ⋂ p {\displaystyle a=\bigcup \bigcap p} 비슷한 결론이 두 번째 성분에 대해서도 존재한다. b {\displaystyle b} 는 순서쌍 p {\displaystyle p} 의 두 번째 성분이다. ( ∃ Y ∈ p : b ∈ Y ) ∧ ( ∀ Y 1 , Y 2 ∈ p : ( Y 1 ≠ Y 2 ) → ( b ∉ Y 1 ∨ b ∉ Y 2 ) ) {\displaystyle (\exists Y\in p:b\in Y)\wedge (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(Y_{1}\neq Y_{2})\rightarrow (b\notin Y_{1}\vee b\notin Y_{2}))} b = ⋃ { x ∈ ⋃ p | ⋃ p ≠ ⋂ p → x ∉ ⋃ p } {\displaystyle b=\bigcup \{x\in \bigcup p|\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow x\notin \bigcup p\}} 위 정의는 순서쌍의 기본 성질을 반영하기에 충분하다, 즉 ( a , b ) = ( x , y ) ↔ ( a = x ) ∧ ( b = y ) {\displaystyle (a,\,b)=(x,\,y)\leftrightarrow (a=x)\wedge (b=y)} . 순서성을 반영하는 데에도 충분하다, 즉 a ≠ b → ( a , b ) ≠ ( b , a ) {\displaystyle a\neq b\rightarrow (a,\,b)\neq (b,\,a)} . 아래의 비슷한 정의들도 순서쌍을 구성하기에 충분하다. ( a , b ) reverse := { { b } , { a , b } } {\displaystyle (a,\,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\,\{a,\,b\}\}} ( a , b ) short := { a , { a , b } } {\displaystyle (a,\,b)_{\text{short}}:=\{a,\,\{a,\,b\}\}} ( a , b ) 01 := { { 0 , a } , { 1 , b } } {\displaystyle (a,\,b)_{01}:=\{\{0,\,a\},\,\{1,\,b\}\}} reverse 정의는 쿠라토프스키의 정의의 자명한 변형이며, 따로 논할 가치가 없다. short 정의는 괄호를 두 쌍만 사용한다는 점에서 이름을 땄다. short 정의는 몇가지 결점을 가진다. 첫째, 기본 성질을 만족함을 증명하기 위해 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 사용해야 한다. 둘째, 자연수의 폰 노이만 정의를 채용했을 때, 2 = { 0 , 1 } = { 0 , { 0 } } = ( 0 , 0 ) short {\displaystyle 2=\{0,\,1\}=\{0,\,\{0\}\}=(0,\,0)_{\text{short}}} 와 같은 부자연스러운 결과를 낳는다. 셋째, short 순서쌍의 원소는 항상 유형이 다르다. 그러나 short 정의에서의 순서쌍은 모두 2를 기수로 한다는 점, 또 미자르 시스템의 기초인 타르스키-그로텐디크 집합론에서 사용된다는 점에 주의할 필요 있다. 다음은 ( a , b ) = ( c , d ) ⟺ a = c ∧ b = d {\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\wedge b=d} 성질의 증명이다. 쿠라토프스키 먼저, a = c ∧ b = d {\displaystyle a=c\wedge b=d} 이면, ( a , b ) K = { { a } , { a , b } } = { { c } , { c , d } } = ( c , d ) K {\displaystyle (a,b)_{K}=\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}=(c,d)_{K}} 또한 ( a , b ) K = ( c , d ) K ⇒ { { a } , { a , b } } = { { c } , { c , d } } ⇒ ( { a } = { c } ) ∨ ( { a } = { c , d } ) ⇒ ( a = c ) ∨ ( c = a ∧ d = a ) ⇒ a = c {\displaystyle {\begin{array}{cl}&(a,b)_{K}=(c,d)_{K}\\\Rightarrow &\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\\\Rightarrow &(\{a\}=\{c\})\vee (\{a\}=\{c,d\})\\\Rightarrow &(a=c)\vee (c=a\wedge d=a)\\\Rightarrow &a=c\\\end{array}}} 그리고 ( a , b ) K = ( c , d ) K ⇒ ⋃ ( a , b ) K = ⋃ ( c , d ) K ⇒ { a , b } = { a , d } ⇒ ( b = a ∨ b = d ) ∧ ( d = a ∨ d = b ) ⇒ ( b = d ) ∨ ( b = a ∧ d = a ) ⇒ b = d {\displaystyle {\begin{array}{cl}&(a,b)_{K}=(c,d)_{K}\\\Rightarrow &\bigcup (a,b)_{K}=\bigcup (c,d)_{K}\\\Rightarrow &\{a,b\}=\{a,d\}\\\Rightarrow &(b=a\vee b=d)\wedge (d=a\vee d=b)\\\Rightarrow &(b=d)\vee (b=a\wedge d=a)\\\Rightarrow &b=d\\\end{array}}} reverse 정의도 위와 비슷하게 기본 성질을 만족한다는 것을 보일 수 있다. short 정의. 아래에서 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 표기를 한 과정은 정칙성 공리를 사용하였다. a = c ∧ b = d ⇒ { a , { a , b } } = { c , { c , d } } ⇒ ( a , b ) short = ( c , d ) short {\displaystyle a=c\wedge b=d\Rightarrow \{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}\Rightarrow (a,b)_{\text{short}}=(c,d)_{\text{short}}} 순서쌍의 같음 ⇒ a = c ( a , b ) short = ( c , d ) short ⇒ { a , { a , b } } = { c , { c , d } } ⇒ ( a = c   ∨   a = { c , d } )   ∧   ( c = a   ∨   c = { a , b } ) ⇒ ( a = c )   ∨   ( a = { c , d }   ∧   c = { a , b } ) ⇒ ( a = c )   ∨   ( c ∈ a   ∧   a ∈ c ) ⇒ a = c ( ∗ ) {\displaystyle {\begin{array}{clc}&(a,b)_{\text{short}}=(c,d)_{\text{short}}&\\\Rightarrow &\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}&\\\Rightarrow &(a=c\ \vee \ a=\{c,d\})\ \wedge \ (c=a\ \vee \ c=\{a,b\})&\\\Rightarrow &(a=c)\ \vee \ (a=\{c,d\}\ \wedge \ c=\{a,b\})&\\\Rightarrow &(a=c)\ \vee \ (c\in a\ \wedge \ a\in c)&\\\Rightarrow &a=c&(*)\\\end{array}}} 순서쌍의 같음 ⇒ b = d ( a , b ) short = ( c , d ) short ⇒ { a , { a , b } } = { a , { a , d } } ⇒ a ∪ { a , b } = a ∪ { a , d } ⇒ ( b ∈ a   ∨   b = a   ∨   b = d )   ∧   ( d ∈ a   ∨   d = a   ∨   d = b ) ⇒ ( b = a   ∨   b = d )   ∧   ( d = a   ∨   d = b ) ( ∗ ) ⇒ ( b = d )   ∨   ( b = a   ∧   d = a ) ⇒ b = d {\displaystyle {\begin{array}{clc}&(a,b)_{\text{short}}=(c,d)_{\text{short}}&\\\Rightarrow &\{a,\{a,b\}\}=\{a,\{a,d\}\}&\\\Rightarrow &a\cup \{a,b\}=a\cup \{a,d\}&\\\Rightarrow &(b\in a\ \vee \ b=a\ \vee \ b=d)\ \wedge \ (d\in a\ \vee \ d=a\ \vee \ d=b)&\\\Rightarrow &(b=a\ \vee \ b=d)\ \wedge \ (d=a\ \vee \ d=b)&(*)\\\Rightarrow &(b=d)\ \vee \ (b=a\ \wedge \ d=a)&\\\Rightarrow &b=d&\\\end{array}}} 1953년 로서는 콰인의 정의를 확장하였다. 로서-콰인 정의는 자연수의 선결적 정의를 필요로 한다. N {\displaystyle \mathbb {N} } 을 자연수의 집합으로 두고, x ∖ N {\displaystyle x\setminus \mathbb {N} } 을 N {\displaystyle \mathbb {N} } 에 속하지 않는 x {\displaystyle x} 의 원소들의 집합이라고 하자. 먼저 함수 φ {\displaystyle \varphi } 를 정의한다. φ ( x ) = ( x ∖ N ) ∪ { n + 1 : n ∈ ( x ∩ N ) } {\displaystyle \varphi (x)=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}} 이 변환은 x {\displaystyle x} 안의 모든 자연수를 1 증가시킨다. 또한 φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} 는 0을 포함하지 않는다. 그러므로 모든 집합 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 에 대해 다음이 성립한다. φ ( x ) ≠ { 0 } ∪ φ ( y ) {\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y)} 이제 순서쌍 ( A , B ) {\displaystyle (A,B)} 를 정의한다. ( A , B ) = { φ ( a ) : a ∈ A } ∪ { 0 ∪ φ ( b ) : b ∈ B } {\displaystyle (A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{0\cup \varphi (b):b\in B\}} 이렇게 정의된 순서쌍에서도 첫째, 둘째 성분을 추출할 수 있다. 첫째 성분 A {\displaystyle A} 는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들에 φ {\displaystyle \varphi } 변환을 벗겨서 이루어진 집합이다. 둘째 성분 B {\displaystyle B} 는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하는 모든 집합들에 적당한 변환을 가하여 이루어진 집합이다. 아래는 이의 공식화이다. A = { φ − 1 ( α ) : α ∈ ( A , B ) , 0 ∉ α } {\displaystyle A=\{\varphi ^{-1}(\alpha ):\alpha \in (A,B),0\notin \alpha \}} B = { φ − 1 ( β ∖ { 0 } ) : β ∈ ( A , B ) , 0 ∈ β } {\displaystyle B=\{\varphi ^{-1}(\beta \setminus \{0\}):\beta \in (A,B),0\in \beta \}} 유형 이론과 그의 갈래(새기초 집합론 등)에서, 콰인-로서 순서쌍은 두 성분과 유형이 같다. 그렇기에 이 정의는 (일정 조건을 만족하는 순서쌍들로 이루어진 집합으로 정의된) 함수가 변수보다 유형이 1 만큼만 크다는 장점이 있다. 이 정의는 자연수 집합이 무한할 때만 의미가 있다. NF는 그러하지만, 유형 이론이나 NFU는 그렇지 않다. 로서는 이러한 두 성분과 유형이 같은 순서쌍의 존재성으로부터 무한 공리를 유추할 수 있음을 증명하였다. 모스-켈리 집합론에서는 고유 모임을 자유로이 사용할 수 있다. 모스의 정의는 순서쌍의 성분이 고유 모임일 수도 있게끔한다. 이는 쿠라토프스키 정의에서 허용되지 않는다. 그는 우선 집합을 성분으로 하는 순서쌍을 쿠라토프스키의 방식으로 정의한 뒤, 순서쌍을 다음과 같이 재정의하였다. ( x , y ) = ( { 0 } × s ( x ) ) ∪ ( { 1 } × s ( y ) ) {\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))} 여기서의 곱집합은 쿠라토프스키 순서쌍의 집합이고, s ( x ) = { ∅ } ∪ { { t } : t ∈ x } {\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}:t\in x\}} 이다. 이는 고유 모임을 성분으로 하는 순서쌍을 허용케 한다. 이는 위의 콰인-로서 정의도 마찬가지이다. 이와 비슷하게 세짝(영어: 3-tuple, triple)을 다음과 같이 정의할 수 있다. ( x , y , z ) = ( { 0 } × s ( x ) ) ∪ ( { 1 } × s ( y ) ) ∪ ( { 2 } × s ( z ) ) {\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))} 한원소 집합으로 이루어진 집합 s ( x ) {\displaystyle s(x)} 의 사용하여 정의한 튜플은 일종의 유일성을 부여받는다. 즉, 임의의 n-튜플 a와 m-튜플 b에 대해, 만약 a = b 이면, n = m이다. 이는 순서쌍을 이용해 재귀적으로 정의한 튜플에게는 없는 성질이다, (a, b, c) = (a, (b, c))는 2-튜플이기도, 3-튜플이기도 하다. 튜플 곱집합 이항관계 함수 Willard Van Orman Quine. 〈53〉. 《Word and Object》 (영어).  Thomas Forster. 《Reasoning about theoretical entities》 (영어).  Wiener, Norbert (1967). 〈A Simplification of the logic of relations〉. van Heijenoort, Jean. 《From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic》 (학위논문) (영어) 재판. Harvard University Press, Cambridge MA. ISBN 0-674-32449-8.  Kuratowski, Casimir (1921). “Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 2 (1): 161–171. 2013년 10월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 8월 10일에 확인함.  이는 0, 1(0 ≠ 1)이 a, b와 다를 것을 요구하지 않는다는 점에서 하우스도르프의 정의와 다른 정의이다. 첫 번째 별표에서, 정칙성 공리에 의해 c ∈ a , a ∈ c {\displaystyle c\in a,\,a\in c} 인 두 집합 a , c {\displaystyle a,c} 는 존재하지 않는다. 두 번째 별표에서, 정칙성 공리에 의해 b , d {\displaystyle b,d} 모두 a {\displaystyle a} 에 속하지 않는다.