디랙 장

디랙 장(영어: Dirac field)은 양자장론에서 스핀 1/2 페르미 입자를 설명하는 스피너 장이다. 상대론적 양자역학에서 디랙 방정식에 따른 장으로 폴 디랙에 의해 도입되었다. 디랙 장 ψ(x) 는 미소 로런츠 변환하에서 i [ M μ ν , ψ a ( x ) ] = x μ ∂ ν ψ a − x ν ∂ μ ψ a + i ( S μ ν ) a b ψ b {\displaystyle i[M_{\mu \nu },\psi _{a}(x)]=x_{\mu }\partial _{\nu }\psi _{a}-x_{\nu }\partial _{\mu }\psi _{a}+i(S_{\mu \nu })_{a}{}^{b}\,\psi _{b}} 라고 변환된다. 스핀 행렬 S 는 감마 행렬에 의해 S μ ν = i 4 ( γ μ γ ν − γ ν γ μ ) {\displaystyle S_{\mu \nu }={\frac {i}{4}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })} 라고 표현된다. 디랙 장은 감마 행렬의 행렬 성분과 같은 첨자를 가지며, 4차원 시공에서는 4성분의 장이다. 디랙 표시나 손지기 표시등 감마 행렬의 표시에 의해 겉보기 성분은 변화한다. 상호작용을 하지 않는 자유 디랙 장은 디랙 방정식 i γ μ ∂ μ ψ − m ψ = 0 {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =0} 에 따른다. m 은 디랙 장을 양자화한 입자의 질량으로 해석된다. 디랙 방정식을 유도하는 라그랑지언은 L ( ψ , ∂ ψ ) = i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ − m ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,\partial \psi )=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi } 이다. 여기서 ψ 는 ψ 의 디랙 공액이다. 4차원 시공간에서 감마 행렬로 γ 5 ≡ i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle \gamma _{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}} 로 정의된 행렬 γ5 는 ( γ 5 ) † = γ 5 ,   ( γ 5 ) 2 = 1 ,   { γ μ , γ 5 } = 0 {\displaystyle (\gamma _{5})^{\dagger }=\gamma _{5},~(\gamma _{5})^{2}=1,~\{\gamma ^{\mu },\gamma _{5}\}=0} 라는 성질을 가진다. γ5 는 카이랄리티라고 불린다. γ5 는 고유치 ±1 을 갖고, 고유치 +1 의 부분공간은 왼손형성분(left-handed, LH), −1 의 부분공간은 오른손성분(right-handed, RH)이라고 한다. 사영연산자를 P L ≡ 1 − γ 5 2 ,   P R ≡ 1 + γ 5 2 {\displaystyle P_{L}\equiv {\frac {1-\gamma _{5}}{2}},~P_{R}\equiv {\frac {1+\gamma _{5}}{2}}} 에 의해 정의되면, ψ L = P L ψ {\displaystyle \psi _{L}=P_{L}\psi } , ψ R = P R ψ {\displaystyle \psi _{R}=P_{R}\psi } 로서 왼손형, 오른손형 성분으로 분해할 수 있다. 정의로부터 명백한 것과 같이, 왼손형 성분과 오른손형 성분을 더하면 원래 스피너가 된다: ψ L + ψ R = ψ {\displaystyle \psi _{L}+\psi _{R}=\psi } 또한 감마 행렬을 걸면 카이랄리티가 바뀐다. γ 5 ( γ μ ψ L ) = + γ μ ψ L ,   γ 5 ( γ μ ψ R ) = − γ μ ψ R {\displaystyle \gamma _{5}(\gamma ^{\mu }\psi _{L})=+\gamma ^{\mu }\psi _{L},~\gamma _{5}(\gamma ^{\mu }\psi _{R})=-\gamma ^{\mu }\psi _{R}} 바일 표시에서는 카이랄리티가 γ 5 = ( − 1 0 0 1 ) {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}-\mathbf {1} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\end{pmatrix}}} 이 된다. 즉, 스피너 상2성분이 왼손형 성분, 하2성분이 오른손형 성분이 된다. 디랙 스피너를 카이랄리티로 나눈 2성분 스피너를 바일 스피너라고 부른다. ψ = ( ξ η ¯ ) {\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\xi \\{\bar {\eta }}\\\end{pmatrix}}} . 여기서 ψ 는 디랙 스피너（4성분）、ξ, η 는 바일 스피너（2성분）。 디랙 방정식을 바일 스피너로 쓰면, i ∂ η ¯ ∂ t + i σ ⋅ ∇ η ¯ − m ξ = 0 {\displaystyle i{\frac {\partial {\bar {\eta }}}{\partial t}}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\bar {\eta }}-m\xi =0} i ∂ ξ ∂ t − i σ ⋅ ∇ ξ − m η ¯ = 0 {\displaystyle i{\frac {\partial \xi }{\partial t}}-i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \xi -m{\bar {\eta }}=0} 가 된다. 질량이 0일 때 i ∂ ξ ∂ t = i σ ⋅ ∇ ξ {\displaystyle i{\frac {\partial \xi }{\partial t}}=i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \xi } i ∂ η ¯ ∂ t = − i σ ⋅ ∇ η ¯ {\displaystyle i{\frac {\partial {\bar {\eta }}}{\partial t}}=-i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\bar {\eta }}} 가 되어 이것은 바일 방정식이라고 불린다. 九後汰一郎 (1989). 《ゲージ場の量子論Ⅰ》. 新物理学シリーズ. 培風館. ISBN 978-4-563-02423-9. 九後汰一郎 (1989). 《ゲージ場の量子論Ⅰ》. 新物理学シリーズ. 培風館. ISBN 978-4-563-02423-9.  坂井典佑 (2002). 《場の量子論》. 裳華房フィジックスライブラリー. 裳華房. ISBN 4-7853-2212-8. 坂井典佑 (2002). 《場の量子論》. 裳華房フィジックスライブラリー. 裳華房. ISBN 4-7853-2212-8.  V.P.ナイア. 《現代的な視点からの場の量子論 基礎編》. 阿部泰裕, 磯暁 訳. 丸善. ISBN 978-4-621-06172-5. V.P.ナイア. 《現代的な視点からの場の量子論 基礎編》. 阿部泰裕, 磯暁 訳. 丸善. ISBN 978-4-621-06172-5.  M.E.Peskin, D.V.Schroeder (1995). 《An Introduction to Quantum Field Theory》. Westview Perss. ISBN 978-0-201-50397-5. M.E.Peskin, D.V.Schroeder (1995). 《An Introduction to Quantum Field Theory》. Westview Perss. ISBN 978-0-201-50397-5.