오일러 치환

미적분학에서 오일러 치환(-置換, 영어: Euler substitution)은 x {\displaystyle x} 와 a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} 에 대한 유리 함수의 적분을 구할 때 사용되는 치환 적분이다. 오일러 치환은 다음과 같은 적분을 구할 때 사용된다. ∫ R ( x , a x 2 + b x + c ) d x {\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\mathrm {d} x} 여기서 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 는 2변수 유리 함수이며, a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 이다. 오일러 치환은 이 적분을 유리 함수의 적분으로 만들며, 이는 다음과 같은 세 가지 경우로 나뉜다. 같은 함수가 여러 가지 경우에 속할 수 있음에 주의하자. 만약 a > 0 {\displaystyle a>0} 일 경우, 다음과 같이 치환한다. a x 2 + b x + c = ± x a + t {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t} 이를 제1 오일러 치환(第一-置換, 영어: first Euler substitution)이라고 한다. 이 경우 원래의 적분은 다음과 같이 새 변수 t {\displaystyle t} 에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다. x = t 2 − c ± 2 t a + b {\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{\pm 2t{\sqrt {a}}+b}}} a x 2 + b x + c = ± t 2 − c ± 2 t a + b a + t {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm {\frac {t^{2}-c}{\pm 2t{\sqrt {a}}+b}}{\sqrt {a}}+t} 만약 c > 0 {\displaystyle c>0} 일 경우, 다음과 같이 치환한다. a x 2 + b x + c = x t ± c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}} 이를 제2 오일러 치환(第二-置換, 영어: second Euler substitution)이라고 한다. 마찬가지로 원래의 적분은 t {\displaystyle t} 에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다. x = ± 2 t c − b a − t 2 {\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}} a x 2 + b x + c = ± 2 t c − b a − t 2 t ± c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}t\pm {\sqrt {c}}} 사실, 제1 및 제2 오일러 치환의 조건을 만족시키는 꼴의 적분은 다음과 같은 변환을 통해 각각 제2 및 제1 오일러 치환을 적용할 수 있다.:341 a x 2 + b x + c = 1 | u | a + b u + c u 2 ( x = 1 u ) {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {1}{|u|}}{\sqrt {a+bu+cu^{2}}}\qquad \left(x={\frac {1}{u}}\right)} 만약 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 의 두 근 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 가 실수일 경우, 다음과 같이 치환한다. a x 2 + b x + c = a ( x − α ) ( x − β ) = ± ( x − α ) t {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=\pm (x-\alpha )t} 이를 제3 오일러 치환(第三-置換, 영어: third Euler substitution)이라고 한다. 이 경우 역시 t {\displaystyle t} 의 유리 함수의 적분이 된다. x = a β − α t 2 a − t 2 {\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}}} a x 2 + b x + c = ± ( a β − α t 2 a − t 2 − α ) t {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm \left({\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}}-\alpha \right)t} 사실, 제1 및 제3 오일러 치환은 모든 경우를 포함한다. 이는 만약 a < 0 {\displaystyle a<0} 이며 b 2 − 4 a c < 0 {\displaystyle b^{2}-4ac<0} 일 경우 a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} 가 모든 곳에서 실수가 아니기 때문이다.:341 오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분을 구하는 데에는 계산량을 줄여주는 요령과 보다 더 간편할 수 있는 대안적인 방법이 존재한다. 예를 들어, 다음과 같은 공식은 특수한 꼴의 함수의 적분의 계산을 단순화한다. ∫ p ( x ) a x 2 + b x + c d x = q ( x ) a x 2 + b x + c + λ ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {p(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\mathrm {d} x=q(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+\lambda \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}} 여기서 p , q ∈ R [ x ] {\displaystyle p,q\in \mathbb {R} [x]} 는 각각 n {\displaystyle n} 차 다항식 및 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차 이하 다항식이며 λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } 는 상수이다. 각 p {\displaystyle p} 에 대하여 이러한 조건을 만족시키는 q {\displaystyle q} 및 λ {\displaystyle \lambda } 는 위 식 양변에 도함수를 취한 뒤 다시 양변에 a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} 을 곱하여 양변의 다항식의 계수를 비교하면 구할 수 있다. 다음과 같은 꼴의 적분은 x − α = 1 / t {\displaystyle x-\alpha =1/t} 와 같이 치환하면 위와 같은 꼴의 적분으로 귀결된다. ∫ d x ( x − α ) n a x 2 + b x + c = ∫ t n − 1 ( a α 2 + b α + c ) t 2 + ( 2 a α + b ) t + a d t {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x-\alpha )^{n}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}=\int {\frac {t^{n-1}}{\sqrt {(a\alpha ^{2}+b\alpha +c)t^{2}+(2a\alpha +b)t+a}}}\mathrm {d} t} 다음과 같은 꼴의 적분은 치환 x 2 + p x + q = s {\displaystyle x^{2}+px+q=s} 및 ( x 2 + p x + q ) ′ = t {\displaystyle \textstyle ({\sqrt {x^{2}+px+q}})'=t} 을 통해 구할 수 있다. ∫ ( e x + f ) ( x 2 + p x + q ) ( 2 n + 1 ) / 2 d x = λ ∫ 2 x + p ( x 2 + p x + q ) ( 2 n + 1 ) / 2 d x + μ ∫ d x ( x 2 + p x + q ) ( 2 n + 1 ) / 2 = λ ∫ d s s ( 2 n + 1 ) / 2 + μ ∫ d x ( x 2 + p x + q ) ( 2 n + 1 ) / 2 {\displaystyle \int {\frac {(ex+f)}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}\mathrm {d} x=\lambda \int {\frac {2x+p}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}\mathrm {d} x+\mu \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}=\lambda \int {\frac {\mathrm {d} s}{s^{(2n+1)/2}}}+\mu \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}} 다음과 같은 꼴의 적분에서 p ≠ b / a {\displaystyle p\neq b/a} 일 경우, 적절한 치환 x = ( g s + h ) / ( s + 1 ) {\displaystyle x=(gs+h)/(s+1)} 를 통해 1차항을 없앤 뒤, 부분 분수 분해의 각 항에 치환 a ′ s 2 = b ′ = t {\displaystyle a's^{2}=b'=t} 및 ( a ′ s 2 + b ′ ) ′ = u {\displaystyle \textstyle ({\sqrt {a's^{2}+b'}})'=u} 을 사용하여 구할 수 있다. ∫ ( e x + f ) ( x 2 + p x + q ) n a x 2 + b x + c d x = ∫ p ( s ) ( s 2 + c ′ ) n a ′ s 2 + b ′ d s = ∑ k λ k ∫ s ( s 2 + c ′ ) n k ′ a ′ s 2 + b ′ d s + ∑ k μ k ∫ d s ( s 2 + c ′ ) n k ″ a ′ s 2 + b ′ {\displaystyle \int {\frac {(ex+f)}{(x^{2}+px+q)^{n}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}\mathrm {d} x=\int {\frac {p(s)}{(s^{2}+c')^{n}{\sqrt {a's^{2}+b'}}}}\mathrm {d} s=\sum _{k}\lambda _{k}\int {\frac {s}{(s^{2}+c')^{n'_{k}}{\sqrt {a's^{2}+b'}}}}\mathrm {d} s+\sum _{k}\mu _{k}\int {\frac {\mathrm {d} s}{(s^{2}+c')^{n''_{k}}{\sqrt {a's^{2}+b'}}}}} 오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분은 완전 제곱꼴을 만든 뒤 삼각 치환 또는 쌍곡 치환을 통해 구할 수도 있다. 정리된 루트 부분이 a 2 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} 일 경우 x = a sin ⁡ t {\displaystyle x=a\sin t} 또는 x = a cos ⁡ t {\displaystyle x=a\cos t} 와 같이 치환하며, x 2 − a 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}} 일 경우 x = a cosh ⁡ t {\displaystyle x=a\cosh t} 또는 x = a sec ⁡ t {\displaystyle x=a\sec t} 와 같이 치환하며, x 2 + a 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}} 일 경우 x = sinh ⁡ t {\displaystyle x=\sinh t} 또는 x = a tan ⁡ t {\displaystyle x=a\tan t} 와 같이 치환한다.:342 그러면 적분하려는 함수는 삼각 함수 또는 쌍곡선 함수에 대한 유리 함수로 변하며, 이는 바이어슈트라스 치환 등을 통해 구할 수 있다.:229 다음과 같은 적분들을 생각하자.:345, 예6.3.3, (1), (3), (4); 348, 예6.3.5, (1) ∫ x 2 + 2 x + 3 x d x , ∫ 1 − 1 + x + x 2 x 1 + x + x 2 d x , ∫ d x x 2 + 3 x − 4 , ∫ d x ( x − α ) ( x − α ) ( x − β ) {\displaystyle \int {\frac {\sqrt {x^{2}+2x+3}}{x}}\mathrm {d} x,\;\int {\frac {1-{\sqrt {1+x+x^{2}}}}{x{\sqrt {1+x+x^{2}}}}}\mathrm {d} x,\;\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+3x-4}}},\;\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x-\alpha ){\sqrt {(x-\alpha )(x-\beta )}}}}} 첫 번째 적분에 다음과 같은 제1 오일러 치환을 사용하자. x 2 + 2 x + 3 = t − x {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+2x+3}}=t-x} x = t 2 − 3 2 ( 1 + t ) , d x = t 2 + 2 t + 3 2 ( t + 1 ) 2 d t , x 2 + 2 x + 3 = t 2 + 2 t + 3 2 ( t + 1 ) {\displaystyle x={\frac {t^{2}-3}{2(1+t)}},\;\mathrm {d} x={\frac {t^{2}+2t+3}{2(t+1)^{2}}}\mathrm {d} t,\;{\sqrt {x^{2}+2x+3}}={\frac {t^{2}+2t+3}{2(t+1)}}} 이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ x 2 + 2 x + 3 x d x = ∫ ( t 2 + 2 t + 3 ) 2 2 ( t 2 − 3 ) ( t + 1 ) 2 d t = ∫ ( 1 2 + 1 t + 1 − 1 ( t + 1 ) 2 + 6 t 2 − 3 ) d t = t 2 + ln ⁡ | t + 1 | + 1 t + 1 + 3 ln ⁡ | t − 3 t + 3 | + C = x 2 + 2 x + 3 + x 2 + 1 x 2 + 2 x + 3 + x + 1 + ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 3 + x + 1 ) + 3 ln ⁡ | x 2 + 2 x + 3 + x − 3 x 2 + 2 x + 3 + x + 3 | + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sqrt {x^{2}+2x+3}}{x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {(t^{2}+2t+3)^{2}}{2(t^{2}-3)(t+1)^{2}}}\mathrm {d} t=\int \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{t+1}}-{\frac {1}{(t+1)^{2}}}+{\frac {6}{t^{2}-3}}\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {t}{2}}+\ln |t+1|+{\frac {1}{t+1}}+{\sqrt {3}}\ln \left|{\frac {t-{\sqrt {3}}}{t+{\sqrt {3}}}}\right|+C\\&={\frac {{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x}{2}}+{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x+1}}+\ln({\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x+1)+{\sqrt {3}}\ln \left|{\frac {{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x+{\sqrt {3}}}}\right|+C\end{aligned}}} 두 번째 적분에 다음과 같은 제2 오일러 치환을 사용하자. 1 + x + x 2 = t x + 1 {\displaystyle {\sqrt {1+x+x^{2}}}=tx+1} x = 2 t − 1 1 − t 2 , d x = 2 ( 1 − t + t 2 ) ( 1 − t 2 ) 2 d t , 1 + x + x 2 = 1 − t + t 2 1 − t 2 {\displaystyle x={\frac {2t-1}{1-t^{2}}},\;\mathrm {d} x={\frac {2(1-t+t^{2})}{(1-t^{2})^{2}}}\mathrm {d} t,\;{\sqrt {1+x+x^{2}}}={\frac {1-t+t^{2}}{1-t^{2}}}} 이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ 1 − 1 + x + x 2 x 1 + x + x 2 d x = ∫ − 2 t 1 − t 2 d t = ln ⁡ | 1 − t 2 | + C = ln ⁡ | 1 − ( 1 + x + x 2 − 1 x ) 2 | + C {\displaystyle \int {\frac {1-{\sqrt {1+x+x^{2}}}}{x{\sqrt {1+x+x^{2}}}}}\mathrm {d} x=\int {\frac {-2t}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t=\ln |1-t^{2}|+C=\ln \left|1-\left({\frac {{\sqrt {1+x+x^{2}}}-1}{x}}\right)^{2}\right|+C} 세 번째 적분에 다음과 같은 제3 오일러 치환을 사용하자. x 2 + 3 x − 4 = ( x + 4 ) t {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+3x-4}}=(x+4)t} x = 1 + 4 t 2 1 − t 2 , d x = 10 t ( 1 − t 2 ) 2 d t , x 2 + 3 x − 4 = 5 t 1 − t 2 {\displaystyle x={\frac {1+4t^{2}}{1-t^{2}}},\;\mathrm {d} x={\frac {10t}{(1-t^{2})^{2}}}\mathrm {d} t,\;{\sqrt {x^{2}+3x-4}}={\frac {5t}{1-t^{2}}}} 이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ d x x 2 + 3 x − 4 = ∫ 2 1 − t 2 d t = ln ⁡ | 1 + t 1 − t | + C = ln ⁡ | x + 4 + x − 1 x + 4 − x − 1 | + C {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+3x-4}}}=\int {\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t=\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C=\ln \left|{\frac {{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x-1}}}{{\sqrt {x+4}}-{\sqrt {x-1}}}}\right|+C} 네 번째 적분에서는 x − α = 1 / t {\displaystyle x-\alpha =1/t} 와 같은 치환이 더 편리하다. ∫ d x ( x − α ) ( x − α ) ( x − β ) = − ∫ d t 1 + ( α − β ) t = 2 β − α 1 + ( α − β ) t + C = 2 β − α x − β x − α + C {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x-\alpha ){\sqrt {(x-\alpha )(x-\beta )}}}}=-\int {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+(\alpha -\beta )t}}}={\frac {2}{\beta -\alpha }}{\sqrt {1+(\alpha -\beta )t}}+C={\frac {2}{\beta -\alpha }}{\sqrt {\frac {x-\beta }{x-\alpha }}}+C} 치환 적분 삼각 치환 周民强 (2010). 《数学分析习题演练. 第一册》 (중국어) 2판. 北京: 科学出版社. ISBN 978-7-03-028183-8.  张筑生 (1990년 1월). 《数学分析新讲. 第一册》 (중국어) 1판. 北京大学出版社. ISBN 7-301-00846-5.  이철희. “오일러 치환”. 《수학노트》.  “Euler substitutions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Eulers substitutions for integration”. 《PlanetMath》 (영어).