자기 동형 사상

수학에서 자기 동형 또는 자기 동형 사상(自己同型寫像, 영어: automorphism)은 수학적 대상의 자기 사상인 동형 사상이다. 대상의 모든 구조를 유지하면서 대상을 자기 자신으로 사상하므로 이는 대상의 대칭을 나타낸다고 할 수 있다. 대상의 모든 자기 동형 사상의 집합은 그 대상의 대칭군이라고 할 수 있는 자기동형군을 형성한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 자기 동형 사상은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, X {\displaystyle X} 의 자기 사상 f : X → X {\displaystyle f:X\to X} 가 자기 동형 사상이라는 것은 f ∘ g = g ∘ f = id X {\displaystyle f\circ g=g\circ f=\operatorname {id} _{X}} 를 만족하는 사상 g : X → X {\displaystyle g:X\to X} 이 존재한다는 것을 의미한다. 국소적으로 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서 대상 X {\displaystyle X} 의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 자기 동형군(自己同型群, 영어: automorphism group)이라고 하고, Aut ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (X)} 로 쓴다. 즉, 자기 동형군 Aut ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 자기 사상 모노이드 End ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {End} (X)} 의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다. 주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형의 구체적 범주 (또는 그 충만한 부분 범주)에서, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수인 자기 준동형이다. 집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 함수(순열)이며, 집합 S {\displaystyle S} 의 자기 동형군은 대칭군 Sym ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (S)} 이라고 한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간의 범주 K -Vect {\displaystyle K{\text{-Vect}}} 에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 선형 변환이며, 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 자기 동형군은 일반선형군 GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)} 이다. 군의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군 G {\displaystyle G} 에 대해 상이 내부 자기 동형군 Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (G)} 이고 핵이 중심 Z ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Z} (G)} 인 자연스러운 군 준동형 G → Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (G)} 가 존재한다. 따라서 G {\displaystyle G} 의 중심이 자명하다면, G {\displaystyle G} 는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다. 이 경우 자기 동형군 Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G)} 의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군의 자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다. 갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다. 모노이드 M {\displaystyle M} 을 하나의 대상 ∙ {\displaystyle \bullet } 을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 Aut ⁡ ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (\bullet )} 은 M {\displaystyle M} 의 가역원들의 군 { m ∈ M : ∃ n ∈ M : m n = n m = 1 } {\displaystyle \{m\in M\colon \exists n\in M\colon mn=nm=1\}} 이다. 특히, 만약 M {\displaystyle M} 이 군이라면, Aut ⁡ ( ∙ ) ≅ M {\displaystyle \operatorname {Aut} (\bullet )\cong M} 이다. 정수의 덧셈군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 유일한 비항등 자기 동형 사상 1 ↦ − 1 {\displaystyle 1\mapsto -1} 을 갖는다. 그러나 환으로서의 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다. 체(와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 와 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어, a + b 2 ↦ a − b 2 {\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}} ( a , b ∈ Q {\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} } )는 이차 수체 Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} 의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에 R {\displaystyle \mathbb {R} } 전체로 확장되지는 않는다. 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 의 자기 동형 사상은 체의 확대 C / Q {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} } 의 자기 동형 사상과 동치이다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 을 R {\displaystyle \mathbb {R} } 로 보내는 C {\displaystyle \mathbb {C} } 의 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한 C {\displaystyle \mathbb {C} } 의 연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면, C {\displaystyle \mathbb {C} } 의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은 C {\displaystyle \mathbb {C} } 의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는 2 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}} 이다. 사원수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소 b {\displaystyle b} 에 대해 a ↦ b a b − 1 {\displaystyle a\mapsto bab^{-1}} 형식을 갖는다. 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)과 동형이다. 팔원수 O {\displaystyle \mathbb {O} } 의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다. 그래프(와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다. 기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다. 거리 공간과 등거리변환의 범주에서, 자기 동형 사상은 전사 자기 등거리변환이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 유클리드 군 IO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {IO} (n)} 이다. 리만 곡면(과 정칙 함수)의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 쌍정칙 함수(등각 사상)이다. 예를 들어, 리만 구의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다. 매끄러운 다양체(와 매끄러운 함수)의 범주에서, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 자기 동형 사상은 자신으로의 미분 동형 사상이며, 그 자기동형군은 흔히 Diff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)} 으로 표기한다. 위상 공간(과 연속 함수)의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 위상 동형 사상이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 K ∖ Field {\displaystyle K\backslash \operatorname {Field} } 를 정의할 수 있다. K ∖ Field {\displaystyle K\backslash \operatorname {Field} } 의 대상은 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 들이다. K {\displaystyle K} 의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 와 L ′ / K {\displaystyle L'/K} 사이의 사상은 K {\displaystyle K} -대수 단사 준동형 L → L ′ {\displaystyle L\to L'} 이다. (단사 조건은 가정하지 않더라도 자동적으로 성립한다.) 이 범주에서, L / K {\displaystyle L/K} 의 자기 동형 사상은 K {\displaystyle K} -대수 동형 L → L {\displaystyle L\to L} 이다. L / K {\displaystyle L/K} 가 대수적 확대일 때, 모든 K {\displaystyle K} -대수 단사 준동형 L → L {\displaystyle L\to L} 은 K {\displaystyle K} -대수 동형이다. 즉, 자동적으로 전사 함수가 된다.:230, Lemma 2.1 증명: 임의의 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 K {\displaystyle K} -대수 단사 준동형 σ : L → L {\displaystyle \sigma \colon L\to L} 및 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, a ∈ σ ( L ) {\displaystyle a\in \sigma (L)} 임을 보이면 족하다. p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 가 a {\displaystyle a} 의 최소 다항식이라고 하고, S {\displaystyle S} 가 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 의 L {\displaystyle L} 속의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면 K ( S ) / K {\displaystyle K(S)/K} 는 대수적 확대이자 유한 생성 확대이며, 따라서 유한 확대이다. 즉, K ( S ) {\displaystyle K(S)} 의 K {\displaystyle K} -벡터 공간 차원은 유한하다. σ {\displaystyle \sigma } 는 p {\displaystyle p} 의 근을 p {\displaystyle p} 의 근으로 보내므로, σ ( K ( S ) ) ⊆ K ( S ) {\displaystyle \sigma (K(S))\subseteq K(S)} 이다. σ {\displaystyle \sigma } 는 단사 K {\displaystyle K} -선형 변환이므로, σ ( K ( S ) ) {\displaystyle \sigma (K(S))} 와 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 의 차원은 같다. 따라서, σ ( K ( S ) ) = K ( S ) ⊇ S ∋ a {\displaystyle \sigma (K(S))=K(S)\supseteq S\ni a} 이다. 최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1856년 그의 정이십면체 대수(en:icosian calculus)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다. μ {\displaystyle \mu } 는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근 λ {\displaystyle \lambda } 과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다. 일부 범주(특히 군, 환, 리 대수)에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다. 군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군 G {\displaystyle G} 의 각 원소 a {\displaystyle a} 에 대해 a {\displaystyle a} 에 의한 켤레 φ a : G → G {\displaystyle \varphi _{a}:G\to G} 는 φ a ( g ) = a g a − 1 {\displaystyle \varphi _{a}(g)=aga^{-1}} 으로 주어지는 연산이다. (대신 a − 1 g a {\displaystyle a^{-1}ga} 을 사용할 수도 있다.) a {\displaystyle a} 에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은 Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G)} 의 정규 부분군을 형성한다. 이는 Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (G)} 으로 표기한다. 내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 외부 자기 동형 사상이다. 몫군 Aut ⁡ ( G ) / Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)} 은 일반적으로 Out ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Out} (G)} 으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 잉여류이다. 단위원을 갖는 환 또는 대수에서 가역원 a {\displaystyle a} 에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다. 반 자기 동형 사상 Automorphism (스도쿠 퍼즐에서) 특성 부분군 자기준동형환 프로베니우스 사상 사상 순서 자기 동형 (순서론에서). 관계 보존 자기 동형 사상 분수 푸리에 변환 PJ Pahl, R Damrath (2001). 〈§7.5.5 Automorphisms〉. 《Mathematical foundations of computational engineering》 Felix Pahl translation판. Springer. 376쪽. ISBN 3-540-67995-2.  Yale, Paul B. (May 1966). “Automorphisms of the Complex Numbers” (PDF). 《Mathematics Magazine》 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. 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