접촉기하학

접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다. M {\displaystyle M} 이 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} 차원의 매끄러운 다양체라고 하자. M {\displaystyle M} 위의 접촉 형식(接觸形式, 영어: contact form)는 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 이다. α ∧ ( d α ) n ≠ 0 {\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}\neq 0} . 접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 동치관계를 정의하자. λ : M → R {\displaystyle \lambda \colon M\to \mathbb {R} } 가 어디서나 0이 아닌 연속함수라면, α ∼ λ α {\displaystyle \alpha \sim \lambda \alpha } . 이 동치관계에 대한 동치류 [ α ] {\displaystyle [\alpha ]} 를 접촉 구조(接觸構造, 영어: contact structure)라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다. 접촉 구조를 갖춘 매끄러운 다양체를 접촉다양체(接觸多樣體, 영어: contact manifold)라고 한다. 접촉 형식 α {\displaystyle \alpha } 가 주어지면, 레브 벡터장(Reeb vector場, Reeb vector field)은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장 X {\displaystyle X} 이다. X ⌟ d α = 0 {\displaystyle X\lrcorner d\alpha =0} ( ⌟ {\displaystyle \lrcorner } 는 내부적(interior product) X ⌟ α = 1 {\displaystyle X\lrcorner \alpha =1} . 이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다. 심플렉틱 다양체에는 자연스럽게 라그랑주 부분 다양체를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분 다양체의 개념이 존재하는데, 이를 르장드르 부분 다양체(Legendrian submanifold)라고 한다. M {\displaystyle M} 이 접촉다양체이고, α {\displaystyle \alpha } 가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체 N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} 을 M {\displaystyle M} 의 르장드르 부분 다양체라고 한다. 모든 x ∈ N {\displaystyle x\in N} 에서, T x N ⌟ α = 0 {\displaystyle T_{x}N\lrcorner \alpha =0} . 이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다. 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} 차원 접촉다양체 M {\displaystyle M} 이 주어지면, 다음과 같이 M {\displaystyle M} 을 부분 다양체로 갖는 2 n + 2 {\displaystyle 2n+2} 차원 심플렉틱 다양체 ( M ^ , ω ) {\displaystyle ({\hat {M}},\omega )} 를 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 심플렉틱화(symplectic化, symplectization)라고 한다. 다양체로서, M ^ = M × ( 0 , ∞ ) {\displaystyle {\hat {M}}=M\times (0,\infty )} 이다. 여기에 다음과 같이 심플렉틱 형식 ω {\displaystyle \omega } 를 정의할 수 있다. M {\displaystyle M} 의 국소좌표계 x i {\displaystyle x^{i}} 를 잡고, 0 < λ < ∞ {\displaystyle 0<\lambda <\infty } 가 벡터 다발의 좌표라고 하자. 또한, α {\displaystyle \alpha } 가 M {\displaystyle M} 의 접촉 형식이라고 하자. 그렇다면 ( x i , λ ) {\displaystyle (x^{i},\lambda )} 에 다음과 같이 심플렉틱 형식을 정의할 수 있다. ω = d ( λ α ) = d λ ∧ α + λ d α {\displaystyle \omega =d(\lambda \alpha )=d\lambda \wedge \alpha +\lambda d\alpha } . 해밀토니언이 시간에 의존하지 않는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 심플렉틱 기하학으로 다루어진다. 해밀토니언이 시간에 의존하는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다. 일반화 위치 q i {\displaystyle q^{i}} 와 일반화 운동량 p i {\displaystyle p_{i}} , 시간 t {\displaystyle t} 를 좌표로 하는 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} 차원 공간 M {\displaystyle M} 을 생각하자. 이를 확장 위상 공간(영어: extended phase space)이라고 한다. 해밀토니언 H : M → R {\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} } 는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수다. 그렇다면 여기에 다음과 같은 접촉 형식 α {\displaystyle \alpha } 를 정의할 수 있다. α = ∑ i p i d q i − H ( q , p , t ) d t {\displaystyle \alpha =\sum _{i}p_{i}dq^{i}-H(q,p,t)dt} . 이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다. 이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다. X = 1 L ( ∂ ∂ t + ∑ i ∂ H ∂ p i ∂ ∂ q i − ∑ i ∂ H ∂ q i ∂ ∂ p i ) {\displaystyle X={\frac {1}{L}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p^{i}}}\right)} . 여기서 L = ∂ H ∂ q i p i − H {\displaystyle L={\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}p^{i}-H} 는 라그랑지언이다. 물리량 F ( q , p , t ) {\displaystyle F(q,p,t)} 의 시간 변화는 다음과 같다. d F d t = L X I ∂ F ∂ x I {\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=LX^{I}{\frac {\partial F}{\partial x^{I}}}} . (여기서 x I = ( q 1 , … , q i , … , q n , p 1 , … , p i , … , p n , t ) {\displaystyle x^{I}=(q^{1},\dots ,q^{i},\dots ,q^{n},p_{1},\dots ,p_{i},\dots ,p_{n},t)} 이다.) 시간 대신 작용 d S = L d t {\displaystyle dS=Ldt} 를 변수로 하면 다음과 같다. d F d S = X I ∂ F ∂ x I {\displaystyle {\frac {dF}{dS}}=X^{I}{\frac {\partial F}{\partial x^{I}}}} . Etnyre, John B. (2003). 〈Introductory lectures on contact geometry〉. 《Topology and Geometry of Manifolds》 71. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 71. American Mathematical Society. 81–107쪽. arXiv:math/0111118. Bibcode:2001math.....11118E. doi:10.1090/pspum/071/2024631. ISBN 978-0-8218-3507-4.  지원되지 않는 변수 무시됨: |언어골= (도움말) Geiges, Hansjörg (2006). 〈Contact geometry〉. 《Handbook of Differential Geometry, Vol. 2》. Amsterdam: North-Holland. 315–382쪽. arXiv:math/0307242. Bibcode:2003math......7242G. doi:10.1016/S1874-5741(06)80008-7. ISBN 978-0-444-52052-4.  Geiges, H. An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008. Aebischer et al. Symplectic geometry, Birkhäuser (1994), ISBN 3-7643-5064-4 V. I. 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