으뜸 아이디얼

가환대수학에서 으뜸 아이디얼(영어: primary ideal)은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다. 환 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 다음 성질을 만족시킨다면, R M {\displaystyle _{R}M} 을 여으뜸 왼쪽 가군(餘-加群, 영어: coprimary left module)이라고 한다.:185, §3 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m ∈ M ∖ { 0 } {\displaystyle m\in M\setminus \{0\}} 에 대하여, 만약 r R m = { 0 } {\displaystyle rRm=\{0\}} 이라면, r ∈ Ann ⁡ ( R M ) {\displaystyle r\in {\sqrt {\operatorname {Ann} (_{R}M)}}} 이다. 여기서 Ann {\displaystyle \operatorname {Ann} } 은 소멸자이며, {\displaystyle {\sqrt {}}} 은 소근기(즉, 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합)이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면, 이는 다음 조건과 동치이다. 모든 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, 만약 r m = 0 {\displaystyle rm=0} 이라면, m = 0 {\displaystyle m=0} 이거나 아니면 충분히 큰 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 r n M = { 0 } {\displaystyle r^{n}M=\{0\}} 이다. R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 으뜸 부분 가군(영어: primary submodule) N ⊆ M {\displaystyle N\subseteq M} 은 M / N {\displaystyle M/N} 이 공으뜸 왼쪽 가군인 부분 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다. R R {\displaystyle _{R}R} 의 으뜸 부분 가군을 으뜸 왼쪽 아이디얼(영어: primary left ideal)이라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 주어졌을 때, ter R ⁡ M ⊆ R {\displaystyle \operatorname {ter} _{R}M\subseteq R} 을 다음과 같이 정의하자.:185, §3:22-02, Définition 1.1 ter R ⁡ M = { r ∈ R : ∀ m ∈ M ∖ { 0 } ∃ s ∈ R : r R s m = { 0 } , s m ≠ 0 } {\displaystyle \operatorname {ter} _{R}M=\{r\in R\colon \forall m\in M\setminus \{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\neq 0\}} 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 여삼종 가군(餘三種加群, 영어: cotertiary module)이라고 한다.:185, §3:22-02, Définition 2.1 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 m ∈ M ∖ { 0 } {\displaystyle m\in M\setminus \{0\}} 에 대하여, 만약 r R m = { 0 } {\displaystyle rRm=\{0\}} 이라면, r ∈ ter R ⁡ M {\displaystyle r\in \operatorname {ter} _{R}M} 이다. 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 이 주어졌을 때, Ass ⁡ ( R M ) = { p } {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}M)=\{{\mathfrak {p}}\}} 인 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 을 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -여삼종 가군(영어: p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -cotertiary module)이라고 한다. 왼쪽 뇌터 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:186:Théorème 2:161, §VII.1 여삼종 가군이다. 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 환 M {\displaystyle M} 의 가군 M {\displaystyle M} 의 부분 가군 N {\displaystyle N} 에 대하여, 만약 몫가군 M / N {\displaystyle M/N} 이 여삼종 가군이라면, N {\displaystyle N} 을 삼종 부분 가군(영어: tertiary submodule)이라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 항상 Ann R ⁡ M ⊆ ter R ⁡ M {\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}M}}\subseteq \operatorname {ter} _{R}M} 이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면 Ann R ⁡ M = ter R ⁡ M {\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}M}}=\operatorname {ter} _{R}M} 이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다. 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 R {\displaystyle R} 의 으뜸 아이디얼이라고 한다. R {\displaystyle R} 의 으뜸 부분 가군이다. R {\displaystyle R} 의 삼종 부분 가군이다. 임의의 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여, 만약 r s ∈ q {\displaystyle rs\in {\mathfrak {q}}} 라면 r ∈ q {\displaystyle r\in {\mathfrak {q}}} 이거나, s n ∈ q {\displaystyle s^{n}\in {\mathfrak {q}}} 인 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 이 존재한다. 임의의 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여, 만약 r s ∈ q {\displaystyle rs\in {\mathfrak {q}}} 라면 r ∈ q {\displaystyle r\in {\mathfrak {q}}} 이거나, s ∈ q {\displaystyle s\in {\mathfrak {q}}} 이거나, 아니면 r , s ∈ q {\displaystyle r,s\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}} 이다. 여기서 {\displaystyle {\sqrt {}}} 는 소근기이다. R / q {\displaystyle R/{\mathfrak {q}}} 의 모든 영인자는 멱영원이다. 가환환의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼 특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 R {\displaystyle R} 의 전체 아이디얼 ( 1 ) = R {\displaystyle (1)=R} 역시 으뜸 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼의 소근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 의 소근기가 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 이면, q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 를 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -으뜸 아이디얼(영어: p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -primary ideal)이라고 한다. 반대로, 소근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 소근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.) 뇌터 가환환 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 공으뜸 가군이다. 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, 왼쪽 뇌터 환 R {\displaystyle R} 위의 유한 생성 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 부분 가군 R N {\displaystyle _{R}N} 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 N 1 , … , N k ⊆ M {\displaystyle N_{1},\dots ,N_{k}\subseteq M} 및 소 아이디얼 { p i } = Ass ⁡ ( R M / N i ) {\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{i}\}=\operatorname {Ass} (_{R}M/N_{i})} 들이 존재한다.:186:162, Proposition VII.1.13 N = N 1 ∩ N 2 ∩ ⋯ ∩ N k {\displaystyle N=N_{1}\cap N_{2}\cap \cdots \cap N_{k}} 임의의 i = 1 , … , k {\displaystyle i=1,\dots ,k} 에 대하여, N ≠ N 1 ∩ N 2 ∩ N i − 1 ∩ N i + 1 ∩ ⋯ ∩ N k {\displaystyle N\neq N_{1}\cap N_{2}\cap N_{i-1}\cap N_{i+1}\cap \cdots \cap N_{k}} Ass ⁡ ( R N ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}N)} 은 유한 집합이며, 그 크기는 k {\displaystyle k} 이며, 또한 Ass k ⁡ ( N i ) = { p 1 , … , p k } {\displaystyle \operatorname {Ass} _{k}(N_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}} 이다. 임의의 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle 1\leq i,j\leq k} 에 대하여, i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 라면 p i ≠ p j {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq {\mathfrak {p}}_{j}} 이며 N i ≠ N j {\displaystyle N_{i}\neq N_{j}} 이다. 이를 N {\displaystyle N} 의 삼종 분해(영어: tertiary decomposition)라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.:186:162, Proposition VII.1.13 N {\displaystyle N} 의 두 삼종 분해 { ( N i , p i ) } 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle \{(N_{i},{\mathfrak {p}}_{i})\}_{1\leq i\leq k}} , { ( N j ′ , p j ′ ) } 1 ≤ j ≤ k ′ {\displaystyle \{(N_{j}',{\mathfrak {p}}_{j}')\}_{1\leq j\leq k'}} 가 주어졌을 때, k = k ′ {\displaystyle k=k'} 이며, p i = p σ ( i ) ′ {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{\sigma (i)}} 가 되는 순열 σ ∈ Sym ⁡ { 1 , … , k } {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} \{1,\dots ,k\}} 이 존재한다. (그러나 N i = N σ ( i ) ′ {\displaystyle N_{i}=N'_{\sigma (i)}} 일 필요는 없다.) 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 가환환일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 으뜸 분해라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은 라스커-뇌터 정리(영어: Lasker–Noether theorem)라고 한다. 구체적으로, 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다. 만약 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 가 으뜸 아이디얼이라면, { a } {\displaystyle \{{\mathfrak {a}}\}} 는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, r s ∈ a {\displaystyle rs\in {\mathfrak {a}}} 인 r , s ∈ R ∖ a {\displaystyle r,s\in R\setminus {\sqrt {\mathfrak {a}}}} 를 찾을 수 있다. a : r ∞ = a : r n {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{\infty }={\mathfrak {a}}:r^{n}} 이 되는 충분히 큰 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 을 찾는다. 그렇다면, a = ( a + r n R ) ∩ ( a : r n ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}+r^{n}R)\cap ({\mathfrak {a}}:r^{n})} 이므로, a + r n R {\displaystyle {\mathfrak {a}}+r^{n}R} 및 a : r n {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}} 의 으뜸 분해를 찾으면 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. ( a + r n R {\displaystyle {\mathfrak {a}}+r^{n}R} 와 a : r n {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}} 는 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.) 여기서 a : r ∞ = ⋃ n = 0 ∞ ( a : r n ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{\infty }=\bigcup _{n=0}^{\infty }({\mathfrak {a}}:r^{n})} a : r n = { s ∈ R : s r n ∈ a } {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}=\{s\in R\colon sr^{n}\in {\mathfrak {a}}\}} 이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 p {\displaystyle p} 로 생성되는 주 아이디얼 ( p ) {\displaystyle (p)} 이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 p n {\displaystyle p^{n}} ( n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} )으로 생성되는 주 아이디얼 ( p n ) {\displaystyle (p^{n})} 이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, K [ x , y , z ] / ( x y − z 2 ) {\displaystyle K[x,y,z]/(xy-z^{2})} 를 생각하자. 이 경우, p = ( x , z ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x,z)} 라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, p 2 = ( x 2 , z 2 , x z ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}=(x^{2},z^{2},xz)} 의 소근기 p 2 = p {\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{2}}}={\mathfrak {p}}} 는 소 아이디얼이다. 그러나 p 2 {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}} 는 으뜸 아이디얼이 아니다. x y = z 2 ∈ p 2 {\displaystyle xy=z^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}} 이지만, x ∉ p 2 {\displaystyle x\not \in {\mathfrak {p}}^{2}} y n ∉ p 2 ∀ n ∈ Z + {\displaystyle y^{n}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}} 이기 때문이다. p 2 {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}} 의 으뜸 분해는 p 2 = ( x ) ∩ ( x 2 , x z , y ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}=(x)\cap (x^{2},xz,y)} 이다. 소인수 분해를 정수환에서 보다 일반적인 환으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아니지만 (즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다. 이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고, 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다.:44, §5, Satz IX 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다. 비가환환의 경우, 레옹스 르시외르(프랑스어: Léonce Lesieur)와 로베르 크루아조(프랑스어: Robert Croisot)가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다. Riley, John A. (1962년 11월). “Axiomatic primary and tertiary decomposition theory”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 105 (2): 177–201. doi:10.1090/S0002-9947-1962-0141683-4. ISSN 0002-9947. MR 0141683.  Croisot, Robert (1957년 5월 20일). “Exposé № 22. Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demi-groupes non nécessairement commutatifs (exposé d’une partie d’un mémoire de L. Lesieur et R. Croisot, à paraître au Math. Zeitschrift)”. 《Séminaire P. Dubreil et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres》 (프랑스어) 10. Zbl 0116.02405.  Lesieur, Léonce (1958년 2월 17일). “Exposé № 14. Théorie noethérienne des anneaux non commutatifs: une propriété caractéristique des idéaux tertiaires”. 《Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres》 (프랑스어) 11 (2). Zbl 0116.26405.  Stenström, Bo (1975). 《Rings of quotients: an introduction to methods of ring theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 217. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-66066-5. ISBN 978-3-540-07117-4. ISSN 0072-7830.  Lasker, E. (1905). “Zur Theorie der Moduln und Ideale”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 60: 19–116. doi:10.1007/BF01447495. ISSN 0025-5831.  Noether, E. (1921). “Idealtheorie in Ringbereiche”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 83: 24–66. doi:10.1007/BF01464225. ISSN 0025-5831. 2015년 7월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 14일에 확인함.  Lesieur, Léonce; Croisot, Robert (1960). “Extension au cas non commutatif d’un théorème de Krull et d’un lemme d’Artin-Rees. À M. Wolfgang Krull, à l’occasion de son 60e anniversaire”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (프랑스어) 204: 216–220. doi:10.1515/crll.1960.204.216. ISSN 0075-4102. MR 0131436.  Lesieur, Léonce; Croisot, Robert (1963). 《Algèbre nœthérienne non commutative》. Mémorial des sciences mathématiques (프랑스어) 154. Gauthier-Villars & Cie. MR 155861. Zbl 0115.02903.  Fisher, Joe W. (1969). “Decomposition theories for modules”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 145: 241–269. doi:10.1090/S0002-9947-1969-0252436-7. ISSN 0002-9947. MR 0252436.  “Primary ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Lasker ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Primary decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Additive theory of ideals”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Tertiary ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Primary ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Primary ideal”. 《Commalg》 (영어).  “Primary ring”. 《Commalg》 (영어).  “Primary decomposition theorem for ideals”. 《Commalg》 (영어).  “Primary decomposition of an ideal”. 《Commalg》 (영어).  Swanson, Irena. “Primary decompositions” (PDF) (영어). 2020년 9월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 5월 14일에 확인함.