오일러-매클로린 공식

수학에서 오일러-매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)은 어떤 적분 값과 이와 밀접하게 관련된 합 사이의 차이에 대한 공식이다. 이 공식은 유한 합으로 적분을 근사화하거나 반대로 적분과 미적분학 방법을 사용하여 유한 합이나 무한 급수를 평가하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 이 공식으로부터 다수의 점근적 확장식이 파생되고, 거듭제곱의 합에 대한 파울하버(Johann Faulhaber)의 공식은 이로부터 곧바로 유도된다. 이 공식은 1735년경 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린에 의해 독립적으로 발견되었다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 이 식이 필요했고 매클로린은 적분을 계산하는 데 이 식을 사용했다. 나중에 다르부(Darboux)의 공식으로 일반화되었다. 만일 m 과 n 이 자연수 이고 f(x) 가 구간 [m,n] 에서 실수 x 에 대한 실수 또는 복소수 값 연속 함수 인 경우에 적분식 I = ∫ m n f ( x ) d x {\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx} 는 아래의 합계로 근사할 수 있고, 그 역도 가능하다. S = f ( m + 1 ) + ⋯ + f ( n − 1 ) + f ( n ) {\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)} ( 사각형 방법 참조). 오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점, 즉 x = m 및 x = n 에서 평가된 더 높은 도함수 f (k)(x) 값을 이용하여 합과 적분 값의 차이에 대한 식을 제공한다. 구체적으로, 양의 정수 p 와 [m,n] 구간에서 p 번 연속적으로 미분 할 수 있는 함수 f(x) 에 대해 우리는 다음 식, S − I = ∑ k = 1 p B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( m ) ) + R p , {\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},} 을 갖는데, 여기서 Bk 는 k번째 베르누이 수 (with B1 = 1/2이고, Rp 는 차이값으로 n, m, p, 및 f에 의돈하고 적당한 p에 대하여 작은 값이다. 이 공식은 종종 짝수의 하첨자만을 취하면서 기술하는데, 이는 B1 을 제외하고 홀수 베르누이 수가 0이기 때문이다. 이 경우에 식은, ∑ i = m n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) + f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p , {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},} 가 되고, 달리 표현하면, ∑ i = m + 1 n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) − f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p {\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}} 가 된다. 일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은 r = m, m + 1, …, n − 1 대해 연속적인 구간 [r, r + 1] 에 대하여 부분적분을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다. 나머지 항은 주기화된 베르누이 함수 Pk(x) 로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은 B0(x) = 1 에 의해 재귀적으로 정의될 수 있고, k ≥ 1 인 경우 아래와 같이 된다. B k ′ ( x ) = k B k − 1 ( x ) , ∫ 0 1 B k ( x ) d x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}} 주기화된 베르누이 함수는 다음 식, P k ( x ) = B k ( x − ⌊ x ⌋ ) {\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )}} 으로 정의되는데, 여기서 ⌊x⌋ 는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로 x − ⌊x⌋ 는 항상 구간 [0,1) 에 있다. 이 표기법에서 나머지 항 Rp 는 다음과 같다. R p = ( − 1 ) p + 1 ∫ m n f ( p ) ( x ) P p ( x ) p ! d x . {\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.} 이 식은 k > 0 일 때 다음 식, | B k ( x ) | ≤ 2 ⋅ k ! ( 2 π ) k ζ ( k ) , {\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),} 으로 표기될 수 있는데, 여기서 ζ 는 리만 제타 함수를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식 Bk(x) 에 대한 푸리에 급수를 얻는 것이다. 한계값은 x 가 0일 때 짝수 k 에 대하여 달성된다. ζ(k) 항은 홀수 k 에 대해 생략될 수 있지만 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조). 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정할 수 있다. | R p | ≤ 2 ζ ( p ) ( 2 π ) p ∫ m n | f ( p ) ( x ) | d x . {\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.} B1 부터 B7 까지의 베르누이 수는, 1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, 0이다. 따라서, 오일러-매클로린 공식의 저 차수 값은 아래와 같이 된다. ∑ i = m n f ( i ) − ∫ m n f ( x ) d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + ∫ m n f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − ∫ m n f ″ ( x ) P 2 ( x ) 2 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! + ∫ m n f ‴ ( x ) P 3 ( x ) 3 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! − ∫ m n f ( 4 ) ( x ) P 4 ( x ) 4 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! + ∫ m n f ( 5 ) ( x ) P 5 ( x ) 5 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! + 1 42 f ( 5 ) ( n ) − f ( 5 ) ( m ) 6 ! − ∫ m n f ( 6 ) ( x ) P 6 ( x ) 6 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! + 1 42 f ( 5 ) ( n ) − f ( 5 ) ( m ) 6 ! + ∫ m n f ( 7 ) ( x ) P 7 ( x ) 7 ! d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}} Basel 문제는 아래 합을 결정하는 것이다. 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.} 오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 겨우 몇개의 항을 계산하여 소수점 이하 20자리까지 계산하였다. 아마도 오일러는 이로써 이 값이 π2/6과 같을 것으로 확신하였고, 같은 해에 이를 증명하였다. 만일 f 가 다항식이고 p 가 충분히 크면 나머지 항이 사라진다. 예를 들어 f(x) = x3 이면 p = 2 를 선택하여 단순화 후 다음을 얻을 수 있다. ∑ i = 0 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.} 이식에 의하면 정적분을 근사하는 수단이 제공된다. 이제 a < b 를 적분 구간의 끝점이라고 한다. 근사에서 사용하는 점의 숫자인 N 으로 고정하고, 이에 따른 스텝의 크기를 h = b − a/N − 1h = b − a/N − 1 으로 표기한다. xi = a + (i − 1)h 으로 고정하면, x1 = a 및 xN = b이 된다. 그렇다면 아래식으로 된다. I = ∫ a b f ( x ) d x ∼ h ( f ( x 1 ) 2 + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x N − 1 ) + f ( x N ) 2 ) + h 2 12 [ f ′ ( x 1 ) − f ′ ( x N ) ] − h 4 720 [ f ‴ ( x 1 ) − f ‴ ( x N ) ] + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}} 이것은 수정 항을 포함하여 사다리꼴 공식을 확장하는 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉 f 와 h 에 따라 일부 p 가 있으므로 과거 순서 p 가 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다. 오일러-매클로린 공식은 수치 직교에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 주기 함수에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고 특정한 외삽 방법에 사용된다. Clenshaw-Curtis 구적법 은 (특정한 경우 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환의 형태를 취한다는 점에서) 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확하게 되는 주기 함수의 적분 항으로 임의의 적분을 캐스팅하기 위하여 변수를 변경한 것이다. 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다. 합과 급수의 점근 전개를 계산하는 경우에 일반적으로 오일러-맥클로린 공식의 가장 유용한 형식은 다음과 같다. ∑ n = a b f ( n ) ∼ ∫ a b f ( x ) d x + f ( b ) + f ( a ) 2 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( b ) − f ( 2 k − 1 ) ( a ) ) , {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),} 여기서 a 와 b 는 정수이다. 이 확장은 극한 a → −∞ 또는 b → +∞ 또는 둘 모두를 취한 후에도 종종 유효하다. 많은 경우에 우변의 적분은, 비록 좌변의 합은 할 수 없지만, 기본 함수의 항의 닫힌 형식 으로 평가할 수 있다. 그러면 점근적 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있다. 예를 들어, ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 ∼ ∫ 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 d k ⏟ = 1 z + 1 2 z 2 + ∑ t = 1 ∞ B 2 t z 2 t + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}} 와 같이 될 수 있다. 여기서 좌변은 ψ(1)(z), 즉 다음과 같이 정의된 1차 폴리감마 함수, ψ ( 1 ) ( z ) = d 2 d z 2 log ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)} 와 같다. 감마 함수 Γ(z) 는 (z − 1)! z 가 양의 정수일 때. 그 결과 ψ(1)(z) 에 대한 점근적 확장이 발생한다. 반대로 이 확장은 스털링의 계승 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치의 도출 중 하나를 위한 시작점 역할을 한다. 만일 s 가 1보다 큰 정수이면 아래 식이 된다. ∑ k = 1 n 1 k s ≈ 1 s − 1 + 1 2 − 1 ( s − 1 ) n s − 1 + 1 2 n s + ∑ i = 1 B 2 i ( 2 i ) ! [ ( s + 2 i − 2 ) ! ( s − 1 ) ! − ( s + 2 i − 2 ) ! ( s − 1 ) ! n s + 2 i − 1 ] . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].} 상수를 리만 제타 함수의 값으로 수집하면 아래의 점근 전개를 작성할 수 있다. ∑ k = 1 n 1 k s ∼ ζ ( s ) − 1 ( s − 1 ) n s − 1 + 1 2 n s − ∑ i = 1 B 2 i ( 2 i ) ! ( s + 2 i − 2 ) ! ( s − 1 ) ! n s + 2 i − 1 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.} 여기서 s 가 2인 경우 이는 다음과 같이 단순화된다. ∑ k = 1 n 1 k 2 ∼ ζ ( 2 ) − 1 n + 1 2 n 2 − ∑ i = 1 B 2 i n 2 i + 1 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},} 즉, ∑ k = 1 n 1 k 2 ∼ π 2 6 − 1 n + 1 2 n 2 − 1 6 n 3 + 1 30 n 5 − 1 42 n 7 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .} 여기서 s = 1 일 때 해당 기술은 고조파 수에 대해 점근적 확장을 제공한다. ∑ k = 1 n 1 k ∼ γ + log ⁡ n + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},} 여기서 γ ≈ 0.5772... 는 오일러-마스케로니 상수이다. 우리는 Apostol에서 주어진 주장을 요약한다. 위에서 n = 0, 1, 2, ... 에 대한 베르누이 다항식 Bn(x) 및 주기적 베르누이 함수 Pn(x) 가 소개되었다. 처음 몇 개의 Bernoulli 다항식은 다음과 같다. B 0 ( x ) = 1 , B 1 ( x ) = x − 1 2 , B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 , B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x , B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}} Bn(1) 값은 베르누이 수 Bn이다. 특히 n ≠ 1 경우 B n = B n ( 1 ) = B n ( 0 ) , {\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),} 되고, 그리고 n = 1 인 경우, B 1 = B 1 ( 1 ) = − B 1 ( 0 ) . {\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).} 이 됨을 유의하라. 함수 Pn 은 간격 [0, 1]에서 베르누리 다항식과 일치하고 주기 1로 주기적이다. 또한 n = 1 인 경우를 제외하고는 연속적이다. 따라서, P n ( 0 ) = P n ( 1 ) = B n for  n ≠ 1. {\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.} k 를 정수로 두고 아래 적분, ∫ k k + 1 f ( x ) d x = ∫ k k + 1 u d v , {\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,} 여기서 u = f ( x ) , d u = f ′ ( x ) d x , d v = P 0 ( x ) d x since  P 0 ( x ) = 1 , v = P 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}} 인 적분을 고려하자. 이 식은 부분 적분에 의하면 아래 식이 된다. ∫ k k + 1 f ( x ) d x = [ u v ] k k + 1 − ∫ k k + 1 v d u = [ f ( x ) P 1 ( x ) ] k k + 1 − ∫ k k + 1 f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x = B 1 ( 1 ) f ( k + 1 ) − B 1 ( 0 ) f ( k ) − ∫ k k + 1 f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}} B1(0) = −1/2B1(0) = −1/2, B1(1) = 1/2B1(1) = 1/2, 를 이용하고, 위 식을 k = 0 부터 k = n − 1까지 더하면, 위식은 아래와 같이 된다. ∫ 0 n f ( x ) d x = ∫ 0 1 f ( x ) d x + ⋯ + ∫ n − 1 n f ( x ) d x = f ( 0 ) 2 + f ( 1 ) + ⋯ + f ( n − 1 ) + f ( n ) 2 − ∫ 0 n f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}} 양변에 f(n) − f(0)/2 을 더하고 항을 정리하면, 위 식은 아래와 같이 된다. ∑ k = 1 n f ( k ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + f ( n ) − f ( 0 ) 2 + ∫ 0 n f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.} 이것은 합산 공식에서 p = 1 경우이다. 유도를 계속하기 위해 오차 항에 부분적분을 아래와 같이 적용한다. ∫ k k + 1 f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x = ∫ k k + 1 u d v , {\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,} 여기서, u = f ′ ( x ) , d u = f ″ ( x ) d x , d v = P 1 ( x ) d x , v = 1 2 P 2 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}} 이다. 부분적분의 결과는 [ u v ] k k + 1 − ∫ k k + 1 v d u = [ f ′ ( x ) P 2 ( x ) 2 ] k k + 1 − 1 2 ∫ k k + 1 f ″ ( x ) P 2 ( x ) d x = B 2 2 ( f ′ ( k + 1 ) − f ′ ( k ) ) − 1 2 ∫ k k + 1 f ″ ( x ) P 2 ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}} 이다. k = 0 에서 k = n − 1 까지 합산하고 이를 하위 오차 항으로 대체하면 공식에서 p = 2 경우가 된다. ∑ k = 1 n f ( k ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + f ( n ) + f ( 0 ) 2 + B 2 2 ( f ′ ( n ) − f ′ ( 0 ) ) − 1 2 ∫ 0 n f ″ ( x ) P 2 ( x ) d x . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.} 이러한 절차는 반복적으로 수행될 수 있다. 이러한 방식으로 수학적 귀납법에 의해 공식화 될 수 있는 오일러-맥클로린 합산 공식의 증명을 얻는다. 여기서 귀납법의 각 단계는 부분적분과 주기적인 베르누이 함수에 대한 항등식에 의존한다. Cesàro 합계 오일러 합계 가우스-크론로드 직교 공식 Darboux의 공식 오일러–부울 합계 Apostol, T. M. (1999년 5월 1일). “An Elementary View of Euler's Summation Formula”. 《The American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) 106 (5): 409–418. doi:10.2307/2589145. ISSN 0002-9890. JSTOR 2589145.  “Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences”. National Institute of Standards and Technology.  Lehmer, D. H. (1940). “On the maxima and minima of Bernoulli polynomials”. 《The American Mathematical Monthly》 47 (8): 533–538. doi:10.2307/2303833. JSTOR 2303833.  Pengelley, David J. (2007). 〈Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula〉. 《Euler at 300》. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. 169–189쪽. arXiv:1912.03527. MR 2349549.  Devries, Paul L.; Hasbrun, Javier E. (2011). 《A first course in computational physics.》 2판. Jones and Bartlett Publishers. 156쪽.  Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., 편집. (1972). 《Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables》. New York: Dover Publications. 16, 806, 886쪽. ISBN 978-0-486-61272-0.  지원되지 않는 변수 무시됨: |편집자-링크= (도움말) Gould, H. W.; Squire, William (1963). “Maclaurin's second formula and its generalization”. 《Amer. Math. Monthly》 70 (1): 44–52. doi:10.2307/2312783. JSTOR 2312783. MR 0146551.  Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2002). “Introduction on Bernoulli's numbers”.  Martensen, Erich (2005). “On the generalized Euler-Maclaurin formula”. 《Z. Angew. Math. Mech.》 85 (12): 858–863. Bibcode:2005ZaMM...85..858M. doi:10.1002/zamm.200410217. MR 2184846.  Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). 《Multiplicative number theory I. Classical theory》. Cambridge tracts in advanced mathematics 97. 495–519쪽. ISBN 978-0-521-84903-6.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler–Maclaurin Integration Formulas”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.