바일 지표 공식

리 군 표현론에서 바일 지표 공식(Weyl指標公式, 영어: Weyl character formula)은 주어진 복소수 기약 표현의 지표를 제시하는 공식이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 유한 차원 표현 r : g → g l ( V ; K ) {\displaystyle r\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V;K)} 의 지표(指標, 영어: character)는 다음과 같다. ch ⁡ ( V ) : g → K {\displaystyle \operatorname {ch} (V)\colon {\mathfrak {g}}\to K} ch ⁡ ( V ) : x ↦ tr K ⁡ exp ⁡ ( r ( x ) ) {\displaystyle \operatorname {ch} (V)\colon x\mapsto \operatorname {tr} _{K}\exp(r(x))} 여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다. 이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자. K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 복소수 반단순 리 대수이며, 그 카르탕 부분 대수가 h ≅ g / [ g , g ] {\displaystyle {\mathfrak {h}}\cong {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} 이며, 그 바일 군은 Weyl ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})} 이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 양근들의 집합을 Δ + ( g ) ⊂ h ∗ {\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {h}}^{*}} 라고 하자. V {\displaystyle V} 는 복소수 유한 차원 기약 표현이며, 그 최고 무게는 λ ∈ h ∗ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}} 이다. 바일 군의 원소 w ∈ Weyl ⁡ ( g ) {\displaystyle w\in \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})} 는 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 위에 표현 w ⋅ : h → h {\displaystyle w\cdot \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}} 을 가진다. 이 표현의 행렬식 det w {\displaystyle \det w} 은 바일 군의 원소의 길이(영어: length) length ⁡ w {\displaystyle \operatorname {length} w} 와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는 w {\displaystyle w} 의 표현을 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우 det w = ( − 1 ) length ⁡ ( w ) {\displaystyle \det w=(-1)^{\operatorname {length} (w)}} 이다. 그렇다면, 바일 지표 공식은 다음과 같다. ch ⁡ ( V ) : x ↦ ( ∏ α ∈ Δ + ( g ) 1 2 sinh ⁡ ( 1 2 α ( x ) ) ) ∑ w ∈ Weyl ⁡ ( g ) ( det w ) exp ⁡ ( w ⋅ ( λ ( x ) + 1 2 ∑ α ∈ Δ + ( g ) α ( x ) ) ) {\displaystyle \operatorname {ch} (V)\colon x\mapsto \left(\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}{\frac {1}{2\sinh({\frac {1}{2}}\alpha (x))}}\right)\sum _{w\in \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}(\det w)\exp \left(w\cdot (\lambda (x)+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}\alpha (x))\right)} 지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에 x = 0 {\displaystyle x=0} 을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신 x → 0 {\displaystyle x\to 0} 인 극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 바일 차원 공식(Weyl次元公式, 영어: Weyl dimension formula)을 얻을 수 있다. dim ⁡ V = ∏ α ∈ Δ + ( λ + ρ , α ) ∏ α ∈ Δ + ( ρ , α ) {\displaystyle \dim V={\frac {\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha )}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}} 여기서 ρ = 1 2 ∑ α ∈ Δ + α {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha } 이다. 자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 바일 분모 공식(Weyl分母公式, 영어: Weyl denominator formula)을 얻는다. ∏ α ∈ Δ + ( g ) 2 sinh ⁡ ( 1 2 α ( x ) ) = ∑ w ∈ Weyl ⁡ ( g ) ( det w ) ∏ α ∈ Δ + ( g ) exp ⁡ ( 1 2 w ⋅ α ( x ) ) {\displaystyle \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}2\sinh \left({\frac {1}{2}}\alpha (x)\right)=\sum _{w\in \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}(\det w)\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}\exp \left({\frac {1}{2}}w\cdot \alpha (x)\right)} 가장 간단한 복소수 단순 리 대수인 a 1 = s l ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )} 를 생각하자. 카르탕 부분 대수가 1차원이므로, 편의상 복소평면과의 동형을 고를 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 순환군 x ↦ − x {\displaystyle x\mapsto -x} 이다. 그 근계는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 양근이다. 긴 근의 길이는 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 이므로, 기본 무게의 길이는 1 / 2 {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}} 이다. s l ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )} 의 기약 표현들은 차원에 따라서 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대하여 그 차원의 기약 표현이 존재한다. n {\displaystyle n} 차원 기약 표현의 최고 무게는 기본 무게의 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 배이다. 따라서, n {\displaystyle n} 차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다. ch n ⁡ ( x ) = 1 2 sinh ⁡ ( x / 2 ) ) ( exp ⁡ ( n x / 2 ) − exp ⁡ ( − n x / 2 ) ) = sinh ⁡ ( n x / 2 ) sinh ⁡ ( x / 2 ) ) {\displaystyle \operatorname {ch} _{n}(x)={\frac {1}{2\sinh(x/{\sqrt {2}}))}}\left(\exp(nx/{\sqrt {2}})-\exp(-nx/{\sqrt {2}})\right)={\frac {\sinh(nx/{\sqrt {2}})}{\sinh(x/{\sqrt {2}}))}}} 이다. x → 0 {\displaystyle x\to 0} 극한을 취하면, 바일 차원 공식 lim x → 0 ch n ⁡ ( x ) = n {\displaystyle \lim _{x\to 0}\operatorname {ch} _{n}(x)=n} 을 얻는다. 헤르만 바일이 발견하였다. 군 표현의 지표 Weyl, Hermann (1925). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 23: 271–309. doi:10.1007/BF01506234. ISSN 0025-5874.  Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 24: 328–376. doi:10.1007/BF01216788. ISSN 0025-5874.  Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 24: 377–395. doi:10.1007/BF01216789. ISSN 0025-5874.  “Weyl-Kac character formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Weyl character formula”. 《nLab》 (영어).  “Kac character formula”. 《nLab》 (영어).  “Kac-Weyl character”. 《nLab》 (영어).  이철희. “바일 지표 공식 (Weyl character formula)”. 《수학노트》.  이철희. “바일 차원 공식(Weyl dimension formula)”. 《수학노트》.  이철희. “프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)”. 《수학노트》.