부분 대상과 몫 대상

범주론에서 부분 대상(部分對象, 영어: subobject)은 어떤 범주에서 주어진 대상의 일부분으로 여길 수 있는 구조이며, 몫 대상(-對象, 영어: quotient object)은 어떤 범주에서 주어진 대상에 동치 관계를 가한 것으로 여길 수 있는 구조이다. 부분집합이나 부분군 및 동치류 집합, 몫군의 개념을 추상화한 것이다. 부분 대상과 몫 대상은 서로 쌍대되는 개념이다. 즉, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서 대상 X {\displaystyle X} 의 부분 대상 범주 Sub C ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} _{\mathcal {C}}(X)} 가 주어졌다면, ( Sub C ⁡ ( X ) ) op ≡ Quot C op ⁡ ( X ) {\displaystyle (\operatorname {Sub} _{\mathcal {C}}(X))^{\operatorname {op} }\equiv \operatorname {Quot} _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X)} 이다. 여기서 ≡ {\displaystyle \equiv } 는 범주의 동형이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 의 부분 대상은 X {\displaystyle X} 를 공역으로 하는 단사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약 f : Y ↪ X {\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X} g : Z ↪ X {\displaystyle g\colon Z\hookrightarrow X} 이며, f = g ∘ h {\displaystyle f=g\circ h} g = f ∘ h ~ {\displaystyle g=f\circ {\tilde {h}}} 인 사상 h : Y → Z {\displaystyle h\colon Y\to Z} h ~ : Z → Y {\displaystyle {\tilde {h}}\colon Z\to Y} 이 존재한다면, f ∼ g {\displaystyle f\sim g} 로 놓는다. (이 경우 h {\displaystyle h} 와 h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} 는 유일하며, 동형 사상이며, 서로 역사상이다.) X {\displaystyle X} 의 부분 대상의 모임 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서 ≤ {\displaystyle \leq } 가 정의된다. [ f ] ≤ [ g ] ⟺ ∃ h : f = g ∘ h {\displaystyle [f]\leq [g]\iff \exists h\colon f=g\circ h} 이에 따라, Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 의 몫 대상은 X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하는 전사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약 f : X ↠ Y {\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y} g : X ↠ Z {\displaystyle g\colon X\twoheadrightarrow Z} 이며, f = h ∘ g {\displaystyle f=h\circ g} g = h ~ ∘ f {\displaystyle g={\tilde {h}}\circ f} 인 사상 h : Z → Y {\displaystyle h\colon Z\to Y} h ~ : Y → Z {\displaystyle {\tilde {h}}\colon Y\to Z} 이 존재한다면, f ∼ g {\displaystyle f\sim g} 로 놓는다. (이 경우 h {\displaystyle h} 와 h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} 는 유일하며, 동형 사상이며, 서로 역사상이다.) X {\displaystyle X} 의 몫 대상의 모임 Quot ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Quot} (X)} 에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서 ≤ {\displaystyle \leq } 가 정의된다. [ f ] ≤ [ g ] ⟺ ∃ h : h ∘ f = g {\displaystyle [f]\leq [g]\iff \exists h\colon h\circ f=g} 이에 따라, Quot ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Quot} (X)} 는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 주어진 대상 X {\displaystyle X} 의 부분 대상 모임 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 은 고유 모임일 수 있다. 만약 모든 대상의 부분 대상 모임이 집합이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 정멱 범주(整冪範疇, 영어: well-powered category)라고 한다. 마찬가지로, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 모든 대상의 몫 대상 모임이 집합이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 쌍대 정멱 범주(雙對整冪範疇, 영어: co-well-powered category)라고 한다. 정의에 따라, 부분 대상 분류자를 갖는 국소적으로 작은 범주는 정멱 범주이다. 순서수의 고유 모임에 최대 원소를 추가하여 만든 정렬 전순서 모임 Ord + 1 = Ord ⊔ { ∞ } {\displaystyle \operatorname {Ord} +1=\operatorname {Ord} \sqcup \{\infty \}} 은 범주로서 정멱 범주가 아니다. 우리손 공간과 연속 함수들의 범주 Ury {\displaystyle \operatorname {Ury} } 는 쌍대 정멱 범주가 아니다. 부분 대상 분류자 Schröder, Joachim (1983). “The category of Urysohn spaces is not cowellpowered”. 《Topology and its Applications》 (영어) 16 (3): 237–241. doi:10.1016/0166-8641(83)90020-2. ISSN 0166-8641. MR 0722116. Zbl 0534.54004.  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Subobject”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Quotient object”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Subobject”. 《nLab》 (영어).  “Quotient object”. 《nLab》 (영어).  “Well-powered category”. 《nLab》 (영어).