보형 형식

수학에서 보형 형식(保型 形式) 또는 자기동형 형식(自己同型 形式, 영어: automorphic form)은 고전적인 모듈러 형식을 임의의 리 군 및 그 이산 부분군으로 일반화시킨 개념이다. 즉, 어떤 이산 부분군의 작용에 대하여 불변인 해석 함수이다. 보형 형식의 이론은 랭글랜즈 프로그램을 통해 현대 수론의 핵심적인 부분을 차지한다. 임의의 리 군 G {\displaystyle G} 은 이와사와 분해(영어: Iwasawa decomposition)를 통해 멱영군 N {\displaystyle N} , 아벨 군 A {\displaystyle A} , 콤팩트 반단순 군 K {\displaystyle K} 로 분해될 수 있다. 즉, 임의의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 는 이와사와 분해에 따라 g = n ( g ) a ( g ) k ( g ) {\displaystyle g=n(g)a(g)k(g)} n ( g ) ∈ N , a ( g ) ∈ A , k ( g ) ∈ K {\displaystyle n(g)\in N,\;a(g)\in A,\;k(g)\in K} 와 같이 나타낼 수 있다. 리 군 G {\displaystyle G} 가 이산 부분군 Γ ⊂ G {\displaystyle \Gamma \subset G} 를 갖는다고 하자. G {\displaystyle G} 위의, Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대한 보형 형식 f : G → C {\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} } 는 다음 네 조건들을 만족시키는 매끄러운 함수이다. 모든 γ ∈ Γ {\displaystyle \gamma \in \Gamma } , g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, f ( γ g ) = f ( g ) {\displaystyle f(\gamma g)=f(g)} ( K {\displaystyle K} -유한성) f {\displaystyle f} 를 K {\displaystyle K} 의 원소에 대하여 (우측) 병진이동시켜 얻은 함수들의 벡터 공간이 유한 차원이다. ( Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} -유한성) Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} 가 G {\displaystyle G} 의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보편 포락 대수 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 의 중심이라고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 를 상쇄시키는, Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} 의 유한 여차원 아이디얼 J ⊂ Z {\displaystyle J\subset {\mathcal {Z}}} 이 존재한다. (첨점에서의 완만한 성장 영어: moderate growth at cusp) 첨점 근처에서, | f ( g ) | = O ( ‖ a ( g ) ‖ λ ) {\displaystyle |f(g)|=O(\Vert a(g)\Vert ^{\lambda })} 인 λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } 가 존재한다. 이 네 조건 가운데, 첫 번째를 제외하고 나머지는 기술적인 조건이다. 고전적으로, 보형 형식은 복소 공간 위의 유리형 함수로 정의되었고, 이 경우 변환 법칙에 보형 인자(영어: factor of automorphy) j {\displaystyle j} 라는 인자가 포함되었다. 즉, f ( γ ⋅ z ) = j ( γ , z ) − m f ( x ) {\displaystyle f(\gamma \cdot z)=j(\gamma ,z)^{-m}f(x)} 의 꼴이다. 예를 들어, 고전적 모듈러 형식은 상반평면 H {\displaystyle \mathbb {H} } 위에, 모듈러 군 Γ = PSL ⁡ ( 2 , Z ) {\displaystyle \Gamma =\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )} 에 대하여 변환하는 함수이다. 현대적으로, 이는 G = SL ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle G=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )} 의 부분군 K = SO ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle K=\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )} 에 대한 잉여류 공간 SL ⁡ ( 2 , R ) / SO ⁡ ( 2 , R ) ≅ H {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} } 위의 함수로 재해석된다. 보형 형식은 고전적인 개념인 모듈러 형식의 일반화이다. 고전적인 모듈러 형식은 힐베르트 모듈러 형식·지겔 모듈러 형식 등으로 일반화되었다. 일반적인 리 군에 대한 오늘날의 추상적인 정의는 일리야 퍄테츠키샤피로 등에 의하여 1960년대에 완성되었다. 이후 로버트 랭글랜즈가 랭글랜즈 프로그램을 통해 이를 대수적 수론의 갈루아 군과 연결시키면서, 현재까지 수론의 주요 연구 대상이 되고 있다. 자기동형사상 j {\displaystyle j} -불변량 Bump, Daniel (1997). 《Automorphic Forms and Representations》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 55. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511609572. ISBN 9780521550987.  Jacquet, Hervé; Robert P. Langlands (1970). 《Automorphic forms on GL(2)》 (PDF). Lecture Notes in Mathematics (영어) 114. Springer. doi:10.1007/BFb0058988. ISBN 978-3-540-04903-6. MR 0401654.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Iwaniec, Henryk (1997). 《Topics in Classical Automorphic Forms》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 17. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0777-4.  “Automorphic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Automorphic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Brubaker, Ben (2010). “18.785 lecture notes” (PDF) (영어). Massachusetts Institute of Technology.  Martin, Kimball (2014년 3월 4일). “Automorphic forms online references” (영어).