라이스너-노르드스트룀 계량

라이스너-노르드스트룀 계량(영어: Reissner–Nordström metric, RN)은 구면대칭 전하에 대한 아인슈타인 방정식의 해다. 편의상 c = 1 {\displaystyle c=1} 로 놓자. 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다. d s 2 = − ( 1 − 2 G M r + G Q 2 4 π ϵ 0 r 2 ) d t 2 + ( 1 − 2 G M r + G Q 2 4 π ϵ 0 r 2 ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}} A t = Q 4 π ϵ 0 r {\displaystyle A_{t}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r}}} 여기서 d Ω 2 = d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}} 이고, M {\displaystyle M} 은 블랙홀의 질량, Q {\displaystyle Q} 는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다. RN 계량에서는 두 개의 지평선이 존재한다. 좌표로 쓰면 r ± = G M ± G 2 M 2 − G Q 2 / 4 π ϵ 0 {\displaystyle r_{\pm }=GM\pm {\sqrt {G^{2}M^{2}-GQ^{2}/4\pi \epsilon _{0}}}} 이다. 겉의 것은 사건 지평선이고, 안의 것은 코시 지평선이다. 전하가 | Q | = 4 π ϵ 0 G M {\displaystyle |Q|={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}M} 일 때, 두 개의 지평선은 겹친다. 이 경우를 극대 블랙홀이라 한다. 이는 | Q | / M = 4 π ϵ 0 G = 24.3 p C / k g = 152 e / m g {\displaystyle |Q|/M={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}=24.3\;\mathrm {pC/kg} =152\,e/\mathrm {mg} } 일 경우이다. | Q | > 4 π ϵ 0 G M {\displaystyle |Q|>{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}M} 이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생한다. 로저 펜로즈의 우주 검열 가설에 따르면, 이러한 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다. 편의상 1 = c = ϵ 0 = 8 π G {\displaystyle 1=c=\epsilon _{0}=8\pi G} 로 놓자. 임의의 d > 3 {\displaystyle d>3} 차원의 민코프스키 공간 속에서 라이스너-노르드스트룀 계량이 존재한다. 그 계량은 다음과 같다.:265 d s 2 = − H ( r ) − 2 W ( r ) d t 2 + H 2 / ( d − 3 ) ( W ( r ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω ( d − 2 ) 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-H(r)^{-2}W(r)dt^{2}+H^{2/(d-3)}\left(W(r)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{(d-2)}^{2}\right)} A 0 ( r ) = α ( H − 1 ( r ) − 1 ) {\displaystyle A_{0}(r)=\alpha (H^{-1}(r)-1)} H ( r ) = 1 − ω ( 1 − d − 3 2 ( d − 2 ) α 2 ) r d − 3 {\displaystyle H(r)=1-{\frac {\omega }{\left(1-{\frac {d-3}{2(d-2)\alpha ^{2}}}\right)r^{d-3}}}} W ( r ) = 1 − ω / r d − 3 {\displaystyle W(r)=1-\omega /r^{d-3}} 여기서 상수 h {\displaystyle h} , α {\displaystyle \alpha } , ω {\displaystyle \omega } 는 블랙홀의 질량 M {\displaystyle M} 및 전하 Q {\displaystyle Q} 와 다음과 같은 관계를 갖는다. α = 1 ( d − 3 ) vol ⁡ ( S d − 2 ) Q ( d − 2 ) vol ⁡ ( S d − 2 ) M + ω / 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{(d-3)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\frac {Q}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})M+\omega /2}}} ω = 1 ( d − 2 ) vol ⁡ ( S d − 2 ) M 2 − d − 2 d − 3 Q 2 {\displaystyle \omega ={\frac {1}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\sqrt {M^{2}-{\frac {d-2}{d-3}}Q^{2}}}} 여기서 vol ⁡ ( S d − 2 ) = ( d + 1 ) π ( d + 1 ) / 2 Γ ( ( d + 3 ) / 2 ) {\displaystyle \operatorname {vol} (S^{d-2})={\frac {(d+1)\pi ^{(d+1)/2}}{\Gamma ((d+3)/2)}}} 은 d − 2 {\displaystyle d-2} 차원 단위 초구의 넓이다. 고차원 라이스터-노르드스트룀 해의 사건 지평선은 r = ω d − 3 {\displaystyle r={\sqrt[{d-3}]{\omega }}} 에 위치한다. 벌거숭이 특이점이 아닐 조건은 다음과 같다.:(8.228) | Q | / M ≤ 8 π G ϵ 0 ⋅ d − 3 d − 2 {\displaystyle |Q|/M\leq {\sqrt {8\pi G\epsilon _{0}\cdot {\frac {d-3}{d-2}}}}} 슈바르츠실트 계량이 발견된 직후에 독일의 항공우주공학자 한스 야코프 라이스너(독일어: Hans Jacob Reissner)와 핀란드의 물리학자 군나르 노르드스트룀, 독일의 수학자 헤르만 바일, 영국의 수리물리학자 조지 바커 제프리가 각각 독립적으로 발견하였다. Ortín, Tomás (2004). 《Gravity and Strings》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511616563. ISBN 9780521824750.  Weyl, H. (1917). “Zur Gravitationstheorie”. 《Annalen der Physik》 (독일어) 54 (18): 117–145. Bibcode:1917AnP...359..117W. doi:10.1002/andp.19173591804.  Jeffery, G. B. (1921). “The field of an electron on Einstein's theory of gravitation”. 《Proc. R. Soc. Lond. A》 99 (697): 123–134. Bibcode:1921RSPSA..99..123J. doi:10.1098/rspa.1921.0028.  일반 상대성 이론 아인슈타인 방정식 슈바르츠실트 블랙홀 슈바르츠실트 계량 플라스마 가림효과