비틀림 텐서

미분기하학에서 비틀림 텐서(영어: torsion tensor)는 주다발의 코쥘 접속이 레비치비타 접속에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는, (1,2)차 텐서장이다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 의 주다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 위의 코쥘 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 그렇다면, ∇ {\displaystyle \nabla } 의 비틀림 텐서는 다음과 같은 (1,2)-텐서장 ( T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 값 이차 형식) T ∈ Γ ⁡ ( T M ⊗ T ∗ M ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle T\in \operatorname {\Gamma } (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)} 이다. T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] ( X , Y ∈ Γ ( T M ) ) {\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\qquad (X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M))} 여기서 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} 는 리 미분이다. 성분으로 적으면 다음과 같다. 우선, 코쥘 접속의 성분이 ( ∇ μ X ) ν = ∂ μ X ν + Γ μ ρ ν X ρ {\displaystyle (\nabla _{\mu }X)^{\nu }=\partial _{\mu }X^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }X^{\rho }} 라고 하자. 또한, 국소적으로 (홀로노믹) 좌표를 잡자. 그렇다면, T ( X , Y ) ν = T ν μ ρ X μ Y ρ {\displaystyle T(X,Y)^{\nu }=T^{\nu }{}_{\mu \rho }X^{\mu }Y^{\rho }} T ν μ ρ = Γ μ ρ ν − Γ ρ μ ν = 2 Γ [ μ ρ ] ν {\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu \rho }=\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }-\Gamma _{\rho \mu }^{\nu }=2\Gamma _{[\mu \rho ]}^{\nu }} 이다. 보다 일반적으로, 임의의 필바인 e 1 μ … , e n μ ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle e_{1}^{\mu }\,\dotsc ,e_{n}^{\mu }\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 을 잡자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. [ e a , e b ] μ = γ a b c e c μ {\displaystyle [e_{a},e_{b}]^{\mu }=\gamma _{ab}^{c}e_{c}^{\mu }} e a μ ( ∇ μ e b ) ν = ω b a c e ν c {\displaystyle e_{a}^{\mu }(\nabla _{\mu }e^{b})_{\nu }=\omega ^{b}{}_{ac}e_{\nu }^{c}} 여기서 ω {\displaystyle \omega } 는 스핀 접속이다. 그렇다면, 이 기저에서 비틀림 텐서는 다음과 같다. T c a b = ω a b c − ω b a c − γ a b c {\displaystyle T^{c}{}_{ab}=\omega _{ab}^{c}-\omega _{ba}^{c}-\gamma _{ab}^{c}} 비틀림 텐서는 (1,2)차 텐서장이며, 그 두 개의 아래 지표는 서로 반대칭이다. 즉, T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 값의 2차 미분 형식을 이룬다. T i j k = − T i k j {\displaystyle T^{i}{}_{jk}=-T^{i}{}_{kj}} 즉, n {\displaystyle n} 차원의 다양체에서 그 성분은 총 n × n × ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n\times n\times (n-1)/2} 개이다. 특히, 1차원 이하의 경우 비틀림 텐서는 항상 0이다. (2차원 이상의 경우 비틀림이 ≠0일 수 있다.) 아핀 다양체 ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} 의 리만 곡률 R ( X , Y ) Z = [ ∇ X , ∇ Y ] Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]Z-\nabla _{[X,Y]}Z} 을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 비안키 항등식(Bianchi恒等式, 영어: Bianchi identity)이 성립한다. Cyc X , Y , Z ⁡ [ R ( X , Y ) Z − T ( T ( X , Y ) , Z ) − ( ∇ X T ) ( Y , Z ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}\left[R(X,Y)Z-T(T(X,Y),Z)-(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right]=0} Cyc X , Y , Z ⁡ [ ( ∇ X R ) ( Y , Z ) + R ( T ( X , Y ) , Z ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}\left[(\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right]=0} 여기서 Cyc X , Y , Z ⁡ [ X … Y … Z ] = X … Y … Z + Y … Z … X + Z … X … Y {\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}[X\dotso Y\dotso Z]=X\dotso Y\dotso Z+Y\dotso Z\dotso X+Z\dotso X\dotso Y} 는 ( X , Y , Z ) {\displaystyle (X,Y,Z)} 를 순환에 따라 치환한 합을 뜻한다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 레비치비타 접속의 비틀림은 0이다. 리만 곡률 텐서 레비치비타 접속 “Torsion tensor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Torsion tensor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Torsion of a metric connection”. 《nLab》 (영어).