존슨 결합 도식

조합론에서 존슨 결합 도식(Johnson結合圖式, 영어: Johnson scheme)은 주어진 해밍 무게의 벡터들로 구성된, 2진 해밍 결합 도식의 부분 결합 도식이다. 다음이 주어졌다고 하자. 크기 n {\displaystyle n} 의 유한 집합 S {\displaystyle S} 자연수 k ≤ n {\displaystyle k\leq n} 그렇다면, 다음을 정의하자. X = Pow k ⁡ ( S ) {\displaystyle X=\operatorname {Pow} _{k}(S)} 는 S {\displaystyle S} 의, 크기 k {\displaystyle k} 의 부분 집합들의 집합족이다. 각 i ∈ { 0 , 1 … , n } {\displaystyle i\in \{0,1\dotsc ,n\}} 및 u , v ∈ X {\displaystyle u,v\in X} 에 대하여, 이항 관계 u ∼ i v ⟺ d H ⁡ ( u , v ) = 2 i {\displaystyle u\sim _{i}v\iff \operatorname {d_{H}} (u,v)=2i} (여기서 d H {\displaystyle \operatorname {d_{H}} } 는 해밍 거리) 그렇다면, ( X , n , ( ∼ i ) 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle (X,n,(\sim _{i})_{0\leq i\leq n})} 는 결합 도식을 이루며, 이를 ( k , n ) {\displaystyle (k,n)} -이진 존슨 결합 도식(영어: binary Johnson association scheme) J 2 ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {J} _{2}(k,n)} 이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 점을 가진 집합 ( Σ , ∙ ) {\displaystyle (\Sigma ,\bullet )} ( | Σ | ≥ 2 {\displaystyle |\Sigma |\geq 2} ). 이에 따라, ∙ {\displaystyle \bullet } 에 대하여 해밍 무게를 정의할 수 있다. 두 양의 정수 0 < k ≤ n {\displaystyle 0<k\leq n} 그렇다면, 다음과 같은 두 함수를 정의할 수 있다. e , f : Σ n × Σ n → { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle e,f\colon \Sigma ^{n}\times \Sigma ^{n}\to \{0,1,\dotsc ,n\}} e : ( u , v ) ↦ | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : u i = v i ≠ ∙ } | {\displaystyle e\colon (u,v)\mapsto \left|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u_{i}=v_{i}\neq \bullet \}\right|} f : ( u , v ) ↦ | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : u i ≠ ∙ ≠ v i } | {\displaystyle f\colon (u,v)\mapsto \left|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u_{i}\neq \bullet \neq v_{i}\}\right|} (만약 | Σ | ≤ 2 {\displaystyle |\Sigma |\leq 2} 라면, e = f {\displaystyle e=f} 이다.) 이제, ∙ {\displaystyle \bullet } 에 대한 해밍 무게가 k {\displaystyle k} 인 길이 n {\displaystyle n} 의 Σ {\displaystyle \Sigma } -문자열들의 집합 W k ⁡ ( Σ n ) ⊆ Σ n = { u ∈ Σ n : k = | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : u i ≠ ∙ } | } {\displaystyle \operatorname {W} _{k}(\Sigma ^{n})\subseteq \Sigma ^{n}=\left\{u\in \Sigma ^{n}\colon k=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u_{i}\neq \bullet \}|\right\}} 을 생각하자. 이 위에, 이항 관계 u ∼ i , j v ⟺ ( e ( u , v ) , f ( u , v ) ) = ( k − i , k − j ) ( u , v ∈ W k ⁡ ( Σ n ) ) {\displaystyle u\sim _{i,j}v\iff \left(e(u,v),f(u,v)\right)=(k-i,k-j)\qquad (u,v\in \operatorname {W} _{k}(\Sigma ^{n}))} 를 정의하면, ( W k ⁡ ( Σ n ) , ( ∼ i , j ) i , j ) {\displaystyle (\operatorname {W} _{k}(\Sigma ^{n}),(\sim _{i,j})_{i,j})} 는 결합 도식을 이룬다. 이를 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 존슨 결합 도식 J | Σ | ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {J} _{|\Sigma |}(k,n)} 이라고 한다. q {\displaystyle q} 진 존슨 결합 도식 J q ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {J} _{q}(k,n)} 은 대칭 결합 도식이며, 그 집합의 크기는 다음과 같다. | J q ⁡ ( k , n ) | = ( q − 1 ) k ( n k ) {\displaystyle |\operatorname {J} _{q}(k,n)|=(q-1)^{k}{\binom {n}{k}}} 이진 존슨 결합 도식 J 2 ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {J} _{2}(k,n)} 의 이항 관계의 수는 (항등 관계를 포함하여) ⌊ n / 2 ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor +1} 개이며, 다음과 같다. { ∼ 0 , 0 , ∼ 1 , 1 , … , ∼ ⌊ n / 2 ⌋ , ⌊ n / 2 ⌋ } {\displaystyle \left\{\sim _{0,0},\;\sim _{1,1},\dotsc ,\sim _{\lfloor n/2\rfloor ,\lfloor n/2\rfloor }\right\}} 존슨 결합 도식 J q ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {J} _{q}(k,n)} 에서, 다음이 성립한다.:279, §1 u ∼ i , j v ⟹ d H ⁡ ( u , v ) = i + j ( u , v ∈ J q ⁡ ( k , n ) ) {\displaystyle u\sim _{i,j}v\implies \operatorname {d_{H}} (u,v)=i+j\qquad (u,v\in \operatorname {J} _{q}(k,n))} 증명: 임의의 u , v ∈∈ J q ⁡ ( k , n ) {\displaystyle u,v\in \in \operatorname {J} _{q}(k,n)} 에 대하여, e ( u , v ) = | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : ∙ ≠ u i = v i } | {\displaystyle e(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon \bullet \neq u_{i}=v_{i}\}|} 이므로, k − e ( u , v ) = | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : ∙ ≠ u i ≠ v i } | {\displaystyle k-e(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon \bullet \neq u_{i}\neq v_{i}\}|} 이다. 마찬가지로, f ( u , v ) = | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : u i ≠ ∙ ≠ v i } | {\displaystyle f(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u_{i}\neq \bullet \neq v_{i}\}|} 이므로, k − f ( u , v ) = | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : ∙ = u i ≠ v i } | {\displaystyle k-f(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon \bullet =u_{i}\neq v_{i}\}|} 이다. 즉, d H ⁡ ( u , v ) = | { i ∈ { 0 , … , n − 1 } : u i ≠ v i } | = ( k − e ( u , v ) ) + ( k − f ( u , v ) ) {\displaystyle \operatorname {d_{H}} (u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u_{i}\neq v_{i}\}|=(k-e(u,v))+(k-f(u,v))} 이다. 이진 존슨 결합 도식 J 2 ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {J} _{2}(k,n)} 의 고윳값들은 다음과 같다. p i , j = e i ( j ) {\displaystyle p_{i,j}=e_{i}(j)} q i , j = μ i v i e i ( j ) {\displaystyle q_{i,j}={\frac {\mu _{i}}{v_{i}}}e_{i}(j)} 여기서 μ i = n − 2 i + 1 n − i + 1 ( n i ) {\displaystyle \mu _{i}={\frac {n-2i+1}{n-i+1}}{\binom {n}{i}}} e i ( x ) = ∑ j = 0 i ( − ) j ( x j ) ( k − x i − j ) ( n − k − x i − j ) ( i = 0 , … , k ) ∈ Z [ x ] {\displaystyle e_{i}(x)=\sum _{j=0}^{i}(-)^{j}{\binom {x}{j}}{\binom {k-x}{i-j}}{\binom {n-k-x}{i-j}}\qquad (i=0,\dotsc ,k)\in \mathbb {Z} [x]} 이며, 다항식열 ( e i ) 0 ≤ i ≤ k {\displaystyle (e_{i})_{0\leq i\leq k}} 를 에벌라인 다항식(Eberlein多項式, 영어: Eberlein polynomial)이라고 한다. 미국의 수학자 셀머 마틴 존슨(영어: Selmer Martin Johnson, 1916~1996)이 도입하였다. Tarnanen, Hannu; Aaltonen, Matti J.; Goethals, Jean-Marie (1985년 9월). “On the nonbinary Johnson scheme”. 《European Journal of Combinatorics》 (영어) 6 (3): 279–285. doi:10.1016/S0195-6698(85)80039-1. Zbl 0577.94014.  “Association scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Johnson scheme”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Eberlein polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.