푸르만 원

기하학에서, 푸르만 원(영어: Fuhrmann circle)은 삼각형의 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 하는 원이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원의 호 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 중점을 각각 F A ′ {\displaystyle F_{A}'} , F B ′ {\displaystyle F_{B}'} , F C ′ {\displaystyle F_{C}'} 라고 하자. 직선 B C {\displaystyle BC} 에 대한 F A ′ {\displaystyle F_{A}'} 의 반사상을 F A {\displaystyle F_{A}} , 직선 C A {\displaystyle CA} 에 대한 F B ′ {\displaystyle F_{B}'} 의 반사상을 F B {\displaystyle F_{B}} , 직선 A B {\displaystyle AB} 에 대한 F C ′ {\displaystyle F_{C}'} 의 반사상을 F C {\displaystyle F_{C}} 라고 하자. 그렇다면 삼각형 F A F B F C {\displaystyle F_{A}F_{B}F_{C}} 를 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 푸르만 삼각형(영어: Fuhrmann triangle)이라고 한다. 푸르만 삼각형의 외접원을 푸르만 원이라고 한다. 푸르만 원은 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 한다.:50, §6 특히, 푸르만 원의 중심은 수심과 나겔 점을 잇는 선분의 중점이다. 증명: 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수심을 H {\displaystyle H} , 나겔 점을 X 8 {\displaystyle X_{8}} 이라고 하자. 그렇다면 F A F A ′ {\displaystyle F_{A}F_{A}'} 은 선분 B C {\displaystyle BC} 의 수직 이등분선이므로, 선분 B C {\displaystyle BC} 의 중점 M A {\displaystyle M_{A}} 와 외심 O {\displaystyle O} 를 지난다. 특히 O {\displaystyle O} 에 대한 F A ′ {\displaystyle F_{A}'} 의 반사상을 F A ″ {\displaystyle F_{A}''} 이라고 할 경우 선분 F A ′ F A ″ {\displaystyle F_{A}'F_{A}''} 은 외접원의 지름이다. A H {\displaystyle AH} 와 F A ″ F A {\displaystyle F_{A}''F_{A}} 는 모두 B C {\displaystyle BC} 의 수선이므로 평행한다. 또한 A H = 2 O M A = 2 O F A ′ − 2 M A F A ′ = F A ″ F A ′ − F A F A ′ = F A ″ F A {\displaystyle {\begin{aligned}AH&=2OM_{A}\\&=2OF_{A}'-2M_{A}F_{A}'\\&=F_{A}''F_{A}'-F_{A}F_{A}'\\&=F_{A}''F_{A}\end{aligned}}} 이므로 선분 H F A {\displaystyle HF_{A}} 는 선분 A F A ″ {\displaystyle AF_{A}''} 의 평행 이동상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 반중점 삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 의 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에 대한 꼭짓점을 A ′ {\displaystyle A'} , B ′ {\displaystyle B'} , C ′ {\displaystyle C'} 이라고 하자. 그렇다면 X 8 {\displaystyle X_{8}} 은 삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 의 내심이며, 특히 A ′ X 8 {\displaystyle A'X_{8}} 은 삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 의 내각 이등분선이다. A F A ′ {\displaystyle AF_{A}'} 역시 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내각 이등분선이므로, A ′ X 8 {\displaystyle A'X_{8}} 과 A F A ′ {\displaystyle AF_{A}'} 은 평행한다. M A {\displaystyle M_{A}} 는 선분 A A ′ {\displaystyle AA'} 과 F A F A ′ {\displaystyle F_{A}F_{A}'} 의 공통 중점이므로, 선분 A F A ′ {\displaystyle AF_{A}'} 과 A ′ F A {\displaystyle A'F_{A}} 는 서로 M A {\displaystyle M_{A}} 에 대한 반사상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다. 따라서, A ′ {\displaystyle A'} , X 8 {\displaystyle X_{8}} , F A {\displaystyle F_{A}} 는 공선점이며, X 8 F A {\displaystyle X_{8}F_{A}} 와 A F A ′ {\displaystyle AF_{A}'} 은 평행한다. 선분 F A ′ F A ″ {\displaystyle F_{A}'F_{A}''} 은 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원의 지름이므로, A F A ′ {\displaystyle AF_{A}'} 과 A F A ″ {\displaystyle AF_{A}''} 은 서로 수직이다. 따라서 X 8 F A {\displaystyle X_{8}F_{A}} 와 H F A {\displaystyle HF_{A}} 역시 서로 수직이며, F A {\displaystyle F_{A}} 는 선분 H X 8 {\displaystyle HX_{8}} 를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변의 길이를 a = B C {\displaystyle a=BC} , b = A C {\displaystyle b=AC} , c = A B {\displaystyle c=AB} 라고 하고, 외접원의 반지름을 R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 푸르만 원의 반지름은 R a 3 + b 3 + c 3 − ( a 2 b + a 2 c + a b 2 + b 2 c + a c 2 + b c 2 ) + 3 a b c a b c {\displaystyle R{\sqrt {\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc}{abc}}}} 이다.:148, §11.17 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원의 반지름을 r {\displaystyle r} 라고 하고, 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서 대변에 내린 수선과 푸르만 원 사이의 수심이 아닌 교점을 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 A P = B Q = C R = 2 r {\displaystyle AP=BQ=CR=2r} 이다.:52, §6 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변의 길이를 a = B C {\displaystyle a=BC} , b = A C {\displaystyle b=AC} , c = A B {\displaystyle c=AB} 라고 하고, 외심을 O {\displaystyle O} , 내심을 I {\displaystyle I} 라고 하자. 그렇다면 푸르만 삼각형의 세 변의 길이는 F B F C = ( a + b + c ) ( b + c − a ) b c O I = a ( a 3 + b 3 + c 3 − ( a 2 b + a 2 c + a b 2 + b 2 c + a c 2 + b c 2 ) + 3 a b c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle F_{B}F_{C}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}OI={\sqrt {\frac {a(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(a-b+c)(a+b-c)}}}} F A F C = ( a + b + c ) ( a − b + c ) a c O I = b ( a 3 + b 3 + c 3 − ( a 2 b + a 2 c + a b 2 + b 2 c + a c 2 + b c 2 ) + 3 a b c ) ( b + c − a ) ( a + b − c ) {\displaystyle F_{A}F_{C}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a-b+c)}{ac}}}OI={\sqrt {\frac {b(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(b+c-a)(a+b-c)}}}} F A F B = ( a + b + c ) ( a + b − c ) a b O I = c ( a 3 + b 3 + c 3 − ( a 2 b + a 2 c + a b 2 + b 2 c + a c 2 + b c 2 ) + 3 a b c ) ( b + c − a ) ( a − b + c ) {\displaystyle F_{A}F_{B}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a+b-c)}{ab}}}OI={\sqrt {\frac {c(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(b+c-a)(a-b+c)}}}} 이다.:255, §19.15 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내심을 I {\displaystyle I} , 외심을 O {\displaystyle O} , 수심을 H {\displaystyle H} , 나겔 점을 X 8 {\displaystyle X_{8}} , 푸르만 원의 중심을 X 355 {\displaystyle X_{355}} 라고 하자. 그렇다면 사각형 O I X 355 X 8 {\displaystyle OIX_{355}X_{8}} 과 사각형 O I H X 355 {\displaystyle OIHX_{355}} 는 모두 평행 사변형이며, 그 무게 중심은 각각 슈피커 중심 및 구점원의 중심이다.:255, §19.15 특히, 슈피커 중심은 외심과 푸르만원의 중심을 잇는 선분의 중점이며, 구점원의 중심은 내심과 푸르만 원의 중심을 잇는 선분의 중점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원과 내접원의 반지름을 R {\displaystyle R} 와 r {\displaystyle r} 라고 하자. 그렇다면 내심 I {\displaystyle I} 와 푸르만 원의 중심 X 355 {\displaystyle X_{355}} 사이의 거리는 다음과 같다.:255, §19.15 I X 355 = 2 N I = R − 2 r {\displaystyle IX_{355}=2NI=R-2r} 여기서 N {\displaystyle N} 은 구점원의 중심이다. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Douillet, Pierre L. “Translation of the Kimberling's Glossary into Barycentrics” (PDF) (영어). 2020년 5월 31일에 확인함.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuhrmann circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuhrmann triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuhrmann center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.