시그마 대수

측도론에서 시그마 대수(σ代數, 영어: sigma-algebra)는 가산 상한과 하한을 갖는 불 대수이다. 시그마 대수의 원소 위에 측도를 정의할 수 있다. 불 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수를 (추상적) 시그마 대수(영어: (abstract) sigma-algebra)라고 한다.:§2.3:Definition 1 (가산 상완비성) Σ {\displaystyle \Sigma } 의 임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다. (가산 하완비성) Σ {\displaystyle \Sigma } 의 임의의 가산 부분 집합은 하한을 갖는다. 두 시그마 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } , Σ ′ {\displaystyle \Sigma '} 사이의 시그마 대수 준동형(영어: sigma-algebra homomorphism) f : Σ → Σ ′ {\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '} 은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다. 임의의 가산 부분 집합 A ⊆ Σ {\displaystyle A\subseteq \Sigma } 에 대하여, f ( ⋁ A ) = ⋁ f ( A ) {\displaystyle \textstyle f(\bigvee A)=\bigvee f(A)} 이다. (특히, A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } 일 경우, f ( ⊥ Σ ) = ⊥ Σ ′ {\displaystyle f(\bot _{\Sigma })=\bot _{\Sigma '}} 이다.) 임의의 가산 부분 집합 A ⊆ Σ {\displaystyle A\subseteq \Sigma } 에 대하여, f ( ⋀ A ) = ⋀ f ( A ) {\displaystyle \textstyle f(\bigwedge A)=\bigwedge f(A)} 이다. (특히, A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } 일 경우, f ( ⊤ Σ ) = ⊤ Σ ′ {\displaystyle f(\top _{\Sigma })=\top _{\Sigma '}} 이다.) 임의의 원소 s ∈ Σ {\displaystyle s\in \Sigma } 에 대하여, f ( ¬ s ) = ⋁ f ( ¬ s ) {\displaystyle \textstyle f(\lnot s)=\bigvee f(\lnot s)} 이다. 여기서 ⊤ {\displaystyle \top } 과 ⊥ {\displaystyle \bot } 은 각각 최대 원소와 최소 원소를 뜻한다. 시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주 σ A l g {\displaystyle \operatorname {\sigma Alg} } 를 이룬다. 시그마 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 시그마 아이디얼(영어: sigma-ideal)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼 I ⊆ Σ {\displaystyle I\subseteq \Sigma } 이다.:Definition 2.3.7 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 I ′ ⊆ I {\displaystyle I'\subseteq I} 에 대하여, sup Σ I ′ ∈ I {\displaystyle \textstyle \sup _{\Sigma }I'\in I} 이다. 불 대수는 가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼은 아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 Σ / I {\displaystyle \Sigma /I} 를 정의할 수 있으며, I {\displaystyle I} 가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 몫 시그마 대수 Σ / I {\displaystyle \Sigma /I} 라고 한다.:Definition 2.3.7 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 시그마 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 원소 a , b 0 , b 1 , ⋯ ∈ Σ {\displaystyle a,b_{0},b_{1},\dots \in \Sigma } 에 대하여, 다음이 성립한다.:(1) a ∧ ⋁ i = 0 ∞ b i = ⋁ i = 0 ∞ ( a ∧ b i ) {\displaystyle a\land \bigvee _{i=0}^{\infty }b_{i}=\bigvee _{i=0}^{\infty }(a\land b_{i})} a ∨ ⋀ i = 0 ∞ b i = ⋀ i = 0 ∞ ( a ∨ b i ) {\displaystyle a\lor \bigwedge _{i=0}^{\infty }b_{i}=\bigwedge _{i=0}^{\infty }(a\lor b_{i})} 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. | B | = κ {\displaystyle |B|=\kappa } 인 완비 불 대수 B {\displaystyle B} 가 존재한다. | B | = κ {\displaystyle |B|=\kappa } 인 시그마 대수 B {\displaystyle B} 가 존재한다. 만약 κ {\displaystyle \kappa } 가 무한 기수라면, κ ℵ 0 = κ {\displaystyle \kappa ^{\aleph _{0}}=\kappa } 이다. 만약 κ {\displaystyle \kappa } 가 유한 기수라면, κ = 2 n {\displaystyle \kappa =2^{n}} 인 기수 n {\displaystyle n} 이 존재한다. 특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수는 가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이기 때문이다.) 특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 S {\displaystyle S} 의 멱집합 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 와 동형이다. 루미스-시코르스키 표현 정리(Loomis-Sikorski表現定理, 영어: Loomis–Sikorski representation theorem)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대하여, Σ ≅ Σ ′ / I {\displaystyle \Sigma \cong \Sigma '/I} 가 되는 집합 X {\displaystyle X} 시그마 대수 Σ ′ ⊆ P ( X ) {\displaystyle \Sigma '\subseteq {\mathcal {P}}(X)} Σ ′ {\displaystyle \Sigma '} 의 시그마 아이디얼 I ⊆ Σ ′ {\displaystyle I\subseteq \Sigma '} 가 존재한다.:2.3.10:167, Theorem 5.8:255, Theorem XI.3 그러나 일반적으로 I = ∅ {\displaystyle I=\varnothing } 이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다. 시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다. 집합 X {\displaystyle X} 의 멱집합은 완비 불 대수이므로 시그마 대수이다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 에서, Σ ⊆ P ( X ) {\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)} 는 정의에 따라 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 시그마 대수이다. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 에서, μ {\displaystyle \mu } -영집합들의 족 Null ⁡ ( X , Σ , μ ) = { S ∈ Σ : μ ( S ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {Null} (X,\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}} 은 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 시그마 아이디얼을 이루며, Σ / Null ⁡ ( X , Σ , μ ) {\displaystyle \Sigma /\operatorname {Null} (X,\Sigma ,\mu )} 는 시그마 대수를 이룬다. 폐구간의 보렐 시그마 대수 Borel ⁡ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \operatorname {Borel} ([0,1])} 에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 Null ⁡ ( [ 0 , 1 ] ) ⊆ Borel ⁡ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \operatorname {Null} ([0,1])\subseteq \operatorname {Borel} ([0,1])} 을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 Borel ⁡ ( [ 0 , 1 ] ) / Null ⁡ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \operatorname {Borel} ([0,1])/\operatorname {Null} ([0,1])} 는 멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.:Proposition 2.3.9 "시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.:Remark 1.4.13 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합의 상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다. 루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(영어: Lynn Harold Loomis, 1915~1994)와 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983):256, Theorem 5.3가 증명하였다. Tao, Terrence (2010). 《An epsilon of room I: real analysis. Pages from year three of a mathematical blog》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1.  Kriz, Igor; Pultr, Aleš (2014년 2월). “Categorical geometry and integration without points”. 《Applied Categorical Structures》 (영어) 22 (1): 79-97. arXiv:1101.3762. Bibcode:2011arXiv1101.3762K. doi:10.1007/s10485-012-9295-2. ISSN 0927-2852.  Pierce, R. S. (1958). “A note on complete Boolean algebras”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 9: 892–896. doi:10.1090/S0002-9939-1958-0102487-6.  Comfort, W. W.; Hager, Anthony W. (1972). “Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras” (PDF). 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 40 (3): 541–545. MR 0307997. Zbl 0232.06008. 2016년 8월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 5일에 확인함.  Monk, J. Donald; Sparks, Paul R. (1971). “Counting Boolean algebras”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 18: 551–551.  Vladimirov, D. A. (2002). 《Boolean algebras in analysis》 (PDF). Mathematics and its Applications (영어) 540. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-94-017-0936-1. ISBN 978-1-4020-0480-3.  Birkhoff, Garrett (1967). 《Lattice theory》. AMS Colloquium Publications (영어) 25 3판. American Mathematical Society.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Loomis, Lynn Harold (1947). “On the representation of σ-complete Boolean algebras”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 53: 757–760. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08866-2. ISSN 0273-0979. MR 21084. Zbl 0033.01103.  Tao, Terence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001.  Sikorski, Roman (1948). “On the representation of Boolean algebras as fields of sets”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 35 (1): 247–258. ISSN 0016-2736. 2016년 8월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 5일에 확인함.  “Algebra of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Sigma-algebra”. 《nLab》 (영어).  Tao, Terry. “245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems”. 《What’s New》 (영어).  Tao, Terry. “245B notes 4: The Stone and Loomis-Sikorski representation theorems (optional)”. 《What’s New》 (영어).  “Definition: sigma-algebra”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 9월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 30일에 확인함.  “Equivalence of definitions of sigma-algebra”. 《ProofWiki》 (영어). 2020년 12월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 30일에 확인함.