리 대수

리 대수(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위에 정의된 리 대수 ( g , [ ⋅ , ⋅ ] ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])} 는 K {\displaystyle K} -가군 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 와 다음을 만족하는 선형 변환 [ ⋅ , ⋅ ] : g × g → g {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 로 이루어진다. (쌍선형성) 모든 x , y , z ∈ g {\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}} 와 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} 에 대해 [ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] , [ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]} 이다. (교대성) 모든 x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} 에 대하여 [ x , x ] = 0 {\displaystyle [x,x]=0} 이다. (야코비 항등식) 모든 x , y , z ∈ g {\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}} 에 대해 [ x , [ y , z ] ] + [ y , [ z , x ] ] + [ z , [ x , y ] ] = 0 {\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0} 이다. 이 이항 연산은 리 괄호(Lie括弧, 영어: Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다. 만약 K {\displaystyle K} 에서 2의 역원 2 − 1 {\displaystyle 2^{-1}} 이 존재한다면 (예를 들어, K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} 에 대하여 [ x , y ] + [ y , x ] = 0 {\displaystyle [x,y]+[y,x]=0} 인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.) 통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 g , h {\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}} 등으로 나타낸다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 리 대수를 리 환(Lie環, 영어: Lie ring)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 리 대수(영어: Lie subalgebra) h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 는 리 괄호에 대하여 닫힌 K {\displaystyle K} -부분 가군이다. 즉, h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 이며 [ h , h ] ⊆ h {\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 아이디얼 I ⊂ g {\displaystyle I\subset {\mathfrak {g}}} 는 [ g , I ] ⊆ I {\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I} 를 만족하는 K {\displaystyle K} -부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) g / I {\displaystyle {\mathfrak {g}}/I} 를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, 등급 리 대수(等級Lie代數, 영어: graded Lie algebra)의 개념을 정의할 수 있다. 가환 모노이드 ( D , + ) {\displaystyle (D,+)} 가 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} 위의, D {\displaystyle D} 등급을 갖는 등급 리 대수 ( g , [ ⋅ , ⋅ ] ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])} 는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉, g = ⨁ d ∈ D g d {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{d\in D}{\mathfrak {g}}_{d}} [ ⋅ , ⋅ ] : g d × g d ′ → g d + d ′ {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}_{d}\times {\mathfrak {g}}_{d'}\to {\mathfrak {g}}_{d+d'}} 이다. 리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다. 통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 Lie ⁡ ( SO ⁡ ( 5 ) ) = s o ( 5 ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {SO} (5))={\mathfrak {so}}(5)} 이다. 리 군과 달리, 주어진 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다. 0항 연산: 0 (덧셈 항등원) 1항 연산: − (덧셈 역원) 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 에 대하여, 스칼라곱 a ⋅ {\displaystyle a\cdot } 2항 연산: + (덧셈) [ − , − ] {\displaystyle [-,-]} (리 괄호) 이는 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다. 이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 아벨 리 대수. 이는 항등식 [ x , y ] = 0 {\displaystyle [x,y]=0} 으로 정의된다. k {\displaystyle k} 형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 k {\displaystyle k} 이하인 리 대수이다. k {\displaystyle k} 형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가 k {\displaystyle k} 이하인 리 대수이다. 리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} , V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 가 주어졌을 때, 그 곱 U V {\displaystyle {\mathcal {U}}{\mathcal {V}}} 는 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 의 원소들의, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다. 주어진 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 LieAlg K {\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}} 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 ϕ : g → h {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} 의 핵은 0 ∈ h {\displaystyle 0\in {\mathfrak {h}}} 의 원상 ϕ − 1 ( 0 ) {\displaystyle \phi ^{-1}(0)} 이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. ϕ {\displaystyle \phi } 의 여핵은 그 치역 ϕ ( g ) {\displaystyle \phi ({\mathfrak {g}})} 를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.) 리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 위의 풍성한 범주(영어: enriched category)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다. 체 K {\displaystyle K} 위의 단위 결합 대수의 범주 uAssoc K {\displaystyle \operatorname {uAssoc} _{K}} 에서 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수의 범주 LieAlg K {\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}} 로 가는 망각 함자 Forget : uAssoc K → LieAlg K {\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {uAssoc} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}} 가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자 U : LieAlg K → uAssoc K {\displaystyle {\mathcal {U}}\colon \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {uAssoc} _{K}} 이다. 리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 리 오퍼라드(영어: Lie operad) Lie {\displaystyle \operatorname {Lie} } 가 존재한다. 즉, 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수는 K {\displaystyle K} -벡터 공간의 범주 위의 Lie {\displaystyle \operatorname {Lie} } -대수이다. 마찬가지로, K {\displaystyle K} -초 벡터 공간의 범주 위의 Lie {\displaystyle \operatorname {Lie} } -대수는 리 초대수라고 한다. 다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 L∞-대수라고 한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 중심(中心, 영어: center) Z ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})} 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다. Z ⁡ ( g ) = { x ∈ g : [ x , g ] = 0 } {\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}} 이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 아이디얼 a ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 가 주어졌을 때, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) g / a {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}} 를 정의할 수 있다. K {\displaystyle K} -가군으로서, g / a {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}} 는 몫가군 g / a {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}} 이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다. [ x + a , y + a ] = [ x , y ] + a {\displaystyle [x+{\mathfrak {a}},y+{\mathfrak {a}}]=[x,y]+{\mathfrak {a}}} 이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 두 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 가 주어졌을 때, 그 직합 g ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}} 를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다. [ g , g ′ ] g ⊕ h = [ g , g ′ ] g ∀ g , g ′ ∈ g {\displaystyle [g,g']_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[g,g']_{\mathfrak {g}}\qquad \forall g,g'\in {\mathfrak {g}}} [ h , h ′ ] g ⊕ h = [ h , h ′ ] h ∀ h , h ′ ∈ h {\displaystyle [h,h']_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,h']_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}} [ g , h ] g ⊕ h = [ h , g ] g ⊕ h = 0 ∀ g ∈ g , h ∈ h {\displaystyle [g,h]_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,g]_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=0\qquad \forall g\in {\mathfrak {g}},\;h\in {\mathfrak {h}}} 보다 일반적으로, K {\displaystyle K} -리 대수의 집합 { g i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathfrak {g}}_{i}\}_{i\in I}} 이 주어졌을 때, 그 직합 ⨁ i ∈ I g i {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}} 를 정의할 수 있다. 마찬가지로, K {\displaystyle K} -리 대수의 집합 { g i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathfrak {g}}_{i}\}_{i\in I}} 이 주어졌을 때, 그 직접곱 ∏ i ∈ I g i {\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}} 를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다. 실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다. 군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 확대(擴大, 영어: extension)를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열 0 → h ↪ i e ↠ q g → 0 {\displaystyle 0\to {\mathfrak {h}}{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}{\mathfrak {e}}{\stackrel {q}{\twoheadrightarrow }}{\mathfrak {g}}\to 0} 이 주어졌다면, e {\displaystyle {\mathfrak {e}}} 를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 로의 확대라고 한다. 만약 ker ⁡ q {\displaystyle \ker q} 가 e {\displaystyle {\mathfrak {e}}} 의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다. 군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 반직접합(영어: semidirect sum)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 K {\displaystyle K} -선형 변환이다. δ : g → g {\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다. δ [ x , y ] = [ δ x , y ] + [ x , δ y ] ∀ x , y ∈ g {\displaystyle \delta [x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}} 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 미분들의 벡터 공간을 d e r ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 미분 리 대수(영어: Lie algebra of derivations) d e r ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 라고 한다. [ δ , δ ′ ] = δ ∘ δ ′ − δ ′ ∘ δ ∀ δ , δ ′ ∈ d e r ( g ) {\displaystyle [\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta \qquad \forall \delta ,\delta '\in {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 이는 g l ( g ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)} 의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 아벨 리 대수라면 g l ( g ; K ) = d e r ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)={\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 이다. K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 일 경우, d e r ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})} 는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 Aut ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})} 의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다. 임의의 원소 x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} 에 대하여, 딸림표현 ad x : y ↦ [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]} 는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 내부 미분(內部微分, 영어: inner derivation)이라고 한다. 우선 다음 성질을 정의하자. 아벨 리 대수(Abel Lie代數, 영어: Abelian Lie algebra)는 임의의 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} 에 대하여 [ x , y ] = 0 {\displaystyle [x,y]=0} 인 대수다. 멱영 리 대수는 다음을 만족한다. g 0 = g {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}} 이고, g k + 1 = [ g k , g ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k+1}=[{\mathfrak {g}}_{k},{\mathfrak {g}}]} 로 정의하자. 그렇다면 g k = 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k}=0} 인 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 가해 리 대수는 다음을 만족한다. g 0 = g {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}} 이고, g k + 1 = [ g k , g k ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k+1}=[{\mathfrak {g}}_{k},{\mathfrak {g}}_{k}]} 로 정의하자. 그렇다면 g k = 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k}=0} 인 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 단순 리 대수는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다. 반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수 단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수 다음을 보일 수 있다. 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. (아도 정리 영어: Ado’s theorem) 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. (레비 분해 영어: Levi decomposition) (실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 콤팩트 리 대수라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.) 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다. 3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, 비앙키 분류(영어: Bianchi classification)라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다. 0차원 아벨 리 대수 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 1차원 아벨 리 대수 K {\displaystyle K} 2차원 아벨 리 대수 K ⊕ 2 {\displaystyle K^{\oplus 2}} 2차원 비아벨 가해 리 대수 K ⊕ ψ K {\displaystyle K\oplus _{\psi }K} . 여기서 ψ : K × K → K {\displaystyle \psi \colon K\times K\to K} 는 곱셈 ψ ( a , b ) = a b {\displaystyle \psi (a,b)=ab} 으로 잡을 수 있다. 2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다. 특수 상삼각 행렬 대수 s t ( 2 ; R ) ⊂ g l ( 2 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )\subset {\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )} . 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다. 1차원 아핀 대수 a f f ( 1 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {aff}}(1;\mathbb {R} )} 모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는 실수 반단순 리 대수는 s l ( 2 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )} 와 o ( 3 ; R ) ≅ s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)} 두 개가 있다. 전통적으로 s l ( 2 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )} 는 VIII형, o ( 3 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )} 는 IX형으로 불린다. 3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 R 2 ⊕ ψ R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\oplus _{\psi }\mathbb {R} } 으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용 ψ : R → d e r ( R 2 ) = g l ( 2 ; R ) {\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} \to {\mathfrak {der}}(\mathbb {R} ^{2})={\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )} ψ : t ↦ t ψ ( 1 ) {\displaystyle \psi \colon t\mapsto t\psi (1)} 는 2×2 실수 정사각 행렬 ψ ( 1 ) ∈ g l ( 2 ; R ) {\displaystyle \psi (1)\in {\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )} 에 의하여 완전히 결정된다. ψ ( 1 ) {\displaystyle \psi (1)} 과 α M − 1 ψ ( 1 ) M {\displaystyle \alpha M^{-1}\psi (1)M} ( α ∈ R × {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{\times }} , M ∈ GL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )} )는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 ψ ( 1 ) {\displaystyle \psi (1)} 의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 I형~VII형으로의 이름이 붙어 있다. ψ ( 1 ) = { ( λ 1 λ ) , λ ∈ R { λ = 0 II λ ≠ 0 IV ( λ 1 0 0 λ 2 ) , λ 1 , λ 2 ∈ R , λ 1 ≤ λ 2 { λ 1 = λ 2 = 0 I λ 1 = λ 2 ≠ 0 V λ 1 = − λ 2 ≠ 0 VI 0 λ 1 = 0 < λ 2 ∨ λ 1 < λ 2 = 0 III λ 1 ≠ ± λ 2 , λ 1 ≠ 0 ≠ λ 2 VI ( a − i b 0 0 a + i b ) , a ∈ R , b ∈ R + { a = 0 VII 0 a ≠ 0 VII {\displaystyle \psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {R} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\;\lambda _{1}\leq \lambda _{2}&{\begin{cases}\lambda _{1}=\lambda _{2}=0&{\text{I}}\\\lambda _{1}=\lambda _{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda _{1}=-\lambda _{2}\neq 0&{\text{VI}}_{0}\\\lambda _{1}=0<\lambda _{2}\lor \lambda _{1}<\lambda _{2}=0&{\text{III}}\\\lambda _{1}\neq \pm \lambda _{2},\;\lambda _{1}\neq 0\neq \lambda _{2}&{\text{VI}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}a-ib&0\\0&a+ib\end{pmatrix}},\;a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} ^{+}&{\begin{cases}a=0&{\text{VII}}_{0}\\a\neq 0&{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}} 이 가운데 I형은 아벨 리 대수이며, II형은 하이젠베르크 대수 h ( 3 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )} 이자 2차원 갈릴레이 대수 g a l ( 2 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {gal}}(2;\mathbb {R} )} 이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. III형은 직합 R ⊕ s t ( 2 ; R ) {\displaystyle \mathbb {R} \oplus {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )} 와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(영어: homothety, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 i d ( 2 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {id}}(2;{\mathfrak {R}})} 이며, VI0형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 i s o ( 1 , 1 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {iso}}(1,1;\mathbb {R} )} 와 같으며, VII0형은 2차원 유클리드 대수 i s o ( 2 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {iso}}(2;\mathbb {R} )} 와 같다. II형과 VI0형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. VI형과 VII형은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다. 즉, ψ ( 1 ) = ( a b 0 c ) {\displaystyle \psi (1)={\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}} 일 경우, g = Span ⁡ { x , y , t } {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y,t\}} 로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다. [ t , x ] = a x {\displaystyle [t,x]=ax} [ t , y ] = t ( b x + c y ) {\displaystyle [t,y]=t(bx+cy)} 3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다. 3차원 복소수 단순 리 대수의 경우, o ( 3 ; C ) ≅ s l ( 2 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )} 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 VIII/IX형으로 불린다. 3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI0형과 VII0 형이 같아진다. ψ ( 1 ) = { ( λ 1 λ ) , λ ∈ C { λ = 0 II λ ≠ 0 IV ( λ 1 0 0 λ 2 ) , λ 1 , λ 2 ∈ C { λ 1 = λ 2 = 0 I λ 1 = λ 2 ≠ 0 V λ 1 = − λ 2 ≠ 0 VI 0 / VII 0 λ 1 = 0 ≠ λ 2 ∨ λ 1 ≠ λ 2 = 0 III λ 1 ≠ ± λ 2 , λ 1 ≠ 0 ≠ λ 2 VI / VII {\displaystyle \psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda _{1}=\lambda _{2}=0&{\text{I}}\\\lambda _{1}=\lambda _{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda _{1}=-\lambda _{2}\neq 0&{\text{VI}}_{0}/{\text{VII}}_{0}\\\lambda _{1}=0\neq \lambda _{2}\lor \lambda _{1}\neq \lambda _{2}=0&{\text{III}}\\\lambda _{1}\neq \pm \lambda _{2},\;\lambda _{1}\neq 0\neq \lambda _{2}&{\text{VI}}/{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}} 레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 자명한 가군 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 위에, 자명한 리 괄호 [ 0 , 0 ] = 0 {\displaystyle [0,0]=0} 를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다. 보다 일반적으로, 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위에 자명한 리 괄호 [ a , b ] = 0 {\displaystyle [a,b]=0} 을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 아벨 리 대수(영어: Abelian Lie algebra)라고 한다. 만약 K {\displaystyle K} 가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 단위 결합 대수 ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, A {\displaystyle A} 는 리 대수를 이룬다. [ a , b ] = a ⋅ b − b ⋅ a {\displaystyle [a,b]=a\cdot b-b\cdot a} 특히, K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 g l ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;K)} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. A {\displaystyle A} 위의 미분들의 집합을 d e r ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} 라고 쓰자. d e r ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} 위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자. [ δ , δ ′ ] = δ ∘ δ ′ − δ ′ ∘ δ {\displaystyle [\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta } 그렇다면 [ δ , δ ′ ] {\displaystyle [\delta ,\delta ']} 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 d e r ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} 는 K {\displaystyle K} -리 대수를 이룬다. 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 자유 리 대수(영어: free Lie algebra)를 정의할 수 있다. 집합 S {\displaystyle S} 위의 자유 리 대수를 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 라고 하고, S {\displaystyle S} 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 라고 하자. 그렇다면 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 는 자연스럽게 K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 의 부분 집합을 이루며, K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 는 L ( S ) {\displaystyle L(S)} 의 보편 포락 대수이다. L ( S ) {\displaystyle L(S)} 는 K ⟨ S ⟩ {\displaystyle K\langle S\rangle } 속의, S {\displaystyle S} 로 생성되는 부분 리 대수이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 Vect ⁡ M {\displaystyle \operatorname {Vect} M} 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다. 리 군 G {\displaystyle G} 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 Lie ⁡ G {\displaystyle \operatorname {Lie} G} 를 이룬다. 즉, Lie ⁡ G {\displaystyle \operatorname {Lie} G} 는 Vect ⁡ G {\displaystyle \operatorname {Vect} G} 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 위의 매끄러운 함수 f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자. { f , g } = ω − 1 ( d f , d g ) {\displaystyle \{f,g\}=\omega ^{-1}(df,dg)} 그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 C ∞ ( M , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 는 R {\displaystyle \mathbb {R} } -리 대수를 이룬다. { f , − } {\displaystyle \{f,-\}} 의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, C ∞ ( M , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 는 해밀턴 벡터장들로 구성된 Vect ⁡ M {\displaystyle \operatorname {Vect} M} 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다. 보다 일반적으로, 푸아송 다양체 ( M , { , } ) {\displaystyle (M,\{,\})} 가 주어졌을 때, C ∞ ( M , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 는 R {\displaystyle \mathbb {R} } -리 대수를 이룬다. 표수가 0인 체 K {\displaystyle K} 위의 형식적 멱급수환 K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 n {\displaystyle n} 차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 Der ⁡ K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 은 리 대수를 이룬다. Der ⁡ K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 의 부분 리 대수를 형식적 벡터장 리 대수(영어: Lie algebra of formal vector fields)라고 한다. 두 형식적 벡터장 리 대수 g ⊆ Der ⁡ K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 가 K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 좌표 변환 아래 동치(영어: equivalent under coordinate transformation)라고 한다. X ∈ Der ⁡ K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle X\in \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 의 차수는 다음과 같다. ord ⁡ X = − 1 + min i = 1 n ord ⁡ X ( x i ) ∈ { − 1 , 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \operatorname {ord} X=-1+\min _{i=1}^{n}\operatorname {ord} X(x_{i})\in \{-1,0,1,2,\dots \}} 여기서 우변에서 ord ⁡ ( x n ( c + O ( x ) ) ) = n {\displaystyle \operatorname {ord} \left(x^{n}(c+O(x))\right)=n} 이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, ord ⁡ [ X , Y ] ≥ ord ⁡ X + ord ⁡ Y {\displaystyle \operatorname {ord} [X,Y]\geq \operatorname {ord} X+\operatorname {ord} Y} 가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 g 0 ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 부분 리 대수를 이룬다. L 0 {\displaystyle L_{0}} 의 L {\displaystyle L} 속의 여차원은 n {\displaystyle n} 이하이다. 만약 L 0 {\displaystyle L_{0}} 의 여차원이 n {\displaystyle n} 이라면, L {\displaystyle L} 을 추이적 형식적 벡터장 리 대수(영어: transitive Lie algebra of formal vector fields)라고 한다. 1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다. ⟨ x i ∂ x ⟩ {\displaystyle \langle x^{i}\partial _{x}\rangle } , i = 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle i=0,1,2,3,\dots } . 이는 1차원 아벨 리 대수이다. ⟨ x ∂ x , x i ∂ x ⟩ {\displaystyle \langle x\partial _{x},x^{i}\partial _{x}\rangle } , i = 0 , 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle i=0,2,3,4,\dots } . 이는 2차원 비아벨 가해 리 대수이다. ⟨ ∂ x , x ∂ x , x 2 ∂ x ⟩ {\displaystyle \langle \partial _{x},x\partial _{x},x^{2}\partial _{x}\rangle } . 이는 3차원 단순 리 대수이며, 2차원 특수 선형 대수 s l ( 2 ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;K)} 와 동형이다. 이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 ⟨ ∂ x ⟩ {\displaystyle \langle \partial _{x}\rangle } , ⟨ ∂ x , x ∂ x ⟩ {\displaystyle \langle \partial _{x},x\partial _{x}\rangle } , ⟨ ∂ x , x ∂ x , x 2 ∂ x ⟩ {\displaystyle \langle \partial _{x},x\partial x,x^{2}\partial _{x}\rangle } 세 개이다. 대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다. 표수 0인 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 a n {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}} , b n {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}} , c n {\displaystyle {\mathfrak {c}}_{n}} , d n {\displaystyle {\mathfrak {d}}_{n}} 4개의 무한 족과 e 6 {\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}} , e 7 {\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}} , e 8 {\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}} , f 4 {\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}} , g 5 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{5}} 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다. 표수 0인 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 속에 카르탕 부분 대수 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} 를 잡자. 그렇다면, a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 속의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근계 Φ ⊂ h ∗ {\displaystyle \Phi \subset {\mathfrak {h}}^{*}} 를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 Span Z ⁡ Φ {\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\Phi } -등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, g ∈ g {\displaystyle g\in {\mathfrak {g}}} 의 등급은 ( deg ⁡ g ) h = [ h , g ] {\displaystyle (\deg g)h=[h,g]} 이다. 군 G {\displaystyle G} 속의 한 중심렬 G = G 0 ≥ G 1 ≥ ⋯ {\displaystyle G=G_{0}\geq G_{1}\geq \cdots } 이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 에 대하여 [ G i , G j ] ≤ G i + j {\displaystyle [G_{i},G_{j}]\leq G_{i+j}} 라고 하자. 그렇다면, G i / G i + 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}} 은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자. L = ⨁ i = 0 ∞ G i / G i + 1 {\displaystyle L=\bigoplus _{i=0}^{\infty }G_{i}/G_{i+1}} 이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자. [ x G i , y G j ] = x − 1 y − 1 x y G i + j {\displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}} 그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다. 점을 가진 공간 X {\displaystyle X} 위의 호모토피 군 π k ( X ) {\displaystyle \pi _{k}(X)} 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다. [ , ] : π k ( X ) × π l ( X ) → π k + l − 1 ( X ) {\displaystyle [,]\colon \pi _{k}(X)\times \pi _{l}(X)\to \pi _{k+l-1}(X)} 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군 g k = π k − 1 ( X ; Q ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k}=\pi _{k-1}(X;\mathbb {Q} )} 을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다. 비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다. 아핀 리 대수와 그 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 리 대수의 예이다. 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다. 소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"(영어: infinitesimal group)으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다. 1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도(러시아어: И́горь Дми́триевич Адо́)가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비(이탈리아어: Eugenio Elia Levi)가 증명하였다. 리 군 리 대수의 표현 근계 리 대수 코호몰로지 리 초대수 거스틴해버 대수 Адо, Игорь Дмитриевич (1935). “О представлении конечных непрерывных групп помощью линейных подстановок”. 《Известия Физико-математического общества при Казанском университете》 (러시아어) 7: 1–43.  Адо, Игорь Дмитриевич (1947). “Представление алгебр Ли матрицами”. 《Успехи математических наук》 (러시아어) 2 (6): 159–173. 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