불연속점의 분류

연속 함수의 이론에서, 함수의 불연속점(不連續點, 영어: point of discontinuity)은 연속점이 아닌, 정의역 속의 점이다. 함수의 불연속점의 집합은 이산 집합이거나 조밀 집합일 수 있으며, 함수의 정의역 전체일 수 있다. 불연속점을 연속이 실패하는 원인이 무엇인지에 따라 분류할 수 있다. 일부 종류의 불연속점은 자연스럽게 연속점이 되게 메워줄 수 있으며, 일부는 그럴 수 없다. 실수 함수의 경우를 생각하자. 대략, 불연속점은 좌극한과 우극한의 존재 여부에 따라 제1종 불연속점(第一種不連續點, 영어: point of discontinuity of the first kind)과 제2종 불연속점(第二種不連續點, 영어: point of discontinuity of the second kind)으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 제거 가능 불연속점(除去可能不連續點, 영어: point of removable discontinuity)과 비약 불연속점(飛躍不連續點, 영어: point of jump discontinuity)으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 무한 불연속점(無限不連續點, 영어: point of infinite discontinuity)과 진동 불연속점(震動不連續點, 영어: point of oscillating discontinuity)으로 분류된다. 구체적으로, 정의역이 실수 열린구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } , 공역이 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 인 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 불연속점 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 가 다음 조건을 만족시키면, 제1종 불연속점이라고 한다. (좌·우극한 존재) lim x → a − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)} 와 lim x → a + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)} 가 둘 다 존재한다. 제1종 불연속점 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a {\displaystyle a} 를 제거 가능 불연속점 또는 없앨 수 있는 불연속점이라고 한다. (좌·우극한 일치) lim x → a − f ( x ) = lim x → a + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\lim _{x\to a^{+}}f(x)} (극한 존재) lim x → a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)} 가 존재한다. (제거 가능) f | I ∖ { a } = g | I ∖ { a } {\displaystyle f|_{I\setminus \{a\}}=g|_{I\setminus \{a\}}} 인 연속 함수 g : I → R {\displaystyle g\colon I\to \mathbb {R} } 가 존재한다. 예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다. f ( x ) = { x 2 x < 1 0 x = 1 2 − x x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&x<1\\0&x=1\\2-x&x>1\end{cases}}} 제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의하자. f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} 그렇다면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다. 제1종 불연속점 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 비약 불연속점 또는 뜀 불연속점이라고 한다. (좌·우극한 불일치) lim x → a − f ( x ) ≠ lim x → a + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to a^{+}}f(x)} (극한 부재) lim x → a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)} 가 존재하지 않는다. 예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다. f ( x ) = { x 2 x < 1 0 x = 1 2 − ( x − 1 ) 2 x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&x<1\\0&x=1\\2-(x-1)^{2}&x>1\end{cases}}} 불연속점 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 가 다음 조건을 만족시키면, 제2종 불연속점이라고 한다. (좌/우극한 부재) lim x → a − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)} 와 lim x → a + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)} 가운데 적어도 하나가 존재하지 않는다. 제2종 불연속점 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 가 다음 조건을 만족시키면, 무한 불연속점이라고 한다. (좌/우극한 무한대) lim x → a − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)} 와 lim x → a + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)} 가운데 적어도 하나가 사영 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\hat {\infty }}} 이다. 예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다. f ( x ) = { sin ⁡ 5 x − 1 x < 1 0 x = 1 1 x − 1 x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x<1\\0&x=1\\{\frac {1}{x-1}}&x>1\end{cases}}} 제2종 불연속점 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 가 다음 조건을 만족시키면, 진동 불연속점이라고 한다. (좌·우극한 무한대 아님) lim x → a − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)} 가 사영 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\hat {\infty }}} 가 아니며, lim x → a + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)} 가 사영 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\hat {\infty }}} 가 아니다. 예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다. f ( x ) = { sin ⁡ 5 x − 1 x ≠ 1 0 x = 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x\neq 1\\0&x=1\end{cases}}} 함수의 연속점의 집합은 항상 Gδ 집합이다. 함수의 불연속점의 집합은 항상 Fσ 집합이다. 실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점의 집합은 가산 집합이다. 증명: 편의상, 실수 구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 에 정의된 실숫값 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 만을 생각하자. f {\displaystyle f} 의 불연속점 집합을 E ⊆ I {\displaystyle E\subseteq I} 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. E = ⋃ n = 1 ∞ E n {\displaystyle E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}} E n = { a ∈ I : w f ( a ) > 1 n } {\displaystyle E_{n}=\left\{a\in I\colon w_{f}(a)>{\frac {1}{n}}\right\}} w f ( a ) = lim sup x → a f ( x ) − lim inf x → a f ( x ) {\displaystyle w_{f}(a)=\limsup _{x\to a}f(x)-\liminf _{x\to a}f(x)} 이제 각 E n {\displaystyle E_{n}} 이 고립점의 집합임을 증명하자. 임의의 a ∈ E n {\displaystyle a\in E_{n}} 에 대하여, a {\displaystyle a} 에서 좌극한과 우극한이 존재한다. 따라서, 다음을 만족시키는 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 이 존재한다. | f ( x ) − lim x → a − f ( x ) | < 1 2 n ∀ x ∈ ( a − δ , a ) {\displaystyle \left|f(x)-\lim _{x\to a^{-}}f(x)\right|<{\frac {1}{2n}}\qquad \forall x\in (a-\delta ,a)} | f ( x ) − lim x → a + f ( x ) | < 1 2 n ∀ x ∈ ( a , a + δ ) {\displaystyle \left|f(x)-\lim _{x\to a^{+}}f(x)\right|<{\frac {1}{2n}}\qquad \forall x\in (a,a+\delta )} 따라서 w f ( x ) ≤ sup s , t ∈ ( a − δ , a ) | f ( s ) − f ( t ) | ≤ 1 n ∀ x ∈ ( a − δ , a ) {\displaystyle w_{f}(x)\leq \sup _{s,t\in (a-\delta ,a)}|f(s)-f(t)|\leq {\frac {1}{n}}\qquad \forall x\in (a-\delta ,a)} w f ( x ) ≤ sup s , t ∈ ( a , a + δ ) | f ( s ) − f ( t ) | ≤ 1 n ∀ x ∈ ( a , a + δ ) {\displaystyle w_{f}(x)\leq \sup _{s,t\in (a,a+\delta )}|f(s)-f(t)|\leq {\frac {1}{n}}\qquad \forall x\in (a,a+\delta )} 즉, 각 E n {\displaystyle E_{n}} 은 고립점의 집합이므로 가산 집합이다. 즉, E {\displaystyle E} 는 가산 집합이다. 특히, 실변수 실숫값 단조함수의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 프로다의 정리(영어: Froda's theorem)라고 한다. 증명: 편의상, 실수 구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 에 정의된 실숫값 단조함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 만을 생각하자. 임의의 a ∈ I {\displaystyle a\in I} 에 대하여, 상한 공리에 따라, 다음과 같은 상한이 존재한다. sup x ∈ I : x < a f ( x ) {\displaystyle \sup _{x\in I\colon x<a}f(x)} 또한, 상한의 정의에 따라, 이는 a {\displaystyle a} 에서의 좌극한이다. lim x → a − f ( x ) = sup x ∈ I : x < a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\sup _{x\in I\colon x<a}f(x)} 비슷하게, 임의의 점에서의 우극한의 존재 역시 보일 수 있다. 디리클레 함수 f ( x ) = { 1 x ∈ Q 0 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} 의 불연속점 집합은 실수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 진동 불연속점이다. 토메 함수 f ( x ) = { 1 q x = p q ; p , q ∈ Z ; q > 0 ; gcd { p , q } = 1 0 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}};p,q\in \mathbb {Z} ;q>0;\gcd\{p,q\}=1\\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} 불연속점 집합은 유리수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다. 전체 유리수를 나열한 수열 ( r n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (r_{n})_{n=0}^{\infty }} 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자. f ( x ) = ∑ n ∈ N : r n < x 1 2 n ( x ∈ R ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} \colon r_{n}<x}{\frac {1}{2^{n}}}\qquad (x\in \mathbb {R} )} 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 불연속점 집합이 유리수 집합인 증가함수이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다. 특이점 (해석학) “Discontinuity point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Discontinuous function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Discontinuity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Discontinuous”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Discontinuous function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Infinite discontinuity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Jump discontinuity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Removable discontinuity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Discontinuous”. 《PlanetMath》 (영어).