운동량 사상

심플렉틱 기하학에서 운동량 사상(運動量寫像, 영어: momentum map 모멘텀 맵[*], 영어: moment map 모먼트 맵[*])은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다. 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다. 다음이 주어졌다고 하자. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 리 군 G {\displaystyle G} 매끄러운 군 표현 ρ : G → Ham ⁡ ( M , ω ) {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Ham} (M,\omega )} 가 주어졌다고 하자. 여기서 Ham ⁡ ( M , ω ) = { f ∈ Diff ⁡ ( M ) : f ∗ ω = ω } {\displaystyle \operatorname {Ham} (M,\omega )=\{f\in \operatorname {Diff} (M)\colon f^{*}\omega =\omega \}} 는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식 ω {\displaystyle \omega } 를 보존하는 미분 동형 M → M {\displaystyle M\to M} )들의 군이다. 리 대수의 원소 ξ ∈ l i e ( G ) {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {lie}}(G)} 에 대하여, M {\displaystyle M} 위에는 G {\displaystyle G} 의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 v ξ {\displaystyle v_{\xi }} 가 존재한다. v ξ = d d t | t = 0 ρ ( exp ⁡ ( t ξ ) ) ( x ) {\displaystyle v_{\xi }=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\rho (\exp(t\xi ))(x)} 여기서 exp {\displaystyle \exp } 는 리 지수 사상이다. G {\displaystyle G} 의 작용 ρ {\displaystyle \rho } 의 운동량 사상 μ : M → l i e ( G ) ∗ {\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {lie}}(G)^{*}} 는 임의의 ξ ∈ l i e ( G ) {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {lie}}(G)} 에 대하여 다음을 만족시키는 함수다. d ⟨ μ , ξ ⟩ = ω ( v ξ , ⋅ ) {\displaystyle d\langle \mu ,\xi \rangle =\omega (v_{\xi },\cdot )} 이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다. ∂ j μ a = ω i j v a i {\displaystyle \partial _{j}\mu _{a}=\omega _{ij}v_{a}^{i}} 여기서 i , j {\displaystyle i,j} 는 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 의 지표이고, a {\displaystyle a} 는 리 대수 l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 의 지표다. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 위의 리 군 G {\displaystyle G} 의 작용의 운동량 사상 μ : M → g ∗ {\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 ζ ∈ ( g ∗ ) G {\displaystyle \zeta \in ({\mathfrak {g}}^{*})^{G}} 에 대하여 μ + ζ {\displaystyle \mu +\zeta } 역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 는 G {\displaystyle G} 의 딸림표현의 쌍대 표현이며, ( g ∗ ) G = { ϕ ∈ g ∗ : ∀ x , y ∈ g : ϕ ( [ x , y ] ) = 0 } = H 0 ⁡ ( g ; g ∗ ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}}^{*})^{G}=\left\{\phi \in {\mathfrak {g}}^{*}\colon \forall x,y\in {\mathfrak {g}}\colon \phi ([x,y])=0\right\}=\operatorname {H} ^{0}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}}^{*})} 는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 무게의 집합, 또는 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 계수의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 0차 리 대수 코호몰로지)이다. G {\displaystyle G} 가 콤팩트 리 군일 경우, 부분 공간 μ − 1 ( 0 ) ⊂ M {\displaystyle \mu ^{-1}(0)\subset M} 은 G {\displaystyle G} 의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 μ − 1 ( 0 ) / G {\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G} 는 M {\displaystyle M} 의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 μ − 1 ( 0 ) / G {\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G} 는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 심플렉틱 몫공간(영어: symplectic quotient) 또는 마즈든-와인스타인 몫공간(영어: Marsden–Weinstein quotient)이라고 하며, M / / G {\displaystyle M/\!/G} 라고 쓴다. 이 경우 dim ⁡ ( M / / G ) = dim ⁡ M − 2 dim ⁡ G {\displaystyle \dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G} 이다. 물론, 0 대신 임의의 ζ ∈ ( g ∗ ) G {\displaystyle \zeta \in ({\mathfrak {g}}^{*})^{G}} 에 대하여 μ − 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} 를 사용할 수도 있다. 특히, M {\displaystyle M} 이 추가로 켈러 다양체 ( M , ω , J ) {\displaystyle (M,\omega ,J)} 를 이루며, G {\displaystyle G} 의 작용이 심플렉틱 구조 ω {\displaystyle \omega } 및 복소구조 J {\displaystyle J} 를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간 M / / G = μ − 1 ( 0 ) / G {\displaystyle M/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G} 는 켈러 다양체이다. 초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다. 초켈러 다양체 M {\displaystyle M} 은 세 선형 독립 심플렉틱 구조 ω I {\displaystyle \omega _{I}} ( I = 1 , 2 , 3 {\displaystyle I=1,2,3} )을 가진다. 군의 작용 G × M → M {\displaystyle G\times M\to M} 이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 μ I : M → g ∗ {\displaystyle \mu _{I}\colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}} 이 존재한다. 이들을 합쳐서 μ : M → g ∗ ⊗ R 3 {\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}\otimes \mathbb {R} ^{3}} 을 정의하자. 그렇다면 M / / / G = μ − 1 ( 0 ) / G {\displaystyle M/\!/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G} 는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은 dim R ⁡ ( M / / / G ) = dim R ⁡ M − 4 dim R ⁡ G {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(M/\!/\!/G)=\dim _{\mathbb {R} }M-4\dim _{\mathbb {R} }G} 이다. G {\displaystyle G} 가 1차원 아벨 리 군 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이라고 하자. 그렇다면 μ {\displaystyle \mu } 는 해밀턴 벡터장(영어: Hamiltonian vector field) v {\displaystyle v} 를 생성시키는 해밀토니언이다. 복소수 내적 공간 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 은 자명하게 켈러 다양체를 이룬다. 이 위에는 리 군 C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} 이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 U(1) 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다. μ : C n → l i e ( U ⁡ ( 1 ) ) = i R {\displaystyle \mu \colon \mathbb {C} ^{n}\to {\mathfrak {lie}}(\operatorname {U} (1))=\mathrm {i} \mathbb {R} } μ : z ↦ i ‖ z ‖ 2 − i C {\displaystyle \mu \colon z\mapsto \mathrm {i} \|z\|^{2}-\mathrm {i} C} 여기서 C ∈ R {\displaystyle C\in \mathbb {R} } 는 임의의 실수 상수이다. 이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면, C > 0 {\displaystyle C>0} 일 때 복소수 사영 공간 P C n − 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n-1}} 을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 푸비니-슈투디 계량이다. 반대로, C < 0 {\displaystyle C<0} 일 경우는 공집합을 얻는다. 사원수 벡터 공간 W = H n {\displaystyle W=\mathbb {H} ^{n}} 은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 구체적으로, 이를 n {\displaystyle n} 차원 복소수 내적 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여 W = V ⊕ V ∗ = T ∗ V {\displaystyle W=V\oplus V^{*}=\mathrm {T} ^{*}V} 로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용 ( x , ξ ) ↦ ( λ x , λ − 1 ξ ) {\displaystyle (x,\xi )\mapsto (\lambda x,\lambda ^{-1}\xi )} 에 대한 운동량 사상 μ 1 ( x , ξ ) = i ( ‖ x ‖ 2 − ‖ ξ ‖ 2 ) − i C {\displaystyle \mu _{1}(x,\xi )=\mathrm {i} (\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2})-\mathrm {i} C} μ 2 ( x , ξ ) + i μ 3 ( x , ξ ) = ξ ( x ) − D {\displaystyle \mu _{2}(x,\xi )+\mathrm {i} \mu _{3}(x,\xi )=\xi (x)-D} 를 취하면, D = 0 {\displaystyle D=0} 일 때 μ − 1 ( 0 ) = { ( x , ξ ) ∈ T ∗ V : ξ ⊥ x , ‖ x ‖ 2 − ‖ ξ ‖ 2 = C } {\displaystyle \mu ^{-1}(0)=\{(x,\xi )\in \mathrm {T} ^{*}V\colon \xi \perp x,\;\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2}=C\}} 이다. 이 경우 초켈러 몫공간은 V {\displaystyle V} 위의 사영 공간의 공변접다발 T ∗ P ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}\mathbb {P} (V)} 이다. 특히, 만약 V {\displaystyle V} 가 2차원일 때, 이는 에구치-핸슨 공간이다. 기하 불변량 이론 몫 BRST 양자화 Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor Stefan (2004). 《Momentum maps and Hamiltonian reduction》. 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