교차 가군

군론과 대수적 위상수학에서 교차 가군(交叉加群, 영어: crossed module)은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다. 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다. 교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 군 G {\displaystyle G} 군 H {\displaystyle H} 군 준동형 ( ⋅ ) : G → Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle (\cdot )\colon G\to \operatorname {Aut} (H)} 군 준동형 d : H → G {\displaystyle d\colon H\to G} 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. d ( g ⋅ h ) = g d ( h ) g − 1 ∀ g ∈ G , h ∈ H {\displaystyle d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}\qquad \forall g\in G,\;h\in H} d ( h ) ⋅ h ′ = h h ′ h − 1 ∀ h , h ′ ∈ H {\displaystyle d(h)\cdot h'=hh'h^{-1}\qquad \forall h,h'\in H} (파이퍼 항등식 영어: Peiffer identity) 가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다. G × H → ( ⋅ ) H id G × d ↓ id G × d . d ↓ d . G × G → Ad G G {\displaystyle {\begin{matrix}G\times H&{\overset {(\cdot )}{\to }}&H\\\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {id} _{G}\times d}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \operatorname {id} _{G}\times d}\!\!\!\!\!\!\!\!&&{\color {White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle d}\downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}.}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\operatorname {Ad} _{G}\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}} H × H → d × id G × H ‖ ( ⋅ ) ↓ ( ⋅ ) H × H → Ad H H {\displaystyle {\begin{matrix}H\times H&{\overset {d\times \operatorname {id} }{\to }}&G\times H\\\|&&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle (\cdot )}\downarrow {\scriptstyle (\cdot )}\!\!\!\!\!\!\!\!\\H\times H&{\underset {\operatorname {Ad} _{H}}{\to }}&H\end{matrix}}} 이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 G {\displaystyle G} 이며, 사상의 군은 H ⋊ G {\displaystyle H\rtimes G} 이다. 이 경우 dom ⁡ ( h , g ) = g {\displaystyle \operatorname {dom} (h,g)=g} codom ⁡ ( h , g ) = d ( h ) g {\displaystyle \operatorname {codom} (h,g)=d(h)g} 이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 G → H ⋊ G {\displaystyle G\to H\rtimes G} 이다. 구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 대상의 군 Ob ⁡ G {\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}} 사상의 군 Mor ⁡ G {\displaystyle \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}} 항등 사상을 정의하는 군 준동형 i : Ob ⁡ G → Mor ⁡ G {\displaystyle i\colon \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}} 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 dom : Mor ⁡ G → Ob ⁡ G {\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}} 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 codom : Mor ⁡ G → Ob ⁡ G {\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}} 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 { ( f , g ) ∈ ( Mor ⁡ G ) 2 : dom ⁡ f = codom ⁡ g } → Mor ⁡ G {\displaystyle \{(f,g)\in (\operatorname {Mor} {\mathcal {G}})^{2}\colon \operatorname {dom} f=\operatorname {codom} g\}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}} 이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다. 임의의 군 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군 N {\displaystyle N} 이 주어졌을 때, d : N ↪ G {\displaystyle d\colon N\hookrightarrow G} g ⋅ n = g n g − 1 ( g ∈ G , n ∈ N ) {\displaystyle g\cdot n=gng^{-1}\qquad (g\in G,\;n\in N)} 로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다. 다음 두 개념이 서로 동치이다. 군 G {\displaystyle G} 의 군환 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 의 왼쪽 가군 Z [ G ] H {\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}H} d = 1 G {\displaystyle d=1_{G}} (치역이 G {\displaystyle G} 의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} 증명: Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 의 왼쪽 가군 H {\displaystyle H} 가 주어졌다고 하자. 이제, d = 1 G {\displaystyle d=1_{G}} 으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 ( H {\displaystyle H} 의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 d = 1 G {\displaystyle d=1_{G}} 일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 H {\displaystyle H} 가 아벨 군임을 의미한다. 반대로, d = 1 G {\displaystyle d=1_{G}} 인 교차 가군 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 H {\displaystyle H} 는 아벨 군이며, 작용 G → Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (H)} 는 H {\displaystyle H} 위에 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -가군의 구조를 정의한다. 즉, Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -왼쪽 가군의 범주는 G {\displaystyle G} 에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다. 사실, 파이퍼 항등식을 h h ′ = ( d ( h ) ⋅ h ′ ) h ∀ h , h ′ ∈ H {\displaystyle hh'=(d(h)\cdot h')h\qquad \forall h,h'\in H} 와 같이 쓰면, 이는 H {\displaystyle H} 가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다. 군의 짧은 완전열 1 → A → H → d G → 1 {\displaystyle 1\to A\to H\,{\xrightarrow {d}}\,G\to 1} 에서, A {\displaystyle A} 가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, g ⋅ h = k h k − 1 ∀ k ∈ d − 1 ( g ) ⊆ H {\displaystyle g\cdot h=khk^{-1}\qquad \forall k\in d^{-1}(g)\subseteq H} 을 정의하면, ( G , H , d , ⋅ ) {\displaystyle (G,H,d,\cdot )} 는 교차 가군을 이룬다. 특히, 만약 G = 1 {\displaystyle G=1} 이며 A = H {\displaystyle A=H} 가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다. 마찬가지로, 만약 A = 1 {\displaystyle A=1} 이며 G = H {\displaystyle G=H} 가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우 d = id G {\displaystyle d=\operatorname {id} _{G}} g ⋅ h = g h g − 1 {\displaystyle g\cdot h=ghg^{-1}} 이다.:Example A.9 임의의 군 H {\displaystyle H} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형 d : H → Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle d\colon H\to \operatorname {Aut} (H)} d : h ↦ ( h ′ ↦ h h ′ h − 1 ) {\displaystyle d\colon h\mapsto (h'\mapsto hh'h^{-1})} 이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, ( Aut ⁡ ( H ) , H ) {\displaystyle (\operatorname {Aut} (H),H)} 는 교차 가군을 이루며, 이를 AUT ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {AUT} (H)} 라고 한다.:§2 증명: 파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은 d ( f ( h ) ) = f ∘ d ( h ) ∘ f − 1 ∀ h ∈ H , f ∈ Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle d(f(h))=f\circ d(h)\circ f^{-1}\qquad \forall h\in H,\;f\in \operatorname {Aut} (H)} 이다. 이를 확인하려면, 임의의 h ′ ∈ H {\displaystyle h'\in H} 에 대하여, 좌변은 d ( f ( h ) ) ( h ′ ) = f ( h ) h ′ f ( h ) − 1 {\displaystyle d(f(h))(h')=f(h)h'f(h)^{-1}} 인데, 우변은 ( f ∘ d ( h ) ∘ f − 1 ) ( h ′ ) = f ( h f − 1 ( h ′ ) h − 1 ) = f ( h ) f ( f − 1 ( h ′ ) ) f ( h ) − 1 = f ( h ) h ′ f ( h ) − 1 {\displaystyle \left(f\circ d(h)\circ f^{-1}\right)(h')=f(hf^{-1}(h')h^{-1})=f(h)f(f^{-1}(h'))f(h)^{-1}=f(h)h'f(h)^{-1}} 이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 공간 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 x ∈ A ⊆ X {\displaystyle x\in A\subseteq X} 에 대하여, G = π 1 ( A , x ) {\displaystyle G=\pi _{1}(A,x)} (기본군) H = π 2 ( X , A , x ) {\displaystyle H=\pi _{2}(X,A,x)} (2차 호모토피 군) 을 정의하고, d : H → G {\displaystyle d\colon H\to G} 가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다. 교차 가군 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} 에서, 만약 G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} 가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} 의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, Lie ⁡ ( G ) = g {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}} , Lie ⁡ ( H ) = h {\displaystyle \operatorname {Lie} (H)={\mathfrak {h}}} 라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다. 두 유한 차원 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 리 대수 준동형 ρ : g → d e r ( h ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {h}})} (공역은 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 미분 리 대수) 리 대수 준동형 d : h → g {\displaystyle d\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}} 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. d ( ρ ( g ) h ) = [ g , d ( h ) ] {\displaystyle d(\rho (g)h)=[g,d(h)]} ρ ( d ( h ) ) = [ h , − ] = ad h ⁡ ( h ) {\displaystyle \rho (d(h))=[h,-]=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(h)} (무한소 파이퍼 항등식) 특히, 파이퍼 항등식으로부터, h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서, [ − , − ] : g ⊗ R h → h {\displaystyle [-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}} [ g , h ] = ρ ( g ) h {\displaystyle [g,h]=\rho (g)h} deg ⁡ g = 0 {\displaystyle \deg {\mathfrak {g}}=0} deg ⁡ h = 1 {\displaystyle \deg {\mathfrak {h}}=1} 를 정의하면, ( g ⊕ h , d , [ − , − ] ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}},d,[-,-])} 는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다. 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며, 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’(영어: crossed module)이라는 용어를 최초로 사용하였다.:453, §2 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다. Noohi, Behrang (2005). “Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules” (영어). arXiv:math/0512106.  Baez, John Carlos; Stevenson, Danny (2008). “The Classifying Space of a Topological 2-Group” (영어). arXiv:0801.3843.  Schreiber, Urs; Waldorf, Konrad (2008). “Smooth functors vs. differential forms” (영어). arXiv:0802.0663.  Whitehead, John Henry Constantine (1941). “On adding relations to homotopy groups, Annals of Mathematics” (영어) 42: 409–428.  Whitehead, John Henry Constantine (1949). “Combinatorial homotopy Ⅱ”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 55: 453–496. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09213-3. MR 30760.  “Crossed module”. 《nLab》 (영어).  “Differential crossed module”. 《nLab》 (영어).  “Strict 2-group”. 《nLab》 (영어).  “Crossed square”. 《nLab》 (영어).  “Crossed n-cube”. 《nLab》 (영어).  “2-crossed module”. 《nLab》 (영어).  “Crossed complex”. 《nLab》 (영어).  Porter, Timothy (2012년 3월 6일). “The crossed menagerie. An introduction to crossed gadgetry and cohomology in algebra and topology” (PDF) (영어).