타르스키 고정점 정리

순서론에서 타르스키 고정점 정리(영어: Tarski’s fixed point theorem) 또는 크나스터-타르스키 정리(영어: Knaster–Tarski theorem)는 완비 격자에서 자신으로 가는 단조함수의 고정점이 존재한다는 정리이다. 이는 이론 컴퓨터 과학의 형식 의미론 및 추상 해석 분야에서 중요한 정리이다. 완비 격자 L {\displaystyle L} 과 단조함수 f : L → L {\displaystyle f\colon L\to L} 가 주어졌다고 하자. 타르스키 고정점 정리에 따르면, f {\displaystyle f} 의 고정점의 집합 fix ⁡ ( f ) = { a ∈ L : f ( a ) = a } {\displaystyle \operatorname {fix} (f)=\{a\in L\colon f(a)=a\}} 역시 완비 격자를 이룬다. (그러나, fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 가 L {\displaystyle L} 의 부분 격자일 필요는 없다. 즉, fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 에서의 상한과 하한은 L {\displaystyle L} 에서와 일치하지 않을 수 있다.) 특히, f {\displaystyle f} 의 최대 고정점과 최소 고정점이 존재하며, 특히 f {\displaystyle f} 는 적어도 하나의 고정점을 갖는다. 또한, f {\displaystyle f} 의 최대·최소 고정점은 각각 다음과 같이 주어진다. ⋁ fix ⁡ ( f ) = ⋁ { a ∈ L : a ≤ f ( a ) } {\displaystyle \bigvee \operatorname {fix} (f)=\bigvee \{a\in L\colon a\leq f(a)\}} ⋀ fix ⁡ ( f ) = ⋀ { a ∈ L : a ≥ f ( a ) } {\displaystyle \bigwedge \operatorname {fix} (f)=\bigwedge \{a\in L\colon a\geq f(a)\}} 타르스키를 따라, 다음 순서대로 증명한다. (가) ⋁ { a ∈ L : a ≤ f ( a ) } {\displaystyle \textstyle \bigvee \{a\in L\colon a\leq f(a)\}} 는 f {\displaystyle f} 의 최대 고정점이다. (나) ⋀ { a ∈ L : a ≥ f ( a ) } {\displaystyle \textstyle \bigwedge \{a\in L\colon a\geq f(a)\}} 는 f {\displaystyle f} 의 최소 고정점이다. (다) fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 는 완비 격자이다. 명제 (가)의 증명. M = { a ∈ L : a ≤ f ( a ) } {\displaystyle M=\{a\in L\colon a\leq f(a)\}} 라고 하자. 임의의 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 에 대하여, a ≤ ⋁ M {\displaystyle \textstyle a\leq \bigvee M} 이므로, a ≤ f ( a ) ≤ f ( ⋁ M ) {\displaystyle \textstyle a\leq f(a)\leq f\left(\bigvee M\right)} 이다. 따라서 ⋁ M ≤ f ( ⋁ M ) {\displaystyle \textstyle \bigvee M\leq f\left(\bigvee M\right)} 이다. 반대로, f ( ⋁ M ) ≤ f ( f ( ⋁ M ) ) {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)\leq f\left(f\left(\bigvee M\right)\right)} 이므로, M {\displaystyle M} 의 정의에 따라 f ( ⋁ M ) ∈ M {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)\in M} 이다. 따라서 f ( ⋁ M ) ≤ ⋁ M {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)\leq \bigvee M} 이다. 따라서, ⋁ M {\displaystyle \textstyle \bigvee M} 은 f {\displaystyle f} 의 고정점이다. 모든 고정점은 M {\displaystyle M} 에 속하므로, ⋁ M {\displaystyle \textstyle \bigvee M} 은 f {\displaystyle f} 의 최대 고정점이다. 명제 (나)의 증명. L {\displaystyle L} 의 반대 격자 L op {\displaystyle L^{\operatorname {op} }} 를 생각하자. L op {\displaystyle L^{\operatorname {op} }} 역시 완비 격자를 이루며, f {\displaystyle f} 는 L op {\displaystyle L^{\operatorname {op} }} 위에서도 단조함수이다. 따라서 L op {\displaystyle L^{\operatorname {op} }} 에 대하여 명제 (가)가 성립한다. 이는 정확히 L {\displaystyle L} 에 대한 명제 (나)와 일치한다. 명제 (다)의 증명. S {\displaystyle S} 가 fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 의 임의의 부분 집합이라고 하자. fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 에서 S {\displaystyle S} 의 상한이 존재함을 보이면 충분하다. S {\displaystyle S} 의 L {\displaystyle L} 에서의 상한 ⋁ S {\displaystyle \textstyle \bigvee S} 를 생각하자. 그렇다면 구간 [ ⋁ S , ⊤ ] = { a ∈ L : a ≥ ⋁ S } {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]=\left\{a\in L\colon a\geq \bigvee S\right\}} 는 S {\displaystyle S} 의 상계의 집합이며, 완비 격자를 이룬다 (이는 부분 격자이기도 하지만, 부분 완비 격자가 아닐 수 있다). 임의의 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여 s = f ( s ) ≤ f ( ⋁ S ) {\displaystyle \textstyle s=f(s)\leq f\left(\bigvee S\right)} 이므로, ⋁ S ≤ f ( ⋁ S ) {\displaystyle \textstyle \bigvee S\leq f\left(\bigvee S\right)} 이다. a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, 만약 a ≥ ⋁ S {\displaystyle \textstyle a\geq \bigvee S} 라면, f ( a ) ≥ f ( ⋁ S ) ≥ ⋁ S {\displaystyle \textstyle f(a)\geq f\left(\bigvee S\right)\geq \bigvee S} 이다. 따라서, f {\displaystyle f} 를 [ ⋁ S , ⊤ ] {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]} 위의 함수 f ′ : [ ⋁ S , ⊤ ] → [ ⋁ S , ⊤ ] {\displaystyle \textstyle f'\colon \left[\bigvee S,\top \right]\to \left[\bigvee S,\top \right]} 로 여길 수 있다. 명제 (나)에 따라, f ′ {\displaystyle f'} 의 최소 고정점이 존재한다. 이는 f {\displaystyle f} 의 고정점이며, S {\displaystyle S} 의 상계가 되는 가장 작은 f {\displaystyle f} 의 고정점이다. 다시 말해, S {\displaystyle S} 의 fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 에서의 상한이다. 고정점 집합은 완비 격자이지만, 부분 격자가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부분 순서 집합을 생각하자. L = { ⊥ , a , a ′ , b , ⊤ } {\displaystyle L=\{\bot ,a,a',b,\top \}} ⊥ < a , a ′ < b < ⊤ {\displaystyle \bot <a,a'<b<\top } 그렇다면, L {\displaystyle L} 은 완비 격자를 이룬다. 이제 f : L → L {\displaystyle f\colon L\to L} 이며 f ( x ) = x ( x = ⊥ , a , a ′ , ⊤ ) {\displaystyle f(x)=x\qquad (x=\bot ,a,a',\top )} f ( b ) = ⊤ {\displaystyle f(b)=\top } 라고 하자. f {\displaystyle f} 는 L {\displaystyle L} 위의 단조함수이며, a {\displaystyle a} 와 a ′ {\displaystyle a'} 은 f {\displaystyle f} 의 고정점이지만, a ∨ a ′ = b {\displaystyle a\vee a'=b} 는 f {\displaystyle f} 의 고정점이 아니다. ( a {\displaystyle a} 와 a ′ {\displaystyle a'} 의 fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 에서의 상한은 b {\displaystyle b} 가 아닌 ⊤ {\displaystyle \top } 이다.) 따라서, fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 는 L {\displaystyle L} 의 부분 격자가 아니다. 완비 격자는 공집합일 수 없으므로, 이 정리는 상기한 f {\displaystyle f} 에 적어도 한개의 고정점이 있음을, 나아가서 최소 고정점이 있음을 보장한다. 조건을 추가하여 임의의 부분 순서 집합에 대하여 유사한 결과를 증명할 수 있다. 이를 동역학계 이론에 적용하여 프랙탈의 일종인 반복함수계(iterated function system) 연구에 사용할 수 있다. 모든 증가수열 x n {\displaystyle x_{n}} 에 대해 f ( lim x n ) = lim f ( x n ) {\displaystyle f(\lim x_{n})=\lim f(x_{n})} 이면, f {\displaystyle f} 의 최소 고정점은 lim f n ( 0 ) {\displaystyle \lim f_{n}(0)} 이며, 이는 정리의 구성적 버전(Kleene fixed-point theorem)을 제공한다. 이론 컴퓨터 과학에서, 단조함수에 대한 최소 고정점 정리는 프로그램 의미론을 정의하는 데 사용된다. 이 경우 특히 격자 L을 특정 집합의 모든 부분집합들을 모은 것, 즉 멱집합 격자로 가정하는 특수한 케이스에 대하여 집중하는 것이 일반적이다. 그리고 나서 f의 고정점이 되기 위해 필요한 조건을 가지는 최소의 집합을 찾아낸다. 반대로, 모든 단조함수의 고정점이 존재하는 격자는 완비 격자이다.:313, Theorem 2 즉, 타르스키 고정점 정리는 완비 격자의 정의로 삼을 수 있다. 그러나 모든 단조함수가 고정점이 존재하는 부분 순서 집합은 완비 격자일 필요가 없다. 격자 L {\displaystyle L} 이 완비 격자 위에 항상 고정점이 없는 단조함수 f : L → L {\displaystyle f\colon L\to L} 를 구성하면 족하다. 두 부분 집합 A , B ⊆ L {\displaystyle A,B\subseteq L} 에 대하여, 다음 조건들을 생각하자. (라) A {\displaystyle A} 는 정렬 전순서 집합이다. (마) B {\displaystyle B} 의 반대 순서 집합 B op {\displaystyle B^{\operatorname {op} }} 는 정렬 전순서 집합이다. (바) 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 및 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에 대하여, a < b {\displaystyle a<b} (사) 동시에 A {\displaystyle A} 의 상계이자 B {\displaystyle B} 의 하계인 L {\displaystyle L} 의 원소가 존재하지 않는다. 만약 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 가 위 조건들을 만족시킨다면, 함수 f : L → L {\displaystyle f\colon L\to L} f : x ↦ { min { a ∈ A : a ≰ x } ∀ b ∈ B : x ≤ b max { b ∈ B : x ≰ b } ∃ b ∈ B : x ≰ b {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\min\{a\in A\colon a\not \leq x\}&\forall b\in B\colon x\leq b\\\max\{b\in B\colon x\not \leq b\}&\exists b\in B\colon x\not \leq b\end{cases}}} 는 단조함수이며, 고정점이 존재하지 않는다. 따라서, 조건 (라)~(사)를 만족시키는 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 를 찾는 것으로 족하다. 모든 부분 집합의 상한이 존재하는 부분 순서 집합은 완비 격자이므로, 상한이 없는 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 { a α ″ : α < κ } {\displaystyle \{a''_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}} 가 존재한다. 편의상 그 크기 κ {\displaystyle \kappa } 가 최소라고 하자. L {\displaystyle L} 이 격자이므로, κ {\displaystyle \kappa } 은 0이거나 무한 기수이다. 이제, 임의의 순서수 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } 에 대하여, { a β ″ : β < α } {\displaystyle \{a''_{\beta }\colon \beta <\alpha \}} 의 크기는 κ {\displaystyle \kappa } 미만이므로, 상한 a α ′ = ⋁ β < α a β ″ {\displaystyle a'_{\alpha }=\bigvee _{\beta <\alpha }a''_{\beta }} 이 존재한다. ( a α ′ : α < κ ) {\displaystyle (a'_{\alpha }\colon \alpha <\kappa )} 는 단조 초한 점렬이지만, 순단조가 아닐 수 있다. 중복된 항을 제거하여 순단조 초한 점렬 ( a α : α < κ ) {\displaystyle (a_{\alpha }\colon \alpha <\kappa )} 로 만들자 (길이가 κ {\displaystyle \kappa } 인 것은 κ {\displaystyle \kappa } 의 최소성을 사용하여 보일 수 있다). 이 경우, A = { a α : α < κ } {\displaystyle A=\{a_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}} 는 정렬 전순서 집합이다. 만약 A {\displaystyle A} 의 상한이 존재한다면, 이는 { a α ″ : α < κ } {\displaystyle \{a''_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}} 의 상한이 되어 모순이 일어난다. 따라서 A {\displaystyle A} 의 상한이 존재하지 않는다. A {\displaystyle A} 의 상계들로 구성된 순감소 초한 점렬들의 집합 위에 다음과 같은 부분 순서를 주자. ( x α ′ : α ′ < α ) ⪯ ( y β ′ : β ′ < β ) ⟺ α ≤ β , x = y ↾ α {\displaystyle (x_{\alpha }'\colon \alpha '<\alpha )\preceq (y_{\beta }'\colon \beta '<\beta )\iff \alpha \leq \beta ,\;x=y\upharpoonright \alpha } 즉, 끝에 항을 추가하면 더 큰 초한 점렬을 얻는다. 초른 보조정리에 따라, 이 부분 순서에 따른 극대 원소 ( b α : α < λ ) {\displaystyle (b_{\alpha }\colon \alpha <\lambda )} 가 존재한다 ( λ {\displaystyle \lambda } 가 기수일 필요는 없다). B = { b α : α < λ } {\displaystyle B=\{b_{\alpha }\colon \alpha <\lambda \}} 의 반대 순서 집합 B op {\displaystyle B^{\operatorname {op} }} 은 정렬 전순서 집합이다. 만약 ⋀ B {\displaystyle \textstyle \bigwedge B} 가 존재한다면, ⋀ B {\displaystyle \textstyle \bigwedge B} 역시 A {\displaystyle A} 의 상계이다. A {\displaystyle A} 의 상한이 존재하지 않으므로, ⋀ B ≰ b {\displaystyle \textstyle \bigwedge B\not \leq b} 인 A {\displaystyle A} 의 상계 b ∈ L {\displaystyle b\in L} 가 존재한다. 이 경우, ⋀ B ∧ b {\displaystyle \textstyle \bigwedge B\wedge b} 는 A {\displaystyle A} 의 상계이며, ⋀ B ∧ b < ⋀ B {\displaystyle \textstyle \bigwedge B\wedge b<\bigwedge B} 이다. 이는 ( b α : α < λ ) {\displaystyle (b_{\alpha }\colon \alpha <\lambda )} 의 극대성과 모순이다. 따라서, B {\displaystyle B} 의 하한 역시 존재하지 않는다. 이제, A = { a α : α < κ } {\displaystyle A=\{a_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}} 와 B = { b α : α < λ } {\displaystyle B=\{b_{\alpha }\colon \alpha <\lambda \}} 에 대하여 조건 (사)를 증명하는 일만 남았다. 귀류법을 사용하여, b ∈ L {\displaystyle b\in L} 이 A {\displaystyle A} 의 상계이자 B {\displaystyle B} 의 하계라고 하자. 그렇다면, ( b α : α < λ ) {\displaystyle (b_{\alpha }\colon \alpha <\lambda )} 의 극대성에 따라 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 이다. 따라서 b {\displaystyle b} 는 B {\displaystyle B} 의 하한이며, 이는 모순이다. 격자 L {\displaystyle L} 의, 공집합이 아닌 두 부분 격자 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 에 대하여, 다음과 같은 이항 관계를 정의하자. M ⪯ N ⟺ ∀ a ∈ M ∀ b ∈ N : a ∧ b ∈ M , a ∨ b ∈ N {\displaystyle M\preceq N\iff \forall a\in M\forall b\in N\colon a\wedge b\in M,\;a\vee b\in N} 특히, 만약 M ⪯ N {\displaystyle M\preceq N} 이라면, 임의의 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 에 대하여, a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 인 b ∈ N {\displaystyle b\in N} 이 존재하며, 마찬가지로 임의의 b ∈ N {\displaystyle b\in N} 에 대하여, a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 인 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 이 존재한다. 즉, M ⊆ ↓ ⁡ N {\displaystyle M\subseteq \mathop {\downarrow } N} 이며 N ⊆ ↑ ⁡ M {\displaystyle N\subseteq \mathop {\uparrow } M} 이다. 이 이항 관계는 공집합이 아닌 부분 격자의 집합 위의 부분 순서를 이룬다. L {\displaystyle L} 의 원소는 자연스럽게 L {\displaystyle L} 의 부분 격자로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 격자의 순서는 원소의 순서를 확장한다. 따라서, 아래의 정리는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다. 다음이 주어졌다고 하자. 완비 격자 L {\displaystyle L} 단조함수 f : L → ( Sub ⁡ ( L ) , ⪯ | Sub ⁡ ( L ) ) {\displaystyle f\colon L\to (\operatorname {Sub} (L),{\preceq }|_{\operatorname {Sub} (L)})} . 여기서 ( Sub ⁡ ( L ) , ⪯ | Sub ⁡ ( L ) ) {\displaystyle (\operatorname {Sub} (L),{\preceq }|_{\operatorname {Sub} (L)})} 은 L {\displaystyle L} 의 부분 완비 격자의, 위에서 정의한 순서에 따른 부분 순서 집합이다. (부분 완비 격자는 완비 격자인 부분 격자보다 더 강한 개념이다. 전자는 모든 상한과 하한이 원래 격자와 일치하지만, 후자는 모든 유한 집합의 상한·하한의 일치만을 요구한다.) 그렇다면, f {\displaystyle f} 의 고정점 집합 fix ⁡ ( f ) = { a ∈ L : a ∈ f ( a ) } {\displaystyle \operatorname {fix} (f)=\{a\in L\colon a\in f(a)\}} 은 완비 격자를 이룬다.:297, Theorem 1 또한, f {\displaystyle f} 의 최대·최소 고정점은 다음과 같다. ⋁ fix ⁡ ( f ) = ⋁ { a ∈ L : a ∈ ↓ ⁡ f ( a ) } {\displaystyle \bigvee \operatorname {fix} (f)=\bigvee \{a\in L\colon a\in \mathop {\downarrow } f(a)\}} ⋀ fix ⁡ ( f ) = ⋀ { a ∈ L : a ∈ ↑ ⁡ f ( a ) } {\displaystyle \bigwedge \operatorname {fix} (f)=\bigwedge \{a\in L\colon a\in \mathop {\uparrow } f(a)\}} 타르스키 고정점 정리의 증명과 유사하게, 다음 네 명제를 보인다. 이들 가운데 명제 (아)와 (자), 명제 (차)와 (카)는 서로 쌍대이므로 하나씩만 증명하여도 좋다. (아) M = { a ∈ L : a ∈ ↓ ⁡ f ( a ) } {\displaystyle M=\{a\in L\colon a\in \mathop {\downarrow } f(a)\}} 에 대하여, ⋁ M {\displaystyle \textstyle \bigvee M} 은 f {\displaystyle f} 의 최대 고정점이다. (자) N = { a ∈ L : a ∈ ↑ ⁡ f ( a ) } {\displaystyle N=\{a\in L\colon a\in \mathop {\uparrow } f(a)\}} 에 대하여, ⋀ N {\displaystyle \textstyle \bigwedge N} 은 f {\displaystyle f} 의 최소 고정점이다. (차) 모든 S ⊆ fix ⁡ ( f ) {\displaystyle S\subseteq \operatorname {fix} (f)} 의 fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 에서의 상한이 존재한다. (카) 모든 S ⊆ fix ⁡ ( f ) {\displaystyle S\subseteq \operatorname {fix} (f)} 의 fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 에서의 하한이 존재한다. 명제 (아)의 증명. fix ⁡ ( f ) ⊆ M {\displaystyle \operatorname {fix} (f)\subseteq M} 이므로, ⋁ M ∈ fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \textstyle \bigvee M\in \operatorname {fix} (f)} 이면 충분하다. 임의의 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 가 주어졌다고 하자. M {\displaystyle M} 의 정의에 따라, x a ∈ f ( a ) {\displaystyle x_{a}\in f(a)} 이며 a ≤ x a {\displaystyle a\leq x_{a}} 라고 하자. a ≤ ⋁ M {\displaystyle \textstyle a\leq \bigvee M} 이며 f {\displaystyle f} 가 단조함수이므로, y a ∈ f ( ⋁ M ) {\displaystyle \textstyle y_{a}\in f\left(\bigvee M\right)} 이며 x a ≤ y a {\displaystyle x_{a}\leq y_{a}} 라고 하자. f ( ⋁ M ) {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)} 이 부분 완비 격자이므로, ⋁ a ∈ M y a ∈ f ( ⋁ M ) {\displaystyle \textstyle \bigvee _{a\in M}y_{a}\in f\left(\bigvee M\right)} 이다. 임의의 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 에 대하여 a ≤ x a ≤ y a {\displaystyle a\leq x_{a}\leq y_{a}} 이므로, ⋁ M ≤ ⋁ a ∈ M y a {\displaystyle \textstyle \bigvee M\leq \bigvee _{a\in M}y_{a}} 이다. f {\displaystyle f} 의 단조성에 따라, ⋁ a ∈ M y a ≤ z {\displaystyle \textstyle \bigvee _{a\in M}y_{a}\leq z} 인 z ∈ f ( ⋁ a ∈ M y a ) {\displaystyle \textstyle z\in f\left(\bigvee _{a\in M}y_{a}\right)} 가 존재한다. 즉, ⋁ a ∈ M y a ∈ M {\displaystyle \textstyle \bigvee _{a\in M}y_{a}\in M} 이며, 따라서 ⋁ a ∈ M y a ≤ ⋁ M {\displaystyle \textstyle \bigvee _{a\in M}y_{a}\leq \bigvee M} 이다. 따라서, ⋁ M = ⋁ a ∈ M y a ∈ f ( ⋁ M ) {\displaystyle \textstyle \bigvee M=\bigvee _{a\in M}y_{a}\in f\left(\bigvee M\right)} 은 f {\displaystyle f} 의 고정점이 맞다. 명제 (차)의 증명. ⋁ S {\displaystyle \textstyle \bigvee S} 가 S {\displaystyle S} 의 L {\displaystyle L} 에서의 상한이라고 하자. 그렇다면, [ ⋁ S , ⊤ ] {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]} 은 완비 격자를 이룬다. 임의의 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, s ∈ f ( s ) {\displaystyle s\in f(s)} 이며 s ≤ ⋁ S {\displaystyle \textstyle s\leq \bigvee S} 이므로, s ≤ x s {\displaystyle s\leq x_{s}} 인 x s ∈ f ( ⋁ S ) {\displaystyle \textstyle x_{s}\in f\left(\bigvee S\right)} 가 존재한다. 이 경우, ⋁ s ∈ S x s ∈ f ( ⋁ S ) {\displaystyle \textstyle \bigvee _{s\in S}x_{s}\in f\left(\bigvee S\right)} 이며 ⋁ S ≤ ⋁ s ∈ S x s {\displaystyle \textstyle \bigvee S\leq \bigvee _{s\in S}x_{s}} 이다. 따라서, f {\displaystyle f} 의 단조성에 의하여, 만약 a ∈ [ ⋁ S , ⊤ ] {\displaystyle \textstyle a\in \left[\bigvee S,\top \right]} 라면, g ( a ) = f ( a ) ∩ [ ⋁ S , ⊤ ] {\displaystyle \textstyle g(a)=f(a)\cap \left[\bigvee S,\top \right]} 은 공집합이 아니다. 또한, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 L {\displaystyle L} 의 부분 완비 격자이다. 따라서, g ( a ) {\displaystyle g(a)} 는 [ ⋁ S , ⊤ ] {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]} 의 부분 완비 격자를 이룬다. 즉, a ↦ g ( a ) {\displaystyle a\mapsto g(a)} 는 단조함수 g : [ ⋁ S , ⊤ ] → ( Sub ⁡ ( [ ⋁ S , ⊤ ] ) , ⪯ | Sub ⁡ ( [ ⋁ S , ⊤ ] ) ) {\displaystyle \textstyle g\colon \left[\bigvee S,\top \right]\to (\operatorname {Sub} (\left[\bigvee S,\top \right]),{\preceq }|_{\operatorname {Sub} (\left[\bigvee S,\top \right])})} 를 정의한다. 명제 (자)에 따라, g {\displaystyle g} 의 최소 고정점이 존재하며, 이는 S {\displaystyle S} 의 fix ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)} 에서의 상한이다. 1927년 브로니스와프 크나스터(폴란드어: Bronisław Knaster)와 알프레트 타르스키가 멱집합 격자 위 단조함수의 고정점의 존재를 증명하였다.:286, 각주 2 타르스키 고정점 정리의 오늘날 형태는 1939년 타르스키가 도입하였으며, 1939년~1942년 동안 타르스키의 몇몇 공개 강의에서 소개되었다.:286, 각주 2 타르스키 고정점 정리의 역은 앤 모렐(영어: Anne C. Morel)이 증명하였다. 타르스키 고정점 정리의 다중 값 일반화는 저우린(중국어: 周林)이 초모듈러 게임(영어: supermodular game)의 내시 균형의 존재를 보이기 위하여 증명 및 사용하였다. 고정점 정리 완비 격자 Davis, Anne C. (1955). “A characterization of complete lattices”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 5: 311–319. doi:10.2140/pjm.1955.5.311. ISSN 1945-5844. MR 0074377. Zbl 0064.26101.  Zhou, Lin (1994). “The set of Nash equilibria of a supermodular game is a complete lattice”. 《Games and Economic Behavior》 (영어) 7 (2): 295–300. doi:10.1006/game.1994.1051. ISSN 0899-8256. MR 1295306. Zbl 0809.90138.  Knaster, Bronisław (1928). “Un théorème sur les fonctions d’ensembles”. 《Annales de la Société Polonaise de Mathématique》 (프랑스어) 6: 133–134. ISSN 0066-2216. JFM 54.0091.04.  Tarski, Alfred (1955). “A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 5: 285–309. doi:10.2140/pjm.1955.5.285. ISSN 1945-5844. MR 0074376. Zbl 0064.26004.  S. Hayashi (1985). “Self-similar sets as Tarski's fixed points”. 《Publ. 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