자연수 분할

수론에서 자연수 분할(自然數分割, 영어: integer partition)은 어떤 자연수를 양의 정수들의 합으로 나타내는 방법이다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 의 분할 { n 1 , … , n k } {\displaystyle \{n_{1},\dots ,n_{k}\}} 은 다음을 만족시키는, 양의 정수들의 중복집합이다. n 1 + ⋯ + n k = n {\displaystyle n_{1}+\cdots +n_{k}=n} 분할은 페러스 그림으로 나타낼 수 있다. 이 경우 각 가로의 길이는 분할의 각 원소의 크기에 대응한다. 분할수(分割數, 영어: partition number) p ( n ) {\displaystyle p(n)} 는 n {\displaystyle n} 의 분할들의 수이다. 분할수의 값들은 다음과 같다 ( n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } ). 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, … (OEIS의 수열 A000041) q ( n ) {\displaystyle q(n)} 은 n {\displaystyle n} 의 분할들 가운데, 원소가 중복되지 않는 것들의 수이다. 이는 다음과 같다 ( n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } ). 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, … (OEIS의 수열 A000009) 분할수의 생성함수는 다음과 같다. ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) − 1 = exp ⁡ ( π i τ / 12 ) η ( τ ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{-1}={\frac {\exp(\pi i\tau /12)}{\eta (\tau )}}} ∑ n = 0 ∞ q ( n ) x n = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) = exp ⁡ ( − π i τ / 12 ) η ( 2 τ ) η ( τ ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }(1+x^{n})=\exp(-\pi i\tau /12){\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}} 여기서 η ( τ ) {\displaystyle \eta (\tau )} 는 데데킨트 에타 함수이며, x = exp ⁡ ( 2 π i τ ) {\displaystyle x=\exp(2\pi i\tau )} 이다. 매우 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여, 분할수 p ( n ) {\displaystyle p(n)} 은 다음과 같은 점근 공식을 따른다. 이는 고드프리 해럴드 하디와 스리니바사 라마누잔이 1918년 하디-리틀우드 원 방법으로 유도하였고, 1942년에 에르되시 팔이 기초적인 기법만으로 재증명하였다. p ( n ) ∼ 1 4 n 3 exp ⁡ ( π 2 n 3 ) {\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left(\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right)} 마찬가지로, q ( n ) {\displaystyle q(n)} 은 다음과 같은 점근 공식을 따른다. q ( n ) ∼ 1 4 3 n 3 4 exp ⁡ ( π n / 3 ) {\displaystyle q(n)\sim {\frac {1}{4{\sqrt[{4}]{3n^{3}}}}}\exp \left(\pi {\sqrt {n/3}}\right)} 자연수 n {\displaystyle n} 의 분할 { n 1 , … , n k } {\displaystyle \{n_{1},\dots ,n_{k}\}} 의 켤레 분할(-分割, 영어: conjugate partition) { m 1 , … , m l } {\displaystyle \{m_{1},\dots ,m_{l}\}} 은 페러스 그림의 각 세로의 길이로 구성된 새로운 n {\displaystyle n} 의 분할이다. 즉, 페러스 그림의 가로와 세로를 전치하여 얻는 분할이다. 구체적으로는 다음과 같다. l = max { n 1 , … , n k } {\displaystyle l=\max\{n_{1},\dots ,n_{k}\}} m i = | { j = 1 , … , k : n j ≥ i } | {\displaystyle m_{i}=|\{j=1,\dots ,k\colon n_{j}\geq i\}|} 각 원소가 m {\displaystyle m} 이하인 n {\displaystyle n} 의 분할과 원소의 개수가 m {\displaystyle m} 이하인 n {\displaystyle n} 의 분할은 켤레 분할을 통해 일대일 대응한다. 따라서 각 원소가 m {\displaystyle m} 이하인 n {\displaystyle n} 의 분할의 수는 원소의 개수가 m {\displaystyle m} 이하인 n {\displaystyle n} 의 분할의 수와 같다. 마찬가지로 가장 큰 원소가 m {\displaystyle m} 인 n {\displaystyle n} 의 분할의 수는 원소의 개수가 정확히 m {\displaystyle m} 인 분할의 수와 같다.:331, Theorem 13.1.10 양의 정수 3을 생각해 보자. 3=3 3=2+1 3=1+1+1 으로 총 세 가지의 경우가 있으므로, 3의 분할수는 p ( 3 ) = 3 {\displaystyle p(3)=3} , q ( 3 ) = 2 {\displaystyle q(3)=2} 가 된다. 4일 때는, 4=4 4=3+1 4=2+2 4=2+1+1 4=1+1+1+1 총 다섯 가지이므로, 4의 분할수는 p ( 4 ) = 5 {\displaystyle p(4)=5} , q ( 4 ) = 2 {\displaystyle q(4)=2} 이 된다. 분할 10=4+3+1+1+1의 페러스 그림 분할 10=5+2+2+1의 페러스 그림 10의 분할 { 4 , 3 , 1 , 1 , 1 } {\displaystyle \{4,3,1,1,1\}} 의 켤레 분할은 { 5 , 2 , 2 , 1 } {\displaystyle \{5,2,2,1\}} 이 된다. 인수분해 소인수분해 집합의 분할 12정도 뉴턴 항등식 Erdős, Pál (1942). “On an elementary proof of some asymptotic formulas in the theory of partitions”. 《Annals of Mathematics (series 2)》 (영어) 43: 437–450. 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