폴란드 공간

일반위상수학에서 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 폴란드 공간이라고 한다. 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.:228 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.:13, Definition 3.1 [ 0 , 1 ] ℵ 0 {\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}} 의 Gδ 집합과 위상 동형이다.:55 (힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) [ 0 , 1 ] ℵ 0 {\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}} 는 실수의 닫힌구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 의 가산 무한 곱공간이다.) R ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph _{0}}} 의 닫힌집합과 위상 동형이다. 마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 R ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph _{0}}} 는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다. 폴란드 군(Poland群, 영어: Polish group)은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다. 마주르키에비치 정리(-定理, 영어: Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:230:17, Theorem 3.11 A {\displaystyle A} 역시 폴란드 공간이다. A {\displaystyle A} 는 X {\displaystyle X} 의 Gδ 집합이다. 특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 Gδ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다. 폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다. 가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간은 폴란드 공간이다.:229 가산 개의 폴란드 공간들의 분리합집합은 폴란드 공간이다.:229 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 속의 부분 집합들 ( A i ) i ∈ N {\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합 ⋂ i ∈ N A i {\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}} 역시 폴란드 공간을 이룬다. 임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. 국소 콤팩트 폴란드 공간이다.:29, Theorem 5.3(iv) 제2 가산 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.:29, Theorem 5.3(ii) 콤팩트 거리화 가능 공간이다.:29, Theorem 5.3(iii) 콤팩트 거리화 가능 공간의 열린집합과 위상 동형이다.:29, Theorem 5.3(v) 그러나 폴란드 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다. 폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다. 베르 공간 N ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}} 은 가산 무한 이산 공간 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 가산 무한 개 곱공간이다. 칸토어 공간 { 0 , 1 } ℵ 0 {\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}} 은 크기 2의 이산 공간 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 경우, 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 X ≠ ∅ {\displaystyle X\neq \varnothing } 이라면, 연속 전사 함수 N ℵ 0 → X {\displaystyle \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}\to X} 가 존재한다.:38, Theorem 7.9 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, N ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}} 의 어떤 닫힌집합 F ⊆ N ℵ 0 {\displaystyle F\subseteq \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}} 로 가는 연속 전단사 함수 F → X {\displaystyle F\to X} 가 존재한다.:38, Theorem 7.9 (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.) 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 X {\displaystyle X} 가 비가산 집합이라면, X {\displaystyle X} 는 { 0 , 1 } ℵ 0 {\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}} 과 위상 동형인 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 을 갖는다. 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:40, Exercise 7.15 고립점을 갖지 않으며 공집합이 아니다. 연속 전사 함수 f : N ℵ 0 → X {\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}\to X} 가 존재한다. 임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다. | X | ∈ { 0 , 1 , 2 , … , ℵ 0 , 2 ℵ 0 } {\displaystyle |X|\in \{0,1,2,\dots ,\aleph _{0},2^{\aleph _{0}}\}} 다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) ℵ 0 < | X | < 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}<|X|<2^{\aleph _{0}}} 인 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 는 존재하지 않는다.:§3.1 폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 표준 보렐 공간(標準Borel空間, 영어: standard Borel space)이라고 한다. 두 표준 보렐 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.:§3.1.2 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 는 서로 동형이다. 즉, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 사이에 전단사 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 존재하며, 이는 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 보렐 시그마 대수 사이의 동형 f ∗ : B ( X ) → B ( Y ) {\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {B}}(X)\to {\mathcal {B}}(Y)} 을 유도한다. | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} 이다. 즉, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 크기가 같다. 모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.:§3.1.2 (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.) 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 ( N , P ( N ) ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))} 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 집합 ( { 1 , … , n } , P ( { 1 , … , n } ) ) {\displaystyle (\{1,\dots ,n\},{\mathcal {P}}(\{1,\dots ,n\}))} ( n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } ) 이산 공간에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 가산 집합이다. 제2 가산 공간이다. 폴란드 공간이다. (이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.) 모든 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.:14, §3.A 힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) [ 0 , 1 ] ℵ 0 {\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}} 는 실수의 닫힌구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다. 베르 공간 N ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}} 은 가산 무한 이산 공간 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 과 위상 동형이다. 칸토어 공간 { 0 , 1 } ℵ 0 {\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}} 은 크기 2의 이산 공간 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 의 가산 무한 개 곱공간이다. 바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.:228 마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다. 김승욱 (2004). 《위상수학: 집합론을 중심으로》 2판. 경문사. ISBN 89-7282-587-5. 2014년 11월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 25일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. 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