만델스탐 변수

산란 이론에서, 만델스탐 변수(영어: Mandelstam variable)는 두 입자가 산란하여 튕겨나오는 과정에서, 각 입자의 초기 4차원 운동량과 나중 4차원 운동량의 관계를 나타내는 세 변수 s, t, u다. 단위는 에너지의 제곱. 남아공의 물리학자 스탠리 만델스탐(Stanley Mandelstam)이 도입하였다. +−−− 계량 부호수를 사용하자. 사차원 운동량이 각각 p 1 {\displaystyle p_{1}} 와 p 2 {\displaystyle p_{2}} 인 두 개의 입자가 입사하여, 산란 뒤 각각 p 3 {\displaystyle p_{3}} 와 p 4 {\displaystyle p_{4}} 의 사차원 운동량을 가지게 된다고 하자. 그렇다면 만델스탐 변수 s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} , u {\displaystyle u} 는 다음과 같다. s = ( p 1 + p 2 ) 2 = ( p 3 + p 4 ) 2 {\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}} t = ( p 1 − p 3 ) 2 = ( p 2 − p 4 ) 2 {\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}} u = ( p 1 − p 4 ) 2 = ( p 2 − p 3 ) 2 {\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}} . 여기서 s는 무게중심 기준틀에서 관측한 에너지의 제곱과 같다. t는 한 입자에서 다른 입자로 옮겨간 운동량의 정도(의 제곱)으로 해석할 수 있다. 세 만델스탐 변수들은 서로 독립적이지 않으며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다. s + t + u = m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + m 4 2 {\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}} 여기서 m i 2 = p i 2 {\displaystyle m_{i}^{2}=p_{i}^{2}} 는 각 입자의 제곱 불변 질량이다. 만약 산란 뒤 입자가 산란 이전 입자와 다를 경우, 서로 유사한 입자의 운동량을 p 1 {\displaystyle p_{1}} 과 p 3 {\displaystyle p_{3}} (또는 p 2 {\displaystyle p_{2}} 와 p 4 {\displaystyle p_{4}} )로 간주한다. 예를 들어, e++e− → {\displaystyle \to } μ++μ− 와 같은 경우, 전자 (e−)와 뮤온(μ−)이 서로 유사하므로 이들을 각각 p 1 {\displaystyle p_{1}} 과 p 3 {\displaystyle p_{3}} 로 간주한다. 이 세 변수에 비례하는 산란 진폭 성분을 나타내는 파인먼 도형은 다음과 같이 특정한 모양을 지닌다. 이런 모양의 파인먼 도형에 해당하는 산란 진폭 성분을 s 채널 · t 채널 · u 채널로 부른다. 일반적으로, D {\displaystyle D} 차원에서 N > 2 {\displaystyle N>2} 개의 입자의 산란을 생각하자. 초기 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 양수로, 최종 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 음수로 놓자. 운동량들을 p 1 , … , p N {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{N}} 이라고 놓자. 그렇다면, 다음과 같은 만델스탐 변수 s i j {\displaystyle s_{ij}} 는 다음과 같다. s i j = ( p i + p j ) 2 ( 1 ≤ i < j ≤ N ) {\displaystyle s_{ij}=(p_{i}+p_{j})^{2}\qquad (1\leq i<j\leq N)} 즉, 총 N ( N − 1 ) / 2 {\displaystyle N(N-1)/2} 개의 변수들이 존재한다. 이들 사이에는 다음과 같은 일련의 상관관계가 존재한다. ∑ j ≠ i s i j = ∑ j = 1 N m j 2 + ( N − 4 ) m i 2 {\displaystyle \sum _{j\neq i}s_{ij}=\sum _{j=1}^{N}m_{j}^{2}+(N-4)m_{i}^{2}} 4차원에서는 s = s 12 {\displaystyle s=s_{12}} t = s 13 {\displaystyle t=s_{13}} u = s 14 {\displaystyle u=s_{14}} 이므로, 이 상관관계는 4차원에서의 상관관계 s + t + u = ∑ i = 1 4 m i 2 {\displaystyle s+t+u=\sum _{i=1}^{4}m_{i}^{2}} 의 일반화이다. 편의상 D ′ = D − min { N , D } {\displaystyle D'=D-\min\{N,D\}} 로 정의하자. 운동량들 사이에는 다음과 같은 조건들이 존재한다. (질량껍질 조건) p i 2 = m i 2 ∀ i = 1 , … , N {\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\;\forall i=1,\dots ,N} (운동량 보존 법칙) ∑ i = 1 N p i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}p_{i}=0} 또한, 로런츠 변환을 통해 D ( D − 1 ) / 2 {\displaystyle D(D-1)/2} 개의 추가 제약을 가할 수 있으나, 이들 가운데 D ′ ( D ′ − 1 ) / 2 {\displaystyle D'(D'-1)/2} 개는 자명하게 작용한다. 따라서, 독립적인 만델스탐 변수의 개수는 N D − N − D + D ′ − D ( D − 1 ) / 2 + D ′ ( D ′ − 1 ) / 2 = { N ( D − 1 ) − D ( D + 1 ) / 2 D ≤ N N ( N − 3 ) / 2 D − 1 ≥ N {\displaystyle ND-N-D+D'-D(D-1)/2+D'(D'-1)/2={\begin{cases}N(D-1)-D(D+1)/2&D\leq N\\N(N-3)/2&D-1\geq N\end{cases}}} 이다. 2차원에서는 2→2 산란 과정에서 오직 하나만의 독립적 만델스탐 변수가 존재하며, 이는 신속도로 쓸 수 있다. 네 입자의 신속도를 각각 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} , θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} , θ 3 {\displaystyle \theta _{3}} , θ 4 {\displaystyle \theta _{4}} 로 쓰자. 그렇다면 각 입자의 2차원 운동량은 p i = m i ( cosh ⁡ θ i , sinh ⁡ θ i ) {\displaystyle p_{i}=m_{i}(\cosh \theta _{i},\sinh \theta _{i})} 이다. 편의상 모든 입자의 질량이 m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m {\displaystyle m_{1}=m_{2}=m_{3}=m_{4}=m} 으로 놓고, 로런츠 변환을 가해 θ 1 + θ 2 = 0 {\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=0} θ 3 + θ 4 = 0 {\displaystyle \theta _{3}+\theta _{4}=0} 으로 놓자. 그렇다면 운동량 보존에 따라서 θ 1 = − θ 2 = ± θ 3 = ∓ θ 4 {\displaystyle \theta _{1}=-\theta _{2}=\pm \theta _{3}=\mp \theta _{4}} 임을 알 수 있다. 2 θ = θ 1 − θ 2 = ± ( θ 3 − θ 4 ) {\displaystyle 2\theta =\theta _{1}-\theta _{2}=\pm (\theta _{3}-\theta _{4})} 로 놓자. 그렇다면 s = 4 m 2 cosh 2 ⁡ θ {\displaystyle s=4m^{2}\cosh ^{2}\theta } t = − m 2 ( 1 ∓ 1 ) 2 sinh 2 ⁡ θ {\displaystyle t=-m^{2}(1\mp 1)^{2}\sinh ^{2}\theta } u = − m 2 ( 1 ± 1 ) 2 sinh 2 ⁡ θ {\displaystyle u=-m^{2}(1\pm 1)^{2}\sinh ^{2}\theta } 이 된다 (복호 동순). 콤프턴 산란 Mandelstam, Stanley (1958). “Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity. General Theory” (PDF). 《Physical Review》 112 (4): 1344–1360. Bibcode:1958PhRv..112.1344M. doi:10.1103/PhysRev.112.1344. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 10월 5일에 확인함.  Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). 《Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics》. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.  Perkins, Donald H. (2000). 《Introduction to High Energy Physics》 4판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-62196-8.