절대 갈루아 군

수학에서, 체 K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 절대 갈루아군 G K {\displaystyle G_{\mathbb {K} }} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 위의 K s e p {\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathrm {sep} }} 의 갈루아군이다. 여기서 K s e p {\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathrm {sep} }} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 분리 가능한 폐포이다. 또는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 를 고정하는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 대수적 폐포의 모든 자기동형의 군이다. 절대 갈루아 군은 내부 자기동형사상을 기준으로 잘 정의되어 있다. 또한 사유한군이다. ( K {\displaystyle \mathbb {K} } 가 완전체일 때 K s e p {\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathrm {sep} }} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 대수적 폐포 K alg 와 동일하다. 이것은 예를 들어 표수 0인 K {\displaystyle \mathbb {K} } 또는 유한 체 K {\displaystyle \mathbb {K} } 에 대해 유지된다) 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명하다. 실수의 절대 갈루아 군은 C {\displaystyle \mathbb {C} } 가 R {\displaystyle \mathbb {R} } 과 [ C : R ] = 2 {\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2} 인 분리 가능한 폐포이기 때문에 두 원소(복소 켤레 및 항등 사상)의 순환 군이다. 유한 체 K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 절대 갈루아 군은 군 Z ^ = lim ← ⁡ Z / n Z {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 과 동형이다.(표기법은 역극한을 참조) 프로베니우스 자기동형사상 F r {\displaystyle \mathrm {Fr} } 은 G K {\displaystyle G_{\mathbb {K} }} 의 표준(위상) 생성자이다. ( ∀ x ∈ K a l g , F r ( x ) = x q {\displaystyle \forall x\in \mathbb {K} ^{\mathrm {alg} },\mathrm {Fr} (x)=x^{q}} 임을 기억하라. 여기서 q는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 원소들의 수이다) 복소수 계수를 갖는 유리 함수 체의 절대 갈루아 군은 자유군(사유한군으로서)이다. 이 결과는 아드리앙 두아디에 기인하며 리만의 존재 정리에 기원을 두고 있다. 보다 일반적으로, K ′ {\displaystyle \mathbb {K} '} 를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 x를 변수라고 하자. 그러면 K := K ′ ( x ) {\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {K} '(x)} 의 절대 갈루아 군은 K ′ {\displaystyle \mathbb {K} '} 의 기수와 동일한 랭크를 가진 자유군이다. 이 결과는 David Harbater와 Florian Pop에 의한 것이며 Dan Haran과 Moshe Jarden에 의해 나중에 대수적 방법으로 증명되었다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 를 p진수 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 의 유한 확대라 하자. p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} 에 대해, 절대 갈루아 군은 [ K : Q p ] + 3 {\displaystyle [\mathbb {K} :\mathbb {Q} _{p}]+3} 개의 원소들에 의해 생성된다. 그리고 관계와 생성자에 대한 의한 명시적 묘사가 있다. 이것은 Uwe Jannsen과 Kay Wingberg의 결과이다. p = 2 {\displaystyle p=2} 인 경우 일부 결과가 알려져 있지만 Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}} 에 대한 구조는 알려져 있지 않다. 절대 갈루아 군이 결정된 또 다른 경우는 대수 체의 가장 큰 총 실수 부분 체에 대한 것이다. 유리수의 절대 갈루아 군에 대한 직접적인 설명은 알려져 있지 않다. 이 경우, 절대 갈루아 군이 대수적 수체의 갈루아 이론을 "볼" 수 있게 하는 그로텐디크의 데셍당팡 (곡면의 지도)에 대한 충실한 작용를 갖는다는 것은 Belyi의 정리에서 따른다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 를 유리수의 최대 아벨 확대라고 한다. 그런 다음 샤파레비치의 추측은 K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 절대 갈루아 군이 자유 사유한군이라고 주장한다. 모든 사유한군은 일부 갈루아 확대의 갈루아 군으로 발생하지만 모든 사유한군이 절대 갈루아 군으로 발생하는 것은 아니다. 예를 들어, Artin–Schreier 정리는 유일한 유한 절대 갈루아 군이 자명하거나 차수가 2, 즉 두 개의 동치류라는 것을 주장한다. 모든 사영 사유한군은 유사 대수적 완비 체의 절대 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 이 결과는 Alexander Lubotzky와 Lou van den Dries가 증명했다. Douady 1964 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFDouady1964 (help) Harbater 1995 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHarbater1995 (help) Pop 1995 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFPop1995 (help) Haran & Jarden 2000 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHaranJarden2000 (help) Jannsen & Wingberg 1982 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFJannsenWingberg1982 (help) Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, theorem 7.5.10 Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, §VII.5 “qtr” (PDF). 2019년 9월 4일에 확인함.  Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, p. 449. Fried & Jarden (2008) p.12 Fried & Jarden (2008) pp.208,545 Douady, Adrien (1964), “Détermination d'un groupe de Galois”, 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris》 258: 5305–5308, MR 0162796  Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), 《Field arithmetic》, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge 11 3판, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001  Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), “The absolute Galois group of C(x)”, 《Pacific Journal of Mathematics》 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445, MR 1800587  Harbater, David (1995), 〈Fundamental groups and embedding problems in characteristic p〉, 《Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993)》, Contemporary Mathematics 186, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 353–369쪽, MR 1352282  Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), “Die Struktur der absoluten Galoisgruppe p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -adischer Zahlkörper” (PDF), 《Inventiones Mathematicae》 70: 71–78, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199, S2CID 119378923  |title=에 지움 문자가 있음(위치 41) (도움말) 틀:Neukirch et al. CNF Pop, Florian (1995), “Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture”, 《Inventiones Mathematicae》 120 (3): 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, doi:10.1007/bf01241142, MR 1334484, S2CID 128157587