귀납적 차원

일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, 영어: inductive dimension)은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 작은 귀납적 차원(영어: small inductive dimension) ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {ind} X} 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 n ∈ { − 1 , 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{-1,0,1,2,\dots \}} 이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 V ∋ x {\displaystyle V\ni x} 가 존재한다. cl ⁡ V ⊆ U {\displaystyle \operatorname {cl} V\subseteq U} ind ⁡ ∂ V ≤ n − 1 {\displaystyle \operatorname {ind} \partial V\leq n-1} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 큰 귀납적 차원(영어: large inductive dimension) Ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Ind} X} 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 n ∈ { − 1 , 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{-1,0,1,2,\dots \}} 이다. 임의의 닫힌집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 의 열린 근방 U ⊇ C {\displaystyle U\supseteq C} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 V ⊇ C {\displaystyle V\supseteq C} 가 존재한다. cl ⁡ V ⊆ U {\displaystyle \operatorname {cl} V\subseteq U} Ind ⁡ ∂ V ≤ n − 1 {\displaystyle \operatorname {Ind} \partial V\leq n-1} 공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 ind ⁡ ∅ = − 1 {\displaystyle \operatorname {ind} \varnothing =-1} 이다. T1 공간 X {\displaystyle X} 또는 정칙 공간 X {\displaystyle X} 의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로, ind ⁡ X ≤ Ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \operatorname {Ind} X} 이다.:9, Proposition 2.7 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, dim ⁡ X ≤ Ind ⁡ X {\displaystyle \dim X\leq \operatorname {Ind} X} 이다.:18, Corollary 3.5 여기서 dim {\displaystyle \dim } 은 르베그 덮개 차원이다. 거리화 가능 공간 X {\displaystyle X} 의 경우, ind ⁡ X ≤ dim ⁡ X = Ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \dim X=\operatorname {Ind} X} 이다.:219, Theorem 10 린델뢰프 공간 X {\displaystyle X} 의 경우, dim ⁡ X ≤ ind ⁡ X {\displaystyle \dim X\leq \operatorname {ind} X} 이다.:27, Proposition 5.3 린델뢰프 완전 정규 공간 X {\displaystyle X} :171 또는 완비 파라콤팩트(영어: completely paracompact) 완전 정규 공간 X {\displaystyle X} :296, Theorem F2의 경우, dim ⁡ X ≤ ind ⁡ X = Ind ⁡ X {\displaystyle \dim X\leq \operatorname {ind} X=\operatorname {Ind} X} 이다. 우리손 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 X {\displaystyle X} 의 경우 ind ⁡ X = dim ⁡ X = Ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {ind} X=\dim X=\operatorname {Ind} X} 이다.:51, Theorem 1.7.7 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, ind ⁡ Y ≤ ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {ind} Y\leq \operatorname {ind} X} 이다.:8, Proposition 2.3 만약 추가로 Y {\displaystyle Y} 가 닫힌집합이거나,:9, Proposition 2.6 X {\displaystyle X} 가 완전 정규 공간이라면,:21, Corollary 3.13 Ind ⁡ Y ≤ Ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Ind} Y\leq \operatorname {Ind} X} 이다. 완비 정규 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 Y , Z ⊆ X {\displaystyle Y,Z\subseteq X} 에 대하여, 만약 X = Y ∪ Z {\displaystyle X=Y\cup Z} 라면, ind ⁡ X ≤ ind ⁡ Y + ind ⁡ Z + 1 {\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \operatorname {ind} Y+\operatorname {ind} Z+1} Ind ⁡ X ≤ Ind ⁡ Y + Ind ⁡ Z + 1 {\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z+1} 이다.:2203, 2206 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식이라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 닫힌집합 Y , Z ⊆ X {\displaystyle Y,Z\subseteq X} 에 대하여, 만약 X = Y ∪ Z {\displaystyle X=Y\cup Z} 라면, ind ⁡ X ≤ max { ind ⁡ Y , ind ⁡ Z } + 1 {\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \max\{\operatorname {ind} Y,\operatorname {ind} Z\}+1} 이다.:2203, (1) 만약 추가로 X {\displaystyle X} 가 정규 공간이라면, Ind ⁡ X ≤ Ind ⁡ Y + Ind ⁡ Z {\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z} 이다.:2206 제2 가산 정칙 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로 ind ⁡ ( X × Y ) ≤ ind ⁡ ( X ) + ind ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} (X)+\operatorname {ind} (Y)} Ind ⁡ ( X × Y ) ≤ Ind ⁡ ( X ) + Ind ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} (X)+\operatorname {Ind} (Y)} 이다. 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. 임의의 닫힌집합 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 에 대하여, ind ⁡ ( A ∪ B ) ≤ max { ind ⁡ A , ind ⁡ B } {\displaystyle \operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}} 임의의 닫힌집합 A , B ⊆ Y {\displaystyle A,B\subseteq Y} 에 대하여, ind ⁡ ( A ∪ B ) ≤ max { ind ⁡ A , ind ⁡ B } {\displaystyle \operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}} 그렇다면, ind ⁡ ( X × Y ) ≤ ind ⁡ X + ind ⁡ Y {\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} X+\operatorname {ind} Y} 이다.:2203, (2) 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며,:Chapter 20 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.:Chapter 14 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 에 대하여, 만약 ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이라면, ind ⁡ ( X × Y ) = ind ⁡ Y {\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)=\operatorname {ind} Y} 이다.:12, Exercise 2.27 콤팩트 하우스도르프 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 에 대하여, 만약 Ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {Ind} X=0} 이라면, Ind ⁡ ( X × Y ) ≤ Ind ⁡ Y {\displaystyle \operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} Y} 이다. 위상 공간들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 및 곱공간 X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} 에 대하여, 만약 모든 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 ind ⁡ X i = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X_{i}=0} 이라면, ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이다.:12, Exercise 2.28 정규 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 및 그 스톤-체흐 콤팩트화 β X {\displaystyle \beta X} 에 대하여, Ind ⁡ X = Ind ⁡ β X {\displaystyle \operatorname {Ind} X=\operatorname {Ind} \beta X} 이다.:137, Theorem 2.2.10 경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} X {\displaystyle X} 는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:10, Proposition 2.9 dim ⁡ X = 0 {\displaystyle \dim X=0} Ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {Ind} X=0} 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다. 만약 ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이라면, X {\displaystyle X} 는 완비 정칙 공간이다. 만약 ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이며, X {\displaystyle X} 가 콜모고로프 공간이라면, X {\displaystyle X} 는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다. 반대로, 만약 X {\displaystyle X} 가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이다.:362, Theorem 6.2.9 만약 dim ⁡ X = 0 {\displaystyle \dim X=0} 이라면, X {\displaystyle X} 는 정규 공간이다. 만약 dim ⁡ X = 0 {\displaystyle \dim X=0} 이며, X {\displaystyle X} 가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면, ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이다. 반대로, 만약 ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이며, X {\displaystyle X} 가 린델뢰프 공간 X {\displaystyle X} 이라면, dim ⁡ X = 0 {\displaystyle \dim X=0} 이다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:362, Theorem 6.2.9 ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 완전 분리 공간이다. 국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 이 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.:362, Theorem 6.2.10 완전 분리 공간이다. ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} dim ⁡ X = 0 {\displaystyle \dim X=0} 작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간(零次元空間, 영어: zero-dimensional space)이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간(强-零次元空間, 영어: strongly zero-dimensional space)이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다. T1 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:363, Theorem 6.2.16:323, §f-6 ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 두 점 이산 공간의 곱공간 { 0 , 1 } Clopen ⁡ ( X ) {\displaystyle \{0,1\}^{\operatorname {Clopen} (X)}} 의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 Clopen ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Clopen} (X)} 는 열린닫힌집합들의 집합이다.) 이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다. μ : X → { 0 , 1 } Clopen ⁡ ( X ) {\displaystyle \mu \colon X\to \{0,1\}^{\operatorname {Clopen} (X)}} μ ( x ) U = { 1 x ∈ U 0 x ∉ U {\displaystyle \mu (x)_{U}={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}} 모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:20, Theorem 1.3.15 ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} X {\displaystyle X} 는 칸토어 집합 C ≅ { 0 , 1 } ℵ 0 {\displaystyle C\cong \{0,1\}^{\aleph _{0}}} 의 부분 집합과 위상 동형이다. X {\displaystyle X} 는 무리수 집합 R ∖ Q ≅ N ℵ 0 {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \cong \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}} 의 부분 집합과 위상 동형이다. 실수들의 집합 X ⊆ R {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다. 뇌벨링-폰트랴긴 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ind ⁡ X < ∞ {\displaystyle \operatorname {ind} X<\infty } X {\displaystyle X} 는 유클리드 공간의 부분 집합과 위상 동형이다. 사실, 모든 n {\displaystyle n} 차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 ( 2 n + 1 ) {\displaystyle (2n+1)} 차원 유클리드 공간 R 2 n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}} 에 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:95, Theorem 1.11.5 ind ⁡ X ≤ n {\displaystyle \operatorname {ind} X\leq n} X {\displaystyle X} 는 { x ∈ R 2 n + 1 : | { i : x i ∈ Q } | ≤ n } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{2n+1}\colon |\{i\colon x_{i}\in \mathbb {Q} \}|\leq n\}} 의 부분 집합과 위상 동형이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건들이 동치이다. ind ⁡ X = − 1 {\displaystyle \operatorname {ind} X=-1} dim ⁡ X = − 1 {\displaystyle \dim X=-1} Ind ⁡ X = − 1 {\displaystyle \operatorname {Ind} X=-1} X = ∅ {\displaystyle X=\varnothing } 유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다. ind ⁡ R n = dim ⁡ R n = Ind ⁡ R n = n {\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {R} ^{n}=\dim \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {R} ^{n}=n} ind ⁡ Δ n = dim ⁡ Δ n = Ind ⁡ Δ n = n {\displaystyle \operatorname {ind} \Delta _{n}=\dim \Delta _{n}=\operatorname {Ind} \Delta _{n}=n} ind ⁡ S n = dim ⁡ S n = Ind ⁡ S n = n {\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {S} ^{n}=\dim \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {S} ^{n}=n} 보다 일반적으로, 임의의 n {\displaystyle n} 차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 n {\displaystyle n} 이다. [ 0 , 1 ] ℵ 0 {\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}} 의 작은·큰 귀납적 차원은 ∞ {\displaystyle \infty } 이다. ind ⁡ [ 0 , 1 ] ℵ 0 = dim ⁡ [ 0 , 1 ] ℵ 0 = Ind ⁡ [ 0 , 1 ] ℵ 0 = ∞ {\displaystyle \operatorname {ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\dim[0,1]^{\aleph _{0}}=\operatorname {Ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\infty } 조르겐프라이 직선 S {\displaystyle S} 및 조르겐프라이 평면 S × S {\displaystyle S\times S} 의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다.:2 조르겐프라이 직선의 르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면의 르베그 덮개 차원은 무한하다.:2, Theorem 1 ind ⁡ S = dim ⁡ S = Ind ⁡ S = ind ⁡ S × S = Ind ⁡ S × S = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} S=\dim S=\operatorname {Ind} S=\operatorname {ind} S\times S=\operatorname {Ind} S\times S=0} dim ⁡ S × S = ∞ {\displaystyle \dim S\times S=\infty } 이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간의 르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다. 거리화 가능 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 | X | < 2 ℵ 0 {\displaystyle |X|<2^{\aleph _{0}}} 라면, ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} X=0} 이다. 증명: 임의의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 가 주어졌다고 하자. ball ⁡ ( x , r ) ⊆ U {\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)\subseteq U} 인 r > 0 {\displaystyle r>0} 을 잡자. | X | < 2 ℵ 0 {\displaystyle |X|<2^{\aleph _{0}}} 이므로, d ( x , y ) ≠ s ∀ y ∈ X {\displaystyle d(x,y)\neq s\forall y\in X} 인 0 < s < r {\displaystyle 0<s<r} 이 존재한다. 따라서, ∂ ball ⁡ ( x , s ) = { y ∈ X : d ( x , y ) = s } = ∅ {\displaystyle \partial \operatorname {ball} (x,s)=\{y\in X\colon d(x,y)=s\}=\varnothing } 이다. 순서 위상을 가한 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.:12, Exercise 2.24 ind ⁡ X ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {ind} X\leq 1} Charalambous, Michael G. (2019). 《Dimension theory. A selection of theorems and counterexamples》. Atlantis Studies in Mathematics (영어) 7. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-030-22232-1. ISBN 978-3-030-22231-4. ISSN 1875-7634. MR 3970309. Zbl 1471.54001.  Ostrand, Phillip A. (1971). “Covering dimension in general spaces”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 1 (3): 209–221. doi:10.1016/0016-660X(71)90093-6. ISSN 0016-660X. MR 0288741. Zbl 0232.54044.  Chatyrko, Vitalij A.; Hattori, Yasunao (2003). “Around the equality ind ⁡ X = Ind ⁡ X {\displaystyle \operatorname {ind} X=\operatorname {Ind} X} towards a unifying theorem”. 《Topology and its Applications》 (영어) 131 (3): 295–302. doi:10.1016/S0166-8641(02)00358-9. ISSN 0166-8641. MR 1983085. Zbl 1030.54023.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 21) (도움말) Engelking, Ryszard (1995). 《Theory of dimensions finite and infinite》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 10. Heldermann Verlag: Lemgo. ISBN 3-88538-010-2. MR 1363947. Zbl 0872.54002.  Chatyrko, Vitalij A.; Hattori, Yasunao (2008). “Addition and product theorems for ind”. 《Topology and its Applications》 (영어) 155 (17–18): 2202–2210. doi:10.1016/j.topol.2007.05.028. ISSN 0166-8641. MR 2458005. Zbl 1161.54017.  Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.  Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E., 편집. (2004). 《Encyclopedia of general topology》 (영어). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50355-2. MR 2049453. Zbl 1059.54001.  Sipacheva, Ol'ga (2021). “The covering dimension of the Sorgenfrey plane” (영어). arXiv:2110.08867. doi:10.48550/arXiv.2110.08867.  arXiv 인용에서 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Inductive dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Dimension theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  르베그 덮개 차원