초입자

이론물리학에서 초입자(超粒子, 영어: superparticle)는 초공간 속을 움직이는 입자이다.:§3 초장의 한 양자를 나타내며, 그 힐베르트 공간은 그 초다중항에 속하는 입자들의 (1입자) 힐베르트 공간들의 직합이다. 우선, 무질량 비초대칭 입자는 다음과 같이 묘사된다. 그 좌표가 x m ∈ R D {\displaystyle x^{m}\in \mathbb {R} ^{D}} 라고 하자. 그렇다면, 운동 방정식은 η a b p a p b = 0 {\displaystyle \eta ^{ab}p_{a}p^{b}=0} 이다. 이에 따라서, 세계선 위의 라그랑지언 L = ∫ d t x ˙ m e m a ( x ) p a − 1 2 λ η a b p a p b {\displaystyle L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)p_{a}-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}} 을 적을 수 있다. 여기서 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 는 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점은 ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} 를 뜻한다. η a b {\displaystyle \eta _{ab}} 는 상수 계량 텐서이다. λ : R → R + {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} 는 세계선의 1×1 필바인이며, 이는 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 이는 또한 운동 방정식 p 2 = 0 {\displaystyle p^{2}=0} 의 라그랑주 승수이다. e m a {\displaystyle e_{m}{}^{a}} 는 시공간의 필바인이다. 즉, η a b e m a e n b = g m n {\displaystyle \eta _{ab}e_{m}{}^{a}e_{n}{}^{b}=g_{mn}} 가 시공간의 계량 텐서이다. x m {\displaystyle x^{m}} 는 입자의 위치이며, p a {\displaystyle p_{a}} 는 입자의 운동량이다. 이들은 독립된 장으로 취급한다. 이제, ( λ , x , p ) {\displaystyle (\lambda ,x,p)} 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다. λ {\displaystyle \lambda } : p 2 = 0 {\displaystyle p^{2}=0} x {\displaystyle x} : ( ∂ / ∂ t ) e m a p a = x ˙ m p a ∂ e m a / ∂ x {\displaystyle (\partial /\partial t)e_{m}{}^{a}p_{a}={\dot {x}}^{m}p_{a}\partial e_{m}{}^{a}/\partial x} p {\displaystyle p} : x ˙ m e m a ( x ) = λ η a b p b {\displaystyle {\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)=\lambda \eta ^{ab}p_{b}} 특히, λ {\displaystyle \lambda } 의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않으며, 이는 게이지 변환으로 사실 (예를 들어) λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} 로 게이지 고정을 가할 수 있다. 이를 가하고, p {\displaystyle p} 의 운동 방정식을 사용하여 p {\displaystyle p} 를 x {\displaystyle x} 에 대한 표현 p a = η a b x ˙ m e m b {\displaystyle p_{a}=\eta _{ab}{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{b}} 로 대체하면, 작용은 다음과 같다. L = ∫ d t x ˙ m e m a η a b e n b x ˙ n = ∫ d t g m n x ˙ m x ˙ n {\displaystyle L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}\eta _{ab}e_{n}{}^{b}{\dot {x}}^{n}=\int \mathrm {d} tg_{mn}{\dot {x}}^{m}{\dot {x}}^{n}} 초입자는 초공간 속에서 움직이는 입자이다. 즉, 그 좌표는 x M = ( x m , θ μ ) ∈ R D | D ′ {\displaystyle x^{M}=(x^{m},\theta ^{\mu })\in \mathbb {R} ^{D|D'}} 의 꼴이며, 여기서 m {\displaystyle m} 은 실제 공간 벡터의 지수, μ {\displaystyle \mu } 는 어떤 스피너 지수를 뜻한다. 초입자의 운동은 다음과 같은 두 운동 방정식으로 결정된다. η a b p a p b = 0 {\displaystyle \eta ^{ab}p_{a}p_{b}=0} p a γ a d = 0 {\displaystyle p_{a}\gamma ^{a}d=0} 여기서 p A = ( p a , d α ) {\displaystyle p_{A}=(p_{a},d_{\alpha })} 는 각각 x m {\displaystyle x^{m}} 과 θ {\displaystyle \theta } 에 대한 일반화 운동량이다. (첫째 식은 일반 입자에도 존재하지만, 둘째 식은 초입자 고유의 것이다.) 이제, 다음과 같은 라그랑지언을 생각하자. L = ∫ d t ( x ˙ M e M A − 1 2 λ η a b p a p b − i λ ′ ( p a γ a ) d = 0 ) {\displaystyle L=\int \mathrm {d} t\,\left({\dot {x}}^{M}e_{M}{}^{A}\,-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}-\mathrm {i} \lambda '(p_{a}\gamma ^{a})d=0\right)} 여기서 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 는 세계선의 (임의의) 좌표이다. 이에 대한 미분은 윗점 ∂ A / ∂ t = A ˙ {\displaystyle \partial A/\partial t={\dot {A}}} 로 표기된다. x : R → R D | D ′ {\displaystyle x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{D|D'}} 는 초입자의, 초공간 속의 좌표이다. λ : R → R {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } , λ ′ : R → R D ′ {\displaystyle \lambda '\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{D'}} 는 두 운동 방정식에 대한 라그랑주 승수이다. λ {\displaystyle \lambda } 는 스칼라이며, λ ′ {\displaystyle \lambda '} 은 스피너이다. 이들은 또한 게이지 변환의 게이지 장을 이루며, 이에 따라 λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} , λ ′ = 0 {\displaystyle \lambda '=0} 인 게이지를 고를 수 있다. 또한, 시공간 초필바인의 성분은 다음과 같다. e M A ( x , θ ) = ( e m a ( x ) 0 − i γ a θ δ μ α ) {\displaystyle e_{M}{}^{A}(x,\theta )={\begin{pmatrix}e_{m}{}^{a}(x)&0\\-\mathrm {i} \gamma ^{a}\theta &\delta _{\mu }^{\alpha }\end{pmatrix}}} 그렇다면, λ {\displaystyle \lambda } , λ ′ {\displaystyle \lambda '} 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 p 2 = 0 {\displaystyle p^{2}=0} p a γ a d = 0 {\displaystyle p_{a}\gamma ^{a}d=0} 이 되며, p A {\displaystyle p_{A}} 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 ( x ˙ m e m a ( x ) − i θ ˙ γ a θ ) = λ η a b p b + i λ ′ γ a d {\displaystyle ({\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)-\mathrm {i} {\dot {\theta }}\gamma ^{a}\theta )=\lambda \eta ^{ab}p_{b}+\mathrm {i} \lambda '\gamma ^{a}d} θ ˙ β = i p a λ α ′ γ a α β {\displaystyle {\dot {\theta }}^{\beta }=\mathrm {i} p_{a}\lambda '_{\alpha }\gamma ^{a\alpha \beta }} 이다. 이는 운동량 p a {\displaystyle p_{a}} 와 초운동량 d α {\displaystyle d_{\alpha }} 를 초공간 좌표 ( x m , θ μ ) {\displaystyle (x^{m},\theta ^{\mu })} 로부터 결정한다. 만약 λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} , λ ′ = 0 {\displaystyle \lambda '=0} 게이지를 사용할 경우, p a = x ˙ m e m a {\displaystyle p_{a}={\dot {x}}^{m}e_{ma}} θ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}=0} 가 된다. Brink, Lars; Schwarz, John H. (1981). “Quantum superspace”. 《Physics Letters B》 (영어) 100 (4). doi:10.1016/0370-2693(81)90093-9.  Siegel, Warren (1985년 1월 13일). “Classical superstring mechanics”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 263 (1): 93–104. Bibcode:1986NuPhB.263...93S. doi:10.1016/0550-3213(86)90029-5.  “superparticle”. 《nLab》 (영어).  “spinning particle”. 《nLab》 (영어).