비표준 해석학

비표준 해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 이 실수체이고, N {\displaystyle \mathbb {N} } 이 자연수의 모노이드이라고 하자. 그렇다면 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} 은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수의 체 ∗ R {\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} } 는 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} 의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 F ⊂ P ( N ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} 를 고르자. (특히, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 u , v ∈ R N {\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} 사이에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다. u ∼ v ⟺ { n ∈ N : u n = v n } ∈ F {\displaystyle u\sim v\iff \{n\in \mathbb {N} \colon u_{n}=v_{n}\}\in {\mathcal {F}}} 이 동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다. ∗ R = R N / F {\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathcal {F}}} 실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다. 함수 ∗ f : R ∗ → R ∗ {\displaystyle {}^{*}f\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}} 의 a ∈ R ∗ {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}} 에서의 극한은 다음과 같다. lim x → a ∗ f ( x ) = L ⟺ ∀ b ≈ a : f ( b ) ≈ L ( L ∈ R ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=L\iff \forall b\approx a\colon f(b)\approx L\qquad (L\in \mathbb {R} )} 함수 ∗ f : ∗ R → ∗ R {\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R} } 가 다음 조건을 만족시키면, 연속함수라고 한다. 모든 x , y ∈ R ∗ {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{*}} 에 대하여, 만약 x ≈ y {\displaystyle x\approx y} 라면 f ( x ) ≈ f ( y ) {\displaystyle f(x)\approx f(y)} 이다. 함수 ∗ f : ∗ R → ∗ R {\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R} } 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 ϵ 1 , ϵ 2 ∈ ∗ R {\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2}\in {}^{*}\mathbb {R} } 에 대하여, ∗ f ( x + ϵ 1 ) − f ( x ) ϵ 1 ≈ ∗ f ( x + ϵ 2 ) − f ( x ) ϵ 2 {\displaystyle {\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{1})-f(x)}{\epsilon _{1}}}\approx {\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{2})-f(x)}{\epsilon _{2}}}} 이 경우 ∗ f {\displaystyle {}^{*}f} 는 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에서 미분 가능하다고 하고, f {\displaystyle f} 의 도함수는 ∗ f ′ ( x ) = st ⁡ ( ∗ f ( x + ϵ ) − ∗ f ( x ) ϵ ) ∈ R {\displaystyle {}^{*}f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{}^{*}f(x+\epsilon )-{}^{*}f(x)}{\epsilon }}\right)\in \mathbb {R} } 이다. 1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대 ∗ f : R → ∗ R {\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{\mathbb {R} }\to {}^{*}\mathbb {R} } 에 대하여, 다음이 동치이다. lim x → a f ( x ) = b {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b} lim x → a ∗ f ( x ) = b {\displaystyle \lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=b} 또한, 다음이 동치이다. a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 에서 f {\displaystyle f} 는 연속함수이다. a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 에서 ∗ f {\displaystyle {}^{*}f} 는 연속함수이다. 또한, 다음이 동치이다. a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 에서 f {\displaystyle f} 는 미분 가능하며, f ′ ( a ) = b {\displaystyle f'(a)=b} 이다. a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 에서 ∗ f {\displaystyle {}^{*}f} 는 미분 가능하며, f ′ ( a ) = b {\displaystyle f'(a)=b} 이다. 초실수 체계에서, 리만 적분은 a, a + dx, a + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다. 함수 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. d x ∈ ∗ R {\displaystyle dx\in {}^{*}\mathbb {R} } 가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여 다음과 같다. f ′ ( x ) = st ⁡ ( ( x + d x ) 2 − x 2 d x ) = st ⁡ ( 2 x + d x ) = 2 x {\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {(x+dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)=\operatorname {st} (2x+dx)=2x} 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 비표준 해석학 Keisler, H. Jerome (1994). 〈The hyperreal line〉. Philip Ehrlich. 《Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua》. Synthèse Library (영어) 242. Kluwer. 207–237쪽. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_8. ISBN 978-90-481-4362-7. MR 1340464. Zbl 0964.03535.  초실수 “Non-standard analysis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.