3차원 거울 대칭

이론물리학에서 3차원 거울 대칭(三次元거울對稱, 영어: three-dimensional mirror symmetry)은 서로 다른 저(低)에너지 묘사를 갖는 두 2+1차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} (또는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} ) 초대칭 게이지 이론이 사실 같은 모듈라이 공간 위에 위치해 있게 되는 현상이다. 2+1차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} (8개의 초전하) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 이 경우, N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초대칭 대수의 R대칭은 다음과 같은 꼴이다. Spin ⁡ ( 4 ) = SU ⁡ ( 2 ) L × SU ⁡ ( 2 ) R {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)_{\text{L}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{R}}} 여기서 SU(2)R은 6차원 N = ( 1 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)} 의 R대칭이며, SU(2)L은 6차원을 3차원으로 차원 축소하였을 때 얻어지는 SO(3) 로런츠 대칭이다. 3차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초대칭의 초다중항은 두 종류가 있다. (이는 4차원 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 또는 6차원 N = ( 1 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)} 의 차원 축소이다.) 벡터 초다중항(영어: vector supermultiplet): 양-밀스 장 (스핀 1) + 스칼라장 3개 + 게이지노 (2개의 마요라나 스피너) 이는 6차원 벡터 초다중항에서 유래하며, 스칼라장은 6차원 벡터의 축소화된 성분들이다. 따라서 세 복소수 스칼라장은 SU(2)L의 표현 3로서 변환한다. 아벨 게이지 군의 벡터 초다중항의 경우, 2+1차원에서는 쌍대화를 통해 하이퍼 초다중항과 동치이다. 그러나 이는 비아벨 게이지 군의 경우 성립하지 못한다. 벡터 초다중항의 스칼라장이 진공 기댓값을 가진다면, 일반적으로 게이지 군은 카르탕 부분군으로 깨지며, (쿨롱 법칙을 따르는) 아벨 게이지 군이 된다. 그 모듈라이 공간은 쿨롱 가지(영어: Coulomb branch)라고 한다. 하이퍼 초다중항(영어: hypermultiplet): 스칼라장 4개 + 페르미온 (2개의 마요라나 스피너) 이는 6차원 하이퍼 초다중항에서 유래한다. 따라서 두 복소수 스칼라장은 SU(2)L에 변환하지 않으며, SU(2)R에서 정의(定義) 표현 2로서 변환한다. 그 스칼라장이 진공 기댓값을 가진다면, 일반적으로 게이지 군은 힉스 메커니즘을 따라 전부 깨진다. 그 모듈라이 공간은 힉스 가지(영어: Higgs branch)라고 한다. 따라서, 어떤 주어진 이론을 힉스 · 쿨롱 가지를 통하여 어떤 모듈라이 공간을 따라 변화시킬 수 있다. 일부 경우, 같은 모듈라이 공간의 서로 다른 두 점 근처에서, 서로 다른 섭동 이론적 표현이 존재하게 된다. 특이, 이 경우 다음과 같은 대응이 존재하며, 이를 3차원 거울 대칭이라고 한다. 이는 낮은 에너지 극한에서 적용된다. 즉, 이들은 3차원 초등각 장론으로서 서로 동형이다. 이 구성은 ⅡB종 끈 이론의 S-이중성으로 설명할 수 있다. 구체적으로, ⅡB종 초끈 이론에서, 다음과 같은 NS5-막과 D5-막 및 D3-막의 배치를 생각하자. 이 경우, 10차원 로런츠 대칭은 SO ⁡ ( 1 , 2 ) × SO ⁡ ( 3 ) × SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,2)\times \operatorname {SO} (3)\times \operatorname {SO} (3)} 으로 깨지게 된다. NS5-막들은 789-공간 속의 점에 위치해 있으며, D5-막들은 345-공간 속의 점에 위치해 있다. 위 표에서, D3-막은 x 6 {\displaystyle x^{6}} 방향에서 무한히 연장돼 있지 않고, 대신 유한한 폭을 갖는다. D3-막의 양끝은 NS5-막 또는 D5-막에 붙어 있다. D3-막은 x 6 {\displaystyle x^{6}} 방향에서 유한한 폭을 가지므로, 이를 적분하여 2+1차원 유효 이론을 정의할 수 있으며, 이는 2+1차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 이룬다. 이 경우, D3-막의 배열에 따라 다음과 같은 초다중항이 존재한다. 이 경우, 2+1차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 초대칭 게이지 이론의 각 성질들은 ⅡB 초끈 이론과 다음과 같이 대응한다. 3차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서의 거울 대칭은 케네스 인트릴리가토어(영어: Kenneth Intriligator)와 나탄 자이베르그가 1996년에 제안하였다. 이후 아미하이 하나니(히브리어: עַמִיחַי חַנַנִי)와 에드워드 위튼은 곧 이는 IIB종 끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다는 사실을 보였다. 이 과정에서 하나니와 위튼은 하나니-위튼 전이를 발견하였으며, 이는 3차원 초대칭 게이지 이론 거울 대칭에 중요한 역할을 한다. Intriligator, Kenneth; Seiberg, Nathan (1996). “Mirror symmetry in three dimensional gauge theories”. 《Physics Letters B》 (영어) 387: 513–519. arXiv:hep-th/9607207. Bibcode:1996PhLB..387..513I. doi:10.1016/0370-2693(96)01088-X.  Hanany, Amihay; Witten, Edward (1997년 5월 12일). “Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 492 (1–2): 152–190. arXiv:hep-th/9611230. Bibcode:1997NuPhB.492..152H.  “3d mirror symmetry”. 《nLab》 (영어).  Ferlito, Giulia (2015년 3월 24일). “Coulomb branch and the moduli space of instantons” (PDF) (영어).