근접 대수

순서론에서 근접 대수(近接代數, 영어: incidence algebra)는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다. 국소 유한 부분 순서 집합(영어: locally finite poset)은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 가 주어지고, 임의의 a , b ∈ P {\displaystyle a,b\in P} 에 대하여 폐구간 [ a , b ] = { x ∈ P : a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in P\colon a\leq x\leq b\}} 가 유한집합이라면, ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다. 국소 유한 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 와, (단위원을 갖는) 가환환 R {\displaystyle R} 가 주어졌다고 하고, C ( P ) ⊂ P ( P ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(P)\subset {\mathcal {P}}(P)} 가 P {\displaystyle P} 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자. P {\displaystyle P} 위의, R {\displaystyle R} 계수의 근접 대수 I ( P ; R ) {\displaystyle I(P;R)} 는 C ( P ) → R {\displaystyle {\mathcal {C}}(P)\to R} 꼴의 함수들의 집합이다. f ∈ I ( P ; R ) {\displaystyle f\in I(P;R)} 에 대하여, 편의상 f ( [ a , b ] ) = f ( a , b ) {\displaystyle f([a,b])=f(a,b)} 로 쓰자. 또한, f ∈ I ( P ; R ) {\displaystyle f\in I(P;R)} 는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉, f ( a , b ) {\displaystyle f(a,b)} 를 (무한할 수 있는) 행렬 ( f ) a , b = { f ( a , b ) a ≤ b 0 a ≰ b {\displaystyle (f)_{a,b}={\begin{cases}f(a,b)&a\leq b\\0&a\not \leq b\end{cases}}} 로 생각할 수 있다. 근접 대수 I ( P ; R ) {\displaystyle I(P;R)} 위에는 다음과 같은 R {\displaystyle R} -대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다. (덧셈) ( f + g ) ( a , b ) = f ( a , b ) + g ( a , b ) {\displaystyle (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)} (곱셈) ( f g ) ( a , b ) = f ( a , b ) g ( a , b ) {\displaystyle (fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)} 덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수 ( ( I ( P ; R ) , + , ⋅ ) {\displaystyle ((I(P;R),+,\cdot )} 는 R {\displaystyle R} -가환 대수를 이룬다. 즉, I ( P ; R ) {\displaystyle I(P;R)} 는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형 R ↪ I ( P ; R ) {\displaystyle R\hookrightarrow I(P;R)} r ↦ ( [ a , b ] ↦ r ) {\displaystyle r\mapsto ([a,b]\mapsto r)} 이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수 ζ ∈ I ( P ; R ) {\displaystyle \zeta \in I(P;R)} ζ ( a , b ) = 1 ∀ a , b ∈ P {\displaystyle \zeta (a,b)=1\qquad \forall a,b\in P} 이며, 이를 제타 함수(영어: zeta function)라고 한다. 근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다. 또한, 근접 대수 I ( P ; R ) {\displaystyle I(P;R)} 위에는 합성곱(영어: convolution)이라는 다음과 같은 이항 연산 ∗ {\displaystyle *} 이 존재한다. ( f ∗ g ) ( a , b ) = ∑ a ≤ x ≤ b f ( a , x ) g ( x , b ) {\displaystyle (f*g)(a,b)=\sum _{a\leq x\leq b}f(a,x)g(x,b)} 근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉, ( f ∗ g ) a b = ∑ x f a x g x b {\displaystyle (f*g)_{ab}=\sum _{x}f_{ax}g_{xb}} 가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다. 합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 델타 함수 δ ∈ I ( P ; R ) {\displaystyle \delta \in I(P;R)} 이다. δ ( a , b ) = { 1 a = b 0 a ≠ b {\displaystyle \delta (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases}}} 이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수 ( I ( P ; R ) , + , ∗ ) {\displaystyle (I(P;R),+,*)} 는 R {\displaystyle R} 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 체 계수의 근접 대수의 원소 f ∈ I ( P ; R ) {\displaystyle f\in I(P;R)} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 합성곱 아래 역원을 갖는다. 임의의 a ∈ P {\displaystyle a\in P} 에 대하여 f ( a , a ) ≠ 0 {\displaystyle f(a,a)\neq 0} 이다. 제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 뫼비우스 함수 μ ∈ I ( P ; R ) {\displaystyle \mu \in I(P;R)} 라고 하며 다음과 같다. μ ( a , b ) = { 1 a = b − ∑ a ≤ x < b μ ( a , x ) a < b {\displaystyle \mu (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\-\sum _{a\leq x<b}\mu (a,x)&a<b\end{cases}}} ζ ∗ μ = μ ∗ ζ = δ {\displaystyle \zeta *\mu =\mu *\zeta =\delta } 국소 유한 부분 순서 집합 P {\displaystyle P} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. | { x ∈ P : a ≤ x } | < ℵ 0 ∀ a ∈ P {\displaystyle |\{x\in P\colon a\leq x\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P} ( P {\displaystyle P} 가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수 ( I ( P ; R ) , + , ∗ ) {\displaystyle (I(P;R),+,*)} 는 P {\displaystyle P} 위의, R {\displaystyle R} 값을 갖는 함수의 집합 R P {\displaystyle R^{P}} 위에 다음과 같이 작용한다. ( f ∗ ϕ ) ( a ) = ∑ a ≤ b f ( a , b ) ϕ ( b ) {\displaystyle (f*\phi )(a)=\sum _{a\leq b}f(a,b)\phi (b)} 즉, R P {\displaystyle R^{P}} 는 환 ( I ( P ; R ) , + , ∗ ) {\displaystyle (I(P;R),+,*)} 의 왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, 만약 P {\displaystyle P} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. | { x ∈ P : x ≤ a } | < ℵ 0 ∀ a ∈ P {\displaystyle |\{x\in P\colon x\leq a\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P} ( P {\displaystyle P} 가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수 ( I ( P ; R ) , + , ∗ ) {\displaystyle (I(P;R),+,*)} 는 P {\displaystyle P} 위의, R {\displaystyle R} 값을 갖는 함수의 집합 R P {\displaystyle R^{P}} 위에 다음과 같이 작용한다. ( f ∗ ϕ ) ( b ) = ∑ a ≤ b ϕ ( a ) f ( a , b ) {\displaystyle (f*\phi )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)f(a,b)} 즉, R P {\displaystyle R^{P}} 는 환 ( I ( P ; R ) , + , ∗ ) {\displaystyle (I(P;R),+,*)} 의 오른쪽 가군을 이룬다. 만약 χ = f ∗ ϕ ( χ , ϕ ∈ R P , f ∈ I ( P ; R ) ) {\displaystyle \chi =f*\phi \qquad (\chi ,\phi \in R^{P},\;f\in I(P;R))} 이며, f {\displaystyle f} 가 합성곱 아래 역원을 갖는다면 ϕ = f − 1 ∗ χ {\displaystyle \phi =f^{-1}*\chi } 가 된다. 특히, 만약 f = ζ {\displaystyle f=\zeta } 일 경우 f − 1 = μ {\displaystyle f^{-1}=\mu } 이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다. χ ( a ) = ( ζ ∗ ϕ ) ( a ) = ∑ a ≤ b ϕ ( b ) ⟺ ϕ ( a ) = ( μ ∗ χ ) ( a ) = ∑ a ≤ b μ ( a , b ) χ ( b ) {\displaystyle \chi (a)=(\zeta *\phi )(a)=\sum _{a\leq b}\phi (b)\iff \phi (a)=(\mu *\chi )(a)=\sum _{a\leq b}\mu (a,b)\chi (b)} 마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다. χ ( b ) = ( ϕ ∗ ζ ) ( b ) = ∑ a ≤ b ϕ ( a ) ⟺ ϕ ( b ) = ( χ ∗ μ ) ( b ) = ∑ a ≤ b χ ( a ) μ ( a , b ) {\displaystyle \chi (b)=(\phi *\zeta )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)\iff \phi (b)=(\chi *\mu )(b)=\sum _{a\leq b}\chi (a)\mu (a,b)} 이를 뫼비우스 반전 공식(영어: Möbius inversion formula)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다. 대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 이다. 잔카를로 로타가 1964년 정의하였다. Rota, Gian-Carlo (1964). “On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions” (PDF). 《Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete》 (영어) 2 (4): 340–368. doi:10.1007/BF00531932. ISSN 0044-3719. Zbl 0121.02406.  Spiegel, Eugene; O’Donnell, Christopher J. (1997). 《Incidence algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) 206. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-0036-2.  Chen, Nanxian (2010년 4월). 《Möbius inversion in physics》. Tsinghua Report and Review in Physics (영어) 1. World Scientific. doi:10.1142/7560. ISBN 978-981-4291-62-0.  “Möbius inversion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.