펠 수

영국의 수학자 존 펠(John Pell)의 이름에서 명명되는 펠 수열 또는 펠 시퀸스(Pell Sequece)는 펠 방정식 또는 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 의 근사 값을 구하는 과정에서 출현하는 수학 상수 펠 수를 분모로 갖는 분수의 순서있는 나열이다. 펠 수열(Pell Sequence)은 펠 방정식 x 2 − 2 y 2 = ± 1 {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1} 을 만족하는 해의 순서있는 나열이다. 따라서, 펠 방정식의 보다 더 큰 해의 정보는 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 의 값에 보다 접근하게 된다. 펠 수열(Pell sequence)은 펠 방정식의 해들의 순서있는 나열이며 다음과 같다, 펠 방정식 x 2 − 2 y 2 = ± 1 {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1} 에서 x y {\displaystyle {x \over y}} 이다. 1 1 , 3 2 , 7 5 , 17 12 , 41 29 , 99 70 , ⋯ , 577 408 , ⋯ , 665857 470832 , ⋯ , 886731088897 627013566048 , ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\cdots ,{577 \over 408},\cdots ,{665857 \over 470832},\cdots ,{886731088897 \over 627013566048},\cdots } 또한 x n = ( 1 + 2 ) n + ( 1 − 2 ) n 2 {\displaystyle x_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}} y n = ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n 2 2 {\displaystyle y_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2{\sqrt {2}}}}} 또한 x n = ( 1 + 2 ) n + ( 1 − 2 ) n 2 = ( 1 + 2 ) n 2 + ( 1 − 2 ) n 2 = ( 1 + 2 2 1 n ) n + ( 1 − 2 2 1 n ) n {\displaystyle x_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}+{{\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}} ( 1 + 2 2 1 n ) = α {\displaystyle \left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)=\alpha } 를 예약하면, = α n + ( − α ) − n = ( 1 + 2 2 1 n ) n + ( 1 − 2 2 1 n ) n {\displaystyle \quad =\alpha ^{n}+(-\alpha )^{-n}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}} α n + ( 1 − α ) n = L n {\displaystyle \alpha ^{n}+(1-\alpha )^{n}=L_{n}} 이렇게 루카스 시퀸스(루카스 수열)와 연관된다. 펠 수는 펠 방정식의 해 x y {\displaystyle {x \over y}} 에서, 분모인 y {\displaystyle {y}} 이다. 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , … {\displaystyle 1,2,5,{12},{29},{70},\dots } 펠 수열은 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 의 근사 값을 구하는 과정에서 빠르게 나타나는 수열이기도 하다. 이것은 근삿값을 구하는 방법인 바빌로니아 법으로부터 찾아져지는 분수들이다. 따라서 바빌로니아 법 같은 근삿값을 구하는 함수는 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 에 대해서 펠 수열을 구하는 생성함수가 될 수 있다. 다음은 근삿값을 구하는 바빌로니아 법 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 는 lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}} 에서, a = 2 {\displaystyle a=2} 이고, x n + 1 = 1 2 ( x n + a x n ) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)} 에 대입하여 , 위의 과정을 반복해보면, 아래는 위의 방법에 따라 2 {\displaystyle \color {Blue}{\sqrt {2}}} 의 근삿값을 구한 것으로 펠 수열의 일부가 된다. x 0 = 1 x 1 = 3 / 2 x 2 = 17 / 12 x 3 = 577 / 408 x 4 = 665857 / 470832 x 5 = 886731088897 / 627013566048 ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=&1&\\x_{1}&=&3&/2\\x_{2}&=&17&/12\\x_{3}&=&577&/408\\x_{4}&=&665857&/470832\\x_{5}&=&886731088897&/627013566048\\\vdots &&\vdots &\\\end{aligned}}} 따라서 1 1 , 3 2 , 17 12 , 577 408 , 665857 470832 , 886731088897 627013566048 , ⋯ {\displaystyle {1 \over 1},{3 \over 2},{17 \over 12},{577 \over 408},{665857 \over 470832},{886731088897 \over 627013566048},\cdots } 백은비 펠 방정식 디오판토스 방정식 매스월드 OEIS