콕서터 길이 함수

군론에서, 콕서터 길이 함수(Coxeter길이函數, 영어: Coxeter length function)는 콕서터 군 위에 정의된 자연수 값의 함수이며, 해당 군 원소를 나타내기 위한 단순 반사의 수이다. 표시가 주어진 콕서터 군 G = ⟨ r 1 , … , r n | ( r i r j ) m i j = 1 ⟩ {\displaystyle G=\langle r_{1},\dotsc ,r_{n}|(r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle } 에서, r 1 , … , r n {\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{n}} 을 G {\displaystyle G} 의 단순 반사(單純反射, 영어: simple reflection)라고 하자. G {\displaystyle G} 위에서, 다음과 같은 자연수 값의 함수를 정의하자. ℓ : G → N {\displaystyle \ell \colon G\to \mathbb {N} } ℓ ( g ) = min { k ∈ N : ∃ f : { 1 , … , k } → { 1 , … , n } : r f ( 1 ) r f ( 2 ) ⋯ r f ( n ) = g } {\displaystyle \ell (g)=\min\{k\in \mathbb {N} \colon \exists f\colon \{1,\dotsc ,k\}\to \{1,\dotsc ,n\}\colon r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(n)}=g\}} 즉, ℓ ( g ) {\displaystyle \ell (g)} 는 g {\displaystyle g} 를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소 g {\displaystyle g} 의 길이(영어: length)라고 한다. g {\displaystyle g} 를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열 g = r f ( 1 ) r f ( 2 ) ⋯ r f ( ℓ ( g ) ) {\displaystyle g=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell (g))}} 을 g {\displaystyle g} 의 축소 단어(縮小單語, 영어: reduced word)라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. G {\displaystyle G} 위에는 다음과 같은 세 부분 순서를 정의할 수 있다. 우선, 임의의 두 원소 g , g ′ ∈ G {\displaystyle g,g'\in G} 의 (임의의) 축소 단어 g = r f ( 1 ) ⋯ r f ( ℓ ( g ) ) {\displaystyle g=r_{f(1)}\dotsm r_{f(\ell (g))}} g ′ = r f ′ ( 1 ) ⋯ r f ′ ( ℓ ( g ′ ) ) {\displaystyle g'=r_{f'(1)}\dotsm r_{f'(\ell (g'))}} 가 주어졌다고 하자. 여기서, 정의들은 항상 “ g ≤ g ′ {\displaystyle g\leq g'} 일 필요 충분 조건은 다음 조건을 만족시키는 g {\displaystyle g} 와 g ′ {\displaystyle g'} 의 축소 단어 f {\displaystyle f} , f ′ {\displaystyle f'} 가 적어도 하나 이상 존재하는 것이다” 의 꼴이다. (즉, 모든 가능한 축소 단어가 위 조건을 충족시키지는 않아도 된다.) 콕서터 군 G {\displaystyle G} 에서, 다음이 성립한다. ℓ ( g ) = ℓ ( g − 1 ) ∀ g ∈ G {\displaystyle \ell (g)=\ell (g^{-1})\qquad \forall g\in G} ℓ ( g ) = 0 ⟺ g = 1 {\displaystyle \ell (g)=0\iff g=1} ℓ ( g h ) ≤ ℓ ( g ) + ℓ ( h ) ∀ g , h ∈ G {\displaystyle \ell (gh)\leq \ell (g)+\ell (h)\qquad \forall g,h\in G} 즉, G {\displaystyle G} 위에 다음과 같은 거리 함수를 줄 수 있다. d ( g , h ) = ℓ ( g − 1 h ) ( g , h ∈ G ) {\displaystyle d(g,h)=\ell (g^{-1}h)\qquad (g,h\in G)} 유한 콕서터 군 G {\displaystyle G} 위에서, 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재한다. 이를 G {\displaystyle G} 의 최장 원소(最長元素, 영어: longest element)라고 한다. (그러나 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.) G {\displaystyle G} 의 최장 원소가 w ∈ G {\displaystyle w\in G} 일 때, 이는 다음 성질을 갖는다. w 2 = 1 {\displaystyle w^{2}=1} 증명: 축소 단어 w = r f ( 1 ) r f ( 2 ) ⋯ r f ( ℓ ( w ) ) {\displaystyle w=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell (w))}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, w − 1 = r f ( ℓ ( w ) ⋯ r f ( 1 ) {\displaystyle w^{-1}=r_{f(\ell (w)}\dotsm r_{f(1)}} 역시 축소 단어이며, 최장 원소가 유일하므로 w = w − 1 {\displaystyle w=w^{-1}} 이다. ∀ g ∈ G : ℓ ( w g ) = ℓ ( g w ) = ℓ ( w ) − ℓ ( g ) {\displaystyle \forall g\in G\colon \ell (wg)=\ell (gw)=\ell (w)-\ell (g)} ℓ ( w ) {\displaystyle \ell (w)} 는 G {\displaystyle G} 의 근계의 양근의 수이다. w {\displaystyle w} 의 임의의 축소 단어에는 G {\displaystyle G} 의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, ℓ ( w ) ≥ n {\displaystyle \ell (w)\geq n} 이다.) 유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다. A n {\displaystyle A_{n}} ( n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ), D 2 k + 1 {\displaystyle D_{2k+1}} , E 6 {\displaystyle E_{6}} , I 2 ( 2 k + 1 ) {\displaystyle I_{2}(2k+1)} 의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 − 1 {\displaystyle -1} × 콕서터 도표의 반사 대칭이다. 나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 − 1 {\displaystyle -1} 이다. Davis, Michael W. (2007). 《The geometry and topology of Coxeter groups》 (PDF). London Mathematical Society Monographs (영어) 32. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13138-2. Zbl 1142.20020.