무한곱

해석학에서 무한곱(無限-, 영어: infinite product)은 무한 수열의 부분 유한곱의 극한이다. 복소수 수열 ( a n ) n = 0 ∞ ⊂ C {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {C} } 의 무한곱 ∏ n = 0 ∞ a n = a 0 a 1 a 2 ⋯ {\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}a_{1}a_{2}\cdots } 은 다음과 같은 극한이다. ∏ n = 0 ∞ a n = lim n → ∞ ∏ k = 0 n a k = lim n → ∞ a 0 a 1 ⋯ a n {\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }\prod _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }a_{0}a_{1}\cdots a_{n}} 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, ∏ k = 0 n a k = a 0 a 1 ⋯ a n {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}a_{1}\cdots a_{n}} 은 무한곱의 n {\displaystyle n} 번째 부분곱(部分-, 영어: partial product)이다. 즉, 무한곱은 부분곱의 극한이다. 만약 a n = 0 {\displaystyle a_{n}=0} 인 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 이 존재한다면, 부분곱은 n {\displaystyle n} 번째 이후부터 0이며, 따라서 무한곱을 정의하는 극한은 0이다. 만약 lim sup n → ∞ | a n | < 1 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|a_{n}|<1} 이라면, 부분곱은 마찬가지로 0으로 수렴한다. 더 흥미로운 경우에 집중하기 위하여, 무한곱의 수렴성은 부분곱이 0이 아닌 수로 수렴할 것을 요구한다. 즉, 만약 부분곱의 극한이 존재하며, 0이 아니라면, 무한곱 ∏ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 수렴한다고 한다. 반대로 만약 부분곱의 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 ∏ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 발산한다고 한다. 만약 무한곱 ∏ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 수렴한다면, lim n → ∞ a n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=1} 이다. 복소수 수열 ( a n ) n = 0 ∞ ⊂ C {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {C} } 에 대하여, 만약 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 | a n | < 1 {\displaystyle |a_{n}|<1} 이라면, 다음 두 조건이 서로 동치다. 무한곱 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + a n ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})} 은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다. 급수 ∑ n = N ∞ ln ⁡ ( 1 + a n ) {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }\ln(1+a_{n})} 는 수렴한다. 복소수 수열 ( a n ) n = 0 ∞ ⊂ C {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {C} } 에 대하여, 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 | a n | < 1 {\displaystyle |a_{n}|<1} 이며, 또한 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다고 하자. (양의 실수의 수열) 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, a n ∈ R + {\displaystyle a_{n}\in \mathbb {R} ^{+}} :219, Theorem 3 (르베그 2-수렴) ∑ n = 0 ∞ | a n | 2 < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty } :225, Supplementary theorem 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 무한곱 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + a n ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})} 은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 는 수렴한다. 일반적으로, 무한곱 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + a n ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})} 이 수렴하더라도 급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 는 발산할 수 있다. 다음과 같은 무한곱을 월리스 곱(영어: Wallis product)이라고 한다. ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 = lim n → ∞ ( ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 1 2 n + 1 = π 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}} 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자. ∫ 0 π / 2 sin 2 n ⁡ x d x = ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\mathrm {d} x={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}} ∫ 0 π / 2 sin 2 n + 1 ⁡ x d x = ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! ! ( n ∈ { 1 , 2 , … } ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}x\mathrm {d} x={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}\qquad (n\in \{1,2,\dots \})} 임의의 x ∈ ( 0 , π / 2 ) {\displaystyle x\in (0,\pi /2)} 및 n ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{1,2,\dots \}} 에 대하여 sin 2 n + 1 ⁡ x < sin 2 n ⁡ x < sin 2 n − 1 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{2n+1}x<\sin ^{2n}x<\sin ^{2n-1}x} 이므로, 다음이 성립한다. ∫ 0 π / 2 sin 2 n + 1 ⁡ x d x < ∫ 0 π / 2 sin 2 n ⁡ x d x < ∫ 0 π / 2 sin 2 n − 1 ⁡ x d x {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}x\mathrm {d} x<\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\mathrm {d} x<\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n-1}x\mathrm {d} x} 여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다. ( ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 1 2 n + 1 < π 2 < ( ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 1 2 n {\displaystyle \left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n+1}}<{\frac {\pi }{2}}<\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n}}} 다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은 π / 2 {\displaystyle \pi /2} 로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다. 0 < ( ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 1 2 n − ( ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 1 2 n + 1 = ( ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 1 2 n ( 2 n + 1 ) < 1 2 n π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}0&<\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n}}-\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n+1}}\\&=\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n(2n+1)}}\\&<{\frac {1}{2n}}{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} 리만 제타 함수의 s > 1 {\displaystyle s>1} 에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다. ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} 여기에 ( 1 − 1 / 2 s ) {\displaystyle (1-1/2^{s})} 를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다. ( 1 − 1 2 s ) ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∑ n = 1 ∞ 1 n s − ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) s = ∑ 2 ∤ n 1 n s {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{s}}}=\sum _{2\nmid n}{\frac {1}{n^{s}}}} 다시 ( 1 − 1 / 3 s ) {\displaystyle (1-1/3^{s})} 를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다. ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 2 s ) ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∑ 2 ∤ n 1 n s − ∑ 2 ∤ n 1 ( 3 n ) s = ∑ 2 , 3 ∤ n 1 n s {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{2\nmid n}{\frac {1}{n^{s}}}-\sum _{2\nmid n}{\frac {1}{(3n)^{s}}}=\sum _{2,3\nmid n}{\frac {1}{n^{s}}}} 이를 모든 소수 p 1 = 2 , p 2 = 3 , … {\displaystyle p_{1}=2,p_{2}=3,\dots } 에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다. ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 p k s ) ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1} 즉, s > 1 {\displaystyle s>1} 에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ k = 1 ∞ 1 1 − 1 / p k s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-1/p_{k}^{s}}}} 삼각 함수 항등식 연분수 급수 (수학) 오일러의 오각수 정리 Knopp, Konrad (1951). 《Theory and application of infinite series》 (영어). 번역 Young, R. C. H.. Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young. 2판. London–Glasgow: Blackie & Son. Zbl 0042.29203.  “Infinite product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Infinite product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “A divergent sereis for which ∏ ( 1 + a n ) {\displaystyle \prod (1+a_{n})} converges”. 《Mathematics Stack Exchange》 (영어).  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 30) (도움말)