킬링 벡터장

리만 기하학에서 킬링 벡터장(Killing vector場, 영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다.:214, 부록 C 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다. 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 에 대하여, 리 미분 L X g {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g} 을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다. 만약 L X g = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0} 이 성립한다면, X {\displaystyle X} 를 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장 X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환 X ↦ L X g {\displaystyle X\mapsto {\mathcal {L}}_{X}g} 의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다. L X g = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0} 을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.:§3.3, (3.10) ∇ ( μ X ν ) = 0 {\displaystyle \nabla _{(\mu }X_{\nu )}=0} 여기서 ∇ {\displaystyle \nabla } 는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건( ∇ μ X ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }=0} )을 약화시킨 것이다. ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군 Isom ⁡ ( M , g ) = { f ∈ C ∞ ( M ; M ) : f ∗ g = g } {\displaystyle \operatorname {Isom} (M,g)=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;M)\colon f^{*}g=g\}} 을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 i s o m ( M , g ) {\displaystyle {\mathfrak {isom}}(M,g)} 를 이룬다. 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 부분 집합 { x ∈ M : g ( X , X ) | x = 0 } {\displaystyle \{x\in M\colon g(X,X)|_{x}=0\}} 을 X {\displaystyle X} 의 킬링 지평선(Killing地平線, 영어: Killing horizon)이라고 한다.:§3.3 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다. 정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다. 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} , ( M ′ , g ′ ) {\displaystyle (M',g')} 에 대하여, 표준적으로 i s o m ( M ⊔ M ′ , g ⊔ g ′ ) ≅ i s o m ( M , g ) ⊕ i s o m ( M ′ , g ′ ) {\displaystyle {\mathfrak {isom}}(M\sqcup M',g\sqcup g')\cong {\mathfrak {isom}}(M,g)\oplus {\mathfrak {isom}}(M',g')} 이다. k {\displaystyle k} 개의 연결 성분을 갖는, n {\displaystyle n} 차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은 k n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle kn(n+1)/2} 이하이다.:443, §C.3 (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.) 콤팩트 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 에 대하여, 다음이 성립한다. 만약 M {\displaystyle M} 의 리치 곡률 텐서가 음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다. 만약 모든 단면 곡률이 양수이며, M {\displaystyle M} 의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 에 대하여, X | x = 0 ∈ T x M {\displaystyle X|_{x}=0\in \mathrm {T} _{x}M} 인 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 이 존재한다. 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 의 발산은 0이다. ∇ ⋅ X = 0 {\displaystyle \nabla \cdot X=0} 유도: ∇ ⋅ X = g μ ν ∇ μ X ν = 1 2 g μ ν ( ∇ μ X ν − ∇ ν X μ ) = 1 2 ( g μ ν − g ν μ ) ∇ μ X ν = 0 {\displaystyle \nabla \cdot X=g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }X_{\nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\nabla _{\mu }X_{\nu }-\nabla _{\nu }X_{\mu })={\frac {1}{2}}(g^{\mu \nu }-g^{\nu \mu })\nabla _{\mu }X_{\nu }=0} X {\displaystyle X} 의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.:442, (C.3.6) ∇ μ ∇ ν X ρ = R ρ ν μ σ X σ {\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }=R_{\rho \nu \mu \sigma }X^{\sigma }} 유도: 리만 곡률 텐서의 정의에 따라 [ ∇ μ , ∇ ν ] X ρ = R μ ν ρ σ X σ {\displaystyle [\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]X_{\rho }=R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }X_{\sigma }} 이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라 ∇ μ ∇ ν X ρ + ∇ ν ∇ ρ X μ = R μ ν ρ σ X σ {\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }+\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }=R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }X_{\sigma }} 이다. 이제, 양변에 ( μ , ν , ρ ) {\displaystyle (\mu ,\nu ,\rho )} 에 대한 순환에 대하여 대칭화하면, 2 ( ∇ μ ∇ ν X ρ + ∇ ν ∇ ρ X μ + ∇ ρ ∇ μ X ν ) = ( R μ ν ρ σ + R ν ρ μ σ + R ρ μ μ σ ) X σ = 0 {\displaystyle 2(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }+\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }+\nabla _{\rho }\nabla _{\mu }X_{\nu })=(R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }+R_{\nu \rho \mu }{}^{\sigma }+R_{\rho \mu \mu }{}^{\sigma })X_{\sigma }=0} 이다. 따라서, ∇ μ ∇ ν X ρ = − ( ∇ ν ∇ ρ X μ + ∇ ρ ∇ μ X ν ) = − ∇ ν ∇ ρ X μ + ∇ ρ ∇ ν X μ = R ρ ν μ σ X σ {\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }=-(\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }+\nabla _{\rho }\nabla _{\mu }X_{\nu })=-\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }+\nabla _{\rho }\nabla _{\nu }X_{\mu }=R_{\rho \nu \mu \sigma }X^{\sigma }} 이다. 특히, X {\displaystyle X} 의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.:443, (C.3.9) ∇ 2 X μ = − R μ ν X ν {\displaystyle \nabla ^{2}X_{\mu }=-R_{\mu \nu }X^{\nu }} 특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 R μ ν = 0 {\displaystyle R_{\mu \nu }=0} 이며, X μ {\displaystyle X_{\mu }} 의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 X μ {\displaystyle X_{\mu }} 가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 X μ {\displaystyle X_{\mu }} 는 로렌츠 게이지 조건 ∇ ⋅ X = 0 {\displaystyle \nabla \cdot X=0} 역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다. 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 와 측지선 γ : R → M {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M} γ : t ↦ γ ( t ) {\displaystyle \gamma \colon t\mapsto \gamma (t)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. d d t g ( X | γ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) = 0 ∀ t ∈ R {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g(X|_{\gamma (t)},{\dot {\gamma }}(t))=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} } 즉, 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 g ( X , γ ˙ ) {\displaystyle g(X,{\dot {\gamma }})} 는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다. 유도: 벡터장 Y {\displaystyle Y} 가 Y | γ ( t ) = γ ˙ ( t ) ∈ T γ ( t ) M ∀ t ∈ R {\displaystyle Y|_{\gamma (t)}={\dot {\gamma }}(t)\in \mathrm {T} _{\gamma (t)}M\qquad \forall t\in \mathbb {R} } 인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 γ {\displaystyle \gamma } 가 단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.) 측지선은 측지선 방정식 ( Y μ ∇ μ Y ν ) | γ ( t ) = 0 ∀ t ∈ R {\displaystyle (Y^{\mu }\nabla _{\mu }Y^{\nu })|_{\gamma (t)}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} } 을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여 d d t g ( X | γ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) = Y μ ∇ μ ( X ν Y ν ) | γ ( t ) = Y μ ( ( ∇ μ X ν ) Y ν + X ν ∇ μ Y ν ) | γ ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g(X|_{\gamma (t)},{\dot {\gamma }}(t))=\left.Y^{\mu }\nabla _{\mu }(X_{\nu }Y^{\nu })\right|_{\gamma (t)}=\left.Y^{\mu }\left((\nabla _{\mu }X_{\nu })Y^{\nu }+X_{\nu }\nabla _{\mu }Y^{\nu }\right)\right|_{\gamma (t)}=0} 이다. 마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 T μ ν = ( R μ ν − R g μ ν / 2 ) / ( 8 π G ) {\displaystyle T_{\mu \nu }=(R_{\mu \nu }-Rg_{\mu \nu }/2)/(8\pi G)} 를 생각할 때, ∇ μ T μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0} T μ ν = T ν μ {\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }} 이므로, 임의의 벡터장 X μ {\displaystyle X^{\mu }} 에 대하여 ∇ μ ( T μ ν X ν ) = T μ ν ∇ μ X ν = 1 2 T μ ν ( ∇ μ X ν + ∇ ν X μ ) {\displaystyle \nabla _{\mu }(T^{\mu \nu }X_{\nu })=T^{\mu \nu }\nabla _{\mu }X_{\nu }={\frac {1}{2}}T^{\mu \nu }\left(\nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }\right)} 이다. 따라서, 만약 X μ {\displaystyle X^{\mu }} 가 킬링 벡터장이라면 T μ ν X ν {\displaystyle T^{\mu \nu }X_{\nu }} 는 공변 보존류이다. 킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다. 구체적으로, 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수 κ : { x ∈ M : g ( X , X ) | x = 0 } → R {\displaystyle \kappa \colon \{x\in M\colon g(X,X)|_{x}=0\}\to \mathbb {R} } 가 존재하며, 이 κ {\displaystyle \kappa } 를 킬링 지평선 { x ∈ M : g ( X , X ) | x = 0 } {\displaystyle \{x\in M\colon g(X,X)|_{x}=0\}} 의 표면 중력이라고 한다. ∂ μ ( g ( X , X ) ) = − 2 κ g μ ν X ν {\displaystyle \partial _{\mu }\left(g(X,X)\right)=-2\kappa g_{\mu \nu }X^{\nu }} 이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다. X μ ∇ μ X ν = κ X ν {\displaystyle X^{\mu }\nabla _{\mu }X^{\nu }=\kappa X^{\nu }} 위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, κ {\displaystyle \kappa } 를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다. 일부 경우, κ {\displaystyle \kappa } 는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.:§3.3 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 x ∂ t + t ∂ x {\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}} 와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때 우세 에너지 조건이 성립할 경우 d + 1 {\displaystyle d+1} 차원 로런츠 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 또한, X {\displaystyle X} 가 U ⊆ M {\displaystyle U\subseteq M} 에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, g ( X , X ) | x < 0 ∀ x ∈ U {\displaystyle g(X,X)|_{x}<0\qquad \forall x\in U} ). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 ( t , x i ) {\displaystyle (t,x^{i})} 를 정의할 수 있다. d s 2 = − f ( x ) 2 ( d t + θ i ( x ) d x i ) 2 + h i j ( x ) d x i d x j {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-f(x)^{2}(\mathrm {d} t+\theta _{i}(x)\mathrm {d} x^{i})^{2}+h_{ij}(x)\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}} 여기서 h i j {\displaystyle h_{ij}} 는 양의 정부호 이차 형식이며, i , j ∈ { 1 , 2 , … , d } {\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,d\}} 이며, 또한 f {\displaystyle f} 와 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 와 h i j {\displaystyle h_{ij}} 는 ( x 1 , … , x d ) {\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{d})} 에만 의존하고, t {\displaystyle t} 에 의존하지 않는다. 이 경우, h i j {\displaystyle h_{ij}} 를 궤도 공간 계량(軌道空間計量, 영어: orbit-space metric)이라고 한다. 킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다. 유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 T {\displaystyle T} 는 다음을 만족한다. L X T = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T=0} ∇ ( μ T ν ρ ) = 0 {\displaystyle \nabla _{(\mu }T_{\nu \rho )}=0} 켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 정칙 킬링 벡터장(正則Killing vector場, 영어: holomorphic Killing vector field)라고 한다.:239–244:266–270 켈러 다양체의 접다발 T M C {\displaystyle TM^{\mathbb {C} }} 은 정칙적 부분 T + M {\displaystyle T^{+}M} 과 반정칙적 부분 T − M {\displaystyle T^{-}M} 으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 T + M {\displaystyle T^{+}M} 의 단면이다. X i {\displaystyle X^{i}} 가 켈러 다양체 ( M , g i ȷ ¯ ) {\displaystyle (M,g_{i{\bar {\jmath }}})} 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다. ∇ i X k g k ȷ ¯ + ∇ ¯ ȷ ¯ X ¯ k ¯ g k ¯ i = 0 {\displaystyle \nabla _{i}X^{k}g_{k{\bar {\jmath }}}+{\bar {\nabla }}_{\bar {\jmath }}{\bar {X}}^{\bar {k}}g_{{\bar {k}}i}=0} 이에 따라, X {\displaystyle X} 는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. X i = − i g i ȷ ¯ ∂ ¯ ȷ ¯ D ( z , z ¯ ) {\displaystyle X^{i}=-ig^{i{\bar {\jmath }}}{\bar {\partial }}_{\bar {\jmath }}D(z,{\bar {z}})} X ¯ ı ¯ = i g j ı ¯ ∂ j D ( z , z ¯ ) {\displaystyle {\bar {X}}^{\bar {\imath }}=ig^{j{\bar {\imath }}}\partial _{j}D(z,{\bar {z}})} 여기서 D ( z , z ¯ ) {\displaystyle D(z,{\bar {z}})} 는 킬링 퍼텐셜(영어: Killing potential)이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다. 공변 상수 벡터장 (즉, ∇ μ X ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }X^{\nu }=0} 인 벡터장 X {\displaystyle X} )은 정의에 따라 킬링 벡터장이다. 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 킬링 벡터장 X {\displaystyle X} 및 국소 좌표계 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})} 이 주어졌으며, 계량 텐서 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 의 성분이 x 1 {\displaystyle x^{1}} 에 의존하지 않는다고 하자. ∂ ∂ x 1 g μ ν = 0 ∀ μ , ν ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}g_{\mu \nu }=0\qquad \forall \mu ,\nu \in \{1,\dots ,n\}} 그렇다면, 벡터장 ∂ ∂ x 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}} 은 킬링 벡터장이다. 유도: 벡터장 X μ = δ 1 μ {\displaystyle X^{\mu }=\delta _{1}^{\mu }} 이 주어졌을 때, X μ = g μ ν X ν = g μ 1 {\displaystyle X_{\mu }=g_{\mu \nu }X^{\nu }=g_{\mu 1}} 이다. 그렇다면, ∇ ν X μ + ∇ μ X ν = ∂ ν X μ + ∂ μ X ν − 2 Γ μ ν ρ X ρ = ∂ ν g μ 1 + ∂ μ g ν 1 − ( ∂ ν g 1 μ + ∂ μ g 1 ν − ∂ 1 g μ ν ) = ∂ 1 g μ ν {\displaystyle \nabla _{\nu }X_{\mu }+\nabla _{\mu }X_{\nu }=\partial _{\nu }X_{\mu }+\partial _{\mu }X_{\nu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }X_{\rho }=\partial _{\nu }g_{\mu 1}+\partial _{\mu }g_{\nu 1}-(\partial _{\nu }g_{1\mu }+\partial _{\mu }g_{1\nu }-\partial _{1}g_{\mu \nu })=\partial _{1}g_{\mu \nu }} 이다. D {\displaystyle D} 차원 시공간의 슈바르츠실트 계량 d s 2 = − ( 1 − ( r 0 / r ) D − 3 ) d t 2 + ( 1 − ( r 0 / r ) D − 3 ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω D − 2 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r_{0}/r)^{D-3}\right)dt^{2}+\left(1-(r_{0}/r)^{D-3}\right)^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega _{D-2}^{2}} 에서, ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} 는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는 g t t = − 1 + ( r 0 / r ) D − 3 = 0 {\displaystyle g_{tt}=-1+(r_{0}/r)^{D-3}=0} 이 되는 곳, 즉 r = r 0 {\displaystyle r=r_{0}} 이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다. 이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은 S O ( D − 1 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (D-1)} 대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다. 마찬가지로, 3+1차원 커 계량 d s 2 = − ( 1 − r 0 r ρ 2 ) d t 2 + ρ 2 d r 2 r 2 − r 0 r + α 2 + ρ 2 d θ 2 + ( r 2 + α 2 + r 0 r α 2 ρ 2 sin 2 ⁡ θ ) sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 + 2 r 0 r α sin 2 ⁡ θ ρ 2 d t d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {r_{0}r}{\rho ^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\rho ^{2}\,\mathrm {d} r^{2}}{r^{2}-r_{0}r+\alpha ^{2}}}+\rho ^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{0}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}+{\frac {2r_{0}r\alpha \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi } ρ 2 = r 2 + α 2 cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta } 은 두 킬링 벡터 ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} ∂ ∂ ϕ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}} 를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다. 전자에 대응하는 킬링 지평선은 r r 0 = ρ 2 {\displaystyle rr_{0}=\rho ^{2}} 의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다. 2차원 민코프스키 공간 R 1 , 1 = { ( t , x ) } {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}=\{(t,x)\}} d s 2 = − d t 2 + d x 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}} 에서, 킬링 벡터장 X = x ∂ t + t ∂ x {\displaystyle X=x\partial _{t}+t\partial _{x}} 를 생각하자.:(3.11) 이는 ∇ i X j = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle \nabla _{i}X_{j}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} 이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은 { ( t , x ) ∈ R 2 : x = ± t } {\displaystyle \{(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x=\pm t\}} 인데, 이는 x = t = 0 {\displaystyle x=t=0} 에서 매끄럽지 않다. 빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.:167, §10 킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(영어: Luther Pfahler Eisenhart, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"(영어: equations of Killing)이라고 지칭하였다.:234, (70.2) 권영헌; 윤달선 (2002). 《현대 기하학 입문》. 京文社. 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