강압 쌍선형 형식

함수해석학에서 강제 쌍선형 형식(強壓雙線型形式, 영어: coercive bilinear form)은 그 대각 성분들이 양의 하한을 갖는, 실수 힐베르트 공간 위의 유계 쌍선형 형식이다. 실수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 위의 연속 쌍선형 형식 B : V ⊗ R V → R {\displaystyle B\colon V\otimes _{\mathbb {R} }V\to \mathbb {R} } 가 다음 조건들을 만족시킨다면 강제 쌍선형 형식이라고 한다. inf v ∈ V ∖ { 0 } B ( v , v ) ‖ v ‖ 2 > 0 {\displaystyle \inf _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {B(v,v)}{\|v\|^{2}}}>0} (일반적으로 노름 공간 V ⊗ R V {\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }V} 는 완비 거리 공간이 아니어서 힐베르트 공간이 아닐 수 있다.) 여기서, 두 노름 공간 사이의 선형 변환의 경우 연속성은 유계 작용소인 것과 동치이므로, 연속성 조건은 다음과 같이 적을 수 있다. sup u , v ∈ V ∖ { 0 } B ( u , v ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ < ∞ {\displaystyle \sup _{u,v\in V\setminus \{0\}}{\frac {B(u,v)}{\|u\|\|v\|}}<\infty } 다음이 주어졌다고 하자. 실수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 강제 연속 쌍선형 형식 B : V ⊗ R V → R {\displaystyle B\colon V\otimes _{\mathbb {R} }V\to \mathbb {R} } 럭스-밀그램 정리(Lax-Milgram定理, 영어: Lax–Milgram theorem)에 따르면, 임의의 v , w ∈ V {\displaystyle v,w\in V} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 가 유일하게 존재한다.:Theorem 6.2.1, 317–319 B ( u , v ) = ⟨ w , v ⟩ {\displaystyle B(u,v)=\langle w,v\rangle } 또한, 다음이 성립한다. ‖ u ‖ ≤ ‖ w ‖ inf v ∈ V ∖ { 0 } B ( v , v ) / ‖ v ‖ 2 {\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|w\|}{\inf _{v\in V\setminus \{0\}}B(v,v)/\|v\|^{2}}}} 증명: 리스 표현 정리에 따른 표준적인 동형 ι : V ′ → V {\displaystyle \iota \colon V'\to V} ι : ⟨ v , − ⟩ ↦ v {\displaystyle \iota \colon \langle v,-\rangle \mapsto v} 를 생각하자. (여기서 V ′ {\displaystyle V'} 은 V {\displaystyle V} 의 연속 쌍대 공간이다.) 임의의 a ∈ V {\displaystyle a\in V} 에 대하여, B ( a , − ) : H → H {\displaystyle B(a,-)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 는 유계 작용소이다. 따라서 ι ( B ( a , − ) ) ∈ V {\displaystyle \iota (B(a,-))\in V} 를 정의할 수 있다. 이는 함수 A : V → V {\displaystyle A\colon V\to V} A : a ↦ ι ( B ( a , − ) ) {\displaystyle A\colon a\mapsto \iota (B(a,-))} 를 정의한다. 이는 실수 선형 변환임을 쉽게 확인할 수 있으며, 또한 ∀ v ∈ V : ‖ A v ‖ 2 = ⟨ A v , A v ⟩ = B ( v , A v ) ≤ ‖ B ‖ ‖ v ‖ ‖ A v ‖ {\displaystyle \forall v\in V\colon \|Av\|^{2}=\langle Av,Av\rangle =B(v,Av)\leq \|B\|\|v\|\|Av\|} 이므로 ‖ A ‖ ≤ ‖ B ‖ {\displaystyle \|A\|\leq \|B\|} 이며, A {\displaystyle A} 역시 유계 작용소이다. (여기서 ‖ B ‖ {\displaystyle \|B\|} 는 V ⊗ R V → R {\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }V\to \mathbb {R} } 작용소 노름이다.) 또한,임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, 강제성에 의해 어떤 양의 실수 C > 0 {\displaystyle C>0} 에 대하여 C ‖ v ‖ 2 ≤ B ( v , v ) = ⟨ A v , v ⟩ ≤ ‖ A v ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle C\|v\|^{2}\leq B(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|} 이므로, 특히 C ‖ v ‖ ≤ ‖ A v ‖ {\displaystyle C\|v\|\leq \|Av\|} 이다. 이에 따라 ker ⁡ A = { 0 } {\displaystyle \ker A=\{0\}} 이며, A {\displaystyle A} 는 단사 함수이며, 또한 A {\displaystyle A} 의 치역은 닫힌집합이다. 이제, A {\displaystyle A} 가 전사 함수임을 보이면 족하다. A {\displaystyle A} 의 치역이 닫힌집합이므로, 임의의 ( A V ) ⊥ = { 0 } {\displaystyle (AV)^{\perp }=\{0\}} 임을 보이면 족하다. 임의의 a ∈ ( A V ) ⊥ {\displaystyle a\in (AV)^{\perp }} 에 대하여, C ‖ a ‖ 2 ≤ B ( a , a ) = ⟨ A a , a ⟩ = 0 {\displaystyle C\|a\|^{2}\leq B(a,a)=\langle Aa,a\rangle =0} 이므로 a = 0 {\displaystyle a=0} 이다. 럭스-밀그램 정리는 럭스 페테르와 아서 노턴 밀그램(영어: Arthur Norton Milgram, 1912~1961)이 1954년에 증명하였다. Evans, Lawrence C. (2010). 《Partial differential equations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 19 2판. 2017년 2월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 24일에 확인함.  Lax, Peter David; Milgram, Arthur Norton (1954). 〈Parabolic equations〉. 《Contributions to the theory of partial differential equations》. Annals of Mathematics Studies (영어) 33. 167–190쪽. doi:10.1515/9781400882182-010. MR 0067317. Zbl 0058.08703.  “Coerciveness inequality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Lax-Milgram lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Babuska-Lax-Milgram theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Coercive functional”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lax-Milgram theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “Stampacchia theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.