감쇠장

감쇠장(減衰場, 영어: evanescent field) 또는 소산장(消散場)이란 전자파(빛),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 반사성이 있는 매질 내부에서 야기하는 전자장의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 소멸파(消滅波, 영어: evanescent wave)는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 근접장파의 일종이다. 일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 J f r e e → ≠ 0 {\displaystyle {\vec {J_{free}}}\neq 0} 이다. 옴의 법칙에 따르면, J f r e e → = σ E → {\displaystyle {\vec {J_{free}}}=\sigma {\vec {E}}} 이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다. ▽ → ⋅ E → = ρ f r e e ϵ {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho _{free}}{\epsilon }}} ▽ → ⋅ B → = 0 {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {B}}=0} ▽ → × E → = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} ▽ → × B → = μ σ E → + μ ϵ ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {B}}=\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} 이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다. ∂ ρ f r e e ∂ t = − σ ( ▽ → ⋅ E → ) = − σ ϵ ρ f r e e {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{free}}{\partial t}}=-\sigma ({\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}})=-{\frac {\sigma }{\epsilon }}\rho _{free}} 따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다. ρ f r e e ( t ) = e − σ ϵ t ρ f r e e ( 0 ) {\displaystyle \rho _{free}(t)=e^{-{\frac {\sigma }{\epsilon }}t}\rho _{free}(0)} 이 때, 고유시간 τ = ϵ / σ {\displaystyle \tau =\epsilon /\sigma } 는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 σ = ∞ {\displaystyle \sigma =\infty } 이므로 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} 이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다. ▽ → ⋅ E → = 0 {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}}=0} ▽ → ⋅ B → = 0 {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {B}}=0} ▽ → × E → = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} ▽ → × B → = μ σ E → + μ ϵ ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {B}}=\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} 이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다. ▽ 2 E → = μ ϵ ∂ 2 E → ∂ t 2 + μ σ ∂ E → ∂ t {\displaystyle \triangledown ^{2}{\vec {E}}=\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+\mu \sigma {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} ▽ 2 B → = μ ϵ ∂ 2 B → ∂ t 2 + μ σ ∂ B → ∂ t {\displaystyle \triangledown ^{2}{\vec {B}}=\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}+\mu \sigma {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} 이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다. E → ~ ( z , t ) = E 0 → ~ e i ( k ~ z − ω t ) {\displaystyle {\widetilde {\vec {E}}}(z,t)={\widetilde {\vec {E_{0}}}}e^{i({\widetilde {k}}z-\omega t)}} B → ~ ( z , t ) = B 0 → ~ e i ( k ~ z − ω t ) {\displaystyle {\widetilde {\vec {B}}}(z,t)={\widetilde {\vec {B_{0}}}}e^{i({\widetilde {k}}z-\omega t)}} 이 때, k ~ 2 = μ ϵ ω 2 + i μ σ ω {\displaystyle {\widetilde {k}}^{2}=\mu \epsilon \omega ^{2}+i\mu \sigma \omega } 이므로, k ~ {\displaystyle {\widetilde {k}}} 는 복소수이고, k ~ = k + i κ {\displaystyle {\widetilde {k}}=k+i\kappa } 라고 할 때, k = ω ϵ μ 2 [ 1 + ( σ ϵ ω ) 2 + 1 ] 1 2 {\displaystyle k=\omega {\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{2}}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\epsilon \omega }})^{2}}}+1]^{\frac {1}{2}}} κ = ω ϵ μ 2 [ 1 + ( σ ϵ ω ) 2 − 1 ] 1 2 {\displaystyle \kappa =\omega {\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{2}}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\epsilon \omega }})^{2}}}-1]^{\frac {1}{2}}} 로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다. E → ( z , t ) = E 0 e − κ z c o s ( k z − ω t + δ E ) {\displaystyle {\vec {E}}(z,t)=E_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta _{E})} B → ( z , t ) = B 0 e − κ z c o s ( k z − ω t + δ E + ϕ ) {\displaystyle {\vec {B}}(z,t)=B_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta _{E}+\phi )} 이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다. 평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다. 조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다. u n = U n e i ω ( m j x j − t ) {\displaystyle u_{n}=U_{n}e^{i\omega (m_{j}x_{j}-t)}} (이 때, u → {\displaystyle {\vec {u}}} 는 변위벡터, U → {\displaystyle {\vec {U}}} 는 단위 편광 벡터, ω {\displaystyle \omega } 는 각속도 m → {\displaystyle {\vec {m}}} 은 slowness 벡터이다. 그리고 우리가 알고 있듯이 일반적으로 k → = ω m → {\displaystyle {\vec {k}}=\omega {\vec {m}}} 이다.) 이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자. m j = m j r e + i m j i m {\displaystyle m_{j}=m_{j}^{re}+im_{j}^{im}} u n = U n e i ω ( m j r e x j − t ) − ω m j i m x j {\displaystyle u_{n}=U_{n}e^{i\omega (m_{j}^{re}x_{j}-t)-\omega m_{j}^{im}x_{j}}} 이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다. ρ ∂ 2 u i ∂ t 2 − c i j k l ∂ 2 u k ∂ x j ∂ x l = 0 {\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}-c_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{j}\partial x{l}}}=0} (일반적으로 c i j k l {\displaystyle c_{ijkl}} 은 christoffel matrix라고 물리우며, G i k {\displaystyle G_{ik}} 로 쓰인다. 여기서 δ i k {\displaystyle \delta _{ik}} 는 Kronecker symbol이다.) 소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는   v e c m , U → {\displaystyle \ vec{m},{\vec {U}}} 에 대한 coupled equation을 준다. 지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor c i j k l {\displaystyle c_{ijkl}} 는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다. | m → r e | 2 = 1 V 2 + | m → i m | 2 {\displaystyle |{\vec {m}}^{re}|^{2}={\frac {1}{V^{2}}}+|{\vec {m}}^{im}|^{2}} m → r e ⋅ m → i m = 0 {\displaystyle {\vec {m}}^{re}\cdot {\vec {m}}^{im}=0} (이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, m → i m {\displaystyle {\vec {m}}^{im}} 에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 m → r e {\displaystyle {\vec {m}}^{re}} 에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다. m → i m {\displaystyle {\vec {m}}^{im}} 의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도( 1 | m → r e | {\displaystyle {\frac {1}{|{\vec {m}}^{re}|}}} )는 | m → i m | {\displaystyle |{\vec {m}}^{im}|} 의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다. 이 때, 소멸파는 [ x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} ] plane으로 진행하며, x 3 {\displaystyle x_{3}} 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [ x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 3 {\displaystyle x_{3}} ]에서 다루기에 충분하다. 따라서 m 2 = 0 {\displaystyle m_{2}=0} 이다. m → r e = { m 1 r e , 0 , 0 } , m → i m = { 0 , 0 , m 3 i m } {\displaystyle {\vec {m}}^{re}=\{m_{1}^{re},0,0\},{\vec {m}}^{im}=\{0,0,m_{3}^{im}\}} 따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다. u n = U n e i ω ( m 1 x 1 − t ) − ω m 3 x 3 {\displaystyle u_{n}=U_{n}e^{i\omega (m_{1}x_{1}-t)-\omega m_{3}x_{3}}} 그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 c i j k l m j m l − ρ δ i k = 0 {\displaystyle c_{ijkl}m_{j}m_{l}-\rho \delta _{ik}=0} 에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다. [ c 11 ( m 1 r e ) 2 − c 55 ( m 3 i m ) 2 − ρ ] U 1 + i ( c 13 + c 55 ) m 1 r e m 3 i m U 3 = 0 {\displaystyle [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0} [ c 66 ( m 1 r e ) 2 − c 55 ( m 3 i m ) 2 − ρ ] U 2 = 0 {\displaystyle [c_{66}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{2}=0} i ( c 13 + c 55 ) m 1 r e m 3 i m U 1 + [ c 55 ( m 1 r e ) 2 − c 33 ( m 3 i m ) 2 − ρ ] U 3 = 0 {\displaystyle i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{3}=0} 여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다. SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [ x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 3 {\displaystyle x_{3}} ]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다. c 66 m 1 2 − c 55 m 3 2 − ρ = 0 {\displaystyle c_{66}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho =0} 이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다. m 1 2 = 1 V h o r , S H 2 + c 55 c 66 m 3 2 = 1 1 + 2 γ ( 1 V S 0 2 + m 3 2 ) {\displaystyle m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{hor,SH}^{2}}}+{\frac {c_{55}}{c_{66}}}m_{3}^{2}={\frac {1}{1+2\gamma }}({\frac {1}{V_{S0}^{2}+m_{3}^{2}}})} V h o r , S H = c 66 ρ = V S 0 1 + 2 γ {\displaystyle V_{hor,SH}={\sqrt {\frac {c_{66}}{\rho }}}=V_{S0}{\sqrt {1+2\gamma }}} (여기서 γ {\displaystyle \gamma } 는 Thomsen anisotropy parameter이며, γ = c 66 − c 55 2 c 55 {\displaystyle \gamma ={\frac {c_{66}-c_{55}}{2c_{55}}}} 이고, V S 0 {\displaystyle V_{S0}} 는 shear-wave vertical velocity로 V S 0 = c 55 ρ {\displaystyle V_{S0}={\sqrt {\frac {c_{55}}{\rho }}}} 이다. 또한 V h o r , S H {\displaystyle V_{hor,SH}} 는 homogeneous SH-wave의 수평 속도이다.) 등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는 V h o r , S H {\displaystyle V_{hor,SH}} 보다 | m 3 | {\displaystyle |m_{3}|} 만큼 작았다. 일반적으로 γ {\displaystyle \gamma } 는 0보다 크기 때문에 이는 주어진 m 1 {\displaystyle m_{1}} 값에 대해 m 3 2 {\displaystyle m_{3}^{2}} 값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다. P-wave와 SV-wave는 각각 [ c 11 ( m 1 r e ) 2 − c 55 ( m 3 i m ) 2 − ρ ] U 1 + i ( c 13 + c 55 ) m 1 r e m 3 i m U 3 = 0 {\displaystyle [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0} i ( c 13 + c 55 ) m 1 r e m 3 i m U 1 + [ c 55 ( m 1 r e ) 2 − c 33 ( m 3 i m ) 2 − ρ ] U 3 = 0 {\displaystyle i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{3}=0} 에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 U → {\displaystyle {\vec {U}}} 에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다. 등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 U 1 , U 3 {\displaystyle U_{1},U_{3}} 를 각각 실수, 허수로 정하였다. (단, 위의 두 식에선 편광 성분들 사이의 비율만이 주어져 있기 때문에 U 1 , U 3 {\displaystyle U_{1},U_{3}} 는 언제든지 complex로 정할 수 있다.) 만일 U 1 {\displaystyle U_{1}} 이 실수이고, U 3 = i | U 3 | {\displaystyle U_{3}=i|U_{3}|} 라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다. ( c 11 m 1 2 − c 55 m 3 2 − ρ ) U 1 − ( c 13 + c 55 ) m 1 m 3 | U 3 | = 0 {\displaystyle (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho )U_{1}-(c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}|U_{3}|=0} ( c 13 + c 55 ) m 1 m 3 U 1 + ( c 55 m 1 2 − c 33 m 3 2 − ρ ) | U 3 | = 0 {\displaystyle (c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}U_{1}+(c_{55}m_{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho )|U_{3}|=0} 위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 U 1 {\displaystyle U_{1}} 과 | U 3 | {\displaystyle |U_{3}|} 에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로, ( c 11 m 1 2 − c 55 m 3 2 − ρ ) ( c 55 m 1 2 − c 33 m 3 2 − ρ ) + ( c 13 + c 55 ) 2 m 1 2 m 3 2 = 0 {\displaystyle (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho )(c_{55}m{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho )+(c_{13}+c_{55})^{2}m_{1}^{2}m_{3}^{2}=0} m 1 {\displaystyle m_{1}} 과 m 3 {\displaystyle m_{3}} 에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서 | m 1 | {\displaystyle |m_{1}|} 이 | m 3 | {\displaystyle |m_{3}|} 보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다. m 1 2 = 1 V h o r 2 + m 3 2 ( 1 − 4 ϵ + 2 δ ) − 2 m 3 4 V P 0 2 ( ϵ − δ ) {\displaystyle m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{hor}^{2}}}+m_{3}^{2}(1-4\epsilon +2\delta )-2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )} (단, V h o r = V P 0 1 + 2 ϵ {\displaystyle V_{hor}=V_{P0}{\sqrt {1+2\epsilon }}} ) 만일 ϵ = δ = 0 {\displaystyle \epsilon =\delta =0} 이라면 m 1 2 = 1 V P 0 2 + m 3 2 {\displaystyle m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{P0}^{2}}}+m_{3}^{2}} 이므로, m 1 {\displaystyle m_{1}} 은 m 3 {\displaystyle m_{3}} 가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다. 만일 ϵ {\displaystyle \epsilon } 과 δ {\displaystyle \delta } 가 V h o r {\displaystyle V_{hor}} 과 m 3 2 {\displaystyle m_{3}^{2}} 항에 대해 큰 변화를 주고, m 3 4 {\displaystyle m_{3}^{4}} 항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다. m 1 2 1 V P 0 2 + m 3 2 = 1 − 2 ϵ − 2 m 3 2 V P 0 2 ( ϵ − δ ) {\displaystyle {\frac {m_{1}^{2}}{{\frac {1}{V_{P0}^{2}}}+m_{3}^{2}}}=1-2\epsilon -2m_{3}^{2}V_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )} m 3 V P 0 {\displaystyle m_{3}V_{P0}} 의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 ϵ {\displaystyle \epsilon } 에 의해서 조정된다. 일반적인 TI 모델은 ϵ > 0 , ϵ > δ {\displaystyle \epsilon >0,\epsilon >\delta } 인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 m 3 {\displaystyle m_{3}} 에 대해 m 1 {\displaystyle m_{1}} 를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 m 1 {\displaystyle m_{1}} 에 대해서 이방성 성분이 m 3 {\displaystyle m_{3}} 을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다. P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다. m 1 2 = 1 V S 0 2 + m 3 2 ( 1 + 2 σ ) + 2 m 3 4 V S 0 2 σ {\displaystyle m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{S0}^{2}}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma )+2m_{3}^{4}V_{S0}^{2}\sigma } 그리고 ρ = ( V P 0 2 / V S 0 2 ) ( ϵ − δ ) {\displaystyle \rho =(V_{P0}^{2}/V_{S0}^{2})(\epsilon -\delta )} 이므로, m 1 2 = 1 V S 0 2 + m 3 2 ( 1 + 2 σ ) + 2 m 3 4 V P 0 2 ( ϵ − δ ) {\displaystyle m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{S0}^{2}}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma )+2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )} 이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 V S 0 {\displaystyle V_{S0}} 와 같다. 일반적으로 σ {\displaystyle \sigma } 는 0보다 크기 때문에 이는 m 3 {\displaystyle m_{3}} 를 줄이기 때문에, 고정된 m 1 {\displaystyle m_{1}} 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다. 스넬의 법칙 전반사 내부전반사형광현미경 도파관 David J. Griffiths(2008), Introduction to Electrodynamics(영어). Aki, K. and Richards, P. G., 1980. Quantitative Seismology. Theory and Methods.W. N. Freeman & Co. Alkhalifah, T. and Tsvankin, I., 1995. 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