오비폴드

기하학에서, 오비폴드(영어: orbifold)는 국소적으로 유한군의 선형작용에 대한 유클리드 공간의 몫공간과 동형인 위상 공간이다. 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 특정한 형태의 특이점을 가질 수 있다. n차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. 하우스도르프 공간 X와 그 열린 덮개 U i {\displaystyle U_{i}} 를 생각하자. ( { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} 는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.) 각 U i {\displaystyle U_{i}} 에 대하여, 연속 함수 ϕ i : U i → V i {\displaystyle \phi _{i}\colon U_{i}\to V_{i}} 를 가정하자. 여기서 V i {\displaystyle V_{i}} 는 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 부분집합으로, 유한군 Γ i {\displaystyle \Gamma _{i}} 의 선형작용에 대하여 불변하다. ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} 가 U i → V i / Γ i {\displaystyle U_{i}\to V_{i}/\Gamma _{i}} 의 위상동형사상을 정의한다고 가정하자. 이들을 오비폴드 국소 좌표계라고 부른다. 일련의 오비폴드 국소 좌표계 ( U i , V i , Γ i , ϕ i ) {\displaystyle (U_{i},V_{i},\Gamma _{i},\phi _{i})} 의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 오비폴드 좌표근방계(orbifold atlas)를 이룬다. U i ⊂ U j {\displaystyle U_{i}\subset U_{j}} 면 단사 준동형 사상 Γ i → Γ j {\displaystyle \Gamma _{i}\to \Gamma _{j}} 가 존재한다. U i ⊂ U j {\displaystyle U_{i}\subset U_{j}} 면 Γ i {\displaystyle \Gamma _{i}} 에 대하여 Γ i {\displaystyle \Gamma _{i}} -위상 동형 사상 ψ i j : V i → W j ⊂ V j {\displaystyle \psi _{ij}\colon V_{i}\to W_{j}\subset V_{j}} 이 존재한다. ( W j {\displaystyle W_{j}} 는 V j {\displaystyle V_{j}} 의 열린 부분 집합) ϕ j ∘ ψ i j = ϕ i {\displaystyle \phi _{j}\circ \psi _{ij}=\phi _{i}} 다른 모든 추이 사상 V i → V j {\displaystyle V_{i}\to V_{j}} 는 g ψ i j {\displaystyle g\psi _{ij}} 의 꼴이다 (여기서 g ∈ Γ j {\displaystyle g\in \Gamma _{j}} ). G {\displaystyle G} 가 이산군이라고 하고, M {\displaystyle M} 이 매끄럽고 충실한 작용 G × M → M {\displaystyle G\times M\to M} 이 주어진 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 몫공간 M / G = M / ( x ∼ g ⋅ x ∀ g ∈ G , x ∈ M ) {\displaystyle M/G=M/(x\sim g\cdot x\forall g\in G,x\in M)} 은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 축소 오비폴드(영어: reduced orbifold)라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 (유클리드 공간의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. 끈 이론에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, 유클리드 공간의 몫공간 R n / Γ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Gamma } 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다. 오비폴드의 경우, 문헌에는 두 가지의 "오비폴드 오일러 지표"에 대한 정의가 등장하며, 이 둘은 관계없는 개념이다. 이 밖에도, 오비폴드의 호모토피 군 역시 정의할 수 있다. 이들은 오비폴드를 단순히 위상 공간으로 여겨 정의한 오일러 지표 및 호모토피 군과 다르다. 오비폴드 X {\displaystyle X} 에 세포 복합체의 구조를 주고, 각 세포 c {\displaystyle c} 의 내부가 국소적 군 Γ i {\displaystyle \Gamma _{i}} 의 작용에 불변이라고 하자. 그렇다면 X {\displaystyle X} 의 (사타케-서스턴) 오일러 지표는 다음과 같다. χ ( X ) = ∑ c ( − 1 ) dim ⁡ c | Γ ( c ) | {\displaystyle \chi (X)=\sum _{c}{\frac {(-1)^{\dim c}}{|\Gamma (c)|}}} 만약 모든 Γ ( c ) {\displaystyle \Gamma (c)} 가 자명군이라면, 이는 일반적인 오일러 지표와 같다. 이 정의는 사타케 이치로(일본어: 佐武 一郎)와 윌리엄 서스턴이 사용하였다. 오비폴드의 사타케-서스턴 오일러 지표에 대하여 가우스-보네 정리가 성립한다. 축소 오비폴드 M / G {\displaystyle M/G} 가, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 어떤 이산군 G {\displaystyle G} 의 매끄럽고 충실한 작용에 의한 몫공간이라고 하자. 이 경우, M / G {\displaystyle M/G} 의 (끈 이론) 오일러 지표는 다음과 같다.:§6, Definition 6.1 χ ( M / G ) = 1 | G | ∑ g , h ∈ G , g h = h g χ ( M ⟨ g , h ⟩ ) = ∑ [ g ] ∈ Cl ⁡ G χ ( M ⟨ g ⟩ / Z G ( g ) ) {\displaystyle \chi (M/G)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g,h\in G,\;gh=hg}\chi (M^{\langle g,h\rangle })=\sum _{[g]\in \operatorname {Cl} G}\chi (M^{\langle g\rangle }/Z_{G}(g))} 여기서 Z G ( g ) {\displaystyle Z_{G}(g)} 는 { g } ⊆ G {\displaystyle \{g\}\subseteq G} 의 중심화 부분군이다. M H {\displaystyle M^{H}} 는 부분군 H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 의 작용에 의한 고정점들로 구성된 부분 공간이다. ⟨ g 1 , g 2 , … ⟩ ⊆ G {\displaystyle \langle g_{1},g_{2},\dots \rangle \subseteq G} 는 g 1 , g 2 , … {\displaystyle g_{1},g_{2},\dots } 로 생성되는 G {\displaystyle G} 의 부분군이다. Cl ⁡ G {\displaystyle \operatorname {Cl} G} 는 G {\displaystyle G} 의 켤레류들의 집합이다. 이 정의는 랜스 딕슨(영어: Lance J. Dixon), 제프리 하비(영어: Jeffrey A. Harvey), 캄란 바파, 에드워드 위튼이 끈 이론을 다루기 위하여 도입하였다. 딕슨-하비-바파-위튼 오일러 지표는 천-롼 코호몰로지(영어: Chen–Ruan cohomology)와 관계있다. 이는 오비폴드에 대한 양자 코호몰로지이다. 오비폴드 X {\displaystyle X} 의 기본군 π 1 orb ( X ) {\displaystyle \pi _{1}^{\text{orb}}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 범피복 공간 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 의 피복 변환(영어: deck transformation)들의 군이다.:307, Definition 13.2.5 이 정의는 윌리엄 서스턴이 도입하였다. 모든 매끄러운 다양체는 자명하게 (축소) 오비폴드를 이룬다. 또한, 경계다양체 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계다양체 M {\displaystyle M} 이 주어지면, 그 이중 덮개(영어: double)를 다음과 같이 정의하자. D ( M ) = M × { 0 , 1 } / ( ( x , 0 ) ∼ ( x , 1 ) ∀ x ∈ ∂ M ) {\displaystyle D(M)=M\times \{0,1\}/((x,0)\sim (x,1)\forall x\in \partial M)} 즉, M {\displaystyle M} 의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. M {\displaystyle M} 의 이중 덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, M {\displaystyle M} 은 다음과 같은 몫공간으로 나타낼 수 있다. M = D ( M ) / Z 2 {\displaystyle M=D(M)/\mathbb {Z} _{2}} 1차원 연결 콤팩트 오비폴드는 원 S 1 {\displaystyle S^{1}} 과 선분 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 밖에 없다. 원은 매끄러운 다양체이다. 선분은 경계다양체이자, 원 S 1 ≅ U ⁡ ( 1 ) = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle S^{1}\cong \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 의 몫공간 U ⁡ ( 1 ) / ( z ∼ z ¯ ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)/(z\sim {\bar {z}})} 으로서, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있다. 2차원에서 가능한 오비폴드 특이점은 O(2)의 유한 부분군에 따라서 분류되며, 다음과 같다. 군의 작용을 나타낼 때, 편의상 평면의 점을 복소수로 표기하였다. 경계선 R 2 / Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\operatorname {Cyc} (2)} , z ∼ z ¯ {\displaystyle z\sim {\bar {z}}} . m = 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle m=2,3,4,\dots } 에 대하여, m {\displaystyle m} 차 원뿔형 꼭짓점 R 2 / Cyc ⁡ ( m ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\operatorname {Cyc} (m)} , z ∼ exp ⁡ ( 2 π i / m ) z {\displaystyle z\sim \exp(2\pi i/m)z} n = 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle n=2,3,4,\dots } 에 대하여, 각도 π / n {\displaystyle \pi /n} 의 꼭짓점 R / Dih ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathbb {R} /\operatorname {Dih} (n)} , z ∼ z ¯ ∼ exp ⁡ ( 2 π i / n ) z {\displaystyle z\sim {\bar {z}}\sim \exp(2\pi i/n)z} 이 경우, 2차원 오비폴드 X {\displaystyle X} 의 사타케-서스턴 오일러 지표는 다음과 같다. χ ( X ) = χ ( | X | ) − ∑ m i ( 1 − 1 / m i ) − 1 2 ∑ n i ( 1 − 1 / n i ) {\displaystyle \chi (X)=\chi (|X|)-\sum _{m_{i}}(1-1/m_{i})-{\frac {1}{2}}\sum _{n_{i}}(1-1/n_{i})} 여기서 χ ( | X | ) {\displaystyle \chi (|X|)} 는 X {\displaystyle X} 의 위상 공간으로서의 오일러 지표이다. 첫 번째 합 ∑ m i {\displaystyle \sum _{m_{i}}} 는 원뿔형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 m i {\displaystyle m_{i}} 는 꼭짓점의 차수이다. 두 번째 합 ∑ n i {\displaystyle \sum _{n_{i}}} 는 다각형형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 n i {\displaystyle n_{i}} 는 꼭짓점의 차수이다. 2차원 연결 콤팩트 오비폴드는 곡면과 마찬가지로 오일러 지표의 부호에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다. 오일러 지표가 음수인 2차원 오비폴드는 쌍곡선형 오비폴드(영어: hyperbolic-type orbifold)라고 한다. 이들은 쌍곡평면의 테셀레이션에 대응하며, 무한 개가 있다. 오일러 지표가 0인 2차원 오비폴드는 포물선형 오비폴드(영어: parabolic-type orbifold)라고 한다. 이들은 유클리드 평면의 테셀레이션에 대응한다. 총 17개가 있다. 오일러 지표가 양수인 2차원 오비폴드 가운데, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있는 것들은 타원형 오비폴드(영어: elliptic-type orbifold)라고 한다. 이들은 구의 테셀레이션에 대응한다. 7개의 무한한 족 및 족에 속하지 않는 10개가 있다. 오일러 지표가 양수이며, 축소 오비폴드가 아닌 것들은 나쁜 오비폴드(영어: bad orbifold)라고 한다. 4개의 무한한 족들로 분류된다. 쌍곡선형이 아닌 2차원 연결 콤팩트 오비폴드들의 목록은 다음과 같다. (여기서 "오일러 지표"는 사타케-서스턴 오일러 지표를 말한다.) 사타케 이치로(일본어: 佐武 一郎)가 automorphic form을 연구하면서 1956년에 ‘V-다양체’(영어: V-manifold)라는 이름으로 정의하였다. 윌리엄 서스턴이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’(영어: orbifold)라는 이름을 붙였다. ‘오비폴드’(영어: orbifold)라는 이름은 영어: orbit 오빗[*] (궤도)과 영어: manifold 매니폴드[*] (다양체)를 합친 혼성어이다. 이 이름에 대하여 서스턴은 다음과 같이 적었다. Thurston, William (1980). “The geometry and topology of three-manifolds”. (강의 노트). Princeton University. 2013년 9월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 9월 3일에 확인함.  Adem, Alejandro; Klaus, Michele (2010). L.Ji, S.-T. Yau, 편집. 《Transformation Groups and Moduli Spaces of Curves》 (PDF). Advanced Lectures in Mathematics (영어) 16. Higher Education Press. 1–17쪽.  Dixon, L.; Harvey, J.A.; Vafa, C.; Witten, E. “Strings on orbifolds”. 《Nuclear Physics B》 (영어). Bibcode:1985NuPhB.261..678D. doi:10.1016/0550-3213(85)90593-0. ISSN 0550-3213.  Dixon, L.; Harvey, J.A.; Vafa, C.; Witten, E. “Strings on orbifolds (II)”. 《Nuclear Physics B》 (영어). Bibcode:1986NuPhB.274..285D. doi:10.1016/0550-3213(86)90287-7. ISSN 0550-3213.  Chen, Weimin; Ruan, Yongbin (2004년 6월). “A new cohomology theory of orbifold”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 248 (1): 1-31. arXiv:math/0004129. doi:10.1007/s00220-004-1089-4. ISSN 0010-3616.  Abramovich, Dan. “Lectures on Gromov-Witten invariants of orbifolds” (영어). arXiv:math/0512372.  Adem, Alejandro; Johann Leida, Yongbin Ruan (2007). 《Orbifolds and stringy topology》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 171. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511543081. ISBN 978-0-52187004-7. MR 2359514.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Ruan, Yongbin (2000). “Stringy geometry and topology of orbifolds” (영어). arXiv:math/0011149. Bibcode:2000math.....11149R.  Satake, Ichiro (1956년 6월 1일). “On a generalization of the notion of manifold”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 42 (6): 359–363. doi:10.1073/pnas.42.6.359. ISSN 0027-8424. MR 0079769.  Henriques, Andre (2000). “Orbispaces and orbifolds from the point of view of the Borel construction: a new definition” (영어). arXiv:math/0112006. Bibcode:2001math.....12006H.  Lerman, Eugene (2010). “Orbifolds as stacks?” (PDF). 《L’Enseignement mathématique》 (영어) 56 (3–4): 315–363. arXiv:0806.4160. Bibcode:2008arXiv0806.4160L. MR 2778793.  Nilse, Lars (2007년 4월 20일). 〈Classification of 1D and 2D orbifolds〉. Jonathan L. Feng. 《SUSY06: The 14th International Conference on Supersymmetry and the Unification of Fundamental Interactions, held June 12-17, 2006, in Irvine, California, USA》. AIP Conference Proceedings (영어) 903. American Institute of Physics. 411쪽. arXiv:hep-ph/0601015. Bibcode:2007AIPC..903..411N. doi:10.1063/1.2735211. ISBN 978-0-7354-0410-6.  몫공간 2차원 등각 장론 테셀레이션 스택 (수학) Weisstein, Eric Wolfgang. “Orbifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Orbifold notation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “orbifold”. 《nLab》 (영어).  “Orbifold cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Orbifold cobordism”. 《nLab》 (영어).  “Orbifold groupoid”. 《nLab》 (영어).  Baez, John (2008년 7월 23일). “Week 267”. 《This Week’s Finds in Mathematical Physics》 (영어).  Baez, John (2009년 12월 5일). “Week 285”. 《This Week’s Finds in Mathematical Physics》 (영어).