고립 특이점

복소해석학에서, 고립 특이점(孤立特異點, 영어: isolated singular point)은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 정칙 함수가 되는 특이점이다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 및 점 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 및 함수 f : D ∖ { z 0 } → C {\displaystyle f\colon D\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} } 에 대하여, f | N ∩ D ∖ { z 0 } {\displaystyle f|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}} 가 정칙 함수가 되는 근방 N ∋ z 0 {\displaystyle N\ni z_{0}} 이 존재한다면, z 0 {\displaystyle z_{0}} 을 f {\displaystyle f} 의 고립 특이점이라고 한다. 만약 0이 z ↦ f ( 1 / z ) {\displaystyle z\mapsto f(1/z)} 의 고립 특이점이라면, 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 를 f {\displaystyle f} 의 고립 특이점이라고 한다. 고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다. 구체적으로, 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 및 점 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 및 함수 f : D ∖ { z 0 } → C {\displaystyle f\colon D\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} } 가 주어졌고, z 0 {\displaystyle z_{0}} 이 f {\displaystyle f} 의 고립 특이점이라고 하자. 그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 을 f {\displaystyle f} 의 제거 가능 특이점이라고 한다.:130, §4.2, 정리1 f {\displaystyle f} 는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서 해석적 연속을 갖는다. 즉, g | N ∩ D ∖ { z 0 } = f | N ∩ D ∖ { z 0 } {\displaystyle g|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}=f|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}} 인 근방 N ∋ z 0 {\displaystyle N\ni z_{0}} 및 정칙 함수 g : N ∩ D → C {\displaystyle g\colon N\cap D\to \mathbb {C} } 가 존재한다. lim z → z 0 f ( z ) {\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)} 는 C {\displaystyle \mathbb {C} } 에서 존재한다. f {\displaystyle f} 는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서 국소 유계 함수이다. 즉, f | N ∩ D ∖ { z 0 } {\displaystyle f|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}} 가 유계 함수가 되는 근방 N ∋ z 0 {\displaystyle N\ni z_{0}} 이 존재한다. lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) = 0 {\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)=0} f {\displaystyle f} 의 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다. 또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 을 f {\displaystyle f} 의 극점이라고 한다.:130-131, §4.2, 정리2 f {\displaystyle f} 는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서 해석적 연속을 갖지 않으며, 1 / f {\displaystyle 1/f} 는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서 해석적 연속을 갖는다. lim z → z 0 f ( z ) = ∞ ^ {\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)={\widehat {\infty }}} f {\displaystyle f} 의 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다. 또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 을 f {\displaystyle f} 의 본질적 특이점이라고 한다.:132, §4.2, 정리3 f {\displaystyle f} 와 1 / f {\displaystyle 1/f} 는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서 해석적 연속을 갖지 않는다. lim z → z 0 f ( z ) {\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)} 는 C ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}} 에서 존재하지 않는다. f {\displaystyle f} 의 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다. 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 의 f {\displaystyle f} 의 고립 특이점으로서의 분류는 0의 z ↦ f ( 1 / z ) {\displaystyle z\mapsto f(1/z)} 의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다. 함수 f 1 : C ∖ { 0 } → C {\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} } f 1 ( z ) = sin ⁡ z z ∀ z ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {\sin z}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다. 함수 f 2 : C ∖ { 0 } → C {\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} } f 2 ( z ) = 1 z ∀ z ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 는 0을 극점으로 갖는다. 함수 f 3 : C ∖ { 0 } → C {\displaystyle f_{3}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} } f 3 ( z ) = e 1 / z ∀ z ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle f_{3}(z)=e^{1/z}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 는 0을 본질적 특이점으로 갖는다. 0은 함수 f 4 : C ∖ { 0 , 1 / π , 1 / 2 π , … } → C {\displaystyle f_{4}\colon \mathbb {C} \setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}\to \mathbb {C} } f 4 ( z ) = csc ⁡ 1 z ∀ z ∈ C ∖ { 0 , 1 / π , 1 / 2 π , … } {\displaystyle f_{4}(z)=\csc {\frac {1}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}} 의 고립 특이점이 아니다. 모든 전해석 함수 f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 는 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 를 고립 특이점으로 갖는다. 이는 f {\displaystyle f} 가 상수 함수라면 제거 가능 특이점이며, f {\displaystyle f} 가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1.  “Isolated singular point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Isolated singularity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.