목걸이 (조합론)

조합론에서 목걸이(영어: necklace)는 순환군의 작용에 대한 문자열의 궤도이다. 임의의 집합 C {\displaystyle C} 가 주어졌다고 하자. C {\displaystyle C} 위의 길이 n {\displaystyle n} 의 문자열 집합 C n {\displaystyle C^{n}} 을 생각할 수 있다. C n {\displaystyle C^{n}} 위에는 n {\displaystyle n} 차 순환군 Cyc ⁡ ( n ) = ⟨ a | a n = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\langle a|a^{n}=1\rangle } 은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다. a k : c 0 c 1 ⋯ c n − 1 ↦ c k c k + 1 ⋯ c n − 1 c 0 ⋯ c k − 1 {\displaystyle a^{k}\colon c_{0}c_{1}\cdots c_{n-1}\mapsto c_{k}c_{k+1}\cdots c_{n-1}c_{0}\cdots c_{k-1}} 보다 일반적으로, 크기 2 n {\displaystyle 2n} 의 정이면체군 Dih ⁡ ( n ) = ⟨ a , b | a n = b 2 = 1 , ( b a ) 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Dih} (n)=\langle a,b|a^{n}=b^{2}=1,\;(ba)^{2}=1\rangle } 은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다. a k : c 0 c 1 ⋯ c n − 1 ↦ c k c k + 1 ⋯ c n − 1 c 0 ⋯ c k − 1 {\displaystyle a^{k}\colon c_{0}c_{1}\cdots c_{n-1}\mapsto c_{k}c_{k+1}\cdots c_{n-1}c_{0}\cdots c_{k-1}} b : c 0 c 1 ⋯ c n − 1 ↦ c n − 1 ⋯ c 1 c 0 {\displaystyle b\colon c_{0}c_{1}\cdots c_{n-1}\mapsto c_{n-1}\cdots c_{1}c_{0}} 임의의 집합 C {\displaystyle C} 가 주어졌을 때, C {\displaystyle C} 속의 색깔을 갖는, 길이 n {\displaystyle n} 의 목걸이(영어: necklace)는 C n {\displaystyle C^{n}} 위의, Cyc ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)} 작용에 대한 궤도이다. C {\displaystyle C} 속의 색깔을 갖는, 길이 n {\displaystyle n} 의 팔찌(영어: bracelet)는 C n {\displaystyle C^{n}} 위의, Dih ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (n)} 작용에 대한 궤도이다. 비주기적 목걸이(非週期的-, 영어: aperiodic necklace)는 안정자군이 자명군인 목걸이이다. 임의의 목걸이는 비주기적 목걸이의 반복으로 표준적으로 나타낼 수 있다. 즉, 길이 n {\displaystyle n} 의 목걸이는 n {\displaystyle n} 의 어떤 약수 d {\displaystyle d} 에 대하여, 길이 d {\displaystyle d} 의 비주기적 목걸이의 n / d {\displaystyle n/d} 번 반복으로 나타낼 수 있다. 목걸이와 팔찌의 수는 포여 열거 정리를 사용하여 계산할 수 있다. x {\displaystyle x} 개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 n {\displaystyle n} 인 목걸이의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다. N n ( x ) ∈ Q [ x ] {\displaystyle N_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]} N n ( x ) = 1 n ∑ d ∣ n φ ( n / d ) x d {\displaystyle N_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\varphi (n/d)x^{d}} 여기서 φ {\displaystyle \varphi } 는 오일러 피 함수이다. x {\displaystyle x} 개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 n {\displaystyle n} 인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다. B n ( x ) ∈ Q [ x ] {\displaystyle B_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]} B n ( x ) = 1 2 N n ( x ) + { ( x + 1 ) x n / 2 / 4 2 ∣ n x ( n + 1 ) / 2 / 2 2 ∤ n {\displaystyle B_{n}(x)={\frac {1}{2}}N_{n}(x)+{\begin{cases}(x+1)x^{n/2}/4&2\mid n\\\\x^{(n+1)/2}/2&2\nmid n\end{cases}}} x {\displaystyle x} 개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 n {\displaystyle n} 인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다. M n ( x ) ∈ Q [ x ] {\displaystyle M_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]} M n ( x ) = 1 n ∑ d ∣ n μ ( n / d ) x d {\displaystyle M_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)x^{d}} 이를 목걸이 다항식(-多項式, 영어: necklace polynomial)이라고 한다. 여기서 μ {\displaystyle \mu } 는 뫼비우스 함수이다. 모든 목걸이는 비주기적 목걸이로 분해할 수 있으므로 N n ( x ) = ∑ d ∣ n M d ( x ) {\displaystyle N_{n}(x)=\sum _{d\mid n}M_{d}(x)} 이다. 목걸이 다항식의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선, x n {\displaystyle x^{n}} 은 순환군의 작용에 대한 궤도들의 크기의 합이므로, 다음 공식이 성립한다. x n = ∑ d ∣ n d M d ( x ) {\displaystyle x^{n}=\sum _{d\mid n}dM_{d}(x)} 이를 뫼비우스 반전 공식에 따라 풀면 다음과 같다. M n ( x ) = 1 n ∑ d ∣ n μ ( n / d ) x d {\displaystyle M_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)x^{d}} 특히, 임의의 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, M p n ( x ) = p − n ( x p n − x p n − 1 ) {\displaystyle M_{p^{n}}(x)=p^{-n}\left(x^{p^{n}}-x^{p^{n-1}}\right)} 이다. 처음 몇 개의 목걸이 다항식은 다음과 같다. 목걸이 다항식 M n ( x ) {\displaystyle M_{n}(x)} 는 다음과 같은 수학 분야에서 등장한다. x {\displaystyle x} 개의 문자로 구성된 알파벳 위의 길이 n {\displaystyle n} 의 린던 단어의 수 크기 x {\displaystyle x} 의 집합으로 생성되는 자유 리 대수의, 차수 n {\displaystyle n} 부분 공간의 차원 크기 x = p k {\displaystyle x=p^{k}} 의 유한체 위의 n {\displaystyle n} 차 일계수 기약 다항식의 수 목걸이 항등식은 원분 항등식(영어: cyclotomic identity)에서 지수로 등장한다. 샤를 폴 나르시스 모로(프랑스어: Charles Paul Narcisse Moreau)가 1872년에 최초로 목걸이의 열거 문제를 연구하였다. Moreau, C. (1872). “Sur les permutations circulaires distinctes”. 《Nouvelles annales de mathématiques》 (프랑스어) 11: 309–314. JFM 04.0086.01.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Necklace”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  포여 열거 정리