미분 대수

추상대수학에서 미분 대수(微分代數, 영어: differential algebra)는 곱 규칙을 만족하는 자기 선형 변환이 갖추어진 결합 대수이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 ( A , + , 0 A , ⋅ , 1 A ) {\displaystyle (A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})} ( A , A ) {\displaystyle (A,A)} -쌍가군 A M A {\displaystyle _{A}M_{A}} . 또한, 왼쪽과 오른쪽 K {\displaystyle K} -작용이 서로 일치한다고 하자 ( k m = m k ∀ m ∈ M , k ∈ K {\displaystyle km=mk\;\forall m\in M,\;k\in K} ). (다시 말해, M {\displaystyle M} 은 A e = A ⊗ K A op {\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }} 위의 왼쪽 가군이다.) 그렇다면, M {\displaystyle M} 값의, A {\displaystyle A} 위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 K {\displaystyle K} -선형 변환이다. ∂ : A → M {\displaystyle \partial \colon A\to M} 이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다. ∂ ( a b ) = ( ∂ a ) b + a ( ∂ b ) ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\qquad \forall a,b\in A} 흔히, A M A = A A A {\displaystyle _{A}M_{A}={}_{A}A_{A}} 를 사용한다. 미분 대수 ( K , A , ∂ ) {\displaystyle (K,A,\partial )} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 가환환 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 ( A , + , 0 A , ⋅ , 1 A ) {\displaystyle (A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})} 미분을 이루는 자기 사상 ∂ : A → A {\displaystyle \partial \colon A\to A} . (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.) 특히, 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 결합 대수는 환이므로, 만약 K = Z {\displaystyle K=\mathbb {Z} } (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환(微分環,영어: differential ring)이라고 한다. 또한, K = Z {\displaystyle K=\mathbb {Z} } 이며 A {\displaystyle A} 가 체를 이루는 경우, ( K , A , ∂ ) {\displaystyle (K,A,\partial )} 를 미분체(微分體, 영어: differential field)라고 한다. 만약 미분 대수의 개념에, 등급을 주어 일반화하면 미분 등급 대수의 개념을 얻는다. 같은 가환환 K {\displaystyle K} 위의 두 미분 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 미분 대수 준동형(微分代數準同形, 영어: differential algebra homomorphism)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, K {\displaystyle K} -결합 대수 준동형 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다. f ( ∂ a ) = ∂ f ( a ) ∀ a ∈ A {\displaystyle f(\partial a)=\partial f(a)\qquad \forall a\in A} 미분체 확대(微分體擴大, 영어: differential field extension)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자 [ a , − ] : b ↦ [ a , b ] = a b − b a {\displaystyle [a,-]\colon b\mapsto [a,b]=ab-ba} 를 정의한다면 ( K , A , [ a , − ] ) {\displaystyle (K,A,[a,-])} 는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다. [ a , b c ] = a b c − b c a = a b c − b a c + b a c − b c a = [ a , b ] c + b [ a , c ] {\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]} 환 R {\displaystyle R} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 위에 다음과 같은 선형 변환 ∂ : R [ x ] → R [ x ] {\displaystyle \partial \colon R[x]\to R[x]} 을 정의할 수 있다. ∂ : r x n ↦ { n r x n − 1 n > 0 0 n = 0 ∀ r ∈ R , n ∈ N {\displaystyle \partial \colon rx^{n}\mapsto {\begin{cases}nrx^{n-1}&n>0\\0&n=0\end{cases}}\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} } 그렇다면 ( R , R [ x ] , ∂ ) {\displaystyle (R,R[x],\partial )} 는 미분 대수를 이룬다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 벡터장 X {\displaystyle X} 그렇다면, M {\displaystyle M} 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다. 벡터장은 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. X f = X μ ∂ μ f {\displaystyle Xf=X^{\mu }\partial _{\mu }f} 그렇다면, ( R , C ∞ ( M ; R ) , X ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ),X)} 는 미분 대수를 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 미분 ∂ : g → g {\displaystyle \partial \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 은 다음 조건을 만족시키는 K {\displaystyle K} -선형 변환이다. ∂ [ a , b ] = [ ∂ a , b ] + [ a , ∂ b ] {\displaystyle \partial [a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]} 이 경우, ∂ {\displaystyle \partial } 은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보편 포락 대수 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다. ∂ a 1 a 2 ⋯ a k = ∑ i = 1 k a 1 ⋯ a i − 1 ( ∂ a i ) a i + 1 ⋯ a k ( k ∈ N , a 1 , … , a k ∈ g ) {\displaystyle \partial a_{1}a_{2}\cdots a_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{1}\cdots a_{i-1}(\partial a_{i})a_{i+1}\cdots a_{k}\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{k}\in {\mathfrak {g}})} 그렇다면, ( K , U ⁡ ( g ) , ∂ ) {\displaystyle (K,\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}),\partial )} 는 미분 대수를 이룬다. 산술 도함수 켈러 미분 Magid, Andy R. (1999년 10월). “Differential Galois theory” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (9): 1041–1049.  Marker, David (2000). 〈Model theory of differential fields〉. Haskell, Deirdre; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles. 《Model Theory, Algebra, and Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 39. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52178068-1. 2016년 12월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 23일에 확인함.  “Derivation in a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Differential field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Differential algbra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Extension of a differential field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Differential algebra”. 《nLab》 (영어).  “Differential Galois theory”. 《nLab》 (영어).