사차 방정식

사차 방정식(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0} 와 같다. 여기에서 a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 는 각각 x 4 , x 3 , x 2 , x {\displaystyle x^{4},x^{3},x^{2},x} 의 계수라고 한다. e {\displaystyle e} 는 상수항이라고 부른다. 페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다. a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0   {\displaystyle \textstyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\ } 이 방정식에서 양변을 x {\displaystyle x} 의 최고차항인 a {\displaystyle a} 로 나눈 다음 x = y − b 4 a {\displaystyle \textstyle x=y-{b \over 4a}} 라고 두면 y 4 + p y 2 + q y + r = 0 {\displaystyle y^{4}+p{y^{2}}+qy+r=0} 꼴로 차 고차항을 치른하우스 변형으로 압축 정리(zipping)할 수 있다. y 4 + p y 2 = − q y − r {\displaystyle y^{4}+p{y}^{2}=-qy-r} 한편, ( y 2 + p ) 2 {\displaystyle (y^{2}+p)^{2}} 의 완전제곱식을 풀면, y 4 + 2 p y 2 + p 2 {\displaystyle y^{4}+2py^{2}+p^{2}} 이 되므로 y 4 + p y 2 {\displaystyle y^{4}+py^{2}} 의 나머지인 p y 2 + p 2 {\displaystyle py^{2}+p^{2}} 를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다. ( y 2 + p ) 2 = p y 2 − q y + p 2 − r {\displaystyle (y^{2}+p)^{2}=p{y}^{2}-qy+p^{2}-r} 이 된다. 이번에는 우변에 미지수 t {\displaystyle t} 를 제공하고 y {\displaystyle y} 와 t {\displaystyle t} 에 대해 정리하면, ( y 2 + p + t ) 2 = ( p + 2 t ) y 2 − q y + ( p 2 + 2 p t + t 2 − r ) {\displaystyle \left(y^{2}+p+t\right)^{2}=\left(p+2t\right)y^{2}-qy+\left(p^{2}+2pt+t^{2}-r\right)} 우변 이차방정식의 판별식, D = q 2 − 4 ( p + 2 t ) ( ( p + t ) 2 − r ) = 0 {\displaystyle D=q^{2}-4\left(p+2t\right)\left((p+t)^{2}-r\right)=0} 이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다. 이것은 t {\displaystyle t} 에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 t {\displaystyle t} 의 3근 t 1 , t 2 , t 3 {\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}} 를 구한다음 t 1 {\displaystyle t_{1}} 을 대입한다. D = q 2 − 4 ( p + 2 t 1 ) ( p 2 + 2 p t 1 + t 1 2 − r ) = 0 {\displaystyle D=q^{2}-4(p+2t_{1})(p^{2}+2pt_{1}+t_{1}^{2}-r)=0} 에 의해 q 2 4 ( p + 2 t 1 ) = ( p 2 + 2 p t 1 + t 1 2 − r ) {\displaystyle {q^{2} \over {4(p+2t_{1})}}=(p^{2}+2pt_{1}+t_{1}^{2}-r)} 이므로, ( y 2 + p + t 1 ) 2 = ( p + 2 t 1 ) y 2 − q y + ( q 2 4 ( p + 2 t 1 ) ) {\displaystyle \left(y^{2}+p+t_{1}\right)^{2}=\left(p+2t_{1}\right)y^{2}-qy+\left({q^{2} \over {4(p+2t_{1})}}\right)} ( y 2 + p + t 1 ) 2 = ( p + 2 t 1 ) ( y − q 2 ( p + 2 t 1 ) ) 2 {\displaystyle (y^{2}+p+t_{1})^{2}=(p+2t_{1})\left(y-{q \over {2(p+2t_{1})}}\right)^{2}} 이다. 이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다. 이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식의 이차방정식으로 분해된다. 양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면, y 2 − p + 2 t 1 y + ( q 2 p + 2 t 1 + p + t 1 ) = 0 {\displaystyle y^{2}-{\sqrt {p+2t_{1}}}y+\left({q \over {2{\sqrt {p+2t_{1}}}}}+p+t_{1}\right)=0} 근의 공식으로부터 y = p + 2 t 1 ± ( − p + 2 t 1 ) 2 − 4 ( q 2 p + 2 t 1 + p + t 1 ) 2 {\displaystyle y={{{\sqrt {p+2t_{1}}}\pm {\sqrt {{\left(-{\sqrt {p+2t_{1}}}\right)^{2}}-4\left({q \over {2{\sqrt {p+2t_{1}}}}}+p+t_{1}\right)}}} \over {2}}} 그리고, x = y − b 4 a {\displaystyle x=y-{b \over 4a}} , 이므로 4근은, x = − b 4 a + ( p + 2 t 1 + − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 ) , − b 4 a + ( p + 2 t 1 − − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 ) {\displaystyle x=-{b \over 4a}+\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}+{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2}}\right),-{b \over 4a}+\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}-{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2}}\right)} , − b 4 a − ( p + 2 t 1 + − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 ) , − b 4 a − ( p + 2 t 1 − − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 ) {\displaystyle ,-{b \over 4a}-\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}+{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2}}\right),-{b \over 4a}-\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}-{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2}}\right)} 이다. a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0   {\displaystyle \textstyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\ } 양변을 x {\displaystyle x} 의 최고차항인 a {\displaystyle a} 로 나눈 다음 x = y − b 4 a {\displaystyle \textstyle x=y-{b \over 4a}} 라고 두고 y 4 + p y 2 + q y + r = 0 {\displaystyle y^{4}+p{y^{2}}+qy+r=0} 형태로 정리한다. a a x 4 + b a x 3 + c a x 2 + d a x + e a = 0 {\displaystyle {a \over a}x^{4}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0} 여기서, a a = 1 , b a = a , c a = b , d a = c , e a = d {\displaystyle {a \over a}=1,{b \over a}=a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}=d} , 치환 x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} ( y − a 4 ) 4 + a ( y − a 4 ) 3 + b ( y − a 4 ) 2 + c ( y − a 4 ) + d = 0 {\displaystyle \left(y-{a \over 4}\right)^{4}+a\left(y-{a \over 4}\right)^{3}+b\left(y-{a \over 4}\right)^{2}+c\left(y-{a \over 4}\right)+d=0} 전개하면, y 4 + ( − 3 a 2 8 + b ) y 2 + ( + a 3 8 − b a 2 + c ) y + ( − a 4 64 + a 4 256 + b a 2 16 − c a 4 + d ) = 0 {\displaystyle y^{4}+\left({-3a^{2} \over 8}+b\right)y^{2}+\left(+{a^{3} \over 8}-{ba \over 2}+c\right)y+\left(-{a^{4} \over 64}+{a^{4} \over 256}+{ba^{2} \over 16}-{ca \over 4}+d\right)=0} 여기서, a a = 1 , b a = a , c a = b , d a = c , e a = d {\displaystyle {a \over a}=1,{b \over a}=a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}=d} , 치환 한것을 x 4 + b a x 3 + c a x 2 + d a x + e a = 0 {\displaystyle x^{4}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0} , 풀어주면 y 4 + ( − 3 b 2 8 a 2 + c a ) y 2 + ( + ( b 3 8 a 3 ) − ( b c 2 a 2 ) + d a ) y + ( − ( 3 b 4 256 a 4 ) + ( c b 2 16 a 3 ) − b d 4 a 2 + e a ) = 0 {\displaystyle y^{4}+\left({-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a}\right)y^{2}+\left(+\left({b^{3} \over 8a^{3}}\right)-\left({bc \over 2a^{2}}\right)+{d \over a}\right)y+\left(-\left({3b^{4} \over 256a^{4}}\right)+\left({cb^{2} \over 16a^{3}}\right)-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}\right)=0} p = ( − 3 b 2 8 a 2 + c a ) {\displaystyle p=\left({-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a}\right)} q = ( + ( b 3 8 a 3 ) − ( b c 2 a 2 ) + d a ) {\displaystyle q=\left(+\left({b^{3} \over 8a^{3}}\right)-\left({bc \over 2a^{2}}\right)+{d \over a}\right)} r = ( − ( 3 b 4 256 a 4 ) + ( c b 2 16 a 3 ) − b d 4 a 2 + e a ) {\displaystyle r=\left(-\left({3b^{4} \over 256a^{4}}\right)+\left({cb^{2} \over 16a^{3}}\right)-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}\right)} 근과 계수의 관계에서, y = u + v + w {\displaystyle y=u+v+w} 를 대입하면, ( u + v + w ) 4 + p ( u + v + w ) 2 + q ( u + v + w ) + r = 0 {\displaystyle (u+v+w)^{4}+p(u+v+w)^{2}+q(u+v+w)+r=0} u 2 + v 2 + w 2 = − p 2 {\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}=-{p \over 2}} u 2 v 2 + v 2 w 2 + w 2 u 2 = p 2 16 − r 4 {\displaystyle u^{2}v^{2}+v^{2}w^{2}+w^{2}u^{2}={p^{2} \over 16}-{r \over 4}} u 2 v 2 w 2 = ( − q 8 ) 2 {\displaystyle u^{2}v^{2}w^{2}=\left(-{q \over 8}\right)^{2}} u v w = ( − q 8 ) {\displaystyle uvw=\left(-{q \over 8}\right)} 따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면, z 3 − ( u 2 + v 2 + w 2 ) z 2 + ( u 2 v 2 + v 2 w 2 + w 2 u 2 ) z − ( u 2 v 2 w 2 ) = 0 {\displaystyle z^{3}-(u^{2}+v^{2}+w^{2})z^{2}+(u^{2}v^{2}+v^{2}w^{2}+w^{2}u^{2})z-(u^{2}v^{2}w^{2})=0} 이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각 u 2 , v 2 , w 2 {\displaystyle u^{2},v^{2},w^{2}} 이고, 다시 이것의 제곱근 u , v , w {\displaystyle u,v,w} 가 서로 곱해서, u v w = − q 8 {\displaystyle uvw=-{q \over 8}} 가 되는 값이 각각 근의 u , v , w {\displaystyle u,v,w} 가 되고, 이어서, u v w = ( − ) u ( − ) v w = u ( − ) v ( − ) w = ( − ) u v ( − ) w {\displaystyle uvw=(-)u(-)vw=u(-)v(-)w=(-)uv(-)w} 가 되고, 이것으로 y = ( u ⋅ v ⋅ w ) , ( − u ⋅ − v ⋅ w ) , ( u ⋅ − v ⋅ − w ) , ( − u ⋅ v ⋅ − w ) {\displaystyle y=(u\cdot v\cdot w),(-u\cdot -v\cdot w),(u\cdot -v\cdot -w),(-u\cdot v\cdot -w)} 가 되겠다. 끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근 x = y − b 4 a {\displaystyle x=y-{b \over 4a}} 에 의해 , ( u ⋅ v ⋅ w ) − b 4 a , ( − u ⋅ − v ⋅ w ) − b 4 a , ( u ⋅ − v ⋅ − w ) − b 4 a , ( − u ⋅ v ⋅ − w ) − b 4 a {\displaystyle (u\cdot v\cdot w)-{b \over 4a},(-u\cdot -v\cdot w)-{b \over 4a},(u\cdot -v\cdot -w)-{b \over 4a},(-u\cdot v\cdot -w)-{b \over 4a}} 가 되겠다. 사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다. x 2 = X {\displaystyle x^{2}=X} 으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다. a x 4 + b x 2 + c = 0 , X = x 2 {\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\;,\;X=x^{2}} a X 2 + b X + c = 0 {\displaystyle aX^{2}+bX+c=0\;} 계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 즉 방정식의 x의 n제곱 항 옆에 있는 계수를 거꾸로 읽어도 똑같다는 것이다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다. a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0} 이 경우 양변을 x 2 {\displaystyle x^{2}} 으로 나누어 x + 1 x {\displaystyle {x+{1 \over x}}} 를 y {\displaystyle y} 로 치환해주면 이차방정식으로 변환된다. x 2 + x 1 + 1 + 1 x 1 + 1 x 2 = 0 {\displaystyle {x^{2}}+{x^{1}}+1+{1 \over x^{1}}+{1 \over x^{2}}=0} x 2 + 1 x 2 + ( x 1 + 1 x 1 ) + 1 = 0 {\displaystyle {x^{2}}+{1 \over x^{2}}+\left({x^{1}}+{1 \over x^{1}}\right)+1=0} y 2 + y − 1 = 0 {\displaystyle y^{2}+y-1=0} 이차방정식 근의 공식으로부터, y = − 1 ± 5 2 {\displaystyle y={{-1\pm {\sqrt {5}}} \over 2}} , 이고 x + 1 x = y {\displaystyle {x}+{1 \over x}=y} , 이므로 y x = ( x + 1 x ) x {\displaystyle yx=\left(x+{1 \over x}\right)x} y x = x x + 1 x x {\displaystyle yx={xx}+{1 \over x}x} , x 2 + 1 x x − y x = 0 {\displaystyle x^{2}+{1x \over x}-yx=0} , x 2 − y x + x x = 0 {\displaystyle x^{2}-yx+{x \over x}=0} , x 2 − y x + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-yx+1=0} 따라서, 역시 근의 공식을 적용하면, x = y ± y 2 − 4 2 {\displaystyle x={{y\pm {\sqrt {y^{2}-4}}} \over 2}} 이므로, 여기에 y = − 1 ± 5 2 {\displaystyle y={{-1\pm {\sqrt {5}}} \over 2}} 를 대입하여 정리하면, 1 4 ( − 1 ± 5 ± 2 − 10 ± 2 5 2 ) {\displaystyle {1 \over 4}\left({-1\pm {\sqrt {5}}}\pm {{2{\sqrt {-10\pm 2{\sqrt {5}}}}} \over 2}\right)} = 1 4 ( − 1 + 5 + i 10 + 2 5 ) , 1 4 ( − 1 + 5 − i 10 + 2 5 ) , 1 4 ( − 1 − 5 + i 10 − 2 5 ) , 1 4 ( − 1 − 5 − i 10 − 2 5 ) {\displaystyle ={1 \over 4}\left(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right),{1 \over 4}\left(-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right),{{1 \over 4}\left(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)},{{1 \over 4}\left(-1-{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}} 의 4근을 갖는다. 좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations) a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 1 m x + a 0 m 2 = 0 {\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0} 의 경우 x + m x {\displaystyle x+{m \over x}} 으로 치환해주면 된다. x 4 + a = 0 {\displaystyle x^{4}+a=0} 의 꼴이다. 특히 x 4 = 1 {\displaystyle x^{4}=1} 의 경우는, 근의 계수 ω {\displaystyle \omega } 를 교착해서 4개의 근이 구해진다.(근은 1, -1, i, -i이다.) x = a {\displaystyle x=a} 로 예약했을때, a 4 + a 2 b 2 + b 4 = ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle \,a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})} x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) {\displaystyle \,x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)} a 4 + b 4 = ( a 2 + b 2 ) 2 − 2 a 2 b 2 {\displaystyle \,a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}} a 4 + b 4 + c 4 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( ( a b + b c + c a ) 2 − 2 a b c ( a + b + c ) ) {\displaystyle \,a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2\left((ab+bc+ca)^{2}-2abc(a+b+c)\right)} 꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다. 사차방정식 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyle \textstyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0} 의 네 근을 α , β , γ , δ {\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } 라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다. α + β + γ + δ = − b a {\displaystyle \textstyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =-{b \over a}} α β + α γ + α δ + β γ + β δ + γ δ = c a {\displaystyle \textstyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta ={c \over a}} α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ = − d a {\displaystyle \textstyle \alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =-{d \over a}} α β γ δ = e a {\displaystyle \textstyle \alpha \beta \gamma \delta ={e \over a}} 이것은 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면, 대수학의 기본정리에 따라 n {\displaystyle n} 차방정식은 n {\displaystyle n} 개의 근을 갖고, 따라서, 4 {\displaystyle 4} 개의 근 α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } 를 예정하고, 이를 4 {\displaystyle 4} 차방정식의 인수분해식으로 놓으면, ( x − α ) ( x − β ) ( x − γ ) ( x − δ ) = 0 {\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )=0} 이 되고, 다항식으로 전개하면, x 4 − ( α + β + γ + δ ) x 3 + ( α β + α γ + α δ + β γ + β δ + γ δ ) x 2 − ( α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ ) x + α β γ δ = 0 {\displaystyle x^{4}-(\alpha +\beta +\gamma +\delta )x^{3}+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta )x^{2}-(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta )x+\alpha \beta \gamma \delta =0} 이고, 일반항의 최고차항의 계수인 'a'로 양변을 나누면, x 4 + b a x 3 + c a x 2 + d a x + e a = 0 {\displaystyle \textstyle {x^{4}}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0} 이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다. 사차방정식의 판별식은 16개항으로 이루어져 있다. 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 사차방정식의 판별식 유도가 가능하다. a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e} 을 a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 {\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}} 으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 M = ( 2 n − 1 ) ⋅ ( 2 n − 1 ) {\displaystyle M=(2n-1)\cdot (2n-1)} M = [ a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 a 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 a 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 a 0 0 a 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0&0\\0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0\\0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}\\0a_{0}&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{bmatrix}}} D = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a n − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{n(n-1) \over 2}a_{n}^{-1}M} D = ( − 1 ) 4 ( 4 − 1 ) 2 a 4 − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{4(4-1) \over 2}a_{4}^{-1}M} D = ( − 1 ) 12 2 a 4 − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{12 \over 2}a_{4}^{-1}M} D = ( − 1 ) 6 a 4 − 1 M {\displaystyle D=(-1)^{6}a_{4}^{-1}M} D = − 27 a 2 d 4 + 18 a b c d 3 − 4 a c 3 d 2 + 16 a c 4 e − 80 a b c 2 d e {\displaystyle D=-27a^{2}d^{4}+18abcd^{3}-4ac^{3}d^{2}+16ac^{4}e-80abc^{2}de} + 144 a 2 c d 2 e − 6 a b 2 d 2 e − 4 b 3 d 3 + b 2 c 2 d 2 − 4 b 2 c 3 e {\displaystyle +144a^{2}cd^{2}e-6ab^{2}d^{2}e-4b^{3}d^{3}+b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{2}c^{3}e} + 18 b 3 c d e − 27 b 4 e 2 + 144 a b 2 c e 2 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 256 a 3 e 3 {\displaystyle +18b^{3}cde-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+256a^{3}e^{3}} 일차 방정식 이차 방정식 삼차 방정식 5차 방정식 6차 방정식