표현환

리 군론에서 표현환(表現環, 영어: representation ring)은 어떤 리 군의 유한 차원 표현들로 생성되는 그로텐디크 환이다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} (특히, 모든 유한군은 이산 공간으로서 콤팩트 리 군을 이룬다) K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} (실수체 또는 복소수체) 그렇다면, G {\displaystyle G} 의 매끄러운 유한 차원 표현 G → GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {K} )} 들의 동치류들의 집합을 생각하자. (이는 항상 가산 집합이다.) 이는 텐서곱과 직합을 통하여 가환 반환을 이룬다. 그 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 그 곱셈 항등원은 상수 함수인 자명한 1차원 표현 G → GL ⁡ ( 1 ; K ) {\displaystyle G\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {K} )} g ↦ 1 {\displaystyle g\mapsto 1} IHÉS 이다. 따라서, 이 반환의 그로텐디크 환 R ⁡ ( G ; K ) {\displaystyle \operatorname {R} (G;\mathbb {K} )} 을 취할 수 있다. 이를 G {\displaystyle G} 의 K {\displaystyle \mathbb {K} } 계수 표현환이라고 한다. K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 일 때 이 가환환을 RO ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RO} (G)} 라고 하며, K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 일 때 이 가환환을 RU ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RU} (G)} 라고 한다. 위와 마찬가지로, K = H {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} } (사원수의 나눗셈환)인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 표현의 직합은 잘 정의되지만, 사원수의 비가환성으로 인하여, 표현의 텐서곱을 일반적으로 취할 수 없다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군 RSp ⁡ ( G ) = R ⁡ ( G ; H ) {\displaystyle \operatorname {RSp} (G)=\operatorname {R} (G;\mathbb {H} )} 은 일반적으로 가환환의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로, RSp ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RSp} (G)} 는 가환환 RO ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RO} (G)} 위의 가군을 이룬다. 표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 환 준동형 dim C : RU ⁡ ( G ) → Z {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\colon \operatorname {RU} (G)\to \mathbb {Z} } dim R : RO ⁡ ( G ) → Z {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \mathbb {Z} } 이 존재한다. RU ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RU} (G)} 위에는 복소수 켤레 사상에 따라서 자기 동형 ( − ) ∗ : RU ⁡ ( G ) → RU ⁡ ( G ) {\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RU} (G)} 이 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형이다. 마찬가지로, RSp ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RSp} (G)} 위에는 ( − ) ∗ : RSp ⁡ ( G ) → RSp ⁡ ( G ) {\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {RSp} (G)\to \operatorname {RSp} (G)} 가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형이다. 또한, 복소화에 따라 환 준동형 ( − ) C : RO ⁡ ( G ) → RU ⁡ ( G ) {\displaystyle (-)^{\mathbb {C} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RU} (G)} ( − ) H : RO ⁡ ( G ) → RSp ⁡ ( G ) {\displaystyle (-)^{\mathbb {H} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RSp} (G)} 이 존재한다. 반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라서 덧셈군의 군 준동형 RU ⁡ ( G ) → RO ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RO} (G)} RSp ⁡ ( G ) → RO ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RSp} (G)\to \operatorname {RO} (G)} 이 존재한다. RU ⁡ ( G ) → RO ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RO} (G)} 는 유사환의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로, 환 준동형을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계 C ↪ H {\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow \mathbb {H} } 의 모듈러스 공간은 S 2 = { x ∈ H : x ¯ = − x , ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{x\in \mathbb {H} \colon {\bar {x}}=-x,\;\|x\|=1\}} 이므로, 이에 따라 망각 사상 RSp ⁡ ( G ) × S 2 → RU ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RSp} (G)\times \mathbb {S} ^{2}\to \operatorname {RU} (G)} 이 존재한다. 외부 자기 동형군 Out ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Out} (G)} 은 RU ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RU} (G)} 및 RO ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RO} (G)} 위에 환의 자기 동형으로 작용한다. H {\displaystyle H} 가 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 의 닫힌집합 부분군일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형이 유도된다. res H G : RU ⁡ ( G ) → RU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {res} _{H}^{G}\colon \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RU} (H)} res H G : RO ⁡ ( G ) → RO ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {res} _{H}^{G}\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RO} (H)} 이에 따라, RU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {RU} (H)} 는 RU ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RU} (G)} 위의 유한 생성 가군을 이루며,:Proposition 3.2 마찬가지로 RO ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {RO} (G)} 도 RO ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {RO} (H)} 위의 유한 생성 가군을 이룬다. G {\displaystyle G} 가 연결 콤팩트 리 군이라고 하고, 그 극대 원환면 T ≤ G {\displaystyle T\leq G} 및 이에 대한 바일 군 Weyl ⁡ ( G , T ) ≤ Out ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (G,T)\leq \operatorname {Out} (T)} 을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로 RU ⁡ ( G ) ≅ RU ⁡ ( T ) Weyl ⁡ ( G , T ) {\displaystyle \operatorname {RU} (G)\cong \operatorname {RU} (T)^{\operatorname {Weyl} (G,T)}} 이다. 여기서 우변은 RU ⁡ ( T ) ≅ Z [ x 1 , x 1 − 1 , … , x dim ⁡ T , x dim ⁡ T − 1 ] {\displaystyle \operatorname {RU} (T)\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},\dotsc ,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]} 의 원소 가운데, 바일 군의 작용에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환이다. 임의의 유한 아벨 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 그 지표군 G ^ = { ϕ ∈ hom Grp ⁡ ( G , C × } {\displaystyle {\hat {G}}=\{\phi \in \hom _{\operatorname {Grp} }(G,\mathbb {C} ^{\times }\}} 을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환이다. RU ⁡ ( G ) = Z [ G ^ ] {\displaystyle \operatorname {RU} (G)=\mathbb {Z} [{\hat {G}}]} 자명군의 표현환은 정수환이다. RO ⁡ ( 1 ) = RU ⁡ ( 1 ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {RO} (1)=\operatorname {RU} (1)\cong \mathbb {Z} } 즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다. n {\displaystyle n} 차 순환군 Cyc ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)} 의 경우, RU ⁡ ( Cyc ⁡ ( n ) ) ≅ Z [ x ] / ( x n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x]/(x^{n}-1)} 이며, 그 차원은 dim : RU ⁡ ( Cyc ⁡ ( n ) ) → Z {\displaystyle \dim \colon \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\to \mathbb {Z} } x ↦ 1 {\displaystyle x\mapsto 1} 이다. 이 동형 아래, x {\displaystyle x} 는 다음과 같은, 1의 거듭제곱근을 통한 1차원 표현에 대응한다. Cyc ⁡ ( n ) = ⟨ a | a n = 1 ⟩ → GL ⁡ ( 1 ; C ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\langle a|a^{n}=1\rangle \to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )} a ↦ exp ⁡ ( 2 π i / n ) {\displaystyle a\mapsto \exp(2\pi \mathrm {i} /n)} 3차 대칭군 Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 의 경우, RU ⁡ ( Sym ⁡ ( 3 ) ) ≅ Z [ x , y ] / ( x y − y , x 2 − 1 , y 2 − x − y − 1 ) {\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Sym} (3))\cong \mathbb {Z} [x,y]/(xy-y,x^{2}-1,y^{2}-x-y-1)} dim ⁡ x = 1 {\displaystyle \dim x=1} dim ⁡ y = 2 {\displaystyle \dim y=2} 이다. 여기서 x {\displaystyle x} 에 대응하는 1차원 표현은 Sym ⁡ ( 3 ) ↦ C × {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)\mapsto \mathbb {C} ^{\times }} σ ↦ ( − ) σ {\displaystyle \sigma \mapsto (-)^{\sigma }} 이며, y {\displaystyle y} 에 대응하는 2차원 표현은 { ( x , y , z ) ∈ C 3 : x + y + z = 0 } {\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}\colon x+y+z=0\}} 위에 벡터 성분의 순열로 작용한다. 원군 U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 의 복소수 계수 표현환은 로랑 다항식의 환 RU ⁡ ( Cyc ⁡ ( n ) ) ≅ Z [ x , x − 1 ] {\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x,x^{-1}]} 이며, 그 차원은 dim : RU ⁡ ( Cyc ⁡ ( n ) ) → Z {\displaystyle \dim \colon \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\to \mathbb {Z} } x ↦ 1 {\displaystyle x\mapsto 1} 이다. 이 동형 아래, x k {\displaystyle x^{k}} ( k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } )는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다. U ⁡ ( 1 ) = { z ∈ C : | z | = 1 } → GL ⁡ ( 1 ; C ) = { z ∈ C : z ≠ 0 } {\displaystyle \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\{z\in \mathbb {C} \colon z\neq 0\}} z ↦ z k {\displaystyle z\mapsto z^{k}} 원군의 실수 계수 다항식은 다음과 같은 부분환이다. RO ⁡ ( U ⁡ ( 1 ) ) = { ρ ∈ RU ⁡ ( U ⁡ ( 1 ) ) : ρ ( x ) = ρ ( x − 1 ) } ≤ RU ⁡ ( U ⁡ ( 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {RO} (\operatorname {U} (1))=\{\rho \in \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1))\colon \rho (x)=\rho (x^{-1})\}\leq \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1))} 원환면군 U ⁡ ( 1 ) n {\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}} 의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환이다. RU ⁡ ( U ⁡ ( 1 ) n ) = Z [ x 1 , x 1 − 1 , x 2 , x 2 − 1 , … , x n , x n − 1 ] ≅ Z [ y , x 1 , … , x n ] / ( y x 1 ⋯ x n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})=\mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},x_{2},x_{2}^{-1},\dotsc ,x_{n},x_{n}^{-1}]\cong \mathbb {Z} [y,x_{1},\dotsc ,x_{n}]/(yx_{1}\dotsm x_{n}-1)} dim : x 0 , x 1 , … , x n → 1 {\displaystyle \dim \colon x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}\to 1} 이 동형 아래, U ⁡ ( 1 ) n = { ( z 1 , z 2 , … , z n ) : | z 1 | = ⋯ = | z n | = 1 } → GL ⁡ ( 1 ; C ) = { z ∈ C : z ≠ 0 } {\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}=\{(z_{1},z_{2},\dotsc ,z_{n})\colon |z_{1}|=\dotsb =|z_{n}|=1\}\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\{z\in \mathbb {C} \colon z\neq 0\}} x i : ( z 1 , … , z n ) ↦ z i ( i ∈ { 1 , 2 , … , n } ) {\displaystyle x_{i}\colon (z_{1},\dotsc ,z_{n})\mapsto z_{i}\qquad (i\in \{1,2,\dotsc ,n\})} 이다. 유니터리 군 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 의 경우, 극대 원환면은 대각 행렬 diag : U ⁡ ( 1 ) n ↪ U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {diag} \colon \operatorname {U} (1)^{n}\hookrightarrow \operatorname {U} (n)} diag : ( z 1 , … , z n ) ↦ diag ⁡ ( z 1 , … , z n ) {\displaystyle \operatorname {diag} \colon (z_{1},\dotsc ,z_{n})\mapsto \operatorname {diag} (z_{1},\dotsc ,z_{n})} 로 구성되며, 이에 따른 바일 군은 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 이다. 즉, 그 표현환은 RU ⁡ ( U ⁡ ( n ) ) = RU ⁡ ( U ⁡ ( 1 ) n ) Sym ⁡ ( n ) ≅ Z [ s 1 , s 2 , … , s n − 1 , s n , s n − 1 ] {\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (n))=\operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})^{\operatorname {Sym} (n)}\cong \mathbb {Z} [s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{n-1},s_{n},s_{n}^{-1}]} 이다.:120, Proposition 3.1 여기서 s a {\displaystyle s_{a}} 는 a {\displaystyle a} 번째 기초 대칭 다항식에 대응된다. s a = ∏ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i a ≤ n x i 1 x i 2 ⋯ x i a {\displaystyle s_{a}=\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{a}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dotsb x_{i_{a}}} 특히, s 1 {\displaystyle s_{1}} 은 유니터리 군의 n {\displaystyle n} 차원 정의 표현이며, 또한 s n {\displaystyle s_{n}} 은 행렬식 표현에 해당한다. s n = det : U ⁡ ( 1 ) → GL ⁡ ( 1 ; C ) {\displaystyle s_{n}=\det \colon \operatorname {U} (1)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )} det : M ↦ det M {\displaystyle \det \colon M\mapsto \det M} 이는 1차원 표현이므로 역원 M ↦ ( det M ) − 1 {\displaystyle M\mapsto (\det M)^{-1}} 을 갖는다. Segal, Graeme. “The representation ring of a compact Lie group”. 《Publications mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 34: 113–128. MR 248277. Zbl 0209.06203.  “Ring of representations”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Representation ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Representation ring”. 《nLab》 (영어). `