점근적 평탄 다양체

리만 기하학과 일반 상대성 이론에서 점근적 평탄 다양체(漸近的平坦多樣體, 영어: asymptotically flat manifold)는 어떤 콤팩트 집합("중심")을 제외하면, 유클리드 공간에 점근적으로 근접하는 리만 계량을 갖는 조각들("끝")로 구성된 리만 다양체이다. n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 α ∈ R + {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}} 가 주어졌다고 하자. M {\displaystyle M} 의 점근적 평탄 끝(영어: asymptotically flat end) ( Σ , ι Σ ) {\displaystyle (\Sigma ,\iota _{\Sigma })} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. M {\displaystyle M} 의 n {\displaystyle n} 차원 부분 다양체 Σ ⊆ M {\displaystyle \Sigma \subseteq M} 미분 동형 사상 ι Σ : { x ∈ R n : ‖ x ‖ > 1 } → Σ {\displaystyle \iota _{\Sigma }\colon \{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x\|>1\}\to \Sigma } 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ∂ l ∂ x i 1 ∂ x i 2 ⋯ ∂ x i l ( ι Σ ∗ g ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) − δ i j ) ∈ O ( r − α − l ) ∀ l ∈ { 0 , 1 , 2 } , ∀ i 1 , i 2 , … , i l , i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle {\frac {\partial ^{l}}{\partial x^{i_{1}}\partial x^{i_{2}}\cdots \partial x^{i_{l}}}}\left(\iota _{\Sigma }^{*}g\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)-\delta _{ij}\right)\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}} 여기서 r = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x^{i})^{2}}}} 이다. 위 조건을 지표 표기법으로 줄여 쓰면 다음과 같다. ∂ i 1 ⋯ ∂ i l ( g i j − δ i j ) ∈ O ( r − α − l ) ∀ l ∈ { 0 , 1 , 2 } , ∀ i 1 , i 2 , … , i l , i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \partial _{i_{1}}\cdots \partial _{i_{l}}(g_{ij}-\delta _{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}} n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 와 그 유한 개의 점근적 평탄 끝 ( ι 1 , Σ a ) a = 1 , … , m {\displaystyle (\iota _{1},\Sigma _{a})_{a=1,\dots ,m}} 이 주어졌으며, 만약 M ∖ ( Σ 1 ∪ Σ 2 ∪ ⋯ Σ m ) {\displaystyle M\setminus (\Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}\cup \cdots \Sigma _{m})} 이 콤팩트 공간이라면, M {\displaystyle M} 을 점근적 평탄 다양체(영어: asymptotically flat manifold)라고 한다. 이 경우, 위의 m {\displaystyle m} 의 최솟값을 M {\displaystyle M} 의 끝의 수(영어: number of ends)라고 한다. 위 조건은 리만 다양체를 마치 공간처럼 여겨 정의한 개념이다. 마찬가지로, 로런츠 다양체를 시공간으로 여겨 비슷한 조건을 정의할 수 있다. n + 1 {\displaystyle n+1} 로런츠 다양체 ( M , g ) {\displaystyle ({\mathcal {M}},g)} 가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 α ∈ R + {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}} 가 주어졌다고 하자. M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 점근적 평탄 끝(영어: asymptotically flat end) ( Σ , ι Σ ) {\displaystyle (\Sigma ,\iota _{\Sigma })} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.:§3.6 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 n {\displaystyle n} 차원 공간형 부분 다양체 Σ ⊆ M {\displaystyle \Sigma \subseteq M} (즉, g ↾ Σ {\displaystyle g\upharpoonright \Sigma } 는 리만 계량을 이룬다) 미분 동형 사상 ι Σ : { x ∈ R n : ‖ x ‖ > 1 } → Σ {\displaystyle \iota _{\Sigma }\colon \{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x\|>1\}\to \Sigma } 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ∂ i 1 ⋯ ∂ i l ( g i j − δ i j ) ∈ O ( r − α − l ) ∀ l ∈ { 0 , 1 , 2 } , ∀ i 1 , i 2 , … , i l , i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \partial _{i_{1}}\cdots \partial _{i_{l}}(g_{ij}-\delta _{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}} ∂ i 1 ⋯ ∂ i l ( II i j − δ i j ) ∈ O ( r − α − l ) ∀ l ∈ { 0 , 1 , 2 } , ∀ i 1 , i 2 , … , i l , i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \partial _{i_{1}}\cdots \partial _{i_{l}}(\operatorname {II} _{ij}-\delta _{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}} 여기서 r = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x^{i})^{2}}}} 이며, II i j {\displaystyle \operatorname {II} _{ij}} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 제2 기본 형식이다. (이는 T ∗ Σ ⊗ T ∗ Σ ⊗ N M / Σ {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}\Sigma \otimes \mathrm {T} ^{*}\Sigma \otimes \mathrm {N} _{{\mathcal {M}}/\Sigma }} 의 단면인데, 법다발 N M / Σ {\displaystyle \mathrm {N} _{{\mathcal {M}}/\Sigma }} 은 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 로런츠 계량 g {\displaystyle g} 로 인하여 표준적으로 단위 벡터 단면을 잡을 수 있다.) 진공 아인슈타인 방정식의 해의 경우, n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 이라면 항상 α = n − 2 {\displaystyle \alpha =n-2} 로 잡을 수 있다.:(3.26), §3.7 콤팩트 리만 다양체는 자명하게 0개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 유클리드 공간은 자명하게 하나의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 원점을 제외한 유클리드 공간 R n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자. d s 2 = r − 2 d r 2 + ( ln ⁡ ( r + 1 / r ) ) 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=r^{-2}\,\mathrm {d} r^{2}+(\ln(r+1/r))^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}} 좌표 변환 r = exp ⁡ t {\displaystyle r=\exp t} 를 가하면 이는 d s 2 = d t 2 + ( ln ⁡ ( 2 cosh ⁡ ( t ) ) 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} t^{2}+(\ln(2\cosh(t))^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}} 가 되므로, 이는 t → ± ∞ {\displaystyle t\to \pm \infty } 에서 d s 2 ≈ d t 2 + | t | 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\approx \mathrm {d} t^{2}+|t|^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}} 이다. 따라서, 이는 두 개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 4차원 이상의 시공간에서, 슈바르츠실트 계량은 (질량 중심 틀에서 t = 0 {\displaystyle t=0} 조각을 생각한다면) 점근적 평탄 다양체를 이룬다. Chruściel, Piotr T.; Galloway, Gregory J.; Pollack, Daniel (2010년 10월). “Mathematical general relativity: a sampler”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 47 (4): 567–638. arXiv:1004.1016. Bibcode:2010arXiv1004.1016C. doi:10.1090/S0273-0979-2010-01304-5. ISSN 0273-0979. MR 2721040.  아인슈타인 방정식