특성 단순군

군론에서, 특성 단순군(特性單純群, 영어: characteristically simple group)은 특성 부분군이 자명 부분군과 자기 자신밖에 없는 군이다. 군 G {\displaystyle G} 가 { 1 G } {\displaystyle \{1_{G}\}} 와 G {\displaystyle G} 가 아닌 특성 부분군을 갖지 않는다면, G {\displaystyle G} 를 특성 단순군이라고 한다. 유한군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. G {\displaystyle G} 는 특성 단순군이다. G {\displaystyle G} 는 유한 개의 같은 단순군 N {\displaystyle N} 의 직접곱 N × n {\displaystyle N^{\times n}} 과 동형이다. 증명: 우선, G {\displaystyle G} 가 유한 특성 단순군이라고 하고, G {\displaystyle G} 가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상 G ≠ { 1 G } {\displaystyle G\neq \{1_{G}\}} 이라고 하자. G {\displaystyle G} 의 임의의 극소 정규 부분군 N {\displaystyle N} 을 취하자. 그렇다면, 임의의 ϕ ∈ Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)} 에 대하여, ϕ ( N ) {\displaystyle \phi (N)} 역시 극소 정규 부분군이다. 이제 M {\displaystyle M} 이 { ϕ 1 ( N ) × ⋯ × ϕ k ( N ) ≤ G : ϕ i ∈ Aut ⁡ ( G ) , ∀ i ∈ { 1 , … , k } : ϕ i ( N ) ∩ ϕ 1 ( N ) ⋯ ϕ i − 1 ( N ) ϕ i + 1 ( N ) ⋯ ϕ k ( N ) = { 1 G } } {\displaystyle \{\phi _{1}(N)\times \cdots \times \phi _{k}(N)\leq G\colon \phi _{i}\in \operatorname {Aut} (G),\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}\colon \phi _{i}(N)\cap \phi _{1}(N)\cdots \phi _{i-1}(N)\phi _{i+1}(N)\cdots \phi _{k}(N)=\{1_{G}\}\}} 의 한 극대 원소라고 하자. 그렇다면, M ⊲ G {\displaystyle M\vartriangleleft G} 이며, 임의의 ϕ ∈ Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)} 에 대하여, ϕ ( N ) ∩ M ⊲ G {\displaystyle \phi (N)\cap M\vartriangleleft G} 이다. 따라서 ϕ ( N ) ∩ M = { 1 G } {\displaystyle \phi (N)\cap M=\{1_{G}\}} 이거나 ϕ ( N ) ∩ M = ϕ ( N ) {\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)} 이며, M {\displaystyle M} 의 극대성에 의하여 ϕ ( N ) ∩ M = ϕ ( N ) {\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)} 이다. 즉, M = ∏ ϕ ( N ) ϕ ( N ) {\displaystyle M=\prod _{\phi (N)}\phi (N)} 이며, M {\displaystyle M} 은 G {\displaystyle G} 의 특성 부분군이다. G {\displaystyle G} 는 특성 단순군이므로 G = M {\displaystyle G=M} 이다. 또한, 임의의 H ⊲ N {\displaystyle H\vartriangleleft N} 에 대하여, H ⊲ G {\displaystyle H\vartriangleleft G} 이므로, N {\displaystyle N} 의 극소성에 의하여 H = { 1 G } {\displaystyle H=\{1_{G}\}} 이거나 H = N {\displaystyle H=N} 이다. 즉, N {\displaystyle N} 은 단순군이며, G = ∏ ϕ ( N ) ϕ ( N ) ≅ ∏ ϕ ( N ) N {\displaystyle G=\prod _{\phi (N)}\phi (N)\cong \prod _{\phi (N)}N} 이다. 반대로, 임의의 단순군 N {\displaystyle N} 및 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, N × n {\displaystyle N^{\times n}} 이 특성 단순군임을 보이자. 만약 N {\displaystyle N} 이 아벨 군이라면, | N | {\displaystyle |N|} 은 소수이며, N {\displaystyle N} 에 체의 구조를 부여할 수 있고, N × n {\displaystyle N^{\times n}} 을 이 체에 대한 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이 경우 N × n {\displaystyle N^{\times n}} 의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로, N × n {\displaystyle N^{\times n}} 은 특성 단순군이다. 만약 N {\displaystyle N} 이 아벨 군이 아니라면, n {\displaystyle n} 개의 자연스러운 단사 군 준동형 ı i : N ↪ N × n ( i ∈ { 1 , … , n } ) {\displaystyle \imath _{i}\colon N\hookrightarrow N^{\times n}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})} 의 상을 ı i ( N ) = N i {\displaystyle \imath _{i}(N)=N_{i}} 로 표기하자. 그렇다면 N × n {\displaystyle N^{\times n}} 은 다음과 같은 내직접곱과 같다. N × n = N 1 × ⋯ × N n {\displaystyle N^{\times n}=N_{1}\times \cdots \times N_{n}} 우선 임의의 H ⊲ N × n {\displaystyle H\vartriangleleft N^{\times n}} 를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자. H = N i 1 × ⋯ × N i k ( 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ) {\displaystyle H=N_{i_{1}}\times \cdots \times N_{i_{k}}\qquad (1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n)} 이는 임의의 g ∈ H {\displaystyle g\in H} 및 g i ∈ N i {\displaystyle g_{i}\in N_{i}} 및 j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, 만약 g = g 1 ⋯ g n {\displaystyle g=g_{1}\cdots g_{n}} 이며, g j ≠ 1 N × n {\displaystyle g_{j}\neq 1_{N^{\times n}}} 일 경우, N j ⊆ H {\displaystyle N_{j}\subseteq H} 임을 보이는 것으로 족하다. N j {\displaystyle N_{j}} 는 비아벨 단순군이므로 Z ⁡ ( N j ) = { 1 N × n } {\displaystyle \operatorname {Z} (N_{j})=\{1_{N^{\times n}}\}} 이며, 특히 g j ∉ Z ⁡ ( N j ) {\displaystyle g_{j}\not \in \operatorname {Z} (N_{j})} 이다. 따라서, 1 N × n ≠ g j h g j − 1 h − 1 = g h g − 1 h − 1 ∈ H {\displaystyle 1_{N^{\times n}}\neq g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in H} 인 h ∈ N j {\displaystyle h\in N_{j}} 가 존재하며, N j = ⟨ Cl ⁡ ( g j h g j − 1 h − 1 ) ⟩ ⊆ H {\displaystyle N_{j}=\langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle \subseteq H} 이다. (여기서 ⟨ Cl ⁡ ( g j h g j − 1 h − 1 ) ⟩ {\displaystyle \langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle } 는 g j h g j − 1 h − 1 {\displaystyle g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}} 의 켤레류로 생성된 부분군을 뜻한다.) 이제 H {\displaystyle H} 가 N × n {\displaystyle N^{\times n}} 의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상 H = N 1 × ⋯ × N k ( 1 ≤ k < n ) {\displaystyle H=N_{1}\times \cdots \times N_{k}\qquad (1\leq k<n)} 이라고 하자. 다음과 같은 N × n {\displaystyle N^{\times n}} 의 자기 동형 사상을 생각하자. ϕ : N × n → N × n {\displaystyle \phi \colon N^{\times n}\to N^{\times n}} ϕ : ( g 1 , g 2 , … , g n ) ↦ ( g n , g 1 , … , g n − 1 ) ( g i ∈ N ) {\displaystyle \phi \colon (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n})\mapsto (g_{n},g_{1},\dots ,g_{n-1})\qquad (g_{i}\in N)} 그렇다면 ϕ ( H ) = N 2 × ⋯ × N k + 1 ≠ H {\displaystyle \phi (H)=N_{2}\times \cdots \times N_{k+1}\neq H} 이며, 이는 모순이다. 즉, N × n {\displaystyle N^{\times n}} 은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다. 유한 개의 소수 p {\displaystyle p} 크기의 군의 직접곱은 특성 단순군이다. 임의의 군의 극소 정규 부분군은 특성 단순군이다. “Characteristically simple group”. 《Groupprops》 (영어).