동등 연속 함수족

해석학에서 동등 연속 함수족(同等連續函數族, 영어: equicontinuous family of functions)은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} X {\displaystyle X} 에서 Y {\displaystyle Y} 로 가는 함수족 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 가 존재한다면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 x {\displaystyle x} 에서 동등 연속 함수족(영어: family of functions equicontinuous at x {\displaystyle x} )이라고 한다.:TG X.10, Définition X.2.1 임의의 f ∈ F {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}} 및 x ′ ∈ U {\displaystyle x'\in U} 에 대하여, f ( x ) ≈ ϵ f ( x ′ ) {\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x')} 모든 점에서 동등 연속인 함수족을 동등 연속 함수족이라고 한다. 마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 균등 공간 ( X , E X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} X {\displaystyle X} 에서 Y {\displaystyle Y} 로 가는 함수족 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 측근 δ ∈ E X {\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}} 가 존재한다면, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 균등 동등 연속 함수족(均等同等連續函數族, 영어: uniformly equicontinuous family of functions)이라고 한다.:TG X.11, Définition X.2.2 임의의 f ∈ F {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}} 및 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여, 만약 x ≈ δ x ′ {\displaystyle x\approx _{\delta }x'} 이라면 f ( x ) ≈ ϵ f ( x ′ ) {\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x')} 이다. 여기서 x ≈ δ x 0 {\displaystyle x\approx _{\delta }x_{0}} 는 ( x , x 0 ) ∈ δ ∈ E X {\displaystyle (x,x_{0})\in \delta \in {\mathcal {E}}_{X}} 인 것이다. 만약 X {\displaystyle X} 의 균등 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는 δ {\displaystyle \delta } 를 어떤 양의 실수로 생각하며, d X ( x , x 0 ) < δ {\displaystyle d_{X}(x,x_{0})<\delta } 로 해석해도 좋다. ( f ( x ) ≈ ϵ f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})} 또한 마찬가지다.) 두 균등 공간 ( X , E X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})} , ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 사이의 함수족 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여 다음과 같은 네 조건들을 정의할 수 있다. 여기서 연속 함수족(영어: family of continuous functions)은 단순히 (균등 공간 위상에 대하여) 모든 원소가 연속 함수인 함수족이다. 균등 연속 함수족(영어: family of uniformly continuous functions)은 단순히 모든 원소가 균등 연속 함수인 함수족이다. 그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 연속 함수족 F ⊆ Y X {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}} 그렇다면, 함수 집합 Y X {\displaystyle Y^{X}} 위에 균등 수렴 위상을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간으로 만들 수 있다. 아르첼라-아스콜리 정리(영어: Arzelà–Ascoli theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:TG X.17, Théorème X.2.2 F ⊆ Y X {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}} 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다. 다음 두 조건이 성립한다. F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 동등 연속 함수족이다. 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { f ( x ) : f ∈ F } ⊆ Y {\displaystyle \{f(x)\colon f\in {\mathcal {F}}\}\subseteq Y} 는 콤팩트 집합이다. 마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 콤팩트 균등 공간 X {\displaystyle X} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 균등 연속 함수족 F ⊆ Y X {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:TG X.17, Théorème X.2.2 F ⊆ Y X {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}} 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다. 다음 두 조건이 성립한다. F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 균등 동등 연속 함수족이다. 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, { f ( x ) : f ∈ F } ⊆ Y {\displaystyle \{f(x)\colon f\in {\mathcal {F}}\}\subseteq Y} 는 콤팩트 집합이다. 다음과 같은 함수열을 생각하자. { x ↦ arctan ⁡ n x : n ∈ N } ⊆ R R {\displaystyle \{x\mapsto \arctan nx\colon n\in \mathbb {N} \}\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} 이는 x = 0 {\displaystyle x=0} 에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 x = 0 {\displaystyle x=0} 에서 기울기들의 열 { d arctan ⁡ ( n x ) / d x | x = 0 = n } n ∈ N {\displaystyle \{d\arctan(nx)/dx|_{x=0}=n\}_{n\in \mathbb {N} }} 이 발산하기 때문이다. 동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리(이탈리아어: Giulio Ascoli, 1843~1896)와 체사레 아르첼라(이탈리아어: Cesare Arzelà, 1847~1912)가 도입하였다. Bourbaki, Nicolas (1974). 《Topologie générale. Chapitres 5 à 10》. Éléments de mathématique (프랑스어). 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