허용 관계

보편 대수학과 격자 이론에서 허용 관계(영어: tolerance relation)는 대수 구조의 연산과 호환되는 반사 대칭 관계이다. 즉, 합동 관계에서 추이성 조건을 없애 얻는 개념이다. 허용 관계에 대한 몫 대수는 합동 관계에 대한 몫 대수를 일반화한다. 합동 관계와 달리, 허용 관계에 대한 몫 대수는 존재하지 않을 수 있으며, 몫 대수는 (만약 존재한다면) 항등식들을 보존할 필요가 없다. 대수 구조 위의 허용 관계는 통상적으로 모든 연산들과 호환되는 반사 대칭 관계로 정의되며, 특별한 조건을 만족시키는 덮개로 정의할 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 위의 허용 관계들은 포함 관계에 따라 대수적 격자 Tolr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)} 를 이룬다. 합동 관계 격자 Cong ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Cong} (A)} 는 허용 관계 격자 Tolr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)} 의 부분 순서 집합이지만, 부분 격자일 필요는 없다. 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 위의 허용 관계는 다음 조건을 만족시키는 A {\displaystyle A} 위의 이항 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이다. (반사성) 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, a ∼ a {\displaystyle a\sim a} (대칭성) 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, 만약 a ∼ b {\displaystyle a\sim b} 라면, b ∼ a {\displaystyle b\sim a} (연산과의 호환) { ( a , b ) : a ∼ b } {\displaystyle \{(a,b)\colon a\sim b\}} 는 두 A {\displaystyle A} 의 직접곱 A 2 {\displaystyle A^{2}} 의 부분 대수이다. 즉, 임의의 n {\displaystyle n} 항 연산 f ∈ F {\displaystyle f\in F} 및 a 1 , … , a n , b 1 , … , b n ∈ A {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}\in A} 에 대하여, 만약 임의의 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 에 대하여 a i ∼ b i {\displaystyle a_{i}\sim b_{i}} 라면, f A ( a 1 , … , a n ) ∼ f A ( b 1 , … , b n ) {\displaystyle f_{A}(a_{1},\dots ,a_{n})\sim f_{A}(b_{1},\dots ,b_{n})} . 합동 관계는 추이적 허용 관계이다. 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 위의 허용 관계는 다음 조건들을 만족시키는 A {\displaystyle A} 의 덮개 C ⊆ P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(A)} 이다.:307, Theorem 3 임의의 C ∈ C {\displaystyle C\in {\mathcal {C}}} 및 S ⊆ C {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}} 에 대하여, 만약 C ⊆ ⋃ S {\displaystyle \textstyle C\subseteq \bigcup {\mathcal {S}}} 라면, ⋂ S ⊆ C {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\subseteq C} 이다. 특히, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 서로 다른 두 원소는 서로를 포함하지 않는다. (이 사실은 S = { D } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{D\}} 를 취하여 얻는다.) 임의의 S ⊆ A {\displaystyle S\subseteq A} 에 대하여, 만약 S {\displaystyle S} 가 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 원소의 부분 집합이 아니라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 원소의 부분 집합이 아닌 두 원소 집합 { s , t } ⊆ S {\displaystyle \{s,t\}\subseteq S} 가 존재한다. 임의의 n {\displaystyle n} 항 연산 f ∈ F {\displaystyle f\in F} 및 C 1 , … , C n ∈ C {\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, f A [ C 1 × ⋯ × C n ] ⊆ f A / ∼ ( C 1 , … , C n ) {\displaystyle f_{A}[C_{1}\times \cdots \times C_{n}]\subseteq f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})} 인 f A / ∼ ( C 1 , … , C n ) ∈ C {\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})\in {\mathcal {C}}} 가 존재한다. (이러한 f A / ∼ ( C 1 , … , C n ) {\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})} 는 일반적으로 유일하지 않다.) 집합의 분할은 정의의 처음 두 조건을 만족시키지만, 그 역은 성립하지 않는다. 합동 관계는 집합의 분할을 이루는 허용 관계이다. 이항 관계로서의 허용 관계와 덮개로서의 허용 관계의 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 위의 이항 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 가 허용 관계라고 하자. A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 이 다음 조건을 만족시키는 극대 부분 집합 C ⊆ A {\displaystyle C\subseteq A} 들의 집합이라고 하자. 임의의 c , d ∈ C {\displaystyle c,d\in C} 에 대하여, c ∼ d {\displaystyle c\sim d} 그래프 이론의 용어를 사용하면, A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 은 그래프 ( A , ∼ ) {\displaystyle (A,\sim )} 의 극대 클릭들의 집합이다. 합동 관계의 경우 이는 단순히 동치류들의 몫집합이다. 그렇다면, A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 는 A {\displaystyle A} 의 덮개이며, 덮개로서 허용 관계를 이룬다. (덮개 정의의 마지막 조건은 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다.) 반대로, 허용 관계를 이루는 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 의 덮개 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌을 때, 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여 a ∼ C b ⟺ ∃ C ∈ C : a , b ∈ C {\displaystyle a\sim _{\mathcal {C}}b\iff \exists C\in {\mathcal {C}}\colon a,b\in C} 라고 하자. 그렇다면, ∼ C {\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}} 는 이항 관계로서 허용 관계를 이룬다. ∼ ↦ A / ∼ {\displaystyle {\sim }\mapsto A/{\sim }} 과 C ↦ ∼ C {\displaystyle {\mathcal {C}}\mapsto {\sim _{\mathcal {C}}}} 는 이항 관계로서의 허용 관계들과 덮개로서의 허용 관계들 사이의 일대일 대응이며, 서로 역함수이다. 따라서 두 정의는 서로 동치이다. 허용 관계가 이항 관계로서 동치 관계인 것은 덮개로서 집합의 분할인 것과 동치이다. 즉, 합동 관계의 두 가지 정의도 서로 일치한다. 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 위에 허용 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 n {\displaystyle n} 항 연산 f ∈ F {\displaystyle f\in F} 및 C 1 , … , C n ∈ A / ∼ {\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in A/{\sim }} 에 대하여, f A [ C 1 × ⋯ × C n ] ⊆ f A / ∼ ( C 1 , … , C n ) {\displaystyle f_{A}[C_{1}\times \cdots \times C_{n}]\subseteq f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})} 인 f A / ∼ ( C 1 , … , C n ) {\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})} 이 유일하게 존재한다면, 이는 자연스럽게 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 의 ∼ {\displaystyle \sim } 에 대한 몫 대수 ( A / ∼ , F A / ∼ ) {\displaystyle (A/{\sim },F_{A/{\sim }})} 를 정의한다. 합동 관계의 경우, 이러한 유일성 조건은 항상 만족되며, 정의된 몫 대수는 통상적인 몫 대수와 일치한다. 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 가 다음 조건을 만족시키면, 허용 몫 가능 다양체(영어: tolerance factorable variety)라고 한다. 임의의 ( A , F A ) ∈ V {\displaystyle (A,F_{A})\in {\mathcal {V}}} 및 허용 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 및 n {\displaystyle n} 항 연산 f ∈ F {\displaystyle f\in F} 및 C 1 , … , C n ∈ A / ∼ {\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in A/{\sim }} 에 대하여, f A [ C 1 × ⋯ × C n ] ⊆ f A / ∼ ( C 1 , … , C n ) {\displaystyle f_{A}[C_{1}\times \cdots \times C_{n}]\subseteq f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})} 인 유일한 f A / ∼ ( C 1 , … , C n ) {\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})} 이 존재한다. (따라서, 몫 대수 ( A / ∼ , F A / ∼ ) {\displaystyle (A/{\sim },F_{A/{\sim }})} 가 존재한다.) 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 가 다음 두 조건을 만족시키면, 강하게 허용 몫 가능 다양체(영어: strongly tolerance factorable variety)라고 한다. 허용 몫 가능 다양체이다. 임의의 ( A , F A ) ∈ V {\displaystyle (A,F_{A})\in {\mathcal {V}}} 및 허용 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 에 대하여, ( A / ∼ , F A / ∼ ) ∈ V {\displaystyle (A/{\sim },F_{A/{\sim }})\in {\mathcal {V}}} 모든 강하게 허용 몫 가능 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 만약 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 가 멱등 대수 구조라면 ( ∀ f ∈ F ∀ a ∈ A : f A ( a , … , a ) = a {\displaystyle \forall f\in F\forall a\in A\colon f_{A}(a,\dots ,a)=a} ), 임의의 허용 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 및 C ∈ A / ∼ {\displaystyle C\in A/{\sim }} 에 대하여, C {\displaystyle C} 는 A {\displaystyle A} 의 부분 대수이다.:308, Theorem 4 증명: 임의의 n {\displaystyle n} 항 연산 f ∈ F {\displaystyle f\in F} 및 c 1 , … , c n ∈ C {\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in C} 에 대하여, f A ( c 1 , … , c n ) ∈ C {\displaystyle f_{A}(c_{1},\dots ,c_{n})\in C} 를 보이면 된다. 임의의 c ∈ C {\displaystyle c\in C} 에 대하여, c i ∼ c {\displaystyle c_{i}\sim c} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} )이므로, c = f A ( c , … , c ) ∼ f A ( c 1 , … , c n ) {\displaystyle c=f_{A}(c,\dots ,c)\sim f_{A}(c_{1},\dots ,c_{n})} 이다. C {\displaystyle C} 의 극대성에 따라, f A ( c 1 , … , c n ) ∈ C {\displaystyle f_{A}(c_{1},\dots ,c_{n})\in C} 이다. 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. | A | ≥ 3 {\displaystyle |A|\geq 3} ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 의 연산의 값이 될 수 없는 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 가 존재한다. 그렇다면, ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 위에 합동 관계가 아닌 허용 관계가 존재한다.:310, Theorem 8 부호수 F {\displaystyle F} 의 대수 구조 ( A , F A ) {\displaystyle (A,F_{A})} 및 전사 준동형 ϕ : ( A , F A ) → ( B , F B ) {\displaystyle \phi \colon (A,F_{A})\to (B,F_{B})} 가 주어졌다고 하자. A {\displaystyle A} 위에 합동 관계 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, B {\displaystyle B} 위에 다음 이항 관계 ϕ ( R ) {\displaystyle \phi (R)} 를 정의하자. a ∼ ϕ ( R ) b ⟺ ∃ a ′ ∈ ϕ − 1 ( a ) ∃ b ′ ∈ ϕ − 1 ( b ) : a ′ ∼ R b ′ ( a , b ∈ B ) {\displaystyle a\sim _{\phi (R)}b\iff \exists a'\in \phi ^{-1}(a)\exists b'\in \phi ^{-1}(b)\colon a'\sim _{R}b'\qquad (a,b\in B)} 그렇다면, ϕ ( R ) {\displaystyle \phi (R)} 는 B {\displaystyle B} 위의 허용 관계이다. 강하게 허용 몫 가능 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 에서, 모든 허용 관계는 합동 관계의 준동형에 대한 상이다. 집합은 F = ∅ {\displaystyle F=\varnothing } 인 대수 구조이다. 집합 위의 허용 관계는 단순히 반사 대칭 관계가 된다. 따라서, 집합의 다양체는 자명하게 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다. 군 위에서, 모든 허용 관계는 합동 관계이다. 특히, 환, 벡터 공간, 가군, 불 대수 등의, 일부 연산을 잊었을 때 군을 이루는 대수 구조들 위에서도 마찬가지다.:261–262 따라서, 이들의 다양체가 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다는 사실 역시 자명하다. 격자 L {\displaystyle L} 위에 허용 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이 주어졌을 때, L / ∼ {\displaystyle L/{\sim }} 의 모든 원소는 L {\displaystyle L} 의 볼록 부분 격자를 이룬다. 따라서, 임의의 A ∈ L / ∼ {\displaystyle A\in L/{\sim }} 에 대하여, A = ↑ ⁡ A ∩ ↓ ⁡ A {\displaystyle A=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\downarrow } A} 이다. 특히, a ∼ b {\displaystyle a\sim b} 일 필요충분조건은 a ∨ b ∼ a ∧ b {\displaystyle a\vee b\sim a\wedge b} 이다. 만약 a ∼ b {\displaystyle a\sim b} 이며, a ≤ c , d ≤ b {\displaystyle a\leq c,d\leq b} 라면, c ∼ d {\displaystyle c\sim d} 이다. 증명: 만약 a ∼ b {\displaystyle a\sim b} 라면, a ∨ b = ( a ∨ b ) ∧ a ∼ ( a ∨ a ) ∧ b = a ∧ b {\displaystyle a\vee b=(a\vee b)\wedge a\sim (a\vee a)\wedge b=a\wedge b} 이다. 반대로, 만약 a ∨ b ∼ a ∧ b {\displaystyle a\vee b\sim a\wedge b} 라면, a = a ∨ ( a ∧ b ) ∼ a ∨ ( a ∨ b ) = a ∨ b {\displaystyle a=a\vee (a\wedge b)\sim a\vee (a\vee b)=a\vee b} 이며, 마찬가지로 b ∼ a ∨ b {\displaystyle b\sim a\vee b} 이다. 따라서, a = a ∧ ( a ∨ b ) ∼ ( a ∨ b ) ∧ b = b {\displaystyle a=a\wedge (a\vee b)\sim (a\vee b)\wedge b=b} 이다. 만약 a ∼ b {\displaystyle a\sim b} 이며, a ≤ c , d ≤ b {\displaystyle a\leq c,d\leq b} 라면, c = b ∧ c ∼ a ∧ c = a {\displaystyle c=b\wedge c\sim a\wedge c=a} 이며, 마찬가지로 d ∼ a {\displaystyle d\sim a} 이다. 따라서, c = a ∨ c ∼ d ∨ a = d {\displaystyle c=a\vee c\sim d\vee a=d} 이다. 모든 격자는 멱등 대수 구조이므로, 임의의 A ∈ L / ∼ {\displaystyle A\in L/{\sim }} 은 L {\displaystyle L} 의 부분 격자이다. 이제, a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} , c ∈ L {\displaystyle c\in L} 이며, a ≤ c ≤ b {\displaystyle a\leq c\leq b} 라고 하자. A {\displaystyle A} 의 극대성에 따라, c ∈ A {\displaystyle c\in A} 를 보이려면, 임의의 d ∈ A {\displaystyle d\in A} 에 대하여 c ∼ d {\displaystyle c\sim d} 임을 보이는 것으로 족하다. a ∧ d ≤ c ∧ d ≤ c ∨ d ≤ b ∨ d {\displaystyle a\wedge d\leq c\wedge d\leq c\vee d\leq b\vee d} 이므로, a ∧ d ∼ b ∨ d {\displaystyle a\wedge d\sim b\vee d} 를 보이면 족하다. A {\displaystyle A} 가 부분 격자이므로, a ∧ d , b ∨ d ∈ A {\displaystyle a\wedge d,b\vee d\in A} 이며, 따라서 a ∧ d ∼ b ∨ d {\displaystyle a\wedge d\sim b\vee d} 이다. 격자의 다양체는 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다. 즉, 격자 ( L , ∨ L , ∧ L ) {\displaystyle (L,\vee _{L},\wedge _{L})} 위에 허용 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 이 주어졌을 때, 임의의 A , B ∈ L / ∼ {\displaystyle A,B\in L/{\sim }} 에 대하여, { a ∨ L b : a ∈ A , b ∈ B } ⊆ A ∨ L / ∼ B {\displaystyle \{a\vee _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee _{L/{\sim }}B} { a ∧ L b : a ∈ A , b ∈ B } ⊆ A ∧ L / ∼ B {\displaystyle \{a\wedge _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge _{L/{\sim }}B} 인 유일한 A ∨ L / ∼ B , A ∧ L / ∼ B ∈ L / ∼ {\displaystyle A\vee _{L/{\sim }}B,A\wedge _{L/{\sim }}B\in L/{\sim }} 이 존재하며, 또한 몫 대수 ( L / ∼ , ∨ L / ∼ , ∧ L / ∼ ) {\displaystyle (L/{\sim },\vee _{L/{\sim }},\wedge _{L/{\sim }})} 는 다시 격자를 이룬다.:44, Theorem 22 증명 ( L / ∼ {\displaystyle L/{\sim }} 은 대수): 임의의 A , B , C ∈ L / ∼ {\displaystyle A,B,C\in L/{\sim }} 에 대하여 다음 네 명제를 보이는 것으로 족하다. (첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째 명제는 서로 쌍대이므로, 첫 번째와 세 번째만을 증명한다.) 만약 ↑ ⁡ A = ↑ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B} 라면, A = B {\displaystyle A=B} 이다. 만약 ↓ ⁡ A = ↓ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\downarrow } A=\mathop {\downarrow } B} 라면, A = B {\displaystyle A=B} 이다. 만약 { a ∨ b : a ∈ A , b ∈ B } ⊆ C {\displaystyle \{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C} 라면, ↑ ⁡ C = ↑ ⁡ A ∩ ↑ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\uparrow } C=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B} 이다. 만약 { a ∧ b : a ∈ A , b ∈ B } ⊆ C {\displaystyle \{a\wedge b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C} 라면, ↓ ⁡ C = ↓ ⁡ A ∩ ↓ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\downarrow } C=\mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B} 이다. 첫 번째 명제의 증명. U = ( ↓ ⁡ A ∨ Ideal ⁡ ( L ) ↓ ⁡ B ) ∩ ↑ ⁡ A = ( ↓ ⁡ A ∨ Ideal ⁡ ( L ) ↓ ⁡ B ) ∩ ↑ ⁡ B {\displaystyle U=(\mathop {\downarrow } A\vee _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B)\cap \mathop {\uparrow } A=(\mathop {\downarrow } A\vee _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B)\cap \mathop {\uparrow } B} 라고 하자 ( ∨ Ideal ⁡ ( L ) {\displaystyle \vee _{\operatorname {Ideal} (L)}} 는 순서 아이디얼 격자에서의 상한). A = ↑ ⁡ A ∩ ↓ ⁡ A {\displaystyle A=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\downarrow } A} , B = ↑ ⁡ B ∩ ↓ ⁡ B {\displaystyle B=\mathop {\uparrow } B\cap \mathop {\downarrow } B} 이므로, A ⊆ U {\displaystyle A\subseteq U} , B ⊆ U {\displaystyle B\subseteq U} 이다. A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 의 극대성에 따라, 임의의 u , u ′ ∈ U {\displaystyle u,u'\in U} 에 대하여 u ∼ u ′ {\displaystyle u\sim u'} 임을 보이면 족하다. u ≤ a ∨ b {\displaystyle u\leq a\vee b} , u ′ ≤ a ′ ∨ b ′ {\displaystyle u'\leq a'\vee b'} , a , a ′ ∈ A {\displaystyle a,a'\in A} , b , b ′ ∈ B {\displaystyle b,b'\in B} 이며, x = u ∧ u ′ ∧ a ∧ a ′ ∧ b ∧ b ′ {\displaystyle x=u\wedge u'\wedge a\wedge a'\wedge b\wedge b'} 라고 하자. x ≤ u , u ′ ≤ a ∨ a ′ ∨ b ∨ b ′ {\displaystyle x\leq u,u'\leq a\vee a'\vee b\vee b'} 이므로, x ∼ a ∨ a ′ ∨ b ∨ b ′ {\displaystyle x\sim a\vee a'\vee b\vee b'} 를 보이면 족하다. x ≤ a , b {\displaystyle x\leq a,b} 이므로 x ∈ ↓ ⁡ A ∩ ↓ ⁡ B {\displaystyle x\in \mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B} 이다. 또한, u , u ′ , a , a ′ ∈ ↑ ⁡ A {\displaystyle u,u',a,a'\in \mathop {\uparrow } A} , u , u ′ , b , b ′ ∈ ↑ ⁡ B {\displaystyle u,u',b,b'\in \mathop {\uparrow } B} , ↑ ⁡ A = ↑ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B} 이므로 x ∈ ↑ ⁡ A = ↑ ⁡ B {\displaystyle x\in \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B} 이다. 따라서, x ∈ A ∩ B {\displaystyle x\in A\cap B} 이다. a ∨ a ′ ∈ A {\displaystyle a\vee a'\in A} , b ∨ b ′ ∈ B {\displaystyle b\vee b'\in B} 이므로 x ∼ a ∨ a ′ {\displaystyle x\sim a\vee a'} , x ∼ b ∨ b ′ {\displaystyle x\sim b\vee b'} 이며, 따라서 x ∼ a ∨ a ′ ∨ b ∨ b ′ {\displaystyle x\sim a\vee a'\vee b\vee b'} 이다. 세 번째 명제의 증명. 우선, ↑ ⁡ A ∩ ↑ ⁡ B = ↑ ⁡ { a ∨ b : a ∈ A , b ∈ B } ⊆ ↑ ⁡ C {\displaystyle \mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B=\mathop {\uparrow } \{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq \mathop {\uparrow } C} 이다. 이제, 임의의 c ∈ C {\displaystyle c\in C} 에 대하여 c ∈ ↑ ⁡ A ∩ ↑ ⁡ B {\displaystyle c\in \mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B} 임을 보이면 족하다. c ∉ ↑ ⁡ A {\displaystyle c\not \in \mathop {\uparrow } A} 라고 가정하자. 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 와 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 를 취하자. 임의의 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 에 대하여, x ∨ a ∨ b , c ∈ C {\displaystyle x\vee a\vee b,c\in C} 이므로 x ∨ a ∨ b ∼ c {\displaystyle x\vee a\vee b\sim c} 이며, x , a ∈ A {\displaystyle x,a\in A} 이므로 x ∨ a ∼ x ∧ a {\displaystyle x\vee a\sim x\wedge a} 이다. 따라서, x ∨ a ∼ x ∧ a ∧ c {\displaystyle x\vee a\sim x\wedge a\wedge c} 이다. x ∨ a ≥ x , a ∧ c ≥ x ∧ a ∧ c {\displaystyle x\vee a\geq x,a\wedge c\geq x\wedge a\wedge c} 이므로, x ∼ a ∧ c {\displaystyle x\sim a\wedge c} 이다. A {\displaystyle A} 의 극대성에 따라, a ∧ c ∈ A {\displaystyle a\wedge c\in A} 이며, 따라서 c ∈ ↑ ⁡ ( a ∧ c ) ⊆ ↑ ⁡ A {\displaystyle c\in \mathop {\uparrow } (a\wedge c)\subseteq \mathop {\uparrow } A} 이다. 이는 모순이다. 증명 ( L / ∼ {\displaystyle L/{\sim }} 은 격자): 위 증명에 따라, 필터 격자와 순서 아이디얼 격자로 가는 자연스러운 단사 함수 ↑ : L / ∼ → Filter ⁡ ( L ) {\displaystyle \uparrow \colon L/{\sim }\to \operatorname {Filter} (L)} ↓ : L / ∼ → Ideal ⁡ ( L ) {\displaystyle \downarrow \colon L/{\sim }\to \operatorname {Ideal} (L)} 가 존재하며, 항상 ↑ ⁡ ( A ∨ L / ∼ B ) = ↑ ⁡ A ∩ ↑ ⁡ B = ↑ ⁡ A ∧ Filter ⁡ ( L ) ↑ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\uparrow } (A\vee _{L/{\sim }}B)=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B=\mathop {\uparrow } A\wedge _{\operatorname {Filter} (L)}\mathop {\uparrow } B} ↓ ⁡ ( A ∧ L / ∼ B ) = ↓ ⁡ A ∩ ↓ ⁡ B = ↓ ⁡ A ∧ Ideal ⁡ ( L ) ↓ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\downarrow } (A\wedge _{L/{\sim }}B)=\mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B=\mathop {\downarrow } A\wedge _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B} 가 성립한다. 따라서, ( L / ∼ , ∨ L / ∼ ) {\displaystyle (L/{\sim },\vee _{L/{\sim }})} 과 ( L / ∼ , ∧ L / ∼ ) {\displaystyle (L/{\sim },\wedge _{L/{\sim }})} 은 각각 가환 반군 ( Filter ⁡ ( L ) , ∧ Filter ⁡ ( L ) ) {\displaystyle (\operatorname {Filter} (L),\wedge _{\operatorname {Filter} (L)})} 및 ( Ideal ⁡ ( L ) , ∧ Ideal ⁡ ( L ) ) {\displaystyle (\operatorname {Ideal} (L),\wedge _{\operatorname {Ideal} (L)})} 의 부분 반군과 동형이다 (격자로서의 동형일 필요는 없다). 이제, 흡수 법칙을 보이는 일만 남았다. 쌍대성에 따라 두 흡수 법칙 가운데 하나 A ∨ L / ∼ ( A ∧ L / ∼ B ) = A {\displaystyle A\vee _{L/{\sim }}(A\wedge _{L/{\sim }}B)=A} 만을 보여도 좋다. ∧ L / ∼ {\displaystyle \wedge _{L/{\sim }}} 의 정의에 따라 ↑ ⁡ ( A ∧ L / ∼ B ) ⊇ ↑ ⁡ { a ∧ b : a ∈ A , b ∈ B } = ↑ ⁡ A ∨ Filter ⁡ ( L ) ↑ ⁡ B ⊇ ↑ ⁡ A {\displaystyle \mathop {\uparrow } (A\wedge _{L/{\sim }}B)\supseteq \mathop {\uparrow } \{a\wedge b\colon a\in A,\;b\in B\}=\mathop {\uparrow } A\vee _{\operatorname {Filter} (L)}\mathop {\uparrow } B\supseteq \mathop {\uparrow } A} 이므로, ↑ ⁡ ( A ∨ L / ∼ ( A ∧ L / ∼ B ) ) = ↑ ⁡ A ∩ ↑ ⁡ ( A ∧ L / ∼ B ) = ↑ ⁡ A {\displaystyle \mathop {\uparrow } (A\vee _{L/{\sim }}(A\wedge _{L/{\sim }}B))=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } (A\wedge _{L/{\sim }}B)=\mathop {\uparrow } A} 이다. 따라서 위 흡수 법칙은 참이다. 특히, 분배 격자와 모듈러 격자는 임의의 허용 관계에 대하여 몫 격자를 취할 수 있다. 그러나, 이러한 몫 격자가 다시 분배 격자나 모듈러 격자가 될 필요는 없다. 즉, 분배 격자의 다양체와 모듈러 격자의 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 강하게 허용 몫 가능 다양체가 아니다.:40 사실, 격자 다양체의 모든 부분 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 격자 다양체의 강하게 허용 몫 가능 부분 다양체는 격자 다양체 전체와 자명한 (한 원소 격자로 구성된) 부분 다양체밖에 없다. 이는 모든 격자는 두 원소 격자들의 직접곱의 부분 격자의 허용 관계에 대한 몫 격자의 부분 격자와 동형이기 때문이다.:40, Theorem 3 상대 여원 격자 위의 모든 허용 관계는 합동 관계이다.:308, Theorem 5 반대로, 모든 허용 관계가 합동 관계인 분배 격자는 상대 여원 격자이다.:310, Corollary 2 모든 크기 3 이상의 격자는, 합동 관계가 아닌 허용 관계가 존재하는 부분 격자를 갖는다.:308, Corollary 1 Chajda, Ivan; Radeleczki, Sándor (2014). “Notes on tolerance factorable classes of algebras”. 《Acta Scientiarum Mathematicarum》 (영어) 80 (3-4): 389–397. doi:10.14232/actasm-012-861-x. ISSN 0001-6969. MR 3307031. S2CID 85560830. Zbl 1321.08002.  Chajda, Ivan; Niederle, Josef; Zelinka, Bohdan (1976). “On existence conditions for compatible tolerances”. 《Czechoslovak Mathematical Journal》 (영어) 26 (101): 304–311. doi:10.21136/CMJ.1976.101403. ISSN 0011-4642. MR 0401561. Zbl 0333.08006.  지원되지 않는 변수 무시됨: |eudml= (도움말) Chajda, Ivan; Czédli, Gábor; Halaš, Radomír (2013). “Independent joins of tolerance factorable varieties”. 《Algebra Universalis》 (영어) 69 (1): 83–92. arXiv:1207.1732. doi:10.1007/s00012-012-0213-0. ISSN 0002-5240. MR 3029971. Zbl 1295.08006.  Schein, Boris M. (1987). “Semigroups of tolerance relations”. 《Discrete Mathematics》 (영어) 64: 253–262. doi:10.1016/0012-365X(87)90194-4. ISSN 0012-365X. MR 0887364. Zbl 0615.20045.  Czédli, Gábor (1982). “Factor lattices by tolerances”. 《Acta Scientiarum Mathematicarum》 (영어) 44: 35–42. ISSN 0001-6969. MR 0660510. Zbl 0484.06010.  Grätzer, George; Wenzel, G. H. 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