콤팩트 생성 공간

위상수학에서 콤팩트 생성 공간(compact生成空間, 영어: compactly generated space) 또는 k-공간(영어: k-space)은 연속 함수들의 공간이 항상 잘 정의되는 위상 공간이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 범주는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면, k-연속 함수라고 하자. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 K {\displaystyle K} 및 연속 함수 t : K → X {\displaystyle t\colon K\to X} 에 대하여, f ∘ t : K → Y {\displaystyle f\circ t\colon K\to Y} 는 연속 함수이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A {\displaystyle A} 가 다음 조건을 만족시키면 k-닫힌집합이라고 하자. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 K {\displaystyle K} 및 연속 함수 t : K → X {\displaystyle t\colon K\to X} 에 대하여, t − 1 ( A ) {\displaystyle t^{-1}(A)} 는 닫힌집합이다. 모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 콤팩트 생성 공간이라고 한다.:182, Prop. 5.9.1:39 X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 및 k-연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. X {\displaystyle X} 의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다. X {\displaystyle X} 는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다. 즉, X ≅ ( ⨆ i ∈ I K i ) / ∼ {\displaystyle X\cong \left(\bigsqcup _{i\in I}K_{i}\right)/{\sim }} 인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 { K i } i ∈ I {\displaystyle \{K_{i}\}_{i\in I}} 및 ⨆ i ∈ I K i {\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}K_{i}} 위의 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 가 존재한다. 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 { K i } i ∈ I {\displaystyle \{K_{i}\}_{i\in I}} 및 함수들의 집합 { f i : K i → X } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\colon K_{i}\to X\}_{i\in I}} 이 존재한다. 임의의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, A {\displaystyle A} 가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 f i − 1 ( A ) ⊆ K i {\displaystyle f_{i}^{-1}(A)\subseteq K_{i}} 가 닫힌집합인 것이다. X {\displaystyle X} 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다. 콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 T o p k {\displaystyle \operatorname {Top_{k}} } 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. CGTop → Top → T o p k {\displaystyle \operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top} \to \operatorname {Top_{k}} } 이를 합성하여 얻는 함자 CGTop → T o p k {\displaystyle \operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top_{k}} } 는 범주의 동치를 이룬다. 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 콤팩트 생성 공간이다.:183, 5.9.2a:231, Theorem 7.13 모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다.:183, 5.9.2b:231, Theorem 7.13 모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.:139, Exercise 4.7.10 포함 관계 CGTop → Top {\displaystyle \operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top} } 에 따라, CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 는 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 반사 부분 범주를 이루며, 그 수반 k : Top → CGTop {\displaystyle k\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CGTop} } 을 콤팩트 생성화(영어: kaonization)라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 콤팩트 생성화 k ( X ) {\displaystyle k(X)} 는 집합으로서 X {\displaystyle X} 와 같지만 X {\displaystyle X} 보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, k ( X ) {\displaystyle k(X)} 의 닫힌집합은 X {\displaystyle X} 의 k-닫힌집합이다. CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 는 ( Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 와 마찬가지로) 완비 범주이며 쌍대완비 범주이다. CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 에서의 쌍대극한은 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 와 같으며, CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 에서의 극한은 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 에서의 곱은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다. X × CGTop Y = k ( X × Top Y ) {\displaystyle X\times _{\operatorname {CGTop} }Y=k(X\times _{\operatorname {Top} }Y)} CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 는 ( Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 와 달리) 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 (k-)연속 함수들의 집합 C ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)} 에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자. 임의의 열린집합 U ⊆ Y {\displaystyle U\subseteq Y} 및 콤팩트 하우스도르프 공간 K {\displaystyle K} 및 연속 함수 t : K → X {\displaystyle t\colon K\to X} 에 대하여, { f ∈ K ( X , Y ) : f ∘ t ( K ) ⊆ U } {\displaystyle \{f\in K(X,Y)\colon f\circ t(K)\subseteq U\}} . 만약 X {\displaystyle X} 가 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면, CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 에서의 지수 대상 Y X {\displaystyle Y^{X}} 는 C ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)} 의 콤팩트 생성화이다. ( Y X ) CGTop = k ( C ( X , Y ) ) {\displaystyle (Y^{X})_{\operatorname {CGTop} }=k({\mathcal {C}}(X,Y))} 위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 CGHaus {\displaystyle \operatorname {CGHaus} } 및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주 CGWH {\displaystyle \operatorname {CGWH} } 를 정의할 수 있다. 이들 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다. 이 개념은 원리 비톨트 후레비치가 도입하였다. 이후 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.:199 이후 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다. 흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다. 비가산 기수 κ ≥ ℵ 1 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}} 에 대하여, 실수선의 비가산 무한 곱공간 R κ {\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa }} 는 콤팩트 생성 공간이 아니다.:184:240, Exercise 7J(b) Brown, Ronald (2006년 3월). 《Topology and groupoids》 (영어). Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. LCCN 2006901092.  May, J. Peter (1999년 9월). 《A concise course in algebraic topology》 (PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-02-2651-183-2.  Kelley, John L. (1975). 《General topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 27 2판. Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002.  http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/GaunceApp.pdf Gale, David (1950). “Compact Sets of Functions and Function Rings”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 1: 303–308. JSTOR 2032373.  Brown, R. (1961). 《Function spaces and FD-complexes》 (영어). 박사 학위 논문. 옥스퍼드 대학교.  Brown, R. (1963). “Ten topologies for X × Y {\displaystyle X\times Y} ”. 《Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 14 (2): 303–319.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 20) (도움말) Brown, R. (1964). “Function spaces and product topologies”. 《Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 15 (2): 238–250.  Steenrod, Norman E. (1967). “A convenient category of topological spaces”. 《The Michigan Mathematical Journal》 (영어) 14: 133–152. doi:10.1307/mmj/1028999711. MR 0210075. Zbl 0145.43002.  “Compactly generated space”. 《nLab》 (영어).  “Convenient category of topological spaces”. 《nLab》 (영어).  “Compactly generated space”. 《Topospaces》 (영어).  “Compactly generated Hausdorff space”. 《Topospaces》 (영어).  Strickland, N. P. (2009년 8월 19일). “The category of CGWH spaces” (PDF) (영어). 2016년 3월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 16일에 확인함.  “Why the “W” in CGWH (compactly generated weakly Hausdorff spaces)?” (영어). Math Overflow.  “Products with compactly generated spaces” (영어). Math Overflow.