딜워스의 정리

조합론에서 딜워스의 정리(Dilworth의定理, 영어: Dilworth’s theorem)는 부분 순서 집합의 반사슬의 최대 크기에 대한 정리다. 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 높이(영어: height)는 P {\displaystyle P} 속의 사슬(부분 전순서 집합)의 크기의 상한이다. 즉, 다음과 같다. height ⁡ P = sup { n : x 1 < ⋯ < x n , { x 0 , … , x n } ⊆ P } {\displaystyle \operatorname {height} P=\sup \left\{n\colon x_{1}<\cdots <x_{n},\;\{x_{0},\dots ,x_{n}\}\subseteq P\right\}} 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 너비(영어: width)는 P {\displaystyle P} 속의 반사슬의 크기의 상한이다. 즉, 다음과 같다. width ⁡ P = sup { | S | : S ⊆ P , s ∥ s ′ ∀ s , s ′ ∈ S } ∈ Z + ∪ { 0 , ∞ } {\displaystyle \operatorname {width} P=\sup \left\{|S|\colon S\subseteq P,\;s\parallel s'\forall s,s'\in S\right\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,\infty \}} (여기서 s ∥ s ′ {\displaystyle s\parallel s'} 은 두 원소가 비교 불가능임을 뜻한다.) 임의의 부분 순서 집합 P {\displaystyle P} 에 대하여, P {\displaystyle P} 를 사슬들로 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 c ( P ) {\displaystyle c(P)} 라고 하자. 또 P {\displaystyle P} 를 반사슬들로도 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 a ( P ) {\displaystyle a(P)} 라고 하자. 한원소 집합은 사슬이자 반사슬이므로, 자명하게 c ( P ) ≤ | P | {\displaystyle c(P)\leq |P|} a ( P ) ≤ | P | {\displaystyle a(P)\leq |P|} 이다. 딜워스의 정리에 따르면, 만약 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 너비가 유한하다면, 이는 c ( P ) {\displaystyle c(P)} 와 같다.:303 반대로, 미르스키의 정리(영어: Mirsky’s theorem)에 따르면, 만약 P {\displaystyle P} 의 높이가 유한하다면, 이는 a ( P ) {\displaystyle a(P)} 와 같다. width ⁡ P < ℵ 0 ⟹ width ⁡ P = c ( P ) {\displaystyle \operatorname {width} P<\aleph _{0}\implies \operatorname {width} P=c(P)} height ⁡ P < ℵ 0 ⟹ height ⁡ P = a ( P ) {\displaystyle \operatorname {height} P<\aleph _{0}\implies \operatorname {height} P=a(P)} 이 정리들은 무한한 너비 또는 높이의 부분 순서 집합에 대하여 기수로서 성립하지 않는다. 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 속의 사슬 C ⊆ P {\displaystyle C\subseteq P} 및 반사슬 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 에 대하여 | A ∩ C | ≤ 1 {\displaystyle |A\cap C|\leq 1} 이다. 따라서, 만약 P {\displaystyle P} 를 사슬 { C i } i ∈ I {\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}} 들로 분할하였을 때, 각 반사슬 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 에 대하여 | C i ∩ A | ≤ 1 {\displaystyle |C_{i}\cap A|\leq 1} 이므로 | A | ≤ | I | {\displaystyle |A|\leq |I|} 이며, 즉 width ⁡ P ≤ c ( P ) {\displaystyle \operatorname {width} P\leq c(P)} 이다.:303 반대로, 만약 P {\displaystyle P} 를 반사슬 { A j } j ∈ J {\displaystyle \{A_{j}\}_{j\in J}} 들로 분할하였을 때, 각 사슬 C ⊆ P {\displaystyle C\subseteq P} 에 대하여 | C ∩ A j | ≤ 1 {\displaystyle |C\cap A_{j}|\leq 1} 이므로 | C | ≤ | J | {\displaystyle |C|\leq |J|} 이며, 즉 height ⁡ P ≤ a ( P ) {\displaystyle \operatorname {height} P\leq a(P)} 이다. 따라서, 딜워스의 정리와 미르스키의 정리에서 자명하지 않은 것은 반대 방향의 부등식이다. 이 경우, 두 정리의 증명은 매우 다르다. 딜워스의 정리의 증명은 쾨니그의 정리를 이용한 기법 등 여러 방법이 있다. 만약 P {\displaystyle P} 가 유한 집합일 경우, 미카 아셰르 페를레스(히브리어: מִיכָה אָשֵׁר פרלס, 1936~)는 다음과 같은 간단한 증명을 제시하였다.:303–304 유한 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 가 주어졌다고 하자. P {\displaystyle P} 의 극대 원소들의 집합을 m a x e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {max\,elem} (P)} , 극소 원소들의 집합을 m i n e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {min\,elem} (P)} 라고 하자. 이들은 각각 반사슬을 이룬다. 집합의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 우선, 딜워스의 정리는 한원소 집합인 부분 순서 집합에 대하여 자명하게 성립한다. 이제 딜워스의 정리가 크기 | P | {\displaystyle |P|} 미만의 모든 부분 순서 집합에 대하여 대해 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다. 크기 width ⁡ P {\displaystyle \operatorname {width} P} 의 반사슬은 모두 m a x e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {max\,elem} (P)} 과 같거나, m i n e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {min\,elem} (P)} 와 같다. m a x e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {max\,elem} (P)} 및 m i n e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {min\,elem} (P)} 와 같지 않은, 크기 width ⁡ P {\displaystyle \operatorname {width} P} 의 반사슬 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 가 존재한다. 1의 경우, a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 인 a ∈ m i n e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle a\in \operatorname {min\,elem} (P)} 와 b ∈ m a x e l e m ⁡ ( P ) {\displaystyle b\in \operatorname {max\,elem} (P)} 를 찾을 수 있다. (그렇지 아니하다면 크기가 width ⁡ P {\displaystyle \operatorname {width} P} 보다 더 큰 반사슬이 존재하게 되기 때문이다.) P ∖ { a , b } {\displaystyle P\setminus \{a,b\}} 의 최소 사슬 분할 P ∖ { a , b } = ⨆ i = 1 c ( P ∖ { a , b } ) C i {\displaystyle P\setminus \{a,b\}=\bigsqcup _{i=1}^{c(P\setminus \{a,b\})}C_{i}} 이 주어졌을 때 P = { a , b } ⊔ ⨆ i = 1 c ( P ∖ { a , b } ) C i {\displaystyle P=\{a,b\}\sqcup \bigsqcup _{i=1}^{c(P\setminus \{a,b\})}C_{i}} 는 P {\displaystyle P} 의 사슬 분할이므로, P ∖ { a , b } {\displaystyle P\setminus \{a,b\}} 에 딜워스의 정리를 적용하면 c ( P ) ≤ c ( P ∖ { a , b } ) + 1 = width ⁡ ( P ∖ { a , b } ) + 1 = width ⁡ P {\displaystyle c(P)\leq c(P\setminus \{a,b\})+1=\operatorname {width} (P\setminus \{a,b\})+1=\operatorname {width} P} 이다. 2의 경우, 다음과 같은 두 부분 집합 A ± ⊊ P {\displaystyle A_{\pm }\subsetneq P} 를 정의하자. A + = { x ∈ P : ∃ a ∈ A : x ≥ a } {\displaystyle A_{+}=\{x\in P\colon \exists a\in A\colon x\geq a\}} A − = { x ∈ P : ∃ a ∈ A : x ≤ a } {\displaystyle A_{-}=\{x\in P\colon \exists a\in A\colon x\leq a\}} width ⁡ ( A + ) = width ⁡ ( A − ) = | A | = width ⁡ P {\displaystyle \operatorname {width} (A_{+})=\operatorname {width} (A_{-})=|A|=\operatorname {width} P} A + ⊊ P ⊋ A − {\displaystyle A_{+}\subsetneq P\supsetneq A_{-}} A + ∩ A − = A {\displaystyle A_{+}\cap A_{-}=A} A ± {\displaystyle A_{\pm }} 에 딜워스의 정리를 적용하여 다음과 같은 사슬 분해를 얻는다고 하자. A ± = ⨆ a ∈ A C ± ( a ) {\displaystyle A_{\pm }=\bigsqcup _{a\in A}C_{\pm }(a)} max C − ( a ) = a = min C + ( a ) {\displaystyle \max C_{-}(a)=a=\min C_{+}(a)} 그렇다면 P {\displaystyle P} 의 사슬 분해 P = ⨆ a ∈ A ( C + ( a ) ∪ C − ( a ) ) {\displaystyle P=\bigsqcup _{a\in A}(C_{+}(a)\cup C_{-}(a))} 를 얻는다. 즉, c ( P ) ≤ | A | = width ⁡ P {\displaystyle c(P)\leq |A|=\operatorname {width} P} 가 된다. 미르스키의 정리의 증명은 딜워스의 정리의 증명보다 더 간단하다. P {\displaystyle P} 가 유한한 높이의 부분 순서 집합이라고 하자. 원소 x ∈ P {\displaystyle x\in P} 에 대하여, N ( x ) {\displaystyle N(x)} 가 x {\displaystyle x} 를 최대 원소로 하는 사슬의 길이의 최댓값이라고 하자. 이는 함수 N : P → N {\displaystyle N\colon P\to \mathbb {N} } 을 정의한다. 그렇다면, 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 의 원상 N − 1 ( n ) ⊆ P {\displaystyle N^{-1}(n)\subseteq P} 은 반사슬을 이루며, 이들은 P {\displaystyle P} 의 분할을 이룬다. P = ⨆ n = 0 ∞ N − 1 ( n ) {\displaystyle P=\bigsqcup _{n=0}^{\infty }N^{-1}(n)} 따라서 a ( P ) ≤ height ⁡ ( P ) {\displaystyle a(P)\leq \operatorname {height} (P)} 이다. 딜워스의 정리는 미국의 수학자 로버트 파머 딜워스(영어: Robert Palmer Dilworth, 1914~1993)가 1950년 논문에서 처음 제시하였다.:303 미르스키의 정리는 러시아 태생의 영국 수학자 레오니트 미르스키(러시아어: Леонид Мирский, 영어: Leonid Mirsky, 1918~1983)가 1971년에 증명하였다. 윤영진 (2007). 《새로운 조합수학》. 교우사. ISBN 978-89-8172-379-8.  Perles, Micha Asher (1963). “On Dilworth’s theorem in the infinite case”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 1 (2): 108–109. doi:10.1007/BF02759806. MR 0168497. 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