합성 대수

추상대수학에서 합성 대수(合成代數, 영어: composition algebra)는 대략 “절댓값의 제곱이 잘 정의되는” 대수 구조이다. 구체적으로, 이는 (결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있는) 쌍선형 이항 연산이 주어져 있으며, 이와 호환되는 (양의 정부호가 아닐 수 있는) 비퇴화 쌍선형 형식 또는 비퇴화 이차 형식이 주어진 벡터 공간으로 구성된다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 합성 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. K {\displaystyle K} -가군 A {\displaystyle A} K {\displaystyle K} -선형 변환 A ⊗ K A → A {\displaystyle A\otimes _{K}A\to A} , a ⊗ K b ↦ a ⋆ b {\displaystyle a\otimes _{K}b\mapsto a\star b} . (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따를 필요가 없다.) ⋆ {\displaystyle \star } 에 대한 양쪽 항등원 1 A ∈ A {\displaystyle 1_{A}\in A} A {\displaystyle A} 위의 비퇴화 이차 형식 Q : A → K {\displaystyle Q\colon A\to K} . (즉, rad ⁡ Q = { a ∈ A : Q ( a , A ) = 0 } = { 0 } {\displaystyle \operatorname {rad} Q=\{a\in A\colon Q(a,A)=0\}=\{0\}} 이다.) 또한, 이는 Q ( 1 A ) = 1 K {\displaystyle Q(1_{A})=1_{K}} 및 Q ( a ⋆ b ) = Q ( a ) Q ( b ) ∀ a , b ∈ A {\displaystyle Q(a\star b)=Q(a)Q(b)\qquad \forall a,b\in A} 를 만족시킨다. (그러나 이 이차 형식이 양의 정부호일 필요는 없다.) (일부 문헌에서는 합성 대수의 정의에서 항등원의 존재를 요구하지 않는다.) 합성 대수는 다음과 같은 자연스러운 추가 구조들을 갖는다. 합성 대수 A {\displaystyle A} 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다. ⟨ − , − ⟩ : A ⊗ A → K {\displaystyle \langle -,-\rangle \colon A\otimes A\to K} ⟨ a , b ⟩ = Q ( a + b ) − Q ( a ) − Q ( b ) {\displaystyle \langle a,b\rangle =Q(a+b)-Q(a)-Q(b)} 만약 가환환 K {\displaystyle K} 에서 2가 가역원이라면, 비퇴화 이차 형식의 개념은 비퇴화 대칭 쌍선형 형식의 개념과 동치이며, 이 경우 Q {\displaystyle Q} 를 쌍선형 형식으로부터 다음과 같이 재구성할 수 있다. Q ( a ) = 1 2 ⟨ a , a ⟩ {\displaystyle Q(a)={\frac {1}{2}}\langle a,a\rangle } 즉, 대신 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 위와 동치인 정의를 적을 수 있다. K {\displaystyle K} -합성 대수 A {\displaystyle A} 위에는 다음과 같은 대각합이 존재한다. tr ⁡ a = Q ( a + 1 ) − Q ( a ) − 1 ∀ a ∈ A {\displaystyle \operatorname {tr} a=Q(a+1)-Q(a)-1\qquad \forall a\in A} 이는 K {\displaystyle K} -선형 변환 tr : A → K {\displaystyle \operatorname {tr} \colon A\to K} 을 정의하며, 또한 정의에 따라 tr ⁡ 1 A = 2 {\displaystyle \operatorname {tr} 1_{A}=2} 이다. 대각합으로부터, 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다. a ∗ = tr ⁡ ( a ) 1 A − a {\displaystyle a^{*}=\operatorname {tr} (a)1_{A}-a} 이는 물론 K {\displaystyle K} -선형 변환 ( − ) ∗ : A → A {\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A} 를 정의한다. 합성 대수 A {\displaystyle A} 로부터, 미분 리 대수 d e r ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} 및 이를 포함하는 삼중성 리 대수 t r i ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} 를 구성할 수 있다. 또한, 합성 대수와 요르단 대수로부터 프로이덴탈 마방진이라는 구성을 통해 예외적 단순 리 대수를 포함한 여러 리 대수들을 구성할 수 있다. K {\displaystyle K} -합성 대수 A {\displaystyle A} 는 다음과 같은 항등식들을 따른다.:156–157, §Ⅱ.2.4 tr ⁡ ( a ∗ ) = tr ⁡ a {\displaystyle \operatorname {tr} (a^{*})=\operatorname {tr} a} 1 A ∗ = 1 A {\displaystyle 1_{A}^{*}=1_{A}} Q ( a ∗ ) = Q ( a ) {\displaystyle Q(a^{*})=Q(a)} a ∗ ∗ = a {\displaystyle a^{**}=a} a ∗ ⋆ ( a ⋆ b ) = a ⋆ ( a ∗ ⋆ b ) = ( b ⋆ a ) ⋆ a ∗ = ( b ⋆ a ∗ ) ⋆ a = Q ( a ) b {\displaystyle a^{*}\star (a\star b)=a\star (a^{*}\star b)=(b\star a)\star a^{*}=(b\star a^{*})\star a=Q(a)b} a ⋆ a − tr ⁡ ( a ) a + Q ( a ) = 0 {\displaystyle a\star a-\operatorname {tr} (a)a+Q(a)=0} ⟨ a b , c ⟩ = ⟨ b , a ∗ c ⟩ = ⟨ a , c b ∗ ⟩ {\displaystyle \langle ab,c\rangle =\langle b,a^{*}c\rangle =\langle a,cb^{*}\rangle } 일반적으로, 표수가 2가 아닌 임의의 체 K {\displaystyle K} 위에서, 합성 대수의 차원은 1, 2, 4, 또는 8 가운데 하나이며, 이들은 모두 K {\displaystyle K} 위에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다. 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위의 합성 대수는 정확히 7개가 있으며, 이들은 다음과 같다. 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 팔원수 대수 O {\displaystyle \mathbb {O} } 분할복소수 대수 C ~ = R [ x ] / ( x 2 − 1 ) ≅ R ⊕ R {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } 분할 사원수(영어: split-quaternion) 대수 H ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}} . 이는 Mat ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )} 와 동형이며, 그 제곱 노름은 2×2 행렬의 행렬식과 같다. 분할 팔원수(영어: split-octonion) 대수 O ~ = Zorn ⁡ ( R ) {\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}=\operatorname {Zorn} (\mathbb {R} )} 체 K {\displaystyle K} 위의 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군에 의하여 분류된다. 따라서, 만약 K {\displaystyle K} 가 이차 폐체일 경우, 각 단계에서 케일리-딕슨 구성은 유일하다. 따라서, 만약 K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 이차 폐체일 경우, 그 위의 합성 대수는 정확하게 네 개가 있다. K {\displaystyle K} K ⊕ K {\displaystyle K\oplus K} . 만약 K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 일 경우, 이는 C ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 로 여겨질 수 있다. Mat ⁡ ( K ; 2 ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (K;2)} 만약 K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 일 경우, 이는 H ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 로 여겨질 수 있다. Zorn ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)} . 만약 K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } 일 경우, 이는 O ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {O} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 로 여겨질 수 있다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, ( K , a ↦ a 2 ) {\displaystyle (K,a\mapsto a^{2})} 는 스스로 위의 1차원 합성 대수를 이룬다. 이는 교환 법칙과 결합 법칙을 따른다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 가환 K {\displaystyle K} -결합 대수 K ⊕ K {\displaystyle K\oplus K} 를 생각하자. 즉, 그 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 성분별로 정의된다. ( a , b ) + ( a ′ , b ′ ) = ( a + a ′ , b + b ′ ) {\displaystyle (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')} ( a , b ) ( a ′ , b ′ ) = ( a a ′ , b b ′ ) {\displaystyle (a,b)(a',b')=(aa',bb')} 이 위에 비퇴화 이차 형식 Q ( a , b ) = a b {\displaystyle Q(a,b)=ab} 을 정의하면, 이는 2차원 K {\displaystyle K} -합성 대수를 이룬다. 이 경우 대각합은 tr ⁡ ( a , b ) = a + b {\displaystyle \operatorname {tr} (a,b)=a+b} 이며, 대칭 쌍선형 형식은 ⟨ ( a , b ) , ( a ′ , b ′ ) ⟩ = a b ′ + a ′ b {\displaystyle \langle (a,b),(a',b')\rangle =ab'+a'b} 이다. 대합은 다음과 같이 두 성분의 순서를 바꾸는 것이다. ( a , b ) ∗ = ( b , a ) {\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)} 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 2×2 행렬 대수 Mat ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)} 를 생각하자. 여기서 Q = det {\displaystyle Q=\det } (행렬식)을 잡으면, ( Mat ⁡ ( 2 ; K ) , det ) {\displaystyle (\operatorname {Mat} (2;K),\det )} 은 결합 법칙을 따르는 4차원 합성 대수를 이룬다. 그러나 이는 교환 법칙을 따르지 않는다. 이 경우 합성 대수 대각합은 2×2 행렬의 대각합과 같다. 쌍선형 형식은 다음과 같다. ⟨ ( a b c d ) , ( a ′ b ′ c ′ d ′ ) ⟩ = a d ′ + a ′ d − b c ′ − b ′ c {\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}\right\rangle =ad'+a'd-bc'-b'c} 대합은 다음과 같다. ( a b c d ) ∗ = ( d − b − c a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}} Mat ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)} 는 K {\displaystyle K} -합성 대수 K ⊕ K {\displaystyle K\oplus K} 를 대각 행렬로서 포함한다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, 8차원 벡터 공간 Zorn ⁡ ( K ) = K 8 {\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)=K^{8}} 의 원소를 다음과 같은 형식적 2×2 행렬로 적자. Zorn ⁡ ( K ) = { [ a u v b ] : a , b ∈ K , u , v ∈ K 3 } {\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)=\left\{{\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\colon a,b\in K,\;\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{3}\right\}} 이 위에, 다음과 같은 “곱셈”을 정의하자. 이는 행렬의 곱셈과 유사하나, 3차원 벡터의 벡터곱에 해당하는 추가 항들이 등장한다. [ a u v b ] ⋆ [ a ′ u ′ v ′ b ′ ] = [ a a ′ + u ⋅ v ′ a u ′ + u b ′ + v × v ′ v a ′ + b v ′ − u × u ′ v ⋅ u ′ + b b ′ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\star {\begin{bmatrix}a'&\mathbf {u} '\\\mathbf {v} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} '&a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b'+\mathbf {v} \times \mathbf {v} '\\\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} '-\mathbf {u} \times \mathbf {u} '&\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb'\end{bmatrix}}} 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 “행렬식”이다. Q ( [ a u v b ] ) = det [ a u v b ] = a b − u ⋅ v {\displaystyle Q\left({\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\right)=\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} } 그렇다면, 이는 K {\displaystyle K} 위의 합성 대수를 이루지만, 일반적으로 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않는다. 이를 K {\displaystyle K} 의 초른 대수(영어: Zorn algebra)라고 한다.:158–160, Example Ⅱ.2.4.2 합성 대수를 이룸의 증명: det ( [ a u v b ] ⋆ [ a ′ u ′ v ′ b ′ ] ) = det [ a a ′ + u ⋅ v ′ a u ′ + u b ′ + v × v ′ v a ′ + b v ′ − u × u ′ v ⋅ u ′ + b b ′ ] = ( a a ′ + u ⋅ v ′ ) ( v ⋅ u ′ + b b ′ ) − ( a u ′ + u b ′ + v × v ′ ) ⋅ ( v a ′ + b v ′ − u × u ′ ) = ( a a ′ + u ⋅ v ′ ) ( v ⋅ u ′ + b b ′ ) − ( a u ′ + u b ′ ) ⋅ ( v a ′ + b v ′ ) + ( u × u ′ ) ⋅ ( v × v ′ ) = a a ′ b b ′ − a b u ′ ⋅ v ′ − a ′ b ′ u ⋅ v + ( u ⋅ v ) ( u ′ ⋅ v ′ ) = ( a b − u ⋅ v ) ( a ′ b ′ − u ′ ⋅ v ′ ) = ( det [ a u v b ] ) ( det [ a ′ u ′ v ′ b ′ ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det \left({\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\star {\begin{bmatrix}a'&\mathbf {u} '\\\mathbf {v} '&b'\end{bmatrix}}\right)&=\det {\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} '&a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b'+\mathbf {v} \times \mathbf {v} '\\\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} '-\mathbf {u} \times \mathbf {u} '&\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb'\end{bmatrix}}\\&=(aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb')-(a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b'+\mathbf {v} \times \mathbf {v} ')\cdot (\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} '-\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\\&=(aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb')-(a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b')\cdot (\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} ')+(\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {v} ')\\&=aa'bb'-ab\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} '-a'b'\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} ')\\&=(ab-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(a'b'-\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} ')\\&=\left(\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\right)\left(\det {\begin{bmatrix}a'&\mathbf {u} '\\\mathbf {v} '&b'\end{bmatrix}}\right)\end{aligned}}} 여기서 항등식 ( u × u ′ ) ⋅ ( v × v ′ ) = ( u ⋅ v ) ( u ′ ⋅ v ′ ) − ( u ⋅ v ′ ) ( v ⋅ u ′ ) {\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {v} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} ')-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')} 을 사용하였다. 그 항등원은 다음과 같은 “단위 행렬”이다. 1 Zorn ⁡ ( K ) = [ 1 K 0 0 1 K ] {\displaystyle 1_{\operatorname {Zorn} (K)}={\begin{bmatrix}1_{K}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &1_{K}\end{bmatrix}}} 또한, 그 대각합은 마찬가지로 “2×2 행렬”의 “대각합”이다. tr ⁡ [ a u v b ] = a + b {\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}=a+b} 그 위의 대합은 다음과 같다. [ a u v b ] ∗ = [ b − u − v a ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}^{*}={\begin{bmatrix}b&-\mathbf {u} \\-\mathbf {v} &a\end{bmatrix}}} Zorn ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)} 는 K {\displaystyle K} -합성 대수 K ⊕ K {\displaystyle K\oplus K} 를 “대각 행렬”로서 포함하며, 또 3차원 벡터 공간 속의 임의의 방향을 고르면 K {\displaystyle K} -합성 대수 Mat ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)} 를 포함한다. “합성 대수”라는 이름은 이러한 대수 구조에서 노름이 곱셈과 호환된다는 조건이 제곱들의 합 두 개의 곱을 제곱들의 합으로 나타내는 항등식을 정의하기 때문이다. 예를 들어, 복소수 z = a + b i {\displaystyle z=a+b\mathrm {i} } 의 경우, 노름이 곱셈과 호환된다는 조건은 항등식 ( a a ′ − b b ′ ) 2 + ( a b ′ + a ′ b ) 2 = ( a 2 + b 2 ) ( a ′ 2 + b ′ 2 ) {\displaystyle (aa'-bb')^{2}+(ab'+a'b)^{2}=(a^{2}+b^{2})(a'^{2}+b'^{2})} 을 정의하며, 마찬가지로 분할복소수 z = a + b j {\displaystyle z=a+b\mathrm {j} } ( j 2 = 1 {\displaystyle \mathrm {j} ^{2}=1} )의 경우는 항등식 ( a a ′ + b b ′ ) 2 − ( a b ′ + a ′ b ) 2 = ( a 2 − b 2 ) ( a ′ 2 − b ′ 2 ) {\displaystyle (aa'+bb')^{2}-(ab'+a'b)^{2}=(a^{2}-b^{2})(a'^{2}-b'^{2})} 을 정의한다. 즉, 이러한 항등식은 제곱들의 합 두 개의의 곱을 또다른 제곱들의 합으로 “합성”한다. 복소수체의 노름에 해당하는 항등식은 이미 기원후 3세기에 디오판토스에게 알려져 있었다.:Ⅲ §19 브라마굽타는 628년에 디오판토스의 항등식을 일반화하였으며, 특히 이 항등식은 분할복소수에 대응하는 항등식을 특별한 경우로 포함한다. 1748년에 레온하르트 오일러는 사원수의 노름에 대응하는 항등식을 발견하였으며, 1818년에 덴마크의 페르디난드 데겐(덴마크어: Ferdinand Degen)은 팔원수의 노름에 해당하는 항등식을 발견하였다. 1843년에 윌리엄 로언 해밀턴은 오일러의 항등식을 사용하여 사원수의 대수를 구성하였다. 같은 해에 존 토머스 그레이브스(영어: John Thomas Graves, 1806~1870)는 팔원수의 대수를 구성하였으며, 이듬해에 아서 케일리는 팔원수의 대수를 독자적으로 재발견하였다. 1848년에는 합성 대수 C ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 에 해당하는 대수를 제임스 코클(영어: James Cockle, 1819~1895)이 “테사린”(영어: tessarine)이라는 이름으로 발견하였다. 1919년에 레너드 유진 딕슨이 케일리-딕슨 구성을 도입하였으며, 이를 사용하여 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수들을 체계적으로 구성하였다. 1923년에는 아돌프 후르비츠가 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수는 총 네 개( R {\displaystyle \mathbb {R} } , C {\displaystyle \mathbb {C} } , H {\displaystyle \mathbb {H} } , O {\displaystyle \mathbb {O} } )가 있다는 사실을 증명하였다. 1931년에 막스 초른은 케일리-딕슨 구성을 일반화하여, 분할 팔원수 O ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}} 의 합성 대수를 구성하였다. 이후 1958년에 네이선 제이컵슨이 합성 대수의 자기 동형군을 묘사하였다. 프로이덴탈 마방진 삼중성 리 대수 McCrimmon, Kevin (2004). 《A Taste of Jordan Algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95447-3. MR 2014924.  Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς (기원후 3세기). 《Ἀριθμητικά》 (고대 그리스어).  다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말) ब्रह्मगुप्त (628). 《ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त》 (산스크리트어).  Zorn, Max (1931). “Alternativkörper und quadratische Systeme”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 9 (3–4): 395–402. doi:10.1007/BF02940661. JFM 59.0154.01. Zbl 0007.05403.  Jacobson, Nathan (1958). “Composition algebras and their automorphisms”. 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 (영어) 7: 55–80. doi:10.1007/bf02854388. Zbl 0083.02702.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Real normed algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Composition algebra”. 《nLab》 (영어).  “Normed division algebra”. 《nLab》 (영어).