원순서 집합

순서론에서 원순서 집합(原順序集合, 영어: preordered set, proset)은 그 속의 두 원소를 추이적으로 비교할 수 있는 집합이다. 부분 순서 집합과, 동치 관계를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다. 원순서 집합의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치이다. 순서론적으로, 특별한 이항 관계를 갖춘 집합으로 여길 수 있다. 범주론적으로, 특별한 작은 범주로 여길 수 있다. 위상수학적으로, 특별한 종류의 위상 공간으로 여길 수 있다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 원순서는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계 ≲ ⊆ X 2 {\displaystyle {\lesssim }\subseteq X^{2}} 이다. (반사성) 임의의 a ∈ X {\displaystyle a\in X} 에 대하여, a ≲ a {\displaystyle a\lesssim a} (추이성) 임의의 a , b , c ∈ X {\displaystyle a,b,c\in X} 에 대하여, a ≲ b ≲ c {\displaystyle a\lesssim b\lesssim c} 라면 a ≲ c {\displaystyle a\lesssim c} 원순서를 갖춘 집합을 원순서 집합(영어: preordered set, proset)이라고 한다. 이 정의에 반대칭성( a ≲ b ∧ b ≲ a ⟹ a = b {\displaystyle a\lesssim b\land b\lesssim a\implies a=b} )을 추가하면 부분 순서를 얻는다. 얇은 범주(-範疇, 영어: thin category) C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 다음 조건을 만족시키는 범주이다. 임의의 두 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 및 그 사이의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, f = g {\displaystyle f=g} 이다. 즉, 사상 모임 hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 는 한원소 집합이거나 공집합이다. 범주론적으로, 원순서 집합은 얇은 작은 범주이다. 구체적으로, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다. ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 대상은 X {\displaystyle X} 의 원소이다. ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 사상은 a ≲ b {\displaystyle a\lesssim b} 인 두 원소의 순서쌍 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 이며, 이는 a {\displaystyle a} 에서 b {\displaystyle b} 로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다. hom ⁡ ( a , b ) = { { ( a , b ) } a ≲ b ∅ a ≴ b {\displaystyle \hom(a,b)={\begin{cases}\{(a,b)\}&a\lesssim b\\\varnothing &a\not \lesssim b\end{cases}}} 알렉산드로프 공간(Александров空間, 영어: Alexandrov space)은 임의의 열린집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합이 열린집합인 위상 공간이다. 알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다. x ≲ y ⟺ x ∈ cl ⁡ { y } {\displaystyle x\lesssim y\iff x\in \operatorname {cl} \{y\}} 여기서 cl ⁡ { y } {\displaystyle \operatorname {cl} \{y\}} 는 한원소 집합의 폐포이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 이 주어졌을 때, 상집합을 열린집합으로, 하집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다. 사실, 이러한 대응 관계는 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 Proset {\displaystyle \operatorname {Proset} } 및 위상 공간과 연속 함수의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 사이의 한 쌍의 수반 함자 Proset ⇆ Top {\displaystyle \operatorname {Proset} \leftrightarrows \operatorname {Top} } 를 이루며, Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 를 알렉산드로프 공간의 범주로 제한하면 범주의 동형이 된다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 주어졌을 경우, X {\displaystyle X} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. a ∼ b ⟺ def a ≲ b ∧ b ≲ a {\displaystyle a\sim b{\stackrel {\text{def}}{\iff }}a\lesssim b\land b\lesssim a} 이에 따른 몫집합 X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} 위에서 ≲ {\displaystyle \lesssim } 은 부분 순서를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 X {\displaystyle X} 의 몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는 X {\displaystyle X} 위의 원순서를 정의한다. 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 ( n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } ). 1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, (OEIS의 수열 A798) 유한 집합 위의 위상들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 위상 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} (열린집합들의 집합)가 주어졌다면, a ≲ b ⟺ def ( ∀ U ∈ T : b ∈ U ⟹ a ∈ U ) {\displaystyle a\lesssim b{\stackrel {\text{def}}{\iff }}\left(\forall U\in {\mathcal {T}}\colon b\in U\implies a\in U\right)} 와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 ≲ {\displaystyle \lesssim } 가 주어졌다면, { { a : a ≲ b } : b } {\displaystyle \{\{a\colon a\lesssim b\}\colon b\}} 를 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 Mono ⁡ ( C ) / X {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X} 를 다음과 같이 정의하자. Mono ⁡ ( C ) / X {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X} 의 대상은 공역이 X {\displaystyle X} 인 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -단사 사상 m : Y ↪ X {\displaystyle m\colon Y\hookrightarrow X} 이다. Mono ⁡ ( C ) / X {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X} 의 두 대상 ι ∈ hom C ⁡ ( Y , X ) {\displaystyle \iota \in \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)} , ι ′ ∈ hom C ⁡ ( Y ′ , X ) {\displaystyle \iota '\in \hom _{\mathcal {C}}(Y',X)} 사이의 사상 f : ι → ι ′ {\displaystyle f\colon \iota \to \iota '} 는 ι = ι ′ ∘ f {\displaystyle \iota =\iota '\circ f} 가 되는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -사상 f : Y → Y ′ {\displaystyle f\colon Y\to Y'} 이다. 그렇다면, Mono ⁡ ( C ) / X {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X} 는 (단사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 X {\displaystyle X} 의 부분 대상들의 모임 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 이다. 마찬가지로, 범주 X ∖ Epi ⁡ ( C ) {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})} 를 다음과 같이 정의하자. X ∖ Epi ⁡ ( C ) {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})} 의 대상은 정의역이 X {\displaystyle X} 인 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -전사 사상 π : X ↠ Y {\displaystyle \pi \colon X\twoheadrightarrow Y} 이다. X ∖ Epi ⁡ ( C ) {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})} 의 두 대상 π ∈ hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \pi \in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} , π ′ ∈ hom C ⁡ ( X , Y ′ ) {\displaystyle \pi '\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y')} 사이의 사상 f : π → π ′ {\displaystyle f\colon \pi \to \pi '} 는 f ∘ π = π ′ {\displaystyle f\circ \pi =\pi '} 가 되는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -사상 f : Y → Y ′ {\displaystyle f\colon Y\to Y'} 이다. 그렇다면, X ∖ Epi ⁡ ( C ) {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})} 는 (전사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 X {\displaystyle X} 의 몫 대상들의 모임 Quot ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Quot} (X)} 이다. 부분 순서 집합 동치 관계 전순서 집합 상향 원순서 집합 “Pre-order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Preorder”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Preorder”. 《nLab》 (영어).  “Thin category”. 《nLab》 (영어).  “Definition: preordering”. 《ProofWiki》 (영어).