에탈 기본군

대수기하학에서 에탈 기본군(étale基本群, 영어: étale fundamental group)은 대수다양체와 스킴에 대하여 정의되는 기본군이다. 에탈 기본군은 대수적 위상수학과 갈루아 이론 사이의 다음과 같은 대응성으로부터 출발하며, 이 둘을 대수기하학적으로 일반화하여 공통적으로 다룬다. 연결 스킴 X {\displaystyle X} 의 기하점(영어: geometric point) x ∈ X {\displaystyle x\in X} 는 x {\displaystyle x} 에서의 줄기 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 의 잉여류체를 포함하는 분해 가능 폐포 K {\displaystyle K} 이다. 즉, 다음과 같은 사상 O X , x ↠ O X , x / m ( O X , x ) ↪ K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\twoheadrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{X,x})\hookrightarrow K} 를 합성하여, 사상 x : Spec ⁡ ( K ) → X {\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} (K)\to X} 를 정의할 수 있다. 이는 X {\displaystyle X} 속의, K {\displaystyle K} 값의 좌표를 갖는 점으로 여긴다. X {\displaystyle X} 를 공역으로 하는 유한 에탈 사상들의 범주를 f i n E ´ t ⁡ / X {\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X} 라고 쓰자. (에탈 코호몰로지와 달리, 여기에 그로텐디크 위상을 정의할 필요가 없다.) 그렇다면, 스킴 사상 Y → X {\displaystyle Y\to X} 및 X {\displaystyle X} 의 기하점 x : Spec ⁡ K → X {\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} K\to X} 이 주어졌을 때, 기하올(영어: geometric fibre) Y × X Spec ⁡ K {\displaystyle Y\times _{X}\operatorname {Spec} K} 을 스킴의 범주의 올곱으로 정의할 수 있으며, 에탈 사상의 정의에 따라서 이는 어떤 자연수 n {\displaystyle n} 에 대하여 ( Spec ⁡ K ) ⊔ n {\displaystyle (\operatorname {Spec} K)^{\sqcup n}} 와 동형이다. 따라서, 밑점이 주어졌을 때, 다음과 같은 요네다 매장을 생각하자. f i n E ´ t ⁡ / X → Set {\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\to \operatorname {Set} } Y ↦ | Y × X x | = hom f i n E ´ t ⁡ / X ⁡ ( x , Y ) {\displaystyle Y\mapsto |Y\times _{X}x|=\hom _{\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}(x,Y)} 이는 기하학적으로 π : Y → X {\displaystyle \pi \colon Y\to X} 를 그 원상 “ π − 1 ( x ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x)} ”에 대응시킨다. 이들 집합들은 사상에 따라 사영계(영어: projective system)를 이룬다. 따라서 다음과 같은 역극한을 취할 수 있으며, 이를 X {\displaystyle X} 의 밑점 x {\displaystyle x} 에서의 에탈 기본군이라고 한다. π 1 , e ´ t ( X , x ) = lim ← i ⁡ Aut X ⁡ ( X i ) {\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)=\varprojlim _{i}\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})} 이는 유한군의 역극한이므로, 사유한군을 이룬다. 또한, 이 요네다 함자에 의하여 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다. f i n E ´ t ⁡ / X ≃ π 1 ( X , x ) -Set {\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\simeq \pi _{1}(X,x){\text{-Set}}} 여기서, 범주 G -Set {\displaystyle G{\text{-Set}}} 는 G {\displaystyle G} 의 작용을 갖는 집합들의 범주이다. 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 의 밑점 x {\displaystyle x} 는 K {\displaystyle K} 의 분해 가능 폐포 K sep ⊂ K ¯ {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }\subset {\bar {K}}} 과 대응한다. (모든 분해 가능 폐포들은 서로 동형이지만, 표준적으로 동형이지 못하다.) 이 경우, 밑점 K sep {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }} 에서의 에탈 기본군은 K {\displaystyle K} 의 절대 갈루아 군과 동형이다. π 1 , e ´ t ( Spec ⁡ K , K sep ) ≅ Gal ⁡ ( K sep / K ) {\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K,K^{\operatorname {sep} })\cong \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)} 복소 유한형 스킴 X → Spec ⁡ C {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C} } 의 에탈 기본군은 그 복소해석공간 X an {\displaystyle X^{\operatorname {an} }} 의 (대수적 위상수학적) 기본군의 사유한 완비이다. π 1 , e ´ t ( X , x ) ≅ π ^ 1 ( X an , x an ) {\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)\cong {\hat {\pi }}_{1}(X^{\operatorname {an} },x^{\operatorname {an} })} 알렉산더 그로텐디크가 《마리 숲 대수 기하학 세미나》(영어: Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie, SGA) 1권에서 정의하였다. Grothendieck, Alexandre (1971). 《Revêtements étales et groupe fondamental (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1)》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 224. Paris: Société Mathématique de France. arXiv:math/0206203. ISBN 978-2-85629-141-2.  Murre, J. P. (1967), 《Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group》, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650  Tamagawa, Akio (1997), “The Grothendieck conjecture for affine curves”, 《Compositio Mathematica》 109 (2): 135–194, doi:10.1023/A:1000114400142, MR 1478817  에탈 코호몰로지 “Algebraic fundamental group”. 《nLab》 (영어).