바우스필드 국소화

모형 범주 이론에서, 바우스필드 국소화(Bousfield局所化, 영어: Bousfield localization)는 주어진 모형 범주의 약한 동치 모임을 확장시키는 한 방법이다. 모형 범주 ( C , W , F , C ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})} 가 주어졌다고 하자. 또한, 3개 가운데 2개 성질을 만족시키는 사상 모임 W loc ⊇ W {\displaystyle {\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\supseteq {\mathfrak {W}}} 이 존재한다고 하자. 그렇다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 W loc {\displaystyle {\mathfrak {W}}_{\text{loc}}} 에 대한 왼쪽 바우스필드 국소화(영어: left Bousfield localization)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 모형 범주 ( C loc,left , W loc , F loc , C ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{\text{loc,left}},{\mathfrak {W}}_{\text{loc}},{\mathfrak {F}}_{\text{loc}},{\mathfrak {C}})} 이다. C loc,left {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}} 의 약한 동치 모임은 W loc {\displaystyle {\mathfrak {W}}_{\text{loc}}} 이다. C loc,left {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}} 의 쌍대올뭉치 모임은 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} 이다. (즉, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서와 같다.) C loc,left {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}} 의 올뭉치 모임 F loc ⊆ F {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\text{loc}}\subseteq {\mathfrak {F}}} 은 오른쪽 올림 성질로부터 결정된다. 즉, F loc = ( W loc ∩ C loc ) ⋔ {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\text{loc}}=({\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {C}}_{\text{loc}})^{\pitchfork }} 이다. 이 경우, 비순환 쌍대올뭉치 모임은 증가하고, 따라서 올뭉치 모임은 감소하지만, 비순환 올뭉치 모임은 변하지 않는다.:58, Proposition 3.3.3 ( C ) ⋔ = W ∩ F = W loc ∩ F loc {\displaystyle ({\mathfrak {C}})^{\pitchfork }={\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {F}}={\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {F}}_{\text{loc}}} 또한, 항등 함자 C → C loc,left {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}} 는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, C loc,left {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}} 는 퀼런 수반 모형 범주 쌍 ( C loc,left , C ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{\text{loc,left}},{\mathcal {C}})} 의 왼쪽 성분이 된다. 마찬가지로, 오른쪽 바우스필드 국소화(영어: right Bousfield localization) ( C loc,right , W loc , F , C loc ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{\text{loc,right}},{\mathfrak {W}}_{\text{loc}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}}_{\text{loc}})} 는 올뭉치 모임을 그대로 두고, 쌍대올뭉치 모임을 바꾸는 것이다. 이 경우 마찬가지로 C loc ⊆ C {\displaystyle {\mathfrak {C}}_{\text{loc}}\subseteq {\mathfrak {C}}} ⋔ ( F ) = W ∩ C = W loc ∩ C loc {\displaystyle ^{\pitchfork }({\mathfrak {F}})={\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {C}}={\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {C}}_{\text{loc}}} 가 된다. 또한, 항등 함자 C → C loc,left {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}} 는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, C loc,right {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{loc,right}}} 는 퀼런 수반 모형 범주 쌍 ( C , C loc,right ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathcal {C}}_{\text{loc,right}})} 의 오른쪽 성분이 된다. 흔히, W loc {\displaystyle {\mathfrak {W}}_{\text{loc}}} 는 다음과 같이 어떤 사상 집합 S {\displaystyle S} 에 대한 국소 약한 사상(영어: local weak equivalence)으로 얻어진다. 왼쪽 바우스필드 국소화의 경우 다음과 같다. (오른쪽 바우스필드 국소화의 경우 그 쌍대화를 사용한다.) C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 단체 집합의 범주 위의 풍성한 범주이며, 그 구조가 모형 범주 구조와 호환된다고 하자. 또한, 정의역이 쌍대올대상인 쌍대올뭉치 집합 S {\displaystyle S} 가 주어졌다고 하자. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 올대상 X {\displaystyle X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, C {\displaystyle C} -국소 올대상(영어: C {\displaystyle C} -local fibrant object)이라고 한다. 모든 사상 ( f ∈ C ) : A ↪ B {\displaystyle (f\in C)\colon A\hookrightarrow B} 에 대하여, f ∗ : hom C ⁡ ( B , X ) → hom C ⁡ ( A , X ) {\displaystyle f^{*}\colon \hom _{\mathcal {C}}(B,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(A,X)} 는 비순환 올뭉치를 이룬다. (즉, 약한 동치이며 칸 올뭉치이다.) C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 쌍대올뭉치 f : A ↪ B {\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B} 가 다음 조건을 만족시킨다면, S {\displaystyle S} -국소 약한 동치(영어: S {\displaystyle S} -local weak equivalence)라고 한다. 모든 S {\displaystyle S} -국소 올대상 X {\displaystyle X} 에 대하여, f ∗ : hom C ⁡ ( B , X ) → hom C ⁡ ( A , X ) {\displaystyle f^{*}\colon \hom _{\mathcal {C}}(B,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(A,X)} 는 비순환 올뭉치를 이룬다. 올드리지 나이트 바우스필드(영어: Aldridge Knight Bousfield, IPA: [ɔːldɹɪdʒ naɪt baʊsfiːld])가 1979년에 스펙트럼을 다루기 위하여 도입하였다. 위상 공간 국소화 Hirschhorn, Philip S. (2003). 《Model categories and their localizations》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4917-0.  Bousfield, Aldridge Knight (1979). “The localization of spectra with respect to homology”. 《Topology》 (영어) 18 (4): 257–281. doi:10.1016/0040-9383(79)90018-1.  Bousfield, Aldridge Knight (1975년 6월). “The localization of spaces with respect to homology”. 《Topology》 (영어) 14 (2): 133–150. doi:10.1016/0040-9383(75)90023-3.  “Bousfield localization”. 《nLab》 (영어).  “Bousfield localization of model categories”. 《nLab》 (영어).  “Bousfield localization of spectra”. 《nLab》 (영어).  “Bousfield localization of triangulated categories”. 《nLab》 (영어).  “Different definitions of Bousfield localization” (영어). Math Overflow.