초특별군

군론에서, 초특별군(超特別群, 영어: extraspecial group)은 크기가 소수의 거듭제곱이며, 중심이 그 소수 크기의 순환군이며, 중심에 대한 몫군이 그 소수 크기의 순환군들의 직접곱인 유한군이다. 유한군 G {\displaystyle G} 가 어떤 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여 다음 세 조건을 만족시킨다면, 초특별군이라고 한다. | G | ∈ { 1 , p , p 2 , … } {\displaystyle |G|\in \{1,p,p^{2},\dotsc \}} 이다. Z ⁡ ( G ) ≅ Cyc ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Z} (G)\cong \operatorname {Cyc} (p)} . 즉, 그 중심이 크기 p {\displaystyle p} 의 순환군이다. G / Z ⁡ ( G ) ≅ Cyc ⁡ ( p ) n {\displaystyle G/\operatorname {Z} (G)\cong \operatorname {Cyc} (p)^{n}} 인 양의 정수 n {\displaystyle n} 이 존재한다. (특히, n > 0 {\displaystyle n>0} 이므로, G {\displaystyle G} 는 아벨 군이 될 수 없다.) 모든 p {\displaystyle p} -초특별군의 크기는 p 1 + 2 n ( n ∈ Z + ) {\displaystyle p^{1+2n}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 의 꼴이다. 반대로, 임의의 p 1 + 2 n {\displaystyle p^{1+2n}} 의 꼴의 수에 대하여, 이 크기의 초특별군은 (군의 동형 아래) 정확히 2개가 있다. 초특별군의 교환자 부분군은 중심과 같으며, 그 프라티니 부분군 역시 중심과 같다. 두 군 G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} 및 군의 동형 사상 θ : Z ⁡ ( G ) → Z ⁡ ( H ) {\displaystyle \theta \colon \operatorname {Z} (G)\to \operatorname {Z} (H)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} 의 θ {\displaystyle \theta } 에 대한 중심곱(中心곱, 영어: central product)은 다음과 같다. G ⋆ H = G × H { ( g , h ) ∈ Z ⁡ ( G ) × Z ⁡ ( H ) : θ ( g ) h = 1 } {\displaystyle G\star H={\frac {G\times H}{\{(g,h)\in \operatorname {Z} (G)\times \operatorname {Z} (H)\colon \theta (g)h=1\}}}} 이는 일반적으로 θ {\displaystyle \theta } 에 의존하지만, 만약 G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} 가 둘 다 초특별군일 경우 이는 (군의 동형 아래) 유일하다. 또한, 두 초특별군의 중심곱은 초특별군이다. 또한, 초특별군의 중심곱은 군의 동형 아래 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의 초특별군 G , H , K {\displaystyle G,H,K} 에 대하여 G ⋆ H ≅ H ⋆ G {\displaystyle G\star H\cong H\star G} ( G ⋆ H ) ⋆ K ≅ G ⋆ ( H ⋆ K ) {\displaystyle (G\star H)\star K\cong G\star (H\star K)} 이다. (그러나 이 동형이 표준적일 필요는 없다.) 임의의 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, 모든 p {\displaystyle p} -초특별군은 크기 p 3 {\displaystyle p^{3}} 의 초중심곱들의 중십곱으로 표현된다. 즉, p {\displaystyle p} -초특별군의 분류는 크기 p 3 {\displaystyle p^{3}} 의 초특별군들의 분류로 귀결된다. p = 2 {\displaystyle p=2} 일 때, 크기 8의 두 2-초특급군은 다음 두 개이다. Dih ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)} (크기 8의 정이면체군) Q 8 = { ± i , ± j , ± k , ± 1 } {\displaystyle Q_{8}=\{\pm \mathrm {i} ,\pm \mathrm {j} ,\pm \mathrm {k} ,\pm 1\}} (사원수군) 이들은 다음을 만족시킨다. Q 8 ⋆ Q 8 ≅ Dih ⁡ ( 4 ) ⋆ Dih ⁡ ( 4 ) {\displaystyle Q_{8}\star Q_{8}\cong \operatorname {Dih} (4)\star \operatorname {Dih} (4)} 즉, 임의의 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 크기 2 1 + 2 n {\displaystyle 2^{1+2n}} 의 2-초특급군은 다음 두 개이다. 짝수 개의 Q 8 {\displaystyle Q_{8}} 을 포함하는 것 홀수 개의 Q 8 {\displaystyle Q_{8}} 을 포함하는 것 p ≥ 3 {\displaystyle p\geq 3} 일 때, 크기 p 3 {\displaystyle p^{3}} 의 두 p {\displaystyle p} -초특급군은 다음 두 개이다. G 1 = { ( 1 a b 0 1 c 0 0 1 ) : a , b , c ∈ F p } ≤ GL ⁡ ( 3 ; F p ) {\displaystyle G_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {F} _{p}\right\}\leq \operatorname {GL} (3;\mathbb {F} _{p})} G 2 = Cyc ⁡ ( p 2 ) ⋊ Cyc ⁡ ( p ) {\displaystyle G_{2}=\operatorname {Cyc} (p^{2})\rtimes \operatorname {Cyc} (p)} G 2 {\displaystyle G_{2}} 에서, 반직접곱에 사용되는, Cyc ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)} 의, Cyc ⁡ ( p 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (p^{2})} 위의 작용은 자명하지 않은 임의의 작용이다. 이들은 다음을 만족시킨다. G 1 ⋆ G 1 ≅ G 2 ⋆ G 2 {\displaystyle G_{1}\star G_{1}\cong G_{2}\star G_{2}} 이에 따라, 임의의 주어진 크기에 대하여, p {\displaystyle p} -초특급군은 G 2 {\displaystyle G_{2}} 를 짝수 개 포함하는 것과 홀수 개 포함하는 것의 두 가지가 있다. Blackburn, Simon R. (1999), “Groups of prime power order with derived subgroup of prime order”, 《Journal of Algebra》 219 (2): 625–657, doi:10.1006/jabr.1998.7909, ISSN 0021-8693, MR 1706841  Gorenstein, D. (1980), 《Finite Groups》, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 569209  Newman, M. F. (1960), “On a class of nilpotent groups”, 《Proceedings of the London Mathematical Society》, Third Series 10: 365–375, doi:10.1112/plms/s3-10.1.365, ISSN 0024-6115, MR 0120278  Shelah, Saharon; Steprāns, Juris (1987), “Extraspecial p-groups”, 《Annals of Pure and Applied Logic》 34 (1): 87–97, doi:10.1016/0168-0072(87)90041-8, ISSN 0168-0072, MR 887554  “Extraspecial group”. 《Groupprops》 (영어).