관상 주변

미분기하학에서, 관상 주변(管狀周邊, 영어: tubular neighbo(u)rhood)은 어떤 부분 다양체의 근방과, 이 부분 다양체의 법다발 사이의 위상 동형이다. 다음이 주어졌다고 하자. 위상 공간 Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y} 의 부분 집합 X ⊆ Y {\displaystyle X\subseteq Y} . 그 포함 사상을 ι : X ↪ Y {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y} 라고 하자. X {\displaystyle X} 의 관상 주변은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} 단사 연속 함수 f : E → Y {\displaystyle f\colon E\to Y} . 이는 E {\displaystyle E} 와 f ( E ) {\displaystyle f(E)} 사이의 위상 동형을 정의해야 한다.. 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 값이 항상 0인 단면 z : X → E {\displaystyle z\colon X\to E} 에 대하여, f ∘ z = ι : X → Y {\displaystyle f\circ z=\iota \colon X\to Y} 이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 및 매끄러운 매장 ι : M ↪ N {\displaystyle \iota \colon M\hookrightarrow N} 이 존재한다고 하자. 그렇다면, ι {\displaystyle \iota } 는 항상 관상 주변을 (하나 이상) 가지며, 이 경우 벡터 다발은 법다발 N ι M = ι ∗ T N / T M {\displaystyle \mathrm {N} _{\iota }M=\iota ^{*}\mathrm {T} N/\mathrm {T} M} 으로 잡을 수 있다. ι {\displaystyle \iota } 의, 법다발에 대한 관상주변들의 집합을 Tub ⁡ ( ι ) {\displaystyle \operatorname {Tub} (\iota )} 라고 하자. 이는 포함 관계 Tub ⁡ ( ι ) ⊆ C ∞ ( N ι M , N ) {\displaystyle \operatorname {Tub} (\iota )\subseteq {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathrm {N} _{\iota }M,N)} 를 갖는다. C ∞ ( N ι M , N ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathrm {N} _{\iota }M,N)} 위에 C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} 위상을 부여할 수 있다. 만약 M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 이 추가로 콤팩트 공간이라면, 그 부분 공간 Tub ⁡ ( ι ) {\displaystyle \operatorname {Tub} (\iota )} 는 축약 가능 공간이다.:Proposition 31 즉, 이러한 조건 아래 관상 주변은 호모토피에 대하여 유일하다. 두 콤팩트 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 매장 ι : X ↪ Y {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y} 의 관상 주변 f : N ι X → Y {\displaystyle f\colon \mathrm {N} _{\iota }X\to Y} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 의 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 다음과 같은 연속 함수이다. coll ⁡ ( f ) : Y → Y Y ∖ im ⁡ f ≅ Th ⁡ ( N ι X ) {\displaystyle \operatorname {coll} (f)\colon Y\to {\frac {Y}{Y\setminus \operatorname {im} f}}\cong \operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)} 이는 물론 몫공간에 대한 표준적 전사 함수이다. 그 공역 Y / ( Y ∖ im ⁡ f ) {\displaystyle Y/(Y\setminus \operatorname {im} f)} 은 정의에 따라 법다발의 톰 공간 Th ⁡ ( N ι X ) {\displaystyle \operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)} 과 위상 동형이며, 이 위상 동형의 호모토피류는 표준적이다. 특히, Y = S k + n {\displaystyle Y=\mathbb {S} ^{k+n}} (초구)인 경우를 생각하자. 휘트니 매장 정리에 따라서, 모든 n {\displaystyle n} 차원 콤팩트 다양체는 충분히 큰 차원의 초구 S k + n {\displaystyle \mathbb {S} ^{k+n}} 속의 매장 ι : X ↪ S k + n {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {S} ^{k+n}} 을 갖는다. 이 경우, 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 호모토피 군의 원소 coll ⁡ ( ι ) : S k + n → Th ⁡ ( N ι X ) {\displaystyle \operatorname {coll} (\iota )\colon \mathbb {S} ^{k+n}\to \operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)} 를 정의한다. 법다발은 O ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {O} (k)} 의 구조를 가지므로, 분류 공간 BO ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {BO} (k)} 로 가는, 법다발을 분류하는 사상 ϕ ι : X → BN ⁡ ( k ) {\displaystyle \phi _{\iota }\colon X\to \operatorname {BN} (k)} 을 찾을 수 있다. 즉, S n + k → coll X → ϕ BO ⁡ ( k ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{n+k}\,{\xrightarrow {\operatorname {coll} }}\,X\,{\xrightarrow {\phi }}\,\operatorname {BO} (k)} 이다. 선형 포함 관계 R 0 ↪ R 1 ↪ R 2 ↪ ⋯ {\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow \dotsb } 의 알렉산드로프 콤팩트화 S 0 ↪ S 1 ↪ S 2 ↪ ⋯ {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2}\hookrightarrow \dotsb } 에 따라, 이는 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)이라는 어떤 스펙트럼의 안정 호모토피 군의 원소를 정의한다. 이는 사실 매장 ι {\displaystyle \iota } 에 의존하지 않으며, M {\displaystyle M} 의 보충 경계에 대한 모든 정보를 담고 있다 (톰 정리 영어: Thom’s theorem). 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 르네 톰과 레프 폰트랴긴의 이름을 땄다. Godin, Veronique (2007). “Higher string topology operations” (영어). arXiv:0711.4859.  “Tubular neighborhood”. 《nLab》 (영어).  “Pontrjagin-Thom collapse map”. 《nLab》 (영어).  “Thom spectrum”. 《nLab》 (영어).