칸토어 교점 정리

일반위상수학에서 칸토어 교점 정리(Cantor交點定理, 영어: Cantor’s intersection theorem)는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 열의 교집합은 공집합이 아니라는 정리이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 가 주어졌다고 하자. 칸토어 교점 정리에 따르면, ⋂ K = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing } 인 것은 K ∋ ∅ {\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing } 인 것과 동치이다.:428, Lemma A.2.2 증명: K ∋ ∅ {\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing } 이라면 자명하게 ⋂ K = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing } 이다. 반대로 ⋂ K = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing } 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 K 0 ∈ K {\displaystyle K_{0}\in {\mathcal {K}}} 에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라 ⋂ L ∈ K L ⊆ K 0 K = ⋂ K , L ∈ K K ⊇ L ⊆ K 0 K = ⋂ K ∈ K K = ∅ {\displaystyle \bigcap _{L\in {\mathcal {K}}}^{L\subseteq K_{0}}K=\bigcap _{K,L\in {\mathcal {K}}}^{K\supseteq L\subseteq K_{0}}K=\bigcap _{K\in {\mathcal {K}}}K=\varnothing } 이다. 따라서 { K 0 ∖ L : L ∈ K , L ⊆ K 0 } {\displaystyle \{K_{0}\setminus L\colon L\in {\mathcal {K}},\;L\subseteq K_{0}\}} 는 K 0 {\displaystyle K_{0}} 의 열린 덮개이다. 그런데 K 0 {\displaystyle K_{0}} 는 콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개 { K 0 ∖ L 1 , … , K 0 ∖ L n } {\displaystyle \{K_{0}\setminus L_{1},\dots ,K_{0}\setminus L_{n}\}} 를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여 { L 1 , … , L n } {\displaystyle \{L_{1},\dots ,L_{n}\}} 의 하계 L ∈ K {\displaystyle L\in {\mathcal {K}}} L ⊆ L 1 ∩ ⋯ ∩ L n {\displaystyle L\subseteq L_{1}\cap \cdots \cap L_{n}} 를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여 L 1 ∩ ⋯ ∩ L n = ∅ {\displaystyle L_{1}\cap \cdots \cap L_{n}=\varnothing } 이므로 L = ∅ {\displaystyle L=\varnothing } 이다. 특히, X {\displaystyle X} 속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강 열 K 0 ⊇ K 1 ⊇ K 2 ⊇ ⋯ {\displaystyle K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq \cdots } 은 하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 X {\displaystyle X} 가 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합이 닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다. 약간 다른 형태로, 집합 X {\displaystyle X} 속의 부분 집합들의 족 S ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성(영어: finite intersection property)을 만족시킨다고 한다. 임의의 유한 부분 집합 S 1 , S 2 , … , S n ∈ S {\displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}} 에 대하여, S 1 ∩ S 2 ∩ ⋯ ∩ S n ≠ ∅ {\displaystyle S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n}\neq \varnothing } 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 콤팩트 공간이다. X {\displaystyle X} 속의 임의의 닫힌집합들의 족 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 가 유한 교차성을 만족시킨다면, ⋂ S ≠ ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\neq \varnothing } 이다. 이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다. 호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간 X {\displaystyle X} 속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:302, Corollary 2:381, Theorem 2.28 ⋂ K {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}} 역시 콤팩트 포화 집합이다. 만약 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 가 열린집합이며, ⋂ K ⊆ U {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U} 라면, K ⊆ U {\displaystyle K\subseteq U} 인 K ∈ K {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}} 가 존재한다. 만약 ⋂ K = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing } 라면, K ∋ ∅ {\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing } 이다. 증명: 임의의 K ∈ K {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}} 의 열린 근방 필터 U ( K ) {\displaystyle {\mathcal {U}}(K)} 는 열린집합 격자 Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 의 스콧 열린 필터이다. K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 가 하향 집합이므로, F = ⋃ K ∈ K U ( K ) {\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}{\mathcal {U}}(K)} 역시 스콧 열린 필터를 이룬다. 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 그 교집합 ⋂ F = ⋂ K ∈ K ⋂ U ( K ) = ⋂ K {\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}=\bigcap _{K\in {\mathcal {K}}}\bigcap {\mathcal {U}}(K)=\bigcap {\mathcal {K}}} 는 콤팩트 포화 집합이다. 또한, 호프만-미슬러브 정리에 의하여, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 이 교집합의 열린 근방 필터이다. F = U ( ⋂ K ) {\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {U}}\left(\bigcap {\mathcal {K}}\right)} 만약 U {\displaystyle U} 가 열린집합이며, ⋂ K ⊆ U {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U} 라면, U ∈ F {\displaystyle U\in {\mathcal {F}}} 이므로, U {\displaystyle U} 는 어떤 K ∈ K {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}} 의 열린 근방이다. 만약 ⋂ K = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing } 이라면, U = ∅ {\displaystyle U=\varnothing } 는 어떤 K ∈ K {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}} 의 열린 근방이며, 이 경우 K = ∅ {\displaystyle K=\varnothing } 이다. T1 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T1 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다. 게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다. de Vries, Jan (2014). 《Topological dynamical systems: an introduction to the dynamics of continuous mappings》. De Gruyter Studies in Mathematics (영어) 59. ISBN 978-3-11-034240-6. 2016년 8월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 14일에 확인함.  Keimel, Klaus; Paseka, Jan (1994). “A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 120 (1): 301–303. doi:10.2307/2160199. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160199. MR 1195723. Zbl 0789.54030.  Martin, Keye (1999). “Nonclassical techniques for models of computation” (PDF). 《Topology Proceedings》 (영어) 24 (Summer): 375–405. ISSN 0146-4124. MR 1876383. Zbl 1029.06501. 2021년 5월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2022년 5월 18일에 확인함.  “Cantor theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cantor's intersection theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “The finite intersection property in compact spaces and countably compact spaces”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 2009년 11월 30일.