반환 (수학)

추상대수학에서 반환(半環, 영어: semiring, rig)은 환과 유사하지만 덧셈의 역원이 존재하지 않는 대수 구조이다. 즉, 덧셈에 대하여 가환 모노이드를, 곱셈에 대하여 모노이드를 이루며, 분배 법칙이 성립하는 대수 구조이다. 반환(영어: semiring) ( R , 0 , + , 1 , ⋅ ) {\displaystyle (R,0,+,1,\cdot )} 은 다음과 같은 연산이 갖추어진 대수 구조이다. ( R , 0 , + ) {\displaystyle (R,0,+)} 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. (덧셈의 결합 법칙) 모든 원소 r , s , t ∈ R {\displaystyle r,s,t\in R} 에 대하여 ( r + s ) + t = r + ( s + t ) {\displaystyle (r+s)+t=r+(s+t)} 이다. (덧셈의 교환 법칙) 모든 원소 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여 r + s = s + r {\displaystyle r+s=s+r} 이다. (덧셈의 항등원) 모든 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 r + 0 = r {\displaystyle r+0=r} 이다. ( R , 1 , ⋅ ) {\displaystyle (R,1,\cdot )} 는 모노이드를 이룬다. (곱셈의 결합 법칙) 모든 원소 r , s , t ∈ R {\displaystyle r,s,t\in R} 에 대하여 ( r s ) t = r ( s t ) {\displaystyle (rs)t=r(st)} 이다. (곱셈의 항등원) 모든 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 r 1 = 1 r = r {\displaystyle r1=1r=r} 이다. (분배 법칙) 모든 원소 r , s , t ∈ R {\displaystyle r,s,t\in R} 에 대하여, r ( s + t ) = r s + r t {\displaystyle r(s+t)=rs+rt} 이며 ( s + t ) r = s r + t r {\displaystyle (s+t)r=sr+tr} 이다. (0과의 곱) 모든 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 0 r = r 0 = 0 {\displaystyle 0r=r0=0} 이다. 유사 반환(영어: pseudo-semiring, hemiring) ( R , 0 , + , ⋅ ) {\displaystyle (R,0,+,\cdot )} 은 다음과 같은 연산이 갖추어진 대수 구조이다. ( R , 0 , + , − ) {\displaystyle (R,0,+,-)} 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. (덧셈의 결합 법칙) 모든 원소 r , s , t ∈ R {\displaystyle r,s,t\in R} 에 대하여 ( r + s ) + t = r + ( s + t ) {\displaystyle (r+s)+t=r+(s+t)} 이다. (덧셈의 교환 법칙) 모든 원소 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여 r + s = s + r {\displaystyle r+s=s+r} 이다. (덧셈의 항등원) 모든 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 r + 0 = r {\displaystyle r+0=r} 이다. ( R , ⋅ ) {\displaystyle (R,\cdot )} 는 반군을 이룬다. (곱셈의 결합 법칙) 모든 원소 r , s , t ∈ R {\displaystyle r,s,t\in R} 에 대하여 ( r s ) t = r ( s t ) {\displaystyle (rs)t=r(st)} 이다. (분배 법칙) 모든 원소 r , s , t ∈ R {\displaystyle r,s,t\in R} 에 대하여, r ( s + t ) = r s + r t {\displaystyle r(s+t)=rs+rt} 이며 ( s + t ) r = s r + t r {\displaystyle (s+t)r=sr+tr} 이다. (0과의 곱) 모든 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 0 r = r 0 = 0 {\displaystyle 0r=r0=0} 이다. 환 또는 유사환의 정의에서, 0 r = r 0 = 0 {\displaystyle 0r=r0=0} 이라는 성질은 환 (또는 유사환)의 다른 공리들로부터 유도되므로 따로 명시하지 않아도 된다. 그러나 (유사) 반환의 경우 이 조건을 따로 명시해야만 한다. 모든 환은 반환을 이루며, 모든 유사환은 유사 반환을 이룬다. 자연수의 집합 N = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}} 은 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 반환을 이룬다. 임의의 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 { 0 } ∪ { n , n + 1 , n + 2 , … } {\displaystyle \{0\}\cup \{n,n+1,n+2,\dots \}} 는 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 유사 반환을 이룬다. 환 R {\displaystyle R} 속의 양쪽 아이디얼들의 집합은 아이디얼의 덧셈과 곱셈에 대하여 반환을 이룬다. 이 경우 덧셈 항등원은 영 아이디얼 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 이며, 곱셈 항등원은 전체 아이디얼 R {\displaystyle R} 이다. 모든 유계 분배 격자 (예를 들어, 불 대수)는 만남과 이음을 통하여 반환을 이룬다. 이 경우, 덧셈을 만남으로, 곱셈을 이음으로 삼거나, 또는 곱셈을 만남으로, 덧셈을 이음으로 삼아 두 개의 반환 구조를 줄 수 있다. 덧셈이 만남일 경우 덧셈 항등원은 최소 원소 ⊥ {\displaystyle \bot } , 곱셈 항등원은 최대 원소 ⊤ {\displaystyle \top } 이며, 덧셈이 이음일 경우 덧셈 항등원은 ⊤ {\displaystyle \top } , 곱셈 항등원은 ⊥ {\displaystyle \bot } 이다. Golan, Jonathan S. (1999). “Semirings and their applications” (영어). Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/978-94-015-9333-5. ISBN 978-0-7923-5786-5. MR 1746739.  “Semi-ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Semiring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ringoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Rig”. 《nLab》 (영어).  “Idempotent semiring”. 《nLab》 (영어).  “Tropical semiring”. 《nLab》 (영어).  “Near-ring”. 《nLab》 (영어).  “Definition: additive semiring”.  “Definition: semiring”.  “Definition: ringoid”. 2014년 4월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 21일에 확인함.