격자 (순서론)

순서론에서 격자(格子, 영어: lattice)는 두 원소의 상한(이음, 영어: join 조인[*])과 하한(만남, 영어: meet 미트[*])이 항상 존재하는 부분 순서 집합이다. (유계) 격자의 개념은 추상대수학적으로, 순서론적으로, 또는 범주론적으로 정의할 수 있으며, 이 세 정의는 서로 동치이다. 유계 격자(有界格子, 영어: bounded lattice) ( L , ∨ , ∧ , ⊥ , ⊤ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )} 는 두 개의 이항 연산 ∧ , ∨ : L 2 → L {\displaystyle \land ,\lor \colon L^{2}\to L} 및 두 상수 ⊥ , ⊤ ∈ L {\displaystyle \bot ,\top \in L} 가 주어지고, 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조이다. ( L , ∧ , ⊤ ) {\displaystyle (L,\land ,\top )} 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} 에 대하여 ( a ∧ b ) ∧ c = a ∧ ( b ∧ c ) {\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)} 이며 a ∧ b = b ∧ a {\displaystyle a\land b=b\land a} 이며 a ∧ ⊤ = a {\displaystyle a\land \top =a} 이다. ( L , ∨ , ⊥ ) {\displaystyle (L,\lor ,\bot )} 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} 에 대하여 ( a ∨ b ) ∨ c = a ∨ ( b ∨ c ) {\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)} 이며 a ∨ b = b ∨ a {\displaystyle a\lor b=b\lor a} 이며 a ∨ ⊥ = a {\displaystyle a\lor \bot =a} 이다. (흡수성) 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여, a ∨ ( a ∧ b ) = a ∧ ( a ∨ b ) = a {\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a} 이로부터 다음 성질을 증명할 수 있다. (흡수성) a ∨ ⊤ = ⊤ {\displaystyle a\lor \top =\top } 이며 a ∧ ⊥ = ⊥ {\displaystyle a\land \bot =\bot } (멱등성) a ∧ a = a ∨ a = a {\displaystyle a\land a=a\lor a=a} 증명 흡수성: a ∨ ⊤ = ( a ∧ ⊤ ) ∨ ⊤ = ⊤ {\displaystyle a\lor \top =(a\land \top )\lor \top =\top } a ∧ ⊥ = ( a ∨ ⊥ ) ∧ ⊥ = ⊥ {\displaystyle a\land \bot =(a\lor \bot )\land \bot =\bot } 멱등성: a ∧ a = a ∧ ( a ∨ ( a ∧ a ) ) = a {\displaystyle a\wedge a=a\wedge (a\vee (a\wedge a))=a} a ∨ a = a ∨ ( a ∧ ( a ∨ a ) ) = a {\displaystyle a\vee a=a\vee (a\wedge (a\vee a))=a} 여기서 이항 연산 ∨ {\displaystyle \vee } 를 이음, ∧ {\displaystyle \wedge } 를 만남이라고 하며, ⊤ {\displaystyle \top } 은 최대 원소, ⊥ {\displaystyle \bot } 은 최소 원소라고 한다. 유계 격자의 정의에서 모노이드를 반군으로 약화시킨다면 (즉, 항등원의 존재를 생략한다면) 격자의 개념을 얻는다. 즉, 격자 ( L , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge )} 는 다음 세 공리들을 만족시키는 이항 연산 ∨ , ∧ : L × L → L {\displaystyle \vee ,\wedge \colon L\times L\to L} 이 주어진 대수 구조이다. 모든 a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} 에 대하여, 다음이 성립한다. ( L , ∧ ) {\displaystyle (L,\land )} 는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} 에 대하여 ( a ∧ b ) ∧ c = a ∧ ( b ∧ c ) {\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)} 이며 a ∧ b = b ∧ a {\displaystyle a\land b=b\land a} 이다. ( L , ∨ ) {\displaystyle (L,\lor )} 는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} 에 대하여 ( a ∨ b ) ∨ c = a ∨ ( b ∨ c ) {\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)} 이며 a ∨ b = b ∨ a {\displaystyle a\lor b=b\lor a} 이다. (흡수성) 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여, a ∨ ( a ∧ b ) = a ∧ ( a ∨ b ) = a {\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a} 이로부터 다음을 증명할 수 있다. 격자 ( L , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (L,\vee ,\wedge )} 에 다음과 같은 부분 순서 ≤ {\displaystyle \leq } 를 줄 수 있다. a ≤ b ⟺ a = a ∧ b ⟺ b = a ∨ b {\displaystyle a\leq b\iff a=a\wedge b\iff b=a\vee b} (이 두 성질은 흡수 법칙에 따라 동등하다.) 원순서 집합 ( L , ≲ ) {\displaystyle (L,\lesssim )} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 유계 원격자(有界原格子, 영어: bounded prelattice)라고 한다. 모든 유한 집합은 상한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, L {\displaystyle L} 은 최대 원소를 갖는다.) 모든 유한 집합은 하한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, L {\displaystyle L} 은 최소 원소를 갖는다.) 원순서 집합 ( L , ≲ ) {\displaystyle (L,\lesssim )} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 원격자(原格子, 영어: prelattice)라고 한다. 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 상한을 갖는다. 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 하한을 갖는다. (유계) 원격자에서 상한·하한은 일반적으로 유일하지 않지만, 만약 여럿이 존재한다면 이들은 서로 동치이다. 즉, 그 동치류를 취할 수 있다. 이 개념을 대수적으로 정의하려면 연산이 유일하게 정의되어야 하므로, 원순서 집합 대신 부분 순서 집합을 사용하면 (유계) 격자(영어: (bounded) lattice)의 개념을 얻는다. 즉, (유계) 원격자인 부분 순서 집합을 (유계) 격자라고 한다. 원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 따라서 격자의 순서론적 정의를 범주론의 언어로 재해석할 수 있다. 원순서 집합(작은 얇은 범주) ( L , ≲ ) {\displaystyle (L,\lesssim )} 가 다음 두 조건을 만족시키면, 원격자(原格子, 영어: prelattice)라고 한다. 시작 대상을 제외한 모든 유한 곱을 갖는다. 끝 대상을 제외한 모든 유한 쌍대곱을 갖는다. 원순서 집합(작은 얇은 범주) ( L , ≲ ) {\displaystyle (L,\lesssim )} 가 다음 두 조건을 만족시키면, 유계 원격자(有界原格子, 영어: bounded prelattice)라고 한다. 모든 유한 곱을 갖는다. 모든 유한 쌍대곱을 갖는다. (유계) 원격자 ( L , ≲ ) {\displaystyle (L,\lesssim )} 속에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 (유계) 격자라고 한다. 이 경우, 세 정의들은 각각 다음과 같이 대응한다. 두 유계 격자 L , L ′ {\displaystyle L,L'} 사이의 유계 격자 준동형(영어: bounded lattice homomorphism)은 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 ϕ : L → L ′ {\displaystyle \phi \colon L\to L'} 이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 S ∈ L {\displaystyle S\in L} 에 대하여, ⋁ ϕ ( S ) = ϕ ( ⋁ S ) {\displaystyle \bigvee \phi (S)=\phi \left(\bigvee S\right)} ⋀ ϕ ( S ) = ϕ ( ⋀ S ) {\displaystyle \bigwedge \phi (S)=\phi \left(\bigwedge S\right)} 이 경우, 만약 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 라면 마찬가지로 ϕ ( a ) ≤ ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a)\leq \phi (b)} 임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 유계 격자 준동형은 증가 함수이다. 반면, 증가 함수이지만 격자 준동형이 아닌 함수도 존재한다. 두 격자 L , L ′ {\displaystyle L,L'} 사이의 격자 준동형(영어: lattice homomorphism)은 공집합이 아닌 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 ϕ : L → L ′ {\displaystyle \phi \colon L\to L'} 이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 S ∈ L {\displaystyle S\in L} 에 대하여, 만약 S {\displaystyle S} 가 공집합이 아니라면, ⋁ ϕ ( S ) = ϕ ( ⋁ S ) {\displaystyle \bigvee \phi (S)=\phi \left(\bigvee S\right)} ⋀ ϕ ( S ) = ϕ ( ⋀ S ) {\displaystyle \bigwedge \phi (S)=\phi \left(\bigwedge S\right)} 모든 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 주어진 격자 ( L , ≤ L , ∧ L , ∨ L ) {\displaystyle (L,\leq _{L},\wedge _{L},\vee _{L})} 에 대하여, 그 반대 격자(영어: opposite lattice) L op {\displaystyle L^{\operatorname {op} }} 는 집합 L {\displaystyle L} 에 다음과 같은 격자 연산을 부여한 격자이다. 모든 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여, a ∨ L op b = a ∧ L b {\displaystyle a\vee _{L^{\operatorname {op} }}b=a\wedge _{L}b} a ∧ L op b = a ∨ L b {\displaystyle a\wedge _{L^{\operatorname {op} }}b=a\vee _{L}b} a ≤ L op b = a ≥ L b {\displaystyle a\leq _{L^{\operatorname {op} }}b=a\geq _{L}b} 즉, 부분 순서가 반대 방향이 되고, 만남과 이음이 서로 치환된다. 전순서 집합 ( T , ≤ ) {\displaystyle (T,\leq )} 은 격자를 이룬다. 이 경우 a ∨ b = max { a , b } {\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\}} a ∧ b = min { a , b } {\displaystyle a\wedge b=\min\{a,b\}} 이다. 집합 S {\displaystyle S} 의 멱집합 P ( S ) = { A ⊂ S } {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)=\{A\subset S\}} 은 부분 집합 관계 ⊂ {\displaystyle \subset } 을 통해 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합은 격자를 이루며, 이 경우 집합 S {\displaystyle S} 의 어떤 두 부분 집합의 이음과 만남은 각각 두 부분 집합의 합집합과 교집합이다. A ⊂ B ⟺ A ≤ B {\displaystyle A\subset B\iff A\leq B} A ∪ B = A ∨ B {\displaystyle A\cup B=A\vee B} A ∩ B = A ∧ B {\displaystyle A\cap B=A\wedge B} 마찬가지로, S {\displaystyle S} 의 유한 부분 집합들의 집합 { A ⊂ S : | A | < ℵ 0 } {\displaystyle \{A\subset S\colon |A|<\aleph _{0}\}} 또한 격자를 이룬다. 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, n {\displaystyle n} 의 (양의 정수인) 약수들은 격자를 이룬다. 마찬가지로, 모든 양의 정수의 격자 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 역시 격자를 이룬다. 이 경우, 격자 연산은 다음과 같다. 이는 환 Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n} 또는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 아이디얼들의 격자의 특수한 경우이다. 집합 S {\displaystyle S} 의 분할 P ⊂ P ( S ) {\displaystyle P\subset {\mathcal {P}}(S)} 들의 집합은 격자를 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 열린집합들은 포함 관계에 대하여 격자를 이룬다. 이 격자는 완비 헤이팅 대수이다. 군 G {\displaystyle G} 의 부분군들의 집합은 유계 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, 주어진 군의 정규 부분군들 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다. 유사환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼들의 집합 Ideal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)} 은 유계 완비 격자를 이룬다. 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 벡터 공간들의 집합은 완비 격자를 이룬다. 이 격자는 양자 논리의 기반을 이룬다. 19세기에 조지 불은 명제 논리의 분석을 위하여 1848년에 유계 격자의 일종인 불 대수를 도입하였다.:252 이와 독자적으로, 리하르트 데데킨트는 19세기 말에 대수적 수론에서 "쌍대군"(독일어: Dualgruppe 두알그루페[*])의 개념을 도입하였으며, 이는 오늘날의 격자의 개념과 유사하다. 그러나 데데킨트의 이 개념은 당시에 주목받지 못했다.:253 이후 1920년대에 격자 이론은 다시 연구되기 시작하였다. 프리츠 클라인바르멘(독일어: Fritz Klein-Barmen, 1892~1961)은 이 개념을 독일어: Verband 페르반트[*](조직, 기구, 군 부대)라고 명명하였고,:117:55, 주석 4 이 용어는 오늘날 독일어에서 사용되고 있다.:253 개릿 버코프(1911~1996)는 이를 추상대수학에 응용하였고, 영어: lattice 래티스[*])(격자)라는 용어를 도입하였다.:55, 주석 4:254 프랑스어 용어 프랑스어: treillis 트레이[*](창살, 전투복)는 1945년에 마르셀폴 쉬첸베르제(프랑스어: Marcel-Paul Schützenberger, 1920~1996)가 도입하였다.:55, 주석 4 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 격자 Bilová, Štěpánka (2001). 〈Lattice theory — its birth and life〉. 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