체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다. (실수 n {\displaystyle n} 차 일계수 다항식의 집합을 M o n ( n ; R ) {\displaystyle \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )} 로 적자.) 실수 n {\displaystyle n} 차 다항식 T n ∈ R [ x ] {\displaystyle \operatorname {T} _{n}\in \mathbb {R} [x]} 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 T n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}} 을 n {\displaystyle n} 차 체비쇼프 다항식이라고 한다. (재귀적 정의) T n ⁡ ( x ) = 2 x T n − 1 ⁡ ( x ) − T n − 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{n}(x)=2x\operatorname {T} _{n-1}(x)-\operatorname {T} _{n-2}(x)} 이며, T 0 ⁡ ( x ) = 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{0}(x)=1} 이며, T 1 ⁡ ( x ) = x {\displaystyle \operatorname {T} _{1}(x)=x} 이다. (삼각 함수 정의) 항등식 T n ⁡ ( cos ⁡ θ ) = cos ⁡ n θ {\displaystyle \operatorname {T} _{n}(\cos \theta )=\cos n\theta } 가 성립한다. T n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}} 은 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} 에서 서로 다른 n {\displaystyle n} 개 실근을 가지며, [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 에서 절댓값이 서로 같은 n + 1 {\displaystyle n+1} 개 극값을 갖는다. (최소 상한 노름) 1 2 n − 1 max x ∈ [ − 1 , 1 ] | T n ⁡ ( x ) | = min f ∈ M o n ( n ; R ) max x ∈ [ − 1 , 1 ] | f ( x ) | {\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}\max _{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} _{n}(x)|=\min _{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max _{x\in [-1,1]}|f(x)|} 드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 cos ⁡ n x {\displaystyle \cos nx} 가 cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 의 n {\displaystyle n} 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 cos ⁡ n x {\displaystyle \cos nx} , 우변의 실수부는, cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 와 sin 2 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{2}x} 의 다항식이다. 체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 에서 직교한다. d x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} 즉, 다음이 성립한다. ∫ − 1 1 T n ⁡ ( x ) T m ⁡ ( x ) d x 1 − x 2 = 0 ( n ≠ m ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}\operatorname {T} _{n}(x)\operatorname {T} _{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\qquad (n\neq m)} 짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다. T n ⁡ ( − x ) = ( − 1 ) n T n ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {T} _{n}(x)} n {\displaystyle n} 차 체비쇼프 다항식 T n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}} 은 닫힌구간 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 속에서 n {\displaystyle n} 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다. x k = cos ⁡ ( 2 k − 1 ) π 2 n ( k ∈ { 1 , 2 , … , n } ) {\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,n\})} 체비쇼프 다항식을 복소수 함수 T n : C P 1 → C P 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}} 로 여길 때, n > 0 {\displaystyle n>0} 의 경우 다음이 성립한다. 분지점에서의 값들은 모두 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 또는 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 이다. 값이 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.) ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.) 예를 들어, T 2 ⁡ ( x ) = 2 x 2 − 1 = 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) + 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{2}(x)=2x^{2}-1=2(x-1)(x+1)+1} 의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 x ∈ { 0 , ∞ ^ } {\displaystyle x\in \{0,{\widehat {\infty }}\}} 를 가지며, 그 값은 T 2 ⁡ ( 0 ) = − 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{2}(0)=-1} 및 T 2 ⁡ ( ∞ ^ ) = ∞ ^ {\displaystyle \operatorname {T} _{2}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}} 이다. 마찬가지로, T 3 ⁡ ( x ) = 4 x 3 − 3 x = ( x − 1 ) ( 2 x + 1 ) 2 + 1 = ( x + 1 ) ( 2 x − 1 ) 2 − 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{3}(x)=4x^{3}-3x=(x-1)(2x+1)^{2}+1=(x+1)(2x-1)^{2}-1} 의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 x ∈ { − 1 / 2 , 1 / 2 } {\displaystyle x\in \{-1/2,1/2\}} 및 분지 지표 3의 분지점 x = ∞ ^ {\displaystyle x={\widehat {\infty }}} 를 가지며, 그 값은 각각 T 3 ⁡ ( ± 1 / 2 ) = ∓ 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{3}(\pm 1/2)=\mp 1} 및 T 3 ⁡ ( ∞ ^ ) = ∞ ^ {\displaystyle \operatorname {T} _{3}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}} 이다. 이에 따라, T n : C P 1 → C P 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}} 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다. 낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297) T 0 ⁡ ( x ) = 1 T 1 ⁡ ( x ) = x T 2 ⁡ ( x ) = 2 x 2 − 1 T 3 ⁡ ( x ) = 4 x 3 − 3 x T 4 ⁡ ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 T 5 ⁡ ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x T 6 ⁡ ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 T 7 ⁡ ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x T 8 ⁡ ( x ) = 128 x 8 − 256 x 6 + 160 x 4 − 32 x 2 + 1 T 9 ⁡ ( x ) = 256 x 9 − 576 x 7 + 432 x 5 − 120 x 3 + 9 x T 10 ⁡ ( x ) = 512 x 10 − 1280 x 8 + 1120 x 6 − 400 x 4 + 50 x 2 − 1 T 11 ⁡ ( x ) = 1024 x 11 − 2816 x 9 + 2816 x 7 − 1232 x 5 + 220 x 3 − 11 x {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {T} _{0}(x)&=1\\\operatorname {T} _{1}(x)&=x\\\operatorname {T} _{2}(x)&=2x^{2}-1\\\operatorname {T} _{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\operatorname {T} _{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\\operatorname {T} _{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\\operatorname {T} _{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\\operatorname {T} _{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\\operatorname {T} _{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\operatorname {T} _{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\\operatorname {T} _{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\\operatorname {T} _{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}} 파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다. 체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다. 르장드르 다항식 라게르 다항식 에르미트 다항식 Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5.  Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi:10.1201/9781420036114. ISBN 978-0-8493-0355-5.  Chebyshev, P. L. (1854). “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”. 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) 7: 539–586.  위키미디어 공용에 체비쇼프 다항식 관련 미디어 분류가 있습니다. “Chebyshev polynomials”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev polynomials of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev polynomials of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev approximation formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이철희. “체비셰프 다항식”. 《수학노트》.  Sarra, Scott A. (2005년 3월 1일). “Chebyshev Interpolation: an interactive tour” (영어). 2017년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 19일에 확인함.  “Is there an intuitive explanation for an extremal property of Chebyshev polynomials?” (영어). Math Overflow. 2017년 4월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 19일에 확인함.