란다우 문제

란다우 문제(Landau's problems)는 1912년 국제 수학자 대회에서 에드문트 란다우가 제시한 소수에 관한 네 가지 문제들이다. 네 가지 문제는 다음과 같다. 골드바흐의 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있는가? 쌍둥이 소수 추측: p + 2 {\displaystyle p+2} 가 소수인 소수 p {\displaystyle p} 가 무한히 존재하는가? 르장드르의 추측: 연속하는 두 자연수의 제곱 사이에는 항상 소수가 존재하는가? p − 1 {\displaystyle p-1} 이 제곱수인 소수 p {\displaystyle p} 가 무한히 존재하는가? 다시 말해, n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+{1}} 꼴의 소수가 무한히 존재하는가? 2019년 12월 기준[update], 네 문제 모두 미해결 상태이다. 1937년에 이반 비노그라도프가 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년에 하랄드 헬프콧은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다. 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측으로, 강한 골드바흐의 추측은 아직 증명되지 않았지만 약한 골드바흐의 추측을 함의한다. 1937년, 천징룬은 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대해서, 소수 p {\displaystyle p} 와 소수 또는 반소수인 q {\displaystyle q} 에 대해 2 n = p + q {\displaystyle 2n=p+q} 가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다. 몽고메리(Montgomery)와 본(Vaughan)은 예외적인 수(두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수)의 점근밀도가 0임을 증명하였다. 핀츠(Pintz)는 충분히 큰 x {\displaystyle x} 에 대해 예외적인 수들이 E ( x ) < x 0.72 {\displaystyle E(x)<x^{0.72}} 를 만족함을 증명하였다. 2015년, 토모히로 야마다는 e e 36 ≈ 1.7 ⋅ 10 1872344071119348 {\displaystyle e^{e^{36}}\approx 1.7\cdot 10^{1872344071119348}} 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다. 장이탕은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다. 일반화된 Elliott–Halberstam 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다. 천징룬은 p + 2 {\displaystyle p+2} 가 소수 또는 반소수인 소수 p {\displaystyle p} (Chen prime이라 부른다.)가 무한히 많음을 증명하였다. 르장드르 추측은 소수 p {\displaystyle p} 에 대해 다음 소수와의 간격이 2 p {\displaystyle 2{\sqrt {p}}} 보다 작음을 증명하면 해결된다. 4 × 10 18 {\displaystyle 4\times 10^{18}} 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며, 10 18 {\displaystyle 10^{18}} 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배정도가 필요하다. Matomäki는 다음 식에 대하여 최대 x 1 / 6 {\displaystyle x^{1/6}} 개의 예외적인 소수(간격이 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} 보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다. ∑ x ≤ p n ≤ 2 x p n + 1 − p n > x 1 / 2 p n + 1 − p n ≪ x 2 / 3 . {\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leq p_{n}\leq 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.} Ingham은 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대해 n 3 {\displaystyle n^{3}} 과 ( n + 1 ) 3 {\displaystyle (n+1)^{3}} 사이에 항상 소수가 존재함을 증명하였다. 란다우의 네 번째 문제는 부냐콥스키 추측 또는 Bateman-Horn 추측이 참일 경우 저절로 증명되며, 2020년 기준[update] 미해결 상태이다. n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} 꼴 소수의 예로는 페르마 소수가 있으며, Henryk Iwaniec는 최대 두 개의 소인수를 가지는 n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} 꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다. Nesmith Ankeny는 Hecke 특성을 가지는 L-함수에 대한 확장된 리만 가설을 가정할 때 y = O ( log ⁡ x ) {\displaystyle y=O(\log x)} 를 만족하는 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} 꼴의 소수가 무한히 많음을 증명하였다. 란다우의 네 번째 문제는 y = 1 {\displaystyle y=1} 인 경우이다. Merikoski는 가장 큰 소인수가 n 1.279 {\displaystyle n^{1.279}} 이상인 n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} 꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다. 지수가 2인 경우 란다우 추측이 된다. 수학에서 해결되지 않은 문제 목록 밀레니엄 문제 힐베르트 문제 소수 A semiprime is a natural number that is the product of two prime factors. Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). “The exceptional set in Goldbach's problem” (PDF). 《Acta Arithmetica》 27: 353–370.  Janos Pintz, A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem, 2018 preprint Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3 D.H.J. Polymath (2014). “Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. 《Research in the Mathematical Sciences》 1: 12. arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710.  J. Maynard (2015), Small gaps between primes. Annals of Mathematics 181(1): 383-413. Alan Goldston, Daniel; Motohashi, Yoichi; Pintz, János; Yalçın Yıldırım, Cem (2006). “Small Gaps between Primes Exist”. 《Proceedings of the Japan Academy, Series A》 82 (4): 61–65. arXiv:math/0505300. doi:10.3792/pjaa.82.61.  Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps. Kaisa Matomäki (2007). “Large differences between consecutive primes”. 《Quarterly Journal of Mathematics》 58: 489–518. doi:10.1093/qmath/ham021. . Ingham, A. E. (1937). “On the difference between consecutive primes”. 《Quarterly Journal of Mathematics Oxford》 8 (1): 255–266. Bibcode:1937QJMat...8..255I. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.  Iwaniec, H. (1978). “Almost-primes represented by quadratic polynomials”. 《Inventiones Mathematicae》 47 (2): 178–188. Bibcode:1978InMat..47..171I. doi:10.1007/BF01578070.  Robert J. Lemke Oliver (2012). “Almost-primes represented by quadratic polynomials” (PDF). 《Acta Arithmetica》 151 (3): 241–261. doi:10.4064/aa151-3-2. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]. N. C. Ankeny, Representations of primes by quadratic forms, Amer. J. Math. 74:4 (1952), pp. 913–919. Jori Merikoski, Largest prime factor of n^2+1, 2019 preprint R. de la Bretèche and S. Drappeau. Niveau de répartition des polynômes quadratiques et crible majorant pour les entiers friables. Journal of the European Mathematical Society, 2019. Jean-Marc Deshouillers and Henryk Iwaniec, On the greatest prime factor of n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} , Annales de l'Institut Fourier 32:4 (1982), pp. 1–11. C. Hooley, On the greatest prime factor of a quadratic polynomial, Acta Math., 117 ( 196 7), 281–299. J. Todd (1949), “A problem on arc tangent relations”, 《American Mathematical Monthly》 56 (8): 517–528, doi:10.2307/2305526, JSTOR 2305526  J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A+x^2, Bull. Acad. Sci. St. Petersburg 3 (1895), 361–367.