틀다발

위상수학에서 틀다발(영어: frame bundle)은 임의의 벡터 다발에 대응되는, 일반 선형군을 올로 삼는 특별한 주다발이다.:§4.3, 121–131 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 연관 벡터 다발로서 재구성된다. n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 k {\displaystyle k} 차 틀(영어: frame)은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상 f : R n → V {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to V} f : 0 ↦ 0 {\displaystyle f\colon 0\mapsto 0} 의 k {\displaystyle k} 차 제트 j 0 k {\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}} 이다. (그러나 f {\displaystyle f} 가 선형 변환일 필요는 없다.) 이제, k {\displaystyle k} 차 틀들의 집합을 Frame k ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Frame} _{k}(V)} 라고 표기하자. 그 위에는 k {\displaystyle k} 차 제트 군 Frame k ⁡ ( R k ) = Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Frame} _{k}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {Jet} (n,k)} 의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다. ( j 0 k f ) ⋅ ( j 0 k g ) = j 0 k ( f ∘ g ) ∀ j 0 k f ∈ Frame k ⁡ ( V ) , j 0 k g ∈ Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}f)\cdot (\mathrm {j} _{0}^{k}g)=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall \mathrm {j} _{0}^{k}f\in \operatorname {Frame} _{k}(V),\;\mathrm {j} _{0}^{k}g\in \operatorname {Jet} (n,k)} 특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환 f : R n → V {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to V} 에 불과하다.:121, §4.3 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 n {\displaystyle n} 차원 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 올 E x {\displaystyle E_{x}} 는 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자. F n E = ⨆ x ∈ X Frame k ⁡ ( E x ) {\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E=\bigsqcup _{x\in X}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})} 이 위에는 제트 군 Jet ⁡ ( n , k ) = Frame k ⁡ ( R n ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\operatorname {Frame} _{k}(\mathbb {R} ^{n})} 의 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다. j 0 k f ⋅ j 0 k g = j 0 k ( f ∘ g ) ∀ x ∈ X , f ∈ Frame k ⁡ ( E x ) , g ∈ Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}f\cdot \mathrm {j} _{0}^{k}g=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall x\in X,\;f\in \operatorname {Frame} _{k}(E_{x}),\;g\in \operatorname {Jet} (n,k)} 이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, E {\displaystyle E} 의 국소 자명화 ( U i , ϕ i ) {\displaystyle (U_{i},\phi _{i})} 는 부분 집합 U i ⊆ X {\displaystyle U_{i}\subseteq X} 및 위상 동형 ϕ i : π − 1 ( U i ) → U i × R k {\displaystyle \phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {R} ^{k}} 으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수 ⨆ x ∈ U i Frame k ⁡ ( E x ) → U i × Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \bigsqcup _{x\in U_{i}}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})\to U_{i}\times \operatorname {Jet} (n,k)} 를 정의할 수 있으며, 이를 통해 ⨆ x ∈ U i Frame k ⁡ ( E x ) {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{x\in U_{i}}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})} 에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 F n E {\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E} 전체에 위상을 줄 수 있다. 그렇다면, 자연스러운 사영 함수 F n E ↠ X {\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E\twoheadrightarrow X} ( ϕ ∈∈ Frame k ⁡ ( E x ) ) ↦ x {\displaystyle (\phi \in \in \operatorname {Frame} _{k}(E_{x}))\mapsto x} 는 X {\displaystyle X} 위의, 올 Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} 의 올다발을 이룬다. 또한, Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} 의 오른쪽 작용을 통하여 이는 Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} -주다발을 이룬다. 이를 E {\displaystyle E} 의 k {\displaystyle k} 차 틀다발( k {\displaystyle k} 次-, 영어: k {\displaystyle k} th-order frame bundle)이라고 한다.:122, §12.12:Definition 3.2 흔히, 만약 k {\displaystyle k} 가 생략되었다면 1차 틀다발 F E = F 1 E {\displaystyle \mathrm {F} E=\mathrm {F} ^{1}E} 를 뜻한다. 다양체 M {\displaystyle M} 위의 k {\displaystyle k} 차원 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} 이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} ( p + q = k {\displaystyle p+q=k} )의 내적 g {\displaystyle g} 가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 단면 g ∈ Γ ( Sym 2 ⁡ E ∗ ) {\displaystyle g\in \Gamma (\operatorname {Sym} ^{2}E^{*})} 가 주어졌으며, 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여 g x {\displaystyle g_{x}} 는 E x {\displaystyle E_{x}} 위의, 부호수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 의 비퇴화 이차 형식을 이룬다고 하자. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자. F o E = ⨆ x ∈ X Hilb ⁡ ( R ( p , q ) ; E x , g x ) {\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {o} }E=\bigsqcup _{x\in X}\operatorname {Hilb} (\mathbb {R} ^{(p,q)};E_{x},g_{x})} 여기서, R p , q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}} 는 부호수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} 위에 이차 형식 x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x k 2 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{k}^{2}} 을 부여한 것이다. Hilb ⁡ ( − ; − ) {\displaystyle \operatorname {Hilb} (-;-)} 는 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다. 이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군 O ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )} 의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 O ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )} -주다발로 만들 수 있다. 이를 직교 틀다발(直交-, 영어: orthogonal frame bundle)이라고 한다.:94, §10.11 위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래, O ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q)} 대신 특수 직교군 SO ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)} 를 사용하여, SO ⁡ ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)} -주다발인 특수 직교 틀다발(特殊直交-, 영어: special orthogonal frame bundle) F SO E {\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {SO} }E} 을 정의할 수 있다. 위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 2 n {\displaystyle 2n} 차원 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 경우, 복소수 틀다발(영어: complex frame bundle) F C E {\displaystyle \mathrm {F} _{\mathbb {C} }E} 을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )} 인 주다발이다. 또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 유니터리 틀다발(영어: unitary frame bundle) F U E {\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {U} }E} 을 정의할 수 있으며, 그 올은 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 이다. 부호수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 의 내적이 주어진 벡터 다발 E {\displaystyle E} 를 생각하자. 군의 포함 관계 O ⁡ ( p , q ; R ) ⊆ GL ⁡ ( p + q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {R} )} 에 따라, 자연스러운 포함 관계 F O E ⊆ F E {\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }E\subseteq \mathrm {F} E} 가 존재한다. k {\displaystyle k} 차원 다양체 M {\displaystyle M} 의 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 의 틀다발 F T M {\displaystyle \mathrm {FT} M} 을 생각하자. 이 주다발의, GL ⁡ ( k ; R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )} 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역을 이룬다. 마찬가지로, ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 차원 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 직교 틀다발 F O T M {\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }\mathrm {T} M} 을 생각하자. 이 주다발의, O ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )} 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 이다. 국소 미분 동형 사상 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다. F k ϕ : F k M → F k N {\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon \mathrm {F} ^{k}M\to \mathrm {F} ^{k}N} F k ϕ : ( x , j 0 k f ) → ( ϕ ( x ) , j 0 k ( T x ϕ ∘ f ) ) ( x ∈ M , f : R dim ⁡ M → T x M ) {\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon (x,\mathrm {j} _{0}^{k}f)\to \left(\phi (x),\mathrm {j} _{0}^{k}(\mathrm {T} _{x}\phi \circ f)\right)\qquad (x\in M,\;f\colon \mathbb {R} ^{\dim M}\to \mathrm {T} _{x}M)} 이에 따라, F k {\displaystyle \mathrm {F} ^{k}} 는 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체와 국소 미분 동형 사상들의 범주에서, Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} -매끄러운 주다발을 갖춘 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.:Defintion 3.8 일반화 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 직교 틀다발 F O T M {\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }\mathrm {T} M} 의 주접속 ω {\displaystyle \omega } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 군 표현 O ⁡ ( p , q ; R ) → T x M ⊗ T x ∗ M {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\to \mathrm {T} _{x}M\otimes \mathrm {T} _{x}^{*}M} 으로부터 다음과 같은 선형 사상을 정의할 수 있다. κ : o ( p , q ; R ) ⊗ C ∞ ( M ; R ) → Γ ( T M ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle \kappa \colon {\mathfrak {o}}(p,q;\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)} 이에 따라, 틀다발의 주접속 ω {\displaystyle \omega } 로부터 접다발의 코쥘 접속 ∇ : Γ ( T M ) → Γ ( T M ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)} 을 다음과 같이 정의할 수 있다. κ ( ω ( X ) ) = ∇ X {\displaystyle \kappa (\omega (X))=\nabla X} 이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속의 리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는 κ {\displaystyle \kappa } 등으로 바꿀 수 있다). 반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속이라고 한다. Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》. Series on University Mathematics (영어) 1. World Scientific. doi:10.1142/3812. ISBN 978-981-02-3494-2.  Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함.  Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035.  “Frame”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Frame bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Frame bundle reduction”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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