준자유 전자 모형

응집물질물리학에서 준자유 전자 모형(準自由電子模型, nearly free electron model)은 결정 격자를 자유 전자가 거의 자유롭게 통과한다는 가정 아래 결정의 띠구조를 다루는 모형이다. 준자유 전자 모형은 전자의 위치 에너지 U ( r ) {\displaystyle U(\mathbf {r} )} 이 그 운동 에너지 p 2 / 2 m {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}/2m} 보다 매우 작다고 가정하여, 위치 에너지를 섭동항으로 다루는 모형이다. 전자 사이의 상호작용은 고려하지 않는다. 전자의 파동 함수와 위치 에너지를 다음과 같이 푸리에 변환하여 정의하자. ψ ( r ) = ∑ k C k exp ⁡ ( i k ⋅ r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }C_{\mathbf {k} }\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )} U ( r ) = ∑ G U G exp ⁡ ( i G ⋅ r ) {\displaystyle U(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }\exp(i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )} . 여기서 ∑ G {\displaystyle \sum _{\mathbf {G} }} 는 모든 역격자 벡터 G {\displaystyle \mathbf {G} } 에 대한 합이다. 위치 에너지는 실수이어야 하므로 U − G = U G ∗ {\displaystyle U_{-\mathbf {G} }=U_{\mathbf {G} }^{*}} 이다. U 0 {\displaystyle U_{0}} 은 위치에 관계없는 값이므로 임의로 U 0 = 0 {\displaystyle U_{0}=0} 으로 놓는다. 이 변수로 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다. ( k 2 / 2 m − E k ) C k = ∑ G U G C k − G . {\displaystyle (k^{2}/2m-E_{\mathbf {k} })C_{\mathbf {k} }=\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }C_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }.} 여기서 m {\displaystyle m} 은 전자의 질량이고, E k {\displaystyle E_{\mathbf {k} }} 는 전자의 총 에너지이다. 이를 중심 방정식(central equation)이라고 한다. 준자유 전자 모형에서는 위치 에너지가 매우 작다고 가정하므로, U G {\displaystyle U_{\mathbf {G} }} 가 k 2 / 2 m − E {\displaystyle k^{2}/2m-E} 보다 매우 작다고 가정하고 섭동 이론을 사용할 수 있다. 0차 섭동 이론에서는 U G = 0 {\displaystyle U_{\mathbf {G} }=0} 을 놓는다. 그렇다면 자유 전자 모형과 같은 분산 관계를 얻는다. k 2 / 2 m = E k ( 0 ) {\displaystyle k^{2}/2m=E_{\mathbf {k} }^{(0)}} . 1차 섭동 이론에서는 U G {\displaystyle U_{\mathbf {G} }} 에 대하여 1차로 비례하는 항을 남긴다. 대부분의 경우에는 에너지의 1차 섭동은 0이다. 하지만 브래그 평면(역격자 벡터를 이등분하는 평면)에서는 섭동이 있을 수 있다. 파수 k {\displaystyle \mathbf {k} } 가 역격자 벡터 G {\displaystyle \mathbf {G} } 의 브래그 평면 위에 있다고 하자. 즉, G ⋅ ( k − G / 2 ) = 0 {\displaystyle \mathbf {G} \cdot (\mathbf {k} -\mathbf {G} /2)=0} 이라고 하자. 그렇다면 k 2 = ( k − G ) 2 {\displaystyle \mathbf {k} ^{2}=(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}} 이므로, k {\displaystyle \mathbf {k} } 와 k − G {\displaystyle \mathbf {k} -\mathbf {G} } 사이에 에너지 겹침이 생긴다. 그렇다면 에너지 1차 섭동 E ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {E} ^{(1)}} 은 다음 행렬의 고윳값이고, 에너지 고유 상태는 다음 행렬의 고유벡터이다. ( 0 U G U G ∗ 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&U_{\mathbf {G} }\\U_{\mathbf {G} }^{*}&0\end{pmatrix}}.} 즉, 에너지 1차 섭동은 다음과 같다. E ( 1 ) = ± | U G | . {\displaystyle E^{(1)}=\pm |U_{\mathbf {G} }|.} 따라서 띠틈이 2 | U G | {\displaystyle 2|U_{\mathbf {G} }|} 임을 알 수 있다. 보다 일반적으로, 여러 브래그 평면의 교차점에서는 더 많은 겹침이 있을 수 있다. 예를 들어, 두 개의 브래그 평면 G {\displaystyle \mathbf {G} } , G ′ {\displaystyle \mathbf {G} '} 이 겹치는 지점의 경우, 에너지 1차 섭동은 다음 행렬의 고윳값이다. ( 0 U G U G ′ U G ∗ 0 U G − G ′ ∗ U G ′ ∗ U G − G ′ 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&U_{\mathbf {G} }&U_{\mathbf {G} '}\\U_{\mathbf {G} }^{*}&0&U_{\mathbf {G} -\mathbf {G} '}^{*}\\U_{\mathbf {G} '}^{*}&U_{\mathbf {G} -\mathbf {G} '}&0\end{pmatrix}}.} 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 준자유 전자 모형 Ashcroft, Neil W.; N. David Mermin (1976). 《Solid State Physics》 (영어). Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-083993-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Kittel, Charles (1996). 《Introduction to Solid State Physics》 7판. New York: Wiley. ISBN 0-471-11181-3.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Elliott, Stephen (1998). 《The Physics and Chemistry of Solids》. New York: Wiley. ISBN 0-471-98194-X.  자유 전자 모형