서로소 아이디얼

수론과 환론에서 서로소(-素, 영어: coprime integers, coprime, relatively prime, mutually prime)는 정수나 다항식들끼리의 최대 공약수가 1이라는 뜻의 표현이다. 즉, 서로소인 정수들의 공약수는 ±1뿐이며, 서로소인 다항식들의 공약수는 0차 다항식뿐이다. 서로소의 개념은 아이디얼의 경우에까지 확장할 수 있으며, 이는 정수와 다항식의 경우의 공통적인 일반화이다. 정수 n 1 , n 2 , … , n k {\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}} 가 gcd { n 1 , … , n k } = 1 {\displaystyle \gcd\{n_{1},\dots ,n_{k}\}=1} 을 만족시키면, 이들이 서로소라고 한다. 특히 두 정수 m , n {\displaystyle m,n} 의 최대 공약수가 1이라면, 이 두 정수가 서로소라고 한다. 정수 n 1 , n 2 , … , n k {\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}} 가 다음 조건을 만족시키면, 이들이 쌍마다 서로소(雙-素, 영어: pairwise coprime)라고 한다. 모든 서로 다른 두 정수의 쌍 n i ≠ n j {\displaystyle n_{i}\neq n_{j}} 은 서로소이다. 쌍마다 서로소는 서로소보다 강한 개념이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 다항식 p 1 ( x ) , … , p k ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{1}(x),\dots ,p_{k}(x)\in K[x]} 의 최대 공약수가 0차 다항식(즉, 1의 약수이자 1의 배수인 다항식)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 다항식의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다. 정역 R {\displaystyle R} 의 원소 r 1 , … , r k ∈ R {\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}\in R} 의 최대 공약수가 가역원(즉, 곱셈 항등원의 약수이자 배수인 원소)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 원소의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 a 1 , … , a k ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\dots ,{\mathfrak {a}}_{k}\subset R} 가 다음 조건을 만족시키면, 서로소라고 한다. a 1 + ⋯ + a k = R {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}+\cdots +{\mathfrak {a}}_{k}=R} . 즉, r 1 + ⋯ + r k = 1 R {\displaystyle r_{1}+\cdots +r_{k}=1_{R}} 인 r i ∈ a i {\displaystyle r_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}} 가 존재한다. 특히, 두 아이디얼 a , b ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset R} 가 a + b = R {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R} 를 만족시키면 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 아이디얼의 쌍이 서로소라면, 이 아이디얼들이 쌍마다 서로소라고 한다. 두 정수 m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. m , n {\displaystyle m,n} 은 서로소이다. m , n {\displaystyle m,n} 은 공통의 소인수를 갖지 않는다. (베주 항등식) u m + v n = 1 {\displaystyle um+vn=1} 인 정수 u , v {\displaystyle u,v} 가 존재한다. ( m ) , ( n ) ⊂ Z {\displaystyle (m),(n)\subset \mathbb {Z} } 는 서로소이다. 두 다항식 p ( x ) , q ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle p(x),q(x)\in K[x]} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. p ( x ) , q ( x ) {\displaystyle p(x),q(x)} 는 서로소이다. p ( x ) , q ( x ) {\displaystyle p(x),q(x)} 는 공통의 기약 다항식 약수를 갖지 않는다. (베주 항등식) u ( x ) p ( x ) + v ( x ) q ( x ) = 1 {\displaystyle u(x)p(x)+v(x)q(x)=1} 인 u ( x ) , v ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle u(x),v(x)\in K[x]} 가 존재한다. ( p ( x ) ) , ( q ( x ) ) ⊂ K [ x ] {\displaystyle (p(x)),(q(x))\subset K[x]} 는 서로소이다. 보다 일반적으로, 환 R {\displaystyle R} 및 그 두 원소 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} 에 대하여, 만약 R {\displaystyle R} 가 유일 인수 분해 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다. a , b {\displaystyle a,b} 는 서로소이다. a , b {\displaystyle a,b} 는 공통의 소원 약수를 갖지 않는다. 만약 R {\displaystyle R} 가 주 아이디얼 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다. a , b {\displaystyle a,b} 는 서로소이다. (베주 항등식) u a + v b = 1 R {\displaystyle ua+vb=1_{R}} 인 u , v ∈ R {\displaystyle u,v\in R} 가 존재한다. ( a ) , ( b ) ⊂ R {\displaystyle (a),(b)\subset R} 는 서로소이다. 유사환의 쌍마다 서로소 아이디얼에 대하여 중국인의 나머지 정리가 성립한다. 정수나 다항식의 연립 합동 방정식의 해의 구조에 대한 명제는 이에 대한 특수한 경우이다. 두 정수가 서로소일 확률은 6 π 2 = 0.607927101854026628663276 … {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}=0.607927101854026628663276\dots } 이다. 증명: 소수 p {\displaystyle p} 가 어떤 정수를 나눌 확률은 1 / p {\displaystyle 1/p} 이며, 어떤 두 정수를 나눌 확률은 1 / p 2 {\displaystyle 1/p^{2}} 이다. 따라서 두 정수가 서로소일 확률은 이 둘을 모두 나누는 소수가 존재하지 않을 확률과 같으며, 이는 다음과 같다. ∏ p ∈ P ( 1 − 1 p 2 ) = 1 ∏ p ∈ P 1 1 − p − 2 = 1 ζ ( 2 ) = 6 π 2 {\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)={\frac {1}{\displaystyle {\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-2}}}}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}} 여기서 P {\displaystyle \mathbb {P} } 는 소수의 집합, ζ {\displaystyle \zeta } 는 리만 제타 함수이다. Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright (1979). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 (영어). Oxford Science Publications. 20쪽. Two or more positive integers that have greatest common divisor 1 are said to be relatively prime to one another, often simply just referred to as being "relatively prime.  Weisstein, Eric W. “Relatively Prime” (영어). "Two integers are relatively prime if they share no common positive factors (divisors) except 1.  “Mutually-prime numbers”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Relatively prime”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.