유한 퍼텐셜 우물

무한 퍼텐셜 우물은 이상적인 계로서 양자 역학의 기본 개념을 잘 내포하고 있지만 실제로 구현되기 어렵다. 반면에 유한 퍼텐셜 우물(Finite potential well)의 경우 실체를 기술하기에 더 적절하다. 그 예로 GaAs층이 Ga1-xAlxAs 의 두 층 사이에 끼어있는 경우 유한 퍼텐셜 우물로써 기술할 수 있다. 1차원 공간에서 퍼텐셜이 다음과 같은 구조를 가질 때 이 계를 유한 퍼텐셜 우물이라고 한다. V ( x ) = { 0 , if  x < 0  outside − V 0 , if  0 < x < a  inside 0 , if  a < x  outside {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x<0{\mbox{ outside}}\\-V_{0},&{\mbox{if }}0<x<a{\mbox{ inside}}\\0,&{\mbox{if }}a<x{\mbox{ outside}}\end{cases}}} 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 풀면 입자가 유한 퍼텐셜 우물속에 있을 때의 현상을 살펴볼 수 있다. ψ = { ψ 1 , if  x < 0  (the region outside the well) ψ 2 , if  0 < x < a  (the region inside the well) ψ 3 if  x > a  (the region outside the well) {\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\mbox{if }}x<0{\mbox{ (the region outside the well)}}\\\psi _{2},&{\mbox{if }}0<x<a{\mbox{ (the region inside the well)}}\\\psi _{3}&{\mbox{if }}x>a{\mbox{ (the region outside the well)}}\end{cases}}} 라고 하자. 각 영역에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. − ℏ 2 2 m d 2 ψ 1 d x 2 = E ψ 1 {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=E\psi _{1}} − ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 d x 2 − V 0 ψ 2 = E ψ 2 {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}-V_{0}\psi _{2}=E\psi _{2}} − ℏ 2 2 m d 2 ψ 3 d x 2 = E ψ 3 {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=E\psi _{3}} k = 2 m ( E + V 0 ) ℏ {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E+V_{0})}}{\hbar }}} q = − 2 m E ℏ {\displaystyle q={\frac {\sqrt {-2mE}}{\hbar }}} 라고 놓으면 각 영역의 해는 다음과 같다. ψ 1 ( x ) = e q x ψ 2 ( x ) = A e i k x + B e − i k x ψ 3 ( x ) = C e − q x {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(x)&=e^{qx}\\\psi _{2}(x)&=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\\\psi _{3}(x)&=Ce^{-qx}\end{aligned}}} 경계 조건( x = 0 {\displaystyle x=0} 과 x = a {\displaystyle x=a} 에서 ψ {\displaystyle \scriptstyle \psi \quad } 와 d ψ d x {\displaystyle \scriptstyle {\frac {d\psi }{dx}}\quad } 가 연속인 조건)을 이용하면 계수를 구할 수 있고, 포텐셜 우물에서의 해를 구하게 되는 것이다. 정리하면 1 = A + B q = i k ( A − B ) A e i k a + B e − i k a = C e − q a i k ( A e i k a − B e − i k a ) = − q C e − q a {\displaystyle {\begin{aligned}1&=A+B\\q&=ik(A-B)\\Ae^{ika}+Be^{-ika}&=Ce^{-qa}\\ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})&=-qCe^{-qa}\end{aligned}}} 이 되고, 연립방정식을 풀면 계수는 다음과 같다. A = 1 2 ( 1 − i q k ) = B ∗ B = 1 2 ( 1 + i q k ) C = 1 2 e q a ( k q + q k ) sin ⁡ k a {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(1-i{\frac {q}{k}}\right)=B^{*}\\B&={\frac {1}{2}}\left(1+i{\frac {q}{k}}\right)\\C&={\frac {1}{2}}e^{qa}\left({\frac {k}{q}}+{\frac {q}{k}}\right)\sin {ka}\end{aligned}}} 경계 조건을 잘 정리하면 k a = ( n − 1 ) π + 2 cos − 1 ⁡ 1 + E V 0   ( n = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . ) {\displaystyle ka=(n-1)\pi +2\cos ^{-1}{\sqrt {1+{\frac {E}{V_{0}}}}}\ (n=1,2,3,4,...)} 을 얻을 수 있고, 이 식과 처음에 정의했던 k = 2 m ( E + V 0 ) ℏ {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E+V_{0})}}{\hbar }}} 을 그래프로 그려보면 속박 상태를 확인할 수 있다. 이때 그래프의 교점으로부터 속박상태의 에너지를 구할 수 있다. 최종적으로 계산한 파동함수는 다음과 같다. ψ 1 ( x ) = e q x ψ 2 ( x ) = 1 1 + E V 0 sin ⁡ { k ( x − a 2 ) + n π 2 } ψ 3 ( x ) = ( − 1 ) n + 1 e − q ( x − a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(x)&=e^{qx}\\\psi _{2}(x)&={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {E}{V_{0}}}}}}\sin \left\{k\left(x-{\frac {a}{2}}\right)+{\frac {n\pi }{2}}\right\}\\\psi _{3}(x)&=(-1)^{n+1}e^{-q(x-a)}\end{aligned}}} V 0 {\displaystyle V_{0}} 의 크기가 무한히 커지는 경우 무한 퍼텐셜 우물이 된다. 유한 퍼텐셜 우물의 깊이가 깊어짐에 따라 그래프의 교점의 개수가 증가함을 확인할 수 있으므로 속박상태의 개수가 증가함을 알 수 있다. 퍼텐셜 우물의 경우 우물이 생긴 모양에 따라 대칭성을 이용하면 직관적으로 이해하기 용이하다. Quantum Dot, Quantum well, Superlattice 같은 구조를 갖는 계의 경우 유한 퍼텐셜 우물의 관점에서 물리적인 현상을 기술할 수 있다. 양자 역학 파동 함수 반도체 초격자 상자속 입자 Paul Harrison (1999). 《Quantum Wells》. Wiley: Wires and Dots.  송희성. 《양자역학》. 교학연구사.