삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원

아래는 삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원(Mixtilinear Incircle)에 대한 설명이다. 삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원은 3개가 있다. 그리고 이 원들의 두 변과의 접점의 중점이 삼각형의 내심이 된다. 또한 이 원들과 삼각형 외접원과의 접점과 마주보는 삼각형의 꼭짓점을 이은 세 개의 직선은 한 점에서 만나고, 이 점은 삼각형의 외심과 내심을 잇는 선 위에 있다. O a , O b , O c {\displaystyle O_{a},O_{b},O_{c}} 를 각각 변 AB, CA에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 X라 하자)하는 원, 변 AB, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Y라 하자)하는 원, 변 AC, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Z라 하자)하는 원이라 하자. 선분 AX, BY, CZ는 한 점에서 만나고, 그 점은 직선 OI위의 점이다.(O는 외심, I는 내심) 점 A는 내심과 O a {\displaystyle O_{a}} 의 중심의 R(내접원의 반지름):( O a {\displaystyle O_{a}} 의 반지름) 외분점이다.(이는 닮음을 이용하여 쉽게 보일 수 있다.) 또한 X는 외심과 O a {\displaystyle O_{a}} 의 중심의 r(외접원의 반지름):( O a {\displaystyle O_{a}} 의 반지름) 외분점이다.(외접원과 O a {\displaystyle O_{a}} 가 접하므로 자명) 그러므로 달랑베르 정리에 의해 O와 I의 R:r 외분점은 선분 AX위에 존재한다. 같은 방법으로 선분 AX, BY, CZ는 O와 I의 R:r 외분점을 지난다. 내심 I는 B a {\displaystyle B_{a}} ( O a {\displaystyle O_{a}} 와 변 AB의 접점)와 C a {\displaystyle C_{a}} ( O a {\displaystyle O_{a}} 와 변 AC의 접점)를 잇는 선분의 중점이다. 직선 X C a {\displaystyle XC_{a}} 와 외접원이 만나는 또 다른 점을 C 1 {\displaystyle C_{1}} 이라 하자. (외접원에서 열호 A C 1 {\displaystyle AC_{1}} 과 열호 B X {\displaystyle BX} 의 원주각의 합)= ∠ B C a X {\displaystyle \angle BC_{a}X} =( O a {\displaystyle O_{a}} 에서 열호 C a X {\displaystyle C_{a}X} 의 원주각)=(외접원에서 열호 C 1 X {\displaystyle C_{1}X} 의 원주각) 이므로 C 1 {\displaystyle C_{1}} 은 열호 AB의 중점이 된다. ∴ {\displaystyle \therefore } ( C 1 {\displaystyle C_{1}} , I {\displaystyle I} , C {\displaystyle C} ) c o l l i n e a r {\displaystyle collinear} I S W {\displaystyle ISW} ( B 1 , I , B ) c o l l i n e a r {\displaystyle (B_{1},I,B)collinear} 이제 A , B , B 1 , X , C 1 , C {\displaystyle A,B,B_{1},X,C_{1},C} 에 대한 파스칼의 정리에 의하여 내심 I는 B a {\displaystyle B_{a}} 와 C a {\displaystyle C_{a}} 를 잇는 선분 위에 있다. 그런데 내심 I는 각 BAC의 이등분선 위에 있으므로 ∴ {\displaystyle \therefore } 내심 I는 B a {\displaystyle B_{a}} 와 C a {\displaystyle C_{a}} 를 잇는 선분의 중점이다. O a {\displaystyle O_{a}} 의 반지름은 r c o s 2 ( ∠ A 2 ) {\displaystyle {\frac {r}{cos^{2}({\tfrac {\angle A}{2}})}}} 이다. O a B a ¯ = I B a ¯ c o s ( ∠ A 2 ) = I B 0 ¯ c o s 2 ( ∠ A 2 ) = r c o s 2 ( ∠ A 2 ) {\displaystyle {\overline {O_{a}B_{a}}}={\frac {\overline {IB_{a}}}{cos({\frac {\angle A}{2}})}}={\frac {\overline {IB_{0}}}{cos^{2}({\frac {\angle A}{2}})}}={\frac {r}{cos^{2}({\frac {\angle A}{2}})}}} ( B 0 {\displaystyle B_{0}}  : 변 AC와 내접원의 접점) C a , B , X , I {\displaystyle C_{a},B,X,I} 는 한 원 위에 있다. ∠ B I C a = ∠ A C I − ∠ A B I = ∠ C 2 = ∠ C 1 X B {\displaystyle \angle BIC_{a}=\angle ACI-\angle ABI={\frac {\angle C}{2}}=\angle C_{1}XB} 이므로 성립한다. 마찬가지로 B a , C , X , I {\displaystyle B_{a},C,X,I} 등도 한 원 위에 있다. 선분 XI는 각 BXC를 이등분한다. ∠ B X I = ∠ A C a I = ∠ B + ∠ C 2 = ∠ B X C 2 {\displaystyle \angle BXI=\angle AC_{a}I={\frac {\angle B+\angle C}{2}}={\frac {\angle BXC}{2}}} A 1 {\displaystyle A_{1}} (A를 포함하지 않는 호 BC의 중점)은 원 O b , O c {\displaystyle O_{b},O_{c}} 의 근축 위의 점이다. A 1 B ¯ = A 1 C ¯ {\displaystyle {\overline {A_{1}B}}={\overline {A_{1}C}}} 이므로 A 1 A c ¯ A 1 Z ¯ = A 1 A c ¯ 2 + A 1 A c ¯ Z A c ¯ = A 1 A c ¯ 2 + B A c ¯ C A c ¯ = A 1 B ¯ 2 = A 1 C ¯ 2 {\displaystyle {\overline {A_{1}A_{c}}}{\overline {A_{1}Z}}={\overline {A_{1}A_{c}}}^{2}+{\overline {A_{1}A_{c}}}{\overline {ZA_{c}}}={\overline {A_{1}A_{c}}}^{2}+{\overline {BA_{c}}}{\overline {CA_{c}}}={\overline {A_{1}B}}^{2}={\overline {A_{1}C}}^{2}} ( ∵ {\displaystyle \because } 스튜어트의 정리)이다. 마찬가지로 A 1 A b ¯ A 1 Z ¯ = A 1 B ¯ 2 = A 1 C ¯ {\displaystyle {\overline {A_{1}A_{b}}}{\overline {A_{1}Z}}={\overline {A_{1}B}}^{2}={\overline {A_{1}C}}} 이므로 A 1 {\displaystyle A_{1}} 은 원 O b , O c {\displaystyle O_{b},O_{c}} 의 근축 위의 점이다. Khoa Lu Nguyen and Juan Carlos Salazar. “On Mixtilinear Incircles and Excircles” (PDF). 《Forum Geometricorum》.