블록 설계

조합론에서 블록 설계(block設計, 영어: block design 블록 디자인[*])는 같은 크기의 일련의 부분 집합들이 주어져 있는 유한 집합이다. 이 경우, 이러한 부분 집합을 블록(영어: block)이라고 하며, 블록 설계는 (예를 들어) “ k {\displaystyle k} 개의 원소들을 포함하는 블록의 수는 원소의 선택에 상관없이 λ {\displaystyle \lambda } 개”와 같은 꼴의 조건을 만족시켜야 한다. 세 자연수 t , k , n ∈ N {\displaystyle t,k,n\in \mathbb {N} } 가 주어졌다고 하자. ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 크기 n {\displaystyle n} 의 유한 집합 X {\displaystyle X} . 그 원소를 점(點, 영어: point)이라고 한다. X {\displaystyle X} 의, 크기 k {\displaystyle k} 의 부분 집합들의 족 B ⊆ Pow k ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Pow} _{k}(X)} . 그 원소를 블록(영어: block)이라고 한다. (여기서 Pow k ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Pow} _{k}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들 가운데 크기가 k {\displaystyle k} 인 것들로 구성된, 멱집합의 부분 집합이다.) 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. t {\displaystyle t} 개의 서로 다른 점들이 주어졌을 때, 이 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 선택한 점들에 상관없는 값 λ t > 0 {\displaystyle \lambda _{t}>0} 이다. (0을 제외하는 것은 피셔 부등식 등을 따르지 않는 ( X , B = ∅ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}}=\varnothing )} 를 배제하기 위함이다.) 두 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} , ( X ′ , B ′ ) {\displaystyle (X',{\mathcal {B}}')} 가 주어졌다고 하자. 만약 이 둘 사이에 전단사 함수 ι : X → X ′ {\displaystyle \iota \colon X\to X'} 가 존재하여 { ι ( B ) } B ∈ B = B ′ {\displaystyle \{\iota (B)\}_{B\in {\mathcal {B}}}={\mathcal {B}}'} 라면, ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 와 ( X ′ , B ′ ) {\displaystyle (X',{\mathcal {B}}')} 가 서로 동형이라고 한다. λ t = 1 {\displaystyle \lambda _{t}=1} 인 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계는 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -슈타이너 계(Steiner系, 영어: Steiner system 스타이너 시스템[*])라고 한다. 보통, λ t = 1 {\displaystyle \lambda _{t}=1} 인 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 는 S ⁡ ( t , k , n ) {\displaystyle \operatorname {S} (t,k,n)} 로 표기된다. 위 정의는 결합 도식의 개념을 통해 일반화된다.:2483–2486, §Ⅲ 구체적으로, 결합 도식 ( X , { D i ∈ Mat ⁡ ( | X | , | X | ; Z ) } i ∈ I ) {\displaystyle (X,\{D_{i}\in \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {Z} )\}_{i\in I})} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 복소수 계수 보스-메스너 대수 A = Span C ⁡ { D i } i ∈ I ⊆ Mat ⁡ ( | X | , | X | ; C ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{D_{i}\}_{i\in I}\subseteq \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {C} )} 는 반단순 대수이며, 따라서 그 최소 멱등원들의 집합 ( E a ) a ∈ A {\displaystyle (E_{a})_{a\in A}} E a E b = δ a b E a {\displaystyle E_{a}E_{b}=\delta _{ab}E_{a}} ∑ a ∈ A E a = 1 A {\displaystyle \sum _{a\in A}E_{a}=1_{\mathcal {A}}} 를 정의할 수 있다. 특히, E 0 = 1 | X | J | X | × | X | {\displaystyle E_{0}={\frac {1}{|X|}}{\mathsf {J}}_{|X|\times |X|}} 는 항상 최소 멱등원이다. ( J | X | × | X | {\displaystyle {\mathsf {J}}_{|X|\times |X|}} 는 모든 성분이 1인 | X | × | X | {\displaystyle |X|\times |X|} 정사각 행렬이다.) 이제, 계수 E a = ∑ i = 0 | I | Q a i D i {\displaystyle E_{a}=\sum _{i=0}^{|I|}Q_{ai}D_{i}} 들을 정의할 수 있다. X {\displaystyle X} 의 부분 집합(즉, X {\displaystyle X} 속의 블록 부호) C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 가 주어졌을 때, 내부 분포 α i = | C 2 ∩ R i | | C | {\displaystyle \alpha _{i}={\frac {|C^{2}\cap R_{i}|}{|C|}}} 및 쌍대 내부 분포 β a = ∑ i ∈ I Q a i α i {\displaystyle \beta _{a}=\sum _{i\in I}Q_{ai}\alpha _{i}} 를 정의할 수 있다. 만약 어떤 부분 집합 E ⊆ A {\displaystyle E\subseteq A} 가 주어졌을 때, 만약 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 가 다음 조건을 만족시킬 경우, E {\displaystyle E} -블록 설계(영어: E {\displaystyle E} -block design)라고 한다.:2484, Definition 7 임의의 a ∉ E {\displaystyle a\not \in E} 에 대하여, β a = 0 {\displaystyle \beta _{a}=0} 만약 X {\displaystyle X} 가 존슨 결합 대수일 때, 이는 첫째 정의로 귀결된다. 임의의 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X ′ = X ∖ { x } {\displaystyle X'=X\setminus \{x\}} B ′ = { B ∖ { x } : x ∈ B ∈ B } {\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{B\setminus \{x\}\colon x\in B\in {\mathcal {B}}\}} 는 ( t − 1 , k − 1 , n − 1 ) {\displaystyle (t-1,k-1,n-1)} -블록 설계를 이루며, λ t − 1 ′ = λ t {\displaystyle \lambda '_{t-1}=\lambda _{t}} 이다. 이를 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 의 유도 블록 설계(誘導block設計, 영어: derived block design)이라고 한다. (서로 다른 점에서 취한 유도 블록 설계는 서로 동형이지 못할 수 있다.) 특히, 슈타이너 계의 유도 블록 설계는 항상 슈타이너 계이다. ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 에서, X = { x 1 , … , x n } {\displaystyle X=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}} 와 B = { B 1 , … , B λ 0 } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{1},\dotsc ,B_{\lambda _{0}}\}} 위에 각각 임의로 전순서를 주자. 그렇다면, ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 의 결합 행렬(영어: incidence matrix)은 다음과 같은 n × λ 0 {\displaystyle n\times \lambda _{0}} 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n , λ 0 ; F 2 ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,\lambda _{0};\mathbb {F} _{2})} 이다. M i j = { 1 x i ∈ B j 0 x i ∉ B j {\displaystyle M_{ij}={\begin{cases}1&x_{i}\in B_{j}\\0&x_{i}\not \in B_{j}\end{cases}}} 정사각 블록 설계의 경우 결합 행렬은 정사각 행렬이다. 임의의 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 가 주어졌을 때, 다음 정수들을 정의하자. λ i = λ t ( n − i t − i ) ( k − i t − i ) ( i ∈ { 0 , 1 , … , t } ) {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\lambda _{t}{\binom {n-i}{t-i}}}{\binom {k-i}{t-i}}}\qquad (i\in \{0,1,\dotsc ,t\})} 그렇다면, 다음이 성립한다. 0 ≤ i ≤ t {\displaystyle 0\leq i\leq t} 가 주어졌을 때, i {\displaystyle i} 개의 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 정확히 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 이다. 특히, i = 0 {\displaystyle i=0} 일 경우, 블록의 수는 λ 0 = λ t ( n t ) / ( k t ) {\displaystyle \textstyle \lambda _{0}=\lambda _{t}{\binom {n}{t}}/{\binom {k}{t}}} 이다. 이에 따라, 모든 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계는 임의의 0 ≤ t ′ ≤ t {\displaystyle 0\leq t'\leq t} 에 대하여 ( t ′ , k , n ) {\displaystyle (t',k,n)} -블록 설계이다. 피셔 부등식(Fisher不等式, 영어: Fisher’s inequality)에 따르면, 임의의 ( 2 , k , n ) {\displaystyle (2,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 에 대하여, 다음이 성립한다. | X | ≥ λ 0 {\displaystyle |X|\geq \lambda _{0}} k ≥ λ 1 {\displaystyle k\geq \lambda _{1}} ( X λ 1 = k λ 0 {\displaystyle X\lambda _{1}=k\lambda _{0}} 이므로, 두 조건은 사실 동치이다.) 이 부등식을 포화시키는 블록 설계, 즉 점의 수가 블록의 수와 같은 2-블록 설계를 정사각 블록 설계(正四角block設計, 영어: square block matrix) 또는 대칭 블록 설계(對稱block設計, 영어: symmetric block design)라고 한다. 보다 일반적으로, 임의의 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 에 대하여, 다음이 성립한다. λ 0 ≥ ( n ⌊ t / 2 ⌋ ) {\displaystyle \lambda _{0}\geq {\binom {n}{\lfloor t/2\rfloor }}} 브룩-라이저-차울라 정리(Bruck-Ryser-चावला定理, 영어: Bruck–Ryser–Chowla theorem)에 따르면, 임의의 ( t , k , n ) {\displaystyle (t,k,n)} -블록 설계 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 에 대하여, 만약 | X | = λ 0 {\displaystyle |X|=\lambda _{0}} 라면, 만약 | X | {\displaystyle |X|} 가 짝수라면, k − λ 2 {\displaystyle k-\lambda _{2}} 는 제곱수이다. 만약 | X | {\displaystyle |X|} 가 홀수라면, x 2 = ( k − λ 2 ) y 2 + ( − 1 ) ( | X | − 1 ) / 2 λ 2 z 2 {\displaystyle x^{2}=(k-\lambda _{2})y^{2}+(-1)^{(|X|-1)/2}\lambda _{2}z^{2}} 를 만족시키는 정수 ( x , y , z ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (x,y,z)\neq (0,0,0)} 가 존재한다. 작은 크기의 ( t = 2 , k = 3 , n ) {\displaystyle (t=2,k=3,n)} -슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A30129) 작은 크기의 ( t = 3 , k = 4 , n ) {\displaystyle (t=3,k=4,n)} -슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A51390) 다음과 같은 (2,4,8)-블록 설계를 생각하자. X = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle X=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}} B = { 0123 , 0124 , 0156 , 0257 , 0345 , 0367 , 0467 , 1267 , 1346 , 1357 , 1457 , 2347 , 2356 , 2456 } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{0123,0124,0156,0257,0345,0367,0467,1267,1346,1357,1457,2347,2356,2456\}} 그렇다면, 총 8개의 점이 있다 ( n = 8 {\displaystyle n=8} ). 모든 블록의 크기는 4이다 ( k = 4 {\displaystyle k=4} ). 블록의 수는 14이다 ( λ 0 = 14 {\displaystyle \lambda _{0}=14} ). 임의의 한 점은 7개의 블록에 포함된다 ( λ 1 = 7 {\displaystyle \lambda _{1}=7} ). 임의의 두 점은 3개의 블록에 포함된다 ( λ 2 = 3 {\displaystyle \lambda _{2}=3} ). 파노 평면 (유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위의 사영 평면) P F 2 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{2}}^{2}} 을 생각하자. 여기서, 각 선을 블록으로 생각하자. 즉, 다음과 같은 블록 설계를 생각하자. X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle X=\{1,2,3,4,5,6,7\}} B = { 123 , 145 , 167 , 246 , 257 , 347 } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{123,145,167,246,257,347\}} 이는 ( 2 , 3 , 7 ) {\displaystyle (2,3,7)} -슈타이너 계를 이룬다. 총 7개의 점이 있다 ( n = 7 {\displaystyle n=7} ). 모든 블록은 정확히 세 개의 점을 갖는다 ( k = 3 {\displaystyle k=3} ). 블록의 수는 7이다 ( λ 0 = 7 {\displaystyle \lambda _{0}=7} ). 모든 점은 정확히 세 개의 블록에 포함된다 ( λ 1 = 3 {\displaystyle \lambda _{1}=3} ). 임의의 서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 이를 포함하는 블록은 정확히 한 개이다. ( λ 2 = 1 {\displaystyle \lambda _{2}=1} ). 이진 골레 부호 G 24 ⊆ F 2 24 {\displaystyle G_{24}\subseteq \mathbb {F} _{2}^{24}} 는 759개의 옥타드(값이 1인 성분이 8개인 벡터)를 가지며, 각 옥타드를 { 1 , 2 , … , 24 } {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,24\}} 의, 크기 8의 부분 집합으로 여길 수 있다. 이에 따라, 이진 골레 부호의 옥타드의 집합은 (5,8,24)-슈타이너 계를 이룬다. 이는 비트 설계(Witt設計, 영어: Witt design)라고 불린다. 4 m × 4 m {\displaystyle 4m\times 4m} 아다마르 행렬이 주어졌으며, 그 첫 열과 첫 행이 모두 1로 구성돼 있다고 하자. 그렇다면, 첫 열과 첫 행을 제거하고, 나머지 성분 가운데 −1을 0으로 치환한 뒤, 이를 어떤 정사각 블록 설계의 결합 행렬로 해석할 수 있다. 이를 아다마르 설계라고 하며, 이는 λ 2 = m − 1 {\displaystyle \lambda _{2}=m-1} 인 ( 2 , 2 m , 4 m − 1 ) {\displaystyle (2,2m,4m-1)} -블록 설계이다. 임의의 유한 집합 X {\displaystyle X} 및 ∅ ≠ B ⊆ Pow k ⁡ ( X ) {\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Pow} _{k}(X)} 에 대하여, ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 는 λ 0 = | B | {\displaystyle \lambda _{0}=|{\mathcal {B}}|} 인 ( 0 , k , | X | ) {\displaystyle (0,k,|X|)} -블록 설계를 이룬다. 임의의 유한 집합 X {\displaystyle X} 및 양의 정수 1 ≤ k ≤ | X | {\displaystyle 1\leq k\leq |X|} 에 대하여, ( X , Pow k ⁡ ( X ) ) {\displaystyle (X,\operatorname {Pow} _{k}(X))} 는 ( k , k , | X | ) {\displaystyle \textstyle (k,k,|X|)} -블록 설계를 이루며, 이 경우 λ i = ( | X | − i k − i ) ( 0 ≤ i ≤ k ) {\displaystyle \lambda _{i}={\binom {|X|-i}{k-i}}\qquad (0\leq i\leq k)} 이다. 이는 t = k {\displaystyle t=k} 이므로 정사각 블록 설계이며, λ t = 1 {\displaystyle \lambda _{t}=1} 이므로 슈타이너 계이다. 1844년에 영국의 보험계리인 웨슬리 스토커 바커 울하우스(영어: Wesley Stoker Barker Woolhouse, 1809~1893)가 자신이 편집자로 있던 잡지 《레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리》(영어: Lady’s and Gentleman’s Diary)에서 블록 설계에 대한 퍼즐을 제시하였다. 그 전문(全文)은 다음과 같다. 이는 현대적 용어로는 ( q , p , n ) {\displaystyle (q,p,n)} -슈타이너 계를 다루는 것이다. 이후 이 문제는 1847년에 영국의 잉글랜드 성공회 사제 토머스 페닝턴 커크먼(영어: Thomas Penyngton Kirkman, 1806~1895)이 해결하였다. 그러나 이들의 논문은 크게 관심을 불러일으키지 못했다. 이후 울하우스와 커크먼과 독자적으로 야코프 슈타이너가 1853년에 블록 설계에 대한 논문을 출판하였다. 이후 그의 이름을 따 λ t = 1 {\displaystyle \lambda _{t}=1} 인 t {\displaystyle t} -블록 설계는 “슈타이너 계”로 불리게 되었다. 비트 설계는 1931년에 로버트 대니얼 카마이클이 최초로 발견하였으며, 에른스트 비트가 1938년에 마티외 군을 연구하던 도중 재발견하였다. 피셔 부등식은 로널드 피셔가 1940년에 증명하였다. 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