사영작용소

선형대수학에서 사영 작용소(射影作用素, 영어: projection operator)는 멱등 선형 변환이다. V {\displaystyle V} 가 벡터 공간이라고 하자. 선형 변환 P : V → V {\displaystyle P\colon V\to V} 가 P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} 를 만족시키면, 이를 사영 작용소라고 한다. 유한 차원 벡터 공간의 경우, 사영 작용소들은 벡터 공간의 부분 벡터 공간 및 그 여공간의 쌍과 일대일 대응한다. 임의의 사영 작용소 P : V → V {\displaystyle P\colon V\to V} 가 주어지면, 벡터 공간은 P {\displaystyle P} 의 상과 핵의 직합으로 나타내어진다. 즉, V = P ( V ) ⊕ ker ⁡ P {\displaystyle V=P(V)\oplus \ker P} 로 분해할 수 있다. 증명: 우선, 임의의 a ∈ V {\displaystyle a\in V} 에 대하여, P a ∈ P ( V ) {\displaystyle Pa\in P(V)} 이며, a − P a ∈ ker ⁡ P {\displaystyle a-Pa\in \ker P} 이므로, V = P ( V ) + ker ⁡ P {\displaystyle V=P(V)+\ker P} 이다. 또한, 만약 a ∈ P ( V ) ∩ ker ⁡ P {\displaystyle a\in P(V)\cap \ker P} 라면, a = P b {\displaystyle a=Pb} 인 b ∈ V {\displaystyle b\in V} 가 존재하며, 0 = P a = P 2 b = P b = a {\displaystyle 0=Pa=P^{2}b=Pb=a} 이다. 따라서 P ( V ) ∩ ker ⁡ P = { 0 V } {\displaystyle P(V)\cap \ker P=\{0_{V}\}} 이다. 이에 따라, 임의의 a ⊕ b ∈ P ( V ) ⊕ ker ⁡ P {\displaystyle a\oplus b\in P(V)\oplus \ker P} 에 대하여 P : a ⊕ b ↦ a ⊕ 0 {\displaystyle P\colon a\oplus b\mapsto a\oplus 0} 이다. 증명: 만약 a ∈ P ( V ) {\displaystyle a\in P(V)} 라면, a = P b {\displaystyle a=Pb} 인 b ∈ V {\displaystyle b\in V} 가 존재하므로, P a = P 2 b = P b = a {\displaystyle Pa=P^{2}b=Pb=a} 이며, a {\displaystyle a} 는 P {\displaystyle P} 의 고정점이다. 즉, P {\displaystyle P} 는 주어진 벡터를 그 핵 ker ⁡ P ⊂ V {\displaystyle \ker P\subset V} 을 따라 그 상 P ( V ) ⊂ V {\displaystyle P(V)\subset V} 에 사영하는 작용소로 생각할 수 있다. 사영 작용소의 고윳값은 0 또는 1이다. 그 중복도는 각각 dim ⁡ ker ⁡ P {\displaystyle \dim \ker P} , dim ⁡ P ( V ) {\displaystyle \dim P(V)} 이다. 사영 작용소 P {\displaystyle P} 의 행렬 지수 함수는 exp ⁡ P = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! P n = 1 + ( e − 1 ) P {\displaystyle \exp P=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}P^{n}=1+(e-1)P} 이다. 내적 공간 V {\displaystyle V} 의 사영 작용소 P : V → V {\displaystyle P\colon V\to V} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 최소 제곱법을 정의한다. 즉, 임의의 b ∈ V {\displaystyle b\in V} 및 P b ≠ a ∈ P ( V ) {\displaystyle Pb\neq a\in P(V)} 에 대하여, ‖ b − P b ‖ < ‖ b − a ‖ {\displaystyle \Vert b-Pb\Vert <\Vert b-a\Vert } ker ⁡ P {\displaystyle \ker P} 는 P ( V ) {\displaystyle P(V)} 의 직교 여공간이다. 즉, 임의의 a , b ∈ V {\displaystyle a,b\in V} 에 대하여, ⟨ P a , b − P b ⟩ = 0 {\displaystyle \langle Pa,b-Pb\rangle =0} 이다. 자기 수반 작용소이다. 내적 공간 V {\displaystyle V} 및 벡터 b ∈ V {\displaystyle b\in V} 및 부분 벡터 공간 W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} 이 주어졌다고 하자. 벡터 P b ∈ W {\displaystyle Pb\in W} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 P b {\displaystyle Pb} 를 b {\displaystyle b} 의 W {\displaystyle W} 에 대한 최적 근사(最適近似, 영어: best approximation)라고 한다. 임의의 a ∈ W {\displaystyle a\in W} 에 대하여, ‖ b − P b ‖ ≤ ‖ b − a ‖ {\displaystyle \Vert b-Pb\Vert \leq \Vert b-a\Vert } b − P b ∈ W ⊥ {\displaystyle b-Pb\in W^{\perp }} 최적 근사는 존재한다면 유일하지만, 일반적으로 존재하지 않는다. 만약 W {\displaystyle W} 를 상으로 하는 자기 수반 사영 작용소 P : V → V {\displaystyle P\colon V\to V} 가 존재한다면, (이 경우 P {\displaystyle P} 의 핵은 직교 여공간 W ⊥ {\displaystyle W^{\perp }} 이다.) 각 b {\displaystyle b} 의 W {\displaystyle W} 를 통한 최적 근사는 P b {\displaystyle Pb} 이다. 특히, W {\displaystyle W} 가 유한 차원 벡터 공간이라면 이러한 자기 수반 사영 작용소는 항상 존재한다. 연립 일차 방정식의 최소 제곱법은 이에 대한 특수한 경우이다. 불변 부분 공간 대각합 “Projector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Projector”. 《nLab》 (영어).