국소체

대수적 수론에서 국소체(局所體, 영어: local field)는 위상체의 한 종류다. 대역체의 완비화로 얻어진다. 위상체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다. 이산 공간이 아닌 국소 콤팩트 공간이다. 실수체 또는 복소수체이거나, 아니면 어떤 이산 값매김(discrete valuation)에 대하여 완비 거리 공간을 이루고, 또한 그 이산 값매김환의 잉여류체가 유한체이다. 다음 목록 가운데 하나와 동형이다. (아르키메데스 체) 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 또는 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } (체의 표수가 0인 비아르키메데스 체) p진수 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 의 유한 확대 (체의 표수가 양수인 비아르키메데스 체) 유한체 계수의 형식적 로랑 급수체 F p n ( ( x ) ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}((x))} 비아르키메데스 국소체 K {\displaystyle K} 의 이산 값매김 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 에 대하여, O K = { a ∈ K : | a | ≤ 1 } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon |a|\leq 1\}} 은 이산 값매김환을 이루며, 이를 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환이라고 한다. O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 가역원군은 O K × = { a ∈ K : | a | = 1 } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=\{a\in K\colon |a|=1\}} 이며, O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼은 m = { a ∈ K : | a | < 1 } {\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in K\colon |a|<1\}} 이다. O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 주 아이디얼 정역이므로 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 주 아이디얼인데, m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 의 생성원을 균일화자(영어: uniformizer) ϖ ∈ O K {\displaystyle \varpi \in {\mathcal {O}}_{K}} 라고 한다. O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 잉여류체 O K / m {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}} 는 유한체이다. 비아르키메데스 국소체 K {\displaystyle K} 의 n {\displaystyle n} 차 가역원군(영어: n {\displaystyle n} th unit group)은 다음과 같다. U K ( n ) = 1 + m n = { u ∈ O K × : u ≡ 1 ( mod m n ) } {\displaystyle U_{K}^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}_{K}^{\times }:u\equiv 1{\pmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}\right\}} 0차 가역원군은 (통상적) 가역원군 O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} 이다. 이에 대하여 O K × = U K ( 0 ) ⊇ U K ( 1 ) ⊇ ⋯ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=U_{K}^{(0)}\supseteq U_{K}^{(1)}\supseteq \cdots } 이며, O K × / U K ( n ) ≅ ( O / m n ) × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/U_{K}^{(n)}\cong ({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n})^{\times }} 이다. 국소체 K {\displaystyle K} 의 가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약 K {\displaystyle K} 가 아르키메데스 체일 경우, R × ≅ ( Z / ( 2 ) ) × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\cong (\mathbb {Z} /(2))\times \mathbb {R} } C × ≅ ( R / ( 2 π ) ) × R {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong (\mathbb {R} /(2\pi ))\times \mathbb {R} } 는 매우 익숙한 아벨 군이다. 만약 K {\displaystyle K} 가 비아르키메데스 체일 경우, K × ≅ ( ϖ ) × μ q − 1 × U K ( 1 ) {\displaystyle K^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U_{K}^{(1)}} 이다. 여기서 ( ϖ ) {\displaystyle (\varpi )} 는 K {\displaystyle K} 의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, μ q − 1 {\displaystyle \mu _{q-1}} 은 K {\displaystyle K} 의 정수환의 잉여류체 O K / ( ϖ ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(\varpi )} 의 1의 거듭제곱근들의 군이며, U K ( 1 ) {\displaystyle U_{K}^{(1)}} 는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약 K {\displaystyle K} 가 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 의 차수가 d {\displaystyle d} 인 유한 확대라면 K × ≅ Z ⊕ Z / ( q − 1 ) ⊕ Z / p a ⊕ Z p d {\displaystyle K^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\oplus \mathbb {Z} /p^{a}\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}} 이다. 여기서 q {\displaystyle q} 는 K {\displaystyle K} 의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약 K = F p n ( ( x ) ) {\displaystyle K=\mathbb {F} _{p^{n}}((x))} 이라면 ( F p n ( ( x ) ) ) × ≅ Z ⊕ Z / ( p n − 1 ) ⊕ Z p N {\displaystyle \left(\mathbb {F} _{p^{n}}((x))\right)^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(p^{n}-1)\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }} 이다. Serre, Jean-Pierre (1995). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67. Springer. ISBN 0-387-90424-7.  Fesenko, Ivan B.; Sergei V. Vostokov (2002). 《Local fields and their extensions》. Translations of Mathematical Monographs (영어) 121 2판. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3259-2. MR 1915966.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Local field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Local field”. 《nLab》 (영어).  대역체 유체론