히친 계

수학과 물리학에서 히친 계(Hitchin system)는 양-밀스 이론의 순간자를 수학화한 적분가능계이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 리만 곡면 M {\displaystyle M} 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} M {\displaystyle M} 위의 G {\displaystyle G} -정칙 벡터 다발 ( G {\displaystyle G} -주다발의 연관 벡터 다발) E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 의 벡터 다발 접속 ∇ A {\displaystyle \nabla _{A}} . 그 곡률을 F = d A + A ∧ A {\displaystyle F=\mathrm {d} A+A\wedge A} 라고 하자. M {\displaystyle M} 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 Φ ∈ Ω 1 , 0 ( M ) ⊗ l i e ( G ) {\displaystyle \Phi \in \Omega ^{1,0}(M)\otimes {\mathfrak {lie}}(G)} . 이를 힉스 장이라고 한다. 그렇다면 히친 방정식(영어: Hitchin equation)은 다음과 같다. F A + [ Φ ∧ Φ ] = 0 {\displaystyle F_{A}+[\Phi \wedge \Phi ]=0} d A Φ = 0 {\displaystyle d_{A}\Phi =0} . 여기서 d A = d + A ∧ {\displaystyle d_{A}=d+A\wedge } 는 공변 미분이고, ∗ {\displaystyle *} 는 호지 쌍대이다. 여기서, F + Φ + Φ ∗ {\displaystyle F+\Phi +\Phi ^{*}} 는 G C {\displaystyle G^{\mathbb {C} }} -주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은 G C {\displaystyle G^{\mathbb {C} }} -주다발 주접속이 평탄 주접속임을 나타낸다. 히친 방정식을 만족시키는 데이터 ( A , Φ ) {\displaystyle (A,\Phi )} 를 히친 쌍(영어: Hitchen pair)이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정 G {\displaystyle G} -벡터 다발들의 모듈라이 공간 N ( Σ , G ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\Sigma ,G)} 의 공변접다발 T ∗ N ( Σ , G ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}{\mathcal {N}}(\Sigma ,G)} 과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이제, G {\displaystyle G} 의 임의의 k {\displaystyle k} 차 불변 다항식 p : g → R {\displaystyle p\colon {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} } 을 생각하자. 그렇다면, p ( Φ ) ∈ H 0 ⁡ ( K k ) {\displaystyle p(\Phi )\in \operatorname {H} ^{0}(K^{k})} 를 취할 수 있다. 여기서 K {\displaystyle K} 는 M {\displaystyle M} 의 (1,0)차 복소수 미분 형식의 복소수 선다발(즉, 표준 선다발)이다. 따라서, 복소수 벡터 공간 ⨁ k ∈ N H 0 ⁡ ( K k ) {\displaystyle \bigoplus _{k\in \mathbb {N} }\operatorname {H} ^{0}(K^{k})} 의 임의의 기저를 취하면, T ∗ N ( Σ , G ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}{\mathcal {N}}(\Sigma ,G)} 위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이러한 함수의 수는 N ( Σ , G ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\Sigma ,G)} 의 차원과 같으며, 이들은 또한 푸아송 괄호 아래 서로 가환한다. 따라서, 이를 해밀토니언들로 삼았을 때, 이는 적분가능계를 이룬다. 이 적분가능계를 히친 계라고 한다. 나이절 히친이 1987년 도입하였다. 양-밀스 방정식 Hitchin, N. J. (1987). “The self-duality equations on a Riemann surface” (PDF). 《Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series》 (영어) 55 (1): 59–126. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. ISSN 0024-6115. MR 887284. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Hitchin, Nigel (1987). “Stable bundles and integrable systems”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) (Duke University Press) 54 (1): 91–114. doi:10.1215/S0012-7094-87-05408-1.  Ngô, Bao Châu (2006). 〈Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces〉. 《International Congress of Mathematicians. Vol. II》 (프랑스어). Zürich: European Mathematical Society. 1213–1225쪽. MR 2275642. 2012년 3월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 3월 4일에 확인함.  Ngô, Bao Châu (2010). “Fibration de Hitchin et endoscopie”. 《Inventiones Mathematicae》 (프랑스어) 164 (2): 399–453. doi:10.1007/s00222-005-0483-7. ISSN 0020-9910. MR 2218781.  Gothen, Peter B.; Oscar García-Prada , Steven B. Bradlow (2007). “What is … a Higgs bundle?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (8): 980–981. ISSN 0002-9920. MR 2343296.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Simpson, Carlos T. (1992). “Higgs bundles and local systems”. 《Publications Mathématiques de l'IHÉS》 (영어) (75): 5–95. doi:10.1007/BF02699491. ISSN 1618-1913. MR 1179076.  Hausel, Tamás (2011). “Global topology of the Hitchin system” (영어). arXiv:1102.1717. Bibcode:2011arXiv1102.1717H.  Gawędzki, Krzysztof; Pascal Tran-Ngoc-Bich. “Hitchin systems at low genera”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 41 (7): 4695–4712. arXiv:hep-th/9803101. Bibcode:2000JMP....41.4695G. doi:10.1063/1.533372. MR 1765854. Zbl 0974.32009.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Previato, Emma (2001). “Hitchin system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.