다항식환

대수학에서 다항식환(多項式環, 영어: polynomial ring)은 어떤 주어진 환을 계수로 하는 다항식들로 구성된 환이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대한 다항식환 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 는 집합으로서 { p ∈ R N : | { n ∈ N : p n ≠ 0 } | < ℵ 0 } {\displaystyle \{p\in R^{\mathbb {N} }\colon |\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}} 이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 를 p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n x n = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots } 으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈 p ( x ) + q ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( p n + q n ) x n {\displaystyle p(x)+q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(p_{n}+q_{n})x^{n}} 은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 R {\displaystyle R} -가군 구조가 존재한다. r p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ r p n x n {\displaystyle rp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }rp_{n}x^{n}} p ( x ) r = ∑ n = 0 ∞ p n r x n {\displaystyle p(x)r=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}rx^{n}} 또한, R [ x ] {\displaystyle R[x]} 에는 다음과 같은 환의 구조가 존재한다. p ( x ) q ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n p k q n − k x n {\displaystyle p(x)q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}q_{n-k}x^{n}} 다변수 다항식환(多變數多項式環, 영어: polynomial ring in several variables) R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]} 은 R [ x 1 ] [ x 2 ] ⋯ [ x n ] {\displaystyle R[x_{1}][x_{2}]\cdots [x_{n}]} 과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 p ∈ R [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]} 는 p ( x 1 , … , x n ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n k = 0 ∞ p n 1 , … , n k x 1 n k ⋯ x k n k {\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{k}=0}^{\infty }p_{n_{1},\dots ,n_{k}}x_{1}^{n_{k}}\cdots x_{k}^{n_{k}}} 로 표기한다. 다항식 0 ≠ p ∈ R [ x ] {\displaystyle 0\neq p\in R[x]} 의 차수(次數, 영어: degree)는 deg ⁡ p = max { n ∈ N : p n ≠ 0 } {\displaystyle \deg p=\max\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\}} 이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 deg ⁡ 0 = − ∞ {\displaystyle \deg 0=-\infty } 또는 deg ⁡ 0 = − 1 {\displaystyle \deg 0=-1} 을 사용한다). 보다 일반적으로, 다변수 다항식 0 ≠ p ∈ R [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle 0\neq p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]} 의 차수는 deg ⁡ p = max { n 1 + ⋯ + n k : p n 1 , … , n k ≠ 0 } {\displaystyle \deg p=\max\{n_{1}+\cdots +n_{k}\colon p_{n_{1},\dots ,n_{k}}\neq 0\}} 이다. 다항식 p , q ∈ R [ x ] {\displaystyle p,q\in R[x]} (또는 다변수 다항식 p , q ∈ R [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle p,q\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]} )가 주어졌고, 편의상 deg ⁡ 0 = − ∞ {\displaystyle \deg 0=-\infty } 라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다. deg ⁡ ( p + q ) ≤ max { deg ⁡ p , deg ⁡ q } {\displaystyle \deg(p+q)\leq \max\{\deg p,\deg q\}} 만약 deg ⁡ p ≠ deg ⁡ q {\displaystyle \deg p\neq \deg q} 라면, deg ⁡ ( p + q ) = max { deg ⁡ p , deg ⁡ q } {\displaystyle \deg(p+q)=\max\{\deg p,\deg q\}} deg ⁡ ( p q ) ≤ deg ⁡ p + deg ⁡ q {\displaystyle \deg(pq)\leq \deg p+\deg q} 만약 R {\displaystyle R} 가 영역이라면, deg ⁡ ( p q ) = deg ⁡ p + deg ⁡ q {\displaystyle \deg(pq)=\deg p+\deg q} 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 의 근(根, 영어: root)은 p ( r ) = 0 {\displaystyle p(r)=0} 을 만족시키는 환의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 를 뜻한다. 이 경우 ( x − r ) m ∣ p ( x ) {\displaystyle (x-r)^{m}\mid p(x)} 를 만족시키는 최대의 정수 m {\displaystyle m} 을 근 r {\displaystyle r} 의 중복도(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다. 가환환 R {\displaystyle R} 를 계수로 하는 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 및 환의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. r {\displaystyle r} 는 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 의 근이다. x − r ∣ p ( x ) {\displaystyle x-r\mid p(x)} 가환환 R {\displaystyle R} 를 계수로 하는 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 의 근 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. r {\displaystyle r} 는 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 의 단순근이다. p ′ ( r ) ≠ 0 {\displaystyle p'(r)\neq 0} 표수 c {\displaystyle c} 의 체 K {\displaystyle K} 를 계수로 하는 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 의 근 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 의 중복도가 m {\displaystyle m} 이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 만약 c ∤ m {\displaystyle c\nmid m} 이라면, p ′ ( x ) {\displaystyle p'(x)} 에 대한 a {\displaystyle a} 의 중복도는 m − 1 {\displaystyle m-1} 이다. 만약 c ∣ m {\displaystyle c\mid m} 이라면, p ′ ( x ) {\displaystyle p'(x)} 에 대한 a {\displaystyle a} 의 중복도는 m {\displaystyle m} 이상이다. 특히, 만약 c = 0 {\displaystyle c=0} 이거나 c > m {\displaystyle c>m} 이라면, p ( x ) {\displaystyle p(x)} 에 대한 a {\displaystyle a} 의 중복도는 m = min { k ∈ Z + : p ( k ) ( a ) ≠ 0 } {\displaystyle m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon p^{(k)}(a)\neq 0\}} 이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 를 계수로 하는 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. p ( x ) {\displaystyle p(x)} 는 다중근을 가진다. gcd { p ( x ) , p ′ ( x ) } ≠ 1 {\displaystyle \gcd\{p(x),p'(x)\}\neq 1} 체 K {\displaystyle K} 를 계수로 하는 기약 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. p ( x ) {\displaystyle p(x)} 는 분해 가능 다항식이다. (즉, 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 에서 다중근을 가진다.) p ′ ( x ) = 0 {\displaystyle p'(x)=0} 특히, 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 0이거나, K {\displaystyle K} 가 유한체라면, p ( x ) {\displaystyle p(x)} 는 분해 가능 다항식이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면, R [ x ] {\displaystyle R[x]} 역시 가환환이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 영역이라면, R [ x ] {\displaystyle R[x]} 역시 영역이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 정역이라면, R [ x ] {\displaystyle R[x]} 역시 정역이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 유일 인수 분해 정역이라면, R [ x ] {\displaystyle R[x]} 역시 유일 인수 분해 정역이다. (힐베르트 기저 정리) 만약 R {\displaystyle R} 가 가환 뇌터 환이라면, R [ x ] {\displaystyle R[x]} 역시 가환 뇌터 환이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 체라면, R [ x ] {\displaystyle R[x]} 는 유클리드 정역이다. 영역 R {\displaystyle R} 를 계수로 하는 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. p ( x ) {\displaystyle p(x)} 는 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 의 가역원이다. p ∈ R {\displaystyle p\in R} 이며, p {\displaystyle p} 는 R {\displaystyle R} 의 가역원이다. 다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 및 환 준동형 ϕ : R → S {\displaystyle \phi \colon R\to S} 및 원소 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 ϕ ~ : R [ x ] → S {\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S} 가 존재한다. ϕ ~ | R = ϕ {\displaystyle {\widetilde {\phi }}|_{R}=\phi } ϕ ( x ) = s {\displaystyle \phi (x)=s} 특히, 다음 그림이 가환한다. R ↪ R [ x ] ϕ ↘ ↓ ϕ ~ S {\displaystyle {\begin{matrix}R&\hookrightarrow &R[x]\\&{\scriptstyle \phi }\searrow &\downarrow {\scriptstyle {\widetilde {\phi }}}\\&&S\end{matrix}}} 구체적으로, ϕ ~ : p ( x ) ↦ ∑ n = 0 ∞ ϕ ( p n ) s n {\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon p(x)\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\phi (p_{n})s^{n}} 이다. 비가환 다항식환 Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.