정부호 행렬

정부호 행렬(定符號行列, 영어: definite matrix) 또는 정치 행렬(定置行列)은 에르미트 행렬의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 부호를 정의하는 것으로 생각할 수 있다. 에르미트 행렬의 고윳값은 항상 실수다. 에르미트 행렬 M {\displaystyle M} 은 그 고윳값의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다. 모든 고윳값이 음수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x {\displaystyle x} 에 대해 x ∗ M x ≥ 0 {\displaystyle x^{*}Mx\geq 0} 인 경우) M {\displaystyle M} 은 양의 준정부호 행렬(陽-準定符號行列, 영어: positive semi-definite matrix)이다. 모든 고윳값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x {\displaystyle x} 에 대해 x ∗ M x > 0 {\displaystyle x^{*}Mx>0} 인 경우) M {\displaystyle M} 은 양의 정부호 행렬(陽-定符號行列, 영어: positive definite matrix)이다. 모든 고윳값이 양수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x {\displaystyle x} 에 대해 x ∗ M x ≤ 0 {\displaystyle x^{*}Mx\leq 0} 인 경우) M {\displaystyle M} 은 음의 준정부호 행렬(陰-準定符號行列, 영어: negative semi-definite matrix)이다. 모든 고윳값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x {\displaystyle x} 에 대해 x ∗ M x < 0 {\displaystyle x^{*}Mx<0} 인 경우) M {\displaystyle M} 은 음의 정부호 행렬(陰-定符號行列, 영어: negative definite matrix)이다. 양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고윳값을 둘 다 가진 경우) M {\displaystyle M} 은 부정부호 행렬(不定符號行列, 영어: indefinite matrix)이다. 실수체에서 정의하는 경우, 에르미트 행렬 M {\displaystyle M} 대신 대칭행렬 M {\displaystyle M} , 켤레전치 x ∗ {\displaystyle x^{*}} 대신 전치 x T {\displaystyle x^{T}} 를 사용한다. 일부 문헌에서는 에르미트 행렬이 아닐 수 있는 행렬 M {\displaystyle M} 에 대해서도 정부호 행렬을 정의하며, 이 경우 x ∗ M x {\displaystyle x^{*}Mx} 대신 그 실수부 Re ⁡ ( x ∗ M x ) {\displaystyle \operatorname {Re} (x^{*}Mx)} 를 사용한다. 이 경우 M {\displaystyle M} 의 정부호성은 그 에르미트 성분 ( M + M ∗ ) / 2 {\displaystyle (M+M^{*})/2} 의 좁은 의미의 정부호성과 동치이다. 행렬 M 0 = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle M_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}} 은 양의 정부호 행렬이다. 모든 복소수 벡터 x = [ x 0 x 1 ] {\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatrix}}} 에 대해, [ x 0 ¯ x 1 ¯ ] [ 1 0 0 1 ] [ x 0 x 1 ] = x 0 ¯ x 0 + x 1 ¯ x 1 {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\bar {x_{0}}}&{\bar {x_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatrix}}={\bar {x_{0}}}x_{0}+{\bar {x_{1}}}{x_{1}}} 이 되고, x 0 {\displaystyle x_{0}} 이나 x 1 {\displaystyle x_{1}} 이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 x 0 ¯ x 0 + x 1 ¯ x 1 = x 0 2 + x 1 2 {\displaystyle {\bar {x_{0}}}x_{0}+{\bar {x_{1}}}{x_{1}}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}} 가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다. 반면, M 1 = [ 0 1 1 0 ] {\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}} 은 부정부호 행렬이다. x = [ 1 − 1 ] {\displaystyle x={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}} 에 대해서 x ∗ M x = − 2 {\displaystyle x^{*}Mx=-2} 가 되기 때문이다. n × n {\displaystyle n\times n} 복소수 양의 정부호 행렬 M {\displaystyle M} 에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다. 고윳값이 모두 양수이다. 임의의 두 벡터 x , y {\displaystyle x,y} 에 대해 < x , y >= x ∗ M y {\displaystyle <x,y>=x^{*}My} 로 내적을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터 공간 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 에서 정의할 수 있는 내적은 모두 양의 정부호 행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다. M {\displaystyle M} 은 그람 행렬이다. 즉, 어떠한 선형 독립인 벡터 x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}} 가 존재하여, M i j = x i ∗ x j {\displaystyle M_{ij}=x_{i}^{*}x_{j}} 가 성립한다. M = L L ∗ {\displaystyle M=LL^{*}} 이 성립하는 하삼각행렬 L {\displaystyle L} 이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 촐레스키 분해라고 부른다. 대칭행렬의 성질로부터 정부호 행렬의 역행렬도 동일한 정부호 행렬이다. 멱등 행렬 부호 행렬 Lee, Keon M. “이차 형식과 정부호 행렬” (pdf).  Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive semidefinite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive definite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Negative semidefinite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Negative definite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Indefinite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.