조합

수학에서 조합(組合, 문화어: 무이, 영어: combination)은 유한 개의 원소에서 주어진 수만큼의 원소들을 고르는 방법이다. 조합의 수는 이항 계수로 주어진다. 집합 S {\displaystyle S} 와 자연수 k {\displaystyle k} 가 주어졌을 때, S {\displaystyle S} 의 (중복 없는) k {\displaystyle k} -조합(영어: k {\displaystyle k} -combination (without repetition))은 S {\displaystyle S} 의 k {\displaystyle k} 개의 원소로 이루어진 부분집합을 일컫는다. 만약 S = { s 1 , s 2 , … , s n } {\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}\}} 가 n {\displaystyle n} 개 원소의 유한 집합이며, 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} 이라면, S {\displaystyle S} 의 k {\displaystyle k} -조합의 수는 이항 계수 ( n k ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} 와 같다. 이항 계수 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 는 다음과 같이 다양하게 적는다. C k n {\displaystyle C_{k}^{n}} C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} n C k {\displaystyle _{n}C_{k}} n C k {\displaystyle ^{n}C_{k}} C n , k {\displaystyle C_{n,k}} C ( n , k ) {\displaystyle C(n,k)} 조합의 수의 공식은 조합론의 방법으로 쉽게 유도할 수 있다. n {\displaystyle n} 개의 원소의 집합에서 k {\displaystyle k} 개의 원소를 골라 한 줄로 배열하는 방법의 가짓수를 세자. k {\displaystyle k} 개의 원소를 고르는 방법의 수는 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 이다. 선택된 k {\displaystyle k} 개의 원소를 배열할 때, 첫 번째 자리에 둘 수 있는 원소는 k {\displaystyle k} 개이며, 두 번째 자리는 남은 k − 1 {\displaystyle k-1} 개 가운데 하나를 놓는다. 나머지 자리도 마찬가지다. 따라서, n {\displaystyle n} 개의 원소를 배열하는 방법은 ( n k ) k ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}k!} 가지가 있다. 다른 한편, 첫 번째 자리에 놓을 원소를 n {\displaystyle n} 개 가운데 고르고, 두 번째 자리에 놓을 원소를 n − 1 {\displaystyle n-1} 개 가운데 고르고, 남은 자리 역시 마찬가지로 반복하여 센 방법의 수는 n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) {\displaystyle n(n-1)\cdots (n-k+1)} 이다. 세는 법이 다를 때 얻는 수가 같아야 하므로 원하는 공식을 얻는다. 이항 계수 항등식 ( n k ) = ( n n − k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}} ( n k ) = ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}} 역시 조합론에서 직관적으로 해석할 수 있다. 전자는 k {\displaystyle k} 개의 원소를 고르는 방법과 n − k {\displaystyle n-k} 개의 원소를 버리는 방법은 일대일 대응함을 나타낸다. 후자는 k {\displaystyle k} 개의 원소를 고를 때, 어떤 고정된 원소를 고르는 경우와 이 원소를 버리는 경우를 나누어 센 결과다. 즉, 고정된 원소를 제외한 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 원소에서 k {\displaystyle k} 개의 원소를 고르는 방법의 수를 세고, 고정된 원소를 고른 뒤 남은 n − 1 {\displaystyle n-1} 개에서 k − 1 {\displaystyle k-1} 개를 고르는 방법의 수를 세어 합하면 모든 방법의 수를 얻는다. 이항 계수는 다음과 같이 생성 함수를 사용하여 정의할 수 있다. ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}} 조합론의 관점에서, 다항식 ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}} 의 각 항을 얻기 위해서는 n {\displaystyle n} 개의 이항식 1 + x {\displaystyle 1+x} 에서 1 또는 x {\displaystyle x} 가운데 하나를 선택하여 곱하여야 한다. 따라서, x {\displaystyle x} 의 차수가 k {\displaystyle k} 인 항은 총 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 개가 만들어진다. 즉, x k {\displaystyle x^{k}} 에는 계수 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 가 붙는다. 집합 S {\displaystyle S} 및 자연수 k {\displaystyle k} 가 주어졌다고 하자. S {\displaystyle S} 의 k {\displaystyle k} -중복조합(영어: k {\displaystyle k} -combination with repetitions)은 S {\displaystyle S} 의 원소들로 구성된, 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합이다. n {\displaystyle n} 개 원소의 집합 S = { s 1 , s 2 , … , s n } {\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}\}} 의 k {\displaystyle k} -중복조합의 수는 ( n + k − 1 k ) = ( n + k − 1 n − 1 ) = ( − 1 ) k ( − n k ) {\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}={\binom {n+k-1}{n-1}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}} 이다. 중복조합의 수 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}} 의 표기로는 다음이 있다. ( ( n k ) ) {\displaystyle \left(\!\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\!\right)} n H k {\displaystyle _{n}H_{k}} 중복조합의 수가 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}} 인 사실의 증명은 다음과 같다. 만약 { a 1 , ⋯ , a k } {\displaystyle \{a_{1},\cdots ,a_{k}\}} 가 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 의 원소들로 구성된 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합이며, a 1 ≤ a 2 ≤ ⋯ ≤ a k {\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}} 라면, { a 1 , a 2 + 1 , … , a k + k − 1 } {\displaystyle \{a_{1},a_{2}+1,\dots ,a_{k}+k-1\}} 는 { 1 , … , n + k − 1 } {\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}} 의 k {\displaystyle k} 원소 부분집합이다. 반대로, { 1 , … , n + k − 1 } {\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}} 의 k {\displaystyle k} 원소 부분집합 { b 1 , … , b k } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{k}\}} b 1 < b 2 < ⋯ < b k {\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots <b_{k}} 이 주어졌을 때, { b 1 , b 2 − 1 , … , b k − k + 1 } {\displaystyle \{b_{1},b_{2}-1,\dots ,b_{k}-k+1\}} 는 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 의 원소들로 구성된 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합이다. 이는 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 의 원소들로 구성된 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합들과 { 1 , … , n + k − 1 } {\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}} 의 크기 k {\displaystyle k} 의 부분집합들 사이의 일대일 대응을 정의한다. 따라서 이들의 수는 같다. 후자의 수가 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}} 이므로 원하는 결론을 얻는다. 이와 다른 기하학적 증명이 존재한다. ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}} 는 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 막대와 k {\displaystyle k} 개의 공으로 만들 수 있는 (길이 n + k − 1 {\displaystyle n+k-1} 의) 문자열의 수와 같다. 이제, 이와 같은 문자열을 다음과 같이 해석하여, { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 의 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합으로 간주하자. n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 막대는 두 막대 사이의 공간과 양쪽 끝의 공간을 포함하여 총 n {\displaystyle n} 개의 공간을 만든다. 각 공간에 1부터 n {\displaystyle n} 까지 번호를 매긴다. i {\displaystyle i} 번째 공간에 놓인 공의 수만큼 원소 i {\displaystyle i} 를 중복하여 취한다. 총 k {\displaystyle k} 개의 공이 있으므로 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합이 만들어진다. 예를 들어, n = 3 {\displaystyle n=3} , k = 5 {\displaystyle k=5} 인 경우, 문자열 | ◯ ◯ ◯ | ◯ ◯ {\displaystyle |{\bigcirc }{\bigcirc }{\bigcirc }|{\bigcirc }{\bigcirc }} 은 중복집합 { 2 , 2 , 3 , 3 , 3 } {\displaystyle \{2,2,3,3,3\}} 을 나타내며, 문자열 ◯ | ◯ ◯ ◯ | ◯ {\displaystyle {\bigcirc }|{\bigcirc }{\bigcirc }{\bigcirc }|{\bigcirc }} 은 중복집합 { 1 , 2 , 2 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,2,2,3\}} 을 나타낸다. 이는 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 으로 구성된 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합들과 n − 1 {\displaystyle n-1} 개와 k {\displaystyle k} 개의 두 알파벳으로 구성된 문자열 사이에 일대일 대응을 이루며, 따라서 중복조합의 수는 문자열의 수 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}} 와 같다. 중복조합의 수의 생성 함수는 다음과 같다. ( 1 − x ) − n = ∑ k = 0 ∞ ( − n k ) ( − x ) k = ∑ k = 0 ∞ ( n + k − 1 k ) x k {\displaystyle (1-x)^{-n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-n}{k}}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k-1}{k}}x^{k}} 좌변의 ( 1 − x ) − 1 {\displaystyle (1-x)^{-1}} 을 멱급수로 전개하면 1 + x + x 2 + ⋯ {\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots } 이다. n {\displaystyle n} 개의 멱급수에서 항 x m i {\displaystyle x^{m_{i}}} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} )을 선택하는 방법은 각 i {\displaystyle i} 의 중복도가 m i {\displaystyle m_{i}} 인 중복집합을 선택하는 방법과 일대일 대응한다. n {\displaystyle n} 개의 항의 곱이 x k {\displaystyle x^{k}} 인 경우는 중복도의 합이 m 1 + ⋯ + m n = k {\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}=k} 인 경우이다. 즉, 크기 k {\displaystyle k} 의 중복집합에 대응한다. 따라서 결국 x k {\displaystyle x^{k}} 의 계수는 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}} 이다. Stanley, Richard P. (2012). 《Enumerative Combinatorics. Volume 1》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 49 2판. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60262-5. MR 2868112. Zbl 1247.05003.  “Combination”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Combination”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  순열 뤼카의 정리