분해 불가능 대상

범주론에서 분해 불가능 대상(分解不可能對象, 영어: indecomposable object)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다. 시작 대상 0 ∈ C {\displaystyle 0\in {\mathcal {C}}} 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X {\displaystyle X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상(영어: indecomposable object)이라고 한다. 임의의 대상들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 및 동형 ∐ i ∈ I X i : X {\displaystyle \coprod _{i\in I}X_{i}\colon X} 에 대하여, X ≅ X i 0 {\displaystyle X\cong X_{i_{0}}} 이며 X i ≅ 0 ∀ i ∈ I ∖ { i 0 } {\displaystyle X_{i}\cong 0\forall i\in I\setminus \{i_{0}\}} 가 되는 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 가 유일하게 존재한다. 여기서 ∐ {\displaystyle \textstyle \coprod } 는 쌍대곱을 뜻한다. 마찬가지로, 끝 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 및 모든 곱을 갖는 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X {\displaystyle X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상(영어: coindecomposable object)이라고 한다. 임의의 대상들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 및 동형 ∏ i ∈ I X i : X {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}\colon X} 에 대하여, X ≅ X i 0 {\displaystyle X\cong X_{i_{0}}} 이며 X i ≅ 1 ∀ i ∈ I ∖ { i 0 } {\displaystyle X_{i}\cong 1\forall i\in I\setminus \{i_{0}\}} 가 되는 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 가 유일하게 존재한다. 여기서 ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } 는 곱을 뜻한다. 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다. 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌을 때, 준층 범주 Set C op {\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}} 속의 대상 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Proposition 1.5 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다. F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에서 어떤 표현 가능 준층 hom C ⁡ ( − , X ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,X)} 으로 가는 분할 단사 사상 F → hom C ⁡ ( − , X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\to \hom _{\mathcal {C}}(-,X)} 이 존재한다. 환 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: indecomposable left module)은 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, M = M ′ ⊕ M ″ {\displaystyle M=M'\oplus M''} 와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 분해 불가능 가군이다. 영가군이 아니며, 자기 사상환 End ⁡ ( R M , R M ) {\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M,_{R}M)} 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다. 이는 만약 자기 사상환 End ⁡ ( R M , R M ) {\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M,_{R}M)} 의 멱등원 f : M → M {\displaystyle f\colon M\to M} 이 주어졌을 때, M = ker ⁡ f ⊕ im ⁡ f {\displaystyle M=\ker f\oplus \operatorname {im} f} 가 되기 때문이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 유한한 길이를 갖는다. 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다. 합성열을 갖는다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 분해 불가능 가군이다. 영가군이 아니며, 자기 사상환 End ⁡ ( R M , R M ) {\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M,_{R}M)} 은 국소환이다. (피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. 이는 자기 사상 f : M → M {\displaystyle f\colon M\to M} 이 주어졌을 때, 충분히 큰 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 에 대하여 M = ker ⁡ f k ⊕ im ⁡ f k {\displaystyle M=\ker f^{k}\oplus \operatorname {im} f^{k}} 임을 보여 증명할 수 있다. 체 K {\displaystyle K} 위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다. 모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 유한한 길이를 갖는다면, M {\displaystyle M} 을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 M {\displaystyle M} 이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합 M 1 ⊕ ⋯ ⊕ M r {\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{r}} 및 N 1 ⊕ ⋯ ⊕ N s {\displaystyle N_{1}\oplus \cdots \oplus N_{s}} 와 동형이라면, r = s {\displaystyle r=s} 이며, M i ≅ N j ( i ) ∀ i ∈ { 1 , … , r } {\displaystyle M_{i}\cong N_{j(i)}\forall i\in \{1,\dots ,r\}} 인 j ∈ Sym ⁡ ( r ) {\displaystyle j\in \operatorname {Sym} (r)} 가 존재한다. 모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다. 군에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다. 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 군의 범주 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 G ≅ H × K {\displaystyle G\cong H\times K} 라면, H = 1 {\displaystyle H=1} 과 K = 1 {\displaystyle K=1} 가운데 정확히 하나가 성립한다. 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드 End ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {End} (G)} 의 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상 g ↦ 1 {\displaystyle g\mapsto 1} 이다.) 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족한다. 주합성열을 갖는다. 군 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 쌍대 분해 불가능 군이다. 자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상 ϕ , ψ ∈ End ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {End} (G)} 에 대하여, 만약 ϕ {\displaystyle \phi } 와 ψ {\displaystyle \psi } 가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며, ϕ ( G ) {\displaystyle \phi (G)} 의 원소와 ψ ( G ) {\displaystyle \psi (G)} 의 원소가 가환하며, ϕ {\displaystyle \phi } 와 ψ {\displaystyle \psi } 가 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상 ϕ + ψ : g ↦ ϕ ( g ) ψ ( g ) {\displaystyle \phi +\psi \colon g\mapsto \phi (g)\psi (g)} 역시 자기 동형 사상이 아니다.:156, Corollary 2 (피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.):156, Corollary 1 군 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, G {\displaystyle G} 는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 군 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, G {\displaystyle G} 를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 G {\displaystyle G} 가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱 G 1 × ⋯ × G r {\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{r}} 및 H 1 × ⋯ × H s {\displaystyle H_{1}\times \cdots \times H_{s}} 와 동형이라면, r = s {\displaystyle r=s} 이며, G i ≅ H j ( i ) ∀ i ∈ { 1 , … , r } {\displaystyle G_{i}\cong H_{j(i)}\forall i\in \{1,\dots ,r\}} 인 j ∈ Sym ⁡ ( r ) {\displaystyle j\in \operatorname {Sym} (r)} 가 존재한다.:156–157 Moerdijk, I.; van Oosten, J. (2007). “Topos theory” (PDF) (영어).  Jacobson, Nathan (1951). 《Lectures in abstract algebra. I. Basic concepts》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 30. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-7301-8. ISBN 978-1-4684-7303-2. ISSN 0072-5285. MR 0392227. Zbl 0326.00001.  “indecomposable object”. 《nLab》 (영어).  Weisstein, Eric Wolfgang. “Indecomposable module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Directly indecomposable group”. 《Groupprops》 (영어).  “Krull-Remak-Schmidt theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.