쾨니그의 정리 (집합론)

집합론에서 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다. 집합 I {\displaystyle I} 및 기수의 집합 { κ i } i ∈ I {\displaystyle \{\kappa _{i}\}_{i\in I}} , { λ i } i ∈ I {\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌고, 또한 모든 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 κ i < λ i {\displaystyle \kappa _{i}<\lambda _{i}} 라고 하자. 쾨니그의 정리에 따르면, 다음이 성립한다. ∑ i ∈ I κ i < ∏ i ∈ I λ i {\displaystyle \sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\lambda _{i}} 쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다. κ i = 1 {\displaystyle \kappa _{i}=1} 이며 λ i = 2 {\displaystyle \lambda _{i}=2} 라고 하자. 그렇다면 | I | < 2 | I | {\displaystyle |I|<2^{|I|}} 이다. 이는 칸토어의 정리다. κ i = 0 {\displaystyle \kappa _{i}=0} 이고, λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 가 임의의 0이 아닌 기수라고 하자. 그렇다면 0 < ∏ i ∈ I λ i {\displaystyle 0<\prod _{i\in I}\lambda _{i}} 이다. 이는 선택 공리의 한 형태이다. I {\displaystyle I} 가 어떤 무한 기수 μ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \mu \geq \aleph _{0}} 의 (최소) 공종 집합이라고 하자. 즉, 이는 순서수들의 집합이다. 또한, κ i = | i | {\displaystyle \kappa _{i}=|i|} 로 놓고, λ i = μ {\displaystyle \lambda _{i}=\mu } 라고 하자. 그렇다면 μ = | ⋃ i ∈ I i | ≤ ∑ i ∈ I | i | < μ | I | = μ cf ⁡ μ {\displaystyle \mu =\left|\bigcup _{i\in I}i\right|\leq \sum _{i\in I}|i|<\mu ^{|I|}=\mu ^{\operatorname {cf} \mu }} 이다. 즉, 무한 기수 μ {\displaystyle \mu } 에 대하여 μ < μ cf ⁡ μ = def ℷ ( μ ) {\displaystyle \mu <\mu ^{\operatorname {cf} \mu }{\stackrel {\text{def}}{=}}\gimel (\mu )} 이다. 여기서 ℷ ( μ ) {\displaystyle \gimel (\mu )} 를 기멜 함수라고 한다. 어떤 무한 기수 κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} 와 기수 λ ≥ 2 {\displaystyle \lambda \geq 2} 에 대하여, 항상 κ < cf ⁡ ( λ κ ) {\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })} 이다. 증명은 다음과 같다. 이미 증명된 따름정리에 따라 ( λ κ ) κ = λ κ < ( λ κ ) cf ⁡ ( λ κ ) {\displaystyle \left(\lambda ^{\kappa }\right)^{\kappa }=\lambda ^{\kappa }<\left(\lambda ^{\kappa }\right)^{\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })}} 이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서 κ < cf ⁡ ( λ κ ) {\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })} 이다. 집합족 { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}} 와 { B i } i ∈ I {\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌고, 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 전사 함수 A i ↠ B i {\displaystyle A_{i}\twoheadrightarrow B_{i}} 가 존재하지 않는다고 하자. 임의의 함수 f : ⨆ i ∈ I A i ↠ ∏ i ∈ I B i {\displaystyle f\colon \bigsqcup _{i\in I}A_{i}\twoheadrightarrow \prod _{i\in I}B_{i}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 f {\displaystyle f} 가 전사 함수가 아님을 보이면 족하다. 사영 함수 σ i : A i ↪ ⨆ i ∈ I A i {\displaystyle \sigma _{i}\colon A_{i}\hookrightarrow \bigsqcup _{i\in I}A_{i}} π i : ∏ i ∈ I B i ↠ B i {\displaystyle \pi _{i}\colon \prod _{i\in I}B_{i}\twoheadrightarrow B_{i}} 를 정의하여, f i = π i ∘ f ∘ σ i : A i → B i {\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f\circ \sigma _{i}\colon A_{i}\to B_{i}} 를 생각하자. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로, b i ∈ B i ∖ f i ( A i ) {\displaystyle b_{i}\in B_{i}\setminus f_{i}(A_{i})} 를 고르자. 그렇다면 ( b i ) i ∈ I ∈ ∏ i ∈ I B i ∖ f ( ⨆ i ∈ I A i ) {\displaystyle (b_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}B_{i}\setminus f\left(\bigsqcup _{i\in I}A_{i}\right)} 이므로, f {\displaystyle f} 는 전사 함수가 아니다. 헝가리의 수학자 쾨니그 줄러가 1904년에 증명하였다. König, J. (1904). 〈Zum Kontinuum-Problem〉. Adolf Krazer. 《Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904》 (독일어). 144–147쪽. 2015년 1월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 4일에 확인함.  König, J. (1905). “Zum Kontinuum-Problem”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 60 (2): 177–180. doi:10.1007/BF01677263. ISSN 0025-5831.