경로 (위상수학)

일반위상수학에서, 위상 공간 X 속의 경로(經路, 영어: path 패스[*])는 폐구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 로부터 X {\displaystyle X} 로 가는 연속함수이다. X {\displaystyle X} 가 위상 공간이라고 하자. X {\displaystyle X} 속의 경로는 연속 함수 f : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle f\colon [0,1]\to X} 이다. 여기서 [ 0 , 1 ] ⊂ R {\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} } 은 표준적인 위상을 가진 폐구간이다. f(0)을 경로의 시작점(initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 끝점(terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 고리(영어: loop)라고 한다. 여기에서 주의할 점은, 경로란 단순히 '곡선과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 실직선의 f(x) = x와 g(x) = x2은 서로 다른 경로다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 에서 정의되는 경로는 c : [ a , b ] → R n {\displaystyle \mathbf {c} :\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ^{n}} 로 정의되는 사상이다. 이러한 경로 c {\displaystyle \mathbf {c} } 에 대해서 t {\displaystyle t} 가 [ a , b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} 에서 변할 때 점 c ( t ) {\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)} 들의 집합 C {\displaystyle C} 를 곡선이라 하고 c ( a ) {\displaystyle \mathbf {c} \left(a\right)} 와 c ( b ) {\displaystyle \mathbf {c} \left(b\right)} 를 곡선 C {\displaystyle C} 의 끝점이라고 한다. 이때 경로 c {\displaystyle \mathbf {c} } 는 곡선 C {\displaystyle C} 를 매개변수화 한다고 한다. 만약 n = 3 {\displaystyle n=3} 이라면 c ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)} 으로 나타낼 수 있는데 이때 x ( t ) {\displaystyle x\left(t\right)} , y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} , z ( t ) {\displaystyle z\left(t\right)} 들을 각각 경로 c {\displaystyle \mathbf {c} } 의 성분함수들이라고 한다. 3이 아닌 n에 대해서도 같은 방식으로 정의한다. 만약 경로 c {\displaystyle \mathbf {c} } 가 미분 가능하다면 매 t {\displaystyle t} 에서의 속도는 다음과 같이 정의된다. c ′ ( t ) = lim h → 0 c ( t + h ) − c ( t ) h {\displaystyle \mathbf {c} '\left(t\right)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {c} \left(t+h\right)-\mathbf {c} \left(t\right)}{h}}} 보통 그림으로 나타낼 때는 경로 c {\displaystyle \mathbf {c} } 가 매개변수화하는 곡선 C {\displaystyle C} 의 각 점을 시작점으로 속도벡터를 그린다. 이때 그 지점에서의 속력은 속도벡터의 크기, 즉 ‖ c ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \left\Vert \mathbf {c} '\left(t\right)\right\|} 로 정의한다. 만약 n = 3 {\displaystyle n=3} 이라면 c ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)} 으로 나타날 것이고 어떤 점 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} 에서의 속도는 연쇄법칙에 의하여 c ′ ( t 0 ) = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) = x ′ ( t 0 ) i + y ′ ( t 0 ) j + z ′ ( t 0 ) k {\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)=\left(x'\left(t_{0}\right),y'\left(t_{0}\right),z'\left(t_{0}\right)\right)=x'\left(t_{0}\right)\mathbf {i} +y'\left(t_{0}\right)\mathbf {j} +z'\left(t_{0}\right)\mathbf {k} } 이며 속력은 이 벡터의 크기인 ‖ c ′ ( t 0 ) ‖ = ( x ′ ( t 0 ) ) 2 + ( y ′ ( t 0 ) ) 2 + ( z ′ ( t 0 ) ) 2 {\displaystyle \left\Vert \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)\right\|={\sqrt {\left(x'\left(t_{0}\right)\right)^{2}+\left(y'\left(t_{0}\right)\right)^{2}+\left(z'\left(t_{0}\right)\right)^{2}}}} 이다. 속도벡터 c ′ ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)} 는 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} 일 때 경로 c ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {c} \left(t_{0}\right)} 와 접한다. 만약 c ′ ( t 0 ) ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)\neq \mathbf {0} } 이라면 c ′ ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)} 는 경로 c {\displaystyle \mathbf {c} } 로 매개변수화된 곡선 C {\displaystyle C} 의 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} 에서의 접벡터이다. 그리고 c ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {c} \left(t_{0}\right)} 로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선을 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} 에서의 접선이라고 한다. 이 직선은 다음과 같은 경로 l {\displaystyle \mathbf {l} } 로 매개변수화되어있다. l ( t ) = c ( t 0 ) + ( t − t 0 ) c ′ ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {l} \left(t\right)=\mathbf {c} \left(t_{0}\right)+\left(t-t_{0}\right)\mathbf {c} '\left(t_{0}\right)} Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.