유니터리 군

수학에서 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 U ( n ) {\displaystyle U(n)} . 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 가 주어졌을 때, 유니터리 군 U ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {H}})} 는 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위의 유니터리 작용소들의 군이다. 만약 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 가 n {\displaystyle n} 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 n × n {\displaystyle n\times n} 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉, U ⁡ ( n ) = { M ∈ GL ⁡ ( n , C ) | M † M = 1 } {\displaystyle \operatorname {U} (n)=\{M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )|M^{\dagger }M=1\}} 이다. 유니터리 군 U ( n ) {\displaystyle U(n)} 은 2 n 2 {\displaystyle 2n^{2}} 차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는 u ( n ) = s u ( n ) ⊕ u ( 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)={\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)} 이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} 는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다. 유니터리 군 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다. λ 1 n × n ( λ ∈ C , | λ | = 1 ) {\displaystyle \lambda 1_{n\times n}\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;|\lambda |=1)} 유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉 det : U ( n ) → U ( 1 ) {\displaystyle \det \colon U(n)\to U(1)} 인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} 이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다. 1 → S U ( n ) ↪ U ( n ) → det U ( 1 ) → 1 {\displaystyle 1\to SU(n)\hookrightarrow U(n){\xrightarrow {\det }}U(1)\to 1} 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다. { diag ⁡ ( λ 1 , … , λ n ) : λ i ∈ U ⁡ ( 1 ) } ⊂ U ⁡ ( n ) {\displaystyle \{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\colon \lambda _{i}\in \operatorname {U} (1)\}\subset \operatorname {U} (n)} 이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다. 모든 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 유니터리 군 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다. π 0 ( U ⁡ ( n ) ) = 1 {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {U} (n))=1} π 1 ( U ⁡ ( n ) ) = Z {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z} } 유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다. U ⁡ ( n ) ≃ GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)\simeq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )} 호프 올뭉치 U ⁡ ( n ) ↪ U ⁡ ( n + 1 ) ↠ S 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}} 로 인하여, 만약 i < 2 n {\displaystyle i<2n} 이라면 π i ( U ⁡ ( n ) ) ≅ π i ( U ⁡ ( n + 1 ) ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {U} (n+1))} 이다.:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.:113 π i ( U ⁡ ( n ) ) = { 0 2 ∣ i Z 2 ∤ i ( i < 2 n ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (n))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}\qquad (i<2n)} 이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다. 이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군 U ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {U} (\infty )} 을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다. U ⁡ ( ∞ ) = lim → n ⁡ U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {U} (n)} 무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다. π i ( U ⁡ ( ∞ ) ) = { 0 2 ∣ i Z 2 ∤ i {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (\infty ))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}} 이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.:112, Theorem 1 U ⁡ ( ∞ ) ≃ Ω 2 U ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {U} (\infty )\simeq \Omega ^{2}\operatorname {U} (\infty )} 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 유니터리 군 U ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {H}})} 는 U ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {U} (\infty )} 와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, U ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {H}})} 는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다. π i ( U ⁡ ( H ) ) = 0 ∀ i {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i} 유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 이다. Karoubi, Max. 〈Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory〉 (PDF). 《Handbook of K-theory. Volume 1》 (영어). 111–137쪽. doi:10.1007/978-3-540-27855-9_4. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Kuiper, Nicolaas H. (1965). “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space”. 《Topology》 (영어) 3 (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4.  “Unitary group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Unitary group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Unitary group”. 《nLab》 (영어).  “Kuiper's theorem”. 《nLab》 (영어).  특수 유니터리 군 직교군