원시환

환론에서 원시환(原始環, 영어: primitive ring)은 단순 가군으로서 완전히 나타낼 수 있는 환이다. 이러한 환들은 나눗셈환 위의 선형 변환들의 환에 가깝다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 원시환(영어: left primitive ring)이라고 한다. 충실한 왼쪽 단순 가군을 갖는다.:172, Definition 11.2 소환이며, 가군의 길이가 유한한 충실한 왼쪽 가군을 갖는다.:191, Exercise 11.19 영 아이디얼이 아닌 양쪽 아이디얼을 포함하지 않는 극대 왼쪽 아이디얼이 존재한다. 다음 성질을 만족시키는 왼쪽 아이디얼 a ⊊ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq R} 이 존재한다.:186, Lemma 11.28 임의의 아이디얼 b ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq R} 에 대하여, 만약 b ≠ { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {b}}\neq \{0\}} 이라면 a + b = R {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R} 이다. (제이컵슨 조밀성 정리 영어: Jacobson density theorem) 나눗셈환 D {\displaystyle D} 위의 왼쪽 가군 V {\displaystyle V} 에 이산 위상을 주고, 자기 함수 집합 V V {\displaystyle V^{V}} 에 곱위상을 주고, 자기준동형환 End D ⁡ V ⊆ V V {\displaystyle \operatorname {End} _{D}V\subseteq V^{V}} 에 부분 공간 위상을 주면, End D ⁡ V {\displaystyle \operatorname {End} _{D}V} 의 조밀 부분환과 동형이다. 오른쪽 원시환(영어: right primitive ring)은 왼쪽 원시환의 반대환이다. 즉, 위와 마찬가지로 정의된다. 가환환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:173, Proposition 11.8 왼쪽 원시환이다. 오른쪽 원시환이다. 체이다. 왼쪽 아르틴 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. 왼쪽 원시환이다. 오른쪽 원시환이다. 소환이다. 단순환이다. 나눗셈환 D {\displaystyle D} 위의 행렬환 Mat ⁡ ( n ; D ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;D)} 과 동형이다 ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ).:181, Theorem 11.19 왼쪽·오른쪽 원시환은 반원시환(영어: semiprimitive ring)이며 소환(영어: prime ring)이다. 모든 단순환은 왼쪽 원시환이자 오른쪽 원시환이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.:173 R {\displaystyle R} 가 왼쪽 원시환이라고 하고, M {\displaystyle M} 이 R {\displaystyle R} 의 충실한 왼쪽 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 End R ⁡ M {\displaystyle \operatorname {End} _{R}M} 은 나눗셈환이다. 또한, M {\displaystyle M} 은 자연스럽게 End R ⁡ M {\displaystyle \operatorname {End} _{R}M} 의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 환 준동형이 존재한다. R → End R ⁡ M {\displaystyle R\to \operatorname {End} _{R}M} r ↦ ( m ↦ r m ) {\displaystyle r\mapsto (m\mapsto rm)} 또한, M {\displaystyle M} 이 충실한 가군이므로 이 환 준동형은 (정의에 따라) 단사 함수이다. 즉, R {\displaystyle R} 를 End R ⁡ M {\displaystyle \operatorname {End} _{R}M} 의 부분환으로 여길 수 있으며, End R ⁡ M {\displaystyle \operatorname {End} _{R}M} 의 작용을 R {\displaystyle R} 로 제약시키면, R {\displaystyle R} 의 원래 작용과 같다. 이제, M {\displaystyle M} 에 이산 위상을 부여하고, 자기 함수 집합 M M = ∏ m ∈ M M {\displaystyle M^{M}=\prod _{m\in M}M} 에 곱위상을 부여하고, End R ⁡ M ⊆ M M {\displaystyle \operatorname {End} _{R}M\subseteq M^{M}} 에 부분 공간 위상을 부여하자. 제이컵슨 조밀성 정리(영어: Jacobson density theorem)에 따르면, R {\displaystyle R} 는 End R ⁡ M {\displaystyle \operatorname {End} _{R}M} 의 조밀 집합이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 m → ∈ M n {\displaystyle {\vec {m}}\in M^{n}} 에 대하여, R m → = M n {\displaystyle R{\vec {m}}=M^{n}} 이다. 자명환은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다.:172, Definition 11.2 표수가 0인 체 K {\displaystyle K} 에 대한 바일 대수 K ⟨ x , p ⟩ / ( x p − p x − 1 ) {\displaystyle K\langle x,p\rangle /(xp-px-1)} 는 원시환이다. 왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.  Bergman, G. M. (1964년 6월). “A ring primitive on the right but not on the left”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 15 (3): 473–475. doi:10.1090/S0002-9939-1964-0167497-4. ISSN 0002-9939. JSTOR 2034527. MR 0167497.  오류 정정 “Errata: A ring primitive on the right but not on the left”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 15 (6): 1000–1000. 1964년 12월. ISSN 0002-9939. JSTOR 2034929.  “Primitive ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 17일). “Primitive rings; definition & examples”. 《Abstract Algebra》 (영어). 2015년 4월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 17일에 확인함.  Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 19일). “Jacobson density theorem”. 《Abstract Algebra》 (영어). 2015년 4월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 17일에 확인함.  Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 19일). “Some applications of density theorem”. 《Abstract Algebra》 (영어). 2015년 4월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 17일에 확인함.