이합체 모형

통계역학과 그래프 이론에서 이합체 모형(二合體模型, 영어: dimer model)은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 실수 값 함수 E : E ⁡ ( Γ ) → R {\displaystyle E\colon \operatorname {E} (\Gamma )\to \mathbb {R} } . 이를 각 변의 에너지라고 한다. 그렇다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 완벽 부합들의 집합을 PerfMatch ⁡ ( Γ ) ⊆ Pow ⁡ ( E ⁡ ( Γ ) ) {\displaystyle \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )\subseteq \operatorname {Pow} (\operatorname {E} (\Gamma ))} 로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 이합체 배치(二合體配置, 영어: dimer configuration)라고 하며, 그래프의 변은 이합체라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다. 이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다. 위상 공간은 완벽 부합의 집합 PerfMatch ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )} 이다. 임의의 완벽 부합 M ∈ PerfMatch ⁡ ( Γ ) {\displaystyle M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )} 의 에너지는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 E ( M ) = ∑ e ∈ M E ( e ) {\displaystyle \textstyle E(M)=\sum _{e\in M}E(e)} 이다. 온도 T = 1 / β {\displaystyle T=1/\beta } 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 PerfMatch ⁡ ( Γ ) → R {\displaystyle \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )\to \mathbb {R} } 로 정의되는 기브스 측도이다. Z ( β ; Γ ) = ∑ M ∈ PerfMatch ⁡ ( Γ ) exp ⁡ ( − β ∑ e ∈ M E ( e ) ) {\displaystyle Z(\beta ;\Gamma )=\sum _{M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )}\exp \left(-\beta \sum _{e\in M}E(e)\right)} Pr ( M ; β ) = exp ⁡ ( − β E ( M ) ) Z ( M ∈ PerfMatch ⁡ ( Γ ) ) {\displaystyle \Pr(M;\beta )={\frac {\exp \left(-\beta E(M)\right)}{Z}}\qquad (M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma ))} 여기서 값 Z ( β ; Γ ) {\displaystyle Z(\beta ;\Gamma )} 는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 이합체 모형이라고 한다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 실수 값 함수 E 2 : E ⁡ ( Γ ) → R {\displaystyle E_{2}\colon \operatorname {E} (\Gamma )\to \mathbb {R} } . 이를 이합체 에너지(二合體energy, 영어: dimer energy)라고 한다. 실수 값 함수 E 1 : V ⁡ ( Γ ) → R {\displaystyle E_{1}\colon \operatorname {V} (\Gamma )\to \mathbb {R} } . 이를 단량체 에너지(單量體energy, 영어: monomer energy)라고 한다. 그렇다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 부합들의 집합을 Match ⁡ ( Γ ) ⊆ Pow ⁡ ( E ⁡ ( Γ ) ) {\displaystyle \operatorname {Match} (\Gamma )\subseteq \operatorname {Pow} (\operatorname {E} (\Gamma ))} 로 표기하자. 이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다. 위상 공간은 부합의 집합 Match ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {Match} (\Gamma )} 이다. 임의의 부합 M ∈ Match ⁡ ( Γ ) {\displaystyle M\in \operatorname {Match} (\Gamma )} 의 에너지는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다. E ( M ) = ∑ e ∈ M E 2 ( e ) + ∑ v ∈ V ⁡ ( Γ ∖ M ) E 1 ( v ) {\displaystyle E(M)=\sum _{e\in M}E_{2}(e)+\sum _{v\in \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)}E_{1}(v)} 온도 T = 1 / β {\displaystyle T=1/\beta } 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 Match ⁡ ( Γ ) → R {\displaystyle \operatorname {Match} (\Gamma )\to \mathbb {R} } 로 정의되는 기브스 측도이다. Z ( Γ ) = ∑ M ∈ Match ⁡ ( Γ ) exp ⁡ ( − β E ( M ) ) {\displaystyle Z(\Gamma )=\sum _{M\in \operatorname {Match} (\Gamma )}\exp \left(-\beta E(M)\right)} Pr ( M ) = exp ⁡ ( − β E ( M ) ) Z ( M ∈ Match ⁡ ( Γ ) ) {\displaystyle \Pr(M)={\frac {\exp \left(-\beta E(M)\right)}{Z}}\qquad (M\in \operatorname {Match} (\Gamma ))} 여기서 값 Z ( Γ ) {\displaystyle Z(\Gamma )} 는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 단량체-이합체 모형(영어: monomer–dimer model)이라고 한다. 적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우, E 1 → ∞ {\displaystyle E_{1}\to \infty } 단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다. 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 e ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle e\in \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여, 관측 가능량 σ ( e ; M ) {\displaystyle \sigma (e;M)} 을 지시 함수 σ ( e ; M ) = { 1 e ∈ M 0 e ∉ M {\displaystyle \sigma (e;M)={\begin{cases}1&e\in M\\0&e\not \in M\end{cases}}} 로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합 S ⊆ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle S\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여, 상관 함수 ⟨ ∏ e ∈ S σ ( e ) ⟩ = ∑ S ⊆ M ∈ PerfMatch ⁡ ( Γ ) Pr ( M ) ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle =\sum _{S\subseteq M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )}\Pr(M)\in [0,1]} 를 정의할 수 있다. 만약 S {\displaystyle S} 가 서로 닿는 두 변을 포함한다면, ⟨ ∏ e ∈ S σ ( e ) ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle =0} 이다. 보다 일반적으로, 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변 e ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle e\in \operatorname {E} (\Gamma )} 및 각 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여 지시 함수 관측 가능량 σ ( e ; M ) = { 1 e ∈ M 0 e ∉ M {\displaystyle \sigma (e;M)={\begin{cases}1&e\in M\\0&e\not \in M\end{cases}}} σ ( v ; M ) = { 1 v ∈ V ⁡ ( Γ ∖ M ) 0 v ∉ V ⁡ ( Γ ∖ M ) {\displaystyle \sigma (v;M)={\begin{cases}1&v\in \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)\\0&v\not \in \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)\end{cases}}} 을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합 S 2 ⊆ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle S_{2}\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 및 꼭짓점 집합 S 1 ⊆ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle S_{1}\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여, 상관 함수 ⟨ ∏ e ∈ S σ ( e ) ⟩ = ∑ S 2 ⊆ M ∈ Match ⁡ ( Γ ) S 1 ⊆ V ⁡ ( Γ ∖ M ) Pr ( M ) ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle =\sum _{\scriptstyle S_{2}\subseteq M\in \operatorname {Match} (\Gamma ) \atop \scriptstyle S_{1}\subseteq \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)}\Pr(M)\in [0,1]} 를 정의할 수 있다. 만약 S 2 {\displaystyle S_{2}} 가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 S 2 {\displaystyle S_{2}} 의 원소가 S 1 {\displaystyle S_{1}} 의 원소와 인접한다면, ⟨ ∏ v ∈ S 1 σ ( v ) ∏ e ∈ S 2 σ ( e ) ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle \prod _{v\in S_{1}}\sigma (v)\prod _{e\in S_{2}}\sigma (e)\right\rangle =0} 이다. 2차원 이징 모형은 피셔 격자(영어: Fisher lattice)라는 어떤 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 동치이다.:§1 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다. 구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점 ╳ 을 나비 모양의 삼차 그래프 ─┬┐ ┌┬─ │├─┤│ ─┴┘ └┴─ 로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분 ╳ ╳ ╳ ╳ 은 피셔 격자의 부분 ─┬┐ ┌┬─ │├─┤│ ─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─ │├─┤│ │├─┤│ ─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─ │├─┤│ ─┴┘ └┴─ 에 대응한다. 이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다. (굵게 표현된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.) 즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게, 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게 칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.) 예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 이징 모형의 상태의 일부분이 ╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ + + ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ − + + ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ + − ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲ 와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다. ─┰┐ ┌┰─ ┃┝━┥┃ ━┭┐ ┌┰─┸┘ └┸─┮┓ ┏┭─ │┝━┥┃ │┞─┦│ ━┵┘ └┸─┮┓ ┌┮━┵┘ └┶━ │┞─┧│ ━┵┘ ┗┵─ 통계역학 Kenyon, Richard. 〈The planar dimer model with boundary: a survey〉 (PDF). Baake, Michael; Moody, Robert V. 《Directions in mathematical quasicrystals》. Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series (영어) 13. American Mathematical Society. 307–328쪽. ISBN 978-0-8218-2629-4. ISSN 1065-8599.  Kenyon, Richard; Okounkov, Andrei (2005년 3월). “What is … a dimer?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (3).  Heilmann, Ole J.; Lieb, Elliott H. (1972). “Theory of monomer–dimer systems”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 25: 190–232.  Cimasoni, David (2014). “The geometry of dimer models”. 《Winter Braids Lecture Notes》 (영어) 1: 2. arXiv:1409.4631. Bibcode:2014arXiv1409.4631C. doi:10.5802/wbln.3.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Domino tiling”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.