퍼펙토이드

퍼펙토이드(perfectoid)란 독일인 수학자 페터 숄체(Peter Scholze)가 도입한 개념이다. K {\displaystyle K} 가 표수 p {\displaystyle p} 의 완전 비아르키메데스적 체라고 하자. 그리고 다음을 정의하자. K ∘ := { x ∈ K | ν ( x ) ≤ 1 } {\displaystyle K^{\circ }:=\{x\in K|\nu (x)\leq 1\}} 그렇다면 K {\displaystyle K} 가 퍼펙토이드 체란 것은 K ∘ {\displaystyle K^{\circ }} 가 이산 국소환이 아니고 프로베니우스 사상이 K ∘ / p {\displaystyle K^{\circ }/p} 에서 전사인 것을 뜻한다. K {\displaystyle K} 가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 바나흐 K {\displaystyle K} -대수 R {\displaystyle R} 가 퍼펙토이드 K {\displaystyle K} -대수란 것은 R {\displaystyle R} 의 원소들 R ∘ := { x ∈ R | { x n | n ∈ N }  is bounded set  } {\displaystyle R^{\circ }:=\{x\in R|\{x^{n}|n\in \mathbb {N} \}{\text{ is bounded set }}\}} 들이 열린 집합이고 유계인 데다가 적당한 위상수학적 멱영원 π ∈ R {\displaystyle \pi \in R} 가 있어서 Φ : R / π ⟶ R / π {\displaystyle \Phi :R/\pi \longrightarrow R/\pi } 가 전사인 것이다. 이 정의에서 이산 국소환이 아니라는 조건은 안 좋은 것 같지만 정말로 중요한 역할을 하는데, 퍼펙토이드 체에서 거의 수학을 할 수 있게끔 만들어주기 때문이다. perfectoid field란 많이 대충 말해서 그 위에 분기 확장체가 거의 없는 체라고 보면 된다. 예를 들면 Q p ( ζ 1 p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\zeta ^{\frac {1}{p^{\infty }}})} 의 완전화를 들 수 있는데, 이 체 위의 모든 확장은 그 켈러 미분들이 거의 수학으로 0 {\displaystyle 0} 이 된다. (Tate) 다음을 생각하자. K ♭ := ( lim Φ ⟵ K ∘ / π ) [ ( π ♭ ) − 1 ] {\displaystyle K^{\flat }:=\left(\lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }/\pi \right)[(\pi ^{\flat })^{-1}]} 여기에서 π ♭ ∈ lim Φ ⟵ K ∘ / π {\displaystyle \pi ^{\flat }\in \lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }/\pi } 는 | π ♭ | = | π | {\displaystyle |\pi ^{\flat }|=|\pi |} 를 만족하는 어떤 한 원소다. 이는 | π 1 | p = | π | {\displaystyle |\pi _{1}|^{p}=|\pi |} 를 만족하도록 π 1 {\displaystyle \pi _{1}} 를 잡고 π ♭ := ( 0 , π 1 , ⋯ ) ∈ lim Φ ⟵ K ∘ {\displaystyle \pi ^{\flat }:=(0,\pi _{1},\cdots )\in \lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }} 로 선택하면 된다. 그렇다면 다음 곱셈적 준동형사상이 존재한다. K ♭ ⟶ lim x ↦ x p ⟵ K {\displaystyle K^{\flat }\longrightarrow \lim _{\overset {\longleftarrow }{x\mapsto x^{p}}}K} 이는 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) ∈ K ♭ {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )\in K^{\flat }} 를 x ♯ := x n p n {\displaystyle x^{\sharp }:=x_{n}^{p^{n}}} 로 정의하는 걸로 (이는 잘 정의된다.) 먼저 K ♭ ⟶ K ∘ {\displaystyle K^{\flat }\longrightarrow K^{\circ }} 를 정의할 수 있고, 이것으로 사상을 확장할 수 있다. K ♭ {\displaystyle K^{\flat }} 의 의미는 K {\displaystyle K} 의 표수를 0 {\displaystyle 0} 에서 p {\displaystyle p} 로 바꾸었다는 것이다. 그리고 perfectoid field에서 표수 바꾸기는 정말로 잘 작동한다. K , K ♭ {\displaystyle K,K^{\flat }} 둘은 K / π {\displaystyle K/\pi } 에선 완전히 같다. 다음은 퍼펙토이드 체에 대한 가장 중요한 성질들 중 하나다. Theorem. 두 perfectoid K {\displaystyle K} -algebra R → R ′ {\displaystyle R\to R'} 가 있을 때 이 둘 사이의 cotangent complex는 L R ′ / R ⊗ Z L F p = 0 {\displaystyle \mathbb {L} _{R'/R}\otimes _{\mathbb {Z} }^{L}\mathbb {F} _{p}=0} 이 된다. 이것의 증명은 cotangent complex의 base change theorem을 이용하는데, 이 과정에서 perfect F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} -algebra의 cotangent complex는 0 {\displaystyle 0} 란 사실을 이용히게 된다. 이것하고 almost mathematics의 deformation theory를 이용해서 다음을 증명할 수 있다. P e r f ( K ∘ ) a ≅ P e r f ( K ∘ / π ) a {\displaystyle \mathrm {Perf} (K^{\circ })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\circ }/\pi )^{a}} 여기에서 a {\displaystyle \!^{a}} 표시는 almost sense를 말하는 것이고 P e r f {\displaystyle \mathrm {Perf} } 는 그 위의 perfectoid algebra를 모아놨다는 것이다. 좀 더 정확하겐 이렇게 정의한다. Definition. perfectoid K ∘ a {\displaystyle K^{\circ a}} -algera란 π {\displaystyle \pi } -adically complete flat K ∘ a {\displaystyle K^{\circ a}} -algebra A {\displaystyle A} 에다가 Frobenius가 A / π 1 p ≅ A / π {\displaystyle A/\pi ^{\frac {1}{p}}\cong A/\pi } 를 만드는 것이다. Definition perfectoid K ∘ a / π {\displaystyle K^{\circ a}/\pi } -algebra란 flat K ∘ a / π {\displaystyle K^{\circ a}/\pi } -algebra A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} 에 Frobenius가 A ¯ / π 1 p ≅ A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}/\pi ^{\frac {1}{p}}\cong {\overline {A}}} 를 만드는 것을 말한다. 그렇다면 K ∘ a / π ≅ K ♭ ∘ a / π ♭ {\displaystyle K^{\circ a}/\pi \cong K^{\flat \circ a}/\pi ^{\flat }} 를 생각하면 다음을 얻을 수 있다. Theorem. perfectoid K {\displaystyle K} -algebra들과 perfectoid K ♭ {\displaystyle K^{\flat }} -algebra들의 category는 서로 동치가 된다. 여기에서 이 동치가 되게 만드는 functor는 R {\displaystyle R} 를 하나 잡으면 R ♭ = ( lim Φ ⟵ ( R a / π ) ♭ ) ∗ [ ( π ♭ ) − 1 ] {\displaystyle R^{\flat }=\left(\lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}(R^{a}/\pi )^{\flat }\right)_{*}[(\pi ^{\flat })^{-1}]} 으로 구성할 수 있다. 이는 P e r f ( K ) ≅ P e r f ( K ) a ≅ P e r f ( K / π ) a ≅ P e r f ( ( K / π ) ♭ ) a ≅ P e r f ( K ♭ ) a ≅ P e r f ( K ♭ ) {\displaystyle \mathrm {Perf} (K)\cong \mathrm {Perf} (K)^{a}\cong \mathrm {Perf} (K/\pi )^{a}\cong \mathrm {Perf} ((K/\pi )^{\flat })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\flat })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\flat })} 를 따라서 구성한 것이다. 그렇다면 다음이 성립한다. R ♭ = lim x ↦ x p ⟵ R {\displaystyle R^{\flat }=\lim _{\overset {\longleftarrow }{x\mapsto x^{p}}}R} 이렇게, R ♭ {\displaystyle R^{\flat }} 를 R {\displaystyle R} 의 tilt라고 한다. 다음이 성립한다. G a l ( Q p ( ζ p 1 p ∞ ¯ ) / Q p ( ζ p 1 p ∞ ) ) ≅ G a l ( F p ( ( t ) ) ¯ / F p ( ( t ) ) ) {\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}}})/\mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}))\cong \mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}/\mathbb {F} _{p}((t)))} 이는 좀 더 분석해보자면 Q p ( ζ p 1 p ∞ {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}} 의 completion을 K {\displaystyle K} 라고 한다고 할 때 K ♭ {\displaystyle K^{\flat }} 는 F p ( ( t ) ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))} 의 completion이 되며, 저 갈루아 군의 동형사상을 구성하는 것은 다음을 증명하는 것이 된다. K f e t ≅ K fet ♭ {\displaystyle K_{\mathrm {fet} }\cong K_{\text{fet}}^{\flat }} 그리고 이것 역시 tilt를 구성할 때 증명했던 것과 거의 같은 방법으로 구성한다. R {\displaystyle R} 을 perfectoid K {\displaystyle K} -algebra라고 할 때 R fet ≅ ( R a ) fet ≅ ( R a / π ) fet ≅ ( ( R a ) ♭ / π ) fet ≅ ( ( R a ) ♭ ) fet ≅ R fet ♭ {\displaystyle R_{\text{fet}}\cong (R^{a})_{\text{fet}}\cong (R^{a}/\pi )_{\text{fet}}\cong ((R^{a})^{\flat }/\pi )_{\text{fet}}\cong ((R^{a})^{\flat })_{\text{fet}}\cong R_{\text{fet}}^{\flat }} 를 생각한다. 여기에서 가장 중앙에 있는 것은 당연하고, 바로 주위에 있는 둘은 tilt 정의할 때 소개했던 cotangent complex를 쓰면 된다. 그러면 가장 문제는 가장 바깥쪽에 있는 둘인데, 이 둘도 equivalence다. 다만 이 둘의 증명은 어렵다. 가장 왼쪽에서 R {\displaystyle R} 가 field일 때만 증명하자면 다음을 증명하자. Proposition. perfectoid field K ♭ {\displaystyle K^{\flat }} 이 algebraically closed라면 K {\displaystyle K} 는 algebralically closed다. Proof monic irreducible polynomial P ( X ) = X d + a d − 1 X d − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle P(X)=X^{d}+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots +a_{0}} 을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 P {\displaystyle P} 의 Newton polygon은 line이고 이제 K ∘ / π {\displaystyle K^{\circ }/\pi } 에서 보자. Q ( X ) {\displaystyle Q(X)} 를 K ∘ / π {\displaystyle K^{\circ }/\pi } 에서 봤을 때 P {\displaystyle P} 하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 y 1 {\displaystyle y_{1}} 라고 하자. 그러면 다항식 P ( X + y ♯ ) {\displaystyle P(X+y^{\sharp })} 를 생각하고 이것의 상수항이 π {\displaystyle \pi } 에 의해서 나누어지므로, 그러니까 y 1 ♯ {\displaystyle y_{1}^{\sharp }} 가 대충 P {\displaystyle P} 의 근사해가 되므로 | c 1 | d = | P ( y 1 ♯ ) | ≤ | π | {\displaystyle |c_{1}|^{d}=|P(y_{1}^{\sharp })|\leq |\pi |} 인 c 1 {\displaystyle c_{1}} 에 대해서 P 1 ( X ) = c 1 − d P ( c 1 X + y 1 ♯ ) {\displaystyle P_{1}(X)=c_{1}^{-d}P(c_{1}X+y_{1}^{\sharp })} 또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면 y = y 1 ♯ + c 1 y 2 ♯ + c 1 c 2 y 3 ♯ + ⋯ {\displaystyle y=y_{1}^{\sharp }+c_{1}y_{2}^{\sharp }+c_{1}c_{2}y_{3}^{\sharp }+\cdots } 라고 정의하면 P ( y ) = 0 {\displaystyle P(y)=0} 가 된다. 이 성질을 이용해서 젖히기의 반대인 untilt를 하는데, 그 젖히기의 반대를 K ♯ {\displaystyle K^{\sharp }} 라고 쓰자. 그러면 K ♯ {\displaystyle K^{\sharp }} 의 대수적 폐포의 completion을 M {\displaystyle M} 라고 한다면 M ♯ {\displaystyle M^{\sharp }} 는 위의 proposition으로 algebraically closed field에 적당한 norm을 주는 것으로 perfectoid K {\displaystyle K} -algebra라고 할 수 있다. 따라서 모든 perfectoid K ♯ {\displaystyle K^{\sharp }} -algebra L {\displaystyle L} 에 대해서 L ♯ {\displaystyle L^{\sharp }} 는 M ♯ {\displaystyle M^{\sharp }} 의 subfield가 되고, ⋃ L ♯ {\displaystyle \bigcup L^{\sharp }} 는 M ♯ {\displaystyle M^{\sharp }} 에서 dense이므로 Krasner's lemma로 그 union을 N {\displaystyle N} 라고 하면 N {\displaystyle N} 도 algebraically closed field고 따라서 모든 finite extension F {\displaystyle F} 에 대해서 F {\displaystyle F} 는 적당한 K ♭ {\displaystyle K^{\flat }} 의 finite field extension L {\displaystyle L} 가 있어서 L ♯ {\displaystyle L^{\sharp }} 는 F {\displaystyle F} 를 포함하고, 체일 때의 증명이 끝난다. 먼저 아피노이드 대수(affinoid algebra)를 정의하자. k {\displaystyle k} 가 체일 때 R {\displaystyle R} 가 테이트 k {\displaystyle k} -대수(Tate k-algebra)란 것은 어떤 부분환 R 0 ⊆ R {\displaystyle R_{0}\subseteq R} 가 있어서 a R 0 {\displaystyle aR_{0}} 가 a ∈ k × {\displaystyle a\in k^{\times }} 들에 대해서 0 {\displaystyle 0} 의 열린 근방들의 기저를 이룰 때를 말한다. 그리고 쌍 ( R , R + ) {\displaystyle (R,R^{+})} 가 아피노이드 k {\displaystyle k} -대수란 것은 그 자체의 환과 정폐정역 R + ⊆ R {\displaystyle R^{+}\subseteq R} 의 쌍이다. K {\displaystyle K} 가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 아피노이드 K {\displaystyle K} -대수 ( R , R + ) {\displaystyle (R,R^{+})} 가 퍼펙토이드 아피노이드 K {\displaystyle K} -대수란 것은 R {\displaystyle R} 이 퍼펙토이드 K {\displaystyle K} -대수인 것을 뜻한다. 퍼펙토이드 아피노이드 K {\displaystyle K} -대수 ( R , R + ) {\displaystyle (R,R^{+})} 가 있을 때 다음을 정의할 수 있다. X = S p a ( R , R + ) := { | ⋅ | : R → Γ ∪ { 0 }  continuous valuation  |  There exists  f ∈ R +  s.t.  | f | ≤ 1 } {\displaystyle X=\mathrm {Spa} (R,R^{+}):=\{|\cdot |:R\to \Gamma \cup \{0\}{\text{ continuous valuation }}|{\text{ There exists }}f\in R^{+}{\text{ s.t. }}|f|\leq 1\}} 그리고 여기에 위상을 하나 주는데, f 1 , f 2 , ⋯ , f n , g ∈ R {\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n},g\in R} 를 주고, f 1 , ⋯ , f n {\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{n}} 가 R {\displaystyle R} 를 생성한다고 할 때 U ( f 1 , ⋯ , f n g ) := { x ∈ X | There exists  i  s.t.  | f i ( x ) ≤ | g ( x ) } {\displaystyle U\left({\frac {f_{1},\cdots ,f_{n}}{g}}\right):=\{x\in X|{\text{There exists }}i{\text{ s.t. }}|f_{i}(x)\leq |g(x)\}} 를 기저로 하는 것으로 준다. 그리고 이런 꼴 열린 집합을 유리형 집합이라고 하자. 이는 환의 스펙트럼과 거기에 주는 D ( f ) {\displaystyle D(f)} 라는 열린 집합들을 따라한 것이다. ( R , R + ) {\displaystyle (R,R^{+})} 가 아피노이드 k {\displaystyle k} -대수라고 하자. 그리고 여기에 S p a ( R , R + ) {\displaystyle \mathrm {Spa} (R,R^{+})} 의 열린 집합 U = U ( f 1 , ⋯ , f n g ) {\displaystyle U=U\left({\frac {f_{1},\cdots ,f_{n}}{g}}\right)} 를 주자. 그러면 a R 0 [ f 1 g , ⋯ , f n g ] {\displaystyle aR_{0}\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]} 꼴들을 0 {\displaystyle 0} 의 기저로 가지는 다음 아피노이드 k {\displaystyle k} -대수를 생각하자. U = S p a ( R [ f 1 g , ⋯ , f n g ] , B ) {\displaystyle U=\mathrm {Spa} \left(R\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right],B\right)} 여기에서 B {\displaystyle B} 는 R [ f 1 g , ⋯ , f n g ] {\displaystyle R\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]} 안에서 R + [ f 1 g , ⋯ , f n g ] {\displaystyle R^{+}\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]} 의 정수적 폐포다. 그러면 이것의 완전화를 ( O X ( U ) , O X + ( U ) ) {\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X}(U),{\mathcal {O}}_{X}^{+}(U))} 라고 하자. 이는 시프를 정의하기 위해서다. 그렇다면 일반적으로 열린 집합 W ⊆ X {\displaystyle W\subseteq X} 에 대해서 O X ( W ) = lim U ⊆ W  rational  ⟵ O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(W)=\lim _{\overset {\longleftarrow }{U\subseteq W{\text{ rational }}}}{\mathcal {O}}_{X}(U)} 라고 정의하자. 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 준시프 O X , O X + {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X}^{+}} 를 정의할 수 있다. 다시 퍼펙토이드 아피노이드 K {\displaystyle K} -대수 ( R , R + ) {\displaystyle (R,R^{+})} 로 돌아오면 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 가 시프라는 결과가 있다. (퍼펙토이드가 아니면 일반적으로 준시프만 되고 시프가 되지 않을 수도 있다.) 유한 에탈 덮개 S / R {\displaystyle S/R} 에 대해서 R {\displaystyle R} 가 퍼펙토이드 K {\displaystyle K} -대수라면 S ∘ a {\displaystyle S^{\circ a}} 는 R ∘ a {\displaystyle R^{\circ a}} 위의 유한 에탈 대수가 된다. 특히 S ∘ a {\displaystyle S^{\circ a}} 는 R ∘ a {\displaystyle R^{\circ a}} 위의 균등 거의 유한표현 R ∘ a {\displaystyle R^{\circ a}} -모듈이 된다. 완전체 Scholze, Peter (2011). “Perfectoid space”.