분지점

복소해석학에서 분지점(分枝點, 영어: ramification point)은 두 리만 곡면 사이의 정칙 함수가 국소적으로 피복 공간을 이루지 못하는 점이며, 그 상을 가지점(-點, 영어: branch point)이라고 한다. 이러한 정칙 함수의 역함수를 정의하려면, 가지점들을 잇는 선분 또는 반직선에서 정의되지 않거나 또는 이 점들에서 불연속적이게 된다. 이러한 선분 또는 반직선을 분지 절단(分枝切斷, 영어: branch cut)이라고 한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 두 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } , Σ ′ {\displaystyle \Sigma '} 정칙 함수 f : Σ → Σ ′ {\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '} . 또한, f {\displaystyle f} 가 국소적으로 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, 점 z ∈ Σ {\displaystyle z\in \Sigma } 에 대하여, 두 조건을 생각하자. 제한 함수 f ↾ f − 1 ( U ) : f − 1 ( U ) → f ( U ) {\displaystyle f\upharpoonright f^{-1}(U)\colon f^{-1}(U)\to f(U)} 가 피복 공간이 되는, f ( z ) {\displaystyle f(z)} 의 근방 U ∋ f ( z ) {\displaystyle U\ni f(z)} 가 존재한다. 이 조건이 성립하지 않는 점들의 집합은 Σ {\displaystyle \Sigma } 속의 이산 공간을 이루며, 특히 만약 Σ {\displaystyle \Sigma } 가 콤팩트 공간이라면 유한 집합이다. 이 조건이 성립하지 못하는 점 z ∈ Σ {\displaystyle z\in \Sigma } 를 f {\displaystyle f} 의 분지점(分枝點, 영어: ramification point)이라고 하며, 그 상 f ( z ) ∈ Σ ′ {\displaystyle f(z)\in \Sigma '} 을 f {\displaystyle f} 의 가지점(-點, 영어: branch point)이라고 한다. 두 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } , Σ ′ {\displaystyle \Sigma '} 사이의 정칙 함수 f : Σ → Σ ′ {\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '} 및 점 z ∈ Σ {\displaystyle z\in \Sigma } 가 주어졌다고 하자. 만약 z {\displaystyle z} 근처에, 다음 조건을 만족시키는 z ∈ Σ ′ {\displaystyle z\in \Sigma '} 의 열린 근방 U ∋ z {\displaystyle U\ni z} 열린집합 V ⊇ f ( U ) {\displaystyle V\supseteq f(U)} 복소평면의 0을 포함하는 두 열린집합 U ~ , V ~ ⊆ C {\displaystyle {\tilde {U}},{\tilde {V}}\subseteq \mathbb {C} } , 0 ∈ U ~ ∩ V ~ {\displaystyle 0\in {\tilde {U}}\cap {\tilde {V}}} 전단사 정칙 함수 ι U : U → U ~ {\displaystyle \iota _{U}\colon U\to {\tilde {U}}} , ι V : V → V ~ {\displaystyle \iota _{V}\colon V\to {\tilde {V}}} 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 가 존재한다면, z {\displaystyle z} 의 분지 지표(分枝指標, 영어: ramification index)를 n {\displaystyle n} 이라고 한다. ι V ∘ f ∘ ι U − 1 = ( z ↦ z n ) {\displaystyle \iota _{V}\circ f\circ \iota _{U}^{-1}=(z\mapsto z^{n})} 만약 어떤 점의 분지 지표가 0이라면, f {\displaystyle f} 는 (그 점을 포함하는 연결 성분에 제한하면) 상수 함수이다. 만약 어떤 점의 분지 지표가 1이라면, 이 점은 분지점이 아니다. 만약 어떤 점의 차수가 2 이상이라면, 이는 분지점이다. 분지 지표를 갖지 않는 점은 분지점이며, 이 경우를 초월 분지점(超越分枝點, 영어: transcendental ramification point)이라고 한다. 정칙 함수 f : Σ → Σ ′ {\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '} 가 상수 함수가 아니며, 전단사 함수도 아니라면, f {\displaystyle f} 는 분지점을 갖는다. 이 경우, f {\displaystyle f} 의 역함수를 잘 정의하기 위해서는, f {\displaystyle f} 의 가지점들 및 (비콤팩트 리만 곡면의 경우 무한대)를 잇는 선분 또는 반직선들을 제거하거나 또는 이 점들에서 불연속이게 해야 한다. 이 과정을 분지 절단(영어: branch cut, 分枝切斷)이라고 한다. 즉, 이러한 선분 L ⊊ Σ ′ {\displaystyle L\subsetneq \Sigma '} 을 골랐을 때, 정칙 함수인 역함수 f − 1 : ( Σ ′ ∖ L ) × B → Σ {\displaystyle f^{-1}\colon (\Sigma '\setminus L)\times B\to \Sigma } 를 정의할 수 있다. 여기서 B {\displaystyle B} 는 피복 공간 f − 1 ( Σ ′ ∖ L ) ↠ Σ ′ ∖ L {\displaystyle f^{-1}(\Sigma '\setminus L)\twoheadrightarrow \Sigma '\setminus L} 의 올인 이산 공간이다. 정의역과 공역이 리만 구 C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} 인 정칙 함수 f : C P 1 → C P 1 {\displaystyle f\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}} f : z ↦ z 2 {\displaystyle f\colon z\mapsto z^{2}} 를 생각하자. 이는 두 개의 분지점을 가지며, 그 분지 지표는 다음과 같다. 이 경우, 역함수 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} , 즉 복소수 제곱근 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 제곱근 함수 f − 1 : C P 1 ∖ R − → C P 1 {\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {CP} ^{1}\setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {CP} ^{1}} f − 1 : z ↦ z 1 / 2 {\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto z^{1/2}} 를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다. f − 1 : { r exp ⁡ ( i θ ) ↦ r exp ⁡ ( i θ / 2 ) r ∈ [ 0 , ∞ ) , θ ∈ ( − π , π ) ∞ ↦ ∞ {\displaystyle f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\\\infty \mapsto \infty \end{cases}}} 물론, 다른 분지 절단을 고를 수 있다. 예를 들어, 양의 실수 반직선을 대신 절단할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다. f − 1 : { r exp ⁡ ( i θ ) ↦ r exp ⁡ ( i θ / 2 ) r ∈ [ 0 , ∞ ) , θ ∈ ( 0 , 2 π ) ∞ ↦ ∞ {\displaystyle f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (0,2\pi )\\\infty \mapsto \infty \end{cases}}} 정의역과 공역이 복소평면인 정칙 함수 f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } f : z ↦ exp ⁡ z {\displaystyle f\colon z\mapsto \exp z} 를 생각하자. 그 유일한 분지점은 z = 0 {\displaystyle z=0} 이며, 이는 초월 분지점이다. (이 복소수 지수 함수는 ∞에서 본질적 특이점을 가져, C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} 위의 정칙 함수로 정의할 수 없다.) 그 역함수 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} , 즉 복소수 자연 로그 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 자연 로그 함수 f − 1 : C ∖ R − → C {\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {C} } f − 1 : z ↦ ln ⁡ z {\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto \ln z} 를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다. f − 1 : r exp ⁡ ( i θ ) ↦ ( ln ⁡ r ) + i θ ( r ∈ [ 0 , ∞ ) , θ ∈ ( − π , π ) ) {\displaystyle f^{-1}\colon r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto (\ln r)+\mathrm {i} \theta \qquad \left(r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\right)} 다음과 같은 역함수를 갖는 함수를 생각하자. f − 1 : z ↦ z 1 − z {\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto {\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}} 이 함수 f {\displaystyle f} 의 정의역은 사실 리만 구의 2겹 분지 피복 공간이 되는, 종수 0의 리만 곡면 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 이다. 구체적으로, 집합으로서 이는 다음과 같다. Σ 0 = ( C P 1 ∖ [ 0 , 1 ] ) × { A , B } ⊔ ( 0 , 1 ) × { C , D } + { 0 , 1 , ∞ } {\displaystyle \Sigma _{0}=\left(\mathbb {CP} ^{1}\setminus [0,1]\right)\times \{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}}\}\sqcup (0,1)\times \{{\mathsf {C}},{\mathsf {D}}\}+\{0,1,\infty \}} 여기서 A {\displaystyle {\mathsf {A}}} , B {\displaystyle {\mathsf {B}}} , C {\displaystyle {\mathsf {C}}} , D {\displaystyle {\mathsf {D}}} 는 임의의 네 기호이다. 이 조각들을 다음과 같이 이어붙인다. lim b → 0 + ( a + i b , A ) = lim b → 0 + ( a − i b , B ) = ( a , C ) ( 0 < a < 1 ) {\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=(a,{\mathsf {C}})\qquad \left(0<a<1\right)} lim b → 0 + ( a + i b , B ) = lim b → 0 + ( a − i b , A ) = ( a , D ) ( 0 < a < 1 ) {\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=(a,{\mathsf {D}})\qquad \left(0<a<1\right)} lim b → 0 + ( b , C ) = lim b → 0 + ( b , D ) = lim z → 0 ( z , A ) = lim z → 0 ( z , B ) = 0 {\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {B}})=0} lim b → 1 − ( b , C ) = lim b → 1 − ( b , D ) = lim z → 1 ( z , A ) = lim z → 1 ( z , B ) = 1 {\displaystyle \lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {B}})=1} 이는 두 개의 분지점, 즉 0과 1을 갖는다. 두 분지점의 분지 지표는 둘 다 2이다. 분지점 밖에서, f : Σ 0 → C P 1 {\displaystyle f\colon \Sigma _{0}\to \mathbb {CP} ^{1}} 는 2겹 피복 공간을 정의한다. 반대로, 그 역함수 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 를 정의하려면, 열린구간 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 에 분지 절단을 가해야 한다. 위상수학적으로, Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 은 하나의 “홈”이 파인 두 리만 구를 짜깁기한 것이다. “홈”이 파인 리만 구는 반구와 위상 동형이므로, Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 은 위상수학적으로 구를 이룬다 (즉, 리만 구이다). 사실, 임의의 종수의 콤팩트 리만 곡면을 위와 같이 리만 구 C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} 의 분지 피복으로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 종수 g {\displaystyle g} 의 리만 곡면 Σ g {\displaystyle \Sigma _{g}} 의 경우, 위와 같은 “홈”이 g + 1 {\displaystyle g+1} 개 파인 두 리만 구를 짜깁기하여 얻는다. 제곱근이나 로그 등, 복소수에 대한 여러 함수가 일반적으로 어떤 점에서 정의되지 못하거나, 또는 “여러 개의 값을 갖는다”는 현상은 복소수의 발견 이후 곧 알려졌다. 베른하르트 리만이 1851년에 리만 곡면을 도입하였으며, 이 현상을 엄밀하게 묘사하였다. “분지”(分枝)는 나뭇가지(枝)가 갈라진다(分)는 뜻으로, 이는 분지점의 상 근처에서 정칙 함수의 “역함수”가 “여러 값을 갖는” 모양을 빗댄 것이다. 김용인 (2007). 《복소함수론 강의》 1판. 경문사. ISBN 89-7282-772-X.  “Branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Transcendental branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Logarithmic branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Algebraic branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Branch point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Branch cut”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Verrill, Helena. “Ramification index”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Branched cover of the Riemann sphere”. 《nLab》 (영어).