Z변환

Z 변환(Z-transform)은 수학이나 신호 처리에서 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다. Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다. Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다. Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 Ragazzini와 Zadeh로부터 유래되었다. 고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화되었다. 다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다. 연속시간 신호 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 의 양방향 Z 변환은 X ( z ) {\displaystyle X(z)} 로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다. X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}.} 여기서 n {\displaystyle n} 은 정수이고 z {\displaystyle z} 는 일반적으로 복소수이다. 즉, z {\displaystyle z} 는 복소수의 크기 A {\displaystyle A} 와 허수 단위 j {\displaystyle j} , 그리고 편각 ϕ {\displaystyle \phi } 를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다. z = A e j ϕ = A ( cos ⁡ ϕ + j sin ⁡ ϕ ) {\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,} 만약 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 이 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다. X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.} 이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system의 단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다. 단위 계단 신호 다음과 같은 신호를 생각해 보자. x [ n ] = 1 , n = 0 , 1 , 2 , … . {\displaystyle x[n]=1,\quad n=0,1,2,\ldots .} 그러면 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다. X ( z ) = 1 + z − 1 + z − 2 + ⋯ = z z − 1 , 1 < | z | . {\displaystyle X(z)=1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots ={\frac {z}{z-1}},\quad 1<|z|.} 등비수열 다음과 같은 신호를 생각해 보자. x [ n ] = a n , n = 0 , 1 , 2 , … . {\displaystyle x[n]=a^{n},\quad n=0,1,2,\ldots .} 그러면 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다. X ( z ) = 1 + ( z / a ) − 1 + ( z / a ) − 2 + ⋯ = z z − a , a < | z | . {\displaystyle X(z)=1+(z/a)^{-1}+(z/a)^{-2}+\cdots ={\frac {z}{z-a}},\quad a<|z|.} 두 이산 시간 신호 x 1 [ n ] {\displaystyle x_{1}[n]} , x 2 [ n ] {\displaystyle x_{2}[n]} 의 Z 변환을 각각 X 1 ( z ) {\displaystyle X_{1}(z)} , X 2 ( z ) {\displaystyle X_{2}(z)} 라 두면, 상수 a 1 {\displaystyle a_{1}} , a 2 {\displaystyle a_{2}} 에 대해 x [ n ] = a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] {\displaystyle x[n]=a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]} 의 Z 변환은 다음과 같다 X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] ) z − n = a 1 ∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] z − n + a 2 ∑ n = − ∞ ∞ x 2 [ n ] z − n = a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n])z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z).\end{aligned}}} 이산 시간 신호 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 의 Z 변환을 Z { x [ n ] } {\displaystyle Z\{x[n]\}} 라 두면 정수 k {\displaystyle k} 에 대해 x [ n − k ] {\displaystyle x[n-k]} 의 Z 변환은 다음과 같다. Z { x [ n − k ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n − k ] z − n = ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] z − ( m + k ) , m = n − k = ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] z − m z − k = z − k ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] z − m = z − k X ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{-(m+k)},\quad m=n-k\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=z^{-k}X(z).\end{aligned}}} 단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} 인 경우 Z { x [ n − k ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n − k ] z − n = ∑ m = − k ∞ x [ m ] z − ( m + k ) , m = n − k = ∑ m = − k ∞ x [ m ] z − m z − k = ∑ m = − k − 1 x [ m ] z − m z − k + z − k ∑ m = 0 ∞ x [ m ] z − m = ∑ m = − k − 1 x [ m ] z − ( m + k ) + z − k X ( z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-(m+k)},\quad m=n-k\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=\sum _{m=-k}^{-1}x[m]z^{-m}z^{-k}+z^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=\sum _{m=-k}^{-1}x[m]z^{-(m+k)}+z^{-k}X(z),\end{aligned}}} k ≤ − 1 {\displaystyle k\leq -1} 인 경우 Z { x [ n − k ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n − k ] z − n = ∑ m = − k ∞ x [ m ] z − ( m + k ) , m = n − k = ∑ m = − k ∞ x [ m ] z − m z − k = − ∑ m = 0 − k − 1 x [ m ] z − m z − k + z − k ∑ m = 0 ∞ x [ m ] z − m = − ∑ m = 0 − k − 1 x [ m ] z − ( m + k ) + z − k X ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-(m+k)},\quad m=n-k\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=-\sum _{m=0}^{-k-1}x[m]z^{-m}z^{-k}+z^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=-\sum _{m=0}^{-k-1}x[m]z^{-(m+k)}+z^{-k}X(z).\end{aligned}}} Z 역변환은 다음과 같이 구해진다. x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } = 1 2 π j ∮ C X ( z ) z n − 1 d z , {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,} 여기서 C {\displaystyle C} 는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 수렴 반경 안에 있는 닫힌 경로이다. 하지만 라플라스 역변환의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 부분분수 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자. X ( z ) = 3 z 2 − 7 z z 2 − 5 z + 6 . {\displaystyle X(z)={\frac {3z^{2}-7z}{z^{2}-5z+6}}.} 부분분수 분해를 통해 X ( z ) / z {\displaystyle X(z)/z} 는 다음과 같이 표현된다. X ( z ) z = 1 z − 2 + 2 z − 3 . {\displaystyle {\frac {X(z)}{z}}={\frac {1}{z-2}}+{\frac {2}{z-3}}.} 따라서, X ( z ) = z / ( z − 2 ) + 2 z / ( z − 3 ) {\displaystyle X(z)=z/(z-2)+2z/(z-3)} 이고 Z 변환의 선형성으로부터 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 은 다음과 같이 구해진다. x [ n ] = 2 n + 2 ⋅ 3 n , n = 0 , 1 , … . {\displaystyle x[n]=2^{n}+2\cdot 3^{n},\quad n=0,1,\ldots .} 다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자. x [ n − 2 ] − 5 x [ n − 1 ] + 6 x [ n ] = 0 , x [ − 1 ] = 1 , x [ − 2 ] = 0. {\displaystyle x[n-2]-5x[n-1]+6x[n]=0,\quad x[-1]=1,\;x[-2]=0.} 양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다. z − 2 X ( z ) + x [ − 2 ] + z − 1 x [ − 1 ] − 5 z − 1 X ( z ) − 5 x [ − 1 ] + 6 X ( z ) = 0 , X ( z ) z = 5 z − 1 ( 3 z − 1 ) ( 2 z − 1 ) , X ( z ) = − 2 3 z z − 1 3 + 3 2 z z − 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&z^{-2}X(z)+x[-2]+z^{-1}x[-1]-5z^{-1}X(z)-5x[-1]+6X(z)=0,\\&{\frac {X(z)}{z}}={\frac {5z-1}{(3z-1)(2z-1)}},\\&X(z)=-{\frac {2}{3}}{\frac {z}{z-{\frac {1}{3}}}}+{\frac {3}{2}}{\frac {z}{z-{\frac {1}{2}}}}.\end{aligned}}} 따라서, x [ n ] = − 2 3 ( 1 3 ) n + 3 2 ( 1 2 ) n {\displaystyle x[n]=-{\frac {2}{3}}\left({\frac {1}{3}}\right)^{n}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}} 이다. Kanasewich, E. R. (1981). 《Time Sequence Analysis in Geophysics》 3판. University of Alberta. 185–186쪽. ISBN 978-0-88864-074-1.  Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952). “The analysis of sampled-data systems”. 《Trans. Am. Inst. Elec. Eng.》 71 (II): 225–234.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) Leondes, C. T. (1996). 《Digital Control Systems Implementation and Computational Techniques》. Academic Press. 123쪽. ISBN 978-0-12-012779-5.  라플라스 변환 푸리에 변환 이산 시간 푸리에 변환 이산 푸리에 변환 Kamen, E.; Heck, B. (2000), Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples (2nd ed.); Prentice Hall; ISBN 0130172936, 9780130172938. Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), Digital Signal Processing Using Matlab (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson. Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), Digital control using digital signal processing; Prentice Hall.