특성곡선법

해석학에서 특성곡선법(特性曲線法, 영어: method of characteristics)은 1차 편미분 방정식을 연립 1차 상미분 방정식으로 환원하여 푸는 방법이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E , F ↠ M {\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M} M {\displaystyle M} 위의 k {\displaystyle k} 차 미분 연산자 D : Γ ∞ ( M , E ) → Γ ∞ ( M , F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)} D {\displaystyle D} 의 주표상이 국소 좌표계에서 σ D ( x , v ) = P μ 1 … μ k v μ 1 ⋯ v μ k ( x ∈ M , v ∈ T x ∗ M , P μ 1 … μ k ∈ GL ⁡ ( E x , F x ; R ) ) {\displaystyle \sigma _{D}(x,v)=P^{\mu _{1}\dotso \mu _{k}}v_{\mu _{1}}\dotsm v_{\mu _{k}}\qquad \left(x\in M,\;v\in \mathrm {T} _{x}^{*}M,\;P^{\mu _{1}\dotso \mu _{k}}\in \operatorname {GL} (E_{x},F_{x};\mathbb {R} )\right)} 라고 하자. 이는 벡터 다발 사상 σ D : E ⊗ Sym k ⁡ ( T ∗ M ) → F {\displaystyle \sigma _{D}\colon E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)\to F} 를 정의한다. ( Sym k {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{k}} 는 올별 k {\displaystyle k} 차 대칭 대수 벡터 다발이다.) 이 벡터 다발 사상의 핵, 즉 ker ⁡ σ D = { ( x , u ) ∈ Γ ∞ ( E ⊗ Sym k ⁡ ( T ∗ M ) : σ D ( x , u ) = 0 } ⊆ E ⊗ Sym k ⁡ ( T ∗ M ) {\displaystyle \ker \sigma _{D}=\left\{(x,u)\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)\colon \sigma _{D}(x,u)=0\right\}\subseteq E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)} 을 s {\displaystyle s} 의 특성점의 집합이라고 한다. 임의의 실수 값 매끄러운 함수 h : M → R {\displaystyle h\colon M\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 대하여 h − 1 ( t ) {\displaystyle h^{-1}(t)} 는 (적절한 조건 아래) n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 초곡면을 이룬다. 만약 σ D ( x , d h | x ) = 0 {\displaystyle \sigma _{D}(x,\mathrm {d} h|_{x})=0} 일 경우, 각 h − 1 ( t ) {\displaystyle h^{-1}(t)} 를 D {\displaystyle D} 의 특성 초곡면(영어: characteristic hypersurface)이라고 한다. 만약 n = 2 {\displaystyle n=2} 일 경우 이는 D {\displaystyle D} 의 특성 곡선(영어: characteristic curve)이라고 하며, n = 3 {\displaystyle n=3} 일 경우 특성 곡면(영어: characteristic surface)이라고 한다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 벡터장 X ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 이 주어졌다고 하자. 이에 대한 미분 연산자 D = ∇ X : C ∞ ( R ) → C ∞ ( R ) {\displaystyle D=\nabla _{X}\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )} 를 생각하자. D {\displaystyle D} 의 특성 초곡면을 정의하는 함수 h : M → R {\displaystyle h\colon M\to \mathbb {R} } 는 ⟨ X , d h ⟩ = 0 {\displaystyle \langle X,\mathrm {d} h\rangle =0} 을 만족시킨다. 예를 들어, 편의상 준 리만 계량 g {\displaystyle g} 를 부여하였을 때, 임의의 곡선 γ : R → M {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M} 에 대하여, 그 상이 특성 곡선을 이룰 조건은 g ( X , γ ˙ ) = 0 {\displaystyle g(X,{\dot {\gamma }})=0} 인 것이다. 이는 1차 상미분 방정식이다. 매우 구체적으로, M = R 2 = { ( x , y ) : x , y ∈ R } {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\colon x,y\in \mathbb {R} \}} 이며 X = p ∂ x + q ∂ y {\displaystyle X=p\partial _{x}+q\partial _{y}} 라고 하자. 그렇다면 특성 곡선들은 h ( x , y ) = q x − p y {\displaystyle h(x,y)=qx-py} 로 정의되는 직선족 ( h − 1 ( t ) ) t ∈ R {\displaystyle (h^{-1}(t))_{t\in \mathbb {R} }} 이다. Delgado, Manuel (1997년 7월). “The Lagrange–Charpit Method”. 《Society for Industrial and Applied Mathematics Review》 (영어) 39 (2): 298–304. doi:10.1137/S0036144595293534. ISSN 0036-1445. JSTOR 2133111.  “Characteristic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Characteristic surface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Method of characteristics”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Characteristic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Sarra, Scott A. (2003년 2월). “The method of characteristics & conservation laws”. 《Journal of Online Mathematics and its Applications》 (영어). 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 4일에 확인함.