안정 벡터 다발

대수기하학과 미분기하학에서 안정 벡터 다발(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)은 정칙 벡터 다발 가운데, 모듈라이 공간을 잘 정의할 수 있는 것들이다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 복소다양체 M {\displaystyle M} 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 M ↪ C P N {\displaystyle M\hookrightarrow \operatorname {\mathbb {C} P} ^{N}} . 이에 따라, M {\displaystyle M} 위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 [ ω ] ∈ H 2 ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle [\omega ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {R} )} 는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.) M {\displaystyle M} 위의 정칙 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E ≠ 0 {\displaystyle E\neq 0} 이라고 할 때, E {\displaystyle E} 의 기울기(영어: slope 슬로프[*])는 다음과 같은 유리수이다. μ ( E ) = ∫ M [ ω ] dim C ⁡ M − 1 ⌣ c 1 ⁡ ( E ) dim M ⁡ E ∈ Q {\displaystyle \mu (E)={\frac {\int _{M}[\omega ]^{\dim _{\mathbb {C} }M-1}\smile \operatorname {c} _{1}(E)}{\dim _{M}E}}\in \mathbb {Q} } 이 식에서, 분자가 정수인 것은 M {\displaystyle M} 이 사영 대수다양체이기 때문이다. 콤팩트 리 군 U ⁡ ( 1 ) diag ≤ G ≤ GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)_{\operatorname {diag} }\leq G\leq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )} 이 주어졌으며, E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 가 M {\displaystyle M} 위의, G {\displaystyle G} 구조의 정칙 벡터 다발이라고 하고, 이에 대응되는 G {\displaystyle G} -주다발이 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 이라고 하자. 그렇다면, E {\displaystyle E} 위의 어떤 벡터 다발 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 의 곡률 F i ȷ ¯ a ∈ Ω 1 , 1 ( M ; a d ( P ) ) {\displaystyle F_{i{\bar {\jmath }}}^{a}\in \Omega ^{1,1}(M;{\mathfrak {ad}}(P))} 을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발 a d ( P ) = P × G l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {ad}}(P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)} 이다. 표현에 따라서 a d ( P ) ⊆ End ⁡ E {\displaystyle {\mathfrak {ad}}(P)\subseteq \operatorname {End} E} 이다. End ⁡ E {\displaystyle \operatorname {End} E} 에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발 C id E ⊆ End ⁡ E {\displaystyle \mathbb {C} \operatorname {id} _{E}\subseteq \operatorname {End} E} 을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을 m : M × C ↪ End ⁡ ( E ) {\displaystyle m\colon M\times \mathbb {C} \hookrightarrow \operatorname {End} (E)} 이라고 하자. 이제, 만약 F ∈ i R m ( ω ) ⊆ Ω 1 , 1 ( M ; End ⁡ E ) {\displaystyle F\in \mathrm {i} \mathbb {R} m(\omega )\subseteq \Omega ^{1,1}(M;\operatorname {End} E)} 라면, ∇ {\displaystyle \nabla } 를 에르미트-아인슈타인 접속이라고 한다. i λ {\displaystyle \mathrm {i} \lambda } 는 허수이므로, 이 경우 E {\displaystyle E} 위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면, ∇ {\displaystyle \nabla } 는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다). E ≠ 0 {\displaystyle E\neq 0} 일 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 안정 벡터 다발이라고 한다. E {\displaystyle E} 의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 0 ⊊ F ⊊ E {\displaystyle 0\subsetneq F\subsetneq E} 에 대하여, μ ( F ) < μ ( E ) {\displaystyle \mu (F)<\mu (E)} 이다. E {\displaystyle E} 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ( G = GL ⁡ ( C rk ⁡ E ) {\displaystyle G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})} 에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다. E {\displaystyle E} 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ( G = GL ⁡ ( C rk ⁡ E ) {\displaystyle G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})} 에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다. 안정 벡터 다발의 첫 정의에서, μ ( F ) < μ ( E ) {\displaystyle \mu (F)<\mu (E)} 를 μ ( F ) ≤ μ ( E ) {\displaystyle \mu (F)\leq \mu (E)} 로 약화시키면, 준안정 벡터 다발(영어: semistable vector bundle)의 개념을 얻는다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 정칙 벡터 다발 E ↠ Σ {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma } 이 경우, H 2 ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\Sigma )} 가 1차원이므로, Σ {\displaystyle \Sigma } 위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다. 이 경우, E {\displaystyle E} 의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다. 다음이 주어졌다고 하자. 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 Σ {\displaystyle \Sigma } 정칙 벡터 다발 E ↠ Σ {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma } E {\displaystyle E} 위의 에르미트 구조 η ∈ Γ Σ ( E ∗ ⊗ E ¯ ∗ ) {\displaystyle \eta \in \Gamma _{\Sigma }(E^{*}\otimes {\bar {E}}^{*})} 만약 E {\displaystyle E} 위에 벡터 다발 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선 γ : [ 0 , 1 ] → Σ {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \Sigma } γ ( 0 ) = γ ( 1 ) ∈ Σ {\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)\in \Sigma } 에 대하여, 모노드로미 T γ ∈ GL ⁡ ( E γ ( 0 ) ; C ) {\displaystyle T_{\gamma }\in \operatorname {GL} (E_{\gamma (0)};\mathbb {C} )} 를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군 U ⁡ ( E γ ( 0 ) ) ≤ GL ⁡ ( E γ ( 0 ) ; C ) {\displaystyle \operatorname {U} (E_{\gamma (0)})\leq \operatorname {GL} (E_{\gamma (0)};\mathbb {C} )} 에 속한다면, 이러한 접속을 유니터리 접속(영어: unitary connection)이라고 하자. 유니터리 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 이 주어졌을 때, 그 곡률 F ∇ ∈ Ω 2 ( Σ ; u ⁡ ( E ) ) {\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\Sigma ;\operatorname {u} (E))} 를 생각하자. ( u ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {u} (E)} 는 E {\displaystyle E} 위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다.) 이제, 부피 형식을 통한 호지 쌍대 ∗ F ∇ ∈ Γ ( u ⁡ ( E ) ) {\displaystyle *F_{\nabla }\in \Gamma (\operatorname {u} (E))} 를 생각하자. 나라심한-세샤드리 정리(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, 영어: Narasimhan–Seshadri theorem)에 따르면, E {\displaystyle E} 가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, ( E , η ) {\displaystyle (E,\eta )} 가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 ∗ F ∇ = − 2 π i μ ( E ) {\displaystyle *F_{\nabla }=-2\pi \mathrm {i} \mu (E)} 인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 z ∈ Σ {\displaystyle z\in \Sigma } 에 대하여 군 준동형 π 1 ( Σ , z ) → PU ⁡ ( E z ) = U ⁡ ( E z ) C × {\displaystyle \pi _{1}(\Sigma ,z)\to \operatorname {PU} (E_{z})={\frac {\operatorname {U} (E_{z})}{\mathbb {C} ^{\times }}}} 이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자. 종수 g {\displaystyle g} 의 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 자연수 r ∈ N {\displaystyle r\in \mathbb {N} } (정칙 벡터 다발의 차원) 정수 d ∈ Z {\displaystyle d\in \mathbb {Z} } (정칙 벡터 다발의 차수) 그렇다면, Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 r {\displaystyle r} 차원 d {\displaystyle d} 차 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간 M ( Σ , r , d ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)} 을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다. E ↠ Σ {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma } 에서, 그 접공간은 다음과 같다. T E M = H 1 ⁡ ( Σ , End ⁡ ( E ) ) {\displaystyle \mathrm {T} _{E}{\mathcal {M}}=\operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))} 증명 개략: 어떤 매개 변수 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 및 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 에 대하여 전이 함수가 ϕ i j ( t ) : U i ∩ U j → Aut ⁡ ( E ↾ U i ∩ U j ) {\displaystyle \phi _{ij}(t)\colon U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Aut} (E\upharpoonright U_{i}\cap U_{j})} 라면, ∂ t ln ⁡ ϕ i j : U i ∩ U j → End ⁡ ( E ) {\displaystyle \partial _{t}\ln \phi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {End} (E)} 이며, 이러한 함수들의 족은 ( t = 0 {\displaystyle t=0} 에서) 층 코호몰로지 H 1 ⁡ ( Σ , End ⁡ ( E ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))} 의 원소를 정의한다. 여기서 End ⁡ E = E ∗ ⊗ C E {\displaystyle \operatorname {End} E=E^{*}\otimes _{\mathbb {C} }E} 이다. 그 복소수 차원은 다음과 같다. M ( Σ , r , d ) ≠ ∅ ⟹ dim C ⁡ M ( Σ , r , d ) = r 2 ( g − 1 ) + 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing \implies \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)=r^{2}(g-1)+1} 여기서 M ( Σ , r , d ) ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing } 일 필요 충분 조건은 g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2} 이거나, g = 1 {\displaystyle g=1} 이며 gcd { r , d } = 1 {\displaystyle \gcd\{r,d\}=1} 이거나, g = 0 {\displaystyle g=0} 이며 r = 1 {\displaystyle r=1} 인 것이다. 여기서 정칙 벡터 다발 E ↠ Σ {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma } 의 차수는 deg ⁡ E = ∫ Σ c 1 ⁡ ( E ) ∈ Z {\displaystyle \deg E=\textstyle \int _{\Sigma }\operatorname {c} _{1}(E)\in \mathbb {Z} } 이며, c 1 {\displaystyle \operatorname {c} _{1}} 은 1차 천 특성류이다. 증명: M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 차원은 물론 어떤 임의의 E ∈ M {\displaystyle E\in {\mathcal {M}}} 에서의 접공간의 차원과 같다. 리만-로흐 정리에 따라서, dim ⁡ H 0 ⁡ ( Σ , End ⁡ E ) − dim ⁡ H 1 ⁡ ( Σ , End ⁡ E ) = deg ⁡ ( End ⁡ E ) + ( 1 − g ) dim ⁡ ( End ⁡ E ) {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=\deg(\operatorname {End} E)+(1-g)\dim(\operatorname {End} E)} 이다. 그런데 det ( E ∗ ⊗ E ) {\displaystyle \det(E^{*}\otimes E)} 는 대역적 단면을 가지므로 deg ⁡ ( End ⁡ E ) = 0 {\displaystyle \deg(\operatorname {End} E)=0} 이며, E {\displaystyle E} 가 안정 벡터 다발이므로 dim ⁡ H 0 ⁡ ( Σ , End ⁡ E ) = 1 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=1} 이다. (이는 올별 항등 함수의 스칼라배로 구성된다.) 물론 dim ⁡ ( End ⁡ E ) = r 2 {\displaystyle \dim(\operatorname {End} E)=r^{2}} 이다. 따라서 dim ⁡ H 1 ⁡ ( Σ , End ⁡ E ) = r 2 ( g − 1 ) + 1 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=r^{2}(g-1)+1} 이다. 만약 g = 0 {\displaystyle g=0} 일 경우 ( Σ ≅ C P 1 {\displaystyle \Sigma \cong \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} ), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다. ⨁ i O ( d i ) {\displaystyle \bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(d_{i})} 여기서 O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} 는 보편 선다발의 − d {\displaystyle -d} 차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발 O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} 밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 i {\displaystyle i} 에 대하여 d 1 = d 2 = ⋯ {\displaystyle d_{1}=d_{2}=\dotsb } 인 것이다 (즉, dim ⁡ E ∣ deg ⁡ E {\displaystyle \dim E\mid \deg E} ). 즉, M ( C P 1 , r , d ) = { { ∙ } r ∣ d ∅ r ∤ d {\displaystyle {\mathcal {M}}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},r,d)={\begin{cases}\{\bullet \}&r\mid d\\\varnothing &r\nmid d\end{cases}}} 이다. 만약 g = 1 {\displaystyle g=1} 일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 그 차수와 그 차원이 서로소인 것이다. gcd { deg ⁡ E , dim ⁡ E } = 1 {\displaystyle \gcd\{\deg E,\dim E\}=1} 이 경우, M ( Σ , r , d ) ≅ Σ ( gcd { r , d } = 1 ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\cong \Sigma \qquad (\gcd\{r,d\}=1)} 이다. 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 임의의 정칙 벡터 다발 E {\displaystyle E} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과 0 = E 0 ⊆ E 1 ⊆ ⋯ ⊆ E k = E {\displaystyle 0=E_{0}\subseteq E_{1}\subseteq \dotsb \subseteq E_{k}=E} 가 존재한다. 임의의 i ∈ { 0 , 1 , … , k − 1 } {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,k-1\}} 에 대하여, E i + 1 / E i {\displaystyle E_{i+1}/E_{i}} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 준안정 벡터 다발이다. 이를 하더-나라심한 여과(영어: Harder–Narasimhan filtration)라고 한다. 데이비드 멈퍼드가 1963년에 도입하였다. 나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(타밀어: முடும்பை சேஷ சாரலு நரசிம்மன், 영어: Mudumbai Seshacharlu Narasimhan)과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(타밀어: காஞ்சீவரம் ஶ்ரீ ரங்காசாரி சேஷாத்ரி, 영어: Conjeevaram Srirangachari Seshadri)가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며, 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며, 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체에 대하여 일반화하였다. 모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다. 양의 차원의 두 정칙 선다발 E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 의 직합 E ⊕ F {\displaystyle E\oplus F} 은 안정 벡터 다발이 될 수 없다.:269 이 경우, c 1 ⁡ ( E ⊕ F ) = c 1 ⁡ ( E ) + c 1 ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {c} _{1}(E\oplus F)=\operatorname {c} _{1}(E)+\operatorname {c} _{1}(F)} dim ⁡ ( E ⊕ F ) = dim ⁡ E + dim ⁡ F {\displaystyle \dim(E\oplus F)=\dim E+\dim F} 이므로, min { μ ( E ) , μ ( F ) } ≤ μ ( E ⊕ F ) ≤ max { μ ( E ) , μ ( F ) } {\displaystyle \min\{\mu (E),\mu (F)\}\leq \mu (E\oplus F)\leq \max\{\mu (E),\mu (F)\}} 이기 때문이다. Donaldson, Simon K. (1985). “Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》. Third Series (영어) 50 (1): 1–26. doi:10.1112/plms/s3-50.1.1. ISSN 0024-6115. MR 765366.  Donaldson, S. K. (1983). “A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri”. 《Journal of Differential Geometry》 18 (2): 269–277. doi:10.4310/jdg/1214437664. ISSN 0022-040X. MR 710055.  Atiyah, Michael (1957). “Vector bundles over an elliptic curve”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 7: 414–452. doi:10.1112/plms/s3-7.1.414.  Harder, G.; Narasimhan, M. S. (1975). “On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves”. 《Mathematische Annalen》 (영어) 212 (3): 215–248. doi:10.1007/BF01357141. ISSN 0025-5831. MR 0364254.  Narasimhan, Mudumbai Seshacharlu; Seshadri, Conjeevaram Srirangachari (1965). “Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface”. 《Annals of Mathematics》. Second Series (영어) 82: 540–567. doi:10.2307/1970710. ISSN 0003-486X. MR 0184252.  “Stable vector bundle”. 《nLab》 (영어).  “Stable bundle”. 《nLab》 (영어).  “Narasimhan–Seshadri theorem”. 《nLab》 (영어).  Li, Chao. “Stable vector bundles on curves” (영어).  Ward, Matt (2012년 9월 16일). “Moduli of vector bundles on elliptic curves”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2018년 12월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 12월 1일에 확인함.  Kermani, Ehsan M. (2012년 11월 30일). “Classification of vector bundles on elliptic curves” (영어).  Pingali, Vamsi Pritham (2018년 7월 18일). “Donaldson’s proof of the Narasimhan–Seshadri theorem” (PDF) (영어). 2018년 10월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 10월 9일에 확인함.  Evans, Jonathan (2011년 11월 1일). “Lecture 11: Holomorphic vector bundles Ⅱ (stability)” (PDF) (영어).  Evans, Jonathan (2011년 11월 3일). “Lecture 12: Holomorphic vector bundles Ⅲ (Harder–Narasimhan)” (PDF) (영어).  Evans, Jonathan (2011년 11월 8일). “Lecture 13: Narasimhan-Seshadri theorem Ⅰ” (PDF) (영어).  Evans, Jonathan (2011년 11월 10일). “Lecture 14: Narasimhan-Seshadri theorem Ⅱ” (PDF) (영어).