피카르-렙셰츠 이론

미분위상수학과 대수기하학에서 피카르-렙셰츠 이론(영어: Picard–Lefshetz theory)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다. 복소 k {\displaystyle k} 차원 연결 복소다양체 M {\displaystyle M} 위에 정칙함수 f : M → C ^ {\displaystyle f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}} 가 있다고 하자. 이러한 함수의 특이점은 ∂ f ( p i ) = 0 {\displaystyle \partial f(p_{i})=0} 인 점 p i ∈ M {\displaystyle p_{i}\in M} 들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 또한 그 상 z i = f ( p i ) {\displaystyle z_{i}=f(p_{i})} 들이 서로 다르다고 하자. 일반적으로, 모든 z ∈ C ^ ∖ { z i } {\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\}} 에 대하여 M z = f − 1 ( z ) {\displaystyle M_{z}=f^{-1}(z)} 는 위상동형이다. z → z i {\displaystyle z\to z_{i}} 인 극한을 취하면, M z {\displaystyle M_{z}} 의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} 차 호몰로지류 δ i ∈ H k − 1 ( M z ) {\displaystyle \delta _{i}\in H_{k-1}(M_{z})} 임을 보일 수 있다. ( M z {\displaystyle M_{z}} 는 실수 2 ( k − 1 ) {\displaystyle 2(k-1)} 차원이다.) z {\displaystyle z} 를 z i {\displaystyle z_{i}} 주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는 H k − 1 ( M z ) {\displaystyle H_{k-1}(M_{z})} 에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군 π 1 ( C ^ ∖ { z i } ; z ) {\displaystyle \pi _{1}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\};z)} 의 H k − 1 ( M z ) {\displaystyle H_{k-1}(M_{z})} 에 대한 작용으로 나타내어진다. 피카르-렙셰츠 공식에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. w i ∈ π 1 ( C ^ ∖ { z i } ; z ) {\displaystyle w_{i}\in \pi _{1}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\};z)} 가 z i {\displaystyle z_{i}} 를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면, w i : γ ↦ γ + ( − 1 ) k ( k + 1 ) / 2 ( ⟨ γ , δ i ⟩ ) δ i {\displaystyle w_{i}\colon \gamma \mapsto \gamma +(-1)^{k(k+1)/2}(\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle )\delta _{i}} 이다. 여기서 ⟨ γ , δ i ⟩ = [ M z ] ⌣ ( γ ⌢ δ i ) {\displaystyle \langle \gamma ,\delta _{i}\rangle =[M_{z}]\smile (\gamma \frown \delta _{i})} 이다. 에밀 피카르와 솔로몬 렙셰츠의 이름을 땄다. 에밀 피카르와 조르주 시마르(프랑스어: Georges Simart)는 특이점이 2개인 경우를 1897년 다뤘고, 솔로몬 렙셰츠가 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 1924년 다뤘다. Picard, Émile; Georges Simart (1897). 《Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I》 (프랑스어). Gauthier-Villars et Fils. JFM 28.0327.01.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Lefschetz, S. (1924). 《L’analysis situs et la géométrie algébrique》. Gauthier-Villars. JFM 50.0663.01. MR 0033557.  Vassiliev, V. A. (2002). 《Applied Picard-Lefschetz Theory》. AMS Mathematical Surveys and Monographs (영어) 97. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2948-6. Zbl 1039.32039.  Nicolaescu, Liviu (2011). 《An Invitation to Morse Theory》. Universitext (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-1105-5. ISBN 978-1-4614-1104-8. ISSN 0172-5939. MR 2883440. Zbl 1238.57001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Deligne, P.; N. M. Katz (1973). 《Groupes de monodromie en géométrie algébrique》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 340. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 7 II. Springer. doi:10.1007/BFb0060505. ISBN 978-3-540-06433-6. Zbl 0258.00005.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Lamotke, Klaus (1981). “The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz”. 《Topology》 (영어) 20 (1): 15–51. doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6. ISSN 0040-9383. MR 592569. Zbl 0445.14010.  Fisher, Jonathan (2010년 4월 22일). “Complex Morse theory” (PDF) (영어). 2013년 10월 29일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 26일에 확인함.  Evans, Jonny (2012년 4월 17일). “Symplectic Picard–Lefshetz theory” (PDF) (영어).  Berczi, Gergely (2010). “Lectures on singularities of maps” (PDF) (영어). 2013년 10월 29일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 26일에 확인함.