교대급수

미적분학에서 교대급수(交代級數, 영어: alternating series)는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 실수 항 급수다. 교대급수 판정법(交代級數判定法, 영어: alternating series test)에 따르면, 만약 교대급수의 항의 절댓값이 0으로 수렴하는 단조수열이라면, 이 급수는 수렴한다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다. 음이 아닌 실수의 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} ( a n ≥ 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}\geq 0\forall n\geq 0} )에 대한 교대급수는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다. ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n = a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots } ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 a n = − a 0 + a 1 − a 2 + a 3 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}=-a_{0}+a_{1}-a_{2}+a_{3}-\cdots } 음이 아닌 실수의 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} ( a n ≥ 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}\geq 0\forall n\geq 0} )에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다고 하자. 감소수열이다. 즉, a 0 ≥ a 1 ≥ a 2 ≥ ⋯ {\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots } lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} 그렇다면, 교대급수 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n = a 0 − a 1 + a 2 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots } 는 수렴한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.:183 | ∑ i = n ∞ ( − 1 ) i a i | ≤ a n {\displaystyle \left|\sum _{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{n}} 이를 교대급수 판정법이라고 한다. 디리클레 판정법을 통한 증명: 교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다. 디리클레 판정법에 따르면, 유계 부분합을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 단조수열을 곱한 급수는 수렴한다. 급수 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n = 1 − 1 + 1 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-\cdots } 는 발산하지만, 이 급수의 부분합은 유계 수열이다. 따라서 디리클레 판정법을 적용할 수 있다. 직접적인 증명: 교대급수의 부분합 S n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i a i {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}} 을 생각하자. S n + 2 = S n + ( − 1 ) n + 1 a n + 1 + ( − 1 ) n + 2 a n + 2 = S n + ( − 1 ) n + 1 ( a n + 1 − a n + 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=S_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}\\&=S_{n}+(-1)^{n+1}(a_{n+1}-a_{n+2})\end{aligned}}} 이므로, n {\displaystyle n} 이 홀수일 때 S n + 2 ≥ S n {\displaystyle S_{n+2}\geq S_{n}} 이며, n {\displaystyle n} 이 짝수일 때 S n + 2 ≤ S n {\displaystyle S_{n+2}\leq S_{n}} 이다. 즉, ( S 2 k + 1 ) k = 0 ∞ {\displaystyle (S_{2k+1})_{k=0}^{\infty }} 는 증가수열이며, ( S 2 k ) k = 0 ∞ {\displaystyle (S_{2k})_{k=0}^{\infty }} 은 감소수열이다. 또한, S 2 k + 1 = S 2 k + ( − 1 ) 2 k + 1 a 2 k + 1 = S 2 k − a 2 k + 1 ≤ S 2 k {\displaystyle S_{2k+1}=S_{2k}+(-1)^{2k+1}a_{2k+1}=S_{2k}-a_{2k+1}\leq S_{2k}} 이므로, S 1 ≤ S 3 ≤ S 5 ≤ ⋯ ≤ S 4 ≤ S 2 ≤ S 0 {\displaystyle S_{1}\leq S_{3}\leq S_{5}\leq \cdots \leq S_{4}\leq S_{2}\leq S_{0}} 이다. 특히, S 1 {\displaystyle S_{1}} 과 S 0 {\displaystyle S_{0}} 은 수열 ( S n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }} 의 하계와 상계이다. 따라서 ( S 2 k + 1 ) k = 0 ∞ {\displaystyle (S_{2k+1})_{k=0}^{\infty }} 과 ( S 2 k ) k = 0 ∞ {\displaystyle (S_{2k})_{k=0}^{\infty }} 은 모두 유계 수열이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다. S = lim k → ∞ S 2 k + 1 ∈ R {\displaystyle S=\lim _{k\to \infty }S_{2k+1}\in \mathbb {R} } S ′ = lim k → ∞ S 2 k ∈ R {\displaystyle S'=\lim _{k\to \infty }S_{2k}\in \mathbb {R} } 라고 하자. 그렇다면, 0 = lim k → ∞ a 2 k + 1 = lim k → ∞ ( S 2 k − S 2 k + 1 ) = S − S ′ {\displaystyle 0=\lim _{k\to \infty }a_{2k+1}=\lim _{k\to \infty }(S_{2k}-S_{2k+1})=S-S'} 이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합 ( S n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 ( S = S ′ {\displaystyle S=S'} 으로) 수렴한다. 항상 0 ≤ a 0 − a 1 = S 1 ≤ S n ≤ S 0 = a 0 {\displaystyle 0\leq a_{0}-a_{1}=S_{1}\leq S_{n}\leq S_{0}=a_{0}} 이므로, | ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i a i | ≤ a 0 {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{0}} 이다. 수열 ( a 0 , a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )} 을 수열 ( a n , a n + 1 , a n + 2 , … ) {\displaystyle (a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\dots )} 로 대체하면 부등식 | ∑ i = n ∞ ( − 1 ) i a i | ≤ a n {\displaystyle \left|\sum _{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{n}} 을 얻는다. 모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다. 교대급수 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots } 를 생각하자. 수열 ( 1 / n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (1/n)_{n=0}^{\infty }} 은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 조건 수렴한다. 사실, 이 급수의 합은 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n = ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=\ln 2} 이다. 이는 아벨 극한 정리를 통하여 보일 수 있다. 보다 일반적으로, 교대급수 ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n n p ln q ⁡ n ( p , q ∈ R ) {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )} 를 생각하자. 만약 p > 1 {\displaystyle p>1} 이거나 p = 1 {\displaystyle p=1} , q > 1 {\displaystyle q>1} 이라면, 이 급수는 절대 수렴한다. 이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다. 만약 p = 1 {\displaystyle p=1} , q ≤ 1 {\displaystyle q\leq 1} 이거나 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 이거나 p = 0 {\displaystyle p=0} , q > 0 {\displaystyle q>0} 이라면, 적분 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. 그러나, 충분히 큰 x ≫ 1 {\displaystyle x\gg 1} 에 대하여 ( x − p ln − q ⁡ x ) ′ = x − p − 1 ln − q − 1 ⁡ x ( − p ln ⁡ x − q ) < 0 {\displaystyle (x^{-p}\ln ^{-q}x)'=x^{-p-1}\ln ^{-q-1}x(-p\ln x-q)<0} 이므로, 1 / ( n p ln q ⁡ n ) {\displaystyle 1/(n^{p}\ln ^{q}n)} 은 최종적으로 감소 수열이다. 또한 1 / ( n p ln q ⁡ n ) {\displaystyle 1/(n^{p}\ln ^{q}n)} 은 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 조건 수렴한다. 만약 p = 0 {\displaystyle p=0} , q ≤ 0 {\displaystyle q\leq 0} 이거나 p < 0 {\displaystyle p<0} 이라면, ( − 1 ) n / ( n p ln q ⁡ n ) {\displaystyle (-1)^{n}/(n^{p}\ln ^{q}n)} 은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  “Alternating series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Alternating series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Alternating series test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Alternating series”. 《PlanetMath》 (영어).  “Alternating series test”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of alternating series test”. 《PlanetMath》 (영어).