프로이덴탈 마방진

추상대수학에서 프로이덴탈 마방진(Freudenthal魔方陣, 영어: Freudenthal magic square)은 요르단 대수로부터 단순 리 대수를 구성하는 방법이다. 특히, 만약 요르단 대수를 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수의 3×3 에르미트 행렬의 요르단 대수로 잡을 경우, 예외적 단순 리 대수 F₄ · G₂ · E₆ · E₇ · E₈을 대수적으로 구성할 수 있다. 다음 두 데이터가 주어졌다고 하자. (항등원 1 J ∈ J {\displaystyle 1_{J}\in J} 을 갖는) 유한 차원 실수 요르단 대수 ( J , ∙ , 1 J ) {\displaystyle (J,\bullet ,1_{J})} J {\displaystyle J} 위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 ⟨ − , − ⟩ : J ⊗ R J → R {\displaystyle \langle -,-\rangle \colon J\otimes _{\mathbb {R} }J\to \mathbb {R} } . 즉, 다음이 성립해야 한다. ⟨ A , B ∙ C ⟩ = ⟨ A ∙ B , C ⟩ ∀ A , B , C ∈ J {\displaystyle \langle A,B\bullet C\rangle =\langle A\bullet B,C\rangle \qquad \forall A,B,C\in J} (항등원 1 K ∈ K {\displaystyle 1_{K}\in K} 를 갖는) 실수 합성 대수 ( K , ⋅ , 1 K ) {\displaystyle (K,\cdot ,1_{K})} . 여기서 내적을 ⟨ 1 K , 1 K ⟩ = 1 {\displaystyle \langle 1_{K},1_{K}\rangle =1} 이 되게 규격화한다. 이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자. g ( K , J ) = d e r ( K ; R ) ⊕ d e r ( J ; R ) ⊕ ( Span R ⁡ { 1 K } ) ⊥ ⊗ R ( Span R ⁡ { 1 J } ) ⊥ {\displaystyle {\mathfrak {g}}(K,J)={\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )\oplus (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }} 여기서 d e r ( − ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(-;\mathbb {R} )} 는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다. ( − ) ⊥ {\displaystyle (-)^{\perp }} 은 내적에 대한 직교 여공간이다. 이 가운데, d e r ( K ; R ) ⊕ d e r ( J ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )} 는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는 ( Span R ⁡ { 1 K } ) ⊥ ⊗ R ( Span R ⁡ { 1 J } ) ⊥ {\displaystyle (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }} 위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약 g ( K , J ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}(K,J)} 전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는, ( Span R ⁡ { 1 K } ) ⊥ ⊗ R ( Span R ⁡ { 1 J } ) ⊥ {\displaystyle (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }} 위의 리 괄호가 존재하면 족하다. 이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자. [ a ⊗ A , b ⊗ B ] = ⟨ A , B ⟩ J 4 ⟨ 1 J , 1 J ⟩ J D a , b − ⟨ a , b ⟩ K [ A ∙ , B ∙ ] + 1 2 ( a ⋅ b − b ⋅ a ) ⊗ proj ( Span R ⁡ { 1 J } ) ⊥ ⁡ ( A ∙ B ) ( a , b ∈ ( Span ⁡ { 1 K } ) ⊥ , A , B ∈ ( Span ⁡ { 1 J } ) ⊥ ) {\displaystyle [a\otimes A,b\otimes B]={\frac {\langle A,B\rangle _{J}}{4\langle 1_{J},1_{J}\rangle _{J}}}{\mathsf {D}}_{a,b}-\langle a,b\rangle _{K}[A\bullet ,B\bullet ]+{\frac {1}{2}}(a\cdot b-b\cdot a)\otimes \operatorname {proj} _{(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}(A\bullet B)\qquad (a,b\in (\operatorname {Span} \{1_{K}\})^{\perp },\;A,B\in (\operatorname {Span} \{1_{J}\})^{\perp })} 여기서 ( A ∙ ) : J → J {\displaystyle (A\bullet )\colon J\to J} 는 A {\displaystyle A} 에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 ( [ A ∙ , B ∙ ] ∈ d e r ( J ; R ) {\displaystyle [A\bullet ,B\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )} ). D a , b = [ a ⋅ , b ⋅ ] + [ a ⋅ , ⋅ b ] + [ ⋅ a , ⋅ b ] ∈ d e r ( K ; R ) {\displaystyle {\mathsf {D}}_{a,b}=[a\cdot ,b\cdot ]+[a\cdot ,\cdot b]+[\cdot a,\cdot b]\in {\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )} 는 K {\displaystyle K} 위의 미분이다. 이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, g ( K , J ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}(K,J)} 는 실수 리 대수를 이룬다.:Theorem 3.1 ( K , ⋅ ) {\displaystyle (K,\cdot )} 가 실수 결합 대수이다. J {\displaystyle J} 에서 다음 항등식이 성립한다. 2 ⟨ 1 J , 1 J ⟩ proj ( Span R ⁡ { 1 J } ) ⊥ ⁡ ( A ∙ ( A ∙ A ) ) = 3 ⟨ A , A ⟩ A ∀ A ∈ ( Span R ⁡ { 1 J } ) ⊥ {\displaystyle 2\langle 1_{J},1_{J}\rangle \operatorname {proj} _{(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}\left(A\bullet (A\bullet A)\right)=3\langle A,A\rangle A\qquad \forall A\in (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }} 특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다. g ( R , J ) = d e r ( J ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {R} ,J)={\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )} :(3.5), Theorem 3.2 (미분 리 대수) g ( C ~ , J ) = c o n 0 ′ ( J ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}({\tilde {\mathbb {C} }},J)={\mathfrak {con}}_{0}'(J)} :(3.6), Theorem 3.2 g ( H ~ , J ) = c o n ( J ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}({\tilde {\mathbb {H} }},J)={\mathfrak {con}}(J)} :(3.7), Theorem 3.2 g ( K , H ⁡ ( n ; K ′ ) ) ≅ g ( K ′ , H ⁡ ( n ; K ) ) ∀ n ≥ 2 , K , K ′ {\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\operatorname {H} (n;\mathbb {K} '))\cong {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ',\operatorname {H} (n;\mathbb {K} ))\qquad \forall n\geq 2,\;\mathbb {K} ,\mathbb {K} '} :Theorem 6.1 여기서 c o n 0 ′ ( − ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'(-)} 및 c o n ( − ) {\displaystyle {\mathfrak {con}}(-)} 은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해 J {\displaystyle J} 에 대응되는 리 대수들이다. 프로이덴탈 마방진을 구성하는 실수 리 대수들은 다음과 같다. 여기서 C ~ = R [ i ] / ( i 2 − 1 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [\mathrm {i} ]/(\mathrm {i} ^{2}-1)} 은 분할 복소수(영어: split-complex number)의 실수 가환 결합 대수이다. H ~ = R ⟨ i , j ⟩ / ( i 2 + 1 , j 2 − 1 , i j + j i ) {\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}=\mathbb {R} \langle \mathrm {i} ,\mathrm {j} \rangle /(\mathrm {i} ^{2}+1,\mathrm {j} ^{2}-1,\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i} )} 는 분할 사원수의 실수 결합 대수이다. 이는 사실 Mat ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )} (2×2 실수 정사각 행렬의 대수)와 실수 결합 대수로서 동형이다. H ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {H} (n;K)} 는 K {\displaystyle K} 계수 n × n {\displaystyle n\times n} 에르미트 행렬들의 요르단 대수이다. 3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간 H ⁡ ( 3 ; O ) {\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )} 및 H ⁡ ( 3 ; O ~ ) {\displaystyle \operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {O} }})} 가 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다. 2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우, g ( K , H ⁡ ( 2 ; O ) ) ( K ∈ { R , C , H } ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\operatorname {H} (2;\mathbb {O} ))\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \})} 는 잘 정의되지만, 반대로 g ( O , H ⁡ ( 2 ; K ) ) ( K ∈ { R , C , H } ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {O} ,\operatorname {H} (2;\mathbb {K} ))\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \})} 는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상 g ( K , H ( 2 ; K ′ ) ) ≅ o ( K ⊕ K ′ ) ( K ∈ { R , C , H } , K ′ ∈ { R , C , H , O } ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\mathbb {H} (2;\mathbb {K} '))\cong {\mathfrak {o}}(\mathbb {K} \oplus \mathbb {K} ')\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \},\;\mathbb {K} '\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})} :Theorem 8.3 임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 와 K ′ {\displaystyle \mathbb {K} '} 의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, K = K ′ = O {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {K} '=\mathbb {O} } 인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다. 1×1 행렬의 경우, R = H ⁡ ( 1 ; R ) = H ⁡ ( 1 ; C ) = H ⁡ ( 1 ; H ) {\displaystyle \mathbb {R} =\operatorname {H} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {H} (1;\mathbb {C} )=\operatorname {H} (1;\mathbb {H} )} 이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.:Theorem 4.2 자크 티츠와 한스 프로이덴탈이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다. E₆ E₇ E₈ F₄ G₂ Barton, C. H.; Sudbery, A. (2003). “Magic squares and matrix models of Lie algebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 180 (2): 596–647. arXiv:math/0203010. doi:10.1016/S0001-8708(03)00015-X.  Baez, John Carlos (2002). “The octonions”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 39 (2): 145–205. arXiv:math/0105155v4. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. ISSN 0273-0979. 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