정칙 범주

범주론에서 정칙 범주(正則範疇, 영어: regular category)는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 어떤 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 의 쌍대 동등자 coeq ⁡ { f , g } : Y → Q {\displaystyle \operatorname {coeq} \{f,g\}\colon Y\to Q} 로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 전사 사상(영어: regular epimorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다. 마찬가지로, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 어떤 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 의 동등자 eq ⁡ { f , g } : K → X {\displaystyle \operatorname {eq} \{f,g\}\colon K\to X} 로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 단사 사상(영어: regular monomorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다. 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 스스로와의 당김 π 1 , π 2 : X × Y X → X {\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}\colon X\times _{Y}X\to X} 을 가지며, π 1 , π 2 {\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}} 의 쌍대 동등자가 f {\displaystyle f} 와 같다면, f {\displaystyle f} 를 유효 전사 사상(영어: effective epimorphism)이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 핵쌍(영어: kernel pair)이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다. 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 스스로와의 밂 ι 1 , ι 2 : Y → Y ⊔ X Y {\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}\colon Y\to Y\sqcup _{X}Y} 을 가지며, ι 1 , ι 2 {\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}} 의 동등자가 f {\displaystyle f} 와 같다면, f {\displaystyle f} 를 유효 단사 사상(영어: effective monomorphism)이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, ι 1 , ι 2 {\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}} 의 동등자는 f {\displaystyle f} 의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 다음 조건들을 만족시킨다면 정칙 범주라고 한다. 유한 완비 범주이다. 임의의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 의 스스로에 대한 당김 ← π 1 X X × Y X → π 2 X {\displaystyle {\xleftarrow {\pi _{1}}}XX\times _{Y}X{\xrightarrow {\pi _{2}}}X} 에 대하여, π 0 , π 1 : X × Y X → X {\displaystyle \pi _{0},\pi _{1}\colon X\times _{Y}X\to X} 의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 f {\displaystyle f} 의 핵쌍이라고 한다. 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다. 두 정칙 범주 사이의 정칙 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 는 다음 조건을 만족시키는 함자이다. 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다. 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다. 작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 RegCat {\displaystyle \operatorname {RegCat} } 라고 하자. 정칙 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유효 정칙 범주(영어: effective regular category) 또는 바 완전 범주(영어: Barr-exact category)라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.) 임의의 대상 X {\displaystyle X} 가 주어졌으며, X × X {\displaystyle X\times X} 의 부분 대상 r : Y ↪ X × X {\displaystyle r\colon Y\hookrightarrow X\times X} 가 동치 관계를 이룰 때, r {\displaystyle r} 는 핵쌍으로부터 유도된다. 정칙 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 RegEpi ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {RegEpi} ({\mathcal {C}})} 과 단사 사상들의 모임 Mono ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})} 은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, f = m ∘ e {\displaystyle f=m\circ e} 인 정칙 전사 사상 e : X → Y ′ {\displaystyle e\colon X\to Y'} 과 단사 사상 m : Y ′ → Y {\displaystyle m\colon Y'\to Y} 이 존재한다. Y {\displaystyle Y} 의 부분 대상 m {\displaystyle m} 을 f {\displaystyle f} 의 치역이라고 한다. 임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다. 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다. 동형 사상이다. (반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.) 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상 동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상 동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 그 왼쪽 역사상 r : Y → X {\displaystyle r\colon Y\to X} 이 주어졌을 때 f = eq ⁡ { f ∘ r , id Y } {\displaystyle f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} _{Y}\}} 이기 때문이다. 마찬가지로, 분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 그 오른쪽 역사상 s : Y → X {\displaystyle s\colon Y\to X} 이 주어졌을 때 f = eq ⁡ { s ∘ f , id X } {\displaystyle f=\operatorname {eq} \{s\circ f,\operatorname {id} _{X}\}} 이기 때문이다. 어떤 범주에서 모든 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 의 스스로와의 당김 X × Y X {\displaystyle X\times _{Y}X} 이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다. 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다. 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다. 아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다. 정칙 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속에서, 짧은 완전열은 다음과 같은 꼴의 그림이다. N ⇉ ι ′ ι X → q Q {\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q} 여기서 { ι , ι ′ } {\displaystyle \{\iota ,\iota '\}} 는 q {\displaystyle q} 의 핵쌍이다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 추가로 아벨 범주라면, N ⇉ ι ′ ι X → q Q {\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q} 가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은 0 → N → ι − ι ′ X → q Q → 0 {\displaystyle 0\to N{\overset {\iota -\iota '}{\to }}X{\overset {q}{\to }}Q\to 0} 가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다. 1차 논리에서 정칙 공식(영어: regular formula)은 명제 변수 P 1 , P 2 , … {\displaystyle P_{1},P_{2},\dots } 논리곱 ∧ {\displaystyle \land } 존재 기호 ∃ {\displaystyle \exists } 만으로 나타낼 수 있는 공식이다. 정칙 논리는 ∀ x : ( ϕ ( x ) → ϕ ′ ( x ) ) {\displaystyle \forall x\colon (\phi (x)\to \phi '(x))} 꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다. 정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 끝 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다. 토포스 Barr, Michael; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (1971). 《Exact categories and categories of sheaves》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 236. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0058579. ISSN 0075-8434.  Butz, Carsten (1998년 10월). 《Regular categories and regular logic》. Centre for Basic Research in Computer Science Lecture Series (영어) 98–2. ISSN 1395-2048.  Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, 편집. (2004). 《Categorical foundations: special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 97. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107340985. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.  “Regular category”. 《nLab》 (영어).  “Regular 2-category”. 《nLab》 (영어).  “Regular functor”. 《nLab》 (영어).  “Regular logic”. 《nLab》 (영어).  “Exact category”. 《nLab》 (영어).  “Barr embedding theorem”. 《nLab》 (영어).  “Kernel pair”. 《nLab》 (영어).  “Cokernel pair”. 《nLab》 (영어).  “Regular monomorphism”. 《nLab》 (영어).  “Regular epimorphism”. 《nLab》 (영어).  “Effective monomorphism”. 《nLab》 (영어).  “Effective epimorphism”. 《nLab》 (영어).  “Embedding”. 《nLab》 (영어).  “Covering”. 《nLab》 (영어).