단조함수

수학에서 단조 함수(單調函數, 영어: monotonic function)는 주어진 순서를 보존하는 함수이다. 기하학적으로, 실수 단조 함수의 그래프는 왼쪽에서 오른쪽으로 줄곧 상승하거나 줄곧 하강한다. 대수학적으로, 단조 함수는 두 순서 집합 사이의 준동형이다. 실수 구간 I {\displaystyle I} 를 정의역, 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 을 공역으로 하는 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 단조 함수라고 한다. 임의의 x , y ∈ I {\displaystyle x,y\in I} 에 대하여, x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 이면 f ( x ) ≤ f ( y ) {\displaystyle f(x)\leq f(y)} . 이 경우, f {\displaystyle f} 를 증가 함수(增加函數, 영어: increasing function)라고 하고, f {\displaystyle f} 가 단조 증가(영어: monotonically increasing)한다고 한다. 임의의 x , y ∈ I {\displaystyle x,y\in I} 에 대하여, x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 이면 f ( x ) ≥ f ( y ) {\displaystyle f(x)\geq f(y)} . 이 경우, f {\displaystyle f} 를 감소 함수(減少函數, 영어: decreasing function)라고 하고, f {\displaystyle f} 가 단조 감소(영어: monotonically decreasing)한다고 한다. 만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 강한 단조 함수(영어: strictly monotonic function)라고 한다. 임의의 x , y ∈ I {\displaystyle x,y\in I} 에 대하여, x < y {\displaystyle x<y} 이면 f ( x ) < f ( y ) {\displaystyle f(x)<f(y)} . 이 경우, f {\displaystyle f} 를 강한 증가 함수(영어: strictly increasing function)라고 한다. 임의의 x , y ∈ I {\displaystyle x,y\in I} 에 대하여, x < y {\displaystyle x<y} 이면 f ( x ) > f ( y ) {\displaystyle f(x)>f(y)} . 이 경우, f {\displaystyle f} 를 강한 감소 함수(영어: strictly decreasing function)라고 한다. 즉, 단조 함수는 순서 관계 ≤ {\displaystyle \leq } 를 보존하거나 반전시키는 함수이며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계 < {\displaystyle <} 를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다. 실수 부분 집합 D ⊂ R {\displaystyle D\subset \mathbb {R} } 에서 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 로 가는 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 의, 부분 구간 I ⊂ D {\displaystyle I\subset D} 에서의 단조성은, f {\displaystyle f} 의 I {\displaystyle I} 로의 제한 f | I {\displaystyle f|_{I}} 의 단조성을 뜻한다. 보다 일반적으로, 두 부분 순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} , ( Y , ⪯ ) {\displaystyle (Y,\preceq )} 사이의 순서 보존 사상(順序保存寫像, 영어: order-preserving map)은 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 이면 f ( x ) ⪯ f ( y ) {\displaystyle f(x)\preceq f(y)} 인 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 준동형이다. 두 부분 순서 집합 사이의 순서 반전 사상(영어: order-reversing map)은 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 이면 f ( x ) ⪰ f ( y ) {\displaystyle f(x)\succeq f(y)} 인 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다. 즉, 첫번째 부분 순서 집합과 두번째 부분 순서 집합 사이의 역순서 준동형이다. 미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 미분 가능한 실수 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 와 부분 구간 I ⊂ D {\displaystyle I\subset D} 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. f {\displaystyle f} 가 I {\displaystyle I} 에서 단조 증가할 필요 충분 조건은, 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여, f ′ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f'(x)\geq 0} 인 것이다. f {\displaystyle f} 가 I {\displaystyle I} 에서 단조 감소할 필요 충분 조건은, 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여, f ′ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle f'(x)\leq 0} 인 것이다. 같은 f {\displaystyle f} 및 I {\displaystyle I} 에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다. f {\displaystyle f} 가 I {\displaystyle I} 에서 강한 증가 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여, f ′ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f'(x)\geq 0} 이며, 임의의 x ∈ J {\displaystyle x\in J} 에 대하여 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} 인 부분 구간 J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} 가 존재하지 않는 것이다. f {\displaystyle f} 가 I {\displaystyle I} 에서 강한 감소 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여, f ′ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle f'(x)\leq 0} 이며, 임의의 x ∈ J {\displaystyle x\in J} 에 대하여 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} 인 부분 구간 J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} 가 존재하지 않는 것이다. 특히, 만약 I {\displaystyle I} 에서 항상 f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f'(x)>0} 이거나, 항상 f ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f'(x)<0} 이면, f {\displaystyle f} 는 I {\displaystyle I} 에서 강한 단조 함수이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} 은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, f ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle f'(0)=0} 이다. 구간 I {\displaystyle I} 에 정의된 실수 단조 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. f {\displaystyle f} 의 불연속점은 모두 단순 불연속점이다. f {\displaystyle f} 의 불연속점은 많아야 가산 개이다.:96 (르베그 미분가능성 정리) f {\displaystyle f} 의 미분 불가능점은 많아야 영측도이다. 이에 따라, 연속 함수가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다. 스피어먼 상관 계수 Robert G. Bartle; Donald R. Sherbert (2006). 강수철 역, 편집. 《실해석학개론》. 범한서적. 220~221쪽. ISBN 897129177X.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); |확인날짜=는 |url=을 필요로 함 (도움말) Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)