리 대수 아이디얼

리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, 영어: Lie algebra ideal)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 ( g , [ − , − ] ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[-,-])} 의 부분 리 대수(部分Lie代數, 영어: Lie subalgebra) h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 는 리 괄호에 대하여 닫힌 K {\displaystyle K} -부분 가군이다. 즉, h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} 이며 [ h , h ] ⊂ h {\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 집합 I ⊆ g {\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {g}}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(영어: Lie algebra ideal)이라고 한다. K {\displaystyle K} -부분 가군이며, [ g , I ] ⊆ I {\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I} 이다. ker ⁡ ϕ = I {\displaystyle \ker \phi =I} 인 리 대수 준동형 ϕ : g → h {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} 가 존재한다. 리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) g / I {\displaystyle {\mathfrak {g}}/I} 를 정의할 수 있다. 위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 초대수 ( g , [ − , − } ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[-,-\})} 의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, 영어: Lie sub-superalgebra) h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 리 초괄호에 대하여 닫힌 K {\displaystyle K} -부분 가군이다. 즉, [ h , h } ⊆ h {\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 초대수 ( g , [ − , − } ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[-,-\})} 의 아이디얼(영어: ideal) h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 다음 조건을 만족시키는 K {\displaystyle K} -부분 가군이다. [ g , h } ⊆ h {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}} 즉, g = g 0 ⊕ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}} 이라고 할 때, h 0 ⊆ g 0 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}\subseteq {\mathfrak {g}}_{0}} 는 리 대수 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 의 아이디얼이다. h 1 ⊆ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}\subseteq {\mathfrak {g}}_{1}} 는 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 의 표현을 이루며 ( [ g 0 , h 1 } ∈ h 1 {\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {h}}_{1}\}\in {\mathfrak {h}}_{1}} ), 또한 { g 1 , h 1 } ⊆ h 1 {\displaystyle \{{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {h}}_{1}\}\subseteq {\mathfrak {h}}_{1}} 을 만족시킨다. 위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 영어: L∞-subalgebra) h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 K {\displaystyle K} -부분 가군이다. 즉, [ h , h , … , h ⏞ k ] k ⊆ h ( k ∈ Z + ) {\displaystyle [\overbrace {{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}},\dotsc ,{\mathfrak {h}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})} proj n ⁡ ( h ) ⊆ h ( n ∈ N ) {\displaystyle \operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )} 이다. 여기서 proj n {\displaystyle \operatorname {proj} _{n}} 은 등급 n {\displaystyle n} 의 성분을 취하는 사영 함수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 아이디얼(영어: ideal) h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 다음 조건을 만족시키는 K {\displaystyle K} -부분 가군이다. [ h , g , g , … , g ⏞ k ] k ⊆ h ( k ∈ Z + ) {\displaystyle [{\mathfrak {h}},\overbrace {{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}},\dotsc ,{\mathfrak {g}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})} proj n ⁡ ( h ) ⊆ h ( n ∈ N ) {\displaystyle \operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )} 특히, k = 1 {\displaystyle k=1} 일 때 이 조건은 d h ⊆ h {\displaystyle \mathrm {d} {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {h}}} 이다. 즉, h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 공사슬 복합체를 이룬다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ K {\displaystyle K} -부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다. 모든 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대하여, { 0 } ⊆ g {\displaystyle \{0\}\subseteq {\mathfrak {g}}} 과 g ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 (자명하게) g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다. g / { 0 } ≅ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}/\{0\}\cong {\mathfrak {g}}} g / g ≅ { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}\cong \{0\}} 같은 가환환 위의 두 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 직합 g ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}} 에서, g ⊕ 0 , 0 ⊕ h ⊆ g ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus 0,0\oplus {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}} 는 각각 g ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}} 의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다. g ⊕ h g ≅ h {\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {g}}}\cong {\mathfrak {h}}} g ⊕ h h ≅ g {\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {h}}}\cong {\mathfrak {g}}} 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 중심(中心, 영어: center) Z ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})} 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다. Z ⁡ ( g ) = { x ∈ g : [ x , g ] = 0 } {\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}} 이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌을 때, 부분 공간 [ g , g ] = { [ x 1 , y 1 ] + ⋯ + [ x n , y n ] : n ∈ N , x 1 , x 2 , … , x n , y 1 , y 2 , … , y n ∈ g } ⊆ g {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=\left\{[x_{1},y_{1}]+\dotsb +[x_{n},y_{n}]\colon n\in \mathbb {N} ,\,x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}\in {\mathfrak {g}}\right\}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 유도 리 대수(영어: derived Lie algebra)라고 한다. 리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다. Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie subalgebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Ideal of a Lie algebra”. 《Groupprops》 (영어).  “Ideal of a Lie ring”. 《Groupprops》 (영어).