가측 기수

집합론에서 가측 기수(可測基數, 영어: measurable cardinal)는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다. 음이 아닌 확장된 실수의 집합 S ⊆ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]} 에 대하여, 다음을 정의하자.:129, (10.10) ∑ S = sup S ′ ⊆ S | S ′ | < ℵ 0 ∑ S ′ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \sum S=\sup _{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph _{0}}\sum S'\in [0,\infty ]} 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 와 κ {\displaystyle \kappa } -완비 불 대수 B {\displaystyle B} 및 S ⊆ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]} 에 대하여, 함수 μ : B → S {\displaystyle \mu \colon B\to S} 가 다음 조건들을 모두 만족시키면, μ {\displaystyle \mu } 가 M e a s ( κ ; B , S ) {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;B,S)} 조건을 만족시킨다고 하자. μ ( ⊥ ) = 0 {\displaystyle \mu (\bot )=0} 이다. (단조성) a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 라면 μ ( a ) ≤ μ ( b ) {\displaystyle \mu (a)\leq \mu (b)} 이다. ( κ {\displaystyle \kappa } -가법성) 임의의 S ⊆ B {\displaystyle S\subseteq B} 에 대하여, 만약 | S | < κ {\displaystyle |S|<\kappa } 이며 임의의 s , t ∈ S {\displaystyle s,t\in S} 에 대하여 s ∧ t = ⊥ B {\displaystyle s\land t=\bot _{B}} 라면, μ ( ⋁ S ) = ∑ μ [ S ] {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigvee S\right)=\sum \mu [S]} 이다. 이 조건을 만족시키는 함수 μ {\displaystyle \mu } 를 B {\displaystyle B} 위의, S {\displaystyle S} 값의 κ {\displaystyle \kappa } -가법 측도(영어: S {\displaystyle S} -valued κ {\displaystyle \kappa } -additive measure on B {\displaystyle B} )라고 하자. 이 개념은 다음 개념들을 일반화한다. 측도: 시그마 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 측도 μ : Σ → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]} 는 M e a s ( ℵ 1 ; Σ , [ 0 , ∞ ] ) {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph _{1};\Sigma ,[0,\infty ])} 를 만족시키는 함수이다. 극대 필터: B {\displaystyle B} 위의 극대 필터 U ⊆ B {\displaystyle U\subseteq B} 에 대하여, 함수 μ : B → { 0 , 1 } {\displaystyle \mu \colon B\to \{0,1\}} , μ : b ↦ { 1 b ∈ U 0 b ∉ U {\displaystyle \textstyle \mu \colon b\mapsto {\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not \in U\end{cases}}} 를 정의하면, μ {\displaystyle \mu } 는 M e a s ( ℵ 0 ; B , { 0 , 1 } ) {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph _{0};B,\{0,1\})} 를 만족시킨다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수라고 한다. 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 인 집합 위에, 주 필터가 아닌 κ {\displaystyle \kappa } -완비 극대 필터가 존재한다.:127, Definition 10.3:26, §1.2 멱집합 Pow ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (\kappa )} 위에, M e a s ( κ ; Pow ⁡ ( κ ) , { 0 , 1 } ) {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),\{0,1\})} 를 만족시키는 함수 μ : Pow ⁡ ( κ ) → { 0 , 1 } {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to \{0,1\}} 가 존재하며, 또한 임의의 α ∈ κ {\displaystyle \alpha \in \kappa } 에 대하여 μ ( { α } ) = 0 {\displaystyle \mu (\{\alpha \})=0} 이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.) κ {\displaystyle \kappa } 는 폰 노이만 전체 V {\displaystyle V} 로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 M {\displaystyle M} 으로 가는 기본 매장의 임계점이다. 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 만약 M e a s ( κ ; Pow ⁡ ( κ ) , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),[0,1])} 를 만족시키는 확률 측도 μ : Pow ⁡ ( κ ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to [0,1]} 가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자. 만약 μ {\displaystyle \mu } 가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 a ∈ κ {\displaystyle a\in \kappa } 에 대하여 μ ( { a } ) = 0 {\displaystyle \mu (\{a\})=0} 이다.) 그렇다면 κ {\displaystyle \kappa } 를 실가 가측 기수(實價可測基數, 영어: real-valued measurable cardinal)라고 한다.:130, Definition 10.8:24, §2.1 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다.:Lemma 10.18 (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.:136, §10 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. 초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수 모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이하이다.:131, Corollary 10.10 가측 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, V κ {\displaystyle V_{\kappa }} (크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, V κ {\displaystyle V_{\kappa }} 에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다. 만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 V = L {\displaystyle V=L} 은 거짓이다. 임의의 두 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 가 주어졌다고 하자. ( λ , κ ) {\displaystyle (\lambda ,\kappa )} -울람 행렬은 다음 두 성질을 만족시키는 함수 A : λ × κ → Pow ⁡ ( λ ) {\displaystyle A\colon \lambda \times \kappa \to \operatorname {Pow} (\lambda )} A : ( α , β ) ↦ A α , β {\displaystyle A\colon (\alpha ,\beta )\mapsto A_{\alpha ,\beta }} 이다.:131, Definition 10.11; 132, (10.14) 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 α ≠ α ′ {\displaystyle \alpha \neq \alpha '} 라면, 임의의 β < λ {\displaystyle \beta <\lambda } 에 대하여 A α , β ∩ A α ′ , β = ∅ {\displaystyle A_{\alpha ,\beta }\cap A_{\alpha ',\beta }=\varnothing } 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는 κ {\displaystyle \kappa } 이하이다. 즉, 임의의 α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda } 에 대하여, | λ ∖ ⋃ β < λ A α , β | < κ {\displaystyle \textstyle |\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\lambda }A_{\alpha ,\beta }|<\kappa } 이다. 만약 ( κ , λ ) {\displaystyle (\kappa ,\lambda )} 가 주어지지 않았다면, ( κ , λ ) = ( ℵ 1 , ℵ 0 ) {\displaystyle (\kappa ,\lambda )=(\aleph _{1},\aleph _{0})} 을 뜻한다. 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, ( κ + , κ ) {\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )} -울람 행렬이 존재한다. 증명: 각 ξ ∈ κ + {\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}} 에 대하여, 전사 함수 f ξ : κ → ξ {\displaystyle f_{\xi }\colon \kappa \to \xi } 를 고르자. 그렇다면, 행렬 A α , β {\displaystyle A_{\alpha ,\beta }} 를 다음과 같이 정의하자. ξ ∈ A α , β ⟺ f ξ ( β ) = α {\displaystyle \xi \in A_{\alpha ,\beta }\iff f_{\xi }(\beta )=\alpha } 그렇다면, A {\displaystyle A} 는 ( κ + , κ ) {\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )} -울람 행렬을 이룬다. 임의의 ξ ∈ κ + {\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}} 및 β ∈ κ {\displaystyle \beta \in \kappa } 에 대하여, ξ ∈ A α , β {\displaystyle \xi \in A_{\alpha ,\beta }} 가 되는 유일한 α {\displaystyle \alpha } 는 α = f ξ ( β ) {\displaystyle \alpha =f_{\xi }(\beta )} 이다. 각 α ∈ κ + {\displaystyle \alpha \in \kappa ^{+}} 에 대하여, κ ∖ ⋃ β < κ A α , β = κ ∖ { ξ ∈ κ + : α < ξ } = min { α , κ } {\displaystyle \textstyle \kappa \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }=\kappa \setminus \{\xi \in \kappa ^{+}\colon \alpha <\xi \}=\min\{\alpha ,\kappa \}} 이다. 측도 μ : Σ → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]} 의 원자(영어: atom)는 μ ( S ) > 0 {\displaystyle \mu (S)>0} 이지만 임의의 S ′ < S {\displaystyle S'<S} 에 대하여 μ ( S ′ ) = 0 {\displaystyle \mu (S')=0} 이 되는 원소 S ∈ Σ {\displaystyle S\in \Sigma } 이다. 임의의 기수 λ > κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph _{0}} 가 주어졌다고 하자. ( λ , κ ) {\displaystyle (\lambda ,\kappa )} -울람 행렬이 존재한다면, Pow ⁡ ( λ ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )} 위의 임의의 κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} -가법 확률 측도 Pr {\displaystyle \Pr } 는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉, Pr ( { α } ) > 0 {\displaystyle \Pr(\{\alpha \})>0} 인 α ∈ λ {\displaystyle \alpha \in \lambda } 가 존재한다. 증명: A {\displaystyle A} 가 울람 행렬이라고 하고, Pr {\displaystyle \Pr } 가 Pow ⁡ ( λ ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )} 위의 κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} -가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 α ∈ λ {\displaystyle \alpha \in \lambda } 에 대하여 Pr ( { α } ) = 0 {\displaystyle \Pr(\{\alpha \})=0} 라고 하자. 그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda } 에 대하여, Pr ( λ ∖ ⋃ β < κ A α , β ) = 0 {\displaystyle \Pr \left(\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=0} Pr ( ⋃ β < κ A α , β ) = 1 {\displaystyle \Pr \left(\bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=1} 이다. 따라서, Pr ( A α , f ( α ) ) > 0 {\displaystyle \Pr(A_{\alpha ,f(\alpha )})>0} 인 f ( α ) < κ {\displaystyle f(\alpha )<\kappa } 가 존재한다. 이제, 각 β ∈ κ {\displaystyle \beta \in \kappa } 에 대하여 f − 1 ( β ) = { α ∈ λ : f ( α ) = β } {\displaystyle f^{-1}(\beta )=\{\alpha \in \lambda \colon f(\alpha )=\beta \}} 를 생각하자. λ > κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph _{0}} 이므로, f − 1 ( β 0 ) = λ {\displaystyle f^{-1}(\beta _{0})=\lambda } 인 β 0 ∈ κ {\displaystyle \beta _{0}\in \kappa } 가 존재한다. 이제, U = ( A α , β 0 ) α ∈ f − 1 ( β 0 ) {\displaystyle {\mathcal {U}}=(A_{\alpha ,\beta _{0}})_{\alpha \in f^{-1}(\beta _{0})}} 는 λ {\displaystyle \lambda } 개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자. ∀ m < ω : U m = { U ∈ U : Pr ( U ) > 1 / ( m + 1 ) } {\displaystyle \forall m<\omega \colon {\mathcal {U}}_{m}=\{U\in {\mathcal {U}}\colon \Pr(U)>1/(m+1)\}} 그렇다면, ⋃ m < ω U m = U {\displaystyle \bigcup _{m<\omega }{\mathcal {U}}_{m}={\mathcal {U}}} 이므로, 이 가운데 | U m 0 | = λ {\displaystyle |{\mathcal {U}}_{m_{0}}|=\lambda } 인 m 0 ∈ ω {\displaystyle m_{0}\in \omega } 가 존재한다. 따라서, Pr ( ⋃ U m ) = ∞ {\displaystyle \Pr \left(\bigcup {\mathcal {U}}_{m}\right)=\infty } 인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다. 특히, Pow ⁡ ( ω 1 ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (\omega _{1})} 위의 임의의 ( σ {\displaystyle \sigma } -가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.:133, Corollary 10.17 가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다. 실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.:138, §10 Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. 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