직교군

군론에서 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 체에 대한 직교 행렬의 리 군이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위에 비퇴화 이차 형식 Q : V → K {\displaystyle Q\colon V\to K} 가 주어졌다고 하자. (만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니라면, 이는 V {\displaystyle V} 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 O ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)} 는 V {\displaystyle V} 위의 가역 선형 변환들 가운데, Q {\displaystyle Q} 를 보존하는 것들로 구성된 군이다. O ⁡ ( V , Q ) = { M ∈ GL ⁡ ( V ) : Q ( u ) = Q ( M u ) ∀ u ∈ V } {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)=\{M\in \operatorname {GL} (V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}} 이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 K {\displaystyle K} 에 대한 대수군이다. 또한, 만약 K {\displaystyle K} 가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다. 만약 V {\displaystyle V} 가 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간이며, Q {\displaystyle Q} 가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 O ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {O} (n;K)} 로 쓴다. 실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 O ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )} 와 같이 쓴다. 직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. D : O ⁡ ( n ; K ) → Z / 2 {\displaystyle D\colon \operatorname {O} (n;K)\to \mathbb {Z} /2} D : M ↦ rank ⁡ ( 1 − M ) ( mod 2 ) {\displaystyle D\colon M\mapsto \operatorname {rank} (1-M){\pmod {2}}} . 이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 det : O ⁡ ( n ; K ) → { ± 1 } {\displaystyle \det \colon \operatorname {O} (n;K)\to \{\pm 1\}} 과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.) 특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) SO ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;K)} 는 딕슨 불변량의 핵이다. SO ⁡ ( n ; K ) = ker ⁡ D = O ⁡ ( n ; K ) / ( Z / 2 Z ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;K)=\ker D=\operatorname {O} (n;K)/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )} . 즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다. 1 → Z / 2 Z → O ⁡ ( n ; K ) → SO ⁡ ( n ; K ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {O} (n;K)\to \operatorname {SO} (n;K)\to 1} . 특수직교군 SO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 Spin ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)} 이 존재한다. 1 → Z / 2 Z → Spin ⁡ ( n ) → SO ⁡ ( n ; R ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1} . 이 리 군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다. n > 2 {\displaystyle n>2} 일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. ( n = 2 {\displaystyle n=2} 일 경우는 물론 SO ⁡ ( 2 ) = U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2)=\operatorname {U} (1)} 이고, 그 범피복 공간은 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이다.) 마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(영어: pin group)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다. 1 1 ↓ ↓ Z / 2 = Z / 2 ↓ ↓ 1 → Spin ⁡ ( n ) → Pin ⁡ ( n ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ ‖ 1 → SO ⁡ ( n ) → O ⁡ ( n ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\mathbb {Z} /2&=&\mathbb {Z} /2\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (n)&\to &\operatorname {Pin} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\|\\1&\to &\operatorname {SO} (n)&\to &\operatorname {O} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}} 실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 s o ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;K)} 또는 o ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;K)} 와 같이 쓴다 ( K = R , C {\displaystyle K=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } ). s o ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;\mathbb {R} )} 는 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, s o ( n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;\mathbb {C} )} 는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다. s o ( n ; K ) = { M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) : M ⊤ = − M } {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;K)=\{M\in \operatorname {Mat} (n;K)\colon M^{\top }=-M\}} 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 직교군 O ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)} 에 대하여, 스피너 노름(영어: spinor norm)은 다음과 같은 군 준동형이다. N : O ⁡ ( V , Q ) → K × / ( K × ) 2 {\displaystyle N\colon \operatorname {O} (V,Q)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}} N ( R v ) = 1 ( Q ( v ) ≠ 0 ) {\displaystyle N(R_{v})=1\qquad (Q(v)\neq 0)} 여기서 R v {\displaystyle R_{v}} 는 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다. R v : u ↦ u − v Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) Q ( v ) {\displaystyle R_{v}\colon u\mapsto u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}} 직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. s o ( 2 n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )} 은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다. 우선, 체 K {\displaystyle K} 위의 2 n {\displaystyle 2n} 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위에 심플렉틱 구조 Ω : V ⊗ K V → V {\displaystyle \Omega \colon V\otimes _{K}V\to V} 가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는 Ω = ( 0 n × n 1 n × n − 1 n × n 0 n × n ) {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}} 의 꼴이다. 그렇다면, GL ⁡ ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)} 위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다. O ∗ ⁡ ( V , Ω ) = { M ∈ GL ⁡ ( V ; K ) : Ω ( M ⊤ u , v ) = Ω ( u , M v ) ∀ u , v ∈ V } {\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )=\left\{M\in \operatorname {GL} (V;K)\colon \Omega (M^{\top }u,v)=\Omega (u,Mv)\qquad \forall u,v\in V\right\}} 즉, Ω {\displaystyle \Omega } 를 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다. M Ω = Ω M {\displaystyle M\Omega =\Omega M} 마찬가지로, SO ∗ ⁡ ( V , Ω ) = SL ⁡ ( V ) ∩ O ∗ ⁡ ( V , Ω ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(V,\Omega )=\operatorname {SL} (V)\cap \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )} 이다. 그렇다면, 실수 리 대수 s o ∗ ( 2 n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n;\mathbb {R} )} 는 s o ( 2 n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )} 의 실수 형태이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다. Z ⁡ ( O ⁡ ( n ; K ) ) = { + 1 n × n , − 1 n × n } {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}} 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, n {\displaystyle n} 이 홀수라면 그렇지 않다. Z ⁡ ( SO ⁡ ( n ; K ) ) = { { + 1 n × n , − 1 n × n } 2 ∣ n { 1 n × n } 2 ∤ n ( char ⁡ K ≠ 2 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SO} (n;K))={\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}}\qquad (\operatorname {char} K\neq 2)} 중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group) PO ⁡ ( n ; K ) = O ⁡ ( n ; K ) / Z ⁡ ( O ⁡ ( n ; K ) ) {\displaystyle \operatorname {PO} (n;K)=\operatorname {O} (n;K)/\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))} 을 얻는다. 마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다. Z ⁡ ( Spin ⁡ ( n ; C ) ) = { Z / 2 n ≡ 1 , 3 ( mod 4 ) Z / 4 n ≡ 2 ( mod 4 ) ( Z / 2 ) ⊕ 2 n ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n;\mathbb {C} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\equiv 1,3{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&n\equiv 2{\pmod {4}}\\(\mathbb {Z} /2)^{\oplus 2}&n\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}} Z ⁡ ( Spin ⁡ ( p , q ; R ) ) = { Z / 2 p q ≢ 0 ( mod 4 ) Z / 4 p q ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q;\mathbb {R} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&pq\not \equiv 0{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&pq\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}} 복소수 리 군 SO ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} 는 n ≠ 4 {\displaystyle n\neq 4} 일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 n = 2 k + 1 {\displaystyle n=2k+1} 이라면 B k {\displaystyle B_{k}} 에, 만약 n = 2 k {\displaystyle n=2k} 라면 D k {\displaystyle D_{k}} 에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다. B k : ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⇒ ∙ {\displaystyle B_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet } D k : ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⟨ ∙ ∙ {\displaystyle D_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }} SO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 는 SO ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} 의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 SO ⁡ ( k , k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (k,k;\mathbb {R} )} 이며, 홀수 차수에서는 SO ⁡ ( k + 1 , k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (k+1,k;\mathbb {R} )} 이다. SO ⁡ ( 2 k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )} 의 극대 원환면은 다음과 같다. ( R 1 0 ⋱ 0 R k ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots \\0&&R_{k}\end{pmatrix}}} 여기서 R i = ( cos ⁡ θ i − sin ⁡ θ i sin ⁡ θ i cos ⁡ θ i ) {\displaystyle R_{i}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\end{pmatrix}}} 는 2×2 회전 행렬이다. SO ⁡ ( 2 k + 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )} 의 극대 원환면은 다음과 같다. ( R 1 0 ⋱ R k 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&&0\\&\ddots \\&&R_{k}\\0&&&1\end{pmatrix}}} SO ⁡ ( 2 k + 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )} 의 바일 군은 반직접곱 Weyl ⁡ ( SO ⁡ ( 2 k + 1 ; R ) ) ≅ { ± 1 } k ⋊ Sym ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k}\rtimes \operatorname {Sym} (k)} 이다. 여기서 ϵ = ( ϵ 1 , … , ϵ k ) ∈ { ± 1 } k {\displaystyle \epsilon =(\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}} 는 ϵ : θ i ↦ ϵ i θ i {\displaystyle \epsilon \colon \theta _{i}\mapsto \epsilon _{i}\theta _{i}} 와 같이 작용하며, 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( k ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (k)} 는 σ : θ i ↦ θ σ ( i ) {\displaystyle \sigma \colon \theta _{i}\mapsto \theta _{\sigma (i)}} 와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 ( ϵ 1 , … , ϵ k ) ∈ { ± 1 } k {\displaystyle (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}} 의 원소는 블록 대각 행렬 diag ⁡ ( M ( ϵ 1 ) , … , M ( ϵ k ) , ∏ i = 1 k ϵ k ) ∈ SO ⁡ ( 2 k + 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {diag} \left(M(\epsilon _{1}),\dots ,M(\epsilon _{k}),\prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\right)\in \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )} M ( + 1 ) = ( 1 0 0 1 ) M ( − 1 ) = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle M(+1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad M(-1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} 이며, Sym ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (k)} 의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 2 k × 2 k {\displaystyle 2k\times 2k} 치환행렬에 ( 2 k + 1 , 2 k + 1 ) {\displaystyle (2k+1,2k+1)} 번째 성분 +1을 추가한 행렬이다. SO ⁡ ( 2 k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )} 의 바일 군은 반직접곱 Weyl ⁡ ( SO ⁡ ( 2 k ; R ) ) ≅ { ± 1 } k − 1 ⋊ Sym ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k-1}\rtimes \operatorname {Sym} (k)} 이다. 포함 관계 Weyl ⁡ ( SO ⁡ ( 2 k ; R ) ) < Weyl ⁡ ( SO ⁡ ( 2 k + 1 ; R ) ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))<\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))} 아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다. 1 → Weyl ⁡ ( SO ⁡ ( 2 k ; R ) ) → Weyl ⁡ ( SO ⁡ ( 2 k ; R ) ) → ϕ { ± 1 } → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )){\xrightarrow {\phi }}\{\pm 1\}\to 1} 이며, ϕ {\displaystyle \phi } 는 다음과 같다. ϕ : ( ϵ 1 , … , ϵ k , σ ) ↦ ∏ i = 1 k ϵ k ∈ { ± 1 } {\displaystyle \phi \colon (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k},\sigma )\mapsto \prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\in \{\pm 1\}} 실수 직교군 O ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )} 은 n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} 차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 det M = ± 1 {\displaystyle \det M=\pm 1} 인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 SO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 를 이룬다. 복소수 직교군 O ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {C} )} 은 복소수 n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} 차원(실수 n ( n − 1 ) {\displaystyle n(n-1)} 차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 det M = ± 1 {\displaystyle \det M=\pm 1} 인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 SO ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} 를 이룬다. 실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다. π 1 ( SO ⁡ ( n ; R ) ) ≅ π 1 ( SO ⁡ ( n ; C ) ) ≅ { 1 n = 1 Z n = 2 Z / 2 n > 2 {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))\cong \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} ))\cong {\begin{cases}1&n=1\\\mathbb {Z} &n=2\\\mathbb {Z} /2&n>2\end{cases}}} 이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 n = 2 {\displaystyle n=2} 에서는 R {\displaystyle \mathbb {R} } 를, n > 2 {\displaystyle n>2} 에서는 스핀 군 Spin ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)} 을 얻는다. 부정부호 실수 직교군 O ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )} ( p , q > 0 {\displaystyle p,q>0} )는 네 개의 연결 성분을 가지며, π 0 ( O ⁡ ( p , q ; R ) ) = ( Z / 2 ) 2 {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))=(\mathbb {Z} /2)^{2}} 이다. 여기서 한 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 는 p {\displaystyle p} 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 q {\displaystyle q} 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. SO ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )} 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우 π 0 ( SO ⁡ ( p , q ; R ) ) = { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , − 1 ) } ⊂ π 0 ( O ⁡ ( p , q ; R ) ) {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} ))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))} 이다. SO ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )} 의 연결 부분군을 SO + ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} )} 라고 한다. 부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다. π 1 ( SO + ⁡ ( p , q ; R ) ) = π 1 ( SO ⁡ ( p ; R ) ) × π 1 ( SO ⁡ ( q ; R ) ) {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} ))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p;\mathbb {R} ))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q;\mathbb {R} ))} 호프 올뭉치 O ⁡ ( n ) ↪ O ⁡ ( n + 1 ) ↠ S n {\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}} 로 인하여, 만약 i < n − 1 {\displaystyle i<n-1} 이라면 π i ( O ⁡ ( n ) ) ≅ π i ( O ⁡ ( n + 1 ) ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {O} (n+1))} 이다.:112 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.:113 π i ( O ⁡ ( n ) ) = { 0 i ≡ 2 , 4 , 5 , 6 ( mod 8 ) Z / 2 i ≡ 0 , 1 ( mod 8 ) Z i ≡ 3 , 7 ( mod 8 ) ( i < n − 1 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}\qquad (i<n-1)} 이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다. 특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다. π i ( SO ⁡ ( n ) ) ≅ { 0 i = 0 π i ( O ⁡ ( n ) ) i > 0 {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {SO} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>0\end{cases}}} π i ( Spin ⁡ ( n ) ) ≅ { 0 i = 0 , 1 π i ( O ⁡ ( n ) ) i > 1 ( n > 2 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0,1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>1\end{cases}}\qquad (n>2)} π i ( Pin ⁡ ( n ) ) ≅ { 0 i = 1 π i ( O ⁡ ( n ) ) i ≠ 1 ( n > 2 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Pin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i\neq 1\end{cases}}\qquad (n>2)} 다음과 같은 무한 직교군 O ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )} 을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다. O ⁡ ( ∞ ) = lim → n ⁡ O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {O} (n)} 무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다. π i ( O ⁡ ( ∞ ) ) = { 0 i ≡ 2 , 4 , 5 , 6 ( mod 8 ) Z / 2 i ≡ 0 , 1 ( mod 8 ) Z i ≡ 3 , 7 ( mod 8 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (\infty ))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}} 이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간과 호모토피 동치이다.:112, Theorem 1 O ⁡ ( ∞ ) ≃ Ω 8 O ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )\simeq \Omega ^{8}\operatorname {O} (\infty )} 무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 직교군 O ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {O} ({\mathcal {H}})} 는 O ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )} 와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, O ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {O} ({\mathcal {H}})} 는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다. π i ( O ⁡ ( H ) ) = 0 ∀ i {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i} 모든 n {\displaystyle n} 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. SO ⁡ ( n ; R ) ⊂ SU ⁡ ( n ) ⊂ USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {USp} (2n)} SU ⁡ ( n ; R ) ⊂ SO ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (2n)} SO ⁡ ( n − 1 ; R ) ⊂ SO ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n-1;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} . 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수인 경우, 이는 SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 의 딘킨 도표를 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 대칭을 따라 접은 것이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 홀수인 경우, 이는 SO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 의 딘킨 도표에 ⊗ {\displaystyle \scriptstyle \otimes } 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, ∘ {\displaystyle \circ } 로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다. 2 ∣ n : ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n / 2 − 3 − ∙ ⟨ ∙ ∙ → ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n / 2 − 3 − ∙ ⇒ ∙ {\displaystyle 2\mid n\colon \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }\qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \Rightarrow \bullet } 2 ∤ n : ∙ − ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ ⌊ n / 2 ⌋ − 3 ⇒ ∘ → ∙ − ∙ ⊗ | − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ ⌊ n / 2 ⌋ − 3 ⇒ ∘ → ∙ − ∙ ⊗ | − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ ⌊ n / 2 ⌋ − 3 {\displaystyle 2\nmid n\colon \qquad \bullet -\bullet -\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}} 만약 또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. Spin ⁡ ( 3 ) ⊂ G 2 {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\subset G_{2}} Spin ⁡ ( 9 ) ⊂ F 4 {\displaystyle \operatorname {Spin} (9)\subset F_{4}} Spin ⁡ ( 10 ) ⊂ E 6 {\displaystyle \operatorname {Spin} (10)\subset E_{6}} Spin ⁡ ( 12 ) ⊂ E 7 {\displaystyle \operatorname {Spin} (12)\subset E_{7}} Spin ⁡ ( 16 ) ⊂ E 8 {\displaystyle \operatorname {Spin} (16)\subset E_{8}} 6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다. 1차원 O ⁡ ( 1 ) ≅ Spin ⁡ ( 1 ) ≅ Z / 2 {\displaystyle \operatorname {O} (1)\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \mathbb {Z} /2} SO ⁡ ( 1 ) ≅ PSO ⁡ ( 1 ) ≅ 1 {\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {PSO} (1)\cong 1} 2차원 SO ⁡ ( 2 ; R ) ≅ Spin ⁡ ( 2 ) ≅ U ⁡ ( 1 ) ≅ S 1 {\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {S} ^{1}} SO + ⁡ ( 1 , 1 ; R ) ≅ R {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} } 3차원 SO ⁡ ( 3 ; R ) ≅ PSO ⁡ ( 3 ; R ) ≅ PSU ⁡ ( 2 ) ≅ PUSp ⁡ ( 2 ) ≅ R P 2 {\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {PUSp} (2)\cong \mathbb {RP} ^{2}} Spin ⁡ ( 3 ) ≅ SU ⁡ ( 2 ) ≅ USp ⁡ ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {USp} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}} SO ⁡ ( 3 ; C ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; C ) ≅ PSp ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )} SO + ⁡ ( 2 , 1 ; R ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} Spin + ⁡ ( 2 , 1 ) ≅ SL ⁡ ( 2 ; R ) ≅ Sp ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )} 4차원 SO ⁡ ( 4 ; R ) ≅ ( SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\cong \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)} Spin ⁡ ( 4 ) ≅ SU ⁡ ( 2 ) × SU ⁡ ( 2 ) ≅ S 3 × S 3 {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}} PSO ⁡ ( 4 ; R ) ≅ PSU ⁡ ( 2 ) × PSU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)} PSO ⁡ ( 4 ; C ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; C ) × PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} SO + ⁡ ( 3 , 1 ; R ) ≅ SO ⁡ ( 3 ; C ) ≅ PGL ⁡ ( 2 ; C ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; C ) ≅ PSp ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )} 5차원 SO ⁡ ( 5 ; R ) ≅ PSO ⁡ ( 5 ; R ) ≅ PUSp ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PUSp} (4)} Spin ⁡ ( 5 ) ≅ USp ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)} SO + ⁡ ( 3 , 2 ; R ) ≅ PSp ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )} 6차원 SO ⁡ ( 6 ) ≅ SU ⁡ ( 4 ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (6)\cong \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)} PSO ⁡ ( 6 ) ≅ PSU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (6)\cong \operatorname {PSU} (4)} Spin ⁡ ( 6 ) ≅ SU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)} SO + ⁡ ( 5 , 1 ; R ) ≅ PSO + ⁡ ( 5 , 1 ; R ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {H} )} SO + ⁡ ( 4 , 2 ; R ) ≅ SU ⁡ ( 2 , 2 ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SU} (2,2)/(\mathbb {Z} /2)} PSO + ⁡ ( 4 , 2 ; R ) ≅ PSU ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {PSO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2,2)} SO + ⁡ ( 3 , 3 ; R ) ≅ PSO + ⁡ ( 3 , 3 ) ≅ PSL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(3,3)\cong \operatorname {PSL} (4;\mathbb {R} )} F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 F q n {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}} 위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다.. 홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 α ∈ F q {\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} _{q}} 에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 과 a Q 1 {\displaystyle aQ_{1}} 의 꼴이다 ( a ∈ F q {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}} 는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 O ⁡ ( 2 k + 1 ; F q ) {\displaystyle \operatorname {O} (2k+1;\mathbb {F} _{q})} 은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 n / 2 {\displaystyle n/2} 인 것을 플러스형, n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 O ± ⁡ ( 2 k ; F q ) {\displaystyle \operatorname {O} ^{\pm }(2k;\mathbb {F} _{q})} 라고 쓴다.:69–75 표수가 2가 아닌 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} ( q = p k {\displaystyle q=p^{k}} , p {\displaystyle p} 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.:72, (3.30)–(3.32) | O ⁡ ( 2 n + 1 ; F q ) | = 2 q n ∏ i = 0 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |\operatorname {O} (2n+1;\mathbb {F} _{q})|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})} | O + ⁡ ( 2 n ; F q ) | = 2 ( q n − 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |\operatorname {O} ^{+}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})} | O − ⁡ ( 2 n ; F q ) | = 2 ( q n + ( − 1 ) n + 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |\operatorname {O} ^{-}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})} 표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다. 표수가 2인 완전체 위의 홀수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군과 같다. 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다. 구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다. 직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다. 특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다. 등각 장론에서, ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -차원 시공간의 등각 대칭군은 SO ⁡ ( p + 1 , q + 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p+1,q+1)} 이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다. 이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다. Karoubi, Max. 〈Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory〉 (PDF). 《Handbook of K-theory. Volume 1》 (영어). 111–137쪽. doi:10.1007/978-3-540-27855-9_4. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Kuiper, Nicolaas H. (1965). “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space”. 《Topology》 (영어) 3 (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4.  Wilson, Robert A. (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. London: Springer. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012.  Grove, Larry C. (2002). 《Classical groups and geometric algebra》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 39. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2019-3. MR 1859189.  Taylor, Donald E. (1992). 《The geometry of the classical groups》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 9. Heldermann. ISBN 3-88538-009-9. MR 1189139. Zbl 0767.20001.  “Orthogonal group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Spinor group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Todd Rowland. “Orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “GeneralOrthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Special Orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective general orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective special orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Orthogonal group”. 《nLab》 (영어).  “Orthogonal group of an inner product space”. 《nLab》 (영어).  “Special orthogonal group”. 《nLab》 (영어).  “Spin group”. 《nLab》 (영어).  “Stable orthogonal group”. 《nLab》 (영어).  이철희. “직교군과 직교리대수”. 《수학노트》.  Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies” (PDF) (영어).  “Orthogonal group for a symmetric bilinear form” (영어).  “Orthogonal group for the standard dot product” (영어).  “Special orthogonal group for the standard dot product” (영어).  “Split orthogonal group” (영어).  “Orthogonal similitude group for a symmetric bilinear form” (영어).  “Orthogonal similitude group for the standard dot product” (영어).  “Special orthogonal similitude group” (영어).  “Spinor norm”. 《Groupprops》 (영어).  스핀 군 직교행렬 스피너 원군 3차원 직교군