류스테르니크-시니렐만 범주

대수적 위상수학에서 류스테르니크-시니렐만 범주(Люстерник-Шнирельман範疇, 영어: Lusternik–Schnirelmann category) 또는 LS 범주(LS-category)는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다. 류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다. CW 복합체와 호모토피 동치인 X {\displaystyle X} 로 정의된 점을 가진 공간 ( X , ∙ X ) {\displaystyle (X,\bullet _{X})} 가 주어졌으며 ∙ X ↪ X {\displaystyle \bullet _{X}\hookrightarrow X} 가 쌍대올뭉치라고 하자. ( X , ∙ ) {\displaystyle (X,\bullet )} 의 류스테르니크-시니렐만 범주 cat ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {cat} (X)} 를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 κ {\displaystyle \kappa } 로 정의한다. 조건: X {\displaystyle X} 를 덮는 어떤 ( κ + 1 ) {\displaystyle (\kappa +1)} 개의 열린 덮개 ( U i , ∙ X ) 0 ≤ i ≤ κ {\displaystyle (U_{i},\bullet _{X})_{0\leq i\leq \kappa }} 가 존재해서, 모든 포함 함수 U i ↪ X {\displaystyle U_{i}\hookrightarrow X} 가 상수 함수와 호모토피 동치이다. 만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, cat ⁡ ( X ) = ∞ {\displaystyle \operatorname {cat} (X)=\infty } 로 놓는다. 일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 κ {\displaystyle \kappa } 대신 ( κ + 1 ) {\displaystyle (\kappa +1)} 로 정의한다. 영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다. 육면체 공리(영어: cube axiom): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림 에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 밂이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 밂이다. (육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주 Top ⁡ ∖ ∙ {\displaystyle \operatorname {Top} \backslash \bullet } 의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 ( Top ⁡ ∖ ∙ ) op {\displaystyle (\operatorname {Top} \backslash \bullet )^{\operatorname {op} }} 는 Top ⁡ ∖ ∙ {\displaystyle \operatorname {Top} \backslash \bullet } 와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.) 이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 X {\displaystyle X} 의 n {\displaystyle n} 차 부케가르니(프랑스어: bouquet garni) 또는 뚱뚱한 쐐기합(영어: fat wedge) T n → X n {\displaystyle T^{n}\to X^{n}} 은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다. T 1 ≃ ∙ {\displaystyle T_{1}\simeq \bullet } 이다. T n → X n {\displaystyle T_{n}\to X^{n}} 이 주어졌을 때, T n + 1 → X n + 1 {\displaystyle T_{n+1}\to X^{n+1}} 은 모형 범주 C / X n + 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}/X^{n+1}} 에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다. T n × ∙ → X n × ∙ ↓ ↓ T n × X → T n + 1 {\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}\times \bullet &\to &X^{n}\times \bullet \\\downarrow &&\downarrow \\T_{n}\times X&\to &T_{n+1}\end{matrix}}} 특히, 다음이 성립한다. T 2 ≃ X ∨ X {\displaystyle T_{2}\simeq X\vee X} (스스로와의 쌍대곱) 점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다. T n = ⋃ i = 0 n − 1 X i × { ∙ } × X n − i − 1 ⊆ X n {\displaystyle T_{n}=\bigcup _{i=0}^{n-1}X^{i}\times \{\bullet \}\times X^{n-i-1}\subseteq X^{n}} 즉, 이는 T n {\displaystyle T_{n}} 은 곱공간 X n {\displaystyle X^{n}} 에서, 적어도 한 좌표가 밑점 ∙ {\displaystyle \bullet } 이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다. ( X , ∙ ) {\displaystyle (X,\bullet )} 의 류스테르니크-시니렐만 범주는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 f : X → T n {\displaystyle f\colon X\to T_{n}} 가 존재하는 최소의 자연수 n {\displaystyle n} 이다. X → f T n ‖ ↓ X → diag X n {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&T_{n}\\\|&&\downarrow \\X&{\underset {\operatorname {diag} }{\to }}&X^{n}\end{matrix}}} 여기서 diag : X → X n {\displaystyle \operatorname {diag} \colon X\to X^{n}} 은 대각 사상이다. 영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 생각하자. 올대상이자 쌍대올대상인 대상 X {\displaystyle X} 에 대하여, 가네아 구성은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다. F 0 ↪ G 0 ↠ X ↓ ↓ ‖ F 1 ↪ G 1 ↠ X ↓ ↓ ‖ F 2 ↪ G 2 ↠ X ↓ ↓ ‖ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}F_{0}&\hookrightarrow &G_{0}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\F_{1}&\hookrightarrow &G_{1}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\F_{2}&\hookrightarrow &G_{2}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}} 여기서 G 0 ≃ ∙ {\displaystyle G_{0}\simeq \bullet } 이다. 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, F n {\displaystyle F_{n}} 은 올뭉치 G n ↠ X {\displaystyle G_{n}\twoheadrightarrow X} 의 호모토피 올이다.) F n ↪ G n ↓ ↓ ∙ → X {\displaystyle {\begin{matrix}F_{n}&\hookrightarrow &G_{n}\\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &X\end{matrix}}} 다음과 같은 네모들은 모형 범주 C / X {\displaystyle {\mathcal {C}}/X} 에서의 호모토피 밂이다. F n ↪ G n ↓ ↓ ∙ → G n + 1 {\displaystyle {\begin{matrix}F_{n}&\hookrightarrow &G_{n}\\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &G_{n+1}\end{matrix}}} 이를 가네아 올뭉치(영어: Ganea fibrations)라고 한다. 이제, X {\displaystyle X} 의 류스테르니크-시니렐만 범주 cat ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {cat} (X)} 는 π n : G n → X {\displaystyle \pi _{n}\colon G_{n}\to X} 이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) X → G n {\displaystyle X\to G_{n}} 을 가질 수 있는 최소의 자연수 n {\displaystyle n} 이다. 점을 가진 공간의 범주에서, G 0 {\displaystyle G_{0}} 은 경로 공간 Path ⁡ ( X ) = hom Top ⁡ ∖ ∙ ⁡ ( I , X ) {\displaystyle \operatorname {Path} (X)=\hom _{\operatorname {Top} \backslash \bullet }(\mathbb {I} ,X)} 으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 F 0 = Ω X = hom Top ⁡ ∖ ∙ ⁡ ( S 1 , X ) {\displaystyle F_{0}=\Omega X=\hom _{\operatorname {Top} \backslash \bullet }(\mathbb {S} ^{1},X)} 이다. 이 경우 F n = ( Ω X ) ⋆ n {\displaystyle F_{n}=(\Omega X)^{\star n}} 으로 잡을 수 있다. (여기서 ⋆ {\displaystyle \star } 는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우 G 1 = Σ Ω X {\displaystyle G_{1}=\Sigma \Omega X} 로 잡을 수 있다. 여기서 Σ {\displaystyle \Sigma } 는 축소 현수이다. 영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 또한 그 범주가 Top ⁡ ∖ ∙ {\displaystyle \operatorname {Top} \backslash \bullet } 일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다. 류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다. 다음이 성립한다. (여기서 ∨ {\displaystyle \vee } 는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.) cat ⁡ ( X ∨ Y ) = max { cat ⁡ ( X ) , cat ⁡ ( Y ) } {\displaystyle \operatorname {cat} (X\vee Y)=\max\{\operatorname {cat} (X),\operatorname {cat} (Y)\}} :14, Proposition 1.27(2), §1.4 cat ⁡ ( X × Y ) ≤ cat ⁡ ( X ) + cat ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {cat} (X\times Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)} :18, Theorem 1.37, §1.5 만약 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, cat ⁡ ( X ) ≥ cat ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {cat} (X)\geq \operatorname {cat} (Y)} 이다.:15, Lemma 1.29, §1.4 올뭉치 F ↪ E ↠ B {\displaystyle F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B} 에 대하여, cat ⁡ ( E ) ≤ ( cat ⁡ ( F ) + 1 ) ( cat ⁡ ( B ) + 1 ) − 1 {\displaystyle \operatorname {cat} (E)\leq (\operatorname {cat} (F)+1)(\operatorname {cat} (B)+1)-1} 이다.:19, Theorem 1.41, §1.5 임의의 점을 가진 공간 ( Z , ∙ ) {\displaystyle (Z,\bullet )} 의, 크기 2의 열린 덮개 X , Y ⊆ Z {\displaystyle X,Y\subseteq Z} ∙ ∈ X ∩ Y {\displaystyle \bullet \in X\cap Y} X ∪ Y = Z {\displaystyle X\cup Y=Z} 가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다. cat ⁡ ( X ∪ Y ) ≤ cat ⁡ ( X ) + cat ⁡ ( Y ) + 1 {\displaystyle \operatorname {cat} (X\cup Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)+1} :14, Proposition 1.27(1), §1.4 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} -연결 공간이라고 하자. 즉, π i ( X ) = 0 ∀ i ∈ { 0 , 1 , … , k − 1 } {\displaystyle \pi _{i}(X)=0\qquad \forall i\in \{0,1,\dotsc ,k-1\}} 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. cat ⁡ ( X ) ≤ dim ⁡ X k {\displaystyle \operatorname {cat} (X)\leq {\frac {\dim X}{k}}} 여기서 dim ⁡ X {\displaystyle \dim X} 는 X {\displaystyle X} 의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.) 연결 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 연속 미분 가능 함수 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } 의 임계점의 집합 Crit ⁡ ( f ) = { x ∈ M : d f = 0 } {\displaystyle \operatorname {Crit} (f)=\{x\in M\colon \mathrm {d} f=0\}} 의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.:Theorem 1.15 | Crit ⁡ ( f ) | ≥ cat ⁡ ( M ) + 1 {\displaystyle |\operatorname {Crit} (f)|\geq \operatorname {cat} (M)+1} 증명 개략: Crit ⁡ ( f ) = ∞ {\displaystyle \operatorname {Crit} (f)=\infty } 일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 f {\displaystyle f} 가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다. M {\displaystyle M} 에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, f {\displaystyle f} 의 기울기 흐름 d d t ϕ t ( x ) = d # f | ϕ t ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{t}(x)=\mathrm {d} ^{\#}f|_{\phi _{t}(x)}} 을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 c ∈ Crit ⁡ f {\displaystyle c\in \operatorname {Crit} f} 에 대하여 W c = { x ∈ M : lim t → ∞ ϕ t ( x ) = c } {\displaystyle W_{c}=\left\{x\in M\colon \lim _{t\to \infty }\phi _{t}(x)=c\right\}} 를 정의하자. M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 M {\displaystyle M} 의 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 W c ↪ M {\displaystyle W_{c}\hookrightarrow M} 은 모두 상수 함수 W c → { c } ⊆ M {\displaystyle W_{c}\to \{c\}\subseteq M} 와 호모토피 동치이다. 이제, 각 W c {\displaystyle W_{c}} 에 대하여, W ~ c ⊇ W c {\displaystyle {\tilde {W}}_{c}\supseteq W_{c}} 이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 W ~ c {\displaystyle {\tilde {W}}_{c}} 을 찾을 수 있음을 보일 수 있다.:Proposition 2.5(ⅰ) 즉, ( W ~ c ) c ∈ Crit ⁡ ( f ) {\displaystyle ({\tilde {W}}_{c})_{c\in \operatorname {Crit} (f)}} 는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다. 예를 들어, 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 을 유클리드 공간 R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다. 이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다. 일반적으로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 의, n {\displaystyle n} 개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자. α 1 , … , α n ∈ H ~ ⁡ ( X ) {\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in \operatorname {\tilde {H}} (X)} { α 1 , … , α n } ∌ 0 {\displaystyle \{\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\}\not \ni 0} α 1 ⌣ ⋯ ⌣ α n ≠ 0 {\displaystyle \alpha _{1}\smile \dotsb \smile \alpha _{n}\neq 0} 그렇다면, cat ⁡ ( X ) ≥ n {\displaystyle \operatorname {cat} (X)\geq n} 이다. 유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 cdgAlg Q {\displaystyle \operatorname {cdgAlg} _{\mathbb {Q} }} 를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주 cdgAlg Q ⁡ / Q {\displaystyle \operatorname {cdgAlg} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} } 는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 { ∙ } ↪ X {\displaystyle \{\bullet \}\hookrightarrow X} 에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 A → Q {\displaystyle A\to \mathbb {Q} } 의 류스테르니크-시니렐만 범주를 cat 0 ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {cat} _{0}(X)} 라고 표기하자. 이는 사실 X {\displaystyle X} 와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.:§2.3 특히, 다음이 항상 성립한다. cat 0 ⁡ ( X ) ≤ cat ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {cat} _{0}(X)\leq \operatorname {cat} (X)} 또한, 만약 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:Theorem 2.19 cat 0 ⁡ ( X × Y ) = cat 0 ⁡ ( X ) + cat 0 ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {cat} _{0}(X\times Y)=\operatorname {cat} _{0}(X)+\operatorname {cat} _{0}(Y)} 콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 에 대하여 cat ⁡ M = ( dim ⁡ M ) / 2 {\displaystyle \operatorname {cat} M=(\dim M)/2} 의 증명::44, Exercise 1.20 심플렉틱 형식 ω ∈ Ω 2 ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)} 의 드람 코호몰로지류 [ ω ] ∈ H 2 ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle [\omega ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {R} )} 를 생각하자. 그렇다면, 0 ≠ [ ω ] ( dim ⁡ M ) / 2 ∈ H dim ⁡ M ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle 0\neq [\omega ]^{(\dim M)/2}\in \operatorname {H} ^{\dim M}(M;\mathbb {R} )} 이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 M {\displaystyle M} 의 코호몰로지 길이는 ( dim ⁡ M ) / 2 {\displaystyle (\dim M)/2} 이상이며, dim ⁡ M 2 ≤ cat ⁡ M {\displaystyle {\frac {\dim M}{2}}\leq \operatorname {cat} M} 이다. 반면, M {\displaystyle M} 이 단일 연결 공간이므로 cat ⁡ M ≤ ( dim ⁡ M ) / 2 {\displaystyle \operatorname {cat} M\leq (\dim M)/2} 이다. 라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다. 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(catégorie, категорий)라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다. 부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(영어판)가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 투도르 가네아(영어판)가 도입하였다. 1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오(일본어: 岩瀬 則夫)가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다. 가네아 추측 단면 범주 - 류스테르니크-시니렐만 범주를 올다발에 대해 일반화한 개념. Cornea, Octav; Lupton, Gregory; Oprea, John; Tanré, Daniel (2003). 《Lusternik-Schnirelmann category》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 103. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/103. ISBN 978-0-8218-3404-6. MR 1990857. 2018년 6월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 6월 7일에 확인함.  James, I. M. (1978). “On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann”. 《Topology》 (영어) 17 (4): 331–348. doi:10.1016/0040-9383(78)90002-2.  Ganea, Tudor (1965). “A generalization of the homology and homotopy suspension”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (영어) 39. doi:10.1007/BF02566956. MR 0179791.  Doeraene, Jean-Paul; El Haouari, Mohammed (2006년 3월). “The Ganea and Whitehead variants of the Lusternik–Schnirelmann Category”. 《Canadian Mathematical Bulletin》 (영어) 49 (1): 41–54. doi:10.4153/CMB-2006-005-4. ISSN 0008-4395.  Weber, Joa (2017). “Conley pairs in geometry — Lusternik–Schnirelmann theory and more” (영어). arXiv:1709.05010. Bibcode:v.  Hess, Kathryn (2006). “Rational homotopy theory: a brief introduction” (영어). arXiv:math/0604626. Bibcode:2006math......4626H.  Lusternik, L. (1931). 〈Sur quelques méthodes topologiques dans la géométrie différentielle〉. 《Atti del IV Congresso internazionale dei matematici (Bologna, 1928)》 (PDF) (프랑스어) 4. N. Zanichelli. 291–296쪽. JFM 57.0729.01.  Люстерник, Лазарь Аронович; Шнирельман, Лев Генрихович (1947). “Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей” (PDF). 《Успехи математических наук》 (러시아어) 2 (1): 166–217. MR 29532.  Iwase, Norio (1998). “Ganea’s conjecture on Lusternik–Schnirelmann category”. 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 30 (6): 623–634. doi:10.1112/S0024609398004548. MR 1642747.  “Category (in the sense of Lyusternik-Shnirel'man)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.