오리엔티폴드

끈 이론에서 오리엔티폴드(orientifold)란 끈의 세계면의 방향 반전 연산자를 게이지하여 없앤 경우를 일컫는다. ⅡB종 초끈 이론의 기본 끈의 세계면의 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 2차원 등각 장론에는 다음과 같은 연산자들이 존재한다. Ω {\displaystyle \Omega } : 끈의 방향을 뒤집는다. 즉, 왼쪽 진동 모드와 오른쪽 진동 모드를 서로 바꾼다. ( − ) F L {\displaystyle (-)^{F_{L}}} : 왼쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 −1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 +1로 작용한다. ( − ) F R {\displaystyle (-)^{F_{R}}} : 오른쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 +1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 −1로 작용한다. 이들은 Ω 2 = ( ( − ) F L ) 2 = ( ( − ) F R ) 2 = 1 {\displaystyle \Omega ^{2}=((-)^{F_{L}})^{2}=((-)^{F_{R}})^{2}=1} Ω ( − ) F L = ( − ) F R Ω {\displaystyle \Omega (-)^{F_{L}}=(-)^{F_{R}}\Omega } 를 따르며, 크기 8의 정이면체군 Dih ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)} 을 이룬다.:§2.2 보다 일반적으로, 시공간 M {\displaystyle M} 의 방향을 보존하는 대합 I : M → M {\displaystyle I\colon M\to M} 에 대하여, I Ω {\displaystyle I\Omega } 등은 ⅡB 끈 세계면 이론의 대칭을 이룬다. ⅡA의 경우, Ω {\displaystyle \Omega } 는 끈 세계면 이론의 대칭이 아니며, 대신 방향을 바꾸는 대합 I : M → M {\displaystyle I\colon M\to M} 와 합성하였을 때 I Ω {\displaystyle I\Omega } 등은 끈 세계변 이론의 대칭을 이룬다. 끈이 움직이는 시공간 M {\displaystyle M} 이 어떤 (유한) 대칭군 G {\displaystyle G} 를 갖는다고 하자. 그렇다면, 총 대칭군 G × Dih ⁡ ( 4 ) {\displaystyle G\times \operatorname {Dih} (4)} 의 임의의 부분군 H ≤ G × Dih ⁡ ( 4 ) {\displaystyle H\leq G\times \operatorname {Dih} (4)} 을 골라, 게이지 대칭으로 간주할 수 있다. 이 경우, 만약 H ≤ G × { 1 } {\displaystyle H\leq G\times \{1\}} 이라면 (즉, 끈 세계면 2차원 등각 장론의 대칭을 사용하지 않는다면) 이는 일반 오비폴드 M / H {\displaystyle M/H} 위의 끈과 같다. 그러나 일반적으로 H ≰ G × { 1 } {\displaystyle H\not \leq G\times \{1\}} 이라면, 이를 오리엔티폴드라고 한다. 흔히 사용되는 경우는 H = { ( 1 , 1 ) , ( g , Ω ) } {\displaystyle H=\{(1,1),(g,\Omega )\}} 이며 g 2 = 1 {\displaystyle g^{2}=1} 인 경우이다. 이 경우, g {\displaystyle g} 의 고정점의 집합을 오리엔티폴드 평면이라고 한다. 차원에 따라, p + 1 {\displaystyle p+1} 차원의 오리엔티폴드 평면을 O p {\displaystyle p} 평면으로 부른다. O-평면은 D-막과 같이 게이지 전하를 지니나, 이들은 D-막과 달리 음의 장력을 지니며, 또한 동적이지 않다. (즉 O-평면에 국한된 진동모드가 없다.) 예를 들어, G {\displaystyle G} 가 자명한 ( G = 1 {\displaystyle G=1} ) 경우 과녁 공간 전체를 차지하는 O9-평면이 존재한다. 보다 일반적으로, Dih ⁡ ( 4 ) = { 1 , ( − ) F L + F R , Ω , Ω ( − ) F L + F R , ( − ) F L , ( − ) F R , Ω ( − ) F L , Ω ( − ) F R } {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)=\{1,(-)^{F_{L}+F_{R}},\Omega ,\Omega (-)^{F_{L}+F_{R}},(-)^{F_{L}},(-)^{F_{R}},\Omega (-)^{F_{L}},\Omega (-)^{F_{R}}\}} 에서, 총 페르미온 수 ( − ) F L + F R {\displaystyle (-)^{F_{L}+F_{R}}} 를 삽입하는 것은 오리엔티폴드를 반(反) 오리엔티폴드로 바꾸는 것에 해당한다.:319, §10.6 이를 무시하면 (즉, 몫군 Dih ⁡ ( 4 ) ↠ Cyc ⁡ ( 2 ) 3 {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)\twoheadrightarrow \operatorname {Cyc} (2)^{3}} 을 취하면), 항등원이 아닌 세 개의 원소가 남는다. 에드워드 위튼은 이를 다음과 같이 명명하였다. (ⅰ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅰ) orientifold): Ω {\displaystyle \Omega } (ⅱ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅱ) orientifold): ( − ) F L {\displaystyle (-)^{F_{L}}} (또는 ( − ) F R {\displaystyle (-)^{F_{R}}} ) (ⅲ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅲ) orientifold): Ω ( − ) F L {\displaystyle \Omega (-)^{F_{L}}} (또는 Ω ( − ) F R {\displaystyle \Omega (-)^{F_{R}}} ) 이 경우, 사용되는 원소 X {\displaystyle X} 는 페르미온에 대하여 X 2 = + 1 {\displaystyle X^{2}=+1} 이 되어야 한다. 이 조건을 풀면, Op-평면에 사용되는 연산자는 다음과 같다.:(2.1), §2.1:317, Table 10.3 I 9 − p Ω ⋅ { 1 p ≡ 0 , 1 ( mod 4 ) ( − ) F L p ≡ 2 , 3 ( mod 4 ) {\displaystyle I_{9-p}\Omega \cdot {\begin{cases}1&p\equiv 0,1{\pmod {4}}\\(-)^{F_{L}}&p\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}} 물론, ⅡA에서 p는 짝수이며, ⅡB에서 p는 홀수이다. 이는 음의 라몽-라몽 전하의 경우이다. 정이면체군 Dih(4)의 중심의 원소 ( − ) F {\displaystyle (-)^{F}} 를 여기에 추가로 삽입할 수 있으며, 이를 삽입하면 양의 라몽-라몽 전하를 얻는다. 이것들은 오리엔티폴드 반(反)평면(영어: anti-orientifold plane)에 해당한다.:§2 위 표에서 물론 ( − ) F L {\displaystyle (-)^{F_{L}}} 을 사용하는지, ( − ) F R {\displaystyle (-)^{F_{R}}} 를 사용하는지는 임의적이지만, 이는 어느 것을 D-막으로, 어느 것을 반(反) D-막으로 간주하는지에 대응한다. 보다 일반적인 오리엔티폴드 평면의 종류도 존재한다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면 근처에 꼬임 부분군에 해당하는 캘브-라몽 장 또는 ( p ≤ 6 {\displaystyle p\leq 6} 일 때) 라몽-라몽 장 장세기를 추가할 수 있다. 물론, 위 경우 모두에 대하여 ( − ) F {\displaystyle (-)^{F}} 를 삽입하여 반(反)평면을 생각할 수 있다. 이 경우 장력은 그대로지만 라몽-라몽 전하의 부호가 반대가 된다. 위 표에서, Õp−-평면은 Op−평면과 ½개의 Dp-막이 결합한 상태로 여길 수 있다. 오리엔티폴드 평면은 D-막과 마찬가지로 라몽-라몽 장에 대하여 대전돼 있으며, 음의 장력을 가진다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면의 D-막 전하는 다음과 같다. 이는 T-이중성으로 계산할 수 있다. Ⅰ종 끈 이론에서 O9-평면은 −32개의 D9-막과 같은 전하를 가지고 있다. 이를 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 에 축소화하여 T-이중성을 가하면, 2 n {\displaystyle 2^{n}} 개의 O ( 9 − n ) {\displaystyle (9-n)} -평면이 32개의 D ( 9 − n ) {\displaystyle (9-n)} -막과 같은 전하를 가짐을 알 수 있다. ( 2 n {\displaystyle 2^{n}} 은 원환면에서 모든 좌표를 뒤집는 대칭의 고정점의 수이다.) 예를 들어, 한 번 T-이중성을 가한 Ⅰ′종 끈 이론은 선분 위에 ⅡA종 초끈 이론을 축소화한 것으로, 선분의 양끝에는 O8-평면과 각각 16개의 D8-막이 존재한다. 위 표에서, “ k {\displaystyle k} 개의 D-막”이란 오리엔티폴드를 가하기 이전의 D-막의 수이다. 오리엔티폴드를 가하면 서로 대응되는 D-막의 쌍이 하나로 여겨지게 된다. (즉, k {\displaystyle k} 는 항상 짝수이며, 이는 게이지 군 O(k)를 발생시킨다.) Ⅰ종 끈 이론을 생각하자. 이 경우, ⅡB종 끈 이론에서 H = { ( 1 , Ω ) } {\displaystyle H=\{(1,\Omega )\}} 에 대한 오리엔티폴드를 취한 것이다. 이 경우, 항등 함수의 고정점은 시공간 전체이므로, 이는 O9-평면에 해당한다. 올챙이 파인먼 도형을 상쇄시키기 위하여, 진공의 라몽-라몽 전하가 0이 되게 하기 위하여 32개의 D9-막을 추가해야 한다. 그렇다면 O(32) 게이지 군을 얻으며, 이는 Ⅰ종 끈 이론의 게이지 군에 해당한다. 1989년에 잔프란코 프라디시(이탈리아어: Gianfranco Pradisi)와 아우구스토 사뇨티(이탈리아어: Augusto Sagnotti), 다이진(중국어: 戴瑾, 병음: Dài Jǐn), 로버트 리(영어: Robert G. Leigh), 조지프 폴친스키가 발견하였다. 다이·리·폴친스키 논문은 D-막의 발견 논문이기도 하다. ‘오리엔티폴드’(영어: orientifold)란 영어: orientation 오리엔테이션[*](방향)과 ‘오비폴드’의 합성어이다. Dabholkar, Atish (1998). “Lectures on orientifolds and duality” (영어). arXiv:hep-th/9804208. Bibcode:1998hepc.conf..128D.  Angelantonj, C.; Sagnotti, A. (2002). “Open strings”. 《Physics Reports》 371: 1. arXiv:hep-th/0204089. Bibcode:2002PhR...371....1A. doi:10.1016/S0370-1573(02)00273-9. ISSN 0370-1573.  오류 정정: Angelantonj, C.; A. Sagnotti (2003). “Erratum to ‘Open strings’: [Phys. Rep. 371 (2002) 1–150]”. 《Physics Reports》 376 (6): 407. Bibcode:2003PhR...376..407A. doi:10.1016/S0370-1573(03)00006-1. ISSN 0370-1573.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Brunner, Ilka; Kentaro Hori (2004년 8월 17일). “Notes on orientifolds of rational conformal field theories”. 《Journal of High Energy Physics》 2004 (7): 23. arXiv:hep-th/0208141. doi:10.1088/1126-6708/2004/07/023. ISSN 1029-8479.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Blumenhagen, Ralph; Lüst, Dieter; Theisen, Stefan. 《Basic concepts of string theory》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-29497-6. ISBN 978-3-642-29496-9.  Witten, Edward. “D-branes and K-theory” (영어). arXiv:hep-th/9810188.  Bergman, Oren; Gimon, Eric; Sugimoto, Shigeki (2001). “Orientifolds, RR Torsion, and K-theory”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 0105: 047. arXiv:hep-th/0103183. doi:10.1088/1126-6708/2001/05/047.  Kachru, Shamit; Kumar, Jason; Silverstein, Eva (2000). “Orientifolds, RG flows, and closed string tachyons”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 17 (5): 1139-1150. arXiv:hep-th/9907038. doi:10.1088/0264-9381/17/5/323.  Hanany, Amihay; Kol, Barak (2000). “On orientifolds, discrete torsion, branes and M theory” (영어) 0006: 013. arXiv:hep-th/0003025. doi:10.1088/1126-6708/2000/06/013.  Distler, Jacques; Freed, Daniel S.; Moore, Gregory W. (2010). “Orientifold Précis”. arXiv:0906.0795.  Mukhi, Sunil (1997). “Orientifolds: the unique personality of each spacetime dimension” (영어). arXiv:hep-th/9710004.  Pradisi, Gianfranco; Sagnotti, Augusto (1989년 1월 5일). “Open string orbifolds”. 《Physics Letters B》 216 (1–2): 59–67. doi:10.1016/0370-2693(89)91369-5.  Dai, Jin; Leigh, Robert G.; Polchinski, Joseph (1989년 10월 20일). “New connections between string theories”. 《Modern Physics Letters A》 (영어) 4 (21): 2073–2083. doi:10.1142/S0217732389002331.  “Orientifold”. 《nLab》 (영어).  “Orientifold plane”. 《nLab》 (영어).