구성 가능 전체

집합론에서 구성 가능 전체(構成可能全體, 영어: constructible universe)는 재귀적으로 1차 논리로 정의 가능한 집합들로 구성된 모임이다. 구성 가능 전체는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형을 이루며, 그 속에는 선택 공리 · 일반화 연속체 가설 · 다이아몬드 원리와 같은 여러 명제들이 성립한다. 구성 가능성 공리(構成可能性公理, 영어: axiom of constructibility, 기호 V = L {\displaystyle V=L} )는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 모임 A 1 , A 2 , … , A n {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 A 1 ( − ) , … , A n ( − ) {\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}(-),\dots ,{\mathsf {A}}_{n}(-)} 가 추가된 언어 L ∈ , A 1 , … , A n {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}} 의 모형 ⟨ X , ∈ , A 1 , … , A n ⟩ {\displaystyle \langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle } 를 생각하자. 이 모형에서 A i ( x ) {\displaystyle {\mathsf {A}}_{i}(x)} 의 해석은 x ∈ A i {\displaystyle x\in A_{i}} 이며, x ∈ y {\displaystyle x\in y} 의 해석은 표준적이다 (즉, 추이적 모형이다). 그렇다면, 집합 X {\displaystyle X} 의 ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{n})} -구성 가능 멱집합(-構成可能冪集合, 영어: ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{n})} -constructible power set) Def A 1 , … , A n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}(X)} 는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 L ∈ , A 1 , … , A n {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}} 언어의 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 ∈ {\displaystyle \in } 및 1항 관계 A 1 , … , A n {\displaystyle {\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}} 에 대한, n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 ϕ ∈ L ∈ , A 1 , … , A n {\displaystyle \phi \in {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}} 및 x 1 , … , x n ∈ X {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X} 에 대하여, 다음과 같다. Def ⁡ ( X ) = { { y ∈ X : ⟨ X , ∈ , A 1 , … , A n ⟩ ⊨ ϕ ( y , x 1 , … , x n ) } : ϕ ∈ L ∈ , x 1 , … , x n ∈ X } {\displaystyle \operatorname {Def} (X)=\left\{\{y\in X\colon \langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle \models \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})\}\colon \phi \in {\mathcal {L}}_{\in },\;x_{1},\dots ,x_{n}\in X\right\}} 정의 가능 멱집합 연산 Def A 1 , … , A n {\displaystyle \operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}} 은 집합을 그 멱집합의 부분 집합으로 대응시키며, 따라서 누적 위계를 정의한다. 추이적 집합 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, Def A 1 , … , A n {\displaystyle \operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}} 에 의하여 정의되는 누적 위계를 L α [ A 1 , … , A n ] ( X ) {\displaystyle L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)} 로 표기하며, 구성 가능 위계(영어: constructible hierarchy)라고 한다. 흔히 X = ∅ {\displaystyle X=\varnothing } 일 경우 L [ A 1 , A 2 , … , A n ] ( ∅ ) = L {\displaystyle L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L} 로 표기하며, n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 흔히 L ( X ) {\displaystyle L(X)} 로 표기한다. (일부 문헌에서는 L ( X ) {\displaystyle L(X)} 를 대신 L ( { X } ∪ X ) {\displaystyle L(\{X\}\cup X)} 로 정의한다. 물론, 만약 X ∈ L {\displaystyle X\in L} 이라면 이는 차이가 없다.) L {\displaystyle L} 의 원소를 구성 가능 집합(構成可能集合, 영어: constructible set)이라고 한다. L ( − ) {\displaystyle L(-)} 과 L [ − ] {\displaystyle L[-]} 의 차이에 대하여 가나모리 아키히로는 다음과 같이 적었다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 일반적으로 다음이 성립한다. Def ⁡ ( X ) ⊆ Def A ⁡ ( X ) ⊆ P ( X ) {\displaystyle \operatorname {Def} (X)\subseteq \operatorname {Def} _{A}(X)\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 물론, 만약 A ∩ X ∈ Def ⁡ ( X ) {\displaystyle A\cap X\in \operatorname {Def} (X)} 라면 Def A ⁡ ( X ) = Def ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Def} _{A}(X)=\operatorname {Def} (X)} 이다. 항상 { Y ⊆ X : | Y | < ℵ 0 } ⊆ Def ⁡ ( X ) {\displaystyle \{Y\subseteq X\colon |Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)} { Y ⊆ X : | X ∖ Y | < ℵ 0 } ⊆ Def ⁡ ( X ) {\displaystyle \{Y\subseteq X\colon |X\setminus Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)} 이다. 특히, 만약 X {\displaystyle X} 가 유한 집합이라면 임의의 A {\displaystyle A} 에 대하여 Def ⁡ ( X ) = Def A ⁡ ( X ) = P ( X ) {\displaystyle \operatorname {Def} (X)=\operatorname {Def} _{A}(X)={\mathcal {P}}(X)} 이다. Def ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Def} (X)} 및 Def A ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Def} _{A}(X)} 는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있어, P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 불 대수를 이룬다. 항상 다음이 성립한다. X ⊆ L ( X ) {\displaystyle X\subseteq L(X)} 그러나 X ∈ L ( X ) {\displaystyle X\in L(X)} 일 필요는 없으며, A ⊆ L [ A ] {\displaystyle A\subseteq L[A]} 이거나 A ∈ L [ A ] {\displaystyle A\in L[A]} 일 필요는 없다. 각 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 L α ⊆ V α {\displaystyle L_{\alpha }\subseteq V_{\alpha }} L α ⊆ L α ( A ) [ X ] {\displaystyle L_{\alpha }\subseteq L_{\alpha }(A)[X]} 이다. 또한, 만약 α {\displaystyle \alpha } 가 유한하다면 L α = V α {\displaystyle L_{\alpha }=V_{\alpha }} 이다. 구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, V = L {\displaystyle V=L} 이라는 명제이다 ( V {\displaystyle V} 는 폰 노이만 전체). 즉, 구성 가능성 공리에 따르면 임의의 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여 S ∈ L α {\displaystyle S\in L_{\alpha }} 인 순서수 α {\displaystyle \alpha } 가 존재한다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 α = ℵ α {\displaystyle \alpha =\aleph _{\alpha }} 라면, L α = V α {\displaystyle L_{\alpha }=V_{\alpha }} 이다. (예를 들어, 이는 α {\displaystyle \alpha } 가 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.) L {\displaystyle L} 은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 V {\displaystyle V} 의 내부 모형이다. 특히, V {\displaystyle V} 에서 선택 공리가 성립하지 않아도, L {\displaystyle L} 은 선택 공리를 만족시킨다. 이는 L {\displaystyle L} 은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, L α {\displaystyle L_{\alpha }} 의 정렬 순서가 주어졌다면, L α + 1 {\displaystyle L_{\alpha +1}} 의 원소는 L α {\displaystyle L_{\alpha }} 의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다. 또한, L {\displaystyle L} 에서는 다음 명제들이 성립한다. (따라서 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리는 아래 명제들을 함의한다.) 선택 공리 일반화 연속체 가설 G C H {\displaystyle {\mathsf {GCH}}} 구성 가능성 공리 V = L {\displaystyle V=L} 수슬린 가설의 부정 ¬ S H {\displaystyle \lnot {\mathsf {SH}}} 모든 화이트헤드 군은 자유 아벨 군 모든 집합은 순서수 정의 가능 집합 V = H O D {\displaystyle V={\mathsf {HOD}}} 다이아몬드 원리 ♢ {\displaystyle \diamondsuit } 0 # {\displaystyle 0^{\#}} 의 부재 (또한 그보다 더 강한 큰 기수의 부재) 르베그 가측 집합이 아닌 해석적 집합의 존재 L {\displaystyle L} 은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다. V {\displaystyle V} 의 내부 모형이다. 모든 순서수들을 포함한다. 다시 말해, 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 선택 공리를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다. 특히, 구성 가능성 공리가 큰 기수들의 존재와 모순되기 때문에, 플라톤주의적 수리철학 아래 보통 구성 가능성 공리는 집합론의 공리로 가정되지 않는다. 이에 대하여 퍼넬러피 매디(영어: Penelope Maddy)는 다음과 같이 적었다. 마찬가지로, 이에 대하여 가나모리 아키히로와 메나헴 마기도르는 다음과 같이 적었다. 1935년 가을에 쿠르트 괴델이 구성 가능 전체 L {\displaystyle L} 을 도입하였으며,:270, §4.9:280, §4.10 이를 통하여 이 선택 공리 및 일반화 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.:234 L ( X ) {\displaystyle L(X)} 는 1956년에 허이널 언드라스(헝가리어: Hajnal András, 1931~)가 도입하였으며,:234 L [ A ] {\displaystyle L[A]} 는 1957년에 아즈리엘 레비가 도입하였다.:235 이후 1972년에 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen)이 구성 가능 전체의 미세 구조(영어: fine structure)의 이론을 젠슨 위계(영어: Jensen hierarchy)를 통해 정립하였다. 구성 가능성 공리 추이적 집합 Kanamori, Akihiro (2006). “Levy and set theory” (PDF). 《Annals of Pure and Applied Logic》 (영어) 140: 233–252. doi:10.1016/j.apal.2005.09.009. 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