슈어 분해

선형대수학에서 슈어 분해(-分解, 영어: Schur decomposition)는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음인 상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다. 임의의 복소수 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 M {\displaystyle M} 의 (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, 영어: (complex) Schur decomposition)라고 한다 ( ( − ) † {\displaystyle (-)^{\dagger }} 는 켤레 전치).:351, §7.1.3, Theorem 7.1.3:316, §8.5, Corollary M = Q T Q † {\displaystyle M=QTQ^{\dagger }} 여기서 Q {\displaystyle Q} 는 n × n {\displaystyle n\times n} 유니터리 행렬이다. T {\displaystyle T} 는 복소수 n × n {\displaystyle n\times n} 상삼각 행렬이다. 이 경우, T {\displaystyle T} 의 대각 성분들은 M {\displaystyle M} 의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약 M {\displaystyle M} 이 정규 행렬일 경우, T {\displaystyle T} 는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다). 임의의 실수 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 M {\displaystyle M} 의 실수 슈어 분해(實數-分解, 영어: real Schur decomposition)라고 한다 ( ( − ) ⊤ {\displaystyle (-)^{\top }} 은 전치 행렬).:377, §7.4.1, Theorem 7.4.1 M = Q T Q ⊤ {\displaystyle M=QTQ^{\top }} 여기서 Q {\displaystyle Q} 는 실수 n × n {\displaystyle n\times n} 직교 행렬이다. T {\displaystyle T} 는 실수 n × n {\displaystyle n\times n} 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수를 고윳값으로 갖는 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 행렬이다. 이 경우, M {\displaystyle M} 의 고윳값은 T {\displaystyle T} 의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은 T {\displaystyle T} 의 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 대각 성분이다. 만약 M {\displaystyle M} 의 모든 고윳값이 실수일 경우, T {\displaystyle T} 는 상삼각 행렬이 된다.:656 만약 M {\displaystyle M} 이 대칭 행렬일 경우, T {\displaystyle T} 는 대각 행렬이 된다. 임의의 두 복소수 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 ( M , N ) {\displaystyle (M,N)} 의 (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, 영어: (complex) generalized Schur decomposition)라고 한다.:406, §7.7.2, Theorem 7.7.1 M = Q S Z † {\displaystyle M=QSZ^{\dagger }} N = Q T Z † {\displaystyle N=QTZ^{\dagger }} 여기서 Q {\displaystyle Q} 와 Z {\displaystyle Z} 는 n × n {\displaystyle n\times n} 유니터리 행렬이다. S {\displaystyle S} 와 T {\displaystyle T} 는 복소수 n × n {\displaystyle n\times n} 상삼각 행렬이다. 이 경우, ( M , N ) {\displaystyle (M,N)} 의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다. σ ( M , N ) = σ ( S , T ) = { { S i i / T i i : T i i ≠ 0 } ∄ i ∈ { 1 , … , n } : S i i = T i i = 0 C ∃ i ∈ { 1 , … , n } : S i i = T i i = 0 {\displaystyle \sigma (M,N)=\sigma (S,T)={\begin{cases}\{S_{ii}/T_{ii}\colon T_{ii}\neq 0\}&\not \exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\\\mathbb {C} &\exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\end{cases}}} 임의의 두 복소수 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 ( M , N ) {\displaystyle (M,N)} 의 실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, 영어: real generalized Schur decomposition)라고 한다.:407, §7.7.2, Theorem 7.7.2 M = Q S Z ⊤ {\displaystyle M=QSZ^{\top }} N = Q T Z ⊤ {\displaystyle N=QTZ^{\top }} 여기서 Q {\displaystyle Q} 와 Z {\displaystyle Z} 는 실수 n × n {\displaystyle n\times n} 직교 행렬이다. S {\displaystyle S} 는 실수 n × n {\displaystyle n\times n} 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 또는 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 행렬이다. T {\displaystyle T} 는 실수 n × n {\displaystyle n\times n} 상삼각 행렬이다. 유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다. Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. MR 3024913. Zbl 1268.65037.  Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Schur decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.