보렐 집합

측도론에서 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다. 위상 공간 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 의 보렐 시그마 대수(Borelσ代數, 영어: Borel sigma-algebra) B ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X)} 또는 Δ 1 1 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)} 는 열린집합들의 집합 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.:68, §11.A:83, §3.1 (후자의 기호는 사영 위계의 표기법에서 유래한다.) X {\displaystyle X} 의 보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다. 보렐 측도(Borel測度, 영어: Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 보렐 가측 공간(영어: Borel measurable space)은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다. 만약 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 가 거리화 가능 공간일 경우, 보렐 시그마 대수 Δ 1 1 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)} 는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 순서수 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 에 대하여, 다음과 같은 보렐 위계(Borel位階, 영어: Borel hierarchy)를 정의하자.:68, §II.B Σ 1 0 ( X ) = U {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)={\mathcal {U}}} (모든 열린집합들의 집합) Π α 0 ( X ) = { X ∖ S : S ∈ Σ α 0 } {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)=\{X\setminus S\colon S\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}\}} Σ α 0 ( X ) = { ⋃ i ∈ N X i : ∀ i ∈ N ( X i ∈ Π α i 0 ∧ α i < α ) } ( α > 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)=\left\{\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}\colon \forall i\in \mathbb {N} (X_{i}\in {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha _{i}}^{0}\land \alpha _{i}<\alpha )\right\}\qquad (\alpha >1)} Δ α 0 ( X ) = Σ α 0 ( X ) ∩ Π α 0 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}(X)={\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)} 그렇다면 다음이 성립한다. ⋃ α < ω 1 Σ α 0 = ⋃ α < ω 1 Π α 0 = ⋃ α < ω 1 Δ α 0 = Δ 1 1 ( X ) {\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}={\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)} 임의의 순서수 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 에 대하여, Σ α 0 ( X ) ∪ Π α 0 ( X ) ⊆ Δ α + 1 0 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha +1}^{0}(X)} 즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.:69, §11.B Σ 1 0 Σ 2 0 ⋯ ↗ ↘ ↗ ↘ Δ 1 0 Δ 2 0 Δ 3 0 ⋯ ↘ ↗ ↘ ↗ Π 1 0 Π 2 0 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{3}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}&&&\cdots \end{matrix}}} 여기서 A → B {\displaystyle A\to B} 는 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 를 의미한다. 보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다. 두 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 S ⊆ Y {\displaystyle S\subseteq Y} 의 원상 f − 1 ( S ) ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(S)\subseteq X} 은 보렐 집합이다. (반면, 만약 X = Y = R {\displaystyle X=Y=\mathbb {R} } 일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다. 다음이 성립한다.:116 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 의 보렐 집합의 수는 다음과 같다. | Δ 1 1 ( X ) | = 2 min { | X | , ℵ 0 } {\displaystyle |{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)|=2^{\min\{|X|,\aleph _{0}\}}} 증명: 가산 폴란드 공간은 이산 공간이므로 자명하다. 따라서, X {\displaystyle X} 가 비가산 폴란드 공간(즉, R {\displaystyle \mathbb {R} } )라고 하자. 보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각하자. 이 경우 | Σ 1 0 ( R ) | = 2 ℵ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )|=2^{\aleph _{0}}} 이며, 초한 귀납법의 각 단계에서 ( 2 ℵ 0 ) ℵ 0 = 2 ℵ 0 {\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}} 이므로 집합의 크기는 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 을 초과하지 않는다. 반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는 | L ( R ) | = 2 2 ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {L}}(\mathbb {R} )|=2^{2^{\aleph _{0}}}} 이다. 이는 크기가 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다. 루진-노비코프 분리 정리에 따르면, 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 { A i } i ∈ I ⊆ Σ 1 1 ( X ) {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)} , | I | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |I|\leq \aleph _{0}} 에 대하여, 만약 ⋂ i ∈ I A i = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing } 이라면, ∀ i ∈ I : B i ⊇ A i {\displaystyle \forall i\in I\colon B_{i}\supseteq A_{i}} 이자 ⋂ i ∈ I B i = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}B_{i}=\varnothing } 인 보렐 집합들의 집합족 { B i } i ∈ I ⊆ Δ 1 1 ( X ) {\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)} 이 존재한다.:219, Theorem 28.5:155, Theorem 4.6.1 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 임의의 제1 범주 집합 M ⊆ X {\displaystyle M\subseteq X} 에 대하여, M ⊆ M ~ ∈ Σ 2 0 ( X ) {\displaystyle M\subseteq {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)} 인 제1 범주 집합 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 이 존재한다. 증명: 정의에 따라, M {\displaystyle M} 은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 { M i } i ∈ N {\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }} 들의 합집합으로 나타낼 수 있다. M = ⋃ i ∈ N M i {\displaystyle M=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }M_{i}} 조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로, M ~ = ⋃ i ∈ N cl ⁡ ( M i ) {\displaystyle {\tilde {M}}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} (M_{i})} 로 놓으면 자명하게 M ∈ M ~ ∈ Σ 2 0 ( X ) {\displaystyle M\in {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)} 이다. 준열린집합들의 집합족 BP ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {BP} (X)} 은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로,:47, Proposition 8.32 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.:71, Proposition 11.5 Δ 1 1 ( X ) ⊆ BP ⁡ ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\subseteq \operatorname {BP} (X)} 수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다. 공집합 ∅ {\displaystyle \varnothing } : Δ 1 0 ( R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )} 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } : Δ 1 0 ( R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )} 양의 실수 집합 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} : Σ 1 0 ( R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )} 음이 아닌 실수 집합 R ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}} : Π 1 0 ( R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )} 정수 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } : Π 1 0 ( R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )} 유리수 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } : Σ 2 0 ( R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(\mathbb {R} )} 무리수 집합 R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } : Π 2 0 ( R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(\mathbb {R} )} 거리화 가능 공간의 모든 열린집합은 Fσ 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 비가산 순서수 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 은 순서 위상을 부여하면 위상 공간을 이룬다. U {\displaystyle U} 가 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 의 고립점들의 집합이라고 하자. 그렇다면 U {\displaystyle U} 는 열린집합이며 비가산 집합이다. 반면 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 은 가산 콤팩트 공간이므로, 닫힌집합은 유한 집합과 동치이며, 따라서 U {\displaystyle U} 는 Fσ 집합이 아니다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.) 집합 A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } 가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자. a ∈ A {\displaystyle a\in A} 의 연분수 표현 a = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + 1 ⋱ {\displaystyle a=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}} 의 계수 a i {\displaystyle a_{i}} 가운데, a k i ∣ a k i + 1 {\displaystyle a_{k_{i}}\mid a_{k_{i+1}}} 인 부분 수열 a k 0 , a k 1 , … {\displaystyle a_{k_{0}},a_{k_{1}},\ldots } 이 존재한다. 그렇다면 A {\displaystyle A} 는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다. 보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.:xi:153, §11 "Fσ 집합"이라는 용어에서, F는 프랑스어: fermé 페르메[*](닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 프랑스어: somme 솜[*](합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.:23, §1.3 마찬가지로, "Gδ 집합"이라는 용어에서, G는 독일어: Gebiet 게비트[*](근방)의 머리글자이며, δ는 독일어: Durschnitt 두르슈니트[*](교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.:23, §1.3 Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. 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