클리퍼드 군

이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 K {\displaystyle K} -대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.:233, Lemma 5.1.4:149, §III.6.1 ( 1 − k ) a ∈ A 0 {\displaystyle (1-k)a\in A_{0}} , k a ∈ A 1 {\displaystyle ka\in A_{1}} 인 원소 k ∈ K {\displaystyle k\in K} 가 존재한다. 모든 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ K {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K} 에 대하여, a ∈ A ⊗ K K p {\displaystyle a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}} 는 동차 원소이다. 여기서 Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 는 환의 스펙트럼이며, K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} 는 K ∖ p {\displaystyle K\setminus {\mathfrak {p}}} 에서의 가환환의 국소화이다. 모든 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대하여, a ∈ A ⊗ K K m {\displaystyle a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {m}}} 는 동차 원소이다. 여기서 K m {\displaystyle K_{\mathfrak {m}}} 는 K ∖ m {\displaystyle K\setminus {\mathfrak {m}}} 에서의 가환환의 국소화이다. (물론 K {\displaystyle K} 가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 A lh × {\displaystyle A_{\text{lh}}^{\times }} 은 A {\displaystyle A} 의 가역원군 A × {\displaystyle A^{\times }} 의 부분군을 이룬다. A 0 × ⊆ A lh × ⊆ A × {\displaystyle A_{0}^{\times }\subseteq A_{\text{lh}}^{\times }\subseteq A^{\times }} 국소 동차 가역원 a ∈ A lh × {\displaystyle a\in A_{\text{lh}}^{\times }} 가 주어졌으며, k ∈ K {\displaystyle k\in K} 가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, A = ( 1 − k ) A ⊕ k A {\displaystyle A=(1-k)A\oplus kA} 이며, 다음과 같은 A {\displaystyle A} -자기 동형을 정의할 수 있다.:234:158, §III.6.5 Θ a : A → A {\displaystyle \Theta _{a}\colon A\to A} Θ a : b ↦ ( 1 − k ) x a x − 1 + k x α ( a ) x − 1 {\displaystyle \Theta _{a}\colon b\mapsto (1-k)xax^{-1}+kx\alpha (a)x^{-1}} 여기서 α : ( a 0 + a 1 ) ↦ ( a 0 − a 1 ) ∀ a 0 ∈ A 0 , a 1 ∈ A 1 {\displaystyle \alpha \colon (a_{0}+a_{1})\mapsto (a_{0}-a_{1})\qquad \forall a_{0}\in A_{0},a_{1}\in A_{1}} 는 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)} 의 클리퍼드 군(영어: Clifford group) Γ ( V , Q ; K ) ⊆ ( Cliff ⁡ ( V , Q ) ) lh × {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\subseteq (\operatorname {Cliff} (V,Q))_{\text{lh}}^{\times }} 은 다음과 같은 원소 x ∈ Cliff ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle x\in \operatorname {Cliff} (V,Q)} 로 구성된, 가역원군의 부분군이다.:228, §IV.6.1 x {\displaystyle x} 는 가역원이며 국소 동차 원소이다. Θ x ( V ) ⊆ V {\displaystyle \Theta _{x}(V)\subseteq V} 이다. 모든 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, Q ( Θ x ( v ) ) = Q ( v ) {\displaystyle Q(\Theta _{x}(v))=Q(v)} 이다. 즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)} 의 특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group) S Γ ⁡ ( V , Q ; K ) ⊆ Γ ( V , Q ; K ) ⊆ Cliff ⁡ ( V , Q ) × {\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)\subseteq \Gamma (V,Q;K)\subseteq \operatorname {Cliff} (V,Q)^{\times }} 은 다음과 같다.:228, §IV.6.1 S Γ ⁡ ( V , Q ; K ) = Γ ( V , Q ; K ) ∩ Cliff 0 ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)=\Gamma (V,Q;K)\cap \operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)} 즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다. 클리퍼드 군 Γ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)} 의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군(영어: pin group)이라고 한다.:230, §IV.6.2 Pin ⁡ ( V , Q ; K ) = { x ∈ Γ ( V , Q ; K ) : α ( x ) x = 1 } {\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)=\left\{x\in \Gamma (V,Q;K)\colon \alpha (x)x=1\right\}} 마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.:230, §IV.6.2 Spin ⁡ ( V , Q ; K ) = Pin ⁡ ( V , Q ; K ) ∩ S Γ ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\operatorname {Pin} (V,Q;K)\cap \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)} 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. Spin ⁡ ( V , Q ; K ) ⊂ Pin ⁡ ( V , Q ; K ) ∩ ∩ S Γ ⁡ ( V , Q ; K ) ⊂ Γ ⁡ ( V , Q ; K ) ∩ ∩ Cliff 0 ⁡ ( V , Q ; K ) × ⊂ Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) × {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\subset &\operatorname {Pin} (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\subset &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)^{\times }&\subset &\operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\times }\end{matrix}}} K {\displaystyle K} 가 체라고 하고, V {\displaystyle V} 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, Q {\displaystyle Q} 가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 K {\displaystyle K} -대수군의 짧은 완전열을 이룬다. 1 1 1 ↓ ↓ ↓ 1 → μ 2 ( K ) → K × → ( K × ) 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → Pin ⁡ ( V , Q ; K ) → Γ ⁡ ( V , Q ; K ) → K × → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → Ω ⁡ ( V , Q ; K ) → O ⁡ ( V , Q ; K ) → K × / ( K × ) 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}} 여기서 μ 2 ( K ) = { a ∈ K × : a 2 = 1 } {\displaystyle \mu _{2}(K)=\{a\in K^{\times }\colon a^{2}=1\}} 은 K {\displaystyle K} 에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다. ( K × ) 2 ⊆ K × {\displaystyle (K^{\times })^{2}\subseteq K^{\times }} 는 K × {\displaystyle K^{\times }} 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 K × / ( K × ) 2 {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 는 K {\displaystyle K} 의 제곱 유군이다. 준동형 Γ ( V , Q ; K ) → K × {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\to K^{\times }} 은 스피너 노름이다. 마찬가지로 O ⁡ ( V , Q ; K ) → K × / ( K × ) 2 {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다. Ω ⁡ ( V , Q ; K ) ⊆ O ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {\Omega } (V,Q;K)\subseteq \operatorname {O} (V,Q;K)} 는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 O ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)} 의 부분군이다. 준동형 Γ ⁡ ( V , Q ; K ) → O ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)} 는 클리퍼드 군의 V {\displaystyle V} 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. Pin ⁡ ( V , Q ; K ) → Ω ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {\Omega } (V,Q;K)} 역시 마찬가지다. 위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다. 1 1 1 ↓ ↓ ↓ 1 → μ 2 ( K ) → K × → ( K × ) 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → Spin ⁡ ( V , Q ; K ) → S Γ ⁡ ( V , Q ; K ) → K × → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → S Ω ⁡ ( V , Q ; K ) → SO ⁡ ( V , Q ; K ) → K × / ( K × ) 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}} (스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다. 1 1 ↓ ↓ 1 → μ 2 ( K ) → μ 2 ( K ) → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → Spin ⁡ ( V , Q ; K ) → Pin ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → S Ω ⁡ ( V , Q ; K ) → Ω ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &\mu _{2}(K)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}} 마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다. 1 1 ↓ ↓ 1 → K × → K × → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → S Γ ⁡ ( V , Q ; K ) → Γ ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → SO ⁡ ( V , Q ; K ) → O ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ ↓ 1 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &K^{\times }&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}} 여기서 Γ ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 {\displaystyle \operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2} 는 딕슨 불변량이며, Pin ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 {\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2} 는 그 제한이다. O ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2} 는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, SO ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 {\displaystyle \operatorname {SO} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2} 는 그 제한이다. K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 이며, V {\displaystyle V} 가 n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 공간이며, Q {\displaystyle Q} 가 비퇴화 이차 형식일 때, Cliff ⁡ ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )} 의 가역원군 Cliff ⁡ ( p , q ; R ) × {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )^{\times }} 은 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원 리 군을 이룬다. 만약 Q {\displaystyle Q} 가 음의 정부호 이차 형식이라면, Γ ( 0 , n ; R ) {\displaystyle \Gamma (0,n;\mathbb {R} )} 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 Γ 0 ( V , Q ; R ) {\displaystyle \Gamma _{0}(V,Q;\mathbb {R} )} 는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다. 1 → R × → Γ ⁡ ( 0 , n ; R ) → O ⁡ ( n ; R ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\to 1} 1 → R × → S Γ ⁡ ( 0 , n ; R ) → SO ⁡ ( n ; R ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {S\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1} 즉, Γ ( 0 , n ; R ) {\displaystyle \Gamma (0,n;\mathbb {R} )} 는 n ( n − 1 ) / 2 + 1 {\displaystyle n(n-1)/2+1} 차원 리 군이다. 전체 가역원군 Cliff ⁡ ( 0 , n ; R ) × {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )^{\times }} 은 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원 리 군이므로, 이는 여차원 2 n − n ( n − 1 ) / 2 − 1 {\displaystyle 2^{n}-n(n-1)/2-1} 의 부분군이다. 정의에 따라, 클리퍼드 군 Γ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)} 는 V {\displaystyle V} 위의 K {\displaystyle K} -선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 를 보존하며, 따라서 직교군 O ⁡ ( V , Q ; K ) = { f ∈ End K ⁡ ( V ) : Q ∘ f = Q } {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)=\{f\in \operatorname {End} _{K}(V)\colon Q\circ f=Q\}} 으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. Γ ( V , Q ; K ) → O ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)} 클리퍼드 군 Γ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)} 는 { v ∈ V : Q ( v ) ∈ K × } {\displaystyle \{v\in V\colon Q(v)\in K^{\times }\}} 를 부분 집합으로 포함한다 ( K × {\displaystyle K^{\times }} 는 K {\displaystyle K} 의 가역원군). 이 경우 v − 1 = v Q ( v ) {\displaystyle v^{-1}={\frac {v}{Q(v)}}} v u α ( v ) − 1 = − v u v Q ( v ) = v 2 u − v ( Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) ) Q ( v ) = u − v Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) Q ( v ) ∀ u ∈ V {\displaystyle vu\alpha (v)^{-1}=-{\frac {vuv}{Q(v)}}={\frac {v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}}=u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}\qquad \forall u\in V} 이다. 즉, v ∈ V {\displaystyle v\in V} 의 작용은 u {\displaystyle u} 를 축 v {\displaystyle v} 에 대하여 반사시키는 것이다. K {\displaystyle K} 가 체이며, V {\displaystyle V} 가 유한 차원 벡터 공간이며, Q {\displaystyle Q} 가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다. D : Pin ⁡ ( V , Q ; K ) → Z / 2 {\displaystyle D\colon \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2} D : x ↦ rank ⁡ ( u ↦ u − x u α ( x ) − 1 ) mod 2 {\displaystyle D\colon x\mapsto \operatorname {rank} (u\mapsto u-xu\alpha (x)^{-1}){\bmod {2}}} 즉, 이는 u {\displaystyle u} 로 인하여 생성되는 V {\displaystyle V} -선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다. D ( x ) = ( − 1 ) det ( u ↦ x u α ( x ) − 1 ) {\displaystyle D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha (x)^{-1})}} 핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다. Spin ⁡ ( V , Q ; K ) = ker ⁡ D = { x ∈ Pin ⁡ ( V , Q ; K ) : D ( x ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\ker D=\{x\in \operatorname {Pin} (V,Q;K)\colon D(x)=0\}} 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 비퇴화 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 에 대하여, 짧은 완전열 1 → μ 2 ( K sep ) → Pin ⁡ ( V , Q ; K sep ) → O ⁡ ( V , Q ; K sep ) → 1 {\displaystyle 1\to \mu _{2}(K^{\operatorname {sep} })\to \operatorname {Pin} (V,Q;K^{\operatorname {sep} })\to \operatorname {O} (V,Q;K^{\operatorname {sep} })\to 1} 에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 H ∙ ⁡ ( Gal ⁡ ( K sep / K ) ; − ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);-)} 의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다. 1 → μ 2 ( K ) → Pin ⁡ ( V , Q ; K ) → O ⁡ ( V , Q ; K ) → K × / ( K × ) 2 → H 1 ⁡ ( Gal ⁡ ( K sep / K ) ; Pin ⁡ ( V , Q ; − ) ) → H 1 ⁡ ( Gal ⁡ ( K sep / K ) ; O ⁡ ( V , Q ; − ) ) → H 2 ⁡ ( Gal ⁡ ( K sep / K ) ; μ 2 ( − ) ) {\displaystyle 1\to \mu _{2}(K)\to \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}\to \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {Pin} (V,Q;-))\to \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {O} (V,Q;-))\to \operatorname {H} ^{2}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\mu _{2}(-))} 여기서 0차 갈루아 코호몰로지 H 0 ⁡ ( Gal ⁡ ( K sep / K ) ; Pin ⁡ ( V , Q ; − ) ) = Pin ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {Pin} (V,Q;-))=\operatorname {Pin} (V,Q;K)} 등은 단순히 K {\displaystyle K} 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지 H 1 ⁡ ( Gal ⁡ ( K sep / K ) ; μ 2 ( − ) ) ≅ K × / ( K × ) 2 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\mu _{2}(-))\cong K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 는 제곱 유군이며, 연결 사상 O ⁡ ( V , Q ; K ) → K × / ( K × ) 2 {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 는 스피너 노름이 된다. 클리퍼드 대수 Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4.  Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008.  Porteous, Ian R. (1995년 10월). 《Clifford algebras and the classical groups》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 50. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511470912. ISBN 978-0-521-55177-9. MR 1369094. Zbl 0855.15019.  Hanke, Jonathan (2013). 〈Quadratic forms and automorphic forms〉. Alladi, Krishnaswami; Bhargava, Manjul; Savitt, David; Tiep, Pham Huu. 《Quadratic and higher degree forms》. Developments in Mathematics (영어) 31. Springer-Verlag. 109-168쪽. arXiv:1105.5759. Bibcode:2011arXiv1105.5759H. doi:10.1007/978-1-4614-7488-3_5. ISBN 978-1-4614-7487-6. ISSN 1389-2177. Zbl 1282.11017.  “Clifford algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). 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