모노이드 범주

범주론에서 모노이드 범주(monoid範疇, 영어: monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다. 모노이드 범주 ( C , ⊗ , I , α , λ , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 함자 ⊗ : C × C → C {\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 대상 I ∈ C {\displaystyle I\in {\mathcal {C}}} . 이를 항등원(恒等元, 영어: identity element)이라고 한다. 함자 ( − ⊗ − ) ⊗ − : C × C × C → C {\displaystyle (-\otimes -)\otimes -\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} , − ⊗ ( − ⊗ − ) : C × C × C → C {\displaystyle -\otimes (-\otimes -)\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 사이의 자연 동형 α : ( − ⊗ − ) ⊗ − ⇒ − ⊗ ( − ⊗ − ) {\displaystyle \alpha \colon (-\otimes -)\otimes -\Rightarrow -\otimes (-\otimes -)} . 그 성분을 α X Y Z : ( X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ ( Y ⊗ Z ) {\displaystyle \alpha _{XYZ}\colon (X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes (Y\otimes Z)} 로 쓰자. 이를 결합자(結合子, 영어: associator)라고 한다. 함자 I ⊗ : C → C {\displaystyle I\otimes \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} , Id C : C → C {\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 사이의 자연 동형 λ : I ⊗ ⇒ Id C {\displaystyle \lambda \colon I\otimes \Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}} . 그 성분을 λ X : I ⊗ X → X {\displaystyle \lambda _{X}\colon I\otimes X\to X} 로 쓰자. 이를 왼쪽 항등자(왼쪽恒等子, 영어: left unitor)라고 한다. 함자 ⊗ I : C → C {\displaystyle \otimes I\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} , Id C : C → C {\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 사이의 자연 동형 ρ : ⊗ I ⇒ Id C {\displaystyle \rho \colon \otimes I\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}} . 그 성분을 ρ X : X ⊗ I → X {\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\to X} 로 쓰자. 이를 오른쪽 항등자(오른쪽恒等子, 영어: right unitor)라고 한다. 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. (결합자의 일관성) 임의의 대상 X , Y , Z , W ∈ C {\displaystyle X,Y,Z,W\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, α X , Y , Z ⊗ W ∘ α X ⊗ Y , Z , W = id X ⊗ α Y , Z , W ∘ α X , Y ⊗ Z , W ∘ α X , Y , Z ⊗ id W {\displaystyle \alpha _{X,Y,Z\otimes W}\circ \alpha _{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname {id} _{X}\otimes \alpha _{Y,Z,W}\circ \alpha _{X,Y\otimes Z,W}\circ \alpha _{X,Y,Z}\otimes \operatorname {id} _{W}} . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. ( ( X ⊗ Y ) ⊗ Z ) ⊗ W → α ( X ⊗ ( Y ⊗ Z ) ) ⊗ W → α X ⊗ ( ( Y ⊗ Z ) ⊗ W ) α ↘ ↓ α ( X ⊗ Y ) ⊗ ( Z ⊗ W ) → α X ⊗ ( Y ⊗ ( Z ⊗ W ) ) {\displaystyle {\begin{matrix}((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&(X\otimes (Y\otimes Z))\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes ((Y\otimes Z)\otimes W)\\&{\scriptstyle \alpha }\searrow &&&\downarrow \scriptstyle \alpha \\&&(X\otimes Y)\otimes (Z\otimes W)&{\xrightarrow[{\alpha }]{}}&X\otimes (Y\otimes (Z\otimes W))\end{matrix}}} (항등원의 일관성) 임의의 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, α X , I , Y ∘ id X ⊗ λ Y = ρ X ⊗ id Y {\displaystyle \alpha _{X,I,Y}\circ \operatorname {id} _{X}\otimes \lambda _{Y}=\rho _{X}\otimes \operatorname {id} _{Y}} . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다. ( X ⊗ I ) ⊗ Y → α X ⊗ ( I ⊗ Y ) ρ ↘ ↓ λ X ⊗ Y {\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes I)\otimes Y&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes (I\otimes Y)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \lambda \\&&X\otimes Y\end{matrix}}} 두 모노이드 범주 ( C , ⊗ , I , α , λ , ρ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )} 와 ( C ′ , ⊗ ′ , I ′ , α ′ , λ ′ , ρ ′ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}',\otimes ',I',\alpha ',\lambda ',\rho ')} 가 주어졌다고 하자. 모노이드 함자(monoid函子, 영어: monoidal functor) ( F , ξ , ξ 0 ) {\displaystyle (F,\xi ,\xi _{0})} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 함자 F : C → C ′ {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'} 자연 동형 ξ X Y : F ( X ) ⊗ ′ F ( Y ) → F ( X ⊗ Y ) {\displaystyle \xi _{XY}:F(X)\otimes 'F(Y)\to F(X\otimes Y)} 동형 사상 ξ 0 : I ′ → F ( I ) {\displaystyle \xi _{0}:I'\to F(I)} 이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. (결합성) 임의의 X , Y , Z ∈ C {\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다. ( F ( X ) ⊗ ′ F ( Y ) ) ⊗ ′ F ( Z ) → ξ ⊗ id F ( X ⊗ Y ) ⊗ ′ F ( Z ) → ξ F ( ( X ⊗ Y ) ⊗ Z ) ↓ α ′ ↓ F ( α ) F ( X ) ⊗ ′ ( F ( Y ) ⊗ ′ F ( Z ) ) → id ⊗ ξ F ( X ) ⊗ ′ F ( Y ⊗ Z ) → ξ F ( X ⊗ ( Y ⊗ Z ) ) {\displaystyle {\begin{matrix}(F(X)\otimes 'F(Y))\otimes 'F(Z)&{\xrightarrow {\xi \otimes \operatorname {id} }}&F(X\otimes Y)\otimes 'F(Z)&{\xrightarrow {\xi }}&F((X\otimes Y)\otimes Z)\\\downarrow \scriptstyle \alpha '&&&&\downarrow \scriptstyle F(\alpha )\\F(X)\otimes '(F(Y)\otimes 'F(Z))&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \xi }]{}}&F(X)\otimes 'F(Y\otimes Z)&{\xrightarrow[{\xi }]{}}&F(X\otimes (Y\otimes Z))\end{matrix}}} (항등성) 임의의 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음 두 그림이 가환 그림이다. I ′ ⊗ ′ F ( X ) → ξ 0 ⊗ id F ( I ) ⊗ ′ F ( X ) ↓ λ ′ ↓ ξ F ( X ) ← F ( λ ) F ( I ⊗ X ) F ( X ) ⊗ ′ I ′ → id ⊗ ξ 0 F ( X ) ⊗ ′ F ( I ) ↓ ρ ′ ↓ ξ F ( X ) ← F ( ρ ) F ( X ⊗ I ) {\displaystyle {\begin{matrix}I'\otimes 'F(X)&{\xrightarrow {\xi _{0}\otimes \operatorname {id} }}&F(I)\otimes 'F(X)\\\downarrow \scriptstyle \lambda '&&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&{\xleftarrow {F(\lambda )}}&F(I\otimes X)\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}F(X)\otimes 'I'&{\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \xi _{0}}}&F(X)\otimes 'F(I)\\\downarrow \scriptstyle \rho '&&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&{\xleftarrow {F(\rho )}}&F(X\otimes I)\end{matrix}}} 모든 ξ X Y {\displaystyle \xi _{XY}} 와 ξ 0 {\displaystyle \xi _{0}} 가 동형 사상이면, F {\displaystyle F} 를 엄격한 모노이드 함자(영어: strict monoidal functor)라고 한다. 모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상 X , Y {\displaystyle X,Y} 에 대하여, X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X {\displaystyle X\otimes Y\cong Y\otimes X} 일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 대칭 모노이드 범주의 개념을 얻는다. 모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하면, 닫힌 모노이드 범주의 개념을 얻는다. (끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(영어: Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(영어: co-Cartesian monoidal category)라고 한다. 손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 매클레인 일관성 정리(Mac Lane一貫性定理, 영어: Mac Lane coherence theorem)를 증명하였다. 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(영어: Gregory Maxwell Kelly, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.:Theorem 3′ Etingof, Pavel; Gelaki, Shlomo; Nikshych, Dmitri; Ostrik, Victor (2015). 《Tensor categories》 (PDF). Mathematical Surveys and Monographs (영어) 205. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2024-6. ISSN 0076-5376.  Aguiar, Marcelo; Mahajan, Swapneel (2010). 《Monoidal functors, species and Hopf algebras》 (PDF). Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series (영어) 29. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4776-3. ISSN 1065-8599.  Mac Lane, Saunders (1963). “Natural associativity and commutativity”. 《Rice University Studies》 (영어) 49 (4): 28–46. ISSN 0035-4996. Zbl 0244.18008.  Kelly, Gregory Maxwell (1964년 12월). “On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc.”. 《Journal of Algebra》 (영어) 1 (4): 397–402. doi:10.1016/0021-8693(64)90018-3. ISSN 0021-8693.  “Closed monoidal category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Monoidal category”. 《nLab》 (영어).  “Monoidal functor”. 《nLab》 (영어).  “Oplax monoidal functor”. 《nLab》 (영어).  “Bilax monoidal functor”. 《nLab》 (영어).  “Frobenius monoidal functor”. 《nLab》 (영어).  “Strict monoidal category”. 《nLab》 (영어).  “Coherence theorem for monoidal categories”. 《nLab》 (영어).  “Mac Lane's proof of the coherence theorem for monoidal categories”. 《nLab》 (영어).