드람 코호몰로지

대수적 위상수학과 미분위상수학에서 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 매끄러운 선형 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 그렇다면, M {\displaystyle M} 위의 E {\displaystyle E} 값의 미분 형식 Ω ∙ ( M ; E ) = Γ ( E ⊗ ⋀ T ∗ M ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)=\Gamma \left(E\otimes \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M\right)} 을 정의할 수 있다. E {\displaystyle E} 위의 선형 다발 접속 ∇ : Γ ( E ) → Γ ( E ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)} 을 고르면, 이로부터 E {\displaystyle E} 값의 미분 형식의 외미분 d ∇ : Ω ∙ ( M ; E ) → Ω ∙ + 1 ( M ; E ) {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)} 을 정의할 수 있다. 그렇다면, d ∇ ∘ d ∇ {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\circ \mathrm {d} _{\nabla }} 는 ∇ {\displaystyle \nabla } 의 곡률에 비례하며, 만약 ∇ {\displaystyle \nabla } 가 평탄 선형 다발 접속이라면 d ∇ ∘ d ∇ = 0 {\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\circ \mathrm {d} _{\nabla }=0} 이다. 즉, 이 경우 공사슬 복합체 0 → Ω 0 ( M ; E ) → d ∇ Ω 1 ( M ; E ) → d ∇ ⋯ → d ∇ Ω dim ⁡ M ( M ; E ) → 0 {\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M;E)\,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }}{\to }}\,\Omega ^{1}(M;E)\,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }}{\to }}\,\dotsb \,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }}{\to }}\,\Omega ^{\dim M}(M;E)\to 0} 가 존재한다. 이를 드람 공사슬 복합체(de Rham共사슬複合體, 영어: de Rham cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지 H dR i ⁡ ( M ; E ) = ker ⁡ ( d ∇ ↾ Ω i ( M ; E ) ) im ⁡ ( d ∇ ↾ Ω i − 1 ( M ; E ) ) ( i ∈ N ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{i}(M;E)={\frac {\ker(\mathrm {d} _{\nabla }\upharpoonright \Omega ^{i}(M;E))}{\operatorname {im} (\mathrm {d} _{\nabla }\upharpoonright \Omega ^{i-1}(M;E))}}\qquad (i\in \mathbb {N} )} 를 E {\displaystyle E} 계수의 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology with coefficients in E {\displaystyle E} )라고 한다. 특히, E = M × R {\displaystyle E=M\times \mathbb {R} } 가 자명한 선형 다발 접속을 갖춘 자명한 선형 다발인 경우, E {\displaystyle E} 값의 미분 형식은 단순한 미분 형식이다. 만약 계수 E {\displaystyle E} 가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다. 다른 형식의 외미분인 미분 형식을 완전 미분 형식(完全微分形式, 영어: exact differential form)이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 미분 형식(닫힌微分形式, 영어: closed differential form)이라고 부른다. 따라서 드람 코호몰로지 H dR k ⁡ ( M ; E ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(M;E)} 는 E {\displaystyle E} 값의 k {\displaystyle k} 차 닫힌 미분 형식의 공간에서 E {\displaystyle E} 값의 k {\displaystyle k} 차 완전 미분 형식을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 안의 k-특이 사슬 C {\displaystyle C} 위에 k-형식 ω {\displaystyle \omega } 를 적분할 수 있다. 즉 ∫ C ω {\displaystyle \textstyle \int _{C}\omega } 가 정의 가능하다. 이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 H dR k ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(M)} 에서 실수 계수 특이 코호몰로지 H k ⁡ ( M ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(M;\mathbb {R} )} 으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드 람이 1931년에 증명하였다. 콤팩트 리만 다양체 위에는 호지 이론에 따라 조화 형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리(Hodge theorem)에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다. 또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)와 동형이다. 복소다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다. 임의의 두 매끄러운 벡터 다발 E , E ′ ↠ M {\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow M} 이 주어졌을 때, 다음이 성립하며, 이 동형 사상은 표준적이다. H dR ∙ ⁡ ( M ; E ⊕ E ′ ) ≅ H dR ∙ ⁡ ( M ; E ) ⊕ H dR ∙ ⁡ ( M ; E ′ ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E\oplus E')\cong \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E)\oplus \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E')} 즉, 자명한 벡터 다발과의 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다. H dR ∙ ⁡ ( M ; E ⊗ R n ) ≅ H dR ∙ ⁡ ( M ; E ) ⊗ R n {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E\otimes \mathbb {R} ^{n})\cong \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E)\otimes \mathbb {R} ^{n}} 특히, 0차원 벡터 다발 계수의 드람 코호몰로지는 자명군이다. H dR ∙ ⁡ ( M ; 0 ) ≅ 0 {\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;0)\cong 0} 항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자. n {\displaystyle n} 차원 초구의 코호몰로지 군은 H d R k ⁡ ( S n ) ≃ { R if  k = 0 , n 0 if  k ≠ 0 , n {\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(\mathbb {S} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}} 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 I {\displaystyle \mathbb {I} } 가 임의의 선분일 때에, H dR k ⁡ ( S n × I m ) ≃ { R if  k = 0 , n 0 if  k ≠ 0 , n {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(\mathbb {S} ^{n}\times \mathbb {I} ^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}} 도 성립한다. n {\displaystyle n} 차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다. H dR k ⁡ ( T n ) ≃ R ( n k ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(\mathbb {T} ^{n})\simeq \mathbb {R} ^{\binom {n}{k}}} 구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은 R n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} 를 말한다. 이때에, 뫼비우스의 띠 M {\displaystyle M} 는 원과 호모토피 동치이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다. H dR k ⁡ ( M ) ≃ H d R k ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(M)\simeq H_{dR}^{k}(S^{1})} 간단한 예로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 이 n {\displaystyle n} 개의 연결 성분을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다. H dR 0 ⁡ ( M ) = R n {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{0}(M)=\mathbb {R} ^{n}} 즉, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에서 정의된 매끄러운 함수의 기울기가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다. 호지 이론 올적분 층 (수학) 조용승 (1999년 4월). 《다양체의 미분위상수학》. 서울: 아르케. ISBN 89-88791-11-8.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic (2008). “Undergraduate lecture notes in De Rham–Hodge theory” (영어). arXiv:0807.4991. Bibcode:2008arXiv0807.4991I.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “De Rham cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “De Rham cohomology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “De Rham complex”. 《nLab》 (영어).  “De Rham theorem”. 《nLab》 (영어).  “Equivariant de Rham cohomology”. 《nLab》 (영어).