반사슬

순서론에서 반사슬(反사슬, 영어: antichain 앤티체인[*])은 서로 다른 두 원소가 비교될 수 없는, 원순서 집합의 부분 집합이며, 사슬(영어: chain 체인[*])은 서로 두 원소가 항상 비교될 수 있는, 원순서 집합의 부분 집합이다. 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 반사슬은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 이다. 임의의 a , a ′ ∈ A {\displaystyle a,a'\in A} 에 대하여, a ≲ a ′ {\displaystyle a\lesssim a'} 라면 a = a ′ {\displaystyle a=a'} 이다. 원순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 사슬은 원전순서 집합인 부분 집합 C ⊂ P {\displaystyle C\subset P} 이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 C ⊆ P {\displaystyle C\subseteq P} 이다. 임의의 c , c ′ ∈ C {\displaystyle c,c'\in C} 에 대하여, c ≲ c ′ {\displaystyle c\lesssim c'} 이거나 c ≳ c ′ {\displaystyle c\gtrsim c'} 이다. 즉, 반사슬 속의 서로 다른 두 원소는 항상 비교 불가능하며, 사슬 속의 서로 다른 두 원소는 항상 비교 가능하다. 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 사슬들의 집합과 반사슬들의 집합은 각각 부분 집합 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이에 대하여 극대인 (반)사슬 (즉, 더 큰 반사슬에 포함되지 않는 (반)사슬)을 극대 (반)사슬(極大(反)사슬, 영어: maximal (anti-) chain)이라고 한다. 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 높이(영어: height) height ⁡ P {\displaystyle \operatorname {height} P} 는 P {\displaystyle P} 속의 사슬의 크기의 상한이다. 마찬가지로, 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 너비(영어: width) width ⁡ P {\displaystyle \operatorname {width} P} 는 P {\displaystyle P} 속의 반사슬의 크기의 상한이다. 임의의 부분 순서 집합 P {\displaystyle P} 에 대하여, P {\displaystyle P} 를 사슬들로 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 c ( P ) {\displaystyle c(P)} 라고 하자. 또 P {\displaystyle P} 를 반사슬들로도 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 a ( P ) {\displaystyle a(P)} 라고 하자. 한원소 집합은 사슬이자 반사슬이므로, 자명하게 c ( P ) ≤ | P | {\displaystyle c(P)\leq |P|} a ( P ) ≤ | P | {\displaystyle a(P)\leq |P|} 이다. 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 속의 사슬 C ⊆ P {\displaystyle C\subseteq P} 및 반사슬 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 에 대하여 | A ∩ C | ≤ 1 {\displaystyle |A\cap C|\leq 1} 이다. 따라서, 만약 P {\displaystyle P} 를 사슬 { C i } i ∈ I {\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}} 들로 분할하였을 때, 각 반사슬 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 에 대하여 | C i ∩ A | ≤ 1 {\displaystyle |C_{i}\cap A|\leq 1} 이므로 | A | ≤ | I | {\displaystyle |A|\leq |I|} 이며, 즉 width ⁡ P ≤ c ( P ) {\displaystyle \operatorname {width} P\leq c(P)} 이다.:303 반대로, 만약 P {\displaystyle P} 를 반사슬 { A j } j ∈ J {\displaystyle \{A_{j}\}_{j\in J}} 들로 분할하였을 때, 각 사슬 C ⊆ P {\displaystyle C\subseteq P} 에 대하여 | C ∩ A j | ≤ 1 {\displaystyle |C\cap A_{j}|\leq 1} 이므로 | C | ≤ | J | {\displaystyle |C|\leq |J|} 이며, 즉 height ⁡ P ≤ a ( P ) {\displaystyle \operatorname {height} P\leq a(P)} 이다. 딜워스 정리(Dilworth定理, 영어: Dilworth’s theorem) 및 미르스키 정리(Мирский定理, 영어: Mirsky’s theorem)에 따르면, 만약 P {\displaystyle P} 의 너비 또는 높이가 유한하다면 위 부등식들이 포화된다. 즉, 딜워스 정리에 따르면, 만약 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 너비가 유한하다면, 이는 c ( P ) {\displaystyle c(P)} 와 같다.:303 반대로, 미르스키 정리에 따르면, 만약 P {\displaystyle P} 의 높이가 유한하다면, 이는 a ( P ) {\displaystyle a(P)} 와 같다. width ⁡ P < ℵ 0 ⟹ width ⁡ P = c ( P ) {\displaystyle \operatorname {width} P<\aleph _{0}\implies \operatorname {width} P=c(P)} height ⁡ P < ℵ 0 ⟹ height ⁡ P = a ( P ) {\displaystyle \operatorname {height} P<\aleph _{0}\implies \operatorname {height} P=a(P)} 이 정리들은 무한한 너비 또는 높이의 부분 순서 집합에 대하여 기수로서 성립하지 않는다. 딜워스 정리와 미르스키 정리는 다음과 같이 그린-클라이트먼 정리(Greene-Kleitman定理, 영어: Greene–Kleitman theorem)로 일반화된다. 부분 순서 집합 P {\displaystyle P} 를 사슬로 다음과 같이 분할하였다고 하자. P = ⨆ C ∈ C C {\displaystyle P=\bigsqcup _{C\in {\mathcal {C}}}C} 또한, P {\displaystyle P} 위에 n {\displaystyle n} 개의 반사슬 A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}} 이 주어졌다고 하자. (이들이 서로소일 필요는 없다.) 그렇다면, 각 C ∈ C {\displaystyle C\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 C ∩ ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n ) ≤ min { | C | , n } {\displaystyle C\cap \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}\right)\leq \min\{|C|,n\}} 이므로, 자명하게 | A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n | ≤ ∑ C ∈ C min { | C | , n } {\displaystyle |A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}|\leq \sum _{C\in {\mathcal {C}}}\min\{|C|,n\}} 가 성립한다. P {\displaystyle P} 의 n {\displaystyle n} -너비(영어: n {\displaystyle n} -width) width n ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {width} _{n}(P)} 를 n {\displaystyle n} 개의 반사슬의 합집합의 크기의 상한으로 정의하고, P {\displaystyle P} 의 n {\displaystyle n} -높이(영어: n {\displaystyle n} -height) height n ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {height} _{n}(P)} 를 n {\displaystyle n} 개의 사슬의 합집합의 크기의 상한으로 정의하자. 마찬가지로, c n ( P ) {\displaystyle c_{n}(P)} 를 P {\displaystyle P} 의 사슬 분할 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대한 ∑ C ∈ C min { | C | , n } {\displaystyle \textstyle \sum _{C\in {\mathcal {C}}}\min\{|C|,n\}} 의 하한으로, a n ( P ) {\displaystyle a_{n}(P)} 를 P {\displaystyle P} 의 반사슬 분할 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에 대한 ∑ A ∈ A min { | A | , n } {\displaystyle \textstyle \sum _{A\in {\mathcal {A}}}\min\{|A|,n\}} 의 하한으로 정의하자. 그렇다면 위 논리에 의하여 자명하게 width n ⁡ P ≤ c n ( P ) {\displaystyle \operatorname {width} _{n}P\leq c_{n}(P)} height n ⁡ P ≤ a n ( P ) {\displaystyle \operatorname {height} _{n}P\leq a_{n}(P)} 가 성립한다. 그린-클라이트먼 정리에 따르면, 만약 P {\displaystyle P} 가 유한 부분 순서 집합이라면, 위 두 부등식들이 항상 포화된다. 딜워스 정리 · 미르스키 정리는 그린-클라이트먼 정리에서 n = 1 {\displaystyle n=1} 인 특수한 경우이다. 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 전순서 확대(영어: totally ordered extension)는 P {\displaystyle P} 위에 주어진 다음과 같은 전순서 ≤ ′ {\displaystyle \leq '} 이다. ∀ a , b ∈ P : a ≤ b ⟹ a ≤ ′ b {\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\leq b\implies a\leq 'b} 즉, P {\displaystyle P} 에 순서 관계를 추가하여 전순서로 만드는 것이다. 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 차원(영어: dimension) dim ⁡ P {\displaystyle \dim P} 는 다음 조건을 만족시키는 전순서 확대의 집합 { ≤ 1 , … , ≤ k } {\displaystyle \{\leq _{1},\dots ,\leq _{k}\}} 의 최소 크기이다. ∀ a , b ∈ P : a ≤ b ⟺ ( a ≤ 1 b ∧ a ≤ 2 b ∧ ⋯ ∧ a ≤ k b ) {\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\leq b\iff (a\leq _{1}b\land a\leq _{2}b\land \cdots \land a\leq _{k}b)} (여기서 ∧ {\displaystyle \land } 는 논리합이다.) 모든 부분 순서 집합은 하나 이상의 전순서 확대를 갖는다. 히라구치 정리에 의하면, dim ⁡ P ≤ c ( P ) {\displaystyle \dim P\leq c(P)} 이다.:82, (3.3) 만약 P {\displaystyle P} 의 너비가 유한하다면, 딜워스 정리에 의하여 dim ⁡ P ≤ width ⁡ P {\displaystyle \dim P\leq \operatorname {width} P} 가 된다. 공집합은 항상 자명하게 사슬이자 반사슬이다. 전순서 집합의 반사슬은 공집합이거나 아니면 하나의 원소만을 갖는 집합이다. 부분 순서 집합 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. P {\displaystyle P} 는 전순서 집합이다. P {\displaystyle P} 는 스스로 속의 사슬을 이룬다. P {\displaystyle P} 의 너비는 width ⁡ P = min { 1 , | P | } {\displaystyle \operatorname {width} P=\min\{1,|P|\}} 이다. 만약 P {\displaystyle P} 가 유한 부분 순서 집합이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다. P {\displaystyle P} 는 전순서 집합이다. P {\displaystyle P} 의 높이는 height ⁡ P = | P | {\displaystyle \operatorname {height} P=|P|} 이다. 집합 S {\displaystyle S} 의 멱집합 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합(사실 불 대수)를 이룬다. P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 속의 반사슬을 슈페르너 족(Sperner族, 영어: Sperner family)이라고 한다. 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 집합의 슈페르너 족의 수는 데데킨트 수(영어: Dedekind number)라고 하며, 다음과 같다. ( n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } ) 2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788, … (OEIS의 수열 A372) S {\displaystyle S} 의 멱집합 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 의 높이는 S {\displaystyle S} 의 크기와 같다. height ⁡ P ( S ) = | S | {\displaystyle \operatorname {height} {\mathcal {P}}(S)=|S|} 슈페르너의 정리에 따르면, 만약 S {\displaystyle S} 가 유한 집합일 때, P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 의 너비는 다음과 같다. width ⁡ P ( S ) = ( | S | ⌊ | S | / 2 ⌋ ) {\displaystyle \operatorname {width} {\mathcal {P}}(S)={\binom {|S|}{\lfloor |S|/2\rfloor }}} 추상대수학에서는 각종 대수 구조로부터 정의되는 부분 순서 집합의 높이가 널리 사용된다. 환론에서, 가군 M {\displaystyle M} 의 부분 가군 격자 Sub ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (M)} 의 높이 빼기 1은 M {\displaystyle M} 의 길이 length ⁡ M {\displaystyle \operatorname {length} M} 라고 한다. length ⁡ M = height ⁡ ( Sub ⁡ ( M ) ) − 1 {\displaystyle \operatorname {length} M=\operatorname {height} (\operatorname {Sub} (M))-1} 가환환 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합 ( Spec ⁡ R , ⊆ ) {\displaystyle (\operatorname {Spec} R,\subseteq )} 의 높이 빼기 1은 R {\displaystyle R} 의 크룰 차원 dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} 이라고 한다. dim ⁡ R = height ⁡ ( Spec ⁡ R , ⊆ ) − 1 {\displaystyle \dim R=\operatorname {height} (\operatorname {Spec} R,\subseteq )-1} 가환환 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 속에 포함된 소 아이디얼들의 부분 순서 집합 Spec ⁡ R p ≅ { p ′ ∈ Spec ⁡ R : p ′ ⊆ p } {\displaystyle \operatorname {Spec} R_{\mathfrak {p}}\cong \{{\mathfrak {p}}'\in \operatorname {Spec} R\colon p'\subseteq {\mathfrak {p}}\}} 의 높이 빼기 1은 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 높이 ht ⁡ p {\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}} 라고 한다. ht ⁡ p = height ⁡ ( Spec ⁡ R p ) − 1 = height ⁡ { p ′ ∈ Spec ⁡ R : p ′ ⊊ p } {\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=\operatorname {height} (\operatorname {Spec} R_{\mathfrak {p}})-1=\operatorname {height} \{{\mathfrak {p}}'\in \operatorname {Spec} R\colon p'\subsetneq {\mathfrak {p}}\}} 최소 원소를 갖는 사슬이 항상 유한 집합인 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다고 하고, 반대로 최대 원소를 갖는 사슬이 항상 유한 집합인 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다고 한다. 이 조건들은 뇌터 환 · 아르틴 환과 같은 중요한 개념들을 정의하는 데 쓰인다. 1897년에 리하르트 데데킨트는 데데킨트 수를 정의하였다. 이후 1928년에 에마누엘 슈페르너(영어: Emanuel Sperner)는 멱집합의 너비를 계산하였다 (슈페르너의 정리). 딜워스 정리는 미국의 수학자 로버트 파머 딜워스(영어: Robert Palmer Dilworth, 1914~1993)가 1950년 논문에서 처음 제시하였다.:303 히라구치 정리는 히라구치 도시오(일본어: 平口 俊夫)가 1951년에 증명하였다.:82, (3.3) 미르스키 정리는 러시아 태생의 영국 수학자 레오니트 미르스키(러시아어: Леони́д Ми́рский, 영어: Leonid Mirsky, 1918~1983)가 1971년에 증명하였다. 그린-클라이트먼 정리는 커티스 그린(영어: Curtis Greene)과 대니얼 클라이트먼(영어: Daniel J. 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