케일리 그래프

군론과 그래프 이론에서 케일리 그래프(영어: Cayley graph)는 군의 구조를 반영하는 그래프이다. 군 G {\displaystyle G} 및 부분집합 S ⊂ G {\displaystyle S\subset G} 가 주어졌다고 하자. 케일리 그래프 Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 는 다음과 같은 그래프이다. G {\displaystyle G} 의 원소를 꼭짓점으로 갖는다. 즉 V ( Γ ( G , S ) ) = G {\displaystyle V(\Gamma (G,S))=G} . 각각의 원소 h ⊂ G {\displaystyle h\subset G} 와 s ⊂ S {\displaystyle s\subset S} 에 대하여, h {\displaystyle h} 와 s h {\displaystyle sh} 를 연결하는 변을 갖는다. 즉 ( g , h ) ∈ E ( Γ ( G , S ) ) ⟺ g h − 1 ∈ S {\displaystyle (g,h)\in E(\Gamma (G,S))\iff gh^{-1}\in S} . S {\displaystyle S} 가 G {\displaystyle G} 의 생성집합일 때, Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 는 연결그래프가 되고, 그렇지 않을 때 비연결 그래프가 된다. S − 1 = S {\displaystyle S^{-1}=S} 및 1 ∉ S {\displaystyle 1\not \in S} 라고 할 때, 케일리 그래프는 | S | / 2 {\displaystyle |S|/2} 색의 자연스러운 변 색칠을 갖는다. 색의 집합은 S / ( x ∼ x − 1 ∀ x ∈ G ) {\displaystyle S/(x\sim x^{-1}\;\forall x\in G)} 이며, 변 g h ∈ E ( Γ ( G , S ) ) {\displaystyle gh\in E(\Gamma (G,S))} 의 색은 { g h − 1 , h g − 1 } ∈ S / ( x ∼ x − 1 ∀ x ∈ G ) {\displaystyle \{gh^{-1},hg^{-1}\}\in S/(x\sim x^{-1}\;\forall x\in G)} 이다. 또한, 케일리 그래프는 G {\displaystyle G} 의 자연스러운 작용을 가지며, 이는 그래프의 자기동형사상이다. 자비두시 정리(영어: Sabidussi theorem)에 따르면, 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. Γ ≅ Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma \cong \Gamma (G,S)} 인 S ⊂ G {\displaystyle S\subset G} 가 존재한다. Γ {\displaystyle \Gamma } 위에는 G {\displaystyle G} 의 정추이적 작용이 존재하며, 이 작용은 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 그래프 자기동형사상이다. 이는 오스트리아의 수학자 게르트 자비두시(독일어: Gert Sabidussi)가 증명하였다. 케일리 그래프 Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 는 | S | {\displaystyle |S|} -정규 그래프이다. 군 G {\displaystyle G} 및 1 ∉ S = S − 1 ⊂ G {\displaystyle 1\not \in S=S^{-1}\subset G} 에 대하여, 다음이 서로 동치이다. Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 는 국소 유한 그래프이다. (즉, 모든 꼭짓점의 차수가 유한하다.) S {\displaystyle S} 는 유한 집합이다. 군 G {\displaystyle G} 및 1 ∉ S = S − 1 ⊂ G {\displaystyle 1\not \in S=S^{-1}\subset G} 에 대하여, 다음이 서로 동치이다. Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 는 유한 그래프이다. (즉, 꼭짓점의 수가 유한하다.) G {\displaystyle G} 는 유한군이다. 군 G {\displaystyle G} 및 1 ∉ S = S − 1 ⊂ G {\displaystyle 1\not \in S=S^{-1}\subset G} 에 대하여, 다음이 서로 동치이다. Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 는 연결 그래프이다. G = ⟨ S ⟩ {\displaystyle G=\langle S\rangle } 이다. 즉, S {\displaystyle S} 는 G {\displaystyle G} 의 생성 집합이다. Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 의 연결 성분의 수는 부분군의 지표 | G : ⟨ S ⟩ | {\displaystyle |G:\langle S\rangle |} 이다. 무한 순환군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 케일리 그래프 Γ ( Z , { ± 1 } ) ≅ P ∞ {\displaystyle \Gamma (\mathbb {Z} ,\{\pm 1\})\cong P_{\infty }} 는 무한 경로 그래프이다. 순환군의 케일리 그래프 Γ ( Z / n , { ± 1 } ) ≅ C n {\displaystyle \Gamma (\mathbb {Z} /n,\{\pm 1\})\cong C_{n}} 는 순환 그래프이다. 임의의 곱군 G × H {\displaystyle G\times H} 의 케일리 그래프는 각 성분의 케일리 그래프의 데카르트 곱 그래프이다. Γ ( G × H , S G × S H ) ≅ Γ ( G , S G ) ◻ Γ ( H , S H ) {\displaystyle \Gamma (G\times H,S_{G}\times S_{H})\cong \Gamma (G,S_{G})\square \Gamma (H,S_{H})} 자유군 ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } 의 케일리 그래프 Γ ( ⟨ a , b ⟩ , { a , b , a − 1 , b − 1 } ) {\displaystyle \Gamma (\langle a,b\rangle ,\{a,b,a^{-1},b^{-1}\})} 는 무한 4차 나무이다. 이 케일리 그래프는 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다. 아서 케일리가 1878년에 도입하였다. 막스 덴이 1909년에 이를 재발견하였으며, "군 그림"(독일어: Gruppenbild 그루펜빌트[*], 독일어: Gruppe 그루페[*](군) + 독일어: Bild 빌트[*](그림))이라고 이름붙였다. 대수적 그래프 이론 Sabidussi, Gert (1958). “On a Class of Fixed-Point-Free Graphs”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (5): 800–804.  Cayley, A. (1878). “Desiderata and suggestions. № 2. The theory of groups: graphical representation”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 1: 174–176. doi:10.2307/2369306. JSTOR 2369306.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 케일리 그래프 Weisstein, Eric Wolfgang. “Cayley graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.