벨 수

조합론에서 벨 수(Bell數, 영어: Bell number)는 주어진 크기의 집합의 분할의 수를 세는 정수열이다. 12정도의 해 가운데 하나이며, 또한 푸아송 분포의 모멘트이다. n번째 벨 수(영어: Bell number) Bn은 n개의 원소들로 구성된 집합을 분할하는 방법의 가지수이다. 이는 n개의 원소들 사이의 동치 관계의 수로 생각할 수 있으며, 또 n {\displaystyle n} 행의 시에서 가능한 각운 패턴의 수로도 여길 수 있다. 제2종 스털링 수 { n k } {\displaystyle \textstyle \{{n \atop k}\}} 는 n {\displaystyle n} 개의 원소들로 구성된 집합을 k {\displaystyle k} 개의 조각으로 분할하는 방법의 수이다. 따라서 벨 수는 제2종 스털링 수의 합이다. B n = ∑ k = 0 n { n k } {\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}} 투샤르 다항식(영어: Touchard polynomial) 또는 벨 다항식(영어: Bell polynomial)은 다음과 같은 다항식열이다. T n ( x ) = ∑ k = 0 n { n k } x k {\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}} 이는 음계산법을 써 다음과 같이 표기할 수 있다.:186–187 하강 포흐하머 기호는 이항형 다항식열을 이루므로, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자. L : Q [ x ] → Q [ x ] {\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} [x]} L : x n ↦ x n _ {\displaystyle L\colon x^{n}\mapsto x^{\underline {n}}} 여기서 x n _ {\displaystyle x^{\underline {n}}} 은 하강 포흐하머 기호이다. 이 범함수의 역범함수 L : Q [ x ] → Q [ x ] {\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} [x]} L : x n _ ↦ x n {\displaystyle L\colon x^{\underline {n}}\mapsto x^{n}} 를 생각하면, L ( x n ) = T n ( x ) {\displaystyle L(x^{n})=T_{n}(x)} 가 된다. 벨 수는 투샤르 다항식의 x = 1 {\displaystyle x=1} 인 값이다. B n = T n ( 1 ) = ∑ k = 0 n { n k } {\displaystyle B_{n}=T_{n}(1)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}} 투샤르 다항식은 이항형 다항식열이다. 이에 대응하는 델타 작용소는 D ↦ exp ⁡ D − 1 {\displaystyle D\mapsto \exp D-1} 의 역함수인 log ⁡ ( 1 + d d x ) {\displaystyle \log \left(1+{\frac {d}{dx}}\right)} 이다. 벨 수열의 값은 다음과 같다. (B0 = B1 = 1부터 시작한다.) (OEIS의 수열 A000110) 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … 투샤르 다항식열의 값은 다음과 같다. T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} T 2 ( x ) = x 2 + x {\displaystyle T_{2}(x)=x^{2}+x} T 3 ( x ) = x 3 + 3 x 2 + x {\displaystyle T_{3}(x)=x^{3}+3x^{2}+x} T 4 ( x ) = x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 + x {\displaystyle T_{4}(x)=x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+x} T 5 ( x ) = x 5 + 10 x 4 + 25 x 3 + 15 x 2 + x {\displaystyle T_{5}(x)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}+15x^{2}+x} T 6 ( x ) = x 6 + 15 x 5 + 65 x 4 + 90 x 3 + 31 x 2 + x {\displaystyle T_{6}(x)=x^{6}+15x^{5}+65x^{4}+90x^{3}+31x^{2}+x} 투샤르 다항식과 벨 수는 다음과 같은 점화식을 만족시킨다. T n + 1 ( x ) = x ∑ k = 0 n ( n k ) T n ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}T_{n}(x)} B n + 1 = ∑ k = 0 n ( n k ) B k {\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}} 이는 음계산법으로 표기하면 다음과 같다.:187, Lemma 4.2.3 L − 1 ( x n + 1 ) = x L − 1 ( ( x + 1 ) n ) {\displaystyle L^{-1}(x^{n+1})=xL^{-1}\left((x+1)^{n}\right)} 다음 공식은 도빈스키 공식(영어: Dobiński’s formula)라고 불린다. B n = 1 e ∑ k = 0 ∞ k n k ! {\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}} 이에 따라, n {\displaystyle n} 번째 벨 수는 기댓값이 1인 푸아송 분포 Pr ( x = k ) = 1 e 1 k ! {\displaystyle \Pr(x=k)={\frac {1}{e}}{\frac {1}{k!}}} 의 n {\displaystyle n} 번째 모멘트이다. 이는 음계산법으로 다음과 같이 유도할 수 있다.:188, 4.2.4 우선 ∀ n : exp ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ x k k ! = ∑ k = 0 ∞ x k k n _ k ! {\displaystyle \forall n\colon \exp x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{\underline {n}}}{k!}}} 이다. 따라서, eval x ↦ 1 ∘ L − 1 : x n _ ↦ 1 = 1 e ∑ k = 0 ∞ 1 k ! eval x ↦ k ⁡ x n _ {\displaystyle \operatorname {eval} _{x\mapsto 1}\circ L^{-1}\colon x^{\underline {n}}\mapsto 1={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\operatorname {eval} _{x\mapsto k}x^{\underline {n}}} 이므로, eval x ↦ 1 ∘ L − 1 = 1 e ∑ k = 0 ∞ 1 k ! eval x ↦ k {\displaystyle \operatorname {eval} _{x\mapsto 1}\circ L^{-1}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\operatorname {eval} _{x\mapsto k}} 이다. 즉, B n = eval x ↦ 1 ⁡ L − 1 ( x n ) = 1 e ∑ k = 0 ∞ 1 k ! k n {\displaystyle B_{n}=\operatorname {eval} _{x\mapsto 1}L^{-1}(x^{n})={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}k^{n}} 가 된다. 투샤르 다항식 및 벨 수는 다음과 같은 지수 생성 함수를 갖는다. ∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n n ! = L − 1 exp ⁡ ( x t ) = exp ⁡ ( x ( exp ⁡ ( t ) − 1 ) ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=L^{-1}\exp(xt)=\exp(x(\exp(t)-1))} ∑ n = 0 ∞ B n t n n ! = eval x ↦ 1 ⁡ L − 1 exp ⁡ ( x t ) = exp ⁡ ( exp ⁡ ( t ) − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\operatorname {eval} _{x\mapsto 1}L^{-1}\exp(xt)=\exp(\exp(t)-1)} 이는 음계산법을 사용하여 쉽게 유도할 수 있다.:186, Theorem 4.2.2 하강 포흐하머 기호의 델타 작용소는 전방 유한 차분 Δ f = f ( x + 1 ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f=f(x+1)-f(x)} 이며, 따라서 L d d x = Δ L {\displaystyle L{\frac {d}{dx}}=\Delta L} 이다. 즉, d d x L − 1 = L − 1 Δ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}L^{-1}=L^{-1}\Delta } 이다. 그런데 Δ exp ⁡ ( x t ) = ( exp ⁡ ( t ) − 1 ) exp ⁡ ( x t ) {\displaystyle \Delta \exp(xt)=\left(\exp(t)-1\right)\exp(xt)} 이므로 d d x L − 1 exp ⁡ ( x t ) = ( exp ⁡ ( t ) − 1 ) L − 1 exp ⁡ ( x t ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}L^{-1}\exp(xt)=\left(\exp(t)-1\right)L^{-1}\exp(xt)} 이다. 따라서 L − 1 exp ⁡ ( x t ) = exp ⁡ ( x ( exp ⁡ ( t ) − 1 ) ) {\displaystyle L^{-1}\exp(xt)=\exp \left(x\left(\exp(t)-1\right)\right)} 이다. 지수 생성 함수에 코시 적분 정리를 사용하여, 투샤르 다항식과 벨 수를 다음과 같이 선적분으로 나타낼 수 있다. T n ( x ) = n ! 2 π i ∮ γ exp ⁡ ( x ( exp ⁡ ( z ) − 1 ) ) z n + 1 d z {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {\exp(x(\exp(z)-1))}{z^{n+1}}}\,dz} B n = T n ( 1 ) = n ! 2 π i ∮ γ exp ⁡ ( exp ⁡ ( z ) − 1 ) z n + 1 d z {\displaystyle B_{n}=T_{n}(1)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {\exp(\exp(z)-1)}{z^{n+1}}}\,dz} 여기서 γ {\displaystyle \gamma } 는 원점을 시계 반대 방향으로 한 번 도는 임의의 폐곡선이다. 벨 수는 중세 일본 수학에서 최초로 등장한다. 《겐지모노가타리》에서의 한 일화로부터 겐지코(일본어: 源氏香)라는 놀이가 등장했는데, 이 놀이에서는 5개의 향 가운데 어떤 것들이 같은 냄새의 향인지 구별하는 것이 목표이다. 가능한 해의 수는 벨 수에 따라 총 B 5 = 52 {\displaystyle B_{5}=52} 가지다. 이 52가지의 벨 수는 겐지몬(일본어: 源氏紋)이라는 문양으로 나타내어져, 겐지모노가타리의 54개의 장의 각 표지에 표시되었다. (이 가운데 54장 〈유메 노 우키하시〉(일본어: 夢浮橋)에는 벨 수와 관계없는 겐지몬이 붙어 있으며, 35장 〈와카나 노 게〉(일본어: 若菜下) 와 42장 〈니오노미야〉(일본어: 匂宮)의 겐지몬은 모양이 다르지만 같은 집합의 분할에 대응한다.) 1877년에 폴란드의 구스타브 도빈스키(폴란드어: Gustaw Dobiński)가 오늘날 도빈스키 공식이라고 불리는, 벨 수에 대한 공식을 발표하였다. 벨 삼각형은 찰스 샌더스 퍼스가 1880년에, 알렉산더 에잇컨(영어: Alexander C. Aitken)이 1933년에 거론하였다. 스리니바사 라마누잔은 노트 2권 3장에서 투샤르 다항식과 벨 수에 대하여 연구하였으나, 출판하지 않았다. 에릭 템플 벨(영어: Eric Temple Bell)은 이 수들에 대하여 1934년부터 다루기 시작하였다. 벨은 원래 이 수들을 "지수적 수"(영어: exponential number)라고 불렀으나, 이후 벨을 기려 "벨 수"라고 불리게 되었다. 자크 투샤르(프랑스어: Jacques Touchard)는 투샤르 다항식을 1939년에 도입하였다. 집합의 분할 스털링 수 12정도 포흐하머 기호 음계산법 베르누이 수 Gardner, Martin (1978). “The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes”. 《Scientific American》 (영어) 238: 24–30. doi:10.1038/scientificamerican0578-24.  Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine H. (2009). 《Combinatorics: The Rota Way》. Cambridge Mathematical Library (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511803895. ISBN 978-0-521-88389-4. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 28일에 확인함.  Dobiński, G. (1877). “Summirung der Reihe ∑ n m n ! {\displaystyle \textstyle \sum {\frac {n^{m}}{n!}}} für m = 1, 2, 3, 4, 5, …”. 《Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten》 (독일어) 61: 333–336. JFM 09.0178.04.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 21) (도움말) Peirce, C. S. (1880). “On the algebra of logic”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 3 (1): 15–57. JFM 12.0041.01. JSTOR 2369442.  Aitken, A. C. (1933). “A problem in combinations”. 《Edinburgh Mathematical Notes》 (영어) 28: 18–23. doi:10.1017/S1757748900002334. JFM 59.0937.01. Zbl 0007.38907.  Ramanujan, Srinivasa (1957). 《Notebooks Vol. 2》 (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research.  Berndt, Bruce C. (2011년 4월). “Ramanujan reaches his hand from his grave to snatch your theorems from you” (PDF). 《Asia Pacific Mathematics Newsletter》 (영어) 1 (2): 8–13.  Bell, E. T. (1934). “Exponential polynomials”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 35: 258–277. JFM 60.0295.01. JSTOR 1968431. 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