미분 등급 대수

호몰로지 대수학에서 미분 등급 대수(微分等級代數, 영어: differential graded algebra, 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주 Ch ≥ 0 ⁡ ( Mod K ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})} 를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다. 미분 등급 대수는 Ch ≥ 0 ⁡ ( Mod K ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})} 의 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, 영어: commutative differential graded algebra, CDGA)는 Ch ≥ 0 ⁡ ( Mod K ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})} 의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각 DGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}} 및 CDGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}} 이라고 표기하자. 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각 DGA K Z {\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }} 및 CDGA K Z {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }} 라고 표기하자. K {\displaystyle K} 에 대한 미분 등급 대수 ( A , d ) {\displaystyle (A,\mathrm {d} )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. A = ⨁ i ∈ N A i {\displaystyle \textstyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}} 는 결합 K {\displaystyle K} -등급 대수이다. d : A i → A i + 1 {\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+1}} 는 등급이 1인 K {\displaystyle K} -선형 변환이다. 이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (멱영성) d 2 = 0 {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0} . 즉, ( A , d ) {\displaystyle (A,\mathrm {d} )} 는 공사슬 복합체이다. (곱 규칙) 모든 동차 원소 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, d ( a b ) = ( d a ) b + ( − 1 ) deg ⁡ a a ( d b ) {\displaystyle \mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm {d} b)} K {\displaystyle K} 에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, ( − ) deg {\displaystyle (-)^{\deg }} 에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉, a b = ( − 1 ) deg ⁡ a deg ⁡ b b a {\displaystyle ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 ( A ( i ) ) i ∈ I {\displaystyle (A^{(i)})_{i\in I}} 이 주어졌을 때, 이들의 곱집합 A n = ∏ i ∈ I A n ( i ) {\displaystyle A_{n}=\prod _{i\in I}A_{n}^{(i)}} A = ⨁ n ∈ N A n {\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}} 은 미분 등급 대수를 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 미분 등급 대수 A {\displaystyle A} 의 미분 등급 아이디얼(微分等級ideal, 영어: differential graded ideal) a ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq A} 는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다. A {\displaystyle A} 의 양쪽 아이디얼이다. 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의 a ∈ a {\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}} 에 대하여, a = ∑ i a i {\displaystyle \textstyle a=\sum _{i}a_{i}} , a i ∈ A i {\displaystyle a_{i}\in A_{i}} 라면, 모든 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 에 대하여 a i ∈ a {\displaystyle a_{i}\in {\mathfrak {a}}} 이다. 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의 a ∈ a {\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}} 에 대하여, d a ∈ a {\displaystyle \mathrm {d} a\in {\mathfrak {a}}} 이다. 미분 등급 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수(영어: quotient differential graded algebra) A / a {\displaystyle A/{\mathfrak {a}}} 를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 A → B {\displaystyle A\to B} 의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다. 미분 등급 대수의 코호몰로지 H ∙ ⁡ ( A , d ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(A,\mathrm {d} )} 는 d = 0 {\displaystyle \mathrm {d} =0} 인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형 [ − ] A : A → H ⁡ ( A ) {\displaystyle [-]_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)} 을 갖는다. 또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} 은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형 f ∗ : H ⁡ ( A ) → H ⁡ ( B ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {H} (A)\to \operatorname {H} (B)} 을 유도한다. 만약 미분 등급 대수 준동형 f {\displaystyle f} 에 대하여, f ∗ {\displaystyle f_{*}} 가 동형 사상이라면, f {\displaystyle f} 를 유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)이라고 한다. (이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.) 만약 [ − ] A : A → H ⁡ ( A ) {\displaystyle [-]_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)} 가 유사동형이라면, A {\displaystyle A} 를 형식적 미분 등급 대수(形式的微分等級代數, 영어: formal differential graded algebra)라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다. 표수 0인 체 K {\displaystyle K} 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자. 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 CDGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}} 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 DGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}} 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 CDGA K Z {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }} 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 DGA K Z {\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }} CDGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}} 및 DGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}} 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다. 약한 동치는 유사동형이다. 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다. 모든 대상이 올대상이다. 쌍대올뭉치는 상대 설리번 대수의 왼쪽 역사상이다. 쌍대올대상은 설리번 대수이다. 이들은 항상 가환 대수이다. DGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}} 의 경우, 망각 함자 CDGA K ≥ 0 → DGA K ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}\to \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}} 는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다. CDGA K Z {\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }} 의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다. 약한 동치는 유사동형이다. 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다. 모든 대상이 올대상이다. 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다. 만약 K {\displaystyle K} 가 표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 미분 형식 Ω ∙ ( M ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)} 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, d {\displaystyle \mathrm {d} } 는 외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 특이 코호몰로지 환 H ∙ ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X)} 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 d {\displaystyle \mathrm {d} } 는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다. 리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 텐서 대수 T ∙ ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {T} ^{\bullet }(V)} 역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다. A∞-대수 미분 등급 리 대수 “Differential graded algebra”. 《nLab》 (영어).  “Formal dg-algebra”. 《nLab》 (영어).  “Model structure on dg-algebras”. 《nLab》 (영어).  “dg-ideal”. 《nLab》 (영어).  “dg-module”. 《nLab》 (영어).  “Non-examples of model structures, that fail for subtle/surprising reasons”. 《Math Overflow》 (영어).