편각 원리

복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, 영어: argument principle)는 유리형 함수의 로그 도함수의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 γ : [ 0 , 1 ] → D {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D} 가 주어졌고, 유리형 함수 f : D → C ^ {\displaystyle f\colon D\to {\widehat {\mathbb {C} }}} 가 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 편각 원리에 따르면 다음이 성립한다. 1 2 π i ∫ γ f ′ ( z ) f ( z ) d z = ∑ z 0 N ( f ; z 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})} 여기서 ∑ z 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{z_{0}}} 는 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며, N ( f ; z 0 ) ∈ Z {\displaystyle N(f;z_{0})\in \mathbb {Z} } 는 f ( z ) = Θ ( z − z 0 ) N ( f ; z 0 ) ( z → z 0 ) {\displaystyle f(z)=\Theta (z-z_{0})^{N(f;z_{0})}\qquad (z\to z_{0})} 을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 z 0 {\displaystyle z_{0}} 이 영점이라면 영점의 차수이며, z 0 {\displaystyle z_{0}} 이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 N ( f ; z 0 ) = 0 {\displaystyle N(f;z_{0})=0} 이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 고립점이므로, f {\displaystyle f} 는 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다. 우선, f ′ / f {\displaystyle f'/f} 는 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로, γ {\displaystyle \gamma } 위의 경로 적분이 존재한다. 임의의 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 내부의 점 z 0 {\displaystyle z_{0}} 에 대하여, 다음과 같은 유리형 함수 g : D → C ^ {\displaystyle g\colon D\to {\widehat {\mathbb {C} }}} 를 정의하자. g ( z ) = f ( z ) ( z − z 0 ) N ( f ; z 0 ) ∀ z ∈ D {\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{N(f;z_{0})}}}\qquad \forall z\in D} 그렇다면, N ( f ; z 0 ) {\displaystyle N(f;z_{0})} 의 정의에 의하여, g {\displaystyle g} 는 어떤 열린 근방 D ⊇ N ∋ z 0 {\displaystyle D\supseteq N\ni z_{0}} 에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서 g ′ / g {\displaystyle g'/g} 는 N {\displaystyle N} 에서 극점을 갖지 않는다. 이제 0 < r < d ( z 0 , ∂ N ) {\displaystyle 0<r<d(z_{0},\partial N)} 을 취하자. 그렇다면 코시 적분 정리에 의하여 Res ⁡ ( f ′ f ; z 0 ) = 1 2 π i ∫ | z − z 0 | = r f ′ ( z ) f ( z ) d z = 1 2 π i ∫ | z − z 0 | = r ( N ( f ; z 0 ) z − z 0 + g ′ ( z ) g ( z ) ) d z = N ( f ; z 0 ) {\displaystyle \operatorname {Res} \left({\frac {f'}{f}};z_{0}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}\left({\frac {N(f;z_{0})}{z-z_{0}}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)\mathrm {d} z=N(f;z_{0})} 이며, 따라서 유수 정리에 의하여 1 2 π i ∫ γ f ′ ( z ) f ( z ) d z = ∑ z 0 Res ⁡ ( f ′ f ; z 0 ) = ∑ z 0 N ( f ; z 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}\operatorname {Res} \left({\frac {f'}{f}};z_{0}\right)=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})} 이다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 γ : [ 0 , 1 ] → D {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D} 가 주어졌고, 유리형 함수 f : D → C ^ {\displaystyle f\colon D\to {\widehat {\mathbb {C} }}} 가 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 정칙 함수 g : D → C {\displaystyle g\colon D\to \mathbb {C} } 에 대하여, 1 2 π i ∫ γ f ′ ( z ) f ( z ) g ( z ) d z = ∑ z 0 N ( f ; z 0 ) g ( z 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}g(z)\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})g(z_{0})} 이다. 이 정리에서 g ( z ) = 1 ∀ z ∈ D {\displaystyle g(z)=1\qquad \forall z\in D} 를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 에 대하여 f ( z ) = z − z 0 ∀ z ∈ D {\displaystyle f(z)=z-z_{0}\qquad \forall z\in D} 를 취하면 코시 적분 공식을 얻는다. 이 정리는 아벨-플라나 공식을 증명하는 데 쓰인다. 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다. 루셰 정리 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 212쪽. Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8, p.90. 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 268쪽. “Argument, principle of the”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Argument principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.