아이젠슈타인 판정법

대수학에서 아이젠슈타인 판정법(-判定法, 영어: Eisenstein’s criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분조건을 제시하는 정리이다. 고트홀트 아이젠슈타인의 이름을 땄다. 유일 인수 분해 정역 R {\displaystyle R} 에서 계수를 취하는 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 차 다항식 f ( x ) = r n x n + r n − 1 x n − 1 + ⋯ + r 0 ∈ R [ x ] {\displaystyle f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]} 가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 p ∈ R {\displaystyle p\in R} 가 존재한다고 하자. p ∤ r n {\displaystyle p\nmid r_{n}} p ∣ r 0 , … , r n − 1 {\displaystyle p\mid r_{0},\dots ,r_{n-1}} p 2 ∤ r 0 {\displaystyle p^{2}\nmid r_{0}} 아이젠슈타인 판정법에 따르면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 분수체 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 의 다항식환 ( Frac ⁡ R ) [ x ] {\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]} 속에서 기약 다항식이다. 즉, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 더 낮은 차수의 두 R {\displaystyle R} 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 가 원시 다항식이라면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 에서 기약 다항식이다.:183, §IV.3, Theorem 3.1:144, §III.10, Proposition 10.9 보다 일반적으로, 정역 R {\displaystyle R} 에서 계수를 취하는 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 차 다항식 f ( x ) = r n x n + r n − 1 x n − 1 + ⋯ + r 0 ∈ R [ x ] {\displaystyle f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]} 가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 p ⊊ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subsetneq R} 가 존재한다고 하자. r n ∉ p {\displaystyle r_{n}\not \in {\mathfrak {p}}} r 0 , … , r n − 1 ∈ p {\displaystyle r_{0},\dots ,r_{n-1}\in {\mathfrak {p}}} r 0 ∉ { r s : r , s ∈ p } {\displaystyle r_{0}\not \in \{rs\colon r,s\in {\mathfrak {p}}\}} 그렇다면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 더 낮은 차수의 두 R {\displaystyle R} 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 에서 기약 다항식이다.:145, §III.10, Exercise 14 귀류법을 사용하여, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 가 ( Frac ⁡ R ) [ x ] {\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]} 의 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면, f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)h(x)} 인 d , e ≥ 1 {\displaystyle d,e\geq 1} 차 다항식 g ( x ) = s d x d + s d − 1 x d − 1 + ⋯ + s 0 ∈ R [ x ] {\displaystyle g(x)=s_{d}x^{d}+s_{d-1}x^{d-1}+\cdots +s_{0}\in R[x]} h ( x ) = t e x e + t e − 1 x e − 1 + ⋯ + t 0 ∈ R [ x ] {\displaystyle h(x)=t_{e}x^{e}+t_{e-1}x^{e-1}+\cdots +t_{0}\in R[x]} 가 존재한다. p ∣ r 0 = s 0 t 0 {\displaystyle p\mid r_{0}=s_{0}t_{0}} 이며, p {\displaystyle p} 는 소원이므로, p ∣ s 0 {\displaystyle p\mid s_{0}} 이거나 p ∣ t 0 {\displaystyle p\mid t_{0}} 이다. 편의상 p ∣ s 0 {\displaystyle p\mid s_{0}} 이라고 하자. 그렇다면 p 2 ∤ r 0 {\displaystyle p^{2}\nmid r_{0}} 이므로 p ∤ t 0 {\displaystyle p\nmid t_{0}} 이다. 이제, p ∤ r n = s d t e {\displaystyle p\nmid r_{n}=s_{d}t_{e}} 이므로 p ∤ s d {\displaystyle p\nmid s_{d}} 이며, p ∣ s 0 , … , s k − 1 {\displaystyle p\mid s_{0},\dots ,s_{k-1}} p ∤ s k {\displaystyle p\nmid s_{k}} 인 1 ≤ k ≤ d {\displaystyle 1\leq k\leq d} 를 고를 수 있다. 따라서 p ∤ s 0 t k + s 1 t k − 1 + ⋯ + s k − 1 t 1 + s k t 0 = r k {\displaystyle p\nmid s_{0}t_{k}+s_{1}t_{k-1}+\cdots +s_{k-1}t_{1}+s_{k}t_{0}=r_{k}} 이며, k ≤ d < d + e = n {\displaystyle k\leq d<d+e=n} 이므로 이는 모순이다. 아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 x 4 + 2 ∈ Z [ x ] {\displaystyle x^{4}+2\in \mathbb {Z} [x]} 는 기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 a ≥ 2 {\displaystyle a\geq 2} 에 대하여, x n ± a ∈ Z [ x ] {\displaystyle x^{n}\pm a\in \mathbb {Z} [x]} 는 기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 다항식환 Q [ x ] {\displaystyle \mathbb {Q} [x]} 는 실수체나 복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 a ≥ 2 {\displaystyle a\geq 2} 의 거듭제곱근 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} ( n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} )는 항상 무리수이다. 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, f ( x ) = x p − 1 + x p − 2 + ⋯ + 1 = x p − 1 x − 1 ∈ Q [ x ] {\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}\in \mathbb {Q} [x]} 의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 기약성은 f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) p − 1 x = ∑ i = 1 p ( p i ) x i − 1 ∈ Q [ x ] {\displaystyle f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=\sum _{i=1}^{p}{\binom {p}{i}}x^{i-1}\in \mathbb {Q} [x]} 의 기약성과 동치이며, p ∣ p ( p − 1 ) ⋯ ( p − i + 1 ) i ! = ( p i ) ∀ i ∈ { 1 , … , p − 1 } {\displaystyle p\mid {\frac {p(p-1)\cdots (p-i+1)}{i!}}={\binom {p}{i}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,p-1\}} 이므로 (이는 분모는 p {\displaystyle p} 의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 f ( x + 1 ) ∈ Q [ x ] {\displaystyle f(x+1)\in \mathbb {Q} [x]} 는 기약 다항식이다. 따라서 f ( x ) ∈ Q [ x ] {\displaystyle f(x)\in \mathbb {Q} [x]} 역시 기약 다항식이다. 이는 p {\displaystyle p} 번째 원분 다항식과 같다. 아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대 K ( t ) / K {\displaystyle K(t)/K} 속 다항식 x n − t ∈ K ( t ) [ x ] {\displaystyle x^{n}-t\in K(t)[x]} 는 기약 다항식이다. 이는 K [ t ] {\displaystyle K[t]} 가 유일 인수 분해 정역이며, t ∈ K [ t ] {\displaystyle t\in K[t]} 가 그 기약원이기 때문이다. 콘의 기약성 기준 힐베르트의 기약성 정리 Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732.  John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003. 이철희. “아이젠슈타인 기약다항식 판정법”. 《수학노트》.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Eisenstein's Irreducibility Criterion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.