베스-추미노-위튼 모형

이론물리학과 수학에서 베스-추미노-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Witten (WZW) model), 혹은 베스-추미노-노비코프-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Novikov-Witten model)은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 G {\displaystyle G} . 그 리 대수가 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 라고 하자. 그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여, H 3 ⁡ ( G ; Z ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(G;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} } 임을 보일 수 있다. 그 생성원을 [ μ ] {\displaystyle [\mu ]} 라고 하자. 기하학적으로, 이는 G {\displaystyle G} 위의 표준적인 제르브를 이룬다. 구체적으로, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 킬링 형식 B : Sym 2 ⁡ g → R {\displaystyle B\colon \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} } 및 3차 형식 μ ~ | 1 ∈ ⋀ 3 g ∗ {\displaystyle {\tilde {\mu }}|_{1}\in \bigwedge ^{3}{\mathfrak {g}}^{*}} μ ~ | 1 : x ∧ y ∧ z ↦ B ( x , [ y , z ] ) {\displaystyle {\tilde {\mu }}|_{1}\colon x\wedge y\wedge z\mapsto B(x,[y,z])} 을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해 G {\displaystyle G} 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다. μ ~ = B ( θ ∧ [ θ ∧ θ ] ) ∈ Ω 3 ( G ) {\displaystyle {\tilde {\mu }}=B(\theta \wedge [\theta \wedge \theta ])\in \Omega ^{3}(G)} 여기서 θ ∈ Ω 1 ( G ; g ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})} 는 G {\displaystyle G} 의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 [ μ ] {\displaystyle [\mu ]} 에 비례한다. [ μ ] = α [ μ ~ ] {\displaystyle [\mu ]=\alpha [{\tilde {\mu }}]} 그렇다면, [ μ ] {\displaystyle [\mu ]} 의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을 μ = α μ ~ {\displaystyle \mu =\alpha {\tilde {\mu }}} 로 정의할 수 있다. 임의의 (경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면) Σ {\displaystyle \Sigma } 및 매끄러운 함수(스칼라장) ϕ : Σ → G {\displaystyle \phi \colon \Sigma \to G} 가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자. ∂ M 3 = Σ {\displaystyle \partial M_{3}=\Sigma } 가 되는 3차원 유향 경계다양체 M 3 {\displaystyle M_{3}} f ↾ σ = ϕ {\displaystyle f\upharpoonright \sigma =\phi } 가 되는 연속 함수 f : M 3 → G {\displaystyle f\colon M_{3}\to G} d ω = f ∗ μ {\displaystyle \mathrm {d} \omega =f^{*}\mu } 가 되는 2차 미분 형식 ω ∈ Ω 2 ( M 3 ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M_{3})} 물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 ( M 3 , f , ω ) {\displaystyle (M_{3},f,\omega )} , ( M 3 ′ , f ′ , ω ′ ) {\displaystyle (M_{3}',f',\omega ')} 가 주어졌을 때, 방향을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다. M ~ 3 = M 3 ∪ Σ M 3 ′ {\displaystyle {\tilde {M}}_{3}=M_{3}\cup _{\Sigma }M_{3}'} f ~ : M ~ 3 → G {\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {M}}_{3}\to G} 이에 따라, M ~ 3 {\displaystyle {\tilde {M}}_{3}} 은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서, μ {\displaystyle \mu } 가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로, ∫ M ~ 3 f ~ ∗ μ = [ M ~ 3 ] ⌢ [ μ ] ∈ Z {\displaystyle \int _{{\tilde {M}}_{3}}{\tilde {f}}^{*}\mu =[{\tilde {M}}_{3}]\frown [\mu ]\in \mathbb {Z} } 이다. ( ⌢ {\displaystyle \frown } 은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여, ∫ Σ ( α − α ′ ) = ∫ M 3 ϕ ∗ μ − ∫ M 3 ′ ϕ ′ ∗ μ ∈ Z {\displaystyle \int _{\Sigma }(\alpha -\alpha ')=\int _{M_{3}}\phi ^{*}\mu -\int _{M_{3}'}\phi '^{*}\mu \in \mathbb {Z} } 임을 알 수 있다. 따라서, exp ⁡ ( i S 2 ) = exp ⁡ ( 2 π i ∫ Σ α ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S_{2})=\exp \left(2\pi \mathrm {i} \int _{\Sigma }\alpha \right)} 는 ( M 3 , ϕ , α ) {\displaystyle (M_{3},\phi ,\alpha )} 의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다. 이제, Σ {\displaystyle \Sigma } 에 임의의 리만 계량 g {\displaystyle g} 를 부여하자. G {\displaystyle G} 의 베스-추미노-위튼 작용은 exp ⁡ ( i S ) = exp ⁡ ( i S 1 + k i S 2 ) ( k ∈ Z ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)=\exp(\mathrm {i} S_{1}+k\mathrm {i} S_{2})\qquad (k\in \mathbb {Z} )} S 1 ∝ ∫ Σ − B ( g − 1 ( θ , θ ) ) {\displaystyle S_{1}\propto \int _{\Sigma }-B(g^{-1}(\theta ,\theta ))} 이다. ( S 1 {\displaystyle S_{1}} 의 양의 실수 스칼라배는 g {\displaystyle g} 의 재정의로 흡수될 수 있다.) k {\displaystyle k} 는 준위(영어: level)라고 불리는 정수이다. 이를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 베스-추미노-위튼 모형이라고 한다. 이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자. 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 지표 a , b , c , … {\displaystyle a,b,c,\dots } Σ {\displaystyle \Sigma } 의 지표 i , j , k , … {\displaystyle i,j,k,\dots } M 3 {\displaystyle M_{3}} 의 지표 I , J , K , … {\displaystyle I,J,K,\dots } 그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다. S = S 1 + S 2 {\displaystyle S=S_{1}+S_{2}} S 1 = − k 8 π ∫ S 2 d 2 x ( D g ) 2 {\displaystyle S_{1}=-{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,(Dg)^{2}} S 2 = − k 24 π ∫ B 3 d 3 y ϵ i j k f a b c D I g a D J g b D K g c {\displaystyle S_{2}=-{\frac {k}{24\pi }}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}f_{abc}D_{I}g^{a}D_{J}g^{b}D_{K}g^{c}} 여기서 ϵ I J K {\displaystyle \epsilon ^{IJK}} 는 레비-치비타 기호, f a b c {\displaystyle f_{abc}} 는 리 대수의 구조 상수다. 물론, S 2 {\displaystyle S_{2}} 로 인하여 오직 exp ⁡ ( i S ) ∈ C {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)\in \mathbb {C} } 만이 잘 정의될 수 있다. 보다 일반적으로, 만약 세계면 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 n {\displaystyle n} 개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를 C 1 , … , C n {\displaystyle C_{1},\dotsc ,C_{n}} 이라고 할 때, 일반적으로 exp ⁡ ( i S ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)} 는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.:§3.4 exp ⁡ ( i S ) ∈ ⨂ i = 1 n L g ↾ C i {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)\in \bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{g\upharpoonright C_{i}}} 여기서 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 은 고리군 L G = C ∞ ( S 1 , G ) {\displaystyle {\mathcal {L}}G={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},G)} 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.) g ↾ C i : S 1 ≅ C i → G {\displaystyle g\upharpoonright C_{i}\colon \mathbb {S} ^{1}\cong C_{i}\to G} 는 g {\displaystyle g} 의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다. L x {\displaystyle {\mathcal {L}}_{x}} 는 선다발 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의, x ∈ L G {\displaystyle x\in {\mathcal {L}}G} 에서의 올이다. L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다. 만약 G {\displaystyle G} 가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다. 베스-추미노-위튼 모형의 보존류( h = 1 {\displaystyle h=1} 인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다. 그 힐베르트 공간은 다음과 같다. H k = ⨁ R ∈ IrRep ⁡ ( G , k ) V R k ⊗ C V R ¯ k ¯ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{k}=\bigoplus _{R\in \operatorname {IrRep} (G,k)}{\overline {V_{R_{k}}\otimes _{\mathbb {C} }V_{{\bar {R}}_{k}}}}} 여기서 IrRep ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {IrRep} (G)} 는 G {\displaystyle G} 의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다. IrRep ⁡ ( G , k ) ⊊ IrRep ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {IrRep} (G,k)\subsetneq \operatorname {IrRep} (G)} 는 G {\displaystyle G} 의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 λ R ∈ h {\displaystyle \lambda _{R}\in {\mathfrak {h}}} 가 ⟨ ϕ g , λ R ⟩ ≤ k {\displaystyle \langle \phi _{\mathfrak {g}},\lambda _{R}\rangle \leq k} 를 만족시키는 것이다.:(49) 여기서 ϕ g {\displaystyle \phi _{\mathfrak {g}}} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 Δ {\displaystyle \Delta } 의 양근의 집합 Δ + {\displaystyle \Delta ^{+}} 에 대하여, ∀ α ∈ Δ + : α + ϕ } {\displaystyle \forall \alpha \in \Delta ^{+}\colon \alpha +\phi \}} 이다.) R ∈ IrRep ⁡ ( G ) {\displaystyle R\in \operatorname {IrRep} (G)} 및 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 에 대하여, R k {\displaystyle R_{k}} 는 아핀 리 대수 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 k ∈ g ^ {\displaystyle {\mathsf {k}}\in {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 값이 k {\displaystyle k} 가 된다. V ¯ {\displaystyle {\overline {\color {White}V}}} 는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다. 이는 물론 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 이는 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우 c = k dim ⁡ G k + h ∨ ( G ) {\displaystyle c={\frac {k\dim G}{k+h^{\vee }(G)}}} 이다. 여기서 h ∨ ( G ) {\displaystyle h^{\vee }(G)} 는 이중 콕서터 수이다. 이는 고리군 L G {\displaystyle {\mathcal {L}}G} 의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다. 예를 들어, 만약 G = SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)} 일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로 IrRep ⁡ ( SU ⁡ ( 2 ) ) = { 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , … } {\displaystyle \operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2))=\{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc \}} IrRep ⁡ ( SU ⁡ ( 2 ) , k ) = { 0 , 1 / 2 , 1 , … , k / 2 } {\displaystyle \operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2),k)=\{0,1/2,1,\dotsc ,k/2\}} 이다. 베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은 ∂ ( g − 1 ∂ ¯ g ) = 0 {\displaystyle \partial (g^{-1}{\bar {\partial }}g)=0} 이다.:(3.18) (편의상, Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.) 천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.:§5 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS3/CFT2)로 생각할 수 있다. 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다. 위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다. 구체적으로, 대칭류 J = − ∂ g g − 1 {\displaystyle J=-\partial gg^{-1}} J ¯ = g − 1 ∂ ¯ g {\displaystyle {\bar {J}}=g^{-1}{\bar {\partial }}g} 를 생각하자. 이 경우, 조건 J = − J ¯ {\displaystyle J=-{\bar {J}}} 은 풀어 쓰면 0 = ( ∂ g ) g − 1 − g − 1 ∂ ¯ g = Ad ⁡ ( g ) g − 1 ∂ g − g − 1 ∂ ¯ g {\displaystyle 0=(\partial g)g^{-1}-g^{-1}{\bar {\partial }}g=\operatorname {Ad} (g)g^{-1}\partial g-g^{-1}{\bar {\partial }}g} 이다. 이는 ( Ad ⁡ ( g ) + 1 ) g − 1 ( ∂ − ∂ ¯ ) g + ( Ad ⁡ ( g ) − 1 ) g − 1 ( ∂ + ∂ ¯ ) g = 0 {\displaystyle (\operatorname {Ad} (g)+1)g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g+(\operatorname {Ad} (g)-1)g^{-1}(\partial +{\bar {\partial }})g=0} 로 적을 수 있다. 이 경우, 킬링 형식을 사용하여, G {\displaystyle G} 의 g {\displaystyle g} 에서의 접공간 T g G {\displaystyle \mathrm {T} _{g}G} 를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간 T g ∥ G {\displaystyle \mathrm {T} _{g}^{\parallel }G} 과 수직한 부분 공간 T g ⊥ G {\displaystyle \mathrm {T} _{g}^{\perp }G} 으로 구분할 수 있다. 그렇다면, T g ⊥ G {\displaystyle \mathrm {T} _{g}^{\perp }G} 에 제한하였을 때 Ad ⁡ ( g ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)=1} 이므로, ( g − 1 ( ∂ − ∂ ¯ ) g ) ⊥ = 0 {\displaystyle \left(g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g\right)^{\perp }=0} 이 된다. 즉, 이는 접벡터 g − 1 ( ∂ − ∂ ¯ ) g {\displaystyle g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g} 의, 딸림표현 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 딸림표현 궤도(리 군의 켤레류)의 모양을 한 D막에 해당한다. 이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 켤레류에 대응되는 무게 λ {\displaystyle \lambda } 가 정수 무게이어야 한다.:§7.1 즉, G {\displaystyle G} 의 극대 원환면 T ≤ G {\displaystyle T\leq G} 을 고르고, 그 리 대수(보렐 부분 대수)가 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 라고 하자. 그렇다면, 무게 λ ∈ h ∨ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {\mathfrak {h}}}^{\vee }} 에 대하여, 켤레류 { g exp ⁡ ( 2 π λ / k ) g − 1 : g ∈ G } {\displaystyle \{g\exp(2\pi \lambda /k)g^{-1}\colon g\in G\}} 를 대응시킬 수 있다. D막이 이 켤레류에 존재할 수 있을 필요 충분 조건은 λ {\displaystyle \lambda } 가 정수 무게인 것, 즉 G {\displaystyle G} 의 모든 근 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 ⟨ α , λ ⟩ ∈ Z {\displaystyle \langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {Z} } 인 것이다. 율리우스 베스와 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다. Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv:hep-th/9904145.  “Chern–Simons gauge theory and the AdS(3)/CFT(2) Correspondence” (영어). arXiv:hep-th/0403225.  “Chiral anomalies and AdS/CMT in two dimensions” (영어). arXiv:1012.4831.  Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 121 (3): 351–399. doi:10.1007/BF01217730. MR 0990772. 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