선형 푸아송 다양체

리 군론에서 선형 푸아송 다양체(線型Poisson多樣體, 영어: linear Poisson manifold)는 성분이 선형인 푸아송 다양체의 구조를 갖춘 벡터 공간이다. 이는 항상 유한 차원 실수 리 대수의 쌍대 공간의 꼴이다. 그 심플렉틱 잎들은 쌍대딸림표현 궤도(雙對딸림表現軌道, 영어: coadjoint orbit)라고 하는데, 일부 경우 리 대수의 기약 유니터리 표현에 대응하며, 이러한 표현들은 심플렉틱 잎의 기하학적 양자화로 얻어진다. 이 경우, 키릴로프 지표 공식(Кириллов指標公式, 영어: Kirillov character formula)에 따라서, 군 표현의 지표는 심플렉틱 잎의 부피를 나타내는 분포의 푸리에 변환으로 주어진다. 유한 차원 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위에 푸아송 다양체 구조 { − , − } {\displaystyle \{-,-\}} 가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자. { f , g } ( x ) = x i f i j k ∂ j f ∂ k f {\displaystyle \{f,g\}(x)=x^{i}f_{i}{}^{jk}\partial _{j}f\partial _{k}f} 그렇다면, 쌍대 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다. [ t j , t k ] = ∑ i f i j k t i {\displaystyle [t^{j},t^{k}]=\sum _{i}f_{i}{}^{jk}t^{i}} 반대로, 유한 차원 실수 리 대수 ( g , [ , ] ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[,])} 가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의 f , g ∈ C ∞ ( g ∗ ; R ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*};\mathbb {R} )} 및 x ∈ g ∗ {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}} 에 대하여, { f , g } ( x ) = x ( [ d f ( x ) , d g ( x ) ] ) {\displaystyle \{f,g\}(x)=x([\mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)])} 여기서 d f ( x ) , d g ( x ) ∈ T x ∗ g ∗ ≅ g {\displaystyle \mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)\in \mathrm {T} _{x}^{*}{\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}} 이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 선형 푸아송 다양체라고 한다. 리 지수 사상에 따라 g = l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)} 가 되는 단일 연결 리 군 G {\displaystyle G} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 는 물론 리 군 G {\displaystyle G} 의 표현 Ad G ∗ : G → GL ⁡ ( g ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Ad} _{G}^{*}\colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}}^{*})} 을 갖춘다. 구체적으로, 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 및 x ∈ g ∗ {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}} 에 대하여, Ad G ∗ ⁡ ( g ) x : g → R {\displaystyle \operatorname {Ad} _{G}^{*}(g)x\colon {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} } Ad G ∗ ⁡ ( g ) x : ξ ↦ x ( Ad G ⁡ ( g − 1 ) ξ ) {\displaystyle \operatorname {Ad} _{G}^{*}(g)x\colon \xi \mapsto x(\operatorname {Ad} _{G}(g^{-1})\xi )} 이다. 여기서 Ad G : G → GL ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} _{G}\colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})} 는 딸림표현이다. g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 의 심플렉틱 잎들은 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 속의, G {\displaystyle G} 의 작용에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도(영어: coadjoint orbit)라고 한다. G {\displaystyle G} 가 연결 단일 연결 멱영 리 군이라고 하자. 그렇다면, G {\displaystyle G} 의 유니터리 기약 표현들의 집합은 l i e ( G ) ∗ {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)^{*}} 의 쌍대딸림궤도들의 집합과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 구체적으로, 어떤 쌍대딸림궤도 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 이는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해 G {\displaystyle G} 의 유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있는데, 이것이 쌍대딸림궤도에 대응하는 유니터리 기약 표현이다. 또한, 이 경우 표현 ρ {\displaystyle \rho } 의 지표는 X {\displaystyle X} 의 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다. G {\displaystyle G} 가 연결 단일 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. 그렇다면, G {\displaystyle G} 의 쌍대딸림표현 궤도들은 G {\displaystyle G} 의 바일 방의 점과 일대일 대응한다. 콤팩트 리 군의 경우, 다음과 같은 지표 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 리 대수 (반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합) g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 양근 집합 { α 1 , … , α dim ⁡ g / 2 } ⊆ h ∗ {\displaystyle \{\alpha ^{1},\dotsc ,\alpha ^{\dim {\mathfrak {g}}/2}\}\subseteq {\mathfrak {h}}^{*}} 기약 표현 π : g → g l ( V ) {\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} π {\displaystyle \pi } 의 최고 무게 λ ∈ h ∗ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}} 그렇다면, ρ = 1 2 ∑ i = 1 dim ⁡ g / 2 α i {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{\dim {\mathfrak {g}}/2}\alpha ^{i}} 가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도 Orbit ⁡ ( λ + ρ ) ⊆ g ∗ {\displaystyle \operatorname {Orbit} (\lambda +\rho )\subseteq {\mathfrak {g}}^{*}} 는 심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식 μ λ + ρ {\displaystyle \mu _{\lambda +\rho }} 가 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다. ( det ( D exp ⁡ | ξ ) ) 1 / 2 tr V ⁡ π ( exp ⁡ ξ ) = ∫ Orbit ⁡ ( λ + ρ ) exp ⁡ ( i ⟨ x | ξ ⟩ ) μ λ + ρ {\displaystyle (\det(\mathrm {D} \exp |_{\xi }))^{1/2}\operatorname {tr} _{V}\pi (\exp \xi )=\int _{\operatorname {Orbit} (\lambda +\rho )}\exp(\mathrm {i} \langle x|\xi \rangle )\mu _{\lambda +\rho }} 여기서 det ( D exp ⁡ | ξ ) = sinh ⁡ ( ad ⁡ ( ξ / 2 ) ) / ad ⁡ ( ξ / 2 ) {\displaystyle \det(\mathrm {D} \exp |_{\xi })=\operatorname {sinh} (\operatorname {ad} (\xi /2))/\operatorname {ad} (\xi /2)} 는 리 지수 사상 g → G {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G} 의, ξ ∈ g {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}} 에서의 야코비 행렬 D exp ⁡ | ξ ∈ g ∗ ⊗ T exp ⁡ ξ G {\displaystyle \mathrm {D} \exp |_{\xi }\in {\mathfrak {g}}^{*}\otimes \mathrm {T} _{\exp \xi }G} 의 행렬식이다. 단일 연결 반단순 리 군 G {\displaystyle G} 의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간 L G = C ∞ ( S 1 , G ) {\displaystyle \mathrm {L} G={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},G)} 은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간인 리 대수 L g = C ∞ ( S 1 , g ) {\displaystyle \mathrm {L} {\mathfrak {g}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\mathfrak {g}})} 를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여 g ⊗ C [ z , z − 1 ] ⊆ L g {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [z,z^{-1}]\subseteq \mathrm {L} {\mathfrak {g}}} 이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다. 원 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 은 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라 L g ≅ Ω 1 ( S 1 ; g ∗ ) {\displaystyle \mathrm {L} {\mathfrak {g}}\cong \Omega ^{1}(\mathbb {S} ^{1};{\mathfrak {g}}^{*})} 으로 놓을 수 있다. 또한, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 킬링 형식을 사용하여 g ∗ ≅ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}} 이므로 ( L g ) ∗ ≅ Ω 1 ( S 1 ; g ) {\displaystyle (\mathrm {L} {\mathfrak {g}})^{*}\cong \Omega ^{1}(\mathbb {S} ^{1};{\mathfrak {g}})} 이다. 이 공간 ( L g ) ∗ = Ω 1 ( S 1 ; g ) {\displaystyle (\mathrm {L} {\mathfrak {g}})^{*}=\Omega ^{1}(\mathbb {S} ^{1};{\mathfrak {g}})} 은 원 위의 자명한 G {\displaystyle G} -주다발의 주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우, L G {\displaystyle \mathrm {L} G} 는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체 L g ∗ {\displaystyle \mathrm {L} {\mathfrak {g}}^{*}} 위의 작용은 게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발의 주접속의 게이지 변환 동치류들의 공간 G / / G {\displaystyle G/\!/G} 이다. 아벨 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 생각하자. 그렇다면, g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다. 구체적으로, g = R n {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{n}} 이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군 G = R n {\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}} 은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다. ( t 1 , … , t n ) ⋅ z ↦ exp ⁡ ( i α 1 t 1 + i α 2 t 2 + ⋯ + i α n t n ) z {\displaystyle (t^{1},\dotsc ,t^{n})\cdot z\mapsto \exp(\mathrm {i} \alpha _{1}t^{1}+\mathrm {i} \alpha _{2}t^{2}+\dotsb +\mathrm {i} \alpha _{n}t^{n})z} 이 기약 표현은 점 ( α 1 , α 2 , … , α n ) ∈ g ∗ {\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{n})\in {\mathfrak {g}}^{*}} 으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표 χ ( α 1 , … , α n ) ( t 1 , … , t n ) = exp ⁡ ( i α 1 t 1 + ⋯ + i α n t n ) {\displaystyle \chi _{(\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n})}(t_{1},\dotsc ,t_{n})=\exp(\mathrm {i} \alpha _{1}t^{1}+\dotsb +\mathrm {i} \alpha _{n}t^{n})} 는 부피 형식( ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n})} 에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다. g = o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {o}}(3)} (3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. ( g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 B ( − , − ) {\displaystyle B(-,-)} 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다. S r 2 = { v ∈ g : | B ( v , v ) | = r 2 } ( r ∈ [ 0 , ∞ ) ) {\displaystyle \mathbb {S} _{r}^{2}=\{v\in {\mathfrak {g}}\colon |B(v,v)|=r^{2}\}\qquad (r\in [0,\infty ))} 즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 r {\displaystyle r} 의 구이다. 이는 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다. r > 0 {\displaystyle r>0} 일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, r = 0 {\displaystyle r=0} 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} 에서 ω r = r 2 π sin ⁡ θ d ϕ ∧ d θ {\displaystyle \omega _{r}={\frac {r}{2\pi }}\sin \theta \,\mathrm {d} \phi \wedge \mathrm {d} \theta } 이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다. 이 경우, 최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 1 ∈ R {\displaystyle 1\in \mathbb {R} } 에 해당하며, ρ = 1 / 2 {\displaystyle \rho =1/2} 이다. 이 경우, 스핀 λ ∈ { 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , … } {\displaystyle \lambda \in \{1/2,1,3/2,2,\dotsc \}} 에 대하여, Orbit ⁡ ( λ + ρ ) = { x ∈ R 3 : ‖ x ‖ = λ + 1 / 2 } {\displaystyle \operatorname {Orbit} (\lambda +\rho )=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\colon \|x\|=\lambda +1/2\}} 이며, ∫ ‖ x ‖ = 2 λ + 1 / 2 exp ⁡ ( i ⟨ x , ξ ⟩ ) ω λ + 1 / 2 = λ + 1 / 2 2 π ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π d θ sin ⁡ θ exp ⁡ ( 2 i ξ ( λ + 1 / 2 ) cos ⁡ θ ) = sin ⁡ ( ( 2 λ + 1 ) ξ ) ξ {\displaystyle \int _{\|x\|=2\lambda +1/2}\exp(\mathrm {i} \langle x,\xi \rangle )\omega _{\lambda +1/2}={\frac {\lambda +1/2}{2\pi }}\int _{0}^{2}\pi \mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta \,\sin \theta \exp(2\mathrm {i} \xi (\lambda +1/2)\cos \theta )={\frac {\sin((2\lambda +1)\xi )}{\xi }}} 이다. 여기서 정적분 ∫ 0 π sin ⁡ θ exp ⁡ ( i r cos ⁡ θ ) = 2 sin ⁡ r r {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \exp(\mathrm {i} r\cos \theta )={\frac {2\sin r}{r}}} 을 사용하였다. 이 경우, 야코비안은 det D exp ⁡ | diag ⁡ ( i ξ , − i ξ ) = sin ⁡ ξ ξ {\displaystyle \det \mathrm {D} \exp |_{\operatorname {diag} (\mathrm {i} \xi ,-\mathrm {i} \xi )}={\frac {\sin \xi }{\xi }}} 이다. 즉, 스핀 λ {\displaystyle \lambda } 에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다. tr ⁡ λ ( diag ⁡ ( exp ⁡ ( i ξ ) , exp ⁡ ( − i ξ ) ) ) = sin ⁡ ( ( 2 λ + 1 ) ξ ) sin ⁡ ξ {\displaystyle \operatorname {tr} \lambda (\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \xi ),\exp(-\mathrm {i} \xi )))={\frac {\sin((2\lambda +1)\xi )}{\sin \xi }}} 사실, 스핀 λ {\displaystyle \lambda } 의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로 tr ⁡ λ ( diag ⁡ ( exp ⁡ ( i ξ ) , exp ⁡ ( − i ξ ) ) ) = exp ⁡ ( 2 i λ ) ξ ) + exp ⁡ ( 2 i ( λ − 1 ) ξ ) + ⋯ + exp ⁡ ( − 2 i λ ξ ) {\displaystyle \operatorname {tr} \lambda (\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \xi ),\exp(-\mathrm {i} \xi )))=\exp(2\mathrm {i} \lambda )\xi )+\exp(2\mathrm {i} (\lambda -1)\xi )+\dotsb +\exp(-2\mathrm {i} \lambda \xi )} 가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다. 단일 연결 멱영 리 군인 하이젠베르크 군 Heis ⁡ ( 3 ; R ) = { ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) : a , b , c ∈ R } {\displaystyle \operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {R} \right\}} 을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다. h e i s ( 3 ; R ) = { ( 0 a c 0 0 b 0 0 0 ) : a , b , c ∈ R } {\displaystyle {\mathfrak {heis}}(3;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {R} \right\}} 3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적 ⟨ X | Y ⟩ = tr ⁡ ( X Y ) {\displaystyle \langle X|Y\rangle =\operatorname {tr} (XY)} 을 사용한다면, h e i s ( 3 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {heis}}(3;\mathbb {R} )} 의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간 Mat ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )} 속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다. h e i s ( 3 ; R ) ⊥ = { ( 0 x y 0 0 z 0 0 0 ) : x , y , z ∈ R } = { M ∈ Mat ⁡ ( 3 ; R ) : tr ⁡ ( {\displaystyle {\mathfrak {heis}}(3;\mathbb {R} )^{\perp }=\left\{{\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix}}\colon x,y,z\in \mathbb {R} \right\}=\{M\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )\colon \operatorname {tr} (} 이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다. ad ∗ ⁡ ( ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) ) : ( 0 x y 0 0 z 0 0 0 ) → ( 0 x − a y y 0 0 z + b y 0 0 0 ) {\displaystyle \operatorname {ad} ^{*}\left({\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\right)\colon {\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}0&x-ay&y\\0&0&z+by\\0&0&0\end{pmatrix}}} 따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다. y = 0 {\displaystyle y=0} 인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다. 이는 Heis ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )} 의 표현 가운데, 아벨 몫군 R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } 의 표현으로 유도되는 것에 해당한다. y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0} 일 때, 궤도는 ( R , y , R ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,y,\mathbb {R} )} 의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 d x ∧ d z / y {\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z/y} 은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다. 이는 Heis ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )} 의 표현 가운데, 메타플렉틱 표현에 해당한다. 이 경우, y {\displaystyle y} 는 메타플렉틱 표현을 결정하는 중심 원소의 값에 대응한다. 선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(러시아어: Алекса́ндр Алекса́ндрович Кири́ллов, 1936〜)가 1961년에 발견하였다. Bernatska, Julia; Holod, Petro. “Geometry and topology of coadjoint orbits of semisimple Lie groups” (PDF) (영어). arXiv:0801.2913. 2017년 8월 14일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 10월 16일에 확인함.  Кириллов, Александр Александрович (1961). “Унитарные представления нильпотентных групп Ли”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (러시아어) 138: 283–284. ISSN 0002-3264. MR 0125908. Zbl 0104.02902.  Кириллов, Александр Александрович (1962). “Унитарные представления нильпотентных групп Ли”. 《Успехи математических наук》 (러시아어) 17 (7): 57–110.  영역 Kirillov, A. A. (1962). “Unitary representations of nilpotent Lie groups”. 《Russian Mathematical Surveys》 (영어) 17 (4): 53–104. doi:10.1070/RM1962v017n04ABEH004118. ISSN 0042-1316. MR 0142001. Zbl 0106.25001.  “Orbit method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Coadjoint representation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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