분리 집합쌍

일반위상수학에서 분리 집합쌍(分離集合雙, 영어: separated pair of sets)은 서로의 폐포와 겹치지 않는 두 개의 집합을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, 위상 공간의 다양한 분리공리(分離公理, 영어: separation axiom)들을 정의할 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 두 부분 집합 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 에 대하여, 다음을 정의한다. 만약 A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 이라면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 서로소 집합쌍(-素集合雙, 영어: disjoint pair of sets)이다. 만약 A ∩ cl ⁡ ( B ) = ∅ {\displaystyle A\cap \operatorname {cl} (B)=\varnothing } 이거나 또는 cl ⁡ ( A ) ∩ B = ∅ {\displaystyle \operatorname {cl} (A)\cap B=\varnothing } 이라면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 위상 구별 가능 집합쌍(位相區別可能集合雙, 영어: topologically distinguishable pair of sets)이다. 만약 A ∩ cl ⁡ ( B ) = cl ⁡ ( A ) ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap \operatorname {cl} (B)=\operatorname {cl} (A)\cap B=\varnothing } 이라면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 분리 집합쌍(分離集合雙, 영어: separated pair of sets)이다. 만약 A ~ ∩ B ~ = ∅ {\displaystyle {\tilde {A}}\cap {\tilde {B}}=\varnothing } 이 되는 A {\displaystyle A} 의 근방 A ~ ⊇ A {\displaystyle {\tilde {A}}\supseteq A} 및 B {\displaystyle B} 의 근방 B ~ ⊇ B {\displaystyle {\tilde {B}}\supseteq B} 가 존재한다면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 근방 분리 집합쌍(近傍分離集合雙, 영어: neighborhood-separated pair of sets)이다. 만약 A ~ ∩ B ~ = ∅ {\displaystyle {\tilde {A}}\cap {\tilde {B}}=\varnothing } 이 되는 A {\displaystyle A} 의 닫힌 근방 A ~ ⊇ A {\displaystyle {\tilde {A}}\supseteq A} 및 B {\displaystyle B} 의 닫힌 근방 B ~ ⊇ B {\displaystyle {\tilde {B}}\supseteq B} 가 존재한다면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 닫힌 근방 분리 집합쌍(-近傍分離集合雙, 영어: closed-neighborhood-separated pair of sets)이다. 만약 f ( A ) = { 0 } {\displaystyle f(A)=\{0\}} 이자 f ( B ) = { 1 } {\displaystyle f(B)=\{1\}} 인 연속 함수 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} 가 존재한다면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 함수 분리 집합쌍(函數分離集合雙, 영어: functionally separated pair of sets)이다. 만약 f − 1 ( 0 ) = A {\displaystyle f^{-1}(0)=A} 이자 f − 1 ( 1 ) = B {\displaystyle f^{-1}(1)=B} 인 연속 함수 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} 가 존재한다면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 정밀 함수 분리 집합쌍(精密函數分離集合雙, 영어: precisely functionally separated pair of sets)이다. 이 경우, A {\displaystyle A} 는 닫힌집합 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 의 원상이므로 X {\displaystyle X} 의 닫힌집합이며, 또한 가산 개의 열린집합들 { f − 1 ( [ 0 , 1 / n ) ) } n ∈ Z + {\displaystyle \{f^{-1}([0,1/n))\}_{n\in \mathbb {Z} ^{+}}} 의 교집합이므로 Gδ 집합이다. 이는 B {\displaystyle B} 도 마찬가지다. 이들 사이에는 서로 함의 관계 전순서가 존재한다. 서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리 이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 가 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} 에 의하여 서로 함수 분리라면, A ~ = f − 1 ( [ 0 , 1 / 3 ] ) {\displaystyle {\tilde {A}}=f^{-1}([0,1/3])} , B ~ = f − 1 ( [ 2 / 3 , 1 ] ) {\displaystyle {\tilde {B}}=f^{-1}([2/3,1])} 로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다. 〜인 부분 집합 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 에 대하여, 만약 A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 이라면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 〜분리이다. 이러한 조건을 분리공리라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 한원소 집합을 뜻한다.) 여기서 ㉠은 모든 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. (마찬가지로, 모든 닫힌집합도 열린닫힌집합이다.) ㉡은 모든 정칙 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. 이는 ㉠보다 약한 조건이다. (예를 들어, 시에르핀스키 공간은 ㉡을 만족시키지만 ㉠을 만족시키지 않는다.) ㉢에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 공간 + (모든 한원소 집합이 Gδ 집합)에 의하여 함의된다. ㉣에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 하우스도르프 공간 + (모든 닫힌집합이 Gδ 집합)을 함의하며, 완전 정규 하우스도르프 공간에 의하여 함의된다. 증명 (㉠과 동치인 조건들): 다음 함의 관계들을 증명하면 족하다. (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치 (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치 (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치 (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리 (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리 (A): 임의의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, U {\displaystyle U} 와 닫힌집합 X ∖ U {\displaystyle X\setminus U} 가 분리되었다고 하자. 그렇다면 ∅ = ( X ∖ U ) ∩ cl ⁡ ( U ) = cl ⁡ ( U ) ∖ U {\displaystyle \varnothing =(X\setminus U)\cap \operatorname {cl} (U)=\operatorname {cl} (U)\setminus U} 이므로 U {\displaystyle U} 는 닫힌집합이다. (A′): 귀류법을 통해, 닫힌집합이 아닌 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 이 존재한다면, x ∈ cl ⁡ ( U ) ∖ U {\displaystyle x\in \operatorname {cl} (U)\setminus U} 를 고를 수 있으며, 이 경우 { x } {\displaystyle \{x\}} 와 U {\displaystyle U} 는 서로 분리되지 않는다. (A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 닫힌집합이다. (B): X {\displaystyle X} 에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 열린닫힌집합 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 에 대하여, f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} f : x ↦ { 0 x ∈ A 1 x ∈ B 1 / 2 x ∈ X ∖ ( A ∪ B ) {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}0&x\in A\\1&x\in B\\1/2&x\in X\setminus (A\cup B)\end{cases}}} 는 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 를 정밀히 분리하는 연속 함수이다. (B′): X {\displaystyle X} 에서 열린집합과 닫힌집합이 일치한다고 하자. 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 와 x ∈ X ∖ U {\displaystyle x\in X\setminus U} 를 고른 뒤, V = cl ⁡ ( { x } ) {\displaystyle V=\operatorname {cl} (\{x\})} 로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여 U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} 를 분리하는 함수가 존재한다. 증명 (㉡과 동치인 조건): 다음 함의 관계들을 증명하면 족하다. (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 (C′) 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 (C): X {\displaystyle X} 의 임의의 정칙 열린집합 U {\displaystyle U} 에 대하여, V = int ⁡ ( X ∖ U ) {\displaystyle V=\operatorname {int} (X\setminus U)} 라고 하자. 그렇다면 cl ⁡ V = X ∖ U {\displaystyle \operatorname {cl} V=X\setminus U} 이다. 이제, U {\displaystyle U} 와 {\displaystyle } 가 닫힌 근방 분리된다는 것은 ∅ = cl ⁡ ( U ) ∩ cl ⁡ ( V ) = cl ⁡ U ∖ U {\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} (U)\cap \operatorname {cl} (V)=\operatorname {cl} U\setminus U} 를 뜻하므로, U {\displaystyle U} 는 닫힌집합이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합이다. (C′): X {\displaystyle X} 에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 두 서로소 열린집합 U , V ⊆ X {\displaystyle U,V\subseteq X} 에 대하여, U ~ = int ⁡ ( cl ⁡ ( U ) ) = cl ⁡ U {\displaystyle {\tilde {U}}=\operatorname {int} (\operatorname {cl} (U))=\operatorname {cl} U} V ~ = X ∖ cl ⁡ ( U ) {\displaystyle {\tilde {V}}=X\setminus \operatorname {cl} (U)} 라고 하자. 그렇다면 U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}} 는 U {\displaystyle U} 의 닫힌 근방이며, U ⊆ cl ⁡ ( U ) ⊆ X ∖ V {\displaystyle U\subseteq \operatorname {cl} (U)\subseteq X\setminus V} 이므로 V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} 는 V {\displaystyle V} 의 닫힌 근방이다. 따라서 U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} 는 닫힌 근방으로 분리된다. 증명 (이산 공간과 동치인 조건): 한원소 집합과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 열린집합이 닫힌집합이며, 또 한원소 집합이 닫힌집합이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 T1 공간의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 이산 공간이다. 반대 방향 함의는 자명하다. 증명 (㉢의 함의): 완비 정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 모든 한원소 집합이 Gδ 집합이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f − 1 ( max y ∈ X f ( y ) ) = { x } {\displaystyle f^{-1}(\max _{y\in X}f(y))=\{x\}} 인 연속 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 가 존재한다. 따라서, 임의의 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여 f − 1 ( max y ∈ X f ( y ) ) = { x } {\displaystyle f^{-1}(\max _{y\in X}f(y))=\{x\}} f ′ − 1 ( max y ∈ X f ′ ( y ) ) = { x ′ } {\displaystyle f'^{-1}(\max _{y\in X}f'(y))=\{x'\}} 인 f , f ′ : X → R {\displaystyle f,f'\colon X\to \mathbb {R} } 를 고른다면, y ↦ 1 2 + f ( x ) − max { f ( y ) , f ( x ′ ) } 2 ( f ( x ) − f ( x ′ ) ) − f ′ ( x ′ ) − max { f ′ ( y ) , f ′ ( x ) } 2 ( f ′ ( x ) − f ( x ) ) {\displaystyle y\mapsto {\frac {1}{2}}+{\frac {f(x)-\max\{f(y),f(x')\}}{2(f(x)-f(x'))}}-{\frac {f'(x')-\max\{f'(y),f'(x)\}}{2(f'(x)-f(x))}}} 는 x {\displaystyle x} 와 x ′ {\displaystyle x'} 을 정밀히 분리한다. “G-delta subspace”. 《nLab》 (영어).  Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  “Separation axiom”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Separability of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Separation axioms”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Separation axioms”. 《nLab》 (영어).  “Definition: topologically distinguishable”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: separated”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: separated by neighborhoods”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: separated by closed neighborhoods”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: separated by function”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: Urysohn function”. 《ProofWiki》 (영어).  “Encyclopedia of Separation Axioms Wiki” (일본어).