편미분

편미분(偏微分, 영어: partial derivative)은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하는 것이다. 기호는 ∂으로, 1770년 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용한 이후로 편미분을 나타내는 기호로 사용되고 있으며 이후 1786년에 아드리앵마리 르장드르에 의해 소개되었으나 쓰이지 않다가, 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 다시 이 기호를 도입하였다. 다른 하나의 변수를 상수로 간주한 뒤 미분해 얻은 도함수를 편도함수라고 부르며 이 편도함수를 구하는 과정을 편미분이라 부른다. f x ′ ,   f x ,   ∂ x f , ∂ ∂ x f ,   ∂ f ∂ x {\displaystyle f'_{x},\ f_{x},\ \partial _{x}f,{\frac {\partial }{\partial x}}f,\ {\frac {\partial f}{\partial x}}} 는 변수 x {\displaystyle x} 에 대한, 함수 f ( x , y , … ) {\displaystyle f(x,y,\ldots )} 의 편미분을 뜻한다. f x ′ ( x , y , … ) ,   ∂ f ∂ x ( x , y , … ) {\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots )} 등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다. 하나 이상의 변수를 갖는 함수 f {\displaystyle f} 가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어, z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}} 이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. x z {\displaystyle xz} -평면이나 y z {\displaystyle yz} -평면과 평행하는 접선(즉, y {\displaystyle y} 나 x {\displaystyle x} 를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 에서 x z {\displaystyle xz} -평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. y {\displaystyle y} 를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 y {\displaystyle y} 를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다. ∂ z ∂ x = 2 x + y {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y} 대입을 통해, 점 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} 에서 x z {\displaystyle xz} -평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} 에서 ∂ z ∂ x ( 1 , 1 ) = 3 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}(1,1)=3} . 즉, 점 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} 에서 z {\displaystyle z} 의 x {\displaystyle x} 에 대한 편미분은 3이다. 함수 f {\displaystyle f} 는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 y {\displaystyle y} 값은 변수 하나의 함수 f ( y ) ( x ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f_{(y)}(x)=x^{2}+xy+y^{2}} 에 대응한다. 만약 y {\displaystyle y} 의 값을 y = a {\displaystyle y=a} 와 같이 선택해 고정시킨다면, f {\displaystyle f} 는 함수 f ( a ) ( x ) = x 2 + a x + a 2 {\displaystyle f_{(a)}(x)=x^{2}+ax+a^{2}} 를 결정한다. a {\displaystyle a} 가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 f a {\displaystyle f_{a}} 는 변수 x {\displaystyle x} 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을 f ( a ) ′ ( x ) = 2 x + a {\displaystyle f_{(a)}'(x)=2x+a} 와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 x {\displaystyle x} 값의 함수이며, 이 논의는 모든 y = a {\displaystyle y=a} 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 x {\displaystyle x} 값 및 y {\displaystyle y} 값을 변수로 갖는 함수 ∂ f ∂ x ( x , y ) = 2 x + y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y} 을 얻을 수 있다. 이는 함수 f {\displaystyle f} 의, 변수 x {\displaystyle x} 에 대한 편미분이다. 연결 열린집합 D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 정의된 실숫값 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 및 점 a ∈ D {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D} 에 대하여, 점 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 에서 함수 f {\displaystyle f} 의 변수 x i {\displaystyle x_{i}} 에 대한 편미분은 다음과 같은 극한이다. ∂ f ∂ x i ( a ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i − 1 , a i + h , a i + 1 , … , a n ) − f ( a 1 , … , a i − 1 , a i , a i + 1 , … , a n ) h {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{h}}} 편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다. ∂ f ∂ x i ( a ) = d f ( i ) d x ( a i ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})={\frac {df_{(i)}}{dx}}(a_{i})} ∂ f ∂ x i ( a ) = L ⟺ L = ∂ f ∂ e i ( a ) = − ∂ f ∂ ( − e i ) ( a ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})=L\iff L={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {e}}_{i}}}({\boldsymbol {a}})=-{\frac {\partial f}{\partial (-{\boldsymbol {e}}_{i})}}({\boldsymbol {a}})} 여기서 f ( i ) ( x ) = f ( a 1 , … , a i − 1 , x , a i + 1 , … , a n ) {\displaystyle f_{(i)}(x)=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots ,a_{n})} ∂ f ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}} 는 방향 미분이다. e i {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}} 는 i {\displaystyle i} 번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다. 어떤 a ∈ D {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D} 에서 f {\displaystyle f} 의 x i {\displaystyle x_{i}} 에 대한 편미분이 존재한다면, 점 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 에서 f {\displaystyle f} 가 x i {\displaystyle x_{i}} 에 대해 편미분 가능하다고 한다. 모든 x ∈ D {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in D} 에서 f {\displaystyle f} 의 x i {\displaystyle x_{i}} 에 대한 편미분이 존재한다면, f {\displaystyle f} 가 D {\displaystyle D} 에서 x i {\displaystyle x_{i}} 에 대해 편미분 가능하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 D {\displaystyle D} , 공역이 R {\displaystyle \mathbb {R} } 인 함수이며, 이를 ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} 로 표기한다. (어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 f {\displaystyle f} 가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, f {\displaystyle f} 의 기울기는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다. 방향도함수(方向導函數, 영어: directional derivative)는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다. 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자. 연결 열린집합 D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 정의된 실숫값 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 유클리드 공간 속 점 a ∈ D {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D} 유클리드 공간 속 단위 벡터 v = ( cos ⁡ θ 1 , … , cos ⁡ θ n ) ∈ R n ( | v | = 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta _{1},\ldots ,\cos \theta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}\qquad (|{\boldsymbol {v}}|=1)} 이를 "방향"이라고 부르자. 그렇다면, 점 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 에서 f {\displaystyle f} 의 방향 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} 에 대한 방향도함수는 다음과 같은 극한이다. ∂ f ∂ v = lim t → 0 + 0 f ( a 1 + t cos ⁡ θ 1 , … , a n + t cos ⁡ θ n ) − f ( a 1 , … , a n ) t = lim t → 0 + 0 f ( a + t v ) − f ( a ) t = lim E ∋ x → a f ( x ) − f ( a ) ( x − a ) ⋅ v {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}&=\lim _{t\to 0+0}{\frac {f(a_{1}+t\cos \theta _{1},\ldots ,a_{n}+t\cos \theta _{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{t}}\\&=\lim _{t\to 0+0}{\frac {f({\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {a}})}{t}}\\&=\lim _{E\ni {\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})}{({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {v}}}}\end{aligned}}} 여기서 E = { a + t v : 0 < t < t ′ } ⊆ D {\displaystyle E=\{{\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}}\colon 0<t<t'\}\subseteq D} 이다. 함수 f {\displaystyle f} 의 고계 편미분(高階偏微分, 영어: higher order partial derivative)은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다. 예를 들어, 독립 변수 x , y , z {\displaystyle x,y,z} 의 함수 f : R 3 → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } 에 대하여, x {\displaystyle x} 에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다. ∂ f ∂ x = f x = ∂ x f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f} 이를 다시 x {\displaystyle x} 나 y {\displaystyle y} 로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다. ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x = ∂ x x f ≡ ∂ ∂ x ∂ ∂ x f {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f} ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y = ∂ y x f ≡ ∂ ∂ y ∂ ∂ x f {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}=\partial _{yx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f} 비슷하게, f {\displaystyle f} 를 y {\displaystyle y} 나 z {\displaystyle z} 로 편미분하고, 다시 x {\displaystyle x} 나 y {\displaystyle y} 나 z {\displaystyle z} 로 편미분할 수 있다. 일반적으로, 연결 열린집합 D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 정의된 실숫값 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 를 변수 x a {\displaystyle x_{a}} 로 k a {\displaystyle k_{a}} 번, 변수 x b {\displaystyle x_{b}} 로 k b {\displaystyle k_{b}} 번, ..., 변수 x c {\displaystyle x_{c}} 로 k c {\displaystyle k_{c}} 번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 k a + k b + ⋯ + k c {\displaystyle k_{a}+k_{b}+\cdots +k_{c}} 계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다. ∂ k a + k b + ⋯ + k c f ∂ x c k c ⋯ ∂ x b k b ∂ x a k a ≡ ∂ k c ∂ x c k c ⋯ ∂ k b ∂ x b k b ∂ k a ∂ x a k a f {\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{a}+k_{b}+\cdots +k_{c}}f}{\partial x_{c}^{k_{c}}\cdots \partial x_{b}^{k_{b}}\partial x_{a}^{k_{a}}}}\equiv {\frac {\partial ^{k_{c}}}{\partial x_{c}^{k_{c}}}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{b}}}{\partial x_{b}^{k_{b}}}}{\frac {\partial ^{k_{a}}}{\partial x_{a}^{k_{a}}}}f} 용어 혼합 편미분(混合偏微分, 영어: mixed derivative)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 f {\displaystyle f} 의 x {\displaystyle x} 에 대한 편미분의 y {\displaystyle y} 에 대한 편미분은 혼합 편미분이다. 많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다. ( ∂ ∂ x ) i f ≡ ( ∂ ∂ x 1 ) i 1 ( ∂ ∂ x 2 ) i 2 ⋯ ( ∂ ∂ x n ) i n f {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right)^{\boldsymbol {i}}f\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)^{i_{1}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)^{i_{2}}\cdots \left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{i_{n}}f} 물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다. (어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다. d f = ∂ f ∂ x 1 d x 1 + ∂ f ∂ x 2 d x 2 + ⋯ + ∂ f ∂ x n d x n = ∇ f ⋅ d x {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}=\nabla f\cdot d{\boldsymbol {x}}} ∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x 1 cos ⁡ θ 1 + ∂ f ∂ x 2 cos ⁡ θ 2 + ⋯ + ∂ f ∂ x n cos ⁡ θ n = ∇ f ⋅ v {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\cos \theta _{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\cos \theta _{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\cos \theta _{n}=\nabla f\cdot {\boldsymbol {v}}} (어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다. 편미분 교환 법칙에 따르면, 연결 열린집합 D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 에 정의된 함수 f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } 및 그 두 변수 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 가 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} 함수라면, f {\displaystyle f} 의 x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉, ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}} 증명: S ( Δ x , Δ y ) = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 + Δ y ) + f ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)=f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)+f\left(x_{0},y_{0}\right)} 라고 하고 g ( x ) = f ( x , y 0 + Δ y ) − f ( x , y 0 ) {\displaystyle g\left(x\right)=f\left(x,y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x,y_{0}\right)} 라고 하자. 그렇다면 S ( Δ x , Δ y ) = g ( x 0 + Δ x ) − g ( x 0 ) {\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left(x_{0}+\Delta x\right)-g\left(x_{0}\right)} 이다. 전제에 의하여 g {\displaystyle g} 는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 x 0 + Δ x {\displaystyle x_{0}+\Delta x} 와 x 0 {\displaystyle x_{0}} 사이에는 g ( x 0 + Δ x ) − g ( x 0 ) = g ′ ( x ¯ ) Δ x {\displaystyle g\left(x_{0}+\Delta x\right)-g\left(x_{0}\right)=g'\left({\bar {x}}\right)\Delta x} 를 만족하는 x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} 가 존재한다. S ( Δ x , Δ y ) = [ ∂ f ∂ x ( x ¯ , y 0 + Δ y ) − ∂ f ∂ x ( x ¯ , y 0 ) ] Δ x {\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}+\Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}\right)\right]\Delta x} 이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 f x {\displaystyle f_{x}} 는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 y 0 + Δ y {\displaystyle y_{0}+\Delta y} 와 y 0 {\displaystyle y_{0}} 사이에는 ∂ f ∂ x ( x ¯ , y 0 + Δ y ) − ∂ f ∂ x ( x ¯ , y 0 ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x ¯ , y ¯ ) Δ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}+\Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)\Delta y} 를 만족하는 y ¯ {\displaystyle {\bar {y}}} 가 존재한다. 따라서 S ( Δ x , Δ y ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x ¯ , y ¯ ) Δ y Δ x {\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)\Delta y\Delta x} 이고, ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x ¯ , y ¯ ) = S ( Δ x , Δ y ) Δ x Δ y {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)={\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}} 이다. ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}} 는 연속이므로 lim ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) S ( Δ x , Δ y ) Δ x Δ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , y ) {\displaystyle \lim _{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}{\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left(x,y\right)} 이다. 유사한 방법으로 계산해보면 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( x , y ) = lim ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) S ( Δ x , Δ y ) Δ x Δ y {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(x,y\right)=\lim _{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}{\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}} 이므로 f x y = f y x {\displaystyle f_{xy}=f_{yx}} 이다. 밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다. V = π r 2 h 3 {\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}} 여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다. ∂ V ∂ r = 2 π r h 3 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}} 또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다. ∂ V ∂ h = π r 2 3 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}} 달랑베르 연산자 연쇄 법칙 회전 (벡터) 발산 (벡터) 야코비 행렬 라플라스 연산자 Miller, Jeff (2009년 6월 14일). “Earliest Uses of Symbols of Calculus”. 《Earliest Uses of Various Mathematical Symbols》. 2009년 2월 20일에 확인함.  “편도함수”. 《사이언스올》. 2015년 9월 9일. 2021년 5월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2021년 5월 7일에 확인함.  Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.  伍胜健 (2010년 8월). 《数学分析. 第三册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-17675-7.