그래프 데카르트 곱

그래프 이론에서 그래프 데카르트 곱(graph Descartes곱, 영어: Cartesian product of graphs)은 두 그래프를 합치는 이항 연산이다. 이렇게 얻은 그래프의 꼭짓점의 수는 원래 두 그래프의 꼭짓점의 수들의 곱과 같다. 그래프의 족 ( Γ i ) i ∈ I {\displaystyle (\Gamma _{i})_{i\in I}} 의 그래프 데카르트 곱 Γ = ∏ ∐ i ∈ I Γ i {\displaystyle \Gamma ={\prod \!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod _{i\in I}\Gamma _{i}} 은 다음과 같은 그래프이다. V ( Γ ) = ∏ i ∈ I V ( Γ i ) {\displaystyle {\mathsf {V}}(\Gamma )=\prod _{i\in I}{\mathsf {V}}(\Gamma _{i})} u v ∈ E ( Γ ) ⟺ ∃ i ∈ I : ( u i v i ∈ E ( Γ i ) ∧ ∀ j ∈ I ∖ { i } : u i = v j ) {\displaystyle uv\in {\mathsf {E}}(\Gamma )\iff \exists i\in I\colon \left(u_{i}v_{i}\in {\mathsf {E}}(\Gamma _{i})\land \forall j\in I\setminus \{i\}\colon u_{i}=v_{j}\right)} 즉, 데카르트 곱 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 다음과 같은 그래프이다. 그 꼭짓점 v ∈ V ( Γ ) {\displaystyle v\in {\mathsf {V}}(\Gamma )} 은 각 성분 Γ i {\displaystyle \Gamma _{i}} 의 꼭짓점들의 열 ( v i ) i ∈ I {\displaystyle (v_{i})_{i\in I}} , v i ∈ V ( Γ i ) {\displaystyle v_{i}\in {\mathsf {V}}(\Gamma _{i})} 이다. 두 꼭짓점 u , v ∈ V ( Γ ) {\displaystyle u,v\in {\mathsf {V}}(\Gamma )} 이 변으로 연결되어 있을 필요 충분 조건은 어떤 성분 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, u i {\displaystyle u_{i}} 와 v i {\displaystyle v_{i}} 가 그래프 Γ i {\displaystyle \Gamma _{i}} 에서 변으로 연결되며, 나머지 성분들이 모두 일치하는 것이다. 두 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } , Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 의 데카르트 곱은 Γ ◻ Γ ′ {\displaystyle \Gamma \,\square \,\Gamma '} 으로 표기한다. 그래프 데카르트 곱은 (표준적 그래프 동형 아래) 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다. 그래프 데카르트 곱의 항등원은 한원소 그래프 K 1 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{1}} 이다. 두 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } , Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 에 대하여 다음이 성립한다. | V ( ∏ ∐ i ∈ I Γ i ) | = ∏ i ∈ I | V ( Γ i ) | {\displaystyle \left|{\mathsf {V}}\left({\prod \!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right|=\prod _{i\in I}|{\mathsf {V}}(\Gamma _{i})|} | E ( ∏ ∐ i ∈ I Γ i ) | = ∑ i ∈ I | E ( Γ i ) | ∏ j ∈ I ∖ { i } | V ( Γ j ) | {\displaystyle \left|{\mathsf {E}}\left({\prod \!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right|=\sum _{i\in I}|{\mathsf {E}}(\Gamma _{i})|\prod _{j\in I\setminus \{i\}}|{\mathsf {V}}(\Gamma _{j})|} (무한 그래프의 경우 이는 기수의 연산으로 해석한다.) 두 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } , Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 의 데카르트 곱의 인접 행렬은 다음과 같다. A Γ ◻ Γ ′ = A Γ ⊗ 1 V ( Γ ′ ) + 1 V ( Γ ) ⊗ A Γ ′ {\displaystyle {\mathsf {A}}_{\Gamma \,\square \Gamma '}={\mathsf {A}}_{\Gamma }\otimes 1_{{\mathsf {V}}(\Gamma ')}+1_{{\mathsf {V}}(\Gamma )}\otimes {\mathsf {A}}_{\Gamma '}} 여기서 ⊗ {\displaystyle \otimes } 는 행렬의 크로네커 곱이다. 특히, Γ ◻ Γ ′ {\displaystyle \Gamma \,\square \,\Gamma '} 의 스펙트럼(인접 행렬의 고윳값의 중복집합)은 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 의 스펙트럼의 합이다. Spec ⁡ ( Γ ◻ Γ ′ ) = Spec ⁡ ( Γ ) + Spec ⁡ ( Γ ′ ) = { λ + λ ′ : λ ∈ Spec ⁡ Γ , λ ′ ∈ Spec ⁡ Γ ′ } {\displaystyle \operatorname {Spec} (\Gamma \,\square \,\Gamma ')=\operatorname {Spec} (\Gamma )+\operatorname {Spec} (\Gamma ')=\{\lambda +\lambda '\colon \lambda \in \operatorname {Spec} \Gamma ,\;\lambda '\in \operatorname {Spec} \Gamma '\}} 유한한 채색수를 가진, 하나 이상의 꼭짓점을 갖는 두 (유한 또는 무한) 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } , Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 의 데카르트 곱의 채색수는 각 그래프의 채색수 가운데 최댓값이다. (두 그래프 가운데 하나가 꼭짓점을 갖지 않는다면 그 데카르트 곱의 채색수는 자명하게 0이다.) χ ( Γ ◻ Γ ′ ) = { max i ∈ I { χ ( Γ ) , χ ( Γ ′ ) } ( Γ ≠ ∅ ≠ Γ ′ ) 0 ( ∅ ∈ { Γ , Γ ′ } ) {\displaystyle \chi (\Gamma \,\square \,\Gamma ')={\begin{cases}\max _{i\in I}\{\chi (\Gamma ),\chi (\Gamma ')\}&(\Gamma \neq \varnothing \neq \Gamma ')\\0&(\varnothing \in \{\Gamma ,\Gamma '\})\end{cases}}} 증명: Γ {\displaystyle \Gamma } 또는 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 가운데 적어도 하나가 꼭짓점을 갖지 않는 경우는 자명하다. 따라서 둘 다 공그래프가 아니라고 가정하자. 편의상 N = max { χ ( Γ ) , χ ( Γ ′ ) } {\displaystyle N=\max\{\chi (\Gamma ),\chi (\Gamma ')\}} 으로 표기하자. 채색 c : V ( Γ ) → Z / ( N ) {\displaystyle c\colon {\mathsf {V}}(\Gamma )\to \mathbb {Z} /(N)} c ′ : V ( Γ ′ ) → Z / ( N ) {\displaystyle c'\colon {\mathsf {V}}(\Gamma ')\to \mathbb {Z} /(N)} 이 주어졌을 때, C : V ( Γ ◻ Γ ′ ) → Z / ( N ) {\displaystyle C\colon {\mathsf {V}}(\Gamma \,\square \,\Gamma ')\to \mathbb {Z} /(N)} C : ( v , v ′ ) ↦ c ( v ) + c ′ ( v ′ ) {\displaystyle C\colon (v,v')\mapsto c(v)+c'(v')} 는 Γ ◻ Γ {\displaystyle \Gamma \,\square \,\Gamma } 위의 채색을 이룬다. 따라서 χ ( Γ ◻ Γ ′ ) ≤ N {\displaystyle \chi (\Gamma \,\square \,\Gamma ')\leq N} 이다. 그러나 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 둘 다 Γ ◻ Γ ′ {\displaystyle \Gamma \,\square \,\Gamma '} 의 부분 그래프이다. 따라서 χ ( Γ ◻ Γ ′ ) ≥ N {\displaystyle \chi (\Gamma \,\square \,\Gamma ')\geq N} 이다. 특히, 두 그래프의 데카르트 곱이 이분 그래프일 필요 충분 조건은 다음과 같다. 둘 다 이분 그래프이거나, 또는 둘 가운데 하나가 ∅ {\displaystyle \varnothing } 이다. 한원소 그래프 K 1 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{1}} 이 아닌 두 그래프의 데카르트 곱으로 표현될 수 없는 그래프를 데카르트 소 그래프(Descartes素graph,영어: Cartesian-prime graph)라고 하자. 모든 연결 유한 그래프는 소 그래프들의 데카르트 곱으로 표현될 수 있으며, 이러한 표현은 (순서를 무시하면) 유일하다. 그러나 연결 그래프가 아닌 그래프의 경우 이러한 표현은 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, 다음이 성립한다. ( K 1 ⊔ K 2 ⊔ K 2 ◻ 2 ) ◻ ( K 1 ⊔ K 2 ◻ 3 ) = ( K 1 ⊔ K 2 ◻ 2 ⊔ K 2 ◻ 4 ) ◻ ( K 1 ⊔ K 2 ) {\displaystyle ({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 2})\,\square \,({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 3})=({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 2}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 4})\,\square ({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2})} 작은 그래프의 데카르트 곱에 대하여 다음이 성립한다. 여기서 K i {\displaystyle {\mathsf {K}}_{i}} 는 완전 그래프이며, K ¯ i {\displaystyle {\bar {\mathsf {K}}}_{i}} 는 무변 그래프이며, C i {\displaystyle {\mathsf {C}}_{i}} 는 순환 그래프이며, P i {\displaystyle {\mathsf {P}}_{i}} 는 경로 그래프이다. Γ {\displaystyle \Gamma } 는 임의의 그래프이다. K 1 ◻ Γ = Γ {\displaystyle {\mathsf {K}}_{1}\,\square \,\Gamma =\Gamma } K 2 ◻ K 2 = C 4 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}={\mathsf {C}}_{4}} K 2 ◻ C 4 = {\displaystyle {\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {C}}_{4}=} 정육면체 그래프 K ¯ i ◻ K ¯ j = K ¯ i j {\displaystyle {\bar {\mathsf {K}}}_{i}\,\square \,{\bar {\mathsf {K}}}_{j}={\bar {\mathsf {K}}}_{ij}} K ¯ i ◻ Γ = Γ ⊔ i {\displaystyle {\bar {\mathsf {K}}}_{i}\,\square \,\Gamma =\Gamma ^{\sqcup i}} K 2 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} K ¯ 2 ◻ K ¯ 3 {\displaystyle {\bar {\mathsf {K}}}_{2}\,\square \,{\bar {\mathsf {K}}}_{3}} K ¯ 3 ◻ K 2 {\displaystyle {\bar {\mathsf {K}}}_{3}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} K ¯ 2 ◻ K 3 {\displaystyle {\bar {\mathsf {K}}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}} K 3 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{3}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} K 2 ◻ K 2 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} P 3 ◻ P 3 {\displaystyle {\mathsf {P}}_{3}\,\square \,{\mathsf {P}}_{3}} K 3 ◻ K 3 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{3}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}} C 5 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {C}}_{5}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} C 6 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {C}}_{6}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} K 2 ◻ K 2 ◻ P 3 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {P}}_{3}} K 2 ◻ K 2 ◻ K 3 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}} C 7 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {C}}_{7}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} C 5 ◻ K 3 {\displaystyle {\mathsf {C}}_{5}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}} K 2 ◻ K 2 ◻ K 2 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} P 8 ◻ K 2 {\displaystyle {\mathsf {P}}_{8}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}} K 8 ◻ K 8 {\displaystyle {\mathsf {K}}_{8}\,\square \,{\mathsf {K}}_{8}} 그래프 데카르트 곱은 1912년에 알프레드 노스 화이트헤드와 버트런드 러셀이 《수학 원리》 2권에서 최초로 사용하였다. 이후 게르트 자비두시(독일어: Gert Sabidussi, 1929〜)가 1960년에 이 연산을 재발견하였다. Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1912). 《Principia Mathematica. Volume 2》 (영어). Zbl 43.0093.03.  Sabidussi, Gert (1960). “Graph multiplication”. 《Mathematische Zeitschrift》 (영어) 72: 446–457. doi:10.1007/BF01162967. MR 0209177.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Graph Cartesian product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.