근축

기하학에서 근축(根軸, 영어: radical axis)은 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자,:32, §45 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다.:34, §49 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다.:32, §45 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 무한원 직선으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.:92, Remark 1.10.4 중심이 공선점이 아닌 세 원에 의한 세 근축은 유일한 교점을 가지며, 이를 근심(根心, 영어: radical center)이라고 한다. 중심이 서로 다른 공선점인 세 원에 의한 세 근축은 서로 평행하는데, 이 경우 세 근축이 지나는 유일한 무한원점을 근심으로 삼으면 편리하다. 임의의 두 원의 근축이 같은 원들의 집합을 동축원 다발이라고 한다. 동축원 다발 속 원의 중심들은 공선점을 이루며, 임의의 두 원의 교점은 같다. 즉, 동축원 다발 속에서 어떤 두 원이 두 점에서 만날 경우 모든 두 원은 같은 두 점에서 만나며, 어떤 두 원이 접할 경우 모든 두 원은 같은 점에서 접하며, 어떤 두 원이 만나지 않을 경우 모든 두 원은 만나지 않는다. 근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 근평면(根平面, 영어: radical plane)의 개념과 n {\displaystyle n} 차원 초구의 근초평면(根超平面, 영어: radical hyperplane)의 개념을 얻는다. 평면 위에서, 중심이 서로 다른 두 점 ( a , b ) , ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a,b),(a',b')} 인 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 방정식이 x 2 + y 2 − 2 a x − 2 b y + c = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0} x 2 + y 2 − 2 a ′ x − 2 b ′ y + c ′ = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2a'x-2b'y+c'=0} 라고 하자. 그렇다면, C , C ′ {\displaystyle C,C'} 에 대한 점 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 의 방멱은 각각 두 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, C , C ′ {\displaystyle C,C'} 에 대한 방멱이 같은 점의 자취 l {\displaystyle l} 의 방정식은 2 ( a ′ − a ) x + 2 ( b ′ − b ) y − ( c ′ − c ) = 0 {\displaystyle 2(a'-a)x+2(b'-b)y-(c'-c)=0} 이다. 이는 중심 ( a , b ) , ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a,b),(a',b')} 을 잇는 직선의 수선이다. 이 직선 l {\displaystyle l} 을 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축이라고 한다. 한 중심 ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a',b')} 이 다른 중심 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에 무한히 가까워질 때, 근축 l {\displaystyle l} 은 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 이 놓인 평면 위의 무한원 직선에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다.:92, Remark 1.10.4:32, §45 즉, 근축은 사영 직선으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의된다. 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.:92, Remark 1.10.4 위 정의는 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 가운데 적어도 하나가 점원이거나 허원인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱 a 2 − c {\displaystyle a^{2}-c} 이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다. 평면 위에서, 중심이 공선점이 아닌 세 점 O , O ′ , O ″ {\displaystyle O,O',O''} 인 세 원 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 을 생각하자. 그렇다면, 총 세 쌍의 원의 근축 l C , C ′ , l C ′ , C ″ , l C , C ″ {\displaystyle l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}} 은 각각 삼각형을 이루는 중심선 O O ′ , O ′ O ″ , O O ″ {\displaystyle OO',O'O'',OO''} 의 수선이므로, 서로 평행하지 않는다. 다시 말해 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축 l C , C ′ , l C ′ , C ″ {\displaystyle l_{C,C'},l_{C',C''}} 의 교점 P {\displaystyle P} 는 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축 l C , C ″ {\displaystyle l_{C,C''}} 위의 점이다. 따라서 세 근축 l C , C ′ , l C ′ , C ″ , l C , C ″ {\displaystyle l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}} 은 공점선을 이룬다. 이들의 공통점 P {\displaystyle P} 를 세 원 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 근심이라고 한다. 세 원의 중심 O , O ′ , O ″ {\displaystyle O,O',O''} 이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축 l C , C ′ , l C ′ , C ″ , l C , C ″ {\displaystyle l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}} 가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르다고 하자. 그렇다면, 이들은 모두 직선 O O ′ O ″ {\displaystyle OO'O''} 의 수선이므로 서로 평행한다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 이 무한원점을 세 원 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우, 편의상 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 이 동심원이고 C ″ {\displaystyle C''} 은 이들과 동심원이 아니라고 하자. 그렇다면, l C , C ′ {\displaystyle l_{C,C'}} 은 무한원 직선이고 l C ′ , C ″ , l C , C ″ {\displaystyle l_{C',C''},l_{C,C''}} 은 평행하므로, 세 근축은 l C ′ , C ″ , l C , C ″ {\displaystyle l_{C',C''},l_{C,C''}} 의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 마찬가지로 이 무한원점을 세 원 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 사영 평면 위의 점으로서 동축원이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다. 위와 같은 정의는 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다. 동심원이 아닌 두 원의 근축은 두 원의 중심선의 수선이다. 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 이 서로 다른 두 점 P , Q {\displaystyle P,Q} 에서 만날 경우, C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축은 공통 할선 P Q {\displaystyle PQ} 이다. 또한, 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 이 점 T {\displaystyle T} 에서 접할 경우, C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축은 T {\displaystyle T} 를 지나는 공통 접선이다. 중심이 O , O ′ {\displaystyle O,O'} 이고 반지름이 r , r ′ {\displaystyle r,r'} 인 동심원이 아닌 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 중심 O , O ′ {\displaystyle O,O'} 과 근축 l {\displaystyle l} 사이의 거리는 d ( O , l ) = O O ′ 2 + r 2 − r ′ 2 2 O O ′ {\displaystyle d(O,l)={\frac {{OO'}^{2}+r^{2}-{r'}^{2}}{2{OO'}}}} d ( O ′ , l ) = O O ′ 2 + r ′ 2 − r 2 2 O O ′ {\displaystyle d(O',l)={\frac {{OO'}^{2}+{r'}^{2}-r^{2}}{2{OO'}}}} 이다.:32, §45 동심원이 아닌 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 공통 직교원의 중심은 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축 위의 점이다. 원 C {\displaystyle C} 의 직교원의 중심이 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축 위의 점이라면, 이는 C ′ {\displaystyle C'} 의 직교원이다. 점 P {\displaystyle P} 가 동심원이 아닌 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축 위의 점이고, C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 외부점이라면, 중심이 P {\displaystyle P} 인 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 공통 직교원은 (유일하게) 존재한다. 점 P {\displaystyle P} 가 동심원이 아닌 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축 위의 점이고, C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 내부점이라면, 중심이 P {\displaystyle P} 이고 C {\displaystyle C} 와의 공통 할선과 C ′ {\displaystyle C'} 와의 공통 할선을 두 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재한다. 중심이 공선점이 아닌 세 원 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 근심이 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 외부점이라면, C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 공통 직교원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 근심이다.:34, §49 중심이 공선점이 아닌 세 원 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 근심이 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 내부점이라면, C {\displaystyle C} 와의 공통 할선과 C ′ {\displaystyle C'} 와의 공통 할선 그리고 C ″ {\displaystyle C''} 와의 공통 할선을 세 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 C , C ′ , C ″ {\displaystyle C,C',C''} 의 근심이다.:34, §49 평면 위에서, 서로 다른 두 점 ( a , b ) , ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a,b),(a',b')} 을 중심으로 갖는 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 방정식이 x 2 + y 2 − 2 a x − 2 b y + c = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0} x 2 + y 2 − 2 a ′ x − 2 b ′ y + c ′ = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2a'x-2b'y+c'=0} 이고, C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축이 l {\displaystyle l} 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원 C ″ {\displaystyle C''} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. C ″ = C {\displaystyle C''=C} 이거나, C ″ {\displaystyle C''} 와 C {\displaystyle C} 의 근축은 l {\displaystyle l} 이다. C ″ = C ′ {\displaystyle C''=C'} 이거나, C ″ {\displaystyle C''} 와 C ′ {\displaystyle C'} 의 근축은 l {\displaystyle l} 이다. C ″ {\displaystyle C''} 는 C {\displaystyle C} 와 C ′ {\displaystyle C'} 으로 생성되는 동축원 다발의 원소이다. 즉, C ″ {\displaystyle C''} 는 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는다. λ ( x 2 + y 2 − 2 a x − 2 b y + c ) + λ ′ ( x 2 + y 2 − 2 a ′ x − 2 b ′ y + c ′ ) = 0 {\displaystyle \lambda (x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c)+\lambda '(x^{2}+y^{2}-2a'x-2b'y+c')=0} 여기서 λ , λ ′ {\displaystyle \lambda ,\lambda '} 은 실수이며, λ 2 + λ ′ 2 ≠ 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+{\lambda '}^{2}\neq 0} 과 λ + λ ′ ≠ 0 {\displaystyle \lambda +\lambda '\neq 0} 을 만족시킨다. '동축원 다발'이라는 이름은 이러한 사실 때문이다. 동축원 다발 속의 원의 중심들은 공선점이다. 동심원이 아닌 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 으로 생성된 동축원 다발을 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 라고 하면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 서로 다른 두 원 C ″ , C ‴ ∈ C {\displaystyle C'',C'''\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, C ″ , C ‴ {\displaystyle C'',C'''} 으로 생성되는 동축원 다발 역시 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 공축 원다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 유일한 직선 원소이다. 적절한 데카르트 좌표계를 취하여 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 중심선을 x {\displaystyle x} 축으로 삼고 근축을 y {\displaystyle y} 축으로 삼았을 때, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 원소는 (근축인 y {\displaystyle y} 축을 제외하면) 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 구성된다. x 2 + y 2 − 2 a x + c = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax+c=0} 여기서 c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 는 고정된 상수이며, a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 는 매개변수이다. 만약 c < 0 {\displaystyle c<0} 이라면 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 타원형 동축원 다발이라고 하고, 만약 c = 0 {\displaystyle c=0} 이라면 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 포물형 동축원 다발이라고 하며, 만약 c > 0 {\displaystyle c>0} 이라면 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 쌍곡형 동축원 다발이라고 한다. 동심원이 아닌 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 공통 직교원은 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 으로 생성된 동축원 다발 속 모든 원의 공통 직교원이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 모든 원의 공통 직교원은 중심선이 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축이고 근축이 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 중심선인 동축원 다발을 이룬다. 이를 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 직교 동축원 다발 C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 이라고 한다. 동축원 다발의 직교는 대칭 관계이다. 즉, C ⊥⊥ = C {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp \perp }={\mathcal {C}}} 가 성립한다. 위와 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진다. x 2 + y 2 − 2 b y − c = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2by-c=0} 여기서 b ∈ R {\displaystyle b\in \mathbb {R} } 는 매개변수이다. 특히, 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 각각 쌍곡형·포물형·타원형 동축원 다발이다. 적어도 하나의 교점을 갖는 동심원이 아닌 두 원의 근축의 작도는 자명하다. 중심이 서로 다른 두 점 O , O ′ {\displaystyle O,O'} 인 교점 없는 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 이 주어졌다고 하자. 중심이 직선 O O ′ {\displaystyle OO'} 위의 점이 아니고, 원 C {\displaystyle C} 와 두 점 A , B {\displaystyle A,B} 에서 만나고, 원 C ′ {\displaystyle C'} 과 두 점 A ′ , B ′ {\displaystyle A',B'} 에서 만나는 원 C ″ {\displaystyle C''} 을 작도하자. 그렇다면, 직선 A B {\displaystyle AB} 와 A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} 은 평행하지 않는다. 직선 A B {\displaystyle AB} 와 A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} 의 교점을 P {\displaystyle P} 라고 하자. 그렇다면, P {\displaystyle P} 는 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축 위의 점이다. 점 P {\displaystyle P} 를 지나는 직선 O O ′ {\displaystyle OO'} 의 수선 l {\displaystyle l} 을 작도하자. 그렇다면, 직선 l {\displaystyle l} 은 두 원 C , C ′ {\displaystyle C,C'} 의 근축이다.:301, §10.7.10.1 n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위에서, 서로 다른 두 점 a , a ′ ∈ R n {\displaystyle a,a'\in \mathbb {R} ^{n}} 을 중심으로 하고, r , r ′ > 0 {\displaystyle r,r'>0} 을 반지름으로 갖는 두 초구 S , S ′ {\displaystyle S,S'} 를 생각하자. 그렇다면, 집합 { x ∈ R n : ‖ x − a ‖ 2 − r 2 = ‖ x − a ′ ‖ 2 − r ′ 2 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \Vert x-a\Vert ^{2}-r^{2}=\Vert x-a'\Vert ^{2}-{r'}^{2}\}} 은 중심 a , a ′ {\displaystyle a,a'} 를 잇는 직선에 직교하는 초평면을 이룬다. (여기서 등식의 좌변과 우변은 각각 x {\displaystyle x} 의 S , S ′ {\displaystyle S,S'} 에 대한 방멱에 대응하며, ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \Vert \cdot \Vert } 는 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 표준적인 노름을 나타낸다.) 이를 두 초구 S , S ′ {\displaystyle S,S'} 의 근초평면이라고 한다.:301, §10.7.10.1 특히 n = 2 , 3 {\displaystyle n=2,3} 일 경우 각각 두 원의 근축 또는 두 구의 근평면이라고 부른다. n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위에서, 같은 초평면 위에 있지 않은 점 a 1 , … , a n + 1 ∈ R n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n+1}\in \mathbb {R} ^{n}} 을 중심으로 하는 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 초구 S 1 , … , S n + 1 {\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n+1}} 을 생각하자. 그렇다면, 각 쌍의 초구의 근초평면은 유일한 교점을 가진다. 이를 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 n {\displaystyle n} 차원 초구 S 1 , … , S n + 1 {\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n+1}} 의 근심이라고 한다.:301-302, §10.7.10.2 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.  Eves, Howard Whitley (1995). 《College Geometry》 (영어). Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0-86720-475-3.  Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.  “Radical axis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Radical line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.