음계산법

조합론에서 음계산법(陰計算法, 영어: umbral calculus)은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다. 표수가 0인 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 는 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 다항식열(영어: polynomial sequence)은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 열이다. p : N → K [ x ] {\displaystyle p\colon \mathbb {N} \to K[x]} p : i ↦ p i ∈ K [ x ] {\displaystyle p\colon i\mapsto p_{i}\in K[x]} deg ⁡ p i = i ∀ i ∈ N {\displaystyle \deg p_{i}=i\qquad \forall i\in \mathbb {N} } 다항식 p ( x ) = ∑ i ∈ N p i x i {\displaystyle p(x)=\sum _{i\in \mathbb {N} }p_{i}x^{i}} 와 다항식열 q i ( x ) = ∑ j ∈ N q i , j x j {\displaystyle q_{i}(x)=\sum _{j\in \mathbb {N} }q_{i,j}x^{j}} 의 음합성(영어: umbral composition)은 다음과 같은 다항식열이다. ( p ∘ q ) ( x ) = ∑ j ∈ N p i q j ( x ) {\displaystyle (p\circ q)(x)=\sum _{j\in \mathbb {N} }p_{i}q_{j}(x)} 마찬가지로, 두 다항식열 p i , q i {\displaystyle p_{i},q_{i}} 의 음합성은 다음과 같다. ( p ∘ q ) i = p i ∘ q {\displaystyle (p\circ q)_{i}=p_{i}\circ q} 이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다. δ n ( x ) = x n {\displaystyle \delta _{n}(x)=x^{n}} 다항식열 p i {\displaystyle p_{i}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 K {\displaystyle K} -선형 작용소를 정의할 수 있다. Q : K [ x ] → K [ x ] {\displaystyle Q\colon K[x]\to K[x]} Q : p i ↦ i p i − 1 {\displaystyle Q\colon p_{i}\mapsto ip_{i-1}} 이를 다항식열 p i {\displaystyle p_{i}} 의 델타 연산자(영어: delta operator)라고 한다. 또한, 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 에 대하여, 다음과 같은 K {\displaystyle K} -선형 작용소를 정의할 수 있다. T a : K [ x ] → K [ x ] {\displaystyle T_{a}\colon K[x]\to K[x]} T a p i ( x ) = p i ( x + a ) {\displaystyle T_{a}p_{i}(x)=p_{i}(x+a)} 만약 Q {\displaystyle Q} 가 모든 T a {\displaystyle T_{a}} 와 가환한다면, p i {\displaystyle p_{i}} 를 셰퍼 다항식열(영어: Sheffer sequence)이라고 한다. Q T a p = T a Q p ∀ a ∈ K , p ∈ K [ x ] {\displaystyle QT_{a}p=T_{a}Qp\qquad \forall a\in K,p\in K[x]} 두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다. 셰퍼 다항식열 p i {\displaystyle p_{i}} 의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다. ∑ n = 0 ∞ p n ( x ) n ! t n = A ( t ) exp ⁡ ( x B ( t ) ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))} A , B ∈ K [ [ t ] ] {\displaystyle A,B\in K[[t]]} 따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다. 셰퍼 다항식열 p i {\displaystyle p_{i}} 에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면, p i {\displaystyle p_{i}} 를 아펠 다항식열(영어: Appell sequence)이라고 한다. 두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다. 모든 아펠 다항식열 p i ( x ) {\displaystyle p_{i}(x)} 은 어떤 수열 a i {\displaystyle a_{i}} 에 대하여 p n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k x k {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{n-k}x^{k}} 의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면 a n = p n ( 0 ) {\displaystyle a_{n}=p_{n}(0)} 이 된다. 아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다. 베르누이 다항식 B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} . 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다. (확률론의) 에르미트 다항식 H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} . 이에 대응하는 수열은 h 2 k = ( − 1 ) k 2 k ( 2 k − 2 ) ( 2 k − 4 ) ⋯ 2 {\displaystyle h_{2k}=(-1)^{k}2k(2k-2)(2k-4)\cdots 2} , h 2 k + 1 = 0 {\displaystyle h_{2k+1}=0} 이다. 오일러 다항식 p n ( x ) = x n {\displaystyle p_{n}(x)=x^{n}} . 이에 대응하는 수열은 a n = δ n , 0 {\displaystyle a_{n}=\delta _{n,0}} 이다 ( δ {\displaystyle \delta } 는 크로네커 델타). 셰퍼 다항식열 p i {\displaystyle p_{i}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 이항형 다항식열(영어: sequence of binomial type)이라고 한다. p 0 ( x ) = 1 {\displaystyle p_{0}(x)=1} 이며 p n ( 0 ) = 0 ∀ n ≥ 1 {\displaystyle p_{n}(0)=0\qquad \forall n\geq 1} 이다. 다음 항등식이 성립한다. p n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) p n − k ( y ) {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)} 이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군 Sheffer {\displaystyle \operatorname {Sheffer} } 은 아펠 다항식열의 군 Appell {\displaystyle \operatorname {Appell} } 과 이항형 다항식열의 군 Binom {\displaystyle \operatorname {Binom} } 의 반직접곱이다. Sheffer ≅ Appell ⋊ Binom {\displaystyle \operatorname {Sheffer} \cong \operatorname {Appell} \rtimes \operatorname {Binom} } 이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다. 이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다. p n ( x ) = x n {\displaystyle p_{n}(x)=x^{n}} . 이에 대응하는 델타 작용소는 미분 d / d x {\displaystyle d/dx} 이다. 하강 포흐하머 기호 p n ( x ) = x n _ {\displaystyle p_{n}(x)=x^{\underline {n}}} . 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 Δ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)} 이다. 상승 포흐하머 기호 p n ( x ) = x n ¯ {\displaystyle p_{n}(x)=x^{\overline {n}}} 아벨 다항식 p n ( x ) = x ( x − a n ) n − 1 {\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}} 투샤르 다항식 p n ( x ) = ∑ k = 0 n { n k } x n {\displaystyle \textstyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{n}} . 여기서 { n k } {\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}} 는 제2종 스털링 수이다. 아펠 다항식열 p n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p n − k x k {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{n-k}x^{k}} 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수 p {\displaystyle {\mathsf {p}}} 에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다. L : K [ p ] → K {\displaystyle L\colon K[{\mathsf {p}}]\to K} L : p n ↦ p n {\displaystyle L\colon {\mathsf {p}}^{n}\mapsto p_{n}} 이 경우, p {\displaystyle {\mathsf {p}}} 를 음변수(영어: umbral variable)라고 한다. L {\displaystyle L} 을 가하면, p n {\displaystyle {\mathsf {p}}^{n}} 의 윗첨자(거듭제곱)가 p n {\displaystyle p_{n}} 의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다. 그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다. L ( ( a + p ) n ) = p n ( a ) ∀ a ∈ K {\displaystyle L\left((a+{\mathsf {p}})^{n}\right)=p_{n}(a)\qquad \forall a\in K} L ( d d a ( a + p ) n ) = d d a L ( ( a + p ) n ) {\displaystyle L\left({\frac {d}{da}}(a+{\mathsf {p}})^{n}\right)={\frac {d}{da}}L\left((a+{\mathsf {p}})^{n}\right)} 따라서, p n ( x ) {\displaystyle p_{n}(x)} 를 포함하는 표현을 L ( ⋯ ) {\displaystyle L(\cdots )} 로 나타낸 뒤, 음변수 p {\displaystyle {\mathsf {p}}} 의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 음계산법이라고 한다. 예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다. p n ( x + y ) = L ( ( x + y + p ) n ) = L ∑ k = 0 n ( n k ) ( y + p ) n − k x k = ∑ k = 0 n ( n k ) L ( ( y + p ) n − k ) x k = ∑ k = 0 n ( n k ) p n − k ( y ) x k {\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x+y)&=L\left((x+y+{\mathsf {p}})^{n}\right)\\&=L\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(y+{\mathsf {p}})^{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}L((y+{\mathsf {p}})^{n-k})x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{n-k}(y)x^{k}\\\end{aligned}}} 델타 연산자 Q {\displaystyle Q} 에 대응하는 이항형 다항식 p n ( x ) {\displaystyle p_{n}(x)} 이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자. L : K [ p ] → K [ x ] {\displaystyle L\colon K[{\mathsf {p}}]\to K[x]} L : p n ↦ p n ( x ) {\displaystyle L\colon {\mathsf {p}}^{n}\mapsto p_{n}(x)} 그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다. L : a ↦ a ∀ a ∈ K {\displaystyle L\colon a\mapsto a\qquad \forall a\in K} L ( d d p f ( p ) ) = Q ( L f ) {\displaystyle L\left({\frac {d}{d{\mathsf {p}}}}f({\mathsf {p}})\right)=Q(Lf)} L ( eval p ↦ 0 ⁡ f ( p ) ) = eval x ↦ 0 ⁡ L ( f ( p ) ) {\displaystyle L\left(\operatorname {eval} _{{\mathsf {p}}\mapsto 0}f({\mathsf {p}})\right)=\operatorname {eval} _{x\mapsto 0}L\left(f({\mathsf {p}})\right)} 따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이 p n ( x ) {\displaystyle p_{n}(x)} 를 포함하는 표현을 L ( ⋯ ) {\displaystyle L(\cdots )} 로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다. 특히, 임의의 f ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle f(x)\in K[x]} 에 대하여, deg ⁡ p n ( x ) = n {\displaystyle \deg p_{n}(x)=n} 이므로 f = L ( g ( p ) ) {\displaystyle f=L(g({\mathsf {p}}))} 인 다항식 g ( p ) ∈ K [ x ] {\displaystyle g({\mathsf {p}})\in K[x]} g ( p ) = ∑ k = 0 ∞ g k p k {\displaystyle g({\mathsf {p}})=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\mathsf {p}}^{k}} 가 존재한다. 이 경우, g k = L ( g k ) = 1 k ! L ( eval p ↦ 0 ⁡ d n d p n g ( p ) ) = 1 k ! eval x ↦ 0 ⁡ Q n L ( g ( p ) ) = 1 k ! Q n f ( 0 ) {\displaystyle g_{k}=L(g_{k})={\frac {1}{k!}}L\left(\operatorname {eval} _{{\mathsf {p}}\mapsto 0}{\frac {d^{n}}{d{\mathsf {p}}^{n}}}g({\mathsf {p}})\right)={\frac {1}{k!}}\operatorname {eval} _{x\mapsto 0}Q^{n}L(g({\mathsf {p}}))={\frac {1}{k!}}Q^{n}f(0)} 이다. 따라서, f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ L ( g n p n ) = ∑ n = 0 ∞ g n p n ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 k ! Q n f ( 0 ) p n ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }L\left(g_{n}{\mathsf {p}}^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}p_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}Q^{n}f(0)p_{n}(x)} 가 된다. 이를 음 테일러 급수(영어: umbral Taylor series)라고 한다. 특히, p n ( x ) {\displaystyle p_{n}(x)} 이 하강 포흐하머 기호 p n ( x ) = x n _ = x ( x − 1 ) ⋯ ( x − n + 1 ) {\displaystyle p_{n}(x)=x^{\underline {n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)} 일 경우, p n ( x + 1 ) − p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle p_{n}(x+1)-p_{n}(x)=np_{n-1}(x)} 이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 Δ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)} 이다. 따라서 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 k ! Δ n f ( 0 ) x n _ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\Delta ^{n}f(0)x^{\underline {n}}} 이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다. 보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다. 베르누이 다항식 B n ( x ) ∈ Q [ x ] {\displaystyle B_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]} 은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소 L : Q [ b ] → Q [ x ] {\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [{\mathsf {b}}]\to \mathbb {Q} [x]} L : b n ↦ B n {\displaystyle L\colon {\mathsf {b}}^{n}\mapsto B_{n}} 를 정의하자. (여기서 B n {\displaystyle B_{n}} 은 B 1 = − 1 / 2 {\displaystyle B_{1}=-1/2} 인 베르누이 수이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다. ∑ k = 1 n k m = 1 m + 1 ( B m + 1 ( n + 1 ) − B m + 1 ( 0 ) ) = L ( ( n + 1 + b ) m + 1 − b m + 1 m + 1 ) = L ∫ b b + n + 1 x p d x {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{m}&={\frac {1}{m+1}}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right)\\&=L\left({\frac {(n+1+{\mathsf {b}})^{m+1}-{\mathsf {b}}^{m+1}}{m+1}}\right)\\&=L\int _{\mathsf {b}}^{{\mathsf {b}}+n+1}x^{p}\,dx\end{aligned}}} 두 수열 a n {\displaystyle a_{n}} , b n {\displaystyle b_{n}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ∀ n : a n = ∑ k = 0 n ( n k ) b n ⟺ ∀ n : b n = ∑ k = 0 n ( − ) k ( n k ) a n {\displaystyle \forall n\colon a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n}\iff \forall n\colon b_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-)^{k}{\binom {n}{k}}a_{n}} 이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.:185–186 우선 L : K [ a ] → K {\displaystyle L\colon K[{\mathsf {a}}]\to K} L : a n ↦ a n {\displaystyle L\colon {\mathsf {a}}^{n}\mapsto a_{n}} 라고 하자. 그렇다면, 만약 b n = ∑ k = 0 n ( n k ) b n = L ( ( 1 + a ) n ) {\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n}=L\left((1+{\mathsf {a}})^{n}\right)} 라면, b = 1 + a {\displaystyle {\mathsf {b}}=1+{\mathsf {a}}} 로 정의할 수 있다. 그렇다면 a n = L ( a n ) = L ( ( b − 1 ) n ) = ∑ k = 0 n ( − ) k ( n k ) b k {\displaystyle a_{n}=L({\mathsf {a}}^{n})=L\left(({\mathsf {b}}-1)^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}(-)^{k}{\binom {n}{k}}b_{k}} 임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.) 음계산법은 1861년에 존 블리사드(영어: John Blissard)가 도입하였다. 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다. 이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨(영어: Eric Temple Bell)은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다. 1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다. 아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(프랑스어: Paul Émile Appell, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(영어: Isador Mitchell Sheffer, 1901~1992)가 도입하였다. Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine H. (2009). 《Combinatorics: The Rota Way》. Cambridge Mathematical Library (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511803895. ISBN 978-0-521-88389-4. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 28일에 확인함.  Blissard, John (1861). “Theory of generic equations”. 《The quarterly journal of pure and applied mathematics》 (영어) 4: 279–305.  Bell, E. T. (1938). “The history of Blissard’s symbolic method, with a sketch of its inventor’s life”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 45 (7): 414–421. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304144.  Roman, Steven M.; Rota, Gian-Carlo (1978). “The umbral calculus”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 27 (2): 95–188. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7. ISSN 0001-8708. MR 0485417.  1부, 2부, 3부, 4부 Roman, Steven (1984). 《The umbral calculus》. Pure and Applied Mathematics (영어) 111. Academic Press. ISBN 978-0-12-594380-2. MR 741185.  Roman, Steven (1982년 5월). “The theory of the umbral calculus I”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 87 (1): 58–115. doi:10.1016/0022-247X(82)90154-8. ISSN 0022-247X.  Roman, Steven (1982년 9월). “The theory of the umbral calculus II”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 89 (1): 290-314. doi:10.1016/0022-247X(82)90103-2. ISSN 0022-247X.  Roman, Steven (1983년 9월). “The theory of the umbral calculus III”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 95 (2): 528–563. doi:10.1016/0022-247X(83)90125-7. ISSN 0022-247X.  Di Bucchianico, A.; Loeb, D. (2000년 4월 10일). “A selected survey of umbral calculus”. 《The Electronic Journal of Combinatorics》 (영어). Dynamical Surveys: DS3.  Niederhausen, Heinrich (2003년 10월). “Rota’s umbral calculus and recursions” (PDF). 《Algebra Universalis》 (영어) 49 (4): 435–457. doi:10.1007/s00012-003-1820-6. ISSN 0002-5240.  Gessel, Ira G. (2003년 10월). “Applications of the classical umbral calculus”. 《Algebra Universalis》 (영어) 49 (4): 397–434. arXiv:math/0108121. Bibcode:2001math......8121G. doi:10.1007/s00012-003-1813-5. ISSN 0002-5240.  Costabile, Francesco Aldo; Longo, Elisabetta (2014). “An algebraic exposition of umbral calculus with application to general linear interpolation problem — a survey”. 《Publications de l’Institut mathématique (nouvelle série)》 (영어) 96 (110): 67–83. doi:10.2298/PIM1410067C. ISSN 0350-1302.  “Umbral calculus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Appell polynomials”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Umbral calculus”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sheffer sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Appell sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial-type sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial identity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Umbral calculus”. 《nLab》 (영어).  Di Bucchianico, A. (1998년 2월). “An introduction to umbral calculus” (영어).