고전군

리 군론에서, 고전군(古典群, 영어: classical group)은 실수, 복소수, 또는 사원수 계수의, 특별한 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각 행렬로 구성되는 리 군이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) 단순 리 군을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 F₄, G₂, E₆, E₇, E₈ 밖에 없다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 K ∈ { R , C , H } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}} (실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수) K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간) K V ≅ K K ⊕ n {\displaystyle _{K}V\cong {}_{K}K^{\oplus n}} 실수 결합 대수의 준동형 σ : K → K op {\displaystyle \sigma \colon K\to K^{\operatorname {op} }} , σ ∈ { id , a ↦ a ¯ } {\displaystyle \sigma \in \{\operatorname {id} ,a\mapsto {\bar {a}}\}} . 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 ( K ∈ { C , H } {\displaystyle K\in \{\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}} 일 때) 켤레 연산이다. 특히, K = H {\displaystyle K=\mathbb {H} } 일 때, id : H → H {\displaystyle \operatorname {id} \colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} } 는 환 준동형이 아니므로, σ : a ↦ a ¯ {\displaystyle \sigma \colon a\mapsto {\bar {a}}} 이어야 한다. 따라서, ( K , σ ) ∈ { ( R , id ) , ( C , id ) , ( C , a ↦ a ¯ ) , ( H , a ↦ a ¯ ) } {\displaystyle (K,\sigma )\in \{(\mathbb {R} ,\operatorname {id} ),(\mathbb {C} ,\operatorname {id} ),(\mathbb {C} ,a\mapsto {\bar {a}}),(\mathbb {H} ,a\mapsto {\bar {a}})\}} 네 가지가 있다. V {\displaystyle V} 위의 함수 Q : V × V → K {\displaystyle Q\colon V\times V\to K} . 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다. Q ( u a , v b ) = σ ( a ) Q ( u , v ) b ∀ u , v ∈ V , a , b ∈ K {\displaystyle Q(ua,vb)=\sigma (a)Q(u,v)b\qquad \forall u,v\in V,\;a,b\in K} 그렇다면, 이 데이터로 정의되는 고전군은 다음과 같은 부분군이다. G = { T ∈ GL ⁡ ( V ; K ) : Q ( T u , T v ) = Q ( u , v ) ∀ u , v ∈ V } {\displaystyle G=\{T\in \operatorname {GL} (V;K)\colon Q(Tu,Tv)=Q(u,v)\;\forall u,v\in V\}} V {\displaystyle V} 위의, 위와 같은 함수 Q : V × V → K {\displaystyle Q\colon V\times V\to K} 는 항상 다음과 같이 분해된다. Q ( u , v ) = Q + ( u , v ) + Q − ( u , v ) {\displaystyle Q(u,v)=Q^{+}(u,v)+Q^{-}(u,v)} Q ± ( u , v ) = 1 2 ( Q ( u , v ) ± σ ( Q ( v , u ) ) ) {\displaystyle Q^{\pm }(u,v)={\frac {1}{2}}(Q(u,v)\pm \sigma (Q(v,u)))} 그렇다면, Q ± {\displaystyle Q^{\pm }} 는 다음과 같은 성질을 갖는다. Q ± ( u , v ) = ± σ ( Q ( v , u ) ) {\displaystyle Q^{\pm }(u,v)=\pm \sigma (Q(v,u))} 따라서, Q {\displaystyle Q} 로 정의되는 고전군은 Q + {\displaystyle Q^{+}} 와 Q − {\displaystyle Q^{-}} 로 정의되는 두 고전군의 교집합이다. 또한, 만약 K = H {\displaystyle K=\mathbb {H} } 이며, σ = id {\displaystyle \sigma =\operatorname {id} } 인 경우, 가능한 Q {\displaystyle Q} 는 Q = 0 {\displaystyle Q=0} 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다). 이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다. 고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. U ⁡ ( p , q ) ⊆ GL ⁡ ( p + q ; C ) ∩ O ⁡ ( 2 p , 2 q ; R ) {\displaystyle \operatorname {U} (p,q)\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {C} )\cap \operatorname {O} (2p,2q;\mathbb {R} )} O ⁡ ( p , q ; R ) ⊆ U ⁡ ( p , q ) ∩ O ⁡ ( p + q ; C ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {O} (p+q;\mathbb {C} )} Sp ⁡ ( p , q ; R ) ⊆ Sp ⁡ ( p + q ; C ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )} USp ⁡ ( p , q ) = U ⁡ ( p , q ) ∩ Sp ⁡ ( p + q ; C ) {\displaystyle \operatorname {USp} (p,q)=\operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )} U ∗ ⁡ ( 2 n ) ⊆ GL ⁡ ( 2 n ; C ) {\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)\subseteq \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )} O ∗ ⁡ ( 2 n ) = O ⁡ ( 2 n ; C ) ∩ U ⁡ ( n , n ) {\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(2n)=\operatorname {O} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (n,n)} U ⁡ ( n / 2 ) ≅ O ⁡ ( n ; R ) ∩ Sp ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {U} (n/2)\cong \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )} ‘고전군’(영어: classical group)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다. Weyl, Hermann (1939). 《The classical groups. Their invariants and representations》 (영어). Princeton University Press.  “Classical group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.