복소수 미분 형식

미분기하학에서 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원의 복소다양체 M {\displaystyle M} 을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 T C M {\displaystyle \mathrm {T} ^{\mathbb {C} }M} 는 복소구조 J : T M → T M {\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M} , J 2 = − 1 {\displaystyle J^{2}=-1} 의 고윳값 ± i {\displaystyle \pm \mathrm {i} } 에 따른 고유 공간 T C M = T + M ⊕ T − M {\displaystyle \mathrm {T} ^{\mathbb {C} }M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M} 으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 T + M {\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M} 은 항상 정칙 벡터 다발이지만, T − M {\displaystyle \mathrm {T} ^{-}M} 은 일반적으로 그렇지 않다. 이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발 T + ∗ M = Ω 1 , 0 M {\displaystyle \mathrm {T} ^{+*}M=\Omega ^{1,0}M} T − ∗ M = Ω 0 , 1 M {\displaystyle \mathrm {T} ^{-*}M=\Omega ^{0,1}M} 을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발 Ω p , q = Ω 1 , 0 M ∧ ⋯ ∧ Ω 1 , 0 M ⏟ p ∧ Ω 0 , 1 M ∧ ⋯ ∧ Ω 0 , 1 M ⏟ q {\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}M} _{p}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}M} _{q}} 을 취할 수 있다. (만약 q = 0 {\displaystyle q=0} 이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 차 복소수 미분 형식이라고 한다. Ω p , 0 {\displaystyle \Omega ^{p,0}} 은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. Ω p , 0 {\displaystyle \Omega ^{p,0}} 의 정칙 단면을 p {\displaystyle p} 차 정칙 미분 형식(正則微分形式, 영어: holomorphic differential form)이라고 한다. 보다 일반적으로, 복소다양체 M {\displaystyle M} 위의 정칙 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, E {\displaystyle E} 값의 복소수 미분 형식(영어: E {\displaystyle E} -valued complex differential form)을 Ω p , q ⊗ C E {\displaystyle \Omega ^{p,q}\otimes _{\mathbb {C} }E} 의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, E {\displaystyle E} 값의 p {\displaystyle p} 차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발 Ω p , 0 ⊗ C E {\displaystyle \Omega ^{p,0}\otimes _{\mathbb {C} }E} 의 정칙 단면이다. 국소적으로, M {\displaystyle M} 의 임의의 점의 근방 U {\displaystyle U} 에 복소수 좌표 z i , z ¯ i {\displaystyle z^{i},{\bar {z}}^{i}} ( i = 1 … n {\displaystyle i=1\dots n} )를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식 d z i ∈ Ω 1 , 0 ( U ) ( i ∈ { 1 , … , n } ) {\displaystyle \mathrm {d} z^{i}\in \Omega ^{1,0}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})} d z ¯ i ∈ Ω 0 , 1 ( U ) ( i ∈ { 1 , … , n } ) {\displaystyle \mathrm {d} {\bar {z}}^{i}\in \Omega ^{0,1}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로 α = ∑ i , j , … , k , l , … f i j … k l … d z i ∧ d z j ∧ ⋯ d z ¯ k ∧ d z ¯ l ∧ ⋯ {\displaystyle \alpha =\sum _{i,j,\dotsc ,k,l,\dotsc }f_{ij\dotso kl\dotso }\mathrm {d} z^{i}\wedge \mathrm {d} z^{j}\wedge \dotsb \mathrm {d} {\bar {z}}^{k}\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{l}\wedge \dotsb } f i j … k l … ∈ C ∞ ( U , C ) {\displaystyle f_{ij\dotso kl\dotso }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U,\mathbb {C} )} 꼴의 형식을 취한다. 여기서 d z {\displaystyle \mathrm {d} z} 가 p {\displaystyle p} 개, d z ¯ {\displaystyle \mathrm {d} {\bar {z}}} 가 q {\displaystyle q} 개 있으면 이를 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -형식으로 부른다. 국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 는 다음과 같이 쓸 수 있다. α = ∑ | I | = p f I d z I {\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,\mathrm {d} z^{I}} 여기서 f I : U → C {\displaystyle f_{I}\colon U\to \mathbb {C} } 는 정칙 함수다. 즉, p {\displaystyle p} 차 정칙 미분 형식은 ∂ ¯ α = 0 {\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0} 을 만족하는 ( p , 0 ) {\displaystyle (p,0)} 차 복소수 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 이다. 복소다양체 M {\displaystyle M} 은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우 ( T ∗ M ) C = Ω 1 , 0 M ⊕ Ω 0 , 1 M {\displaystyle (\mathrm {T} ^{*}M)^{\mathbb {C} }=\Omega ^{1,0}M\oplus \Omega ^{0,1}M} 이므로, Ω k ( M ) ⊗ R C = Ω k ( M ; C ) = ⨁ q = 0 k Ω k − q , q ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\Omega ^{k}(M;\mathbb {C} )=\bigoplus _{q=0}^{k}\Omega ^{k-q,q}(M)} 이 된다. 이 경우, 외미분 d : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)} 은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상 d C : Ω p , q ( M ) → Ω p , q + 1 ( M ) ⊕ Ω p + 1 , q ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} ^{\mathbb {C} }\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)\oplus \Omega ^{p+1,q}(M)} 임을 보일 수 있다. 즉, ∂ : Ω p , q ( M ) → Ω p + 1 , q ( M ) {\displaystyle \partial \colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p+1,q}(M)} ∂ ¯ : Ω p , q ( M ) → Ω p , q + 1 ( M ) {\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)} 로 정의하면, d = ∂ + ∂ ¯ {\displaystyle \mathrm {d} =\partial +{\bar {\partial }}} 이다. 이 두 미분 연산자 ∂ {\displaystyle \partial } 과 ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} 을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, 영어: Dolbeault operator)라고 부른다. 국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -형식 α {\displaystyle \alpha } 의 경우, α = ∑ | I | = p , | J | = q   f I J d z I ∧ d z ¯ J ∈ Ω p , q {\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}} 그 돌보 연산자는 다음과 같다. ∂ α = ∑ | I | , | J | ∑ ℓ ∂ f I J ∂ z ℓ d z ℓ ∧ d z I ∧ d z ¯ J {\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}} ∂ ¯ α = ∑ | I | , | J | ∑ ℓ ∂ f I J ∂ z ¯ ℓ d z ¯ ℓ ∧ d z I ∧ d z ¯ J {\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}} 여기서 I {\displaystyle I} , J {\displaystyle J} 는 다중지표다. 복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다. ∂ 2 = ∂ ¯ 2 = ∂ ∂ ¯ + ∂ ¯ ∂ = 0 {\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0} 따라서 ∂ {\displaystyle \partial } 또는 ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} 로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데, ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} 로 정의되는 것은 Ω p , 0 {\displaystyle \Omega ^{p,0}} 의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 ∂ {\displaystyle \partial } 로 정의되는 것은 Ω 0 , q {\displaystyle \Omega {0,q}} 의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} 로 정의되는 코호몰로지를 사용한다. 즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자. Ω p , 0 → ∂ ¯ 0 Ω p , 1 → ∂ ¯ 1 Ω p , 2 → ∂ ¯ 2 ⋯ {\displaystyle \Omega ^{p,0}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{0}}{\to }}\Omega ^{p,1}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{1}}{\to }}\Omega ^{p,2}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{2}}{\to }}\cdots } 그 코호몰로지는 다음과 같이 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -형식의 동치류 공간이다. H ∂ ¯ p , q = ker ⁡ ∂ ¯ q / im ∂ ¯ q − 1 {\displaystyle \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}=\ker {\bar {\partial }}_{q}/\operatorname {im} \,{\bar {\partial }}_{q-1}} 이를 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 h p , q {\displaystyle h^{p,q}} 는 다음과 같다. h p , q = dim ⁡ H ∂ ¯ p , q ∈ N ⊔ { ∞ } {\displaystyle h^{p,q}=\dim \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}} 호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다. 호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수 b k {\displaystyle b^{k}} 에 대응하며, 특히 다음이 성립한다. b k ( M ) = ∑ p + q = k h p , q ( M ) {\displaystyle b^{k}(M)=\sum _{p+q=k}h^{p,q}(M)} n {\displaystyle n} 차원 복소다양체는 총 ( n + 1 ) 2 {\displaystyle (n+1)^{2}} 개의 호지 수 h p , q ( p , q ∈ { 0 , … , n } ) {\displaystyle h^{p,q}\qquad (p,q\in \{0,\dotsc ,n\})} 를 가진다. 이 가운데 h 0 , 0 = b 0 {\displaystyle h^{0,0}=b^{0}} 은 M {\displaystyle M} 의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성 H q ⁡ ( V , O ) ≅ H q ⁡ ( V , Ω n , 0 ) ∗ {\displaystyle \operatorname {H} ^{q}(V,{\mathcal {O}})\cong \operatorname {H} ^{q}(V,\Omega ^{n,0})^{*}} 에 의하여 h 0 , q = h n , q {\displaystyle h^{0,q}=h^{n,q}} 가 성립한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상 h p , q = h q , p = h n − p , n − q {\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}} 가 성립한다. 돌보 복합체 0 → Ω p , 0 ( M ) → ∂ ¯ Ω p , 1 ( M ) → ∂ ¯ Ω p , 2 ( M ) → ⋯ {\displaystyle 0\to \Omega ^{p,0}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,2}(M)\to \dotsb } 는 섬세층으로 구성되며, p {\displaystyle p} 차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 p {\displaystyle p} 차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다. H ∂ ¯ p , q ⁡ ( M ) ≅ H q ⁡ ( M , Ω p , 0 ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}(M)\cong \operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p,0})} 이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약 p = 0 {\displaystyle p=0} 일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다. 이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 R _ {\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}} 의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다. 보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체 0 → Γ ∞ ( E ) = Ω 0 , 0 ( M ; E ) → ∂ ¯ Ω 0 , 1 ( M ; E ) → ∂ ¯ Ω 0 , 2 ( M ; E ) → ⋯ {\displaystyle 0\to \Gamma ^{\infty }(E)=\Omega ^{0,0}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,1}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,2}(M;E)\to \dotsb } 는 E {\displaystyle E} 의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 E {\displaystyle E} 의 층 코호몰로지와 일치한다. ( p > 0 {\displaystyle p>0} 인 경우는 정칙 벡터 다발 E ′ = E ⊗ C Ω p , 0 {\displaystyle E'=E\otimes _{\mathbb {C} }\Omega ^{p,0}} 의 층 코호몰로지이므로, p = 0 {\displaystyle p=0} 인 경우로 귀결된다.) 예를 들어 H 0 ⁡ ( E ) = ker ⁡ ( ∂ ¯ ↾ Ω 0 , 0 ( M ; E ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(E)=\ker({\bar {\partial }}\upharpoonright \Omega ^{0,0}(M;E))} 는 ∂ ¯ α = 0 {\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0} 인 E {\displaystyle E} 값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉 E {\displaystyle E} 의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다. 리만 구 C P 1 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다. ⨁ i O ( d i ) {\displaystyle \bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(d_{i})} 여기서 O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} 는 d {\displaystyle d} 차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 Ω 1 , 0 {\displaystyle \Omega ^{1,0}} 은 표준 선다발과 같으며, 이는 O ( − 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)} 이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 g {\displaystyle g} 의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 2 g − 2 {\displaystyle 2g-2} 이며, 리만 구는 g = 0 {\displaystyle g=0} 인 경우이다.) 리만-로흐 정리에 의하여, H 0 , 0 ⁡ ( CP 1 ) = H 0 ⁡ ( C P 1 , O ( 0 ) ) = C {\displaystyle \operatorname {H} ^{0,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\mathbb {C} } H 1 , 0 ⁡ ( CP 1 ) = H 0 ⁡ ( C P 1 , O ( − 2 ) ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0} 이다. 즉, C P 1 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} 위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다. C P 1 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} 위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다. 마찬가지로, H 1 , 1 ⁡ ( C P 1 ) = H 1 ⁡ ( C P 1 , O ( − 2 ) ) = H 0 ⁡ ( C P 1 , O ( 2 ) ) ∗ ≅ C {\displaystyle \operatorname {H} ^{1,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))^{*}\cong \mathbb {C} } H 0 , 1 ⁡ ( C P 1 ) = H 1 ⁡ ( C P 1 , O ( 0 ) ) = H 0 ⁡ ( C P 1 , O ( − 2 ) ) ∗ = H 1 , 0 ⁡ ( C P 1 ) ∗ = 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{0,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))^{*}=\operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})^{*}=0} 이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다. 물론, C P 1 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}} 위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다. “Holomorphic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Del bar operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Dolbeault cohomology”. 《nLab》 (영어).  “Dolbeault complex”. 《nLab》 (영어).  “Dolbeault-Dirac operator”. 《nLab》 (영어).