균형 집합

선형대수학 및 함수해석학에서, 균형 집합(均衡集合, 영어: balanced set) 또는 원형 집합(圓形集合, 영어: circular set) 또는 원판(영어: disk 디스크[*])은 스스로의 임의의 “축소판”을 포함하는, 실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 부분 집합이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. K {\displaystyle K} -벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 가 다음 조건을 만족시키면, 균형 집합이라고 한다. 임의의 스칼라 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 에 대하여, 만약 | a | ≤ 1 {\displaystyle |a|\leq 1} 이라면 a B ⊆ B {\displaystyle aB\subseteq B} 여기서 a B = { a b : b ∈ B } {\displaystyle aB=\{ab\colon b\in B\}} 이다. K {\displaystyle K} -벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 임의의 부분 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 가 주어졌을 때, S {\displaystyle S} 를 포함하는 가장 작은 균형 집합이 존재하며, 이를 S {\displaystyle S} 의 균형 폐포(영어: balanced hull)라고 한다. 이는 S {\displaystyle S} 를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합으로 만들 수 있다. 더 구체적으로, S {\displaystyle S} 의 균형 폐포는 ⋃ a ∈ K | a | ≤ 1 a S {\displaystyle \bigcup _{a\in K}^{|a|\leq 1}aS} 이다. 마찬가지로, K {\displaystyle K} -벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 임의의 부분 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 가 주어졌을 때, S {\displaystyle S} 에 포함되는 가장 큰 균형 집합이 존재하며, 이를 S {\displaystyle S} 의 균형핵(영어: balanced core)이라고 한다. 이는 S {\displaystyle S} 에 포함되는 모든 균형 집합의 합집합이며, 또한 다음과 같다. { ∅ 0 ∉ S ⋂ a ∈ K | a | ≥ 1 a S 0 ∈ S {\displaystyle {\begin{cases}\varnothing &0\not \in S\\\bigcap _{a\in K}^{|a|\geq 1}aS&0\in S\end{cases}}} 균형 집합은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다. 균형 집합들의 합집합과 교집합은 균형 집합이다. 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다. 균형 집합의 내부와 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 의 합집합은 균형 집합이다. 균형 집합의 선형 변환에 대한 상·원상은 균형 집합이다. 어떤 집합이 볼록하고 균형이면 그 집합은 절대 볼록 집합이다. K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간에서, 0의 모든 근방은 균형 근방을 포함하며, 0의 모든 볼록 근방은 균형 볼록 근방을 포함한다. 즉, 임의의 K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간의 영벡터는 균형 집합들로 구성된 국소 기저를 가지며, 임의의 K {\displaystyle K} -국소 볼록 공간의 영벡터는 균형 볼록 집합들로 구성된 국소 기저를 갖는다. 증명: K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 및 근방 N ∋ 0 {\displaystyle N\ni 0} 이 주어졌다고 하자. 위상 벡터 공간의 정의에 따라, 스칼라배 K × V → V {\displaystyle K\times V\to V} ( a , v ) ↦ a v {\displaystyle (a,v)\mapsto av} 는 연속 함수이며, 특히 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 에서 연속이다. 따라서 ∀ a ∈ K : | a | < δ ⟹ a U ⊆ N {\displaystyle \forall a\in K\colon |a|<\delta \implies aU\subseteq N} 인 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 및 근방 U ∋ 0 {\displaystyle U\ni 0} 이 존재한다. 이 경우, N ′ = ⋃ a ∈ K | a | < δ a U ⊆ N {\displaystyle N'=\bigcup _{a\in K}^{|a|<\delta }aU\subseteq N} 은 0의 근방이며, 균형 집합이다. 이제, N {\displaystyle N} 이 볼록 집합이라고 추가로 가정하자. 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} , | a | = 1 {\displaystyle |a|=1} 에 대하여, N ′ {\displaystyle N'} 이 균형 집합이므로 N ′ = a N ′ ⊆ a N {\displaystyle N'=aN'\subseteq aN} 이다. 따라서 N ″ = ⋂ a ∈ K | a | = 1 a N ⊆ N {\displaystyle N''=\bigcap _{a\in K}^{|a|=1}aN\subseteq N} 은 0의 근방이다. N ″ {\displaystyle N''} 은 볼록 집합 a N {\displaystyle aN} 들의 교집합이므로 볼록 집합이다. 이제 N ″ {\displaystyle N''} 의 균형성을 보이는 일만 남았다. 사실, 임의의 b ∈ K {\displaystyle b\in K} , | b | ≤ 1 {\displaystyle |b|\leq 1} 에 대하여, b N ″ = ⋂ a ∈ K | a | = 1 b a N = ⋂ a ∈ K | a | = 1 | b | a N ⊆ ⋂ a ∈ K | a | = 1 a N = N ″ {\displaystyle bN''=\bigcap _{a\in K}^{|a|=1}baN=\bigcap _{a\in K}^{|a|=1}|b|aN\subseteq \bigcap _{a\in K}^{|a|=1}aN=N''} 이다 ( ⊆ {\displaystyle \subseteq } 은 a N {\displaystyle aN} 이 0을 원소로 하는 볼록 집합이므로, | b | a N ⊆ a N {\displaystyle |b|aN\subseteq aN} 이기 때문이다). 반노름 공간 ( V , ν ) {\displaystyle (V,\nu )} 에서, 0을 중심으로 하는 열린 공·닫힌 공 { v ∈ V : ν ( v ) < c } {\displaystyle \{v\in V\colon \nu (v)<c\}} { v ∈ V : ν ( v ) ≤ c } {\displaystyle \{v\in V\colon \nu (v)\leq c\}} 은 균형 집합이다 ( c > 0 {\displaystyle c>0} ). 실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 모든 부분 공간은 균형 집합이다. K {\displaystyle K} -벡터 공간 V i ∈ I {\displaystyle V_{i\in I}} ( i ∈ I {\displaystyle i\in I} )들의 균형 집합 B i ⊆ V i {\displaystyle B_{i}\subseteq V_{i}} 들의 곱집합 ∏ i ∈ I B i {\displaystyle \prod _{i\in I}B_{i}} 은 벡터 공간들의 직접곱 ∏ i ∈ I V i {\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i}} 에서 균형 집합이다. 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 를 1차원 복소수 벡터 공간으로 생각하자. 그 균형 집합은 정확히 다음과 같다. C {\displaystyle \mathbb {C} } 자체 공집합 0을 중심으로 하는 열린 원판 { a ∈ C : | a | < r } {\displaystyle \{a\in \mathbb {C} \colon |a|<r\}} 0을 중심으로 하는 닫힌 원판 { a ∈ C : | a | ≤ r } {\displaystyle \{a\in \mathbb {C} \colon |a|\leq r\}} 이와 달리, C {\displaystyle \mathbb {C} } 를 2차원 실수 벡터 공간(즉, 유클리드 공간 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} )으로 여기면 더 많은 균형 집합이 존재하게 된다. 위의 집합들뿐 아니라, 원점을 중심으로 하는 모든 열린/닫힌 선분도 균형 집합을 이룬다. 따라서, C {\displaystyle \mathbb {C} } 와 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 의 벡터 공간 구조는 전적으로 다르다.:6, 1.4, Example 별모양 집합 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.  Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 4쪽.  H.H. Schaefer (1970). 《Topological Vector Spaces》. GTM 3. Springer-Verlag. 11쪽. ISBN 0-387-05380-8.