직교 스펙트럼

호모토피 이론에서 직교 스펙트럼(直交spectrum, 영어: orthogonal spectrum)은 직교군의 등변 작용을 갖춘 스펙트럼의 일종이다. 이들의 범주는 분쇄곱을 가져 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 그 속에서 환 스펙트럼이 잘 정의된다. CGWH {\displaystyle \operatorname {CGWH} } 가 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주라고 하자. 이는 (모든 위상 공간의 범주와 달리) 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 이 범주에 대하여, 점을 가진 공간의 범주 CGWH ∙ = CGWH ⁡ ∖ { ∙ } {\displaystyle \operatorname {CGWH} _{\bullet }=\operatorname {CGWH} \backslash \{\bullet \}} 를 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 위의 쌍대 조각 범주로서 취할 수 있다. 이제, 곱공간과 분쇄곱 연산은 이 범주에서 취한다고 하자. G {\displaystyle G} 가 다음 세 가지 가운데 하나라고 하자. 다음과 같은 범주 V K {\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }} 를 생각하자. V K {\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }} 의 대상은 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -내적 공간이다. V K {\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }} 의 사상은 같은 차원의 내적 공간 사이의 유니터리 변환들이다. 즉, 그 사상 집합은 hom V K ⁡ ( V , V ) ≅ G ( dim K ⁡ V ) {\displaystyle \hom _{{\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}(V,V)\cong G(\dim _{\mathbb {K} }V)} 이다. 이는 내적 공간의 직합에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 실수 n k {\displaystyle nk} 차원 유클리드 공간 V {\displaystyle V} 의 알렉산드로프 콤팩트화 V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} 는 n k {\displaystyle nk} 차원 초구 S n k {\displaystyle \mathbb {S} ^{nk}} 이며, 이에 따라 함자 m ^ : V → CGWH ∙ {\displaystyle {\hat {\color {White}m}}\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {CGWH} _{\bullet }} 가 존재한다. (밑점은 알렉산드로프 콤팩트화에 의하여 추가된 점이다.) 이 경우, G {\displaystyle G} 구조 스펙트럼(영어: spectrum with G {\displaystyle G} -structure) X {\displaystyle X} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:Definition 7.2 함자 X : V K → CGWH ∙ {\displaystyle X\colon {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }\to \operatorname {CGWH} _{\bullet }} . n {\displaystyle n} 차원 내적 공간의 상을 X ( n ) = X ( K n ) ∈ CGWH ∙ {\displaystyle X(n)=X(\mathbb {K} ^{n})\in \operatorname {CGWH} _{\bullet }} 이라고 하자. 특히, X ( n ) {\displaystyle X(n)} 위에는 Aut V K ⁡ ( K n ) = G ( n ) {\displaystyle \operatorname {Aut} _{{\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}(\mathbb {K} ^{n})=G(n)} 의 연속 작용이 주어진다. 각 V , W ∈ V K {\displaystyle V,W\in {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }} 에 대하여, 밑점을 보존하는 연속 함수 f V , W : V ^ ∧ X ( W ) → X ( V ⊕ W ) {\displaystyle f_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)} . 이를 구조 사상(構造寫像, 영어: structure map)이라고 한다. 이는 또한 다음 조건들을 만족시켜야 한다. (등변성) f V , W : V ^ ∧ X ( W ) → X ( V ⊕ W ) {\displaystyle f_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)} 는 G ( V ) × G ( W ) {\displaystyle G(V)\times G(W)} 의 작용에 대하여 등변 함수이다. (항등원) f 0 , V = id X ( V ) {\displaystyle f_{0,V}=\operatorname {id} _{X(V)}} (항등 함수) (결합성) f W , U ⊕ V ∘ f V , U = f W ⊕ V , U : W ⊕ V ^ ∧ X ( U ) → X ( W ⊕ V ⊕ U ) {\displaystyle f_{W,U\oplus V}\circ f_{V,U}=f_{W\oplus V,U}\colon {\widehat {W\oplus V}}\wedge X(U)\to X(W\oplus V\oplus U)} 이다. (여기서 초구의 분쇄곱 사이의 표준적 사상 W ⊕ V ^ ≅ W ^ ∧ V ^ {\displaystyle {\widehat {W\oplus V}}\cong {\widehat {W}}\wedge {\hat {V}}} 를 사용하였다.) 두 직교 스펙트럼 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 사상은 구조 사상과 호환되는 자연 변환 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다. 여기서 구조 사상과 호환된다는 것은 다음 그림이 가환한다는 것이다. X ( V ) ∧ S k → f V ∧ S k Y ( V ) ∧ S k ↓ ↓ X ( V ⊕ K ) → f V ⊕ K Y ( V ⊕ K ) {\displaystyle {\begin{matrix}X(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}&{\xrightarrow {f_{V}\wedge \mathbb {S} ^{k}}}&Y(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}\\\downarrow &&\downarrow \\X(V\oplus \mathbb {K} )&{\xrightarrow[{f_{V\oplus \mathbb {K} }}]{}}&Y(V\oplus \mathbb {K} )\end{matrix}}} K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 일 때, 직교군 구조 스펙트럼을 줄여서 직교 스펙트럼이라고 한다. 마찬가지로, K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 인 경우는 유니터리 스펙트럼, K = H {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} } 인 경우는 심플렉틱 스펙트럼이다. 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} 의 부분군이므로, 직교 스펙트럼은 (추가 구조를 갖춘) 대칭 스펙트럼이다. 직교 스펙트럼 X {\displaystyle X} 의 안정 호모토피 군(영어: stable homotopy group)은 다음과 같다. π ∙ ( X ) = lim → n → ∞ ⁡ π ∙ + n ( X ( R n ) ) {\displaystyle \pi _{\bullet }(X)=\varinjlim _{n\to \infty }\pi _{\bullet +n}(X(\mathbb {R} ^{n}))} 직교 스펙트럼 사이의 약한 동치(영어: weak equivalence)는 안정 호모토피 군의 동형을 유도하는 직교 스펙트럼 사상이다. 이에 따라 직교 스펙트럼의 범주 위에는 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따른 호모토피 범주는 다른 스펙트럼 범주의 호모토피 범주와 동치이다. 임의의 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X ( V ) = V ^ ∧ X {\displaystyle X(V)={\hat {V}}\wedge X} 를 정의하고, 그 위의 G ( V ) {\displaystyle G(V)} 작용은 V {\displaystyle V} 위의 작용으로부터 유도된다고 하자. 그 위의 구조 사상은 초구의 분쇄곱 사이의 동형으로부터 유도된다. 그렇다면, 이는 G {\displaystyle G} 구조 스펙트럼을 이룬다. 이를 X {\displaystyle X} 의 현수 스펙트럼(영어: suspension spectrum)이라고 한다. 특히, X = S 0 {\displaystyle X=\mathbb {S} ^{0}} (0차원 초구 = 크기 2의 이산 공간)일 때, 이를 초구 스펙트럼(영어: sphere spectrum)이라고 한다. 임의의 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, V {\displaystyle V} 차 성분을 고르는 함자 U V : Spectrum G → CGWH G {\displaystyle U_{V}\colon \operatorname {Spectrum} _{G}\to \operatorname {CGWH} _{G}} U V : X ↦ X ( V ) {\displaystyle U_{V}\colon X\mapsto X(V)} 가 존재한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자 F V : CGWH G → Spectrum G {\displaystyle F_{V}\colon \operatorname {CGWH} _{G}\to \operatorname {Spectrum} _{G}} F V ⊣ U V {\displaystyle F_{V}\dashv U_{V}} 를 가지며, 구체적으로 ( F V X ) ( V ⊕ W ) = G ( V ⊕ W ) + ∧ G ( W ) X ∧ W ^ {\displaystyle (F_{V}X)(V\oplus W)=G(V\oplus W)_{+}\wedge _{G(W)}X\wedge {\widehat {W}}} ( F V X ) ( W ) = { ∙ } ( dim ⁡ W < dim ⁡ V ) {\displaystyle (F_{V}X)(W)=\{\bullet \}\qquad (\dim W<\dim V)} 이다.:§7.1 실수에 대한 톰 스펙트럼 MO {\displaystyle \operatorname {MO} } 은 자연스럽게 직교 스펙트럼을 이룬다. 마찬가지로 MU {\displaystyle \operatorname {MU} } 는 유니터리 스펙트럼을 이룬다. Mandell, Michael; May, Peter; Schwede, Stefan; Shipley, Brooke (2001년 3월). “Model categories of diagram spectra”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 82 (2): 441-512. doi:10.1112/S0024611501012692. 2018년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 9월 30일에 확인함.  Schwede, Stefan. “Symmetric Spectra” (PDF) (영어).  “Orthogonal spectrum”. 《nLab》 (영어).  “Model structure on orthogonal spectra”. 《nLab》 (영어).  “Free spectrum”. 《nLab》 (영어).  “Orthogonal ring spectrum”. 《nLab》 (영어).