아핀 리 대수

리 대수 이론에서, 아핀 리 대수(affine Lie代數, 영어: affine Lie algebra)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다. 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다. 아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다. 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 종류이다. 아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다. 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)이다. 이 정의들은 서로 동치이다. 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 A {\displaystyle A} 가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)\times (n+1)} 정사각 행렬이며 그 계수는 l {\displaystyle l} 이다. 다음이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 ( g ∘ C , ⟨ | ⟩ : g ∘ ⊗ K g ∘ C → C ) {\displaystyle ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} },\langle |\rangle \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{K}{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to \mathbb {C} )} . (만약 g ∘ C {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약 g ∘ C {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 가 아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 아핀 리 대수 g ^ C {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 는 K {\displaystyle K} -벡터 공간으로서 다음과 같다. g ^ = g ∘ [ z , z − 1 ] ⊕ C k {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}} . 즉, g ∘ C {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 의 계수를 가진 로랑 다항식 g C [ z , z − 1 ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]} 에 중심 확대 k {\displaystyle {\mathsf {k}}} 를 더한 것이다. 물리학적으로 g ∘ C [ z , z − 1 ] {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]} 는 대칭의 보존류들을 나타내고, k {\displaystyle {\mathsf {k}}} 는 대칭의 변칙을 나타낸다. g ^ C {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. a , b ∈ g ∘ C {\displaystyle a,b\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 라고 하면, [ a z m , b z n ] = [ a , b ] z m + n + δ m + n , 0 m ⟨ a | b ⟩ k {\displaystyle [a{\mathsf {z}}^{m},b{\mathsf {z}}^{n}]=[a,b]{\mathsf {z}}^{m+n}+\delta _{m+n,0}m\langle a|b\rangle {\mathsf {k}}} [ k , a z n ] = [ k , k ] = 0 {\displaystyle [{\mathsf {k}},a{\mathsf {z}}^{n}]=[{\mathsf {k}},{\mathsf {k}}]=0} k {\displaystyle {\mathsf {k}}} 는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열 0 → C k → g ^ C → g ∘ C ⊗ C [ z , z − 1 ] → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\otimes \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0} 이 존재한다. 형식적 변수 z {\displaystyle {\mathsf {z}}} 대신, g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 정규 직교 기저 g a {\displaystyle g^{a}} 를 잡아, 직접 g m a = g a z m {\displaystyle g_{m}^{a}=g^{a}{\mathsf {z}}^{m}} 를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다. [ g m a , g n b ] = f a b c g m + n c + δ m + n , 0 m δ a b k {\displaystyle [g_{m}^{a},g_{n}^{b}]=f^{ab}{}_{c}g_{m+n}^{c}+\delta _{m+n,0}m\delta ^{ab}{\mathsf {k}}} [ k , g m a ] = 0 {\displaystyle [{\mathsf {k}},g_{m}^{a}]=0} 여기서 f a b c {\displaystyle f^{ab}{}_{c}} 는 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 구조 상수이다. g ∘ C {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 가 실수 이차 리 대수 g ∘ R {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }} 의 복소화라고 하자. 그렇다면, 복소수 아핀 리 대수 g ∘ C {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. z ↦ z − 1 {\displaystyle {\mathsf {z}}\mapsto {\mathsf {z}}^{-1}} i ↦ − i {\displaystyle \mathrm {i} \mapsto -\mathrm {i} } k ↦ k {\displaystyle {\mathsf {k}}\mapsto {\mathsf {k}}} x ↦ x ∀ x ∈ g ∘ R {\displaystyle x\mapsto x\qquad \forall x\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }} 즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(영어: antilinear) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점 g ^ R = g ∘ ⊗ R R [ z + z − 1 , i ( z − z − 1 ) ] + R k {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]+\mathbb {R} {\mathsf {k}}} 은 실수 리 대수를 이룬다. 복소수 벡터 공간 g ~ C = g ^ C ⊕ C d {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }={\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}} 위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다. [ d , a z m ] = − i m a z m ∀ a ∈ g ∘ C {\displaystyle [{\mathsf {d}},az^{m}]=-\mathrm {i} ma{\mathsf {z}}^{m}\qquad \forall a\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} [ d , c ] = 0 {\displaystyle [{\mathsf {d}},{\mathsf {c}}]=0} 즉, [ d , − ] = − i z d d z {\displaystyle [{\mathsf {d}},-]=-\mathrm {i} {\mathsf {z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {z}}}}} 이다. 만약 형식적으로 z = exp ⁡ ( i t ) {\displaystyle {\mathsf {z}}=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})} 로 놓는다면, [ d , − ] = d d t {\displaystyle [{\mathsf {d}},-]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {t}}}}} 가 된다. 또한, [ d , a ( z + z − 1 ) ] = − a i ( z − z − 1 ) {\displaystyle [{\mathsf {d}},a(z+z^{-1})]=-a\mathrm {i} (z-{\mathsf {z}}^{-1})} [ d , i a ( z − z − 1 ) ] = a ( z + z − 1 ) {\displaystyle [{\mathsf {d}},\mathrm {i} a(z-z^{-1})]=a(z+{\mathsf {z}}^{-1})} 이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 g ^ R {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }} 에도 잘 정의된다. g ∘ [ z , z − 1 ] {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]} 를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, z = exp ⁡ ( i t ) {\displaystyle z=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})} 로 놓으면, g ∘ [ z , z − 1 ] {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]} 를 주기적 함수 S 1 → g ∘ {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 로 해석할 수 있다. 즉, a ( 0 ) = a ( 2 π ) {\displaystyle a(0)=a(2\pi )} 의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다. 만약 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 가 자명하지 않은 자기 동형 σ ∈ Aut ⁡ ( g ∘ ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})} 를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다. σ a ( 0 ) = a ( 2 π ) {\displaystyle \sigma a(0)=a(2\pi )} . 이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수(twisted affine Lie algebra)라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수(twisted Kač–Moody algebra)를 정의할 수 있다. 아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.:824, §4.1 구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간 L g ∘ = C ∞ ( S 1 , g ∘ ) {\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})} 을 정의할 수 있다. 이는 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다. ι : C [ z , z − 1 ] ⊗ R g ∘ ⊆ L g ∘ ⊗ R C {\displaystyle \iota \colon \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subseteq \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } ι ( z n ⊗ x ) : t ↦ exp ⁡ ( i t n ) x ( x ∈ g , t ∈ R / 2 π Z = S 1 ) {\displaystyle \iota ({\mathsf {z}}^{n}\otimes x)\colon t\mapsto \exp(\mathrm {i} tn)x\qquad (x\in {\mathfrak {g}},\;t\in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} =\mathbb {S} ^{1})} 이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는 ι R : R [ z + z − 1 , i ( z − z − 1 ) ] ⊗ R g ∘ → L g ∘ {\displaystyle \iota _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 이다. 고리 리 대수 L g ∘ {\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다. α : L g ∘ × L g ∘ → R {\displaystyle \alpha \colon \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\times \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathbb {R} } α : ( x , y ) ↦ δ 2 2 π ∫ S 1 ⟨ x ( t ) | y ( t ) ⟩ d t {\displaystyle \alpha \colon (x,y)\mapsto {\frac {\delta ^{2}}{2\pi }}\int _{\mathbb {S} ^{1}}\langle x(t)|y(t)\rangle \,\mathrm {d} t} 여기서 ⟨ − | − ⟩ {\displaystyle \langle -|-\rangle } 은 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간 g ∘ ∗ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{*}} 위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다. δ 2 {\displaystyle \delta ^{2}} 는 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 ⟨ − | − ⟩ {\displaystyle \langle -|-\rangle } 에 따른 것이다. S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 의 측도 d t {\displaystyle \mathrm {d} t} 에 따르면, ∫ S 1 d t = 2 π {\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {S} ^{1}}\mathrm {d} t=2\pi } 이다. 이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열 0 → R → g ¯ → L g ∘ → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to {\bar {\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to 0} 을 정의한다. 이 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 는 자연스럽게 다음과 같이 g ¯ {\displaystyle {\bar {\mathfrak {g}}}} 의 부분 리 대수가 된다. 0 → R → g ^ → g ∘ ⊗ R R [ z + z − 1 , i ( z − z − 1 ) ] → 0 ↓ ↓ ↓ 0 → R → g ¯ → L g ∘ → 0 {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &\mathbb {R} &\to &{\hat {\mathfrak {g}}}&\to &{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &\mathbb {R} &\to &{\bar {\mathfrak {g}}}&\to &\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}&\to &0\end{matrix}}} 실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.:825, §4.1 구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 G ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{G}}} 와 그 실수 리 대수 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다. L G ∘ = C ∞ ( S 1 , G ∘ ) {\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{G}})} 즉, 이는 G ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{G}}} 값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다. 아핀 리 대수는 R [ z + z − 1 , i ( z − z − 1 ) ] ⊗ R g ∘ {\displaystyle \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열 1 → U ⁡ ( 1 ) → G ^ → L G ∘ → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}\to 1} 에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다. 구체적으로, 원판 D 2 {\displaystyle \mathbb {D} ^{2}} 를 생각하자. 이제, L G ∘ = G D 2 / G {\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}=G_{\mathbb {D} ^{2}}/{\mathcal {G}}} G D 2 = C ∞ ( D 2 , G ) {\displaystyle G_{\mathbb {D} ^{2}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)} G = { α ∈ G D 2 : α ↾ ∂ D 2 = 1 G ∘ } ≅ C ∙ ∞ ( S 2 , G ∘ ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\alpha \in G_{\mathbb {D} ^{2}}\colon \alpha \upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{2}=1_{\stackrel {\circ }{G}}\}\cong {\mathcal {C}}_{\bullet }^{\infty }(\mathbb {S} ^{2},{\stackrel {\circ }{G}})} 이다. 여기서 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, G D 2 {\displaystyle G_{\mathbb {D} ^{2}}} 위의 다음과 같은 함수를 생각하자. γ : G D 2 × G D 2 → R {\displaystyle \gamma \colon G_{\mathbb {D} ^{2}}\times G_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {R} } γ ( g , h ) = 1 4 π δ 2 ∫ D 2 ⟨ g − 1 d g | h − 1 d h ⟩ {\displaystyle \gamma (g,h)={\frac {1}{4\pi \delta ^{2}}}\int _{\mathbb {D} ^{2}}\langle g^{-1}\mathrm {d} g|h^{-1}\mathrm {d} h\rangle } 여기서 ⟨ − | − ⟩ {\displaystyle \langle -|-\rangle } 는 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 ⟨ x , y ⟩ = tr ⁡ ( x y ) {\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {tr} (xy)} 으로 여길 수 있다. δ 2 {\displaystyle \delta ^{2}} 는 ⟨ − | − ⟩ {\displaystyle \langle -|-\rangle } 에 따른, g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 그렇다면, exp ⁡ ( i l γ ( − , − ) ) : G D 2 × G D 2 → C ( l ∈ Z ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} l\gamma (-,-))\colon G_{\mathbb {D} ^{2}}\times G_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {C} \qquad (l\in \mathbb {Z} )} 는 (자명한 계수의) C ∞ ( D 2 , G ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)} 의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 G D 2 {\displaystyle G_{\mathbb {D} ^{2}}} 의 중심 확대 1 → U ⁡ ( 1 ) → G ^ D 2 → G D 2 → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}\to G_{\mathbb {D} ^{2}}\to 1} 를 정의한다. 이제, 임의의 α ∈ G {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {G}}} 에 대하여, ι l : G → G ^ D 2 {\displaystyle \iota _{l}\colon {\mathcal {G}}\to {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}} ι l : α ↦ ( α , exp ⁡ ( i l 12 π δ 2 ∫ D 3 tr ⁡ ( α ¯ − 1 d α ¯ ) 3 ) ) {\displaystyle \iota _{l}\colon \alpha \mapsto \left(\alpha ,\exp \left({\frac {\mathrm {i} l}{12\pi \delta ^{2}}}\int _{\mathbb {D} ^{3}}\operatorname {tr} ({\bar {\alpha }}^{-1}\mathrm {d} {\bar {\alpha }})^{3}\right)\right)} 를 정의할 수 있다. 여기서 α ¯ : D 3 → G ∘ {\displaystyle {\bar {\alpha }}\colon \mathbb {D} ^{3}\to {\stackrel {\circ }{G}}} ( α ¯ ↾ ∂ D 3 ) = α {\displaystyle ({\bar {\alpha }}\upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{3})=\alpha } 는 α : S 2 → G ∘ {\displaystyle \alpha \colon \mathbb {S} ^{2}\to {\stackrel {\circ }{G}}} 의, 3차원 공 D 3 {\displaystyle \mathbb {D} ^{3}} 으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 α ¯ {\displaystyle {\bar {\alpha }}} 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다. 이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, ι l ( G ) {\displaystyle \iota _{l}({\mathcal {G}})} 는 G ^ D 2 {\displaystyle {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}} 의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군 G ^ l = G ^ D 2 ι l ( G ) {\displaystyle {\hat {G}}_{l}={\frac {{\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}}{\iota _{l}({\mathcal {G}})}}} 을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열 1 → U ⁡ ( 1 ) → G ^ l → L G → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}_{l}\to \mathrm {L} G\to 1} 을 구성한다. (정수 l ∈ Z {\displaystyle l\in \mathbb {Z} } 은 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, G ^ l {\displaystyle {\hat {G}}_{l}} 의 리 대수는 ( l ≠ 0 {\displaystyle l\neq 0} 일 경우, l {\displaystyle l} 의 값에 상관없이) g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 이다. 아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다. 아핀 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 단순근들이 α 0 , … , α n {\displaystyle \alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}} 이며, 단순 쌍대근들이 α 0 ∨ , … , α n ∨ {\displaystyle \alpha _{0}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }} 라고 하자. 콕서터 라벨(영어: Coxeter label) a i {\displaystyle a_{i}} 와 쌍대 콕서터 라벨(영어: dual Coxeter label) a i ∨ {\displaystyle a_{i}^{\vee }} 는 카르탕 행렬 A {\displaystyle A} 에 대하여 0 = a ⊤ A = A a ∨ {\displaystyle 0=a^{\top }A=Aa^{\vee }} 를 만족시키는 벡터이다.:96, (2.1.16) 이 경우, a {\displaystyle a} 및 a ∨ {\displaystyle a^{\vee }} 의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다. 아핀 리 대수의 콕서터 수(영어: Coxeter number) h {\displaystyle h} 와 쌍대 콕서터 수(영어: dual Coxeter number) h ∨ {\displaystyle h^{\vee }} 는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다. h ( g ) = ∑ i = 0 n a i {\displaystyle {\mathsf {h}}({\mathfrak {g}})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}} h ∨ ( g ) = ∑ i = 0 n a i ∨ {\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{\vee }} 아핀 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 표준 중심 원소(標準中心元素, 영어: canonical central element) k ∈ h {\displaystyle k\in {\mathfrak {h}}} 는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 의 원소이다. k = ∑ i = 0 n a i ∨ α i ∨ {\displaystyle k=\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{\vee }\alpha _{i}^{\vee }} 그렇다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 중심은 1차원 부분 대수 Z ⁡ ( g ) = C k {\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\mathbb {C} {\mathsf {k}}} 이다. 마찬가지로, δ = ∑ i = 0 n a i α i {\displaystyle \delta =\sum _{i=0}^{n}a_{i}\alpha _{i}} 를 정의하자. 아핀 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 기본 단순 리 대수가 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 라고 하자. r {\displaystyle r} 가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, D ~ 4 ( 3 ) {\displaystyle {\tilde {D}}_{4}^{(3)}} 의 경우, r = 3 {\displaystyle r=3} 이다. 그렇다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 실근들의 집합 Δ re ( g ) {\displaystyle \Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})} 는 구체적으로 다음과 같다.:83, Proposition 6.3a,b,c Δ re ( g ) = { Δ ∘ + Z δ r = 1 ( Δ ∘ short + Z δ ) ∪ ( Δ ∘ long + r Z δ ) r ∈ { 2 , 3 } , g ≇ A 2 n ( 2 ) 1 2 ( Δ ∘ long + ( 2 Z − 1 ) δ ) ∪ ( Δ ∘ short + Z δ ) ∪ ( Δ ∘ long + 2 Z δ ) g ≅ A 2 n ( 2 ) {\displaystyle \Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})={\begin{cases}{\stackrel {\circ }{\Delta }}+\mathbb {Z} \delta &r=1\\({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta )\cup ({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+r\mathbb {Z} \delta )&r\in \{2,3\},\;{\mathfrak {g}}\not \cong A_{2n}^{(2)}\\{\frac {1}{2}}\left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+(2\mathbb {Z} -1)\delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+2\mathbb {Z} \delta \right)&{\mathfrak {g}}\cong A_{2n}^{(2)}\end{cases}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 허근들의 집합 Δ im ( g ) {\displaystyle \Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})} 는 다음과 같다.:64, Theorem 5.6b Δ im ( g ) = ( Z ∖ { 0 } ) δ {\displaystyle \Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})=(\mathbb {Z} \setminus \{0\})\delta } (영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, δ {\displaystyle \delta } 는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.:64, Theorem 5.6b Δ im , + ( g ) = Z + δ {\displaystyle \Delta ^{{\text{im}},+}({\mathfrak {g}})=\mathbb {Z} ^{+}\delta } 단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 축척 원소(영어: scaling element) d ∈ h {\displaystyle d\in {\mathfrak {h}}} 는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다. ⟨ α i , d ⟩ = δ i , 0 {\displaystyle \langle \alpha _{i},d\rangle =\delta _{i,0}} 축척 원소를 선택하였다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 와 그 카르탕 부분 대수 h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다. g = [ g , g ] ⊕ C d {\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}} h = Span ⁡ { α 0 ∨ , … , α r ∨ , d } {\displaystyle {\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} \{\alpha _{0}^{\vee },\dots ,\alpha _{r}^{\vee },d\}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 에서, k {\displaystyle k} 및 d {\displaystyle d} 에 수직이 되는 부분 공간을 h ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}} 라고 하자. h = h ∘ ⊕ C k ⊕ C d {\displaystyle {\mathfrak {h}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}} 아핀 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 슈발레 생성원을 ( e 0 , f 0 ) , … , ( e n , f n ) {\displaystyle (e_{0},f_{0}),\dots ,(e_{n},f_{n})} 이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 기본 단순 리 대수(영어: underlying simple Lie algebra) g ∘ ⊊ g {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subsetneq {\mathfrak {g}}} 는 h ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}} 및 ( e 1 , f 1 ) , … , ( e n , f n ) {\displaystyle (e_{1},f_{1}),\dots ,(e_{n},f_{n})} 로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 카르탕 부분 대수는 h ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}} 이며, 그 근계 및 쌍대 근계는 Δ ∘ = Δ ∩ h ∘ ∗ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\Delta }}=\Delta \cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}^{*}} Δ ∘ ∨ = Δ ∨ ∩ h ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }=\Delta ^{\vee }\cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}} 이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각 { α 1 , … , α n } {\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}} { α 1 ∨ , … , α n ∨ } {\displaystyle \{\alpha _{1}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }\}} 이다. 아핀 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 바일 군 Weyl ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})} 은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 바일 군 Weyl ⁡ ( g ∘ ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})} 과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.:88, Proposition 6.5 Weyl ⁡ ( g ) = Weyl ⁡ ( g ∘ ) ⋊ M {\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})\rtimes M} 여기서 M = { Span Z ⁡ Δ ∘ r = 1 Span Z ⁡ Δ ∘ ∨ r ∈ { 2 , 3 } {\displaystyle M={\begin{cases}\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}&r=1\\\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }&r\in \{2,3\}\end{cases}}} 는 h ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}} 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 ∘ h ≅ ∘ h ∗ {\displaystyle \circ {\mathfrak {h}}\cong \circ {\mathfrak {h}}^{*}} 를 암묵적으로 사용하였다. g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 유한 차원 유니터리 표현 ρ ∘ : g → u ( n ) {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\rho }}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {u}}(n)} 이 주어졌으며, 자연수 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 에서, 포함 관계 ι : g ∘ → g ^ {\displaystyle \iota \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}} 에 대하여 ρ ∘ = ρ ∘ ι {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\rho }}=\rho \circ \iota } 이며 ρ ( k ) = k {\displaystyle \rho ({\mathsf {k}})=k} 가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현 ρ : g ^ → L ( H , H ) {\displaystyle \rho \colon {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathcal {L}}({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 이 유일하게 존재한다. 단순 리 대수 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 g ^ = g [ z , z − 1 ] ⊕ C c {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=\mathbb {g} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {c}}} 의 표현 V {\displaystyle V} 가 주어졌다고 하자. 이 경우, V {\displaystyle V} 에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다. L n = 1 k + h ∨ ( g ) ∑ m ∈ Z η a b ( x a z m ) ( x b z − m ) ( n ≠ 0 ) {\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}={\frac {1}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }\eta _{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})\qquad (n\neq 0)} L 0 = 2 k + h ∨ ( g ) ∑ m = 0 ∞ η a b ( x a z m ) ( x b z − m ) {\displaystyle {\mathsf {L}}_{0}={\frac {2}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum _{m=0}^{\infty }\eta _{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})} c = k dim ⁡ g ∘ k + h ∨ ( g ∘ ) {\displaystyle {\mathsf {c}}={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}} 이를 스가와라 구성([菅原]構成, 영어: Sugawara construction)이라고 한다.:(4.15), §4.2 여기서 h ∨ ( g ∘ ) {\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})} 는 단순 리 대수 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 이중 콕서터 수이다. η a b {\displaystyle \eta _{ab}} 는 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.) k {\displaystyle {\mathsf {k}}} 는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다. 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다. L 0 {\displaystyle {\mathsf {L}}_{0}} 의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다. 보다 일반적으로, 반단순 리 대수 g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 의 표현 V {\displaystyle V} 및 부분 단순 리 대수 h ∘ ⊆ g ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\subseteq {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} 에 대응하는 스가와라 구성 ( L n ′ , c ′ ) Z {\displaystyle ({\mathsf {L}}'_{n},{\mathsf {c}}')_{\mathbb {Z} }} 및 h ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}} 에 대응하는 스가와라 구성 ( L n ″ , c ″ ) Z {\displaystyle ({\mathsf {L}}''_{n},{\mathsf {c}}'')_{\mathbb {Z} }} 이 주어진다. 이 경우, L n = L n ′ − L n ″ {\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}={\mathsf {L}}'_{n}-{\mathsf {L}}''_{n}} c = c ′ − c ″ = k dim ⁡ g ∘ k + h ∨ ( g ∘ ) − k dim ⁡ h ∘ k + h ∨ ( h ∘ ) {\displaystyle {\mathsf {c}}={\mathsf {c}}'-{\mathsf {c}}''={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}-{\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}})}}} 를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 공액류 구성(영어: coset construction) 또는 고더드-켄트-올리브 구성(영어: Goddard–Kent–Olive construction) 또는 GKO 구성(영어: GKO construction)이라고 한다. 이를 통하여 비라소로 대수의 모든 c < 1 {\displaystyle c<1} 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, c = 1 − 6 / ( k + 2 ) ( k + 3 ) {\displaystyle c=1-6/(k+2)(k+3)} 유니터리 표현을 구현하려면, g ^ = s u ^ ( 2 ) k × s u ^ ( 2 ) 1 {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{1}} h ^ = s u ^ ( 2 ) k + 1 {\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+1}} 를 취하면 된다. 여기서 h ∘ = s u ( 2 ) {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}={\mathfrak {su}}(2)} 는 g ∘ = s u ( 2 ) ⊕ s u ( 2 ) {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)} 의 대각 성분이다. 이 경우 dim ⁡ s u ( 2 ) = 3 {\displaystyle \dim {\mathfrak {su}}(2)=3} h ∨ ( s u ( 2 ) ) = 2 {\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {su}}(2))=2} 이므로, c = 3 k k + 2 + 3 × 1 1 + 2 − 3 ( k + 1 ) k + 3 = 1 − 6 ( k + 2 ) ( k + 3 ) {\displaystyle {\mathsf {c}}={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3\times 1}{1+2}}-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}} 임을 계산할 수 있다. 단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 Δ {\displaystyle \Delta } 에서, δ {\displaystyle \delta } 를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. ( A ~ 2 n ( 2 ) {\displaystyle {\tilde {A}}_{2n}^{(2)}} 의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다. 딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 A i j A j i = 4 {\displaystyle A_{ij}A_{ji}=4} 인 경우)는 → 4 {\displaystyle {\xrightarrow {4}}} 및 ↔ 4 {\displaystyle {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}} 로 표기하였다. 이 경우 A i j = A j i = − 2 {\displaystyle A_{ij}=A_{ji}=-2} 인 경우는 ↔ 4 {\displaystyle {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}} 이며, A i j = − 1 , A j i = − 4 {\displaystyle A_{ij}=-1,\;A_{ji}=-4} 인 경우는 → 4 {\displaystyle {\xrightarrow {4}}} 이다. 아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다. n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 일 경우, A ~ n {\displaystyle {\tilde {A}}_{n}} 의 카르탕 행렬은 다음과 같은 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)\times (n+1)} 대칭 정사각 행렬이다. Cartan ⁡ ( A ~ n ) = ( 2 − 1 0 0 ⋯ 0 − 1 − 1 2 − 1 0 ⋯ 0 0 0 − 1 2 − 1 … 0 0 0 0 − 1 2 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 2 − 1 − 1 0 0 0 ⋯ − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{n})={\begin{pmatrix}2&-1&0&0&\cdots &0&-1\\-1&2&-1&0&\cdots &0&0\\0&-1&2&-1&\dots &0&0\\0&0&-1&2&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &2&-1\\-1&0&0&0&\cdots &-1&2\end{pmatrix}}} A ~ 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{1}} 의 카르탕 행렬은 다음과 같다. Cartan ⁡ ( A ~ 1 ) = ( 2 − 2 − 2 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{1})={\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}} A ~ n {\displaystyle {\tilde {A}}_{n}} 의 딘킨 도표는 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 일 경우 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다. n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 일 때, A ~ 2 n ( 2 ) {\displaystyle {\tilde {A}}_{2n}^{(2)}} 의 카르탕 행렬은 다음과 같은 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)\times (n+1)} 비대칭 정사각 행렬이다. Cartan ⁡ ( A ~ 2 n ( 2 ) ) = ( 2 − 1 0 ⋯ 0 0 0 − 2 2 − 1 ⋯ 0 0 0 0 − 1 2 … 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 − 1 0 0 0 0 ⋯ − 1 2 − 1 0 0 0 ⋯ 0 − 2 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{2n}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1&0&\cdots &0&0&0\\-2&2&-1&\cdots &0&0&0\\0&-1&2&\dots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &2&-1&0\\0&0&0&\cdots &-1&2&-1\\0&0&0&\cdots &0&-2&2\end{pmatrix}}} 여기서 행·열 0 , 1 , … , n {\displaystyle 0,1,\dots ,n} 의 순서는 다음과 같다. α 0 ⇒ α 1 − ⋯ − α n − 1 ⇒ α n {\displaystyle \alpha _{0}\Rightarrow \alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\Rightarrow \alpha _{n}} A ~ 2 ( 2 ) {\displaystyle {\tilde {A}}_{2}^{(2)}} 의 카르탕 행렬은 다음과 같다. Cartan ⁡ ( A ~ 2 ( 2 ) ) = ( 2 − 1 − 4 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{2}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}}} 여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다. α 0 → 4 α 1 {\displaystyle \alpha _{0}{\xrightarrow {4}}\alpha _{1}} G ~ 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{2}} 의 카르탕 행렬은 다음과 같다. Cartan ⁡ ( G ~ 2 ) = ( 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 3 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {G}}_{2})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&2\end{pmatrix}}} 여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는 α 0 − α 1 ⇛ α 2 {\displaystyle \alpha _{0}-\alpha _{1}\Rrightarrow \alpha _{2}} 이다. D ~ 4 ( 3 ) {\displaystyle {\tilde {D}}_{4}^{(3)}} 의 카르탕 행렬은 다음과 같다. Cartan ⁡ ( D ~ 4 ( 3 ) ) = ( 2 − 1 0 − 1 2 − 3 0 − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {D}}_{4}^{(3)})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-3\\0&-1&2\end{pmatrix}}} 여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는 α 0 − α 1 ⇚ α 2 {\displaystyle \alpha _{0}-\alpha _{1}\Lleftarrow \alpha _{2}} 이다. g = C {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {C} } 가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수 C [ z , z − 1 ] {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]} 역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대 0 → C k → g ^ → C [ z , z − 1 ] → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}\to \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0} 에서 [ z m , z n ] = δ m + n , 0 m k {\displaystyle [{\mathsf {z}}^{m},{\mathsf {z}}^{n}]=\delta _{m+n,0}m{\mathsf {k}}} [ k , z m ] = 0 {\displaystyle [{\mathsf {k}},{\mathsf {z}}^{m}]=0} 이 된다. 이 경우, z − n = n p n ( n > 0 ) {\displaystyle {\mathsf {z}}^{-n}={\sqrt {n}}{\mathsf {p}}_{n}\qquad (n>0)} z n = n q n ( n > 0 ) {\displaystyle {\mathsf {z}}^{n}={\sqrt {n}}{\mathsf {q}}_{n}\qquad (n>0)} k = ℏ {\displaystyle {\mathsf {k}}=\hbar } 로 놓으면, [ q m , p n ] = δ m , n ℏ {\displaystyle [{\mathsf {q}}_{m},{\mathsf {p}}_{n}]=\delta _{m,n}\hbar } 가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 ( z 0 {\displaystyle {\mathsf {z}}^{0}} 으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다.:§2.4 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 C [ x 1 , x 2 , ⋯ ] {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsb ]} 위에 표준적으로 작용한다.:(2.19) 이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.:(2.23) L n = − 1 2 ∑ m ∈ Z z min { m , n − m } z max { m , n − m } {\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}=-{\frac {1}{2}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\mathsf {z}}^{\min\{m,n-m\}}{\mathsf {z}}^{\max\{m,n-m\}}} c = 1 {\displaystyle {\mathsf {c}}=1} 물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다. 아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디(영어: Robert Moody)가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다. 스가와라 구성은 스가와라 히로타카(일본어: 菅原 寛孝 (すがわら ひろたか))가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(영어: Peter Goddard, 1945〜) · 에이드리언 켄트(영어: Adrian Kent) · 데이비드 올리브(영어: David Olive, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다. 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