데데킨트 제타 함수

대수적 수론에서 데데킨트 제타 함수(Dedekind ζ 函數, 영어: Dedekind zeta function)는 임의의 대수적 수체에 대하여 정의되는 유리형 함수이다. 이는 리만 제타 함수의 일반화이다. 구체적으로, 리만 제타 함수는 유리수체에 대한 데데킨트 제타 함수이다. 데데킨트 제타 함수는 L-함수의 대표적인 예이다. 페터 구스타프 르죈 디리클레가 쓴 수론 교재 《수론 강의》(독일어: Vorlesungen über Zahlentheorie)에서, 리하르트 데데킨트가 쓴 부록에 처음 등장하였다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 가 주어졌고, 또한 s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } 가 Re ⁡ ( s ) > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1} 이라고 하자. 그렇다면 수체 K {\displaystyle K} 의 데데킨트 제타 함수 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} 는 다음과 같은 디리클레 급수로 정의된다. ζ K ( s ) = ∑ a ⊆ O K a ≠ 0 1 N K / Q ⁡ ( a ) s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}^{{\mathfrak {a}}\neq 0}{\frac {1}{\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})^{s}}}} 여기서 ∑ a ⊆ O K a ≠ 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}^{{\mathfrak {a}}\neq 0}} 는 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 0이 아닌 아이디얼들에 대한 합이다. N K / Q ⁡ ( a ) = | O K / a | {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|} 는 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 에 대한 몫환의 크기이다. 일반적인 s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } 에 대해서는 이 함수를 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 유리형 함수로 확장시킬 수 있다. 이 경우, 유일한 극점은 s = 1 {\displaystyle s=1} 이다. 이 극점에서의 유수는 유수 공식으로 주어지며, 수체 K {\displaystyle K} 의 수론적인 불변량들로 주어진다. 데데킨트 제타 함수는 다른 L-함수와 마찬가지로 오일러 곱(Euler product)과 함수 방정식(functional equation)을 갖는다. 데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱을 갖는다. 모든 Re ⁡ s > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} s>1} 인 s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } 에 대하여, ζ K ( s ) = ∏ p ∈ Spec ⁡ O K 1 1 − N K / Q ⁡ ( p ) − s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}}} 여기서 ∏ p ∈ Spec ⁡ O K {\displaystyle \textstyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}} 는 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 소 아이디얼들에 대한 곱이다. 이는 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이고, 데데킨트 정역에서는 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일 소인수분해가 성립하기 때문이다. 데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 갖는다. 감마 인자(gamma factor)를 다음과 같이 정의하자. Γ R ( s ) = π − s / 2 Γ ( s / 2 ) {\displaystyle \Gamma _{\mathbb {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)} Γ C ( s ) = 2 ( 2 π ) − s Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma _{\mathbb {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)} 여기서 Γ(s)는 감마 함수이다. 그렇다면 다음을 정의하자. Λ K ( s ) = | Δ K | s / 2 Γ R ( s ) r R Γ C ( s ) r C ζ K ( s ) {\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbb {R} }(s)^{r_{\mathbb {R} }}\Gamma _{\mathbb {C} }(s)^{r_{\mathbb {C} }}\zeta _{K}(s)} 여기서 r R {\displaystyle r_{\mathbb {R} }} 는 K {\displaystyle K} 의 실 위치(real place)의 수이다. r C {\displaystyle r_{\mathbb {C} }} 는 K {\displaystyle K} 의 복소 위치(complex place)의 수이다. Δ K {\displaystyle \Delta _{K}} 는 K {\displaystyle K} 의 판별식이다. 그렇다면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다. 모든 s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } 에 대하여, Λ K ( s ) = Λ K ( 1 − s ) {\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)} 특수함수 데데킨트 에타 함수 Narkiewicz, Władysław (2004). 《Elementary and analytic theory of algebraic numbers》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer-Verlag. Chapter 7. ISBN 978-3-540-21902-6. MR 2078267.  “Zeta-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  이철희. “데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.  이철희. “복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.  이철희. “이차 수체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.  이철희. “원분체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.