미카엘리스-멘텐 반응속도론

미카엘리스-멘텐 반응속도론(영어: Michaelis–Menten kinetics) 또는 미하엘리스-멘텐 반응속도론은 생화학에서 가장 잘 알려진 효소 반응속도론에 관한 모델 중 하나이다. 기질 농도에 따른 효소의 초기 반응속도의 그래프를 대수적으로 나타내는 방법이다. 방정식의 이름은 독일의 생화학자 리어노어 미하엘리스와 캐나다의 의사 모드 멘텐에서 따온 것이다. v = d [ P ] d t = V max [ S ] K M + [ S ] . {\displaystyle v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{\mathrm {M} }+[S]}}.} 이 식을 미카엘리스-멘텐 식(영어: Michaelis-Menten equation)이라고 부른다. [ S ] {\displaystyle [S]}  : 기질(반응물, Substrate) S의 농도, [ E ] {\displaystyle [E]}  : 효소(Enzyme) E의 농도, [ E S ] {\displaystyle [ES]}  : 효소-기질 복합체의 농도(Enzyme-Substrate complex), [ P ] {\displaystyle [P]}  : 생성물(Product)의 농도, V m a x {\displaystyle V_{max}}  : 최대 반응속도, K M {\displaystyle K_{\mathrm {M} }}  : 미하엘리스 상수. 효소-기질의 반응을 통해 생성되는 물질에 대해서 화학 반응식으로 표현하면, E + S ⇌ k r k f E S ⟶ k c a t E + P {\displaystyle E+S\,{\overset {k_{f}}{\underset {k_{r}}{\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{\mathrm {cat} }}{\longrightarrow }}\,E+P} 이라고 쓸 수 있고, 이 경우 위의 반응식을 시간에 따른 변화량으로 표현하기 위해, 상미분방정식을 이용하면, d [ E ] d t = − k f [ E ] [ S ] + k r [ E S ] + k c a t [ E S ] d [ S ] d t = − k f [ E ] [ S ] + k r [ E S ] d [ E S ] d t = k f [ E ] [ S ] − k r [ E S ] − k c a t [ E S ] d [ P ] d t = k c a t [ E S ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d[E]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]+k_{cat}[ES]\\{\frac {d[S]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]\\{\frac {d[ES]}{dt}}&=k_{f}[E][S]-k_{r}[ES]-k_{cat}[ES]\\{\frac {d[P]}{dt}}&=k_{cat}[ES].\end{aligned}}} 이라고 쓸 수 있다. 이때, "효소의 양은 반응 전후에 일정"하기 때문에, [ E ] + [ E S ] = [ E ] 0 {\displaystyle [E]+[ES]=[E]_{0}} 라는 조건을 유도할 수 있다. 화학 반응에서 화학 평형점에 도달 할 경우, "생성물이 만들어지는 반응속도와 이 물질이 다시 분해되는 속도는 같다"는 정보를 이용할 수 있다. 즉 위의 반응이 충분한 시간이 흘러 반응이 평형점(Equilibrium point)에 있다고 가정하면, k f [ E ] [ S ] − k r [ E S ] − k c a t [ E S ] = 0 {\displaystyle k_{f}[E][S]-k_{r}[ES]-k_{\mathrm {cat} }[ES]=0} 가 성립하며, "효소의 양은 반응 전후에 일정하다"라는 조건을 통해서 [ E ] = [ E ] 0 − [ E S ] . {\displaystyle [E]=[E]_{0}-[ES].} 라는 식을 얻을 수 있다. 이 두 식을 연립하면, k f ( [ E ] 0 − [ E S ] ) [ S ] − k r [ E S ] − k c a t [ E S ] = 0 {\displaystyle k_{f}([E]_{0}-[ES])[S]-k_{r}[ES]-k_{\mathrm {cat} }[ES]=0} 그리고 [ E S ] {\displaystyle [ES]} 에 대해서 식을 정리하면, [ E S ] = [ E ] 0 [ S ] k r + k c a t k f + [ S ] {\displaystyle [ES]={\frac {[E]_{0}[S]}{{\frac {k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{f}}}+[S]}}} 라는 식을 얻을 수 있다. 이때, : K M = k r + k c a t k f {\displaystyle K_{\mathrm {M} }={\frac {k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{f}}}} 이라 정의하고, 이를 미하엘리스 상수라고 한다. 따라서 최종 생성물의 반응속도는, v = d [ P ] d t = V max [ S ] K M + [ S ] . {\displaystyle v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{\mathrm {M} }+[S]}}.} 이라고 표현 할 수 있고, 이때 V max = k c a t [ E ] 0 {\displaystyle V_{\max }=k_{\mathrm {cat} }[E]_{0}} 이다. 이 식을 미카엘리스-멘텐 식이라고 한다. 소량일 때 효소의 농도에 비례하며, 기질의 농도가 과량일 때 일정한 한계 속도에 접근한다. 기질의 농도가 K m {\displaystyle K_{m}} 일 때 초기 반응속도는 포화 속도의 절반인 0.5 V m a x {\displaystyle 0.5V_{max}} 이다. 라인위버-버크 방정식(Lineweaver-Burk equation) 또는 이중-역수 플룻(Double-reciprocal plot)은 미하엘리스-멘텐 식으로부터 유도된다. 1 V 0 {\displaystyle {1} \over {V_{0}}} = {\displaystyle =} K M V m a x [ S ] {\displaystyle {K_{M}} \over {V_{max}[S]}} + {\displaystyle +} 1 V m a x {\displaystyle {1} \over {V_{max}}} 이디-호프스티 다이어그램(Eadie-Hofstee diagram)도 미하엘레스-멘텐 식으로부터 유도된다. 반응 진행 속도론 분석 효소 저해제 (enzyme inhibitor) Michaelis L., Menten M. (1913). “Die Kinetik der Invertinwirkung”. 《Biochem. Z.》 49: 333–369.  English translation. Retrieved 6 April 2007.