분수체

추상대수학에서 분수체(分數體, 영어: field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 체이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환의 국소화의 특수한 경우다. (곱셈 항등원을 갖는) 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, S = R ∖ ( { r ∈ R : 0 ∈ r R } ∪ { r ∈ R : 0 ∈ R r } ) {\displaystyle S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)} 가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} 가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, R {\displaystyle R} 의 전분수환(全分數體, 영어: total ring of fractions) Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 는 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수인 환 준동형 R → Frac ⁡ R {\displaystyle R\to \operatorname {Frac} R} 이 존재하며, R {\displaystyle R} 는 그 전분수환의 부분환을 이룬다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 R {\displaystyle R} 가 (가환) 정역일 경우 이는 체를 이루며, Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 를 R {\displaystyle R} 의 분수체라고 한다. R {\displaystyle R} 가 정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다. 순서쌍 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ( a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} , b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} )들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. ( a , b ) ∼ ( a r , b r ) ∀ r ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle (a,b)\sim (ar,br)\forall r\in R\setminus \{0\}} 이러한 순서쌍의 동치류를 a / b {\displaystyle a/b} 라고 쓰자. 이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다. a b c d = a c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}} a b + c d = a d + b c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}} 이는 분수체 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 이며, 표준적인 단사 환 준동형 R → Frac ⁡ R {\displaystyle R\to \operatorname {Frac} R} r ↦ r 1 {\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}} 이 존재한다. 환 R {\displaystyle R} 의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다. 골디 정리(영어: Goldie’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. 오른쪽 뇌터 반소환 R {\displaystyle R} 는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 는 반단순환이다. 특히, 만약 R {\displaystyle R} 가 오른쪽 뇌터 소환이라면 Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다. 오른쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 는 반단순환이다. 특히, 만약 R {\displaystyle R} 가 왼쪽 뇌터 소환이라면 Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다. 골디 정리에서, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환 뇌터 축소환인 경우, Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로, R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 p 1 , … , p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}} 이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면 Frac ⁡ ( R ) ≅ ∏ i = 1 n Frac ⁡ ( R / p i ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)\cong \prod _{i=1}^{n}\operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}}_{i})} 이다. 우변에서 R / p i {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}} 는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 는 항상 나눗셈환이며, R {\displaystyle R} 는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 R {\displaystyle R} 가 정역이라면 물론 Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 는 체이다. 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 분수체는 K {\displaystyle K} 이다. Frac ⁡ O K = K {\displaystyle \operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}=K} 특히, (유리수의) 정수환 Z = O Q {\displaystyle \mathbb {Z} ={\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }} 의 분수체는 유리수체이다. Frac ⁡ Z = Q {\displaystyle \operatorname {Frac} \mathbb {Z} =\mathbb {Q} } 체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음이 성립한다. Frac ⁡ K = K {\displaystyle \operatorname {Frac} K=K} 다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음이 성립한다. Frac ⁡ K [ x 1 , x 2 , … , x n ] = K ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle \operatorname {Frac} K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} 대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다. 1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.:299:57 에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.:300 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.:466:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.:300) 골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(영어: Alfred William Goldie, 1920~2005)가 도입하였다. Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). “The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)”. 《The American Mathematican Monthly》 (영어) 110 (4): 298–313. doi:10.2307/3647879. 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