정칙 벡터 다발

미분기하학에서 정칙 벡터 다발(正則vector다발, 영어: holomorphic vector bundle) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, 영어: analytic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다. M {\displaystyle M} 이 복소다양체이고, 그 위에 π : E → M {\displaystyle \pi \colon E\to M} 이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 E {\displaystyle E} 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 π {\displaystyle \pi } 가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, E {\displaystyle E} 를 정칙 벡터 다발이라고 한다. 마찬가지로, π {\displaystyle \pi } 의 단면 s : M → E {\displaystyle s\colon M\to E} 가 정칙 함수라면, 이를 π {\displaystyle \pi } 의 정칙 단면(正則斷面, 영어: holomorphic section)이라고 한다. 정칙 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, O ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(E)} 라고 쓴다. 만약 E {\displaystyle E} 가 자명한 복소수 선다발 C _ {\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}} 라면, O ( C _ ) {\displaystyle {\mathcal {O}}({\underline {\mathbb {C} }})} 는 M {\displaystyle M} 의 구조층(영어: structure sheaf) O M {\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}} 과 같다. 정칙 벡터 다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} 이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발 π ∗ : E ∗ ↠ M {\displaystyle \pi ^{*}\colon E^{*}\twoheadrightarrow M} 을 정의할 수 있다. 그 올 E x ∗ = hom C ⁡ ( E x , C ) {\displaystyle E_{x}^{*}=\hom _{\mathbb {C} }(E_{x},\mathbb {C} )} 은 E x {\displaystyle E_{x}} 의 복소수 쌍대 공간이다. 반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다. 정칙 벡터 다발 E → M {\displaystyle E\to M} 의 코호몰로지 H ∙ ( − , O ( E ) ) {\displaystyle H^{\bullet }(-,{\mathcal {O}}(E))} 는 그 해석적 단면들의 층 O ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(E)} 의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다. H 0 ( M , O ( E ) ) {\displaystyle H^{0}(M,{\mathcal {O}}(E))} 는 E {\displaystyle E} 의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다. H 1 ( M , O ( E ) ) {\displaystyle H^{1}(M,{\mathcal {O}}(E))} 는 자명 선다발의 E {\displaystyle E} 에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 F {\displaystyle F} 들로 구성된다. 0 → E → F → M × C → 0 {\displaystyle 0\to E\to F\to M\times \mathbb {C} \to 0} 복소다양체 M {\displaystyle M} 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 위의 벡터 다발 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다. ∇ : Γ ∞ ( T E ) → Γ ∞ ( T ∗ M ⊗ R E ) = Ω 1 ( E ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E)=\Omega ^{1}(E)} 그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 T x ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M} 의 복소화 T x ∗ M ⊗ R C {\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 는 다음과 같이 분해된다. T x ∗ M ⊗ R C = T x ( 0 , 1 ) ∗ M ⊕ T x ( 1 , 0 ) ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathrm {T} _{x}^{(0,1)*}M\oplus \mathrm {T} _{x}^{(1,0)*}M} 즉, T ∗ M ⊗ R E = ( T ∗ M ⊗ R C ) ⊗ C E = ( T ( 0 , 1 ) ∗ M ⊗ C E ) ⊕ ( T ( 1 , 0 ) ∗ M ⊗ C E ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E=(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }E=(\mathrm {T} ^{(0,1)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)\oplus (\mathrm {T} ^{(1,0)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)} 와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다. ∇ ( 1 , 0 ) : Ω 0 ( M ; E ) → Ω 1 , 0 ( M ; E ) {\displaystyle \nabla ^{(1,0)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)} ∇ ( 0 , 1 ) : Ω 0 ( M ; E ) → Ω 0 , 1 ( M ; E ) {\displaystyle \nabla ^{(0,1)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)} 이제, E {\displaystyle E} 가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는 ∂ ¯ : Ω 0 ( M ; E ) → Ω 0 , 1 ( M ; E ) {\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)} 가 잘 정의된다. (이는 E {\displaystyle E} 의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, ∂ : Ω 0 ( M ; E ) → Ω 1 , 0 ( M ; E ) {\displaystyle \partial \colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)} 는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 E {\displaystyle E} 가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 ∂ {\displaystyle \partial } 이 정의되며 ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} 이 정의되지 않는다.) 만약 ∇ ( 0 , 1 ) = ∂ ¯ {\displaystyle \nabla ^{(0,1)}={\bar {\partial }}} 이라면, 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 를 정칙 접속(영어: holomorphic connection)이라고 한다. 에르미트 계량 ⟨ − , − ⟩ {\displaystyle \langle -,-\rangle } 를 갖춘 복소수 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약 E {\displaystyle E} 가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, 영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다. 만약 E {\displaystyle E} 가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다. 정칙 선다발 π : L → M {\displaystyle \pi \colon L\to M} 의 국소 자명화 ϕ i : π − 1 ( U i ) → U i × C {\displaystyle \phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {C} } 가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가 g i j : U i ∩ U j → C × {\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to \mathbb {C} ^{\times }} 라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상 ⟨ s , t ⟩ ( z ) = exp ⁡ ( 2 a i ( z ) ) s ¯ t ∀ s , t ∈ Γ ( U i , L ) {\displaystyle \langle s,t\rangle (z)=\exp(2a_{i}(z)){\bar {s}}t\qquad \forall s,t\in \Gamma (U_{i},L)} a i : U i → R {\displaystyle a_{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} } 이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은 a j ( x ) = a i ( x ) + ln ⁡ | g i j | ∀ x ∈ U i ∩ U j {\displaystyle a_{j}(x)=a_{i}(x)+\ln |g_{ij}|\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}} 인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은 F ↾ U i = − 1 2 i ∂ ∂ ¯ a i {\displaystyle F\upharpoonright U_{i}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \partial {\bar {\partial }}a_{i}} 로 주어진다. 복소다양체 M {\displaystyle M} 의 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 을 생각하자. 그 위에 복소구조 J : T M → T M {\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M} 가 작용하며, 이는 정의에 따라 J 2 = − 1 {\displaystyle J^{2}=-1} 을 만족시킨다. 즉, J : T M ⊗ C → T M ⊗ C {\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} \to \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} } 의 고윳값은 ± i {\displaystyle \pm \mathrm {i} } 이며, 이에 의하여 T M ⊗ C = T + M ⊕ T − M {\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} =\mathbb {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M} 으로 분해된다. 이 경우, T + M {\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M} 은 정칙 접다발(영어: holomorphic tangent bundle)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, T − M {\displaystyle \mathrm {T} ^{-}M} 은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.) 비특이 복소수 대수다양체 X {\displaystyle X} 위의 대수적 벡터 다발 E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 X an {\displaystyle X^{\operatorname {an} }} 및 복소다양체 사이의 정칙 함수 E an ↠ X an {\displaystyle E^{\operatorname {an} }\twoheadrightarrow X^{\operatorname {an} }} 를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다. 반대로, 만약 X {\displaystyle X} 가 추가로 사영 대수다양체라면, X an {\displaystyle X^{\operatorname {an} }} 위의 모든 정칙 벡터 다발은 X {\displaystyle X} 위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다. 복소수 벡터 공간 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 위의 자명한 복소수 벡터 다발 C m × C n ↠ C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {C} ^{n}} 은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다. 에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다. 버코프-그로텐디크 정리 세르 쌍대성 양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8.  “Vector bundle, analytic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Holomorphic vector bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Holomorphic line bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Holomorphic vector bundle”. 《nLab》 (영어).