2차원 𝒩=1 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초등각 장론(二次元 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 超等角場論, 영어: two-dimensional N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} superconformal theory)은 하나의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론에서 중요한 역할을 한다. 2차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다. G r {\displaystyle G_{r}} . 이는 h = 3 / 2 {\displaystyle h=3/2} 비라소로 대수 1차장인 초전류(영어: supercurrent) Q ( z ) {\displaystyle Q(z)} 의 모드 전개이다. 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건의 경우 r ∈ Z + 1 / 2 {\displaystyle r\in \mathbb {Z} +1/2} 이며, 라몽(R) 경계 조건의 경우 r ∈ Z {\displaystyle r\in \mathbb {Z} } 이다. L n {\displaystyle L_{n}} . 이는 h = 2 {\displaystyle h=2} 비라소로 대수 준1차장인 에너지-운동량 텐서 T ( z ) {\displaystyle T(z)} 의 모드 전개이며, n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 이다. c {\displaystyle c} 는 중심 원소이며, 중심 전하(영어: central charge)라고 한다. 이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다. c는 모든 원소와 가환 [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c 12 ( m 3 − m ) δ m + n , 0 {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}} [ L m , G r ] = ( m / 2 − r ) G r + m {\displaystyle [L_{m},G_{r}]=(m/2-r)G_{r+m}} { G r , G s } = 2 L r + s + c 3 ( r 2 − 1 / 4 ) δ r + s , 0 {\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}(r^{2}-1/4)\delta _{r+s,0}} 이 대수는 다음과 같은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} R대칭을 갖는다. L m ↦ L m {\displaystyle L_{m}\mapsto L_{m}} G r ↦ − G r {\displaystyle G_{r}\mapsto -G_{r}} c ↦ c {\displaystyle c\mapsto c} NS 대수에서, L 0 {\displaystyle L_{0}} , L ± 1 {\displaystyle L_{\pm 1}} , G ± 1 / 2 {\displaystyle G_{\pm 1/2}} 는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭의 리 초대수이다. R 대수에서, L 0 {\displaystyle L_{0}} , G 0 {\displaystyle G_{0}} , c {\displaystyle c} 는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다. [ L 0 , G 0 ] = [ L 0 , L 0 ] = 0 {\displaystyle [L_{0},G_{0}]=[L_{0},L_{0}]=0} { G 0 , G 0 } = 2 ( L 0 − c / 24 ) {\displaystyle \{G_{0},G_{0}\}=2(L_{0}-c/24)} 비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 영어: superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다.:174–175:254–255 초1차장은 다음을 만족시키는 상태이다. L n | ϕ ⟩ = G r = 0 ∀ n , r > 0 {\displaystyle L_{n}|\phi \rangle =G_{r}=0\qquad \forall n,r>0} 초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다. L − n 1 L − n 2 ⋯ L − n k G − r 1 G − r 2 ⋯ G − r p | ϕ ⟩ ( 0 < n 1 ≤ n 2 ≤ ⋯ ≤ n k , 0 < r 1 < r 2 < ⋯ < r p {\displaystyle L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}G_{-r_{1}}G_{-r_{2}}\cdots G_{-r_{p}}|\phi \rangle \qquad (0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots \leq n_{k},\;0<r_{1}<r_{2}<\cdots <r_{p}} 여기서 r i < r i + 1 {\displaystyle r_{i}<r_{i+1}} 인 것은 G r 2 = L 2 r − c 24 δ r , 0 {\displaystyle G_{r}^{2}=L_{2r}-{\frac {c}{24}}\delta _{r,0}} 이기 때문이다. 라몽 경계 조건에서 G 0 {\displaystyle G_{0}} 의 경우, G 0 2 = L 0 − c / 24 {\displaystyle G_{0}^{2}=L_{0}-c/24} 이므로, 무게가 h {\displaystyle h} 인 비라소로 1차장을 G 0 | h ⟩ = ± h − c / 24 | h ⟩ {\displaystyle G_{0}|h\rangle =\pm {\sqrt {h-c/24}}|h\rangle } 가 되게 대각화할 수 있다. 유니터리 표현의 경우, 가능한 무게들은 다음과 같다.:254–255 c ≥ 3 / 2 {\displaystyle c\geq 3/2} 인 경우: h ≥ 0 {\displaystyle h\geq 0} (NS), h ≥ c / 24 {\displaystyle h\geq c/24} (R) 0 < c < 3 / 2 {\displaystyle 0<c<3/2} 인 경우: c k = 3 2 − 12 m ( m + 2 ) {\displaystyle c_{k}={\frac {3}{2}}-{\frac {12}{m(m+2)}}} h r , s = ( r ( m + 2 ) − s m ) 2 − 4 8 m ( m + 2 ) + { 0 NS 1 / 16 R ( 1 ≤ r ≤ m − 1 , 1 ≤ s ≤ m + 1 ) {\displaystyle h_{r,s}={\frac {(r(m+2)-sm)^{2}-4}{8m(m+2)}}+{\begin{cases}0&{\text{NS}}\\1/16&{\text{R}}\end{cases}}\qquad (1\leq r\leq m-1,\;1\leq s\leq m+1)} 후자의 경우는 최소 모형에 등장한다. c < 3 / 2 {\displaystyle c<3/2} 인 유니터리 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초등각 장론들은 완전히 분류되었고, 이들을 최소 모형이라고 한다. 자유 마요라나-바일 페르미온 ψ {\displaystyle \psi } ( ( h , h ¯ ) = ( 1 / 2 , 0 ) , ( 0 , 1 / 2 ) {\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,0),(0,1/2)} )과 자유 실수 보손 ∂ ϕ {\displaystyle \partial \phi } ( ( h , ℏ ) = ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) {\displaystyle (h,\hbar )=(1,0),(0,1)} )으로 구성된 자유 장론은 c = 3 / 2 {\displaystyle c=3/2} 인 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 비라소로 1차장들은 다음과 같다. 즉, 두 개의 초1차장 1 {\displaystyle 1} , ψ {\displaystyle \psi } 를 갖는다. 초끈 이론에서, 초끈의 세계면 이론은 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 초등각 장론 (2종 초끈) 또는 N = ( 1 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)} 초등각 장론 (잡종 끈)을 이룬다. 2차원 𝒩=2 초등각 장론 2차원 𝒩=4 초등각 장론 끈 이론 2차원 등각 장론 초대칭 최소 모형 (등각 장론) Blumenhagen, Ralph; Plauschinn, Erik (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  Polchinski, Joseph (1998). 《String theory. Volume 2: Superstring theory and beyond》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:1998stth.book.....P. doi:10.2277/0521633044. ISBN 978-0521633048. Zbl 1006.81522.