부분 아핀 공간

아핀 기하학에서 부분 아핀 공간(部分affine空間, 영어: affine subspace)은 새로운 아핀 공간을 이루는 주어진 아핀 공간의 부분 집합이다. 즉, 이는 부분 벡터 공간이 주어진 아핀 공간 위에 평행 이동으로 작용하는 데 대한 궤도이며, 벡터 공간의 부분 아핀 공간은 평행 이동에 대한 부분 벡터 공간의 상이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 부분 집합 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B {\displaystyle B} 를 A {\displaystyle A} 의 부분 아핀 공간이라고 한다. B − a {\displaystyle B-a} 가 V ( A ) {\displaystyle V(A)} 의 부분 벡터 공간이 되는 a ∈ B {\displaystyle a\in B} 가 존재한다. (여기서 B − a = { b − a : b ∈ B } {\displaystyle B-a=\{b-a\colon b\in B\}} 이며, V ( − ) {\displaystyle V(-)} 는 평행 이동의 벡터 공간이다.) 임의의 a ∈ B {\displaystyle a\in B} 에 대하여, B − a {\displaystyle B-a} 는 V ( A ) {\displaystyle V(A)} 의 부분 벡터 공간이다. 부분 아핀 공간 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 에 대하여, V ( B ) = B − a {\displaystyle V(B)=B-a} 는 a ∈ B {\displaystyle a\in B} 의 선택과 무관하며, 이는 B {\displaystyle B} 의 평행 이동들로 구성된다. 또한, 임의의 a ∈ B {\displaystyle a\in B} 에 대하여, B = a + V ( B ) {\displaystyle B=a+V(B)} 이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 부분 집합 ∅ ≠ S ⊆ A {\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq A} 가 공집합이 아니라고 하자. S {\displaystyle S} 로 생성된 부분 아핀 공간(영어: affine subspace spanned by S {\displaystyle S} ) A f f S p a n K ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Aff\,Span} _{K}(S)} 는 S {\displaystyle S} 를 포함하는 A {\displaystyle A} 의 가장 작은 부분 아핀 공간이다. 이는 S {\displaystyle S} 를 포함하는 A {\displaystyle A} 의 모든 부분 아핀 공간의 교집합과 같다. 또한, 임의의 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, A f f S p a n K ⁡ ( S ) = s + Span K ⁡ ( S − s ) {\displaystyle \operatorname {Aff\,Span} _{K}(S)=s+\operatorname {Span} _{K}(S-s)} 이다. 여기서 Span K ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Span} _{K}(-)} 는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 두 부분 아핀 공간 B , C ⊆ A {\displaystyle B,C\subseteq A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B , C {\displaystyle B,C} 를 평행한다고 하고, 이를 B ∥ C {\displaystyle B\parallel C} 로 표기한다. V ( B ) = V ( C ) {\displaystyle V(B)=V(C)} C = B + u {\displaystyle C=B+u} 인 u ∈ V ( A ) {\displaystyle u\in V(A)} 가 존재한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 두 부분 아핀 공간 B , C ⊆ A {\displaystyle B,C\subseteq A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B {\displaystyle B} 를 C {\displaystyle C} 에 약하게 평행(영어: weakly parallel)한다고 한다. V ( B ) ⊆ V ( C ) {\displaystyle V(B)\subseteq V(C)} B ∥ B ′ {\displaystyle B\parallel B'} 인 부분 아핀 공간 B ′ ⊆ C {\displaystyle B'\subseteq C} 가 존재한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 부분 집합 ∅ ≠ B ⊆ A {\displaystyle \varnothing \neq B\subseteq A} 가 공집합이 아니며, K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. B {\displaystyle B} 는 A {\displaystyle A} 의 부분 아핀 공간이다. 임의의 a , b ∈ B {\displaystyle a,b\in B} 에 대하여, A f f S p a n K ⁡ ( { a , b } ) ⊆ B {\displaystyle \operatorname {Aff\,Span} _{K}(\{a,b\})\subseteq B} 이다. 즉, 체의 표수가 2가 아닐 경우, 주어진 부분 집합이 부분 아핀 공간일 필요충분조건은 아핀 직선에 대하여 닫혀있는 것이다. 표수 2의 체의 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 크기 2의 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위의 아핀 공간의 모든 부분 집합은 아핀 직선에 대하여 닫혀있다. 주어진 아핀 공간의 부분 아핀 공간의 평행은 동치 관계를 이루며, 약한 평행은 부분 순서를 이룬다. 평행은 약한 평행을 함의한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 두 부분 아핀 공간 B , C ⊆ A {\displaystyle B,C\subseteq A} 가 약하게 평행한다면, B = C {\displaystyle B=C} 이거나 B ∩ C = ∅ {\displaystyle B\cap C=\varnothing } 이다. 또한, 임의의 부분 아핀 공간 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 및 이에 포함되지 않는 점 a ∈ A ∖ B {\displaystyle a\in A\setminus B} 에 대하여, a ∈ B ′ {\displaystyle a\in B'} 이며 B ∥ B ′ {\displaystyle B\parallel B'} 인 유일한 부분 아핀 공간 B ′ ⊆ A {\displaystyle B'\subseteq A} 가 존재한다. 이는 에우클레이데스의 평행선 공준의 내용과 일치한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 부분 아핀 공간 B , C ⊆ A {\displaystyle B,C\subseteq A} 에 대하여, 다음이 성립한다. dim ⁡ A f f S p a n K ⁡ ( B ∪ C ) = { dim ⁡ ( V ( B ) + V ( C ) ) + 1 B ∩ C = ∅ dim ⁡ ( V ( B ) + V ( C ) ) B ∩ C ≠ ∅ {\displaystyle \dim \operatorname {Aff\,Span} _{K}(B\cup C)={\begin{cases}\dim(V(B)+V(C))+1&B\cap C=\varnothing \\\dim(V(B)+V(C))&B\cap C\neq \varnothing \end{cases}}} 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 d {\displaystyle d} 차원 아핀 공간 A {\displaystyle A} 와 음이 아닌 정수 0 ≤ d ′ ≤ d {\displaystyle 0\leq d'\leq d} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 부분 집합 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. B {\displaystyle B} 는 A {\displaystyle A} 의 d ′ {\displaystyle d'} 차원 부분 아핀 공간이다. 다음을 만족시키는 d − d ′ {\displaystyle d-d'} 차원 부분 벡터 공간 V ⊆ Hom K ⁡ ( A , K ) {\displaystyle V\subseteq \operatorname {Hom} _{K}(A,K)} 가 존재한다. (여기서 Hom K ⁡ ( − , K ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(-,K)} 는 아핀 형식들로 구성된 벡터 공간이다.) 1 ∉ V {\displaystyle 1\not \in V} B = V ⊥ {\displaystyle B=V^{\perp }} (여기서 ( − ) ⊥ {\displaystyle (-)^{\perp }} 는 직교 여공간이다.) 이에 따라, 직교 여공간은 A {\displaystyle A} 의 d ′ {\displaystyle d'} 차원 부분 아핀 공간들과 상수 함수를 포함하지 않는 Hom K ⁡ ( A , K ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(A,K)} 의 d − d ′ {\displaystyle d-d'} 차원 부분 벡터 공간들 사이의 일대일 대응이며, 후자의 기저를 통해 전자를 연립 일차 방정식의 해의 공간으로 나타낼 수 있다. 즉, V {\displaystyle V} 의 기저 ( f 1 , … , f d − d ′ ) ⊆ V {\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{d-d'})\subseteq V} 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. B = ker ⁡ f 1 ∩ ⋯ ∩ ker ⁡ f d − d ′ {\displaystyle B=\ker f_{1}\cap \cdots \cap \ker f_{d-d'}} 이 경우, 주어진 B {\displaystyle B} 의 직교 여공간 V {\displaystyle V} 는 유일하나, 이를 해의 공간으로 하는 연립 일차 방정식은 V {\displaystyle V} 의 기저의 선택에 의존하므로 유일하지 않다. 주어진 아핀 공간의 0차원 부분 아핀 공간은 한원소 집합들이며, 유한 d {\displaystyle d} 차원 아핀 공간의 d {\displaystyle d} 차원 부분 아핀 공간은 자기 자신으로 유일하다. 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 두 점 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 로 생성된 부분 아핀 공간은 a ≠ b {\displaystyle a\neq b} 일 경우 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} 를 지나는 아핀 직선이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 3차원 아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 아핀 기저 ( o ; e 1 , e 2 , e 3 ) {\displaystyle (o;e_{1},e_{2},e_{3})} 이 주어졌다고 하자. A {\displaystyle A} 의 2차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다. { o + x e 1 + y e 2 + z e 3 : x , y , z ∈ K , a x + b y + c z + d = 0 } {\displaystyle \{o+xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=0\}} 여기서 ( a , b , c ) ∈ K 3 ∖ { ( 0 , 0 , 0 ) } {\displaystyle (a,b,c)\in K^{3}\setminus \{(0,0,0)\}} 이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다. a + K u + K v = { a + λ u + μ v : λ , μ ∈ K } {\displaystyle a+Ku+Kv=\{a+\lambda u+\mu v\colon \lambda ,\mu \in K\}} 여기서 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 이며 { u , v } ⊆ V ( A ) {\displaystyle \{u,v\}\subseteq V(A)} 는 선형 독립 집합이다. 이 경우 ( a ; u , v ) {\displaystyle (a;u,v)} 는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다. 1차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다. { o + x e 1 + y e 2 + z e 3 : x , y , z ∈ K , a x + b y + c z + d = a ′ x + b ′ y + c ′ z + d ′ = 0 } {\displaystyle \{o+xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=a'x+b'y+c'z+d'=0\}} 여기서 { ( a , b , c ) , ( a ′ , b ′ , c ′ ) } ⊆ K 3 ∖ { ( 0 , 0 , 0 ) } {\displaystyle \{(a,b,c),(a',b',c')\}\subseteq K^{3}\setminus \{(0,0,0)\}} 은 선형 독립 집합이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다. a + K u = { a + λ u : λ ∈ K } {\displaystyle a+Ku=\{a+\lambda u\colon \lambda \in K\}} 여기서 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 이며 u ∈ V ( A ) ∖ { 0 } {\displaystyle u\in V(A)\setminus \{0\}} 이다. 이 경우 ( a ; u ) {\displaystyle (a;u)} 는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다. Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939.  Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.  Gallier, Jean (2011). 《Geometric Methods and Applications》. Texts in Applied Mathematics (영어) 38 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0. ISBN 978-1-4419-9960-3. ISSN 0939-2475. LCCN 2011929342.