아르틴 상호 법칙

유체론에서 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다. K {\displaystyle K} 가 대수적 수체이며, L / K {\displaystyle L/K} 가 유한 아벨 확대라고 하자. K {\displaystyle K} 의 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 소 아이디얼 p ⊂ O K {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}} 에 대하여, 만약 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 가 L / K {\displaystyle L/K} 에서 분기(영어: ramified)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상 ( L / K p ) ∈ Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)\in \operatorname {Gal} (L/K)} 가 존재한다. p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 위의, O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} 의 모든 소 아이디얼 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} 에 대하여, ( L / K p ) ( P ) = P {\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}} ( L / K p ) ( α ) ≡ α N L / K ( p ) ( mod P ) {\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)(\alpha )\equiv \alpha ^{N_{L/K}({\mathfrak {p}})}{\pmod {\mathfrak {P}}}} S {\displaystyle S} 가 L / K {\displaystyle L/K} 에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, S {\displaystyle S} 에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 I K S {\displaystyle I_{K}^{S}} 에서 갈루아 군 Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다. ( L / K ⋅ ) : I K S → Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \left({\frac {L/K}{\cdot }}\right)\colon I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)} ∏ i = 1 m p i n i ↦ ∏ i = 1 m ( L / K p i ) n i {\displaystyle \prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\mapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}} 아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} 에 대하여, 군 준동형 I K S → Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)} 의 핵은 다음과 같은 꼴이다. i ( K m , 1 ) N L / K ⁡ ( I L m ) {\displaystyle i(K_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathfrak {m}})} 여기서 K m , 1 {\displaystyle K_{{\mathfrak {m}},1}} 은 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대한 반직선이며, N L / K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}} 는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 L / K {\displaystyle L/K} 의 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 L / K {\displaystyle L/K} 의 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다. 이차 수체 L = Q [ m ] {\displaystyle L=\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]} 을 생각하자 ( m {\displaystyle m} 은 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 에서 분기되는 소수들은 다음과 같다. 만약 m ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle m\equiv 1{\pmod {4}}} 인 경우, p ∣ m {\displaystyle p\mid m} 인 소수 p {\displaystyle p} . 이 경우, 판별식은 Δ = m {\displaystyle \Delta =m} 이다. 만약 m ≢ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle m\not \equiv 1{\pmod {4}}} 인 경우, p ∣ m {\displaystyle p\mid m} 인 홀수 소수 p {\displaystyle p} 및 2. 이 경우, 판별식은 Δ = 4 m {\displaystyle \Delta =4m} 이다. 이 경우, 갈루아 군은 Gal ⁡ ( Q [ m ] / Q ) = { + 1 , − 1 } {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]/\mathbb {Q} )=\{+1,-1\}} 이다. 이 경우, 아르틴 사상은 m {\displaystyle m} 의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다. ( m ⋅ ) : p ↦ ( Δ p ) {\displaystyle \left({\frac {m}{\cdot }}\right)\colon p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)} 원분체 L = Q [ ζ m ] {\displaystyle L=\mathbb {Q} [\zeta _{m}]} 을 생각하자 ( m {\displaystyle m} 은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은 Gal ⁡ ( Q [ ζ m ] / Q ) ≅ ( Z / ( m ) ) × {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [\zeta _{m}]/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(m))^{\times }} 이다. 여기서 ( Z / ( m ) ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /(m))^{\times }} 은 Z / ( m ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(m)} 의 가역원군이다. 구체적으로, a ∈ ( Z / ( m ) ) × {\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /(m))^{\times }} 은 갈루아 군의 원소 ζ ↦ ζ m a {\displaystyle \zeta _{\mapsto }\zeta _{m}^{a}} 에 대응된다. 이 경우, m {\displaystyle m} 의 인수가 아닌 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, 아르틴 사상은 ( mod m ) : p ↦ ( p mod m ) ∈ ( Z / ( m ) ) × {\displaystyle ({\bmod {m}})\colon p\mapsto (p{\bmod {m}})\in (\mathbb {Z} /(m))^{\times }} 이다. 에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다. 아르틴 L-함수 모듈러스 Artin, Emil (1924). “Über eine neue Art von L-Reihen”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 3 (1): 89–108. doi:10.1007/BF02954618. ISSN 0025-5858.  Artin, Emil (1927). “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 5 (1): 353–363. doi:10.1007/BF02952531. ISSN 0025-5858.  Artin, Emil (1930). “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 7 (1): 46–51. doi:10.1007/BF02941159. ISSN 0025-5858.  Artin, Emil; John Tate (1990). 《Class field theory》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-51011-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Childress, Nancy (2008). 《Class field theory》. Universitext (영어). doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. ISSN 0172-5939. Zbl 1165.11001.  Lenstra, H.W., Jr.; P. Stevenhagen (2000년 3월). “Artin reciprocity law and Mersenne primes” (PDF). 《Nieuw Archief voor Wiskunde (serie 5)》 (영어) 1 (1): 44–54.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Frei, Günther (2004). 〈On the History of the Artin Reciprocity Law in Abelian Extensions of Algebraic Number Fields: How Artin was Led to his Reciprocity Law〉. 《The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, 2002》 (영어). 267–294쪽. doi:10.1007/978-3-642-18908-1_8. ISBN 978-3-642-62350-9.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin reciprocity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Artin reciprocity law”. 《nLab》 (영어).  Mathew, Akhil (2010년 6월 22일). “The Artin reciprocity law”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).