영 타블로

조합론과 표현론에서 영 타블로(영어: Young tableau; 복수: tableaux)는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다. 페러스 그림(영어: Ferrers diagram)은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다. 영 타블로(영어: Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다. 표준 영 타블로(영어: standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다. 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다. 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다. 준표준 영 타블로(영어: semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다. 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다. 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다. 주어진 페러스 그림에서, ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 번째 칸의 고리 길이(영어: hook length) hook ⁡ ( i , j ) {\displaystyle \operatorname {hook} (i,j)} 는 i ′ ≥ i , j = j ′ {\displaystyle i'\geq i,j=j'} 또는 i ′ = i , j ′ ≥ j {\displaystyle i'=i,j'\geq j} 인 칸 ( i ′ , j ′ ) {\displaystyle (i',j')} (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다. 대칭군 S n {\displaystyle S_{n}} 의 복소수 기약 표현은 총 n {\displaystyle n} 개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다. 각 칸의 숫자는 1 , … , n {\displaystyle 1,\dots ,n} 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다. 이 경우, S n {\displaystyle S_{n}} 기약 표현의 차원은 다음과 같다. dim ⁡ r = n ! ∏ i , j hook ⁡ ( i , j ) {\displaystyle \dim r={\frac {n!}{\prod _{i,j}\operatorname {hook} (i,j)}}} 예를 들어, S4의 기약 표현들은 다음과 같다. 일반선형군 G L ( n , C ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )} 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 각 열의 길이는 n {\displaystyle n} 이하다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다. 각 칸의 숫자는 1 , … , n {\displaystyle 1,\dots ,n} 가운데 하나다. 이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다. dim ⁡ r = ∏ ( i , j ) n − i + j hook ⁡ ( i , j ) {\displaystyle \dim r=\prod _{(i,j)}{\frac {n-i+j}{\operatorname {hook} (i,j)}}} 특수선형군 S L ( n , C ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )} 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 각 열의 길이는 n {\displaystyle n} 미만이다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다. 특수 유니터리 군 S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} 의 복소화는 특수선형군 S L ( n , C ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )} 이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다. 이들 표현들은 N차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다. 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다. 예를 들어, i⃞ j⃞ k⃞ l⃞ m⃞ 의 꼴의 영 타블로는 T i j k l m {\displaystyle T^{ijklm}} 꼴의 텐서에 대응한다. 이는 T i j k l m = T ( i j k ) ( l m ) = T [ i | j k | l ] m = T i [ j | k l | m ] {\displaystyle T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}} 의 꼴의 (반)대칭성을 가진다. SO(n)의 경우, SO ⁡ ( n ) ⊂ SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)\subset \operatorname {SU} (n)} 을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. 각 열의 길이가 ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수이고, 길이가 n / 2 {\displaystyle n/2} 인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(영어: self-dual, SD) 및 반자기쌍대(영어: anti-self-dual, ASD)로 일컬어진다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. i {\displaystyle i} 번째 열의 길이를 r i {\displaystyle r_{i}} , i {\displaystyle i} 번째 행의 길이를 c i {\displaystyle c_{i}} 라고 하자 ( i ≥ 1 {\displaystyle i\geq 1} ). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)을 정의하자.:10 C ( i , j ) = { r i + r j − i − j i ≥ j − c i − c j + i + j − 2 i < j {\displaystyle C(i,j)={\begin{cases}r_{i}+r_{j}-i-j&i\geq j\\-c_{i}-c_{j}+i+j-2&i<j\end{cases}}} 그렇다면 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.:Cor. 13, Cor. 17, Remark 18 dim ⁡ r = ∑ ( i , j ) n + C ( i , j ) hook ⁡ ( i , j ) {\displaystyle \dim r=\sum _{(i,j)}{\frac {n+C(i,j)}{\operatorname {hook} (i,j)}}} 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수이며 길이가 n / 2 {\displaystyle n/2} 인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다. 영 타블로의 각 칸은 n {\displaystyle n} 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다. 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다. 예를 들어, i⃞ j⃞ k⃞ l⃞ m⃞ 의 꼴의 영 타블로는 T i j k l m {\displaystyle T^{ijklm}} 꼴의 텐서에 대응하며, T i j k l m = T ( i j k ) ( l m ) = T [ i | j k | l ] m = T i [ j | k l | m ] {\displaystyle T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}} 0 = δ i j T i j k l m = δ i k T i j k l m = δ j k T i j k l m = δ l m T i j k l m {\displaystyle 0=\delta _{ij}T^{ijklm}=\delta _{ik}T^{ijklm}=\delta _{jk}T^{ijklm}=\delta _{lm}T^{ijklm}} 꼴의 (반)대칭성을 가진다. SO(n)의 경우, SU(n)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자. 예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약 표현들은 다음과 같다. 짝수 n {\displaystyle n} 에 대하여, USp(n)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다. 이 경우 USp ⁡ ( n ) ⊂ SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (n)\subset \operatorname {SU} (n)} 을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. 각 열의 길이가 n / 2 {\displaystyle n/2} 이하이다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 λ {\displaystyle \lambda } 의 행의 길이가 r 1 , r 2 , … {\displaystyle r_{1},r_{2},\dots } 이며, 열의 길이가 c 1 , c 2 , … {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots } 라고 하자. 우선, 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)를 정의하자.:6 C ( i , j ) = { r i + r j − i − j + 2 i > j − c i − c j + i + j i ≤ j {\displaystyle C(i,j)={\begin{cases}r_{i}+r_{j}-i-j+2&i>j\\-c_{i}-c_{j}+i+j&i\leq j\end{cases}}} 그렇다면 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.:Cor. 9 dim ⁡ r = ∏ ( i , j ) n + C ( i , j ) hook ⁡ ( i , j ) {\displaystyle \dim r=\prod _{(i,j)}{\frac {n+C(i,j)}{\operatorname {hook} (i,j)}}} 영 타블로의 각 칸은 n {\displaystyle n} 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다. 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, ω μ ν {\displaystyle \omega _{\mu \nu }} 에 의한 축약이 모두 0이다. 예를 들어, i⃞ j⃞ k⃞ l⃞ m⃞ 의 꼴의 영 타블로는 T i j k l m {\displaystyle T^{ijklm}} 꼴의 텐서에 대응하며, T i j k l m = T ( i j k ) ( l m ) = T [ i | j k | l ] m = T i [ j | k l | m ] {\displaystyle T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}} 0 = ω i l T i j k l m = ω j m T i j k l m = 0 {\displaystyle 0=\omega _{il}T^{ijklm}=\omega _{jm}T^{ijklm}=0} 꼴의 (반)대칭성을 가진다. 예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다. 영국의 수학자 앨프리드 영(영어: Alfred Young)이 1900년에 도입하였다. Campbell, Peter S.; Anna Stokke. “Hook–content formulae for symplectic and orthogonal tableaux” (영어). arXiv:0710.4155.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Group theory for physicists” (PDF). 2011년 1월 12일. 2013년 10월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 11월 22일에 확인함.  이름 목록에서 |이름1=이(가) 있지만 |성1=이(가) 없음 (도움말) O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001년 9월). “Alfred Young”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.  Yong, Alexander (2007년 2월). “What is … a Young tableau?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (2): 240–241.  Fulton, William (1997). 《Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-56724-6. MR 1464693. Zbl 0878.14034.  Cvitanović, Predrag (2008). 《Group Theory: Birdtracks, Lie’s, and Exceptional Groups》 (영어). Princeton University Press. ISBN 9780691118369. MR 2418111. Zbl 1152.22001.  Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group Theory: A Physicist’s Survey》 (영어). 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