세타 표현

수학에서, 세타 표현(θ表現, 영어: theta representation)은 하이젠베르크 군의, 정칙 함수의 공간 위의 특별한 표현이다. 이 표현에서, 정수 계수 하이젠베르크 군의 작용의 고정점은 야코비 세타 함수이다.:5–11, §Ⅰ.3 임의의 양의 실수 t ∈ R + {\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 복소평면 위에, 다음과 같은 측도를 정의하자. d 2 μ t ( z ) = exp ⁡ ( − 2 π t − 1 ( Im ⁡ z ) 2 ) d 2 z {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mu _{t}(z)=\exp \left(-2\pi t^{-1}(\operatorname {Im} z)^{2}\right)\,\mathrm {d} ^{2}z} 이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. ⟨ f | g ⟩ = ∫ C d 2 μ ( z ) f ¯ ( z ¯ ) g ( z ) {\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} ^{2}\mu (z)\,{\bar {f}}({\bar {z}})g(z)} 이 내적에 대한 노름이 유한한 정칙 함수들의 복소수 힐베르트 공간을 H t {\displaystyle {\mathcal {H}}_{t}} 라고 하자. 이제, 임의의 τ ∈ H = R + + i R {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} =\mathbb {R} ^{+}+\mathrm {i} \mathbb {R} } 에 대하여, H Im ⁡ τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\operatorname {Im} \tau }} 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.:6 ( S a f ) ( z ) = f ( z + a ) = exp ⁡ ( a ∂ ) f ( z ) {\displaystyle (S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp(a\partial )f(z)} ( T a f ) ( z ) = exp ⁡ ( i π a 2 τ + 2 π i b z ) f ( z + b τ ) = exp ⁡ ( i π b 2 τ + 2 π i b z ) S b τ f = exp ⁡ ( 2 π i b z + b τ ∂ ) f {\displaystyle (T_{a}f)(z)=\exp(\mathrm {i} \pi a^{2}\tau +2\pi \mathrm {i} bz)f(z+b\tau )=\exp(\mathrm {i} \pi b^{2}\tau +2\pi \mathrm {i} bz)S_{b\tau }f=\exp(2\pi \mathrm {i} bz+b\tau \partial )f} ( C a ) f ( z ) = exp ⁡ ( 2 π i a ) f ( z ) {\displaystyle (C_{a})f(z)=\exp(2\pi \mathrm {i} a)f(z)} 이들은 다음과 같은 교환 관계를 갖는다. S a S b = S a + b {\displaystyle S_{a}S_{b}=S_{a+b}} T a T b = T a + b {\displaystyle T_{a}T_{b}=T_{a+b}} S a T b = C a b T b S a {\displaystyle S_{a}T_{b}=C_{ab}T_{b}S_{a}} 물론, C {\displaystyle C} 는 S {\displaystyle S} 및 T {\displaystyle T} 와 교환한다. 특히, 만약 a , b ∈ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } 일 때 S a T b = T b S a {\displaystyle S_{a}T_{b}=T_{b}S_{a}} 가 된다. 이에 따라, 집합 G τ = { S a T b C c : a , b , c ∈ R } {\displaystyle G_{\tau }=\{S_{a}T_{b}C_{c}\colon a,b,c\in \mathbb {R} \}} 는 군을 이룬다. S a T b C c S a ′ T b ′ C c ′ = S a + a ′ T b + b ′ C a ′ b + c + c ′ {\displaystyle S_{a}T_{b}C_{c}S_{a'}T_{b'}C_{c'}=S_{a+a'}T_{b+b'}C_{a'b+c+c'}} 이 군은 S 1 × R × R {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} } 와 미분 동형이며, 그 범피복군은 하이젠베르크 군 Heis ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )} 이다. 즉, 이는 H Im ⁡ τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\operatorname {Im} \tau }} 위의, 하이젠베르크 군의 표현을 정의한다. 이를 세타 표현이라고 한다. 임의의 τ ∈ R + i R + {\displaystyle \tau \in \mathbb {R} +\mathrm {i} \mathbb {R} ^{+}} 의 값에 대하여, 세타 표현은 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 항상 바일 표현과 유니터리 동치이다. G τ {\displaystyle G_{\tau }} 는 다음과 같은 부분군을 갖는다. Γ τ = { S a T b : a , b ∈ Z } ≤ G τ {\displaystyle \Gamma _{\tau }=\{S_{a}T_{b}\colon a,b\in \mathbb {Z} \}\leq G_{\tau }} 이는 물론 S 1 {\displaystyle S_{1}} 과 T 1 {\displaystyle T_{1}} 으로 생성되는 2차 자유 아벨 군이다. Γ τ ≅ Z ⊕ Z {\displaystyle \Gamma _{\tau }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} } 이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다. Γ τ → G τ ↓ ↓ Heis ⁡ ( 3 ; Z ) → Heis ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle {\begin{matrix}\Gamma _{\tau }&\to &G_{\tau }\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Heis} (3;\mathbb {Z} )&\to &\operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )\end{matrix}}} Γ τ {\displaystyle \Gamma _{\tau }} 의 작용의 고정점은 1차원 복소수 벡터 공간이며, 그 기저는 야코비 세타 함수 ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z;\tau )} 이다. 데이비드 멈퍼드가 1983년에 도입하였다.:5–11, §Ⅰ.3 하디 공간 Mumford, David (1983). 《Tata lectures on theta Ⅰ》. Progress in Mathematics (영어) 28. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4899-2843-6. ISBN 3-7643-3109-7.