데카르트 닫힌 범주

범주론에서 데카르트 닫힌 범주(Descartes닫힌範疇, 영어: Cartesian closed category, 약자 CCC)는 사상 집합을 대상으로 간주할 수 있어, 정의역이 곱 대상인 사상을, 사상 집합을 공역으로 갖는 사상으로 치환할 수 있는 범주이다. 모노이드 범주 ( C , ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )} 에서, 두 대상 Y , Z ∈ C {\displaystyle Y,Z\in {\mathcal {C}}} 의 지수 대상(영어: exponential object) ( Z Y ∈ C , eval : Z Y ⊗ Y → Z ) {\displaystyle (Z^{Y}\in {\mathcal {C}},\operatorname {eval} \colon Z^{Y}\otimes Y\to Z)} 은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 및 사상 g : X ⊗ Y → Z {\displaystyle g\colon X\otimes Y\to Z} 에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 λ g : X → Z Y {\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}} 이 존재한다. X ⊗ Y λ g ⊗ id Y ↓ ↘ g Z Y ⊗ Y → eval Z {\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes Y\\{\scriptstyle \lambda g\otimes \operatorname {id} _{Y}}\downarrow &\searrow \scriptstyle g\\Z^{Y}\otimes Y&{\xrightarrow[{\operatorname {eval} }]{}}&Z\end{matrix}}} 모노이드 범주 ( C , ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 모노이드 범주를 닫힌 모노이드 범주(영어: closed monoidal category)라고 한다. 임의의 두 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 지수 대상 Y X {\displaystyle Y^{X}} 가 존재한다. 모든 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다. ( − ⊗ X ) ⊣ ( − ) X {\displaystyle (-\otimes X)\dashv (-)^{X}} 곱 × {\displaystyle \times } 에 대한 닫힌 모노이드 범주를 데카르트 닫힌 범주라고 한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 두 조각 범주 사이에 자연스러운 함자 f ! : C / X → C / Y {\displaystyle f_{!}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y} f ! : g ↦ f ∘ g {\displaystyle f_{!}\colon g\mapsto f\circ g} 가 존재한다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 유한 완비 범주라면 밑 변환(영어: base change) 함자 f ∗ : C / Y → C / X {\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {C}}/Y\to {\mathcal {C}}/X} f ∗ : ( g : A → Y ) ↦ ( g X : A × Y X → X ) {\displaystyle f^{*}\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_{X}\colon A\times _{Y}X\to X)} 의 왼쪽 수반 함자 f ! {\displaystyle f_{!}} 가 존재한다. f ! {\displaystyle f_{!}} 함자를 의존합(依存合, 영어: dependent sum)이라고 부른다. 유한 완비 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유한 완비 범주를 국소 데카르트 닫힌 범주(영어: locally Cartesian closed category)라고 한다. 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 조각 범주 C / X {\displaystyle {\mathcal {C}}/X} 는 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 조각 범주 사이의 함자 f ∗ : C / Y → C / X {\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {C}}/Y\to {\mathcal {C}}/X} 는 또한 오른쪽 수반 함자 f ∗ : C / X → C / Y {\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y} 를 갖는다. 끝 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 에 대한 조각 범주 C / 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}/1} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다. 국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여 존재하는 오른쪽 수반 함자 f ∗ : C / X → C / Y {\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y} 는 의존곱(依存-, 영어: dependent product)이라고 한다. 대략, 사상 π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X} 이 주어졌을 때 이를 X {\displaystyle X} 위의 "다발"로 해석하고, "밑공간" X {\displaystyle X} 위의 Y {\displaystyle Y} -점에 대하여 그 "올" E x {\displaystyle E_{x}} 을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 E → X {\displaystyle E\to X} 의 "단면"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, 집합의 범주나 다른 토포스 속에서 성립한다. 데카르트 닫힌 범주의 예는 다음과 같다. 일반적인 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서는 곱 (=곱위상을 갖춘 곱공간) 및 끝 대상 (=한원소 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다. (그러나 이 위에는 독특한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.) 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간의 범주 K -Vect {\displaystyle K{\text{-Vect}}} 에서는 곱 (=직합 V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} ) 및 끝 대상 (=0차원 벡터 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 존재하지 않는다. 그러나 텐서곱( V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} )에 대해서는 지수 대상과 유사한 대상 (선형 변환의 집합 L ( V , W ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)} )이 존재한다. 즉, 이는 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 아벨 군의 범주 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 는 아벨 군의 텐서곱에 대하여 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 두 아벨 군 사이의 군 준동형들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 모든 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 위에는 유일한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.:291, Corollary 2.4:62, Remark 6.1.2 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조에서, 대칭 이항 연산은 집합으로서 곱집합이지만, 이 위에는 곱공간과 현저히 다른 위상이 주어진다. (이는 지수 대상의 위상으로부터 유일하게 결정된다.) 항등원은 한원소 공간이다. 지수 대상은 집합으로서 연속 함수의 집합이지만, 이 위에는 콤팩트-열린 집합 위상 대신 점별 수렴 위상이 주어진다. 이 때문에 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조는 위상수학에서 그리 유용하지 않다.:62, Remark 6.1.2 모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 속의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 의하여 수반 함자 f ! ⊣ f ∗ ⊣ f ∗ {\displaystyle f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}} 가 유도된다. 이는 토포스의 본질적 기하학적 사상을 이룬다. 특히, 집합과 함수의 토포스 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 f : X → I {\displaystyle f\colon X\to I} 에 대한 의존곱은 함수 π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X} 를 ⨆ i ∈ I Γ X i ( E i ) {\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{X_{i}}(E_{i})} 로 대응시킨다. 여기서 X i = f − 1 ( i ) {\displaystyle X_{i}=f^{-1}(i)} E i = ( f ∘ π ) − 1 ( i ) {\displaystyle E_{i}=(f\circ \pi )^{-1}(i)} 이며, Γ X i ( E i ) = { f ∈ E X i : ∀ x ∈ X i : π ( f ( x ) ) = x } {\displaystyle \Gamma _{X_{i}}(E_{i})=\left\{f\in E^{X_{i}}\colon \forall x\in X_{i}\colon \pi (f(x))=x\right\}} 는 "단면 집합"이다. 특히, 만약 I {\displaystyle I} 가 끝 대상인 한원소 집합이라면, f : X → { ∙ } {\displaystyle f\colon X\to \{\bullet \}} 에 대한 의존곱은 π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X} 를 단면 집합 Γ X ( E ) {\displaystyle \Gamma _{X}(E)} 으로 대응시킨다. 커링 Steenrod, N. 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