비트 환

이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, 영어: Witt ring)은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다. 비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다. ( V , Q ) = ( V 0 , 0 ) ⊕ ( V 1 , Q 1 ) ⊕ ( V 2 , Q 2 ) {\displaystyle (V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})} 여기서 각 성분은 다음과 같다. ( V 0 , 0 ) {\displaystyle (V_{0},0)} 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다. ( V 1 , Q 1 ) {\displaystyle (V_{1},Q_{1})} 은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다. ( V 2 , Q 2 ) {\displaystyle (V_{2},Q_{2})} 는 분할 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, dim K ⁡ V 2 = 2 n {\displaystyle \dim _{K}V_{2}=2n} 는 짝수이며, V 2 {\displaystyle V_{2}} 속에서 Q 2 | W = 0 {\displaystyle Q_{2}|_{W}=0} 인 n {\displaystyle n} 차원 부분 공간 W ⊆ V 2 {\displaystyle W\subseteq V_{2}} 이 존재한다. 이 경우 ( V 1 , Q 1 ) {\displaystyle (V_{1},Q_{1})} 을 ( V , Q ) {\displaystyle (V,Q)} 의 핵심(核心, 영어: core)이라고 한다. 또한, dim K ⁡ ( V 1 ⊕ V 2 ) {\displaystyle \dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})} 를 Q {\displaystyle Q} 의 계수(階數, 영어: rank)라고 하며, ( dim K ⁡ V 2 ) / 2 {\displaystyle (\dim _{K}V_{2})/2} 를 Q {\displaystyle Q} 의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.:58 비트 정리에 따라, Q | W = 0 {\displaystyle Q|_{W}=0} 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다. 같은 체 위의 두 이차 공간 ( V , Q ) {\displaystyle (V,Q)} , ( V ′ , Q ′ ) {\displaystyle (V',Q')} 의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 Witt ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)} 을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다. ( V , Q ) + ( V ′ , Q ′ ) = ( V ⊕ V ′ , Q ⊕ Q ′ ) {\displaystyle (V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')} . ⊕ {\displaystyle \oplus } 는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다. − ( V , Q ) = ( V , − Q ) {\displaystyle -(V,Q)=(V,-Q)} 0 = ( K 0 , 0 ) {\displaystyle 0=(K^{0},0)} . 여기서 K 0 {\displaystyle K^{0}} 는 K {\displaystyle K} 위의 0차원 벡터 공간이다. ( V , Q ) ⋅ ( V ′ , Q ′ ) = ( V ⊗ V ′ , Q ⊗ Q ′ ) {\displaystyle (V,Q)\cdot (V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')} ⊗ {\displaystyle \otimes } 는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다. 1 = ( K 1 , x ↦ x 2 ) {\displaystyle 1=(K^{1},x\mapsto x^{2})} 이 가환환을 K {\displaystyle K} 의 비트 환이라고 한다. 같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형 ( dim ⁡ mod 2 ) : dim : Witt ⁡ ( K ) → Z / ( 2 ) {\displaystyle (\dim {\bmod {2}})\colon \dim \colon \operatorname {Witt} (K)\to \mathbb {Z} /(2)} 을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 i ( K ) = ker ⁡ ( dim ⁡ mod 2 ) ⊆ Witt ⁡ ( K ) {\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)=\ker(\dim {\bmod {2}})\subseteq \operatorname {Witt} (K)} 을 비트 환의 기본 아이디얼(영어: fundamental ideal)이라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 행렬식(영어: determinant) 또는 판별식(영어: discriminant) det Q ∈ K × / ( K × ) 2 {\displaystyle \det Q\in K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 은 Q {\displaystyle Q} 를 나타내는 대칭 행렬 Q ( x ) = x ⊤ M x {\displaystyle Q(x)=x^{\top }Mx} 의 행렬식 det M {\displaystyle \det M} 의 K × / ( K × ) 2 {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 A {\displaystyle A} 를 통해 바꾼다면 A M ′ A = M {\displaystyle AM'A=M} ( det M ′ ) ( det A ) 2 = det M {\displaystyle (\det M')(\det A)^{2}=\det M} 가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 K × / ( K × ) 2 {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 의 원소로서 잘 정의된다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음과 같은 가환환 GrQExt ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)} 를 정의하자. GrQExt ⁡ ( K ) = { ( d , e ) : d ∈ K × / ( K × ) 2 , e ∈ Z / ( 2 ) } {\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^{\times }/(K^{\times })^{2},\;e\in \mathbb {Z} /(2)\right\}} ( d , e ) + ( d ′ , e ′ ) = ( ( − 1 ) e e ′ d d ′ , e + e ′ ) {\displaystyle (d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd',e+e'\right)} ( d , e ) ( d ′ , e ′ ) = ( d e ′ d ′ e , e e ′ ) {\displaystyle (d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^{e},ee')} 즉, GrQExt ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)} 의 원소는 K {\displaystyle K} 의 Z / ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(2)} -등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.:113 그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다. Witt ⁡ ( K ) → GrQExt ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\to \operatorname {GrQExt} (K)} ( V , Q ) ↦ ( det Q , dim K ⁡ V mod 2 ) {\displaystyle (V,Q)\mapsto (\det Q,\dim _{K}V{\bmod {2}})} 이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.:12 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 Q = diag ⁡ ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle Q=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})} 가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) ( a i , a j K ) {\displaystyle \left({\tfrac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)} 들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 Br ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Br} (K)} 의 원소들의 대표원들을 이룬다. Q {\displaystyle Q} 의 하세-비트 불변량(영어: Hasse–Witt invariant)은 이 브라우어 군 원소들의 합이다. ϵ ( V , Q ) = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n [ ( a i , a j K ) ] ∈ Br ⁡ ( K ) {\displaystyle \epsilon (V,Q)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[\left({\frac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)\right]\in \operatorname {Br} (K)} 이는 Q {\displaystyle Q} 의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 의 비트 환 Witt ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)} 의 기본 아이디얼 i ( K ) ⊆ Witt ⁡ ( K ) {\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)\subseteq \operatorname {Witt} (K)} 의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다. Witt ⁡ ( K ) = i ( K ) 0 ⊇ i ( K ) 1 ⊇ i ( K ) 2 ⊇ i ( K ) 3 ⊇ ⋯ {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)={\mathfrak {i}}(K)^{0}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{1}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{2}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{3}\supseteq \cdots } 이에 대응되는 N {\displaystyle \mathbb {N} } -등급환 R ( K ) = ⨁ n = 0 ∞ R n ( K ) {\displaystyle R(K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}(K)} R n ( K ) = i ( K ) n / i ( K ) n + 1 {\displaystyle R_{n}(K)={\mathfrak {i}}(K)^{n}/{\mathfrak {i}}(K)^{n+1}} 을 정의할 수 있다. 체 K {\displaystyle K} 위의 피스터 이차 형식(영어: Pfister quadratic form)은 다음과 같은 꼴의, 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다. diag ⁡ ( 1 , − a 1 ) ⊗ K diag ⁡ ( 1 , − a 2 ) ⊗ K ⋯ ⊗ K diag ⁡ ( 1 , − a n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})} i ( K ) n {\displaystyle i(K)^{n}} 의 원소들은 모두 유한 개의 2 n {\displaystyle 2^{n}} 차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.:316 체 K {\displaystyle K} 의 밀너 환 K M ⁡ ( K ) = T ⁡ ( K × ; Z ) ( a ⊗ ( 1 − a ) ) a ∈ K ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle \operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)={\frac {\operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}{(a\otimes (1-a))_{a\in K\setminus \{0,1\}}}}} 의 원소를 { a 1 , a 2 , … , a n } ∈ K n M ⁡ ( K ) {\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\in \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)} 로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다. K ∙ M ⁡ ( K ) → R ∙ ( K ) {\displaystyle \operatorname {K} _{\bullet }^{\operatorname {M} }(K)\to R_{\bullet }(K)} { a 1 , … , a n } ↦ diag ⁡ ( 1 , − a 1 ) ⊗ K diag ⁡ ( 1 , − a 2 ) ⊗ K ⋯ ⊗ K diag ⁡ ( 1 , − a n ) {\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\mapsto \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})} 이차 형식에 대한 밀너 추측(영어: Milnor conjecture on quadratic forms)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다. K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, K {\displaystyle K} 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 K n {\displaystyle K^{n}} 위의 이차 형식은 그 계수 r {\displaystyle r} 에 따라서 완전히 분류된다. K {\displaystyle K} 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, K {\displaystyle K} 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, K {\displaystyle K} 의 비트 환은 Z / ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(2)} 이다.:34 대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다. ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, K {\displaystyle K} 가 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.) K {\displaystyle K} 의 비트 환은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 와 동형이다.:34 Witt ⁡ ( K ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong \mathbb {Z} } 이 동형은 구체적으로 다음과 같다. 계수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 의 양의 정부호 형식은 n {\displaystyle n} 에 대응한다. 계수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 의 음의 정부호 형식은 − n {\displaystyle -n} 에 대응한다. 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 0 {\displaystyle 0} 에 대응한다. 실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 H {\displaystyle \mathbb {H} } 로 구성되며, 2차 순환군이다. Br ⁡ R = { R , H } ≅ Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Br} \mathbb {R} =\{\mathbb {R} ,\mathbb {H} \}\cong \operatorname {Cyc} (2)} 이 경우 힐베르트 기호가 ( a , b R ) = { − 1 max { a , b } < 0 + 1 max { a , b } > 0 {\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathbb {R} }}\right)={\begin{cases}-1&\max\{a,b\}<0\\+1&\max\{a,b\}>0\\\end{cases}}} 이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 ( n + , n − ) {\displaystyle (n_{+},n_{-})} 의 비퇴화 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 하세-비트 불변량은 ϵ ( Q ) = ( − 1 ) s ( s − 1 ) / 2 {\displaystyle \epsilon (Q)=(-1)^{s(s-1)/2}} 이다. 비아르키메데스 국소체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 q {\displaystyle q} 라고 하고, q {\displaystyle q} 가 홀수라고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle K} 의 비트 환은 다음과 같다.:152 Witt ⁡ ( K ) ≅ { ( Z / ( 2 ) ) [ Cyc ⁡ ( 2 ) ⊕ Cyc ⁡ ( 2 ) ] q ≡ 1 ( mod 4 ) ( ( Z / ( 4 ) ) [ Cyc ⁡ ( 2 ) ] q ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong {\begin{cases}\left(\mathbb {Z} /(2)\right)[\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left((\mathbb {Z} /(4)\right)[\operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}} 여기서 Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)} 는 2차 순환군이며, R [ G ] {\displaystyle R[G]} 는 군환을 뜻한다. 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.:166 W ( Q ) ≅ ( Z / ( 8 ) ) [ s , t ] / ( 2 s , 2 t , s 2 , t 2 , s t − 4 ) {\displaystyle W(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(8))[s,t]/(2s,2t,s^{2},t^{2},st-4)} 표수가 2가 아닌 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 위의 벡터 공간 F q n {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}} 위의 이차 형식의 동치류는 총 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다. 이들은 구체적으로 다음과 같다. a ∈ F q {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}} 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자. ∄ b ∈ F q : b 2 = a {\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a} 이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다. Q 1 ( n ) = diag ⁡ ( 1 , … , 1 , 1 ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)} Q 2 ( n ) = diag ⁡ ( 1 , … , 1 , a ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)} 즉, 다음과 같은 꼴이다. Q 1 ( n ) ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} Q 2 ( n ) ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + a x n 2 {\displaystyle Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}} 만약 n {\displaystyle n} 이 홀수라면, Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 는 α Q 1 ( n ) {\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}} 과 동치이다.:69 이 경우 비트 지표는 Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} , Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 둘 다 ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle (n-1)/2} 이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면, Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} 은 α Q 1 ( n ) {\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}} 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.:59 n ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}} 이며 q ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}} 인 경우, Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 이며 Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 {\displaystyle n/2} 이다. n ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}} 이거나 또는 q ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}} 인 경우, Q 1 ( n ) {\displaystyle Q_{1}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 {\displaystyle n/2} 이며 Q 2 ( n ) {\displaystyle Q_{2}^{(n)}} 의 비트 지표는 n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 이다. 이 경우, 비트 지표가 n / 2 {\displaystyle n/2} 인 경우를 플러스형(영어: plus-type), n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.:59 비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다. diag ⁡ ( 1 , … , 1 , 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)} diag ⁡ ( 1 , … , 1 , a , 0 , … , 0 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)} 홀수 차수 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 q {\displaystyle q} 에 따라 구체적으로 다음과 같다.:37 W ( F q ) ≅ { Z / ( 4 ) q ≡ 3 ( mod 4 ) F 2 [ F q × / ( F q × ) 2 ] q ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}} 이 동형은 구체적으로 다음과 같다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다. 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