꼬마 끈 이론

끈 이론에서 꼬마 끈 이론(꼬마 끈理論, 영어: little string theory, 약자 LST)은 NS5-막의 적절한 극한에서의 낮은 에너지 유효 이론이다. 이 이론에서는 끈이 존재하지만, 이 이론은 중력을 포함하지 않는다. II종 초끈 이론에서, N {\displaystyle N} 개의 평탄한 NS5-막이 같은 위치에 존재한다고 하자. 이는 SO ⁡ ( 1 , 5 ) × SO ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,5)\times \operatorname {SO} (4)} 로런츠 대칭을 가지며, 16개의 초전하를 보존한다. 만약 IIA종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 6차원 N = ( 2 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)} 초대칭을 가지며, IIB종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 초대칭을 갖는다. 이제, NS5-막의 6차원 동역학을 10차원 초끈 이론으로부터 분리하기 위하여, 다음과 같은 극한을 취하자. g s → 0 {\displaystyle g_{\text{s}}\to 0} E / m s = O ( 1 ) {\displaystyle E/m_{\text{s}}=O(1)} 즉, 끈 결합 상수를 0으로 보내고, 에너지 눈금 E {\displaystyle E} 를 끈의 장력에 고정시킨다. 이 극한에서 얻는 이론을 N = ( 2 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)} 또는 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 꼬마 끈 이론이라고 한다. 꼬마 끈 이론은 다음과 같은 성질을 갖는다. 국소적이지 않으며, 끈을 갖는다. T-이중성이 존재한다. 6차원 이하의 시공간 차원에 존재하며, 16개 이하의 초전하 (4차원 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} )를 갖는다. 끈 이론과 마찬가지로, 높은 에너지에서 하게도른 온도를 갖는다. 끈 이론과 달리, 중력을 포함하지 않는다. 끈 이론과 달리, 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다. N > 1 {\displaystyle N>1} 꼬마 끈 이론은 자유 이론이 아니다. (반면 N = 1 {\displaystyle N=1} 일 경우 이는 자유 이론이다.) 예를 들어, IIB 초끈 이론의 N {\displaystyle N} 개의 NS5-막을 생각하자. S-이중성을 가하면, 이는 N {\displaystyle N} 개의 D5-막이 된다. 그 낮은 에너지 이론은 6차원 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} U ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {U} (N)} 게이지 이론이며, 그 게이지 결합 상수 g D5 {\displaystyle g_{\text{D5}}} 는 다음과 같다. g D5 − 2 = m s 2 g s {\displaystyle g_{\text{D5}}^{-2}={\frac {m_{\text{s}}^{2}}{g_{\text{s}}}}} 다시 S-이중성을 가하면, g D5 ↦ g NS5 {\displaystyle g_{\text{D5}}\mapsto g_{\text{NS5}}} g s ↦ 1 / g s {\displaystyle g_{\text{s}}\mapsto 1/g_{\text{s}}} m s ↦ m s / g s {\displaystyle m_{\text{s}}\mapsto m_{\text{s}}/g_{\text{s}}} 이므로, g NS5 − 2 = m s 2 {\displaystyle g_{\text{NS5}}^{-2}=m_{\text{s}}^{2}} 이다. 따라서, E ∼ m s {\displaystyle E\sim m_{\text{s}}} 인 에너지 눈금에서 이 이론은 상호 작용을 갖게 된다. (엄밀히 말하면, 이 이론은 재규격화될 수 없으므로, E ≪ m s {\displaystyle E\ll m_{\text{s}}} 에서는 g NS5 → 0 {\displaystyle g_{\text{NS5}}\to 0} 이지만 E ≃ m s {\displaystyle E\simeq m_{\text{s}}} 에서는 게이지 이론 묘사가 더 이상 성립하지 못하지만, 이 경우 어쨌든 이론은 자유 이론일 수 없다.) 원 위에 축소화된 IIA종 초끈 이론과 원 위에 축소화된 IIB종 초끈 이론은 T-이중성에 따라 서로 동치이다. T-이중성 아래 IIA NS5-막은 IIB NS5-막에 대응된다. 즉, 하나의 차원을 축소화했을 때, T-이중성에 의하여 N = ( 2 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)} 꼬마 끈 이론은 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 꼬마 끈 이론과 서로 동치이다. 높은 에너지 E {\displaystyle E} 에서, 꼬마 끈 이론의 상태 밀도는 다음과 같은 꼴이다. ρ ( E ) ∼ E α exp ⁡ ( β H E ) ( 1 + O ( 1 / E ) ) {\displaystyle \rho (E)\sim E^{\alpha }\exp(\beta _{\text{H}}E)\left(1+O(1/E)\right)} S ( E ) = ln ⁡ ρ ( E ) = β H E + α ln ⁡ ( E / Λ ) + O ( 1 / E ) {\displaystyle S(E)=\ln \rho (E)=\beta _{\text{H}}E+\alpha \ln(E/\Lambda )+O(1/E)} 여기서 β H {\displaystyle \beta _{\text{H}}} 는 하게도른 온도이다. 꼬마 끈 이론에 홀로그래피적으로 대응되는 10차원 중력 이론은 다음과 같다. II종 10차원 초중력에서, N {\displaystyle N} 개의 NS5-막에 해당하는 해는 (끈 틀 영어: string frame에서) 다음과 같다. d s 2 = d x μ d x μ + ( 1 + N α ′ r 2 ) d x i d x i {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{\mu }\,\mathrm {d} x^{\mu }+\left(1+{\frac {N\alpha '}{r^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x_{i}} exp ⁡ ( 2 Φ ) = g s 2 ( 1 + N α ′ r 2 ) {\displaystyle \exp(2\Phi )=g_{\text{s}}^{2}\left(1+{\frac {N\alpha '}{r^{2}}}\right)} H i j k = − ϵ i j k l ∂ l Φ {\displaystyle H_{ijk}=-\epsilon _{ijkl}\partial ^{l}\Phi } 여기서 μ , ν , … ∈ { 0 , 1 , … , 5 } {\displaystyle \mu ,\nu ,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,5\}} 는 6차원 로런츠 좌표이며, i , j , … ∈ { 6 , 7 , 8 , 9 } {\displaystyle i,j,\dotsc \in \{6,7,8,9\}} 는 NS5-막과 수직인 방향의 좌표이다. r 2 = ∑ i = 6 9 ( x i ) 2 {\displaystyle \textstyle r^{2}=\sum _{i=6}^{9}(x^{i})^{2}} 이다. d s 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}} 는 계량 텐서이다. Φ {\displaystyle \Phi } 는 딜라톤이다. H {\displaystyle H} 는 캘브-라몽 장 B {\displaystyle B} 의 장세기인 3차 미분 형식이다. α ′ {\displaystyle \alpha '} 는 끈 이론 레제 기울기이며, g s {\displaystyle g_{\text{s}}} 는 끈 결합 상수이다. 이제, 꼬마 끈 이론을 얻으려면 r / g s = exp ⁡ σ {\displaystyle r/g_{\text{s}}=\exp \sigma } 를 고정시키고 r → 0 {\displaystyle r\to 0} 을 취하면 된다. 그렇다면, d s 2 = d x μ d x μ + N α ′ ( d σ 2 + d Ω 3 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{\mu }\,\mathrm {d} x^{\mu }+N\alpha '\left(\mathrm {d} \sigma ^{2}+\mathrm {d} \Omega _{3}^{2}\right)} Φ = − σ {\displaystyle \Phi =-\sigma } 이다. 이 배경은 R 1 , 5 × R × S 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,5}\times \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}} 에 해당한다. 여기서 둘째 성분 R {\displaystyle \mathbb {R} } 는 σ {\displaystyle \sigma } 를 좌표로 하는 실수선이며 셋째 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 는 그 반지름이 N α ′ {\displaystyle {\sqrt {N\alpha '}}} 인 3차원 초구이다. 여기서, 3차원 초구 성분은 레벨 N {\displaystyle N} 의 베스-추미노-위튼 모형에 해당한다. 이 밖에도, 이 이론은 10개의 자유 페르미온 ψ μ {\displaystyle \psi ^{\mu }} 과 R × S 3 {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}} 에 대응되는 4개의 페르미온을 갖는다. 즉, 이 배경의 II종 끈 이론의 끈 세계면 위의 2차원 등각 장론의 장들은 다음과 같다. 이에 따라, 비라소로 대수의 총 중심 전하는 다음과 같다. c = ( 1 + 1 / 2 ) × 6 + ( 1 + 1 / 2 ) + ( N − 2 N + 1 2 + 2 N ) × 3 = 15 {\displaystyle c=(1+1/2)\times 6+(1+1/2)+\left({\frac {N-2}{N}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{N}}\right)\times 3=15} 이는 예상대로 임계 차원 ( D = 10 {\displaystyle D=10} ) 초끈 이론의 중심 전하와 같다. 즉, IIA/B종 꼬마 끈 이론은 이와 같은 굽은 배경에서의 10차원 II(A/B)종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. AdS/CFT 대응성에서, 경계 이론(꼬마 끈 이론)의 질량껍질 밖 관측 가능량은 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 질량껍질 위 관측 가능량에 대응한다. 즉, 꼬마 끈 이론의 질량껍질 밖 관측 가능량이 존재함을 알 수 있다. Kutasov, David (2001). 〈Introduction to little string theory〉. 《Spring school on superstrings and related matters》 (PDF) (영어). 2018년 5월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 10월 21일에 확인함.  Aharony, Ofer (2000). “A brief review of “little string theories””. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 17 (5). arXiv:hep-th/9911147. Bibcode:2000CQGra..17..929A. doi:10.1088/0264-9381/17/5/302.  “Little string theory”. 《nLab》 (영어).  “Little string”. 《nLab》 (영어).