매개계

가환대수학에서, 매개계(媒介界, 영어: system of parameters 시스템 오브 파라미터즈[*], 약자 영어: s.o.p)는 국소 가환환 위의 ‘국소 좌표계’의 일종이다.:104–116, §14:234–236, §10.1 구체적으로, 매개계는 국소 가환환의 유일한 극대 아이디얼의 (충분히 큰 차수의) 거듭제곱을 생성하는 유한 부분 집합이며, 그 크기는 국소 가환환의 크룰 차원과 같다. 이 정의에서 극대 아이디얼 대신 그 거듭제곱을 생각하는 이유는 국소 가환환이 특이점의 근방을 나타내는 경우일 수 있기 때문이며, 정칙 국소환의 경우 극대 아이디얼 자체를 생성하는 매개계가 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자. 뇌터 국소 가환환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} R {\displaystyle R} -유한 생성 가군 M {\displaystyle M} . 그 크룰 차원을 dim R ⁡ M = d {\displaystyle \dim _{R}M=d} 라고 하자. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. length ⁡ M < ∞ {\displaystyle \operatorname {length} M<\infty } 충분히 큰 양의 정수 N {\displaystyle N} 에 대하여, m N M = 0 {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{N}M=0} 이다. 여기서 length ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {length} (-)} 는 가군의 길이이다. 그렇다면, 임의의 유한 집합인 부분 집합 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여, 만약 length ⁡ M S M < ∞ {\displaystyle \operatorname {length} {\frac {M}{SM}}<\infty } 이 된다면 | S | ≥ d {\displaystyle |S|\geq d} 가 된다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉 | S | = d {\displaystyle |S|=d} length ⁡ M S M < ∞ {\displaystyle \operatorname {length} {\frac {M}{SM}}<\infty } (즉, ∃ N ∈ Z + : m N M ⊆ S M {\displaystyle \exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon {\mathfrak {m}}^{N}M\subseteq SM} ) 인 부분 집합 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 를 M {\displaystyle M} 의 매개계라고 한다. 특히, M = R {\displaystyle M=R} 인 경우를 생각하자. 즉, 임의의 유한 집합인 부분 집합 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여, 만약 length ⁡ M ( S ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {length} M{(S)}<\infty } (즉, ∃ N ∈ Z + : m N ⊆ S {\displaystyle \exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon {\mathfrak {m}}^{N}\subseteq S} ) 라면, | S | ≥ d {\displaystyle |S|\geq d} 이다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉 | S | = d {\displaystyle |S|=d} ∃ N ∈ Z + : ∃ N ∈ Z + : m N ⊆ S {\displaystyle \exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon {\mathfrak {m}}^{N}\subseteq S} 인 부분 집합 S {\displaystyle S} 를 R {\displaystyle R} 의 매개계라고 한다. 위 조건에서 만약 N = 1 {\displaystyle N=1} 으로 놓을 수 있다면, S {\displaystyle S} 를 정칙 매개계(正則媒介界, 영어: regular system of parameters)라고 한다. 뇌터 국소 가환환에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 정칙 국소환이다. 정칙 매개계를 갖는다. 뇌터 국소 가환환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.:Remark 2.2 코언-매콜리 국소환이다. 모든 매개계가 정칙열이다. 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다. d {\displaystyle d} 차원 정칙 국소환 ( R , m , κ = R / m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa =R/{\mathfrak {m}})} 의 부분 집합 S ⊆ m {\displaystyle S\subseteq {\mathfrak {m}}} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:105, Theorem 14.2 S ⊆ S ′ {\displaystyle S\subseteq S'} 인 정칙 매개계 S ′ ⊆ R {\displaystyle S'\subseteq R} 가 존재한다. R / ( S ) {\displaystyle R/(S)} 는 d − | S | {\displaystyle d-|S|} 차원 정칙 국소환이다. { s + m 2 : s ∈ S } ⊆ m / m 2 {\displaystyle \{s+{\mathfrak {m}}^{2}\colon s\in S\}\subseteq {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} 는 κ {\displaystyle \kappa } -벡터 공간인 자리스키 공변접공간 m / m 2 {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} 속에서 선형 독립이다. d {\displaystyle d} 차원 정칙 국소환 ( R , m , κ = R / m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa =R/{\mathfrak {m}})} 의 매개계 ( r 1 , … , r d ) {\displaystyle (r_{1},\dotsc ,r_{d})} 가 주어졌다고 하자. 임의의 R {\displaystyle R} 계수 k {\displaystyle k} 차 동차 다항식 p ∈ R [ x 1 , … , x d ] {\displaystyle p\in R[x_{1},\dotsc ,x_{d}]} 에 대하여, 만약 p ( r 1 , … , r d ) = 0 {\displaystyle p(r_{1},\dotsc ,r_{d})=0} 이라면, p {\displaystyle p} 의 모든 계수는 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 속한다.:107, Theorem 14.5 (즉, p {\displaystyle p} 의 κ [ x 1 , … , x d ] {\displaystyle \kappa [x_{1},\dotsc ,x_{d}]} 속의 상이 0이다.) 아르틴(즉, 0차원) 국소 가환환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 의 경우, 매개계는 공집합이다. 이 경우 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 멱영 아이디얼이다. (예를 들어, 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여 국소 가환환 R = Z / ( p d ) {\displaystyle R=\mathbb {Z} /(p^{d})} 가 이에 해당한다.) 이 경우, R {\displaystyle R} 가 정칙 국소환인지 여부는 R {\displaystyle R} 가 체인지 여부와 동치이다. (체의 경우 m = ( 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(0)} 이므로, 공집합이 정칙 매개계를 이룬다.) 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 평면 K [ x , y ] {\displaystyle K[x,y]} 의 원점에서의 국소환 K [ x , y ] ( x , y ) {\displaystyle K[x,y]_{(x,y)}} 을 생각하자. 이는 2차원 정칙 국소환이다. 이 경우 { x , y } ⊂ K [ x , y ] ( x , y ) {\displaystyle \{x,y\}\subset K[x,y]_{(x,y)}} 는 정칙 매개계이다. 보다 일반적으로, 임의의 ( a b c d ) ∈ GL ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} (2;K)} 에 대하여 { a x + c y , b x + d y } {\displaystyle \{ax+cy,bx+dy\}} 역시 정칙 매개계이다. 반면, { x , y 2 − x } ⊂ K [ x , y ] ( x , y ) {\displaystyle \{x,y^{2}-x\}\subset K[x,y]_{(x,y)}} 는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다.:235, Figure 10.2 이 경우 m = ( x , y ) ⊈ ( x , y 2 − x ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)\not \subseteq (x,y^{2}-x)} m 2 = ( x 2 , x y , y 2 ) ⊊ ( x , y 2 − x ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}=(x^{2},xy,y^{2})\subsetneq (x,y^{2}-x)} 이다. 정수환의 소수 p {\displaystyle p} 에서의 국소화 Z ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}} 를 생각하자. 이는 1차원 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 p {\displaystyle p} 로 생성되는 주 아이디얼이다. 따라서 { p } {\displaystyle \{p\}} 는 정칙 매개계를 이룬다. 보다 일반적으로, p {\displaystyle p} 와 서로소인 임의의 0이 아닌 정수 a {\displaystyle a} 에 대하여 { a p } {\displaystyle \{ap\}} 는 Z ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}} 의 정칙 매개계이다. 또한, 2 이상의 양의 정수 k {\displaystyle k} 에 대하여 { a p k } {\displaystyle \{ap^{k}\}} 는 Z ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}} 의 정칙 매개계이지만, 이는 매개계가 아니다. 국소환의 개념을 볼프강 크룰이 1938년에 도입한 뒤, 이미 1943년에 클로드 슈발레가 매개계의 개념을 사용하였다.:701, Definition Ⅲ.2 매개계의 개념에 대하여 데이비드 아이젠버드는 다음과 같이 적었다. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. 번역 Reid, Miles 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.  Huneke, Craig. “Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings” (영어). arXiv:math/0209199.  Chevalley, Claude (1943년 10월). “On the theory of local rings”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 44 (4): 690–708. doi:10.2307/1969105. JSTOR 1969105.  “System of parameters of a module over a local ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.