퍼지 구

비가환 기하학에서 퍼지 구(fuzzy球, 영어: fuzzy sphere)는 일반적인 구를 비가환 공간으로 일반화한 경우다. 3차원 각운동량 연산자로 생성된다. 스핀이 j {\displaystyle j} 인 SU(2) 표현 J i {\displaystyle J_{i}} ( i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} )를 생각하자. 이들은 ( 2 j + 1 ) × ( 2 j + 1 ) {\displaystyle (2j+1)\times (2j+1)} 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다. [ J i , J j ] = i ℏ ϵ i j k J k {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}} 여기서 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} 는 3차원 레비치비타 기호다. 다음과 같은 총 각운동량 연산자를 생각하자. J 2 = J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 = ℏ 2 j ( j + 1 ) {\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)} 이제 다음과 같이 좌표 x {\displaystyle \mathbf {x} } 를 정의하자. x i = J i R ℏ j ( j + 1 ) {\displaystyle x_{i}={\frac {J_{i}R}{\hbar {\sqrt {j(j+1)}}}}} 그렇다면 x 2 = R 2 {\displaystyle \mathbf {x} ^{2}=R^{2}} 이 되므로, x {\displaystyle \mathbf {x} } 를 반지름이 R {\displaystyle R} 인 구의 좌표로 생각할 수 있다. 이 비가환 공간을 퍼지 구(영어: fuzzy sphere)라고 한다. 영어: fuzzy 퍼지[*]는 ‘흐릿한, 보풀이 이는’을 뜻하는 형용사로, 좌표의 비가환성을 보풀에 비유한 것이다. 퍼지 구의 좌표들 x i {\displaystyle x_{i}} 는 서로 가환하지 않는다. [ x i , x j ] = R j ( j + 1 ) i ϵ i j k x k {\displaystyle [x_{i},x_{j}]={\frac {R}{\sqrt {j(j+1)}}}i\epsilon _{ijk}x_{k}} 다만, 각운동량이 매우 큰 고전적 극한 j → ∞ {\displaystyle j\to \infty } 을 취하면, [ x i , x j ] → 0 {\displaystyle [x_{i},x_{j}]\to 0} 이 되어 가환구로 수렴하게 된다. 퍼지 구 위의 함수는 ( 2 j + 1 ) × ( 2 j + 1 ) {\displaystyle (2j+1)\times (2j+1)} 에르미트 행렬이다. 이러한 함수 F {\displaystyle F} 의 미분은 다음과 같이 정의할 수 있다. x × ∇ F = i j ( j + 1 ) R [ x , F ] {\displaystyle \mathbf {x} \times \nabla F=i{\frac {\sqrt {j(j+1)}}{R}}[\mathbf {x} ,F]} 이는 F = x i {\displaystyle F=x_{i}} 를 대입하면 올바른 결과를 얻는 것을 알 수 있다. 이를 사용하여 라플라스 연산자도 유사하게 정의할 수 있다. 적분은 대각합에 비례하게 다음과 같이 정의한다. ∫ F = 2 π R 2 j ( j + 1 ) tr ⁡ ( F ) {\displaystyle \int F={\frac {2\pi R^{2}}{\sqrt {j(j+1)}}}\operatorname {tr} (F)} 이렇게 하면, 상수함수 F = I {\displaystyle F=I} (단위행렬)을 대입해 퍼지 구의 겉넓이를 구할 수 있다. ∫ I = 2 π R 2 j ( j + 1 ) tr ⁡ ( F ) = 4 π R 2 j + 1 / 2 j ( j + 1 ) {\displaystyle \int I={\frac {2\pi R^{2}}{\sqrt {j(j+1)}}}\operatorname {tr} (F)=4\pi R^{2}{\frac {j+1/2}{\sqrt {j(j+1)}}}} 따라서 고전적 극한 j → ∞ {\displaystyle j\to \infty } 를 취하면 겉넓이가 가환구의 겉넓이 4 π R 2 {\displaystyle 4\pi R^{2}} 로 수렴하는 것을 알 수 있다. 존 마도어(영어: John Madore)가 1991년에 도입하였다. Madore, John (1992년 1월). “The fuzzy sphere”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 9 (1): 69–87. doi:10.1088/0264-9381/9/1/008. ISSN 0264-9381.  Alekseev, A. Y.; A. Recknagel, V. Schomerus (1999). “Non-commutative worldvolume geometries: D-branes on SU(2) and fuzzy spheres”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 1999 (9): 23. arXiv:hep-th/9908040. Bibcode:1999JHEP...09..023A. doi:10.1088/1126-6708/1999/09/023. ISSN 1126-6708.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Douglas, Michael R.; Nikita A. Nekrasov (2001년 11월 29일). “Noncommutative field theory”. 《Reviews of Modern Physics》 (영어) 73 (4): 977–1029. arXiv:hep-th/0106048. Bibcode:2001RvMP...73..977D. doi:10.1103/RevModPhys.73.977. ISSN 0034-6861.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Jens, Hoppe (2002). “Membranes and matrix models” (영어). arXiv:hep-th/0206192. Bibcode:2002hep.th....6192H.  D’Andrea, Francesco; Fedele Lizzi, Joseph C. Várilly (2013년 2월). “Metric properties of the fuzzy sphere”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 103 (2): 183–205. arXiv:1209.0108. Bibcode:2013LMaPh.103..183D. doi:10.1007/s11005-012-0590-5. ISSN 0377-9017. MR 3010459. Zbl pre06137157.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Plazas, Jorge (2008). 〈Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds〉. 《An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005》 (영어). World Scientific. 419–445쪽. arXiv:math/0703849. Bibcode:2007math......3849P. ISBN 978-981-270-616-4. Zbl 1146.58007.