부호함수

수학에서 부호 함수(영어: sign(um) function)는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } . 실수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다. sgn ⁡ x = lim n → ∞ 1 − 2 − n x 1 + 2 − n x = 2 H ( x ) − 1 = 1 ( 0 , ∞ ) − 1 ( − ∞ , 0 ) = { 1 x > 0 0 x = 0 − 1 x < 0 ( x ∈ R ) {\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}=2H(x)-1=1_{(0,\infty )}-1_{(-\infty ,0)}={\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}\qquad (x\in \mathbb {R} )} 여기서 H {\displaystyle H} 는 단위 계단 함수, 1 ( − ) {\displaystyle 1_{(-)}} 는 지시 함수이다. 즉, 실수 부호 함수는 양수는 1, 0은 0, 음수는 -1을 값으로 한다. 보다 일반적으로, 복소수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다. sgn ⁡ z = { z / | z | = e i arg ⁡ z z ≠ 0 0 z = 0 ( z ∈ C ) {\displaystyle \operatorname {sgn} z={\begin{cases}z/|z|=e^{i\operatorname {arg} z}&z\neq 0\\0&z=0\end{cases}}\qquad (z\in \mathbb {C} )} 여기서 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 는 절댓값, arg {\displaystyle \operatorname {arg} } 는 편각이다. 즉, 복소수의 부호 함숫값은 0의 경우 0, 0이 아닌 경우 복소평면의 단위원에 대한 사영이다. 모든 복소수 z {\displaystyle z} 는 부호 함수와 절댓값의 곱으로 나타낼 수 있다. z = | z | sgn ⁡ z {\displaystyle z=|z|\operatorname {sgn} z} 0이 아닌 실수 z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} 의 경우 이로부터 다음과 같은 항등식들을 얻을 수 있다. sgn ⁡ z = z / | z | = | z | / z ( z ≠ 0 ) {\displaystyle \operatorname {sgn} z=z/|z|=|z|/z\qquad (z\neq 0)} | z | = z sgn ⁡ z ( z ≠ 0 ) {\displaystyle |z|=z\operatorname {sgn} z\qquad (z\neq 0)} 복소수 부호 함수는 곱셈 및 나눗셈 및 덧셈 역원 및 켤레 복소수를 보존한다. 즉, 복소수 z , w {\displaystyle z,w} 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. sgn ⁡ ( z w ) = sgn ⁡ z sgn ⁡ w {\displaystyle \operatorname {sgn}(zw)=\operatorname {sgn} z\operatorname {sgn} w} sgn ⁡ ( z / w ) = sgn ⁡ z / sgn ⁡ w {\displaystyle \operatorname {sgn}(z/w)=\operatorname {sgn} z/\operatorname {sgn} w} sgn ⁡ ( − z ) = − sgn ⁡ z {\displaystyle \operatorname {sgn}(-z)=-\operatorname {sgn} z} sgn ⁡ z ¯ = sgn ⁡ z ¯ {\displaystyle {\overline {\operatorname {sgn} z}}=\operatorname {sgn} {\bar {z}}} 복소수 부호 함수와 절댓값의 합성은 다음과 같다. sgn ⁡ | z | = | sgn ⁡ z | = 1 R ∖ { 0 } {\displaystyle \operatorname {sgn} |z|=|\operatorname {sgn} z|=1_{\mathbb {R} \setminus \{0\}}} 복소수 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉, 복소수 z {\displaystyle z} 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. sgn ⁡ z = sgn ⁡ sgn ⁡ z = sgn ⁡ sgn ⁡ sgn ⁡ z = ⋯ {\displaystyle \operatorname {sgn} z=\operatorname {sgn} \operatorname {sgn} z=\operatorname {sgn} \operatorname {sgn} \operatorname {sgn} z=\cdots } 실수 부호 함수는 0을 제외한 모든 점에서 미분 가능 함수이며, 그 도함수는 0이다. 0은 이 함수의 불연속점이다. 분포로서의 도함수는 어디서나 정의되며, 디랙 델타 함수의 2배이다. d d x sgn ⁡ x = 2 δ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\delta (x)} 실수 부호 함수의 정적분은 다음과 같다. ∫ 0 x sgn ⁡ x d x = | x | {\displaystyle \int _{0}^{x}\operatorname {sgn} xdx=|x|} 실수 부호 함수의 푸리에 변환은 다음과 같다. (변환 결과는 코시 주요값을 통한 분포 (해석학)로 이해한다.) ∫ − ∞ ∞ sgn ⁡ x e − 2 π i ξ x d x = 1 π i 1 ξ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sgn} x\,e^{-2\pi i\xi x}dx={\frac {1}{\pi i}}{\frac {1}{\xi }}} ∫ − ∞ ∞ sgn ⁡ x e − i ω x d x = − 2 i ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sgn} x\,e^{-i\omega x}dx=-{\frac {2i}{\omega }}} 절댓값 단위 계단 함수 음수 구형함수 시그모이드 함수 계단 함수 극분해 “Signum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sign”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Sign function”. 《nLab》 (영어).  “Signum function”. 《PlanetMath》 (영어).