드무아브르의 공식

수학에서 드무아브르의 공식(영어: de Moivre’s formula) 또는 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)는 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 i는 허수 단위를 뜻한다. ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos {nx}+i\sin {nx}} 이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다. x {\displaystyle x} 가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 cos ⁡ x , sin ⁡ x {\displaystyle \cos {x},\sin {x}} 만을 사용하여 cos ⁡ n x {\displaystyle \cos {nx}} 와 sin ⁡ n x {\displaystyle \sin {nx}} 을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, z n = 1 {\displaystyle z^{n}=1} 의 복소근을 쉽게 구할 수 있다. 역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다. e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x} 지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다. ( e i x ) n = e i n x {\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}} 그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다. e i ( n x ) = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x {\displaystyle e^{i(nx)}\,=\,\cos {nx}+i\sin {nx}} 세 가지 경우로 나누어 생각한다. n > 0 {\displaystyle n>0} 인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n = 1 {\displaystyle n=1} 일 때, 이 등식은 참이다. 이제 k {\displaystyle k} 일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자. ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k = cos ⁡ k x + i sin ⁡ k x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\,=\,\cos {kx}+i\sin {kx}} 이제 n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} 일 때 식이 성립하는지를 확인하면, ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k + 1 = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = ( cos ⁡ k x + i sin ⁡ k x ) ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = cos ⁡ k x cos ⁡ x − sin ⁡ k x sin ⁡ x + i ( cos ⁡ k x sin ⁡ x + sin ⁡ k x cos ⁡ x ) = cos ⁡ ( k + 1 ) x + i sin ⁡ ( k + 1 ) x {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos {kx}+i\sin {kx}\right)\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\cos {kx}\cos x-\sin {kx}\sin x+i\left(\cos {kx}\sin x+\sin {kx}\cos x\right)\\&=\cos {\left(k+1\right)x}+i\sin {\left(k+1\right)x}\end{alignedat}}} 이 식이 n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} 일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 n ≥ 1 {\displaystyle \scriptstyle n\geq 1} 인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다. 이제 n = 0 {\displaystyle n=0} 일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면, cos ⁡ 0 x + i sin ⁡ 0 x = 1 + i ⋅ 0 = 1 {\displaystyle \scriptstyle \cos {0x}+i\sin {0x}=1+i\cdot 0=1} 또는 z 0 = 1 {\displaystyle z^{0}=1} 라는 약속에 의하여 성립한다. 이제 n < 0 {\displaystyle n<0} 일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 n = − m {\displaystyle n=-m} 을 만족하는 양의 정수 m {\displaystyle m} 에 대하여 생각하여 보면, ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) − m = 1 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) m = 1 ( cos ⁡ m x + i sin ⁡ m x ) = cos ⁡ m x − i sin ⁡ m x = cos ⁡ ( − m x ) + i sin ⁡ ( − m x ) = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos {mx}-i\sin {mx}\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos {nx}+i\sin {nx}\end{aligned}}} 이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다. 복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다. 만약 cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 와 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. cos ⁡ n x = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( n 2 i ) ( − 1 ) i ( cos ⁡ x ) n − 2 i ( sin ⁡ x ) 2 i = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( n 2 i ) ( cos ⁡ x ) n − 2 i ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 ) i sin ⁡ n x = ∑ i = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n 2 i + 1 ) ( − 1 ) i ( cos ⁡ x ) n − 2 i − 1 ( sin ⁡ x ) 2 i + 1 = ( sin ⁡ x ) ∑ i = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n 2 i + 1 ) ( cos ⁡ x ) n − 2 i − 1 ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 ) i {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos {nx}&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i}}(-1)^{i}(\cos {x})^{n-2i}(\sin {x})^{2i}&&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i}}(\cos {x})^{n-2i}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\sin {nx}&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i+1}}(-1)^{i}(\cos {x})^{n-2i-1}(\sin {x})^{2i+1}&&=(\sin {x})\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i+1}}(\cos {x})^{n-2i-1}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\end{alignedat}}} 이 식은 x {\displaystyle x} 가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 n = 2 , 3 {\displaystyle n=2,3} 을 대입해보면, cos ⁡ 2 x = ( cos ⁡ x ) 2 + ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 ) = 2 ( cos ⁡ x ) 2 − 1 sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ 3 x = ( cos ⁡ x ) 3 + 3 cos ⁡ x ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 ) = 4 ( cos ⁡ x ) 3 − 3 cos ⁡ x sin ⁡ 3 x = 3 ( cos ⁡ x ) 2 sin ⁡ x − ( sin ⁡ x ) 3 = 3 sin ⁡ x − 4 ( sin ⁡ x ) 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos {2x}&=(\cos {x})^{2}+((\cos {x})^{2}-1)&&=2(\cos {x})^{2}-1\\\sin {2x}&=2{\sin {x}}{\cos {x}}\\\cos {3x}&=(\cos {x})^{3}+3\cos {x}((\cos {x})^{2}-1)&&=4(\cos {x})^{3}-3\cos {x}\\\sin {3x}&=3(\cos {x})^{2}{\sin {x}}-(\sin {x})^{3}&&=3\sin {x}-4(\sin {x})^{3}\\\end{alignedat}}} cos ⁡ n x {\displaystyle \scriptstyle \cos {nx}} 에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식 T n ( cos ⁡ x ) {\displaystyle \scriptstyle T_{n}(\cos x)} 의 값이다. 이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. z {\displaystyle z} 와 w {\displaystyle w} 가 복소수라면, cos ⁡ ( w z ) + i sin ⁡ ( w z ) {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,} 와는 달리 ( cos ⁡ z + i sin ⁡ z ) w {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}} 는 여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서 cos ⁡ ( w z ) + i sin ⁡ ( w z ) {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,} 는 ( cos ⁡ z + i sin ⁡ z ) w {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,} 의 여러 값중 하나일 뿐이다. 이 공식은 x n − 1 = 0 {\displaystyle x^{n}-1=0} 의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 w {\displaystyle w} 가 복소수라면, 이는 극형식 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다. w = r ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) , {\displaystyle w=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,} 이 때 k {\displaystyle k} 가 정수라면, w 1 n = [ r ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) ] 1 n = r 1 n [ cos ⁡ ( x + 2 k π n ) + i sin ⁡ ( x + 2 k π n ) ] {\displaystyle w^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]} n {\displaystyle n} 개의 서로 다른 근을 구할 때, k = 0 {\displaystyle k=0} 부터 n − 1 {\displaystyle n-1} 까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다. 또한 이 공식은 고차방정식의 특수형태인, x n = a {\displaystyle x^{n}=a} 의 꼴로, 이항방정식 이되겠다. 아브라암 드무아브르가 발견하였다. 허수에 대한 직접적인 언급은 없다. 오일러 공식 1의 거듭제곱근 이항 방정식 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (p. 74). (인터넷 아카이브 -수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://archive.org/details/bub_gb_TFX1165yEc4C (구글 도서-수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://books.google.co.kr/books?id=TFX1165yEc4C&printsec=frontcover&dq=Miscellanea+analytica+de+seriebus+et+quadraturis.+Accessere+variae+considerationes+de+methodis+comparationum,+combinationum+%26+differentiarum,+solutiones+difficiliorum+aliquot+problematum+ad+sortem+spectantium,+itemque+constructiones+faciles+orbium+planetarum,+una+cum+determinatione+maximarum+%26+minimarum+mutationum+quae+in+motibus+corporum+coelestium+occurrunt&hl=ko&sa=X&ved=2ahUKEwjsvvG1-5rwAhVJyIsBHVYaDfwQ6AEwBXoECAQQAg#v=onepage&q=Miscellanea%20analytica%20de%20seriebus%20et%20quadraturis.%20Accessere%20variae%20considerationes%20de%20methodis%20comparationum%2C%20combinationum%20%26%20differentiarum%2C%20solutiones%20difficiliorum%20aliquot%20problematum%20ad%20sortem%20spectantium%2C%20itemque%20constructiones%20faciles%20orbium%20planetarum%2C%20una%20cum%20determinatione%20maximarum%20%26%20minimarum%20mutationum%20quae%20in%20motibus%20corporum%20coelestium%20occurrunt&f=false 이철희. “드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형”. 《수학노트》.