바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, 영어: Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 ℘ {\displaystyle \wp } . 바이어슈트라스 타원함수 ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})} 는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다. z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } , τ ∈ H / PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수 ℘ ( z ; τ ) {\displaystyle \wp (z;\tau )} 는 다음과 같다. ℘ ( z ; τ ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( 1 ( z + m + τ n ) 2 − 1 ( m + τ n ) 2 ) {\displaystyle \wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m+\tau n)^{2}}}-{\frac {1}{(m+\tau n)^{2}}}\right)} 타원곡선 모듈러스 τ {\displaystyle \tau } 대신 격자 주기 ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} 를 써서 다음과 같이 ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2}} )를 정의하기도 한다. ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( 1 ( z + m ω 1 + n ω 2 ) 2 − 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 2 ) = ω 1 − 2 ℘ ( z / ω 1 ; ω 2 / ω 1 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})} 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다. ℘ ′ ( z ; ω 1 , ω 2 ) 2 = 4 ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) 3 − g 2 ( ω 1 , ω 2 ) ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) − g 3 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp '(z;\omega _{1},\omega _{2})^{2}=4\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})^{3}-g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})-g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})} 여기서 ℘ ′ ( z ; ω 1 , ω 2 u ) = ∂ ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) ∂ z {\displaystyle \wp '(z;\omega _{1},\omega _{2}u)={{\partial \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})} \over {\partial z}}} 이다. g 2 {\displaystyle g_{2}} 와 g 3 {\displaystyle g_{3}} 는 타원 불변량(영어: elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})} 와 다음과 같은 관계를 가진다. g 2 ( ω 1 , ω 2 ) = 60 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m ω 1 + n ω 2 ) − 4 {\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}} g 3 ( ω 1 , ω 2 ) = 140 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m ω 1 + n ω 2 ) − 6 {\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}} 이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수 f : C / Λ → C P 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {C} /\Lambda \to \mathbb {CP} ^{2}} f : z ↦ [ 1 , ℘ ( z ; τ ) , ℘ ′ ( z ; τ ) ] {\displaystyle f\colon z\mapsto [1,\wp (z;\tau ),\wp '(z;\tau )]} 를 정의하면, 이는 원환면 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } 로부터 타원곡선 y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}} 으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 Λ {\displaystyle \Lambda } 는 τ {\displaystyle \tau } 에 대한 격자 Λ = { m + n τ : m , n ∈ Z } {\displaystyle \Lambda =\{m+n\tau \colon m,n\in \mathbb {Z} \}} 이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다. 바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 n 1 , n 2 ∈ Z {\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} } 에 대하여, ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = ℘ ( z + n 1 ω 1 + n 2 ω 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z+n_{1}\omega _{1}+n_{2}\omega _{2};\omega _{1},\omega _{2})} 또한, 모듈러 매개변수 τ {\displaystyle \tau } 에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다. ℘ ( z ; τ ) = ℘ ( z ; τ + 1 ) = ℘ ( z ; − 1 / τ ) {\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;\tau +1)=\wp (z;-1/\tau )} 또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다. ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = ℘ ( − z ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (-z;\omega _{1},\omega _{2})} ℘ ; ( z ; ω 1 , ω 2 ) = − ℘ ′ ( − z ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp ;(z;\omega _{1},\omega _{2})=-\wp '(-z;\omega _{1},\omega _{2})} 바이어슈트라스 타원함수 ℘ ( − ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (-;\omega _{1},\omega _{2})} 는 타원 곡선 C / ⟨ ω 1 , ω 2 ⟩ {\displaystyle \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle } 에서 리만 구면 C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} 로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 e 1 , e 2 , e 3 {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}} 이라고 쓰며, 다음과 같다. ∞ ^ = ℘ ( 0 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle {\widehat {\infty }}=\wp (0;\omega _{1},\omega _{2})} e 1 ( ω 1 , ω 2 ) = ℘ ( ω 1 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle e_{1}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})} e 2 ( ω 1 , ω 2 ) = ℘ ( ω 2 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle e_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})} e 3 ( ω 1 , ω 2 ) = ℘ ( ω 1 / 2 + ω 2 / 2 ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle e_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})} 삼각함수나 야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식(영어: addition formula)을 만족시킨다. ℘ ( z + y ) = 1 4 ( ℘ ′ ( z ) − ℘ ′ ( y ) ℘ ( z ) − ℘ ( y ) ) 2 − ℘ ( z ) − ℘ ( y ) {\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right)^{2}-\wp (z)-\wp (y)} 만약 z = y {\displaystyle z=y} 인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다. ℘ ( 2 z ) = 1 4 ( ℘ ″ ( z ) ℘ ′ ( z ) ) 2 − 2 ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right)^{2}-2\wp (z)} 바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다. ℘ ( z ) = e 3 + e 1 − e 3 sn 2 ⁡ ( w ; m ) = e 2 + ( e 1 − e 3 ) dn 2 ⁡ ( w ; m ) sn 2 ⁡ ( w ; m ) = e 1 + ( e 1 − e 3 ) cn 2 ⁡ ( w ; m ) sn 2 ⁡ ( w ; m ) {\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}=e_{2}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\operatorname {dn} ^{2}(w;m)}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\operatorname {cn} ^{2}(w;m)}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}} 여기서 w = z e 1 − e 3 {\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}} m = ( e 2 − e 3 ) / ( e 1 − e 3 ) {\displaystyle m=(e_{2}-e_{3})/(e_{1}-e_{3})} 이다. 바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다. u = ∫ ℘ ( u ; τ ) ∞ d s 4 s 3 − g 2 ( τ ) s − g 3 ( τ ) {\displaystyle u=\int _{\wp (u;\tau )}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}(\tau )s-g_{3}(\tau )}}}} 이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, { e 1 , e 2 , e 3 , ∞ ^ } {\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},{\widehat {\infty }}\}} 에서 분지점을 갖는다. 카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다. 바이어슈트라스 제타 함수 j {\displaystyle j} -불변량 Brizard, Alain J. “A primer on elliptic functions with applications in classical mechanics” (영어). arXiv:0711.4064. Bibcode:2007arXiv0711.4064B.  “Weierstrass elliptic functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Weierstrass elliptic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.