각의 이등분선

기하학에서 각의 이등분선(角-二等分線, 영어: angle bisector)은 주어진 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 직선이다. 이 직선 가운데 각의 내부에 포함되는 부분으로 구성된 반직선을 각의 이등분선으로 삼아도 좋다. 주어진 각 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} 의 내부의 점 P {\displaystyle P} 가 ∠ A O P = ∠ P O B {\displaystyle \angle AOP=\angle POB} 를 만족시키면, 직선 또는 반직선 O P {\displaystyle OP} 를 각 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} 의 이등분선이라고 한다.:160, §14.1, Definition 14.7 주어진 각의 이등분선은 유일하게 존재한다. (직선으로서의) 각의 이등분선은 각의 양변과의 거리가 같은 평면 위 점들의 자취이다. 즉, 각 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} 와 이 각의 평면 위의 점 P {\displaystyle P} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 직선 O P {\displaystyle OP} 는 각의 이등분선이다. P {\displaystyle P} 와 직선 O A {\displaystyle OA} 사이의 거리는 P {\displaystyle P} 와 직선 O B {\displaystyle OB} 사이의 거리와 같다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} 에서의 내각과 외각의 이등분선 A D {\displaystyle AD} , A D ′ {\displaystyle AD'} 과 대변 B C {\displaystyle BC} 의 교점을 D {\displaystyle D} , D ′ {\displaystyle D'} 라고 하자. 그렇다면 B D D C = A B A C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}} B D ′ D ′ C = − A B A C {\displaystyle {\frac {BD'}{D'C}}=-{\frac {AB}{AC}}} 가 성립한다. 여기서 좌변의 비율은 유향 선분의 비율로 봐야 한다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양수이며, 반대일 경우 음수이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 길이가 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 라고 하고, 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에서의 내각의 이등분선 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 와 대변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 교점을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 그렇다면 A D = b c ( 1 − a 2 ( b + c ) 2 ) {\displaystyle AD={\sqrt {bc\left(1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right)}}} B E = a c ( 1 − b 2 ( a + c ) 2 ) {\displaystyle BE={\sqrt {ac\left(1-{\frac {b^{2}}{(a+c)^{2}}}\right)}}} C F = a b ( 1 − c 2 ( a + b ) 2 ) {\displaystyle CF={\sqrt {ab\left(1-{\frac {c^{2}}{(a+b)^{2}}}\right)}}} 이다. 이에 따라, 같은 삼각형 속 내각의 이등분선은 대변이 짧을수록 더 길다. 예를 들어, 다음 두 조건이 서로 동치이다. B E > C F {\displaystyle BE>CF} b < c {\displaystyle b<c} 이다. 또한, 다음 두 조건 역시 서로 동치이며, 이를 슈타이너-레무스 정리라고 한다. B E = C F {\displaystyle BE=CF} b = c {\displaystyle b=c} 이에 따라, 두 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다. 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다. 삼각형의 한 내각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라고 한다. 모든 삼각형은 한 개의 내심과 세 개의 방심을 갖는다. 내심과 방심의 존재는 각의 이등분선 위의 점과 각의 두 변 사이의 거리가 같다는 사실을 통해 증명하거나, 체바 정리를 통해 증명할 수 있다. 이와 평행하는 결과는 다음과 같다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 같은 직선 위의 점이며, 한 외각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 내각의 이등분선의 발 역시 같은 직선 위의 점이다. 이는 메넬라오스 정리를 통해 증명할 수 있다. 각의 3등분 Martin, George E. (1975). 《The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5725-7. ISBN 978-1-4612-5727-1.  “Bisectrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Angle bisector”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Exterior angle bisector”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Angle bisector theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.