스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 스펙트럼 열(spectrum列, 영어: spectral sequence)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다. 어떤 아벨 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) ( p , q ) ∈ Z 2 {\displaystyle (p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}} 을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 는 다음과 같은 대상들로 이루어진다. 어떤 정수 r 0 ∈ Z {\displaystyle r_{0}\in \mathbb {Z} } 모든 r ≥ r 0 {\displaystyle r\geq r_{0}} 에 대하여, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 공경계 사상 d r p , q : E r p , q → E r p + r , q + 1 − r {\displaystyle d_{r}^{p,q}\colon E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q+1-r}} 이들은 다음을 만족시킨다. 모든 정수 r ≥ r 0 {\displaystyle r\geq r_{0}} 에 대하여, d r ∘ d r = 0 {\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0} 이다. ⋯ → E r p − 2 r , q − 2 + 2 r → d r E r p − r , q − 1 + r → d r E r p , q → d r E r p + r , q + 1 − r → d r E r p + 2 r , q + 2 − 2 r → ⋯ {\displaystyle \cdots \to E_{r}^{p-2r,q-2+2r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p-r,q-1+r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p,q}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+r,q+1-r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+2r,q+2-2r}\to \cdots } H ( E r p , q ) = ker ⁡ d r p , q / im ⁡ d r p − r , q − 1 + r ≅ E r + 1 p , q {\displaystyle H(E_{r}^{p,q})=\ker d_{r}^{p,q}/\operatorname {im} d_{r}^{p-r,q-1+r}\cong E_{r+1}^{p,q}} 이다. 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 대신 E p , q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} 로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상 ∂ r : E p , q r → E p − r , q − 1 + r r {\displaystyle \partial _{r}\colon E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q-1+r}^{r}} 을 사용한다. 그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 r {\displaystyle r} 에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 r 0 , r 0 + 1 , … {\displaystyle r_{0},r_{0}+1,\dots } 인 "책"을 이루며, 책의 r ≥ r 0 {\displaystyle r\geq r_{0}} 번째 쪽에는 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다. 스펙트럼 열 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 이 주어졌다고 하자. 만약 각 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 r 0 ( p , q ) {\displaystyle r_{0}(p,q)} 가 존재한다고 하자. d r p − r , q + r + 1 = 0 ∀ r ≥ r 0 ( p , q ) {\displaystyle d_{r}^{p-r,q+r+1}=0\qquad \forall r\geq r_{0}(p,q)} d r p , q = 0 ∀ r ≥ r 0 ( p , q ) {\displaystyle d_{r}^{p,q}=0\qquad \forall r\geq r_{0}(p,q)} 그렇다면, 주어진 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 에 대하여 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 는 충분히 큰 r {\displaystyle r} 에 대하여 같아진다. 이를 E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} 라고 하고, E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 가 여과 지표(濾過指標, 영어: filtration index) p {\displaystyle p} 에 대하여 E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} 로 수렴(收斂, 영어: converge, abut)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다. E r p , q ⇒ p E ∞ p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}} 보통 E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} 는 여과 F ∙ E ∞ n {\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n}} 가 갖추어져 있는 대상 E ∞ n {\displaystyle E_{\infty }^{n}} 으로부터 다음과 같이 얻어진다. E ∞ p , q = F p E ∞ p + q F p + 1 E ∞ p + q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E_{\infty }^{p+q}}}} 이 경우 마찬가지로 E r p , q ⇒ p E ∞ n {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}} 로 표기한다. 스펙트럼 열 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 r 0 {\displaystyle r_{0}} 가 존재한다면, E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 가 r 0 {\displaystyle r_{0}} 에서 퇴화(退化, 영어: degenerate)한다고 한다. d r p , q = 0 ∀ p , q ∈ Z , r ≥ r 0 {\displaystyle d_{r}^{p,q}=0\qquad \forall p,q\in \mathbb {Z} ,\;r\geq r_{0}} 스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다. 제1 사분면 스펙트럼 열(第一四分面spectrum列, 영어: first-quadrant spectral sequence)는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다. 만약 p < 0 {\displaystyle p<0} 또는 q < 0 {\displaystyle q<0} 이라면 E r p , q = 0 {\displaystyle E_{r}^{p,q}=0} 즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면에서만 영 대상이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실, r {\displaystyle r} 번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다. 제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우 E ∞ p , q = E max { p + 1 , q + 2 } p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=E_{\max\{p+1,q+2\}}^{p,q}} 이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시 E p , q ∞ = E p , q max { p + 1 , q + 2 } {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=E_{p,q}^{\max\{p+1,q+2\}}} 이다. 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열 E 2 p , q ⇒ p E ∞ p + q {\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p+q}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다. | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ E 3 0 , 2 E 3 1 , 2 E 3 2 , 2 E 3 3 , 2 ⋯ E 3 0 , 1 E 3 1 , 1 E 3 2 , 1 E 3 3 , 1 ⋯ E 3 0 , 0 E 3 1 , 0 E 3 2 , 0 E 3 3 , 0 ⋯ _ = | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ker ⁡ d 2 0 , 2 ker ⁡ d 2 1 , 2 ker ⁡ d 2 2 , 2 im ⁡ d 2 0 , 3 ker ⁡ d 2 3 , 2 im ⁡ d 2 1 , 3 ⋯ ker ⁡ d 2 0 , 1 ker ⁡ d 2 1 , 1 ker ⁡ d 2 2 , 1 im ⁡ d 2 0 , 2 ker ⁡ d 2 3 , 1 im ⁡ d 2 1 , 2 ⋯ E 2 0 , 0 E 2 1 , 0 coker ⁡ d 2 0 , 1 coker ⁡ d 2 1 , 1 ⋯ _ {\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{3}^{0,2}&E_{3}^{1,2}&E_{3}^{2,2}&E_{3}^{3,2}&\cdots \\E_{3}^{0,1}&E_{3}^{1,1}&E_{3}^{2,1}&E_{3}^{3,1}&\cdots \\E_{3}^{0,0}&E_{3}^{1,0}&E_{3}^{2,0}&E_{3}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{2}^{0,2}&\ker d_{2}^{1,2}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,2}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,3}}}&{\tfrac {\ker d_{2}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{2}^{1,3}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&{\tfrac {\ker d_{2}^{3,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{1,2}}}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{2}^{1,1}&\cdots \end{matrix}}}\right.} 넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다. | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ E 4 0 , 2 E 4 1 , 2 E 4 2 , 2 E 4 3 , 2 ⋯ E 4 0 , 1 E 4 1 , 1 E 4 2 , 1 E 4 3 , 1 ⋯ E 4 0 , 0 E 4 1 , 0 E 4 2 , 0 E 4 3 , 0 ⋯ _ = | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ker ⁡ d 3 0 , 2 ker ⁡ d 3 1 , 2 ker ⁡ d 3 2 , 2 ker ⁡ d 3 3 , 2 im ⁡ d 3 0 , 4 ⋯ ker ⁡ d 2 0 , 1 ker ⁡ d 2 1 , 1 ker ⁡ d 2 2 , 1 im ⁡ d 2 0 , 2 coker ⁡ d 3 0 , 3 ⋯ E 2 0 , 0 E 2 1 , 0 coker ⁡ d 2 0 , 1 coker ⁡ d 3 0 , 2 ⋯ _ {\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{4}^{0,2}&E_{4}^{1,2}&E_{4}^{2,2}&E_{4}^{3,2}&\cdots \\E_{4}^{0,1}&E_{4}^{1,1}&E_{4}^{2,1}&E_{4}^{3,1}&\cdots \\E_{4}^{0,0}&E_{4}^{1,0}&E_{4}^{2,0}&E_{4}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{3}^{0,2}&\ker d_{3}^{1,2}&\ker d_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,3}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.} 즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다. | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ E ∞ 0 , 2 E ∞ 1 , 2 E ∞ 2 , 2 E ∞ 3 , 2 ⋯ E ∞ 0 , 1 E ∞ 1 , 1 E ∞ 2 , 1 E ∞ 3 , 1 ⋯ E ∞ 0 , 0 E ∞ 1 , 0 E ∞ 2 , 0 E ∞ 3 , 0 ⋯ _ = | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ker ⁡ d 3 0 , 2 ker ⁡ d 3 1 , 2 ker ⁡ d 3 2 , 2 ker ⁡ d 3 3 , 2 im ⁡ d 3 0 , 4 ⋯ ker ⁡ d 2 0 , 1 ker ⁡ d 2 1 , 1 ker ⁡ d 2 2 , 1 im ⁡ d 2 0 , 2 coker ⁡ d 3 0 , 3 ⋯ E 2 0 , 0 E 2 1 , 0 coker ⁡ d 2 0 , 1 coker ⁡ d 3 0 , 2 ⋯ _ {\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{\infty }^{0,2}&E_{\infty }^{1,2}&E_{\infty }^{2,2}&E_{\infty }^{3,2}&\cdots \\E_{\infty }^{0,1}&E_{\infty }^{1,1}&E_{\infty }^{2,1}&E_{\infty }^{3,1}&\cdots \\E_{\infty }^{0,0}&E_{\infty }^{1,0}&E_{\infty }^{2,0}&E_{\infty }^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{3}^{0,2}&\ker d_{3}^{1,2}&\ker d_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,3}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.} 수렴한 성분들이 E ∞ ∙ {\displaystyle E_{\infty }^{\bullet }} 의 여과에 의하여 주어진다고 하자. E ∞ p , q = F p E ∞ p + q F p + 1 E ∞ p + q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E_{\infty }^{p+q}}}} 그렇다면 다음이 성립한다. E 2 1 , 0 ≅ E ∞ 1 , 0 = F 1 E ∞ 1 F 2 E ∞ 1 = F 1 E ∞ 1 {\displaystyle E_{2}^{1,0}\cong E_{\infty }^{1,0}={\frac {F^{1}E_{\infty }^{1}}{F^{2}E_{\infty }^{1}}}=F^{1}E_{\infty }^{1}} ker ⁡ d 2 0 , 1 ≅ E ∞ 0 , 2 = F 0 E ∞ 1 F 1 E ∞ 1 = E ∞ 1 F 1 E ∞ 1 {\displaystyle \ker d_{2}^{0,1}\cong E_{\infty }^{0,2}={\frac {F^{0}E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}={\frac {E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}} coker ⁡ d 2 0 , 1 ≅ E ∞ 2 , 0 = F 2 E ∞ 2 F 3 E ∞ 2 = F 2 E ∞ 2 {\displaystyle \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\cong E_{\infty }^{2,0}={\frac {F^{2}E_{\infty }^{2}}{F^{3}E_{\infty }^{2}}}=F^{2}E_{\infty }^{2}} 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다. 0 → E 2 1 , 0 ≅ F 1 E ∞ 1 ↪ E ∞ 1 → E ∞ 1 F 1 E ∞ 1 ≅ ker ⁡ d 2 0 , 1 ↪ E 2 0 , 1 → d 2 0 , 1 E 2 2 , 0 ↠ coker ⁡ d 2 0 , 1 ≅ F 2 E ∞ 2 ↪ E ∞ 2 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\cong F^{1}E_{\infty }^{1}\hookrightarrow E_{\infty }^{1}\to {\frac {E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}\cong \ker d_{2}^{0,1}\hookrightarrow E_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d_{2}^{0,1}}}E_{2}^{2,0}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\cong F^{2}E_{\infty }^{2}\hookrightarrow E_{\infty }^{2}} 여기서 ker ⁡ d 2 0 , 1 {\displaystyle \ker d_{2}^{0,1}} 와 coker ⁡ d 2 0 , 1 {\displaystyle \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}} 을 생략하면, 다음과 같은 완전열을 얻는다. 0 → E 2 1 , 0 → E ∞ 1 → E 2 0 , 1 → d 2 0 , 1 E 2 2 , 0 → E ∞ 2 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to E_{\infty }^{1}\to E_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d_{2}^{0,1}}}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2}} 이를 5항 완전열(五項完全列, 영어: five-term exact sequence)이라고 한다. 마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열 E p , q 2 ⇒ p E p + q ∞ {\displaystyle E_{p,q}^{2}\Rightarrow _{p}E_{p+q}^{\infty }} 이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이 E ∙ ∞ {\displaystyle E_{\bullet }^{\infty }} 의 여과에 의하여 주어진다고 하자. E p , q ∞ = F p E p + q ∞ F p − 1 E p + q ∞ {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }={\frac {F_{p}E_{p+q}^{\infty }}{F_{p-1}E_{p+q}^{\infty }}}} 그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다. E 1 , 0 2 ≅ E 1 , 0 ∞ = F 1 E 1 ∞ F 0 E 1 ∞ = E 1 ∞ F 0 E 1 ∞ {\displaystyle E_{1,0}^{2}\cong E_{1,0}^{\infty }={\frac {F_{1}E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}={\frac {E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}} ker ⁡ ∂ 2 , 0 2 ≅ E 2 , 0 ∞ = F 2 E 2 ∞ F 1 E 2 ∞ = E 2 ∞ F 1 E 2 ∞ {\displaystyle \ker \partial _{2,0}^{2}\cong E_{2,0}^{\infty }={\frac {F_{2}E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}={\frac {E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}} coker ⁡ ∂ 2 , 0 2 ≅ E 0 , 1 ∞ = F 0 E ∞ 2 F − 1 E ∞ 2 = F 0 E ∞ 2 {\displaystyle \operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}\cong E_{0,1}^{\infty }={\frac {F_{0}E_{\infty }^{2}}{F_{-1}E_{\infty }^{2}}}=F_{0}E_{\infty }^{2}} 이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다. E 2 ∞ ↠ E 2 ∞ F 1 E 2 ∞ ≅ ker ⁡ ∂ 2 , 0 2 ↪ E 2 , 0 2 → ∂ 2 , 0 2 E 0 , 1 2 ↠ coker ⁡ ∂ 2 , 0 2 ≅ F 0 E 1 ∞ ↪ E 1 ∞ ↠ E 1 ∞ F 0 E 1 ∞ ≅ E 1 , 0 2 → 0 {\displaystyle E_{2}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}\cong \ker \partial _{2,0}^{2}\hookrightarrow E_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial _{2,0}^{2}}}E_{0,1}^{2}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}\cong F_{0}E_{1}^{\infty }\hookrightarrow E_{1}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}\cong E_{1,0}^{2}\to 0} 여기서 ker ⁡ ∂ 2 , 0 2 {\displaystyle \ker \partial _{2,0}^{2}} 와 coker ⁡ ∂ 2 , 0 2 {\displaystyle \operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}} 을 생략하면, 다음과 같은 5항 완전열을 얻는다. E 2 ∞ → E 2 , 0 2 → ∂ 2 , 0 2 E 0 , 1 2 → E 1 ∞ → E 1 , 0 2 → 0 {\displaystyle E_{2}^{\infty }\to E_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial _{2,0}^{2}}}E_{0,1}^{2}\to E_{1}^{\infty }\to E_{1,0}^{2}\to 0} 스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다. 어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍(完全雙, 영어: exact couple) ( A , E , f , g , h ) {\displaystyle (A,E,f,g,h)} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 두 개의 대상 A {\displaystyle A} , E {\displaystyle E} 사상 A → f A → g E → h A {\displaystyle A{\xrightarrow {f}}A{\xrightarrow {g}}E{\xrightarrow {h}}A} 이들은 im ⁡ f = ker ⁡ g {\displaystyle \operatorname {im} f=\ker g} im ⁡ g = ker ⁡ h {\displaystyle \operatorname {im} g=\ker h} im ⁡ h = ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {im} h=\ker f} 를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다. A → f A h ↖ ↙ g E {\displaystyle {\begin{matrix}A\qquad &{\xrightarrow {f}}&\qquad A\\{\scriptstyle h}\nwarrow &&\swarrow \scriptstyle g\\&E\end{matrix}}} 완전쌍 ( A , E , f , g , h ) {\displaystyle (A,E,f,g,h)} 의 유도 완전쌍(誘導完全雙, 영어: derived exact couple) ( A ′ , E ′ , f ′ , g ′ , h ′ ) {\displaystyle (A',E',f',g',h')} 은 다음과 같은 완전쌍이다. d = g ∘ h {\displaystyle d=g\circ h} A ′ = im ⁡ f {\displaystyle A'=\operatorname {im} f} E ′ = ker ⁡ d / im ⁡ d {\displaystyle E'=\ker d/\operatorname {im} d} f ′ = f | A : A ′ → A ′ {\displaystyle f'=f|_{A}\colon A'\to A'} g ′ : A ′ → E ′ {\displaystyle g'\colon A'\to E'} 는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) g ′ : a ′ ↦ g ( f − 1 ( a ′ ) ) {\displaystyle g'\colon a'\mapsto g(f^{-1}(a'))} 이다. 이 경우, f − 1 ( a ′ ) {\displaystyle f^{-1}(a')} 의 선택이 상관없음을 보일 수 있다. h ′ : E ′ → A ′ {\displaystyle h'\colon E'\to A'} 는 h : C → A {\displaystyle h\colon C\to A} 에 의하여 유도된다. 즉, h : [ e ] ↦ h ( e ) {\displaystyle h\colon [e]\mapsto h(e)} 이다. 이 경우, g ( h ( e ) ) = 0 {\displaystyle g(h(e))=0} 이므로 항상 g ( h ( e ) ) = f ( a ) {\displaystyle g(h(e))=f(a)} 인 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 가 존재하며, 따라서 h ( e ) ∈ f ( A ) = A ′ {\displaystyle h(e)\in f(A)=A'} 이다. 이를 반복하여, n {\displaystyle n} 차 유도 완전쌍 ( A ( n ) , E ( n ) , f ( n ) , g ( n ) , h ( n ) ) {\displaystyle (A^{(n)},E^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})} 을 정의할 수 있다. 그렇다면, E ( 0 ) ⇒ d E ( 1 ) ⇒ d ( 1 ) E ( 2 ) ⇒ ⋯ {\displaystyle E^{(0)}{\stackrel {d}{\Rightarrow }}E^{(1)}{\stackrel {d^{(1)}}{\Rightarrow }}E^{(2)}\Rightarrow \cdots } 는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, A {\displaystyle A} 및 C {\displaystyle C} 는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다. 사슬 복합체 ( C ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })} 에 증가하는 여과 F ∙ ( C ∙ ) {\displaystyle F_{\bullet }(C_{\bullet })} 가 주어졌다고 하자. 즉, F p C ∙ ⊆ F p + 1 C ∙ {\displaystyle F_{p}C_{\bullet }\subseteq F_{p+1}C_{\bullet }} 라고 하자. 또한, 경계 ∂ {\displaystyle \partial } 가 여과와 호환된다고 하자. 즉, ∂ ( F p C n ) ⊆ ∂ ( F p C n + 1 ) {\displaystyle \partial (F_{p}C_{n})\subseteq \partial (F_{p}C_{n+1})} 이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다. ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ↓ f ↓ ↓ f ↓ ⋯ → H n + 1 ( F p C ∙ ) → g H n + 1 ( F p C ∙ / F p − 1 C ∙ ) → h H n ( F p − 1 C ∙ ) → g H n ( F p − 1 C ∙ / F p − 2 C ∙ ) → ⋯ ↓ f ↓ ↓ f ↓ ⋯ → H n + 1 ( F p + 1 C ∙ ) → g H n + 1 ( F p + 1 C ∙ / F p C ∙ ) → h H n ( F p C ∙ ) → g H n ( F p C ∙ / F p − 1 C ∙ ) → ⋯ ↓ f ↓ ↓ f ↓ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet }/F_{p-2}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet }/F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}} 여기에 A = ⨁ p , q H q ( F p C ∙ ) {\displaystyle A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet })} E = ⨁ p , q H q ( F p C ∙ / F p − 1 C ∙ ) {\displaystyle E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })} 를 정의한다면, f : A → A {\displaystyle f\colon A\to A} g : A → E {\displaystyle g\colon A\to E} h : E → A {\displaystyle h\colon E\to A} 를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다. X {\displaystyle X} 가 CW 복합체이며, X p {\displaystyle X_{p}} 가 그 p {\displaystyle p} 차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다. ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ↓ f ↓ ↓ f ↓ ⋯ → H n + 1 ( X p ) → g H n + 1 ( X p , X p − 1 ) → h H n ( X p − 1 ) → g H n ( X p − 1 , X p − 2 ) → ⋯ ↓ f ↓ ↓ f ↓ ⋯ → H n + 1 ( X p + 1 ) → g H n + 1 ( X p + 1 , X p ) → h H n ( X p ) → g H n ( X p , X p − 1 ) → ⋯ ↓ f ↓ ↓ f ↓ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p},X_{p-1})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p-1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p-1},X_{p-2})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p+1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p+1},X_{p})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p},X_{p-1})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}} 이에 따라, A = ⨁ p , q H q ( X p ) {\displaystyle A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p})} E = ⨁ p , q H q ( X p , X p − 1 ) {\displaystyle E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p},X_{p-1})} 로 놓으면, f : A → A {\displaystyle f\colon A\to A} g : A → E {\displaystyle g\colon A\to E} h : E → A {\displaystyle h\colon E\to A} 를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 E p , q 2 {\displaystyle E_{p,q}^{2}} 에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다. 장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다. 이는 오늘날 르레 스펙트럼 열로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다. 르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(프랑스어: anneau spectral)라는 용어를 사용하였고, 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(프랑스어: suite spectrale)으로 개량하였다. 존 매클리어리(영어: John McCleary)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다. 라비 바킬(영어: Ravi Vakil)은 스펙트럼 열(영어: spectral sequence 스펙트럴 시퀀스[*])이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(영어: specter 스펙터[*])처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(영어: terrifying, evil, and dangerous) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다. 1952년에 윌리엄 슈마허 매시(영어: William Schumacher Massey)는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다. 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 층 코호몰로지의 르레 스펙트럼 열과 군 코호몰로지의 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 그로텐디크 스펙트럼 열로 일반화하였다. 곧 애덤스 스펙트럼 열(영어: Adams spectral sequence), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence), 복시테인 스펙트럼 열 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다. Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.  Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801.  Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802.  Serre, Jean-Pierre (1951년 11월). “Homologie singulière des espaces fibrés”. 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 54 (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.  Leray, J. (1949). 〈L’homologie filtrée〉. 《Topologie algébraique》. Colloques internationaux du CNRS (프랑스어) 12. 61–82쪽. MR 0035019. Zbl 0040.10001.  Miller, Haynes (2000). 〈Leray in Oflag XVIIA: the origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences〉. J.-M. 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