곡면 리만–로흐 정리

수학에서 곡면에 대한 리만-로흐 정리(영어: Riemann–Roch theorem for surfaces)는 대수 곡면 위의 선형 계의 차원을 설명한다. 그것의 고전적인 형태는 막스 뇌터(1886)와 페데리고 엔리퀘스(1894)에 의해 초기 형태가 발견된 후, 카스텔누오보(1896, 897)에 의해 처음 주어졌다. 층-이론적 버전은 히르체브루흐가 발표했다. 리만-로흐 정리의 한 형태는 D {\displaystyle D} 가 비특이 사영 곡면의 약수인 경우 χ ( D ) = χ ( 0 ) + 1 2 D . ( D − K ) {\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)\,} 여기서 χ {\displaystyle \chi } 는 정칙 오일러 특성이다. 점 .은 교차수이고 K {\displaystyle K} 는 정준 약수이다. 상수 χ ( 0 ) {\displaystyle \chi (0)} 는 자명한 다발의 정칙 오일러 특성이며, 1 + p a {\displaystyle 1+p_{a}} , 여기서 p a {\displaystyle p_{a}} 는 곡면의 산술 종수이다. 비교를 위해 곡선에 대한 리만–로흐 정리는 χ ( D ) = χ ( 0 ) + deg ( D ) {\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\text{deg}}(D)} 뇌터 공식은 χ = c 1 2 + c 2 12 = ( K . K ) + e 12 {\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(K.K)+e}{12}}} 여기서 χ = χ ( 0 ) {\displaystyle \chi =\chi (0)} 은 정칙 오일러 특성이고, c 1 2 = ( K . K ) {\displaystyle c_{1}^{2}=(K.K)} 는 천 수와 표준 특성류 K {\displaystyle K} 의 자기 교차수이고 e = c 2 {\displaystyle e=c_{2}} 는 위상수학적 오일러 특성이다. 리만-로흐 정리에서 χ ( 0 ) {\displaystyle \chi (0)} 이라는 용어를 위상 용어로 대체하는 데 사용할 수 있다. 이것은 곡면에 대한 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 제공한다. 곡면의 경우 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 본질적으로 뇌터 공식과 결합된 곡면에 대한 리만-로흐 정리이다. 이를 확인하려면 곡면의 각 약수 D {\displaystyle D} 에 대해 D {\displaystyle D} 의 선형 시스템이 L {\displaystyle L} 의 단면 공간과 거의 같은 가역 다발 L = O ( D ) {\displaystyle L=O(D)} 가 있다는 것을 기억하라. 곡면의 경우 토드 특성류는 다음과 같다. 1 + c 1 ( X ) / 2 + ( c 1 ( X ) 2 + c 2 ( X ) ) / 12 {\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12} , 층 L {\displaystyle L} 의 천 특성류는 1 + c 1 ( L ) + c 1 ( L ) 2 / 2 {\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2} 이다, 그래서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 다음과 같이 말한다. χ ( D ) = h 0 ( L ) − h 1 ( L ) + h 2 ( L ) = 1 2 c 1 ( L ) 2 + 1 2 c 1 ( L ) c 1 ( X ) + 1 12 ( c 1 ( X ) 2 + c 2 ( X ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}} 다행히도 이것은 다음과 같이 보다 명확한 형식으로 작성할 수 있다. 먼저 D = 0 {\displaystyle D=0} 로 놓으면 χ ( 0 ) = 1 12 ( c 1 ( X ) 2 + c 2 ( X ) ) {\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)} (뇌터 공식) 임을 보일 수 있다. 가역 층(선다발)의 경우 두 번째 천 특성류가 사라진다. 두 번째 코호몰로지 동치류의 곱은 피카르 군의 교차수로 식별할 수 있으며 곡면에 대한 리만-로흐 정리의 보다 고전적인 모습을 얻는다. χ ( D ) = χ ( 0 ) + 1 2 ( D . D − D . K ) {\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(D.D-D.K)} 원한다면 세르 쌍대성을 사용하여 h 2 ( O ( D ) ) {\displaystyle h^{2}(O(D))} 를 h 0 ( O ( K − D ) ) {\displaystyle h^{0}(O(K-D))} 표현 할 수 있다. 그러나 곡선의 경우와 달리 일반적으로 층 코호몰로지를 포함하지 않는 형식으로 h 1 ( O ( D ) ) {\displaystyle h^{1}(O(D))} 항을 작성하는 쉬운 방법이 없다(실제로는 종종 사라지지만). 곡면에 대한 리만-로흐 정리의 초기 형태는 첫 번째 코호몰로지 군에 대한 직접적인 기하학적 설명이 없었기 때문에 종종 등식보다는 부등식으로 언급되었습니다. 전형적인 예는 자리스키 (1995, p. 78) harvtxt error: 대상 없음: CITEREF자리스키1995 (help) , 이는 r ≥ n − π + p a + 1 − i {\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i} 여기서 r {\displaystyle r} 은 전체 선형 시스템의 차원 | 디 | 제수 D {\displaystyle D} 의 (그래서 r = h 0 ( O ( D ) − 1 ) {\displaystyle r=h^{0}(O(D)-1)} ) n {\displaystyle n} 은 자기 교차수 ( D . D ) {\displaystyle (D.D)} 로 주어진 D {\displaystyle D} 의 가상 차수이다. π {\displaystyle \pi } 는 D {\displaystyle D} 의 가상 종수이다. 1 + ( D D + K D ) / 2 {\displaystyle 1+(DD+KD)/2} 와 같다. p a {\displaystyle p_{a}} 는 곡면의 산술 종수 χ ( O F ) − 1 {\displaystyle \chi (O_{F})-1} 이다. i {\displaystyle i} 는 dim H 0 ( O ( K − D ) ) {\displaystyle {\text{dim}}\,H^{0}(O(K-D))} (세르 쌍대성에 의해 dim H 2 ( O ( D ) ) {\displaystyle {\text{dim}}\,H^{2}(O(D))} 와 동일). 이 부등식의 두 변 사이의 차이를 제수 D {\displaystyle D} 의 과잉 s {\displaystyle s} 라고 불렀다. 이 부등식을 리만-로흐 정리의 층 이론 버전과 비교하면 D {\displaystyle D} 의 과잉이 s {\displaystyle s} 로 주어진다는 것을 알 수 있다. s = H 1 ( O ( D ) ) {\displaystyle s=H^{1}(O(D))} 제수 D {\displaystyle D} 는 i = s = 0 {\displaystyle i=s=0} 과 같은 경우 정규라고 하고,(즉, O ( D ) {\displaystyle O(D)} 의 모든 상위 코호몰로지 군이 사라지는 경우) s > 0 {\displaystyle s>0} 인 경우 과잉이라고 한다. Topological Methods in Algebraic Geometry by Friedrich 히르체브루흐 ISBN 3-540-58663-6 Zariski, Oscar (1995), 《Algebraic surfaces》, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58658-6, MR 1336146