스톤-체흐 콤팩트화

일반위상수학에서 스톤-체흐 콤팩트화(Stone-Čech compact化, 영어: Stone–Čech compactification)는 어떤 위상 공간에 대하여 대응되는 표준적인 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 공역이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 연속 함수는 그 정의역의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다. 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 CompHaus {\displaystyle \operatorname {CompHaus} } 가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자 U : CompHaus → Top {\displaystyle U\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Top} } 가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 갖는다. β : Top → CompHaus {\displaystyle \beta \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CompHaus} } β ⊣ U {\displaystyle \beta \dashv U} 이 경우, β {\displaystyle \beta } 를 스톤-체흐 콤팩트화라고 한다. 이에 따라, CompHaus {\displaystyle \operatorname {CompHaus} } 는 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 반사 부분 범주를 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,[0,1])} 이 연속 함수 X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\to [0,1]} 들의 집합이라고 하자. 그렇다면 [ 0 , 1 ] C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}} 에 곱위상을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 연속 함수를 이룬다. (만약 X {\displaystyle X} 가 티호노프 공간이라면 이는 추가로 단사 함수이다.) ϕ : X → [ 0 , 1 ] C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \phi \colon X\to [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}} ϕ : x ↦ ( f ( x ) ) f ∈ C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \phi \colon x\mapsto (f(x))_{f\in {\mathcal {C}}(X,[0,1])}} [ 0 , 1 ] C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}} 는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, 티호노프 정리에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면, ϕ ( X ) ⊆ [ 0 , 1 ] C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \phi (X)\subseteq [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}} 의 폐포는 (부분 공간 위상을 부여하면) X {\displaystyle X} 의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다. β X ≅ cl [ 0 , 1 ] C ( X , [ 0 , 1 ] ) ⁡ ϕ ( X ) {\displaystyle \beta X\cong \operatorname {cl} _{[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}}\phi (X)} 수반 함자의 단위원 η : id Top ⇒ U ∘ β {\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\operatorname {Top} }\Rightarrow U\circ \beta } 로부터, 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 표준적인 연속 함수 η X : X → β X {\displaystyle \eta _{X}\colon X\to \beta X} 가 존재한다. 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 만약 X {\displaystyle X} 가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, 이는 X {\displaystyle X} 와 그 상 η X ( X ) {\displaystyle \eta _{X}(X)} 사이의 위상동형을 정의하며, η X ( X ) {\displaystyle \eta _{X}(X)} 는 β X {\displaystyle \beta X} 의 조밀 집합을 이룬다. 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 β X {\displaystyle \beta X} 는 X {\displaystyle X} 와 위상동형이다. 일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라서 크게 달라진다. 집합을 그 이산 공간에 대응시키는 함자 D : Set → Top {\displaystyle D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top} } 및 망각 함자 | ⋅ | : Top → Set {\displaystyle |\cdot |\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} } 가 주어졌다면, | ⋅ | ∘ U ∘ β ∘ D {\displaystyle |\cdot |\circ U\circ \beta \circ D} 는 집합의 범주 위의 모나드를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 함자는 집합 S {\displaystyle S} 의 멱집합 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 에 대응하는 스톤 공간과 같다. (순서 위상을 갖춘) 최소의 비가산 순서수 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 의 스톤-체흐 콤팩트화는 ω 1 + 1 {\displaystyle \omega _{1}+1} 이다. 이산 공간 X {\displaystyle X} 의 스톤-체흐 콤팩트화 β X {\displaystyle \beta X} 의 크기·무게·작은 귀납적 차원은 다음과 같다. | β X | = 2 2 | X | {\displaystyle |\beta X|=2^{2^{|X|}}} wt ⁡ ( β X ) = 2 | X | {\displaystyle \operatorname {wt} (\beta X)=2^{|X|}} ind ⁡ ( β X ) = 0 {\displaystyle \operatorname {ind} (\beta X)=0} 특히, β X {\displaystyle \beta X} 는 완전 분리 공간이다. 자연수의 이산 공간 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 스톤-체흐 콤팩트화 β N {\displaystyle \beta \mathbb {N} } 은 추가적으로 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 무한 닫힌집합 F ⊂ β N {\displaystyle F\subset \beta \mathbb {N} } 은 β N {\displaystyle \beta \mathbb {N} } 과 위상 동형인 부분 집합을 갖는다.:175, Theorem 3.6.14 모든 수렴 점렬은 최종적으로 상수 점렬이다. 따라서, β N {\displaystyle \beta \mathbb {N} } 의 점렬 집합은 이산 집합밖에 없다. 마셜 하비 스톤과 에두아르트 체흐 가 1937년에 독자적으로 도입하였다. Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. 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