합동 (기하학)

기하학에서 합동(合同, Congruence)은 두 도형이 모양과 크기가 같음을 나타내는 관계이다. 즉, 두 도형을 점집합으로 생각할 때, 하나에 어떤 등거리 변환에 대한 상을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 두 도형이 합동이라고 한다. 서로 합동인 도형은 서로 닮음이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 등거리 변환은 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 두 도형 M , N ⊆ R n {\displaystyle M,N\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 이 다음 조건을 만족시키면, M , N {\displaystyle M,N} 이 합동이라고 한다. N = I ( M ) {\displaystyle N=I(M)} 인 등거리 변환 I : R n → R n {\displaystyle I\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 이 존재한다. 도형의 합동은 동치 관계를 이룬다. 도형의 합동은 닮음에서 닮음비가 1인 특수한 경우다. 두 삼각형이 합동이라면, 이 두 삼각형의 세 쌍의 변(의 길이) 및 세 쌍의 각(의 크기)은 각각 같다. 각 쌍의 변을 대응변(對應邊, 영어: corresponding sides)이라고 하며, 각 쌍의 각을 대응각(對應角, 영어: corresponding angles)이라고 한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 합동은 기호로 다음과 같이 나타낸다. △ A B C ≅ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF} 단, 같은 위치의 A {\displaystyle A} 와 D {\displaystyle D} , B {\displaystyle B} 와 E {\displaystyle E} , C {\displaystyle C} 와 F {\displaystyle F} 는 대응점이어야 한다.:5 두 삼각형 A B C , D E F {\displaystyle ABC,DEF} 가 합동일 몇 가지 충분 조건은 다음과 같다. SSS(변변변): 만약 A B = D E {\displaystyle AB=DE} , A C = D F {\displaystyle AC=DF} , B C = E F {\displaystyle BC=EF} 라면, △ A B C ≅ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF} 이다. 즉, 두 삼각형의 세 쌍의 대응변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다. SAS(변각변): 만약 A B = D E {\displaystyle AB=DE} , A C = D F {\displaystyle AC=DF} , ∠ A = ∠ D {\displaystyle \angle A=\angle D} 라면, △ A B C ≅ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF} 이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다. ASA(각변각): 만약 ∠ A = ∠ D {\displaystyle \angle A=\angle D} , ∠ B = ∠ E {\displaystyle \angle B=\angle E} , A B = D E {\displaystyle AB=DE} 라면, △ A B C ≅ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF} 이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다. AAS(각각변): 만약 ∠ A = ∠ D {\displaystyle \angle A=\angle D} , ∠ B = ∠ E {\displaystyle \angle B=\angle E} , B C = E F {\displaystyle BC=EF} 라면, △ A B C ≅ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF} 이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 아닌 변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다. RHS: 만약 ∠ C = ∠ F = 90 ∘ {\displaystyle \angle C=\angle F=90^{\circ }} , A B = D E {\displaystyle AB=DE} , A C = D F {\displaystyle AC=DF} 라면, △ A B C ≅ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF} 이다. 즉, 두 직각 삼각형의 빗변과 한 직각변이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다. RHA: 만약 ∠ C = ∠ F = 90 ∘ {\displaystyle \angle C=\angle F=90^{\circ }} , A B = D E {\displaystyle AB=DE} , ∠ B = ∠ E {\displaystyle \angle B=\angle E} 라면, △ A B C ≅ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF} 이다. 즉, 두 직각 삼각형의 빗변과 한 예각이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다. 그러나, 다음 조건 가운데 하나를 만족시키는 두 삼각형 A B C , D E F {\displaystyle ABC,DEF} 는 합동일 필요가 없다. SSA(변변각): 만약 A B = D E {\displaystyle AB=DE} , B C = E F {\displaystyle BC=EF} , ∠ C = ∠ F {\displaystyle \angle C=\angle F} 이더라도, △ A B C ≆ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\ncong \triangle DEF} 일 수 있다. 즉, 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 아닌 한 쌍의 각이 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만, 이 각이 직각일 경우, RHS에 따라 합동이다. AAA(각각각): 만약 ∠ A = ∠ D {\displaystyle \angle A=\angle D} , ∠ B = ∠ E {\displaystyle \angle B=\angle E} , ∠ C = ∠ F {\displaystyle \angle C=\angle F} 이더라도, △ A B C ≆ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\ncong \triangle DEF} 일 수 있다. 즉, 세 쌍의 대응각기 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만 이 경우 두 삼각형은 서로 닮음이다. 평면 삼각형과 달리, 구면 삼각형은 합동 조건 AA를 가지며, 합동 조건 AAS를 갖지 않는다. 평면의 등거리변환 등거리변환 Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.