칸토어-베른슈타인 정리

집합론에서, 칸토어-베른슈타인 정리(영어: Cantor–Bernstein theorem) 또는 슈뢰더-베른슈타인 정리(영어: Schröder–Bernstein theorem)는 두 집합 사이에 두 방향으로 모두 단사 함수가 존재한다면, 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다는 정리이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 사용하지 않고 증명할 수 있다. 칸토어-베른슈타인 정리에 따라, 기수의 표준적인 순서는 부분 순서이다. 선택 공리를 추가로 가정하면, 기수의 순서가 전순서임을 보일 수 있다. 칸토어-베른슈타인 정리는 다음과 같다.:28, Theorem 3.2 두 집합 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 사이에 단사 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 와 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} 가 존재한다면, 전단사 함수 h : X → Y {\displaystyle h\colon X\to Y} 가 존재한다. 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다. 기수는 같은 수의 원소를 포함하는 집합들을 묶은 동치류로 여길 수 있다. 구체적으로, 만약 전단사 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 가 존재한다면, | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} 라고 정의한다 ( | X | {\displaystyle |X|} 는 X {\displaystyle X} 의 크기를 나타내는 기수). 만약 단사 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 가 존재한다면, | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} 라고 정의한다. 물론, 기수의 순서 ≤ {\displaystyle \leq } 의 정의는 기수를 크기로 하는 집합의 선택과 무관하다. 이 순서는 반사 관계이며 (항등 함수는 단사 함수), 추이적 관계이다 (단사 함수의 합성은 단사 함수). 칸토어-베른슈타인 정리는 다음과 같이 적을 수 있다. 만약 | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} 이며 | Y | ≤ | X | {\displaystyle |Y|\leq |X|} 라면, | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} 이다. 즉, 기수의 순서는 반대칭 관계이며, 따라서 부분 순서이다. 정렬 집합들 사이에서는 항상 크기를 비교할 수 있다. 선택 공리를 가정하면, 모든 집합은 정렬 집합과 크기가 같으므로, 모든 집합들의 크기는 비교 가능하다. 즉, 기수의 순서는 전순서이다. 같은 맥락의 여러 증명들이 존재한다. 다음과 같이 정의하자.:28, Theorem 3.2 X 0 = X {\displaystyle X_{0}=X} Y 0 = g ( Y ) {\displaystyle Y_{0}=g(Y)} X n + 1 = g ( f ( X n ) ) {\displaystyle X_{n+1}=g(f(X_{n}))} Y n + 1 = g ( f ( Y n ) ) {\displaystyle Y_{n+1}=g(f(Y_{n}))} 그러면 일련의 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들 X 0 ⊇ Y 0 ⊇ X 1 ⊇ Y 1 ⊇ X 2 ⊇ Y 2 ⊇ ⋯ {\displaystyle X_{0}\supseteq Y_{0}\supseteq X_{1}\supseteq Y_{1}\supseteq X_{2}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots } 을 얻는다. (자명하게 X 0 ⊇ Y 0 {\displaystyle X_{0}\supseteq Y_{0}} 이다. Y ⊇ f ( X ) {\displaystyle Y\supseteq f(X)} 이므로 Y 0 ⊇ X 1 {\displaystyle Y_{0}\supseteq X_{1}} 이다. X n ⊇ Y n ⊇ X n + 1 {\displaystyle X_{n}\supseteq Y_{n}\supseteq X_{n+1}} 에 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 에 대한 상을 씌우면 X n + 1 ⊇ Y n + 1 ⊇ X n + 2 {\displaystyle X_{n+1}\supseteq Y_{n+1}\supseteq X_{n+2}} 를 얻는다.) 이제, 함수 h : X → Y {\displaystyle h\colon X\to Y} 를 다음과 같이 정의하자. h ( x ) = { f ( x ) ∃ n = 0 , 1 , … : x ∈ X n ∖ Y n g − 1 ( x ) ∄ n = 0 , 1 , … : x ∈ X n ∖ Y n {\displaystyle h(x)={\begin{cases}f(x)&\exists n=0,1,\dots \colon x\in X_{n}\setminus Y_{n}\\g^{-1}(x)&\not \exists n=0,1,\dots \colon x\in X_{n}\setminus Y_{n}\end{cases}}} ( g {\displaystyle g} 는 전단사 함수일 필요가 없으므로 역함수를 가질 필요가 없지만, 공역을 제한하여 부분적인 역함수 g − 1 : g ( Y ) → Y {\displaystyle g^{-1}\colon g(Y)\to Y} 를 정의할 수 있다.) 이제 h {\displaystyle h} 가 단사 함수이자 전사 함수임을 보이면 충분하다. h {\displaystyle h} 는 단사 함수 h {\displaystyle h} 는 ( X 0 ∖ Y 0 ) ∪ ( X 1 ∖ Y 1 ) ∪ ⋯ {\displaystyle (X_{0}\setminus Y_{0})\cup (X_{1}\setminus Y_{1})\cup \cdots } 로 제한되었을 때 f {\displaystyle f} 이며, 그 여집합 ( Y 0 ∖ X 1 ) ∪ ( Y 1 ∖ X 2 ) ∪ ⋯ {\displaystyle (Y_{0}\setminus X_{1})\cup (Y_{1}\setminus X_{2})\cup \cdots } 로 제한하면 g − 1 {\displaystyle g^{-1}} 이다. f {\displaystyle f} 와 g − 1 {\displaystyle g^{-1}} 은 단사 함수이다. 따라서, ( X 0 ∖ Y 0 ) ∪ ( X 1 ∖ Y 1 ) ∪ ⋯ {\displaystyle (X_{0}\setminus Y_{0})\cup (X_{1}\setminus Y_{1})\cup \cdots } 의 서로 다른 원소 또는 ( Y 0 ∖ X 1 ) ∪ ( Y 1 ∖ X 2 ) ∪ ⋯ {\displaystyle (Y_{0}\setminus X_{1})\cup (Y_{1}\setminus X_{2})\cup \cdots } 의 서로 다른 원소의, h {\displaystyle h} 에 대한 상은 서로 다르다. g ∘ h {\displaystyle g\circ h} 는 X n ∖ Y n {\displaystyle X_{n}\setminus Y_{n}} 의 원소를 X n + 1 ∖ Y n + 1 {\displaystyle X_{n+1}\setminus Y_{n+1}} 의 원소로 보내고, Y n ∖ X n + 1 {\displaystyle Y_{n}\setminus X_{n+1}} 의 원소를 (스스로로 보내므로) Y n ∖ X n + 1 {\displaystyle Y_{n}\setminus X_{n+1}} 로 보낸다. X n + 1 ∖ Y n + 1 {\displaystyle X_{n+1}\setminus Y_{n+1}} 와 Y n ∖ X n + 1 {\displaystyle Y_{n}\setminus X_{n+1}} 는 서로 만나지 않는다. 따라서, ( X 0 ∖ Y 0 ) ∪ ( X 1 ∖ Y 1 ) ∪ ⋯ {\displaystyle (X_{0}\setminus Y_{0})\cup (X_{1}\setminus Y_{1})\cup \cdots } 의 원소와 ( Y 0 ∖ X 1 ) ∪ ( Y 1 ∖ X 2 ) ∪ ⋯ {\displaystyle (Y_{0}\setminus X_{1})\cup (Y_{1}\setminus X_{2})\cup \cdots } 원소의, h {\displaystyle h} 에 대한 상은 서로 다르다. h {\displaystyle h} 는 전사 함수 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 라고 하자. g ( y ) ∈ X n ∖ Y n {\displaystyle g(y)\in X_{n}\setminus Y_{n}} 이라면, n > 0 {\displaystyle n>0} 이다 ( ∵ g ( y ) ∈ g ( Y ) = Y 0 {\displaystyle \because g(y)\in g(Y)=Y_{0}} ). 즉, X n = g ( f ( X n − 1 ) ) {\displaystyle X_{n}=g(f(X_{n-1}))} , Y n = g ( f ( Y n − 1 ) ) {\displaystyle Y_{n}=g(f(Y_{n-1}))} 이다. g {\displaystyle g} 가 단사 함수이므로, y = f ( x ) = h ( x ) {\displaystyle y=f(x)=h(x)} 인 x ∈ X n − 1 ∖ Y n − 1 {\displaystyle x\in X_{n-1}\setminus Y_{n-1}} 이 존재한다. g ( y ) ∈ Y n ∖ X n + 1 {\displaystyle g(y)\in Y_{n}\setminus X_{n+1}} 이라면, h ( g ( y ) ) = g − 1 ( g ( y ) ) = y {\displaystyle h(g(y))=g^{-1}(g(y))=y} 이다. 편의상 X ∩ Y = ∅ {\displaystyle X\cap Y=\varnothing } 이라고 가정하자 (가정이 참이 아니라면, 두 집합을 크기가 같은 두 서로소 집합 X ~ = { ( 0 , x ) : x ∈ X } {\displaystyle {\tilde {X}}=\{(0,x)\colon x\in X\}} 와 Y ~ = { ( 1 , y ) : y ∈ Y } {\displaystyle {\tilde {Y}}=\{(1,y)\colon y\in Y\}} 로 대체한다). 단사 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 와 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} 의 부분적 역함수 f − 1 : f ( X ) → X {\displaystyle f^{-1}\colon f(X)\to X} g − 1 : g ( Y ) → Y {\displaystyle g^{-1}\colon g(Y)\to Y} 를 정의하자. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 위의 열 … , f − 1 ( g − 1 ( x ) ) , g − 1 ( x ) , x , f ( x ) , g ( f ( x ) ) , … {\displaystyle \dots ,f^{-1}(g^{-1}(x)),g^{-1}(x),x,f(x),g(f(x)),\dots } 을 구성할 수 있다. 마찬가지로, 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, X ∪ Y {\displaystyle X\cup Y} 위의 열 … , g − 1 ( f − 1 ( y ) ) , f − 1 ( y ) , y , g ( y ) , f ( g ( y ) ) , … {\displaystyle \dots ,g^{-1}(f^{-1}(y)),f^{-1}(y),y,g(y),f(g(y)),\dots } 을 구성할 수 있다. 이러한 열은 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 원소가 번갈아 가며 나타나며, 오른쪽으로는 끝없이 이어지고, 왼쪽은 끝이 없거나 ( f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 나 g − 1 {\displaystyle g^{-1}} 가 정의되지 않는) 어떤 X {\displaystyle X} 또는 Y {\displaystyle Y} 의 원소에서 끝이 난다. 임의의 항은 열을 완전하게 결정하므로, 두 열이 어떤 항을 공유한다면, 두 열은 서로 같다. 즉, 위와 같은 꼴의 열들은 X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 을 분할한다. 따라서, 각 열에 등장하는 X {\displaystyle X} 의 원소와 Y {\displaystyle Y} 의 원소 사이의 전단사 함수를 찾으면 충분하다. 임의의 항은 열을 결정하므로, 특히 바로 다음 항을 결정한다. 즉, 임의의 항을 오른쪽의 이웃하는 항으로 대응시키는 함수는 항상 잘 정의된다. 이는 열 속 X {\displaystyle X} 의 원소에서 열 속 Y {\displaystyle Y} 의 원소로 가는 전단사 함수이거나, 반대 방향의 전단사 함수이다. X {\displaystyle X} 의 멱집합 격자 ( P ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 는 완비 격자를 이룬다. 함수 P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)} S ↦ X ∖ g ( Y ∖ f ( S ) ) {\displaystyle S\mapsto X\setminus g(Y\setminus f(S))} 는 순서 보존 함수이므로, 타르스키 고정점 정리에 따라 고정점 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 를 갖는다. 즉, X ∖ S = g ( Y ∖ f ( S ) ) {\displaystyle X\setminus S=g(Y\setminus f(S))} 이다. 따라서, 전단사 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} x ↦ { f ( x ) x ∈ S g − 1 ( x ) x ∈ X ∖ S {\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}f(x)&x\in S\\g^{-1}(x)&x\in X\setminus S\end{cases}}} 가 존재한다. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. MR 1940513. Zbl 1007.03002.  “Schroeder–Bernstein theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Schröder-Bernstein theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Cantor-Schroeder-Bernstein theorem”. 《nLab》 (영어).