조건부 확률

확률론에서 조건부 확률(條件附確率, 영어: conditional probability)은 주어진 사건이 일어났을 때 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 원래의 확률 함수를 Pr {\displaystyle \operatorname {Pr} } 라고 할 때, 사건 B {\displaystyle B} 가 일어났을 때 사건 A {\displaystyle A} 가 일어날 조건부 확률은 Pr ⁡ ( A | B ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)} 로 표기한다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 및 양의 확률의 사건 A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} Pr ⁡ ( A ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0} 이 주어졌다고 하자. 임의의 사건 B ∈ F {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, A {\displaystyle A} 에 대한 B {\displaystyle B} 의 조건부 확률은 다음과 같다. Pr ⁡ ( B | A ) = Pr ⁡ ( A ∩ B ) Pr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}} 이 경우, ( Ω , F , Pr ⁡ ( ⋅ | A ) ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} (\cdot |A))} 는 새로운 확률 공간을 이룬다. 증명: 우선 Pr ⁡ ( Ω | A ) = Pr ⁡ ( A ∩ Ω ) Pr ⁡ ( A ) = Pr ⁡ ( A ) Pr ⁡ ( A ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Pr} (\Omega |A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap \Omega )}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} (A)}{\operatorname {Pr} (A)}}=1} 이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들 G ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 { A ∩ B } B ∈ G {\displaystyle \{A\cap B\}_{B\in {\mathcal {G}}}} 역시 서로소 사건들이므로 Pr ⁡ ( ⋃ G | A ) = Pr ⁡ ( ⋃ G ∩ A ) Pr ⁡ ( A ) = Pr ⁡ ( ⋃ B ∈ G ( A ∩ B ) ) Pr ⁡ ( A ) = ∑ B ∈ G Pr ⁡ ( A ∩ B ) Pr ⁡ ( A ) = ∑ B ∈ G Pr ⁡ ( B | A ) {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\left.\bigcup {\mathcal {G}}\right|A\right)={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup {\mathcal {G}}\cap A\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}}(A\cap B)\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}=\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (B|A)} 이다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 및 두 사건 A , B ∈ F {\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}} 이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률 Pr ⁡ ( A ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0} 을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.:15 Pr ⁡ ( A ∩ B ) = Pr ⁡ ( A ) Pr ⁡ ( B | A ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)=\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)} 즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 A {\displaystyle A} 가 일어날 확률과 A {\displaystyle A} 가 일어났을 때 B {\displaystyle B} 가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의 n {\displaystyle n} 개의 사건 A 1 , … , A n ∈ F {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 만약 Pr ⁡ ( A 1 ∩ ⋯ ∩ A n − 1 ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})>0} 이라면, 다음이 성립한다. Pr ⁡ ( A 1 ∩ ⋯ ∩ A n ) = Pr ⁡ ( A 1 ) Pr ⁡ ( A 2 | A 1 ) Pr ⁡ ( A 3 | A 1 ∩ A 2 ) ⋯ Pr ⁡ ( A n | A 1 ∩ ⋯ ∩ A n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\operatorname {Pr} (A_{1})\operatorname {Pr} (A_{2}|A_{1})\operatorname {Pr} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdots \operatorname {Pr} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})} 특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률 Pr ⁡ ( A ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0} 을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다. A , B {\displaystyle A,B} 는 독립 사건이다. Pr ⁡ ( B | A ) = Pr ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)=\operatorname {Pr} (B)} . 즉 B {\displaystyle B} 의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다. 임의의 세 사건 A , B , C ∈ F {\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 만약 Pr ⁡ ( A ∩ B ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)>0} 이라면, 다음 항등식이 성립한다. Pr ⁡ ( ( C | B ) | A ) = Pr ⁡ ( C | A ∩ B ) {\displaystyle \operatorname {Pr} ((C|B)|A)=\operatorname {Pr} (C|A\cap B)} 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 및 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족 A ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}} | A | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq \aleph _{0}} Pr ⁡ ( A ) > 0 ∀ A ∈ A {\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}} 이 주어졌다고 하고, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 전체 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 을 분할한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건 B ∈ F {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. Pr ⁡ ( B ) = ∑ A ∈ A Pr ⁡ ( A ) Pr ⁡ ( B | A ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (B)=\sum _{A\in A}\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)} (전체 확률의 법칙) Pr ⁡ ( A | B ) = Pr ⁡ ( A ) Pr ⁡ ( B | A ) ∑ A ′ ∈ A Pr ⁡ ( A ′ ) Pr ⁡ ( B | A ′ ) ( A ∈ A , B ∈ F , Pr ⁡ ( B ) > 0 ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)={\frac {\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}{\sum _{A'\in {\mathcal {A}}}\operatorname {Pr} (A')\operatorname {Pr} (B|A')}}\qquad ({\mathcal {A}}\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {F}},\;\operatorname {Pr} (B)>0)} (베이즈 정리) 몬티 홀 문제 《수리통계학 입문》 1판. 1995년 3월 10일.  “Conditional probability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Conditional probability”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.