스토크스 현상

복소해석학에서 스토크스 현상(Stokes現象, 영어: Stokes phenomenon)은 전해석 함수의 점근적 근사가 분지절단을 보이는 현상이다. 어떤 전해석 함수 f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 가 | z | ≫ 1 {\displaystyle |z|\gg 1} 에 대하여 다음과 같이 근사된다고 하자. f ( z ) ≈ g ( z ) ( | z | ≫ 1 ) {\displaystyle f(z)\approx g(z)\qquad (|z|\gg 1)} 여기서 g ( z ) {\displaystyle g(z)} 는 전해석 함수가 아니며, 분지절단을 가질 수 있다. 이 경우, f {\displaystyle f} 가 스토크스 현상을 보인다고 한다. 에어리 함수 Ai ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (z)} 는 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 에서 본질적 특이점을 갖는 전해석 함수이다. 임의의 편각 arg ⁡ z {\displaystyle \operatorname {arg} z} 에 대하여, 에어리 함수는 다음과 같이 근사된다. Ai ⁡ ( z ) ∼ C + x − 1 / 4 exp ⁡ ( + ( 2 / 3 ) x 3 / 2 ) + C − x − 1 / 4 exp ⁡ ( − ( 2 / 3 ) x 3 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim C_{+}x^{-1/4}\exp(+(2/3)x^{3/2})+C_{-}x^{-1/4}\exp(-(2/3)x^{3/2})} 이 근삿값은 전해석 함수가 아니므로, 스토크스 현상이 발생하는 것을 볼 수 있다. 이와 같이, 일반적으로 점근적 근사는 여러 개의 점근적 항으로 구성되어 있다. 대부분의 편각에서는 이 항 가운데 하나만이 지수적으로 우세하게 되고, 따라서 나머지 항들은 버릴 수 있다. 여러 항들의 크기가 일치하게 되는 점들을 반 스토크스 선(영어: anti-Stokes line)이라고 한다. 이러한 점에서는 점근적 근사의 우세한 항이 바뀌게 된다. 열등한 항의 계수는 스토크스 선(영어: Stokes line)에서 급격한 변화를 겪는다. 스토크스 선은 우세한 항이 열등한 항보다 상대적으로 가장 큰 값을 갖는 선이다. Ai ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (z)} 의 스토크스 선들은 arg ⁡ ( z ) = 2 n π / 3 ( n ∈ Z ) {\displaystyle \operatorname {arg} (z)=2n\pi /3\qquad (n\in \mathbb {Z} )} 이며, 반 스토크스 선들은 arg ⁡ ( z ) = ( 2 n + 1 ) π / 3 ( n ∈ Z ) {\displaystyle \operatorname {arg} (z)=(2n+1)\pi /3\qquad (n\in \mathbb {Z} )} 이다. 스토크스 선 근처에서 C + {\displaystyle C_{+}} 와 C − {\displaystyle C_{-}} 의 값은 급격히 변할 수 있다. 조지 가브리엘 스토크스가 에어리 함수를 연구하는 과정에서 발견하였다. 보렐 합 Stokes, G. G. (1851). “On the numerical Calculation of a Class of Definite Integrals and Infinite Series”. 《Transactions of the Cambridge Philosophical Society》 (영어) 9 (1): 166–187. Bibcode:1851TCaPS...9..166S.  Stokes, G. G. (1858). “On the Discontinuity of Arbitrary Constants which appear in Divergent Developments”. 《Transactions of the Cambridge Philosophical Society》 (영어) 10 (1): 105–128. Bibcode:1864TCaPS..10..105S.  Stokes, G. G. (1869). “Supplement to a paper on the Discontinuity of Arbitrary Constants which appear in Divergent Developments”. 《Transactions of the Cambridge Philosophical Society》 (영어) 11 (2): 412-425. JFM 02.0163.03.  Kowalenko, Victor (2009). 《The Stokes phenomenon, Borel summation and Mellin-Barnes regularisation》 (영어). Bentham. doi:10.2174/97816080501091090101. ISBN 978-1-60805-097-0.  Meyer, R. E. (1989년 9월). “A simple explanation of the Stokes phenomenon”. 《Society for Industrial and Applied Mathematics Review》 (영어) 31 (3): 435–445. doi:10.1137/1031090. JSTOR 2031404. Zbl 0679.34068.  Sabbah, Claude (2013). 《Introduction to Stokes structures》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 2060. Springer. arXiv:0912.2762. Bibcode:2009arXiv0912.2762S. doi:10.1007/978-3-642-31695-1. ISBN 978-3-642-31694-4. ISSN 0075-8434. Zbl 1260.34002.  Berry, M. V. (1988). “Stokes’ phenomenon; smoothing a Victorian discontinuity”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 68 (1): 211-221. doi:10.1007/BF02698550. ISSN 0073-8301. MR 1001456. Zbl 0701.58012.  Mariño, Marcos (2012). “Lectures on non-perturbative effects in large N gauge theories, matrix models and strings” (영어). arXiv:1206.6272. Bibcode:2012arXiv1206.6272M.  “Stokes phenomenon”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Stokes phenomenon”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Stokes phenomenon”. 《nLab》 (영어).