평균값 정리

미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, 약자 MVT)는 미분 가능 함수의 그래프의 할선과 평행하는 접선이 존재한다는 정리다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다. 연속 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에서 미분 가능 함수이며, 또한 f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} 라고 하자. 그렇다면, f ′ ( c ) = 0 {\displaystyle f'(c)=0} 인 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. 이를 롤의 정리라고 한다. 연속 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 적어도 하나 존재한다. f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 이를 평균값 정리라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프 t ↦ ( t , f ( t ) ) {\displaystyle t\mapsto (t,f(t))} 에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} 인 특수한 경우이다. 증명: 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 를 다음과 같이 정의하자. g ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) {\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)} (즉, g {\displaystyle g} 는 f {\displaystyle f} 에서 f {\displaystyle f} 의 양 끝점을 잇는 직선을 뺀 차와 같다.) 그렇다면, g {\displaystyle g} 는 연속 함수이며, ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에서 미분 가능하며, g ( a ) = g ( b ) = 0 {\displaystyle g(a)=g(b)=0} 이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. 0 = g ′ ( c ) = f ′ ( c ) − f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 연속 함수 f , g : [ a , b ] → R {\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, g ′ ≠ 0 {\displaystyle g'\neq 0} 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) {\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}} 이를 코시 평균값 정리(영어: Cauchy's mean value theorem) 또는 확장 평균값 정리(영어: extended mean value theorem)라고 한다. 기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 단순 곡선 t ↦ ( g ( t ) , f ( t ) ) {\displaystyle t\mapsto (g(t),f(t))} 이 임계점을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 g ( x ) = x {\displaystyle g(x)=x} 인 특수한 경우이다. 곡선이 임계점을 가질 수 있다면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선 [ − 1 , 1 ] → R 2 {\displaystyle [-1,1]\to \mathbb {R} ^{2}} t ↦ ( t 3 , 1 − t 2 ) {\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})} 의 양 끝점 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} , ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} 을 지나는 직선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다. 증명: 다르부 정리에 따라, 임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여 g ′ ( x ) > 0 {\displaystyle g'(x)>0} 이거나, 임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여 g ′ ( x ) < 0 {\displaystyle g'(x)<0} 이다. 함수 h : [ a , b ] → R {\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 를 다음과 같이 정의하자. h ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) ( g ( x ) − g ( a ) ) {\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))} 그렇다면, h {\displaystyle h} 는 연속 함수이며, ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에서 미분 가능하며, h ( a ) = h ( b ) = 0 {\displaystyle h(a)=h(b)=0} 이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. 0 = h ′ ( c ) = f ′ ( c ) − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) g ′ ( c ) {\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)} 함수 f , g , h : [ a , b ] → R {\displaystyle f,g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 에서 연속 함수, ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} 가 존재한다. | f ′ ( x ) g ′ ( x ) h ′ ( x ) f ( a ) g ( a ) h ( a ) f ( b ) g ( b ) h ( b ) | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}=0} 코시 평균값 정리는 여기서 h ( x ) = 1 {\displaystyle h(x)=1} 을 취한 특수한 경우이다. 증명: 함수 D : [ a , b ] → R {\displaystyle D\colon [a,b]\to \mathbb {R} } D ( x ) = | f ( x ) g ( x ) h ( x ) f ( a ) g ( a ) h ( a ) f ( b ) g ( b ) h ( b ) | {\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}} 에 롤의 정리를 적용한다. 임의의 볼록 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 미분 가능 함수 f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } 및 점 x , y ∈ U {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U} 에 대하여, 다음을 만족시키는 t 0 ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle t_{0}\in (0,1)} 가 존재한다. f ( y ) − f ( x ) = ∇ f ( ( 1 − t 0 ) x + t 0 y ) ⋅ ( y − x ) {\displaystyle f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\nabla f((1-t_{0})\mathbf {x} +t_{0}\mathbf {y} )\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {x} )} (일변수 함수에 대한) 평균값 정리는 여기서 n = 1 {\displaystyle n=1} 을 취한 특수한 경우이다. 증명: 함수 g : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle g\colon [0,1]\to \mathbb {R} } 를 다음과 같이 정의하자. g ( t ) = f ( ( 1 − t ) x + t y ) {\displaystyle g(t)=f((1-t)\mathbf {x} +t\mathbf {y} )} 그렇다면, g {\displaystyle g} 는 미분 가능 함수이다. 평균값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 t 0 ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle t_{0}\in (0,1)} 가 존재한다. 0 = g ′ ( t 0 ) = f ′ ( g ( t 0 ) ) ⋅ ( y − x ) {\displaystyle 0=g'(t_{0})=f'(g(t_{0}))\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {x} )} 임의의 연속 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b − a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)} 이에 따라, f {\displaystyle f} 의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이는 그래프의 한 점을 지나는 직선과 x축 사이의 직사각형의 넓이와 같다. 보다 일반적으로, 임의의 연속 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 및 리만 적분 가능 함수 g : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle g\colon [a,b]\to [0,\infty )} (또는 g : [ a , b ] → ( − ∞ , 0 ] {\displaystyle g\colon [a,b]\to (-\infty ,0]} )에 대하여, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( c ) ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)dx} 이를 제1 적분 평균값 정리(영어: first mean value theorem for integrals)라고 한다. c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} 의 존재는 중간값 정리을 사용하여 쉽게 보일 수 있다. g {\displaystyle g} 가 연속 함수라고 가정하면 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 의 존재 역시 미적분학만으로 보일 수 있다. 이러한 가정이 없는 경우 약간의 실해석학이 필요하다. 증명: 편의상 g : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle g\colon [a,b]\to [0,\infty )} 라고 가정하자. m = inf f ∈ R {\displaystyle m=\inf f\in \mathbb {R} } M = sup f ∈ R {\displaystyle M=\sup f\in \mathbb {R} } 라고 하자. 임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여 m g ( x ) ≤ f ( x ) g ( x ) ≤ M g ( x ) {\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)} 이므로, m ∫ a b g ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ≤ M ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)dx} 이다. 만약 ∫ a b g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0} 이라면, 위 부등식에 따라 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0} 이다. 이 경우 임의의 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 를 취한다. 만약 ∫ a b g ( x ) d x ≠ 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx\neq 0} m < ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x < M {\displaystyle m<{\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}<M} 이라면, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. f ( c ) = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle f(c)={\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}} 이제 나머지 경우를 증명하자. 편의상 ∫ a b g ( x ) d x ≠ 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx\neq 0} ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = M ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=M\int _{a}^{b}g(x)dx} 라고 가정하자. 항상 f ( x ) g ( x ) ≤ M g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)\leq Mg(x)} 이므로, 가정에 따라 거의 모든 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여 f ( x ) g ( x ) = M g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)=Mg(x)} 이다. 마찬가지로, 항상 g ( x ) ≥ 0 {\displaystyle g(x)\geq 0} 이므로, g ( x ) > 0 {\displaystyle g(x)>0} 인 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 는 양의 르베그 측도의 집합을 이룬다. 마지막으로, 두 끝점 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 는 영집합을 이룬다. 따라서, f ( x ) g ( x ) = M g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)=Mg(x)} g ( x ) > 0 {\displaystyle g(x)>0} x ≠ a , b {\displaystyle x\neq a,b} 인 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 의 집합은 양의 르베그 측도를 가지며, 특히 공집합이 아니다. 즉, f ( c ) = M = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle f(c)=M={\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}} 인 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리(영어: second mean value theorem for integrals)에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다. 임의의 증가함수 f : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )} 및 리만 적분 가능 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음을 만족시키는 c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} 가 존재한다. ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( b ) ∫ c b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(b)\int _{c}^{b}g(x)\,dx} 임의의 감소함수 f : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )} 및 리만 적분 가능 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음을 만족시키는 c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} 가 존재한다. ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) ∫ a c g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)\,dx} 임의의 단조함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 및 리만 적분 가능 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음을 만족시키는 c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} 가 존재한다. ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) ∫ a c g ( x ) d x + f ( b ) ∫ c b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)\,dx+f(b)\int _{c}^{b}g(x)\,dx} 첫 번째·두 번째 명제는 f {\displaystyle f} 가 음이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. 세 번째 명제에서, f {\displaystyle f} 는 부호가 변화하는 함수일 수 있으며, 증가함수일 수도 감소함수일 수도 있다. 세 명제 모두 g {\displaystyle g} 에 대해서는 리만 적분 가능성밖에 가정하지 않는다. 제2 적분 평균값 정리의 증명 역시 중간값 정리를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약 g {\displaystyle g} 가 음이 아닌 실수 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약 g {\displaystyle g} 의 연속성과 f {\displaystyle f} 의 1차 연속 미분 가능성을 가정하면, 부분 적분을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, 리만 적분을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 아벨 변환을 가한다. 증명: 임의의 감소함수 f : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )} 에 대하여, f 1 : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f_{1}\colon [a,b]\to [0,\infty )} , f 1 ( x ) = f ( a + b − x ) {\displaystyle f_{1}(x)=f(a+b-x)} 는 증가함수이다. 임의의 증가함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, f 2 : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f_{2}\colon [a,b]\to [0,\infty )} , f 2 ( x ) = f ( x ) − f ( a ) {\displaystyle f_{2}(x)=f(x)-f(a)} 는 증가함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 임의의 감소함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, f 3 : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f_{3}\colon [a,b]\to [0,\infty )} , f 3 ( x ) = f ( x ) − f ( b ) {\displaystyle f_{3}(x)=f(x)-f(b)} 는 감소함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 따라서, 첫 번째 명제를 증명하는 것으로 족하다. 증가함수 f : [ a , b ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )} 및 리만 적분 가능 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 역시 리만 적분 가능하며, g {\displaystyle g} 는 유계 함수이다. 따라서, 임의의 구간 분할 P = ( x 0 P , x 1 P , … , x n P P ) ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) {\displaystyle P=(x_{0}^{P},x_{1}^{P},\dots ,x_{n_{P}}^{P})\in \operatorname {part} ([a,b])} a = x 0 P < x 1 P < ⋯ < x n P P = b {\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b} 에 대하여, | ∑ i = 1 n P ∫ x i − 1 P x i P ( f ( x ) − f ( x i P ) ) g ( x ) d x | ≤ ( sup | g | ) ⋅ ( ∑ i = 1 n P ( sup x ∈ [ x i − 1 P , x i P ] f ( x ) ) ( x i P − x i − 1 P ) − ∑ i = 1 n P ( inf x ∈ [ x i − 1 P , x i P ] f ( x ) ) ( x i P − x i − 1 P ) ) → ( sup | g | ) ⋅ ( U ∫ a b f ( x ) d x − L ∫ a b f ( x ) d x ) ( P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}(f(x)-f(x_{i}^{P}))g(x)\,dx\right|&\leq (\sup |g|)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\sup _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})-\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\inf _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})\right)\\&\to (\sup |g|)\cdot \left({\mathcal {U}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\mathcal {L}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\qquad (P\in \operatorname {part} ([a,b]))\\&=0\end{aligned}}} 이다. (여기서 U ∫ a b {\displaystyle {\mathcal {U}}\int _{a}^{b}} L ∫ a b {\displaystyle {\mathcal {L}}\int _{a}^{b}} 는 리만 상적분·리만 하적분이다. f {\displaystyle f} 는 리만 적분 가능하므로 상적분과 하적분이 같다.) h : [ a , b ] → R {\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} } h ( x ) = ∫ x b g ( t ) d t {\displaystyle h(x)=\int _{x}^{b}g(t)\,dt} 라고 하자. 제1 미적분학의 기본 정리에 의하여, h {\displaystyle h} 는 연속 함수다. m = inf h ∈ R {\displaystyle m=\inf h\in \mathbb {R} } M = sup h ∈ R {\displaystyle M=\sup h\in \mathbb {R} } 라고 하자. 이제, 아벨 변환을 통하여 적분의 상계와 하계를 다음과 같이 구할 수 있다. ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ∑ i = 1 n P ∫ x i − 1 P x i P f ( x ) g ( x ) d x = lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ∑ i = 1 n P f ( x i P ) ∫ x i − 1 P x i P g ( x ) d x = lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ∑ i = 1 n P f ( x i P ) ( h ( x i − 1 P ) − h ( x i P ) ) = lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ( f ( b ) ( h ( a ) − h ( b ) ) + ∑ i = 1 n P − 1 ( f ( x i P ) − f ( x i + 1 P ) ) ( h ( a ) − h ( x i P ) ) = lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ( f ( b ) h ( a ) + h ( a ) ∑ i = 1 n P − 1 ( f ( x i P ) − f ( x i + 1 P ) ) + ∑ i = 1 n P − 1 ( f ( x i + 1 P ) − f ( x i P ) ) h ( x i P ) ) = lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ( f ( x 1 ) h ( a ) + ∑ i = 1 n P − 1 ( f ( x i + 1 P ) − f ( x i P ) ) h ( x i P ) ) ≥ lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ( m f ( x 1 ) + m ∑ i = 1 n P − 1 ( f ( x i + 1 P ) − f ( x i P ) ) ) = m f ( b ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}f(x)g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})(h(x_{i-1}^{P})-h(x_{i}^{P}))\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)(h(a)-h(b))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))(h(a)-h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)h(a)+h(a)\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\geq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(mf(x_{1})+m\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=mf(b)\end{aligned}}} ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ( f ( x 1 ) h ( a ) + ∑ i = 1 n P − 1 ( f ( x i + 1 P ) − f ( x i P ) ) h ( x i P ) ) ≤ lim P ∈ part ⁡ ( [ a , b ] ) ( M f ( x 1 ) + M ∑ i = 1 n P − 1 ( f ( x i + 1 P ) − f ( x i P ) ) ) = M f ( b ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\leq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(Mf(x_{1})+M\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=Mf(b)\end{aligned}}} 중간값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} 가 존재한다. ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = h ( c ) f ( b ) = f ( b ) ∫ c b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=h(c)f(b)=f(b)\int _{c}^{b}g(x)\,dx} 복소평면 상에서 어떤 점 z 0 {\displaystyle z_{0}} 을 중심으로 하는 반지름 r {\displaystyle r} 인 원 내에서 정칙인 함수 f {\displaystyle f} 에 대하여, f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + r e i t ) d t {\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{it})dt} 가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다. 증명: 코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다. f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) {\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)} 일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다. u ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π u ( z 0 + r e i t ) d t {\displaystyle u(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z_{0}+re^{it})dt} 다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다. 구간 I {\displaystyle I} 에 정의된 실수값함수 f {\displaystyle f} 가 만약 I {\displaystyle I} 에서 연속, I {\displaystyle I} 의 내부에서 미분 가능하며 항상 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} 이라면, f {\displaystyle f} 는 I {\displaystyle I} 에서 상수함수이다. f , g : I → R {\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} } 가 만약 I {\displaystyle I} 에서 연속, 내부에선 항상 f ′ ( x ) = g ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=g'(x)} 라면, f , g {\displaystyle f,g} 는 I {\displaystyle I} 에서 상수 차이이다. f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 가 만약 I {\displaystyle I} 에서 연속, 내부에선 항상 f ′ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f'(x)\geq 0} 이라면, f {\displaystyle f} 는 I {\displaystyle I} 에서 단조증가한다. 이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다. I {\displaystyle I} 내부의 임의의 두 점 a < b {\displaystyle a<b} 에 대해, f {\displaystyle f} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. 0 = f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 즉 f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} . 이로써 f {\displaystyle f} 는 I {\displaystyle I} 내부에서 상수이다. 연속성에 의해 I {\displaystyle I} 전체에서 상수다. 이 정리의 최초의 입안자는 인도의 바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다. 조화 함수 테일러 급수 정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, ISBN 8933607714, 115-120 쪽 Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 17쪽. ISBN 978-89-966211-8-8.  J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2000). 영어: Paramesvara를 보라 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006 James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7.  “Mean value theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Mean-value theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy's mean-value theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Extended mean-value theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Mean value theorem”. 《nLab》 (영어).  “Mean-value theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of mean value theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “mean-value theorem for several variables”. 《PlanetMath》 (영어).  “Complex mean-value theorem”. 《PlanetMath》 (영어).