방접원

기하학에서 방접원(傍接圓, 영어: excircle)은 주어진 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 원이다. 방심(傍心, 영어: excenter)은 방접원의 중심을 일컫는다. 방심은 삼각형의 한 내각과 그와 이웃하지 않은 두 외각의 이등분선이 만나는 점이다. 삼각형에는 세 변을 따라 3개의 방접원과 3개의 방심이 있다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 변의 직선에 동시에 접하는 원은 정확히 4개 존재한다. 한 원은 세 변의 내부에서 접하며, 이를 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접원이라고 한다. 남은 3개의 원은 각각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 내부와 남은 두 변의 연장선에서 접하며, 이들을 각각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 와 마주보는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 방접원이라고 한다. 세 방접원의 중심을 방심 J A {\displaystyle J_{A}} , J B {\displaystyle J_{B}} , J C {\displaystyle J_{C}} 라고 한다. 세 방심을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 방심 삼각형(傍心三角形, 영어: excenter triangle) J A J B J C {\displaystyle J_{A}J_{B}J_{C}} 라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 베번 원(Bevan圓, 영어: Bevan circle)이라고 하며, 베번 원의 중심(즉, 방심 삼각형의 외심)을 베번 점(Bevan點, 영어: Bevan point) V {\displaystyle V} 라고 한다. 방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다. 방심은 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선의 교점이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 길이를 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 라고 하고, 반둘레를 s {\displaystyle s} 라고 하고, 넓이를 S {\displaystyle S} 라고 하자. 또한 외접원과 내접원의 반지름을 각각 R {\displaystyle R} 와 r {\displaystyle r} 라고 하고, 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 와 마주보는 방접원의 반지름을 r A {\displaystyle r_{A}} , r B {\displaystyle r_{B}} , r C {\displaystyle r_{C}} 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 항등식들이 성립한다.:13, §1.4, Exercise 5:80, §2F, Theorem 2.34 r A = S s − a = s ( s − b ) ( s − c ) s − a = s tan ⁡ A 2 {\displaystyle r_{A}={\frac {S}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}=s\tan {\frac {A}{2}}} r B = S s − b = s ( s − a ) ( s − c ) s − b = s tan ⁡ B 2 {\displaystyle r_{B}={\frac {S}{s-b}}={\sqrt {\frac {s(s-a)(s-c)}{s-b}}}=s\tan {\frac {B}{2}}} r C = S s − c = s ( s − a ) ( s − b ) s − c = s tan ⁡ C 2 {\displaystyle r_{C}={\frac {S}{s-c}}={\sqrt {\frac {s(s-a)(s-b)}{s-c}}}=s\tan {\frac {C}{2}}} 1 r A + 1 r B + 1 r C = 1 r {\displaystyle {\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}={\frac {1}{r}}} r A + r B + r C − r = 4 R {\displaystyle r_{A}+r_{B}+r_{C}-r=4R} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 와 마주보는 방접원의 대변과의 접점을 T A ′ {\displaystyle T_{A}'} , T B ′ {\displaystyle T_{B}'} , T C ′ {\displaystyle T_{C}'} 이라고 하자. 그렇다면 직선 A T A ′ {\displaystyle AT_{A}'} , B T B ′ {\displaystyle BT_{B}'} , C T C ′ {\displaystyle CT_{C}'} 은 모두 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 둘레를 이등분한다. 즉, 반둘레를 s {\displaystyle s} 라고 할 때 다음이 성립한다. B T C ′ = C T B ′ = s − a {\displaystyle BT_{C}'=CT_{B}'=s-a} C T A ′ = A T C ′ = s − b {\displaystyle CT_{A}'=AT_{C}'=s-b} A T B ′ = B T A ′ = s − c {\displaystyle AT_{B}'=BT_{A}'=s-c} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내심을 I {\displaystyle I} , 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 와 마주보는 방심을 J A {\displaystyle J_{A}} , J B {\displaystyle J_{B}} , J C {\displaystyle J_{C}} 라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 꼭짓점 J A {\displaystyle J_{A}} , J B {\displaystyle J_{B}} , J C {\displaystyle J_{C}} 에서 대변에 내린 수선의 발은 각각 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 가 되며, 세 수선의 교점은 내심 I {\displaystyle I} 가 된다. 특히, 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이며, 삼각형의 내심과 세 방심은 수심계를 이룬다.:28, §3.2 모든 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다.:29, §3.2 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.:27, §3.2 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 한 꼭짓점 A {\displaystyle A} 에서 대변에 내린 수선의 중점 ( A + H A ) / 2 {\displaystyle (A+H_{A})/2} , 그 꼭짓점과 마주보는 방접원의 접점 T A ′ {\displaystyle T_{A}'} , 그리고 내심 I {\displaystyle I} 는 같은 직선 위에 있다.:30, §3.3 방심 삼각형의 수심 삼각형, 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형은 원래 삼각형이다. 즉, 수심 삼각형과 방심 삼각형을 취하는 연산은 서로 역연산이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 반둘레를 s {\displaystyle s} 라고 하고, 외접원의 반지름을 R {\displaystyle R} 라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 넓이는 다음과 같다. S J A J B J C = 2 s R {\displaystyle S_{J_{A}J_{B}J_{C}}=2sR} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각 T A ′ {\displaystyle T_{A}'} , T B ′ {\displaystyle T_{B}'} , T C ′ {\displaystyle T_{C}'} 라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 A T A ′ {\displaystyle AT_{A}'} , B T B ′ {\displaystyle BT_{B}'} , C T C ′ {\displaystyle CT_{C}'} 는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 나겔 점(영어: Nagel point)) X 8 {\displaystyle X_{8}} 이라고 한다.:5, §1.2 나겔 점에 대한 체바 삼각형(즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 외촉 삼각형(영어: extouch triangle) T A ′ T B ′ T C ′ {\displaystyle T_{A}'T_{B}'T_{C}'} 이라고 한다. 나겔 점의 이름은 독일의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔(독일어: Christian Heinrich von Nagel)에서 왔다. 증명: 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 길이를 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 라고 하고, 반둘레를 s {\displaystyle s} 라고 하자. 그렇다면 B T C ′ = C T B ′ = s − a {\displaystyle BT_{C}'=CT_{B}'=s-a} A T C ′ = C T A ′ = s − b {\displaystyle AT_{C}'=CT_{A}'=s-b} A T B ′ = B T A ′ = s − c {\displaystyle AT_{B}'=BT_{A}'=s-c} 이므로, A T C ′ T C ′ B ⋅ B T A ′ T A ′ C ⋅ C T B ′ T B ′ A = 1 {\displaystyle {\frac {AT_{C}'}{T_{C}'B}}\cdot {\frac {BT_{A}'}{T_{A}'C}}\cdot {\frac {CT_{B}'}{T_{B}'A}}=1} 이다. 체바 정리에 의하여, A T A ′ {\displaystyle AT_{A}'} , B T B ′ {\displaystyle BT_{B}'} , C T C ′ {\displaystyle CT_{C}'} 는 공점선이다. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  “Nagel point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Excircles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Excenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Exradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Excentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Nagel point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Extouch triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.