체바 정리

기하학에서 체바 정리(Ceva定理, 영어: Ceva's theorem)는 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 직선이 한 점에서 만날 필요충분조건을 제시하는 정리이다. 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선 위의 점이라고 하자. 체바 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 는 공점선이거나 평행선이다. A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} 두 번째 조건의 세 개의 비율은 단순비를 나타낸다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양의 부호를 취하고, 방향이 반대일 경우 음의 부호를 취한다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가운데 삼각형의 변의 외분점의 수는 짝수이어야 한다. 체바 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 성립한다. 이 경우 각 꼭짓점과 대변 위의 무한원점을 잇는 직선은 각 꼭짓점을 지나는 대변의 평행선으로 정의되며, 무한원점의 단순비 값은 −1로 정의된다. 우선 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 한 점 P {\displaystyle P} 에서 만난다고 가정하자.:4-5, §1.2 유향 삼각형 X Y Z {\displaystyle XYZ} 의 유향 넓이를 S X Y Z {\displaystyle S_{XYZ}} 로 표기하자. 즉, 이는 세 꼭짓점을 시계 반대 방향으로 열거할 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향으로 열거할 경우 음의 부호를 취한다. 그렇다면, 높이가 같은 삼각형의 넓이는 밑변에 비례한다는 사실을 이용하면 A F F B = S A C F S F C B = S A P F S F P B {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {S_{ACF}}{S_{FCB}}}={\frac {S_{APF}}{S_{FPB}}}} 를 얻으며, 따라서 A F F B = S A C F − S A P F S F C B − S F P B = S A P C S C P B {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {S_{ACF}-S_{APF}}{S_{FCB}-S_{FPB}}}={\frac {S_{APC}}{S_{CPB}}}} 이다. 마찬가지로 B D D C = S B P A S A P C , C E E A = S C P B S B P A {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {S_{BPA}}{S_{APC}}},\;{\frac {CE}{EA}}={\frac {S_{CPB}}{S_{BPA}}}} 가 성립한다. 이 세 등식을 곱하면 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = S A P C S C P B ⋅ S B P A S A P C ⋅ S C P B S B P A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {S_{APC}}{S_{CPB}}}\cdot {\frac {S_{BPA}}{S_{APC}}}\cdot {\frac {S_{CPB}}{S_{BPA}}}=1} 를 얻는다. 이제 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 평행선이라고 가정하자. 그렇다면 삼각형 A B E {\displaystyle ABE} 와 A F C {\displaystyle AFC} 는 닮음이며, 삼각형 A C D {\displaystyle ACD} 와 E C B {\displaystyle ECB} 역시 닮음이므로, A F F B = A C C E , B D D C = E A A C {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AC}{CE}},\;{\frac {BD}{DC}}={\frac {EA}{AC}}} 이다. (여기서 모든 비율은 유향 선분의 비율인 데 주의하자.) 따라서 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = A C C E ⋅ E A A C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {AC}{CE}}\cdot {\frac {EA}{AC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} 이다. 반대로 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} 가 성립하고 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가운데 적어도 한 쌍이 평행하지 않는다고 가정하자. 편의상 A D {\displaystyle AD} 와 B E {\displaystyle BE} 가 평행하지 않는다고 하자. 이들의 교점을 P {\displaystyle P} 라고 하고, C P {\displaystyle CP} 와 A B {\displaystyle AB} 의 교점을 F ′ {\displaystyle F'} 이라고 하자. 그렇다면 이미 증명한 바에 의하여 A F ′ F ′ B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} 이며, 따라서 A F ′ F ′ B = A F F B {\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}} 이다. 선분을 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하게 결정된다는 사실에 의하여 F ′ = F {\displaystyle F'=F} 가 성립한다. 따라서 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 는 한 점 P {\displaystyle P} 에서 만난다. 체바 정리는 질점의 무게 중심을 사용하여 증명할 수 있다.:138, §12.1 외분점을 고려하기 위해서는 음의 질량을 허용해야 한다. 편의상 삼각형의 각 변의 직선 위의 유향 선분의 유향 길이가 삼각형을 기준으로 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다고 하자. 예를 들어 A F {\displaystyle AF} 와 F B {\displaystyle FB} 의 길이는 F {\displaystyle F} 가 내분점일 경우 각각 양과 음의 부호를, 외분점일 경우 각각 음과 양의 부호를 취한다. 이렇게 하면 삼각형의 각 변의 직선 위의 모든 유향 선분에 유일한 유향 길이가 부여된다. 점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 에 각각 질량 B D ⋅ C E {\displaystyle BD\cdot CE} , D C ⋅ E A {\displaystyle DC\cdot EA} , B D ⋅ E A {\displaystyle BD\cdot EA} 를 부여하여 질점 ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} , ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} , ( C , B D ⋅ E A ) {\displaystyle (C,BD\cdot EA)} 를 만들자. 그렇다면 D {\displaystyle D} 에서 ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} 와 ( C , B D ⋅ E A ) {\displaystyle (C,BD\cdot EA)} 의 돌림힘이 일치하며, E {\displaystyle E} 에서 ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} 와 ( C , B D ⋅ E A ) {\displaystyle (C,BD\cdot EA)} 의 돌림힘이 일치한다. 즉, D {\displaystyle D} 는 ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} 와 ( C , B D ⋅ E A ) {\displaystyle (C,BD\cdot EA)} 의 무게 중심이며, E {\displaystyle E} 는 ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} 와 ( C , B D ⋅ E A ) {\displaystyle (C,BD\cdot EA)} 의 무게 중심이다. 우선 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 한 점 P {\displaystyle P} 에서 만난다고 가정하자. 이 경우 세 질점의 무게 중심은 A D {\displaystyle AD} 위의 점이자 B E {\displaystyle BE} 위의 점이어야 하므로 이는 두 직선의 교점 P {\displaystyle P} 와 같다. ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} 와 ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} 의 무게 중심을 F ′ {\displaystyle F'} 이라고 하자. 그렇다면 F ′ {\displaystyle F'} 는 선분 A B {\displaystyle AB} 위의 점이며, 세 질점의 무게 중심 P {\displaystyle P} 는 C F ′ {\displaystyle CF'} 위의 점이다. 따라서 F ′ = F {\displaystyle F'=F} 이며, F {\displaystyle F} 는 ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} 와 ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} 의 무게 중심이다. 즉, F {\displaystyle F} 에서 ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} 와 ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} 의 돌림힘 A F ⋅ B D ⋅ C E = F B ⋅ D C ⋅ E A {\displaystyle AF\cdot BD\cdot CE=FB\cdot DC\cdot EA} 은 일치한다. 즉, A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} 이 성립한다. 또한 이러한 세 비율의 곱은 유향 선분의 부호의 정의와 무관하다. 이제 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 평행선이라고 가정하자. 이 경우 특히 A D {\displaystyle AD} 와 B E {\displaystyle BE} 가 평행하므로, 세 질점의 무게 중심은 존재하지 않는다. 즉, 세 질점의 질량의 합은 0이다. 즉, B D ⋅ C E + D C ⋅ E A + B D ⋅ E A = 0 {\displaystyle BD\cdot CE+DC\cdot EA+BD\cdot EA=0} 이며, 이를 정리하면 B D D C ⋅ C E E A = − 1 − B D D C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1-{\frac {BD}{DC}}} 를 얻는다. 새로운 세 질점 ( A , F B ⋅ D C ) {\displaystyle (A,FB\cdot DC)} , ( B , A F ⋅ D C ) {\displaystyle (B,AF\cdot DC)} , ( C , A F ⋅ B D ) {\displaystyle (C,AF\cdot BD)} 를 생각하면 마찬가지로 A F F B ⋅ B D D C = − 1 − A F F B {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}=-1-{\frac {AF}{FB}}} 를 얻는다. 따라서 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = A F F B ( − 1 − B D D C ) = − A F F B − A F F B ⋅ B D D C = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {AF}{FB}}\left(-1-{\frac {BD}{DC}}\right)=-{\frac {AF}{FB}}-{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}=1} 이다. 반대로 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} 가 성립하고 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 평행선이 아니라고 가정하자. 편의상 A D {\displaystyle AD} 와 B E {\displaystyle BE} 가 어떤 점 P {\displaystyle P} 에서 만난다고 가정하자. 그렇다면 P {\displaystyle P} 는 세 질점의 무게 중심이다. 또한 세 비율의 곱이 1이라는 등식을 정리하면 A F ⋅ B D ⋅ C E = F B ⋅ D C ⋅ E A {\displaystyle AF\cdot BD\cdot CE=FB\cdot DC\cdot EA} 을 얻으며, 이는 F {\displaystyle F} 에서 ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} 와 ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} 의 돌림힘이 일치한다는 말과 같다. 즉, F {\displaystyle F} 는 ( A , B D ⋅ C E ) {\displaystyle (A,BD\cdot CE)} 와 ( B , D C ⋅ E A ) {\displaystyle (B,DC\cdot EA)} 의 무게 중심이다. 따라서 C F {\displaystyle CF} 역시 P {\displaystyle P} 를 지난다. 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선 위의 점이라고 하자. 각체바 정리(角Ceva定理)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 는 공점선이거나 평행선이다. sin ⁡ ∠ A C F sin ⁡ ∠ F C B ⋅ sin ⁡ ∠ B A D sin ⁡ ∠ D A C ⋅ sin ⁡ ∠ C B E sin ⁡ ∠ E B A = 1 {\displaystyle {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}}\cdot {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}}=1} 두 번째 조건의 여섯 개의 각의 크기는 유향각의 유향 크기를 나타낸다. 즉, 유향각이 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다. 예를 들어, 만약 F {\displaystyle F} 가 변 A B {\displaystyle AB} 의 내분점이라면, C A {\displaystyle CA} 에서 C F {\displaystyle CF} 로 (180도 이내의 각도로) 회전하는 방향은 시계 반대 방향이며, C F {\displaystyle CF} 에서 C B {\displaystyle CB} 로 회전하는 방향 역시 시계 반대 방향이므로, ∠ A C F {\displaystyle \angle ACF} 와 ∠ F C B {\displaystyle \angle FCB} 는 모두 양의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 모두 양수이다. 만약 F {\displaystyle F} 가 B {\displaystyle B} 에 더 가까운 외분점이라면, C A {\displaystyle CA} 에서 C F {\displaystyle CF} 로 회전하는 방향은 시계 반대 방향이나, C F {\displaystyle CF} 에서 C B {\displaystyle CB} 로 회전하는 방향은 시계 방향이므로, ∠ A C F {\displaystyle \angle ACF} 와 ∠ F C B {\displaystyle \angle FCB} 는 각각 양과 음의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 각각 양수와 음수이다. 만약 F {\displaystyle F} 가 A {\displaystyle A} 에 더 가까운 외분점이라면, ∠ A C F {\displaystyle \angle ACF} 와 ∠ F C B {\displaystyle \angle FCB} 는 각각 음과 양의 부호를 취하며, 이들의 사인 값은 각각 음수와 양수이다. 따라서, 두 번째 조건이 만족되려면 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가운데 정확히 짝수 개가 외분점이어야 한다. 점 D {\displaystyle D} 와 D ′ {\displaystyle D'} , E {\displaystyle E} 와 E ′ {\displaystyle E'} , F {\displaystyle F} 와 F ′ {\displaystyle F'} 이 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선 위의 점이며, 서로 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 중점에 대한 반사상이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 는 공점선이다. A D ′ {\displaystyle AD'} , B E ′ {\displaystyle BE'} , C F ′ {\displaystyle CF'} 은 공점선이다. 이는 각 변의 직선 위 두 점의 단순비가 서로 역수이기 때문이다. 점 D {\displaystyle D} 와 D ′ {\displaystyle D'} , E {\displaystyle E} 와 E ′ {\displaystyle E'} , F {\displaystyle F} 와 F ′ {\displaystyle F'} 이 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 직선 위의 점이며, 이 6개의 점이 공원점을 이룬다고 하자. (즉, 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 와 D ′ E ′ F ′ {\displaystyle D'E'F'} 의 외접원은 같다고 하자.) 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 는 공점선이다. A D ′ {\displaystyle AD'} , B E ′ {\displaystyle BE'} , C F ′ {\displaystyle CF'} 은 공점선이다. 이는 방멱 정리를 통해 증명할 수 있다. 삼각형의 세 중선은 공점선이며, 삼각형의 무게 중심에서 만난다. 이는 세 중점의 단순비가 모두 1이기 때문이다. 삼각형의 세 내각의 이등분선은 공점선이며, 삼각형의 내심에서 만난다. 삼각형의 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선 역시 공점선이며, 이들은 삼각형의 한 방심에서 만난다. 이는 각의 이등분선 정리에 의하여 내각 또는 외각의 이등분선과 대변의 교점의 단순비의 절댓값이 각의 두 이웃변의 길이의 비율과 같기 때문이다. 1678년에 이탈리아의 수학자 조반니 체바가 처음 제시한 것으로 알려졌으나, 11세기 사라고사 타이파의 왕 유수프 알무타만 이븐 후드가 먼저 발견하였다.:193-194, §5.8 체바 직선 하루키 정리 메넬라오스 정리 각체바 정리 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Holme, Audun (2010). 《Geometry》 (영어) 2판. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN 978-3-642-14440-0.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 체바 정리 “Ceva theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ceva's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.