하우스도르프 측도

측도론에서 하우스도르프 측도(영어: Hausdorff measure)는 임의의 거리 공간에 d {\displaystyle d} 차원 "부피"를 부여하는 방법이다. 거리 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} 의 지름은 다음과 같다. diam ⁡ X = sup { d X ( x , y ) : x , y ∈ X } ( X ≠ ∅ ) {\displaystyle \operatorname {diam} X=\sup\{d_{X}(x,y)\colon x,y\in X\}\qquad (X\neq \varnothing )} diam ⁡ ∅ = 0 {\displaystyle \operatorname {diam} \varnothing =0} 임의의 d > 0 {\displaystyle d>0} 및 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 에 대하여, 함수 H δ d : P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle H_{\delta }^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} H δ , open d : P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} H δ , closed d : P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} 를 다음과 같이 정의하자. H δ d ( S ) = inf { ∑ U ∈ U ( diam ⁡ U ) d : U ⊆ P ( X ) , | U | ≤ ℵ 0 , ⋃ U ∈ U U ⊇ S , ∀ U ∈ U : diam ⁡ U < δ } {\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{U\in {\mathcal {U}}}(\operatorname {diam} U)^{d}\colon {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X),\;|{\mathcal {U}}|\leq \aleph _{0},\;\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U\supseteq S,\;\forall U\in {\mathcal {U}}\colon \operatorname {diam} U<\delta \right\}} H δ , open d ( S ) = inf { ∑ U ∈ U ( diam ⁡ U ) d : U ⊆ P ( X ) , | U | ≤ ℵ 0 , ⋃ U ∈ U U ⊇ S , ∀ U ∈ U : diam ⁡ U < δ , U  open } {\displaystyle H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{U\in {\mathcal {U}}}(\operatorname {diam} U)^{d}\colon {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X),\;|{\mathcal {U}}|\leq \aleph _{0},\;\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U\supseteq S,\;\forall U\in {\mathcal {U}}\colon \operatorname {diam} U<\delta ,\,U{\text{ open}}\right\}} H δ , closed d ( S ) = inf { ∑ U ∈ U ( diam ⁡ U ) d : U ⊆ P ( X ) , | U | ≤ ℵ 0 , ⋃ U ∈ U U ⊇ S , ∀ U ∈ U : diam ⁡ U < δ , U  closed } {\displaystyle H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{U\in {\mathcal {U}}}(\operatorname {diam} U)^{d}\colon {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X),\;|{\mathcal {U}}|\leq \aleph _{0},\;\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U\supseteq S,\;\forall U\in {\mathcal {U}}\colon \operatorname {diam} U<\delta ,\,U{\text{ closed}}\right\}} 그렇다면 하우스도르프 외측도 H d : P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle H^{d}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} 는 다음과 같다. H d ( S ) = sup δ > 0 H δ d ( S ) = lim δ → 0 H δ d ( S ) = sup δ > 0 H δ , open d ( S ) = lim δ → 0 H δ , open d ( S ) = sup δ > 0 H δ , closed d ( S ) = lim δ → 0 H δ , closed d ( S ) {\displaystyle H^{d}(S)=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)=\sup _{\delta >0}H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta ,{\text{open}}}^{d}(S)=\sup _{\delta >0}H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta ,{\text{closed}}}^{d}(S)} 즉, 덮개를 열린 집합 또는 닫힌 집합에 국한하여도 상관없다. 이는 외측도를 이루며, 이를 하우스도르프 외측도에 대한 카라테오도리 가측 집합들로 국한하면 이는 측도를 이룬다. 이를 d {\displaystyle d} 차원 하우스도르프 측도라고 한다. 하우스도르프 측도는 완비 측도이다. 모든 보렐 집합은 하우스도르프 가측 집합이며, 완비 측도이므로 모든 르베그 가측 집합 역시 하우스도르프 가측 집합이다. n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간에서, n {\displaystyle n} 차원 하우스도르프 가측 집합들은 르베그 가측 집합과 일치하며, 이 경우 하우스도르프 측도는 (상수 계수를 제외하고) 르베그 측도와 일치한다. n ≠ d {\displaystyle n\neq d} 일 경우 d {\displaystyle d} 차원 하우스도르프 가측 집합 가운데 르베그 가측 집합이 아닌 것이 있을 수 있다. 수슬린(영어: Souslin) 거리 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} 위의 d {\displaystyle d} 차원 하우스로르프 측도 H d {\displaystyle H^{d}} 를 생각하자. 그렇다면, 임의의 보렐 집합 B ∈ B ( X ) {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(X)} 및 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, H d ( B ) − ϵ ≤ H d ( K B , ϵ ) < ∞ {\displaystyle H^{d}(B)-\epsilon \leq H^{d}(K_{B,\epsilon })<\infty } 인 콤팩트 집합 K B , ϵ ⊆ B {\displaystyle K_{B,\epsilon }\subseteq B} 가 존재한다.:140, §7.14.x, Theorem 7.14.31 하우스도르프 차원 Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.  “Hausdorff measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hausdorff measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.