나카지마 화살집 다양체

대수기하학과 그래프 이론에서 나카지마 화살집 다양체([中島]화살집多樣體, 영어: Nakajima quiver variety)는 화살집에 대응되는 특별한 초켈러 다양체이다. 카츠-무디 대수의 표현론과 관련되어 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 화살집 Γ {\displaystyle \Gamma } 각 꼭짓점 i ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle i\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여, 두 유한 차원 복소수 벡터 공간 V i {\displaystyle V_{i}} , W i {\displaystyle W_{i}} 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다. E = ⨁ i ∈ V ⁡ ( Γ ) ( hom ⁡ ( V i , W i ) ) ⊕ ⨁ i , j ∈ V ⁡ ( Γ ) , e ∈ hom Γ ⁡ ( i , j ) hom ⁡ ( V i , V j ) {\displaystyle E=\bigoplus _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V_{i},W_{i}))\oplus \bigoplus _{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom _{\Gamma }(i,j)}\hom(V_{i},V_{j})} 그 차원은 dim ⁡ V i = v i {\displaystyle \dim V_{i}=v_{i}} dim ⁡ W i = w i {\displaystyle \dim W_{i}=w_{i}} 로 놓고, C V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}} 위의 브라-켓 표기법을 사용하면 dim C ⁡ E = ⟨ v | A ( Γ ) | v ⟩ + ⟨ v | w ⟩ {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }E=\langle v|{\mathsf {A}}(\Gamma )|v\rangle +\langle v|w\rangle } 이다. 여기서 A ( Γ ) {\displaystyle {\mathsf {A}}(\Gamma )} 는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 인접 행렬이다. 만약 ( V i , W i ) i ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (V_{i},W_{i})_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}} 에 각각 복소수 내적 공간의 구조를 부여하면, E {\displaystyle E} 역시 복소수 내적 공간이 된다. 또한, T ∗ E ≅ E ⊕ E ∗ = ⨁ i ∈ V ⁡ ( Γ ) ( hom ⁡ ( V i , W i ) ⊕ hom ⁡ ( W i , V i ) ) ⊕ ⨁ i , j ∈ V ⁡ ( Γ ) , e ∈ hom Γ ⁡ ( i , j ) ( hom ⁡ ( V i , V j ) ⊕ hom ⁡ ( V j , V i ) ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}E\cong E\oplus E^{*}=\bigoplus _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V_{i},W_{i})\oplus \hom(W_{i},V_{i}))\oplus \bigoplus _{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom _{\Gamma }(i,j)}(\hom(V_{i},V_{j})\oplus \hom(V_{j},V_{i}))} 위에는 자연스럽게 사원수 벡터 공간의 구조가 주어진다. 이 위에는 대수군 G = ∏ i ∈ V ⁡ ( Γ ) GL ⁡ ( V i ; C ) {\displaystyle G=\prod _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}\operatorname {GL} (V_{i};\mathbb {C} )} 이 작용하며, 이는 T ∗ E {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}E} 의 초켈러 다양체 구조와 호환된다. G {\displaystyle G} 의 작용의 운동량 사상 μ : T ∗ E → l i e ( G ) ∗ {\displaystyle \mu \colon \mathrm {T} ^{*}E\to {\mathfrak {lie}}(G)^{*}} 의 정귯값 ζ ∈ l i e ( G ) ∗ {\displaystyle \zeta \in {\mathfrak {lie}}(G)^{*}} 에 대하여 초켈러 몫 E / / / G {\displaystyle E/\!/\!/G} 를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, 기하 불변량 이론 몫을 취하여 준안정점이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 대수다양체를 ( Γ , ( V i , W i ) i ∈ V ⁡ ( Γ ) ) {\displaystyle (\Gamma ,(V_{i},W_{i})_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )})} 의 나카지마 화살집 다양체라고 한다. 이는 흔히 M ( Γ , v , w ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)} 로 표기된다. 그 복소수 차원은 dim C ⁡ M ( Γ , v , w ) = 2 ( ⟨ v | ( A ( Γ ) − 1 ) | v ⟩ + ⟨ v | w ⟩ ) {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)=2(\langle v|({\mathsf {A}}(\Gamma )-1)|v\rangle +\langle v|w\rangle )} 이다. 여기서 1 − A ( Γ ) {\displaystyle 1-{\mathsf {A}}(\Gamma )} 는 일반화 카르탕 행렬이라고 한다. (만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집이라면, 이는 해당 ADE형 아핀 리 대수의 카르탕 행렬과 같다.) 나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 초켈러 다양체를 이룬다. Γ {\displaystyle \Gamma } 가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집(즉, 해당 ADE형의 확장 딘킨 도표)라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 딘킨 도표 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, 인접 행렬 A ( Γ ) {\displaystyle {\mathsf {A}}(\Gamma )} 는 대각 성분이 0인 정수 계수 대칭 행렬이다. 이제, | v ⟩ ∈ ( 1 − A ( Γ ) ) = | 1 ⟩ {\displaystyle |v\rangle \in (1-{\mathsf {A}}(\Gamma ))=|1\rangle } ⟨ 1 | v ⟩ = 1 {\displaystyle \langle 1|v\rangle =1} 인 | v ⟩ ∈ C V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle |v\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}} 를 고를 수 있다. 여기서 | 1 ⟩ ∈ C V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle |1\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}} 은 자명한 표현에 대응되는 매케이 화살집 꼭짓점에 대한 단위 벡터이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는 | v ⟩ {\displaystyle |v\rangle } 를 유일하게 결정한다. 그렇다면 M ( | v ⟩ , | 1 ⟩ ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(|v\rangle ,|1\rangle )} 은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 점근 국소 유클리드 공간(영어: asymptotically locally Euclidean [ALE] space)이다. 즉, 이 경우 dim C ⁡ M ( Γ , | v ⟩ , | 1 ⟩ ) = 2 {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,|v\rangle ,|1\rangle )=2} 이다. 이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수 ζ ∈ R 3 {\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} ^{3}} 는 ALE공간의 크기를 결정한다. ζ → 0 {\displaystyle \zeta \to 0} 극한은 ALE 공간이 오비폴드 R 4 / G {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}/G} 로 가는 극한에 해당한다. Γ {\displaystyle \Gamma } 가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 화살집이라고 하자. 그렇다면, E = hom ⁡ ( V , V ) ⊕ hom ⁡ ( V , W ) {\displaystyle E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,W)} T ∗ E = hom ⁡ ( V , V ) ⊕ hom ⁡ ( V , V ) ⊕ hom ⁡ ( V , W ) ⊕ hom ⁡ ( W , V ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,V)\oplus \hom(V,W)\oplus \hom(W,V)} 이다. 이 경우 dim R ⁡ M ( v , w ) = 4 v w {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }{\mathcal {M}}(v,w)=4vw} 인 초켈러 다양체를 얻는다. 이는 순간자수가 k {\displaystyle k} 인 SU ⁡ ( w ) {\displaystyle \operatorname {SU} (w)} 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간이며, 이는 ADHM 작도와 같다. 이 밖에도, ALE 공간 위의 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 SU(2) 유한 부분군 G {\displaystyle G} 매케이 화살집이며, | v ⟩ {\displaystyle |v\rangle } 와 | w ⟩ {\displaystyle |w\rangle } 는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로, w {\displaystyle w} 는 순간자가 기본군 π 1 ( R 4 / G ) ≅ G {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{4}/G)\cong G} 를 돌았을 때의 홀로노미를 묘사하며, v {\displaystyle v} 는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 기저는 G {\displaystyle G} 의 성분들의 “비아벨 푸리에 변환”에 해당한다. 만약 모든 i ∈ V ⁡ ( Γ ) {\displaystyle i\in \operatorname {V} (\Gamma )} 에 대하여 ⟨ i | v ⟩ = 1 {\displaystyle \langle i|v\rangle =1} 이라면 (즉, 모든 V i {\displaystyle V_{i}} 의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 원환면 G = U ⁡ ( 1 ) | V ⁡ ( Γ ) | {\displaystyle G=\operatorname {U} (1)^{|\operatorname {V} (\Gamma )|}} 이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 원환 다양체의 특수한 경우이다. 나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머(영어: Peter B. Kroneimer)와 나카지마 히라쿠(일본어: 中島 啓 (なかじま ひらく), 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 양-밀스 순간자의 ADHM 작도를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다. 이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 화살집에 대하여 일반화하였다. Ginzburg, Victor (2008). “Lectures on Nakajima’s quiver varieties” (영어). arXiv:0905.0686.  Nakajima, Hiraku (2016). “Introduction to quiver varieties for ring and representation theorists” (영어). arXiv:1611.10000.  Joó, Dániel (2015). 《Toric quiver varieties》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Mátyás Domokos). Central European University.  Kronheimer, Peter B.; Nakajima, Hiraku (1990). “Yang–Mills instantons on ALE gravitational instantons”. 《Mathematische Annalen》 (영어) 288 (1): 263–307. doi:10.1007/BF01444534. ISSN 0025-5831.  Nakajima, Hiraku (1994). “Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac–Moody algebras”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 76: 365–416. doi:10.1215/S0012-7094-94-07613-8. MR 1302318. Zbl 0826.17026.  지원되지 않는 변수 무시됨: |ㅗ= (도움말) Weisstein, Eric Wolfgang. “Nakajima quiver variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Quiver varieties”. 《nLab》 (영어).