프로베니우스 방법

프로베니우스 방법(Frobenius方法, 영어: Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다. 정칙 함수 p 1 ( z ) , … , p k ( z ) {\displaystyle p_{1}(z),\dots ,p_{k}(z)} 가 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙 함수 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 에 대한 k차 선형 상미분 방정식 f ( k ) ( z ) + z − 1 p k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) ( z ) + ⋯ + z 1 − n p 1 ( z ) f ′ ( z ) + z − n p 0 f ( z ) = 0 {\displaystyle f^{(k)}(z)+z^{-1}p_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots +z^{1-n}p_{1}(z)f'(z)+z^{-n}p_{0}f(z)=0} 은 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, 프로베니우스 방법은 f {\displaystyle f} 를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다. f ( z ) = z r + a 1 z r + 1 + a 2 z r + 2 + ⋯ {\displaystyle f(z)=z^{r}+a_{1}z^{r+1}+a_{2}z^{r+2}+\cdots } 이 경우, 미지의 최저 차수 r {\displaystyle r} 는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 z → 0 {\displaystyle z\to 0} 근처에서 다음과 같다. 0 = ( r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 1 ) + p k − 1 ( 0 ) r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 2 ) + ⋯ + p 1 ( 0 ) r + p 0 ( 0 ) ) z r − k + O ( z r − k + 1 ) {\displaystyle 0=\left(r(r-1)\cdots (r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p_{1}(0)r+p_{0}(0)\right)z^{r-k}+{\mathcal {O}}(z^{r-k+1})} 따라서, 0 = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 1 ) + p k − 1 ( 0 ) r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 2 ) + ⋯ + p 1 ( 0 ) r + p 0 ( 0 ) {\displaystyle 0=r(r-1)\cdots (r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p_{1}(0)r+p_{0}(0)} 임을 알 수 있다. r {\displaystyle r} 에 대한 이 n차 다항식을 결정 다항식(영어: indicial polynomial)이라고 하며, r {\displaystyle r} 는 결정 다항식의 근이다. 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다. 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다. f ( z ) = z r ∑ m = 1 k − 1 ∑ n = 0 ∞ a m , n ( ln ⁡ z ) m z n {\displaystyle f(z)=z^{r}\sum _{m=1}^{k-1}\sum _{n=0}^{\infty }a_{m,n}(\ln z)^{m}z^{n}} 다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (푹스 정리 영어: Fuchs’ theorem). 결정 다항식의 근들이 { r 1 , … , } {\displaystyle \{r_{1},\dots ,\}} 이고, λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 의 중복도가 m i {\displaystyle m_{i}} 라고 하자. 또한, i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 인 경우 r i − r j {\displaystyle r_{i}-r_{j}} 가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 r i {\displaystyle r^{i}} 에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다. f i , 0 = z r i ( ⋯ ) {\displaystyle f_{i,0}=z^{r_{i}}(\cdots )} f i , 1 = f i , 0 ( z ) ln ⁡ z 2 π i exp ⁡ ( 2 π i r i ) + z r i ( ⋯ ) {\displaystyle f_{i,1}=f_{i,0}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )} f i , 2 = f i , 1 ( z ) ln ⁡ z 2 π i exp ⁡ ( 2 π i r i ) + z r i ( ⋯ ) {\displaystyle f_{i,2}=f_{i,1}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )} ⋮ {\displaystyle \vdots } f i , m i − 1 = f i , m i − 2 ( z ) ln ⁡ z 2 π i exp ⁡ ( 2 π i r i ) + z r i ( ⋯ ) {\displaystyle f_{i,m_{i}-1}=f_{i,m_{i}-2}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )} 여기서 ( ⋯ ) {\displaystyle (\cdots )} 는 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 정칙 함수를 나타낸다. 이 경우, z = 0 {\displaystyle z=0} 을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다. ( f i , m i − 1 f i , m i − 2 ⋮ f i , 1 f i , 0 ) ↦ ( exp ⁡ ( 2 π i r i ) 1 exp ⁡ ( 2 π i r i ) 1 ⋱ ⋱ exp ⁡ ( 2 π i r i ) 1 exp ⁡ ( 2 π i r i ) ) ( f i , m i − 1 f i , m i − 2 ⋮ f i , 1 f i , 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{i,m_{i}-1}\\f_{i,m_{i}-2}\\\vdots \\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{i})&1\\&\exp(2\pi ir_{i})&1\\&&\ddots &\ddots \\&&&\exp(2\pi ir_{i})&1\\&&&&\exp(2\pi ir_{i})\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{i,m_{i}-1}\\f_{i,m_{i}-2}\\\vdots \\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}}} 1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식 f ′ ( z ) + p ( z ) f ( z ) / z = 0 {\displaystyle f'(z)+p(z)f(z)/z=0} 의 경우, 결정 다항식은 r = − p ( 0 ) {\displaystyle r=-p(0)} 이며, 이에 따라 해는 f ( z ) = z − p ( 0 ) ( a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle f(z)=z^{-p(0)}(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots )} 의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로 f ( z ) = exp ⁡ ( C − ∫ 0 z p ( z ′ ) d z z ′ ) = exp ⁡ ( C − p ( 0 ) ln ⁡ z + p ′ ( 0 ) z + p ″ ( 0 ) z 2 / 4 + ⋯ ) {\displaystyle f(z)=\exp \left(C-\int _{0}^{z}{\frac {p(z')dz}{z'}}\right)=\exp \left(C-p(0)\ln z+p'(0)z+p''(0)z^{2}/4+\cdots \right)} 로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 z → exp ⁡ ( i θ ) z {\displaystyle z\to \exp(i\theta )z} 에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로 f ( z ) → exp ⁡ ( − 2 π i p ( 0 ) ) f ( z ) {\displaystyle f(z)\to \exp(-2\pi ip(0))f(z)} 가 됨을 알 수 있다. 2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다. r = 1 2 ( 1 − p 1 ( 0 ) ± ( p 1 ( 0 ) − 1 ) 2 − 4 p 2 ( 0 ) ) {\displaystyle r={\frac {1}{2}}\left(1-p_{1}(0)\pm {\sqrt {(p_{1}(0)-1)^{2}-4p_{2}(0)}}\right)} 이 경우 두 근을 r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} 라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다. 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 r 1 − r 2 {\displaystyle r_{1}-r_{2}} 가 정수가 아니라면 f 1 ( z ) = z r 1 ( a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle f_{1}(z)=z^{r_{1}}\left(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots \right)} f 2 ( z ) = z r 2 ( b 0 + b 1 z + b 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle f_{2}(z)=z^{r_{2}}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)} 와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우, z → exp ⁡ ( i θ ) z {\displaystyle z\to \exp(i\theta )z} 와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다. ( f 1 f 2 ) → ( exp ⁡ ( 2 π i r 1 ) 0 0 exp ⁡ ( 2 π i r 2 ) ) ( f 1 f 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{1})&0\\0&\exp(2\pi ir_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}} 만약 두 근이 서로 겹친다면 ( r 1 = r 2 = r {\displaystyle r_{1}=r_{2}=r} ) 두 근은 다음과 같은 꼴이다. f 1 ( z ) = z r ( a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle f_{1}(z)=z^{r}\left(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots \right)} f 2 ( z ) = f 1 ( z ) ln ⁡ z + z r ( b 0 + b 1 z + b 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle f_{2}(z)=f_{1}(z)\ln {z}+z^{r}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)} 이 경우, z → exp ⁡ ( i θ ) z {\displaystyle z\to \exp(i\theta )z} 와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다. ( f 1 f 2 ) → ( exp ⁡ ( 2 π i r ) 0 2 π i exp ⁡ ( 2 π i r ) exp ⁡ ( 2 π i r ) ) ( f 1 f 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir)&0\\2\pi i\exp(2\pi ir)&\exp(2\pi ir)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}} 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 r 1 − r 2 = n ∈ Z + {\displaystyle r_{1}-r_{2}=n\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다. f 1 ( z ) = z r 1 ( a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle f_{1}(z)=z^{r_{1}}(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots )} f 2 ( z ) = C f 1 ( z ) ln ⁡ z + z r 2 ( b 0 + b 1 z + b 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle f_{2}(z)=Cf_{1}(z)\ln z+z^{r_{2}}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)} 이 경우 C = 0 {\displaystyle C=0} 또는 C = 1 {\displaystyle C=1} 이다. 이 경우, z → exp ⁡ ( i θ ) z {\displaystyle z\to \exp(i\theta )z} 와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다. ( f 1 f 2 ) → ( exp ⁡ ( 2 π i r 1 ) 0 2 π i C exp ⁡ ( 2 π i r 1 ) exp ⁡ ( 2 π i r 1 ) ) ( f 1 f 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{1})&0\\2\pi iC\exp(2\pi ir_{1})&\exp(2\pi ir_{1})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}} 베셀 방정식 f ″ + z − 1 f ′ + ( 1 − α 2 / z 2 ) f = 0 {\displaystyle f''+z^{-1}f'+(1-\alpha ^{2}/z^{2})f=0} 을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은 r ( r − 1 ) + r − α 2 {\displaystyle r(r-1)+r-\alpha ^{2}} 이다. 따라서 r = ± α {\displaystyle r=\pm \alpha } 가 된다. 즉, α ∉ Z {\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} } 라면 해는 z = 0 {\displaystyle z=0} 근처에서 f ( z ) ∝ z ± α ( 1 + ⋯ ) {\displaystyle f(z)\propto z^{\pm \alpha }(1+\cdots )} 의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 { J α ( z ) , J − α ( z ) } {\displaystyle \{J_{\alpha }(z),J_{-\alpha }(z)\}} 에 의하여 주어지며, 이들은 z = 0 {\displaystyle z=0} 근처에서 다음과 같다. J ± α ( z ) ∼ ( z / 2 ) ± α Γ ( 1 ± α ) + ⋯ {\displaystyle J_{\pm \alpha }(z)\sim {\frac {(z/2)^{\pm \alpha }}{\Gamma (1\pm \alpha )}}+\cdots } 여기서 ⋯ {\displaystyle \cdots } 는 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 정칙 함수이다. 만약 α = 0 {\displaystyle \alpha =0} 이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 { J 0 ( z ) , Y 0 ( z ) } {\displaystyle \{J_{0}(z),Y_{0}(z)\}} 이며, z = 0 {\displaystyle z=0} 근처에서 J 0 ( z ) ∼ 1 + ⋯ {\displaystyle J_{0}(z)\sim 1+\cdots } Y 0 ( z ) ∼ ( 2 / π ) J 0 ( z ) ln ⁡ z + ⋯ {\displaystyle Y_{0}(z)\sim (2/\pi )J_{0}(z)\ln z+\cdots } 이다. 여기서 ⋯ {\displaystyle \cdots } 는 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 정칙 함수이다. 만약 α = n ∈ Z + {\displaystyle \alpha =n\in \mathbb {Z} ^{+}} 이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 { J n ( z ) , Y n ( z ) } {\displaystyle \{J_{n}(z),Y_{n}(z)\}} 가 된다. 이 경우 J n ( z ) ∼ ( z / 2 ) n / n ! + ⋯ {\displaystyle J_{n}(z)\sim (z/2)^{n}/n!+\cdots } Y n ( z ) ∼ ( 2 / π ) π J n ( z ) ln ⁡ z + z − n ( ⋯ ) {\displaystyle Y_{n}(z)\sim (2/\pi )\pi J_{n}(z)\ln z+z^{-n}(\cdots )} 이다. 여기서 ⋯ {\displaystyle \cdots } 는 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 정칙 함수이다. 정칙 특이점 로랑 급수 Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Frobenius method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius method”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuchs’s theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.