쌍대뿔

기하학에서, 쌍대뿔(雙對뿔, 영어: dual cone)은 주어진 벡터 집합의 모든 원소와의 내적이 음수가 아닌 벡터들로 구성된 부분 집합이다. 실수 내적 공간 ( V , ⟨ , ⟩ ) {\displaystyle (V,\langle ,\rangle )} 가 주어졌다고 하자. V {\displaystyle V} 의 임의의 부분 집합 C ⊆ R n {\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 의 쌍대뿔은 다음과 같은 부분 집합이다. C ∨ = { v ∈ R n : ⟨ c , v ⟩ ≥ 0 ∀ c ∈ C } {\displaystyle C^{\vee }=\{v\in \mathbb {R} ^{n}\colon \langle c,v\rangle \geq 0\;\forall c\in C\}} 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 뿔은 다음 두 연산에 대하여 닫혀 있는 부분 집합 C ⊆ V {\displaystyle C\subseteq V} 이다. 임의의 v ∈ C {\displaystyle v\in C} 및 λ ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \lambda \in [0,\infty )} 에 대하여, λ v ∈ C {\displaystyle \lambda v\in C} C {\displaystyle C} 는 덧셈에 대한 모노이드이다. 즉, 임의의 u , v ∈ C {\displaystyle u,v\in C} 에 대하여, u + v ∈ C {\displaystyle u+v\in C} 이다. ( 0 ∈ C {\displaystyle 0\in C} 인 것은 첫째 조건에 대하여 항상 성립한다.) 실수 내적 공간 V {\displaystyle V} 속의 임의의 부분 집합 C ⊆ V {\displaystyle C\subseteq V} 의 쌍대뿔 C ∨ ⊆ V {\displaystyle C^{\vee }\subseteq V} 은 항상 뿔이며, 볼록 집합이며, 닫힌집합이다. 증명: 스칼라곱에 대한 닫힘: 임의의 λ ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \lambda \in [0,\infty )} 및 u ∈ C ∨ {\displaystyle u\in C^{\vee }} 및 c ∈ C {\displaystyle c\in C} 에 대하여, ⟨ λ u , c ⟩ = λ ⟨ u , c ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \lambda u,c\rangle =\lambda \langle u,c\rangle \geq 0} 덧셈에 대한 닫힘: 임의의 u , v ∈ C ∨ {\displaystyle u,v\in C^{\vee }} 및 c ∈∈ C {\displaystyle c\in \in C} 에 대하여, ⟨ u + v , c ⟩ = ⟨ u , c ⟩ + ⟨ v , c ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle u+v,c\rangle =\langle u,c\rangle +\langle v,c\rangle \geq 0} 볼록성: 임의의 u , v ∈ C ∨ {\displaystyle u,v\in C^{\vee }} 및 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여, t u , ( 1 − t ) v ∈ C ∨ {\displaystyle tu,(1-t)v\in C^{\vee }} 이므로 t u + ( 1 − t ) v ∈ C ∨ {\displaystyle tu+(1-t)v\in C^{\vee }} 닫힌집합: C ∨ {\displaystyle C^{\vee }} 속의 임의의 점렬 ( u i ) i ∈ N {\displaystyle (u_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 이 u = lim i → ∞ u i {\displaystyle \textstyle u=\lim _{i\to \infty }u_{i}} 로 수렴한다면, 임의의 c ∈ C {\displaystyle c\in C} 에 대하여 ⟨ u , c ⟩ = lim i → ∞ ⟨ u i , c ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \textstyle \langle u,c\rangle =\lim _{i\to \infty }\langle u_{i},c\rangle \geq 0} 실수 내적 공간 V {\displaystyle V} 속의 임의의 부분 집합 C ⊆ V {\displaystyle C\subseteq V} 에 대하여, C ∨ ∨ ⊇ C {\displaystyle C^{\vee \vee }\supseteq C} 이다. 증명: 임의의 c ∈ C {\displaystyle c\in C} 에 대하여, c ∈ C ∨ ∨ {\displaystyle c\in C^{\vee \vee }} 일 필요 충분 조건은 ∀ u ∈ C ∨ : ⟨ c , u ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \forall u\in C^{\vee }\colon \;\langle c,u\rangle \geq 0} 인 것이다. 그런데, ⟨ c , u ⟩ = ⟨ u , c ⟩ {\displaystyle \langle c,u\rangle =\langle u,c\rangle } 이므로, 위 조건은 C ∨ {\displaystyle C^{\vee }} 의 정의에 따라 자동적으로 충족된다. 실수 내적 공간 V {\displaystyle V} 속의 임의의 두 부분 집합 C , D ⊆ V {\displaystyle C,D\subseteq V} 에 대하여, 만약 C ⊆ D {\displaystyle C\subseteq D} 라면, C ∨ ⊇ D ∨ {\displaystyle C^{\vee }\supseteq D^{\vee }} 이다. 실수 내적 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌다고 하자. 공집합 ∅ ⊆ V {\displaystyle \varnothing \subseteq V} 의 쌍대뿔은 ∅ ∨ = V {\displaystyle \varnothing ^{\vee }=V} 이다. { 0 } ⊆ V {\displaystyle \{0\}\subseteq V} 의 쌍대뿔은 { 0 } ∨ = V {\displaystyle \{0\}^{\vee }=V} 이다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간 W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} 의 쌍대뿔은 W ∨ = cl ⁡ W {\displaystyle W^{\vee }=\operatorname {cl} W} (폐포)이다. V ⊆ V {\displaystyle V\subseteq V} 의 쌍대뿔은 V ∨ = { 0 } {\displaystyle V^{\vee }=\{0\}} 이다.