제트 (수학)

미분기하학에서 제트(영어: jet)는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면의 테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 제트 다발(영어: jet bundle)이라는 올다발의 단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.) n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 올다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} 이 주어졌다고 하자. 또한, E {\displaystyle E} 의 올 역시 k {\displaystyle k} 차원의 매끄러운 다양체라고 하자. 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 의 근방에 정의되는, E {\displaystyle E} 의 매끄러운 단면의 공간을 Γ x ( E ) {\displaystyle \Gamma _{x}(E)} 라고 표기하자. E {\displaystyle E} 의 두 매끄러운 국소 단면 s , t ∈ Γ x ( E ) {\displaystyle s,t\in \Gamma _{x}(E)} 이 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서 같은 r {\displaystyle r} 차 제트(영어: r {\displaystyle r} th jet)를 갖는다는 것은 다음과 동치이다. 임의의 M {\displaystyle M} 의 국소 좌표계 및 E {\displaystyle E} 의 국소 자명화 및 다중지표 α ∈ N n {\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}} 에 대하여, 만약 | α | ≤ r {\displaystyle |\alpha |\leq r} 이라면 ∂ α s | x = ∂ α t | x {\displaystyle \partial ^{\alpha }s|_{x}=\partial ^{\alpha }t|_{x}} 즉, x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서의 r {\displaystyle r} 차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 s ∈ Γ x ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma _{x}(E)} 의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서의 r {\displaystyle r} 차 제트를 j x r s {\displaystyle j_{x}^{r}s} 로 표기한다. 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, r {\displaystyle r} 차 제트들의 집합 J x r E {\displaystyle J_{x}^{r}E} 에는 다음과 같이 dim ⁡ J x r E = k ∑ i = 0 r ( i + n − 1 i ) = k ( r + n r ) {\displaystyle \dim J_{x}^{r}E=k\sum _{i=0}^{r}{\binom {i+n-1}{i}}=k{\binom {r+n}{r}}} 차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. M {\displaystyle M} 의 π ( e ) ∈ M {\displaystyle \pi (e)\in M} 에서의 국소 좌표계 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})} 및 이를 확장하는 E {\displaystyle E} 의 e ∈ E {\displaystyle e\in E} 에서의 국소 좌표계 ( x 1 , … , x n , e 1 , … , e k ) {\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},e^{1},\dots ,e^{k})} 가 주어졌다면, ( ∂ α e i ) α ∈ N n , | α | ≤ r , i ∈ { 1 , … , k } {\displaystyle (\partial ^{\alpha }e^{i})_{\alpha \in \mathbb {N} ^{n},\;|\alpha |\leq r,\;i\in \{1,\dots ,k\}}} 는 J x r E {\displaystyle J_{x}^{r}E} 의 국소 좌표계를 정의한다. J x r E {\displaystyle J_{x}^{r}E} 를 E {\displaystyle E} 의 r {\displaystyle r} 차 제트 공간( r {\displaystyle r} 次jet空間, 영어: r {\displaystyle r} th jet space)이라고 한다. r {\displaystyle r} 차 제트 공간에서 s < r {\displaystyle s<r} 차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다. J x r E → J x s E {\displaystyle J_{x}^{r}E\to J_{x}^{s}E} 그러나 s {\displaystyle s} 차 제트 공간에서 r > s {\displaystyle r>s} 차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다. M {\displaystyle M} 위에, r {\displaystyle r} 차 제트 공간 J x r E {\displaystyle J_{x}^{r}E} 을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 r {\displaystyle r} 차 제트 다발 J r E ↠ M {\displaystyle J^{r}E\twoheadrightarrow M} 이라고 한다. 즉, 제트 다발 J r E {\displaystyle J^{r}E} 의 전체 공간은 n + k ( r + n r ) {\displaystyle \textstyle n+k{\binom {r+n}{r}}} 차원이다. 자연스러운 사영 J r E ↠ E {\displaystyle J^{r}E\twoheadrightarrow E} 이 존재하므로, 이는 E {\displaystyle E} 위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상 j r : Γ x ( E ) → Γ x ( J r E ) {\displaystyle j^{r}\colon \Gamma _{x}(E)\to \Gamma _{x}(J^{r}E)} j r : s ↦ j r s ∀ s ∈ Γ x ( E ) {\displaystyle j^{r}\colon s\mapsto j^{r}s\qquad \forall s\in \Gamma _{x}(E)} 이 존재한다. j r s {\displaystyle j^{r}s} 를 s {\displaystyle s} 의 r {\displaystyle r} 차 제트 연장( r {\displaystyle r} 次jet延長, 영어: r {\displaystyle r} th jet prolongation)이라고 한다. 제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다. 제트 다발 사이에는 사영 사상 J r E → J s E ( s < r ) {\displaystyle J^{r}E\to J^{s}E\qquad (s<r)} 이 존재한다. 이에 대한 역극한 J ∞ E = lim ← r ⁡ J r E {\displaystyle J^{\infty }E=\varprojlim _{r}J^{r}E} 을 무한 제트 다발(영어: infinite jet bundle)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 줄 수 있다. 매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의, 올다발 E {\displaystyle E} 의 단면에 대한 r {\displaystyle r} 차 편미분 방정식은 r {\displaystyle r} 차 제트 다발 J r E {\displaystyle J^{r}E} 의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 P ↪ J r E {\displaystyle P\hookrightarrow J^{r}E} 이다. 편미분 방정식 P {\displaystyle P} 의 해(解, 영어: solution)는 제트 연장 j r s : M → J r E {\displaystyle j^{r}s\colon M\to J^{r}E} 의 상 j r s ( M ) {\displaystyle j^{r}s(M)} 이 P {\displaystyle P} 에 속하는, E {\displaystyle E} 의 매끄러운 단면 s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma (E)} 이다. Sol ⁡ ( P ) = { s ∈ Γ ( E ) : j r s ( M ) ⊆ P } {\displaystyle \operatorname {Sol} (P)=\{s\in \Gamma (E)\colon j^{r}s(M)\subseteq P\}} 무한 제트 다발 J ∞ E {\displaystyle J^{\infty }E} 은 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다. J ∞ E {\displaystyle J^{\infty }E} 위의 미분 형식 공간 Ω n J ∞ E {\displaystyle \Omega ^{n}J^{\infty }E} 에서, 차수 n = h + v {\displaystyle n=h+v} 은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다. X {\displaystyle X} 방향의 차수 h {\displaystyle h} . 이를 수평 차수(영어: horizontal degree)라고 한다. 무한 제트 다발의 올 J e ∞ E {\displaystyle J_{e}^{\infty }E} 방향의 차수 v {\displaystyle v} . 이를 수직 차수(영어: vertical degree)라고 한다. 따라서, Ω n E = ⨁ h + v = n Ω h , v J ∞ E {\displaystyle \Omega ^{n}E=\bigoplus _{h+v=n}\Omega ^{h,v}J^{\infty }E} 가 된다. 이를 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 의 변분 이중 복합체(變分二重複合體, 영어: variational bicomplex)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분 d {\displaystyle \mathbf {d} } 역시 수평 방향 d {\displaystyle d} 와 수직 방향 δ {\displaystyle \delta } 로 분해할 수 있다. d = d + δ {\displaystyle \mathbf {d} =d+\delta } d : Ω h , v J ∞ E → Ω h + 1 , v J ∞ E {\displaystyle d\colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h+1,v}J^{\infty }E} δ : Ω h , v J ∞ E → Ω h , v + 1 J ∞ E {\displaystyle \delta \colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h,v+1}J^{\infty }E} 이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어, n {\displaystyle n} 차원 시공간 M {\displaystyle M} 위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 의 단면 ϕ ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \phi \in \Gamma (E)} 이 되고, 라그랑지언 밀도는 미분 형식 L ( j ∞ ϕ ) ∈ Ω n , 0 J ∞ E {\displaystyle {\mathcal {L}}(j^{\infty }\phi )\in \Omega ^{n,0}J^{\infty }E} 이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용 S = ∫ M L ( j ∞ ϕ ) {\displaystyle S=\int _{M}{\mathcal {L}}(j^{\infty }\phi )} 을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식은 δ L ∈ im ⁡ d {\displaystyle \delta L\in \operatorname {im} d} d : Ω n , 1 J ∞ E → Ω n , 1 J ∞ E {\displaystyle d\colon \Omega ^{n,1}J^{\infty }E\to \Omega ^{n,1}J^{\infty }E} 가 된다. 올다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체(영어: Euler–Lagrange complex)를 정의할 수 있다. 0 → R → Ω 0 , 0 → d Ω 1 , 0 → d Ω 2 , 0 → d ⋯ → d Ω n , 0 → F 1 ( J ∞ E ) → δ F 2 ( J ∞ E ) → ⋯ {\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to \Omega ^{0,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{1,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{2,0}{\xrightarrow {d}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega ^{n,0}\to {\mathcal {F}}^{1}(J^{\infty }E){\xrightarrow {\delta }}F^{2}(J^{\infty }E)\to \cdots } 여기서 F v ( E ) = Ω n , v / d ( Ω n − 1 , s ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{v}(E)=\Omega ^{n,v}/d(\Omega ^{n-1,s})} 는 Ω ∙ , ∙ {\displaystyle \Omega ^{\bullet ,\bullet }} 을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계 F v ( E ) ↪ Ω n , v {\displaystyle {\mathcal {F}}^{v}(E)\hookrightarrow \Omega ^{n,v}} 가 존재한다. 오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 E {\displaystyle E} 의 드람 코호몰로지와 동형이다. 임의의 올다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 의 0차 제트 다발은 E {\displaystyle E} 이다. J 0 E = E {\displaystyle J^{0}E=E} 즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다. j 0 s = s ∀ s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle j^{0}s=s\qquad \forall s\in \Gamma (E)} 자명한 올다발 E = M × N ↠ M {\displaystyle E=M\times N\twoheadrightarrow M} 의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다. Γ ( E ) = C ∞ ( M ; N ) {\displaystyle \Gamma (E)={\mathcal {C}}^{\infty }(M;N)} 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 의 1차 제트는 함수의 미분이다. j x 1 f = D f ( x ) ∈ T x ∗ M ⊗ T f ( x ) N {\displaystyle j_{x}^{1}f=Df(x)\in T_{x}^{*}M\otimes T_{f(x)}N} 여기서 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 및 T N {\displaystyle TN} 은 각각 공변접다발과 접다발이다. 따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은 J 1 E = pr M ∗ ⁡ T ∗ M ⊗ pr N ⁡ T N {\displaystyle J^{1}E=\operatorname {pr} _{M}^{*}T^{*}M\otimes \operatorname {pr} _{N}TN} 이다. 여기서 pr M : M × N ↠ M {\displaystyle \operatorname {pr} _{M}\colon M\times N\twoheadrightarrow M} pr N : M × N ↠ N {\displaystyle \operatorname {pr} _{N}\colon M\times N\twoheadrightarrow N} 는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며, pr M ∗ {\displaystyle \operatorname {pr} _{M}^{*}} 은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다. 특히, M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} 일 경우 J 1 E = R n × ( T N ) ⊗ n {\displaystyle J^{1}E=\mathbb {R} ^{n}\times (TN)^{\otimes n}} 이며, 반대로 N = R k {\displaystyle N=\mathbb {R} ^{k}} 일 경우 J 1 E = ( T ∗ M ) ⊗ k × R k {\displaystyle J^{1}E=(T^{*}M)^{\otimes k}\times \mathbb {R} ^{k}} 이다. 후자에서 k = 1 {\displaystyle k=1} 인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로, T ∗ M × R {\displaystyle T^{*}M\times \mathbb {R} } 의 국소 좌표계 ( x i , p i , t ) {\displaystyle (x^{i},p_{i},t)} 를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다. d t + ∑ i p i d x i {\displaystyle dt+\sum _{i}p_{i}dx^{i}} 올과 밑공간이 매끄러운 다양체인 올다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} dim ⁡ M = n {\displaystyle \dim M=n} dim ⁡ E = n + k {\displaystyle \dim E=n+k} 을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발 T E {\displaystyle TE} 의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발(영어: vertical bundle) V E {\displaystyle VE} 를 다음과 같이 정의할 수 있다. V e E = T e E π ( e ) {\displaystyle V_{e}E=T_{e}E_{\pi (e)}} 즉, 올다발 E {\displaystyle E} 의 수직 다발 V E {\displaystyle VE} 의 올 V e E {\displaystyle V_{e}E} 는 E {\displaystyle E} 의 올의 접공간이다. V E {\displaystyle VE} 는 E {\displaystyle E} 위의 k {\displaystyle k} 차원 벡터 다발을 이룬다. 그렇다면, E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 위의 1차 제트 다발은 ( E {\displaystyle E} 위의 올다발로서) 다음과 같다. J 1 E = V E ⊗ E π ∗ T ∗ M {\displaystyle J^{1}E=VE\otimes _{E}\pi ^{*}T^{*}M} dim ⁡ J 1 E = n k + k + n {\displaystyle \dim J^{1}E=nk+k+n} J 1 E ↠ E {\displaystyle J^{1}E\twoheadrightarrow E} 의 단면 θ {\displaystyle \theta } 는 ( π ∗ T ∗ M ⊂ T ∗ E {\displaystyle \pi ^{*}T^{*}M\subset T^{*}E} 이므로) E {\displaystyle E} 위의 V E {\displaystyle VE} 값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한, θ {\displaystyle \theta } 를 다발 사상 T E → V E ⊂ T E {\displaystyle TE\to VE\subset TE} 로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵 ker ⁡ θ ⊂ T E {\displaystyle \ker \theta \subset TE} 는 E {\displaystyle E} 위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉, T E = ker ⁡ θ ⊕ V E {\displaystyle TE=\ker \theta \oplus VE} 가 되어, ker ⁡ θ {\displaystyle \ker \theta } 를 수평 다발로 여길 수 있다. n ∈ Z + ∪ { ∞ } {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}} 겹 피복 공간 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 은 올이 n {\displaystyle n} 개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우, E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의 r {\displaystyle r} 에 대하여 r {\displaystyle r} 차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해, E = J 0 E = J 1 E = J 2 E = ⋯ {\displaystyle E=J^{0}E=J^{1}E=J^{2}E=\cdots } 가 된다. 제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다. 제트 군 Ehresmann, C. (1953). 〈Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie〉. 《Géométrie différentielle: Colloque international du Centre national de la recherche scientifique tenu à Strasbourg, 26 mai – 1 juin 1953》. Colloques internationaux du Centre national de la recherche scientifique (프랑스어) 52. Centre national de la recherche scientifique. 97-127쪽. OCLC 27311357.  Sardanashvily, Gennadi (2013). 《Advanced differential geometry for theoreticians: fiber bundles, jet manifolds and Lagrangian theory》 (PDF) (영어). Lambert Academic Publishing. arXiv:0908.1886. ISBN 978-3-659-37815-7. 2015년 11월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 11월 18일에 확인함.  Sardanashvily, Gennadi (1994). “Five lectures on the jet manifold methods in field theory” (영어). arXiv:hep-th/9411089. Bibcode:1994hep.th...11089S.  Sardanashvily, Gennadi (2002). “Ten lectures on jet manifolds in classical and quantum field theory” (영어). arXiv:math-ph/0203040. 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