하이젠베르크 군

리 군론에서 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 멱영 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다. 다음이 주어졌다고 하자. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} 위의 심플렉틱 벡터 공간 ( V , ω : V × V → K ) {\displaystyle (V,\omega \colon V\times V\to K)} 그렇다면, K {\displaystyle K} -벡터 공간 V ⊕ K {\displaystyle V\oplus K} 위에 다음과 같은 군 연산을 주자. ( u , s ) ⋅ ( v , t ) = ( u + v , s + t + ω ( u , v ) / 2 ) {\displaystyle (\mathbf {u} ,s)\cdot (\mathbf {v} ,t)=(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,s+t+\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )/2)} 이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (\mathbf {0} ,0)} 이며, 그 역원은 − ( u , s ) = ( − u , − s ) {\displaystyle -(\mathbf {u} ,s)=(-\mathbf {u} ,-s)} 이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 Heis ⁡ ( V , ω ; K ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (V,\omega ;K)} 라고 한다. 보통 V {\displaystyle V} 가 명시되어 있지 않은 경우, n = 1 {\displaystyle n=1} 인 경우에 해당한다. 즉, Heis ⁡ ( 1 ; R ) ⊂ GL ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )\subset \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )} 를 의미한다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 심플렉틱 벡터 공간 ( V , ω ) {\displaystyle (V,\omega )} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간 V ⊕ K {\displaystyle V\oplus K} 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다. [ ( u , s ) , ( v , t ) ] = ( 0 , ω ( u , v ) ) ∀ u , v ∈ V , s , t ∈ K {\displaystyle [(\mathbf {u} ,s),(\mathbf {v} ,t)]=(\mathbf {0} ,\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))\qquad \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V,\;s,t\in K} 이를 하이젠베르크 리 대수(영어: Heisenberg Lie algebra) h e i s ( V , ω ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {heis}}(V,\omega ;K)} 라고 한다. V {\displaystyle V} 가 유한 2 n {\displaystyle 2n} 차원일 때, 심플렉틱 기저 ( p i , q i ) i ∈ { 1 , … , n } ⊆ V {\displaystyle ({\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {q}}^{i})_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}\subseteq V} 를 잡을 수 있다. V ⊕ K c {\displaystyle V\oplus K{\mathsf {c}}} 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다. [ p i , q j ] = δ i j c {\displaystyle [{\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {q}}^{j}]=\delta _{i}^{j}{\mathsf {c}}} [ p i , c ] = [ q i , c ] = 0 {\displaystyle [{\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {c}}]=[{\mathsf {q}}_{i},{\mathsf {c}}]=0} 여기서 δ i j {\displaystyle \delta _{i}^{j}} 는 크로네커 델타이다. 하이젠베르크 군 Heis ⁡ ( V , ω ; K ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (V,\omega ;K)} 는 아벨 군 ( V , + ) {\displaystyle (V,+)} 의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다. 1 → K → t ↦ ( 0 , t ) H ( V ) → ( v , t ) ↦ v V → 1 {\displaystyle 1\to K{\xrightarrow {t\mapsto (\mathbf {0} ,t)}}H(V){\xrightarrow {(\mathbf {v} ,t)\mapsto \mathbf {v} }}V\to 1} 마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다. 0 → K → h e i s ( V , ω ; K ) → V → 0 {\displaystyle 0\to K\to {\mathfrak {heis}}(V,\omega ;K)\to V\to 0} 여기서 K {\displaystyle K} 와 V {\displaystyle V} 는 아벨 리 대수이다. 표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다. 만약 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다. 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 위의 내적 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, V ∗ ⊕ V {\displaystyle V^{*}\oplus V} 위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다. ω ( ϕ , u ) = − ω ( u , ϕ ) = ⟨ ϕ | u ⟩ ∀ u ∈ V , ϕ ∈ V ∗ {\displaystyle \omega (\phi ,u)=-\omega (u,\phi )=\langle \phi |u\rangle \qquad \forall u\in V,\;\phi \in V^{*}} ω ( u , v ) = ω ( ϕ , χ ) = 0 ∀ u , v ∈ V , ϕ , χ ∈ V ∗ {\displaystyle \omega (u,v)=\omega (\phi ,\chi )=0\qquad \forall u,v\in V,\;\phi ,\chi \in V^{*}} 그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다. Heis ⁡ ( V ∗ ⊕ V ) → GL ⁡ ( K ⊕ V ⊕ K ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (V^{*}\oplus V)\to \operatorname {GL} (K\oplus V\oplus K)} ( ϕ , u , t ) ↦ ( 1 ϕ t + ⟨ ϕ | u ⟩ / 2 0 1 V u 0 0 1 ) {\displaystyle (\phi ,u,t)\mapsto {\begin{pmatrix}1&\phi &t+\langle \phi |u\rangle /2\\0&1_{V}&u\\0&0&1\end{pmatrix}}} 하이젠베르크 군 Heis ⁡ ( 2 n + 1 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (2n+1;K)} 의 리 대수 h e i s ( 2 n + 1 ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {heis}}(2n+1;K)} 는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다. ( 0 a c 0 0 n × n b 0 0 0 ) ∈ h e i s ( 2 n + 1 ; K ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {heis}}(2n+1;K)} 이 경우, 리 지수 사상은 다음과 같다. exp ⁡ ( 0 a c 0 0 n × n b 0 0 0 ) = ( 1 a c + ( a ⋅ b ) / 2 0 I n × n b 0 0 1 ) {\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )/2\\0&I_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}} 하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 Heis ⁡ ( 2 n + 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Heis} (2n+1;\mathbb {R} )} 의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간 L 2 ⁡ ( R n ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})} 위의 다음과 같은 표현 ρ ℏ {\displaystyle \rho _{\hbar }} 와 동형이다. ρ ℏ ( 1 p t + p q / 2 0 I n × n q 0 0 1 ) : ψ ( x ) ↦ exp ⁡ ( i ( q x + ℏ ( t + p q ) / 2 ) ) ψ ( x + ℏ p ) {\displaystyle \rho _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon \psi (x)\mapsto \exp(i(qx+\hbar (t+pq)/2))\psi (x+\hbar p)} 이를 리 대수 h 2 n + 1 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{2n+1}} 에 대하여 표기하면 다음과 같다. P i ψ ( x ) = ℏ ∂ ∂ x i ψ ( x ) {\displaystyle P^{i}\psi (x)=\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi (x)} Q i ψ ( x ) = i x i ψ ( x ) {\displaystyle Q_{i}\psi (x)=\mathrm {i} x_{i}\psi (x)} C ψ ( x ) = i ℏ ψ ( x ) {\displaystyle C\psi (x)=\mathrm {i} \hbar \psi (x)} 사영 표현 기하화 추측 Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). 《The geometry of Heisenberg groups with applications in signal theory, optics, quantization, and field quantization》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 151. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3. Zbl 1155.22001.  Thangavelu, Sundaram (1998). 《Harmonic analysis on the Heisenberg group》. Progress in Mathematics (영어) 159. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4612-1772-5. ISBN 978-1-4612-7275-5. Zbl 0892.43001.  Howe, Roger Evans (1980). “On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 3 (2): 821. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9. ISSN 0273-0979. MR 578375. Zbl 0442.43002.  Semmes, Stephen (2003년 6월). “An introduction to Heisenberg groups in analysis and geometry” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 50 (6): 640–646. Zbl 1050.22012.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Heisenberg group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Jefferies, B.R.F. (2001). “Weyl calculus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Heisenberg group”. 《nLab》 (영어).  이철희. “하이젠베르크 군과 대수”. 《수학노트》.  Chafaï, Djalil (2011년 10월 8일). “Aspects of the Heisenberg group”. 《Libres pensées d’un mathématicien ordinaire》 (영어).