가우스 소거법

선형대수학에서 가우스 소거법(Gauß消去法, 영어: Gaussian elimination)이란, 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 결국 남은 미지수에 대한 선형 결합으로 표현되면서 풀이가 완성된다. 가우스 소거법은 보통 행렬을 사용하며, 첨가 행렬을 그와 풀이가 같은 더 간단한 행렬로 변환하여 풀이를 완성한다. 가우스 소거법은 행렬식과 역행렬의 계산에도 응용된다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, n {\displaystyle n} 개의 미지수에 대한 m {\displaystyle m} 개의 방정식으로 구성된 연립일차방정식 M x = 0 {\displaystyle Mx=0} 이 주어졌다고 하자. 여기서 M = ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 M 21 M 22 ⋯ M 2 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\M_{21}&M_{22}&\cdots &M_{2,n+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}} 은 주어진 m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행렬이고, x = ( x 1 x 2 ⋮ x n 1 ) {\displaystyle x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\1\end{pmatrix}}} 은 n {\displaystyle n} 개의 미지수를 포함하는 열벡터이다. 즉, 이는 풀어서 쓰면 다음과 같다. M 11 x 1 + M 12 x 2 + ⋯ + M 1 , n x n + M 1 , n + 1 = 0 {\displaystyle M_{11}x_{1}+M_{12}x_{2}+\cdots +M_{1,n}x_{n}+M_{1,n+1}=0} M 21 x 1 + M 22 x 2 + ⋯ + M 2 , n x n + M 2 , n + 1 = 0 {\displaystyle M_{21}x_{1}+M_{22}x_{2}+\cdots +M_{2,n}x_{n}+M_{2,n+1}=0} ⋮ {\displaystyle \vdots } M m 1 x 1 + M m 2 x 2 + ⋯ + M m , n x n + M m , n + 1 = 0 {\displaystyle M_{m1}x_{1}+M_{m2}x_{2}+\cdots +M_{m,n}x_{n}+M_{m,n+1}=0} 이 경우, 이 연립방정식에 다음과 같은 세 가지 연산을 가할 수 있다. 이들을 기본 행 연산(基本行演算, 영어: elementary row operation)이라고 한다. (행의 치환) M {\displaystyle M} 의 i {\displaystyle i} 번째 행과 j {\displaystyle j} 번째 행을 서로 바꾼다. ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M j 1 M j 2 ⋯ M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 ⟹ ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M j 1 M j 2 ⋯ M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0} (행의 상수곱) i {\displaystyle i} 번째 행을 0이 아닌 임의의 상수 a ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle a\in K\setminus \{0\}} 으로 곱한다. ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 ⟹ ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ a M i 1 a M i 2 ⋯ a M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\aM_{i1}&aM_{i2}&\cdots &aM_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0} (행의 합) 임의의 상수 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 에 대하여, i {\displaystyle i} 번째 행의 a {\displaystyle a} 배를 j {\displaystyle j} 번째 행에 더한다. ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M j 1 M j 2 ⋯ M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 ⟹ ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ a M i 1 + M j 1 a M i 2 + M j 2 ⋯ a M i , n + 1 + M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\aM_{i1}+M_{j1}&aM_{i2}+M_{j2}&\cdots &aM_{i,n+1}+M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0} 일반적으로 사다리꼴행렬(Echelon matrix,에쉴론 메트릭스, 또는 행사다리꼴행렬)은, m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행렬 M {\displaystyle M} 에 대하여, j 0 ( i ) = min { j ≤ n : M i j ≠ 0 } {\displaystyle j_{0}(i)=\min\{j\leq n\colon M_{ij}\neq 0\}} 이라고 하면, M i , j 0 ( i ) {\displaystyle M_{i,j_{0}(i)}} 를 i {\displaystyle i} 번째 행의 선행 계수(先行係數, 영어: leading coefficient)라고 한다. 선행 계수는 존재하지 않을 수 있다. m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행렬 M {\displaystyle M} 이 다음 조건을 만족시키면, M {\displaystyle M} 을 행사다리꼴행렬(사다리꼴行列, 영어: échelon matrix)이라고 한다. 만약 0 = M i 1 = ⋯ = M i n {\displaystyle 0=M_{i1}=\cdots =M_{in}} 이라면, 모든 i ≤ i ′ {\displaystyle i\leq i'} 에 대하여 0 = M i ′ 1 = ⋯ = M i ′ n {\displaystyle 0=M_{i'1}=\cdots =M_{i'n}} 이다. 만약 i < i ′ {\displaystyle i<i'} 이며 j 0 ( i ) {\displaystyle j_{0}(i)} 와 j 0 ( i ′ ) {\displaystyle j_{0}(i')} 가 존재한다면, j 0 ( i ) < j 0 ( i ′ ) {\displaystyle j_{0}(i)<j_{0}(i')} 이다. m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행렬 M {\displaystyle M} 이 다음 조건을 만족시키면, M {\displaystyle M} 을 기약행사다리꼴행렬(旣約行사다리꼴行列, 영어: reduced-row échelon matrix)이라고 한다. M {\displaystyle M} 은 행사다리꼴행렬이다. j 0 ( i ) {\displaystyle j_{0}(i)} 가 존재한다면, M i , j 0 ( i ) = 1 {\displaystyle M_{i,j_{0}(i)}=1} 이며, 모든 i ′ ≠ i {\displaystyle i'\neq i} 에 대하여 M i ′ , j 0 ( i ) = 0 {\displaystyle M_{i',j_{0}(i)}=0} 이다. 즉, 행사다리꼴행렬은 행렬의 항들이 대략 위에는 사다리꼴, 밑에는 0인 형태의 행렬이다. 기약행사다리꼴행렬 조건은 행사다리꼴행렬 조건보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, 다음과 같은 행렬은 행사다리꼴행렬이다. ( 1 a 0 a 1 a 2 a 3 0 0 2 a 4 a 5 0 0 0 1 a 6 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\end{pmatrix}}} 다음과 같은 행렬은 기약행사다리꼴행렬이다. ( 1 0 a 1 0 a 2 0 1 a 3 0 a 4 0 0 0 1 a 5 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&a_{1}&0&a_{2}\\0&1&a_{3}&0&a_{4}\\0&0&0&1&a_{5}\end{pmatrix}}} 가우스 소거법은 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 을 기본행연산을 가하여 행사다리꼴행렬로 만드는 알고리즘이며, 다음과 같다. 먼저 첫번째 행을 다음과 같이 처리한다. 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 j 1 ≤ n {\displaystyle j_{1}\leq n} 을 찾는다. M 1 j 1 = 0 {\displaystyle M_{1j_{1}}=0} 이라면, 첫번째 행을 M i 1 j 1 ≠ 0 {\displaystyle M_{i_{1}j_{1}}\neq 0} 인 어떤 i 1 > 1 {\displaystyle i_{1}>1} 번째 행과 치환한다. 모든 i > 1 {\displaystyle i>1} 번째 행에 첫번째 행의 − M i j 1 / M 1 j 1 {\displaystyle -M_{ij_{1}}/M_{1j_{1}}} 배를 더해, M 1 j 1 {\displaystyle M_{1j_{1}}} 밑의 항들을 0으로 만든다. 그 뒤, 두번째 행을 다음과 같이 처리한다. 어떤 i ≥ 2 {\displaystyle i\geq 2} 번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 j 2 ≤ n {\displaystyle j_{2}\leq n} 을 찾는다. M 2 j 2 = 0 {\displaystyle M_{2j_{2}}=0} 이라면, 두번째 행을 M i 2 j 2 ≠ 0 {\displaystyle M_{i_{2}j_{2}}\neq 0} 인 어떤 i 2 > 2 {\displaystyle i_{2}>2} 번째 행과 치환한다. 모든 i > 2 {\displaystyle i>2} 번째 행에 두번째 행의 − M i j 2 / M 2 j 2 {\displaystyle -M_{ij_{2}}/M_{2j_{2}}} 배를 더해, M 2 j 2 {\displaystyle M_{2j_{2}}} 밑의 항들을 0으로 만든다. 뒤에 오는 다른 행에 대하여, 순차적으로 위와 같이 처리한다. 일반적으로, k {\displaystyle k} 번째 행은 다음과 같이 처리한다. 어떤 i ≥ k {\displaystyle i\geq k} 번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 j k ≤ n {\displaystyle j_{k}\leq n} 을 찾는다. M k j k = 0 {\displaystyle M_{kj_{k}}=0} 이라면, k {\displaystyle k} 번째 행을 M i k j k ≠ 0 {\displaystyle M_{i_{k}j_{k}}\neq 0} 인 어떤 i k > k {\displaystyle i_{k}>k} 번째 행과 치환한다. 모든 i > k {\displaystyle i>k} 번째 행에 k {\displaystyle k} 번째 행의 − M i j k / M k j k {\displaystyle -M_{ij_{k}}/M_{kj_{k}}} 배를 더해, M k j k {\displaystyle M_{kj_{k}}} 밑의 항들을 0으로 만든다. 만약 어떤 j r + 1 ≤ n {\displaystyle j_{r+1}\leq n} 가 존재하지 않는다면, r {\displaystyle r} 번째 행에서 멈춘다. 만약 항상 j k ≤ n {\displaystyle j_{k}\leq n} 를 찾을 수 있다면, 모든 k = 1 , 2 , … , m {\displaystyle k=1,2,\ldots ,m} 번째 행에 대하여 순차적으로 위와 같이 처리하며, r = n {\displaystyle r=n} 으로 둔다. 기약행사다리꼴행렬을 원한다면, 찾았던 모든 j k = j r , j r − 2 , … , j 1 {\displaystyle j_{k}=j_{r},j_{r-2},\ldots ,j_{1}} 에 대하여 순차적으로 다음과 같은 단계를 추가로 거친다. k {\displaystyle k} 번째 행에 1 / M k j k {\displaystyle 1/M_{kj_{k}}} 를 곱해, M k j k {\displaystyle M_{kj_{k}}} 를 1로 만든다. 모든 i < k {\displaystyle i<k} 번째 행에 k {\displaystyle k} 번째 행의 − M i j k {\displaystyle -M_{ij_{k}}} 배를 더해, M k j k {\displaystyle M_{kj_{k}}} 위의 항들을 0으로 만든다. 여기서 r ≤ m {\displaystyle r\leq m} 이며 r ≤ n {\displaystyle r\leq n} 인 데 주의하자. 사실, 이는 행렬의 계수이다. 기약행사다리꼴행렬의 과정을 특히 조단이 제시한 "가우스 조단 소거법"으로 부른다. 세 가지 기본행연산은 모두 가역 연산이다. 행의 치환의 역연산은, 자기 자신이다. 행의 상수곱의 역연산은, 그 행에 그 상수 대신 역수를 곱하는 것이다. 어떤 행에 다른 행의 배수를 더하는 것의 역연산은, 더하는 대신 빼는 것이다. 두 연립일차방정식의 첨가 행렬이 하나에 기본행연산을 가하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 행동치라고 한다. 첨가 행렬이 행동치라면, 연립방정식의 풀이는 서로 같다. 기본 행렬은 단위 행렬에 기본행연산을 한 번 가하여 얻는 행렬이다. 이에 따라, 세 가지 기본행연산은 기본 행렬 곱셈과 같다. 가우스 소거법 알고리즘에서 알 수 있듯, 모든 연립일차방정식의 첨가 행렬은 그와 같은 해를 갖는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 따라서, 연립일차방정식의 풀이는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴에 대한 풀이로 귀결된다. m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행사다리꼴행렬 R {\displaystyle R} 에 대한 연립일차방정식 R x = 0 {\displaystyle Rx=0} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 해가 존재한다. 상수항이 0이 아닌 행이 존재하지 않는다. (상수항은 n + 1 {\displaystyle n+1} 번째 열의 항, 0행은 선행 계수가 없는 행을 뜻한다.) 해가 존재하는 R x = 0 {\displaystyle Rx=0} 의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 해가 유일하다. r = n {\displaystyle r=n} . 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수와 같다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재하지 않는다. 달리 말해, 해가 존재하는 R x = 0 {\displaystyle Rx=0} 의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 해가 유일하지 않다. (체의 표수가 0이라면, 이는 해가 무한히 많은 것과 동치이다.) r < n {\displaystyle r<n} . 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수보다 적다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재한다. 가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 행렬식을 계산할 수 있다. 이는 정사각행렬에 대하여 다음 사실들이 성립하기 때문이다. 기본행연산을 가하면, 행렬식은 "상수배" 변화하며, 주어진 기본행연산이 행렬식을 변화시키는 배수는 자명하다. 즉, 행을 치환하면, 행렬식은 -1배가 된다. 행에 상수곱을 하면, 행렬식은 그 상수의 역수배가 된다. 어떤 행에 다른 어떤 행의 상수배를 더하면, 행렬식은 변하지 않는다. 가우스 소거법을 통해 행렬을 행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 특히 정사각행렬이므로, 이는 0행(즉 모든 항이 0인 행)을 갖거나, 상삼각행렬이다. 0행을 갖는 정사각행렬의 행렬식은 0이다. 상삼각행렬의 행렬식은 모든 대각항의 곱이다. 가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 역행렬을 계산할 수 있다. n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 의 역행렬은 다음과 같이 계산한다. M {\displaystyle M} 에 n × n {\displaystyle n\times n} 단위행렬을 추가하여 n × 2 n {\displaystyle n\times 2n} 행렬로 만든다. ( M 1 , 1 ⋯ M 1 , n 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ M n , 1 ⋯ M n , n 0 ⋯ 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}M_{1,1}&\cdots &M_{1,n}&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\M_{n,1}&\cdots &M_{n,n}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}} 이 행렬에 기본행연산을 가하여 ( 1 ⋯ 0 M ~ 11 ⋯ M ~ 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ 0 ⋯ 1 M ~ n , 1 ⋯ M ~ n , n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\cdots &0&{\tilde {M}}_{11}&\cdots &{\tilde {M}}_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \\0&\cdots &1&{\tilde {M}}_{n,1}&\cdots &{\tilde {M}}_{n,n}\end{pmatrix}}} 로 만든다면, 행렬 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 은 M − 1 {\displaystyle M^{-1}} 과 같다. M ~ = M − 1 {\displaystyle {\tilde {M}}=M^{-1}} 가우스 소거법을 사용하여 행렬의 계수를 계산할 수 있다. m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 의 계수는 가우스 소거법을 가하여 얻는 행사다리꼴행렬에서 0이 아닌 행의 계수(즉, 선행 계수의 개수) r {\displaystyle r} 이다. [ 1 3 1 9 1 1 − 1 1 3 11 5 35 ] → [ 1 3 1 9 0 − 2 − 2 − 8 0 2 2 8 ] → [ 1 3 1 9 0 − 2 − 2 − 8 0 0 0 0 ] → [ 1 0 − 2 − 3 0 1 1 4 0 0 0 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\1&1&-1&1\\3&11&5&35\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&2&2&8\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&0&0&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right]} 다음과 같은 선형 방정식이 주어졌다고 하자. 2 u + v + w = 5 4 u − 6 v = − 2 − 2 u + 7 v + 2 w = 9 {\displaystyle {\begin{matrix}2u&+&v&+&w&=&5\\4u&-&6v&&&=&-2\\-2u&+&7v&+&2w&=&9\end{matrix}}} 첫 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다. 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다. 그렇다면 다음과 같다. 2 u + v + w = 5 − 8 v − 2 w = − 12 8 v + 3 w = 14 {\displaystyle {\begin{matrix}2u&+&v&+&w&=&5\\&-&8v&-&2w&=&-12\\&&8v&+&3w&=&14\end{matrix}}} 두 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다. 둘째 식의 1배를 셋째 식에 더한다. 그러면 다음과 같다. 2 u + v + w = 5 − 8 v − 2 w = − 12 w = 2 {\displaystyle {\begin{matrix}2u&+&v&+&w&=&5\\&-&8v&-&2w&=&-12\\&&&&w&=&2\end{matrix}}} 이제 행렬이 사다리꼴이 되었다. 그렇다면, 이제 미지수들을 가장 밑의 행으로부터 순서대로 대입하여 계산할 수 있다. 이것을 후방대입(back substitution)이라 한다. w = 2 {\displaystyle w=2} − 8 v − 2 w = − 12 ⟹ v = 1 {\displaystyle -8v-2w=-12\implies v=1} 2 u + v + w = 5 ⟹ u = 1 {\displaystyle 2u+v+w=5\implies u=1} 정칙(Nonsingular) 행렬일 경우의 예 (식 2와 3을 바꾸어 해결한다) { 10 u + 2 v + − 1 w =   27 − 3 u + − 6 v + 2 w =   − 61.5 u + v + 5 w =   − 21.5 {\displaystyle {\begin{cases}10u+2v+-1w&=\ 27\\-3u+-6v+2w&=\ -61.5\\u+v+5w&=\ -21.5\end{cases}}} 비정칙(Singular) 행렬일 경우의 예 (해가 없는 경우도 있다.) { u + v + w =   ? 2 u + 2 v + 5 w =   ? 4 u + 4 v + 8 w =   ? {\displaystyle {\begin{cases}u+v+w&=\ ?\\2u+2v+5w&=\ ?\\4u+4v+8w&=\ ?\\\end{cases}}} { u + v + w =   ? 3 w =   ? 4 w =   ? {\displaystyle {\begin{cases}u+v+w&=\ ?\\3w&=\ ?\\4w&=\ ?\end{cases}}} 다음과 같은 행렬 M {\displaystyle M} 의 역행렬을 계산한다고 하자. M = ( − 1 1 2 3 − 1 1 − 1 3 4 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\end{pmatrix}}} 기본행연산을 가하면, 다음과 같다. (   A | I ) → ( − 1 1 2 3 − 1 1 − 1 3 4     |     1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) → ( − 1 1 2 0 2 7 0 2 2 | 1 0 0 3 1 0 − 1 0 1 ) → ( − 1 1 2 0 2 7 0 0 − 5 | 1 0 0 3 1 0 − 4 − 1 1 ) → ( 1 − 1 − 2 0 1 3.5 0 0 1 | − 1 0 0 1.5 0.5 0 0.8 0.2 − 0.2 ) → ( 1 − 1 0 0 1 0 0 0 1     |     0.6 0.4 − 0.4 − 1.3 − 0.2 0.7 0.8 0.2 − 0.2 ) → ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1     |     − 0.7 0.2 0.3 − 1.3 − 0.2 0.7 0.8 0.2 − 0.2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\ A&\vert &I\end{pmatrix}}&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&2&2\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-1&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&0&-5\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-4&-1&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&-2\\0&1&3.5\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}-1&0&0\\1.5&0.5&0\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}0.6&0.4&-0.4\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}} 따라서 M − 1 {\displaystyle M^{-1}} 은 다음과 같다. M − 1 = ( − 0.7 0.2 0.3 − 1.3 − 0.2 0.7 0.8 0.2 − 0.2 ) {\displaystyle M^{-1}={\begin{pmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{pmatrix}}} 사다리꼴행렬 크래머 공식 “Gauss method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gaussian elimination”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gauss-JordanElimination”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Echelon form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Elementary row and column operations”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Abdelwahab Kharab & Ronald B. Guenther 2013, 102-109쪽. harv error: 대상 없음: CITEREFAbdelwahab_KharabRonald_B._Guenther2013 (help) Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.