laion/Wikipedia-Exotic huggingface dataset:
대각합

선형대수학에서 대각합(對角合, 영어: trace 트레이스[*], 독일어: Spur 슈푸어[*])은 정사각 행렬의 주대각선 성분들의 합이다. 기호는 tr 또는 Sp. n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 A {\displaystyle A} 의 대각합 tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A)} 는 다음과 같다. tr ⁡ ( A ) = ∑ i = 1 n A i i = A 11 + A 22 + ⋯ + A n n {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}=A_{11}+A_{22}+\cdots +A_{nn}} 함수로서, 대각합 tr : Mat ⁡ ( n ; K ) → K {\displaystyle \operatorname {tr} \colon \operatorname {Mat} (n;K)\to K} 는 선형 범함수이다. 즉, 임의의 n {\displaystyle n} 차 정사각 행렬 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 와 스칼라 c {\displaystyle c} 에 대하여 다음이 성립한다. tr ⁡ ( A + B ) = tr ⁡ ( A ) + tr ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)} tr ⁡ ( c A ) = c tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)} 서로 전치 행렬의 대각합은 서로 같다. 이는 행렬을 전치했을 때 주대각선 성분이 변하지 않기 때문이다. tr ⁡ ( A ) = tr ⁡ ( A T ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\operatorname {T} })} 임의의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A {\displaystyle A} 및 n × m {\displaystyle n\times m} 행렬 B {\displaystyle B} 에 대하여, 다음이 성립한다. tr ⁡ ( A B ) = tr ⁡ ( B A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)} 증명: tr ⁡ ( A B ) = ∑ i = 1 m ( A B ) i i = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n A i j B j i = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m B j i A i j = ∑ j = 1 n ( B A ) j j = tr ⁡ ( B A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}(AB)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(BA)_{jj}=\operatorname {tr} (BA)} 대각합은 닮음 불변량이다. 즉, 서로 닮음 행렬의 대각합은 서로 같다. 즉, 임의의 n {\displaystyle n} 차 가역 행렬 P {\displaystyle P} 및 n {\displaystyle n} 차 정사각 행렬 A {\displaystyle A} 에 대하여, 다음이 성립한다. tr ⁡ ( P − 1 A P ) = tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (A)} 증명: tr ⁡ ( P − 1 A P ) = tr ⁡ ( ( P − 1 A ) P ) = tr ⁡ ( P ( P − 1 A ) ) = tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} ((P^{-1}A)P)=\operatorname {tr} (P(P^{-1}A))=\operatorname {tr} (A)} 행렬의 대각합은 (중복도를 고려한) 고윳값들의 합과 같다. 사실 대각합은 행렬의 특성 다항식의 한 계수이다. tr ⁡ ( A ) = ∑ λ ∈ σ ( A ) λ {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{\lambda \in \sigma (A)}\lambda } 스칼라 곡률 특성함수 (확률론) 체 대각합 골든-톰슨 부등식 대각합류 작용소 Jin Ho Kwak, Sungpyo Hong (2004). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Birkhäuser. ISBN 0817642943.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix trace”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
일왕 (동음이의)

일왕은 다음과 같은 뜻이 있다. 일왕(한국 한자: 日王)은 일본 천황의 다른 표현이다. 일본의 황제라는 뜻으로 부른다. 일왕면(日旺面)은 경기도 화성군 동북부에 존재하던 지명으로, 현재의 수원 광교, 의왕시 동부에 해당된다. 일왕(일본어: 日王 닛왕[*])은 일본의 라면 상표 브랜드명이다. 제목에 "일왕" 항목을 포함한 모든 문서
호쿠리쿠 지방

호쿠리쿠 지방(일본어: 北陸地方)은 주부 지방 가운데 동해에 접하는 네 현, 즉 니가타현, 도야마현, 이시카와현, 후쿠이현을 말한다. 세계적으로 눈이 많은 지역이며, 옛 지방 구분인 호쿠리쿠도에서 유래한다. 니가타현의 경우 지리적으로는 호쿠리쿠 지방에 포함되지만, 지금은 고신에쓰 지방으로 포함하는 경우가 많다. 이는 고속교통망 정비에 따라 도쿄 및 간토 지방의 영향력이 강해졌기 때문이다. 또한 호쿠리쿠 지방과 신에쓰 지방을 합쳐서 호쿠신에쓰 지방이라고도 말한다. 호쿠리쿠 지방은 니가타 현을 제외하면 경제적, 문화적으로 교토시, 오사카시 등 긴키 지방의 영향력이 강한데 특히 긴키 지방에 접하는 후쿠이 현은 긴키 지방에 포함하는 경우도 적지 않다. 호쿠리쿠 자동차도 호쿠리쿠 본선 호쿠리쿠 신칸센 고신에쓰 지방 신에쓰 지방 도호쿠 지방 도카이 지방 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 호쿠리쿠 지방
크레팅가

크레팅가(Kretinga, 독일어: Krottingen)는 리투아니아, 클라이페다 주에 있는 도시이다. 2001년으로서 인구는 21,423명이다. (리투아니아어/영어) 공식홈페이지 Archived 2006년 6월 16일 - 웨이백 머신 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 크레팅가
물병자리의 항성 목록

본 문서는 물병자리에 있는 별들을 다루고 있다. 정렬 기준은 겉보기 등급이다. 별자리별 항성 목록 ESA (1997년). “The Hipparcos and Tycho Catalogues”. 2006년 12월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2006년 12월 26일에 확인함.  지원되지 않는 변수 무시됨: |= (도움말); 다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말) Kostjuk, N. D. (2002년). “HD-DM-GC-HR-HIP-Bayer-Flamsteed Cross Index”. 2006년 11월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2006년 12월 26일에 확인함.  지원되지 않는 변수 무시됨: |= (도움말); 다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말) Roman, N. G. (1987년). “Identification of a Constellation from a Position”. 2006년 11월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2006년 12월 26일에 확인함.  지원되지 않는 변수 무시됨: |= (도움말); 다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말) “SIMBAD Astronomical Database”. Centre de Données astronomiques de Strasbourg.  지원되지 않는 변수 무시됨: |= (도움말) Samus, N. N.; Durlevich, O. V.; et al. (2004년). “Combined General Catalogue of Variable Stars (GCVS4.2)”. 2005년 2월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2007년 1월 4일에 확인함.  지원되지 않는 변수 무시됨: |= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말) Dommanget, J.; Nys, O. (2002년). “Catalogue of the Components of Double and multiple star systems (CCDM)”. 2006년 11월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2007년 1월 6일에 확인함.  지원되지 않는 변수 무시됨: |= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말)
고양시 온수배관 파열사고

고양시 열수송관 파열사고는 2018년 12월 4일에 경기도 고양시 일산동구 백석동에 있는 백석역 부근에서 지역난방 열수송 배관이 파열 된 사고이다. 지역난방 열수송관 파열 사고로 주변 아파트 2천800여 가구에 난방 및 급탕 공급이 끊기는 사고가 발생하였다. 사고 직전 파열 지점을 지나던 사망자가 탔던 차량이 순식간에 쏟아진 끓는 물과 토사에 고립돼 결국 숨졌다. 수사결과 한국지역난방공사 열수송관 파열 사고로 숨진 사망자는 열수송관 파열 지점 근처에서 증기를 보고 차량을 정차한 상태에서 뒷자리로 피하려다가 고온·고압의 물기둥에 변을 당한 것으로 파악됐다. 물은 도로와 인근 상가까지 들이닥쳐 화상 환자도 속출했다. 현장 구조에 나선 소방관도 예외는 아니었다. 한 소방관은 식당 내 고립된 시민들을 대피시키다 발에 2도 화상을 입거나 백석역 출구에 고립된 시민을 업고 구급차까지 이송하다 물이 장화 속에 들어와 왼발에 화상을 입었다. 현장 조사를 한 경찰은 27년된 배관의 용접 부분이 터져 사고가 난 점을 확인했다. 해당 용접 작업은 열수송관을 설치했던 1991년 이뤄졌던 것으로 파악되었다. 사고 원인으로 열수송관의 노후화가 지목되는 만큼, 30년 가까이 된 열수송관을 규정에 맞게 보수, 검사했는지 집중적으로 조사한다는 방침이다. 관련 자료 확보를 위해 한국지역난방공사에 대한 압수 수색도 검토하고 있다. 만약에 과실이 파악되었다면 관련자를 피의자로 형사 입건할 방침이다. 수도권 전철 3호선 백석역 인근에서 발생한 열수송관 파열사고로 60대 남성이 숨진 가운데, 워마드가 오전 0시2분쯤 ‘백석 주꾸미남 탄생’이라는 제목으로 사망자를 조롱하는 글을 올렸다. 노후 열수송관 비율이 77%에 달하는 경기 성남시 분당구와 54%인 서울 강남구의 주민들도 정기적인 점검과 단계적 교체가 필요하다고 입을 모았다. 분당에서는 올해에만 두 차례 열수송관 파열 사고가 발생했다. 경찰, 지역난방공사 압수수색 검토…백석역 온수관 파열 고양 백석역 인근 온수관 파열… 시민 10여명 화상·온수공급 중단 출처: 경인일보 “백석역 사망자, 차 세우고 뒷자리로 피하다 숨진 듯” 중앙일보 백석역 온수관 파열, 부상자 40명 넘을 듯…사망자 사연에 안타까움 이어져 서울경제 난방공사·하청업체로 수사 확대…합동 감식은 시간 걸릴 듯 연합뉴스 “주꾸미남 탄생”, 백석역 사망자 조롱 워마드 향해 “엄벌해야” 빗발 동아일보 “관 터질까 땅 꺼질까, 발밑이 두려워” 문화일보
카스피해물범

카스피해물범(Pusa caspica)은 물범중 가장 작은 종에 속하며, 카스피해에만 서식한다. 해안선뿐만 아니라 호안의 암초에도 발견되며, 유빙에도 서식한다. 겨울등 추운 계절에는 북쪽으로 이동하며, 얼음이 녹기 시작하면 볼가강이나 우랄강 하구, 남쪽지역에서도 발견될 수도 있다. 이들이 카스피해에 고립되어 있는 이유는 분명하지 않다. 어떠한 가설에 의하면 빙하호가 많아질 시기에 이동해 왔다고 한다. 바이칼물범처럼 고리무늬물범과 깊은 관련이 있는 것으로 알려진다. 등 쪽은 노르스름한 짙은 회색이고 배 쪽은 밝은 회색을 띈다. 다음은 물범과의 계통 분류이다. 고리무늬물범 바이칼물범 Dirk-Martin Scheel, Graham Slater, Sergios-Orestis Kolokotronis, Charles Potter, David Rotstein, Kyriakos Tsangaras, Alex Greenwood, Kristofer M. Helgen: Biogeography and taxonomy of extinct and endangered monk seals illuminated by ancient DNA and skull morphology. ZooKeys 409 (2014), Pages: 1-33, doi: 10.3897/zookeys.409.6244
이주영 (북위)

이주영(爾朱榮, 493년 ~ 530년 9월 25일)은 중국 남북조 시대 북위의 정치가로, 자는 천보(天寶)이며 수용(秀容, 현 산서성 선츠현과 숴저우 서남부 일대) 북부 출신이다. 523년 북위에서는 옥야진(沃野鎭, 내몽고 우위안 현 동북부) 주민들의 거병이 있었다. 수령(首領) 파륙한발릉(破六韓拔陵) 지휘 아래 반란병들은 수비대장을 살해하였고, 이들의 움직임에 홀려 기타 여러 진들에도 이에 동조하였다.(6진의 난) 결과적으로 이 반란 자체는 530년 장군 이주영이 진압했으나, 그 후 북위에 대한 양나라 군대의 침공이 있었고, 또한 국내는 정권을 장악한 흉노족 이주(爾朱)씨 일파의 전횡이 일어나 북위가 동서로 분열하여 멸망하는 원인이 되었다. 영태후는 효명제를 독살하고 후계자를 세우지만 육진의 난의 진압 과정 중 대군벌으로 성장한 산서성 삭현 지방의 흉노족 이주(爾朱) 영이 군대를 이끌고 낙양(洛陽)에 들어와 효장제(孝莊帝)를 옹립했다. 6진의 난까지 평정하고 진양(晋陽)에서 조정을 움직였으나 이주(爾朱)영의 휘하 선비족 장수 고환(高歡)이 그 폭정을 비판하여 이주씨(爾朱)와 대립하였다. 사후 532년 고환은 낙양에 들어와 이주씨(爾朱)에 의해 세워진 절민제(節閔帝)을 폐위하고 선비족 효무제를 세웠으며 이주씨(爾朱) 일당을 각지에서 격파하여 정권은 그에게로 넘어갔다. 북향군장공주(北鄕郡長公主) 이주보리(爾朱菩提) 이주차라(爾朱叉羅) 이주문수(爾朱文殊) 이주문창(爾朱文暢) 이주문략(爾朱文略) 이주영아 위키문헌에 이 글과 관련된 원문이 있습니다. zh:魏書/卷74
중설 중모음

중설 중모음(中舌中母音)은 홀소리 가운데 하나로, 모음 표의 한가운데에 위치한다. IPA 기호는 ə이고 이를 ‘슈와’로 부르는데, 음성학 이외 분야에서 이 기호가 꼭 중설 중모음에만 쓰이지만은 않기 때문에 혼동의 여지가 있다. 독일어에서는 '에', 말레이어의 e 중 일부와 프랑스어에서는 '으', 나머지 언어에서는 '어'로 적는다. Ә, ә(키릴 문자)
물범속

물범속(Phoca)은 물범과의 하위분류이며, 두가지 종을 포함한다. 현재 잔점박이물범과 점박이물범이 속해 있으며, 과거에는 다른 종들도 포함되었지만, 이제는 많은 부분으로 나뉘었다. 물범 (Phoca largha) 점박이물범 (Phoca vitulina) 다음은 물범과의 계통 분류이다. Dirk-Martin Scheel, Graham Slater, Sergios-Orestis Kolokotronis, Charles Potter, David Rotstein, Kyriakos Tsangaras, Alex Greenwood, Kristofer M. Helgen: Biogeography and taxonomy of extinct and endangered monk seals illuminated by ancient DNA and skull morphology. ZooKeys 409 (2014), Pages: 1-33, doi: 10.3897/zookeys.409.6244
인디안 퍼시픽

인디안 퍼시픽(영어: Indian Pacific)은 주당 2편 퍼스에서 시드니까지 운행되는 오스트레일리아 장거리 열차이다. 그레이트 서던 레일에 의해 운행되며, 기관차는 퍼시픽 내셔널이 제공한다. 1970년에 퍼스와 시드니 사이의 표준궤 철도가 개통된 후에 운행되기 시작되었다. 소요시간은 65시간이며, 3개의 주를 지난다. 세계에서 가장 긴 직선철도구간중의 하나를 지나는데, 눌라보 평원을 지날 때이다.. Vincent, Peter (2006년 9월 27일). “Railroaded Into Fun”. 《The Age》. 2008년 1월 25일에 확인함.  위키미디어 공용에 인디안 퍼시픽 관련 미디어 분류가 있습니다. Great Southern Rail Trans Australian/Indian Pacific railway ephemera—collected and digitised by the National Library of Australia Indian Pacific celebrates 40th year, Australian Geographic
켈메

켈메(Kelmė)는 리투아니아의 도시로 인구는 1만1,000명이다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 켈메 켈메시 공식 홈페이지 Archived 2012년 4월 15일 - 웨이백 머신
후경의 난

후경의 난(侯景-亂)은 548년에 중국 남북조 시대 양나라의 장군이었던 후경이 중심이 되어 일으킨 반란이다. 547년에 동위를 세웠던 고환이 죽고, 그의 아들 고징이 대승상의 지위를 계승하자 당시 하남 13주의 태수였던 후경은 자신이 가진 군사력 때문에 고징의 의심을 받고 있다는 것을 알고 동위를 배신하여 하남의 영지를 갖고 남조 양나라에 귀순한 사건이 발생하였다. 양나라 무제는 후경의 영지를 접수하기 위해 대군을 보냈다. 그러나 동위는 모용소종(慕容紹宗)에게 후경을 공격하게 하고, 동위에 남아 있던 후경의 처자식을 죽였다. 그리고 양나라 군과 싸워 그들을 격파하고 하남을 되찾았다. 패배한 후경은 양나라에 투항했으나, 고징은 양나라와 수호관계를 맺고, 후경을 고립 상태로 몰아 넣었다. 548년에 양나라와 동위의 협상과정에서 동위로 반환될 상황에 놓인 후경은 급박함에 자신의 영지에서 난을 일으켰다. 처음에는 자신의 정예병 800여 명으로 시작되었으나 강제모병과 해방노예, 양나라의 귀족제 모순 속에서 생계를 위협받던 농민들을 규합하여 곧 대군을 형성하였다. 이윽고 후경은 양의 수도인 건강으로 진격해 그곳을 포위하였고, 양 무제와 태자는 각지에 분봉되었던 종실의 왕들에게 근왕병을 요청하였으나 서로의 이득을 보고 견제를 한 결과 결국 다음해 건강이 함락되고, 무제는 사로잡혀 쇠약해 죽게 된다. 건강을 장악한 후경은 간문제를 옹립했다가 551년에 간문제를 살해하고 예장왕 소동을 제위에 올린 뒤 선양을 받아 황제에 올라 건강에서 즉위했다. 각지에 주둔한 여러 왕들 중 가장 세력이 강했던 형주자사 소역은 왕승변(王僧辯)에게 대군을 주어 건강을 공격했고 552년 후경은 도망 중 부하에게 살해당한다
북제 문선제

제 현조 문선황제 고양(齊 顯祖 文宣皇帝 高洋, 526년 ~ 559년 11월 25일(음력 10월 10일))은 중국 남북조 시대 북제의 초대 황제로, 자는 자진(子進)이다. 그는 강태공의 후손으로 강태공의 51세손이며, 한족 강성(姜姓) 고씨이다. 발해군 수현(蓨縣; 현재의 하북성 경현) 출신이다. 고환의 둘째 아들로 그는 형 고징의 뒤를 이어 혼란을 수습하고 그 여세를 몰아 효정제로부터 제위를 선양받아 제나라를 건국했다. 당시 화북은 군사력은 서쪽이 높고 동쪽이 낮고, 경제는 동쪽이 높고 서쪽이 낮다는 평가를 받고 있어 북제는 경제력을 배경으로 돌궐과 결탁해 거란을 제압하고 북주를 여러 번 격퇴하였다. 처음에는 고조(高祖)라는 묘호를 올렸다. 조부 : 문목황제(文穆皇帝) 고수생(高樹生) 조모 : 문목황후(文穆皇后) 한기희(韓期姬) 부친 : 고조(高祖) 신무황제(神武皇帝) 고환(高歡) 모친 : 무명황후(武明皇后) 누소군(婁昭君) 틀:Chart/styles.css 문서에 내용이 없습니다. 태원군공부인(太原郡公夫人)/제왕비(齊王妃)/가하돈황후(可賀敦皇后)/황태후(皇太后)/소신황후(昭信皇后)/문선황후(文宣皇后) 서조빈(西曹嬪)/농서태비(隴西太妃) 제남민도왕(濟南愍悼王) 광양왕(廣陽王) 장락왕(長樂王) 중산공주(中山公主)
합의 (컴퓨터 과학)

분산 컴퓨팅과 다중 에이전트 시스템에서 프로세스들이 사용할 값을 하나로 결정하는 문제를 합의 문제 (Consensus Problem)라고 한다. 합의 적용의 사례는 데이터 베이스로의 트랜젝션 전송, 리더 식별자 일치화, 상태 기계 접근법, 아토믹 브로드캐스트가 있다. 실생활에서의 사례로는 시간 동기화, 의사 결정, 페이지랭크, 스마트 그리드, 상태 추정, 무인 항공기의 제어, 부하분산 등이 있다. 합의 문제 (Consensus Problem)는 어떤 자료 값에 대해 여러 프로세스들 (또는 에이전트들) 간의 일치성을 요구한다. 하지만 몇몇 프로세스들은 고장나거나 다른 이유로 인해 믿을 수 없게 될 수 있으며, 따라서 합의 프로토콜은 장애 허용이거나 복원력이 있어야 한다. 장애를 허용하는 합의 프로토콜은 다음과 같은 속성을 지닌다. 1. 유한성 (Termination) : 결과적으로 모든 정상적인 프로세스들은 어떤 값을 정한다. 2. 무결성 (Integrity) : 만약 모든 정상적인 프로세스들이 같은 값 v를 제안했었다면, 정상적인 프로세스들은 반드시 값을 v로 정해야 한다. 3. 일치성 (Agreement) : 모든 정상 프로세스들은 반드시 값이 일치한다. 무결성에 대한 정의는 적용 방법에 따라서 적절하게 변형될 수 있다. 예를 들어, 일부 정상 프로세스가 제안했던 값과 동일한 값으로 결정하는 더 약한 무결성은 모든 정상 프로세스들의 제안 값을 필요로 하지 않는다. 무결성(Integrity)은 이 분야에서 유효성 (Validity)로 알려져있다. t개 이하의 실패에서 n개의 프로세스들 간의 합의를 정확하게 보장하는 프로토콜을 t-복원성(t-resilient) 프로토콜이라 부른다. 아래 두 가지 요소가 합의 프로토콜의 성능의 핵심 요소이다. 대문자 O 표기법으로 나타낸다. 실행 시간(running time) : 메시지 교환 라운드 수를 나타내는 함수이다. 메시지 복잡도(message complexity) : 프로토콜에 의해 생성된 메시지 트래픽 수를 나타내는 함수이다. 그 밖에도 메모리 사용량이나 메시지 크기 등이 성능 요인으로 포함된다. 비잔틴 장애를 허용하는 다항 시간 이진 합의 프로토콜의 예로는 Garay와 Berman에 의해 제안된 Phase King 알고리즘이 있다. 구글은 Chubby라고 불리는 분산 잠금 서비스 라이브러리를 구현했다. 비트코인은 P2P 네트워크에서 합의를 유지하기 위해 작업 증명을 사용하였다. 많은 P2P 온라인 실시간 전략 게임은 유저들 간에 게임 상태를 관리하기 위해 변형된 Lockstep 프로토콜을 합의 프로토콜로 사용한다. 비잔티움 장애 허용 상태 기계 접근법 Coulouris, George; Jean Dollimore; Tim Kindberg (2001), 《Distributed Systems: Concepts and Design (3rd Edition)》, Addison-Wesley, 452쪽, ISBN 0201-61918-0
백두칭송위원회

백두칭송위원회는 김정은 조선민주주의인민공화국 국무위원장의 서울 답방을 환영할 목적으로 국민주권연대, 한국대학생진보연합 등 NL 진영에서 결성한 단체이다. 2018년 11월 7일 세종문화회관 앞에서 가진 기자회견을 통해 결성 선언을 하였으며 서울 시내에 서울 시민 환영단 명의의 현수막을 내걸고 광화문과 홍대입구 등에서 시국 연설과 시민 환영단 홍보 캠페인 등을 하였다. 이에 대한애국당 등에서 김정은 찬양을 중단하라는 취지의 맞불 집회를 하거나 김정은 체포 특공대를 모집한다고 밝혔다. 이에 대해 백두칭송위원회 측은 김수영 시인의 시에 나오는 "김일성 만세"를 인용하면서 자신들의 활동으로 금기를 깨고 싶었다고 말했다. 자유연대, 자유대한호국단 등이 김정은 국무위원장 서울 방문을 환영하는 행사를 준비하는 백두칭송위원회를 국가보안법 위반 혐의로 검찰에 고발했다. [1]
고신에쓰 지방

고신에쓰 지방(일본어: 甲信越地方, 문화어: 고싱에쯔 지방)은 주부 지방에서 동부에 위치해 간토 지방에 접하는 야마나시현, 나가노현, 니가타현의 총칭이다. 각각 지방의 옛 이름인 가이(甲斐), 시나노(信濃), 에치고(越後)에서 한 글자씩을 딴 이름이다. 경제적, 문화적으로 도쿄나 간토 지방의 영향력이 강한 지역으로, 나가노 현 북부지역과 니가타 현, 나가노 현 남부지역과 야마나시 현 사이에는 역사적, 지리적, 문화적으로 공통점이 많은데, 전반적으로 고신에쓰 지방만의 일체성은 약하다. 따라서 간토 지방과 합쳐서 간토코신에쓰 지방이라고 말할 경우도 많고, 특히 도쿄 중심에서 100km 거리에 위치하는 야마나시 현은 간토 지방에 포함하는 경우도 많다. 신에쓰 지방 호쿠신에쓰 지방 조신에쓰 지방 주오 고지 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 고신에쓰 지방
북제 무성제

제 세조 무성황제 고담(齊 世祖 武成皇帝 高湛, 537년 ~ 569년 1월 13일(음력 568년 12월 10일)은 중국 남북조 시대 북제의 제4대 황제(재위 : 561년 ~ 565년)이다.그는 강태공의 후손으로 강태공의 51세손이며, 한족 강성(姜姓) 고씨이다. 신무제의 아홉번째 아들로, 생모는 누비(婁妃)이다. 형제로는 고징(高澄), 고양(高洋), 고연(高演)등이 있었다. 538년 장광군공(長廣郡公)에 봉해졌다. 550년 북제가 건국되면서, 장광왕(長廣王)이 되었다. 서경령이 되어, 곧 사도를 겸했다. 559년 문선제(文宣帝)가 사망하자, 민도왕 고은(高殷)이 즉위 하면서, 태위가 되었다. 560년 대사마, 병주자사가 되고, 효소제(孝昭帝)의 정권 탈취에 협력하여, 태부가 되었다. 561년 11월에 효소제 고연이 죽자 제위에 올라 진양의 남궁에서 즉위 했다. 564년 제위에 오른 다음은 호화롭게 지내고, 백성을 오로지에 부역에 몰고, 폭군의 전형적인 형태가 되었다. 565년 4월, 아들인 고위에게 제위를 양보하여, 태상황제로서 정무를 보았다. 568년 12월에 업궁의 건수당에서 사망했다. 고장공(高長恭)이나 곡률광(斛律光)등의 명장등이 건재했지만, 화사개(和士開)등의 간신을 임용해 그 전횡을 허락했다. 이것이 북제의 멸망의 원인이 되었다고 한다. 조부 : 문목황제(文穆皇帝) 고수생(高樹生) 조모 : 문목황후(文穆皇后) 한기희(韓期姬) 부친 : 고조(高祖) 신무황제(神武皇帝) 고환(高歡) 모친 : 무명황후(武明皇后) 누소군(婁昭君) 장광왕비(長廣王妃)/태상황후(太上皇后)/황태후(皇太后)/무성황후(武成皇后) 인화공주(隣和公主) 유연의 가한 아나괴(阿那瓌)의 손녀. 장광공 시절의 정실이였으나 북제 건국 전에 사망함. 황후로 추존되지 않음 장광왕세자(長廣王世子)/후주(後主) 한양왕(漢陽王) 동평왕(東平王) 사후 후주에 의해 초공애제(楚恭哀帝)로 추존됨. 북제 멸망 후 파릉군개국공(巴東郡開國公)으로 강봉됨.
마르케주

마르케주(이탈리아어: Marche)는 이탈리아 중앙부에 있는 주이다. 면적 9,694km2, 인구 1,542,106(2006). 아펜니노산맥 기슭에 위치하며, 아드리아해에 접한다. 주도는 안코나이며, 마체라타, 아스콜리피체노, 안코나, 페르모, 페사로에우르비노의 5개 도가 있다. 이곳에서 센티눔 전투가 벌어졌다. 또한 마르케주 마체라타도 마체라타는 마테오 리치가 태어난 곳이다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 마르케주
나고야 공업대학

나고야 공업대학(일본어: 名古屋工業大学,Nagoya Institute of Technology)은 일본의 국립 대학이다. 대학 본부는 아이치현 나고야시 쇼와구(昭和區)에 있다. 나고야 공업대학은 1949년에 나고야 공업 전문학교(名古屋工業專門學校)와 아이치 현립 공업 전문학교(愛知縣立工業專門學校)를 통합해 설립되었다. 1905년 3월 관립(국립) 나고야 고등 공업학교(名古屋高等工業學校) 설립. 1905년 9월 현 고키소(御器所) 캠퍼스에서 개교 (학과: 토목과, 기계과, 건축과, 기직과, 색염과). 1929년 전기과를 설치. 1939년 항공공학과를 설치. 1941년 색염화학과(구 색염과)를 공업화학과로 개명. 1942년 제2부(야간부) 설치. 1944년 4월 나고야 공업 전문학교로 개칭. 1945년 3월 전쟁으로 인해 교사를 소실. 1945년 4월 요업과를 설치. 1945년 12월 항공기과를 제2류 기계과로 개편. 1949년 5월 나고야 공업대학으로 통합됨. 1943년 2월 아이치 현립 고등 공업학교(愛知縣立高等工業學校) 설립. 가설 교사에서 개교. 학과: 기계과, 전기과. 1944년 4월 금속공업과를 설치. 1944년 6월 아이치 현립 공업 전문학교로 개칭. 1946년 3월 토목과를 설치. 1946년 4월 나고야 시 지쿠사 구(千種區)로 이전. 1949년 5월 나고야 공업대학으로 통합됨 (지쿠사 분교). 1949년 나고야 공업대학 발족. 1958년 금속공학과가 지쿠사 분교에서 본부 캠퍼스로 이전. 1959년 공학부 제2부(야간부) 설치. 1964년 대학원 설치. 1968년 지쿠사 분교 폐교. 고키소(御器所) 캠퍼스: 대학 본부 캠퍼스. - 아이치현 나고야시 쇼와 구(昭和區) 고키소 초(御器所町). 공학부 (제1부. 4년제) 생명/물질공학과 환경재료공학과 기계공학과 전기전자공학과 정보공학과 건축/디자인 공학과 도시사회공학과 공학부 (제2부(야간부). 5년제) 물질공학과 기계공학과 전기정보공학과 사회개발공학과 공학 연구과 (석사/박사 과정) 도서관 품질혁신 테크노 센터 (일본어: ものづくりテクノセンター, Quality Innovation Techno-Center) 공학교육 종합 센터 국제교류 센터 정보기반 센터 이훈우: 1911년 나고야 고등 공업학교 건축과 졸업 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 나고야 공업대학 (일본어/영어) 공식 홈페이지
몰리세주

몰리세주(이탈리아어: Molise)는 이탈리아 중부에 있는 주이다. 면적 4,438km2, 인구 320,907(2006). 아펜니노산맥 기슭에 있으며, 아드리아해에 접한다. 주도는 캄포바소이며, 이세르니아과 캄포바소의 두 도가 있다. 몰리세 주는 북쪽으로는 아브루초주, 동쪽으로는 풀리아주, 서쪽에는 라치오주 남쪽에는 캄파니아주와 경계를 맞대고 있다. 아드리아해를 접하고 있는 해안선이 가장 짧다. 농업에서는 최근까지 높은 질의 생산품을 제공하고 있다. 농업 생산품에는 포도주, 곡물, 올리브 유, 채소, 과일, 유제품이 있다. 전통적인 생산품으로는 풀완두와 통보리다. 몰리세 지역의 토착 포도는 지난 10년 동안에 다시 발견된 틴틸리아다. 테르몰리에 피아트 공장 단지가 있지만, 공업 부문에서는 건설업과 주 곳곳에 퍼져있는 중소 규모의 농장들이 대부분을 차지한다. 또다른 중요한 산업으로는 주의 전통적인 생산품인 파스타, 고기, 유제품, 기름, 포도주 같은 음식물 가공이다. 가장 중요한 산업인 서비스업 부문에서는 유통업, 호텔업, 요식업업, 운송업, 통신업, 은행, 보험업이 있다. 모든 부문의 회사들은 대부분 소규모이며 그 이유는 전국 규모로 제품을 홍보하기 어려워서이다. 2002년에 일어난 대지진 이후에, 몰리세는 개개인한테 기부된 돈으로 지진활동에 잘 견디는 집을 만드는데 사용되는 정책을 채택했다. 테르몰리 근처 라리노가 특히 그 정책의 수혜자였고 현에서 가장 아름다운 곳 중 하나였던 곳이 변화되었다. 그 정책은 주택을 신중한 연구를 기반으로 결정된 그들의 전통적인 색으로 바꾸고 구조물들을 파스텔 계열로 색을 칠하게 했다. 결과적으로 라리노는 중요한 여행지가 되었고 전 세계의 국외거주자들이 부활한 센트로 스토리코(구 중심가)로 살기위해 돌아오고 있다. 몰리세 주의 인구밀도는 이탈리아 국가 평균보다 아래다. 2008년 국가 조사에서 나라 평균의 인구 밀도가 km2당 198.8명인데 반해 몰리세의 인구밀도는 72.3명이다. 주는 캄포바소, 이세르니아 두 개의 현으로 나뉜다. 가장 면적이 넓은 현은 캄포바소 현(2,909 km2)이고 그 다음은 이세르니아 현 (1,529 km2)이다. 캄포바소 현은 인구밀도가 km2당 79.4명이고, 이세르니아 현은 km2당 58.9명이다. 2008년 말 기록으로 가장 인구가 많은 도시는 캄포바소(51,247명), 테르몰리(32,420), 이세르니아(21,811)다. 1951-71년 기간 동안 유럽연합의 다른 나라들과 이탈리아의 다른 현들로 상당수가 이민을 가 몰리세 현의 인구가 크게 줄어들었다. 이주는 1981년까지 계속됐다. 대량의 이민은 소도시시와 소마을에서 발생하여 인구의 60% 가량이 줄어들었고, 반면 적은 수의 큰 규모의 도시들만이 인구가 크게 늘었다. 1982-94년에 인구 순이동이 호전적으로 됐으나 그후 2001년까지 다시 부정적인 순이동이 계속됐다. 1991년과 2001년 사이 인구를 비교했을 때 현의 인구가 3.1%가 감소했고 2001년 이후로 안정화로 돌아섰다. 주에는 몰리세 크로아티아인, 몰리세 알바니아인 두 소수 민족들이 있다. 몰리세 크로아티아인들은 크로아티아어의 오래된 달마티아 억양을 사용하고 5천명 가량이 있으며 몰리세 알바니아인들은 알바니아에서 쓰이는 알바니아어와 매우 다른 알바니아어에서 갈라진 아르버레시어를 사용한다. 몰리세 알바니아인들은 동방 정교회를 믿는 반면, 몰리세 크로아티아인들은 보통 로마 가톨릭교회를 따른다. 일부 요리와 재료가 다르긴 하지만 몰리세의 음식은 아브루초 음식과 비슷하다. 몰리세 음식들의 맛은 그곳에서 자란 향이 좋은 허브에 결정된다. 일부 특별한 음식에서는 향이 강한 살라미와 지역에서 만들어진 다양한 치즈들이 포함되며, 요리에는 염소, 양이 사용되고, 파스타 요리에는 주에서 자란 야채를 사용한 몸에 좋은 소스를 사용한다. 전형적인 안티파스토인 브루스케타에는 카포콜리(Capocolli) 소시지, 회향으로 양념한 살시치에 알 피노키오(Salsiccie al finocchio), 소프레사타 벤트리치나, 프라스카텔리에(frascateglie) 또는 산구이나초(sanguinaccio) 같은 일부 고기 요리가 약간 포함된다. 추가적으로 그 소시지들에는 훈제한 프로시우토 같은 다양한 햄도 사용할 수 있다. 소시지들은 폴렌타와 함께 즐긴다. 몰리세 주의 주 요리들: 브로도시니(Brodosini): 돼지의 볼살과 지방과 탈리아텔레로 만든 걸죽한 수프 칼초니 디 리코타(Calcioni di ricotta): 캄포바소의 특별식으로 리코타, 프로볼로네, 프로시우토와 파슬리등으로 채워 만들어 구운 파스타다. 일반적으로 아티초크, 콜리플라워, 뇌, 스위트브레드, 감자 크로켓, 스카모르차 치즈가 함께 제공된다. 카바티에글 에 파타네(Cavatiegl e Patane) 또는 뇨키: 토끼나 돼지고기로 만든다. 카바텔리, 라사냐 또는 마카로니와 같은 다양한 파스타와 함께 제공되는 염소 또는 양으로 만든 라구 파스타 에 파골리: 돼지의 다리와 껍때기로 조리한 콩수프 파스타 리소토 알라 마리나라(Risotto alla marinara): 해산물 리조토 스파게티 위트 디아볼릴로(Spaghetti with diavolillo): 강한 고추 소스로 만든 스파게티 추파 디 카르디(Zuppa di cardi): 토마토, 양파, 판체타, 올리브유가 들어간 카르둔 수프 추파 디 오르티체(Zuppa di ortiche): 토마토, 양파, 판체타, 올리브유가 들어간 쐐기풀 수프 “Eurostat”. Circa.europa.eu. 2011년 7월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2009년 5월 5일에 확인함.  “Eurostat”. Circa.europa.eu. 2001년 1월 1일. 2007년 8월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2009년 5월 5일에 확인함.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 몰리세주 몰리세 주 공식 사이트 (이탈리아어)
버뮤다 트라이앵글 ~컬러풀 파스토랄레~

버뮤다 트라이앵글 ~컬러풀 파스토랄레~(バミューダトライアングル 〜カラフル・パストラーレ〜, Bermuda Triangle: Colorful Pastrale)은 스튜디오 세븐 아크스가 제작한 일본 오리지널 애니메이션 TV 시리즈이다. 이 시리즈는 2019년 1월 12일부터 3월 30일까지 방영되었다. 이 시리즈는 카드파이트!! 뱅가드 이벤트에서 발표되었다. 이 시리즈는 부시로드가 제작하고 세븐 아크스가 애니메이션을 제작했으며 니시무라 준지가 감독을 맡고 요코테 미치코가 각본을 맡았다. 하시모토 타카요시는 후지마 타쿠야가 제작한 오리지널 디자인을 바탕으로 시리즈 캐릭터를 디자인하고 있다. 2019년 1월 12일부터 3월 30일까지 도쿄 MX에서 방영되었다. 센타이 필름웍스가 이 시리즈의 라이선스를 취득했다. 오프닝: "Wonderland Girl" - Pastel*Palettes 엔딩: "Bubble" - Bermuda Triangle 버뮤다 트라이앵글 ~컬러풀 파스토랄레~ - 공식 웹사이트 (일본어) (영어) 버뮤다 트라이앵글 ~컬러풀 파스토랄레~ (애니메이션) - 애니메 뉴스 네트워크
스페인의 종교

스페인의 종교는 단연 로마 가톨릭이 주를 이룬다. 여러 통계자료를 접목하면 대략 76%는 자신을 천주교 신자로, 2%만이 타종교, 19%는 무교로 자신의 종교 신념을 밝힌다. 수많은 스페인 사람들은 정기적으로 미사에 참석하지 않으며 가장 최근의 설문조사인 2005년 유럽연합 차원의 유럽조사(Eurobarometer Survey)에 의하면 59%의 스페인 시민들은 "신이 존재한다" 21%는 "정신적인 존재 혹은 기의 존재를 믿는다" 18%의 시민은 "정신적인 존재, 신 혹은 기와 같은 것이 존재하는지 모른다"고 밝혔다. 종교적 입장에서는 스페인 사회가 갈수록 세속화되고 있다고 보기도 하는데 이러한 증거를 동성 결혼에 대한 지지에서 찾기도 한다. 2004년 발표된 사회학연구소 자료에서 70% 이상의 시민들이 동성 결혼에 찬성했다.이에 따라 동성결혼을 허용한 세 번째 유럽국가가 됐다. 이 결의안에는 자연스레 보수와 진보 세력의 표가 갈렸다. 이민자 가정이 최근 계속적으로 늘면서 특별히 90년대 이후로는 무슬림 신자수가 늘고 있다. 타 유럽국가에서도 흔히 이런 현상이 관찰되고 있으며 스페인 내 이슬람교 신자는 1백만 명에 이른다. 이에 따라 가톨릭교에 이어 제2의 종교그룹으로 성장했으며 전체인구의 2.5%를 차지하게 됐다. 힌두교와 시크교의 인구는 0.3% 미만이다. 유대교 신자는 12,000명 가량으로 전체 인구의 0.025% 정도를 차지하며 대다수의 인구가 마드리드, 무르시아 지방, 바르셀로나에 분포한다. 이외에 이민자 그룹의 대표집단은 라틴계 주민들이다. 로마 가톨릭의 철저한 신봉자가 많기 때문에 매주 일요일 예배가 80년대만 해도 주춤됐었다 다시 살아나는 조짐을 보이고 있다. 최근 10년간 가톨릭 교회는 정치세력에 더욱 밀착하게 되었으며 사실상 스페인의 가톨릭교회는 유럽 국가중에서도 가장 보수적인 것으로 평가받고 있다. 이에 따라 더 이상 교회는 독립적이거나 중립적인 종교단체가 아니라 우익 정권 지지세력으로 분류된다. 때문에 종교 세력의 편협한 관점으로 좌파 세력의 비난을 사고 있다. 경제적으로 국가의 보조를 받는 것에까지 비난의 여론이 거세지고 있는 이유는 보수 세력에 대한 반감 때문이다. “CIS 종교관련 설문(2005)”. 2009년 6월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2009년 7월 2일에 확인함.  http://ec.europa.eu/public_opinion/archives/ebs/ebs_225_report_en.pdf Centre of Sociological Investigations
안코나

안코나(이탈리아어: Ancona)는 이탈리아 중부 마르케주에 있는 도시이다. 인구 101,210(2007). 기원전 고대 그리스 시대에 건설된 오래된 도시이다. 마르케주의 주도, 안코나도의 도청 소재지이며, 행정, 경제, 문화의 중심지이다. 아드리아해에 면한 항구도시이기도 하다. 해양공화국 “Falconara” (PDF). Italian Air Force National Meteorological Service. 2014년 3월 5일에 확인함.  위키미디어 공용에 안코나 관련 미디어 분류가 있습니다. 위키여행에 이 글과 관련된 기사가 있습니다. Ancona 안코나 - 공식 웹사이트
칼리아리

칼리아리(이탈리아어: Cagliari, 사르데냐어: Casteddu)는 이탈리아 서부 사르데냐 섬에 있는 도시이다. 인구 160,770(2005). 사르데냐 섬 남해안에 위치하며, 사르데냐주의 주도이다. 기원전에 페니키아와 카르타고의 지배를 받는 동안 건설되었으며, 로마 제국에 넘어간 후 지중해의 요지에 위치하여 섬에서 가장 중요한 항구 도시가 되었다. 후에 사보이아가의 지배를 받으며 이곳을 수도로 하는 사르데냐 왕국이 건설되어 이탈리아 왕국 통일의 기초를 닦았다. 오래된 도시로 옛 유적이 많이 남아 있으나, 최근에는 근대 공업이 발달하고 시가지도 정비되고 있다. 사르데냐 주의 행정, 경제, 문화의 중심지로, 섬 각지와 연결되는 도로와 철도가 있다. “World Meteorological Organization Climate Normals for 1991-2020: CagliariElmas-16560” (CSV). 《ncei.noaa.gov》 (Excel). 미국 해양대기청. 2024년 2월 28일에 확인함.  “moyennes 1981/2010”.  “Climatologia - Ricerca Dati”. 이탈리아 공군 기상국. 2019년 5월 28일에 확인함.  “Cagliari, Italy Travel Weather Averages (Weatherbase)”. 《Weatherbase》. 2023년 5월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 5월 28일에 확인함.  위키미디어 공용에 칼리아리 관련 미디어 분류가 있습니다.
바리 (도시)

바리(이탈리아어: Bari, 이탈리아어 발음: [ˈbaːri] ( 듣기))는 이탈리아 남부 풀리아주에 있는 도시이다. 인구 328,458(2005). 이탈리아반도 동남부, 아드리아해에 면하는 항구도시이다. 풀리아주의 주도이기도 하다. 이 도시는 이탈리아반도와 발칸반도를 잇는 중요한 해상 교통로에 있어 일찍부터 발달했다. 고대 시대에는 그리스의 영향을 많이 받았으며, 후에 비잔티움 제국과 노르만의 영향도 받았다. 노르만과 비잔티움 양식의 옛 건물이 많고, 특히 11세기에 지어진 대성당이 유명하다. 풀리아 주와 이탈리아 동남부 지방의 경제, 문화의 중심지로 오늘날에는 이탈리아 남부의 대표적인 도시로 발전하였다. 바리의 기후는 쾨펜의 기후 구분상 지중해성 기후(Csa)를 띈다. 연간 강수량은 600mm를 전후하여 나가게 되지만 실질적으로는 스텝 기후의 성질도 물론 띈다. 바르 (몬테네그로) 두러스 바리도 “World Meteorological Organization Climate Normals for 1991-2020 — Bari”. 미국 해양대기청. 2024년 2월 4일에 확인함.  “Bari Palese”. 《Temperature estreme in Toscana》 (이탈리아어). 2024년 2월 4일에 확인함.  위키미디어 공용에 바리 관련 미디어 분류가 있습니다. (이탈리아어) 바리 - 공식 웹사이트
교환자

군론에서 교환자(交換子, 영어: commutator)는 두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산이다. 군 G {\displaystyle G} 의 두 원소 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 의 교환자는 다음과 같다. [ g , h ] = g − 1 h − 1 g h {\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh} (일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어 [ g , h ] = g h g − 1 h − 1 {\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}} 로 정의하기도 한다.) 임의의 두 원소 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 에 대하여, g h = h g {\displaystyle gh=hg} 일 필요 충분 조건은 [ g , h ] = 1 {\displaystyle [g,h]=1} 인 것이다. 즉, 임의의 군 G {\displaystyle G} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 아벨 군이다. 모든 교환자가 1이다. 교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.:4 여기서 y x {\displaystyle y^{x}} 는 켤레 원소 x − 1 y x {\displaystyle x^{-1}yx} 를 나타낸다. x y = x [ x , y ] {\displaystyle x^{y}=x[x,y]} [ y , x ] = [ x , y ] − 1 {\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}} [ x y , z ] = [ x , z ] y ⋅ [ y , z ] {\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]} and [ x , y z ] = [ x , z ] ⋅ [ x , y ] z {\displaystyle [x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}} [ x , y − 1 ] = [ y , x ] y − 1 {\displaystyle [x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}} and [ x − 1 , y ] = [ y , x ] x − 1 {\displaystyle [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}} (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity) [ [ x , y − 1 ] , z ] y [ [ y , z − 1 ] , x ] z [ [ z , x − 1 ] , y ] x = 1 {\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}[[y,z^{-1}],x]^{z}[[z,x^{-1}],y]^{x}=1} (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity) [ [ x , y ] , z x ] [ [ z , x ] , y z ] [ [ y , z ] , x y ] = 1 {\displaystyle [[x,y],z^{x}][[z,x],y^{z}][[y,z],x^{y}]=1} 홀-비트 항등식은 환론의 교환자의 야코비 항등식과 유사하다. 또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다. ( x y ) 2 = x 2 y 2 [ y , x ] [ [ y , x ] , y ] ∀ x , y ∈ G {\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y]\qquad \forall x,y\in G} 만약 G {\displaystyle G} 의 교환자 부분군이 중심에 속한다면 ( G ( 1 ) ≤ Z ⁡ ( G ) {\displaystyle G^{(1)}\leq \operatorname {Z} (G)} ), 다음이 추가로 성립한다. ( x y ) n = x n y n [ y , x ] ( n 2 ) ∀ x , y ∈ G {\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}\qquad \forall x,y\in G} 주어진 군 G {\displaystyle G} 의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 부분군을 이루지 않지만, 교환자 부분군이라 불리는 부분군을 생성한다. 즉, 교환자 부분군은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다. McKay, Susan (2000). 《Finite p-groups》. Queen Mary Maths Notes (영어) 18. University of London. ISBN 978-0-902480-17-9. MR 1802994.  중심화 부분군 푸아송 괄호 “Commutator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Group commutator”. 《nLab》 (영어).  “Commutator”. 《Groupprops》 (영어).