에너지 조건

일반 상대성 이론에서 에너지 조건(energy條件, 영어: energy condition)은 물리적으로 "현실적인" 시공간의 리치 곡률이 만족시켜야 한다고 가정할 수 있는 여러 조건 가운데 하나이다.:§4.3:174–177 아인슈타인 방정식에 따라 시공간의 리치 곡률은 그 위에 존재하는 물질의 에너지-운동량 텐서로 주어지므로, 이는 물리적으로 "현실적인" 물질에 대한 조건으로도 볼 수 있다. −+++ 계량 부호수를 사용하자. 시공간 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에 에너지-운동량 텐서 T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} 가 주어졌다고 하자. 또한, 시공간은 시간 방향(time orientation)이 주어져 있다고 하자. 따라서, 모든 벡터를 미래 방향 시간꼴 벡터 · 과거 방향 시간꼴 벡터 · 미래 방향 영벡터 · 과거 방향 영벡터 · 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 대각합 T = g μ ν T μ ν {\displaystyle T=g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }} 을 정의하자. 그렇다면, 흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.:175 영벡터 에너지 조건(零vector energy條件, 영어: null energy condition, 약자 NEC)에 따르면, 모든 미래 방향 영벡터장 u μ {\displaystyle u^{\mu }} 는 다음 조건을 만족시킨다. u μ u ν T μ ν ≥ 0 {\displaystyle u^{\mu }u^{\nu }T_{\mu \nu }\geq 0} 즉, 빛의 속력으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다. 약한 에너지 조건(弱-energy條件, 영어: weak energy condition, 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 v μ {\displaystyle v^{\mu }} 는 다음 조건을 만족시킨다. v μ v ν T μ ν ≥ 0 {\displaystyle v^{\mu }v^{\nu }T_{\mu \nu }\geq 0} 즉, 빛의 속력보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다. 영벡터 우세 에너지 조건(零vector優勢energy條件, 영어: null dominant energy condition, 약자 NDEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 영벡터장 u μ {\displaystyle u^{\mu }} 에 대하여, − T μ ν u μ {\displaystyle -T^{\mu \nu }u_{\mu }} 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 두 번째 조건에 따르면, 빛의 속도로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 이 조건은 우세 에너지 조건과 유사하나, 음의 우주 상수를 허용한다.:175 우세 에너지 조건(優勢energy條件, 영어: dominant energy condition, 약자 DEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장 v μ {\displaystyle v^{\mu }} 에 대하여, − T μ ν v μ {\displaystyle -T^{\mu \nu }v_{\mu }} 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 조건 ②에 따르면, 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 조건 ②에 따르면, 등방 물질의 경우 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 한다. 이는 물질에서 음속이 빛의 속력보다 더 작아야 하는 조건이다.:91 강한 에너지 조건(強-energy條件, 영어: strong energy condition, 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 v μ {\displaystyle v^{\mu }} 는 다음 조건을 만족시킨다. v μ v ν ( T μ ν − T g μ ν / 2 ) ≥ 0 {\displaystyle v^{\mu }v^{\nu }(T_{\mu \nu }-Tg_{\mu \nu }/2)\geq 0} 즉, 강한 에너지 조건을 제외한 에너지 조건들은 다음과 같다. 위 에너지 조건들은 각 점마다 성립 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 조건들을 약화시켜, 주어진 세계선의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있다. 이들을 평균 에너지 조건(平均energy條件, 영어: averaged energy conditions)이라고 한다.:§2.2 (평균이 아닌 에너지 조건들은 양자 역학 효과에 의하여 미세하게 위배될 수 있지만, 평균 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 성립할 가능성이 더 높다고 여겨진다.) 시공간 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 에서, 매끄러운 곡선 γ : R → M {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M} 가운데, 임의의 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 대하여 속력 γ ˙ ( t ) ∈ T x M {\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in \mathrm {T} _{x}M} 이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합을 C fut,time ∞ ( R , M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{fut,time}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)} 로 표기하자. 마찬가지로, 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합을 C fut,null ∞ ( R , M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{fut,null}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)} 로 표기하자. 평균 영벡터 에너지 조건(平均零vector energy條件, 영어: averaged null energy condition, 약자 ANEC)에 따르면, 모든 γ ∈ C fut,null ∞ ( R , M ) {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {C}}_{\text{fut,null}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)} 는 다음 조건을 만족시킨다. ∫ R γ ˙ μ ( t ) γ ˙ ν ( t ) T μ ν ( γ ( t ) ) d t ≥ 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\dot {\gamma }}^{\mu }(t){\dot {\gamma }}^{\nu }(t)T_{\mu \nu }(\gamma (t))\;\mathrm {d} t\geq 0} 평균 약한 에너지 조건(平均弱-energy條件, 영어: averaged weak energy condition, 약자 AWEC)에 따르면, 모든 γ ∈ C fut,time ∞ ( R , M ) {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {C}}_{\text{fut,time}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)} 는 다음 조건을 만족시킨다. ∫ R γ ˙ μ ( t ) γ ˙ ν ( t ) T μ ν ( γ ( t ) ) d t ≥ 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\dot {\gamma }}^{\mu }(t){\dot {\gamma }}^{\nu }(t)T_{\mu \nu }(\gamma (t))\;\mathrm {d} t\geq 0} 이들 사이의 인과 관계는 다음과 같다. 여기서 X ⇒ Y는 X가 Y를 함의함을 뜻한다. 이름과 달리, 강한 에너지 조건(SEC)은 약한 에너지 조건(WEC)을 함의하지 않는다. 에너지 밀도 ρ {\displaystyle \rho } , 압력 p {\displaystyle p} 를 가진 이상 유체 T μ ν = ( ρ 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p ) {\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{pmatrix}}} 의 경우 위 조건들은 다음과 같다.:176 영벡터 에너지 조건: ρ + p ≥ 0 {\displaystyle \rho +p\geq 0} 약한 에너지 조건: ρ ≥ 0 {\displaystyle \rho \geq 0} , ρ + p ≥ 0 {\displaystyle \rho +p\geq 0} 영벡터 우세 에너지 조건: ρ ≥ | p | {\displaystyle \rho \geq |p|} 또는 ρ = − p {\displaystyle \rho =-p} 우세 에너지 조건: ρ ≥ | p | {\displaystyle \rho \geq |p|} 강한 에너지 조건: ρ + p ≥ 0 {\displaystyle \rho +p\geq 0} , ρ + 3 p ≥ 0 {\displaystyle \rho +3p\geq 0} 일반 상대성 이론에서, 시공간의 다양한 성질들을 증명하기 위해서는 대개 일종의 에너지 조건이 필요하다. 각종 주요 정리들을 증명하기 위해 필요한 에너지 조건들은 다음과 같다.:§3.1 영벡터 에너지 조건: 블랙홀 열역학의 제2 법칙 ADM 질량은 음수가 될 수 없음 약한 에너지 조건: 블랙홀 열역학의 제3 법칙 (블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음) 공간의 위상은 변할 수 없음 우세 에너지 조건: 블랙홀의 위상은 항상 구 질량을 갖는 스칼라장(클레인-고르돈 방정식)은 (고전적으로) 강한 에너지 조건을 위배할 수 있다.:§3.2 양자 역학적 효과는 심지어 영벡터 에너지 조건도 위배할 수 있다고 생각된다. 그러나 각종 평균화 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 비교적 안전하다고 여겨진다. 일반 상대성 이론의 엄밀 해 Hawking, Stephen; Ellis, George Francis Rayner (1973). 《The large scale structure of space-time》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.  Carroll, Sean M. (2003). 《Spacetime and geometry: an introduction to general relativity》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805387323. 2014년 5월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 4월 6일에 확인함.  Visser, Matt; Barcelo, Carlos (2000년 9월). 〈Energy conditions and their cosmological implications〉. Cotti, U.; Jeannerot, R.; Senjanovi, G.; Smirnov, A. 《COSMO-99: proceedings of the Third International Workshop on Particle Physics and the Early Universe, ICTP, Trieste, Italy, 27 September – 2 October 1999》 (영어). World Scientific. 98–112쪽. arXiv:gr-qc/0001099. Bibcode:2000ppeu.conf...98V. doi:10.1142/9789812792129_0014. ISBN 978-981-02-4456-9.  Curiel, Erik (2017). 〈A primer on energy conditions〉. Lehmkuhl, Dennis; Schiemann, Gregor; Scholz, Erhard. 《Towards a theory of spacetime theories》. Einstein Studies (영어) 13. Birkhäuser. arXiv:1405.0403. Bibcode:2014arXiv1405.0403C. doi:10.1007/978-1-4939-3210-8. ISBN 978-1-4939-3209-2. ISSN 2381-5833.