바이어스트라스 준비 정리

수학에서 바이어스트라스 준비 정리(영어: Weierstrass preparation theorem)는 주어진 점 P {\displaystyle P} 에서 복소 다변수 해석 함수를 처리하는 방법이다. 그러한 함수는 P {\displaystyle P} 에서 0이 아닌 함수에 의한 곱셈까지, 하나의 고정 변수 z 에서 다항식이며, 이는 일계수 다항식이고 그의 계수가 낮은 항의 계수는 나머지 변수에서 해석 함수이고 P {\displaystyle P} 에서 0이다. 또한 일부 환 R {\displaystyle R} 에서 u ⋅ w {\displaystyle u\cdot w} 로 분해의 아이디어를 확장하는 정리의 여러 변형이 있다. 여기서 u {\displaystyle u} 는 단원이고 w {\displaystyle w} 는 일종의 고유한 바이어스트라스 다항식이다. 카를 지겔은 19세기 말 일부 Traités d'analyse 에서 정당한 이유 없이 현재 이름으로 발생했다고 말하면서 바이어스트라스에 대한 정리의 속성에 대해 이의를 제기했다. 하나의 변수에 대해 0에 가까운 해석 함수 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 의 국소 형식은 z k h ( z ) {\displaystyle z^{k}h(z)} 이다. 여기서 h ( 0 ) {\displaystyle h(0)} 는 0이 아니며 k {\displaystyle k} 는 0에서 f 의 0의 차수이다. 이것은 준비 정리가 일반화되는 결과이다. 첫 번째라고 가정할 수 있는 변수 z 하나를 선택하고 복소 변수를 ( z , z 2 , … , z n ) {\displaystyle (z,z_{2},\dots ,z_{n})} 으로 쓴다. 바이어스트라스 다항식 W ( z ) {\displaystyle W(z)} 는 다음과 같다. z k + g k − 1 z k − 1 + ⋯ + g 0 {\displaystyle z^{k}+g_{k-1}z^{k-1}+\dots +g_{0}} 여기서 g i ( z 2 , … , z n ) {\displaystyle g_{i}(z_{2},\dots ,z_{n})} 는 해석적이고 g i ( 0 , … , 0 ) = 0 {\displaystyle g_{i}(0,\dots ,0)=0} 이다. 그런 다음 정리는 해석 함수 f 에 대해 다음과 같이 말한다. f ( 0 , … , 0 ) = 0 {\displaystyle f(0,\dots ,0)=0} 그리고 f ( z , z 2 , … , z n ) {\displaystyle f(z,z_{2},\dots ,z_{n})} 멱급수에는 z {\displaystyle z} 만 포함하는 항이 있으므로 (국소적으로 ( 0 , … , 0 ) {\displaystyle (0,\dots ,0)} 근처)라고 쓸 수 있다. f ( z , z 2 , … , z n ) = W ( z ) h ( z , z 2 , … , z n ) {\displaystyle f(z,z_{2},\dots ,z_{n})=W(z)h(z,z_{2},\dots ,z_{n})} h ( 0 , … , 0 ) ≠ 0 {\displaystyle h(0,\dots ,0)\neq 0} 이며, W {\displaystyle W} 는 바이어스트라스 다항식이다. 이는 ( 0 , … , 0 ) {\displaystyle (0,\dots ,0)} 에 가까운 f {\displaystyle f} 의 근들의 집합이 z 2 , … , z n {\displaystyle z_{2},\dots ,z_{n}} 의 작은 값을 고정한 다음 방정식 W ( z ) = 0 {\displaystyle W(z)=0} 를 풀면 찾을 수 있다는 즉각적인 결과를 가져온다. z {\displaystyle z} 의 해당 값은 z {\displaystyle z} 에서 W {\displaystyle W} 의 차수와 같은 수로 연속적으로 변화하는 여러 분기들을 형성한다. 특히 f {\displaystyle f} 는 고립된 근을 가질 수 없다. 관련 결과는 f , g {\displaystyle f,g} 가 해석 함수이고 g {\displaystyle g} 가 N {\displaystyle N} 차 바이어스트라스 다항식이면 f = g h + j {\displaystyle f=gh+j} 를 만족하는 고유한 쌍 h {\displaystyle h} 와 j {\displaystyle j} 가 존재한다는 바이어스트라스 분할 정리이다. 여기서 j {\displaystyle j} 는 N {\displaystyle N} 보다 작은 차수의 다항식이다. 사실, 많은 저자들이 나눗셈 정리의 귀결로서 바이어스트라스 준비를 증명한다. 두 정리가 동치라서 준비 정리에서 나눗셈 정리를 증명하는 것도 가능하다. 바이어스트라스 준비 정리는 n {\displaystyle n} 변수에서 해석 함수들의 싹들의 환이 뤼케르트 기저 정리라고도 하는 뇌터 환임을 보여주기 위해 사용할 수 있다. 말그랑주 준비 정리라고 하는 베르나르 말그랑주로 인해 매끄러운 함수에 대한 더 깊은 준비 정리 가 있다. 또한 존 매더의 이름을 따서 명명된 관련 나눗셈 정리가 있다. 완비 국소 환 A {\displaystyle A} 에 대한 형식적 멱급수 환에 대해 바이어스트라스 준비 정리라고도 부르는 비슷한 결과가 있다. 모든 멱급수 f = ∑ n = 0 ∞ a n t n ∈ A [ [ t ] ] {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]} 에 대해 a n {\displaystyle a_{n}} 들 중 A {\displaystyle A} 의 극대 이데알 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 있지 않는 것이 존재하고, A [ [ t ] ] {\displaystyle A[[t]]} 의 유일한 단원 u가 있다. 그리고 b i ∈ m {\displaystyle b_{i}\in {\mathfrak {m}}} 인 F = t s + b s − 1 t s − 1 + ⋯ + b 0 {\displaystyle F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}} 형식의 다음과 같은 다항식 F {\displaystyle F} (소위 고유 다항식)이 존재한다: f = u F . {\displaystyle f=uF.} A [ [ t ] ] {\displaystyle A[[t]]} 는 다시 완비 국소 환이므로 결과를 반복할 수 있다. 따라서 다변수에서 형식적 멱급수에 대해 비슷한 분해 결과를 제공한다. 예를 들어 이것은 p-진 체의 정수 환에 적용된다. 이 경우 정리는 멱급수 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 가 항상 π n u ( z ) p ( z ) {\displaystyle \pi ^{n}u(z)p(z)} 로 유일하게 분해될 수 있다고 한다. 여기서 u ( z ) {\displaystyle u(z)} 는 형식적 멱급수 환의 단원이고, p ( z ) {\displaystyle p(z)} 는 고유 다항식 (모닉, 극대 이데알에서 각각의 비선두 항의 계수를 가짐)이고 π {\displaystyle \pi } 는 고정된 균일자이다. 환 Z p [ [ t ] ] {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[t]]} 에 대한 바이어스트라스 준비 및 분할 정리의 적용(이와사와 대수라고도 함)은 이와사와 이론에서 이 환에 대해 유한하게 생성된 가군을 설명할 때 발생한다. 바이어스트라스 분할 및 준비의 비가환 버전이 존재하며, A {\displaystyle A} 는 반드시 가환 환일 필요는 없으며 형식적 멱급수 대신에 형식 스큐 멱급수를 사용한다. 완비 비 아르키메데스 체 k {\displaystyle \mathbb {k} } 에 대한테이트 대수를 위한 바이어스트라스 준비 정리도 있다: T n ( k ) = { ∑ ν 1 , … , ν n ≥ 0 a ν 1 , … , ν n X 1 ν 1 ⋯ X n ν n , | a ν 1 , … , ν n | → 0  for  ν 1 + ⋯ + ν n → ∞ } {\displaystyle T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}} 이 대수는 강체 기하학의 기본적 구성 요소이다. 이 형태의 바이어스트라스 준비 정리는 은 환 T n ( k ) {\displaystyle T_{n}(\mathbb {k} )} 들이 뇌터이라는 사실에 적용된다. 오카 정리 (독일어), Springer  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) , American Mathematical Society  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) , Hermann [Nicolas Bourbaki Nicolas Bourbaki] |url= 값 확인 필요 (도움말)  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) , Springer [Lawrence C. Washington Lawrence C. Washington] |url= 값 확인 필요 (도움말)  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) Otmar Venjakob (2003). “A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory”. 《J. Reine Angew. Math.》 2003 (559): 153–191. doi:10.1515/crll.2003.047. 2022년 1월 27일에 확인함.  Theorem 3.1, Corollary 3.2 , Springer [Siegfried Bosch Siegfried Bosch] |url= 값 확인 필요 (도움말)  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) Lewis, Andrew, 《Notes on Global Analysis》  Siegel, C. L. (1969), 〈Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass〉, 《Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau)》, New York: Plenum, 297–306쪽, MR 0268402 , reprinted in Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass., H., 편집., 《Gesammelte Abhandlungen. Band IV》, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1–8쪽, ISBN 0-387-09374-5, MR 0543842  Solomentsev, E.D. (2001). “Weierstrass theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Stickelberger, L. (1887), “Ueber einen Satz des Herrn Noether”, 《Mathematische Annalen》 30 (3): 401–409, doi:10.1007/BF01443952, S2CID 121360367  Weierstrass, K. (1895), 《Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2》, Berlin: Mayer & Müller, 135–142쪽  reprinted by 존son, New York, 1967. Lebl, Jiří. “Weierstrass Preparation and Division Theorems. (2021, September 5).”. 《LibreTexts》.