내부 (위상수학)

위상수학에서 내부(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. A {\displaystyle A} 의 내부의 기호는 int ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A} 또는 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 의 내부 int ⁡ A ⊆ X {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq X} 는 A {\displaystyle A} 를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 들의 집합이다. x ∈ U ⊆ A {\displaystyle x\in U\subseteq A} 인 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 가 존재한다. 내부의 원소를 내부점(內部點, 영어: interior point)이라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 는 열린집합이다. A = int ⁡ A {\displaystyle A=\operatorname {int} A} A ⊆ int ⁡ A {\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} A} 반대로 int ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A} 는 A {\displaystyle A} 의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 A {\displaystyle A} 의 최대 열린부분집합이다.:92-101 내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다. int ⁡ A ⊆ A ⊆ cl ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} A} 내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다. int ⁡ A = X ∖ cl ⁡ ( X ∖ A ) {\displaystyle \operatorname {int} A=X\setminus \operatorname {cl} (X\setminus A)} 위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다. X = int ⁡ A ⊔ ∂ A ⊔ ext ⁡ A {\displaystyle X=\operatorname {int} A\sqcup \partial A\sqcup \operatorname {ext} A} 내부는 유한 교집합을 보존한다. int ⁡ ( A ∩ B ) = int ⁡ A ∩ int ⁡ B {\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} A\cap \operatorname {int} B} 그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다. int ⁡ ⋂ i ∈ I A i ⊆ ⋂ i ∈ I int ⁡ A i {\displaystyle \operatorname {int} \bigcap _{i\in I}A_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}\operatorname {int} A_{i}} int ⁡ ⋃ i ∈ I A i ⊇ ⋃ i ∈ I int ⁡ A i {\displaystyle \operatorname {int} \bigcup _{i\in I}A_{i}\supseteq \bigcup _{i\in I}\operatorname {int} A_{i}} 위상 공간 ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} 의 기저 B ⊆ T {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {T}}} 가 주어졌을 때, 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. x ∈ int ⁡ A {\displaystyle x\in \operatorname {int} A} x ∈ B ⊆ A {\displaystyle x\in B\subseteq A} 인 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 즉, int ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A} 는 A {\displaystyle A} 에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다. int ⁡ ⋂ n = 1 ∞ [ − 1 n , 1 n ] = ∅ ⊊ { 0 } = ⋂ n = 1 ∞ int ⁡ [ − 1 n , 1 n ] {\displaystyle \operatorname {int} \bigcap _{n=1}^{\infty }\left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]=\varnothing \subsetneq \{0\}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\operatorname {int} \left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]} 또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다. int ⁡ ( [ 0 , 1 ] ∪ [ 1 , 2 ] ) = ( 0 , 2 ) ⊋ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ) = int ⁡ [ 0 , 1 ] ∪ int ⁡ [ 1 , 2 ] {\displaystyle \operatorname {int} ([0,1]\cup [1,2])=(0,2)\supsetneq (0,1)\cup (1,2)=\operatorname {int} [0,1]\cup \operatorname {int} [1,2]} 연속 dcpo ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 a ∈ P {\displaystyle a\in P} 의 상폐포의 내부는 다음과 같다.:136, Proposition II-1.6 int ⁡ ↑ ⁡ a = ⇑ ⁡ a = { b ∈ P : b ≫ a } {\displaystyle \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a=\mathop {\Uparrow } a=\{b\in P\colon b\gg a\}} 증명: ⇑ ⁡ a {\displaystyle \mathop {\Uparrow } a} 은 스콧 열린집합: D ⊆ L {\displaystyle D\subseteq L} 가 상향 집합이며, a ≪ ⋁ D {\displaystyle \textstyle a\ll \bigvee D} 라고 하자. P {\displaystyle P} 가 연속 dcpo이므로, a ≪ d {\displaystyle a\ll d} 인 d ∈ D {\displaystyle d\in D} 가 존재한다. 즉, ⇑ ⁡ a ∩ D ≠ ∅ {\displaystyle \mathop {\Uparrow } a\cap D\neq \varnothing } 이다. int ⁡ ↑ ⁡ a ⊆ ⇑ ⁡ a {\displaystyle \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a\subseteq \mathop {\Uparrow } a} : 임의의 b ∈ int ⁡ ↑ ⁡ a {\displaystyle b\in \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a} 및 상향 집합 D ⊆ L {\displaystyle D\subseteq L} 가 주어졌으며, 또한 b ≤ ⋁ D {\displaystyle \textstyle b\leq \bigvee D} 라고 하자. a ≤ d {\displaystyle a\leq d} 인 d ∈ D {\displaystyle d\in D} 를 찾으면 족하다. int ⁡ ↑ ⁡ a {\displaystyle \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a} 는 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, ⋁ D ∈ int ⁡ ↑ ⁡ a {\displaystyle \textstyle \bigvee D\in \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a} 이다. 따라서, D ∩ int ⁡ ↑ ⁡ a {\displaystyle D\cap \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a} 는 공집합이 아니다. 외부 (위상수학) 경계 (위상수학) 근방 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.  “Interior of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Interior”. 《nLab》 (영어).  “Interior”. 《Topospaces》 (영어).