오일러 공식

오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식이다. 사용되는 경우로는 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러 항등식은 이 공식의 특수한 경우이다. 오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x   {\displaystyle x~} 에 대해, 허수 지수 i x   {\displaystyle ix~} 를 다음과 같이 정의한다. e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x} 여기서, e는 자연로그의 밑이고, i   {\displaystyle i~} 는 제곱하여 − 1   {\displaystyle -1~} 이 되는( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ) 허수단위, sin {\displaystyle \sin } , cos {\displaystyle \cos } 은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다. x {\displaystyle x} 에 π {\displaystyle \pi } 를 대입하여, 오일러 항등식 e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} 을 구할 수 있다. 오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다. ln ⁡ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = i x {\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)\,=\,ix} 지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 <대수학 원론>(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다. 테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다. e x = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}={{x^{0}} \over {0!}}+{{x^{1}} \over {1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} 따라서 e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle {\begin{array}{rll}e^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\\end{array}}} 이때 x {\displaystyle x} 가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면 e i z = 1 + i z + ( i z ) 2 2 ! + ( i z ) 3 3 ! + ( i z ) 4 4 ! + ( i z ) 5 5 ! + ( i z ) 6 6 ! + ( i z ) 7 7 ! + ( i z ) 8 8 ! + ⋯ = 1 + i z − z 2 2 ! − i z 3 3 ! + z 4 4 ! + i z 5 5 ! − z 6 6 ! − i z 7 7 ! + z 8 8 ! + ⋯ = ( 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! − z 6 6 ! + z 8 8 ! − ⋯ ) + i ( z − z 3 3 ! + z 5 5 ! − z 7 7 ! + ⋯ ) = cos ⁡ z + i sin ⁡ z {\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+i\sin z\end{aligned}}} 가 된다. f ( x ) = e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) ⋯ ( 1 ) {\displaystyle f(x)=e^{-ix}(\cos x+i\sin x)\cdots (1)} 라면, d d x f ( x ) = − i e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) + e − i x ( − sin ⁡ x + i cos ⁡ x ) = e − i x ( − i cos ⁡ x + sin ⁡ x − sin ⁡ x + i cos ⁡ x ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=-ie^{-ix}(\cos x+i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x+i\cos x)=e^{-ix}(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)=0} ∴ f ( x ) = C {\displaystyle \therefore f(x)=C} (단, C {\displaystyle C} 는 상수) (1)에 x = 0 {\displaystyle x=0} 을 대입하면, f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1} ∴ C = 1 {\displaystyle \therefore C=1} e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = 1 {\displaystyle e^{-ix}(\cos x+i\sin x)=1} e i x = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle e^{ix}=(\cos x+i\sin x)} Q.E.D. 다음과 같은 복소수 z {\displaystyle z} 를 생각하자: z = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle z=\cos x+i\sin x\,} 양변을 x {\displaystyle x} 에 대해 미분하면: d z d x = − sin ⁡ x + i cos ⁡ x {\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=-\sin x+i\cos x} i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} 이므로: d z d x = i 2 sin ⁡ x + i cos ⁡ x = i ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = i z {\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=i^{2}\sin x+i\cos x=i(\cos x+i\sin x)=iz} z를 이항한 후 양변을 적분하면: 1 z d z d x = i ∫ 1 z d z = ∫ i d x ln ⁡ z = i x + C {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\,{\frac {dz}{dx}}&=i\\\int {\frac {1}{z}}\,dz&=\int i\,dx\\\ln z&=ix+C\end{aligned}}} (여기에서 C {\displaystyle C} 는 적분 상수이다.) 이제 C = 0 {\displaystyle C=0} 이라는 것을 증명한다. x = 0 {\displaystyle x=0} 일 경우를 계산해보면 ln ⁡ z = C z = cos ⁡ x + i sin ⁡ x = cos ⁡ 0 + i sin ⁡ 0 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=C\\z&=\cos x+i\sin x=\cos 0+i\sin 0=1\end{aligned}}} 따라서 ln ⁡ 1 = C C = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 1&=C\\C&=0\end{aligned}}} 따라서 다음과 같은 식이 성립한다: ln ⁡ z = i x z = e i x e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=ix\\z&=e^{ix}\\e^{ix}&=\cos x+i\sin x\end{aligned}}} Q.E.D. 함수 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 를 다음과 같이 정의한다. g ( x ) = e i x {\displaystyle g(x)=e^{ix}} 허수단위 i {\displaystyle i} 는 상수이므로 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다. g ′ ( x ) = i e i x g ″ ( x ) = i 2 e i x = − e i x {\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)&=ie^{ix}\\g''(x)&=i^{2}e^{ix}=-e^{ix}\end{aligned}}} 이로부터 g ″ ( x ) = − g ( x )   {\displaystyle g''(x)=-g(x)\ } 또는 g ″ ( x ) + g ( x ) = 0   {\displaystyle g''(x)+g(x)=0\ } 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고, 일차 독립인 두 해가 발생한다. g 1 ( x ) = cos ⁡ x g 2 ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}(x)&=\cos x\\g_{2}(x)&=\sin x\end{aligned}}} 한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다. g ( x ) = A g 1 ( x ) + B g 2 ( x ) = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x g ′ ( x ) = − A sin ⁡ x + B cos ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=Ag_{1}(x)+Bg_{2}(x)\\&=A\cos x+B\sin x\\g'(x)&=-A\sin x+B\cos x\end{aligned}}} ( A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 상수) 그리고 여기에 함수 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 의 초기 조건 g ( 0 ) = e i 0 = 1 g ′ ( 0 ) = i e i 0 = i {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=e^{i0}&=1\\g'(0)&=ie^{i0}&=i\end{aligned}}} 을 대입하면, g ( 0 ) = − A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0 = A g ′ ( 0 ) = − A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 = B {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&={\color {White}-}A\cos 0+B\sin 0&=A\\g'(0)&=-A\sin 0+B\cos 0&=B\end{aligned}}} 곧, g ( 0 ) = A = 1 g ′ ( 0 ) = B = i {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=A&=1\\g'(0)&=B&=i\end{aligned}}} 이므로 g ( x ) = e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle g(x)\,=\,e^{ix}=\cos x+i\sin x} 이다. Q.E.D. 오일러 공식은 위 소설의 모티브로도 사용이 되었다. 오일러 공식에 숨어 있는 뜻을 cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다. cis ⁡ ( θ ) = e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} (\theta )=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } 이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다. 우선 이 공식을 이해하기 위해서는 멱급수가 무엇인지 알고 있어야 한다. 멱급수란 하나의 수의 지수를 증가시키며 모두 더한 값을 말하며, 지수함수의 멱급수는 다음과 같다. e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 × 2 + x 4 4 × 3 × 2 + ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3\times 2}}+{\frac {x^{4}}{4\times 3\times 2}}+\cdot \cdot \cdot } 이 멱급수의 지수 x {\displaystyle x} 에 i z {\displaystyle iz} (복소수에 임의의 수 z {\displaystyle z} 를 곱한 값)을 추가하면, i sin ⁡ z {\displaystyle i\sin z} 에 cos ⁡ z {\displaystyle \cos z} 를 더한 값과 완벽하게 일치했다. 즉, e i z = cos ⁡ z + i sin ⁡ z {\displaystyle e^{iz}\,=\,\cos z+i\sin z} 가 성립하는 것이다. 이 등식에서 z {\displaystyle z} 에 π {\displaystyle \pi } 를 대입했을 때 나오는 특수한 등식이 바로 오일러의 등식이다. [참고] (대수학 원론 레온하르트 오일러,번억 Christopher James Sangwin,School of Mathematics,University of Birmingham,United Kingdom,B15 2TT,ISBN 978-1-89961-873-6) https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ 리처드 엘위스. 《수학 100》.  겔폰트 상수 오일러의 등식