최소 다항식

추상대수학에서 최소 다항식(最小多項式, 영어: minimal polynomial)은 체에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대한 멱결합 대수 A {\displaystyle A} 의 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자. J a = { p ∈ K [ x ] : p ( a ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}} (만약 A {\displaystyle A} 가 1을 갖지 않는다면, J a ⊆ ( x ) K [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}\subseteq (x)K[x]} 이다.) 그렇다면 J a {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}} 는 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 의 아이디얼이다. K [ x ] {\displaystyle K[x]} 는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다. J a = ( 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}=(0)} 이다. 이 경우, a {\displaystyle a} 는 초월원이며, A {\displaystyle A} 는 초월 대수이다. J a = ( p a ( x ) ) {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}=(p_{a}(x))} 가 되는 일계수 다항식 p a ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]} 가 존재한다. 이 경우, p a ( x ) {\displaystyle p_{a}(x)} 를 a {\displaystyle a} 의 최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, J a {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}} 에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 p a {\displaystyle p_{a}} 보다 차수가 더 크다.) 멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, L {\displaystyle L} 은 가환 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, L / K {\displaystyle L/K} 에서 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 의 최소 다항식 p a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}\in K[x]} 가 인수 분해가 가능하다면 ( p a = q r {\displaystyle p_{a}=qr} ), K {\displaystyle K} 는 정역이므로 q ( a ) = 0 {\displaystyle q(a)=0} 이거나 r ( a ) = 0 {\displaystyle r(a)=0} 이며, deg ⁡ q , deg ⁡ r < deg ⁡ p {\displaystyle \deg q,\deg r<\deg p} 이다. 그러나 p a {\displaystyle p_{a}} 는 J a {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}} 의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다. 대수적 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에서, K {\displaystyle K} 가 완전체라면 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여 p a ( x ) ∈ K [ x ] ⊂ K ¯ [ x ] {\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]\subset {\bar {K}}[x]} 의 (대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 K {\displaystyle K} 가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 L / K {\displaystyle L/K} 가 분해 가능 확대가 아니라고 한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬의 유한 차원 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} 에서, 임의의 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 G ∈ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)} 에 대하여, M {\displaystyle M} 과 G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 L {\displaystyle L} 이 K {\displaystyle K} 를 포함하는 더 큰 체일 경우, M {\displaystyle M} 의 Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} 에서의 최소 다항식과 Mat ⁡ ( n ; L ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;L)} 에서의 최소 다항식은 일치한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. M {\displaystyle M} 의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다. M {\displaystyle M} 은 삼각화 가능 행렬이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다. M {\displaystyle M} 의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다. M {\displaystyle M} 은 대각화 가능 행렬이다. 케일리-해밀턴 정리에 따라, M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 최소 다항식의 소인수 분해가 p M ( x ) = ∏ p p n p ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)=\prod _{p}p^{n_{p}}(x)} 라면, deg ⁡ p ∣ dim ⁡ ker ⁡ p n p ( M ) {\displaystyle \deg p\mid \dim \ker p^{n_{p}}(M)} n p ≤ dim ⁡ ker ⁡ p n p ( M ) / deg ⁡ p {\displaystyle n_{p}\leq \dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p} det ( x − M ) = ∏ p p dim ⁡ ker ⁡ p n p ( M ) / deg ⁡ p {\displaystyle \det(x-M)=\prod _{p}p^{\dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p}} 이다.:196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에서, a ∈ K {\displaystyle a\in K} 라면, p a ( x ) = x − a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}(x)=x-a\in K[x]} 이다. 실수체의 확대인 복소수체 C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 에서, z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 의 최소 다항식은 다음과 같다. p z ( x ) = { x − z z ∈ R ( x − z ) ( x − z ¯ ) = x 2 − 2 ( z + z ¯ ) x + z z ¯ z ∈ C ∖ R {\displaystyle p_{z}(x)={\begin{cases}x-z&z\in \mathbb {R} \\(x-z)(x-{\bar {z}})=x^{2}-2(z+{\bar {z}})x+z{\bar {z}}&z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} \end{cases}}} 실수 행렬 M = ( 1 2 0 0 2 0 − 2 − 2 − 1 ) ∈ Mat ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&-1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )} 의 특성 다항식은 det ( x − M ) = ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle \det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)} 이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, M {\displaystyle M} 의 최소 다항식 역시 p M ( x ) = ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle p_{M}(x)=(x+1)(x-1)(x-2)} 이다. 이차 수체 Q ( d ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} } 에서, d {\displaystyle d} 가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 d {\displaystyle {\sqrt {d}}} 의 최소 다항식은 x 2 − d ∈ Q [ x ] {\displaystyle x^{2}-d\in \mathbb {Q} [x]} 이다. 2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 의 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다. p 2 + 3 ( x ) = x 4 − 10 x 2 + 1 = ( x − 2 − 3 ) ( x + 2 − 3 ) ( x − 2 + 3 ) ( x + 2 + 3 ) {\displaystyle p_{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}(x)=x^{4}-10x^{2}+1=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})} 원분체 Q ( ζ n ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} } 에서, ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} 의 최소 다항식은 원분 다항식(영어: cyclotomic polynomial) Φ n {\displaystyle \Phi _{n}} 이라고 하며, 다음과 같다. Φ 1 ( x ) = x − 1 {\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1} Φ 2 ( x ) = x + 1 {\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1} Φ 3 ( x ) = x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1} Φ 4 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1} Φ 5 ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} Φ 6 ( x ) = x 2 − x + 1 {\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1} Φ 7 ( x ) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} Φ 8 ( x ) = x 4 + 1 {\displaystyle \Phi _{8}(x)=x^{4}+1} Φ 9 ( x ) = x 6 + x 3 + 1 {\displaystyle \Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1} Φ 10 ( x ) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 {\displaystyle \Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1} ⋮ {\displaystyle \vdots } 특히, n {\displaystyle n} 이 소수일 경우 Φ n ( x ) = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n − 1 {\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}} 이다. 분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 ( F p ( x ) [ y ] / ( y p − x ) ) / F p ( x ) {\displaystyle (\mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x))/\mathbb {F} _{p}(x)} 에서, y ∈ F p ( x ) [ y ] / ( y p − x ) {\displaystyle y\in \mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x)} 의 최소 다항식은 p y ( X ) = X p − x ∈ F p ( x ) [ X ] {\displaystyle p_{y}(X)=X^{p}-x\in \mathbb {F} _{p}(x)[X]} 이다. 이 경우, F p ( x ) ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(x)}}} 위에서 p y ( X ) = ( X p − ( x p ) p ) = ( X − x p ) p {\displaystyle p_{y}(X)=(X^{p}-({\sqrt[{p}]{x}})^{p})=(X-{\sqrt[{p}]{x}})^{p}} 이다. 즉, p y {\displaystyle p_{y}} 는 분해 가능 다항식이 아니다. 분해체 체 노름 분해 가능 확대 갈루아 확대 Goldberg, Moshe (2007년 8월). “Minimal Polynomials and Radii of Elements in Finite-Dimensional Power-Associative Algebras” (PDF). 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 359 (8): 4055–4072. doi:10.1090/S0002-9947-06-04296-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 20161761. MR 2302523.  Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 158 2판. Springer. doi:10.1007/0-387-27678-5. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Extension field minimal polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic number minimal polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix minimal polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Definition: Minimal polynomial”. 《ProofWiki》. 2013년 12월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 18일에 확인함.  “Minimal polynomial is unique”. 《ProofWiki》. 2021년 9월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2021년 9월 2일에 확인함.  “Minimal polynomial is irreducible”. 《ProofWiki》. 2013년 12월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 18일에 확인함.