풍부한 가역층

대수기하학에서 풍부한 가역층(豐富한可逆層, 영어: ample invertible sheaf)은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다. 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다. 스킴 사상 q : X → Y {\displaystyle q\colon X\to Y} 및 X {\displaystyle X} 위의 가역층 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 Y {\displaystyle Y} 위의 준연접층 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} Y {\displaystyle Y} -스킴의 몰입 ι : X ↪ P ( E ) {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ({\mathcal {E}})} 가 존재한다면, L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 q {\displaystyle q} 에 대하여 매우 풍부한 가역층(영어: very ample invertible sheaf relative to q {\displaystyle q} , 프랑스어: faisceau inversible très ample pour q {\displaystyle q} )이라고 한다.:79, Définition 4.4.2 L ≅ ι ∗ O P ( E ) ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\cong \iota ^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}(1)} O P ( E ) ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}(1)} 의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L {\displaystyle L} 의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다. 매우 풍부한 인자(영어: very ample divisor)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다. 로빈 하츠혼:120과 류칭:167, Definition 5.1.26이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 H-매우 풍부한 가역층이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다. 스킴 사상 q : X → Y {\displaystyle q\colon X\to Y} 및 X {\displaystyle X} 위의 가역층 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 Y {\displaystyle Y} -스킴의 몰입 ι : X ↪ P Y n {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} _{Y}^{n}} 이 존재한다면, L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 q {\displaystyle q} 에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이라고 한다. 즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 P Y n {\displaystyle \mathbb {P} _{Y}^{n}} 의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 콤팩트 분리 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 가역층 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 가역층(영어: ample invertible sheaf, 프랑스어: faisceau inversible ample)이라고 한다.:84, Définition 4.5.3:153 X {\displaystyle X} 위의 임의의 유한형 준연접층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, F ⊗ L ⊗ n {\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}} 은 대역적 단면으로부터 생성된다.:85, Proposition 4.5.5(d):153:169, Definition 5.1.33 X {\displaystyle X} 위의 임의의 유한형 준연접층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 L ⊗ ( − n ) ⊗ O X ⊕ k {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus k}} 의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n , k ∈ Z + {\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다.:85, Proposition 4.5.5(d′) X {\displaystyle X} 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 에 대하여, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 가 L ⊗ ( − n ) ⊗ O X ⊕ k {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus k}} 의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n , k ∈ Z + {\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다.:85, Proposition 4.5.5(d″) 풍부한 인자(豊富한因子, 영어: ample divisor)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다. 풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.:153, Remark II.7.4.1 국소환 달린 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군 층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층(영어: sheaf generated by global sections)이라고 한다. 임의의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, Γ ( F , U ) = Span ⁡ res X , U ⁡ ( Γ ( F , X ) ) {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},U)=\operatorname {Span} \operatorname {res} _{X,U}(\Gamma ({\mathcal {F}},X))} 이다. 여기서 res X , U : Γ ( F , X ) → Γ ( F , U ) {\displaystyle \operatorname {res} _{X,U}\colon \Gamma ({\mathcal {F}},X)\to \Gamma ({\mathcal {F}},U)} 는 제약 사상이며, Γ ( F , − ) {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},-)} 는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다. 뇌터 환 R {\displaystyle R} 위의 사영 스킴 p : X → Spec ⁡ R {\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} R} 가 주어졌을 때, p {\displaystyle p} 에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.:154, Example II.7.4.3 뇌터 환 R {\displaystyle R} 위의 유한형 스킴 p : X → Spec ⁡ R {\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} R} 및 X {\displaystyle X} 위의 가역층 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:154, Theorem II.7.6 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 풍부한 가역층이다. 충분히 큰 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, L ⊗ n {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}} 은 p {\displaystyle p} 에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다. 모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다. 주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 고유 스킴 X → Spec ⁡ K {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K} 위에 카르티에 인자 D {\displaystyle D} 가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건([中井]-Мойшезон條件, 영어: Nakai–Moishezon condition)에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} 에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다. 모든 정역 부분 스킴 Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} 에 대하여, 다음이 성립한다. D . D . ⋯ . D ⏞ dim ⁡ Y . Y > 0 {\displaystyle \overbrace {D.D.\cdots .D} ^{\dim Y}.Y>0} 클라이먼 조건(Kleiman條件, 영어: Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 X 위의 카르티에 인자 D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} 는 풍부한 가역층이다. X {\displaystyle X} 위의 곡선뿔(영어: cone of curves)을 NE ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {NE} (X)} 라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 C ∈ NE ⁡ ( X ) ¯ {\displaystyle C\in {\overline {\operatorname {NE} (X)}}} 에 대하여, D . C > 0 {\displaystyle D.C>0} 이다. 클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D . D > 0 {\displaystyle D.D>0} 인 것과 대응한다. 카르탕-세르-그로텐디크 정리(영어: Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 L {\displaystyle L} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. L {\displaystyle L} 은 풍부한 가역층이다. X {\displaystyle X} 위의 임의의 연접층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, F ⊗ L n {\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{n}} 이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n {\displaystyle n} 이 존재한다. 복소수 n {\displaystyle n} 차원 복소다양체 M {\displaystyle M} 위의 (1,1)차 복소수 미분 형식 ω ∈ Ω 1 , 1 ( M ) ∩ Ω 2 ( M ; R ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1,1}(M)\cap \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )} 에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 양의 (1,1)-미분 형식(영어: positive (1,1)-form)이라고 한다. 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서, 정칙 접공간 T x 1 , 0 M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{1,0}M} 의 쌍대 공간 T x 1 , 0 ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{1,0*}M} 의 기저 ( d z 1 , … , d z n ) {\displaystyle (\mathrm {d} z^{1},\dotsc ,\mathrm {d} z^{n})} 을 잡았을 때, i ω | x = ∑ i α i d z i ∧ d z ¯ i {\displaystyle \mathrm {i} \omega |_{x}=\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{i}} 의 꼴이며, α 1 , … , α n ≥ 0 {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\geq 0} 는 음이 아닌 실수이다. 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 v ∈ T x 1 , 0 ( M ) {\displaystyle v\in \mathrm {T} _{x}^{1,0}(M)} 에 대하여, − i ω ( v , v ¯ ) ≥ 0 {\displaystyle -\mathrm {i} \omega (v,{\bar {v}})\geq 0} 이다. Im ⁡ h = − ω {\displaystyle \operatorname {Im} h=-\omega } 인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 h {\displaystyle h} 가 존재한다. 즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다. 복소다양체 M {\displaystyle M} 위의 해석적 선다발 L ↠ M {\displaystyle L\twoheadrightarrow M} 에 대하여, ∇ 0 , 1 = ∂ ¯ {\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}} 인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 천 접속(영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률 F {\displaystyle F} 는 항상 F ∈ Ω 1 , 1 ( M ) ∩ i Ω 2 ( M ; R ) {\displaystyle F\in \Omega ^{1,1}(M)\cap \mathrm {i} \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )} 이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 i F {\displaystyle \mathrm {i} F} 가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), L {\displaystyle L} 을 양의 선다발(영어: positive line bundle)이라고 한다. F {\displaystyle F} 는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다. 복소수체 위의 완비 대수다양체 X → Spec ⁡ C {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C} } 위의 가역층 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 X an {\displaystyle X^{\operatorname {an} }} 는 콤팩트 복소다양체를 이루며, L an {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\operatorname {an} }} 은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 은 풍부한 가역층이다. L an {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\operatorname {an} }} 은 양의 선다발이다. 뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.:154, Example II.7.4.2 체 K {\displaystyle K} 위의 사영 공간 P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} 및 정수 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 에 대하여, 가역층 O P K n ( k ) = O P K n ( − 1 ) ⊗ − k {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(k)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-1)^{\otimes -k}} 을 정의할 수 있다. 여기서 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} 은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.:155, Example II.7.6.1 O ( k ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(k)} 는 풍부한 가역층이다. O ( k ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(k)} 는 스킴 사상 P K n ↠ Spec ⁡ K {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} K} 에 대하여 매우 풍부한 가역층이다. k > 0 {\displaystyle k>0} 이다. 대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 D {\displaystyle D} 에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 deg ⁡ D > 0 {\displaystyle \deg D>0} 인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다. 마찬가지로, 종수 g {\displaystyle g} 의 대수 곡선의 경우, 인자 D {\displaystyle D} 에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 deg ⁡ D ≥ 2 g + 1 {\displaystyle \deg D\geq 2g+1} 인 것이다. 예를 들어, 사영 직선( g = 0 {\displaystyle g=0} )의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} 이다 (버코프-그로텐디크 정리 영어: Birkhoff–Grothendieck theorem). 이 경우 d ≥ 1 {\displaystyle d\geq 1} 인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, d ≤ 0 {\displaystyle d\leq 0} 인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선 P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}} 위의 가역층 O ( 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(2)} 을 생각하자. P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}} 의 동차 좌표계 [ s : t ] {\displaystyle [s:t]} 에 대하여, 그 단면의 공간은 Γ ( P 1 ; O ( 2 ) ) = K s 2 ⊕ K s t ⊕ K t 2 {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{1};{\mathcal {O}}(2))=Ks^{2}\oplus Kst\oplus Kt^{2}} 이다. 즉, 사상 [ s : t ] → [ s 2 : s t : t 2 ] {\displaystyle [s:t]\to [s^{2}:st:t^{2}]} 는 매장 P 1 ↪ P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{2}} 을 정의하며, 그 상은 대수 곡선 Proj ⁡ K [ x , y , z ] x z − y 2 {\displaystyle \operatorname {Proj} {\frac {K[x,y,z]}{xz-y^{2}}}} 이다. 사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다. 나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 D {\displaystyle D} 는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다. D {\displaystyle D} 의 자기 교차수 D . D > 0 {\displaystyle D.D>0} X {\displaystyle X} 위의 임의의 (기약) 대수 곡선 C ⊂ X {\displaystyle C\subset X} 에 대하여 D . C > 0 {\displaystyle D.C>0} 자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다. 나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈(일본어: 中井 喜和 (なかい よしかず))와 보리스 게르셰비치 모이셰존(러시아어: Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н) 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다. 클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼(영어: Steven Lawrence Kleiman)이 1966년에 도입하였다. 양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8.  Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084. 2017년 1월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 10일에 확인함.  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 10일에 확인함.  Nagata, Masayoshi (1959). “On the 14th problem of Hilbert”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 81 (3): 766–772. doi:10.2307/2372927. JSTOR 2372927. MR 0154867.  Nakai, Yoshikazu (1963). “A criterion of an ample sheaf on a projective scheme”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 85 (1): 14–26. doi:10.2307/2373180. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373180. MR 0151461.  Мойшезон, Б. Г (1964). “Критерий проективности полных алгебраических абстрактных многообразий”. 《Известия академии наук СССР. Серия математическая》 (러시아어) 28 (1): 179–224. ISSN 0373-2436. MR 0160782.  Kleiman, Steven L. (1966). “Toward a numerical theory of ampleness”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 84 (3): 293–344. doi:10.2307/1970447. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970447. MR 0206009.  Iskovskikh, V.A. (2001). “Invertible sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Iskovskikh, V.A. (2001). “Ample sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Ivanova, O.A. (2001). “Ample vector bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Ample sheaf”. 《nLab》 (영어).  “Positive line bundle”. 《nLab》 (영어).  Mathew, Akhil (2013년 1월 30일). “The Nakai-Moishezon criterion”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  “How should I think about very ample sheaves?” (영어). StackExchange.  “Kleiman's and Nakai-Moishezon's ampleness criteria” (영어). Math Overflow.  “Do versions of the Nakai-Moishezon and Kleiman criteria hold for Moishezon manifolds, or other 'nice' spaces?” (영어). Math Overflow.  “Are “ample” and “positive” line bundle the same concept?” (영어). Math Overflow.  파노 다양체 렙셰츠 초평면 정리 소멸 정리