사다리 연산자

양자역학에서 사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다. 주어진 에르미트 연산자 N {\displaystyle N} 에 대하여, 연산자 X {\displaystyle X} 가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 X {\displaystyle X} 를 N {\displaystyle N} 의 사다리 연산자라고 한다. [ N , X ] = c X {\displaystyle [N,X]=cX} 여기서 c는 어떤 실수이다. 사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다. N X | n ⟩ = ( X N + [ N , X ] ) | n ⟩ = X N | n ⟩ + [ N , X ] | n ⟩ = X n | n ⟩ + c X | n ⟩ = ( n + c ) X | n ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}} 즉, X | n ⟩ ∼ | n + c ⟩ {\displaystyle X|n\rangle \sim |n+c\rangle } 이다. c 가 양수인 경우 X {\displaystyle X} 는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 X {\displaystyle X} 를 올림 연산자, c가 음수인 경우 X {\displaystyle X} 는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 X {\displaystyle X} 를 내림 연산자라 한다. 사다리 연산자 X {\displaystyle X} 의 에르미트 수반 연산자 X † {\displaystyle X^{\dagger }} 또한 사다리 연산자이며 [ N , X † ] = − c X † {\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }} 고유벡터의 고유값을 X {\displaystyle X} 의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다. 사다리 연산자가 존재하면, N {\displaystyle N} 의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, c < 0 {\displaystyle c<0} 이며 N {\displaystyle N} 의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 | n max ⟩ {\displaystyle |n_{\text{max}}\rangle } 가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 X {\displaystyle X} 를 사용하여 | n ⟩ , X | n ⟩ , X 2 | n ⟩ , ⋯ {\displaystyle |n\rangle ,X|n\rangle ,X^{2}|n\rangle ,\cdots } 와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자 X † {\displaystyle X^{\dagger }} 를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다. 사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계 [ x , p ] = i {\displaystyle [x,p]=i} 의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 a {\displaystyle a} 와 생성 연산자 a † {\displaystyle a^{\dagger }} 및 입자수 연산자 N {\displaystyle N} 을 다음과 같이 정의하자. a = ( x + i p ) / 2 {\displaystyle a=(x+ip)/{\sqrt {2}}} a † = ( x − i p ) / 2 {\displaystyle a^{\dagger }=(x-ip)/{\sqrt {2}}} N = a † a {\displaystyle N=a^{\dagger }a} 여기서 N {\displaystyle N} 은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, x {\displaystyle x} 와 p {\displaystyle p} 는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면 [ N , a ] = − a {\displaystyle [N,a]=-a} [ H , a † ] = a † {\displaystyle [H,a^{\dagger }]=a^{\dagger }} [ a , a † ] = 1 {\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1} 이다. 따라서, N {\displaystyle N} 의 고유벡터 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 이 주어지면 a † | n ⟩ ∝ | n + 1 ⟩ {\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle \propto |n+1\rangle } a | n ⟩ ∝ | n − 1 ⟩ {\displaystyle a|n\rangle \propto |n-1\rangle } N | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle } 이 된다. 즉, 바닥 상태 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다. H = Span ⁡ { | 0 ⟩ , a † | 0 ⟩ , ( a † ) 2 | 0 ⟩ , … } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|0\rangle ,a^{\dagger }|0\rangle ,(a^{\dagger })^{2}|0\rangle ,\dots \right\}} 양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 J 1 , J 2 , J 3 {\displaystyle J_{1},J_{2},J_{3}} 은 SU(2)의 리 대수 [ J i , J j ] = i ϵ i j k J k {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{k}} 를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다. J + = J 1 + i J 2 {\displaystyle J_{+}=J_{1}+iJ_{2}} , J − = J 1 − i J 2 = ( J + ) † {\displaystyle J_{-}=J_{1}-iJ_{2}=(J_{+})^{\dagger }} 그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다. [ J 3 , J ± ] = ± J ± {\displaystyle [J_{3},J_{\pm }]=\pm J_{\pm }} 따라서, 상태들을 J 3 {\displaystyle J_{3}} 의 고유상태 | m ⟩ {\displaystyle |m\rangle } 로 나타내면, J ± | m ⟩ ∝ | m ± 1 ⟩ {\displaystyle J_{\pm }|m\rangle \propto |m\pm 1\rangle } 이 된다. 최고 스핀 상태 | l ⟩ {\displaystyle |l\rangle } 는 J + {\displaystyle J_{+}} 로 상쇄되는 상태이다. J + | l ⟩ = 0 {\displaystyle J_{+}|l\rangle =0} 그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다. H = Span ⁡ { | l ⟩ , J − † | 0 ⟩ , ( J − ) 2 | 0 ⟩ , … } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|l\rangle ,J_{-}^{\dagger }|0\rangle ,(J_{-})^{2}|0\rangle ,\dots \right\}} SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, l {\displaystyle l} 은 정수 또는 반정수이며, 또한 ( J − ) 2 l + 1 | l ⟩ = 0 {\displaystyle (J_{-})^{2l+1}|l\rangle =0} 이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 2 l ∈ N {\displaystyle 2l\in \mathbb {N} } 에 의해 결정되며, 그 차원은 2 l + 1 {\displaystyle 2l+1} 이다. SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다. 등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다. [ D , K μ ] = − i K μ {\displaystyle [D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }} [ D , P μ ] = i P μ {\displaystyle [D,P_{\mu }]=iP_{\mu }} [ K μ , P ν ] = 2 i η μ ν D − 2 i M μ ν {\displaystyle [K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }} [ K μ , M ν ρ ] = i ( η μ ν K ρ − η μ ρ K ν ) {\displaystyle [K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })} [ P ρ , M μ ν ] = i ( η ρ μ P ν − η ρ ν P μ ) {\displaystyle [P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })} [ M μ ν , M ρ σ ] = i ( η ν ρ M μ σ + η μ σ M ν ρ − η μ ρ M ν σ − η ν σ M μ ρ ) {\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })} 따라서, − i D {\displaystyle -iD} 에 대하여, [ − i D , K μ ] = − K μ {\displaystyle [-iD,K_{\mu }]=-K_{\mu }} [ − i D , P ν ] = P μ {\displaystyle [-iD,P_{\nu }]=P_{\mu }} 이므로, 특수 등각 변환 K {\displaystyle K} 는 내림 연산자, 운동량 P {\displaystyle P} 는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우 D {\displaystyle D} 가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. K {\displaystyle K} 에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(영어: primary state)라고 하며, 이는 D {\displaystyle D} 와 M μ ν {\displaystyle M_{\mu \nu }} 에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 P {\displaystyle P} 를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(영어: secondary state)라고 한다. 비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다. [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c 12 ( m + 1 ) m ( m − 1 ) δ m + n ( m , n ∈ Z ) {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m+1)m(m-1)\delta _{m+n}\quad (m,n\in \mathbb {Z} )} 따라서, L 0 {\displaystyle L_{0}} 에 대하여, L n {\displaystyle L_{n}} 은 내림 연산자, L − n {\displaystyle L_{-n}} 은 올림 연산자이다 ( n > 0 {\displaystyle n>0} ). [ L 0 , L n ] = − n L n {\displaystyle [L_{0},L_{n}]=-nL_{n}} [ L 0 , L − n ] = n L − n {\displaystyle [L_{0},L_{-n}]=nL_{-n}} 등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(영어: primary state) | h ⟩ {\displaystyle |h\rangle } 로 알려져 있으며, L 0 {\displaystyle L_{0}} 의 고윳값 h {\displaystyle h} 로 나타내어진다. L 0 | h ⟩ = h | h ⟩ {\displaystyle L_{0}|h\rangle =h|h\rangle } L n | h ⟩ = 0 ∀ n > 0 {\displaystyle L_{n}|h\rangle =0\forall n>0} 일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 L − n {\displaystyle L_{-n}} 을 가하여 만들 수 있다. H h = Span ⁡ { | h ⟩ , L − 1 | h ⟩ , L − 1 2 | h ⟩ , L − 2 | h ⟩ , L − 1 3 | h ⟩ , … } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{h}=\operatorname {Span} \{|h\rangle ,L_{-1}|h\rangle ,L_{-1}^{2}|h\rangle ,L_{-2}|h\rangle ,L_{-1}^{3}|h\rangle ,\dots \}} 이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군이라고 한다. 양자 조화 진동자 슈발레 기저 Georgi, Howard (1999년 10월). 《Lie Algebras in Particle Physics from Isospin To Unified Theories》. Frontiers in Physics 54 2판. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 978-0738202334. Zbl 0505.00036.  Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927.