위너 공간

확률론에서 위너 공간(Wiener空間, 영어: Wiener space) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, 영어: abstract Wiener space)은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다.:§1.1 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다. 위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다. 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다. 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 분해 가능 실수 바나흐 공간 E {\displaystyle E} E {\displaystyle E} 의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 μ {\displaystyle \mu } 분해 가능 실수 힐베르트 공간 ( H , ⟨ | ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle |\rangle )} 단사 연속 실수 선형 변환 ι : H ↪ E {\displaystyle \iota \colon H\hookrightarrow E} . (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자. 그렇다면, H ⊆ E {\displaystyle H\subseteq E} 이므로 E ∗ ⊆ H ∗ = H {\displaystyle E^{*}\subseteq H^{*}=H} 이며, E ∗ {\displaystyle E^{*}} 는 H {\displaystyle H} 의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.) 만약 ∫ E exp ⁡ ( i ⟨ λ | x ⟩ ) d μ ( x ) = exp ⁡ ( − ⟨ λ | λ ⟩ H 2 ) ∀ λ ∈ E ∗ ⊆ H {\displaystyle \int _{E}\exp(\mathrm {i} \langle \lambda |x\rangle )\,\mathrm {d} \mu (x)=\exp \left(-{\frac {\langle \lambda |\lambda \rangle _{H}}{2}}\right)\qquad \forall \lambda \in E^{*}\subseteq H} 라면, ( E , μ , H ) {\displaystyle (E,\mu ,H)} 가 위너 공간이라고 한다. 위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다. 분해 가능 실수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 위의 기둥 집합의 족 Cyl ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)} 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다. ν : Cyl ⁡ ( H ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]} ν : P − 1 ( S ) ↦ ( 2 π ) n / 2 ∫ S exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) d n x ( P : H → R n , S ∈ Borel ⁡ ( R n ) ) {\displaystyle \nu \colon P^{-1}(S)\mapsto (2\pi )^{n/2}\int _{S}\exp(-x^{2}/2)\,\mathrm {d} ^{n}x\qquad (P\colon H\to \mathbb {R} ^{n},\;S\in \operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n}))} 특히, ν ( H ) = 1 {\displaystyle \nu (H)=1} ν ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \nu (\varnothing )=0} 이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 σ ( Cyl ⁡ ( H ) ) = Borel ⁡ ( H ) {\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)} 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 H {\displaystyle H} 위의 기둥 집합 측도(영어: cylinder-set measure)라고 한다. H {\displaystyle H} 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 ‖ − ‖ {\displaystyle \|-\|} 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열 V 1 ≤ V 2 ≤ ⋯ ≤ H {\displaystyle V_{1}\leq V_{2}\leq \dotsb \leq H} 이 존재한다면, 이를 가측 노름(영어: measurable norm)이라고 한다. 임의의 유한 차원 부분 공간 W ⊆ H {\displaystyle W\subseteq H} 에 대하여, 만약 W ⊥ V n {\displaystyle W\perp V_{n}} 이라면, ν ( { x ∈ H : ‖ proj W ⁡ x ‖ > 2 − n } ) < 2 − n {\displaystyle \nu (\{x\in H\colon \|\operatorname {proj} _{W}x\|>2^{-n}\})<2^{-n}} 이다. H {\displaystyle H} 의, 어떤 가측 노름 ‖ − ‖ {\displaystyle \|-\|} 에 대한 완비화인 바나흐 공간 H ⊆ E {\displaystyle H\subseteq E} 가 주어졌다고 하자. B ∗ ⊆ H ∗ ≅ H {\displaystyle B^{*}\subseteq H^{*}\cong H} 이므로, { H ∩ C : C ∈ Cyl ⁡ ( E ) } ⊆ Cyl ⁡ ( H ) {\displaystyle \{H\cap C\colon C\in \operatorname {Cyl} (E)\}\subseteq \operatorname {Cyl} (H)} 이다. 그렇다면, E {\displaystyle E} 의 기둥 집합의 족 Cyl ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)} 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다. ν : Cyl ⁡ ( E ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]} ν : ϕ − 1 ( S ) ↦ ν ( H ∩ ϕ − 1 ( S ) ) ∀ ϕ : B → R n {\displaystyle \nu \colon \phi ^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap \phi ^{-1}(S))\qquad \forall \phi \colon B\to \mathbb {R} ^{n}} 이는 Cyl ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)} 로 생성되는 시그마 대수 σ ( Cyl ⁡ ( E ) ) = Borel ⁡ ( E ) {\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (E))=\operatorname {Borel} (E)} 위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 ( E , Borel ⁡ ( E ) ) {\displaystyle (E,\operatorname {Borel} (E))} 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, ( E , H , μ ) {\displaystyle (E,H,\mu )} 를 위너 공간이라고 한다. 위너 공간 ( E , μ , H ) {\displaystyle (E,\mu ,H)} 가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 ϕ ∈ E ∗ {\displaystyle \phi \in E^{*}} 에 대하여, R {\displaystyle \mathbb {R} } 위의 측도 ϕ ∗ μ {\displaystyle \phi _{*}\mu } 의 분포 함수는 평균이 0인 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다. μ ( ϕ − 1 ( S ) ) = ∫ S C exp ⁡ ( − x 2 / 2 σ 2 ) , d x ( C ≥ 0 , σ 2 > 0 ) {\displaystyle \mu (\phi ^{-1}(S))=\int _{S}C\exp(-x^{2}/2\sigma ^{2}),\mathrm {d} x\,\qquad (C\geq 0,\;\sigma ^{2}>0)} 또한, 만약 ϕ ≠ 0 {\displaystyle \phi \neq 0} 라면, C > 0 {\displaystyle C>0} 이다. 임의의 분해 가능 바나흐 공간 E {\displaystyle E} 에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 ( μ , H ) {\displaystyle (\mu ,H)} 가 적어도 하나 이상 존재한다.:Theorem 4.47 위너 공간 ( E , μ , H ) {\displaystyle (E,\mu ,H)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, E ∗ ⊆ H ⊆ E {\displaystyle E^{*}\subseteq H\subseteq E} 가 성립한다. 또한, E ∗ ⊆ L 2 ⁡ ( E , μ ; R ) {\displaystyle E^{*}\subseteq \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )} 임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다. ‖ ϕ ‖ L 2 ⁡ ( E , μ ; R ) = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ H {\displaystyle \|\phi \|_{\operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}={\sqrt {\langle \phi |\phi \rangle _{H}}}} 다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환 E ∗ → L 2 ⁡ ( E , μ ; R ) {\displaystyle E^{*}\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )} 이 존재한다. E ∗ {\displaystyle E^{*}} 는 H {\displaystyle H} 의 조밀 집합이므로, 이를 H {\displaystyle H} 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환 I : H → L 2 ⁡ ( E , μ ; R ) {\displaystyle I\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )} 이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상(영어: Paley–Wiener map)이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 및 x ∈ E {\displaystyle x\in E} 에 대하여 I h ( x ) ∈ R {\displaystyle I_{h}(x)\in \mathbb {R} } 를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분(영어: Paley–Wiener integral)이라고 한다. 위너 공간 ( E , μ , H ) {\displaystyle (E,\mu ,H)} 및 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 에 대하여, 다음을 정의하자. ( + h ) : E → E {\displaystyle (+h)\colon E\to E} ( + h ) : x ↦ x + h {\displaystyle (+h)\colon x\mapsto x+h} 그렇다면, E {\displaystyle E} 위의 보렐 확률 측도 μ h = ( + h ) ∗ μ : Borel ⁡ ( E ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu _{h}=(+h)_{*}\mu \colon \operatorname {Borel} (E)\to [0,1]} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수 d μ h d μ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}} 는 다음과 같다. d μ h d μ = exp ⁡ ( I h ( x ) ) − 1 2 ⟨ h | h ⟩ ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}=\exp \left(I_{h}(x))-{\frac {1}{2}}\langle h|h\rangle \right)} 여기서 I h ( x ) {\displaystyle I_{h}(x)} 는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리(영어: Cameron–Martin theorem)라고 한다. 두 위너 공간 ( E , μ , H ) {\displaystyle (E,\mu ,H)} , ( E ′ , μ ′ , H ′ ) {\displaystyle (E',\mu ',H')} 가 주어졌을 때, ( E ⊕ E ′ , H ⊕ H ′ ) {\displaystyle (E\oplus E',H\oplus H')} 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다. μ ( S × S ′ ) = μ E ( S ) μ E ′ ( S ′ ) ∀ S ∈ Borel ⁡ ( E ) , S ′ ∈ Borel ⁡ ( E ′ ) {\displaystyle \mu (S\times S')=\mu _{E}(S)\mu _{E'}(S')\qquad \forall S\in \operatorname {Borel} (E),\;S'\in \operatorname {Borel} (E')} 만약 H {\displaystyle H} 가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, H = E {\displaystyle H=E} 라고 하자. 이 경우, H {\displaystyle H} 위의 위너 공간 구조의 개념은 H {\displaystyle H} 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다. 다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자. C 0 0 ( [ 0 , T ] , R n ) = { f ∈ C 0 ( [ 0 , T ] , R n ) : f ( 0 ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=0\}} ‖ f ‖ C 0 0 ( [ 0 , T ] , R n ) = max [ 0 , T ] ‖ f ‖ R n {\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}=\max _{[0,T]}\|f\|_{\mathbb {R} ^{n}}} 그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다. W 0 1 , 2 ⁡ ( [ 0 , T ] , R n ) = W 1 , 2 ⁡ ( [ 0 , T ] , R n ) ∩ C 0 0 ( [ 0 , T ] , R n ) = { f ∈ C 0 0 ( [ 0 , T ] , R n ) , d f / d t ∈ L 2 ⁡ ( [ 0 , T ] , R n ) } {\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}\left([0,T],\mathbb {R} ^{n}\right)=\operatorname {W} ^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\cap {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\;\mathrm {d} f/\mathrm {d} t\in \operatorname {L} ^{2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\}} 여기서 W 1 , 2 ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {W} ^{1,2}(-)} 는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 W 0 1 , 2 ⁡ ( [ 0 , T ] , R 2 ) {\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{2})} 의 원소이다. (도함수의 L2 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 L 0 2 , 1 {\displaystyle \operatorname {L} _{0}^{2,1}} 의 원소는 유한 에너지 경로(영어: finite-energy path)라고 한다.) 이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다. ⟨ f , g ⟩ L 0 2 , 1 ⁡ ( [ 0 , 1 ] , R n ) = ∫ 0 T ⟨ f ˙ ( t ) , g ˙ ( t ) ⟩ R n d t {\displaystyle \langle f,g\rangle _{\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right)}=\int _{0}^{T}\langle {\dot {f}}(t),{\dot {g}}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t} 이제, 임의의 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 및 위너 과정 ( W t : Ω → R n ) t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,T]}} 을 생각하자. W {\displaystyle W} 의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 C 0 ( [ 0 , T ] , R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})} 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 S ⊆ C 0 0 ( [ 0 , T ] , R n ) {\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})} 에 대하여, μ ( S ) = Pr ( W ∈ S ) {\displaystyle \mu (S)=\Pr(W\in S)} 로 놓는다. 그렇다면, ( C 0 0 ( [ 0 , T ] , R n ) , μ , L 0 2 , 1 ⁡ ( [ 0 , 1 ] , R n ) ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\mu ,\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right))} 는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, 영어: classical Wiener space)이라고 한다. 원을 S 1 = [ 0 , 1 ] / ( 0 ∼ 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)} 로 정의하자. L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간 E = C 0 0 ( S 1 , R n ) = { f ∈ C 0 ( S 1 , R n ) : f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 } {\displaystyle E={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=f(1)=0\}} 을 생각하자. 이 위에, 부분 공간 H = W 0 1 , 2 ⁡ ( S 1 , R n ) = W 1 , 2 ⁡ ( S 1 , R n ) ∩ E {\displaystyle H=\operatorname {W} _{0}^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\cap E} 을 생각하자. 이는 내적 ⟨ f , g ⟩ = ∮ f ˙ g ˙ {\displaystyle \langle f,g\rangle =\oint {\dot {f}}{\dot {g}}} 에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다. E {\displaystyle E} 위에, 확률 과정 X t = W t − t W 1 {\displaystyle X_{t}=W_{t}-tW_{1}} 의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 W t {\displaystyle W_{t}} 는 위너 과정이다. 그렇다면, ( E , H ) {\displaystyle (E,H)} 는 위너 공간을 이룬다.:§4.4 분해 가능 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 A : H → H {\displaystyle A\colon H\to H} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름 ‖ x ‖ A = ⟨ A x | A x ⟩ H {\displaystyle \|x\|_{A}=\langle Ax|Ax\rangle _{H}} 을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 ( E , μ , H ) {\displaystyle (E,\mu ,H)} 에서 E {\displaystyle E} 역시 힐베르트 공간을 이룬다.:Corollary 4.62 반대로, 임의의 위너 공간 ( E , μ , H ) {\displaystyle (E,\mu ,H)} 에서 E {\displaystyle E} 가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.:Corollary 4.62 고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(영어: Leonard Gross)가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다. 페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다. 캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(영어: Robert Horton Cameron, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(영어: William Ted Martin, 1911〜2004)이 증명하였다. Bell, Denis R. (1987). 《The Malliavin calculus》. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics (영어) 34. John Wiley. ISBN 0-582-99486-1. MR 2250060.  Eldredge, Nathan (2016). “Analysis and probability on infinite-dimensional spaces”. arXiv:1607.03591.  Gross, Leonard (1967). 〈Abstract Wiener spaces〉 (PDF). Le Cam, Lucien M.; Neyman, Jerzy. 《Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Volume Ⅱ. Part Ⅰ. Contributions to probability theory》 (영어). University of California Press. 31–42쪽. MR 212152. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Sengupta, Ambar N. (2012년 3월 17일). “Abstract Wiener spaces in a few slides” (PDF) (영어).  Oh, Tadahiro. “Ornstein–Uhlenbeck process on abstract Wiener spaces, hpercontractibility, and logarithmic Sobolev inequality” (PDF) (영어).