큰 기수

집합론에서 큰 기수(큰基數, 영어: large cardinal)는 집합론의 표준적인 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)로는 그 존재를 증명할 수 없는 매우 큰 기수이다. 큰 기수 공리는 명확히 정의되지 않는 용어이나, 대개 다음과 같은 성질을 만족시키는 공리 A {\displaystyle A} 를 큰 기수 공리로 여긴다. A {\displaystyle A} 는 "어떤 성질 P {\displaystyle P} 를 만족시키는 기수가 존재한다"의 꼴이다. Z F C ⊢ Con ⁡ ( Z F C ) ⟹ Con ⁡ ( Z F C + ¬ A ) {\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\implies \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+\lnot A)} 즉, 만약 ZFC가 일관적이라면, ZFC + " P {\displaystyle P} 를 만족시키는 기수의 부재" 역시 일관적이다. Z F C + A ⊢ Con ⁡ ( Z F C ) {\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})} ZFC + " P {\displaystyle P} 를 만족시키는 기수의 존재"는 ZFC의 일관성을 증명한다. 큰 기수는 큰 기수 공리에 의해 그 존재가 요구되는 기수이다. 큰 기수 공리들은 대체로 무모순성 세기에 대하여 전순서를 이루는 것으로 보인다. 즉, 두 큰 기수 공리 P 1 {\displaystyle P_{1}} , P 2 {\displaystyle P_{2}} 에 대하여, 다음 가운데 하나가 성립한다. Z F C ⊢ Con ⁡ ( Z F C + A 1 ) ⟺ Con ⁡ ( Z F C + A 2 ) {\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{1})\iff \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{2})} Z F C + A 1 ⊢ Con ⁡ ( Z F C + A 2 ) {\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{2})} Z F C + A 2 ⊢ Con ⁡ ( Z F C + A 1 ) {\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{1})} 이는 메타정리가 아니며, 단지 경험적인 관찰에 불과하다. 휴 우딘은 만약 오메가 추측(영어: Ω-conjecture)이 성립한다면 이 현상이 설명된다는 것을 보였다. 무모순성의 전순서는 기수의 크기의 전순서와 대체로 일치하나, 일반적으로 다르다. 예를 들어, 거대 기수(영어: huge cardinal)의 존재는 무모순성 세기에 따라서 초콤팩트 기수(영어: supercompact cardinal)의 존재보다 더 강력하나, 만약 거대 기수와 초콤팩트 기수가 둘 다 존재한다면, 가장 작은 거대 기수는 가장 작은 초콤팩트 기수보다 더 작다. 증가하는 무모순성 순서로 정렬한, 대표적인 큰 기수 공리들의 목록은 다음과 같다. 도달 불가능한 기수 말로 기수 반사 기수(영어: reflecting cardinal) 약콤팩트 기수 형언 불가능한 기수(영어: ineffable cardinal) 에르되시 기수(영어: Erdős cardinal) 램지 기수(영어: Ramsey cardinal) 가측 기수 강기수(영어: strong cardinal) 우딘 기수(영어: Woodin cardinal) 초강기수(영어: superstrong cardinal) 강콤팩트 기수 초콤팩트 기수 보펜카 기수(영어: Vopěnka cardinal) 공리 I3 공리 I2 공리 I1 공리 I0 Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Kanamori, Akihiro; Magidor, Menachem (1978). 〈The evolution of large cardinal axioms in set theory〉 (PDF). Müller, Gert H.; Scott, Dana S. 《Higher Set Theory: Proceedings, Oberwolfach, Germany, April 13–23, 1977》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 669. Springer-Verlag. 99–275쪽. doi:10.1007/BFb0103104. ISBN 978-3-540-08926-1. ISSN 0075-8434.  Solovay, Robert M.; Reinhardt, William N.; Kanamori, Akihiro (1978년 2월). “Strong axioms of infinity and elementary embeddings” (PDF). 《Annals of Mathematical Logic》 (영어) 13: 73–116. doi:10.1016/0003-4843(78)90031-1.  Drake, F. R. (1974). 《Set theory: an introduction to large cardinals》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 76. Elsevier. ISBN 0-444-10535-2.  Maddy, Penelope (1988년 6월). “Believing the axioms I”. 《Journal of Symbolic Logic》 (영어) 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520. ISSN 0022-4812. JSTOR 2274520. MR 0947855. Zbl 0652.03033.  Maddy, Penelope (1988년 9월). “Believing the axioms II”. 《Journal of Symbolic Logic》 (영어) 53 (3): 736–764. doi:10.2307/2274569. ISSN 0022-4812. JSTOR 2274569. MR 0960996. Zbl 0656.03034.  Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “The upper attic”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2012년 2월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 24일에 확인함.  “Large cardinal”. 《nLab》 (영어).  Koellner, Peter (2010년 4월 20일). “Independence and large cardinals”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어). 스탠퍼드 대학교.  Koellner, Peter (2013년 5월 22일). “Large cardinals and determinacy”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어). 스탠퍼드 대학교.