안정점

대수기하학에서, 안정점(安定點, 영어: stable point)은 어떤 대수군의, 사영 대수다양체 위의 작용 아래, 그 안정자군이 유한하며, 그 궤도가 닫힌집합인 점이다. 다음이 주어졌다고 하자. 복소수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 가약 대수군 G ≤ SL ⁡ ( V ) {\displaystyle G\leq \operatorname {SL} (V)} 그렇다면, 점 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 안정점이라고 한다. 군의 작용의 궤도 G . x {\displaystyle G.x} 의 차원이 G {\displaystyle G} 의 차원과 같다. (즉, 안정자군이 유한하다.) G . x {\displaystyle G.x} 가 V {\displaystyle V} 의 닫힌집합이다. 안정점의 집합을 X s {\displaystyle X^{\operatorname {s} }} 라고 표기하자. 점 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 준안정점(영어: semistable point)이라고 한다. 어떤 k {\displaystyle k} 차 G {\displaystyle G} -불변 동차 다항식 p {\displaystyle p} 에 대하여 ( k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} ), p ( x ) ≠ 0 {\displaystyle p(x)\neq 0} 이다. 준안정점의 집합을 X ss {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }} 라고 표기하자. V {\displaystyle V} 에 대한 복소수 사영 공간 P ( V ) {\displaystyle \mathbb {P} (V)} 의 점 [ x ] ∈ P ( V ) {\displaystyle [x]\in \mathbb {P} (V)} 의 경우, 그 점의 대표원 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. X {\displaystyle X} 가 P ( V ) {\displaystyle \mathbb {P} (V)} 속의, G {\displaystyle G} 의 작용에 대하여 불변인 사영 대수다양체일 경우에도 마찬가지로 정의한다. 사영 대수다양체 X ⊆ C P n = Proj ⁡ C [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle X\subseteq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{n}=\operatorname {Proj} \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 를 정의하는 동차 아이디얼 I ⊆ C [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 을 생각하자. 그렇다면, G {\displaystyle G} 는 C [ x 0 , x 1 , … , x n ] / I {\displaystyle \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]/{\mathfrak {I}}} 위에 작용한다. 이에 대한 고정점의 집합 ( C [ x 0 , x 1 , … , x n ] / I ) G {\displaystyle (\mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]/{\mathfrak {I}})^{G}} 을 생각하자. 이는 복소수체 위의 유한 생성 가환 결합 대수를 이루며, 어떤 사영 대수다양체를 정의한다. 이를 X / / G {\displaystyle X/\!/G} 라고 한다. 이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. X s ⊆ X ss ⊆ X ↓ ↓ X s / G ⊆ X / / G {\displaystyle {\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\subseteq &X^{\operatorname {ss} }&\subseteq X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\subseteq &X/\!/G\end{matrix}}} 여기서, X ss {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }} 와 X s {\displaystyle X^{\operatorname {s} }} 는 X {\displaystyle X} 의 열린집합이며, 마찬가지로 X s / G {\displaystyle X^{\operatorname {s} }/G} 는 X / / G {\displaystyle X/\!/G} 의 열린집합이다. n {\displaystyle n} 차원 복소수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 복소수 사영 공간 P ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {P} (V)} 위에 G ≤ SL ⁡ ( V ; C ) {\displaystyle G\leq \operatorname {SL} (V;\mathbb {C} )} 가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형 λ : C × → G {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G} 에 대하여, V {\displaystyle V} 를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다. V i = { v ∈ V : λ ( t ) v = t i v } {\displaystyle V_{i}=\{v\in V\colon \lambda (t)v=t^{i}v\}} V = ⨁ i ∈ Z V i {\displaystyle V=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }V_{i}} (일부 i {\displaystyle i} 에 대하여 V i = 0 {\displaystyle V_{i}=0} 일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을 π i : V ↠ V i {\displaystyle \pi _{i}\colon V\twoheadrightarrow V_{i}} 라고 하자. 그렇다면, 임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여 μ λ ( v ) = min { i ∈ Z : π i ( v ) ≠ 0 } {\displaystyle \mu _{\lambda }(v)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon \pi _{i}(v)\neq 0\}} 을 정의하자. 힐베르트-멈퍼드 수치 조건(Hilber-Mumford數値條件, 영어: Hilbert–Mumford numerical condition for stability)에 따르면, 임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 임의의 λ : C × → G {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G} 에 대하여 μ λ ( v ) < 0 {\displaystyle \mu _{\lambda }(v)<0} 이다. v {\displaystyle v} 는 안정점이다. 마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 임의의 λ : C × → G {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G} 에 대하여 μ λ ( v ) ≤ 0 {\displaystyle \mu _{\lambda }(v)\leq 0} 이다. v {\displaystyle v} 는 준안정점이다. 1893년에 다비트 힐베르트가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’(독일어: Nullform 눌포름[*])이라는 이름으로 연구하였다. 이후 데이비드 멈퍼드가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다. 기하 불변량 이론 몫 Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970). “Invariant theory, old and new”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 4: 1–80. doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0. ISSN 0001-8708. MR 0255525.  Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, Frances (1994). 《Geometric invariant theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 34 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-57916-5. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 1304906.  Hilbert, David (1893). “Über die vollen Invariantensysteme”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 42: 313. doi:10.1007/BF01444162.  “GIT-stable point”. 《nLab》 (영어).