행렬의 합동

선형대수학에서, 행렬의 합동(合同, 영어: congruence)은 두 행렬이 같은 이차 형식의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 두 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 A , B ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 만약 다음을 만족시키는 가역 행렬 P ∈ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;K)} 가 존재한다면, A , B {\displaystyle A,B} 가 서로 합동이라고 한다. P ⊤ A P = B {\displaystyle P^{\top }AP=B} 여기서 ( − ) ⊤ {\displaystyle (-)^{\top }} 는 전치 행렬이다. 행렬의 합동은 동치 관계를 이룬다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 를 원소로 하는 대칭 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;K)} 은 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P ∈ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;K)} 가 존재한다. P ⊤ A P = ( d 1 ⋱ d r 0 ⋱ 0 ) ( d i ≠ 0 , 0 ≤ r ≤ n ) {\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{r}\\&&&0\\&&&&\ddots \\&&&&&0\end{pmatrix}}\qquad (d_{i}\neq 0,\;0\leq r\leq n)} 0이 아닌 대각 원소의 개수 r {\displaystyle r} 는 A {\displaystyle A} 의 계수와 같다. 증명 (행렬의 언어를 사용하여 서술): 행렬의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 우선, 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이다. 이제, ( n − 1 ) × ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 행렬에 대하여 성립한다고 가정하고 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 A {\displaystyle A} 에 대하여 성립함을 증명하자. 영행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이므로, A ≠ 0 {\displaystyle A\neq 0} 인 경우만을 생각하자. 그렇다면, A i j ≠ 0 {\displaystyle A_{ij}\neq 0} 인 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} 이 존재한다. 만약 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 라면, A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 번째 행에 j {\displaystyle j} 번째 열을 더한 뒤, 다시 i {\displaystyle i} 번째 열에 j {\displaystyle j} 번째 열을 더하여 얻는 행렬 ( I + E i j ) ⊤ A ( I + E i j ) {\displaystyle (I+E_{ij})^{\top }A(I+E_{ij})} 은 원래 행렬과 합동이며, i {\displaystyle i} 번째 대각 원소는 2 A i i {\displaystyle 2A_{ii}} 이며, 체의 표수가 2가 아니므로 2 A i i ≠ 0 {\displaystyle 2A_{ii}\neq 0} 이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 i = j {\displaystyle i=j} 라고 할 수 있다. 만약 i ≠ 1 {\displaystyle i\neq 1} 이라면, A {\displaystyle A} 의 1번째 행과 i {\displaystyle i} 번째 행을 교환한 뒤, 1번째 열과 i {\displaystyle i} 번째 행을 교환하여 얻는 행렬 ( I − E i i − E j j + E i j + E j i ) ⊤ A ( I − E i i − E j j + E i j + E j i ) {\displaystyle (I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})^{\top }A(I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})} 은 원래의 행렬과 합동이며, 1번째 대각 원소가 A i i ≠ 0 {\displaystyle A_{ii}\neq 0} 이므로, 일반성을 잃지 않고 i = 1 {\displaystyle i=1} 라고 할 수 있다. 즉, A {\displaystyle A} 가 A 11 ≠ 0 {\displaystyle A_{11}\neq 0} 를 만족시킨다고 보아도 무방하다. 이제 다시 다음과 같은 일련의 기본 행 연산의 합성을 생각하자. P = I − ∑ i = 2 n A 11 − 1 A i 1 E i 1 {\displaystyle P=I-\sum _{i=2}^{n}A_{11}^{-1}A_{i1}E_{i1}} 그렇다면, P ⊤ A P {\displaystyle P^{\top }AP} 는 원래 행렬과 합동이며, 0 = ( P ⊤ A P ) 12 = ⋯ = ( P ⊤ A P ) 1 n = ( P ⊤ A P ) 21 = ( P ⊤ A P ) n 1 {\displaystyle 0=(P^{\top }AP)_{12}=\cdots =(P^{\top }AP)_{1n}=(P^{\top }AP)_{21}=(P^{\top }AP)_{n1}} 이 성립한다. 또한, 그 오른쪽 아래의 부분 행렬 ( ( P ⊤ A P ) i j ) i , j = 2 n {\displaystyle ((P^{\top }AP)_{ij})_{i,j=2}^{n}} 은 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 따라 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 d 2 , … , d n ∈ K {\displaystyle d_{2},\dots ,d_{n}\in K} 및 Q ∈ GL ⁡ ( n − 1 ; K ) {\displaystyle Q\in \operatorname {GL} (n-1;K)} 가 존재한다. Q ⊤ ( ( P ⊤ A P ) i j ) i , j = 2 n Q = diag ⁡ ( d 2 , … , d n ) {\displaystyle Q^{\top }((P^{\top }AP)_{ij})_{i,j=2}^{n}Q=\operatorname {diag} (d_{2},\dots ,d_{n})} 따라서, A {\displaystyle A} 는 다음과 같은 대각 행렬과 합동이다. ( 1 Q ) ⊤ P ⊤ A P ( 1 Q ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}^{\top }P^{\top }AP{\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}} = ( 1 Q ⊤ ) ( A 11 ( P ⊤ A P ) 22 ⋯ ( P ⊤ A P ) 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ( P ⊤ A P ) n 2 ⋯ ( P ⊤ A P ) n n ) ( 1 Q ) {\displaystyle ={\begin{pmatrix}1\\&Q^{\top }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{11}\\&(P^{\top }AP)_{22}&\cdots &(P^{\top }AP)_{2n}\\&\vdots &\ddots &\vdots \\&(P^{\top }AP)_{n2}&\cdots &(P^{\top }AP)_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}} = ( A 11 d 2 ⋱ d n ) {\displaystyle ={\begin{pmatrix}A_{11}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}} 증명 (쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술): 대칭 쌍선형 형식 B : V × V → K {\displaystyle B\colon V\times V\to K} 가 있다고 하자. 증명하려는 바는 B ( u i , u j ) = 0 {\displaystyle B(u_{i},u_{j})=0} ( 1 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle 1\leq i<j\leq n} )인 기저 { u 1 , ⋯ , u n } {\displaystyle \{u_{1},\cdots ,u_{n}\}} 의 존재이다. 벡터 공간의 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 1차원의 경우는 자명하다. ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차원의 경우에 대하여 성립한다고 가정하고, n {\displaystyle n} 차원의 경우에 대하여 증명하자. B = 0 {\displaystyle B=0} 인 경우는 자명하므로, B ≠ 0 {\displaystyle B\neq 0} 의 경우만을 생각하자. 이 경우, B ( u 1 , u 1 ) ≠ 0 {\displaystyle B(u_{1},u_{1})\neq 0} 인 0 ≠ u 1 ∈ V {\displaystyle 0\neq u_{1}\in V} 가 존재한다. (그렇지 않다면, B ( u + v , u + v ) = B ( u , u ) + 2 B ( u , v ) + B ( v , v ) {\displaystyle B(u+v,u+v)=B(u,u)+2B(u,v)+B(v,v)} 이며 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아님에 따라 B = 0 {\displaystyle B=0} 이므로 모순이다.) 그렇다면, B {\displaystyle B} 를 직교 여공간 ( Span ⁡ { u 1 } ) ⊥ = { v ∈ V : B ( u 1 , v ) = 0 } {\displaystyle (\operatorname {Span} \{u_{1}\})^{\perp }=\{v\in V\colon B(u_{1},v)=0\}} 에 제한시켰을 때 여전히 쌍선형 형식을 이루므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라, B ( u i , u j ) = 0 {\displaystyle B(u_{i},u_{j})=0} ( 2 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle 2\leq i<j\leq n} )인 ( Span ⁡ { u 1 } ) ⊥ {\displaystyle (\operatorname {Span} \{u_{1}\})^{\perp }} 의 기저 { u 2 , … , u n } {\displaystyle \{u_{2},\dots ,u_{n}\}} 이 존재한다. 또한, 직교 여공간의 정의에 따라, 0 = B ( u 1 , u 2 ) = ⋯ = B ( u 1 , u n ) {\displaystyle 0=B(u_{1},u_{2})=\cdots =B(u_{1},u_{n})} 이며, { u 1 , … , u n } {\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}} 는 V {\displaystyle V} 의 기저를 이룬다. 증명 (이차 형식의 언어를 사용하여 서술): 이차 형식이 0인 경우 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이므로, 0이 아닌 이차 형식에 대하여 증명하면 된다. 체 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니므로, 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴이다. ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j ( a i j = a j i ∈ K ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\qquad (a_{ij}=a_{ji}\in K)} 이차 형식의 변수의 개수 n {\displaystyle n} 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 1변수의 경우, 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이다. ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 변수에 대하여 성립한다고 가정하고 n {\displaystyle n} 변수에 대하여 증명하자. 만약 계수가 0이 아닌 제곱항을 가진다면, 일반성을 잃지 않고 a 11 ≠ 0 {\displaystyle a_{11}\neq 0} 라고 하자. 그렇다면, 이차 형식을 다음과 같이 변형할 수 있다. ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = a 11 x 1 2 + 2 x 1 ∑ j = 2 n a 1 j x j + ∑ i = 2 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = a 11 ( x 1 2 + 2 a 11 − 1 x 1 ∑ j = 2 n a 1 j x j + a 11 − 2 ( ∑ j = 2 n a 1 j x j ) 2 − a 11 − 2 ( ∑ j = 2 n a 1 j x j ) 2 ) + ∑ i = 2 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = a 11 ( x 1 + a 11 − 1 ∑ j = 2 n a 1 j x j ) 2 − a 11 − 1 ( ∑ j = 2 n a 1 j x j ) 2 + ∑ i = 2 n ∑ j = 1 n a i j x i x j {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}&=a_{11}x_{1}^{2}+2x_{1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\\&=a_{11}\left(x_{1}^{2}+2a_{11}^{-1}x_{1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}+a_{11}^{-2}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}-a_{11}^{-2}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}\right)+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\\&=a_{11}\left(x_{1}+a_{11}^{-1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}-a_{11}^{-1}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\end{aligned}}} 오른쪽의 − a 11 − 1 ( ∑ j = 2 n a 1 j x j ) 2 + ∑ i = 2 n ∑ j = 1 n a i j x i x j {\displaystyle -a_{11}^{-1}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}} 는 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 변수 이차 형식이므로, 제곱합이 되는 가역 변수 변환이 다음과 같이 존재한다. x 2 = b 22 y 2 + ⋯ + b 2 n y n {\displaystyle x_{2}=\qquad b_{22}y_{2}+\cdots +b_{2n}y_{n}} ⋮ {\displaystyle \vdots } x n = b n 2 y 2 + ⋯ + b n n y n {\displaystyle x_{n}=\qquad b_{n2}y_{2}+\cdots +b_{nn}y_{n}} 또한, 변수 y 1 {\displaystyle y_{1}} 를 다음과 같이 정의하자. x 1 = y 1 − a 11 − 1 a 12 x 2 + ⋯ + a 11 − 1 a 1 n x n = y 1 + c 2 y 2 + ⋯ + c n y n {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=y_{1}-a_{11}^{-1}a_{12}x_{2}+\cdots +a_{11}^{-1}a_{1n}x_{n}\\&=y_{1}+c_{2}y_{2}+\cdots +c_{n}y_{n}\end{aligned}}} 그렇다면, 이러한 변수 변환은 가역 변환이며, 원래의 이차 형식을 제곱합으로 만든다. 만약 모든 제곱항의 계수가 0이라면, 이차 형식이 0이 아니라고 전제하였으므로, 일반성을 잃지 않고 a 12 ≠ 0 {\displaystyle a_{12}\neq 0} 이라고 하자. 그렇다면, 가역 변수 변환 x 1 = y 1 + y 2 {\displaystyle x_{1}=y_{1}+y_{2}} x 2 = y 1 − y 2 {\displaystyle x_{2}=y_{1}-y_{2}} x 3 = y 3 {\displaystyle x_{3}=y_{3}} ⋮ {\displaystyle \vdots } x n = y n {\displaystyle x_{n}=y_{n}} 을 통해 원래의 이차 형식은 2 a 12 ( y 1 2 − y 2 2 ) + ∑ 1 ≤ i < j ≤ n : ( i , j ) ≠ ( 1 , 2 ) a i j x i x j {\displaystyle 2a_{12}(y_{1}^{2}-y_{2}^{2})+\sum _{1\leq i<j\leq n\colon (i,j)\neq (1,2)}a_{ij}x_{i}x_{j}} 로 바뀌며, 이는 계수가 0이 아닌 제곱항이 있는 이차 형식이므로 다시 가역 변수 변환을 통해 제곱합으로 만들 수 있다. 표수가 2가 아닌 체 위의 대칭 행렬에 일련의 서로 전치 기본 행 연산의 쌍들을 가하여 그와 합동인 대각 행렬로 만들 수 있다. 실수 대칭 행렬의 경우 고윳값을 대각 원소로 하는 대각 행렬을 취하면 된다. 복소수 대칭 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )} 는 1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 동치이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P ∈ GL ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )} 가 존재한다. P ⊤ A P = ( 1 ⋱ 1 } r 0 ⋱ 0 ) ( 0 ≤ r ≤ n ) {\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}1\\&\ddots \\&&1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle r}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq n)} 1의 개수 r {\displaystyle r} 는 합동의 완전한 불변량이다. 실수 대칭 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )} 는 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P ∈ GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )} 가 존재한다. P ⊤ A P = ( 1 ⋱ 1 } p − 1 ⋱ − 1 } q 0 ⋱ 0 ) ( 0 ≤ p , q ≤ p + q ≤ n ) {\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}1\\&\ddots \\&&1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle p}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left.{\begin{matrix}-1\\&\ddots \\&&-1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle q}\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq p,q\leq p+q\leq n)} 1의 개수 p {\displaystyle p} 와 -1의 개수 q {\displaystyle q} 는 합동의 완전한 불변량이다. 이를 실베스터 관성 법칙이라고 한다. 증명 (쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술): 대칭 쌍선형 형식 B : V × V → K {\displaystyle B\colon V\times V\to K} 가 다음을 만족시키는 기저 { u 1 , … , u n } {\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}} 를 갖는다고 하자. B ( u 1 , u 1 ) = ⋯ = B ( u p , u p ) = 1 {\displaystyle B(u_{1},u_{1})=\cdots =B(u_{p},u_{p})=1} B ( u p + 1 , u p + 1 ) = ⋯ = B ( u r , u r ) = − 1 {\displaystyle B(u_{p+1},u_{p+1})=\cdots =B(u_{r},u_{r})=-1} B ( u i , u j ) = B ( u r + 1 , u r + 1 ) = ⋯ = B ( u n , u n ) = 0 ( 1 ≤ i < j ≤ n ) {\displaystyle B(u_{i},u_{j})=B(u_{r+1},u_{r+1})=\cdots =B(u_{n},u_{n})=0\qquad (1\leq i<j\leq n)} 다음을 보이는 것으로 족하다. p = max { dim ⁡ W : W ⊂ V , B ( u , u ) > 0 ∀ 0 ≠ u ∈ W } {\displaystyle p=\max\{\dim W\colon W\subset V,\;B(u,u)>0\forall 0\neq u\in W\}} 우선, B {\displaystyle B} 는 Span ⁡ { u 1 , … , u p } {\displaystyle \operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}} 에 제한시켰을 때 양의 정부호 형식이며, Span ⁡ { u p + 1 , … , u r } {\displaystyle \operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}} 에 제한시켰을 때 음의 정부호 형식임은 자명하다. 이제, B | W × W {\displaystyle B|_{W\times W}} 가 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간 W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} 를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. Span ⁡ { u p + 1 , … , u r } ⊕ rad ⁡ B ⊕ W {\displaystyle \operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}\oplus \operatorname {rad} B\oplus W} 이는 만약 u ∈ Span ⁡ { u p + 1 , … , u r } {\displaystyle u\in \operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}} 이며 v ∈ rad ⁡ B {\displaystyle v\in \operatorname {rad} B} 이며 w ∈ W {\displaystyle w\in W} 이며 u + v + w = 0 {\displaystyle u+v+w=0} 이라면, B ( u , u ) ≤ 0 ≤ B ( w , w ) {\displaystyle B(u,u)\leq 0\leq B(w,w)} 0 = B ( u − w , u + v + w ) = B ( u , u ) − B ( w , w ) {\displaystyle 0=B(u-w,u+v+w)=B(u,u)-B(w,w)} 이므로, B ( u , u ) = B ( w , w ) = 0 {\displaystyle B(u,u)=B(w,w)=0} 이며, u = w = 0 = v {\displaystyle u=w=0=v} 이기 때문이다. 따라서 p ≥ dim ⁡ W {\displaystyle p\geq \dim W} 이다. 또한 B | Span ⁡ { u 1 , … , u p } × Span ⁡ { u 1 , … , u p } {\displaystyle B|_{\operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}\times \operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}}} 역시 양의 정부호 형식이므로, p {\displaystyle p} 는 B {\displaystyle B} 의 제한이 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간의 최대 차원이며, p {\displaystyle p} 는 유일하다. 증명 (이차 형식의 언어를 사용하여 서술): 귀류법을 사용하여, 두 이차 형식 Q ( x 1 , … , x n ) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x r 2 {\displaystyle Q(x_{1},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{r}^{2}} R ( y 1 , … , y n ) = y 1 2 + ⋯ + y p ′ 2 − y p ′ + 1 2 − ⋯ − y r 2 {\displaystyle R(y_{1},\dots ,y_{n})=y_{1}^{2}+\cdots +y_{p'}^{2}-y_{p'+1}^{2}-\cdots -y_{r}^{2}} 이 서로 동치이며, p > p ′ {\displaystyle p>p'} 라고 가정하자. 또한, 이 둘 사이의 가역 선형 변환이 다음과 같다고 하자. y 1 = P 11 x 1 + ⋯ + P n 1 x n {\displaystyle y_{1}=P_{11}x_{1}+\cdots +P_{n1}x_{n}} ⋮ {\displaystyle \vdots } y n = P 1 n x 1 + ⋯ + P n n x n {\displaystyle y_{n}=P_{1n}x_{1}+\cdots +P_{nn}x_{n}} 그렇다면, p > p ′ {\displaystyle p>p'} 이므로, 연립 일차 방정식 0 = P 11 x 1 + ⋯ + P n 1 x p {\displaystyle 0=P_{11}x_{1}+\cdots +P_{n1}x_{p}} ⋮ {\displaystyle \vdots } 0 = P 1 q x 1 + ⋯ + P n q x p {\displaystyle 0=P_{1q}x_{1}+\cdots +P_{nq}x_{p}} 은 0이 아닌 해 ( x 1 ( 0 ) , … , x p ( 0 ) ) {\displaystyle (x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)})} 를 가진다. 이 경우, 0 < Q ( x 1 ( 0 ) , … , x p ( 0 ) , 0 , … , 0 ) = R ( ( x 1 ( 0 ) , … , x p ( 0 ) , 0 , … , 0 ) P ) ≤ 0 {\displaystyle 0<Q(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)},0,\dots ,0)=R((x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)},0,\dots ,0)P)\leq 0} 이며, 이는 모순이다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 반대칭 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;K)} 는 A ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;K)} 는 몇 개의 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 행렬 ( ( 0 , 1 ) , ( − 1 , 0 ) ) {\displaystyle ((0,1),(-1,0))} 과 하나의 영행렬의 직합과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P ∈ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;K)} 가 존재한다.:377 P ⊤ A P = ( 1 − 1 ⋱ ⋱ 1 − 1 } 2 k 0 ⋱ 0 ) ( 0 ≤ 2 k ≤ n ) {\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}{\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}}\\&\ddots \\&&\ddots \\&&&{\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle 2k}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq 2k\leq n)} 행렬의 닮음 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  “Congruent matrices”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Congruent matrices”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Definition:Matrix congruence”. 《ProofWiki》 (영어).