호지 쌍대

미분기하학에서 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표( ∗ {\displaystyle *} ). 호지 별표(Hodge star)로도 부른다. ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 n {\displaystyle n} 차원 유향 리만 다양체 또는 준 리만 다양체이고, α {\displaystyle \alpha } 가 그 위에 정의된 k {\displaystyle k} 차 미분 형식이라고 하자 ( 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} ). 그렇다면, 준 리만 계량의 음악 동형을 통하여, k {\displaystyle k} 차 미분 형식을 ( k , 0 ) {\displaystyle (k,0)} 차 완전 반대칭 텐서로 대응시킬 수 있다. ( − ) # : Ω p ( M ) → Γ ( ⋀ k T M ) {\displaystyle (-)^{\#}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M\right)} 지표로 쓰면 이는 다음과 같다. ( α # ) i 1 i 2 ⋯ i p = g i 1 j 1 ⋯ g i p j p α j 1 … j p {\displaystyle (\alpha ^{\#})^{i_{1}i_{2}\dotsb i_{p}}=g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{j_{1}\dotso j_{p}}} 이제, α ∈ Ω p ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M)} 의 호지 쌍대는 다음과 같다. ⋆ α = α # ⌟ ω ∈ Ω n − p ( M ) {\displaystyle \star \alpha =\alpha ^{\#}\lrcorner \omega \in \Omega ^{n-p}(M)} 여기서 ⌟ {\displaystyle \lrcorner } 는 ( p , 0 ) {\displaystyle (p,0)} 차 완전 반대칭 텐서와 n {\displaystyle n} 차 미분 형식 사이의 내부곱이다. ω ∈ Ω n ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(M)} 는 준 리만 계량 및 방향으로 정의되는 부피 형식이다. 지표로 쓰면, ω i 1 … i n = | det g | ϵ i 1 … i n {\displaystyle \omega _{i_{1}\dotso i_{n}}={\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{i_{1}\dotso i_{n}}} 이므로, ( ⋆ α ) i p + 1 … i n = 1 p ! | det g | ϵ i 1 … i n g i 1 j 1 ⋯ g i p j p α j 1 … j p {\displaystyle (\star \alpha )_{i_{p+1}\dotso i_{n}}={\frac {1}{p!}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{i_{1}\dotso i_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{j_{1}\dotso j_{p}}} 이다. 여기서 ϵ i 1 , … , i n {\displaystyle \epsilon ^{i_{1},\dots ,i_{n}}} 은 n {\displaystyle n} 차원 레비치비타 기호이다. 보다 일반적으로, 유향 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, E {\displaystyle E} 값의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식 α ∈ Ω k ( M ; E ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M;E)} 에 대하여 마찬가지로 호지 쌍대를 정의할 수 있다. α # ∈ Γ ( ⋀ k T M ⊗ E ) {\displaystyle \alpha ^{\#}\in \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M\otimes E\right)} ⋆ α = α # ⌟ ω ∈ Ω n − p ( M ; E ) {\displaystyle \star \alpha =\alpha ^{\#}\lrcorner \omega \in \Omega ^{n-p}(M;E)} 즉, 성분으로 쓰면 다음과 같다. ( ⋆ α ) i p + 1 … i n a = 1 p ! | det g | ϵ i 1 … i n g i 1 j 1 ⋯ g i p j p α j 1 … j p a {\displaystyle (\star \alpha )_{i_{p+1}\dotso i_{n}}^{a}={\frac {1}{p!}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{i_{1}\dotso i_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{j_{1}\dotso j_{p}}^{a}} α {\displaystyle \alpha } 가 ( n − q , q ) {\displaystyle (n-q,q)} 차원 준 리만 다양체 위에 정의된 k {\displaystyle k} 차 미분 형식이라고 하자. 그렇다면 ⋆ ⋆ α = ( − 1 ) k ( n − k ) + q α {\displaystyle \star \star \alpha =(-1)^{k(n-k)+q}\alpha } 이다. 특히, 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면, 이는 선형 변환 ⋆ : Ω n / 2 ( M ) → Ω n / 2 ( M ) {\displaystyle \star \colon \Omega ^{n/2}(M)\to \Omega ^{n/2}(M)} 을 정의한다. 만약 ⋆ ⋆ = + 1 {\displaystyle \star \star =+1} 인 경우, 가운데 차수 미분 형식은 자기 쌍대 미분 형식(영어: self-dual differential form) α = ⋆ α {\displaystyle \alpha =\star \alpha } 과 자기 반쌍대 미분 형식(영어: anti-self-dual differential form) α = − ⋆ α {\displaystyle \alpha =-\star \alpha } 으로 분해된다. α = 1 2 ( α + ⋆ α ) + 1 2 ( α − ⋆ α ) {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}(\alpha +\star \alpha )+{\frac {1}{2}}(\alpha -\star \alpha )} 만약 ⋆ ⋆ = − 1 {\displaystyle \star \star =-1} 인 경우, 이는 가운데 차수 미분 형식의 실수 벡터 공간에 복소구조를 정의한다. 이제, 다음과 같은 내적을 생각하자. ⟨ α , β ⟩ = ∫ M ( α # ⌟ β ) ω = ∫ M 1 p ! g i 1 j 1 ⋯ g i p j p α i 1 ⋯ i q β j 1 ⋯ j q | det g | d n x {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\int _{M}(\alpha ^{\#}\lrcorner \beta )\omega =\int _{M}{\frac {1}{p!}}g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{i_{1}\dotsb i_{q}}\beta _{j_{1}\dotsb j_{q}}{\sqrt {|\det g|}}\,\mathrm {d} ^{n}x} 이는 물론 수렴하지 않을 수 있다. 그러나 부분 공간 { α ∈ Ω p ( M ) : ⟨ α , α ⟩ < ∞ } {\displaystyle \left\{\alpha \in \Omega ^{p}(M)\colon \langle \alpha ,\alpha \rangle <\infty \right\}} 위에서 이 연산은 잘 정의되며, 이에 대한 완비화를 취하면 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이를 H p {\displaystyle H^{p}} 로 표기하자. ( p = 0 {\displaystyle p=0} 인 경우 이는 르베그 공간 L 2 ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(M)} 과 같다.) 이에 대하여 마찬가지로 쐐기곱을 ( ∧ ) : H p ⊗ H q → H p + q {\displaystyle (\wedge )\colon H^{p}\otimes H^{q}\to H^{p+q}} 로 정의할 수 있다. 그렇다면, 임의의 α ∈ H p {\displaystyle \alpha \in H^{p}} 에 대하여 다음이 성립한다. ∀ β ∈ H p : β ∧ ⋆ α = ⟨ β , α ⟩ H p ω ∈ H n {\displaystyle \forall \beta \in H^{p}\colon \beta \wedge \star \alpha =\langle \beta ,\alpha \rangle _{H^{p}}\omega \in H^{n}} 즉, 이 경우 호지 쌍대 연산은 힐베르트 공간의 내적과 쐐기곱 사이의 변환이다. 미분 형식의 공미분(codifferential) δ {\displaystyle \delta } 는 미분 형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 d {\displaystyle d} 에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다. ⟨ δ α , β ⟩ = ⟨ α , d β ⟩ {\displaystyle \langle \delta \alpha ,\beta \rangle =\langle \alpha ,\mathrm {d} \beta \rangle } . 따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. α {\displaystyle \alpha } 가 k {\displaystyle k} 차 형식이라면, δ α = ( − 1 ) k ⋆ − 1 d ⋆ α {\displaystyle \delta \alpha =(-1)^{k}\star ^{-1}\mathrm {d} \star \alpha } 이다. 공미분은 외미분과 마찬가지로 항등식 δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} 을 만족시킨다. 미분 형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자 Δ {\displaystyle \Delta } 는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. Δ = ( d + δ ) 2 = d δ + δ d {\displaystyle \Delta =(d+\delta )^{2}=d\delta +\delta d} . 윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 호지 이론의 일부로서 도입하였다. Weisstein, Eric Wolfgang. “Hodge star”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Hodge star operator”. 《nLab》 (영어).