고리군

리 군론에서 고리군(영어: loop group)은 리 군의 고리 공간이며, 위상군을 이룬다. 이에 대하여, 반단순 리 군의 경우와 마찬가지로 보렐-베유-보트 정리 등의 이론을 전개할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 C ∞ ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 위에는 점별 곱셈 및 콤팩트-열린집합 위상을 통해 위상군의 구조를 줄 수 있다. 이를 G {\displaystyle G} 의, M {\displaystyle M} 위의 게이지 변환 군(영어: group of gauge transformations)이라고 한다. 만약 M = S 1 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{1}} 일 때, 이를 G {\displaystyle G} 의 고리군이라고 하며, L G {\displaystyle \mathrm {L} G} 라고 표기된다. 고리군 위에는 자기 동형의 족 τ θ : L G → L G {\displaystyle \tau _{\theta }\colon \mathrm {L} G\to \mathrm {L} G} τ θ ⋅ ϕ : t ↦ ϕ ( t + θ ) {\displaystyle \tau _{\theta }\cdot \phi \colon t\mapsto \phi (t+\theta )} 이 주어지며, 이를 통해 반직접곱 U ⁡ ( 1 ) ⋊ L G {\displaystyle \operatorname {U} (1)\rtimes \mathrm {L} G} 를 정의할 수 있다. 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 위의, 원군의 표현 U ⁡ ( 1 ) → Aut ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)\to \operatorname {Aut} (V)} 이 다음과 같은 꼴이라면, 양에너지 표현(영어: positive-energy representation)이라고 한다. exp ⁡ ( i t ) ↦ exp ⁡ ( i t A ) {\displaystyle \exp(\mathrm {i} t)\mapsto \exp(\mathrm {i} tA)} 여기서 A {\displaystyle A} 는 양의 실수 스펙트럼을 갖는 (유계 또는 비유계) 작용소이다. 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 위의 연속 표현 ρ : L G → Aut ⁡ ( V ) {\displaystyle \rho \colon \mathrm {L} G\to \operatorname {Aut} (V)} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 양에너지 표현(영어: positive-energy representation)이라고 한다. ρ ~ ↾ U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}\upharpoonright \operatorname {U} (1)} 가 원군의 양에너지 표현이며, ρ ~ ↾ L G = ρ {\displaystyle {\tilde {\rho }}\upharpoonright \mathrm {L} G=\rho } 인 연속 표현 ρ ~ U ⁡ ( 1 ) ⋊ L G → Aut ⁡ ( V ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}\operatorname {U} (1)\rtimes \mathrm {L} G\to \operatorname {Aut} (V)} 이 존재한다. L G {\displaystyle \mathrm {L} G} 가 연결 공간일 필요 충분 조건은 G {\displaystyle G} 가 연결 단일 연결 공간인 것이다. G {\displaystyle G} 가 연결 단일 연결 콤팩트 반단순 리 군이라고 하고, 그 카르탕 부분군이 T ≤ G {\displaystyle T\leq G} 라고 하자. 그렇다면, 올다발 G / T ↪ L G / T ↠ L G / G {\displaystyle G/T\hookrightarrow \mathrm {L} G/T\twoheadrightarrow \mathrm {L} G/G} 이 존재한다. L G / T {\displaystyle \mathrm {L} G/T} 의 2차 특이 코호몰로지는 다음과 같다. H 2 ⁡ ( L G / T ; Z ) ≅ Z ⊕ H 2 ⁡ ( G / T ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathrm {L} G/T;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} \oplus \operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )} 아핀 리 대수는 고리군의 리 대수의 중심 확장이다. 각 ( n , λ ) ∈ Z ⊕ H 2 ⁡ ( G / T ; Z ) {\displaystyle (n,\lambda )\in \mathbb {Z} \oplus \operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )} 에 대하여 L G / T {\displaystyle \mathrm {L} G/T} 위의 복소수 선다발 C ↪ L n , l a m b d a ↠ L G / T {\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow L_{n,lambda}\twoheadrightarrow \mathrm {L} G/T} 을 정의할 수 있다. 또한, 그 정칙 단면의 복소수 힐베르트 공간 H 0 ⁡ ( L n , λ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })} 을 생각하자. 동차 공간 L G / T {\displaystyle \mathrm {L} G/T} 위에는 L G {\displaystyle \mathrm {L} G} 의 표준적인 왼쪽 작용이 존재하며, 이는 H 0 ⁡ ( L n , λ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })} 위의 왼쪽 작용을 유도한다. 즉, 이는 L G {\displaystyle \mathrm {L} G} 의 표현을 이룬다. 또한, 만약 Lie ⁡ ( H ) ∗ {\displaystyle \operatorname {Lie} (H)^{*}} 에서 양근의 집합을 선택할 경우, 보렐-베유-보트 정리에서의 구성으로서 아벨 군의 동형 H 2 ⁡ ( G / T ; Z ) ≅ T ^ {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )\cong {\hat {T}}} 이 결정된다. 여기서 T ^ {\displaystyle {\hat {T}}} 는 T {\displaystyle T} 의 폰트랴긴 쌍대군(즉, U ⁡ ( 1 ) → T {\displaystyle \operatorname {U} (1)\to T} 의 꼴의 군 준동형의 군)이다. 고리군에 대하여, 다음과 같은 보렐-베유-보트 정리의 일종이 성립한다.:163, Proposition (4.2) H 0 ⁡ ( L n , λ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })} 는 0차원이거나 또는 L G {\displaystyle \mathrm {L} G} 의 기약 양에너지 표현을 이룬다. 반대로, L G {\displaystyle \mathrm {L} G} 의 모든 기약 양에너지 표현에 대하여, 이를 위와 같이 구성하는 ( n , λ ) ∈ Z ⊕ H 2 ⁡ ( G / T ; Z ) {\displaystyle (n,\lambda )\in \mathbb {Z} \oplus \operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )} 가 존재한다. H 0 ⁡ ( L n , λ ) ≠ { 0 } {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })\neq \{0\}} 일 필요 충분 조건은 다음과 같다. G {\displaystyle G} 의 모든 양의 쌍대근 h ∈ Lie ⁡ ( T ) {\displaystyle h\in \operatorname {Lie} (T)} 에 대하여, 0 ≤ λ ( h ) ≤ n ⟨ h | h ⟩ {\displaystyle 0\leq \lambda (h)\leq n\langle h|h\rangle } 여기서 ⟨ − | − ⟩ {\displaystyle \langle -|-\rangle } 은 T {\displaystyle T} 의 리 대수 Lie ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (T)} (즉, 쌍대근의 공간) 위의 표준적인 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이다. 고리 공간 유사군 Segal, Graeme B. (1985). 〈Loop groups〉. 《Arbeitstagung Bonn 1984》 (PDF). Lecture Notes in Mathematics (영어) 1111. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0084589. ISBN 978-3-540-15195-1. ISSN 0075-8434. 2018년 5월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 1월 17일에 확인함.  “Loop group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Loop group”. 《nLab》 (영어).  “Quantization of loop groups”. 《nLab》 (영어).  “Positive energy representation”. 《nLab》 (영어).