아벨 다양체

대수기하학에서 아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety) 또는 가환다양체(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다. 대수적으로 닫힌 체 k {\displaystyle k} 위의 아벨 다양체는 k {\displaystyle k} 에 대한, 대수군을 이루는 (기약 연결) 사영 대수다양체이다. 등원사상(等原寫像, 영어: isogeny 아이소제니[*])은 두 아벨 다양체 사이의, 핵이 유한 집합인 전사 군 준동형이다.:329 영어명 영어: isogeny 아이소제니[*]는 고대 그리스어: ἰσογενής 이소게네스[*](같은 종족·출신·종류의)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점(군의 항등원)을 보존시키기 때문이다. 아벨 다양체의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. 주극성화(영어: principal polarization)는 동형사상인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. (주)극성화 아벨 다양체(영어: (principally) polarized Abelian variety)는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다. 복소수 아벨 다양체 위의 유리형 함수를 아벨 함수(Abel函數, 영어: Abelian function)라고 한다. 즉, 이는 g {\displaystyle g} 개의 복소수 변수를 갖고, 모든 변수에 대하여 주기적인 유리형 함수이다. 이는 타원 함수의 고차원 일반화이다. 복소수 아벨 다양체 위의 해석적 선다발의 해석적 단면을 세타 함수라고 한다. 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 에 대한 g {\displaystyle g} 차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면 V / Λ ≅ T 2 g {\displaystyle V/\Lambda \cong T^{2g}} 이다. 여기서 V ≅ C g {\displaystyle V\cong \mathbb {C} ^{g}} 는 g {\displaystyle g} 차원 복소수 벡터 공간이다. Λ ⊂ V {\displaystyle \Lambda \subset V} 는 V {\displaystyle V} 속의 격자이다. 이러한 해석적 복소수 원환면 위의 리만 형식(Riemann形式, 영어: Riemann form) h : V × V → C {\displaystyle h\colon V\times V\to \mathbb {C} } 은 격자에 제한한다면 허수 성분은 정수인 반쌍선형 형식이다. 즉, 다음 조건들이 성립한다. (에르미트성) 임의의 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} 에 대해, ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ¯ {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}} (반쌍선형성) 임의의 α , α ′ ∈ C {\displaystyle \alpha ,\alpha '\in \mathbb {C} } , u , v , v ′ ∈ V {\displaystyle u,v,v'\in V} 에 대해, ⟨ u , α v + α ′ v ′ ⟩ = α ⟨ u , v ⟩ + α ′ ⟨ u , v ′ ⟩ {\displaystyle \langle u,\alpha v+\alpha 'v'\rangle =\alpha \langle u,v\rangle +\alpha '\langle u,v'\rangle } (정부호성) 임의의 0이 아닌 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 에 대하여, ⟨ u , u ⟩ > 0 {\displaystyle \langle u,u\rangle >0} 이다. (정수성) 임의의 u , v ∈ Λ {\displaystyle u,v\in \Lambda } 에 대하여, ⟨ u , v ⟩ ∈ R + i Z {\displaystyle \langle u,v\rangle \in \mathbb {R} +i\mathbb {Z} } 이다. 그렇다면 복소수 원환면 V / Λ {\displaystyle V/\Lambda } 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } 는 아벨 다양체이다. 즉, 복소수 사영 공간으로 가는 매장이 존재한다. (리만 조건, Riemann條件, 영어: Riemann conditions) C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } 위에 리만 형식이 존재한다. 리만 형식이 존재한다면, 이로 인하여 ( V / Λ , h ) {\displaystyle (V/\Lambda ,h)} 는 켈러 다양체를 이루며, 그 켈러 형식 K = 1 2 i ( h − h ¯ ) ∈ H 2 ( V / Λ ; Z ) ( h ( a , b ) = ⟨ a , b ⟩ ) {\displaystyle K={\frac {1}{2}}i(h-{\bar {h}})\in H^{2}(V/\Lambda ;\mathbb {Z} )\qquad (h(a,b)=\langle a,b\rangle )} 은 정수 계수 코호몰로지에 속한다. 따라서, 고다이라 매장 정리에 따라 V / Λ {\displaystyle V/\Lambda } 는 사영 대수다양체를 이룬다. 이 경우, 매장의 좌표는 구체적으로 V {\displaystyle V} 위의 세타 함수들로 주어진다. 리만 조건은 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다. 예를 들어, 에르미트 형식 h {\displaystyle h} 의 허수 부분 Q = Im ⁡ h | Λ × Λ : Λ × Λ → Z {\displaystyle Q=\operatorname {Im} h|_{\Lambda \times \Lambda }\colon \Lambda \times \Lambda \to \mathbb {Z} } 은 정수 행렬을 이루며, 이로부터 에르미트 형식 전체를 다음과 같이 복구할 수 있다. h ( u , v ) = i Q R ( u , v ) + Q R ( i u , v ) ∀ u , v ∈ V {\displaystyle h(u,v)=iQ^{\mathbb {R} }(u,v)+Q^{\mathbb {R} }(iu,v)\qquad \forall u,v\in V} 여기서 Q R : V × V → R {\displaystyle Q^{\mathbb {R} }\colon V\times V\to \mathbb {R} } 는 Q {\displaystyle Q} 의 실수 계수 선형 확대이다. 따라서, 리만 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다. Λ {\displaystyle \Lambda } 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.:13–14 Q R ( i u , i v ) = Q R ( u , v ) ∀ u , v ∈ V {\displaystyle Q^{\mathbb {R} }(iu,iv)=Q^{\mathbb {R} }(u,v)\qquad \forall u,v\in V} h ( u , u ) = Q R ( i u , u ) > 0 ∀ u ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle h(u,u)=Q^{\mathbb {R} }(iu,u)>0\forall u\in V\setminus \{0\}} 또는 이는 Q R {\displaystyle Q^{\mathbb {R} }} 대신 Q C {\displaystyle Q^{\mathbb {C} }} 를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. Λ ⊗ Z C = V ⊕ V ¯ {\displaystyle \Lambda \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =V\oplus {\bar {V}}} 로 놓으면, Λ {\displaystyle \Lambda } 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.:327 Q R ( i u , i v ) = Q R ( u , v ) ∀ u , v ∈ V {\displaystyle Q^{\mathbb {R} }(iu,iv)=Q^{\mathbb {R} }(u,v)\qquad \forall u,v\in V} h ( u , u ) = − i Q R ( u , u ¯ ) > 0 ∀ u ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle h(u,u)=-iQ^{\mathbb {R} }(u,{\bar {u}})>0\forall u\in V\setminus \{0\}} 복소수체 위에서의 등원사상은 아벨 다양체를 정의하는 격자로서 다룰 수 있다. 두 아벨 다양체 V / Λ {\displaystyle V/\Lambda } , V / Λ ′ {\displaystyle V/\Lambda '} 에서 등원사상 V / Λ ↠ V / Λ ′ {\displaystyle V/\Lambda \twoheadrightarrow V/\Lambda '} 이 주어졌다면, 이는 격자의 포함 관계 Λ ′ ↪ Λ {\displaystyle \Lambda '\hookrightarrow \Lambda } 와 같다. 즉, 이는 (격자를 자유 아벨 군으로 여길 때) 유한 지표 부분군으로 주어진다. 복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 동치류에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 H , H ′ {\displaystyle H,H'} 이 양의 정수 n , n ′ ∈ Z + {\displaystyle n,n'\in \mathbb {Z} ^{+}} 이 존재해 n H = n ′ H ′ {\displaystyle nH=n'H'} 인 경우, H ∼ H ′ {\displaystyle H\sim H'} 으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 동치류 [ H ] {\displaystyle [H]} 는 주극성화를 정의한다. 복소수 g {\displaystyle g} 차원 주극성화 아벨 다양체의 모듈라이 공간 A g {\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}} 는 다음과 같다. A g = Sp ⁡ ( 2 g ; Z ) ∖ Sp ⁡ ( 2 g ; R ) / U ⁡ ( g ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}=\operatorname {Sp} (2g;\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )/\operatorname {U} (g)} 여기서 Sp ⁡ ( 2 g ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )} 는 리만 형식을 보존하는 심플렉틱 변환들의 집합이고, Sp ⁡ ( 2 g ; Z ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {Z} )} 는 리만 형식의 동치에 의하여 생성되는 군이다. 여기서 Sp ⁡ ( 2 g ; R ) / U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )/\operatorname {U} (g)} 를 지겔 상반평면(Siegel上半平面, 영어: Siegel upper half-plane)이라고 하는데, 이는 g = 1 {\displaystyle g=1} 일 경우 일반적인 복소수 상반평면이기 때문이다. 이는 복소수 g ( g + 1 ) / 2 {\displaystyle g(g+1)/2} 차원 오비폴드이다. 모든 (대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 원환면들의 모듈러스 공간의 차원은 복소수 g 2 {\displaystyle g^{2}} 차원이므로, g > 1 {\displaystyle g>1} 인 경우 거의 모든 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다. 다만, g = 1 {\displaystyle g=1} 인 경우 (타원곡선) 모든 복소수 원환면은 대수적이다. 예를 들어, g = 1 {\displaystyle g=1} 인 경우 Sp ⁡ ( 2 ; Z ) = PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2;\mathbb {Z} )=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 는 모듈러 군이고, Sp ⁡ ( 2 ; R ) / U ⁡ ( 1 ) = PSL ⁡ ( 2 ; R ) / SO ⁡ ( 2 ) ≅ { z ↦ a z + b | a ∈ R + , b ∈ R } ≅ H {\displaystyle \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )/\operatorname {U} (1)=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (2)\cong \{z\mapsto az+b|a\in \mathbb {R} ^{+},b\in \mathbb {R} \}\cong \mathbb {H} } 는 (아핀) 복소수 상반평면이므로 A 1 = H / PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 는 복소수 타원 곡선의 모듈러스 공간이다. 아벨 다양체의 주된 예는 대수 곡선의 야코비 다양체 또는 일반적인 대수다양체의 피카르 다양체 및 알바네세 다양체이다. 1차원 아벨 다양체는 타원 곡선이라고 한다. 모티브 (수학) 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 아벨 다양체 Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》. 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