아벨 판정법

미적분학에서 아벨 판정법(영어: Abel's test)은 급수의 수렴 판정법의 하나다. 이에 따르면, 수렴급수에 단조 유계 수열을 이루는 계수를 붙여도 수렴한다. 두 실수 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} , ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 은 수렴한다. ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 단조수열이자 유계 수열이다. 아벨 판정법에 따르면, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}} 역시 수렴한다.:181:314, °1 증명 (디리클레 판정법을 통한 증명): ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 단조수열 유계 수열이므로, 어떤 실수로 수렴한다. b = lim n → ∞ b n ∈ R {\displaystyle b=\lim _{n\to \infty }b_{n}\in \mathbb {R} } 라고 하자. ( b n − b ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n}-b)_{n=0}^{\infty }} 는 단조수열이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 수렴하므로, 부분합이 유계 수열이다. 디리클레 판정법에 의하여, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( b n − b ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)} 는 수렴한다. 따라서, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n b n = ∑ n = 0 ∞ a n ( b n − b ) + b ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)+b\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 역시 수렴한다. 증명 (직접적인 증명): S n = ∑ k = 0 n a k ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\qquad (\forall n\in \mathbb {N} )} b = lim n → ∞ b n ∈ R {\displaystyle b=\lim _{n\to \infty }b_{n}\in \mathbb {R} } 라고 하자. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, | b n | ≤ 2 | b | ( ∀ n > N ( ϵ ) ) {\displaystyle |b_{n}|\leq 2|b|\qquad (\forall n>N(\epsilon ))} | S m − S n | < ϵ 6 | b | + 1 ( ∀ m , n > N ( ϵ ) ) {\displaystyle |S_{m}-S_{n}|<{\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\qquad (\forall m,n>N(\epsilon ))} 인 자연수 N ( ϵ ) ∈ N {\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의 n ≥ N ( ϵ ) {\displaystyle n\geq N(\epsilon )} 및 임의의 p ∈ Z + {\displaystyle p\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 다음이 성립한다. | ∑ k = n + 1 n + p a k b k | = | b n + p ( S n + p − S n ) + ∑ k = n + 1 n + p − 1 ( b k − b k + 1 ) ( S k − S n ) | ≤ | b n + p | | S n + p − S n | + ∑ k = n + 1 n + p − 1 | b k − b k + 1 | | S k − S n | ≤ ϵ 6 | b | + 1 ( | b n + p | + ∑ k = n + 1 n + p − 1 | b k − b k + 1 | ) = ϵ 6 | b | + 1 ( | b n + p | + | ∑ k = n + 1 n + p − 1 ( b k − b k + 1 ) | ) = ϵ 6 | b | + 1 ( | b n + p | + | b n + 1 − b n + p | ) ≤ ϵ 6 | b | + 1 ( 2 | b n + p | + | b n + 1 | ) ≤ ϵ 6 | b | + 1 ⋅ 3 ⋅ 2 | b | < ϵ {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right|&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_{n})+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k}-b_{k+1})(S_{k}-S_{n})\right|\\&\leq |b_{n+p}||S_{n+p}-S_{n}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}|b_{k}-b_{k+1}||S_{k}-S_{n}|\\&\leq {\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\left(|b_{n+p}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}|b_{k}-b_{k+1}|\right)\\&={\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\left(|b_{n+p}|+\left|\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k}-b_{k+1})\right|\right)\\&={\frac {\epsilon }{6|b|+1}}(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\&\leq {\frac {\epsilon }{6|b|+1}}(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\&\leq {\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\cdot 3\cdot 2|b|\\&<\epsilon \end{aligned}}} 즉, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}} 의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. 실수 값 함수 f : [ a , ∞ ) → R {\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} } 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. f {\displaystyle f} 는 임의의 [ a , b ] ⊆ [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )} 에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} 는 수렴한다. g {\displaystyle g} 는 단조함수이자 유계 함수이다. 그렇다면, 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx} 는 수렴한다. 증명 (디리클레 판정법을 통한 증명): g : [ a , ∞ ) → R {\displaystyle g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} } 가 단조 유계 함수이므로, 극한 g ( ∞ ) = lim x → ∞ g ( x ) ∈ R {\displaystyle g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R} } 가 존재한다. 함수 x ↦ g ( x ) − g ( ∞ ) {\displaystyle x\mapsto g(x)-g(\infty )} 는 단조함수이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} 가 수렴하므로, x ↦ ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt} 는 유계 함수이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법에 의하여, 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) ( g ( x ) − g ( ∞ ) ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx} 는 수렴한다. 따라서, 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) g ( x ) d x = ∫ a ∞ f ( x ) ( g ( x ) − g ( ∞ ) ) d x + g ( ∞ ) ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx+g(\infty )\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} 역시 수렴한다. 증명 (직접적인 증명): g ( ∞ ) = lim x → ∞ g ( x ) ∈ R {\displaystyle g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R} } 이라고 하자. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, | g ( x ) | < 2 | g ( ∞ ) | ( ∀ x > N ( ϵ ) ) {\displaystyle |g(x)|<2|g(\infty )|\qquad (\forall x>N(\epsilon ))} | ∫ x y f ( t ) d t | < ϵ 4 | g ( ∞ ) | + 1 ( ∀ y > x > N ( ϵ ) ) {\displaystyle \left|\int _{x}^{y}f(t)\,dt\right|<{\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\qquad (\forall y>x>N(\epsilon ))} 인 N ( ϵ ) > a {\displaystyle N(\epsilon )>a} 가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의 y > x > N ( ϵ ) {\displaystyle y>x>N(\epsilon )} 에 대하여, 어떤 c ( x , y ) ∈ [ x , y ] {\displaystyle c(x,y)\in [x,y]} 가 존재하며, 다음이 성립한다. | ∫ x y f ( t ) g ( t ) d t | = | g ( x ) ∫ x c ( x , y ) f ( t ) d t + g ( y ) ∫ c ( x , y ) y f ( t ) d t | ≤ 2 | g ( ∞ ) | ( | ∫ x c ( x , y ) f ( t ) d t | + | ∫ c ( x , y ) y f ( t ) d t | ) ≤ 2 | g ( ∞ ) | ⋅ 2 ⋅ ϵ 4 | g ( ∞ ) | + 1 < ϵ {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{x}^{y}f(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\\&\leq 2|g(\infty )|\left(\left|\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\right)\\&\leq 2|g(\infty )|\cdot 2\cdot {\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\\&<\epsilon \end{aligned}}} 따라서, 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx} 은 수렴한다. 집합 X {\displaystyle X} 및 두 실수 값 함수의 열 ( f n , g n : X → R ) n = 0 ∞ {\displaystyle (f_{n},g_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }} 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. 함수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 는 균등 수렴한다. ( g n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 균등 유계 함수열이다. 또한, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, ( g n ( x ) ) n = 0 ∞ {\displaystyle (g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }} 는 단조수열이다. 그렇다면, 함수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ f n g n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}} 역시 균등 수렴한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로, ( g n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 점별 극한 g : X → R {\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} } 을 갖지만, g {\displaystyle g} 로 균등 수렴할 필요가 없다. 만약 X {\displaystyle X} 가 한원소 집합이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다. 아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.:315, Examples and applications 1 ∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}a_{n}} ∑ n = 1 ∞ n n a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{n}}a_{n}} ∑ n = 1 ∞ ( 1 + 1 n ) n a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}a_{n}} 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  Knopp, Konrad (1951). 《Theory and application of infinite series》 (영어). 번역 Young, R. C. H.. Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young. 2판. London–Glasgow: Blackie & Son. Zbl 0042.29203.  “Abel criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Abel’s uniform convergence test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Proof of Abel’s test for convergence”. 《PlanetMath》 (영어).  “Abel's test”. 《ProofWiki》 (영어).