최고 무게 가군

리 대수의 표현론에서 최고 무게 가군(最高무게加群, 영어: highest weight module)은 리 대수의 표현 가운데 모든 양근으로 소멸되는 어떤 벡터로 생성되는 성질을 갖는 것이다. 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 기약 표현은 최고 무게 가군이며, 이에 대응하는 최고 무게는 정수 우세 무게이다. 다음이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 카르탕 부분 대수 h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} . 이에 따라 근계 Δ ( g , h ) ⊆ h ∨ {\displaystyle \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }} 를 정의할 수 있다. h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 의 무게 λ ∈ h ∨ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }} . ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 에 대한 양근 집합 Δ + ( g , h ) ⊆ Δ ( g , h ) ⊆ h ∨ {\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }} . 이에 따라, h ∨ {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\vee }} 위에 부분 순서 λ ≤ μ ⟺ ∀ α ∈ Δ + ( g , h ) : 0 ≤ ⟨ α | μ − λ ⟩ {\displaystyle \lambda \leq \mu \iff \forall \alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\colon 0\leq \langle \alpha |\mu -\lambda \rangle } 를 줄 수 있다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 표현 U ⁡ ( g ) V {\displaystyle _{\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}V} 에 대하여, 만약 다음 두 조건이 성립하는 벡터 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 가 존재한다면, V {\displaystyle V} 를 최고 무게 가군이라고 한다. 모든 양근 λ ∈ Δ + ( g , h ) ⊆ h ∨ {\displaystyle \lambda \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }} 및 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, λ ∨ ⋅ v = 0 {\displaystyle \lambda ^{\vee }\cdot v=0} V = g v {\displaystyle V={\mathfrak {g}}v} 이다. 최고 무게 가군 V {\displaystyle V} 의 무게의 집합 { λ ∈ h ∨ : V λ ≠ 0 } {\displaystyle \{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }\colon V_{\lambda }\neq 0\}} V λ = { v ∈ V : ∀ h ∈ h : ( λ ( h ) − h ) v = 0 } {\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon (\lambda (h)-h)v=0\}} 을 생각하자. 이 경우, V {\displaystyle V} 의 무게들의 부분 순서 집합은 항상 유일한 최대 원소를 가지며, 이를 V {\displaystyle V} 의 최고 무게(영어: highest weight)라고 한다. 만약 V {\displaystyle V} 가 유한 차원이라면, 이는 항상 정수 무게이자 우세 무게이다. 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 와 그 카르탕 부분 대수 h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 및 양근의 집합 Δ + ( g , h ) {\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 가 주어졌다고 하자. 최고 무게 정리(영어: theorem of the highest weight)에 따르면, 다음이 성립한다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 모든 유한 차원 기약 표현은 (위 데이터에 대한) 최고 무게 가군이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 두 유한 차원 최고 무게 가군 가운데, 같은 최고 무게를 갖는 것은 서로 동형이다. 임의의 정수 우세 무게에 대하여 이를 최고 무게로 갖는 유한 차원 최고 무게 가군이 존재한다. 이에 따라, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 부분 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 및 양근 S ⁡ ( g , h ) ⊆ h ∗ {\displaystyle \operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{*}} 를 골랐을 때, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 유한 차원 기약 표현들의 동형류들의 집합 ( g , h , S ⁡ ( g , h ) ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}))} 에 대한 정수 우세 무게 λ {\displaystyle \lambda } 단순 리 대수 a n = s l ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {sl}}(n+1)} 의 카르탕 부분 대수는 n {\displaystyle n} 차원이며, 따라서 총 n {\displaystyle n} 개의 기본 무게들을 갖는다. 이 경우, 우세 무게 ( k 1 , k 2 , … , k n ) ( k i ∈ N ) {\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\qquad (k_{i}\in \mathbb {N} )} 에 대응하는 영 타블로는 길이가 i {\displaystyle i} 인 열을 k i {\displaystyle k_{i}} 개 갖는다. 예를 들어, 대표적인 복소 기약 표현의 최고 무게들은 다음과 같다. 단순 리 대수 b n = o ( 2 n + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}={\mathfrak {o}}(2n+1)} 은 n {\displaystyle n} 개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, b n {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}} 의 기본 무게들은 다음과 같다. q 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 , 0 ) {\displaystyle q^{1}=(1,0,0,\dots ,0,0)} q 2 = ( 1 , 1 , 0 , … , 0 , 0 ) {\displaystyle q^{2}=(1,1,0,\dots ,0,0)} ⋮ {\displaystyle \vdots } q n − 1 = ( 1 , 1 , 1 , … , 1 , 0 ) {\displaystyle q^{n-1}=(1,1,1,\dots ,1,0)} q n = 1 2 ( 1 , 1 , 1 , … , 1 , 1 ) {\displaystyle q^{n}={\frac {1}{2}}(1,1,1,\dots ,1,1)} q k {\displaystyle q^{k}} ( 1 ≤ k ≤ n − 1 {\displaystyle 1\leq k\leq n-1} )는 k {\displaystyle k} 차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. q n {\displaystyle q^{n}} 은 디랙 스피너 표현이다. 단순 리 대수 d n = o ( 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {d}}_{n}={\mathfrak {o}}(2n)} 은 n {\displaystyle n} 개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, d n {\displaystyle {\mathfrak {d}}_{n}} 의 기본 무게들은 다음과 같다. q 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle q^{1}=(1,0,0,\dots ,0,0,0)} q 2 = ( 1 , 1 , 0 , … , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle q^{2}=(1,1,0,\dots ,0,0,0)} ⋮ {\displaystyle \vdots } q n − 2 = ( 1 , 1 , 1 , … , 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle q^{n-2}=(1,1,1,\dots ,1,0,0)} q n − 1 = 1 2 ( 1 , 1 , 1 , … , 1 , 1 , − 1 ) {\displaystyle q^{n-1}={\frac {1}{2}}(1,1,1,\dots ,1,1,-1)} q n = 1 2 ( 1 , 1 , 1 , … , 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle q^{n}={\frac {1}{2}}(1,1,1,\dots ,1,1,1)} q k {\displaystyle q^{k}} ( 1 ≤ k ≤ n − 2 {\displaystyle 1\leq k\leq n-2} )는 k {\displaystyle k} 차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. q n − 1 {\displaystyle q^{n-1}} 과 q n {\displaystyle q^{n}} 은 바일 스피너 표현이다. Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 129. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285. MR 1153249. Zbl 0744.22001.  “Representation with a highest weight vector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.