전치 행렬

선형대수학에서 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 A T {\displaystyle A^{\operatorname {T} }} , A ⊤ {\displaystyle A^{\top }} , t A {\displaystyle ^{\operatorname {t} }A} , A ′ {\displaystyle A'} , A tr {\displaystyle A^{\operatorname {tr} }} . m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 의 전치 행렬 M T {\displaystyle M^{\operatorname {T} }} 은 다음과 같은 n × m {\displaystyle n\times m} 행렬이다. M i j T = M j i {\displaystyle M_{ij}^{\operatorname {T} }=M_{ji}} 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 의 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) T T : W ∗ → V ∗ {\displaystyle T^{\operatorname {T} }\colon W^{*}\to V^{*}} 은 다음과 같다. ( T T g ) ( v ) = g T v ∀ g ∈ W ∗ , v ∈ V {\displaystyle (T^{\operatorname {T} }g)(v)=gTv\qquad \forall g\in W^{*},\;v\in V} 행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 M , N {\displaystyle M,N} 및 스칼라 c {\displaystyle c} 에 대하여, ( M + N ) T = M T + N T {\displaystyle (M+N)^{\operatorname {T} }=M^{\operatorname {T} }+N^{\operatorname {T} }} ( c M ) T = c M T {\displaystyle (cM)^{\operatorname {T} }=cM^{\operatorname {T} }} M T ⁡ T = M {\displaystyle M^{\operatorname {T} \operatorname {T} }=M} 가 성립하며, m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 및 n × p {\displaystyle n\times p} 행렬 N {\displaystyle N} 에 대하여, ( M N ) T = N T M T {\displaystyle (MN)^{\operatorname {T} }=N^{\operatorname {T} }M^{\operatorname {T} }} 가 성립한다. 서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다. rank ⁡ M T = rank ⁡ M {\displaystyle \operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} M} 증명: rank ⁡ M T = m − dim ⁡ ker ⁡ M T = m − dim ⁡ { M X : X ∈ K n } ∘ = dim ⁡ { M X : X ∈ K n } = rank ⁡ M {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }&=m-\dim \ker M^{\operatorname {T} }\\&=m-\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}^{\circ }\\&=\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}\\&=\operatorname {rank} M\end{aligned}}} tr ⁡ M T = tr ⁡ M {\displaystyle \operatorname {tr} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {tr} M} det M T = det M {\displaystyle \det M^{\operatorname {T} }=\det M} 특히, n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M {\displaystyle M} 과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다. ( M T ) − 1 = ( M − 1 ) T {\displaystyle (M^{\operatorname {T} })^{-1}=(M^{-1})^{\operatorname {T} }} 행렬 M {\displaystyle M} 을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다. J M T J ( J i j = δ n + 1 − i , j ) {\displaystyle JM^{\operatorname {T} }J\qquad (J_{ij}=\delta _{n+1-i,j})} 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 에 대하여, 다음이 성립한다. ker ⁡ T T = T ( V ) ∘ {\displaystyle \ker T^{\operatorname {T} }=T(V)^{\circ }} 증명: ker ⁡ T T = { g ∈ W ∗ : T T g = 0 } = { g ∈ W ∗ : g T v = 0 ∀ v ∈ V } = { g ∈ W ∗ : g w = 0 ∀ w ∈ T ( V ) } = T ( V ) ∘ {\displaystyle {\begin{aligned}\ker T^{\operatorname {T} }&=\{g\in W^{*}\colon T^{\operatorname {T} }g=0\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gTv=0\forall v\in V\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gw=0\forall w\in T(V)\}\\&=T(V)^{\circ }\end{aligned}}} 만약 V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다. T T ( W ∗ ) = ( ker ⁡ T ) ∘ {\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }} 증명: 만약 f ∈ T T ( W ∗ ) {\displaystyle f\in T^{\operatorname {T} }(W^{*})} 라면, f = T T g {\displaystyle f=T^{\operatorname {T} }g} 인 g ∈ W ∗ {\displaystyle g\in W^{*}} 가 존재한다. 임의의 v ∈ ker ⁡ T {\displaystyle v\in \ker T} 에 대하여, f ( v ) = g T v = g 0 = 0 {\displaystyle f(v)=gTv=g0=0} 이므로, T T ( W ∗ ) ⊆ ( ker ⁡ T ) ∘ {\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{*})\subseteq (\ker T)^{\circ }} 이다. 또한, dim ⁡ ( ker ⁡ T ) ∘ = dim ⁡ V − dim ⁡ ker ⁡ T = rank ⁡ T = rank ⁡ T T {\displaystyle \dim(\ker T)^{\circ }=\dim V-\dim \ker T=\operatorname {rank} T=\operatorname {rank} T^{\operatorname {T} }} 이므로, T T ( W ∗ ) = ( ker ⁡ T ) ∘ {\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }} 이다. 만약 V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 의 기저 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 및 B ′ ⊆ W {\displaystyle B'\subseteq W} 에 대한 행렬이 M {\displaystyle M} 이라고 하면, 전치 선형 변환 T T {\displaystyle T^{\operatorname {T} }} 의 쌍대 기저 B ′ ∗ ⊆ W ∗ {\displaystyle {B'}^{*}\subseteq W^{*}} 및 B ∗ ⊆ V ∗ {\displaystyle B^{*}\subseteq V^{*}} 에 대한 행렬은 M T {\displaystyle M^{\operatorname {T} }} 이다. 증명: 두 기저를 다음과 같이 쓰자. B = { e 1 , … , e n } {\displaystyle B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}} B ′ = { e 1 ′ , … , e n ′ } {\displaystyle B'=\{e_{1}',\dots ,e_{n}'\}} 또한 T {\displaystyle T} 의 B , B ′ {\displaystyle B,B'} 에 대한 행렬을 M {\displaystyle M} , T T {\displaystyle T^{\operatorname {T} }} 의 B ′ ∗ , B ∗ {\displaystyle {B'}^{*},B^{*}} 에 대한 행렬을 N {\displaystyle N} 이라고 하자. 그렇다면, M i j = e i ∗ T e j = ( T T e i ∗ ) ( e j ) = N j i {\displaystyle M_{ij}=e_{i}^{*}Te_{j}=(T^{\operatorname {T} }e_{i}^{*})(e_{j})=N_{ji}} 이므로, N = M T {\displaystyle N=M^{\operatorname {T} }} 이다. 전치 행렬의 예는 다음과 같다. ( 1 2 ) T = ( 1 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}} ( 1 2 3 4 ) T = ( 1 3 2 4 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}} ( 1 2 3 4 5 6 ) T = ( 1 3 5 2 4 6 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}} 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다. 상관행렬 Golyshev, Vasily; Stienstra, Jan (2007년 1월 31일). “Fuchsian equations of type DN” (영어). arXiv:math/0701936.  Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  “Transposed matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Transpose”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Transpose matrix”. 《nLab》 (영어).  “Transpose”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition:Transpose of matrix”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition:Transpose of Linear Transformation”. 《ProofWiki》 (영어).  “Rank and nullity of transpose”. 《ProofWiki》 (영어).  “Transpose of matrix product”. 《ProofWiki》 (영어).  “Determinant of transpose”. 《ProofWiki》 (영어).  “Transpose of linear transformation is a linear transformation”. 《ProofWiki》 (영어).