복소화

수학에서, 실수 체 스칼라를 가진 선형 공간 V {\displaystyle V} ("실수 선형 공간")의 복소화는 복소수 체에 대한 선형 공간 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 를 구성하며, 벡터의 실수 스칼라를 복소수 범위 까지 형식적으로 확장하여 얻은 것이다. 실 선형 공간 V {\displaystyle V} 에 대한 모든 기저는 또한 복소 선형 공간 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 에 대한 기저 역할을 할 수 있다. V {\displaystyle V} 가 실 선형 공간이라 하자. V {\displaystyle V} 의 복소화는 V {\displaystyle V} 와 2차원 실 선형 공간으로서의 복소수 공간의 텐서 곱으로 정의된다. V C := V ⊗ R C . {\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.} 텐서 곱에서 아래 첨자 R {\displaystyle \mathbb {R} } 은 텐서 곱이 실수 위에서 이뤄짐을 나타낸다.( V {\displaystyle V} 는 실 선형 공간이므로 어쨌든 이것이 유일하게 합리적인 선택이므로 아래 첨자는 혼동의 여지 없이 생략할 수 있다.) 현재 상태 그대로, V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 는 실 선형 공간이다. 그러나, 복소수 곱셈을 다음과 같이 정의하여 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 를 복소 선형 공간으로 변환한다: α ( v ⊗ β ) = v ⊗ ( α β )  for all  v ∈ V  and  α , β ∈ C . {\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .} 보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확대의 예이다. 여기서는 실수에서 복소수로 스칼라를 확장한다. 이는 모든 체 확대 또는 환의 모든 사상에 대해 수행될 수 있다. 범주론적으로, 복소화는 실 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 함자 VectR → VectC이다. 이것은 복소 구조를 잊어 버린 망각 함자 VectC → VectR에 대한 왼쪽 수반 함자이다. 복소 선형 공간 V {\displaystyle V} 의 복소 구조에 대한 이러한 망각은 실수화라고 부른다. 기저 e μ {\displaystyle e_{\mu }} 를 가진 복소 선형 공간 V {\displaystyle V} 의 실수화는 복소수 스칼라 곱을 없애버리고 { e μ , i e μ } {\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}} 를 기저로 하여 차원을 두배로 만든다. 텐서 곱의 특성상 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 의 모든 벡터 v {\displaystyle v} 는 다음과 같은 형식으로 유일하게 쓸 수 있다: v = v 1 ⊗ 1 + v 2 ⊗ i {\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i} 여기서 v 1 {\displaystyle v_{1}} 와 v 2 {\displaystyle v_{2}} 는 V {\displaystyle V} 의 벡터이다. 텐서 곱 기호를 버리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다. v = v 1 + i v 2 . {\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,} 복소수 a + b i {\displaystyle a+bi} 에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다. ( a + i b ) ( v 1 + i v 2 ) = ( a v 1 − b v 2 ) + i ( b v 1 + a v 2 ) . {\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,} 그런 다음 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 를 두 V {\displaystyle V} 의 직합으로 볼 수 있다: V C ≅ V ⊕ i V {\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV} 복소수에 의한 곱셈에 대한 위의 규칙을 사용한다. 다음과 같이 주어진 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 에 V {\displaystyle V} 의 자연스러운 매장이 있다. v ↦ v ⊗ 1. {\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.} 그러면 선형 공간 V {\displaystyle V} 를 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 의 실수 부분 공간으로 볼 수 있다. V {\displaystyle V} (실수 체에 대해) 기저 { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} 를 갖는 경우 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 에 대한 해당 기저는 복소수 체에 대해 { e i ⊗ 1 } {\displaystyle \{e_{i}\otimes 1\}} 로 주어진다. 따라서 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 의 복소 차원은 V {\displaystyle V} 의 실수 차원과 같다. dim C ⁡ V C = dim R ⁡ V . {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.} 또는 텐서 곱을 사용하는 대신 이 직합을 복소화의 정의로 사용할 수 있다. V C := V ⊕ V , {\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,} 여기서 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 는 J ( v , w ) := ( − w , v ) {\displaystyle J(v,w):=(-w,v)} 과 같이 정의된 연산자 J {\displaystyle J} 에 의해 선형 복소 구조가 제공된다. 여기서 J {\displaystyle J} 는 " i {\displaystyle i} 에 의한 곱셈" 연산을 의미한다. 행렬 형식으로 J {\displaystyle J} 는 다음과 같다: J = [ 0 − I V I V 0 ] . {\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.} 이것은 공간을 다르게 구성하지만 동일한 공간을 생성한다. 선형 복소 구조를 가진 실 선형 공간은 복소 선형 공간과 동일하다. 따라서, V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 는 V ⊕ J V {\displaystyle V\oplus JV} 또는 V ⊕ i V {\displaystyle V\oplus iV} 로 쓸 수 있다. V {\displaystyle V} 는 직합의 첫 번째 성분으로 식별한다. 이 접근법은 더 구체적이고 기술적으로 관련된 텐서 곱의 사용을 피하는 이점이 있지만 임시적이다. 실수 좌표 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 복소화는 복소 좌표 공간 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 이다. 마찬가지로, V {\displaystyle V} 가 실수 성분이 포함된 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬로 구성된 경우 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 는 복소수 성분이 포함된 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬로 구성된다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서 C {\displaystyle \mathbb {C} } 로 이동하는 복소화 과정은 레너드 딕슨을 비롯한 20세기 수학자에 의해 추상화되었다. 하나는 항등사상 x ∗ = x {\displaystyle x^{*}=x} 을 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에 대한 자명한 대합으로 사용하는 것으로 시작한다. 다음으로 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 두 복사본을 사용하여, 복소 켤레는 z ∗ = ( a , − b ) {\displaystyle z^{*}=(a,-b)} 를 사용하여 z = ( a , b ) {\displaystyle z=(a,b)} 를 형성한다. 배가 된 집합의 두 원소 w {\displaystyle w} 와 z {\displaystyle z} 는 다음과 같이 곱한다. w z = ( a , b ) × ( c , d ) = ( a c   −   d ∗ b ,   d a   +   b c ∗ ) . {\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).} 마지막으로, 배가 된 집합에는 노름 N ( z ) := z ∗ z {\displaystyle N(z):=z^{*}z} 가 주어진다. 항등 대합을 사용하여 R {\displaystyle \mathbb {R} } 에서 시작할 때 배가 된 집합은 노름 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 를 사용하는 C {\displaystyle \mathbb {C} } 이다. C {\displaystyle \mathbb {C} } 를 두 배로 하고 켤레 ( a , b ) ∗ = ( a ∗ , − b ) {\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b)} 를 사용하면 사원수를 생성한다. 다시 두 배로 하면 케일리 수라고도 하는 팔원수가 생성된다. 1919년 딕슨이 대수적 구조를 밝히는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다. 이 과정은 C {\displaystyle \mathbb {C} } 와 자명한 대합 z* = z 로 시작할 수도 있다. 생성된 노름은 R {\displaystyle \mathbb {R} } 두 배로 하여 C {\displaystyle \mathbb {C} } 를 생성하는 것과는 달리 단순히 z2이다. 이 C {\displaystyle \mathbb {C} } 가 2배가 되면 쌍복소수이고, 2배가 되면 쌍사원수이고, 다시 2배가 되면 쌍팔원수이다. 기본이 되는 대수가 결합적일 때, 이 케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수는 합성 대수라고 불린다. 왜냐하면 다음과 같은 성질이 있기 때문이다. N ( p q ) = N ( p ) N ( q ) . {\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.} 복소화된 선형 공간 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 는 일반적인 복소 선형 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다. 표준 복소 켤레 사상과 함께 제공된다. χ : V C → V C ¯ {\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}} , χ {\displaystyle \chi } 는 V C → V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }\rightarrow V^{\mathbb {C} }} 인 켤레 선형 사상 또는 V C → V C ¯ {\displaystyle V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}} 인 복소 선형 동형 사상으로 볼 수 있다. 반대로 복소수 켤레 χ {\displaystyle \chi } 를 갖는 복소 선형 공간 W {\displaystyle W} 이 주어지면 W {\displaystyle W} 는 실 부분공간의 복소화 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 에 대한 복소 선형 공간과 동형이다. V = { w ∈ W : χ ( w ) = w } . {\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.} 즉, 켤레 복소수가 있는 모든 복소 선형 공간은 실 선형 공간의 복소화이다. 예를 들어, W = C n {\displaystyle W=\mathbb {C} ^{n}} 일 때 표준 복소 켤레 χ ( z 1 , … , z n ) = ( z ¯ 1 , … , z ¯ n ) {\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})} 의 불변 부분공간 V {\displaystyle V} 는 단순히 실 부분공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 이다. 두 실 선형 공간 사이에 주어진 실 선형 변환 f : V → W {\displaystyle f:V\rightarrow W} 에 대해 자연 복소 선형 변환 f C : V C → W C {\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }} 이 있다. 여기서 f C ( v ⊗ z ) = f ( v ) ⊗ z . {\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.} 사상 f C {\displaystyle f^{\mathbb {C} }} 는 f {\displaystyle f} 의 복소화라고 한다. 선형 변환의 복소화는 다음 성질을 갖는다: ( i d V ) C = i d V C {\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}} ( f ∘ g ) C = f C ∘ g C {\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }} ( f + g ) C = f C + g C {\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }} ( a f ) C = a f C ∀ a ∈ R {\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} } 범주론에서 복소화는 실 선형 공간 범주에서 복소 선형 공간 범주로 가는 (가산) 함자를 정의한다고 말한다. 사상 f C {\displaystyle f^{\mathbb {C} }} 는 켤레와 사용하여 교환하므로 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 의 실 부분 공간을 W C {\displaystyle W^{\mathbb {C} }} 의 실 부분 공간에 사상한다 (사상 f 를 통해). 또한 복소 선형 사상 g : V C → W C {\displaystyle g:V^{\mathbb {C} }\rightarrow W^{\mathbb {C} }} 는 오직 켤레로 교환하는 경우에만 실 선형 사상의 복소화이다. 예를 들어 n × m {\displaystyle n\times m} 행렬로 생각되는 선형 변환 R n → R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} 을 고려하자. 해당 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬이지만 C n → C m {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m}} 인 선형 사상으로 여겨진다. 실 선형 공간 V {\displaystyle V} 의 쌍대공간은 V → R {\displaystyle V\rightarrow \mathbb {R} } 인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 이다. V ∗ {\displaystyle V^{*}} 의 복소화는 당연히 V → C {\displaystyle V\rightarrow \mathbb {C} } 인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간 Hom R ( V , C ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} )} 으로 생각할 수 있다. 즉, ( V ∗ ) C = V ∗ ⊗ C ≅ H o m R ( V , C ) . {\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).} 동형은 다음과 같이 주어진다. ( φ 1 ⊗ 1 + φ 2 ⊗ i ) ↔ φ 1 + i φ 2 {\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}} 여기서 φ 1 , φ 2 {\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}} 는 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 의 원소이다. 그런 다음 일반적인 작업에 의해 복소 켤레가 제공된다. φ 1 + i φ 2 ¯ = φ 1 − i φ 2 . {\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.} 주어진 실 선형 사상 φ : V → C {\displaystyle \varphi :V\rightarrow \mathbb {C} } 에 대해 복소 선형 사상 φ : V C → C {\displaystyle \varphi :V^{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbb {C} } 를 얻기 위해 선형으로 확대할 수 있다. 즉, φ ( v ⊗ z ) = z φ ( v ) . {\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).} 이 확대는 Hom R ( V , C ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} )} 에서 Hom C ( V C , C ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },\mathbb {C} )} 까지의 동형 사상을 제공한다. 후자는 단지 V C {\displaystyle V^{\mathbb {C} }} 에 대한 복소 쌍대 공간이므로, 다음과 같은 자연스러운 동형사상이 있다: ( V ∗ ) C ≅ ( V C ) ∗ . {\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.} 더 일반적으로, 실 선형 공간 V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 주어지면 자연스러운 동형사상 H o m R ( V , W ) C ≅ H o m C ( V C , W C ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} })} 이 있다. 복소화는 또한 텐서 곱, 외승 및 대칭승을 취하는 작업과 교환한다. 예를 들어, V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 실 선형 공간인 경우 자연스러운 동형사상 ( V ⊗ R W ) C ≅ V C ⊗ C W C {\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,} 이 있다. 왼쪽 텐서 곱은 실수를 인계받는 반면 오른쪽 텐서 곱은 복소수를 인계한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 하나는 ( Λ R k V ) C ≅ Λ C k ( V C ) . {\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).} 모든 경우에 동형사상은 "자명한" 동형사상이다. 스칼라의 확장 - 일반적 과정 선형 복소 구조 베이커–캠벨–하우스도르프 공식 Halmos, Paul (1974) [1958]. 《Finite-Dimensional Vector Spaces》. Springer. p 41 and §77 Complexification, pp 150–153. ISBN 0-387-90093-4.  Shaw, Ronald (1982). 《Linear Algebra and Group Representations》. I: Linear Algebra and Introduction to Group Representations. Academic Press. 196쪽. ISBN 0-12-639201-3.  Roman, Steven (2005). 《Advanced Linear Algebra》. Graduate Texts in Mathematics 135 2판. New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.