데데킨트 정역

가환대수학에서 데데킨트 정역(Dedekind整域, 영어: Dedekind domain) 또는 데데킨트 환(Dedekind環, 영어: Dedekind ring)은 아이디얼의 소인수 분해가 유일한 정역이다. R {\displaystyle R} 가 정역이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 데데킨트 정역이라고 한다. 0이 아닌 모든 진 아이디얼이 소 아이디얼로 유일하게 인수 분해가 가능하다. 즉, 모든 아이디얼 a ≠ { 0 } , R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\neq \{0\},R} 에 대하여, ∏ p ∈ F ( a ) p = a {\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in F({\mathfrak {a}})}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {a}}} 인 유한 중복집합 F ( a ) ⊆ Spec ⁡ R {\displaystyle F({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spec} R} 가 존재하며, 또한 이러한 중복집합은 유일하다. R {\displaystyle R} 는 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 주 아이디얼 정역이다. R {\displaystyle R} 는 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 체이거나 이산 값매김환이다. R {\displaystyle R} 는 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1이다. 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원이다. 뇌터 환이며, 프뤼퍼 정역이다. 크룰 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1이다. 유전환이다. 마지막 조건은 대수기하학적으로 비특이 아핀 대수 곡선을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 프뤼퍼 정역(영어: Prüfer domain)이라고 한다. R {\displaystyle R} 의 영 아이디얼이 아닌 모든 유한 생성 아이디얼은 (분수 아이디얼로서) 가역원이다. 모든 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 값매김환이다. 모든 극대 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} 은 값매김환이다. R {\displaystyle R} 의 모든 유한 생성 아이디얼은 R {\displaystyle R} -사영 가군이다. R {\displaystyle R} 의 모든 유한 생성 아이디얼은 R {\displaystyle R} -평탄 가군이다. R {\displaystyle R} 의 평탄 가군의 모든 부분 가군은 평탄 가군이다. 반유전환이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 또한, 모든 데데킨트 정역은 뇌터 가환환이다. R {\displaystyle R} 가 데데킨트 정역이고, Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 가 그 분수체이며, L / Frak ⁡ ( R ) {\displaystyle L/\operatorname {Frak} (R)} 가 그 유한 차원 확대라 하자. 크룰-아키즈키 정리에 따르면, R {\displaystyle R} 의 L {\displaystyle L} 안에서의 정수적 폐포는 데데킨트 정역이다.:45, Proposition 8.1 아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 데데킨트 정역 R {\displaystyle R} 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 유일 인수 분해 정역이다. R {\displaystyle R} 는 주 아이디얼 정역이다. R {\displaystyle R} 의 아이디얼 유군이 자명군이다. R {\displaystyle R} 의 유수가 1이다. 데데킨트 정역에서는 분수 아이디얼에 대해서도 유일 인수 분해가 성립한다. 즉, 임의의 분수 아이디얼은 R의 소 아이디얼들과 그 역 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다. 데데킨트 정역에서 모든 0이 아닌 아이디얼은 유일한 소인수 분해를 가지므로, 아이디얼의 포함 관계는 아이디얼의 인자 관계와 일치한다. 즉, 임의의 두 아이디얼 a , b {\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}} 에 대하여, 만약 b ≠ 0 {\displaystyle {\mathfrak {b}}\neq 0} 이라면 다음이 성립한다. a ⊆ b ⟺ b ∣ a {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}\iff {\mathfrak {b}}\mid {\mathfrak {a}}} 임의의 가환환에서 아이디얼의 인자 관계는 포함 관계를 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 특히, 체가 아닌 데데킨트 정역에서, 0이 아닌 모든 소 아이디얼의 개념은 극대 아이디얼의 개념과 일치한다. 이는 소 아이디얼은 인자 관계에 대한 극대 원소인데, 반대로 극대 아이디얼은 포함 관계에 대한 극대 원소이기 때문이다. 이는 크룰 차원이 1이라는 것과 같다. (체에서는 물론 (0)이 소 아이디얼이자 극대 아이디얼이다.) 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 나, 체 K {\displaystyle K} 에 대한 1변수 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 는 주 아이디얼 정역이므로 데데킨트 정역이다. 모든 체는 데데킨트 정역이다. 체에서는 0이 아닌 진 아이디얼이 없으므로, 이 경우는 자명한 경우이다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이다. 예를 들어, 허수 이차 수체의 정수환 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 은 데데킨트 정역이지만, 6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 이므로 유일 인수 분해 정역이 아니다. 대수적 수체의 대수적 정수환에서는 일반적으로 산술의 기본정리가 성립하지 않는다. 즉, 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이 사실은 1844년에 에른스트 쿠머가 특정 원분체에 대하여 발견하였다. 1847년에 에른스트 쿠머는 대신 대수적 정수환의 오늘날 우리가 "아이디얼"이라고 부르는 대상에 대해서는 유일 인수 분해가 성립함을 보였다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 주 아이디얼 정역이므로, 자연수 n {\displaystyle n} 과 이에 대응하는 주 아이디얼 ( n ) {\displaystyle (n)} 의 구분이 없다. 그러나 일반적인 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 에서는 주 아이디얼이 아닌 아이디얼이 존재하며, 따라서 기존의 수(=주 아이디얼)로 구성되었던 수 체계에 모든 아이디얼들을 추가하면 다시 유일 소인수 분해가 성립한다. 이러한 관점에서 쿠머는 이러한 대상들을 수의 일반화로 간주하였고, 독일어: Idealzahl 이데알찰[*]이라고 이름붙였다. 이는 독일어: ideal 이데알[*](이상적인) + 독일어: Zahl 찰[*](수)의 합성어이다. 오늘날 사용되는 분수 아이디얼의 개념도 이와 같이 아이디얼을 수의 일반화로 간주한 관점에서 유래하였다. 이후 리하르트 데데킨트는 쿠머의 "이데알찰"을 사실 대수적 정수환의 어떤 부분 집합으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다. 이는 오늘날의 관점과 같다. 이 때문에 데데킨트는 쿠머의 "이데일찰"을, "찰"(수)을 제거한 독일어: Ideal 이데알[*]로 불렀다. 훗날 대수적 정수환의 개념이 일반적인 추상적 (가환)환으로 일반화되면서, 모든 가환환, 심지어 모든 정역에서도 아이디얼들의 유일 소인수 분해가 성립하지 않을 수 있다는 것이 밝혀졌다. 이에 따라, 쿠머와 데데킨트가 대수적 정수환에서 증명한 바와 같이, 아이디얼의 유일 소인수 분해가 존재하는 정역은 데데킨트 정역이라고 불리게 되었다. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Kummer, Ernst (1847). “Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 35: 327–367. doi:10.1515/crll.1847.35.327.  Dedekind, Richard (1877). 《Sur la théorie des nombres entiers algébrique》 (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars.  Bourbaki, Nicolas (1972). 《Commutative algebra》 (영어). Addison-Wesley.  “Dedekind ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dedekind ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.