콘웨이 연쇄 화살표 표기법

콘웨이 연쇄 화살표 표기법(Conway chained arrow notation)은 존 호턴 콘웨이가 개발한 아주 큰 수를 표기하는 방법이다. 단순히 오른쪽 화살표로 구분되는 자연수들의 수열이다. 대부분의 조합론적 표기법처럼, 이 표기법의 정의도 재귀적이다. 이 표기법은 결국 가장 왼쪽의 수의 (보통 엄청 큰) 거듭제곱을 나타낸다. "콘웨이 연쇄 화살표 표기법"은 다음과 같이 정의된다. 어떤 자연수는 길이가 1인 연쇄 화살표이다. 길이가 n인 연쇄 화살표에 오른쪽 화살표 →와 자연수가 따라붙으면, 길이가 n + 1 {\displaystyle n+1} 인 연쇄 화살표가 된다. 모든 연쇄 화살표는 아래의 네 규칙을 따르는 정수를 나타낸다. 두 연쇄 화살표가 같은 정수를 나타낸다면 동등하다고 한다. p {\displaystyle p} 와 q {\displaystyle q} 가 양의 정수이고, X {\displaystyle X} 가 부분 연쇄 화살표라고 하면, 빈 연쇄 화살표 (또는 길이가 0인 연쇄 화살표)는 1을 나타내고, 연쇄 화살표 p {\displaystyle p} 는 p {\displaystyle p} 를 나타낸다. p → q {\displaystyle p\to q} 는 거듭제곱 표현 p q {\displaystyle p^{q}} 를 나타낸다. (The Book of Numbers에서 콘웨이는 길이가 2인 연쇄 화살표 p → q {\displaystyle p\rightarrow q} 를 정의하지 않았지만, 3번 째 변수 [ p → q → r {\displaystyle p\rightarrow q\rightarrow r} 의 r]이 있을 때는 커누스 윗화살표로 간주하기 때문에 오른쪽 끝에 있는 → 1 {\displaystyle \to 1} 을 떼어내도 이 규칙은 적용이 된다.) X → 1 {\displaystyle X\to 1} 는 X {\displaystyle X} 와 동등하다. X → p → ( q + 1 ) {\displaystyle X\to p\to (q+1)} 은 X → ( X → ( ⋯ ( X → ( X ) → q ) ⋯ ) → q ) → q {\displaystyle X\to (X\to (\cdots (X\to (X)\to q)\cdots )\to q)\to q} (X가 p개, q가 p − 1개, 그리고 p − 1쌍의 괄호가 있다. q > 0일 때만 적용이 된다)와 동등하다. 마지막 규칙은 줄임표를 피하기 위해서 재귀적으로 설명할 수 있다: 4a. X → 1 → ( q + 1 ) = X {\displaystyle X\to 1\to (q+1)=X} 4b. X → ( p + 1 ) → ( q + 1 ) = X → ( X → p → ( q + 1 ) ) → q {\displaystyle X\to (p+1)\to (q+1)=X\to (X\to p\to (q+1))\to q} 길이가 3인 연쇄 화살표는 하이퍼 연산과 커누스 윗화살표 표기법에 대응한다: p → q → r = p [ r + 2 ] q = p ↑↑↑ ⋯ ↑↑↑ ⏟ q = p ↑ r q . r  arrows {\displaystyle {\begin{matrix}p\to q\to r=p[r+2]q=p\!\!\!&\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow } &\!\!\!q=p\uparrow ^{r}q.\\&\!\!\!r{\text{ arrows}}\!\!\!\end{matrix}}} 연쇄 화살표 X → Y는 X → p의 형태이다: a로 시작하는 연쇄 화살표는 a의 거듭제곱이다 연쇄 화살표 1 → Y는 1이다 연쇄 화살표 X → 1 → Y는 X이다 연쇄 화살표 2 → 2 → Y는 4이다 연쇄 화살표X → 2 → 2는 X → (X) (자신의 값이 X에 연결된 연쇄 화살표)이다 연쇄 화살표를 전체로 생각 해야 한다는 점에 유의해야 한다. 연쇄 화살표 표기법은 이항 연산이 반복된 것을 표시한 것이 아니다. 다른 삽입된 기호들(예: 3 + 4 + 5 + 6 + 7)은 의미의 변동(결합법칙을 보라)이 없거나 적어도 차례차례 어떤 순서대로 계산(예: 34567는 오른쪽에서 왼쪽으로)해야 하지 않을 때는 종종 조각내서 생각한다(예: (3 + 4) + 5 + (6 + 7)). 콘웨이 화살표 표기법에서는 그렇지 않다. 예를 들면: 2 → 3 → 2 = 3 2 = 2 2 2 = 16 {\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 2={}^{3}2=2^{2^{2}}=16} 2 → ( 3 → 2 ) = 2 ( 3 2 ) = 2 3 2 = 512 {\displaystyle 2\rightarrow \left(3\rightarrow 2\right)=2^{(3^{2})}=2^{3^{2}}=512} ( 2 → 3 ) → 2 = ( 2 3 ) 2 = 64 {\displaystyle \left(2\rightarrow 3\right)\rightarrow 2=\left(2^{3}\right)^{2}=64} 네번째 규칙이 핵심이다: 3 이상의 길이를 가지고 2 이상의 숫자로 끝나는 연쇄 화살표는 같은 길이에 대개 끝에서 두번째 원소가 늘어난 연쇄 화살표가 된다. 하지만 마지막 원소는 줄어들어서, 결국 세 번째 규칙을 만족해서 연쇄 화살표의 길이가 짧아진다. 그리고, 연쇄 화살표는 두 개의 원소로 줄어들고 두 번째 규칙이 재귀를 끝낸다. 예시는 빠르게 꽤 복잡해진다. 다음은 작은 예시들이다: n = n (규칙 1에 따라) p→q = pq (규칙 2에 따라) Thus 3→4 = 34 = 81 1→(어떤 연쇄 화살표 표현) = 1 전체 표현은 결국 1숫자 = 1이 되기 때문이다. (실제로 1이 포함되는 연쇄 화살표는 1 앞에서 잘라버릴 수 있다. 예: 어떤 (포함된) 연쇄 화살표 X,Y에 대해서 X→1→Y=X이다.) 4→3→2 = 4→(4→(4)→1)→1 (규칙 4) 그리고, 안의 괄호에서 바깥쪽으로 진행한다, = 4→(4→4→1)→1 (잉여 괄호를 제거(remove redundant parentheses)) = 4→(4→4)→1 (3) = 4→(256)→1 (2) = 4→256→1 (rrp) = 4→256 (3) = 4256 (2) =13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096 ≈1.34078079299×10154 2→2→4 = 2→(2)→3 (규칙 4) = 2→2→3 (rrp) = 2→2→2 (4, rrp) = 2→2→1 (4, rrp) = 2→2 (3) = 4 (2) (사실, 2 두 개로 시작하는 연쇄 화살표는 4이다.) 2→4→3 = 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (by 4) X(여기에서는 2)의 네 복사본은 q (여기에서는 마찬가지로 2)의 세 복사본과 구분하기 위해서 굵은 글씨로 표시했다 = 2→(2→(2→2→2)→2)→2 (rrp) = 2→(2→(4)→2)→2 (이전 예시) = 2→(2→4→2)→2 (rrp) (다음 식에서 확장시키는 것을 양 쪽 다 굵은 글씨로 표시했다) = 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (4) = 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2 (rrp) = 2→(2→(2→(2→2)))→2 (3 반복) = 2→(2→(2→(4)))→2 (2) = 2→(2→(16))→2 (2) = 2→65536→2 (2,rrp) = 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4) 괄호가 65535쌍 = 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...))) (3 반복) = 2→(2→(2→(...2→(4))...))) (2) = 2→(2→(2→(...16...))) (2) = 2 2 … 2 {\displaystyle 2^{2^{\dots ^{2}}}} (216 = 65536층의 탑) = 655362 (테트레이션을 보라) 2→3→2→2 = 2→3→(2→3)→1 (규칙 4) = 2→3→8 (2와 3) = 2→(2→2→7)→7 (규칙 4) = 2→4→7 (앞의 2 두 개는 4이다 [특성6]) = 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4) = 2→(2→4→6)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4) = 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4) = 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4) = 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (이전 예시) = 이전의 숫자보다 훨씬 큼 3→2→2→2 = 3→2→(3→2)→1 (4) = 3→2→9 (2와 3) = 3→3→8 (4) (2보다 작은 정수가 없는) 네 항을 가지는 가장 간단한 예시: a → b → 2 → 2 {\displaystyle a\to b\to 2\to 2} = a → b → 2 → ( 1 + 1 ) {\displaystyle =a\to b\to 2\to (1+1)} = a → b → ( a → b ) → 1 {\displaystyle =a\to b\to (a\to b)\to 1} = a → b → a b {\displaystyle =a\to b\to a^{b}} = a [ a b + 2 ] b {\displaystyle =a[a^{b}+2]b} (마지막으로 언급한 특성을 따른다) a → b → 3 → 2 {\displaystyle a\to b\to 3\to 2} = a → b → 3 → ( 1 + 1 ) {\displaystyle =a\to b\to 3\to (1+1)} = a → b → ( a → b → ( a → b ) → 1 ) → 1 {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b)\to 1)\to 1} = a → b → ( a → b → a b ) {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to a^{b})} = a [ a → b → 2 → 2 + 2 ] b {\displaystyle =a[a\to b\to 2\to 2+2]b} a → b → 4 → 2 {\displaystyle a\to b\to 4\to 2} = a → b → ( a → b → ( a → b → a b ) ) {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b\to a^{b}))} = a [ a → b → 3 → 2 + 2 ] b {\displaystyle =a[a\to b\to 3\to 2+2]b} 여기서 패턴을 볼 수 있다. 어떤 연쇄 화살표 X에 대해서 f ( p ) = X → p {\displaystyle f(p)=X\to p} 라고 두면 X → p → 2 = f p ( 1 ) {\displaystyle X\to p\to 2=f^{p}(1)} 이다 (함수의 거듭제곱을 보라). 이것을 X = a → b {\displaystyle X=a\to b} 에 적용하면 f ( p ) = a [ p + 2 ] b {\displaystyle f(p)=a[p+2]b} 이고 a → b → p → 2 = a [ a → b → ( p − 1 ) → 2 + 2 ] b = f p ( 1 ) {\displaystyle a\to b\to p\to 2=a[a\to b\to (p-1)\to 2+2]b=f^{p}(1)} 이다 따라서 예를 들어 보면 10 → 6 → 3 → 2 = 10 [ 10 [ 1000002 ] 6 + 2 ] 6 {\displaystyle 10\to 6\to 3\to 2=10[10[1000002]6+2]6} 이다. 다음으로 넘어간다: a → b → 2 → 3 {\displaystyle a\to b\to 2\to 3} = a → b → 2 → ( 2 + 1 ) {\displaystyle =a\to b\to 2\to (2+1)} = a → b → ( a → b ) → 2 {\displaystyle =a\to b\to (a\to b)\to 2} = a → b → a b → 2 {\displaystyle =a\to b\to a^{b}\to 2} = f a b ( 1 ) {\displaystyle =f^{a^{b}}(1)} 또다시 일반화 할 수 있다. g q ( p ) = X → p → q {\displaystyle g_{q}(p)=X\to p\to q} 라고 하면 X → p → q + 1 = g q p ( 1 ) {\displaystyle X\to p\to q+1=g_{q}^{p}(1)} 이 된다. 즉, g q + 1 ( p ) = g q p ( 1 ) {\displaystyle g_{q+1}(p)=g_{q}^{p}(1)} 이다. 위의 경우에서, g 2 ( p ) = a → b → p → 2 = f p ( 1 ) {\displaystyle g_{2}(p)=a\to b\to p\to 2=f^{p}(1)} 이고 g 3 ( p ) = g 2 p ( 1 ) {\displaystyle g_{3}(p)=g_{2}^{p}(1)} 이므로 a → b → 2 → 3 = g 3 ( 2 ) = g 2 2 ( 1 ) = g 2 ( g 2 ( 1 ) ) = f f ( 1 ) ( 1 ) = f a b ( 1 ) {\displaystyle a\to b\to 2\to 3=g_{3}(2)=g_{2}^{2}(1)=g_{2}(g_{2}(1))=f^{f(1)}(1)=f^{a^{b}}(1)} 이다. 아커만 함수는 콘웨이 연쇄 화살표 표기법으로 표시할 수 있다: m > 2일 때 A(m, n) = (2 → (n + 3) → (m − 2)) − 3 (하이퍼 연산으로 A(m, n) = 2 [m] (n + 3) - 3이기 때문이다) 따라서 n > 2일 때 2 → n → m = A(m + 2,n − 3) + 3 (n = 1과 n = 2는 논리적으로 A(m, −2) = −1과 A(m, −1) = 1에 대응하도록 추가할 수 있다). 그레이엄 수 G {\displaystyle G} 자체는 콘웨이 표기법으로 간결하게 표현할 수는 없지만, 중간의 함수 f ( n ) = 3 → 3 → n {\displaystyle f(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n} 를 정의하면 다음을 얻을 수 있다: G = f 64 ( 4 ) {\displaystyle G=f^{64}(4)} (함수의 거듭제곱을 보라)이고, 3 → 3 → 64 → 2 < G < 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} 이다 증명: 규칙 3과 규칙 4의 정의를 순서대로 적용하면 다음을 얻을 수 있다: f 64 ( 1 ) {\displaystyle f^{64}(1)} = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 1 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\cdots ))} (64 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} 이 64개) = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 ) → 1 ) ⋯ ) → 1 ) → 1 {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\cdots )\rightarrow 1)\rightarrow 1} = 3 → 3 → 64 → 2 ; {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;} f 64 ( 4 ) = G ; {\displaystyle f^{64}(4)=G;} = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 4 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\cdots ))} ( 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} 이 64개) f 64 ( 27 ) {\displaystyle f^{64}(27)} = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 27 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27))\cdots ))} ( 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} 이 64개) = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( 3 → 3 ) ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)))\cdots ))} ( 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} 이 65개) = 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} (위에서 한 것처럼 계산한다). f가 강한 증가 함수이기 때문에 f 64 ( 1 ) < f 64 ( 4 ) < f 64 ( 27 ) {\displaystyle f^{64}(1)<f^{64}(4)<f^{64}(27)} 이므로 3 → 3 → 64 → 2 < G < 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} 를 얻을 수 있다. 연쇄 화살표 표기법을 사용하면, 이것보다도 더 큰 수를 특정하는 것이 매우 쉽다. 예를 들면, 3 → 3 → 3 → 3     =     3 → 3 → ( 3 → 3 → 27 → 2 ) → 2     =     f 3 → 3 → 27 → 2 ( 1 )     =     f f 27 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3~~=~~3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,~~=~~f^{3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}(1)~~=~~f^{f^{27}(1)}(1)} 이 수는 그레이엄 수 보다 훨씬 크다. 왜냐하면 3 → 3 → 27 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2} = f27(1)은 65보다 훨씬 크기 때문이다. 커누스 윗화살표 표기법 그레이엄 수 John H. Conway & Richard K. Guy, The Book of Numbers, 1996, p.59-62 Factoids > big numbers Robert Munafo's Large Numbers The Book of Numbers by J. H. Conway and R. K. Guy