거스틴해버 대수

추상대수학과 대수적 위상수학 및 양자장론에서 거스틴해버 대수(영어: Gerstenhaber algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수와 리 대수의 구조를 합친 대수 구조의 하나이다. 거스틴해버 대수 A {\displaystyle A} 는 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 등급을 갖는 대수이다. A = ⨁ p ∈ Z ( A + p ⊕ A − p ) {\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }(A_{+}^{p}\oplus A_{-}^{p})} 이 위에 정의된 연산들은 다음과 같다. 곱 ⋅ {\displaystyle \cdot } 은 초교환 법칙 · 결합 법칙을 만족시키는, 등급 0의 이항 연산이다. 리 괄호 [ , ] {\displaystyle [,]} 은 등급 −1의 이항 연산이며, 이는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. (초교환 법칙) [ a , b ] = − ( − 1 ) ( deg ⁡ a − 1 ) ( deg ⁡ b − 1 ) [ b , a ] {\displaystyle [a,b]=-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,a]} (야코비 항등식) [ a , [ b , c ] ] = [ [ a , b ] , c ] + ( − 1 ) ( deg ⁡ a − 1 ) ( deg ⁡ b − 1 ) [ b , [ a , c ] ] {\displaystyle [a,[b,c]]=[[a,b],c]+(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,[a,c]]} 곱과 리 괄호는 다음과 같은 푸아송 항등식을 만족시킨다. [ a , b c ] = [ a , b ] c + ( − 1 ) ( deg ⁡ a − 1 ) deg ⁡ b b [ a , c ] {\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+(-1)^{(\deg a-1)\deg b}b[a,c]} 호모토피 거스틴해버 대수(영어: homotopy Gerstenhaber algebra, G∞-algebra, braid algebra, 2-algebra)는 역시 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 등급을 갖는 대수이다.:57 이 위에는 모든 n = n 1 + ⋯ + n k ( n i ≥ 1 , k ≥ 1 ) {\displaystyle n=n_{1}+\cdots +n_{k}\qquad (n_{i}\geq 1,k\geq 1)} 에 대하여, n {\displaystyle n} 항 연산 m n 1 , … , n k {\displaystyle m_{n_{1},\dots ,n_{k}}} 이 존재하며, 이는 등급 3 − n − k {\displaystyle 3-n-k} 을 갖는다. 처음 몇 연산들은 다음과 같다. 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통 m 1 = d {\displaystyle m_{1}=d} 로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계이다. 2항 연산은 두 개가 있다. 보통 m 2 = ⋅ {\displaystyle m_{2}=\cdot } , m 1 , 1 = ∘ {\displaystyle m_{1,1}=\circ } 로 쓴다. 3항 연산은 4개가 있으며, m 1 , 1 , 1 {\displaystyle m_{1,1,1}} , m 1 , 2 {\displaystyle m_{1,2}} , m 2 , 1 {\displaystyle m_{2,1}} , m 3 {\displaystyle m_{3}} 이다. 이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다. (멱영성) d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0} (곱 규칙) d ( a b ) = ( d a ) b + a ( d b ) {\displaystyle d(ab)=(da)b+a(db)} (호모토피 결합 법칙) a ( b c ) − ( a b ) c = m 3 ( d a , b , c ) + ( − 1 ) deg ⁡ a m 3 ( a , d b , c ) + ( − 1 ) deg ⁡ a + deg ⁡ b m 3 ( a , b , d c ) {\displaystyle a(bc)-(ab)c=m_{3}(da,b,c)+(-1)^{\deg a}m_{3}(a,db,c)+(-1)^{\deg a+\deg b}m_{3}(a,b,dc)} (호모토피 교환 법칙) a b − ( − 1 ) deg ⁡ a deg ⁡ b b a = d ( a ∘ b ) − d a ∘ b − ( − 1 ) deg ⁡ a − 1 a ∘ d b {\displaystyle ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba=d(a\circ b)-da\circ b-(-1)^{\deg a-1}a\circ db} ( a ∘ b ) ∘ c − a ∘ ( b ∘ c ) + m 2 , 1 ( a , b ; c ) − ( − 1 ) ( deg ⁡ a − 1 ) ( deg ⁡ b − 1 ) m 2 , 1 ( b , a ; c ) + ( − 1 ) ( deg ⁡ b − 1 ) ( deg ⁡ c − 1 ) m 1 , 2 ( a ; c , b ) − m 1 , 2 ( a , b , c ) = d m 1 , 1 , 1 ( a ; b ; c ) − m 1 , 1 , 1 ( d a ; b ; c ) − ( − 1 ) deg ⁡ a − 1 ( a ; d b ; c ) − ( − 1 ) deg ⁡ a + deg ⁡ b m 1 , 1 , 1 ( a ; b ; d c ) {\displaystyle (a\circ b)\circ c-a\circ (b\circ c)+m_{2,1}(a,b;c)-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}m_{2,1}(b,a;c)+(-1)^{(\deg b-1)(\deg c-1)}m_{1,2}(a;c,b)-m_{1,2}(a,b,c)=dm_{1,1,1}(a;b;c)-m_{1,1,1}(da;b;c)-(-1)^{\deg a-1}(a;db;c)-(-1)^{\deg a+\deg b}m_{1,1,1}(a;b;dc)} 호모토피 거스틴해버 대수는 A∞-대수(결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다. 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 m n 1 , … , n k {\displaystyle m_{n_{1},\dots ,n_{k}}} 가운데, k = 1 {\displaystyle k=1} 인 연산들은 A∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 A∞-대수이다. 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 m n 1 , … , n k {\displaystyle m_{n_{1},\dots ,n_{k}}} 가운데, k = n {\displaystyle k=n} 인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 L∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 L∞-대수이다. 거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수 A {\displaystyle A} 에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한 a ∘ b − ( − 1 ) deg ⁡ a deg ⁡ b b ∘ a = [ a , b ] {\displaystyle a\circ b-(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=[a,b]} a ∘ b + ( − 1 ) deg ⁡ a deg ⁡ b b ∘ a = 0 {\displaystyle a\circ b+(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=0} 이라면, ( A , ⋅ , [ , ] ) {\displaystyle (A,\cdot ,[,])} 은 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 코호몰로지는 거스틴해버 대수를 이룬다. 결합 법칙을 따르는 대수 A {\displaystyle A} 의 호흐실트 코호몰로지 H ∙ ( A , A ) {\displaystyle H^{\bullet }(A,A)} 는 거스틴해버 대수를 이루며, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 위상 꼭짓점 연산자 대수 역시 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며, 여기에 BRST 양자화로 물리적인 상태들로 구성된 코호몰로지를 취하면 이 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다. 바탈린-빌코비스키 대수는 추가 구조 ( Δ {\displaystyle \Delta } 연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다. 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 외대수 ⋀ ∙ g {\displaystyle \bigwedge ^{\bullet }{\mathfrak {g}}} 는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다. 머리 거스틴해버(영어: Murray Gerstenhaber)가 도입하였다. Kimura, Takashi; Alexander A. Voronov, Gregg J. Zuckerman. “Homotopy Gerstenhaber algebras and topological field theories” (영어). arXiv:q-alg/9602009.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Getzler, Ezra; J. D. S. Jones. “Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces” (영어). arXiv:hep-th/9403055.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Lian, Bong H.; Gregg J. Zuckerman (1993년 6월). “New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 154 (3): 613–646. doi:10.1007/BF02102111. ISSN 0010-3616. MR 1224094. Zbl 0780.17029.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Gerstenhaber, Murray (1963). “The cohomology structure of an associative ring”. 《Ann. of Math.》 78 (2): 267–288. doi:10.2307/1970343. JSTOR 1970343.  “Poisson algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  바탈린-빌코비스키 대수 A∞-대수