우리손 공간

일반위상수학에서 우리손 공간(Урысон空間, 영어: Urysohn space) 또는 T2½ 공간(T2½空間, 영어: T2½ space)은 분리공리의 일부로 다뤄지는 특정한 성질을 만족하는 위상 공간이다. 소비에트 연방의 위상수학자 파벨 사무일로비치 우리손의 이름이 붙어 있다. 다음 조건을 만족시키는 위상 공간 X {\displaystyle X} 를 우리손 공간이라고 한다.:219 임의의 두 점 a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} 은 폐포가 서로 겹치지 않는 열린 근방을 갖는다. 즉, E ∩ F = ∅ {\displaystyle E\cap F=\varnothing } 인 닫힌 근방 E ∋ a {\displaystyle E\ni a} , F ∋ b {\displaystyle F\ni b} 가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X {\displaystyle X} 를 완비 하우스도르프 공간(영어: completely Hausdorff space)이라고 한다. 임의의 두 점 a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} 에 대하여, f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} , f ( b ) = 1 {\displaystyle f(b)=1} 인 연속 함수 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} 가 존재한다. 즉, 스톤-체흐 콤팩트화로 가는 자연스러운 연속 함수 X → β X {\displaystyle X\to \beta X} 는 단사 함수이다. 임의의 두 서로소 콤팩트 집합 K , K ′ ⊆ X {\displaystyle K,K'\subseteq X} 에 대하여, f ( K ) = { 0 } {\displaystyle f(K)=\{0\}} , f ( K ′ ) = { 1 } {\displaystyle f(K')=\{1\}} 인 연속 함수 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} 가 존재한다. 증명: 모든 한원소 집합은 콤팩트 집합이므로, 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 반대로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 임의의 두 점이 연속 함수로 분리된다고 가정하고, 두 콤팩트 집합 K , K ′ ⊆ X {\displaystyle K,K'\subseteq X} 이 주어졌으며, K ∩ K ′ = ∅ {\displaystyle K\cap K'=\varnothing } 이라고 하자. 각 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 및 b ∈ K ′ {\displaystyle b\in K'} 에 대하여, f a b ( a ) = 0 {\displaystyle f_{ab}(a)=0} , f a b ( b ) = 0 {\displaystyle f_{ab}(b)=0} 인 연속 함수 f a b : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{ab}\colon X\to [0,1]} 를 취하자. 그렇다면 K ′ {\displaystyle K'} 의 X {\displaystyle X} 에서의 열린 덮개 { f a b ( ( 1 / 2 , 1 ] ) : b ∈ K } {\displaystyle \{f_{ab}((1/2,1])\colon b\in K\}} 는 유한 부분 덮개 { f a b 1 ( ( 1 / 2 , 1 ] ) , f a b 2 ( ( 1 / 2 , 1 ] ) , … , f a b n ( ( 1 / 2 , 1 ] ) } {\displaystyle \{f_{ab_{1}}((1/2,1]),f_{ab_{2}}((1/2,1]),\dotsc ,f_{ab_{n}}((1/2,1])\}} 를 갖는다. 그렇다면 연속 함수 f a = 2 min { f a b 1 , f a b 2 , … , f a b n , 1 / 2 } : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{a}=2\min\{f_{ab_{1}},f_{ab_{2}},\dotsc ,f_{ab_{n}},1/2\}\colon X\to [0,1]} 는 f a ( a ) = 0 {\displaystyle f_{a}(a)=0} , f a ( K ′ ) = { 1 } {\displaystyle f_{a}(K')=\{1\}} 을 만족시킨다. 마찬가지로, K {\displaystyle K} 의 X {\displaystyle X} 에서의 열린 덮개 { f a ( [ 0 , 1 / 2 ) ) : a ∈ K } {\displaystyle \{f_{a}([0,1/2))\colon a\in K\}} 는 유한 부분 덮개 { f a 1 ( [ 0 , 1 / 2 ) ) , f a 2 ( [ 0 , 1 / 2 ) ) , … , f a n ( [ 0 , 1 / 2 ) ) } {\displaystyle \{f_{a_{1}}([0,1/2)),f_{a_{2}}([0,1/2)),\dotsc ,f_{a_{n}}([0,1/2))\}} 를 가지며, 연속 함수 f = 2 max { f a 1 , f a 2 , … , f a n , 1 / 2 } − 1 : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f=2\max\{f_{a_{1}},f_{a_{2}},\dotsc ,f_{a_{n}},1/2\}-1\colon X\to [0,1]} 는 f ( K ) = { 0 } {\displaystyle f(K)=\{0\}} , f ( K ′ ) = { 1 } {\displaystyle f(K')=\{1\}} 을 만족시킨다. 일반적으로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 티호노프 공간(T3½) ⊆ 정칙 하우스도르프 공간(T3) ⊆ 우리손 공간(T2½) ⊆ 하우스도르프 공간(T2):219 티호노프 공간(T3½) ⊆ 완비 하우스도르프 공간 ⊆ 우리손 공간(T2½) ⊆ 하우스도르프 공간(T2) 하지만 정칙 하우스도르프 공간과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 직접적인 함의 관계가 성립하지 않는다. 우리손 공간과 연속 함수들은 범주 Ury {\displaystyle \operatorname {Ury} } 를 이룬다. 이 범주는 다음 성질들을 만족시킨다. 우리손 공간의 전사 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 은 상 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 으로부터 닫힌 근방들의 교집합을 취하는 연산을 초한 번 반복하면 공역 Y {\displaystyle Y} 를 얻는 연속 함수이다 (즉, 스스로의 닫힌 근방들의 교집합인 f ( X ) ⊆ B ⊆ Y {\displaystyle f(X)\subseteq B\subseteq Y} 는 B = Y {\displaystyle B=Y} 밖에 없어야 한다).:238, Lemma 4 쌍대 정멱 범주가 아니다.:240, Corollary 7 이를 증명한 저자는 다음과 같이 평했다. 하우스도르프 공간 정칙 공간 티호노프 공간 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. ISBN 978-89-8172-528-0.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Schröder, Joachim (1983). “The category of Urysohn spaces is not cowellpowered”. 《Topology and its Applications》 (영어) 16 (3): 237–241. doi:10.1016/0166-8641(83)90020-2. ISSN 0166-8641. MR 0722116. Zbl 0534.54004.  “Urysohn space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Urysohn space”. 《Topospaces》 (영어).  “Functionally Hausdorff space”. 《Topospaces》 (영어).  “Definition: Urysohn space”. 《ProofWiki》 (영어).