베르누이 수

수론에서 베르누이 수(Bernoulli數, 영어: Bernoulli numbers)는 거듭제곱수(Exponentiation)의 합, 삼각함수(trigonometric functions 또는 circular functions)의 멱급수(power series)의 다양한 공식에 등장하는 유리수 수열이다. 정수론과 깊은 관계가 있는 실수열로, 야코프 베르누이에 의해 발견되고 그의 이름에서 명명됐다. 이와는 별개로 동시대에 세키 다카카즈도 발견했다. 베르누이 수열 B n {\displaystyle B_{n}} 은 다음과 같은 생성함수로 정의할 수 있다. t exp ⁡ ( t ) − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n t n n ! {\displaystyle {\frac {t}{\exp(t)-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}t^{n}}{n!}}} 보다 일반적으로, 다음이 성립한다. t e x t e t − 1 = ∑ n t n n ! ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k x k {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}x^{k}} 따라서, 베르누이 수열 B 0 , B 1 , B 2 , … {\displaystyle B_{0},B_{1},B_{2},\dots } 은 다음과 같다. 1, −1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, 0, −1/30, … 여기서 분자는 (OEIS의 수열 A027641)이며, 분모는 (OEIS의 수열 A027642)이다. 일부 저자들은 첫 베르누이 수를 − 1 / 2 {\displaystyle -1/2} 대신 + 1 / 2 {\displaystyle +1/2} 로 사용하기도 한다. 여기서는 이를 B ~ {\displaystyle {\tilde {B}}} 로 표기하자. B ~ i = ( − 1 ) i B i = { + 1 / 2 i = 1 B n i ≠ 1 {\displaystyle {\tilde {B}}_{i}=(-1)^{i}B_{i}={\begin{cases}+1/2&i=1\\B_{n}&i\neq 1\end{cases}}} t 1 − exp ⁡ ( − t ) = ∑ n = 0 ∞ B ~ n t n n ! {\displaystyle {\frac {t}{1-\exp(-t)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\tilde {B}}_{n}t^{n}}{n!}}} 베르누이 수 B n {\displaystyle B_{n}} 가 주어졌을 때, 이로부터 다음과 같은 베르누이 다항식(영어: Bernoulli polynomial) B n ( x ) ∈ Q [ x ] {\displaystyle B_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]} 을 정의할 수 있다. B n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k x k {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}x^{k}} 이는 아펠 다항식열을 이룬다. 그렇다면, 베르누이 수는 베르누이 다항식으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다. B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)} B ~ n = B n ( 1 ) {\displaystyle {\tilde {B}}_{n}=B_{n}(1)} B 1 = − 1 / 2 {\displaystyle B_{1}=-1/2} 을 제외하고, 홀수차 베르누이 수는 모두 0이다. 4의 배수차 베르누이 수는 음수이며, 4의 배수가 아닌 짝수차 베르누이 수는 양수이다. sgn ⁡ B n = { − 1 n = 1 0 1 ≠ n ≡ 1 , 3 ( mod 4 ) − 1 n ≡ 0 ( mod 4 ) + 1 n ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \operatorname {sgn} B_{n}={\begin{cases}-1&n=1\\0&1\neq n\equiv 1,3{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 0{\pmod {4}}\\+1&n\equiv 2{\pmod {4}}\end{cases}}} 베르누이 다항식의 생성 함수는 다음과 같다. ∑ n = 0 ∞ B n ( x ) t n n ! = t exp ⁡ ( x t ) exp ⁡ ( t ) − 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {t\exp(xt)}{\exp(t)-1}}} 따라서, 베르누이 수의 생성 함수는 다음과 같다. ∑ n = 0 ∞ B n t n n ! = t exp ⁡ t − 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {t}{\exp t-1}}} ∑ n = 0 ∞ B ~ n t n n ! = t exp ⁡ t exp ⁡ t − 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tilde {B}}_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {t\exp t}{\exp t-1}}} 베르누이 다항식은 다음 항등식들을 만족시킨다. B n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n B n ( x ) n ≥ 0 {\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)\qquad n\geq 0} ( − 1 ) n B n ( − x ) = B n ( x ) + n x n − 1 {\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}} 베르누이 수는 탄젠트 및 코탄젠트의 매클로린 급수에 등장한다. tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! ( | x | < π / 2 ) {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\qquad (|x|<\pi /2)} cot ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! {\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}} 마찬가지로, 쌍곡 탄젠트의 매클로린 급수는 다음과 같다. tanh ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( | x | < π / 2 ) {\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1}\qquad (|x|<\pi /2)} 베르누이 다항식의 푸리에 급수는 다음과 같다. B n ( x ) = − n ! ( 2 π i ) n ∑ k ≠ 0 e 2 π i k x k n = − 2 n ! ∑ k = 1 ∞ cos ⁡ ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n {\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}} 따라서, 베르누이 다항식은 다음과 같이 사인 또는 코사인으로 수렴하는 것을 알 수 있다. ( 2 π ) n n ! B n ( x ) = − 2 cos ⁡ ( 2 π x − n π 2 ) + O ( 2 − n ) {\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n}}{n!}}B_{n}(x)=-2\cos \left(2\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)+O(2^{-n})} 베르누이 수는 리만 제타 함수의 특수한 값이다. B ~ n = ( − ) n B n = − n ζ ( 1 − n ) = − 2 ( 2 π ) n sin ⁡ ( π ( 1 − n ) / 2 ) n ! ζ ( n ) {\displaystyle {\tilde {B}}_{n}=(-)^{n}B_{n}=-n\zeta (1-n)=-{\frac {2}{(2\pi )^{n}}}\sin \left(\pi (1-n)/2\right)n!\zeta (n)} 따라서, 리만 제타 함수는 베르누이 수의 복소수 n {\displaystyle n} 에 대한 해석적 연속으로 볼 수 있다. n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 리만 제타 함수는 극을 갖지만, 이 경우 다음과 같이 극한을 취할 수 있다. B ~ 0 = B 0 = 1 = lim n → 0 − n ζ ( 1 − n ) {\displaystyle {\tilde {B}}_{0}=B_{0}=1=\lim _{n\to 0}-n\zeta (1-n)} B ~ 1 = − B 1 = − 2 lim n → 1 sin ⁡ ( π ( 1 − n ) / 2 ) ( 2 π ) n n ! ζ ( n ) = 1 / 2 {\displaystyle {\tilde {B}}_{1}=-B_{1}=-2\lim _{n\to 1}{\frac {\sin(\pi (1-n)/2)}{(2\pi )^{n}}}n!\zeta (n)=1/2} 따라서, 스털링 공식에 따라 짝수차 베르누이 수의 절댓값에 대하여 다음과 같은 점근 공식이 성립한다. | B 2 n | = 2 ( 2 n ) ! ( 2 π ) 2 n ζ ( 2 n ) ∼ 4 π n ( n π e ) 2 n ( n ≫ 1 ) {\displaystyle |B_{2n}|={\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\qquad (n\gg 1)} 보다 일반적으로, 베르누이 다항식은 후르비츠 제타 함수 ζ ( s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)} 의 특수한 값이다. B n ( x ) = − n ζ ( 1 − n , x ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)} B ~ n = B n ( 1 ) = − n ζ ( 1 − n , 1 ) = − n ζ ( 1 − n ) {\displaystyle {\tilde {B}}_{n}=B_{n}(1)=-n\zeta (1-n,1)=-n\zeta (1-n)} 따라서, 후르비츠 제타 함수는 베르누이 다항식의 복소수 n {\displaystyle n} 에 대한 해석적 연속으로 볼 수 있다. 베르누이 다항식과 베르누이 수는 제2종 스털링 수와 하강 포흐하머 기호로 다음과 같이 나타낼 수 있다. B n + 1 ( x ) = B n + 1 + ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 { n k } x k + 1 _ {\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{n \atop k}\right\}x^{\underline {k+1}}} B n = ∑ k = 0 k ( − 1 ) k k ! k + 1 { n k } {\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{k}(-1)^{k}{\frac {k!}{k+1}}\left\{{n \atop k}\right\}} 이 경우 B 1 = − 1 / 2 {\displaystyle B_{1}=-1/2} 이 된다. 반대로, 하강 포흐하머 기호를 베르누이 다항식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. x n + 1 _ = ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 [ n k ] ( B k + 1 ( x ) − B k + 1 ) {\displaystyle x^{\underline {n+1}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{n \atop k}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)} 여기서 [ n k ] {\displaystyle \textstyle [{n \atop k}]} 는 제1종 스털링 수이다. 임의의 자연수 m {\displaystyle m} 과 n {\displaystyle n} 에 대하여, 처음 n {\displaystyle n} 개의 m {\displaystyle m} 제곱수들의 합은 다음과 같다. ∑ k = 1 n k m = 1 m + 1 ∑ k = 0 m ( − 1 ) k ( m + 1 k ) B k n m + 1 − k = 1 m + 1 ( B m + 1 ( n + 1 ) − B m + 1 ( 0 ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}n^{m+1-k}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right)} 이를 베르누이 공식(Bernoulli公式, 영어: Bernoulli’s formula) 또는 파울하버 공식(영어: Faulhaber’s formula)이라고 한다. 예를 들어, m = 1 {\displaystyle m=1} 일 경우, 1부터 n {\displaystyle n} 까지의 자연수의 합인 삼각수(삼각형 수) 공식을 얻을 수 있다. 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 1 2 ( B 0 n 2 − 2 B 1 n 1 ) = 1 2 ( n 2 + n ) {\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}-2B_{1}n^{1})={\frac {1}{2}}(n^{2}+n)} m = 2 {\displaystyle m=2} 일 경우, 제곱수의 합 공식을 얻을 수 있다. 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = 1 3 ( B 0 n 3 − 3 B 1 n 2 + 3 B 2 n 1 ) = 1 3 ( n 3 + 3 2 n 2 + 1 2 n ) {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}-3B_{1}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\frac {1}{3}}\left(n^{3}+{\frac {3}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n\right)} m = 3 , {\displaystyle m=3,} 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = 1 4 ( ( 4 0 ) B 0 n 4 − ( 4 1 ) B 1 n 3 + ( 4 2 ) B 2 n 2 − ( 4 3 ) B 3 n 1 ) {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}={1 \over 4}\left({4 \choose 0}B_{0}n^{4}-{4 \choose 1}B_{1}n^{3}+{4 \choose 2}B_{2}n^{2}-{4 \choose 3}B_{3}n^{1}\right)} = 1 4 ( 4 ! 0 ! ( 4 − 0 ) ! B 0 n 4 − 4 ! 1 ! ( 4 − 1 ) ! B 1 n 3 + 4 ! 2 ! ( 4 − 2 ) ! B 2 n 2 − 4 ! 3 ! ( 4 − 3 ) ! B 3 n 1 ) {\displaystyle \quad ={1 \over 4}\left({{4!} \over {0!(4-0)!}}B_{0}n^{4}-{{4!} \over {1!(4-1)!}}B_{1}n^{3}+{{4!} \over {2!(4-2)!}}B_{2}n^{2}-{{4!} \over {3!(4-3)!}}B_{3}n^{1}\right)} = 1 4 ( 1 B 0 n 4 − 4 B 1 n 3 + 4 ⋅ 3 2 ⋅ 1 B 2 n 2 − 4 B 3 n 1 ) {\displaystyle \quad ={1 \over 4}\left({1}B_{0}n^{4}-{4}B_{1}n^{3}+{{4\cdot 3} \over {2\cdot 1}}B_{2}n^{2}-{4}B_{3}n^{1}\right)} = 1 4 ( B 0 n 4 − 4 B 1 n 3 + 6 B 2 n 2 − 4 B 3 n 1 ) {\displaystyle \quad ={1 \over 4}\left(B_{0}n^{4}-{4}B_{1}n^{3}+{6}B_{2}n^{2}-{4}B_{3}n^{1}\right)} = 1 4 ( ( 1 ) n 4 − 4 ( − 1 2 ) n 3 + 6 ( 1 6 ) n 2 − 4 ( 0 ) n 1 ) {\displaystyle \quad ={1 \over 4}\left((1)n^{4}-{4}\left(-{1 \over 2}\right)n^{3}+{6}\left({1 \over 6}\right)n^{2}-{4}(0)n^{1}\right)} = 1 4 ( n 4 + 2 n 3 + n 2 ) {\displaystyle \quad ={1 \over 4}\left(n^{4}+2n^{3}+n^{2}\right)} ∴ 1 4 ( n 4 + 2 n 3 + n 2 ) = ( n 4 + 2 n 3 + n 2 ) 4 = ( n 2 + n ) 2 4 {\displaystyle \therefore \;\;{1 \over 4}\left(n^{4}+2n^{3}+n^{2}\right)={{(n^{4}+2n^{3}+n^{2})} \over 4}={{(n^{2}+n)^{2}} \over 4}} = ( n 2 + n 2 ) ( n 2 + n 2 ) {\displaystyle \quad =\left({{n^{2}+n} \over 2}\right)\left({{n^{2}+n} \over 2}\right)} = ( n 2 + n 2 ) 2 {\displaystyle \quad =\left({{n^{2}+n} \over 2}\right)^{2}} = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 {\displaystyle \quad =\left({{n(n+1)} \over 2}\right)^{2}} 베르누이 공식은 음계산법을 통하여 간단하게 적을 수 있다. 우선, 음변수 b {\displaystyle {\mathsf {b}}} 에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자. L : b n ↦ B n {\displaystyle L\colon {\mathsf {b}}^{n}\mapsto B_{n}} 그렇다면 L : ( a + b ) n ↦ B n ( a ) {\displaystyle L\colon (a+{\mathsf {b}})^{n}\mapsto B_{n}(a)} 가 된다. 따라서, ∑ k = 1 n k m = 1 m + 1 L ( ( n + 1 + b ) m + 1 − b m + 1 ) = L ∫ b b + n + 1 x m d x {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}={\frac {1}{m+1}}L\left((n+1+{\mathsf {b}})^{m+1}-{\mathsf {b}}^{m+1}\right)=L\int _{\mathsf {b}}^{{\mathsf {b}}+n+1}x^{m}\,dx} 이다. 베르누이 수를 계산하는 효율적인 알고리즘들이 알려져 있으며, B n {\displaystyle B_{n}} 를 계산하는 가장 빠른 알려진 알고리즘의 시간 복잡도는 O ( n 2 log 2 + ϵ ⁡ n ) {\displaystyle O(n^{2}\log ^{2+\epsilon }n)} 이다. 폰 슈타우트-클라우젠 정리(영어: von Staudt–Clausen theorem)에 따르면, 모든 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, 만약 B n ≠ 0 {\displaystyle B_{n}\neq 0} 이라면 다음이 성립한다. B n + ∑ ( p − 1 ) ∣ n 1 p ∈ Z {\displaystyle B_{n}+\sum _{(p-1)\mid n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} } 여기서 ∑ ( p − 1 ) ∣ n {\displaystyle \textstyle \sum _{(p-1)\mid n}} 은 p − 1 {\displaystyle p-1} 이 n {\displaystyle n} 의 약수가 되는 모든 소수 p {\displaystyle p} 에 대한 합이다. 즉, B n ≠ 0 {\displaystyle B_{n}\neq 0} 의 분모는 ∏ ( p − 1 ) ∣ n p {\displaystyle \textstyle \prod _{(p-1)\mid n}p} 이다. 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 소수를 정규 소수(영어: regular prime)이라고 한다. p ∤ B 2 n ∀ 2 k ∈ { 2 , 4 , 6 , … , p − 3 } {\displaystyle p\nmid B_{2n}\qquad \forall 2k\in \{2,4,6,\dots ,p-3\}} p ∤ h Q ( ζ p ) ) {\displaystyle p\nmid h_{\mathbb {Q} (\zeta _{p}))}} . 여기서 h K {\displaystyle h_{K}} 는 K {\displaystyle K} 의 유수이며, Q ( ζ p ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 는 원분체이다. 이를 정규 소수의 쿠머 조건(영어: Kummer’s criterion)이라고 한다. 약한 B e r n o u l l i N u m b e r s {\displaystyle Bernoulli\;Numbers\;} 생성함수 ∑ k = 1 n ( n k ) B n − k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}B_{n-k}} ( 1 1 ) B 0 = 1 ! 1 ! ( 1 − 1 ) ! B 0 = 1 ! 1 ! B 0 , B 0 = 1 ! 1 ! , B 0 = 1 {\displaystyle {1 \choose 1}B_{0}={1! \over 1!(1-1)!}B_{0}={1! \over 1!}B_{0},B_{0}={1! \over 1!},B_{0}=1} ( 2 1 ) B 1 + ( 2 2 ) B 0 = 2 ! 1 ! ( 2 − 1 ) ! B 1 + 2 ! 2 ! ( 2 − 2 ) ! B 0 = 2 ! 1 ! B 1 + 2 ! 2 ! B 0 = 2 1 B 1 + 1 1 B 0 , 2 1 B 1 = − 1 1 B 0 , 2 1 B 1 = ( − 1 1 1 ) , B 1 = − 1 1 ⋅ 1 2 , B 1 = − 1 2 {\displaystyle {2 \choose 1}B_{1}+{2 \choose 2}B_{0}={2! \over 1!(2-1)!}B_{1}+{2! \over 2!(2-2)!}B_{0}={2! \over 1!}B_{1}+{{\cancel {2!}} \over {\cancel {2!}}}B_{0}={2 \over 1}B_{1}+{1 \over 1}B_{0}\;,\;{2 \over 1}B_{1}=-{1 \over 1}B_{0}\;,\;{2 \over 1}B_{1}=\left(-{1 \over 1}1\right)\;,\;B_{1}=-{1 \over 1}\cdot {1 \over 2}\;,\;B_{1}=-{1 \over 2}} ( 3 1 ) B 2 + ( 3 2 ) B 1 + ( 3 3 ) B 0 = 3 ! 1 ! ( 3 − 1 ) ! B 2 + 3 ! 2 ! ( 3 − 2 ) ! B 1 + 3 ! 3 ! ( 3 − 3 ) ! B 0 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 B 2 + 3 ! 2 ! B 1 + 3 ! 3 ! B 0 {\displaystyle {3 \choose 1}B_{2}+{3 \choose 2}B_{1}+{3 \choose 3}B_{0}={3! \over 1!(3-1)!}B_{2}+{3! \over 2!(3-2)!}B_{1}+{3! \over 3!(3-3)!}B_{0}={3\cdot 2\cdot 1 \over 2\cdot 1}B_{2}+{3! \over 2!}B_{1}+{{\cancel {3!}} \over {\cancel {3!}}}B_{0}} = 3 1 B 2 + 3 1 B 1 + 1 1 B 0 , 3 1 B 2 + 3 1 B 1 = − 1 1 B 0 , 3 1 B 2 = − 3 1 B 1 − 1 1 B 0 , 3 1 B 2 = ( − 3 1 ⋅ − 1 2 ) − ( 1 1 ⋅ 1 ) {\displaystyle \qquad \;\;={3 \over 1}B_{2}+{3 \over 1}B_{1}+{1 \over 1}B_{0}\;,\;{3 \over 1}B_{2}+{3 \over 1}B_{1}=-{1 \over 1}B_{0}\;,\;{3 \over 1}B_{2}=-{3 \over 1}B_{1}-{1 \over 1}B_{0}\;,\;{3 \over 1}B_{2}=\left(-{3 \over 1}\cdot -{1 \over 2}\right)-\left({1 \over 1}\cdot 1\right)} , 3 1 B 2 = ( 3 2 ) − ( 1 1 ) {\displaystyle \qquad \;,\;{3 \over 1}B_{2}=\left({3 \over 2}\right)-\left({1 \over 1}\right)} , 3 1 B 2 = 1 2 {\displaystyle \qquad \;,\;{3 \over 1}B_{2}={1 \over 2}} , B 2 = 1 2 ⋅ 1 3 {\displaystyle \qquad \;,\;B_{2}={1 \over 2}\cdot {1 \over 3}} , B 2 = 1 6 {\displaystyle \qquad \;,\;B_{2}={1 \over 6}} ( 4 1 ) B 3 + ( 4 2 ) B 2 + ( 4 3 ) B 1 + ( 4 4 ) B 0 = 4 ! 1 ! ( 4 − 1 ) ! B 3 + 4 ! 2 ! ( 4 − 2 ) ! B 2 + 4 ! 3 ! ( 4 − 3 ) ! B 1 + 4 ! 4 ! ( 4 − 4 ) ! B 0 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅ 1 B 3 + 4 ⋅ 3 2 ⋅ 1 B 2 + 4 1 B 1 + 4 ! 4 ! B 0 {\displaystyle {4 \choose 1}B_{3}+{4 \choose 2}B_{2}+{4 \choose 3}B_{1}+{4 \choose 4}B_{0}={4! \over 1!(4-1)!}B_{3}+{4! \over 2!(4-2)!}B_{2}+{4! \over 3!(4-3)!}B_{1}+{4! \over 4!(4-4)!}B_{0}={{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {3\cdot 2\cdot 1}}B_{3}+{{4\cdot 3} \over {2\cdot 1}}B_{2}+{4 \over 1}B_{1}+{{\cancel {4!}} \over {\cancel {4!}}}B_{0}} = 4 1 B 3 + 12 2 B 2 + 4 1 B 1 + 1 1 B 0 {\displaystyle \qquad ={4 \over 1}B_{3}+{12 \over 2}B_{2}+{4 \over 1}B_{1}+{1 \over 1}B_{0}} , 4 1 B 3 + 6 1 B 2 + 4 1 B 1 = − 1 1 B 0 , 4 1 B 3 + 6 1 B 2 = − 4 1 B 1 − 1 1 B 0 , 4 1 B 3 = − 6 1 B 2 − 4 1 B 1 − 1 1 B 0 {\displaystyle \qquad ,{4 \over 1}B_{3}+{6 \over 1}B_{2}+{4 \over 1}B_{1}=-{1 \over 1}B_{0}\;,\;{4 \over 1}B_{3}+{6 \over 1}B_{2}=-{4 \over 1}B_{1}-{1 \over 1}B_{0}\;,\;{4 \over 1}B_{3}=-{6 \over 1}B_{2}-{4 \over 1}B_{1}-{1 \over 1}B_{0}} , 4 1 B 3 = ( − 6 1 ⋅ 1 6 ) − ( 4 1 ⋅ − 1 2 ) − ( 1 1 ⋅ 1 ) {\displaystyle \qquad ,{4 \over 1}B_{3}=\left(-{6 \over 1}\cdot {1 \over 6}\right)-\left({4 \over 1}\cdot -{1 \over 2}\right)-\left({1 \over 1}\cdot 1\right)} , 4 1 B 3 = ( − 1 1 ) − ( − 4 2 ) − ( 1 1 ) {\displaystyle \qquad ,{4 \over 1}B_{3}=\left(-{1 \over 1}\right)-\left(-{4 \over 2}\right)-\left({1 \over 1}\right)} , 4 1 B 3 = ( − 1 1 ) − ( − 2 1 ) − ( 1 1 ) {\displaystyle \qquad ,{4 \over 1}B_{3}=\left(-{1 \over 1}\right)-\left(-{2 \over 1}\right)-\left({1 \over 1}\right)} , 4 1 B 3 = ( ( − 1 1 ) − ( 1 1 ) ) − ( − 2 1 ) {\displaystyle \qquad ,{4 \over 1}B_{3}=\left(\left(-{1 \over 1}\right)-\left({1 \over 1}\right)\right)-\left(-{2 \over 1}\right)} , 4 1 B 3 = ( − 2 1 ) + ( 2 1 ) {\displaystyle \qquad ,{4 \over 1}B_{3}=\left(-{2 \over 1}\right)+\left({2 \over 1}\right)} , B 3 = ( − 2 + 2 ) ⋅ 1 4 {\displaystyle \qquad ,B_{3}=(-{2}+{2})\cdot {1 \over 4}} , B 3 = ( 0 ) ⋅ 1 4 {\displaystyle \qquad ,B_{3}=(0)\cdot {1 \over 4}} , B 3 = 0 {\displaystyle \qquad ,B_{3}=0} ( 5 1 ) B 4 + ( 5 2 ) B 3 + ( 5 3 ) B 2 + ( 5 4 ) B 1 + ( 5 5 ) B 0 = 5 ! 1 ! ( 5 − 1 ) ! B 4 + 5 ! 2 ! ( 5 − 2 ) ! B 3 + 5 ! 3 ! ( 5 − 3 ) ! B 2 + 5 ! 4 ! ( 5 − 4 ) ! B 1 + 5 ! 5 ! ( 5 − 5 ) ! B 0 {\displaystyle {5 \choose 1}B_{4}+{5 \choose 2}B_{3}+{5 \choose 3}B_{2}+{5 \choose 4}B_{1}+{5 \choose 5}B_{0}={5! \over 1!(5-1)!}B_{4}+{5! \over 2!(5-2)!}B_{3}+{5! \over 3!(5-3)!}B_{2}+{5! \over 4!(5-4)!}B_{1}+{5! \over 5!(5-5)!}B_{0}} B 4 = − 1 30 {\displaystyle B_{4}=-{1 \over 30}} ( 6 1 ) B 5 + ( 6 2 ) B 4 + ( 6 3 ) B 3 + ( 6 4 ) B 2 + ( 6 5 ) B 1 + ( 6 6 ) B 0 = 6 ! 1 ! ( 6 − 1 ) ! B 5 + 6 ! 2 ! ( 6 − 2 ) ! B 4 + 6 ! 3 ! ( 6 − 3 ) ! B 3 + 6 ! 4 ! ( 6 − 4 ) ! B 2 + 6 ! 5 ! ( 6 − 5 ) ! B 1 + 6 ! 6 ! ( 6 − 6 ) ! B 0 {\displaystyle {6 \choose 1}B_{5}+{6 \choose 2}B_{4}+{6 \choose 3}B_{3}+{6 \choose 4}B_{2}+{6 \choose 5}B_{1}+{6 \choose 6}B_{0}={6! \over 1!(6-1)!}B_{5}+{6! \over 2!(6-2)!}B_{4}+{6! \over 3!(6-3)!}B_{3}+{6! \over 4!(6-4)!}B_{2}+{6! \over 5!(6-5)!}B_{1}+{6! \over 6!(6-6)!}B_{0}} B 5 = 0 {\displaystyle B_{5}={0}} 낮은 차수의 베르누이 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A367), (OEIS의 수열 A2445) 낮은 차수의 베르누이 다항식은 다음과 같다. B 0 ( x ) = 1 {\displaystyle B_{0}(x)=1} B 1 ( x ) = x − 1 2 {\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}} B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 {\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}} B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x {\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x} B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 {\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}} B 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 3 x 3 − 1 6 x {\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x} B 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 2 x 4 − 1 2 x 2 + 1 42 {\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}} 1631년에 요한 파울하버(독일어: Johann Faulhaber, 1580~1635)는 거듭제곱수의 합을 계산하는 알고리즘을 출판하였다. 파울하버의 알고리즘은 효율적이지만, 파울하버는 이를 베르누이 수를 통하여 나타내지 않았다. 이에 대하여 도널드 커누스는 다음과 같이 적었다. 세키 다카카즈(1642~1708)는 1712년 사후에 출판된 《괄요산법》(일본어: 括要算法 가쓰요산포[*])에 거듭제곱수의 합에 대한 일반 공식 및 베르누이 수를 제시하였다. 《괄요산법》에는 산가지로 표기된 파스칼 삼각형 밑에 다음과 같이 처음 12개의 베르누이 수가 수록돼 있다. 즉, 분수 k / n {\displaystyle k/n} 은 n分之k로 표시돼 있고, 부호는 양수일 경우 爲加, 음수일 경우 爲減로 표시돼 있다. (㆑, ㆒, ㆓와 같은 부호는 간분의 가에리텐(일본어: 返り点)이다.) 세키와 거의 동시에, 야코프 베르누이는 1713년 사후에 출판된 저서 《추측술》(라틴어: Ars Conjectandi 아르스 코녝탄디[*]) 2부 3장 97쪽에 거듭제곱수의 합의 일반 공식을 제시하였지만, 증명하지 않았다. 이 책에서 베르누이는 다음과 같이 적었다. 1830년대에 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린은 오일러-매클로린 공식을 발견하면서 베르누이 수를 재발견하였다. 아브라암 드무아브르와 레온하르트 오일러는 "베르누이 수"라는 표현을 최초로 사용하였다. 1834년에 카를 구스타프 야코프 야코비는 베르누이 공식을 엄밀하게 증명하였다. 에이다 러브레이스는 1843년에 찰스 배비지의 해석기관에 대한 책의 주석 G(영어: Note G)에 베르누이 수를 계산하는 알고리즘을 기술하였다. 이 주석 G는 세계 최초의 컴퓨터 프로그램으로 여겨진다. 폰 슈타우트-클라우젠 정리는 카를 게오르크 크리스티안 폰 슈타우트(독일어: Karl Georg Christian von Staudt)와 토마스 클라우젠(독일어: Thomas Clausen) 이 1840년에 독자적으로 발견하였다. 정규 소수의 쿠머 조건은 에른스트 쿠머가 1850년에 증명하였다. 벨 수 오일러 수 베르누이 다항식 거듭제곱 급수(멱급수) 테일러 급수 급수 계승(팩토리얼) Fee, Greg; Simon Plouffe (2007). “An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers” (영어). arXiv:math/0702300. Bibcode:2007math......2300F.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Knuth, Donald E.; T. J. Buckholtz (1967). “Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli Numbers”. 《Mathematics of Computation》 (영어) 21 (100): 663–688. doi:10.2307/2005010. ISSN 0025-5718. JSTOR 2005010.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Kaneko, M. (2000). “The Akiyama–Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers”. 《Journal of Integer Sequences》 (영어) 12: 29. Bibcode:2000JIntS...3...29K.  Harvey, David (2008). “A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers”. 《Mathematics of Computation》 (영어) 79 (272): 2361–2370. arXiv:0807.1347. doi:10.1090/S0025-5718-2010-02367-1. MR 2684369. 2016년 3월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 23일에 확인함.  Faulhaber, Johann (1631). 《Academia Algebræ, Darinnen die miraculoſiſche Inventiones / zu den höchſten Coſſen weiters continuirt vnd profitiert werden. Dergleichen zwar bor 15. Jahren den Gelehrten auff allen Vniverſiteten in gantzem Europa proponiert, darauff continuiert, auch allen Mathematicis inn der gantzen weiten Welt dediciert, aber bißhero / noch nie ſo hoch / biß auff die regulierte / Zenſicubiccubic Coß / durch offnen Truck publiciert worden. Welcher vorgeſetzet ein kurtz Bedencken / Was einer für Authores nach ordnung gebrauchen ſolle / welcher die Coß fruchtbarlich / bald / auch fundamentaliter lehrnen vnd ergreiffen will》 (독일어). 아우크스부르크: bey Johann Ulrich Schönigf. / In verlag Johann Remelins / Runst- vnd Buch-händlers.  Knuth, Donald E. (1993). “Johann Faulhaber and sums of powers”. 《Mathematics of Computation》 (영어) 61 (203): 277–294. arXiv:math/9207222. Bibcode:1993MaCom..61..277K. doi:10.1090/S0025-5718-1993-1197512-7. JSTOR 2152953.  関 孝和 (1712). 《括要算法》 (일본어). 荒木 村英 편집, 大高 由昌 교정. 에도: 升屋 五郎右衛門. OCLC 868144029.  Bernoulli, Jacobus (1713). 《Ars conjectandi, opus posthumum. 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