수축량

기하학에서, 수축량(收縮量, 영어: systole 시스톨[*])은 어떤 거리 공간에서, 상수 함수와 호모토픽하지 않는 폐곡선의 최소 길이이다. 콤팩트 거리 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 속의 폐곡선 γ : S 1 = [ 0 , 1 ] / ( 0 ∼ 1 ) → X {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)\to X} 의 길이 length ⁡ γ = sup n ∈ Z + sup t 0 , t 1 , t 2 , … , t n ∈ [ 0 , 1 ] ∑ i = 1 n d ( γ ( t i − 1 ) , γ ( t i ) ) ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \operatorname {length} \gamma =\sup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\sup _{t_{0},t_{1},t_{2},\dotsc ,t_{n}\in [0,1]}\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}))\in [0,\infty ]} 를 생각하자. X {\displaystyle X} 의 수축량은 다음과 같다. sys ⁡ X = inf { length ⁡ γ : γ ∈ C 0 ( S 1 , X ) , 1 π 1 ( X , γ ( 0 ) ) ≠ [ γ ] ∈ π 1 ( X , γ ( 0 ) ) } {\displaystyle \operatorname {sys} X=\inf\{\operatorname {length} \gamma \colon \gamma \in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},X),\;1_{\pi _{1}(X,\gamma (0))}\neq [\gamma ]\in \pi _{1}(X,\gamma (0))\}} 여기서 π 1 ( X , γ ( 0 ) ) {\displaystyle \pi _{1}(X,\gamma (0))} 은 점을 가진 공간 ( X , γ ( 0 ) ) {\displaystyle (X,\gamma (0))} 의 기본군이다. 즉, 기본군에서 자명하지 않은 동치류를 갖는 폐곡선의 길이의 하한이다. n {\displaystyle n} 차원 연결 콤팩트 리만 다양체 M {\displaystyle M} 의 수축량비(收縮量比, 영어: systolic ratio)는 다음과 같은 값이다. SR ⁡ ( M ) = ( sys ⁡ M ) n vol ⁡ M ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \operatorname {SR} (M)={\frac {(\operatorname {sys} M)^{n}}{\operatorname {vol} M}}\in [0,\infty ]} (만약 M {\displaystyle M} 이 단일 연결 공간이라면, 수축량비는 무한대이다.) 임의의 리만 다양체 구조가 주어진 2차원 원환면 T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} 을 생각하자. 그 위에는 다음과 같은 뢰브너 부등식(영어: Loewner inequality)이 성립한다. SR ⁡ T 2 ≤ 2 3 {\displaystyle \operatorname {SR} \mathbb {T} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}} 여기서 vol ⁡ ( T 2 ) {\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {T} ^{2})} 는 원환면의 넓이이다. 마찬가지로, 실수 사영 평면 R P 2 {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} 위에는 다음과 같은 푸 부등식([蒲]不等式, 영어: Pu’s inequality)이 성립한다. SR ⁡ R P 2 ≤ π 2 {\displaystyle \operatorname {SR} \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}} 각종 곡면에 대하여, 수축량비의 상한은 다음과 같다. 보다 일반적으로, 종수 g {\displaystyle g} 의 콤팩트 가향 곡면 Σ g {\displaystyle \Sigma _{g}} 에 대하여, g ≥ 1 {\displaystyle g\geq 1} 일 경우 다음이 성립한다. SR ⁡ ( Σ g ) ≤ 2 {\displaystyle \operatorname {SR} (\Sigma _{g})\leq 2} 사실, 충분히 큰 g {\displaystyle g} 에 대하여, 다음이 항상 성립하게 되는, 종수에 의존하지 않는 두 상수 C + , C − {\displaystyle C_{+},C_{-}} 가 존재한다. C − ( ln ⁡ g ) 2 g ≤ SR ⁡ ( Σ g ) ≤ C + ( ln ⁡ g ) 2 g {\displaystyle C_{-}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}\leq \operatorname {SR} (\Sigma _{g})\leq C_{+}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}} 연결 콤팩트 리만 다양체 M {\displaystyle M} 에서, 다음이 성립한다면, M {\displaystyle M} 을 본질적 다양체(영어: essential manifold)라고 하자. 자연스러운 군 준동형 H dim ⁡ M ⁡ ( M ; R ) → H dim ⁡ M ⁡ ( K ⁡ ( π 1 ( M ) , 1 ) ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\dim M}(M;R)\to \operatorname {H} _{\dim M}(\operatorname {K} (\pi _{1}(M),1);R)} 아래, 기본류 [ M ] ∈ H dim ⁡ M ⁡ ( M ) {\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{\dim M}(M)} 의 상이 자명하지 않다. 여기서 R {\displaystyle R} 는 M {\displaystyle M} 이 가향 다양체일 때 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 이며, 아닐 때 R = F 2 {\displaystyle R=\mathbb {F} _{2}} 이다. K ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \operatorname {K} (-,-)} 는 에일렌베르크-매클레인 공간이다. 그로모프 부등식(영어: Gromov’s inequality)에 따르면, 각 차원 n {\displaystyle n} 에 대하여, 모든 n {\displaystyle n} 차원 본질적 다양체들의 수축량비들의 집합은 (차원에만 의존하는) 상한 C n {\displaystyle C_{n}} 을 갖는다. SR ⁡ M ≤ C n {\displaystyle \operatorname {SR} M\leq C_{n}} 수축량의 개념은 카를 뢰브너(독일어: Karl Löwner, 체코어: Karel Löwner 카렐 뢰브네르[*], 영어: Charles Loewner 찰스 로브너[*], 1893~1968)가 도입하였다. “수축량”(프랑스어: systole 시스톨[*])이라는 용어는 마르셀 베르제가 1980년에 도입하였다. 이는 원래 생물학에서 심장의 수축을 뜻하는 용어이며, 고대 그리스어: συστολή 시스톨레[*](수축)에서 유래하였다. Berger, Marcel (2008). “What is … a systole?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 55 (3): 374–376.  Katz, Mikhail G. (2007). 《Systolic geometry and topology》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 137. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. MR 2292367.  Gromov, Mikhail (1996). 〈Systoles and intersystolic inequalities〉 (PDF). 《Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992)》. Sémin. Congr. (영어) 1. 파리: Soc. Math. France. 291—362쪽. 2017년 8월 9일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 6월 15일에 확인함.  Bavard, C. (1986). “Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein”. 《Mathematische Annalen》 (프랑스어) 274 (3): 439–441. doi:10.1007/BF01457227.