플뢰어 호몰로지

심플렉틱 기하학에서 플뢰어 호몰로지(영어: Floer homology)는 심플렉틱 다양체에 대하여 정의되는 무한 차원 모스 호몰로지의 일종이다. 심플렉틱 다양체 M {\displaystyle M} 위에, 매끄러운 함수 H : S 1 × M → R {\displaystyle H\colon \mathbb {S} ^{1}\times M\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 이를 시간 의존 해밀토니언으로 해석하여 심플렉틱 벡터장 ω ( X t , − ) = d H t ( t ∈ S 1 ) {\displaystyle \omega (X_{t},-)=dH_{t}\qquad (t\in \mathbb {S} ^{1})} 을 정의할 수 있다. S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 의 둘레가 1이라고 놓으면, X {\displaystyle X} 를 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 적분하여 얻는 심플렉틱 사상 ϕ : M → M {\displaystyle \phi \colon M\to M} 을 생각할 수 있다. 자유 고리 공간 L M {\displaystyle {\mathcal {L}}M} 의 접다발 T L M {\displaystyle T{\mathcal {L}}M} 을 생각하자. 이 경우, ( γ , v ) ∈ T L M {\displaystyle (\gamma ,v)\in T{\mathcal {L}}M} 에서 γ : S 1 → M {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to M} 는 닫힌 곡선이며, v : S 1 → γ ∗ ( T M ) {\displaystyle v\colon \mathbb {S} ^{1}\to \gamma ^{*}(TM)} 는 그 위의 벡터장이다. T L M {\displaystyle T{\mathcal {L}}M} 위에 다음과 같은 범함수를 정의하자. F : L M → R {\displaystyle F\colon {\mathcal {L}}M\to \mathbb {R} } F : γ ↦ − ∫ B 2 u ∗ ω − ∫ S 1 H ( t , γ ( t ) ) d t ∀ u : B 2 → M , u | ∂ B 2 = γ {\displaystyle F\colon \gamma \mapsto -\int _{\mathbb {B} ^{2}}u^{*}\omega -\int _{\mathbb {S} ^{1}}H(t,\gamma (t))\,dt\qquad \forall u\colon \mathbb {B} ^{2}\to M,\;u|_{\partial \mathbb {B} ^{2}}=\gamma } 이에 따라, F {\displaystyle F} 의 임계점은 ρ {\displaystyle \rho } 의 고정점과 같다. 플뢰어 사슬 복합체 CF ⁡ ( M , H ) {\displaystyle \operatorname {CF} (M,H)} 는 아벨 군으로서, F {\displaystyle F} 의 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이다. Crit ⁡ F = { γ ∈ L M : F ( γ ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {Crit} F=\{\gamma \in {\mathcal {L}}M\colon F(\gamma )=0\}} CF ⁡ ( M , H ) = Z [ Crit ⁡ F ] {\displaystyle \operatorname {CF} (M,H)=\mathbb {Z} [\operatorname {Crit} F]} 이 위에는 콘리-첸더 지표(영어: Conley–Zehnder index)라는 등급이 존재하며, 이는 스펙트럼 흐름에 따른 양의 고윳값의 수이다. 이는 일반적으로 무한하지만, 두 등급의 차 index ⁡ ( γ − , γ + ) {\displaystyle \operatorname {index} (\gamma ^{-},\gamma ^{+})} 는 잘 정의된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 주자. ∂ : CH ⁡ ( M , H ) → CH ⁡ ( M , H ) {\displaystyle \partial \colon \operatorname {CH} (M,H)\to \operatorname {CH} (M,H)} ∂ γ − = ∑ γ + ∈ Crit ⁡ F index ⁡ ( γ − , γ + ) = 1 # ( M ( γ − , γ + ) / R ) γ + {\displaystyle \partial \gamma ^{-}=\sum _{\gamma ^{+}\in \operatorname {Crit} F}^{\operatorname {index} (\gamma ^{-},\gamma ^{+})=1}\#\left({\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})/\mathbb {R} \right)\gamma ^{+}} 여기서 M ( γ − , γ + ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})} 는 F {\displaystyle F} 에 대한 기울기 흐름(영어: gradient flow)의 모듈러스 공간이다. 즉, γ − {\displaystyle \gamma ^{-}} 와 γ + {\displaystyle \gamma ^{+}} 를 잇는 유사 정칙 곡면의 모듈러스 공간이다. M ( γ − , γ + ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})} 위에는 시간 평행 이동에 따른 자연스러운 R {\displaystyle \mathbb {R} } -작용이 존재하며, M ( γ − , γ + ) / R {\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})/\mathbb {R} } 는 이에 대한 몫공간이다. index ⁡ ( γ − , γ + ) = 1 {\displaystyle \operatorname {index} (\gamma ^{-},\gamma ^{+})=1} 인 경우, M ( γ − , γ + ; A ) / R {\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+};A)/\mathbb {R} } 는 0차원이며, # ( M ( γ − , γ + ; A ) / R ) {\displaystyle \#\left({\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+};A)/\mathbb {R} \right)} 는 이 몫공간의 점의 수이다. 이 경우, ∂ 2 = 0 {\displaystyle \partial ^{2}=0} 임을 보일 수 있으며, 플뢰어 사슬 복합체의 호몰로지 HF ⁡ ( M , H ) = ker ⁡ ∂ im ⁡ ∂ {\displaystyle \operatorname {HF} (M,H)={\frac {\ker \partial }{\operatorname {im} \partial }}} 를 플뢰어 호몰로지라고 한다. 이는 M {\displaystyle M} 의 특이 호몰로지와 일치한다. 즉, 플뢰어 호몰로지는 H {\displaystyle H} 에 의존하지 않는다. 위 정의를 약간 변형하여, 양자 코호몰로지와 일치하는 플뢰어 호몰로지를 정의할 수도 있다. 이 경우, 플뢰어 사슬 복합체는 곡선 γ {\displaystyle \gamma } 대신 곡선과 상대 호모토피류 [ u ] ∈ π 2 ( M , γ ) {\displaystyle [u]\in \pi _{2}(M,\gamma )} 의 순서쌍 ( γ , [ u ] ) {\displaystyle (\gamma ,[u])} 에 의하여 생성되는 자유 아벨 군이다. (심플렉틱) 플뢰어 호몰로지를 변형하여, 다음과 같은 다양한 호몰로지 이론들을 얻을 수 있다. 라그랑지언 플뢰어 호몰로지(영어: Lagrangian Floer homology)는 어떤 라그랑지언 부분다양체가 주어진 심플렉틱 다양체에 대하여 정의되는 호몰로지 이론이다. 이는 거울 대칭에 의하여, 거울짝 다양체의 연접층의 Ext 함자와 일치한다. 3차원 다양체에 대하여, 다음과 같은 플뢰어 호몰로지들이 존재한다. 이들은 모두 서로 같다고 추측되며, 이는 부분적으로 증명되었다. 순간자 플뢰어 호몰로지(영어: instanton Floer homology)는 도널드슨 불변량과 관련있다. 자기 홀극 플뢰어 호몰로지(영어: monopole Floer homology)는 자이베르그-위튼 불변량과 관련있다. 헤고르 플뢰어 호몰로지(영어: Heegaard Floer homology)는 조합론적으로 계산할 수 있는 호몰로지 이론이다. 스위스의 수학자 안드레아스 플뢰어(독일어: Andreas Floer, 1956~1991)가 1988년에 아르놀트 추측을 증명하면서 도입하였다. 플뢰어는 곧 1991년에 우울증으로 인하여 34세의 나이로 자살하였다. Floer, Andreas (1988). “The unregularized gradient flow of the symplectic action”. 《Communications on Pure and Applied Mathematics》 (영어) 41 (6): 775–813. doi:10.1002/cpa.3160410603.  Floer, Andreas (1988). “An instanton-invariant for 3-manifolds”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 118 (2): 215–240. 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