단순환

환론에서 단순환(單純環, 영어: simple ring)은 비자명 아이디얼을 갖지 않는 비자명 환이다. 군론에서의 단순군(정규 부분군을 갖지 않는 군)에 대응되는 개념이다. (곱셈 항등원을 갖는) 환 R {\displaystyle R} 가 다음 두 성질을 만족시킨다면, R {\displaystyle R} 를 단순환이라고 한다. R ≠ { 0 } {\displaystyle R\neq \{0\}} 이다. 즉, 자명환이 아니다. R {\displaystyle R} 의 모든 (양쪽) 아이디얼 a ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R} 에 대하여, a = { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {a}}=\{0\}} 이거나 a = R {\displaystyle {\mathfrak {a}}=R} 이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다. 단순환 A {\displaystyle A} 의 중심 Z ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Z} (A)} 은 항상 체이다. (이는 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 이라면 주 아이디얼 ( a ) = A {\displaystyle (a)=A} 이므로 a {\displaystyle a} 가 가역원이기 때문이다.) 체 K {\displaystyle K} 위의 단위 결합 대수 A {\displaystyle A} 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 K {\displaystyle K} 위의 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다. A {\displaystyle A} 는 단순환이다. dim K ⁡ A {\displaystyle \dim _{K}A} 는 유한하다. 즉, K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다. Z ⁡ ( A ) = K {\displaystyle \operatorname {Z} (A)=K} 이다. 즉, 중심이 정확하게 K {\displaystyle K} 이다. 즉, 모든 아르틴 단순환은 스스로의 중심 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 특히, 모든 체나 나눗셈환은 단순환이다. 어떤 환 R {\displaystyle R} 에 대한 행렬환 Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 의 아이디얼은 R {\displaystyle R} 의 아이디얼과 일대일 대응하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 단순 대수 A {\displaystyle A} 와 중심 단순 대수 B {\displaystyle B} 가 주어졌다고 하자. 스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 임의의 두 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 준동형 f , g : A → B {\displaystyle f,g\colon A\to B} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역원 b ∈ Unit ⁡ ( B ) {\displaystyle b\in \operatorname {Unit} (B)} 이 존재한다. g ( a ) = b f ( a ) b − 1 ∀ a ∈ A {\displaystyle g(a)=bf(a)b^{-1}\qquad \forall a\in A} 특히, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형 a ↦ b a b − 1 {\displaystyle a\mapsto bab^{-1}} 이다. 단순환에 대하여 왼쪽 아르틴 환 및 오른쪽 아르틴 환 조건이 서로 동치이다. 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)에 따르면, 왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환 R {\displaystyle R} 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.:154, Theorem 5.3 R ≅ Mat ⁡ ( n ; D ) {\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n;D)} 여기서 D {\displaystyle D} 는 나눗셈환이며, Mat ⁡ ( n , D ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n,D)} 는 환 D {\displaystyle D} 에 대한 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬환이다. 또한, 이러한 표현은 유일하다. 즉, D {\displaystyle D} 와 n {\displaystyle n} 은 유일하게 결정된다. 구체적으로, R {\displaystyle R} 가 왼쪽 아르틴 환이라고 하자. R {\displaystyle R} 는 단순환이므로 충실한 단순 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 을 갖는다. 슈어 보조정리에 의하여 D = End ⁡ ( R M ) {\displaystyle D=\operatorname {End} (_{R}M)} 은 나눗셈환이며, 왼쪽 아르틴 환 조건에 의하여 D M {\displaystyle _{D}M} 는 항상 유한 차원 자유 가군이며, 제이컵슨 조밀성 정리에 의하여 R ≅ End ⁡ ( D M ) {\displaystyle R\cong \operatorname {End} (_{D}M)} 이다. 즉, n = dim D ⁡ M {\displaystyle n=\dim _{D}M} 으로 놓으면, R ≅ Mat ⁡ ( n ; D ) {\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n;D)} 이며, 또한 R R ≅ R M ⊕ n {\displaystyle _{R}R\cong {}_{R}M^{\oplus n}} 이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 오른쪽 아르틴 환인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다. 따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 나눗셈환의 분류로 귀결된다. 이는 체 K {\displaystyle K} 의 브라우어 군으로 결정된다. 모든 체와 모든 나눗셈환은 단순환이다. 바일 대수 K ⟨ x , p ⟩ / ( x p − p x − 1 ) {\displaystyle K\langle x,p\rangle /(xp-px-1)} 는 단순환이다. 그러나 이는 왼쪽 아르틴 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니며, 따라서 아르틴-웨더번 정리에 해당하지 않는다. 자명환은 정의에 따라 단순환이 아니다. 1927년에 토랄프 스콜렘은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며, 1933년에 에미 뇌터가 독자적으로 재발견하였다.:189, §5 Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). 《Noncommutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 144. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. ISBN 978-1-4612-6936-6. ISSN 0072-5285.  Skolem, Thoralf (1927). “Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme”. 《Skrifter Oslo》 (독일어) (12): 50. JFM 54.0154.02.  Noether, Emmy. “Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 30 (1): 641–692. doi:10.1007/BF01187794. ISSN 0025-5874.  Bayer, Pilar (2009). 〈Emmy Noether: de l’àlgebra no commutativa a la theoria de nombres〉 (PDF). 《Acte Inaugural Curs Noether: The Emmy Noether Heritatge》 (카탈루냐어). 카탈루냐 공과대학교. 169–203쪽.  Henderson, D. W. (1965). “A short proof of Wedderburn’s theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 72 (4): 385-386. doi:10.2307/2313499. JSTOR 2313499.  Nicholson, W. Keith (1993). “A short proof of the Wedderburn-Artin theorem” (PDF). 《New Zealand Journal of Mathematics》 (영어) 22: 83–86. 2014년 8월 12일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 8월 9일에 확인함.  “Simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Brauer group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Simple ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Brauer group”. 《nLab》 (영어).