초켈러 다양체

미분기하학에서 초켈러 다양체(超Kähler多樣體, 영어: hyper-Kähler manifold)는 그 접공간이 사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 리만 다양체이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 이 주어졌을 때, 접다발의 대수 End ⁡ ( T M ) = Ω 1 ( M ; T M ) {\displaystyle \operatorname {End} (\mathrm {T} M)=\Omega ^{1}(M;\mathrm {T} M)} 를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형 J : H → End ⁡ ( T M ) {\displaystyle {\mathcal {J}}\colon \mathbb {H} \to \operatorname {End} (\mathrm {T} M)} 이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수 q ∈ H {\displaystyle q\in \mathbb {H} } , q ¯ = − q = q − 1 {\displaystyle {\bar {q}}=-q=q^{-1}} 에 대하여 J ( q ) {\displaystyle {\mathcal {J}}(q)} 가 항상 복소구조라면, ( M , J ) {\displaystyle (M,{\mathcal {J}})} 를 초복소다양체(영어: hypercomplex manifold)라고 한다. 즉, 세 복소구조 J ( i ) = I {\displaystyle {\mathcal {J}}(\mathrm {i} )=I} J ( j ) = J {\displaystyle {\mathcal {J}}(\mathrm {j} )=J} J ( k ) = K {\displaystyle {\mathcal {J}}(\mathrm {k} )=K} 가 주어졌을 때, I 2 = J 2 = K 2 = − 1 {\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=-1} I J = − J I = K {\displaystyle IJ=-JI=K} J K = − K J = I {\displaystyle JK=-KJ=I} K I = − I K = J {\displaystyle KI=-IK=J} 이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조의 모듈라이 공간 S 2 = { q ∈ H : q ¯ = − q = q − 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{q\in \mathbb {H} \colon {\bar {q}}=-q=q^{-1}\}} 이 존재한다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 초복소구조 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 가운데, 만약 q ∈ Im ⁡ H {\displaystyle q\in \operatorname {Im} \mathbb {H} } , ‖ q ‖ = 1 {\displaystyle \|q\|=1} , q ¯ = − q {\displaystyle {\bar {q}}=-q} 에 대하여 J ( q ) {\displaystyle {\mathcal {J}}(q)} 가 항상 켈러 구조라면, J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 를 초켈러 구조라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 초켈러 다양체라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간 S 2 = { q ∈ H : q ¯ = − q = q − 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{q\in \mathbb {H} \colon {\bar {q}}=-q=q^{-1}\}} 이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, 리만 다양체 ( M , g μ ν ) {\displaystyle (M,g_{\mu \nu })} 위의 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.:§2.1 세 개의 (1,1)차 텐서장 J ν μ i {\displaystyle J_{\nu }^{\mu i}} ( i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} 은 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 좌표) 이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다. J ν μ i J ρ ν j = − δ i j δ ρ μ − ϵ i j k J ρ μ k {\displaystyle J_{\nu }^{\mu i}J_{\rho }^{\nu j}=-\delta ^{ij}\delta _{\rho }^{\mu }-\epsilon ^{ij}{}_{k}J_{\rho }^{\mu k}} (사원수 대수 및 개복소구조) g μ ν J μ ′ μ i = − g μ ′ ν ′ J ν ν ′ i {\displaystyle g_{\mu \nu }J_{\mu '}^{\mu i}=-g_{\mu '\nu '}J_{\nu }^{\nu 'i}} (에르미트성) ∇ μ J ρ ν i = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }J_{\rho }^{\nu i}=0} (복소구조의 적분가능성) 이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조 ω μ ν i = J μ μ ′ i g μ ′ ν {\displaystyle \omega _{\mu \nu }^{i}=J_{\mu }^{\mu 'i}g_{\mu '\nu }} 를 정의할 수 있다. 초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다. 다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다. 4 n {\displaystyle 4n} 차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수 b k {\displaystyle b_{k}} 및 오일러 지표 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 에 대하여, 다음이 성립한다. ∑ k = 0 4 n ( − 1 ) k ( 6 k 2 − 2 n ( 12 n + 1 ) ) b i = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{4n}(-1)^{k}(6k^{2}-2n(12n+1))b_{i}=0} b 2 k ≥ ( k + 2 2 ) ( k ≤ n ) {\displaystyle b_{2k}\geq {\binom {k+2}{2}}\qquad (k\leq n)} 4 ∣ b 2 k + 1 ∀ k {\displaystyle 4\mid b_{2k+1}\forall k} 12 ∣ n χ ( M ) {\displaystyle 12\mid n\chi (M)} 8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다. 4 n {\displaystyle 4n} 차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수 h p , q {\displaystyle h^{p,q}} 에 대하여, 다음이 성립한다. h p , q = h q , p = h 2 n − p , 2 n − q = h 2 n − q , 2 n − p = h 2 n − p , q = h 2 n − q , p ∀ 0 ≤ p , q ≤ 2 n {\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\qquad \forall 0\leq p,q\leq 2n} h p , q ≥ h p + 1 , q − 1 ∀ p ≥ q {\displaystyle h^{p,q}\geq h^{p+1,q-1}\forall p\geq q} 4 n {\displaystyle 4n} 차원 초켈러 다양체의 홀로노미는 USp ⁡ ( 4 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (4n)} 의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} 의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 USp ⁡ ( 4 n ) × USp ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {USp} (4n)\times \operatorname {USp} (4)} 인 경우다. USp ⁡ ( 4 n ) ⊂ SU ⁡ ( 4 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (4n)\subset \operatorname {SU} (4n)} 이다.) 초켈러 다양체 ( M , ω 1 , ω 2 , ω 3 ) {\displaystyle (M,\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})} 의 임의의 한 심플렉틱 형식 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 을 골라, 켈러 다양체로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 복소수 미분 형식 ω C = ω 2 + i ω 3 ∈ Ω 2 , 0 ( M ) {\displaystyle \omega _{\mathbb {C} }=\omega _{2}+\mathrm {i} \omega _{3}\in \Omega ^{2,0}(M)} 은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체 ( M , ω 1 ) {\displaystyle (M,\omega _{1})} 위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 정칙 심플렉틱 형식(영어: holomorphic symplectic form)이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식 ω 1 = ω R ∈ Ω 1 , 1 ( M ) {\displaystyle \omega _{1}=\omega _{\mathbb {R} }\in \Omega ^{1,1}(M)} ω C ∈ Ω 2 , 0 ( M ) {\displaystyle \omega _{\mathbb {C} }\in \Omega ^{2,0}(M)} 이 존재한다. 반대로, 칼라비-야우 정리(영어: Calabi–Yau theorem)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.) 초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} )를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 N = ( 4 , 4 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(4,4)} 초등각 장론을 이룬다. 에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다. 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다. Hitchin, Nigel (1991년 11월). “Hyperkähler manifolds”. 《Séminaire N. Bourbaki》 (영어) 34 (748): 137–166. MR 1206066. Zbl 0979.53051.  Huybrechts, Daniel (1998). “Compact hyperkähler manifolds: basic results” (영어). arXiv:alg-geom/9705025. doi:10.1007/s002220050280.  Antoniadis, I.; B. Pioline (1997년 10월 30일). “Higgs Branch, Hyper-Kähler quotient and duality in SUSY N=2 Yang–Mills theories”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 12 (27): 4907–4931. arXiv:hep-th/9607058. Bibcode:1997IJMPA..12.4907A. doi:10.1142/S0217751X97002620. 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(1979). “Métriques kähleriennes et fibrés holomorphes”. 《Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure (quatrième série)》 (프랑스어) 12 (2): 269–294. ISSN 0012-9593. MR 543218. Zbl 0431.53056.  Kronheimer, P. B. (1989). “The construction of ALE spaces as hyper-Kähler quotients”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 29 (3): 665–683. ISSN 0022-040X. MR 992334. Zbl 0671.53045.  Beauville, Arnaud. “Riemannian Holonomy and Algebraic Geometry” (영어). arXiv:math/9902110. Bibcode:1999math......2110B.  Huybrechts, Daniel (2011). 〈Hyperkähler manifolds and sheaves〉 (PDF). Rajendra Bhatia. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Hyderabad, August 19–27, 2010. Volume II: Invited Lectures》 (영어). World Scientific. 450–460쪽. doi:10.1142/9789814324359_0059. ISBN 978-981-4324-30-4. Zbl 1226.14027.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyper-Kähler manifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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