코시 적분 정리

복소해석학에서 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결 열린집합 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다. 유계 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 의 경계 ∂ D {\displaystyle \partial D} 가 유한 개의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 f : cl ⁡ D → C {\displaystyle f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C} } 가 D {\displaystyle D} 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 정리에 따르면, 다음이 성립한다.:84 ∫ ∂ D f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z=0} 이에 따라, 단일 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 위의 정칙 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 의, 임의의 두 점 z ′ , z ″ ∈ D {\displaystyle z',z''\in D} 사이의 경로 적분 ∫ z ′ z ″ f ( z ) d z {\displaystyle \int _{z'}^{z''}f(z)\mathrm {d} z} 는 경로 γ : [ a , b ] → D ( γ ( a ) = z ′ , γ ( b ) = z ″ ) {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D\qquad (\gamma (a)=z',\;\gamma (b)=z'')} 의 선택에 의존하지 않는다. 도함수 f ′ {\displaystyle f'} 가 cl ⁡ D {\displaystyle \operatorname {cl} D} 의 어떤 근방 N ⊇ cl ⁡ D {\displaystyle N\supseteq \operatorname {cl} D} 에서 연속 함수임을 가정할 경우,:84-85 f = u + i v {\displaystyle f=u+iv} 인 u , v : N → R {\displaystyle u,v\colon N\to \mathbb {R} } 를 취하자. 그렇다면, 그린 정리와 코시-리만 방정식에 의하여, ∫ ∂ D f ( z ) d z = ∫ ∂ D ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ ∂ D ( u d x − v d y ) + i ∫ ∂ D ( u d y + v d x ) = ∬ D ( − ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x d y + i ∬ D ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) d x d y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z&=\int _{\partial D}(u+iv)(\mathrm {d} x+i\mathrm {d} y)\\&=\int _{\partial D}(u\mathrm {d} x-v\mathrm {d} y)+i\int _{\partial D}(u\mathrm {d} y+v\mathrm {d} x)\\&=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y+i\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=0\end{aligned}}} 이다. 위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선 D {\displaystyle D} 가 삼각형 열린집합인 경우를 보이자.:85-87 귀류법을 사용하여, ∫ ∂ D f ( z ) d z ≠ 0 {\displaystyle \int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\neq 0} 이라고 가정하자. D 0 = D {\displaystyle D_{0}=D} 라고 하고, 삼각형 열린집합 D {\displaystyle D} 의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 열린집합 T 1 , T 2 , T 3 , T 4 {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},T_{4}} 를 생각하자. 그렇다면, ∫ ∂ D f ( z ) d z = ∑ k = 1 4 ∫ ∂ T k f ( z ) d z {\displaystyle \int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z=\sum _{k=1}^{4}\int _{\partial T_{k}}f(z)\mathrm {d} z} 이므로, | ∫ ∂ D 1 f ( z ) d z | ≥ 1 4 | ∫ ∂ D f ( z ) d z | {\displaystyle \left|\int _{\partial D_{1}}f(z)\mathrm {d} z\right|\geq {\frac {1}{4}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|} 인 D 1 ∈ { T 1 , T 2 , T 3 , T 4 } {\displaystyle D_{1}\in \{T_{1},T_{2},T_{3},T_{4}\}} 가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 열린집합의 열 ( D n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (D_{n})_{n=0}^{\infty }} 을 얻는다. D n ⊆ D n − 1 {\displaystyle D_{n}\subseteq D_{n-1}} diam ⁡ D n = 1 2 n diam ⁡ D {\displaystyle \operatorname {diam} D_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {diam} D} ∫ ∂ D n | d z | = 1 2 n ∫ ∂ D | d z | {\displaystyle \int _{\partial D_{n}}|\mathrm {d} z|={\frac {1}{2^{n}}}\int _{\partial D}|\mathrm {d} z|} | ∫ ∂ D n f ( z ) d z | ≥ 1 4 n | ∫ ∂ D f ( z ) d z | ( n ∈ { 1 , 2 , … } ) {\displaystyle \left|\int _{\partial D_{n}}f(z)\mathrm {d} z\right|\geq {\frac {1}{4^{n}}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|\qquad (n\in \{1,2,\dots \})} 따라서, ⋂ n = 0 ∞ D n = { z 0 } {\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }D_{n}=\{z_{0}\}} 인 z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} } 가 존재하며, 임의의 n ∈ { 0 , 1 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,\dots \}} 에 대하여, 0 < 1 4 n | ∫ ∂ D f ( z ) d z | ≤ | ∫ ∂ D n f ( z ) d z | = | ∫ ∂ D n ( f ( z ) − f ( z 0 ) − f ′ ( z 0 ) ( z − z 0 ) ) d z | ≤ max z ∈ ∂ D n | f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 − f ′ ( z 0 ) | ⋅ diam ⁡ D n ⋅ ∫ ∂ D n | d z | = 1 4 n max z ∈ ∂ D n | f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 − f ′ ( z 0 ) | ⋅ diam ⁡ D ⋅ ∫ ∂ D | d z | {\displaystyle {\begin{aligned}0<{\frac {1}{4^{n}}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|\leq \left|\int _{\partial D_{n}}f(z)\mathrm {d} z\right|&=\left|\int _{\partial D_{n}}(f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0}))\mathrm {d} z\right|\\&\leq \max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|\cdot \operatorname {diam} D_{n}\cdot \int _{\partial D_{n}}|\mathrm {d} z|\\&={\frac {1}{4^{n}}}\max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|\cdot \operatorname {diam} D\cdot \int _{\partial D}|\mathrm {d} z|\end{aligned}}} 이다. lim n → ∞ max z ∈ ∂ D n | f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 − f ′ ( z 0 ) | = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|=0} 이므로, 이는 모순이다. 이제, 일반적인 경우를 보이자. D {\displaystyle D} 는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상 D {\displaystyle D} 가 단일 연결 열린집합이라고 가정하자. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, f {\displaystyle f} 는 균등 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 다각형 열린집합 D ~ ⊆ D {\displaystyle {\tilde {D}}\subseteq D} 가 존재한다. cl ⁡ D ~ ⊆ D {\displaystyle \operatorname {cl} {\tilde {D}}\subseteq D} | ∫ ∂ D f ( z ) d z − ∫ ∂ D ~ f ( z ) d z | < ϵ {\displaystyle \left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z-\int _{\partial {\tilde {D}}}f(z)\mathrm {d} z\right|<\epsilon } 다각형 열린집합 D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} 는 유한 개의 삼각형 열린집합의 합집합으로 분할되므로, ∫ ∂ D ~ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \int _{\partial {\tilde {D}}}f(z)\mathrm {d} z=0} 이며, 따라서 | ∫ ∂ D f ( z ) d z | < ϵ {\displaystyle \left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|<\epsilon } 이다. 모레라 정리 별모양 집합 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1.  “Cauchy integral theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy integral theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.