에르미트 다양체

미분기하학에서 에르미트 다양체(Hermite多樣體, 영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다. 켈러 다양체와 칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 2 n {\displaystyle 2n} 차원 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} 위의 개복소구조(영어: almost complex structure), 즉 J 2 = − 1 {\displaystyle J^{2}=-1} 이 되는 매끄러운 단면 J ∈ Γ ∞ ( End R ⁡ ( E ) ) {\displaystyle J\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} _{\mathbb {R} }(E))} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, J x ⊗ R C : E x ⊗ R C → E x ⊗ R C {\displaystyle J_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \colon E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 는 고윳값 ± i {\displaystyle \pm \mathrm {i} } 를 가지며, 따라서 부분 복소수 벡터 공간 E x ⊗ R C = E x + ⊕ E x − {\displaystyle E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =E_{x}^{+}\oplus E_{x}^{-}} ( J x ⊗ R C ) ↾ E x ± = ± i {\displaystyle (J_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\upharpoonright E_{x}^{\pm }=\pm \mathrm {i} } 을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상 ( − ) ± : E x → E x ± {\displaystyle (-)^{\pm }\colon E_{x}\to E_{x}^{\pm }} ( − ) ± : v ↦ proj E x ± ⁡ ( v ⊗ C ) {\displaystyle (-)^{\pm }\colon v\mapsto \operatorname {proj} _{E_{x}^{\pm }}(v\otimes \mathbb {C} )} 이 존재한다. 그렇다면, E {\displaystyle E} 위의 에르미트 계량(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면 h ∈ Γ ∞ ( ( E + ) ∗ ⊗ C ( E − ) ∗ ) {\displaystyle h\in \Gamma ^{\infty }((E^{+})^{*}\otimes _{\mathbb {C} }(E^{-})^{*})} 이다. (여기서 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간을 취하는 것이다.) h x ( z + , w − ) = h x ( z − , w + ) ¯ ∈ C ( ∀ z , w ∈ E x ) {\displaystyle h_{x}(z^{+},w^{-})={\overline {h_{x}(z^{-},w^{+})}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E_{x})} h x ( z + , z − ) ∈ R + ( ∀ z ∈ E x ∖ { 0 } ) {\displaystyle h_{x}(z^{+},z^{-})\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E_{x}\setminus \{0\})} 여기서 x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} 는 복소수의 복소켤레를 뜻한다. 이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선, E + {\displaystyle E^{+}} 의 첨자를 i , j , … {\displaystyle i,j,\dotsc } 로, E − {\displaystyle E^{-}} 의 첨자를 i ¯ , j ¯ , … {\displaystyle {\bar {i}},{\bar {j}},\dotsc } 로 표기하자. 마찬가지로, z ∈ E x {\displaystyle z\in E_{x}} 에 대하여 z + {\displaystyle z^{+}} 의 성분을 z i {\displaystyle z^{i}} 로, z − {\displaystyle z^{-}} 의 성분을 z ¯ i ¯ {\displaystyle {\bar {z}}^{\bar {i}}} 로 표기하자. 그렇다면, h i j ¯ z i w ¯ j ¯ = h ¯ i j ¯ z i w ¯ j ¯ ∈ C ( ∀ z , w ∈ E x ) {\displaystyle h_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}={\overline {h}}_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E_{x})} h i j ¯ z i z ¯ j ¯ ∈ R + ( ∀ z ∈ E x ∖ { 0 } ) {\displaystyle h_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{\bar {j}}\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E_{x}\setminus \{0\})} 특히, 첫째 조건은 h i j ¯ {\displaystyle h_{i{\bar {j}}}} 가 에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬의 고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다. 개복소다양체 (또는 복소다양체) M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 위에 개복소구조 J ∈ Γ ∞ ( End ⁡ ( T M ) ) {\displaystyle J\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (\mathrm {T} M))} 가 주어져 T ± M {\displaystyle \mathrm {T} ^{\pm }M} 을 정의할 수 있다. 에르미트 다양체 ( M , h ) {\displaystyle (M,h)} 는 T ± M {\displaystyle \mathrm {T} ^{\pm }M} 위에 에르미트 계량 h ∈ Γ ∞ ( T + ∗ M ⊗ C T − ∗ M ) {\displaystyle h\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{+*}M\otimes _{\mathbb {C} }\mathrm {T} ^{-*}M)} 가 주어진 복소다양체이다. 모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다. g C = 1 2 ( h + h ¯ ) ∈ Γ ∞ ( T ∗ M ⊗ R T ∗ M ⊗ R C ) {\displaystyle g^{\mathbb {C} }={\frac {1}{2}}(h+{\bar {h}})\in \Gamma ^{\infty }\left(\mathrm {T} ^{*}\!M\otimes _{\mathbb {R} }\mathrm {T} ^{*}\!M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \right)} 이 경우, g C ( u , v ) = g ¯ C {\displaystyle g^{\mathbb {C} }(u,v)={\bar {g}}^{\mathbb {C} }} 이므로, 이는 g ∈ Γ ∞ ( ( T M ⊗ T M ) ∗ ) {\displaystyle g\in \Gamma ^{\infty }\left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right)} 로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다. 또한, h {\displaystyle h} 를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식 ω ∈ Ω 1 , 1 ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1,1}(M)} 를 정의할 수 있다. ω = i 2 ( h − h ¯ ) {\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {i} }{2}}(h-{\bar {h}})} ω α β ¯ = i 2 h α β ¯ d z α ∧ d z ¯ β ¯ {\displaystyle \omega _{\alpha {\bar {\beta }}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\mathrm {d} z^{\alpha }\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{\bar {\beta }}} 복소다양체 M {\displaystyle M} 위의 해석적 벡터 다발 ( E , J ) {\displaystyle (E,J)} 위의 에르미트 계량 h {\displaystyle h} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, E {\displaystyle E} 위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 가 존재한다. 이를 천 접속([陳]接續, Chern connection)이라고 한다. ∇ J = 0 {\displaystyle \nabla J=0} ∇ g = 0 {\displaystyle \nabla g=0} 만약 E = T M {\displaystyle E=\mathrm {T} M} 일 경우 (에르미트 다양체), 이는 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다. “Hermitian structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hermitian metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Rowland, Todd. “Hermitian metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Hermitian manifold”. 《nLab》 (영어).  “Almost Hermitian structure”. 《nLab》 (영어).