크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개

수학에서 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz덮개, 영어: Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz cover)는 특정한 조건을 만족시키는, 단체의 닫힌집합으로 구성된 덮개이다. 구체적으로, 단체의 (꼭짓점의 부분 집합의 볼록 폐포인) 부분 단체는 각 꼭짓점에 대응되는 닫힌집합들로 덮혀져야 한다. 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz定理, 영어: Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개는 적어도 하나 이상의 점을 공유한다 (즉, 그 교집합은 공집합이 될 수 없다). n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 꼭짓점을 갖는 n {\displaystyle n} 차원 단체 △ n ⊆ R n {\displaystyle \triangle ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 을 생각하고, 그 꼭짓점들의 집합을 V ⊆ △ n {\displaystyle V\subseteq \triangle ^{n}} | V | = n + 1 {\displaystyle |{\mathcal {V}}|=n+1} 이라고 하자. 만약 △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 속의, n + 1 {\displaystyle n+1} 개 집합으로 구성된 집합족 { C v } v ∈ V ⊆ Pow ⁡ ( △ n ) {\displaystyle \{C_{v}\}_{v\in V}\subseteq \operatorname {Pow} (\triangle ^{n})} 이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개라고 한다. 임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여, C v {\displaystyle C_{v}} 는 닫힌집합이다. 임의의 꼭짓점의 집합 I ⊆ V {\displaystyle I\subseteq V} 에 대하여, { C v } v ∈ I {\displaystyle \{C_{v}\}_{v\in I}} 는 I {\displaystyle I} 의 볼록 폐포에 해당하는 | I | − 1 {\displaystyle |I|-1} 차원 단체 Conv ⁡ ( I ) {\displaystyle \operatorname {Conv} (I)} 의 덮개를 이룬다. 즉, ⋃ v ∈ I C i ⊇ Conv ⁡ ( I ) {\displaystyle \textstyle \bigcup _{v\in I}C_{i}\supseteq \operatorname {Conv} (I)} 이다. 둘째 조건에서, I = V {\displaystyle I=V} 인 경우에 의하여, { C v } v ∈ V {\displaystyle \{C_{v}\}_{v\in V}} 는 △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 의 덮개를 이루어야 한다. 마찬가지로, | I | = 1 {\displaystyle |I|=1} 인 경우에 의하여, 임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여 항상 v ∈ C v {\displaystyle v\in C_{v}} 이다. 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리에 따르면, n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 일 때, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개의 교집합은 절대로 공집합이 될 수 없다 (즉, ⋂ v ∈ V C v ≠ ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{v\in V}C_{v}\neq \varnothing } ). 보다 일반적으로, △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} 위의, n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 서로 다른 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개가 주어졌다고 하자. 즉, 집합족 { C u , v } ( u , v ) ∈ V 2 ⊆ Pow ⁡ ( △ n ) {\displaystyle \{C_{u,v}\}_{(u,v)\in V^{2}}\subseteq \operatorname {Pow} (\triangle ^{n})} 에서, 각 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 에 대하여 { C u , v } v ∈ V {\displaystyle \{C_{u,v}\}_{v\in V}} 가 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( V ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (V)} 이 존재한다. ⋂ v ∈ V C σ ( v ) , v ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{v\in V}C_{\sigma (v),v}\neq \varnothing } n = 2 {\displaystyle n=2} 일 때, 2차원 단체 (즉, 삼각형) △ 2 {\displaystyle \triangle ^{2}} 의 다음과 같은 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 생각하자. 즉, 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합의 합집합은 삼각형의 닫힌 덮개를 이룬다. 붉은 집합 · 녹색 집합은 수직 변의 닫힌 덮개를 이룬다. 붉은 집합 · 푸른 집합은 수평 변의 닫힌 덮개를 이룬다. 녹색 집합 · 푸른 집합은 대각 변의 닫힌 덮개를 이룬다. 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 각각 한 꼭짓점을 포함한다. 이 경우, 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리에 따라 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 한 점을 공유하며, 이는 삼각형 가운데의, 세 집합이 맞닿는 점이다. 브로니스와프 크나스테르(폴란드어: Bronisław Knaster) · 카지미에시 쿠라토프스키 · 스테판 마주르키에비치가 1929년에 이 조건 및 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리를 증명하였다. 복수의 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개에 대한 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리의 일반화는 데이비드 게일(영어: David Gale, 1921~2008)이 1984년에 증명하였다. Gale, David (1984). “Equilibrium in a discrete exchange economy with money”. 《International Journal of Game Theory》 (영어) 13: 61. doi:10.1007/BF01769865.  Knaster, Bronisław; Kuratowski, Casimir; Mazurkiewicz, Stefan (1929). “Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 14 (1): 132–137.  Rosenzweig, Matthew H. (2012년 9월). “Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (KKM) theorem” (PDF) (영어). 2021년 5월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 3월 6일에 확인함.