교류 회로

교류 회로란 회로 내의 전력 공급원으로부터 발생하는 전류의 양과 방향이 주기적으로 바뀌는 회로를 말한다. 교류의 종류로는 사인파, 삼각파, 사각파 등이 있으며 그 중에서도 사인파가 가장 전형적인 교류라 할 수 있다. 이 때, 삼각파나 사각파를 비롯해 주기성을 띠는 임의의 전류는 사인파의 합성을 이용해 생성가능하다. 전원으로부터 발생하는 전압을 V, 저항체의 저항을 R이라 하자. V = V M sin ⁡ ω t {\displaystyle V=V_{M}\sin \omega t} 전원의 전압이 위와 같이 변한다고 하면 저항체를 지나는 전류는 아래와 같이 구할 수 있다. I = V R = V M R sin ⁡ ω t {\displaystyle I={\frac {V}{R}}={\frac {V_{M}}{R}}\sin \omega t} 여기서 전류의 최댓값을 I M {\displaystyle I_{M}} 이라 한다면 위식은 아래와 같이 변형가능하다. I = I M sin ⁡ ω t {\displaystyle I=I_{M}\sin \omega t} 전압을 V, 축전기의 전기용량을 C, 축전기의 전하량을 Q라 하면 Q = C V = C V M sin ⁡ ω t {\displaystyle Q=CV=CV_{M}\sin \omega t} 따라서 축전기에 흐르는 전류는 I = d Q d t = C V M ω cos ⁡ ω t {\displaystyle I={\frac {dQ}{dt}}=CV_{M}\omega \cos \omega t} 가 된다. 위의 식에서도 확인할 수 있듯, 축전기가 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다. 전압을 V, 코일의 유도용량을 L이라 하면 L d I d t = V M sin ⁡ ω t {\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}=V_{M}\sin \omega t} 이므로 시간에 따른 전류를 아래 식으로 표현할 수 있다. I = − V M ω L cos ⁡ ω t {\displaystyle I=-{\frac {V_{M}}{\omega L}}\cos \omega t} 역시 축전기만 연결된 경우와 마찬가지로 코일이 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다. 저항체의 저항, 축전기의 전기용량, 코일의 유도용량이 각각 R, C, L일 때 저항체, 축전기, 코일을 직렬로 연결한 경우에 대해 키르히호프 정리를 적용하면 Q C + R d Q d t + L d 2 Q d t 2 = 0 {\displaystyle {\frac {Q}{C}}+R{\frac {dQ}{dt}}+L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}=0} 이 된다. 이 미분방정식의 해는 아래와 같다. Q = Q M e − R 2 L t cos ⁡ 1 L C − ( R 2 L ) 2 t {\displaystyle Q=Q_{M}e^{-{\frac {R}{2L}}t}\cos {\sqrt {{\frac {1}{LC}}-({\frac {R}{2L}})^{2}}}t} ( 1 L C > R 2 4 L 2 {\displaystyle {\frac {1}{LC}}>{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}} 인 경우) Q = Q M e − R 2 L t {\displaystyle Q=Q_{M}e^{-{\frac {R}{2L}}t}} ( 1 L C = R 2 4 L 2 {\displaystyle {\frac {1}{LC}}={\frac {R^{2}}{4L^{2}}}} 인 경우) Q = Q M e − ( R 2 L + R 2 4 L 2 − 1 L C ) t {\displaystyle Q=Q_{M}e^{-({\frac {R}{2L}}+{\sqrt {{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}-{\frac {1}{LC}}}})t}} ( 1 L C < R 2 4 L 2 {\displaystyle {\frac {1}{LC}}<{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}} 인 경우) 한편, 이 회로에서 저항이 없는 경우, 즉 R=0인경우의 해는 Q = Q M e − R 2 L t cos ⁡ 1 L C t {\displaystyle Q=Q_{M}e^{-{\frac {R}{2L}}t}\cos {\sqrt {\frac {1}{LC}}}t} 이다. 이때 회로에서는 에너지 손실이 일어나지 않고 축전기는 영원히 충전과 방전을 반복하는데 이때의 진동수를 고유진동수라 하며 그 값에 2 π {\displaystyle 2\pi } 를 곱한 값을 고유 각운동량을 고유각운동량 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 이라 한다. ω 0 2 = 1 L C {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {1}{LC}}} RLC회로에 교류전압이 걸리는 경우 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다. Q C + R d Q d t + L d 2 Q d t 2 = V M sin ⁡ ω t {\displaystyle {\frac {Q}{C}}+R{\frac {dQ}{dt}}+L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}=V_{M}\sin \omega t} 위 이차 미분방정식의 특수해는 Q = V ( ω 2 L − 1 C ) sin ⁡ ϕ − ω R cos ⁡ ϕ cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle Q={\frac {V}{(\omega ^{2}L-{\frac {1}{C}})\sin \phi -\omega R\cos \phi }}\cos(\omega t+\phi )} (이때, tan ⁡ ϕ = 1 ω C − ω L R {\displaystyle \tan \phi ={\frac {{\frac {1}{\omega C}}-\omega L}{R}}} ) 이다. 앞에서 우변이 0일 때에 대해서 구한 일반해를 Q g ( t ) {\displaystyle Q_{g}(t)} 라하면 위 미분방정식의 해는 아래와 같이 표현가능하다. Q = V ( ω 2 L − 1 C ) sin ⁡ ϕ − ω R cos ⁡ ϕ cos ⁡ ( ω t + ϕ ) + Q g ( t ) {\displaystyle Q={\frac {V}{(\omega ^{2}L-{\frac {1}{C}})\sin \phi -\omega R\cos \phi }}\cos(\omega t+\phi )+Q_{g}(t)} (이때, tan ⁡ ϕ = 1 ω C − ω L R {\displaystyle \tan \phi ={\frac {{\frac {1}{\omega C}}-\omega L}{R}}} ) 하지만 이때, Q g ( t ) {\displaystyle Q_{g}(t)} 는 시간이 흐름에 따라 지수적으로 감소하므로 전류가 흐른 후 약간의 시간이 흐른 후부터는 Q g ( t ) {\displaystyle Q_{g}(t)} 를 무시할 수 있다. 위 식을 t에 대해 미분하여 얻을 수 있는 회로에 흐르는 전류의 양은 다음과 같다. I = V R 2 + ( 1 ω C − ω L ) 2 sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle I={\frac {V}{\sqrt {R^{2}+({\frac {1}{\omega C}}-\omega L)^{2}}}}\sin(\omega t+\phi )} (이때, tan ⁡ ϕ = 1 ω C − ω L R {\displaystyle \tan \phi ={\frac {{\frac {1}{\omega C}}-\omega L}{R}}} ) 이때, X C = 1 ω C , X L = ω L {\displaystyle X_{C}={\frac {1}{\omega C}},X_{L}=\omega L} 이라 하면 위 식은 I = V R 2 + ( X C − X L ) 2 sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle I={\frac {V}{\sqrt {R^{2}+(X_{C}-X_{L})^{2}}}}\sin(\omega t+\phi )} (이때, tan ⁡ ϕ = X C − X L R {\displaystyle \tan \phi ={\frac {X_{C}-X_{L}}{R}}} ) 으로 바꿀 수 있으며 이 때 Z = R 2 + ( X C − X L ) 2 {\displaystyle Z={\sqrt {R^{2}+(X_{C}-X_{L})^{2}}}} 를 RLC회로의 임피던스라 정의한다. RLC회로는 저항이 Z인 회로에 V의 전압이 걸렸을 때와 유사한 모양을 보인다. RLC회로에서 X C = X L {\displaystyle X_{C}=X_{L}} 인 경우, 즉 w = w 0 = 1 L C {\displaystyle w=w_{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}} 인 경우를 공명이라 한다. 공명상태에서는 전압과 전류의 위상차가 0이 되고, 전류의 최댓값이 가장 커진다.