하이젠베르크 스핀 사슬

물리학에서 하이젠베르크 스핀 사슬(영어: Heisenberg spin chain)은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다. 다음이 주어졌다고 하자. 자연수 L ∈ N {\displaystyle L\in \mathbb {N} } . 이는 스핀 사슬의 길이이다. SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 의 복소수 표현 V = C 2 s + 1 {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2s+1}} , σ → a b {\displaystyle {\vec {\sigma }}_{ab}} , a , b ∈ { 1 , 2 , … , 2 s + 1 } {\displaystyle a,b\in \{1,2,\dotsc ,2s+1\}} . 이는 스핀 s ∈ { 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , … } {\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc \}} 에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 s {\displaystyle s} 에 대응되는 표현은 2 s + 1 {\displaystyle 2s+1} 복소수 차원 표현이다. 3×3 실수 대칭 행렬 J i j ∈ Mat ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle J_{ij}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )} . 그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱 H = V ⊗ L {\displaystyle {\mathcal {H}}=V^{\otimes L}} 이다. 각 i ∈ { 1 , … , L } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,L\}} 에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 V i {\displaystyle V_{i}} 및 그 위에만 작용하는 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 표현 σ → i {\displaystyle {\vec {\sigma }}_{i}} 를 정의할 수 있다. s = 1 / 2 {\displaystyle s=1/2} 일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다. H 1 / 2 = 1 ℏ ∑ i = 1 L J ( σ → i , σ → i + 1 ) {\displaystyle H_{1/2}={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=1}^{L}J({\vec {\sigma }}_{i},{\vec {\sigma }}_{i+1})} 여기서 i ∈ { 1 , 2 , … , L } {\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,L\}} 은 법 L {\displaystyle L} 로 취급된다. 즉, L ≡ 0 ( mod L ) {\displaystyle L\equiv 0{\pmod {L}}} 이다. 특히, 다음과 같은 용어가 사용된다. 만약 J {\displaystyle J} 의 세 고윳값 ( J 1 , J 2 , J 3 ) {\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})} 이 모두 같다면 (즉, J {\displaystyle J} 가 O ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {O} (3)} 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXX 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXX spin chain)이라고 한다. 이 경우, 만약 J 1 = J 2 = J 3 > 0 {\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}>0} 이 양수라면 이는 강자성 XXX 스핀 사슬(強磁性XXX spin사슬, 영어: ferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다. 이 경우, 만약 J 1 = J 2 = J 3 < 0 {\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}<0} 이 음수라면 이는 반강자성 XXX 스핀 사슬(反強磁性XXX spin사슬, 영어: antiferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다. 만약 J {\displaystyle J} 의 세 고윳값 ( J 1 , J 2 , J 3 ) {\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})} 가운데 두 개가 같다면 (즉, J {\displaystyle J} 가 O ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {O} (2)} 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXZ spin chain)이라고 한다. 만약 J {\displaystyle J} 의 세 고윳값 ( J 1 , J 2 , J 3 ) {\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})} 이 모두 서로 다르다면 (즉, J {\displaystyle J} 의 안정자군이 자명군이라면), 이를 하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XYZ spin chain)이라고 한다. 또한, 사용되는 스핀 s {\displaystyle s} 를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX½ 스핀 사슬”은 J 1 = J 2 = J 3 {\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}} 이며, s = 1 / 2 {\displaystyle s=1/2} 인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다. 하이젠베르크 XXX½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자는 z {\displaystyle z} 방향 총 스핀 연산자 S z = ∑ i = 1 L σ i z {\displaystyle S_{z}=\sum _{i=1}^{L}\sigma _{i}^{z}} 와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다. 하이젠베르크 XXXs 스핀 사슬의 N {\displaystyle N} -마그논 베테 방정식은 다음과 같다. ∏ m ∈ { 1 , … , N } ∖ { n } λ n − λ m + i λ n − λ m − i = ( λ n + i s λ n − i s ) L ∀ n ∈ { 1 , … , N } {\displaystyle \prod _{m\in \{1,\dotsc ,N\}\setminus \{n\}}{\frac {\lambda _{n}-\lambda _{m}+\mathrm {i} }{\lambda _{n}-\lambda _{m}-\mathrm {i} }}=\left({\frac {\lambda _{n}+\mathrm {i} s}{\lambda _{n}-\mathrm {i} s}}\right)^{L}\qquad \forall n\in \{1,\dotsc ,N\}} 베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다. 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이(영어: Bethe ansatz)를 도입하여 풀었다. Heisenberg, Werner (1928년 9월). “Zur Theorie des Ferromagnetismus”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 49 (9–10): 619–636. doi:10.1007/BF01328601. ISSN 0044-3328.  Bethe, Hans (1931년 3월). “Zur Theorie der Metalle”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 71 (3–4): 205–226. doi:10.1007/BF01341708. ISSN 0044-3328.  Rodney J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982 Lamers, Jules (2012). 《The Bethe/gauge correspondence》 (영어). 석사 학위 논문. 위트레흐트 대학교. 2017년 8월 31일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 8월 30일에 확인함.