소수의 역수의 합의 발산성

기원전 3세기경에 유클리드는 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하였다. 18세기에 레온하르트 오일러가 소수의 역수의 합이 발산한다는 좀 더 강력한 정리를 증명하였다. 다시 말해서, ∑ p  prime  1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .} 현재 다음과 같은 사실도 알려져 있다. ∑ p  prime  p ≤ n 1 p ≥ ln ⁡ ln ⁡ ( n + 1 ) − ln ⁡ π 2 6 {\displaystyle \sum _{\scriptstyle p{\text{ prime }} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}} 먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다. ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .} 오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다. ∑ n = 1 ∞ 1 n = ∏ p 1 1 − p − 1 = ∏ p ( 1 + 1 p + 1 p 2 + ⋯ ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right).} 여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다. 오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 ln ⁡ ( 1 − x ) {\displaystyle \ln(1-x)} 의 테일러 전개를 통해 다음과 같이 계산한다. ln ⁡ ( ∑ n = 1 ∞ 1 n ) = ln ⁡ ( ∏ p 1 1 − p − 1 ) = ∑ p ln ⁡ ( 1 1 − p − 1 ) = ∑ p − ln ⁡ ( 1 − p − 1 ) = ∑ p ( 1 p + 1 2 p 2 + 1 3 p 3 + ⋯ ) = ( ∑ p 1 p ) + ∑ p 1 p 2 ( 1 2 + 1 3 p + 1 4 p 2 + ⋯ ) < ( ∑ p 1 p ) + ∑ p 1 p 2 ( 1 + 1 p + 1 p 2 + ⋯ ) = ( ∑ p 1 p ) + ( ∑ p 1 p ( p − 1 ) ) = ( ∑ p 1 p ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}-\ln(1-p^{-1})\\&{}=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right)\\&{}<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right)\\&{}=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+C\end{aligned}}} 마지막 등식의 C {\displaystyle C} 는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 ln ⁡ ln ⁡ n {\displaystyle \ln \ln n} 에 근접함을 알 수 있다. n {\displaystyle n} 번째 소수를 p n {\displaystyle p_{n}} 라 쓰기로 하자. 수렴한다고 가정해서 모순을 이끌어 낸다. 만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 어떤 k {\displaystyle k} 가 있다. ∑ m = k + 1 ∞ 1 p m < 1 2 {\displaystyle \sum _{m=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{m}}}<{\frac {1}{2}}} 그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 Q {\displaystyle Q} 라고 해 보자. 즉, Q = p 1 ⋯ p k {\displaystyle Q=p_{1}\cdots p_{k}} 라 하면, 모든 자연수 n {\displaystyle n} 에 대해 1 + n Q {\displaystyle 1+nQ} 는 p 1 {\displaystyle p_{1}} 부터 p k {\displaystyle p_{k}} 까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 n {\displaystyle n} 의 값에 관계 없이 1 + n Q {\displaystyle 1+nQ} 의 모든 소인수는 p k + 1 {\displaystyle p_{k+1}} 이후의 소수들이 된다. 그리하여 모든 1보다 큰 r {\displaystyle r} 에서 다음 부등식이 성립한다. ∑ n = 1 r 1 1 + n Q ≤ ∑ t = 1 ∞ ( ∑ m = k + 1 ∞ 1 p m ) t < ∑ t = 1 ∞ ( 1 2 ) t {\displaystyle \sum _{n=1}^{r}{\frac {1}{1+nQ}}\leq \sum _{t=1}^{\infty }\left(\sum _{m=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{m}}}\right)^{t}<\sum _{t=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}} 두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 1 + n Q {\displaystyle 1+nQ} 의 소인수가 모두 p k + 1 {\displaystyle p_{k+1}} 이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다. 유클리드의 정리