구보-마틴-슈윙거 상태

함수해석학과 양자역학에서 구보-마틴-슈윙거 상태([久保]-Martin-Schwinger狀態, 영어: Kubo–Martin–Schwinger state, 약자 KMS 상태)는 특정하게 열역학적 평형을 이룬 순수 또는 혼합 상태이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. C* 대수 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} (“관측 가능량 대수”) 상태 ϕ : A → C {\displaystyle \phi \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {C} } 양의 실수 β ∈ R + {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}} (“온도의 역수”) 군 준동형 α : ( R , + ) → Aut ⁡ ( A ) {\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} ({\mathcal {A}})} , t ↦ α t {\displaystyle t\mapsto \alpha _{t}} (“시간 변화”) 만약 임의의 A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 에 대하여 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 연속 함수 F A B : R + i [ 0 , β ] → C {\displaystyle F_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} } 가 존재한다면, ϕ {\displaystyle \phi } 를 β {\displaystyle \beta } 에서의 구보-마틴-슈윙거 상태(영어: Kubo–Martin–Schwinger state at β {\displaystyle \beta } )라고 한다.:153, Definition 6.63 F A B {\displaystyle F_{AB}} 의 치역은 유계 집합이다. F A B ↾ ( R + i ( 0 , β ) ) {\displaystyle F_{AB}\upharpoonright \left(\mathbb {R} +\mathrm {i} (0,\beta )\right)} 는 정칙 함수이다. F A B ( t ) = ϕ ( A α t B ) ∀ t ∈ R {\displaystyle F_{AB}(t)=\phi (A\alpha _{t}B)\qquad \forall t\in \mathbb {R} } (실수선에서의 경계 조건) F A B ( t + i β ) = ϕ ( ( α t B ) A ) ∀ t ∈ R {\displaystyle F_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )=\phi ((\alpha _{t}B)A)\qquad \forall t\in \mathbb {R} } (실수선 + i β {\displaystyle +\mathrm {i} \beta } 에서의 경계 조건) 물리학적으로, F A B {\displaystyle F_{AB}} 는 현재 관측 가능량 A {\displaystyle A} 와 시각 t {\displaystyle t} 에서의 관측 가능량 B {\displaystyle B} 사이의 상관 함수이다. 구보-마틴-슈윙거 상태는 시간 불변이다. 즉, ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} -구보-마틴-슈윙거 상태 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, 다음이 성립한다.:153, Proposition 6.64(2) ϕ ∘ α t = ϕ ∀ t ∈ R {\displaystyle \phi \circ \alpha _{t}=\phi \qquad \forall t\in \mathbb {R} } 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 V = C N {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{N}} N × N {\displaystyle N\times N} 에르미트 행렬 H {\displaystyle H} (“해밀토니언 연산자”) 양의 실수 β ∈ R + {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}} 그렇다면, 모든 N × N {\displaystyle N\times N} 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 B ⁡ ( V , V ) = Mat ⁡ ( n , n ; C ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)=\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )} 를 생각하자. 이 위에는 자기 동형 α t : A ↦ exp ⁡ ( i t H ) A exp ⁡ ( − i t H ) {\displaystyle \alpha _{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)} 이 존재하며, 이는 군 준동형 α : ( R , + ) → Aut ⁡ ( Mat ⁡ ( n , n ; C ) ) ≅ U ⁡ ( n ) {\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} (\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} ))\cong \operatorname {U} (n)} α : t ↦ α t {\displaystyle \alpha \colon t\mapsto \alpha _{t}} 을 정의한다. 이 경우, 임의의 복소수 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n , n ; C ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )} 에 대하여 기브스 상태 ω ( A ; β ) = tr ⁡ ( exp ⁡ ( − β H ) A ) tr ⁡ exp ⁡ ( − β H ) {\displaystyle \omega (A;\beta )={\frac {\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\right)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}} 및 함수 F A B : R + i [ 0 , β ] → C {\displaystyle F_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} } F A B ( z ) = ω ( A exp ⁡ ( i z H ) B ; β ) {\displaystyle F_{AB}(z)=\omega (A\exp(\mathrm {i} zH)B;\beta )} 를 정의하자. 그렇다면 F A B ( − ) {\displaystyle F_{AB}(-)} 가 구보-마틴-슈윙거 경계 조건을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있으며, 이에 따라 ω ( − ; β ) {\displaystyle \omega (-;\beta )} 는 구보-마틴-슈윙거 상태를 이룬다. 증명: 유일하게 자명하지 않은 것은 z ∈ R + i β {\displaystyle z\in \mathbb {R} +\mathrm {i} \beta } 에서의 경계 조건이다. 이는 대각합의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다. ( tr ⁡ exp ⁡ ( − β H ) ) F A B ( t + i β ) = tr ⁡ ( exp ⁡ ( − β H ) A exp ⁡ ( i ( t + i β ) H ) B exp ⁡ ( − i ( t + i β ) H ) ) = tr ⁡ ( exp ⁡ ( i ( t + i β ) H ) B exp ⁡ ( − i ( t + i β ) H ) exp ⁡ ( − β H ) A ) = tr ⁡ ( exp ⁡ ( − β H ) exp ⁡ ( i t H ) B exp ⁡ ( − i t H ) A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\operatorname {tr} \exp(-\beta H)\right)F_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\exp(-\beta H)A\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)\exp(\mathrm {i} tH)B\exp(-\mathrm {i} tH)A\right)\end{aligned}}} 보다 일반적으로, 임의의 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} (의 조밀 부분 공간) 위의 자기 수반 작용소 H : D → V {\displaystyle H\colon D\to V} 가 주어졌다고 하자. 이에 따라, 임의의 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 대하여 유니터리 작용소 exp ⁡ ( i t H ) : V → V {\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon V\to V} 를 정의할 수 있다. V {\displaystyle V} 위의 모든 유계 작용소들은 1종 인자 대수 B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 를 이루며, α t : A ↦ exp ⁡ ( i t H ) A exp ⁡ ( − i t H ) {\displaystyle \alpha _{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)} 는 그 위의 자기 동형을 정의한다. 이 경우, α {\displaystyle \alpha } 에 대한, 온도의 역수 β {\displaystyle \beta } 에서의 구보-마틴-슈윙거 상태가 존재할 필요 충분 조건은 exp ⁡ ( − β H ) {\displaystyle \exp(-\beta H)} 가 대각합류 작용소인지 여부이다.:154, §6.4.4 만약 이 조건이 성립한다면, 유일한 구보-마틴-슈윙거 상태는 다음과 같은 기브스 상태이다.:154, §6.4.4 ϕ H : A ↦ tr ⁡ ( exp ⁡ ( − β H ) A ) tr ⁡ exp ⁡ ( − β H ) {\displaystyle \phi _{H}\colon A\mapsto {\frac {\operatorname {tr} (\exp(-\beta H)A)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}} 구보 료고:579, (4.13)와 폴 세실 마틴(영어: Paul Cecil Martin, 1931~2016)과 줄리언 슈윙거가 1950년대에 도입하였다. “구보-마틴 슈윙거 경계 조건”(영어: Kubo–Martin–Schwinger boundary condition)이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다. 기브스 상태 Dereziński, Jan; Gérard, Christian (2013). 《Mathematics of quantization and quantum fields》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-110701111-3.  Kubo, Ryogo (1957). “Statistical-mechanical theory of irreversible processes I. General theory and simple applications to magnetic and conduction problems”. 《Journal of the Physical Society of Japan》 (영어) 12 (6): 570–586. Bibcode:1957JPSJ...12..570K. doi:10.1143/JPSJ.12.570. ISSN 0031-9015.  Martin, Paul Cecil; Schwinger, Julian Seymour (1959). “Theory of many-particle systems I”. 《Physical Review》 (영어) 115 (6): 1342–1373. Bibcode:1959PhRv..115.1342M. doi:10.1103/PhysRev.115.1342.  Haag, Rudolf; Winnink, M.; Hugenholtz, N. M. (1967). “On the equilibrium states in quantum statistical mechanics”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 5: 215–236. Bibcode:1967CMaPh...5..215H. doi:10.1007/BF01646342. ISSN 0010-3616. MR 0219283.  Dereziński, Jan; Pillet, Claude-Alain. “KMS states” (PDF) (영어).  “KMS state”. 《nLab》 (영어).  Weisstein, Eric Wolfgang. “KMS condition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.