클리퍼드 가군 다발

미분기하학에서 클리퍼드 가군 다발(Clifford加群다발, 영어: Clifford module bundle)은 각 올이 (클리퍼드 다발의 올인) 클리퍼드 대수의 가군의 구조를 갖는 벡터 다발이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 클리퍼드 다발 C {\displaystyle C} M {\displaystyle M} 위의 벡터 다발 E {\displaystyle E} 만약 각 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서, C x {\displaystyle C_{x}} 의 E x {\displaystyle E_{x}} 위의 작용이 주어져 E x {\displaystyle E_{x}} 가 C x {\displaystyle C_{x}} 의 위상 왼쪽 가군이 되며, 그 작용이 모두 연속적이라면, E {\displaystyle E} 를 C {\displaystyle C} 의 클리퍼드 가군 다발(영어: Clifford module bundle)이라고 한다. 물론, 마찬가지로 매끄러운 클리퍼드 가군 다발을 정의할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 매끄러운 클리퍼드 다발 C {\displaystyle C} 및 그 위의 클리퍼드 다발 접속 ∇ C {\displaystyle \nabla ^{C}} C {\displaystyle C} 의 매끄러운 클리퍼드 왼쪽 가군 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 위의 코쥘 접속 ∇ E {\displaystyle \nabla ^{E}} 만약 ∇ E {\displaystyle \nabla ^{E}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속(영어: Clifford module bundle connection)이라고 한다. 임의의 a ∈ Γ ∞ ( C ) {\displaystyle a\in \Gamma ^{\infty }(C)} 및 벡터장 X ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 및 매끄러운 단면 s ∈ Γ ∞ ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)} 에 대하여, ( ∇ X E ) ( a ∙ s ) − a ∙ ∇ X E s = ( ∇ X C a ) ∙ s {\displaystyle (\nabla _{X}^{E})(a\bullet s)-a\bullet \nabla _{X}^{E}s=(\nabla _{X}^{C}a)\bullet s} 즉, 클리퍼드 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속이다. 같은 클리퍼드 다발 위의 두 클리퍼드 가군 다발의 직합은 역시 클리퍼드 가군 다발이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 클리퍼드 다발 C {\displaystyle C} C {\displaystyle C} 위의 클리퍼드 가군 다발 E {\displaystyle E} M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 F {\displaystyle F} 그렇다면, E ⊗ F {\displaystyle E\otimes F} 위에는 표준적인 클리퍼드 가군 다발 구조가 다음과 같이 존재한다. c ∙ ( e ⊗ f ) = ( x ∙ e ) ⊗ f ∀ x ∈ M , c ∈ C x , e ∈ E x , f ∈ F x {\displaystyle c\bullet (e\otimes f)=(x\bullet e)\otimes f\qquad \forall x\in M,\;c\in C_{x},\;e\in E_{x},\;f\in F_{x}} 특히, F {\displaystyle F} 가 (실수 또는 복소수) 선다발일 경우가 자주 사용된다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 주어졌을 때, 그 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 에 대한 클리퍼드 다발 Cl ⁡ ( T M , g ) ≅ Cl ⁡ ( T ∗ M , g − 1 ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)\cong \operatorname {Cl} (\mathrm {T} ^{*}M,g^{-1})} 이 존재한다. 만약 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 에 스핀 다양체의 구조가 주어졌다면, 그 스피너 다발 S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 이 경우 레비치비타 접속을 통해 S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 위의 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다. 만약 M {\displaystyle M} 이 짝수 차원이라면, 스피너 다발은 바일 스피너 다발 S M = S + M ⊕ S − M {\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M} 으로 분해되며, 이 역시 각각 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 적절한 부호수에서 마요라나(-바일) 스피너 다발을 정의할 수 있으며, 이 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 이 경우, 레비치비타 접속을 S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 가군 다발 접속을 이룬다. 만약 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에 스핀 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 보다 일반적으로, ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 스핀C 다양체 구조가 주어졌다면, 이에 대한 스피너 다발은 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 주어졌다면, E ⊕ E ∗ {\displaystyle E\oplus E^{*}} 위의 자연스러운 이차 형식 Q ( x , ξ ) = ξ ( x ) {\displaystyle Q(x,\xi )=\xi (x)} 을 통해 클리퍼드 다발 Cl ⁡ ( E ⊕ E ∗ , Q ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{*},Q)} 을 정의할 수 있다. 이 경우, E ⊕ E ∗ {\displaystyle E\oplus E^{*}} 의 단면은 임의의 미분 형식 α ∈ Γ ( ⋀ E ∗ ) {\displaystyle \alpha \in \Gamma (\textstyle \bigwedge E^{*})} 위에 다음과 같이 작용한다. ( x , ξ ) ∙ α = x ⌟ α + ξ ∧ α ∈ Γ ( ⋀ E ∗ ) {\displaystyle (x,\xi )\bullet \alpha =x\lrcorner \alpha +\xi \wedge \alpha \in \Gamma \left(\bigwedge E^{*}\right)} 여기서 ⌟ {\displaystyle \lrcorner } 는 내부곱이며 ∧ {\displaystyle \wedge } 는 쐐기곱이다. 이 작용은 ( x , ξ ) ∙ ( ( x , ξ ) ∙ α ) = x ⌟ ( ξ ∧ α ) − ξ ∧ ( x ⌟ α ) = ξ ( x ) α {\displaystyle (x,\xi )\bullet ((x,\xi )\bullet \alpha )=x\lrcorner (\xi \wedge \alpha )-\xi \wedge (x\lrcorner \alpha )=\xi (x)\alpha } 를 따르므로, ⋀ E ∗ {\displaystyle \textstyle \bigwedge E^{*}} 은 Cl ⁡ ( E ⊕ E ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{*})} 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 특히, E = T M {\displaystyle E=\mathrm {T} M} 인 경우, 미분 형식은 이 클리퍼드 다발의 일종의 ‘스피너’처럼 행동하는 것을 알 수 있다. 스핀 표현 Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.  “Clifford module bundle”. 《nLab》 (영어).