나선

나선(螺旋, 문화어: 라선)은 3차원 공간의 곡선과 같이, 매끄러운 곡선의 일종이다. 이는 물체의 겉모양이 빙빙 비틀린 형태를 지닌다. 나선의 영어 낱말 helix(헬릭스)는 "꺾인, 굽은"을 뜻하는 그리스어 낱말 ἕλιξ에서 왔다. 3차원 공간 곡선으로서의 나선: x ( t ) = cos ⁡ ( t ) , y ( t ) = sin ⁡ ( t ) , z ( t ) = t . {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&{}=\cos(t),\\y(t)&{}=\sin(t),\\z(t)&{}=t.\end{aligned}}} 원통좌표계 (r, θ, h): r ( t ) = 1 , θ ( t ) = t , h ( t ) = t . {\displaystyle {\begin{aligned}r(t)&{}=1,\\\theta (t)&{}=t,\\h(t)&{}=t.\end{aligned}}} 원 나선(반지름 a, 2πb): x ( t ) = a cos ⁡ ( t ) , y ( t ) = a sin ⁡ ( t ) , z ( t ) = b t . {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&{}=a\cos(t),\\y(t)&{}=a\sin(t),\\z(t)&{}=bt.\end{aligned}}} 반지름이 a 인 원기둥에 기울기 b/a (or pitch 2πb) 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다. t ↦ ( a cos ⁡ t , a sin ⁡ t , b t ) , t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]} 나선 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같다. r = a cos ⁡ t i + a sin ⁡ t j + b t k {\displaystyle \mathbf {r} =a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} } 이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면 v = − a sin ⁡ t i + a cos ⁡ t j + b k {\displaystyle \mathbf {v} =-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} } a = − a cos ⁡ t i − a sin ⁡ t j + 0 k {\displaystyle \mathbf {a} =-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} } 이다. 속력과 가속도 크기를 구하면 아래와 같다. | v | = ( − a sin ⁡ t ) 2 + ( a cos ⁡ t ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} | a | = ( − a sin ⁡ t ) 2 + ( a cos ⁡ t ) 2 = a {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a} 호의 길이를 구하는 변수를 구하면 s ( t ) = ∫ 0 t a 2 + b 2 d τ = a 2 + b 2 t {\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t} 이다. 이제 변수 s {\displaystyle s} 로 위치벡터를 다시 매개변수화하자. r = a cos ⁡ s a 2 + b 2 i + a sin ⁡ s a 2 + b 2 j + b s a 2 + b 2 k {\displaystyle \mathbf {r} =a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} } 변수 s {\displaystyle s} 에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면 d r d s = T = − a a 2 + b 2 sin ⁡ s a 2 + b 2 i + a a 2 + b 2 cos ⁡ s a 2 + b 2 j + b a 2 + b 2 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} } d T d s = κ N = − a a 2 + b 2 cos ⁡ s a 2 + b 2 i + − a a 2 + b 2 sin ⁡ s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} } 이다. 따라서 나선의 곡률은 | d T d s | = κ = a a 2 + b 2 {\displaystyle {\bigg |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\bigg |}=\kappa ={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}} 이다. 단위 법선벡터를 구하면 N = − cos ⁡ s a 2 + b 2 i − sin ⁡ s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} } 이므로 이중법선벡터는 아래와 같다. B = T × N = 1 a 2 + b 2 [ b sin ⁡ s a 2 + b 2 i − b cos ⁡ s a 2 + b 2 j + a k ] {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} ={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\bigg [}b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} {\bigg ]}} 이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다. d B d s = 1 a 2 + b 2 [ b cos ⁡ s a 2 + b 2 i + b sin ⁡ s a 2 + b 2 j + 0 k ] {\displaystyle {\frac {d\mathbf {B} }{ds}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\bigg [}b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} {\bigg ]}} 비틀림은 τ = | d B d s | = b a 2 + b 2 {\displaystyle \tau ={\bigg |}{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}{\bigg |}={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}} 이다. 이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다. 참고 공간 곡선 운동에 관하여 알파 나선 원편파 솔레노이드 초나선 삼중나선 ἕλιξ, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus [1]공간 곡선 운동에 관하여