델 페초 곡면

대수기하학에서 델 페초 곡면(del Pezzo曲面, 영어: del Pezzo surface)은 사영 평면의 점들을 부풀려 얻을 수 있는 대수 곡면의 한 종류다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 델 페초 곡면은 다음 두 조건을 만족시키는 K {\displaystyle K} -대수다양체 X {\displaystyle X} 이다. 대수 곡면이다. 즉, 크룰 차원이 2차원이다. 파노 다양체이다. 즉, 반표준 인자 − K X {\displaystyle -K_{X}} 가 풍부한 인자이며, 완비 대수다양체이다. 델 페초 곡면은 유리 곡면이다. 즉, 사영 평면과 쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면 X의 차수(영어: degree) d는 반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같다. d = ( − K X ) 2 = K X 2 {\displaystyle d=(-K_{X})^{2}=K_{X}^{2}} 모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다. 사영 평면의 k {\displaystyle k} 개의 점에서의 부풀리기 ( k = 0 , 1 , 2 , … , 8 {\displaystyle k=0,1,2,\dots ,8} ). 보통 dP k {\displaystyle \operatorname {dP} _{k}} 로 쓴다. 이 경우, 차수가 9 − k {\displaystyle 9-k} 이며, 피카르 군은 홀 유니모듈러 격자 I 1 , k {\displaystyle \operatorname {I} _{1,k}} 이다. P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}} . 이 경우 차수가 8이며, 피카르 군은 짝 유니모듈러 격자 II 1 , 1 {\displaystyle \operatorname {II} _{1,1}} 이다. 사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다. 델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 교차수가 − 1 {\displaystyle -1} 인 유리 곡선이며, 이러한 곡선들의 수는 (OEIS의 수열 A33541)에 수록되어 있다. 델 페초 곡면에서 (−1)-곡선(영어: (−1)-curve)은 자기 교차수가 −1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다. 이들은 다음과 같다. π : dP n ↠ P 2 {\displaystyle \pi \colon \operatorname {dP} _{n}\twoheadrightarrow \mathbb {P} ^{2}} 에서, P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} 의 세르 뒤틀림 층 O ( 1 ) {\displaystyle O(1)} 의 당김을 H = π ∗ O ( 1 ) {\displaystyle H=\pi ^{*}O(1)} 라고 하고, 부풀리기로 발생하는 예외적 인자들을 E 1 , … , E n {\displaystyle E_{1},\dots ,E_{n}} 이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 피카르 군 Pic ⁡ ( dP n ) = Span Z ⁡ { H , E 1 , … , E n } ≅ Z n + 1 {\displaystyle \operatorname {Pic} (\operatorname {dP} _{n})=\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\{H,E_{1},\dots ,E_{n}\}\cong \mathbb {Z} ^{n+1}} 의 기저를 이룬다. 이 경우, 교차수는 다음과 같다. E i . E j = − δ i j {\displaystyle E_{i}.E_{j}=-\delta _{ij}} E i . H = 0 {\displaystyle E_{i}.H=0} H . H = 1 {\displaystyle H.H=1} 표준 인자는 다음과 같다. K = − 3 H + ∑ i E i {\displaystyle K=-3H+\sum _{i}E_{i}} 인자 C = a H − ∑ i = 1 n b i E i {\displaystyle C=aH-\sum _{i=1}^{n}b_{i}E_{i}} 가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 디오판토스 방정식을 만족시켜야 한다. a 2 − ∑ i = 1 n b i 2 = − 3 a + ∑ i = 1 n b i = − 1 {\displaystyle a^{2}-\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=-3a+\sum _{i=1}^{n}b_{i}=-1} 이 디오판토스 방정식의 해는 n < 9 {\displaystyle n<9} 인 경우 다음과 같다. 델 페초 곡면 dP n {\displaystyle \operatorname {dP} _{n}} 은 사영 평면을 n {\displaystyle n} 번 부풀려 얻은 곡면이다. 따라서, 호지 수 가운데 h 1 , 1 {\displaystyle h^{1,1}} 만이 n {\displaystyle n} 만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉, dP n {\displaystyle \operatorname {dP} _{n}} 의 호지 수는 다음과 같다. P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}} 의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다. 나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1880년대에 연구하였다. 델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다. 델 페초 곡면은 또한 자이베르그 이중성에 사용되며, M이론의 신비로운 이중성(영어: mysterious duality)에 등장한다. Várilly-Alvarado, Anthony (2010년 10월). “Arithmetic of del Pezzo surfaces” (PDF) (영어).  del Pezzo, Pasquale (1885). “Sulle superficie dell ordine n {\displaystyle n} immerse negli spazi di n + 1 {\displaystyle n+1} dimensioni”. 《Rendiconto della Reale Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli》 (이탈리아어) 24: 212-216. JFM 17.0514.01.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 30) (도움말) del Pezzo, Pasquale (1887). “Sulle superficie dell’ n {\displaystyle n} mo ordine immerse nello spazio di n {\displaystyle n} dimensioni”. 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 (이탈리아어) 1 (1): 241–271. doi:10.1007/BF03020097. 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