완전 함자

호몰로지 대수학에서 완전 함자(完全函子, 영어: exact functor)는 두 아벨 범주 사이의, 짧은 완전열을 보존하는 함자이다. 아벨 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 로 가는 가법 함자(영어: additive functor)는 다음 성질을 만족시키는 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 이다. (가법성) 모든 대상 A , B ∈ C {\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, F | hom ⁡ ( A , B ) : hom ⁡ ( A , B ) → hom ⁡ ( F ( A ) , F ( B ) ) {\displaystyle F|_{\hom(A,B)}\colon \hom(A,B)\to \hom(F(A),F(B))} 는 아벨 군의 군 준동형이다. 아벨 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 사이의 완전 함자는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 이다. (완전열의 보존) C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 짧은 완전열 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to \mathbb {C} \to 0} 에 대하여, 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 {\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0} 는 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 속의 짧은 완전열을 이룬다. 아벨 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 사이의 가법 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 왼쪽 완전 함자(영어: left-exact functor)라고 한다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 짧은 완전열 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 에 대하여, 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) {\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)} 는 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 속의 완전열을 이룬다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 완전열 0 → A → B → C {\displaystyle 0\to A\to B\to C} 에 대하여, 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) {\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)} 는 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 속의 완전열을 이룬다. 아벨 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 와 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 사이의 가법 함자 F : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 오른쪽 완전 함자(영어: right-exact functor)라고 한다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 짧은 완전열 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 에 대하여, F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 {\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0} 는 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 속의 완전열을 이룬다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 완전열 A → B → C → 0 {\displaystyle A\to B\to C\to 0} 에 대하여, F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 {\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0} 는 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 속의 완전열을 이룬다. 아벨 범주의 동치는 항상 완전 함자이다. 아벨 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사영 대상 P ∈ C {\displaystyle P\in {\mathcal {C}}} 가 주어지면, hom ⁡ ( P , − ) : C → Ab {\displaystyle \hom(P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab} } 는 완전 함자이다. 마찬가지로, 단사 대상 I ∈ C {\displaystyle I\in {\mathcal {C}}} 가 주어지면, hom ⁡ ( − , I ) : C → Ab op {\displaystyle \hom(-,I)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }} 는 완전 함자이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대한 벡터 공간들의 범주 K − Vect {\displaystyle K-\operatorname {Vect} } 의 경우, 쌍대 공간 V ∗ = hom ⁡ ( V , K ) {\displaystyle V^{*}=\hom(V,K)} 은 완전 함자 hom ⁡ ( − , K ) : K − Vect → K − Vect op {\displaystyle \hom(-,K)\colon K-\operatorname {Vect} \to K-\operatorname {Vect} ^{\operatorname {op} }} 를 정의한다. “Exact functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Exact functor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Exact functor”. 《nLab》 (영어).  “Additive functor”. 《nLab》 (영어).