점근 국소 평탄 공간

미분기하학에서 점근 국소 평탄 공간(漸近局所平坦空間, 영어: asympotically locally flat [ALF] space)은 무한대에서 3차원 유클리드 공간의 오비폴드 위의 원군 주다발로 수렴하는 4차원 초켈러 다양체이다. 4차원 초켈러 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 완비 리만 다양체이며, 리만 곡률이 무한대에서 0으로 수렴하며, 다음 조건을 만족시킨다면, 점근 국소 평탄 공간이라고 한다.:Definition 3.1 어떤 콤팩트 집합 K ⊊ M {\displaystyle K\subsetneq M} 및 R > 0 {\displaystyle R>0} 및 유한군 Γ ≤ O ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {O} (3)} 및 원군 주다발 U ⁡ ( 1 ) ↪ M ~ ↠ ( R 3 ∖ ball ⁡ ( R ) ) / Γ {\displaystyle \operatorname {U} (1)\hookrightarrow {\tilde {M}}\twoheadrightarrow (\mathbb {R} ^{3}\setminus \operatorname {ball} (R))/\Gamma } 및 그 위의 주접속 A ∈ Ω 1 ( M ~ ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}({\tilde {M}})} 에 대하여, 미분 동형 M ∖ K ≅ M ~ {\displaystyle M\setminus K\cong {\tilde {M}}} 이 존재하며, 이 미분 동형 아래 M {\displaystyle M} 의 리만 계량이 다음과 같은 꼴이다. g = g R 3 / Γ + A 2 + O ( r − t ) ( t > 0 ) {\displaystyle g=g_{\mathbb {R} ^{3}/\Gamma }+A^{2}+{\mathcal {O}}(r^{-t})\qquad (t>0)} 점근 국소 평탄 공간은 사용된 유한군 Γ ≤ O ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {O} (3)} 에 의하여 분류되며, Γ = { 1 } {\displaystyle \Gamma =\{1\}} 및 Γ = Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma =\operatorname {Cyc} (2)} (2차 순환군)이 가능하다. Γ = { 1 } {\displaystyle \Gamma =\{1\}} 인 경우는 순환군형(循環群型, 영어: cyclic type) 또는 A형이라고 하며, A−1, A0, A1, …가 있다. Γ = Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma =\operatorname {Cyc} (2)} 인 경우는 정이면체군형(正二面體群型, 영어: dihedral type0 또는 D형이라고 하며, D0, D1, …가 있다. 순환군형은 기호로 An의 꼴이며, 여기서 n은 −1 이상의 정수이다. 일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. 일반적으로, 3차원 유클리드 공간 속에 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 점 (너트의 위치) r → 0 , … , r → i ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {r}}_{0},\dotsc ,{\vec {r}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}} 을 골랐을 때, 퍼텐셜 V ( x → ) = l + ∑ i = 0 n 1 2 ‖ x → − r → i ‖ {\displaystyle V({\vec {x}})=l+\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{2\|{\vec {x}}-{\vec {r}}_{i}\|}}} 을 사용하여 기번스-호킹 가설 풀이를 구성하면 An형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서 l {\displaystyle l} 은 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하며, 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다. 즉, 그 모듈라이 공간은 M = R + × Conf ⁡ ( n + 1 , R 3 ) ISO ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} ^{+}\times {\frac {\operatorname {Conf} (n+1,\mathbb {R} ^{3})}{\operatorname {ISO} (3;\mathbb {R} )}}} dim ⁡ M n = { 1 n ∈ { − 1 , 0 } 2 n = 1 3 ( n − 1 ) + 1 n ≥ 2 {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{n}={\begin{cases}1&n\in \{-1,0\}\\2&n=1\\3(n-1)+1&n\geq 2\end{cases}}} 이다. 이는 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 점 가운데, 유클리드 공간의 등거리 변환을 가한 것이다. 추가의 1차원은 l {\displaystyle l} 에 해당하며, 리만 계량의 스칼라배에 해당한다. 정이면체군형은 기호로 Dn의 꼴이며, 여기서 n은 음이 아닌 정수이다. 이 경우 여러 가지 구성이 존재한다. 특히, 퍼텐셜 V ( x → ) = l − 2 ‖ x → ‖ + ∑ i = 1 n ( 1 2 ‖ r → i − x → ‖ + 1 2 ‖ r → i + x → ‖ ) {\displaystyle V({\vec {x}})=l-{\frac {2}{\|{\vec {x}}\|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2\|{\vec {r}}_{i}-{\vec {x}}\|}}+{\frac {1}{2\|{\vec {r}}_{i}+{\vec {x}}\|}}\right)} 을 통한 기번스-호킹 가설 풀이를 생각하자. 이는 ‖ x → ‖ ≪ 1 {\displaystyle \|{\vec {x}}\|\ll 1} 인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는 x → ↦ − x → {\displaystyle {\vec {x}}\mapsto -{\vec {x}}} 에 대하여 대칭이므로 ( R 3 ∖ ball ⁡ ( R ) ) / Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{3}\setminus \operatorname {ball} (R))/\operatorname {Cyc} (2)} 위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약 l {\displaystyle l} 이 충분히 크다면, 가운데에 D0 공간을 이어붙이면 이는 Dn 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, Dn이 되도록 변형할 수 있다.:Remark 3.7 즉, 이 경우 마찬가지로 모듈라이 공간은 dim ⁡ M n = { 1 n = 0 2 n = 1 3 n − 2 n ≥ 2 {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{n}={\begin{cases}1&n=0\\2&n=1\\3n-2&n\geq 2\\\end{cases}}} 여기서 한 차원은 l {\displaystyle l} 에 의한 것이며, 리만 계량에 상수를 곱한 것에 해당한다. 점근 국소 평탄 공간의 위상수학적 성질은 다음과 같다.:§3.2.1, §3.2.2 특히, A−1은 R 3 × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}} 이므로, 원 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 과 호모토피 동치이다. 토브-너트 공간 A0은 유클리드 공간 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 과 미분 동형이다. 점근 국소 평탄 공간의 킬링 벡터장의 수는 다음과 같다. 이는 ISO(3)의 군의 작용의 안정자군의 차원 + 원다발 올 방향의 킬링 벡터 1개로 계산할 수 있다. A−1형 점근 국소 평탄 공간은 R 3 × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}} 이다. A0형 점근 국소 평탄 공간은 토브-너트 공간이다. D0형 점근 국소 평탄 공간은 아티야-히친 공간이다. D1형 점근 국소 평탄 공간의 모듈라이 공간은 (리만 계량에 상수를 곱하는 것을 제외하면) 3차원이다. 이 모듈라이 공간의 한 점은 아티야-히친 공간의 2겹 범피복 공간이다. 점근 국소 평탄 공간은 일반 상대성 이론과 끈 이론에 자주 등장한다. 이는 이들이 초켈러 다양체이므로, 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간이나 일반 상대성 이론의 해를 이루기 때문이다. Foscolo, Lorenzo (2019). “ALF gravitational instantons and collapsing Ricci‐flat metrics on the K3 surface”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 112 (1): 79-120. arXiv:1603.06315. doi:10.4310/jdg/1557281007. MR 3948228. Zbl 07054920.