임펄스벡터

임펄스벡터(impulse vector, 일명 강벡터 Kang vector)는 잔류진동(residual vibration)을 제거하는 입력성형기(input shaper)를 도해적으로 설계하거나 해석할 때 사용할 수 있는 수학적 도구이다. 임펄스벡터는 비감쇠시스템(undamped system)과 부족감쇠시스템(underdamped system) 모두에 대해 사용할 수 있을 뿐 아니라, 양의 임펄스(positive impulse)와 음의 임펄스(negative impulse)에 대해 동일한 방법으로 적용할 수 있다. 임펄스벡터를 사용하면 입력성형기의 임펄스시간(impulse time)과 임펄스크기(impulse magnitude)를 도해적으로 쉽게 구할 수 있다. 입력성형에 대한 벡터 개념은 양의 임펄스를 가진 비감쇠시스템에 대해 W. Singhose가 처음 제안하였다. 강철구(C.-G. Kang)는 이 Singhose의 벡터 개념을 일반화하여, 비감쇠시스템과 부족감쇠시스템, 그리고 양의 임펄스와 음의 임펄스에 적용할 수 있는 임펄스벡터를 제안하였다. 비감쇠 고유진동수(undamped natural frequency)가 ω n {\displaystyle \omega _{n}} , 감쇠비(damping ratio)가 ζ {\displaystyle \zeta } 인 이차시스템에 대해, 임펄스함수 A i δ ( t − t i ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle A_{i}\delta (t-t_{i}),i=1,2,\cdots ,n} 에 해당하는 임펄스벡터 (혹은 강벡터) I i {\displaystyle {\mathbf {I}}_{i}} 의 크기 I i {\displaystyle I_{i}} 와 각도 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 는 2차원 극좌표계에서 다음과 같이 정의된다. I i = A i e ζ ω n t i {\displaystyle \qquad I_{i}=A_{i}e^{\zeta \omega _{n}t_{i}}} θ i = ω d t i {\displaystyle \qquad \theta _{i}=\omega _{d}t_{i}} 여기서 A i {\displaystyle A_{i}} 는 임펄스함수의 크기를, t i {\displaystyle t_{i}} 는 임펄스함수의 시간위치를 나타내고, ω d {\displaystyle \omega _{d}} 는 감쇠고유진동수(damped natural frequency) ω n 1 − ζ 2 {\displaystyle \omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}} 을 의미한다. A i > 0 {\displaystyle A_{i}>0} 인 양의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 시점이 극좌표계의 원점에 위치하고, 반면에 A i < 0 {\displaystyle A_{i}<0} 인 음의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 종점이 극좌표계의 원점에 위치한다. □ {\displaystyle \qquad } 이 정의에서 임펄스벡터의 크기 I i {\displaystyle I_{i}} 는 A i {\displaystyle A_{i}} 에 시간 t i {\displaystyle t_{i}} 동안 감쇠영향을 곱한 것으로서, 감쇠되기 전 A i {\displaystyle A_{i}} 의 크기를 나타낸다. 각도 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 는 임펄스시간 t i {\displaystyle t_{i}} 에 감쇠고유진동수 ω d {\displaystyle \omega _{d}} 를 곱한 값이다. δ ( t − t i ) {\displaystyle \delta (t-t_{i})} 는 시간 t i {\displaystyle t_{i}} 에 작용하는 디락델타함수(Dirac delta function)를 나타낸다. 참고로, 임펄스함수는 순수한 수학적 양인데 비해, 임펄스벡터는 수학적 임펄스함수에 추가적으로 물리량인 ω n {\displaystyle \omega _{n}} 과 ζ {\displaystyle \zeta } 를 내포하고 있다. 두개 이상의 임펄스벡터를 하나의 극좌표계에 표시한 것을 임펄스벡터선도(impulse vector diagram)라고 한다. 임펄스벡터선도는 임펄스열(impulse sequence)을 도해적으로 나타낸 것이라고 볼 수 있다. 오른쪽 그림과 같은 두 임펄스벡터 I 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}} 과 I 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}} 를 고려해보자. 임펄스벡터 I 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}} 은 양의 임펄스 A 1 > 0 {\displaystyle A_{1}>0} 에 해당하는 크기 I 1 ( > 0 ) {\displaystyle I_{1}(>0)} 과 각도 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 을 가지고 있고, 임펄스벡터 I 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}} 는 음의 임펄스 A 2 < 0 {\displaystyle A_{2}<0} 에 해당하는 크기 I 2 = − I 1 {\displaystyle I_{2}=-I_{1}} 과 각도 θ 2 = θ 1 + π {\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\pi } 를 가지고 있을 때, I 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}} 과 I 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}} 에 상응하는 두 시간응답은 마지막 임펄스시간 t 2 {\displaystyle t_{2}} 이후에 정확히 일치하므로, 벡터 더하기나 빼기에서 두 임펄스벡터 I 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}} 과 I 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}} 는 동일한 벡터로 간주된다. 임펄스벡터는 교환법칙, 결합법칙, 스칼라곱에 대한 분배법칙을 만족한다. 임펄스벡터의 크기는 임펄스크기를 결정하고, 임펄스벡터의 각도는 임펄스시간을 결정한다. 임펄스벡터선도에서 1회전에 해당하는 각도 2 π {\displaystyle 2\pi } 는 상응하는 임펄스응답의 1주기(감쇠주기)에 해당한다. 비감쇠시스템( ζ = 0 {\displaystyle \zeta =0} )이면 임펄스벡터의 크기와 각도는 I i = A i {\displaystyle I_{i}=A_{i}} 와 θ i = ω n t i {\displaystyle \theta _{i}=\omega _{n}t_{i}} 로 표현된다. 두 임펄스벡터의 합벡터에 상응하는 이차시스템의 임펄스응답(impulse response)은 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 두 임펄스벡터에 상응하는 두 임펄스입력을 가진 이차시스템의 응답과 최종 임펄스시간 이후에 동일하다. □ 임펄스벡터들의 합벡터가 0이면, 상응하는 임펄스열을 입력으로 가진 이차시스템의 시간응답은, 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 마지막 임펄스시간 이후에 0이다. □ {\displaystyle \qquad } 전달함수(transfer function)가 4 π 2 / ( s 2 + 0.4 s + 4 π 2 ) {\displaystyle 4\pi ^{2}/(s^{2}+0.4s+4\pi ^{2})} 인 부족감쇠 이차시스템을 생각해보자. 이 시스템의 고유진동수는 ω n = 2 π {\displaystyle \omega _{n}=2\pi } rad/s이고 감쇠비는 ζ = 0.1 {\displaystyle \zeta =0.1} 이다. 그림과 같은 두 임펄스벡터 I 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}} 과 I 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}} 에 대해 합벡터는 I R 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}} 과 I R 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}} 의 두가지로 표현될 수 있다. 합벡터 I R 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}} 은 크기가 A R 1 = I R 1 / e ζ ω n t R 1 {\displaystyle A_{R1}=I_{R1}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R1}}} 이고 시간이 t R 1 = θ R 1 / ω d {\displaystyle t_{R1}=\theta _{R1}/\omega _{d}} 인 음의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이고, I R 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}} 는 크기가 A R 2 = I R 2 / e ζ ω n t R 2 {\displaystyle A_{R2}=I_{R2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R2}}} 이고 시간이 t R 2 = θ R 2 / ω d {\displaystyle t_{R2}=\theta _{R2}/\omega _{d}} 인 양의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이다. 합벡터 I R 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}} 과 I R 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}} 는 다음과 구해질 수 있다. R x = I 1 + I 2 c o s θ 2 , R y = I 2 s i n θ 2 {\displaystyle \qquad R_{x}=I_{1}+I_{2}cos\theta _{2},\qquad R_{y}=I_{2}sin\theta _{2}} I R 1 = − R x 2 + R y 2 , θ R 1 = π + tan − 1 ⁡ ( R y / R x ) {\displaystyle \qquad I_{R1}=-{\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\qquad \theta _{R1}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})} I R 2 = R x 2 + R y 2 ,     θ R 2 = tan − 1 ⁡ ( R y / R x ) {\displaystyle \qquad I_{R2}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\qquad \ \ \theta _{R2}=\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})} 참고로 − π / 2 < tan − 1 ⁡ ( a ) < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<\tan ^{-1}(a)<\pi /2} 이다. I R 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}} 과 I R 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}} 에 상응하는 임펄스응답 y R 1 {\displaystyle y_{R1}} 과 y R 2 {\displaystyle y_{R2}} 는, 오른쪽 그림 (b)의 녹색선에서 보듯이, 각각의 임펄스시간 이후에 y 1 + y 2 {\displaystyle y_{1}+y_{2}} 와 정확히 일치한다. 이제 합벡터를 0으로 만들기 위해 I 1 + I 2 {\displaystyle \mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}} 에 세번째 임펄스벡터 I 3 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}} 을 그림과 같이 추가해보자. 임펄스벡터 I 3 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}} 은 다음과 같이 구해질 수 있다. I 3 = R x 2 + R y 2 , θ 3 = π + tan − 1 ⁡ ( R y / R x ) {\displaystyle \qquad I_{3}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\qquad \theta _{3}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})} 임펄스벡터 I 1 , I 2 , I 3 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1},{\mathbf {I}}_{2},{\mathbf {I}}_{3}} 에 상응하는 임펄스열을 이차시스템에 입력으로 가하면, 오른쪽 시간응답 (b)의 빨간선에서 보듯이, 마지막 임펄스시간 t 3 {\displaystyle t_{3}} 이후에 잔류진동이 사라진다. 물론 합벡터를 0으로 만드는 임펄스벡터 I 3 ′ {\displaystyle \mathbf {I} _{3}^{'}} 도 존재할 수 있다. I 3 ′ {\displaystyle \mathbf {I} _{3}^{'}} 은 I 3 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}} 과 크기는 같으나 각도가 π {\displaystyle \pi } 만큼 더 커서, 상응하는 시간응답은 반주기 더 지나서 잔류진동을 제거한다. 임펄스벡터를 사용하면, 잘 알려진 기존의 ZV 성형기(zero vibration shaper), ZVD 성형기(zero vibration and derivative shaper), ZVDn 성형기 등을 쉽게 재설계할 수 있다. ZV 성형기는 두개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 첫번째 임펄스벡터는 0°에, 두번째 임펄스벡터는, 합벡터 I 1 + I 2 = 0 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}={\mathbf {0}}} 이 되도록, 180°에 위치시킨다. 그러면 다음 식이 성립한다. θ 1 = 0 ,     θ 2 = π ∴ t 1 = 0 ,     t 2 = π / ω d {\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d}} I 1 = I 2 = I {\displaystyle \qquad I_{1}=I_{2}=I} 그리고  정규화조건 A 1 + A 2 = 1 {\displaystyle A_{1}+A_{2}=1} 이 만족되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있다. I 1 + I 2 / e ζ ω n t 2 = I + I / K = 1 ∴ I = K K + 1 ,     K = e ζ π / 1 − ζ 2 {\displaystyle \qquad I_{1}+I_{2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}=I+I/K=1\qquad \therefore I={\frac {K}{K+1}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}} 따라서 ZV 성형기 A 1 δ ( t ) + A 2 δ ( t − t 2 ) {\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})} 는 다음과 같이 주어진다. [ t i A i ] = [ 0 π / ω d K / ( K + 1 ) 1 / ( K + 1 ) ] {\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\pi /\omega _{d}\\K/(K+1)&1/(K+1)\end{bmatrix}}} ZVD 성형기는 세개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 벡터합이 I 1 + I 2 + I 3 = 0 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}+{\mathbf {I}}_{3}={\mathbf {0}}} 이 되도록 첫번째 임펄스벡터는 0 rad에, 두번째 임펄스벡터는 π {\displaystyle \pi } rad에, 세번째 임펄스벡터는 2 π {\displaystyle 2\pi } rad에 두되, 크기비를 I 1 : I 2 : I 3 = 1 : 2 : 1 {\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}=1:2:1} 로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다. θ 1 = 0 ,     θ 2 = π ,     θ 3 = 2 π ∴ t 1 = 0 ,     t 2 = π / ω d ,     t 3 = 2 π / ω d {\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d}} I 1 = I 3 = I ,     I 2 = 2 I {\displaystyle \qquad I_{1}=I_{3}=I,\ \ I_{2}=2I} 그리고 A 1 + A 2 + A 3 = 1 {\displaystyle A_{1}+A_{2}+A_{3}=1} 이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다. I 1 + I 2 e ζ ω n t 2 + I 3 e ζ ω n t 3 = I + 2 I K + I K 2 = 1 ∴ I = K 2 ( K + 1 ) 2 ,     K = e ζ π / 1 − ζ 2 {\displaystyle \qquad I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}=I+{\frac {2I}{K}}+{\frac {I}{K^{2}}}=1\qquad \therefore I={\frac {K^{2}}{(K+1)^{2}}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}} 따라서 ZVD 성형기 A 1 δ ( t ) + A 2 δ ( t − t 2 ) + A 3 δ ( t − t 3 ) {\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})} 는 다음과 같이 주어진다. [ t i A i ] = [ 0 , π / ω d , 2 π / ω d K 2 / ( K + 1 ) 2 , 2 K / ( K + 1 ) 2 , 1 / ( K + 1 ) 2 ] {\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\K^{2}/(K+1)^{2},&2K/(K+1)^{2},&1/(K+1)^{2}\end{bmatrix}}} ZVD2 성형기는 4개의 임펄스벡터로 구성된다. 벡터합이 I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}+{\mathbf {I}}_{3}+{\mathbf {I}}_{4}={\mathbf {0}}} 이 되도록, I 1 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}} 은 0 rad에, I 2 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}} 는 π {\displaystyle \pi } rad에, I 3 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}} 은 2 π {\displaystyle 2\pi } rad에, I 4 {\displaystyle {\mathbf {I}}_{4}} 는 3 π {\displaystyle 3\pi } rad에 두되, 크기비를 I 1 : I 2 : I 3 : I 4 = 1 : 3 : 3 : 1 {\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}=1:3:3:1} 로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다. θ 1 = 0 ,     θ 2 = π ,     θ 3 = 2 π ,     θ 4 = 3 π ∴ t 1 = 0 ,     t 2 = π / ω d ,     t 3 = 2 π / ω d ,     t 4 = 3 π / ω d {\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi ,\ \ \theta _{4}=3\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d},\ \ t_{4}=3\pi /\omega _{d}} I 1 = I 4 = I ,     I 2 = I 3 = 3 I {\displaystyle \qquad I_{1}=I_{4}=I,\ \ I_{2}=I_{3}=3I} 그리고 A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 1 {\displaystyle A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}=1} 이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다. I 1 + I 2 e ζ ω n t 2 + I 3 e ζ ω n t 3 + I 4 e ζ ω n t 4 = I + 3 I K + 3 I K 2 + I K 3 = 1 ∴ I = K 3 ( K + 1 ) 3 ,     K = e ζ π / 1 − ζ 2 {\displaystyle \qquad I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}+{\frac {I_{4}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{4}}}}=I+{\frac {3I}{K}}+{\frac {3I}{K^{2}}}+{\frac {I}{K^{3}}}=1\qquad \therefore I={\frac {K^{3}}{(K+1)^{3}}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}} 따라서 ZVD2 성형기 A 1 δ ( t ) + A 2 δ ( t − t 2 ) + A 3 δ ( t − t 3 ) + A 4 δ ( t − t 4 ) {\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})+A_{4}\delta (t-t_{4})} 는 다음과 같이 주어진다. [ t i A i ] = [ 0 , π / ω d , 2 π / ω d , 3 π / ω d K 3 / ( K + 1 ) 3 , 3 K 2 / ( K + 1 ) 3 , 3 K / ( K + 1 ) 3 , 1 / ( K + 1 ) 3 ] {\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d},&3\pi /\omega _{d}\\K^{3}/(K+1)^{3},&3K^{2}/(K+1)^{3},&3K/(K+1)^{3},&1/(K+1)^{3}\end{bmatrix}}} 같은 방법으로, ZVD3 성형기는 5개의 임펄스벡터로 구성되는데, 이 임펄스벡터를 0, π {\displaystyle \pi } , 2 π {\displaystyle 2\pi } , 3 π {\displaystyle 3\pi } , 4 π {\displaystyle 4\pi } rad에 배치하고, 크기비를 I 1 : I 2 : I 3 : I 4 : I 5 = 1 : 4 : 6 : 4 : 1 {\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}:I_{5}=1:4:6:4:1} 로 둠으로써 구할 수 있다. 일반적으로, ZVDn 성형기는 ( n + 2 ) {\displaystyle (n+2)} 개의 임펄스벡터로 구성되는데, i {\displaystyle i} 번째 임펄스벡터를 ( i − 1 ) π {\displaystyle (i-1)\pi } rad에 배치하고, 크기비를 I 1 : I 2 : I 3 : ⋯ : I n + 2 = n + 1 C 0 : n + 1 C 1 : n + 1 C 2 : ⋯ : n + 1 C n + 1 {\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:\cdots :I_{n+2}={}_{n+1}\!C_{0}:{}_{n+1}\!C_{1}:{}_{n+1}\!C_{2}:\cdots :{}_{n+1}\!C_{n+1}} 로 둠으로써 구할 수 있다. 여기서 m C k {\displaystyle {}_{m}\!C_{k}} 는 수학의 조합을 의미한다. 이제 임펄스벡터의 크기는 같고 임펄스벡터의 각도는 2 π {\displaystyle 2\pi } rad을 등간격으로 나눈 ETM 성형기(Equal shaping-Time and Magnitudes shaper)를 생각해보자. ETMn 성형기는 다음 조건을 만족한다. θ 1 = 0 ,     θ 2 = 2 π n − 1 ,     ⋯ ,     θ n − 1 = ( n − 2 ) 2 π n − 1 ,     θ n = 2 π {\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}={\frac {2\pi }{n-1}},\ \ \cdots ,\ \ \theta _{n-1}={\frac {(n-2)2\pi }{n-1}},\ \ \theta _{n}=2\pi } I 2 = I 3 = ⋯ = I n − 1 = I 1 + I n ,     I n = m I 1     ( m > 0 ) {\displaystyle \qquad I_{2}=I_{3}=\cdots =I_{n-1}=I_{1}+I_{n},\ \ I_{n}=mI_{1}\ \ (m>0)} ∑ i = 1 n A i = 1 {\displaystyle \qquad \sum _{i=1}^{n}A_{i}=1} 그러면 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 에 대해 ETMn 성형기의 임펄스벡터합은 항상 0이다. ETMn 성형기의 한 장점은, ZVDn 성형기나 EI 성형기(extra insensitive shaper)와 달리,  n {\displaystyle n} 이 아무리 늘어나더라도 성형시간(shaping time)은 항상 한 주기(감쇠주기)라는 것이다. 4개의 임펄스벡터로 구성된 ETM4 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 구해진다. [ t i A i ] = [ 0 , ( 2 π / 3 ) / ω d , ( 4 π / 3 ) / ω d , 2 π / ω d I / ( 1 + m ) , I / K 2 / 3 , I / K 4 / 3 , m I / { ( 1 + m ) K 2 } ] {\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(2\pi /3)/\omega _{d},&(4\pi /3)/\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{2/3},&I/K^{4/3},&mI/{\{(1+m)K^{2}\}}\end{bmatrix}}} I = ( 1 + m ) K 2 K 2 + ( 1 + m ) ( K 4 / 3 + K 2 / 3 ) + m ,     K = e ζ π / 1 − ζ 2 {\displaystyle \qquad \qquad I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{4/3}+K^{2/3})+m}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}} 5개의 임펄스벡터로 구성된 ETM5 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 얻어진다. [ t i A i ] = [ 0 , 0.5 π / ω d , π / ω d , 1.5 π / ω d , 2 π / ω d I / ( 1 + m ) , I / K 1 / 2 , I / K , I / K 3 / 2 , m I / { ( 1 + m ) K 2 } ] {\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&0.5\pi /\omega _{d},&\pi /\omega _{d},&1.5\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{1/2},&I/K,&I/K^{3/2},&mI/{\{(1+m)K^{2}\}}\end{bmatrix}}} I = ( 1 + m ) K 2 K 2 + ( 1 + m ) ( K 3 / 2 + K + K 1 / 2 ) + m ,     K = e ζ π / 1 − ζ 2 {\displaystyle \qquad \qquad I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{3/2}+K+K^{1/2})+m}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}} 같은 방법으로, n ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6} 에 대한 ETMn 성형기를 쉽게 구할 수 있다. 일반적으로 ETM 성형기는 양의 큰 모델링오차에 대해 ZVDn 성형기보다 더 큰 견실성(robustness)을 갖는 이점이 있다. 참고로, ZVD 성형기는 m = 1 {\displaystyle m=1} 인 ETM3 성형기이다. 임펄스벡터는 음의 임펄스를 가진 입력성형기를 설계할 때도 사용될 수 있다. 세 임펄스벡터의 크기가 I 1 = I   ( > 0 ) ,   I 2 = − I ,   I 3 = I {\displaystyle I_{1}=I\ (>0),\ I_{2}=-I,\ I_{3}=I} 이고 각도가 θ 1 = 0 ,   θ 2 = π / 3 ,   θ 3 = 2 π / 3 {\displaystyle \theta _{1}=0,\ \theta _{2}=\pi /3,\ \theta _{3}=2\pi /3} 인 NMe 성형기(Negative equal-Magnitude shaper)를 생각해보자. 이 세 임펄스벡터의 합은 0이므로 잔류진동은 제거된다. NMe 성형기의 임펄스시간은 t 2 = ( π / 3 ) / ω d ,   t 3 = ( 2 π / 3 ) / ω d {\displaystyle t_{2}=(\pi /3)/\omega _{d},\ t_{3}=(2\pi /3)/\omega _{d}} 로 주어지고, 임펄스크기 A i {\displaystyle A_{i}} 는 다음 연립방정식으로부터 얻어진다. A 1 = I , A 2 = − I / e ζ ω n t 2 ,     A 3 = I / e ζ ω n t 3 {\displaystyle \qquad A_{1}=I,A_{2}=-I/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}},\ \ A_{3}=I/e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}} A 1 + A 2 + A 3 = 1 {\displaystyle \qquad A_{1}+A_{2}+A_{3}=1} 얻어진 NMe 성형기 A 1 δ ( t ) + A 2 δ ( t − t 2 ) + A 3 δ ( t − t 3 ) {\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})} 은 다음과 같다. [ t i A i ] = [ 0 , ( π / 3 ) / ω d , ( 2 π / 3 ) / ω d I , − I / K 1 / 3 , I / K 2 / 3 ] {\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(\pi /3)/\omega _{d},&(2\pi /3)/\omega _{d}\\I,&-I/K^{1/3},&I/K^{2/3}\end{bmatrix}}} I = K / ( K − K 2 / 3 + K 1 / 3 ) ,       K = e ζ π / 1 − ζ 2 {\displaystyle \qquad \qquad I=K/(K-K^{2/3}+K^{1/3}),\ \ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}} NMe 성형기는 ZVD 성형기보다 더 짧은 성형시간을 갖는 장점이 있지만, 모델링오차에 대해 더 나쁜 견실성을 갖는 단점이 있다. 참고로, 비감쇠시스템( ζ = 0 {\displaystyle \zeta =0} )이면 NMe 성형기는 기존에 알려진 UM성형기(unity-magnitude shaper)가 된다. 아래 그림 (a)는 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도를 보여주고 있고, 그림 (b)는 여러 가지 입력성형기의 잔류진동 제거성능을 나타내는 계단응답을 보여주고 있다. 입력성형기에서 ω n {\displaystyle \omega _{n}} 과 ζ {\displaystyle \zeta } 의 모델링오차에 대한 견실성은 민감도곡선(sensitivity curve)으로 표현된다. 위 여러 가지 입력성형기에 대한 민감도곡선은 참고 문헌을 참고하기 바란다. Kang, Chul-Goo (August 2019). “Impulse vectors for input shaping control: A mathematical tool to design and analyze input shapers” (PDF). 《IEEE Control Systems Magazine》 39 (4): 40–55. doi:10.1109/MCS.2019.2913610. S2CID 198145461. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Singhose, W.; Seering, W.; Singer, N. (1994). “Residual vibration reduction using vector diagrams to generate shaped inputs”. 《Journal of Mechanical Design》 116 (2): 654–659. doi:10.1115/1.2919428.  Singhose, W. (2009). “Command shaping for flexible systems: A review of the first 50 years”. 《International Journal of Precision Engineering and Manufacturing》 10 (4): 153–168. doi:10.1007/s12541-009-0084-2. S2CID 111341954.  Singhose, W.; Derezinski, S.; Singer, N. (1996). “Extra-insensitive input shapers for controlling flexible spacecraft”. 《Journal of Guidance, Control and Dynamics》 19 (2): 385–391. Bibcode:1996JGCD...19..385S. doi:10.2514/3.21630.  Singhose, W. E.; Seering, W. P.; Singer, N. C. (1997). “Time-optimal negative input shapers”. 《Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control》 119 (2): 198–205. doi:10.1115/1.2801233.