알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형

이론물리학에서 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형(Алехандров-Концевич-Шварц-Заборонский模形, 영어: AKSZ sigma model, 약자 AKSZ 시그마 모형)은 L∞-준대수의 데이터로 정의되는 위상 양자장론이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 매끄러운 다양체 N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} 위의 L∞-준대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} . 즉, 이는 g 0 = C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 가 되는 L∞-대수이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 2차 불변 다항식. 즉, 원소 ω ∈∈ Weil 2 + dim ⁡ M ⁡ ( g ) {\displaystyle \omega \in \in \operatorname {Weil} _{2+\dim M}({\mathfrak {g}})} 가운데, d Weil ⁡ ( g ) ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})}\omega =0} 이며, ω i j δ t i δ t j {\displaystyle \omega _{ij}\delta t^{i}\delta t^{j}} 의 꼴이어야 한다. 또한, ω i j {\displaystyle \omega _{ij}} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 비퇴화 이차 형식이어야 한다. (여기서 Weil ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Weil} (-)} 는 L∞-대수의 베유 대수이다.) d Weil ⁡ ( g ) c = ω {\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})}c=\omega } 가 되는 원소 c ∈ Weil ⁡ ( g ) {\displaystyle c\in \operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})} . 이를 천-사이먼스 원소(영어: Chern–Simons element)라고 한다. 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 표준적인 사영 사상 Weil ⁡ ( g ) → CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 아래의 c {\displaystyle c} 의 상을 μ ∈ CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \mu \in \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 라고 하자. L∞-준대수 사상 ϕ : T M → g {\displaystyle \phi \colon \mathrm {T} M\to {\mathfrak {g}}} 는 M {\displaystyle M} 위의 일련의 미분 형식 장들을 정의한다. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다. S = k ∫ ϕ ∗ c = k ∫ ω ( ϕ , d ϕ ) + μ {\displaystyle S=k\int \phi ^{*}c=k\int \omega (\phi ,\mathrm {d} \phi )+\mu } 여기서 k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } 는 임의의 상수이다. 이를 AKSZ 시그마 모형이라고 한다. 심플렉틱 다양체 N {\displaystyle N} 의 심플렉틱 형식 ω {\displaystyle \omega } 가 완전 미분 형식이라고 하자. ω = d c {\displaystyle \omega =\mathrm {d} c} c ∈ Ω 1 ( N ) {\displaystyle c\in \Omega ^{1}(N)} 즉, 여기서 c {\displaystyle c} 는 ω {\displaystyle \omega } 의 천-사이먼스 형식이다. N {\displaystyle N} 은 (0차원 벡터 다발에 해당하는) 자명한 리 준대수로 여겨질 수 있으며, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는 CE ⁡ ( N ) = C ∞ ( N ; R ) {\displaystyle \operatorname {CE} (N)={\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )} 이다. 리 준대수 사상 T M → N {\displaystyle \mathrm {T} M\to N} 은 단순히 매끄러운 함수 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 이며, 이에 대한 1차원 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형의 작용은 S = ∫ R ϕ ∗ c {\displaystyle S=\int _{\mathbb {R} }\phi ^{*}c} 이다. 이에 대한 운동 방정식은 ϕ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\phi }}=0} 이다. 즉, 이는 움직이지 않는 입자를 나타낸다. 구체적으로, N = T ∗ X {\displaystyle N=\mathrm {T} ^{*}X} 가 공변접다발이라고 하자. 그렇다면 c = p i d x i {\displaystyle c=p_{i}\mathrm {d} x^{i}} 가 되며, 이 경우 작용은 S = ∫ R p i x ˙ i d t {\displaystyle S=\int _{\mathbb {R} }p_{i}{\dot {x}}^{i}\,\mathrm {d} t} 가 된다. 이는 입자의 통상적인 작용 S = ∫ R ( p i x ˙ i − g i j p i p j / 2 m ) d t {\displaystyle S=\int _{\mathbb {R} }(p_{i}{\dot {x}}^{i}-g^{ij}p_{i}p_{j}/2m)\,\mathrm {d} t} 에서 무한대 질량 극한 m → ∞ {\displaystyle m\to \infty } 을 취한 것이다. 즉, 입자가 매우 무거워, 더 이상 움직이지 않게 된다. 푸아송 다양체 ( N , π ) {\displaystyle (N,\pi )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, T ∗ N ↠ N {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}N\twoheadrightarrow N} 은 표준적으로 리 준대수를 이룬다. 그렇다면, 리 준대수 사상 T ∗ M → E {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\to E} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 함수 ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} . 그 미분은 d ϕ ∈ Ω 1 ( M ; ϕ ∗ ( T N ) ) {\displaystyle \mathrm {d} \phi \in \Omega ^{1}(M;\phi ^{*}(\mathrm {T} N))} 이다. 이는 접다발 T N ↠ N {\displaystyle \mathrm {T} N\twoheadrightarrow N} 의 당김 올다발 ϕ ∗ ( T N ) ↠ M {\displaystyle \phi ^{*}(\mathrm {T} N)\twoheadrightarrow M} 에 값을 갖는 1차 미분 형식이다. 공변접다발 E ∗ ↠ N {\displaystyle E^{*}\twoheadrightarrow N} 의 당김 올다발 ϕ ∗ E ∗ ↠ M {\displaystyle \phi ^{*}E^{*}\twoheadrightarrow M} 에 값을 갖는 1차 미분 형식 η ∈ Ω 1 ( M ; ϕ ∗ E ∗ ) {\displaystyle \eta \in \Omega ^{1}(M;\phi ^{*}E^{*})} M {\displaystyle M} 의 지표를 μ , ν , … {\displaystyle \mu ,\nu ,\dotsc } 로, N {\displaystyle N} 의 지표를 i , j , … {\displaystyle i,j,\dotsc } 로 적을 때, 장들은 η μ i {\displaystyle \eta _{\mu }^{i}} ∂ μ ϕ i {\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}} 이며, 이에 대한 작용은 S = ∫ M ( η i ∧ d ϕ i + 1 2 π i j ( ϕ ) η i ∧ η j ) {\displaystyle S=\int _{M}\left(\eta _{i}\wedge \mathrm {d} \phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\pi ^{ij}(\phi )\eta _{i}\wedge \eta _{j}\right)} 이다. 여기서 π {\displaystyle \pi } 는 푸아송 다양체의 푸아송 텐서이다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 차원 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} . 이는 한원소 공간 N = { ∙ } {\displaystyle N=\{\bullet \}} 위의 리 준대수이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 불변 다항식 ω ∈ Weil 4 ⁡ ( g ) {\displaystyle \omega \in \operatorname {Weil} ^{4}({\mathfrak {g}})} (예를 들어, 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 단순 리 대수라면, ω {\displaystyle \omega } 는 킬링 형식의 실수배이다.) 그렇다면, ω {\displaystyle \omega } 에 대응하는 천-사이먼스 원소 d Weil ⁡ ( g ) α = ω {\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})}\alpha =\omega } α ∈ Weil 3 ⁡ ( g ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Weil} ^{3}({\mathfrak {g}})} 를 정의할 수 있다. 이에 대한 작용은 천-사이먼스 형식이다. 리 준대수 사상 T M → g {\displaystyle \mathrm {T} M\to {\mathfrak {g}}} 의 개념은 리 대수 값 1차 미분 형식 A ∈ Ω 1 ( M ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} 의 개념과 동치이며, 이에 대한 AKSZ 시그마 모형은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대한 천-사이먼스 이론이다. 보다 일반적으로, 이차 리 대수 대신 스칼라장을 포함할 수 있는 쿠런트 준대수를 사용할 수 있다. 이 경우 얻는 작용은 쿠런트 시그마 모형(영어: Courant sigma model)이라고 한다. 알렉산드로프 · 막심 콘체비치 · 알베르트 시바르츠 · 자보론스키가 도입하였다. Alexandrov, M.; Kontsevich, Maxim; Schwarz, Albert; Zaboronsky, Oleg (1997). “The geometry of the master equation and topological quantum field theory”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 12 (7): 1405–1429. arXiv:hep-th/9502010.  Ikeda, Noriaki (2012). “Lectures on AKSZ topological field theories for physicists” (영어). arXiv:1204.3714.  Roytenberg, Dmitry (2007). “AKSZ-BV formalism and Courant algebroid-induced topological field theories”. 《Lett.Math.Phys.》 (영어) 79: 143–159. arXiv:hep-th/0608150.  Fiorenza, Domenico; Rogers, Chris; Schreiber, Urs (2013). “AKSZ Sigma-Models in Higher Chern-Weil Theory”. 《International Journal of Geometic Methods in Modern Physics》 (영어) 10: 1250078. arXiv:1108.4378.  “AKSZ sigma-model”. 《nLab》 (영어).  Schreiber, Urs. “∞-Chern-Simons theory — examples” (영어).