심슨 직선

기하학에서 심슨 직선(영어: Simson line)은 삼각형의 외접원 위의 점을 지나는 각 변의 수선의 발을 지나는 직선이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 및 같은 평면 위의 점 P {\displaystyle P} 가 주어졌다고 하자. P {\displaystyle P} 를 지나는 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.:41, §2.5, Theorem 2.51 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 한 직선 위의 점이다. P {\displaystyle P} 는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이다. 만약 P {\displaystyle P} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이라면, D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 를 지나는 직선을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 점 P {\displaystyle P} 의 심슨 직선이라고 한다. 만약 P {\displaystyle P} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이 아니라면, 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 를 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 점 P {\displaystyle P} 의 수족 삼각형이라고 한다. 증명: 점 P {\displaystyle P} 가 외접원 위의 점이라고 가정하자. 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 외접원의 지름을 A A ′ {\displaystyle AA'} 이라고 하자. 편의상 P {\displaystyle P} 가 호 B A ′ {\displaystyle BA'} 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} 는 선분 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} 위의 점이며 F {\displaystyle F} 는 선분 A B {\displaystyle AB} 의 연장선 위의 점이다. 또한 P D {\displaystyle PD} , P E {\displaystyle PE} , P F {\displaystyle PF} 가 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 의 수선이므로 사각형 A E P F {\displaystyle AEPF} , B D P F {\displaystyle BDPF} , C E D P {\displaystyle CEDP} 는 내접 사각형이며, P {\displaystyle P} 가 외접원 위의 점이므로 사각형 A B P E {\displaystyle ABPE} 역시 내접 사각형이다. 따라서 ∠ B D F = ∠ B P F = ∠ E P F − ∠ B P E = 180 ∘ − ∠ A − ∠ B P E = ∠ B P C − ∠ B P E = ∠ C P E = ∠ C D E {\displaystyle {\begin{aligned}\angle BDF&=\angle BPF\\&=\angle EPF-\angle BPE\\&=180^{\circ }-\angle A-\angle BPE\\&=\angle BPC-\angle BPE\\&=\angle CPE\\&=\angle CDE\end{aligned}}} 이다. 즉, D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 한 직선 위의 점이다. 반대로 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 한 직선 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 P {\displaystyle P} 는 삼각형의 한 꼭짓점에서의 내각의 내부에 속하며, 대변에 대하여 그 꼭짓점의 반대쪽에 있다. 편의상 P {\displaystyle P} 가 내각 ∠ A {\displaystyle \angle A} 의 내부에 속하며 대변 B C {\displaystyle BC} 에 대하여 A {\displaystyle A} 의 반대쪽에 있다고 하자. 그렇다면 사각형 C E D P {\displaystyle CEDP} , B D P F {\displaystyle BDPF} 는 내접 사각형이므로 ∠ C P E = ∠ C D E = ∠ B D F = ∠ B P F {\displaystyle \angle CPE=\angle CDE=\angle BDF=\angle BPF} 이다. 사각형 A E P F {\displaystyle AEPF} 역시 내접 사각형이므로 ∠ B P C = ∠ B P E + ∠ C P E = ∠ B P E + ∠ B P F = ∠ E P F = 180 ∘ − A {\displaystyle \angle BPC=\angle BPE+\angle CPE=\angle BPE+\angle BPF=\angle EPF=180^{\circ }-A} 가 성립한다. 따라서 사각형 A B P C {\displaystyle ABPC} 역시 내접 사각형이며, P {\displaystyle P} 는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 외접원 위의 두 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 P Q {\displaystyle PQ} 의 중심각의 크기의 1/2과 같다.:44, §2.7, Theorem 2.71 증명: 점 P {\displaystyle P} 를 지나는 변 B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} , A B {\displaystyle AB} 의 수선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하고, 직선 P D {\displaystyle PD} 와 외접원의 다른 한 교점을 P ′ {\displaystyle P'} 이라고 하자. 그렇다면 A P ′ {\displaystyle AP'} 와 심슨 직선이 평행하는 것을 보이는 것으로 충분하다. 점 B {\displaystyle B} 를 지나는 외접원의 지름을 B B ′ {\displaystyle BB'} 이라고 하고, 편의상 P {\displaystyle P} 가 호 A B ′ {\displaystyle AB'} 위의 점이라고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 A P C P ′ {\displaystyle APCP'} , P C D E {\displaystyle PCDE} 는 내접 사각형이므로 ∠ P P ′ A = ∠ P C E = ∠ P D E {\displaystyle \angle PP'A=\angle PCE=\angle PDE} 이다. 따라서 A P ′ {\displaystyle AP'} 와 심슨 직선 D E {\displaystyle DE} 는 평행한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 외접원 위의 두 대척점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 의 심슨 직선은 서로 수직이며, 구점원 위의 점에서 만난다.:45, §2.7, Exercise 1 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 외접원 위의 점 P {\displaystyle P} 의 심슨 직선은 P {\displaystyle P} 와 수심 H {\displaystyle H} 사이의 선분 P H {\displaystyle PH} 를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 구점원의 한 교점이다.:47, §5.3 주어진 삼각형에 대한 심슨 직선들의 족의 포락선은 델토이드 곡선이며, 이를 슈타이너 하이포사이클로이드(영어: Steiner’s hypocycloid)라고 한다.:44, §2.7 수족 삼각형 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  “Simson straight line”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Simson line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Bogomolny, Alexander. “Simson line”. 《Cut the Knot》 (영어).