화살집 게이지 이론

양자장론에서 화살집 게이지 이론(화살집gauge異論, quiver gauge theory)은 특정한 꼴의 화살집으로 정의되는 게이지 이론이다. 편의상, 4차원 시공간의 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 유한 화살집 Q {\displaystyle Q} Q {\displaystyle Q} 의 각 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Q ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)} 에 대하여, 연결 콤팩트 리 군 G v {\displaystyle G_{v}} . 이는 유니터리 군 U ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {U} (N)} , 특수 유니터리 군 SU ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {SU} (N)} , 특수 직교군 SO ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {SO} (N)} , 심플렉틱 군 USp ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {USp} (N)} 가운데 하나이어야 한다. 이 경우, 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 게이지 이론이다. 게이지 군은 ∏ v ∈ V ⁡ ( Q ) G v {\displaystyle \textstyle \prod _{v\in \operatorname {V} (Q)}G_{v}} 이다. Q {\displaystyle Q} 의 각 변 e : u → v {\displaystyle e\colon u\to v} 에 대하여, 정의 표현(영어: defining representation) N ¯ u ⊗ N v {\displaystyle {\bar {N}}_{u}\otimes N_{v}} 로 변환하는 손지기 초장 Φ e {\displaystyle \Phi _{e}} 이 존재한다. 이러한 표현을 쌍기본 표현(bifundamental representation)이라고 한다. 예를 들어, S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 와 S U ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (3)} 사이에 있는 변은 6차원 표현 2 ¯ SU ⁡ ( 2 ) ⊗ 3 SU ⁡ ( 3 ) {\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}_{\operatorname {SU} (2)}\otimes {\mathbf {3} }_{\operatorname {SU} (3)}} 으로 변환한다. 다른 차원의 경우도 마찬가지의 꼴로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 화살집 도형은 특히 등각 게이지 이론을 나타내는 데 편하다. 화살집 도형의 구조로 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다. 편의상, 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} SU(N)×…×SU(N) 양-밀스 이론을 생각하자. 이는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 유한 화살집 Q {\displaystyle Q} 함수 N : V ⁡ ( Q ) → { 2 , 3 , … } {\displaystyle N\colon \operatorname {V} (Q)\to \{2,3,\dotsc \}} . 즉, 각 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Q ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)} 에 대하여, 2 이상의 정수 N v {\displaystyle N_{v}} . 즉, 이 꼭짓점은 게이지 군 U ⁡ ( N v ) {\displaystyle \operatorname {U} (N_{v})} 에 대응한다. 이제, 다음과 같은 | E ⁡ ( Q ) | × | V ⁡ ( Q ) | {\displaystyle |\operatorname {E} (Q)|\times |\operatorname {V} (Q)|} 부호 결합 행렬(영어: signed incidence matrix)을 정의하자. B Q ∈ Mat ⁡ ( | V ⁡ ( Q ) | , | E ⁡ ( Q ) | ; Z ) {\displaystyle B_{Q}\in \operatorname {Mat} (|\operatorname {V} (Q)|,|\operatorname {E} (Q)|;\mathbb {Z} )} M ( e , v ) = { + 1 v = t ( e ) ≠ s ( e ) − 1 v = s ( e ) ≠ t ( e ) 0 v = t ( e ) = s ( e ) 0 s ( e ) ≠ v ≠ t ( e ) {\displaystyle M(e,v)={\begin{cases}+1&v=t(e)\neq s(e)\\-1&v=s(e)\neq t(e)\\0&v=t(e)=s(e)\\0&s(e)\neq v\neq t(e)\end{cases}}} 그렇다면, 부호 인접 행렬(영어: signed adjacency matrix) A Q = B Q ⊤ B Q {\displaystyle A_{Q}=B_{Q}^{\top }B_{Q}} 을 정의할 수 있다. 또한, N {\displaystyle N} 을 | V ⁡ ( Q ) | × 1 {\displaystyle |\operatorname {V} (Q)|\times 1} 열벡터로 간주하자. ( Q , N ) {\displaystyle (Q,N)} 에 대응되는 화살집 게이지 이론이 게이지 변칙을 갖지 않으려면, 다음 조건이 성립해야 한다.:(2.4) B Q ⊤ B Q N = 0 {\displaystyle B_{Q}^{\top }B_{Q}N=0} 이는 각 꼭짓점 SU ⁡ ( N v ) {\displaystyle \operatorname {SU} (N_{v})} 에서, 기본 표현과 반기본 표현의 수의 합이 0이 되어야 하기 때문이다. (만약 N v = 2 {\displaystyle N_{v}=2} 일 경우, 대역적 위튼 변칙이 발생한다.) 일부 화살집 게이지 이론은 점근 국소 유클리드 공간 위에 평행한 D-막들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.:§2.2 구체적으로, SU(2)의 유한 부분군 Γ ≤ SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {SU} (2)} 가 주어졌을 때, R 4 ≅ C 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {C} ^{2}} 의 뒤발 특이점 C 2 / Γ {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\Gamma } 을 정의할 수 있다. 이는 오비폴드이므로, 이 위의 초끈 이론을 정의할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 N {\displaystyle N} 개의 D5-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 매케이 화살집에 해당하는 5+1차원 N = ( 1 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)} 화살집 게이지 이론이 존재한다.:§4:§2.1 이는 오비폴드를 가하기 이전의 6차원 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 이론에 오비폴드를 가한 것으로 볼 수 있다. 이는 ( N = ( 1 , 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)} 의 언어를 사용하면) 하나의 딸림표현 벡터 초다중항과 하나의 딸림표현 하이퍼 초다중항으로 구성된다. 이론의 각 오비폴드 섹터는 일반적으로 천-페이턴 지표 공간 C N {\displaystyle \mathbb {C} ^{N}} 은 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 유니터리 표현으로 분류된다. 이러한 표현을 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 기약 표현으로 분해하자. C N = ⨁ N i ρ i {\displaystyle \mathbb {C} ^{N}=\bigoplus N_{i}\rho _{i}} 그렇다면, 이 경우 U ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {U} (N)} 게이지 군은 ∏ i U ⁡ ( N i ) {\displaystyle \prod _{i}\operatorname {U} (N_{i})} 로 깨지게 된다. (이 가운데 U(1) 성분은 나머지 성분과 상호작용하지 않아, 이는 ∏ i SU ⁡ ( N i ) {\displaystyle \textstyle \prod _{i}\operatorname {SU} (N_{i})} 로 여겨도 무방하다.) 하이퍼 초다중항의 경우, SU(2) R대칭의 2를 따라 변환하므로, 이들은 2에 대한 매케이 화살집의 변들에 해당하는 게이지 표현을 갖는다. D5-막 대신 T-이중성을 가하여 6차원 이하의 임의의 차원에서 위와 같은 16개의 초전하를 갖는 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, 4차원의 경우 이는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭에 해당한다. 마찬가지로, SU(3)의 유한 부분군 Γ ≤ SU ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {SU} (3)} 가 주어졌을 때, R 4 ≅ C 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {C} ^{3}} 의 오비폴드 C 3 / Γ {\displaystyle \mathbb {C} ^{3}/\Gamma } 를 생각할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 N {\displaystyle N} 개의 D3-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 매케이 화살집에 해당하는 3+1차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 화살집 게이지 이론이 존재한다. 이는 4차원 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론에서 R대칭 SU(4) 가운데 SU(3)만큼을 부분군을 통하여 오비폴드를 가하는 것에 해당한다. (SU(4) 전체에 속하는 일반적 부분군을 사용하면, 아무 초대칭이 남지 못한다.) 이 경우, 스칼라 보손들은 SU(3)의 3⊕3 (SU(4)의 6) 표현을 따르며, 페르미온들은 SU(3)의 3⊕1 (SU(4)의 4) 표현을 따른다. 즉, 이들은 해당 표현에 대한 매케이 화살집으로 묘사되는 게이지 표현을 따른다. 이 가운데 3(또는 3)에 해당하는 것은 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 손지기 초다중항을 이루며, 1에 해당하는 페르미온은 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 벡터 초다중항의 일부이다. 표준 모형의 한 세대의 장들은 다음과 같이 화살집으로 표기된다. 1 → L SU ⁡ ( 2 ) → Q SU ⁡ ( 3 ) ⇉ D c U c 1 {\displaystyle 1\,{\overset {L}{\to }}\,\operatorname {SU} (2)\,{\overset {Q}{\to }}\,\operatorname {SU} (3)\,{\overset {U^{\mathsf {c}}}{\underset {D^{\mathsf {c}}}{\rightrightarrows }}}\,1} 이로서, SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 및 SU ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (3)} 에 대하여 게이지 변칙이 발생하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. (그러나 이는 U(1)을 표기하지 못한다.) 게이지 이론의 구조를 화살집으로 나타내는 아이디어는 하워드 조자이가 1985년에 최초로 도입하였다. 조자이는 이러한 화살집을 “무스”(영어: moose)라고 불렀는데, 이는 말코손바닥사슴을 뜻한다. 이는 화살집의 모양을 수컷 말코손바닥사슴의 뿔에 빗댄 것이다. 마이클 더글러스(영어: Michael R. Douglas, 1961~)와 그레고리 윈스럽 무어가 이러한 꼴의 이론이 끈 이론에서 자연스럽게 발생한다는 것을 1996년에 증명하였다. 화살집 (수학) Yamazaki, Masahito (2008년 6월). “Brane tilings and their applications”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 56 (6): 555-686. arXiv:0803.4474. Bibcode:2008ForPh..56..555Y. doi:10.1002/prop.200810536. ISSN 0015-8208.  Douglas, Michael R.; Moore, Gregory Winthrop (1996). “D-branes, quivers, and ALE instantons” (영어). arXiv:hep-th/9603167. Bibcode:1996hep.th....3167D.  Belhaj, Adil (2003년 7월). “On geometric engineering of N=1 ADE quiver models” (영어). arXiv:hep-th/0310230. Bibcode:2003hep.th...10230B.  He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi–Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142.  (영어). arXiv:hep-th/9803015.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말) Georgi, Howard (1986). 〈Composite models and GUTS (?) or fun with mooses〉. Rudaz, Serge; Walsh, Thomas F. 《Sixth workshop on grand unification. Proceedings of the conference held in April, 1985 at University of Minnesota, Minneapolis》 (영어). World Scientific. 349–359쪽. Bibcode:1986grun.conf..349G.  Frampton, Paul H.; Kephart, Thomas W. (2008년 1월). “Quiver gauge theory and conformality at the TeV scale”. 《Physics Reports》 (영어) 454: 203–269. arXiv:0706.4259. Bibcode:2008PhR...454..203F. doi:10.1016/j.physrep.2007.09.005. ISSN 0370-1573.  Uranga, Angel M. (2000). “From quiver diagrams to particle physics” (영어). arXiv:hep-th/0007173. Bibcode:2000hep.th....7173U.  Malyshev, Dmitry; Herman Verlinde (2007년 9월). “D-branes at singularities and string phenomenology”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 171: 139-163. arXiv:0711.2451. Bibcode:2007NuPhS.171..139M. doi:10.1016/j.nuclphysbps.2007.06.009. ISSN 0920-5632.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi–Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142. Bibcode:2004hep.th....8142H.  Krefl, Daniel (2008년 8월). “Brane tilings for orientifolds”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 56 (7-9): 869-875. arXiv:0804.0329. Bibcode:2008ForPh..56..869K. doi:10.1002/prop.200810554. ISSN 0015-8208.  “Quiver gauge theory”. 《nLab》 (영어).