기멜 함수

집합론에서 기멜 함수(ℷ函數, 영어: gimel function)는 무한 기수의 거듭제곱을 나타낼 수 있는 함수이다. 기멜 함수는 다음과 같다. ℷ : Card → Card {\displaystyle \gimel \colon \operatorname {Card} \to \operatorname {Card} } ℷ : κ ↦ κ cf ⁡ κ {\displaystyle \gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }} 여기서 cf ⁡ κ {\displaystyle \operatorname {cf} \kappa } 는 공종도이다. 자연수의 공종도는 cf ⁡ n = min { 1 , n } {\displaystyle \operatorname {cf} n=\min\{1,n\}} 이므로 ℷ ( n ) = max { 1 , n } {\displaystyle \gimel (n)=\max\{1,n\}} 이다. 정칙 기수 κ {\displaystyle \kappa } 의 경우 ℷ ( κ ) = 2 κ {\displaystyle \gimel (\kappa )=2^{\kappa }} 이다. 가장 작은 무한 특이 기수인 ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} 의 경우, ℷ ( ℵ ω ) ≤ max { 2 ℵ 0 , ℵ ω 4 } {\displaystyle \gimel (\aleph _{\omega })\leq \max\{2^{\aleph _{0}},\aleph _{\omega _{4}}\}} 이다. 이는 사하론 셸라흐가 가능 공종도 이론을 사용하여 증명하였다. 쾨니그의 정리에 따라, 모든 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 κ < ℷ ( κ ) ≤ 2 κ {\displaystyle \kappa <\gimel (\kappa )\leq 2^{\kappa }} 이다. 따라서, 일반화 연속체 가설을 가정한다면 기멜 함수는 다음과 같다. ℷ ( κ ) = { 1 κ = 0 κ 1 ≤ κ < ℵ 0 κ + κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \gimel (\kappa )={\begin{cases}1&\kappa =0\\\kappa &1\leq \kappa <\aleph _{0}\\\kappa ^{+}&\kappa \geq \aleph _{0}\end{cases}}} 기수의 거듭제곱은 기멜 함수로 다음과 같이 완전히 정의된다. 임의의 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 2 κ = { ℷ ( κ ) ∃ λ : κ = λ + max { 2 μ , ℷ ( κ ) } ∃ μ < κ : ∀ λ ∈ [ μ , κ ) : 2 λ = 2 μ ℷ ( sup λ < κ 2 λ ) ∄ μ < κ : ∀ λ ∈ [ μ , κ ) : 2 λ = 2 μ {\displaystyle 2^{\kappa }={\begin{cases}\gimel (\kappa )&\exists \lambda \colon \kappa =\lambda ^{+}\\\max\{2^{\mu },\gimel (\kappa )\}&\exists \mu <\kappa \colon \forall \lambda \in [\mu ,\kappa )\colon 2^{\lambda }=2^{\mu }\\\gimel \left(\sup _{\lambda <\kappa }2^{\lambda }\right)&\nexists \mu <\kappa \colon \forall \lambda \in [\mu ,\kappa )\colon 2^{\lambda }=2^{\mu }\end{cases}}} 임의의 두 무한 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 에 대하여, 다음이 성립한다. κ λ = { 2 λ 2 ≤ κ ≤ λ μ λ κ > λ ∧ ( ∃ μ < κ : μ λ ≥ κ ) ℷ ( κ ) κ > λ ≥ cf ⁡ κ ∧ ( ∄ μ < κ : μ λ ≥ κ ) κ cf ⁡ κ > λ ∧ ( ∄ μ < κ : μ λ ≥ κ ) {\displaystyle \kappa ^{\lambda }={\begin{cases}2^{\lambda }&2\leq \kappa \leq \lambda \\\mu ^{\lambda }&\kappa >\lambda \land \left(\exists \mu <\kappa \colon \mu ^{\lambda }\geq \kappa \right)\\\gimel (\kappa )&\kappa >\lambda \geq \operatorname {cf} \kappa \land \left(\nexists \mu <\kappa \colon \mu ^{\lambda }\geq \kappa \right)\\\kappa &\operatorname {cf} \kappa >\lambda \land \left(\nexists \mu <\kappa \colon \mu ^{\lambda }\geq \kappa \right)\\\end{cases}}} Shelah, Saharon (1992). “Cardinal arithmetic for skeptics”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 26 (2): 197–210. arXiv:math/9201251. Bibcode:1992math......1251S. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6. ISSN 0273-0979. MR 1112424.  Jech, Thomas J. (1973). “Properties of the gimel function and a classification of singular cardinals”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 81 (1): 57–64. ISSN 0016-2736.  Jech, Thomas (1995년 12월). “Singular cardinals and the pcf theory” (PDF). 《The Bulletin of Symbolic Logic》 (영어) 1 (4): 408–424. ISSN 1079-8986. JSTOR 421130. MR 1369170. Zbl 0849.03040. 2011년 7월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함.  Caicedo, Andrés (2009년 2월 7일). “580 - Cardinal arithmetic (2)”. 《A Kind of Library》 (영어).  특이 기수 가설 가능 공종도