마슬로프 지표

심플렉틱 위상수학에서 마슬로프 지표(Маслов指標, 영어: Maslov index)는 심플렉틱 다양체 속의 라그랑주 부분 다양체 속의 폐곡선에 대응되는, 폐곡선이 감기는 수를 측정하는 정수이다. 양자역학의 반고전적 근사법에서, 고전적 작용의 보정항으로 등장한다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 심플렉틱 벡터 공간 ( V , ω ) {\displaystyle (V,\omega )} 가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다. U ⁡ ( n ) / O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)} 이는 n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle n(n+1)/2} 차원의 동차공간이며, 이를 라그랑주 그라스만 다양체(영어: Lagrangian Grassmannian)이라고 한다. 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이다. 구체적으로, U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 의 기본군은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이며, 이는 유니터리 행렬의 행렬식이 단위 복소수 det M ∈ { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \det M\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 임에서 기여한다. 직교 행렬의 행렬식은 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 2 Z ⊂ π 1 ( U ⁡ ( n ) ) = Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} \subset \pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z} } 이다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 접공간 T x M {\displaystyle T_{x}M} 에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 취하면, 올이 U ⁡ ( n ) / O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)} 인 올다발 Λ M ↠ M {\displaystyle \Lambda M\twoheadrightarrow M} 을 정의할 수 있다. 이를 라그랑주 그라스만 다발이라고 한다. M {\displaystyle M} 속의 라그랑주 부분 다양체 L ⊂ M {\displaystyle L\subset M} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 x ∈ L {\displaystyle x\in L} 에 대하여 라그랑주 그라스만 다발 Λ M {\displaystyle \Lambda M} 으로 가는 다발 사상 L → Λ M {\displaystyle L\to \Lambda M} 이 존재한다. 만약 L {\displaystyle L} 이 축약 가능 공간이라고 하면, Λ M | L {\displaystyle \Lambda M|_{L}} 과 U ⁡ ( n ) / O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)} 은 서로 호모토피 동치이며, 자연스러운 군 동형 π 1 ( U ⁡ ( n ) / O ⁡ ( n ) ) ≅ π 1 ( Λ M | L ) {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))\cong \pi _{1}(\Lambda M|_{L})} 이 주어진다. 위 동형은 코호몰로지에 의한 당김 Z ≅ ⟨ a ⟩ ≅ H 1 ( U ⁡ ( n ) / O ⁡ ( n ) ) ≅ H 1 ( Λ M | L ; Z ) → H 1 ( L ; Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \cong \langle a\rangle \cong H^{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))\cong H^{1}(\Lambda M|_{L};\mathbb {Z} )\to H^{1}(L;\mathbb {Z} )} 이 존재한다. 이 경우, H 1 ( U ⁡ ( n ) / O ⁡ ( n ) ) {\displaystyle H^{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))} 의 생성원 a {\displaystyle a} 의 H 1 ( L ; Z ) {\displaystyle H^{1}(L;\mathbb {Z} )} 에서의 상을 마슬로프 지표(영어: Maslov index) m ∈ H 1 ( L ; Z ) {\displaystyle m\in H^{1}(L;\mathbb {Z} )} 라고 한다. 폐곡선 또는 1차 호몰로지류 [ γ ] ∈ H 1 ( M ; Z ) {\displaystyle [\gamma ]\in H_{1}(M;\mathbb {Z} )} 의 마슬로프 지표는 정수 m ( [ γ ] ) ∈ Z {\displaystyle m([\gamma ])\in \mathbb {Z} } 이다. 빅토르 파블로비치 마슬로프(러시아어: Ви́ктор Па́влович Ма́слов)가 WKB 근사를 다루기 위하여 도입하였다. 이후 블라디미르 아르놀트가 1967년에 이를 대수적 위상수학을 통해 설명하였다. Маслов, В. П. (1965). 《Теория возмущений и асимптотические методы》 (러시아어). Издательство Московского государственного университета.  Маслов, В. П. (1965). 〈Метод ВКБ в многомерном случае〉. 《Введение в метод фазовы хинтегралов》. Библиотека сборника «Математика» (러시아어). Издательство «Мир».  Арнольд, В. И. (1967). “О характеристическом классе, входящем в условия квантования”. 《Функциональный анализ и его приложения》 (러시아어) 1 (1): 1–14.  영역 Arnol’d, V. I. (1967년 1월). “Characteristic class entering in quantization conditions” (PDF). 《Functional Analysis and Its Applications》 (영어) 1 (1): 1-13. doi:10.1007/BF01075861. 2011년 6월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 9일에 확인함.  Bates, Sean; Weinstein, Alan. “Lectures on the geometry of quantization” (PDF) (영어).  Thomas, Teruji (2009). “The Maslov index” (PDF) (영어). 2016년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 9일에 확인함.  Ranicki, Andrew. “The Maslov index” (영어). 2015년 12월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 9일에 확인함.  “Maslov index”. 《nLab》 (영어).