히르체브루흐-리만-로흐 정리

수학에서 히르체브루흐-리만-로흐 정리(영어: Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다. 콤팩트 복소다양체 X {\displaystyle X} 위에 해석적 벡터다발 E → X {\displaystyle E\to X} 가 있다고 하자. 그렇다면 E {\displaystyle E} 의 코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 χ ( E ) {\displaystyle \chi (E)} 를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다. χ ( E ) = ∫ X ch ⁡ ( E ) Td ⁡ ( X ) {\displaystyle \chi (E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (X)} 여기서 ch ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {ch} (E)} 는 E {\displaystyle E} 의 천 지표, Td ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Td} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 접다발의 토드 특성류다. X {\displaystyle X} 가 리만 곡면이라고 하고, E → X {\displaystyle E\to X} 가 인자류 [ D ] {\displaystyle [D]} 에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면 χ ( E ) = h 0 ( E ) − h 1 ( E ) {\displaystyle \chi (E)=h^{0}(E)-h^{1}(E)} ch ⁡ ( E ) = 1 + c 1 ( E ) {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=1+c_{1}(E)} Td ⁡ ( X ) = 1 + c 1 ( X ) / 2 {\displaystyle \operatorname {Td} (X)=1+c_{1}(X)/2} 이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 h 0 ( E ) − h 1 ( E ) = ∫ X ( c 1 ( E ) + c 1 ( X ) / 2 ) {\displaystyle h^{0}(E)-h^{1}(E)=\int _{X}(c_{1}(E)+c_{1}(X)/2)} 이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류는 c 1 {\displaystyle c_{1}} 이므로, c 1 ( X ) {\displaystyle c_{1}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 오일러 지표 ∫ X c 1 ( X ) = χ ( X ) = 2 − 2 g {\displaystyle \int _{X}c_{1}(X)=\chi (X)=2-2g} 이다. 여기서 g {\displaystyle g} 는 X {\displaystyle X} 의 종수(genus)다. 또한, ∫ X c 1 ( E ) = deg ⁡ D {\displaystyle \int _{X}c_{1}(E)=\deg D} 이다. 또한, h 0 ( E ) = I ( D ) {\displaystyle h^{0}(E)=I(D)} 이고, 세르 쌍대성에 의하여 h 1 ( E ) = h 0 ( O ( K ) ⊗ E − 1 ) = I ( K − D ) {\displaystyle h^{1}(E)=h^{0}({\mathcal {O}}(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)} ( K {\displaystyle K} 는 표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리 I ( D ) − I ( K − D ) = deg ⁡ D + 1 − g {\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g} 를 얻는다. 복소수 n {\displaystyle n} 차원 콤팩트 켈러 다양체 M {\displaystyle M} 의 경우, 오일러 지표는 돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로, χ ( M ) = ∑ p , q ( − 1 ) p + q h p , q ( M ) = ∑ n ( − 1 ) p χ ( ⋀ p T C ∗ M ) {\displaystyle \chi (M)=\sum _{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(M)=\sum _{n}(-1)^{p}\chi \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)} 이다. 여기서 h p , q ( M ) {\displaystyle h^{p,q}(M)} 는 호지 수이며, T C ∗ M {\displaystyle T_{\mathbb {C} }^{*}M} 은 M {\displaystyle M} 의 복소수 공변접다발이다. 분할 원리(영어: splitting principle)에 따라, T C M {\displaystyle T_{\mathbb {C} }M} 을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류가 ( x i ) i = 1 , … , n {\displaystyle (x_{i})_{i=1,\dots ,n}} 라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 − x i {\displaystyle -x_{i}} 이다. 그렇다면, ⋀ p T C ∗ M {\displaystyle \bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M} 의 천 지표는 다음과 같다. ch ⁡ ( ⋀ p T C ∗ M ) = ∑ I ⊆ { 1 , 2 , … , n } | I | = p ∏ i ∈ I exp ⁡ ( − x i ) {\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\sum _{I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}^{|I|=p}\prod _{i\in I}\exp(-x_{i})} 즉, ∑ p = 0 n ( − 1 ) p ch ⁡ ( ⋀ p T C ∗ M ) = ∏ i = 1 n ( 1 − exp ⁡ ( − x i ) ) {\displaystyle \sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\prod _{i=1}^{n}(1-\exp(-x_{i}))} 이다. 따라서, M {\displaystyle M} 의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다. χ ( M ) = ∫ M Td ⁡ ( T M ) ∑ p = 0 n ( − 1 ) p ch ⁡ ( ⋀ p T C ∗ M ) = ∫ M ∏ i = 1 n x i 1 − exp ⁡ ( − x i ) ( 1 − exp ⁡ ( − x i ) ) = ∫ M ∏ i = 1 n x i = ∫ M c n ( T M ) {\displaystyle \chi (M)=\int _{M}\operatorname {Td} (TM)\sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}(1-\exp(-x_{i}))=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\int _{M}c_{n}(TM)} 즉, M {\displaystyle M} 의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다. 프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다. Hirzebruch, F. (1954년 2월 1일). “Arithmetic genera and the theorem of Riemann–Roch for algebraic varieties”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences》 (영어) 40 (2): 110–114. doi:10.1073/pnas.40.2.110. ISSN 0027-8424.  아티야-싱어 지표 정리 그로텐디크-리만-로흐 정리