반사 (기하학)

기하학에서 반사(反射, 영어: reflection) 또는 대칭 이동(對稱 移動)은 유클리드 공간 위의 점을 어떤 초평면에 대한 ‘거울상’으로 변환시키는 함수이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 차원 부분 아핀 공간 Fix ⁡ ( R ) ⊂ R n {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\subset \mathbb {R} ^{n}} 을 반사 초평면으로 하는 반사 R : R n → R n {\displaystyle R\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 는 다음과 같다. 임의의 x ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, R ( x ) {\displaystyle R(\mathbf {x} )} 는 Fix ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)} 가 선분 ( x , R ( x ) ) {\displaystyle (\mathbf {x} ,R(\mathbf {x} ))} 의 수직 이등분 초평면이 되게 만드는 유일한 점이다. 반사 초평면의 점 x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} 및 단위 법벡터 n {\displaystyle \mathbf {n} } 이 주어졌을 때, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다. R ( x ) = x − 2 ( ( x − x 0 ) ⋅ n ) n {\displaystyle R(\mathbf {x} )=\mathbf {x} -2((\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} } 모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 아핀 변환이며, 선형 변환 성분의 행렬식은 −1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환이다. 모든 반사는 대합이다. 즉, 스스로를 두 번 합성하면 항등 함수를 얻는다. 반사의 고정점의 집합은 반사 초평면이다. 반사 R {\displaystyle R} 의 등거리 변환 I {\displaystyle I} 에 의한 켤레 역시 반사이며, 그 반사 초평면은 다음과 같다. Fix ⁡ ( I ∘ R ∘ I − 1 ) = I ( Fix ⁡ ( R ) ) {\displaystyle \operatorname {Fix} (I\circ R\circ I^{-1})=I(\operatorname {Fix} (R))} 반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 행렬 표현을 갖는다. ( 1 ⋱ 1 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\&\ddots \\&&1\\&&&-1\end{pmatrix}}} 평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 R {\displaystyle R} , R ′ {\displaystyle R'} 의 합성 R ′ ∘ R {\displaystyle R'\circ R} 은 평행 이동이며, ( R {\displaystyle R} 의 반사 초평면에서 R ′ {\displaystyle R'} 의 반사 초평면을 향하는) 공통 법벡터의 방향으로 반사 초평면 사이 거리의 2배만큼 평행 이동한다. 즉, 만약 Fix ⁡ ( R ) = { x ∈ R n : ( x − x 0 ) ⋅ n = 0 } {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} =0\}} Fix ⁡ ( R ′ ) = { x ∈ R n : ( x − x 0 ′ ) ⋅ n = 0 } {\displaystyle \operatorname {Fix} (R')=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}')\cdot \mathbf {n} =0\}} ‖ n ‖ = 1 {\displaystyle \|\mathbf {n} \|=1} 이라면, R ′ ∘ R {\displaystyle R'\circ R} 의 평행 이동 벡터는 2 ( x 0 ′ − x 0 ) ⋅ n {\displaystyle 2(\mathbf {x} _{0}'-\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} } 이다. 반대로, 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 R {\displaystyle R} , R ′ {\displaystyle R'} 의 합성 R ′ ∘ R {\displaystyle R'\circ R} 은 회전이다. 구체적으로, 이 회전은 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면 사이의 각의 2배만큼 ( R {\displaystyle R} 에서 R ′ {\displaystyle R'} 을 향하여) 회전시킨다. 즉, 만약 Fix ⁡ ( R ) = { x ∈ R n : ( x − x 0 ) ⋅ n = 0 } {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} =0\}} Fix ⁡ ( R ′ ) = { x ∈ R n : ( x − x 0 ′ ) ⋅ n ′ = 0 } {\displaystyle \operatorname {Fix} (R')=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}')\cdot \mathbf {n} '=0\}} ‖ n ‖ = ‖ n ′ ‖ = 1 {\displaystyle \|\mathbf {n} \|=\|\mathbf {n} '\|=1} n × n ′ ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {n} '\neq 0} 이라면, R ′ ∘ R {\displaystyle R'\circ R} 의 고정점 집합은 Fix ⁡ ( R ) ∩ Fix ⁡ ( R ′ ) {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R')} 이다. 또한, 평면 x 0 + ( Fix ⁡ ( R ) ∩ Fix ⁡ ( R ′ ) ) ⊥ {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+(\operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R'))^{\perp }} ( x 0 ∈ Fix ⁡ ( R ) ∩ Fix ⁡ ( R ′ ) {\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in \operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R')} )로 제한되었을 때, 회전 R ′ ∘ R ↾ ( x 0 + ( Fix ⁡ ( R ) ∩ Fix ⁡ ( R ′ ) ) ⊥ ) {\displaystyle R'\circ R\upharpoonright (\mathbf {x} _{0}+(\operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R'))^{\perp })} 의 회전 중심은 x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} 이며, 회전 각도는 2 arccos ⁡ ( n ⋅ n ′ ) {\displaystyle 2\arccos(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} ')} 이다. 반대로, 3차원 이하 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원부터는 성립하지 않는다. 3차원 벡터를 순허수 사원수로 여겼을 때, R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 위의 반사는 사원수 곱셈을 통해 간단하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 점 x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} 을 지나며 단위 법벡터 n {\displaystyle \mathbf {n} } 을 갖는 초평면 Fix ⁡ ( R ) ⊂ R 3 {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\subset \mathbb {R} ^{3}} 에 대한 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다. R ( x ) = x 0 + n ( x − x 0 ) n {\displaystyle R(\mathbf {x} )=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {n} (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\mathbf {n} } 여기서 우변의 곱셈은 사원수의 곱셈이다. 2차원 유클리드 공간 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 위의 x축 및 y축에 대한 반사는 각각 다음과 같다. ( x y ) ↦ ( 1 0 0 − 1 ) ( x y ) = ( x − y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}} ( x y ) ↦ ( − 1 0 0 1 ) ( x y ) = ( − x y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}}} 덧셈 역원 하우스홀더 변환 반전기하학 “Reflection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Reflection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.