측지선 완비 준 리만 다양체

리만 기하학에서 측지선 완비 준 리만 다양체(測地線完備準Riemann多樣體, 영어: geodesically complete pseudo-Riemannian manifold)는 그 측지선들이 중간에 임의로 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 준 리만 다양체라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 를 측지선 완비 준 리만 다양체라고 한다. 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 v ∈ T x M {\displaystyle v\in T_{x}M} 에 대하여, γ ( 0 ) = x {\displaystyle \gamma (0)=x} 이며 γ ˙ ( 0 ) = x ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)={\dot {x}}} 이며 모든 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 대하여 g ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) = 1 {\displaystyle {\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}=1} 인 측지선 γ : R → M {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M} 이 존재한다. 즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 및 임의의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상 exp x : dom ⁡ exp x → M {\displaystyle \exp _{x}\colon \operatorname {dom} \exp _{x}\to M} dom ⁡ exp x ⊆ T x ⁡ M {\displaystyle \operatorname {dom} \exp _{x}\subseteq \operatorname {T} _{x}M} 을 정의할 수 있다. 물론, 정의역 dom ⁡ exp x {\displaystyle \operatorname {dom} \exp _{x}} 는 0 {\displaystyle 0} 의 근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 T x ⁡ M {\displaystyle \operatorname {T} _{x}M} 전체에 정의될 수 있음을 뜻한다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 속의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 단사성 반지름(單射性半-, 영어: injectivity radius)은 exp x ↾ { v ∈ T x M : g ( v , v ) < R 2 {\displaystyle \exp _{x}\upharpoonright \{v\in \mathrm {T} _{x}M\colon g(v,v)<R^{2}} 가 단사 함수가 되는 R {\displaystyle R} 들의 상한이다. (물론 이 개념은 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에 대하여 무의미하다.) 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 불가능 준 리만 다양체(擴張不可能準Riemann多樣體, 영어: inextendable pseudo-Riemannian manifold)라고 한다. 임의의 연결 성분 ( M i , g ↾ M i ) {\displaystyle (M_{i},g\upharpoonright M_{i})} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연결 준 리만 다양체 ( M ~ , g ~ ) {\displaystyle ({\tilde {M}},{\tilde {g}})} 및 등거리 매장 ι : ( M i , g ↾ M i ) ↪ ( M ~ , g ~ ) {\displaystyle \iota \colon (M_{i},g\upharpoonright M_{i})\hookrightarrow ({\tilde {M}},{\tilde {g}})} 이 존재하지 않는다. ι ( M i ) {\displaystyle \iota (M_{i})} 는 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 열린집합이다. M ~ ∖ ι ( M ) ≠ ∅ {\displaystyle {\tilde {M}}\setminus \iota (M)\neq \varnothing } 이다. 임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 연결 성분이 콤팩트 ⇐ 콤팩트 리만 다양체의 경우, 호프-리노프 정리(Hopf-Rinow定理, 영어: Hopf–Rinow theorem)에 따르면 다음 세 조건이 서로 동치이다. 측지선 완비 준 리만 다양체이다. 모든 연결 성분이 완비 거리 공간이다. (하이네-보렐 정리) 각 연결 성분 속에서, 모든 유계 닫힌집합이 콤팩트 집합이다. 여기서, 임의의 연결 리만 다양체 위에는 표준적인 거리 함수를 줄 수 있는데, 위의 "완비 거리 공간" 및 "유계 집합"은 이 거리 함수에 대한 것이다. 그러나 호프-리노프 정리는 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다. 다만, 콤팩트 로런츠 다양체의 리만 곡률이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다. 호프-리노프 정리를 만족시키지 않는 로런츠 다양체의 대표적인 예는 클리프턴-폴 원환면(Clifton-Pohl圓環面, 영어: Clifton–Pohl torus)이다.:193, Example 7.16 이는 콤팩트 공간이지만, 확장 불가능 다양체가 아니다. 원점을 제거한 평면 M ~ = R 2 ∖ { 0 } = { ( x , y ) ∈ R 2 : ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle {\tilde {M}}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon (x,y)\neq (0,0)} 위에 다음과 같은 로런츠 계량을 주자. d s 2 = 2 d x y x 2 + y 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {2\mathrm {d} x\,\mathrm {y} }{x^{2}+y^{2}}}} 이를 클리프턴-폴 평면(Clifton-Pohl平面, 영어: Clifton–Pohl plane)이라고 한다. 그렇다면, 다음과 같은 변환들은 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 위의 등거리 변환이다. S λ : ( x , y ) ↦ ( λ x , λ y ) ∀ λ ∈ R + {\displaystyle S_{\lambda }\colon (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ^{+}} 이제, S 2 {\displaystyle S_{2}} 로 생성되는 이산 부분군을 생각하자. 이에 대한 몫공간 M = M ~ ( x , y ) ∼ ( 2 x , 2 y ) {\displaystyle M={\frac {\tilde {M}}{(x,y)\sim (2x,2y)}}} 은 원환면 S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} 과 미분 동형이며, 특히 콤팩트 공간이다. ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 을 클리프턴-폴 원환면이라고 한다. ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 은 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 이는 측지선 완비 다양체가 되지 못한다. 예를 들어, 측지선 γ ( t ) = ( ( 1 − t ) − 1 , 0 ) {\displaystyle \gamma (t)=\left((1-t)^{-1},0\right)} 은 t = 1 {\displaystyle t=1} 에서 정의되지 않는다. 마찬가지로, 측지선 γ ( t ) = ( tan ⁡ t , 1 ) {\displaystyle \gamma (t)=(\tan t,1)} 역시 t ± π / 2 {\displaystyle t\pm \pi /2} 에서 정의되지 않는다. 사실, 다음과 같은 좌표 변환을 가하자. ( u , v ) = ( arctan ⁡ x , arctan ⁡ y ) {\displaystyle (u,v)=(\arctan x,\arctan y)} 그렇다면, 클리프턴-폴 평면의 계량은 다음과 같다. d s 2 = 2 d u d v sin 2 ⁡ u cos 2 ⁡ v + sin 2 ⁡ v cos 2 ⁡ u {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {2\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}{\sin ^{2}u\cos ^{2}v+\sin ^{2}v\cos ^{2}u}}} 이는 자연스럽게 N = R 2 ∖ { ( π m / 2 , π n / 2 ) ∈ : ( m , n ) ∈ Z 2 , m ≡ n ( mod 2 ) } {\displaystyle N=\mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(\pi m/2,\pi n/2)\in \colon (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2},\;m\equiv n{\pmod {2}}\right\}} 위에 정의된다. 즉, 단사 등거리 변환 ι : M ~ ↪ N {\displaystyle \iota \colon {\tilde {M}}\hookrightarrow N} 이 존재하며, 그 상은 ι ( N ) = { ( x , y ) : | x | < π / 2 , | y | , π / 2 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) } {\displaystyle \iota (N)=\{(x,y)\colon |x|<\pi /2,\;|y|,\pi /2,\;(x,y)\neq (0,0)\}} 이다. N {\displaystyle N} 을 확장 클리프턴-폴 평면(擴張Clifton-Pohl平面, 영어: extended Clifton–Pohl plane)이라고 하며, 이는 M {\displaystyle M} 과 달리 측지선 완비 다양체이다.:§1.3 그러나 N {\displaystyle N} 의 경우 M {\displaystyle M} 을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다. 호프-리노프 정리는 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(독일어: Willi Ludwig August Rinow, 1907~1979)가 1931년에 증명하였다. 클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴(영어: Yeaton H. Clifton)과 윌리엄 폴(영어: William Pohl)이 발견하였으나, 출판하지 않았다.:95 Carrière, Yves (1989). “Autour de la conjecture de L. Markus sur les variétés affines”. 《Inventiones Mathematicae》 (프랑스어) 95 (3): 615–628. doi:10.1007/BF01393894. ISSN 0020-9910.  Urtsever, Ulvi. “A simple proof of geodesical completeness for compact space‐times of zero curvature”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 33 (4): 1295–1300. doi:10.1063/1.529706.  O’Neill, Barrett (1983). 《Semi-Riemannian geometry with applications to relativity》. Pure and Applied Mathematics (영어) 103. Academic Press. ISBN 978-008057057-0.  Bavard, Christophe; Mounoud, Pierre (2013). “Sur les surfaces lorentziennes compactes sans points conjugués” (PDF). 《Geometry and Topology》 (프랑스어) 17: 469–492. doi:10.2140/gt.2013.17.469.  Hopf, Heinz; Rinow, Willi (1931). “Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche”. 《Commemtarii Mathematici Helvetici》 (독일어) 3: 209–225. ISSN 0010-2571.  Wolf, Joseph A. (2011). 《Spaces of constant curvature》 (영어) 6판. American Mathematical Society Chelsea Publishing. doi:10.1090/chel/372. ISBN 978-0-8218-5282-8. MR 2742530.  “Complete Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hopf-Rinow theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete Riemannian metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hopf-Rinow theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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