위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, 영어: topological functor)는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.:407, §1 범주 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 원천(源泉, 영어: source 소스[*]) ( X , ( Y i ) i ∈ I , ( f i : X → Y i ) i ∈ I ) {\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I})} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:125, Definition 1.1(1) X ∈ E {\displaystyle X\in {\mathcal {E}}} 는 대상이다. ( Y i ) i ∈ I ⊆ E {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}} 는 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.) ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 는 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 사상들의 모임이다. 마찬가지로, E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 흡입(吸入, 영어: sink 싱크[*]) ( X , ( Y i ) i ∈ I , ( f i : Y i → X ) i ∈ I ) {\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I})} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. X ∈ E {\displaystyle X\in {\mathcal {E}}} 는 대상이다. ( Y i ) i ∈ I ⊆ E {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}} 는 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.) ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 는 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 사상들의 모임이다. 만약 I {\displaystyle I} 가 공집합이라면, 원천 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 은 단순히 대상 X {\displaystyle X} 이며, 만약 I {\displaystyle I} 가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 X → Y {\displaystyle X\to Y} 이다. 범주 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 원천 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 및 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. 만약 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} 를 Π {\displaystyle \Pi } -시작 원천(始作源泉, 영어: initial source)이라고 한다.:Definition 2.1(1) 임의의 대상 X ′ ∈ E {\displaystyle X'\in {\mathcal {E}}} 및 사상 g ^ : Π ( X ′ ) → Π ( X ) {\displaystyle {\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)} 및 사상족 ( f i ′ : X ′ → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f'_{i}\colon X'\to Y_{i})_{i\in I}} 에 대하여, ∀ i ∈ I : Π ( f i ) ∘ g ^ = Π ( f i ′ ) {\displaystyle \forall i\in I\colon \Pi (f_{i})\circ {\hat {g}}=\Pi (f'_{i})} 라면, g ^ = Π ( g ) {\displaystyle {\hat {g}}=\Pi (g)} 이자 ∀ i ∈ I : f i ∘ g = f i ′ {\displaystyle \forall i\in I\colon f_{i}\circ g=f'_{i}} 인 g : X ′ → X {\displaystyle g\colon X'\to X} 가 유일하게 존재한다. E → Π B X ′ ∃ ! g ↓ ∃ ! g ↘ f i ′ X → f i Y i ↦ Π Π X ′ g ^ ↓ g ^ ↘ Π f i ′ Π X → Π f i Π Y i {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f_{i}}{\to }}&Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f_{i}}{\to }}&\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}} 마찬가지로, 그 쌍대 개념인 Π {\displaystyle \Pi } -끝 흡입(-吸入, 영어: Π {\displaystyle \Pi } -final sink)을 정의할 수 있다. 만약 I {\displaystyle I} 가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다. 두 범주 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} , B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 사이의 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 원천 ( f ^ i : X ^ → Y ^ i ) i ∈ I {\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}} 에서, 만약 Y ^ i = Π ( Y i ) {\displaystyle {\hat {Y}}_{i}=\Pi (Y_{i})} 인 Y i ∈ E {\displaystyle Y_{i}\in {\mathcal {E}}} 가 존재한다면, 원천 ( f ^ i : X ^ → Y ^ i ) i ∈ I {\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}} 를 Π {\displaystyle \Pi } -구조 원천(構造源泉, 영어: Π {\displaystyle \Pi } -structured source)이라고 한다.:128, Definition 1.1(2) 마찬가지로 Π {\displaystyle \Pi } -구조 흡입(構造吸入, 영어: Π {\displaystyle \Pi } -structured sink)을 정의한다. Π {\displaystyle \Pi } -구조 원천 ( f ^ i : X ^ → Π ( Y i ) ) i ∈ I {\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}} 의 올림은 Π ( X ) = X ^ {\displaystyle \Pi (X)={\hat {X}}} 이자 ∀ i ∈ I : Π ( f i ) = f ^ i {\displaystyle \forall i\in I\colon \Pi (f_{i})={\hat {f}}_{i}} 인 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -원천 ( f i : X ^ → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon {\hat {X}}\to Y_{i})_{i\in I}} 이다. E → Π B ∃ X ∃ f i ↓ ∃ f i Y i ↦ Π X ^ f ^ i ↓ f ^ i Π Y i {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}\exists X\\{\scriptstyle \exists f_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists f_{i}}\\Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}{\hat {X}}\\{\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\\\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}} Π {\displaystyle \Pi } -구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다. 시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 임의의 Π {\displaystyle \Pi } -구조 원천 ( X ^ → Π ( Y i ) ) i ∈ I {\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}} 이 만약 시작 원천 ( X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (X\to Y_{i})_{i\in I}} 을 갖는다면, X {\displaystyle X} 를 원천 ( X ^ → Π ( Y i ) ) i ∈ I {\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}} 에 대한 X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} 의 시작 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조(始作構造, 영어: initial E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -structure)라고 한다. 마찬가지로, Π {\displaystyle \Pi } -구조 흡입에 대한 끝 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -구조(-構造, 영어: final E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -structure)를 정의할 수 있다. 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자(영어: topological functor)라고 한다.:128, Definition 2.1(3):29–30, §2:4, Definition 2.12 모든 Π {\displaystyle \Pi } -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다. 모든 Π {\displaystyle \Pi } -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다. 위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다. 구체적 범주 ( E , F ) {\displaystyle ({\mathcal {E}},F)} 에서, 만약 F : E → Set {\displaystyle F\colon {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set} } 가 위상 함자라면, 이를 위상 구체적 범주(位相具體的範疇, 영어: topological concrete category)라고 하며, 흔히 위상 범주(位相範疇, 영어: topological category)로 줄여 부른다. 모든 위상 함자는 충실한 함자이다.:129, Theorem 3.1 위상 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다. 모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다. 모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 와 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} 가 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 사상이며, Π ( X ) = Π ( Y ) = X ^ {\displaystyle \Pi (X)=\Pi (Y)={\hat {X}}} 이며 Π ( f ) = Π ( g ) = id X ^ {\displaystyle \Pi (f)=\Pi (g)=\operatorname {id} _{\hat {X}}} 라면, X = Y {\displaystyle X=Y} 이다. (이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.) P {\displaystyle {\mathsf {P}}} 가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자. 완비 범주 쌍대 완비 범주 정멱 범주 쌍대 정멱 범주 위상 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 에 대하여, 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 P {\displaystyle {\mathsf {P}}} 라면, E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 역시 P {\displaystyle {\mathsf {P}}} 이다. 임의의 범주 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 에 대하여, 위상 함자 E → Set {\displaystyle {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set} } 들은 자연 동형 아래 유일하다.:6, Corollary 2.2 다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다. 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } :2, Example 2.1(25) 위상 공간과 연속 함수의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } :2, Example 2.1(1) 콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 KolmTop {\displaystyle \operatorname {KolmTop} } :2, Example 2.1(17) T1 공간과 연속 함수의 범주 T 1 T o p {\displaystyle \operatorname {T_{1}Top} } :2, Example 2.1(18) 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 HausTop {\displaystyle \operatorname {HausTop} } :2, Example 2.1(19) 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 CompHausTop {\displaystyle \operatorname {CompHausTop} } :2, Example 2.1(21) 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 Unif {\displaystyle \operatorname {Unif} } :2, Example 2.1(2) 가측 공간과 가측 함수의 범주 Measble {\displaystyle \operatorname {Measble} } 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 Proset {\displaystyle \operatorname {Proset} } :2, Example 2.1(14) 부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 Poset {\displaystyle \operatorname {Poset} } :2, Example 2.1(15) 확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 ∞ p M e t {\displaystyle \operatorname {\infty pMet} } :233, Proposition B.1.2 로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 ∞ q p M e t {\displaystyle \operatorname {\infty qpMet} } :233, Proposition B.1.2 다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다. 차분한 공간과 연속 함수의 범주 SoberTop {\displaystyle \operatorname {SoberTop} } 정규 공간과 연속 함수의 범주 NormTop {\displaystyle \operatorname {NormTop} } 정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 NormHausTop {\displaystyle \operatorname {NormHausTop} } 장소와 장소 사상의 범주 Loc {\displaystyle \operatorname {Loc} } 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 Diff {\displaystyle \operatorname {Diff} } 위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, 영어: initial topology)과 끝 위상(-位相, 영어: final topology)이라고 불린다. 즉, 집합 X {\displaystyle X} 와 위상 공간들의 족 ( Y i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의 시작 위상은 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다. ⋃ i ∈ I { f i − 1 ( U ) ∣ U ∈ Open ⁡ ( Y i ) } {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(U)\mid U\in \operatorname {Open} (Y_{i})\}} 여기서 Open ⁡ ( Y i ) {\displaystyle \operatorname {Open} (Y_{i})} 는 Y i {\displaystyle Y_{i}} 의 위상(열린집합들의 족)이다. 마찬가지로, 집합 X {\displaystyle X} 와 위상 공간들의 족 ( Y i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의 끝 위상은 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 끝 위상은 다음과 같다. U ∈ Open ⁡ ( X ) ⟺ ∀ i ∈ I : f − 1 ( U ) ∈ Open ⁡ ( Y i ) {\displaystyle U\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in \operatorname {Open} (Y_{i})} 집합 X {\displaystyle X} 와 가측 공간들의 족 ( Y i , Σ i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 시작 시그마 대수(영어: initial sigma-algebra)는 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 시작 시그마 대수는 ⋃ i ∈ I { f i − 1 ( S ) ∣ S ∈ Σ i } {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(S)\mid S\in \Sigma _{i}\}} 로 생성된다. 마찬가지로, 집합 X {\displaystyle X} 와 가측 공간들의 족 ( Y i , Σ i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 끝 시그마 대수(영어: final sigma-algebra)는 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 끝 시그마 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } 는 다음과 같다. S ∈ Σ ⟺ ∀ i ∈ I : f − 1 ( S ) ∈ Σ i {\displaystyle S\in \Sigma \iff \forall i\in I\colon f^{-1}(S)\in \Sigma _{i}} 집합 X {\displaystyle X} 와 균등 공간들의 족 ( Y i , E i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 시작 균등 구조(영어: initial uniform structure)는 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 시작 균등 구조는 ⋃ i ∈ I { f i − 1 ( E ) ∣ E ∈ E i } {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(E)\mid E\in {\mathcal {E}}_{i}\}} 로 생성된다. 마찬가지로, 집합 X {\displaystyle X} 와 균등 공간들의 족 ( Y i , E i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 끝 균등 구조(영어: final uniform structure)는 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 끝 균등 구조 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 는 다음과 같다. E ∈ E ⟺ ∀ i ∈ I : f i − 1 ( E ) ∈ E i {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}^{-1}(E)\in {\mathcal {E}}_{i}} 집합 X {\displaystyle X} 와 유계형 집합들의 족 ( Y i , B i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 시작 유계형(영어: initial bornology)은 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 시작 유계형은 다음과 같다. B ∈ B ⟺ ∀ i ∈ I : f i ( B ) ∈ B i {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}(B)\in {\mathcal {B}}_{i}} 마찬가지로, 집합 X {\displaystyle X} 와 유계형 집합들의 족 ( Y i , B i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 끝 유계형(영어: final bornology)은 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 끝 유계형은 ⋃ i ∈ I { f i ( B ) : B ∈ B i } {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}_{i}\}} 로 생성된다. 집합 X {\displaystyle X} 와 원순서 집합들의 족 ( Y i , ≲ i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 시작 원순서(영어: initial preorder)는 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 시작 원순서는 다음과 같다. a ≲ b ⟺ ∀ i ∈ I : f i ( a ) ≲ i f i ( b ) {\displaystyle a\lesssim b\iff \forall i\in I\colon f_{i}(a)\lesssim _{i}f_{i}(b)} 마찬가지로, 집합 X {\displaystyle X} 와 원순서 집합들의 족 ( Y i , ≲ i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}} 및 함수족 ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. ( I {\displaystyle I} 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 끝 원순서(영어: final preorder)는 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 끝 원순서 ≲ {\displaystyle \lesssim } 는 ⋃ i ∈ I { ( f i ( a ) , f i ( b ) ) : a ≲ i b , a , b ∈ Y i } {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{(f_{i}(a),f_{i}(b))\colon a\lesssim _{i}b,\;a,b\in Y_{i}\}} 로 생성된다. 1974년에 호르스트 헤를리히(독일어: Horst Herrlich, 1937~2015)가 도입하였다. Garner, Richard (2014년 8월 12일). “Topological functors as total categories”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 29 (15): 406–421. arXiv:1310.0903. Bibcode:2013arXiv1310.0903G. ISSN 1201-561X. Zbl 1305.18005.  Herrlich, Horst (1974년 6월). “Topological functors”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 4 (2): 125–142. doi:10.1016/0016-660X(74)90016-6.  Brümmer, G. C. L. (1984년 9월). “Topological categories”. 《Topology and its Applications》 (영어) 18 (1): 27–41. doi:10.1016/0166-8641(84)90029-4. ISSN 0166-8641.  Lowen, Robert; Sioen, Mark; Verwulgen, Stĳn (2009). 〈Categorical topology〉. Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott. 《Beyond topology》. Contemporary Mathematics (영어) 486. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/486/9506. ISBN 978-0-8218-4279-9. MR 2521941.  Hoffmann, Rudolf-E. (1975). “Topological functors and factorizations”. 《Archives of Mathematics》 (영어) 26: 1–7. doi:10.1007/BF01229694. ISSN 0003-889X. MR 0428255. Zbl 0309.18002.  Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. MR 472024. Zbl 0891.54001.  Herrlich, Horst (1975). 〈Topological structures〉 (PDF). James, Ralph Duncan. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974. Volume 2》 (영어). Canadian Mathematical Congress. 63–66쪽. ISBN 0-919558-04-6. 2016년 10월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 6월 28일에 확인함.  Preuss, Gerhard (2002). 《Foundations of topology: an approach to convenient topology》 (영어). Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/978-94-010-0489-3. ISBN 978-94-010-3940-6.  Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 17: 1–507. Zbl 1113.18001.  “Topological structures”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Weak topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Topological concrete category”. 《nLab》 (영어).  “Sink”. 《nLab》 (영어).  “Final lift”. 《nLab》 (영어).  “Weak topology”. 《nLab》 (영어).  “Definition: initial topology”. 《ProofWiki》 (영어).  “Equivalence of definitions of initial topology”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: final topology”. 《ProofWiki》 (영어).  “Final topology is topology”. 《ProofWiki》 (영어).  “Initial topology with respect to mapping”. 《ProofWiki》 (영어). [깨진 링크(과거 내용 찾기)]