위상 벡터 공간

수학에서 위상 벡터 공간(位相vector空間, 영어: topological vector space, 약자 TVS)은 호환되는 위상이 주어진 벡터 공간이다. K {\displaystyle K} 가 위상환이라고 하자. 그렇다면 K {\displaystyle K} -위상 왼쪽 가군(영어: topological left K {\displaystyle K} -module) V {\displaystyle V} 는 다음 두 성질을 만족시키는, 위상 공간의 구조를 가지는 K {\displaystyle K} -왼쪽 가군이다. (덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 + : V × V → V {\displaystyle +\colon V\times V\to V} 는 연속 함수다. (여기서 V × V {\displaystyle V\times V} 는 곱위상을 갖춘다.) (스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 ⋅ : K × V → V {\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V} 는 연속 함수다. (여기서 K × V {\displaystyle K\times V} 는 곱위상을 갖춘다.) 마찬가지로 K {\displaystyle K} -위상 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 물론, K {\displaystyle K} 가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다. 만약 K {\displaystyle K} 가 위상체라면, V {\displaystyle V} 를 K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간이라고 한다. (월터 루딘과 같은 일부 저자들은 여기에 T1 공간 조건을 추가하기도 한다.) 모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 특히 아벨 위상군이므로, 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다. 이 경우, 덧셈과 스칼라곱이 사실 균등 연속 함수임을 보일 수 있다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 부분 집합 E ⊆ V {\displaystyle E\subseteq V} 에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다. 특히, 위와 같은 유계 집합의 정의를 통해, 모든 K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간은 유계형 집합을 이룬다. 위상환 K {\displaystyle K} 에 대한 위상 왼쪽 가군 K V {\displaystyle _{K}V} 이 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 K V → K K {\displaystyle _{K}V\to {}_{K}K} 들의 집합은 K {\displaystyle K} -위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 V {\displaystyle V} 의 연속 쌍대 가군 V K ′ {\displaystyle V'_{K}} 이라고 한다. 만약 K {\displaystyle K} 가 위상체일 경우, 이는 연속 쌍대 공간이라고 한다. 이는 (대수적) 쌍대 공간보다 일반적으로 더 작다. 위상 벡터 공간 (또는 위상 가군) 위에는 항상 원래 위상보다 더 엉성한 특별한 위상을 표준적으로 줄 수 있으며, 이를 약한 위상(弱한位相, 영어: weak topology)이라고 한다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 V {\displaystyle V} 의 원래 위상을 강한 위상(強한位相, 영어: strong topology)이라고 한다. 구체적으로, 위상환 K {\displaystyle K} 에 대한 위상 왼쪽 가군 K V {\displaystyle _{K}V} 의 연속 쌍대 가군 V ′ {\displaystyle V'} 으로 생성되는 시작 위상을 V {\displaystyle V} 의 약한 위상이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 집합 V {\displaystyle V} 에 약한 위상을 부여한 것을 V weak {\displaystyle V^{\text{weak}}} 라고 표기하자. 약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다. { ϕ − 1 ( U ) : U ∈ Open ⁡ ( K ) , ϕ ∈ V ′ } {\displaystyle \left\{\phi ^{-1}(U)\colon U\in \operatorname {Open} (K),\;\phi \in V'\right\}} 여기서 Open ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Open} (K)} 는 K {\displaystyle K} 의 열린집합들의 족이다. 정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 엉성한 위상이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 멱등 연산이다. 즉, 임의의 위상환 위의 위상 왼쪽 가군 K V {\displaystyle _{K}V} 에 대하여, 다음이 성립한다. V ′ = ( V weak ) ′ {\displaystyle V'=(V^{\text{weak}})'} V weak = ( V weak ) weak {\displaystyle V^{\text{weak}}=(V^{\text{weak}})^{\text{weak}}} 실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 다음 분리공리들이 서로 동치이다. V {\displaystyle V} 는 T1 공간이다. V {\displaystyle V} 는 하우스도르프 공간이다. V {\displaystyle V} 는 하우스도르프 정칙 공간이다. V {\displaystyle V} 는 티호노프 공간이다. 즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T1부터 T3½(= 티호노프 공간)까지의 성질들이 서로 동치가 된다. 실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:18, Theorem 1.24 제1 가산 공간이다. 유사 거리화 가능 공간이다. V {\displaystyle V} 의 위상은 평행 이동 불변 유사 거리 함수로 유도될 수 있다. 이는 위상군의 버코프-가쿠타니 정리의 특수한 경우다. 실수체나 복소수체에 대한 모든 유한 차원 위상 벡터 공간은 완비 균등 공간이다. 실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 에 대하여, 만약 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 가 하우스도르프 공간이며, dim ⁡ V = dim ⁡ W < ∞ {\displaystyle \dim V=\dim W<\infty } 라면, 모든 전단사 선형 변환 V → W {\displaystyle V\to W} 은 위상 동형이다. 즉, 하우스도르프 조건을 가정하면, 실수체나 복소수체에 대한 유한 차원 위상 벡터 공간은 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 이나 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )밖에 없다.:16, Theorems 1.21:22, Theorem 3.5 하우스도르프 조건을 없애면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 임의의 실수·복소수 벡터 공간 위에 비이산 위상을 입혀 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:17, Theorems 1.22:23, Theorem 3.6 dim ⁡ V < ∞ {\displaystyle \dim V<\infty } V {\displaystyle V} 는 국소 콤팩트 공간이다. 실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 모든 유한 차원 부분 공간 W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} 는 닫힌집합이다. 하우스도르프 조건을 가정하지 않으면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 비이산 위상을 갖춘, 1차원 이상의 위상 벡터 공간의 유일한 0차원 부분 공간은 닫힌집합이 아니다. 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