중심화 부분 모노이드

추상대수학에서 중심화 부분 모노이드(中心化部分monoid, 영어: centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다. 군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 중심화 부분군(中心化部分群, 영어: centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다. 모노이드 M {\displaystyle M} 의 부분 집합 S ⊆ M {\displaystyle S\subseteq M} 의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 M {\displaystyle M} 의 부분 집합이다.:41, §1.4:AI.7, Définition A1.9 C M ⁡ ( S ) = { x ∈ M : ∀ s ∈ S : s x = x s } {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(S)=\{x\in M\colon \forall s\in S\colon sx=xs\}} 이는 M {\displaystyle M} 의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 ( − ) ′ {\displaystyle (-)'} 으로 표기한다.) S {\displaystyle S} 의 이중 중심화 부분 모노이드(영어: double centralizer, bicentralizer, bicommutant) C M ⁡ ( C M ⁡ ( S ) ) ⊆ M {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))\subseteq M} 은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.:AI.8 일반적 모노이드 M {\displaystyle M} 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다. C M ⁡ ( ∅ ) = C M ⁡ ( Z ⁡ ( M ) ) = M {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\varnothing )=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {Z} (M))=M} C M ⁡ ( M ) = Z ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(M)=\operatorname {Z} (M)} ∀ S ⊆ M : C M ⁡ ( S ) = C M ⁡ ( C M ⁡ ( C M ⁡ ( S ) ) ) {\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} _{M}(S)=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S)))} :AI.8 ∀ S ⊆ M : Z ⁡ ( M ) ⊆ C M ⁡ ( S ) {\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {Z} (M)\subseteq \operatorname {C} _{M}(S)} ∀ S ⊆ M : C M ⁡ ( S ) = ⋂ s ∈ S C M ⁡ ( { s } ) {\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} _{M}(S)=\bigcap _{s\in S}\operatorname {C} _{M}(\{s\})} ∀ S ⊆ Pow ⁡ ( M ) : C M ⁡ ( ⋃ S ) = ⋂ S ∈ S C M ⁡ ( S ) {\displaystyle \forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} _{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} _{M}(S)} :AI.7 ∀ S , T ⊆ M : S ⊆ T ⟹ C M ⁡ ( S ) ⊇ C M ⁡ ( T ) {\displaystyle \forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} _{M}(S)\supseteq \operatorname {C} _{M}(T)} 여기서 Z ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Z} (-)} 는 모노이드의 중심이다. 이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수 C M ⁡ ( − ) : Pow ⁡ ( M ) → Pow ⁡ ( M ) op {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(-)\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)^{\operatorname {op} }} 를 이룬다. (여기서 Pow ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (M)} 은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, ( − ) op {\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }} 은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.) 일반적 모노이드 M {\displaystyle M} 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다. C M ⁡ ( C M ⁡ ( ∅ ) ) = Z ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\varnothing ))=\operatorname {Z} (M)} C M ⁡ ( M ) ) = M {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(M))=M} ∀ S ⊆ M : S ⊆ C M ⁡ ( C M ⁡ ( S ) ) = C M ⁡ ( C M ⁡ ( C M ⁡ ( C M ⁡ ( S ) ) ) ) {\displaystyle \forall S\subseteq M\colon S\subseteq \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))))} ∀ S ⊆ Pow ⁡ ( M ) : C M ⁡ ( C M ⁡ ( ⋃ S ) ) = ⋃ S ∈ S C M ⁡ ( C M ⁡ ( S ) ) {\displaystyle \forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} _{M}\left(\operatorname {C} _{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))} ∀ S , T ⊆ M : S ⊆ T ⟹ C M ⁡ ( C M ⁡ ( S ) ) ⊆ C M ⁡ ( C M ⁡ ( T ) ) {\displaystyle \forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))\subseteq \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(T))} 이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수 C M ⁡ ( C M ⁡ ( − ) ) : Pow ⁡ ( M ) → Pow ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(-))\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)} 를 이룬다. 특히, 집합 M ∖ Z ⁡ ( M ) {\displaystyle M\setminus \operatorname {Z} (M)} 위에 폐포 cl ⁡ ( S ) = C M ⁡ ( S ) ∖ Z ⁡ ( M ) ( S ⊆ M ∖ Z ⁡ ( M ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} (S)=\operatorname {C} _{M}(S)\setminus \operatorname {Z} (M)\qquad (S\subseteq M\setminus \operatorname {Z} (M))} 를 정의하면, 이는 M ∖ Z ⁡ ( M ) {\displaystyle M\setminus \operatorname {Z} (M)} 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다. 군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다. 군 G {\displaystyle G} 의 부분 집합 S {\displaystyle S} 의 중심화 부분군은 항상 S {\displaystyle S} 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다. Z ⁡ ( G ) ⊴ C G ⁡ ( S ) ⊴ N G ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Z} (G)\trianglelefteq \operatorname {C} _{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} _{G}(S)} 여기서 Z ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Z} (-)} 는 군의 중심이며, N G ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(-)} 는 정규화 부분군이다. 군 G {\displaystyle G} 의 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 H {\displaystyle H} 의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (N/C 정리, 영어: N/C theorem). N G ⁡ ( H ) / C G ⁡ ( H ) ≲ Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)/\operatorname {C} _{G}(H)\lesssim \operatorname {Aut} (H)} 여기서 Aut ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (-)} 는 자기 동형군이다. 한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다. C G ⁡ ( { g } ) = N G ⁡ ( { g } ) ∀ g ∈ G {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(\{g\})=\operatorname {N} _{G}(\{g\})\qquad \forall g\in G} 군 G {\displaystyle G} 의 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. H = C G ⁡ ( C G ⁡ ( H ) ) {\displaystyle H=\operatorname {C} _{G}(\operatorname {C} _{G}(H))} . 즉, H {\displaystyle H} 는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다. H = C G ⁡ ( S ) {\displaystyle H=\operatorname {C} _{G}(S)} 가 되는 부분 집합 S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} 가 존재한다. 즉, H {\displaystyle H} 는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다. 임의의 두 군 H {\displaystyle H} , K {\displaystyle K} 및 군 준동형 ϕ : K → Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle \phi \colon K\to \operatorname {Aut} (H)} 에 대하여, 반직접곱 H ⋊ ϕ K {\displaystyle H\rtimes _{\phi }K} 및 포함 사상 H , K ⊆ H ⋊ ϕ K {\displaystyle H,K\subseteq H\rtimes _{\phi }K} 을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다. C H ⋊ ϕ K ⁡ ( K ) ∩ H = N H ⋊ ϕ K ⁡ ( K ) ∩ H {\displaystyle \operatorname {C} _{H\rtimes _{\phi }K}(K)\cap H=\operatorname {N} _{H\rtimes _{\phi }K}(K)\cap H} C H ⋊ ϕ K ⁡ ( H ) ∩ K = ker ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {C} _{H\rtimes _{\phi }K}(H)\cap K=\ker \phi } 환 R {\displaystyle R} 의 부분 집합 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 의 (곱셈에 대한) 가환식 S ′ ⊆ R {\displaystyle S'\subseteq R} 는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer subring)이라고 한다. 임의의 나눗셈환 K {\displaystyle K} 의 임의의 부분 집합 S ⊆ K {\displaystyle S\subseteq K} 에 대하여, 중심화 부분환 C K ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {C} _{K}(S)} 역시 나눗셈환이다. 증명: C K ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {C} _{K}(S)} 는 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 a ∈ C K ⁡ ( S ) ∖ { 0 } {\displaystyle a\in \operatorname {C} _{K}(S)\setminus \{0\}} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, a − 1 s = a − 1 s a a − 1 = a − 1 a s a − 1 = s a − 1 {\displaystyle a^{-1}s=a^{-1}saa^{-1}=a^{-1}asa^{-1}=sa^{-1}} 이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 환 R {\displaystyle R} 환 S {\displaystyle S} ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -쌍가군 R M S {\displaystyle _{R}M_{S}} 그렇다면, S {\displaystyle S} -오른쪽 가군의 자기 사상환 End ⁡ ( M S ) {\displaystyle \operatorname {End} (M_{S})} 을 정의할 수 있으며, M {\displaystyle M} 은 End ⁡ ( M S ) {\displaystyle \operatorname {End} (M_{S})} -왼쪽 가군을 이룬다. 또한, 자연스러운 환 준동형 ϕ M : R → End ⁡ ( M S ) {\displaystyle \phi _{M}\colon R\to \operatorname {End} (M_{S})} ϕ M r : m ↦ r m ( r ∈ R , m ∈ M ) {\displaystyle \phi _{M}r\colon m\mapsto rm\qquad (r\in R,\;m\in M)} 이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라 C End ⁡ ( M Z ) ⁡ ( ϕ M ( R ) ) = End ⁡ ( M R ) {\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R))=\operatorname {End} (M_{R})} 이다. (여기서 우변은 R {\displaystyle R} -오른쪽 가군의 자기 사상환이다.) 만약 ϕ M ( R ) {\displaystyle \phi _{M}(R)} 가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약 C End ⁡ ( M Z ) ⁡ ( C End ⁡ ( M Z ) ⁡ ( ϕ M ( R ) ) ) = ϕ M ( R ) {\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R)))=\phi _{M}(R)} 이라면, M {\displaystyle M} 을 균형 잡힌 가군이라고 한다. 복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 의 부분 대합 대수 S ⊆ B ⁡ ( V , V ) {\displaystyle S\subseteq \operatorname {B} (V,V)} 를 생각하자. (즉, S {\displaystyle S} 는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(영어: von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다. S {\displaystyle S} 의 이중 중심화 부분환 C B ⁡ ( V , V ) ⁡ ( C B ⁡ ( V , V ) ⁡ ( S ) ) {\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {B} (V,V)}(\operatorname {C} _{\operatorname {B} (V,V)}(S))} S {\displaystyle S} 의 약한 작용소 위상에서의 폐포 S {\displaystyle S} 의 강한 작용소 위상에서의 폐포 S {\displaystyle S} 로부터 생성되는 폰 노이만 대수 (다만, S {\displaystyle S} 의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.) 만약 M {\displaystyle M} 이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 S ⊆ M {\displaystyle S\subseteq M} 에 대하여 S ′ = M {\displaystyle S'=M} 이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다. 만약 M = Σ ∗ {\displaystyle M=\Sigma ^{*}} 가 Σ {\displaystyle \Sigma } 로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다. C Σ ∗ ⁡ ( S ) = { s ∈ Σ ∗ : { s } ∗ ⊇ S } ∗ {\displaystyle \operatorname {C} _{\Sigma ^{*}}(S)=\{s\in \Sigma ^{*}\colon \{s\}^{*}\supseteq S\}^{*}} 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 에서, i {\displaystyle \mathrm {i} } 의 중심화 부분환은 R + R i {\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} i} 이다. 보다 일반적으로, 임의의 x ∈ H {\displaystyle x\in \mathbb {H} } 에 대하여, Im ⁡ x = ( x − x ¯ ) / 2 {\displaystyle \operatorname {Im} x=(x-{\bar {x}})/2} 를 생각하면, C H ⁡ ( { x } ) = R + R Im ⁡ x {\displaystyle \operatorname {C} _{\mathbb {H} }(\{x\})=\mathbb {R} +\mathbb {R} \operatorname {Im} x} 이다. 만약 Im ⁡ x ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Im} x\neq 0} 이라면 C H ⁡ ( { x } ) {\displaystyle \operatorname {C} _{\mathbb {H} }(\{x\})} 는 (환으로서) 복소수체와 동형이다. Jacobson, Nathan (1985). 《Basic algebra I》 (영어) 2판. W. H. Freeman and Company.  Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson.  “Centralizer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Centeralizer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Bicommutant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Bicommutant theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Centralizer of ring subset is subring”. 《ProofWiki》 (영어).  “Centralizer”. 《ProofWiki》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2007년 1월 23일). “An alternate characterization of centralizer”. 《Project Crazy Project》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2007년 1월 23일). “Centralizer is inclusion-reversing”. 《Project Crazy Project》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2010년 5월 5일). “Normalizer and centralizer commute with inner automorphisms”. 《Project Crazy Project》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2010년 6월 24일). “The centralizer and normalizer of a nonnormal semidirect factor in a normal semidirect factor are equal”. 《Project Crazy Project》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2010년 6월 24일). “In a semidirect product, the centralizer of the normal factor in the nonnormal factor is the kernel of the defining homomorphism”. 《Project Crazy Project》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2010년 7월 6일). “Two consequences of Frattini’s argument regarding normalizers and centralizers”. 《Project Crazy Project》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2010년 7월 30일). “Basic properties of centralizers in a ring”. 《Project Crazy Project》 (영어).  Bloomfield, Nathan (2010년 7월 30일). “In a division ring, every centralizer is a division ring”. 《Project Crazy Project》 (영어).