르베그 수

위상수학에서, 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수(Lebesgue數, 영어: Lebesgue number)는 열린 덮개의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 열린 덮개의 한 원소에 속하게 된다. 르베그 수의 존재는 콤팩트 거리 공간과 완비 거리 공간 사이에 있는 성질이다. 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 르베그 수는 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 이다. 임의의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, diam ⁡ Y < δ {\displaystyle \operatorname {diam} Y<\delta } 라면 Y ⊆ U {\displaystyle Y\subseteq U} 인 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 가 존재한다. 여기서 diam ⁡ Y = sup { d ( x , y ) : x , y ∈ Y } {\displaystyle \operatorname {diam} Y=\sup\{d(x,y)\colon x,y\in Y\}} 는 유사 거리 공간의 지름이다. 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 르베그 수 δ {\displaystyle \delta } 가 존재한다면, δ {\displaystyle \delta } 보다 작은 양의 실수는 마찬가지로 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 르베그 수이다. 정의에 따라, 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다. 르베그 수 보조정리(-數補助定理, 영어: Lebesgue's number lemma)에 따르면, 콤팩트 유사 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수는 항상 존재한다. 증명: 콤팩트 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 주어졌다고 하자. 콤팩트성에 따라 유한 부분 덮개 { U 1 , … , U n } ⊆ U {\displaystyle \{U_{1},\dots ,U_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}} 가 존재한다. 이제, δ = min x ∈ X 1 n ∑ i = 1 n d ( x , X ∖ U i ) > 0 {\displaystyle \delta =\min _{x\in X}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,X\setminus U_{i})>0} 이 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 르베그 수임을 보이면 된다. (우변의 최솟값은 콤팩트 공간에 정의된 연속 함수에 대하여 취한 것이므로 반드시 존재하며, 양의 실수이다.) 임의의 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} diam ⁡ Y < δ {\displaystyle \operatorname {diam} Y<\delta } 가 주어졌다고 하자. 임의의 y 0 ∈ Y {\displaystyle y_{0}\in Y} 를 고르자. 그렇다면, 1 n ∑ i = 1 n d ( y 0 , X ∖ U i ) ≥ δ {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(y_{0},X\setminus U_{i})\geq \delta } 이므로, d ( y 0 , X ∖ U i ) ≥ δ {\displaystyle d(y_{0},X\setminus U_{i})\geq \delta } 인 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} 이 존재한다. 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, d ( y 0 , y ) ≤ diam ⁡ Y < δ {\displaystyle d(y_{0},y)\leq \operatorname {diam} Y<\delta } 이므로, y ∈ U i {\displaystyle y\in U_{i}} 이다. 즉, Y ⊆ U i {\displaystyle Y\subseteq U_{i}} 이다. 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 임의의 열린 덮개의 르베그 수가 존재한다. 임의의 거리 공간 ( Y , d ′ ) {\displaystyle (Y,d')} 및 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, f {\displaystyle f} 는 균등 연속 함수이다. 임의의 연속 함수 X → R {\displaystyle X\to \mathbb {R} } 는 균등 연속 함수이다. 임의의 서로소 닫힌집합 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 에 대하여, d ( A , B ) > 0 {\displaystyle d(A,B)>0} 여기서 d ( A , B ) = inf { d ( a , b ) : a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(a,b)\colon a\in A,\;b\in B\}} 이다. 콤팩트 유사 거리 공간이 첫 번째 조건을 만족시키는 것은 르베그 수 보조정리의 내용이다. 콤팩트 유사 거리 공간이 두 번째 조건을 만족시키는 것은 하이네-칸토어 정리이다. 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는다면, ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 는 완비 유사 거리 공간이다. 특히, 하이네-보렐 정리에 따라, 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 콤팩트 공간이다. 완전 유계 공간이며, 임의의 열린 덮개의 르베그 수가 존재한다. 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는다면, X {\displaystyle X} 의 유도 집합 X ′ {\displaystyle X'} 은 콤팩트 공간이다. 특히, 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는 자기 조밀 유사 거리 공간은 콤팩트 공간이다. (표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 닫힌구간 [ a , b ] ⊊ R {\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} } 의, 유한 개의 열린구간들로 구성된 덮개 U = { ( a 1 , b 1 ) , ( a 2 , b 2 ) , … , ( a n , b n ) } {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),\dots ,(a_{n},b_{n})\}} 를 생각하자. 그렇다면, δ = min { | x − y | : x , y ∈ { a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , … , a n , b n } , x ≠ y } ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \delta =\min\{|x-y|\colon x,y\in \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\},\;x\neq y\}\in (0,\infty )} 는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 르베그 수이다. 증명: 각 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여, x ∈ ( a i ( x ) , b i ( x ) ) {\displaystyle x\in (a_{i(x)},b_{i(x)})} 인 i ( x ) ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i(x)\in \{1,2,\dots ,n\}} 을 취하자. 그렇다면, 길이 δ {\displaystyle \delta } 미만의 구간 [ x , y ] ⊂ [ a , b ] {\displaystyle [x,y]\subset [a,b]} y − x < δ {\displaystyle y-x<\delta } 에 대하여, 만약 [ x , y ] ∩ { a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , … , a n , b n } = ∅ {\displaystyle [x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}=\varnothing } 이라면, [ x , y ] ⊂ ( a i ( x ) , b i ( x ) ) {\displaystyle [x,y]\subset (a_{i(x)},b_{i(x)})} 이다. 반대로 만약 c ∈ [ x , y ] ∩ { a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , … , a n , b n } {\displaystyle c\in [x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}} 이라면, [ x , y ] ⊂ ( a i ( c ) , b i ( c ) ) {\displaystyle [x,y]\subset (a_{i(c)},b_{i(c)})} 이다. 이산 거리 공간 ( X , d disc ) {\displaystyle (X,d_{\operatorname {disc} })} 에서, 모든 열린 덮개는 르베그 수를 갖지만, 무한 이산 공간은 콤팩트 공간이 아니다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위의 표준적인 거리 함수는 완비 거리 공간을 이룬다. 그러나, { ( − ∞ , 1 ) } ∪ { ( n , n + 2 ) : n ∈ Z ≥ 0 } {\displaystyle \{(-\infty ,1)\}\cup \left\{\left({\sqrt {n}},{\sqrt {n+2}}\right)\colon n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\right\}} 는 열린 덮개이지만 르베그 수를 갖지 않는다. 르베그 수 보조정리는 다음과 같은 문제들을 풀 때 사용될 수 있다. 르베그 측도가 측도의 성질을 만족하는 것을 보일 때:32 하이네-칸토어 정리의 증명 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 공간임을 보일 때 Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics “Lebesgue number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Lebesgue number lemma”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of Lebesgue number lemma”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition: Lebesgue number”. 《ProofWiki》 (영어).  “Lebesgue's number lemma”. 《ProofWiki》 (영어).  “Open cover may not have Lebesgue number”. 《ProofWiki》 (영어).