붙임 공간

위상수학에서 붙임 공간(-空間, 영어: attaching/adjunction space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 붙임 공간(영어: homotopy adjunction space)을 사용하여야 한다. 마찬가지로, 당김 공간(-空間, 영어: pullback space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 당김 공간(영어: homotopy pullback space)을 사용하여야 한다. 같은 정의역을 가진 두 연속 함수 Y ← g Z → f X {\displaystyle Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자. f ( z ) ≻ g ( z ) ∀ z ∈ Z {\displaystyle f(z)\succ g(z)\qquad \forall z\in Z} 이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 ∼ {\displaystyle \sim } 라고 표시하자. 즉, x , y ∈ X ⊔ Y {\displaystyle x,y\in X\sqcup Y} 에 대하여, x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다. ∀ x ∈ X , y ∈ Y : ( x ∼ y ⟺ ∃ x 0 , … , x k ∈ X , y 0 , … , y k ∈ Y : x = x 0 ≻ y 0 ≺ x 1 ≻ y 1 ≺ x 2 ≻ ⋯ ≻ y k = y ) {\displaystyle \forall x\in X,y\in Y\colon \left(x\sim y\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{0},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y\right)} 마찬가지로, x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여 x ∼ x ′ {\displaystyle x\sim x'} 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다. ∀ x , x ′ ∈ X : ( x ∼ x ′ ⟺ ∃ x 0 , … , x k ∈ X , y 1 , … , y k ∈ Y : x = x 0 ≻ y 1 ≺ x 1 ≻ y 2 ≺ x 2 ≻ ⋯ ≺ x k = x ′ ) {\displaystyle \forall x,x'\in X\colon \left(x\sim x'\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{1}\prec x_{1}\succ y_{2}\prec x_{2}\succ \cdots \prec x_{k}=x'\right)} 마찬가지로, y , y ′ ∈ Y {\displaystyle y,y'\in Y} 에 대하여 y ∼ y ′ {\displaystyle y\sim y'} 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다. ∀ y , y ′ ∈ Y : ( y ∼ y ′ ⟺ ∃ x 1 , … , x k ∈ X , y 1 , … , y k ∈ Y : y = y 0 ≺ x 1 ≻ y 1 ≺ x 2 ≻ ⋯ ≻ y k = y ′ ) {\displaystyle \forall y,y'\in Y\colon \left(y\sim y'\iff \exists x_{1},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon y=y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y'\right)} X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 f {\displaystyle f} 및 g {\displaystyle g} 를 통한 붙임 공간은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다. X ∪ f , g Y = X ⊔ Y ∼ {\displaystyle X\cup _{f,g}Y={\frac {X\sqcup Y}{\sim }}} 이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다. 붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 Z {\displaystyle Z} 의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, Z {\displaystyle Z} 에 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다. 붙임 공간은 f {\displaystyle f} 나 g {\displaystyle g} 가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간을 사용하여야 한다. 연속 함수 Y ← g Z → f X {\displaystyle Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X} 가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥(영어: double mapping cylinder)은 다음과 같다. X ∪ f Z × [ 0 , 1 ] ∪ g Y {\displaystyle X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y} 이 경우, 표준적인 함수 X ↪ f X ∪ f Z × [ 0 , 1 ] ∪ g Y {\displaystyle X{\overset {f}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y} Y ↪ g X ∪ f Z × [ 0 , 1 ] ∪ g Y {\displaystyle Y{\overset {g}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y} 는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다. 같은 공역을 가진 두 연속 함수 Y → g Z ← f X {\displaystyle Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(영어: pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 X × Y {\displaystyle X\times Y} 의 부분 공간이다. X × f , g Y = { ( x , y ) ∈ X × Y : f ( x ) = g ( y ) } ⊆ X × Y {\displaystyle X\times _{f,g}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y} 이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다. 이 경우, 표준적 연속 함수 X × Z Y → X {\displaystyle X\times _{Z}Y\to X} X × Z Y → Y {\displaystyle X\times _{Z}Y\to Y} 가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다. 당김 공간은 f {\displaystyle f} 나 g {\displaystyle g} 가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간을 사용하여야 한다. 같은 공역을 가진 두 연속 함수 Y → g Z ← f X {\displaystyle Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(영어: pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 X × path ⁡ ( Z ) × Y {\displaystyle X\times \operatorname {path} (Z)\times Y} 의 부분 공간이다. { ( x , γ , y ) ∈ X × path ⁡ ( X ) × Y : γ ( 0 ) = f ( x ) , γ ( 1 ) = g ( y ) } {\displaystyle \{(x,\gamma ,y)\in X\times \operatorname {path} (X)\times Y\colon \gamma (0)=f(x),\;\gamma (1)=g(y)\}} 여기서 X I {\displaystyle X^{I}} 는 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다. 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, { ∙ } ← X → f Y {\displaystyle \{\bullet \}\leftarrow X{\xrightarrow {f}}Y} 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 은 한원소 공간이다.) 이에 대한 붙임 공간은 Y {\displaystyle Y} 의 몫공간 Y / f ( X ) {\displaystyle Y/f(X)} 이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다. 반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다. cone ⁡ ( X ) ∪ f Y = ( X × [ 0 , 1 ] ) / ( X × { 0 } ) ⊔ Y ( ( x , 1 ) ∼ f ( x ) ∀ x ∈ X {\displaystyle \operatorname {cone} (X)\cup _{f}Y={\frac {(X\times [0,1])/(X\times \{0\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}}} 이를 사상뿔(寫像-, 영어: mapping cone)이라고 한다. 만약 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 H ∙ ⁡ ( X , A ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(X,A)} 는 보통 포함 함수 A ↪ X {\displaystyle A\hookrightarrow X} 의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다. 특히, X = Y {\displaystyle X=Y} 이며 f = id X {\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}} 일 경우, 이는 X {\displaystyle X} 위의 뿔(영어: cone) cone ⁡ ( X ) = X × [ 0 , 1 ] / ( X × { 0 } ) {\displaystyle \operatorname {cone} (X)=X\times [0,1]/(X\times \{0\})} 이 된다. 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X ← id X → f Y {\displaystyle X{\xleftarrow {\operatorname {id} }}X{\xrightarrow {f}}Y} 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 id {\displaystyle \operatorname {id} } 는 항등 함수이다.) 붙임 공간은 다음과 같은 X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 의 몫공간이며, 이는 Y {\displaystyle Y} 와 위상 동형이다. X ∪ id , f Y = Y ⊔ X f ( x ) ∼ x ∀ x ∈ X ≅ Y {\displaystyle X\cup _{\operatorname {id} ,f}Y={\frac {Y\sqcup X}{f(x)\sim x\;\forall x\in X}}\cong Y} 호모토피 붙임 공간은 다음과 같이, X {\displaystyle X} 위의 기둥을 Y {\displaystyle Y} 에 붙인 것이다. X × [ 0 , 1 ] ∪ f × { 1 } Y = X × [ 0 , 1 ] ⊔ Y f ( x ) ∼ ( x , 1 ) ∀ x ∈ X {\displaystyle X\times [0,1]\cup _{f\times \{1\}}Y={\frac {X\times [0,1]\sqcup Y}{f(x)\sim (x,1)\;\forall x\in X}}} 이를 사상기둥(寫像-, 영어: mapping cylinder) M f {\displaystyle M_{f}} 라고 한다. X → f Y ‖ ↓ X → M f {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\|&&\downarrow \\X&\to &M_{f}\end{matrix}}} 이 경우, 변형 수축 M f → Y {\displaystyle M_{f}\to Y} 이 존재하며, 따라서 M f {\displaystyle M_{f}} 와 Y {\displaystyle Y} 는 서로 호모토피 동치이다. 또한, f ~ : X → M f {\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}} 는 쌍대올뭉치를 이룬다. 따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해(영어: cofibrant resolution)이다. 특히, X = Y {\displaystyle X=Y} 이고 f = id X {\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}} 일 경우 사상기둥은 단순히 기둥 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 이 된다. 다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자. X ← X × Y → Y {\displaystyle X\leftarrow X\times Y\to Y} 이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간 X ∗ Y = X × Y × [ 0 , 1 ] ( x , y , 0 ) ∼ ( x , y ′ , 0 ) , ( x , y , 1 ) ∼ ( x ′ , y , 1 ) ∀ x , x ′ ∈ X , y , y ′ ∈ Y {\displaystyle X*Y={\frac {X\times Y\times [0,1]}{(x,y,0)\sim (x,y',0),\;(x,y,1)\sim (x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y}}} 은 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 이음이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다. 특히, 0차원 초구 S 0 = { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}=\{0,1\}} 와의 이음은 현수 S 0 ∗ X = S ⁡ X {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}*X=\operatorname {S} X} 라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 { ∙ } ∗ X = cone ⁡ ( X ) {\displaystyle \{\bullet \}*X=\operatorname {cone} (X)} 을 이룬다. 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X → f Y ← id Y {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {\operatorname {id} }}Y} 에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 id {\displaystyle \operatorname {id} } 는 항등 함수이다.) 당김 공간의 경우는 이는 X × Y {\displaystyle X\times Y} 의 부분 공간 위상을 부여한 f {\displaystyle f} 의 그래프 graph ⁡ f = { ( x , f ( x ) ) ∈ X × Y : x ∈ X } ⊆ X × Y {\displaystyle \operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\in X\times Y\colon x\in X\}\subseteq X\times Y} 이며 따라서 X {\displaystyle X} 와 위상 동형이다. 호모토피 당김 공간의 경우, 이는 cocyl ⁡ f = { ( x , γ ) ∈ X × path ⁡ ( Y ) : f ( x ) = γ ( 0 ) } {\displaystyle \operatorname {cocyl} f=\{(x,\gamma )\in X\times \operatorname {path} (Y)\colon f(x)=\gamma (0)\}} 를 이루며, 이를 사상 경로 공간(寫像經路空間, 영어: mapping path space) 또는 사상 쌍대기둥(영어: mapping cocylinder)이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다. X → Y ↓ ‖ cocyl ⁡ f → Y {\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &Y\\\downarrow &&\|\\\operatorname {cocyl} f&\to &Y\end{matrix}}} 여기서 cocyl ⁡ f {\displaystyle \operatorname {cocyl} f} 는 X {\displaystyle X} 와 약한 호모토피 동치이며 f ~ : cocyl ⁡ f → Y {\displaystyle {\tilde {f}}\colon \operatorname {cocyl} f\to Y} 는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해(영어: fibrant resolution)이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 두 점 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, { ∙ } → x X ← x ′ { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}{\xrightarrow {x}}X{\xleftarrow {x'}}\{\bullet \}} 의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. 당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는 X {\displaystyle X} 위의, x {\displaystyle x} 에서 x ′ {\displaystyle x'} 으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 x = x ′ {\displaystyle x=x'} 이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)} 을 이룬다. 점을 가진 공간 ( X , x ) {\displaystyle (X,x)} , ( Y , y ) {\displaystyle (Y,y)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X ← x { ∙ } → y Y {\displaystyle X\xleftarrow {x} \{\bullet \}\xrightarrow {y} Y} 의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. 붙임 공간은 쐐기합 X ∨ Y = ( X ⊔ Y ) / { x , y } {\displaystyle X\vee Y=(X\sqcup Y)/\{x,y\}} 이다. 호모토피 붙임 공간은 X ⊔ Y ⊔ [ 0 , 1 ] 0 ∼ x , 1 ∼ y {\displaystyle {\frac {X\sqcup Y\sqcup [0,1]}{0\sim x,\;1\sim y}}} 이다. 즉, 선분 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 의 양끝에 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 쐐기합과 호모토피 동치이다. 몫공간 Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.  “Mapping-cone construction”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Mapping cylinder”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Homotopy pullback”. 《nLab》 (영어).  “Mapping cone”. 《nLab》 (영어).  “Mapping cylinder”. 《nLab》 (영어).  “Mapping cocone”. 《nLab》 (영어).  “Cocylinder”. 《nLab》 (영어).  “Homotopy pullbacks and homotopy pushouts” (영어). Math Overflow.