체의 확대

체론에서 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다. 두 체 K {\displaystyle K} 와 L {\displaystyle L} 이 주어졌을 때, K {\displaystyle K} 에서 L {\displaystyle L} 로 가는 확대는 K {\displaystyle K} 에서 L {\displaystyle L} 로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.) 체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 K {\displaystyle K} 를 L {\displaystyle L} 의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 K {\displaystyle K} 를 L {\displaystyle L} 의 부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로 L {\displaystyle L} 을 K {\displaystyle K} 의 확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. L {\displaystyle L} 이 K {\displaystyle K} 의 확대체라는 것은 기호로 L / K {\displaystyle L/K} 로 쓴다. 일련의 체 K 0 , K 1 , … , K n {\displaystyle K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}} 들이 서로 체의 확대 K 0 ⊆ K 1 ⊆ ⋯ ⊆ K n {\displaystyle K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}} 를 이룰 때, { K i } i = 0 , 1 , … , n {\displaystyle \{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}} 를 체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌을 때, L {\displaystyle L} 은 K {\displaystyle K} 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 의 차수(次數, 영어: degree)는 L {\displaystyle L} 의 K {\displaystyle K} -벡터 공간으로서의 차원이며, [ L : K ] {\displaystyle [L:K]} 로 표기한다. 차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} 이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 p ∈ K [ | S | ] {\displaystyle p\in K[|S|]} 에 대하여, p ( S ) = 0 {\displaystyle p(S)=0} 인 다항식은 p = 0 {\displaystyle p=0} 밖에 없다면, S {\displaystyle S} 를 대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다. L / K {\displaystyle L/K} 의 초월 차수(영어: transcendence degree)는 L {\displaystyle L} 에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, trdeg K ⁡ L {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L} 와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다. L / K {\displaystyle L/K} 의 초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis) S {\displaystyle S} 는 L / K ( S ) {\displaystyle L/K(S)} 가 대수적인 대수적 독립 집합 S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} 이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 L = K ( S ) {\displaystyle L=K(S)} 라면, L / K {\displaystyle L/K} 를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 L {\displaystyle L} 의 원소 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 가 주어졌을 때, 만약 { a } {\displaystyle \{a\}} 가 대수적 독립 집합이라면, a {\displaystyle a} 를 L / K {\displaystyle L/K} 의 초월 원소(超越元素, 영어: transcendental element)라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 대수적 원소(代數的元素, 영어: algebraic element)라고 한다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, L {\displaystyle L} 속에서 S {\displaystyle S} 로 생성되는 K {\displaystyle K} 의 확대 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 는 S ∪ K {\displaystyle S\cup K} 를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 L {\displaystyle L} 의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. K [ S ] ⊆ L {\displaystyle K[S]\subseteq L} 가, S {\displaystyle S} 의 원소들에 대한 K {\displaystyle K} 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 는 K [ S ] {\displaystyle K[S]} 의 분수체와 동형이다. K ( S ) = Frac ⁡ K [ S ] = { p / q : p ∈ K [ S ] , q ∈ K [ S ] , q ≠ 0 } ⊆ L {\displaystyle K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L} 또한, 만약 S {\displaystyle S} 가 유한 집합이며, L {\displaystyle L} 이 대수적 확대라면 K ( S ) / K {\displaystyle K(S)/K} 는 유한 확대이다. 체의 확대 M / K {\displaystyle M/K} 속에서 두 부분체 K ⊆ L 1 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{1}\subseteq M} K ⊆ L 2 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{2}\subseteq M} 가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는 K ( L 1 ∪ L 2 ) ⊆ M {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M} 이다. 유한 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 L {\displaystyle L} 은 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이며, 임의의 원소 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여 a ⋅ : L → L {\displaystyle a\cdot \colon L\to L} 은 K {\displaystyle K} -벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm) N L / K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}} 과 체 대각합(體對角合, 영어: field trace) T L / K {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}} 이라고 한다. N L / K : L → K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K} N L / K : a ↦ det ( a ⋅ ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )} T L / K : L → K {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K} T L / K : a ↦ tr ⁡ ( ⋅ a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)} 보다 일반적으로, a ⋅ {\displaystyle a\cdot } 의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 K {\displaystyle K} 계수의 일계수 다항식이다. χ L / K ( x ; a ) = det ( x − a ⋅ ) ∈ K [ x ] {\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]} 이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다. χ L / K ( x ; a ) = x [ L : K ] − T L / K ⁡ ( a ) x [ L : K ] − 1 + ⋯ + ( − 1 ) [ L : K ] N L / K ⁡ ( a ) {\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)} 체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, 그 최소 다항식이 p a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}\in K[x]} 라고 하고, 그 근들의 중복집합이 { σ 1 ( a ) , … , σ n ( a ) } ∈ K ¯ {\displaystyle \{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. N L / K ⁡ ( a ) = ( ∏ i = 1 n σ i ( a ) ) [ L : K ( a ) ] {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}} T L / K ⁡ ( a ) = [ L : K ( a ) ] ∑ i = 1 n σ i ( a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)} 만약 L / K {\displaystyle L/K} 가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다. 만약 L / K {\displaystyle L/K} 가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다. N L / K ⁡ ( a ) = ∏ g ∈ Gal ⁡ ( L / K ) g ( a ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)} T L / K ⁡ ( a ) = ∑ g ∈ Gal ⁡ ( L / K ) g ( a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)} 여기서 Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 는 갈루아 군이다. 체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 존재한다면, K {\displaystyle K} 와 L {\displaystyle L} 의 표수는 서로 일치한다. ∃ L / K ⟹ char ⁡ K = char ⁡ L {\displaystyle \exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L} 확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 M / L {\displaystyle M/L} 이 주어졌을 때, 합성 확대 M / K {\displaystyle M/K} 의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다. [ M : K ] = [ L : K ] [ M : L ] {\displaystyle [M:K]=[L:K][M:L]} trdeg K ⁡ M = trdeg K ⁡ L + trdeg L ⁡ M {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M} 여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다. 초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 집합의 크기와 같다. 즉, 초월 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, [ L : K ] = | L | = max { | K | , trdeg K ⁡ L , ℵ 0 } ≥ ℵ 0 {\displaystyle [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}} 이다. 증명: 자명하게 max { trdeg K ⁡ L , ℵ 0 } ≤ [ L : K ] ≤ | L | = max { | K | , trdeg K ⁡ L , ℵ 0 } {\displaystyle \max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}} 이므로, [ L : K ] ≥ | K | {\displaystyle [L:K]\geq |K|} 임을 보이면 충분하다. 초월 원소 x ∈ L {\displaystyle x\in L} 를 고르자. 그렇다면, { 1 1 + a x : a ∈ K } ⊆ L {\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+ax}}\colon a\in K\right\}\subseteq L} 는 K {\displaystyle K} -선형 독립 집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 c 0 , … , c n − 1 ∈ K {\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}\in K} 및 서로 다른 a 0 , … , a n − 1 ∈ K {\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{n-1}\in K} 에 대하여, c 0 1 + a 0 x + ⋯ c n − 1 1 + a n − 1 x = 0 {\displaystyle {\frac {c_{0}}{1+a_{0}x}}+\cdots {\frac {c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}}=0} 라고 가정하였을 때 c 0 = ⋯ = c n − 1 = 0 {\displaystyle c_{0}=\dotsb =c_{n-1}=0} 임을 보여야 한다. r n − 1 , i , j = e n − 1 , j ( a 0 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n − 1 ) ( i , j = 0 , … , n − 1 ) {\displaystyle r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_{0},\dotsc ,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc ,a_{n-1})\qquad (i,j=0,\dotsc ,n-1)} 라고 하자 ( e n − 1 , j {\displaystyle e_{n-1,j}} 는 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 변수 j {\displaystyle j} 차 기본 대칭 다항식). 그렇다면 가정은 0 = ∑ i = 0 n − 1 c i ( 1 + a 0 x ) ⋯ ( 1 + a i − 1 x ) ( 1 + a i + 1 x ) ⋯ ( 1 + a n − 1 x ) = ∑ i = 0 n − 1 c i ∑ j = 0 n − 1 r n − 1 , i , j x j = ∑ j = 0 n − 1 x j ∑ i = 0 n − 1 c i r n − 1 , i , j {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}(1+a_{0}x)\dotsm (1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm (1+a_{n-1}x)\\&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}\end{aligned}}} 와 동치이다 . x {\displaystyle x} 가 초월 원소이므로, 이는 ∑ i = 0 n − 1 c i r n − 1 , i , j = 0 ( j = 0 , … , n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}=0\qquad (j=0,\dotsc ,n-1)} 와 동치이다. 이는 c 0 , … , c n − 1 {\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}} 에 대한 연립 일차 방정식이다. 따라서, 계수들의 행렬식이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실, | r n − 1 , 0 , 0 ⋯ r n − 1 , 0 , n − 1 ⋮ ⋮ r n − 1 , n − 1 , 0 ⋯ r n − 1 , n − 1 , n − 1 | = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n − 1 ( a i − a j ) ≠ 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\neq 0} 이며, 이는 n {\displaystyle n} 에 대한 수학적 귀납법을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. n = 1 {\displaystyle n=1} 의 경우는 자명하다. 이제 n − 1 {\displaystyle n-1} 에 대하여 참임을 가정하고, n {\displaystyle n} 의 경우를 생각하자. 가정에 따라 다음이 성립한다. | r n − 1 , 0 , 0 ⋯ r n − 1 , 0 , n − 1 ⋮ ⋮ r n − 1 , n − 1 , 0 ⋯ r n − 1 , n − 1 , n − 1 | = | 0 r n − 1 , 0 , 1 − r n − 1 , n − 1 , 1 ⋯ r n − 1 , 0 , n − 1 − r n − 1 , n − 1 , n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ 0 r n − 1 , n − 2 , 1 − r n − 1 , n − 1 , 1 ⋯ r n − 1 , n − 2 , n − 1 − r n − 1 , n − 1 , n − 1 1 r n − 1 , n − 1 , 1 ⋯ r n − 1 , n − 1 , n − 1 | = ( − 1 ) n | ( a n − 1 − a 0 ) r n − 2 , 0 , 0 ⋯ ( a n − 1 − a 0 ) r n − 2 , 0 , n − 2 ⋮ ⋮ ( a n − 1 − a n − 2 ) r n − 2 , n − 2 , 0 ⋯ ( a n − 1 − a n − 2 ) r n − 2 , n − 2 , n − 2 | = ( − 1 ) n ( a n − 1 − a 0 ) ⋯ ( a n − 1 − a n − 2 ) | r n − 2 , 0 , 0 ⋯ r n − 2 , 0 , n − 2 ⋮ ⋮ r n − 2 , n − 2 , 0 ⋯ r n − 2 , n − 2 , n − 2 | = ( a 0 − a n − 1 ) ⋯ ( a n − 2 − a n − 1 ) ∏ 0 ≤ i < j ≤ n − 2 ( a i − a j ) = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n − 1 ( a i − a j ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}0&r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\1&r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}{\begin{vmatrix}(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}(a_{n-1}-a_{0})\dotsm (a_{n-1}-a_{n-2}){\begin{vmatrix}r_{n-2,0,0}&\cdots &r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-2,n-2,0}&\cdots &r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(a_{0}-a_{n-1})\dotsm (a_{n-2}-a_{n-1})\prod _{0\leq i<j\leq n-2}(a_{i}-a_{j})\\&=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\end{aligned}}} 즉, n {\displaystyle n} 에 대해서도 참이다. 대수적 확대 M / K {\displaystyle M/K} 의 두 중간체 K ⊆ L 1 , L 2 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{1},L_{2}\subseteq M} 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.:529, Proposition 21 [ K ( L 1 ∪ L 2 ) : K ] ≤ [ L 1 : K ] [ L 2 : K ] {\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]} 증명: 우선, L 1 / K {\displaystyle L_{1}/K} 와 L 2 / K {\displaystyle L_{2}/K} 가 모두 대수적 확대인 경우를 증명하자. L 1 {\displaystyle L_{1}} 과 L 2 {\displaystyle L_{2}} 의 K {\displaystyle K} -기저 ( a i ) i ∈ I {\displaystyle (a_{i})_{i\in I}} 및 ( b i ) i ∈ I {\displaystyle (b_{i})_{i\in I}} 에 대하여, ( a i b j ) i ∈ I , j ∈ J {\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}} 가 K ( L 1 ∪ L 2 ) {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})} 를 K {\displaystyle K} -선형 생성함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게 K ( L 1 ∪ L 2 ) = K ( { a i } i ∈ I ∪ { b j } j ∈ J ) {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})=K(\{a_{i}\}_{i\in I}\cup \{b_{j}\}_{j\in J})} 이다. 또한, 이는 자명하게 K ( a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ) {\displaystyle K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})} 꼴의 체들의 합집합이다. 모든 a i r {\displaystyle a_{i_{r}}} 와 b j s {\displaystyle b_{j_{s}}} 가 대수적 원소이므로, K ( a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ) = K ( a i 1 ) ⋯ ( a i m ) ( b j 1 ) ⋯ ( b j n ) = K [ a i 1 ] ⋯ [ a i m ] [ b j 1 ] ⋯ ( b j n ) = K [ a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ] {\displaystyle {\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}} 이다. 마지막으로, 유한 개의 a i r {\displaystyle a_{i_{r}}} 들의 곱은 L 1 {\displaystyle L_{1}} 의 원소이므로 (유한 개의) a i {\displaystyle a_{i}} 들의 K {\displaystyle K} -선형 결합이다. 마찬가지로 유한 개의 b j s {\displaystyle b_{j_{s}}} 들의 곱은 (유한 개의) b j {\displaystyle b_{j}} 들의 K {\displaystyle K} -선형 결합이다. 따라서, K [ a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ] {\displaystyle K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]} 의 원소들은 (유한 개의) a i b j {\displaystyle a_{i}b_{j}} 들의 K {\displaystyle K} -선형 결합이다. 즉, ( a i b j ) i ∈ I , j ∈ J {\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}} 는 K ( L 1 ∪ L 2 ) {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})} 의 K {\displaystyle K} -선형 생성 집합이다. 이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, K ( L 1 ∪ L 2 ) / K {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})/K} 가 초월 확대이며 L 1 {\displaystyle L_{1}} 와 L 2 {\displaystyle L_{2}} 중 하나 이상이 무한 집합이므로 [ K ( L 1 ∪ L 2 ) : K ] = | K ( L 1 ∪ L 2 ) | = max { | K | , | L 1 ∪ L 2 | , ℵ 0 } = max { | L 1 | , | L 2 | } {\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}} 이다. 만약 L 1 / K {\displaystyle L_{1}/K} 와 L 2 / K {\displaystyle L_{2}/K} 가 둘 다 초월 확대라면, [ L 1 : K ] [ L 2 : K ] = | L 1 | | L 2 | = max { | L 1 | , | L 2 | } {\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}} 이다. 만약 L 1 / K {\displaystyle L_{1}/K} 가 대수적 확대이며 L 2 / K {\displaystyle L_{2}/K} 가 초월 확대라면, [ L 1 : K ] ≤ | L 1 | = max { | K | , ℵ 0 } ≤ max { | K | , trdeg K ⁡ L 2 , ℵ 0 } = | L 2 | {\displaystyle [L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|} 이므로 [ L 1 : K ] [ L 2 : K ] = [ L 1 : K ] | L 2 | = max { [ L 1 : K ] , | L 2 | } = | L 2 | = max { | L 1 | , | L 2 | } {\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}} 이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다. 노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여 N L / K ⁡ ( a b ) = N L / K ⁡ ( a ) N L / K ⁡ ( b ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)} 이며, 만약 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 이라면 N L / K ⁡ ( a − 1 ) = N L / K ⁡ ( a ) − 1 {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}} 이다. 또한, 만약 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 M / L {\displaystyle M/L} 이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다. N M / K = N L / K ∘ N M / L {\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}} 대수적 수체 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 에서, 모든 대수적 정수 a ∈ O K {\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}} 의 체 노름은 (유리수) 정수이다. ∀ a ∈ O K : N K / Q ⁡ ( a ) ∈ Z {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z} } 또한, 다음이 성립한다. ∀ a ∈ O K : | N K / Q ⁡ ( a ) | = | O K / ( a ) | {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|} 여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 임의의 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 에 대하여 N K / Q ⁡ ( a ) = | O K / a | {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|} 로 정의한다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 S ⊂ L ∖ K {\displaystyle S\subset L\setminus K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K ( S ) / K {\displaystyle K(S)/K} 는 순수 초월 확대이며, L / K ( S ) {\displaystyle L/K(S)} 는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다. 체 K {\displaystyle K} 의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 와 동형이며, 이는 S {\displaystyle S} 의 집합의 크기 | S | {\displaystyle |S|} 에 따라 완전히 분류된다. 체 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 의 대수적 확대의 분류는 K {\displaystyle K} 위의 | S | {\displaystyle |S|} 차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체이며 | S | = 1 {\displaystyle |S|=1} 인 경우, 이는 K {\displaystyle K} 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다. 위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다. 갈루아 확대 분해 가능 확대 정규 확대 아벨 확대 단순 확대 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 및 분해 가능 폐포 K sep {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }} 를 정의할 수 있으며, 또한 K {\displaystyle K} 의 표수에 따라서 K 0 {\displaystyle K_{0}} 를 다음과 같이 정의하자. K 0 = { F p p = char ⁡ K > 0 Q char ⁡ K = 0 {\displaystyle K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}} 여기서 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 는 크기 p {\displaystyle p} 의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. K 0 ⊆ K ⊆ K sep ⊆ K ¯ {\displaystyle K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}} K ¯ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K} 는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 유리 함수체 K ( x ) = Frac ⁡ K [ x ] {\displaystyle K(x)=\operatorname {Frac} K[x]} 및 형식적 로랑 급수체 K ( ( x ) ) = Frac ⁡ K [ [ x ] ] {\displaystyle K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]} 를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. K ⊊ K ( x ) ⊊ K ( ( x ) ) {\displaystyle K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))} 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다. [ K ( x ) : K ] = ℵ 0 {\displaystyle [K(x):K]=\aleph _{0}} trdeg K ⁡ K ( x ) = 1 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1} [ K ( ( x ) ) : K ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}} 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } , 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. Q ⊊ R ⊊ C {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C} } 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다. [ R : Q ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}} trdeg Q ⁡ R = 2 ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}} [ C : R ] = 2 {\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2} trdeg R ⁡ C = 0 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0} 체의 확대 C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 에서의 체 노름은 다음과 같다. N C / R : x + i y ↦ x 2 + y 2 = | x + i y | 2 {\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}} 이다. 유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, Q ( 2 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} } 나 Q ( − 1 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q} } 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다. 원주율 π {\displaystyle \pi } 및 자연로그의 밑 e {\displaystyle e} 는 초월수이므로, Q [ π ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q} } 와 Q ( e ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q} } 는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 { π , e } {\displaystyle \{\pi ,e\}} 가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, Q ( π , e ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q} } 는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다. [ Q ( π ) : Q ) ] = [ Q ( e ) : Q ] = [ Q ( π , e ) : Q ] = ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}} trdeg Q ⁡ Q ( π ) = trdeg Q ⁡ Q ( e ) = 1 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1} trdeg Q ⁡ Q ( π , e ) ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}} 이차 수체 Q [ n ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} } 에서의 체 노름은 다음과 같다. N Q [ n ] / Q : a + n b ↦ ( a + n b ) ( a − n b ) = a 2 − n b 2 {\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}} 이다. 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다. Q ⊊ Q p ⊊ Q ¯ p ⊊ C p {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}} 여기서 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 는 p진수체이며, Q ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 는 그 대수적 폐포이며, C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 는 그 완비화이다. C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 는 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다. [ Q p : Q ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}} 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌을 때, 표수 p {\displaystyle p} 의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다. F p ⊊ F p 2 ⊊ ⋯ ⊊ F p n ⊊ ⋯ F ¯ p = lim → n → ∞ ⁡ F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}} 여기서 F ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다. [ F p n + 1 : F p ] = p {\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p} [ F ¯ p : F p n ] = ℵ 0 {\displaystyle [{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}} 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 대수다양체 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 위의 유리 함수체 L = Γ ( X , K X ) {\displaystyle L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})} 는 K {\displaystyle K} 의 확대이다. 이 경우, X {\displaystyle X} 의 쌍유리 동치류는 확대 L / K {\displaystyle L/K} 로부터 완전히 결정된다. 특히, X {\displaystyle X} 의 크룰 차원은 L / K {\displaystyle L/K} 의 초월 차수와 같다. dim ⁡ X = trdeg K ⁡ L {\displaystyle \dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L} 이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 K ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})} 이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자. y 2 = p ( x ) {\displaystyle y^{2}=p(x)} 여기서 p ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle p(x)\in K[x]} 는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 x {\displaystyle x} 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, x {\displaystyle x} 위의 올은 ± p ( x ) {\displaystyle \pm {\sqrt {p(x)}}} 이다. 2 ⌈ ( deg ⁡ p ) / 2 ⌉ {\displaystyle 2\lceil (\deg p)/2\rceil } 개의 분기점들은 p {\displaystyle p} 의 근 및 (만약 2 ∤ deg ⁡ p {\displaystyle 2\nmid \deg p} 인 경우) 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대 K ( x , p ( x ) ) / K {\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K} 로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 K ( x , p ( x ) ) / K ( x ) {\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)} 에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다. C ( ρ , 4 ℘ 3 + g 2 ℘ + g 3 ρ ′ ) {\displaystyle \mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')} 이는 바이어슈트라스 타원 함수가 ℘ ′ 2 = 4 ℘ 3 + g 2 ℘ + g 3 {\displaystyle \wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}} 를 만족시키기 때문이다. 고전 기하학의 작도는 오직 직선과 원만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들 Q = K 0 ⊂ K 1 ⊂ K 2 ⊂ ⋯ ⊂ K n {\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \cdots \subset K_{n}} [ K i + 1 / K i ] = 2 {\displaystyle [K_{i+1}/K_{i}]=2} 가운데 하나에 속해야 한다. 이러한 수를 작도 가능한 수라고 한다. 이를 사용하여, 여러 고전적 작도 문제의 (불)가능성을 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, 입방 배적 문제는 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} 가 작도 가능한지 여부인데, Q ( 2 3 ) = Q ⊕ 2 3 Q ⊕ 4 3 Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{2}}\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{4}}\mathbb {Q} } 이므로 [ Q ( 2 3 ) : Q ] = 3 {\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]=3} 이며, 따라서 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} 는 작도할 수 없다. 마찬가지로, 원적 문제는 π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} 가 작도 가능한지 여부를 묻는다. 원주율은 초월수이므로, π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} 역시 초월수이다. (이는 두 대수적 수의 곱은 대수적 수이기 때문이다.) 따라서 원적 문제는 풀 수 없다. 각의 3등분 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다. 구체적으로, 60도 각은 작도 가능하지만, 그 3등분인 20도 각은 작도 가능하지 않다. 이는 cos ⁡ 20 ∘ {\displaystyle \cos 20^{\circ }} 가 작도 가능한 수가 아니라고 말하는 것과 같다. 구체적으로, 삼각 함수의 세배각 공식 cos ⁡ 3 θ = 4 cos 3 ⁡ θ − 3 cos ⁡ θ {\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta } 을 생각하자. 여기에 θ = 60 ∘ {\displaystyle \theta =60^{\circ }} 를 대입하면 1 / 2 = 4 cos 3 ⁡ 20 ∘ − 3 cos ⁡ 20 ∘ {\displaystyle 1/2=4\cos ^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }} 을 얻는다. 즉, cos ⁡ 20 ∘ {\displaystyle \cos 20^{\circ }} 는 3차 방정식 4 x 3 − 3 x − 1 / 2 = 0 {\displaystyle 4x^{3}-3x-1/2=0} 의 해이다. 이는 기약 3차 방정식이다. 실제로, x = ( y + 1 ) / 2 {\displaystyle x=(y+1)/2} 와 같이 치환하면 이는 y 3 + 3 y 2 − 3 = 0 {\displaystyle y^{3}+3y^{2}-3=0} 이 되는데, 아이젠슈타인 판정법에 의하여 좌변은 기약 다항식이다. 즉, [ Q ( cos ⁡ 20 ∘ ) : Q ] = 3 {\displaystyle [\mathbb {Q} (\cos 20^{\circ }):\mathbb {Q} ]=3} 이다. 갈루아 이론 유체론 분해체 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Chichester: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003.  Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 158 2판. Springer. doi:10.1007/0-387-27678-5. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001.  Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  “Extension of a field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Tower of fields”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Compositum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Transcendental extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Extension field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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