자유군

군론에서 자유군(自由群, 영어: free group)은 그 아무런 관계를 갖지 않는 표시를 가질 수 있는 군이다. 즉, 군의 대수 구조 다양체의 자유 대수이다. 자유군은 군의 구체적 범주 Grp → Set {\displaystyle \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} } 의 자유 대상이다. 즉, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자 Forget : Grp → Set {\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} } 는 왼쪽 수반 함자 ⟨ − ⟩ : Set → Grp {\displaystyle \langle -\rangle \colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Grp} } ⟨ − ⟩ ⊣ Forget {\displaystyle \langle -\rangle \dashv \operatorname {Forget} } 를 가지며, 집합 S {\displaystyle S} 로부터 생성되는 자유군 ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } 은 함자 ⟨ − ⟩ {\displaystyle \langle -\rangle } 에 대한 상이다. 집합 S {\displaystyle S} 로부터 생성되는 자유군은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. S {\displaystyle S} 의 원소들을 형식적 기호로 생각하고, 기호들의 집합 S − 1 = { s − 1 : s ∈ S } {\displaystyle S^{-1}=\{s^{-1}\colon s\in S\}} 를 생각하자. 그렇다면, 알파벳 S ⊔ S − 1 {\displaystyle S\sqcup S^{-1}} 으로 구성되는 문자열 σ ∈ ( S ⊔ S − 1 ) ∗ {\displaystyle \sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{*}} 을 생각할 수 있다 ( ∗ {\displaystyle ^{*}} 는 클레이니 스타). 문자열 σ ∈ ( S ⊔ S − 1 ) ∗ {\displaystyle \sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{*}} 이 s s − 1 ( s ∈ S ) {\displaystyle ss^{-1}\qquad (s\in S)} 또는 s − 1 s ( s ∈ S ) {\displaystyle s^{-1}s\qquad (s\in S)} 꼴의 부분 문자열을 갖지 않는다면, 이를 기약 문자열(영어: reduced string)이라고 한다. 임의의 문자열 σ ∈ ( S ⊔ S − 1 ) ∗ {\displaystyle \sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{*}} 에 대하여, 위의 꼴의 부분 문자열들을 (임의의 순서로) 거듭하여 제거하면 결국 기약 문자열을 얻으며, 이렇게 얻는 기약 문자열은 부분 문자열의 제거 순서와 무관하다. 이를 문자열의 축소화(영어: reduction)라고 하자. 그렇다면, 자유군 ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } 은 ( S ⊔ S − 1 ) ∗ {\displaystyle (S\sqcup S^{-1})^{*}} 속의 기약 문자열들의 집합으로 구성할 수 있다. 이 경우, 기약 문자열 σ , σ ′ ∈ ( S ⊔ S − 1 ) ∗ {\displaystyle \sigma ,\sigma '\in (S\sqcup S^{-1})^{*}} 에 대하여, 군 이항 연산 σ ⋅ σ ′ {\displaystyle \sigma \cdot \sigma '} 은 두 문자열의 이음 σ σ ′ {\displaystyle \sigma \sigma '} 의 축소화이다. 이 구성에서 군의 항등원은 길이 0의 문자열이며, 기약 문자열 σ {\displaystyle \sigma } 의 역원은 σ {\displaystyle \sigma } 의 순서를 거꾸로 한 뒤, s ∈ S {\displaystyle s\in S} 꼴의 알파벳은 s − 1 {\displaystyle s^{-1}} 로, s − 1 ∈ S − 1 {\displaystyle s^{-1}\in S^{-1}} 꼴의 알파벳은 s {\displaystyle s} 로 치환하여 얻는 문자열이다. (이러한 문자열은 항상 기약 문자열이다.) 집합 S {\displaystyle S} 로부터 생성되는 자유군 ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } 의 크기는 다음과 같다. | ⟨ S ⟩ | = { 1 | S | = 0 ℵ 0 1 ≤ | S | ≤ ℵ 0 | S | | S | ≥ ℵ 0 {\displaystyle |\langle S\rangle |={\begin{cases}1&|S|=0\\\aleph _{0}&1\leq |S|\leq \aleph _{0}\\|S|&|S|\geq \aleph _{0}\end{cases}}} 두 집합 S {\displaystyle S} , T {\displaystyle T} 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다. | S | = | T | {\displaystyle |S|=|T|} ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } 와 ⟨ T ⟩ {\displaystyle \langle T\rangle } 는 군으로서 서로 동형이다. 자유군 F {\displaystyle F} 의 계수는 F {\displaystyle F} 를 생성하는 집합의 크기이다. 이는 위 정리에 따라 유일하다. 계수가 0인 자유군은 자명군이다. 계수가 1인 자유군은 무한 순환군이다. 계수가 2 이상인 자유군은 비아벨 군이다. 정의에 따라, 모든 군은 어떤 자유군의 몫군으로 나타낼 수 있다. 가산 계수의 자유군의 몫군으로 나타내어지는 군을 유한 생성 군(영어: finitely generated group)이라고 한다. 자유군의 아벨화는 자유 아벨 군이다. 닐센-슈라이어 정리(영어: Nielsen–Schreier theorem)에 따르면, 자유군의 모든 부분군은 자유군이다. 이 정리는 야코브 닐센(덴마크어: Jakob Nielsen, 1890~1959)이 1921년에 유한 생성 부분군에 대하여 증명하였으며, 오토 슈라이어(독일어: Otto Schreier, 1901~1929)가 1927년 하빌리타치온 논문에서 일반적인 경우에 대하여 증명하였다. 닐센-슈라이어 정리의 증명은 선택 공리를 필요로 한다. 선택 공리가 성립하지 않으며, 닐센-슈라이어 정리 역시 거짓인 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이 존재한다. 계수가 2개 이상인 자유군은 모든 가산 계수의 자유군을 부분군으로 갖는다. 알프레트 타르스키는 1945년 경에 계수가 2 이상인 자유군의 1차 논리 이론은 모두 동형이며, 이는 결정 가능 이론이라고 추측하였다. 이 두 추측을 증명하는 두 편의 논문이 2006년에 발표되었으나, 이 논문들에 대해서는 아직 논란이 있다. 계수 2의 자유군의 케일리 그래프는 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다. 대수적 위상수학에서, 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, κ {\displaystyle \kappa } 개의 원들의 쐐기합 ⋀ κ S 1 {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\kappa }\mathbb {S} ^{1}} 의 기본군은 계수 κ {\displaystyle \kappa } 의 자유군이다. Nielsen, Jakob (1921). “Om Regning med ikke-kommutative Faktorer og dens Anvendelse i Gruppeteorien”. 《Matematisk Tidsskrift B》 (덴마크어) 1921: 78–94. JFM 48.0123.03.  Schreier, Otto (1927). “Die Untergruppen der freien Gruppe”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 5: 161–183. doi:10.1007/BF02952517.  Tarski, Alfred; Sinaceur, Hourya (2000년 3월). “Address at the Princeton University Bicentennial Conference on Problems of Mathematics (December 17-19, 1946)”. 《The Bulletin of Symbolic Logic》 (영어) 6 (1): 1–14. doi:10.2307/421074. JSTOR 421074.  Sela, Zlil (2006년 6월). “Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group”. 《Geometric and Functional Analysis》 (영어) 16 (3): 707–730. doi:10.1007/s00039-006-0565-8. ISSN 1016-443X. MR 2238945.  Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei (2006). “Elementary theory of free non-abelian groups” (PDF). 《Journal of Algebra》 (영어) 302 (2): 451–552. doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033. 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