작용소 노름

함수해석학에서 작용소 노름(作用素norm, 영어: operator norm)은 두 노름 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 정의되는 노름이다. 두 노름 공간 사이의 유계 작용소는 단위 벡터를 어떤 유한한 길이 이상으로 늘리지 못하는, 두 노름 공간 사이의 선형 변환인데, 유계 작용소가 단위 벡터를 늘리는 최댓값을 그 작용소 노름이라고 한다. 즉, 작용소 노름이 c인 작용소는 임의의 벡터의 길이를 c배 초과로 늘리지 못한다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나이며, V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 확장된 실수를 정의할 수 있으며, 이를 T {\displaystyle T} 의 작용소 노름이라고 한다.:69, Example III.1.4:92–93, Theorem 4.1; 95, Theorem 4.4 ‖ T ‖ = sup v ∈ V ∖ { 0 } ‖ T v ‖ W ‖ v ‖ V = sup v ∈ V ∖ { 0 } ‖ T ( v / ‖ v ‖ V ) ‖ W = inf { c ∈ [ 0 , ∞ ) : ‖ T v ‖ W ≤ c ‖ v ‖ V ∀ v ∈ V } = inf { c ∈ [ 0 , ∞ ) : ‖ T v ‖ W ‖ v ‖ V ≤ c ∀ v ∈ V ∖ { 0 } } = sup v ∈ V , ‖ v ‖ V = 1 ‖ T v ‖ W ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\\&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}\|T(v/\|v\|_{V})\|_{W}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty )\colon \|Tv\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\forall v\in V\right\}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty ):{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\leq c\forall v\in V\setminus \{0\}\right\}\\&=\sup _{v\in V,\;\|v\|_{V}=1}\|Tv\|_{W}\\&\in [0,\infty ]\end{aligned}}} 위 상계(또는 하계)는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다. 작용소 노름은 유계 작용소 위의 노름이다. 즉, 아래의 성질을 만족시킨다. ‖ T ‖ = 0 ⟺ T = 0 ∀ T ∈ B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \|T\|=0\iff T=0\qquad \forall T\in \operatorname {B} (V,W)} ‖ a T ‖ = | a | ‖ T ‖ ∀ a ∈ K , T ∈ B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \|aT\|=|a|\|T\|\qquad \forall a\in \mathbb {K} ,\;T\in \operatorname {B} (V,W)} (삼각 부등식) ‖ T + U ‖ ≤ ‖ T ‖ + ‖ U ‖ ∀ T , U ∈ B ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \|T+U\|\leq \|T\|+\|U\|\qquad \forall T,U\in \operatorname {B} (V,W)} 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 사이의 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 T ∈ hom K ⁡ ( V , W ) {\displaystyle T\in \hom _{\mathbb {K} }(V,W)} 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이다.:24, Theorem 1.32 T {\displaystyle T} 는 유계 작용소이다. T {\displaystyle T} 는 ( V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 의 위상에 대하여) 연속 함수이다. ( V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 의 덧셈 위상군 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수이다. T {\displaystyle T} 는 ( V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 의 노름 거리 함수에 대하여) 립시츠 연속 함수이다. T {\displaystyle T} 의 작용소 노름이 유한하다. 즉, ‖ T ‖ < ∞ {\displaystyle \|T\|<\infty } 이다. 이 가운데 ‘립시츠 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 연속’은 자명하다. 증명 (유한 노름 ⇒ 립시츠 연속): 유한한 노름의 작용소 T {\displaystyle T} 가 주어졌을 때, 임의의 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} 에 대하여, d ( T u , T v ) = ‖ T u − T v ‖ = ‖ T ( u − v ) ‖ ≤ ‖ T ‖ d ( u , v ) {\displaystyle d(Tu,Tv)=\|Tu-Tv\|=\|T(u-v)\|\leq \|T\|d(u,v)} 이므로, T {\displaystyle T} 는 립시츠 상수 ‖ T ‖ {\displaystyle \|T\|} 에 대하여 립시츠 연속 함수이다. 증명 (연속 ⇒ 유한 노름): 연속 작용소 T {\displaystyle T} 가 주어졌다고 하자. 연속성의 정의에 따라, T ( ball V ⁡ ( 0 , δ ) ) ⊆ ball W ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,\delta )\right)\subseteq \operatorname {ball} _{W}(0,1)} 인 양의 실수 δ ∈ R + {\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{+}} 가 존재한다. (여기서 ball ⁡ ( x , r ) {\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)} 는 열린 공을 뜻한다.) 그렇다면, 연속성에 따라, 임의의 v ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle v\in V\setminus \{0\}} 에 대하여, δ v / 2 ‖ v ‖ ∈ ball V ⁡ ( 0 , δ ) {\displaystyle \delta v/2\|v\|\in \operatorname {ball} _{V}(0,\delta )} 이므로, ‖ T v ‖ = 2 ‖ v ‖ δ ⋅ ‖ T ( δ v / 2 ‖ v ‖ ) ‖ ≤ 2 ‖ v ‖ δ {\displaystyle \|Tv\|={\frac {2\|v\|}{\delta }}\cdot \|T(\delta v/2\|v\|)\|\leq {\frac {2\|v\|}{\delta }}} 이다. 즉, ‖ T ‖ ≤ 2 δ < ∞ {\displaystyle \|T\|\leq {\frac {2}{\delta }}<\infty } 이다. Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) 페아노의 정리 Weisstein, Eric Wolfgang. “Operator norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.