방향 (다양체)

미분기하학과 위상수학에서, 다양체의 방향(方向, 영어: orientation 오리엔테이션[*])은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(有向多樣體, oriented manifold)라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(可向多樣體, orientable manifold)라고 한다. 예를 들어, 구는 방향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 방향을 줄 수 없다. M {\displaystyle M} 이 n {\displaystyle n} 차원 위상다양체라고 하자. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 위상 동형이므로, 모든 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, 상대 호몰로지 군 H n ⁡ ( M , M ∖ { x } ) {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})} 은 H n ⁡ ( M , M ∖ { x } ) ≅ H n ⁡ ( R n / ( R n ∖ { 0 } ) ) ≅ H n ⁡ ( S n ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})\cong \operatorname {H} _{n}(\mathbb {R} ^{n}/(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}))\cong \operatorname {H} _{n}(\mathbb {S} ^{n})\cong \mathbb {Z} } 의 꼴이다. 이들을 줄기로 하는, 아벨 군 값의 국소 상수층 ω M {\displaystyle \omega _{M}} 이 존재한다. 이를 M {\displaystyle M} 의 방향층(方向層, 영어: orientation sheaf)이라고 한다. 물론, 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 대신 다른 가환환 R {\displaystyle R} 계수를 사용할 수 있으며, 이 경우 R {\displaystyle R} -가군의 국소 상수층 ω M ⊗ R {\displaystyle \omega _{M}\otimes R} 를 얻는다. 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서의 국소 방향(局所方向, 영어: local orientation)은 무한 순환군 H n ⁡ ( M , M ∖ { x } ) {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})} 의 두 생성원 가운데 하나이다. M {\displaystyle M} 위의 방향은 방향층 ω M {\displaystyle \omega _{M}} 의 단면 가운데, 각 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} . 또한, 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 U i {\displaystyle U_{i}} 가 축약 가능 공간이라고 하자. 이에 따라, 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, U i {\displaystyle U_{i}} 속의 임의의 두 점 x , y ∈ U i {\displaystyle x,y\in U_{i}} 에 대하여, 표준적인 군 동형 사상 H n ⁡ ( M , M ∖ { x } ) ≅ H n ⁡ ( M , M ∖ { y } ) {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})\cong \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{y\})} 가 존재한다. 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 및 U i {\displaystyle U_{i}} 속의 임의의 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, 국소 방향 e x ∈ H n ⁡ ( M , M ∖ { x } ) {\displaystyle e_{x}\in \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})} . 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의 x ′ ∈ U i {\displaystyle x'\in U_{i}} 속에 ( x ′ , i ) {\displaystyle (x',i)} 에서의 국소 방향을 정의할 수 있다. 이는 다음 조건을 따라야 한다. 임의의 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 및 x ∈ U i ∩ U j {\displaystyle x\in U_{i}\cap U_{j}} 에 대하여, ( x , i ) {\displaystyle (x,i)} 에서의 국소 방향이 ( x , j ) {\displaystyle (x,j)} 에서의 국소 방향과 일치한다. M {\displaystyle M} 이 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 M {\displaystyle M} 위의 방향은 항상 0이 아닌 n {\displaystyle n} 차 미분 형식의 동치류다. 만약 두 n {\displaystyle n} 차 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } 가 α = f β {\displaystyle \alpha =f\beta } 의 꼴이고, f {\displaystyle f} 가 매끄러운 함수이며, 항상 0이 아닌 함수라면 α ∼ β {\displaystyle \alpha \sim \beta } 로 간주한다. 이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 동치이다. 같은 차원의 두 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 분리합집합 M ⊔ N {\displaystyle M\sqcup N} 역시 표준적인 방향을 갖는다. (서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱공간 M × N {\displaystyle M\times N} 역시 표준적인 방향을 갖는다. 유향 다양체 M {\displaystyle M} 의 열린집합인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, 뫼비우스의 띠는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 유클리드 공간의 부분 다양체이다.) n {\displaystyle n} 차원 경계다양체 ( M , ∂ M ) {\displaystyle (M,\partial M)} 의 내부 M ∖ ∂ M {\displaystyle M\setminus \partial M} 는 n {\displaystyle n} 차원 다양체를 이루며, ∂ M {\displaystyle \partial M} 은 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 다양체를 이룬다. M ∖ ∂ M {\displaystyle M\setminus \partial M} 의 방향이 주어졌을 때, 이는 ∂ M {\displaystyle \partial M} 의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 경계는 가향 다양체이다. 모든 복소다양체는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로, n {\displaystyle n} 차원 복소다양체 M {\displaystyle M} 의 열린 덮개 ( U i ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}} 의 복소수 국소 좌표계 ( ϕ i : U i → C n ) i ∈ I {\displaystyle (\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {C} ^{n})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수 ϕ j ∘ ϕ i − 1 : ϕ i − 1 ( U i ∩ U j ) → C n {\displaystyle \phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}^{-1}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} ^{n}} 는 정칙 함수이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는 M {\displaystyle M} 의 방향을 정의한다. “Orientation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Manifold orientation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Goldberg, Timothy E. (2007년 11월 11일). “The Orientation Manifesto (for Undergraduates)” (PDF).