에르미트 항등식

에르미트 항등식이란 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 임의의 실수 x {\displaystyle x} 와 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 항상 성립하는 항등식이다. 이는 다음과 같다. ∑ k = 0 n − 1 [ x + k n ] = [ x ] + [ x + 1 n ] + [ x + 2 n ] + ⋯ + [ x + n − 1 n ] = [ n x ] {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=[nx]} (단, [ x ] {\displaystyle [x]} 는 가우스 기호이다. 이는 x {\displaystyle x} 를 넘지 않는 최대의 정수이다.) [증명 1-대수(해석)적 증명법] f ( x ) = [ x ] + [ x + 1 n ] + [ x + 2 n ] + ⋯ + [ x + n − 1 n ] − [ n x ] {\displaystyle f(x)=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]-[nx]} 라고 가정하자. 그러므로, f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 임을 증명하면 된다. x = x + 1 n {\displaystyle x=x+{\frac {1}{n}}} 를 대입해 주면, f ( x + 1 n ) = [ x + 1 n ] + [ x + 2 n ] + ⋯ + [ x + 1 ] − [ n x + 1 ] = [ x + 1 n ] + [ x + 2 n ] + ⋯ + [ x ] + 1 − [ n x ] − 1 = f ( x ) {\displaystyle f\left(x+{\frac {1}{n}}\right)=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+1\right]-[nx+1]=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x\right]+1-[nx]-1=f(x)} 가 된다. 즉, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 은 주기가 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 인 주기함수가 된다. (추가로 f ( x ) = f ( x + p ) {\displaystyle f(x)=f(x+p)} 일 때 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 주기가 p {\displaystyle p} 인 함수이다.) 그러므로 0 ≤ x < 1 n {\displaystyle 0\leq x<{\frac {1}{n}}} 인 x {\displaystyle x} 에 대하여 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 임을 증명하면 되는 것이다. 0 ≤ x < 1 n , [ x ] = 0 {\displaystyle 0\leq x<{\frac {1}{n}},[x]=0} 0 ≤ x + 1 n < 2 n , [ x + 1 n ] = 0 {\displaystyle 0\leq x+{\frac {1}{n}}<{\frac {2}{n}},\left[x+{\frac {1}{n}}\right]=0} . . . 0 ≤ x + n − 1 n < 1 , [ x + n − 1 n ] = 0 {\displaystyle 0\leq x+{\frac {n-1}{n}}<1,\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=0} 0 ≤ n x < 1 , [ n x ] = 0 {\displaystyle 0\leq nx<1,[nx]=0} 위의 식을 다 더하면 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . 따라서 에르미트 항등식은 성립한다. [증명2-정수적 증명(바닥함수의 정의 이용)] x = m + α {\displaystyle x=m+\alpha } 라고 가정하자. (단, m {\displaystyle m} 은 정수, 0 ≤ α < 1 {\displaystyle 0\leq \alpha <1} 이다.) [ x ] = [ m + α ] = m , [ x + 1 ] = [ m + α ] + 1 = m + 1 {\displaystyle [x]=[m+\alpha ]=m,[x+1]=[m+\alpha ]+1=m+1} 임을 알 수 있다. 이때, [ x ] = [ x + 1 n ] = [ x + 2 n ] = ⋯ = [ x + i − 1 n ] = m {\displaystyle [x]=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]=\left[x+{\frac {2}{n}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {i-1}{n}}\right]=m} , [ x + i n ] = [ x + i + 1 n ] = [ x + i + 2 n ] = ⋯ = [ x + n − 1 n ] = m + 1 {\displaystyle \left[x+{\frac {i}{n}}\right]=\left[x+{\frac {i+1}{n}}\right]=\left[x+{\frac {i+2}{n}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=m+1} 이 성립한다고 가정하면, ∑ k = 0 n − 1 [ x + k n ] = n [ x ] + n − i {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=n[x]+n-i} 가 성립한다. ( i {\displaystyle i} 는 자연수) 또한, 두 부등식 α + i − 1 n < 1 {\displaystyle \alpha +{\frac {i-1}{n}}<1} , α + i n ≥ 1 {\displaystyle \alpha +{\frac {i}{n}}\geq 1} 을 연립하여 정리하면, n − i ≤ n α < n − i + 1 {\displaystyle n-i\leq n\alpha <n-i+1} 이 되고 양변에 n [ x ] {\displaystyle n[x]} 를 더해 주면, n [ x ] + n − i ≤ n [ x ] + n α < n [ x ] + n − i + 1 {\displaystyle n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha <n[x]+n-i+1} 이 되고, x = m + α {\displaystyle x=m+\alpha } 이므로, n [ x ] + n − i ≤ n x < n [ x ] + n − i + 1 {\displaystyle n[x]+n-i\leq nx<n[x]+n-i+1} 이다. 따라서 [ n x ] = n [ x ] + n − i = ∑ k = 0 n − 1 [ x + k n ] {\displaystyle [nx]=n[x]+n-i=\sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]} 이므로, ∑ k = 0 n − 1 [ x + k n ] = [ x ] + [ x + 1 n ] + [ x + 2 n ] + ⋯ + [ x + n − 1 n ] = [ n x ] {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=[nx]} 이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다. 위키배움터에 관련된 자료가 있습니다. 에르미트 항등식 예제