리만 다양체

미분기하학에서 리만 다양체(Riemann多樣體, 영어: Riemannian manifold)는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운송 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemann幾何學, 영어: Riemannian geometry)이라고 한다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 의 2차 대칭승 Sym 2 ⁡ T ∗ M {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M} 벡터 다발을 생각하자. 이는 접다발의 대칭승 Sym 2 ⁡ T M {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}TM} 의 쌍대 다발과 같다. 이 벡터 다발은 M {\displaystyle M} 위의 n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle n(n+1)/2} 차원 벡터 다발이다. Sym 2 ⁡ T ∗ M {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M} 의 매끄러운 단면은 M {\displaystyle M} 의 각 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서의 접공간 T x M {\displaystyle T_{x}M} 위에 쌍선형 형식을 정의한다. Sym 2 ⁡ T M {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}TM} 은 ( T M ) ⊗ 2 {\displaystyle (TM)^{\otimes 2}} 의 몫공간이므로, 그 쌍대 다발인 Sym 2 ⁡ T ∗ M {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M} 은 ( T ∗ M ) ⊗ 2 {\displaystyle (T^{*}M)^{\otimes 2}} 의 부분 공간이 된다. 따라서 Sym 2 ⁡ T ∗ M {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M} 의 매끄러운 단면은 M {\displaystyle M} 위의 (0,2)-텐서장 ( ( T ∗ M ) ⊗ 2 {\displaystyle (T^{*}M)^{\otimes 2}} 의 매끄러운 단면)으로 생각할 수 있다. M {\displaystyle M} 위의, Sym 2 ⁡ T ∗ M {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M} 의 매끄러운 단면 g ∈ Γ ( Sym 2 ⁡ T ∗ M ) {\displaystyle g\in \Gamma (\operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M)} 가 다음 조건을 만족시킨다면, g {\displaystyle g} 를 M {\displaystyle M} 위의 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 한다. (양의 정부호성) 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 X ∈ T x M {\displaystyle X\in T_{x}M} 에 대하여, 만약 X ≠ 0 {\displaystyle X\neq 0} 이라면 g ( X , X ) > 0 {\displaystyle g(X,X)>0} 리만 계량을 갖춘 매끄러운 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 를 리만 다양체라고 한다. 두 리만 다양체 ( M , g M ) {\displaystyle (M,g_{M})} , ( N , g N ) {\displaystyle (N,g_{N})} 사이의 등거리 변환(영어: isometric map)은 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 이다. 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 X , Y ∈ T x M {\displaystyle X,Y\in T_{x}M} 에 대하여, g N ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) = g M ( X , Y ) {\displaystyle g_{N}(df(X),df(Y))=g_{M}(X,Y)} 여기서 d f ( X ) ∈ T f ( x ) N {\displaystyle df(X)\in T_{f(x)}N} 는 X {\displaystyle X} 의 f {\displaystyle f} 에 대한 밂이다. 모든 매끄러운 다양체에는 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다. 물론, 이는 표준적이지 않다. 내시 매장 정리(영어: Nash embedding theorem)에 따라, 모든 연결 리만 다양체는 충분히 높은 차원의 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 으로의 등거리 매장을 갖는다. 즉, 리만 다양체는 내재적으로 정의하는 대신 항상 외재적으로 유클리드 공간의 부분 공간으로 여길 수 있다. 물론, 리만 다양체 자체의 데이터는 유클리드 공간으로의 매장을 포함하지 않는다. 연결 리만 다양체 위에는 자연스럽게 거리 공간의 구조가 주어진다. [모든 (하우스도르프 파라콤팩트) 다양체는 거리화 가능 공간이지만, 리만 계량과 같은 구조가 없다면 거리 함수를 표준적으로 정의할 수 없다.] 구체적으로, 연결 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 매끄러운 곡선 γ : [ 0 , 1 ] → M {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M} 의 길이는 다음과 같다. L ( γ ) = ∫ 0 1 g ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt\in [0,\infty )} 곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 매끄러운 함수 s : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {\displaystyle s\colon [0,1]\to [0,1]} 에 대하여, L ( γ ∘ s ) = L ( γ ) {\displaystyle L(\gamma \circ s)=L(\gamma )} 이다. 임의의 두 점 x , y ∈ M {\displaystyle x,y\in M} 사이의 거리(영어: distance)는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다. d ( x , y ) = inf γ : [ 0 , 1 ] → M γ ( 0 ) = x , γ ( 1 ) = y L ( γ ) {\displaystyle d(x,y)=\inf _{\gamma \colon [0,1]\to M}^{\gamma (0)=x,\;\gamma (1)=y}L(\gamma )} 이는 거리 함수의 조건들을 모두 만족시킴을 보일 수 있으며, 추가로 길이 거리 공간을 이룬다. 연결 공간이 아닌 리만 다양체의 경우, 각 연결 성분 위에 (유한한) 거리를 정의할 수 있지만, 서로 다른 연결 성분 위에 있는 두 점 사이의 거리는 무한대가 된다. 리만 기하학에서는 다음과 같은 하이네-보렐 정리가 성립한다. 연결 리만 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. M {\displaystyle M} 은 콤팩트 공간이다. M {\displaystyle M} 은 완비 거리 공간이며, (거리 공간으로서의) 지름이 유한하다. 리만 계량을 사용하여, 접다발 위에 레비치비타 접속이라는 아핀 접속을 정의할 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 접속이다. 벡터의 평행 운송은 리만 계량에 대한 길이를 보존한다. 비틀림이 0이다. 리만 다양체의 리만 곡률은 레비치비타 접속의 곡률이다. 리만 곡률 텐서장을 축약하여 리치 곡률 · 바일 곡률 · 스칼라 곡률 · 아인슈타인 텐서를 정의할 수 있다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에는 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 (매개 변수화를 무시하면) 국소적으로 두 점 사이의 거리를 최소화하는 곡선이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} · 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} · 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 은 모두 리만 다양체를 이룬다. 반단순 리 군의 경우, 킬링 형식은 양의 정부호이므로 리만 계량을 이룬다. 따라서 반단순 리 군의 경우 표준적으로 리만 다양체를 이룬다. 리만 다양체 ( M , g M ) {\displaystyle (M,g_{M})} 과 그 속의 몰입된 부분 다양체 ι : N ↪ M {\displaystyle \iota \colon N\hookrightarrow M} 가 주어졌다면, M {\displaystyle M} 위에 리만 계량을 다음과 같이 정의할 수 있다. g M ( X , Y ) = g M ( d ι ( X ) , d ι ( Y ) ) ∀ x ∈ N , X , Y ∈ T x N {\displaystyle g_{M}(X,Y)=g_{M}(d\iota (X),d\iota (Y))\qquad \forall x\in N,\;X,Y\in T_{x}N} 여기서 d ι ( X ) ∈ T ι ( x ) N {\displaystyle d\iota (X)\in T_{\iota (x)}N} 는 X {\displaystyle X} 의 밂이다. 따라서 ( M , g M ) {\displaystyle (M,g_{M})} 은 리만 다양체를 이룬다. 3차원 공간 속에, 다음과 같은 꼭짓점을 제거한 원뿔을 생각하자. { ( x , y , z ) : x 2 + y 2 = z 2 , z > 0 } {\displaystyle \{(x,y,z)\colon x^{2}+y^{2}=z^{2},\;z>0\}} 이는 확장 불가능 리만 다양체를 이룬다. (꼭짓점을 추가하면 특이점이 생기게 되어 리만 다양체를 이루지 못한다.) 그러나 이는 완비 다양체가 아니다. 꼭짓점을 향하는 측지선은 유한한 시간 안에 꼭짓점에 도달하여, 더 이상 연장할 수 없게 된다. Jost, Jürgen (2008). 《Riemannian geometry and geometric analysis》. Universitext (영어) 6판. Springer. doi:10.1007/978-3-642-21298-7. ISBN 978-3-642-21297-0. ISSN 0172-5939.  do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). 《Riemannian geometry》 (영어). Francis Flaherty 역. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3490-2.  Berger, Marcel (2002). 《Riemannian geometry during the second half of the twentieth century》. University Lecture Series (영어) 17 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2052-0.  Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975). 《Comparison theorems in Riemannian geometry》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4417-5.  Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). 《Riemannian geometry》. Universitext (영어) 3판. Springer.  Petersen, Peter (2006). 《Riemannian geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 171. Springer. doi:10.1007/978-0-387-29403-2. ISBN 978-0-387-29246-5. ISSN 0072-5285.  Lee, John M. (1997). 《Riemannian manifolds: an introduction to curvature》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 176. Springer. doi:10.1007/b98852. ISBN 978-0-387-98271-7. ISSN 0072-5285. 2015년 12월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 12월 5일에 확인함.  준 리만 다양체 핀슬러 다양체 매끄러운 다양체 필바인 라플라스-벨트라미 연산자 리만 곡률 텐서 홀로노미 “Riemannian geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Riemannian geometry in the large”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Riemannian manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Riemannian metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Isometric immersion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Nash theorems (in differential geometry)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemannian geometry”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemannian manifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemannian metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric tensor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Riemannian geometry”. 《nLab》 (영어).  “Riemannian manifold”. 《nLab》 (영어).  “Riemannian metric”. 《nLab》 (영어).  “Fundamental theorem of Riemannian geometry”. 《nLab》 (영어).  “Moduli space of Riemannian metrics”. 《nLab》 (영어).