절단점

일반위상수학에서 절단점(切斷點, 영어: cut-point)은 연결 공간을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다. 연결 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 절단점 차수(切斷點次數, 영어: cut-point order)는 X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 의 연결 성분들의 수이다. 연결 공간 X {\displaystyle X} 의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해, X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 가 비연결 공간이라면), x {\displaystyle x} 를 X {\displaystyle X} 의 절단점이라고 한다. 절단점 공간(切斷點空間, 영어: cut-point space)은 모든 점이 절단점인 연결 공간이다. 연결 공간 X {\displaystyle X} 가 다음 조건을 만족시키면, 연결 순서 위상 공간(連結順序位相空間, 영어: connected ordered topological space) 또는 COTS라고 한다. 임의의 세 원소 부분집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, S ∖ { s } {\displaystyle S\setminus \{s\}} 의 두 원소가 X ∖ { s } {\displaystyle X\setminus \{s\}} 의 서로 다른 두 연결 성분에 속하게 되는 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 가 존재한다면, X {\displaystyle X} 를 끝점 공간(-連結空間, 영어: topological space with endpoints)이라고 한다. 임의의 z ∈ X ∖ { x , y } {\displaystyle z\in X\setminus \{x,y\}} 에 대하여, x ∈ U ∌ y {\displaystyle x\in U\not \ni y} 인 X ∖ { z } {\displaystyle X\setminus \{z\}} 의 열린닫힌집합 U ⊆ X ∖ { z } {\displaystyle U\subseteq X\setminus \{z\}} 가 존재한다. 연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.:2799, Theorem 3.2 증명: 연결 공간 X {\displaystyle X} 의 절단점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 의 열린닫힌집합 ∅ ⊊ A ⊊ X ∖ { x } {\displaystyle \varnothing \subsetneq A\subsetneq X\setminus \{x\}} 가 존재하며, 이에 대하여 A = U ∖ { x } = F ∖ { x } {\displaystyle A=U\setminus \{x\}=F\setminus \{x\}} 인 X {\displaystyle X} 의 열린집합 U {\displaystyle U} 및 닫힌집합 F {\displaystyle F} 가 존재한다. X {\displaystyle X} 가 연결 공간이므로 U ≠ F {\displaystyle U\neq F} 일 수밖에 없다. 따라서 { x } = U ∖ F {\displaystyle \{x\}=U\setminus F} 이거나 { x } = F ∖ U {\displaystyle \{x\}=F\setminus U} 이다. 만약 { x } = U ∖ F {\displaystyle \{x\}=U\setminus F} 가 참이라면 { x } {\displaystyle \{x\}} 는 열린집합이다. 만약 { x } = F ∖ U {\displaystyle \{x\}=F\setminus U} 가 참이라면 { x } {\displaystyle \{x\}} 는 닫힌집합이다. 크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다. 무한 집합이다.:2800, Corollary 3.8 이는 아래 두 성질의 공통적인 특수한 경우이다. 무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.:2800, Theorem 3.7 콤팩트 공간이 아니다.:2800, Corollary 3.10 보다 일반적으로, 크기 2 이상의 콤팩트 연결 공간은 적어도 두 개의 비절단점을 갖는다.:2800, Theorem 3.9 증명 (무한한 수의 닫힌 점의 존재): 크기 2 이상의 절단점 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점 x 1 , x 2 , x 3 , … ∈ X {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc \in X} 를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여, n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 열린집합 U 1 , … , U n − 1 ⊆ X {\displaystyle U_{1},\dotsc ,U_{n-1}\subseteq X} 및 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 열린집합 V 1 , … , V n − 1 ⊆ X {\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{n-1}\subseteq X} 및 서로 다른 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 닫힌 점 x 1 , … , x n − 1 ∈ X {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n-1}\in X} 가 주어졌으며, 또한 ∀ i ∈ { 1 , … , n − 1 } : X ∖ { x i } = U i ∪ V i {\displaystyle \forall i\in \{1,\dotsc ,n-1\}\colon X\setminus \{x_{i}\}=U_{i}\cup V_{i}} ∀ i ∈ { 1 , … , n − 1 } : U i ∩ V i = ∅ ≠ U i , V i {\displaystyle \forall i\in \{1,\dotsc ,n-1\}\colon U_{i}\cap V_{i}=\varnothing \neq U_{i},V_{i}} ∀ i ∈ { 2 , … , n − 1 } : x i ∈ U i − 1 {\displaystyle \forall i\in \{2,\dotsc ,n-1\}\colon x_{i}\in U_{i-1}} U 1 ⊇ U 2 ⊇ ⋯ ⊇ U n − 1 {\displaystyle U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \dotsb \supseteq U_{n-1}} 이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다. V n − 1 ∪ { x n − 1 } {\displaystyle V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}} 은 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합 ∅ ⊊ V ⊊ V n − 1 ∪ { x n − 1 } {\displaystyle \varnothing \subsetneq V\subsetneq V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}} 이 주어졌다고 하자. 편의상 x n − 1 ∉ V {\displaystyle x_{n-1}\not \in V} 라고 하자. (만약 x n − 1 ∈ V {\displaystyle x_{n-1}\in V} 라면 V {\displaystyle V} 를 그 여집합 ( V n − 1 ∪ { x n − 1 } ) ∖ V {\displaystyle (V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\})\setminus V} 로 대체한다.) V {\displaystyle V} 가 V n − 1 {\displaystyle V_{n-1}} 의 열린집합이며, V n − 1 {\displaystyle V_{n-1}} 는 X {\displaystyle X} 의 열린집합이므로, V {\displaystyle V} 는 X {\displaystyle X} 의 열린집합이다. 마찬가지로, V {\displaystyle V} 가 V n − 1 ∪ { x n − 1 } {\displaystyle V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}} 의 닫힌집합이며, V n − 1 ∪ { x n − 1 } = X ∖ U n − 1 {\displaystyle V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}=X\setminus U_{n-1}} 가 X {\displaystyle X} 의 닫힌집합이므로, V {\displaystyle V} 는 X {\displaystyle X} 의 닫힌집합이다. 이는 X {\displaystyle X} 의 연결성과 모순이다. 닫힌 점 x n ∈ U n − 1 {\displaystyle x_{n}\in U_{n-1}} 이 존재. 귀류법을 사용하여, U n − 1 {\displaystyle U_{n-1}} 속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의 x ∈ U n − 1 {\displaystyle x\in U_{n-1}} 에 대하여, { x } {\displaystyle \{x\}} 가 닫힌집합이 아니며, U n − 1 ∪ { x n − 1 } {\displaystyle U_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}} 이 닫힌집합이며, U n − 1 {\displaystyle U_{n-1}} 은 고립점들로 이루어지므로, x n − 1 ∈ cl ⁡ { x } {\displaystyle x_{n-1}\in \operatorname {cl} \{x\}} 이다. 따라서 { x , x n − 1 } {\displaystyle \{x,x_{n-1}\}} 은 연결 공간이다. V n − 1 ∪ { x n − 1 } {\displaystyle V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}} 역시 연결 공간이므로, x ′ ∈ U n − 1 {\displaystyle x'\in U_{n-1}} 에 대하여, X ∖ { x ′ } = V n − 1 ∪ { x n − 1 } ∪ ⋃ x ′ ≠ x ∈ U n − 1 { x , x n − 1 } {\displaystyle X\setminus \{x'\}=V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}\cup \bigcup _{x'\neq x\in U_{n-1}}\{x,x_{n-1}\}} 은 연결 공간이다. 즉, x ′ {\displaystyle x'} 은 절단점이 아니며, 이는 모순이다. X ∖ { x n } = U n ∪ V n {\displaystyle X\setminus \{x_{n}\}=U_{n}\cup V_{n}} 이며 U n ∩ V n = ∅ ≠ U n , V n {\displaystyle U_{n}\cap V_{n}=\varnothing \neq U_{n},V_{n}} 이며 x n − 1 ∈ V n {\displaystyle x_{n-1}\in V_{n}} 인 X {\displaystyle X} 의 열린집합 U n , V n {\displaystyle U_{n},V_{n}} 가 존재. 이는 x n {\displaystyle x_{n}} 이 닫힌 절단점이며, x n − 1 ≠ x n {\displaystyle x_{n-1}\neq x_{n}} 이기 때문이다. 만약 x n − 1 ∈ U n {\displaystyle x_{n-1}\in U_{n}} 이라면 U n {\displaystyle U_{n}} 과 V n {\displaystyle V_{n}} 을 교환한다. U n ⊆ U n − 1 {\displaystyle U_{n}\subseteq U_{n-1}} . U n ∪ { x n } {\displaystyle U_{n}\cup \{x_{n}\}} 이 연결 공간이며, U n ∪ { x n } ⊆ X ∖ { x n − 1 } {\displaystyle U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq X\setminus \{x_{n-1}\}} 이므로, U n ∪ { x n } ⊆ U n − 1 {\displaystyle U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq U_{n-1}} 이거나 U n ∪ { x n } ⊆ V n − 1 {\displaystyle U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq V_{n-1}} 인데, x n ∈ U n − 1 {\displaystyle x_{n}\in U_{n-1}} 이다. 따라서 U n ∪ { x n } ⊆ U n − 1 {\displaystyle U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq U_{n-1}} 이다. x n ∉ { x 1 , … , x n − 1 } {\displaystyle x_{n}\not \in \{x_{1},\dotsc ,x_{n-1}\}} . 임의의 i ∈ { 1 , … , n − 1 } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n-1\}} 에 대하여, x i ∉ U i {\displaystyle x_{i}\not \in U_{i}} 이므로 x i ∉ U n − 1 {\displaystyle x_{i}\not \in U_{n-1}} 이며, 또한 x n ∈ U n − 1 {\displaystyle x_{n}\in U_{n-1}} 이다. 따라서 x n ≠ x i {\displaystyle x_{n}\neq x_{i}} 이다. 증명 (비콤팩트성): 1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다. X {\displaystyle X} 의 절단점의 집합은 X {\displaystyle X} 전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 가 존재한다. A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 가 열린집합이며, 또한 X ∖ { x 0 } = U ∪ V {\displaystyle X\setminus \{x_{0}\}=U\cup V} 이며 U ∩ V = ∅ {\displaystyle U\cap V=\varnothing } 이며 U , V ≠ ∅ {\displaystyle U,V\neq \varnothing } 이라고 하자. 그렇다면, U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} 가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상 U {\displaystyle U} 의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제, S = { W ∈ Open ⁡ ( X ) : V ⊆ W ∧ | cl ⁡ W ∖ W | = 1 ∧ cl ⁡ W ≠ X } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{W\in \operatorname {Open} (X)\colon V\subseteq W\land |{\operatorname {cl} W\setminus W}|=1\land \operatorname {cl} W\neq X\}} 라고 하고, S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 위에 다음 부분 순서를 주자. W ≤ W ′ ⟺ W = W ′ ∨ cl ⁡ W ⊆ W ′ {\displaystyle W\leq W'\iff W=W'\lor \operatorname {cl} W\subseteq W'} 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다. S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 는 극대 사슬 C ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing } 를 가짐. X {\displaystyle X} 가 연결 공간이므로 V {\displaystyle V} 는 닫힌집합이 아니며, U {\displaystyle U} 가 열린집합이므로 V ∪ { x 0 } {\displaystyle V\cup \{x_{0}\}} 은 닫힌집합이다. 따라서 cl ⁡ V = V ∪ { x 0 } {\displaystyle \operatorname {cl} V=V\cup \{x_{0}\}} 이며, V ∈ S {\displaystyle V\in {\mathcal {S}}} 이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬 ∅ ≠ C ⊆ S {\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {S}}} 가 존재한다. S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 는 극대 원소를 갖지 않음. 임의의 W ∈ S {\displaystyle W\in {\mathcal {S}}} 가 주어졌다고 하고, cl ⁡ W ∖ W = { y W } {\displaystyle \operatorname {cl} W\setminus W=\{y_{W}\}} 라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점 z W ∈ X ∖ cl ⁡ W {\displaystyle z_{W}\in X\setminus \operatorname {cl} W} 가 존재한다고 단언한다. X ∖ cl ⁡ W {\displaystyle X\setminus \operatorname {cl} W} 의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의 y ∈ X ∖ cl ⁡ W {\displaystyle y\in X\setminus \operatorname {cl} W} 에 대하여, { y } {\displaystyle \{y\}} 은 닫힌집합이 아니며 ( X ∖ cl ⁡ W ) ∪ { y W } = X ∖ W {\displaystyle (X\setminus \operatorname {cl} W)\cup \{y_{W}\}=X\setminus W} 는 닫힌집합이며 X ∖ cl ⁡ W {\displaystyle X\setminus \operatorname {cl} W} 의 모든 점은 고립점이므로, cl ⁡ { y W } = { y W , y } {\displaystyle \operatorname {cl} \{y_{W}\}=\{y_{W},y\}} 이며, 따라서 { y W , y } {\displaystyle \{y_{W},y\}} 는 연결 공간이다. 임의의 ∅ ⊊ A ⊊ cl ⁡ W {\displaystyle \varnothing \subsetneq A\subsetneq \operatorname {cl} W} 에 대하여, A {\displaystyle A} 는 X {\displaystyle X} 의 열린닫힌집합이 아니며, W {\displaystyle W} 와 cl ⁡ W {\displaystyle \operatorname {cl} W} 는 각각 X {\displaystyle X} 의 열린집합과 닫힌집합이므로, A {\displaystyle A} 와 X ∖ A {\displaystyle X\setminus A} 가운데 W {\displaystyle W} 에 속하는 한 집합은 cl ⁡ W {\displaystyle \operatorname {cl} W} 의 열린닫힌집합이 아니다. 즉, cl ⁡ W {\displaystyle \operatorname {cl} W} 는 연결 공간이다. 따라서, 임의의 y ′ ∈ X ∖ cl ⁡ W {\displaystyle y'\in X\setminus \operatorname {cl} W} 를 취했을 때, X ∖ { y ′ } = cl ⁡ W ∪ ⋃ y ′ ≠ y ∈ X ∖ cl ⁡ W { y W , y } {\displaystyle X\setminus \{y'\}=\operatorname {cl} W\cup \bigcup _{y'\neq y\in X\setminus \operatorname {cl} W}\{y_{W},y\}} 는 연결 공간이다. 즉, y ′ {\displaystyle y'} 은 절단점이다. 이는 y ′ ∈ U {\displaystyle y'\in U} 인 것과 모순이다. 이제, z W {\displaystyle z_{W}} 가 닫힌 절단점이므로, W ′ , W ″ {\displaystyle W',W''} 이 X {\displaystyle X} 의 열린집합이며, X ∖ { z W } = W ′ ∪ W ″ {\displaystyle X\setminus \{z_{W}\}=W'\cup W''} 이며 W ′ ∩ W ″ = ∅ ≠ W ′ , W ″ {\displaystyle W'\cap W''=\varnothing \neq W',W''} 이라고 하자. cl ⁡ W ⊆ X ∖ { z W } {\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq X\setminus \{z_{W}\}} 가 연결 공간이므로, cl ⁡ W ⊆ W ′ {\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq W'} 이거나 cl ⁡ W ⊆ W ″ {\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq W''} 이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면, V ⊆ W ′ {\displaystyle V\subseteq W'} 이며 cl ⁡ W ′ = W ′ ∪ { z W } {\displaystyle \operatorname {cl} W'=W'\cup \{z_{W}\}} 이므로, W ′ ∈ S {\displaystyle W'\in {\mathcal {S}}} 이다. 즉, W < W ′ {\displaystyle W<W'} 이며, W {\displaystyle W} 는 극대 원소가 아니다. ⋃ C {\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}} 는 콤팩트 공간이 아님. 열린 덮개 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 극대 원소를 갖지 않음을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, W ∈ C {\displaystyle W\in {\mathcal {C}}} 가 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 극대 원소라고 하자. 그렇다면, W < W ′ {\displaystyle W<W'} 인 W ′ ∈ S {\displaystyle W'\in {\mathcal {S}}} 가 존재한다. 그렇다면 C ∪ { W ′ } {\displaystyle {\mathcal {C}}\cup \{W'\}} 은 새로운 사슬이며, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 그 진부분집합이다. 이는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 극대성과 모순이다. ⋃ C = X {\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}=X} . 귀류법을 사용하여, X ∖ ⋃ C {\displaystyle X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}} 가 공집합이 아니라고 하자. X ∖ ⋃ C ⊆ U {\displaystyle X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}\subseteq U} 이므로, X ∖ ⋃ C {\displaystyle X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}} 의 모든 점은 절단점이며, 따라서 고립점이거나 닫힌 점이다. X ∖ ⋃ C {\displaystyle X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}} 는 닫힌집합이므로, 열린집합일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점 x 1 ∈ X ∖ ⋃ C {\displaystyle x_{1}\in X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}} 가 존재한다. G , H {\displaystyle G,H} 가 X {\displaystyle X} 의 열린집합이며, X ∖ { x 1 } = G ∪ H {\displaystyle X\setminus \{x_{1}\}=G\cup H} 이며, G ∩ H = ∅ ≠ G , H {\displaystyle G\cap H=\varnothing \neq G,H} 라고 하자. 임의의 W ∈ C {\displaystyle W\in {\mathcal {C}}} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 극대 원소가 아니므로, cl ⁡ W ⊆ W ′ {\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq W'} 인 W ′ ∈ C {\displaystyle W'\in {\mathcal {C}}} 가 존재한다. 따라서, ⋃ C = ⋃ W ∈ C cl ⁡ W {\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}=\bigcup _{W\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cl} W} 이다. 각 cl ⁡ W {\displaystyle \operatorname {cl} W} 는 연결 공간이며, V ⊆ cl ⁡ W {\displaystyle V\subseteq \operatorname {cl} W} 이므로, ⋃ C {\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}} 는 연결 공간이다. 따라서, ⋃ C ⊆ G {\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}\subseteq G} 이거나 ⋃ C ⊆ H {\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}\subseteq H} 이다. 편의상 전자가 참이라고 하면, V ⊆ G {\displaystyle V\subseteq G} 이며 cl ⁡ G = G ∪ { x 1 } {\displaystyle \operatorname {cl} G=G\cup \{x_{1}\}} 이므로, G ∈ S {\displaystyle G\in {\mathcal {S}}} 이다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 극대 원소를 갖지 않으므로, G ∉ C {\displaystyle G\not \in {\mathcal {C}}} 이다. 이는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 극대성과 모순이다. 유클리드 평면 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 속의 n {\displaystyle n} 개의 직선이 절단점 공간일 필요충분조건은, 공점선이거나, n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 직선이 평행하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다. 모든 점의 절단점 차수가 2인 연결 국소 연결 분해 가능 거리화 가능 공간은 R {\displaystyle \mathbb {R} } 와 위상동형이다. 모든 점의 절단점 차수가 2이며, 모든 점의 여집합의 두 연결 성분들의 집합이 부분기저를 이루는 분해 가능 하우스도르프 공간은 R {\displaystyle \mathbb {R} } 와 위상동형이다. 2차원 이상의 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ( n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} )은 연결 공간이지만, 절단점을 갖지 않는다. 정수 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위에 다음과 같은 위상을 부여한 위상 공간을 칼림스키 직선(-直線, 영어: Khalimsky line)이라고 한다. 모든 홀수는 고립점이다. 모든 짝수 n {\displaystyle n} 은 최소 열린 근방 { n − 1 , n , n + 1 } {\displaystyle \{n-1,n,n+1\}} 을 갖는다. 즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 기저로 생성된다. B = { { 2 i + 1 } : i ∈ Z } ∪ { { 2 i − 1 , 2 i , 2 i + 1 } : i ∈ Z } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{2i+1\}\colon i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i-1,2i,2i+1\}\colon i\in \mathbb {Z} \}} 기약 절단점 공간(旣約切斷點空間, 영어: irreducible cut-point space)은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다.:2801, Theorem 4.5 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다. 증명 (칼림스키 직선은 기약 절단점 공간): 칼림스키 직선 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 연결 공간. 짝수 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, { n − 1 , n , n + 1 } {\displaystyle \{n-1,n,n+1\}} 은 n {\displaystyle n} 의 최소 근방이므로, { n − 1 , n } {\displaystyle \{n-1,n\}} 과 { n , n + 1 } {\displaystyle \{n,n+1\}} 은 연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라, 1 ≤ n ∈ Z {\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {Z} } 에 대하여, { − n , − n + 1 , − n + 2 , … , n } = { − n , − n + 1 } ∪ { − n + 1 , − n + 2 } ∪ ⋯ ∪ { n − 1 , n } {\displaystyle \{-n,-n+1,-n+2,\dotsc ,n\}=\{-n,-n+1\}\cup \{-n+1,-n+2\}\cup \dotsb \cup \{n-1,n\}} 은 연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선 Z = ⋃ 1 ≤ n ∈ Z { − n , − n + 1 , − n + 2 , … , n } {\displaystyle \mathbb {Z} =\bigcup _{1\leq n\in \mathbb {Z} }\{-n,-n+1,-n+2,\dotsc ,n\}} 은 연결 공간이다. 모든 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 는 절단점. 이는 { k ∈ Z : k < n } {\displaystyle \{k\in \mathbb {Z} \colon k<n\}} 과 { k ∈ Z : k > n } {\displaystyle \{k\in \mathbb {Z} \colon k>n\}} 이 모두 Z ∖ { n } {\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{n\}} 의 열린집합이기 때문이다. 모든 진부분집합 A ⊊ Z {\displaystyle A\subsetneq \mathbb {Z} } 는 연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 ( m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } ). { k ∈ Z : k ≤ n } {\displaystyle \{k\in \mathbb {Z} \colon k\leq n\}} { k ∈ Z : k ≥ n } {\displaystyle \{k\in \mathbb {Z} \colon k\geq n\}} { k ∈ Z : m ≤ k ≤ n } {\displaystyle \{k\in \mathbb {Z} \colon m\leq k\leq n\}} A {\displaystyle A} 가 연결 공간이라고 하자. 즉, A {\displaystyle A} 는 어떤 m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } 에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, A ∖ { n } {\displaystyle A\setminus \{n\}} 역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉, n {\displaystyle n} 은 A {\displaystyle A} 의 비절단점이다. 증명 (기약 절단점 공간은 칼림스키 직선): 기약 절단점 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 에서 X {\displaystyle X} 로 가는 매장 i ↦ x i {\displaystyle i\mapsto x_{i}} 를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 절단점 차수는 2라고 단언한다. ∅ ⊊ A ⊊ X ∖ { x } {\displaystyle \varnothing \subsetneq A\subsetneq X\setminus \{x\}} 가 X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 의 열린닫힌집합이라고 하자. A {\displaystyle A} 와 X ∖ A {\displaystyle X\setminus A} 가 연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여, A {\displaystyle A} 가 연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, x {\displaystyle x} 는 A ∪ { x } {\displaystyle A\cup \{x\}} 의 절단점이다. 임의의 y ∈ A {\displaystyle y\in A} 에 대하여, X ∖ { y } = ( ( A ∪ { x } ) ∖ { y } ) ∪ ( ( X ∖ A ) ∪ { x } ) {\displaystyle X\setminus \{y\}=((A\cup \{x\})\setminus \{y\})\cup ((X\setminus A)\cup \{x\})} 는 연결 공간이 아니며, x ∈ ( ( A ∪ { x } ) ∖ { y } ) ∩ ( ( X ∖ A ) ∪ { x } ) {\displaystyle x\in ((A\cup \{x\})\setminus \{y\})\cap ((X\setminus A)\cup \{x\})} 이므로, ( A ∪ { x } ) ∖ { y } {\displaystyle (A\cup \{x\})\setminus \{y\}} 와 ( X ∖ A ) ∪ { x } {\displaystyle (X\setminus A)\cup \{x\}} 가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데 ( X ∖ A ) ∪ { x } {\displaystyle (X\setminus A)\cup \{x\}} 가 연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 ( A ∪ { x } ) ∖ { y } {\displaystyle (A\cup \{x\})\setminus \{y\}} 는 연결 공간이 아니며, y {\displaystyle y} 역시 A ∪ { x } {\displaystyle A\cup \{x\}} 의 절단점이다. 즉, A ∪ { x } {\displaystyle A\cup \{x\}} 는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다. 이제, 닫힌 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 을 취하자. A 0 {\displaystyle A_{0}} 와 B 0 {\displaystyle B_{0}} 이 X ∖ { x 0 } {\displaystyle X\setminus \{x_{0}\}} 의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여, x − n + 1 , x − n + 2 , … , x n − 1 ⊆ X {\displaystyle x_{-n+1},x_{-n+2},\dotsc ,x_{n-1}\subseteq X} 가 주어졌으며, 또한 각 − n + 1 < i ≤ n − 1 {\displaystyle -n+1<i\leq n-1} 에 대하여, { x i − 1 , x i } {\displaystyle \{x_{i-1},x_{i}\}} 가 연결 공간이라고 하자. 또한, 각 X ∖ { x i } {\displaystyle X\setminus \{x_{i}\}} 의 두 연결 성분이 A i {\displaystyle A_{i}} 와 B i {\displaystyle B_{i}} 라고 하고, − n + 1 ≤ i < 0 {\displaystyle -n+1\leq i<0} 인 경우 x 0 ∈ B i {\displaystyle x_{0}\in B_{i}} 이며, 0 < i ≤ n − 1 {\displaystyle 0<i\leq n-1} 인 경우 x 0 ∈ A i {\displaystyle x_{0}\in A_{i}} 라고 하자. 그렇다면, { x − n , x − n + 1 } {\displaystyle \{x_{-n},x_{-n+1}\}} 과 { x n − 1 , x n } {\displaystyle \{x_{n-1},x_{n}\}} 이 연결 공간인 x − n ∈ A − n + 1 {\displaystyle x_{-n}\in A_{-n+1}} 및 x n ∈ B n − 1 {\displaystyle x_{n}\in B_{n-1}} 이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다. { x n − 1 } {\displaystyle \{x_{n-1}\}} 의 극한점 x n ∈ B n − 1 {\displaystyle x_{n}\in B_{n-1}} 을 찾으면 족하다. 만약 x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} 이 닫힌 점이라면, B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} 이 연결 공간이며, X {\displaystyle X} 가 기약 절단점 공간이므로, B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} 은 비절단점 x n ∈ B n − 1 {\displaystyle x_{n}\in B_{n-1}} 을 갖는다. 즉, B n − 1 ∖ { x n } {\displaystyle B_{n-1}\setminus \{x_{n}\}} 은 연결 공간이다. B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} 은 열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며, B n − 1 ∪ { x n − 1 } {\displaystyle B_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}} 은 닫힌집합이므로, x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} 은 B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} 의 극한점이다. 하지만 X ∖ { x n } = ( B n − 1 ∖ { x n } ) ∪ ( A n − 1 ∪ { x n − 1 } ) {\displaystyle X\setminus \{x_{n}\}=(B_{n-1}\setminus \{x_{n}\})\cup (A_{n-1}\cup \{x_{n-1}\})} 이 연결 공간이 아니므로, x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} 은 B n − 1 ∖ { x n } {\displaystyle B_{n-1}\setminus \{x_{n}\}} 의 극한점일 수 없다. 따라서, x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} 은 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 의 극한점이다. 만약 x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} 이 고립점이라면, B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} 은 닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며, B n − 1 ∪ { x n − 1 } {\displaystyle B_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}} 은 열린집합이므로, x n ∈ B n − 1 ∖ int ⁡ B n − 1 {\displaystyle x_{n}\in B_{n-1}\setminus \operatorname {int} B_{n-1}} 은 { x n − 1 } {\displaystyle \{x_{n-1}\}} 의 극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로, A − n {\displaystyle A_{-n}} 과 B − n {\displaystyle B_{-n}} 이 X ∖ { x − n } {\displaystyle X\setminus \{x_{-n}\}} 의 두 연결 성분이며, A n {\displaystyle A_{n}} 과 B n {\displaystyle B_{n}} 이 X ∖ { x n } {\displaystyle X\setminus \{x_{n}\}} 의 두 연결 성분이며, x 0 ∈ B − n {\displaystyle x_{0}\in B_{-n}} 이며 x 0 ∈ A n {\displaystyle x_{0}\in A_{n}} 이라고 정의한다. 이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합 { … , x − 2 , x − 1 , x 0 , x 1 , x 2 , … } ⊆ X {\displaystyle \{\dotsc ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc \}\subseteq X} 및 각 X ∖ { x n } {\displaystyle X\setminus \{x_{n}\}} 의 두 연결 성분 A n {\displaystyle A_{n}} 과 B n {\displaystyle B_{n}} 을 생각하자. 정의에 따라 n < 0 {\displaystyle n<0} 인 경우 x 0 ∈ B n {\displaystyle x_{0}\in B_{n}} 이며, n > 0 {\displaystyle n>0} 인 경우 x 0 ∈ A n {\displaystyle x_{0}\in A_{n}} 이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다. x i ∈ A n ⟺ i < n {\displaystyle x_{i}\in A_{n}\iff i<n} , x i ∈ B n ⟺ i > n {\displaystyle x_{i}\in B_{n}\iff i>n} . 편의상 n > 0 {\displaystyle n>0} 이라고 하자. 그렇다면, { x i : i < n } = ⋃ k < n ( { x k − 1 , x k } ∪ { x k , x k + 1 } ∪ ⋯ ∪ { x n − 2 , x n − 1 } ) {\displaystyle \{x_{i}\colon i<n\}=\bigcup _{k<n}(\{x_{k-1},x_{k}\}\cup \{x_{k},x_{k+1}\}\cup \dotsb \cup \{x_{n-2},x_{n-1}\})} { x i : i > n } = ⋃ k > n ( { x n + 1 , x n + 2 } ∪ { x n + 2 , x n + 3 } ∪ ⋯ ∪ { x k , x k + 1 } ) {\displaystyle \{x_{i}\colon i>n\}=\bigcup _{k>n}(\{x_{n+1},x_{n+2}\}\cup \{x_{n+2},x_{n+3}\}\cup \dotsb \cup \{x_{k},x_{k+1}\})} 은 둘 다 연결 공간이며, x 0 ∈ A n {\displaystyle x_{0}\in A_{n}} 이며 x n + 1 ∈ B n {\displaystyle x_{n+1}\in B_{n}} 이므로, { x i : i < n } ⊆ A n {\displaystyle \{x_{i}\colon i<n\}\subseteq A_{n}} 이며 { x i : i > n } ⊆ B n {\displaystyle \{x_{i}\colon i>n\}\subseteq B_{n}} 이다. 각 x n {\displaystyle x_{n}} 은 n {\displaystyle n} 이 짝수인 경우 닫힌 점, n {\displaystyle n} 이 홀수인 경우 고립점. 정의에 따라 x 0 {\displaystyle x_{0}} 은 닫힌 점이다. 만약 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 이 닫힌집합이라면, { x n − 1 , x n } {\displaystyle \{x_{n-1},x_{n}\}} 와 { x n , x n + 1 } {\displaystyle \{x_{n},x_{n+1}\}} 이 연결 공간이므로, { x n − 1 } {\displaystyle \{x_{n-1}\}} 과 { x n + 1 } {\displaystyle \{x_{n+1}\}} 은 닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 이 열린집합이라면, { x n − 1 } {\displaystyle \{x_{n-1}\}} 과 { x n + 1 } {\displaystyle \{x_{n+1}\}} 은 닫힌집합이다. 부분집합 { x i : i ∈ Z } {\displaystyle \{x_{i}\colon i\in \mathbb {Z} \}} 은 기저 B ′ = { { x 2 i + 1 } : i ∈ Z } ∪ { { x 2 i − 1 , x 2 i , x 2 i + 1 } : i ∈ Z } {\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{\{x_{2i+1}\}\colon i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{x_{2i-1},x_{2i},x_{2i+1}\}\colon i\in \mathbb {Z} \}} 를 가짐. 홀수 n {\displaystyle n} 에 대하여, x n {\displaystyle x_{n}} 이 고립점임은 이미 증명하였다. 짝수 n {\displaystyle n} 에 대하여, x n {\displaystyle x_{n}} 은 { x n − 1 } {\displaystyle \{x_{n-1}\}} 과 { x n + 1 } {\displaystyle \{x_{n+1}\}} 의 극한점임을 증명하였으므로, x n {\displaystyle x_{n}} 의 모든 열린 근방은 x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} 과 x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}} 을 원소로 포함한다. 반대로, A n {\displaystyle A_{n}} 과 B n {\displaystyle B_{n}} 이 열린집합이므로, { x n − 1 , x n , x n + 1 } = { x i : i ∈ Z } ∩ A n ∩ B n {\displaystyle \{x_{n-1},x_{n},x_{n+1}\}=\{x_{i}\colon i\in \mathbb {Z} \}\cap A_{n}\cap B_{n}} 은 열린집합이다. 따라서, { x n − 1 , x n , x n + 1 } {\displaystyle \{x_{n-1},x_{n},x_{n+1}\}} 은 x n {\displaystyle x_{n}} 의 최소 열린 근방이다. 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간에 매장될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 X {\displaystyle X} 는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합 M ⊆ R 2 {\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{2}} 을 만들자. 수평 개구간 ( 0 , 1 ) × { 0 } {\displaystyle (0,1)\times \{0\}} 에서 시작한다. 각 이진 유리점 ( ( 2 m − 1 ) / 2 n , 0 ) ∈ ( 0 , 1 ) × { 0 } {\displaystyle ((2m-1)/2^{n},0)\in (0,1)\times \{0\}} 위에 수직 개구간 { ( 2 m − 1 ) / 2 n } × ( 0 , 1 / 2 n ) {\displaystyle \{(2m-1)/2^{n}\}\times (0,1/2^{n})} 을 덧붙인다. 덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점 ( ( 2 m − 1 ) / 2 n , ( 2 i − 1 ) / 2 j ) {\displaystyle ((2m-1)/2^{n},(2i-1)/2^{j})} 의 오른쪽에 수평 개구간 ( ( 2 m − 1 ) / 2 n , ( 2 m − 1 ) / 2 n + 1 / 2 j ) × { ( 2 i − 1 ) / 2 j } {\displaystyle ((2m-1)/2^{n},(2m-1)/2^{n}+1/2^{j})\times \{(2i-1)/2^{j}\}} 를 덧붙인다. 위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각 ct 3 ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {ct} _{3}(M)} 과 ct 2 ⁡ ( M ) = M ∖ ct 3 ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {ct} _{2}(M)=M\setminus \operatorname {ct} _{3}(M)} 이라고 하자. 이제, X = ct 2 ⁡ ( M ) ∗ × M = M ∪ ct 2 ⁡ ( M ) × M ∪ ct 2 ⁡ ( M ) × ct 2 ⁡ ( M ) × M ∪ ⋯ {\displaystyle X=\operatorname {ct} _{2}(M)^{*}\times M=M\cup \operatorname {ct} _{2}(M)\times M\cup \operatorname {ct} _{2}(M)\times \operatorname {ct} _{2}(M)\times M\cup \dotsb } 라고 하자 ( ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 는 클레이니 스타). 또한, x = ( x 1 , … , x n ) ∈ X {\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})\in X} 및 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음 집합을 정의하자. R ( x , ϵ ) = { { ( x 1 , … , x n − 1 ) } × ( ball R 2 ⁡ ( x n , ϵ ) ∩ ct 3 ⁡ ( M ) ) x n ∈ ct 3 ⁡ ( M ) { x } ∪ { ( x 1 , … , x n − 1 ) } × ( ball R 2 ⁡ ( x n , ϵ ) ∩ ct 3 ⁡ ( M ) ) ∪ { x } × ( ball R 2 ⁡ ( 0 , ϵ ) ∩ ct 3 ⁡ ( M ) ) x n ∈ ct 2 ⁡ ( M ) {\displaystyle R(x,\epsilon )={\begin{cases}\{(x_{1},\dotsc ,x_{n-1})\}\times (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{2}}(x_{n},\epsilon )\cap \operatorname {ct} _{3}(M))&x_{n}\in \operatorname {ct} _{3}(M)\\\{x\}\cup \{(x_{1},\dotsc ,x_{n-1})\}\times (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{2}}(x_{n},\epsilon )\cap \operatorname {ct} _{3}(M))\cup \{x\}\times (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{2}}(0,\epsilon )\cap \operatorname {ct} _{3}(M))&x_{n}\in \operatorname {ct} _{2}(M)\end{cases}}} 그렇다면, { R ( x , ϵ ) : x ∈ X ∧ ϵ > 0 } {\displaystyle \{R(x,\epsilon )\colon x\in X\land \epsilon >0\}} 은 X {\displaystyle X} 위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간 X {\displaystyle X} 은 다음 성질들을 만족시킨다. 하우스도르프 공간이다. 연결 공간이다. 모든 점의 절단점 차수는 3이다. Daniel, D.; Mahavier, William S. (2007). “Concerning cut point spaces of order three”. 《International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences》 (영어) 2007 (Article ID 10679). doi:10.1155/2007/10679. ISSN 0161-1712. MR 2336135. Zbl 1145.54013. 2022년 2월 3일에 확인함.  Honari, B.; Bahrampour, Y. (1999). “Cut-point spaces”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 127 (9): 2797–2803. doi:10.1090/S0002-9939-99-04839-X. ISSN 0002-9939. MR 1600152. Zbl 0917.54037.