극한 비교 판정법

미적분학에서 극한 비교 판정법(極限比較判定法, 영어: limit comparison test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 두 양항 급수의 항의 비가 0이 아닌 실수로 수렴한다면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 두 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 과 ∑ n = 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}} 이 주어졌다고 하자 ( a n , b n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n},b_{n}>0\forall n\geq 0} ). 또한, 극한 lim n → ∞ a n b n = L ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L\in (0,\infty )} 가 존재하며, 0이 아닌 양의 실수라고 하자. 그렇다면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다. 이를 극한 비교 판정법이라고 한다. 증명: 극한 비교 판정법은 비교 판정법의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 1 2 L < a n b n < 2 L {\displaystyle {\frac {1}{2}}L<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<2L} 이다. 즉, 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 1 2 L b n < a n < 2 L b n {\displaystyle {\frac {1}{2}}Lb_{n}<a_{n}<2Lb_{n}} 이다. 만약 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 이 수렴한다면, 비교 판정법에 따라 ∑ n = n 0 ∞ 1 2 L b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }{\frac {1}{2}}Lb_{n}} 역시 수렴하며, 따라서 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 은 수렴한다. 반대로, 만약 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 이 수렴한다면, ∑ n = n 0 ∞ 2 L b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }2Lb_{n}} 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 동치다. 보다 일반적으로, 두 음이 아닌 실수 항 a n , b n ≥ 0 {\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0} 의 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 과 ∑ n = 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한 lim sup n → ∞ a n b n = L ′ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L'\in [0,\infty ]} lim inf n → ∞ a n b n = L ″ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L''\in [0,\infty ]} 이 존재하며, 항상 L ″ ≤ L ′ {\displaystyle L''\leq L'} 이다. 그렇다면, 다음이 성립한다. 만약 L ′ < ∞ {\displaystyle L'<\infty } 이며, ∑ n = 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}} 이 수렴한다면, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 역시 수렴한다. 만약 L ″ > 0 {\displaystyle L''>0} 이며, ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 수렴한다면, ∑ n = 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}} 역시 수렴한다. 특히, 만약 0 < L ″ ≤ L ′ < ∞ {\displaystyle 0<L''\leq L'<\infty } 라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 L {\displaystyle L} 이 존재한다면, L = L ′ = L ″ {\displaystyle L=L'=L''} 이다. 따라서 이는 이전 결과를 일반화한다. 증명: 덜 일반적인 결과의 증명과 마찬가지로, 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 1 2 L ″ < a n b n < 2 L ′ {\displaystyle {\frac {1}{2}}L''<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<2L'} 이라는 사실과 비교 판정법으로부터 증명될 수 있다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n − n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-n}}} 를 생각하자. 기하급수 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}} 가 수렴하고 lim n → ∞ 1 / ( 2 n − n ) 1 / 2 n = lim n → ∞ 2 n 2 n − n = lim n → ∞ 1 1 − n / 2 n = 1 1 − 0 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1/(2^{n}-n)}{1/2^{n}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n}}{2^{n}-n}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1-n/2^{n}}}\\&={\frac {1}{1-0}}\\&=1\end{aligned}}} 이므로, 원래 급수는 수렴한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ ( 1 + 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)} 를 생각하자. 이를 조화급수와 비교하면 lim n → ∞ ln ⁡ ( 1 + 1 / n ) 1 / n = lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = lim x → 0 ( ln ⁡ ( 1 + x ) ) ′ x ′ = lim x → 0 1 / ( 1 + x ) 1 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(1+1/n)}{1/n}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {(\ln(1+x))'}{x'}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1/(1+x)}{1}}\\&=1\end{aligned}}} 을 얻는다. 조화급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} 는 발산하므로, 원래 급수도 발산한다. 마찬가지로, 급수 ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {1}{n}}} 는 lim n → ∞ sin ⁡ ( 1 / n ) 1 / n = lim x → 0 sin ⁡ x x = lim x → 0 ( sin ⁡ x ) ′ x ′ = lim x → 0 cos ⁡ x 1 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sin(1/n)}{1/n}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {(\sin x)'}{x'}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}\\&=1\end{aligned}}} 이므로 발산한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}} 를 생각하자. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} 는 수렴한다. (적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 사용할 수 있다.) 두 급수의 항의 비의 극한은 lim n → ∞ 1 / ( n 2 + 2 n ) 1 / n 2 = lim n → ∞ n 2 n 2 + 2 n = lim n → ∞ n n + 2 = lim n → ∞ 1 1 + 2 / n = 1 1 + 0 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1/(n^{2}+2n)}{1/n^{2}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{n^{2}+2n}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n+2}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+2/n}}\\&={\frac {1}{1+0}}\\&=1\end{aligned}}} 이다. 극한 비교 판정법에 따라, 원래 급수는 수렴한다. 급수 ∑ n = 3 ∞ ln ⁡ cos ⁡ π n {\displaystyle \sum _{n=3}^{\infty }\ln \cos {\frac {\pi }{n}}} 를 생각하자. (이는 음의 실수 항들로 이루어진다.) 0으로 수렴하는 두 수열 ( a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 및 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} 에 대하여, 편의상 lim n → ∞ a n b n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1} 을 a n ∼ b n {\displaystyle a_{n}\sim b_{n}} 으로 쓰자. 그렇다면, ln ⁡ cos ⁡ π n = ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ π n − 1 ) ∼ cos ⁡ π n − 1 = − 2 sin 2 ⁡ π 2 n ∼ − π 2 2 n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \cos {\frac {\pi }{n}}&=\ln(1+\cos {\frac {\pi }{n}}-1)\\&\sim \cos {\frac {\pi }{n}}-1\\&=-2\sin ^{2}{\frac {\pi }{2n}}\\&\sim -{\frac {\pi ^{2}}{2n^{2}}}\end{aligned}}} 이다. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} 이 수렴하므로, 원래 급수는 수렴한다. 수렴판정법 비교 판정법 Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Limi comparison test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.