유계형 집합

수학에서 유계형 집합(有界型集合, 영어: bornological set)은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 유계형(有界型, 영어: bornology)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족 B ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 이다. 덮개이다. 즉, ⋃ B = X {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {B}}=X} 이다. 순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다. ∅ ∈ B {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}} (하집합성) 임의의 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 및 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여, S ∩ B ∈ B {\displaystyle S\cap B\in {\mathcal {B}}} (상향성) 임의의 B , B ′ ∈ B {\displaystyle B,B'\in {\mathcal {B}}} 에 대하여, B ∪ B ′ ∈ B {\displaystyle B\cup B'\in {\mathcal {B}}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 원소를 유계 집합이라고 한다. 유계형을 갖춘 집합 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 를 유계형 집합이라고 한다. 같은 집합 X {\displaystyle X} 위의 두 유계형 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 에 대하여, 만약 B ⊆ B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}'} 이라면, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 더 엉성하다(영어: coarser)고 하며, 반대로 B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} 이 더 섬세하다(영어: finer)고 한다. 두 유계형 집합 ( X , B X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}}_{X})} , ( Y , B Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {B}}_{Y})} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유계형 함수(영어: bounded map)라고 한다. 유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 임의의 B X ∈ B X {\displaystyle B_{X}\in {\mathcal {B}}_{X}} 에 대하여, f ( B X ) ∈ B Y {\displaystyle f(B_{X})\in {\mathcal {B}}_{Y}} 이다. 임의의 유계형 집합 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 에서, X {\displaystyle X} 의 유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다. 유계형 집합과 유계형 함수들의 범주는 준토포스이다.:256, Example III.10(b) 집합 X {\displaystyle X} 및 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만인 부분 집합들의 족 P < κ ( X ) = { S ⊆ X : | S | < κ } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\kappa }(X)=\{S\subseteq X\colon |S|<\kappa \}} 은 유계형 집합을 이룬다. 특수한 경우로 다음이 있다. κ = ℵ 0 {\displaystyle \kappa =\aleph _{0}} 인 경우, P < ℵ 0 ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\aleph _{0}}(X)} -유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는 X {\displaystyle X} 위의 가장 엉성한 유계형이다. κ > | S | {\displaystyle \kappa >|S|} 인 경우, 모든 부분 집합이 P < κ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\kappa }(X)} -유계 집합이다. 이는 X {\displaystyle X} 위의 가장 섬세한 유계형이다. 특히, 만약 X {\displaystyle X} 가 유한 집합일 경우 B < κ = P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{<\kappa }={\mathcal {P}}(X)} 들은 κ {\displaystyle \kappa } 에 관계없이 모두 일치하며, 이는 X {\displaystyle X} 위의 유일한 유계형이다. T1 공간 X {\displaystyle X} 에서, 폐포가 콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다. B = { S ⊆ X : diam d ⁡ S < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X\colon \operatorname {diam} _{d}S<\infty \}} 여기서 diam ⁡ S = sup s , t ∈ S d ( s , t ) {\displaystyle \operatorname {diam} S=\sup _{s,t\in S}d(s,t)} 는 S {\displaystyle S} 의 지름이다. 위상체 K {\displaystyle K} 위의 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 폰 노이만 유계형(영어: von Neumann bornology)은 다음과 같다. B ∈ B ⟺ ∀ U ∈ N 0 ∃ r ∈ K × : B ⊆ r U {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\iff \forall U\in {\mathcal {N}}_{0}\exists r\in K^{\times }\colon B\subseteq rU} 여기서 N 0 {\displaystyle {\mathcal {N}}_{0}} 는 영벡터의 근방 필터이다. K × = K ∖ { 0 } {\displaystyle K^{\times }=K\setminus \{0\}} 는 K {\displaystyle K} 의 가역원군이다. 두 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 사이의 연속 선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 은 폰 노이만 유계 함수이다. 증명: T {\displaystyle T} 가 연속 함수라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 U ∋ 0 W {\displaystyle U\ni 0_{W}} 에 대하여, T − 1 ( U ) ∋ 0 V {\displaystyle T^{-1}(U)\ni 0_{V}} 는 0 V {\displaystyle 0_{V}} 의 열린 근방이다. B {\displaystyle B} 가 폰 노이만 유계 집합이므로, B ⊆ r T − 1 ( U ) {\displaystyle B\subseteq rT^{-1}(U)} 인 r ∈ K × {\displaystyle r\in K^{\times }} 가 존재한다. 따라서 T ( B ) ⊆ r U {\displaystyle T(B)\subseteq rU} 이며, 따라서 T ( B ) {\displaystyle T(B)} 역시 폰 노이만 유계 집합이다. 그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약 V {\displaystyle V} 가 거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며 W {\displaystyle W} 가 국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환 V → W {\displaystyle V\to W} 에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다. ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 상향 원순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 상계를 갖는 부분 집합들의 족 B ub ( X ) = { S ⊆ X : ∃ a ∈ X ∀ s ∈ S : a ≳ s } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{ub}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\gtrsim s\}} 은 유계형을 이룬다. 마찬가지로, ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 하향 원순서 집합이라면, 하계를 갖는 부분 집합들의 족 B lb ( X ) = { S ⊆ X : ∃ a ∈ X ∀ s ∈ S : a ≲ s } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{lb}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\lesssim s\}} 은 유계형을 이룬다. 만약 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 가 상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어, X {\displaystyle X} 가 공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족 B b = B ub ∩ B lb {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{b}}={\mathcal {B}}_{\text{ub}}\cap {\mathcal {B}}_{\text{lb}}} 역시 유계형을 이룬다. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. μ {\displaystyle \mu } 는 완비 측도이며, 모든 한원소 집합은 가측 집합이자 그 측도가 0이다. 측도가 0인 가측 집합들의 족 { S ∈ Σ : μ ( S ) = 0 } {\displaystyle \{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}} 은 유계형을 이룬다. 유계형 집합의 개념은 조지 매키(영어: George Mackey)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(프랑스어: bornologie 보르놀로지[*])이라는 용어를 도입하였다. 이는 프랑스어: borné 보르네[*](유계 집합) + 프랑스어: -ologie 올로지[*](위상 프랑스어: topologie 토폴로지[*]의 어미)의 합성어이다. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst (1986). “Cartesian closed categories, quasitopoi and topological universes”. 《Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae》 (영어) 27 (2): 235–257. MR 857544. Zbl 0601.18003.  Hogbe-Nlend, Henri (1971). 《Théorie des bornologies et applications》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 213. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0069416. ISBN 978-3-540-05546-4. ISSN 0075-8434. MR 625157. Zbl 0225.46005.  Hogbe-Nlend, Henri (1971년 1월 5일). “Les racines historiques de la bornologie moderne”. 《Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse》 (프랑스어) 10 (9). MR 625157. Zbl 0225.46005.  “Bornological set”. 《nLab》 (영어).  “Bornological space”. 《nLab》 (영어).  “Bornological topological vector space”. 《nLab》 (영어).  “Bornological group”. 《nLab》 (영어).