쉼표 범주

범주론에서 쉼표 범주(-標範疇, 영어: comma category)는 같은 공역을 갖는 두 함자로부터 정의되고, 함자들의 공역의 사상들을 대상으로 하는 범주이다. 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 및 함자 F : A → C {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}} G : B → C {\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 쉼표 범주 F ↓ G {\displaystyle F\downarrow G} 는 다음과 같은 범주이다. F ↓ G {\displaystyle F\downarrow G} 의 대상은 다음과 같은 튜플 ( A , B , ϕ ) {\displaystyle (A,B,\phi )} 이다. A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} , B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 는 각각 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 또는 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 대상이다. ϕ ∈ hom C ⁡ ( F ( A ) , G ( B ) ) {\displaystyle \phi \in \hom _{\mathcal {C}}(F(A),G(B))} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 사상이다. F ↓ G {\displaystyle F\downarrow G} 의 사상 ( f , g ) ∈ hom F ↓ G ⁡ ( ( A , B , ϕ ) , ( A ′ , B ′ , ϕ ′ ) ) {\displaystyle (f,g)\in \hom _{F\downarrow G}((A,B,\phi ),(A',B',\phi '))} 은 다음과 같은 순서쌍이다. f ∈ hom A ⁡ ( A , A ′ ) {\displaystyle f\in \hom _{\mathcal {A}}(A,A')} 이며 g ∈ hom B ⁡ ( B , B ′ ) {\displaystyle g\in \hom _{\mathcal {B}}(B,B')} 이며, 또한 ϕ ′ ∘ F ( f ) = G ( g ) ∘ ϕ ∈ hom C ⁡ ( F ( A ) , G ( B ′ ) ) {\displaystyle \phi '\circ F(f)=G(g)\circ \phi \in \hom _{\mathcal {C}}(F(A),G(B'))} 이다. F ↓ G {\displaystyle F\downarrow G} 의 사상의 합성은 ( f , g ) ∘ ( f ′ , g ′ ) = ( f ∘ f ′ , g ∘ g ′ ) {\displaystyle (f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ g')} 이다. F ↓ G {\displaystyle F\downarrow G} 의 항등 사상은 id ( A , B , ϕ ) = ( id A , id B ) {\displaystyle \operatorname {id} _{(A,B,\phi )}=(\operatorname {id} _{A},\operatorname {id} _{B})} 이다. 화살표 범주(영어: arrow category)는 A = B = C {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}} 이며 F = G = Id C {\displaystyle F=G=\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}} 인 경우이다. 이 경우는 C → {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }} 라고 쓰며, C → {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }} 의 대상은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상이며, C → {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }} 의 사상은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 가환 사각형들이다. 1 {\displaystyle 1} 이 자명군에 대응하는, 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주이며, X ∗ : 1 → C {\displaystyle X^{*}\colon 1\to {\mathcal {C}}} 가 1 {\displaystyle 1} 의 유일한 대상을 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 쉼표 범주 C / X = Id C ↓ X ∗ {\displaystyle {\mathcal {C}}/X=\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow X^{*}} 를 X {\displaystyle X} 에 대한 조각 범주(영어: slice category)라고 한다. 반대로, 두 함자의 순서를 바꾼 쉼표 범주 X ∖ C = X ∗ ↓ Id C {\displaystyle X\backslash {\mathcal {C}}=X^{*}\downarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}} 를 X {\displaystyle X} 에 대한 쌍대 조각 범주(영어: coslice category)라고 한다. { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 이 한원소 집합이라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 { ∙ } ∖ Set {\displaystyle \{\bullet \}\backslash \operatorname {Set} } 는 점을 가진 집합의 범주이다. 마찬가지로, { ∙ } ∖ Top {\displaystyle \{\bullet \}\backslash \operatorname {Top} } 은 점을 가진 공간의 범주이다. 이들은 대수적 위상수학에서 쓰인다. 대수기하학에서 Sch ⁡ / K {\displaystyle \operatorname {Sch} /K} 는 체의 아핀 공간 Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 에 대한 스킴들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴 S ∈ Sch {\displaystyle S\in \operatorname {Sch} } 에 대하여, Sch ⁡ / S {\displaystyle \operatorname {Sch} /S} 는 S {\displaystyle S} -스킴들의 범주이다. 함자 D : Set → Set {\displaystyle D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} } 가 D ( S ) = S × S {\displaystyle D(S)=S\times S} 라고 하자. 그렇다면 Id Set ↓ D {\displaystyle \operatorname {Id} _{\operatorname {Set} }\downarrow D} 는 (스스로로 가는 변을 허용하는) 유향 그래프의 범주이다. 이 경우, 대상은 ( E , V , end ) {\displaystyle (E,V,\operatorname {end} )} 의 꼴인데 E {\displaystyle E} 는 변의 집합, V {\displaystyle V} 는 꼭짓점의 집합, 함수 end : E → V × V {\displaystyle \operatorname {end} \colon E\to V\times V} 는 각 변을 양 끝점의 순서쌍으로 대응시키는 함수이다. 무향 그래프의 범주를 얻으려면, D {\displaystyle D} 를 D ( S ) = ( S × S ) / ( ( s , t ) ∼ ( t , s ) ∀ s , t ∈ S ) {\displaystyle D(S)=(S\times S)/((s,t)\sim (t,s)\forall s,t\in S)} 로 치환하면 된다. 시작점과 끝점이 같은 변을 허용하지 않으려면, D {\displaystyle D} 를 D ( S ) = ( S × S ) ∖ { ( s , s ) | s ∈ S } {\displaystyle D(S)=(S\times S)\setminus \{(s,s)|s\in S\}} 로 치환하면 된다. CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 이 가환환의 범주라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 R ∖ CRing {\displaystyle R\backslash \operatorname {CRing} } 은 R {\displaystyle R} 에 대한 가환 대수의 범주 R -CAlg {\displaystyle R{\text{-CAlg}}} 와 동치이다. forget : Grp → Set {\displaystyle \operatorname {forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} } 가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자라고 하고, S ∗ : 1 → Set {\displaystyle S^{*}\colon 1\to \operatorname {Set} } 가 1 {\displaystyle 1} 의 유일한 대상을 집합 S {\displaystyle S} 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 S ∗ ↓ forget {\displaystyle S^{*}\downarrow \operatorname {forget} } 의 대상은 S {\displaystyle S} 에서 군 G {\displaystyle G} 로 가는 함수 S → G {\displaystyle S\to G} 이며, S ∗ ↓ forget {\displaystyle S^{*}\downarrow \operatorname {forget} } 의 사상은 군 준동형과 일대일 대응된다. 이 경우, S ∗ ↓ forget {\displaystyle S^{*}\downarrow \operatorname {forget} } 의 시작 대상은 S {\displaystyle S} 로 생성되는 자유군이다.:9 프랜시스 윌리엄 로비어가 1963년 박사 학위 논문에서 도입하였다. 원래 쉼표 범주의 표기법이 쉼표를 사용하여 ( F , G ) {\displaystyle (F,G)} 였기 때문에 ‘쉼표 범주’라고 불렸다. 오늘날 이 표기법은 더 이상 쓰이지 않지만, ‘쉼표 범주’라는 이름만은 그대로 쓰이고 있다. Cordier, Jean-Marc; Tim Porter (2008). 《Shape theory: categorical methods of approximation》 (영어). Dover. ISBN 978-0-486-46623-1. Zbl 1243.18001. 2014년 10월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 26일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Lawvere, W. (2004). “Functorial semantics of algebraic theories and some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 5: 1–121. Zbl 1062.18004.  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Comma category”. 《nLab》 (영어).  “Overcategory”. 《nLab》 (영어).  “Under category”. 《nLab》 (영어).  “Arrow category”. 《nLab》 (영어).  “Twisted arrow category”. 《nLab》 (영어).  “Comma category”. 《nLab》 (영어).  “Overcategory”. 《nLab》 (영어).  “Under category”. 《nLab》 (영어).  The Catsters (2008년 11월 4일). “Slice and comma categories 1” (비디오) (영어). 유튜브.  The Catsters (2008년 12월 9일). “Slice and comma categories 2” (비디오) (영어). 유튜브.