순환 지표

군론과 조합론에서 순환 지표(循環指標, 영어: cycle index)는 유한 집합 위에 충실하게 작용하는 유한군에 대응되는 다변수 다항식 불변량이다. 군의 작용의 궤도들의 크기와 수에 대한 생성 함수이다. 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 집합 X {\displaystyle X} 및 그 대칭군의 부분군 G ≤ Sym ⁡ ( X ) {\displaystyle G\leq \operatorname {Sym} (X)} 이 주어졌다고 하자. (즉, G {\displaystyle G} 가 X {\displaystyle X} 위에 충실하게 작용한다고 하자.) G {\displaystyle G} 의 순환 지표(循環指標, 영어: cycle index) Z G ∈ Q [ t 1 , t 2 , … , t n ] {\displaystyle Z_{G}\in \mathbb {Q} [t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}]} 는 다음과 같은 다항식이다. Z G ( t 1 , t 2 , … , t n ) = 1 | G | ∑ g ∈ G t 1 c 1 ( g ) t 2 c 2 ( g ) ⋯ t n c n ( g ) {\displaystyle Z_{G}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}t_{1}^{c_{1}(g)}t_{2}^{c_{2}(g)}\cdots t_{n}^{c_{n}(g)}} 여기서 c i ( g ) {\displaystyle c_{i}(g)} 는 순열 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 길이 i {\displaystyle i} 의 순환의 수이다. 즉, g {\displaystyle g} 로 생성되는 G {\displaystyle G} 의 부분군 ⟨ g ⟩ ≤ G {\displaystyle \langle g\rangle \leq G} 이 X {\displaystyle X} 위에 작용할 때, 주어진 크기의 궤도들의 수이다. 추상적으로 서로 동형인 군이라도, 집합 위의 작용이 다르다면 서로 다른 순환 지표를 가질 수 있다. 자명군은 임의의 크기 n {\displaystyle n} 의 유한 집합 위에 충실하게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 Z 1 ( t 1 , … , t n ) = t 1 n {\displaystyle Z_{1}(t_{1},\dots ,t_{n})=t_{1}^{n}} 이다. n {\displaystyle n} 차 순환군 Cyc ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)} 은 크기가 n {\displaystyle n} 인 집합 위에 Cyc ⁡ ( n ) = { ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ⋯ ( n ) , ( 123 ⋯ n ) , ( 1357 ⋯ ) , ( 147 ⋯ ) , ( 15 ⋯ ) } {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\{(1)(2)(3)\cdots (n),(123\cdots n),(1357\cdots ),(147\cdots ),(15\cdots )\}} 와 같이 작용한다. 이 작용을 갖춘 순환군 Cyc ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)} 의 경우 Z Cyc ⁡ ( n ) ( t 1 , … , t n ) = 1 n ∑ d ∣ n ϕ ( d ) t d n / d {\displaystyle Z_{\operatorname {Cyc} (n)}(t_{1},\dots ,t_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\phi (d)t_{d}^{n/d}} 이다. 여기서 ϕ {\displaystyle \phi } 는 오일러 피 함수이다. n {\displaystyle n} 차 정이면체군 Dih ⁡ ( n ) = ⟨ a , b | a n = b 2 = ( b a ) 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Dih} (n)=\langle a,b|a^{n}=b^{2}=(ba)^{2}=1\rangle } 은 크기 n {\displaystyle n} 의 집합 위에 다음과 같이 작용한다. a ↦ ( 1234 ⋯ n ) {\displaystyle a\mapsto (1234\cdots n)} b : { ( 1 n ) ( 2 , n − 1 ) ⋯ ( n / 2 , n / 2 + 1 ) 2 ∣ n ( 1 n ) ( 2 , n − 1 ) ⋯ ( ( n + 1 ) / 2 ) 2 ∤ n {\displaystyle b\colon {\begin{cases}(1n)(2,n-1)\cdots (n/2,n/2+1)&2\mid n\\(1n)(2,n-1)\cdots ((n+1)/2)&2\nmid n\end{cases}}} 정이면체군 Dih ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (n)} 의 순환 지표는 다음과 같다. Z Dih ⁡ ( n ) ( t 1 , … , t n ) = 1 2 Z Cyc ⁡ ( n ) ( t 1 , … , t n ) + { 1 4 ( t 2 n / 2 + t 1 2 t 2 n / 2 − 1 ) 2 ∣ n 1 2 t 1 t 2 ( n − 1 ) / 2 2 ∤ n {\displaystyle Z_{\operatorname {Dih} (n)}(t_{1},\dots ,t_{n})={\frac {1}{2}}Z_{\operatorname {Cyc} (n)}(t_{1},\dots ,t_{n})+{\begin{cases}{\frac {1}{4}}(t_{2}^{n/2}+t_{1}^{2}t_{2}^{n/2-1})&2\mid n\\{\frac {1}{2}}t_{1}t_{2}^{(n-1)/2}&2\nmid n\end{cases}}} 크기 n ! {\displaystyle n!} 의 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 크기 n {\displaystyle n} 의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다. Z Sym ⁡ ( n ) ( t 1 , t 2 , … , t n ) = ∑ j 1 + 2 j 2 + 3 j 3 + ⋯ + n j n = n 1 ∏ k = 1 n k j k j k ! ∏ k = 1 n t k j k {\displaystyle Z_{\operatorname {Sym} (n)}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}t_{k}^{j_{k}}} 이 합에서 ( j 1 , j 2 , … , j n ) {\displaystyle (j_{1},j_{2},\dots ,j_{n})} 의 항은 크기 i {\displaystyle i} 의 순환이 j i {\displaystyle j_{i}} 개 있는 순열에 대응한다. 크기 n ! / 2 {\displaystyle n!/2} 의 교대군 Alt ⁡ ( n ) ≤ Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (n)\leq \operatorname {Sym} (n)} 역시 크기 n {\displaystyle n} 의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다. Z Alt ⁡ ( n ) ( t 1 , t 2 , … , t n ) = ∑ j 1 + 2 j 2 + 3 j 3 + ⋯ + n j n = n 1 + ( − 1 ) j 2 + j 4 + ⋯ ∏ k = 1 n k j k j k ! ∏ k = 1 n t k j k {\displaystyle Z_{\operatorname {Alt} (n)}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1+(-1)^{j_{2}+j_{4}+\cdots }}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}t_{k}^{j_{k}}} 이 합에서 1 + ( − 1 ) j 2 + j 4 + ⋯ {\displaystyle 1+(-1)^{j_{2}+j_{4}+\cdots }} 은 짝순열의 경우 2이며 홀순열의 경우 0이다. 정육면체 및 정팔면체의 방향 보존 대칭군 O ≤ SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle O\leq \operatorname {SO} (3)} 은 Sym ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (4)} 와 동형인, 크기가 24인 유한군이다. 이는 정육면체의 6개의 면 (또는 정팔면체의 6개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다. 이 경우, 순환 지표는 다음과 같다. Z O ( t 1 , t 2 , … , t 6 ) = 1 24 ( t 1 6 + 6 t 1 2 t 4 + 3 t 1 2 t 2 2 + 8 t 3 2 + 6 t 2 3 ) {\displaystyle Z_{O}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{6})={\frac {1}{24}}\left(t_{1}^{6}+6t_{1}^{2}t_{4}+3t_{1}^{2}t_{2}^{2}+8t_{3}^{2}+6t_{2}^{3}\right)} 여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다. t 1 6 {\displaystyle t_{1}^{6}} : 항등원 t 1 2 t 4 {\displaystyle t_{1}^{2}t_{4}} : 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전 t 1 2 t 2 2 {\displaystyle t_{1}^{2}t_{2}^{2}} : 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전 t 3 2 {\displaystyle t_{3}^{2}} : 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전 t 2 3 {\displaystyle t_{2}^{3}} : (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전 O {\displaystyle O} 는 또한 정육면체의 8개의 꼭짓점(또는 정팔면체의 8개의 면)에 충실하게 작용한다. 이 경우, 순환 지표는 다음과 같다. Z O ( t 1 , t 2 , … , t 6 ) = 1 24 ( t 1 8 + 6 t 4 2 + 9 t 2 4 + 8 t 1 3 t 3 2 ) {\displaystyle Z_{O}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{6})={\frac {1}{24}}\left(t_{1}^{8}+6t_{4}^{2}+9t_{2}^{4}+8t_{1}^{3}t_{3}^{2}\right)} 여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다. t 1 8 {\displaystyle t_{1}^{8}} : 항등원 t 4 2 {\displaystyle t_{4}^{2}} : 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전 t 2 4 {\displaystyle t_{2}^{4}} : 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전 t 1 3 t 3 2 {\displaystyle t_{1}^{3}t_{3}^{2}} : 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전 t 2 4 {\displaystyle t_{2}^{4}} : (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전 정사면체의 대칭군 T ≤ SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle T\leq \operatorname {SO} (3)} 은 교대군 Alt ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (4)} 와 동형인, 크기 12의 유한군이다. 이는 정사면체의 4개의 면 (또는 4개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다. 이 경우, 순환 지표는 다음과 같다. Z T ( t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ) = 1 12 ( t 1 4 + 8 t 1 t 3 + t 2 2 ) {\displaystyle Z_{T}(t_{1},t_{2},t_{3},t_{4})={\frac {1}{12}}\left(t_{1}^{4}+8t_{1}t_{3}+t_{2}^{2}\right)} 여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다. t 1 4 {\displaystyle t_{1}^{4}} : 항등원 t 1 t 3 {\displaystyle t_{1}t_{3}} : 120도 (시계 방향 또는 시계 반대 방향) 회전 t 2 2 {\displaystyle t_{2}^{2}} : 180도 회전 헝가리의 수학자 포여 죄르지가 1937년에 포여 열거 정리에 사용하기 위하여 도입하였다. Pólya, G. (1937). “Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 68 (1): 145–254. doi:10.1007/BF02546665. ISSN 0001-5962. Zbl 0017.23202.  Tucker, Alan (1974년 11월). “Polya’s enumeration formula by example” (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) 47 (5): 248–256. doi:10.2307/2688047. JSTOR 2688047. Zbl 0297.05007. 2015년 6월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 17일에 확인함.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cycle index”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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