클라인 부분군

군론에서 클라인 부분군(Klein部分群, 영어: Kleinian subgroup)은 PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 의 이산 부분군이다. 복소수 계수 2차원 사영 선형군 PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 를 생각하자. 이는 다음과 같이 여겨질 수 있다. 3차원 쌍곡 공간 H 3 {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}} 의 (방향을 보존하는) 등거리 변환의 군이다. 3차원 열린 공 B 3 ⊆ R 3 {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}} 의 (방향을 보존하는) 등각 변환의 군이다. PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 의 부분군 Γ ≤ PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 클라인 부분군이라고 한다. 임의의 x ∈ B 3 {\displaystyle x\in \mathbb {B} ^{3}} 의 안정자군 { γ ∈ Γ : γ ⋅ x = x } {\displaystyle \{\gamma \in \Gamma \colon \gamma \cdot x=x\}} 은 유한군이다. 임의의 x ∈ B 3 {\displaystyle x\in \mathbb {B} ^{3}} 의 궤도 Γ ⋅ { x } ⊆ B 3 {\displaystyle \Gamma \cdot \{x\}\subseteq \mathbb {B} ^{3}} 는 ( B 3 {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}} 의 부분 공간으로서) 이산 공간이다. 열린 공 B 3 {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}} 의 ( R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 속에서의) 폐포 cl ⁡ ( B 3 ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\mathbb {B} ^{3})} 를 생각하자. PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 및 모든 클라인 부분군은 cl ⁡ ( B 3 ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\mathbb {B} ^{3})} 위에 자연스럽게 작용한다. 경계 S ∞ 2 = ∂ ( B 3 ) = cl ⁡ ( B 3 ) ∖ B 3 {\displaystyle \mathbb {S} _{\infty }^{2}=\partial (\mathbb {B} ^{3})=\operatorname {cl} (\mathbb {B} ^{3})\setminus \mathbb {B} ^{3}} 를 무한구(영어: sphere at infinity)라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 그 위에 작용한다. 임의의 점 p ∈ S ∞ 2 {\displaystyle p\in \mathbb {S} _{\infty }^{2}} 의 궤도 Γ ⋅ { p } ⊆ S ∞ 2 {\displaystyle \Gamma \cdot \{p\}\subseteq \mathbb {S} _{\infty }^{2}} 의 응집점의 집합을 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 극한 집합(영어: limit set)이라고 한다. 클라인 부분군 Γ {\displaystyle \Gamma } 이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합 Λ ( Γ ) ⊆ S ∞ 2 {\displaystyle \Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {S} _{\infty }^{2}} 을 생각하자. 만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 의 유한 생성 부분군이라면, S ∞ 2 ∖ Λ ( Γ ) Γ {\displaystyle {\frac {\mathbb {S} _{\infty }^{2}\setminus \Lambda (\Gamma )}{\Gamma }}} 는 리만 곡면의 유한형 오비폴드이다. 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레가 1883년에 도입하였다. “클라인 부분군”(프랑스어: groupe kleinéen)이라는 이름은 앙리 푸앵카레가 같은 논문에서 사용하였다. 자명군은 자명하게 클라인 부분군이다. 양의 제곱 인수가 없는 정수 d {\displaystyle d} 에 대하여, 허수 이차 수체 Q ( − d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})} 의 대수적 정수환 O Q ( − d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}} 이 주어졌을 때, PSL ⁡ ( 2 ; O Q ( − d ) ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})})} 는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 비안키 군(영어: Bianchi group)이라고 한다. 임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체 M {\displaystyle M} 의 기본군 π 1 ( M ) {\displaystyle \pi _{1}(M)} 이 클라인 부분군 Γ ≤ PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 과 (군으로서) 동형일 때, M {\displaystyle M} 은 H 3 / Γ {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}/\Gamma } 와 미분 동형이다. 이 경우, H 3 / Γ {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}/\Gamma } 를 M {\displaystyle M} 의 클라인 모형(영어: Kleinian model)이라고 한다. Bers, Lipman; Kra, Irwin, 편집. (1974), 《A crash course on Kleinian groups》, Lecture Notes in Mathematics 400, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0065671, MR 0346152  Klein, Felix (1883). “Neue Beiträge zur Riemann’schen Functionentheorie”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 21 (2): 141–218. doi:10.1007/BF01442920. ISSN 0025-5831. JFM 15.0351.01.  Poincaré, Henri (1883). “Mémoire sur Les groupes kleinéens”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 3: 49–92. doi:10.1007/BF02422441. ISSN 0001-5962. JFM 15.0348.02.  “Kleinian group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Kleinian group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.