막대 복합체

호몰로지 대수학에서 막대 복합체(막대複合體, 영어: bar complex 바 콤플렉스[*])는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 완전열이다.:§4 Tor 함자와 Ext 함자 등을 계산할 때 쓰인다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} (항등원을 갖는) K {\displaystyle K} -결합 대수 A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} -오른쪽 가군 M A {\displaystyle M_{A}} A {\displaystyle A} -왼쪽 가군 A M ′ {\displaystyle _{A}M'} 그렇다면, 막대 복합체 Bar ∙ K ⁡ ( M , A , M ′ ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(M,A,M')} 는 다음과 같은, K {\displaystyle K} -가군의 범주 속의 단체 대상이다. Bar n ⁡ ( M , A , M ′ ) = M ⊗ K A ⊗ K n ⊗ K M ′ {\displaystyle \operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')=M\otimes _{K}A^{\otimes _{K}n}\otimes _{K}M'} ∂ n , i Bar n ⁡ ( M , A , M ′ ) → Bar n − 1 ⁡ ( M , A , M ′ ) ( 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \partial _{n,i}\operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{n-1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)} ∂ n , i : m ⊗ K a 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n ⊗ K m ′ ↦ { m a 1 ⊗ K a 2 ⊗ K ⊗ ⋯ ⊗ K a n ⊗ K ⊗ m ′ i = 0 m ⊗ K a 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a i − 1 ⊗ K a i a i + 1 ⊗ K a i + 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n ⊗ K m ′ 0 < i < n m ⊗ K a 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n − 1 ⊗ K a n m ′ i = n {\displaystyle \partial _{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'\mapsto {\begin{cases}ma_{1}\otimes _{K}a_{2}\otimes _{K}\otimes \dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}\otimes m'&i=0\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'&0<i<n\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}\otimes _{K}a_{n}m'&i=n\end{cases}}} s n , i : Bar n ⁡ ( M , A , M ′ ) → Bar n + 1 ⁡ ( M , A , M ′ ) ( 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle s_{n,i}\colon \operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{n+1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)} s n , i : m ⊗ K a 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n ⊗ K m ′ ↦ m ⊗ K a 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a i ⊗ K 1 ⊗ K a i + 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n ⊗ K m ′ {\displaystyle s_{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'\mapsto m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'} 특히, ∂ n = ∑ i = 0 n ( − ) i ∂ n , i {\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}} 로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다. 보다 일반적으로, 모노이드 범주 ( C , ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )} 속의 모노이드 대상 A {\displaystyle A} 및 그 왼쪽 가군 A M {\displaystyle _{A}M} 과 오른쪽 가군 M A ′ {\displaystyle M'_{A}} 이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, Bar ∙ C ⁡ ( M , A , M ′ ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathcal {C}}(M,A,M')} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 단체 대상을 이룬다. 예를 들어, 모노이드 A {\displaystyle A} 와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 A M {\displaystyle _{A}M} 및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 M A ′ {\displaystyle M'_{A}} 이 주어졌을 때, Bar ∙ Set ⁡ ( M , A , M ′ ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Set} }(M,A,M')} 은 단체 집합을 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 및 그 위의 오른쪽 가군 M A {\displaystyle M_{A}} 과 왼쪽 가군 A M ′ {\displaystyle _{A}M'} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 Bar ∙ K ⁡ ( M , A , M ′ ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(M,A,M')} 를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에 Bar 0 K ⁡ ( M , A , M ′ ) = M ⊗ K M ′ → Bar − 1 K ⁡ ( M , A , M ′ ) = M ⊗ A M ′ {\displaystyle \operatorname {Bar} _{0}^{K}(M,A,M')=M\otimes _{K}M'\to \operatorname {Bar} _{-1}^{K}(M,A,M')=M\otimes _{A}M'} 을 추가할 수 있다. 그렇다면, ⋯ → Bar 1 K ⁡ ( M , A , M ′ ) → Bar 0 K ⁡ ( M , A , M ′ ) → Bar − 1 K ⁡ ( M , A , M ′ ) → 0 {\displaystyle \dotsb \to \operatorname {Bar} _{1}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{0}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{-1}^{K}(M,A,M')\to 0} 은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 Bar ⁡ ( M , A , M ′ ) {\displaystyle \operatorname {Bar} (M,A,M')} 은 M ⊗ A M ′ {\displaystyle M\otimes _{A}M'} 의 분해를 정의한다. 특히, M = M ′ = A {\displaystyle M=M'=A} 인 경우, Bar ∙ K ⁡ ( A , A , A ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)} 는 A {\displaystyle A} 의 ( ( A , A ) {\displaystyle (A,A)} -쌍가군으로서의) 분해(영어: resolution)를 이룬다.:12, Proposition–definition 1.1.12 가환환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. Bar ∙ K ⁡ ( A , A , A ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)} 의 각 성분은 모두 ( A , A ) {\displaystyle (A,A)} -쌍가군이므로, 포락 대수 A e = A ⊗ K A op {\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }} 를 정의하였을 때 Bar ∙ K ⁡ ( A , A , A ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)} 는 A e {\displaystyle A^{\operatorname {e} }} -사슬 복합체를 이룬다. 임의의 ( A , A ) {\displaystyle (A,A)} -쌍가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, C ∙ ( A ; M ) = M ⊗ A e Bar ∙ K ⁡ ( A , A , A ) {\displaystyle C_{\bullet }(A;M)=M\otimes _{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)} 는 A {\displaystyle A} 의 M {\displaystyle M} 계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로 C ∙ ( A ; M ) = hom A e ⁡ ( Bar ∙ K ⁡ ( A , A , A ) , M ) {\displaystyle C^{\bullet }(A;M)=\hom _{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A),M)} 은 A {\displaystyle A} 의 M {\displaystyle M} 계수 호흐실트 공사슬 복합체이다. 군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다. 위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간 ∙ {\displaystyle \bullet } 위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 Bar ∙ Top ⁡ ( ∙ , G , ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,\bullet )} 를 정의할 수 있다. 또한, G {\displaystyle G} 는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 Bar ∙ Top ⁡ ( ∙ , G , G ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,G)} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상 Bar ∙ Top ⁡ ( ∙ , G , G ) ↠ Bar ∙ Top ⁡ ( ∙ , G , ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,G)\twoheadrightarrow \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,\bullet )} 이 존재한다. 이는 G {\displaystyle G} -주다발을 이루며, 또한 위상군 G {\displaystyle G} 의 분류 공간 E ⁡ ( G ) ↠ B ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {E} (G)\twoheadrightarrow \operatorname {B} (G)} 을 이룬다. 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 도입하였다. “막대 복합체”라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 “ ⊗ {\displaystyle \otimes } ”로 표기되는) 텐서곱을 막대기 모양의 기호 “ | {\displaystyle |} ”로 표기하였기 때문이다.:§4.3 코쥘 복합체 Ginzburg, Victor (2005). “Lectures on noncommutative geometry” (영어). arXiv:math/0506603. Bibcode:2005math......6603G.  Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 301 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.  Eilenberg, Samuel; Mac Lane, Saunders (1953). “On the groups H(Π, n). Ⅰ”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 58: 55–106. doi:10.2307/1969820. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969820. MR 0056295. Zbl 0050.39304.  “Bar and cobar construction”. 《nLab》 (영어).  “Bar construction”. 《nLab》 (영어).  “Simplicial bar construction”. 《nLab》 (영어).  “Two-sided bar construction”. 《nLab》 (영어).  “Bar resolution”. 《Groupprops》 (영어).  Malkiewich, Cary. “The bar construction” (PDF) (영어).  Hess, Kathryn (2007년 5월). “The cobar construction: a modern perspective” (PDF) (영어). 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 25일에 확인함.  Trimble, Todd (2007년 5월 31일). “On the bar construction”. 《The n-Category Café》 (영어).