특성류

대수적 위상수학에서 특성류(特性類, 영어: characteristic class)는 주다발의 위상수학적인 성질을 나타내는 코호몰로지 류이다. G {\displaystyle G} 가 위상군이라고 하자. 위상 공간의 범주를 T o p {\displaystyle \mathbf {Top} } , 집합의 범주를 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 라고 하자. 함자 b G : T o p → S e t op {\displaystyle b_{G}\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} ^{\text{op}}} 를 위상 공간 X {\displaystyle X} 를 그 위에 존재하는 G {\displaystyle G} -주다발들(의 동형류들)의 집합으로 대응시키는 함자로 정의하자. 이는 반변함자를 이룬다. 또한, 코호몰로지 H ∙ {\displaystyle H^{\bullet }} 또한 함자 H ∙ : T o p → S e t op {\displaystyle H^{\bullet }\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} ^{\text{op}}} 로 생각할 수 있다. (코호몰로지는 환의 구조를 가지지만, 여기서는 그 구조를 잊는다.) 특성류 c {\displaystyle c} 는 자연변환 c : b G ⟹ H ∙ {\displaystyle c\colon b_{G}\implies H^{\bullet }} 이다. 즉, 각 주다발 P {\displaystyle P} 에 코호몰로지류 c ( P ) {\displaystyle c(P)} 를 대응시키고, 이는 연속함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대해 c ( f ∗ P ) = f ∗ c ( P ) {\displaystyle c(f^{*}P)=f^{*}c(P)} 를 만족시킨다. 특성류들은 분할 원리(영어: splitting principle)를 사용하여, 일종의 다항식으로 나타낼 수 있다. 공간 X {\displaystyle X} 위에 n {\displaystyle n} 차원 복소 벡터다발 E {\displaystyle E} 가 주어지면, 여기에 임의의 코쥘 접속 A {\displaystyle A} 를 주어 그 곡률 F = d A + A ∧ A ∈ Ω 2 ( X ) ⊗ R u ( n ) {\displaystyle F=dA+A\wedge A\in \Omega ^{2}(X)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {u}}(n)} 를 계산할 수 있다. 이는 리 대수 u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} 값을 갖는 2차 미분형식들이다. (짝수차 미분형식들은 가환환을 이루므로 행렬을 정의할 수 있다.) u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} 은 n × n {\displaystyle n\times n} 반에르미트 행렬들로 이루어져 있으므로, 이 행렬의 고윳값들을 정의하자. i F = g diag ⁡ ( x 1 , x 2 , … , x n ) g − 1 {\displaystyle iF=g\operatorname {diag} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})g^{-1}} 여기서 g {\displaystyle g} 는 접속에 따라 달라지는 유니터리 행렬이다. 그러나 고윳값 { x 1 , … , x n } ∈ Ω 2 ( X ) {\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\in \Omega ^{2}(X)} 들의 코호몰로지 류들은 접속에 상관없이 불변임을 보일 수 있다 (천-베유 정리). 복소 벡터다발의 모든 특성류들은 이 { x 1 , … , x n } {\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}} 들의 다항식으로 나타낼 수 있다 (분할 원리). 예를 들어, 천 지표는 ch ⁡ ( E ) = ∑ i = 1 n exp ⁡ ( x i ) {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\sum _{i=1}^{n}\exp(x_{i})} 천 특성류는 c ( E ) = ∑ i = 1 n c i ( E ) = ∏ i = 1 n ( 1 + x i ) {\displaystyle c(E)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(E)=\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})} 오일러 특성류는 e ( E ) = ∏ i = 1 n x i {\displaystyle e(E)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}} 토드 특성류는 Td ⁡ ( E ) = ∏ i = 1 n x i 1 − exp ⁡ ( − x i ) {\displaystyle \operatorname {Td} (E)=\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}} 이다. 실수 벡터 다발의 특성류의 경우, 일부는 그 복소화의 특성류로 정의할 수 있다. 예를 들어, 폰트랴긴 특성류나 디랙 종수(Dirac genus)는 이렇게 정의할 수 있다. 그렇지만 일반적으로 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel–Whitney class)는 그렇지 않다. 천 특성류 폰트랴긴 특성류 슈티펠-휘트니 특성류 (Stiefel–Whitney class) 오일러 특성류 (Euler class) 토드 특성류 디랙 종수 (Dirac genus) (또는 Â-종수라고도 불림) 오일러 지표 천 특성류 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 8월 26일에 확인함.  Milnor, John W.; James D. Stasheff (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) 76. Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Schneiders, Jean-Pierre. 《Introduction to characteristic classes and index theory》 (PDF). Téxtos de Matemática (영어) 13. Lisboa: Universidade de Lisboa. ISBN 972-8394-12-8.  Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, Topology and Physics》 (영어) 2판. Taylor & Francis. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 978-0-7503-0606-5.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)