디리클레 함수

수학에서 디리클레 함수(영어: Dirichlet function)는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수이다. 디리클레 함수 1 Q : R → { 0 , 1 } {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {R} \to \{0,1\}} 는 다음과 같다. 1 Q ( x ) = lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n ⁡ ( m ! π x ) = { 1 x ∈ Q 0 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} 여기서 m ! {\displaystyle m!} 는 계승, cos {\displaystyle \cos } 는 코사인, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 와 R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 는 각각 유리수와 무리수의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 는 베르 2급 함수이다. 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다. 증명: 만약 x ∈ Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q} } 라면, x = a b {\displaystyle \textstyle x={\frac {a}{b}}} 인 a , b ∈ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } 를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 m ≥ b {\displaystyle m\geq b} 에 대하여, m ! x ∈ Z {\displaystyle m!x\in \mathbb {Z} } 이므로, cos ⁡ ( m ! π x ) ∈ { − 1 , 1 } {\displaystyle \cos(m!\pi x)\in \{-1,1\}} 이다. 따라서, lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n ⁡ ( m ! π x ) = lim m → ∞ lim n → ∞ 1 = 1 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }1=1} 이다. 만약 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 라면, 임의의 m ≥ 0 {\displaystyle m\geq 0} 에 대하여 m ! x ∉ Z {\displaystyle m!x\notin \mathbb {Z} } 이므로, cos ⁡ ( m ! π x ) ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle \cos(m!\pi x)\in (-1,1)} 이다. 따라서, lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n ⁡ ( m ! π x ) = lim m → ∞ 0 = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }0=0} 이다. 디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 는 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다. 증명: 임의의 t ∈ Q {\displaystyle t\in \mathbb {Q} } 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, 1 Q ( x + t ) = 1 Q ( x ) {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1_{\mathbb {Q} }(x)} 임을 보이면 된다. 만약 x ∈ Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q} } 라면, x + t ∈ Q {\displaystyle x+t\in \mathbb {Q} } 이므로, 1 Q ( x + t ) = 1 = 1 Q ( x ) {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1=1_{\mathbb {Q} }(x)} 이다. 만약 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 라면, x + t ∈ R ∖ Q {\displaystyle x+t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 이므로, 1 Q ( x + t ) = 0 = 1 Q ( x ) {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=0=1_{\mathbb {Q} }(x)} 이다. 이제, 귀류법을 사용하여, t 0 ∈ Q + {\displaystyle t_{0}\in \mathbb {Q} ^{+}} 가 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, t 0 2 ∈ Q + {\displaystyle \textstyle {\frac {t_{0}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}} 역시 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 의 양의 주기이며, t 0 2 < t 0 {\displaystyle \textstyle {\frac {t_{0}}{2}}<t_{0}} 이다. 이는 t 0 {\displaystyle t_{0}} 이 최소 양의 주기인 것과 모순이다. 디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 는 모든 점에서 불연속이다. 이는 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, lim sup y → x 1 Q ( y ) = 1 {\displaystyle \limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=1} lim inf y → x 1 Q ( y ) = 0 {\displaystyle \liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=0} 이기 때문이다. 증명: 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, x {\displaystyle x} 로 수렴하는 유리수 수열 ( x n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }} 과 무리수 수열 ( y n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (y_{n})_{n=0}^{\infty }} 을 취할 수 있다. 그렇다면 1 = lim n → ∞ 1 Q ( x n ) ≤ lim sup y → x 1 Q ( y ) ≤ sup y ∈ R 1 Q ( y ) = 1 {\displaystyle 1=\lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(x_{n})\leq \limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \sup _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)=1} 0 = inf y ∈ R 1 Q ( y ) ≤ lim inf y → x 1 Q ( y ) ≤ lim n → ∞ 1 Q ( y n ) = 0 {\displaystyle 0=\inf _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(y_{n})=0} 이다. 디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 는 모든 점에서 불연속이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분과 하적분은 각각 다음과 같다. ∫ a b ¯ 1 Q ( x ) d x = b − a {\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=b-a} ∫ a b _ 1 Q ( x ) d x = 0 {\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=0} 그러나 디리클레 함수는 단순 함수이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분은 ∫ R 1 Q d μ = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =0} 이다. 증명: 임의의 닫힌구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 및 임의의 분할 P = { x 0 , x 1 , … , x n } ( a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b ) {\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}\qquad (a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b)} 에 대하여, 각 소구간 [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} 은 유리수와 무리수를 원소로 포함하므로, sup x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) = 1 {\displaystyle \sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=1} inf x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) = 0 {\displaystyle \inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=0} 이다. 따라서 P {\displaystyle P} 에 대한 리만 상합과 리만 하합은 U ( 1 Q , P ) = ∑ i = 1 n sup x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) ⋅ ( x i − x i − 1 ) = b − a {\displaystyle U(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=b-a} L ( 1 Q , P ) = ∑ i = 1 n inf x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) ⋅ ( x i − x i − 1 ) = 0 {\displaystyle L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=0} 이며, 그 상적분과 하적분은 ∫ a b ¯ 1 Q ( x ) d x = inf P U ( 1 Q , P ) = inf P ( b − a ) = b − a {\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\inf _{P}U(1_{\mathbb {Q} },P)=\inf _{P}(b-a)=b-a} ∫ a b _ 1 Q ( x ) d x = sup P L ( 1 Q , P ) = sup P 0 = 0 {\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\sup _{P}L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sup _{P}0=0} 이다. 유리수의 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 가산 집합이므로, 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 는 단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분은 ∫ R 1 Q d μ = μ ( Q ) = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0} 이다. 이에 따라 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 는 르베그 적분 가능하다. 독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다. 토메 함수 Dunham, William (2005). 《The Calculus Gallery》 (영어). Princeton University Press. 197쪽. ISBN 0-691-09565-5.  Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], Journal für reine und angewandte Mathematik [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169. “Dirichlet-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.