카시미르 원소

리 대수 이론에서, 카시미르 원소(Casimir元素, 영어: Casimir element)는 리 대수의 보편 포락 대수의 중심의 특별한 원소이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보편 포락 대수 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 의 환으로서의 중심 Z ⁡ ( U ⁡ ( g ) ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))} 를 생각하자. 이는 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간이다. 물론, 이는 U ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 의 표준적인 자연수 등급에 의하여 등급 벡터 공간으로 분해된다. Z ⁡ ( U ⁡ ( g ) ) = ⨁ i = 0 ∞ Z i ⁡ ( U ⁡ ( g ) ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))=\bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Z} _{i}(\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))} 푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라서, Z i ⁡ ( U ⁡ ( g ) ) {\displaystyle \operatorname {Z} _{i}(\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))} 는 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 변수의 i {\displaystyle i} 차 불변 다항식들의 공간과 같다. 두 불변 다항식의 곱은 물론 불변 다항식이다. 두 (양의 차수의) 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 동차 불변 다항식에 대응하는 Z ⁡ ( U ⁡ ( g ) ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))} 의 원소를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카시미르 원소라고 한다. 특히, 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 위의 단순 리 대수라면, 그 킬링 형식 B {\displaystyle B} 는 비퇴화 이차 형식이며, 그 역행렬 B − 1 ( − , − ) {\displaystyle B^{-1}(-,-)} 은 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 위의 2차 불변 다항식이므로, 카시미르 원소를 이룬다. 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 이차 카시미르 원소(영어: quadratic Casimir element)라고 한다. 특히, 만약 K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체일 때, B {\displaystyle B} 에 대한 정규 직교 기저를 x i {\displaystyle x_{i}} 라고 하면, 이차 카시미르 원소는 다음과 같다. C = ∑ i x i x i ∈ U ⁡ ( g ) {\displaystyle C=\sum _{i}x_{i}x_{i}\in \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 (대수적으로 닫힌 체일 필요가 없는) 표수 0의 체 위의 가약 리 대수일 경우, 하리시찬드라 동형(영어: Harish-Chandra isomorphism)에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다. Z ⁡ ( U ⁡ ( g ) ) → Sym ⁡ ( g ) W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))\to \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})^{\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}} 여기서 우변은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 로 생성되는 대칭 대수의 원소 가운데, 바일 군 W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 의 작용에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다. 리 군 G {\displaystyle G} 의 리 대수가 반단순 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 위에서 킬링 형식 B {\displaystyle B} 는 준 리만 계량을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 준 리만 다양체 ( G , B ) {\displaystyle (G,B)} 의 라플라스-벨트라미 연산자 Δ B {\displaystyle \Delta _{B}} 와 같다. 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 위의 (양의 정부호) 3차원 직교 리 대수 s o ( 3 ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;K)} 를 생각하자. 그 기저는 다음과 같이 잡을 수 있다. L x = ( 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ) , L y = ( 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 ) , L z = ( 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} 그렇다면, 이차 카시미르 원소 L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 = − 2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=-2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} 을 정의할 수 있다. 이는 대각 행렬이므로, 보편 포락 대수의 중심에 속함을 알 수 있다. 양자역학에서, L i {\displaystyle L_{i}} 는 세 직교 방향에 대한 각운동량에 해당하며, 이차 카시미르 원소 L 2 {\displaystyle L^{2}} 는 각운동량의 크기의 절댓값의 제곱의 기댓값이다. (이는 물론 각운동량의 크기의 절댓값의 기댓값의 제곱과 다르다.) 총 각운동량 양자수의 스칼라 값을 ℓ {\displaystyle \ell } 이라고 할 때, 이는 ℓ ( ℓ + 1 ) {\displaystyle \ell (\ell +1)} 에 해당한다. 여기서 사용한 3차원 정의(定義) 표현은 스핀 ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} 에 해당하므로, L 2 = 2 {\displaystyle L^{2}=2} 가 된다. 헨드릭 카시미르가 양자 강체 동역학에 대한 1931년 박사 학위 논문에서 s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 의 이차 카시미르 불변량을 최초로 사용하였다.:81 하리시찬드라 동형은 하리시찬드라 메로트라가 도입하였다. 파울리-루반스키 벡터 클렙슈-고르단 계수 Oliver, David (2004). 《The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/b97539. ISBN 978-0-387-40307-6.  Casimir, H. B. G. (1931). 《Rotation of a rigid body in quantum mechanics》 (PDF) (영어). 네덜란드: J. B. Wolters’ Uitgevers-Maatschappĳ N.V.  “Casimir element”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Casimir operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Casimir operator”. 《nLab》 (영어).  “Basis-free definition of the Casimir element”. 《Math Overflow》 (영어).