요르단 대수

추상대수학에서 요르단 대수(Jordan代數, 영어: Jordan algebra)는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다. 2가 가역원인 가환환 K {\displaystyle K} 위의 요르단 대수 A {\displaystyle A} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. K {\displaystyle K} -가군 A {\displaystyle A} 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 ∙ : Sym K 2 ⁡ ( A ) → A {\displaystyle \bullet \colon \operatorname {Sym} _{K}^{2}(A)\to A} 이 이항 연산의 항등원 1 A ∈ A {\displaystyle 1_{A}\in A} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. (요르단 항등식 영어: Jordan identity) ( x ∙ y ) ( x ∙ x ) = x ∙ ( y ∙ ( x ∙ x ) ) ∀ x , y ∈ A {\displaystyle (x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet (x\bullet x))\qquad \forall x,y\in A} (일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.) 가환환 K {\displaystyle K} 위의 요르단 대수 A {\displaystyle A} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. K {\displaystyle K} -가군 A {\displaystyle A} 원소 1 A ∈ A {\displaystyle 1_{A}\in A} 함수 U : A → hom K ⁡ ( A , A ) {\displaystyle U\colon A\to \hom _{K}(A,A)} , x ↦ U x {\displaystyle x\mapsto U_{x}} 이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. U 1 A = 1 A {\displaystyle U_{1_{A}}=1_{A}} U α x = α 2 U x {\displaystyle U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x}} U U x y = U x ∘ U y ∘ U x {\displaystyle U_{U_{x}y}=U_{x}\circ U_{y}\circ U_{x}} U x ∘ V y , x = V x , y ∘ U x {\displaystyle U_{x}\circ V_{y,x}=V_{x,y}\circ U_{x}} ( V x , y z = ( U x + z − U x − U z ) y {\displaystyle V_{x,y}z=(U_{x+z}-U_{x}-U_{z})y} ) 또한, 이 공리들은 K {\displaystyle K} 의 임의의 스칼라 확장 K → K ~ {\displaystyle K\to {\tilde {K}}} 에 대하여 성립하여야 한다. 만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다. 그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다. 같은 가환환 K {\displaystyle K} 위의 두 요르단 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 가 주어졌을 때, 그 직합 A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} 을 정의할 수 있다. K {\displaystyle K} -벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다. ( a , b ) ∙ ( a ′ , b ′ ) = ( a ∙ a ′ , b ∙ b ′ ) ∀ a , a ′ ∈ A , b , b ′ ∈ B {\displaystyle (a,b)\bullet (a',b')=(a\bullet a',b\bullet b')\qquad \forall a,a'\in A,\;b,b'\in B} 두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수(영어: irreducible Jordan algebra)라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.:38, §5 가환환 K {\displaystyle K} 위의 요르단 대수 A {\displaystyle A} 의 요르단 아이디얼(영어: Jordan ideal)은 다음과 같은 K {\displaystyle K} -부분 가군 I ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A} 이다. A ∙ I ⊆ I {\displaystyle A\bullet {\mathfrak {I}}\subseteq {\mathfrak {I}}} U {\displaystyle U} 로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다. U I ( A ) + U A ( I ) ⊆ I {\displaystyle U_{\mathfrak {I}}(A)+U_{A}({\mathfrak {I}})\subseteq {\mathfrak {I}}} 요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수(영어: quotient Jordan algebra) A / I {\displaystyle A/{\mathfrak {I}}} 를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 ϕ : A → B {\displaystyle \phi \colon A\to B} 이 주어졌을 때, 그 핵 ϕ − 1 ( 0 B ) ⊆ A {\displaystyle \phi ^{-1}(0_{B})\subseteq A} 은 요르단 아이디얼을 이룬다. 요르단 아이디얼은 ( I ≠ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\neq A} 라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다. 정확하게 두 개의 아이디얼( { 0 } , A {\displaystyle \{0\},A} )을 갖는 요르단 대수를 단순 요르단 대수(單純Jordan代數, 영어: simple Jordan algebra)라고 한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 요르단 대수 ( A , ∙ ) {\displaystyle (A,\bullet )} 의 임의의 원소 u ∈ A {\displaystyle u\in A} 에 대하여, U u : A → A {\displaystyle U_{u}\colon A\to A} 가 전단사 함수라고 하자 (즉, U u ∈ GL ⁡ ( A ; K ) {\displaystyle U_{u}\in \operatorname {GL} (A;K)} ). 그렇다면, A {\displaystyle A} 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다. U x ( u ) = U x ∘ U u {\displaystyle U_{x}^{(u)}=U_{x}\circ U_{u}} 만약 2 ∈ Unit ⁡ ( K ) {\displaystyle 2\in \operatorname {Unit} (K)} 라면, 새 이항 연산 ∙ ( u ) {\displaystyle \bullet ^{(u)}} 은 다음과 같다. x ∙ ( u ) y = 1 2 V x , u ( z ) = x ∙ ( u ∙ y ) + ( x ∙ u ) ∙ y − ( x ∙ y ) ∙ u {\displaystyle x\bullet ^{(u)}y={\frac {1}{2}}V_{x,u}(z)=x\bullet (u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y-(x\bullet y)\bullet u} 이 요르단 대수 구조를 A ( u ) {\displaystyle A^{(u)}} 라고 하며, 이를 A {\displaystyle A} 의 동위(同位, 영어: isotope)라고 한다.:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(1–2) ( U u {\displaystyle U_{u}} 가 가역원이라는 조건은 A ( u ) {\displaystyle A^{(u)}} 의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.) 동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다. A ( 1 ) = A {\displaystyle A^{(1)}=A} A ( u ) ( v ) = A U u ( v ) {\displaystyle A^{(u)(v)}=A^{U_{u}(v)}} 이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(4) 요르단 대수 ( A , ∙ ) {\displaystyle (A,\bullet )} 에서, 만약 어떤 원소 e ∈ A {\displaystyle e\in A} 가 e 2 = e {\displaystyle e^{2}=e} 를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다. e ∙ ( ( 2 e − 1 ) ∙ ( ( e − 1 ) ∙ x ) ) = 2 ( e ∙ ( e ∙ x ) ) − 3 e ∙ ( e ∙ x ) + e ∙ x = 0 ∀ x ∈ A {\displaystyle e\bullet ((2e-1)\bullet ((e-1)\bullet x))=2(e\bullet (e\bullet x))-3e\bullet (e\bullet x)+e\bullet x=0\qquad \forall x\in A} 이에 따라서, 만약 char ⁡ K ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2} 이며 A {\displaystyle A} 가 유한 차원이라면, e {\displaystyle e} 에 의한 왼쪽 곱셈 사상 ( e ∙ ) : A → A {\displaystyle (e\bullet )\colon A\to A} 의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, A {\displaystyle A} 는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다. A = A 0 ( e ) ⊕ A 1 / 2 ( e ) ⊕ A 1 ( e ) {\displaystyle A=A_{0}(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_{1}(e)} 이를 피어스 분해(영어: Peirce decomposition)라고 한다. K {\displaystyle K} 가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, ( A , ∙ ) {\displaystyle (A,\bullet )} 가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서 [ x ∙ , y ∙ ] ∈ d e r ( A , ∙ ) {\displaystyle [x\bullet ,y\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(A,\bullet )} 이 성립함을 보일 수 있다. 여기서 ( x ∙ ) : A → A ∈ g l ( A ; K ) {\displaystyle (x\bullet )\colon A\to A\in {\mathfrak {gl}}(A;K)} 이며, 리 괄호는 g l ( A ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(A;K)} 의 것이며, d e r ( A , ∙ ) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A,\bullet )} 은 A {\displaystyle A} 의 미분 리 대수이다. 이에 따라서, K {\displaystyle K} -벡터 공간 s t r ( A ) = d e r ( A ) ⊕ A {\displaystyle {\mathfrak {str}}(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A} 위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 K {\displaystyle K} -리 대수로 만들 수 있다. [ δ , ϵ ] s t r ( A ) = [ δ , ϵ ] d e r ( A ) ∀ δ , ϵ ∈ d e r ( V ) {\displaystyle [\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {str}}(A)}=[\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {der}}(A)}\qquad \forall \delta ,\epsilon \in {\mathfrak {der}}(V)} [ δ , x ] = δ ( x ) ∀ δ ∈ d e r ( V ) , x ∈ A {\displaystyle [\delta ,x]=\delta (x)\qquad \forall \delta \in {\mathfrak {der}}(V),\;x\in A} [ x , y ] = [ x ∙ , y ∙ ] ∀ x , y ∈ A {\displaystyle [x,y]=[x\bullet ,y\bullet ]\qquad \forall x,y\in A} 이를 요르단 대수 A {\displaystyle A} 의 구조 리 대수(構造Lie代數, 영어: structure Lie algebra)라고 한다.:12, §Ⅰ.0.3 물론, A {\displaystyle A} 의 항등원 1 A ∈ A {\displaystyle 1_{A}\in A} 은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 K {\displaystyle K} -리 대수 s t r ′ ( A ) = d e r ( A ) ⊕ A / Span K ⁡ { 1 A } {\displaystyle {\mathfrak {str}}'(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A/\operatorname {Span} _{K}\{1_{A}\}} 를 정의할 수 있다. 일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 ( A , ∙ ) {\displaystyle (A,\bullet )} 에서 다음이 성립한다. (멱결합성 영어: power-associativity) 임의의 원소 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 에 대하여, x {\displaystyle x} 로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히, x n {\displaystyle x^{n}} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )과 같은 표현이 잘 정의된다. ( x m ∙ y ) ∙ x n = x m ∙ ( y ∙ x n ) ∀ x , y ∈ A , m , n ∈ N {\displaystyle (x^{m}\bullet y)\bullet x^{n}=x^{m}\bullet (y\bullet x^{n})\qquad \forall x,y\in A,\;m,n\in \mathbb {N} } 두 명제의 증명: 편의상, 결합자 [ a , b , c ] = ( a ∙ b ) ∙ c − a ∙ ( b ∙ c ) {\displaystyle [a,b,c]=(a\bullet b)\bullet c-a\bullet (b\bullet c)} 를 정의하자. 우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다. [ a , b , c ] + [ b , c , a ] + [ c , a , b ] = 0 {\displaystyle [a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b]=0} [ a , b , c ] = − [ c , b , a ] {\displaystyle [a,b,c]=-[c,b,a]} 요르단 항등식에 의하여, ( ( α a + β b + γ c ) 2 d ) ( α a + β b + γ c ) − ( ( α a + β b + γ c ) d ) ( α a + β b + γ c ) 2 = 0 {\displaystyle ((\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)-((\alpha a+\beta b+\gamma c)d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}=0} 를 전개하고, α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } 에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다. [ b ∙ c , d , a ] + [ a ∙ b , d , c ] + [ a ∙ c , d , b ] = 0 {\displaystyle [b\bullet c,d,a]+[a\bullet b,d,c]+[a\bullet c,d,b]=0} 수학적 귀납법을 사용하여, n ≤ N {\displaystyle n\leq N} 에 대하여 x n {\displaystyle x^{n}} 이 잘 정의된다고 하자. 이제, m + n ≤ N ⟹ [ x m , y , x n ] = 0 {\displaystyle m+n\leq N\implies [x^{m},y,x^{n}]=0} 임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해 [ x m , y , x n ] = [ x m − 1 x , y , x n ] = [ x m − 1 , y , x n + 1 ] + [ x , y , x m + n − 1 ] ( m + n ≤ N ) {\displaystyle [x^{m},y,x^{n}]=[x^{m-1}x,y,x^{n}]=[x^{m-1},y,x^{n+1}]+[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)} 이므로, 이를 통해 − [ x n , y , x m ] = [ x m , y , x n ] = m [ x , y , x m + n − 1 ] ( m + n ≤ N ) {\displaystyle -[x^{n},y,x^{m}]=[x^{m},y,x^{n}]=m[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)} 이다. 그런데 n = 1 {\displaystyle n=1} 로 놓으면 − [ x , y , x m ] = m [ x , y , x m ] {\displaystyle -[x,y,x^{m}]=m[x,y,x^{m}]} 이 되어, 즉 [ x n , y , x m ] ∝ [ x , y , x m ] = 0 {\displaystyle [x^{n},y,x^{m}]\propto [x,y,x^{m}]=0} 이 된다. 3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 p ( x , y , z ) {\displaystyle p(x,y,z)} 이 주어졌다고 하자. 만약 p {\displaystyle p} 가 x {\displaystyle x} 에 대하여 1차 이하이며, p ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle p(x,y,z)=0} 가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면, p ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle p(x,y,z)=0} 는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리(영어: Macdonald principle)라고 한다.:199, Theorem Ⅱ.5.1.1 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다. 형식적 실수 요르단 대수(영어: formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 A {\displaystyle A} 다. 임의의 x 1 , … , x n ∈ A ∖ { 0 } {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in A\setminus \{0\}} 에 대하여, x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ≠ 0 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\neq 0} 이다. 실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(영어: simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다. 단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다. n × n {\displaystyle n\times n} 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M ∙ N = ( M N + N M ) / 2 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} 이다. n × n {\displaystyle n\times n} 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M ∙ N = ( M N + N M ) / 2 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} 이다. n × n {\displaystyle n\times n} 사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M ∙ N = ( M N + N M ) / 2 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} 이다. R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 으로 생성되고 조건 x 2 = ‖ x ‖ 2 {\displaystyle x^{2}=\lVert x\rVert ^{2}} 을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(영어: spin factor) 또는 클리퍼드형 대수(영어: Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다. 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M ∙ N = ( M N + N M ) / 2 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} 이다. 이를 예외 요르단 대수(영어: exceptional Jordan algebra) 또는 앨버트 대수(영어: Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다. 여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다. H ⁡ ( 1 ; K ) = JSpin ⁡ ( 0 ) = R ( K ∈ { R , C , H , O } ) {\displaystyle \operatorname {H} (1;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (0)=\mathbb {R} \qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})} :50, §12 H ⁡ ( 2 ; K ) = JSpin ⁡ ( 1 + dim R ⁡ K ) ( K ∈ { R , C , H , O } ) {\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (1+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} )\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})} :50, §13 구체적으로, a − 1 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle a_{-1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} a 0 = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle a_{0}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} a i = ( 0 e i − e i 0 ) ( i ∈ { 1 , … , dim R ⁡ K − 1 } ) {\displaystyle a_{i}={\begin{pmatrix}0&e_{i}\\-e_{i}&0\end{pmatrix}}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\})} 로 잡으면, a i ∙ a j = δ i j 1 2 × 2 ∀ i , j ∈ { − 1 , 0 , 1 , … , dim R ⁡ K − 1 } {\displaystyle a_{i}\bullet a_{j}=\delta _{ij}1_{2\times 2}\qquad \forall i,j\in \{-1,0,1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\}} 임을 알 수 있다 ( δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 는 크로네커 델타). 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 에 대하여, 0차원 또는 1차원 K {\displaystyle K} -자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 임의의 결합 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌을 때, x ∙ y = 1 2 ( x y + y x ) {\displaystyle x\bullet y={\frac {1}{2}}(xy+yx)} 를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다. 증명: 요르단 항등식을 증명하면 족하다. ( x ∙ y ) ∙ x 2 = ( x y + y x ) x 2 + x 2 ( x y + y x ) = y x 3 + x y x 2 + x 2 y x + x 3 y {\displaystyle (x\bullet y)\bullet x^{2}=(xy+yx)x^{2}+x^{2}(xy+yx)=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y} x ∙ ( y ∙ x 2 ) = x ( y x 2 + x 2 y ) + ( y x 2 + x 2 y ) x = y x 3 + x y x 2 + x 2 y x + x 3 y {\displaystyle x\bullet (y\bullet x^{2})=x(yx^{2}+x^{2}y)+(yx^{2}+x^{2}y)x=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y} 이는 K {\displaystyle K} -결합 대수의 범주에서 K {\displaystyle K} -요르단 대수의 범주로 가는 함자 ( − ) + : Assoc K → Jord K {\displaystyle (-)^{+}\colon \operatorname {Assoc} _{K}\to \operatorname {Jord} _{K}} 를 정의한다. 주어진 체 K {\displaystyle K} 위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수(영어: free Jordan algebra)의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자 Jord K → Vect K {\displaystyle \operatorname {Jord} _{K}\to \operatorname {Vect} _{K}} 의 왼쪽 수반 함자가 존재한다. 0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간이다. 하나의 원소 x {\displaystyle x} 로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 이다. 요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다. 파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. X , Y {\displaystyle X,Y} 가 에르미트 관측 가능량이라면 X ∙ Y = ( X Y + Y X ) / 2 {\displaystyle X\bullet Y=(XY+YX)/2} 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다. 이후 케빈 맥크리먼(영어: Kevin McCrimmon)이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다. 요르단 삼항 대수 McCrimmon, Kevin (2004). 《A taste of Jordan algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001.  Jacobson, Nathan (1968). 《Structure and representations of Jordan algebras》. American Mathematical Society Colloquium Publication 39 (영어). Providence, R.I.: American Mathematical Society. MR 0251099. Zbl 0218.17010.  Jacobson, Nathan (1969). 《Lectures on quadratic Jordan algebras》 (PDF) (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research.  Hanche-Olsen, H.; Størmer, E. (1984). 《Jordan Operator Algebras》 (영어). Monographs and Studies in Mathematics 21. Pitman. 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