콤팩트 작용소

함수해석학에서 콤팩트 작용소(compact作用素, 영어: compact operator)는 유계 집합의 상이 상대 콤팩트 집합인 바나흐 공간 사이의 선형 변환이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하자. 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 사이의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -유계 작용소 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환을 콤팩트 작용소라고 한다.:103, Definition 4.16:199, §VI.5 V {\displaystyle V} 속의 단위 닫힌 공 cl ⁡ ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))} 의 상 T cl ⁡ ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle T\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))} 가 W {\displaystyle W} 의 상대 콤팩트 집합이다. V {\displaystyle V} 속의 임의의 유계 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 의 상 T B ⊆ W {\displaystyle TB\subseteq W} 가 W {\displaystyle W} 의 상대 콤팩트 집합이다. V {\displaystyle V} 속의 임의의 유계 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 의 상 T B ⊆ W {\displaystyle TB\subseteq W} 가 W {\displaystyle W} 의 완전 유계 집합이다. 만약 V {\displaystyle V} 와 W {\displaystyle W} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간이라면, 그 사이의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 T : V → W {\displaystyle T\colon V\to W} 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이다. 콤팩트 작용소이다. 치역이 유한 차원 공간인 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환들의 집합을 FR ⁡ ( V , W ; K ) ⊆ B ⁡ ( V , W ; K ) {\displaystyle \operatorname {FR} (V,W;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {B} (V,W;\mathbb {K} )} 라고 할 때, FR ⁡ ( V , W ; K ) {\displaystyle \operatorname {FR} (V,W;\mathbb {K} )} 의 폐포에 속한다. (여기서 B ⁡ ( V , W ; K ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,W;\mathbb {K} )} 는 유계 작용소의 공간이며, 폐포는 작용소 노름으로 정의된 거리 위상에서 취한 것이다.) 다음과 같은 꼴의 표현을 갖는다. T = ∑ 0 ≤ i < N w i s i ⟨ v i , − ⟩ {\displaystyle T=\sum _{0\leq i<N}w_{i}s_{i}\langle v_{i},-\rangle } 여기서 N ∈ { 0 , 1 , 2 , … , ∞ } {\displaystyle N\in \{0,1,2,\dotsc ,\infty \}} 이다. ( s i ) 0 ≤ i < N {\displaystyle (s_{i})_{0\leq i<N}} 는 감소하는 양의 실수열이다. 즉, s 1 ≥ s 2 ≥ s 3 ≥ ⋯ {\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq s_{3}\geq \cdots } 이며, 임의의 0 ≤ i < N {\displaystyle 0\leq i<N} 에 대하여 s i > 0 {\displaystyle s_{i}>0} 이다. ( v i ) 0 ≤ i < N {\displaystyle (v_{i})_{0\leq i<N}} 는 V {\displaystyle V} 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 0 ≤ i ≤ j < N {\displaystyle 0\leq i\leq j<N} 에 대하여 ⟨ v i , v j ⟩ V = δ i j {\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle _{V}=\delta _{ij}} 이다 ( δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 는 크로네커 델타). ( w i ) 0 ≤ i < N {\displaystyle (w_{i})_{0\leq i<N}} 는 W {\displaystyle W} 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 0 ≤ i ≤ j < N {\displaystyle 0\leq i\leq j<N} 에 대하여 ⟨ w i , w j ⟩ W = δ i j {\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle _{W}=\delta _{ij}} 이다 ( δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 는 크로네커 델타). 이러한 표현을 T {\displaystyle T} 의 특잇값 분해라고 한다. 모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이다. 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 사이의 경우, 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 사이의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소 또한, 임의의 0 < p < ∞ {\displaystyle 0<p<\infty } 에 대하여, 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 사이의 p {\displaystyle p} 차 핵작용소는 콤팩트 작용소이다. (1차 핵작용소는 대각합류 작용소이며, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소이다.) 복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소의 경우, 다음과 같은 매우 깔끔한 스펙트럼 이론이 존재한다. 임의의 복소수 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 위의 복소수 콤팩트 작용소 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 σ ( T ) ⊆ C {\displaystyle \sigma (T)\subseteq \mathbb {C} } 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다. (프레드홀름 양도 논법 Fredholm 兩刀論法, 영어: Fredholm alternative) 스펙트럼의 모든 0이 아닌 원소는 고윳값이다. 즉, 임의의 λ ∈ σ ( T ) ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in \sigma (T)\setminus \{0\}} 는 T {\displaystyle T} 의 고윳값이다.:Corollary VII.7.10 만약 V {\displaystyle V} 가 무한 차원 바나흐 공간이라면, 항상 0 ∈ σ ( T ) {\displaystyle 0\in \sigma (T)} 이다. 스펙트럼의 임의의 0이 아닌 원소 λ ∈ σ ( T ) ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in \sigma (T)\setminus \{0\}} 및 충분히 큰 양의 정수 m ∈ Z + {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, ker ⁡ ( λ − T ) m = ker ⁡ ( λ − T ) m + 1 {\displaystyle \ker(\lambda -T)^{m}=\ker(\lambda -T)^{m+1}} 이며, 또한 이 부분 벡터 공간은 유한 차원이다. T {\displaystyle T} 의 고윳값들의 집합의 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -집적점은 (만약 존재한다면) 0 ∈ C {\displaystyle 0\in \mathbb {C} } 밖에 없다. σ ( T ) ⊆ C {\displaystyle \sigma (T)\subseteq \mathbb {C} } 는 가산 집합이다. 위 성질 가운데 "프레드홀름 양도 논법"이라는 이름은 이를 다음과 같이 적을 수 있기 때문이다. 임의의 0이 아닌 복소수 λ ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 에 대하여, 다음 둘 ("양도") 가운데 정확히 하나가 성립한다. 스펙트럼에 속하지 않는다. 고윳값이다. 프레드홀름 양도 논법은 에리크 이바르 프레드홀름이 원래 적분 변환 연산자에 대하여 1903년에 도입하였다. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Reed, Michael Charles; Simon, Barry Martin (1980). 《Functional analysis》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  Conway, John B. (1990). 《A course in functional analysis》. Graduate Texts in Mathematics 96 2판. Springer. ISBN 978-0-387-97245-9. ISSN 0072-5285.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Fredholm, E. I. (1903). “Sur une classe d’equations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 27: 365–390. doi:10.1007/bf02421317.  “Compact operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Compact operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fredholm alternative”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Compact operator”. 《nLab》 (영어).  “Compact self-adjoint operator”. 《nLab》 (영어).