스테인하우스-모서 표기법

수학에서 스테인하우스-모서 표기법(영어: Steinhaus–Moser notation)은 특정한 매우 큰 수를 표현하는 표기법으로, 스테인하우스의 다각형 표기법의 확장판이다. 삼각형 안에 n을 쓴 수는 nn을 의미한다. 사각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다. 오각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 사각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다. etc.: (m + 1)각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 m각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다. 다각형이 여러 개 중첩되어 있을 때, associated inward이다. 삼각형 두 개 안에 n을 쓴 것은 삼각형 안에 nn을 쓴 것과 같고, nn의 nn제곱과 같다. 스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고 위에서 정의한 오각형과 동일한 원 만을 정의했다. 스테인하우스는 다음을 정의했다: mega는 원 안에 2를 쓴 수이다: ② megiston은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩ 모서 수(영어: Moser's number)는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, megagon은 "mega"각형을 의미하며, 백만각형(영어: megagon)과 혼동해서는 안된다. 다른 표기법: 함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다 M(n, m, p)를 중첩된 p각형 m개 안에 n을 쓴 수를 의미한다. 즉, 규칙은 다음과 같다: M ( n , 1 , 3 ) = n n {\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}} M ( n , 1 , p + 1 ) = M ( n , n , p ) {\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)} M ( n , m + 1 , p ) = M ( M ( n , 1 , p ) , m , p ) {\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)} 그리고 mega =  M ( 2 , 1 , 5 ) {\displaystyle M(2,1,5)} megiston =  M ( 10 , 1 , 5 ) {\displaystyle M(10,1,5)} moser =  M ( 2 , 1 , M ( 2 , 1 , 5 ) ) {\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))} mega (②)는 다음을 보면 알 수 있듯이 그 자체로도 매우 큰 수이다: ② = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(22)) = square(triangle(4)) = square(44) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 triangles] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256256)...))) [255 triangles] ~ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10616)...))) [254 triangles] = ... 다른 표기법을 사용하면: mega = M(2,1,5) = M(256,256,3) 함수 f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)=x^{x}} 를 사용하면 mega = f 256 ( 256 ) = f 258 ( 2 ) {\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)} 이고, 이 때 지수는 대수적인 거듭제곱이 아닌 함수의 거듭제곱을 의미한다. 우리는 다음을 알고 있다(거듭제곱이 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하는 관습을 주목하라): M(256,2,3) = ( 256 256 ) 256 256 = 256 256 257 {\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}} M(256,3,3) = ( 256 256 257 ) 256 256 257 = 256 256 257 × 256 256 257 = 256 256 257 + 256 257 {\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}} ≈ 256 256 256 257 {\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}} 유사하게: M(256,4,3) ≈ 256 256 256 256 257 {\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}} M(256,5,3) ≈ 256 256 256 256 256 257 {\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}} etc. 따라서: mega = M ( 256 , 256 , 3 ) ≈ ( 256 ↑ ) 256 257 {\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257} 이고, 이 때 ( 256 ↑ ) 256 {\displaystyle (256\uparrow )^{256}} 는 함수 f ( n ) = 256 n {\displaystyle f(n)=256^{n}} 의 함수 거듭제곱을 의미한다. 더 근사하면 (끝의 257을 256으로 바꾸면), 커누스 윗화살표 표기법으로 mega ≈ 256 ↑↑ 257 {\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257} 을 얻을 수 있다. 처음 몇 단계 이후 n n {\displaystyle n^{n}} 의 값은 근사적으로 256 n {\displaystyle 256^{n}} 과 같아진다. 사실은 10 n {\displaystyle 10^{n}} 과도 같아진다 (매우 큰 수에 대한 근사적 산술을 보라). 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다: M ( 256 , 1 , 3 ) ≈ 3.23 × 10 616 {\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}} M ( 256 , 2 , 3 ) ≈ 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}} ( log 10 ⁡ 616 {\displaystyle \log _{10}616} 을 616에 더한 값이다) M ( 256 , 3 , 3 ) ≈ 10 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}} ( 619 {\displaystyle 619} 가 1.99 × 10 619 {\displaystyle 1.99\times 10^{619}} 에 더해졌지만 무시할 수 있기 때문에 단순히 아래에 10이 더 생겼다) M ( 256 , 4 , 3 ) ≈ 10 10 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}} ... mega = M ( 256 , 256 , 3 ) ≈ ( 10 ↑ ) 255 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}} , 이 때 ( 10 ↑ ) 255 {\displaystyle (10\uparrow )^{255}} 는 함수 f ( n ) = 10 n {\displaystyle f(n)=10^{n}} 의 함수적 거듭제곱을 의미한다. 따라서 10 ↑↑ 257 < mega < 10 ↑↑ 258 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258} 이다. 모서 수는 그 크기가 콘웨이 연쇄 화살표 표기법으로 증명되었다. m o s e r < 3 → 3 → 4 → 2 {\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2} 그리고 커누스 윗화살표 표기법으로도 증명되었다. m o s e r < f 3 ( 4 ) = f ( f ( f ( 4 ) ) ) ,  where  f ( n ) = 3 ↑ n 3 {\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3} 따라서 모서 수는 이해하기 어려울 정도로 크지만 그레이엄 수에 비해서는 없는 것이나 마찬가지로 작다: m o s e r ≪ 3 → 3 → 64 → 2 < f 64 ( 4 ) = Graham's number . {\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.} 아커만 함수 Robert Munafo's Large Numbers Factoid on Big Numbers Megistron at mathworld.wolfram.com (Note that Steinhaus referred to this number as "megiston" with no "r".) Circle notation at mathworld.wolfram.com