정칙 이차 미분

리만 곡면 이론에서, 정칙 이차 미분(正則二次微分, 영어: holomorphic quadratic differential)은 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 정칙 이차 미분은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.:§4 H 0 ⁡ ( Σ , K Σ ⊗ 2 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,K_{\Sigma }^{\otimes 2})} 여기서 K Σ {\displaystyle K_{\Sigma }} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 표준 선다발이다. 즉, Σ {\displaystyle \Sigma } 의 국소 좌표를 z {\displaystyle z} 라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로 f ( z ) d z 2 {\displaystyle f(z)\,\mathrm {d} z^{2}} 의 꼴이다. 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 정칙 이차 미분 q ( z ) = f ( z ) d z 2 {\displaystyle q(z)=f(z)\;\mathrm {d} z^{2}} 가 주어졌다고 하고, 임의의 점 z 0 ∈ Σ {\displaystyle z_{0}\in \Sigma } 에 대하여 q | z 0 ≠ 0 {\displaystyle q|_{z_{0}}\neq 0} 이라고 하자. 그렇다면, z 0 {\displaystyle z_{0}} 의 어떤 (충분히 작은) 근방 U ∋ z 0 {\displaystyle U\ni z_{0}} 에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다. w : U → C {\displaystyle w\colon U\to \mathbb {C} } w : z 1 ↦ ∫ z 0 z 1 q = ∫ z 0 z 1 f ( z ) d z {\displaystyle w\colon z_{1}\mapsto \int _{z_{0}}^{z_{1}}{\sqrt {q}}=\int _{z_{0}}^{z_{1}}{\sqrt {f(z)}}\,\mathrm {d} z} 이를 q {\displaystyle q} 로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, 영어: canonical coordinate)라고 한다. 또한, { z ∈ Σ : q | z ≠ 0 } {\displaystyle \{z\in \Sigma \colon q|_{z}\neq 0\}} 에서, 리만 계량 | f ( z ) | d z d z ¯ = | f ( z ) | ( d x 2 + d y 2 ) {\displaystyle |f(z)|\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} {\bar {z}}=|f(z)|\,\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\right)} 를 정의할 수 있다 ( z = x + i y {\displaystyle z=x+\mathrm {i} y} ). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } Σ {\displaystyle \Sigma } 의 한 점 z 0 ∈ Σ {\displaystyle z_{0}\in \Sigma } Σ ∖ { z 0 } {\displaystyle \Sigma \setminus \{z_{0}\}} 위의 정칙 이차 미분 q {\displaystyle q} . 또한, q {\displaystyle q} 가 z 0 {\displaystyle z_{0}} 근처에서 k {\displaystyle k} 차 극을 갖는다고 하자. 즉, q {\displaystyle q} 는 z 0 {\displaystyle z_{0}} 근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다. q ( z ) ∼ O ( 1 ) ( z − z 0 ) k d z 2 {\displaystyle q(z)\sim {\frac {O(1)}{(z-z_{0})^{k}}}\mathrm {d} z^{2}} 그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선 γ : ( a , b ) → Σ {\displaystyle \gamma \colon (a,b)\to \Sigma } 에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자. ㉠ ∀ t ∈ ( a , b ) : q | γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) ∈ R + ⊊ C {\displaystyle \forall t\in (a,b)\colon q|_{\gamma (t)}\left({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{+}\subsetneq \mathbb {C} } ㉡ ∀ t ∈ ( a , b ) : q | γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) ∈ R − ⊊ C {\displaystyle \forall t\in (a,b)\colon q|_{\gamma (t)}\left({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{-}\subsetneq \mathbb {C} } 이 두 조건은 매개 변수의 재정의 γ ↦ γ ∘ f {\displaystyle \gamma \mapsto \gamma \circ f} 에 대하여 (만약 ∀ t : f ′ ( t ) ≠ 0 {\displaystyle \forall t\colon f'(t)\neq 0} 라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 q {\displaystyle q} 의 수평엽(水平葉, 영어: horizontal leaf)이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 q {\displaystyle q} 의 수직엽(垂直葉, 영어: vertical leaf)이라고 한다. 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다. 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 정칙 이차 미분 q {\displaystyle q} 의 수직엽들의 족은 리만 곡면 { z ∈ Σ : q | z ≠ 0 } {\displaystyle \{z\in \Sigma \colon q|_{z}\neq 0\}} 의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, q {\displaystyle q} 의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 종수 g {\displaystyle g} 의 연결 콤팩트 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } ( g ≥ 0 {\displaystyle g\geq 0} ). Σ {\displaystyle \Sigma } 속의 유한 집합 { z 1 , … , z n } ⊆ Σ {\displaystyle \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}\subseteq \Sigma } . 또한, min { 0 , 2 − 2 g } < n {\displaystyle \min\{0,2-2g\}<n} 이다. (즉, g = 0 {\displaystyle g=0} 일 때는 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 이며, g ≥ 1 {\displaystyle g\geq 1} 일 때는 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 이다.) 각 z i {\displaystyle z_{i}} 에 대하여, 양의 실수 t i ∈ R + {\displaystyle t_{i}\in \mathbb {R} ^{+}} . 그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분 q ∈ Γ ( Σ ∖ { z 1 , … , z n } , Sym 2 ⁡ K Σ ) {\displaystyle q\in \Gamma (\Sigma \setminus \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\},\operatorname {Sym} ^{2}K_{\Sigma })} 이 존재하며, 이를 q {\displaystyle q} 의 슈트레벨 미분(Strebel微分, 영어: Strebel differential)이라고 한다.:Theorem 4.2 q {\displaystyle q} 는 각 z i {\displaystyle z_{i}} 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다. q ( z ) = O ( 1 ) ( z − z i ) 2 ( d z ) 2 {\displaystyle q(z)={\frac {O(1)}{(z-z_{i})^{2}}}(\mathrm {d} z)^{2}} q {\displaystyle q} 의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다. q {\displaystyle q} 의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 γ ⊆ M {\displaystyle \gamma \subseteq M} 은 항상 어떤 z i ∈ { z 1 , … , z n } {\displaystyle z_{i}\in \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}} 을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.) t i = ∮ γ q {\displaystyle t_{i}=\oint _{\gamma }{\sqrt {q}}} 비콤팩트 리만 곡면인 복소평면 C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 상수 정칙 이차 적분 q = d z 2 {\displaystyle q=\mathrm {d} z^{2}} 을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다. 이 경우, 수평엽의 조건은 γ ˙ 2 ∈ R + ⊊ C {\displaystyle {\dot {\gamma }}^{2}\in \mathbb {R} ^{+}\subsetneq \mathbb {C} } 인 것이다. 즉, γ ˙ ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle {\dot {\gamma }}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} 이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다. R + i t ( t ∈ R ) {\displaystyle \mathbb {R} +\mathrm {i} t\qquad (t\in \mathbb {R} )} 마찬가지로, 수직엽의 조건은 γ ˙ 2 ∈ R − ⊊ C {\displaystyle {\dot {\gamma }}^{2}\in \mathbb {R} ^{-}\subsetneq \mathbb {C} } 인 것이다. 즉, γ ˙ ∈ i R ∖ { 0 } {\displaystyle {\dot {\gamma }}\in \mathrm {i} \mathbb {R} \setminus \{0\}} 이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다. i R + t ( t ∈ R ) {\displaystyle \mathrm {i} \mathbb {R} +t\qquad (t\in \mathbb {R} )} 이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 및 임의의 z ∈ Σ {\displaystyle z\in \Sigma } 및 임의의 정칙 이차 적분 q {\displaystyle q} 에 대하여, 만약 q | z ≠ 0 {\displaystyle q|_{z}\neq 0} 이라면, z {\displaystyle z} 의 충분히 작은 근방 U ∋ z {\displaystyle U\ni z} 에서 q ↾ U {\displaystyle q\upharpoonright U} 는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.:Proposition 4.1 복소평면 위의 정칙 이차 미분 q = d z 2 z 2 {\displaystyle q={\frac {\mathrm {d} z^{2}}{z^{2}}}} 를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은 γ ˙ ( z ) ∈ z R {\displaystyle {\dot {\gamma }}(z)\in z\mathbb {R} } 이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선 t ↦ t exp ⁡ ( i θ ) ( θ ∈ R ) {\displaystyle t\mapsto t\exp(\mathrm {i} \theta )\qquad (\theta \in \mathbb {R} )} 이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은 γ ˙ ( z ) ∈ i z R {\displaystyle {\dot {\gamma }}(z)\in \mathrm {i} z\mathbb {R} } 이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원 t ↦ r exp ⁡ ( i t ) ( r ∈ R + ) {\displaystyle t\mapsto r\exp(\mathrm {i} t)\qquad (r\in \mathbb {R} ^{+})} 의 꼴이다. 슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨(독일어: Kurt Strebel, 1921~2013)이 도입하였다. Strebel, Kurt (1984). 《Quadratic differentials》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 5. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02414-0. ISSN 0071-1136.  Mulase, Motohico; Penkava, Michael (1998). “Ribbon graphs, quadratic differentials on Riemann surfaces, and algebraic curves defined over ℚ̄”. 《The Asian Journal of Mathematics》 (영어) 2 (4): 875–920. arXiv:math-ph/9811024. Bibcode:1998math.ph..11024M.  Tynan, P. (2009). “Explicit examples of Strebel differentials” (영어). arXiv:0910.4752.