위그너-에카르트 정리

양자역학에서 위그너-에카르트 정리(Wigner–Eckart theorem)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 구면 텐서 연산자의 각운동량 고유상태에 대한 기댓값은 각운동량의 전체 크기에만 의존하고, 특정 방향에 의존하지 않는다는 것이다. 유진 위그너와 칼 에카트(영어: Carl Eckart)가 증명하였다. 3차원 회전군 SO(3)는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2)와 같다. SU(2)의 기약 표현(irreducible representation)은 0, 1 2 {\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {1}{2}} } , 1, 3 2 {\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {3}{2}} } ,등이 있다. (전체 각운동량을 굵은 글씨로 나타낸다.) 기약 표현 k {\displaystyle \mathbf {k} } 는 2 k + 1 {\displaystyle 2k+1} 개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 {\displaystyle \mathbf {1} \otimes \dotsb \otimes \mathbf {1} } 은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 k {\displaystyle k} 가 정수인 표현 k {\displaystyle \mathbf {k} } 만을 포함하고, k {\displaystyle k} 가 반정수인 스피너 표현 ( 1 2 {\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {1}{2}} } , 3 2 {\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {3}{2}} } 등)을 포함하지 않는다. SU(2) 표현 j {\displaystyle \mathbf {j} } 를 따라 변환하는 값을 j {\displaystyle j} 차 구면 텐서(spherical tensor)라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 j {\displaystyle j} 차 구면 텐서 연산자(spherical tensor operator)라고 한다. k {\displaystyle k} 차 구면 연산자 T q ( k ) {\displaystyle T_{q}^{(k)}} ( q = − k , − k + 1 , … , k {\displaystyle q=-k,-k+1,\dotsc ,k} )를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, 각운동량 고유 기저 | j , m ⟩ {\displaystyle |j,m\rangle } (즉, L 2 | j , m ⟩ = j ( j + 1 ) | j , m ⟩ {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}|j,m\rangle =j(j+1)|j,m\rangle } , L 3 | j , m ⟩ = m | j , m ⟩ {\displaystyle L_{3}|j,m\rangle =m|j,m\rangle } 을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다. ⟨ j , m | T q ( k ) | j ′ , m ′ ⟩ = T ( k , j , j ′ ) ( ⟨ j ′ , m ′ | ⊗ ⟨ k , q | ) | j , m ⟩ {\displaystyle \langle j,m|T_{q}^{(k)}|j',m'\rangle =T(k,j,j')(\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle } . 여기서 T ( k , j , j ′ ) {\displaystyle T(k,j,j')} 는 k {\displaystyle k} 와 j {\displaystyle j} , j ′ {\displaystyle j'} 에만 의존하는 값이고, ( ⟨ j ′ , m ′ | ⊗ ⟨ k , q | ) | j , m ⟩ {\displaystyle (\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle } 은 클렙슈-고르단 계수다. 이 식을 위그너-에카르트 정리라고 한다. 흔히 다루는 텐서 연산자는 k = 0 {\displaystyle k=0} 인 스칼라 연산자나 k = 1 {\displaystyle k=1} 인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히 ⟨ j , m | T | j ′ , m ′ ⟩ = T ( j , j ′ ) δ j j ′ δ m m ′ {\displaystyle \langle j,m|T|j',m'\rangle =T(j,j')\delta _{jj'}\delta _{mm'}} 이다. (여기서 δ {\displaystyle \delta } 는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다. ⟨ j , m | T q | j ′ , m ′ ⟩ = T ( j , j ′ ) ( ⟨ j ′ , m ′ ⊗ ⟨ 1 , q | ) | j , m ⟩ {\displaystyle \langle j,m|T_{q}|j',m'\rangle =T(j,j')(\langle j',m'\otimes \langle 1,q|)|j,m\rangle } 이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다. ⟨ j 1 , m ; 1 , 0 | j 1 + 1 , m ⟩ = ( j 1 − m + 1 ) ( j 1 + m + 1 ) ( 2 j 1 + 1 ) ( j 1 + 1 ) , ⟨ j 1 , m ; 1 , 0 | j 1 , m ⟩ = m j 1 ( j 1 + 1 ) , ⟨ j 1 , m ; 1 , 0 | j 1 − 1 , m ⟩ = − ( j 1 − m ) ( j 1 + m ) j 1 ( 2 j 1 + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1},m;1,0|j_{1}+1,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1},m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1}-1,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}.\end{aligned}}} (나머지 계수는 모두 0이다.) 구면 1-텐서로서의 성분 T q {\displaystyle T_{q}} 는 벡터로서의 성분 T i {\displaystyle T_{i}} ( i = x , y , z {\displaystyle i=x,y,z} )으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다. T ± = 1 2 ( ∓ T x + i T y ) {\displaystyle T_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mp T_{x}+iT_{y})} T 0 = T z {\displaystyle T_{0}=T_{z}} . 랑데 지 인자 Wigner, Eugene P. (1931). 《Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten-mechanik der Atomspektren》. Braunschweig: F. Vieweg und Sohn.  Eckart, Carl (1930). “The Application of Group theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems”. 《Reviews of Modern Physics》 2 (3): 305–380. doi:10.1103/RevModPhys.2.305.  Meunier, J.-L. (1987). “A simple demonstration of the Wigner-Eckart theorem”. 《European Journal of Physics》 8 (2): 114. doi:10.1088/0143-0807/8/2/007.  Rose, M. E. (1954). “Spherical Tensors in Physics”. 《Proceedings of the Physical Society Section A》 67 (3): 239. doi:10.1088/0370-1298/67/3/307.  Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917.  Baragiola, Ben Quinn. “Notes: Tensor Operators” (PDF). 2013년 4월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 9월 13일에 확인함.