초자연 변환

범주론에서 초자연 변환(超自然變換, 영어: extranatural transformation)은 자연 변환의 개념의 일반화이다.:§Ⅸ.4 자연 변환과 달리, 초자연 변환은 정의역이 서로 다른 두 함자 사이에도 정의될 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , C {\displaystyle {\mathcal {C}}} , D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 두 함자 F : A × B op × B → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {B}}\to {\mathcal {D}}} G : A × C op × C → D {\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\times {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에 대하여 자연적이며, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 와 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여 초자연적인 초자연 변환 η : F → . . G {\displaystyle \eta \colon F{\xrightarrow {..}}G} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:219, §§Ⅸ.4:Definition 1.5 각 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} , B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} , C ∈ C {\displaystyle C\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 사상 η A , B , C : F ( A , B , B ) → G ( A , C , C ) {\displaystyle \eta _{A,B,C}\colon F(A,B,B)\to G(A,C,C)} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ( A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에서의 자연성) 각 ( B , C ) ∈ B × C {\displaystyle (B,C)\in {\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}} 에 대하여, η − , B , C : F ( − , B , B ) ⇒ F ( − , C , C ) {\displaystyle \eta _{-,B,C}\colon F(-,B,B)\Rightarrow F(-,C,C)} 는 자연 변환이다. 즉, 임의의 사상 f ∈ hom A ⁡ ( A , A ′ ) {\displaystyle f\in \hom _{\mathcal {A}}(A,A')} 에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다. F ( A , B , B ) → G ( A , C , C ) ↓ ↓ F ( A ′ , B , B ) → G ( A ′ , C , C ) {\displaystyle {\begin{matrix}F(A,B,B)&\to &G(A,C,C)\\\downarrow &&\downarrow \\F(A',B,B)&\to &G(A',C,C)\end{matrix}}} ( B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 에서의 초자연성) 각 ( A , C ) ∈ A × C {\displaystyle (A,C)\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {C}}} 및 g ∈ hom B ⁡ ( B , B ′ ) {\displaystyle g\in \hom _{\mathcal {B}}(B,B')} 에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다. F ( A , B ′ , B ) → F ( A , B , B ) ↓ ↓ F ( A , B ′ , B ′ ) → G ( A , C , C ) {\displaystyle {\begin{matrix}F(A,B',B)&\to &F(A,B,B)\\\downarrow &&\downarrow \\F(A,B',B')&\to &G(A,C,C)\end{matrix}}} ( C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서의 초자연성) 각 ( A , B ) ∈ A × B {\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}} 및 h ∈ hom C ⁡ ( C , C ′ ) {\displaystyle h\in \hom _{\mathcal {C}}(C,C')} 에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다. F ( A , B , B ) → G ( A , C , C ) ↓ ↓ G ( A , C ′ , C ′ ) → G ( A , C , C ′ ) {\displaystyle {\begin{matrix}F(A,B,B)&\to &G(A,C,C)\\\downarrow &&\downarrow \\G(A,C',C')&\to &G(A,C,C')\end{matrix}}} 임의의 초자연 변환은 임의로 합성될 수 없으나, 합성이 가능한 경우는 끈 그림(영어: string diagram)이라는 위상수학적 모형으로 계산될 수 있다. 구체적으로, A × B op × B → D {\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {B}}\to {\mathcal {D}}} 에서 A × C op × C → D {\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 로 가는 초자연 변환은 다음과 같은 꼴의 끈 그림(영어: string diagram)으로 나타낼 수 있다.:§1 A B B │ ╰─╯ │ ╭─╮ A C C 두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림의 합성으로 나타내어지는데, 이 경우 합성된 끈 그림이 순환을 갖지 않아야 한다. 예를 들어 A ╭─╮ │ A A A │ ╰─╯ │ ╭─╮ A C C 는 가능하며, 초자연 변환 A │ │ ╭─╮ A C C 을 정의한다. 반면, 예를 들어 A │ ╭─╮ A B B │ ╰─╯ A 와 같은 합성은 불가능하다. 닫힌 모노이드 범주 ( C , ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 지수 대상의 텐서곱 함자 ( hom ⊗ id ) : C op × C ⊗ C → C {\displaystyle (\hom \otimes \operatorname {id} )\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} ( hom , id ) : ( x , y , z ) ↦ x y ⊗ z {\displaystyle (\hom ,\operatorname {id} )\colon (x,y,z)\mapsto x^{y}\otimes z} 및 항등 함자 id C : C → C {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 가 존재한다. 이 사이에는 다음과 같은 초자연 변환이 존재한다. eval : ( hom ⊗ id ) → . . id {\displaystyle \operatorname {eval} \colon (\hom \otimes \operatorname {id} ){\xrightarrow {..}}\operatorname {id} } eval X , Y : X Y ⊗ Y → X {\displaystyle \operatorname {eval} _{X,Y}\colon X^{Y}\otimes Y\to X} 이는 X {\displaystyle X} 에 대하여 자연적이며, Y {\displaystyle Y} 에 대하여 초자연적인 초자연 변환이다.:220, §Ⅸ.4 예를 들어, 만약 ( C , ⊗ ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )} 가 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간의 범주 fgMod K {\displaystyle \operatorname {fgMod} _{K}} 이며, X = K {\displaystyle X=K} 일 때, 이는 벡터 공간과 그 쌍대 공간 사이의 내적 ⟨ − , − ⟩ : V ∗ ⊗ K V → K {\displaystyle \langle -,-\rangle \colon V^{*}\otimes _{K}V\to K} 에 해당한다. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Loregian, Fosco (2015). “This is the (co)end, my only (co)friend” (영어). arXiv:1501.02503. Bibcode:2015arXiv150102503L.  “Extranatural transformation”. 《nLab》 (영어).  “Dinatural transformation”. 《nLab》 (영어).  Upmeier, Markus (2012년 9월 7일). “Dinatural transformations” (PDF) (영어). 2017년 8월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 8월 18일에 확인함.  “Intuition for dinatural and extranatural transformations”. 《Math Overflow》 (영어).