베셀 함수

수학에서 베셀 함수(Bessel function)는 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수다. 물리학에서 맥스웰 방정식이나 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 쓰인다. 베셀 함수는 다음과 같은 상미분 방정식을 통해 기술되는 해 y ( x ) {\displaystyle y(x)} 에 해당하는 함수 무리를 일컫는 말이다. x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0} 여기서 α {\displaystyle \alpha } 는 임의의 복소수다. 이 상미분 방정식을 α {\displaystyle \alpha } 차수의 베셀 방정식(Bessel equation)이라고 한다. 베셀 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 베셀 방정식은 서로 선형 독립인 두 가지 해를 가진다. α {\displaystyle \alpha } 가 정수일 경우, 두 해 가운데 하나는 x → 0 {\displaystyle x\to 0} 에서 발산하고, 다른 하나는 발산하지 않는다. 발산하지 않는 경우를 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind) J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 라고 하고, 발산하는 경우를 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind) Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} 라고 한다. ( α {\displaystyle \alpha } 가 정수가 아닐 경우에도 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 와 Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} 는 베셀 방정식을 통해 기술되는 선형 독립된 두 종류 해를 이룬다.) 즉, 베셀 방정식을 통해 얻어지는 일반해는 다음과 같다. y ( x ) = c 1 J α ( x ) + c 2 Y α ( x ) {\displaystyle y(x)=c_{1}J_{\alpha }(x)+c_{2}Y_{\alpha }(x)} 여기서 c1, c2는 임의의 상수다. 베셀 방정식은 2차원 헬름홀츠 방정식 ( Δ + k 2 ) f = 0 {\displaystyle (\Delta +k^{2})f=0} 을 극좌표계에서 변수분리하면서 등장한다. 먼저 헬름홀츠 방정식은 선형이므로 f ( r , θ ) {\displaystyle f(r,\theta )} 를 극좌표 r , θ {\displaystyle r,\theta } 에 대해 f ( r , θ ) = R ( k r ) Θ ( θ ) {\displaystyle f(r,\theta )=R(kr)\Theta (\theta )} 와 같이 변수분리할 수 있는데, θ {\displaystyle \theta } 는 극좌표계 상에서 각도를 나타내므로 Θ {\displaystyle \Theta } 는 360° 회전변환에 불변하는 형태인 Θ ( θ ) = cos ⁡ n θ {\displaystyle \Theta (\theta )=\cos n\theta } 또는 sin ⁡ n θ {\displaystyle \sin n\theta } ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } ) 가 되고, 이를 헬름홀츠 방정식에 대입할 시 라플라스 연산자가 극좌표계에서 Δ = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}} 로 나타남에 따라 다음과 같은 베셀 방정식을 얻는다. ( k r ) 2 R ″ + ( k r ) R ′ + ( ( k r ) 2 − n 2 ) R = 0 {\displaystyle (kr)^{2}R''+(kr)R'+\left((kr)^{2}-n^{2}\right)R=0} α가 임의의 복소수일 때, 베셀 방정식을 통해 나타나는 가장 기본적인 해를 제1종 베셀 함수 Jα(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다. J α ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! ( m + α ) ! ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!(m+\alpha )!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }} 여기서 임의의 복소수에 대한 계승 z ! = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)} 를 의미한다. ( Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 는 감마 함수이다.) 이 때 만약 α가 정수가 아니라면, Jα(x)와 J-α(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서 y ( x ) = c 1 J α ( x ) + c 2 J − α ( x ) {\displaystyle y(x)=c_{1}J_{\alpha }(x)+c_{2}J_{-\alpha }(x)} (여기서 c1,c2는 상수)는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다. J − α ( x ) = ( − 1 ) α J α ( x ) {\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)} (α가 정수일때만 정의 된다) J − 1 / 2 ( x ) = 2 π x cos ⁡ x {\displaystyle J_{-1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\cos x} J 1 / 2 ( x ) = 2 π x sin ⁡ x {\displaystyle J_{1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\sin x} d d x ( x α J α ( x ) ) = x α J α − 1 {\displaystyle {d \over dx}\left(x^{\alpha }J_{\alpha }(x)\right)=x^{\alpha }J_{\alpha -1}} ∫ 0 x x ′ J 0 ( x ′ ) d x ′ = x J 1 ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{x}x'J_{0}(x')dx'=xJ_{1}(x)} ∑ k = − ∞ ∞ J k ( x ) = 1 {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(x)=1} n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분 표현을 사용해서 베셀 함수의 표현이 가능하다. J n ( x ) = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ ( n τ − x sin ⁡ τ ) d τ . {\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )d\tau .} 이 형태는 프리드리히 베셀이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다. 또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다. J n ( x ) = 1 2 π ∫ − π π e − i ( n τ − x sin ⁡ τ ) d τ {\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(n\tau -x\sin \tau )}d\tau } 경로적분법을 사용하여 베셀 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다. J n ( z ) = 1 2 π i ∮ e ( z / 2 ) ( t − 1 / t ) t − n − 1 d t {\displaystyle J_{n}(z)={1 \over 2\pi i}\oint e^{(z/2)(t-1/t)}t^{-n-1}dt} 여기서 적분 경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다. 만약 베셀 방정식의 계수 α {\displaystyle \alpha } 가 정수이면 J − α ( x ) = ( − 1 ) α J α ( x ) {\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)} 이므로 두 함수는 독립이 아니게 된다. 이 경우 나머지 한 해를 제2종 베셀 함수 Yα(x)라고 하고, 다음과 같다. Y α ( x ) = lim m → α J m ( x ) cos ⁡ m π − J − m ( x ) sin ⁡ m π {\displaystyle Y_{\alpha }(x)=\lim _{m\rightarrow \alpha }{\frac {J_{m}(x)\cos m\pi -J_{-m}(x)}{\sin m\pi }}} . α {\displaystyle \alpha } 가 정수가 아닐 경우에는 위 공식은 극한 없이 바로 사용할 수 있지만, α {\displaystyle \alpha } 가 정수일 경우에는 극한을 취하여야만 한다. 다음과 같은 2차 상미분 방정식을 변형 베셀 방정식(modified Bessel equation)이라고 한다. x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( x 2 + α 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0} 변형 베셀 방정식의 해는 제1종 변형 베셀 함수 I α ( x ) {\displaystyle I_{\alpha }(x)} 와 제2종 변형 베셀 함수 K α ( x ) {\displaystyle K_{\alpha }(x)} 이다. 즉, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다. y ( x ) = c 1 I α ( x ) + c 2 K α ( x ) {\displaystyle y(x)=c_{1}I_{\alpha }(x)+c_{2}K_{\alpha }(x)} 방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수라고도 불린다. 변형 베셀 방정식의 기본적인 해를 제1종 변형 베셀 함수 Iα(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다. I α ( x ) = i − α J α ( i x ) {\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)\;} 제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다. I α ( z ) = ( 1 2 z ) α ∑ k = 0 ∞ ( 1 4 z 2 ) k k ! Γ ( α + k + 1 ) {\displaystyle I_{\alpha }(z)=\left({\frac {1}{2}}z\right)^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\left({1 \over 4}z^{2}\right)^{k} \over k!\Gamma (\alpha +k+1)}} 선적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다. I n ( z ) = 1 2 π i ∮ e ( z / 2 ) ( t + 1 / t ) t − n − 1 d t {\displaystyle I_{n}(z)={1 \over 2\pi i}\oint e^{(z/2)(t+1/t)}t^{-n-1}dt} 여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다. 조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다. I α ( z ) = 1 π ∫ 0 π e z cos ⁡ θ cos ⁡ ( α θ ) d θ − sin ⁡ ( α π ) π ∫ 0 ∞ e − z cosh ⁡ t − α t d t {\displaystyle I_{\alpha }(z)={1 \over \pi }\int _{0}^{\pi }e^{z\cos \theta }\cos(\alpha \theta )d\theta -{\sin(\alpha \pi ) \over \pi }\int _{0}^{\infty }e^{-z\cosh t-\alpha t}dt} 만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다. I n ( z ) = 1 π ∫ 0 π e z cos ⁡ θ cos ⁡ ( n θ ) d θ {\displaystyle I_{n}(z)={1 \over \pi }\int _{0}^{\pi }e^{z\cos \theta }\cos(n\theta )d\theta } n = 0 에서의 제1종 변형 베셀 함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다. I n ( x ) = T n d d x I 0 ( x ) {\displaystyle I_{n}(x)=T_{n}{d \over dx}I_{0}(x)} 여기서 Tn은 제1종 체비세프 다항식이다. 마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 제2종 변형 베셀 함수 Kα(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다. K α ( x ) = π 2 I − α ( x ) − I α ( x ) sin ⁡ α π {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\pi \over 2}{I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x) \over \sin \alpha \pi }} 변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일 때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면, K α ( x ) = lim m → α π 2 I − m ( x ) − I m ( x ) sin ⁡ α π {\displaystyle K_{\alpha }(x)=\lim _{m\rightarrow \alpha }{\pi \over 2}{I_{-m}(x)-I_{m}(x) \over \sin \alpha \pi }} 또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다. 배셋 함수 맥도날드 함수 베셀 함수는 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 야코비-앙거 전개(Jacobi–Anger expansion)라고 한다. exp ⁡ ( i r cos ⁡ θ ) = ∑ n i n J n ( r ) exp ⁡ ( i n θ ) = J 0 ( r ) + ∑ n 2 i n J n ( r ) cos ⁡ n θ {\displaystyle \exp(ir\cos \theta )=\sum _{n}i^{n}J_{n}(r)\exp(in\theta )=J_{0}(r)+\sum _{n}2i^{n}J_{n}(r)\cos n\theta } . 이는 카를 구스타프 야코프 야코비와 카를 테오도어 앙거(Carl Theodor Anger)의 이름을 딴 것이다. 마찬가지로, 구면 베셀 함수도 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 레일리 전개(Rayleigh expansion)라고 한다. exp ⁡ ( i r cos ⁡ θ ) = ∑ n i n ( 2 n + 1 ) j n ( r ) P n ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle \exp(ir\cos \theta )=\sum _{n}i^{n}(2n+1)j_{n}(r)P_{n}(\cos \theta )} . 여기서 P n {\displaystyle P_{n}} 은 르장드르 다항식이다. 다니엘 베르누이가 최초로 정의하였다. 프리드리히 베셀이 연구하고, 일반화하였다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 베셀 함수 헬름홀츠 방정식 구면 조화 함수 프로베니우스 방법 Bessel, Friedrich (1824). “Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen”. 《Berlin Abhandlungen》 14.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Cylinder functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Neumann function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hankel functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.