순서 위상

순서론에서 순서 위상(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를 x ∼ y ⟺ x ≲ y ≲ x {\displaystyle x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x} 로 표기하고, 이에 대한 동치류를 [ x ] ∼ = { y ∈ X : x ∼ y } {\displaystyle [x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}} 로 표기하자. X {\displaystyle X} 위의 열린 반직선(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자. ↑ ⁡ a ∖ [ a ] ∼ = ↑ ⁡ a ∖ ↓ ⁡ a = { b ∈ X : a ≲ b ≴ a } {\displaystyle \mathop {\uparrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not \lesssim a\}} ↓ ⁡ a ∖ [ a ] ∼ = ↓ ⁡ a ∖ ↑ ⁡ a = { b ∈ X : b ≲ a ≴ b } {\displaystyle \mathop {\downarrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\downarrow } a\setminus \mathop {\uparrow } a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not \lesssim b\}} 여기서 ↑ {\displaystyle \mathop {\uparrow } } 는 상폐포이며, ↓ {\displaystyle \mathop {\downarrow } } 는 하폐포이다. X {\displaystyle X} 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 순서 위상이라고 한다. { ↑ ⁡ a ∖ ↓ ⁡ a } a ∈ X ∪ { ↓ ⁡ b ∖ ↑ ⁡ b } b ∈ X {\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}} 즉, X {\displaystyle X} 의 기저는 다음과 같은 꼴이다. ( ↑ ⁡ a 1 ∖ ↓ ⁡ a 1 ) ∩ ⋯ ∩ ( ↑ ⁡ a m ∖ ↓ ⁡ a m ) ∩ ( ↓ ⁡ b 1 ∖ ↑ ⁡ b 1 ) ∩ ⋯ ∩ ( ↓ ⁡ b n ∖ ↑ ⁡ b n ) ( m , n ∈ N , a 1 , … , a m , b 1 , … , b n ∈ X ) {\displaystyle (\mathop {\uparrow } a_{1}\setminus \mathop {\downarrow } a_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\uparrow } a_{m}\setminus \mathop {\downarrow } a_{m})\cap (\mathop {\downarrow } b_{1}\setminus \mathop {\uparrow } b_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\downarrow } b_{n}\setminus \mathop {\uparrow } b_{n})\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}\in X)} (여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은 X {\displaystyle X} 전체이다.) 만약 X {\displaystyle X} 가 격자라면, X {\displaystyle X} 의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다. { ( ↑ ⁡ a ∖ ↓ ⁡ a ) ∩ ( ↓ ⁡ b ∖ ↑ ⁡ b ) } a , b ∈ X ∪ { ↑ ⁡ a ∖ ↓ ⁡ a } a ∈ X ∪ { ↓ ⁡ b ∖ ↑ ⁡ b } b ∈ X ∪ { X } {\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}\cup \{X\}} 다음과 같이 구간 표기법 ( a , ∞ ) = ↑ ⁡ a ∖ ↓ ⁡ a {\displaystyle (a,\infty )=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a} ( − ∞ , b ) = ↓ ⁡ b ∖ ↑ ⁡ b {\displaystyle (-\infty ,b)=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b} ( a , b ) = ( a , ∞ ) ∩ ( − ∞ , b ) {\displaystyle (a,b)=(a,\infty )\cap (-\infty ,b)} ( − ∞ , ∞ ) = X {\displaystyle (-\infty ,\infty )=X} ( ∞ , b ) = ( a , − ∞ ) = ( ∞ , − ∞ ) = ∅ {\displaystyle (\infty ,b)=(a,-\infty )=(\infty ,-\infty )=\varnothing } 을 적용하면, 이는 다음과 같다. { ( a , b ) } a , b ∈ X ⊔ { ± ∞ } {\displaystyle \{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup \{\pm \infty \}}} 만약 X {\displaystyle X} 가 유계 격자라면, X {\displaystyle X} 의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다. { ( a , b ) } a , b ∈ X {\displaystyle \{(a,b)\}_{a,b\in X}} ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 위의 하위상(영어: lower topology) 또는 좌위상(영어: left topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다. { X ∖ ↑ ⁡ b } a ∈ X {\displaystyle \{X\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{a\in X}} 만약 X {\displaystyle X} 가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선 X ∖ ↑ ⁡ b = ↓ ⁡ b ∖ ↑ ⁡ b = ( − ∞ , b ) {\displaystyle X\setminus \mathop {\uparrow } b=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b=(-\infty ,b)} 들이다. 마찬가지로, ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 위의 상위상(영어: upper topology) 또는 우위상(영어: right topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다. { X ∖ ↓ ⁡ a } a ∈ X {\displaystyle \{X\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}} 만약 X {\displaystyle X} 가 전순서 집합이라면, X ∖ ↓ ⁡ a = ↑ ⁡ a ∖ ↓ ⁡ a = ( a , ∞ ) {\displaystyle X\setminus \mathop {\downarrow } a=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=(a,\infty )} 이다. ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 위의 하극한 위상(영어: lower limit topology) 또는 하 조르겐프라이 위상(영어: lower Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저로 생성된다. { ↑ ⁡ a ∩ ( ↓ ⁡ b ∖ ↑ ⁡ b ) } a , b ∈ X ∪ { ↑ ⁡ a } a ∈ X {\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\}_{a\in X}} 이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다. { [ a , b ) } a ∈ X , b ∈ X ⊔ { ∞ } {\displaystyle \{[a,b)\}_{a\in X,b\in X\sqcup \{\infty \}}} 만약 X {\displaystyle X} 가 격자이거나, X {\displaystyle X} 의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는 X {\displaystyle X} 의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X {\displaystyle X} 가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시 X {\displaystyle X} 의 하극한 위상의 기저를 이룬다. { [ a , b ) } a , b ∈ X {\displaystyle \{[a,b)\}_{a,b\in X}} 마찬가지로, ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 위의 상극한 위상(영어: upper limit topology) 또는 상 조르겐프라이 위상(영어: upper Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저를 갖는다. { ( ↑ ⁡ a ∖ ↓ ⁡ a ) ∩ ↓ ⁡ b } a , b ∈ X ∪ { ↓ ⁡ b } b ∈ X {\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap \mathop {\downarrow } b\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\}_{b\in X}} 즉, { ( a , b ] } a ∈ X ⊔ { − ∞ } , b ∈ X {\displaystyle \{(a,b]\}_{a\in X\sqcup \{-\infty \},b\in X}} 만약 X {\displaystyle X} 가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X {\displaystyle X} 가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다. { ( a , b ] } a , b ∈ X {\displaystyle \{(a,b]\}_{a,b\in X}} 순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이며,:67, 39.6 완비 가산 파라콤팩트 공간이며, 완비 직교 콤팩트 공간이다.:17 유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다. 전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:68, 39.8 선형 연속체이다. 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다. 전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:67, 39.7 완비 격자이다. 순서 위상을 가했을 때, 콤팩트 공간이다. 전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:199, Theorem 1 순서 위상을 가했을 때, 파라콤팩트 공간이다. 순서 위상을 가했을 때, 메타콤팩트 공간이다. { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다. { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } {\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}} { { a } , { b } , { a , b } } {\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}} { { a } , { b } , ∅ } {\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\varnothing \right\}} { { a } , { b } } {\displaystyle \left\{\{a\},\{b\}\right\}} { { a , b } } {\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}} { ∅ } {\displaystyle \{\varnothing \}} ∅ {\displaystyle \varnothing } { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다. { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } {\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}} { { a } , { b } , { a , b } } {\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}} { { a , b } } {\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}} ∅ {\displaystyle \varnothing } { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다. { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } {\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}} { ∅ , { a } , { b } } {\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\}\right\}} { ∅ } {\displaystyle \left\{\varnothing \right\}} ∅ {\displaystyle \varnothing } 집합 X {\displaystyle X} 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다. 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } , 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 자연수 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 와 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 경우 이는 이산 위상이다.) 초실수체 ∗ R {\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} } 에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 ∗ R {\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} } 는 완전 분리 공간이 된다. 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 조르겐프라이 직선(영어: Sorgenfrey line)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다. 완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.) 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.) 이다. 완전 분리 공간이다. 두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 조르겐프라이 평면(영어: Sorgenfrey plane)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니다. 따라서 이는 파라콤팩트 공간이 아니며, 린델뢰프 공간이 아니다. 순서수 α {\displaystyle \alpha } 는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, α {\displaystyle \alpha } 의 극한점은 α {\displaystyle \alpha } 보다 작은 극한 순서수이다. 순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니며, 완전 정규 공간이 아니다. ω 1 + 1 {\displaystyle \omega _{1}+1} 은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이며, 완전 정규 공간이 아니다. ω 1 + 1 {\displaystyle \omega _{1}+1} 은 ω {\displaystyle \omega } 의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다. 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다. ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 위에 순서 위상을 주었을 때, Y {\displaystyle Y} 위의 부분 공간 위상 ( Y , ≤↾ Y ) {\displaystyle (Y,\leq \upharpoonright Y)} 위의 순서 위상 전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, 실수의 순서체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 부분 집합 ( 0 , 1 ) ∪ [ 2 , 3 ) {\displaystyle (0,1)\cup [2,3)} 에서, [ 2 , 3 ) {\displaystyle [2,3)} 는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다. 만약 Y {\displaystyle Y} 가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다. 긴 직선 선형 연속체 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978) [1970]. 《Counterexamples in Topology》 (영어) 2판. New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  Künzi, Hans-Peter A. (1987). “Kelley’s conjecture and preorthocompactness”. 《Topology and its Applications》 (영어) 26 (1): 13–23. doi:10.1016/0166-8641(87)90022-8. ISSN 0166-8641. MR 0893800. Zbl 0623.54012.  Gulden, S. L.; Fleischman, W. M. 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