국소화 (환론)

환론에서 국소화(局所化, 영어: localization)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(영어: Ore condition)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다. R {\displaystyle R} 가 가환환이고, S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, R {\displaystyle R} 의 S {\displaystyle S} 에 대한 국소화 ( S − 1 R , ϕ ) {\displaystyle (S^{-1}R,\phi )} 는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 및 환 준동형 ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} 으로 구성된다. 임의의 s ∈ S ⊆ R {\displaystyle s\in S\subseteq R} 에 대하여, ϕ ( s ) ∈ S − 1 R {\displaystyle \phi (s)\in S^{-1}R} 는 가역원이다. (1)을 만족시키는 임의의 가환환 R ′ {\displaystyle R'} 및 환 준동형 ϕ ′ : R → R ′ {\displaystyle \phi '\colon R\to R'} 에 대하여, ϕ ′ = χ ∘ ϕ {\displaystyle \phi '=\chi \circ \phi } 이 되는 환 준동형 χ : S − 1 R → R ′ {\displaystyle \chi \colon S^{-1}R\to R'} 가 유일하게 존재한다. R → ϕ S − 1 R ϕ ′ ↘ ↓ ∃ ! χ R ′ {\displaystyle {\begin{matrix}R&{\xrightarrow {\phi }}&S^{-1}R\\&{\scriptstyle \phi '}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&R'\end{matrix}}} 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다. 위 보편 성질은 S {\displaystyle S} 가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 S {\displaystyle S} 를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 S {\displaystyle S} 가 곱셈 모노이드가 아니고, S ~ {\displaystyle {\tilde {S}}} 가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 S − 1 R = S ~ − 1 R {\displaystyle S^{-1}R={\tilde {S}}^{-1}R} 가 된다. 위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. R × S {\displaystyle R\times S} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 r , r ′ ∈ R {\displaystyle r,r'\in R} , s , s ′ ∈ S {\displaystyle s,s'\in S} 이고 t ( r s ′ − r ′ s ) = 0 {\displaystyle t(rs'-r's)=0} 인 t ∈ S {\displaystyle t\in S} 가 있다면 ( r , s ) ∼ ( r ′ , s ′ ) {\displaystyle (r,s)\sim (r',s')} 으로 정의한다. 그렇다면 S − 1 R = ( R × S ) / ∼ {\displaystyle S^{-1}R=(R\times S)/{\sim }} 로 놓자. 이는 대략 ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} 를 r / s {\displaystyle r/s} 와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} 를 r / s {\displaystyle r/s} 로 쓰자. S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다. r s + r ′ s ′ = r s ′ + r ′ s s s ′ {\displaystyle {\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}} r s r ′ s ′ = r r ′ s s ′ {\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}} . 또한, R → S − 1 R {\displaystyle R\to S^{-1}R} 로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다. r ↦ r 1 {\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}} . 이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다. 가환환이 아닐 수 있는 임의의 환 R {\displaystyle R} 및 부분 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여, 국소화 ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} 를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 Ring {\displaystyle \operatorname {Ring} } 에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,:289, Proposition (4.9.2) 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다. (A) S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 의 모든 원소 x {\displaystyle x} 에 대하여, x s = r {\displaystyle xs=r} 가 되는 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 및 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 존재한다.:288, (4.9.1a) (A′) S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 의 모든 원소 x {\displaystyle x} 에 대하여, x s = r {\displaystyle xs=r} 가 되는 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 및 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 존재한다. (B) ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} 의 핵은 ker ⁡ ϕ = { r ∈ R : 0 ∈ r S } {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}} 이다.:288, (4.9.1b) (B′) ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} 의 핵은 ker ⁡ ϕ = { r ∈ R : 0 ∈ S r } {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}} 이다. (C) R ≠ 0 {\displaystyle R\neq 0} 이며 0 ∉ S {\displaystyle 0\not \in S} 라면 S − 1 R ≠ 0 {\displaystyle S^{-1}R\neq 0} 이다.:289, Example (4.9.3) 이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 S {\displaystyle S} -가역화 환(普遍 S {\displaystyle S} -可逆化環, 영어: universal S {\displaystyle S} -inverting ring)이라고 불리기도 한다. 비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 hom Ring ⁡ ( R , − ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Ring} }(R,-)} 속의, S {\displaystyle S} 를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자 G S : Ring → Set {\displaystyle G_{S}\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Set} } G S ( R ′ ) = { ϕ ∈ hom Ring ⁡ ( R , R ′ ) : ϕ ( S ) ⊆ Unit ⁡ ( R ′ ) } {\displaystyle G_{S}(R')=\left\{\phi \in \hom _{\operatorname {Ring} }(R,R')\colon \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')\right\}} 를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 F S ⊣ G S {\displaystyle F_{S}\dashv G_{S}} 를 가지며, 따라서 G S {\displaystyle G_{S}} 는 표현 가능 함자이다. 즉, G S ( − ) = hom Ring ⁡ ( F S ( { ∙ } ) , − ) {\displaystyle G_{S}(-)=\hom _{\operatorname {Ring} }(F_{S}(\{\bullet \}),-)} 로 생각할 수 있으며, F S ( { ∙ } ) {\displaystyle F_{S}(\{\bullet \})} 는 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 를 이룬다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.) 비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.:Proposition (4.9.2) 환 R {\displaystyle R} 의 표시 R ≅ ⟨ { r i } i ∈ I | { ϕ j } j ∈ J ⟩ {\displaystyle R\cong \langle \{r_{i}\}_{i\in I}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\rangle } 를 고르자. 즉, 생성원 r i {\displaystyle r_{i}} 와 관계 ϕ j {\displaystyle \phi _{j}} 로 나타내자. 그렇다면, 각 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여 생성원 s ∗ {\displaystyle s^{*}} 를 추가하고, 또 관계 s s ∗ = s ∗ s = 1 {\displaystyle ss^{*}=s^{*}s=1} 를 추가하자. 그렇다면 S − 1 R = ⟨ { r i } i ∈ I ⊔ { s − 1 } s ∈ S | { ϕ j } j ∈ J ∪ { s s ∗ − 1 } s ∈ S ∪ { s ∗ s − 1 } s ∈ S ⟩ {\displaystyle S^{-1}R=\left\langle \{r_{i}\}_{i\in I}\sqcup \{s^{-1}\}_{s\in S}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\cup \{ss^{*}-1\}_{s\in S}\cup \{s^{*}s-1\}_{s\in S}\right\rangle } 는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다. 이 구성에서, S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다. ∑ i = 1 n r i ( 1 ) ( s 1 ( 1 ) ) − 1 r i ( 2 ) ( s 1 ( 2 ) ) − 1 ⋯ r i ( k i ) ( s 1 ( k i ) ) − 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r_{i}^{(1)}(s_{1}^{(1)})^{-1}r_{i}^{(2)}(s_{1}^{(2)})^{-1}\cdots r_{i}^{(k_{i})}(s_{1}^{(k_{i})})^{-1}} 비가환환 R {\displaystyle R} 의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 R {\displaystyle R} 와 부분 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 가 오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다. 구체적으로, R {\displaystyle R} 와 부분 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다. S r ∩ R s ≠ ∅ ∀ r ∈ R , s ∈ S {\displaystyle Sr\cap Rs\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S} ( 0 ∈ r S ⟹ 0 ∈ S r ) ∀ r ∈ R {\displaystyle \left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad \forall r\in R} 마찬가지로, R {\displaystyle R} 와 부분 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다. r S ∩ s R ≠ ∅ ∀ r ∈ R , s ∈ S {\displaystyle rS\cap sR\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S} ( 0 ∈ S r ⟹ 0 ∈ r S ) ∀ r ∈ R {\displaystyle \left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad \forall r\in R} ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} 가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 R × S {\displaystyle R\times S} 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자. ( r , s ) ∼ ( r ′ , s ′ ) ⟺ ∃ r ~ ∈ R , s ~ ∈ S : s ~ s ′ − r ~ s = s ~ r ′ − r ~ r = 0 {\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff \exists {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S\colon {\tilde {s}}s'-{\tilde {r}}s={\tilde {s}}r'-{\tilde {r}}r=0} 그렇다면 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 는 집합으로서 몫집합 ( R × S ) / ∼ {\displaystyle (R\times S)/{\sim }} 이다. ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} 의 동치류를 s − 1 r {\displaystyle s^{-1}r} 로 표기하자. S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 위의 곱셈은 다음과 같다. ( s − 1 r ) ( s ′ − 1 r ′ ) = ( s ~ s ) − 1 ( r ~ r ′ ) ( r ~ ∈ R , s ~ ∈ S , r ~ s ′ = s ~ r ) {\displaystyle (s^{-1}r)(s'^{-1}r')=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {r}}s'={\tilde {s}}r)} 여기서 r ~ s ′ = s ~ r {\displaystyle {\tilde {r}}s'={\tilde {s}}r} 인 r ~ ∈ R , s ~ ∈ S {\displaystyle {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S} 는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는 " s ~ − 1 r ~ = r s ′ − 1 {\displaystyle {\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}=rs'^{-1}} " 로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 위의 덧셈은 다음과 같다. s − 1 r + s ′ − 1 r ′ = ( s ~ s ) − 1 ( s ~ r + r ~ r ′ ) ( r ~ ∈ R , s ~ ∈ S , s ~ s = r ~ s ′ ) {\displaystyle s^{-1}r+s'^{-1}r'=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {s}}s={\tilde {r}}s')} 여기서 s ~ s = r ~ s ′ {\displaystyle {\tilde {s}}s={\tilde {r}}s'} 인 r ~ ∈ R , s ~ ∈ S {\displaystyle {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S} 는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는 " s ~ − 1 r ~ = s s ′ − 1 {\displaystyle {\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}=ss'^{-1}} " 로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는 " s − 1 r + s ′ − 1 r ′ = s − 1 ( r + s s ′ − 1 r ′ ) = s − 1 ( r + s ~ − 1 r ~ r ′ ) = s − 1 s ~ − 1 ( s ~ r + r ~ r ′ ) = ( s ~ s ) − 1 ( s ~ r + r ~ r ′ ) {\displaystyle s^{-1}r+s'^{-1}r'=s^{-1}\left(r+ss'^{-1}r'\right)=s^{-1}\left(r+{\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}r'\right)=s^{-1}{\tilde {s}}^{-1}\left({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r'\right)=({\tilde {s}}s)^{-1}\left({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r'\right)} " 로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 를 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.:Corollary (4.10.11) 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. 환 R {\displaystyle R} 의 곱셈에 대한 부분 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 및 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 S {\displaystyle S} 에서의 국소화 S − 1 M {\displaystyle S^{-1}M} 은 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다. S − 1 M = S − 1 R ⊗ R M {\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M} 또한, 표준적인 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 사상 ϕ : M → S − 1 M {\displaystyle \phi \colon M\to S^{-1}M} 가 존재한다. 이는 함자 ( S − 1 R ⊗ R ) : R Mod → S − 1 R Mod {\displaystyle (S^{-1}R\otimes _{R})\colon {{}_{R}\operatorname {Mod} }\to {{}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }} 를 정의하며, 환 준동형 R → S − 1 R {\displaystyle R\to S^{-1}R} 에 의한 망각 함자 F : S − 1 R Mod → R Mod {\displaystyle F\colon {{}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }\to {{}_{R}\operatorname {Mod} }} 의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군의 준동형 ϕ N : M → N {\displaystyle \phi _{N}\colon M\to N} 에 대하여, 만약 임의의 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여 s ⋅ : N → N {\displaystyle s\cdot \colon N\to N} 이 전단사 함수라면, ϕ N = χ ∘ ϕ {\displaystyle \phi _{N}=\chi \circ \phi } 인 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 준동형 χ : S − 1 M → N {\displaystyle \chi \colon S^{-1}M\to N} 이 존재한다. M → ϕ S − 1 M ϕ N ↘ ↓ ∃ ! χ N {\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi }}&S^{-1}M\\&{\scriptstyle \phi _{N}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&N\end{matrix}}} R {\displaystyle R} 가 가환환일 때, 가군의 국소화 S − 1 M ≅ S − 1 R ⊗ R M {\displaystyle S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes _{R}M} 는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다. S × M {\displaystyle S\times M} 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자. ( s , m ) ∼ ( s ′ , m ′ ) ⟺ ∃ t ∈ S : t s ′ m = t s m ′ {\displaystyle (s,m)\sim (s',m')\iff \exists t\in S\colon ts'm=tsm'} S − 1 M {\displaystyle S^{-1}M} 은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. ( s , m ) ∈ S × M {\displaystyle (s,m)\in S\times M} 의 동치류를 m / s {\displaystyle m/s} 로 표기하자. 그렇다면, S − 1 M {\displaystyle S^{-1}M} 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다. m s + m ′ s ′ = s ′ m + s m ′ s s ′ ∀ m , m ′ ∈ M , s , s ′ ∈ S {\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {m'}{s'}}={\frac {s'm+sm'}{ss'}}\qquad \forall m,m'\in M,\;s,s'\in S} r s m s ′ = r m s s ′ ∀ m ∈ M , s , s ′ ∈ S , r ∈ R {\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{s'}}={\frac {rm}{ss'}}\qquad \forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R} 가환환 R {\displaystyle R} 및 곱셈 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여, 국소화 ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} 의 소 아이디얼들은 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 가운데 S {\displaystyle S} 와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다. f : Spec ⁡ ( S − 1 R ) → { p ∈ Spec ⁡ R : p ∩ S = ∅ } {\displaystyle f\colon \operatorname {Spec} (S^{-1}R)\to \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p}}\cap S=\varnothing \}} f : q ↦ ϕ − 1 ( q ) {\displaystyle f\colon {\mathfrak {q}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {q}})} 여기서 ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} 는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다. 특히, R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대응한다. 가환환 R {\displaystyle R} 및 곱셈 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 표준적 환 준동형 R → S − 1 R {\displaystyle R\to S^{-1}R} 가 단사 함수이다. S {\displaystyle S} 는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.) 그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 위의 단사 가군 I {\displaystyle I} 및 임의의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, I → I r {\displaystyle I\to I_{r}} 는 전사 함수이다.:214, Lemma III.3.3 환 R {\displaystyle R} 및 곱셈 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:300, Theorem (4.10.6) ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} 는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다. 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 ϕ : R → R ′ {\displaystyle \phi \colon R\to R'} 이 존재한다. ϕ ( S ) ⊆ Unit ⁡ ( R ′ ) {\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')} R ′ = ϕ ( S ) − 1 ϕ ( R ) {\displaystyle R'=\phi (S)^{-1}\phi (R)} ker ⁡ ϕ = { r ∈ R : 0 ∈ S r } {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}} 또한, 이러한 조건을 만족시키는 ϕ : R → R ′ {\displaystyle \phi \colon R\to R'} 는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.:302, Corollary (4.10.11) 마찬가지로, 환 R {\displaystyle R} 및 곱셈 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} 는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다. 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 ϕ : R → R ′ {\displaystyle \phi \colon R\to R'} 이 존재한다. ϕ ( S ) ⊆ Unit ⁡ ( R ′ ) {\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')} R ′ = ϕ ( R ) ϕ ( S ) − 1 {\displaystyle R'=\phi (R)\phi (S)^{-1}} ker ⁡ ϕ = { r ∈ R : 0 ∈ r S } {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}} 특히, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다. (비가환일 수 있는) 환 R {\displaystyle R} 및 곱셈 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 가 주어졌다고 하자. 0 ∈ S {\displaystyle 0\in S} 이라고 하자. 그렇다면 항상 S − 1 R = 0 {\displaystyle S^{-1}R=0} (자명환)이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다. S = { 1 } {\displaystyle S=\{1\}} 이라고 하자. 그렇다면 항상 S − 1 R = R {\displaystyle S^{-1}R=R} 이다. (곱셈 항등원을 갖는) 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, S = R ∖ ( { r ∈ R : 0 ∈ r R } ∪ { r ∈ R : 0 ∈ R r } ) {\displaystyle S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)} 가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} 가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 를 R {\displaystyle R} 의 전분수환 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 라고 한다. 특히, 만약 R {\displaystyle R} 가 (가환) 정역이라면 S = R ∖ { 0 } {\displaystyle S=R\setminus \{0\}} 이며, Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 는 체를 이룬다. 이 경우, Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 S ⊆ R ∖ { 0 } {\displaystyle S\subseteq R\setminus \{0\}} 가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 R → S − 1 R {\displaystyle R\to S^{-1}R} 은 다음과 같이 R → Frac ⁡ R {\displaystyle R\to \operatorname {Frac} R} 의 일부분을 이룬다. R → S − 1 R → Frac ⁡ R {\displaystyle R\to S^{-1}R\to \operatorname {Frac} R} 이에 따라 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 는 항상 분수체 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 의 부분환을 이룬다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼 ( p ) {\displaystyle (p)} 또는 영 아이디얼 ( 0 ) {\displaystyle (0)} 이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다. Z ( p ) = { m / n : gcd { m , n } = 1 , p ∤ n } ⊊ Q {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{m/n\colon \gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq \mathbb {Q} } Z ( 0 ) = Q {\displaystyle \mathbb {Z} _{(0)}=\mathbb {Q} } 즉, 분모가 p {\displaystyle p} 의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, Z ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}} 는 이산 값매김환이며, Z ( 0 ) = Q {\displaystyle \mathbb {Z} _{(0)}=\mathbb {Q} } 는 체이다. 정수환의 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 를 원소 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 에서 국소화하면 다음과 같다. Z k = { m / k n : gcd { m , k } = 1 , n ∈ N } ⊊ Q ( k ≠ 0 ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{k}=\{m/k^{n}\colon \gcd\{m,k\}=1,\;n\in \mathbb {N} \}\subsetneq \mathbb {Q} \qquad (k\neq 0)} Z 0 = 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{0}=0} (자명환) 즉, 분모가 k {\displaystyle k} 의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.) 정수환의 몫환 R = Z / ( n ) {\displaystyle R=\mathbb {Z} /(n)} 을 생각해 보자. n {\displaystyle n} 이 소수의 거듭제곱이라면 S = { 1 } {\displaystyle S=\{1\}} 이거나 0 ∈ S {\displaystyle 0\in S} 이다. 만약 n = a b {\displaystyle n=ab} 이고, a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 Z / a b = Z / a × Z / b {\displaystyle \mathbb {Z} /ab=\mathbb {Z} /a\times \mathbb {Z} /b} 이다. 그렇다면 S = { ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } {\displaystyle S=\{(1,0),(1,1)\}} 이 가능한데, 이 경우 S − 1 R = Z / b {\displaystyle S^{-1}R=\mathbb {Z} /b} 이다. 체 K {\displaystyle K} 및 정수 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 에 대하여, 행렬환 Mat ⁡ ( K ; n ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (K;n)} 을 생각하자. E i , j {\displaystyle E_{i,j}} 가 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 에서 성분 1 ∈ K {\displaystyle 1\in K} 을 가지며, 나머지 성분이 모두 0 ∈ K {\displaystyle 0\in K} 인 행렬이라고 하자. 그렇다면, S = { 1 , E i , j } {\displaystyle S=\{1,E_{i,j}\}} 일 때, 국소화 S − 1 Mat ⁡ ( K ; n ) {\displaystyle S^{-1}\operatorname {Mat} (K;n)} 는 자명환이다.:289–290, Example (4.9.3) 대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.:xvi 원소 f ∈ R {\displaystyle f\in R} 가 주어진 경우, R f {\displaystyle R_{f}} 는 S = { 1 , f , f 2 , f 3 , … } {\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}} 에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 f {\displaystyle f} 가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 U f ⊂ Spec ⁡ R {\displaystyle U_{f}\subset \operatorname {Spec} R} 에 국한한 것이다. 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k [ x ] {\displaystyle k[x]} 의 경우 k [ x ] x = k [ x , x − 1 ] {\displaystyle k[x]_{x}=k[x,x^{-1}]} 는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 { x ≠ 0 } = A k 1 ∖ { 0 } {\displaystyle \{x\neq 0\}=\mathbb {A} _{k}^{1}\setminus \{0\}} 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, { x ≠ 0 } {\displaystyle \{x\neq 0\}} 으로 국한된 것을 알 수 있다. 소 아이디얼 p ∈ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in R} 가 주어진 경우, R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 S = R ∖ p {\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}} 에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 의 자리스키 폐포 V ( p ) {\displaystyle V({\mathfrak {p}})} 의 근방에 국한한 것이다. 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k [ x ] {\displaystyle k[x]} 를 극대 아이디얼 ( x ) {\displaystyle (x)} 에서 국소화하면 유리 함수체 k [ x ] ( x ) = k ( x ) = { f ( x ) / g ( x ) : f ( x ) , g ( x ) ∈ k [ x ] , g ( 0 ) ≠ 0 } {\displaystyle k[x]_{(x)}=k(x)=\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x],g(0)\neq 0\}} 을 얻는다. 이는 x = 0 {\displaystyle x=0} 의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, x = 0 {\displaystyle x=0} 의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다. 1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.:299:57 에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.:466:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.:300) 임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)가 도입하였다.:57 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. 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