단순 리 초대수

리 초대수 이론에서, 단순 리 초대수(單純Lie超代數, 영어: simple Lie superalgebra)는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 리 초대수 g = g 0 ⊕ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}} 의 아이디얼은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 리 초대수 i ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 가운데 [ g , i } ⊆ i {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}\}\subseteq {\mathfrak {i}}} 인 것이다. 표수 0의 체 위의 리 초대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 과 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 전체이다. g = { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{0\}} 인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.) 표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(古典Lie超代數, 영어: classical Lie superalgebra)라고 한다. g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 의, g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다. 고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan型代數, 영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, 영어: hyperclassical algebra)라고 하며, w ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {w}}(n)} , s ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)} , s ~ ( n ) {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {s}}}(n)} , h ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}(n)} 이 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.:45, Theorem 2 위 표에서 r sym ⊗ 2 {\displaystyle \mathbf {r} ^{{\text{sym}}\otimes 2}} 는 r ⊗ r {\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} } 의 대칭 성분이고, r ∧ 2 {\displaystyle \mathbf {r} ^{\wedge 2}} 는 r ⊗ r {\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} } 의 반대칭 성분이다. 이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다. s l ( 2 | 1 ) = o s p ( 2 | 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2|1)={\mathfrak {osp}}(2|2)} o s p ( 4 | 2 ; 1 ) = o s p ( 4 | 2 ; − 2 ) = o s p ( 4 | 2 ; − 1 / 2 ) = o s p ( 4 | 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;1)={\mathfrak {osp}}(4|2;-2)={\mathfrak {osp}}(4|2;-1/2)={\mathfrak {osp}}(4|2)} o s p ( 4 | 2 ; α ) = o s p ( 4 | 2 ; α − 1 ) = o s p ( 4 | 2 ; − α − 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )={\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha ^{-1})={\mathfrak {osp}}(4|2;-\alpha -1)} w ( 2 ) = s l ( 2 | 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {w}}(2)={\mathfrak {sl}}(2|1)} s ( 3 ) = p ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {s}}(3)={\mathfrak {p}}(3)} h ( 4 ) = s l ( 2 | 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}(4)={\mathfrak {sl}}(2|2)} 이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다. 실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.:59, Theorem 9, §3 ( m | n ) × ( m | n ) {\displaystyle (m|n)\times (m|n)} 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다. ( A B C D ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}} 여기서 A {\displaystyle A} 는 m × m {\displaystyle m\times m} 이고, B {\displaystyle B} 는 n × n {\displaystyle n\times n} 이다. ( m | n ) × ( m | n ) {\displaystyle (m|n)\times (m|n)} 초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(一般線型Lie超代數, 영어: general linear Lie superalgebra) g l ( m | n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)} 이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.:§25 str ⁡ ( A B C D ) = tr ⁡ A − tr ⁡ D {\displaystyle \operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D} 특수 선형 리 초대수(特殊線型Lie超代數, 영어: special lienar Lie superalgebra) s l ( m | n ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)} 는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.:§25 s l ( m | n ) = { M ∈ g l ( m | n ) : str ⁡ ( m | n ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon \operatorname {str} (m|n)=0\}} 단위 행렬 1 m | n {\displaystyle 1_{m|n}} 의 경우 str ⁡ 1 m | n = m − n {\displaystyle \operatorname {str} 1_{m|n}=m-n} 이므로, 1 m | n ∈ s l ( m | n ) {\displaystyle 1_{m|n}\in {\mathfrak {sl}}(m|n)} 일 필요 충분 조건은 m = n {\displaystyle m=n} 이다. 이 경우, 사영 특수 선형 리 초대수(射影特殊線型Lie超代數, 영어: projective special linear Lie superalgebra) p s l ( m | m ) {\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)} 는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다. p s l ( m | m ) = { [ M ] ∼ : M ∈ s l ( m | m ) , M ∼ M + 1 m | m } {\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)=\left\{[M]_{\sim }\colon M\in {\mathfrak {sl}}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\}} 직교-심플렉틱 리 초대수(直交symplectic Lie超代數, 영어: orthosymplectic Lie superalgebra) o s p ( m | 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)} 는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.:§25 o s p ( m | 2 n ) = { ( A B C D ) ∈ g l ( m | n ) : A ⊤ = − A , D ⊤ Ω = − Ω D , B = C ⊤ Ω } {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon A^{\top }=-A,\;D^{\top }\Omega =-\Omega D,\;B=C^{\top }\Omega \right\}} 여기서 Ω = ( 0 n × n 1 n × n − 1 n × n 0 n × n ) {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}} 이다. 페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie超代數, 영어: periplectic Lie superalgebra) p ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)} 는 다음과 같다.:§25:9, (1.14) p ( n ) = { ( A B C D ) ∈ g l ( n | n ) : A ⊤ = − D , B ⊤ = B , C ⊤ = − C , tr ⁡ A = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A^{\top }=-D,\;B^{\top }=B,\;C^{\top }=-C,\;\operatorname {tr} A=0\right\}} q ~ ( n ) {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {q}}}(n)} 를 다음과 같이 정의하자. q ~ ( n ) = { ( A B C D ) ∈ g l ( n | n ) : A = D , B = C , tr ⁡ B = 0 } {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {q}}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname {tr} B=0\right\}} 이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(異常한Lie超代數, 영어: queer Lie superalgebra) q ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)} 이라고 한다.:§25 q ( n ) = { [ M ] ∼ : M ∈ q ~ ( n ) , M ∼ M + 1 n | n } {\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)=\{[M]_{\sim }\colon M\in {\tilde {\mathfrak {q}}}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}} o s p ( 4 | 2 ; α ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )} 또는 d ( 2 , 1 ; α ) {\displaystyle {\mathfrak {d}}(2,1;\alpha )} 는 구체적으로 다음과 같다.:§20 이 리 초대수의 보손 리 대수는 s l ( 2 ) ⊕ 3 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)^{\oplus 3}} 이며, 이에 대한 페르미온 표현은 ( 2 , 2 , 2 ) {\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )} 이다. 이에 따라, 지표 a , b ∈ { 1 , 2 , 3 } ∈ Z / ( 3 ) {\displaystyle a,b\in \{1,2,3\}\in \mathbb {Z} /(3)} ( Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 의 정의 표현의 지표) i ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle i\in \{1,2,3\}} ( s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} 지표) α , β ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \alpha ,\beta \in \{1,2\}} ( s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} 의 정의 표현의 지표) 를 사용하면, 보손 생성원 t a {\displaystyle t^{a}} 및 페르미온 생성원 F α 1 α 2 α 3 {\displaystyle F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}}} 에 대한 리 초괄호는 다음과 같다. [ t i a , t j b ] = i δ a b ϵ i j k t k a {\displaystyle [t_{i}^{a},t_{j}^{b}]=\mathrm {i} \delta ^{ab}\epsilon _{ijk}t_{k}^{a}} [ t i a , F α 1 α 2 α 3 ] = 1 2 σ α a ′ α a i F α 1 … α a ′ … α 3 {\displaystyle [t_{i}^{a},F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}}]={\frac {1}{2}}\sigma _{\alpha _{a}'\alpha _{a}}^{i}F_{\alpha _{1}\dotso \alpha _{a}'\dotso \alpha _{3}}} { F α 1 α 2 α 3 , F β 1 β 2 β 3 } = ∑ a = 1 3 s a ( C σ i ) α a β a C α a + 1 β a + 1 C α a + 2 β a + 2 t i a ( s 1 , s 2 , s 3 ∈ C ) {\displaystyle \{F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}},F_{\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}}\}=\sum _{a=1}^{3}s_{a}(C\sigma ^{i})_{\alpha _{a}\beta _{a}}C_{\alpha _{a+1}\beta _{a+1}}C_{\alpha _{a+2}\beta _{a+2}}t_{i}^{a}\qquad (s_{1},s_{2},s_{3}\in \mathbb {C} )} 이다. 여기서 σ i {\displaystyle \sigma ^{i}} 는 파울리 행렬이며, C = i σ 2 {\displaystyle C=\mathrm {i} \sigma ^{2}} 는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다. 페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 ( s 1 , s 2 , s 3 ) {\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{3})} 는 야코비 항등식에 의하여 s 1 + s 2 + s 3 = 0 {\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0} 을 만족시켜야 하며, 또한 ( s 1 , s 2 , s 3 ) ∼ ( s σ ( 1 ) , s σ ( 2 ) , s σ ( 3 ) ) ∼ ( λ s 1 , λ s 2 , λ s 3 ) ( λ ∈ C × , σ ∈ Sym ⁡ ( 3 ) ) {\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{3})\sim (s_{\sigma (1)},s_{\sigma (2)},s_{\sigma (3)})\sim (\lambda s_{1},\lambda s_{2},\lambda s_{3})\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\sigma \in \operatorname {Sym} (3))} 이다. 즉, [ s 1 : s 2 : s 3 ] {\displaystyle [s_{1}:s_{2}:s_{3}]} 은 3차원 복소수 사영 평면 C P 2 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}} 의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은 s 1 + s 2 + s 3 = 0 {\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0} 으로 정의되는 사영 직선의 Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 에 대한 몫 오비폴드이다. 이에 따라, α = s 2 / s 1 ∈ C P 1 {\displaystyle \alpha =s_{2}/s_{1}\in \mathbb {CP} ^{1}} 로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 의 작용은 다음과 같다. α ∼ α − 1 ∼ − ( α + 1 ) ∼ − 1 α + 1 ∼ − α α + 1 ∼ − 1 − 1 α {\displaystyle \alpha \sim \alpha ^{-1}\sim -(\alpha +1)\sim -{\frac {1}{\alpha +1}}\sim -{\frac {\alpha }{\alpha +1}}\sim -1-{\frac {1}{\alpha }}} 이 경우, α ∼ 1 ∼ − 2 ∼ − 1 / 2 {\displaystyle \alpha \sim 1\sim -2\sim -1/2} 인 점은 o s p ( 4 | 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2)} 에 해당한다. 실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.:694–695, §5B 이 경우, 복소수 계수 α {\displaystyle \alpha } 의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (3)} 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 α {\displaystyle \alpha } 의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 외대수 ⋀ V {\displaystyle \textstyle \bigwedge V} 위의 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 미분들, 즉 K {\displaystyle K} -선형 변환 d : ⋀ ( V ) → ⋀ ( V ) {\displaystyle d\colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)} 가운데 d ( a ∨ b ) = ( d a ) ∧ b + ( − ) deg ⁡ a a ∧ d b ( b ∈ ⋀ ( V ) , a ∈ ⋀ 2 ∙ + 1 ( V ) ∪ ⋀ 2 ∙ ( V ) ) {\displaystyle d(a\vee b)=(da)\wedge b+(-)^{\deg a}a\wedge db\qquad \left(b\in \bigwedge (V),\;a\in \bigwedge _{2\bullet +1}(V)\cup \bigwedge _{2\bullet }(V)\right)} 를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 W ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {W} (V)} 라고 하자. V {\displaystyle V} 의 기저 ( v i ) i ∈ I {\displaystyle (v_{i})_{i\in I}} 를 잡았을 때, d ∈ W ⁡ ( V ) {\displaystyle d\in \operatorname {W} (V)} 는 다음과 같이 표현될 수 있다. d = ∑ i ∈ I a i ∂ ∂ v i ( a i ∈ ⋀ ( V ) ∀ i ∈ I ) {\displaystyle d=\sum _{i\in I}a_{i}{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\qquad \left(a_{i}\in \bigwedge (V)\;\forall i\in I\right)} ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)} 의 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -등급으로부터, 이는 W ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {W} (V)} 위에 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히 [ d , d ′ ] = d ∘ d ′ ± d ′ ∘ d {\displaystyle [d,d']=d\circ d'\pm d'\circ d} 이며, 여기서 ± 부호는 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 등급에 의하여 결정된다. 만약 V {\displaystyle V} 가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 w ( dim ⁡ V ) {\displaystyle {\mathfrak {w}}(\dim V)} 로 표기한다. 특수 카르탕형 리 초대수(영어: special Cartan-type Lie superalgebra) s ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)} 과 s ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)} 및 해밀턴형 리 초대수(영어: Hamilton-type Lie superalgebra) h ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}(n)} 은 모두 w ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {w}}(n)} 의 부분 리 초대수이다. 단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다. 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