데카르트 부호 법칙

수학에서, 데카르트 부호 법칙(Descartes符號法則, 영어: Descartes’ rule of signs)은 실수 계수 다항식의 양의 실수 근의 수가 내림차순 (또는 오름차순)으로 나열된 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수를 넘지 않는다는 정리이다. 0이 아닌 실수 계수 다항식 p ( x ) = a 0 x d 0 + a 1 x d 1 + ⋯ + a n x d n ∈ R [ x ] {\displaystyle p(x)=a_{0}x^{d_{0}}+a_{1}x^{d_{1}}+\cdots +a_{n}x^{d_{n}}\in \mathbb {R} [x]} a i ∈ R {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} } a i ≠ 0 {\displaystyle a_{i}\neq 0} d i ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle d_{i}\in \{0,1,2,\dots \}} d 0 < d 1 < ⋯ < d n {\displaystyle d_{0}<d_{1}<\cdots <d_{n}} n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} 에 대하여, v ( p ) {\displaystyle v(p)} 가 a i a i + 1 < 0 {\displaystyle a_{i}a_{i+1}<0} 인 i ∈ { 0 , 1 , … , n − 1 } {\displaystyle i\in \{0,1,\dots ,n-1\}} 의 수라고 하자. 데카르트 부호 법칙에 따르면, 임의의 0이 아닌 실수 계수 다항식 0 ≠ p ( x ) ∈ R [ x ] {\displaystyle 0\neq p(x)\in \mathbb {R} [x]} 에 대하여, 다음이 성립한다. p {\displaystyle p} 의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근은 v ( p ) {\displaystyle v(p)} 개이거나 그보다 적다. 또한, v ( p ) {\displaystyle v(p)} 에서 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다. p {\displaystyle p} 의 (중복도를 감안한) 음의 실수 근은 v ( p ( − x ) ) {\displaystyle v(p(-x))} 개이거나 그보다 적다. 또한, v ( p ( − x ) ) {\displaystyle v(p(-x))} 에서 (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다. 증명: 0이 아닌 실수 계수 다항식 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in \mathbb {R} [x]} 에 대하여, z ( p ) {\displaystyle z(p)} 가 p {\displaystyle p} 의 양의 실수 근의 수라고 하자. 그렇다면 p {\displaystyle p} 의 음의 실수 근의 수는 z ( p ( − x ) ) {\displaystyle z(p(-x))} 이다. 따라서 첫 번째 명제를 증명하면 충분하다. p ( x ) / x d 0 {\displaystyle p(x)/x^{d_{0}}} 의 양의 실수 근의 수와 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수는 모두 p {\displaystyle p} 와 일치한다. 따라서 이 증명에서 d 0 = 0 {\displaystyle d_{0}=0} 이라고 가정하여도 무방하다. p {\displaystyle p} 의 양의 실수 근은 p {\displaystyle p} 의 그래프와 양의 x축의 교점이다. p {\displaystyle p} 의 그래프는 중복도가 홀수인 근에서 x축을 가로지르며, 중복도가 짝수인 근에서는 가로지르지 않는다. 따라서, 만약 p {\displaystyle p} 의 그래프가 양의 x축을 홀수 번 가로지른다면, z ( p ) {\displaystyle z(p)} 는 홀수이며, 만약 짝수 번 가로지른다면 z ( p ) {\displaystyle z(p)} 는 짝수이다. 이에 따라, 만약 a 0 a n < 0 {\displaystyle a_{0}a_{n}<0} 이라면, p ( 0 ) < 0 {\displaystyle p(0)<0} lim x → ∞ p ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }p(x)=\infty } 이거나 p ( 0 ) > 0 {\displaystyle p(0)>0} lim x → ∞ p ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }p(x)=-\infty } 이므로, p {\displaystyle p} 의 그래프는 양의 x축을 홀수 번 가로지르며, 따라서 z ( p ) {\displaystyle z(p)} 는 홀수이다. 마찬가지로, 만약 a 0 a n > 0 {\displaystyle a_{0}a_{n}>0} 이라면, p {\displaystyle p} 의 그래프는 양의 x축을 짝수 번 가로지르므로, z ( p ) {\displaystyle z(p)} 는 짝수이다. 만약 p {\displaystyle p} 가 서로 다른 k {\displaystyle k} 개의 양의 실수 근 x 1 < x 2 < ⋯ < x k {\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k}} 을 가지며, 각 i {\displaystyle i} 번째 양의 실수 근 x i {\displaystyle x_{i}} 의 중복도가 m i {\displaystyle m_{i}} 라면, x i {\displaystyle x_{i}} 의 미분 p ′ {\displaystyle p'} 의 근으로서의 중복도는 최소 m i − 1 {\displaystyle m_{i}-1} 이다. 또한, 롤의 정리에 따라 각 k − 1 {\displaystyle k-1} 개의 구간 ( x i , x i + 1 ) {\displaystyle (x_{i},x_{i+1})} 속에도 p ′ {\displaystyle p'} 의 근이 최소 하나씩 존재한다. 따라서 다음이 성립한다. z ( p ′ ) ≥ ( m 1 − 1 ) + ( m 2 − 1 ) + ⋯ + ( m k − 1 ) + ( k − 1 ) = m 1 + ⋯ + m k − 1 = z ( p ) − 1 {\displaystyle z(p')\geq (m_{1}-1)+(m_{2}-1)+\cdots +(m_{k}-1)+(k-1)=m_{1}+\cdots +m_{k}-1=z(p)-1} 이제, n {\displaystyle n} 에 대하여 수학적 귀납법을 사용하자. 만약 n = 0 {\displaystyle n=0} 이라면, z ( p ) = v ( p ) = 0 {\displaystyle z(p)=v(p)=0} 이므로 자명하게 성립한다. 이제, n − 1 {\displaystyle n-1} 에 대하여 정리가 성립한다고 가정하고 n {\displaystyle n} 에 대하여 성립함을 증명하자. 만약 a 0 a 1 < 0 {\displaystyle a_{0}a_{1}<0} 이라면, v ( p ′ ) = v ( p ) − 1 {\displaystyle v(p')=v(p)-1} z ( p ′ ) ≡ z ( p ) − 1 ( mod 2 ) {\displaystyle z(p')\equiv z(p)-1{\pmod {2}}} 이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라 z ( p ′ ) ≤ v ( p ′ ) {\displaystyle z(p')\leq v(p')} z ( p ′ ) ≡ v ( p ′ ) ( mod 2 ) {\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}} 이다. 따라서 z ( p ) ≤ z ( p ′ ) + 1 ≤ v ( p ′ ) + 1 ≤ v ( p ) {\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1\leq v(p)} z ( p ) ≡ z ( p ′ ) + 1 ≡ v ( p ′ ) + 1 = v ( p ) ( mod 2 ) {\displaystyle z(p)\equiv z(p')+1\equiv v(p')+1=v(p){\pmod {2}}} 이다. 만약 a 0 a 1 > 0 {\displaystyle a_{0}a_{1}>0} 이라면, v ( p ′ ) = v ( p ) {\displaystyle v(p')=v(p)} z ( p ′ ) ≡ z ( p ) ( mod 2 ) {\displaystyle z(p')\equiv z(p){\pmod {2}}} 이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라 z ( p ′ ) ≤ v ( p ′ ) {\displaystyle z(p')\leq v(p')} z ( p ′ ) ≡ v ( p ′ ) ( mod 2 ) {\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}} 이므로, z ( p ) ≤ z ( p ′ ) + 1 ≤ v ( p ′ ) + 1 = v ( p ) + 1 {\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1=v(p)+1} z ( p ) ≡ z ( p ′ ) ≡ v ( p ′ ) = v ( p ) ( mod 2 ) {\displaystyle z(p)\equiv z(p')\equiv v(p')=v(p){\pmod {2}}} 이다. 위 합동식에 따라 z ( p ) ≠ v ( p ) + 1 {\displaystyle z(p)\neq v(p)+1} 이므로 결국 z ( p ) ≤ v ( p ) {\displaystyle z(p)\leq v(p)} 이다. 다항식 p ( x ) = a x 5 + b x + c ∈ R [ x ] {\displaystyle p(x)=ax^{5}+bx+c\in \mathbb {R} [x]} a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} } a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 을 생각하자. 0이 아닌 항이 최대 3개이므로, 부호는 최대 2번 변화할 수 있다. 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식은 (중복도를 감안하였을 때) 2개의 양의 실수 근을 갖거나, 양의 실수 근을 갖지 않는다. 음의 실수 근 역시 마찬가지다. 중간값 정리에 따라 1개 이상의 실수 근을 갖는다. 만약 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} 일 경우, 0은 근이 아니므로 이 실수 근은 양의 실수이거나 음의 실수이며, 따라서 실수 근의 수는 2 또는 4이다. 대수학의 기본 정리에 따라 이 다항식은 5개의 복소수 근을 가지므로, 허수 근의 수는 3 또는 1이다. 다항식 p ( x ) = x 6 − x 4 + x 2 − 3 x + 5 ∈ R [ x ] {\displaystyle p(x)=x^{6}-x^{4}+x^{2}-3x+5\in \mathbb {R} [x]} 을 생각하자. 계수의 부호가 총 4번 변화하므로, 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수는 0 또는 2 또는 4이다. 또한, p ( − x ) = x 6 − x 4 + x 2 + 3 x + 5 {\displaystyle p(-x)=x^{6}-x^{4}+x^{2}+3x+5} 의 계수의 부호는 2번 변화하므로, (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수는 0 또는 2이다. 하지만 사실 이 다항식은 실수 근을 갖지 않는다. 다른 한편, 임의의 n , d 0 , d 1 , … , d n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n,d_{0},d_{1},\dots ,d_{n}\in \{0,1,2,\dots \}} d 0 < d 1 < ⋯ < d n {\displaystyle d_{0}<d_{1}<\dots <d_{n}} 에 대하여, z ( p ) = v ( p ) {\displaystyle z(p)=v(p)} z ( p ( − x ) ) = v ( p ( − x ) ) {\displaystyle z(p(-x))=v(p(-x))} 인 다항식 p ( x ) = a 0 x d 0 + a 1 x d 1 + ⋯ + a n x d n ∈ R [ x ] {\displaystyle p(x)=a_{0}x^{d_{0}}+a_{1}x^{d_{1}}+\cdots +a_{n}x^{d_{n}}\in \mathbb {R} [x]} a i ∈ R {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} } a i ≠ 0 {\displaystyle a_{i}\neq 0} 을 구성할 수 있다. 예를 들어, p ( x ) = x 2 − 2 x + 1 {\displaystyle p(x)=x^{2}-2x+1} 라고 할 때 z ( p ) = v ( p ) = 2 {\displaystyle z(p)=v(p)=2} z ( p ( − x ) ) = v ( p ( − x ) ) = 0 {\displaystyle z(p(-x))=v(p(-x))=0} 이다. 1637년에 르네 데카르트가 증명 없이 기술하였다. 1728년에 야노시 언드라시 셰그네르(헝가리어: János András Segner)가 처음 증명하였으며, 이후 1756년에 다른 방법으로 재증명하였다. Wang, Xiaoshen (2004). “A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 111 (6): 525–526. doi:10.1080/00029890.2004.11920108. ISSN 0002-9890.  Lagarias, Jeffrey C.; Richardson, Thomas J. (1997). “Multivariate descartes rule of signs and sturmfels’s challenge problem”. 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 19 (3): 9–15. doi:10.1007/BF03025343. ISSN 0343-6993.  Komornik, Vilmos (2006). “Another Short Proof of Descartes's Rule of Signs”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 113 (9): 829–830. doi:10.1080/00029890.2006.11920371. ISSN 0002-9890.  “데카르트의 부호법칙(Descartes' law of signs)”. 《사이언스올》. 2010. 2020년 11월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 11월 13일에 확인함.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Descartes’ sign rule”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Descartes’ rule of signs”. 《PlanetMath》 (영어).  Brodie, Scott E. (1999년 1월 1일). “Descartes’ rule of signs”. 《Cut the Knot》.