다항식 전개

다항식 전개(多項式 展開, 영어: polynomial expansion)는 인수 분해된 다항식을 인수들끼리 분배법칙을 이용하여 곱셈을 한 다음, 동류항들끼리 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 덧셈뺄셈을 하여 다시 푸는 과정이다. 이렇게 전개된 식을 전개식(展開式)이라고 한다. 이처럼 다항식의 전개와 인수분해는 곱셈공식으로 표현되는 정보교환관계에 있어서 중요한 역할을 한다. 다항식들의 동류항끼리 덧셈과 뺄셈을 하는 것은 다항식의 연산의 핵심이다. 예를 들어, 다항식 f ( x ) = 2 x 3 − 5 x + 9 {\displaystyle f(x)=2x^{3}-5x+9} 와 g ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 8 x − 1 {\displaystyle g(x)=x^{3}+2x^{2}+8x-1} 에 대하여 2 f ( x ) − g ( x ) {\displaystyle 2f(x)-g(x)} = 2 ( 2 x 3 − 5 x + 9 ) − ( x 3 + 2 x 2 + 8 x − 1 ) {\displaystyle =2(2x^{3}-5x+9)-(x^{3}+2x^{2}+8x-1)} = 4 x 3 − 10 x + 18 − x 3 + 2 x 2 + 8 x − 1 {\displaystyle ={4x^{3}-10x+18}-{x^{3}+2x^{2}+8x-1}} = 3 x 3 − 2 x 2 − 18 x + 19 {\displaystyle =3x^{3}-2x^{2}-18x+19} 이다. 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다. m ( a ± b ) = m a ± m b {\displaystyle \,m(a\pm b)=ma\pm mb} ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d {\displaystyle \,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd} ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle \,(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle \,(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\displaystyle \,(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b {\displaystyle \,(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab} ( a x + b ) ( c x + d ) = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b {\displaystyle \,(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+b} ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + b c + c a ) {\displaystyle \,(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)} ( a x + b y ) ( c x + d y ) = a c x 2 + ( a d + b c ) x y + b d y 2 {\displaystyle \,(ax+by)(cx+dy)=acx^{2}+(ad+bc)xy+bdy^{2}} ( a x + b y + c ) ( d x + e y + f ) = a d x 2 + ( a f + c d ) x + ( a e + b d ) x y + b e y 2 + ( b f + c e ) y + c f {\displaystyle \,(ax+by+c)(dx+ey+f)=adx^{2}+(af+cd)x+(ae+bd)xy+bey^{2}+(bf+ce)y+cf} 아래 2차식들은 곱셈 공식의 변형의 일부이다. a 2 + b 2 + c 2 − ( a b + b c + c a ) = a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a = 1 2 { ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 } {\displaystyle \,a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca={\frac {1}{2}}\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}} ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b , ( a + b ) 2 − 2 a b = a 2 + b 2 {\displaystyle \,(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,(a+b)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}} ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a b , ( a − b ) 2 + 2 a b = a 2 + b 2 {\displaystyle \,(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,(a-b)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}} ( a − b ) 2 + 2 a b = ( a + b ) 2 − 2 a b , ( a − b ) 2 + 4 a b = ( a + b ) 2 , ( a − b ) 2 = ( a + b ) 2 − 4 a b {\displaystyle (a-b)^{2}+2ab=(a+b)^{2}-2ab,(a-b)^{2}+4ab=(a+b)^{2},(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab} ( x ± a ) ( x ± b ) ( x ± c ) = x 3 ± ( a + b + c ) x 2 + ( a b + b c + c a ) x ± a b c {\displaystyle \,(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c)=x^{3}\pm (a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x\pm abc} ( a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 a b 2 ± b 3 {\displaystyle \,(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}} ( a ± b ) ( a 2 ∓ a b + b 2 ) = a 3 ± b 3 {\displaystyle \,(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}} ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) = a 3 + b 3 + c 3 − 3 a b c {\displaystyle \,(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc} 1 2 ( a + b + c ) { ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 } = a 3 + b 3 + c 3 − 3 a b c {\displaystyle \,{\frac {1}{2}}(a+b+c)\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc} a 3 + b 3 + c 3 = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) + 3 a b c {\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc} ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 4 + a 2 b 2 + b 4 {\displaystyle \,(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}} ( a ± b ) 4 = a 4 ± 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 ± 4 a b 3 + b 4 {\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}} 또한, ( a + b ) n {\displaystyle \,(a+b)^{n}} (단, n = {\displaystyle \,n=} 자연수) 을 구할 때에는 (이항 전개) 일단 각 항의 계수는 생략하였음. 계수는 파스칼의 삼각형으로 구한다. ( a + b ) n = a n + a ( n − 1 ) b + a ( n − 2 ) b 2 + a ( n − 3 ) b 3 + {\displaystyle \,(a+b)^{n}=a^{n}+a^{(n-1)}b+a^{(n-2)}b^{2}+a^{(n-3)}b^{3}+} ··· + a 3 b ( n − 3 ) + a 2 b ( n − 2 ) + a b ( n − 1 ) + b n {\displaystyle \,+a^{3}b^{(n-3)}+a^{2}b^{(n-2)}+ab^{(n-1)}+b^{n}} a {\displaystyle \,a} 의 지수는 점점 작아지고, b {\displaystyle \,b} 의 지수는 점점 커지며, 전개한 후에는 모든 항이 n {\displaystyle \,n} 차식이 된다. 또한 생략된 각 계수는 파스칼의 삼각형을 이용해서 구하는데, 제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄 ( n {\displaystyle \,(n} 제곱은 ( n + 1 ) {\displaystyle \,(n+1)} 번째 줄 ) {\displaystyle )} 의 숫자들을 하나씩 각 항의 앞에 계수로 사용하면 된다. 다음은 대한민국의 2015년 개정 교육과정에서 쓰이는, 고등학교 1학년 수준의 곱셈 공식의 변형이다. (단, 2차식 내용의 일부는 중학교 3학년 과정이다.) 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다. a 2 + b 2 = ( a ± b ) 2 ∓ 2 a b {\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=(a\pm b)^{2}\mp 2ab} ( a + b ) 2 = ( a − b ) 2 + 4 a b {\displaystyle \,(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab} x 2 + 1 x 2 = ( x ± 1 x ) 2 ∓ 2 {\displaystyle \,x^{2}+{1 \over x^{2}}=\left(x\pm {1 \over x}\right)^{2}\mp 2} ( x + 1 x ) 2 − ( x − 1 x ) 2 = 4 {\displaystyle \,\left(x+{1 \over x}\right)^{2}-\left(x-{1 \over x}\right)^{2}=4} a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c ) 2 − 2 ( a b + b c + c a ) {\displaystyle \,a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)} a 2 + b 2 + c 2 ± a b ± b c ± c a = 1 2 { ( a ± b ) 2 + ( b ± c ) 2 + ( c ± a ) 2 } {\displaystyle \,a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm ab\pm bc\pm ca={1 \over 2}\left\{(a\pm b)^{2}+(b\pm c)^{2}+(c\pm a)^{2}\right\}} a 3 ± b 3 = ( a ± b ) 3 ∓ 3 a b ( a ± b ) {\displaystyle \,a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)} x 3 ± 1 x 3 = ( x ± 1 x ) 3 ∓ 3 ( x ± 1 x ) {\displaystyle \,x^{3}\pm {1 \over x^{3}}=\left(x\pm {1 \over x}\right)^{3}\mp 3\left(x\pm {1 \over x}\right)} a 3 + b 3 + c 3 = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) + 3 a b c {\displaystyle \,a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc} ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 4 + a 2 b 2 + b 4 {\displaystyle \,(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}} ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) = x 4 + x 2 + 1 {\displaystyle \,(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1} a 5 + b 5 = ( a 2 + b 2 ) ( a 3 + b 3 ) − a 2 b 2 ( a + b ) {\displaystyle \,a^{5}+b^{5}=(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})-a^{2}b^{2}(a+b)} ※ 자연수인 n {\displaystyle \,n} 에 대하여, a n + b n {\displaystyle \,a^{n}+b^{n}} 은 다음과 같이 구한다. (단, k = 1 2 n {\displaystyle \,k={1 \over 2}n} , p = k − 0.5 {\displaystyle \,p=k-0.5} , q = k + 0.5 {\displaystyle \,q=k+0.5} 로 정의한다.) n {\displaystyle \,n} 이 짝수일 때, a n + b n = ( a k + b k ) 2 − 2 a k b k {\displaystyle \,a^{n}+b^{n}=(a^{k}+b^{k})^{2}-2a^{k}b^{k}} n {\displaystyle \,n} 이 홀수일 때, a n + b n = ( a p + b p ) ( a q + b q ) − a p b p ( a + b ) {\displaystyle \,a^{n}+b^{n}=(a^{p}+b^{p})(a^{q}+b^{q})-a^{p}b^{p}(a+b)} 곱셈 공식