초곱

모형 이론에서 초곱(超곱, 영어: ultraproduct 울트라프로덕트[*])은 여러 구조들의 곱집합의 동치류 집합 위에 정의된 더 큰 구조이다. 형이 σ {\displaystyle \sigma } 인 구조들의 집합 { M i } i ∈ I {\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}} 및 I {\displaystyle I} 위의 극대 필터 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 주어졌다고 하자. ( U , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {U}},\subset )} 는 부분 순서 집합이므로, 이를 범주로 간주할 수 있다. 그렇다면 다음과 같은 함자를 정의하자. F : U op → Set {\displaystyle F\colon {\mathcal {U}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } F : S ↦ ∏ i ∈ S M i {\displaystyle F\colon S\mapsto \prod _{i\in S}M_{i}} 그렇다면, { M i } i ∈ I {\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}} 의 초곱 M {\displaystyle M} 은 집합으로서 F {\displaystyle F} 의 쌍대극한 lim → ⁡ F {\displaystyle \varinjlim F} 이다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 순서쌍 { ( S , x ) : S ∈ U , x ∈ ∏ i ∈ I M i } ∈ ⨆ S ′ ∈ U ( S ′ , ∏ i ∈ S ′ M i ) {\displaystyle \{(S,x)\colon S\in {\mathcal {U}},\;x\in \prod _{i\in I}M_{i}\}\in \bigsqcup _{S'\in {\mathcal {U}}}(S',\prod _{i\in S'}M_{i})} 사이에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자. ( S , x ) ∼ ( S ′ , x ′ ) ⟺ { i ∈ I : x i = x i ′ } ∈ U {\displaystyle (S,x)\sim (S',x')\iff \{i\in I\colon x_{i}=x'_{i}\}\in {\mathcal {U}}} 그렇다면 M = lim → ⁡ F = ( ⨆ S ′ ∈ U ( S ′ , ∏ S ′ ) ) / ∼ {\displaystyle M=\varinjlim F=\left(\bigsqcup _{S'\in {\mathcal {U}}}(S',\prod S')\right)/{\sim }} 이다. 여기에 다음과 같은 σ {\displaystyle \sigma } -구조를 부여한다. 여기서 x → = ( x k ) k = 1 , … , n {\displaystyle {\vec {x}}=(x_{k})_{k=1,\dots ,n}} , S → = ( S k ) k = 1 , … , n {\displaystyle {\vec {S}}=(S_{k})_{k=1,\dots ,n}} , ⋂ S → = ⋂ k = 1 n S k {\displaystyle \bigcap {\vec {S}}=\bigcap _{k=1}^{n}S_{k}} 따위로 쓰자. σ {\displaystyle \sigma } 의 각 n {\displaystyle n} 항 연산 m i : M i n → M i {\displaystyle m_{i}\colon M_{i}^{n}\to M_{i}} ( i ∈ I {\displaystyle i\in I} )에 대하여, m : M n → M {\displaystyle m\colon M^{n}\to M} m : [ ( S → , x → ) ] ↦ [ ( ⋂ S → , m i ( x → i ) i ∈ ⋂ S → ) ] {\displaystyle m\colon [({\vec {S}},{\vec {x}})]\mapsto \left[\left(\bigcap {\vec {S}},m_{i}({\vec {x}}_{i})_{i\in \bigcap {\vec {S}}}\right)\right]} σ {\displaystyle \sigma } 의 각 n {\displaystyle n} 항 관계 R i ⊂ M i n {\displaystyle R_{i}\subset M_{i}^{n}} ( i ∈ I {\displaystyle i\in {\mathcal {I}}} )에 대하여, 다음과 같다. ( [ ( S → , x → ) ] ) ∈ R ⟺ { i ∈ I : x → i ∈ R i } ∈ U {\displaystyle ([({\vec {S}},{\vec {x}})])\in R\iff \left\{i\in I\colon {\vec {x}}_{i}\in R_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}} 이는 σ {\displaystyle \sigma } 형의 구조를 이룬다는 것을 보일 수 있다. 만약 모든 M i {\displaystyle M_{i}} 가 공집합이 아니거나, 아니면 { i ∈ I : M i = ∅ } ∈ U {\displaystyle \{i\in I\colon M_{i}=\varnothing \}\in {\mathcal {U}}} 라면 ( S , x ) {\displaystyle (S,x)} 에서 S = I {\displaystyle S=I} 인 경우로 국한할 수 있다. 즉, M = ( ∏ i ∈ I M i ) / ∼ {\displaystyle M=\left(\prod _{i\in I}M_{i}\right)/{\sim }} 으로 정의할 수 있다. 만약 모든 M i {\displaystyle M_{i}} 들이 같을 경우, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 초곱을 M {\displaystyle M} 의 초거듭제곱(超거듭제곱, 영어: ultrapower 울트라파워[*])이라고 한다. 워시 정리(영어: Łoś’ theorem)는 1차 논리의 명제가 초곱에서 성립할 필요충분조건을 제공한다. 부호수 σ {\displaystyle \sigma } 의 구조의 집합 { M i } i ∈ I {\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}} 및 극대 필터 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 및 a → ∈ M n {\displaystyle {\vec {a}}\in M^{n}} 및 σ {\displaystyle \sigma } 에 대한, n {\displaystyle n} 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 명제 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. M ⊨ ϕ ( [ a → ] ) {\displaystyle M\models \phi ([{\vec {a}}])} { i ∈ I : M i ⊨ ϕ ( a → i ) } ∈ U {\displaystyle \{i\in I\colon M_{i}\models \phi ({\vec {a}}_{i})\}\in {\mathcal {U}}} 이는 예르지 워시(폴란드어: Jerzy Łoś)가 증명하였다. 초곱 ∏ M / U {\displaystyle \prod M/{\mathcal {U}}} 에서, 만약 사용되는 극대 필터가 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 의 주 필터 ↑ i = { S ⊂ I : i ∈ S } {\displaystyle \uparrow i=\{S\subset I\colon i\in S\}} 라면, 초곱은 단순히 M i {\displaystyle M_{i}} 를 얻는다. M ≅ M i {\displaystyle M\cong M_{i}} 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 는 순서체의 형 ( + , ⋅ , − , ≤ ) {\displaystyle (+,\cdot ,-,\leq )} 의 구조이다. 실수의 집합의 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 개 초승은 실수의 모든 1차 논리적 성질들을 만족시키며, 이를 초실수라고 한다. Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (1969). 《Models and ultraproducts: an introduction》 (영어). North Holland. ISBN 0-7204-2054-7. Zbl 0179.31402.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 다음 날짜 값 확인 필요: |연도=와 |날짜=가 일치하지 않음 (도움말) Burris, Stanley N.; Hanamantagouda P. Sankappanavar (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Schoutens, Hans (2010). 《The use of ultraproducts in commutative algebra》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1999. Springer. doi:10.1007/978-3-642-13368-8. ISBN 978-3-642-13367-1. ISSN 0075-8434.  지원되지 않는 변수 무시됨: |zbll= (도움말) “Ultrafilter”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ultraproduct”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ultrapower”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Ultraproduct”. 《nLab》 (영어).  “Ultrapower”. 《nLab》 (영어).  Tao, Terry (2013년 12월 7일). “Ultraproducts as a bridge between discrete and continuous analysis”. 《What’s New》 (영어).  Leinster, Tom (2012년 9월 30일). “Where do ultraproducts come from?”. 《The n-Category Café》 (영어).