W-대수

수학과 등각 장론에서 W-대수(W-代數, 영어: W-algebra)는 2차원 등각 장론의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다.:106–111 비라소로 대수를 일반화한다. 스핀 2의 W-대수 W 2 {\displaystyle W_{2}} 는 비라소로 대수라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 T ( z ) {\displaystyle T(z)} 에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개는 다음과 같다. T ( z + w ) T ( w ) = z − 1 ∂ T ( w ) + 2 z − 2 T ( w ) + 1 2 c z − 4 {\displaystyle T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}} 여기서 c {\displaystyle c} 는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다. 스핀 3의 W-대수 W 3 {\displaystyle W_{3}} 는 알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견하였다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 T ( z ) {\displaystyle T(z)} (에너지-운동량 텐서)과 스핀 3의 정칙 1차장 W ( z ) {\displaystyle W(z)} 를 가지며, 이들 사이의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. T ( z + w ) T ( w ) = z − 1 ∂ T ( w ) + 2 z − 2 T ( w ) + 1 2 c z − 4 {\displaystyle T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}} T ( z + w ) W ( w ) = z − 1 ∂ W ( w ) + 3 z − 2 W ( w ) {\displaystyle T(z+w)W(w)=z^{-1}\partial W(w)+3z^{-2}W(w)} W ( z ) W ( w ) = 16 22 + 5 c ( z − 1 ∂ Λ + 2 z − 2 Λ ) + 1 15 ( z − 1 ∂ 3 T ( w ) + 9 2 z − 2 ∂ 2 T ( w ) + 15 z − 3 ∂ T ( w ) + 30 z − 4 T ( w ) ) + 1 3 c z − 6 {\displaystyle W(z)W(w)={\frac {16}{22+5c}}\left(z^{-1}\partial \Lambda +2z^{-2}\Lambda \right)+{\frac {1}{15}}\left(z^{-1}\partial ^{3}T(w)+{\frac {9}{2}}z^{-2}\partial ^{2}T(w)+15z^{-3}\partial T(w)+30z^{-4}T(w)\right)+{\frac {1}{3}}cz^{-6}} 여기서 Λ {\displaystyle \Lambda } 는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다. Λ ( z ) =: T T : ( z ) − 3 10 ∂ 2 T ( z ) {\displaystyle \Lambda (z)=:TT:(z)-{\frac {3}{10}}\partial ^{2}T(z)} 여기서 : ⋯ : {\displaystyle :\cdots :} 는 표준 순서를 나타낸다. W 3 {\displaystyle W_{3}} 에 대해서도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.:109 c = 2 ( 1 − 12 ( k + 3 ) ( k + 4 ) ) {\displaystyle c=2\left(1-{\frac {12}{(k+3)(k+4)}}\right)} k = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=1,2,3,\dots } 특히, k = 1 {\displaystyle k=1} 인 경우( c = 4 / 5 {\displaystyle c=4/5} )는 임계 3상태 포츠 모형으로, 이는 m = 5 {\displaystyle m=5} 인 비라소로 최소 모형과 같다. 일반적으로, 모든 N ≥ 2 {\displaystyle N\geq 2} 에 대하여, 스핀-N W-대수 W N {\displaystyle W_{N}} 이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다. W-대수 W N {\displaystyle W_{N}} 은 총 N − 1 {\displaystyle N-1} 개의 정칙 연산자들 T , W ( 3 ) , W ( 4 ) , … , W ( N ) {\displaystyle T,W^{(3)},W^{(4)},\dots ,W^{(N)}} 을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 2 , 3 , … , N {\displaystyle 2,3,\dots ,N} 이며, T {\displaystyle T} 와 W ( 3 ) {\displaystyle W^{(3)}} 는 1차 연산자이지만 W ( 4 ) , W ( 5 ) , … {\displaystyle W^{(4)},W^{(5)},\dots } 는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다. T ( z + w ) T ( w ) = z − 1 ∂ T ( w ) + 2 z − 2 T ( w ) + 1 2 c z − 4 {\displaystyle T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}} T ( z + w ) W ( s ) ( w ) ∼ z − 1 ∂ W ( s ) ( w ) + s z − 2 W ( s ) ( w ) + W ( s − 2 ) ( w ) + W ( s − 4 ) ( w ) + ⋯ ( s = 3 , … , N ) {\displaystyle T(z+w)W^{(s)}(w)\sim z^{-1}\partial W^{(s)}(w)+sz^{-2}W^{(s)}(w)+W^{(s-2)}(w)+W^{(s-4)}(w)+\cdots (s=3,\dots ,N)} W ( s ) ( z + w ) W ( s ′ ) ( w ) ∼ W ( s + s ′ − 2 ) + W ( s + s ′ − 4 ) + ⋯ + c δ s − s ′ {\displaystyle W^{(s)}(z+w)W^{(s')}(w)\sim W^{(s+s'-2)}+W^{(s+s'-4)}+\cdots +c\delta _{s-s'}} 여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나 z − k {\displaystyle z^{-k}} 및 ∂ k {\displaystyle \partial ^{k}} 등을 생략하였다. 유한한 N {\displaystyle N} 에 대한 W N {\displaystyle W_{N}} 말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 W ∞ {\displaystyle W_{\infty }} 와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 W 1 + ∞ {\displaystyle W_{1+\infty }} 가 존재한다. Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Pope, C.N. (1991). “Lectures on W algebras and W gravity” (영어). arXiv:hep-th/9112076. Bibcode:1991hep.th...12076P.  Bouwknegt, Peter; Kareljan Schoutens (1993). “W symmetry in conformal field theory”. 《Physics Reports》 (영어) 223 (4): 183–276. arXiv:hep-th/9210010. Bibcode:1993PhR...223..183B. doi:10.1016/0370-1573(93)90111-P. ISSN 0370-1573. MR 1208246.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Zamolodchikov, A. B. (1985). “Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля” (PDF). 《Теоретическая и математическая физика》 (러시아어) 65 (3): 347–359. doi:10.1007/BF01036128. ISSN 0564-6162. MR 829902.  Bouwknegt, Peter; Kareljan Schoutens (1995). 《W-symmetry》. Advanced Series in Mathematical Physics (영어) 22. World Scientific. ISBN 9789810217624. MR 1338864.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Dickey, L. A. (1997). “Lectures on classical W-algebras”. 《Acta Applicandae Mathematicae》 (영어) 47 (3): 243–321. doi:10.1023/A:1017903416906. ISSN 0167-8019.