리 준대수

미분기하학에서 리 준대수(Lie準代數, 영어: Lie algebroid)는 (유한 차원) 실수 리 대수의 일반화이다. 리 대수와 리 준대수 사이의 관계는 리 군과 리 준군 사이의 관계와 같다. 리 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 매끄러운 단면 Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)} 위의 리 대수 구조 [ − , − ] {\displaystyle [-,-]} 매끄러운 벡터 다발 사상 ρ : E → T M {\displaystyle \rho \colon E\to \mathrm {T} M} . 이를 닻(영어: anchor)이라고 한다. 이는 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다. [ s , f t ] = ( ∇ ρ ( s ) f ) t + f [ s , t ] ∀ s , t ∈ Γ ∞ ( E ) , f ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle [s,ft]=(\nabla _{\rho (s)}f)t+f[s,t]\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(E),\;f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 위의 리 준대수이다. 매끄러운 주다발에는 아티야 리 준대수라는 표준적인 리 준대수가 대응된다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에서, E = T M {\displaystyle E=\mathrm {T} M} ρ = id T M {\displaystyle \rho =\operatorname {id} _{\mathrm {T} M}} (항등 함수) [ X , Y ] = L X Y {\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{X}Y} (리 미분) 를 부여하면, 이는 리 준대수를 이룬다. 보다 일반적으로, T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 의 적분 가능 부분 다발 (즉, [ E , E ] ⊆ E {\displaystyle [E,E]\subseteq E} 인 부분 벡터 다발 E ⊆ T M {\displaystyle E\subseteq \mathrm {T} M} )은 이 리 준대수의 부분 리 준대수를 이룬다. 임의의 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 에 대하여 ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} [ − , − ] = 0 {\displaystyle [-,-]=0} 을 부여한다면, 이는 (자명하게) 리 준대수를 이룬다. 이는 아벨 리 대수의 일반화이다. 푸아송 다양체 ( M , { − , − } ) {\displaystyle (M,\{-,-\})} 가 주어졌다고 하자. 정의에 따라, 항상 { f , g } = π ( d f , d g ) {\displaystyle \{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)} 인 (2,0)차 반대칭 텐서 π {\displaystyle \pi } 를 정의할 수 있다. 이제, E = T ∗ M {\displaystyle E=\mathrm {T} ^{*}M} ρ ( α ) = π ( α , − ) ( α ∈ Ω 1 ( M ) ) {\displaystyle \rho (\alpha )=\pi (\alpha ,-)\qquad (\alpha \in \Omega ^{1}(M))} [ α , β ] = L ρ α β − L ρ β α − d ( π ( α , β ) ) ( α , β ∈ Ω 1 ( M ) ) {\displaystyle [\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}_{\rho \alpha }\beta -{\mathcal {L}}_{\rho \beta }\alpha -\mathrm {d} (\pi (\alpha ,\beta ))\qquad (\alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M))} 로 놓으면, 이는 리 준대수를 이룬다. 이를 푸아송 리 준대수(영어: Poisson Lie algebroid)라고 한다. 리 준대수의 개념은 1967년에 장 프라딘(프랑스어: Jean Pradines)이 도입하였다. Weinstein, Alan (1996). “Groupoids: unifying internal and external symmetry” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 43: 744–752. arXiv:math/9602220.  Mackenzie, Kirill (1987). 《Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511661839.  Mackenzie, Kirill (2005). 《General theory of Lie groupoids and Lie algebroids》 (영어). Cambridge University Press.  Marle, Charles-Michel (2002). “Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds” (영어). arXiv:0804.2451.  Pradines, Jean (1967). “Théorie de Lie pour les groupoïdes différentiables. Calcul différentiel dans la catégorie des groupoïdes infinitésimaux”. 《Comptes Rendus de l’Académie des sciences. Série A》 (프랑스어) 264: 245–248. MR 216409. Zbl 0154.21704.  “Lie algebroid”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebroid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).  “Tangent Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).