갈루아 군

수학에서 갈루아 군(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 L {\displaystyle L} 의 자기 동형 f : L → L {\displaystyle f\colon L\to L} 가운데 f ( k ) = k ∀ k ∈ K {\displaystyle f(k)=k\forall k\in K} 인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 의 자기 동형군 Aut ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)} 라고 한다. 만약 L / K {\displaystyle L/K} 가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군 Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 이라고 한다. 체 K {\displaystyle K} 의 분해 가능 폐포 K sep {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }} 의 자기 동형군 Gal ⁡ ( K sep / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)} 을 절대 갈루아 군(영어: absolute Galois group) Gal ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Gal} K} 이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다. Gal ⁡ K ≅ π 1 e ´ t ( Spec ⁡ K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} K\cong \pi _{1}^{\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K)} K sep / K {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }/K} 는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다. 갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 Sub ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (L/K)} 및 갈루아 부분 확대들의 격자 S u b G a l ⁡ ( L / K ) ⊂ Sub ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)\subset \operatorname {Sub} (L/K)} 를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다. Gal ⁡ ( L / K ) = lim ← M ∈ S u b G a l ⁡ ( L / K ) [ M : K ] < ℵ 0 ⁡ Gal ⁡ ( M / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)=\varprojlim _{M\in \operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)}^{[M:K]<\aleph _{0}}\operatorname {Gal} (M/K)} 이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상(영어: Krull topology)이라고 한다. 갈루아 이론의 기본 정리(영어: fundamental theorem of Galois theory)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다. 이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다. 갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 K {\displaystyle K} 의 스펙트럼 Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 의 에탈 코호몰로지와 같다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌을 때, 자기 동형군 Aut ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)} 는 정의에 따라 L {\displaystyle L} 위에 자연스럽게 작용하며, ( L , + ) {\displaystyle (L,+)} 은 군환 Z [ Aut ⁡ ( L / K ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\operatorname {Aut} (L/K)]} 위의 가군을 이룬다. ( n 1 g 1 + n 2 g 2 + ⋯ + n k g k ) ⋅ a = n 1 g 1 ( a ) + n 2 g 2 ( a ) + ⋯ + n k g k ( a ) ∀ g 1 , … , g k ∈ Aut ⁡ ( L / K ) , n 1 , … , n k ∈ Z {\displaystyle (n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=n_{1}g_{1}(a)+n_{2}g_{2}(a)+\cdots +n_{k}g_{k}(a)\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Aut} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} } 가법 힐베르트 90번 정리(加法Hilbert九十番定理, 영어: additive Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 갈루아 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, L {\displaystyle L} 계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다. H n ⁡ ( Gal ⁡ ( L / K ) ; L ) = { K n = 0 0 n > 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Gal} (L/K);L)={\begin{cases}K&n=0\\0&n>0\end{cases}}} (이는 정규 기저 정리(영어: normal basis theorem)로부터 증명할 수 있다.) 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌을 때, 자기 동형군 Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 는 가역원군 L × {\displaystyle L^{\times }} 위에 자연스럽게 작용하며, L × {\displaystyle L^{\times }} 는 군환 Z [ Gal ⁡ ( L / K ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\operatorname {Gal} (L/K)]} 위의 가군을 이룬다. ( n 1 g 1 + n 2 g 2 + ⋯ + n k g k ) ⋅ a = ( g 1 ( a ) ) n 1 ( g 2 ( a ) ) n 1 ⋯ ( g k ( a ) ) n k ∀ g 1 , … , g k ∈ Gal ⁡ ( L / K ) , n 1 , … , n k ∈ Z {\displaystyle (n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=(g_{1}(a))^{n_{1}}(g_{2}(a))^{n_{1}}\cdots (g_{k}(a))^{n_{k}}\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Gal} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} } 승법 힐베르트 90번 정리(乘法Hilbert九十番定理, 영어: multiplicative Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 확대 L / K {\displaystyle L/K} 의 자기 동형군 Aut ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)} 가 유한군이라면, L × {\displaystyle L^{\times }} 계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다. H 1 ⁡ ( Gal ⁡ ( L / K ) ; L × ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (L/K);L^{\times })=0} (이 경우 L / K {\displaystyle L/K} 가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.) 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, Gal ⁡ ( K / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/K)} 는 자명군이다. Gal ⁡ ( Q ( 2 ) / Q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )} 은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와 a + b 2 ↦ a − b 2 {\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}} 이다. 모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 의 절대 갈루아 군 Gal ⁡ ( K / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/K)} 은 자명군이다. 실수체의 절대 갈루아 군 Gal ⁡ ( C / R ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )} 는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}} 이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.) 유리수체의 절대 갈루아 군 Gal ⁡ ( C / Q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )} 는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(영어: Belyi’s theorem)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다. 아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다. 절대 갈루아 군 갈루아 이론 갈루아 모듈 가해군 “Galois group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Galois topological group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Galois cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Galois group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fundamental theorem of Galois theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Galois group”. 《nLab》 (영어).  “Absolute Galois group”. 《nLab》 (영어).  “Galois cohomology”. 《nLab》 (영어).