세그레 매장

대수기하학에서, 세그레 매장(Segre埋藏, 영어: Segre embedding)은 두 사영 공간의 곱을 더 큰 사영 공간의 닫힌 부분 대수다형체로 표현하는 대수다형체 사상이다. 이를 통하여, 사영 대수다형체의 곱이 사영 대수다형체임을 보일 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 체 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} -벡터 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 그렇다면, 벡터 공간의 텐서곱 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} 을 정의할 수 있으며, 표준적인 함수 V ⊕ W → V ⊗ W {\displaystyle V\oplus W\to V\otimes W} ( v , w ) ↦ v ⊗ w {\displaystyle (v,w)\mapsto v\otimes w} 가 존재한다. 이는 일반적으로 K {\displaystyle K} -선형 변환이 아니며, 2차 동차 함수이다. 예를 들어 α ( v , w ) ↦ α 2 ( v ⊗ w ) ( α ∈ K ) {\displaystyle \alpha (v,w)\mapsto \alpha ^{2}(v\otimes w)\qquad (\alpha \in K)} 이다. 또한, 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 예를 들어 ( α v , α − 1 w ) ↦ v ⊗ w ( α ∈ K ) {\displaystyle (\alpha v,\alpha ^{-1}w)\mapsto v\otimes w\qquad (\alpha \in K)} 이다. 이제, 양변의 사영 공간을 취할 수 있다. P ( V ⊕ W ) → P ( V ⊗ W ) {\displaystyle \mathbb {P} (V\oplus W)\to \mathbb {P} (V\otimes W)} 사실, 이 사상은 다음과 같이 표준적으로 분해된다. P ( V ⊕ W ) ↠ P ( V ) × P ( W ) ↪ P ( V ⊗ W ) {\displaystyle \mathbb {P} (V\oplus W)\twoheadrightarrow \mathbb {P} (V)\times \mathbb {P} (W)\hookrightarrow \mathbb {P} (V\otimes W)} 여기서 첫 함수는 전사 함수이며 둘째 함수는 단사 함수이다. 이 둘째 함수를 세그레 매장이라고 한다. 선형 대수학에서 동일한 체 K {\displaystyle \mathbb {K} } 에 대해 주어진 벡터 공간 U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} 에 대해 데카르트 곱을 텐서 곱으로 사상하는 자연스러운 방법이 있다. φ : U × V → U ⊗ V .   {\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ } 일반적으로 이것은 단사일 필요가 없다. 왜냐하면, ∀ c ∈ K , c ≠ 0 , ∀ u ∈ U , ∀ v ∈ V {\displaystyle \forall c\in \mathbb {K} ,c\neq 0,\forall u\in U,\forall v\in V} , φ ( u , v ) = u ⊗ v = c u ⊗ c − 1 v = φ ( c u , c − 1 v ) .   {\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ } 기본 사영 공간 P ( U ) , P ( V ) {\displaystyle P(U),P(V)} 를 고려하면 이 사상은 다형체의 사상이 된다: σ : P ( U ) × P ( V ) → P ( U ⊗ V ) .   {\displaystyle \sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\ } 이것은 집합론적 의미에서 단사일 뿐만 아니라 대수 기하학의 의미에서 닫힌 몰입이다. 즉, 상에 대한 일련의 방정식을 제공할 수 있다. 표기상의 문제를 제외하고, 그러한 방정식이 무엇인지 말하기는 쉽다. 그들은 텐서 곱에서 좌표의 곱을 인수분해하는 두 가지 방법을 표현한다. 이 사상 σ는 세그레 매장이다. 차원을 세어 보면 m차원과 n차원의 사영 공간의 곱이 차원에 포함되는 방식을 보여준다. ( m + 1 ) ( n + 1 ) − 1 = m n + m + n .   {\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ } 고전적인 용어는 곱의 좌표를 다중동차라고 하고 곱을 k인자 k-way 사영 공간으로 일반화한다. 세그레 다형체는 행렬식 다형체의 예이다. 행렬 ( Z i , j ) {\displaystyle (Z_{i,j})} 의 2 × 2 부분 행렬의 행렬식의 근들의 궤적이다. 즉, 세그레 다형체는 2차 다항식 Z i , j Z k , l − Z i , l Z k , j {\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}} 의 공통 근들의 궤적이다. 여기서, Z i , j {\displaystyle Z_{i,j}} 는 세그레 사상의 상의 자연 좌표로 이해된다. 세그레 다형체 Σ n , m {\displaystyle \Sigma _{n,m}} 는 P n   {\displaystyle P^{n}\ } 과 P m {\displaystyle P^{m}} 의 범주 곱이다. 사영 π X : Σ n , m → P n   {\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ } 의 첫 번째 성분은 부분 집합의 교집합에 동의하는 세그레 다형체를 포함하는 열린 부분 집합의 m + 1 {\displaystyle m+1} 가지 사상들로 지정할 수 있다. 고정된 j 0 {\displaystyle j_{0}} 에 대해, 사상은 [ Z i , j ] {\displaystyle [Z_{i,j}]} 를 [ Z i , j 0 ] {\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]} 로 보낸다. 방정식 Z i , j Z k , l = Z i , l Z k , j   {\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ } 는 이러한 사상이 서로 일치하는지 확인한다. 왜냐하면, Z i 0 , j 0 ≠ 0 {\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0} 이면 [ Z i , j 1 ] = [ Z i 0 , j 0 Z i , j 1 ] = [ Z i 0 , j 1 Z i , j 0 ] = [ Z i , j 0 ] {\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]} 이기 때문이다. 곱의 올은 선형 부분 공간이다. 즉, π X : Σ n , m → P n   {\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ } 를 첫 번째 인자에 대한 사영이라 하자(마찬가지로 π Y {\displaystyle \pi _{Y}} 는 두 번째 인자의 사영). 그러면 고정된 점 p에 대해 사상 σ ( π X ( ⋅ ) , π Y ( p ) ) : Σ n , m → P ( n + 1 ) ( m + 1 ) − 1   {\displaystyle \sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ } 의 상은 공역의 선형 부분 공간이다. 세그레 매장 P 1 × P 1 → P 3 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}} ( [ x : y ] , [ z : w ] ) → [ x z : x w : y z : y w ] = [ X , Y , Z , W ] {\displaystyle ([x:y],[z:w])\to [xz:xw:yz:yw]=[X,Y,Z,W]} 을 생각해 보자. 이 경우, 그 상은 det ( X Y Z W ) = X W − Y Z = 0 {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}X&Y\\Z&W\end{pmatrix}}=XW-YZ=0} 을 만족시킨다. 즉, 이는 대수다양체의 동형 사상 P 1 × P 1 ≅ Proj ⁡ K [ X , Y , Z , W ] X W − Y Z {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X,Y,Z,W]}{XW-YZ}}} 을 정의한다. 사상 σ : P 2 × P 1 → P 5 {\displaystyle \sigma :P^{2}\times P^{1}\to P^{5}} 는 세그레 삼중체로 알려져 있다. 유리 정규 스크롤의 예이다. 세그레 삼중체와 three-plane P 3 {\displaystyle P^{3}} 의 교점은 꼬인 삼차 곡선이다. 세그레 사상에 대한 대각선 Δ ⊂ P n × P n {\displaystyle \Delta \subset P^{n}\times P^{n}} 의 상은 2차 베로네세의 다형체이다. ν 2 : P n → P n 2 + 2 n .   {\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ } 베니아미노 세그레(영어: Beniamino Segre, 1903-1977, 코라도 세그레의 조카)가 도입하였다. McKernan, James (2010). “Algebraic Geometry Course, Lecture 6: Products and fibre products” (PDF). 《online course material》. 2014년 4월 11일에 확인함.  “Segre imbedding”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.