대응 정리

추상대수학에서, 대응 정리(영어: correspondence theorem)는 또는 제4 동형 정리(영어: fourth isomorphism theorem) 또는 격자 정리(영어: lattice theorem)는 몫 대수 구조의 합동 관계들을 묘사하는 정리이다. 대수 구조 A {\displaystyle A} 와 그 위의 합동 관계 ∼ ∈ Cong ⁡ ( A ) {\displaystyle {\sim }\in \operatorname {Cong} (A)} 가 주어졌다고 하자. 대응 정리에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.:49, Theorem 6.20 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 Cong ⁡ ( A / ∼ ) {\displaystyle \operatorname {Cong} (A/{\sim })} A {\displaystyle A} 의 합동 관계들 가운데, ∼ {\displaystyle {\sim }} 에 의하여 함의되는 것들의 격자 ↑ ∼ = { ∼ ′ ∈ Cong ⁡ ( A ) : ∀ a , b ∈ A : a ∼ b ⟹ a ∼ ′ b } {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\sim }=\{{\sim }'\in \operatorname {Cong} (A)\colon \forall a,b\in A\colon a\sim b\implies a\sim 'b\}} . 이는 A {\displaystyle A} 의 합동 관계 격자 Cong ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Cong} (A)} 의 부분 격자를 이룬다. 두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. ↑ ∼ → Cong ⁡ ( A / ∼ ) {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\sim }\to \operatorname {Cong} (A/{\sim })} ∼ ′ ↦ ∼ ′ / ∼ {\displaystyle {\sim }'\mapsto {\sim }'/{\sim }} 여기서 ∼ ′ / ∼ {\displaystyle {\sim }'/{\sim }} 은 다음과 같은 A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 위의 이항 관계다. [ a ] ∼ ∼ ′ / ∼ [ b ] ∼ ⟺ a ∼ ′ b {\displaystyle [a]_{\sim }\mathrel {{\sim }'/{\sim }} [b]_{\sim }\iff a\sim 'b} 즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다. 만약 ∼ ′ {\displaystyle {\sim }'} 이 ∼ {\displaystyle {\sim }} 을 포함하는 A {\displaystyle A} 위의 합동 관계라면, ∼ ′ / ∼ {\displaystyle {\sim }'/{\sim }} 은 A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 위의 합동 관계이다. A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 위의 모든 합동 관계는 어떤 ∼ {\displaystyle {\sim }} 을 포함하는 A {\displaystyle A} 위의 합동 관계 ∼ ′ {\displaystyle {\sim }'} 에 대하여 ∼ ′ / ∼ {\displaystyle {\sim }'/{\sim }} 의 꼴로 나타낼 수 있다. ∼ {\displaystyle {\sim }} 을 포함하는 A {\displaystyle A} 위의 합동 관계 ∼ 1 , ∼ 2 ∈ ↑ ∼ {\displaystyle {\sim }_{1},{\sim }_{2}\in \mathop {\uparrow } {\sim }} 에 대하여, 다음이 성립한다. a ∼ 1 b {\displaystyle a\sim _{1}b} 가 a ∼ 2 b {\displaystyle a\sim _{2}b} 를 함의하는 것과 a ∼ 1 / ∼ b {\displaystyle a\mathrel {{\sim }_{1}/{\sim }} b} 는 a ∼ 2 / ∼ b {\displaystyle a\mathrel {{\sim }_{2}/{\sim }} b} 를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다. ( ∼ 1 ∨ ∼ 2 ) / ∼ = ∼ 1 / ∼ ∨ ∼ 2 / ∼ {\displaystyle ({\sim }_{1}\vee {\sim }_{2})/{\sim }={\sim }_{1}/{\sim }\vee {\sim }_{2}/{\sim }} . 여기서 ∼ 1 ∨ ∼ 2 {\displaystyle {\sim }_{1}\vee {\sim }_{2}} 는 ∼ 1 {\displaystyle \sim _{1}} 과 ∼ 2 {\displaystyle \sim _{2}} 로 생성되는 합동 관계이다. ( ∼ 1 ∩ ∼ 2 ) / ∼ = ∼ 1 / ∼ ∩ ∼ 2 / ∼ {\displaystyle ({\sim }_{1}\cap {\sim }_{2})/{\sim }={\sim }_{1}/{\sim }\cap {\sim }_{2}/{\sim }} . 여기서 ∼ 1 ∩ ∼ 2 {\displaystyle {\sim }_{1}\cap {\sim }_{2}} 는 a ∼ 1 ∩ ∼ 2 b ⟺ a ∼ 1 b ∧ a ∼ 2 b {\displaystyle a\mathrel {{\sim }_{1}\cap {\sim }_{2}} b\iff a\sim _{1}b\land a\sim _{2}b} 로 정의된다. 대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다. 군 G {\displaystyle G} 및 정규 부분군 N ⊲ G {\displaystyle N\vartriangleleft G} 에 대하여, N {\displaystyle N} 을 포함하는 G {\displaystyle G} 의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수 ↑ ⁡ N = { H ≤ G : N ⊆ H } → Sub ⁡ ( A / N ) {\displaystyle \mathop {\uparrow } N=\{H\leq G\colon N\subseteq H\}\to \operatorname {Sub} (A/N)} H ↦ H / N = { h N : h ∈ H } {\displaystyle H\mapsto H/N=\{hN\colon h\in H\}} 를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. H ↦ H / N {\displaystyle H\mapsto H/N} 은 격자의 동형 사상이다. 즉, 임의의 N ≤ H ≤ G {\displaystyle N\leq H\leq G} 에 대하여, H / N ≤ G / N {\displaystyle H/N\leq G/N} 임의의 K ≤ G / N {\displaystyle K\leq G/N} 에 대하여, K = H / N {\displaystyle K=H/N} 인 N ≤ H ≤ G {\displaystyle N\leq H\leq G} 가 존재한다. 임의의 N ≤ H , K ≤ G {\displaystyle N\leq H,K\leq G} 에 대하여, H ≤ K {\displaystyle H\leq K} 일 필요충분조건은 H / N ≤ K / N {\displaystyle H/N\leq K/N} 이다. ⟨ H ∪ K ⟩ / N = ⟨ H / N ∪ K / N ⟩ {\displaystyle \langle H\cup K\rangle /N=\langle H/N\cup K/N\rangle } . 여기서 ⟨ H ∪ K ⟩ {\displaystyle \langle H\cup K\rangle } 는 H ∪ K {\displaystyle H\cup K} 로 생성된 부분군이다. ( H ∩ K ) / N = H / N ∩ K / N {\displaystyle (H\cap K)/N=H/N\cap K/N} H ⊲ G {\displaystyle H\vartriangleleft G} 일 필요충분조건은 H / N ⊲ G / N {\displaystyle H/N\vartriangleleft G/N} 이다. 환 R {\displaystyle R} 및 아이디얼 a ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R} 에 대하여, a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수 ↑ ⁡ a = { S ∈ Sub ⁡ ( R ) : a ⊂ S } → Sub ⁡ ( R / a ) {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathfrak {a}}=\{S\in \operatorname {Sub} (R)\colon {\mathfrak {a}}\subset S\}\to \operatorname {Sub} (R/{\mathfrak {a}})} S ↦ S / a = { s + a : s ∈ S } {\displaystyle S\mapsto S/{\mathfrak {a}}=\{s+{\mathfrak {a}}\colon s\in S\}} 를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. S ↦ S + a {\displaystyle S\mapsto S+{\mathfrak {a}}} 는 격자의 동형 사상이다. 즉, 임의의 부분환 a ⊂ S ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset S\subset R} 에 대하여, S / a {\displaystyle S/{\mathfrak {a}}} 는 R / a {\displaystyle R/{\mathfrak {a}}} 의 부분환이다. 임의의 부분환 T ⊂ R / a {\displaystyle T\subset R/{\mathfrak {a}}} 에 대하여, T = S / a {\displaystyle T=S/{\mathfrak {a}}} 인 부분환 a ⊂ S ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset S\subset R} 가 존재한다. 임의의 부분환 a ⊂ S , T ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset S,T\subset R} 에 대하여, S ⊂ T {\displaystyle S\subset T} 일 필요충분조건은 S / a ⊂ T / a {\displaystyle S/{\mathfrak {a}}\subset T/{\mathfrak {a}}} 이다. ⟨ S ∪ T ⟩ / a = ⟨ S / a ∪ T / b ⟩ {\displaystyle \langle S\cup T\rangle /{\mathfrak {a}}=\langle S/{\mathfrak {a}}\cup T/{\mathfrak {b}}\rangle } . 여기서 ⟨ S ∪ T ⟩ {\displaystyle \langle S\cup T\rangle } 는 S ∪ T {\displaystyle S\cup T} 로 생성된 부분환이다. ( S ∩ T ) / a = S / a ∩ T / a {\displaystyle (S\cap T)/{\mathfrak {a}}=S/{\mathfrak {a}}\cap T/{\mathfrak {a}}} S {\displaystyle S} 가 R {\displaystyle R} 의 아이디얼일 필요충분조건은 S / a {\displaystyle S/{\mathfrak {a}}} 가 R / a {\displaystyle R/{\mathfrak {a}}} 의 아이디얼인 것이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 및 부분 가군 N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} 에 대하여, N {\displaystyle N} 을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수 ↑ ⁡ N = { N ′ ∈ Sub ⁡ ( M ) : N ⊂ N ′ } → Sub ⁡ ( M / N ) {\displaystyle \mathop {\uparrow } N=\{N'\in \operatorname {Sub} (M)\colon N\subset N'\}\to \operatorname {Sub} (M/N)} N ′ ↦ N ′ / N = { m + N : m ∈ N ′ } {\displaystyle N'\mapsto N'/N=\{m+N\colon m\in N'\}} 는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 부분 가군 N ⊂ N ′ ⊂ M {\displaystyle N\subset N'\subset M} 에 대하여, N ′ / N {\displaystyle N'/N} 는 M / N {\displaystyle M/N} 의 부분 가군이다. 임의의 부분 가군 N ″ ⊂ M / N {\displaystyle N''\subset M/N} 에 대하여, N ″ = N ′ / N {\displaystyle N''=N'/N} 인 부분 가군 N ⊂ N ′ ⊂ M {\displaystyle N\subset N'\subset M} 가 존재한다. 임의의 부분 가군 N ⊂ N ′ , N ″ ⊂ M {\displaystyle N\subset N',N''\subset M} 에 대하여, N ′ ⊂ N ″ {\displaystyle N'\subset N''} 일 필요충분조건은 N ′ / N ⊂ N ″ / N {\displaystyle N'/N\subset N''/N} 이다. ( N ′ + N ″ ) / N = N ′ / N + N ″ / N {\displaystyle (N'+N'')/N=N'/N+N''/N} ( N ′ ∩ N ″ ) / N = N ′ / N ∩ N ″ / N {\displaystyle (N'\cap N'')/N=N'/N\cap N''/N} 모듈러 격자 Derek John Scott Robinson (2003). 《An Introduction to Abstract Algebra》. Walter de Gruyter. 64쪽. ISBN 978-3-11-017544-8.  J. F. Humphreys (1996). 《A Course in Group Theory》. Oxford University Press. 65쪽. ISBN 978-0-19-853459-4.  H.E. Rose (2009). 《A Course on Finite Groups》. Springer. 78쪽. ISBN 978-1-84882-889-6.  J.L. Alperin; Rowen B. Bell (1995). 《Groups and Representations》. Springer. 11쪽. ISBN 978-1-4612-0799-3.  I. Martin Isaacs (1994). 《Algebra: A Graduate Course》. American Mathematical Soc. 35쪽. ISBN 978-0-8218-4799-2.  Joseph Rotman (1995). 《An Introduction to the Theory of Groups》 4판. Springer. 37–38쪽. ISBN 978-1-4612-4176-8.  W. Keith Nicholson (2012). 《Introduction to Abstract Algebra》 4판. John Wiley & Sons. 352쪽. ISBN 978-1-118-31173-8.  Steven Roman (2011). 《Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach》. Springer Science & Business Media. 113–115쪽. ISBN 978-0-8176-8301-6.  Jonathan K. Hodge; Steven Schlicker; Ted Sundstrom (2013). 《Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach》. CRC Press. 425쪽. ISBN 978-1-4665-6708-5.  Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 2022년 7월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2022년 8월 8일에 확인함.