가측 공간

측도론에서, 가측 공간(可測空間, 영어: measurable space)은 가측 집합(可測集合, 영어: measurable set)이라는 특별한 부분 집합들의 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 가측 함수라고 한다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, 그 멱집합 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 는 완비 불 대수이며, 특히 시그마 대수이다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. X {\displaystyle X} 는 집합이다. Σ ⊆ P ( X ) {\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)} 는 시그마 대수 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 시그마 대수이다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다. (여집합에 대한 닫힘) 모든 S ∈ Σ {\displaystyle S\in \Sigma } 에 대하여, X ∖ S ∈ Σ {\displaystyle X\setminus S\in \Sigma } 이다. (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합 S ⊆ Σ {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma } ( | S | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}} )에 대하여, ⋃ S ∈ Σ {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma } 이다. (특히, 만약 S = ∅ {\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing } 일 경우 ⋃ ∅ = ∅ ∈ Σ {\displaystyle \textstyle \bigcup \varnothing =\varnothing \in \Sigma } 이다.) Σ {\displaystyle \Sigma } 의 원소를 X {\displaystyle X} 의 가측 집합이라고 한다. 가측 공간들과 가측 함수들은 구체적 범주 Measble {\displaystyle \operatorname {Measble} } 를 이룬다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 가 다음 조건을 만족시킨다면 분리 가측 공간(分離可測空間, 영어: separated measurable space)이라고 한다. f : X → P ( Σ ) {\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}(\Sigma )} , f : x ↦ { S ∈ Σ : x ∈ S } {\displaystyle f\colon x\mapsto \{S\in \Sigma \colon x\in S\}} 는 단사 함수이다. 즉, 임의의 두 점 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, 만약 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 라면, x ∈ S ∌ y {\displaystyle x\in S\not \ni y} 인 S ∈ Σ {\displaystyle S\in \Sigma } 가 존재한다. 임의의 가측 공간 X {\displaystyle X} 에서, 공집합 ∅ {\displaystyle \varnothing } 과 전체 집합 X {\displaystyle X} 은 항상 가측 집합이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 1개 이상의 (유한 또는 무한 개의) 임의의 가측 공간 구조들 { Σ i } {\displaystyle \{\Sigma _{i}\}} 이 주어졌을 때, 그 교집합 ⋂ i ∈ I Σ i {\displaystyle \bigcap _{i\in I}\Sigma _{i}} 역시 X {\displaystyle X} 위의 가측 공간 구조이다.:Exercise 1.4.13 (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.) 따라서, 임의의 집합족 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대해, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다.:Definition 1.4.14 구체적으로, 이는 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 σ ( F ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})} 로 표기하자. 따라서, 주어진 집합 X {\displaystyle X} 위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다. 가측 공간 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 의 가측 집합의 수는 항상 2 n {\displaystyle 2^{n}} 꼴의 양의 정수이거나, 아니면 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다. 증명: ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 가 무한 개의 가측 집합들을 갖는 가측 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합렬을 재귀적으로 고른다. X ∖ ( S 0 ∪ ⋯ ∪ S i ) {\displaystyle X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})} 가 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다고 가정한다. X ∖ ( S 0 ∪ ⋯ ∪ S i ) {\displaystyle X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})} 에서, 공집합이나 전체 집합이 아닌 임의의 가측 부분 집합 ∅ ≠ E i + 1 ⊊ X ∖ ( S 0 ∪ ⋯ ∪ S i ) {\displaystyle \varnothing \neq E_{i+1}\subsetneq X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})} 을 고른다. X ∖ ( S 0 ∪ ⋯ ∪ S i ) {\displaystyle X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})} 는 무한 개의 가측 부분 집합들을 가지므로, { S ∈ Σ : S ⊆ E i + 1 } {\displaystyle \{S\in \Sigma \colon S\subseteq E_{i+1}\}} 또는 { S ∈ Σ : S ⊆ X ∖ ( S 0 ∪ ⋯ ∪ S i ∪ E i + 1 ) } {\displaystyle \{S\in \Sigma \colon S\subseteq X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i}\cup E_{i+1})\}} 가운데 적어도 하나가 무한 집합이며, 다음과 같이 정의한다면 X ∖ ( S 0 ∪ ⋯ ∪ S i + 1 ) {\displaystyle X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i+1})} 역시 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다. S i + 1 = { E i + 1 | { S ∈ Σ : S ⊆ E i + 1 } | < ℵ 0 X ∖ ( S 0 ∩ ⋯ ∪ S i ∪ E i + 1 ) | { S ∈ Σ : S ⊆ E i + 1 } | ≥ ℵ 0 {\displaystyle S_{i+1}={\begin{cases}E_{i+1}&|\{S\in \Sigma \colon S\subseteq E_{i+1}\}|<\aleph _{0}\\X\setminus (S_{0}\cap \cdots \cup S_{i}\cup E_{i+1})&|\{S\in \Sigma \colon S\subseteq E_{i+1}\}|\geq \aleph _{0}\end{cases}}} 따라서, S 0 , S 1 , ⋯ ∈ Σ {\displaystyle S_{0},S_{1},\dots \in \Sigma } 는 가산 무한 개의 서로소 가측 집합들을 이루며, { ⋃ i ∈ I S i : I ⊆ N } ⊆ Σ {\displaystyle \left\{\bigcup _{i\in I}S_{i}\colon I\subseteq \mathbb {N} \right\}\subseteq \Sigma } 는 크기 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 의, Σ {\displaystyle \Sigma } 의 부분 집합을 이룬다. 따라서 | Σ | ≥ 2 ℵ 0 {\displaystyle |\Sigma |\geq 2^{\aleph _{0}}} 이다. 집합 X {\displaystyle X} 의 집합족 A ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 로부터 생성되는 가측 공간 구조 σ ( A ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})} 의 크기의 상계는 다음과 같다.:Exercise 1.4.16 | σ ( A ) | ≤ | A | ℵ 0 {\displaystyle |\sigma ({\mathcal {A}})|\leq |{\mathcal {A}}|^{\aleph _{0}}} 이는 σ ( A ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})} 를 초한 귀납법으로 구성할 때 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 은 최소의 비가산 순서수이다.) 집합 X {\displaystyle X} 속의 집합족 A ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여 다음 조건들을 정의하자. (π) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, A ∩ B ∈ A {\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {A}}} 이다. 이를 만족시키는 집합족을 π계(영어: π-system)라고 한다. (λ) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 는 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, ∅ ∈ A {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {A}}} 이다.) 이를 만족시키는 집합족을 λ계(영어: λ-system)라고 한다. (π′) P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, ∅ ∈ A {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {A}}} 이다. 이를 만족시키는 집합족을 집합체(영어: field of sets)라고 한다. (λ′) X ∈ A {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}} 이며, 임의의 A 0 , A 1 , ⋯ ∈ A {\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \in {\mathcal {A}}} 에 대하여, A 0 ⊆ A 1 ⊆ ⋯ {\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots } 라면, ⋃ i = 0 ∞ A i ∈ A {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}} 이며, 임의의 A 0 , A 1 , ⋯ ∈ A {\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \in {\mathcal {A}}} 에 대하여, A 0 ⊇ A 1 ⊇ ⋯ {\displaystyle A_{0}\supseteq {\mathcal {A}}_{1}\supseteq \cdots } 라면, ⋂ i = 0 ∞ A i ∈ A {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}} 이다. 이를 만족시키는 집합족을 단조류(영어: monotone class)라고 한다. 그렇다면, 다음이 성립한다. 집합 X {\displaystyle X} 속의 집합족 A ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 시그마 대수이다. (π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다. (π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다. 집합 X {\displaystyle X} 속의 집합족 A ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, 다음이 성립한다. (딘킨 π-λ 정리 영어: Dynkin π–λ theorem) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 (π) 조건을 만족시킨다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.:42, §1.3, Theorem 3.3 (단조류 정리 영어: monotone class theorem) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 (π′) 조건을 만족시킨다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.:43, §1.3, Theorem 3.4 증명 (딘킨 π-λ 정리): A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족을 λ ( A ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {A}})} 라고 하자. 그렇다면, λ ( A ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {A}})} 가 (π) 조건을 만족시킴을 보이면 된다. L 1 = { B ∈ λ ( A ) | ∀ A ∈ A : A ∩ B ∈ λ ( A ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=\{B\in \lambda ({\mathcal {A}})|\forall A\in {\mathcal {A}}\colon A\cap B\in \lambda ({\mathcal {A}})\}} 라고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 (π) 조건을 만족시키므로 A ⊆ L 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}_{1}} 이다. 또한 L 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}} 는 (λ) 조건을 만족시킨다. 따라서, L 1 = λ ( A ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=\lambda ({\mathcal {A}})} 이다. L 2 = { A ∈ λ ( A ) | ∀ B ∈ λ ( A ) : A ∩ B ∈ λ ( A ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=\{A\in \lambda ({\mathcal {A}})|\forall B\in \lambda ({\mathcal {A}})\colon A\cap B\in \lambda ({\mathcal {A}})\}} 라고 하자. L 1 = λ ( A ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=\lambda ({\mathcal {A}})} 이므로 A ⊆ L 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}_{2}} 이며, L 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}} 는 (λ) 조건을 만족시키므로, L 2 = λ ( A ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=\lambda ({\mathcal {A}})} 이다. 즉, λ ( A ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {A}})} 는 (π) 조건을 만족시킨다. 증명 (단조류 정리): 위 증명을 (π′) 조건과 (λ′) 조건에 적용하면 단조류 정리의 증명을 얻는다. 가측 집합과 가측 함수의 범주 Measble {\displaystyle \operatorname {Measble} } 은 구체적 범주 F : Measble → Set {\displaystyle F\colon \operatorname {Measble} \to \operatorname {Set} } F : ( X , Σ ) ↦ X {\displaystyle F\colon (X,\Sigma )\mapsto X} 를 이루며, F {\displaystyle F} 는 위상 함자이다. 따라서, Measble {\displaystyle \operatorname {Measble} } 은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. Measble {\displaystyle \operatorname {Measble} } 의 시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, Measble {\displaystyle \operatorname {Measble} } 의 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다. X {\displaystyle X} 를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 X {\displaystyle X} 위의 가측 공간 구조이다. 양의 정수가 아닌 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, { S ⊆ X | min { | S | , | X ∖ S | } ≤ κ } {\displaystyle \left\{S\subseteq X|\min\{|S|,|X\setminus S|\}\leq \kappa \right\}} 는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 X {\displaystyle X} 의 부분집합 가운데 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 이하이거나 그 여집합의 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 이하인 집합들의 족이다. 만약 κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} 이라면, 이는 { ∅ , X } {\displaystyle \{\varnothing ,X\}} 이다. 이 집합족은 자명 가측 공간 구조이며, X {\displaystyle X} 위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다. 만약 κ ≥ | X | {\displaystyle \kappa \geq |X|} 라면, 이는 X {\displaystyle X} 의 멱집합 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 이다. 이를 이산 가측 공간이라고 하며, 이는 X {\displaystyle X} 위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다. X {\displaystyle X} 의 분할 X = ⨆ A ∈ P A {\displaystyle \textstyle X=\bigsqcup _{A\in {\mathcal {P}}}A} 이 주어진다면, { ⋃ Q | Q ⊆ P } {\displaystyle \{\textstyle \bigcup {\mathcal {Q}}|{\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {P}}\}} 는 X {\displaystyle X} 위의 가측 공간 구조를 이룬다. 유한 집합 X {\displaystyle X} 위의 모든 가측 공간 구조는 X {\displaystyle X} 의 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } 인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (OEIS의 수열 A000110) 이다. 예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다. 위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 보렐 시그마 대수 Borel ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Borel} (X)} 라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. ( X , Borel ⁡ ( X ) ) {\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))} 는 분리 가측 공간이다. X {\displaystyle X} 는 콜모고로프 공간이다. 유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다. 구체적으로, S {\displaystyle S} 가 크기 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 의 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 의 비가산 곱공간 { 0 , 1 } S {\displaystyle \{0,1\}^{S}} 을 생각하자. 이 곱위상은 기저 B = { ∏ s ∈ S U s : U s ⊆ { 0 , 1 } ∀ s ∈ S , | { s ∈ S : U r ≠ { 0 , 1 } } | < ℵ 0 } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{s\in S}U_{s}\colon U_{s}\subseteq \{0,1\}\forall s\in S,\;|\{s\in S\colon U_{r}\neq \{0,1\}\}|<\aleph _{0}\right\}} 로 생성된다. 그렇다면, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 로 생성되는 가측 공간 구조는 { 0 , 1 } S {\displaystyle \{0,1\}^{S}} 위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다. 증명: 우선, | B | = | S | = 2 ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {B}}|=|S|=2^{\aleph _{0}}} 이므로, σ ( B ) ≤ | S | ℵ 0 = 2 ℵ 0 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})\leq |S|^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}} 이다. 귀류법을 사용하여 σ ( B ) = Borel ⁡ ( U ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})=\operatorname {Borel} ({\mathcal {U}})} 가 되는 위상 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 존재한다고 하자. 그렇다면 σ ( B ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})} 가 분리 시그마 대수이므로 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 는 콜모고로프 위상이다. 그러므로 { 0 , 1 } S → σ ( B ) {\displaystyle \{0,1\}^{S}\to \sigma ({\mathcal {B}})} x ↦ cl U ⁡ ( { x } ) {\displaystyle x\mapsto \operatorname {cl} _{\mathcal {U}}(\{x\})} (한원소 집합의 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -폐포)는 단사 함수이며, 2 ℵ 0 = | σ ( B ) | ≥ | { 0 , 1 } S | = 2 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=|\sigma ({\mathcal {B}})|\geq |\{0,1\}^{S}|=2^{2^{\aleph _{0}}}} 인데, 이는 모순이다. Tao, Terence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001.  Hadad, Yaron (2012년 9월 6일). “Why aren't there infinitely countable sigma-algebras?” (영어).  Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.  Ascherl, Albert (1984년 4월). “On the problem of generating sigma-algebras by topologies”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 2 (3–4): 377-388. doi:10.1524/strm.1984.2.34.377. ISSN 0721-2631.  Lang, Robert (1986년 1월). “A simple example of a non-Borel σ-field”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 4 (1): 97–98. doi:10.1524/strm.1986.4.1.97. ISSN 0721-2631.  “Algebra of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Measurable set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Measurable space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Sigma-algebra”. 《nLab》 (영어).  “Measurable space”. 《nLab》 (영어).  “Measurable subset”. 《nLab》 (영어).  Tao, Terry. “245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems”. 《What’s New》 (영어).  “Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?” (영어). Math Overflow.