대각 사상

범주론에서 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)은 어떤 대상에서 그 거듭제곱으로 가는 표준적인 사상이다. 마찬가지로, 어떤 대상의 거듭쌍대곱에서 원래 대상으로 가는 쌍대 대각 사상(雙對對角寫像, 영어: codiagonal morphism)이 존재한다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 X {\displaystyle X} 와 가 주어졌다고 하자. 만약 κ {\displaystyle \kappa } 개의 X {\displaystyle X} 들의 곱 X × κ {\displaystyle X^{\times \kappa }} 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} 로부터 유도되는 사상 diag X : X → X × κ {\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{\times \kappa }} 이 존재한다. 이를 대각 사상이라고 한다. 만약 κ = 1 {\displaystyle \kappa =1} 일 경우 이는 항등 사상 id X : X → X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X} 이며, 만약 κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} 일 경우 이는 끝 대상 1 ≅ X × 1 {\displaystyle 1\cong X^{\times 1}} 으로 가는 유일한 사상 X → 1 {\displaystyle X\to 1} 이다. 마찬가지로, 만약 κ {\displaystyle \kappa } 개의 X {\displaystyle X} 들의 쌍대곱 X ⊔ κ {\displaystyle X^{\sqcup \kappa }} 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} 로부터 유도되는 사상 diag X : X ⊔ κ → X {\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X^{\sqcup \kappa }\to X} 이 존재한다. 이를 쌍대 대각 사상(영어: codiagonal morphism)이라고 한다. 만약 κ = 1 {\displaystyle \kappa =1} 일 경우 이는 항등 사상 id X : X → X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X} 이며, 만약 κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} 일 경우 이는 시작 대상 0 ≅ X ⊔ 1 {\displaystyle 0\cong X^{\sqcup 1}} 에서 X {\displaystyle X} 로 가는 유일한 사상 0 → X {\displaystyle 0\to X} 이다. 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합 X {\displaystyle X} 과 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌을 때, 곱집합 X × κ {\displaystyle X^{\times \kappa }} 으로 가는 대각 함수는 다음과 같다. diag X κ : X → X × κ {\displaystyle \operatorname {diag} _{X}^{\kappa }\colon X\to X^{\times \kappa }} diag X κ : x ↦ ( x , x , … , x ⏞ κ ) ∈ X × κ {\displaystyle \operatorname {diag} _{X}^{\kappa }\colon x\mapsto (\overbrace {x,x,\dots ,x} ^{\kappa })\in X^{\times \kappa }} 대각 사상의 치역을 대각 부분 집합(영어: diagonal subset)이라고 한다. κ = 2 {\displaystyle \kappa =2} 이며, X {\displaystyle X} 가 유한 집합이며, X {\displaystyle X} 에 임의의 전순서를 주면 X × X {\displaystyle X\times X} 의 원소는 변의 길이가 | X | {\displaystyle |X|} 인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다. ( ∙ − ⋮ ) ↦ ( ∙ − ⋯ − − ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\bullet \\-\\\vdots \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\bullet &-&\cdots \\-&-&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}} ( − ∙ ⋮ ) ↦ ( − − ⋯ − ∙ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-\\\bullet \\\vdots \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-&-&\cdots \\-&\bullet &\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}} ⋮ {\displaystyle \vdots } 작은 범주와 함자의 범주 Cat {\displaystyle \operatorname {Cat} } 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 대각 함자 diag C : C → C × C {\displaystyle \operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} 는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다. diag C : X ↦ ( X , X ) ∈ C × C {\displaystyle \operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon X\mapsto (X,X)\in {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} diag C : ( f : X → Y ) ↦ ( f × f : ( X , X ) → ( Y , Y ) ) {\displaystyle \operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f\times f\colon (X,X)\to (Y,Y)\right)} 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 A {\displaystyle A} 위의 조각 범주 C / A {\displaystyle {\mathcal {C}}/A} 를 생각하자. 조각 범주의 대상 f : X → A {\displaystyle f\colon X\to A} 의 대각 사상 diag f {\displaystyle \operatorname {diag} _{f}} 은 (만약 존재한다면) C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서 다음과 같다. X → diag f X × A X → proj 1 X proj 1 ⁡ 2 ↓ ↓ f X → f A {\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {\operatorname {diag} _{f}}{\to }}&X\times _{A}X&{\overset {\operatorname {proj} _{1}}{\to }}&X\\&&{\scriptstyle \operatorname {proj} _{1}2}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\&&X&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}} 즉, 이는 당김 X × A X {\displaystyle X\times _{A}X} 에 대한 대각 사상 X → X × A X {\displaystyle X\to X\times _{A}X} 을 이룬다. 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서, 대각 사상 diag X : X → X × X {\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X\to X\times X} 은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 하우스도르프 공간이다. 대각 사상 X → X × X {\displaystyle X\to X\times X} 의 상이 닫힌집합이다. 스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상 X → X × Y X {\displaystyle X\to X\times _{Y}X} 는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다. 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 X → X × Y X {\displaystyle X\to X\times _{Y}X} 는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입 ι o : Z → X × Y X {\displaystyle \iota _{o}\colon Z\to X\times _{Y}X} 및 닫힌 몰입 ι c : X → Z {\displaystyle \iota _{c}\colon X\to Z} 의 합성이다. 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 X → X × Y X {\displaystyle X\to X\times _{Y}X} 가 준콤팩트 함수라면 f {\displaystyle f} 를 준분리 사상이라고 한다. 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 X → X × Y X {\displaystyle X\to X\times _{Y}X} 가 닫힌 몰입이라면 f {\displaystyle f} 를 분리 사상이라고 한다.:96 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.:96, Corollary II.4.2 국소 유한 표시 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 f : X → X × Y X {\displaystyle f\colon X\to X\times _{Y}X} 가 열린 몰입이라면 f {\displaystyle f} 를 비분기 사상이라고 한다.:65, Corollaire IV.17.4.2(c) 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 보편 단사 사상(영어: universally injective morphism)이라고 한다. 임의의 스킴 사상 Y ′ → Y {\displaystyle Y'\to Y} 에 대하여, 밑 변환 X × Y Y ′ → Y ′ {\displaystyle X\times _{Y}Y'\to Y'} 이 단사 함수이다. 대각 사상 X → X × Y X {\displaystyle X\to X\times _{Y}X} 가 전사 함수이다. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 32. doi:10.1007/bf02732123. ISSN 0073-8301. MR 0238860. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 26일에 확인함.  “Diagonal morphism”. 《nLab》 (영어).  “Codiagonal”. 《nLab》 (영어).  “Diagonal function”. 《nLab》 (영어).  “Diagonal functor”. 《nLab》 (영어).  “Diagonal subset”. 《nLab》 (영어).  “What's with the diagonal morphism?” (영어). StackExchange.  “Hausdorff space iff diagonal set on product is closed”. 《ProofWiki》 (영어).