대수적으로 닫힌 체

추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 영어: algebraically closed field)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다. 다항식환 K [ t ] {\displaystyle K[t]} 의 임의의 원소 p ( t ) ∈ K [ t ] {\displaystyle p(t)\in K[t]} 에 대하여, p ( t 0 ) = 0 {\displaystyle p(t_{0})=0} 인 t 0 ∈ K {\displaystyle t_{0}\in K} 가 항상 적어도 하나가 존재한다. K [ x ] {\displaystyle K[x]} 의 기약 다항식이 모두 일차식이다. K {\displaystyle K} 의 대수적 확대가 K {\displaystyle K} 자신밖에 존재하지 않는다. 임의의 K n {\displaystyle K^{n}} 에 대해, K n → K n {\displaystyle K^{n}\to K^{n}} 인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.) 체 K {\displaystyle K} 의 대수적 폐포(代數的閉包, 영어: algebraic closure) K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 는 K {\displaystyle K} 를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 K ¯ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K} 이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 K {\displaystyle K} 의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(영어: canonical)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다. 두 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 와 K ′ {\displaystyle K'} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. K {\displaystyle K} 와 K ′ {\displaystyle K'} 은 체로서 서로 동형이다. K {\displaystyle K} 와 K ′ {\displaystyle K'} 은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다. 따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 p {\displaystyle p} 와 초월 차수 κ {\displaystyle \kappa } 로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은 F p ( { x i } i ∈ I ) ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(\{x_{i}\}_{i\in I})}}} 또는 Q ( { x i } i ∈ I ) ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in I})}}} 의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로, C ≅ Q ( { x i } i ∈ 2 ℵ 0 ) ¯ {\displaystyle \mathbb {C} \cong {\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in 2^{\aleph _{0}}})}}} 이다. 절대 초월 차수가 기수 κ {\displaystyle \kappa } 인 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 의 집합의 크기는 다음과 같다. | K | = max { κ , ℵ 0 } {\displaystyle |K|=\max\{\kappa ,\aleph _{0}\}} 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 κ > ℵ 0 {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}} 이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.) 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다. 실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 x {\displaystyle x} 에 대한 다항방정식 x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} 은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리) 유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다. 모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} 인 경우, 다항식 ( x − a 1 ) ( x − a 2 ) ⋯ ( x − a n ) + 1 {\displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1} 은 해를 갖지 않는다. 소수 p {\displaystyle p} 의 크기를 가진 유한체 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 의 대수적 폐포 F ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 는 귀납적 극한 F ¯ p = lim → ⁡ F p n {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbb {F} _{p^{n}}} 이다. 즉, 만약 체의 확대 F p n ↪ F p k n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}\hookrightarrow \mathbb {F} _{p^{kn}}} 을 집합론적 부분집합으로 간주하여 F p n ⊂ F p k n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}\subset \mathbb {F} _{p^{kn}}} 로 쓴다면, F ¯ p = ⋃ n = 1 ∞ F p n {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {F} _{p^{n}}} 이다. Lang, Serge (2004). 《Algebra》 (영어). Springer. ISBN 0-387-95385-X.  van der Waerden, B. L. (1991). 《Algebra I》 (영어). Springer. ISBN 0-387-97424-5.  “Algebraically closed field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Algebraic closure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraically closed”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic closure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “To what extent can fields be classified?” (영어). Math Overflow.  “Algebraically closed field”. 《nLab》 (영어).  분해 가능 폐포