메르센 소수

메르센 수(Mersenne number)는 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 가리킨다. 지수 n {\displaystyle n} 에 대한 메르센 수는 M n = 2 n − 1 {\displaystyle M_{n}=2^{n}-1} 로 나타내고 목록은 아래와 같다. 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767... (OEIS의 수열 A000225) 메르센 소수(Mersenne prime)는 메르센 수 중에서 소수인 수이다. 예를 들면 3과 7은 둘 다 소수이고 3 = 2 2 − 1 ,   7 = 2 3 − 1 {\displaystyle 3=2^{2}-1,{\mbox{ }}7=2^{3}-1} 이므로 3과 7은 둘 다 메르센 소수이다. 반대로 15 = 2 4 − 1 {\displaystyle 15=2^{4}-1} 은 합성수이다. 현대에 알려진 매우 큰 소수들 중에는 메르센 소수가 상당히 많다. 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951... (OEIS의 수열 A000668) 메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지 아니면 그 개수가 정해져 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 즉 이 말은 메르센 소수가 유한한지 무한한지에 대한 여부가 알려져있지 않았다는 것인데, n이 소수라고 해서 항상 해당 메르센 수가 소수가 되지는 않기 때문이다. 예를 들어 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 일 땐 소수가 된다. 그러나 11은 소수긴 하나 n=11일 땐 2의 11제곱에서 1을 뺀 수인 2047은 23×89로 소인수분해 가능하다. 비슷한 이유로 23도 소수이나 n=23일 땐 2의 23제곱에서 1을 뺀 수인 8388607도 47×178481로 소인수분해 할 수 있기 때문이다. 마찬가지로 n=29일 때, 37일 때, 41일 때, 그리고 43, 47일 때 등등도 2의 거듭제곱 횟수는 소수이지만, 해당 메르센 수가 소수가 아닌 경우는 무수히 많다. 메르센 수는 다음의 몇 가지 속성을 지닌다. : M {\displaystyle M} n {\displaystyle n} 은 이항계수의 합에서 1을 뺀 값이다. M n = ∑ i = 0 n ( n i ) − 1 {\displaystyle M_{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}-1} 메르센 수의 지수가 홀수소수 = p {\displaystyle =p} 이면 소인수의 형태는 다음과 같음을 페르마가 증명하였다. ′ 2 p k + 1 ′ {\displaystyle '2pk+1'} ( k {\displaystyle k} 는 음이 아닌 정수) 이것은 메르센 수가 소수, 즉 메르센 소수일때도 성립한다. 또한 n이 홀수 소수인 메르센 수들의 약수들은 모두 8 k ± 1 {\displaystyle 8k\pm 1} 꼴이다. 1) 만일 n {\displaystyle n} 이 하나의 양의 정수이면, 이항정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다: c n − d n = ( c − d ) ∑ k = 0 n − 1 c k d n − 1 − k , {\displaystyle c^{n}-d^{n}=(c-d)\sum _{k=0}^{n-1}c^{k}d^{n-1-k},} 또는 ( 2 a − 1 ) ⋅ ( 1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a + ⋯ + 2 ( b − 1 ) a ) = 2 a b − 1 {\displaystyle (2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1} 이다( c {\displaystyle c}  =  2 {\displaystyle 2} a {\displaystyle a} , d {\displaystyle d}  =  1 {\displaystyle 1} 로, n {\displaystyle n}  =  b {\displaystyle b} 로 놓았을 때). 증명 ( a − b ) ∑ k = 0 n − 1 a k b n − 1 − k {\displaystyle (a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}} = ∑ k = 0 n − 1 a k + 1 b n − 1 − k − ∑ k = 0 n − 1 a k b n − k {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}} = a n + ∑ k = 1 n − 1 a k b n − k − ∑ k = 1 n − 1 a k b n − k − b n {\displaystyle =a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}} = a n − b n {\displaystyle =a^{n}-b^{n}} 1644년 마랭 메르센은 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 형태가 소수가 되는 것은, n ≤ 257 {\displaystyle n\leq 257} 일 때 n = 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 31 , 67 , 127 , 257 {\displaystyle n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257} 뿐이라고 발표하였다. 그러나 그 주장의 일부는 잘못임이 밝혀졌다. 목록에 포함되지 않은 M 61 {\displaystyle M_{61}} , M 89 {\displaystyle M_{89}} , M 107 {\displaystyle M_{107}} 는 소수이며, 목록에 포함되어 있는 M 67 {\displaystyle M_{67}} , M 257 {\displaystyle M_{257}} 는 합성수이다. 리젤 수의 발견자이기도 한 스웨덴의 수학자인 한스 리젤이 1957년에 컴퓨터를 이용하여 18번째의 메르센 소수를 발견한 이래, 이후 컴퓨터를 활용하여 새로운 메르센 소수를 찾고 있다. n = a b ; {\displaystyle n=ab;} 다음 등식은 M n {\displaystyle M_{n}} 이 메르센 소수가 되기 위해서는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle n} 자신이 소수여야 한다는 것을 알려준다. ( 2 a − 1 ) ( 1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a + ⋯ + 2 ( b − 1 ) a ) = 2 a b − 1 {\displaystyle (2^{a}-1)(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a})=2^{ab}-1} 따라서, 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 조사하면 되지만, 일반적으로 그 역은 참이 아니다. 즉 n {\displaystyle n} 이 소수라고 하여 M n {\displaystyle M_{n}} 또한 소수인 것은 아니다. 예를 들어, 11은 소수지만 2047 = 2 11 − 1 = 23 ⋅ 89 {\displaystyle 2047=2^{11}-1=23\cdot 89} 로 소인수분해된다. 현재까지 발견한 메르센 소수 표 (OEIS의 수열 A000668): 44번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다. *표의 43번째 수인 M 30 , 402 , 457 {\displaystyle M_{30,402,457}} 과 49번째 수인 M 74 , 207 , 281 {\displaystyle M_{74,207,281}} 사이에 아직 발견되지 않은 다른 메르센 소수가 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 따라서 이 번호들은 바뀔 수도 있다. 소수가 작은 소수부터 순차적으로 발견되는 것은 아니다. 예를 들어, 29번째 메르센 소수는 30번째와 31번째 소수의 발견 이후에 발견되었다. **M42,643,801는 2009년 4월 12일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 6월 4일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 4월 12일 또는 6월 4일로 간주한다. 발견자 스트린드모(Strindmo)는 alias Stig M. Valstad를 사용한 것으로 보인다. ***M74,207,281는 2015년 9월 17일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 2016년 1월 7일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 2015년 9월 17일 또는 2016년 1월 7일로 간주한다. 메르센 소수는 완전수와 여러 관련성이 있어 흥미롭다. 기원전 4세기에 유클리드는 M n {\displaystyle M_{n}} 이 메르센 소수이면 다음과 같이 짝수 완전수임을 보였다. 2 n − 1 ⋅ ( 2 n − 1 ) = M n ( M n + 1 ) 2 {\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)={\frac {M_{n}(M_{n}+1)}{2}}} 18세기에 오일러는 모든 짝수 완전수는 이와 같은 형태를 갖는다는 것을 증명했다. 홀수 완전수는 아직 발견되지 않았으며 존재하지 않는 것으로 추측된다. 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 의 2진법 표현은 숫자 1이 n {\displaystyle n} 번 반복된다. 예를 들면, 25 - 1 = 111112와 같이 표기된다. 그러므로 메르센 소수는 2를 밑으로 하는 단위 반복 소수이다. 페르마 소수 하노이의 탑 - n개의 원반을 모두 이동하기 위해서는 최소한 메르센 수(2n−1) 만큼 이동해야 한다. Landon Curt Noll, Mersenne Prime Digits and Names. Mersenne prime section of the Prime Pages: http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml Mersenne Prime Search home page: http://www.mersenne.org GIMPS status page http://www.mersenne.org/status.htm gives various statistics on search progress, typically updated every week, including progress towards proving the ordering of primes 39-42 Discovery of the 42nd Mersenne numbers prime Mersenne numbers Slashdot - Discovery of the 42nd M q = ( 8 x ) 2 − ( 3 q y ) 2 {\displaystyle M_{q}=(8x)^{2}-(3qy)^{2}\,} Proof M q = x 2 + d ⋅ y 2 {\displaystyle M_{q}=x^{2}+d\cdot y^{2}} Thesis 알려진 메르센 소수의 모든 자릿수와 영어 이름