음함수 정리

다변수 미적분학에서 음함수 정리(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다. 2차원 유클리드 공간 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 위에서 원점 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식 x 2 + y 2 − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0} 을 생각하자. 이 방정식은 [ − 1 , 1 ] × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [-1,1]\times [0,\infty )} 에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다. y = 1 − x 2 ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]} 또한 이 방정식은 [ − 1 , 1 ] × ( − ∞ , 0 ] {\displaystyle [-1,1]\times (-\infty ,0]} 에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다. y = − 1 − x 2 ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]} 이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 [ − 1 , 1 ] × R {\displaystyle [-1,1]\times \mathbb {R} } 에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자. z = x 2 + y 2 − 1 ∀ x , y ∈ R {\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 이렇게 정의한 F {\displaystyle F} 의 그래프는 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 z = 0 {\displaystyle z=0} 의 교선이다. ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 주변에서 x ′ 2 + y ′ 2 − 1 = 0 {\displaystyle x'^{2}+y'^{2}-1=0} 인 점 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 을 임의로 취하자. 여기에는 특히 ( x ′ , y ′ ) = ( 0 , 1 ) {\displaystyle (x',y')=(0,1)} 역시 포함된다. x = x ′ {\displaystyle x=x'} 가 고정되었을 때, z = x ′ 2 + y 2 − 1 {\displaystyle z={x'}^{2}+y^{2}-1} 는 y = y ′ {\displaystyle y=y'} 주변에서 y {\displaystyle y} 에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 y < y ′ {\displaystyle y<y'} 에 대하여 z < 0 {\displaystyle z<0} 이 성립하며, y > y ′ {\displaystyle y>y'} 에 대하여 z > 0 {\displaystyle z>0} 이 성립한다. 따라서 z = x 2 + y 2 − 1 {\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1} 의 영점 집합은 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 에서 국소적으로 어떤 함수 y = y ( x ) {\displaystyle y=y(x)} 의 그래프와 일치한다. z {\displaystyle z} 가 y {\displaystyle y} 에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 ∂ z / ∂ y ≠ 0 {\displaystyle \partial z/\partial y\neq 0} 이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} 을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 ∂ z / ∂ y ≠ 0 {\displaystyle \partial z/\partial y\neq 0} 은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립 z 1 ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y m ) = 0 {\displaystyle z_{1}(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})=0} ⋮ {\displaystyle \vdots } z m ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y m ) = 0 {\displaystyle z_{m}(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})=0} 에서 ( y 1 , … , y m ) {\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m})} 가 국소적으로 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} 의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다. det ∂ ( z 1 , … , z m ) ∂ ( y 1 , … , y m ) ≠ 0 {\displaystyle \det {\frac {\partial (z_{1},\dots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\dots ,y_{m})}}\neq 0} 이 부등식의 좌변은 함수 z 1 , … , z m {\displaystyle z_{1},\dots ,z_{m}} 의 변수 y 1 , … , y m {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}} 에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약 z 1 = a 11 x 1 + ⋯ a 1 n x n + b 11 y 1 + ⋯ + b 1 m y m {\displaystyle z_{1}=a_{11}x_{1}+\cdots a_{1n}x_{n}+b_{11}y_{1}+\cdots +b_{1m}y_{m}} ⋮ {\displaystyle \vdots } z m = a m 1 x 1 + ⋯ + a m n x n + b m 1 y 1 + ⋯ + b m m y m {\displaystyle z_{m}=a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}+b_{m1}y_{1}+\cdots +b_{mm}y_{m}} 일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} 을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 det ( b i j ) m × m {\displaystyle \det(b_{ij})_{m\times m}} 이다. 열린 근방 a ∈ U ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 와 b ∈ V ⊆ R m {\displaystyle \mathbf {b} \in V\subseteq \mathbb {R} ^{m}} 및 연속 함수 f : U × V → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}} , ( x , y ) ↦ f ( x , y ) {\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} ( x ∈ U {\displaystyle \mathbf {x} \in U} , y ∈ V {\displaystyle \mathbf {y} \in V} )가 다음을 만족시킨다고 하자. D y f {\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} } 역시 연속 함수이다. 여기서 ( D y f ) i j = ∂ f i / ∂ y j {\displaystyle (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} )_{ij}=\partial f_{i}/\partial y_{j}} 이다. f ( a , b ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {0} } det D y f ( a , b ) ≠ 0 {\displaystyle \det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0} 그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방 a ∈ W ⊆ U {\displaystyle \mathbf {a} \in W\subseteq U} 및 유일한 연속 함수 g : W → R m {\displaystyle \mathbf {g} \colon W\to \mathbb {R} ^{m}} 가 존재한다. g ( W ) ⊆ V {\displaystyle \mathbf {g} (W)\subseteq V} b = g ( a ) {\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {g} (\mathbf {a} )} 임의의 x ∈ W {\displaystyle \mathbf {x} \in W} 에 대하여, f ( x , g ( x ) ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=\mathbf {0} } 또한, k ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle \mathbf {f} } 가 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수라면, g {\displaystyle \mathbf {g} } 역시 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이며, g {\displaystyle \mathbf {g} } 의 도함수 D g {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} } 는 다음과 같다. D g ( x ) = − ( D y f ( x , g ( x ) ) ) − 1 D x f ( x , g ( x ) ) ∀ x ∈ W {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} )))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in W} 여기서 ( D x f ) i j = ∂ f i / ∂ x j {\displaystyle (\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} )_{ij}=\partial f_{i}/\partial x_{j}} 이다. 이를 음함수 정리라고 한다. f {\displaystyle \mathbf {f} } 가 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수임을 가정하지 않을 경우, g {\displaystyle \mathbf {g} } 의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다. 두 열린구간 a ∈ U ⊆ R {\displaystyle a\in U\subseteq \mathbb {R} } 와 b ∈ V ⊆ R {\displaystyle b\in V\subseteq \mathbb {R} } 및 연속 함수 f : U × V → R {\displaystyle f\colon U\times V\to \mathbb {R} } 가 다음을 만족시킨다고 하자. ∂ f / ∂ y {\displaystyle \partial f/\partial y} 역시 연속 함수이다. f ( a , b ) = 0 {\displaystyle f(a,b)=0} ( ∂ f / ∂ y ) ( a , b ) ≠ 0 {\displaystyle (\partial f/\partial y)(a,b)\neq 0} 그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 a ∈ W ⊆ U {\displaystyle a\in W\subseteq U} 및 유일한 연속 함수 g : W → R {\displaystyle g\colon W\to \mathbb {R} } 가 존재한다. g ( W ) ⊆ V {\displaystyle g(W)\subseteq V} b = g ( a ) {\displaystyle b=g(a)} 임의의 x ∈ W {\displaystyle x\in W} 에 대하여, f ( x , g ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,g(x))=0} 또한, k ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 가 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수라면, g {\displaystyle g} 역시 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이며, g {\displaystyle g} 의 도함수 g ′ {\displaystyle g'} 는 다음과 같다. g ′ ( x ) = − ( ∂ f / ∂ x ) ( x , g ( x ) ) ( ∂ f / ∂ y ) ( x , g ( x ) ) ∀ x ∈ W {\displaystyle g'(x)=-{\frac {(\partial f/\partial x)(x,g(x))}{(\partial f/\partial y)(x,g(x))}}\qquad \forall x\in W} 이는 음함수 정리에서 n = m = 1 {\displaystyle n=m=1} 을 취한 가장 간단한 경우이다. 수학적 귀납법을 사용하자. 먼저 m = 1 {\displaystyle m=1} 일 경우를 증명하자. 편의상 ( ∂ f / ∂ y ) ( a , b ) > 0 {\displaystyle (\partial f/\partial y)(a,b)>0} 라고 가정하자. 그러면 ∂ f / ∂ y {\displaystyle \partial f/\partial y} 에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} 가 존재한다. B ⁡ ( a , δ 1 ) ⊆ U {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U} B ⁡ ( b , δ 1 ) ⊆ V {\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta _{1})\subseteq V} 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})} 및 y ∈ B ⁡ ( b , δ 1 ) {\displaystyle y\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})} 에 대하여, ( ∂ f / ∂ y ) ( x , y ) > 0 {\displaystyle (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ,y)>0} 이에 따라 f ( a , y ) {\displaystyle f(\mathbf {a} ,y)} 가 B ⁡ ( b , δ 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta _{1})} 에서 순증가 함수이며, 또한 f ( a , b ) = 0 {\displaystyle f(\mathbf {a} ,b)=0} 이므로, f ( a , b − δ 1 ) < 0 < f ( a , b + δ 1 ) {\displaystyle f(\mathbf {a} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {a} ,b+\delta _{1})} 이다. 따라서 다음을 만족시키는 0 < δ 2 < δ 1 {\displaystyle 0<\delta _{2}<\delta _{1}} 가 존재한다. 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, f ( x , b − δ 1 ) < 0 < f ( x , b + δ 1 ) {\displaystyle f(\mathbf {x} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {x} ,b+\delta _{1})} 따라서, 임의의 x ′ ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, f ( x ′ , y ) {\displaystyle f(\mathbf {x} ',y)} 는 B ⁡ ( b , δ 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta _{1})} 에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라 f ( x ′ , g ( x ′ ) ) = 0 {\displaystyle f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))=0} 인 유일한 g ( x ′ ) ∈ B ⁡ ( b , δ 1 ) {\displaystyle g(\mathbf {x} ')\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})} 가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 g : B ⁡ ( a , δ 2 ) → R {\displaystyle g\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} } 는 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여 f ( x , g ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=0} 를 만족시키며, 특히 b = g ( a ) {\displaystyle b=g(\mathbf {a} )} 이다. 이제 g {\displaystyle g} 의 연속성을 증명하자. 임의의 x ′ ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 및 충분히 작은 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, f ( x ′ , g ( x ′ ) − ϵ ) < 0 < f ( x ′ , g ( x ′ ) + ϵ ) {\displaystyle f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')+\epsilon )} 이므로, 다음을 만족시키는 δ 3 > 0 {\displaystyle \delta _{3}>0} 가 존재한다. B ⁡ ( x ′ , δ 3 ) ⊆ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 임의의 x ∈ B ⁡ ( x ′ , δ 3 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})} 에 대하여, f ( x , g ( x ′ ) − ϵ ) < 0 < f ( x , g ( x ′ ) + ϵ ) {\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')+\epsilon )} 따라서, 임의의 x ∈ B ⁡ ( x ′ , δ ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )} 에 대하여, g ( x ) ∈ B ⁡ ( g ( x ′ ) , ϵ ) {\displaystyle g(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (g(\mathbf {x} '),\epsilon )} 이다. 이제 g {\displaystyle g} 의 유일성을 증명하자. 연속 함수 h : B ⁡ ( a , δ 2 ) → R {\displaystyle h\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} } 가 다음을 만족시킨다고 가정하자. h ( B ⁡ ( a , δ 2 ) ) ⊆ V {\displaystyle h(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq V} b = h ( a ) {\displaystyle b=h(\mathbf {a} )} 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, f ( x , h ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=0} 그렇다면, 다음과 같은 집합이 B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다. A = { x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) : g ( x ) = h ( x ) } {\displaystyle A=\{\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\colon g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )\}} 우선 임의의 x ′ ∈ A {\displaystyle \mathbf {x} '\in A} 에 대하여, 다음을 만족시키는 δ 4 > 0 {\displaystyle \delta _{4}>0} 가 존재한다. B ⁡ ( x ′ , δ 4 ) ⊆ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 임의의 x ∈ B ⁡ ( x ′ , δ 4 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})} 에 대하여, h ( x ) ∈ B ⁡ ( b , δ 1 ) {\displaystyle h(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})} 따라서, 임의의 x ∈ B ⁡ ( x ′ , δ 4 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})} 에 대하여, h ( x ) = g ( x ) {\displaystyle h(\mathbf {x} )=g(\mathbf {x} )} 이다. 즉, A {\displaystyle A} 는 B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 의 열린집합이다. 또한 임의의 x ′ ∈ A ′ ∩ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} '\in A'\cap \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, g , h {\displaystyle g,h} 의 연속성에 의하여 x ′ ∈ A {\displaystyle \mathbf {x} '\in A} 이다. 즉, A {\displaystyle A} 는 B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 의 닫힌집합이다. B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 는 연결 집합이며, 또한 A ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \varnothing } 이므로, A = B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle A=\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 이다. 즉, 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )} 이다. 이제 f {\displaystyle f} 가 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수일 때 g {\displaystyle g} 의 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}} 및 x ′ , x ′ + Δ x j e j ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j}\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, 다음과 같이 표기하자. Δ y ( x ′ , x ′ + Δ x j e j ) = g ( x ′ + Δ x j e j ) − g ( x ′ ) {\displaystyle \Delta y(\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})=g(\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})-g(\mathbf {x} ')} 그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 0 < θ ( x ′ , x ′ + Δ x j e j ) < 1 {\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})<1} 가 존재한다. 0 = f ( x ′ + Δ x j e j , g ( x ′ ) + Δ y ) − f ( x ′ , g ( x ′ ) ) = ∂ f ∂ x j ( x ′ + θ Δ x j e j , g ( x ′ ) + θ Δ y ) Δ x j + ∂ f ∂ y ( x ′ + θ Δ x j e j , g ( x ′ ) + θ Δ y ) Δ y {\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},g(\mathbf {x} ')+\Delta y)-f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))\\&={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta x_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta y\end{aligned}}} 따라서, 다음이 성립한다. ∂ g ∂ x j ( x ′ ) = lim Δ x j → 0 Δ y Δ x j = lim Δ x j → 0 ( − ( ∂ f / ∂ x j ) ( x ′ + θ Δ x j e j , g ( x ′ ) + θ Δ y ) ( ∂ f / ∂ y ) ( x ′ + θ Δ x j e j , g ( x ′ ) + θ Δ y ) ) = − ( ∂ f / ∂ x j ) ( x ′ , g ( x ′ ) ) ( ∂ f / ∂ y ) ( x ′ , g ( x ′ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} ')&=\lim _{\Delta x_{j}\to \mathbf {0} }{\frac {\Delta y}{\Delta x_{j}}}\\&=\lim _{\Delta x_{j}\to \mathbf {0} }\left(-{\frac {(\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}}\right)\\&=-{\frac {(\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}}\end{aligned}}} 또한 ( ∂ f / ∂ x j ) ( x ′ , g ( x ′ ) ) {\displaystyle (\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))} 와 ( ∂ f / ∂ y ) ( x ′ , g ( x ′ ) ) {\displaystyle (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))} 가 연속 함수이므로, g {\displaystyle g} 는 연속 미분 가능 함수이다. 이제 m > 1 {\displaystyle m>1} 일 경우를 증명하자. V {\displaystyle V} 의 원소를 y = ( y 1 , y ~ ) {\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},{\tilde {\mathbf {y} }})} 로 쓰고, f = ( f 1 , f ~ ) {\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},{\tilde {\mathbf {f} }})} 와 같이 표기하자. 또한 편의상 det ( D y ~ f ~ ( a , b ) ) ≠ 0 {\displaystyle \det(\mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}\!(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))\neq 0} 이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 g ~ : B ⁡ ( a , δ 1 ) × B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) → R m − 1 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {g} }}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\to \mathbb {R} ^{m-1}} 가 존재하게 되는 δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} 가 존재한다. B ⁡ ( a , δ 1 ) ⊆ U {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U} B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) × g ~ ( B ⁡ ( a , δ 1 ) × B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) ) ⊆ V {\displaystyle \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\times {\tilde {\mathbf {g} }}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1}))\subseteq V} b ′ = g ~ ( a , b 1 ) {\displaystyle \mathbf {b} '={\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b_{1})} 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})} 및 y 1 ∈ B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) {\displaystyle y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})} 및 i ∈ { 2 , … , m } {\displaystyle i\in \{2,\dots ,m\}} 에 대하여, f i ( x , y 1 , g ~ ( x , y 1 ) ) = 0 {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,y_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y_{1}))=0} 다음과 같은 함수 F : B ⁡ ( a , δ 1 ) × B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) → R m {\displaystyle F\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\to \mathbb {R} ^{m}} 를 정의하자. F ( x , y 1 ) = f 1 ( x , y 1 , g ~ ( x , y 1 ) ) ∀ x ∈ B ⁡ ( a , δ 1 ) , y 1 ∈ B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) {\displaystyle F(\mathbf {x} ,y_{1})=f_{1}(\mathbf {x} ,y_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y_{1}))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1}),\;y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})} 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})} 및 y 1 ∈ B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) {\displaystyle y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})} 에 대하여 다음이 성립한다. ∂ F ∂ y 1 = ∂ f 1 ∂ y 1 + ∑ j = 2 m ∂ f 1 ∂ y j ∂ h j − 1 ∂ y 1 = ∂ f 1 ∂ y 1 + D y ~ f 1 ( D y ~ f ~ ) − 1 D y 1 f ~ = ∂ f 1 ∂ y 1 + ∑ i = 2 m ∑ j = 2 m ( − 1 ) i + j 1 det D y ~ f ~ ∂ f i ∂ y 1 ∂ f 1 ∂ y j det D ( y 2 , … , y j − 1 , y j + 1 , … , y m ) ( f 2 , … , f i − 1 , f i + 1 , … , f m ) = det D y f det D y ~ f ~ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\sum _{j=2}^{m}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{j}}}{\frac {\partial h_{j-1}}{\partial y_{1}}}\\&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\mathrm {D} _{\tilde {\mathrm {y} }}f_{1}(\mathrm {D} _{\tilde {\mathrm {y} }}{\tilde {f}})^{-1}\mathrm {D} _{y_{1}}{\tilde {f}}\\&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\sum _{i=2}^{m}\sum _{j=2}^{m}(-1)^{i+j}{\frac {1}{\det \mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{j}}}\det \mathrm {D} _{(y_{2},\dots ,y_{j-1},y_{j+1},\dots ,y_{m})}(f_{2},\dots ,f_{i-1},f_{i+1},\dots ,f_{m})\\&={\frac {\det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} }{\det \mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}\end{aligned}}} 따라서 ( ∂ F / ∂ y 1 ) ( a , b 1 ) ≠ 0 {\displaystyle (\partial F/\partial y_{1})(\mathbf {a} ,b_{1})\neq 0} 이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 g 1 : B ⁡ ( a , δ 2 ) → R {\displaystyle g_{1}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} } 가 존재하게 되는 0 < δ 2 < δ 1 {\displaystyle 0<\delta _{2}<\delta _{1}} 가 존재한다. g 1 ( B ⁡ ( a , δ 2 ) ) ⊆ B ⁡ ( b 1 , δ 1 ) {\displaystyle g_{1}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})} b 1 = g 1 ( a ) {\displaystyle b_{1}=g_{1}(\mathbf {a} )} 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, F ( x , g 1 ( x ) ) = 0 {\displaystyle F(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ))=0} 이제 g : B ⁡ ( a , δ 2 ) → R m {\displaystyle \mathbf {g} \colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} ^{m}} 를 다음과 같이 정의하자. g ( x ) = ( g 1 ( x ) , g ~ ( x , g 1 ( x ) ) ) ∀ x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(g_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} )))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 그렇다면, g {\displaystyle \mathbf {g} } 는 연속 함수이며, 다음이 성립한다. g ( B ⁡ ( a , δ 2 ) ) ⊆ V {\displaystyle \mathbf {g} (\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq V} f 1 ( x , g ( x ) ) = F ( x , g 1 ( x ) ) = 0 ∀ x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle f_{1}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=F(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} f i ( x , g ( x ) ) = f i ( x , g 1 ( x ) , g ~ ( x , g 1 ( x ) ) ) = 0 ∀ x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) , i ∈ { 2 , … , m } {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=f_{i}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} )))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}),\;i\in \{2,\dots ,m\}} g ( a ) = ( g 1 ( a ) , g ~ ( a , b 1 ) ) = b {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {a} )=(g_{1}(\mathbf {a} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b_{1}))=\mathbf {b} } 이러한 g {\displaystyle \mathbf {g} } 의 유일성은 m = 1 {\displaystyle m=1} 의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 f {\displaystyle \mathbf {f} } 가 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수라면, 각 i ∈ { 1 , … , m } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,m\}} 및 j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, f i ( x , g ( x ) ) = 0 {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=0} 의 양변에 ∂ / ∂ x j {\displaystyle \partial /\partial x_{j}} 를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다. ∂ f i ∂ x j + ∑ k = 1 m ∂ f i ∂ y k ∂ g k ∂ y j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}{\frac {\partial g_{k}}{\partial y_{j}}}=0} 이를 행렬로 표기하면 D g {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} } 의 공식을 얻으며, 따라서 g {\displaystyle \mathbf {g} } 역시 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이다. 다음과 같은 함수 F : U × V → R m {\displaystyle \mathbf {F} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}} 를 정의하자. F ( x , y ) = y − ( D y f ( a , b ) ) − 1 f ( x , y ) ∀ x ∈ U , y ∈ V {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {y} -(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V} 그러면 다음이 성립한다. D y F ( x , y ) = 1 m × m − ( D y f ( a , b ) ) − 1 D y f ( x , y ) ∀ x ∈ U , y ∈ V {\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1_{m\times m}-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V} 따라서 D y F ( a , b ) = 0 m × m {\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0_{m\times m}} 이다. 또한 det D y f ( a , b ) ≠ 0 {\displaystyle \det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0} 이므로, 0 < c < 1 {\displaystyle 0<c<1} 를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} 가 존재한다. B ¯ ( a , δ 1 ) ⊆ U {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U} B ¯ ( b , δ 1 ) ⊆ V {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})\subseteq V} 임의의 x ∈ B ¯ ( a , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{1})} 및 y ∈ B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 에 대하여, D y F ( x , y ) < c {\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )<c} 이며 det D y f ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle \det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0} 또한, F ( a , b ) = b {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {b} } 이므로, 다음을 만족시키는 0 < δ 2 < δ 1 {\displaystyle 0<\delta _{2}<\delta _{1}} 가 존재한다. 임의의 x ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, ‖ F ( x , b ) − b ‖ < ( 1 − c ) δ 1 {\displaystyle \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert <(1-c)\delta _{1}} 이제 임의의 x ′ ∈ B ⁡ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, F ( x ′ , ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )} 가 B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 위의 c {\displaystyle c} -립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의 y ∈ B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 에 대하여, 다음을 만족시키는 0 < θ ( x ′ , y ) < 1 {\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )<1} 가 존재한다. ‖ F ( x ′ , y ) − b ‖ ≤ ‖ F ( x ′ , y ) − F ( x ′ , b ) ‖ + ‖ F ( x ′ , b ) − b ‖ ≤ ‖ D y F ( x ′ , b + θ ( y − b ) ) ‖ ‖ y − b ‖ + ‖ F ( x ′ , b ) − b ‖ < ( 1 − c ) δ 1 + c δ 1 = δ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {b} \Vert &\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&\leq \Vert \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {b} ))\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {b} \Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&<(1-c)\delta _{1}+c\delta _{1}\\&=\delta _{1}\end{aligned}}} 따라서 F ( x ′ , y ) ∈ B ⁡ ( b , δ 1 ) ⊆ B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )\in \operatorname {B} (\mathbf {b} ,\delta _{1})\subseteq {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 이다. 또한, 임의의 y , z ∈ B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 에 대하여, 다음을 만족시키는 0 < θ ( x ′ , y , z ) < 1 {\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} ,\mathbf {z} )<1} 가 존재한다. ‖ F ( x ′ , y ) − F ( x ′ , z ) ‖ ≤ ‖ D y F ( x ′ , z + θ ( y − z ) ‖ ‖ y − z ‖ ≤ c ‖ y − z ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} )\Vert &\leq \Vert \mathrm {D} _{\mathrm {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {z} )\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \end{aligned}}} 즉, F ( x ′ , ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )} 는 B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 위의 c {\displaystyle c} -립시츠 연속 함수이다. 또한 ( B ¯ ( b , δ 1 ) , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1}),\Vert \cdot \Vert )} 는 완비 거리 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라 F ( x ′ , ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )} 는 B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 에서 유일한 고정점 g ( x ′ ) ∈ B ¯ ( b , δ 1 ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} ')\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})} 를 가진다. 즉, 다음이 성립한다. f ( x ′ , g ( x ′ ) ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))=\mathbf {0} } 이제 이렇게 정의한 g : B ¯ ( a , δ 2 ) → R m {\displaystyle \mathbf {g} \colon {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} ^{m}} 가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 x ′ , x ′ + Δ x ∈ B ¯ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, 다음이 성립한다. ‖ g ( x ′ + Δ x ) − g ( x ′ ) ‖ = ‖ F ( x ′ + Δ x , g ( x ′ + Δ x ) ) − F ( x ′ , g ( x ′ ) ) ‖ ≤ ‖ F ( x ′ + Δ x , g ( x ′ + Δ x ) ) − F ( x ′ + Δ x , g ( x ′ ) ) ‖ + ‖ F ( x ′ + Δ x , g ( x ′ ) ) − F ( x ′ , g ( x ′ ) ) ‖ ≤ c ‖ g ( x ′ + Δ x ) − g ( x ′ ) ‖ + c ′ ‖ Δ x ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert &=\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert +c'\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert \end{aligned}}} c ′ = sup x ∈ B ¯ ( a , δ 2 ) , y ∈ B ¯ ( b , δ 1 ) ‖ D x F ( x , y ) ‖ {\displaystyle c'=\sup _{\mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2}),\;\mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}\Vert \mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\Vert } 즉, 다음이 성립한다. ‖ g ( x ′ + Δ x ) − g ( x ′ ) ‖ ≤ c ′ 1 − c ‖ Δ x ‖ {\displaystyle \Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {c'}{1-c}}\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert } 따라서 g {\displaystyle \mathbf {g} } 는 연속 함수가 맞다. g {\displaystyle \mathbf {g} } 의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 f {\displaystyle \mathbf {f} } 가 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수일 때 g {\displaystyle \mathbf {g} } 의 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 x ′ , x ′ + Δ x ∈ B ¯ ( a , δ 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})} 에 대하여, 다음과 같이 표기하자. Δ y ( x ′ , x ′ + Δ x ) = g ( x + Δ x ) − g ( x ) {\displaystyle \Delta \mathbf {y} (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {g} (\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} )} 그러면 다음이 성립한다. ‖ Δ y + ( D y f ( x ′ , g ( x ′ ) ) ) − 1 D x f ( x ′ , g ( x ′ ) ) Δ x ‖ ≤ ‖ ( D y f ( x ′ , g ( x ′ ) ) ) − 1 ‖ ‖ ( D y f ( x ′ , g ( x ′ ) ) ) Δ y + D x f ( x ′ , g ( x ′ ) ) Δ x ‖ = ‖ ( D y f ( x ′ , g ( x ′ ) ) ) − 1 ‖ ‖ f ( x ′ + Δ x , g ( x ′ ) + Δ y ) − f ( x ′ , g ( x ′ ) ) − ( D y f ( x ′ , g ( x ′ ) ) ) Δ y − D x f ( x ′ , g ( x ′ ) ) Δ x ‖ = o ( ‖ Δ x ‖ ) ( Δ x → 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \Delta \mathbf {y} +(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert &\leq \Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} +\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=\Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\Delta \mathbf {y} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} -\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=o(\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )\end{aligned}}} 마지막 등호는 ‖ Δ y ‖ ≤ ( c ′ / ( 1 − c ) ) ‖ Δ x ‖ {\displaystyle \Vert \Delta \mathbf {y} \Vert \leq (c'/(1-c))\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert } 때문이다. 즉, D g ( x ′ ) = − ( D y f ( x ′ , g ( x ′ ) ) ) − 1 D x f ( x ′ , g ( x ′ ) ) {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} ')=-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))} 가 성립하며, g {\displaystyle \mathbf {g} } 는 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이다. 어떤 0 < ϵ < 1 {\displaystyle 0<\epsilon <1} 에 대하여, 케플러 방정식 x = y − ϵ sin ⁡ y {\displaystyle x=y-\epsilon \sin y} 을 생각하자. 다음과 같은 함수 f : R 2 → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } 를 정의하자. f ( x , y ) = y − x − ϵ sin ⁡ y ∀ x , y ∈ R {\displaystyle f(x,y)=y-x-\epsilon \sin y\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 그렇다면, 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, lim y → − ∞ f ( x , y ) = − ∞ , lim y → ∞ f ( x , y ) = ∞ {\displaystyle \lim _{y\to -\infty }f(x,y)=-\infty ,\;\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\infty } f y ( x , y ) = 1 − ϵ cos ⁡ y > 0 ∀ y ∈ R {\displaystyle f_{y}(x,y)=1-\epsilon \cos y>0\qquad \forall y\in \mathbb {R} } 이므로, f ( x , g ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,g(x))=0} 인 유일한 g ( x ) ∈ R {\displaystyle g(x)\in \mathbb {R} } 가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 는 C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 ( C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} ) 함수를 정의한다. 그러나 이러한 함수 g {\displaystyle g} 는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다. 다음과 같은 연속 함수 f , g : R 2 → R {\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } 및 h : R → R {\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 를 생각하자. f ( x , y ) = | y | ∀ x , y ∈ R {\displaystyle f(x,y)=|y|\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } g ( x , y ) = y 3 ∀ x , y ∈ R {\displaystyle g(x,y)=y^{3}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } h ( x ) = 0 ∀ x ∈ R {\displaystyle h(x)=0\qquad \forall x\in \mathbb {R} } 그러면 x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } 에 대하여 다음 세 가지가 동치이다. f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} g ( x , y ) = 0 {\displaystyle g(x,y)=0} y = h ( x ) {\displaystyle y=h(x)} 즉, h {\displaystyle h} 는 f {\displaystyle f} 또는 g {\displaystyle g} 가 유도하는 음함수이다. 그러나 f y ( 0 , 0 ) {\displaystyle f_{y}(0,0)} 는 존재하지 않으며, g y ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle g_{y}(0,0)=0} 이다. 역함수 정리