확장된 실수

수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다. 확장된 실수의 집합 R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다. R ¯ = R ⊔ { + ∞ , − ∞ } {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \sqcup \{+\infty ,-\infty \}} 이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다. arctan : R ¯ → [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle \arctan \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [-\pi /2,\pi /2]} arctan ⁡ ( x ) = { π / 2 x = + ∞ − π / 2 x = − ∞ arctan ⁡ ( x ) x ∈ R {\displaystyle \arctan(x)={\begin{cases}\pi /2&x=+\infty \\-\pi /2&x=-\infty \\\arctan(x)&x\in \mathbb {R} \end{cases}}} 이에 따라, R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 에 부분 공간 위상을 줄 수 있다. 또한, R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 에 대하여, − ∞ < a < ∞ {\displaystyle -\infty <a<\infty } 가 된다. 이에 따라서 R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든 a + ∈ R + {\displaystyle a^{+}\in \mathbb {R} ^{+}} , a − ∈ R − {\displaystyle a^{-}\in \mathbb {R} ^{-}} 에 대하여, (덧셈) a + ± ∞ = a − ± ∞ = 0 ± ∞ = ± ∞ ± ∞ = ± ∞ {\displaystyle a^{+}\pm \infty =a^{-}\pm \infty =0\pm \infty =\pm \infty \pm \infty =\pm \infty } (덧셈의 역원) − ( ± ∞ ) = ∓ ∞ {\displaystyle -(\pm \infty )=\mp \infty } (곱셈) a + ⋅ ( ± ∞ ) = a − ⋅ ( ∓ ∞ ) = ± ∞ ⋅ ∞ = ∓ ∞ ⋅ ( − ∞ ) = ± ∞ {\displaystyle a^{+}\cdot (\pm \infty )=a^{-}\cdot (\mp \infty )=\pm \infty \cdot \infty =\mp \infty \cdot (-\infty )=\pm \infty } (곱셈의 역원) ( ± ∞ ) − 1 = 0 {\displaystyle (\pm \infty )^{-1}=0} 그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다 (즉, 어떻게 정의하더라도 덧셈과 곱셈이 좋은 성질을 갖지 못한다). 0 ⋅ ∞ = ? {\displaystyle 0\cdot \infty =?} ∞ − ∞ = ? {\displaystyle \infty -\infty =?} 0 − 1 = ? {\displaystyle 0^{-1}=?} 다만, 측도론에서는 보통 0 ⋅ ∞ = 0 {\displaystyle 0\cdot \infty =0} 으로 정의하여 사용한다. 덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다. R ¯ ∖ { 0 } {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{0\}} 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다. 만약 0 ⋅ ∞ = 0 {\displaystyle 0\cdot \infty =0} 으로 정의한다면, R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다. R ¯ ∖ { − ∞ } {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{-\infty \}} 와 R ¯ ∖ { + ∞ } {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{+\infty \}} 는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다. 만약 0 ⋅ ∞ = 0 {\displaystyle 0\cdot \infty =0} 으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 R ¯ ≥ 0 = [ 0 , ∞ ] {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]} 는 가환 반환을 이룬다. 다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다. exp : R ¯ → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \exp \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [0,\infty ]} exp ⁡ ( − ∞ ) = 0 {\displaystyle \exp(-\infty )=0} exp ⁡ ( + ∞ ) = + ∞ {\displaystyle \exp(+\infty )=+\infty } 이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다. exp ⁡ ( a + b ) = exp ⁡ ( a ) exp ⁡ ( b ) ( a , b ∈ R ¯ , ; ( a , b ) ∉ { ( − ∞ , + ∞ ) , ( + ∞ , − ∞ ) } ) {\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\qquad \left(a,b\in {\bar {\mathbb {R} }},;(a,b)\not \in \left\{(-\infty ,+\infty ),(+\infty ,-\infty )\right\}\right)} 마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수 log : [ 0 , ∞ ] → R ¯ {\displaystyle \log \colon [0,\infty ]\to {\bar {\mathbb {R} }}} 를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다. log ⁡ ( a b ) = log ⁡ ( a ) + log ⁡ ( b ) ( a , b ∈ [ 0 , ∞ ] , ; ( a , b ) ∉ { ( 0 , ∞ ) , ( ∞ , 0 ) } ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)\qquad \left(a,b\in [0,\infty ],;(a,b)\not \in \left\{(0,\infty ),(\infty ,0)\right\}\right)} 만약 어떤 실함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 가 lim x → ∞ f ( x ) = a {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=a} 인 경우, f ( ∞ ) = a {\displaystyle f(\infty )=a} 로 정의한다. 0으로 나누기 이상 적분 무한 급수 (수학) David W. Cantrell. “Affinely Extended Real Numbers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.