가군의 근기

환론에서, 가군의 근기(根基, 영어: radical 래디컬[*])는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 주각(柱脚, 영어: socle 소클[*])은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다. 환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기(Jacobson根基, 영어: Jacobson radical)라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 주어졌다고 하자. M {\displaystyle M} 의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 극대 부분 가군이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 R N ⊊ R M {\displaystyle _{R}N\subsetneq {}_{R}M} 은 R ( M / N ) {\displaystyle _{R}(M/N)} 이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, M {\displaystyle M} 의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 극소 부분 가군(영어: minimal submodule)이라고 하자. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 근기(根基, 영어: radical) rad ⁡ M {\displaystyle \operatorname {rad} M} 와 주각(柱脚, 영어: socle) soc ⁡ M {\displaystyle \operatorname {soc} M} 을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다. 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은 M {\displaystyle M} 의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 M {\displaystyle M} 의 근기 rad ⁡ M ⊆ M {\displaystyle \operatorname {rad} M\subseteq M} 라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 M {\displaystyle M} 과 같다.) 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 의 모든 극소 부분 가군들의 합은 M {\displaystyle M} 의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 M {\displaystyle M} 의 주각 soc ⁡ M ⊆ M {\displaystyle \operatorname {soc} M\subseteq M} 이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다. 환 R {\displaystyle R} 를 스스로 위의 왼쪽 가군 R R {\displaystyle _{R}R} 또는 오른쪽 가군 R R {\displaystyle R_{R}} 으로 생각할 수 있다. 이 경우, R R {\displaystyle _{R}R} 와 R R {\displaystyle R_{R}} 의 근기 및 주각을 생각할 수 있다. R R {\displaystyle _{R}R} 와 R R {\displaystyle R_{R}} 의 근기는 R {\displaystyle R} 의 동일한 부분 집합을 정의한다. rad ⁡ ( R R ) = rad ⁡ ( R R ) ⊆ R {\displaystyle \operatorname {rad} (_{R}R)=\operatorname {rad} (R_{R})\subseteq R} 이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, R {\displaystyle R} 의 제이컵슨 근기(영어: Jacobson radical)라고 한다. 근기의 경우와 달리, 일반적으로 soc ⁡ ( R R ) {\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}R)} (=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 soc ⁡ ( R R ) {\displaystyle \operatorname {soc} (R_{R})} (=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 주각(영어: left socle) 및 오른쪽 주각(영어: right socle)이라고 한다. 임의의 R {\displaystyle R} -가군 준동형 f : R M → R N {\displaystyle f\colon {}_{R}M\to {}_{R}N} 에 대하여, 다음이 성립한다. f ( rad ⁡ M ) ⊆ rad ⁡ N {\displaystyle f(\operatorname {rad} M)\subseteq \operatorname {rad} N} f ( soc ⁡ M ) ⊆ soc ⁡ N {\displaystyle f(\operatorname {soc} M)\subseteq \operatorname {soc} N} 모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 경우 M ≠ rad ⁡ ( R M ) {\displaystyle M\neq \operatorname {rad} (_{R}M)} 이다. 가군의 (유한 또는 무한) 직합 M = ⨁ i ∈ I M i {\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}} 에 대하여, 다음이 성립한다. soc ⁡ M ≅ ⨁ i ∈ I soc ⁡ M i {\displaystyle \operatorname {soc} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {soc} M_{i}} rad ⁡ M ≅ ⨁ i ∈ I rad ⁡ M i {\displaystyle \operatorname {rad} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {rad} M_{i}} 모든 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여, 다음이 성립한다. rad ⁡ ( M R / rad ⁡ ( R M ) ) = 0 {\displaystyle \operatorname {rad} \left(_{M}R/\operatorname {rad} (_{R}M)\right)=0} soc ⁡ ( soc ⁡ ( R M ) ) = soc ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {soc} \left(\operatorname {soc} (_{R}M)\right)=\operatorname {soc} (_{R}M)} 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 반단순 가군이다. soc ⁡ ( R M ) = M {\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}M)=M} 이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. 반단순환이다. soc ⁡ ( R R ) = R {\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}R)=R} 이다. soc ⁡ ( R R ) = R {\displaystyle \operatorname {soc} (R_{R})=R} 이다. 모든 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 에 대하여 soc ⁡ ( R M ) = M {\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}M)=M} 이다. 모든 오른쪽 가군 M R {\displaystyle M_{R}} 에 대하여 soc ⁡ ( M R ) = M {\displaystyle \operatorname {soc} (M_{R})=M} 이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 반원시환이다. rad ⁡ R = 0 {\displaystyle \operatorname {rad} R=0} 이다. 제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 R {\displaystyle R} 의 경우 R ≠ rad ⁡ ( R ) {\displaystyle R\neq \operatorname {rad} (R)} 이다. 환 R {\displaystyle R} 의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 이 주어졌다고 하자. rad ⁡ R {\displaystyle \operatorname {rad} R} 는 아이디얼이므로, ( rad ⁡ R ) M = { r 1 m 1 + r 2 m 2 + ⋯ + r k m k : k ∈ N , r 1 , … , r k ∈ rad ⁡ R , m 1 , … , m k ∈ M } ⊆ M {\displaystyle (\operatorname {rad} R)M=\left\{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+\cdots +r_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;r_{1},\dots ,r_{k}\in \operatorname {rad} R,\;m_{1},\dots ,m_{k}\in M\right\}\subseteq M} 는 R M {\displaystyle _{R}M} 의 부분 가군을 이룬다. 나카야마 보조정리(영어: Nakayama lemma)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다. M {\displaystyle M} 은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다. ( rad ⁡ R ) M ⊊ M {\displaystyle (\operatorname {rad} R)M\subsetneq M} 이다. M = 0 {\displaystyle M=0} 이다. 증명: R M {\displaystyle _{R}M} 이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. m 1 , … , m k ∈ M {\displaystyle m_{1},\dots ,m_{k}\in M} 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. (생성 집합) R m 1 + R m 2 + ⋯ + R m k = M {\displaystyle Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{k}=M} (극소성) 임의의 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} 에 대하여, R m 1 + R m 2 + ⋯ + R m i − 1 + R m i + 1 + ⋯ + R m k ≠ M {\displaystyle Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots +Rm_{k}\neq M} M {\displaystyle M} 이 영가군이 아니므로 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} 이다. 귀류법을 사용하여, rad ⁡ ( R ) M = M {\displaystyle \operatorname {rad} (R)M=M} 이라고 가정하자. 그렇다면, ∑ i = 1 k m i = ∑ i = 1 k j i r i m i {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}m_{i}=\sum _{i=1}^{k}j_{i}r_{i}m_{i}} 가 되는 r 1 , … , r k ∈ R {\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}\in R} 및 j 1 , … , j k ∈ rad ⁡ ( R ) {\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}\in \operatorname {rad} (R)} 가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} 에 대하여 1 − j i r i ∈ R × {\displaystyle 1-j_{i}r_{i}\in R^{\times }} 는 가역원이다. 따라서, m 1 = − ( 1 − j 1 r 1 ) − 1 ∑ i = 2 k ( 1 − j i r i ) m i {\displaystyle m_{1}=-(1-j_{1}r_{1})^{-1}\sum _{i=2}^{k}(1-j_{i}r_{i})m_{i}} 가 되며, 이는 { m 1 , … , m k } {\displaystyle \{m_{1},\dots ,m_{k}\}} 의 극소성과 모순된다. 환 R {\displaystyle R} 의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. r ∈ rad ⁡ R {\displaystyle r\in \operatorname {rad} R} 이다. 임의의 왼쪽 단순 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, r M = { 0 } {\displaystyle rM=\{0\}} 이다. 임의의 오른쪽 단순 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, M r = { 0 } {\displaystyle Mr=\{0\}} 이다. 모든 왼쪽 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대하여, r ∈ m {\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}} 모든 오른쪽 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대하여, r ∈ m {\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}} 모든 s ∈ R {\displaystyle s\in R} 에 대하여, 1 − r s {\displaystyle 1-rs} 는 가역원이다. 모든 s ∈ R {\displaystyle s\in R} 에 대하여, 1 − s r {\displaystyle 1-sr} 는 가역원이다. 모든 s , s ′ ∈ R {\displaystyle s,s'\in R} 에 대하여, 1 − s r s ′ {\displaystyle 1-srs'} 는 가역원이다. 즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.) 가환환 R {\displaystyle R} 의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다. ( 0 ) ⊆ rad ⁡ R {\displaystyle {\sqrt {(0)}}\subseteq \operatorname {rad} R} 만약 가환환 R {\displaystyle R} 가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다. 체 K {\displaystyle K} 는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다. rad ⁡ K = 0 {\displaystyle \operatorname {rad} K=0} soc ⁡ K = K {\displaystyle \operatorname {soc} K=K} 보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 근기는 영 아이디얼이다. 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 이다. 정수환의 몫환 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 극대 아이디얼들은 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, n {\displaystyle n} 의 소인수 분해가 n = ∏ i p i n i {\displaystyle n=\prod _{i}p_{i}^{n_{i}}} 라면, Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 n {\displaystyle n} 이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다. rad ⁡ ( Z / ( n ) ) = ( 0 ) = ( ∏ i p i ) ⊆ Z / ( n ) {\displaystyle \operatorname {rad} (\mathbb {Z} /(n))={\sqrt {(0)}}=(\prod _{i}p_{i})\subseteq \mathbb {Z} /(n)} 아벨 군은 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다. 무한 순환군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여 p Z {\displaystyle p\mathbb {Z} } 의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다. rad ⁡ ( Z Z ) = soc ⁡ ( Z Z ) = 0 {\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=0} 임의의 자연수 n {\displaystyle n} 의 소인수 분해 n = p 1 n 1 p 2 n 2 ⋯ p k n k {\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기 rad ⁡ ( n ) = p 1 p 2 ⋯ p k {\displaystyle \operatorname {rad} (n)=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}} 를 정의할 수 있다. n {\displaystyle n} 차 순환군 Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n} 의 극소 부분군은 n {\displaystyle n} 의 소인수 p i {\displaystyle p_{i}} 크기의 순환군 ( n / p i ) Z / n {\displaystyle (n/p_{i})\mathbb {Z} /n} 이며, 극대 부분군은 n / p i {\displaystyle n/p_{i}} 크기의 순환군 ( p i ) Z / n {\displaystyle (p_{i})\mathbb {Z} /n} 에 대응한다. 따라서, 이 경우 rad ⁡ ( Z ( Z / n ) ) = ( rad ⁡ n ) Z / n ≅ Z / ( n / rad ⁡ n ) ) {\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(n/\operatorname {rad} n))} soc ⁡ ( Z ( Z / n ) ) = ( n / rad ⁡ n ) Z / n ≅ Z / ( rad ⁡ n ) {\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(n/\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(\operatorname {rad} n)} 이다. 나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다. rad ⁡ ( Z Q ) = Q {\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} } soc ⁡ ( Z Q ) = 0 {\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=0} 프뤼퍼 군의 부분군들은 0 ⊊ p − 1 Z / Z ⊊ p − 2 Z / Z ⊊ ⋯ ⊂ Z ( p ∞ ) {\displaystyle 0\subsetneq p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq p^{-2}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subset \mathbb {Z} (p^{\infty })} 이므로, 그 유일한 극소 부분군은 p − 1 Z / Z {\displaystyle p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} } 이며, 이는 그 주각과 같다. rad ⁡ ( Z Z ( p ∞ ) ) = Z ( p ∞ ) {\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=\mathbb {Z} (p^{\infty })} soc ⁡ ( Z Z ( p ∞ ) ) = p − 1 Z / Z {\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} } 환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.:168 제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다. 나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다. Dieudonné, Jean (1942). “Sur le socle d’un anneau et les anneaux simple infinis”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 70: 46–75. ISSN 0037-9484. Zbl 0060.07203.  Lambek, Joachim (1986). “Lectures on rings and modules” (영어) 3판. Chelsea Publishing Company. MR 0206032.  Jacobson, Nathan (1945). “The radical and semi-simplicity for arbitrary rings”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 67: 300–320. doi:10.2307/2371731. ISSN 0002-9327. MR 12271.  Nakayama, Tadasi (1951). “A remark on finitely generated modules”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 3: 139–140. ISSN 0027-7630. MR 0043770. Zbl 0044.26304.  “Jacobson radical”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Radical of rings and algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Socle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Jacobson radical”. 《nLab》 (영어).  “Socle”. 《nLab》 (영어).  “Definition: Jacobson radical”. 《ProofWiki》 (영어).  “Characterisation of Jacobson radical”. 《ProofWiki》 (영어).  “Nakayama's lemma”. 《ProofWiki》 (영어).  Yuan, Qiaochu (2012년 5월 30일). “The Jacobson radical”. 《Annoying Precision》 (영어).  “Radical of a module”. 《Mathematics and Such》 (영어). 2015년 1월 9일.  “Origin of the socle of a module” (영어). Math Overflow.  “How to memorise (understand) Nakayama's lemma and its corollaries” (영어). Math Overflow.  영근기 소근기 반원시환