티호노프 공간

일반위상수학에서 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T3½ 공간(영어: T3½ space)은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다. (점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} 및 x ∈ X ∖ C {\displaystyle x\in X\setminus C} 에 대하여, f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 이며 f ( C ) = { 1 } {\displaystyle f(C)=\{1\}} 인 연속 함수 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} 이 존재한다.:231 X {\displaystyle X} 의 위상은 어떤 연속 함수들의 집합 F ⊆ C ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )} 에 대한 시작 위상이다.:40, Theorem 3.6–3.7:48, Exercise 1.5.E, (a) X {\displaystyle X} 의 위상은 연속 함수의 집합 C ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )} 에 대한 시작 위상이다.:40, Theorem 3.6 X {\displaystyle X} 의 위상은 유계 연속 함수의 집합 C bd ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;\mathbb {R} )} 에 대한 시작 위상이다.:40, Theorem 3.6 (균등화 가능성 영어: uniformizability) X {\displaystyle X} 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다. X {\displaystyle X} 는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다. X {\displaystyle X} 는 T1 공간이며 완비 정칙 공간이다.:231 X {\displaystyle X} 는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다. X {\displaystyle X} 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.:231 X {\displaystyle X} 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.:231 X {\displaystyle X} 는 [ 0 , 1 ] C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}} 의 부분 집합과 위상동형이다.:231 여기서 C ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)} 는 X {\displaystyle X} 에서 Y {\displaystyle Y} 로 가는 연속 함수들의 집합이며, [ 0 , 1 ] C ( X , [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}} 는 표준 위상을 부여한 단위 구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 의 | C ( X , [ 0 , 1 ] ) | {\displaystyle |{\mathcal {C}}(X,[0,1])|} 개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. X {\displaystyle X} 에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 β X {\displaystyle \beta X} 로 가는 연속 함수 ι : X → β X {\displaystyle \iota \colon X\to \beta X} 에 대하여, X {\displaystyle X} 는 그 상과 위상 동형이다. X {\displaystyle X} 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.:231–232 정규 하우스도르프 공간(T4) ⊊ 티호노프 공간(T3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T3) ∩ 완비 하우스도르프 공간) 완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.:141:211 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다. 증명: 완비 정칙 공간 X {\displaystyle X} 와 그 부분 공간 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 C ⊆ Y {\displaystyle C\subseteq Y} 및 y ∈ Y ∖ F {\displaystyle y\in Y\setminus F} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 C = F ∩ Y {\displaystyle C=F\cap Y} 인 닫힌집합 F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} 가 존재하며, 이에 대하여 f ( y ) = 0 {\displaystyle f(y)=0} , f ( F ) = { 1 } {\displaystyle f(F)=\{1\}} 인 연속 함수 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon X\to [0,1]} 이 존재한다. g = f ↾ Y {\displaystyle g=f\upharpoonright Y} 라고 하자. 그렇다면 g {\displaystyle g} 는 연속 함수이며, g ( y ) = 0 {\displaystyle g(y)=0} 및 g ( C ) = { 1 } {\displaystyle g(C)=\{1\}} 을 만족시킨다. 완비 정칙 공간들의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자. 곱공간 X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}} 의 닫힌집합 C {\displaystyle C} 및 x ∈ X ∖ C {\displaystyle x\in X\setminus C} 가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 x {\displaystyle x} 의 열린 근방 ∏ i ∈ I U i {\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}U_{i}} 를 취하자. x ∈ ∏ i ∈ I U i ⊆ X ∖ C {\displaystyle x\in \prod _{i\in I}U_{i}\subseteq X\setminus C} U i ∈ Open ⁡ ( X i ) {\displaystyle U_{i}\in \operatorname {Open} (X_{i})} U i = X i ∀ i ∈ I ∖ { i ( 1 ) , … , i ( n ) } {\displaystyle U_{i}=X_{i}\qquad \forall i\in I\setminus \{i(1),\dotsc ,i(n)\}} 그렇다면 각 j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j\in \{1,\dotsc ,n\}} 에 대하여, f j ( x i ( j ) ) = 0 {\displaystyle f_{j}(x_{i(j)})=0} , f j ( X i ( j ) ∖ U i ( j ) ) = { 1 } {\displaystyle f_{j}(X_{i(j)}\setminus U_{i(j)})=\{1\}} 인 연속 함수 f j : X i ( j ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{j}\colon X_{i(j)}\to [0,1]} 이 존재한다. g : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle g\colon X\to [0,1]} g : y ↦ 1 − ( 1 − f 1 ( y i ( 1 ) ) ) ⋯ ( 1 − f n ( y i ( n ) ) ) {\displaystyle g\colon y\mapsto 1-(1-f_{1}(y_{i(1)}))\cdots (1-f_{n}(y_{i(n)}))} 라고 하자. 그렇다면 g {\displaystyle g} 는 연속 함수이며, g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} 및 g ( C ) = { 1 } {\displaystyle g(C)=\{1\}} 을 만족시킨다. 티호노프 공간이 아닌 정칙 (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합 X = { ( 0 , − 1 ) } ∪ R × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle X=\{(0,-1)\}\cup \mathbb {R} \times [0,\infty )} 위에 각 점이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 주자. 모든 ( x , y ) ∈ R × ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )} 은 고립점이다 (즉, { ( x , y ) } {\displaystyle \{(x,y)\}} 는 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 의 열린 근방이다). ( x , 0 ) ∈ R × { 0 } {\displaystyle (x,0)\in \mathbb {R} \times \{0\}} 및 유한 집합 F {\displaystyle F} 에 대하여, ( { x } × [ 0 , 2 ] ∪ { ( x + y , y ) : y ∈ [ 0 , 2 ] } ) ∖ F {\displaystyle (\{x\}\times [0,2]\cup \{(x+y,y)\colon y\in [0,2]\})\setminus F} 는 ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} 의 열린 근방이다. n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, { ( 0 , − 1 ) } ∪ [ n , ∞ ) × R {\displaystyle \{(0,-1)\}\cup [n,\infty )\times \mathbb {R} } 는 ( 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,-1)} 의 열린 근방이다. 그렇다면, X {\displaystyle X} 는 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간이며, 정칙 공간이지만, 티호노프 공간이 아니다.:40, Example 1.5.9 증명: X {\displaystyle X} 가 하우스도르프 공간임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 ( x , y ) , ( x ′ , y ′ ) ∈ X {\displaystyle (x,y),(x',y')\in X} 가 주어졌다고 하자. 편의상 ( x , y ) ≠ ( 0 , − 1 ) {\displaystyle (x,y)\neq (0,-1)} 이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} 가 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 와 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, U {\displaystyle U} 는 열린닫힌집합이다. 따라서, 지시 함수 1 U : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle 1_{U}\colon X\to [0,1]} 은 연속 함수이며, ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 와 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 을 분리한다. 이제, X {\displaystyle X} 의 정칙성을 확인하자. ( x , y ) ∈ R × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} \times [0,\infty )} 의 국소 기저 원소들은 열린닫힌집합이므로, 임의의 ( x , y ) ∈ R × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} \times [0,\infty )} 는 이를 포함하지 않는 닫힌집합과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, ( 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,-1)} 과 ( 0 , − 1 ) ∉ F {\displaystyle (0,-1)\not \in F} 인 임의의 닫힌집합 F {\displaystyle F} 를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다. ( { ( 0 , − 1 ) } ∪ [ n , ∞ ) ) ∩ F = ∅ {\displaystyle (\{(0,-1)\}\cup [n,\infty ))\cap F=\varnothing } 인 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 을 취하자. 그렇다면 U = { ( 0 , − 1 ) } ∪ [ n + 2 , ∞ ) × R {\displaystyle U=\{(0,-1)\}\cup [n+2,\infty )\times \mathbb {R} } V = X ∖ ( { ( 0 , − 1 ) } ∪ [ n + 2 , ∞ ) × R ∪ [ n , n + 2 ] × { 0 } ) {\displaystyle V=X\setminus (\{(0,-1)\}\cup [n+2,\infty )\times \mathbb {R} \cup [n,n+2]\times \{0\})} 는 각각 ( 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,-1)} 와 F {\displaystyle F} 의 열린 근방이며, U ∩ V = ∅ {\displaystyle U\cap V=\varnothing } 이다. 이제, X {\displaystyle X} 가 티호노프 공간이 아님을 보이자. [ 0 , 1 ] × { 0 } {\displaystyle [0,1]\times \{0\}} 은 닫힌집합이며, ( 0 , − 1 ) ∉ [ 0 , 1 ] × { 0 } {\displaystyle (0,-1)\not \in [0,1]\times \{0\}} 이다. f ( [ 0 , 1 ] × { 0 } ) = { 0 } {\displaystyle f([0,1]\times \{0\})=\{0\}} 인 연속 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 가 항상 f ( ( 0 , − 1 ) ) = 0 {\displaystyle f((0,-1))=0} 을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 K n = f − 1 ( 0 ) ∩ ( [ n , n + 1 ] × { 0 } ) {\displaystyle K_{n}=f^{-1}(0)\cap ([n,n+1]\times \{0\})} 이 무한 집합임을 보이는 것으로 충분하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 가산 무한 집합 C ⊆ K n {\displaystyle C\subseteq K_{n}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 ( c , 0 ) ∈ C {\displaystyle (c,0)\in C} 에 대하여, { ( c + y , y ) : y ∈ [ 0 , 2 ] } ∖ f − 1 ( 0 ) = ⋃ i = 1 ∞ { ( c + y , y ) : y ∈ [ 0 , 2 ] } ∖ f − 1 ( ( − 1 / i , 1 / i ) ) {\displaystyle \{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)=\bigcup _{i=1}^{\infty }\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}((-1/i,1/i))} 는 가산 개의 유한 집합의 합집합이므로 가산 집합이다. C {\displaystyle C} 가 가산 집합이므로, P = { ( x , 0 ) : ( x , y ) ∈ ⋃ c ∈ C { ( c + y , y ) : y ∈ [ 0 , 2 ] } ∖ f − 1 ( 0 ) } {\displaystyle P=\left\{(x,0)\colon (x,y)\in \bigcup _{c\in C}\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)\right\}} 은 가산 집합이며, ( [ n + 1 , n + 2 ] × { 0 } ) ∖ P {\displaystyle ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P} 는 무한 집합이다. 임의의 ( x , 0 ) ∈ ( [ n + 1 , n + 2 ] × { 0 } ) ∖ P {\displaystyle (x,0)\in ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P} 및 ( c , 0 ) ∈ C {\displaystyle (c,0)\in C} 에 대하여, { x } × [ 0 , 2 ] {\displaystyle \{x\}\times [0,2]} 와 { ( c + y , y ) : y ∈ [ 0 , 2 ] } {\displaystyle \{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}} 의 교점은 f − 1 ( 0 ) {\displaystyle f^{-1}(0)} 에 속한다. C {\displaystyle C} 가 무한 집합이므로, ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} 의 모든 근방은 f − 1 ( 0 ) {\displaystyle f^{-1}(0)} 의 점을 포함한다. f {\displaystyle f} 의 ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} 에서의 연속성에 따라 f ( ( x , 0 ) ) = 0 {\displaystyle f((x,0))=0} 이다. 즉, ( [ n + 1 , n + 2 ] × { 0 } ) ∖ P ⊆ K n + 1 {\displaystyle ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P\subseteq K_{n+1}} 이며, K n + 1 {\displaystyle K_{n+1}} 은 무한 집합이다. 니미츠키 평면(영어: Niemytzki plane)은 닫힌 상반평면 R × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty )} 위에, 그 통상적인 열린집합들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 기저로 하는 위상을 부여한 위상 공간이다. { x } ∪ ball ⁡ ( x + ( 0 , ϵ ) , ϵ ) ( x ∈ R × { 0 } , ϵ > 0 ) {\displaystyle \{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )\qquad (x\in \mathbb {R} \times \{0\},\;\epsilon >0)} 즉, 추가된 열린집합들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 거리 함수에 대한) 열린 원판과 그 접점의 합집합들이다. 니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 닫힌집합이 Gδ 집합이지만, 정규 공간이 아니다.:101, 82.2–82.3:41, Example 1.5.10; 48, Exercise 1.5.H, (a) 증명: 니미츠키 평면이 하우스도르프 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. 위상 공간의 부분 기저 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 S ∈ S {\displaystyle S\in {\mathcal {S}}} 와 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, s {\displaystyle s} 와 S {\displaystyle S} 의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 동치이다. R × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty )} 는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 열린집합의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 x ∈ R × { 0 } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \times \{0\}} 및 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, y ∈ ball ⁡ ( x + ( 0 , ϵ ) , ϵ ) {\displaystyle y\in \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )} 과 R × [ 0 , ∞ ) ∖ ball ⁡ ( x + ( 0 , ϵ ) , ϵ ) {\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )} 이 실함수를 통해 분리되므로, y {\displaystyle y} 와 R × [ 0 , ∞ ) ∖ ( { x } ∪ ball ⁡ ( x + ( 0 , ϵ ) , ϵ ) ) {\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus (\{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon ))} 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 x ∈ R × { 0 } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \times \{0\}} 및 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} f ( R × [ 0 , ∞ ) ∖ ( { x } ∪ ball ⁡ ( x + ( 0 , ϵ ) , ϵ ) ) ) = { 1 } {\displaystyle f(\mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus (\{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )))=\{1\}} 인 연속 함수 f : R × [ 0 , ∞ ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times [0,\infty )\to [0,1]} 를 찾으면 충분하다. 편의상 x = 0 {\displaystyle x=0} 이라고 하자. 그렇다면, f : y ↦ 1 / inf { t ∈ [ 1 , ∞ ) : t y ∉ { 0 } ∪ ball ⁡ ( ( 0 , ϵ ) , ϵ ) } {\displaystyle f\colon y\mapsto 1/\inf\{t\in [1,\infty )\colon ty\not \in \{0\}\cup \operatorname {ball} ((0,\epsilon ),\epsilon )\}} 는 원하는 조건을 만족시킨다. 이제, 니미츠키 평면의 열린집합 U ⊆ R × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} \times [0,\infty )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, U ∩ ( R × ( 0 , ∞ ) ) {\displaystyle U\cap (\mathbb {R} \times (0,\infty ))} 는 R × ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} \times (0,\infty )} 의 열린집합이며, 따라서 가산 개의 (통상적 거리 함수에 대한) 열린 공들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 닫힌 공들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 닫힌집합이므로, U ∩ ( R × ( 0 , ∞ ) ) {\displaystyle U\cap (\mathbb {R} \times (0,\infty ))} 는 Fσ 집합이다. R × { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}} 의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 닫힌집합이며, 특히 U ∩ ( R × { 0 } ) {\displaystyle U\cap (\mathbb {R} \times \{0\})} 은 닫힌집합이다. 따라서 U {\displaystyle U} 는 Fσ 집합이다. 이제, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아니라고 가정하자. 임의의 A ⊆ R × { 0 } {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} \times \{0\}} 가 주어졌다고 하자. A {\displaystyle A} 와 ( R × { 0 } ) ∖ A {\displaystyle (\mathbb {R} \times \{0\})\setminus A} 는 모두 닫힌집합이므로, 서로소 열린 근방 U A {\displaystyle U_{A}} 와 V A {\displaystyle V_{A}} 를 갖는다. 함수 P ( R × { 0 } ) → P ( Q × ( ( 0 , 1 ) ∩ Q ) ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} \times \{0\})\to {\mathcal {P}}(\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))} A ↦ U A ∩ ( Q × ( ( 0 , 1 ) ∩ Q ) ) {\displaystyle A\mapsto U_{A}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))} 를 생각하자. A , B ⊆ R × { 0 } {\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} \times \{0\}} 이며 A ∖ B ≠ ∅ {\displaystyle A\setminus B\neq \varnothing } 이라고 하자. 그렇다면, A ∖ B ⊆ U A ∩ V B {\displaystyle A\setminus B\subseteq U_{A}\cap V_{B}} 이며, Q × ( ( 0 , 1 ) ∩ Q ) {\displaystyle \mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )} 가 조밀 집합이므로, ∅ ≠ U A ∩ V B ∩ ( Q × ( ( 0 , 1 ) ∩ Q ) ) ⊆ ( U A ∩ ( Q × ( ( 0 , 1 ) ∩ Q ) ) ) ∖ ( U B ∩ ( Q × ( ( 0 , 1 ) ∩ Q ) ) ) {\displaystyle \varnothing \neq U_{A}\cap V_{B}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))\subseteq (U_{A}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )))\setminus (U_{B}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )))} 이다. 이에 따라, 위 함수는 단사 함수이며, 2 2 ℵ 0 = | P ( R × { 0 } ) | ≤ | P ( Q × ( ( 0 , 1 ) ∩ Q ) ) | = 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}=|{\mathcal {P}}(\mathbb {R} \times \{0\})|\leq |{\mathcal {P}}(\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))|=2^{\aleph _{0}}} 이다. 이는 모순이다. 안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름이 붙어 있다. 우리손 공간 정칙 공간 정규 공간 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. 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