단사 대상

범주론에서 단사 대상(單射對象, 영어: injective object)은 이 대상을 공역으로 삼는 사상의 정의역을 임의로 확장할 수 있는 대상이다. 단사 가군의 개념을 일반화한 개념이다. 마찬가지로, 이에 대한 쌍대 개념인 사영 대상(射影對象, 영어: projective object)은 이 대상을 정의역으로 삼는 사상의 공역을 임의로 확장할 수 있는 대상이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 단사 대상은 다음 성질을 만족하는 대상 Q ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle Q\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 이다. 모든 사상 f : A → Q {\displaystyle f\colon A\to Q} 와 단사 사상 h : A ↪ B {\displaystyle h\colon A\hookrightarrow B} 에 대하여, g ∘ h = f {\displaystyle g\circ h=f} 인 사상 g : B → Q {\displaystyle g\colon B\to Q} 가 존재한다. A ↪ ∀ h B ∀ f ↓ ↙ ∃ g Q {\displaystyle {\begin{matrix}A&{\overset {\forall h}{\hookrightarrow }}&B\\{\scriptstyle \forall f}\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists g\\Q\end{matrix}}} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 끝 대상 1 ∈ C {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}} 을 가진다면, 단사 대상 Q {\displaystyle Q} 는 유일한 사상 Q → 1 {\displaystyle Q\to 1} 이 모든 단사 사상에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다. 마찬가지로, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사영 대상은 다음 성질을 만족하는 대상 P ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle P\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 이다. 모든 사상 f : P → B {\displaystyle f\colon P\to B} 와 전사 사상 h : A ↠ B {\displaystyle h\colon A\twoheadrightarrow B} 에 대하여, h ∘ g = f {\displaystyle h\circ g=f} 인 사상 g : P → A {\displaystyle g\colon P\to A} 가 존재한다. P ∃ g ↙ ↓ ∀ f A ↠ ∀ h B {\displaystyle {\begin{matrix}&&P\\&{\scriptstyle \exists g}\swarrow &\downarrow \scriptstyle \forall f\\A&{\underset {\forall h}{\twoheadrightarrow }}&B\end{matrix}}} 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 시작 대상 0 ∈ C {\displaystyle 0\in {\mathcal {C}}} 을 가진다면, 사영 대상 P {\displaystyle P} 는 유일한 사상 0 → P {\displaystyle 0\to P} 이 모든 전사 사상에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 대상 X {\displaystyle X} 에 대하여, X {\displaystyle X} 에서 어떤 단사 대상으로 가는 단사 사상이 존재한다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 단사 대상을 충분히 가지는 범주(單射對象을 充分히 가지는 範疇, 영어: category with enough injective objects)라고 한다. 마찬가지로, 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 임의의 대상 X {\displaystyle X} 에 대하여, 어떤 사영 대상에서 X {\displaystyle X} 로 가는 전사 사상이 존재한다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 사영 대상을 충분히 가지는 범주(射影對象을 充分히 가지는 範疇, 영어: category with enough projective objects)라고 한다. 보다 일반적으로, 단사 사상 또는 전사 사상 대신 다른 종류의 사상 H {\displaystyle H} 로 유사한 개념을 정의할 수 있다. 이 경우를 H {\displaystyle H} -단사 대상(H-injective object) 및 H {\displaystyle H} -사영 대상(영어: H {\displaystyle H} -projective object)이라고 한다. 단사 대상을 충분히 가지는 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 대상 X {\displaystyle X} 의 단사 껍질(영어: injective hull/envelope) ( ι , Q ) {\displaystyle (\iota ,Q)} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. Q {\displaystyle Q} 는 단사 대상이다. ι : X → Q {\displaystyle \iota \colon X\to Q} 는 본질적 단사 사상이다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서, 대상 X {\displaystyle X} 의 사영 덮개 ( P , π ) {\displaystyle (P,\pi )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. P {\displaystyle P} 는 사영 대상이다. π : P → X {\displaystyle \pi \colon P\to X} 는 잉여적 전사 사상이다. 국소적으로 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. Q {\displaystyle Q} 는 단사 대상이다. 표현 가능 함자 hom C ⁡ ( − , Q ) : C op → Set {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,Q)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 는 전사 사상을 보존한다. 즉, C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 의 전사 사상 (= C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 단사 사상)은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다. 국소적으로 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 P {\displaystyle P} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. P {\displaystyle P} 는 사영 대상이다. 표현 가능 함자 hom C ⁡ ( P , − ) : C → Set {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 는 전사 사상을 보존한다. 즉, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 전사 사상은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 대상 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. Q {\displaystyle Q} 는 단사 대상이다. 함자 hom A ⁡ ( − , Q ) : A op → Ab {\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(-,Q)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} } 는 완전 함자이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 대상 P {\displaystyle P} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. P {\displaystyle P} 는 사영 대상이다. 함자 hom A ⁡ ( P , − ) : A → Ab {\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(P,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} } 는 완전 함자이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 짧은 완전열 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 이 주어졌다고 하자. 만약 A {\displaystyle A} 가 단사 대상이라면, 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다. B {\displaystyle B} 와 C {\displaystyle C} 둘 다 단사 대상이거나 둘 다 단사 대상이 아니다. (이는 B ≅ A ⊕ C {\displaystyle B\cong A\oplus C} 이기 때문이다.) 만약 C {\displaystyle C} 가 사영 대상이라면, 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다. A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 둘 다 사영 대상이거나 둘 다 사영 대상이 아니다. (이는 B ≅ A ⊕ C {\displaystyle B\cong A\oplus C} 이기 때문이다.) 임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다. 다시 말해, 어떤 대상의 부분 대상이 단사 대상이라면 이는 항상 분할 부분 대상이며, 어떤 대상의 몫 대상이 사영 대상이라면 이는 항상 분할 몫 대상이다. 증명: 단사 대상 Q ∈ C {\displaystyle Q\in {\mathcal {C}}} 및 단사 사상 f : Q ↪ X {\displaystyle f\colon Q\hookrightarrow X} 에 대하여, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자. Q id ↑ ↖ ∃ Q ↪ f X {\displaystyle {\begin{matrix}&Q\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\!\!\!&\uparrow &\nwarrow &\!\!\!\!\!\!^{\exists }\\&Q&{\underset {f}{\hookrightarrow }}&X\end{matrix}}} 단사 대상의 정의에 의하여 f {\displaystyle f} 의 왼쪽 역사상 g : X → Q {\displaystyle g\colon X\to Q} 이 존재하며, 따라서 f {\displaystyle f} 는 분할 단사 사상이다. 사영 대상의 경우도 마찬가지로 증명된다. 단사 대상의 분할 부분 대상(=분할 몫 대상)은 단사 대상이다. 마찬가지로, 사영 대상의 분할 부분 대상(=분할 몫 대상)은 사영 대상이다. 증명: 단사 대상 Q 1 ∈ C {\displaystyle Q_{1}\in {\mathcal {C}}} 및 분할 부분 대상 i : Q 2 → Q 1 {\displaystyle i\colon Q_{2}\to Q_{1}} r : Q 1 → Q 2 {\displaystyle r\colon Q_{1}\to Q_{2}} r ∘ i = id Q 2 {\displaystyle r\circ i=\operatorname {id} _{Q_{2}}} 이 주어졌다고 하자. 임의의 사상 f : X → Q 2 {\displaystyle f\colon X\to Q_{2}} 및 단사 사상 g : X → Y {\displaystyle g\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 가환 그림을 생각하자. Q 2 id ↑ ↖ r Q 2 → i Q 1 f ↑ ↑ h X ↪ g Y {\displaystyle {\begin{matrix}Q_{2}\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\nwarrow {\scriptstyle r}\\Q_{2}&{\underset {i}{\rightarrow }}&Q_{1}\\{\scriptstyle f}\uparrow &&\uparrow {\scriptstyle h}\\X&{\underset {g}{\hookrightarrow }}&Y\end{matrix}}} Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 이 단사 대상이므로, h ∘ g = i ∘ f {\displaystyle h\circ g=i\circ f} 인 사상 h : Y → Q 1 {\displaystyle h\colon Y\to Q_{1}} 이 존재한다. 이 경우, 사상 r ∘ h : Y → Q 2 {\displaystyle r\circ h\colon Y\to Q_{2}} 는 ( r ∘ h ) ∘ g = r ∘ ( h ∘ g ) = r ∘ ( i ∘ f ) = ( r ∘ i ) ∘ f = f {\displaystyle (r\circ h)\circ g=r\circ (h\circ g)=r\circ (i\circ f)=(r\circ i)\circ f=f} 를 만족시킨다. 따라서, Q 2 {\displaystyle Q_{2}} 는 단사 대상이다. 사영 대상의 경우의 증명은 유사하다. 단사 대상들의 곱은 단사 대상이다. 마찬가지로, 사영 대상들의 쌍대곱은 사영 대상이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 에서 대상 A 0 = A 0 ′ {\displaystyle A_{0}=A'_{0}} 및 두 완전열 0 → A n → ⋯ → A 1 → A 0 → 0 {\displaystyle 0\to A_{n}\to \cdots \to A_{1}\to A_{0}\to 0} 0 → A n ′ → ⋯ → A 1 ′ → A 0 ′ → 0 {\displaystyle 0\to A'_{n}\to \cdots \to A'_{1}\to A'_{0}\to 0} 이 주어졌으며, 다음이 성립한다고 하자. A 1 , … , A n − 1 {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-1}} 은 사영 대상이다. A 1 ′ , … , A n − 1 ′ {\displaystyle A'_{1},\dots ,A'_{n-1}} 역시 사영 대상이다. 그렇다면, 섀뉴얼 보조정리(영어: Schanuel’s lemma)에 따르면 다음이 성립한다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면, A n ⊕ A n − 1 ′ ⊕ A n − 2 ⊕ ⋯ ⊕ A 1 ≅ A n ′ ⊕ A n − 1 ⊕ A n − 2 ′ ⊕ ⋯ ⊕ A 2 ′ ⊕ A 1 {\displaystyle A_{n}\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus \cdots \oplus A_{1}\cong A'_{n}\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus \cdots \oplus A'_{2}\oplus A_{1}} 만약 n {\displaystyle n} 이 홀수라면, A n ⊕ A n − 1 ′ ⊕ A n − 2 ⊕ ⋯ ⊕ A 1 ′ ≅ A n ′ ⊕ A n − 1 ⊕ A n − 2 ′ ⊕ ⋯ ⊕ A 2 ⊕ A 1 ′ {\displaystyle A_{n}\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus \cdots \oplus A_{1}'\cong A'_{n}\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus \cdots \oplus A_{2}\oplus A'_{1}} 증명: 수학적 귀납법을 사용한다. 우선, n ≤ 1 {\displaystyle n\leq 1} 인 경우는 자명하다. n = 2 {\displaystyle n=2} 일 경우: 0 → A 2 → A 1 → π A 0 → 0 {\displaystyle 0\to A_{2}\to A_{1}{\xrightarrow {\pi }}A_{0}\to 0} 0 → A 2 ′ → A 1 ′ → π ′ A 0 ′ → 0 {\displaystyle 0\to A_{2}'\to A_{1}'{\xrightarrow {\pi '}}A'_{0}\to 0} 에서, 다음과 같은 동등자를 정의하자. X = { ( a 1 , a 1 ′ ) ∈ A 1 ⊕ A 1 ′ : π ( a 1 ) = π ′ ( a 1 ′ ) } {\displaystyle X=\{(a_{1},a_{1}')\in A_{1}\oplus A_{1}'\colon \pi (a_{1})=\pi '(a_{1}')\}} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다. 0 0 ↓ ↓ ker ⁡ ϕ = A 2 ′ ↓ ↓ 0 → ker ⁡ ϕ ′ → X → ϕ ′ A 1 ′ → 0 ‖ ϕ ↓ ϕ π ′ ↓ π ′ 0 → A 2 → A 1 → π A 0 → 0 ↓ ↓ 0 0 {\displaystyle {\begin{matrix}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&\ker \phi &=&A'_{2}\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &\ker \phi '&\to &X&{\overset {\phi '}{\to }}&A'_{1}&\to &0\\&&\|&&{\scriptstyle \phi }{\downarrow }{\color {White}\scriptstyle \phi }&&{\color {White}\scriptstyle \pi '}{\downarrow }{\scriptstyle \pi '}\\0&\to &A_{2}&\to &A_{1}&{\underset {\pi }{\to }}&A_{0}&\to &0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&0&&0\end{matrix}}} (특히, X {\displaystyle X} 의 정의에 따라 ker ⁡ ϕ = ker ⁡ π ′ = A 2 ′ {\displaystyle \ker \phi =\ker \pi '=A_{2}'} ker ⁡ ϕ ′ = ker ⁡ π = A 2 {\displaystyle \ker \phi '=\ker \pi =A_{2}} 이다.) 위 그림에서, 전사 사상 ϕ ′ : X → A 1 {\displaystyle \phi '\colon X\to A_{1}} ϕ ′ : X → A 1 ′ {\displaystyle \phi '\colon X\to A_{1}'} 은 사영 대상을 공역으로 하므로 분할 전사 사상이며, 따라서 다음이 성립한다. A 1 ⊕ A 2 ′ = A 1 ⊕ ker ⁡ ϕ ≅ X ≅ A 1 ′ ⊕ ker ⁡ ϕ ′ = A 1 ′ ⊕ A 2 {\displaystyle A_{1}\oplus A'_{2}=A_{1}\oplus \ker \phi \cong X\cong A'_{1}\oplus \ker \phi '=A'_{1}\oplus A_{2}} n > 2 {\displaystyle n>2} 인 경우: n ′ < n {\displaystyle n'<n} 에 대하여 섀뉴얼 보조정리가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 0 → A n → ι A n − 1 → ⋯ → A 0 → 0 {\displaystyle 0\to A_{n}{\xrightarrow {\iota }}A_{n-1}\to \cdots \to A_{0}\to 0} 0 → A n ′ → ι ′ A n − 1 ′ → ⋯ → A 0 ′ → 0 {\displaystyle 0\to A'_{n}{\xrightarrow {\iota '}}A'_{n-1}\to \cdots \to A'_{0}\to 0} 를 다음과 같이 더 짧은 길이의 완전열들로 분해하자. 0 → A n → ι A n − 1 → coker ⁡ ι → 0 {\displaystyle 0\to A_{n}{\xrightarrow {\iota }}A_{n-1}\to \operatorname {coker} \iota \to 0} 0 → A n ′ → ι ′ A n − 1 ′ → coker ⁡ ι ′ → 0 {\displaystyle 0\to A'_{n}{\xrightarrow {\iota '}}A'_{n-1}\to \operatorname {coker} \iota '\to 0} 0 → coker ⁡ ι → A n − 2 → ⋯ → A 0 → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {coker} \iota \to A_{n-2}\to \cdots \to A_{0}\to 0} 0 → coker ⁡ ι ′ → A n − 2 ′ → ⋯ → A 0 ′ → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {coker} \iota '\to A'_{n-2}\to \cdots \to A'_{0}\to 0} 그렇다면, 만약 B ′ = A n − 2 ′ ⊕ A n − 3 ⊕ A n − 4 ′ ⊕ ⋯ ⊕ { A 1 2 ∣ n A 1 ′ 2 ∤ n {\displaystyle B'=A'_{n-2}\oplus A_{n-3}\oplus A'_{n-4}\oplus \cdots \oplus {\begin{cases}A_{1}&2\mid n\\A'_{1}&2\nmid n\end{cases}}} B = A n − 2 ⊕ A n − 3 ′ ⊕ A n − 4 ⊕ ⋯ ⊕ { A 1 ′ 2 ∣ n A 1 2 ∤ n {\displaystyle B=A_{n-2}\oplus A'_{n-3}\oplus A_{n-4}\oplus \cdots \oplus {\begin{cases}A'_{1}&2\mid n\\A_{1}&2\nmid n\end{cases}}} 를 정의한다면, 귀납 가정에 의하여 coker ⁡ ι ⊕ B ′ ≅ coker ⁡ ι ′ ⊕ B {\displaystyle \operatorname {coker} \iota \oplus B'\cong \operatorname {coker} \iota '\oplus B} 이며, 따라서 다음과 같은 두 짧은 완전열들을 얻는다. 0 → A n → A n − 1 ⊕ B ′ → coker ⁡ ι ⊕ B ′ → 0 {\displaystyle 0\to A_{n}\to A_{n-1}\oplus B'\to \operatorname {coker} \iota \oplus B'\to 0} 0 → A n ′ → A n − 1 ′ ⊕ B → coker ⁡ ι ′ ⊕ B → 0 {\displaystyle 0\to A'_{n}\to A'_{n-1}\oplus B\to \operatorname {coker} \iota '\oplus B\to 0} 사영 대상들의 직합은 사영 대상이므로, 따라서 귀납 가정에 의하여 A n ⊕ B ′ ≅ A n ′ ⊕ B {\displaystyle A_{n}\oplus B'\cong A'_{n}\oplus B} 이다. 마찬가지로, 대상 A 0 = A 0 ′ {\displaystyle A_{0}=A'_{0}} 및 두 완전열 0 ← A n ← ⋯ ← A 1 ← A 0 ← 0 {\displaystyle 0\leftarrow A_{n}\leftarrow \cdots \leftarrow A_{1}\leftarrow A_{0}\leftarrow 0} 0 ← A n ′ ← ⋯ ← A 1 ′ ← A 0 ′ ← 0 {\displaystyle 0\leftarrow A'_{n}\leftarrow \cdots \leftarrow A'_{1}\leftarrow A'_{0}\leftarrow 0} 이 주어졌을 때, 만약 A 1 , A 2 , … , A n − 1 {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n-1}} 및 A 1 ′ , A 2 ′ , … , A n − 1 ′ {\displaystyle A'_{1},A'_{2},\dots ,A'_{n-1}} 이 단사 대상이라면, 다음이 성립한다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면, A n ⊕ A n − 1 ′ ⊕ A n − 2 ⊕ ⋯ ⊕ A 1 ≅ A n ′ ⊕ A n − 1 ⊕ A n − 2 ′ ⊕ ⋯ ⊕ A 2 ′ ⊕ A 1 {\displaystyle A_{n}\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus \cdots \oplus A_{1}\cong A'_{n}\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus \cdots \oplus A'_{2}\oplus A_{1}} 만약 n {\displaystyle n} 이 홀수라면, A n ⊕ A n − 1 ′ ⊕ A n − 2 ⊕ ⋯ ⊕ A 1 ′ ≅ A n ′ ⊕ A n − 1 ⊕ A n − 2 ′ ⊕ ⋯ ⊕ A 2 ⊕ A 1 ′ {\displaystyle A_{n}\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus \cdots \oplus A_{1}'\cong A'_{n}\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus \cdots \oplus A_{2}\oplus A'_{1}} 일부 범주에서 단사 대상 및 사영 대상들은 다음과 같다. (이 가운데 일부는 선택 공리를 필요로 한다.) 국소 연결 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. Sh ⁡ ( X , Ab ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (X,\operatorname {Ab} )} 는 사영 대상을 충분히 가진다. X {\displaystyle X} 는 알렉산드로프 공간이다. 즉, (무한 개일 수 있는) 임의의 수의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다. 고립점이 없는 국소 연결 하우스도르프 공간 위의, 아벨 군 값의 층 가운데 사영 대상인 것은 자명군 상수층 0 _ {\displaystyle {\underline {0}}} 밖에 없다.:30–31, Exercise I.4 모든 토포스는 단사 대상을 충분히 가진다. 토포스에서 임의의 대상 X {\displaystyle X} 의 멱대상 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 는 단사 대상이며, 단사 사상 X ↪ P ( X ) {\displaystyle X\hookrightarrow {\mathcal {P}}(X)} 이 존재한다. 섀뉴얼 정리는 스티븐 섀뉴얼이 증명하였다. 이에 대하여 어빙 커플랜스키는 다음과 같이 적었다. Aluffi, Paolo. 《Algebra: Chapter 0》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 104. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7. 2016년 1월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 31일에 확인함.  Hilton, Peter J.; Stammbach, Urs (1997). 《A Course in homological algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 4 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8566-8. ISBN 978-0-387-94823-2. 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