호모토피

대수적 위상수학에서 호모토피(영어: homotopy) 또는 연속 변형 함수(連續變形函數)는 어떤 위상 공간을 공역으로 하는 특정한 연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다. 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 두 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} g : X → Y {\displaystyle g\colon X\to Y} 사이의 호모토피는 다음과 같은 성질을 만족시키는 연속 함수 H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y} 이다. f = H ( − , 0 ) {\displaystyle f=H(-,0)} g = H ( − , 1 ) {\displaystyle g=H(-,1)} 두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 호모토픽(영어: homotopic) 또는 연속 변형적(連續變形的)이라 하며 f ≃ g {\displaystyle f\simeq g} 와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류를 호모토피류(homotopy類, 영어: homotopy class)라고 한다.:158–159 연속 함수 f {\displaystyle f} 의 호모토피류는 보통 [ f ] {\displaystyle [f]} 라고 쓴다. 상수 함수에 호모토픽한 함수를 널호모토픽(null-homotopic) 또는 영연속 변형적(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 널호모토피(null-homotopy) 또는 영연속 변형 함수(零連續變形函數)라 한다.:323 모든 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 는 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는 데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어, 콤팩트 생성 공간의 범주 CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 나 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 CGWH {\displaystyle \operatorname {CGWH} } 가 있다.) CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 에서는 지수 대상의 법칙 Y X × [ 0 , 1 ] ≅ ( Y [ 0 , 1 ] ) X ≅ ( Y X ) [ 0 , 1 ] {\displaystyle Y^{X\times [0,1]}\cong (Y^{[0,1]})^{X}\cong (Y^{X})^{[0,1]}} 이 성립한다. 여기서 × {\displaystyle \times } 는 콤팩트 생성 공간의 범주론적 곱이다. ( − ) ( − ) {\displaystyle (-)^{(-)}} 는 콤팩트 생성 공간에서의 지수 대상이며, 집합으로서 이는 연속 함수의 집합이다. 따라서, CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다. 연속 함수 공간 Y X {\displaystyle Y^{X}} 에서의 경로 h : [ 0 , 1 ] → Y X {\displaystyle h\colon [0,1]\to Y^{X}} . 이는 가장 직관적인 정의이며, 위상 공간 위의 풍성한 범주에서 직접적으로 일반화할 수 있다. X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 에서 Y {\displaystyle Y} 로 가는 연속 함수 h : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to Y} . 이는 고전적인 정의이다. 이 정의는 임의의 모형 범주에서 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy)라는 이름으로 일반화된다. 일반적으로 CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 에서의 곱은 곱공간보다 더 섬세한 위상을 가진다. 그러나 구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 생성 공간이라면 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 의 위상은 곱공간 위상과 일치한다. 따라서, 콤팩트 생성 공간 사이의 연속 함수의 호모토피의 정의는 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 을 사용하든, CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 을 사용하든 상관이 없다. X {\displaystyle X} 에서 경로 공간 Y [ 0 , 1 ] {\displaystyle Y^{[0,1]}} 으로 가는 연속 함수 h : X → Y [ 0 , 1 ] {\displaystyle h\colon X\to Y^{[0,1]}} . 이는 임의의 모형 범주에서 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)라는 이름으로 일반화된다. 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 는 데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의 풍성한 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 그 사이의 사상 집합 hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 는 사실 단순한 집합이 아니라, 위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자. 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 이 주어졌다고 하자. 이는 hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 속의 두 점 f , g ∈ hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle f,g\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 을 이룬다. 이 경우, f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이의 호모토피는 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 를 잇는, hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 속의 경로이다. 이는 hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 위의 동치 관계를 이룬다. 호모토피류는 hom C ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)} 의 경로 연결 성분이다. 고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나 CGTop {\displaystyle \operatorname {CGTop} } 등 위상 공간으로 구성된 데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의 풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다. 보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어 단체 집합의 범주 sSet {\displaystyle \operatorname {sSet} } 를 사용할 수도 있다. 호모토피 이론은 추상적으로 임의의 모형 범주 위에서 전개될 수 있다. 위상 공간의 범주(또는 콤팩트 생성 공간의 범주 등)는 모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.:§14.3 이 경우, 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy)와 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상인 경우) 서로 동치이다. 편의상, 올뭉치는 ↠ {\displaystyle \twoheadrightarrow } 로, 쌍대올뭉치는 ↪ {\displaystyle \hookrightarrow } 로, 약한 동치는 → ∼ {\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}} 로 표기하자. 임의의 유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은 쌍대 대각 사상이 존재한다. X ⊔ X → X {\displaystyle X\sqcup X\to X} 여기서 ⊔ {\displaystyle \sqcup } 은 쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 분리합집합이다). 모형 범주 ( C , W , F , C ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})} 에서, 대상 X {\displaystyle X} 의 기둥 대상(영어: cylinder object) Cyl ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Cyl} X} 는 쌍대 대각 사상 X ⊔ X → X {\displaystyle X\sqcup X\to X} 의 다음과 같은 분해이다. X ⊔ X → Cyl ⁡ X → ∼ X {\displaystyle X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X} 이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.:280, Definition 14.3.1 만약 X ⊔ X → Cyl ⁡ X {\displaystyle X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X} 가 쌍대올뭉치라면, 이를 좋은 기둥 대상(영어: good cylinder object)이라고 한다. 만약 X ⊔ X → Cyl ⁡ X {\displaystyle X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X} 가 쌍대올뭉치이며, Cyl ⁡ X → ∼ X {\displaystyle \operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X} 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 매우 좋은 기둥 대상(영어: very good cylinder object)이라고 한다. 모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조(영어: Quillen model structure)를 준 경우 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조(영어: Hurewicz model structure)에서 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 는 매우 좋은 기둥 대상이다. 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 사이의 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy)는 어떤 기둥 대상 Cyl ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Cyl} X} 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 h : Cyl ⁡ X → Y {\displaystyle h\colon \operatorname {Cyl} X\to Y} 이다. X ⊔ X ↪ Cyl ⁡ X f ⊔ g ↘ ↓ h Y {\displaystyle {\begin{matrix}X\sqcup X&\hookrightarrow &\operatorname {Cyl} X\\&{\scriptstyle f\sqcup g}\searrow &\downarrow \scriptstyle h\\&&Y\end{matrix}}} 이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 왼쪽 호모토피(영어: (very) good left homotopy)라고 한다. 같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 다음이 성립한다.:282, Proposition 14.3.9(i), (ii) f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다. 만약 Y {\displaystyle Y} 가 올대상이라면, f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 매우 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다. 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다.:281 그러나 만약 정의역 X {\displaystyle X} 가 쌍대올대상일 경우, 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 동치 관계를 이루며,:282, Proposition 14.3.9(iv) 이 경우 두 사상이 서로 왼쪽 호모토픽(영어: left-homotopic)하다고 한다. 임의의 유한 완비 범주에서, 다음과 같은 대각 사상이 존재한다. X → X × X {\displaystyle X\to X\times X} 여기서 × {\displaystyle \times } 은 범주론적 곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 곱공간이며, 콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다). 모형 범주 ( C , W , F , C ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})} 에서, 대상 X {\displaystyle X} 의 경로 공간 대상(영어: path space object) Path ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Path} X} 는 대각 사상 X → X × X {\displaystyle X\to X\times X} 의 다음과 같은 분해이다. X → ∼ Path ⁡ X → X × X {\displaystyle X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X\to X\times X} 이는 위상 공간의 범주에서의 경로 공간 X [ 0 , 1 ] {\displaystyle X^{[0,1]}} 의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.:281, Definition 14.3.4 만약 Path ⁡ X → X × X {\displaystyle \operatorname {Path} X\to X\times X} 가 쌍대올뭉치라면, 이를 좋은 경로 공간 대상(영어: good path space object)이라고 한다. 만약 Path ⁡ X → X × X {\displaystyle \operatorname {Path} X\to X\times X} 가 쌍대올뭉치이며, X → ∼ Path ⁡ X {\displaystyle X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X} 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 매우 좋은 경로 공간 대상(영어: very good path space object)이라고 한다. 모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다. 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 사이의 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)는 어떤 경로 공간 대상 Path ⁡ X {\displaystyle \operatorname {Path} X} 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 h : X → Path ⁡ Y {\displaystyle h\colon X\to \operatorname {Path} Y} 이다. X h ↓ ↘ f × g Path ⁡ Y ↠ Y × Y {\displaystyle {\begin{matrix}X\\{\scriptstyle h}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\times g\\\operatorname {Path} Y&\twoheadrightarrow &Y\times Y\end{matrix}}} 이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 오른쪽 호모토피(영어: (very) good right homotopy)라고 한다. 같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 다음이 성립한다.:282, Proposition 14.3.9(i), (ii) f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 쌍대올대상이라면, f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 사이에 매우 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 공역 Y {\displaystyle Y} 가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는 동치 관계를 이루며,:282, Proposition 14.3.9(iv) 이 경우 두 사상이 서로 오른쪽 호모토픽(영어: right-homotopic)하다고 한다. 왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, 다음이 성립한다.:284, Proposition 14.3.11 만약 X {\displaystyle X} 가 쌍대올대상이며, 왼쪽 호모토피 f ⇒ g {\displaystyle f\Rightarrow g} 가 존재한다면, 오른쪽 호모토피 f ⇒ g {\displaystyle f\Rightarrow g} 역시 존재한다. 만약 Y {\displaystyle Y} 가 올대상이며, 오른쪽 호모토피 f ⇒ g {\displaystyle f\Rightarrow g} 가 존재한다면, 왼쪽 호모토피 f ⇒ g {\displaystyle f\Rightarrow g} 역시 존재한다. 따라서, 정의역이 쌍대올대상이고 공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한 동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로 호모토픽하다고 한다. 또한, 주어진 쌍대올대상 X {\displaystyle X} 에 대하여, 임의의 올대상 Y {\displaystyle Y} 으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, Y {\displaystyle Y} 에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 Y {\displaystyle Y} 에 대하여, 임의의 쌍대올대상 X {\displaystyle X} 에서 Y {\displaystyle Y} 로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, X {\displaystyle X} 에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 Path ⁡ Y {\displaystyle \operatorname {Path} Y} 에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.:285, Corollary 14.3.13 위상 공간의 범주 또는 콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다. 또한, 이 경우 고전적 기둥 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 은 (만약 X {\displaystyle X} 가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약 콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간 X [ 0 , 1 ] {\displaystyle X^{[0,1]}} 은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서, 공역이 CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다. 다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 및 X {\displaystyle X} 의 부분 공간 X ′ {\displaystyle X'} 이 주어졌을 때, 두 연속 함수 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 사이의 호모토피 H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y} 가 다음 조건을 만족시킨다면, H {\displaystyle H} 를 X ′ {\displaystyle X'} 에서 고정된 호모토피(영어: homotopy relative to X ′ {\displaystyle X'} )라고 한다.:158–159 임의의 ( x ′ , t ) ∈ X ′ × [ 0 , 1 ] {\displaystyle (x',t)\in X'\times [0,1]} 에 대하여, H ( x ′ , t ) = f ( x ′ ) = g ( x ′ ) {\displaystyle H(x',t)=f(x')=g(x')} f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 가 X ′ {\displaystyle X'} 을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다. f ≃ g rel ⁡ X ′ {\displaystyle f\simeq g\;\operatorname {rel} X'} 부분 공간을 고정한 호모토피 역시 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류 역시 정의할 수 있다. 이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 위의 경로 f , g : [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle f,g\colon [0,1]\to Y} 에 대하여, { 0 , 1 } ⊂ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \{0,1\}\subset [0,1]} 을 고정한 호모토피를 경로 호모토피(영어: path homotopy)라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 ≃ p {\displaystyle \simeq _{\text{p}}} 로 쓴다.:323 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 두 매장 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 사이의 호모토피 H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y} 가 다음 조건을 만족시킬 경우, H {\displaystyle H} 를 아이소토피(영어: isotopy) 또는 동위(同位)라고 한다. 모든 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 에 대하여, H ( − , t ) : X → Y {\displaystyle H(-,t)\colon X\to Y} 는 매장이다. 축약 가능 공간 기본군 호모토피 동치 호모토피 군 푸앵카레 추측 곽진호; 이재운 (2007). 《조합적 곡면위상론》. 경문사.  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  May, Peter; Ponto, Kathleen (2012년 2월). 《More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories》 (PDF). Chicago Lectures in Mathematics (영어). University of Chicago Press. ISBN 978-022651178-8. 2017년 7월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 12일에 확인함.  Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.  May, J. Peter (1999년 9월). 《A concise course in algebraic topology》 (PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-02-2651-183-2.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 호모토피 “Homotopy”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Isotopy (in topology)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Homotopy”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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