스미스 표준형

선형대수학에서, 스미스 표준형(영어: Smith canonical form)은 주 아이디얼 정역 위에 주어진 임의의 모양의 행렬과 동치인 매우 단순한 꼴의 대각 행렬이다. 스미스 표준형의 존재는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 자유 가군과 부분 가군의 적절한 기저 사이의 선형 관계는 아주 간단할 수 있다는 사실과 동치이다. 주 아이디얼 정역 R {\displaystyle R} (예를 들어, 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 또는 체 계수 일변수 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} ) 위의 임의의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 P ∈ GL ⁡ ( m ; R ) {\displaystyle P\in \operatorname {GL} (m;R)} 와 Q ∈ GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle Q\in \operatorname {GL} (n;R)} 및 유한 개의 원소 d 1 , d 2 , … , d r ∈ R {\displaystyle d_{1},d_{2},\dots ,d_{r}\in R} 가 존재한다. P A Q = ( d 1 d 2 ⋱ d r 0 ( m − r ) × ( n − r ) ) {\displaystyle PAQ={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{r}\\&&&&0_{(m-r)\times (n-r)}\\\end{pmatrix}}} d i ≠ 0 ( i = 1 , 2 , … , r ) {\displaystyle d_{i}\neq 0\qquad (i=1,2,\dots ,r)} d 1 ∣ d 2 ∣ ⋯ ∣ d r {\displaystyle d_{1}\mid d_{2}\mid \cdots \mid d_{r}} (여기서 0 ( m − r ) × ( n − r ) {\displaystyle 0_{(m-r)\times (n-r)}} 는 ( m − r ) × ( n − r ) {\displaystyle (m-r)\times (n-r)} 영행렬이다.) 또한 d 1 , d 2 , … , d r {\displaystyle d_{1},d_{2},\dots ,d_{r}} 은 가역원배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를 A {\displaystyle A} 의 스미스 표준형이라고 한다. 행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다. R {\displaystyle R} 는 유일 인수 분해 정역이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의 r ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle r\in R\setminus \{0\}} 에 대하여, l ( r ) ∈ N {\displaystyle l(r)\in \mathbb {N} } 이 r {\displaystyle r} 의 소인수의 중복집합의 크기라고 하자. 우선 R {\displaystyle R} 위의 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 행렬 ( a b c e ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&e\end{pmatrix}}} 을 생각하자. R {\displaystyle R} 가 베주 정역이므로, a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 의 최대공약수 d {\displaystyle d} 에 대하여, d = u a + v b {\displaystyle d=ua+vb} 인 u , v ∈ R {\displaystyle u,v\in R} 가 존재한다. a = d a ′ {\displaystyle a=da'} , b = d b ′ {\displaystyle b=db'} 라고 하자. 그렇다면 u a ′ + v b ′ = 1 {\displaystyle ua'+vb'=1} 이다. 따라서 ( u − b ′ v a ′ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-b'\\v&a'\end{pmatrix}}} 은 가역 행렬이며, ( a b c e ) ( u − b ′ v a ′ ) = ( d 0 u c + v d − b ′ c + a ′ d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-b'\\v&a'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&0\\uc+vd&-b'c+a'd\end{pmatrix}}} 이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이 a {\displaystyle a} 와 c {\displaystyle c} 의 최대공약수이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다. 이제 일반적인 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A {\displaystyle A} 를 생각하자. 만약 A = 0 {\displaystyle A=0} 이라면, A {\displaystyle A} 는 이미 스스로의 스미스 표준형이다. A ≠ 0 {\displaystyle A\neq 0} 이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상 A 11 ≠ 0 {\displaystyle A_{11}\neq 0} 이라고 가정하자. (보통 과정을 간단하게 만들기 위해 l ( A 11 ) {\displaystyle l(A_{11})} 가 가장 작도록 행·열을 교환한다.) 만약 모든 i , j = 2 , … , n {\displaystyle i,j=2,\dots ,n} 에 대하여 A 11 ∣ A i j {\displaystyle A_{11}\mid A_{ij}} 라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의 A 11 {\displaystyle A_{11}} 을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약 A 11 ∤ A i j {\displaystyle A_{11}\nmid A_{ij}} 인 i , j = 2 , … , n {\displaystyle i,j=2,\dots ,n} 이 존재한다면, 행과 열의 교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 A 11 ∤ A 12 {\displaystyle A_{11}\nmid A_{12}} 이거나 A 11 ∤ A 21 {\displaystyle A_{11}\nmid A_{21}} 라고 가정할 수 있다. (예를 들어, 만약 A 11 ∣ A 12 , A 21 {\displaystyle A_{11}\mid A_{12},A_{21}} 이지만 A 11 ∤ A 22 {\displaystyle A_{11}\nmid A_{22}} 라면, 첫 행의 적절한 배수를 둘째 행에서 빼 둘째 행 첫 열의 성분을 0으로 만들고, 마찬가지로 첫 행 둘째 열의 성분을 0으로 만든 뒤, 다시 둘째 행을 첫 행에 더하면, A 11 {\displaystyle A_{11}} 은 변하지 않으며, A 11 {\displaystyle A_{11}} 이 바로 오른쪽 성분을 나누지 못하게 된다.) 편의상 A 11 ∤ A 12 {\displaystyle A_{11}\nmid A_{12}} 라고 하자. 그렇다면 ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) Q ′ = ( A 11 ′ 0 A 21 ′ A 22 ′ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}Q'={\begin{pmatrix}A'_{11}&0\\A'_{21}&A'_{22}\end{pmatrix}}} A 11 ′ = gcd { A 11 , A 12 } {\displaystyle A'_{11}=\gcd\{A_{11},A_{12}\}} 인 가역 행렬 Q ′ {\displaystyle Q'} 이 존재한다. 따라서 Q = ( Q ′ 0 0 1 ( n − 2 ) × ( n − 2 ) ) {\displaystyle Q={\begin{pmatrix}Q'&0\\0&1_{(n-2)\times (n-2)}\end{pmatrix}}} 는 가역 행렬이며, 행렬 A Q {\displaystyle AQ} 의 첫 행 첫 열 성분은 A 11 ′ {\displaystyle A'_{11}} 이다. 또한 A 11 ∤ A 12 {\displaystyle A_{11}\nmid A_{12}} 이므로 A 11 ′ {\displaystyle A'_{11}} 은 l ( A 11 ′ ) < l ( A 11 ) {\displaystyle l(A'_{11})<l(A_{11})} 을 만족시킨다. ( A 11 ∤ A 21 {\displaystyle A_{11}\nmid A_{21}} 인 경우에도 가역 행렬의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 가역원에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면 A {\displaystyle A} 는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다. ( d 1 0 0 A ′ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}d_{1}&0\\0&A'\end{pmatrix}}} d 1 ∣ A i j ′ ( ∀ i , j ) {\displaystyle d_{1}\mid A'_{ij}\qquad (\forall i,j)} 다시 A ′ {\displaystyle A'} 에 대하여 같은 과정을 반복하면 A {\displaystyle A} 와 동치인 다음과 같은 꼴의 행렬을 얻는다. ( d 1 0 0 d 2 A ″ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\\&&A''\end{pmatrix}}} d 1 ∣ d 2 ∣ A i j ″ ( ∀ i , j ) {\displaystyle d_{1}\mid d_{2}\mid A''_{ij}\qquad (\forall i,j)} 여기서 d 1 ∣ d 2 {\displaystyle d_{1}\mid d_{2}} 인 이유는 d 2 {\displaystyle d_{2}} 가 A ′ {\displaystyle A'} 의 성분의 선형 결합이기 때문이다. 위와 같은 과정을 반복하면 결국 스미스 표준형을 얻는다. 유리수 계수 다항식환 Q [ x ] {\displaystyle \mathbb {Q} [x]} 위의 행렬 ( x + 3 1 1 2 x + 2 1 − 6 − 3 x − 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x+3&1&1\\2&x+2&1\\-6&-3&x-2\end{pmatrix}}} 의 스미스 표준형은 다음과 같이 구할 수 있다. ( x + 3 1 1 2 x + 2 1 − 6 − 3 x − 2 ) ∼ ( 1 1 x + 3 1 x + 2 2 x − 2 − 3 − 6 ) ∼ ( 1 1 x + 3 0 x + 1 − x − 1 0 − x − 1 − x 2 − x ) ∼ ( 1 0 0 0 x + 1 − x − 1 0 − x − 1 − x 2 − x ) ∼ ( 1 0 0 0 x + 1 − x − 1 0 0 − ( x + 1 ) 2 ) ∼ ( 1 0 0 0 x + 1 0 0 0 − ( x + 1 ) 2 ) ∼ ( 1 0 0 0 x + 1 0 0 0 ( x + 1 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x+3&1&1\\2&x+2&1\\-6&-3&x-2\end{pmatrix}}&\sim {\begin{pmatrix}1&1&x+3\\1&x+2&2\\x-2&-3&-6\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&1&x+3\\0&x+1&-x-1\\0&-x-1&-x^{2}-x\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&x+1&-x-1\\0&-x-1&-x^{2}-x\end{pmatrix}}\\&\sim {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&x+1&-x-1\\0&0&-(x+1)^{2}\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&x+1&0\\0&0&-(x+1)^{2}\end{pmatrix}}\\&\sim {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&x+1&0\\0&0&(x+1)^{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} 스미스 표준형을 통해 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 불변 인자 분해를 유도할 수 있다. 헨리 존 스티븐 스미스의 이름을 땄다. 표준 형식 디오판토스 방정식 유리 표준형 특잇값 분해 이철희. “스미스 표준형 (Smith normal form)”. 《수학노트》.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Smith normal form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Smith normal form”. 《nLab》 (영어).  “Smith normal form”. 《PlanetMath》 (영어).  “Example of Smith normal form”. 《PlanetMath》 (영어).