아다마르 행렬

선형대수학에서 아다마르 행렬(또는 하다마드 행렬, Hadamard行列, 영어: Hadamard matrix)은 모든 성분이 ±1이며, 행벡터들과 열벡터들이 각각 서로 직교하는 정사각 행렬이다. 실수 성분 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n , n ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 M {\displaystyle M} 을 아다마르 행렬이라고 한다. 모든 성분이 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 이며, M / n {\displaystyle M/{\sqrt {n}}} 은 직교 행렬이다. 모든 성분이 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 이며, 모든 행벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 i , i ′ ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i,i'\in \{1,\dotsc ,n\}} 에 대하여 ∑ j = 1 n M i j M i ′ j = n δ i j {\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}M_{ij}M_{i'j}=n\delta _{ij}} 이다. 즉, M M ⊤ = n 1 n × n {\displaystyle MM^{\top }=n1_{n\times n}} 이다. 모든 성분이 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 이며, 모든 열벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 j , j ′ ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j,j'\in \{1,\dotsc ,n\}} 에 대하여 ∑ i = 1 n M i j M i j ′ = n δ j j ′ {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}M_{ij}M_{ij'}=n\delta _{jj'}} 이다. 즉, M ⊤ M = n 1 n × n {\displaystyle M^{\top }M=n1_{n\times n}} 이다. 모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수이며, det M = ± n n / 2 {\displaystyle \det M=\pm n^{n/2}} 이다. 여기서 δ {\displaystyle \delta } 는 크로네커 델타이다. 첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 표준형 아다마르 행렬(標準型Hadamard行列, 영어: standard Hadamard matrix)이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 −1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다. n × n {\displaystyle n\times n} 표준형 아다마르 행렬 M n × n {\displaystyle M_{n\times n}} 이 주어졌을 때, 첫째 행과 첫째 열을 제거하고, 성분을 ( + 1 , − 1 ) ↦ ( + 1 , 0 ) {\displaystyle (+1,-1)\mapsto (+1,0)} 으로 치환하자. 그렇다면, 성분이 0 또는 1인 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 정사각 행렬을 얻는다. 만약 n {\displaystyle n} 이 4의 배수일 경우, 이 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 행렬은 ( t = 2 , n / 2 − 1 , n − 1 ) {\displaystyle (t=2,n/2-1,n-1)} -블록 설계의 결합 행렬을 이루며, λ 0 = n − 1 {\displaystyle \lambda _{0}=n-1} λ 1 = n / 2 − 1 {\displaystyle \lambda _{1}=n/2-1} λ 2 = n / 4 − 1 {\displaystyle \lambda _{2}=n/4-1} 이다. 즉, n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 블록이 있으며, 모든 점은 n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 개의 블록에 속하며, 서로 다른 임의의 두 점은 n / 4 − 1 {\displaystyle n/4-1} 개의 블록에 공통적으로 속한다. 이를 아다마르 설계(Hadamard設計, 영어: Hadamard design)라고 한다. 반대로, λ 0 = n − 1 {\displaystyle \lambda _{0}=n-1} 인 ( 2 , n / 2 , n − 1 ) {\displaystyle (2,n/2,n-1)} -블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다. 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, n × n {\displaystyle n\times n} 아다마르 행렬이 존재할 필요 조건은 다음과 같다. n ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle n\in \{1,2\}} 이거나, 또는 n {\displaystyle n} 은 4의 배수이다. 이 조건이 필요 충분 조건이라는 추측은 아다마르 추측(Hadamard推測, 영어: Hadamard conjecture)이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 다만, 적어도 n < 668 {\displaystyle n<668} 에 대해서는 위 조건이 필요 충분 조건이다. n × n {\displaystyle n\times n} 아다마르 행렬이 존재하기 위한 알려진 충분 조건은 다음이 있다. n {\displaystyle n} 은 다음과 같은 꼴의 양의 정수들의 곱이다. 2 q + 1 {\displaystyle q+1} , q ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}} , q {\displaystyle q} 는 소수의 거듭제곱 2 ( q + 1 ) {\displaystyle 2(q+1)} , q ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}} , q {\displaystyle q} 는 소수의 거듭제곱 행렬 공간 X n = { M ∈ Mat ⁡ ( n , n ; R ) : | M i j | ≤ 1 ∀ i , j } {\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}=\{M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )\colon |M_{ij}|\leq 1\;\forall i,j\}} 을 정의하자. 그렇다면, 아다마르 부등식(영어: Hadamard inequality)에 따르면, ∀ M ∈ X n : | det M | ≤ n n / 2 {\displaystyle \forall M\in {\mathcal {X}}_{n}\colon |\det M|\leq n^{n/2}} 이다. n × n {\displaystyle n\times n} 아다마르 행렬의 행렬식은 ± n n / 2 {\displaystyle \pm n^{n/2}} 이다. 즉, 만약 n × n {\displaystyle n\times n} 아다마르 행렬이 존재한다면, 이는 X n {\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}} 위에서 행렬식 절댓값 함수 M ↦ | det M | {\displaystyle M\mapsto |\det M|} 를 최대화한다. n × n {\displaystyle n\times n} 아다마르 행렬 H {\displaystyle H} 의 초과량(超過量, 영어: excess)은 그 모든 성분들의 합이다. E ⁡ ( H ) = ∑ i , j H i , j ∈ Z {\displaystyle \operatorname {E} (H)=\sum _{i,j}H_{i,j}\in \mathbb {Z} } 이는 다음과 같은 상계를 갖는다. | E ⁡ ( H ) | ≤ n 3 / 2 {\displaystyle |\operatorname {E} (H)|\leq n^{3/2}} n × n {\displaystyle n\times n} 아다마르 행렬 H {\displaystyle H} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 정칙 아다마르 행렬(영어: regular Hadamard matrix)이라고 한다. E ⁡ ( H ) = n 3 / 2 {\displaystyle \operatorname {E} (H)=n^{3/2}} 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 i , i ′ ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i,i'\in \{1,2,\dotsc ,n\}} 에 대하여, ∑ j = 1 n ( M i , j − M i ′ , j ) = ∑ j = 1 n ( M j , i − M j , i ′ ) = 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}(M_{i,j}-M_{i',j})=\sum _{j=1}^{n}(M_{j,i}-M_{j,i'})=0} 이다. 정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉, 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 또는 4 m 2 × 4 m 2 {\displaystyle 4m^{2}\times 4m^{2}} 의 꼴이다. 만약 H {\displaystyle H} 가 아다마르 행렬이라면, − H {\displaystyle -H} 역시 아다마르 행렬이다. 보다 일반적으로, 아다마르 행렬에 다음 연산을 가해도 아다마르 행렬을 이룬다. 임의의 한 열에 −1을 곱하기 임의의 한 행에 −1을 곱하기 열의 순서를 뒤바꾸기 행의 순서를 뒤바꾸기 임의의 두 아다마르 행렬 H m × m ∈ Mat ⁡ ( m , m ; R ) {\displaystyle H_{m\times m}\in \operatorname {Mat} (m,m;\mathbb {R} )} H n × n ∈ Mat ⁡ ( n , n ; R ) {\displaystyle H_{n\times n}\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )} 이 주어졌을 때, 그 크로네커 곱 H m × m ⊗ H n × n = H m n × m n {\displaystyle H_{m\times m}\otimes H_{n\times n}=H_{mn\times mn}} 은 역시 아다마르 행렬이다. 특히, H 2 × 2 = ( 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle H_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}} 를 사용하여, 크기 2 k {\displaystyle 2^{k}} 의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다. 이를 실베스터 구성(영어: Sylvester’s construction)이라고 한다. 이에 따라, H 1 × 1 = ( 1 ) {\displaystyle H_{1\times 1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}} 로부터 시작하여 2 k × 2 k {\displaystyle 2^{k}\times 2^{k}} 크기의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다. 페일리 구성(영어: Paley construction)은 유한체를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다. q {\displaystyle q} 가 홀수 소수의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수 χ : F q → { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle \chi \colon \mathbb {F} _{q}\to \{-1,0,1\}} χ : a ↦ { 0 a = 0 1 a ∈ { a 2 : a ∈ F q × } − 1 a ∉ { a 2 : a ∈ F q } {\displaystyle \chi \colon a\mapsto {\begin{cases}0&a=0\\1&a\in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} _{q}^{\times }\}\\-1&a\not \in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} _{q}\}\end{cases}}} 를 정의하자. (여기서 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 는 유한체이다.) 이제, 임의의 전단사 함수 { 1 , 2 , … , q } → F q {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,q\}\to \mathbb {F} _{q}} i ↦ a i {\displaystyle i\mapsto a_{i}} 를 고르자. 그렇다면, q × q {\displaystyle q\times q} 행렬 Q i j = χ ( a i − a j ) {\displaystyle Q_{ij}=\chi (a_{i}-a_{j})} 를 정의할 수 있다. 이를 야콥스탈 행렬(영어: Jacobsthal matrix)이라고 한다. 만약 q ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}} 일 경우 − 1 ∈ F q {\displaystyle -1\in \mathbb {F} _{q}} 은 제곱수이며, Q {\displaystyle Q} 는 대칭 행렬이다 ( Q i j = Q j i {\displaystyle Q_{ij}=Q_{ji}} ). 반면, 만약 q ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}} 일 경우 − 1 {\displaystyle -1} 은 제곱수가 아니며, Q {\displaystyle Q} 는 반대칭 행렬이다 ( Q i j = − Q j i {\displaystyle Q_{ij}=-Q_{ji}} ). 이제, ( q + 1 ) × ( q + 1 ) {\displaystyle (q+1)\times (q+1)} 행렬 M ( q + 1 ) × ( q + 1 ) = ( 0 j 1 × q − j q × 1 Q q × q ) {\displaystyle M_{(q+1)\times (q+1)}={\begin{pmatrix}0&j_{1\times q}\\-j_{q\times 1}&Q_{q\times q}\end{pmatrix}}} 을 정의할 수 있다. 여기서 j 1 × q = ( 1 1 ⋯ 1 ) {\displaystyle j_{1\times q}={\begin{pmatrix}1&1&\dotsm &1\end{pmatrix}}} j q × 1 = ( 1 1 ⋮ 1 ) {\displaystyle j_{q\times 1}={\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}} 이다. 만약 q ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}} 일 경우, H ( q + 1 ) × ( q + 1 ) = 1 ( q + 1 ) × ( q + 1 ) + M ( q + 1 ) × ( q + 1 ) {\displaystyle H_{(q+1)\times (q+1)}=1_{(q+1)\times (q+1)}+M_{(q+1)\times (q+1)}} 는 ( q + 1 ) × ( q + 1 ) {\displaystyle (q+1)\times (q+1)} 아다마르 행렬이다. 만약 q ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}} 일 경우, M {\displaystyle M} 의 각 성분을 0 ↦ ( 1 − 1 − 1 − 1 ) {\displaystyle 0\mapsto {\begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}}} ± 1 ↦ ± ( 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle \pm 1\mapsto \pm {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}} 로 치환하면, 2 ( q + 1 ) × 2 ( q + 1 ) {\displaystyle 2(q+1)\times 2(q+1)} 아다마르 행렬을 얻는다. 1×1 행렬 ( 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}} 및 ( − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}} 은 아다마르 행렬이다. 이는 추가로 정칙 아다마르 행렬이다. 2×2 행렬 ( 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}} 은 표준형 아다마르 행렬이지만, 정칙 아다마르 행렬이 아니다. 1867년에 제임스 조지프 실베스터가 2 k × 2 k {\displaystyle 2^{k}\times 2^{k}} 크기의 아다마르 행렬을 최초로 구성하였다. 이후 1893년에 자크 아다마르가 행렬의 행렬식의 절댓값의 최댓값의 상계를 발표하였으며, 이 때문에 이를 포화시키는 행렬이 “아다마르 행렬”이라고 불리게 되었다. 1933년에 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907~1933)가 유한체를 사용한 페일리 구성을 발견하였다. 윌리엄슨 형식 심플렉틱 행렬 Hedayat, A.; Wallis, W. 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