기저 (위상수학)

일반위상수학에서, 위상 공간의 기저(基底, 영어: base, basis)는 모든 열린집합을 합집합을 통해 생성할 수 있는 열린집합들이다. 많은 경우, 열린집합을 직접 정의하는 것보다 기저나 부분 기저를 통해 위상을 기술하는 것이 더 편리하다. 집합 X {\displaystyle X} 에 대해, 다음 성질을 만족하는 X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 족 B ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 를 X {\displaystyle X} 의 기저라고 한다. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 는 X {\displaystyle X} 의 덮개이다. 즉, ⋃ B = X {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {B}}=X} 이다. 즉, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 를 만족하는 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 임의의 B , B ′ ∈ B {\displaystyle B,B'\in {\mathcal {B}}} 에 대하여, B ∩ B ′ {\displaystyle B\cap B'} 의 덮개를 이루는 S ⊆ B {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}} 가 존재한다 (즉, B ∩ B ′ = ⋃ S {\displaystyle \textstyle B\cap B'=\bigcup {\mathcal {S}}} ). 다시 말해, 임의의 B , B ′ ∈ B {\displaystyle B,B'\in {\mathcal {B}}} 및 x ∈ B ∩ B ′ {\displaystyle x\in B\cap B'} 에 대하여, x ∈ B ″ ⊆ B ∩ B ′ {\displaystyle x\in B''\subseteq B\cap B'} 인 B ″ ∈ B {\displaystyle B''\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 이때 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 에 의해 생성되는 위상 (열린집합들의 족) T ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 는 다음과 같다. T = { ⋃ S : S ⊆ B } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\left\{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}\right\}} 즉, 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 로 생성되는 위상 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 는 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 부분 집합들의 합집합들로 구성된다. 다시 말해, X {\displaystyle X} 의 부분 집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 가 열린집합일 필요 충분 조건은, 임의의 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 에 대하여 x ∈ B ⊆ U {\displaystyle x\in B\subseteq U} 를 만족하는 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재하는 것이다. 집합 X {\displaystyle X} 속의 임의의 집합족 S ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 가 주어졌다고 하자. 이때, S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 로부터 생성되는 기저(영어: base generated by S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ) B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 는 다음과 같다. B = { ⋂ F : F ⊆ S , | F | < ℵ 0 } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\bigcap {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}},\;|{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}\right\}} 즉, S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 로부터 생성되는 기저는 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 의 유한 교집합들로 구성된다. 이때 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 를 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 부분 기저(部分基底, subbase/subbasis)라 한다. 위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 예를 들어, 실수 집합의 위상 공간에 대응하는 기저는 열린구간들이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린구간들이나 반대로 끝점이 무리수인 열린구간들도 기저가 될 수 있다. 비이산 공간 X {\displaystyle X} 은 { X } {\displaystyle \{X\}} 을 기저로 하며, 이 기저는 공집합을 부분 기저로 한다. 이산 공간 X {\displaystyle X} 은 한원소 집합들의 족 { { x } : x ∈ X } {\displaystyle \{\{x\}\colon x\in X\}} 을 기저로 한다. 거리 공간 X {\displaystyle X} 은 (거리 위상을 부여하면) 열린 공들의 족 { B r ( x ) : r > 0 , x ∈ X } {\displaystyle \{B_{r}(x)\colon r>0,\;x\in X\}} 을 기저로 한다. 또한 반지름이 유리수인 열린 공들의 족 { B r ( x ) : r ∈ Q + , x ∈ X } {\displaystyle \{B_{r}(x)\colon r\in \mathbb {Q} ^{+},\;x\in X\}} 역시 이 위상의 기저이다. 이처럼 위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 전순서 집합 X {\displaystyle X} 은 (순서 위상을 부여하면) 열린구간들의 족 { ( a , b ) , ( a , ∞ ) , ( − ∞ , a ) : a , b ∈ X } {\displaystyle \{(a,b),(a,\infty ),(-\infty ,a)\colon a,b\in X\}} 을 기저로 한다. 또한 이 기저는 끝점에 무한대를 포함하는 열린구간들의 족 { ( a , ∞ ) , ( − ∞ , a ) : a ∈ X } {\displaystyle \{(a,\infty ),(-\infty ,a)\colon a\in X\}} 을 부분 기저로 한다. 근방 필터 “Base”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological basis”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Topological base”. 《nLab》 (영어).