ADM 에너지

ADM 질량(영어: ADM質量) 또는 ADM 에너지(영어: ADM energy)는 ADM 형식에서 자연스럽게 등장하는 일종의 해밀토니언의 값이다. R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 위의, 로런츠 부호수의 계량 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 가 주어졌다고 하고, 또한 계량 텐서가 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하다고 가정하자. 이에 따라, g μ ν = η μ ν + h μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }} 를 정의하자. 그렇다면, 그 ADM 질량은 다음과 같다.:(5.1):252–253:595, (5.13), §5.2.1 M = 1 16 π G lim r → ∞ ∮ r ( δ i j ∂ i h j k − δ i j ∂ k h i j ) n ^ k γ ( 2 ) d x 2 {\displaystyle M={\frac {1}{16\pi G}}\lim _{r\to \infty }\oint _{r}(\delta ^{ij}\partial _{i}h_{jk}-\delta ^{ij}\partial _{k}h_{ij}){\hat {n}}^{k}\;{\sqrt {\gamma ^{(2)}}}\mathrm {d} x^{2}} 여기서 ∮ r {\displaystyle \textstyle \oint _{r}} 은 원점에서 반지름이 r {\displaystyle r} 인 구면에 대하여 계산되는 적분이다. n ^ k {\displaystyle {\hat {n}}^{k}} 는 구면에 대한 수직 단위 벡터이다. γ ( 2 ) d x 2 {\displaystyle \textstyle {\sqrt {\gamma ^{(2)}}}\;\mathrm {d} x^{2}} 는 구면의 넓이 원소이다. 계수 1 / ( 16 π ) {\displaystyle 1/(16\pi )} 는 슈바르츠실트 계량의 질량과 비교하여 고정된 것이다. 마찬가지로, ADM 운동량(ADM運動量, 영어: ADM momentum)을 정의할 수 있으며, 다음과 같다.:(5.2) P i = − 1 8 π G lim r → ∞ ∮ r δ j k π i j n ^ k γ ( 2 ) d x 2 {\displaystyle P^{i}=-{\frac {1}{8\pi G}}\lim _{r\to \infty }\oint _{r}\delta _{jk}\pi ^{ij}{\hat {n}}^{k}\;{\sqrt {\gamma ^{(2)}}}\mathrm {d} x^{2}} 고차원 시공간에서도 마찬가지 정의가 가능하다. ADM 에너지-운동량 P μ {\displaystyle P^{\mu }} 는 점근적 로런츠 변환에 대하여 4차원 벡터로 변환한다.:§5.2 만약 계량이 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하지 않다면 (예를 들어, 우주 상수가 존재한다면), 위 적분들은 수렴하지 않을 수 있다. 구체적으로, D > 2 {\displaystyle D>2} 차원 리만 다양체 ( Σ , g ) {\displaystyle (\Sigma ,g)} 가 주어졌으며, Σ {\displaystyle \Sigma } 는 유클리드 공간의 부분 집합 R D ∖ ball ⁡ ( 0 , 1 ; R D ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{D}\setminus \operatorname {ball} (0,1;\mathbb {R} ^{D})} 와 미분 동형이라고 하자 ( ball ⁡ ( 0 , 1 ; R D ) {\displaystyle \operatorname {ball} (0,1;\mathbb {R} ^{D})} 는 R D {\displaystyle \mathbb {R} ^{D}} 속의 단위 초구). 즉, 이 경우 위 미분 동형 사상에 의하여 좌표계 ( x i ) i = 1 , … , D {\displaystyle (x^{i})_{i=1,\dots ,D}} 및 함수 r = δ i j x i x j {\displaystyle r={\sqrt {\delta _{ij}x^{i}x^{j}}}} 를 정의할 수 있다. ( Σ , g ) {\displaystyle (\Sigma ,g)} 의 ADM 질량이 유한하게 존재할 충분 조건은, 다음 부등식들을 만족시키는 상수 α {\displaystyle \alpha } 가 존재하는 것이다.:595, (5.14), §5.2.1 | g i j − δ i j | ∈ O ( r − α ) ∀ i , j ∈ { 1 , … , D } {\displaystyle |g_{ij}-\delta _{ij}|\in O\left(r^{-\alpha }\right)\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,D\}} | ∂ k g i j | ∈ O ( r − α − 1 ) ∀ i , j , k ∈ { 1 , … , D } {\displaystyle |\partial _{k}g_{ij}|\in O(r^{-\alpha -1})\qquad \forall i,j,k\in \{1,\dots ,D\}} R ∈ L 1 ⁡ ( Σ ; R ) {\displaystyle R\in \operatorname {L} ^{1}(\Sigma ;\mathbb {R} )} α > D − 2 2 {\displaystyle \alpha >{\frac {D-2}{2}}} 여기서 α {\displaystyle \alpha } 는 인 임의의 상수이며, R : Σ → R {\displaystyle R\colon \Sigma \to \mathbb {R} } 는 스칼라 곡률 함수이며, L 1 ⁡ ( Σ ; R ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{1}(\Sigma ;\mathbb {R} )} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 절댓값 적분 가능 실함수들의 집합(즉, Lp 공간의 특수한 경우)이다. 양 에너지 정리(陽energy定理, 영어: positive-energy theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. ① 우세 에너지 조건을 만족시키고, ② 점근적으로 평탄한 4차원 시공간의 ADM 에너지는 음이 아닌 실수이며, ①과 ②를 만족시키며, ③ ADM 에너지가 0인 4차원 시공간은 민코프스키 공간 밖에 없다. 점근적으로 평탄한 3차원 리만 다양체 ( Σ , γ ) {\displaystyle (\Sigma ,\gamma )} 가 주어졌다고 하고, (시간 불변 시공간으로 간주하였을 때) 그 ADM 질량이 m {\displaystyle m} 이라고 하자. 또한, Σ {\displaystyle \Sigma } 의 극소 곡면 가운데 제일 바깥에 있는 것의 넓이가 A {\displaystyle A} 라고 하자. (이러한 극소 곡면은 연결 공간이 아닐 수 있다.) 그렇다면, 리만-펜로즈 부등식(Riemann-Penrose不等式, 영어: Riemann–Penrose inequality)에 따르면, 다음이 성립한다. G m ≥ A / 16 π {\displaystyle Gm\geq {\sqrt {A/16\pi }}} 이는 양 에너지 정리의 일반화이다. 리처드 루이스 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다. 양 ADM 에너지 정리는 1979년에 리처드 멜빈 셰인(영어: Richard Melvin Schoen)과 야우싱퉁이 최초로 증명하였다. 이후 1981년에 에드워드 위튼이 순간자를 통한 새 증명을 제시하였고, 이듬해에 토머스 파커(영어: Thomas Parker)와 클리퍼드 헨리 토브스(영어: Clifford Henry Taubes)가 위튼의 증명을 수학적으로 엄밀하게 보완하였다. 리만-펜로즈 부등식은 1973년에 로저 펜로즈가 물리학을 사용하여 추측하였으며, 2001년에 휴버트 루이스 브레이(영어: Hubert Lewis Bray) · 게르하르트 후이스켄(독일어: Gerhard Huisken, 1958~) · 톰 일매넌(영어: Tom Ilmanen, 1961~)이 수학적으로 엄밀히 증명하였다. Deser, Stanley (2008). “Arnowitt–Deser–Misner energy”. 《Scholarpedia》 (영어) 3 (10): 7596. doi:10.4249/scholarpedia.7596. ISSN 1941-6016.  Arnowitt, Richard; Stanley Deser, Charles W. Misner (2008년 9월). “Republication of: The dynamics of general relativity”. 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 40 (9): 1997–2027. arXiv:gr-qc/0405109. Bibcode:2008GReGr..40.1997A. doi:10.1007/s10714-008-0661-1. ISSN 0001-7701.  Carroll, Sean M. (2003). 《Spacetime and geometry: an introduction to general relativity》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805387323. 2014년 5월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 3일에 확인함.  Chruściel, Piotr T.; Galloway, Gregory J.; Pollack, Daniel (2010년 10월). “Mathematical general relativity: a sampler”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 47 (4): 567–638. arXiv:1004.1016. Bibcode:2010arXiv1004.1016C. doi:10.1090/S0273-0979-2010-01304-5. ISSN 0273-0979. MR 2721040. Zbl 1205.83002.  Dain, Sergio (2014). 〈Positive energy theorems in general relativity〉. Ashtekar, Abhay; Petkov, Vesselin. 《The Springer handbook of spacetime》 (영어). Springer-Verlag. 363–380쪽. arXiv:1302.3405. Bibcode:2014shst.book..363D. doi:10.1007/978-3-642-41992-8_18. ISBN 978-3-642-41991-1.  Kazdan, Jerry L. (1982년 6월). “Positive energy in general relativity”. 《Séminaire N. Bourbaki》 (영어) 24 (593): 315–330. MR 689537. Zbl 0496.53043.  Pullin, Jorge (2008년 9월). “Editorial note to R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, “The dynamics of general relativity””. 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 40 (9): 1989–1995. Bibcode:2008GReGr..40.1989P. doi:10.1007/s10714-008-0649-x. ISSN 0001-7701.  Arnowitt, R.; Deser, Stanley (1959). “Quantum theory of gravitation: general formulation and linearized theory”. 《Physical Review》 113 (2): 745–750. Bibcode:1959PhRv..113..745A. doi:10.1103/PhysRev.113.745.  Arnowitt, R. L.; Deser, Stanley; Misner, C. (1959). “Dynamical structure and definition of energy in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 116 (5): 1322–1330.  Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Canonical variables for general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 117 (6): 1595–1602. Bibcode:1960PhRv..117.1595A. doi:10.1103/PhysRev.117.1595.  Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Finite self-energy of classical point particles”. 《Physical Review Letters》 (영어) 4 (7): 375–377. Bibcode:1960PhRvL...4..375A. doi:10.1103/PhysRevLett.4.375.  Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Energy and the criteria for radiation in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 118 (4): 1100–1104. Bibcode:1960PhRv..118.1100A. doi:10.1103/PhysRev.118.1100.  Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Gravitational–electromagnetic coupling and the classical self-energy problem”. 《Physical Review》 (영어) 120: 313–320. Bibcode:1960PhRv..120..313A. doi:10.1103/PhysRev.120.313.  Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Interior Schwarzschild solutions and interpretation of Source Terms”. 《Physical Review》 (영어) 120: 321–324. Bibcode:1960PhRv..120..321A. doi:10.1103/PhysRev.120.321.  Arnowitt, R. L.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1961). “Wave zone in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 121 (5): 1556–1566. Bibcode:1961PhRv..121.1556A. doi:10.1103/PhysRev.121.1556.  Arnowitt, R. L.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1961). “Coordinate invariance and energy expressions in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 122 (3): 997–1006. Bibcode:1961PhRv..122..997A. doi:10.1103/PhysRev.122.997.  Schoen, Richard; Yau, Shing-Tung (1979년 2월). “On the proof of the positive mass conjecture in general relativity” (PDF). 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 65 (1): 45–76. doi:10.1007/BF01940959. ISSN 0010-3616. 2017년 5월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 12월 3일에 확인함.  Witten, Edward (1981년 9월). “A new proof of the positive energy theorem”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 80 (3): 381–402. doi:10.1007/BF01208277. ISSN 0010-3616. MR 0626707. Zbl 0149.2980.  Parker, Thomas; Taubes, Clifford Henry (1982년 6월). “On Witten’s proof of the positive energy theorem”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 84 (2): 223–238. doi:10.1007/BF01208569. ISSN 0010-3616. MR 0661134. Zbl 0528.58040.  Penrose, Roger (1973년 12월). “Naked singularities”. 《Annals of the New York Academy of Sciences》 (영어) 224: 125–134. doi:10.1111/j.1749-6632.1973.tb41447.x. ISSN 0077-8923.  Bray, H. (2001). “Proof of the Riemannian Penrose inequality using the positive mass theorem”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 59 (2): 177–267. Bibcode:2001JDGeo..59..177B. MR 1908823. Zbl 01782703.  Huisken, G.; Ilmanen, T. (2001). “The inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 59 (3): 353–437. MR 1916951.