삼각 함수 항등식

수학에서 삼각함수 항등식(三角函數恒等式, 영어: trigonometric identity)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다. 참고로 아래에서 sin 2 {\displaystyle \sin ^{2}} , cos 2 {\displaystyle \cos ^{2}} 등의 함수는 sin 2 ⁡ x = ( sin ⁡ x ) 2 {\displaystyle \sin ^{2}{x}=(\sin {x})^{2}} 와 같이 정의된다. cos ⁡ x = sin ⁡ ( x + π 2 ) {\displaystyle \cos {x}=\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)} tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x = 1 tan ⁡ x {\displaystyle \tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {cot} {x}={\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}={\frac {1}{\tan {x}}}} sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x {\displaystyle \operatorname {sec} {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {csc} {x}={\frac {1}{\sin {x}}}} 다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다. 다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다. sin ⁡ x = sin ⁡ ( x + 2 k π ) cos ⁡ x = cos ⁡ ( x + 2 k π ) tan ⁡ x = tan ⁡ ( x + k π ) {\displaystyle \sin {x}=\sin(x+2k\pi )\qquad \cos {x}=\cos(x+2k\pi )\qquad \tan {x}=\tan(x+k\pi )} sec ⁡ x = sec ⁡ ( x + 2 k π ) csc ⁡ x = csc ⁡ ( x + 2 k π ) cot ⁡ x = cot ⁡ ( x + k π ) {\displaystyle \sec {x}=\sec(x+2k\pi )\qquad \csc {x}=\csc(x+2k\pi )\qquad \cot {x}=\cot(x+k\pi )} 다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다. sin ⁡ ( − x ) = − sin ⁡ x , sin ⁡ ( π 2 − x ) = cos ⁡ x , sin ⁡ ( π − x ) = sin ⁡ x cos ⁡ ( − x ) = cos ⁡ x , cos ⁡ ( π 2 − x ) = sin ⁡ x , cos ⁡ ( π − x ) = − cos ⁡ x tan ⁡ ( − x ) = − tan ⁡ x , tan ⁡ ( π 2 − x ) = cot ⁡ x , tan ⁡ ( π − x ) = − tan ⁡ x cot ⁡ ( − x ) = − cot ⁡ x , cot ⁡ ( π 2 − x ) = tan ⁡ x , cot ⁡ ( π − x ) = − cot ⁡ x sec ⁡ ( − x ) = sec ⁡ x , sec ⁡ ( π 2 − x ) = csc ⁡ x , sec ⁡ ( π − x ) = − sec ⁡ x csc ⁡ ( − x ) = − csc ⁡ x , csc ⁡ ( π 2 − x ) = sec ⁡ x , csc ⁡ ( π − x ) = csc ⁡ x {\displaystyle {\begin{matrix}\sin(-x)=-\sin {x},&&\sin \left({\pi \over 2}-x\right)=\cos {x},&&\sin \left(\pi -x\right)=\;\;\sin {x}\\\cos(-x)=\;\;\cos {x},&&\cos \left({\pi \over 2}-x\right)=\sin {x},&&\cos \left(\pi -x\right)=-\cos {x}\\\tan(-x)=-\tan {x},&&\tan \left({\pi \over 2}-x\right)=\cot {x},&&\tan \left(\pi -x\right)=-\tan {x}\\\cot(-x)=-\cot {x},&&\cot \left({\pi \over 2}-x\right)=\tan {x},&&\cot \left(\pi -x\right)=-\cot {x}\\\sec(-x)=\;\;\sec {x},&&\sec \left({\pi \over 2}-x\right)=\csc {x},&&\sec \left(\pi -x\right)=-\sec {x}\\\csc(-x)=-\csc {x},&&\csc \left({\pi \over 2}-x\right)=\sec {x},&&\csc \left(\pi -x\right)=\;\;\csc {x}\end{matrix}}} 다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다. sin ⁡ ( x + π 2 ) = cos ⁡ x , sin ⁡ ( x + π ) = − sin ⁡ x cos ⁡ ( x + π 2 ) = − sin ⁡ x , cos ⁡ ( x + π ) = − cos ⁡ x tan ⁡ ( x + π 2 ) = − cot ⁡ x , tan ⁡ ( x + π ) = tan ⁡ x cot ⁡ ( x + π 2 ) = − tan ⁡ x , cot ⁡ ( x + π ) = cot ⁡ x sec ⁡ ( x + π 2 ) = − csc ⁡ x , sec ⁡ ( x + π ) = − sec ⁡ x csc ⁡ ( x + π 2 ) = sec ⁡ x , csc ⁡ ( x + π ) = − csc ⁡ x {\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\cos {x},&&\sin \left(x+\pi \right)=-\sin {x}\\\cos \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\sin {x},&&\cos \left(x+\pi \right)=-\cos {x}\\\tan \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\cot {x},&&\tan \left(x+\pi \right)=\;\;\tan {x}\\\cot \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\tan {x},&&\cot \left(x+\pi \right)=\;\;\cot {x}\\\sec \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\csc {x},&&\sec \left(x+\pi \right)=-\sec {x}\\\csc \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\sec {x},&&\csc \left(x+\pi \right)=-\csc {x}\end{matrix}}} 또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다. a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 ⋅ sin ⁡ ( x + φ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )} 여기서 φ = { arctan ⁡ b a , if  a ≥ 0 arctan ⁡ b a ± π , if  a < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}},&{\mbox{if }}a\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}\pm \pi ,&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}} 다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다. sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x cot 2 ⁡ x + 1 = csc 2 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1\qquad \tan ^{2}{x}+1=\sec ^{2}{x}\qquad \cot ^{2}{x}+1=\csc ^{2}{x}} 다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다. sin ⁡ ( x ± y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y ± cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin {x}\cos {y}\pm \cos {x}\sin {y}\,} cos ⁡ ( x ± y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y ∓ sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos {x}\cos {y}\mp \sin {x}\sin {y}\,} (좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임) tan ⁡ ( x ± y ) = tan ⁡ x ± tan ⁡ y 1 ∓ tan ⁡ x tan ⁡ y {\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan {x}\pm \tan {y}}{1\mp \tan {x}\tan {y}}}} cot ⁡ ( x ± y ) = cot ⁡ y cot ⁡ x ∓ 1 cot ⁡ y ± cot ⁡ x {\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot {y}\cot {x}\mp 1}{\cot {y}\pm \cot {x}}}} c ı ˙ s ( x + y ) = c ı ˙ s x c ı ˙ s y {\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x+y)={\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}\,{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}} c ı ˙ s ( x − y ) = c ı ˙ s x c ı ˙ s y {\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x-y)={{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x} \over {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}} 여기서 c ı ˙ s x = exp ⁡ ( i x ) = e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}=\exp(ix)=e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}\,} i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.\,} 다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 x = y {\displaystyle x=y} 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 n = 2 {\displaystyle n=2} 로 놓아도 된다. sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x {\displaystyle \sin {2x}=2\sin {x}\cos {x}\,} cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ x − 1 = 1 − 2 sin 2 ⁡ x = 1 − tan 2 ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x {\displaystyle \cos {2x}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}=2\cos ^{2}{x}-1=1-2\sin ^{2}{x}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}\,} tan ⁡ 2 x = 2 tan ⁡ x 1 − tan 2 ⁡ x {\displaystyle \tan {2x}={\frac {2\tan {x}}{1-\tan ^{2}{x}}}} tan 2 ⁡ x − 1 tan ⁡ x = − 2 tan ⁡ 2 x {\displaystyle {\frac {\tan ^{2}{x}-1}{\tan {x}}}={\frac {-2}{\tan {2x}}}} cot ⁡ 2 x = cot 2 ⁡ x − 1 2 cot ⁡ x {\displaystyle \cot {2x}={\frac {\cot ^{2}{x}-1}{2\cot {x}}}} 아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다. sin ⁡ 3 x = 3 sin ⁡ x − 4 sin 3 ⁡ x {\displaystyle \sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}\,} cos ⁡ 3 x = 4 cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x {\displaystyle \cos {3x}=4\cos ^{3}{x}-3\cos {x}\,} tan ⁡ 3 x = 3 tan ⁡ x − tan 3 ⁡ x 1 − 3 tan 2 ⁡ x {\displaystyle \tan {3x}={\frac {3\tan {x}-\tan ^{3}{x}}{1-3\tan ^{2}{x}}}} 아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다. sin ⁡ 4 x = 4 sin ⁡ x cos ⁡ x − 8 sin 3 ⁡ x cos ⁡ x {\displaystyle \sin {4x}=4\sin {x}\cos {x}-8\sin ^{3}{x}\cos {x}} cos ⁡ 4 x = 8 cos 4 ⁡ x − 8 cos 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle \cos {4x}=8\cos ^{4}{x}-8\cos ^{2}{x}+1} tan ⁡ 4 x = 4 tan ⁡ x − 4 tan 3 ⁡ x 1 − 6 tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x {\displaystyle \tan {4x}={\frac {4\tan {x}-4\tan ^{3}{x}}{1-6\tan ^{2}{x}+\tan ^{4}{x}}}} sin ⁡ 5 x = 5 sin ⁡ x − 20 sin 3 ⁡ x + 16 sin 5 ⁡ x {\displaystyle \sin {5x}=5\sin {x}-20\sin ^{3}{x}+16\sin ^{5}{x}} cos ⁡ 5 x = 5 cos ⁡ x − 20 cos 3 ⁡ x + 16 cos 5 ⁡ x {\displaystyle \cos {5x}=5\cos {x}-20\cos ^{3}{x}+16\cos ^{5}{x}} tan ⁡ 5 x = tan 5 ⁡ x − 10 tan 3 ⁡ x + 5 tan ⁡ x 1 − 10 tan 2 ⁡ x + 5 tan 4 ⁡ x {\displaystyle \tan {5x}={\frac {\tan ^{5}{x}-10\tan ^{3}{x}+5\tan {x}}{1-10\tan ^{2}{x}+5\tan ^{4}{x}}}} sin ⁡ 6 x = 6 sin ⁡ x cos ⁡ x − 32 sin 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x {\displaystyle \sin {6x}=6\sin {x}\cos {x}-32\sin ^{3}{x}\cos ^{3}{x}} cos ⁡ 6 x = 32 cos 6 ⁡ x − 48 cos 4 ⁡ x + 18 cos 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle \cos {6x}=32\cos ^{6}{x}-48\cos ^{4}{x}+18\cos ^{2}{x}-1} T n {\displaystyle T_{n}} 이 n {\displaystyle n} 번째 체비쇼프 다항식일 때, cos ⁡ n x = T n ( cos ⁡ x ) {\displaystyle \cos {nx}=T_{n}(\cos {x})} 드무아브르의 공식: cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n {\displaystyle \cos {nx}+i\sin {nx}=(\cos {x}+i\sin {x})^{n}} 디리클레 핵 D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)} 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. : 1 + 2 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 3 x + ⋯ + 2 cos ⁡ n x = sin ⁡ ( n + 1 2 ) x sin ⁡ x 2 {\displaystyle 1+2\cos {x}+2\cos {2x}+2\cos {3x}+\cdots +2\cos {nx}={\frac {\sin {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}}{\sin {x \over 2}}}} 디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다. n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다. 두배각 공식의 코사인 공식을 cos 2 ⁡ x {\displaystyle \cos ^{2}{x}} 과 sin 2 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{2}{x}} 으로 푼다. cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 {\displaystyle \cos ^{2}{x}={1+\cos {2x} \over 2}} sin 2 ⁡ x = 1 − cos ⁡ 2 x 2 {\displaystyle \sin ^{2}{x}={1-\cos {2x} \over 2}} tan 2 ⁡ x = 1 − cos ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ 2 x {\displaystyle \tan ^{2}{x}={\frac {1-\cos {2x}}{1+\cos {2x}}}} cot 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 1 − cos ⁡ 2 x {\displaystyle \cot ^{2}{x}={\frac {1+\cos {2x}}{1-\cos {2x}}}} sin 3 ⁡ x = 3 sin ⁡ x − sin ⁡ 3 x 4 {\displaystyle \sin ^{3}{x}={\frac {3\sin {x}-\sin {3x}}{4}}} cos 3 ⁡ x = 3 cos ⁡ x + cos ⁡ 3 x 4 {\displaystyle \cos ^{3}{x}={\frac {3\cos {x}+\cos {3x}}{4}}} sin 4 ⁡ x = 3 − 4 cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 4 x 8 {\displaystyle \sin ^{4}{x}={\frac {3-4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}} cos 4 ⁡ x = 3 + 4 cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 4 x 8 {\displaystyle \cos ^{4}{x}={\frac {3+4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}} sin 5 ⁡ x = 10 sin ⁡ x − 5 sin ⁡ 3 x + sin ⁡ 5 x 16 {\displaystyle \sin ^{5}{x}={\frac {10\sin {x}-5\sin {3x}+\sin {5x}}{16}}} cos 5 ⁡ x = 10 cos ⁡ x + 5 cos ⁡ 3 x + cos ⁡ 5 x 16 {\displaystyle \cos ^{5}{x}={\frac {10\cos {x}+5\cos {3x}+\cos {5x}}{16}}} 차수 줄이기 이차식 공식에서 x {\displaystyle x} 에 x 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {x}{2}}} 을 대입하고, cos ⁡ x 2 {\displaystyle \textstyle \cos {\frac {x}{2}}} 과 sin ⁡ x 2 {\displaystyle \textstyle \sin {\frac {x}{2}}} 으로 푼다. | cos ⁡ x 2 | = 1 + cos ⁡ x 2 {\displaystyle \left|\cos {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1+\cos {x}}{2}}}} | sin ⁡ x 2 | = 1 − cos ⁡ x 2 {\displaystyle \left|\sin {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{2}}}} | tan ⁡ x 2 | = 1 − cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x {\displaystyle \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{1+\cos {x}}}}} 또한, tan ⁡ x 2 {\displaystyle \textstyle \tan {\frac {x}{2}}} 는 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}} 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 2 cos ⁡ x 2 {\displaystyle \textstyle 2\cos {\frac {x}{2}}} 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 이 되고, 분모는 2 cos 2 ⁡ x 2 − 1 + 1 {\displaystyle \textstyle 2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-1+1} 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 cos ⁡ x + 1 {\displaystyle \cos x+1} 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다. tan ⁡ x 2 = sin ⁡ x cos ⁡ x + 1 = 1 − cos ⁡ x sin ⁡ x = csc ⁡ x − cot ⁡ x {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}+1}}={\frac {1-\cos {x}}{\sin {x}}}=\csc {x}-\cot {x}} 우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다. sin ⁡ x cos ⁡ y = sin ⁡ ( x + y ) + sin ⁡ ( x − y ) 2 {\displaystyle \sin {x}\cos {y}={\sin(x+y)+\sin(x-y) \over 2}} cos ⁡ x sin ⁡ y = sin ⁡ ( x + y ) − sin ⁡ ( x − y ) 2 {\displaystyle \cos {x}\sin {y}={\sin(x+y)-\sin(x-y) \over 2}} cos ⁡ x cos ⁡ y = cos ⁡ ( x + y ) + cos ⁡ ( x − y ) 2 {\displaystyle \cos {x}\cos {y}={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}} sin ⁡ x sin ⁡ y = − cos ⁡ ( x + y ) − cos ⁡ ( x − y ) 2 {\displaystyle \sin {x}\sin {y}=-{\cos(x+y)-\cos(x-y) \over 2}} 위 식의 x {\displaystyle x} 를 x + y 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {x+y}{2}}} 로, y {\displaystyle y} 를 x − y 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {x-y}{2}}} 로 바꾼다. sin ⁡ x ± sin ⁡ y = 2 sin ⁡ ( x ± y 2 ) cos ⁡ ( x ∓ y 2 ) {\displaystyle \sin {x}\pm \sin {y}=2\sin \left({\frac {x\pm y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x\mp y}{2}}\right)} cos ⁡ x + cos ⁡ y = 2 cos ⁡ ( x + y 2 ) cos ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos {x}+\cos {y}=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)} cos ⁡ x − cos ⁡ y = − 2 sin ⁡ ( x + y 2 ) sin ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos {x}-\cos {y}=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)} tan ⁡ x ± tan ⁡ y = sin ⁡ ( x ± y ) cos ⁡ x cos ⁡ y {\displaystyle \tan {x}\pm \tan {y}={\frac {\sin {(x\pm y)}}{\cos {x}\cos {y}}}} 그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다. sin ⁡ x + sin ⁡ y sin ⁡ x − sin ⁡ y = tan ⁡ 1 2 ( x + y ) tan ⁡ 1 2 ( x − y ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\sin {x}-\sin {y}}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(x+y)}}{\tan {{1 \over 2}(x-y)}}}} sin ⁡ x + sin ⁡ y cos ⁡ x − cos ⁡ y = cot ⁡ 1 2 ( y − x ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}-\cos {y}}}=\cot {{1 \over 2}(y-x)}} sin ⁡ x + sin ⁡ y cos ⁡ x + cos ⁡ y = tan ⁡ 1 2 ( x + y ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x+y)}} sin ⁡ x − sin ⁡ y cos ⁡ x + cos ⁡ y = tan ⁡ 1 2 ( x − y ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}-\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x-y)}} 역삼각함수라고도 한다. x > 0 {\displaystyle x>0} 이면 arctan ⁡ x + arccot ⁡ x = π 2 . {\displaystyle \arctan {x}+\operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}.} 만약 x < 0 {\displaystyle x<0} 이면, 등식 우변이 − π 2 {\displaystyle \textstyle -{\frac {\pi }{2}}} 가 된다. arctan ⁡ x + arctan ⁡ y = arctan ⁡ ( x + y 1 − x y ) {\displaystyle \arctan {x}+\arctan {y}=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)} 피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다. cos ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin {x})={\sqrt {1-x^{2}}}} 리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다. cos ⁡ 20 ∘ ⋅ cos ⁡ 40 ∘ ⋅ cos ⁡ 80 ∘ = 1 8 {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}} 그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. ( x = 20 ∘ , k = 3 {\displaystyle \scriptstyle x=20^{\circ },k=3} 을 넣고, sin ⁡ x = sin ⁡ ( 180 ∘ − x ) {\displaystyle \scriptstyle \sin x=\sin(180^{\circ }-x)} 를 이용 우변을 정리한다.) ∏ j = 0 k − 1 cos ⁡ ( 2 j x ) = sin ⁡ ( 2 k x ) 2 k sin ⁡ x {\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin {x}}}} 다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다. cos ⁡ 36 ∘ + cos ⁡ 108 ∘ = 1 2 {\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}}} cos ⁡ 24 ∘ + cos ⁡ 48 ∘ + cos ⁡ 96 ∘ + cos ⁡ 168 ∘ = 1 2 {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}} 21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자. cos ⁡ 2 π 21 + cos ⁡ 2 ( 2 π ) 21 + cos ⁡ 4 ( 2 π ) 21 + cos ⁡ 5 ( 2 π ) 21 + cos ⁡ 8 ( 2 π ) 21 + cos ⁡ 10 ( 2 π ) 21 = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos {\frac {2(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {4(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {5(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {8(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {10(2\pi )}{21}}={\frac {1}{2}}} 1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 21⁄2보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.) 미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선: lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1} 과 lim x → 0 1 − cos ⁡ x x = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}=0} 을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. (참고 lim x → 0 1 − cos ⁡ x x 2 = 1 2 ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}={\frac {1}{2}})} d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\sin {x}=\cos {x}} 나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다. d d x cos ⁡ x = − sin ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cos {x}=-\sin {x}} d d x tan ⁡ x = sec 2 ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\tan {x}=\sec ^{2}{x}} d d x csc ⁡ x = − csc ⁡ x cot ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\csc {x}=-\csc {x}\cot {x}} d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\sec {x}=\sec {x}\tan {x}} d d x cot ⁡ x = − csc 2 ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cot {x}=-\csc ^{2}{x}} d d x arcsin ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arcsin {x}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x arccos ⁡ x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arccos {x}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x arctan ⁡ x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arctan {x}={\frac {1}{1+x^{2}}}} d d x arccot ⁡ x = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} {x}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}} d d x arcsec ⁡ x = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} {x}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} d d x arccsc ⁡ x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} {x}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} 적분식은 적분표를 참고하라. 삼각함수 적분표 피타고라스 정리 삼각법 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0