위상 끈 이론

이론물리학에서 위상 끈 이론(位相끈理論, 영어: topological string theory)는 끈 이론의 단순한 종류의 하나이다. 이 경우, 끈의 세계면 위에 존재하는 이론은 통상적인 끈 이론과 달리, 국소적인 자유도를 갖지 않는다. 정확히 말하자면, 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. A형과 B형 두 종류가 있으며, 이들은 서로 거울 대칭에 의하여 연관된다. 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 초등각 장론이다. (이는 일반적인 끈 이론의 N = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)} 초대칭과 다르다.) 이 경우 R대칭은 U(1)V×U(1)A이다. 이 두 성분 가운데 하나를 로런츠 대칭 SO(2)=U(1)E과 대응시켜, 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. U(1)V로 뒤틀면 A-모형(영어: A-model), U(1)A로 뒤틀면 B-모형(영어: B-model)을 얻는다. 만약 세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않는다면 U(1)A 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 예를 들어, 과녁 공간이 (칼라비-야우 다양체이 아닌) 켈러 다양체인 시그마 모형의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다. 반대로, 과녁 공간이 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 이고 초퍼텐셜을 가진 란다우-긴즈부르크 모형(영어: Landau–Ginzburg model)의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)V 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다. A-모형과 B-모형은 거울 대칭에 의하여 서로 연관된다. M {\displaystyle M} 이 콤팩트 칼라비-야우 다양체라고 하고, Σ {\displaystyle \Sigma } 가 콤팩트 리만 곡면(=세계면)이라고 하자. 그렇다면 M {\displaystyle M} 위에 2차원 N = ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)} 시그마 모형을 다음과 같이 정의하자. ( ϕ , ψ ) : Σ → T M {\displaystyle (\phi ,\psi )\colon \Sigma \to TM} 는 매끄러운 함수이다. 여기서 T M {\displaystyle TM} 은 M {\displaystyle M} 의 (비정칙) 접다발의 전체 공간이며, 이 경우 ψ ( z , z ¯ ) ∈ T ϕ ( z , z ¯ ) M {\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})\in T_{\phi (z,{\bar {z}})}M} 이다. 이들은 손지기 초장:(5.2) Φ ( θ ± , θ ¯ ± ) = ϕ + ψ + θ + + ψ − θ − + ⋯ {\displaystyle \Phi (\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\pm })=\phi +\psi _{+}\theta ^{+}+\psi _{-}\theta ^{-}+\cdots } 으로 포함하여 쓸 수 있다. (나머지 성분들은 보조장이거나, ϕ {\displaystyle \phi } 및 ψ {\displaystyle \psi } 의 도함수로 구성된다.) 이들은 R대칭에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.:(5.23) 즉, 초장 Φ {\displaystyle \Phi } 는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다. 이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.:(5.50), (5.67) A모형의 관측 가능량들은 수학적으로 그로모프-위튼 불변량(영어: Gromov–Witten invariant)이라는 이름으로 엄밀히 정의되며, 이는 양자 코호몰로지(영어: quantum cohomology)를 정의한다. 일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 유효 이론을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 켈러 중력(영어: Kähler gravity)이라고 불리며, 특수한 경우 천-사이먼스 이론으로 해석할 수 있다. B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 고다이라-스펜서 중력(영어: Kodaira–Spencer gravity)이다. 고파쿠마르-바파 쌍대성(영어: Gopakumar–Vafa duality)에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰 N {\displaystyle N} 극한과 같다. 이는 라제시 고파쿠마르와 캄란 바파가 발견하였다. A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 융해 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다. A모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} 초대칭 게이지 이론의 프리퍼텐셜(영어: prepotential)을 계산하는 데 쓰인다. B모형 위상 끈 이론은 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 게이지 이론의 초퍼텐셜(영어: superpotential)을 계산하는 데 쓰인다. A모형 계산은 또한 BPS 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하는 데 쓰인다. 에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다. 위상수학적 결함 위상 양자장론 위상수학적 양자 수 Hori, Kentaro; Sheldon Katz, Albrecht Klemm, Rahul Pandharipande, Richard Thomas, Cumrun Vafa, Ravi Vakil, Eric Zaslow (2003). 《Mirror Symmetry》 (PDF). Clay Mathematical Monographs 1. American Mathematical Society/Clay Mathematical Institute. ISBN 0-8218-2955-6. MR 2003030. Zbl 1044.14018.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Vonk, Marcel (2005). “A mini-course on topological strings” (영어). arXiv:hep-th/0504147. Bibcode:2005hep.th....4147V.  Bershadsky, Michael; Sadov, Vladimir. “Theory of Kähler Gravity” (영어). arXiv:hep-th/9410011.  Witten, Edward. “Chern-Simons Gauge Theory As A String Theory” (영어). arXiv:hep-th/9207094.  Bershadsky, Michael; Cecotti, Sergio; Ooguri, Hirosi; Vafa, Cumrun (1994). “Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 165: 311-428. arXiv:hep-th/9309140. 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