닫힌 몰입

스킴 이론에서 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)은 스킴 사상 가운데, 정의역을 공역의 닫힌집합으로 대응시키며, 정의역의 정칙 함수가 국소적으로 공역에 확장될 수 있게 하는 것이다. 대수학적으로, 이는 국소적으로 아이디얼에 대한 몫환을 취하는 꼴의 스킴 사상에 해당한다. 스킴 Y {\displaystyle Y} , X {\displaystyle X} 사이의 사상 f : Y → X {\displaystyle f\colon Y\to X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입이라고 한다. f {\displaystyle f} 는 f ( Y ) {\displaystyle f(Y)} 와 Y {\displaystyle Y} 사이의 위상 동형이며, f ( Y ) {\displaystyle f(Y)} 는 닫힌집합이며, f # : O X → f ∗ O Y {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}} 는 전사 사상이다.:85 (이는 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서 줄기 사상 O X , x → O Y , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\to {\mathcal {O}}_{Y,x}} 가 전사 함수인 것과 동치이다.) X {\displaystyle X} 속의 임의의 아핀 열린집합 Spec ⁡ A ↪ X {\displaystyle \operatorname {Spec} A\hookrightarrow X} 에 대하여, f − 1 ( Spec ⁡ A ) = Spec ⁡ ( A / i ) {\displaystyle f^{-1}(\operatorname {Spec} A)=\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}})} 가 되는 어떤 아이디얼 i ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq A} 가 존재한다. X {\displaystyle X} 위의 어떤 한 아핀 열린 덮개 X = ⋃ i ∈ I Spec ⁡ A i {\displaystyle X=\textstyle \bigcup _{i\in I}\operatorname {Spec} A_{i}} 에 대하여, f − 1 ( Spec ⁡ A i ) = Spec ⁡ ( A / i i ) {\displaystyle f^{-1}(\operatorname {Spec} A_{i})=\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}}_{i})} 가 되는 어떤 아이디얼들 i i ⊆ A i {\displaystyle {\mathfrak {i}}_{i}\subseteq A_{i}} 가 존재한다. 어떤 준연접 아이디얼 층 I ⊆ O X {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}} 에 대하여, f ∗ O Y = O X / I {\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {I}}} 이며, 이는 스킴의 동형 사상 Z ≅ P r o j _ ⁡ ( O X / I ) {\displaystyle Z\cong \operatorname {\underline {Proj}} ({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})} 을 정의한다. (여기서 P r o j _ {\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} } 는 상대 사영 스펙트럼이다.) 스킴 X {\displaystyle X} 의 닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은 X {\displaystyle X} 위의 스킴의 범주 Sch ⁡ / X {\displaystyle \operatorname {Sch} /X} 에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.:85 즉, 두 닫힌 몰입 f : Y → X {\displaystyle f\colon Y\to X} , f ′ : Y ′ → X {\displaystyle f'\colon Y'\to X} 에서, f ′ = i ∘ f {\displaystyle f'=i\circ f} 인 동형 i : Y → Y ′ {\displaystyle i\colon Y\to Y'} 이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다. 모든 닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 함수이다 (즉, 연속 함수로서, 콤팩트 열린집합의 원상이 콤팩트 열린집합이다). 임의의 세 스킴 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 및 스킴 사상 X → f Y → g Z {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z} 가 주어졌다고 하자. 만약 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 가 닫힌 몰입이며, g {\displaystyle g} 가 분리 사상이라면, f {\displaystyle f} 역시 닫힌 몰입이다. 두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다. 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 의 스킴 상(영어: scheme-theoretic image)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 스킴 Z {\displaystyle Z} 닫힌 몰입 i : Z → Y {\displaystyle i\colon Z\to Y} . 또한, 어떤 스킴 사상 g : X → Z {\displaystyle g\colon X\to Z} 에 대하여 f = i ∘ g {\displaystyle f=i\circ g} 라고 하자. 이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다. 임의의 스킴 Z ′ {\displaystyle Z'} 및 닫힌 몰입 i ′ : Z ′ → Y {\displaystyle i'\colon Z'\to Y} 및 스킴 사상 g ′ : X → Z ′ {\displaystyle g'\colon X\to Z'} 에 대하여, 만약 f = i ′ ∘ g ′ {\displaystyle f=i'\circ g'} 라면, i = i ′ ∘ h {\displaystyle i=i'\circ h} 인 스킴 사상 h : Z → Z ′ {\displaystyle h\colon Z\to Z'} 이 존재한다. 모든 스킴 사상은 스킴 상을 갖는다. (정의에 따라 이는 동형 사상 아래 유일하다.) 특히, 열린 부분 스킴의 스킴 폐포(영어: scheme-theoretic closure)는 그 포함 사상의 스킴 상이다. 임의의 가환환 R {\displaystyle R} 및 그 아이디얼 i ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R} 에 대하여, 몫환 준동형 q : R ↠ R / i {\displaystyle q\colon R\twoheadrightarrow R/{\mathfrak {i}}} 에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상 Spec ⁡ q : Spec ⁡ ( R / i ) → Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} q\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {i}})\to \operatorname {Spec} R} 는 닫힌 몰입이다. 세그레 매장 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  “Closed subscheme”. 《nLab》 (영어).  “Closed immersion of schemes”. 《nLab》 (영어).