모듈라이 공간

대수기하학에서 모듈라이 공간(moduli空間, 영어: moduli space)은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. 대수적 위상수학의 분류 공간과 유사한 개념이다. 스킴을 집합으로 대응시키는 함자 F : Sch op → Set {\displaystyle F\colon \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 가 주어졌다고 하자. 이 함자의 섬세한 모듈라이 공간(영어: fine moduli space) ( M , τ ) {\displaystyle (M,\tau )} 은 F {\displaystyle F} 의 표현이다. 즉, M ∈ Sch {\displaystyle M\in \operatorname {Sch} } 은 스킴이다. τ : F ⟹ hom Sch ⁡ ( − , M ) {\displaystyle \tau \colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)} 는 자연 동형이다. 이 정의는 다음과 같이 해석한다. 함자 F ( B ) {\displaystyle F(B)} 는 어떤 밑공간 B {\displaystyle B} 위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다. τ {\displaystyle \tau } 는 B {\displaystyle B} 위에 존재하는 공간족들이 사상 B → M {\displaystyle B\to M} 과 대응한다는 것을 의미한다. 즉, B {\displaystyle B} 위의 임의의 공간족은 사상 B → M {\displaystyle B\to M} 으로 인한, M {\displaystyle M} 위의 보편 공간족(영어: universal family)의 당김으로 유도된다. 함자 F : Sch op → Set {\displaystyle F\colon \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 의 거친 모듈라이 공간(영어: coarse moduli space) ( M , τ ) {\displaystyle (M,\tau )} 은 다음을 만족시키는 순서쌍이다. M ∈ Sch {\displaystyle M\in \operatorname {Sch} } 은 스킴이다. τ : F ⟹ hom Sch ⁡ ( − , M ) {\displaystyle \tau \colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)} 는 자연 변환이다. 모든 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 함수 τ Spec ⁡ K : F ( Spec ⁡ K ) → hom Sch ⁡ ( Spec ⁡ K , M ) {\displaystyle \tau _{\operatorname {Spec} K}\colon F(\operatorname {Spec} K)\to \hom _{\operatorname {Sch} }(\operatorname {Spec} K,M)} 은 전단사 함수이다. 임의의 스킴 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 및 자연 변환 τ ~ : F ⟹ hom Sch ⁡ ( − , M ~ ) {\displaystyle {\tilde {\tau }}\colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,{\tilde {M}})} 에 대하여, τ ~ = σ ∘ τ {\displaystyle {\tilde {\tau }}=\sigma \circ \tau } 인 자연 변환 σ : hom Sch ⁡ ( − , M ) ⟹ hom Sch ⁡ ( − , M ~ ) {\displaystyle \sigma \colon \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,{\tilde {M}})} 이 존재한다. 이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다. 일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다. 어떤 K {\displaystyle K} -벡터 공간 V {\displaystyle V} 에 대하여, 그라스만 다양체 G ( n , V ) {\displaystyle G(n,V)} 는 V {\displaystyle V} 의 (원점을 지나는) n {\displaystyle n} 차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다. n = 1 {\displaystyle n=1} 인 경우, 이는 사영 공간으로 불린다. 저우 다양체 Chow ⁡ ( d , P 3 ) {\displaystyle \operatorname {Chow} (d,\mathbb {P} ^{3})} 는 P 3 {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}} 속의 차수 d {\displaystyle d} 의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, 힐베르트 스킴은 사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다. 종수가 g {\displaystyle g} 인 비특이 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를 M g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}} 라고 한다. 여기에 안정 곡선을 추가하여 콤팩트화하면, 종수 g {\displaystyle g} 의 안정 곡선들의 모듈라이 스택 M ¯ g {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} 를 얻는다. 물론 종수가 g {\displaystyle g} 인 비특이 (또는 안정) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다. 모듈러스 (물리학) 표현 가능 함자 Harris, Joe; Ian Morrison (1998). 《Moduli of Curves》 (영어). Springer. ISBN 0-387-98429-1.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Moduli space”. 《nLab》 (영어).  van Tuyll, Edgar. “Moduli space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.