에피사이클로이드

기하학에서 에피사이클로이드(영어: epicycloid)는 주어진 원에 외접하는 임의의 한 원이 주어진 원의 곡면을 따라 회전할 때, 외접원 위의 임의의 한 점이 그리는 자취이다. 주어진 원을 기초원, 외접하는 원을 구름원이라고 한다. 만약 작은 원의 반지름을 r, 그리고 큰 원의 반지름을 R(=kr)이라고 했을 때, 에피사이클로이드 곡선을 매개방정식으로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. x ( θ ) = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)} y ( θ ) = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( R + r r θ ) , {\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),} 또는 다음과 같이 쓸 수 있다. x ( θ ) = r ( k + 1 ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( ( k + 1 ) θ ) {\displaystyle x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,} y ( θ ) = r ( k + 1 ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( ( k + 1 ) θ ) . {\displaystyle y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,} 이는 복소평면을 이용하면 더 간단한 형태로 변형될 수 있다. 좌표평면에서 (x,y)를 x + y i {\displaystyle x+yi} 의 꼴로 나타낼 때 위의 매개변수 방정식을 대입한 후 오일러 공식 e i x = c o s x + i s i n x {\displaystyle e^{ix}=cosx+isinx} 을 이용하면 z ( θ ) = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( θ + R r θ ) + i ( ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( θ + R r θ ) ) {\displaystyle z(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos(\theta +{\frac {R}{r}}\theta )+i((R+r)\sin \theta -r\sin(\theta +{\frac {R}{r}}\theta ))} z ( θ ) = r ( ( R r + 1 ) ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) − e i ( R r + 1 ) θ {\displaystyle z(\theta )=r(({\frac {R}{r}}+1)(\cos \theta +i\sin \theta )-e^{i({\frac {R}{r}}+1)\theta }} 여기서 θ ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle \theta \in [0,2\pi ]} 구름원의 반지름 r {\displaystyle r} 기초원의 반지름 R {\displaystyle R} R = k r {\displaystyle R=kr} 일 때 k가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k 개의 뾰족점을 가진다. k가 유리수인 경우, k = p/q 꼴로 단순화시킬수 있다면, p 개의 뾰족점을 가진다. k가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R + 2r인 원 사이의 공간의 조밀 집합을 형성한다. 에피사이클로이드의 예 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 2.1 = 21/10 k = 3.8 = 19/5 k = 5.5 = 11/2 k = 7.2 = 36/5 초기 점이 기초원 위에 있다고 가정하자. k ( k = R r ) {\displaystyle k(k={\frac {R}{r}})} 가 양수일 때 에피사이클로이드의 면적은 다음과 같다. A = ∫ 0 2 π y ( θ ) d x d θ d θ {\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }y(\theta ){\frac {dx}{d\theta }}d\theta } 에피사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식 x ( θ ) = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)} y ( θ ) = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( R + r r θ ) , {\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),} 를 대입하여 계산하면 A = ( k + 1 ) ( K + 2 ) π r 2 {\displaystyle A=(k+1)(K+2)\pi r^{2}} 로 정리할 수 있다. 에피사이클로이드의 길이는 다음과 같다. l = ∫ 0 2 π ( d x d θ ) 2 + d y d θ ) 2 d θ {\displaystyle l=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {({\frac {dx}{d\theta }})^{2}+{\frac {dy}{d\theta }})^{2}}}d\theta } 이 식에 에피사이클로이드 곡선의 매개변수방정식을 대입하여 계산하면 l = 8 ( k + 1 ) r {\displaystyle l=8(k+1)r} 구름원 위의 임의의 점 P의 자취를 구하고자 한다. α {\displaystyle \alpha } 를 접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도, θ {\displaystyle \theta } 를 시작점에서 접선 점까지의 각도라고 하자. 큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로, 다음과 같은 관계를 가진다. l R = l r {\displaystyle l_{R}=l_{r}} 각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라 l R = θ R {\displaystyle l_{R}=\theta R} , l r = α r {\displaystyle l_{r}=\alpha r} 가 성립한다. 따라서 θ R = α r {\displaystyle \theta R=\alpha r} 이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면 α = R r θ {\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta } 의 형태로 기술될 수 있다. 도형에서, 구름원 위의 점 p의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있다. x ( θ ) = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)} y ( θ ) = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( R + r r θ ) , {\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),} 사이클로이드 하이포사이클로이드 에피트로코이드 하이포트로코이드 스피로그래프 대원과 주전원 유성 기어 J. Dennis Lawrence (1972). 《A catalog of special plane curves》. Dover Publications. 161,168–170,175쪽. ISBN 0-486-60288-5.