점류

집합론에서 점류(點類, 영어: pointclass)는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다. 구체적 범주 F : C → Set {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다. Pow : Set → Set op {\displaystyle \operatorname {Pow} \colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }} Pow : X ↦ Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Pow} \colon X\mapsto \operatorname {Pow} (X)} Pow : ( f : X → Y ) ↦ ( f − 1 : Pow ⁡ ( Y ) → Pow ⁡ ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {Pow} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{-1}\colon \operatorname {Pow} (Y)\to \operatorname {Pow} (X)\right)} 그렇다면, Pow ∘ F {\displaystyle \operatorname {Pow} \circ F} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 준층을 이룬다. Pow ∘ F {\displaystyle \operatorname {Pow} \circ F} 의 부분 준층을 ( C , F ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},F)} 위의 점류라고 한다. 즉, 구체적으로 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 집합족 Γ ( X ) ⊆ Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \Gamma (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)} 또한, 임의의 부분 집합 B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 및 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 만약 B ∈ Γ ( Y ) {\displaystyle B\in \Gamma (Y)} 라면 f − 1 ( B ) ∈ Γ ( X ) {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Gamma (X)} 이다. 구체적 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, Γ ˇ {\displaystyle {\check {\Gamma }}} 는 다음과 같은 점류이다. Γ ˇ ( X ) = X ∖ Γ ( X ) {\displaystyle {\check {\Gamma }}(X)=X\setminus \Gamma (X)} 이를 Γ {\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}} 의 쌍대 점류(雙對點類, 영어: dual pointclass)라고 한다.:167, §22.A 또한, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 점류들의 집합 { Γ i } i ∈ I {\displaystyle \{\Gamma _{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, ⋂ i ∈ I Γ i : X ↦ ⋂ i ∈ i Γ i ( X ) {\displaystyle \bigcap _{i\in I}\Gamma _{i}\colon X\mapsto \bigcap _{i\in i}\Gamma _{i}(X)} ⋃ i ∈ I Γ i : X ↦ ⋃ i ∈ i Γ i ( X ) {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\Gamma _{i}\colon X\mapsto \bigcup _{i\in i}\Gamma _{i}(X)} 역시 점류이다. 특히, Γ ∩ Γ ˇ {\displaystyle \Gamma \cap {\check {\Gamma }}} 를 Γ {\displaystyle \Gamma } 의 모호 점류(模糊點類, 영어: ambiguous pointclass)라고 한다.:167, §22.A:114, §3D 흔히 ( C , F ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},F)} 가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주 stdBorelMeasbl {\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} } 를 사용한다. 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 가 κ {\displaystyle \kappa } 미만 합집합에 대하여 닫혀 있다고 한다. 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 및 A ⊆ Γ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \Gamma (X)} 에 대하여, 만약 | A | < κ {\displaystyle |{\mathcal {A}}|<\kappa } 라면 ⋃ A ∈ Γ ( X ) {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {A}}\in \Gamma (X)} 이다. 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 가 κ {\displaystyle \kappa } 미만 교집합에 대하여 닫혀 있다고 한다. 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 및 A ⊆ Γ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \Gamma (X)} 에 대하여, 만약 | A | < κ {\displaystyle |{\mathcal {A}}|<\kappa } 라면 ⋂ A ∈ Γ ( X ) {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {A}}\in \Gamma (X)} 이다. 만약 Γ = Γ ˇ {\displaystyle \Gamma ={\check {\Gamma }}} 라면, Γ {\displaystyle \Gamma } 가 여집합에 대하여 닫혀 있다고 한다. ( C , F ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},F)} 가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 인 경우를 생각하자. PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 성질들을 정의하자. 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 및 집합렬 A 0 , A 1 , ⋯ ⊆ X {\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \subseteq X} 에 대하여, A ∈ X × N ⟺ ∀ i ∈ N : A i ∈ Γ ( X ) {\displaystyle A\in X\times \mathbb {N} \iff \forall i\in \mathbb {N} \colon A_{i}\in \Gamma (X)} 이라면, Γ {\displaystyle \Gamma } 가 합리적 점류(合理的點類, 영어: reasonable pointclass)라고 한다.:171, §22.C (여기서 N {\displaystyle \mathbb {N} } 은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.) PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 다음 조건을 만족시킨다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 가 κ {\displaystyle \kappa } -분리 성질(영어: κ {\displaystyle \kappa } -separation property)을 만족시킨다고 한다.:170, Definition 22.14 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 및 임의의 집합족 { A i } i ∈ I ⊆ Γ ( X ) {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)} 에 대하여, 만약 | I | < κ {\displaystyle |I|<\kappa } 이며 ⋂ i ∈ I A i = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing } 이라면, ∀ i ∈ I : A i ⊆ B n {\displaystyle \forall i\in I\colon A_{i}\subseteq B_{n}} 이자 ⋂ i ∈ I B i = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}B_{i}=\varnothing } 인 B 0 , B 1 , ⋯ ∈ Γ ( X ) ∩ Γ ˇ ( X ) {\displaystyle B_{0},B_{1},\dots \in \Gamma (X)\cap {\check {\Gamma }}(X)} 가 존재한다. PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 다음 조건을 만족시킨다면, κ {\displaystyle \kappa } -축소 성질(영어: κ {\displaystyle \kappa } -reduction property)을 만족시킨다고 한다.:170, Definition 22.14 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 및 임의의 집합족 { A i } i ∈ I ⊆ Γ ( X ) {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)} 에 대하여, 만약 | I | < κ {\displaystyle |I|<\kappa } 이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 { B i } i ∈ I ⊆ Γ ( X ) {\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)} 가 존재한다. ∀ i ∈ I : B i ⊆ A n {\displaystyle \forall i\in I\colon B_{i}\subseteq A_{n}} ∀ i , j ∈ I : i ≠ j ⟹ B i ∩ B j = ∅ {\displaystyle \forall i,j\in I\colon i\neq j\implies B_{i}\cap B_{j}=\varnothing } ⋃ i ∈ I A i = ⋃ i ∈ I B i {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}B_{i}} PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, Γ ˇ {\displaystyle {\check {\Gamma }}} 는 가산 분리 성질을 갖는다. 집합 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 및 부분 집합 R ⊆ X × Y {\displaystyle R\subseteq X\times Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, R {\displaystyle R} 의 균등화 집합(영어: uniformizing set) S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다. 임의의 ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} 에 대하여, ( x , y ′ ) ∈ S {\displaystyle (x,y')\in S} 인 y ′ ∈ Y {\displaystyle y'\in Y} 가 유일하게 존재한다. 폴란드 공간 Y {\displaystyle Y} 가 주어졌을 때, PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 다음 조건을 만족시킨다면, Y {\displaystyle Y} -균등화 성질( Y {\displaystyle Y} -均等化性質, 영어: Y {\displaystyle Y} -uniformization property)을 만족시킨다고 한다. 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 과 부분 집합 R ∈ Γ ( X × Y ) {\displaystyle R\in \Gamma (X\times Y)} 에 대하여, R {\displaystyle R} 의 균등화 S ∈ Γ ( X × Y ) {\displaystyle S\in \Gamma (X\times Y)} 가 존재한다. 모든 폴란드 공간 Y {\displaystyle Y} 에 대하여 Y {\displaystyle Y} -균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, 균등화 성질을 만족시킨다고 한다. 그렇다면, PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다. 합리적이며, N {\displaystyle \mathbb {N} } -균등화 성질을 갖는다. ( N {\displaystyle \mathbb {N} } 은 가산 무한 이산 공간이다.) 구체적 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 및 그 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 ϕ : A → Ord {\displaystyle \phi \colon A\to \operatorname {Ord} } 에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는, X {\displaystyle X} 위의 두 이항 관계 ≤ ϕ Γ {\displaystyle \leq _{\phi }^{\Gamma }} , ≤ ϕ Γ ˇ {\displaystyle \leq _{\phi }^{\check {\Gamma }}} 가 존재한다면, ϕ {\displaystyle \phi } 가 A {\displaystyle A} 위의 Γ {\displaystyle \Gamma } -계급 함수( Γ {\displaystyle \Gamma } -階級函數, 영어: Γ {\displaystyle \Gamma } -rank)라고 한다. ≤ ϕ Γ ∈ Γ ( X 2 ) {\displaystyle \leq _{\phi }^{\Gamma }\in \Gamma (X^{2})} ≤ ϕ Γ ˇ ∈ Γ ˇ ( X 2 ) {\displaystyle \leq _{\phi }^{\check {\Gamma }}\in {\check {\Gamma }}(X^{2})} 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, ( x ∈ A ∧ ϕ ( x ) ≤ ϕ ( a ) ) ⟺ x ≤ ϕ Γ a ⟺ x ≤ ϕ Γ ˇ a {\displaystyle (x\in A\land \phi (x)\leq \phi (a))\iff x\leq _{\phi }^{\Gamma }a\iff x\leq _{\phi }^{\check {\Gamma }}a} 이다. PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 다음 조건을 만족시킨다면, 계급 점류(영어: ranked pointclass)라고 한다.:171, Definition 22.14 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 및 A ∈ Γ ( X ) {\displaystyle A\in \Gamma (X)} 에 대하여, Γ {\displaystyle \Gamma } -계급 함수가 존재한다. 계급 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉, Δ 1 0 ⊆ Γ {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}\subseteq \Gamma } 이다. 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다. 그렇다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 는 가산 축소 성질과 N {\displaystyle \mathbb {N} } -균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다. 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 위의 계급 함수의 열 ( ϕ i ) i ∈ N {\displaystyle (\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금(영어: scale)이라고 한다. A {\displaystyle A} 속의 임의의 점렬 ( a i ) i < ω ⊆ A {\displaystyle (a_{i})_{i<\omega }\subseteq A} 에 대하여, 만약 ( a i ) i < ω {\displaystyle (a_{i})_{i<\omega }} 는 X {\displaystyle X} 속에서 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 로 수렴하며, ∀ i ≥ N : ϕ n ( a i ) = λ n {\displaystyle \forall i\geq N\colon \phi _{n}(a_{i})=\lambda _{n}} 이 되는 N n < ω {\displaystyle N_{n}<\omega } 와 λ n ∈ Ord {\displaystyle \lambda _{n}\in \operatorname {Ord} } 가 존재한다면, x ∈ A {\displaystyle x\in A} 이자 ∀ i ∈ N : ϕ i ( x ) ≤ λ i {\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon \phi _{i}(x)\leq \lambda _{i}} 이다. PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 및 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 및 그 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 A {\displaystyle A} 위의 눈금 ( ϕ i ) i ∈ N {\displaystyle (\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }} 에 대하여, 만약 모든 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 에 대하여 ϕ i : A → Ord {\displaystyle \phi _{i}\colon A\to \operatorname {Ord} } 가 Γ {\displaystyle \Gamma } -계급 함수라면, ( ϕ i ) i ∈ N {\displaystyle (\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }} 를 Γ {\displaystyle \Gamma } -눈금이라고 한다. PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금 점류(영어: scaled pointclass)라고 한다.:171, Definition 22.14 임의의 A ∈ Γ {\displaystyle A\in \Gamma } 에 대하여, A {\displaystyle A} 위의 Γ {\displaystyle \Gamma } -눈금이 존재한다. 눈금 점류는 항상 계급 점류이다. stdBorelMeasbl {\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} } 위의 눈금 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, Δ 1 1 ⊆ Γ {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}\subseteq \Gamma } 이다. 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다. 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 A ∈ Γ ( X × Y ) {\displaystyle A\in \Gamma (X\times Y)} 에 대하여, ∀ Y ⁡ ( A ) = { x ∈ X : { x } × Y ⊆ A } ∈ Γ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\forall } ^{Y}(A)=\{x\in X\colon \{x\}\times Y\subseteq A\}\in \Gamma (X)} 이다. 그렇다면, Γ {\displaystyle \Gamma } 는 균등화 성질을 갖는다. 즉, 만약 폴란드 공간의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, Δ 1 1 ⊆ Γ {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}\subseteq \Gamma } 이다. 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다. 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다. 합리적 점류이다. 그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다. stdBorelMeasbl {\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} } 위의 점류 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자. 모든 보렐 집합을 포함한다. 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다. 사영에 대하여 닫혀 있다. 임의의 S ∈ Γ ( N ℵ 0 ) ∩ Γ ˇ ( N ℵ 0 ) {\displaystyle S\in \Gamma (\mathbb {N} ^{\aleph _{0}})\cap {\check {\Gamma }}(\mathbb {N} ^{\aleph _{0}})} 에 대하여, S {\displaystyle S} 는 결정 집합이다. 눈금 점류이다. 그렇다면, 주기성 정리(영어: periodicity theorem)에 따르면, ∀ N ℵ 0 Γ {\displaystyle \forall ^{\mathbb {N} ^{\aleph _{0}}}\Gamma } 역시 눈금 점류이다.:336–337, Theorem 39.8 특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. Π 1 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}} 은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우, Π 2 n + 1 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}} 과 Σ 2 n + 2 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}} 는 눈금 점류가 된다. 보렐 위계의 단계들 Δ α 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}} , Σ α 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}} , Π α 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}} 은 PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다). 사영 위계의 단계들 Δ n 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{n}^{1}} , Σ n 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}} , Π n 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}} 은 PolTop {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류를 이루며, 또한 stdBorelMeasbl {\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} } 위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다). Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.  Moschovakis, Yiannis N. (2009). 《Descriptive set theory》 (PDF). Mathematical Surveys and Monographs (영어) 155 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4813-5.