중국인의 나머지 정리

수론과 환론에서 중국인의 나머지 정리(中國人-定理, 영어: Chinese remainder theorem)는 서로소 아이디얼들에 대한 몫환들의 곱에 대한 정리이다. 즉, 수론적 용어로 쓰면, 어떤 서로소 자연수들에 대한 연립 합동식의 해의 유일한 존재에 대한 정리이다. 어떤 환 R {\displaystyle R} 속의 두 아이디얼 a , b ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset R} 가 a + b = R {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R} 를 만족시키면, 이 두 아이디얼을 서로소(영어: coprime)라고 한다. R {\displaystyle R} 가 (곱셈 단위원을 갖는) 가환환이라고 하고, n 1 , … , n k ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {n}}_{1},\dots ,{\mathfrak {n}}_{k}\subset R} 가 서로소 아이디얼들이라고 하자. 또한, 이 아이디얼들의 곱을 n = ∏ i = 1 k n i {\displaystyle {\mathfrak {n}}=\prod _{i=1}^{k}{\mathfrak {n}}_{i}} 라고 놓자. 그렇다면 다음이 성립한다. n = ⋂ i = 1 k n i {\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigcap _{i=1}^{k}{\mathfrak {n}}_{i}} R / n ≅ ∏ i = 1 k R / n i {\displaystyle R/{\mathfrak {n}}\cong \prod _{i=1}^{k}R/{\mathfrak {n}}_{i}} 여기서, 환 동형사상은 구체적으로 다음과 같다. r + n ↦ ( r + n 1 , … , r + n k ) {\displaystyle r+{\mathfrak {n}}\mapsto (r+{\mathfrak {n}}_{1},\dots ,r+{\mathfrak {n}}_{k})} 일반적 가환환에 대한 중국인의 나머지 정리를 정수의 환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 에 대하여 적용하여, 정수론적인 용어로 쓰면 다음과 같다. 이 경우, 아이디얼은 자연수(음이 아닌 정수)로, 서로소 아이디얼은 서로소 자연수로 번역할 수 있다. 서로소인 음이 아닌 정수 n 1 , n 2 , ⋯ , n k {\displaystyle n_{1},n_{2},\cdots ,n_{k}} 가 주어졌다고 하고, n = ∏ i = 1 k n i {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}n_{i}} 로 놓자. 그렇다면, 임의의 합동류들의 k {\displaystyle k} -튜플 ( a 1 , a 2 , … , a k ) ∈ ∏ i = 1 k Z / n i {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \prod _{i=1}^{k}\mathbb {Z} /n_{i}} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 연립 합동 방정식의 해 a ∈ Z / n {\displaystyle a\in \mathbb {Z} /n} 이 항상 유일하게 존재한다. a ≡ a i ( mod n i ) ∀ i = 1 , … , k {\displaystyle a\equiv a_{i}{\pmod {n_{i}}}\quad \forall i=1,\dots ,k} 이에 따라서, 다음과 같은 환 동형사상이 존재한다. Z / n ≅ ∏ i = 1 k Z / n i {\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \prod _{i=1}^{k}\mathbb {Z} /n_{i}} 여기서는 환이 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 인 경우만 증명한다. 각 n i {\displaystyle n_{i}} 에 대해, n / n i {\displaystyle n/n_{i}} 와 n i {\displaystyle n_{i}} 는 서로소이기 때문에, r i n i + s i ( n / n i ) = 1 {\displaystyle r_{i}n_{i}+s_{i}(n/n_{i})=1} 인 정수 r i , s i {\displaystyle r_{i},s_{i}} 가 존재한다. 여기에서 e i = s i ( n / n i ) {\displaystyle e_{i}=s_{i}(n/n_{i})} 라고 놓으면, e i ≡ 1 ( mod n i ) {\displaystyle e_{i}\equiv 1{\pmod {n_{i}}}} e i ≡ 0 ( mod n j ) {\displaystyle e_{i}\equiv 0{\pmod {n_{j}}}} ( i ≠ j {\displaystyle i\neq j} ) 가 성립한다. 여기에서 a = ∑ i a i e i {\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e_{i}} 로 놓으면, 임의의 i {\displaystyle i} 에 대해 a ≡ a i ( mod n i ) {\displaystyle a\equiv a_{i}{\pmod {n_{i}}}} 가 성립한다. 즉, a {\displaystyle a} 가 바로 구하는 해 중의 하나이다. 이제 Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n} 속에서의 유일성을 증명하기 위해, 두 해 x , y {\displaystyle x,y} 가 존재한다고 가정하자. 그러면 x ≡ a i , y ≡ a i ( mod n i ) {\displaystyle x\equiv a_{i},y\equiv a_{i}{\pmod {n_{i}}}} 이므로 x − y {\displaystyle x-y} 는 모든 n i {\displaystyle n_{i}} 의 배수이고, 따라서 x − y {\displaystyle x-y} 는 n 1 n 2 ⋯ n k = n {\displaystyle n_{1}n_{2}\cdots n_{k}=n} 의 배수이다. 즉, x ≡ y ( mod n ) {\displaystyle x\equiv y{\pmod {n}}} 이므로, Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n} 속에서는 항상 유일한 해가 존재한다. 이 정리는 원래 5세기 남북조 시대의 중국 수학서 《손자산경》(孫子算經)에 최초로 등장하였다. 《손자산경》 하권(下卷) 문제 26번은 다음과 같다. 즉, 이는 다음과 같은 연립 합동 방정식에 관한 문제이다. x ≡ 2 ( mod 3 ) ≡ 3 ( mod 5 ) ≡ 2 ( mod 7 ) {\displaystyle x\equiv 2{\pmod {3}}\equiv 3{\pmod {5}}\equiv 2{\pmod {7}}} 이 경우, 풀이에 따라 x ≡ 23 ( mod 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 ) {\displaystyle x\equiv 23{\pmod {3\cdot 5\cdot 7=105}}} 이다. 풀이에서 사용된 수는 140 ≡ 2 ( mod 3 ) ≡ 0 ( mod 5 ) ≡ 0 ( mod 7 ) {\displaystyle 140\equiv 2{\pmod {3}}\equiv 0{\pmod {5}}\equiv 0{\pmod {7}}} 63 ≡ 0 ( mod 3 ) ≡ 3 ( mod 5 ) ≡ 0 ( mod 7 ) {\displaystyle 63\equiv 0{\pmod {3}}\equiv 3{\pmod {5}}\equiv 0{\pmod {7}}} 30 ≡ 0 ( mod 3 ) ≡ 0 ( mod 5 ) ≡ 2 ( mod 7 ) {\displaystyle 30\equiv 0{\pmod {3}}\equiv 0{\pmod {5}}\equiv 2{\pmod {7}}} 이므로, 각 합동식에서 나머지를 하나하나씩 맞추어 가는 알고리즘이다. 이후 이러한 연립 합동 방정식의 문제의 해법은 1247년 남송의 수학자 진구소(秦九韶)가 저술한 《수서구장》(數書九章)에서 더 일반화되었다. Shen Kangsheng (1988). “Historical development of the Chinese remainder theorem”. 《Archive for History of Exact Sciences》 (영어) 38 (4): 285–305. doi:10.1007/BF00357063. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133837.  Law Hong Ing (2003년 6월). “The history of the Chinese remainder theorem” (PDF). 《Mathematical Medley》 (영어) (Singapore Mathematical Society) 30 (1): 54–62. 2016년 5월 9일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 8월 12일에 확인함.  일본인의 정리 “Chinese remainder theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Chinese remainder theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.