구면 삼각형

수학에서 구면 삼각형(球面三角形, 영어: spherical triangle)은 구 위의 세 대원호에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학의 평면 삼각형의 구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 구면 삼각법(球面三角法, 영어: spherical trigonometry)이라고 한다. 원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원) 구 S 2 ⊆ R 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}} 의 볼록 구면 다각형(-球面多角形, 영어: convex spherical polygon)은 다음을 만족시키는 부분 집합 P ⊆ S 2 {\displaystyle P\subseteq \mathbb {S} ^{2}} 이다. P {\displaystyle P} 는 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 반구 H 1 , … , H n ⊆ S 2 {\displaystyle H_{1},\dots ,H_{n}\subseteq \mathbb {S} ^{2}} 의 유한 교집합 P = ⋂ k = 1 n H k {\displaystyle \textstyle P=\bigcap _{k=1}^{n}H_{k}} 으로 나타낼 수 있다. int ⁡ P ≠ ∅ {\displaystyle \operatorname {int} P\neq \varnothing } . 즉, P {\displaystyle P} 는 내부점을 가진다. P ∩ ( − P ) = ∅ {\displaystyle P\cap (-P)=\varnothing } . 즉, P {\displaystyle P} 는 대척점쌍을 포함하지 않는다. 각 반구 H k {\displaystyle H_{k}} 에 대응하는 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 의 반공간 H k ^ {\displaystyle {\widehat {H_{k}}}} 들의 교집합 P ^ = ⋂ k = 1 n H k ^ {\displaystyle \textstyle {\widehat {P}}=\bigcap _{k=1}^{n}{\widehat {H_{k}}}} 은 볼록추를 이루는데, 이 P ^ {\displaystyle {\widehat {P}}} 의 모서리와 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 교점을 P {\displaystyle P} 의 꼭짓점(-點, 영어: vertex)이라고 하며, P ^ {\displaystyle {\widehat {P}}} 의 면과 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 교선을 P {\displaystyle P} 의 변(邊, 영어: edge)이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우 P {\displaystyle P} 를 (볼록) 구면 삼각형((-)球面三角形, 영어: (convex) spherical triangle)이라고 한다. 구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위의 세 점 A , B , C ∈ S 2 {\displaystyle A,B,C\in \mathbb {S} ^{2}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다. A , B , C ∈ S 2 {\displaystyle A,B,C\in \mathbb {S} ^{2}} 는 구면 삼각형을 이룬다. O A → , O B → , O C → ∈ R 3 {\displaystyle {\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}\in \mathbb {R} ^{3}} 은 R {\displaystyle \mathbb {R} } -선형 독립이다. 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 변의 길이 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다. a = B C = arccos ⁡ ( O B → ⋅ O C → ) {\displaystyle a=BC=\arccos({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}})} b = A C = arccos ⁡ ( O C → ⋅ O A → ) {\displaystyle b=AC=\arccos({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}})} c = A B = arccos ⁡ ( O A → ⋅ O B → ) {\displaystyle c=AB=\arccos({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}})} 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각의 크기 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다. A = arccos ⁡ ( O B → − ( O A → ⋅ O B → ) O A → ) ⋅ ( O C → − ( O A → ⋅ O C → ) O A → ) | O B → − ( O A → ⋅ O B → ) O A → | ⋅ | O C → − ( O A → ⋅ O C → ) O A → | = arccos ⁡ n O A B ⋅ n O A C | n O A B | | n O A C | {\displaystyle A=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OA}})\cdot ({\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OA}})}{|{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OA}}|\cdot |{\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OA}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OAB}\cdot \mathbf {n} _{OAC}}{|\mathbf {n} _{OAB}||\mathbf {n} _{OAC}|}}} B = arccos ⁡ ( O C → − ( O B → ⋅ O C → ) O B → ) ⋅ ( O A → − ( O B → ⋅ O A → ) O B → ) | O C → − ( O B → ⋅ O C → ) O B → | ⋅ | O A → − ( O B → ⋅ O A → ) O B → | = arccos ⁡ n O B C ⋅ n O B A | n O B C | ⋅ | n O B A | {\displaystyle B=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OB}})\cdot ({\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OB}})}{|{\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OB}}|\cdot |{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OB}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OBC}\cdot \mathbf {n} _{OBA}}{|\mathbf {n} _{OBC}|\cdot |\mathbf {n} _{OBA}|}}} C = arccos ⁡ ( O A → − ( O C → ⋅ O A → ) O C → ) ⋅ ( O B → − ( O C → ⋅ O B → ) O C → ) | O A → − ( O C → ⋅ O A → ) O C → | ⋅ | O B → − ( O C → ⋅ O B → ) O C → | = arccos ⁡ n O C A ⋅ n O C B | n O C A | ⋅ | n O C B | {\displaystyle C=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}})\cdot ({\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}})}{|{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}}|\cdot |{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OCA}\cdot \mathbf {n} _{OCB}}{|\mathbf {n} _{OCA}|\cdot |\mathbf {n} _{OCB}|}}} 구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 극(極, 영어: pole)은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다. 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 주어졌다고 하자. A ′ {\displaystyle A'} 는 B C {\displaystyle BC} 의 대원의 두 극 가운데 A {\displaystyle A} 와 같은 쪽에 있는 하나이며, B ′ {\displaystyle B'} 는 C A {\displaystyle CA} 의 대원의 두 극 가운데 B {\displaystyle B} 와 같은 쪽에 놓인 하나이며, C ′ {\displaystyle C'} 는 A B {\displaystyle AB} 의 대원의 두 극 가운데 C {\displaystyle C} 와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 는 구면 삼각형을 이루며, 이를 A B C {\displaystyle ABC} 의 극삼각형(極三角形, 영어: polar triangle)이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다. 0 = O A ′ → ⋅ O B → = O A ′ → ⋅ O C → = O B ′ → ⋅ O A → = O B ′ → ⋅ O C → = O C ′ → ⋅ O A → = O C ′ → ⋅ O B → {\displaystyle 0={\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}} O A ′ → ⋅ O A → > 0 {\displaystyle {\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}>0} O B ′ → ⋅ O B → > 0 {\displaystyle {\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}>0} O C ′ → ⋅ O C → > 0 {\displaystyle {\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}>0} 극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 극삼각형이 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 라고 하자. 그렇다면, B ′ , C ′ {\displaystyle B',C'} 가 각각 변 A C , A B {\displaystyle AC,AB} 의 극이므로, A B ′ , A C ′ {\displaystyle AB',AC'} 는 모두 4분원호다. 따라서, A {\displaystyle A} 는 변 B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} 의 극이다. 또한, A , A ′ {\displaystyle A,A'} 가 B C {\displaystyle BC} 의 같은 쪽에 있으므로, A A ′ {\displaystyle AA'} 는 4분원호보다 작으며, 따라서 A , A ′ {\displaystyle A,A'} 는 B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} 의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다. 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 극삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 의 변 a ′ , b ′ , c ′ {\displaystyle a',b',c'} 및 각 A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} 은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다. a + A ′ = b + B ′ = c + C ′ = a ′ + A = b ′ + B = c ′ + C = π {\displaystyle a+A'=b+B'=c+C'=a'+A=b'+B=c'+C=\pi } 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} 와 A B {\displaystyle AB} 의 교점을 D {\displaystyle D} , B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} 와 A C {\displaystyle AC} 의 교점을 E {\displaystyle E} 라고 하자. 그렇다면, 각 A {\displaystyle A} 는 대원호 D E {\displaystyle DE} 와 같다. 또한, B ′ E , C ′ D {\displaystyle B'E,C'D} 는 모두 4분원호이므로, B ′ C ′ + A {\displaystyle B'C'+A} 는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다. 구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다. sin ⁡ a sin ⁡ A = sin ⁡ b sin ⁡ B = sin ⁡ c sin ⁡ C {\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}} 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다. cos ⁡ a = cos ⁡ b cos ⁡ c + sin ⁡ b sin ⁡ c cos ⁡ A {\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A} cos ⁡ b = cos ⁡ c cos ⁡ a + sin ⁡ c sin ⁡ a cos ⁡ B {\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B} cos ⁡ c = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ C {\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C} 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다. cos ⁡ A = − cos ⁡ B cos ⁡ C + sin ⁡ B sin ⁡ C cos ⁡ a {\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a} cos ⁡ B = − cos ⁡ C cos ⁡ A + sin ⁡ C sin ⁡ A cos ⁡ b {\displaystyle \cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b} cos ⁡ C = − cos ⁡ A cos ⁡ B + sin ⁡ A sin ⁡ B cos ⁡ c {\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c} 다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다. cot ⁡ a sin ⁡ b = cot ⁡ A sin ⁡ C + cos ⁡ b cos ⁡ C {\displaystyle \cot a\sin b=\cot A\sin C+\cos b\cos C} cot ⁡ b sin ⁡ a = cot ⁡ B sin ⁡ C + cos ⁡ a cos ⁡ C {\displaystyle \cot b\sin a=\cot B\sin C+\cos a\cos C} cot ⁡ b sin ⁡ c = cot ⁡ B sin ⁡ A + cos ⁡ c cos ⁡ A {\displaystyle \cot b\sin c=\cot B\sin A+\cos c\cos A} cot ⁡ c sin ⁡ b = cot ⁡ C sin ⁡ A + cos ⁡ b cos ⁡ A {\displaystyle \cot c\sin b=\cot C\sin A+\cos b\cos A} cot ⁡ c sin ⁡ a = cot ⁡ C sin ⁡ B + cos ⁡ a cos ⁡ B {\displaystyle \cot c\sin a=\cot C\sin B+\cos a\cos B} cot ⁡ a sin ⁡ c = cot ⁡ A sin ⁡ B + cos ⁡ c cos ⁡ B {\displaystyle \cot a\sin c=\cot A\sin B+\cos c\cos B} 구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다. sin ⁡ A 2 = sin ⁡ ( s − b ) sin ⁡ ( s − c ) sin ⁡ b sin ⁡ c {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}} cos ⁡ A 2 = sin ⁡ s sin ⁡ ( s − a ) sin ⁡ b sin ⁡ c {\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}} tan ⁡ A 2 = sin ⁡ ( s − b ) sin ⁡ ( s − c ) sin ⁡ s sin ⁡ ( s − a ) {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}} sin ⁡ a 2 = − cos ⁡ S cos ⁡ ( S − A ) sin ⁡ B sin ⁡ C {\displaystyle \sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {-{\frac {\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}}} cos ⁡ a 2 = cos ⁡ ( S − B ) cos ⁡ ( S − C ) sin ⁡ B sin ⁡ C {\displaystyle \cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}} tan ⁡ a 2 = − cos ⁡ S cos ⁡ ( S − A ) cos ⁡ ( S − B ) cos ⁡ ( S − C ) {\displaystyle \tan {\frac {a}{2}}={\sqrt {-{\frac {\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}}} 여기서 2 S = A + B + C {\displaystyle 2S=A+B+C} 이다. 이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. sin ⁡ A = 2 sin ⁡ s sin ⁡ ( s − a ) sin ⁡ ( s − b ) sin ⁡ ( s − c ) sin ⁡ b sin ⁡ c = 1 − cos 2 ⁡ a − cos 2 ⁡ b − cos 2 ⁡ c + 2 cos ⁡ a cos ⁡ b cos ⁡ c sin ⁡ b sin ⁡ c {\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}}}{\sin b\sin c}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin b\sin c}}} sin ⁡ a = 2 − cos ⁡ S cos ⁡ ( S − A ) cos ⁡ ( S − B ) cos ⁡ ( S − C ) sin ⁡ B sin ⁡ C = 1 − cos 2 ⁡ A − cos 2 ⁡ B − cos 2 ⁡ C − 2 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C sin ⁡ B sin ⁡ C {\displaystyle \sin a={\frac {2{\sqrt {-\cos S\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)}}}{\sin B\sin C}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}A-\cos ^{2}B-\cos ^{2}C-2\cos A\cos B\cos C}}{\sin B\sin C}}} 다음과 같은 4개의 항등식을 네이피어 동류식(-同類式, 영어: Napier's analogies)이라고 한다. tan ⁡ A + B 2 = cos ⁡ a − b 2 cos ⁡ a + b 2 cot ⁡ C 2 {\displaystyle \tan {\frac {A+B}{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}} tan ⁡ A − B 2 = sin ⁡ a − b 2 sin ⁡ a + b 2 cot ⁡ C 2 {\displaystyle \tan {\frac {A-B}{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}} tan ⁡ a + b 2 = cos ⁡ a − b 2 cos ⁡ a + b 2 tan ⁡ c 2 {\displaystyle \tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}} tan ⁡ a − b 2 = sin ⁡ a − b 2 sin ⁡ a + b 2 tan ⁡ c 2 {\displaystyle \tan {\frac {a-b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}} 다음과 같은 4개의 항등식을 들랑브르 동류식(-同類式, 영어: Delambre's analogies) 또는 가우스 정리(-定理, 영어: Gauss's theorems)이라고 한다. cos ⁡ A + B 2 cos ⁡ c 2 = cos ⁡ a + b 2 sin ⁡ C 2 {\displaystyle \cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}} cos ⁡ A − B 2 sin ⁡ c 2 = sin ⁡ a + b 2 sin ⁡ C 2 {\displaystyle \cos {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}=\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}} sin ⁡ A + B 2 cos ⁡ c 2 = cos ⁡ a − b 2 cos ⁡ C 2 {\displaystyle \sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}} sin ⁡ A − B 2 sin ⁡ c 2 = sin ⁡ a − b 2 cos ⁡ C 2 {\displaystyle \sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}=\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}} 구면 다각형 A 1 A 2 ⋯ A n {\displaystyle A_{1}A_{2}\cdots A_{n}} 의 구과량(球過量, 영어: spherical excess) 또는 구면 과잉(球面過剩)은 다음과 같다. E = ∑ k = 1 n A k − ( n − 2 ) π {\displaystyle E=\sum _{k=1}^{n}A_{k}-(n-2)\pi } 특히, 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 구과량은 다음과 같다. E = A + B + C − π {\displaystyle E=A+B+C-\pi } 구면 다각형 A 1 ⋯ A n {\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}} 의 넓이는 그 구과량과 같다. area ⁡ ( P ) = E = ∑ k = 1 n A k − ( n − 2 ) π {\displaystyle \operatorname {area} (P)=E=\sum _{k=1}^{n}A_{k}-(n-2)\pi } 특히, 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다. area ⁡ ( T ) = E = A + B + C − π {\displaystyle \operatorname {area} (T)=E=A+B+C-\pi } 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다. a {\displaystyle a} 변이 놓인 대원호를 경계로 하며 A {\displaystyle A} 를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} , 둘째는 각 B {\displaystyle B} 만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 를 제외한 부분, 셋째는 각 C {\displaystyle C} 만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각 A {\displaystyle A} 만큼 벌어진 구면 이각형에서 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 의 대척점 − A , − B , − C {\displaystyle -A,-B,-C} 이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가 4 π {\displaystyle 4\pi } 이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형 − A , − B , − C {\displaystyle -A,-B,-C} 의 넓이가 A B C {\displaystyle ABC} 와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다. 2 π = area ⁡ ( T ) + ( 2 A − area ⁡ ( − T ) ) + ( 2 B − area ⁡ ( T ) ) + ( 2 C − area ⁡ ( T ) ) = 2 A + 2 B + 2 C − 2 area ⁡ ( T ) {\displaystyle {\begin{aligned}2\pi &=\operatorname {area} (T)+(2A-\operatorname {area} (-T))+(2B-\operatorname {area} (T))+(2C-\operatorname {area} (T))\\&=2A+2B+2C-2\operatorname {area} (T)\end{aligned}}} 다음 항등식은 시몽 륄리에가 제시하였다. tan ⁡ E 4 = tan ⁡ s 2 tan ⁡ s − a 2 tan ⁡ s − b 2 tan ⁡ s − c 2 {\displaystyle \tan {\frac {E}{4}}={\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}} 여기서 2 s = a + b + c {\displaystyle 2s=a+b+c} 이다. 구면 삼각법은 천문학, 측지학 및 항법에서 계산에 매우 중요하다. 그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어(John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레(Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다. 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인인 구텐베르크 프로젝트로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 구면 삼각형 르장드르의 구면삼각형 정리 가우스-보네 정리 Berger, Marcel (1987). 《Geometry II》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93816-3. ISBN 978-3-540-17015-0. ISSN 0172-5939.  Todhunter, I. (1886). 《Spherical Trigonometry: For the use of colleges and schools》 (영어) 5판. London: Macmillan and Co.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Spherical triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.