코시 변환

복소해석학에서 코시 변환(영어: Cauchy transform) 또는 코시형 적분(-型積分, 영어: Cauchy-type integral)은 코시 적분 공식에 등장하는 적분 변환이다. 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선 γ : [ a , b ] → C {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} } 위에 정의된 연속 함수 φ : γ ( [ a , b ] ) → C {\displaystyle \varphi \colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} } 의 코시 변환 상 C f {\displaystyle {\mathcal {C}}f} 는 다음과 같은 함수이다. C f : C ∖ γ ( [ a , b ] ) → C {\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} } C f ( w ) = 1 2 π i ∫ γ f ( z ) z − w d z ∀ w ∈ C ∖ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w}}\mathrm {d} z\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])} 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선 γ : [ a , b ] → C {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} } 위에 정의된 연속 함수 f : γ ( [ a , b ] ) → C {\displaystyle f\colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} } 의 코시 변환 상 C f : C ∖ γ ( [ a , b ] ) → C {\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} } 는 정칙 함수이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 및 w ∈ C ∖ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])} 에 대하여, 다음이 성립한다. ( C f ) ( n ) ( w ) = n ! 2 π i ∫ γ f ( z ) ( z − w ) n + 1 d z {\displaystyle ({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z} 증명::89 임의의 w ∈ C ∖ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])} 및 w ′ ∈ B ⁡ ( w , d ( w , γ ( [ a , b ] ) ) / 2 ) {\displaystyle w'\in \operatorname {B} (w,d(w,\gamma ([a,b]))/2)} 를 취하자. 그렇다면, 임의의 z ∈ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle z\in \gamma ([a,b])} 에 대하여, 1 z − w ′ = 1 z − w ⋅ 1 1 − ( w ′ − w ) / ( z − w ) = ∑ n = 0 ∞ ( w ′ − w ) n ( z − w ) n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z-w'}}&={\frac {1}{z-w}}\cdot {\frac {1}{1-(w'-w)/(z-w)}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\end{aligned}}} 이다. 이 급수는 ( w ′ − w ) n ( z − w ) n + 1 ≤ 1 d ( w , γ ( [ a , b ] ) ) ⋅ 1 2 n {\displaystyle {\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\leq {\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}} ∑ n = 0 ∞ 1 d ( w , γ ( [ a , b ] ) ) ⋅ 1 2 n < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}<\infty } 이므로 z ∈ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle z\in \gamma ([a,b])} 에서 균등 수렴한다. 따라서, ( C f ) ( w ′ ) = 1 2 π i ∫ γ f ( z ) z − w ′ d z = 1 2 π i ∑ n = 0 ∞ ( w ′ − w ) n ∫ γ f ( z ) ( z − w ) n + 1 d z {\displaystyle ({\mathcal {C}}f)(w')={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w'}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(w'-w)^{n}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z} 이다. 즉, C f {\displaystyle {\mathcal {C}}f} 는 w {\displaystyle w} 에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, ( C f ) ( n ) ( w ) n ! = 1 2 π i ∫ γ f ( z ) ( z − w ) n + 1 d z {\displaystyle {\frac {({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z} 가 성립한다. 유계 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 의 경계 ∂ D {\displaystyle \partial D} 가 유한 개의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 f : cl ⁡ D → C {\displaystyle f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C} } 가 D {\displaystyle D} 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, f | ∂ D {\displaystyle f|_{\partial D}} 의 코시 변환 상은 C f : C ∖ ∂ D → C {\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial D\to \mathbb {C} } C f ( w ) = { f ( w ) w ∈ D 0 w ∉ D ∀ w ∈ C ∖ ∂ D {\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}f(w)&w\in D\\0&w\not \in D\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial D} 이다. (양의 방향을 갖는) 곡선:5-6 ∂ B ⁡ ( 0 , 2 ) = { z ∈ C : | z | = 2 } {\displaystyle \partial \operatorname {B} (0,2)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=2\}} 위의 연속 함수 f : ∂ B ⁡ ( 0 , 2 ) → C {\displaystyle f\colon \partial \operatorname {B} (0,2)\to \mathbb {C} } f ( z ) = 1 ( z − i ) ( z − 3 i ) ∀ z ∈ φ : ∂ B ⁡ ( 0 , 2 ) {\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-i)(z-3i)}}\qquad \forall z\in \varphi \colon \partial \operatorname {B} (0,2)} 에 대한 코시 변환 상은 C f : C ∖ ∂ B ⁡ ( 0 , 1 ) → C {\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)\to \mathbb {C} } C f ( w ) = { 1 / ( w − 3 i ) w ∈ B ⁡ ( 0 , 1 ) 1 / 2 i ( w − i ) w ∉ B ⁡ ( 0 , 1 ) ∀ w ∈ C ∖ ∂ B ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}1/(w-3i)&w\in \operatorname {B} (0,1)\\1/2i(w-i)&w\not \in \operatorname {B} (0,1)\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)} 이다. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1.  Zhdanov, Michael S. (1988). 《Integral Transforms in Geophysics》 (영어) 2판. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-72628-6. ISBN 978-3-642-72630-9.