추이적 집합

집합론에서 추이적 집합(推移的集合, 영어: transitive set)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다. 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다. 임의의 B ∈ A ∈ X {\displaystyle B\in A\in X} 에 대하여, B ∈ X {\displaystyle B\in X} 임의의 A ∈ X {\displaystyle A\in X} 에 대하여, A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} ⋃ X ⊆ X {\displaystyle \bigcup X\subseteq X} X ⊆ P ( X ) {\displaystyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 마찬가지로, 추이적 모임(영어: transitive class)을 정의할 수 있다. 집합 X {\displaystyle X} 의 추이적 폐포(영어: transitive closure)는 X {\displaystyle X} 를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다. ⋃ n = 0 ∞ ⋃ ⋯ ⋃ ⏞ n ⁡ X = X ∪ ⋃ X ∪ ⋃ ⋃ X ∪ ⋯ {\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }\operatorname {\overbrace {\bigcup \cdots \bigcup } ^{\mathit {n}}} X=X\cup \bigcup X\cup \bigcup \bigcup X\cup \cdots } 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(영어: supertransitive set)이라고 한다. 임의의 A ∈ X {\displaystyle A\in X} 에 대하여, 만약 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 또는 B ∈ A {\displaystyle B\in A} 라면, B ∈ X {\displaystyle B\in X} 임의의 A ∈ X {\displaystyle A\in X} 에 대하여, A ∪ P ( A ) ⊆ X {\displaystyle A\cup {\mathcal {P}}(A)\subseteq X} 초추이적 집합은 추이적 집합이다. 보다 일반적으로, 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, 다음과 같은 누적 위계 P α ( X ) = { P ( P β ( X ) ) ∃ β : β + 1 = α X ∪ ⋃ γ < α P γ ( X ) ∄ β : β + 1 = α {\displaystyle {\mathcal {P}}^{\alpha }(X)={\begin{cases}{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}^{\beta }(X))&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\X\cup \bigcup _{\gamma <\alpha }{\mathcal {P}}^{\gamma }(X)&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}} 를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 α {\displaystyle \alpha } -초추이적 집합(영어: α {\displaystyle \alpha } -supertransitive set)이라고 한다. 임의의 A ∈ X {\displaystyle A\in X} 및 순서수 β < α {\displaystyle \beta <\alpha } 에 대하여, P β ( A ) ⊆ X {\displaystyle {\mathcal {P}}^{\beta }(A)\subseteq X} 즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다. 집합 X {\displaystyle X} 의 α {\displaystyle \alpha } -초추이적 폐포는 X {\displaystyle X} 를 포함하는 가장 작은 α {\displaystyle \alpha } -초추이적 집합이며, 다음과 같다. X ∪ Q ( X ) ∪ Q ( Q ( X ) ) ∪ ⋯ {\displaystyle X\cup Q(X)\cup Q(Q(X))\cup \cdots } Q ( X ) = ⋃ A ∈ X ⋃ β < α P β ( A ) {\displaystyle Q(X)=\bigcup _{A\in X}\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}^{\beta }(A)} 임의의 추이적 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, ⋃ X {\displaystyle \bigcup X} 와 X ∪ { X } {\displaystyle X\cup \{X\}} 역시 추이적 집합이다. 임의의 추이적 집합들의 족 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 에 대하여, ⋃ X {\displaystyle \bigcup {\mathcal {X}}} 와 ⋂ X {\displaystyle \bigcap {\mathcal {X}}} 역시 추이적 집합이다. 추이적 모임과 원소 관계로 이루어진 구조 사이의 동형 사상은 항등 함수밖에 없다. 즉, 추이적 모임 사이의 전단사 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 A ∈ B ∈ X ⟺ f ( A ) ∈ f ( B ) ∈ Y {\displaystyle A\in B\in X\iff f(A)\in f(B)\in Y} 를 만족시킨다면, X = Y {\displaystyle X=Y} 이며, f = id X {\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}} 이다.:67, Theorem 6.7 이는 정칙성 공리를 사용하여 보일 수 있다. 특히, 폰 노이만 전체는 자명하지 않은 자기 동형 사상을 갖지 않는다. 증명: 임의의 A ∈ X {\displaystyle A\in X} 에 대하여, f ( A ) = A {\displaystyle f(A)=A} 를 보이는 것으로 충분하다. 정칙성 공리에 의하여, 모든 모임이 정초 모임임을 보일 수 있으며, 따라서 ( X , ∈ ) {\displaystyle (X,\in )} 위에서 초한 귀납법을 사용할 수 있다. 이제, 임의의 B ∈ A {\displaystyle B\in A} 에 대하여 f ( B ) = B {\displaystyle f(B)=B} 라고 가정하자. 다음 두 가지를 보이면 족하다. A ⊆ f ( A ) {\displaystyle A\subseteq f(A)} 임의의 B ∈ A {\displaystyle B\in A} 에 대하여, B = f ( B ) ∈ f ( A ) {\displaystyle B=f(B)\in f(A)} 이다. f ( A ) ⊆ A {\displaystyle f(A)\subseteq A} 임의의 f ( B ) ∈ f ( A ) {\displaystyle f(B)\in f(A)} 에 대하여, B ∈ A {\displaystyle B\in A} 이므로, f ( B ) = B ∈ A {\displaystyle f(B)=B\in A} 이다. 순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 V α {\displaystyle V_{\alpha }} 는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 V {\displaystyle V} 는 추이적 고유 모임이다. 구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 L α {\displaystyle L_{\alpha }} 는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 L {\displaystyle L} 은 추이적 고유 모임이다. 추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다. 추이적 관계 Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. MR 1940513. Zbl 1007.03002.  “Definition: transitive class”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: supertransitive”. 《ProofWiki》 (영어). [깨진 링크(과거 내용 찾기)]