6차원 회전군

리 군론에서 6차원 회전군(六次元回轉群, 영어: six-dimensional rotation group)은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다. 6차원 회전군은 6차원 실수 계수 직교군 O ⁡ ( 6 ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (6;\mathbb {R} )} 이다. 그 딘킨 도표는 ∙ − ∙ − ∙ {\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet } 이다. 6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다. Spin ⁡ ( 6 ) ≅ SU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)} 즉, SO ⁡ ( 6 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )} 는 SU ⁡ ( 4 ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)} 이다. 그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다. 사타케 도표에서, 중괄호 ( m ⏟ {\displaystyle \underbrace {\color {White}m} } )는 화살표( ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } )를 나타낸다. Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현 4 {\displaystyle \mathbf {4} } 및 그 복소수 켤레 4 ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {4} }}} 에 해당한다. 마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현 6 {\displaystyle \mathbf {6} } 은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다. Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다. SU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (4)} 에서, 이는 { i a 1 4 × 4 : a ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } } ⊊ SU ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \{\mathrm {i} ^{a}1_{4\times 4}\colon a\in \{0,1,2,3\}\}\subsetneq \operatorname {SU} (4)} 에 해당한다. 이 중심은 몫군 SO ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (6)} 에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로 { ± 1 6 × 6 } {\displaystyle \{\pm 1_{6\times 6}\}} 에 해당한다. Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다. SL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 에서, 이는 { ± 1 4 × 4 } ⊊ SL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \{\pm 1_{4\times 4}\}\subsetneq \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 에 해당한다. Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 SL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은 SL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다. 이들의 텐서곱은 다음과 같다. 4 ⊗ 4 = 4 ′ ⊗ 4 ′ = 6 ⊕ 10 {\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {4} '\otimes \mathbf {4} '=\mathbf {6} \oplus \mathbf {10} } 4 ⊗ 4 ′ = 1 ⊕ 15 {\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} '=\mathbf {1} \oplus \mathbf {15} } 4 ⊗ 6 = 4 ′ ⊕ 20 ′ {\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} '\oplus \mathbf {20} '} 4 ′ ⊗ 6 = 4 ⊕ 20 ″ {\displaystyle \mathbf {4} '\otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} \oplus \mathbf {20} ''} Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는 SL ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )} 의 사원수 2차원 정의 표현 (또는 SU ∗ ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(4)} 의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다. Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은 SL ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )} 에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.) Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는 SU ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2,2)} 의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다. SO ∗ ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(6)} 은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는 SU ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)} 의 반대칭 2-텐서 표현이다. 또한, SU ⁡ ( 1 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)} 의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는 SO ∗ ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(6)} 의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다. Sbaih, Mahmoud A. A.; Srour, Moeen K. H.; Hamada, M. S.; Fayad, H.M. (2013). “Lie algebra and representation of SU(4)” (PDF). 《Electronic Journal of Theoretical Physics》 (영어) 10 (28): 9–26. ISSN 1729-5254. 2018년 4월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 2월 3일에 확인함.  Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies to orthogonal groups” (PDF) (영어).