역함수 정리

다변수 미적분학에서 역함수 정리(逆函數定理, 영어: inverse function theorem)는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다. 양의 정수 k {\displaystyle k} 및 열린 근방 a ∈ U ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수 f : U → R n {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}} 가 다음을 만족시킨다고 하자. det D f ( a ) ≠ 0 {\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\neq 0} 여기서 좌변은 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면, f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서 국소 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 a ∈ V ⊆ U {\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U} 가 존재한다. f ( V ) {\displaystyle \mathbf {f} (V)} 는 열린집합이다. f | V {\displaystyle \mathbf {f} |_{V}} 는 단사 함수이다. g : f ( V ) → R n {\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}} , f ( x ) ↦ x {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mapsto \mathbf {x} } 는 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이다. 이를 역함수 정리라고 한다.:322-323 열린구간 a ∈ I ⊆ R {\displaystyle a\in I\subseteq \mathbb {R} } 및 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 가 다음을 만족시킨다고 하자. f ′ ( a ) ≠ 0 {\displaystyle f'(a)\neq 0} 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 a {\displaystyle a} 에서 국소 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 a ∈ J ⊆ I {\displaystyle a\in J\subseteq I} 가 존재한다. f ( J ) {\displaystyle f(J)} 는 열린구간이다. f | J {\displaystyle f|_{J}} 는 단사 함수이다. g : f ( J ) → R {\displaystyle g\colon f(J)\to \mathbb {R} } , f ( x ) ↦ x {\displaystyle f(x)\mapsto x} 는 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이다. 이는 역함수 정리의 일변수 버전이다. 임의의 y ∈ R n {\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, 다음과 같은 함수 F y : U → R n {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }\colon U\to \mathbb {R} ^{n}} 를 정의하자. F y ( x ) = x + ( D f ( a ) ) − 1 ( y − f ( x ) ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U} 그렇다면, 다음이 성립한다. D F y ( x ) = ( D f ( a ) ) − 1 ( D f ( a ) − D f ( x ) ) ∀ x ∈ U , y ∈ R n {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} 그렇다면 D f {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} } 가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 a ∈ V ⊆ U {\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U} 가 존재한다. ‖ D f ( a ) − D f ( x ) ‖ < 1 2 ‖ D f ( a ) ) − 1 ‖ {\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}} 즉, 다음이 성립한다. ‖ D F y ( x ) ‖ < 1 2 ∀ x ∈ V , y ∈ R n {\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2}}\qquad \forall \mathbf {x} \in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} 즉, 다음이 성립한다. ‖ F y ( x ) − F y ( x ′ ) ‖ ≤ 1 2 ‖ x − x ′ ‖ ∀ x , x ′ ∈ V , y ∈ R n {\displaystyle \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert \qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} 이제 f | V {\displaystyle \mathbf {f} |_{V}} 가 단사 함수임을 보이자. x , x ′ ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V} 가 f ( x ) = f ( x ′ ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ')} 를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, x , x ′ {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '} 는 모두 F f ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}} 의 고정점이다. 즉, F f ( x ) ( x ) = x {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} )=\mathbf {x} } 이며 F f ( x ) ( x ′ ) = x ′ {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} ')=\mathbf {x} '} 이다. 이를 위에 대입하면, x = x ′ {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} '} 를 얻는다. 따라서 f | V {\displaystyle \mathbf {f} |_{V}} 는 단사 함수이다. 이제 f ( V ) {\displaystyle \mathbf {f} (V)} 가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 x ′ ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} '\in V} 에 대하여, B ⁡ ( f ( x ′ ) , ϵ ) ⊆ f ( V ) {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )\subseteq \mathbf {f} (V)} 인 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 을 찾자. 그러려면 임의의 y ∈ B ⁡ ( f ( x ′ ) , ϵ ) {\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )} 에 대하여, F y {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }} 가 V {\displaystyle V} 에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 가 B ¯ ( x ′ , δ ) ⊆ V {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )\subseteq V} 를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 y ∈ B ⁡ ( f ( x ′ ) , ϵ ) {\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )} 에 대하여 F y ( B ⁡ ( x ′ , δ ) ) ⊆ B ⁡ ( x ′ , δ ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )} 가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, ϵ = δ / 2 ‖ ( D f ( a ) ) − 1 ‖ {\displaystyle \epsilon =\delta /2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert } 를 취하면, 임의의 y ∈ B ¯ ( f ( x ′ ) , ϵ ) {\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )} 및 x ∈ B ⁡ ( x ′ , δ ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )} 에 대하여, 다음이 성립한다. ‖ F y ( x ) − x ′ ‖ ≤ ‖ F y ( x ) − F y ( x ′ ) ‖ + ‖ F y ( x ′ ) − x ′ ‖ ≤ 1 2 ‖ x − x ′ ‖ + ‖ ( D f ( a ) ) − 1 ( y − f ( x ′ ) ) ‖ < δ {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {x} '\Vert &\leq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert +\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')-\mathbf {x} '\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert +\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} '))\Vert \\&<\delta \end{aligned}}} 즉, F y ( x ) ∈ B ¯ ( x ′ , δ ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )} 이다. 즉, F y {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }} 는 B ¯ ( x ′ , δ ) {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )} 위의 축약 사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라, F y {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }} 는 고정점 x ∈ B ¯ ( x ′ , δ ) {\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )} 를 갖는다. 따라서, y = f ( x ) ∈ f ( B ¯ ( x ′ , δ ) ) ⊆ f ( V ) {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbf {f} ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \mathbf {f} (V)} 이며, f ( V ) {\displaystyle \mathbf {f} (V)} 는 열린집합이다. 이제 임의의 x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} 에 대하여, D f ( x ) {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )} 가 가역 행렬임을 보이자. h ∈ R n {\displaystyle \mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}} 가 D f ( x ) h = 0 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\mathbf {0} } 을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 0 = ‖ D f ( x ) h ‖ ≥ ‖ D f ( a ) h ‖ − ‖ ( D f ( a ) − D f ( x ) ) h ‖ ≥ ‖ h ‖ ‖ ( D f ( a ) ) − 1 ‖ − ‖ D f ( a ) − D f ( x ) ‖ ‖ h ‖ ≥ ‖ h ‖ 2 ‖ ( D f ( a ) ) − 1 ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} \Vert \\&\geq \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}-\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert \Vert \mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}\\\end{aligned}}} 즉, h = 0 {\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {0} } 이다. 따라서 D f ( x ) {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )} 는 가역 행렬이다. 이제 g : f ( V ) → R n {\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}} , f ( x ) → x {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {x} } 가 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수임을 보이자. 임의의 y , y + k ∈ f ( V ) {\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {y} +\mathbf {k} \in \mathbf {f} (V)} 에 대하여, y = f ( x ) {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )} 또한 y + k = f ( x + h ) {\displaystyle \mathbf {y} +\mathbf {k} =\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )} 인 x , x + h ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {h} \in V} 를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 1 2 ‖ h ‖ ≥ ‖ F y ( x + h ) − F y ( x ) ‖ = ‖ h − ( D f ( a ) ) − 1 k ‖ ≥ ‖ h ‖ − ‖ ( D f ( a ) ) − 1 ‖ ‖ k ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {h} \Vert &\geq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert \\&=\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert \\&\geq \Vert \mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {k} \Vert \end{aligned}}} 즉, ‖ k ‖ ≥ ‖ h ‖ / ( 2 ‖ ( D f ( a ) ) − 1 ‖ ) {\displaystyle \Vert \mathbf {k} \Vert \geq \Vert \mathbf {h} \Vert /(2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert )} 이다. 따라서, 다음이 성립한다. lim sup k → 0 ‖ g ( y + k ) − g ( y ) − ( D f ( x ) ) − 1 k ‖ ‖ k ‖ = lim sup k → 0 ‖ h − ( D f ( x ) ) − 1 ( f ( x + h ) − f ( x ) ) ‖ ‖ k ‖ ≤ lim sup h → 0 ‖ ( D f ( x ) ) − 1 ‖ ‖ ( D f ( a ) ) − 1 ‖ ‖ f ( x + h ) − f ( x ) − ( D f ( x ) ) − 1 h ‖ ‖ h ‖ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {g} (\mathbf {y} +\mathbf {k} )-\mathbf {g} (\mathbf {y} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}&=\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}(\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}\\&\leq \limsup _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}{\frac {\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {h} \Vert }{\Vert \mathbf {h} \Vert }}\\&=0\end{aligned}}} 즉, D g ( x ) = ( D f ( g ( y ) ) − 1 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ))^{-1}} 이며, g {\displaystyle \mathbf {g} } 는 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이다. 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 함수 f : U → R n {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}} 가 다음을 만족시킨다고 하자. det D f ( x ) ≠ 0 ∀ x ∈ U {\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U} 그렇다면, f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합 U ~ ⊆ U {\displaystyle {\widetilde {U}}\subseteq U} 의 상 f ( U ~ ) {\displaystyle \mathbf {f} ({\widetilde {U}})} 은 역시 열린집합이다. 열린집합 U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 단사 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수 f : U → R n {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}} 가 다음을 만족시킨다고 하자. det D f ( x ) ≠ 0 ∀ x ∈ U {\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U} 그렇다면, f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다. f ( U ) {\displaystyle \mathbf {f} (U)} 는 열린집합이다. f − 1 : f ( U ) → R n {\displaystyle \mathbf {f} ^{-1}\colon f(U)\to \mathbb {R} ^{n}} 은 역시 C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 함수이다. 다음과 같은 함수 f : R 2 → R 2 {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} 를 생각하자. f ( x , y ) = ( e x cos ⁡ y , e x sin ⁡ y ) ∀ x , y ∈ R {\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 그렇다면, f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다. det D f ( x , y ) = e 2 x ≠ 0 {\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (x,y)=e^{2x}\neq 0} 음함수 정리에 따라, f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 (모든 점에서) 국소 C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} 미분동형사상이다. 그러나 f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다. 다음과 같은 함수 f : R 2 → R 2 {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} 를 생각하자. f ( x , y ) = ( x 3 , y ) ∀ x , y ∈ R {\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(x^{3},y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} } 그렇다면, f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 를 갖는다. f − 1 ( u , v ) = ( u 1 / 3 , v ) ∀ u , v ∈ R {\displaystyle f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\qquad \forall u,v\in \mathbb {R} } 즉, f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 C 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}} 미분동형사상이다. 그러나, det D f ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (0,0)=0} 이다. 즉, C 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}} 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. k > 0 {\displaystyle k>0} 일 경우, C k {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}} 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다. 음함수 정리 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse function theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.