에르미트 수반

작용소 이론에서 에르미트 수반(Hermite隨伴, 영어: Hermitian adjoint)은 행렬의 켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 임의의 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 사이의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 A : V → W {\displaystyle A\colon V\to W} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 의 에르미트 수반은 다음과 같은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환이다. A ∗ : W ′ → V ′ {\displaystyle A^{*}\colon W'\to V'} A ∗ ϕ : v ↦ ϕ ( A v ) ( ∀ ϕ ∈ W ′ , v ∈ V ) {\displaystyle A^{*}\phi \colon v\mapsto \phi (Av)\qquad (\forall \phi \in W',\;v\in V)} 여기서 V ′ {\displaystyle V'} 와 W ′ {\displaystyle W'} 은 연속 쌍대 공간을 뜻한다. 만약 V {\displaystyle V} 또는 W {\displaystyle W} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 V ′ ≅ V ¯ {\displaystyle V'\cong {\bar {V}}} , W ′ ≅ V ¯ {\displaystyle W'\cong {\bar {V}}} 가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 W ¯ → V ¯ {\displaystyle {\bar {W}}\to {\bar {V}}} 가 된다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 가 주어졌으며, V {\displaystyle V} 속의 조밀 부분 K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 D ⊆ V {\displaystyle D\subseteq V} 위에 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 A : D → W {\displaystyle A\colon D\to W} 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환 A ∗ : W ′ → D ′ {\displaystyle A^{*}\colon W'\to D'} 을 얻을 수 있다. 그러나 D ′ ⊇ V ′ {\displaystyle D'\supseteq V'} 이므로, 만약 공역이 V ′ {\displaystyle V'} 이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간 E ⊆ W ′ {\displaystyle E\subseteq W'} 으로 제한하여야 한다. 이 경우, E ⊆ W ′ {\displaystyle E\subseteq W'} 를 다음과 ϕ ∘ A {\displaystyle \phi \circ A} 가 유한 유계 작용소가 되게 하는 ϕ ∈ W ′ {\displaystyle \phi \in W'} 들의 공간으로 정의하자. ϕ ∈ E ⟺ ‖ ϕ ∘ A ‖ = sup v ∈ D ∖ { 0 } | ϕ ( A v ) | ‖ v ‖ V < ∞ {\displaystyle \phi \in E\iff \|\phi \circ A\|=\sup _{v\in D\setminus \{0\}}{\frac {|\phi (Av)|}{\|v\|_{V}}}<\infty } 그렇다면, 정의에 따라, 임의의 ϕ ∈ E {\displaystyle \phi \in E} 에 대하여, ϕ ∘ A : D → K {\displaystyle \phi \circ A\colon D\to \mathbb {K} } 는 D {\displaystyle D} 위의 유계 작용소이다. 즉, ϕ ∘ A ∈ D ′ {\displaystyle \phi \circ A\in D'} 이며, 이는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 ( ∘ A ) : E → D ′ {\displaystyle (\circ A)\colon E\to D'} 을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의 ϕ ∈ E {\displaystyle \phi \in E} 에 대하여 ϕ ∘ A {\displaystyle \phi \circ A} 는 사실 V ′ ⊆ D ′ {\displaystyle V'\subseteq D'} 에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉, K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 A ∗ : E → V ′ {\displaystyle A^{*}\colon E\to V'} 이 존재한다. 이를 A {\displaystyle A} 의 에르미트 수반이라고 한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 ( H , ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot |\cdot \rangle )} 의 조밀 부분공간 dom ⁡ A ⊂ H {\displaystyle \operatorname {dom} A\subset {\mathcal {H}}} 에 정의된 선형변환 A : dom ⁡ A → H {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to {\mathcal {H}}} 의 수반(영어: adjoint) A ∗ {\displaystyle A^{*}} 은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 dom ⁡ A {\displaystyle \operatorname {dom} A} 가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.):59 dom ⁡ A ∗ = { u ∈ H | ∀ v ∈ dom ⁡ A ∃ u ~ ∈ H : ⟨ u | A v ⟩ = ⟨ u ~ | v ⟩ } {\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}=\{u\in {\mathcal {H}}|\forall v\in \operatorname {dom} A\exists {\tilde {u}}\in {\mathcal {H}}\colon \langle u|Av\rangle =\langle {\tilde {u}}|v\rangle \}} ∀ v ∈ dom ⁡ A : ⟨ A ∗ u | v ⟩ = ⟨ u | A v ⟩ {\displaystyle \forall v\in \operatorname {dom} A\colon \langle A^{*}u|v\rangle =\langle u|Av\rangle } 일반적으로, dom ⁡ A {\displaystyle \operatorname {dom} A} 가 조밀하더라도 dom ⁡ A ∗ {\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}} 는 조밀하지 못할 수 있다.:59 A {\displaystyle A} 및 A ′ {\displaystyle A'} 이 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 전체에 정의된 유계 작용소라고 하고, λ , λ ′ ∈ K {\displaystyle \lambda ,\lambda '\in \mathbb {K} } 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. dom ⁡ A = dom ⁡ A ∗ = H {\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}={\mathcal {H}}} A ∗ ∗ = A {\displaystyle A^{**}=A} ( λ A + λ A ′ ) ∗ = λ ¯ A ∗ + λ ¯ ′ A ′ ∗ {\displaystyle (\lambda A+\lambda A')^{*}={\bar {\lambda }}A^{*}+{\bar {\lambda }}'A'^{*}} ( A A ′ ) ∗ = A ′ ∗ A ∗ {\displaystyle (AA')^{*}=A'^{*}A^{*}} ‖ A ‖ = ‖ A ∗ ‖ {\displaystyle \|A\|=\|A^{*}\|} ( ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 는 작용소 노름) ‖ A ∗ A ‖ = ‖ A ‖ 2 {\displaystyle \|A^{*}A\|=\|A\|^{2}} 유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 ( K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 인 경우) 대칭 행렬이거나 ( K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 인 경우) 에르미트 행렬이다. Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.  “Adjoint operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  자기 수반 작용소