레비 확률 과정

확률론에서 레비 확률 과정(Lévy確率過程, 영어: Lévy stochastic process)은 모든 증분들이 서로 독립이며 정상적이며, 또한 어떤 연속성 조건을 만족시키는 확률 과정이다. S {\displaystyle S} 가 균등 위상에 대한 보렐 가측 공간으로 간주한 어떤 균등 공간이라고 하자. T {\displaystyle T} 가 어떤 위상 공간이라고 하자. 확률 과정 ( X t : Ω → S ) t ∈ T {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}} 이 다음 조건을 만족시킨다면, X {\displaystyle X} 를 확률 연속 확률 과정(確率連續確率過程, 영어: stochatically continous stochastic process)이라고 한다. S {\displaystyle S} 의 임의의 측근 ∼ ϵ {\displaystyle \sim _{\epsilon }} 및 임의의 t ∈ T {\displaystyle t\in T} 에 대하여, lim s → t Pr ( X s ≁ ϵ X t ) = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{s\to t}\Pr(X_{s}\nsim _{\epsilon }X_{t})=0} 이다. 예를 들어, 만약 S = R d {\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}} 가 유클리드 공간일 경우, 이 조건은 다음과 같다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 및 t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle t\in [0,\infty )} 에 대하여, lim s → t Pr ( ‖ X s − X t ‖ > ϵ ) = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{s\to t}\Pr(\|X_{s}-X_{t}\|>\epsilon )=0} S {\displaystyle S} 가 보렐 가측 공간으로 여겨진 위상군이라고 하자. ( T , ≤ ) {\displaystyle (T,\leq )} 가 전순서가 주어진 가환 모노이드(예를 들어, [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} , N {\displaystyle \mathbb {N} } , R {\displaystyle \mathbb {R} } , Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 등)라고 하자. 확률 과정 ( X t : Ω → S ) t ∈ T {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}} 이 다음 조건을 만족시킨다면, X {\displaystyle X} 를 무한 분해 가능 확률 과정(無限分解可能確率過程, 영어: infinitely divisible stochastic process)이라고 한다. (증분의 독립성) 임의의 t 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ ⋯ ≤ t n {\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \dotsb \leq t_{n}} 에 대하여, { X t 0 − X t 1 , … , X t n − 1 − X n } {\displaystyle \{X_{t_{0}}-X_{t_{1}},\dotsc ,X_{t_{n-1}}-X_{n}\}} 은 서로 독립인 확률 변수의 족이다. 특히, t i = t i + 1 {\displaystyle t_{i}=t_{i+1}} 일 경우, X t i − 1 X t i + 1 = 0 {\displaystyle X_{t_{i}}^{-1}X_{t_{i+1}}=0} 은 상수이므로 자명하게 모든 확률 변수에 대하여 독립이다. (증분의 정상성) 임의의 s ∈ T {\displaystyle s\in T} 에 대하여, X t − 1 X s + t {\displaystyle X_{t}^{-1}X_{s+t}} 의 확률 분포는 X s {\displaystyle X_{s}} 의 확률 분포와 같다. 특히, s = t {\displaystyle s=t} 일 경우, Pr ( X 0 = 1 S ) = 1 {\displaystyle \Pr(X_{0}=1_{S})=1} 이다. 여기서 ‘증분’(영어: increment)이란 s , t ∈ T {\displaystyle s,t\in T} 에 대한 확률 변수 X t − 1 X t + s {\displaystyle X_{t}^{-1}X_{t+s}} 를 뜻한다. 아벨 군에서 군 연산을 덧셈으로 표기할 경우, 이는 X t + s − X t {\displaystyle X_{t+s}-X_{t}} 와 같이 표기된다. 모든 위상군은 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다. 위상군 S {\displaystyle S} 를 표본 공간으로 삼고, 음이 아닌 실수 집합 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 를 지표 공간으로 삼은 확률 과정 ( X t : Ω → S ) t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in [0,\infty )}} 이 확률 연속 확률 과정이자 무한 분해 가능 확률 과정이라면, 레비 확률 과정이라고 한다. 모든 레비 확률 과정은 마르코프 과정이다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 값의 레비 확률 과정의 확률 분포는 다음과 같은 특성 함수에 의하여 주어진다. E ( exp ⁡ ( i θ X ( t ) ) ) = exp ⁡ ( t ( a i θ − 1 2 σ 2 θ 2 + ∫ R ∖ { 0 } ( exp ⁡ ( i θ x ) − 1 − i θ x [ | x | < 1 ] ) Π ( d x ) ) ) {\displaystyle \mathbb {E} \left(\exp(\mathrm {i} \theta X(t))\right)=\exp \left(t\left(a\mathrm {i} \theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}\left(\exp(\mathrm {i} \theta x)-1-\mathrm {i} \theta x[|x|<1]\right)\Pi (\mathrm {d} x)\right)\right)} 여기서 a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 선형 이동을 나타낸다. σ 2 ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \sigma ^{2}\in [0,\infty )} 는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 위너 확률 과정 성분의 분산을 나타낸다. [ … ] {\displaystyle [\dotso ]} 는 아이버슨 괄호이다. Π {\displaystyle \Pi } 는 R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} 위의 시그마-유한 측도이다. 즉, 레비 확률 과정의 확률 분포는 ( a , σ 2 , Π ) {\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )} 에 의하여 결정된다. 위너 확률 과정은 레비 확률 과정이다. 이 경우 Π {\displaystyle \Pi } 는 거의 어디서나 0이 된다. 폴 피에르 레비의 이름을 땄다. 위너 확률 과정 Applebaum, David (2004년 12월). “Lévy processes — from probability to finance and quantum Groups” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477.  Applebaum, David (2004). 《Lévy Processes and Stochastic Calculus》 (영어). Cambridge University Press.  Sato, Ken-Iti (2011). 《Lévy processes and infinitely divisible distributions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0521553025.  Kyprianou, Andreas E. (2014). 《Fluctuations of Lévy processes with applications. Introductory lectures》 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3642376313.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lévy process”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.