라그랑주 네 제곱수 정리

수론에서 라그랑주 네 제곱수 정리(-數定理, 영어: Lagrange's four-square theorem)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다. 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 주어졌다고 하자. 라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수 x , y , z , w ∈ Z + ∪ { 0 } {\displaystyle x,y,z,w\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}} 이 존재한다. n = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 {\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}} 사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉, n , k ∈ Z + ∪ { 0 } {\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}} 에 대하여, 4 n ( 8 k + 7 ) {\displaystyle 4^{n}(8k+7)} 는 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없으며, 이러한 꼴을 제외한 모든 정수들은 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대신할 수 없다. 예를 들어, n ∈ Z + ∪ { 0 } {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}} 에 대하여, 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2n+1}} 는 4개의 0이 아닌 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한, 다음과 같은 12개의 수를 제외한 모든 양의 정수는 5개의 0이 아닌 제곱수의 합이다. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 (OEIS의 수열 A047701) 사실 n = p {\displaystyle n=p} 가 소수일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 오일러의 네 제곱수 항등식 때문이다. ( x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ) ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 + w ′ 2 ) = ( x x ′ + y y ′ + z z ′ + w w ′ ) 2 + ( x y ′ − y x ′ − z w ′ + w z ′ ) 2 + ( x z ′ + y w ′ − z x ′ − w y ′ ) 2 + ( x w ′ − y z ′ + z y ′ − w x ′ ) 2 ∀ x , y , z , w , x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ∈ Z + ∪ { 0 } {\displaystyle {\begin{aligned}(x^{2}+{}&y^{2}+z^{2}+w^{2})({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2})\\={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^{2}+(xy'-yx'-zw'+wz')^{2}\\&+(xz'+yw'-zx'-wy')^{2}+(xw'-yz'+zy'-wx')^{2}\qquad \forall x,y,z,w,x',y',z',w'\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\end{aligned}}} 또한, p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우는 자명하므로, p > 2 {\displaystyle p>2} 라고 가정하자. 이제 다음을 만족시키는 k ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } {\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,p-1\}} 및 x , y ∈ { 0 , 1 , … ( p − 1 ) / 2 } {\displaystyle x,y\in \{0,1,\dots (p-1)/2\}} 가 존재함을 보이자. k p = x 2 + y 2 + 1 {\displaystyle kp=x^{2}+y^{2}+1} 다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다. { ϕ p ( x 2 ) : x ∈ { 0 , 1 , … , ( p − 1 ) / 2 } } ⊆ Z / ( p ) {\displaystyle \{\phi _{p}(x^{2})\colon x\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)} { ϕ p ( − y 2 − 1 ) : y ∈ { 0 , 1 , … , ( p − 1 ) / 2 } } ⊆ Z / ( p ) {\displaystyle \{\phi _{p}(-y^{2}-1)\colon y\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)} 여기서 ϕ p ( − ) {\displaystyle \phi _{p}(-)} 는 p {\displaystyle p} 에 대한 나머지이며, Z / ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)} 는 p {\displaystyle p} 에 대한 모든 나머지의 집합이다. 임의의 x , x ′ ∈ { 0 , 1 , … , ( p − 1 ) / 2 } {\displaystyle x,x'\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}} 에 대하여, 만약 x 2 ≡ x ′ 2 ( mod p ) {\displaystyle x^{2}\equiv {x'}^{2}{\pmod {p}}} 라면, x ≡ x ′ ( mod p ) {\displaystyle x\equiv x'{\pmod {p}}} 이거나 x + x ′ ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle x+x'\equiv 0{\pmod {p}}} 이므로, x = x ′ {\displaystyle x=x'} 이다. 즉, 이 두 집합의 크기는 모두 ( p + 1 ) / 2 {\displaystyle (p+1)/2} 이며, Z / ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)} 의 크기는 p {\displaystyle p} 이므로 이 두 집합은 서로소가 아니다. k < p {\displaystyle k<p} 인 이유는 다음과 같다. k p = x 2 + y 2 + 1 < p 2 / 2 + 1 < p 2 {\displaystyle kp=x^{2}+y^{2}+1<p^{2}/2+1<p^{2}} 이제 p {\displaystyle p} 가 4개의 제곱수의 합임을 증명하자. 다음과 같은 m {\displaystyle m} 을 정의하고, m = 1 {\displaystyle m=1} 임을 보이면 충분하다. m = min { k ∈ Z + : ∃ x , y , z , w ∈ Z + ∪ { 0 } : k p = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 } ∈ Z + {\displaystyle m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \exists x,y,z,w\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\colon kp=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\}\in \mathbb {Z} ^{+}} 귀류법을 사용하여, m > 1 {\displaystyle m>1} 이라고 가정하자. 다음을 만족시키는 x , y , z , w ∈ Z + ∪ { 0 } {\displaystyle x,y,z,w\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}} 이 존재한다. m p = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 {\displaystyle mp=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}} 만약 m {\displaystyle m} 이 짝수라면, 편의상 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} 와 z 2 + w 2 {\displaystyle z^{2}+w^{2}} 가 짝수라고 가정할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다. m p / 2 = ( x 2 + y 2 ) / 2 + ( z 2 + w 2 ) / 2 = ( ( x + y ) / 2 ) 2 + ( ( x − y ) / 2 ) 2 + ( ( z + w ) / 2 ) 2 + ( ( z − w ) / 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}mp/2&=(x^{2}+y^{2})/2+(z^{2}+w^{2})/2\\&=((x+y)/2)^{2}+((x-y)/2)^{2}+((z+w)/2)^{2}+((z-w)/2)^{2}\end{aligned}}} 이는 모순이므로, m {\displaystyle m} 은 홀수이다. 다음과 같은 x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ∈ { − ( m − 1 ) / 2 , … , ( m − 1 ) / 2 } {\displaystyle x',y',z',w'\in \{-(m-1)/2,\dots ,(m-1)/2\}} 를 취하자. x ≡ x ′ , y ≡ y ′ , z ≡ z ′ , w ≡ w ′ ( mod m ) {\displaystyle x\equiv x',\;y\equiv y',\;z\equiv z',\;w\equiv w'{\pmod {m}}} 그렇다면, x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 + w ′ 2 ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle {x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}\equiv 0{\pmod {m}}} x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 + w ′ 2 < m 2 {\displaystyle {x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}<m^{2}} 이므로, 다음을 만족시키는 0 ≤ m ′ < m {\displaystyle 0\leq m'<m} 이 존재한다. m m ′ = x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 + w ′ 2 {\displaystyle mm'={x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}} 만약 m ′ = 0 {\displaystyle m'=0} 이라면, x ≡ y ≡ z ≡ w ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle x\equiv y\equiv z\equiv w\equiv 0{\pmod {m}}} 이므로, p / m = ( x / m ) 2 + ( y / m ) 2 + ( z / m ) 2 + ( w / m ) 2 ∈ Z {\displaystyle p/m=(x/m)^{2}+(y/m)^{2}+(z/m)^{2}+(w/m)^{2}\in \mathbb {Z} } 이다. 이는 1 < m ≤ k < p {\displaystyle 1<m\leq k<p} 에 모순이다. 따라서, m ′ ≥ 1 {\displaystyle m'\geq 1} 이며, 또한 다음이 성립한다. m 2 m ′ p = ( x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ) ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 + w ′ 2 ) = ( x x ′ + y y ′ + z z ′ + w w ′ ) 2 + ( x y ′ − y x ′ − z w ′ + w z ′ ) 2 + ( x z ′ + y w ′ − z x ′ − w y ′ ) 2 + ( x w ′ − y z ′ + z y ′ − w x ′ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}m^{2}m'p=(x^{2}+{}&y^{2}+z^{2}+w^{2})({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2})\\={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^{2}+(xy'-yx'-zw'+wz')^{2}\\&+(xz'+yw'-zx'-wy')^{2}+(xw'-yz'+zy'-wx')^{2}\end{aligned}}} 마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다. x x ′ + y y ′ + z z ′ + w w ′ ≡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle xx'+yy'+zz'+ww'\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\equiv 0{\pmod {m}}} x y ′ − y x ′ − z w ′ + w z ′ ≡ x y − y x − z w + w z ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle xy'-yx'-zw'+wz'\equiv xy-yx-zw+wz\equiv 0{\pmod {m}}} x z ′ + y w ′ − z x ′ − w y ′ ≡ x z + y w − z x − w y ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle xz'+yw'-zx'-wy'\equiv xz+yw-zx-wy\equiv 0{\pmod {m}}} x w ′ − y z ′ + z y ′ − w x ′ ≡ x w − y z + z y − w x ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle xw'-yz'+zy'-wx'\equiv xw-yz+zy-wx\equiv 0{\pmod {m}}} 즉, m ′ p {\displaystyle m'p} 는 4개의 제곱수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. m ′ p = ( ( x x ′ + y y ′ + z z ′ + w w ′ ) / m ) 2 + ( ( x y ′ − y x ′ − z w ′ + w z ′ ) / m ) 2 + ( ( x z ′ + y w ′ − z x ′ − w y ′ ) / m ) 2 + ( ( x w ′ − y z ′ + z y ′ − w x ′ ) / m ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}m'p={}&((xx'+yy'+zz'+ww')/m)^{2}+((xy'-yx'-zw'+wz')/m)^{2}\\&+((xz'+yw'-zx'-wy')/m)^{2}+((xw'-yz'+zy'-wx')/m)^{2}\end{aligned}}} 이는 모순이다. 따라서, m = 1 {\displaystyle m=1} 이며, p {\displaystyle p} 는 4개의 제곱수의 합이다. 디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다. 페르마 두 제곱수 정리 페르마 다각수 정리 15 정리 야코비의 네 제곱수 정리 웨어링의 문제 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽. Weisstein, Eric Wolfgang. “Lagrange's four-square theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Quadric Dioph Lagrange - Domath ( 증명 자세히 보기 )