외측도

측도론에서 외측도(外測度, 영어: outer measure)는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 (추상적) 외측도((抽象的)外測度, 영어: (abstract) outer measure)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수 μ ∗ : P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} 이다. μ ∗ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0} 임의의 S ⊆ T ⊆ X {\displaystyle S\subseteq T\subseteq X} 에 대하여, μ ∗ ( S ) ≤ μ ∗ ( T ) {\displaystyle \mu ^{*}(S)\leq \mu ^{*}(T)} (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 S ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} ( | S | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}} )에 대하여, μ ∗ ( ⋃ S ) ≤ ∑ μ ∗ ( S ) {\displaystyle \textstyle \mu ^{*}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\leq \sum \mu ^{*}({\mathcal {S}})} 집합 X {\displaystyle X} 위의 외측도 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 에 대한 카라테오도리 가측 집합(Καραθεοδωρή可測集合, 영어: Carathéodory measurable set)은 다음 조건을 만족시키는 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 이다. 임의의 T ⊆ X {\displaystyle T\subseteq X} 에 대하여, μ ∗ ( T ) = μ ∗ ( S ∩ T ) + μ ∗ ( T ∖ S ) {\displaystyle \mu ^{*}(T)=\mu ^{*}(S\cap T)+\mu ^{*}(T\setminus S)} 카라테오도리 가측 집합의 집합은 M ( μ ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{*})} 로 표기한다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 외측도 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 에 대하여, M ( μ ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{*})} 는 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 의 부분 시그마 대수를 이루며, μ ∗ | M ( μ ∗ ) {\displaystyle \mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})}} 는 ( X , M ( μ ∗ ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))} 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, ( X , M ( μ ∗ ) , μ ∗ | M ( μ ∗ ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}),\mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})})} 는 완비 측도 공간이다. 거리 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} 속 두 집합 S , T ⊆ X {\displaystyle S,T\subseteq X} 사이의 거리는 다음과 같다. d X ( S , T ) = inf s ∈ S t ∈ T d X ( s , t ) {\displaystyle d_{X}(S,T)=\inf _{\scriptstyle s\in S \atop t\in T}d_{X}(s,t)} 거리 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} 위의 외측도 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 를 거리 외측도(距離外測度, 영어: metric outer measure)라고 한다. 임의의 S , T ⊆ X {\displaystyle S,T\subseteq X} 에 대하여, 만약 d X ( S , T ) > 0 {\displaystyle d_{X}(S,T)>0} 이라면, μ ∗ ( S ∪ T ) = μ ∗ ( S ) + μ ∗ ( T ) {\displaystyle \mu ^{*}(S\cup T)=\mu ^{*}(S)+\mu ^{*}(T)} B ( X ) ⊆ M ( μ ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})} . 즉, 모든 보렐 집합은 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} -카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 ( X , B ( X ) , μ ∗ | B ( X ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X),\mu ^{*}|_{{\mathcal {B}}(X)})} 는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.):140, §7.14.x, Theorem 7.14.29 모든 열린집합은 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} -카라테오도리 가측 집합이다. 거리 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} 위의 거리 외측도 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 ( X , M ( μ ∗ ) ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 는 가측 함수이다.:53, Property 2. 2 집합 X {\displaystyle X} 속의 집합 반환은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 S ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 이다. ∅ ∈ S {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}} (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 S , T ∈ S {\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}} 에 대하여, S ∩ T ∈ S {\displaystyle S\cap T\in {\mathcal {S}}} 임의의 S , T ∈ S {\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}} 에 대하여, S ∖ T = ⋃ F {\displaystyle \textstyle S\setminus T=\bigcup {\mathcal {F}}} 인 유한 개의 서로소 집합들의 족 F ⊆ S {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}} ( | F | < ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}} )이 존재한다. 집합 X {\displaystyle X} 속의 집합 반환 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수 μ : S → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 μ {\displaystyle \mu } 를 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 위의 준측도(準測度, 영어: premeasure)라고 한다.:20, §1.3.1, Definition 1.3.2:170, §11, Problem 11.2 (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합 T ⊆ S {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ( | T | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}} )에 대하여, 만약 ⋃ T ∈ S {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}} 이라면, μ ( ⋃ T ) = ∑ μ ( T ) {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})} . (특히, T = ∅ {\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing } 을 생각하면 μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} 을 얻는다.) 다음 두 조건을 만족시킨다. (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합 T ⊆ S {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ( | T | < ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {T}}|<\aleph _{0}} )에 대하여, 만약 ⋃ T ∈ S {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}} 이라면, μ ( ⋃ T ) = ∑ μ ( T ) {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})} . (특히, T = ∅ {\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing } 을 생각하면 μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} 을 얻는다.) (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 T ⊆ S {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ( | T | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}} )에 대하여, 만약 ⋃ T ∈ S {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}} 이라면, μ ( ⋃ T ) ≤ ∑ μ ( T ) {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)\leq \sum \mu ({\mathcal {T}})} 집합 X {\displaystyle X} 속의 집합족 S ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, σ ( S ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})} 가 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자. 다음이 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} 집합 반환 S ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 준측도 μ : S → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]} 이제, 다음과 같은 함수를 정의하자. μ ∗ : P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} μ ∗ : A ↦ inf { ∑ μ ( T ) : T ⊆ S , | T | ≤ ℵ 0 , A ⊆ ⋃ T } {\displaystyle \mu ^{*}\colon A\mapsto \inf \left\{\sum \mu ({\mathcal {T}})\colon {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\;|{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0},\;A\subseteq \bigcup {\mathcal {T}}\right\}} 카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다. μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} 는 X {\displaystyle X} 위의 외측도이다. σ ( S ) ⊆ M ( μ ∗ ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})} μ ∗ | S = μ {\displaystyle \mu ^{*}|_{\mathcal {S}}=\mu } 만약 X = ⋃ T {\displaystyle \textstyle X=\bigcup {\mathcal {T}}} 이며 ∞ ∉ μ ( T ) {\displaystyle \infty \not \in \mu ({\mathcal {T}})} 인 가산 집합 T ⊆ S {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ( | T | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}} )이 존재한다면, μ ∗ | σ ( S ) {\displaystyle \mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})}} 는 ( μ ∗ | σ ( S ) ) | S = μ {\displaystyle (\mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})})|_{\mathcal {S}}=\mu } 를 만족시키는 유일한 σ ( S ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})} 위의 측도이다. 그러나 σ ( S ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})} 보다 큰 시그마 대수 위에서 μ {\displaystyle \mu } 의 확장은 일반적으로 유일하지 않다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위에서, 구간들의 족 S 1 = { ( a , b ] } − ∞ ≤ a ≤ b < ∞ ∪ { ( a , ∞ ) } − ∞ ≤ a < ∞ ⊆ P ( R ) {\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}=\{(a,b]\}_{-\infty \leq a\leq b<\infty }\cup \{(a,\infty )\}_{-\infty \leq a<\infty }\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )} 은 집합 반환을 이루며, R ∈ S {\displaystyle \mathbb {R} \in {\mathcal {S}}} 이다. 또한, σ ( S ) = B ( R ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 이다. 임의의 증가 함수 F : R → R {\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자. μ F : S 1 → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu _{F}\colon {\mathcal {S}}_{1}\to [0,\infty ]} μ F : ( a , b ] ↦ F ( b + ) − F ( a + ) {\displaystyle \mu _{F}\colon (a,b]\mapsto F(b^{+})-F(a^{+})} μ F : ( a , ∞ ) ↦ F ( ∞ ) − F ( a + ) {\displaystyle \mu _{F}\colon (a,\infty )\mapsto F(\infty )-F(a^{+})} 그렇다면, μ F {\displaystyle \mu _{F}} 는 S 1 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}} 위의 준측도를 이룬다.:33-34, §1.5, Problem 1.22–1.23 이 경우 ( R , M ( μ F ∗ ) , μ F ∗ | M ( μ F ∗ ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})} (또는 ( R , B ( R ) , μ F ∗ | B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )})} )를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다. 증명: 자명하게 μ F {\displaystyle \mu _{F}} 는 μ F ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu _{F}(\varnothing )=0} 과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합 S ⊆ Σ 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma _{0}} ( | S | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}} ) 이 주어졌고, ⋃ S ∈ Σ 0 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma _{0}} 이라고 하자. 편의상 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 의 모든 원소가 유계 구간이며, ⋃ S = ( a ~ , ∞ ) {\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=({\widetilde {a}},\infty )} a ~ ∈ R {\displaystyle {\widetilde {a}}\in \mathbb {R} } F ( ∞ ) < ∞ {\displaystyle F(\infty )<\infty } 라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의 [ a , b ] ⊆ ( a ~ , ∞ ) {\displaystyle [a,b]\subseteq ({\widetilde {a}},\infty )} 및 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, ∑ ( c , d ] ∈ S ϵ ( c , d ] = ϵ {\displaystyle \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\epsilon _{(c,d]}=\epsilon } 인 ϵ ( c , d ] > 0 {\displaystyle \epsilon _{(c,d]}>0} 을 취하자. 그렇다면 x ↦ F ( x + ) {\displaystyle x\mapsto F(x^{+})} 가 우연속 함수임에 따라 F ( e ( c , d ] + ) < F ( d + ) + ϵ ( c , d ] ∀ ( c , d ] ∈ S {\displaystyle F({e_{(c,d]}}^{+})<F(d^{+})+\epsilon _{(c,d]}\qquad \forall (c,d]\in {\mathcal {S}}} 인 e ( c , d ] > d {\displaystyle e_{(c,d]}>d} 가 존재한다. { ( c , e ( c , d ] ) } ( c , d ] ∈ S {\displaystyle \{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개 { ( c , e ( c , d ] ) } ( c , d ] ∈ F {\displaystyle \{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {F}}}} F ⊆ S {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}} | F | < ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}} 를 갖는다. 따라서 μ F ( ( a , b ] ) = F ( b + ) − F ( a + ) ≤ ∑ ( c , d ] ∈ F ( F ( e ( c , d ] + ) − F ( c + ) ) ≤ ∑ ( c , d ] ∈ S ( F ( e ( c , d ] + ) − F ( c + ) ) ≤ ∑ ( c , d ] ∈ S ( F ( d + ) − F ( c + ) ) + ϵ = ∑ ( c , d ] ∈ S μ F ( ( c , d ] ) + ϵ {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{F}((a,b])&=F(b^{+})-F(a^{+})\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {F}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F(d^{+})-F(c^{+}))+\epsilon \\&=\sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])+\epsilon \end{aligned}}} 이다. 여기서 첫 번째 부등호는 sup { e ( c n , d n ] : n ∈ Z + , ( c 1 , d 1 ] , … , ( c n , d n ] ∈ F , a ∈ ( c 1 , e ( c 1 , d 1 ] ) , e ( c i , d i ] ∈ ( c i + 1 , e ( c i + 1 , d i + 1 ] ) ∀ i ∈ { 1 , … , n − 1 } } > b {\displaystyle \sup\{e_{(c_{n},d_{n}]}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+},\;(c_{1},d_{1}],\dots ,(c_{n},d_{n}]\in {\mathcal {F}},\;a\in (c_{1},e_{(c_{1},d_{1}]}),\;e_{(c_{i},d_{i}]}\in (c_{i+1},e_{(c_{i+1},d_{i+1}]})\forall i\in \{1,\dots ,n-1\}\}>b} 때문이다. 여기에 ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0} 을 취하면 μ F ( ( a , b ] ) ≤ ∑ ( c , d ] ∈ S μ F ( ( c , d ] ) {\displaystyle \mu _{F}((a,b])\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])} 를 얻으며, 다시 a → a ~ {\displaystyle a\to {\widetilde {a}}} 및 b → ∞ {\displaystyle b\to \infty } 를 취하면 x ↦ F ( x + ) {\displaystyle x\mapsto F(x^{+})} 의 우연속성에 따라 μ F ( ( a ~ , ∞ ) ) ≤ ∑ ( c , d ] ∈ S μ F ( ( c , d ] ) {\displaystyle \mu _{F}(({\widetilde {a}},\infty ))\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])} 를 얻는다. 임의의 a 1 , b 1 ∈ R {\displaystyle a_{1},b_{1}\in \mathbb {R} } 에 대하여, 선형 연산자 Δ n , a 1 , b 1 : R R n → R R n − 1 {\displaystyle \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n-1}}} Δ n , a 1 , b 1 : F ↦ F ( b 1 , ⋅ ) − F ( a 1 , ⋅ ) {\displaystyle \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon F\mapsto F(b_{1},\cdot )-F(a_{1},\cdot )} 를 정의하자. 또한, 임의의 a , b ∈ R n {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여, Δ a , b = Δ 1 , a n , b n ∘ Δ 2 , a n − 1 , b n − 1 ∘ ⋯ ∘ Δ n , a 1 , b 1 : R R n → R {\displaystyle \Delta _{a,b}=\Delta _{1,a_{n},b_{n}}\circ \Delta _{2,a_{n-1},b_{n-1}}\circ \cdots \circ \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to \mathbb {R} } 라고 하자. 함수 F : R n → R {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } Δ a , b F ≥ 0 ( a i ≤ b i ) {\displaystyle \Delta _{a,b}F\geq 0\qquad (a_{i}\leq b_{i})} 가 주어졌을 때, 집합 반환 S n = { ∏ i = 1 n S i : S i ∈ S 1 } {\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}=\left\{\prod _{i=1}^{n}S_{i}\colon S_{i}\in {\mathcal {S}}_{1}\right\}} R n ∈ S n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\in {\mathcal {S}}_{n}} σ ( S n ) = B ( R n ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}}_{n})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} 위에 준측도 μ F : ∏ i = 1 n ( a i , b i ] ↦ lim δ i , ϵ i → 0 + Δ a + δ , b + ϵ F {\displaystyle \mu _{F}\colon \prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\mapsto \lim _{\delta _{i},\epsilon _{i}\to 0^{+}}\Delta _{a+\delta ,b+\epsilon }F} 를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 ( R n , M ( μ F ∗ ) , μ F ∗ | M ( μ F ∗ ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})} 을 구성할 수 있다. 함수 F : R → R {\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } F : x ↦ x {\displaystyle F\colon x\mapsto x} 또는 F : R n → R {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } F : x ↦ x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle F\colon x\mapsto x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} 에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 르베그 외측도라고 하며, 이에 대응하는 측도를 르베그 측도라고 한다. 하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.:1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30 Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.  Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.  Jeon, Won-Kee (1986년 8월). “Lebesgue-Stieltjes Measures and Differentiation of Measures” (PDF). 《Honam Mathematical Journal》 8 (1): 51–74. ISSN 1225-293X.  “Outer measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.