산술-기하 수열

수학에서, 산술-기하 수열은 등차수열의 항과 대응하는 등비수열의 항을 항별로 곱한 수열이다. 더 쉽게 말해서, 산술-기하 수열의 n항은 등차수열의 n항과 등비수열의 n항의 곱이다. 산술-기하 수열은 확률론에서 기댓값을 계산하는 것과 같은 다양한 응용에서 나타난다. 예를 들어, 수열 0 1 ,   1 2 ,   2 4 ,   3 8 ,   4 16 ,   5 32 , ⋯ {\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots } 은 산술-기하 수열이다. 산술 성분은 분자에 나타나고 (파란색), 기하 성분은 분모에 나타난다. (초록색) 이것은 등차수열과 등비수열의 특징을 둘 다 나타내는 다른 대상들에 적용될 수 있다. 예를 들어 산술-기하 수열의 프랑스식 개념은 u n + 1 = a u n + b {\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b} 와 같은 형태로 나타나는 수열을 의미하는데, 이는 등차수열과 등비수열의 일반화이다. 이러한 수열은 선형 계차 방정식의 특별한 경우이다. 공차가 d {\displaystyle d} 이고 초항이 a {\displaystyle a} 인 등차수열(파란색)과 초항이 b {\displaystyle b} 이고 공비가 r {\displaystyle r} 인 등비수열로 이루어진 산술-기하 수열의 처음 몇 개의 항은 다음과 같이 주어진다: t 1 = a b t 2 = ( a + d ) b r t 3 = ( a + 2 d ) b r 2   ⋮ t n = [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}} 예를 들어, 수열 0 1 ,   1 2 ,   2 4 ,   3 8 ,   4 16 ,   5 32 , ⋯ {\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots } 은 d = b = 1 {\displaystyle d=b=1} , a = 0 {\displaystyle a=0} , r = 1 2 {\displaystyle r={\frac {1}{2}}} 에 의해 정의된다. 산술-기하 수열의 첫 n개 항의 합은 다음 형태를 가진다. S n = ∑ k = 1 n t k = ∑ k = 1 n [ a + ( k − 1 ) d ] b r k − 1 = a b + [ a + d ] b r + [ a + 2 d ] b r 2 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 = A 1 G 1 + A 2 G 2 + A 3 G 3 + ⋯ + A n G n , {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}} 이 때 A i {\displaystyle A_{i}} 와 G i {\displaystyle G_{i}} 는 등차수열과 등비수열의 i항을 각각 의미한다. 이 합은 다음과 같은 닫힌 형태 표현을 갖는다. S n = a b − ( a + n d ) b r n 1 − r + d b r ( 1 − r n ) ( 1 − r ) 2 = A 1 G 1 − A n + 1 G n + 1 1 − r + d r ( 1 − r ) 2 ( G 1 − G n + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}} 다음에 r을 곱한 다음, S n = a b + [ a + d ] b r + [ a + 2 d ] b r 2 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 {\displaystyle S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}} rSn 을 Sn에서 빼고 망원 급수의 기법을 이용하면 다음을 얻는다. ( 1 − r ) S n = [ a b + ( a + d ) b r + ( a + 2 d ) b r 2 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n − 1 ] − [ a b r + ( a + d ) b r 2 + ( a + 2 d ) b r 3 + ⋯ + [ a + ( n − 1 ) d ] b r n ] = a b + d b ( r + r 2 + ⋯ + r n − 1 ) − [ a + ( n − 1 ) d ] b r n = a b + d b ( r + r 2 + ⋯ + r n − 1 + r n ) − ( a + n d ) b r n = a b + d b r ( 1 + r + r 2 + ⋯ + r n − 1 ) − ( a + n d ) b r n = a b + d b r ( 1 − r n ) 1 − r − ( a + n d ) b r n , {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n},\end{aligned}}} 이 때 마지막 등식은 등비수열의 합으로부터 얻어진다. 마지막으로 1 − r 을 나누면 결론을 얻는다. 만일 −1 < r < 1이면, 산술-기하 급수 S는 말하자면 무한히 많은 항들을 더해서 얻은 것인데, 이는 다음과 같이 주어진다. S = ∑ k = 1 ∞ t k = lim n → ∞ S n = a b 1 − r + d b r ( 1 − r ) 2 = A 1 G 1 1 − r + d G 1 r ( 1 − r ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}} 만일 r 이 위의 범위를 벗어나면, 급수는 다음 둘 중 하나이다. 발산한다 (r > 1 또는 r = 1이고 등차수열의 a와 d가 모두 0이 아닌 경우. 만일 후자의 경우 a와 d가 모두 0이면, 급수의 모든 항이 0이 되어 급수는 상수가 된다.) 또는 교대급수 (when r ≤ −1). 예를 들어, 합 S = 0 1 + 1 2 + 2 4 + 3 8 + 4 16 + 5 32 + ⋯ {\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots } , 는 d = b = 1 {\displaystyle d=b=1} , a = 0 {\displaystyle a=0} , r = 1 2 {\displaystyle r={\frac {1}{2}}} 로 정의된 산술-기하 급수인데, 이는 S = 2 {\displaystyle S=2} 로 수렴한다. 이 수열은 "뒷면"을 얻기까지 예상되는 동전 던지기의 기댓값과 관련있다. k번째 동전 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻을 확률 T k {\displaystyle T_{k}} 는 다음과 같다: T 1 = 1 2 ,   T 2 = 1 4 , … , T k = 1 2 k {\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}} . 따라서 동전 던지기의 기댓값은 ∑ k = 1 ∞ k T k = ∑ k = 1 ∞ k 2 k = S = 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2} . K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). 《Mathematical methods for physics and engineering》 3판. Cambridge University Press. 118쪽. ISBN 978-0-521-86153-3.  D. Khattar. 《The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition)》. Pearson Education India. 10.8쪽. ISBN 81-317-2876-5.  P. Gupta. 《Comprehensive Mathematics XI》. Laxmi Publications. 380쪽. ISBN 81-7008-597-7.