유클리드 정역

유클리드 정역(Euclid整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다. 정역 R {\displaystyle R} 위의 유클리드 함수(영어: Euclidean function) f : R ∖ { 0 } → N {\displaystyle f\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} } 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 a ∈ R {\displaystyle a\in R} 및 b ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle b\in R\setminus \{0\}} 에 대하여, a = b q + r {\displaystyle a=bq+r} 이며 r = 0 {\displaystyle r=0} 또는 f ( r ) < f ( b ) {\displaystyle f(r)<f(b)} 인 q , r ∈ R {\displaystyle q,r\in R} 가 존재한다. 유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다. 일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다. 임의의 a , b ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle a,b\in R\setminus \{0\}} 에 대하여, f ( a ) ≤ f ( a b ) {\displaystyle f(a)\leq f(ab)} 그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다. 모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다. 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다. 체 K {\displaystyle K} 위의 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 deg ⁡ p ∈ N {\displaystyle \deg p\in \mathbb {N} } 이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 K [ [ x ] ] {\displaystyle K[[x]]} 역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 deg ⁡ p ∈ Z {\displaystyle \deg p\in \mathbb {Z} } 이다. 가우스 정수의 환 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는 f ( a + b i ) = a 2 + b 2 ∈ N {\displaystyle f(a+bi)=a^{2}+b^{2}\in \mathbb {N} } 와 같이 정의할 수 있다. 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 에서, 차수 deg {\displaystyle \deg } 가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. f , g ∈ K [ x ] {\displaystyle f,g\in K[x]} 이며, g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0} 이라고 하자. 이 경우, f = g q + r {\displaystyle f=gq+r} 이며 deg ⁡ r < deg ⁡ g {\displaystyle \deg r<\deg g} 인 q , r ∈ K [ x ] {\displaystyle q,r\in K[x]} 의 존재를 보이면 된다. 집합 S ⊂ K [ x ] {\displaystyle S\subset K[x]} 를 S = { f − g h : h ∈ K [ x ] } {\displaystyle S=\{f-gh\colon h\in K[x]\}} 와 같이 정의하자. 자명하게, S {\displaystyle S} 가 공집합일 수는 없다. r {\displaystyle r} 를 S {\displaystyle S} 의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면 f = g q + r {\displaystyle f=gq+r} 를 만족시키는 q ∈ K [ x ] {\displaystyle q\in K[x]} 가 존재한다. 이제, deg ⁡ r < deg ⁡ g {\displaystyle \deg r<\deg g} 이거나 deg ⁡ r ≥ deg ⁡ g {\displaystyle \deg r\geq \deg g} 이다. 귀류법을 사용해, deg ⁡ r ≥ deg ⁡ g {\displaystyle \deg r\geq \deg g} 라고 가정하자. r = a x deg ⁡ r + ⋯ {\displaystyle r=ax^{\deg r}+\cdots } g = b x deg ⁡ g + ⋯ {\displaystyle g=bx^{\deg g}+\cdots } 라면, r ~ = r − ( a / b ) x deg ⁡ r − deg ⁡ g g ∈ S {\displaystyle {\tilde {r}}=r-(a/b)x^{\deg r-\deg g}g\in S} 이지만 deg ⁡ r ~ < deg ⁡ r {\displaystyle \deg {\tilde {r}}<\deg r} 이므로 모순이다. 허수 이차 수체 Q ( − d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})} 의 대수적 정수환 O Q ( − d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. O Q ( − d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}} 는 유클리드 정역을 이룬다. 체 노름 f ( a + b − d ) = a 2 + b 2 d {\displaystyle f(a+b{\sqrt {-d}})=a^{2}+b^{2}d} 은 O Q ( − d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}} 의 유클리드 함수이다. d = 1 , 2 , 3 , 7 , 11 {\displaystyle d=1,2,3,7,11} 실수 이차 수체 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} 의 대수적 정수환 O Q ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 체 노름의 절댓값 f ( a + b d ) = | a 2 − b 2 d | {\displaystyle f(a+b{\sqrt {d}})=|a^{2}-b^{2}d|} 은 O Q ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}} 의 유클리드 함수이다. d = 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 21 , 29 , 33 , 37 , 41 , 57 , 73 {\displaystyle d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73} (OEIS의 수열 A003174) 만약 d = 14 {\displaystyle d=14} 일 경우, O Q ( 14 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {14}})}} 는 체 노름이 아닌 유클리드 함수를 갖는다. 나눗셈 정리 “Euclidean ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Euclidean ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “What is the Euclidean function for Z[√14]?”. 《Mathematics Stack Exchange》 (영어).