파면 집합

조화해석학에서 파면 집합(波面集合, 영어: wavefront set)은 어떤 분포가 특이점을 갖는 위치 및 방향들의 집합이다. 특이점이 발생하는 위치들의 집합으로 정의되는 고전적 개념인 특이 지지 집합(영어: singular support)과 달리, 파면 집합은 특이점이 발생하는 위치뿐만 아니라 특이점이 일어나는 방향에 대한 정보를 담는다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 분포 F ∈ D ′ ( M ) {\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(M)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F {\displaystyle F} 의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서의 특이올(영어: singular fiber) Σ x F ⊂ T x ∗ M {\displaystyle \Sigma _{x}F\subset T_{x}^{*}M} 은 다음과 같다. ξ ∉ Σ x F ⟺ ∃ Γ ∋ x ∃ ϕ ∀ N ∈ Z + : sup ξ ∈ Γ ( ϕ F ^ ( ξ ) ( 1 + | ξ | ) N ) < ∞ {\displaystyle \xi \not \in \Sigma _{x}F\iff \exists \Gamma \ni x\exists \phi \forall N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \sup _{\xi \in \Gamma }\left({\widehat {\phi F}}(\xi )(1+|\xi |)^{N}\right)<\infty } 여기서 ∃ Γ ∋ x {\displaystyle \exists \Gamma \ni x} 는 x {\displaystyle x} 를 포함하는 열린 뿔 Γ ⊆ T x ∗ M {\displaystyle \Gamma \subseteq T_{x}^{*}M} 이 존재하는 것을 뜻한다. 뿔(영어: cone)이란 임의의 음이 아닌 실수 λ {\displaystyle \lambda } 에 대하여, λ {\displaystyle \lambda } 에 대한 곱에 대하여 닫혀 있는 집합이다. ∃ ϕ {\displaystyle \exists \phi } 는 국소좌표계 U {\displaystyle U} 위에 정의된, ϕ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \phi (x)\neq 0} 인 콤팩트 지지 매끄러운 함수 ϕ ∈ C 0 ∞ ( U ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)} 가 존재함을 뜻한다. ^ {\displaystyle {\widehat {}}} 은 국소 좌표계에서의 푸리에 변환을 뜻한다. | ξ | {\displaystyle |\xi |} 는 적절한 리만 계량에 대한 노름이다. (이 정의는 리만 계량의 선택에 의존하지 않는다.) 특이올은 열린집합들의 합집합의 여집합이므로, T x ∗ M {\displaystyle T_{x}^{*}M} 속의 닫힌집합이다. F {\displaystyle F} 의 파면 집합 WF ⁡ F ⊂ T ∗ M {\displaystyle \operatorname {WF} F\subset T^{*}M} 은 특이올들의 합집합이다. WF ⁡ F = { ( x , ξ ) ∈ T ∗ M : ξ ∈ Σ x F } {\displaystyle \operatorname {WF} F=\{(x,\xi )\in T^{*}M\colon \xi \in \Sigma _{x}F\}} 이는 항상 닫힌집합이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 디랙 델타 분포 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} 를 생각하자. 디랙 델타 분포의 푸리에 변환은 상수 함수이며, 따라서 x = 0 {\displaystyle x=0} 에서는 어떤 방향에서도 특이올의 정의에 등장하는 추정이 성립하지 않는다. 따라서, 이 경우 파면 집합은 WF ⁡ δ = T 0 ∗ R n {\displaystyle \operatorname {WF} \delta =T_{0}^{*}\mathbb {R} ^{n}} 이다. 즉, 디랙 델타 분포는 원점에서 모든 방향으로 특이점을 가지며, 디랙 델타 분포의 거듭제곱은 잘 정의되지 않는다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 위의 단위 계단 함수 θ ( x ) = { 0 x < 0 1 x > 0 {\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\1&x>0\end{cases}}} 의 파면 집합 역시 WF ⁡ θ = T 0 ∗ R {\displaystyle \operatorname {WF} \theta =T_{0}^{*}\mathbb {R} } 이다.:Example 15 즉, 디랙 델타 분포의 파면 집합과 같다. 단위 계단 함수의 경우, 특이올의 정의에서 N = 1 {\displaystyle N=1} 인 경우 추정이 성립하지만, N > 1 {\displaystyle N>1} 일 경우 추정이 (어느 방향에서도) 성립하지 않는다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 위에, 분포 1 / ( x + i ϵ ) {\displaystyle 1/(x+i\epsilon )} 은 임의의 콤팩트 지지 매끄러운 함수 f {\displaystyle f} 에 대하여 ⟨ u | f ⟩ = − i π f ( 0 ) + lim ϵ → 0 + ∫ f ( x ) − f ( − x ) x d x {\displaystyle \langle u|f\rangle =-i\pi f(0)+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int {\frac {f(x)-f(-x)}{x}}\,dx} 로 정의된다. (이 표기는 경로적분법을 따른 것이다.) 이 경우 WF ⁡ 1 / ( x + i ϵ ) = { ( 0 , ξ ) : ξ < 0 } {\displaystyle \operatorname {WF} 1/(x+i\epsilon )=\{(0,\xi )\colon \xi <0\}} 이다. 즉, ( 1 / ( x + i ϵ ) ) 2 {\displaystyle \left(1/(x+i\epsilon )\right)^{2}} 는 잘 정의된다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 속에, 매끄러운 경계를 갖는 부분 집합 Ω ⊂ M {\displaystyle \Omega \subset M} 이 주어졌다고 하자. 그 위의 지시 함수 χ Ω {\displaystyle \chi _{\Omega }} 의 파면 집합은 다음과 같다.:Proposition 20 WF ⁡ χ Ω = { ( x , ξ ) : x ∈ ∂ Ω , ξ ⊥ ∂ Ω } {\displaystyle \operatorname {WF} \chi _{\Omega }=\{(x,\xi )\colon x\in \partial \Omega ,\;\xi \perp \partial \Omega \}} 일반적으로, 분포의 곱셈은 잘 정의될 수 없다. 그러나 파면 집합에 대한 적절한 조건이 성립한다면 두 분포의 곱을 정의할 수 있게 된다.:Theorem 13 구체적으로, 두 분포 F , G ∈ D ′ ( M ) {\displaystyle F,G\in {\mathcal {D}}'(M)} 의 곱이 잘 정의되기 위한 충분 조건은 ∀ ( x , ξ ) ∈ T ∗ M : ¬ ( ξ ≠ 0 ∧ ( x , ξ ) ∈ WF ⁡ F ∧ ( x , − ξ ) ∈ WF ⁡ G ) {\displaystyle \forall (x,\xi )\in T^{*}M\colon \lnot \left(\xi \neq 0\land (x,\xi )\in \operatorname {WF} F\land (x,-\xi )\in \operatorname {WF} G\right)} 이다. 즉, 두 분포의 특이 지지 집합이 겹치더라도, 특이점의 방향이 일치하지 않는다면 두 분포의 곱을 잘 정의할 수 있다. 라르스 회르만데르가 1970년 경에 도입하였다. Brouder, Christian; Nguyen Viet Dang; Hélein, Frédéric (2014년 11월 7일). “A smooth introduction to the wavefront set”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 47 (44): 443001. arXiv:1404.1778. doi:10.1088/1751-8113/47/44/443001.  “Wavefront set”. 《nLab》 (영어).  “A good reference for the wave front set” (영어). Math Overflow.