불변 다항식

리 대수 이론에서, 불변 다항식(不變多項式, 영어: invariant polynomial)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 쌍대 공간 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 위의 대칭 대수 Sym ⁡ ( g ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})} 를 생각하자. α ∈ Sym n ⁡ g ∗ {\displaystyle \alpha \in \textstyle \operatorname {Sym} ^{n}{\mathfrak {g}}^{*}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 n {\displaystyle n} 차 불변 다항식이라고 한다. ∑ i = 0 n − 1 α ( x 0 , x 1 , … , [ x i , x i + 1 ] , … , x n ) = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}\alpha (x_{0},x_{1},\dotsc ,[x_{i},x_{i+1}],\dotsc ,x_{n})=0} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다. 유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 베유 대수(영어: Weil algebra) W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 의 동차 원소 기저를 t i {\displaystyle t^{i}} 라고 할 때, W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 의 생성원은 t i {\displaystyle t^{i}} 및 δ t i {\displaystyle \delta t^{i}} 이다 ( deg ⁡ δ t i = 1 + deg ⁡ t i {\displaystyle \deg \delta t^{i}=1+\deg t^{i}} ). 또한, 그 미분은 다음과 같다. d t i = d C E t i + δ t i {\displaystyle \mathrm {d} t^{i}=\mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}+\delta t^{i}} d δ t i = − δ d C E t i {\displaystyle \mathrm {d} \delta t^{i}=-\delta \mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}} 여기서 d CE {\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {CE} }} 란 슈발레-에일렌베르크 대수 CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 의 미분이다. 즉, 이는 δ 2 = { d , δ } = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=\{\mathrm {d} ,\delta \}=0} 을 따른다. 물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형 W ⁡ ( g ) → CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} t i ↦ t i {\displaystyle t^{i}\mapsto t^{i}} δ t i ↦ 0 {\displaystyle \delta t^{i}\mapsto 0} 이 존재한다. 유한형 L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 불변 다항식은 베유 대수 W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 의 원소 α ∈ W ⁡ ( g ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.:Definition 4.1.13 α ∈ ⋀ δ g ∗ ⊆ W ⁡ ( g ) {\displaystyle \alpha \in \bigwedge \delta {\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} d W ⁡ ( g ) α = 0 {\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}\alpha =0} 즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, δ g ∗ {\displaystyle \delta {\mathfrak {g}}^{*}} 만으로 생성되는 것이다. 이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 리 대수인 경우, 불변 다항식은 Sym ⁡ ( g ∗ ) ⊆ W ⁡ ( g ) = Sym ⁡ ( g ∗ ) ⊗ ⋀ ( g ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})} 의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다. 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대하여, inv ⁡ ( g ) → W ⁡ ( g ) → CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 는 리 군 G {\displaystyle G} 의 분류 공간 B G ← E G ← G {\displaystyle \mathrm {B} G\leftarrow \mathrm {E} G\leftarrow G} 의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다. 다시 말해, H ∙ ⁡ ( W ⁡ ( g ) ) = H sing ∙ ⁡ ( E G ) = { 0 ∙ ≠ 0 K ∙ = 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {E} G)={\begin{cases}0&\bullet \neq 0\\K&\bullet =0\end{cases}}} H ∙ ⁡ ( CE ⁡ ( g ) ) = H sing ∙ ⁡ ( G ; K ) = H LieAlg ∙ ⁡ ( g ; K ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(G;K)=\operatorname {H} _{\text{LieAlg}}^{\bullet }({\mathfrak {g}};K)} inv ∙ ⁡ ( g ) = H sing ∙ ⁡ ( B G ; K ) {\displaystyle \operatorname {inv} ^{\bullet }({\mathfrak {g}})=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {B} G;K)} 이다. ( inv ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})} 의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 H LieAlg ∙ ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{LieAlg}}^{\bullet }(-)} 는 리 대수 코호몰로지이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 킬링 형식 B ∈ Sym 2 ⁡ g ∗ {\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}} 은 2차 불변 다항식이다. 즉, B ( x , [ y , z ] ) − B ( [ x , y ] , z ) = 0 ∀ x , y , z ∈ g {\displaystyle B(x,[y,z])-B([x,y],z)=0\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}} 이다. 계수 n {\displaystyle n} 의 단순 리 대수는 n {\displaystyle n} 개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.:59, §3.7 위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 d 1 , d 2 , … , d r {\displaystyle d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{r}} 라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수 deg ⁡ x i = 2 d i − 1 {\displaystyle \deg x_{i}=2d_{i}-1} 의 r {\displaystyle r} 개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히, dim ⁡ G = ∑ i = 1 r ( 2 d i − 1 ) {\displaystyle \dim G=\sum _{i=1}^{r}(2d_{i}-1)} 이다. a n = s u ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {su}}(n+1)} 의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)\times (n+1)} 무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우, p k ( M ) = tr ( n + 1 ) × ( n + 1 ) ⁡ ( M k ) {\displaystyle p_{k}(M)=\operatorname {tr} _{(n+1)\times (n+1)}(M^{k})} 이다. 만약 k = 1 {\displaystyle k=1} 인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) p 1 = 0 {\displaystyle p_{1}=0} 이 되며, k ≥ n + 2 {\displaystyle k\geq n+2} 인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다. s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} 의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다. p k ( M ) = tr ⁡ ( M k ) {\displaystyle p_{k}(M)=\operatorname {tr} (M^{k})} 이 경우 k {\displaystyle k} 가 홀수일 때 p k = 0 {\displaystyle p_{k}=0} 이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. n {\displaystyle n} 이 홀수일 때 불변 다항식들은 p 2 , … , p n − 1 {\displaystyle p_{2},\dotsc ,p_{n-1}} 로 구성된다. n = 2 m {\displaystyle n=2m} 이 짝수일 때는 추가로 m {\displaystyle m} 차 불변 다항식 q ( M ) = ϵ i 1 j 1 i 2 j 2 ⋯ i m j m M i 1 j 1 ⋯ M i m j m {\displaystyle q(M)=\epsilon ^{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dotsb i_{m}j_{m}}M_{i_{1}j_{1}}\dotsm M_{i_{m}j_{m}}} 이 존재한다. Fiorenza, Domenico; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (2011). “Čech cocycles for differential characteristic classes — an ∞-Lie theoretic construction” (영어). arXiv:1011.4735.  Humphreys, James E. (1990). 《Reflection groups and Coxeter groups》 (영어). doi:10.1017/CBO9780511623646. ISBN 978-0-52143613-7.  Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1973). 《Connections, curvature, and cohomology. Volume Ⅲ. Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces》 (영어). Academic Press. doi:10.1016/S0079-8169(08)60498-5. ISBN 978-0-12-302703-0.  “Invariant polynomial”. 《nLab》 (영어).  “Weil algebra”. 《nLab》 (영어).