카츠-무디 대수

리 이론에서, 카츠-무디 대수(Кац-Moody代數, 영어: Kač–Moody algebra)는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수와 아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다. 카츠-무디 대수 ( A , h , { ( α i , α i ∨ ) } i ∈ { 1 , 2 , … , n } ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {h}},\{(\alpha _{i},\alpha _{i}^{\vee })\}_{i\in \{1,2,\dots ,n\}})} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. A ∈ Mat ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )} 는 정수 성분의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬이며, 그 계수는 r {\displaystyle r} 이다. 이를 (일반화) 카르탕 행렬(一般化Cartan行列, 영어: (generalized) Cartan matrix)이라고 한다. h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 는 2 n − r {\displaystyle 2n-r} 차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, 영어: Cartan subalgebra)라고 한다. α 1 , … , α n ∈ h ∗ {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\in {\mathfrak {h}}^{*}} 은 n {\displaystyle n} 개의 선형 독립 벡터이며, α 1 ∨ , … , α n ∨ ∈ h {\displaystyle \alpha _{1}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }\in {\mathfrak {h}}} 는 n {\displaystyle n} 개의 선형 독립 벡터이다. α i {\displaystyle \alpha _{i}} 를 단순근(單純根, 영어: simple root), α i ∨ {\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }} 를 단순쌍대근(單純雙對根, 영어: simple coroot)이라고 한다. 이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, α i ( α j ∨ ) = A i j {\displaystyle \alpha _{i}(\alpha _{j}^{\vee })=A_{ij}} 모든 i ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, A i i = 2 {\displaystyle A_{ii}=2} 모든 i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, 만약 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 라면 A i j ≤ 0 {\displaystyle A_{ij}\leq 0} 모든 i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}} 에 대하여, 만약 A i j = 0 {\displaystyle A_{ij}=0} 이라면 A j i = 0 {\displaystyle A_{ji}=0} 이 경우, 카츠-무디 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 및 생성원 e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}} , f 1 , … , f n {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}} 으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다. [ h , h ′ ] = 0 ∀ h , h ′ ∈ h {\displaystyle [h,h']=0\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}} [ h , e i ] = α i ( h ) e i ∀ h ∈ h , i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle [h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}} [ h , f i ] = − α i ( h ) f i ∀ h ∈ h , i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle [h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}} [ e i , f i ] = δ i j α i ∨ ∀ i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}} [ e i , [ e i , ⋯ , [ e i , ⏞ 1 − A i j e j ] ⋯ ] ] = [ f i , [ f i , … , [ f i , ⏞ 1 − A i j f j ] ⋯ ] ] = 0 ∀ i ≠ j {\displaystyle \overbrace {[e_{i},[e_{i},\cdots ,[e_{i},} ^{1-A_{ij}}e_{j}]\cdots ]]=\overbrace {[f_{i},[f_{i},\dots ,[f_{i},} ^{1-A_{ij}}f_{j}]\cdots ]]=0\qquad \forall i\neq j} 여기서 ( e i , f i ) {\displaystyle (e_{i},f_{i})} 를 슈발레 생성원(영어: Chevalley generator)라고 한다. 만약 카츠-무디 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 행렬 A {\displaystyle A} 에 대하여, A = D S {\displaystyle A=DS} 인 대각 행렬 D ∈ Mat ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )} 와 대칭 행렬 S ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )} 가 존재한다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 대칭화 가능 카츠-무디 대수(영어: symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다. 카츠-무디 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 계수(영어: rank) rank ⁡ g {\displaystyle \operatorname {rank} {\mathfrak {g}}} 는 그 카르탕 행렬의 계수 r = rank ⁡ A {\displaystyle r=\operatorname {rank} A} 와 같다. 카츠-무디 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌을 때, 만약 x ∈ g ∖ { 0 } {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}\setminus \{0\}} 및 λ ∈ h ∗ ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}} 에 대하여 [ h , x ] = λ ( h ) x ∀ h ∈ h {\displaystyle [h,x]=\lambda (h)x\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}}} 라면, λ {\displaystyle \lambda } 를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근(根, 영어: root)이라고 하고, x {\displaystyle x} 를 λ {\displaystyle \lambda } 의 근 벡터(根vector, 영어: root vector)라고 한다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 모든 근들의 집합을 Δ ⊂ h ∗ {\displaystyle \Delta \subset {\mathfrak {h}}^{*}} 라고 하자. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근 λ ∈ Δ {\displaystyle \lambda \in \Delta } 에 대응하는 근공간(영어: root space) g λ {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }} 은 λ {\displaystyle \lambda } 에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다. g λ = { x ∈ g : ∀ h ∈ h : [ h , x ] = λ ( h ) x } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon [h,x]=\lambda (h)x\}} 이는 복소수 벡터 공간을 이룬다. 모든 카츠-무디 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다. g = h ⊕ λ ∈ Δ g λ {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }} 또한, 모든 근 λ {\displaystyle \lambda } 는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다. λ = ∑ i = 1 n z i α i ( z 1 , … , z n ∈ Z , sgn ⁡ z 1 = ⋯ = sgn ⁡ z n ≠ 0 ) {\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}\qquad (z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {Z} ,\;\operatorname {sgn} z_{1}=\cdots =\operatorname {sgn} z_{n}\neq 0)} 이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, 영어: positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, 영어: negative root)이라고 한다. 모든 단순근 α i {\displaystyle \alpha _{i}} 는 양근이며, − α i {\displaystyle -\alpha _{i}} 는 음근이다. 또한, e i {\displaystyle e_{i}} 및 f i {\displaystyle f_{i}} 는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다. e i ∈ g α i {\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}} f i ∈ g − α i {\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}} 카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 A ∈ Mat ⁡ ( n ; Z ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )} 에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다. 딘킨 도표의 꼭짓점은 n {\displaystyle n} 개가 있으며, 1 , … , n {\displaystyle 1,\dots ,n} 에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다. i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 일 때, 두 꼭짓점 i , j {\displaystyle i,j} 사이의 변의 수는 A i j A j i {\displaystyle A_{ij}A_{ji}} 이다. 만약 A i j ≤ − 2 {\displaystyle A_{ij}\leq -2} 라면, i {\displaystyle i} 와 j {\displaystyle j} 사이의 변에 i {\displaystyle i} 로 향하는 화살표를 그린다. 카츠-무디 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 근 α ∈ Δ ( g ) {\displaystyle \alpha \in \Delta ({\mathfrak {g}})} 는 다음과 같이 두 종류로 분류된다. 만약 w ( α ) {\displaystyle w(\alpha )} 가 단순근인 바일 군 원소 w ∈ W ( g ) {\displaystyle w\in W({\mathfrak {g}})} 가 존재한다면, α {\displaystyle \alpha } 를 실근(實根, 영어: real root)이라고 한다. 실근이 아닌 근을 허근(虛根, 영어: imaginary root)이라고 한다. 대칭화 가능 카츠-무디 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 행렬 A {\displaystyle A} 는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 A = D S {\displaystyle A=DS} 로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 S {\displaystyle S} 의 부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다. 만약 S {\displaystyle S} 가 양의 정부호일 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 (유한 차원) 단순 리 대수이다. 이 경우, r = n {\displaystyle r=n} 이다. 만약 S {\displaystyle S} 가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 아핀 리 대수이다. 이 경우, r = n − 1 {\displaystyle r=n-1} 이다. 만약 S {\displaystyle S} 가 부정부호일 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 부정부호 카츠-무디 대수(영어: indefinite Kač–Moody algebra)이다. 대각선 성분들이 양수이므로, S {\displaystyle S} 는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다. 이들 가운데, 단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 쌍곡선형 카츠-무디 대수(영어: hyperbolic Kač–Moody algebra)라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다. 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다. 캐나다의 로버트 본 무디(영어: Robert Vaughan Moody) 가 토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다. 가공할 헛소리 Carbone, Lisa; 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