불 대수

순서론과 추상대수학, 논리학에서 불 대수(Boole代數, 영어: Boolean algebra)는 고전 명제 논리의 명제의 격자와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는 논리합과 논리곱 및 부정의 연산이 정의된 대수 구조이다. 불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다. 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 유계 격자(또는 직교 여원 격자 또는 헤이팅 대수)로 여길 수 있다. 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 가환환으로 여길 수 있다. 불 대수의 범주는 스톤 공간(Stone空間, 영어: Stone space)이라는 특정 위상 공간의 범주의 반대 범주이다. 이를 통해, 불 대수를 특정 위상 공간 속의 특정 집합족으로 여길 수 있다. 직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 불 대수라고 한다. 분배 격자이다. 임의의 원소 x ∈ L {\displaystyle x\in L} 에 대하여, c ∧ x = ⊥ {\displaystyle c\land x=\bot } 이며 c ∨ x = ⊤ {\displaystyle c\lor x=\top } 인 c ∈ L {\displaystyle c\in L} 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 ¬ x {\displaystyle \lnot x} 이다.) (엘칸 법칙 영어: Elkan’s law) 임의의 x , y ∈ L {\displaystyle x,y\in L} 에 대하여, ¬ ( a ∧ ¬ b ) = b ∨ ¬ a ∧ ¬ b {\displaystyle \lnot (a\land \lnot b)=b\lor \lnot a\land \lnot b} 직교모듈러 격자이며, 임의의 원소 x ∈ L ∖ { ⊥ } {\displaystyle x\in L\setminus \{\bot \}} 에 대하여, 다음 세 조건들을 만족시키는 함수 s : L → { 0 , 1 } {\displaystyle s\colon L\to \{0,1\}} 가 존재한다. s ( ⊤ ) = s ( x ) = 1 {\displaystyle s(\top )=s(x)=1} 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여, s ( a ∨ b ) ≤ max { s ( a ) , s ( b ) } {\displaystyle s(a\lor b)\leq \max\{s(a),s(b)\}} 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여, a ≤ ¬ b {\displaystyle a\leq \lnot b} 라면 s ( a ∨ b ) = max { s ( a ) , s ( b ) } {\displaystyle s(a\lor b)=\max\{s(a),s(b)\}} 불 대수의 준동형은 여원과 ⊤ {\displaystyle \top } 및 ⊥ {\displaystyle \bot } 을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 유계 격자 L {\displaystyle L} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 격자를 불 대수라고 한다. 모듈러 격자이며, 임의의 x ∈ L {\displaystyle x\in L} 에 대하여, x ∧ c = ⊥ {\displaystyle x\land c=\bot } 이자 x ∨ c = ⊤ {\displaystyle x\lor c=\top } 인 원소 c ∈ L {\displaystyle c\in L} 가 유일하게 존재한다. 분배 격자이며, 임의의 x ∈ L {\displaystyle x\in L} 에 대하여, x ∧ c = ⊥ {\displaystyle x\land c=\bot } 이자 x ∨ c = ⊤ {\displaystyle x\lor c=\top } 인 원소 c ∈ L {\displaystyle c\in L} 가 적어도 하나 이상 존재한다. 임의의 x ∈ L {\displaystyle x\in L} 에 대하여, x ∧ c = ⊥ {\displaystyle x\land c=\bot } 이자 x ∨ c = ⊤ {\displaystyle x\lor c=\top } 인 원소 c ∈ L {\displaystyle c\in L} 가 유일하게 존재하며, 또한 x = ⋁ A {\displaystyle \textstyle x=\bigvee A} 인 A ⊆ min ( X ∖ { ⊥ } ) {\displaystyle A\subseteq \min(X\setminus \{\bot \})} 가 존재한다. 여기서 min ( X ∖ { ⊥ } ) {\displaystyle \min(X\setminus \{\bot \})} 는 부분 순서 집합 X ∖ { ⊥ } {\displaystyle X\setminus \{\bot \}} 의 극소 원소들의 집합이다. 헤이팅 대수 H {\displaystyle H} 에 대하여, ¬ x = ( x ⟹ ⊥ ) {\displaystyle \lnot x=(x\implies \bot )} 를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 헤이팅 대수를 불 대수라고 한다. (대합) ¬ {\displaystyle \lnot } 은 대합이다. 즉, 임의의 x ∈ H {\displaystyle x\in H} 에 대하여, ¬ ¬ x = x {\displaystyle \lnot \lnot x=x} 이다. (배중률) 모든 원소 x ∈ H {\displaystyle x\in H} 에 대하여, x ∨ ¬ x = ⊤ {\displaystyle x\lor \lnot x=\top } 이다. 이 경우, ( H , ¬ ) {\displaystyle (H,\lnot )} 은 직교 여원 격자를 이룬다. (단위원을 갖는) 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 불 대수라고 한다. 모든 원소가 멱등원이다. 즉, 모든 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 에 대하여, x 2 = x {\displaystyle x^{2}=x} 이다.:39, Definition 1 R {\displaystyle R} 는 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 의 직접곱 F 2 × κ {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{\times \kappa }} 의 부분환과 동형이다 ( κ {\displaystyle \kappa } 는 임의의 기수). 특히, 자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는 κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} 에 해당한다.) 불 대수 준동형은 두 불 대수 사이의 환 준동형이다. 스톤 공간(영어: Stone space)은 콤팩트 완전 분리 하우스도르프 공간이다. 스톤 공간과 연속 함수의 범주를 Stone {\displaystyle \operatorname {Stone} } 이라고 쓰자. 스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족은 유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족과 동형인 유계 격자를 불 대수라고 한다. 열린닫힌집합의 연속 함수 아래의 원상은 열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수 B {\displaystyle B} , B ′ {\displaystyle B'} 에 대응하는 스톤 공간 X {\displaystyle X} , X ′ {\displaystyle X'} 가 주어졌을 때, 연속 함수 f : X ′ → X {\displaystyle f\colon X'\to X} 는 함수 f − 1 : B → B ′ {\displaystyle f^{-1}\colon B\to B'} 를 유도한다. 두 불 대수 사이의 불 대수 준동형은 이와 같이 스톤 공간 사이의 연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다. 이에 따라, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다. Stone ≃ Bool op {\displaystyle \operatorname {Stone} \simeq \operatorname {Bool} ^{\operatorname {op} }} 이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 동치라는 사실은 스톤 표현 정리(영어: Stone representation theorem)라고 한다. 특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 가환환에 대하여, 스펙트럼이라는 위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는 가환환의 범주 CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 의 반대 범주에서 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 로 가는 함자 Spec : CRing op → Top {\displaystyle \operatorname {Spec} \colon \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} } 를 정의한다. 만약 이 가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 범주의 동치를 이룬다. Spec : Bool op → Stone {\displaystyle \operatorname {Spec} \colon \operatorname {Bool} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Stone} } Clopen : Stone → Bool op {\displaystyle \operatorname {Clopen} \colon \operatorname {Stone} \to \operatorname {Bool} ^{\operatorname {op} }} 불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 극대 아이디얼은 극대 순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서, 2 {\displaystyle 2} 가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은 hom Bool ⁡ ( B , 2 ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Bool} }(B,2)} 이다. 이 위에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다. { { U ∈ Spec ⁡ ( B ) : b ∈ U } } b ∈ B {\displaystyle \{\{{\mathcal {U}}\in \operatorname {Spec} (B)\colon b\in {\mathcal {U}}\}\}_{b\in B}} 이는 2 {\displaystyle 2} 에 이산 위상을 부여하고, 멱집합 P ( B ) = 2 B {\displaystyle {\mathcal {P}}(B)=2^{B}} 에 곱위상을 부여한 뒤, Spec ⁡ ( B ) ⊂ P ( B ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\subset {\mathcal {P}}(B)} 에 부분 공간 위상을 부여한 것과 같다. 모든 원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다. 이 경우, 부분 순서 집합은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은 원순서 집합이며, 헤이팅 대수는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주인 부분 순서 집합이다. 불 대수는 다음 조건을 만족시키는 작은 얇은 범주이다. 서로 동형인 두 대상은 같다. 유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다. 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 대상 X , Y ∈ C {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, 다음과 같은 동형이 존재한다. (이들은 드 모르간 법칙을 범주론적 용어로 번역한 것이다.) X × Y ≅ 0 0 X ⊔ 0 Y {\displaystyle X\times Y\cong 0^{0^{X}\sqcup 0^{Y}}} 0 X × Y ≅ 0 X ⊔ 0 Y {\displaystyle 0^{X\times Y}\cong 0^{X}\sqcup 0^{Y}} 여기서 × {\displaystyle \times } 는 범주론적 곱이며, ⊔ {\displaystyle \sqcup } 는 쌍대곱이며, 0 {\displaystyle 0} 은 시작 대상이며, A B {\displaystyle A^{B}} 는 지수 대상이다. 불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 불 대수를 가환환으로 여겼을 때, 그 아이디얼은 순서 아이디얼과 일치한다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 가환환 ⇐ 가환 축소환 ⇐ 가환 반원시환 ⇐ 가환 폰 노이만 정칙환 ⇐ 불 대수 임의의 불 대수 B {\displaystyle B} 는 가환환이고 표수가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위의 결합 대수이다.:39–40, Theorem 1 증명: 가환성: 임의의 x , y ∈ B {\displaystyle x,y\in B} 에 대하여 0 = ( x + y ) 2 − ( x + y ) = x 2 + y 2 + x y + y x − x − y = x y + y x {\displaystyle 0=(x+y)^{2}-(x+y)=x^{2}+y^{2}+xy+yx-x-y=xy+yx} 이다. 표수 2: 위에서 x = y = 1 {\displaystyle x=y=1} 이라면 0 = 2 {\displaystyle 0=2} 이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 F 2 [ x ] {\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]} 는 x 2 ≠ x {\displaystyle x^{2}\neq x} 이므로 불 대수가 아니다.) 불 대수의 임의의 몫환은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 부분환은 불 대수이다. 불 대수의 스펙트럼은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 불 대수 B {\displaystyle B} 의 임의의 극대 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ B {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} B} 에 대한 몫환은 크기 2의 유한체이다. B / p ≅ F 2 {\displaystyle B/{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {F} _{2}} 불 대수는 폰 노이만 정칙환이며, 따라서 그 위의 모든 가군은 평탄 가군이다. 불 대수의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. 구체적으로 ( x , y ) = ( x + y + x y ) {\displaystyle (x,y)=(x+y+xy)} 이다. 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다. 임의의 집합 S {\displaystyle S} 의 멱집합 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 은 크기가 2 | S | {\displaystyle 2^{|S|}} 인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와 동형이다. 특히, 공집합의 멱집합 P ( ∅ ) = { ∅ } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}} 은 가장 작은 불 대수이며, 또한 ⊤ = ⊥ {\displaystyle \top =\bot } 인 유일한 불 대수이다. 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여, 멱집합 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 에 대응하는 스톤 공간은 S {\displaystyle S} 의 스톤-체흐 콤팩트화이다. 멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합 S {\displaystyle S} 및 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌을 때, P κ ( S ) = { T ⊂ S | κ > min { | T | , | S ∖ T | } } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(S)=\left\{T\subset S|\kappa >\min\{|T|,|S\setminus T|\}\right\}} 로 정의하자. 만약 κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} 이거나 κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} 이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, | S | = ℵ 0 {\displaystyle |S|=\aleph _{0}} 일 경우, P ℵ 0 ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\aleph _{0}}(S)} 는 크기가 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다. 불 대수는 대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다. 스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, κ {\displaystyle \kappa } 개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은 { 0 , 1 } κ {\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }} 이다. 여기서 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 은 2개의 점을 가진 이산 공간이며, { 0 , 1 } κ {\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }} 에는 곱 위상을 준다. 이 경우, α {\displaystyle \alpha } 번째 생성원은 튜플의 α {\displaystyle \alpha } 번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 열린닫힌집합에 대응한다. 만약 κ {\displaystyle \kappa } 가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는 2 2 κ {\displaystyle 2^{2^{\kappa }}} 이며, 만약 κ {\displaystyle \kappa } 가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는 κ {\displaystyle \kappa } 이다. 스톤 공간을 이루는 위상군은 사유한군이라고 한다. 논리학에서, 불 대수는 고전 명제 논리의 모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신 헤이팅 대수를 사용하여야 한다. 불 대수는 디지털 회로 설계에 응용된다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립플롭 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다. 불 대수의 개념은 1847년에 조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다. 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다. 불은 논리곱과 배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 가환환의 일종으로 여기는 것과 같다. 이후 윌리엄 스탠리 제번스(영어: William Stanley Jevons, 1835~1882) · 찰스 샌더스 퍼스(1839~1914) · 에른스트 슈뢰더(독일어: Ernst Schröder, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 배타적 논리합 대신 (배타적이지 않은) 논리합을 최초로 사용하였다. 이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다. 1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(영어: Henry Maurice Sheffer, 1882~1964)가 "불 대수"(영어: Boolean algebra 불리언 앨지브라[*])라는 용어를 최초로 사용하였다.:278, 주석 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다. 스톤 표현 정리는 마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다. 부울 도메인 불 함수 완비 불 대수 드 모르간의 법칙 강제법 헤이팅 대수 카노 맵 논리 회로 이진 행렬 콰인-매클러스키 알고리즘 벤 다이어그램 近藤 溢血 (こんどう みちろう) (2006). “On orthocomplemented lattices with Elkan’s law” (PDF). 《数理解析研究所講究録》 (영어) 1503: 10–16.  |저자=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말) Pták, Pavel; Pulmannová, Sylvlia (1994). “A measure-theoretic characterization of Boolean algebras among orthomodular lattices” (PDF). 《Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae》 (영어) 35 (1): 205–208. 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