마이셀-메르텐스 상수

마이셀-메르텐스 상수(영어: Meissel-Mertens constant)는 수학 상수중 하나이다. 다음은 메르텐스의 정리에서 메르텐스의 제2정리(Mertens' 2nd theorems)이다. p {\displaystyle p} 를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다. M = lim n → ∞ ( − ln ⁡ ln ⁡ n + ∑ p ≤ n 1 p ) = B 1 = 0.2614972128 … {\displaystyle M=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p\leq n}{{1} \over {p}}\right)=B_{1}=0.2614972128\ldots } (OEIS의 수열 A077761) 이 수렴값( B 1 {\displaystyle B_{1}} )을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant) 또는 메르텐스 상수라 한다. B 1 = ∑ n = 1 ∞ ( ln ⁡ ( 1 − 1 p n ) + 1 p n ) + γ {\displaystyle B_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1-{{1} \over {p_{n}}}\right)+{{1} \over {p_{n}}}\right)+\gamma } B 1 = ∑ p ( ln ⁡ ( 1 − 1 p ) + 1 p ) + γ {\displaystyle B_{1}=\sum _{p}\left(\ln \left(1-{{1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma } = ∑ p ( ln ⁡ ( p − 1 p ) + 1 p ) + γ {\displaystyle \;\;\;=\sum _{p}\left(\ln \left({{p-1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma } B 1 = ∑ n = 2 ∞ ( μ ( n ) n ln ⁡ ( ζ ( n ) ) ) + γ {\displaystyle B_{1}=\sum _{n=2}^{\infty }\left({{\mu (n)} \over {n}}\ln(\zeta (n))\right)+\gamma } μ {\displaystyle \mu } 는 뫼비우스 함수 , ζ {\displaystyle ,\zeta } 는 리만 제타 함수 , γ {\displaystyle ,\gamma } 오일러-마스케로니 상수 B 2 = B 1 + ( ∑ n = 1 ∞ 1 p n ( p n − 1 ) ) {\displaystyle B_{2}=B_{1}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {p_{n}(p_{n}-1)}}\right)} B 2 = ∑ n = 1 ∞ ( ln ⁡ ( 1 − 1 p n ) + 1 p n ) + γ + ( ∑ n = 1 ∞ 1 p n ( p n − 1 ) ) {\displaystyle B_{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1-{{1} \over {p_{n}}}\right)+{{1} \over {p_{n}}}\right)+\gamma +\left(\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {p_{n}(p_{n}-1)}}\right)} B 2 = ( ∑ n = 1 ∞ ( l n ( 1 − 1 p n ) ) + ( 1 p n + 1 p n 2 − p n ) ) + γ {\displaystyle B_{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(ln\left(1-{{1} \over {p_{n}}}\right)\right)+\left({{1} \over {p_{n}}}+{{1} \over {p_{n}^{2}-p_{n}}}\right)\right)+\gamma } B 2 = ( ∑ n = 1 ∞ ( l n ( 1 − 1 p n ) + 1 p n − 1 ) ) + γ {\displaystyle B_{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(ln\left(1-{{1} \over {p_{n}}}\right)+{{1} \over {p_{n}-1}}\right)\right)+\gamma } B 2 = ( ∑ x = 2 ∞ ϕ ( x ) l n ( ζ ( x ) ) x ) + γ {\displaystyle B_{2}=\left(\sum _{x=2}^{\infty }{{\phi (x)ln(\zeta (x))} \over {x}}\right)+\gamma } = 1.034653... {\displaystyle =1.034653...} (OEIS의 수열 A083342) ϕ {\displaystyle \phi } 는 오일러 피 함수 , ζ {\displaystyle ,\zeta } 는 리만 제타 함수 , γ {\displaystyle ,\gamma } 오일러-마스케로니 상수 메르텐스의 제1정리로부터 메르텐스 상수 B 3 {\displaystyle B_{3}} 를 얻을수있다. p {\displaystyle p} 를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다. B 3 = lim n → ∞ ( ln ⁡ n − ∑ p ≤ n ln ⁡ p p ) {\displaystyle B_{3}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{{\ln p} \over {p}}\right)} B 3 = ( ∑ x = 2 ∞ ∑ y = 1 ∞ ln ⁡ p y p y x ) + γ {\displaystyle B_{3}=\left(\sum _{x=2}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{{\ln p_{y}} \over {p_{y}^{x}}}\right)+\gamma } 이 수렴값은 약 1.3325822757.. {\displaystyle 1.3325822757..} 이다.(OEIS의 수열 A083343) 브룬 상수 쌍둥이 소수 상수 수학 상수 (OEIS)http://oeis.org/A077761 (Flajolet and Vardi 1996, Schroeder 1997, Knuth 1998). Decimal expansion of average deviation of the total number of prime factors or decimal expansion of constant B2 from the summatory function of the restricted divisor function. (REFERENCES) S. R. Finch, Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 94, Cambridge University Press, pp. 94-98 J. Sandor, B. Crstici, Handbook of Number Theory II, p 155, Chapter V, 1) b) (OEIS)http://oeis.org/A083343 (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/MertensConstant.html (Rosser and Schoenfeld 1962, Montgomery 1971, Finch 2003) (OEIS)http://oeis.org/A083343 (OEIS)http://oeis.org/A271971 (OEIS)http://oeis.org/A161529 (OEIS)http://oeis.org/A272531 (OEIS)http://oeis.org/A136141 (OEIS)http://oeis.org/A075986 (OEIS)http://oeis.org/A166509 (OEIS)http://oeis.org/A276524 (OEIS)http://oeis.org/A249270 (OEIS)http://oeis.org/A249271