힐베르트 스킴

대수기하학에서, 힐베르트 스킴(영어: Hilbert scheme)은 어떤 스킴의 부분 스킴들의 모듈라이 공간인 스킴이다. 모든 사영 대수다양체는 힐베르트 스킴을 가진다. 이 경우, 섬세한 모듈러스 공간의 정의에서, 부분 스킴의 족은 평탄 사상을 뜻한다. 평탄 사상의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 가지므로, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대응하는 성분들로 분해된다. 다음이 주어졌다고 하자. 스킴 K {\displaystyle K} 스킴 S {\displaystyle S} , X {\displaystyle X} 및 스킴 사상 T → K ← X {\displaystyle T\to K\leftarrow X} . 즉, S / K {\displaystyle S/K} 와 X / K {\displaystyle X/K} 는 K {\displaystyle K} 위의 스킴이며, 조각 범주 Sch ⁡ / K {\displaystyle \operatorname {Sch} /K} 의 대상이다. 그렇다면, K {\displaystyle K} 위의, 매개 변수 공간 S {\displaystyle S} 에 대한 X {\displaystyle X} 의 부분 스킴의 족(영어: family of subschemes of X {\displaystyle X} parametrized by S {\displaystyle S} )은 닫힌 부분 스킴 Y ⊆ X × K S {\displaystyle Y\subseteq X\times _{K}S} 가운데, 표준적 K {\displaystyle K} -스킴 사상 Y / K → S / K {\displaystyle Y/K\to S/K} 이 평탄 사상인 것이다. S {\displaystyle S} 에 대한 X {\displaystyle X} 의 부분 스킴의 족의 집합을 Hilb X / K ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/K}(S)} 라고 하자. K {\displaystyle K} -스킴 사상 f : S ′ / K → S / K {\displaystyle f\colon S'/K\to S/K} 및 S {\displaystyle S} 위의 부분 스킴의 족 Y ⊆ X × K S {\displaystyle Y\subseteq X\times _{K}S} 이 주어졌을 때, 사상 ( X , f ) : X × K S → X × K S ′ {\displaystyle (X,f)\colon X\times _{K}S\to X\times _{K}S'} 아래 X {\displaystyle X} 의 원상 Y ′ ⊆ X × K S {\displaystyle Y'\subseteq X\times _{K}S} 을 정의할 수 있다. 즉, Hilb X / K {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/K}} 는 K {\displaystyle K} 위의 조각 범주의 반대 범주 ( Sch ⁡ / K ) op {\displaystyle (\operatorname {Sch} /K)^{\operatorname {op} }} 에서 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는 함자를 정의한다. 즉, 이는 Sch ⁡ / K {\displaystyle \operatorname {Sch} /K} 위의 준층이다. 만약 이 함자가 표현 가능 함자라면, 이를 표현하는 스킴을 Hilb P n {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}} 이라고 한다. 즉, 표준적으로 hom Sch ⁡ / K ⁡ ( S , Hilb X / K ) = Hilb X / K ⁡ ( S ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Sch} /K}(S,\operatorname {Hilb} _{X/K})=\operatorname {Hilb} _{X/K}(S)} 이다. 물론, K = Spec ⁡ Z {\displaystyle K=\operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 로 놓아, 절대적 힐베르트 스킴을 정의할 수 있다. 이 경우 hom Sch ⁡ ( S , Hilb X ) = Hilb X ⁡ ( S ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {Sch} }(S,\operatorname {Hilb} _{X})=\operatorname {Hilb} _{X}(S)} 이다. 만약 S {\displaystyle S} 가 국소 뇌터 스킴이며, X / S {\displaystyle X/S} 가 사영 스킴이라면, Hilb X / S {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/S}} 가 존재한다. 특히, 정수 계수의 사영 공간 P Z n = Proj ⁡ [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}=\operatorname {Proj} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 은 힐베르트 스킴을 갖는다. 반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 대수다양체가 존재한다. 구체적으로, 히로나카 헤이스케는 사영 대수다양체가 아닌 어떤 복소수 비특이 완비 대수다양체 X {\displaystyle X} 에 대하여, 대수 공간 X 2 / Sym ⁡ ( 2 ) {\displaystyle X^{2}/\operatorname {Sym} (2)} 가 스킴으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간 Hilb X ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X}(2)} 는 스킴이 아니다. K {\displaystyle K} 가 국소 뇌터 스킴이며, X = P K n = P Z n × K {\displaystyle X=\mathbb {P} _{K}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times K} 가 K {\displaystyle K} 계수의 사영 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 K {\displaystyle K} -부분 스킴에 대하여 힐베르트 다항식을 정의할 수 있다. 이는 유리수 계수 다항식이다. 평탄 스킴 족의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대한 성분들의 분리합집합이다. Hilb P K n / K = ⨆ p ∈ Q [ x ] Hilb P K n / K ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}=\bigsqcup _{p\in \mathbb {Q} [x]}\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)} 즉, 각 유리수 계수 다항식 p ∈ Q [ x ] {\displaystyle p\in \mathbb {Q} [x]} 에 대하여, Hilb P K n / K ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)} 는 힐베르트 다항식이 p {\displaystyle p} 인 닫힌 부분 스킴의 모듈라이 공간이다. 정수 계수 사영 공간 P Z n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}} 의 힐베르트 스킴 Hilb P Z n {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}} 은 다음과 같이 구체적으로 구성된다. 다항식 p ∈ Q [ t ] {\displaystyle p\in \mathbb {Q} [t]} 의 고츠만 수(Gotzmann數, 영어: Gotzmann number)는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 D {\displaystyle D} 이다. Z [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 의 임의의 포화 아이디얼 I ⊆ Z [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} , I = ⋃ i = 1 ∞ ( I : ( x 0 , x 1 , … , x n ) i ) {\displaystyle {\mathfrak {I}}=\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }({\mathfrak {I}}:(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})^{i})} 에 대하여, 만약 I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 의 힐베르트 다항식이 p {\displaystyle p} 라면, I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 는 D {\displaystyle D} 차 이하의 생성원만으로부터 생성될 수 있다. 힐베르트 스킴 Hilb P n ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)} 는 구체적으로 다음과 같이 표현될 수 있다. Hilb P n ⁡ ( p ) = { ( V , W ) ∈ Grass ⁡ ( ( n + D n ) − p ( D ) , Z [ x 0 , x 1 , … , x n ] D ) × Grass ⁡ ( ( n + D n ) − p ( D ) , Z [ x 0 , x 1 , … , x n ] D ) : ∀ i : x i V ⊆ W } {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)=\left\{(V,W)\in \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\times \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\colon \forall i\colon x_{i}V\subseteq W\right\}} 여기서 Grass ⁡ ( a , V ) {\displaystyle \operatorname {Grass} (a,V)} 는 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 a {\displaystyle a} 차원 부분 벡터 공간의 모듈라이 공간인 그라스만 다양체이다. D ∈ N {\displaystyle D\in \mathbb {N} } 는 p {\displaystyle p} 의 고츠만 수이다. Z [ x 0 , x 1 , … , x n ] D {\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}} 는 변수 x 0 , x 1 , … , x n {\displaystyle x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}} 에 대한 D {\displaystyle D} 차 동차다항식들의 공간이다. ( a b ) {\displaystyle \textstyle {\binom {a}{b}}} 는 이항 계수이다. 임의의 국소 뇌터 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여, 힐베르트 다항식이 상수 n {\displaystyle n} 인 힐베르트 스킴 Hilb X ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X}(n)} 을 생각하자. 이는 X {\displaystyle X} 위의 n {\displaystyle n} 개의 점으로 구성된 아르틴 부분 스킴의 모듈라이 공간이며, 따라서 짜임새 공간 X n / Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle X^{n}/\operatorname {Sym} (n)} 이다 ( Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 대칭군). 특히, Hilb X ⁡ ( 1 ) = X {\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X}(1)=X} 이다. 모듈라이 공간 지겔 모듈러 다양체 Nitsure, Nitin. “Construction of Hilbert and Quot schemes” (영어). arXiv:math/0504590.  Habibi, S. (2009). 《Hilbert and Quot schemes》 (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수: L. Barbieri Viale). Université de Bordeaux Ⅺ.  “Hilbert scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Hilbert scheme”. 《nLab》 (영어).  Siegel, Charles (2008년 7월 18일). “The Hilbert scheme” (영어).  Maclagan, Diane (2007년 9월). “Notes on Hilbert schemes” (PDF) (영어).  Bertram, Aaron (1999). “Construction of the Hilbert scheme” (영어).