환의 표수

환론에서, (1을 갖춘) 환의 표수(標數, characteristic)는 그 환이 부분환으로 포함하는 순환환 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 의 크기 n {\displaystyle n} 이다. 만약 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 를 부분환으로 포함할 경우, 환의 표수는 0으로 정의한다. R {\displaystyle R} 가 (1을 갖춘) 환이라고 하자. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 환의 범주 Ring {\displaystyle \operatorname {Ring} } 의 시작 대상이므로, 유일한 환 준동형 Z → R {\displaystyle \mathbb {Z} \to R} 이 존재한다. 이 준동형의 핵은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 아이디얼이며, ( n ) {\displaystyle (n)} ( n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } )의 꼴이다. 이 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 을 환 R {\displaystyle R} 의 표수라고 한다. 표수가 0이 아닌 환 R {\displaystyle R} 는 순환환 Z / ( n ) = Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 를 부분환으로 가진다. 표수가 0인 환은 정수환 Z / ( 0 ) = Z {\displaystyle \mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z} } 를 부분환으로 가진다. 즉, 1 ∈ R {\displaystyle 1\in R} 이라고 하면, 환의 표수는 1 + ⋯ + 1 ⏟ n = 0 {\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n}=0} 인 가장 작은 양의 정수다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다. 유사환 R {\displaystyle R} 의 표수는 다음과 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 이다. n r = r + ⋯ + r ⏞ n = 0 ∀ r ∈ R {\displaystyle nr=\overbrace {r+\cdots +r} ^{n}=0\qquad \forall r\in R} 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면, R {\displaystyle R} 의 표수는 0이다. 이렇게 정의한 유사환의 표수는 환의 표수와 일치한다. 이 정의는 유사환의 덧셈군 구조에만 의존하며, 따라서 일반적인 아벨 군에 대해서도 정의할 수 있다. 아벨 군의 원소들의 차수는 최소공배수에 대하여 닫혀 있으므로, (유사)환의 표수는 그 덧셈군의 원소들의 최대 차수와 같다. (만약 원소의 차수들의 상한이 존재하지 않는다면 표수는 0이다.) 두 환 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 사이에 환 준동형 R → S {\displaystyle R\to S} 가 적어도 하나 이상 존재한다면, 항상 char ⁡ S ∣ char ⁡ R {\displaystyle \operatorname {char} S\mid \operatorname {char} R} 이다. 즉, S {\displaystyle S} 의 표수는 R {\displaystyle R} 의 표수의 약수이다. 특히, R {\displaystyle R} 와 S {\displaystyle S} 가 체인 경우, 체의 표수는 소수이므로 char ⁡ S = char ⁡ R {\displaystyle \operatorname {char} S=\operatorname {char} R} 이어야 한다. 모든 소환(특히, 모든 정역 · 체 · 나눗셈환)의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. (이는 소환의 중심은 정역이고, 정역의 분수체는 체이며, 중심을 취하는 것과 분수체를 취하는 것은 표수를 바꾸지 않는 연산이기 때문이다.) 모든 순서체의 표수는 0이다. 표수가 소수 p {\displaystyle p} 인 유사환 R {\displaystyle R} 에서, 다음과 같은 분배 법칙이 성립하며, 이를 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream)이라고 한다. ( r + s ) p = r p + s p ∀ r , s ∈ R {\displaystyle (r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}\qquad \forall r,s\in R} 이는 자명하지 않는 이항 계수들이 모두 p {\displaystyle p} 의 배수이므로 사라지게 되기 때문이다. 이 이름은 이 항등식이 신입생이나 저지를 수 있는 흔한 "실수"처럼 보이기 때문이다. 유사환 R {\displaystyle R} 의 단위화 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 의 표수는 항상 0이다. 환 R {\displaystyle R} 및 모노이드 M {\displaystyle M} 에 대하여, 모노이드 환 R [ M ] {\displaystyle R[M]} 의 표수는 R {\displaystyle R} 의 표수와 같다. char ⁡ R [ M ] = char ⁡ R {\displaystyle \operatorname {char} R[M]=\operatorname {char} R} 모든 유한체의 표수는 소수이며, 유한체의 크기는 그 표수의 거듭제곱이다. 즉, 다음과 같다. char ⁡ F p n = p {\displaystyle \operatorname {char} \mathbb {F} _{p^{n}}=p} 체 K {\displaystyle K} 의 표수와, 그 대수적 폐포의 표수는 같다. char ⁡ K ¯ = char ⁡ K {\displaystyle \operatorname {char} {\bar {K}}=\operatorname {char} K} Dummit, D. S., Foote, R. M. (1998). 《Abstract Algebra》 2판. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. 422쪽.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) “Characteristic of a field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Field characteristic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Characteristic”. 《nLab》 (영어).  “Positive characteristic”. 《nLab》 (영어).  프로베니우스 사상