집적점

일반위상수학에서 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다. 기수 κ ∈ Card {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} } 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, x {\displaystyle x} 가 Y {\displaystyle Y} 의 κ {\displaystyle \kappa } -집적점(集積點, 영어: κ {\displaystyle \kappa } -accumulation point)이라고 한다. 임의의 x {\displaystyle x} 의 근방 X ⊇ U ∋ x {\displaystyle X\supseteq U\ni x} 에 대하여, | U ∩ Y | ≥ κ {\displaystyle |U\cap Y|\geq \kappa } 이다. 특히, 임의의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다. acc ⁡ ( x , Y ) = min U ∈ N x | Y ∩ U | {\displaystyle \operatorname {acc} (x,Y)=\min _{U\in {\mathcal {N}}_{x}}|Y\cap U|} 여기서 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} 는 x {\displaystyle x} 의 근방 필터이다. 즉, x {\displaystyle x} 는 항상 Y {\displaystyle Y} 의 acc ⁡ ( x , Y ) {\displaystyle \operatorname {acc} (x,Y)} -집적점이다. Y {\displaystyle Y} 의 κ {\displaystyle \kappa } -집적점들의 집합을 a c c p t κ ⁡ ( Y ) = { x ∈ X : acc ⁡ ( x , Y ) ≥ κ } {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)=\{x\in X\colon \operatorname {acc} (x,Y)\geq \kappa \}} 로 표기하자. 특별한 값의 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다. Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 | Y | {\displaystyle |Y|} -집적점을 완비 집적점(完備集積點, 영어: complete accumulation point)이라고 한다. ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -집적점을 응집점(凝集點, 영어: condensation point)이라고 한다. (여기서 ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 은 최소의 비가산 기수이다.) 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 이 주어졌을 때, 만약 임의의 근방 X ⊇ U ∋ x {\displaystyle X\supseteq U\ni x} 에 대하여, U ∩ Y ∖ { x } ≠ ∅ {\displaystyle U\cap Y\setminus \{x\}\neq \varnothing } 이라면, x {\displaystyle x} 를 Y {\displaystyle Y} 의 극한점(極限點, 영어: limit point)이라고 한다. 극한점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, 영어: derived set)이라고 하며, 흔히 Y ′ {\displaystyle Y'} 으로 표기한다. 일반적으로, 극한점의 개념은 2-집적점과 1-집적점 사이에 있다. X ⊆ X {\displaystyle X\subseteq X} 의 극한점이 아닌 점 x ∈ X ∖ X ′ {\displaystyle x\in X\setminus X'} 은 고립점(孤立點, 문화어: 외딴점, 영어: isolated point)이라고 한다. 즉, X {\displaystyle X} 의 고립점은 { x } {\displaystyle \{x\}} 가 열린집합인 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 이다. 1-집적점을 폐포점(閉包點, 영어: closure point) 또는 밀착점(密着點, 영어: adherent point)이라고 한다. Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 폐포점은 Y {\displaystyle Y} 의 원소이거나 아니면 Y {\displaystyle Y} 의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포 a c c p t 1 ⁡ ( Y ) = cl ⁡ Y {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{1}(Y)=\operatorname {cl} Y} 라고 한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 는 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 0-집적점이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 과 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 폐포점이다. x ∈ Y {\displaystyle x\in Y} 이거나, 또는 x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 극한점이다. 다시 말해, Y {\displaystyle Y} 의 폐포는 Y {\displaystyle Y} 와 그 극한점들의 집합의 합집합이다. X = a c c p t 0 ⁡ ( Y ) {\displaystyle X=\operatorname {acc\,pt} _{0}(Y)} cl ⁡ Y = Y ∪ Y ′ {\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y\cup Y'} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. Y {\displaystyle Y} 는 닫힌집합이다. Y ′ ⊆ Y {\displaystyle Y'\subseteq Y} cl ⁡ Y = Y {\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y} 만약 X {\displaystyle X} 가 T1 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다. x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 극한점이다. x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -집적점이다. 따라서, T1 공간의 경우 2 ≤ κ ≤ ℵ 0 {\displaystyle 2\leq \kappa \leq \aleph _{0}} 에 대하여 κ {\displaystyle \kappa } -집적점을 구별하지 않아도 되며, 이는 극한점과도 같은 개념이다. 증명: x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, U ∩ Y {\displaystyle U\cap Y} 가 유한 집합인 U ∈ N x {\displaystyle U\in {\mathcal {N}}_{x}} 가 존재한다. ( N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} 는 x {\displaystyle x} 의 근방 필터이다.) X {\displaystyle X} 가 T1 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서, U ~ = int ⁡ ( U ) ∖ ( Y ∖ { x } ) = int ⁡ ( U ) ∩ ⋂ y ∈ U ∩ ( Y ∖ { x } ) ( X ∖ { y } ) {\displaystyle {\widetilde {U}}=\operatorname {int} (U)\setminus (Y\setminus \{x\})=\operatorname {int} (U)\cap \bigcap _{y\in U\cap (Y\setminus \{x\})}(X\setminus \{y\})} 역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서 int {\displaystyle \operatorname {int} } 는 내부를 뜻한다.) U ~ ∈ N x {\displaystyle {\widetilde {U}}\in {\mathcal {N}}_{x}} 이자 U ~ ∩ Y = { x } {\displaystyle {\widetilde {U}}\cap Y=\{x\}} 이므로 x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 극한점이 아니다. T1 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다. 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 이산 공간이다. X {\displaystyle X} 의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다. 편의상 극한점을 1.5-집적점으로 일컫자. 그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 κ ≥ 1 {\displaystyle \kappa \geq 1} 에 대하여, a c c p t κ ⁡ ( ∅ ) = ∅ {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\varnothing )=\varnothing } 임의의 집합 Y , Z ⊆ X {\displaystyle Y,Z\subseteq X} 및 기수 κ ≤ 1.5 {\displaystyle \kappa \leq 1.5} 에 대하여, a c c p t κ ⁡ ( Y ∪ Z ) = a c c p t κ ⁡ ( Y ) ∪ a c c p t κ ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y\cup Z)=\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)\cup \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)} 임의의 집합 Z ⊆ Y ⊆ X {\displaystyle Z\subseteq Y\subseteq X} 및 기수 κ ≥ λ {\displaystyle \kappa \geq \lambda } 에 대하여, a c c p t κ ⁡ ( Z ) ⊆ a c c p t λ ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\lambda }(Y)} 임의의 부분 집합의 유도 집합이 닫힌집합인 위상 공간을 TD 공간이라고 한다. 모든 T1 공간은 TD 공간이며, 모든 TD 공간은 콜모고로프 공간이다. 실수선의 부분 집합 S = { 1 / n : n ∈ Z + } ⊊ R {\displaystyle S=\{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\subsetneq \mathbb {R} } 을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다. a c c p t κ ⁡ ( S ) = { R κ = 0 S ∪ { 0 } κ = 1 { 0 } 2 ≤ κ ≤ ℵ 0 ∅ κ ≥ ℵ 1 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(S)={\begin{cases}\mathbb {R} &\kappa =0\\S\cup \{0\}&\kappa =1\\\{0\}&2\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}} 실수선 속의, 무리수의 부분 집합 R ∖ Q ⊊ R {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} } 을 생각하자. a c c p t κ ⁡ ( R ∖ Q ) = { R 0 ≤ κ ≤ 2 ℵ 0 ∅ κ > 2 ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}} 실수선 속의, 유리수의 부분 집합 Q ⊊ R {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} } 을 생각하자. a c c p t κ ⁡ ( Q ) = { R 0 ≤ κ ≤ ℵ 0 ∅ κ ≥ ℵ 1 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}} 실수선을 스스로의 부분 집합 R ⊆ R {\displaystyle \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} } 으로 여기자. a c c p t κ ⁡ ( R ) = { R 0 ≤ κ ≤ 2 ℵ 0 ∅ κ > 2 ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}} 즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 부분 공간 { 0 } ∪ [ 1 , 2 ] {\displaystyle \{0\}\cup [1,2]} 의 고립점은 0밖에 없다. 실수선의 부분 공간 { 0 } ∪ { 1 / n : n ∈ Z + } {\displaystyle \{0\}\cup \{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 는 이산 공간이다. X {\displaystyle X} 의 모든 점은 고립점이다. 유도 집합(독일어: abgeleitete Punktmenge)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.:129, §2 Cantor, Georg (1872). “Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 5 (1): 123–132. doi:10.1007/BF01446327. ISSN 0025-5831.  “Limit point of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Accumulation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Proximate point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Condensation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Condensation point of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Complete accumulation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Derived set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Isolated point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Isolated point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Derived set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Perfect set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Limit point”. 《nLab》 (영어).  “Definition: limit point”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: adherent point”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: omega-accumulation point”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: condensation point”. 《ProofWiki》 (영어).  “Relationship between limit point types”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: derived set”. 《ProofWiki》 (영어).