정칙 국소환

가환대수학에서 정칙 국소환(正則局所環, 영어: regular local ring)은 극대 아이디얼의 최소 생성원 집합의 크기가 크룰 차원과 같은 뇌터 국소환이다. 가환 뇌터 국소환 ( R , m , K ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)} 에 대하여, 다음 두 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환 뇌터 국소환을 정칙 국소환이라고 한다. (여기서 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 R {\displaystyle R} 의 유일한 극대 아이디얼이며, K = R / m {\displaystyle K=R/{\mathfrak {m}}} 은 그 잉여류체이다.) 극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재한다. 즉, 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} 개의 원소들로 생성된다 ( dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} 는 크룰 차원). 크룰 높이 정리에 따라, 임의의 뇌터 환의 극대 아이디얼에 대하여, m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 최소한 dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} 개 이상의 원소로 생성된다. 즉, 이 조건은 크룰 높이 정리에 따른 하한이 포화된다는 것이다. dim K ⁡ m / m 2 = dim ⁡ R {\displaystyle \dim _{K}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim R} 이다. 여기서 dim K {\displaystyle \dim _{K}} 는 K {\displaystyle K} -벡터 공간의 차원이다. m / m 2 {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} 는 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 의 유일한 닫힌 점 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에서의 자리스키 공변접공간이다. 즉, 이 조건은 자리스키 (공변)접공간의 차원이 아핀 스킴 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 자체의 (크룰) 차원과 같다는 것이다. R {\displaystyle R} 위의 모든 가군들의 사영 차원은 상계를 갖는다. sup { pd ⁡ M : M ∈ Mod R } < ∞ {\displaystyle \sup\{\operatorname {pd} M\colon M\in \operatorname {Mod} _{R}\}<\infty } R {\displaystyle R} 위의 모든 가군들의 사영 차원은 dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} 이하이다. sup { pd ⁡ M : M ∈ Mod R } ≤ dim ⁡ R {\displaystyle \sup\{\operatorname {pd} M\colon M\in \operatorname {Mod} _{R}\}\leq \dim R} 정칙 스킴은 모든 국소환이 정칙 국소환인 스킴이다. 정칙환(正則環, 영어: regular ring) R {\displaystyle R} 는 아핀 스킴 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 가 정칙 스킴인 가환환이다. 즉, 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙 국소환인 가환환이다. 체를 포함하는 정칙 국소환 R {\displaystyle R} 는 스스로의 분수체에 대한 형식적 멱급수환이다. 즉, R ≅ Frac ⁡ ( R ) [ [ x 1 , … , x dim ⁡ R ] ] {\displaystyle R\cong \operatorname {Frac} (R)[[x_{1},\dots ,x_{\dim R}]]} 이다. 정칙 국소환의 모든 국소화 및 완비화 역시 정칙국소환이다. 국소 가환환이 정칙 국소 가환환일 필요 충분 조건은 그 (극대 아이디얼에서의) 완비화가 정칙 국소 가환환인 것이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이라는 사실은 오슬랜더-북스바움 정리(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)라고 한다. 또한, 다음이 성립한다. 정칙 국소환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. R {\displaystyle R} 는 체이다. dim ⁡ R = 0 {\displaystyle \dim R=0} 이다. (체는 크룰 차원이 0이며, 체에서는 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.) 정칙 국소환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. R {\displaystyle R} 는 이산 값매김환이다. dim ⁡ R = 1 {\displaystyle \dim R=1} 이다. 정칙 국소환은 국소화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있다. 이 가운데 뇌터 가환환인 것은 구조 정리가 알려져 있다. 소수 p {\displaystyle p} 에 대한 p진 정수환 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 은 이산 값매김환이므로 정칙 국소환이다. 이는 체를 포함하지 않는 정칙 국소환의 예이다. 국소환 R {\displaystyle R} 에 대한, n {\displaystyle n} 개의 변수에 대한 형식적 멱급수환 R [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle R[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]} 은 정칙 국소환이다. 특히, 체 K {\displaystyle K} 에 대한 형식적 멱급수환 K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle K[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]} 은 n {\displaystyle n} 차원의 정칙 국소환이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 국소 가환환 K [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle K[x]/(x^{2})} 를 생각하자. 그 크룰 차원은 0차원이지만, 그 극대 아이디얼 ( x ) {\displaystyle (x)} 은 영 아이디얼이 아니며, 하나의 원소로 생성된다. 따라서 이는 정칙 국소환이 아니다. 호몰로지 대수학적으로, K [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle K[x]/(x^{2})} 는 다음과 같은 무한 분해를 갖는다. ⋯ → ⋅ x K [ x ] ( x 2 ) → ⋅ x K [ x ] ( x 2 ) → ⋅ x K [ x ] ( x 2 ) → K → 0 {\displaystyle \dotsm {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}\to K\to 0} 따라서 그 가군의 사영 차원은 무한히 클 수 있으며, 상계를 갖지 못한다. 대수기하학적으로, K [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle K[x]/(x^{2})} 는 아핀 직선 A K 1 = Spec ⁡ K [ x ] {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]} 속의 원점 Spec ⁡ ( K [ x ] / ( x ) ) ↪ Spec ⁡ K [ x ] {\displaystyle \operatorname {Spec} (K[x]/(x))\hookrightarrow \operatorname {Spec} K[x]} 의 ‘무한소 근방’에 해당한다. 따라서 이는 기하학적으로 특이점을 이룬다. 이는 사실 대수기하학에서, 완전체에 대한 대수다양체 V {\displaystyle V} 가 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 에서 비특이인 필요 충분 조건은 싹의 국소환 O V , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,x}} 가 정칙 국소환인 것이다. ‘정칙 국소환’이라는 이름은 이 성질에서 유래하였다. 이를 사용하여, 정칙성을 일반적인 스킴에 대하여 정의할 수 있다. 정칙 스킴(영어: regular scheme)은 정칙환의 스펙트럼으로 덮을 수 있는 스킴이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대한 아핀 대수다양체 V ⊂ K n {\displaystyle V\subset K^{n}} 속의 (닫힌) 점 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다. 국소환 O V , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,x}} 가 정칙국소환이다. V {\displaystyle V} 가 다항식들 f 1 , … , f m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]} 의 영점들의 교집합이라고 하자. 그렇다면, x ∈ K n {\displaystyle x\in K^{n}} 에서의 m × n {\displaystyle m\times n} 야코비 행렬 ( ∂ f i / ∂ x j ) | x {\displaystyle (\partial f_{i}/\partial x^{j})|_{x}} 의 계수가 n − dim ⁡ V {\displaystyle n-\dim V} 이다. 즉, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수다양체의 경우 이 조건은 고전적인 비특이점의 개념과 일치함을 알 수 있다. 정칙 국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1937년에 도입하였다. Auslander, Maurice; Buchsbaum, David Alvin (1959). “Unique factorization in regular local rings”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 45: 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733. ISSN 0027-8424. JSTOR 90213. MR 0103906.  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Krull, Wolfgang (1937). “Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche Ⅲ. 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