여과 범주

범주론에서, 여과 범주(濾過範疇, 영어: filtered category)는 상향 원순서 집합의 개념의 범주론적 일반화이다. 여과 범주를 정의역으로 하는 쌍대 극한은 유한 극한과 가환한다. 정칙 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌다고 하자. 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 가 다음 조건들을 만족시킨다면, κ {\displaystyle \kappa } -여과 범주라고 한다. 임의의 작은 범주 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 및 함자 D : I → J {\displaystyle D\colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {J}}} 에 대하여, 만약 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 의 사상 집합의 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만이라면, D {\displaystyle D} 는 쌍대뿔(영어: cocone)을 갖는다. ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -여과 범주는 단순히 여과 범주라고 한다. 마찬가지로, κ {\displaystyle \kappa } -쌍대 여과 범주(영어: κ {\displaystyle \kappa } -cofiltered category)는 κ {\displaystyle \kappa } -여과 범주의 반대 범주이다. 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -여과 범주이다. 다음 세 조건들을 만족시킨다. 하나 이상의 대상을 갖는다. (이는 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 가 아무 대상을 갖지 않을 때의 경우이다.) (두 대상의 상계의 존재) 임의의 두 대상 I , J ∈ J {\displaystyle I,J\in {\mathcal {J}}} 에 대하여, 대상 K ∈ J {\displaystyle K\in {\mathcal {J}}} 및 두 사상 I → f K ← g J {\displaystyle I{\xrightarrow {f}}K{\xleftarrow {g}}J} 이 존재한다. (두 사상의 상계의 존재) 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 f , g : I → J {\displaystyle f,g\colon I\to J} 에 대하여, h ∘ f = h ∘ g {\displaystyle h\circ f=h\circ g} 가 되는 대상 K {\displaystyle K} 및 사상 h : J → K {\displaystyle h\colon J\to K} 가 존재한다. I → f J g ↓ g h ↓ h J → h K {\displaystyle {\begin{matrix}I&{\overset {f}{\to }}&J\\{\scriptstyle g}{\downarrow }{\color {White}\scriptstyle g}&&{\color {White}\scriptstyle h}{\downarrow }\scriptstyle h\\J&{\underset {h}{\to }}&K\end{matrix}}} 임의의 완비 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 및 임의의 작은 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 에 대하여 극한 함자 lim ← J : C J → C {\displaystyle \varprojlim _{\mathcal {J}}\colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}} 를 정의할 수 있으며, 임의의 쌍대 완비 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 및 임의의 작은 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 에 대하여 쌍대 극한 함자 lim → J : C J op → C {\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {J}}\colon {\mathcal {C}}^{{\mathcal {J}}^{\operatorname {op} }}\to {\mathcal {C}}} 를 정의할 수 있다. 특히, 작은 범주의 범주는 데카르트 닫힌 범주이므로, 두 개의 작은 범주 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} , J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 및 함자 D : J × I op → Set {\displaystyle D\colon {\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } D ∈ Set J × I op ≃ ( Set J ) I op ≃ ( Set I op ) J {\displaystyle D\in \operatorname {Set} ^{{\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}\simeq (\operatorname {Set} ^{\mathcal {J}})^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}\simeq (\operatorname {Set} ^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }})^{\mathcal {J}}} 에 대하여, 함자 lim → I ⁡ D ∈ Set J {\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {I}}D\in \operatorname {Set} ^{\mathcal {J}}} lim ← J ⁡ D ∈ Set I op {\displaystyle \varprojlim _{\mathcal {J}}D\in \operatorname {Set} ^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}} 및 집합 lim → J ⁡ lim ← I ⁡ D ∈ Set {\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\in \operatorname {Set} } lim ← I ⁡ lim → J ⁡ D ∈ Set {\displaystyle \varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D\in \operatorname {Set} } 를 정의할 수 있다. 또한, 극한 또는 쌍대 극한의 보편 성질에 의하여 표준적인 함수 lim → J ⁡ lim ← I ⁡ D → lim ← I ⁡ lim → J ⁡ D {\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\to \varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D} 가 존재한다. 작은 범주 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -여과 범주이다. (극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 및 임의의 함자 D : J × I op → Set {\displaystyle D\colon {\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 에 대하여, 표준적인 사상 lim → J ⁡ lim ← I ⁡ D → lim ← I ⁡ lim → J ⁡ D {\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\to \varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D} 는 항상 전단사 함수이다. “Filtered category”. 《nLab》 (영어).  “Filtered limit”. 《nLab》 (영어).  “Motivation of filtered colimits” (영어). Math Overflow.  “Why are there no filtered limits?” (영어). StackExchange.