모리타 동치

환론에서 모리타 동치([森田]同値, 영어: Morita equivalence)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 오른쪽 가군 U R {\displaystyle U_{R}} 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 ( R , S , U , V , ϕ , ψ ) {\displaystyle (R,S,U,V,\phi ,\psi )} 을 다음과 같이 정의할 수 있다. S = hom R ⁡ ( U R , U R ) {\displaystyle S=\hom _{R}(U_{R},U_{R})} R V = hom R ⁡ ( S U R , R R R ) {\displaystyle {}_{R}V=\hom _{R}(_{S}U_{R},_{R}R_{R})} ϕ : U ⊗ R V → S {\displaystyle \phi \colon U\otimes _{R}V\to S} , ( u ⊗ v ) ↦ ( u ′ ↦ u v ( u ′ ) ) {\displaystyle (u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u'))} ψ : V ⊗ S U → R {\displaystyle \psi \colon V\otimes _{S}U\to R} , ( v ⊗ u ) ↦ v ( u ) {\displaystyle (v\otimes u)\mapsto v(u)} U R {\displaystyle U_{R}} 가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, U R {\displaystyle U_{R}} 에 대응되는 모리타 문맥 ( R , S , U , V , ϕ , χ ) {\displaystyle (R,S,U,V,\phi ,\chi )} 에 대하여, ⊗ R V S : Mod R ⇄ Mod S : ⊗ S U R {\displaystyle \otimes _{R}V_{S}\colon \operatorname {Mod} _{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} _{S}\colon \otimes _{S}U_{R}} 는 범주의 동치를 이룬다. S U ⊗ R : R Mod ⇄ S Mod S : S V ⊗ R {\displaystyle _{S}U\otimes _{R}\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \rightleftarrows {}_{S}\operatorname {Mod} _{S}\colon _{S}V\otimes _{R}} 는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다. 반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치 F : Mod R ⇄ Mod S : G {\displaystyle F\colon \operatorname {Mod} _{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} _{S}\colon G} 가 주어졌을 때, S U R = G ( S S S ) {\displaystyle _{S}U_{R}=G(_{S}S_{S})} R V S = F ( R R R ) {\displaystyle _{R}V_{S}=F(_{R}R_{R})} 로 놓으면, U R {\displaystyle U_{R}} 는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 U R {\displaystyle U_{R}} 에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다. F ≅ ⊗ R V {\displaystyle F\cong \otimes _{R}V} G ≅ ⊗ S U {\displaystyle G\cong \otimes _{S}U} 또한, 임의의 두 환 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} 에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다. 가법 동치 Mod R → Mod S {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Mod} _{S}} 의 (자연 동형에 대한) 동형류 다음 두 조건을 만족시키는 ( S , R ) {\displaystyle (S,R)} -쌍가군 S U R {\displaystyle _{S}U_{R}} 들의 동형류 U R {\displaystyle U_{R}} 는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 생성 대상이다. S U R {\displaystyle _{S}U_{R}} 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다. 이와 같이, 두 환 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(영어: Morita-equivalent)라고 하며, R ≈ S {\displaystyle R\approx S} 로 표기한다. 쌍가군 S U R {\displaystyle _{S}U_{R}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다. hom R ⁡ ( ( − ) R , S U R ) : Mod R → S Mod op {\displaystyle \hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\colon \operatorname {Mod} _{R}\to {}_{S}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }} hom S ⁡ ( S ( − ) , S U R ) : S Mod → Mod R op {\displaystyle \hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }} 이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다. hom R ⁡ ( ( − ) R , S U R ) ⊣ hom S ⁡ ( S ( − ) , S U R ) {\displaystyle \hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\dashv \hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)} 수반 함자의 성분인 자연스러운 사상 M R → hom S ⁡ ( hom R ⁡ ( M R , S U R ) , S U R ) {\displaystyle M_{R}\to \hom _{S}\left(\hom _{R}(M_{R},_{S}U_{R}),_{S}U_{R}\right)} 이 동형 사상일 경우, R {\displaystyle R} -오른쪽 가군 M R {\displaystyle M_{R}} 를 U {\displaystyle U} -반사 가군(영어: U {\displaystyle U} -reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로 S {\displaystyle S} -왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를 Mod R ⁡ [ U ] {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}[U]} 및 S Mod ⁡ [ U ] {\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} [U]} 로 표기하자. 이 경우, Mod R ⁡ [ U ] {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}[U]} 와 S Mod ⁡ [ U ] op {\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} [U]^{\operatorname {op} }} 는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 충만한 부분 가법 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다. 짧은 완전열 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 에 대하여, A , C ∈ C {\displaystyle A,C\in {\mathcal {C}}} 라면 B ∈ C {\displaystyle B\in {\mathcal {C}}} 이다. 쌍가군 S U R {\displaystyle _{S}U_{R}} 에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다. Mod R ⁡ [ U ] {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}[U]} 는 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 세르 부분 범주이며, S Mod ⁡ [ U ] {\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} [U]} 는 S Mod {\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} } 의 세르 부분 범주이며, R R ∈ Mod R ⁡ [ U ] {\displaystyle R_{R}\in \operatorname {Mod} _{R}[U]} 이며, S S ∈ S Mod ⁡ [ U ] {\displaystyle _{S}S\in _{S}\operatorname {Mod} [U]} 이다. R R {\displaystyle R_{R}} , U R {\displaystyle U_{R}} , S S {\displaystyle _{S}S} , S U {\displaystyle _{S}U} 의 모든 몫가군은 U {\displaystyle U} -반사 가군이다. U R {\displaystyle U_{R}} 는 단사 가군이자 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 S U {\displaystyle _{S}U} 는 단사 가군이자 S Mod {\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} } 의 쌍대 생성 대상이며, 또한 S U R {\displaystyle _{S}U_{R}} 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다. 이 경우, U {\displaystyle U} 가 모리타 쌍대성(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다. 또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 U {\displaystyle U} -반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 U {\displaystyle U} 및 U ′ {\displaystyle U'} 에 대하여, U {\displaystyle U} -반사 가군인지 여부는 U ′ {\displaystyle U'} -반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 U {\displaystyle U} 에 의존하지 않는다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다. 모든 환 R {\displaystyle R} 및 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여, R {\displaystyle R} 는 Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 R {\displaystyle R} -자유 가군 U = R ⊕ n {\displaystyle U=R^{\oplus n}} 에 의하여 생성된다. 즉, S = End R ⁡ ( R ⊕ n ) = Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle S=\operatorname {End} _{R}(R^{\oplus n})=\operatorname {Mat} (n;R)} R U S = R ⊕ n {\displaystyle _{R}U_{S}=R^{\oplus n}} . 이는 행벡터(= 1 × n {\displaystyle 1\times n} 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다. S V R = R ⊕ n {\displaystyle _{S}V_{R}=R^{\oplus n}} . 이는 열벡터(= n × 1 {\displaystyle n\times 1} 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다. ϕ : R U ⊗ S V R → R R R {\displaystyle \phi \colon _{R}U\otimes _{S}V_{R}\to {}_{R}R_{R}} 는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다. ψ : S V ⊗ R U S → S S S {\displaystyle \psi \colon _{S}V\otimes _{R}U_{S}\to _{S}S_{S}} 는 열벡터와 행벡터의 외적이다. 아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 R {\displaystyle R} 는 유한 개의 나눗셈환 D 1 , … , D k {\displaystyle D_{1},\dots ,D_{k}} 위의 행렬환 Mat ⁡ ( n i , D i ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n_{i},D_{i})} 들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다. R ≅ Mat ⁡ ( n 1 ; D 1 ) × ⋯ × Mat ⁡ ( n k ; D k ) ≈ D 1 × ⋯ × D k {\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n_{1};D_{1})\times \cdots \times \operatorname {Mat} (n_{k};D_{k})\approx D_{1}\times \cdots \times D_{k}} 모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다. Morita, Kiiti (1958). “Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition”. 《Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A》 (영어) 6 (150): 83–142. ISSN 0371-3539. Zbl 0080.25702.  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Schwede, Stefan (2004). 〈Morita theory in Abelian, derived and stable model categories〉. Baker, Andrew; Richter, Birgit. 《Structured ring spectra》. London Mathematical Society Lecture Notes (영어) 315. Cambridge University Press. 33–86쪽. arXiv:math/0310146. Bibcode:2003math.....10146S. ISBN 978-0-52160305-8.  Müller, Bruno J. (1984). 〈Morita duality — a survey〉. Göbel, R.; Metelli, C.; Orsatti, A.; Salce, L. 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Udine Conference, Udine, April 9–14, 1984》. International Centre for Mechanical Sciences Courses and Lectures (영어) 287. Springer-Verlag. 395–414쪽. doi:10.1007/978-3-7091-2814-5_30. ISBN 978-3-211-81847-3. ISSN 0254-1971.  Phạm Ngọc Ánh (1985). 〈Morita duality, linear compactness and AB5: a survey〉. 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