케일리의 정리

군론에서 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 모든 군이 대칭군의 부분군과 동형이라는 정리이다. 아서 케일리의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 순열군을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 정칙표현(正則表現)이라고 한다. 집합 G {\displaystyle G} 위의 순열이란 G {\displaystyle G} 에서 G {\displaystyle G} 로 가는 전단사이다. G {\displaystyle G} 위의 모든 순열은 함수의 합성을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 G {\displaystyle G} 위의 대칭군이라 하며 Sym ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (G)} 라 쓴다. 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 순열군과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “유한군이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”. 케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 G {\displaystyle G} 를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 S 3 {\displaystyle S_{3}} 은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 S 6 {\displaystyle S_{6}} 의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다. 케일리는 현대와 같은 군을 처음으로 정의한 사람이다. 그 전까지 군(group)은 오늘날의 순열군을 뜻하는 말이었다. 케일리의 정리는 두 개념이 동치임을 보여준다. 1911년에 윌리엄 번사이드는 케일리의 정리를 1870년에 카미유 조르당이 처음 발표했다고 했지만, 에릭 누멜라는 일반적으로 쓰이는 이름인 “케일리의 정리”라는 이름이 사실 더 알맞다고 본다. 케일리는 자신의 1854년 논문에서 군과 순열군 사이에 일대일 대응을 만들 수 있음을 보였지만, 그 대응이 군 준동형사상임을 명시적으로 증명하지는 않았다. 하지만 누멜라는 케일리가 조르당보다 16년 앞서 수학계에 이 결과를 알렸다고 지적한다. 이후 발터 뒤크가 1882년에 자기 책에 케일리의 정리를 실었고 번사이드의 책의 1897년 초판에서는 케일리의 정리를 증명한 사람이 뒤크라고 소개했다. 군 ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} 의 각 원소 g {\displaystyle g} 에 대해 함수 f g : G → G {\displaystyle f_{g}:G\to G} 를 f g ( x ) = g ∗ x {\displaystyle f_{g}(x)=g*x} 로 정의하자. 이 함수는 역함수 f g − 1 {\displaystyle f_{g^{-1}}} 을 지니므로, G {\displaystyle G} 위의 순열이고, Sym ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (G)} 의 원소이다. 그러면 K = { f g : g ∈ G } {\displaystyle K=\{f_{g}:g\in G\}} 는 Sym ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (G)} 의 부분군으로서 G {\displaystyle G} 와 동형이다. 이를 보이는 가장 빠른 방법은 함수 T : G → Sym ⁡ ( G ) {\displaystyle T:G\to \operatorname {Sym} (G)} 를 T ( g ) = f g {\displaystyle T(g)=f_{g}} 로 정의하는 것이다. 그러면 모든 x ∈ G {\displaystyle x\in G} 에 대해 ( f g ⋅ f h ) ( x ) = f g ( f h ( x ) ) = f g ( h ∗ x ) = g ∗ ( h ∗ x ) = ( g ∗ h ) ∗ x = f g ∗ h ( x ) {\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x)} 이므로, T ( g ) ⋅ T ( h ) = f g ⋅ f h = f g ∗ h = T ( g ∗ h ) {\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h)} 가 되어, T {\displaystyle T} 가 군 준동형사상임을 알 수 있다. 또 준동형사상 T {\displaystyle T} 는 단사인데, 왜냐하면 만약 g ∗ x = g ′ ∗ x {\displaystyle g*x=g'*x} 라면 소거법칙에 의해 g = g ′ {\displaystyle g=g'} 여야 하기 때문이다. 따라서 G {\displaystyle G} 는 K {\displaystyle K} 와 동형이다. 위 증명에서 T {\displaystyle T} 를 G {\displaystyle G} 의 정칙표현이라고 부른다. 또 f g ( x ) = g ∗ x {\displaystyle f_{g}(x)=g*x} 를 g {\displaystyle g} 의 왼쪽 정칙표현이라고 하는데, h g ( x ) = x ∗ g {\displaystyle h_{g}(x)=x*g} 로 정의되는 오른쪽 정칙표현을 사용해도 상관없다. G {\displaystyle G} 의 항등원은 항등순열에 대응하고, 나머지 모든 원소는 교란순열에 대응한다. 이는 그 원소의 위수보다 낮은 지수의 거듭제곱인 원소도 마찬가지이므로, 각 원소는 똑같은 길이를 가진 순환치환들의 곱이다. 이때 순환치환의 길이는 그 원소의 위수와 같다. 각 순환치환의 원소들은 그 원소가 생성하는 부분군의 왼쪽 잉여류를 이룬다. 예를 들어 대칭군 S 3 {\displaystyle S_{3}} 의 정칙표현은 다음과 같다. Jacobson (2009, 38쪽) Jacobson (2009, 31쪽) J. L. Alperin; Rowen B. Bell (1995). 《Groups and representations》. Springer. 29쪽. ISBN 978-0-387-94525-5.  Johnson, D. L. (1971). “Minimal Permutation Representations of Finite Groups”. 《American Journal of Mathematics》 93 (4): 857. doi:10.2307/2373739. JSTOR 2373739.  Grechkoseeva, M. A. (2003). “On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups”. 《Siberian Mathematical Journal》 44 (3): 443–462. doi:10.1023/A:1023860730624.  Burnside, William (1911), 《Theory of Groups of Finite Order》 2판, Cambridge, 22쪽, ISBN 0-486-49575-2  Jordan, Camille (1870), 《Traite des substitutions et des equations algebriques》, Paris: Gauther-Villars  Nummela, Eric (1980), “Cayley's Theorem for Topological Groups”, 《American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) 87 (3): 202–203, doi:10.2307/2321608, JSTOR 2321608  Cayley, Arthur (1854), “On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1”, 《Philosophical Magazine》 7 (42): 40–47  von Dyck, Walther (1882), “Gruppentheoretische Studien” [Group-theoretical Studies], 《Mathematische Annalen》 20 (1): 30, doi:10.1007/BF01443322, hdl:2027/njp.32101075301422, ISSN 0025-5831 . (독일어) Burnside, William (1897), 《Theory of Groups of Finite Order》 1판, Cambridge, 22쪽  Jacobson, Nathan (2009). 《Basic algebra》 2판. Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. . 요네다 보조정리 표현 정리