남 방정식

이론물리학에서 남 방정식(Nahm方程式, 영어: Nahm equation)은 SU(2) 자기 홀극을 나타내는 연립 1차 상미분 방정식이다. 다음이 주어졌다고 하자. 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) C {\displaystyle C} . 보통 C = ( 0 , 2 ) {\displaystyle C=(0,2)} (길이 2의 열린 선분) 또 는 C = R / ℓ Z {\displaystyle C=\mathbb {R} /\ell \mathbb {Z} } (길이 ℓ {\displaystyle \ell } 의 원)으로 잡는다. 그렇다면, 남 방정식의 변수는 C {\displaystyle C} 위의 3개의 함수 T → ∈ C ∞ ( C , g ⊗ R 3 ) {\displaystyle {\vec {T}}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(C,{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {R} ^{3})} 및 C {\displaystyle C} 위의 (자명한) U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} -주다발의 주접속 T 0 ∈ C ∞ ( C , u ( n ) ) {\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(C,{\mathfrak {u}}(n))} 이다. 즉, 이를 통하여 C {\displaystyle C} 위의 공변 미분 D = d d z + [ T 0 , − ] {\displaystyle D={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+[T_{0},-]} 을 정의할 수 있다. 남 방정식은 다음과 같다. D T i = 1 2 ϵ i j k [ T j , T k ] {\displaystyle DT_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}[T_{j},T_{k}]} 여기서 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} 는 레비치비타 기호이다. [ − , − ] {\displaystyle [-,-]} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 괄호이다. 즉, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다. d d z T 1 + [ T 0 , T 1 ] = [ T 2 , T 3 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T_{1}+[T_{0},T_{1}]=[T_{2},T_{3}]} d d z T 2 + [ T 0 , T 2 ] = [ T 3 , T 1 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T_{2}+[T_{0},T_{2}]=[T_{3},T_{1}]} d d z T 3 + [ T 0 , T 3 ] = [ T 1 , T 2 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T_{3}+[T_{0},T_{3}]=[T_{1},T_{2}]} 이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다. R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 위의 보고몰니 방정식의 자기 홀극 해를 구성하기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 사용한다. g = u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n)} 은 n × n {\displaystyle n\times n} 반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬의 교환자이다. C = ( 0 , 2 ) {\displaystyle C=(0,2)} 는 길이 2의 열린구간이다. T {\displaystyle T} 는 해석 함수이다. z → 0 {\displaystyle z\to 0} 또는 z → 2 {\displaystyle z\to 2} 에서, T i {\displaystyle T_{i}} 는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 의 n {\displaystyle n} 차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수 T i ( z ) = T i ( − 1 ) z − 1 + T i ( 0 ) + T i ( 1 ) z + ⋯ = T i ′ ( − 1 ) ( z − 2 ) − 1 + T i ′ ( 0 ) + T i ′ ( 1 ) ( z − 2 ) + ⋯ {\displaystyle T_{i}(z)=T_{i}^{(-1)}z^{-1}+T_{i}^{(0)}+T_{i}^{(1)}z+\dotsb =T_{i}^{\prime (-1)}(z-2)^{-1}+T_{i}^{\prime (0)}+T_{i}^{\prime (1)}(z-2)+\dotsb } 에서, [ T i ( − 1 ) , T j ( − 1 ) ] = 1 2 ϵ i j k T k ( − 1 ) {\displaystyle [T_{i}^{(-1)},T_{j}^{(-1)}]={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}T_{k}^{(-1)}} [ T i ′ ( − 1 ) , T j ′ ( − 1 ) ] = 1 2 ϵ i j k T k ′ ( − 1 ) {\displaystyle [T_{i}^{\prime (-1)},T_{j}^{\prime (-1)}]={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}T_{k}^{\prime (-1)}} 이다. 남 방정식을 통하여 칼로론을 구성할 수도 있다. 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다. C = R / ℓ Z {\displaystyle C=\mathbb {R} /\ell \mathbb {Z} } 는 둘레 ℓ {\displaystyle \ell } 의 원이다. C {\displaystyle C} 에는 특별한 점 z 1 , z 2 , … , z p ∈ C {\displaystyle z_{1},z_{2},\dotsc ,z_{p}\in C} 이 주어진다. [ z a , z a + 1 ] {\displaystyle [z_{a},z_{a+1}]} 에서, g = u ( n i ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n_{i})} 이다. T i {\displaystyle T_{i}} 들이 작용하는 복소수 n {\displaystyle n} 차원 에르미트 벡터 다발 E {\displaystyle E} 는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. [ z a , z a + 1 ] {\displaystyle [z_{a},z_{a+1}]} 에서의 다발을 E a {\displaystyle E^{a}} 라고 하자. 특별한 점 k a {\displaystyle k_{a}} 에서, E a − 1 {\displaystyle E^{a-1}} 과 E a {\displaystyle E^{a}} 의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다. 만약 n a − 1 < n a {\displaystyle n_{a-1}<n_{a}} 라면, 단사 사상 E a − 1 | z a → E a | z a {\displaystyle E^{a-1}|_{z_{a}}\to E^{a}|_{z_{a}}} 만약 n a − 1 > n a {\displaystyle n_{a-1}>n_{a}} 라면, 단사 사상 E a | z a → E a − 1 | z a {\displaystyle E^{a}|_{z_{a}}\to E^{a-1}|_{z_{a}}} 만약 n a − 1 > n a {\displaystyle n_{a-1}>n_{a}} 라면, 전단사 사상 E a − 1 | z a → E a | z a {\displaystyle E^{a-1}|_{z_{a}}\to E^{a}|_{z_{a}}} T i a {\displaystyle T_{i}^{a}} 는 해석 함수이며, 각 특별한 점 z a {\displaystyle z_{a}} 에서 T i {\displaystyle T_{i}} 는 다음과 같은 경계 조건을 따른다. n a − 1 < n a {\displaystyle n_{a-1}<n_{a}} 일 때: z ≈ z a {\displaystyle z\approx z_{a}} 에서 다음이 성립한다. T a ( z ) = ( T a − 1 ( z ) O ( ( z − z i ) ( n a − n a − 1 − 1 ) / 2 ) O ( ( z − z a ) ( n a − n a − 1 − 1 ) / 2 ) ( z − z a ) − 1 R i + O ( 1 ) ) {\displaystyle T^{a}(z)={\begin{pmatrix}T^{a-1}(z)&{\mathcal {O}}((z-z_{i})^{(n_{a}-n_{a-1}-1)/2})\\{\mathcal {O}}((z-z_{a})^{(n_{a}-n_{a-1}-1)/2})&(z-z_{a})^{-1}R_{i}+{\mathcal {O}}(1)\end{pmatrix}}} 여기서 유수 R a {\displaystyle R^{a}} 는 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 의 기약 표현을 이룬다. n a − 1 > n a {\displaystyle n_{a-1}>n_{a}} 일 때: 위와 마찬가지로 정의한다. n a − 1 = n a {\displaystyle n_{a-1}=n_{a}} 일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 리 군이 G {\displaystyle G} 라면, 남 방정식과 그 경계 조건은 C ∞ ( C , G ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(C,G)} 의 게이지 변환을 갖는다. 만약 C {\displaystyle C} 가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여, T 0 = 0 {\displaystyle T_{0}=0} 으로 놓을 수 있다. 그렇다면, 이 게이지 변환에서 O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} 만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용 T ( z ) ↦ O T ( z ) O − 1 ( O ∈ O ⁡ ( n ) ) {\displaystyle T(z)\mapsto OT(z)O^{-1}\qquad (O\in \operatorname {O} (n))} 에 대하여 불변이다. T 0 = 0 {\displaystyle T_{0}=0} 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 4 n + n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle 4n+n(n-1)/2} 이며, 남은 게이지 변환 O ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} 에 대한 몫공간의 차원은 4 n {\displaystyle 4n} 이다. 이는 n개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다. 남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉, A 0 = − i T 1 + T 2 , A 1 = − 2 T 3 , A 2 = − i T 1 − T 2 {\displaystyle A_{0}=-\mathrm {i} T_{1}+T_{2},\quad A_{1}=-2T_{3},\quad A_{2}=-\mathrm {i} T_{1}-T_{2}} A ( t ) = A 0 + t A 1 + t 2 A 2 {\displaystyle A(t)=A_{0}+tA_{1}+t^{2}A_{2}} B ( t ) = 1 2 d A d t = 1 2 A 1 + t A 2 ≡ B 0 + t B 1 {\displaystyle B(t)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}A_{1}+tA_{2}\equiv B_{0}+tB_{1}} 로 놓자. 여기서 t {\displaystyle t} 는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다. ∂ A ( t ) ∂ z = [ A ( t ) , B ( t ) ] {\displaystyle {\frac {\partial A(t)}{\partial z}}=[A(t),B(t)]} 즉, 양변을 t {\displaystyle t} 에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면, ∂ ∂ z A 0 = [ A 0 , B 0 ] = 1 2 [ A 0 , A 1 ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}A_{0}=[A_{0},B_{0}]={\frac {1}{2}}[A_{0},A_{1}]} ∂ ∂ z A 1 = [ A 1 , B 0 ] + [ A 0 , B 1 ] = [ A 0 , A 2 ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}A_{1}=[A_{1},B_{0}]+[A_{0},B_{1}]=[A_{0},A_{2}]} ∂ ∂ z A 2 = [ A 1 , B 1 ] + [ A 2 , B 0 ] = [ A 1 , A 2 ] + 1 2 [ A 2 , A 0 ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}A_{2}=[A_{1},B_{1}]+[A_{2},B_{0}]=[A_{1},A_{2}]+{\frac {1}{2}}[A_{2},A_{0}]} 0 = [ A 2 , B 1 ] {\displaystyle 0=[A_{2},B_{1}]} 가 된다. 이에 따라, 방정식 det ( x − A ( t , z ) ) = 0 {\displaystyle \det(x-A(t,z))=0} 으로 정의되는 스펙트럼 곡선은 ∂ / ∂ z {\displaystyle \partial /\partial z} 에 대하여 불변이다. 이 방정식은 x {\displaystyle x} 에 대한 n {\displaystyle n} 차 방정식이다. 여기서, t {\displaystyle t} 는 자연스럽게 사영 직선 P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}} 의 좌표로 생각할 수 있으며, ( x , t ) {\displaystyle (x,t)} 는 그 접공간 T P 1 {\displaystyle \mathrm {T} \mathbb {P} ^{1}} 위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다. 3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해서도 작도할 수 있으며, 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 나타낸다. 유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론이 다음과 같은 장들을 가진다고 하자. SU(2) 게이지장 A {\displaystyle A} 딸림표현의 실수 스칼라장 ϕ {\displaystyle \phi } . 이는 퍼텐셜을 갖지 않는다. (이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.) 이 경우, ϕ {\displaystyle \phi } 의 퍼텐셜이 0이므로 임의의 진공 기댓값 ⟨ ϕ ⟩ ∈ s u ( 2 ) {\displaystyle \langle \phi \rangle \in {\mathfrak {su}}(2)} 를 줄 수 있다 (힉스 가지). 이에 따라서 게이지 군은 그 카르탕 부분군 U(1)으로 깨지고, 이에 따라 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극들이 존재하게 된다. n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 개의 자기 홀극을 포함하는 상태들은 남 방정식을 통해 작도할 수 있다. 이러한 상태들의 모듈라이 공간의 차원은 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산할 수 있고, 4 n {\displaystyle 4n} 이다. 여기서 지수를 i , j , ⋯ = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i,j,\dots =1,2,3} 이고, a = 1 , … , n {\displaystyle a=1,\dots ,n} 이라고 하자. 남 방정식의 해 T i ( z ) {\displaystyle T^{i}(z)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다. Δ = d d z − ( T i − x i ) ⊗ σ i {\displaystyle \Delta ={\frac {d}{dz}}-(T^{i}-x^{i})\otimes \sigma _{i}} 이는 ( z , x ) {\displaystyle (z,\mathbf {x} )} 를 매개 변수로 갖는 ( n , 1 ) ⊗ ( 2 × 2 ) = 2 n × n {\displaystyle (n,1)\otimes (2\times 2)=2n\times n} 행렬 U a i j ( z , x ) {\displaystyle U^{a}{}_{i}{}^{j}(z,\mathbf {x} )} 에 작용한다. 즉, U : ( 0 , 2 ) × R 3 → R n ⊗ Mat n × n ⁡ ( C ) {\displaystyle U\colon (0,2)\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{n}\otimes \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )} 이다. U {\displaystyle U} 가 Δ {\displaystyle \Delta } 의 여핵에 속한다고 하자. 즉, 그 수반 작용소 Δ † {\displaystyle \Delta ^{\dagger }} 는 Δ † = − d d z − ( T i − x i ) σ i {\displaystyle \Delta ^{\dagger }=-{\frac {d}{dz}}-(T^{i}-x^{i})\sigma _{i}} 이므로, Δ † U = 0 {\displaystyle \Delta ^{\dagger }U=0} 인 U {\displaystyle U} 를 생각하자. 이러한 U {\displaystyle U} 를 찾으면, ϕ {\displaystyle \phi } 와 A {\displaystyle A} 는 다음과 같다. ϕ ( x ) = ∫ 0 2 z ( U a ) † ( z ; x ) U a ( z ; x ) d z {\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\int _{0}^{2}z(U^{a})^{\dagger }(z;\mathbf {x} )U^{a}(z;\mathbf {x} )\,dz} i A i ( x ) = ∫ 0 2 z ( U a ) † ( z ; x ) ∂ μ U a ( z ; x ) d z {\displaystyle \mathrm {i} A_{i}(\mathbf {x} )=\int _{0}^{2}z(U^{a})^{\dagger }(z;\mathbf {x} )\partial _{\mu }U^{a}(z;\mathbf {x} )\,dz} 남 방정식은 초끈 이론을 통해 해석될 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 다음과 같은 D-막의 배열을 생각하자. 여기서 D1-막은 D3-막에 붙어 있다. 또한, D3-막의 수가 k {\displaystyle k} , D1-막의 수가 n {\displaystyle n} 이라고 하고, 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 하자. 그렇다면, 이 상태는 다음과 같이 묘사될 수 있다. D3-막 위의 이론은 SU ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {SU} (k)} 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 모든 장이 시간 불변이라면 이는 보고몰니 방정식이다. D1-막은 그 위의 n {\displaystyle n} 개의 자기 홀극이다. D1-막 위의 이론은 (모든 장이 시간 불변이라면) 남 방정식이다. (이 경우, 1차원 공간에서 게이지장을 0이 되게 게이지 고정할 수 있다.) 남 방정식의 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 지표는 1,2,3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다. 남 방정식의 장 ( T 1 , T 2 , T 3 ) {\displaystyle (T_{1},T_{2},T_{3})} 는 D1-막의 1,2,3 방향의 위치에 해당한다. 만약 각 T i {\displaystyle T_{i}} 가 대각 행렬이라면, 그 n {\displaystyle n} 개의 대각 성분은 n {\displaystyle n} 개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다. 따라서, 남 방정식과 보고몰니 방정식 사이의 관계는 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 ( u ( 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)} 과 같은) 아벨 리 대수일 경우, 남 방정식은 선형 상미분 방정식이다. 즉, d T i d z = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T_{i}}{\mathrm {d} z}}=0} 이므로, 그 해는 상수 함수이다. 베르너 남(독일어: Werner Nahm)이 1981년 도입하였다. 이후 사이먼 도널드슨과 나이절 히친 등이 이를 연구하였다. 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