납땜 (수학)

미분기하학에서 납땜(영어: soldering)은 올다발의 수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의 접다발 사이의 동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 매끄러운 올다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} . 또한, E {\displaystyle E} 역시 다양체라고 하자. 그렇다면, E {\displaystyle E} 의 납땜 ( o , θ ) {\displaystyle (o,\theta )} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 단면 o ∈ Γ ( E ) {\displaystyle o\in \Gamma (E)} 매끄러운 벡터 다발의 동형 θ : T M → o ∗ V E {\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to o^{*}\mathrm {V} E} . 여기서 V E {\displaystyle \mathrm {V} E} 는 E {\displaystyle E} 의 수직 벡터 다발이며, o ∗ {\displaystyle o^{*}} 는 벡터 다발의 당김이다. 이에 따라, θ {\displaystyle \theta } 는 다음과 같은, V E {\displaystyle \mathrm {V} E} 값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다. θ ∈ Ω 1 ( M ; o ∗ V E ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(M;o^{*}\mathrm {V} E)} 이를 납땜 형식(-形式, 영어: solder form)이라고 한다. 만약 E {\displaystyle E} 가 이미 매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로 o ∈ Γ ( E ) {\displaystyle o\in \Gamma (E)} 가 o = 0 {\displaystyle o=0} 이 되게 잡는다. 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 올다발 E {\displaystyle E} 위에 납땜이 존재할 필요 조건은 dim ⁡ E = 2 dim ⁡ M {\displaystyle \dim E=2\dim M} 인 것이다. 다양체 M {\displaystyle M} 위의 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우 V T M = T M {\displaystyle \mathrm {V} \mathrm {T} M=\mathrm {T} M} 이다.) 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 일반화 리만 계량 g {\displaystyle g} 은, 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 위의 납땜 ( o , θ ) {\displaystyle (o,\theta )} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다. o = 0 {\displaystyle o=0} 이며, 임의의 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 및 u , v ∈ T x M {\displaystyle u,v\in \mathrm {T} _{x}M} 에 대하여 θ ( u ) ( v ) = θ ( v ) u {\displaystyle \theta (u)(v)=\theta (v)u} 위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은 θ {\displaystyle \theta } 가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다. 구체적으로, 일반화 리만 계량 g {\displaystyle g} 는 벡터 다발의 동형 θ : T M → T ∗ M {\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M} θ : ( x , v ) ↦ ( x , g ( v , − ) ) {\displaystyle \theta \colon (x,v)\mapsto \left(x,g(v,-)\right)} 을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜 θ : T M → T ∗ M {\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M} 이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량 g ( u , v ) = ( θ ( u ) ) ( v ) = ( θ ( v ) ) ( u ) {\displaystyle g(u,v)=\left(\theta (u)\right)(v)=\left(\theta (v)\right)(u)} 를 정의할 수 있다. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상 T M → T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M} ( x , v ) ↦ ( x , ω ( v , − ) ) {\displaystyle (x,v)\mapsto (x,\omega (v,-))} 은 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 위의 납땜을 정의한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 P {\displaystyle P} G {\displaystyle G} 의 매끄러운 유한 차원 실수 표현 ρ : V → GL ⁡ ( V ; R ) {\displaystyle \rho \colon V\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )} 이 경우, 연관 벡터 다발 P × G V {\displaystyle P\times _{G}V} 를 구성할 수 있다. 이 경우, P × G V {\displaystyle P\times _{G}V} 위의 납땜은 각 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 동형 사상 θ x : T x M → P × G V {\displaystyle \theta _{x}\colon \mathrm {T} _{x}M\to P\times _{G}V} 로 주어진다. 즉, 이 경우 납땜 형식 θ {\displaystyle \theta } 는 G {\displaystyle G} -등변 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값 1차 미분 형식 θ ∈ Ω 1 ( P ; g ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 가운데, ker ⁡ θ = V P {\displaystyle \ker \theta =\mathrm {V} P} 인 것이다. 특히, θ {\displaystyle \theta } 는 수평 미분 형식이다.:§5.1 이 경우, ( P , ρ , θ ) {\displaystyle (P,\rho ,\theta )} 를 M {\displaystyle M} 위의 G {\displaystyle G} -구조( G {\displaystyle G} -構造, 영어: G {\displaystyle G} -structure)라고 한다.:§5.1 만약 추가로 ρ {\displaystyle \rho } 가 충실한 표현(즉, 단사 함수)일 경우, 이 경우 P {\displaystyle P} 는 1차 틀다발 F 1 M {\displaystyle \mathrm {F} ^{1}M} 의 부분 주다발이 된다. 구체적으로, p ∈ P {\displaystyle p\in P} 에 대응하는 틀은 다음과 같다. v ↦ θ π ( x ) − 1 ( [ ( p , v ) ] ) ( v ∈ V ) {\displaystyle v\mapsto \theta _{\pi (x)}^{-1}([(p,v)])\qquad (v\in V)} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 주다발 P {\displaystyle P} 의 납땜 ( o , θ ) {\displaystyle (o,\theta )} 의 개념은 자명하다. 이는 단면 o ∈ Γ ( P ) {\displaystyle o\in \Gamma (P)} 의 존재에 따라 P {\displaystyle P} 가 대역적으로 자명한 주다발 P = M × G {\displaystyle P=M\times G} 이 되며, V P = P × g {\displaystyle \mathrm {V} P=P\times {\mathfrak {g}}} 이므로 이에 따라 T M ≅ M × g {\displaystyle \mathrm {T} M\cong M\times {\mathfrak {g}}} 가 되기 때문이다. 즉, 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 역시 자명한 벡터 다발이 된다. 이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다. Alekseevskky, Dmitri V.; Michor, Peter W. (1995). “Differential geometry of Cartan connections”. 《Publicationes Mathematicae Debrecen》 (영어) 47 (3-4): 349–375. arXiv:math/9412232. ISSN 0033-3883.  Chern, Shiing-Shen (1966). “The geometry of G-structures”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 72 (2): 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8. MR 0192436. Zbl 0136.17804.  “G-structure”. 《nLab》 (영어).  “Cartan connection”. 《nLab》 (영어).  “Integrability of G-structures”. 《nLab》 (영어).  “Torsion of G-structures”. 《nLab》 (영어).  “Torsion of a Cartan connection”. 《nLab》 (영어).