디외도네 환

군 스킴 이론에서, 디외도네 환(영어: Dieudonné ring)은 군 스킴의 분류에 사용되는 환이다. 디외도네 환 위의 특정 가군들의 범주는 특정 군 스킴들의 범주의 반대 범주와 동치이다. 표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 의 완전체 K {\displaystyle K} 위의 p {\displaystyle p} -비트 벡터 환 WittVector p ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} _{p}(K)} 을 생각하자. K {\displaystyle K} 의 디외도네 환 Dieu ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Dieu} (K)} 은 WittVector p ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} _{p}(K)} 와 두 형식적 변수 F {\displaystyle F} , V {\displaystyle V} 로 생성되며, 다음 관계들을 만족시키는 환이다. F V = V F = p {\displaystyle FV=VF=p} F w = σ ( w ) F ∀ w ∈ WittVector p ⁡ ( K ) {\displaystyle Fw=\sigma (w)F\qquad \forall w\in \operatorname {WittVector} _{p}(K)} w V = V σ ( w ) ∀ w ∈ WittVector p ⁡ ( K ) {\displaystyle wV=V\sigma (w)\qquad \forall w\in \operatorname {WittVector} _{p}(K)} 여기서 σ : WittVector p ⁡ ( K ) → WittVector p ⁡ ( K ) {\displaystyle \sigma \colon \operatorname {WittVector} _{p}(K)\to \operatorname {WittVector} _{p}(K)} σ : ( w 0 , w 1 , w 2 , … ) ↦ ( w 0 p , w 1 p , w 2 p , … ) {\displaystyle \sigma \colon (w_{0},w_{1},w_{2},\dots )\mapsto (w_{0}^{p},w_{1}^{p},w_{2}^{p},\dots )} 는 K {\displaystyle K} 의 프로베니우스 자기 동형에 의하여 생성되는 p {\displaystyle p} -비트 벡터 환의 자기 동형이다. 표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 의 완전체 K {\displaystyle K} 위의 디외도네 군 Dieu ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Dieu} (K)} 는 p {\displaystyle p} 진 비트 벡터 환 WittVector p ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} _{p}(K)} 위에 다음과 같이 작용한다. V : ( a 1 , a p , a p 2 , … , a p n ) ↦ ( a 1 , a p , a p 2 , … ) {\displaystyle V\colon (a_{1},a_{p},a_{p^{2}},\dots ,a_{p^{n}})\mapsto (a_{1},a_{p},a_{p^{2}},\dots )} 는 비트 벡터 위의 베르시붕(독일어: Verschiebung)이다. F : ( a 1 , a p , a p 2 , … ) ↦ ( a 1 p , a p 2 , a p 2 , … ) {\displaystyle F\colon (a_{1},a_{p},a_{p^{2}},\dots )\mapsto (a_{1}^{p},a_{p}^{2},a_{p^{2}},\dots )} 는 프로베니우스 사상이다. 양의 표수의 완전체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음 두 범주 사이에 범주의 동치가 존재한다. C ≃ D op {\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }} 여기서 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 K {\displaystyle K} -군 스킴 G → Spec ⁡ K {\displaystyle G\to \operatorname {Spec} K} 가운데, 스킴 사상으로서 유한 사상이며, 아벨 군 스킴이며, 또 p-군인 것들의 아벨 범주이다. D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 는 디외도네 환 위의 왼쪽 가군 가운데, WittVector p ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {WittVector} _{p}(K)} -가군으로서 길이가 유한한 것들의 아벨 범주이다. 구체적으로, 군 스킴 G ∈ C {\displaystyle G\in {\mathcal {C}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 디외도네 환 위의 가군 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 를 다음과 같이 정의할 수 있다. D ( G ) = lim → n → ∞ ⁡ hom ⁡ ( G , W p , n ( K ) ) {\displaystyle D(G)=\varinjlim _{n\to \infty }\hom(G,\mathbb {W} _{p,n}(K))} 여기서 W p , n ( K ) {\displaystyle \mathbb {W} _{p,n}(K)} 는 길이 n {\displaystyle n} 의 p {\displaystyle p} -비트 벡터의 군 스킴이며, 위의 귀납적 극한은 포함 사상 W p , n ( K ) → W p , n + 1 ( K ) {\displaystyle \mathbb {W} _{p,n}(K)\to \mathbb {W} _{p,n+1}(K)} 을 통해 취한 것이다. 이는 디외도네 군의 비트 환 위의 작용에 의하여 왼쪽 디외도네 가군을 이룬다. 이 대응 사상 아래 다음이 성립한다. G {\displaystyle G} 에 대응하는 디외도네 가군이 M {\displaystyle M} 이라면, | G | = p length W ⁡ M {\displaystyle |G|=p^{\operatorname {length} _{W}M}} 여기서 좌변은 G {\displaystyle G} 의 원소의 수이며, 우변은 가군의 길이이다. “Dieudonné module”. 《nLab》 (영어).  “Dieudonné ring”. 《nLab》 (영어).  Ward, Matt (2011년 5월 13일). “The Dieudonné module”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 10월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 7일에 확인함.  Ward, Matt (2013년 7월 13일). “A quick user’s guide to Dieudonné modules of p-divisible groups”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 7일에 확인함.  Li, Chao. “Basic Dieudonné theory” (영어). 2016년 3월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 7일에 확인함.