다항 계수

수학에서 다항 계수(多項係數, 영어: multinomial coefficient)는 주어진 개수의 원소들을 주어진 크기의 상자들에 넣는 방법의 가짓수이다. 다항 정리(多項定理, 영어: multinomial theorem)는 다항식의 거듭제곱을 전개하는 정리이며, 전개식의 계수는 다항 계수이다. 다항 계수와 다항 정리는 이항 계수와 이항 정리의 일반화이다. 음이 아닌 정수들의 합 n = k 1 + k 2 + ⋯ + k m {\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}} 이 주어졌을 때, 다항 계수 ( n k 1 , k 2 , … , k m ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}} 는 다음과 같다. ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! = ∏ i = 1 m ( k 1 + k 2 + ⋯ + k i k i ) = ∏ i = 1 m ( k i + k i + 1 + ⋯ + k m k i ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}=\prod _{i=1}^{m}{\binom {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{i}}{k_{i}}}=\prod _{i=1}^{m}{\binom {k_{i}+k_{i+1}+\cdots +k_{m}}{k_{i}}}} 다항 계수를 단체에 나열한 표를 파스칼의 단체(Pascal의單體, 영어: Pascal's simplex)라고 한다. 다음과 같은 점화식이 성립한다. ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = ( n k 1 + ⋯ + k i , k i + 1 , k i + 2 , … , k m ) ( k 1 + k 2 + ⋯ + k i k 1 , k 2 , … , k i ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}={\binom {n}{k_{1}+\cdots +k_{i},k_{i+1},k_{i+2},\dots ,k_{m}}}{\binom {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{i}}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}}}} 다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이는 다항 정리의 따름정리이다. ∑ k 1 , k 2 , … , k m ∈ N k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = m n {\displaystyle \sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}=m^{n}} 다항 계수의 소인수의 중복도를 쿠머 정리를 통해 계산할 수 있다. 다항 계수 ( n k 1 , k 2 , … , k m ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}} 은 조합론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. | P − 1 ( i ) | = k i {\displaystyle |P^{-1}(i)|=k_{i}} ( i = 1 , 2 , … , m {\displaystyle i=1,2,\dots ,m} )을 만족시키는 함수 P : { 1 , 2 , … , n } → { 1 , 2 , … , m } {\displaystyle P\colon \{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,m\}} 의 수 즉, n {\displaystyle n} 개의 공을 크기가 각각 k i {\displaystyle k_{i}} 인 m {\displaystyle m} 개의 상자에 넣는 방법의 수 중복집합 k 1 { 1 } + k 2 { 2 } + ⋯ + k n { n } {\displaystyle k_{1}\{1\}+k_{2}\{2\}+\cdots +k_{n}\{n\}} 의 순열의 수 즉, n {\displaystyle n} 글자 단어가 각각 k i {\displaystyle k_{i}} 번 나오는 m {\displaystyle m} 가지 글자로 이루어졌을 때, 그 단어의 어구전철의 수 Z m {\displaystyle \mathbb {Z} ^{m}} 위의, 시작점이 0, 끝점이 ( k 1 , k 2 , … , k m ) {\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})} , 보폭이 표준 기저인 격자 경로(영어: lattice path)의 개수 다항 전개의 계수 다항 정리에 따르면, 다음과 같은 다항식의 전개가 성립한다. ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 , k 2 , … , k m ∈ N k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}} 다중지표 표기법을 사용하여 다항 정리를 다음과 같이 적을 수 있다. ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ K ∈ N m | K | = n ( n K ) x K {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{m}}^{|K|=n}{\binom {n}{K}}x^{K}} 전개식의 항의 개수는 다음과 같이 이항 계수로 나타낼 수 있다. ( n + m − 1 m − 1 ) {\displaystyle {\binom {n+m-1}{m-1}}} 증명: 이항 정리와 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. 우선, m = 0 , 1 {\displaystyle m=0,1} 의 경우는 자명하게 성립하며, m = 2 {\displaystyle m=2} 의 경우는 이항 정리에 따라 성립한다. 0 n = { 0 n > 0 1 n = 0 {\displaystyle 0^{n}={\begin{cases}0&n>0\\1&n=0\end{cases}}} x 1 n = x 1 n {\displaystyle x_{1}^{n}=x_{1}^{n}} ( x 1 + x 2 ) n = ∑ k 1 , k 2 ∈ N k 1 + k 2 = n ( n k 1 , k 2 ) x 1 k 1 x 2 k 2 {\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}} 이제, m {\displaystyle m} 에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m + 1 ) n = ∑ k 1 , k 2 , … , k m − 1 , ℓ ∈ N k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + ℓ = n n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m − 1 ! ℓ ! x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ( x m + x m + 1 ) ℓ = ∑ k 1 , k 2 , … , k m − 1 , ℓ ∈ N k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + ℓ = n n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m − 1 ! ℓ ! x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ∑ k m , k m + 1 ∈ N k m + k m + 1 = ℓ ℓ ! k m ! k m + 1 ! x m k m x m + 1 k m + 1 = ∑ k 1 , k 2 , … , k m + 1 ∈ N k 1 + k 2 + ⋯ + k m + 1 = n n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m + 1 ! x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m + 1 k m + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m+1})^{n}&=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},\ell \in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+\ell =n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!\ell !}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{\ell }\\&=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},\ell \in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+\ell =n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!\ell !}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m},k_{m+1}\in \mathbb {N} }^{k_{m}+k_{m+1}=\ell }{\frac {\ell !}{k_{m}!k_{m+1}!}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}\\&=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m+1}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m+1}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m+1}^{k_{m+1}}\end{aligned}}} 즉, m + 1 {\displaystyle m+1} 에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } 에 대하여 다항 정리가 성립한다. Stanley, Richard P. (2012). 《Enumerative Combinatorics. Volume 1》 (영어) 2판. Cambridge University Press.  이철희. “다항정리”. 《수학노트》.  “Multinomial coefficient”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Multinomial coefficient”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Multinomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Multinomial theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Multinomial theorem (proof)”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition:Multinomial coefficient”. 《ProofWiki》 (영어).  “Multinomial theorem”. 《ProofWiki》 (영어).  “Multinomial coefficient expressed as product of binomial coefficients”. 《ProofWiki》 (영어).