스튀름-리우빌 연산자

상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, 영어: Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, 영어: Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, 영어: Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다. 실수의 닫힌구간 [ a , b ] ⊊ R {\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} } 이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다. D : C 2 ( [ a , b ] , R ) → C 0 ( [ a , b ] , R ) {\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{2}([a,b],\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {R} )} D = − 1 w ( x ) ( d d x p ( x ) d d x + q ( x ) ) = − p ( x ) w ( x ) d 2 d x 2 − 1 w ( x ) p ′ ( x ) d d x − q ( x ) w ( x ) {\displaystyle D=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}p(x){\frac {d}{dx}}+q(x)\right)=-{\frac {p(x)}{w(x)}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{w(x)}}p'(x){\frac {d}{dx}}-{\frac {q(x)}{w(x)}}} 여기서 p : [ a , b ] → R + {\displaystyle p\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} 는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다. q : [ a , b ] → R {\displaystyle q\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 는 연속 함수이다. w : [ a , b ] → R + {\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} 는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 무게 함수 영어: weight function라고 한다.) 닫힌구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위의 로뱅 경계 조건(Robin境界條件, 영어: Robin boundary condition)이란 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다. α a y ( a ) + β a y ′ ( a ) = 0 ( α a , β a ∈ R ) {\displaystyle \alpha _{a}y(a)+\beta _{a}y'(a)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )} α b y ( b ) + β b y ′ ( b ) = 0 ( α a , β a ∈ R ) {\displaystyle \alpha _{b}y(b)+\beta _{b}y'(b)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )} 여기서, 다음 조건이 성립해야 한다. α a {\displaystyle \alpha _{a}} 또는 β a {\displaystyle \beta _{a}} 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 α b {\displaystyle \alpha _{b}} 또는 β b {\displaystyle \beta _{b}} 가운데 하나 이상이 0이 아니다. 즉, [ α a : β a ] {\displaystyle [\alpha _{a}:\beta _{a}]} 와 [ α b : β b ] {\displaystyle [\alpha _{b}:\beta _{b}]} 는 각각 실수 사영 직선 P R 1 = R ⊔ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{1}=\mathbb {R} \sqcup \{\infty \}} 의 두 점의 동차 좌표를 이룬다. 로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간 H = L 2 ⁡ ( [ a , b ] , w ( x ) d x ) = { f ∈ L 0 ⁡ ( [ a , b ] , R ) : ∫ a b | f ( x ) | 2 w ( x ) d x < ∞ } {\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([a,b],w(x)\,\mathrm {d} x)=\left\{f\in \operatorname {L} ^{0}([a,b],\mathbb {R} )\colon \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,\mathrm {d} x<\infty \right\}} 위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다. 스튀름-리우빌 연산자 D {\displaystyle D} 의 고유 함수 방정식 D y ( x ) = λ y ( x ) {\displaystyle Dy(x)=\lambda y(x)} 즉 선형 상미분 방정식 − d d x ( p ( x ) d y ( x ) d x ) − q ( x ) y ( x ) = λ w ( x ) y ( x ) {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dy(x)}{dx}}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)} 을 스튀름-리우빌 방정식(영어: Sturm–Liouville equation)이라고 한다. 이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, p {\displaystyle p} 와 q {\displaystyle q} , λ {\displaystyle \lambda } 의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다. [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위의 무게 함수 w : [ a , b ] → R + {\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} 에 대한 스튀름-리우빌 연산자 D : L 2 ⁡ ( [ a , b ] , w ) → L 2 ⁡ ( [ a , b ] , w ) {\displaystyle D\colon \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)\to \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다. λ 0 < λ 1 < λ 2 < ⋯ {\displaystyle \lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dotsb } lim i → ∞ λ i = + ∞ {\displaystyle \lim _{i\to \infty }\lambda _{i}=+\infty } 각 고윳값 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 속에서 정확히 i {\displaystyle i} 개의 영점을 갖는다. 이러한 고유 함수들의 집합 { y 0 , y 1 , … } {\displaystyle \{y_{0},y_{1},\dotsc \}} 은 ( H {\displaystyle H} 의 내적에 따라 정규화하였을 때) H {\displaystyle H} 의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. ∫ a b y i ( x ) y j ( x ) w ( x ) d x = δ i j {\displaystyle \int _{a}^{b}y_{i}(x)y_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{ij}} 모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.) 일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자. P ( x ) y ″ + Q ( x ) y ′ + R ( x ) y = 0 {\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0} 양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자 exp ⁡ ( ∫ Q ( x ) P ( x ) d x ) {\displaystyle \exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)} 를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다. 베셀 방정식 x 2 y ″ + x y ′ + ( λ 2 x 2 − ν 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+xy'+(\lambda ^{2}x^{2}-\nu ^{2})y=0} 은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다. ( x y ′ ) ′ + ( λ 2 x − ν 2 / x ) y = 0 {\displaystyle (xy')'+(\lambda ^{2}x-\nu ^{2}/x)y=0} 즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는 − d d x ( x d d x ) + ν 2 / x − λ 2 x {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\right)+\nu ^{2}/x-\lambda ^{2}x} 이다. 르장드르 방정식 ( 1 − x 2 ) y ″ − 2 x y ′ + ν ( ν + 1 ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0} 은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다. d d x ( 1 − x 2 ) = − 2 x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1-x^{2})=-2x} 이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다. [ ( 1 − x 2 ) y ′ ] ′ + ν ( ν + 1 ) y = 0 {\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0} 즉, ν ( ν + 1 ) {\displaystyle \nu (\nu +1)} 은 스튀름-리우빌 연산자 d d x ( ( 1 − x 2 ) d d x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx}}\right)} 의 고윳값이다. 좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식을 생각하자. x 3 y ″ − x y ′ + 2 y = 0 {\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0} 양변을 x3으로 나누고 y ″ − x x 3 y ′ + 2 x 3 y = 0 {\displaystyle y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0} 다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다. exp ⁡ ( ∫ − x x 3 d x ) = exp ⁡ ( ∫ − 1 x 2 d x ) = exp ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle \exp \left(\int -{\frac {x}{x^{3}}}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\int -{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\right)=\exp(1/x)} 그러면 다음과 같은 방정식이 나온다. exp ⁡ ( 1 / x ) y ″ − 1 x 2 exp ⁡ ( 1 / x ) y ′ + 2 x 3 exp ⁡ ( 1 / x ) y = 0 {\displaystyle \exp(1/x)y''-{\frac {1}{x^{2}}}\exp(1/x)y'+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)y=0} 이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데, d d x exp ⁡ ( 1 / x ) = − 1 x 2 exp ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(1/x)=-{\frac {1}{x^{2}}}\exp(1/x)} 이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다. ( exp ⁡ ( 1 / x ) y ′ ) ′ + 2 x 3 exp ⁡ ( 1 / x ) y = 0 {\displaystyle (\exp(1/x)y')'+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)y=0} 즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다. d d x ( exp ⁡ ( 1 / x ) d d x ) + 2 x 3 exp ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp(1/x){\frac {d}{dx}}\right)+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)} 자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다. 매개변수변환법 Zettl, Anton (2005). 《Sturm–Liouville theory》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3905-5.  Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.  Everitt, W. N. (2005). 〈A catalogue of Sturm-Liouville differential equations〉 (PDF). Hinz, A. M.; Pearson, D. B. 《Sturm-Liouville Theory, Past and Present》 (영어). Birkhäuser. 271–331쪽. doi:10.1007/3-7643-7359-8_12. 2007년 2월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 3월 16일에 확인함.  “Sturm-Liouville operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Sturm-Liouville theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Sturm-Liouville problem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Sturm-Liouville equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Sturm-Liouville equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Sturm-Liouville theory”. 《nLab》 (영어).  이철희. “스텀-리우빌 이론”. 《수학노트》.