조밀 집합

일반위상수학에서 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다. 예를 들면 유리수의 집합은 실수선의 조밀 집합이다. 왜냐하면, 어떤 실수를 골라도 이에 수렴하는 유리수의 수열을 언제나 생각할 수 있기 때문이다. (그물을 점렬로 대체한 조건은 보다 강한 조건이지만, 제1 가산 공간에서 두 조건은 서로 동치이다.) 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다. 임의의 열린집합 U {\displaystyle U} 에 대하여, 만약 U ⊆ X ∖ D {\displaystyle U\subseteq X\setminus D} 라면 U = ∅ {\displaystyle U=\varnothing } 이다. 임의의 닫힌집합 C {\displaystyle C} 에 대하여, 만약 D ⊆ C ⊆ X {\displaystyle D\subseteq C\subseteq X} 라면 C = X {\displaystyle C=X} 이다. cl ⁡ ( D ) = X {\displaystyle \operatorname {cl} (D)=X} .:191, §30:7, §1 여기서 cl {\displaystyle \operatorname {cl} } 은 폐포이다. int ⁡ ( X ∖ D ) = ∅ {\displaystyle \operatorname {int} (X\setminus D)=\varnothing } . 여기서 int {\displaystyle \operatorname {int} } 는 내부이다. 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 x {\displaystyle x} 의 모든 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, D ∩ U ≠ ∅ {\displaystyle D\cap U\neq \varnothing } . X {\displaystyle X} 의 모든 점들은 D {\displaystyle D} 의 원소이거나 D {\displaystyle D} 의 극한점이다.:7, §1 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 속의 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 및 D ⊆ E ⊆ X {\displaystyle D\subseteq E\subseteq X} 에 대하여, E {\displaystyle E} 역시 D {\displaystyle D} 의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 Dense ⁡ ( X ) ⊆ Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Dense} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)} 은 X {\displaystyle X} 의 멱집합 Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (X)} 속의 상집합이다. 특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 D {\displaystyle D} 와 조밀 열린집합 U {\displaystyle U} 가 주어졌을 때, 그 교집합 D ∩ U {\displaystyle D\cap U} 는 조밀 집합이다. 증명: 임의의 열린집합 V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X} 가 주어졌으며, V ≠ ∅ {\displaystyle V\neq \varnothing } 이라고 하자. 그렇다면 U {\displaystyle U} 가 조밀 열린집합이므로 U ∩ V ≠ ∅ {\displaystyle U\cap V\neq \varnothing } 이며, 따라서 D ∩ ( U ∩ V ) ≠ ∅ {\displaystyle D\cap (U\cap V)\neq \varnothing } 이다. 특히, 조밀 열린집합들의 족 Dense ⁡ ( X ) ∩ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Dense} (X)\cap \operatorname {Open} (X)} 은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 Pow ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Pow} (X)} 속의 필터를 이룬다. 임의의 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 전사 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌을 때, 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 의 상 f [ D ] ⊆ Y {\displaystyle f[D]\subseteq Y} 역시 조밀 집합이다. 증명: 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, f {\displaystyle f} 가 전사 함수이므로 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} 인 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재하며, D {\displaystyle D} 가 조밀 집합이므로 x {\displaystyle x} 로 수렴하는 그물 ( x i ) i ∈ I ⊆ D {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq D} 가 존재하며, f {\displaystyle f} 가 연속 함수이므로 f ( x i ) → f ( x ) = y {\displaystyle f(x_{i})\to f(x)=y} 이다. 따라서 f [ D ] {\displaystyle f[D]} 는 Y {\displaystyle Y} 의 조밀 집합이다. 조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 X ⊆ Y ⊆ Z {\displaystyle X\subseteq Y\subseteq Z} 이며, X {\displaystyle X} 가 Y {\displaystyle Y} 의 조밀 집합이고 Y {\displaystyle Y} 가 Z {\displaystyle Z} 의 조밀 집합이라면 X {\displaystyle X} 는 Z {\displaystyle Z} 의 조밀 집합이다. 증명: U ⊆ Z {\displaystyle U\subseteq Z} 가 Z {\displaystyle Z} 의 열린집합이며 U ⊆ Z ∖ X {\displaystyle U\subseteq Z\setminus X} 라고 하자. 그렇다면 U ∩ Y {\displaystyle U\cap Y} 는 Y {\displaystyle Y} 의 열린집합이며, U ∩ Y ⊆ Y ∖ X {\displaystyle U\cap Y\subseteq Y\setminus X} 이다. X {\displaystyle X} 가 Y {\displaystyle Y} 의 조밀 집합이므로 U ∩ Y = ∅ {\displaystyle U\cap Y=\varnothing } 이다. 즉, U ⊆ Z ∖ Y {\displaystyle U\subseteq Z\setminus Y} 이다. Y {\displaystyle Y} 가 Z {\displaystyle Z} 의 조밀집합이므로 U = ∅ {\displaystyle U=\varnothing } 이다. 모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다. 조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 와 하우스도르프 공간 Y {\displaystyle Y} 및 조밀 집합 D ⊆ X {\displaystyle D\subseteq X} 와 두 연속 함수 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 만약 f ↾ D = g ↾ D {\displaystyle f\upharpoonright D=g\upharpoonright D} 라면, f = g {\displaystyle f=g} 이다. (여기서 ↾ {\displaystyle \upharpoonright } 은 함수의 제한을 뜻한다.) 증명: 임의의 x ∉ D {\displaystyle x\not \in D} 에 대하여, f = g {\displaystyle f=g} 임을 보이면 족하다. D {\displaystyle D} 가 조밀 집합이므로, x {\displaystyle x} 로 수렴하는, D {\displaystyle D} 속의 점들로 구성된 그물 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 가 존재한다. f {\displaystyle f} 가 연속 함수이므로 g ( x i ) = f ( x i ) → f ( x ) {\displaystyle g(x_{i})=f(x_{i})\to f(x)} f ( x i ) = g ( x i ) → g ( x ) {\displaystyle f(x_{i})=g(x_{i})\to g(x)} 이며, Y {\displaystyle Y} 가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, X {\displaystyle X} 전체가 아닌 X {\displaystyle X} 의 모든 닫힌집합은 X {\displaystyle X} 의 조밀 집합이 아니다. 자기 조밀 T1 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다. 증명: 조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다. X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 는 T1 조건에 의하여 열린집합이다. X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 cl ⁡ ( X ∖ { x } ) = X {\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus \{x\})=X} 이며, X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 는 조밀 집합이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이산 공간이다. 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 X {\displaystyle X} 전체이다.) 증명: 이산 공간 X {\displaystyle X} 에서 조밀 집합이 X {\displaystyle X} 전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 { x } ⊆ X {\displaystyle \{x\}\subseteq X} 가 존재한다. 그렇다면, X ∖ { x } {\displaystyle X\setminus \{x\}} 는 X {\displaystyle X} 의 조밀 집합이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 비이산 공간이다. X {\displaystyle X} 의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다. 증명: 비이산 공간 X {\displaystyle X} 에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, X {\displaystyle X} 가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 ∅ ≠ F ⊊ X {\displaystyle \varnothing \neq F\subsetneq X} 가 존재한다고 하자. 그렇다면 F {\displaystyle F} 는 조밀 집합이 아니다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 부분 집합들을 생각하자. 유리수의 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 실수선의 조밀 집합이다. 무리수의 집합 R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 역시 실수선의 조밀 집합이다. 반면, 자연수의 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } , 정수의 집합 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 조밀 집합이 아니다. 임의의 세 실수 a < b < c {\displaystyle a<b<c} 에 대하여, [ a , b ) ∪ ( b , c ] = [ a , c ] ∖ { b } {\displaystyle [a,b)\cup (b,c]=[a,c]\setminus \{b\}} 는 [ a , c ] {\displaystyle [a,c]} 안의 조밀 집합이다. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Dense set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dense”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Dense subspace”. 《nLab》 (영어).  “Definition: everywhere dense”. 《ProofWiki》 (영어).