상반방정식

대수학에서, 임의의 n {\displaystyle n} 차 다항식 p {\displaystyle p} 와 그것의 상반다항식 p ∗ {\displaystyle p*} 은 다음과 같다. p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n , {\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},\,\!} p ∗ ( x ) = a n + a n − 1 x + ⋯ + a 0 x n = x n p ( x − 1 ) . {\displaystyle p^{*}(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1}).} 상반방정식은 임의의 다항식과 그 다항식의 상반다항식이 같은 자기상반다항식(self-reciprocal polynomial)이다. a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + a n − 3 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x+a_{0}=0} 일때, a i = a n − i {\displaystyle a_{i}=a_{n-i}} 이다. 따라서, 상반방정식(Reciprocal polynomial,symmetrical equation)이란 다항 방정식의 계수의 모양이 대칭적으로 나열되어 있는 것을 말하게 된다. 최고차항의 차수가 기수(홀수)인지, 우수(짝수)인지에 따라 풀이방식을 달리한다. 짝수차 상반방정식은, 최고차수가 짝수인 상반방정식을 말한다. 예) : a x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + a = 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0} 양변을 중앙항으로 나눈다. 그러면 a x 2 + b x + c + b x + a x 2 = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c+{\frac {b}{x}}+{\frac {a}{x^{2}}}=0} 이런 형태로 된다. a ( x 2 + 1 x 2 ) + b ( x + 1 x ) + c = 0 {\displaystyle a(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+b(x+{\frac {1}{x}})+c=0} 둘씩 묶어서 x + 1 x {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}} 의 형태로 정리하면 a ( ( x + 1 x ) 2 − 2 ) + b ( x + 1 x ) + c = 0 {\displaystyle a((x+{\frac {1}{x}})^{2}-2)+b(x+{\frac {1}{x}})+c=0} 가 된다. 이 때 X = x + 1 x {\displaystyle X=x+{\frac {1}{x}}} 으로 치환해주면 a X 2 + b X + ( c − 2 a ) = 0 {\displaystyle aX^{2}+bX+(c-2a)=0} 이다. 이 X {\displaystyle X} 를 이차방정식의 근의 공식에 대입하면 X = − b ± b 2 − 4 a ( c − 2 a )   2 a {\displaystyle X={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4a(c-2a)\ }}}{2a}}} 이 되는데, 이것은 X {\displaystyle X} 에 대한 풀이이므로 X = x + 1 x {\displaystyle X=x+{\frac {1}{x}}} 에 대입하면 x {\displaystyle x} 의 해를 알 수 있다. 홀수차 상반방정식은, 최고차항이 홀수인 상반방정식을 말한다. 예) : a x 5 + b x 4 + c x 3 + c x 2 + b x + a = 0 {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0} 이 식은 먼저 하나의 해는 − 1 {\displaystyle -1} 임을 가정한다. − 1 {\displaystyle -1} 이 나올 수 있는 인수는 ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)} 이므로 조립제법이나 다항식의 나눗셈을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은 차수가 내려가게 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다. a x 4 + ( − a + b ) x 3 + ( a − b + c ) x 2 + ( − a + b ) x + a = 0 {\displaystyle ax^{4}+(-a+b)x^{3}+(a-b+c)x^{2}+(-a+b)x+a=0} 준상반방정식은, 상반방정식이 아닌 것처럼 보이지만 실제적으로는 상반방정식의 해법을 응용하여 풀 수 있는 방정식으로, 이 방정식의 형태는 a x 4 + b x 3 + c x 2 + b m x + a m 2 = 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bmx+am^{2}=0} 과 같이 중앙항의 바로 다음 항부터는 같은 수인 m을 곱하여 나타낸 것이다. 이 경우에는 상반방정식에서는 x + 1 x {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}} 을 치환하던 것을 바꾸어 x + m x {\displaystyle x+{\frac {m}{x}}} 을 치환해서 풀면 된다. 급수 곱의 표현 ( ∑ n = 0 n x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 n − 1 x n ) = {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{n}{x^{n}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{n-1}{x^{n}}\right)=} 홀수차 상반방정식 ( ∑ n = 0 n x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 n x n ) = {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{n}{x^{n}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{n}{x^{n}}\right)=} 짝수차 상반방정식 상반다항식 급수곱의 예 ( ∑ n = 0 3 x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 3 − 1 x n ) {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{3}{x^{n}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{3-1}{x^{n}}\right)} 2개의 수렴하는 수열의 곱 ( x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ) ⋅ ( x 2 , x 1 , x 0 ) {\displaystyle (x^{3},x^{2},x^{1},x^{0})\cdot (x^{2},x^{1},x^{0})} 에서 ( x 3 + x 2 + x 1 + x 0 ) ⋅ ( x 2 + x 1 + x 0 ) {\displaystyle (x^{3}+x^{2}+x^{1}+x^{0})\cdot (x^{2}+x^{1}+x^{0})} = x 3 ( x 2 + x 1 + x 0 ) + x 2 ( x 2 + x 1 + x 0 ) + x 1 ( x 2 + x 1 + x 0 ) + x 0 ( x 2 + x 1 + x 0 ) {\displaystyle =x^{3}(x^{2}+x^{1}+x^{0})+x^{2}(x^{2}+x^{1}+x^{0})+x^{1}(x^{2}+x^{1}+x^{0})+x^{0}(x^{2}+x^{1}+x^{0})} = x 3 ( x 2 + x 1 + 1 ) + x 2 ( x 2 + x 1 + 1 ) + x 1 ( x 2 + x 1 + 1 ) + 1 ( x 2 + x 1 + 1 ) {\displaystyle =x^{3}(x^{2}+x^{1}+1)+x^{2}(x^{2}+x^{1}+1)+x^{1}(x^{2}+x^{1}+1)+1(x^{2}+x^{1}+1)} = ( x 5 + x 4 + x 3 ) + ( x 4 + x 3 + x 2 ) + ( x 3 + x 2 + x 1 ) + ( x 2 + x 1 + 1 ) {\displaystyle =(x^{5}+x^{4}+x^{3})+(x^{4}+x^{3}+x^{2})+(x^{3}+x^{2}+x^{1})+(x^{2}+x^{1}+1)} = x 5 + 2 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 + 2 x 1 + 1 {\displaystyle =x^{5}+2x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+2x^{1}+1\qquad \qquad } (5차 방정식중 상반방정식) 5차 방정식 다항방정식 Roman, Steven (1995), Field Theory,pg.37, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7 Reciprocal polynomial 김주영,1993 방정식에 관한 수학사적 고찰 연세대 교육대학원 석사학위 논문,pp32–37,채순향,1998 방정식의 풀이 방벙에 관한 연구, 전남대 교육대학원 석사학위 논문,pp4–5