옌센 부등식

수학에서 옌센 부등식(영어: Jensen’s inequality)은 기댓값의 볼록 함수와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식이다. 열린구간 ( a , b ) ⊆ R {\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} } 위의 볼록 함수 f : ( a , b ) → R {\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} } 및 실수 x 1 , … , x n ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {(} a,b)} 및 음이 아닌 실수 p 1 , … , p n ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}\in [0,1]} ( p 1 + ⋯ + p n = 1 {\displaystyle p_{1}+\cdots +p_{n}=1} )가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 다음이 성립한다. f ( p 1 x 1 + p 2 x 2 + ⋯ + p n x n ) ≤ p 1 f ( x 1 ) + p 2 f ( x 2 ) + ⋯ + p n f ( x n ) {\displaystyle f(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n})\leq p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+\cdots +p_{n}f(x_{n})} 보다 일반적으로, 열린구간 ( a , b ) ⊆ R {\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} } 위의 볼록 가측 함수 f : ( ( a , b ) , B ( ( a , b ) ) ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f\colon ((a,b),{\mathcal {B}}((a,b)))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 및 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 확률 변수 X : Ω → ( ( a , b ) , B ( ( a , b ) ) ) {\displaystyle X\colon \Omega \to ((a,b),{\mathcal {B}}((a,b)))} 가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 만약 기댓값 E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)} 와 E ⁡ ( f ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {E} (f(X))} 가 존재한다면, 다음이 성립한다.:66:86, §3.1, Theorem 3.1.9 f ( E ⁡ ( X ) ) ≤ E ⁡ ( f ( X ) ) {\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))} 여기서 E ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {E} (-)} 는 기댓값이다. 만약 ( a , b ) = ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (a,b)=(0,\infty )} 이며, f = − ln {\displaystyle f=-\ln } 일 경우, 옌센 부등식은 산술-기하 평균 부등식 p 1 x 1 + p 2 x 2 + ⋯ + p n x n ≥ x 1 p 1 x 2 p 2 ⋯ x n p n {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}} 이다. 만약 ( a , b ) = ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (a,b)=(0,\infty )} 이며, f = − ln {\displaystyle f=-\ln } 이며, n = 2 {\displaystyle n=2} 이며, p 1 = 1 p {\displaystyle \textstyle p_{1}={\frac {1}{p}}} , p 2 = 1 q {\displaystyle \textstyle p_{2}={\frac {1}{q}}} ( 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} )일 경우, 옌센 부등식은 영의 부등식 x p + y q ≥ x 1 / p y 1 / q {\displaystyle {\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}\geq x^{1/p}y^{1/q}} 이다. 양의 실수 p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} 에 대하여, 만약 ( a , b ) = ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (a,b)=(0,\infty )} 이며, f : x ↦ x p {\displaystyle f\colon x\mapsto x^{p}} 이며, p i = 1 n {\displaystyle \textstyle p_{i}={\frac {1}{n}}} 일 경우, 옌센 부등식은 ( | x 1 | + | x 2 | + ⋯ + | x n | ) p ≤ n p − 1 ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) {\displaystyle (|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\leq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})} 이다. 양의 실수 p ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} 에 대하여, 만약 ( a , b ) = ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (a,b)=(0,\infty )} 이며, f : x ↦ − x p {\displaystyle f\colon x\mapsto -x^{p}} 이며, p i = 1 n {\displaystyle \textstyle p_{i}={\frac {1}{n}}} 일 경우, 옌센 부등식은 ( | x 1 | + | x 2 | + ⋯ + | x n | ) p ≥ n p − 1 ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) {\displaystyle (|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\geq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})} 이다. 요한 옌센(덴마크어: Johan Jensen)의 이름을 땄다. 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002 Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  “Jensen inequality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Jensens’ inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.