데생당팡

대수기하학에서 데생당팡(프랑스어: dessin d’enfant)은 리만 곡면을 리만 구 위의 분기화 데이터로 나타내는 그래프이다. 데생당팡 ( V , E , Σ ) {\displaystyle (V,E,\Sigma )} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. Σ {\displaystyle \Sigma } 는 콤팩트 연결 2차원 가향 다양체이다. V ⊆ Σ {\displaystyle V\subseteq \Sigma } 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 유한 부분 집합이다. V ⊆ Σ {\displaystyle V\subseteq \Sigma } 는 X 0 {\displaystyle X_{0}} 을 포함하는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 부분 집합이며, 다음을 만족시킨다. E ∖ V ⊆ Σ {\displaystyle E\setminus V\subseteq \Sigma } 는 유한 개의 열린 선분들의 분리 합집합이다. 즉, E {\displaystyle E} 는 V {\displaystyle V} 를 꼭짓점 집합으로 하는 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 를 정의한다. 또한, 이 그래프는 이분 그래프이어야 한다. 흔히, 데생당팡의 꼭짓점들은 (이분 그래프의 구조를 나타내기 위하여) 검게 또는 희게 칠해진다. 두 데생당팡 ( V , E , Σ ) {\displaystyle (V,E,\Sigma )} , ( V ′ , E ′ , Σ ′ ) {\displaystyle (V',E',\Sigma ')} 사이의 동형 사상은 다음 조건을 만족시키는 위상 동형 사상 ι : Σ → Σ ′ {\displaystyle \iota \colon \Sigma \to \Sigma '} 이다. ι ( V ) = V ′ {\displaystyle \iota (V)=V'} ι ( E ) = E ′ {\displaystyle \iota (E)=E'} 데생당팡 ( Γ , Σ ) {\displaystyle (\Gamma ,\Sigma )} 에 (각 변의 양끝의 색이 다르게 되는) 흰색·검은색 2색으로의 그래프 색칠이 주어졌다고 하자. 이렇게 색칠된 데생당팡 ( V , E , Σ ) {\displaystyle (V,E,\Sigma )} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 깨끗한 데생당팡(영어: clean dessin d’enfant)이라고 한다. 모든 흰색 꼭짓점의 차수(즉, 연결된 변의 수)는 2이다. 깨끗한 데생당팡의 경우, 흰색 꼭짓점들을 삭제하면 (색칠이 없는) 유한 그래프를 이룬다. 반대로, 임의의 유한 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대하여, 모든 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중심에 새 (차수 2의) 흰 꼭짓점을 추가하면, 이는 깨끗한 데생당팡을 이룬다. 벨리 정리(Белый定理, 영어: Belyi’s theorem)에 따르면, Q ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}} 위에 정의된 연결 매끄러운 사영 대수 곡선 X / Spec ⁡ Q ¯ {\displaystyle X/\operatorname {Spec} {\bar {\mathbb {Q} }}} 에 대하여, 분지점 집합이 { 0 , 1 , ∞ } {\displaystyle \{0,1,\infty \}} 의 부분 집합인 Q ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}} -스킴 사상 f : X → P Q ¯ 1 {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{\bar {\mathbb {Q} }}^{1}} 가 존재한다. 즉, f {\displaystyle f} 를 P Q ¯ 1 ∖ { 0 , 1 , ∞ } {\displaystyle \mathbb {P} _{\bar {\mathbb {Q} }}^{1}\setminus \{0,1,\infty \}} 의 원상에 국한하였을 때, 이는 에탈 사상을 이룬다. 즉, 임의의 연결 매끄러운 사영 복소수 대수 곡선(≈연결 콤팩트 리만 곡면) X {\displaystyle X} 및 복소수 대수다양체 사상 f : X → P C 1 {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 의 분지점의 모든 값들은 세 개 이하이며, 이 세 값 모두 대수적 수이다. f {\displaystyle f} 는 Q ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}} 위에 정의된다. 이 조건을 만족시키는 사상을 벨리 사상(Белый-, 영어: Belyi map)이라고 하며, ( X , f ) {\displaystyle (X,f)} 를 벨리 쌍(Белый雙, 영어: Belyi pair)이라고 한다. 벨리 쌍 ( X , β ) {\displaystyle (X,\beta )} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은, 검은색·흰색 그래프 색칠이 주어진 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 를 구성할 수 있다. 각 검은색 꼭짓점들은 β {\displaystyle \beta } 아래 0 ∈ C P 1 {\displaystyle 0\in \mathbb {CP} ^{1}} 의 원상에 대응한다. 각 흰색 꼭짓점들은 β {\displaystyle \beta } 아래 1 ∈ C P 1 {\displaystyle 1\in \mathbb {CP} ^{1}} 의 원상에 대응한다. 각 변은 β {\displaystyle \beta } 아래 선분 [ 0 , 1 ] ⊊ C P 1 {\displaystyle [0,1]\subsetneq \mathbb {CP} ^{1}} 의 원상에 대응한다. 이는 리만 곡면 X {\displaystyle X} 속의 이분 그래프를 이룬다. 데생당팡과 벨리 사상의 성질은 다음과 같이 대응한다. 유리수체의 절대 갈루아 군 Gal ⁡ ( Q ) = Gal ⁡ ( Q ¯ / Q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} )=\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )} 를 생각하자. 이들은 모든 데생당팡의 집합 위에 추이적으로 작용한다. 사실, 이는 나무 데생당팡들의 집합에 국한하여도 추이적 작용을 이룬다. 구체적으로, 임의의 벨리 사상 f : X → P Q ¯ 1 {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{\bar {\mathbb {Q} }}^{1}} 이 주어졌을 때, 절대 갈루아 군의 원소 g ∈ Gal ⁡ ( Q ) {\displaystyle g\in \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} )} 는 사상 ϕ g : P Q ¯ 1 → P Q ¯ 1 {\displaystyle \phi _{g}\colon \mathbb {P} _{\bar {\mathbb {Q} }}^{1}\to \mathbb {P} _{\bar {\mathbb {Q} }}^{1}} 을 정의한다. (이는 물론 무한대 및 모든 유리수를 고정시킨다.) 이에 따라, 또다른 벨리 사상 ϕ g ∘ f : X → P Q ¯ 1 {\displaystyle \phi _{g}\circ f\colon X\to \mathbb {P} _{\bar {\mathbb {Q} }}^{1}} 를 정의할 수 있다. 특히, f {\displaystyle f} 와 ϕ g ∘ f {\displaystyle \phi _{g}\circ f} 에 대응하는 데생당팡은 같은 (유한한) 수의 변을 가지므로, 주어진 데생당팡의 안정자군 G ≤ Gal ⁡ ( Q ¯ ) {\displaystyle G\leq \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }})} 에 대하여, Gal ⁡ ( Q ¯ ) / G {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }})/G} 는 유한군이다. 갈루아 이론에 의하여, G {\displaystyle G} 는 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 유한 확대, 즉 수체에 대응한다. 이 수체를 데생당팡의 모듈러스 수체(modulus數體, 영어: field of moduli)라고 한다. 완전 이분 그래프 K 1 , n {\displaystyle K_{1,n}} 는 데생당팡을 이루며, 이는 벨리 사상 f : C P 1 → C P 1 {\displaystyle f\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}} f : z ↦ z n {\displaystyle f\colon z\mapsto z^{n}} 에 대응한다. 꼭짓점을 n + 1 {\displaystyle n+1} 개 갖는 경로 그래프 Γ {\displaystyle \Gamma } 를 생각하자. 이에 대응하는 벨리 사상은 다음과 같다. C P 1 → C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP^{1}} \to \mathbb {CP} ^{1}} z ↦ 1 2 ( T n ⁡ ( z ) + 1 ) {\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{2}}\left(\operatorname {T} _{n}(z)+1\right)} 여기서 T n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}} 은 n {\displaystyle n} 차 체비쇼프 다항식이다. (이는 체비쇼프 다항식의 분지점은 ±1이기 때문이다.) 간단한 벨리 사상에 대응하는 데생당팡들은 다음과 같다. 예를 들어, 벨리 사상 f : C P 1 → C P 1 {\displaystyle f\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}} f : z ↦ − ( z − 1 ) 3 ( z − 9 ) 64 z = 1 − ( z − 3 + 2 3 ) 2 ( z − 3 − 2 3 ) 2 64 z = 1 64 ( − z 3 + 12 z 2 − 30 z + 28 − 9 z ) {\displaystyle f\colon z\mapsto -{\frac {(z-1)^{3}(z-9)}{64z}}=1-{\frac {(z-3+2{\sqrt {3}})^{2}(z-3-2{\sqrt {3}})^{2}}{64z}}={\frac {1}{64}}\left(-z^{3}+12z^{2}-30z+28-{\frac {9}{z}}\right)} 를 생각하자. 이 경우, { 0 , 1 , ∞ } {\displaystyle \{0,1,\infty \}} 의 원상인 분지점들은 다음과 같다. 이에 따라, 이 벨리 쌍에 대응되는 데생당팡은 다음과 같다. 이는 깨끗한 데생당팡이다. 1879년에 펠릭스 클라인은 어떤 특별한 리만 곡면을 계산하기 위하여 오늘날의 데생당팡과 사실상 같은 그래프들을 사용하였으며, 독일어: Linienzug 리니엔추크[*](“선형 획”)이라고 불렀다. 클라인은 오늘날 표기의 검은 꼭짓점(0의 원상)과 흰 꼭짓점(1의 원상)을 각각 ⚬와 +로 표기하였다. 클라인이 찾던 리만 곡면은 리만 구의 11겹 분지 피복 C P 1 ↠ C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{1}} 이었으며, 모노드로미 군 PSL ⁡ ( 2 ; F 11 ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{11})} 을 가진다. 이로부터, 클라인은 이 벨리 사상을 나타내는 데생당팡은 나무이며, 11개의 변과 7개의 흰 꼭짓점과 5개의 검은 꼭짓점을 가지며, 그 가운데 3개의 검은 꼭짓점은 3차 꼭짓점이며 4개의 흰 꼭짓점은 2차 꼭짓점이라는 사실을 유추하였다. 클라인은 이 조건들을 모두 충족시키는 10개의 데생당팡을 모두 나열한 뒤, 이들의 모노드로미 군을 각각 계산하여 자신이 찾는 리만 곡면에 해당하는 데생당팡이 10개의 가능성 가운데 어느 것인지 찾을 수 있었다. 1970년대에 알렉산더 그로텐디크는 벨리 정리를 추측하였으나, 피에르 들리뉴는 이를 거짓이라고 생각하였다. 그러나 곧 1979년에 겐나디 블라디미로비치 벨리가 벨리 정리를 증명하였다. 이에 대하여 그로텐디크는 다음과 같이 적었다. 이에 영향을 받아, 알렉산더 그로텐디크가 1984년에 데생당팡을 도입하였다. “데생당팡”은 프랑스어로 “어린이의 그림”이라는 뜻이다. 프랑스어: dessin d’enfant 데생당팡[*]=dessin 데생[*]그림 + de 드[*]~의 + enfant 앙팡[*]어린이 이는 데생당팡의 정의에 등장하는 그래프는 한붓그리기가 가능하기 때문에, 마치 크레용을 스케치북에서 떼지 않고 마구 그린 그림과 유사하기 때문이다. 이에 대하여 그로텐디크는 다음과 같이 적었다. 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