야코비 삼중곱

야코비 삼중곱(Jacobi triple product)은 수학자 야코비가 발견한 수학 공식으로, 내용은 아래와 같다. ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 2 n ) ( 1 + q 2 n − 1 z ) ( 1 + q 2 n − 1 z − 1 ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 z n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{2n}\right)\left(1+q^{2n-1}z\right)\left(1+q^{2n-1}z^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}} ※  q , z 는 복소수 ,  q < 1 , z ≠ 0 {\displaystyle {\text{※ }}q,z{\text{는 복소수 , }}q<1,z\neq 0} 1. 제시된 곱셈 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + q 2 n − 1 z ) ( 1 + q 2 n − 1 z − 1 ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})} 은 아래와 같이 무한급수로 바꿀 수 있다. ∑ n = − ∞ ∞ a n ( q ) z n {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(q)z^{n}} = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + q 2 n − 1 z ) ( 1 + q 2 n − 1 z − 1 ) {\displaystyle =\prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})} = 1 + q z 1 + q − 1 z − 1 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + q 2 n + 1 z ) ( 1 + q 2 n − 3 z − 1 ) {\displaystyle ={\frac {1+qz}{1+q^{-1}z^{-1}}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n+1}z)(1+q^{2n-3}z^{-1})} = q z ( 1 + q z ) q z + 1 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + q 2 n − 1 q 2 z ) ( 1 + q 2 n − 1 q − 2 z − 1 ) {\displaystyle ={\frac {qz(1+qz)}{qz+1}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}q^{2}z)(1+q^{2n-1}q^{-2}z^{-1})} = q z ∑ n = − ∞ ∞ a n ( q ) ( q 2 z ) n {\displaystyle =qz\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(q)(q^{2}z)^{n}} = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( q ) q 2 n + 1 z n + 1 {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(q)q^{2n+1}z^{n+1}} = ∑ n = − ∞ ∞ a n − 1 ( q ) q 2 n − 1 z n {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n-1}(q)q^{2n-1}z^{n}} 양변 계수 비교: a n ( q ) = a n − 1 ( q ) q 2 n − 1 = 점화 a 0 ( q ) q n 2 {\displaystyle a_{n}(q)=a_{n-1}(q)q^{2n-1}{\overset {\text{점화}}{=}}a_{0}(q)q^{n^{2}}} ∏ n = 1 ∞ ( 1 + q 2 n − 1 z ) ( 1 + q 2 n − 1 z − 1 ) = a 0 ( q ) ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 z n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})=a_{0}(q)\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}} 2. 이번에는 주어진 곱셈을 직접 까보면 아래와 같이 풀리고 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + q 2 n − 1 z ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)} = 1 + z ∑ n = 1 ∞ q 2 n − 1 + z 2 ∑ n 1 = 1 n 2 = n 1 + 1 ∞ q 2 ( n 1 + n 2 ) − 2 + z 3 ∑ n 1 = 1 n 2 = n 1 + 1 n 3 = n 2 + 1 ∞ q 2 ( n 1 + n 2 + n 3 ) − 3 + . . . {\displaystyle =1+z\sum _{n=1}^{\infty }q^{2n-1}+z^{2}\sum _{\begin{matrix}n_{1}=1\\n_{2}=n_{1}+1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(n_{1}+n_{2})-2}+z^{3}\sum _{\begin{matrix}n_{1}=1\\n_{2}=n_{1}+1\\n_{3}=n_{2}+1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(n_{1}+n_{2}+n_{3})-3}+...} = 1 + z ∑ n = 1 ∞ q 2 n − 1 + z 2 ∑ n 1 = 1 n 2 ′ = 1 ∞ q 2 ( 2 n 1 + n 2 ′ ) − 2 + z 3 ∑ n 1 = 1 n 2 ′ = 1 n 3 ′ = 1 ∞ q 2 ( 3 n 1 + 2 n 2 ′ + n 3 ′ ) − 3 + . . . {\displaystyle =1+z\sum _{n=1}^{\infty }q^{2n-1}+z^{2}\sum _{\begin{matrix}n_{1}=1\\n_{2}'=1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(2n_{1}+n_{2}')-2}+z^{3}\sum _{\begin{matrix}n_{1}=1\\n_{2}'=1\\n_{3}'=1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(3n_{1}+2n_{2}'+n_{3}')-3}+...} = 1 + z q 1 − q 2 + z 2 q 4 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) + z 3 q 9 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 6 ) + . . . {\displaystyle =1+z{\frac {q}{1-q^{2}}}+z^{2}{\frac {q^{4}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+z^{3}{\frac {q^{9}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})}}+...} ∏ n = 1 ∞ ( 1 + q 2 n − 1 z ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)} 역시 위 과정에서 z만 1/z로 바꾸면 되며, 이 식들을 1번식에 대입한 뒤 z랑 1/z가 서로 상쇄되는 항을 추려 양변을 비교하면 아래와 같다. a 0 ( q ) = 1 + q 2 ( 1 − q 2 ) 2 + q 8 ( 1 − q 2 ) 2 ( 1 − q 4 ) 2 + q 18 ( 1 − q 2 ) 2 ( 1 − q 4 ) 2 ( 1 − q 6 ) 2 + . . . {\displaystyle a_{0}(q)=1+{\frac {q^{2}}{(1-q^{2})^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})^{2}(1-q^{4})^{2}}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})^{2}(1-q^{4})^{2}(1-q^{6})^{2}}}+...} 3. 2번식 양변에 ( 1 − q 2 ) {\displaystyle (1-q^{2})} 를 곱하면 a 0 ( q ) ( 1 − q 2 ) = 1 − q 2 + q 2 1 − q 2 + q 8 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) 2 + q 18 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) 2 ( 1 − q 6 ) 2 + . . . {\displaystyle a_{0}(q)(1-q^{2})=1-q^{2}+{\frac {q^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}(1-q^{6})^{2}}}+...} = 1 + q 4 1 − q 2 + q 8 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) 2 + q 18 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) 2 ( 1 − q 6 ) 2 + . . . {\displaystyle =1+{\frac {q^{4}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}(1-q^{6})^{2}}}+...} 이 되고, 여기에 ( 1 − q 4 ) {\displaystyle (1-q^{4})} 를 더 곱하면 a 0 ( q ) ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) = 1 − q 4 + q 4 − q 8 1 − q 2 + q 8 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) + q 18 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 6 ) 2 + . . . {\displaystyle a_{0}(q)(1-q^{2})(1-q^{4})=1-q^{4}+{\frac {q^{4}-q^{8}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})^{2}}}+...} = 1 + q 6 1 − q 2 + q 12 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) + q 18 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 6 ) 2 + . . . {\displaystyle =1+{\frac {q^{6}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{12}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})^{2}}}+...} , ( 1 − q 6 ) {\displaystyle (1-q^{6})} 를 더 곱하면 a 0 ( q ) ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 6 ) = 1 − q 6 + q 6 − q 12 1 − q 2 + q 12 − q 18 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) + q 18 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 6 ) + . . . {\displaystyle a_{0}(q)(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})=1-q^{6}+{\frac {q^{6}-q^{12}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{12}-q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})}}+...} = 1 + q 8 1 − q 2 + q 16 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) + q 24 ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 6 ) + . . . {\displaystyle =1+{\frac {q^{8}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{16}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{24}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})}}+...} 으로 나타나는 것을 보아하니 다음 차례 계산에 대해서도 아래와 같이 예상할 수 있다. a 0 ( q ) ∏ n = 1 N ( 1 − q 2 n ) = ∑ n = 1 N − 1 q 2 N n ∏ k = 1 n ( 1 − q 2 k ) + ∑ n = N ∞ q 2 n 2 ∏ k = 1 N − 1 ( 1 − q 2 k ) × ∏ k = N ∞ ( 1 − q 2 k ) 2 {\displaystyle a_{0}(q)\prod _{n=1}^{N}(1-q^{2n})=\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {q^{2Nn}}{\prod _{k=1}^{n}(1-q^{2k})}}+\sum _{n=N}^{\infty }{\frac {q^{2n^{2}}}{\prod _{k=1}^{N-1}(1-q^{2k})\times \prod _{k=N}^{\infty }(1-q^{2k})^{2}}}} 이 식 양변에 ( 1 − q 2 N ) {\displaystyle (1-q^{2N})} 을 곱하고 계산한 뒤 양변을 비교하면 수학적 귀납법에 따라 참임을 알 수 있으며, N을 무한으로 놓으면 q(<1)에 대한 항은 최소 2N차임에 따라 0이 되므로 a 0 ( q ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 2 n ) = 1 {\displaystyle a_{0}(q)\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})=1} 이 된다.