베티 수

베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 b k {\displaystyle b_{k}} 며, 0이거나, 양의 정수이거나, ∞ {\displaystyle \infty } 이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 k 0 {\displaystyle k_{0}} 부터 k ≥ k 0 {\displaystyle k\geq k_{0}} 에 대하여 b k = 0 {\displaystyle b_{k}=0} 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} , 음이 아닌 정수 k {\displaystyle k} , 체 F {\displaystyle \mathbb {F} } 가 주어지면, k {\displaystyle k} 번째 베티 수 b k ( X , F ) {\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )} 는 k {\displaystyle k} 번째 특이 호몰로지 공간 H k ( X ; F ) {\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {F} )} 의 ( F {\displaystyle \mathbb {F} } 에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다. b k ( X , F ) = dim ⁡ H k ( X ; F ) {\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )=\dim H_{k}(X;\mathbb {F} )} 일반적으로, F {\displaystyle \mathbb {F} } 가 주어지지 않았을 때에는 F = Q {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Q} } (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 H k ( X ; Z ) {\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {Z} )} 의 계수와 같다. F {\displaystyle \mathbb {F} } 의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 k {\displaystyle k} 가 주어지지 않으면 암묵적으로 k = 1 {\displaystyle k=1} 이다. 콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한 k 0 {\displaystyle k_{0}} 이상으로는 k ≥ k 0 {\displaystyle k\geq k_{0}} 에 대하여 b k = 0 {\displaystyle b_{k}=0} 이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 P ( z ) {\displaystyle P(z)} 는 다음을 만족한다. P ( z ) = ∑ k = 0 ∞ b k z k {\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}} 무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수(영어: Poincaré series)를 정의할 수 있다. 거칠게 말해서, k > 0 {\displaystyle k>0} 일 때 베티 수 b k {\displaystyle b_{k}} 는 k {\displaystyle k} 차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 베티 수는 k ∈ { 0 , n } {\displaystyle k\in \{0,n\}} 일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다. 유한한 CW 복합체 K {\displaystyle K} 의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다. 임의의 체 F {\displaystyle \mathbb {F} } 에 대하여, χ ( K ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i b i ( K , F ) {\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,\mathbb {F} )} 여기서 χ ( K ) {\displaystyle \chi (K)} 는 오일러 지표이다. 임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 에 대하여 그 곱공간 X × Y {\displaystyle X\times Y} 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다. P X × Y ( z ) = P X ( z ) P Y ( z ) {\displaystyle P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z)} 마찬가지로, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 분리합집합 X ⊔ Y {\displaystyle X\sqcup Y} 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다. P X ⊔ Y ( z ) = P X ( z ) + P Y ( z ) {\displaystyle P_{X\sqcup Y}(z)=P_{X}(z)+P_{Y}(z)} 닫힌 n차원 가향 다양체 X {\displaystyle X} 의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다. b k ( X ) = b n − k ( X ) {\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)} 이는 푸앵카레 쌍대성 H k = H n − k {\displaystyle H^{k}=H_{n-k}} 으로부터 유도할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다. P S n ( z ) = 1 + z n {\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=1+z^{n}} n {\displaystyle n} 차원 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다. P S n ( z ) = ( 1 + z ) n {\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=(1+z)^{n}} n {\displaystyle n} 차원 실수 사영 공간 R P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다. P R P n ( z ) = { 1 2 ∣ n 1 + x n 2 ∤ n {\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)={\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^{n}&2\nmid n\end{cases}}} 무한 차원 실수 사영 공간 R P ∞ {\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다. P R P n ( z ) = 1 {\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)=1} 2 n {\displaystyle 2n} 차원 복소수 사영 공간 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다. P c P n ( z ) = 1 + z 2 + ⋯ + z 2 n = 1 − z 2 n + 2 1 − z 2 {\displaystyle P_{\mathbb {cP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+\cdots +z^{2n}={\frac {1-z^{2n+2}}{1-z^{2}}}} 무한 차원 복소수 사영 공간 C P ∞ {\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다. P C P n ( z ) = 1 + z 2 + z 4 + ⋯ = 1 1 − z 2 {\displaystyle P_{\mathbb {CP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+z^{4}+\cdots ={\frac {1}{1-z^{2}}}} 종수 g {\displaystyle g} 의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다. P Σ g ( z ) = 1 + 2 g z + z 2 {\displaystyle P_{\Sigma _{g}}(z)=1+2gz+z^{2}} K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다. P K3 ( z ) = 1 + 22 z 2 + z 4 {\displaystyle P_{\text{K3}}(z)=1+22z^{2}+z^{4}} 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 G {\displaystyle G} 의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다. P G ( z ) = ∏ n ∈ N ( G ) ( 1 + z n ) {\displaystyle P_{G}(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^{n})} 여기서 N ( G ) {\displaystyle N(G)} 는 원시 지수(영어: primitive exponent)라고 하며, 다음과 같다. 앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다. 오일러 지표 “Betti number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Betti number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Betti number”. 《nLab》 (영어).