크룰 차원

가환대수학과 대수기하학에서 크룰 차원(Krull次元, 영어: Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 기약 집합(영어: irreducible set)은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.:3 (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) X {\displaystyle X} 의 크룰 차원은 X {\displaystyle X} 의 기약 집합들의 사슬 I 0 ⊊ I 1 ⊊ ⋯ I n − 1 ⊊ I n {\displaystyle I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq \cdots I_{n-1}\subsetneq I_{n}} 의 길이들의 상한 n ∈ N ∪ { + ∞ , − ∞ } {\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{+\infty ,-\infty \}} 이다.:5 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 − ∞ {\displaystyle -\infty } 이다. 보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 − ∞ {\displaystyle -\infty } 이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 열린 덮개 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. dim ⁡ X = sup i ∈ I dim ⁡ U i {\displaystyle \dim X=\sup _{i\in I}\dim U_{i}} 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 의 크룰 차원은 다음과 같다.:226 dim R ⁡ M = dim ⁡ Spec ⁡ ( R / Ann R ⁡ ( M ) ) {\displaystyle \dim _{R}M=\dim \operatorname {Spec} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))} 여기서 Ann R ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)} 은 M {\displaystyle M} 의 소멸자이며, Spec {\displaystyle \operatorname {Spec} } 은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 M {\displaystyle M} 을 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다. 가환환 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 높이(영어: height) ht R ⁡ p {\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}} 는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 n {\displaystyle n} 이다. p 0 ⊊ p 1 ⊊ p 2 ⊊ ⋯ ⊊ p n ⊆ p {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}} 이는 국소화 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 의 크룰 차원과 같다. dim ⁡ R p = ht R ⁡ p {\displaystyle \dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}} 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 의 높이(영어: height) ht R ⁡ a {\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}} 는 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다. ht R ⁡ a = inf a ⊆ p ∈ Spec ⁡ R ht R ⁡ p {\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}=\inf _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}} (초른 보조정리에 따라, a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.) 대수기하학적으로, 이는 Spec ⁡ ( R / a ) ⊆ Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spec} R} 의 여차원과 같다. codim R ⁡ ( R / a ) = ht R ⁡ a {\displaystyle \operatorname {codim} _{R}(R/{\mathfrak {a}})=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}} R {\displaystyle R} 가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼들 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} 가 다음과 같은 진부분집합의 사슬 p 0 ⊊ p 1 ⊊ p 2 ⊊ ⋯ ⊊ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}} 을 이룰 때, 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 을 집합 H ( R ) ⊂ N {\displaystyle H(R)\subset \mathbb {N} } 의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 R {\displaystyle R} 의 크룰 차원은 H ( R ) {\displaystyle H(R)} 의 상한이다.:6 즉, dim ⁡ R = sup H ( R ) ∈ N ⊔ { ∞ } {\displaystyle \dim R=\sup H(R)\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}} 자명환의 경우, 크룰 차원은 − ∞ {\displaystyle -\infty } 이다. 그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다. R {\displaystyle R} 의 환으로서의 크룰 차원 스펙트럼 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 의 크룰 차원 R {\displaystyle R} 를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, R {\displaystyle R} 의 가군 크룰 차원 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 체이다. 크룰 차원이 0인 정역이다. 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:227, Corollary 9.1:90, Theorem 8.5 아르틴 환이다. 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다. 일반적인 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음이 성립한다. dim ⁡ R + 1 ≤ dim ⁡ R [ x ] ≤ 2 dim ⁡ R + 1 {\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]\leq 2\dim R+1} 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.:Corollary 10.13 dim ⁡ R [ x ] = 1 + dim ⁡ R {\displaystyle \dim R[x]=1+\dim R} 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대한 아핀 대수다양체 V = Spec ⁡ K [ x 1 , … , x n ] / p {\displaystyle V=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}} ( p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:124–125 V {\displaystyle V} 의 크룰 차원이 d {\displaystyle d} 이다. V {\displaystyle V} 의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 d {\displaystyle d} 이다. V {\displaystyle V} 의 유리 함수체 Γ ( V , K V ) = Frac ⁡ ( K [ x 1 , … , x n / p ) {\displaystyle \Gamma (V,{\mathcal {K}}_{V})=\operatorname {Frac} (K[x_{1},\dots ,x_{n}/{\mathfrak {p}})} 의 K {\displaystyle K} 에 대한 초월 차수가 d {\displaystyle d} 이다. K [ x 1 , … , x n ] / p {\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}} 의 힐베르트 다항식이 d {\displaystyle d} 차 다항식이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대한 사영 대수다양체 V = Proj ⁡ K [ x 0 , x 1 , … , x n ] / p {\displaystyle V=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}} ( p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. V {\displaystyle V} 의 크룰 차원이 d {\displaystyle d} 이다. V {\displaystyle V} 의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 d {\displaystyle d} 이다. K [ x 0 , … , x n ] / p {\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}} 의 K {\displaystyle K} 에 대한 초월 차수가 d + 1 {\displaystyle d+1} 이다. 뇌터 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.:119 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다. R {\displaystyle R} 의 크룰 차원 dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} R {\displaystyle R} 에서, R / ( r 1 , r 2 , … , r δ ) {\displaystyle R/(r_{1},r_{2},\dots ,r_{\delta })} 가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 ( r 1 , … , r δ ) {\displaystyle (r_{1},\dots ,r_{\delta })} 의 생성원들의 최소 크기 δ {\displaystyle \delta } q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 가 임의의 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수 P ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ℓ ( q n / q n + 1 ) ) t n ∈ Z [ [ t ] ] {\displaystyle P(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ell ({\mathfrak {q}}^{n}/{\mathfrak {q}}^{n+1}))t^{n}\in \mathbb {Z} [[t]]} 를 정의할 수 있다 ( q 0 = R {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{0}=R} , ℓ {\displaystyle \ell } 은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, P ( t ) ∈ Z ( t ) {\displaystyle P(t)\in \mathbb {Z} (t)} 의 t = 1 {\displaystyle t=1} 에서의 극점의 차수를 d {\displaystyle d} 라고 하자. 이 값은 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 의 선택에 관계없다. 이렇게 정의하면, 항상 dim ⁡ R = δ = d < ∞ {\displaystyle \dim R=\delta =d<\infty } 이다. 정칙 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.:123, Theorem 11.22 뇌터 국소환으로서의 차원 dim ⁡ R {\displaystyle \dim R} (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.) dim R / m ⁡ ( m / m 2 ) {\displaystyle \dim _{R/{\mathfrak {m}}}({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})} . 여기서 dim R / m {\displaystyle \dim _{R/{\mathfrak {m}}}} 은 체 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} 위의 벡터 공간의 차원이다. m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 의 최소 생성 집합의 크기 ⨁ n = 0 ∞ m n / m n + 1 ≅ ( R / m ) [ x 1 , x 2 , … , x d ] {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong (R/{\mathfrak {m}})[x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}]} 일 때, d {\displaystyle d} . 여기서 m 0 = R {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{0}=R} 이다. 크룰 차원이 − ∞ {\displaystyle -\infty } 인 유일한 가환환은 자명환이다. 체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다. k {\displaystyle k} 가 체라고 하자. 그렇다면 k [ x ] {\displaystyle k[x]} 는 주 아이디얼 정역이므로 dim ⁡ k [ x ] = 1 {\displaystyle \dim k[x]=1} 이다. 보다 일반적으로, dim ⁡ k [ x 1 , x 2 , … , x n ] = n {\displaystyle \dim k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=n} 이다.:6 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 가환환 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 크룰 차원은 다음과 같다. dim ⁡ Z / ( n ) = { 1 n = 0 − ∞ n = 1 0 n ≠ 0 , 1 {\displaystyle \dim \mathbb {Z} /(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}} 위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다. 시에르핀스키 공간 X = { 0 , 1 } {\displaystyle X=\{0,1\}} , T = { ∅ , { 1 } , X } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\varnothing ,\{1\},X\}} 의 기약 집합은 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 및 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 Ann K ⁡ ( V ) = ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {Ann} _{K}(V)=(0)} 이며, Spec ⁡ ( K / ( 0 ) ) = Spec ⁡ K {\displaystyle \operatorname {Spec} (K/(0))=\operatorname {Spec} K} 는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환 R = K [ x 1 , x 2 , x 3 , … ] {\displaystyle R=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]} 를 생각하자. 임의의 증가 정수열 0 = n 1 < n 2 < n 3 < n 4 < ⋯ {\displaystyle 0=n_{1}<n_{2}<n_{3}<n_{4}<\cdots } 가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열 p i = ( x n i − 1 + 1 , x n i − 1 + 2 , … , x n ) ( i = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots ,x_{n})\qquad (i=1,2,3,\dots )} 을 생각하자. 그렇다면 R {\displaystyle R} 를 S = K [ x 1 , x 2 , x 3 , … ] ∖ ⋃ i = 1 ∞ p i {\displaystyle S=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }{\mathfrak {p}}_{i}} 에 국소화하면, S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은 dim ⁡ S − 1 R = sup { n i − n i − 1 : i ∈ Z + } {\displaystyle \dim S^{-1}R=\sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 이다. 만약 sup { n i − n i − 1 : i ∈ Z + } = ∞ {\displaystyle \sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\infty } 라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.:Appendix, Example E1:229, Exercise 9.6 볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다. 호몰로지 차원 기약 공간 크룰 높이 정리 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.  Atiyah, Michael; Ian G. MacDonald (1969). 《Introduction to commutative algebra》 (영어). Addison-Wesley.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Nagata, Masayoshi (1962). 《Local rings》. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 13. Wiley Interscience.  Krull, Wolfgang (1928년 12월 1일). “Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 28 (1): 481–503. doi:10.1007/BF01181179.  “Dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Krull dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.