적분 판정법

미적분학에서 적분 판정법(積分判別法, integral test)은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다. 음이 아닌 실수 값 감소함수 f : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )} ∀ x , y ∈ [ 0 , ∞ ) : x ≤ y ⟹ f ( x ) ≥ f ( y ) {\displaystyle \forall x,y\in [0,\infty )\colon x\leq y\implies f(x)\geq f(y)} 가 주어졌다고 하자. (특히, f {\displaystyle f} 는 임의의 [ 0 , a ] ⊆ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,a]\subseteq [0,\infty )} 에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:138–139, Exercise 8:290, Proposition 11.6.4 급수 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)} 는 수렴한다. 이상 적분 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx} 은 수렴한다. 또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다. ∫ 0 ∞ f ( x ) d x ≤ ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ≤ f ( 0 ) + ∫ 0 ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)\leq f(0)+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx} 증명: 음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} 및 n ≤ x ≤ n + 1 {\displaystyle n\leq x\leq n+1} 에 대하여, f ( n + 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( n ) {\displaystyle f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)} 이다. [ n , n + 1 ] {\displaystyle [n,n+1]} 위의 리만 적분을 취하면 f ( n + 1 ) ≤ ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ f ( n ) {\displaystyle f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)} 이 된다. n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} 에 대한 급수를 취하면 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≤ ∫ 0 ∞ f ( x ) d x ≤ ∑ n = 0 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)} 이 된다. 이는 ∑ n = 0 ∞ ∫ n n + 1 f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ i = 0 n ∫ i i + 1 f ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ 0 n + 1 f ( x ) d x = ∫ 0 ∞ f ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\int _{i}^{i+1}f(x)\,dx\\&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n+1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\end{aligned}}} 임에 따른다. 따라서, 만약 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty } 라면 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x ≤ ∑ n = 0 ∞ f ( n ) < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty } 이며, 만약 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty } 라면 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) = f ( 0 ) + ∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≤ a 0 + ∫ 0 ∞ f ( x ) d x < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=f(0)+\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq a_{0}+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty } 이다. 즉, 수렴 여부가 동치다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n p ( p ∈ R ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}\qquad (p\in \mathbb {R} )} 를 생각하자. (혹자는 이를 p-급수(영어: p-series)라고 부른다.) 만약 p ≤ 0 {\displaystyle p\leq 0} 이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, p > 0 {\displaystyle p>0} 이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다. ∫ 1 ∞ d x x p {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}} 만약 p = 1 {\displaystyle p=1} 이라면, ∫ 1 ∞ d x x = lim x → ∞ ∫ 1 x d t t = lim x → ∞ ( ln ⁡ x − ln ⁡ 1 ) = ∞ {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln x-\ln 1)=\infty } 이다. 만약 p ≠ 1 {\displaystyle p\neq 1} 이라면, ∫ 1 ∞ d x x p = lim x → ∞ ∫ 1 x d t t p = lim x → ∞ ( x 1 − p 1 − p − 1 1 − p ) = { ∞ p < 1 1 / ( p − 1 ) p > 1 {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{1-p}}{1-p}}-{\frac {1}{1-p}}\right)={\begin{cases}\infty &p<1\\1/(p-1)&p>1\end{cases}}} 이다. 따라서, 이 급수는 p > 1 {\displaystyle p>1} 일 때 수렴하며, p ≤ 1 {\displaystyle p\leq 1} 일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의 p {\displaystyle p} 에 따른 수렴 여부에 기반한다. 보다 일반적으로, 급수 ∑ n = 2 ∞ 1 n p ln q ⁡ n ( p , q ∈ R ) {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )} 를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는 p > 1 {\displaystyle p>1} 일 때 수렴하며, p < 1 {\displaystyle p<1} 일 때 발산한다. 이제 p = 1 {\displaystyle p=1} 이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분 ∫ 2 ∞ d x x ln q ⁡ x {\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}} 의 수렴 여부와 같다. 이는 ( x − 1 ln − q ⁡ x ) ′ = − x − 2 ln − q ⁡ x + x − 1 ( − q ) ln − q − 1 ⁡ x ⋅ x − 1 = − x − 2 ln − q − 1 ⁡ x ( ln ⁡ x + q ) < 0 ( x ≫ 1 ) {\displaystyle (x^{-1}\ln ^{-q}x)'=-x^{-2}\ln ^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln ^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln ^{-q-1}x(\ln x+q)<0\qquad (x\gg 1)} 임에 따른다. 만약 q = 1 {\displaystyle q=1} 이라면, ∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x = lim x → ∞ ∫ 2 x d t t ln ⁡ t = lim x → ∞ ( ln ⁡ ln ⁡ x − ln ⁡ ln ⁡ 2 ) = ∞ {\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln \ln x-\ln \ln 2)=\infty } 이다. 만약 q ≠ 1 {\displaystyle q\neq 1} 이라면, ∫ 2 ∞ d x x ln q ⁡ x = lim x → ∞ ∫ 2 x d t t ln q ⁡ t = lim x → ∞ ( ln 1 − q ⁡ x 1 − q − ln 1 − q ⁡ 2 1 − q ) = { ∞ q < 1 − ln 1 − q ⁡ 2 / ( 1 − q ) q > 1 {\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{q}t}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\ln ^{1-q}x}{1-q}}-{\frac {\ln ^{1-q}2}{1-q}}\right)={\begin{cases}\infty &q<1\\-\ln ^{1-q}2/(1-q)&q>1\end{cases}}} 이다. 따라서, 이 급수는 p > 1 {\displaystyle p>1} 이거나 p = 1 {\displaystyle p=1} , q > 1 {\displaystyle q>1} 일 때 수렴하며, p = 1 {\displaystyle p=1} , q ≤ 1 {\displaystyle q\leq 1} 이거나 p < 1 {\displaystyle p<1} 일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 에 따른 수렴 여부에 기반한다. 마찬가지로, 급수 ∑ n = e e ⋯ e 2 ⏟ k − 1 ∞ 1 n p 0 ( ln ⁡ n ) p 1 ⋯ ( ln ⁡ ⋯ ln ⏟ k n ) p k {\displaystyle \sum _{n=\underbrace {{\mathrm {e} }^{{\mathrm {e} }^{\cdots ^{{\mathrm {e} }^{2}}}}} _{k-1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{p_{0}}(\ln n)^{p_{1}}\cdots (\underbrace {\ln \cdots \ln } _{k}\,n)^{p_{k}}}}} 의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. R k + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}} 위의 사전식 순서를 ⪯ {\displaystyle \preceq } 로 적을 때, 이 급수는 ( p 0 , … , p k ) ≻ ( 1 , … , 1 ) {\displaystyle (p_{0},\dots ,p_{k})\succ (1,\dots ,1)} 일 때 수렴하며, ( p 0 , … , p k ) ⪯ ( 1 , … , 1 ) {\displaystyle (p_{0},\dots ,p_{k})\preceq (1,\dots ,1)} 일 때 발산한다. 수렴판정법 비교 판정법 지배 수렴 정리 극한 비교 판정법 단조 수렴 정리 Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.  “Integral test”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral Test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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