매시 곱

대수적 위상수학에서 매시 곱(영어: Massey product)은 코호몰로지 곱을 일반화하는 다항 연산이다. 이를 통하여, 코호몰로지의 환 구조만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량을 계산할 수 있다. 미분 등급 대수 ( A , d ) {\displaystyle (A,d)} 의 코호몰로지 H ∙ ( A ) {\displaystyle H^{\bullet }(A)} 의 원소 u ∈ H ∙ ( A ) {\displaystyle u\in H^{\bullet }(A)} 에 대하여, u ¯ = ( − ) deg ⁡ u + 1 u {\displaystyle {\bar {u}}=(-)^{\deg u+1}u} 로 정의하자. 코호몰로지 H ∙ ( A ) {\displaystyle H^{\bullet }(A)} 위의 n {\displaystyle n} 항 매시 곱 ⟨ − , − , … , − ⏞ n ⟩ : ( H ∙ ( A ) ) n → P ( H ∙ ( A ) ) {\displaystyle \langle \overbrace {-,-,\dots ,-} ^{n}\rangle \colon (H^{\bullet }(A))^{n}\to {\mathcal {P}}(H^{\bullet }(A))} 은 n {\displaystyle n} 개의 코호몰로지류를 코호몰로지류들의 집합으로 대응시키는 함수이며, 다음과 같다. ⟨ [ a 1 , 1 ] , … , [ a n , n ] ⟩ = { ∑ i = 1 n − 1 a 1 , i a i + 1 , n : ∀ 1 ≤ i ≤ k ≤ n , ( i , j ) ≠ ( 1 , n ) : d a i , k = ∑ j = i k − 1 a ¯ i , j a j + 1 , k } {\displaystyle \langle [a_{1,1}],\dots ,[a_{n,n}]\rangle =\left\{\sum _{i=1}^{n-1}a_{1,i}a_{i+1,n}\colon \qquad \forall 1\leq i\leq k\leq n,\;(i,j)\neq (1,n)\colon da_{i,k}=\sum _{j=i}^{k-1}{\bar {a}}_{i,j}a_{j+1,k}\right\}} 이 등식에서 deg ⁡ a i , k = i − k + ∑ j = i k deg ⁡ a j , j {\displaystyle \deg a_{i,k}=i-k+\sum _{j=i}^{k}\deg a_{j,j}} 이며, 따라서 deg ⁡ ⟨ u 1 , … , u n ⟩ = ∑ i = 1 n deg ⁡ u n + 2 − n {\displaystyle \deg \langle u_{1},\dots ,u_{n}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\deg u_{n}+2-n} 이다. 일반적으로, 매시 곱은 공집합이거나 두 개 이상의 원소를 가질 수 있는 집합이다. 3차 매시 곱의 두 원소의 차는 다음과 같은 아이디얼에 속한다. x , y ∈ ⟨ [ a 1 ] , [ a 2 ] , [ a 3 ] ⟩ {\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],[a_{3}]\rangle } x − y ∈ ( [ a 1 ] ) + ( [ a 3 ] ) {\displaystyle x-y\in ([a_{1}])+([a_{3}])} 즉, 매시 곱을 다음과 같은 몫군 속의 값으로 정의한다면, 매시 곱은 유일하다. x , y ∈ ⟨ [ a 1 ] , [ a 2 ] , [ a 3 ] ⟩ {\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],[a_{3}]\rangle } x − y ∈ H deg ⁡ a 1 + deg ⁡ a 2 + deg ⁡ a 3 / ( [ a 1 ] H deg ⁡ a 2 + deg ⁡ a 3 + H deg ⁡ a 1 + deg ⁡ a 2 [ a 3 ] ) {\displaystyle x-y\in H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}+\deg a_{3}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2}+\deg a_{3}}+H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}}[a_{3}]\right)} 보다 일반적으로, n {\displaystyle n} 차 매시 곱은 다음과 같은 몫군 속에서 정의된다. x , y ∈ ⟨ [ a 1 ] , [ a 2 ] , … , [ a n ] ⟩ {\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],\dots ,[a_{n}]\rangle } x − y ∈ H ∑ i deg ⁡ a i / ( [ a 1 ] H deg ⁡ a 2 , n + H deg ⁡ a 1 , 2 H deg ⁡ a 3 , n + ⋯ + H deg ⁡ a 1 , n − 2 H deg ⁡ a n − 1 , n + H deg ⁡ a 1 , n − 1 [ a n ] ) {\displaystyle x-y\in H^{\sum _{i}\deg a_{i}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2,n}}+H^{\deg a_{1,2}}H^{\deg a_{3,n}}+\cdots +H^{\deg a_{1,n-2}}H^{\deg a_{n-1,n}}+H^{\deg a_{1,n-1}}[a_{n}]\right)} 여기서 deg ⁡ a i , j = i − j + deg ⁡ a i + deg ⁡ a i + 1 + ⋯ + deg ⁡ a j {\displaystyle \deg a_{i,j}=i-j+\deg a_{i}+\deg a_{i+1}+\cdots +\deg a_{j}} 이다. 0항 및 1항 매시 곱은 항상 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 이다. 2항 매시 곱은 코호몰로지 곱 ⟨ u , v ⟩ = { u v } {\displaystyle \langle u,v\rangle =\{uv\}} 이다. 3항 매시 곱은 최초로 자명하지 않은 매시 곱이며, 다음과 같다. 만약 u v = v w = 0 {\displaystyle uv=vw=0} d s = u ¯ v {\displaystyle ds={\bar {u}}v} d t = v ¯ w {\displaystyle dt={\bar {v}}w} 라면, ⟨ [ u ] , [ v ] , [ w ] ⟩ = [ s ¯ w + u ¯ t ] {\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]} 이다. 4항 매시 곱은 다음과 같다. [ u v ] = [ v w ] = [ w x ] = 0 {\displaystyle [uv]=[vw]=[wx]=0} d r = u ¯ v {\displaystyle dr={\bar {u}}v} d s = v ¯ w {\displaystyle ds={\bar {v}}w} d t = w ¯ x {\displaystyle dt={\bar {w}}x} [ r ¯ w + u ¯ s ] = [ s ¯ x + v ¯ t ] = 0 {\displaystyle [{\bar {r}}w+{\bar {u}}s]=[{\bar {s}}x+{\bar {v}}t]=0} d p = u ¯ s + r ¯ w {\displaystyle dp={\bar {u}}s+{\bar {r}}w} d q = v ¯ t + s ¯ x {\displaystyle dq={\bar {v}}t+{\bar {s}}x} ⟨ [ u ] , [ v ] , [ w ] , [ x ] ⟩ = [ u ¯ q + r ¯ t + p ¯ x ] {\displaystyle \langle [u],[v],[w],[x]\rangle =[{\bar {u}}q+{\bar {r}}t+{\bar {p}}x]} 매시 곱은 코호몰로지의 곱 연산만으로 알 수 없는 위상수학적 불변량들을 측정한다. 예를 들어, 연환의 일종인 보로메오 고리(영어: Borromean rings)는 그 여공간의 코호몰로지의 곱만으로는 세 개의 고리가 분리될 수 없다는 것을 알지 못하지만, 각 고리에 대응하는 코호몰로지 원소의 3중 매시 곱이 0이 아니므로 세 개의 고리가 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다. 윌리엄 슈마허 매시(영어: William Schumacher Massey)가 1958년에 도입하였다. Massey, William S. (1958). 〈Some higher order cohomology operations〉. 《Symposium internacional de topología algebraica》 (영어). Ciudad de México: Universidad Nacional Autónoma de México. 145–154쪽. MR 0098366. Zbl 0123.16103.  McCleary, John (2001). 《A user’s guide to spectral sequences》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 58 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626289. ISBN 978-0-52156141-9. MR 1793722. Zbl 0959.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) O’Neill, Edward J. (1978). “On Massey products”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 76 (1): 123–127. MR 0482763. Zbl 0397.55009.  Vallette, Bruno (2012). “Algebra + homotopy = operad” (영어). arXiv:1202.3245.  “Massey product”. 《nLab》 (영어). 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 12일에 확인함.