해바라기 (수학)

집합론과 조합론에서 해바라기(영어: sunflower)는 서로 다른 두 원소의 교집합이 항상 일정한 집합족이다. 부분 순서 집합 P {\displaystyle P} 가 만남 반격자라고 하자 (즉, 임의의 두 원소에 대하여 그 하한 a ∧ b {\displaystyle a\land b} 이 존재한다고 하자). P {\displaystyle P} 속의 부분 집합 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 하향 해바라기(영어: downward sunflower)라고 한다. ∀ a , b , a ′ , b ′ ∈ A : ( a ≠ b , a ′ ≠ b ′ ⟹ a ∧ b = a ′ ∧ b ′ ) {\displaystyle \forall a,b,a',b'\in A\colon (a\neq b,\;a'\neq b'\implies a\land b=a'\land b')} 이 경우, ⋀ S ∈ P {\displaystyle \textstyle \bigwedge S\in P} 는 S {\displaystyle S} 의 핵(核, 영어: kernel, core)이라고 한다. 마찬가지로, 만약 P {\displaystyle P} 가 이음 반격자일 경우, 상향 해바라기(영어: upward sunflower)는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S ⊆ P {\displaystyle S\subseteq P} 이다. ∀ a , b , a ′ , b ′ ∈ A : ( a ≠ b , a ′ ≠ b ′ ⟹ a ∨ b = a ′ ∨ b ′ ) {\displaystyle \forall a,b,a',b'\in A\colon (a\neq b,\;a'\neq b'\implies a\lor b=a'\lor b')} 집합 S {\displaystyle S} 속의 해바라기란 멱집합 ( P ( S ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subseteq )} 속의 하향 해바라기를 뜻한다.:49, Definition II.1.4:89, §6.1 임의의 A , B , A ′ , B ′ ∈ A {\displaystyle A,B,A',B'\in {\mathcal {A}}} 에 대하여, 만약 A ≠ B {\displaystyle A\neq B} 이며 A ′ ≠ B ′ {\displaystyle A'\neq B'} 이라면, A ∩ B = A ′ ∩ B ′ {\displaystyle A\cap B=A'\cap B'} 이다. 크기 n {\displaystyle n} 의 집합 S {\displaystyle S} 위의 해바라기 A ⊆ P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)} 의 수는 다음과 같다. 2 ∑ k = 0 n + 1 k { n + 1 k } {\displaystyle 2\sum _{k=0}^{n+1}k\left\{{n+1 \atop k}\right\}} 여기서 { ∙ ∙ } {\displaystyle \textstyle \left\{{\bullet \atop \bullet }\right\}} 는 제2종 스털링 수이다. 증명: 해바라기에는 항상 그 핵을 추가하거나 제거할 수 있으므로, 총 해바라기의 수는 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기들의 수의 2배이다. 따라서, 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기의 수를 세자. S {\displaystyle S} 에 새 원소 ∙ {\displaystyle \bullet } 를 추가한 집합 S ∙ = S ⊔ { ∙ } {\displaystyle S_{\bullet }=S\sqcup \{\bullet \}} 의, 0 ≤ k ≤ n + 1 {\displaystyle 0\leq k\leq n+1} 조각으로의 분할 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 를 생각하자. 그 가짓수는 제2종 스털링 수 { n + 1 k } {\displaystyle \textstyle \{{n+1 \atop k}\}} 이다. 또한, P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 에서 임의의 원소 Q ∈ P {\displaystyle Q\in {\mathcal {P}}} 를 고르자. 이제, 이 데이터 ( P , Q ) {\displaystyle ({\mathcal {P}},Q)} 에 다음과 같은, 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 를 대응시킬 수 있다. 만약 ∙ ∈ Q {\displaystyle \bullet \in Q} 라면, A = { P ∪ Q ∖ { ∙ } : P ∈ P } {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{P\cup Q\setminus \{\bullet \}\colon P\in {\mathcal {P}}\}} . 그 핵은 Q ∖ { ∙ } {\displaystyle Q\setminus \{\bullet \}} 이다. 만약 ∙ ∉ Q {\displaystyle \bullet \not \in Q} 이고 ∙ ∈ R ∈ P {\displaystyle \bullet \in R\in {\mathcal {P}}} 라면, A = { P ∪ R ∖ { ∙ } : P ∈ P ∖ { Q , R } } {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{P\cup R\setminus \{\bullet \}\colon P\in {\mathcal {P}}\setminus \{Q,R\}\}} . 그 핵은 R ∖ { ∙ } {\displaystyle R\setminus \{\bullet \}} 이며, Q = S ∖ ⋃ A {\displaystyle \textstyle Q=S\setminus \bigcup {\mathcal {A}}} 는 해바라기의 "바깥"이다. 따라서, 이러한 데이터 ( P , Q ) {\displaystyle ({\mathcal {P}},Q)} 의 집합은 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기들의 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. 이러한 데이터의 집합의 크기는 물론 ∑ k = 0 n + 1 k { n + 1 k } {\displaystyle \sum _{k=0}^{n+1}k\left\{{n+1 \atop k}\right\}} 이다. 임의의 두 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 에 대하여, f ( κ , λ ) {\displaystyle f(\kappa ,\lambda )} 를 다음 조건이 성립하는 최소의 기수 μ {\displaystyle \mu } 라고 하자. (이러한 μ {\displaystyle \mu } 가 존재하지 않는다면 f ( κ , λ ) = ∞ {\displaystyle f(\kappa ,\lambda )=\infty } 로 놓자.) 임의의 집합 S {\displaystyle S} 및 그 속의 집합족 A ⊆ P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)} 에 대하여, 만약 모든 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 에 대하여 | A | < κ {\displaystyle |A|<\kappa } 이며, | A | ≥ μ {\displaystyle |{\mathcal {A}}|\geq \mu } 라면, 임의의 기수 α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda } 에 대하여 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속에는 크기 α {\displaystyle \alpha } 의 해바라기 B ⊆ A {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}} 가 존재한다. 다음과 같은 성질이 알려져 있다. 1 ≤ κ < ℵ 0 {\displaystyle 1\leq \kappa <\aleph _{0}} , 2 ≤ λ < ℵ 0 {\displaystyle 2\leq \lambda <\aleph _{0}} 라면, f ( κ , λ ) ≤ ( κ − 1 ) ! ( λ − 2 ) κ − 1 + 1 {\displaystyle f(\kappa ,\lambda )\leq (\kappa -1)!(\lambda -2)^{\kappa -1}+1} 이다.:89–90, §6.1 f ( ℵ 0 , ℵ 2 ) = ℵ 1 {\displaystyle f(\aleph _{0},\aleph _{2})=\aleph _{1}} 이다.:49, Theorem II.1.5 만약 ℵ 0 ≤ κ < θ {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa <\theta } 이며, θ {\displaystyle \theta } 가 정칙 기수이며, 임의의 α < θ {\displaystyle \alpha <\theta } 에 대하여 | α < κ | < θ {\displaystyle |\alpha ^{<\kappa }|<\theta } 일 경우, f ( κ , θ + ) = θ {\displaystyle f(\kappa ,\theta ^{+})=\theta } 이다.:49, Theorem II.1.6 자명하게, λ ≤ f ( κ , λ ) + {\displaystyle \lambda \leq f(\kappa ,\lambda )^{+}} 이다. (이는 집합족은 스스로보다 더 큰 해바라기를 포함할 수 없기 때문이다.) 자명하게, 임의의 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여 1 ≤ λ ≤ 3 {\displaystyle 1\leq \lambda \leq 3} 일 경우, f ( κ , λ ) = λ − 1 {\displaystyle f(\kappa ,\lambda )=\lambda -1} 이다. (이는 크기가 2 이하인 집합족은 항상 해바라기이기 때문이다.) 물론 f ( κ , 0 ) = 0 {\displaystyle f(\kappa ,0)=0} 이다. 자명하게, 만약 κ ≤ κ ′ {\displaystyle \kappa \leq \kappa '} 이라면 f ( κ , λ ) ≤ f ( κ ′ , λ ) {\displaystyle f(\kappa ,\lambda )\leq f(\kappa ',\lambda )} 이다. 마찬가지로, 만약 λ ≤ λ ′ {\displaystyle \lambda \leq \lambda '} 이라면 f ( κ , λ ) ≤ f ( κ , λ ′ ) {\displaystyle f(\kappa ,\lambda )\leq f(\kappa ,\lambda ')} 이다. 이와 같은, f ( κ , λ ) {\displaystyle f(\kappa ,\lambda )} 에 대한 상계·하계들을 해바라기 정리(영어: sunflower theorem)라고 한다. 크기 2 이하의 집합족은 항상 (자명하게) 해바라기이다. 짝마다 서로소 집합족(즉, 서로 다른 두 원소가 항상 서로소인 집합족)은 (핵이 공집합인) 해바라기이다. 1980년에 에르되시 팔과 리하르트 라도가 유한 해바라기에 대한 해바라기 정리를 증명하였다. 에르되시와 라도는 해바라기를 "델타 계"(Δ界, 영어: Δ-system)라고 불렀다. "해바라기"(영어: sunflower)라는 용어는 적어도 1981년부터 사용되기 시작하였다. "해바라기"라는 용어는 식물 해바라기의 꽃차례에 비유한 것이다. 이는 (유한) 해바라기의 벤 다이어그램을 대칭적으로 그리면, 이는 마치 꽃과 유사하기 때문이다. 구체적으로, 해바라기의 꽃차례는 중심의 갈색의 작은 관꽃들과, 이를 둘러싸는 노랗고 길쭉한 혀꽃들로 구성되어 있다. (흔히, 후자를 "꽃잎"으로 일컫는다.) 이 비유에서, 수학적 해바라기의 핵은 관꽃들의 집합에 해당하며, 수학적 해바라기의 각 원소는 모든 관꽃들의 집합과 하나의 혀꽃으로 구성된다. 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