정규화 부분군

군론에서 정규화 부분군(正規化部分群, 영어: normalizer 노멀라이저[*])은 어떤 부분군을 정규 부분군으로 포함하는 가장 큰 부분군이다. 모노이드 M {\displaystyle M} 의 부분 집합 S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} 의 정규화 부분 모노이드(영어: normalizer submonoid)는 다음과 같은, G {\displaystyle G} 의 부분 집합이다.:30, Definition 1.68:161, Definition 8.11:AI.54, §AI.5.3 N M ⁡ ( S ) = { m ∈ M : m S = S m } {\displaystyle \operatorname {N} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}} 이는 M {\displaystyle M} 의 부분 모노이드를 이룬다. 사실, 임의의 모노이드 M {\displaystyle M} 의 부분 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.:4–5, Lemma 2.1 LN M ⁡ ( S ) = { m ∈ M : m S ⊆ S m } {\displaystyle \operatorname {LN} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq Sm\}} RN M ⁡ ( S ) = { m ∈ M : S m ⊆ m S } {\displaystyle \operatorname {RN} _{M}(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq mS\}} 이들은 N M ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {N} _{M}(S)} 를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 M {\displaystyle M} 이 군이며 S {\displaystyle S} 가 부분군이더라도) 서로 다르다.:AI.54 군의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 정규화 부분군이라고 한다. (그러나 LN G ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {LN} _{G}(-)} 및 RN G ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {RN} _{G}(-)} 는 일반적으로 부분군이 아니다.:AI.54) 임의의 모노이드 M {\displaystyle M} 의 부분 집합 S ⊆ M {\displaystyle S\subseteq M} 에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다. N M ⁡ ( S ) = LN M ⁡ ( S ) ∩ RN M ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {N} _{M}(S)=\operatorname {LN} _{M}(S)\cap \operatorname {RN} _{M}(S)} 중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드 M {\displaystyle M} 의 부분 집합 S ⊆ M {\displaystyle S\subseteq M} 에 대하여, 다음이 성립한다. C M ⁡ ( S ) ⊆ N M ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {C} _{M}(S)\subseteq \operatorname {N} _{M}(S)} 군 G {\displaystyle G} 의 부분 집합 S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} 의 중심화 부분군은 S {\displaystyle S} 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다. C G ⁡ ( S ) ⊴ N G ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} _{G}(S)} 군의 경우 다음이 성립한다. LN G ⁡ ( S ) = ( RN G ⁡ ( S ) ) − 1 {\displaystyle \operatorname {LN} _{G}(S)=\left(\operatorname {RN} _{G}(S)\right)^{-1}} H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 가 부분군이라고 하자. 그렇다면, N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)} 는 H {\displaystyle H} 를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군 K ⊆ G {\displaystyle K\subseteq G} 에 대하여, 만약 H {\displaystyle H} 가 K {\displaystyle K} 의 정규 부분군이라면, K {\displaystyle K} 는 N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)} 의 부분군이다. ∀ K ∈ Sub ⁡ ( G ) : H ⊴ K ≤ G ⟹ K ≤ N G ⁡ ( H ) {\displaystyle \forall K\in \operatorname {Sub} (G)\colon H\trianglelefteq K\leq G\implies K\leq \operatorname {N} _{G}(H)} 환의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환을 이루지 못한다. 나눗셈환 D {\displaystyle D} 의 경우, 다음이 성립한다. N D ⁡ ( D ) = D {\displaystyle \operatorname {N} _{D}(D)=D} 증명: 임의의 a ∈ D {\displaystyle a\in D} 에 대하여 a D = D a {\displaystyle aD=Da} 임을 보이면 족하다. 우선, 만약 a = 0 {\displaystyle a=0} 이라면 이는 자명하다. 따라서 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 이라고 가정하자. 그렇다면, D ⊇ a D a − 1 ⊇ a a − 1 D a a − 1 = D {\displaystyle D\supseteq aDa^{-1}\supseteq aa^{-1}Daa^{-1}=D} 이므로 D = a D a − 1 {\displaystyle D=aDa^{-1}} 이며 D a = a D {\displaystyle Da=aD} 이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 가환 모노이드라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 M {\displaystyle M} 전체이다. 한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다. 즉, 임의의 모노이드 M {\displaystyle M} 의 원소 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, 다음이 성립한다. LN M ⁡ ( { m } ) = RN M ⁡ ( { m } ) = N M ⁡ ( { m } ) = C M ⁡ ( { m } ) {\displaystyle \operatorname {LN} _{M}(\{m\})=\operatorname {RN} _{M}(\{m\})=\operatorname {N} _{M}(\{m\})=\operatorname {C} _{M}(\{m\})} 공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 모노이드 M {\displaystyle M} 에 대하여 다음이 성립한다. N M ⁡ ( ∅ ) = M {\displaystyle \operatorname {N} _{M}(\varnothing )=M} 임의의 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 다음이 성립한다. N G ⁡ ( G ) = G {\displaystyle \operatorname {N} _{G}(G)=G} (그러나 이는 임의의 모노이드에 대하여 성립하지 못한다.) Bourlès, Henri; Marinescu, Bogdan (2011). 《Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach》. Lecture Notes in Control and Information Sciences (영어). doi:10.1007/978-3-642-19727-7. ISSN 0170-8643.  Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, Michael (2012). 〈Compact affine monoids, harmonic analysis and information theory〉. 《Mathematical Foundations of Information Flow》. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics (영어) 71. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4923-1. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함.  Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson.  Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, M. (1971). “The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids”. 《Semigroup Forum》 (영어) 3: 31–42. doi:10.1007/BF02572939. ISSN 0037-1912. Zbl 0223.22002. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함.  “Normalizer of a subset”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “One-sided normality of semigroup”. 《PlanetMath》 (영어).