베르 공간

일반위상수학에서 베르 공간(Baire空間, 영어: Baire space)은 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합이 조밀할 수 있도록, ‘충분한 수의’ 점들을 갖는 위상 공간이다. 공집합이 아닌 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 를 고르는 것이다. 수들을 ( U 0 , U 1 , U 2 , … ) {\displaystyle (U_{0},U_{1},U_{2},\dots )} 라고 하자. (즉, 갑은 U 0 , U 2 , U 4 , … {\displaystyle U_{0},U_{2},U_{4},\dots } 를 두고, 을은 U 1 , U 3 , U 5 , … {\displaystyle U_{1},U_{3},U_{5},\dots } 를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 U 0 ⊇ U 1 ⊇ U 2 ⊇ ⋯ {\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \cdots } 이어야 한다. 만약 U 0 ∩ U 1 ∩ ⋯ = ∅ {\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots =\varnothing } 라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다. 이를 쇼케 게임(영어: Choquet game) Choq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)} 이라고 한다.:43, Definition 8.10:39–40, §1:234, §4 공집합이 아닌 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 열린집합과 그 속의 점의 순서쌍 ( U , x ) {\displaystyle (U,x)} 를 고르는 것이다. 수들을 ( ( U 0 , x 0 ) , ( U 1 , x 1 ) , ( U 2 , x 2 ) , ( U 3 , x 3 ) , … ) {\displaystyle ((U_{0},x_{0}),(U_{1},x_{1}),(U_{2},x_{2}),(U_{3},x_{3}),\dots )} 라고 하자. (즉, 갑은 ( U 0 , x 0 ) , ( U 2 , x 2 ) , ( U 4 , x 4 ) , … {\displaystyle (U_{0},x_{0}),(U_{2},x_{2}),(U_{4},x_{4}),\dots } 를 두고, 을은 ( U 1 , x 1 ) , ( U 3 , x 3 ) , ( U 5 , x 5 ) , … {\displaystyle (U_{1},x_{1}),(U_{3},x_{3}),(U_{5},x_{5}),\dots } 를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 U 0 ⊇ U 1 ⊇ U 2 ⊇ ⋯ {\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \cdots } 이며 x 0 = x 1 ∧ x 2 = x 3 ∧ ⋯ {\displaystyle x_{0}=x_{1}\land x_{2}=x_{3}\land \cdots } 이어야 한다. 만약 U 0 ∩ U 1 ∩ ⋯ = ∅ {\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots =\varnothing } 라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다. 이를 강한 쇼케 게임(영어: strong Choquet game) StrChoq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {StrChoq} (X)} 이라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 베르 공간이라고 한다. ㈀ 내부가 공집합인, 임의의 가산 개의 닫힌집합들의 합집합의 내부는 항상 공집합이다. ㈁ 임의의 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합은 조밀 집합이다.:41, Proposition 8.1(iii) ㈂ 제1 범주 열린집합은 공집합 밖에 없다.:41, Proposition 8.1(i) ㈃ 모든 제1 범주 집합의 여집합이 조밀 집합이다.:41, Proposition 8.1(ii) ㈄ 공집합이거나, 또는 쇼케 게임 Choq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)} 에서, 갑이 필승 전략을 갖지 않는다.:43, Theorem 8.11:41, Theorem 1 증명: 조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂: X {\displaystyle X} 가 조건 ㈀을 만족시키며, S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가 제1 범주 열린집합이라고 하자. S = ⋃ i = 0 ∞ S i {\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }S_{i}} 이며, S i {\displaystyle S_{i}} 가 조밀한 곳이 없는 집합이라고 하자. 그렇다면 ∅ = int ⁡ ( ⋃ i = 0 ∞ cl ⁡ S i ) ⊇ int ⁡ S = S {\displaystyle \textstyle \varnothing =\operatorname {int} \left(\bigcup _{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} S_{i}\right)\supseteq \operatorname {int} S=S} 이다. 조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃: X {\displaystyle X} 가 조건 ㈀을 만족시키며, S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 가 제1 범주 집합이라고 하자. 그렇다면, int ⁡ S {\displaystyle \operatorname {int} S} 는 제1 범주 열린집합이다. 따라서, ∅ = int ⁡ S = cl ⁡ X ∖ S {\displaystyle \varnothing =\operatorname {int} S=\operatorname {cl} X\setminus S} 이다. 따라서 X ∖ S {\displaystyle X\setminus S} 는 조밀 집합이다. 조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁: X {\displaystyle X} 가 조건 ㈃을 만족시키며, ( U i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }} 가 조밀 열린집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, S = ⋃ i = 0 ∞ X ∖ U i {\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }X\setminus U_{i}} 는 제1 범주 집합이다. 따라서, X ∖ S = ⋂ i = 0 ∞ U i {\displaystyle \textstyle X\setminus S=\bigcap _{i=0}^{\infty }U_{i}} 는 조밀 집합이다. 조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임 Choq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)} 의 합법적인 수들로 구성된 나무를 T {\displaystyle T} 로 쓰자. Choq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)} 에서 갑의 필승 전략 σ {\displaystyle \sigma } 가 주어졌다고 하자. 즉, σ {\displaystyle \sigma } 는 함수이며, 다음 두 조건을 만족시킨다. 만약 ( σ ( ) , U 1 , σ ( U 1 ) , U 3 , σ ( U 1 , U 3 ) , U 5 , … , U 2 i − 1 ) ∈ T {\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1})\in T} 라면, ( σ ( ) , U 1 , σ ( U 1 ) , U 3 , σ ( U 1 , U 3 ) , U 5 , … , U 2 i − 1 , σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) ) ∈ T {\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1},\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1}))\in T} 만약 ( σ ( ) , U 1 , σ ( U 1 ) , U 3 , σ ( U 1 , U 3 ) , U 5 , … ) {\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots )} 가 T {\displaystyle T} 의 극대 사슬이라면, σ ( ) ∩ U 1 ∩ σ ( U 1 ) ∩ U 3 ∩ σ ( U 1 , U 3 ) ∩ U 5 ∩ ⋯ = ∅ {\displaystyle \sigma ()\cap U_{1}\cap \sigma (U_{1})\cap U_{3}\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap U_{5}\cap \dots =\varnothing } 그렇다면, σ ( ) {\displaystyle \sigma ()} 에서 조건 ㈁이 거짓임을 보이면 족하다. T ′ = { ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) : ( σ ( ) , U 1 , σ ( U 1 ) , U 3 , σ ( U 1 , U 3 ) , U 5 , … , U 2 i − 1 ) ∈ T } {\displaystyle T'=\{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\colon (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1})\in T\}} 라고 쓰자. 초른 보조정리에 따라, 임의의 U → = ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) ∈ T ′ {\displaystyle {\vec {U}}=(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T'} 에 대하여, U ( U → ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})} 가 다음 두 조건을 만족시키는 극대 집합족이라고 하자. 임의의 U 2 i + 1 ∈ U ( U → ) {\displaystyle U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})} 에 대하여, ( U 1 , U 3 , … , U 2 i + 1 ) ∈ T ′ {\displaystyle (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\in T'} { σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i + 1 ) : U 2 i + 1 ∈ U ( U → ) } {\displaystyle \{\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\colon U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})\}} 는 서로소 집합들의 집합이다. 그렇다면, ⋃ U 2 i + 1 ∈ U ( U → ) σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i + 1 ) {\displaystyle \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})} 은 σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) {\displaystyle \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})} 의 조밀 집합이다. (만약 V {\displaystyle V} 가 σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) {\displaystyle \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})} 의 공집합이 아닌 열린집합이며, ⋃ U 2 i + 1 ∈ U ( U → ) σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i + 1 ) {\displaystyle \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})} 와 서로소라면, U ( U → ) ∪ { V } {\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})\cup \{V\}} 가 위 두 조건을 만족시키므로, 모순이다.) 이제, T ″ = { ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) ∈ T ′ : ∀ j : U 2 j − 1 ∈ U ( ( U 1 , U 3 , … , U 2 j − 3 ) ) } {\displaystyle T''=\{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T'\colon \forall j\colon U_{2j-1}\in {\mathcal {U}}((U_{1},U_{3},\dots ,U_{2j-3}))\}} W i = ⋃ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) ∈ T ″ σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) {\displaystyle W_{i}=\bigcup _{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T''}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})} 라고 하자. 그렇다면, 각 W i {\displaystyle W_{i}} 는 W i − 1 {\displaystyle W_{i-1}} 의 조밀 집합이다. 따라서, 각 W i {\displaystyle W_{i}} 는 W 0 = σ ( ) {\displaystyle W_{0}=\sigma ()} 의 조밀 열린집합이다. 따라서, ⋂ i ∈ N W i = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}=\varnothing } 을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, x ∈ ⋂ i ∈ N W i {\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}} 라고 가정하자. 그렇다면, 나무 T ″ {\displaystyle T''} 에서, 각 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 에 대하여 x ∈ σ ( U 1 , U 3 , … , U 2 i − 1 ) {\displaystyle x\in \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})} 인 극대 사슬 ( U 1 , U 3 , U 5 , … ) {\displaystyle (U_{1},U_{3},U_{5},\dots )} 을 취할 수 있다. 이 경우 x ∈ σ ( ) ∩ σ ( U 1 ) ∩ σ ( U 1 , U 3 ) ∩ ⋯ {\displaystyle x\in \sigma ()\cap \sigma (U_{1})\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap \cdots } 이며, 이는 σ {\displaystyle \sigma } 가 갑의 필승 전략인 것과 모순이다. 조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀: ( F i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (F_{i})_{i=0}^{\infty }} 가 내부가 공집합인, X {\displaystyle X} 의 닫힌집합들의 열이지만, S = ⋃ i = 0 ∞ F i {\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }F_{i}} 의 내부가 공집합이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임 Choq ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)} 에서 갑의 필승 전략을 찾으면 족하다. 지금까지 둔 수가 ( U 0 , U 1 , … , U 2 i − 1 ) {\displaystyle (U_{0},U_{1},\dots ,U_{2i-1})} 일 때, 갑이 U 2 i = ( int ⁡ S ∩ U 0 ∩ ⋯ ∩ U 2 i − 1 ) ∖ F i {\displaystyle U_{2i}=(\operatorname {int} S\cap U_{0}\cap \cdots \cap U_{2i-1})\setminus F_{i}} 를 두는 갑의 전략을 생각하자. ( F i {\displaystyle F_{i}} 의 내부가 공집합이므로, 반드시 U 2 i ≠ ∅ {\displaystyle U_{2i}\neq \varnothing } 이다.) 그렇다면, U 2 i − 1 ⊆ int ⁡ S ∖ ( F 0 ∪ F 1 ∪ ⋯ ∪ F i ) {\displaystyle U_{2i-1}\subseteq \operatorname {int} S\setminus (F_{0}\cup F_{1}\cup \cdots \cup F_{i})} 이므로, U 0 ∩ U 1 ∩ U 2 ∩ ⋯ = ∅ {\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\varnothing } 이다. 즉, 이는 갑의 필승 전략이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 공집합이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, X {\displaystyle X} 를 쇼케 공간(Choquet空間, 영어: Choquet space)이라고 한다.:Definition 8.12 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 공집합이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, X {\displaystyle X} 를 강한 쇼케 공간(Choquet空間, 영어: strong Choquet space)이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다. 베르 공간의 공집합이 아닌 열린집합은 제1 범주 집합이 아니다. 특히, 공집합이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합의 여집합은 공집합이 아니다. 베르 범주 정리(Baire範疇定理, 영어: Baire category theorem)는 어떤 위상 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.:415–417 (제1 베르 범주 정리) 완비 거리화 가능 공간은 베르 공간이다.:296:97:345:41, Theorem 8.4:57, Theorem I.17.1 (제2 베르 범주 정리) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.:234:41, Theorem 8.4:57, Theorem I.17.1 제1 베르 범주 정리의 증명: 완비 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 속의 조밀 열린집합들의 열 ( U i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }} 및 임의의 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 및 양의 실수 r 0 ∈ R + {\displaystyle r_{0}\in \mathbb {R} ^{+}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, x ∈ B ( x 0 , r 0 ) ∩ ⋂ i = 0 ∞ U i ≠ ∅ {\displaystyle x\in B(x_{0},r_{0})\cap \textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }U_{i}\neq \varnothing } 인 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재함을 보이면 족하다. 이제, U i {\displaystyle U_{i}} 는 모두 조밀 열린집합이므로 cl ⁡ ( B ( x i + 1 , r i + 1 ) ) ⊂ U i ∩ B ( x i , r i ) {\displaystyle \operatorname {cl} (B(x_{i+1},r_{i+1}))\subset U_{i}\cap B(x_{i},r_{i})} r i + 1 ≤ 1 / ( i + 1 ) {\displaystyle r_{i+1}\leq 1/(i+1)} 인 점렬 ( x i ) i = 0 ∞ ⊆ X {\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq X} 및 양의 실수열 ( r i ) i = 0 ∞ ⊆ R + {\displaystyle (r_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} ^{+}} 을 고를 수 있다. 그렇다면, ( x i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }} 는 코시 열이므로 극한 lim i → ∞ x i = x ∈ X {\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=x\in X} 를 가지며, 정의에 따라 x ∈ B ( x 0 , r 0 ) ∩ U 0 ∩ U 1 ∩ ⋯ {\displaystyle x\in B(x_{0},r_{0})\cap U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots } 이다. 제2 베르 범주 정리의 증명: 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 의 조밀 열린집합들의 열 ( U i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }} 및 임의의 공집합이 아닌, 그 폐포가 콤팩트 집합인 열린집합 ∅ ≠ V 0 ⊆ X {\displaystyle \varnothing \neq V_{0}\subseteq X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, V 0 ∩ U 0 ∩ U 1 ∩ ⋯ {\displaystyle V_{0}\cap U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots } 가 공집합이 아님을 보이면 족하다. 이제, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 모든 점은 상대 콤팩트 근방들로 구성된 국소 기저를 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 열린집합들의 열 ( V i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (V_{i})_{i=0}^{\infty }} 을 고를 수 있다. cl ⁡ V i + 1 ⊆ V i ∩ U i {\displaystyle \operatorname {cl} V_{i+1}\subseteq V_{i}\cap U_{i}} cl ⁡ V i + 1 {\displaystyle \operatorname {cl} V_{i+1}} 는 콤팩트 집합이다. V i + 1 {\displaystyle V_{i+1}} 는 공집합이 아니다. 이제 칸토어 교점 정리에 의하여 ⋂ i = 0 ∞ cl ⁡ V i ⊆ V 0 ∩ U 0 ∩ U 1 ∩ ⋯ {\displaystyle \bigcap _{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} V_{i}\subseteq \textstyle V_{0}\cap U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots } 는 공집합이 아니다. 제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 의존적 선택 공리가 필요하다. 사실, 모든 완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간:12, Proposition 9.1은 강한 쇼케 공간이다. (“국소 콤팩트 차분한 공간”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음이 성립한다. 증명 (국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간): 국소 콤팩트 차분한 공간 X {\displaystyle X} 의 쇼케 게임을 생각하자. 갑이 둔 수가 ( U , x ) {\displaystyle (U,x)} 일 때, x ∈ V ⊆ K ⊆ U {\displaystyle x\in V\subseteq K\subseteq U} 인 콤팩트 포화 집합 K {\displaystyle K} 와 열린집합 V {\displaystyle V} 를 찾을 수 있다. 이 경우 을이 ( V , x ) {\displaystyle (V,x)} 를 수로 둔다고 하자. 을이 이러한 전략을 취했을 때, 갑과 을이 둔 수들의 교집합은 어떤 콤팩트 포화 집합의 하강 열의 교집합과 같다. 차분한 공간에 대한 칸토어 교점 정리에 의하여, 이는 공집합이 아니다. 즉, 이 전략은 을의 필승 전략이다. 베르 공간의 임의의 열린집합은 베르 공간이다.:297:41, Proposition 8.3 마찬가지로, 쇼케 공간의 열린집합은 쇼케 공간이다.:44, Exercise 8.13 그러나 베르 공간의 닫힌집합은 베르 공간이 아닐 수 있다. 증명 (베르 공간의 열린집합은 베르 공간): X {\displaystyle X} 가 베르 공간이며 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 가 열린집합이며, ( U i ) i ∈ N {\displaystyle (U_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 이 U {\displaystyle U} 의 조밀 열린집합의 열이라고 하자. 그 교집합이 U {\displaystyle U} 의 조밀 집합임을 보이면 족하다. ( U i ∪ ( X ∖ cl ⁡ U ) ) i ∈ N {\displaystyle (U_{i}\cup (X\setminus \operatorname {cl} U))_{i\in \mathbb {N} }} 은 X {\displaystyle X} 의 조밀 열린집합의 열이다. (이는 cl ⁡ ( U i ∪ ( X ∖ cl ⁡ U ) ) = cl ⁡ U i ∪ cl ⁡ ( X ∖ cl ⁡ U ) = cl ⁡ cl ⁡ U i ∪ cl ⁡ ( X ∖ cl ⁡ U ) ⊇ cl ⁡ U ∪ ( X ∖ cl ⁡ U ) = X {\displaystyle \operatorname {cl} (U_{i}\cup (X\setminus \operatorname {cl} U))=\operatorname {cl} U_{i}\cup \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)=\operatorname {cl} \operatorname {cl} U_{i}\cup \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)\supseteq \operatorname {cl} U\cup (X\setminus \operatorname {cl} U)=X} 이기 때문이다.) 따라서 그 교집합 ⋂ i ∈ N U i ∪ X ∖ cl ⁡ U {\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}\cup X\setminus \operatorname {cl} U} 은 X {\displaystyle X} 의 조밀 집합이다. 따라서 ⋂ i ∈ N U i {\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}} 는 U {\displaystyle U} 의 조밀 집합이다 ( cl ⁡ ( X ∖ cl ⁡ U ) ⊆ X ∖ U {\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)\subseteq X\setminus U} ). 베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 근방을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.:299 베르 공간들의 곱공간은 베르 공간이 아닐 수 있다. 그러나 쇼케 공간들의 곱공간은 항상 쇼케 공간이다.:44, Exercise 8.13 X {\displaystyle X} 가 베르 공간, Y {\displaystyle Y} 가 거리화 가능 공간이라 하자. 이때 연속 함수들의 열 f i : X → Y {\displaystyle f_{i}\colon X\to Y} ( i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } )이 어떤 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 로 점별 수렴한다면, f {\displaystyle f} 가 연속 함수인 점들의 집합은 X {\displaystyle X} 의 조밀 집합이다.:297 공집합은 (자명하게) 베르 공간이다. 무리수 집합은 베르 공간이다.:299 모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 (국소 콤팩트 공간이므로) 베르 공간이다. 모든 폴란드 공간은 (완비 거리화 가능 공간이므로) 베르 공간이다. 연속 함수의 집합 C ( [ 0 , 1 ] , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )} 위에 거리 함수 d ( f , g ) = sup x ∈ [ 0 , 1 ] { | f ( x ) − g ( x ) | } {\displaystyle \textstyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}\{|f(x)-g(x)|\}} 를 주면, 이는 완비 거리 공간이며, 따라서 베르 공간이다. 적어도 한 점에서 미분 가능한 [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} } 연속 함수의 집합은 C ( [ 0 , 1 ] , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )} 안에서 제1 범주 집합임을 보일 수 있다. 따라서, 그 여집합은 공집합이 아니다. 이는 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수의 예이다.:238–240 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 는 완비 거리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 따라서 베르 공간이다. A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } 가 조밀 집합이며, 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 가 A {\displaystyle A} 에서 연속 함수라고 하자. 이 경우, f {\displaystyle f} 가 연속이 아닌 실수들의 집합은 제1 범주 집합이다. 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.:237–238 연속 dcpo ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 그 극대 원소의 집합 max X {\displaystyle \max X} 는 강한 쇼케 공간이며, 특히 베르 공간이다.:182, Theorem 5.1 실수선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(영어: William Fogg Osgood, 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다. 이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 도입하였다. 쇼케 게임은 귀스타브 쇼케(프랑스어: Gustave Choquet, 1915~2006)가 1958년에 도입하였다. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.  Cao, Jiling; Moors, Warren B. 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