아티야-싱어 지표 정리

미분기하학에서 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.:§10–11:§12.8, 477–480; §12.10, 487–500 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다. M {\displaystyle M} 이 m {\displaystyle m} 차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, E i {\displaystyle E^{i}} 가 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. M {\displaystyle M} 위의 타원 복합체 ⋯ ⟶ D i − 2 Γ ( E i − 1 ) ⟶ D i − 1 Γ ( E i ) ⟶ D i Γ ( E i + 1 ) ⟶ D i + 1 ⋯ {\displaystyle \cdots {\stackrel {D_{i-2}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i-1}){\stackrel {D_{i-1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i}){\stackrel {D_{i}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i+1}){\stackrel {D_{i+1}}{\longrightarrow }}\cdots } 의 해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다. ind ⁡ ( D ∙ ) = ∑ i ( − 1 ) i dim ⁡ ( ker ⁡ D i / im ⁡ D i − 1 ) {\displaystyle \operatorname {ind} (D_{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\dim(\ker D_{i}/\operatorname {im} D_{i-1})} 이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 ind {\displaystyle \operatorname {ind} } 는 프레드홀름 지표이다. 타원 복합체의 위상 지표(영어: topological index)는 다음과 같다.:Theorem 12.2 ind ⁡ ( D ∙ ) = ( − ) m ( m + 1 ) / 2 ∫ M ch ⁡ ( ⨁ i ( − 1 ) i E i ) Td ⁡ ( T M ⊗ R C ) e ( T M ) {\displaystyle \operatorname {ind} (D_{\bullet })=(-)^{m(m+1)/2}\int _{M}\operatorname {ch} \left(\bigoplus _{i}(-1)^{i}E_{i}\right){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}{\mathrm {e} (\mathrm {T} M)}}} 여기서 ch {\displaystyle \operatorname {ch} } 는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다. Td ⁡ ( T M ⊗ R C ) {\displaystyle \operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )} 는 M {\displaystyle M} 의 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 의 복소화의 토드 특성류이다. e ⁡ ( T M ) {\displaystyle \operatorname {e} (\mathrm {T} M)} 은 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 의 오일러 특성류이다. 이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다. 아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다. 여기서, m = dim ⁡ M {\displaystyle m=\dim M} 이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.) 특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자 D : Γ ( E ) → Γ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)} 에 대하여, 이를 타원 복합체 0 → Γ ( E ) → D Γ ( F ) → 0 {\displaystyle 0\to \Gamma (E)\,{\overset {D}{\to }}\,\Gamma (F)\to 0} 로 간주하면, 다음을 얻는다. dim ⁡ ker ⁡ D − dim ⁡ ker ⁡ D † = ( − ) m ( m + 1 ) / 2 ∫ M ( ch ⁡ E − ch ⁡ F ) Td ⁡ ( T M C ) e ⁡ ( T M ) {\displaystyle \dim \ker D-\dim \ker D^{\dagger }=(-)^{m(m+1)/2}\int _{M}(\operatorname {ch} E-\operatorname {ch} F){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M^{\mathbb {C} })}{\operatorname {e} (\mathrm {T} M)}}} 수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다. M {\displaystyle M} 이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체 0 → Ω 0 ( M ) ⊗ C → d Ω 1 ( M ) ⊗ C → d Ω 2 ( M ) ⊗ C → d ⋯ {\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\Omega ^{1}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\Omega ^{2}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\dotsb } 에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 e ( M ) {\displaystyle e(M)} 의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem) χ ( M ) = ∫ M e ( M ) {\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(M)} 를 얻는다. 계산: 미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다. ch ⁡ ⋀ k ( T ∗ M ⊗ C ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ m exp ⁡ ( − x i ) {\displaystyle \operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq m}\exp(-x_{i})} 여기서 x i {\displaystyle x_{i}} 는 T ∗ M ⊗ C {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} } 를 분할 원리로 m {\displaystyle m} 개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 i {\displaystyle i} 번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로 x i + m / 2 = − x i {\displaystyle x_{i+m/2}=-x_{i}} 로 놓을 수 있다. 즉 ∑ k = 0 m ( − ) k ch ⁡ ⋀ k ( T ∗ M ⊗ C ) = ∏ i = 1 k ( 1 − exp ⁡ ( − x i ) ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )=\prod _{i=1}^{k}(1-\exp(-x_{i}))} 이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각 Td = ∏ i = 1 m x i 1 − exp ⁡ ( − x i ) {\displaystyle \operatorname {Td} =\prod _{i=1}^{m}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}} e = ∏ i = 1 m / 2 x i {\displaystyle \operatorname {e} =\prod _{i=1}^{m/2}x_{i}} 이므로, 지표 밀도는 ( − ) m ( m + 1 ) / 2 ( ∑ k = 0 m ( − ) k ch ⁡ ⋀ k ( T ∗ M ⊗ C ) ) Td e = ( − ) m ( m + 1 ) / 2 ∏ i = m / 2 + 1 m x i = ( − ) m ( m + 2 ) / 2 ∏ i = 1 m / 2 x i = e ⁡ ( T M ) {\displaystyle (-)^{m(m+1)/2}\left(\sum _{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )\right){\frac {\operatorname {Td} }{\operatorname {e} }}=(-)^{m(m+1)/2}\prod _{i=m/2+1}^{m}x_{i}=(-)^{m(m+2)/2}\prod _{i=1}^{m/2}x_{i}=\operatorname {e} (\mathrm {T} M)} 이다. 아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. M {\displaystyle M} 이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체 Ω p , 0 ( E ) → ∂ ¯ Ω p , 1 ( E ) → ∂ ¯ ⋯ {\displaystyle \Omega ^{p,0}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\dotsb } 에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 E {\displaystyle E} 의 코호몰로지의 오일러 지표 χ ( M , E ) = h 0 ( M , E ) − h 1 ( M , E ) + h 2 ( M , E ) − ⋯ {\displaystyle \chi (M,E)=h^{0}(M,E)-h^{1}(M,E)+h^{2}(M,E)-\dotsb } 이고, 그 위상 지표는 ∫ M ch ⁡ ( E ) Td ⁡ ( T M ) {\displaystyle \int _{M}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (TM)} 이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다. 계산: 복소수 차원이 n = m / 2 {\displaystyle n=m/2} 라고 하자. 분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자. T + M = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M=L_{1}\oplus \dotsb \oplus L_{n}} 또한 c 1 ⁡ ( L i ) = x i {\displaystyle \operatorname {c} _{1}(L_{i})=x_{i}} 라고 하자. 그렇다면 ch ⁡ ( ⋀ p T − ∗ M ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i p ≤ n exp ⁡ ( x i ) {\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-*}M\right)=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{p}\leq n}\exp(x_{i})} 이며, 따라서 ∑ p = 0 n ( − ) p ch ⁡ ( E ⊗ ⋀ p T − ∗ M ) = ch ⁡ ( E ) ∏ i = 1 p ( 1 − exp ⁡ x i ) {\displaystyle \sum _{p=0}^{n}(-)^{p}\operatorname {ch} \left(E\otimes \bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-*}M\right)=\operatorname {ch} (E)\prod _{i=1}^{p}(1-\exp x_{i})} 이다. 이제 Td ⁡ ( T M ⊗ C ) = Td ⁡ ( T + M ) Td ⁡ ( T − M ) = ∏ i = 1 m x i ( − x i ) ( 1 − exp ⁡ ( − x i ) ) ( 1 − exp ⁡ x i ) {\displaystyle \operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{-}M)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {x_{i}(-x_{i})}{(1-\exp(-x_{i}))(1-\exp x_{i})}}} e ⁡ ( T M ) = x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle \operatorname {e} (\mathrm {T} M)=x_{1}x_{2}\dotsm x_{n}} 이므로, 지표 밀도는 ( − ) n ( 2 n + 1 ) ch ⁡ ( E ) Td ⁡ ( T + M ) ∏ i = 1 n ( − x i ) ( 1 − exp ⁡ x i ) x i ( 1 − exp ⁡ x i ) = ch ⁡ ( E ) Td ⁡ ( T + M ) {\displaystyle (-)^{n(2n+1)}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-x_{i})(1-\exp x_{i})}{x_{i}(1-\exp x_{i})}}=\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)} 이다. E {\displaystyle E} 가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 ind ⁡ ∂ ¯ {\displaystyle \operatorname {ind} {\bar {\partial }}} 이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다. ind ⁡ ∂ ¯ = ∫ M Td ⁡ ( T M ) {\displaystyle \operatorname {ind} {\bar {\partial }}=\int _{M}\operatorname {Td} (TM)} M {\displaystyle M} 이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발 S ( M ) = S + ( M ) ⊕ S − ( M ) {\displaystyle \mathrm {S} (M)=\mathrm {S} ^{+}(M)\oplus \mathrm {S} ^{-}(M)} 을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자 i γ μ ∇ μ = ( 0 D D † 0 ) {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }={\begin{pmatrix}0&D\\D^{\dagger }&0\end{pmatrix}}} 는 다음과 같이 작용한다. S + ( M ) → D S − ( M ) {\displaystyle S^{+}(M){\xrightarrow {D}}S^{-}(M)} S + ( M ) ← D † S − ( M ) {\displaystyle S^{+}(M){\xleftarrow {D^{\dagger }}}S^{-}(M)} 이에 따라, 디랙 연산자 D {\displaystyle D} 의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다. ind ⁡ ( D ) = ker ⁡ D − ker ⁡ D † = ∫ M A ^ {\displaystyle \operatorname {ind} (D)=\ker D-\ker D^{\dagger }=\int _{M}{\hat {A}}} 여기서 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 는 디랙 종수(영어: Dirac genus) 또는 Â 종수(영어: Â-genus 에이 햇 지너스[*])라고 불리는 특성류로, A ^ = ∏ i = 1 dim ⁡ M x i / 2 sinh ⁡ ( x i / 2 ) = 1 − 1 24 p 1 + 1 5760 ( − 4 p 2 + 7 p 1 2 ) + ⋯ ∈ H 2 ∙ ⁡ ( M ; Q ) {\displaystyle {\hat {A}}=\prod _{i=1}^{\dim M}{\frac {x_{i}/2}{\sinh(x_{i}/2)}}=1-{\frac {1}{24}}p_{1}+{\frac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})+\dotsb \in \operatorname {H} ^{2\bullet }(M;\mathbb {Q} )} 이다. 여기서 p i {\displaystyle p_{i}} 는 폰트랴긴 특성류이고, x i {\displaystyle x_{i}} 는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 R {\displaystyle R} 의 고윳값들 − R / 2 π = ( 0 x 1 − x 1 0 0 x 2 − x 2 0 0 x 3 − x 3 0 ⋱ ) {\displaystyle -R/2\pi ={\begin{pmatrix}0&x_{1}\\-x_{1}&0\\&&0&x_{2}\\&&-x_{2}&0\\&&&&0&x_{3}\\&&&&-x_{3}&0\\&&&&&&\ddots \end{pmatrix}}} 이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다. 마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다. 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다. 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다. 1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다. 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(영어: Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다. 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다. 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. 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