고유값 분해

고유값 분해(eigen decomposition)는 고유값과 고유벡터로부터 유도되는 고유값 행렬과 고유벡터 행렬에 의해 분해될수있는 행렬의 표현이다. 선형대수학에서 , 고유값 분해 또는 고유 분해(때때로 스펙트럼 분해)는 매트릭스(행렬)를 정형화된 형태로 분해함으로써 행렬이 고유값 및 고유 벡터로 표현된다. 대각화 가능 행렬만이 인수분해될 수 있다. A = ( − 5 4 0 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}} , I는 단위행렬, det는 행렬식 det ( x I − A ) = ( x − ( − 5 ) − 4 − 0 x − ( 1 ) ) = x 2 − ( − 5 + 1 ) x + ( − 5 − 0 ) = x 2 + 4 x − 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\det(xI-A)&={\begin{pmatrix}x-(-5)&-4\\-0&x-(1)\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-(-5+1)x+(-5-0)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}}} x 2 + 4 x − 5 = 0 {\displaystyle x^{2}+4x-5=0} x = 1 , − 5 {\displaystyle x=1\;,\;-5} 이어서 x = − 5 {\displaystyle x=-5} 일때, ( ( − 5 ) − ( − 5 ) − 4 − 0 ( − 5 ) − ( 1 ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}(-5)-(-5)&-4\\-0&(-5)-(1)\end{pmatrix}}} ( 0 − 4 0 − 6 ) ( x 1 x 2 ) = ( 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4\\0&-6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}} − 4 x 2 = 0 {\displaystyle -4x_{2}=0} − 6 x 2 = 0 {\displaystyle -6x_{2}=0} x 2 = 0 {\displaystyle x_{2}=0} ( x 1 x 2 ) = ( x 1 0 ) = x 1 ( 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\0\end{pmatrix}}=x_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} x = 1 {\displaystyle x=1} 일때, ( ( 1 ) − ( − 5 ) − 4 − 0 ( 1 ) − ( 1 ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}(1)-(-5)&-4\\-0&(1)-(1)\end{pmatrix}}} ( 6 − 4 0 0 ) ( x 1 x 2 ) = ( 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}6&-4\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}} 6 x 1 + − 4 x 2 = 0 {\displaystyle 6x_{1}+-4x_{2}=0} 6 x 1 = 4 x 2 {\displaystyle 6x_{1}=4x_{2}} x 1 = 4 x 2 6 {\displaystyle x_{1}={{4x_{2}} \over {6}}} x 1 = 2 3 x 2 {\displaystyle x_{1}={{2} \over {3}}x_{2}} ( x 1 x 2 ) = ( 2 3 x 2 x 2 ) = x 2 ( 2 3 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}x_{2}\\x_{2}\end{pmatrix}}=x_{2}{\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}\\1\end{pmatrix}}} 고유 벡터의 순서에서 고유벡터행렬 P {\displaystyle P} 를 얻고 , ( 1 2 3 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}} 이어서 P − 1 A P = A D {\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}} 로부터 대각화 행렬 A D {\displaystyle A^{D}} 을 얻는다. ( 1 − 2 3 0 1 ) ( − 5 4 0 1 ) ( 1 2 3 0 1 ) = ( − 5 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix}}} P − 1 A P = A D {\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}} P P − 1 A P = P A D {\displaystyle PP^{-1}AP=PA^{D}} A P = P A D {\displaystyle AP={P}{A^{D}}} A P P − 1 = P A D P − 1 {\displaystyle AP{P^{-1}}={P}{A^{D}}{P^{-1}}} A = P A D P − 1 {\displaystyle A={P}{A^{D}}{P^{-1}}} 행렬 A에 대한 고윳값 분해는 이와 같다. ( − 5 4 0 1 ) = ( 1 2 3 0 1 ) ( − 5 0 0 1 ) ( 1 − 2 3 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}} 임의의 행렬 A 와 Λ {\displaystyle {\Lambda }} 가 대각행렬일때, A = Q Λ Q − 1 {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}} Q는 직교행렬 □ -1는 역행렬 Λ {\displaystyle {\Lambda }} 는 AD 임의의 행렬 A 가 대칭행렬일때, A = Q Λ Q T {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T}} Q는 직교행렬 □ T는 전치행렬 Λ {\displaystyle {\Lambda }} 는 AD 행렬 분해 대각화 행렬 특이값 분해 매스월드