일차원 격자 속의 입자

양자역학에서 일차원 격자 속의 입자(Particle in a one-dimensional lattice) 문제는 주기성을 가진 결정 격자(crystal lattice)에서 입자의 파동함수를 모델링하면서 등장한다. 이 주기적 퍼텐셜은 결정 내에 주기적으로 존재하는 이온에 의해 생겨나는 전자기장에 의한 것이다. 결정 내의 전자들의 파동함수는 이 주기를 가진 퍼텐셜에 의해 결정된다. 이는 자유전자 모델을 확장하여 풀어낼 수 있다. 1931년 랄프 크로니(Ralph Kronig)와 윌리엄 페니(William Penney>)에 의해서 명명된 크로니-페니 모델은 유한한 주기적인 전위장벽들로 구성된 단순하고 이상적인 양자역학적 시스템이다. 이 모델의 결과로 주기 격자(periodic lattice)에서 전자의 양자역학적 운동의 중요한 요소들을 알 수 있다. 대표적으로, 원자가 결정화(crystallization)가 잘 되어 주기적으로 배열되어 있으면 퍼텐셜(potential)이 주기적인 모양이 된다. 슈뢰딩거 파동방정식과 경계조건을 적용하여 얻은 해로부터 에너지 허용 영역과 금지영역이 생김을 알 수 있다. 1차원 격자 속 입자 모델을 단순화한 전위 함수는 아래와 같다. 위치에너지(전위)는 V ( x ) = V 0 {\displaystyle V(x)=V_{0}} 이며 전위장벽(potential wall)의 폭은 b {\displaystyle b} 이고 격자상수(lattice constant)는 a + b {\displaystyle a+b} 이다. 전위장벽의 전위는 입자의 에너지보다 크다. V 0 > E {\displaystyle V_{0}>E} 1차원 슈뢰딩거 파동방정식의 해는 다음과 같다. Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) × ϕ ( t ) = u ( x ) exp ⁡ ( j ( k x − w t ) ) {\displaystyle \quad \Psi (x,t)=\psi (x)\times \phi (t)=u(x)\exp(j(kx-wt))} 이고 j 2 = − 1 , w = E ℏ {\displaystyle j^{2}=-1,w={E \over \hbar }} 이다. 1차원 시간독립 파동방정식 d 2 ψ ( x ) d x 2 + 2 m ℏ 2 ⋅ ( E − V ( x ) ) ψ ( x ) = 0 {\displaystyle \quad {d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}+{2m \over \hbar ^{2}}\cdot (E-V(x))\psi (x)=0} 으로부터, 두 번째 경계조건, V 0 > E {\displaystyle V_{0}>E} 이므로 다시 쓰면 아래와 같다. − ℏ 2 2 m ⋅ d 2 ψ d x 2 + ( V ( x ) − E ) ψ = 0 {\displaystyle \quad {-\hbar ^{2} \over 2m}\cdot {d^{2}\psi \over dx^{2}}+(V(x)-E)\psi =0} 로 나타낼 수 있다. 전위 장벽 사이 공간(0<x<a)을 '영역 1', 전위 장벽 내부(-b<x<0)를 '영역 2'로 한다면 퍼텐셜은 아래와 같이 주어진다. V ( x ) = { 0           ( 0 < x < a ) V 0 ( − b < x < 0 ) {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0\qquad \ \ \ \ \ (0<x<a)\\V_{0}\qquad (-b<x<0)\end{cases}}} 위의 퍼텐셜 조건을 1차원 시간 독립 파동방정식에 경계조건을 대입하면 다음과 같다. { − ℏ 2 m ⋅ d 2 ψ 1 d x 2 − E ψ 1 = 0 ( 0 < x < a )   [ 1 ] − ℏ 2 m ⋅ d 2 ψ 2 d x 2 + ( V 0 − E ) ψ 2 = 0   ( − b < x < 0 )   [ 2 ] {\displaystyle {\begin{cases}-{\hbar \over 2m}\cdot {d^{2}\psi _{1} \over dx^{2}}-E\psi _{1}=0\qquad (0<x<a)\ [1]\\-{\hbar \over 2m}\cdot {d^{2}\psi _{2} \over dx^{2}}+(V_{0}-E)\psi _{2}=0\ (-b<x<0)\ [2]\end{cases}}} 크로니-페니 모델 전위함수는 주기적이다. 이 함수의 해 ψ ( x ) = e j k x ⋅ u ( x )   [ 3 ] {\displaystyle \psi (x)=e^{jkx}\cdot u(x)\ [3]} 에서 파동의 형성에는 e j k x {\displaystyle e^{jkx}} 함수가, 주기성에는 u ( x ) {\displaystyle u(x)} 가 관여한다. 블로흐 파에 따라 u ( x ) = u ( x + d ) {\displaystyle u(x)=u(x+d)} 로 나타낼 수 있고 격자상수 d {\displaystyle d} 는 a + b {\displaystyle a+b} 이다. 먼저, 영역 1에 대하여 식 [ 3 ] {\displaystyle [3]} 을 식 [ 1 ] {\displaystyle [1]} 에 대입하면, d 2 d x 2 ( e j k x u 1 ( x ) ) + 2 m E ℏ 2 e j k x u 1 ( x ) = 0 {\displaystyle \quad {d^{2} \over dx^{2}}(e^{jkx}u_{1}(x))+{2mE \over \hbar ^{2}}e^{jkx}u_{1}(x)=0} 이고 전미분하여 전개하면, d d x { j k e j k x u 1 ( x ) + e j k x d u 1 ( x ) d x } + 2 m E ℏ 2 e j k x u 1 ( x ) = 0 {\displaystyle \quad {d \over dx}\{jke^{jkx}u_{1}(x)+e^{jkx}{du_{1}(x) \over dx}\}+{2mE \over \hbar ^{2}}e^{jkx}u_{1}(x)=0} 다시 한번 전미분하여 전개하면, j 2 k 2 e j k x u 1 ( x ) + j k e j k x d u 1 ( x ) d x + j k e j k x d u 1 ( x ) d x + e j k x d 2 u 1 ( x ) d x 2 + 2 m E ℏ 2 e j k x u 1 ( x ) = 0 {\displaystyle \quad j^{2}k^{2}e^{jkx}u_{1}(x)+jke^{jkx}{du_{1}(x) \over dx}+jke^{jkx}{du_{1}(x) \over dx}+e^{jkx}{d^{2}u_{1}(x) \over dx^{2}}+{2mE \over \hbar ^{2}}e^{jkx}u_{1}(x)=0} 이 된다. j 2 = − 1 {\displaystyle j^{2}=-1} 이고 e j k x {\displaystyle e^{jkx}} 소거하여 정리하면 아래 식으로 표현 할 수 있다. d 2 u 1 ( x ) d x 2 + 2 j k d u 1 ( x ) d x + ( 2 m E ℏ 2 − k 2 ) u 1 ( x ) = 0 [ 4 ] {\displaystyle \quad {d^{2}u_{1}(x) \over dx^{2}}+2jk{du_{1}(x) \over dx}+({2mE \over \hbar ^{2}}-k^{2})u_{1}(x)=0\qquad [4]} 또, 영역 2에 대하여 식 [ 3 ] {\displaystyle [3]} 을 식 [ 2 ] {\displaystyle [2]} 에 대입하여 정리하면 d 2 u 2 ( x ) d x 2 + 2 j k d u 2 ( x ) d x + ( 2 m ( V 0 − E ) ℏ 2 − k 2 ) u 2 ( x ) = 0 [ 5 ] {\displaystyle \quad {d^{2}u_{2}(x) \over dx^{2}}+2jk{du_{2}(x) \over dx}+({2m(V_{0}-E) \over \hbar ^{2}}-k^{2})u_{2}(x)=0\qquad [5]} 로 정리할 수 있다. 식 [ 4 ] {\displaystyle [4]} 와 식 [ 5 ] {\displaystyle [5]} 의 해를 구하면 아래와 같다. u 1 ( x ) = A e j ( α − k ) x + B e − j ( α + k ) x ( 0 < x < a ) {\displaystyle \quad u_{1}(x)=Ae^{j(\alpha -k)x}+Be^{-j(\alpha +k)x}\qquad (0<x<a)} u 2 ( x ) = C e j ( β − k ) x + D e − j ( β + k ) x ( − b < x < 0 ) {\displaystyle \quad u_{2}(x)=Ce^{j(\beta -k)x}+De^{-j(\beta +k)x}\qquad (-b<x<0)} 여기서 α 2 = 2 m E ℏ 2 {\displaystyle \alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}} 이고 β 2 = 2 m ( V 0 − E ) ℏ 2 {\displaystyle \beta ^{2}={2m(V_{0}-E) \over \hbar ^{2}}} 이다. 계수 A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} 는 경계조건을 도입하여 관계식을 만들 수 있다. u 1 ( 0 ) = u 2 ( 0 ) ⟹ A + B − C − D = 0 {\displaystyle u_{1}(0)=u_{2}(0)\Longrightarrow A+B-C-D=0} d u 1 ( 0 ) d x = d u 2 ( 0 ) d x ⟹ ( α − k ) A − ( α + k ) B − ( β − k ) C + ( β + k ) D = 0 {\displaystyle {du_{1}(0) \over dx}={du_{2}(0) \over dx}\Longrightarrow (\alpha -k)A-(\alpha +k)B-(\beta -k)C+(\beta +k)D=0} u 1 ( a ) = u 2 ( a ) = u 2 ( − b ) {\displaystyle u_{1}(a)=u_{2}(a)=u_{2}(-b)} d u 1 ( a ) d x = d u 2 ( a ) d x ⟹ ( α − k ) A e j ( α − k ) a + ( α + k ) B e − j ( α + k ) a − ( β − k ) C e j ( β − k ) b + ( β + k ) D e ( β + k ) b = 0 {\displaystyle {du_{1}(a) \over dx}={du_{2}(a) \over dx}\Longrightarrow (\alpha -k)Ae^{j(\alpha -k)a}+(\alpha +k)Be^{-j(\alpha +k)a}-(\beta -k)Ce^{j(\beta -k)b}+(\beta +k)De^{(\beta +k)b}=0} 행렬식으로 표현하면 다음과 같다. ( 1 1 − 1 − 1 ( α − k ) − ( α + k ) − ( β − k ) ( β + k ) e j ( α − k ) a e − j ( α + k ) a − e − j ( β − k ) b − e j ( β + k ) b ( α − k ) e i ( α − k ) a − ( α + k ) e − i ( α + k ) a − ( β − k ) e − i ( β − k ) b ( β + k ) e i ( β + k ) b ) ( A B C D ) = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle \quad {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\(\alpha -k)&-(\alpha +k)&-(\beta -k)&(\beta +k)\\e^{j(\alpha -k)a}&e^{-j(\alpha +k)a}&-e^{-j(\beta -k)b}&-e^{j(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)a}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)a}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}} 위의 행렬의 행렬식이 0이 될 때, 해를 얻을 수 있다. 행렬식이 0이 되는 조건으로부터 크로니-페니 모델의 최종식은 아래와 같다. f ( α a ) = P ′ s i n α a α a + c o s α a = c o s k a {\displaystyle \quad f(\alpha a)=P'{sin{\alpha a} \over \alpha a}+cos{\alpha a}=coska} P ′ = m V 0 b a ℏ 2 {\displaystyle \quad P'={mV_{0}ba \over \hbar ^{2}}} 위의 식은 단결정 격자에 갇혀있는 입자의 에너지와 k의 관계에 관한 식이다. 위 식에서 P'가 증가하면 입자는 전위우물 즉, 원자에 더욱 강하게 결합됨을 의미한다. P는 아래와 같이 나타내며 퍼텐셜 장벽의 크기에 대응한다. P = V 0 b {\displaystyle \quad P=V_{0}b} 입자들이 결정화가 잘 되어서 원자가 주기적으로 배열되어있다면 퍼텐셜은 주기적인 모양이 되고 에너지의 허용영역과 금지영역이 생긴다. 이들은 각각 에너지밴드와 밴드갭으로 불린다. R. Kronig and W. G. Penney, Proc. Roy. Soc. A130 (1931) 499. 상자 속 입자 양자 조화 진동자 퍼텐셜 우물 슈뢰딩거 방정식