오일러 특성류

대수적 위상수학에서 오일러 특성류(Euler特性類, 영어: Euler characteristic class)는 유향 실수 벡터 다발에 의하여 정의되는 특성류이다. 거칠게 말해 벡터 다발이 얼마나 ‘뒤틀려 있는지’를 나타낸다. 다양체의 접다발의 오일러 특성류는 오일러 지표와 같다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 을 올로 하는 X {\displaystyle X} 위의 벡터 다발 E {\displaystyle E} 와 사영 π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X} E {\displaystyle E} 위에 정의된 방향. 다시 말해 각 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 정수 계수 상대 코호몰로지류 H n ⁡ ( E x , E x ∖ { 0 } ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(E_{x},E_{x}\setminus \{0\};\mathbb {Z} )} 를 부여하며 이 대응은 연속적이다. E ∖ X = ⋃ x ∈ X ( E x ∖ { 0 E x } ) {\displaystyle E\setminus X=\bigcup _{x\in X}(E_{x}\setminus \{0_{E_{x}}\})} 로 정의하면, 방향으로부터 톰 동형:97, §9 ϕ : H ∙ ⁡ ( X ; Z ) → H ∙ + n ⁡ ( E , E ∖ X ; Z ) {\displaystyle \phi \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet +n}(E,E\setminus X;\mathbb {Z} )} ϕ : x ↦ ( π ∗ x ) ⌣ u {\displaystyle \phi \colon x\mapsto (\pi ^{*}x)\smile u} 가 존재하므로 정수 계수 상대 코호몰로지류 u ∈ H n ⁡ ( E , E ∖ X ; Z ) {\displaystyle u\in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {Z} )} 를 특정할 수 있다. 한편, 사상 C ∙ ( X ) ↪ C ∙ ( E ) ↠ C ∙ ( E ) / C ∙ ( E ∖ X ) {\displaystyle C_{\bullet }(X)\hookrightarrow C_{\bullet }(E)\twoheadrightarrow C_{\bullet }(E)/C_{\bullet }{(E\setminus X)}} 에 의한 코호몰로지끼리의 사상 H n ⁡ ( E , E ∖ X ; Z ) → q ∗ H n ⁡ ( E ) → π − 1 ∗ H n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {Z} ){\overset {q^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{n}(E){\overset {{\pi ^{-1}}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{n}(X)} 가 존재하는데, 이를 통해 코호몰로지류 π − 1 ∗ q ∗ u ∈ H n ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle {\pi ^{-1}}^{*}q^{*}u\in \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )} 를 만들 수 있으며 이를 E {\displaystyle E} 의 오일러 특성류 e ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {e} (E)} 로 정의한다.:98, §9 오일러 특성류는 다른 특성류와 마찬가지로 다음과 같은 공리적 성질들을 만족시킨다. 함자성: 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} , E ↠ Y {\displaystyle E\twoheadrightarrow Y} 및 향을 보존하는 연속 올다발 사상 F → E {\displaystyle F\to E} 에 대하여, e ⁡ ( F ) = ( f ↾ Y ) ∗ e ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {e} (F)=(f\upharpoonright Y)^{*}\operatorname {e} (E)} . 합에 대한 분해: 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} , E ↠ X {\displaystyle E\twoheadrightarrow X} 에 대하여, e ⁡ ( E ⊕ F ) = e ⁡ ( E ) ⌣ e ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {e} (E\oplus F)=\operatorname {e} (E)\smile \operatorname {e} (F)} . 만약 E {\displaystyle E} 에 반대 방향을 부여한 것을 E ¯ {\displaystyle {\bar {E}}} 라고 한다면, e ⁡ ( E ¯ ) = − e ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {e} ({\bar {E}})=-\operatorname {e} (E)} 또한, 오일러 특성류는 다음과 같은 특성을 갖는다. 만약 E {\displaystyle E} 가 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는다면, e ⁡ ( E ) = 0 {\displaystyle \operatorname {e} (E)=0} 즉, 오일러 특성류는 실수 벡터 다발이 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는 것의 방해물이다. 그러나 오일러 특성류는 어디서도 0이 아닌 단면의 존재의 필수 조건이지만 충분 조건이 아니다.:Example 23.16 표준적 몫환 준동형 ( + 2 Z ) : Z → Z / 2 Z = F 2 {\displaystyle (+2\mathbb {Z} )\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{2\mathbb {Z} }=\mathbb {F} _{2}} 으로 유도되는 사상 ( + 2 Z ) ∗ : H ∙ ⁡ ( X ; Z ) → H ∙ ⁡ ( X ; F 2 ) {\displaystyle (+2\mathbb {Z} )_{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})} 아래, 오일러 특성류의 상은 최고차 슈티펠-휘트니 특성류이다. ( + 2 Z ) ∗ e ⁡ ( E ) = w n ⁡ ( E ) {\displaystyle (+2\mathbb {Z} )_{*}\operatorname {e} (E)=\operatorname {w} _{n}(E)} 임의의 k {\displaystyle k} 차원 복소수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 는 2 n {\displaystyle 2n} 차원 유향 실수 벡터 다발로 여길 수 있다. 이 경우, 오일러 특성류는 최고차 천 특성류와 같다. e ⁡ ( E ) = c n ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {e} (E)=\operatorname {c} _{n}(E)} 2 n {\displaystyle 2n} 차원 유향 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 오일러 특성류의 제곱은 최고차 폰트랴긴 특성류와 같다. e ⁡ ( E ) ⌣ e ⁡ ( E ) = p n ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {e} (E)\smile \operatorname {e} (E)=\operatorname {p} _{n}(E)} M {\displaystyle M} 이 n {\displaystyle n} 차원 연결 유향 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 접다발 T ⁡ M {\displaystyle \operatorname {T} M} 은 유향 실수 매끄러운 벡터 다발이다. 그 오일러 특성류와 기본류 [ M ] ∈ H n ⁡ ( M ; Z ) {\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {Z} )} 의 교곱은 H 0 ⁡ ( M ; Z ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {H} _{0}(M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} } 의 원소이며 그 값은 오일러 지표와 같다. [ M ] ⌢ e ⁡ ( T M ) = χ ( M ) {\displaystyle [M]\frown \operatorname {e} (\mathrm {T} M)=\chi (M)} 다시 말해 오일러 특성류는 오일러 지표의 일반화라 할 수 있다. 르네 톰은 슈티펠-휘트니 특성류를 일반화한 특성류가 오일러 지표와 관련이 있다는 것을 발견했다[출처 필요]. 그 이후 ‘오일러 특성류’라는 이름이 붙었다. Milnor, John Willard; Stasheff, James Dillon (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) 76. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08122-9.  Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.  Thom, R. (1952). 〈Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod〉. 《Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure》. 3 (프랑스어) 69. 109-182쪽.  “Euler class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Euler class”. 《nLab》 (영어).  “Vanishing of Euler class”. 《Math Overflow》 (영어).  “How to interpret the Euler class?”. 《Math Overflow》 (영어).