프로베니우스 대수

추상대수학에서 프로베니우스 대수(영어: Frobenius algebra)는 호환되는 내적이 주어진 유한 차원 단위 결합 대수이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 결합 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. 이는 스스로 위의 쌍가군 A A A {\displaystyle _{A}A_{A}} 을 이룬다. 마찬가지로, 그 쌍대 가군 A ∨ = hom K ⁡ ( A , K ) {\displaystyle A^{\vee }=\hom _{K}(A,K)} 역시 스스로 위의 쌍가군 A A ∨ A {\displaystyle _{A}{A^{\vee }}_{A}} 을 이룬다. 구체적으로, a ⋅ ϕ ⋅ b : x ↦ ϕ ( b x a ) {\displaystyle a\cdot \phi \cdot b\colon x\mapsto \phi (bxa)} 이다. 그렇다면, 다음 조건들이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} -왼쪽 가군의 동형 A A ≅ A A ∨ {\displaystyle _{A}A\cong {}_{A}A^{\vee }} 이 존재한다. A {\displaystyle A} -오른쪽 가군의 동형 A A ≅ A ∨ A {\displaystyle A_{A}\cong {A^{\vee }}_{A}} 이 존재한다. 증명: 왼쪽 가군의 동형 λ : A A → A A ∨ {\displaystyle \lambda \colon {}_{A}A\to {}_{A}A^{\vee }} 이 주어졌다고 하자. 즉, λ ( a ) ( x ) = λ ( a , x ) {\displaystyle \lambda (a)(x)=\lambda (a,x)} 에 대하여, λ ( a , x b ) = λ ( b a , x ) {\displaystyle \lambda (a,xb)=\lambda (ba,x)} 라고 하자. 그렇다면, ρ : A → A ∨ {\displaystyle \rho \colon A\to A^{\vee }} ρ ( a ) ( x ) = λ ( x , a ) {\displaystyle \rho (a)(x)=\lambda (x,a)} 를 정의하면, ( ρ ( a ) ⋅ b ) ( x ) = ρ ( a ) ( b x ) = λ ( b x , a ) = λ ( x , a b ) = ρ ( a b ) ( x ) {\displaystyle (\rho (a)\cdot b)(x)=\rho (a)(bx)=\lambda (bx,a)=\lambda (x,ab)=\rho (ab)(x)} 이므로, ρ {\displaystyle \rho } 는 오른쪽 가군의 동형이다. 반대 방향의 함의도 마찬가지다. 또한, 이러한 동형이 존재할 필요 조건은 물론 A {\displaystyle A} 가 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간인 것이다. 이러한 동형이 갖추어진 K {\displaystyle K} -결합 대수를 프로베니우스 대수라고 한다. 프로베니우스 대수 ( A , λ : A A → A A ∨ ) {\displaystyle (A,\lambda \colon {}_{A}A\to {}_{A}A^{\vee })} 가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다. 우선, ⟨ a , b ⟩ = λ ( 1 ) ( a b ) {\displaystyle \langle a,b\rangle =\lambda (1)(ab)} 를 정의하자. 그렇다면, ⟨ a c , b ⟩ = λ ( 1 ) ( a c b ) = ⟨ a , c b ⟩ {\displaystyle \langle ac,b\rangle =\lambda (1)(acb)=\langle a,cb\rangle } 이 성립한다. λ {\displaystyle \lambda } 가 벡터 공간의 동형이므로, ⟨ − , − ⟩ {\displaystyle \langle -,-\rangle } 는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이를 프로베니우스 형식이라고 한다. 또한, 대각합 tr : A → k {\displaystyle \operatorname {tr} \colon A\to k} tr : a ↦ λ ( 1 ) ( a ) {\displaystyle \operatorname {tr} \colon a\mapsto \lambda (1)(a)} 을 정의할 수 있다. 만약 tr ⁡ ( a b ) = tr ⁡ ( b a ) {\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=\operatorname {tr} (ba)} 라면, V {\displaystyle V} 를 대칭 프로베니우스 대수(영어: symmetric Frobenius algebra)이라고 한다. 가환환인 프로베니우스 대수를 가환 프로베니우스 대수(영어: commutative Frobenius algebra)라고 한다. 보다 일반적으로 모노이드 범주 ( C , ⊗ , 1 ) {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 반대 범주 ( C op , ⊗ , 1 ) {\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} },\otimes ,1)} 역시 같은 텐서곱으로 모노이드 범주를 이룬다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 프로베니우스 대상(영어: Frobenius object)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 모노이드 대상 ( A , μ : A ⊗ A → 1 , η : 1 → A ) {\displaystyle (A,\mu \colon A\otimes A\to 1,\eta \colon 1\to A)} 쌍대 모노이드 대상 (즉, C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 의 모노이드 대상) ( A , δ : A → A ⊗ A , η : A → 1 ) {\displaystyle (A,\delta \colon A\to A\otimes A,\eta \colon A\to 1)} 이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다. A ⊗ 3 δ ⊗ id ↗ δ ⊗ id id ⊗ μ ↘ id ⊗ μ A ⊗ 2 → μ A → δ A ⊗ 2 id ⊗ δ ↘ id ⊗ δ μ ⊗ id ↗ μ ⊗ id A ⊗ 3 {\displaystyle {\begin{matrix}&&\!\!\!\!A^{\otimes 3}\!\!\!\!\\&{\!\!\!\!^{\delta \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\nearrow {\color {White}^{\delta \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\!\!\!\!^{\operatorname {id} \otimes \mu }\!\!\!\!}\searrow {\!\!\!\!^{\operatorname {id} \otimes \mu }\!\!\!\!}\\A^{\otimes 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!{\underset {\mu }{\to }}\!\!\!\!&\!\!\!\!A\!\!\!\!&\!\!\!\!{\underset {\delta }{\to }}\!\!\!\!&\!\!\!\!A^{\otimes 2}\\&{\!\!\!\!_{\operatorname {id} \otimes \delta }\!\!\!\!}\searrow {\color {White}_{\operatorname {id} \otimes \delta }\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\!\!\!\!_{\mu \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\nearrow {\!\!\!\!_{\mu \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\\&&\!\!\!\!A^{\otimes 3}\!\!\!\!\\\end{matrix}}} (편의상, 모노이드 범주의 결합자 등을 생략하였다.) 2차원 위상 양자장론은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다.:24–27 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 범주는 2차원 위상 양자장론의 범주와 동치이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다. 체 K {\displaystyle K} 위의 행렬환 Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} 위의 임의의 부분환 R ⊆ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle R\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)} 이 주어졌을 때, 프로베니우스 형식 ⟨ a , b ⟩ = tr ⁡ ( a b ) {\displaystyle \langle a,b\rangle =\operatorname {tr} (ab)} 을 주면, 이는 K {\displaystyle K} 위의 프로베니우스 대수를 이룬다. n > 1 {\displaystyle n>1} 이면 이는 가환 대수가 아니다. 모든 유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다. 임의의 유한군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 군환 K [ G ] {\displaystyle K[G]} 위에 프로베니우스 형식 ⟨ a , b ⟩ = proj K 1 G ⁡ ( a b ) {\displaystyle \langle a,b\rangle =\operatorname {proj} _{K1_{G}}(ab)} 을 부여하면, 프로베니우스 대수를 이룬다. 여기서 proj K 1 G : K [ G ] → K {\displaystyle \operatorname {proj} _{K1_{G}}\colon K[G]\to K} 는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 사영이다. 즉, ⟨ ∑ g ∈ G a g g , ∑ h ∈ G b h h ⟩ = ∑ g ∈ G a g b g − 1 {\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{h\in G}b_{h}h\right\rangle =\sum _{g\in G}a_{g}b_{g^{-1}}} 이다. 이 경우, 대각합은 tr : ∑ g ∈ G a g g ↦ a 1 {\displaystyle \operatorname {tr} \colon \sum _{g\in G}a_{g}g\mapsto a_{1}} 이다. 유한군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. G {\displaystyle G} 의 유리수 계수 유니터리 표현환 A = RU ⁡ ( G ) ⊗ Z Q {\displaystyle A=\operatorname {RU} (G)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} } 위에 프로베니우스 형식 ⟨ ρ , ρ ′ ⟩ = proj 1 ⁡ ρ ⊗ ρ ′ {\displaystyle \langle \rho ,\rho '\rangle =\operatorname {proj} _{1}\rho \otimes \rho '} 를 부여하자. 여기서 proj 1 : A → Q {\displaystyle \operatorname {proj} _{1}\colon A\to \mathbb {Q} } 은 자명한 표현으로의 사영 사상이다. 이 경우 ⟨ ρ 1 ⊗ ρ 2 , ρ 3 ⟩ = ⟨ ρ 1 , ρ 2 ⊗ ρ 3 ⟩ {\displaystyle \langle \rho _{1}\otimes \rho _{2},\rho _{3}\rangle =\langle \rho _{1},\rho _{2}\otimes \rho _{3}\rangle } 은 ρ 1 ⊗ ρ 2 ⊗ ρ 3 {\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}\otimes \rho _{3}} 의 기약 표현 분해에 포함된 자명한 표현의 차원이 된다. 리하르트 브라우어와 세실 네스빗(영어: Cecil J. Nesbitt)이 1937년 도입하였고, 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 땄다. 호프 대수 Dubrovin, Boris (1994). “Geometry of 2d topological field theories” (영어). arXiv:hep-th/9407018. Bibcode:1994hep.th....7018D.  Dijkgraaf, Robbert. “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D.  Brauer, Richard; Nesbitt, Cecil J. (1937). “On the regular representations of algebras”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 23 (4): 236–240. doi:10.1073/pnas.23.4.236. PMC 1076908. PMID 16588158.  Skowroński, Andrzej; Kunio Yamagata (2011). 《Frobenius algebras I: Basic representation theory》. EMS Textbooks in Mathematics (영어). European Mathematical Society. doi:10.4171/102. ISBN 978-3-03719-102-6. MR 2894798. Zbl 05988530.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Kock, Joachim (2003). 《Frobenius algebras and 2D topological quantum field theories》 (PDF). London Mathematical Society Student Texts (영어) 59. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615443. ISBN 978-0-52183267-0. Zbl 1046.57001. 2013년 9월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 9월 22일에 확인함.  Sawin, Stephen (1995년 12월). “Direct sum decompositions and indecomposable TQFTs” (영어) 36 (12): 6673–6680. arXiv:q-alg/9505026. 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