연환수

위상수학에서 연환수(連環數, 영어: linking number)는 두 폐곡선이 서로를 감는 수이다. 이는 해석적인 방법으로 간단하게 계산할 수 있다. 두 개의 성분으로 구성돼 있는 유향 연환(영어: oriented link)을 생각하자. 이 경우, 연환수는 한 폐곡선이 다른 폐곡선을 통과하는, 부호를 가진 정수이다. 그림으로 쉽게 설명할 수 있다. 이는 두 개의 성분을 가진 유향 연환의 유일한 위상수학적 불변량이다. 연환의 도표(영어: link diagram)가 주어지면, 다음과 같은 알고리즘으로 연환수를 쉽게 계산할 수 있다. 연환 도표에서 위와 같은 교차점들의 수를 각각 n 1 {\displaystyle n_{1}} , n 2 {\displaystyle n_{2}} , n 3 {\displaystyle n_{3}} , n 4 {\displaystyle n_{4}} 라고 하자. 그렇다면 연환수 ν {\displaystyle \nu } 는 다음과 같다. ν = n 1 − n 4 = n 2 − n 3 {\displaystyle \nu =n_{1}-n_{4}=n_{2}-n_{3}} 예를 들어, 다음과 같은 연환을 생각하자. 이 경우 이므로 연환수는 ν = 2 {\displaystyle \nu =2} 이다. 연환수는 또한 해석적으로도 계산할 수 있다. 이 공식을 가우스 연환 적분(영어: Gauss linking integral)이라고 하며, 다음과 같다. 두 폐곡선에 임의의 매개변수를 주어 u , v : [ 0 , 2 π ] → R 3 {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{3}} u ( 0 ) = u ( 2 π ) {\displaystyle \mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (2\pi )} v ( 0 ) = v ( 2 π ) {\displaystyle \mathbf {v} (0)=\mathbf {v} (2\pi )} 으로 쓰자. 그렇다면 u ( s ) {\displaystyle \mathbf {u} (s)} 와 v ( t ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)} 의 연환수 ν ( u , v ) {\displaystyle \nu (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )} 는 다음과 같다. ν ( u , v ) = 1 4 π ∮ u ∮ v u − v ‖ u − v ‖ 3 ⋅ ( d u × d v ) {\displaystyle \nu (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbf {u} }\oint _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {u} -\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {u} -\mathbf {v} \Vert ^{3}}}\cdot (d\mathbf {u} \times d\mathbf {v} )} 이는 다음과 같이 유도할 수 있다. 폐곡선에 매개변수를 가하면, 다음과 같은 가우스 사상 Γ : T 2 → S 2 {\displaystyle \Gamma \colon \mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {S} ^{2}} 을 정의할 수 있다. Γ ( s , t ) = u ( s ) − v ( t ) ‖ u ( s ) − v ( t ) ‖ {\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\mathbf {u} (s)-\mathbf {v} (t)}{\Vert \mathbf {u} (s)-\mathbf {v} (t)\Vert }}} 이는 원환면에서 구면으로 가는 연속함수이며, 그 브라우어르 차수가 연환수와 일치함을 쉽게 확인할 수 있다. 브라우어르 차수는 공역이 몇 번 감기는지를 세는 위상수학적 불변량인데, 이는 해석적으로 쉽게 계산할 수 있다. 즉, 함수를 정의역에 대하여 적분한 뒤, 이를 공역의 넓이로 나누면 된다. 여기서 (단위) 구면의 넓이는 4 π {\displaystyle 4\pi } 이므로 가우스 연환 적분 공식을 쉽게 유도할 수 있다. 고차원에서도 연환수를 정의할 수 있다. ( n 1 + n 2 + 1 ) {\displaystyle (n_{1}+n_{2}+1)} 차원 다양체 M {\displaystyle M} 속에 n 1 {\displaystyle n_{1}} 차원 부분다양체 N 1 ⊂ M {\displaystyle N_{1}\subset M} 과 n 2 {\displaystyle n_{2}} 차원 부분다양체 N 2 {\displaystyle N_{2}} 가 있다고 하자. 또한, N 1 {\displaystyle N_{1}} , N 2 {\displaystyle N_{2}} 의 호몰로지류가 꼬임 부분군에 속한다고 하자. 즉, 양의 정수 k 1 , k 2 ∈ Z {\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} } 가 존재해, k 1 [ N 1 ] = 0 ∈ H n 1 ( M ) {\displaystyle k_{1}[N_{1}]=0\in H_{n_{1}}(M)} k 2 [ N 2 ] = 0 ∈ H n 2 ( M ) {\displaystyle k_{2}[N_{2}]=0\in H_{n_{2}}(M)} 이라고 하자. 그렇다면 이들 사이의 연환수를 정의할 수 있다. 이 경우, 이는 가우스 적분으로 계산할 수 있다. 가우스 사상 Γ : N 1 × N 2 → S n 1 + n 2 {\displaystyle \Gamma \colon N_{1}\times N_{2}\to S^{n_{1}+n_{2}}} 을 정의하면, 연환수는 가우스 사상의 브라우어르 차수이다. 이는 단순히 두 호몰로지류의 교차수(intersection number)이다. 다음과 같은 사슬 C 1 {\displaystyle C_{1}} , C 2 {\displaystyle C_{2}} 를 정의하자. ∂ C 1 = k 1 [ N 1 ] {\displaystyle \partial C_{1}=k_{1}[N_{1}]} ∂ C 2 = k 2 [ N 2 ] {\displaystyle \partial C_{2}=k_{2}[N_{2}]} 또한, 푸앵카레 쌍대성을 사용해 [ N 1 ] = [ M ] ⌢ α 1 {\displaystyle [N_{1}]=[M]\frown \alpha _{1}} [ N 2 ] = [ M ] ⌢ α 2 {\displaystyle [N_{2}]=[M]\frown \alpha _{2}} 인 코호몰로지류 α i ∈ H n i + 1 ( M ; Z ) {\displaystyle \alpha _{i}\in H^{n_{i}+1}(M;\mathbb {Z} )} 를 정의할 수 있다. 그렇다면 연환수는 ν ( [ N 1 ] , [ N 2 ] ) = k 1 C 1 ⌢ α 2 = ( − 1 ) ( n 1 + 1 ) n 2 k 2 C 2 ⌢ α 1 {\displaystyle \nu ([N_{1}],[N_{2}])={\frac {k_{1}}{C}}_{1}\frown \alpha _{2}=(-1)^{(n_{1}+1)n_{2}}{\frac {k_{2}}{C}}_{2}\frown \alpha _{1}} 이다. Weisstein, Eric Wolfgang. “Linking number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Gauss integral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Călugăreanu theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Chernavskii, A.V. (2001). “Linking coefficient”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.