마우러-카르탕 형식

미분기하학에서 마우러-카르탕 형식(Maurer-Cartan形式, 영어: Maurer–Cartan form)은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다. 마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. 편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자. L g , R g : G → G ( g ∈ G ) {\displaystyle {\mathsf {L}}_{g},{\mathsf {R}}_{g}\colon G\to G\qquad (g\in G)} L g : h ↦ g h {\displaystyle {\mathsf {L}}_{g}\colon h\mapsto gh} R g : h ↦ h g {\displaystyle {\mathsf {R}}_{g}\colon h\mapsto hg} 리 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터장의 밂 L g ∗ : T h G ↦ T g h G {\displaystyle {\mathsf {L}}_{g*}\colon \mathrm {T} _{h}G\mapsto \mathrm {T} _{gh}G} 를 정의할 수 있다. G {\displaystyle G} 의 리 대수는 항등원에서의 접공간과 같다. g = T 1 G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {T} _{1}G} 이제, 각 점 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에서, 마우러-카르탕 형식 ω ∈ Ω 1 ( G ; g ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})} 은 다음과 같은 성분을 갖는 리 대수 값 1차 미분 형식이다. ω g ( v ) = L g − 1 ∗ ( v ) ∈ T 1 G = g ( g ∈ G , v ∈ T g G ) {\displaystyle \omega _{g}(v)={\mathsf {L}}_{g^{-1}*}(v)\in \mathrm {T} _{1}G={\mathfrak {g}}\qquad (g\in G,\;v\in \mathrm {T} _{g}G)} 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 일반 선형군 GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )} 위의 매끄러운 함수 f i j : GL ⁡ ( n ; R ) → R ( i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } ) {\displaystyle f_{ij}\colon \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\to \mathbb {R} \qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,n\})} 가 행렬의 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, 1차 미분 형식 d f i j ∈ Ω 1 ⁡ ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} f_{ij}\in \operatorname {\Omega } ^{1}(M)} 들을 정의할 수 있다. 이들을 모아 d f ∈ Ω 1 ⁡ ( M ) ⊗ R n 2 = Ω 1 ( M ; g l ( n ; R ) ) {\displaystyle \mathrm {d} f\in \operatorname {\Omega } ^{1}(M)\otimes \mathbb {R} ^{n^{2}}=\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} ))} 를 정의할 수 있다. GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )} 위의 마우러-카르탕 형식은 다음과 같다. ω | M = M − 1 d f {\displaystyle \omega |_{M}=M^{-1}\,\mathrm {d} f} 이제, 다음이 주어졌다고 하자. (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군 G {\displaystyle G} 및 그 리 대수 Lie ⁡ ( G ) = g {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}} 그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 항상 다음과 같은 단사 실수 리 대수 준동형이 존재한다. g ↪ g l ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow \operatorname {\mathfrak {gl}} (n;\mathbb {R} )} 이는 마찬가지로 매끄러운 군 준동형 ϕ : G → GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \phi \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )} 을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 몰입이지만, 일반적으로 단사 함수일 필요가 없다. 그렇다면, G {\displaystyle G} 의 마우러-카르탕 형식 ω ∈ Ω 1 ( G ; g ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})} 는 GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )} 의 마우러-카르탕 형식 ω GL ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle \omega _{\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}} 의 당김 ϕ ∗ ω GL ⁡ ( n ; R ) ∈ Ω 1 ( G ; g l ( n ; R ) ) {\displaystyle \phi ^{*}\omega _{\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}\in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} ))} 이다. 이는 사실 g ⊆ g l ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} )} 에 속하는 것을 보일 수 있다. ϕ ∗ ω ∈ Ω 1 ( G ; g ) {\displaystyle \phi ^{*}\omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})} 또한, 이 표현은 ( ϕ , n ) {\displaystyle (\phi ,n)} 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 단일 연결이 아닌 연결 리 군 G {\displaystyle G} 의 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군 q : G ~ ↠ G {\displaystyle q\colon {\tilde {G}}\twoheadrightarrow G} 에 대하여, q ∗ ω G = ω G ~ {\displaystyle q^{*}\omega _{G}=\omega _{\tilde {G}}} 가 되는 유일한 미분 형식이다. 리 군 G {\displaystyle G} 위의 마우러-카르탕 형식은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값 1차 미분 형식 ω ∈ Ω 1 ( G ; g ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})} 이다. ω 1 = id : T 1 G → T 1 G = g {\displaystyle \omega _{1}=\operatorname {id} \colon \mathrm {T} _{1}G\to \mathrm {T} _{1}G={\mathfrak {g}}} 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, ω g = Ad ⁡ ( g − 1 ) R g − 1 ∗ ω 1 {\displaystyle \omega _{g}=\operatorname {Ad} (g^{-1}){\mathsf {R}}_{g^{-1}}^{*}\omega _{1}} 이 정의는 주접속의 정의과 같다. 즉, G {\displaystyle G} 를 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 위의 주다발 G ↠ { ∙ } {\displaystyle G\twoheadrightarrow \{\bullet \}} 로 간주하면, 마우러-카르탕 형식은 그 위의 유일한 주접속이다. 임의의 벡터장 X ∈ Γ ∞ ( T G ) {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} G)} 에 대하여, 만약 L g ∗ X = X {\displaystyle {\mathsf {L}}_{g*}X=X} 라면, ω ( X ) ∈ C ∞ ( G , R ) {\displaystyle \omega (X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(G,\mathbb {R} )} 는 상수 함수이다. 유도: 임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, ω | g ( X | g ) = ( L g − 1 ∗ X ) | g = X | 1 {\displaystyle \omega |_{g}(X|_{g})=({\mathsf {L}}_{g^{-1}*}X)|_{g}=X|_{1}} 마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다. d ω + 1 2 [ ω ∧ ω ] = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]=0} 이를 마우러-카르탕 방정식(Maurer-Cartan方程式, 영어: Maurer–Cartan equation)이라고 한다. 유도: 임의의 두 벡터장 X , Y ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} 와 ω ( Y ) {\displaystyle \omega (Y)} 는 둘 다 상수 함수이다. 따라서, ∂ X ω ( Y ) = ∂ Y ω ( X ) = 0 {\displaystyle \partial _{X}\omega (Y)=\partial _{Y}\omega (X)=0} 이다. 따라서, d ω ( X , Y ) = ∂ X ω ( Y ) − ∂ Y ω ( X ) − ω ( [ X , Y ] ) = − ω ( [ X , Y ] ) = − 1 2 [ ω ∧ ω ] ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {d} \omega (X,Y)=\partial _{X}\omega (Y)-\partial _{Y}\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y])=-{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ](X,Y)} 이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은 G {\displaystyle G} 의 각 점에서의 접공간의 기저를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉, d ω = − 1 2 [ ω ∧ ω ] {\displaystyle \mathrm {d} \omega =-{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]} 이다. 리 군 G {\displaystyle G} 위의, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수 Ω ( G ; g ) {\displaystyle \Omega (G;{\mathfrak {g}})} 를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 에 대하여 일반화된다. 즉, g = ⨁ n ∈ N g n {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {g}}^{n}} 위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식 d ω + 1 2 [ ω , ω ] = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0} 이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어 ω = 0 {\displaystyle \omega =0} 역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.) 보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산 d {\displaystyle \mathrm {d} } 는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위의 마우러-카르탕 방정식은 다음과 같다. ∑ k = 0 ∞ 1 k ! [ ω , … , ω ⏞ k ] k = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\overbrace {\omega ,\dotsc ,\omega } ^{k}]_{k}=0} 루트비히 마우러(독일어: Ludwig Maurer, 1859~1927)와 엘리 카르탕의 이름을 땄다. 루트비히 마우러 엘리 카르탕 아벨 군 G = R n {\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}} 을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히 ( ω | v ) i j = δ i j i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle (\omega |_{v})_{i}{}^{j}=\delta _{i}^{j}\qquad i,j\in \{1,2,\dotsc ,n\}} 이다. 이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히 d ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega =0} 이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다. Cartan, Élie (1904). “Sur la structure des groupes infinis de transformation”. 《Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure》 (프랑스어) 21: 153–206. JFM 35.0176.04.  “Maurer-Cartan form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Maurer-Cartan form”. 《nLab》 (영어).  “Maurer-Cartan equation”. 《nLab》 (영어).