5차원 회전군

리 군론에서 5차원 회전군(五次元回轉群, 영어: five-dimensional rotation group)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다. 단순 리 대수의 분류에서, B 2 = C 2 {\displaystyle {\mathsf {B}}_{2}={\mathsf {C}}_{2}} 형을 생각하자. 이는 딘킨 도표 ∙ ⇒ ∙ {\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet } 에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다. 이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 SO ⁡ ( 5 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )} 및 그 스핀 군 Spin ⁡ ( 5 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (5)} 의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준 SO ⁡ ( 1 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,4)} (5차원 로런츠 군) SO ⁡ ( 2 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2,3)} 및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다. 마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은 USp ⁡ ( 4 ; R ) = Sp ⁡ ( 2 ; H ) = Sp ⁡ ( 4 ; C ) ∩ U ⁡ ( r ) {\displaystyle \operatorname {USp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (r)} 이며, 마찬가지로 분할 형태 Sp ⁡ ( 4 ; R ) = Sp ⁡ ( 4 ; C ) ∩ GL ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )} 가 존재한다. 이들은 다음과 같이 대응한다. Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는 USp ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {USp} (4)} 또는 U ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )} 의 정의(定義) 표현이다. 콤팩트 형태에서, Spin ⁡ ( 4 ) = USp ⁡ ( 4 ) = U ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )} 는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉, { M ∈ GL ⁡ ( 2 ; H ) : M † M = 1 2 × 2 } {\displaystyle \{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\}} 이다. (여기서 ( − ) † {\displaystyle (-)^{\dagger }} 는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.) 이것의 군의 중심은 다음과 같다. Z ⁡ ( U ⁡ ( 2 ; H ) ) = { ± 1 2 × 2 } {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} (2;\mathbb {H} ))=\left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}} 이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다. SO ⁡ ( 5 ; R ) ≅ U ⁡ ( 2 ; H ) { ± 1 } {\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong {\frac {\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}{\{\pm 1\}}}} U ⁡ ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )} 의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다. V = { M ∈ GL ⁡ ( 2 ; H ) : M = M † } = { ( a b b ¯ a ) : a ∈ R , b ∈ H } {\displaystyle V=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M=M^{\dagger }\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\{\bar {b}}&a\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {H} \right\}} M ⋅ v = M v M † ( M ∈ U ⁡ ( 2 ; H ) , v ∈ V ) {\displaystyle M\cdot v=MvM^{\dagger }\qquad (M\in \operatorname {U} (2;\mathbb {H} ),\;v\in V)} Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다. Spin ⁡ ( 2 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (2,3)} 의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는 Sp ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )} 의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다. 이는 심플렉틱 군 Sp ⁡ ( 4 ; R ) = { M ∈ GL ⁡ ( 4 ; R ) : M ⊤ J M = J } {\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\{M\in \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )\colon M^{\top }JM=J\}} J = ( 0 2 × 2 − 1 2 × 2 1 2 × 2 0 2 × 2 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}0_{2\times 2}&-1_{2\times 2}\\1_{2\times 2}&0_{2\times 2}\end{pmatrix}}} 에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심은 { ± 1 4 × 4 } < Sp ⁡ ( 4 ; R ) {\displaystyle \{\pm 1_{4\times 4}\}<\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )} 에 해당한다. 이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다. 심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다. U ⁡ ( 1 , 1 ; H ) = { M ∈ GL ⁡ ( 2 ; H ) : M † Ω M = Ω } {\displaystyle \operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }\Omega M=\Omega \}} Ω = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} 이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다. V = { ( a b − b a ¯ ) : a ∈ H , b ∈ R } {\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&{\bar {a}}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {H} ,\;b\in \mathbb {R} \right\}} M ⋅ v = M v Ω M Ω − 1 ( v ∈ V ) {\displaystyle M\cdot v=Mv\Omega M\Omega ^{-1}\qquad (v\in V)} 이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다. 즉, 4 ⊗ 4 = 5 ⊕ 10 ⊕ 1 {\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {5} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} } 5 ⊗ 5 = 14 ⊕ 10 ⊕ 1 {\displaystyle \mathbf {5} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {14} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} } 4 ⊗ 5 = 16 ⊕ 4 {\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {16} \oplus \mathbf {4} } 이다. 직교행렬 직교군 Holman, Wayne J. Ⅲ (1969). “Representation Theory of SP(4) and SO(5)”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 10: 1710. doi:10.1063/1.1665018.  Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies to orthogonal groups” (PDF) (영어).  “Isomorphism between Spin(3,2) and Sp(4, R)”. 《Math Overflow》 (영어).