가군

환론에서 가군(加群, 영어: module 모듈[*])은 어떤 환의 작용이 주어진 아벨 군이다. 즉, 아벨 군의 구조와 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 이 두 구조가 분배 법칙을 통해 서로 호환되는 대수 구조이다. 가군의 개념은 체 위의 벡터 공간과 아벨 군의 개념의 공통적인 일반화이다. 가군 이론은 군의 표현론과 밀접한 연관이 있으며, 가환대수학과 호몰로지 대수학의 주요 대상이며, 대수기하학과 대수적 위상수학에서 중요하게 사용된다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군(영어: left module) ( M , + , r ⋅ r ∈ R ) {\displaystyle (M,+,r\cdot _{r\in R})} 은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다. ( M , + ) {\displaystyle (M,+)} 는 아벨 군을 이룬다. 함수 ⋅ : R × M → M {\displaystyle \cdot \colon R\times M\to M} 는 다음 조건을 만족시킨다. (분배 법칙) ( r + s ) ( m + n ) = r m + r n + s m + s n ∀ m , n ∈ M , r , s ∈ R {\displaystyle (r+s)(m+n)=rm+rn+sm+sn\qquad \forall m,n\in M,\;r,s\in R} (결합 법칙) ( r s ) m = r ( s m ) ∀ m ∈ M , r , s ∈ R {\displaystyle (rs)m=r(sm)\qquad \forall m\in M,\;r,s\in R} (항등원) 1 R m = m ∀ m ∈ M {\displaystyle 1_{R}m=m\qquad \forall m\in M} . 여기서 1 R ∈ R {\displaystyle 1_{R}\in R} 은 R {\displaystyle R} 의 곱셈 항등원이다. R {\displaystyle R} 위의 오른쪽 가군은 그 반대환 R op {\displaystyle R^{\operatorname {op} }} 위의 왼쪽 가군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다. ( M , + ) {\displaystyle (M,+)} 는 아벨 군을 이룬다. 함수 ⋅ : M × R → M {\displaystyle \cdot \colon M\times R\to M} 는 다음 조건을 만족시킨다. (분배 법칙) ( m + n ) ( r + s ) = m r + n r + m s + n s ∀ m , n ∈ M , r , s ∈ R {\displaystyle (m+n)(r+s)=mr+nr+ms+ns\qquad \forall m,n\in M,\;r,s\in R} (결합 법칙) m ( r s ) = ( m r ) s ∀ m ∈ M , r , s ∈ R {\displaystyle m(rs)=(mr)s\qquad \forall m\in M,\;r,s\in R} (항등원) m 1 R = m ∀ m ∈ M {\displaystyle m1_{R}=m\qquad \forall m\in M} . 여기서 1 R ∈ R {\displaystyle 1_{R}\in R} 은 R {\displaystyle R} 의 곱셈 항등원이다. 유사환 R {\displaystyle R} 위의 (유사)가군은 환 위의 가군과 유사하게 정의되나, 항등원에 대한 조건이 생략된다. 왼쪽 가군인 동시에 오른쪽 가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 쌍가군이라 한다. R {\displaystyle R} 이 가환환일 때는 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 R {\displaystyle R} -가군이라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군은 아벨 군 ( M , + ) {\displaystyle (M,+)} 및 환 준동형 R → End ⁡ ( M ) {\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)} 의 쌍과 동치이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 오른쪽 가군은 그 반대환 R op {\displaystyle R^{\operatorname {op} }} 위의 왼쪽 가군과 동치이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 두 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 사이의 준동형 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 은 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다. f {\displaystyle f} 는 덧셈 아벨 군의 군 준동형이다. 즉, 임의의 m , m ′ ∈ M {\displaystyle m,m'\in M} 에 대하여 f ( m + m ′ ) = f ( m ) + f ( m ′ ) {\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')} 이다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, r f ( m ) = f ( r m ) {\displaystyle rf(m)=f(rm)} 이다. 오른쪽 가군의 준동형도 마찬가지로 정의할 수 있다. 가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다. 가군의 길이는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군의 크룰 차원은 가군을 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 벡터 다발의 일종으로 여겨 대수기하학적으로 정의하는 차원의 개념이다. 정역 R {\displaystyle R} 위에 정의된 가군 M {\displaystyle M} 의 계수(영어: rank)는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.:84 rank ⁡ M = dim Frac ⁡ R ⁡ ( M ⊗ R Frac ⁡ R ) {\displaystyle \operatorname {rank} M=\dim _{\operatorname {Frac} R}\left(M\otimes _{R}\operatorname {Frac} R\right)} . 여기서 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 는 R {\displaystyle R} 의 분수체이며, dim Frac ⁡ R {\displaystyle \dim _{\operatorname {Frac} R}} 는 R {\displaystyle R} 의 분수체 위의 벡터 공간의 차원이다. rank ⁡ M {\displaystyle \operatorname {rank} M} 은 M {\displaystyle M} 의 R {\displaystyle R} -선형 독립 집합의 최대 크기이다. 여기서 R {\displaystyle R} -선형 독립 집합이란 임의의 함수 f : B ∈ R {\displaystyle f\colon B\in R} 에 대하여 만약 { b ∈ B : f ( r ) ≠ 0 } {\displaystyle \{b\in B\colon f(r)\neq 0\}} 가 유한 집합이며 ∑ b ∈ B f ( r ) b = 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{b\in B}f(r)b=0} 이라면 { b ∈ B : f ( r ) ≠ 0 } = ∅ {\displaystyle \{b\in B\colon f(r)\neq 0\}=\varnothing } 인 부분 집합 B ⊆ M {\displaystyle B\subseteq M} 을 말한다. 아벨 군의 계수는 정수환 위의 가군으로서의 계수와 같다. 마찬가지로, 체 위의 벡터 공간의 차원은 체 위의 가군으로서의 계수와 같다. 호몰로지 대수학을 사용하여, 가군의 차원을 정의할 수 있다. 가군의 사영/단사 차원(영어: projective/injective dimension)은 가군의 사영/단사 분해의 길이들의 하한이다. 정역 R {\displaystyle R} 위의 가군의 짧은 완전열 0 → N → M → M / N → 0 {\displaystyle 0\to N\to M\to M/N\to 0} 이 주어졌을 때, 계수에 대한 다음과 같은 식이 성립한다. rank R ⁡ M = rank R ⁡ N + rank R ⁡ ( M / N ) {\displaystyle \operatorname {rank} _{R}M=\operatorname {rank} _{R}N+\operatorname {rank} _{R}(M/N)} 이는 정역의 분수체 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 가 R {\displaystyle R} 의 평탄 가군이므로 ⊗ Frac ⁡ R {\displaystyle \otimes \operatorname {Frac} R} 가 짧은 완전열을 보존하기 때문에, Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 위의 벡터 공간의 완전열 0 → N ⊗ Frac ⁡ R → M ⊗ Frac ⁡ R → ( M / N ) ⊗ Frac ⁡ R → 0 {\displaystyle 0\to N\otimes \operatorname {Frac} R\to M\otimes \operatorname {Frac} R\to (M/N)\otimes \operatorname {Frac} R\to 0} 이 존재하기 때문이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 왼쪽 가군의 범주를 R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} , 오른쪽 가군의 범주를 Mod- R {\displaystyle {\text{Mod-}}R} 라고 한다. 이 경우, 범주의 동치 R op -Mod ≃ Mod- R {\displaystyle R^{\operatorname {op} }{\text{-Mod}}\simeq {\text{Mod-}}R} 가 존재한다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환일 경우, 좌우 구분 없이 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 로 쓴다. R -Mod {\displaystyle R{\text{-Mod}}} 와 Mod- R {\displaystyle {\text{Mod-}}R} 둘 다 아벨 범주를 이룬다. 가군의 범주에 존재하는 주요 연산은 다음과 같다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군은 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학에서, 가환환 R {\displaystyle R} 는 어떤 "공간" 위의 함수환으로 여겨지며, 이러한 공간은 구체적으로 환의 스펙트럼 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 이라는 스킴이다. 스킴 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 의 점들은 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 들이다. R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 은 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 가군층을 이룬다.:110 이 가군층의 점 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 위의 올은 가군의 국소화 M p {\displaystyle M_{\mathfrak {p}}} 이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 유한 생성 사영 가군이라면, 이러한 가군은 세르-스완 정리에 따라서 유한 차원 대수적 벡터 다발로 생각할 수 있다. 만약 M {\displaystyle M} 이 자유 가군 R ⊕ κ {\displaystyle R^{\oplus \kappa }} 라면, 이러한 가군은 자명한 대수적 벡터 다발을 이룬다. 가환환 위의 가군들 가운데, 다음과 같은 특별한 종류의 가군들이 존재한다. 자유 가군 ⊆ 사영 가군 ⊆ 평탄 가군 ⊆ 꼬임 없는 가군 만약 가환환이 특정 조건을 만족시킨다면, 이 개념들이 다음과 같이 동일해진다. 국소환 또는 주 아이디얼 정역 위에서는 자유 가군 = 사영 가군 완전환(영어: perfect ring, 예를 들어 아르틴 환 등) 위에서는 사영 가군 = 평탄 가군 데데킨트 정역 위에서는 평탄 가군 = 꼬임 없는 가군 단사 가군은 사영 가군의 반대 개념이다. 단사 가군은 위 개념들과 함의 관계를 갖지 않는다. 단순 가군은 자명하지 않는 가군을 부분 가군으로 갖지 않는 가군이다. 이는 단순군이나 단순환과 유사한 개념이다. 유한 생성 가군은 유한 생성 집합을 갖는 가군이다. 즉, R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유한 집합 B ⊆ M {\displaystyle B\subseteq M} 이 존재한다면, M {\displaystyle M} 을 유한 생성 가군이라고 한다. 임의의 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여, m = ∑ b ∈ B f ( b ) b {\displaystyle m=\sum _{b\in B}f(b)b} 인 함수 f : B → R {\displaystyle f\colon B\to R} 가 존재한다. 특별한 환 위의 가군들은 특별한 이름을 갖는다. 임의의 환 R {\displaystyle R} 은 스스로의 가군이다. 자명군 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 은 임의의 환의 가군을 이룬다. 이를 자명 가군(영어: trivial module)이라고 한다. 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 군환 R [ G ] {\displaystyle R[G]} 는 R {\displaystyle R} 위의 자유 가군을 이룬다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 가군 벡터 공간 결합 대수 Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. 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