람베르트 정각원추도법

람베르트 정각원추도법(람베르트正角圓錐圖法, Lambert conformal conic projection)은 정각도법인 원추도법의 일종이다. 독일 사람 요한 하인리히 람베르트가 고안한 도법으로, 위선은 동심원의 원호, 경선은 방사 직선으로 이루어져 있다. 중간 위도 지역을 그리는 데 가장 적합하며, 중간 위도 지역에 위치하고 있는 대한민국에서는 기상대·신문·TV의 일기도 등 여러 방면에서 이용되고 있다. 대상 지점의 위도를 ϕ {\displaystyle \phi } , 기준 위선의 위도를 ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} , 원뿔의 꼭짓점으로부터의 거리를 ρ {\displaystyle \rho } 라 하면, 다음과 같이 주어진다. ρ = cot ⁡ ϕ 0 ( ( sec ⁡ ϕ − tan ⁡ ϕ ) ( sec ⁡ ϕ 0 + tan ⁡ ϕ 0 ) ) sin ⁡ ϕ 0 {\displaystyle \rho =\cot \phi _{0}((\sec \phi -\tan \phi )(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0}))^{\sin \phi _{0}}} 또는 전개도 형태로 나타내어 직각좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있다. x = ρ sin ⁡ ( ( λ − λ 0 ) sin ⁡ ϕ 0 ) y = − ρ cos ⁡ ( ( λ − λ 0 ) sin ⁡ ϕ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin((\lambda -\lambda _{0})\sin \phi _{0})\\y&=-\rho \cos((\lambda -\lambda _{0})\sin \phi _{0})\end{aligned}}} 여기서 λ {\displaystyle \lambda } 는 대상 지점의 경도, λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} 는 기준점의 경도이다. 이 글을 보려면 오른쪽 '펼치기' 버튼 클릭 투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를 r {\displaystyle r} 이라 하자. 정각성에 의해 다음이 성립한다. d ϕ cos ⁡ ϕ d λ = − d ρ r d λ {\displaystyle {\frac {d\phi }{\cos \phi \,d\lambda }}=-{\frac {d\rho }{r\,d\lambda }}} 이 때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로, ρ r {\displaystyle {\frac {\rho }{r}}} 의 값은 상수이다. 이를 k {\displaystyle k} 로 놓자. − sec ⁡ ϕ d ϕ = k ρ d ρ {\displaystyle -\sec \phi \,d\phi ={\frac {k}{\rho }}d\rho } k log ⁡ ρ = log ⁡ ( sec ⁡ ϕ − tan ⁡ ϕ ) + C {\displaystyle k\log \rho =\log(\sec \phi -\tan \phi )+C} ρ k = e C ( sec ⁡ ϕ − tan ⁡ ϕ ) {\displaystyle \rho ^{k}=e^{C}(\sec \phi -\tan \phi )} 이제 k {\displaystyle k} 와 C {\displaystyle C} 의 값을 구하면 된다. 기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로 cos ⁡ ϕ 0 = r ( ϕ 0 ) {\displaystyle \cos \phi _{0}=r(\phi _{0})} 또 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 cos ⁡ ϕ = r {\displaystyle \cos \phi =r} 은 이중근을 가져야 한다. 즉 − sin ⁡ ϕ 0 = r ′ ( ϕ 0 ) {\displaystyle -\sin \phi _{0}=r'(\phi _{0})} 이다. 다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해 ρ ′ ( ϕ 0 ) = − 1 {\displaystyle \rho '(\phi _{0})=-1} 이 성립하므로, − 1 = ρ ′ ( ϕ 0 ) = k r ′ ( ϕ 0 ) = − k sin ⁡ ϕ 0 {\displaystyle -1=\rho '(\phi _{0})=kr'(\phi _{0})=-k\sin \phi _{0}} 이다. 따라서 k = csc ⁡ ϕ 0 {\displaystyle k=\csc \phi _{0}} 이다. 이제 위의 식 ρ k = e C ( sec ⁡ ϕ − tan ⁡ ϕ ) {\displaystyle \rho ^{k}=e^{C}(\sec \phi -\tan \phi )} 의 양변에 1 k {\displaystyle {\frac {1}{k}}} 승을 취한 후 k = csc ⁡ ϕ 0 {\displaystyle k=\csc \phi _{0}} 를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다. ρ = e C sin ⁡ ϕ 0 ( sec ⁡ ϕ − tan ⁡ ϕ ) sin ⁡ ϕ 0 {\displaystyle \rho =e^{C\sin \phi _{0}}(\sec \phi -\tan \phi )^{\sin \phi _{0}}} 여기서 ϕ = ϕ 0 {\displaystyle \phi =\phi _{0}} 를 대입하면, e C sin ⁡ ϕ 0 ( sec ⁡ ϕ 0 − tan ⁡ ϕ 0 ) sin ⁡ ϕ 0 = ρ ( ϕ 0 ) = cot ⁡ ϕ 0 {\displaystyle e^{C\sin \phi _{0}}(\sec \phi _{0}-\tan \phi _{0})^{\sin \phi _{0}}=\rho (\phi _{0})=\cot \phi _{0}} e C sin ⁡ ϕ 0 = cot ⁡ ϕ 0 ( sec ⁡ ϕ 0 + tan ⁡ ϕ 0 ) sin ⁡ ϕ 0 {\displaystyle e^{C\sin \phi _{0}}=\cot \phi _{0}(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0})^{\sin \phi _{0}}} ∴ ρ = cot ⁡ ϕ 0 ( ( sec ⁡ ϕ − tan ⁡ ϕ ) ( sec ⁡ ϕ 0 + tan ⁡ ϕ 0 ) ) sin ⁡ ϕ 0 ◼ {\displaystyle \quad \therefore \;\rho =\cot \phi _{0}((\sec \phi -\tan \phi )(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0}))^{\sin \phi _{0}}\qquad \blacksquare } 람베르트 정적방위도법 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 람베르트 정각원추도법 이 문서에는 다음커뮤니케이션(현 카카오)에서 GFDL 또는 CC-SA 라이선스로 배포한 글로벌 세계대백과사전의 내용을 기초로 작성된 글이 포함되어 있습니다.