직교 리 대수

리 군론에서 직교 리 대수(直交Lie代數, 영어: orthogonal Lie algebra)는 직교군에 대응되는 리 대수이다. 어떤 대칭 쌍선형 형식에 대하여 반대칭 행렬을 이루는 선형 변환들로 구성된다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} -가군 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 위의 대칭 쌍선형 형식 B : Sym 2 ⁡ V → K {\displaystyle B\colon \operatorname {Sym} ^{2}V\to K} 그렇다면, V {\displaystyle V} 의 자기 준동형으로 구성된 K {\displaystyle K} -리 대수 g l ( V ; K ) = End K ⁡ ( V ) = hom K ⁡ ( V , V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V;K)=\operatorname {End} _{K}(V)=\hom _{K}(V,V)} 를 생각할 수 있다. 이 속에서, 다음과 같은 K {\displaystyle K} -부분 가군은 K {\displaystyle K} -부분 리 대수를 이루며, 이를 V {\displaystyle V} 의 B {\displaystyle B} 에 대한 직교 리 대수라고 한다. o ( V , B ) = { M ∈ g l ( V ; K ) : B ( v , M v ) = 0 ∀ v ∈ V } {\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,B)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)\colon B(v,Mv)=0\;\forall v\in V\}} 증명: 우선, 임의의 M ∈ o ( V , B ) {\displaystyle M\in {\mathfrak {o}}(V,B)} 에 대하여 0 = B ( u + v , M ( u + v ) ) − B ( u , M u ) − B ( v , M v ) = B ( u , M v ) + B ( v , M u ) {\displaystyle 0=B(u+v,M(u+v))-B(u,Mu)-B(v,Mv)=B(u,Mv)+B(v,Mu)} 이다. 따라서, 임의의 M , N ∈ o ( V , B ) {\displaystyle M,N\in {\mathfrak {o}}(V,B)} 에 대하여 B ( v , M N v ) = − B ( M v , N v ) = B ( N M v , v ) = B ( v , N M v ) {\displaystyle B(v,MNv)=-B(Mv,Nv)=B(NMv,v)=B(v,NMv)} 이다. 즉, B ( v , [ M , N ] v ) = 0 {\displaystyle B(v,[M,N]v)=0} 이다. 만약 가환환 K {\displaystyle K} 에서 2가 가역원이라면, M ∈ g l ( V ; K ) {\displaystyle M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. B ( v , M v ) = 0 ∀ v ∈ V {\displaystyle B(v,Mv)=0\qquad \forall v\in V} B ( u , M v ) = − B ( v , M u ) ∀ u , v ∈ V {\displaystyle B(u,Mv)=-B(v,Mu)\qquad \forall u,v\in V} 그러나 만약 2가 가역원이 아니라면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다. 증명: 조건 1 ⇒ 조건 2: 0 = B ( u + v , M ( u + v ) ) − B ( u , M u ) − B ( v , M v ) = B ( u , M v ) + B ( v , M u ) {\displaystyle 0=B(u+v,M(u+v))-B(u,Mu)-B(v,Mv)=B(u,Mv)+B(v,Mu)} 2가 가역원일 때, 조건 2 ⇒ 조건 1: B ( v , M v ) = − B ( v , M v ) {\displaystyle B(v,Mv)=-B(v,Mv)} 이므로, 2 B ( v , M v ) = 0 {\displaystyle 2B(v,Mv)=0} 만약 추가로 K {\displaystyle K} 가 표수가 2가 아닌 체이며, V {\displaystyle V} 가 유한 차원 벡터 공간이며, B {\displaystyle B} 가 비퇴화 쌍선형 형식이라면, 이는 V {\displaystyle V} 와 쌍대 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 사이의 동형을 정의하며, 이 경우 직교 리 대수는 B {\displaystyle B} 를 통하여 행렬로 표기하였을 때 반대칭 행렬이 되는 선형 변환들로 구성된다. 즉, 아인슈타인 표기법으로, B ( u , v ) = B i j u i v j {\displaystyle B(u,v)=B_{ij}u^{i}v^{j}} 로 적으면, M ∈ o ( V , B ) ⟺ M i j = − M j i ( M i j = d e f B i i ′ M i ′ j ) {\displaystyle M\in {\mathfrak {o}}(V,B)\iff M_{ij}=-M_{ji}\qquad (M_{ij}\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,B_{ii'}M^{i'}{}_{j})} 이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q : V → K {\displaystyle Q\colon V\to K} 에 대응되는 대칭 쌍선형 형식이 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) {\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)} 라고 하자. 그렇다면, 리 대수 o ( V , B ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,B)} 는 직교군 O ⁡ ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)} 의 리 대수이다. 대수군의 경우와 달리, 리 대수는 이차 형식에 직접적으로 의존하지 않으며, 오직 그 연관 대칭 쌍선형 형식에만 의존한다. 이는 직교군의 정의가 Q ( M v ) = Q ( v ) ∀ v ∈ V {\displaystyle Q(Mv)=Q(v)\qquad \forall v\in V} 인데, 이를 “무한소화”하면 Q ( ( 1 + t M ) v ) = Q ( v ) + O ( t 2 ) {\displaystyle Q((1+tM)v)=Q(v)+{\mathcal {O}}(t^{2})} 가 된다. 그런데 Q ( ( 1 + t M ) v = Q ( v ) + t B ( v , M v ) + t 2 Q ( M v ) {\displaystyle Q((1+tM)v=Q(v)+tB(v,Mv)+t^{2}Q(Mv)} 이므로, 이는 오직 B ( − , − ) {\displaystyle B(-,-)} 에만 의존하게 된다. 만약 B = 0 {\displaystyle B=0} 일 때, 정의에 따라 자명하게 o ( V , B ) = g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,B)={\mathfrak {gl}}(V)} 이다. 만약 V {\displaystyle V} 가 유한 생성 자유 가군일 경우, 대각합이 0인 가군 준동형들로 구성된 특수 선형 리 대수 s l ( V ; K ) = { M ∈ g l ( V ; K ) : tr ⁡ M = 0 } ⊆ g l ( V ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(V;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)\colon \operatorname {tr} M=0\}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V;K)} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 특수 직교 리 대수(영어: special orthogonal Lie algebra) s o ( V , B ) = o ( V , B ) ∩ s l ( V ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,B)={\mathfrak {o}}(V,B)\cap {\mathfrak {sl}}(V;K)} 를 정의할 수 있다. 만약 K {\displaystyle K} 가 체이며, B {\displaystyle B} 가 비퇴화 쌍선형 형식일 경우, s o ( V , B ) = o ( V , B ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,B)={\mathfrak {o}}(V,B)} 이다. 그러나 예를 들어 만약 char ⁡ K = 2 {\displaystyle \operatorname {char} K=2} 일 때, 홀수 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간 위에서, 비특이 이차 형식에 대응되는 대칭 쌍선형 형식은 퇴화 대칭 쌍선형 형식이며, 이 경우 직교 리 대수는 특수 선형 리 대수에 포함되지 않는다. 예를 들어, 표수가 2인 체 위에서, 1 n × n ∈ s l ( n ; F 2 ) ⟺ 2 ∣ n {\displaystyle 1_{n\times n}\in {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {F} _{2})\iff 2\mid n} 이지만, B {\displaystyle B} 가 (이차 형식에 대응되는) 교대 대칭 쌍선형 형식이라면 B ( v , 1 n × n v ) = 0 {\displaystyle B(v,1_{n\times n}v)=0} 이므로 항상 1 n × n ∈ o ( n , B ; F 2 ) {\displaystyle 1_{n\times n}\in {\mathfrak {o}}(n,B;\mathbb {F} _{2})} 이다. Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthogonal Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Orthogonal Lie algebra”. 《nLab》 (영어).  “The Lie algebra of the orthogonal group O(n) (SO(n))”. 《MathPhys Archive》 (영어). 2011년 9월 27일. 2018년 4월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 4월 21일에 확인함.