퀴네트 정리

대수적 위상수학에서 퀴네트 정리(영어: Künneth theorem)는 곱공간의 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 정리다. 체 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다. X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 가 위상 공간이라고 하고, H ∙ ⁡ ( − ; K ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(-;K)} 가 체 K {\displaystyle K} 의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. ⨁ i + j = k H i ⁡ ( X ; K ) ⊗ K H j ⁡ ( Y ; K ) ≅ H k ⁡ ( X × Y ; K ) {\displaystyle \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} _{i}(X;K)\otimes _{K}\operatorname {H} _{j}(Y;K)\cong \operatorname {H} _{k}(X\times Y;K)} 이를 퀴네트 정리라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다. b X ( t ) = ∑ i t i dim Q ⁡ H i ⁡ ( X ; Q ) {\displaystyle b_{X}(t)=\sum _{i}t^{i}\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} _{i}(X;\mathbb {Q} )} 가 베티 수의 생성함수라고 하자. 그렇다면 b X ( t ) b Y ( t ) = b X × Y ( t ) {\displaystyle b_{X}(t)b_{Y}(t)=b_{X\times Y}(t)} 이다. 호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 H ∙ {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }} 이라고 적으면, 다음이 성립한다. H ∙ ⁡ ( X ; K ) ⊗ K H ∙ ⁡ ( Y ; K ) ≅ H ∙ ⁡ ( X × Y ; K ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;K)\otimes _{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;K)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(X\times Y;K)} 여기서 좌변은 등급환의 K {\displaystyle K} -텐서곱이다. 만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다. 만약 계수가 주 아이디얼 정역 R {\displaystyle R} 인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은 R {\displaystyle R} -가군의 짧은 완전열이 존재한다. 0 → ⨁ i + j = k H i ⁡ ( X ; R ) ⊗ R H j ⁡ ( Y ; R ) → H k ⁡ ( X × Y ; R ) → ⨁ i + j = k − 1 Tor 1 R ⁡ ( H i ⁡ ( X ; R ) , H j ⁡ ( Y ; R ) ) → 0 {\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{R}\operatorname {H} _{j}(Y;R)\to \operatorname {H} _{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\operatorname {Tor} _{1}^{R}(\operatorname {H} _{i}(X;R),\operatorname {H} _{j}(Y;R))\to 0} 여기서 Tor {\displaystyle \operatorname {Tor} } 는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다. 마찬가지로, 주 아이디얼 정역 R {\displaystyle R} 계수의 코호몰로지에 대하여, R {\displaystyle R} -가군의 짧은 완전열이 존재한다. 0 → ⨁ i + j = k H i ⁡ ( X ; R ) ⊗ R H j ⁡ ( Y ; R ) → H k ⁡ ( X × Y ; R ) → ⨁ i + j = k + 1 Tor 1 R ⁡ ( H i ⁡ ( X ; R ) , H j ⁡ ( Y ; R ) ) → 0 {\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} ^{i}(X;R)\otimes _{R}\operatorname {H} ^{j}(Y;R)\to \operatorname {H} ^{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k+1}\operatorname {Tor} _{1}^{R}(\operatorname {H} ^{i}(X;R),\operatorname {H} ^{j}(Y;R))\to 0} 여기서 Tor {\displaystyle \operatorname {Tor} } 는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다. 임의의 가환환 R {\displaystyle R} 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 퀴네트 스펙트럼 열(영어: Künneth spectral sequence) E ∙ ∙ ∙ {\displaystyle E_{\bullet \bullet }^{\bullet }} 로 표현된다.:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다. E p q 2 = ⨁ q 1 + q 2 = q Tor p R ⁡ ( H q 1 ⁡ ( X ; R ) , H q 2 ⁡ ( Y ; R ) ) {\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} _{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} _{q_{2}}(Y;R)\right)} 이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다. E p q 2 ⇒ E p q ∞ ≅ H p + q ⁡ ( X × Y ; R ) {\displaystyle E_{pq}^{2}\Rightarrow E_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} _{p+q}(X\times Y;R)} 보다 일반적으로, 위상군 G {\displaystyle G} 가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 가 주어졌고, Y ↠ Y / G {\displaystyle Y\twoheadrightarrow Y/G} 가 G {\displaystyle G} -주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 G {\displaystyle G} 의 호몰로지 H ∙ ⁡ ( G ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(G;R)} 는 자연스럽게 환을 이루며, 이는 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열, E p q 2 = ⨁ q 1 + q 2 = q Tor p H ∙ ⁡ ( G ; R ) ⁡ ( H q 1 ⁡ ( X ; R ) , H q 2 ⁡ ( Y ; R ) ) {\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{\operatorname {H} _{\bullet }(G;R)}\left(\operatorname {H} _{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} _{q_{2}}(Y;R)\right)} 은 다음과 같은 G {\displaystyle G} -곱공간의 호몰로지로 수렴한다.:§3.1 E p q 2 ⇒ E p q ∞ ≅ H p + q ⁡ ( X × G Y ; R ) {\displaystyle E_{pq}^{2}\Rightarrow E_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} _{p+q}(X\times _{G}Y;R)} 여기서 X × G Y = X × Y ( x , g ⋅ y ) ∼ ( x ⋅ g , y ) ∀ g ∈ G , x ∈ X , y ∈ Y {\displaystyle X\times _{G}Y={\frac {X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim (x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}}} 이다. 이는 G {\displaystyle G} 가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다. 마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.:§3.2 E 2 p q = ⨁ q 1 + q 2 = q Tor p R ⁡ ( H q 1 ⁡ ( X ; R ) , H q 2 ⁡ ( Y ; R ) ) {\displaystyle E_{2}^{pq}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} ^{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q_{2}}(Y;R)\right)} 만약 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 코호몰로지가 각 차수에서 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 X × Y {\displaystyle X\times Y} 의 코호몰로지로 수렴한다. E 2 p q ⇒ E ∞ p q ≅ H p + q ⁡ ( X × Y ; R ) {\displaystyle E_{2}^{pq}\Rightarrow E_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;R)} 보다 일반적으로, 연속 함수 f : X → B {\displaystyle f\colon X\to B} , g : Y → B {\displaystyle g\colon Y\to B} 가 주어졌으며 g {\displaystyle g} 는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 H ∙ ⁡ ( B ; R ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)} 는 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자. B {\displaystyle B} 는 단일 연결 공간이다. X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , B {\displaystyle B} 의 코호몰로지는 각 차수에서 R {\displaystyle R} -유한 생성 가군이다. 그렇다면 스펙트럼 열 E 2 p q = ⨁ q 1 + q 2 = q Tor p H ∙ ⁡ ( B ; R ) ⁡ ( H q 1 ⁡ ( X ; R ) , H q 2 ⁡ ( Y ; R ) ) {\displaystyle E_{2}^{pq}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{\operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)}\left(\operatorname {H} ^{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q_{2}}(Y;R)\right)} 은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.:§3.2 E 2 p q ⇒ E ∞ p q ≅ H p + q ⁡ ( X × B Y ; R ) {\displaystyle E_{2}^{pq}\Rightarrow E_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times _{B}Y;R)} 여기서 X × B Y {\displaystyle X\times _{B}Y} 는 범주론적 당김 X × B Y = { ( x , y ) ∈ X × Y : f ( x ) = g ( y ) } {\displaystyle X\times _{B}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}} 이다. 이는 B {\displaystyle B} 가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다. 독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다. Hatcher, A. 《Spectral Sequences in Algebraic Topology》 (영어).  Künneth, H. (1923년 3월). “Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 90: 65–85. doi:10.1007/BF01456242. ISSN 0025-5831. JFM 49.0408.01.  Künneth, H. (1924년 3월). “Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 91: 125–134. doi:10.1007/BF01498384. ISSN 0025-5831. JFM 50.0658.03.  Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.  “Künneth formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Künneth theorem”. 《nLab》 (영어).  “Eilenberg–Moore spectral sequence”. 《nLab》 (영어).  “Kunneth formula for homology”. 《Topospaces》 (영어).  “Kunneth formula for cohomology”. 《Topospaces》 (영어).  르레-이르슈 정리