아다마르 곱

선형대수학에서 아다마르 곱(영어: Hadamard product)은 같은 크기의 두 행렬의 각 성분을 곱하는 연산이다. 즉, 일반 행렬곱은 m × n {\displaystyle m\times n} 과 n × p {\displaystyle n\times p} 의 꼴의 두 행렬을 곱하지만, 아다마르 곱은 m × n {\displaystyle m\times n} 과 m × n {\displaystyle m\times n} 의 꼴의 두 행렬을 곱한다. 덧셈에 대하여 분배 법칙을 따른다. 기호는 ◯ {\displaystyle \bigcirc } . 환 R {\displaystyle R} 의 성분을 갖는, 같은 크기 m × n {\displaystyle m\times n} 의 두 행렬 M , N ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle M,N\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} M = ( M 11 M 12 ⋯ M 1 n M 21 M 22 M 2 n ⋮ ⋱ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m n ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\dotsm &M_{1n}\\M_{21}&M_{22}&&M_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\dotsm &M_{mn}\end{pmatrix}}} N = ( N 11 N 12 ⋯ N 1 n N 21 N 22 N 2 n ⋮ ⋱ ⋮ N m 1 N m 2 ⋯ N m n ) {\displaystyle N={\begin{pmatrix}N_{11}&N_{12}&\dotsb &N_{1n}\\N_{21}&N_{22}&&N_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\N_{m1}&N_{m2}&\dotsm &N_{mn}\end{pmatrix}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 의 아다마르 곱은 다음과 같다. M ◯ N = ( M 11 N 11 M 12 N 12 ⋯ M 1 n N 1 n M 21 N 21 M 22 N 22 M 2 n N 2 n ⋮ ⋱ ⋮ M m 1 N m 1 M m 2 N m 2 ⋯ M m n N m n ) ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle M\bigcirc N={\begin{pmatrix}M_{11}N_{11}&M_{12}N_{12}&\dotsm &M_{1n}N_{1n}\\M_{21}N_{21}&M_{22}N_{22}&&M_{2n}N_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M_{m1}N_{m1}&M_{m2}N_{m2}&\dotsm &M_{mn}N_{mn}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 환 R {\displaystyle R} 가 주어졌다고 하자. 아다마르 곱은 결합 법칙과 덧셈에 대한 분배 법칙을 따른다. 즉, 임의의 M , N , P ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle M,N,P\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 에 대하여, 다음이 성립한다. ( M ◯ N ) ◯ P = M ◯ ( N ◯ P ) {\displaystyle (M\bigcirc N)\bigcirc P=M\bigcirc (N\bigcirc P)} M ◯ ( N + P ) = M ◯ N + M ◯ P {\displaystyle M\bigcirc (N+P)=M\bigcirc N+M\bigcirc P} ( N + P ) ◯ M = N ◯ M + P ◯ M {\displaystyle (N+P)\bigcirc M=N\bigcirc M+P\bigcirc M} 아다마르 곱의 항등원은 모든 성분이 1인 행렬 J m × n = ( 1 1 ⋯ 1 1 1 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 1 ) {\displaystyle {\mathsf {J}}_{m\times n}={\begin{pmatrix}1&1&\dotsm &1\\1&1&&1\\\vdots &&\ddots &\vdots \\1&1&\dotsm &1\end{pmatrix}}} 이다. 이에 따라, ( Mat ⁡ ( m , n ; R ) , ◯ , J ) {\displaystyle (\operatorname {Mat} (m,n;R),\bigcirc ,{\mathsf {J}})} 는 환을 이루며, 이는 환의 직접곱 R m n {\displaystyle R^{mn}} 과 동형이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환이라면, 아다마르 곱은 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의 M , N ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle M,N\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 에 대하여, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환일 경우 다음이 성립한다. M ◯ N = N ◯ M {\displaystyle M\bigcirc N=N\bigcirc M} 만약 M ∈ Mat ⁡ ( m , n ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 의 모든 성분이 가역원이라면, M {\displaystyle M} 에 대한 아다마르 곱은 다음과 같은 역원을 갖는다. M ◯ − 1 = ( M 11 − 1 M 12 − 1 ⋯ M 1 n − 1 M 21 − 1 M 22 − 1 M 2 n − 1 ⋮ ⋱ ⋮ M m 1 − 1 M m 2 − 1 ⋯ M m n − 1 ) {\displaystyle M^{\bigcirc -1}={\begin{pmatrix}M_{11}^{-1}&M_{12}^{-1}&\dotsm &M_{1n}^{-1}\\M_{21}^{-1}&M_{22}^{-1}&&M_{2n}^{-1}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M_{m1}^{-1}&M_{m2}^{-1}&\dotsm &M_{mn}^{-1}\end{pmatrix}}} 두 대칭 행렬의 아다마르 곱은 대칭 행렬이다. 두 복소수 에르미트 행렬의 아다마르 곱은 에르미트 행렬이다. 임의의 두 양의 준정부호 에르미트 행렬 M , N ∈ Mat ⁡ ( n , n ; C ) {\displaystyle M,N\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )} M = M ∗ {\displaystyle M=M^{*}} N = N ∗ {\displaystyle N=N^{*}} v ∗ M v ≥ 0 ∀ v ∈ C n {\displaystyle v^{*}Mv\geq 0\forall v\in \mathbb {C} ^{n}} v ∗ N v ≥ 0 ∀ v ∈ C n {\displaystyle v^{*}Nv\geq 0\forall v\in \mathbb {C} ^{n}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어-오펜하임 부등식(Schur-Oppenheim不等式, 영어: Schur–Oppenheim inequality)에 따르면, 다음이 성립한다. M ◯ N {\displaystyle M\bigcirc N} 은 역시 양의 준정부호 에르미트 행렬이다. det ( M ◯ N ) ≥ ( ∏ i = 1 n ∏ j = 1 n M i j ) det N ≥ det ( M N ) {\displaystyle \det(M\bigcirc N)\geq \left(\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}M_{ij}\right)\det N\geq \det(MN)} “아다마르 곱”이라는 용어는 자크 아다마르의 이름을 딴 것이다. 슈어-오펜하임 부등식의 경우, 이사이 슈어가 1911년에 det ( M ◯ N ) ≥ det ( M N ) {\displaystyle \det(M\bigcirc N)\geq \det(MN)} 을 증명하였으며,:14, Satz Ⅶ 알렉산더 오펜하임(영어: Alexander Oppenheim, 1903~1997)이 1930년에 이를 개량하였다. 크로네커 곱 Schur, J. (1911). “Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 140: 1–28. doi:10.1515/crll.1911.140.1. ISSN 0075-4102. JFM 42.0367.01.  Oppenheim, Alexander (1930년 4월). “Inequalities connected with definite Hermitian forms”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 5 (2): 114–119. doi:10.1112/jlms/s1-5.2.114. JFM 56.0106.05.  “Matrix multiplication”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Million, Elizabeth (2007년 4월 12일). “The Hadamard product” (PDF) (영어).