코언-매콜리 환

가환대수학과 대수기하학에서 코언-매콜리 환(Cohen-Macaulay環, 영어: Cohen–Macaulay ring)은 국소적으로 어느 곳에서나 차원이 동일한 아핀 스킴의 개념을 형식화한 개념이다. 뇌터 국소 가환환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 위의 유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 항상 다음이 성립한다. depth m ⁡ M ≤ dim ⁡ M {\displaystyle \operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M\leq \dim M} 이다. 여기서 depth m {\displaystyle \operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}} 는 깊이이며, dim {\displaystyle \dim } 은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, M {\displaystyle M} 을 코언-매콜리 가군(영어: Cohen–Macaulay module)이라고 한다. 임의의 뇌터 국소 가환환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환(영어: Cohen–Macaulay local ring)이라고 한다. 스스로 위의 가군으로서 코언-매콜리 가군인 뇌터 국소 가환환이다. 즉, depth m ⁡ R ≤ ht ⁡ m = dim ⁡ R {\displaystyle \operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}R\leq \operatorname {ht} {\mathfrak {m}}=\dim R} 이다. 모든 매개계가 정칙열이다.:Remark 2.2 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.:Remark 2.2 여기서 depth m {\displaystyle \operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}} 는 깊이이며, ht {\displaystyle \operatorname {ht} } 는 아이디얼의 높이이며, dim {\displaystyle \dim } 은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, R {\displaystyle R} 를 코언-매콜리 국소환이라고 한다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 코언-매콜리 환이라고 한다.:452, Proposition 18.8 모든 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대하여, 국소화 R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} 은 코언-매콜리 국소환이다.:452, Proposition 18.8 모든 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에 대하여, 국소화 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 코언-매콜리 국소환이다. 임의의 아이디얼 i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} 및 R / i {\displaystyle R/{\mathfrak {i}}} 의 연관 소 아이디얼 p ∈ Ass ⁡ ( R / i ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (R/{\mathfrak {i}})} 에 대하여, i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} 의 여차원(높이)과 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 여차원이 같다. 즉, ht R ⁡ i = ht R / i ⁡ p {\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {i}}=\operatorname {ht} _{R/{\mathfrak {i}}}{\mathfrak {p}}} 이다. 마지막 조건은 차원이 국소적으로 일정하다는 조건의 매우 강한 형태이다. 즉, 아이디얼 i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} 는 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 의 닫힌 부분 스킴 Spec ⁡ ( R / i ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {i}})} 을 정의한다. 이는 으뜸 분해로 인하여 기약 성분들로 분해되며, 각 성분은 연관 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대응한다. 따라서, 위 조건은 임의의 닫힌 부분 스킴에 대하여, 그 기약 성분들의 차원이 모두 같음을 뜻한다. 마찬가지로, 국소 뇌터 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 코언-매콜리 스킴이라고 한다. 임의의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 구조층의 줄기 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 가 코언-매콜리 국소환이다. 임의의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 구조층의 줄기 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 가 코언-매콜리 국소환이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 정칙환 ⊊ 완비교차환(영어: complete intersection ring) ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환 특히, 모든 정칙 스킴은 코언-매콜리 스킴이다. 코언-매콜리 환이 될 충분 조건으로는 다음이 있다. 모든 정칙환은 코언-매콜리 환이다. 특히, 모든 체나, 함수체 K [ [ x ] ] {\displaystyle K[[x]]} 등은 정칙 국소환이므로 코언-매콜리 환이다. 모든 아르틴 환은 코언-매콜리 환이다. 모든 크룰 차원이 1인 뇌터 축소환은 코언-매콜리 환이다. 모든 고런스틴 환은 코언-매콜리 환이다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 코언-매콜리 환이다. 다항식환 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 는 코언-매콜리 환이다.:452, Proposition 18.9 뇌터 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:452, Proposition 18.8:136, Theorem 17.5 R {\displaystyle R} 는 코언-매콜리 국소환이다. R {\displaystyle R} 에 대응하는 완비 국소환은 코언-매콜리 국소환이다. 다음이 주어졌다고 하자. 정칙 국소환 K {\displaystyle K} 국소 가환환 A {\displaystyle A} 단사 환 준동형 K → A {\displaystyle K\to A} . 이에 따라서, A {\displaystyle A} 가 K {\displaystyle K} -유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 가 코언-매콜리 국소환이다. A {\displaystyle A} 가 K {\displaystyle K} -평탄 가군이다. A {\displaystyle A} 가 K {\displaystyle K} -자유 가군이다. 이 사실을 히로나카 기적적 평탄성(영어: Hironaka’s miracle flatness)이라고 한다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다항식환 K [ t ] {\displaystyle K[t]} 의 부분환 K [ t 2 , t 3 ] {\displaystyle K[t^{2},t^{3}]} 를 생각하자. 이는 코언-매콜리 환이지만 고런스틴 환이 아니다. 구체적으로, 극대 아이디얼 ( t 2 , t 3 ) {\displaystyle (t^{2},t^{3})} 에서의 국소화는 고런스틴 국소환이 아닌 코언-매콜리 국소환이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 가환환 R = K [ x , y ] / ( x 2 , x y ) {\displaystyle R=K[x,y]/(x^{2},xy)} 를 생각하자.:896, Example B 기하학적으로, ( x 2 , x y ) = ( x ) ( x , y ) {\displaystyle (x^{2},xy)=(x)(x,y)} 이므로, 이는 ‘두꺼운’ 원점 x = 0 , y = 0 {\displaystyle x=0,y=0} 을 갖는 직선 x = 0 {\displaystyle x=0} 이다. 원점에서 0차원과 1차원의 공존으로 인해 이는 코언-매콜리 환이 될 수 없다. (반면, ‘두꺼운 점’만이 존재하는 경우인 K [ x , y ] / ( x 2 ) {\displaystyle K[x,y]/(x^{2})} 는 코언-매콜리 환이다.:896, Example B) 구체적으로, 원점에 해당하는 극대 아이디얼 m = ( x , y ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)} 에서의 국소 가환환 R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} 을 취하자. 이 경우, m R m {\displaystyle {\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}} 에 속하는 임의의 원소 a ∈ m R m {\displaystyle a\in {\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}} 에 대하여, a x = 0 {\displaystyle ax=0} 이므로, R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} 의 극대 아이디얼에 포함되는 모든 원소는 영인자이며, 특히 극대 아이디얼에 포함되는 모든 정칙렬의 길이는 0이다. 따라서 R {\displaystyle R} 의, m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에서의 깊이는 0이다. 그러나 ( x , y ) R m ⊊ ( x ) R m {\displaystyle (x,y)R_{\mathfrak {m}}\subsetneq (x)R_{\mathfrak {m}}} 이므로 R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} 의 크룰 차원( m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 의 높이)은 1이다. 따라서 R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} 은 코언-매콜리 국소환이 아니며, R {\displaystyle R} 는 코언-매콜리 환이 아니다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, R = K [ x , y , z , w ] ( x , y ) ( z , w ) {\displaystyle R={\frac {K[x,y,z,w]}{(x,y)(z,w)}}} 를 생각하자. 기하학적으로, 이는 4차원 아핀 공간 속의, x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} 평면과 z = w = 0 {\displaystyle z=w=0} 평면의 합집합이다. 이 환은 어디서나 같은 차원(즉, 2차원)을 갖는다 (즉, 극대 아이디얼의 국소 가환환의 크룰 차원이 항상 2이다). 그러나 이는 (원점에서) 코언-매콜리 환이 아니다.:455, Figure 18.2 프랜시스 소어비 매콜리(영어: Francis Sowerby Macaulay)는 1916년에 다항식환이 (현대적인 용어로) 코언-매콜리 환임을 증명하였고, 어빈 솔 코언은 1946년에 형식적 멱급수환도 마찬가지 성질을 가짐을 보였다. 이후 매콜리와 코언의 이름을 따서 이름붙여졌다. 코언-매콜리 환의 개념에 대하여 멜빈 혹스터(영어: Melvin Hochster)는 다음과 같이 적었다. 환론 국소환 Höchster, Melvin (1980). 〈Cohen–Macaulay rings and modules〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, Finland, vol. 1》 (영어). Academia Scientiarum Fennica. 291-298쪽. 2013년 9월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 8월 9일에 확인함.  Huneke, Craig (2002년 9월 16일). “Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings” (영어). arXiv:math/0209199.  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.  Hochster, Melvin (1978). “Some applications of the Frobenius in characteristic 0”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 84: 886–912. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14531-5. MR 485848. Zbl 0421.14001.  Macaulay, Francis Sowerby (1916). 《The algebraic theory of modular systems》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 1-4297-0441-1.  Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 54–106. doi:10.1090/S0002-9947-1946-0016094-3. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094.  “Cohen-Macaulay ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cohen-Macaulay ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Cohen-Macaulay rings”. 《The Stacks Project》 (영어).  “Cohen-Macaulay modules”. 《The Stacks Project》 (영어).  “Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?” (영어). Math Overflow.  “Geometric meaning of Cohen-Macaulay schemes” (영어). Math Overflow.  “How to think about CM rings?” (영어). Math Overflow.  “Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?”. Math Overflow.