모듈러스 (수론)

유체론에서 모듈러스(영어: modulus)는 아벨 확대에 대한 분기화 현상을 나타내는 대상이다. 효과적 베유 인자의 개념의 대수적 수체에 대한 일반화이다. 대역체 K {\displaystyle K} 의 아라켈로프 인자(Аракелов因子, 영어: Arakelov divisor) 또는 충만 아이디얼(充滿ideal, 영어: replete ideal) A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:34, §I.6 각 아르키메데스 자리 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, 정수 ord m ⁡ ( p ) ∈ Z {\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {Z} } 각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리) p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, 실수 ord m ⁡ ( p ) ∈ R {\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {R} } 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다. | { p ∈ Places ⁡ ( O K ) : ord m ⁡ ( p ) > 0 } | < ℵ 0 {\displaystyle \left|\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0\}\right|<\aleph _{0}} 이를 자리의 중복수(영어: multiplicity)라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다. A = ∏ p ∈ Places ⁡ ( O K ) p ord m ⁡ ( p ) {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})}{\mathfrak {p}}^{\operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}} 이는 대수적 정수환의 분수 아이디얼의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다. 대역체 K {\displaystyle K} 의 모듈러스 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다. 모든 자리의 중복수는 음이 아니다. ∀ p ∈ Places ⁡ ( O K ) : ord m ⁡ ( p ) ≥ 0 {\displaystyle \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\geq 0} 만약 K {\displaystyle K} 가 대수적 수체라면, 실수 자리의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다. 만약 K {\displaystyle K} 가 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 위의 고유 대수 곡선 X / Spec ⁡ F q {\displaystyle X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}} 의 유리 함수체라면, K {\displaystyle K} 위의 모듈러스는 X {\displaystyle X} 의 효과적 베유 인자 (즉, X {\displaystyle X} 위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합)와 같은 개념이다. 대역체의 모듈러스 m = m 0 m ∞ {\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{0}{\mathfrak {m}}_{\infty }} 는 유한 부분 (유한 위치들의 부분 중복집합) m 0 {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}} 와 무한 부분 (무한 위치들의 집합) m ∞ {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }} 로 분해할 수 있다. 대수적 수체가 아닌 대역체의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 모듈러스 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 의 유한 부분 m 0 {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}} 는 소 아이디얼들의 중복집합의 곱이므로, 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 아이디얼과 같다. 대역체 K {\displaystyle K} 의 0이 아닌 두 원소 a , b ∈ K × {\displaystyle a,b\in K^{\times }} 및 K {\displaystyle K} 의 모듈러스 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대하여, 만약 ord m ⁡ ( p ) > 0 {\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0} 인 모든 자리 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여 다음 조건이 성립한다면, a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 가 m {\displaystyle m} 에 대하여 합동(영어: congruent)이라고 하고, a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} 으로 적는다. p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 가 유한 자리이라면, ord p ⁡ ( a / b − 1 ) ≥ ord m ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(a/b-1)\geq \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 가 실수 매장 σ : K ↪ R {\displaystyle \sigma \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } 에 대한 실수 자리라면, σ ( a / b ) > 0 {\displaystyle \sigma (a/b)>0} 여기서 ord p {\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}} 는 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대응되는 절댓값이 | a | p = exp ⁡ ( − ord ⁡ ( a ) ) {\displaystyle |a|_{\mathfrak {p}}=\exp(-\operatorname {ord} (a))} 와 동치가 되는 전사 함수 ord p : K → Z ⊔ { ∞ } {\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\colon K\to \mathbb {Z} \sqcup \{\infty \}} 이다. 대수적 수체 위의 대수 곡면의 아라켈로프 인자는 수렌 유리예비치 아라켈로프가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.:71–76 대수적 수체 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} -스킴 p : X / Spec ⁡ ( O K ) {\displaystyle p\colon X/\operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}_{K})} 이 2차원 정역 정칙 스킴이며, p {\displaystyle p} 가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 하자. 또한, O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 의 일반점이 η {\displaystyle \eta } 라고 하자. K {\displaystyle K} 의 아르키메데스 자리 σ ∈ Places ∞ ⁡ ( K ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)} 에 대하여, X {\displaystyle X} 의 σ {\displaystyle \sigma } 에서의 올 X σ {\displaystyle X_{\sigma }} 는 다음과 같다. X σ = X × O K K ¯ σ {\displaystyle X_{\sigma }=X\times _{{\mathcal {O}}_{K}}{\bar {K}}_{\sigma }} 이는 리만 곡면을 이룬다. X {\displaystyle X} 위의 아라켈로프 인자의 아벨 군 Div ^ ( X ) {\displaystyle {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)} 은 다음과 같다. Div ^ ( X ) = Div ⁡ ( X ) ⊕ ⨁ σ ∈ Places ∞ ⁡ ( K ) R σ {\displaystyle {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)=\operatorname {Div} (X)\oplus \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma } 여기서 ⨁ σ ∈ Places ∞ ⁡ ( K ) R σ {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma } 는 K {\displaystyle K} 의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간이다. 가역 유리 함수 f ∈ Γ ( X ; K X × ) = ( Frac ⁡ Γ ( X ; O X ) ) × {\displaystyle f\in \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })=\left(\operatorname {Frac} \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X})\right)^{\times }} 에 대응하는 주 아라켈로프 인자(영어: principal Arakelov divisor) ( f ) ∈ Div ^ ( X ) {\displaystyle (f)\in {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)} 는 다음과 같다.:75–76 ( f ) = ( f ) 0 + ∑ σ ∈ Places ∞ ⁡ ( K ) ( f ) σ σ {\displaystyle (f)=(f)_{0}+\sum _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}(f)_{\sigma }\sigma } ( f ) σ = − ∫ X σ ln ⁡ | f σ | d μ σ {\displaystyle (f)_{\sigma }=-\int _{X_{\sigma }}\ln |f_{\sigma }|\;\mathrm {d} \mu _{\sigma }} 여기서 d μ σ {\displaystyle \mathrm {d} \mu _{\sigma }} 는 콤팩트 리만 곡면 X σ {\displaystyle X_{\sigma }} 위의, ∫ X σ d μ σ = 1 {\displaystyle \textstyle \int _{X_{\sigma }}\mathrm {d} \mu _{\sigma }=1} 이 되는 표준적 부피 형식이다. 구체적으로, X σ {\displaystyle X_{\sigma }} 위의 (1,0)-복소수 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 α ∧ α ¯ {\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\alpha }}} 는 (1,0)-복소수 미분 형식의 가역층 위의 에르미트 계량을 정의하며, 이로부터 부피 형식을 정의할 수 있다. ( f ) 0 {\displaystyle (f)_{0}} 은 베유 주인자를 뜻한다. 이는 군 준동형 ( − ) : Γ ( X ; K X × ) → Div ^ ( X ) {\displaystyle (-)\colon \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)} 을 이루며, 그 여핵을 아라켈로프 인자 유군(영어: Arakelov divisor class group)이라고 한다.:76 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 아라켈로프 인자는 ( r ) ∞ a ( r ∈ Q × , a ∈ R ) {\displaystyle (r)\infty ^{a}\qquad (r\in \mathbb {Q} ^{\times },\;a\in \mathbb {R} )} 의 꼴이다. 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 모듈러스는 ( n ) ∞ a ( n ∈ Z + , a ∈ { 0 , 1 } ) {\displaystyle (n)\infty ^{a}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+},\;a\in \{0,1\})} 의 꼴이다. 만약 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 의 소인수 분해가 n = ∏ i p n i {\displaystyle n=\prod _{i}p^{n_{i}}} 라면, a , b ∈ Q {\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} } 에 대하여 a ≡ b ( mod ( n ) ) ⟺ ∃ m , k : m ( a − b ) ∈ n Z , m ∤ n {\displaystyle a\equiv b{\pmod {(n)}}\iff \exists m,k\colon m(a-b)\in n\mathbb {Z} ,\qquad m\nmid n} 이며, a ≡ b ( mod ( n ) ∞ ) ⟺ ( a / b > 1 ∧ a ≡ b ( mod ( n ) ) ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {(n)\infty }}\iff \left(a/b>1\land a\equiv b{\pmod {(n)}}\right)} 이다. 아라켈로프 인자의 개념은 수렌 유리예비치 아라켈로프가 도입하였다. 이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙입니다. K {\displaystyle K} 가 대수적 수체이며, L / K {\displaystyle L/K} 를 유한 아벨 확대로 가정하면, S {\displaystyle S} 가 L / K {\displaystyle L/K} 에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, S {\displaystyle S} 에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 I K S {\displaystyle I_{K}^{S}} 에서 갈루아 군 Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다. I K S → Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)} 아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스 c {\displaystyle c} 에 대하여, 군 준동형의 핵은 다음과 같은 형태이다. i ( K m , 1 ) N L / K ⁡ ( I L m ) {\displaystyle i(K_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathfrak {m}})} 여기서 K m , 1 {\displaystyle K_{{\mathfrak {m}},1}} 은 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대한 반직선이며, N L / K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}} 는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 L / K {\displaystyle L/K} 의 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 여기서, 최소한의 L / K {\displaystyle L/K} 정의모듈러스를 L / K {\displaystyle L/K} 의 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  Lang, Serge (1988). 《Introduction to Arakelov theory》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-96793-1. MR 0969124. Zbl 0667.14001.  Аракелов, Сурен Ю. (1974). “Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности”. 《Известия Академии наук СССР. Серия математическая》 (러시아어) 38 (6): 1179–1192. ISSN 0373-2436. MR 472815.  영역 Arakelov, Suren Yu. (1974). “Intersection theory of divisors on an arithmetic surface”. 《Mathematics of the USSR-Izvestiya》 (영어) 8 (6): 1167–1180. doi:10.1070/IM1974v008n06ABEH002141. ISSN 0025-5726. Zbl 0355.14002.  Arakelov, Suren J. 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