연속 원순서 집합

순서론에서 연속 원순서 집합(連續原順序集合, 영어: continuous preordered set)은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 연속 격자(連續格子, 영어: continuous lattice)로 불린다. 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 두 원소 a , b ∈ P {\displaystyle a,b\in P} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 임의의 상향 집합 D ⊆ P {\displaystyle D\subseteq P} 에 대하여, 만약 b ≲ ⋁ D {\displaystyle b\lesssim \bigvee D} 라면, a ≲ d {\displaystyle a\lesssim d} 인 d ∈ D {\displaystyle d\in D} 가 존재한다. 임의의 순서 아이디얼 I ⊆ P {\displaystyle I\subseteq P} 에 대하여, 만약 b ≲ ⋁ I {\displaystyle b\lesssim \bigvee I} 라면, a ∈ I {\displaystyle a\in I} 이다. 이 경우, a {\displaystyle a} 가 b {\displaystyle b} 를 근사한다(영어: a {\displaystyle a} approximates b {\displaystyle b} ) 또는 a {\displaystyle a} 가 b {\displaystyle b} 보다 훨씬 아래(영어: a {\displaystyle a} is way below b {\displaystyle b} )라고 하며, 이를 a ≪ b {\displaystyle a\ll b} 로 적는다. 근사 관계 ≪ {\displaystyle \ll } 는 추이적 관계이며, P {\displaystyle P} 가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. ≪ {\displaystyle \ll } 가 원순서인 것은 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 오름 사슬 조건과 동치이다.:52, Examples I-1.3(4) 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 임의의 원소 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, ⇑ ⁡ a = { b ∈ L : a ≪ b } {\displaystyle \mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\colon a\ll b\}} ⇓ ⁡ a = { b ∈ L : b ≪ a } {\displaystyle \mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\colon b\ll a\}} 라고 하자. 이는 각각 P {\displaystyle P} 의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 P {\displaystyle P} 가 이음 반격자라면, ⇓ ⁡ a {\displaystyle \mathop {\Downarrow } a} 는 상향 집합이다. 그러나 P {\displaystyle P} 가 만남 반격자이더라도 ⇑ ⁡ a {\displaystyle \mathop {\Uparrow } a} 는 하향 집합이 아닐 수 있다. 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 가 다음 조건을 만족시키면, 연속 원순서 집합이라고 한다. 임의의 a ∈ P {\displaystyle a\in P} 에 대하여, ⇓ ⁡ a {\displaystyle \mathop {\Downarrow } a} 는 상향 집합이며, a = ⋁ ⇓ ⁡ a {\displaystyle a=\bigvee \mathop {\Downarrow } a} 이다. 연속 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 두 원소 a , b ∈ P {\displaystyle a,b\in P} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a ≪ b {\displaystyle a\ll b} 임의의 상향 집합 D ⊆ P {\displaystyle D\subseteq P} 에 대하여, 만약 b ≲ ⋁ D {\displaystyle b\lesssim \bigvee D} 라면, a ≪ d {\displaystyle a\ll d} 인 d ∈ D {\displaystyle d\in D} 가 존재한다. 증명: 둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, a ≪ b {\displaystyle a\ll b} 이며, D ⊆ P {\displaystyle D\subseteq P} 가 상향 집합이며, b ≲ ⋁ D {\displaystyle b\lesssim \bigvee D} 라고 하자. I = ⋃ d ∈ D ⇓ ⁡ d {\displaystyle I=\bigcup _{d\in D}\mathop {\Downarrow } d} 를 생각하자. P {\displaystyle P} 가 연속 원순서 집합이므로, I {\displaystyle I} 는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서 I {\displaystyle I} 역시 순서 아이디얼이다. 또한, ⋁ I ≳ ⋁ d ∈ D ⋁ ⇓ ⁡ d = ⋁ D ≳ b {\displaystyle \bigvee I\gtrsim \bigvee _{d\in D}\bigvee \mathop {\Downarrow } d=\bigvee D\gtrsim b} 이다. 따라서, a ∈ I {\displaystyle a\in I} 이다. 즉, a ≪ d {\displaystyle a\ll d} 인 d ∈ D {\displaystyle d\in D} 가 존재한다. 이를 사용하여, 연속 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 의 근사 관계 ≪ {\displaystyle \ll } 가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다. ∀ a , b ∈ P : a ≪ b ⟹ ( ∃ c ∈ P : a ≪ c ≪ b ) {\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\ll b\implies (\exists c\in P\colon a\ll c\ll b)} 증명: 위 명제에서, D = ⇓ ⁡ b {\displaystyle D=\mathop {\Downarrow } b} 를 취한다. dcpo ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 의 두 원소 a , b ∈ P {\displaystyle a,b\in P} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:61, Proposition I-1.19(i) a ≪ b {\displaystyle a\ll b} 이며, a ≠ b {\displaystyle a\neq b} 임의의 상향 집합 D ⊆ P {\displaystyle D\subseteq P} 에 대하여, 만약 b ≲ ⋁ D {\displaystyle b\lesssim \bigvee D} 라면, a ≪ d {\displaystyle a\ll d} 이며 a ≠ d {\displaystyle a\neq d} 인 d ∈ D {\displaystyle d\in D} 가 존재한다. 따라서, 만약 P {\displaystyle P} 가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.:61, Proposition I-1.19(ii) ∀ a , b ∈ P : a ≪ b ∧ a ≠ b ⟹ ( ∃ c ∈ P : a ≪ c ≪ b ∧ a ≠ c ) {\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\ll b\land a\neq b\implies (\exists c\in P\colon a\ll c\ll b\land a\neq c)} dcpo ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:57, Theorem I-1.10 연속 원순서 집합이다. 순서 아이디얼의 상한 함수 ⋁ : Ideal ⁡ ( P ) → P {\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P} 는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 Ideal ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (P)} 는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다. 구체적으로, 연속 dcpo ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 에 대하여, ⋁ : Ideal ⁡ ( P ) → P {\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P} 의 왼쪽 수반 함자는 ⇓ : P → Ideal ⁡ ( P ) {\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)} ⇓ ⊣ ⋁ {\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\dashv {\mathord {\bigvee }}} 이다. 증명: 임의의 연속 dcpo ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다. 임의의 a ∈ P {\displaystyle a\in P} 에 대하여, a ≤ ⋁ ⇓ ⁡ a {\displaystyle a\leq \bigvee \mathop {\Downarrow } a} 임의의 순서 아이디얼 I ∈ Ideal ⁡ ( P ) {\displaystyle I\in \operatorname {Ideal} (P)} 에 대하여, ⇓ ⁡ ⋁ I ⊆ I {\displaystyle \mathop {\Downarrow } \bigvee I\subseteq I} 이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다. 반대로, ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 가 dcpo이며, f : P → Ideal ⁡ ( P ) {\displaystyle f\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)} 가 ⋁ : Ideal ⁡ ( P ) → P {\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P} 의 왼쪽 수반 함자이며, a ∈ P {\displaystyle a\in P} 라고 하자. 그렇다면, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 a ≤ ⋁ f ( a ) {\displaystyle a\leq \bigvee f(a)} 인 최소의 P {\displaystyle P} 의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 ≪ {\displaystyle \ll } 의 정의에 따라, f ( a ) = ⇓ ⁡ a {\displaystyle f(a)=\mathop {\Downarrow } a} 이다. 따라서, P {\displaystyle P} 는 연속 원순서 집합이다. 완비 격자 L {\displaystyle L} 의 두 원소 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a ≪ b {\displaystyle a\ll b} 임의의 부분 집합 A ⊆ P {\displaystyle A\subseteq P} 에 대하여, 만약 b ≤ ⋁ A {\displaystyle b\leq \bigvee A} 라면, a ≤ ⋁ F {\displaystyle a\leq \bigvee F} 인 유한 부분 집합 F ⊆ A {\displaystyle F\subseteq A} 가 존재한다. 완비 격자 L {\displaystyle L} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 연속 원순서 집합이다. 순서 아이디얼의 상한 함수 ⋁ : Ideal ⁡ ( L ) → L {\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L} 은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 Ideal ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)} 은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.:Theorem I-1.10 임의의 상향 집합들의 집합 D ⊆ P ( L ) {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)} 에 대하여, ⋀ D ∈ D ⋁ D = ⋁ f ∈ ∏ D ⋀ D ∈ D f ( D ) {\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)} 두 원소 격자 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 r : { 0 , 1 } κ → { 0 , 1 } κ {\displaystyle r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }} 의 상 r ( { 0 , 1 } κ ) {\displaystyle r(\{0,1\}^{\kappa })} 과 동형이다.:56, Theorem 44 증명 (두 번째 조건): 연속 완비 격자 L {\displaystyle L} 이 주어졌다고 하자. I ⊆ Ideal ⁡ ( L ) {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Ideal} (L)} 이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자. ⋁ ⋀ I = ⋀ I ∈ I ⋁ I {\displaystyle \bigvee \bigwedge {\mathcal {I}}=\bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}\bigvee I} 를 보이면 족하다. ≤ {\displaystyle \leq } 은 자명하다. ⇓ ⊣ ⋁ {\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\dashv {\mathord {\bigvee }}} 이므로, 반대 방향의 부등식은 ⋀ I ⊇ ⇓ ⁡ ⋀ I ∈ I ⋁ I {\displaystyle \bigwedge {\mathcal {I}}\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}\bigvee I} 를 보이면 족하다. 이는 임의의 I ∈ I {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}} 에 대하여 I ⊇ ⇓ ⁡ ⋁ I ⊇ ⇓ ⁡ ⋀ J ∈ I ⋁ J {\displaystyle I\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigvee I\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigwedge _{J\in {\mathcal {I}}}\bigvee J} 이므로 참이다. 반대로, L {\displaystyle L} 이 완비 격자이며, ⋁ : Ideal ⁡ ( L ) → L {\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L} 이 임의의 하한을 보존한다고 하자. ⋁ : Ideal ⁡ ( L ) → L {\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L} 의 왼쪽 수반 함자 f : L → Ideal ⁡ ( L ) {\displaystyle f\colon L\to \operatorname {Ideal} (L)} 를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자. f : a ↦ ⋀ { I ∈ Ideal ⁡ ( L ) : a ≤ ⋁ I } {\displaystyle f\colon a\mapsto \bigwedge \left\{I\in \operatorname {Ideal} (L)\colon a\leq \bigvee I\right\}} 이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다. 임의의 I ∈ Ideal ⁡ ( L ) {\displaystyle I\in \operatorname {Ideal} (L)} 에 대하여, f ( ⋁ I ) ⊆ I {\displaystyle f\left(\bigvee I\right)\subseteq I} 이는 I ∈ { J ∈ Ideal ⁡ ( L ) : ⋁ I ≤ ⋁ J } {\displaystyle I\in \left\{J\in \operatorname {Ideal} (L)\colon \bigvee I\leq \bigvee J\right\}} 이므로 참이다. 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, a ≤ ⋁ f ( a ) {\displaystyle a\leq \bigvee f(a)} ⋁ : Ideal ⁡ ( L ) → L {\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L} 이 하한을 보존하므로, ⋁ f ( a ) = ⋀ I ∈ I a ≤ ⋁ I ⋁ I ≥ a {\displaystyle \bigvee f(a)=\bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}^{a\leq \bigvee I}\bigvee I\geq a} 이다. 증명 (세 번째 조건): 연속 완비 격자 L {\displaystyle L} 이 주어졌다고 하자. D ⊆ P ( L ) {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)} 가 임의의 L {\displaystyle L} 의 상향 집합들의 집합이라고 하자. ⋀ D ∈ D ⋁ D ≥ ⋁ f ∈ ∏ D ⋀ D ∈ D f ( D ) {\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D\geq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)} 은 자명하다. 따라서, 임의의 a ≪ ⋀ D ∈ D ⋁ D {\displaystyle a\ll \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D} 에 대하여, a ≤ ⋁ f ∈ ∏ D ⋀ D ∈ D f ( D ) {\displaystyle a\leq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)} 임을 보이면 족하다. 임의의 D ∈ D {\displaystyle D\in {\mathcal {D}}} 에 대하여, a ≪ ⋁ D {\displaystyle a\ll \bigvee D} 이므로, a ≤ g ( D ) {\displaystyle a\leq g(D)} 인 g ( D ) ∈ D {\displaystyle g(D)\in D} 가 존재한다. 따라서, a ≤ ⋀ D ∈ D g ( D ) ≤ ⋁ f ∈ ∏ D ⋀ D ∈ D f ( D ) {\displaystyle a\leq \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}g(D)\leq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)} 이다. 반대로, L {\displaystyle L} 이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 D ⊆ P ( L ) {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)} 에 대하여, ⋀ D ∈ D ⋁ D = ⋁ f ∈ ∏ D ⋀ D ∈ D f ( D ) {\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)} 라고 하자. 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, 자명하게 ⋁ ⇓ ⁡ a ≤ a {\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } a\leq a} 이다. 따라서 ⋁ ⇓ ⁡ a ≥ a {\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } a\geq a} 임을 보이면 족하다. D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 D ⊆ L {\displaystyle D\subseteq L} 들의 집합으로 취하자. D {\displaystyle D} 는 상향 집합이다. a ≤ ⋁ D {\displaystyle a\leq \bigvee D} 그렇다면, D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 의 정의에 따라, 임의의 f ∈ ∏ D {\displaystyle f\in \prod {\mathcal {D}}} 에 대하여, ⋀ D ∈ D f ( D ) ≪ a {\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)\ll a} 이다. 따라서, a ≤ ⋀ D ∈ D ⋁ D = ⋁ f ∈ ∏ D ⋀ f ( D ) ≤ ⋁ ⇓ ⁡ a {\displaystyle a\leq \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge f(D)\leq \bigvee \mathop {\Downarrow } a} 이다. 연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 분배 격자이다. 완비 헤이팅 대수이다. 증명: 모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, L {\displaystyle L} 이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 및 부분 집합 S ⊆ L {\displaystyle S\subseteq L} 에 대하여, a ∧ ⋁ S = ⋁ s ∈ S a ∧ s {\displaystyle a\wedge \bigvee S=\bigvee _{s\in S}a\wedge s} 임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서, D = { { a } , { ⋁ S ′ : S ′ ⊆ S , | S ′ | < ℵ 0 } } {\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{\{a\},\left\{\bigvee S'\colon S'\subseteq S,\;|S'|<\aleph _{0}\right\}\right\}} 을 취하자. (두 번째 집합이 상향 집합임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, L {\displaystyle L} 이 연속 완비 격자이자 분배 격자이므로, 다음이 성립한다. a ∧ ⋁ S = a ∧ ⋁ S ′ ⊆ S | S ′ | < ℵ 0 ⋁ S ′ = ⋁ S ′ ⊆ S | S ′ | < ℵ 0 a ∧ ⋁ S ′ = ⋁ S ′ ⊆ S | S ′ | < ℵ 0 ⋁ s ∈ S ′ a ∧ s = ⋁ s ∈ S a ∧ s {\displaystyle a\wedge \bigvee S=a\wedge \bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}\bigvee S'=\bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}a\wedge \bigvee S'=\bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}\bigvee _{s\in S'}a\wedge s=\bigvee _{s\in S}a\wedge s} 모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다. 유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo ( P i , ≤ ) i ∈ I {\displaystyle (P_{i},\leq )_{i\in I}} 들의 직접곱 ∏ i ∈ I P i {\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}P_{i}} 는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 a , b ∈ ∏ i ∈ I P i {\displaystyle \textstyle a,b\in \prod _{i\in I}P_{i}} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. a ≪ b {\displaystyle a\ll b} 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 a i ≪ b i {\displaystyle a_{i}\ll b_{i}} 이며, { i ∈ I : a i ≠ ⊥ } {\displaystyle \{i\in I\colon a_{i}\neq \bot \}} 는 유한 집합이다. 연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다. 연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.:56, Theorem 45 모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 실수 폐구간 [ 0 , 1 ] ⊆ R {\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} } 은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의 x , y ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x,y\in [0,1]} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. x ≪ y {\displaystyle x\ll y} x = 0 {\displaystyle x=0} 이거나, x < y {\displaystyle x<y} 따라서, 항상 ⋁ ⇓ ⁡ x = ⋁ ( [ 0 , x ) ∪ { 0 } ) = x {\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } x=\bigvee ([0,x)\cup \{0\})=x} 이며, [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 은 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 L {\displaystyle L} 의 임의의 두 원소 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a ≪ b {\displaystyle a\ll b} 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다. a = b = ⊥ {\displaystyle a=b=\bot } a < b {\displaystyle a<b} a = b > ⊥ {\displaystyle a=b>\bot } 이며, a = b {\displaystyle a=b} 는 L {\displaystyle L} 의 어떤 도약 ( c , a ) {\displaystyle (c,a)} 의 두 번째 성분이다. 따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, 멱집합 ( P ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 A ≪ B {\displaystyle A\ll B} 는 A {\displaystyle A} 가 B {\displaystyle B} 의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, ( P ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 는 연속 완비 격자를 이룬다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 를 이룬다. 임의의 두 열린집합 U , V ∈ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle U,V\in \operatorname {Open} (X)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. U ≪ V {\displaystyle U\ll V} 임의의 열린 V {\displaystyle V} -덮개는 유한 부분 U {\displaystyle U} -덮개를 갖는다. U ⊆ V {\displaystyle U\subseteq V} 이며, U {\displaystyle U} 를 원소로 갖는 X {\displaystyle X} 위의 임의의 극대 필터는 V {\displaystyle V} 속의 점으로 수렴한다. 증명: Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, U ≪ V {\displaystyle U\ll V} 이며, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 X {\displaystyle X} 위의 극대 필터이며, U ∈ F {\displaystyle U\in {\mathcal {F}}} 라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 가 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, W x ∉ F {\displaystyle W_{x}\not \in {\mathcal {F}}} 인 x {\displaystyle x} 의 근방 W x {\displaystyle W_{x}} 가 존재한다. F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 극대 필터이므로, W x ∩ F x = ∅ {\displaystyle W_{x}\cap F_{x}=\varnothing } 인 F x ∈ F {\displaystyle F_{x}\in {\mathcal {F}}} 가 존재한다. 그렇다면, { W x : x ∈ V } {\displaystyle \{W_{x}\colon x\in V\}} 는 V {\displaystyle V} -덮개이므로, 유한 부분 U {\displaystyle U} -덮개 { W x : x ∈ S } {\displaystyle \{W_{x}\colon x\in S\}} 을 갖는다. 따라서, ∅ = ⋃ x ∈ S W x ∩ ⋂ x ∈ S F x ∈ F {\displaystyle \varnothing =\bigcup _{x\in S}W_{x}\cap \bigcap _{x\in S}F_{x}\in {\mathcal {F}}} 이며, 이는 모순이다. 이제, U ⊆ V {\displaystyle U\subseteq V} 이며, U {\displaystyle U} 를 원소로 갖는 X {\displaystyle X} 위의 임의의 극대 필터는 V {\displaystyle V} 속의 점으로 수렴한다고 하자. D ⊆ Open ⁡ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \operatorname {Open} (X)} 가 열린집합들의 상향 집합이며, V ⊆ ⋃ D {\displaystyle V\subseteq \bigcup {\mathcal {D}}} 라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 D ∈ D {\displaystyle D\in {\mathcal {D}}} 에 대하여, U ⊈ D {\displaystyle U\not \subseteq D} 라고 하자. 그렇다면, { U ∖ D : D ∈ D } {\displaystyle \{U\setminus D\colon D\in {\mathcal {D}}\}} 는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터 F 0 = ↑ ⁡ { U ∖ D : D ∈ D } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\mathop {\uparrow } \{U\setminus D\colon D\in {\mathcal {D}}\}} 를 생각하자. F 0 ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}} 인 X {\displaystyle X} 위의 극대 필터 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 취하자. D 0 ∈ D {\displaystyle D_{0}\in {\mathcal {D}}} 를 고정하자. 그렇다면, 임의의 F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, F ∩ U ⊇ F ∩ U ∖ D 0 ≠ ∅ {\displaystyle F\cap U\supseteq F\cap U\setminus D_{0}\neq \varnothing } 이다. 따라서 U ∈ F {\displaystyle U\in {\mathcal {F}}} 이며, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 어떤 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 로 수렴한다. x ∈ D {\displaystyle x\in D} 인 D ∈ D {\displaystyle D\in {\mathcal {D}}} 를 취하자. 그렇다면, D ∈ F {\displaystyle D\in {\mathcal {F}}} 이므로, ∅ = D ∩ U ∖ D ∈ F {\displaystyle \varnothing =D\cap U\setminus D\in {\mathcal {F}}} 이다. 이는 모순이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다. U ⊆ C ⊆ V {\displaystyle U\subseteq C\subseteq V} 인 콤팩트 집합 C {\displaystyle C} 가 존재한다. 따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 의 열린집합 격자 Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X {\displaystyle X} 를 핵콤팩트 공간(영어: core-compact space)이라고 한다. Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 는 연속 완비 격자이다. X {\displaystyle X} 의 차분화는 국소 콤팩트 공간이다. 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서, 임의의 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 에 대하여, 지수 대상 Y X {\displaystyle Y^{X}} 가 존재한다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 국소 콤팩트 공간 (모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ 쇼케 공간 ⇒ 베르 공간 다음과 같은 부분 순서 집합 { ⊥ , ⊤ , a 1 , a 2 , a 3 , … , b } {\displaystyle \{\bot ,\top ,a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc ,b\}} 을 생각하자. ⊥ < a 1 < a 2 < a 3 < ⋯ < ⊤ {\displaystyle \bot <a_{1}<a_{2}<a_{3}<\dotsb <\top } ⊥ < b < ⊤ {\displaystyle \bot <b<\top } 이는 완비 격자를 이룬다. { ⊥ , a 1 , a 2 , a 3 , … } {\displaystyle \{\bot ,a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc \}} 가 상향 집합이므로, b ≪̸ b {\displaystyle b\not \ll b} 임을 알 수 있다. 따라서 ⋁ ⇓ ⁡ b = ⋁ { ⊥ } = ⊥ ≠ b {\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } b=\bigvee \{\bot \}=\bot \neq b} 이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다. 모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 B {\displaystyle B} 의 두 원소 a , b ∈ B {\displaystyle a,b\in B} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a ≪ b {\displaystyle a\ll b} a = ⊥ {\displaystyle a=\bot } 환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 Ideal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)} 를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 I , J ∈ Ideal ⁡ ( R ) {\displaystyle I,J\in \operatorname {Ideal} (R)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. I ≪ J {\displaystyle I\ll J} I ⊆ K ⊆ J {\displaystyle I\subseteq K\subseteq J} 인 유한 생성 아이디얼 K ⊆ R {\displaystyle K\subseteq R} 가 존재한다. 모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, Ideal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)} 는 연속 완비 격자를 이룬다. Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.  Grätzer, George (2011). 《Lattice Theory: Foundation》 (영어). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.  “Continuous lattice”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Core-compact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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