판아우벌 정리

판아우벌 정리는 네덜란드 수학자 헨리퀴스 휘베르튀스 판아우벌(Henricus Hubertus van Aubel)의 이름이 붙은 정리이다. 삼각형 ABC (△ABC)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을 A 1 {\displaystyle A_{1}} , B 1 {\displaystyle B_{1}} , C 1 {\displaystyle C_{1}} 이라고 할 때 ( A 1 ∈ B C ¯ {\displaystyle A_{1}\in {\overline {BC}}} , B 1 ∈ A C ¯ {\displaystyle B_{1}\in {\overline {AC}}} , C 1 ∈ A B ¯ {\displaystyle C_{1}\in {\overline {AB}}} ) 다음과 같은 식이 성립하는데, A P P A 1 = A C 1 C 1 B + A B 1 B 1 C {\displaystyle {\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}} 이를 판아우벌 정리라고 한다. P △ X Y Z {\displaystyle P_{\triangle XYZ}} 는 삼각형 X Y Z {\displaystyle XYZ} 의 면적을 뜻한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 삼각형 P B C {\displaystyle PBC} 는 동일한 선분 B C {\displaystyle BC} 를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서 A A 1 P A 1 = P △ A B C P △ B C P {\displaystyle {\frac {AA_{1}}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}}} 가 성립하는데 이것은 A P P A 1 = P △ A P C + P △ A P B P △ B C P {\displaystyle {\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}} 을 내포한다. 또 삼각형 A C C 1 {\displaystyle ACC_{1}} 과 삼각형 B C C 1 {\displaystyle BCC_{1}} 을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 C C 1 {\displaystyle CC_{1}} 을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서 A C 1 C 1 B = P △ A C C 1 P △ B C C 1 {\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACC_{1}}}{P_{\triangle BCC_{1}}}}} 가 성립한다. 위와 동일한 방법으로 A C 1 C 1 B = P △ A C 1 P P △ B C 1 P {\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}}} 을 얻을 수 있다. 따라서 A C 1 C 1 B = P △ A C P + P △ A C 1 P P △ B C P + P △ B C 1 P = P △ A C 1 P P △ B C 1 P {\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_{1}P}}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}}} 위 식을 정리하면, (i)   A C 1 C 1 B = P △ A C P P △ B C P {\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}}{P_{\triangle BCP}}}} 이와 같은 방법으로 동일하게 구하면 (ii)   A B 1 B 1 C = P △ A P B P △ B C P {\displaystyle {\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}} (i)식과 (ii)식을 각각 더하면 A B 1 B 1 C + A C 1 C 1 B = P △ A P C + P △ A P B P △ B C P = A P P A 1 {\displaystyle {\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}={\frac {AP}{PA_{1}}}} 판아우벌 정리를 증명할 수 있다. 판아우벌 정리는 메넬라오스 정리와 체바 정리를 이용하여 증명할 수 있다. 삼각형 A B A 1 {\displaystyle ABA_{1}} 과 직선 C C 1 {\displaystyle CC_{1}} 에 대해서 메넬라오스 정리가 성립한다. A C 1 C 1 B ⋅ B C C A 1 ⋅ A 1 P P A = 1 {\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BC}{CA_{1}}}\cdot {\frac {A_{1}P}{PA}}=1} 이 식을 변형하면, P A A 1 P = A C 1 C 1 B ⋅ B C C A 1 = A C 1 C 1 B ⋅ B A 1 + C A 1 C A 1 = A C 1 C 1 B ⋅ ( B A 1 C A 1 + C A 1 C A 1 ) {\displaystyle {\frac {PA}{A_{1}P}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BC}{CA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}+CA_{1}}{CA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot ({\frac {BA_{1}}{CA_{1}}}+{\frac {CA_{1}}{CA_{1}}})} 따라서, (i) P A A 1 P = A C 1 C 1 B ⋅ B A 1 C A 1 + A C 1 C 1 B {\displaystyle {\frac {PA}{A_{1}P}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{CA_{1}}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에서 체바 정리가 성립한다. A C 1 C 1 B ⋅ B A 1 A 1 C ⋅ C B 1 B 1 A = 1 {\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}=1} 따라서, (ii) B 1 A C B 1 = A C 1 C 1 B ⋅ B A 1 A 1 C {\displaystyle {\frac {B_{1}A}{CB_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}} (ii)식을 (i)식에 대입하면 P A A 1 P = B 1 A C B 1 + A C 1 C 1 B {\displaystyle {\frac {PA}{A_{1}P}}={\frac {B_{1}A}{CB_{1}}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}} 판아우벌 정리는 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다. 다 빈치 피카소 “Theorem of Ceva, Menelaus and Van Aubel” (PDF). 2009년 9월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2010년 1월 24일에 확인함.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 판아우벌 정리 Van Aubel's Theorem: an interactive JavaSketch of the figure. Weisstein, Eric Wolfgang. “van Aubel's Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Van Aubel's Theorem for Quadrilaterals and Van Aubel's Theorem for Triangles by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project. Van Aubel's Theorem and some generalizations at Dynamic Geometry Sketches