커 계량

커 계량(Kerr計量, 영어: Kerr metric)은 회전하는 블랙홀을 나타내는, 아인슈타인 방정식의 해다. 더 일반적인 커-뉴먼 계량의 전하를 띠지 않는 경우다. 커 블랙홀의 사건 지평선의 바깥쪽에는 회전의 영향으로 인해 작용권이라는 공간이 형성된다. 작용권보다 먼 곳에 있는 관찰자의 시점에서 보면 작용권의 표면에서는 광자가 회전의 역방향으로 방사되어 한 점에 머무르는 것처럼 보이지만, 작용권의 안쪽에서 회전의 반대 방향으로 방사되는 광자는 회전의 순방향으로 끌려가는 것으로 보인다. 중심의 특이점은 고리 모양이다. 편의상 c = 1 {\displaystyle c=1} 로 놓자. 질량이 M = r S / 2 G {\displaystyle M=r_{\text{S}}/2G} , 각운동량이 J = α M {\displaystyle J=\alpha M} 인 커 계량은 보이어-린드퀴스트 좌표계(영어: Boyer–Lindquist coordinates)에서 다음과 같다. d τ 2 = − ( 1 − r S r ρ 2 ) d t 2 + ρ 2 Δ d r 2 + ρ 2 d θ 2 + ( r 2 + α 2 + r S r α 2 ρ 2 sin 2 ⁡ θ ) sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 + 2 r S r α sin 2 ⁡ θ ρ 2 d t d ϕ {\displaystyle d\tau ^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\text{S}}r}{\rho ^{2}}}\right)dt^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}+\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{\text{S}}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+{\frac {2r_{\text{S}}r\alpha \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\,dt\,d\phi } 여기서 r , θ , ϕ {\displaystyle r,\theta ,\phi } 는 구면좌표계, t {\displaystyle t} 는 시간, 그리고 나머지 기호는 다음과 같다. ρ 2 = r 2 + α 2 cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta } Δ = r 2 − r S r + α 2 {\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{S}}r+\alpha ^{2}} . 커 계량은 대수적으로 특별하며, 페트로프 분류의 D형에 속한다. 커 계량은 두 개의 선형독립 킬링 벡터장을 가지며, 이는 보이어-린드퀴스트 좌표계에서 다음과 같다. ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} ∂ ∂ ϕ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}} 이들은 각각 시간 변화 및 블랙홀 회전축에 대한 회전을 나타낸다. 커 계량은 밖부터 안으로의 순서로, 다음과 같은 일련의 구조들을 가진다. 작용권 사건 지평선 코시 지평선 시간꼴 폐곡선 고리 모양의 특이점 지평선 밖에는 작용권이라는 지역이 존재한다. 작용권의 안쪽 경계는 사건 지평선이며, 작용권의 바깥 경계는 다음과 같다. r erg ( θ ) = r S + r S 2 − 4 α 2 cos 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle r_{\text{erg}}(\theta )={\frac {r_{\text{S}}+{\sqrt {r_{\text{S}}^{2}-4\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}} 작용권의 바깥 경계는 g t t ( r , θ ) = 0 {\displaystyle g_{tt}(r,\theta )=0} 의 해로 얻어진다. 작용권 안의 입자는 블랙홀의 회전 방향을 따라서 회전하여야 한다. 이러한 효과를 틀 끌림이라고 한다. 그러나 작용권의 바깥 경계는 사건 지평선이 아니며, 적절한 에너지를 주면 입자는 작용권에서 빠져나올 수 있다. 이 경우, 특수한 경우엔 입자가 탈출할 때 처음에 가졌던 에너지보다 더 많은 에너지를 지니고 탈출할 수 있다. 이를 이용하여 커 블랙홀로부터 에너지를 뽑을 수 있으며, 이러한 과정을 펜로즈 과정(영어: Penrose process)이라고 한다. 커 블랙홀의 사건 지평선은 다음과 같다. r hor = r S + r S 2 − 4 α 2 2 {\displaystyle r_{\text{hor}}={\frac {r_{\text{S}}+{\sqrt {r_{\text{S}}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}} 이는 g r r = ∞ {\displaystyle g_{rr}=\infty } 의 두 해 가운데 더 큰 값이다. (다른 해는 코시 지평선이다.) 사건 지평선은 블랙홀의 경계로 여겨진다. 사건 지평선을 통과하여 블랙홀 속으로 들어간 물체는 다시 블랙홀 밖으로 나올 수 없다. 커 계량에서 특이점 주위에 사건 지평선이 존재하려면 G M 2 c ≥ J {\displaystyle {\frac {GM^{2}}{c}}\geq J} 이어야만 한다. 이 부등식이 포화되는 경우를 극대 블랙홀이라고 한다. 부등식이 성립하지 않는 경우 커 계량은 벌거숭이 특이점이 되고, 우주 검열 가설에 따라서 실재하지 않는다고 추측된다. 관측된 블랙홀들 가운데, GRS 1915+105는 극대 커 블랙홀에 가까운 것으로 추측된다. 커 블랙홀의 코시 지평선은 다음과 같다. r Cauchy = r S − r S 2 − 4 α 2 2 {\displaystyle r_{\text{Cauchy}}={\frac {r_{\text{S}}-{\sqrt {r_{\text{S}}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}} 이는 g r r = ∞ {\displaystyle g_{rr}=\infty } 의 두 해 가운데 더 작은 값이다. (다른 해는 사건 지평선이다.) 코시 지평선은 일반적으로 불안정하므로, 이는 실재 블랙홀에서는 존재하지 않을 것으로 추정된다. 코시 지평선 이내에는 초기 조건 문제가 더 이상 성립하지 못해, 추가 정보 없이는 그 이내에서 일어나는 현상들을 예측할 수 없다. 커 계량의 특이점은 ( r , θ ) = ( 0 , π / 2 ) {\displaystyle (r,\theta )=(0,\pi /2)} 0 ≤ ϕ < 2 π {\displaystyle 0\leq \phi <2\pi } 에 위치하며, 고리 모양이다. 커 계량을 고차원으로 일반화하면, 마이어스-페리 계량(영어: Myers–Perry metric)이라는 계량들을 얻는다. 뉴질랜드의 수학자 로이 커가 1963년에 발견하였다. “The Spin of the Near-Extreme Kerr Black Hole GRS 1915+105”. 《The Astrophysical Journal》 (영어) 652 (1): 518–539. arXiv:astro-ph/0606076. Bibcode:2006ApJ...652..518M. doi:10.1086/508457.  Myers, Robert C. (2012). 〈Myers-Perry black holes〉. 《Black holes in higher dimensions》 (영어). Cambridge University Press. 101–133쪽. arXiv:1111.1903. Bibcode:2011arXiv1111.1903M. doi:10.1017/CBO9781139004176.006. ISBN 978-110701345-2.  Kerr, R.P. (1963년 9월 1일). “Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special matrices”. 《Physical Review Letters》 (영어) 11: 237–238. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237. 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ISSN 0264-9381.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) 일반 상대성 이론 아인슈타인 방정식 블랙홀 슈바르츠실트 계량 슈바르츠실트 블랙홀 커 블랙홀 커-뉴먼 계량 털없음 정리 우주 검열 가설 블랙홀 열역학 “Kerr metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.