귀진 완전열

대수적 위상수학에서 귀진 완전열(Gysin完全列, 영어: Gysin exact sequence)은 초구 올뭉치에 대하여 존재하는, 밑공간과 전체 공간의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열이다. 올이 k {\displaystyle k} 차원 초구(또는 호몰로지 초구)인 세르 올뭉치 S k ↪ E ↠ π B {\displaystyle \mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B} 를 생각하자. 또한, B {\displaystyle B} 가 경로 연결 CW 복합체이며 기본군 π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} 는 코호몰로지 환 H ∙ ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(B)} 위에 자명하게 작용한다고 하자. (이는 세르 스펙트럼 열이 존재하기 위한 충분조건이다.) 이 경우, 초구는 오직 0차 및 k {\displaystyle k} 차 코호몰로지만을 가지므로, 세르 스펙트럼 열의 둘째 쪽은 다음과 같다. E 2 ∙ , ∙ = ⋯ = E k + 1 ∙ , ∙ = | H 0 ⁡ ( B ) H 1 ⁡ ( B ) ⋯ 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ H 0 ⁡ ( B ) H 1 ⁡ ( B ) ⋯ _ {\displaystyle E_{2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{k+1}^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \end{matrix}}}\right.} 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽부터 k + 1 {\displaystyle k+1} 번째 쪽까지는 그대로이며, k + 2 {\displaystyle k+2} 번째 쪽에서 퇴화한다. E k + 2 ∙ , ∙ = ⋯ = E ∞ ∙ , ∙ = | ker ⁡ d k + 1 0 , k ker ⁡ d k + 1 1 , k ⋯ 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ H 0 ⁡ ( B ) H 1 ⁡ ( B ) ⋯ H k ⁡ ( B ) coker ⁡ d k + 1 0 , k coker ⁡ d k + 1 1 , k ⋯ _ {\displaystyle E_{k+2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{\infty }^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\ker d_{k+1}^{0,k}&\ker d_{k+1}^{1,k}&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots &\operatorname {H} ^{k}(B)&\operatorname {coker} d_{k+1}^{0,k}&\operatorname {coker} d_{k+1}^{1,k}&\cdots \end{matrix}}}\right.} 이 스펙트럼 열은 H p + q ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{p+q}(E)} 로 수렴하게 된다. 따라서, H n ⁡ ( E ) F n H n ⁡ ( E ) = ker ⁡ d k + 1 n − k , k {\displaystyle {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}=\ker d_{k+1}^{n-k,k}} F n + 1 H n + 1 ⁡ ( E ) = coker ⁡ d k + 1 n − k , k {\displaystyle F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)=\operatorname {coker} d_{k+1}^{n-k,k}} 가 되고, 완전열 0 → H n ⁡ ( E ) F n H n ⁡ ( E ) → H n − k ⁡ ( B ) → d k + 1 n − k , k H n + 1 ⁡ ( B ) → F n + 1 H n + 1 ⁡ ( E ) → 0 {\displaystyle 0\to {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to 0} 이 존재한다. 이제 이들을 다음과 같이 잇자. ⋯ → H n ⁡ ( E ) ↠ H n ⁡ ( E ) F n H n ⁡ ( E ) → H n − k ⁡ ( B ) → d k + 1 n − k , k H n + 1 ⁡ ( B ) → F n + 1 H n + 1 ⁡ ( E ) ↪ H n + 1 ⁡ ( E ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\twoheadrightarrow {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\hookrightarrow \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots } 이제 H ∙ ⁡ ( E ) / F ∙ H ∙ ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(E)/F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)} 및 F ∙ H ∙ ⁡ ( E ) {\displaystyle F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)} 를 생략하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다. ⋯ → H n ⁡ ( E ) → H n − k ⁡ ( B ) → d k + 1 n − k , k H n + 1 ⁡ ( B ) → H n + 1 ⁡ ( E ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots } 이를 귀진 완전열이라고 한다. 귀진 완전열 ⋯ → H n ⁡ ( E ) → π ∗ H n − k ⁡ ( B ) → e ( E ) ⌣ H n + 1 ⁡ ( B ) → π ∗ H n + 1 ⁡ ( E ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E){\xrightarrow {\pi _{*}}}\operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {e(E)\smile }}\operatorname {H} ^{n+1}(B){\xrightarrow {\pi ^{*}}}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots } 에서 각 준동형은 다음과 같이 해석할 수 있다. e ( E ) ⌣ : H ∙ ⁡ ( B ) → H ∙ + k + 1 ⁡ ( B ) {\displaystyle e(E)\smile \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to \operatorname {H} ^{\bullet +k+1}(B)} 은 초구 올뭉치 E {\displaystyle E} 의 오일러 특성류와의 합곱이다. 구체적으로, S k {\displaystyle \mathbb {S} ^{k}} 올다발 E {\displaystyle E} 가 주어졌다면, 그 연관 다발, 즉 각 올의 (임의의 내적에 대한) 단위 초구가 E {\displaystyle E} 가 되는 k + 1 {\displaystyle k+1} 차원 실수 벡터 다발 E ~ ↠ B {\displaystyle {\tilde {E}}\twoheadrightarrow B} 을 정의할 수 있다. E {\displaystyle E} 의 오일러 특성류는 E ~ {\displaystyle {\tilde {E}}} 의 오일러 특성류 e ( E ~ ) ∈ H k + 1 ⁡ ( B ; Z ) {\displaystyle e({\tilde {E}})\in \operatorname {H} ^{k+1}(B;\mathbb {Z} )} 와 같다. π ∗ : H ∙ ⁡ ( B ) → H ∙ ( E ) {\displaystyle \pi ^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(E)} 는 코호몰로지에 의한 π : E ↠ B {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow B} 의 당김이다. π ∗ : H ∙ + k ⁡ ( E ) → H ∙ ⁡ ( B ) {\displaystyle \pi _{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet +k}(E)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(B)} 는 귀진 준동형(Gysin準同型, 영어: Gysin homomorphism)이라고 한다. 실수 계수 코호몰로지의 경우, 드람 코호몰로지를 사용한다면 이는 E {\displaystyle E} 위의 미분 형식을 E {\displaystyle E} 의 올 S k {\displaystyle \mathbb {S} ^{k}} 에 대하여 적분한 것이다. 스위스의 수학자 베르너 귀진(독일어: Werner Gysin, 1915~?)이 1941년 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이는 귀진이 출판한 유일한 논문이다. Gysin, Werner (1941). “Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (독일어) 14 (1): 61–122. doi:10.1007/BF02565612. ISSN 0010-2571. MR 0006511. Zbl 0026.27003.  Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.  “Gysin sequence”. 《nLab》 (영어).  “Gysin map”. 《nLab》 (영어).