각운동량 연산자

양자역학에서 각운동량 연산자(角運動量演算子, 영어: angular momentum operator)는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 J x {\displaystyle J_{x}} , J y {\displaystyle J_{y}} , J z {\displaystyle J_{z}} 이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량(軌道角運動量, orbital angular momentum)이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량(spin angular momentum)이라고 한다. 각운동량 연산자 J = ( J x , J y , J z ) {\displaystyle \mathbf {J} =(J_{x},J_{y},J_{z})} 는 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 일련의 연산자를 말한다. [ J i , J j ] = ∑ k i ℏ ϵ i j k J k {\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}} . 여기서 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} 는 레비치비타 기호다. 풀어 쓰면 다음과 같다. [ J x , J y ] = i ℏ J z {\displaystyle \left[J_{x},J_{y}\right]=i\hbar J_{z}} [ J y , J z ] = i ℏ J x {\displaystyle \left[J_{y},J_{z}\right]=i\hbar J_{x}} [ J z , J x ] = i ℏ J y {\displaystyle \left[J_{z},J_{x}\right]=i\hbar J_{y}} . 각운동량 성분 사이에는 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 불확정성 원리에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다. 성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환 관계가 성립한다. [ J i , J 2 ] = 0 {\displaystyle \left[J_{i},\mathbf {J} ^{2}\right]=0} . 위 둘 사이에서는 교환 법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환 관계는 수소 원자에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환 관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다. 각운동량에 대하여 다음과 같은 사다리 연산자 J + {\displaystyle J_{+}} , J − {\displaystyle J_{-}} 를 정의할 수 있다. J ± = J x ± i J y {\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}} . 이 두 연산자들은 파동 함수의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다. 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다. J + J − + J − J + = 2 ( J x 2 + J y 2 ) = 2 ( J 2 − J z 2 ) {\displaystyle J_{+}J_{-}+J_{-}J_{+}=2(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})=2(\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2})} J + J − = J 2 − J z 2 + ℏ J z {\displaystyle J_{+}J_{-}=\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}} J − J + = J 2 − J z 2 − ℏ J z {\displaystyle J_{-}J_{+}=\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z}} 이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환 관계로 아래와 같은 관계가 있다. [ J + , J − ] = 2 ℏ J z {\displaystyle \left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}} [ J z , J ± ] = ± ℏ J ± {\displaystyle \left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }} [ J 2 , J ± ] = 0 {\displaystyle \left[\mathbf {J} ^{2},J_{\pm }\right]=0} 위의 교환 관계에 따라, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로 J z {\displaystyle J_{z}} 를 택한다. 자세한 계산은 생략하고 이에 대한 고윳값 방정식은 다음과 같다. J 2 | j , m ⟩ = ℏ 2 j ( j + 1 ) | j , m ⟩ {\displaystyle \mathbf {J} ^{2}|j,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m\rangle } J z | j , m ⟩ = ℏ m | j , m ⟩ {\displaystyle \mathbf {J} _{z}|j,m\rangle =\hbar m|j,m\rangle } . m {\displaystyle m} 은 − j , − j + 1 , − j + 2 , ⋯ , j − 1 , j {\displaystyle -j,-j+1,-j+2,\cdots ,j-1,j} 중 하나의 수를 갖는다. 궤도 각운동량의 경우, j {\displaystyle j} (통상적으로 l {\displaystyle l} 로 표기)는 음이 아닌 정수( 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle 0,1,2,\dots } )이다. 스핀 각운동량이나 궤도 및 스핀 각운동량의 합의 경우에는 j {\displaystyle j} 는 음이 아닌 정수 또는 반정수({lang|half-integer}) j = 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , … {\displaystyle j=0,1/2,1,3/2,2,\dotsc } 이다. 고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의 m {\displaystyle m} 값이 변하게 된다. J + | j , m ⟩ = ℏ ( j − m ) ( j + m + 1 ) | j , m + 1 ⟩ {\displaystyle J_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle } J − | j , m ⟩ = ℏ ( j + m ) ( j − m + 1 ) | j , m − 1 ⟩ {\displaystyle J_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle } 궤도 각운동량 연산자는 고전역학의 각운동량 L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} } 를 양자화한 연산자로, 다음과 같다. L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} } . 여기서, L {\displaystyle \mathbf {L} } : 궤도 각운동량 연산자 r {\displaystyle \mathbf {r} } : 위치 연산자 p = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla } : 운동량 연산자 이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수에 작용하는 에르미트 연산자이다. 위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가 p = h i ∇ {\displaystyle \textstyle \mathbf {p} ={h \over i}\nabla } 가 되므로 궤도 각운동량은 다음과 같이 쓸 수도 있다. L = h i r × ∇ {\displaystyle \mathbf {L} ={h \over i}\mathbf {r} \times \nabla } 정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱 L 2 {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}} 과 데카르트 좌표계에서의 성분에 대한 연산자 L x {\displaystyle L_{x}} , L y {\displaystyle L_{y}} , L z {\displaystyle L_{z}} 가 더 자주 쓰인다. L x = − i ℏ ( y ∂ ∂ z − z ∂ ∂ y ) {\displaystyle L_{x}=-i\hbar (y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y})} L y = − i ℏ ( z ∂ ∂ x − x ∂ ∂ z ) {\displaystyle L_{y}=-i\hbar (z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z})} L z = − i ℏ ( x ∂ ∂ y − y ∂ ∂ x ) {\displaystyle L_{z}=-i\hbar (x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x})} L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}} . 이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다. Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5 각운동량 구면 조화 함수 라플라스-룽게-렌츠 벡터 클렙슈-고르단 계수 퍼지 구