균등 비압축성 오일러 방정식

유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, 영어: homogeneous incompressible Euler's equations)은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다. 리만 계량을 갖춘 경계다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장 p : R × M → R {\displaystyle p\colon \mathbb {R} \times M\to \mathbb {R} } p : ( t , x ) ↦ p ( t , x ) {\displaystyle p\colon (t,x)\mapsto p(t,x)} 과 시간 의존 벡터장 u : R × M → T M {\displaystyle u\colon \mathbb {R} \times M\to \mathrm {T} M} u : ( t , x ) ↦ u ( t , x ) ∈ T x M {\displaystyle u\colon (t,x)\mapsto u(t,x)\in \mathrm {T} _{x}M} 에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.:Example 3:90, §3.2, (3.22) ( ∂ u ∂ t + ∇ u ) u = − ( d p ) ♯ {\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla _{u}\right)u=-(\mathrm {d} p)^{\sharp }} L u vol = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{u}\operatorname {vol} =0} u ↾ ∂ M ∈ Γ ( T ∂ M ) {\displaystyle u\upharpoonright \partial M\in \Gamma (\mathrm {T} \partial _{M})} 여기서 ( − ) ♯ : Ω 1 ( M ) → V e c t ( M ) {\displaystyle (-)^{\sharp }\colon \Omega ^{1}(M)\to {\mathfrak {Vect}}(M)} 은 음악 동형의 하나이며, 1차 미분 형식을 벡터장으로 대응시킨다. 즉, ( d p ) ♯ {\displaystyle (\mathrm {d} p)^{\sharp }} 는 스칼라장 p {\displaystyle p} 의 기울기 벡터장이다. 이 연산을 정의하려면 리만 계량이 필요하다. vol {\displaystyle \operatorname {vol} } 은 리만 계량 g {\displaystyle g} 로 정의된 부피 형식이다. (만약 M {\displaystyle M} 이 비가향 다양체라도 이는 국소적으로 정의되며, 방향은 중요하지 않다.) L u {\displaystyle {\mathcal {L}}_{u}} 는 (국소적으로 정의된 미분 형식의) 리 미분이다. 방정식 ∂ L u vol = 0 {\displaystyle \partial L_{u}\operatorname {vol} =0} 은 벡터장 u {\displaystyle u} 의 발산이 0임을 뜻한다. ∂ M {\displaystyle \partial M} 은 경계다양체 M {\displaystyle M} 의 경계이다. T ∂ M {\displaystyle \mathrm {T} \partial M} 은 경계 ∂ M {\displaystyle \partial M} 의 접다발이다. Γ ( T ∂ M ) {\displaystyle \Gamma (\mathrm {T} \partial M)} 은 그 단면의 집합이며, 이는 M {\displaystyle M} 의 경계에 평행한 접벡터들로 구성된다. u ↾ ∂ M ∈ Γ ( T ∂ M ) {\displaystyle u\upharpoonright \partial M\in \Gamma (\mathrm {T} \partial M)} 은 경계다양체 M {\displaystyle M} 위에 정의된 벡터장 u {\displaystyle u} 가 M {\displaystyle M} 의 경계 ∂ M {\displaystyle \partial M} 에서 경계와 평행함을 뜻한다. p {\displaystyle p} 는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 p {\displaystyle p} 의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 p 0 {\displaystyle p_{0}} 에 대하여 p ( t , x ) ↦ p ( t , x ) + p 0 {\displaystyle p(t,x)\mapsto p(t,x)+p_{0}} 와 같이 치환하더라도 v {\displaystyle v} 의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 v {\displaystyle v} 가 주어지면), p {\displaystyle p} 는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다. 이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다. 물리학에서는 보통 압력 p ( t , x ) {\displaystyle p(t,x)} 를 중력 퍼텐셜 ϕ {\displaystyle \phi } 와 질량당 일 w {\displaystyle w} 로 구분한다. p ( t , x ) = ϕ ( t , x ) + w ( t , x ) {\displaystyle p(t,x)=\phi (t,x)+w(t,x)} 즉, − ( d p ) ♯ = − ( d w ) ♯ + g {\displaystyle -(\mathrm {d} p)^{\sharp }=-(\mathrm {d} w)^{\sharp }+g} 이다. 여기서 g = − ( d ϕ ) ♯ {\displaystyle g=-(\mathrm {d} \phi )^{\sharp }} 는 중력 퍼텐셜 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대응하는 중력장이다. 오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.:90, Remark Ⅱ.3.6 구체적으로, ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고, M {\displaystyle M} 의 자기 미분 동형 f : M → M {\displaystyle f\colon M\to M} f ( ∂ M ) → ( ∂ M ) {\displaystyle f(\partial M)\to (\partial M)} 들의 공간 Diff ⁡ ( M ) = C ∞ ( M , M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)={\mathcal {C}}^{\infty }(M,M)} 을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는 M {\displaystyle M} 위의 벡터장의 리 대수 V e c t ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {Vect}}(M)} 이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터 C ∞ ( M , M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,M)} 위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다. Diff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)} 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군 SDiff ⁡ ( M ) ⊆ Diff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)\subseteq \operatorname {Diff} (M)} SDiff ⁡ ( M ) = { f ∈ Diff ⁡ ( M ) : f ∗ | vol | = | vol | } {\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)=\{f\in \operatorname {Diff} (M)\colon f^{*}\left|\operatorname {vol} \right|=\left|\operatorname {vol} \right|\}} 이다. 여기서 | vol | = det g d dim ⁡ M x {\displaystyle \left|\operatorname {vol} \right|={\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} ^{\dim M}x} 은 리만 계량 g {\displaystyle g} 로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는 S V e c t ( M ) = { u ∈ V e c t ( M ) : L u | vol | = | vol | , u ↾ ∂ M ∈ V e c t ( ∂ M ) } {\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)=\{u\in {\mathfrak {Vect}}(M)\colon {\mathcal {L}}_{u}\left|\operatorname {vol} \right|=\left|\operatorname {vol} \right|,\;u\upharpoonright \partial M\in {\mathfrak {Vect}}(\partial M)\}} 이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다. S V e c t ( M ) ∗ ≅ Ω 1 ( M ) / d Ω 0 ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)^{*}\cong \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)} 여기서 Ω i ( M ) {\displaystyle \Omega ^{i}(M)} 는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간 Ω 1 ( M ) / d Ω 0 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)} 의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다. 이제, S V e c t ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)} 위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다. ⟨ v | v ⟩ = 1 2 ∫ M g ( v , v ) | vol | {\displaystyle \langle v|v\rangle ={\frac {1}{2}}\int _{M}g(v,v)\,\left|\operatorname {vol} \right|} 이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군 SDiff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)} 위의 리만 계량을 정의한다. 이 경우, 오일러 방정식은 SDiff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)} 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 u {\displaystyle u} 가 주어졌을 때, ϕ ( 0 , x ) = x {\displaystyle \phi (0,x)=x} ∂ ∂ t ϕ ( t , x ) = u ( t , x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\phi (t,x)=u(t,x)} 를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 x {\displaystyle x} 였던 유체 입자의, 시각 t {\displaystyle t} 에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면, ϕ : R → Diff ⁡ ( M ) {\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \to \operatorname {Diff} (M)} 이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서 u ∈ S V e c t ( M ) {\displaystyle u\in {\mathfrak {SVect}}(M)} 이므로 ϕ : R → SDiff ⁡ ( M ) {\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \to \operatorname {SDiff} (M)} 이다. 첫째 오일러 방정식은 ∂ 2 ∂ t 2 ϕ ( t , x ) = − ( d p | t , ϕ ( t , x ) ) ♯ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (t,x)=-(\mathrm {d} p|_{t,\phi (t,x)})^{\sharp }} 인데, 항상 부분 적분에 따라 ∫ M ⟨ d p , v ⟩ = 0 ∀ v ∈ S V e c t ( M ) {\displaystyle \int _{M}\langle \mathrm {d} p,v\rangle =0\qquad \forall v\in {\mathfrak {SVect}}(M)} 이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은 ∇ u u = 0 {\displaystyle \nabla _{u}u=0} 을 함의한다. 여기서 ∇ u {\displaystyle \nabla _{u}} 는 프레셰 다양체 SDiff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)} 위의, u {\displaystyle u} 방향의 공변 미분이다. 오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.:91–95, §Ⅱ.3.3 M {\displaystyle M} 이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자. S V e c t ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)} 의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간) S V e c t ( M ) ∗ ≅ Ω 1 ( M ) / d Ω 0 ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)^{*}\cong \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)} 이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.:(1.95) { α i ( x ) , α j ( y ) } = ( ∂ j α i − ∂ i α j ) δ ( x − y ) {\displaystyle \{\alpha _{i}(x),\alpha _{j}(y)\}=(\partial _{j}\alpha _{i}-\partial _{i}\alpha _{j})\delta (x-y)} 그렇다면, 여기에는 S V e c t ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)} 위의 양의 정부호 쌍선형 형식 ⟨ u , u ′ ⟩ = ∫ M g ( u , u ′ ) {\displaystyle \langle u,u'\rangle =\int _{M}g(u,u')} 으로부터 자연스러운 이차 형식:91, Lemma Ⅱ.3.7 H : Ω 1 ( M ) / d Ω 0 ( M ) → R {\displaystyle H\colon \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)\to \mathbb {R} } H ( [ α ] ) = ∫ M g − 1 ( α , α ) {\displaystyle H([\alpha ])=\int _{M}g^{-1}(\alpha ,\alpha )} 을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.:92, (Ⅱ.3.24):(1.93), Example 3 d d t [ α ] = − L α ♯ [ α ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[\alpha ]=-{\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}[\alpha ]} 여기서 [ α ] ∈ Ω 1 ( M ) / d Ω 1 ( M ) {\displaystyle [\alpha ]\in \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{1}(M)} 은 M {\displaystyle M} 위의 1차 미분 형식의 동치류이다. α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} 은 (음악 동형에 대한) 벡터장 α ♯ {\displaystyle \alpha ^{\sharp }} 의 발산이 0인 ( L α ♯ vol = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}\operatorname {vol} =0} ) 유일한 대표원 α ∈ [ α ] {\displaystyle \alpha \in [\alpha ]} 이다. L α ♯ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}} 는 벡터장 α ♯ {\displaystyle \alpha ^{\sharp }} 에 대한 리 미분이다. 구체적으로, 이 방정식은 Ω 1 ( M ) / d Ω 0 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)} 에 정의된다. 이를 Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)} 위에 제약(영어: constraint)을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, α ♯ ∈ S D i f f ( M ) {\displaystyle \alpha ^{\sharp }\in {\mathfrak {SDiff}}(M)} 인 임의의 1차 미분 형식 α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} 에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.:92, (Ⅱ.3.25):(1.94), Example 3 ∂ ∂ t α ( t , x ) = − L α ♯ α ( t , x ) − d p ( t , x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\alpha (t,x)=-{\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}\alpha (t,x)-\mathrm {d} p(t,x)} 여기서 p ∈ C ∞ ( R × M , R ) {\displaystyle p\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} \times M,\mathbb {R} )} 은 u {\displaystyle u} 의 제약을 위한 보정항이다. 이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다.:92, Corollary Ⅱ.3.8 즉, 속도장 u ∈ S V e c t ( M ) {\displaystyle u\in {\mathfrak {SVect}}(M)} 에 대하여 음악 동형으로 α = u ♭ {\displaystyle \alpha =u^{\flat }} 로 놓으면, ∂ ∂ t u = − ∇ u u − ( d p ) ♯ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u=-\nabla _{u}u-(\mathrm {d} p)^{\sharp }} 가 되어, 오일러 방정식을 얻는다. M {\displaystyle M} 이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자. 만약 M {\displaystyle M} 이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 u ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle u\in \Omega ^{1}(M)} 에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다. I ( u ) = ∫ M u ∧ ( d u ) ( dim ⁡ M − 1 ) / 2 {\displaystyle I(u)=\int _{M}u\wedge (\mathrm {d} u)^{(\dim M-1)/2}} 그렇다면, 임의의 ϕ ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 에 대하여 I ( u ) = I ( u + d ϕ ) {\displaystyle I(u)=I(u+\mathrm {d} \phi )} 이므로, 이는 사실 Ω 1 ( M ) / d Ω 0 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)} 위의 실수 값 함수를 정의한다. I : Ω 1 ( M ) d Ω 0 ( M ) → R {\displaystyle I\colon {\frac {\Omega ^{1}(M)}{\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}}\to \mathbb {R} } 마찬가지로, 만약 M {\displaystyle M} 이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 ω ∈ Ω dim ⁡ M ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{\dim M}(M)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 u ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle u\in \Omega ^{1}(M)} 및 임의의 다항식 P ∈ R [ x ] {\displaystyle P\in \mathbb {R} [x]} 에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다. P ~ ( u ) = ∫ M P ( ( d u ) ( dim ⁡ M ) / 2 ω ) ω {\displaystyle {\tilde {P}}(u)=\int _{M}P\left({\frac {(\mathrm {d} u)^{(\dim M)/2}}{\omega }}\right)\omega } 이 역시 마찬가지로 실수 값 함수 P ~ : Ω 1 ( M ) d Ω 0 ( M ) → R {\displaystyle {\tilde {P}}\colon {\frac {\Omega ^{1}(M)}{\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}}\to \mathbb {R} } 를 정의한다. 공간 Ω 1 ( M ) / d Ω 0 ( M ) ≅ S V e c t ( M ) ∗ {\displaystyle \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)\cong {\mathfrak {SVect}}(M)^{*}} 은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군 SDiff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)} 의 쌍대딸림표현을 갖는다. I {\displaystyle I} 와 P ~ {\displaystyle {\tilde {P}}} 는 SDiff ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)} 의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다.:92, Proposition Ⅱ.3.9 특히, 홀수 차원의 경우, I {\displaystyle I} 는 M {\displaystyle M} 위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우, P ~ {\displaystyle {\tilde {P}}} 는 M {\displaystyle M} 의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다. 실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 버거스 방정식(영어: Burgers equation)이라고 하며, 다음과 같다. 0 = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x = ∂ u ∂ t + 1 2 ∂ ( u 2 ) ∂ x {\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial (u^{2})}{\partial x}}} 이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은 d d t x ( t ) = u ( t , x ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=u(t,x(t))} d d t u ( t , x ( t ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u(t,x(t))=0} 이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 u {\displaystyle u} 는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다. x ( t ) = u 0 t + x 0 ( u 0 , x 0 ∈ R ) {\displaystyle x(t)=u_{0}t+x_{0}\qquad (u_{0},x_{0}\in \mathbb {R} )} 즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다. u ( x , t ) = f ( x − u ( t , x ) t ) {\displaystyle u(x,t)=f(x-u(t,x)t)} 여기서 f {\displaystyle f} 는 u {\displaystyle u} 의 초기 조건인 임의의 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 함수이다. 만약 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 일 때, 그 해는 다음과 같다. u ( x , t ) = a x + b a t + 1 {\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}} 오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 버거스 방정식은 얀 버거스(네덜란드어: Jan Burgers)의 이름을 땄다. Dubrovin, B. A.; Krichever, I. M.; Novikov, S. P. (2001). 〈Integrable systems Ⅰ〉 (PDF). Arnold, V. I.; Novikov, S. P. 《Dynamical Systems Ⅳ》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어). 번역 Wasserman, G. European Mathematical Society. doi:10.1007/978-3-662-06791-8_3.  Khesin, Boris; Wendt, Robert (2009). 《The geometry of infinite-dimensional groups》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) 51. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-77263-7. ISBN 978-3-540-77262-0.  Chandrasekhar, Subrahmanyan (1943년 11월 8일). 《On the decay of plane shock waves》. Ballistic Research Laboratories Report (영어) 423.