반소 아이디얼

환론에서 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal)은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 소근기(素根基, 영어: prime radical)라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 속의 양쪽 아이디얼 a ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R} 의 소근기(素根基, 영어: prime radical) 또는 단순히 근기(根基, 영어: radical) a {\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}} 는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.:156, Theorem 10.7 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다. a = ⋂ { p ∈ Spec ⁡ R : a ⊆ p } ⊆ { r ∈ R : ∃ n ∈ Z + : r n ∈ a } {\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}=\bigcap \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\}\subseteq \{r\in R\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}} 여기서 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 는 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.) 가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다. a {\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}} { r ∈ R | ∃ n ∈ Z + : r n ∈ a } {\displaystyle \{r\in R|\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}} . 즉, 충분히 거듭제곱하면 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 의 원소가 되는 것들의 집합이다. R / a {\displaystyle R/{\mathfrak {a}}} 의 멱영원들의 집합 N {\displaystyle N} 에 대하여, { r ∈ R : [ r ] ∈ N } {\displaystyle \{r\in R\colon [r]\in N\}} . 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다. 가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다. 환 R {\displaystyle R} 속의 양쪽 아이디얼 a ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal) 또는 근기 아이디얼(根基ideal, 영어: radical ideal)이라고 한다. 임의의 양쪽 아이디얼 b ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq R} 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 b n ⊆ a {\displaystyle {\mathfrak {b}}^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}} 라면, b ⊆ a {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}} 이다.:157, Definition 10.8 임의의 왼쪽 아이디얼 B ⊆ R {\displaystyle B\subseteq R} 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 B n ⊆ a {\displaystyle B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}} 라면, b ⊆ a {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}} 이다.:157, Proposition 10.9(4) 임의의 오른쪽 아이디얼 B ⊆ R {\displaystyle B\subseteq R} 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 B n ⊆ a {\displaystyle B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}} 라면, b ⊆ a {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}} 이다.:157, Proposition 10.9(4)′ 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 만약 r R r ⊆ a {\displaystyle rRr\subseteq {\mathfrak {a}}} 라면 r ∈ a {\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}} 이다.:157, Proposition 10.9(3) R ∖ a {\displaystyle R\setminus {\mathfrak {a}}} 는 n-계를 이룬다. a = ⋂ P {\displaystyle {\mathfrak {a}}=\bigcap {\mathcal {P}}} 인, 소 아이디얼들의 집합 P ⊆ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \operatorname {Spec} R} 이 존재한다.:157, Proposition 10.11(2) 스스로의 소근기와 같다. 즉, a = a {\displaystyle {\mathfrak {a}}={\sqrt {\mathfrak {a}}}} 이다.:157, Proposition 10.11(3) 여기서 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 는 R {\displaystyle R} 의 소 아이디얼들의 집합이며, n-계(영어: n-system)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 이다. ∀ s ∈ S ∃ r ∈ R : s r s ∈ S {\displaystyle \forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S} 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. 반소 아이디얼이다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 만약 r n ∈ a {\displaystyle r^{n}\in {\mathfrak {a}}} 라면 r ∈ a {\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}} 이다. 임의의 r ∈ R ∖ a {\displaystyle r\in R\setminus {\mathfrak {a}}} 에 대하여, { r , r 2 , r 3 , … } ⊆ R ∖ a {\displaystyle \{r,r^{2},r^{3},\dots \}\subseteq R\setminus {\mathfrak {a}}} 이다. 환의 양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. 완전 소 아이디얼 ⊂ 소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼 가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. 사실, 가환환의 아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다. 영 아이디얼의 소근기 ( 0 ) {\displaystyle {\sqrt {(0)}}} 는 하영근기 또는 (가환환의 경우) 단순히 영근기라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다. 영 아이디얼이 반소 아이디얼인 환을 반소환이라고 하며, 가환환의 경우 이는 축소환인 것과 동치이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 에서, ( n ) {\displaystyle (n)} 이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 n {\displaystyle n} 이 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, ( 0 ) {\displaystyle (0)} 이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 경우, 아이디얼 Z / m {\displaystyle \mathbb {Z} /m} 의 소근기는 다음과 같다. Z / m = Z / ( ∏ p ∣ m p ) {\displaystyle {\sqrt {\mathbb {Z} /m}}=\mathbb {Z} /\left(\prod _{p\mid m}p\right)} 여기서 ∏ p ∣ m p {\displaystyle \prod _{p\mid m}p} 는 m {\displaystyle m} 의 소인수들의 곱이다. 예를 들어 Z / 12 = Z / 6 {\displaystyle {\sqrt {\mathbb {Z} /12}}=\mathbb {Z} /6} 이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식 ∏ i = 1 k ( x − a i ) n i ∈ K [ x ] ( i ≠ j ⟹ a i ≠ a j ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})^{n_{i}}\in K[x]\qquad (i\neq j\implies a_{i}\neq a_{j})} 으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다. ( ∏ i = 1 k ( x − a i ) n i ) = ∏ i = 1 k ( x − a i ) {\displaystyle {\sqrt {\left(\prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})^{n_{i}}\right)}}=\prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})} 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 R {\displaystyle R} 에서, 영 아이디얼이나 R {\displaystyle R} 가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어 ∏ p ∈ Spec ⁡ R p n ( p ) {\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}^{n({\mathfrak {p}})}} 의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다. ∏ p ∈ Spec ⁡ R p n ( p ) = ∏ p ∈ Spec ⁡ R p {\displaystyle {\sqrt {\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}^{n({\mathfrak {p}})}}}=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}} 반소 아이디얼(독일어: Halbprimideal 할프프림이데알[*])의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,:735, §2 일반적 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.:331, Definition 0 제이컵슨 근기 영근기 Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.  Krull, Wolfgang (1929). “Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 101: 729–744. doi:10.1007/BF01454872. ISSN 0025-5831.  Nagata, Masayoshi (1951년 12월). “On the theory of radicals in a ring”. 《Journal of the Mathematical Society of Japan》 (영어) 3 (2): 330–344. doi:10.2969/jmsj/00320330. ISSN 0025-5645. MR 0047619. Zbl 0045.16003.  “Radical of an ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ideal radical”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Semiprime ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Radical of an ideal”. 《Commalg》 (영어).  “Radical ideal”. 《Commalg》 (영어).  “Definition and basic properties of the radical of an ideal”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 10월 3일.