편의 추정량

편의추정량(偏倚推定量, Bias of an estimator 또는 biased estimator)은 통계학에서 기댓값이 모수와 다른 추정량이다. 모집단의 분산(모 분산,population variance)은 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 로 나타내고, 표본 분산(sample variance)은 s 2 {\displaystyle s^{2}} 로 나타낸다. s 2 {\displaystyle s^{2}} 은 모집단 분산의 추정치라고 할 수 있다. 표본 내의 어떤 변인 y {\displaystyle y} 가 가지는 모집단 분산의 추정치인 표본 분산 s 2 {\displaystyle s^{2}} 는 다음과 같다. s 2 = Σ ( y − y ¯ ) 2 n − 1 = S S d f {\displaystyle s^{2}={\frac {\Sigma (y-{\overline {y}})^{2}}{n-1}}={\frac {SS}{df}}} s 2 {\displaystyle s^{2}} : 표본 분산 y {\displaystyle y} : 변인 y ¯ {\displaystyle {\overline {y}}} : 표본의 평균 n {\displaystyle n} : 표본의 크기 S S {\displaystyle SS} : 편차들의 제곱합 d f {\displaystyle df} : 자유도 이는 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 샘플수 n을 1로 뺀 분모에서 나누는 기댓값을 적용해 분산을 계산함으로써 모집단의 샘플에서 편의 추정량(biased estimator)으로부터 표본 분산이 불편 추정량(unbiased estimator)에 근사한다고 본다. E ( s 2 ) = E ( ∑ ( y i − y ¯ ) 2 n − 1 ) {\displaystyle E(s^{2})=E\left({{\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}} \over {n-1}}\right)} 표본분산 s 2 {\displaystyle s^{2}} 와 모분산 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 에서 s 2 = σ 2 {\displaystyle s^{2}={\sigma ^{2}}} 를 가정하고 Σ y i n = y ¯ {\displaystyle {{\Sigma y_{i}} \over {n}}={\overline {y}}} 에서 기댓값(E,expected value)를 유도할 수 있다. E ( s 2 ) = σ 2 {\displaystyle E(s^{2})={\sigma ^{2}}} E ( s 2 ) = n − 1 n − 1 σ 2 {\displaystyle E(s^{2})={{n-1} \over {n-1}}\sigma ^{2}} E ( s 2 ) = 1 n − 1 ( n − 1 ) σ 2 {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n-1\right)\sigma ^{2}} E ( s 2 ) = 1 n − 1 ( n σ 2 − σ 2 ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n\sigma ^{2}-{\sigma ^{2}}\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 ( n ( ∑ ( Y i − μ ¯ ) 2 n ) − ( ∑ ( Y i − μ ¯ ) 2 n ) ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n\left(\sum {{(Y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {n}}\right)-\left(\sum {{(Y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {n}}\right)\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 ( ∑ ( E ( y i − μ ¯ ) 2 ) − ∑ ( E ( y ¯ − μ ¯ ) 2 ) ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(\sum \left(E({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)-\sum \left(E\left({\overline {y}}-{\overline {\mu }}\right)^{2}\right)\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 ( E ( ∑ ( y i − μ ¯ ) 2 ) − E ( ∑ ( y ¯ − μ ¯ ) 2 ) ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(E\left(\sum ({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)-E\left(\sum ({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ ( y i − μ ¯ ) 2 − ∑ ( y ¯ − μ ¯ ) 2 ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum ({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}-\sum ({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ ( ( y i − μ ¯ ) 2 − ( y ¯ − μ ¯ ) 2 ) ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left((y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}-({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ ( ( y i − μ ¯ ) − ( y ¯ − μ ¯ ) ) 2 ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left((y_{i}-{\overline {\mu }})-({\overline {y}}-{\overline {\mu }})\right)^{2}\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ ( y i − μ ¯ + μ ¯ − y ¯ ) 2 ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left(y_{i}-{\overline {\mu }}+{\overline {\mu }}-{\overline {y}}\right)^{2}\right)} E ( s 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ ( y i − y ¯ ) 2 ) {\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}\right)} E ( s 2 ) = E ( ∑ ( y i − y ¯ ) 2 n − 1 ) {\displaystyle E(s^{2})=E\left({{\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}} \over {n-1}}\right)} 불편 추정량 공분산 피어슨 상관계수 표준편차 동분산성 (RISS - Accuracy of the Survival Function Estimators under Length-biased Sampling with LTRC Data : 오른쪽 중단 및 왼쪽 절단 자료가 있는 길이-편의 표본에서 생존함수 추정량의 정확도 ,김현주, 경북대학교 대학원, 학위논문 통계학과 2014. 2)http://m.riss.kr/search/detail/DetailView.do?p_mat_type=be54d9b8bc7cdb09&control_no=f27ebb6a3df20414ffe0bdc3ef48d419 (칸아카데미 - 편의추정량과 불편추정량)https://ko.khanacademy.org/math/statistics-probability/sampling-distributions-library/what-is-a-sampling-distribution/e/biased-unbiased-estimators (행동과학 연구를 위한 기초통계학,최윤영,조경철 도서출판 신정 2019 ISBN97889-5912-4800-93310)http://book.interpark.com/product/BookDisplay.do?_method=detail&sc.shopNo=0000400000&sc.saNo=001&sc.prdNo=301799331