합

수학에서 유한합(有限合, 영어: finite sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } 가 쓰인다. 유한 수열 ( a m , a m + 1 , … , a n ) {\displaystyle (a_{m},a_{m+1},\dots ,a_{n})} 의 유한합 ∑ k = m n a k = ∑ m ≤ k ≤ n a k = a m + a m + 1 + ⋯ + a n {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{m\leq k\leq n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n}} 은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다. ∑ k = m m − 1 a k = 0 {\displaystyle \sum _{k=m}^{m-1}a_{k}=0} ∑ k = m n a k = a n + ∑ k = m n − 1 a k ( n ∈ { m , m + 1 , m + 2 , … } ) {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}=a_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}\qquad (n\in \{m,m+1,m+2,\dots \})} 보다 일반적으로, 유한 집합 I {\displaystyle I} 로 첨수된 수들의 집합 { a i : i ∈ I } {\displaystyle \{a_{i}\colon i\in I\}} 의 유한합은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다. ∑ i ∈ I a i = ∑ k = 1 | I | a f ( k ) {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=1}^{|I|}a_{f(k)}} 여기서 | I | {\displaystyle |I|} 는 I {\displaystyle I} 의 크기이며, f : { 1 , … , | I | } → I {\displaystyle f\colon \{1,\dots ,|I|\}\to I} 는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 f {\displaystyle f} 의 선택과 무관하기 때문이다. 집합 I {\displaystyle I} 및 그 위의 성질 P {\displaystyle P} 에 대하여, 원소 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 성질 P {\displaystyle P} 를 만족시킨다는 것을 P ( i ) {\displaystyle P(i)} 로 쓰자. 만약 집합 { i ∈ I : P ( i ) } {\displaystyle \{i\in I\colon P(i)\}} 가 유한 집합일 경우, 유한합 ∑ i ∈ { j ∈ I : P ( j ) } a i {\displaystyle \sum _{i\in \{j\in I\colon P(j)\}}a_{i}} 는 ∑ i ∈ I : P ( i ) a i {\displaystyle \sum _{i\in I\colon P(i)}a_{i}} 와 같이 표기할 수 있다. 합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다. (점화식) ∑ k = 1 n a k = ∑ k = 1 m a k + ∑ k = m + 1 n a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{m}a_{k}+\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}} (덧셈의 보존) ∑ k = 1 n ( a k ± b k ) = ∑ k = 1 n a k ± ∑ k = 1 n b k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k}\pm b_{k})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\pm \sum _{k=1}^{n}b_{k}} (분배 법칙) ∑ k = 1 n c a k = c ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum _{k=1}^{n}a_{k}} (선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.) ∑ k = 1 n ( c a k + c ′ b k ) = c ∑ k = 1 n a k + c ′ ∑ k = 1 n b k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(ca_{k}+c'b_{k})=c\sum _{k=1}^{n}a_{k}+c'\sum _{k=1}^{n}b_{k}} (푸비니 정리) ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i , j = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m a i , j = ∑ 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n a i , j {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}=\sum _{{1\leq i\leq m} \atop {1\leq j\leq n}}a_{i,j}} 그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다. 실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다. (코시-슈바르츠 부등식) ( ∑ k = 1 n a k b k ) 2 ≤ ( ∑ k = 1 n a k 2 ) ( ∑ k = 1 n b k 2 ) {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)} (횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.) ∑ k = 1 n | a k b k | ≤ ( ∑ k = 1 n | a k | p ) 1 p ( ∑ k = 1 n | b k | q ) 1 q p , q > 1 , 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\qquad p,q>1,\;{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} (민코프스키 부등식) ( ∑ k = 1 n | a k + b k | p ) 1 p ≤ ( ∑ k = 1 n | a k | p ) 1 p + ( ∑ k = 1 n | b k | p ) 1 p p > 1 {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad p>1} 증명 (코시-슈바르츠 부등식): 0 ≤ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( a i b j − a j b i ) 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( a i 2 b j 2 − 2 a i a j b i b j + a j 2 b i 2 ) = 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i 2 b j 2 − 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i a j b i b j = 2 ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ j = 1 n b j 2 ) − 2 ( ∑ k = 1 n a k b k ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}a_{j}b_{i}b_{j}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})\\&=2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}a_{j}b_{i}b_{j}\\&=2\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right)-2\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\end{aligned}}} 증명 (횔더 부등식): 영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다. ∑ k = 1 n | a k b k | ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 p ( ∑ j = 1 n | b j | q ) 1 q = ∑ k = 1 n ( | a k | p ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 p ( | b k | q ∑ j = 1 n | b j | q ) 1 q ≤ ∑ k = 1 n ( 1 p | a k | p ∑ i = 1 n | a i | p + 1 q | b k | q ∑ j = 1 n | b j | q ) = 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{j=1}^{n}|b_{j}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {|a_{k}|^{p}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}\left({\frac {|b_{k}|^{q}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|b_{j}|^{q}}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{p}}{\frac {|a_{k}|^{p}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}}}+{\frac {1}{q}}{\frac {|b_{k}|^{q}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|b_{j}|^{q}}}\right)={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} 증명 (민코프스키 부등식): 다음과 같은 q > 1 {\displaystyle q>1} 를 취하자. 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} 그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. ∑ k = 1 n | a k + b k | p ≤ ∑ k = 1 n | a k | | a k + b k | p − 1 + ∑ k = 1 n | b k | | a k + b k | p − 1 ≤ ( ∑ k = 1 n | a k | p ) 1 p ( ∑ k = 1 n | a k + b k | q ( p − 1 ) ) 1 q + ( ∑ k = 1 n | b k | p ) 1 p ( ∑ k = 1 n | a k + b k | q ( p − 1 ) ) 1 q = ( ( ∑ k = 1 n | a k | p ) 1 p + ( ∑ k = 1 n | b k | p ) 1 p ) ( ∑ k = 1 n | a k + b k | p ) 1 q {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}&\leq \sum _{k=1}^{n}|a_{k}||a_{k}+b_{k}|^{p-1}+\sum _{k=1}^{n}|b_{k}||a_{k}+b_{k}|^{p-1}\\&\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=\left(\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}} 일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다. (상수열의 유한합) ∑ k = 1 n c = c n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c=cn} (등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.) ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 = n 2 2 + n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}} (제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.) ∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}} (세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리(영어: Nicomachus's theorem)라고 한다.) ∑ k = 1 n k 3 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}} (네제곱수의 유한합) ∑ k = 1 n k 4 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 ) 30 = n 5 5 + n 4 2 + n 3 3 − n 30 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}} (다섯제곱수의 유한합) ∑ k = 1 n k 5 = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 ) 12 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}} (여섯제곱수의 유한합) ∑ k = 1 n k 6 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 4 + 6 n 3 − 3 n + 1 ) 42 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}} (일곱제곱수의 유한합) ∑ k = 1 n k 7 = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 3 n 4 + 6 n 3 − n 2 − 4 n + 2 ) 24 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{7}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4}+6n^{3}-n^{2}-4n+2)}{24}}} (임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식(영어: Faulhaber's formula)이라고 한다. 여기서 B k {\displaystyle B_{k}} 는 k {\displaystyle k} 번째 베르누이 수이다.) ∑ k = 1 n k p = ∑ k = 0 p B k ( p k ) ( n + 1 ) p − k + 1 p − k + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}B_{k}{\binom {p}{k}}{\frac {(n+1)^{p-k+1}}{p-k+1}}} 증명 (세제곱 합): 항등식 ( k + 1 ) 4 − k 4 = 4 k 3 + 6 k 2 + 4 k + 1 ( k ∈ { 1 , … , n } ) {\displaystyle (k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1\qquad (k\in \{1,\dots ,n\})} 을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다. (조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.) ∑ k = 1 n 1 k = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x = H n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx=H_{n}} (등비수열의 유한합) ∑ k = 0 n a k = 1 − a n + 1 1 − a a ≠ 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a^{k}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}\qquad a\neq 1} (등차-등비 수열의 유한합) ∑ k = 1 n k a k = a − ( n + 1 ) a n + 1 + n a n + 2 ( 1 − a ) 2 a ≠ 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ka^{k}={\frac {a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{(1-a)^{2}}}\qquad a\neq 1} (삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵(영어: Dirichlet kernel)이라고 한다.) ∑ k = 1 n cos ⁡ k θ = − 1 2 + sin ⁡ ( n + 1 2 ) θ 2 sin ⁡ θ 2 θ ≠ 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos k\theta =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(n+{\dfrac {1}{2}}\right)\theta }{2\sin {\dfrac {\theta }{2}}}}\qquad \theta \neq 0} (이항 계수의 유한합) ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}} ∑ p = k n ( p k ) = ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle \sum _{p=k}^{n}{\binom {p}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}} (하강 계승의 유한합) ∑ k = 0 n n k _ = ⌊ n ! e ⌋ {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}n^{\underline {k}}=\lfloor n!e\rfloor } 급수: 무한합