제트 군

미분기하학에서 제트 군(jet群, 영어: jet group) 또는 미분군(微分群, 영어: differential group)은 원점을 보존하는 유클리드 공간의 자기 미분 동형 사상들의 제트로 구성된 리 군이다.:§18, 128–138 실수 일반 선형군의 고차 일반화이다. 자연수 n {\displaystyle n} 과 k {\displaystyle k} 가 주어졌다고 하자. Aut Diff ∙ ⁡ ( R n , 0 ) = { f ∈ Aut Diff ⁡ ( R n ) , f ( 0 ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)=\left\{f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} }(\mathbb {R} ^{n}),\;f(0)=0\right\}} 가 미분 동형 사상 f : R n → R n {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 가운데, f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다. n {\displaystyle n} 차원 k {\displaystyle k} 차 제트 군( n {\displaystyle n} 次元 k {\displaystyle k} 次jet群, 영어: n {\displaystyle n} -dimensional k {\displaystyle k} th-order jet group) Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} 는 Aut Diff ∙ ⁡ ( R , 0 ) {\displaystyle \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ,0)} 의 원소들의, 0 ∈ R n {\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}} 에서의 k {\displaystyle k} 차 제트들의 집합이다.:119, §12.6:Definition 3.1 Jet ⁡ ( n , k ) = { j 0 k f : f ∈ Aut Diff ∙ ⁡ ( R n , 0 ) } {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\left\{\mathrm {j} _{0}^{k}f\colon f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\right\}} 이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 또한, 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다. ( j 0 k f ) ( j 0 k g ) = j 0 k ( f ∘ g ) {\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}f)(\mathrm {j} _{0}^{k}g)=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)} 즉, 자연스러운 전사 군 준동형 j 0 k : Aut Diff ∙ ⁡ ( R n , 0 ) → Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}\colon \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\to \operatorname {Jet} (n,k)} 이 존재한다. Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} 의 차원은 다음과 같다. dim ⁡ Jet ⁡ ( n , k ) = n ( ( n + k k ) − 1 ) {\displaystyle \dim \operatorname {Jet} (n,k)=n\left({\binom {n+k}{k}}-1\right)} n > 0 {\displaystyle n>0} 이며 k > 0 {\displaystyle k>0} 일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체의 k {\displaystyle k} 차 틀다발은 자연스럽게 Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} 를 구조군으로 갖는다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 리 군 G {\displaystyle G} 자연수 n {\displaystyle n} 과 k {\displaystyle k} 그렇다면, 제트 공간 T n k G = { j 0 k g : g : R n → G } {\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G=\{\mathrm {j} _{0}^{k}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}} 을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 리 군을 이룬다.:Definition 3.3 ( j 0 k g ) ( j 0 k g ′ ) = j 0 k ( g g ′ ) {\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}g)(\mathrm {j} _{0}^{k}g')=\mathrm {j} _{0}^{k}(gg')} 여기서 g g ′ : x ↦ g ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle gg'\colon x\mapsto g(x)g'(x)} 는 두 함수의 점별 곱셈이다. 그렇다면, 제트 군 Jet ⁡ ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)} 는 T n k G {\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G} 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다. ( j 0 k g ) ⋅ ( j 0 k f ) = j 0 k ( g ∘ f ) ( f : R n → R n , g : R n → G ) {\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}g)\cdot (\mathrm {j} _{0}^{k}f)=\mathrm {j} _{0}^{k}(g\circ f)\qquad (f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\;g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G)} 이는 군 준동형 Jet ⁡ ( n , k ) op → Aut ⁡ ( T n k G ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Aut} (\mathrm {T} _{n}^{k}G)} 을 이룬다. 따라서, 반직접곱 T n k G ⋊ Jet ⁡ ( n , k ) op {\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G\rtimes \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }} 을 정의할 수 있다.:Definition 3.4 k = 0 {\displaystyle k=0} 이거나 또는 n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우, 제트 군은 자명군이다. Jet ⁡ ( n , 0 ) = Jet ⁡ ( 0 , k ) = 1 ∀ n , k ∈ N {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,0)=\operatorname {Jet} (0,k)=1\qquad \forall n,k\in \mathbb {N} } k = 1 {\displaystyle k=1} 일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다. Jet ⁡ ( n , 1 ) = GL ⁡ ( n ; R ) ∀ n ∈ N {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,1)=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\qquad \forall n\in \mathbb {N} } Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함.  Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035.  “Jet group”. 《nLab》 (영어).  “Jet groupoid”. 《nLab》 (영어).