부분파 방법

물리학에서 부분파 방법(部分波方法, method of partial waves)은 산란 문제를 구면 조화 함수에 대한 성분인 부분파(部分波, partial wave)로 분해하여 푸는 방법이다. 파수 k = 2 m E / ℏ {\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar } 를 가지고 z {\displaystyle z} 방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수 ⟨ r | ϕ ⟩ = exp ⁡ ( i k z ) {\displaystyle \langle \mathbf {r} |\phi \rangle =\exp(\mathrm {i} kz)} 가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 V ( r ) {\displaystyle V(r)} 에 의하여 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 으로 산란된다고 하자. ( H 0 + V ) | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ {\displaystyle (H_{0}+V)|\psi \rangle =E|\psi \rangle } . 퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식 − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( r , θ , ϕ ) = 0 {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,\theta ,\phi )=0} 을 따른다. 구면좌표계에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 구면 베셀 함수 j l ( x ) {\displaystyle j_{l}(x)} , y l ( x ) {\displaystyle y_{l}(x)} 와 구면 조화 함수 Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} 의 곱들의 선형결합이다. ψ ( r , θ , ϕ ) = ∑ l , m B l m j l ( k r ) Y l m ( θ , ϕ ) + C l m k i l + 1 ( j l ( k r ) + i y l ( k r ) ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}B_{l}^{m}j_{l}(kr)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} . 여기서 B l m {\displaystyle B_{l}^{m}} 과 C l m {\displaystyle C_{l}^{m}} 은 미지의 계수이다. 레일리 공식(Rayleigh formula)에 따라 ϕ ( r , θ , ϕ ) = exp ⁡ ( i k r cos ⁡ θ ) = ∑ l , m i l 4 π ( 2 l + 1 ) j l ( k r ) Y l 0 ( θ , ϕ ) {\displaystyle \phi (r,\theta ,\phi )=\exp(ikr\cos \theta )=\sum _{l,m}i^{l}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}j_{l}(kr)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )} 이고, k i l + 1 ( j l ( k r ) + i y l ( k r ) ) ≈ exp ⁡ ( i k r ) / r {\displaystyle ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)\approx \exp(ikr)/r} ( k r ≫ 1 {\displaystyle kr\gg 1} ) 은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다. B l m = 4 π ( 2 l + 1 ) δ m 0 {\displaystyle B_{l}^{m}={\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}} . 따라서 ψ ( r , θ , ϕ ) = ∑ l , m 4 π ( 2 l + 1 ) δ m 0 j l ( k r ) Y l 0 ( θ , ϕ ) + C l m k i l + 1 ( j l ( k r ) + i y l ( k r ) ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(kr)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} 이다. 여기서 각각의 C l m i l + 1 ( j l ( k r ) + i y l ( k r ) ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle C_{l}^{m}i^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} 성분을 부분파라고 하고, C l m {\displaystyle C_{l}^{m}} 을 부분파 산란 진폭이라고 한다. 부분파 방법은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 C l m {\displaystyle C_{l}^{m}} 을 구하면 그 총 산란 진폭 f ( θ , ϕ ) {\displaystyle f(\theta ,\phi )} 는 f ( θ , ϕ ) = ∑ l , m C l m Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum _{l,m}C_{l}^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} 와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 단면적 σ {\displaystyle \sigma } 와 미분 단면적 d σ / d Ω {\displaystyle d\sigma /d\Omega } 를 다음과 같이 구할 수 있다. σ = ∮ | f | 2 d Ω = ∑ l , m | C l m | 2 {\displaystyle \sigma =\oint |f|^{2}\,d\Omega =\sum _{l,m}|C_{l}^{m}|^{2}} d σ ( θ , ϕ ) d Ω = ∑ l ′ , m ′ ∑ l , m C l m Y l m ( θ , ϕ ) ( C l ′ m ′ Y l ′ m ′ ( θ , ϕ ) ) ∗ {\displaystyle {\frac {d\sigma (\theta ,\phi )}{d\Omega }}=\sum _{l',m'}\sum _{l,m}C_{l}^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )(C_{l'}^{m'}Y_{l'}^{m'}(\theta ,\phi ))^{*}} . 퍼텐셜의 "크기"가 대략 a {\displaystyle a} 라고 하자. 즉, V ( r ) {\displaystyle V(r)} 가 대략 다음과 같은 꼴이다. V ( r ) ≈ { 0 r > a ∞ r < a . {\displaystyle V(r)\approx {\begin{cases}0&r>a\\\infty &r<a.\end{cases}}} 이런 경우에는 ψ ( r = a , θ , ϕ ) ≈ 0 {\displaystyle \psi (r=a,\theta ,\phi )\approx 0} 이므로, 다음과 같은 경계 조건을 부여한다. 0 ≈ ∑ l , m 4 π ( 2 l + 1 ) δ m 0 j l ( k a ) Y l 0 ( θ , ϕ ) + C l m k i l + 1 ( j l ( k a ) + i y l ( k a ) ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle 0\approx \sum _{l,m}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(ka)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(ka)+iy_{l}(ka)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} . 이에 따라 C l m ≈ − 4 π ( 2 l + 1 ) δ m 0 j l ( k a ) k i l + 1 ( j l ( k a ) + i y l ( k a ) ) {\displaystyle C_{l}^{m}\approx -{\frac {{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(ka)}{ki^{l+1}\left(j_{l}(ka)+iy_{l}(ka)\right)}}} 이다. 이제, 입사 파동 함수의 에너지 E = ℏ 2 k 2 / 2 m {\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m} 가 퍼텐셜의 크기에 비하여 아주 작다고 하자. 즉, k a ≪ 1 {\displaystyle ka\ll 1} E ≪ ℏ 2 2 m a 2 {\displaystyle E\ll {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}} 라고 하자. 그렇다면 j l ( x ) ∝ x l {\displaystyle j_{l}(x)\propto x^{l}} ( x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} ) y l ( x ) ∝ x − l − 1 {\displaystyle y_{l}(x)\propto x^{-l-1}} ( x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} ) 이므로, C l m ∝ a ( k a ) 2 l {\displaystyle C_{l}^{m}\propto a(ka)^{2l}} 이다. 따라서 k a ≪ 1 {\displaystyle ka\ll 1} 이므로 l = 0 {\displaystyle l=0} 인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는 l , m = 0 {\displaystyle l,m=0} 인 부분파만 고려하면 된다. 위에서 정의한 부분파 진폭 C m l {\displaystyle C_{m}^{l}} 은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 가진다. C m l = 4 π exp ⁡ ( i δ m l ) sin ⁡ δ m l {\displaystyle C_{m}^{l}={\sqrt {4\pi }}\exp(i\delta _{m}^{l})\sin \delta _{m}^{l}} . 여기서 δ m l {\displaystyle \delta _{m}^{l}} 을 ( l , m ) {\displaystyle (l,m)} 부분파의 위상 변화(phase shift)라고 한다. 베셀 함수 헬름홀츠 방정식 운죌트의 정리 Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917.  Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927.  Peters, Klaus (2006). “A primer on partial wave analysis”. 《International Journal of Modern Physics A》 21 (27): 5618. arXiv:hep-ph/0412069. doi:10.1142/S0217751X06034811.