켤레 복소수

수학에서 켤레 복소수(-複素數, 영어: complex conjugate) 또는 공액 복소수(共軶複素數) 또는 복소 켤레 또는 공액 켤레는 복소수의 허수부에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 다시 말해, 편각에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 복소평면 위에서, 서로 켤레인 두 복소수는 x축에 의하여 대칭이다. 복소수 z {\displaystyle z} 의 켤레 복소수의 기호는 z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} 또는 z ∗ {\displaystyle z^{*}} 이다. 복소수의 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다. x + i y ¯ = x − i y x , y ∈ R {\displaystyle {\overline {x+iy}}=x-iy\qquad x,y\in \mathbb {R} } 극 형식으로 쓰면 다음과 같다. r e i θ ¯ = r e − i θ r , θ ∈ R , r ≥ 0 {\displaystyle {\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }\qquad r,\theta \in \mathbb {R} ,\;r\geq 0} 켤레 복소수의 기호 z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} 는 켤레 전치의 기호 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 와의 혼동을 피하려고 할 때 선호된다. 켤레 복소수의 또 하나의 기호 z ∗ {\displaystyle z^{*}} 는 물리학에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히 A † {\displaystyle A^{\dagger }} 를 사용한다. 켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수 z , w {\displaystyle z,w} 에 대하여, Re ⁡ z = ( z + z ¯ ) / 2 {\displaystyle \operatorname {Re} z=(z+{\bar {z}})/2} Im ⁡ z = ( z − z ¯ ) / ( 2 i ) {\displaystyle \operatorname {Im} z=(z-{\bar {z}})/(2i)} | z | = z z ¯ {\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}} arg ⁡ z = ( 1 / ( 2 i ) ) ln ⁡ z z ¯ z ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {arg} z=(1/(2i))\ln {\frac {z}{\bar {z}}}\qquad z\neq 0} (덧셈 군 자기 준동형) z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}} (덧셈 군 자기 준동형) z − w ¯ = z ¯ − w ¯ {\displaystyle {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}} (체 자기 동형) z w ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}} (체 자기 동형) ( z / w ) ¯ = z ¯ / w ¯ {\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}} ( C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 자기 동형) z ¯ = z ⟺ z ∈ R {\displaystyle {\bar {z}}=z\iff z\in \mathbb {R} } (대합) z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z} (노름 자기 동형) | z ¯ | = | z | {\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|} arg ⁡ z ¯ = − arg ⁡ z {\displaystyle \operatorname {arg} {\bar {z}}=-\operatorname {arg} z} Re ⁡ z ¯ = Re ⁡ z {\displaystyle \operatorname {Re} {\bar {z}}=\operatorname {Re} z} Im ⁡ z ¯ = − Im ⁡ z {\displaystyle \operatorname {Im} {\bar {z}}=-\operatorname {Im} z} 정칙 함수 f {\displaystyle f} 가 만약 f ( R ) ⊆ R {\displaystyle f(\mathbb {R} )\subseteq \mathbb {R} } 를 만족시킨다면, 임의의 복소수 z {\displaystyle z} 에 대하여, f ( z ) ¯ = f ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\bar {z}})} 가 성립한다. 특히, f ( x ) ∈ R [ x ] {\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} [x]} 인 경우, 만약 f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} 이라면 f ( z ¯ ) = 0 {\displaystyle f({\bar {z}})=0} 이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 켤레근 정리(-根定理, 영어: complex conjugate root theorem)라고 한다. 켤레 복소수 함수는 갈루아 군 Gal ⁡ ( C / R ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )} 의 유일한 비자명 원소이다. 행렬 A {\displaystyle A} 의 경우, 그 원소별 켤레 복소수를 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다. ( A ¯ ) i j = A i j ¯ {\displaystyle ({\bar {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}} 또한, 켤레 전치는 다음과 같이 정의된다. A ∗ = ( A ¯ ) T = A T ¯ {\displaystyle A^{*}=({\bar {A}})^{\operatorname {T} }={\overline {A^{\operatorname {T} }}}} 즉, 다음과 같다. ( A ∗ ) i j = A j i ¯ {\displaystyle (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}} “Complex conjugate”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex conjugate”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Complex conjugate”. 《PlanetMath》 (영어).