후레비치 준동형

대수적 위상수학에서 후레비치 준동형(Hurewicz準同型, 영어: Hurewicz homomorphism)은 어떤 위상 공간의 호모토피 군에서 호몰로지 군으로 가는 군 준동형이다. 특수한 경우, 이 군 준동형은 후레비치 정리(영어: Hurewicz theorem)에 따라 군의 동형을 이룬다. 점을 가진 공간 ( X , ∙ ) {\displaystyle (X,\bullet )} 및 밑점을 보존하는 연속 함수 f : ( S n , ∙ S n ) → ( X , ∙ X ) {\displaystyle f\colon (\mathbb {S} ^{n},\bullet _{\mathbb {S} ^{n}})\to (X,\bullet _{X})} 가 주어졌을 때, S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 기본류 [ S n ] ∈ H n ⁡ ( S n ; Z ) {\displaystyle [\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} _{n}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )} 를 특이 호몰로지에 따라 밀어서 다음 호몰로지류를 얻는다. f ∗ [ S n ] ∈ H n ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle f^{*}[\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )} 이 때 이 호몰로지류와 f {\displaystyle f} 의 호모토피류 [ f ] ∈ π n ( X , ∙ X ) {\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X,\bullet _{X})} 를 대응하는 함수 h n {\displaystyle h_{n}} 를 정의할 수 있다. h n : π n ( X ) → H n ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )} h n : [ f ] ↦ f ∗ [ S n ] {\displaystyle h_{n}\colon [f]\mapsto f^{*}[\mathbb {S} ^{n}]} 이 함수를 후레비치 준동형이라고 한다. n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 일 경우, 후레비치 준동형 h n : π n ( X ) → H n ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )} 은 군 준동형을 이룬다. n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 π 0 ( X ) {\displaystyle \pi _{0}(X)} 는 일반적으로 군의 구조를 갖지 않으며, 만약 X {\displaystyle X} 가 위상군이라도 이는 일반적으로 군 준동형을 이루지 않는다. (예를 들어, X = G {\displaystyle X=G} 가 이산 유한군일 때, h 0 {\displaystyle h_{0}} 는 군환으로 가는 단사 함수 G ↪ Z [ G ] {\displaystyle G\hookrightarrow \mathbb {Z} [G]} 에 대응하며, 이는 군 준동형이 아니다.) n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 일 경우, 후레비치 준동형은 함자 π n ( − ) : Top ∙ → Ab {\displaystyle \pi _{n}(-)\colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Ab} } H n ⁡ ( − ; Z ) : Top ∙ → Ab {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(-;\mathbb {Z} )\colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Ab} } 사이의 자연 변환 h n : π n ⇒ H n ⁡ ( − ; Z ) {\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}\Rightarrow \operatorname {H} _{n}(-;\mathbb {Z} )} 을 이룬다. 따라서 축소 현수 함자 Σ {\displaystyle \Sigma } 에 대하여 다음 사각형이 가환한다. π n ( X ) → h H n ⁡ ( X ; Z ) Σ ↓ ↓ Σ π n + 1 ( Σ X ) → h H n + 1 ⁡ ( Σ X ; Z ) {\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{n}(X)&{\xrightarrow {h}}&\operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )\\{\scriptstyle \Sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \Sigma \\\pi _{n+1}(\Sigma X)&{\xrightarrow[{h}]{}}&\operatorname {H} _{n+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} )\end{matrix}}} n = 1 {\displaystyle n=1} 또는 n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우에는 호모토피 군이 아벨 군이 아니므로 함자의 공역을 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 대신 각각 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 또는 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 놓아야 한다. n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우, π 0 ( X ) {\displaystyle \pi _{0}(X)} 는 X {\displaystyle X} 의 경로 연결 성분의 집합이며, H 0 ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} _{0}(X;\mathbb {Z} )} 는 X {\displaystyle X} 의 경로 연결 성분들의 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 자유 아벨 군으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 단사 함수이다. n = 1 {\displaystyle n=1} 이고 X {\displaystyle X} 가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 준동형은 아벨화이다. 즉, H 1 ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} _{1}(X;\mathbb {Z} )} 는 기본군 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 의 아벨화이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 전사 함수이다. n > 1 {\displaystyle n>1} 일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 전사 함수도, 단사 함수도 아니다. 후레비치 정리에 따르면, 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 후레베치 준동형 h n : π n ( X ) → H n ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )} 에 대하여, 다음이 성립한다. 만약 X {\displaystyle X} 가 경로 연결 공간(즉, 0-연결 공간)이며 n = 1 {\displaystyle n=1} 이라면, h n {\displaystyle h_{n}} 은 아벨화 준동형이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -연결 공간이며 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 이라면, h n {\displaystyle h_{n}} 은 아벨 군끼리의 동형 사상이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)} -연결 공간이며 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 라면, h n {\displaystyle h_{n}} 은 아벨 군끼리의 단사 군 준동형이다. 그러므로, H n ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )} 는 π n ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {\pi } _{n}(X)} 의 몫군이다. n {\displaystyle n} 개의 원들의 쐐기합 ( S 1 ) ∨ n {\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}} 을 생각하자. ( S 1 ) ∨ n {\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}} 의 기본군은 자유군 ⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ {\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\rangle } 이며, 그 생성원 a i {\displaystyle a_{i}} 는 모두 n {\displaystyle n} 개이며 각 원에 대응한다. ( S 1 ) ∨ n {\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}} 의 1차 호몰로지 군은 자유 아벨 군 Z ⊕ n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus n}} 이며, 그 n {\displaystyle n} 개의 생성원 역시 각 원에 대응한다. 이 경우, 후레비치 준동형 h 1 : π 1 → H 1 {\displaystyle h_{1}\colon \pi _{1}\to \operatorname {H} _{1}} 은 아벨화 사상이며, 각 원에 대응하는 자유군의 생성원을 같은 원에 대응하는 자유 아벨 군 생성원에 대등시킨다. 1935년 비톨트 후레비치가 후레비치 준동형을 정의하였다. Hurewicz, Witold (1935). “Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅰ. Höherdimensionale Homotopiegruppen”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 38: 112–119. JFM 61.0618.01. Zbl 0010.37801.  Hurewicz, Witold (1935). “Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅱ. Homotopie- und Homologiegruppen”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 38: 521–528. JFM 61.0619.01. Zbl 0011.37101.  Hurewicz, Witold (1936). “Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅲ. Klassen und Homologietypen von Abbildungen”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 39: 117–126. JFM 62.0678.02. Zbl 0013.22903.  Hurewicz, Witold (1936). “Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅳ. Asphärische Räume”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 39: 215–224. Zbl 0013.28303.  “Hurewicz theorem”. 《nLab》 (영어).