단체 준군

호모토피 이론에서 단체 준군(單體準群, 영어: simplicial groupoid, simplicially enriched groupoid)은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.:§Ⅴ 단체 준군은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.:313, §Ⅴ.7:10, §1 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다. 집합 Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Ob} (G)} . 그 원소를 대상이라고 한다. 임의의 두 x , y ∈ Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} (G)} 에 대하여, 단체 집합 hom G ⁡ ( x , y ) {\displaystyle \hom _{G}(x,y)} . 이를 x → y {\displaystyle x\to y} 사상들의 단체 집합이라고 한다. 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. 각 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, G n = ( Ob ⁡ ( G ) , ( hom G ⁡ ( x , y ) ) n ) {\displaystyle G_{n}=(\operatorname {Ob} (G),(\hom _{G}(x,y))_{n})} 는 준군을 이룬다. 단체 범주 △ {\displaystyle \triangle } 의 사상 (즉, 증가 함수) f : { 0 , 1 , … , n } → { 0 , 1 , … , m } {\displaystyle f\colon \{0,1,\dotsc ,n\}\to \{0,1,\dotsc ,m\}} 에 대하여, f ∗ : G m → G n {\displaystyle f^{*}\colon G_{m}\to G_{n}} 는 준군 준동형(즉, 함자)을 이룬다. (이들은 대상 집합 Ob ⁡ ( G n ) = Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Ob} (G_{n})=\operatorname {Ob} (G)} 에 대하여 항등 함수이다.) 단체 준군의 사상은 준군 준동형(즉, 함자)을 이루는 단체 집합 사상(즉, 단체 범주 위의 준층의 자연 변환)이다. 단체 준군의 범주를 sGpd {\displaystyle \operatorname {sGpd} } 로 표기하자. 단체 준군의 정의에 따라, 준군의 범주 및 단체 집합의 범주로 가는 망각 함자 sGpd → Gpd {\displaystyle \operatorname {sGpd} \to \operatorname {Gpd} } sGpd → sSet {\displaystyle \operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet} } 가 존재한다. 모든 단체 준군으ᇿ 준군 범주의 단체 대상을 이루지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 준군 범주의 단체 대상 가운데 그 대상 단체 집합이 이산 공간인 경우 이는 단체 준군을 이룬다. 특히, 군은 하나의 대상만을 갖는 준군이므로, 군의 범주의 단체 대상은 항상 단체 준군이다. 군의 범주의 단체 대상을 단체군(單體群, 영어: simplicial group)이라고 한다. 모든 단체군은 자동적으로 칸 복합체이며,:18‒04, §3, Théorème 3 따라서 그 호모토피 군을 정의할 수 있다. 단체 집합 X {\displaystyle X} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 화살집 X n + 1 ⇉ s t X 0 {\displaystyle X_{n+1}{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}X_{0}} s = ( ∂ 1 ) n + 1 : X n + 1 → X 0 {\displaystyle s=(\partial _{1})^{n+1}\colon X_{n+1}\to X_{0}} t = ∂ 0 ∘ ( ∂ 2 ) n : X n + 1 → X 0 {\displaystyle t=\partial _{0}\circ (\partial _{2})^{n}\colon X_{n+1}\to X_{0}} 을 생각하자. ( s {\displaystyle s} 는 화살의 머리, t {\displaystyle t} 는 화살의 꼬리를 뜻한다.) 이 화살집으로 생성되는 자유 준군을 ( G X ) n {\displaystyle (\mathrm {G} X)_{n}} 이라고 표기하자. 이제, 이 위에 다음과 같은 단체 대상 구조를 줄 수 있다. 자유 준군의 사상의 생성원 (즉, 화살집의 화살) e ∈ X n + 1 {\displaystyle e\in X_{n+1}} 에 대하여, s i G X ( e ) = s i + 1 X ( e ) ∀ e ∈ X n + 1 {\displaystyle s_{i}^{\mathrm {G} X}(e)=s_{i+1}^{X}(e)\qquad \forall e\in X_{n+1}} ∂ i G X ( e ) = { ∂ i + 1 X ( e ) 1 ≤ i ≤ n ∂ 0 G X ( e ) = ( ∂ 0 X ( e ) ) − 1 ∂ 1 X ( e ) i = 0 ∀ e ∈ X n + 1 {\displaystyle \partial _{i}^{\mathrm {G} X}(e)={\begin{cases}\partial _{i+1}^{X}(e)&1\leq i\leq n\\\partial _{0}^{\mathrm {G} X}(e)=(\partial _{0}^{X}(e))^{-1}\partial _{1}^{X}(e)&i=0\end{cases}}\qquad \forall e\in X_{n+1}} 그렇다면, G X {\displaystyle \mathrm {G} X} 는 준군 범주의 단체 대상을 이루며, 면 ∂ i G X {\displaystyle \partial _{i}^{\mathrm {G} X}} 및 퇴화 단체 s i G X {\displaystyle s_{i}^{\mathrm {G} X}} 사상들이 준군 대상에 대하여 상수 함수이므로, 이는 단체 준군을 이룬다. 이는 단체 집합의 범주에서 단체 준군의 범주로 가는 함자 sSet → sGpd {\displaystyle \operatorname {sSet} \to \operatorname {sGpd} } 를 이룬다. 이를 드와이어-칸 고리 준군 함자(Dwyer-Kan고리準群函子, 영어: Dwyer–Kan loop groupoid functor)라고 한다. 대략, 단체 집합 X {\displaystyle X} 의 고리 준군 G X {\displaystyle \mathrm {G} X} 는 다음과 같다. G X {\displaystyle \mathrm {G} X} 의 대상의 집합 ( G X ) 0 {\displaystyle (\mathrm {G} X)_{0}} 은 X {\displaystyle X} 의 꼭짓점 집합 X 0 {\displaystyle X_{0}} 과 같다. G X {\displaystyle \mathrm {G} X} 의 두 대상 사이의 사상들의 단체 집합은 X {\displaystyle X} 의 1차원 이상 단체들로 구성된 “경로”들의 집합이다. 여기서 X {\displaystyle X} 의 1차원 이상 단체에서, 0번째 꼭짓점을 (경로를 구성하는) 변의 “머리”로, 1번째 꼭짓점을 변의 “꼬리”로 여긴다. 이 개념은 고리 공간의 개념의, 단체 집합에 대한 공식화이다. 드와이어-칸 고리 준군 함자는 다음과 같이 제한될 수 있다. G : s S e t r e d → simp ⁡ ( Grp ) {\displaystyle G\colon \operatorname {sSet_{red}} \to \operatorname {simp} (\operatorname {Grp} )} 여기서 s S e t r e d {\displaystyle \operatorname {sSet_{red}} } 는 단체 집합 가운데 하나의 꼭짓점만을 갖는 것(축소 단체 집합 縮小單體集合 영어: reduced simplicial set)들의 범주이다. simp ⁡ ( Grp ) {\displaystyle \operatorname {simp} (\operatorname {Grp} )} 은 단체군의 범주이다. 드와이어-칸 고리 준군 함자는 또한 오른쪽 수반 함자 B : sGpd → sSet {\displaystyle \mathrm {B} \colon \operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet} } 를 가지며, 이를 단체 분류 공간 함자(單體分類空間函子, 영어: simplicial classifying space functor)라고 한다. 즉, 수반 함자의 쌍 G : sSet ⇆ sGpd : B {\displaystyle \mathrm {G} \colon \operatorname {sSet} \leftrightarrows \operatorname {sGpd} \colon \mathrm {B} } 이 존재한다. 단체군의 단체 분류 공간은 축소 단체 집합이다. 이를 통해, 수반 함자의 쌍 G : s S e t r e d ⇆ Grp △ op : B {\displaystyle \mathrm {G} \colon \operatorname {sSet_{red}} \leftrightarrows \operatorname {Grp} ^{\triangle ^{\operatorname {op} }}\colon \mathrm {B} } 이 존재한다. 구체적으로, 단체 준군 ( G n ) n ∈ N {\displaystyle (G_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( B G ) 0 = Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle (\mathrm {B} G)_{0}=\operatorname {Ob} (G)} ( B G ) 1 = Mor ⁡ ( G 0 ) {\displaystyle (\mathrm {B} G)_{1}=\operatorname {Mor} (G_{0})} ( B G ) n = { ( h n − 1 , h n − 2 , … , h 1 , h 0 ) : h i ∈ G i , s G n ( h i ) = t G n ( h i − 1 ) ∀ 0 < i < n } ⊆ Mor ⁡ ( G n − 1 ) × ⋯ × Mor ⁡ ( G 0 ) {\displaystyle (\mathrm {B} G)_{n}=\{(h_{n-1},h_{n-2},\dotsc ,h_{1},h_{0})\colon h_{i}\in G_{i},\;{\mathsf {s}}_{G_{n}}(h_{i})={\mathsf {t}}_{G_{n}}(h_{i-1})\;\forall 0<i<n\}\subseteq \operatorname {Mor} (G_{n-1})\times \dotsb \times \operatorname {Mor} (G_{0})} 여기서 s G n , t G n : Mor ⁡ ( G n ) → Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle {\mathsf {s}}_{G_{n}},{\mathsf {t}}_{G_{n}}\colon \operatorname {Mor} (G_{n})\to \operatorname {Ob} (G)} 은 준군 G n {\displaystyle G_{n}} 의 사상의 머리 및 꼬리 함수이다. 면 사상은 다음과 같다. ∂ 0 n ( h n − 1 , … , h 0 ) = ( h n − 2 , … , h 0 ) {\displaystyle \partial _{0}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(h_{n-2},\dotsc ,h_{0})} ∂ i n ( h n − 1 , … , h 0 ) = ( ∂ i − 1 G n − 1 h n − 1 , ∂ i − 2 G n − 2 h n − 2 , … , ∂ 1 G n − i + 1 h n − i + 1 , ( ∂ 0 G n − i h n − i ) h n − i − 1 , h n − i − 2 , … , h 0 ) ( 0 < i < n ) {\displaystyle \partial _{i}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\partial _{i-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\partial _{i-2}^{G_{n-2}}h_{n-2},\dotsc ,\partial _{1}^{G_{n-i+1}}h_{n-i+1},(\partial _{0}^{G_{n-i}}h_{n-i})h_{n-i-1},h_{n-i-2},\dotsc ,h_{0})\qquad (0<i<n)} ∂ n n ( h n − 1 , … , h 0 ) = ( ∂ n − 1 G n − 1 h n − 1 , … , ∂ 1 G 1 h 1 ) {\displaystyle \partial _{n}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\partial _{n-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\dotsc ,\partial _{1}^{G_{1}}h_{1})} 퇴화 사상은 다음과 같다. s 0 n ( h n − 1 , … , h 0 ) = ( id s ( h n − 1 ) , h n − 1 , … , h 0 ) {\displaystyle s_{0}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\operatorname {id} _{{\mathsf {s}}(h_{n-1})},h_{n-1},\dotsc ,h_{0})} s i n ( h n − 1 , … , h 0 ) = ( s i − 1 h n − 1 , … , s 0 h n − i , id t ( h n − i ) , h n − i − 1 , … , h 0 ) ( 0 < i ≤ n ) {\displaystyle s_{i}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(s_{i-1}h_{n-1},\dotsc ,s_{0}h_{n-i},\operatorname {id} _{{\mathsf {t}}(h_{n-i})},h_{n-i-1},\dotsc ,h_{0})\qquad (0<i\leq n)} 단체 준군의 범주는 모형 범주의 구조를 가지며, 이는 단체 범주의 (표준적) 모형 범주 구조와 퀼런 동치이다.:323, Theorem 7.8 즉, 그 호모토피 범주는 단체 범주의 호모토피 범주와 동치이다.:325, Corollary 7.11 이 모형 범주 구조에서, 사상 f : G → H {\displaystyle f\colon G\to H} 가 올뭉치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다. (올림의 존재) 임의의 G {\displaystyle G} 의 대상 x ∈ Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle x\in \operatorname {Ob} (G)} 및 H {\displaystyle H} 의 사상 α ∈ hom H ⁡ ( f ( x ) , y ) {\displaystyle \alpha \in \hom _{H}(f(x),y)} 에 대하여, f ( α ¯ ) = α {\displaystyle f({\bar {\alpha }})=\alpha } 이며 f ( y ¯ ) = y {\displaystyle f({\bar {y}})=y} 인 G {\displaystyle G} 의 사상 α ¯ ∈ hom G ⁡ ( x , y ¯ ) {\displaystyle {\bar {\alpha }}\in \hom _{G}(x,{\bar {y}})} 이 존재한다. 각 대상 x ∈ Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle x\in \operatorname {Ob} (G)} 에 대하여, 단체 집합 사상 hom G ⁡ ( x , x ) → hom H ⁡ ( f ( x ) , f ( x ) ) {\displaystyle \hom _{G}(x,x)\to \hom _{H}(f(x),f(x))} 는 칸 올뭉치이다. 이 모형 범주 구조에서, 사상 f : G → H {\displaystyle f\colon G\to H} 가 약한 동치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다. f {\displaystyle f} 는 연결 성분 집합 π 0 ( G ) {\displaystyle \pi _{0}(G)} , π 0 ( H ) {\displaystyle \pi _{0}(H)} 사이의 전단사 함수를 정의한다. 임의의 x ∈ Ob ⁡ ( G ) {\displaystyle x\in \operatorname {Ob} (G)} 에 대하여, ( f ↾ hom G ⁡ ( x , x ) ) : hom G ⁡ ( x , x ) → hom H ⁡ ( f ( x ) , f ( x ) ) {\displaystyle (f\upharpoonright \hom _{G}(x,x))\colon \hom _{G}(x,x)\to \hom _{H}(f(x),f(x))} 는 단체 집합의 약한 동치를 이룬다. 이에 따라, 단체 준군을 위상 공간의 호모토피 유형의 모형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서, 단체군은 연결 공간에 해당한다. 단체군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로부터 무어 복합체라는 군들의 열을 정의할 수 있다. ( N G ) 0 ← ∂ 1 ( N G ) 1 ← ∂ 2 ( N G ) 2 ← ∂ 3 ⋯ {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}(\mathrm {N} G)_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}(\mathrm {N} G)_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}\dotsb } 이 사이의 사상 ∂ i : ( N G ) i → ( N G ) i − 1 {\displaystyle \partial _{i}\colon (\mathrm {N} G)_{i}\to (\mathrm {N} G)_{i-1}} 은 군 준동형이며, 또한 ∂ i ∘ ∂ i + 1 = 1 {\displaystyle \partial _{i}\circ \partial _{i+1}=1} (상수 함수)이다. 즉, 이는 군의 “사슬 복합체”를 이룬다. 또한, 각 경계 사상의 상은 정규 부분군을 이룬다. (즉, 이 “사슬 복합체”의 “호몰로지”를 취할 수 있다.) 이러한 구조 ( N G ) ∙ {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{\bullet }} 를 단체군 G {\displaystyle G} 의 무어 복합체(Moore複合體, 영어: Moore complex)라고 한다. 구체적으로, ( N G ) n = ⋂ i = 1 n ker ⁡ ∂ i G n ≤ G n {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}\ker \partial _{i}^{G_{n}}\leq G_{n}} ∂ n = ( ∂ i G n ↾ ( N G ) n ) : ( N G ) n → ( N G ) n − 1 {\displaystyle \partial _{n}=\left(\partial _{i}^{G_{n}}\upharpoonright (\mathrm {N} G)_{n}\right)\colon (\mathrm {N} G)_{n}\to (\mathrm {N} G)_{n-1}} 이다. 여기서 ∂ i G n : G n → G n − 1 {\displaystyle \partial _{i}^{G_{n}}\colon G_{n}\to G_{n-1}} 은 단체 대상의 면 사상이다. (※ ∂ 0 G n {\displaystyle \partial _{0}^{G_{n}}} 은 교집합에서 사용되지 않는다.) 다시 말해, 무어 복합체의 항 ( N G ) n {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{n}} 은 G {\displaystyle G} 의 n {\displaystyle n} 차원 단체 가운데, 1번째〜 n {\displaystyle n} 번째 면들이 모두 자명한 것들로 구성된 부분군이다. 그러나 0번째 면은 자명하지 않을 수 있다. (특히, ( N G ) 0 = G 0 {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{0}=G_{0}} 이다.) 무어 복합체의 경계 준동형은 0번째 면을 취하는 연산이다. 이러한 무어 복합체는 초교차 복합체(超交叉複合體, 영어: hypercrossed complex)라는 대수 구조를 이루며, 무어 복합체 구성을 통해 단체군의 범주는 초교차 복합체의 범주와 동치이다. 특히, 무어 복합체에서 ( N G ) 2 = 1 {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{2}=1} 이라고 하고, 처음 두 항 ( N G ) 0 ← ∂ ( N G ) 1 {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{0}{\xleftarrow {\partial }}(\mathrm {N} G)_{1}} 을 생각하자. ( N G ) 0 = G 0 {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{0}=G_{0}} 은 ( N G ) 1 {\displaystyle (\mathrm {N} G)_{1}} 위에 다음과 같이 작용한다. g ⋅ h = s 0 G 0 ( g ) h ( s 0 G 0 ( g ) ) − 1 ∈ ( N G ) 1 ( g ∈ G 0 , h ∈ ( N G ) 1 ) {\displaystyle g\cdot h=s_{0}^{G_{0}}(g)h(s_{0}^{G_{0}}(g))^{-1}\in (\mathrm {N} G)_{1}\qquad (g\in G_{0},\;h\in (\mathrm {N} G)_{1})} 그렇다면, 이 데이터는 교차 가군을 정의한다. 축소 단체 집합의 고리 군은 다니얼 칸이 1958년에 도입하였다. 이 구성을 윌리엄 제러드 드와이어(영어: William Gerard Dwyer, 1947〜)와 다니얼 칸이 1984년에 임의의 단체 집합의 고리 준군으로 일반화하였다. 준군 Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). 《Simplicial homotopy theory》. 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