호프 불변량

호모토피 이론에서 호프 불변량(Hopf不變量, 영어: Hopf invariant)은 특정한 차원의 두 초구 사이의 연속 함수를 분류하는 정수이다. 연속 함수 f : S 2 n − 1 → S n {\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2n-1}\to \mathbb {S} ^{n}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 S 2 n − 1 = ∂ D 2 n {\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}=\partial \mathbb {D} ^{2n}} 이므로 이를 사용하여 CW 복합체 D 2 n ∪ f S n {\displaystyle \mathbb {D} ^{2n}\cup _{f}\mathbb {S} ^{n}} 를 정의할 수 있다. 이는 1개의 0차원 세포 · 1개의 n {\displaystyle n} 차원 세포 · 1개의 2 n {\displaystyle 2n} 차원 세포를 갖는다. n = 1 {\displaystyle n=1} 일 경우, 이러한 함수는 브라우어르 차수에 의하여 완전히 분류된다. 만약 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 라면, 세포 코호몰로지를 사용하여 CW 복합체의 코호몰로지를 바로 계산할 수 있다. H k ⁡ ( D 2 n ∪ f S n ; Z ) = { Z = ⟨ 1 ⟩ k = 0 Z = ⟨ α ⟩ k = n Z = ⟨ β ⟩ k = 2 n 0 n ≠ 0 , n , 2 n {\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(\mathbb {D} ^{2n}\cup _{f}\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} =\langle 1\rangle &k=0\\\mathbb {Z} =\langle \alpha \rangle &k=n\\\mathbb {Z} =\langle \beta \rangle &k=2n\\0&n\neq 0,n,2n\end{cases}}} 코호몰로지는 등급환을 이룬다. 이 경우, 코호몰로지류의 합곱은 등급 때문에 다음과 같은 꼴이어야 한다. α ⌣ β = β ⌣ β = 0 {\displaystyle \alpha \smile \beta =\beta \smile \beta =0} α ⌣ α = h f β ( h f ∈ Z ) {\displaystyle \alpha \smile \alpha =h_{f}\beta \qquad (h_{f}\in \mathbb {Z} )} 이 정수 h f ∈ Z {\displaystyle h_{f}\in \mathbb {Z} } 를 f {\displaystyle f} 의 호프 불변량이라고 한다. 이는 초구의 호모토피 군으로부터 무한 순환군으로 가는 군 준동형을 이룬다. h : π 2 n − 1 ( S n ) → Z {\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(\mathbb {S} ^{n})\to \mathbb {Z} } 상수 함수의 호프 불변량은 0이다. 유리수 호모토피 이론 등에 의하여, 호모토피 군 π 2 n − 1 ( S n ) {\displaystyle \pi _{2n-1}(\mathbb {S} ^{n})} 은 유한한 아벨 꼬임 부분군과 무한 순환군의 직합이다. 꼬임 부분군은 물론 호프 불변량 준동형 아래 0으로 대응된다. 호프 불변량 준동형의 치역은 다음과 같다. h ( π 2 n − 1 ( S n ) ) = { Z n = 2 , 4 , 8 2 Z n ≥ 2 , n ≠ 2 , 4 , 8 {\displaystyle h(\pi _{2n-1}(\mathbb {S} ^{n}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=2,4,8\\2\mathbb {Z} &n\geq 2,n\neq 2,4,8\end{cases}}} 즉, n = 2 , 4 , 8 {\displaystyle n=2,4,8} (실수체 위의 노름 나눗셈 대수들의 차원)인 경우, 호프 올뭉치가 존재하여 h = 1 {\displaystyle h=1} 이 가능하며, 그렇지 않은 경우 호프 불변량은 항상 짝수이다. 호프 불변량이 1인 함수를 호프 함수(영어: Hopf map)라고 한다. 이들은 구체적으로 다음과 같다. 우선 K ∈ { C , H , O } {\displaystyle K\in \{\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \}} 가 실수체 위의 노름 나눗셈 대수 (복소수체, 사원수 대수, 팔원수 대수 가운데 하나)라고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle K} 위의 사영 직선 P K 1 = K 2 ( a , b ) ∼ ( c a , c b ) = K ⊔ { ∞ ^ } ≅ S dim R ⁡ K {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}={\frac {K^{2}}{(a,b)\sim (ca,cb)}}=K\sqcup \{{\widehat {\infty }}\}\cong \mathbb {S} ^{\dim _{\mathbb {R} }K}} 및 K 2 {\displaystyle K^{2}} 속의 단위 노름 초구 S ( K 2 ) = { ( a , b ) ∈ K 2 : | a | 2 + | b | 2 = 1 } ≅ S 2 dim R ⁡ K − 1 {\displaystyle \mathbb {S} (K^{2})=\{(a,b)\in K^{2}\colon |a|^{2}+|b|^{2}=1\}\cong \mathbb {S} ^{2\dim _{\mathbb {R} }K-1}} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, S ( K 2 ) → P K 1 {\displaystyle \mathbb {S} (K^{2})\to \mathbb {P} _{K}^{1}} ( a , b ) ↦ [ a : b ] ∈ P K 1 {\displaystyle (a,b)\mapsto [a:b]\in \mathbb {P} _{K}^{1}} 는 호프 함수를 이룬다. 호프 불변량의 개념은 하인츠 호프가 호프 올뭉치를 연구하는 과정에 1935년에 발견하였다. 1960년에 존 프랭크 애덤스는 호프 불변량이 1인 경우는 2, 4, 8차원 호프 올뭉치 밖에 없다는 것을 보였다. 이후 1966년에 애덤스와 마이클 아티야는 이를 위상 K이론을 사용하여 재증명하였다. Hopf, Heinz (1935). “Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 25: 427–440. Zbl 0012.31902.  Adams, J. F. (1958). “On the nonexistence of elements of Hopf invariant one”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 64: 279-282. doi:10.1090/S0002-9904-1958-10225-6. ISSN 0273-0979. MR 0097059.  Adams, J. F. (1960년 7월). “On the non-existence of elements of Hopf invariant one” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) 72 (1): 20–104. doi:10.2307/1970147. JSTOR 1970147. MR 0141119. 2016년 1월 25일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 12일에 확인함.  Adams, J. F.; Atiyah, M. F. (1966). “K-theory and the Hopf invariant”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 17 (1): 31–38. doi:10.1093/qmath/17.1.31.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Hopf invariant one theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Hopf invariant”. 《nLab》 (영어).  “Hopf invariant one”. 《nLab》 (영어).  “Hopf construction”. 《nLab》 (영어).  “Hopf invariant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  호프 올뭉치