프라티니 부분군

군론에서 프라티니 부분군(Frattini部分群, 영어: Frattini subgroup)은 어떤 군의, “매우 작은” 원소들만으로 구성된 정규 부분군이다. 구체적으로, “너무 작아서” 군을 생성할 때 불가결할 경우가 절대 없으며, 또한 모든 극대 진부분군에 속하는 원소들만으로 구성된다. 군 G {\displaystyle G} 의 부분군들의 족을 Sub ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (G)} 라고 하자. 이는 부분 집합 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이루며, 이는 사실 완비 격자를 이룬다. 이 완비 격자에서, 하한은 교집합이다. (그러나 상한은 합집합이 아니다.) 그 최대 원소는 물론 G ∈ Sub ⁡ ( G ) {\displaystyle G\in \operatorname {Sub} (G)} 이다. 이제, Sub ⁡ ( G ) ∖ { G } {\displaystyle \operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\}} 의 극대 원소들의 집합 max ( Sub ⁡ ( G ) ∖ { G } ) ⊆ Sub ⁡ ( G ) ∖ { G } {\displaystyle \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})\subseteq \operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\}} 을 생각하자. (이는 공집합일 수 있다.) 군 G {\displaystyle G} 의 원소 a {\displaystyle a} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 비생성원(非生成元, 영어: non-generating element)라고 하자. 만약 부분 집합 S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} 가 G {\displaystyle G} 를 생성하며, a ∈ S {\displaystyle a\in S} 라면, S ∖ { a } {\displaystyle S\setminus \{a\}} 역시 G {\displaystyle G} 를 생성한다. 이제, 다음 두 부분 집합이 일치하며, 이를 G {\displaystyle G} 의 프라티니 부분군이라고 하고, Φ ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {\Phi } (G)} 로 표기한다. ⋂ max ( Sub ⁡ ( G ) ∖ { G } ) {\displaystyle \textstyle \bigcap \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})} (즉, G {\displaystyle G} 의 모든 극대 진부분군들의 교집합) G {\displaystyle G} 의 비생성원들의 집합 (여기서, ⋂ ∅ = G {\displaystyle \textstyle \bigcap \varnothing =G} 이다. 즉, 만약 극대 진부분군이 없다면, 프라티니 부분군은 G {\displaystyle G} 전체이다.) 증명 (비생성원 ⇒ 모든 극대 진부분군에 속함): g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 비생성원이라고 하고, M ∈ max ( Sub ⁡ ( G ) ∖ { G } ) {\displaystyle M\in \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})} 가 G {\displaystyle G} 의 극대 진부분군이라고 하자. 이제, a ∉ M {\displaystyle a\not \in M} 이라면, M ∪ { g } {\displaystyle M\cup \{g\}} 로 생성되는 부분군을 생각하자. M {\displaystyle M} 이 극대 진부분군이므로, 이는 G {\displaystyle G} 이다. 그런데 M ∪ { a } {\displaystyle M\cup \{a\}} 은 G {\displaystyle G} 의 생성 집합이지만 M {\displaystyle M} 은 G {\displaystyle G} 의 생성 집합이 아니다. 따라서 이는 모순이다. 증명 (비생성원이 아님 ⇒ 속하지 않는 극대 진부분군이 존재): 어떤 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 및 부분 집합 S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} 에 대하여, 만약 S ∪ { g } {\displaystyle S\cup \{g\}} 가 G {\displaystyle G} 를 생성하지만, S {\displaystyle S} 는 G {\displaystyle G} 를 생성하지 않는다고 하자. 이제, S {\displaystyle S} 를 포함하며, g {\displaystyle g} 를 포함하지 않는 모든 부분군들의 족 { H ∈ Sub ⁡ ( G ) : g ∉ H ⊇ S } {\displaystyle \{H\in \operatorname {Sub} (G)\colon g\not \in H\supseteq S\}} 을 생각하자. 초른 보조정리에 따라, 이는 적어도 하나의 극대 원소 M ≤ G {\displaystyle M\leq G} 를 갖는다. 이제, 이 부분군이 G {\displaystyle G} 의 극대 진부분군임을 보이면 족하다. M {\displaystyle M} 을 포함하는 임의의 부분군 M < N ≤ G {\displaystyle M<N\leq G} 를 생각하자. 이제, M {\displaystyle M} 이 { H ∈ Sub ⁡ ( G ) : g ∉ H ⊇ S } {\displaystyle \{H\in \operatorname {Sub} (G)\colon g\not \in H\supseteq S\}} 의 극대 원소이므로, g ∈ N {\displaystyle g\in N} 이다. 그러므로, N = G {\displaystyle N=G} 이다. 따라서, M {\displaystyle M} 은 g {\displaystyle g} 를 포함하지 않는, G {\displaystyle G} 의 극대 진부분군이다. 군 G {\displaystyle G} 의 프라티니 부분군은 항상 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군이다. 증명: G {\displaystyle G} 의 프라티니 부분군은 G {\displaystyle G} 의 부분군들의 완비 격자에 의하여 결정된다. G {\displaystyle G} 의 극대 진부분군의 집합은 G {\displaystyle G} 의 모든 자기 동형 사상 아래 불변이며, 따라서 그 교집합인 프라티니 부분군 역시 마찬가지다. 특히, 켤레 사상은 군의 자기 동형 사상이므로, 프라티니 부분군은 정규 부분군이다. 만약 G {\displaystyle G} 가 유한군이라면, 그 프라티니 부분군은 멱영군이다. 임의의 두 유한군 G {\displaystyle G} , H {\displaystyle H} 에 대하여, Φ ⁡ ( G × H ) = Φ ⁡ ( G ) × Φ ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {\Phi } (G\times H)=\operatorname {\Phi } (G)\times \operatorname {\Phi } (H)} 이다. 크기 8의 정이면체군 Dih ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)} 의 부분군들의 하세 도표는 다음과 같다. 이 경우, 극대 진부분군들은 위에서 둘째 줄의 세 부분군들이다. Dih ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)} 의 프라티니 부분군은 이들의 교집합(하한)인, 셋째 줄의 가운데에 있는 부분군 {F, Ⅎ}이다. 초특별군의 프라티니 부분군은 그 중심과 일치하며, 소수 크기의 순환군이다. 유리수체의 덧셈군 ( Q , + ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)} 을 생각하자. 이는 극대 진부분군을 갖지 않으며, 따라서 그 프라티니 부분군은 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 전체이다. 마찬가지로, 자명군은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 그 진부분군은 자명군이다. 조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini, 1852~1925)가 1885년에 도입하였다. 이 논문에서 프라티니는 프라티니 부분군의 두 정의가 서로 동치임을 증명하였다. 프라티니 논증 Frattini, Giovanni (1885). “Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni”. 《Atti della Reale Accademia dei Lincei. Serie Quarta》 (이탈리아어) 1: 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01.  “Frattini subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Frattini-subgroup(2)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Frattini subgroup”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Frattini factor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Frattini extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Frattini subgroup”. 《Groupprops》 (영어).  “Frattini-free group”. 《Groupprops》 (영어).