단순 확대

체론에서 단순 확대(單純擴大, 영어: simple extension)는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌다고 하자. 만약 L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} 가 되는 α ∈ L {\displaystyle \alpha \in L} 이 존재한다면, L / K {\displaystyle L/K} 를 단순 확대라고 하고, α {\displaystyle \alpha } 를 원시 원소(原始元素, 영어: primitive element)라고 한다. 만약 α {\displaystyle \alpha } 가 K {\displaystyle K} -초월 원소라면, K ( α ) ≅ K ( x ) {\displaystyle K(\alpha )\cong K(x)} 는 K {\displaystyle K} 의 일변수 유리 함수체와 동형이다. 만약 α {\displaystyle \alpha } 가 K {\displaystyle K} -대수적 원소라면, K {\displaystyle K} 의 다항식환의 어떤 몫환 K ( α ) ≅ K [ x ] / ( p ( x ) ) {\displaystyle K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))} [ K ( α ) : K ] = deg ⁡ p {\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg p} 과 동형이다. 여기서 p {\displaystyle p} 는 α {\displaystyle \alpha } 의 K {\displaystyle K} -최소 다항식이다. 이는 기약 다항식이므로, ( p ( x ) ) {\displaystyle (p(x))} 는 극대 아이디얼이며, K [ x ] / ( p ( x ) ) {\displaystyle K[x]/(p(x))} 는 체를 이룬다. 유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리(原始元素定理, 영어: primitive element theorem)에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. L / K {\displaystyle L/K} 는 단순 확대이다. L / K {\displaystyle L/K} 사이에, K ⊆ M ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} 이 되는 체 M {\displaystyle M} 의 수는 유한하다. 증명: L / K {\displaystyle L/K} 사이의 체의 수가 유한하다고 가정하자. 만약 K {\displaystyle K} 가 유한체라면, L {\displaystyle L} 역시 유한체이며, 곱셈군 L ∖ { 0 } {\displaystyle L\setminus \{0\}} 은 순환군이다. L ∖ { 0 } = { 1 , α , α 2 , … } {\displaystyle L\setminus \{0\}=\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots \}} 라고 할 때, L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} 이다. 이제, K {\displaystyle K} 가 무한체라고 하자. 그렇다면, 임의의 α , β ∈ L {\displaystyle \alpha ,\beta \in L} 에 대하여, K ( α + c β ) = K ( α + c ′ β ) {\displaystyle K(\alpha +c\beta )=K(\alpha +c'\beta )} c ≠ c ′ {\displaystyle c\neq c'} 인 c , c ′ ∈ K {\displaystyle c,c'\in K} 가 존재한다. β = ( ( α + c β ) − ( α + c ′ β ) ) / ( c − c ′ ) ∈ K ( α + c β ) {\displaystyle \beta =((\alpha +c\beta )-(\alpha +c'\beta ))/(c-c')\in K(\alpha +c\beta )} α = ( α + c β ) − c β ∈ K ( α + c β ) {\displaystyle \alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )} 이므로, K ( α , β ) = K ( α + c β ) {\displaystyle K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )} 이다. 수학적 귀납법에 따라, L = K ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})} 이라고 하였을 때, L = K ( α 1 + c 2 α 2 + ⋯ + c n α n ) {\displaystyle L=K(\alpha _{1}+c_{2}\alpha _{2}+\cdots +c_{n}\alpha _{n})} 인 c 2 , … , c n ∈ K {\displaystyle c_{2},\dots ,c_{n}\in K} 가 존재한다. 즉, L / K {\displaystyle L/K} 는 단순 확대이다. 반대로, L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} 가 K {\displaystyle K} 의 단순 확대라고 가정하자. L / K {\displaystyle L/K} 사이의 임의의 체 K ⊆ M ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} 에 대하여, p M ∈ M [ x ] {\displaystyle p_{M}\in M[x]} 가 α {\displaystyle \alpha } 의 M {\displaystyle M} -최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, p M ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)} 는 p K ( x ) {\displaystyle p_{K}(x)} 의 약수이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서 M ↦ p M {\displaystyle M\mapsto p_{M}} 이 단사 함수임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} 에 대하여, S p {\displaystyle S_{p}} 가 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 의 계수들의 집합이라고 하자. 그렇다면, p ∈ K ( S p ) [ x ] {\displaystyle p\in K(S_{p})[x]} 이다. 임의의 체 K ⊆ M ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} 에 대하여, p M ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)} 는 M {\displaystyle M} -기약 다항식이며, K ( S ) ⊆ M {\displaystyle K(S)\subseteq M} 이므로, p M ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)} 는 K ( S p M ) {\displaystyle K(S_{p_{M}})} -기약 다항식이다. 즉, p M {\displaystyle p_{M}} 은 α {\displaystyle \alpha } 의 K ( S p M ) {\displaystyle K(S_{p_{M}})} -최소 다항식이기도 하다. 따라서, [ L : K ( S p M ) ] = [ K ( S p M ) ( α ) : K ( S p M ) ] = deg ⁡ p M = [ M ( α ) : M ] = [ L : M ] {\displaystyle [L:K(S_{p_{M}})]=[K(S_{p_{M}})(\alpha ):K(S_{p_{M}})]=\deg p_{M}=[M(\alpha ):M]=[L:M]} [ K ( S p M ) : K ] = [ L : K ] / [ L : K ( S p M ) ] = [ L : K ] / [ L : M ] = [ M : K ] {\displaystyle [K(S_{p_{M}}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_{M}})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]} 이다. M / K {\displaystyle M/K} 는 유한 확대이며, K ( S p M ) ⊆ M {\displaystyle K(S_{p_{M}})\subseteq M} 이므로, M = K ( S p M ) {\displaystyle M=K(S_{p_{M}})} 이다. 만약 K ⊆ M , M ′ ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M,M'\subseteq L} 이며 p M = p M ′ {\displaystyle p_{M}=p_{M'}} 이라면, M = K ( S p M ) = K ( S p M ′ ) = M ′ {\displaystyle M=K(S_{p_{M}})=K(S_{p_{M'}})=M'} 이다. 즉, M ↦ p M {\displaystyle M\mapsto p_{M}} 은 단사 함수가 맞다. 또한, 만약 L / K {\displaystyle L/K} 가 유한 분해 가능 확대라면, 그 사이에 존재하는 체들의 수는 유한하며, L / K {\displaystyle L/K} 는 항상 단순 확대이다. 증명: 만약 K {\displaystyle K} 가 유한체라면, L {\displaystyle L} 역시 유한체이며, 곱셈군 L ∖ { 0 } {\displaystyle L\setminus \{0\}} 은 순환군이다. L ∖ { 0 } = { 1 , α , α 2 , … } {\displaystyle L\setminus \{0\}=\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots \}} 라고 할 때, L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} 이다. 이제, K {\displaystyle K} 가 무한 집합이라고 가정하자. 수학적 귀납법에 따라, L = K ( α , β ) {\displaystyle L=K(\alpha ,\beta )} 인 경우를 보이면 충분하다. p , q ∈ K [ x ] {\displaystyle p,q\in K[x]} 가 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 의 K {\displaystyle K} -최소 다항식이라고 하고, { α 1 = α , α 2 , … , α m } {\displaystyle \{\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m}\}} 와 { β 1 = β , β 2 , … , β n } {\displaystyle \{\beta _{1}=\beta ,\beta _{2},\dots ,\beta _{n}\}} 가 (대수적 폐포 K ¯ / L / K {\displaystyle {\bar {K}}/L/K} 속) p ( x ) {\displaystyle p(x)} 와 q ( x ) {\displaystyle q(x)} 의 서로 다른 근들이라고 하자. p ( x ) {\displaystyle p(x)} , q ( x ) {\displaystyle q(x)} 가 분해 가능 다항식이므로, p ( x ) = ( x − α 1 ) ⋯ ( x − α m ) {\displaystyle p(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{m})} q ( x ) = ( x − β 1 ) ⋯ ( x − β n ) {\displaystyle q(x)=(x-\beta _{1})\cdots (x-\beta _{n})} 이다. K {\displaystyle K} 는 무한 집합이므로, α 1 + c β 1 ≠ α i + c β j ( i = 1 , … , m , j = 2 , … , n ) {\displaystyle \alpha _{1}+c\beta _{1}\neq \alpha _{i}+c\beta _{j}\qquad (i=1,\dots ,m,j=2,\dots ,n)} 인 c ∈ K {\displaystyle c\in K} 가 존재한다. 다항식 p ( α + c β − c x ) = ( α 1 + c β 1 − α 1 − c x ) ( α 1 + c β 1 − α 2 − c x ) ⋯ ( α 1 + c β 1 − α m − c x ) ∈ K ( α + c β ) [ x ] {\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx)=(\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{1}-cx)(\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{2}-cx)\cdots (\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{m}-cx)\in K(\alpha +c\beta )[x]} 을 생각하자. c {\displaystyle c} 의 선택에 따라, p ( α + c β − c β 1 ) = 0 {\displaystyle p(\alpha +c\beta -c\beta _{1})=0} 이며, j = 2 , … , n {\displaystyle j=2,\dots ,n} 에 대하여 p ( α + c β − c β j ) ≠ 0 {\displaystyle p(\alpha +c\beta -c\beta _{j})\neq 0} 이다. 즉, p ( α + c β − c x ) {\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx)} 와 q ( x ) {\displaystyle q(x)} 가 공유하는 근은 β 1 {\displaystyle \beta _{1}} 밖에 없다. β {\displaystyle \beta } 는 중복도 1의 근이므로, 두 다항식의 최대 공약수는 x − β {\displaystyle x-\beta } 이다. p ( α + c β − c x ) , q ( x ) ∈ K ( α + c β ) [ x ] {\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx),q(x)\in K(\alpha +c\beta )[x]} 이므로, x − β ∈ K ( α + c β ) [ x ] {\displaystyle x-\beta \in K(\alpha +c\beta )[x]} 이며, β ∈ K ( α + c β ) {\displaystyle \beta \in K(\alpha +c\beta )} 이다. 또한, α = ( α + c β ) − c β ∈ K ( α + c β ) {\displaystyle \alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )} 이다. 따라서, L = K ( α , β ) = K ( α + c β ) {\displaystyle L=K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )} 이다. C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 는 단순 확대이며, 원시 원소는 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} 이다. 이차 수체 Q ( d ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} } 역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 d {\displaystyle {\sqrt {d}}} 이다. Q ( 2 , 3 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} } 를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대이며, 또한 표수가 0이므로 분해 가능 확대이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다. 구체적으로, α = 2 + 3 {\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 으로 적자. 그렇다면 { 1 , α , α 2 , α 3 } {\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}\}} 은 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 위에서 선형 독립이며, 이를 { 1 , 2 , 3 , 6 } {\displaystyle \{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\}} 기저로 전개할 수 있다. 따라서 α {\displaystyle \alpha } 는 원시 원소이다. 체 K {\displaystyle K} 의 유리 함수체 K ( x ) {\displaystyle K(x)} 는 단순 확대이지만, 무한 확대이다. F p ( x , y ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)} 의 확대 F p ( x , y ) [ X , Y ] / ( X p − x , Y p − y ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)} 를 생각하자. 이는 차수 p 2 {\displaystyle p^{2}} 의 유한 확대이다. 임의의 a ∈ F p ( x , y ) [ X , Y ] / ( X p − x , Y p − y ) {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)} 에 대하여, a p ∈ F p ( x , y ) {\displaystyle a^{p}\in \mathbb {F} _{p}(x,y)} 이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상 p {\displaystyle p} 이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다. “Finite extension of fields with no primitive element”. 《Math Overflow》 (영어).