단조 수렴 정리

실해석학에서 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 가측 함수의 증가 함수열의 르베그 적분과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 위의 음이 아닌 가측 함수의 열 f n : X → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle f_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) 및 함수 f : X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle f\colon X\to [0,\infty ]} 가 다음을 만족시킨다고 하자. (증가 함수열) 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)} (점별 수렴) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)} 단조 수렴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.:30 f {\displaystyle f} 는 가측 함수이다. ∫ X f d μ = lim n → ∞ ∫ X f n d μ {\displaystyle \int _{X}fd\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu } 이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 g n : X → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle g_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} 에 대하여, 다음이 성립한다. ∑ n = 0 ∞ g n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n}} 는 가측 함수이다. ∫ X ∑ n = 0 ∞ g n d μ = ∑ n = 0 ∞ ∫ X g n d μ {\displaystyle \int _{X}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{X}g_{n}d\mu } 증명: 우선 f {\displaystyle f} 가 가측 함수임을 보이자. 임의의 a ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle a\in [0,\infty ]} 에 대하여, 각 f n {\displaystyle f_{n}} 이 가측 함수이므로, f n − 1 ( [ 0 , a ] ) ∈ Σ {\displaystyle f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma } 이며, 따라서 f − 1 ( [ 0 , a ] ) = ⋂ n ∈ N f n − 1 ( [ 0 , a ] ) ∈ Σ {\displaystyle f^{-1}([0,a])=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma } 이다. 즉, f {\displaystyle f} 는 가측 함수가 맞다. 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, ∀ x ∈ X : f n ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon f_{n}(x)\leq f(x)} 이므로, ∫ X f n d μ ≤ ∫ X f d μ {\displaystyle \int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu } 이며, 이에 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 을 취하면 lim n → ∞ ∫ X f n d μ ≤ ∫ X f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu } 을 얻는다. 이제, ∀ x ∈ X : s ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\colon s(x)\leq f(x)} 인 임의의 단순 함수 s {\displaystyle s} 와 임의의 0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1} 을 고정하고, 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 A n = { x ∈ X : α s ( x ) ≤ f n ( x ) } ∈ Σ {\displaystyle A_{n}=\{x\in X\colon \alpha s(x)\leq f_{n}(x)\}\in \Sigma } 라고 하자. 그렇다면, A 0 ⊆ A 1 ⊆ ⋯ {\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots } 이며, ⋃ n ∈ N A n = X {\displaystyle \textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X} 이다. 또한, 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, α ∫ A n s d μ ≤ ∫ A n f n d μ ≤ ∫ X f n d μ {\displaystyle \alpha \int _{A_{n}}sd\mu \leq \int _{A_{n}}f_{n}d\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu } 이다. n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 을 취하면 α ∫ X s d μ ≤ ∫ X f n d μ {\displaystyle \alpha \int _{X}sd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu } 를 얻으며, 다시 α → 1 {\displaystyle \alpha \to 1} 을 취하면 ∫ X s d μ ≤ ∫ X f n d μ {\displaystyle \int _{X}sd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu } 를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라, ∫ X f d μ ≤ ∫ X f n d μ {\displaystyle \int _{X}fd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu } 이다. 단조 수렴 정리를 자연수의 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } 위의 셈측도 공간 ( N , P ( N ) , | ⋅ | ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),|\cdot |)} 에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬 ( a m n ) m , n ∈ N ⊆ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle (a_{mn})_{m,n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty ]} 에 대하여, 다음이 성립한다.:168 ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ a m n = ∑ n = 0 ∞ ∑ m = 0 ∞ a m n {\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{mn}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{mn}} 임의의 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 및 음이 아닌 가측 함수 f : X → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle f\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} 에 대하여, 함수 ν ( A ) = ∫ A f d μ ( A ∈ Σ ) {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu \qquad (A\in \Sigma )} 는 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} 위의 측도를 이루며, 또한 이는 μ {\displaystyle \mu } -절대 연속 측도를 이룬다 (즉, μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} 은 ν ( A ) = 0 {\displaystyle \nu (A)=0} 을 함의한다). 증명: 임의의 가산 무한 개의 서로소 집합 A 0 , A 1 , ⋯ ⊆ Σ {\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \subseteq \Sigma } 에 대하여, 각 f 1 A n {\displaystyle f1_{A_{n}}} 은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라 ν ( ⋃ n = 0 ∞ A n ) = ∫ X f 1 ⋃ n = 0 ∞ A n d μ = ∫ X ∑ n = 0 ∞ f 1 A n d μ = ∑ n = 0 ∞ f 1 A n d μ = ∑ n = 0 ∞ ν ( A n ) {\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}\right)=\int _{X}f1_{\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}}d\mu =\int _{X}\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\nu (A_{n})} 이다. 따라서 ν {\displaystyle \nu } 는 측도이다. 만약 A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } 이며 μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} 이라면, μ {\displaystyle \mu } -거의 어디서나 f 1 A = 0 {\displaystyle f1_{A}=0} 이므로, ν ( A ) = ∫ f 1 A d μ = 0 {\displaystyle \nu (A)=\int f1_{A}d\mu =0} 이다. 따라서 ν {\displaystyle \nu } 는 μ {\displaystyle \mu } -절대 연속 측도이다. 파투 보조정리 지배 수렴 정리 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002 J Yeh (2006). 《Real analysis. Theory of measure and integration》.  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  “Lebesgue theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Monotone convergence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Monotone convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of monotone convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Monotone convergence theorem (measure theory)”. 《ProofWiki》 (영어).