다중극 전개

다중극 전개(多重極展開, multipole expansion)는 수학과 물리학에서 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론 등에서 쓰인다. 어떤 부피 S ⊂ R 3 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}} 가 생성하는 퍼텐셜 ϕ {\displaystyle \phi } 가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자. ϕ ( x ) = ∫ S ρ ( y ) ‖ x − y ‖ d 3 y {\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\int _{S}{\frac {\rho (\mathbf {y} )}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert }}\;d^{3}\mathbf {y} } 그렇다면 S {\displaystyle S} 안에 임의의 "중심" y 0 {\displaystyle \mathbf {y} _{0}} 을 잡아, ϕ {\displaystyle \phi } 를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다. ϕ ( x ) = ϕ 0 ‖ x − y 0 ‖ + ϕ 1 ‖ x − y 0 ‖ 2 + ϕ 2 ‖ x − y 0 ‖ 3 + ⋯ + ϕ n ‖ x − y 0 ‖ n + 1 + ⋯ {\displaystyle \phi (\mathbf {x} )={\frac {\phi _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}+{\frac {\phi _{1}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{2}}}+{\frac {\phi _{2}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{3}}}+\cdots +{\frac {\phi _{n}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{n+1}}}+\cdots } . 여기서 ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} 항을 홀극(-極, monopole), ϕ 1 {\displaystyle \phi _{1}} 항을 쌍극(雙極, dipole), ϕ 2 {\displaystyle \phi _{2}} 항을 사중극(四重極, quadrupole), ϕ 3 {\displaystyle \phi _{3}} 항을 팔중극(八重極, octupole), 일반적으로 ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} 항을 2 n {\displaystyle 2^{n}} 중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다. 다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 르장드르 다항식 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} 의 생성 함수이다. 1 ‖ x − y ‖ = 1 ‖ x − y 0 ‖ ∑ n = 0 ∞ P n ( cos ⁡ θ ) ( y − y 0 x − y 0 ) n {\displaystyle {\frac {1}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert }}={\frac {1}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(\cos \theta )\left({\frac {\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}}{\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}}\right)^{n}} . 여기서 θ = arccos ⁡ ( x − y 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) ‖ x − y 0 ‖ ‖ y − y 0 ‖ {\displaystyle \theta =\arccos {\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0})\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0})}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert \,\Vert \mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}} 는 x − y 0 {\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}} 와 y − y 0 {\displaystyle \mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}} 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다. ϕ n = ∫ ‖ y − y 0 ‖ n P n ( cos ⁡ θ ) ρ ( y ) d 3 y {\displaystyle \phi _{n}=\int \Vert \mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{n}P_{n}(\cos \theta )\rho (\mathbf {y} )\;d^{3}\mathbf {y} } . 일반적으로 P n ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{n}(\cos \theta )} 는 다음과 같이 n {\displaystyle n} 차 텐서로 쓸 수 있다. P n ( cos ⁡ θ ) = ∑ i 1 = 1 3 ∑ i 2 = 1 3 ⋯ ∑ i n = 1 3 ( x − y 0 ‖ x − y 0 ‖ ) i 1 ( x − y 0 ‖ x − y 0 ‖ ) i 2 ⋯ ( x − y 0 ‖ x − y 0 ‖ ) i n C i 1 i 2 i 3 ⋯ i n ( n ) ( y − y 0 ) {\displaystyle P_{n}(\cos \theta )=\sum _{i_{1}=1}^{3}\sum _{i_{2}=1}^{3}\cdots \sum _{i_{n}=1}^{3}\left({\frac {\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\right)_{i_{1}}\left({\frac {\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\right)_{i_{2}}\cdots \left({\frac {\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\right)_{i_{n}}C_{i_{1}i_{2}i_{3}\cdots i_{n}}^{(n)}(\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0})} . 즉, 편의상 ‖ x − y 0 ‖ = r {\displaystyle \Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert =r} ( x − y 0 ) / r = r ^ {\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0})/r={\hat {\mathbf {r} }}} 로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다. ϕ = C ( 0 ) r + r ^ i C i ( 1 ) r 2 + r ^ i r ^ j C i j ( 1 ) r 2 + ⋯ {\displaystyle \phi ={\frac {C^{(0)}}{r}}+{\frac {{\hat {r}}^{i}C_{i}^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {{\hat {r}}^{i}{\hat {r}}^{j}C_{ij}^{(1)}}{r^{2}}}+\dotsb } . 여기서 n {\displaystyle n} 차 텐서 C ( n ) {\displaystyle C^{(n)}} 을 ϕ {\displaystyle \phi } 의 2 n {\displaystyle 2^{n}} 중극자 모멘트라고 부른다. Griffiths, David J. (1999). 《Introduction to Electrodynamics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0138053260.  Jackson, J. D. (1962, 1975, 1998). 《(영어)Classical Electrodynamics》 (영어). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. OCLC 535998. 2013년 8월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 8월 23일에 확인함.  다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말) Edmonds, A.R. (1957). 《(영어)Angular momentum in quantum mechanics》. Princeton University Press. ISBN 9780691025896.  르장드르 다항식