F이론

끈 이론에서 F이론(F理論, 영어: F-theory)은 ⅡB종 초끈 이론의 축소화를 나타내는 이론이다. 이란인 이론 물리학자 캄란 바파가 1996년에 발표하였다. 형식적으로는 12차원 이론이나, 이는 축소화를 하지 않고는 일관적이지 않다. F이론을 사용하여 ⅡB종 초끈 이론의 수많은 축소화를 계산할 수 있고, 이들 가운데 상당수는 현상론적으로 중요하다. 10차원에 존재하는 ⅡB종 끈 이론은 SL(2;ℤ) S-이중성을 가진다. 이 이중성은 12차원의 F이론을 원환면 T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} 에 축소화하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 해석하면, 원환면의 모양을 나타내는 복소구조 모듈라이 τ {\displaystyle \tau } 를 라몽-라몽 장 (액시온) C 0 {\displaystyle C_{0}} 와 딜라톤 Φ {\displaystyle \Phi } 의 합 τ = C 0 + i exp ⁡ ( − Φ ) {\displaystyle \tau =C_{0}+\mathrm {i} \exp(-\Phi )} 로 해석할 수 있다. 이 복소수 값 스칼라장을 액시오딜라톤(영어: axiodilaton)이라고 한다. 그러나 원환면의 크기를 나타내는 켈러 모듈라이에 해당하는 장은 존재하지 않는다. 즉, ⅡB종 끈 이론은 F이론을 “크기가 0인 원환면”에 축소화한 것으로 해석할 수 있다. 보다 일반적으로, F이론은 원환면의 복소구조 모듈라이 공간( C / S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \mathbb {C} /SL(2,\mathbb {Z} )} )의 다발 구조를 갖춘 칼라비-야우 다양체에 축소화할 수 있다. 다발의 특이올(singular fibre)은 D7-막의 존재를 나타낸다. 따라서 F이론은 ⅡB종 끈 이론의 액시온과 딜라톤, D7-막의 배열을 기하학적인 데이터로 나타낸 이론이다. ⅡA 초끈 이론은 M이론을 원 위에 콤팩트화하여 얻을 수 있지만, ⅡB 초끈 이론은 (추가로 콤팩트화한 뒤 T-이중성을 사용하지 않고는) M이론에서 직접적으로 콤팩트화하여 얻을 수 없다. 그러나 F이론을 원환면 위에 축소화하면 ⅡB 초끈 이론을 얻으며, ⅡB 초끈 이론의 SL(2;ℤ) S-이중성은 원환면의 사상류군에 대응한다. 4차원 N = 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭 이론을 얻기 위해서는 ⅡB 초끈 이론을 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하거나, 보다 일반적으로 F이론을 복소수 4차원 칼라비-야우 다양체 위에 축소화하면 된다. 후자는 ⅡB 초끈 이론을 3차원 칼라비-야우 다양체보다 더 일반적인 공간에 축소화하는 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 하면, 4차원에서 E8 등의 게이지 군을 만들 수 있다. ⅡB 초끈 이론은 M이론으로부터 다음과 같이 얻어진다. M이론을 원환면 S M 1 × S T 1 {\displaystyle \mathbb {S} _{\text{M}}^{1}\times \mathbb {S} _{\text{T}}^{1}} 위에 축소화한다. 원 S T 1 {\displaystyle \mathbb {S} _{\text{T}}^{1}} 에 T-이중성을 가하여 새 원 S T 1 ′ {\displaystyle {\mathbb {S} _{\text{T}}^{1}}'} 을 얻는다. 이제, 원환면 S M 1 × S T 1 {\displaystyle \mathbb {S} _{\text{M}}^{1}\times \mathbb {S} _{\text{T}}^{1}} 에서, 모양(복소구조)은 보존하지만 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취한다. 이 경우 원환면의 복소구조 모듈라이 τ {\displaystyle \tau } 는 ⅡB 닫힌 끈 결합 상수와 같음을 알 수 있다. 이제, 이 과정을 일반화하여, M이론을 복소수 n {\displaystyle n} 차원의 칼라비-야우 다양체 R 11 − 2 n × X n {\displaystyle \mathbb {R} ^{11-2n}\times X_{n}} 에 축소화하고, 이 칼라비-야우 다양체가 타원 곡선 올뭉치(예를 들어, 타원 곡면) X n ↠ Y n − 1 {\displaystyle X_{n}\twoheadrightarrow Y_{n-1}} 을 이룬다고 하자. 그렇다면, 타원 곡선 올뭉치의 타원 곡선 올들의 복소수 모듈라이를 고정시킨 체 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하자. 그렇다면, T-이중성에 따라서 새 차원이 생겨, R 11 − 2 n × R × Y {\displaystyle \mathbb {R} ^{11-2n}\times \mathbb {R} \times Y} 위의 이론을 얻는다. 이는 “12차원”의 F이론으로 여길 수 있다. ⅡA 초끈 이론의 D6-막은 M이론의 KK 들뜬 상태이므로, 기하학적 데이터로 주어진다. 이는 T-이중성 아래 ⅡB 초끈 이론의 D7-막이 된다. 즉, 이는 F이론에서 타원 곡선 올이 퇴화하는 기하학적 데이터로 주어짐을 알 수 있다. ⅡB 초끈 이론의 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이 경우, 결합 상수가 작지 않은, 복소수 여차원 1(실수 여차원 2)의 자취(영어: locus)는 ⅡB 초끈 이론의 D7-막에 해당한다. 이러한 극한을 센 극한(সেন極限, 영어: Sen limit)이라고 한다. 구체적으로, 가장 간단한 축소화인 복소수 사영 직선 (리만 구) P C 1 = Proj ⁡ C [ u , v ] {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}=\operatorname {Proj} \mathbb {C} [u,v]} 위의 축소화를 생각하자. 그렇다면, 그 위의 타원 곡선 올뭉치인 타원 곡면은 복소수 가중 사영 공간 P C 1 , 2 , 3 = Proj ⁡ C [ z , x , y ] ≅ P 2 / Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1,2,3}=\operatorname {Proj} \mathbb {C} [z,x,y]\cong \mathbb {P} ^{2}/\operatorname {Sym} (3)} deg ⁡ u = deg ⁡ v = deg ⁡ z = 1 {\displaystyle \deg u=\deg v=\deg z=1} deg ⁡ x = 2 {\displaystyle \deg x=2} deg ⁡ y = 3 {\displaystyle \deg y=3} 을 정의하면, P C 1 × P C 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}\times \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1,2,3}} 속의 대수 곡면으로, [ u : v ] {\displaystyle [u:v]} 에서 그 올은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.:(7) Σ [ u : v ] = Proj ⁡ C [ x , y , z ] y 2 + a 1 ( u , v ) x y z + a 3 ( u , v ) y z 3 − x 3 − a 2 ( u , v ) x 2 z 2 − a 4 ( u , v ) x z 4 − a 6 ( u , v ) z 6 {\displaystyle \Sigma _{[u:v]}=\operatorname {Proj} {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{y^{2}+a_{1}(u,v)xyz+a_{3}(u,v)yz^{3}-x^{3}-a_{2}(u,v)x^{2}z^{2}-a_{4}(u,v)xz^{4}-a_{6}(u,v)z^{6}}}} 여기서 a i ( u , v ) {\displaystyle a_{i}(u,v)} 는 2 i {\displaystyle 2i} 차 동차 다항식이며, 따라서 P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} 의 표준 가역층 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 의 거듭제곱 K − n {\displaystyle {\mathcal {K}}^{-n}} 의 단면을 정의한다. 이 경우, 타원 곡선의 모듈라이 τ {\displaystyle \tau } 는 다음과 같이 j-불변량으로 주어진다. b 2 = a 1 2 + 4 a − 2 {\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{-}2} b 4 = a 1 a 3 + 2 a 4 {\displaystyle b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}} b 6 = a 3 2 + 4 a 6 {\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6}} f 4 = 24 b 4 − b 2 2 48 {\displaystyle f_{4}={\frac {24b_{4}-b_{2}^{2}}{48}}} g 6 = 216 b 6 − 36 b 4 b 2 + b 2 3 864 {\displaystyle g_{6}={\frac {216b_{6}-36b_{4}b_{2}+b_{2}^{3}}{864}}} j ( τ ) = 4 ( 24 f 4 ) 3 4 f 4 3 + 27 g 6 2 {\displaystyle j(\tau )={\frac {4(24f_{4})^{3}}{4f_{4}^{3}+27g_{6}^{2}}}} D7-막은 j ( τ ) = ∞ {\displaystyle j(\tau )=\infty } 인 곳, 즉 모듈러 판별식이 0인 곳 0 = Δ ( τ ) = 4 f 4 3 + 27 g 6 2 {\displaystyle 0=\Delta (\tau )=4f_{4}^{3}+27g_{6}^{2}} 이다. 이는 [ u : v ] {\displaystyle [u:v]} 에 대한 24차 다항식이다 (즉, 가역층 K P C 1 − 24 {\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}^{-24}} 의 단면이다). 따라서 리만 구 위에 24개의 D7-막이 존재함을 알 수 있다. 이 수는 ⅡB 초끈 이론에서 다음과 같이 계산할 수 있다. D7-막은 10차원 초중력의 해로서 여차원 평면에 2 π / 12 {\displaystyle 2\pi /12} 라디안의 부족각(不足角, 영어: deficit angle)을 갖는다. 따라서, 리만 구를 이루기 위한 부족각 4 π {\displaystyle 4\pi } 라디안을 채우려면 24개의 D7-막이 필요하다. 일반적으로, P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}} 위의 타원 곡면의 특이올은 고다이라 구니히코가 발견한 ADE 분류를 가지며, 이 경우 특이점 근처에서 모듈라이 τ {\displaystyle \tau } 의 SL(2;ℤ) 모노드로미를 계산할 수 있다. 이 특이점들은 ⅡB 초끈 이론의 7-막에 해당한다. 이러한 7-막들은 액시오딜라톤의 SL(2;ℤ) 모노드로미에 의하여 분류되며, D7-막에 S-이중성을 가하여 얻는다. 이 경우, 모노드로미에 의한 7-막의 분류는 특이올의 고다이라 분류와 일치한다. 이 경우, 7-막 사이를 잇는 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -끈(기본 끈과 D1-막이 겹친 상태)들의 무질량 진동 모드는 ADE 분류에 대응되는 딘킨 도표의 단순 리 군의 딸림표현을 이루며, 따라서, 이러한 축소화의 저(低)에너지 양자장론은 이러한 게이지 군의 양-밀스 이론을 포함하게 된다. ⅡB 초끈 이론 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이는 τ {\displaystyle \tau } 가 i∞인 것, 즉 j-불변량이 ∞가 되는 것이다. 이를 위하여, 센 극한은 a 3 ↦ ϵ a 3 {\displaystyle a_{3}\mapsto \epsilon a_{3}} a 4 ↦ ϵ a 4 {\displaystyle a_{4}\mapsto \epsilon a_{4}} a 6 ↦ ϵ a 6 {\displaystyle a_{6}\mapsto \epsilon a_{6}} 으로 치환했을 때 ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0} 극한으로 정의된다. 그렇다면, 모듈러 판별식과 j-불변량은 Δ ( τ ) = − 1 4 ϵ 2 b 2 ( b 2 b 6 − b 4 2 ) + O ( ϵ 3 ) {\displaystyle \Delta (\tau )=-{\frac {1}{4}}\epsilon ^{2}b_{2}(b_{2}b_{6}-b_{4}^{2})+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{3})} j ( τ ) = ϵ − 2 b 2 4 b 2 b 6 − b 4 2 + O ( ϵ − 1 ) {\displaystyle j(\tau )=\epsilon ^{-2}{\frac {b_{2}^{4}}{b_{2}b_{6}-b_{4}^{2}}}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{-1})} 이다. 이 경우, b 2 = 0 {\displaystyle b_{2}=0} 인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 O7-평면에 해당한다. b 2 b 6 − b 4 2 = 0 {\displaystyle b_{2}b_{6}-b_{4}^{2}=0} 인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 D7-막에 해당한다. 1996년에 캄란 바파가 발표하였다. 이름에서 ‘F’는 ‘근본적’(fundamental), ‘아버지’(father) 등으로 해석될 수 있으며, 먼저 발표된 M이론과 유사하게 명명한 것이다. 딜라톤 액시온 M이론 Blumenhagen, Ralph (2010년 7월). “Basics of F-theory from the Type ⅡB perspective”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 58 (7–9): 820–826. arXiv:1002.2836. 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