동축원 다발

기하학에서 동축원 다발(同軸圓-, 영어: pencil of coaxal circles)은 같은 근축을 공유하는 원들의 족이다. 평면 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 위에서 서로 다른 두 원 Γ , Γ ′ {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '} 의 방정식이 a ( x 2 + y 2 ) − 2 b x − 2 c y + d = 0 {\displaystyle a(x^{2}+y^{2})-2bx-2cy+d=0} a ′ ( x 2 + y 2 ) − 2 b ′ x − 2 c ′ y + d ′ = 0 {\displaystyle a'(x^{2}+y^{2})-2b'x-2c'y+d'=0} 이라고 하자. 여기서 ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} 와 ( a ′ , b ′ , c ′ , d ′ ) {\displaystyle (a',b',c',d')} 은 실수 동차 좌표이다. (이 두 원은 각각 일반적인 실원이거나, 점원 또는 허원이거나, 유한 직선이거나, 무한원 직선이다.) 두 원 Γ , Γ ′ {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '} 으로 생성된 동축원 다발은 방정식이 λ ( a ( x 2 + y 2 ) − 2 b x − 2 c y + d ) + λ ′ ( a ′ ( x 2 + y 2 ) − 2 b ′ x − 2 c ′ y + d ′ ) = 0 {\displaystyle \lambda (a(x^{2}+y^{2})-2bx-2cy+d)+\lambda '(a'(x^{2}+y^{2})-2b'x-2c'y+d')=0} 인 원 λ Γ + λ ′ Γ ′ {\displaystyle \lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '} 들의 족 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 이다. 여기서 ( λ , λ ′ ) {\displaystyle (\lambda ,\lambda ')} 은 실수 동차 좌표이다. 평면 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 위에서 서로 다른 두 원 Γ , Γ ′ {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '} 으로 생성되는 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 실원을 포함할 경우 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표 ( λ , λ ′ ) {\displaystyle (\lambda ,\lambda ')} 에 대하여, Δ Γ , Γ ′ ( λ , λ ′ ) = λ 2 ( b 2 + c 2 − a d ) + λ λ ′ ( 2 ( b b ′ + c c ′ ) − ( a d ′ + a ′ d ) ) + λ ′ 2 ( b ′ 2 + c ′ 2 − a ′ d ′ ) {\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}(\lambda ,\lambda ')=\lambda ^{2}(b^{2}+c^{2}-ad)+\lambda \lambda '(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))+{\lambda '}^{2}({b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd')} 와 같이 표기하자. 이는 ( λ , λ ′ ) {\displaystyle (\lambda ,\lambda ')} 에 대한 실수 이차 형식이다. λ Γ + λ ′ Γ ′ {\displaystyle \lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '} 이 직선이 아닐 경우 이는 λ Γ + λ ′ Γ ′ {\displaystyle \lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '} 의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히, 만약 λ Γ + λ ′ Γ ′ {\displaystyle \lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '} 이 직선이 아니고 Δ Γ , Γ ′ ( λ , λ ′ ) {\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}(\lambda ,\lambda ')} 이 양수·0·음수일 경우, λ Γ + λ ′ Γ ′ {\displaystyle \lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '} 은 각각 실원·점원·허원이다. 이 이차 형식 Δ Γ , Γ ′ {\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}} 의 행렬식은 다음과 같다. 4 det Δ Γ , Γ ′ = 4 ( b 2 + c 2 − a d ) ( b ′ 2 + c ′ 2 − a ′ d ′ ) − ( 2 ( b b ′ + c c ′ ) − ( a d ′ + a ′ d ) ) 2 {\displaystyle 4\det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}=4(b^{2}+c^{2}-ad)({b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd')-(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))^{2}} 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 이차 형식 Δ Γ , Γ ′ {\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}} 의 성질에 따라 다음과 같이 분류된다. 만약 det Δ Γ , Γ ′ > 0 {\displaystyle \det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}>0} 이라면, Δ Γ , Γ ′ {\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}} 은 양의 정부호 이차 형식이며, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 서로 다른 두 교점 P , Q {\displaystyle P,Q} 에서 만난다. 보다 일반적으로 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 P {\displaystyle P} 와 Q {\displaystyle Q} 를 지나는 모든 원들의 족이며, 특히 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축은 직선 P Q {\displaystyle PQ} 이다. 이 경우 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 타원형 동축원 다발(楕圓型同軸圓-, 영어: elliptic pencil of coaxal circles) 또는 교차 동축원 다발(交叉同軸圓-, 영어: intersecting pencil of coaxal circles)이라고 하고, 두 공통 교점 P , Q {\displaystyle P,Q} 를 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 기저점(基底點, 영어: base point)이라고 한다. 만약 두 교점 가운데 하나가 확장 복소평면의 무한대 Q = ∞ ^ {\displaystyle Q={\widehat {\infty }}} 일 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 교점이 P {\displaystyle P} 인 공점선 다발이다. 만약 det Δ Γ , Γ ′ = 0 {\displaystyle \det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}=0} 이라면, Δ Γ , Γ ′ : ( λ , λ ′ ) ↦ ( λ b 2 + c 2 − a d ± λ ′ b ′ 2 + c ′ 2 − a ′ d ′ ) 2 {\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}\colon (\lambda ,\lambda ')\mapsto \left(\lambda {\sqrt {b^{2}+c^{2}-ad}}\pm \lambda '{\sqrt {{b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd'}}\right)^{2}} 은 완전 제곱의 꼴이고, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 유일한 점원 P {\displaystyle P} 를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 어떤 점 P {\displaystyle P} 에서 서로 접한다. 보다 일반적으로 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속 임의의 두 원은 P {\displaystyle P} 에서 접하며, 특히 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축은 P {\displaystyle P} 에서의 공통 접선이다. 이 경우 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 포물형 동축원 다발(抛物型同軸圓-, 영어: parabolic pencil of coaxal circles) 또는 접동축원 다발(接同軸圓-, 영어: tangent pencil of coaxal circles)이라고 한다. 만약 P = ∞ ^ {\displaystyle P={\widehat {\infty }}} 일 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 평행선 다발이다. 만약 det Δ Γ , Γ ′ < 0 {\displaystyle \det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}<0} 이라면, Δ Γ , Γ ′ {\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}} 은 부정부호 이차 형식이며, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 비직선 원소는 실원과 허원 그리고 2개의 점원 P , Q {\displaystyle P,Q} 로 이루어진다. 또한 Γ {\displaystyle \Gamma } 와 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 서로 만나지 않는다. 보다 일반적으로 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속 임의의 서로 다른 두 원은 서로 만나지 않으며, 특히 근축과 교점을 갖지 않는다. 이 경우 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 쌍곡형 동축원 다발(雙曲型同軸圓-, 영어: hyperbolic pencil of coaxal circles) 또는 비교차 동축원 다발(非交叉同軸圓-, 영어: nonintersecting pencil of coaxal circles)이라고 하고, 두 점원 P , Q {\displaystyle P,Q} 를 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 극한점(極限點, 영어: limiting point)이라고 한다. 만약 Q = ∞ ^ {\displaystyle Q={\widehat {\infty }}} 일 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 중심이 P {\displaystyle P} 인 동심원 다발이다. 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 2차원 부분 사영 공간이므로, 서로 다른 임의의 두 원소는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 생성한다. 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속 원의 중심들은 공선점을 이룬다. 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속 임의의 두 원 Γ , Γ ′ ∈ C {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '\in {\mathcal {C}}} 의 근축은 같다. 이를 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축(根軸, 영어: radical axis)이라고 한다. 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축은 중심선의 수선이며, 또한 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 한 원소이다. 즉, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 두 원의 방정식으로부터 2차항을 소거하면 근축의 방정식을 얻는다. 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속 임의의 비직선 원소에 대한 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축 위의 주어진 점의 방멱은 같다. 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 중심선을 x {\displaystyle x} 축으로 삼고 근축을 y {\displaystyle y} 축으로 삼았을 경우 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 비직선 원소들은 다음과 같은 방정식을 갖는 원들로 이루어진다. x 2 + y 2 − 2 a x + c = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax+c=0} 여기서 c {\displaystyle c} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속 임의의 비직선 원소에 대한 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 중심(=중심선과 근축의 교점)의 방멱이고, a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 는 매개변수이다. 만약 c < 0 {\displaystyle c<0} 이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 기저점이 ( 0 , ± − c ) {\displaystyle (0,\pm {\sqrt {-c}})} 인 타원형 동축원 다발이며, 위 방정식은 모든 a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 에 대하여 실원을 나타낸다. 만약 c = 0 {\displaystyle c=0} 이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 포물형 동축원 다발이며, 위 방정식은 a ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} 에 대하여 실원을 나타내고, a = 0 {\displaystyle a=0} 에 대하여 점원을 나타낸다. 만약 c > 0 {\displaystyle c>0} 이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 극한점이 ( c , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {c}},0)} 인 쌍곡형 동축원 다발이며, 위 방정식은 a ∈ ( − ∞ , − c ) ∪ ( c , ∞ ) {\displaystyle a\in (-\infty ,-{\sqrt {c}})\cup ({\sqrt {c}},\infty )} 에 대하여 실원을 나타내고, a = ± c {\displaystyle a=\pm {\sqrt {c}}} 에 대하여 점원을, a ∈ ( − c , c ) {\displaystyle a\in (-{\sqrt {c}},{\sqrt {c}})} 에 대하여 허원을 나타낸다. 임의의 동축원 다발 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 동축원 다발 C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 가 존재하며, 이를 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 직교 동축원 다발(直交同軸圓-, 영어: orthogonal pencil of coaxal circles)이라고 한다. 임의의 Γ ∈ C {\displaystyle \Gamma \in {\mathcal {C}}} 및 Γ ′ ∈ C ⊥ {\displaystyle \Gamma '\in {\mathcal {C}}^{\perp }} 에 대하여, Γ {\displaystyle \Gamma } 와 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 은 서로 직교한다. (즉, (실수) 교점을 가지고, 교점에서의 두 접선은 서로 수직이다.) 자명하게 C ⊥⊥ = C {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp \perp }={\mathcal {C}}} 가 성립한다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 직교 동축원 다발 C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 의 중심선과 근축은 각각 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 근축과 중심선이다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 기저점이 P , Q {\displaystyle P,Q} 인 타원형 동축원 다발이라면, C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 는 극한점이 P , Q {\displaystyle P,Q} 인 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히, 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 교점이 P {\displaystyle P} 인 공점선 다발이라면, C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 는 중심이 P {\displaystyle P} 인 동심원 다발이다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 포물형 동축원 다발이라면, C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 는 역시 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 평행선 다발이라면, C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 역시 평행선 다발이다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 극한점이 P , Q {\displaystyle P,Q} 인 쌍곡형 동축원 다발이라면, C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 는 기저점이 P , Q {\displaystyle P,Q} 인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 중심이 P {\displaystyle P} 인 동심원 다발이라면, C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }} 는 교점이 P {\displaystyle P} 인 공점선 다발이다. 원에 대한 반전에 대한 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 상은 역시 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발이다. 타원형 동축원 다발의 중심이 한 기저점인 원에 대한 반전을 가하면 교점이 다른 한 기저점의 상인 공점선 다발을 얻는다. 포물형 동축원 다발에 중심이 다발의 중심인 원에 대한 반전을 가하면 다발의 근축에 평행하는 평행선 다발을 얻는다. 쌍곡형 동축원 다발에 중심이 한 극한점을 중심으로 하는 원에 대한 반전을 가하면 중심이 다른 한 극한점의 상인 동심원 다발을 얻는다. 동축원 다발 속 임의의 원은 직교 동축원 다발 속 임의의 원에 대한 반전에 대하여 불변이며, 특히 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이다. 동축원 다발은 입체 사영을 통해 공선면 다발과 일대일 대응한다. 구체적으로, 공간 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 속 단위구 S 2 = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}} 와 평면 z = 0 {\displaystyle z=0} 사이의, 북극 ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} 에 대한 입체 사영 φ : S 2 → R 2 ⊔ { ∞ ^ } {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\sqcup \{{\widehat {\infty }}\}} φ : ( x , y , z ) ↦ ( x 1 − z , y 1 − z ) ( ( x , y , z ) ∈ S 2 ) {\displaystyle \varphi \colon (x,y,z)\mapsto \left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right)\qquad ((x,y,z)\in \mathbb {S} ^{2})} 를 생각하자. 평면 z = 0 {\displaystyle z=0} 속 두 원 Γ , Γ ′ {\displaystyle \Gamma ,\Gamma '} 의 원상 φ − 1 ( Γ ) , φ − 1 ( Γ ′ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma ),\varphi ^{-1}(\Gamma ')} 은 다음과 같은 방정식을 갖는 평면이다. − 2 b x − 2 c y + ( a − d ) z + ( a + d ) = 0 {\displaystyle -2bx-2cy+(a-d)z+(a+d)=0} − 2 b ′ x − 2 c ′ y + ( a ′ − d ′ ) z + ( a ′ + d ′ ) = 0 {\displaystyle -2b'x-2c'y+(a'-d')z+(a'+d')=0} 이 두 평면 φ − 1 ( Γ ) , φ − 1 ( Γ ′ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma ),\varphi ^{-1}(\Gamma ')} 은 단위구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 와 원을 교선으로 갖거나, 접하거나, 만나지 않을 수 있다. 즉, 만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 실원 또는 유한 직선이라면 φ − 1 ( Γ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma )} 는 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 실원이고, 점원 또는 무한원 직선이라면 φ − 1 ( Γ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma )} 는 점원이며, 허원이라면 φ − 1 ( Γ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma )} 역시 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 허원이다. 특히 만약 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 단위 허원이라면 φ − 1 ( Γ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma )} 는 무한원 평면이다. 마찬가지로 만약 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 이 실원 또는 유한 직선, 점원 또는 무한원 직선, 허원이라면 φ − 1 ( Γ ′ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma ')} 은 각각 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 실원·점원·허원이며, 특히 만약 단위 허원이라면 φ − 1 ( Γ ′ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma ')} 은 무한원 평면이다. 동축원 다발 C = ( λ Γ + λ ′ Γ ′ ) ( λ , λ ′ ) {\displaystyle {\mathcal {C}}=(\lambda \Gamma +\lambda '\Gamma ')_{(\lambda ,\lambda ')}} 은 교선이 φ − 1 ( Γ ) ∩ φ − 1 ( Γ ′ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(\Gamma )\cap \varphi ^{-1}(\Gamma ')} 인 공선면 다발 φ − 1 ( C ) = ( λ φ − 1 ( Γ ) + λ ′ φ − 1 ( Γ ′ ) ) ( λ , λ ′ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})=(\lambda \varphi ^{-1}(\Gamma )+\lambda '\varphi ^{-1}(\Gamma '))_{(\lambda ,\lambda ')}} 과 일대일 대응한다. 만약 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 교선이 단위구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 와 서로 다른 두 점 P , Q {\displaystyle P,Q} 에서 만난다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 기저점이 φ − 1 ( P ) , φ − 1 ( Q ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(P),\varphi ^{-1}(Q)} 인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 한 교점이 북극 Q = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle Q=(0,0,1)} 이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 교점이 φ − 1 ( P ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(P)} 인 공점선 다발이다. 만약 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 교선이 단위구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 에 점 P {\displaystyle P} 에서 접한다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 중심이 φ − 1 ( P ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(P)} 이고 근축이 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 교선과 평면 z = 0 {\displaystyle z=0} 의 교점과 φ − 1 ( P ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(P)} 를 잇는 직선인 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 접점이 북극 P = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle P=(0,0,1)} 이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 교선에 평행하는 평행선 다발이다. 만약 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 교선이 단위구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 와 만나지 않는다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 단위구 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 에 접하는 두 원소의 두 접점 P , Q {\displaystyle P,Q} 에 대한 원상 φ − 1 ( P ) , φ − 1 ( Q ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(P),\varphi ^{-1}(Q)} 를 극한점으로 하는 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히 만약 두 접점 가운데 하나가 북극 Q = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle Q=(0,0,1)} 이라면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 는 중심이 φ − 1 ( P ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(P)} 인 동심원 다발이다. 서로 직교하는 두 동축원 다발 C , C ⊥ {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}^{\perp }} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, φ − 1 ( C ⊥ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })} 의 원소들의 극은 모두 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 교선 위의 점이며, φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 원소들의 극은 모두 φ − 1 ( C ⊥ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })} 의 교선 위의 점이다. 특히, 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 쌍곡형 동축원 다발일 경우, φ − 1 ( C ⊥ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })} 의 교선은 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 원소와 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 두 접점을 잇는 직선이다. 또한 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 포물형 동축원 다발일 경우 φ − 1 ( C ⊥ ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })} 의 교선은 φ − 1 ( C ) {\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})} 의 교선과 같은 접점에서 이와 수직인 접선이다. 근축#동축원 다발 Schwerdtfeger, Hans (1979). 《Geometry of Complex Numbers》 (영어). New York, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63830-8.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Coaxal circles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.