크룰 정역

가환대수학에서 크룰 정역(Krull整域, 영어: Krull domain) 또는 크룰 환(Krull環, 영어: Krull ring)은 아이디얼의 인수 분해 이론이 비교적 단순한 정역이다. 데데킨트 정역의 고차원 일반화이다. 임의의 정역 R {\displaystyle R} 이 주어졌으며, P {\displaystyle P} 가 그 높이 1의 소 아이디얼들의 집합이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. 만약 R {\displaystyle R} 가 정규환이라면, R ⊆ ⋂ p ∈ P R p ⊆ Frac ⁡ R {\displaystyle \textstyle R\subseteq \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in P}R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R} 이며, 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 환이라면 R = ⋂ p ∈ P R p {\displaystyle \textstyle R=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in P}R_{\mathfrak {p}}} 이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 환이라면, 임의의 r ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle r\in R\setminus \{0\}} 에 대하여 { p ∈ P : r ∈ p } {\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in P\colon r\in {\mathfrak {p}}\}} 는 유한 집합이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 정규 뇌터 환이라면, p ∈ P {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P} 에 대한 국소화 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 이산 값매김환이다. (이는 1차원 뇌터 정수적으로 닫힌 정역이 이산 값매김환 조건과 동치이기 때문이다.) 그러나 위 세 성질은 임의의 정역에 대하여 성립하지 않는다. 크룰 정역은 위 세 성질들을 만족시키는 정역이다. 즉, 정역 R {\displaystyle R} 가 다음 세 조건들을 모두 만족시키면 크룰 정역이라고 한다. R {\displaystyle R} 의 높이 1의 소 아이디얼들의 집합을 P {\displaystyle P} 라고 하자. 임의의 p ∈ P {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P} 에 대하여, 국소화 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 이산 값매김환이다. 국소화는 분수체의 부분환 R p ⊆ Frac ⁡ R {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R} 으로 생각할 수 있다. 그렇다면 ⋂ p ∈ P R p = R ⊆ Frac ⁡ R {\displaystyle \textstyle \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in P}R_{\mathfrak {p}}=R\subseteq \operatorname {Frac} R} 이다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 만약 r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} 이라면 { p ∈ P : r ∈ p } {\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in P\colon r\in {\mathfrak {p}}\}} 는 유한 집합이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 크룰 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 유일 인수 분해 정역이다. 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다. 뇌터 국소환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 크룰 환이다. R {\displaystyle R} 의 (유일한 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에 대한) 완비화는 크룰 환이다. 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 데데킨트 정역이다. 크룰 차원이 0 또는 1인 크룰 정역이다. 뇌터 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 크룰 정역이다. 정수적으로 닫힌 정역이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 크룰 정역이라면, 다음 두 가환환 역시 크룰 정역이다. 다항식환 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 형식적 멱급수환 R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} 모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, R {\displaystyle R} 가 뇌터 정역이며, L {\displaystyle L} 이 분수체 Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 위의 유한 대수적 확대라고 하자. 그렇다면, R {\displaystyle R} 의 L {\displaystyle L} 속의 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)와 나가타 마사요시 가 증명하였다. 크룰 정역(의 스펙트럼) 위에서는 대수다양체와 마찬가지로 인자 이론을 정의할 수 있다. 크룰 정역 R {\displaystyle R} 위의 베유 인자는 높이가 1인 소 아이디얼들의 형식적 선형 결합이다. 이들이 이루는 자유 아벨 군을 D ( R ) {\displaystyle D(R)} 라고 하자. 영 아이디얼이 아닌 주 아이디얼인 소 아이디얼 ( r ) {\displaystyle (r)} 은 주인자(영어: principal divisor)라고 하며, 이들은 아벨 군 P ( R ) ⊆ D ( R ) {\displaystyle P(R)\subseteq D(R)} 를 이룬다. 크룰 정역 R {\displaystyle R} 위의 카르티에 인자는 국소 주 베유 인자(영어: locally principal Weil divisor)이다. 카르티에 인자들 역시 아벨 군 C ( R ) {\displaystyle C(R)} 를 이룬다. 이에 따라 아벨 군의 포함 관계 P ( R ) ⊆ C ( R ) ⊆ D ( R ) {\displaystyle P(R)\subseteq C(R)\subseteq D(R)} 가 존재한다. 인자군의 주인자군에 대한 몫군 D ( R ) / P ( R ) {\displaystyle D(R)/P(R)} 를 R {\displaystyle R} 의 인자 유군이라고 한다. 카르티에 인자군의 주인자군에 대한 몫군 C ( R ) / P ( R ) ⊆ D ( R ) / P ( R ) {\displaystyle C(R)/P(R)\subseteq D(R)/P(R)} 를 R {\displaystyle R} 의 피카르 군이라고 한다. 이는 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 위의 가역층들의 텐서곱에 대한 아벨 군과 동형이다. 유일 인수 분해 정역 R {\displaystyle R} 위의, 가산 무한 개의 변수의 다항식환 R [ x 1 , x 2 , … ] {\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ]} 는 크룰 정역이지만, 뇌터 환이 아니다. 볼프강 크룰이 1931년에 도입하였다. Mori, Yoshiro (1953). “On the integral closure of an integral domain”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 27: 249–256. MR 58583.  Nagata, Masayoshi (1955). “On the derived normal rings of Noetherian integral domains”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 29: 293–303. MR 0097388.  Krull, Wolfgang (1931). “Allgemeine Bewertungstheorie”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 167: 160–196. doi:10.1515/crll.1932.167.160. JFM 58.0148.02. Zbl 0004.09802.  Samuel, Pierre (1964). 《Lectures on unique factorization domains》 (PDF). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics (영어) 30. Tata Institute of Fundamental Research. MR 0214579.  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.  “Krull ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Does the name divisor in algebraic geometry relate to divisor in the basic arithmetic or ring theory sense?” (영어). Math Overflow.