지배 수렴 정리

해석학에서 지배 수렴 정리(支配收斂定理, 영어: dominated convergence theorem, 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다. 측도 공간 ( X , S , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )} 위의 가측 함수의 열 f n : X → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) 및 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열 g n : X → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle g_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) 및 가측 함수 g : X → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle g\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 가 존재한다고 하자. 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다. (점별 수렴) f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 점별 수렴하며, g n {\displaystyle g_{n}} 은 g {\displaystyle g} 로 점별 수렴한다. (거의 어디서나 수렴) f {\displaystyle f} 는 가측 함수이며, f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 거의 어디서나 수렴하며, g n {\displaystyle g_{n}} 은 g {\displaystyle g} 로 거의 어디서나 수렴한다. (측도 수렴) f {\displaystyle f} 는 가측 함수이며, f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 측도 수렴하며, g n {\displaystyle g_{n}} 은 g {\displaystyle g} 로 측도 수렴한다. (적분 가능성) ∫ X | g | d μ = lim n → ∞ ∫ X | g n | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}|g|\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}|g_{n}|\mathrm {d} \mu <\infty } (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 거의 어디서나 | f n | ≤ g n {\displaystyle |f_{n}|\leq g_{n}} 그렇다면, 확장 지배 수렴 정리(擴張支配收斂定理, 영어: extended dominated convergence theorem, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.:57, §2.3, Theorem 2.3.11 (적분 가능성) ∫ X | f | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty } (L1 수렴) lim n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0} (적분과 극한의 교환) lim n → ∞ ∫ X f n d μ = ∫ X f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu } 사실, 이 경우 셰페 정리(영어: Scheffé's theorem)에 따라 g n {\displaystyle g_{n}} 역시 g {\displaystyle g} 로 L1 수렴한다. 증명 (점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴): 가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다. 적분 가능성: 가정에 따라 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라 ∫ X | f | d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ X | f n | d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ X | g n | d μ = ∫ X | g | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|g_{n}|\mathrm {d} \mu =\int _{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty } 이다. L1 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나 | f n − f | ≤ | f n | + | f | ≤ g n + g {\displaystyle |f_{n}-f|\leq |f_{n}|+|f|\leq g_{n}+g} 이므로, g n + g − | f n − f | {\displaystyle g_{n}+g-|f_{n}-f|} 는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면 ∫ X 2 g d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ X ( g n + g − | f n − f | ) d μ = ∫ X 2 g d μ − lim sup n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}2g\mathrm {d} \mu &\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}(g_{n}+g-|f_{n}-f|)\mathrm {d} \mu \\&=\int _{X}2g\mathrm {d} \mu -\limsup _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu \end{aligned}}} 를 얻는다. 적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라 lim sup n → ∞ | ∫ X f n d μ − ∫ X f d μ | ≤ lim n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu -\int _{X}f\mathrm {d} \mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0} 이다. 증명 (측도 수렴): 측도 수렴 가정에 따라, 임의의 부분열 f n k {\displaystyle f_{n_{k}}} ( k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } )에 대하여, 각각 f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} 로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 f n k j {\displaystyle f_{n_{k_{j}}}} , g n k j {\displaystyle g_{n_{k_{j}}}} 가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라 lim j → ∞ ∫ X | f n k j − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{j\to \infty }\int _{X}|f_{n_{k_{j}}}-f|\mathrm {d} \mu =0} 이다. 이에 따라 lim n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0} 이다. 측도 공간 ( X , S , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )} 위의 가측 함수의 열 f n : X → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) 및 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수 g : X → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle g\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 가 존재한다고 하자. 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다. (점별 수렴) f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 점별 수렴한다. (거의 어디서나 수렴) f {\displaystyle f} 는 가측 함수이며, f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 거의 어디서나 수렴한다. (측도 수렴) f {\displaystyle f} 는 가측 함수이며, f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 측도 수렴한다. (적분 가능성) ∫ X | g | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty } (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 거의 어디서나 | f n | ≤ g {\displaystyle |f_{n}|\leq g} 그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.:26:57, §2.3, Corollary 2.3.12 (적분 가능성) ∫ X | f | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty } (L1 수렴) lim n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0} (적분과 극한의 교환) lim n → ∞ ∫ X f n d μ = ∫ X f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu } 증명: 확장 지배 수렴 정리에서 g n = g {\displaystyle g_{n}=g} 를 취한다. 유한 측도 공간 ( X , S , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )} ( μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } ) 위의 가측 함수의 열 f n : X → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) 및 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다. (점별 수렴) f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 점별 수렴한다. (거의 어디서나 수렴) f {\displaystyle f} 는 가측 함수이며, f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 거의 어디서나 수렴한다. (측도 수렴) f {\displaystyle f} 는 가측 함수이며, f n {\displaystyle f_{n}} 은 f {\displaystyle f} 로 측도 수렴한다. sup n ∈ N ‖ f n ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{\infty }<\infty } 그렇다면, 유계 수렴 정리(有界收斂定理, 영어: bounded convergence theorem, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.:57, §2.3, Corollary 2.3.13 (적분 가능성) ∫ X | f | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty } (L1 수렴) lim n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0} (적분과 극한의 교환) lim n → ∞ ∫ X f n d μ = ∫ X f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu } 증명: 지배 수렴 정리에서 g : x ↦ sup n ∈ N ‖ f n ‖ ∞ {\displaystyle g\colon x\mapsto \sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{\infty }} 를 취한다. 역사적으로, 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.:313 구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.:313 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면, ∫ a b f ′ ( x ) d x = f ( b ) − f ( a ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a).} 이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다. 확률 변수의 수렴 단조 수렴 정리 Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.  Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) 던햄, 윌리엄 (2011). 《미적분학 갤러리》. 한승.  “Lebesgue theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue’s dominated convergence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Dominated convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of dominated convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of dominated convergence theorem 1”. 《PlanetMath》 (영어).  “Lebesgue’s dominated convergence theorem”. 《ProofWiki》 (영어).