치환 실례

논리학에서 치환 실례(置換實例, 영어: substitution instance)는 명제를 구성하는 원자 명제를 다른 명제로 대신하여 얻는 명제이다. 명제 논리에서, 명제 형식 P {\displaystyle P} 의, 원자 명제 p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} 및 명제 형식 Q 1 , … , Q n {\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{n}} 에 대한 치환 실례 P [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] {\displaystyle P[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]} 는 P {\displaystyle P} 속의 각 p i {\displaystyle p_{i}} 에 Q i {\displaystyle Q_{i}} 를 넣어 얻는 명제이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. 원자 명제 p {\displaystyle p} 에 대하여, p ≠ p i {\displaystyle p\neq p_{i}} 라면, p [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] = p {\displaystyle p[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]=p} p = p i {\displaystyle p=p_{i}} 라면, p [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] = Q i {\displaystyle p[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]=Q_{i}} 명제 형식 P {\displaystyle P} 에 대하여, ( ¬ P ) [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] = ¬ ( P [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] ) {\displaystyle (\lnot P)[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]=\lnot (P[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}])} 명제 형식 P , Q {\displaystyle P,Q} 에 대하여, ( P ∧ Q ) [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] = P [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] ∧ Q [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] {\displaystyle (P\land Q)[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]=P[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]\land Q[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]} 만약 P {\displaystyle P} 가 항진 명제 형식이라면, 모든 치환 실례 P [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] {\displaystyle P[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]} 역시 항진 명제 형식이다. 만약 P {\displaystyle P} 가 모순 명제 형식이라면, 모든 치환 실례 P [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] {\displaystyle P[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]} 역시 모순 명제 형식이다. 만약 모든 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 에 대하여 Q i {\displaystyle Q_{i}} 와 R i {\displaystyle R_{i}} 가 서로 동치라면, P [ Q 1 / p 1 , … , Q n / p n ] {\displaystyle P[Q_{1}/p_{1},\dots ,Q_{n}/p_{n}]} 와 P [ R 1 / p 1 , … , R n / p n ] {\displaystyle P[R_{1}/p_{1},\dots ,R_{n}/p_{n}]} 은 서로 동치이다. 명제 p ∨ q ∨ r {\displaystyle p\lor q\lor r} 의, 원자 명제 p , q , r {\displaystyle p,q,r} 및 명제 p ∧ q {\displaystyle p\land q} ¬ p ∧ q {\displaystyle \lnot p\land q} p ∧ ¬ q {\displaystyle p\land \lnot q} 에 대한 치환 실례는 ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ¬ q ) {\displaystyle (p\land q)\lor (\lnot p\land q)\lor (p\land \lnot q)} 이다. 1차 논리에서, 항 t {\displaystyle t} 의, 변수 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} 및 항 u 1 , … , u n {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}} 에 대한 치환 실례 t [ u 1 / x 1 , … , u n / x n ] {\displaystyle t[u_{1}/x_{1},\dots ,u_{n}/x_{n}]} 는 t {\displaystyle t} 속의 각 x i {\displaystyle x_{i}} 에 u i {\displaystyle u_{i}} 를 넣어 얻는 항이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. 연산 f {\displaystyle {\mathsf {f}}} 및 항 t 1 , … , t m f {\displaystyle t_{1},\dots ,t_{m_{\mathsf {f}}}} 에 대하여, (여기서 m f {\displaystyle m_{\mathsf {f}}} 는 항수) f ( t 1 , … , t m f ) [ u 1 / x 1 , … , u n / x n ] = f ( t 1 [ u 1 / x 1 , … , u n / x n ] , … , t m f [ u 1 / x 1 , … , u n / x n ] ) {\displaystyle {\mathsf {f}}(t_{1},\dots ,t_{m_{\mathsf {f}}})[u_{1}/x_{1},\dots ,u_{n}/x_{n}]={\mathsf {f}}(t_{1}[u_{1}/x_{1},\dots ,u_{n}/x_{n}],\dots ,t_{m_{\mathsf {f}}}[u_{1}/x_{1},\dots ,u_{n}/x_{n}])} 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 의, 변수 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} 및 항 t 1 , … , t n {\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}} 에 대한 치환 실례 ϕ [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] {\displaystyle \phi [t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]} 는 ϕ {\displaystyle \phi } 속의 각 자유 변수 x i {\displaystyle x_{i}} 에 u i {\displaystyle u_{i}} 를 넣어 얻는 논리식이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. 항 t , u {\displaystyle t,u} 에 대하여, ( t = u ) [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] = ( t [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] = u [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] ) {\displaystyle (t=u)[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]=(t[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]=u[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}])} 관계 R {\displaystyle {\mathsf {R}}} 및 항 u 1 , … , u n R {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n_{\mathsf {R}}}} 에 대하여, (여기서 n R {\displaystyle n_{\mathsf {R}}} 는 항수) R ( u 1 , … , u n R ) [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] = R ( u 1 [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] , … , u n R [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] ) {\displaystyle {\mathsf {R}}(u_{1},\dots ,u_{n_{\mathsf {R}}})[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]={\mathsf {R}}(u_{1}[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}],\dots ,u_{n_{\mathsf {R}}}[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}])} 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, ( ¬ ϕ ) [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] = ¬ ( ϕ [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] ) {\displaystyle (\lnot \phi )[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]=\lnot (\phi [t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}])} 논리식 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 에 대하여, ( ϕ ∧ ψ ) [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] = ϕ [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] ∧ ψ [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] {\displaystyle (\phi \land \psi )[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]=\phi [t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]\land \psi [t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]} 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 및 변수 x {\displaystyle x} 에 대하여, x ≠ x i {\displaystyle x\neq x_{i}} 라면, ( ∀ x ϕ ) [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] = ∀ x ( ϕ [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] ) {\displaystyle (\forall x\phi )[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]=\forall x(\phi [t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}])} x = x i {\displaystyle x=x_{i}} 라면, ( ∀ x ϕ ) [ t 1 / x 1 , … , t n / x n ] = ∀ x ( ϕ [ t 1 / x 1 , … , t i − 1 / x i − 1 , t i + 1 / x i + 1 , … , t n / x n ] ) {\displaystyle (\forall x\phi )[t_{1}/x_{1},\dots ,t_{n}/x_{n}]=\forall x(\phi [t_{1}/x_{1},\dots ,t_{i-1}/x_{i-1},t_{i+1}/x_{i+1},\dots ,t_{n}/x_{n}])} 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 위의, 변수 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항(영어: substitutable/free term for x {\displaystyle x} )은 다음 조건을 만족시키는 항 t {\displaystyle t} 이다. 만약 t {\displaystyle t} 가 변수 y {\displaystyle y} 를 포함하며, ϕ {\displaystyle \phi } 가 논리식 ∀ y ψ {\displaystyle \forall y\psi } 를 포함한다면, x {\displaystyle x} 는 ψ {\displaystyle \psi } 의 자유 변수가 아니다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. 항 u , v {\displaystyle u,v} 에 대하여, t {\displaystyle t} 는 u = v {\displaystyle u=v} 위의 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항이다. 관계 R {\displaystyle {\mathsf {R}}} 및 항 t 1 , … , t n R {\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n_{\mathsf {R}}}} 에 대하여, t {\displaystyle t} 는 R ( t 1 , … , t n R ) {\displaystyle {\mathsf {R}}(t_{1},\dots ,t_{n_{\mathsf {R}}})} 위의 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항이다. t {\displaystyle t} 가 ϕ {\displaystyle \phi } 위의 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항이라면, t {\displaystyle t} 는 ¬ ϕ {\displaystyle \lnot \phi } 위의 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항이다. t {\displaystyle t} 가 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } 위의 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항이라면, t {\displaystyle t} 는 ϕ ∧ ψ {\displaystyle \phi \land \psi } 위의 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항이다. t {\displaystyle t} 가 변수 y {\displaystyle y} 를 포함하지 않거나, x {\displaystyle x} 가 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수가 아니라면, t {\displaystyle t} 는 ∀ y ϕ {\displaystyle \forall y\phi } 위의 x {\displaystyle x} 의 치환 가능 항이다. 람다 대수#치환 분지 유형 이론#치환 Hamilton, Alan G. (1988). 《Logic for Mathematicians》 (영어) 개정판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36865-0.  “Substitutability”. 《PlanetMath》 (영어).  “Substitutions in propositional logic”. 《PlanetMath》 (영어).  “Substitutability”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition:Substitution (formal systems)”. 《ProofWiki》 (영어).