내부곱

미분기하학에서 내부곱(內部곱, 영어: interior product)은 벡터장과 미분 형식 사이에 정의되는, 일종의 대수적 미분 연산이다. 기호는 ⌟ {\displaystyle \lrcorner } 또는 ι {\displaystyle \iota } . 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 내부곱 ⌟ : Γ ( T M ) ⊗ R Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ − 1 ( M ) {\displaystyle \lrcorner \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)} ⌟ : X ⊗ α ↦ X ⌟ α {\displaystyle \lrcorner \colon X\otimes \alpha \mapsto X\lrcorner \alpha } 은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. ( X ⌟ α {\displaystyle X\lrcorner \alpha } 는 간혹 ι X α {\displaystyle \iota _{X}\alpha } 로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.) M {\displaystyle M} 위의 내부곱 ⌟ : Γ ( T M ) ⊗ R Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ − 1 ( M ) {\displaystyle \lrcorner \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)} 은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다. (차수 −1) 벡터장 X {\displaystyle X} 및 동차 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, deg ⁡ ( X ⌟ α ) = deg ⁡ α − 1 {\displaystyle \deg(X\lrcorner \alpha )=\deg \alpha -1} (곱 규칙) 벡터장 X {\displaystyle X} 에 대하여, ( Ω ∙ ( M ) , X ⌟ ) {\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),X\lrcorner )} 는 외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의 α ∈ Ω p ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M)} 및 β ∈ Ω q ( M ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{q}(M)} 에 대하여, 다음이 성립한다. X ⌟ ( α ∧ β ) = ( X ⌟ α ) ∧ β + ( − 1 ) p α ∧ ( X ⌟ β ) {\displaystyle X\lrcorner (\alpha \wedge \beta )=(X\lrcorner \alpha )\wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge (X\lrcorner \beta )} (1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장 X {\displaystyle X} 와 1차 미분 형식 α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} 에 대하여, 다음이 성립한다. X ⌟ α = α ( X ) {\displaystyle X\lrcorner \alpha =\alpha (X)} M {\displaystyle M} 위의 내부곱 ⌟ : Γ ( T M ) ⊗ R Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ − 1 ( M ) {\displaystyle \lrcorner \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)} 은 임의의 p {\displaystyle p} 차 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여 다음과 같이 정의되는 연산이다.:§5.4.3:43, Exercise 3.3 X ⌟ α : ( Y 1 , Y 2 , … , Y p − 1 ) ↦ α ( X , Y 1 , Y 2 , … , Y p − 1 ) ∀ Y 1 , Y 2 , … , Y p − 1 ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\lrcorner \alpha \colon (Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p-1})\mapsto \alpha (X,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p-1})\qquad \forall Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{p-1}\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 임의의 미분 형식 α ∈ Ω ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega (M)} 및 두 벡터장 X , Y ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 에 대하여, 다음이 성립한다. X ⌟ ( Y ⌟ α ) + Y ⌟ ( X ⌟ α ) = 0 {\displaystyle X\lrcorner (Y\lrcorner \alpha )+Y\lrcorner (X\lrcorner \alpha )=0} 특히, X ⌟ X ⌟ α = 0 {\displaystyle X\lrcorner X\lrcorner \alpha =0} 이다. 카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, 영어: Cartan’s magic formula)에 따르면, 임의의 벡터장 X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 와 미분 형식 α ∈ Ω ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega (M)} 에 대하여 다음이 성립한다. L X α = d ( X ⌟ α ) + X ⌟ d α {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =\mathrm {d} (X\lrcorner \alpha )+X\lrcorner \mathrm {d} \alpha } 여기서 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 은 리 미분이다. 또한, 임의의 두 벡터장 X , Y ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M)} 및 미분 형식 α ∈ Ω ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega (M)} 에 대하여, 다음이 성립한다. [ X , Y ] ⌟ α = L X ( X ⌟ α ) − X ⌟ L X α {\displaystyle [X,Y]\lrcorner \alpha ={\mathcal {L}}_{X}(X\lrcorner \alpha )-X\lrcorner {\mathcal {L}}_{X}\alpha } 내부곱의 개념과 용어(독일어: inner Produkt)는 헤르만 그라스만이 도입하였다.:§4.1, 107–112 Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, topology, and physics》. Institute of Physics Graduate Student Series in Physics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-0-75030606-5.  Lee, John M. (1997). 《Riemannian manifolds: an introduction to curvature》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 176. Springer-Verlag. doi:10.1007/b98852. ISBN 978-0-387-98322-6.  Grassmann, Hermann (1862). 《Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form bearbeitet》 (독일어). 베를린: Verlag von Th. Chr. Fr. Enslin.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Interior product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Armstrong, John (2011년 7월 26일). “The interior product”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).  “Urge/reason for inventing interior product (Grassmann algebra)” (영어). Math Overflow.