등비수열

등비수열(等比數列, 문화어: 같은비수렬, 영어: geometric sequence) 또는 기하수열(幾何數列)은 각 항이 이전 항과 일정한 비를 가지는 수열을 말하며, 각 항과 이전 항의 일정한 비율을 공비(共比, common ratio)라고 한다. 초항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다. a , a r , a r 2 , a r 3 , ⋯ {\displaystyle a,ar,ar^{2},ar^{3},\cdots } 첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ... 즉 1, 1*2, 1*22, 1*23...이다. 첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다. 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ... 첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다. 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ... 첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다. a n = a r n − 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}\;} 등비수열은 다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다. a n r = a n + 1 {\displaystyle a_{n}r=a_{n+1}} 이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다. 등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가 양수이면, 모든 항은 첫항과 같은 부호를 가진다. 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다. 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다. 1이면, 모든 항의 값이 같아진다. −1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다. −1이면, 모든 항의 절댓값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다. 0이면, 첫항을 제외한 모든 항이 0이 된다. 등비수열은(공비가 −1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 된다. 0이 아닌 세 수 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, b {\displaystyle b} 를 a {\displaystyle a} 와 c {\displaystyle c} 의 등비중항이라 한다. 따라서 세 수 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 에 대하여, b {\displaystyle b} 가 a {\displaystyle a} 와 c {\displaystyle c} 의 등비중항이라면 b a = c b = r {\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}=r} 즉, b 2 = a c {\displaystyle b^{2}=ac} 가 성립한다. 또 b 2 = a c {\displaystyle b^{2}=ac} 에서 b = ± a c {\displaystyle b=\pm {\sqrt {ac}}} 이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다. b = ± a c {\displaystyle b=\pm {\sqrt {ac}}} 은 실제 기하평균의 꼴이다. 초항부터 n {\displaystyle n} 항까지의 합은 이 공식으로 나타낼 수 있다. a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle {\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} 인데, 편의상 a ( r n − 1 ) r − 1 {\displaystyle {\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}} 를 사용해도 된다. 단, r = 1 {\displaystyle r=1} 인 경우, n a {\displaystyle na} 로 표현한다. r ≠ 1 {\displaystyle r\neq 1} 인 경우는 다음과 같다. S n = a + a r + a r 2 + a r 3 + . . . + a r n − 1 {\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}} 양변에 r {\displaystyle r} 을 곱하면 r S n = a r + a r 2 + a r 3 + . . . + a r n − 1 + a r n {\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}+ar^{n}} 위 두 식을 빼면 ( 1 − r ) S n = a − a r n {\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}} r ≠ 1 {\displaystyle r\neq 1} 이므로 S n = a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} a 1 {\displaystyle a_{1}} 부터 a n {\displaystyle a_{n}} 까지 더한 합인 등비급수(문화어: 같은비합렬, 영어: geometric series) 또는 기하급수 S n {\displaystyle S_{n}} 은 다음과 같이 구할 수 있다. S n = a + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 {\displaystyle S_{n}=a+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}} = a ( 1 + r 1 + r 2 + ⋯ + r n − 1 ) {\displaystyle =a(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})} 여기에서 r {\displaystyle r} 의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다. S n = a ( 1 + r 1 + r 2 + ⋯ + r n − 1 ) ( r − 1 ) r − 1 {\displaystyle S_{n}=a{\frac {(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})(r-1)}{r-1}}} = a r n − 1 r − 1 = a 1 − r n 1 − r {\displaystyle =a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}} 무한등비급수(infinite geometric series)는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이며, 그 합은 다음과 같다. ∑ k = 0 ∞ a r k = lim n → ∞ ∑ k = 0 n − 1 a r k = lim n → ∞ a ( 1 − r n ) 1 − r = a 1 − r ( {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(} 단, | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} ) 등차수열 초기하함수 Weisstein, Eric Wolfgang. “Geometric sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Geometric series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.