모듈러 산술

수론에서 모듈러 산술(영어: modular arithmetic) 또는 합동 산술(合同算術)은 정수의 합과 곱을 어떤 주어진 수의 나머지에 대하여 정의하는 방법이다. 정수환의 몫환 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 환 구조로 생각할 수 있다. n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 이 2 이상의 정수라고 하자. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 주 아이디얼 ( n ) {\displaystyle (n)} 에 대한 몫환 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 원소들은 { 0 , 1 , … , n − 1 } {\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}} 과 일대일 대응하며, 이는 정수를 n {\displaystyle n} 으로 나눈 나머지로 생각할 수 있다. 즉, 환 준동형 ϕ n : Z → Z / ( n ) {\displaystyle \phi _{n}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(n)} 을, 정수를 n {\displaystyle n} 에 대한 나머지로 대응시키는 함수로 여길 수 있다. 임의의 두 정수 a , b ∈ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립하면 a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 가 법 n {\displaystyle n} 에 대하여 합동(法 n {\displaystyle n} 에 對하여 合同, 영어: congruent modulo n {\displaystyle n} )이라고 한다. a = b + k n {\displaystyle a=b+kn} 인 정수 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 가 존재한다. ϕ n ( a ) = ϕ n ( b ) ∈ Z / ( n ) {\displaystyle \phi _{n}(a)=\phi _{n}(b)\in \mathbb {Z} /(n)} 이다. 즉, a {\displaystyle a} 와 b {\displaystyle b} 는 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 같은 동치류에 속한다. 이는 기호로는 a ≡ b ( mod n ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}} 이라고 한다. 정수의 합동은 동치 관계를 이룬다. Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 은 가환환이므로, 임의의 가환환에서와 마찬가지로 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈을 정의할 수 있으며, 덧셈과 곱셈은 결합 법칙 · 교환 법칙을 따르고, 또한 분배 법칙이 성립한다. ϕ n : Z → Z / ( n ) {\displaystyle \phi _{n}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(n)} 이 환 준동형이므로, 임의의 a , b , c ∈ Z {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} } 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. a b ≡ c ( mod n ) {\displaystyle ab\equiv c{\pmod {n}}} ϕ n ( a ) ϕ n ( b ) = ϕ n ( c ) {\displaystyle \phi _{n}(a)\phi _{n}(b)=\phi _{n}(c)} 마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a + b ≡ c ( mod n ) {\displaystyle a+b\equiv c{\pmod {n}}} ϕ n ( a ) + ϕ n ( b ) = ϕ n ( c ) {\displaystyle \phi _{n}(a)+\phi _{n}(b)=\phi _{n}(c)} 마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a ≡ − b ( mod n ) {\displaystyle a\equiv -b{\pmod {n}}} ϕ n ( a ) = − ϕ n ( b ) {\displaystyle \phi _{n}(a)=-\phi _{n}(b)} n {\displaystyle n} 의 소인수 분해가 n = ∏ p p n p {\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}} 라고 하자. 그렇다면 중국인의 나머지 정리에 따르면 다음과 같은 가환환의 동형이 존재한다. Z / ( n ) ≅ ∏ p Z / ( p n p ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /(p^{n_{p}})} 즉, 두 개 이상의 소인수를 갖는 수에 대한 모듈러 산술은 그 소인수들(의 거듭제곱)에 대한 합동류들을 성분별로 취급하는 것과 같다. 일반적으로, Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 은 체가 아니므로, 모듈러 산술에서 나눗셈은 일반적으로 정의되지 않는다. 다만, 만약 n {\displaystyle n} 이 소수라면 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 은 체를 이루며, 이 경우 0이 아닌 모든 수의 역수가 존재한다. 합성수 n {\displaystyle n} 에 대한 모듈러 산술의 경우, 오직 n {\displaystyle n} 과 서로소인 수만이 가역원이다 (역수를 정의할 수 있다). 이는 오일러의 정리에 따라 a ϕ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} 이기 때문이다 ( ϕ {\displaystyle \phi } 는 오일러 피 함수). 즉, n {\displaystyle n} 개의 합동류 가운데 오직 ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} 개만이 가역원이며, 가역원 a {\displaystyle a} 의 역원은 a ϕ ( n ) − 1 {\displaystyle a^{\phi (n)-1}} 이다. 2가 아닌 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, Z / ( p k ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{k})} 의 가역원들은 총 ϕ ( p k ) = p k − 1 ( p − 1 ) {\displaystyle \phi (p^{k})=p^{k-1}(p-1)} 개가 있으며 ( ϕ {\displaystyle \phi } 는 오일러 피 함수), 그 가역원군은 순환군이다. ( Z / ( p k ) ) × ≅ Z ϕ ( p k ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /(p^{k}))^{\times }\cong Z_{\phi (p^{k})}} k > 1 {\displaystyle k>1} 에 대하여, Z / ( 2 k ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(2^{k})} 의 가역원군은 다음과 같다. ( Z / ( 2 k ) ) × ≅ Z 2 × Z 2 k − 2 {\displaystyle (\mathbb {Z} /(2^{k}))^{\times }\cong Z_{2}\times Z_{2^{k-2}}} 일반적 합성수의 경우, 가역원군은 중국인의 나머지 정리에 따라서 ( Z / ( ∏ p p n p ) ) × ≅ ∏ p ( Z / ( p n p ) ) × {\displaystyle \left(\mathbb {Z} /\left(\prod _{p}p^{n_{p}}\right)\right)^{\times }\cong \prod _{p}(\mathbb {Z} /(p^{n_{p}}))^{\times }} 이다. Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 에서도 정수환의 경우와 마찬가지로 아이디얼과 소 아이디얼 및 극대 아이디얼의 개념을 정의할 수 있다. Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 아이디얼은 모두 n {\displaystyle n} 의 약수에 의하여 생성되는 주 아이디얼이다. 즉, ( d ) {\displaystyle (d)} ( d ∣ n {\displaystyle d\mid n} )의 꼴이다. 이 아이디얼들 가운데, 소 아이디얼인 것은 d {\displaystyle d} 가 소수인 경우이다. 즉, Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 소 아이디얼은 n {\displaystyle n} 의 소인수들의 주 아이디얼들이다. Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 에서 극대 아이디얼의 개념과 소 아이디얼의 개념은 서로 일치한다. 즉, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서, Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} 의 크룰 차원은 다음과 같다. dim ⁡ Z / ( n ) = { 1 n = 0 − ∞ n = 1 0 n ≠ 0 , 1 {\displaystyle \dim \mathbb {Z} /(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}} 이는 대수기하학적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. n {\displaystyle n} 의 소인수 분해가 n = ∏ i = 1 k p i n i {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}} 라면, 중국인의 나머지 정리에 따라서 Z / ( n ) ≅ ∏ i = 1 k Z / ( p i n i ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\cong \prod _{i=1}^{k}\mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})} 이다. 이는 가환환의 범주에서의 곱이므로, 아핀 스킴의 범주에서의 쌍대곱이 된다. 즉, Spec ⁡ Z / ( n ) = ⨆ i = 1 k Spec ⁡ Z / ( p i n i ) {\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(n)=\bigsqcup _{i=1}^{k}\operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})} 가 된다. 각 Z / ( p i n i ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})} 는 하나의 소 아이디얼 ( p i ) {\displaystyle (p_{i})} 을 갖는 국소환이며, 따라서 위상 공간으로서는 한원소 집합이다. 즉, 아핀 스킴 Spec ⁡ Z / ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(n)} 은 위상 공간으로서 n {\displaystyle n} 의 각 소인수에 대응하는 k {\displaystyle k} 개의 점들로 구성된 공간이다. (만약 n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우, 이는 정수환의 스펙트럼이므로, 1차원이다. n = 1 {\displaystyle n=1} 일 경우, 자명환의 스펙트럼은 공집합이다.) 14와 20 그리고 −4는 법 6에 대하여 합동이다. 이를 식으로 나타내면 14 ≡ 20 ≡ − 4 ( mod 6 ) {\displaystyle 14\equiv 20\equiv -4{\pmod {6}}} 이다. 중국인의 나머지 정리 “Congruence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Congruence equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Two-term congruence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Congruence modulo a prime number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Congruence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Congruence equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.