공종 집합

순서론에서 공종 집합(共終集合, 영어: cofinal set)은 그 하폐포가 전체 집합인, 원순서 집합의 부분 집합이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공종 집합(共終集合, 영어: cofinal set) S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 는 X =↓ S {\displaystyle X=\downarrow S} 가 성립하는 부분 집합이다. 여기서 ↓ {\displaystyle \downarrow } 는 하폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다. ∀ x ∈ X ∃ s ∈ S : x ≲ s {\displaystyle \forall x\in X\exists s\in S\colon x\lesssim s} 쌍대적으로, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공시작 집합(共始作共終, 영어: coinitial set) S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 는 X =↑ S {\displaystyle X=\uparrow S} 가 성립하는 부분 집합이다. 여기서 ↑ {\displaystyle \uparrow } 는 상폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다. ∀ x ∈ X ∃ s ∈ S : x ≳ s {\displaystyle \forall x\in X\exists s\in S\colon x\gtrsim s} 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공종 집합 및 공시작 집합들은 각각 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이들을 각각 Cofin ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Cofin} (X)} 와 Coinit ⁡ ( X ) = Cofin ⁡ ( X op ) {\displaystyle \operatorname {Coinit} (X)=\operatorname {Cofin} (X^{\operatorname {op} })} 로 나타내자. 집합 X {\displaystyle X} 및 원순서 집합 ( Y , ≲ Y ) {\displaystyle (Y,\lesssim _{Y})} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 의 치역이 Y {\displaystyle Y} 의 공종 집합이라면, f {\displaystyle f} 를 공종 함수(영어: cofinal map)라고 한다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 두 부분 집합 Z ⊆ Y ⊆ X {\displaystyle Z\subseteq Y\subseteq X} 에 대하여, 만약 Z {\displaystyle Z} 가 ( Y , ≲ ) {\displaystyle (Y,\lesssim )} 의 공종 집합이며 Y {\displaystyle Y} 가 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공종 집합이라면 Z {\displaystyle Z} 는 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공종 집합이다. 만약 Z {\displaystyle Z} 가 ( Y , ≲ ) {\displaystyle (Y,\lesssim )} 의 공시작 집합이며 Y {\displaystyle Y} 가 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공시작 집합이라면 Z {\displaystyle Z} 는 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공시작 집합이다. 그렇다면, Cofin ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Cofin} (X)} 와 Coinit ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Coinit} (X)} 의 최대 원소는 X {\displaystyle X} 이다. 또한, 공종 집합들의 족의 합집합은 공종 집합이며, 공시작 집합들의 족의 합집합은 공시작 집합이다. 따라서, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여 ( Cofin ⁡ ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle (\operatorname {Cofin} (X),\subseteq )} 와 ( Coinit ⁡ ( X ) , ⊆ ) {\displaystyle (\operatorname {Coinit} (X),\subseteq )} 둘 다 모든 상한을 갖는다. 그러나 두 공종 집합의 교집합은 공종 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 자연수의 전순서 집합 ( N , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )} 에서, 짝수의 집합 2 N {\displaystyle 2\mathbb {N} } 과 홀수의 집합 2 N + 1 {\displaystyle 2\mathbb {N} +1} 은 각각 공종 집합이지만, 그 교집합인 공집합은 공종 집합이 아니다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 이 다음 조건을 만족시킨다고 하자. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, x {\displaystyle x} 와 비교 가능한 극대 원소 m ≥ x {\displaystyle m\geq x} 가 존재한다. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. S {\displaystyle S} 는 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 의 공종 집합이다. 임의의 극대 원소 m ∈ max X {\displaystyle m\in \max X} 에 대하여, x ∼ s {\displaystyle x\sim s} 인 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 가 존재한다. 즉, [ x ] ∼ ∩ S ≠ ∅ {\displaystyle [x]_{\sim }\cap S\neq \varnothing } 이다. 특히, X {\displaystyle X} 가 추가로 부분 순서 집합이라면, Cofin ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Cofin} (X)} 의 최소 원소는 max X {\displaystyle \max X} (즉, X {\displaystyle X} 의 최대 원소들의 집합)이다. 자연수의 전순서 집합 ( N , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )} 의 부분 집합 S ⊆ N {\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} } 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. S {\displaystyle S} 는 ( N , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )} 의 공종 집합이다. S {\displaystyle S} 는 무한 집합이다. 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 의 부분 집합 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. S {\displaystyle S} 는 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 의 공종 집합이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 최대 원소 m ∈ X {\displaystyle m\in X} 를 갖는다면, m ∈ S {\displaystyle m\in S} 이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 최대 원소를 갖지 않는다면, S {\displaystyle S} 는 상계를 갖지 않는다. “Cofinal set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Definition: cofinal subset”. 《ProofWiki》 (영어).  “Subset of natural numbers is cofinal iff infinite”. 《ProofWiki》 (영어).