모스 호몰로지

미분위상수학에서 모스 호몰로지(영어: Morse homology)는 콤팩트 매끄러운 다양체의 호몰로지를 그 위의 실수 값 함수를 통해 구성하는 방법이다. 다양체의 위상을 실수 값 함수를 통해 분석하는 이론인 모스 이론의 일부이다. 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에 임의의 리만 계량 g {\displaystyle g} 와 모스 함수 f {\displaystyle f} 를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 ∇ f ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle \nabla f\in \Gamma (TM)} 을 정의할 수 있다. 각 임계점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, ∇ f {\displaystyle \nabla f} 의 안정 부분 공간(stable subspace) W s ( x ) {\displaystyle W^{\text{s}}(x)} 과 불안정 부분 공간(unstable subspace) W u ( x ) {\displaystyle W^{\text{u}}(x)} 을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차(transversal intersection)한다면 (즉, 모든 y ∈ W s ( x ) ∩ W u ( x ) {\displaystyle y\in W^{\text{s}}(x)\cap W^{\text{u}}(x)} 에서 T y M = T y W s ( x ) ⊕ T y W u ( x ) {\displaystyle T_{y}M=T_{y}W^{\text{s}}(x)\oplus T_{y}W^{\text{u}}(x)} 이라면) 순서쌍 ( g , f ) {\displaystyle (g,f)} 를 모스-스메일 함수(Morse-Smale函數, 영어: Morse–Smale function)라고 한다. 이는 마스턴 모스와 스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다. f {\displaystyle f} 의 기울기 흐름(영어: gradient flow)은 f {\displaystyle f} 의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 x i {\displaystyle x_{i}} , x j {\displaystyle x_{j}} 사이의 기울기 흐름들의 모듈라이 공간 F ( x i , x j ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(x_{i},x_{j})} 을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다. dim ⁡ F ( x i , x j ) = | γ ( x i ) − γ ( x j ) | {\displaystyle \dim {\mathcal {F}}(x_{i},x_{j})=|\gamma (x_{i})-\gamma (x_{j})|} 모스-스메일 함수 ( g , f ) {\displaystyle (g,f)} 가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에, 모스 사슬 복합체(Morse사슬複合體, 영어: Morse chain complex) C i ( M ) {\displaystyle C_{i}(M)} 는 모스 지표가 i {\displaystyle i} 인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자 ∂ i : C i ( M ) → C i − 1 ( M ) {\displaystyle \partial _{i}\colon C_{i}(M)\to C_{i-1}(M)} 는 x i ∈ C i ( M ) {\displaystyle x_{i}\in C_{i}(M)} 을 x i {\displaystyle x_{i}} 로부터 시작하는 f {\displaystyle f} 의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지 H M ( M ) = ker ⁡ ∂ i / im ⁡ ∂ i + 1 {\displaystyle H_{\text{M}}(M)=\ker \partial _{i}/\operatorname {im} \partial _{i+1}} 를 모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다. 모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지와 호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 발견하였고, 모스-위튼 코호몰로지(영어: Morse–Witten cohomology)라고 불린다. 모스 함수 f {\displaystyle f} 가 주어진 콤팩트 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자. d t = exp ⁡ ( − t f ) d exp ⁡ ( t f ) {\displaystyle d_{t}=\exp(-tf)d\exp(tf)} d t † = exp ⁡ ( − t f ) d † exp ⁡ ( t f ) {\displaystyle d_{t}^{\dagger }=\exp(-tf)d^{\dagger }\exp(tf)} Δ t = d t d t † + d t † d t {\displaystyle \Delta _{t}=d_{t}d_{t}^{\dagger }+d_{t}^{\dagger }d_{t}} 그렇다면 Δ t {\displaystyle \Delta _{t}} 의 고윳값에 따라, M {\displaystyle M} 위의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식들의 공간 Ω k {\displaystyle \Omega ^{k}} 을 다음과 같이 분해할 수 있다. Ω k = ⨁ λ Ω λ k ( t ) {\displaystyle \Omega ^{k}=\bigoplus _{\lambda }\Omega _{\lambda }^{k}(t)} Δ t α = λ α ∀ α ∈ Ω λ k ( t ) {\displaystyle \Delta _{t}\alpha =\lambda \alpha \forall \alpha \in \Omega _{\lambda }^{k}(t)} 이 경우, t = 0 {\displaystyle t=0} 일 때 호지 이론에 따라서 Ω 0 k ( 0 ) ≅ H dR k ( M ) {\displaystyle \Omega _{0}^{k}(0)\cong H_{\text{dR}}^{k}(M)} 이다. 여기서 H dR ∙ {\displaystyle H_{\text{dR}}^{\bullet }} 은 드람 코호몰로지다. 반면, t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } 로 보내자. 그렇다면 Ω 0 k ( ∞ ) {\displaystyle \Omega _{0}^{k}(\infty )} 는 모스 지표가 k {\displaystyle k} 인 임계점 근처에 국소화된 k {\displaystyle k} 차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉, dim ⁡ Ω 0 k ( ∞ ) = N k {\displaystyle \dim \Omega _{0}^{k}(\infty )=N_{k}} 이다. 여기서 N k {\displaystyle N_{k}} 는 모스 지표가 k {\displaystyle k} 인 임계점들의 개수다. 이 경우, 다음과 같은 모스-위튼 복합체(Morse-Witten複合體, 영어: Morse–Witten complex)가 존재한다. Ω 0 1 ( ∞ ) → d ∞ Ω 0 1 ( ∞ ) → d ∞ ⋯ → d Ω 0 k ( ∞ ) → d ∞ Ω 0 k + 1 ( ∞ ) → d ∞ ⋯ {\displaystyle \Omega _{0}^{1}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\Omega _{0}^{1}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega _{0}^{k}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\Omega _{0}^{k+1}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\cdots } 여기서 공경계 연산자 d ∞ {\displaystyle d_{\infty }} 는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다. 이 복합체의 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 일치하며, 모스-위튼 코호몰로지라고 한다. 이는 M {\displaystyle M} 을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 1934년에 도입하였다. 1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(Morse-Bott理論, 영어: Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론의 보트 주기성(영어: Bott periodicity)을 증명하였다. 1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(Morse-Witten理論, 영어: Morse–Witten theory)이라고 한다. 1988년에 안드레아스 플뢰어(독일어: Andreas Floer)는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, 심플렉틱 다양체 및 3차원 다양체에 대한 플뢰어 호몰로지를 정의하였다. 초대칭 양자역학 플뢰어 호몰로지 Banyaga, Augustin; David Hurtubise (2004). 《Lectures on Morse Homology》. Kluwer Texts in the Mathematical Sciences (영어) 29. Kluwer. doi:10.1007/978-1-4020-2696-6. ISBN 978-1-4020-2695-9. ISSN 0927-4529. MR 2145196.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Schwarz, Matthias (1993). 《Morse Homology》. Progress in Mathematics (영어) 111. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8577-5. ISBN 978-3-0348-9688-7. MR 1239174.  Shub, Michael (2007). “Morse–Smale systems”. 《Scholarpedia》 (영어) 2 (3): 1785. doi:10.4249/scholarpedia.1785. ISSN 1941-6016.  Bott, Raoul (1988). “Morse theory indomitable”. 《Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 68 (1): 99–114. doi:10.1007/BF02698544. ISSN 0073-8301. MR 1001450.  Henniart, Guy (1985). “Les inégalités de Morse (d’après E. Witten)”. 《Astérisque》 (프랑스어). 121–122: 43–61. MR 768953. Zbl 0565.58033. 2015년 4월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 6월 9일에 확인함.  Witten, Edward (1982). “Supersymmetry and Morse theory”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 17 (4): 661–692. MR 683171. Zbl 0499.53056.  Morse, Marston (1934). 《The Calculus of Variations in the Large》. American Mathematical Society Colloquium Publication (영어) 18. New York: American Mathematical Society. JFM 60.0450.01.  Bott, Raoul (1956). “An application of the Morse theory to the topology of Lie-grboboups”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 84: 251–281. ISSN 0037-9484. MR 0087035.  Bott, Raoul (1957). “The stable homotopy of the classical groups”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 43: 933–935. ISSN 0027-8424. JSTOR 89403. MR 0102802.  Bott, Raoul (1959). “The stable homotopy of the classical groups”. 《Annals of Mathematics (second series)》 70: 313–337. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970106. MR 0110104.  “Morse-Smale system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Morse homology”. 《nLab》 (영어).