프레셰 공간

함수해석학에서 프레셰 공간(Fréchet空間, 영어: Fréchet space)은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다. 프레셰 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다. 프레셰 공간은 특별한 완비 거리 공간의 구조를 가질 수 있는 국소 볼록 공간이다. 프레셰 공간은 그 위상이 특별한 반노름들이 족으로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이다. 첫 정의는 더 간단하며 직관적이지만, 실제 정리들을 증명하기 위해서는 둘째 정의가 더 유용하다. 다음 조건을 만족시키는 국소 볼록 공간 X {\displaystyle X} 를 프레셰 공간이라고 한다. X {\displaystyle X} 의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다. 또한, 이 거리 함수에 대하여 X {\displaystyle X} 는 완비 거리 공간이다. 이 정의에서, 거리 함수 자체는 프레셰 공간을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다. 실수 벡터 공간 X {\displaystyle X} 위에, 반노름들의 집합 ‖ ⋅ ‖ i : X → [ 0 , ∞ ) ( i ∈ I ) {\displaystyle \|\cdot \|_{i}\colon X\to [0,\infty )\qquad (i\in I)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 로서 X {\displaystyle X} 를 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. B = { ⋂ A : A ⊆ S , | A | < ℵ 0 } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\bigcap A\colon A\subseteq {\mathcal {S}},\;|A|<\aleph _{0}\right\}} S = { { x ∈ X : ‖ x − y ‖ i < ϵ } : ϵ ∈ R + , y ∈ X , i ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{\{x\in X\colon \|x-y\|_{i}<\epsilon \}\colon \epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\;y\in X,\;i\in I\right\}} 이 반노름 집합에 대하여 다음과 같은 세 조건들을 고려할 수 있다. ㈎ I {\displaystyle I} 로 유도되는 위상 공간은 하우스도르프 공간이다. 즉, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 만약 ∀ i ∈ I : ‖ x ‖ i = 0 {\displaystyle \forall i\in I\colon \|x\|_{i}=0} 이라면, x = 0 {\displaystyle x=0} 이다. ㈏ I {\displaystyle I} 는 가산 집합이다. ㈐ I {\displaystyle I} 로 유도되는 위상에서, 모든 코시 열이 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 ( x n ) n ∈ N ⊆ X {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X} 에 대하여, 만약 ∀ ϵ > 0 ∀ i ∈ I ∃ N ∈ N ∀ m , n ≥ N : ‖ x m − x n ‖ i < ϵ {\displaystyle \forall \epsilon >0\forall i\in I\exists N\in \mathbb {N} \forall m,n\geq N\colon \|x_{m}-x_{n}\|_{i}<\epsilon } 이라면, ∃ x ∈ X ∀ ϵ > 0 ∀ i ∈ I ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : ‖ x n − x ‖ i < ϵ {\displaystyle \exists x\in X\forall \epsilon >0\forall i\in I\exists N\in \mathbb {N} \forall n\geq N\colon \|x_{n}-x\|_{i}<\epsilon } 이다. 만약 위상 벡터 공간 X {\displaystyle X} 의 위상이 ㈎를 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, X {\displaystyle X} 는 하우스도르프 국소 볼록 공간이다. 만약 X {\displaystyle X} 의 위상이 ㈎·㈏·㈐를 모두 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, X {\displaystyle X} 를 프레셰 공간이라고 한다. 프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다. 프레셰 공간 X {\displaystyle X} 의 위상을 정의하는 가산 개의 반노름의 열 ‖ − ‖ k ∈ N {\displaystyle \|-\|_{k\in \mathbb {N} }} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 위에 다음과 같은 평행 이동 불변 완비 거리 함수를 줄 수 있다. d ( x , y ) = ∑ k = 0 ∞ 2 − k ‖ x − y ‖ k 1 + ‖ x − y ‖ k ( ∀ x , y ∈ X ) {\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\qquad (\forall x,y\in X)} 이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다. 함수 a ↦ a / ( 1 + a ) {\displaystyle a\mapsto a/(1+a)} 는 구간 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 를 [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} 에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다. 따라서, 각 반노름들에 위 연산을 취하여, d k ( x , y ) = ‖ x − y ‖ k / ( 1 + ‖ x − y ‖ k ) ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle d_{k}(x,y)=\|x-y\|_{k}/(1+\|x-y\|_{k})\in [0,1)} 을 정의한다. 이 반노름들을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 거리 함수를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수 2 − k {\displaystyle 2^{-k}} 를 삽입한다. 프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리 공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다. 프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등이 성립한다. 다만, 프레셰 공간에서는 (바나흐 공간과 달리) 역함수 정리가 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 바나흐 공간은 (자명하게) 프레셰 공간이다. 즉, 이 경우 하나의 (반)노름으로 위상이 정의된다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} 또한, M {\displaystyle M} 속에 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 ( K i ) i ∈ N {\displaystyle (K_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 이 존재한다고 하자. M = K 0 ∪ K 1 ∪ K 2 ∪ ⋯ {\displaystyle M=K_{0}\cup K_{1}\cup K_{2}\cup \dotsb } 그렇다면, l ∈ { 0 , 1 , … , ∞ } {\displaystyle l\in \{0,1,\dotsc ,\infty \}} 에 대하여, l {\displaystyle l} 번 미분 가능한 매끄러운 단면의 집합 Γ l ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{l}(E)} 은 실수 프레셰 공간을 이룬다. 구체적으로, 다음의 데이터를 임의로 고르자. E {\displaystyle E} 의 벡터 다발 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } M {\displaystyle M} 의 리만 계량 g {\displaystyle g} E {\displaystyle E} 의 양의 정부호 계량 η {\displaystyle \eta } 그렇다면, Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)} 위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다. ( ‖ s ‖ n , k ) 2 = sup y ∈ K n η a b g i 1 j 1 g i 2 j 2 ⋯ g i k j k ( ∇ i 1 ∇ i 2 ⋯ ∇ i n s a ) ( ∇ j 1 ∇ j 2 ⋯ ∇ j n s b ) ∀ n ∈ N , k ∈ N {\displaystyle \left(\|s\|_{n,k}\right)^{2}=\sup _{y\in K_{n}}\eta _{ab}g^{i_{1}j_{1}}g^{i_{2}j_{2}}\dotsm g^{i_{k}j_{k}}(\nabla _{i_{1}}\nabla _{i_{2}}\dotsm \nabla _{i_{n}}s^{a})(\nabla _{j_{1}}\nabla _{j_{2}}\dotsm \nabla _{j_{n}}s^{b})\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;k\in \mathbb {N} } 이를 통해 Γ l ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{l}(E)} 는 프레셰 공간을 이룬다. 또한, 그 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다. 특히, 만약 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 이 완비 리만 다양체일 경우, 임의의 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여 다음과 같이 콤팩트 집합의 열을 고를 수 있다. K ( x , n ) = { y ∈ M : d g ( x , y ) ≤ n } ( n ∈ N ) {\displaystyle K(x,n)=\{y\in M\colon d_{g}(x,y)\leq n\}\qquad (n\in \mathbb {N} )} 여기서 d g : M × M → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle d_{g}\colon M\times M\to [0,\infty )} 는 리만 계량 g {\displaystyle g} 로 유도되는 거리 함수이다. 특히, 만약 E {\displaystyle E} 가 자명한 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 C ∞ ( M , R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{n})} 은 프레셰 공간이다. 복소평면 위의 정칙 함수 f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 의 집합 위에 다음과 같은 반노름을 부여하자. ‖ f ‖ n = sup | z | ≤ n | f ( z ) | {\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{|z|\leq n}|f(z)|} 그렇다면, 이는 프레셰 공간을 이룬다. B {\displaystyle B} 가 바나흐 공간이라고 하자. 모든 B {\displaystyle B} 값의 수열의 공간 B N {\displaystyle B^{\mathbb {N} }} 위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다. ‖ a ‖ n = ‖ a n ‖ B {\displaystyle \|a\|_{n}=\|a_{n}\|_{B}} 이 위상 벡터 공간에서, 수렴은 성분별 수렴이다. 매끄러운 함수들의 프레셰 공간 X = C ∞ ( R , R ) {\displaystyle X=\mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} 을 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 함수를 생각할 수 있다. T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} T : f ↦ exp ∘ f {\displaystyle T\colon f\mapsto \exp \circ f} 이 경우, 임의의 f ∈ X {\displaystyle f\in X} 에서, D T | f : X → X {\displaystyle \mathrm {D} T|_{f}\colon X\to X} D T | f : g ↦ lim ϵ → 0 exp ⁡ ( f + ϵ g ) − exp ⁡ ( f ) ϵ = exp ⁡ ( f ) g {\displaystyle \mathrm {D} T|_{f}\colon g\mapsto \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\exp(f+\epsilon g)-\exp(f)}{\epsilon }}=\exp(f)g} 이다. 임의의 f ∈ X {\displaystyle f\in X} 및 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여 exp ⁡ ( f ( x ) ) ≠ 0 {\displaystyle \exp(f(x))\neq 0} 이므로, T {\displaystyle T} 는 모든 f ∈ X {\displaystyle f\in X} 에서 미분 가능 함수이며, 그 미분은 가역 선형 변환이다. T {\displaystyle T} 의 치역은 다음과 같이, 치역이 양의 실수로만 구성되는 매끄러운 함수들의 집합이다. im ⁡ T = { f ∈ X : ∀ x ∈ R : f ( x ) > 0 } {\displaystyle \operatorname {im} T=\{f\in X\colon \forall x\in \mathbb {R} \colon f(x)>0\}} 그런데 X {\displaystyle X} 의 기저는 B f , n , N , ϵ = { g ∈ X : max k ≤ N max − n ≤ x ≤ n | f ( k ) ( x ) − g ( k ) ( x ) | < ϵ } ( ϵ ∈ R + , f ∈ X , n , N ∈ N ) {\displaystyle B_{f,n,N,\epsilon }=\left\{g\in X\colon \max _{k\leq N}\max _{-n\leq x\leq n}|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)|<\epsilon \right\}\qquad (\epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\;f\in X,\;n,N\in \mathbb {N} )} 와 같은 꼴의 집합들로 구성되므로, X {\displaystyle X} 의 열린집합 가운데 T {\displaystyle T} 의 치역의 부분 집합인 것은 공집합 밖에 없다. 모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다. Rudin, Walter (1991). 《Functional Analysis》 (영어). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.  Treves, François (1967). 《Topological vector spaces, distributions and kernels》 (영어). Boston: Academic Press.  “Fréchet space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fréchet space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Fréchet space”. 《nLab》 (영어).  “Intuition for failure of Implicit Function theorem on Frechet Manifolds” (영어). Math Overflow.