반완전환

환론에서 반완전환(半完全環, 영어: semiperfect ring)은 모든 유한 생성 가군이 사영 덮개를 갖는 환이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반완전환(영어: semiperfect ring)이라고 한다. 1 = e 1 + e 2 + ⋯ + e k {\displaystyle 1=e_{1}+e_{2}+\cdots +e_{k}} 가 되는, 국소 멱등원들의 직교 유한 집합 { e 1 , e 2 , … , e k } {\displaystyle \{e_{1},e_{2},\dots ,e_{k}\}} 가 존재한다.:347, Theorem 23.6 R / rad ⁡ ( R ) {\displaystyle R/\operatorname {rad} (R)} 는 반단순환이며, R / rad ⁡ ( R ) {\displaystyle R/\operatorname {rad} (R)} 의 모든 멱등원 [ e ] ∈ R / rad ⁡ ( R ) {\displaystyle [e]\in R/\operatorname {rad} (R)} 에 대하여 e ∈ [ e ] {\displaystyle e\in [e]} 가 되는 R {\displaystyle R} -멱등원 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 존재한다.:346, Definition 23.1 모든 R {\displaystyle R} -유한 생성 왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다. 모든 R {\displaystyle R} -유한 생성 오른쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다. (여기서 모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환·오른쪽 아르틴 환이며, rad ⁡ R {\displaystyle \operatorname {rad} R} 는 제이컵슨 근기를 뜻한다.) 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 완전환(-完全環, 영어: left perfect ring)이라고 한다. 모든 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다. 모든 R {\displaystyle R} -평탄 왼쪽 가군은 사영 왼쪽 가군이다. (배스 정리 P 영어: Bass’s theorem P) R {\displaystyle R} -주 오른쪽 아이디얼들 { r R : r ∈ R } {\displaystyle \{rR\colon r\in R\}} 은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (※ 왼쪽이 아니라, 주 오른쪽 아이디얼이다.) R / rad ⁡ R {\displaystyle R/\operatorname {rad} R} 는 반단순환이며, 임의의 열 j 0 , j 1 , j 2 , ⋯ ∈ rad ⁡ R {\displaystyle j_{0},j_{1},j_{2},\dots \in \operatorname {rad} R} 에 대하여 j 0 j 1 j 2 ⋯ j n = 0 {\displaystyle j_{0}j_{1}j_{2}\cdots j_{n}=0} 이 되는 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 이 존재한다. R / rad ⁡ R {\displaystyle R/\operatorname {rad} R} 는 반단순환이며, 모든 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군은 영가군이 아니라면 극대 부분 가군을 갖는다. 마찬가지로 오른쪽 완전환(-完全環, 영어: right perfect ring)의 개념을 정의할 수 있다. 반완전환과 달리, 완전환의 개념은 왼쪽·오른쪽이 서로 다르다. 반완전환·왼쪽 완전환·오른쪽 완전환의 개념은 (가군만을 통해 정의되므로) 모리타 동치에 대하여 불변이다. 임의의 (곱셈 항등원을 갖는) 환에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.:335 여기서 반으뜸환(半-環, 영어: semiprimary ring)은 그 제이컵슨 근기 rad ⁡ R {\displaystyle \operatorname {rad} R} 가 멱영 아이디얼이며, 제이컵슨 근기에 대한 몫환 R / rad ⁡ R {\displaystyle R/\operatorname {rad} R} 가 반단순환인 환 R {\displaystyle R} 를 뜻한다. R {\displaystyle R} 가 반완전환이며, { e 1 , … , e k } {\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{k}\}} 가 서로 직교인 국소 멱등원들의 집합이라고 하자. 반완전환 R {\displaystyle R} 위의 모든 유한 생성 사영 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 은 다음과 같은 꼴의 유한 직합으로 분해된다. M = ( R e 1 ) ⊕ n 1 ⊕ ( R e 2 ) ⊕ n 2 ⊕ ⋯ ⊕ ( R e k ) ⊕ n k {\displaystyle M=(Re_{1})^{\oplus n_{1}}\oplus (Re_{2})^{\oplus n_{2}}\oplus \cdots \oplus (Re_{k})^{\oplus n_{k}}} 여기서 각 n k ∈ N {\displaystyle n_{k}\in \mathbb {N} } 은 자연수이다. R {\displaystyle R} 가 추가로 왼쪽 완전환이라고 하자. R {\displaystyle R} 위의 모든 사영 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 은 다음과 같은 꼴 직합으로 분해된다. M = ( R e 1 ) ⊕ κ 1 ⊕ ( R e 2 ) ⊕ κ 2 ⊕ ⋯ ⊕ ( R e k ) ⊕ κ k {\displaystyle M=(Re_{1})^{\oplus \kappa _{1}}\oplus (Re_{2})^{\oplus \kappa _{2}}\oplus \cdots \oplus (Re_{k})^{\oplus \kappa _{k}}} 여기서 각 κ i {\displaystyle \kappa _{i}} 는 (무한 또는 유한) 기수이다. R {\displaystyle R} 가 반완전환이라고 하자. 그렇다면, 원시 멱등원 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 에 대하여, R e {\displaystyle Re} 와 같은 꼴의 왼쪽 가군을 주 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: principal indecomposable left module)이라고 한다. 이들은 분해 불가능 가군이며 사영 가군이다. 그렇다면, R {\displaystyle R} 위의 단순 왼쪽 가군들의 동형류 집합은 R {\displaystyle R} 위의 주 분해 불가능 왼쪽 가군들의 동형류 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 원시 멱등원 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 주어졌을 때, 주 분해 불가능 왼쪽 가군 R e {\displaystyle Re} 에 대응하는 단순 왼쪽 가군은 R e rad ⁡ ( R ) e {\displaystyle {\frac {Re}{\operatorname {rad} (R)e}}} 이다. 반완전환 R {\displaystyle R} 가 유한 개의 원시 멱등원 { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}} 을 갖는다고 하자. 만약 soc ⁡ ( R e σ ( i ) ) ≅ R e i rad ⁡ ( R ) e i {\displaystyle \operatorname {soc} (Re_{\sigma (i)})\cong {\frac {Re_{i}}{\operatorname {rad} (R)e_{i}}}} soc ⁡ ( e i R ) ≅ R e σ ( i ) e σ ( i ) rad ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {soc} (e_{i}R)\cong {Re_{\sigma (i)}}{e_{\sigma (i)}\operatorname {rad} (R)}} 라면, σ {\displaystyle \sigma } 를 R {\displaystyle R} 의 나카야마 순열([中山]順列, 영어: Nakayama permutation)이라고 한다. 이는 나카야마 다다시가 도입하였다. 반완전환 R {\displaystyle R} 는 다음과 같은 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.:361, Theorem 25.4 R = e 1 R × e 2 R × ⋯ × e k R {\displaystyle R=e_{1}R\times e_{2}R\times \cdots \times e_{k}R} 여기서 각 e i ∈ Z ⁡ ( R ) {\displaystyle e_{i}\in \operatorname {Z} (R)} 는 중심에 속하는 원시 멱등원들이다. 각 e i R {\displaystyle e_{i}R} 는 항등원 e i ∈ e i R {\displaystyle e_{i}\in e_{i}R} 를 갖는 반완전환이다. 반완전환 R {\displaystyle R} 의 기초 멱등원(영어: basic idempotent) e ∈ R {\displaystyle e\in R} 는 다음과 같은 꼴의 멱등원이다. e = e 1 + e 2 + ⋯ + e k {\displaystyle e=e_{1}+e_{2}+\cdots +e_{k}} 여기서 각 e i ∈ R {\displaystyle e_{i}\in R} 는 원시 멱등원이며, e i e j = e j e i ∀ i , j {\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\qquad \forall i,j} 이다. { R e 1 , R e 2 , … , R e k } {\displaystyle \{Re_{1},Re_{2},\dots ,Re_{k}\}} 는 각각 서로 동형이 아닌 주 분해 불가능 가군들에 대응한다. 기초 멱등원 e ∈ R {\displaystyle e\in R} 가 주어졌을 때, e R e {\displaystyle eRe} 는 반완전환을 이루며, 이는 R {\displaystyle R} 의 모리타 동치류의 표준적인 대표원을 이룬다.:364 1956년에 사무엘 에일렌베르크는 모든 대상이 사영 덮개를 갖는 아벨 범주를 "완전 범주"(영어: perfect category)라고 명명하였다. 이후 에일렌베르그의 용어를 차용하여, 하이먼 배스가 1960년에 완전환 및 반완전환의 개념을 도입하였다. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.  Eilenberg, Samuel (1956년 9월). “Homological dimension and syzygies”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 64 (2): 328–336. doi:10.2307/1969977. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969977.  Bass, Hyman (1960). “Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 95 (3): 466–488. doi:10.1090/S0002-9947-1960-0157984-8. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993568. MR 0157984.  “Semi-perfect ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Perfect ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.