아벨 변환

수학에서 아벨 변환(-變換, 영어: Abel transformation) 또는 아벨 보조정리(-補助定理, 영어: Abel's lemma) 또는 아벨 부분합 공식(-部分合公式, 영어: Abel's partial summation formula) 또는 부분 합산(部分合算, 영어: summation by parts)은 두 수열의 곱의 합을 다른 두 수열의 곱의 합으로 바꾸는 방법이다. 부분 적분의 이산적 형태다. 아벨 변환에 따르면, 임의의 자연수 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 및 두 묶음의 복소수 a 0 , a 1 , … , a n ∈ C {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {C} } 및 b 0 , b 1 , … , b n ∈ C {\displaystyle b_{0},b_{1},\dots ,b_{n}\in \mathbb {C} } 에 대하여, A i = a 0 + a 1 + ⋯ + a i ( i = 0 , 1 , … , n ) {\displaystyle A_{i}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{i}\qquad (i=0,1,\dots ,n)} 라고 하였을 때, 다음 공식이 성립한다.:180 ∑ i = 0 n a i b i = A n b n + ∑ i = 0 n − 1 A i ( b i − b i + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}=A_{n}b_{n}+\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}(b_{i}-b_{i+1})} 보다 일반적으로, 가환환 K {\displaystyle K} 및 K {\displaystyle K} -가군 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} , M {\displaystyle M} 및 K {\displaystyle K} -쌍선형 변환 ϕ : V ⊗ W → M {\displaystyle \phi \colon V\otimes W\to M} 이 주어졌을 때, 임의의 자연수 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 및 두 묶음의 가군 원소 a 0 , a 1 , … , a n ∈ V {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in V} 및 b 0 , b 1 , … , b n ∈ W {\displaystyle b_{0},b_{1},\dots ,b_{n}\in W} 및 A i = a 0 + a 1 + ⋯ + a i ∈ V ( i = 0 , 1 , … , n ) {\displaystyle A_{i}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{i}\in V\qquad (i=0,1,\dots ,n)} 에 대하여, 다음 공식이 성립한다. ∑ i = 0 n ϕ ( a i , b i ) = ϕ ( A n , b n ) + ∑ i = 0 n − 1 ϕ ( A i , b i − b i + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\phi (a_{i},b_{i})=\phi (A_{n},b_{n})+\sum _{i=0}^{n-1}\phi (A_{i},b_{i}-b_{i+1})} 이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다. 아벨 변환을 사용하여, 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명할 수 있다. 그 중 일부는 다음과 같다. 교대급수 판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법 크로네커 보조정리 처음 n {\displaystyle n} 개의 양의 정수의 합 ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + ⋯ + n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n} 을 구하자. a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} b n = k {\displaystyle b_{n}=k} 라고 하자. 그렇다면 첫 번째 수열의 부분합은 A n = a 1 + a 2 + ⋯ + a n = 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ n = n {\displaystyle A_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}=n} 이다. 따라서, 등차수열의 합에 아벨 변환을 가하면 다음을 얻는다. ∑ k = 1 n k = ∑ k = 1 n ( 1 ⋅ k ) = n ⋅ n + ∑ k = 1 n − 1 k ( k − ( k + 1 ) ) = n 2 − ∑ k = 1 n − 1 k = n 2 − ( ∑ k = 1 n k − n ) = n 2 + n − ∑ k = 1 n k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k&=\sum _{k=1}^{n}(1\cdot k)\\&=n\cdot n+\sum _{k=1}^{n-1}k(k-(k+1))\\&=n^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}k\\&=n^{2}-\left(\sum _{k=1}^{n}k-n\right)\\&=n^{2}+n-\sum _{k=1}^{n}k\end{aligned}}} 우변의 급수를 이항하고 양변을 2로 나누면, 처음 n {\displaystyle n} 개의 양의 정수의 합 ∑ k = 1 n k = n 2 + n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n^{2}+n}{2}}} 을 얻는다. 제곱수의 합 ∑ k = 1 n k 2 = 1 + 4 + ⋯ + n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+\cdots +n^{2}} 을 생각하자. a n = b n = n {\displaystyle a_{n}=b_{n}=n} 라고 하였을 때, 등차수열의 합의 공식에 따라 A n = a 1 + ⋯ + a n = 1 + 2 + ⋯ + n = n 2 + n 2 {\displaystyle A_{n}=a_{1}+\cdots +a_{n}=1+2+\cdots +n={\frac {n^{2}+n}{2}}} 이다. 아벨 변환을 가한 결과는 다음과 같다. ∑ k = 1 n k 2 = n 2 + n 2 ⋅ n + ∑ k = 1 n − 1 k 2 + k 2 ⋅ ( k − ( k + 1 ) ) = n 3 + n 2 2 − ∑ k = 1 n − 1 k 2 + k 2 = n 3 + n 2 2 − ∑ k = 1 n k 2 + k 2 + n 2 + n 2 = n 3 + n 2 2 − 1 2 ∑ k = 1 n k 2 − 1 2 ∑ k = 1 n k + n 2 + n 2 = n 3 + n 2 2 − 1 2 ∑ k = 1 n k 2 − n 2 + n 4 + n 2 + n 2 = 2 n 3 + 3 n 2 + n 4 − 1 2 ∑ k = 1 n k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\frac {n^{2}+n}{2}}\cdot n+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {k^{2}+k}{2}}\cdot (k-(k+1))\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {k^{2}+k}{2}}\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {k^{2}+k}{2}}+{\frac {n^{2}+n}{2}}\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}k+{\frac {n^{2}+n}{2}}\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}-{\frac {n^{2}+n}{4}}+{\frac {n^{2}+n}{2}}\\&={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{4}}-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}\end{aligned}}} 이다. 따라서, 제곱수의 합은 ∑ k = 1 n k 2 = 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}} 이다. 마찬가지로, 임의의 거듭제곱수의 합을 아벨 변환을 통하여 귀납적으로 구할 수 있다. 교대급수 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}} 는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 교대급수의 부분합에 대하여 아벨 변환을 직접 적용해 보자. a n = ( − 1 ) n − 1 {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n-1}} b n = 1 n ( n ∈ Z + ) {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n}}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 로 놓자. 그렇다면 A n = a 1 + ⋯ + a n = { 1 n = 1 , 3 , 5 , … 0 n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle A_{n}=a_{1}+\cdots +a_{n}={\begin{cases}1&n=1,3,5,\dots \\0&n=2,4,6,\dots \end{cases}}} 이다. 따라서 아벨 변환을 적용한 결과는 다음과 같다 ( ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } 는 바닥 함수). ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 k = A n ⋅ 1 n + ∑ k = 1 n − 1 A k ( 1 k − 1 k + 1 ) = A n ⋅ 1 n + ∑ k = 1 n − 1 A k ⋅ 1 k ( k + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}&=A_{n}\cdot {\frac {1}{n}}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&=A_{n}\cdot {\frac {1}{n}}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\cdot {\frac {1}{k(k+1)}}\end{aligned}}} 여기에 극한 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 를 취하면 다음을 얻는다. ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}} 새로운 급수는 비교 판정법에 의하여 수렴하므로, 교대급수 역시 수렴한다. 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다. 아벨 극한 정리 아벨의 합 공식 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  “Abel transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Summation by parts”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Summation by parts”. 《PlanetMath》 (영어).  “Abel's lemma”. 《ProofWiki》 (영어).