교환자 (환론)

환론에서 교환자(交換子, 영어: commutator)와 반교환자(反交換子, 영어: anticommutator)는 두 원소 사이의 (반)교환 법칙이 실패하는 정도를 측정하는 이항 연산이다. 교환자의 기호는 [ − , − ] {\displaystyle [-,-]} 이며, 반교환자의 기호는 { − , − } {\displaystyle \{-,-\}} 이다. 환 R {\displaystyle R} 의 두 원소 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} 가 주어졌다고 하자. 그 교환자는 다음과 같다. [ a , b ] = a b − b a ∈ R {\displaystyle [a,b]=ab-ba\in R} 그 반교환자는 다음과 같다. { a , b } = a b + b a ∈ R {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba\in R} 만약 R {\displaystyle R} 의 표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신 [ a , b ] ± = a b ± b a {\displaystyle [a,b]_{\pm }=ab\pm ba} 가 사용되기도 한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 자연수 등급 대수 A = ⨁ i ∈ N A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 등급 교환자(等級交換子, 영어: graded commutator)를 정의할 수 있다. [ a , b ] gr = a b − ( − 1 ) deg ⁡ a deg ⁡ b b a {\displaystyle [a,b]_{\text{gr}}=ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba} 이 연산은 간혹 대신 [ − , − } {\displaystyle [-,-\}} 로 표기되기도 한다. 교환자는 다음과 같은 성질을 가진다. 정의에 따라, 임의의 환 R {\displaystyle R} 의 두 원소 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여, r s = s r {\displaystyle rs=sr} 가 성립할 필요 충분 조건은 [ r , s ] = 0 {\displaystyle [r,s]=0} 인 것이다. 마찬가지로, 임의의 두 원소 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여, r s = − s r {\displaystyle rs=-sr} 가 성립할 필요 충분 조건은 { r , s } = 0 {\displaystyle \{r,s\}=0} 인 것이다. 환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 R {\displaystyle R} 위의 교환자와 반교환자는 K {\displaystyle K} -겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 K {\displaystyle K} -가군 준동형을 정의한다. [ , ] : R ⊗ K R → R {\displaystyle [,]\colon R\otimes _{K}R\to R} { , } : R ⊗ K R → R {\displaystyle \{,\}\colon R\otimes _{K}R\to R} 특히, 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 K {\displaystyle K} -가군 준동형 [ a , − ] : R → R {\displaystyle [a,-]\colon R\to R} { a , − } : R → R {\displaystyle \{a,-\}\colon R\to R} 이 존재한다. 특히, [ a , − ] {\displaystyle [a,-]} 의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다. 교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. [ r , r ] = 0 ∀ r ∈ R {\displaystyle [r,r]=0\qquad \forall r\in R} [ r , s ] = − [ B , A ] ∀ r , s ∈ R {\displaystyle [r,s]=-[B,A]\qquad \forall r,s\in R} (야코비 항등식) [ r , [ s , t ] ] + [ s , [ t , r ] ] + [ t , [ r , s ] ] = 0 ∀ r , s ∈ R {\displaystyle [r,[s,t]]+[s,[t,r]]+[t,[r,s]]=0\qquad \forall r,s\in R} 이에 따라, 가환환 K {\displaystyle K} 위의 K {\displaystyle K} -결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는 K {\displaystyle K} -리 대수를 이룬다. 반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다. 교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. (곱 규칙) [ r , s t ] = [ r , s ] t + s [ r , t ] ∀ r , s , t ∈ R {\displaystyle [r,st]=[r,s]t+s[r,t]\qquad \forall r,s,t\in R} (곱 규칙) [ r s , t ] = r [ s , t ] + [ r , t ] s ∀ r , s , t ∈ R {\displaystyle [rs,t]=r[s,t]+[r,t]s\qquad \forall r,s,t\in R} 이에 따라, 임의의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 [ r , − ] {\displaystyle [r,-]} (또는 [ − , r ] {\displaystyle [-,r]} )를 부여하면 R {\displaystyle R} 는 미분 대수를 이룬다. 이 밖에도 다음 항등식이 성립한다. [ r , s t ] = [ r s , t ] + [ t s , r ] ∀ r , s , t ∈ R {\displaystyle [r,st]=[rs,t]+[ts,r]\qquad \forall r,s,t\in R} [ r s t , u ] = r s [ t , u ] + r [ s , u ] t + [ r , u ] s t ∀ r , s , t , u ∈ R {\displaystyle [rst,u]=rs[t,u]+r[s,u]t+[r,u]st\qquad \forall r,s,t,u\in R} [ [ [ r , s ] , t ] , u ] + [ [ [ s , t ] , u ] , r ] + [ [ [ t , u ] , r ] , s ] + [ [ [ u , r ] , s ] , t ] = [ [ r , t ] , [ s , u ] ] ∀ r , s , t , u ∈ R {\displaystyle [[[r,s],t],u]+[[[s,t],u],r]+[[[t,u],r],s]+[[[u,r],s],t]=[[r,t],[s,u]]\qquad \forall r,s,t,u\in R} 힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다. exp ⁡ ( A ) B exp ⁡ ( − A ) = B + [ A , B ] + 1 2 ! [ A , [ A , B ] ] + 1 3 ! [ A , [ A , [ A , B ] ] ] + ⋯ {\displaystyle \exp(A)B\exp(-A)=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots } 힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 불확정성 원리는 이런 교환자에 대한 성질을 물리학적으로 해석한다. Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5 Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Anticommutator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Commutator”. 《nLab》 (영어).  “Anti-commutator”. 《nLab》 (영어).  “Graded commutator”. 《nLab》 (영어).