텐서곱

환론에서 텐서곱(영어: tensor product)은 두 쌍가군 또는 가군 또는 결합 대수에 대하여 정의할 수 있는 이항 연산이다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} -결합 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} ( A , B ) {\displaystyle (A,B)} -쌍가군 (= A ⊗ K B op {\displaystyle A\otimes _{K}B^{\operatorname {op} }} -왼쪽 가군) A M B {\displaystyle _{A}M_{B}} ( B , C ) {\displaystyle (B,C)} -쌍가군 (= B ⊗ K C op {\displaystyle B\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }} -왼쪽 가군) B N C {\displaystyle _{B}N_{C}} 그렇다면, M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 의 텐서곱은 다음과 같이 구성되는 ( A , C ) {\displaystyle (A,C)} -쌍가군이다. 곱집합 M × N {\displaystyle M\times N} 위의 자유 ( A , C ) {\displaystyle (A,C)} -쌍가군 A X C {\displaystyle _{A}X_{C}} 를 생각하자. X {\displaystyle X} 위에 다음과 같은 이항 관계 ∼ 0 {\displaystyle \sim _{0}} 로 생성되는 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 를 생각하자. ( m , n ) + ( m ′ , n ) ∼ 0 ( m + m ′ , n ) ( m , m ′ ∈ M , n ∈ N ) {\displaystyle (m,n)+(m',n)\sim _{0}(m+m',n)\qquad (m,m'\in M,\;n\in N)} ( m , n ) + ( m , n ′ ) ∼ 0 ( m , n + n ′ ) ( m ∈ M , n , n ′ ∈ N ) {\displaystyle (m,n)+(m,n')\sim _{0}(m,n+n')\qquad (m\in M,\;n,n'\in N)} a ( m , n ) ∼ 0 ( a m , n ) ( m ∈ M , n ∈ N , a ∈ A ) {\displaystyle a(m,n)\sim _{0}(am,n)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A)} ( m , n ) c ∼ 0 ( m , n c ) ( m ∈ M , n ∈ N , c ∈ C ) {\displaystyle (m,n)c\sim _{0}(m,nc)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C)} ( m b , n ) ∼ 0 ( m , b n ) ( m ∈ M , n ∈ N , b ∈ B ) {\displaystyle (mb,n)\sim _{0}(m,bn)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B)} 이 동치 관계는 ( A , C ) {\displaystyle (A,C)} -쌍가군의 합동 관계임을 보일 수 있다. 따라서 X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} 은 ( A , C ) {\displaystyle (A,C)} -쌍가군이며, 이를 텐서곱 M ⊗ B N {\displaystyle M\otimes _{B}N} 이라고 한다. 다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다. 만약 K = A = C = Z {\displaystyle K=A=C=\mathbb {Z} } 라면, M B {\displaystyle M_{B}} 은 B {\displaystyle B} -오른쪽 가군이며, B N {\displaystyle B_{N}} 은 B {\displaystyle B} -왼쪽 가군이다. 이 경우, B {\displaystyle B} -오른쪽 가군과 B {\displaystyle B} -왼쪽 가군의 텐서곱은 아벨 군(= ( Z , Z ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )} -쌍가군)이다. 만약 K = A = B = C {\displaystyle K=A=B=C} 라면, M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 은 K {\displaystyle K} -가군이다. 이 경우, 두 K {\displaystyle K} -가군의 텐서곱은 K {\displaystyle K} -가군이다. 특히, 만약 K {\displaystyle K} 가 체일 때, 두 K {\displaystyle K} -벡터 공간의 텐서곱은 K {\displaystyle K} -벡터 공간이다. 특히, 만약 K = Z {\displaystyle K=\mathbb {Z} } 일 때, 두 아벨 군의 텐서곱은 아벨 군이다. 만약 K = B {\displaystyle K=B} 가 체이며, G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} 가 군이며, A = K [ G ] {\displaystyle A=K[G]} , C op = K [ H ] {\displaystyle C^{\operatorname {op} }=K[H]} (즉, K {\displaystyle K} 계수 군환)이라고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 은 각각 G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} 의 표현이며, 이 경우 M ⊗ K N {\displaystyle M\otimes _{K}N} 은 A ⊗ K C op = K [ G × H ] {\displaystyle A\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }=K[G\times H]} -왼쪽 가군을 이룬다. 즉, M ⊗ K N {\displaystyle M\otimes _{K}N} 은 직접곱 G × H {\displaystyle G\times H} 의 표현을 갖는다. 이를 두 군 표현의 외부 텐서곱(영어: external tensor product)이라고 한다. 특히, 위의 경우에서 만약 G = H {\displaystyle G=H} 라면, 대각 사상 G → G × G {\displaystyle G\to G\times G} 를 통해, M ⊗ K N {\displaystyle M\otimes _{K}N} 은 G {\displaystyle G} 의 표현을 이룬다. 이를 두 군 표현의 텐서곱이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} -결합 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 그렇다면, A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 둘 다 K {\displaystyle K} -가군이므로, 텐서곱 A ⊗ K B {\displaystyle A\otimes _{K}B} 를 정의할 수 있으며, 이는 K {\displaystyle K} -가군을 이룬다. 그런데, 이 경우 A ⊗ K B {\displaystyle A\otimes _{K}B} 는 자연스럽게 K {\displaystyle K} -결합 대수의 구조를 가지며, 이는 다음과 같다. ( a ⊗ K b ) ( a ′ ⊗ K b ′ ) = ( a a ′ ) ⊗ K ( b b ′ ) {\displaystyle (a\otimes _{K}b)(a'\otimes _{K}b')=(aa')\otimes _{K}(bb')} 이에 따라, K {\displaystyle K} -결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주가 된다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 가군의 범주 Mod K {\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}} 를 생각하자. 이는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히, 텐서곱은 결합 법칙을 따른다. 텐서곱의 항등원은 1차원 자유 가군 K {\displaystyle K} 이다. 또한, Mod K {\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}} 는 닫힌 모노이드 범주이다. 다시 말해, 임의의 K {\displaystyle K} -가군 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} , P {\displaystyle P} 에 대하여 다음이 성립한다. hom K ⁡ ( M ⊗ N , P ) ≅ hom K ⁡ ( M , hom K ⁡ ( N , P ) ) {\displaystyle \hom _{K}(M\otimes N,P)\cong \hom _{K}(M,\hom _{K}(N,P))} 텐서곱 함자의 유도 함자를 Tor 함자라고 한다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 두 유한 차원 자유 가군 M = K ⊕ m {\displaystyle M=K^{\oplus m}} N = K ⊕ n {\displaystyle N=K^{\oplus n}} m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 자유 가군이다. M ⊗ K N = K ⊕ ( m n ) {\displaystyle M\otimes _{K}N=K^{\oplus (mn)}} 즉, (차원이 더해지는) 직합과 달리, 텐서곱에서는 차원이 곱해진다. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  “Tensor product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Rowland, Todd. “Module tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Rowland, Todd. “Vector space tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Rowland, Todd. “External tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Rowland, Todd. “Representation tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Tensor product of modules”. 《nLab》 (영어).  “Tensor product of vector spaces”. 《nLab》 (영어).  “Tensor product of abelian groups”. 《nLab》 (영어).  “Tensor product of algebras”. 《nLab》 (영어).  “Tensor product of abelian groups”. 《Groupprops》 (영어).  Armstrong, John (2007년 4월 6일). “Tensor products of abelian groups”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).