푸아송 다양체

미분기하학에서 푸아송 다양체(Poisson多樣體, 영어: Poisson manifold)는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체의 일반화이다. 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다. 푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 가환 결합 대수 A {\displaystyle A} 위의 푸아송 괄호(Poisson括弧, 영어: Poisson bracket)는 다음 조건을 만족시키는 K {\displaystyle K} -리 대수 구조이다. 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, ( A , { a , − } ) {\displaystyle (A,\{a,-\})} 는 K {\displaystyle K} -미분 대수이다. 즉, 다음 곱 규칙이 성립한다. { a , b c } = { a , b } c + b { a , c } ∀ a , b , c ∈ A {\displaystyle \{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad \forall a,b,c\in A} 푸아송 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 실수 가환 결합 대수 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 위의 푸아송 괄호 { , } {\displaystyle \{,\}} 푸아송 다양체 ( M , { , } ) {\displaystyle (M,\{,\})} 위에서, 임의의 f ∈ C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 에 대하여 { f , − } {\displaystyle \{f,-\}} 는 M {\displaystyle M} 위의 벡터장을 이루며, 이러한 꼴의 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 한다. X = { f , − } {\displaystyle X=\{f,-\}} 라면 f {\displaystyle f} 를 X {\displaystyle X} 의 해밀토니언(영어: Hamiltonian)이라고 한다. 리 대수 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 의 중심의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 카시미르 함수라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지에 해당한다.) 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 푸아송 텐서장(Poisson tensor場, 영어: Poisson tensor field) π {\displaystyle \pi } 는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 텐서장이다. (반대칭성) π i j = π j i {\displaystyle \pi ^{ij}=\pi ^{ji}} (멱영성) [ π , π ] = 0 {\displaystyle [\pi ,\pi ]=0} . 여기서 [ − , − ] {\displaystyle [-,-]} 는 스하우턴-네이엔하위스 괄호이다. 구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는 { f , g } = π ( d f , d g ) ∀ f , g ∈ C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle \{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 의 꼴로 주어진다. 여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호가 0이 되는 것은 야코비 항등식에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다. π [ i | l ∂ l π | j k ] = 0 {\displaystyle \pi ^{[i|l}\partial _{l}\pi ^{|jk]}=0} 여기서 [ . . . ] {\displaystyle [...]} 는 지표 i , j , k {\displaystyle i,j,k} 의 완전 반대칭화를 뜻한다. 즉, π i l ∂ l π j k + π j l ∂ l π k i + π k l ∂ l π i j = 0 {\displaystyle \pi ^{il}\partial _{l}\pi ^{jk}+\pi ^{jl}\partial _{l}\pi ^{ki}+\pi ^{kl}\partial _{l}\pi ^{ij}=0} 이다. 푸아송 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 위의 리 준대수 구조 ♯ : T ∗ M → T M {\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M} . 이 경우, 리 괄호는 다음과 같다. [ α , β ] = L ♯ α β − L ♯ β α − d ⟨ ♯ α , β ⟩ ∈ Ω 1 ( M ) ∀ α , β ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle [\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}_{\sharp \alpha }\beta -{\mathcal {L}}_{\sharp \beta }\alpha -\mathrm {d} \langle \sharp \alpha ,\beta \rangle \in \Omega ^{1}(M)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M)} 여기서 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 은 1차 미분 형식의 리 미분이다. 이 정의에서의 ♯ {\displaystyle \sharp } 는 음악 동형을 통해 푸아송 텐서장 π {\displaystyle \pi } 와 같은 데이터를 정의한다. ♯ : T ∗ M → T M {\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M} ♯ : α ↦ π ( α , − ) {\displaystyle \sharp \colon \alpha \mapsto \pi (\alpha ,-)} 이는 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 음악 동형과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다. (즉, ♭ : T M → T ∗ M {\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M} 사상이 표준적으로 존재하지 않는다.) 두 푸아송 다양체 ( M , { , } M ) {\displaystyle (M,\{,\}_{M})} , ( N , { , } N ) {\displaystyle (N,\{,\}_{N})} 사이의 푸아송 사상(Poisson寫像, 영어: Poisson map) ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} 은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다. { f , g } N ∘ ϕ = { f ∘ ϕ , g ∘ ϕ } M ∀ f , g ∈ C ∞ ( N , R ) {\displaystyle \{f,g\}_{N}\circ \phi =\{f\circ \phi ,g\circ \phi \}_{M}\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N,\mathbb {R} )} 푸아송 텐서장으로는 π N ∘ ϕ = ϕ ∗ π M ∈ Γ ∞ ( ⋀ 2 ϕ ∗ T N ) {\displaystyle \pi _{N}\circ \phi =\phi _{*}\pi _{M}\in \Gamma ^{\infty }\left(\bigwedge ^{2}\phi ^{*}\mathrm {T} N\right)} 이어야 한다. 여기서 ϕ ∗ {\displaystyle \phi _{*}} 는 (2,0)차 텐서장의 밂이다. 푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 PoissDiff {\displaystyle \operatorname {PoissDiff} } 라고 표기하자. 푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 푸아송 미분 동형 사상(Poisson微分同形寫像, 영어: Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism)이라고 한다. 이는 PoissDiff {\displaystyle \operatorname {PoissDiff} } 의 동형 사상이다. 푸아송 다양체 M {\displaystyle M} 의 부분 다양체 (즉, 매끄러운 단사 몰입) ι : C ↪ M {\displaystyle \iota \colon C\hookrightarrow M} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 푸아송 부분 다양체(영어: Poisson submanifold)라고 한다. ι {\displaystyle \iota } 를 푸아송 사상으로 만드는 C {\displaystyle C} 위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다. ι {\displaystyle \iota } 를 푸아송 사상으로 만드는 C {\displaystyle C} 위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다. 임의의 f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 에 대하여, 만약 f ↾ C = 0 {\displaystyle f\upharpoonright C=0} 이라면, { f , g } ↾ C = 0 {\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0} 이다. (즉, { f ∈ C ∞ ( M , R ) : f ↾ C = 0 } {\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}} 는 C ∞ ( M , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 의 리 대수 아이디얼을 이룬다.) 푸아송 다양체 M {\displaystyle M} 의 모든 열린집합은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 닫힌집합이 푸아송 다양체가 될 필요 충분 조건은 심플렉틱 잎들의 합집합인 것이다. 심플렉틱 다양체의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 부분 다양체 C ↪ M {\displaystyle C\hookrightarrow M} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, C {\displaystyle C} 의 쌍대 법다발(영어: conormal bundle)은 다음과 같다. N ∗ C = { α ∈ T ∗ M : ⟨ α , v ⟩ = 0 ∀ v ∈ T C } ⊆ T ∗ M {\displaystyle \mathrm {N} ^{*}C=\{\alpha \in \mathrm {T} ^{*}M\colon \langle \alpha ,v\rangle =0\;\forall v\in \mathrm {T} C\}\subseteq \mathrm {T} ^{*}M} 이제, ( M , π ) {\displaystyle (M,\pi )} 이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 공등방성 부분 다양체(共等方性部分多樣體, 영어: coisotropic submanifold)라고 한다. ♯ ( N ∗ C ) ⊆ T C {\displaystyle \sharp (\mathrm {N} ^{*}C)\subseteq \mathrm {T} C} 임의의 f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 에 대하여, 만약 f ↾ C = g ↾ C = 0 {\displaystyle f\upharpoonright C=g\upharpoonright C=0} 이라면, { f , g } ↾ C = 0 {\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0} 이다. (다시 말해서, { f ∈ C ∞ ( M , R ) : f ↾ C = 0 } {\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}} 는 C ∞ ( M , R ) } {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\}} 의 부분 리 대수이다.) 정의에 따라서 (즉, 모든 리 대수 아이디얼이 부분 리 대수이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다. 세 푸아송 다양체 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} , P {\displaystyle P} 사이의 매끄러운 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} , g : N → P {\displaystyle g\colon N\to P} 가 주어졌다고 하자. 만약 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 가 푸아송 사상이라면 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 또한 푸아송 사상이다. 만약 f {\displaystyle f} 가 전사 함수인 푸아송 사상이며 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 도 푸아송 사상이라면, g {\displaystyle g} 역시 푸아송 사상이다. 특히, 미분 동형인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다. 유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형 ϕ : g → h {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} 이 주어졌을 때, ϕ ∨ : h ∨ → g ∨ {\displaystyle \phi ^{\vee }\colon {\mathfrak {h}}^{\vee }\to {\mathfrak {g}}^{\vee }} 는 푸아송 사상이다. 여기서 ( − ) ∨ {\displaystyle (-)^{\vee }} 는 쌍대 공간이며, 리 대수의 쌍대 공간은 선형 푸아송 다양체로 간주한다. 임의의 두 푸아송 다양체 ( M , π M ) {\displaystyle (M,\pi _{M})} , ( N , π N ) {\displaystyle (N,\pi _{N})} 에 대하여, 곱공간 M × N {\displaystyle M\times N} 위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다. π ( ( u , v ) , ( u ′ , v ) ) = π M ( u , u ′ ) + π N ( v , v ′ ) ∀ ( x , y ) ∈ M × N , ( u , v ) , ( u ′ , v ′ ) ∈ T ( x , y ) M × N = T x M ⊕ T y N {\displaystyle \pi ((u,v),(u',v))=\pi _{M}(u,u')+\pi _{N}(v,v')\qquad \forall (x,y)\in M\times N,\;(u,v),(u',v')\in \mathrm {T} _{(x,y)}M\times N=\mathrm {T} _{x}M\oplus \mathrm {T} _{y}N} 이는 푸아송 다양체의 범주의 곱이다. 특히, 사영 사상 proj 1 : M × N → M {\displaystyle \operatorname {proj} _{1}\colon M\times N\to M} proj 2 : M × N → N {\displaystyle \operatorname {proj} _{2}\colon M\times N\to N} 역시 푸아송 사상을 이룬다. 임의의 푸아송 다양체들의 집합 ( M i ) i ∈ I {\displaystyle (M_{i})_{i\in I}} 에 대하여, 분리합집합 ⨆ i ∈ I {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}} 위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱이다. 푸아송 다양체의 범주의 시작 대상은 공집합 ∅ {\displaystyle \varnothing } 이며, 푸아송 다양체의 범주의 끝 대상은 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체 M {\displaystyle M} 에 대하여 유일한 두 함수 ∅ → M {\displaystyle \varnothing \to M} M → { ∙ } {\displaystyle M\to \{\bullet \}} 는 각각 푸아송 사상을 이룬다. 푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다. PoissDiff → Diff {\displaystyle \operatorname {PoissDiff} \to \operatorname {Diff} } 반대로, 매끄러운 다양체에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다. Diff ↪ PoissDiff {\displaystyle \operatorname {Diff} \hookrightarrow \operatorname {PoissDiff} } M ↦ ( M , 0 ) {\displaystyle M\mapsto (M,0)} 그러나 이는 망각 함자와 수반 함자 관계를 갖지 않는다. 모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 SympDiff {\displaystyle \operatorname {SympDiff} } 에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 에 표준적인 심플렉틱 형식을 부여했을 때, 심플렉틱 사상 R 2 → R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}} 은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상 R 2 → R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}} 는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다. 푸아송 다양체 M {\displaystyle M} 의 심플렉틱 실현(symplectic實現, 영어: symplectic realization)은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 심플렉틱 다양체 N {\displaystyle N} 전사 함수이자 침몰인 푸아송 사상 ϕ : N → M {\displaystyle \phi \colon N\to M} 모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다. 푸아송 다양체 M {\displaystyle M} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 두 점 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 사이에 다음 조건을 만족시키는 조각별 매끄러운 곡선 γ : [ a 0 , a N ] → M {\displaystyle \gamma \colon [a_{0},a_{N}]\to M} 이 존재한다면, x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 라고 하자. γ ( a 0 ) = x {\displaystyle \gamma (a_{0})=x} γ ( a N ) = y {\displaystyle \gamma (a_{N})=y} γ {\displaystyle \gamma } 의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 γ i : [ a i , a i + 1 ] → M {\displaystyle \gamma _{i}\colon [a_{i},a_{i+1}]\to M} 에 대하여, γ ˙ i ( t ) = { h i ( γ i ( t ) ) , − } ∈ T γ i ( t ) M {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{i}(t)=\{h_{i}(\gamma _{i}(t)),-\}\in \mathrm {T} _{\gamma _{i}(t)}M} 이 되는 매끄러운 함수 h i : M → R {\displaystyle h_{i}\colon M\to \mathbb {R} } 가 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.:528, Proposition 1.3 ∼ {\displaystyle \sim } 은 동치 관계를 이룬다. ∼ {\displaystyle \sim } 의 각 동치류는 M {\displaystyle M} 의 부분 매끄러운 다양체를 이루며, 이는 연결 공간이다. 푸아송 구조 π {\displaystyle \pi } 를 ∼ {\displaystyle \sim } 의 동치류 ι i : M i ↪ M {\displaystyle \iota _{i}\colon M_{i}\hookrightarrow M} 에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 M {\displaystyle M} 의 심플렉틱 잎(영어: symplectic leaf)이라고 한다. 심플렉틱 잎 M i {\displaystyle M_{i}} 의 임의의 점 x ∈ M i {\displaystyle x\in M_{i}} 에 대하여, rank ⁡ π | x = dim ⁡ M i {\displaystyle \operatorname {rank} \pi |_{x}=\dim M_{i}} 이다. 특히, rank ⁡ π {\displaystyle \operatorname {rank} \pi } 는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수이다. 다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다. n {\displaystyle n} 차원 푸아송 다양체 M {\displaystyle M} 의 임의의 점 x 0 ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} 이 주어졌을 때, x {\displaystyle x} 의 충분히 작은 근방에 다음과 같은 국소 좌표계 ( q 1 , q 2 , … , q r , p 1 , p 2 , … , p r , c 1 , … , c n − 2 r ) {\displaystyle (q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{r},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r},c_{1},\dotsc ,c_{n-2r})} 를 항상 찾을 수 있다.:Theorem 2.1 { q i , q j } = { p i , p j } = { q i , c k } = { p i , c k } = 0 {\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=\{p_{i},p_{j}\}=\{q_{i},c_{k}\}=\{p_{i},c_{k}\}=0} { q i , p j } = δ i j {\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}} { c k , c l } ( x 0 ) = 0 {\displaystyle \{c_{k},c_{l}\}(x_{0})=0} 즉, 이는 국소적으로 어떤 2 r {\displaystyle 2r} 차원 심플렉틱 다양체 S {\displaystyle S} 와 푸아송 다양체 N {\displaystyle N} 의 곱공간으로 표현되며, 이 경우 N {\displaystyle N} 의 푸아송 구조는 x 0 {\displaystyle x_{0}} (의 상)에서 계수가 0이다. 또한, 이러한 ( S , N ) {\displaystyle (S,N)} 은 국소 동형 아래 유일하다. (물론, 심플렉틱 다양체인 S {\displaystyle S} 는 다르부 정리에 의하여 국소적으로 자명하다.) (다만 이러한 부분 다양체 N {\displaystyle N} 는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다. 푸아송 다양체 N {\displaystyle N} 의 점 x 0 ∈ N {\displaystyle x_{0}\in N} 에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수 C ∞ ( N ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )} 의 부분 리 대수 C 0 , x 0 ∞ ( N ; R ) = { f ∈ C ∞ ( N ; R ) : f ( x 0 ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon f(x_{0})=0\}} 의 다음과 같은 리 대수 아이디얼을 생각할 수 있다. m = { f ∈ C 0 , x 0 ∞ ( N ; R ) : ∂ i ∂ j f ( x 0 ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{f\in {\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon \partial _{i}\partial _{j}f(x_{0})=0\}} 이에 따라, 공변접공간 T x 0 ∗ N = C 0 , x 0 ∞ ( N ; R ) m {\displaystyle \mathrm {T} _{x_{0}}^{*}N={\frac {{\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}{\mathfrak {m}}}} 위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간 T x 0 N {\displaystyle \mathrm {T} _{x_{0}}N} 위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를 N {\displaystyle N} 의 x 0 ∈ N {\displaystyle x_{0}\in N} 에서의 선형 근사(線型近似, 영어: linear approximation)라고 한다.:535–536, §4 이는 대략 x 0 {\displaystyle x_{0}} 근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다. 임의의 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수의 구조를 주면 ( { f , g } = 0 {\displaystyle \{f,g\}=0} ), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장 π = 0 {\displaystyle \pi =0} 에 해당한다. 리 준대수로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, 리 괄호가 모두 0인 것)에 해당한다. 이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간들이다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 차원이 2 이하라고 하자. 이 경우, M {\displaystyle M} 위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다. 1차원 이하의 경우 반대칭 (2,0)차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 푸아송 다양체 ( M , π ) {\displaystyle (M,\pi )} 의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다. 2차원 잎들은 { x ∈ M : π x ≠ 0 } {\displaystyle \{x\in M\colon \pi _{x}\neq 0\}} 의 연결 성분이다. 이들은 2차원 심플렉틱 다양체를 이룬다. 0차원 잎들은 { x ∈ M : π x = 0 } {\displaystyle \{x\in M\colon \pi _{x}=0\}} 의 점들이다. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 가 주어졌을 때, 푸아송 괄호 { f , g } = ω − 1 ( d f , d g ) {\displaystyle \{f,g\}=\omega ^{-1}(\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)} 를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다. 이 경우, 심플렉틱 잎들은 M {\displaystyle M} 의 연결 성분들이다. 유클리드 공간 V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} 및 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식 π ( − , − ) {\displaystyle \pi (-,-)} 을 고르자. 그렇다면, 모든 점 x ∈ V {\displaystyle x\in V} 에서 T x V = V {\displaystyle \mathrm {T} _{x}V=V} 이므로, ( V , π ) {\displaystyle (V,\pi )} 는 푸아송 다양체를 이룬다. 실수 선형 변환 π # : V ∗ → V {\displaystyle \pi ^{\#}\colon V^{*}\to V} 의 계수가 2 r {\displaystyle 2r} 라고 하자. 그렇다면, V {\displaystyle V} 의 적절한 기저 ( x 1 , … , x n ) ⊆ V {\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\subseteq V} 및 그 쌍대 기저 ( x 1 , … , x n ) ⊆ V ∗ {\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})\subseteq V^{*}} 에 대하여, π ( ∑ i = 1 n a i x i , ∑ j = 1 n b j x j ) = ∑ i = 1 r ( a 2 i − 1 b 2 i − a 2 i b 2 i − 1 ) {\displaystyle \pi \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}x^{j}\right)=\sum _{i=1}^{r}(a_{2i-1}b_{2i}-a_{2i}b_{2i-1})} 가 되게 할 수 있다. 이 경우, x 2 r + 1 , … , x n {\displaystyle x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}} 에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각 c ∈ Span ⁡ { x 2 r + 1 , … , x n } {\displaystyle c\in \operatorname {Span} \{x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}\}} 에 대하여 R 2 r × { c } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2r}\times \{c\}} 의 꼴이다. 특히, 만약 n = 2 r {\displaystyle n=2r} 일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다. 유한 차원 실수 리 대수 ( g , [ , ] ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[,])} 의 쌍대 공간 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의 f , g ∈ C ∞ ( g ∗ ; R ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*};\mathbb {R} )} 및 x ∈ g ∗ {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}} 에 대하여, { f , g } ( x ) = x ( [ d f ( x ) , d g ( x ) ] ) {\displaystyle \{f,g\}(x)=x([\mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)])} 여기서 d f ( x ) , d g ( x ) ∈ T x ∗ g ∗ ≅ g {\displaystyle \mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)\in \mathrm {T} _{x}^{*}{\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}} 이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 리-푸아송 구조(영어: Lie–Poisson structure)라고 한다. 리 지수 사상에 따라 g = l i e ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)} 가 되는 단일 연결 리 군 G {\displaystyle G} 를 정의하자. 그렇다면, g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 는 물론 리 군 G {\displaystyle G} 의 표현을 이룬다. g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 의 심플렉틱 잎들은 g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 속의, G {\displaystyle G} 에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도(영어: coadjoint orbit)라고 한다. 예를 들어, g = o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {o}}(3)} (3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. ( g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 B ( − , − ) {\displaystyle B(-,-)} 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다. S r 2 = { v ∈ g : | B ( v , v ) | = r 2 } ( r ∈ [ 0 , ∞ ) ) {\displaystyle \mathbb {S} _{r}^{2}=\{v\in {\mathfrak {g}}\colon |B(v,v)|=r^{2}\}\qquad (r\in [0,\infty ))} 즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 r {\displaystyle r} 의 구이다. r > 0 {\displaystyle r>0} 일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, r = 0 {\displaystyle r=0} 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 실수 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 의존하는, 다음과 같은 실수 리 대수의 족을 생각하자.:550–551, §11.A g t = Span R ⁡ { x , y , z } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{t}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x,y,z\}} [ x , y ] = t z {\displaystyle [x,y]=tz} [ y , z ] = x {\displaystyle [y,z]=x} [ z , x ] = y {\displaystyle [z,x]=y} 만약 t > 0 {\displaystyle t>0} 일 때, 이는 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 의 재정의를 통해 3차원 회전군의 리 대수 o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)} 를 이룬다. 만약 t < 0 {\displaystyle t<0} 일 때, 이는 마찬가지로 3차원 로런츠 군의 리 대수 o ( 1 , 2 ) = s l ( 2 ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )} 와 동형이다. t = 0 {\displaystyle t=0} 일 때, 이는 유클리드 평면의 등거리 변환군의 리 대수 i o ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {io}}(2)} 와 같다. 이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 R 4 = Span ⁡ { x , y , z , t } {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=\operatorname {Span} \{x,y,z,t\}} 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자. { x , y } = t z {\displaystyle \{x,y\}=tz} { y , z } = x {\displaystyle \{y,z\}=x} { z , x } = y {\displaystyle \{z,x\}=y} { t , x } = { t , y } = { t , z } = 0 {\displaystyle \{t,x\}=\{t,y\}=\{t,z\}=0} 그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수가 존재한다. t {\displaystyle t} x 2 + y 2 + t z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+tz^{2}} 이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉, M t , r = { ( x , y , z , t ) ∈ R 4 : x 2 + y 2 + t z 2 = r } {\displaystyle M_{t,r}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\colon x^{2}+y^{2}+tz^{2}=r\}} 의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 연결 성분 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다. 다음이 주어졌다고 하자. 심플렉틱 다양체 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 매끄러운 주다발 G ↪ P ↠ π M {\displaystyle G\hookrightarrow P\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M} P {\displaystyle P} 의 주접속 θ ∈ Ω 1 ( P ; g ) {\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 그렇다면, θ ~ ∈ Ω 1 ( P × g ∗ ) {\displaystyle {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{1}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})} θ ~ ( p , α ) = ⟨ α , θ ⟩ {\displaystyle {\tilde {\theta }}_{(p,\alpha )}=\langle \alpha ,\theta \rangle } 를 정의할 수 있다. 주접속의 정의에 따라, 이는 G {\displaystyle G} 의 P × g ∗ {\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}^{*}} 위의 오른쪽 군 작용에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상 ( π , 0 ) : P × g ∗ ↠ M {\displaystyle (\pi ,0)\colon P\times {\mathfrak {g}}^{*}\twoheadrightarrow M} 에 대한 당김을 통하여 ω ~ = ( π , 0 ) ∗ ω − d θ ~ ∈ Ω 2 ( P × g ∗ ) {\displaystyle {\tilde {\omega }}=(\pi ,0)^{*}\omega -\mathrm {d} {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{2}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})} 를 정의할 수 있다. 이는 G {\displaystyle G} -불변인 닫힌 2차 미분 형식이며, 또한 P × { 0 } {\displaystyle P\times \{0\}} 의 어떤 G {\displaystyle G} -불변 근방 M × { 0 } ⊆ U ⊆ M × g ∗ {\displaystyle M\times \{0\}\subseteq U\subseteq M\times {\mathfrak {g}}^{*}} U ⋅ G = U {\displaystyle U\cdot G=U} 에서 비퇴화 이차 형식을 정의한다. 즉, 이는 U {\displaystyle U} 위의 G {\displaystyle G} -불변 심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 따라서, 몫공간 U / G {\displaystyle U/G} 위에는 푸아송 다양체 구조 ω ~ / G {\displaystyle {\tilde {\omega }}/G} 가 존재한다. 이 구성은 주접속에 의존하지만, 서로 다른 주접속을 사용해도 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다.:Remark 5.17 (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.) 이 푸아송 다양체를 주다발 P {\displaystyle P} 의 국소 선형 모형(局所線型模型, 영어: local linear model)이라고 한다.:§5.8 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다. 이 개념은 물리학에서 비롯되었다. 고전 역학에서, 해밀턴 계를 정의하려면 사실 심플렉틱 다양체 대신 푸아송 다양체의 구조만으로 족하다. 즉, 어떤 해밀토니언 함수 H : M → R {\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} } 가 주어졌을 때, 벡터장 { H , − } {\displaystyle \{H,-\}} 은 다양체 M {\displaystyle M} 위의 1차 상미분 방정식을 정의하며, 이는 고전 역학의 해밀턴 방정식(의 일반화)이다. Dufour, Jean-Paul; Nguyen Tien Zung (2005). 《Poisson structures and their normal forms》. Progress in Mathematics (영어) 242. Birkhäuser. doi:10.1007/b137493. ISBN 978-3-7643-7334-4. ISSN 0743-1643.  Guillemin, V.; Sternberg, S. (1984). 《Symplectic techniques in Physics》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-24866-3.  Weinstein, Alan (1998년 8월). “Poisson geometry”. 《Differential Geometry and its Applications》 (영어) 9 (1–2): 213–238. doi:10.1016/S0926-2245(98)00022-9.  Crainic, Marius; Mărcuț, Ioan (2011). “On the existence of symplectic realizations”. 《Journal of Symplectic Geometry》 (영어) 9 (4): 435–444. arXiv:1009.2085.  Карасёв, М. В. (1987). “Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона”. 《Известия академии наук Союза Советских Социалистических Республик. Серия математическая》 (러시아어) 28: 497–527. doi:10.1070/IM1987v028n03ABEH000895. MR 854594. 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