SU(2)의 표현론

리 군의 표현론 연구에서 특수 유니터리 군 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 표현에 대한 연구는 반단순 리 군의 표현 연구에 기본이다. 콤팩트 군이자 비가환 군인 리 군의 첫 번째 사례이다. 첫 번째 조건은 표현론이 이산적이라는 것을 의미한다. 표현은 기본적 기약 표현 모음의 직합이다(페터-바일 정리에 의해 지배됨). 두 번째는 1보다 큰 차원에서 기약 표현이 있음을 의미한다. S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 는 S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} 의 보편 덮개 군이므로 그 표현론은 전사 준동형사상에 따라 후자의 표현론을 포함한다. 이는 이론물리학에서 비상대론적 스핀을 설명하기 위한 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 중요성에 기초한다. 다른 물리적, 역사적 맥락은 아래 참조. 아래에 표시된 것처럼 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 m + 1 {\displaystyle m+1} 차원 기약 표현은 음이 아닌 정수 m {\displaystyle m} 으로 아래첨자를 붙인다. 물리학 문헌에서 표현은 l = m / 2 {\displaystyle l=m/2} 으로 아래첨자를 붙인다. 여기서 l {\displaystyle l} 는 정수이거나 반정수이고 2 l + 1 {\displaystyle 2l+1} 차원이다. 군의 표현은 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 의 표현을 고려하여 찾는다. 군 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 는 단일 연결되어 있으므로 해당 리 대수의 모든 표현은 군 표현으로 통합될 수 있다. 우리는 아래 군 수준에서 표현의 명시적인 구성을 제공할 것이다. 실수 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 에서 다음과 같은 기저가 있다. u 1 = [ 0 i i 0 ] , u 2 = [ 0 − 1 1     0 ] , u 3 = [ i     0 0 − i ]   , {\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}},\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}},\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&~~0\\0&-i\end{bmatrix}}~,} (이 기저 행렬들은 u 1 = + i   σ 1 , u 2 = − i   σ 2 , {\displaystyle u_{1}=+i\ \sigma _{1}\;,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}\;,} u 3 = + i   σ 3 {\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}} 과 같이 파울리 행렬과 관련된다. ) 이 행렬들은 사원수를 표현한다. u 1 u 1 = − I ,     u 2 u 2 = − I ,     u 3 u 3 = − I , {\displaystyle u_{1}\,u_{1}=-I\,,~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,,~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,,} u 1 u 2 = + u 3 , u 2 u 3 = + u 1 , u 3 u 1 = + u 2 , {\displaystyle u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,,\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,,\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,,} u 2 u 1 = − u 3 , u 3 u 2 = − u 1 , u 1 u 3 = − u 2   . {\displaystyle u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,,\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,,\quad u_{1}\,u_{3}=-u_{2}~.} 여기서 I는 일반적인 2×2 단위 행렬이다.     I = [ 1 0 0 1 ]   . {\displaystyle ~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~.} 결과적으로, 행렬의 교환자는 다음을 충족한다. [ u 1 , u 2 ] = 2 u 3 , [ u 2 , u 3 ] = 2 u 1 , [ u 3 , u 1 ] = 2 u 2   . {\displaystyle [u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,,\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,,\quad [u_{3},u_{1}]=2u_{2}~.} 그런 다음 복소화된 리 대수로 전달하는 것이 편리하다. s u ( 2 ) + i s u ( 2 ) = s l ( 2 ; C )   . {\displaystyle \mathrm {su} (2)+i\,\mathrm {su} (2)=\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )~.} (대각합 0인 반 자기 수반 행렬과 대각합 0인 자기 수반 행렬은 모든 행렬에 대각합 0을 제공한다.) C {\displaystyle \mathbb {C} } 위에서 표현을 다루는 한, 실수에서 복소화된 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 로 가는 것은 적절하다. 복소화로 넘어가는 이유는 실수 리 대수에는 존재하지 않는 유형의 좋은 기저를 구성할 수 있게 해주기 때문이다. 복소화 된 리 대수는 다음과 같은 세 가지 원소 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , H {\displaystyle H} 로 구성된다. H = 1 i u 3 , X = 1 2 i ( u 1 − i u 2 ) , Y = 1 2 i ( u 1 + i u 2 )   ; {\displaystyle H={\frac {1}{i}}u_{3},\qquad X={\frac {1}{2i}}\left(u_{1}-iu_{2}\right),\qquad Y={\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2})~;} 또는 명시적으로, H = [ 1     0 0 − 1 ] , X = [ 0 1 0 0 ] , Y = [ 0 0 1 0 ]   . {\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&~~0\\0&-1\end{bmatrix}},\qquad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\qquad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.} 군의 곱셈표의 자명하지 않거나 동일하지 않은 부분은 다음과 같다. H X   =         X , H Y   = − Y , X Y   =   1 2 ( I + H ) , {\displaystyle H\,X~=~~~~X,\qquad H\,Y~=-Y,\qquad X\,Y~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I+H\right),} X H   = − X , Y H   =         Y , Y X   =   1 2 ( I − H ) , {\displaystyle X\,H~=-X,\qquad Y\,H~=~~~~Y,\qquad Y\,X~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I-H\right),} H H   =       I   , X X   =         O , Y Y   =     O     ; {\displaystyle H\,H~=~~~I~,\qquad X\,X~=~~~~O,\qquad Y\,Y~=~~O~~;} 여기서 O는 2×2 영행렬이다. 따라서 이들의 교환자는 다음과 같다. [ H , X ] = 2 X , [ H , Y ] = − 2 Y , [ X , Y ] = H   . {\displaystyle [H,X]=2\,X\,,\qquad [H,Y]=-2\,Y\,,\qquad [X,Y]=H~.} 원소 H {\displaystyle H} , X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 는 인수 2와 함께 각각 각운동량 연산자 J z {\displaystyle J_{z}} , J + {\displaystyle J_{+}} , J − {\displaystyle J_{-}} 로 식별될 수 있다. 인수 2는 수학과 물리학에서 관례가 서로 달라서 들어갔다. 앞으로 결과에서는 두 가지 관례 모두에 대하여 적을 것이다. 이 설정에서 H {\displaystyle H} 의 고유값은 표현의 가중치라고 한다. 다음 기본 결과가 분석의 핵심 단계이다. v {\displaystyle v} 가 H {\displaystyle H} 의 고유값 α {\displaystyle \alpha } 에 대한 고유벡터라고 하자. 즉, H v = α v   . {\displaystyle \;H\,v=\alpha \,v~.} 그러면 H ( X v )   =   ( X H + [ H , X ] ) v   =   ( α + 2 ) X v , H ( Y v )   =   ( Y H + [ H , Y ] ) v   =   ( α − 2 ) Y v   . {\displaystyle {\begin{aligned}H\,(X\,v)~=~(\,X\,H+[H,X]\,)\,v~&=~(\alpha +2)\,X\,v\;,\\[3pt]H\,(Y\,v)~=~(\,Y\,H+\,[H,Y]\,)\,v~&=~(\alpha -2)\,Y\,v~.\end{aligned}}} 다시 말해서, X v {\displaystyle \,X\,v\,} 는 영벡터이거나 H {\displaystyle \,H\,} 의 고유값 α + 2 {\displaystyle \,\alpha +2\,} 에 대한 고유벡터이다. 그리고 Y v {\displaystyle \,Y\,v\,} 는 0이거나 H {\displaystyle \,H\,} 의 고유값 α − 2 {\displaystyle \alpha -2} 에 대한 고유벡터이다. 따라서 연산자 X {\displaystyle \,X\,} 는 상승 연산자 역할을 하며 가중치를 2만큼 증가시킨다. Y {\displaystyle \,Y\,} 는 하강 연산자 역할을 한다. 이제 V {\displaystyle \,V\,} 를 복소화된 리 대수의 기약 유한차원 표현이라고 하자. 그러면 H {\displaystyle \,H\,} 의 고유값 집합은 유한 집합이다. 따라서, λ + 2 {\displaystyle \,\lambda +2\,} 는 더 이상 고유값이 아닌 마지막 고유값 λ ∈ C {\displaystyle \;\lambda \in \mathbb {C} \;} 이 있어야 한다. v 0 {\displaystyle \,v_{0}\,} 가 H {\displaystyle \,H\,} 의 그 고유값 λ {\displaystyle \lambda } 에 대한 고유벡터라 하자. H v 0 = λ v 0 , {\displaystyle H\,v_{0}=\lambda \,v_{0}\;,} 그러면 X v 0 = 0 , {\displaystyle X\,v_{0}=0\;,} 이 성립하거나, 그렇지 않으면 위의 항등식이 X v 0 {\displaystyle \,X\,v_{0}\,} 가 고유값 λ + 2 {\displaystyle \lambda +2} 을 갖는 고유벡터임을 말한다. 이제 벡터들 v 0 , v 1 , … {\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots } 의 "사슬"을 v k = Y k v 0 {\displaystyle v_{k}=Y^{k}\,v_{0}} 로 정의하자. 간단한 귀납법에 의해 모든 k = 1 , 2 , …   . {\displaystyle k=1,2,\ldots ~.} 에 대해 X v k = k ( λ − ( k − 1 ) ) v k − 1 {\displaystyle X\,v_{k}=k\,(\lambda -(k-1))\,v_{k-1}} 임을 보일 수 있다. 이제 v k {\displaystyle \,v_{k}\,} 가 영벡터가 아니면, H {\displaystyle H} 의 고유값 λ − 2 k {\displaystyle \lambda -2k} 에 대한 고유벡터이다. 다시 말하지만, H {\displaystyle \,H\,} 는 고유벡터를 유한개 가지므로 v ℓ {\displaystyle \,v_{\ell }\,} 는 어떤 ℓ {\displaystyle \,\ell \,} 에 대해 0이어야 한다.(그러면 모든 k > ℓ {\displaystyle \,k>\ell \,} 에 대해 v k = 0 {\displaystyle v_{k}=0} ). v m {\displaystyle v_{m}} 가 사슬의 0이 아닌 마지막 벡터라 하자. 즉, v m ≠ 0 {\displaystyle \;v_{m}\neq 0\;} 이고 v m + 1 = 0   . {\displaystyle \;v_{m+1}=0~.} 그럼 당연히 X v m + 1 = 0 {\displaystyle \;X\,v_{m+1}=0\;} 이고, 위의 항등식에 의해 k = m + 1 , {\displaystyle k=m+1\;,} 0 = X v m + 1 = ( m + 1 ) ( λ − m ) v m   . {\displaystyle \;0=X\,v_{m+1}=(m+1)\,(\lambda -m)\,v_{m}~.} m + 1 {\displaystyle \,m+1\,} 은 적어도 1이고 v m ≠ 0 {\displaystyle \,v_{m}\neq 0} 이므로, λ {\displaystyle \,\lambda \,} 음이 아닌 정수 m {\displaystyle \,m} 와 같아야 한다. 따라서 Y {\displaystyle \,Y\,} 가 Y v m = 0 , Y v k = v k + 1 ( k < m ) {\displaystyle Y\,v_{m}=0,\quad Y\,v_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)} 로 작용하는 m + 1 {\displaystyle \,m+1\,} 개 벡터들, v 0 , v 1 , … , v m {\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}} 의 사슬을 얻는다. 그리고 X {\displaystyle \,X\,} 는 X v 0 = 0 , X v k = k ( m − ( k − 1 ) ) v k − 1 ( k ≥ 1 ) {\displaystyle X\,v_{0}=0,\quad X\,v_{k}=k\,(m-(k-1))\,v_{k-1}\quad (k\geq 1)} 로 작용한다. 그리고 H {\displaystyle \,H\,} 는 H v k = ( m − 2 k ) v k   . {\displaystyle H\,v_{k}=(m-2k)\,v_{k}~.} . 로 작용한다.( λ {\displaystyle \lambda } 를 위의 공식에서 현재 알려진 값 m {\displaystyle \,m\,} 으로 바꿈) 벡터 v k {\displaystyle \,v_{k}\,} 는 각각 H {\displaystyle H} 의 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터이므로, 선형 독립이어야 한다. 게다가, v 0 , … , v m {\displaystyle \;v_{0},\ldots ,v_{m}\;} 로 생성된 집합은 복소화된 리 대수의 작용 하에서는 분명히 불변이다. V {\displaystyle V} 가 기약이라고 가정했으므로, 이 생성된 집합은 V {\displaystyle V} 와 같아야 한다. 그리하여 기약 표현이 어떤 모습이어야 하는지에 대한 완전한 설명을 얻게 된다. 즉, 공간의 기저이자 리 대수의 생성자들이 어떻게 작용하는지에 대한 완전한 설명이다. 반대로 임의의 m ≥ 0 {\displaystyle \;m\geq 0\;} 인 경우에는 위의 공식을 사용하고 교환 관계가 유지되는지 확인함으로써 표현을 구성할 수 있다. 그러면 이 표현은 기약으로 나타낼 수 있다. 결론: 음이 아닌 정수 m {\displaystyle m} 각각에 대해 최대 가중치 m {\displaystyle m} 을 갖는 유일한 기약 표현이 있다. 각각의 기약 표현은 이들 중 하나와 동일하다. 최대 가중치 m {\displaystyle \,m\,} 인 표현은 m + 1 {\displaystyle \,m+1\,} 차원이고 중복도 1인 가중치들 m , m − 2 , … , − ( m − 2 ) , − m {\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m} 을 갖는다. 이제 (2차) 카시미르 원소 C {\displaystyle C} 를 소개한다. C = − ( u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ) {\displaystyle C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)} C {\displaystyle C} 를 보편 포락 대수의 원소 또는 각 기약 표현의 연산자로 볼 수 있다. C {\displaystyle \,C\,} 를 가장 높은 가중치 m {\displaystyle \,m\,} 를 갖는 표현에 대한 연산자로서 보면, C {\displaystyle \,C\,} 는 각 u i {\displaystyle u_{i}} 와 교환한다는 것을 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 슈어 보조 정리에 따르면, C {\displaystyle \,C\,} 는 각 m {\displaystyle m} 에 대한 항등식의 스칼라 배 c m {\displaystyle c_{m}} 로 작용한다. C {\displaystyle C} 를 기저 { H , X , Y } {\displaystyle \,\{H,X,Y\}\,} 를 통해 쓸 수 있다: C = ( X + Y ) 2 − ( − X + Y ) 2 + H 2 , {\displaystyle C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2}\;,} 이는 다음과 같이 줄일 수 있다. C = 4 Y X + H 2 + 2 H   . {\displaystyle C=4YX+H^{2}+2H~.} 가장 높은 가중치 m {\displaystyle \,m\,} 을 가진 표현에서 C {\displaystyle \,C\,} 의 고유값은 C {\displaystyle \,C\,} 를 가장 높은 가중치 벡터에 적용하여 계산할 수 있다. 이는 X {\displaystyle X} 에 의해 소멸된다. 따라서 c m = m 2 + 2 m = m ( m + 2 )   . {\displaystyle c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2)~.} 물리학 문헌에서 카시미르 원소는 C ′ = 1 4 {\textstyle \;C'={\frac {1}{4}}} 과 같이 정규화된다. ℓ = 1 2 m {\textstyle \;\ell ={\frac {1}{2}}\,m} 로 첨자를 붙이면 C ′ {\displaystyle \,C'\,} 의 고유값 d ℓ {\displaystyle \,d_{\ell }\,} 는 다음과 같이 계산된다. d ℓ = 1 4 ( 2 ℓ ) ( 2 ℓ + 2 ) = ℓ ( ℓ + 1 )   . {\displaystyle d_{\ell }={\frac {1}{4}}\,(2\ell )\,(2\ell +2)=\ell \,(\ell +1)~.} S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 는 단일 연결이기 때문에 일반적인 결과는 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 자체의 (복소화된) 리 대수의 모든 표현이 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 자체의 표현을 발생시킨다는 것을 보여준다. 그러나 군 수준에서 표현을 명시적으로 구현하는 것이 바람직하다. 군 표현은 두 개의 복소수 변수의 다항식 공간에서 실현될 수 있다. 음이 아닌 각 정수 m {\displaystyle m} 에 대해, V m {\displaystyle V_{m}} 를 복소 이변수 m {\displaystyle m} 차 동차 다항식 p {\displaystyle p} 의 공간이라 하자. 그러면 V m {\displaystyle V_{m}} 의 차원은 m + 1 {\displaystyle m+1} 이다. 다음과 같이 각각 V m {\displaystyle V_{m}} 에 대한 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 자연스러운 작용이 있다: [ U ⋅ p ] ( z ) = p ( U − 1 z ) , z ∈ C 2 , U ∈ S U ( 2 ) {\displaystyle [U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},\,U\in \mathrm {SU} (2)} . 관련된 리 대수 표현은 단순히 이전 절에서 설명한 것이다. (다항식 공간에 대한 리 대수의 작용에 대한 명시적인 공식은 여기 참조.) 표현 Π : G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)} 의 특성은 함수 X : G → C {\displaystyle \mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C} } X ( g ) = trace ⁡ ( Π ( g ) ) {\displaystyle \mathrm {X} (g)=\operatorname {trace} (\Pi (g))} 이다. 특성은 콤팩트 군 표현에서 중요한 역할을 한다. 특성은 클래스 함수, 즉 켤레 불변인 것으로 쉽게 볼 수 있다. S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 경우 특성이 클래스 함수라는 사실은 문자가 극대 원환면 T {\displaystyle T} 의 값에 의해 결정됨을 의미한다. 원소는 스펙트럼 정리에 따라 직교 대각선화 가능하므로 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 대각 행렬로 구성된다. 가장 높은 가중치 m {\displaystyle m} 를 갖는 기약 표현은 가중치 m , m − 2 , … , − ( m − 2 ) , − m {\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m} 를 갖기 때문에, 연관된 특성이 X ( ( e i θ 0 0 e − i θ ) ) = e i m θ + e i ( m − 2 ) θ + ⋯ + e − i ( m − 2 ) θ + e − i m θ . {\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.} 을 만족함을 쉽게 알 수 있다. 이 표현식은 다음과 같이 단순화할 수 있는 유한 기하 급수이다. X ( ( e i θ 0 0 e − i θ ) ) = sin ⁡ ( ( m + 1 ) θ ) sin ⁡ ( θ ) . {\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.} 이 마지막 표현은 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 에 대한 바일 지표 공식의 설명일 뿐이다. 실제로, 콤팩트 군의 표현론에 대한 바일의 원래 분석에 따라 리 대수 표현을 전혀 사용하지 않고도 군 관점에서 표현을 완전히 분류할 수 있다. 이 접근 방식에서 바일 지표 공식은 페터-바일 정리와 함께 분류에서 필수적인 역할을 한다. 이 이야기의 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 사례는 여기에 설명되어 있다. 표현의 모든 가중치가 짝수(만약 m {\displaystyle m} 짝수) 또는 모든 가중치가 홀수( m {\displaystyle m} 이 홀수인 경우)이다. 물리적 측면에서 이러한 구별은 중요하다. 짝수 가중치 표현은 회전 군 SO(3)의 일반적인 표현에 해당한다. 대조적으로, 홀수 가중치를 갖는 표현은 사영 표현이라고도 알려진 SO(3)의 이중 값(스피너) 표현에 해당한다. 물리학의 관례에서는 m {\displaystyle m} 이 짝수임은 l {\displaystyle l} 이 정수임을 뜻하고 m {\displaystyle m} 이 홀수임은 l {\displaystyle l} 반정수임에 해당한다. 이 두 가지 경우는 각각 정수 스핀과 반정수 스핀으로 설명된다. 홀수 양의 값 m {\displaystyle m} 을 갖는 표현은 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 를 충실하게 표현하는 반면, 음수가 아닌 m {\displaystyle m} S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 표현은 충실하지 않다. Borel–Weil–Bott 정리의 예를 참조. S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 표현은 유클리드 3공간의 회전 군을 이중으로 덮기 때문에 비상대론적 스핀을 설명한다. 상대론적 스핀은 회전 군의 상대론적 버전인 SO + (1;3)을 유사한 방식으로 다루는 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 초군인 SL2(C)의 표현론으로 설명된다. S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 대칭은 또한 아이소스핀 과 약한 아이소스핀 (총칭하여 아이소스핀 )의 개념을 지원한다. m = 1 {\displaystyle m=1} (즉, 물리학 관례에서 l = 1 / 2 {\displaystyle l=1/2} ) 표현은 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 기본 표현인 2 표현이다. S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 원소가 복소수 2 × 2 행렬로 작성되면 이는 단순히 열 2-벡터 의 곱셈이다. 물리학에서는 스핀-½로 알려져 있으며, 역사적으로는 사원수의 곱셈(보다 정확하게는 단위 쿼터니언의 곱셈)으로 알려져 있다. 이 표현은 회전 군 SO(3)의 이중 값 사영 표현으로 볼 수도 있다. m = 2 {\displaystyle m=2} (즉, l = 1 {\displaystyle l=1} )표현은 3 표현, 딸림표현이다. SO(3)의 표준 표현인 3차원 회전을 설명하므로 실수 만으로도 충분하다. 물리학자들은 벡터 중간자와 같은 거대한 스핀-1 입자를 설명하기 위해 이를 사용하지만, 스핀 상태를 물리적 3-공간의 기하학에 고정시키기 때문에 스핀 이론에 대한 중요성은 훨씬 더 높다. 이 표현은 윌리엄 로언 해밀턴이 S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} 의 원소에 대한 그의 용어인 versors를 도입했을 때 2와 동시에 나타났다. 해밀턴의 작업이 리 군의 등장보다 앞서기 때문에 표준 군론 용어를 사용하지 않는다. m = 3 {\displaystyle m=3} (즉 l = 3 / 2 {\displaystyle l=3/2} ) 표현은 델타 중입자 Δ와 같은 특정 중입자에 대한 입자 물리학에서 사용된다. 회전 연산자(벡터 공간) 회전 연산자(양자역학) SO(3)의 표현론 SO(3)와 SU(2)의 연결 SL(2, R)의 표현론 약-전기 상호작용 회전 군 SO(3) § 리 대수에 대한 참고 사항 Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help) Theorem 5.6 (Hall 2015) harv error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help), Section 4.6 Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help), Section 3.6 Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help) Lemma 4.33 Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help), Equation (4.15) Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help), proof of Proposition 4.11 Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help) Section 4.2 Travis Willse (https://math.stackexchange.com/users/155629/travis-willse), Conjugacy classes in $SU_2$, URL (version: 2021-01-10): https://math.stackexchange.com/q/967927 Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help) Example 12.23 Hall 2015 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFHall2015 (help) Section 4.7 Ma, Zhong-Qi (2007년 11월 28일). 《Group Theory for Physicists》 (영어). 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