교환 가능 확률 변수족

확률론과 통계학에서 교환 가능 확률 변수족(交換可能確率變數族, 영어: exchangeable family of random variables)은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 시그마 대수(交換可能σ代數, 영어: exchangeable sigma-algebra)는 유한 개의 확률 변수를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건들로 구성된 시그마 대수이다. 두 집합 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 의 대칭차는 다음과 같다. A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) {\displaystyle A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)} 집합 A {\displaystyle A} 에 대하여, fp ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {fp} (A)} 가 π ( a ) ≠ a {\displaystyle \pi (a)\neq a} 인 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 의 수가 유한한 전단사 함수 π : A → A {\displaystyle \pi \colon A\to A} 의 집합이라고 하자. 실수 수열 x ∈ R N {\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }} 및 π ∈ fp ⁡ ( N ) {\displaystyle \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )} 에 대하여, π x = ( x π ( i ) ) i ∈ N {\displaystyle \pi x=(x_{\pi (i)})_{i\in \mathbb {N} }} 이라고 하자. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의, 실수 수열 ( R N , B ( R N ) ) {\displaystyle ({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }))} 값의 확률 변수 X : Ω → R N {\displaystyle X\colon \Omega \to {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }} 의 교환 가능 시그마 대수는 다음과 같다. E ( X ) = { X − 1 ( B ) : B ∈ B ( R N ) , Pr ⁡ ( X − 1 ( B ) △ ( π X ) − 1 ( B ) ) = 0 ∀ π ∈ fp ⁡ ( N ) } ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {E}}(X)=\{X^{-1}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }),\;\operatorname {Pr} (X^{-1}(B)\bigtriangleup (\pi X)^{-1}(B))=0\forall \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )\}\subset {\mathcal {F}}} 교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건(交換可能事件, 영어: exchangeable event) 또는 순열 가능 사건(順列可能事件, 영어: permutable event) 또는 대칭 사건(對稱事件, 영어: symmetric event)이라고 한다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의, 실수 ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 값의 확률 변수들의 가산 집합 ( X i : Ω → R ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{i\in I}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 를 교환 가능 확률 변수족이라고 한다. 임의의 유한 집합 J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} 및 두 전단사 함수 i , j : { 1 , … , | J | } → J {\displaystyle i,j\colon \{1,\dots ,|J|\}\to J} 에 대하여, ( X i ( 1 ) , … , X i ( | J | ) ) {\displaystyle (X_{i(1)},\dots ,X_{i(|J|)})} 와 ( X j ( 1 ) , … , X j ( | J | ) ) {\displaystyle (X_{j(1)},\dots ,X_{j(|J|)})} 의 확률 분포는 같다. 임의의 n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } 및 두 단사 함수 i , j : { 1 , … , n } → I {\displaystyle i,j\colon \{1,\dots ,n\}\to I} 에 대하여, ( X i ( 1 ) , … , X i ( n ) ) {\displaystyle (X_{i(1)},\dots ,X_{i(n)})} 와 ( X j ( 1 ) , … , X j ( n ) ) {\displaystyle (X_{j(1)},\dots ,X_{j(n)})} 의 확률 분포는 같다. 데 피네티 정리(영어: de Finetti’s theorem)에 따르면, 만약 I {\displaystyle I} 가 가산 무한 집합일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치이다.:232, §7.3, Theorem 2 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 는 교환 가능 확률 변수족이다. ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 는 어떤 사건 시그마 대수 G ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}} 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다. ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 는 꼬리 시그마 대수 T ( X i ) i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {T}}(X_{i})_{i\in I}} 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다. ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} 는 E ( X i ) i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {E}}(X_{i})_{i\in I}} 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다. 교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙(영어: Hewitt–Savage zero–one law)이라고 한다. 실수 값의 확률 변수열의 모든 꼬리 사건은 교환 가능 사건이다. 모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다. 데 피네티 정리는 브루노 데 피네티(이탈리아어: Bruno de Finetti)의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt)과 레너드 지미 새비지(영어: Leonard Jimmie Savage)의 이름을 땄다. Chow, Yuan Shih; Teicher, Henry (1997). 《Probability Theory. Independence, Interchangeability, Martingales》. Springer Texts in Statistics (영어) 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1950-7. ISBN 978-0-387-40607-7. ISSN 1431-875X. Zbl 0891.60002.  Accardi, L. (2001). “De Finetti theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.