양자 맥놀이

물리학에서 양자 맥놀이(quantum beats) 현상은 준고전이론으로는 설명되지 않지만 양자적 계산, 특히 QED에 의해서 설명되는 간단한 예이다. 준고전이론에 따르면 V형과 Λ {\displaystyle \Lambda } 형 원자에서 모두 간섭 혹은 맥놀이가 나타난다. 그러나 QED 계산에서는 V형 원자에는 맥놀이가 있지만 Λ {\displaystyle \Lambda } 형 원자에는 없다. 이것은 QED의 좋은 증거이기도 하다. Quantum Optics에 있는 그림[1]이 정확하게 두가지 원자에 대해서 설명한다. 간단히 말하면, V형 원자는 | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } , | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } 그리고 | c ⟩ {\displaystyle |c\rangle } 의 세가지 상태를 갖는다. | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } 와 | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } 의 에너지가 | c ⟩ {\displaystyle |c\rangle } 의 에너지보다 크다. 전자들은 | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } 와 | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } 에 있다가 | c ⟩ {\displaystyle |c\rangle } 로 붕괴하며, 두가지 방출이 일어난다. Λ {\displaystyle \Lambda } 형 원자에도 | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } , | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } 그리고 | c ⟩ {\displaystyle |c\rangle } 의 세가지 상태가 있다. 하지만 이 경우에는 | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } 의 에너지가 가장 크며, 여기에 있던 두 전자가 각각 | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } 와 | c ⟩ {\displaystyle |c\rangle } 로 붕괴한다. 그 때에는 역시 두가지 방출이 일어난다. 아래의 모든 유도 과정은 Quantum Optics[2]의 내용을 따랐다. 준고전적인 관점에서, 전자의 상태 벡터는 아래와 같다. | ψ ( t ) ⟩ = c a e x p ( − i ω a t ) | a ⟩ + c b e x p ( − i ω b t ) | b ⟩ + c c e x p ( − i ω c t ) | c ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{a}exp(-i\omega _{a}t)|a\rangle +c_{b}exp(-i\omega _{b}t)|b\rangle +c_{c}exp(-i\omega _{c}t)|c\rangle } 만약 사라지지 않는 쌍극자 행렬의 원소가 다음과 같이 나타나진다면, P a c = e ⟨ a | r | c ⟩ , P b c = e ⟨ b | r | c ⟩ {\displaystyle {\mathcal {P}}_{ac}=e\langle a|r|c\rangle ,{\mathcal {P}}_{bc}=e\langle b|r|c\rangle } (V형 원자) P a b = e ⟨ a | r | b ⟩ , P a c = e ⟨ a | r | c ⟩ {\displaystyle {\mathcal {P}}_{ab}=e\langle a|r|b\rangle ,{\mathcal {P}}_{ac}=e\langle a|r|c\rangle } ( Λ {\displaystyle \Lambda } 형 원자) 각 원자들은 두개의 미시적인 진동 쌍극자를 갖는다. P ( t ) = P a c ( c a ∗ c c ) e x p ( i ν 1 t ) + P b c ( c b ∗ c c ) e x p ( i ν w t ) + c . c . {\displaystyle P(t)={\mathcal {P}}_{ac}(c_{a}^{*}c_{c})exp(i\nu _{1}t)+{\mathcal {P}}_{bc}(c_{b}^{*}c_{c})exp(i\nu _{w}t)+c.c.} for V-type, when ν 1 = ω a − ω c , ν 2 = ω b − ω c {\displaystyle \nu _{1}=\omega _{a}-\omega _{c},\nu _{2}=\omega _{b}-\omega _{c}} , P ( t ) = P a b ( c a ∗ c b ) e x p ( i ν 1 t ) + P a c ( c a ∗ c c ) e x p ( i ν w t ) + c . c . {\displaystyle P(t)={\mathcal {P}}_{ab}(c_{a}^{*}c_{b})exp(i\nu _{1}t)+{\mathcal {P}}_{ac}(c_{a}^{*}c_{c})exp(i\nu _{w}t)+c.c.} for Λ {\displaystyle \Lambda } -type, when ν 1 = ω a − ω b , ν 2 = ω a − ω c {\displaystyle \nu _{1}=\omega _{a}-\omega _{b},\nu _{2}=\omega _{a}-\omega _{c}} . 준고전적인 관점에서, 방출되는 전기마당은 두 항의 합이 되므로, E ( + ) = E 1 e x p ( − i ν 1 t ) + E 2 e x p ( − i ν 2 t ) {\displaystyle E^{(+)}={\mathcal {E}}_{1}exp(-i\nu _{1}t)+{\mathcal {E}}_{2}exp(-i\nu _{2}t)} , 간섭 혹은 맥놀이에 해당하는 항이 존재하는 것을 알 수 있다. | E ( + ) | 2 = | E 1 | 2 + | E 2 | 2 + { E 1 ∗ E 2 e x p [ i ( ν 1 − ν 2 ) t ] + c . c . } {\displaystyle |E^{(+)}|^{2}=|{\mathcal {E}}_{1}|^{2}+|{\mathcal {E}}_{2}|^{2}+\lbrace {\mathcal {E}}_{1}^{*}{\mathcal {E}}_{2}exp\lbrack i(\nu _{1}-\nu _{2})t\rbrack +c.c.\rbrace } . QED 계산을 위해서 우리는 양자 역학 2차 양자화의 생성 연산자와 소멸 연산자를 도입해야만 한다. E n ( + ) = a n e x p ( − i ν n t ) {\displaystyle E_{n}^{(+)}=a_{n}exp(-i\nu _{n}t)} 를 생성 연산자로, E n ( − ) = a n † e x p ( i ν n t ) {\displaystyle E_{n}^{(-)}=a_{n}^{\dagger }exp(i\nu _{n}t)} 을 소멸 연산자로 생각하자. 이 때 맥놀이 부분은 아래와 같다. ⟨ ψ V ( t ) | E 1 ( − ) ( t ) E 2 ( + ) ( t ) | ψ V ( t ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{V}(t)|E_{1}^{(-)}(t)E_{2}^{(+)}(t)|\psi _{V}(t)\rangle } (V형) ⟨ ψ Λ ( t ) | E 1 ( − ) ( t ) E 2 ( + ) ( t ) | ψ Λ ( t ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{\Lambda }(t)|E_{1}^{(-)}(t)E_{2}^{(+)}(t)|\psi _{\Lambda }(t)\rangle } ( Λ {\displaystyle \Lambda } 형) 또한 각각의 상태 벡터는 아래와 같다. | ψ V ( t ) ⟩ = ∑ i = a , b , c c i | i , 0 ⟩ + c 1 | c , 1 ν 1 ⟩ + c 2 | c , 1 ν 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{V}(t)\rangle =\sum _{i=a,b,c}c_{i}|i,0\rangle +c_{1}|c,1_{\nu _{1}}\rangle +c_{2}|c,1_{\nu _{2}}\rangle } | ψ Λ ( t ) ⟩ = ∑ i = a , b , c c i ′ | i , 0 ⟩ + c 1 ′ | b , 1 ν 1 ⟩ + c 2 ′ | c , 1 ν 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{\Lambda }(t)\rangle =\sum _{i=a,b,c}c_{i}'|i,0\rangle +c_{1}'|b,1_{\nu _{1}}\rangle +c_{2}'|c,1_{\nu _{2}}\rangle } 그렇다면 결국 맥놀이에 관한 항은 아래와 같이 정리된다. ⟨ ψ V ( t ) | E 1 ( − ) ( t ) E 2 ( + ) ( t ) | ψ V ( t ) ⟩ = κ ⟨ 1 ν 1 0 ν 2 | a 1 † a 2 | 0 ν 1 1 ν 2 ⟩ e x p [ i ( ν 1 − ν 2 ) t ] ⟨ c | c ⟩ = κ e x p [ i ( ν 1 − ν 2 ) t ] ⟨ c | c ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{V}(t)|E_{1}^{(-)}(t)E_{2}^{(+)}(t)|\psi _{V}(t)\rangle =\kappa \langle 1_{\nu _{1}}0_{\nu _{2}}|a_{1}^{\dagger }a_{2}|0_{\nu _{1}}1_{\nu _{2}}\rangle exp\lbrack i(\nu _{1}-\nu _{2})t\rbrack \langle c|c\rangle =\kappa exp\lbrack i(\nu _{1}-\nu _{2})t\rbrack \langle c|c\rangle } (V형) ⟨ ψ Λ ( t ) | E 1 ( − ) ( t ) E 2 ( + ) ( t ) | ψ Λ ( t ) ⟩ = κ ′ ⟨ 1 ν 1 0 ν 2 | a 1 † a 2 | 0 ν 1 1 ν 2 ⟩ e x p [ i ( ν 1 − ν 2 ) t ] ⟨ b | c ⟩ = κ ′ e x p [ i ( ν 1 − ν 2 ) t ] ⟨ b | c ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{\Lambda }(t)|E_{1}^{(-)}(t)E_{2}^{(+)}(t)|\psi _{\Lambda }(t)\rangle =\kappa '\langle 1_{\nu _{1}}0_{\nu _{2}}|a_{1}^{\dagger }a_{2}|0_{\nu _{1}}1_{\nu _{2}}\rangle exp\lbrack i(\nu _{1}-\nu _{2})t\rbrack \langle b|c\rangle =\kappa 'exp\lbrack i(\nu _{1}-\nu _{2})t\rbrack \langle b|c\rangle } ( Λ {\displaystyle \Lambda } 형) 그러나 고유함수의 직교성에 따라 ⟨ c | c ⟩ = 1 {\displaystyle \langle c|c\rangle =1} 와 ⟨ b | c ⟩ = o {\displaystyle \langle b|c\rangle =o} 이 된다. 따라서 V형 원자에는 맥놀이 항이 있지만, Λ {\displaystyle \Lambda } 형 원자에는 없다. 결론적으로, V형 원자에는 양자 맥놀이가 있지만 Λ {\displaystyle \Lambda } 형 원자에는 없다. 이러한 차이는 양자 역학적인 불확정성에 기인한다. V형 원자는 두가지 떨기수를 통해 붕괴하는데, 그 두가지 전이가 같은 상태를 향해 이루어짐으로써 우리는 어떤 것이 어떤 길을 따라 왔는지 정할 수 없다. 그러나 Λ {\displaystyle \Lambda } 형 원자는 역시 두가지 떨기수를 통해 붕괴하지만 서로 다른 상태로 붕괴하기 때문에 어떤 길을 따라 왔는지 알 수 있다. 자연에서는 양자 역학의 가장 기본적인 원리인 불확정성의 원리를 포함한 QED의 계산이 맞는다. 양자 맥놀이 현상은 준고전적인 이론이 설명하지 못하면서 QED로는 설명되는 좋은 예이다. 양자 전기역학 이중슬릿 실험