유리 함수층

대수기하학에서 유리 함수층(有理函數層, 영어: sheaf of rational functions)는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 층이다. 정역 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 유리 함수층 K X {\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}} 는 다음과 같은 체 값을 갖는 층이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, Γ ( U ; K X ) = Frac ⁡ ( Γ ( U ; O X ) ) {\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {K}}_{X})=\operatorname {Frac} (\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X}))} 즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역에 분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다. Γ ( ∅ ; K X ) = 0 {\displaystyle \Gamma (\varnothing ;{\mathcal {K}}_{X})=0} 임의의 국소환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 의 유리 함수층 K X {\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}} 는 다음과 같이 정의한다.:140–141, §II.6 각 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 및 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 에 대하여, 줄기 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 로 가는 표준적인 제약 사상 res U , x : Γ ( U , O X ) → O X , x {\displaystyle \operatorname {res} _{U,x}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\to {\mathcal {O}}_{X,x}} 이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자. S U = { f ∈ Γ ( U ; O X ) : res U , x ⁡ ( f ) ∈ Reg ⁡ ( O X , x ) } = ⋂ x ∈ U res U , x − 1 ⁡ ( Reg ⁡ ( O X , x ) ) ⊂ Γ ( U ; O X ) {\displaystyle S_{U}=\left\{f\in \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\colon \operatorname {res} _{U,x}(f)\in \operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right\}=\bigcap _{x\in U}\operatorname {res} _{U,x}^{-1}\left(\operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right)\subset \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})} 여기서 Reg ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {Reg} (-)} 는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다. 그렇다면 X {\displaystyle X} 위의 준층 K ~ X {\displaystyle {\tilde {\mathcal {K}}}_{X}} 를 다음과 같은 국소화로 정의하자. Γ ( U ; K ~ X ) = S U − 1 Γ ( U ; O X ) {\displaystyle \Gamma (U;{\tilde {\mathcal {K}}}_{X})=S_{U}^{-1}\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})} 여기서 S U − 1 {\displaystyle S_{U}^{-1}} 은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. X {\displaystyle X} 위의 유리 함수층 K X {\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}} 는 준층 K ~ X {\displaystyle {\tilde {\mathcal {K}}}_{X}} 의 층화이며, 이는 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -가군층을 이룬다. 임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다. X {\displaystyle X} 가 국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 x {\displaystyle x} 에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.:205:Lemma 7.1.12b K X , x = Frac ⁡ ( O X , x ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{X,x}=\operatorname {Frac} ({\mathcal {O}}_{X,x})} 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 전분수환 Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형 Frac ⁡ ( R ) → Γ ( Spec ⁡ R ; K Spec ⁡ R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)\to \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} R})} 이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.:Remark 7.1.14 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.:Lemma 7.1.12b 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다. 국소환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다. 1 → O X × → K X × → K X × / O X × → 1 {\displaystyle 1\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 1} 여기서 ( − ) × {\displaystyle (-)^{\times }} 는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다. 1 → Γ ( X ; O X × ) → Γ ( X ; K X × ) → Γ ( X ; K X × / O X × ) → H 1 ⁡ ( X ; O X × ) → H 1 ⁡ ( X ; K X × ) → H 1 ⁡ ( X ; K X × / O X × ) → H 2 ⁡ ( X ; O X × ) → ⋯ {\displaystyle 1\to \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{2}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \cdots } 여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다. Γ ( X ; O X × ) {\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })} : 가역 정칙 함수군 Γ ( X ; K X × ) {\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })} : 가역 유리 함수군 Γ ( X ; K X × / O X × ) {\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })} : 카르티에 인자 군 Γ ( X ; K X × / O X × ) / Γ ( X ; K X × ) {\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })/\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })} : 카르티에 인자 유군 H 1 ⁡ ( X ; O X × ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })} : 피카르 군 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 0차원 아핀 공간 A K 0 Spec ⁡ K = { ( 0 ) } {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{0}\operatorname {Spec} K=\{(0)\}} 은 한원소 공간이며, 이 경우 Γ ( Spec ⁡ K , K Spec ⁡ K ) = K {\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} K,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=K} Γ ( ∅ , K Spec ⁡ K ) = 0 {\displaystyle \Gamma (\varnothing ,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=0} 이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 아핀 직선 A K 1 = Spec ⁡ K [ x ] {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]} 의 경우, Γ ( A K 1 , K A K 1 ) = K ( x ) {\displaystyle \Gamma (\mathbb {A} _{K}^{1},{\mathcal {K}}_{\mathbb {A} _{K}^{1}})=K(x)} 이다. 즉, K {\displaystyle K} 의 계수의 유리 함수들의 체이다. 알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나,:226–227, Propositions 20.1.1–3 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼(영어: Steven Kleiman)이 1979년에 지적하고 교정하였다. 카르티에 인자 Kleiman, Steven (1979). “Misconceptions about KX”. 《L’Enseignement Mathématique》 (영어) 25: 203–206. doi:10.5169/seals-50379.  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. 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