해석적 집합

집합론과 일반위상수학에서 해석적 집합(解析的集合, 영어: analytic set)은 폴란드 공간의 연속적 상인 폴란드 공간 부분 공간이다. 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다. f ( Y ) = A {\displaystyle f(Y)=A} 인 폴란드 공간 Y {\displaystyle Y} 및 연속 함수 f : Y → X {\displaystyle f\colon Y\to X} 가 존재한다.:85, Definition 14.1 f ( S ) = A {\displaystyle f(S)=A} 인 폴란드 공간 Y {\displaystyle Y} 및 보렐 집합 S ⊆ Y {\displaystyle S\subseteq Y} 및 연속 함수 f : Y → X {\displaystyle f\colon Y\to X} 가 존재한다. A {\displaystyle A} 는 공집합이거나, 아니면 f ( N ℵ 0 ) = A {\displaystyle f(\mathbb {N} ^{\aleph _{0}})=A} 인 연속 함수 f : N ℵ 0 → X {\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}\to X} 가 존재한다.:128, Proposition 4.1.1(iii) proj 1 ⁡ ( S ) = A {\displaystyle \operatorname {proj} _{1}(S)=A} 인 보렐 집합 S ⊆ X × X {\displaystyle S\subseteq X\times X} 가 존재한다.:128, §4.1 proj X ⁡ ( S ) = A {\displaystyle \operatorname {proj} _{X}(S)=A} 인 폴란드 공간 Y {\displaystyle Y} 및 보렐 집합 S ⊆ X × Y {\displaystyle S\subseteq X\times Y} 가 존재한다.:86, Exercise 14.3(ii):128, Proposition 4.1.1(ii) proj X ⁡ ( S ) = A {\displaystyle \operatorname {proj} _{X}(S)=A} 인 닫힌집합 S ⊆ X × N ℵ 0 {\displaystyle S\subseteq X\times \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}} 가 존재한다.:86, Exercise 14.3(iii):128, Proposition 4.1.1(iv) proj X ⁡ ( S ) = A {\displaystyle \operatorname {proj} _{X}(S)=A} 인 Gδ 집합 S ⊆ X × { 0 , 1 } ℵ 0 {\displaystyle S\subseteq X\times \{0,1\}^{\aleph _{0}}} 가 존재한다.:86, Exercise 14.3(iv) X {\displaystyle X} 의 해석적 집합들의 족은 Σ 1 1 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)} 로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.) 해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다. 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.:86, Proposition 14.4(i):129, Proposition 4.1.2(i) 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.:86, Proposition 14.4(i):129, Proposition 4.1.2(i) 두 폴란드 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 보렐 가측 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 해석적 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, 그 상 f ( A ) {\displaystyle f(A)} 역시 해석적 집합이다.:86, Proposition 14.4(ii):129, Exercise 4.1.3 두 폴란드 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 보렐 가측 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 해석적 집합 B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 에 대하여, 그 원상 f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} 역시 해석적 집합이다.:86, Proposition 14.4(ii):129, Proposition 4.1.2(i) 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 는 보렐 집합이다. A {\displaystyle A} 와 X ∖ A {\displaystyle X\setminus A} 둘 다 해석적 집합이다. 루진-노비코프 분리 정리(Лузин-Новиков分離定理, 영어: Lusin–Novikoff separation theorem)에 따르면, 임의의 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 { A i } i ∈ I ⊆ Σ 1 1 ( X ) {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)} , | I | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |I|\leq \aleph _{0}} 에 대하여, 만약 ⋂ i ∈ I A i = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing } 이라면, ∀ i ∈ I : B i ⊇ A i {\displaystyle \forall i\in I\colon B_{i}\supseteq A_{i}} 이자 ⋂ i ∈ I B i = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}B_{i}=\varnothing } 인 보렐 집합들의 집합족 { B i } i ∈ I ⊆ Δ 1 1 ( X ) {\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)} 이 존재한다.:219, Theorem 28.5:155, Theorem 4.6.1 쿠라토프스키 분리 정리에 따르면, 폴란드 공간 X {\displaystyle X} 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 { A i } i ∈ I ⊆ Σ 1 1 ( X ) {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)} , | I | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |I|\leq \aleph _{0}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합족 { C i } i ∈ I ⊆ Π 1 1 ( X ) {\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}(X)} 가 존재한다.:176, Corollary 4.11.3 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, A i ∖ ⋃ j ≠ i A j ⊆ C i {\displaystyle \textstyle A_{i}\setminus \bigcup _{j\neq i}A_{j}\subseteq C_{i}} 임의의 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 에 대하여, i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 라면 C i ∩ C j = ∅ {\displaystyle C_{i}\cap C_{j}=\varnothing } 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 해석적 집합은 보편 가측 집합이며, 준열린집합이며, 완전 집합 성질을 갖는다. 니콜라이 루진과 미하일 수슬린 이 1917년에 정의하였다. 루진-노비코프 분리 정리의 2개의 집합에 대한 경우를 니콜라이 루진이 1927년에 증명하였고, 이를 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.  Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001.  Lusin, Nicolas (1917). “Sur la classification de M. Baire”. 《Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 164: 91–94. JFM 46.0390.03.  Souslin, Michel (1917). “Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis”. 《Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 164: 88–91. JFM 46.0296.01.  Lorentz, George G. (2001년 9월). “Who discovered analytic sets?” (PDF). 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 23 (4): 31. doi:10.1007/BF03024600. ISSN 0343-6993.  Lusin, Nicolas (1927). “Sur les ensembles analytiques” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 10: 1–95. JFM 53.0171.05.  Novikoff, Pierre (1931). “Sur les fonctions implicites mesurables B” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 17 (1): 8–25. ISSN 0016-2736. JFM 57.0291.02. Zbl 0003.10802.  El’kin, A.G. (2001). “Analytic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Efimov, B.A. (2001). “Luzin separability principles”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  “A-set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “A-operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  보렐 집합 사영 집합