힐베르트 다항식

대수기하학에서 힐베르트 다항식(Hilbert多項式, 영어: Hilbert polynomial)은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 등급 벡터 공간 S {\displaystyle S} 가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자. S = ⨁ i ∈ N S i {\displaystyle S=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }S_{i}} dim K ⁡ S i < ℵ 0 ∀ i ∈ N {\displaystyle \dim _{K}S_{i}<\aleph _{0}\forall i\in \mathbb {N} } S {\displaystyle S} 의 힐베르트 급수(Hilbert級數, 영어: Hilbert series) 또는 힐베르트-푸앵카레 급수(Hilbert-Poincaré級數, 영어: Hilbert–Poincaré series)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다. HS S ⁡ ( t ) = ∑ i ∈ N ( dim K ⁡ S i ) t i ∈ Z [ [ t ] ] {\displaystyle \operatorname {HS} _{S}(t)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(\dim _{K}S_{i})t^{i}\in \mathbb {Z} [[t]]} S {\displaystyle S} 의 힐베르트 함수(Hilbert函數, 영어: Hilbert function)는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.:42:51 HF S : N → N {\displaystyle \operatorname {HF} _{S}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } HF S : i ↦ dim K ⁡ S i {\displaystyle \operatorname {HF} _{S}\colon i\mapsto \dim _{K}S_{i}} 만약 다음 조건을 만족시키는 다항식 HP S ⁡ ( t ) ∈ Q [ t ] {\displaystyle \operatorname {HP} _{S}(t)\in \mathbb {Q} [t]} 및 자연수 r ∈ N {\displaystyle r\in \mathbb {N} } 가 존재한다면, 이를 S {\displaystyle S} 의 힐베르트 다항식이라고 한다.:42:52 HP S ⁡ ( i ) = HF S ⁡ ( i ) ∀ i ≥ r {\displaystyle \operatorname {HP} _{S}(i)=\operatorname {HF} _{S}(i)\forall i\geq r} 위 조건을 만족시키는 최소의 r {\displaystyle r} 를 S {\displaystyle S} 의 힐베르트 정칙성(Hilbert正則性, 영어: Hilbert regularity)이라고 한다. 힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체 K {\displaystyle K} 위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 가 주어졌고, 이들이 등급 K {\displaystyle K} -가군의 짧은 완전열 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 을 이룬다면, 다음이 성립한다. HS A ⁡ ( t ) + HS C ⁡ ( t ) = HS B ⁡ ( t ) {\displaystyle \operatorname {HS} _{A}(t)+\operatorname {HS} _{C}(t)=\operatorname {HS} _{B}(t)} HP A ⁡ ( t ) + HP C ⁡ ( t ) = HP B ⁡ ( t ) {\displaystyle \operatorname {HP} _{A}(t)+\operatorname {HP} _{C}(t)=\operatorname {HP} _{B}(t)} 이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다. S {\displaystyle S} 가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. 힐베르트-세르 정리(영어: Hilbert–Serre theorem)에 따르면, S {\displaystyle S} 는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.:42, Theorem 1.11:51, Theorem I.7.5 구체적으로, 생성원들이 s 1 , … , s h ∈ S 1 {\displaystyle s_{1},\dots ,s_{h}\in S_{1}} 라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 P S ( t ) {\displaystyle P_{S}(t)} 는 양의 정수 계수의 다항식이다. HS S ⁡ ( t ) = P S ( t ) ∏ k = 1 h ( 1 − t deg ⁡ s i ) − 1 {\displaystyle \operatorname {HS} _{S}(t)=P_{S}(t)\prod _{k=1}^{h}(1-t^{\deg s_{i}})^{-1}} P S = ∑ i = 0 deg ⁡ P S P i t i ∈ Z [ t ] {\displaystyle P_{S}=\sum _{i=0}^{\deg P_{S}}P_{i}t^{i}\in \mathbb {Z} [t]} 만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다. HS S ⁡ ( t ) = P S ( t ) ( 1 − t ) h = P S ( t ) ∑ i = 0 ∞ ( i + h − 1 h − 1 ) t i {\displaystyle \operatorname {HS} _{S}(t)={\frac {P_{S}(t)}{(1-t)^{h}}}=P_{S}(t)\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {i+h-1}{h-1}}t^{i}} 따라서, HF S ⁡ ( i ) = ∑ j = 0 deg ⁡ P S P j ( i − j + h − 1 h − 1 ) {\displaystyle \operatorname {HF} _{S}(i)=\sum _{j=0}^{\deg P_{S}}P_{j}{\binom {i-j+h-1}{h-1}}} 이다. 이는 i {\displaystyle i} 에 대한 다항식이므로, HP S ⁡ ( t ) = ∑ j = 0 deg ⁡ P S P j ( t − j + h − 1 ) ( t − j + h − 2 ) ⋯ ( t − j ) ( h − 1 ) ! ∈ Q [ t ] {\displaystyle \operatorname {HP} _{S}(t)=\sum _{j=0}^{\deg P_{S}}P_{j}{\frac {(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots (t-j)}{(h-1)!}}\in \mathbb {Q} [t]} 로 놓으면 HF S ⁡ ( i ) = HP S ⁡ ( i ) ∀ i ≥ deg ⁡ P S + 1 − h {\displaystyle \operatorname {HF} _{S}(i)=\operatorname {HP} _{S}(i)\quad \forall i\geq \deg P_{S}+1-h} 이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 deg ⁡ P S + 1 − h {\displaystyle \deg P_{S}+1-h} 이하이다. 보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다. 대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 n {\displaystyle n} 차원 사영 공간 P k n = Proj ⁡ K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]} 은 다항식 등급환 K [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]} 의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 Proj ⁡ ( K [ x 0 , x 1 , … , x n ] / I ) {\displaystyle \operatorname {Proj} (K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I)} 는 동차 아이디얼 I ⊂ K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle I\subset K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]} 에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체 X = Proj ⁡ ( K [ x 0 , x 1 , … , x n ] / I ) {\displaystyle X=\operatorname {Proj} (K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I)} 의 동차 좌표환 K [ x 0 , x 1 , … , x n ] / I {\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I} 의 힐베르트 다항식 HP X {\displaystyle \operatorname {HP} _{X}} 는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다. HP X {\displaystyle \operatorname {HP} _{X}} 의 (다항식으로서의) 차수는 X {\displaystyle X} 의 차원과 같다.:51, Theorem I.7.5 HP X {\displaystyle \operatorname {HP} _{X}} 의 최고차항의 계수는 X {\displaystyle X} 의 (대수다양체로서의) 차수와 X {\displaystyle X} 의 차원의 계승의 비이다.:52–54 HP X ⁡ ( d ) = deg ⁡ X ( dim ⁡ X ) ! d dim ⁡ X + O ( d dim ⁡ X − 1 ) {\displaystyle \operatorname {HP} _{X}(d)={\frac {\deg X}{(\dim X)!}}d^{\dim X}+{\mathcal {O}}(d^{\dim X-1})} 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 비특이 대수다양체 X {\displaystyle X} 위에 선다발 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라, χ ( L ⊗ n ) = ∫ X exp ⁡ ( c 1 ( L ⊗ n ) Td ⁡ ( X ) = ∫ X ∑ i = 1 dim ⁡ X n i i ! c 1 ( L ) Td ⁡ ( X ) = P ( n ) ∈ Q [ n ] {\displaystyle \chi ({\mathcal {L}}^{\otimes n})=\int _{X}\exp(c_{1}({\mathcal {L}}^{\otimes n})\operatorname {Td} (X)=\int _{X}\sum _{i=1}^{\dim X}{\frac {n^{i}}{i!}}c_{1}({\mathcal {L}})\operatorname {Td} (X)=P(n)\in \mathbb {Q} [n]} 이며, P ( n ) {\displaystyle P(n)} 은 차수 dim ⁡ X {\displaystyle \dim X} 의 유리수 계수 다항식이다. 만약 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여 H i ( X , L ⊗ n ) = 0 ∀ i > 0 {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=0\forall i>0} 이며, 또한 사영 공간으로의 매장 ι : X ↪ P k {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{k}} ι ∗ O ( 1 ) = L {\displaystyle \iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {L}}} 이 존재한다. P ( n ) {\displaystyle P(n)} 은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.:170, Exercise II.7.6 χ ( X , L ⊗ n ) = HP ι ( X ) ⁡ ( n ) ∀ n {\displaystyle \chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)\qquad \forall n} dim ⁡ Γ ( X , L ⊗ n = χ ( X , L ⊗ n ) = HP ι ( X ) ⁡ ( n ) ∀ n ≫ 1 {\displaystyle \dim \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n}=\chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)\qquad \forall n\gg 1} 이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 X {\displaystyle X} 의 오일러 지표가 된다. χ ( X ) = HP ι ( X ) ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \chi (X)=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(0)} 보다 일반적으로, 만약 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 풍부한 선다발이라면, 여전히 χ ( X , L ⊗ n ) {\displaystyle \chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})} 은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다. 뇌터 가환 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 의 유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 및 R {\displaystyle R} 의 으뜸 아이디얼 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} 가 주어졌을 때, 등급 R {\displaystyle R} -가군 ⨁ i = 0 ∞ q i M / q i + 1 M {\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }{\mathfrak {q}}^{i}M/{\mathfrak {q}}^{i+1}M} 을 정의하자. (여기서 m 0 = R {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{0}=R} 로 정의한다.) 이 경우, R {\displaystyle R} -가군을 가군의 길이로 측정한다면, 힐베르트-사뮈엘 함수(영어: Hilbert–Samuel function) HF M q ⁡ ( i ) = length ⁡ ( q i M / q i + 1 M ) {\displaystyle \operatorname {HF} _{M}^{\mathfrak {q}}(i)=\operatorname {length} \left({\mathfrak {q}}^{i}M/{\mathfrak {q}}^{i+1}M\right)} 를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮈엘 다항식(영어: Hilbert–Samuel polynomial)이라고 한다.:272, Proposition 12.2 힐베르트-사뮈엘 다항식 HP M q ⁡ ( t ) {\displaystyle \operatorname {HP} _{M}^{\mathfrak {q}}(t)} 의 차수는 M {\displaystyle M} 의 크룰 차원보다 1만큼 작다.:274, Theorem 12.4 deg ⁡ HP M q ⁡ ( t ) = dim ⁡ M − 1 {\displaystyle \deg \operatorname {HP} _{M}^{\mathfrak {q}}(t)=\dim M-1} 사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.:52, Proposition I.7.6(c) 다항식환 R = K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]} 에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다. dim K ⁡ R d = ( n + d n ) = 1 n ! ( d + n ) ( d + n − 1 ) ⋯ ( d + 1 ) {\displaystyle \dim _{K}R_{d}={\binom {n+d}{n}}={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)} 따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다. HP R ⁡ ( d ) = 1 n ! ( d + n ) ( d + n − 1 ) ⋯ ( d + 1 ) = 1 n ! d n + ⋯ {\displaystyle \operatorname {HP} _{R}(d)={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)={\frac {1}{n!}}d^{n}+\cdots } 대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 n {\displaystyle n} 차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다. 다항식환 R = K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]} 속에서, k {\displaystyle k} 차 동차다항식 f ∈ R k {\displaystyle f\in R_{k}} 로 생성되는 동차 아이디얼 ( f ) {\displaystyle (f)} 에 대한 몫등급환 R / ( f ) {\displaystyle R/(f)} 의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.:52, Proposition I.7.6(d) 짧은 완전열 0 → R ( − k ) → ⋅ f R → R / ( f ) → 0 {\displaystyle 0\to R(-k){\xrightarrow {\cdot f}}R\to R/(f)\to 0} 으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다. HP ⁡ ( d ) = dim K ⁡ ( R / ( f ) ) d = dim K ⁡ R d − dim K ⁡ R d − k = ( n + d n ) − ( n + d − k n ) = k ( n − 1 ) ! d n − 1 + O ( d n − 2 ) {\displaystyle \operatorname {HP} (d)=\dim _{K}(R/(f))_{d}=\dim _{K}R_{d}-\dim _{K}R_{d-k}={\binom {n+d}{n}}-{\binom {n+d-k}{n}}={\frac {k}{(n-1)!}}d^{n-1}+{\mathcal {O}}(d^{n-2})} 이를 대수기하학적으로 해석하면 k {\displaystyle k} 차 동차다항식의 영점 집합은 n {\displaystyle n} 차원 사영 공간 속에서 n − 1 {\displaystyle n-1} 차원 k {\displaystyle k} 차 사영 대수다양체를 정의한다. 종수 g {\displaystyle g} 의 비특이 대수 곡선 C {\displaystyle C} 위의 매우 풍부한 선다발 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 을 통하여, C {\displaystyle C} 를 사영 공간에 매장하였다고 하자. ι : C ↪ P n {\displaystyle \iota \colon C\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}} L = ι ∗ O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=\iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)} 이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다. HF C ⁡ ( t ) = ( deg ⁡ L ) t + ( g − 1 ) {\displaystyle \operatorname {HF} _{C}(t)=(\deg {\mathcal {L}})t+(g-1)} 여기서 deg ⁡ L {\displaystyle \deg {\mathcal {L}}} 은 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다. 산술 종수 p a = χ ( X ; O X ) − 1 {\displaystyle p_{\text{a}}=\chi (X;{\mathcal {O}}_{X})-1} 의 대수 곡면 X {\displaystyle X} 위에, 매우 풍부한 선다발 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가 D {\displaystyle D} 라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장 ι : X ↪ P dim ⁡ Γ ( X , L ) − 1 {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{\dim \Gamma (X,{\mathcal {L}})-1}} ι ∗ O ( 1 ) = L {\displaystyle \iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {L}}} 이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다. HP ι ( X ) ⁡ ( n ) = χ ( X ; L ⊗ n ) = 1 2 n 2 D . D − 1 2 n D . K + p a ( X ) + 1 {\displaystyle \operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)=\chi (X;{\mathcal {L}}^{\otimes n})={\frac {1}{2}}n^{2}D.D-{\frac {1}{2}}nD.K+p_{\text{a}}(X)+1} 여기서 K X {\displaystyle K_{X}} 는 X {\displaystyle X} 의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 D . D {\displaystyle D.D} 이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 ι ∗ O ( 1 ) {\displaystyle \iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)} 과 표준 인자의 교차수의 절반이다. 힐베르트 스킴 Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Schenck, Hal (2003). 《Computational Algebraic Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53650-9. 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