화살집 표현

화살집 표현(-表現, 영어: quiver representation)은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} 화살집 Q {\displaystyle Q} Q {\displaystyle Q} 의 K {\displaystyle K} 계수 화살집 표현 R {\displaystyle R} 는 다음과 같은 함자이다. R : Free ⁡ ( Q ) → Mod K {\displaystyle R\colon \operatorname {Free} (Q)\to \operatorname {Mod} _{K}} 여기서 Free ⁡ ( Q ) {\displaystyle \operatorname {Free} (Q)} 는 Q {\displaystyle Q} 로 생성되는 자유 범주이며, Mod K {\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}} 는 K {\displaystyle K} -가군의 범주이다. 두 화살집 표현 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 사이의 사상 ϕ : R → S {\displaystyle \phi \colon R\to S} 은 함자 사이의 자연 변환이다. Q {\displaystyle Q} 의 K {\displaystyle K} 계수 화살집 표현 R {\displaystyle R} 은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Q ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)} 에 대하여, K {\displaystyle K} -가군 R v {\displaystyle R_{v}} 각 변 e : u → v {\displaystyle e\colon u\to v} 에 대하여, K {\displaystyle K} -가군 준동형 R e : R u → R v {\displaystyle R_{e}\colon R_{u}\to R_{v}} 두 화살집 표현 R {\displaystyle R} , S {\displaystyle S} 사이의 사상 ϕ : R → S {\displaystyle \phi \colon R\to S} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 각 꼭짓점 v ∈ V ⁡ ( Q ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)} 에 대하여, K {\displaystyle K} -가군 준동형 ϕ v : R v → S v {\displaystyle \phi _{v}\colon R_{v}\to S_{v}} 이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 e : u → v {\displaystyle e\colon u\to v} 에 대하여, R u → ϕ u S u R e ↓ R e S e ↓ S e R v → ϕ v S v {\displaystyle {\begin{matrix}R_{u}&{\overset {\phi _{u}}{\to }}&S_{u}\\{\scriptstyle R_{e}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle R_{e}}&&{\color {White}\scriptstyle S_{e}}\downarrow \scriptstyle S_{e}\\R_{v}&{\underset {\phi _{v}}{\to }}&S_{v}\end{matrix}}} 화살집 Q {\displaystyle Q} 속의, 길이 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 의 보행(영어: walk, path)은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열 v n , e n − 1 , … , e 1 , v 1 , e 0 , v 0 {\displaystyle v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{1},v_{1},e_{0},v_{0}} 이다. s ( e i ) = v i ∀ i ∈ { 0 , … , n − 1 } {\displaystyle s(e_{i})=v_{i}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}} t ( e i ) = v i + 1 ∀ i ∈ { 0 , … , n − 1 } {\displaystyle t(e_{i})=v_{i+1}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}} (보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.) Q {\displaystyle Q} 의 보행들을 기저로 갖는 K {\displaystyle K} -자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자. 임의의 두 보행 α = ( v n , e n − 1 , … , e 0 , v 0 ) {\displaystyle \alpha =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0})} , β = ( v n ′ ′ , e n ′ − 1 ′ , … , e 0 ′ , v 0 ′ ) {\displaystyle \beta =(v'_{n'},e'_{n'-1},\dotsc ,e'_{0},v'_{0})} 에 대하여, 만약 v 0 = v n ′ ′ {\displaystyle v_{0}=v'_{n'}} 이라면, α β = ( v n , e n − 1 , … , e 0 , v 0 , e n ′ − 1 ′ , … , v 0 ′ ) {\displaystyle \alpha \beta =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0},e'_{n'-1},\dotsc ,v'_{0})} 만약 v 0 ≠ v n ′ ′ {\displaystyle v_{0}\neq v'_{n'}} 이라면, α β = 0 {\displaystyle \alpha \beta =0} 이는 유사환을 이루며, 만약 Q {\displaystyle Q} 가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원 1 = ∑ v ∈ V ⁡ ( Q ) ( v ) {\displaystyle 1=\sum _{v\in \operatorname {V} (Q)}(v)} 을 가져 환을 이룬다. 이를 Q {\displaystyle Q} 위의 보행 대수(영어: walk algebra, path algebra) K [ Q ] {\displaystyle K[Q]} 라고 한다. 이제, 만약 Q {\displaystyle Q} 의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, Q {\displaystyle Q} 의 K {\displaystyle K} -표현은 보행 대수 K [ Q ] {\displaystyle K[Q]} 의 왼쪽 가군 R {\displaystyle R} 이다. 이 정의들은 다음과 같이 대응한다. 화살집들의 집합 ( Q i ) i ∈ I {\displaystyle (Q_{i})_{i\in I}} 및 각 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여 Q i {\displaystyle Q_{i}} 의 표현 R ( i ) {\displaystyle R^{(i)}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 ⨆ i ∈ I Q i {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}Q_{i}} 의 K {\displaystyle K} -표현 ⨆ i ∈ I R ( i ) {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}R^{(i)}} 이 자연스럽게 존재한다. 반대로, ⨆ i ∈ I Q i {\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}Q_{i}} 의 모든 K {\displaystyle K} -표현은 Q i {\displaystyle Q_{i}} 들의 표현들의 족 ( R ( i ) ) i ∈ I {\displaystyle (R^{(i)})_{i\in I}} 의 분리합으로 유일하게 나타내어진다. (이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.) 화살집 Q {\displaystyle Q} 의 K {\displaystyle K} -표현들의 집합 ( R ( i ) ) i ∈ I {\displaystyle (R^{(i)})_{i\in I}} 의 직합은 다음과 같은 화살집 표현이다. R v = ⨁ i ∈ i R v ( i ) ( v ∈ V ⁡ ( Q ) ) {\displaystyle R_{v}=\bigoplus _{i\in i}R_{v}^{(i)}\qquad (v\in \operatorname {V} (Q))} R e = ⨁ i ∈ i R e ( i ) ( e ∈ E ⁡ ( Q ) ) {\displaystyle R_{e}=\bigoplus _{i\in i}R_{e}^{(i)}\qquad (e\in \operatorname {E} (Q))} 직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 영 표현(零表現, 영어: zero representation)이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 분해 불가능 표현(分解不可能表現, 영어: indecomposable representation)이라고 한다. 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 및 화살집 Q {\displaystyle Q} 에 대하여, Q {\displaystyle Q} 의 K {\displaystyle K} -표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다. 가브리엘 정리(Gabriel定理, 영어: Gabriel’s theorem)에 따르면, 화살집 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다. 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면) A n {\displaystyle {\mathsf {A}}_{n}} · D n {\displaystyle {\mathsf {D}}_{n}} · E 6 {\displaystyle {\mathsf {E}}_{6}} · E 7 {\displaystyle {\mathsf {E}}_{7}} · E 8 {\displaystyle {\mathsf {E}}_{8}} 꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.) 또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 K {\displaystyle K} -표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다. 임의의 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) K {\displaystyle K} -표현을 갖는다. 하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 A 1 {\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}} 의 표현들은 K {\displaystyle K} -가군이다. 특히, 만약 K {\displaystyle K} 가 체일 때, A 1 {\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}} 의 분해 불가능 K {\displaystyle K} -표현은 1차원 표현 K {\displaystyle K} 밖에 없다. (이는 A 1 {\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}} 근계의 유일한 양근에 대응한다.) 두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 A 2 {\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}} 의 표현들은 두 K {\displaystyle K} -가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 K {\displaystyle K} 가 체일 때, A 2 = ∙ u − e ∙ v {\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}={\underset {u}{\bullet }}{\overset {e}{-}}{\underset {v}{\bullet }}} 의 분해 불가능 K {\displaystyle K} -표현은 다음 세 개이다. (이는 A 2 {\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}} 근계의 세 양근에 대응한다.) R u = K {\displaystyle R_{u}=K} , R v = 0 {\displaystyle R_{v}=0} , R e {\displaystyle R_{e}} 는 값이 0인 상수 함수 R u = 0 {\displaystyle R_{u}=0} , R v = K {\displaystyle R_{v}=K} , R e {\displaystyle R_{e}} 는 값이 0인 상수 함수 R u = R v = K {\displaystyle R_{u}=R_{v}=K} , R e {\displaystyle R_{e}} 는 항등 함수 가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(프랑스어: Pierre Gabriel, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.:73, §1.2, Satz Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (2005년 2월). “Quiver representations” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (2): 200–206. ISSN 0002-9920. Zbl 1143.16300.  Gabriel, Peter (1972). “Unzerlegbare Darstellungen Ⅰ”. 《Manuscripta Mathematica》 (독일어) 6: 71–103. doi:10.1007/BF01298413. ISSN 0025-2611.  “Quiver”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Gabriel's theorem”. 《nLab》 (영어).  “Why are (representations of) quivers such a big deal?”. 《Stack Exchange》 (영어).