비교 판정법

미적분학에서 비교 판정법(比較判定法, 영어: comparison test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 양항 급수가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. n 0 ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}} 두 실수 항 급수 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 와 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 또한, 다음 조건이 성립한다고 하자. 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여, 0 ≤ a n ≤ b n {\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}} (즉, 어떤 N ≥ n 0 {\displaystyle N\geq n_{0}} 및 모든 n > N {\displaystyle n>N} 에 대하여, 0 ≤ a n ≤ b n {\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}} ) 그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다. 만약 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 이 수렴한다면, ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 역시 수렴한다. 만약 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 이 발산한다면, ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 역시 발산한다. 이를 비교 판정법이라고 한다. 증명: 두 명제는 서로 대우다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든 n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} 에 대하여 0 ≤ a n ≤ b n {\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}} 이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이 유계 수열인 것이다. 즉, S n = a n 0 + a n 0 + 1 + ⋯ + a n {\displaystyle S_{n}=a_{n_{0}}+a_{n_{0}+1}+\cdots +a_{n}} 이라고 하였을 때, 어떤 M < ∞ {\displaystyle M<\infty } 및 임의의 n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} 에 대하여 S n ≤ M {\displaystyle S_{n}\leq M} 이어야 한다. (이는 실수의 완비성을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로 T n = b n 0 + b n 0 + 1 + ⋯ + b n {\displaystyle T_{n}=b_{n_{0}}+b_{n_{0}+1}+\cdots +b_{n}} 이라고 하자. 만약 급수 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 이 수렴한다면, 어떤 M < ∞ {\displaystyle M<\infty } 및 임의의 n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} 에 대하여 T n ≤ M {\displaystyle T_{n}\leq M} 이다. 그런데 항상 a n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}} 이므로 S n ≤ T n ≤ M {\displaystyle S_{n}\leq T_{n}\leq M} 이다. 따라서 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 역시 수렴한다. 비교 판정법은 절대 수렴의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\|{\cdot }\|)} n 0 ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}} V {\displaystyle V} 항의 급수 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 와 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 만약 V = ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle V=(\mathbb {K} ,|{\cdot }|)} 라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수다. 또한, 다음 조건이 성립한다고 하자. 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여, ‖ a n ‖ ≤ ‖ b n ‖ {\displaystyle \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|} (즉, 어떤 N ≥ n 0 {\displaystyle N\geq n_{0}} 및 모든 n > N {\displaystyle n>N} 에 대하여, ‖ a n ‖ ≤ ‖ b n ‖ {\displaystyle \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|} ) 만약 V = ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle V=(\mathbb {K} ,|{\cdot }|)} 라면, 노름은 절댓값이며, ‖ a n ‖ ≤ ‖ b n ‖ {\displaystyle \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|} 은 | a n | ≤ | b n | {\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|} 이 된다. 그렇다면, 다음이 성립한다. 만약 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 이 절대 수렴한다면, ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 역시 절대 수렴한다. 만약 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 이 절대 수렴하지 않는다면, ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 역시 절대 수렴하지 않는다. 두 번째 명제에서, ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어, a n = b n = ( − 1 ) n − 1 n {\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n-1}}{n}}} 에 대응하는 급수는 조건 수렴한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 실수선의 완비성에만 의존하므로, 바나흐 공간이 아닌 노름 공간에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다. 증명: 비교 판정법의 이전 형태에서, ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 와 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 을 ∑ n = n 0 ∞ ‖ a n ‖ {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }\|a_{n}\|} 와 ∑ n = n 0 ∞ ‖ b n ‖ {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }\|b_{n}\|} 으로 대체한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 두 실수 값 함수 f , g : [ a , ∞ ) → R {\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} } 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. 임의의 b > a {\displaystyle b>a} 에 대하여, f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 에서 리만 적분 가능하다. 어떤 X ≥ a {\displaystyle X\geq a} 및 임의의 x ≥ X {\displaystyle x\geq X} 에 대하여, 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)} 그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다. 만약 이상 적분 ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx} 가 수렴한다면, 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} 역시 수렴한다. 만약 이상 적분 ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} 가 발산한다면, 이상 적분 ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx} 역시 발산한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. n 0 ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}} 두 실수 항 급수 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 와 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여, a n , b n ≠ 0 {\displaystyle a_{n},b_{n}\neq 0} 0 < lim inf n → ∞ a n b n ≤ lim sup n → ∞ a n b n < ∞ {\displaystyle 0<\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\infty } 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다. 급수 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 이 수렴한다. 급수 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 이 수렴한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. n 0 ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}} 두 실수 항 급수 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 와 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여, a n , b n > 0 {\displaystyle a_{n},b_{n}>0} 충분히 큰 n {\displaystyle n} 에 대하여, a n + 1 a n ≤ b n + 1 b n {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}} 그렇다면, 어떤 N ≥ n 0 {\displaystyle N\geq n_{0}} 및 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 에 대하여, a n = a N ⋅ a N + 1 a N ⋅ a N + 2 a N + 1 ⋅ ⋯ ⋅ a n a n − 1 ≤ a N ⋅ b N + 1 b N ⋅ b N + 2 b N + 1 ⋅ ⋯ ⋅ b n b n − 1 = a N b N ⋅ b n {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=a_{N}\cdot {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\\&\leq a_{N}\cdot {\frac {b_{N+1}}{b_{N}}}\cdot {\frac {b_{N+2}}{b_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\\&={\frac {a_{N}}{b_{N}}}\cdot b_{n}\end{aligned}}} 이다. 만약 ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 이 수렴한다면, ∑ n = n 0 ∞ a N b N ⋅ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }{\frac {a_{N}}{b_{N}}}\cdot b_{n}} 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 도 수렴한다. 그 대우로서, 만약 ∑ n = n 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}} 이 발산한다면, ∑ n = n 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}} 도 발산한다. 급수 ∑ n = 1 ∞ n n − 2 e n n ! {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n-2}}{\mathrm {e} ^{n}n!}}} 를 생각하자. a n = n n − 2 e n n ! {\displaystyle a_{n}={\frac {n^{n-2}}{\mathrm {e} ^{n}n!}}} 라고 하였을 때, a n + 1 a n = ( 1 + 1 / n ) n − 2 e < ( 1 + 1 / n ) n − 2 ( 1 + 1 / n ) n = ( n + 1 ) − 2 n − 2 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(1+1/n)^{n-2}}{\mathrm {e} }}<{\frac {(1+1/n)^{n-2}}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {(n+1)^{-2}}{n^{-2}}}} 이다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} 는 수렴하므로, #기타에 의하여 원래 급수는 수렴한다. 수렴판정법 수렴 지배 수렴 정리 적분판정법 단조 수렴 정리 Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. 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