칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체(Calabi-丘 多樣體, 영어: Calabi–Yau manifold)는 홀로노미가 SU(n)의 부분군인 콤팩트 켈러 다양체다. 미분 기하학과 대수 기하학에서 다룬다. 끈 이론에서 시공의 축소화에 쓰인다. 켈러 다양체는 리만 구조, 복소 구조, 심플렉틱 구조를 모두 갖춘 다양체로, 일반적으로 복소 n차원의 켈러 다양체는 U(n)의 부분군인 홀로노미를 지닌다. 그 가운데 칼라비-야우 다양체는 콤팩트하고 SU(n)의 부분군인 (대역적) 홀로노미를 지닌 것이다. SU(n) 홀로노미를 지녀야 한다는 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다. 어디서도 0이 아닌 n {\displaystyle n} 차 정칙 복소 미분 형식 Ω {\displaystyle \Omega } 가 다양체 위에 존재한다. (이를 정칙 부피 형식(영어: holomorphic volume form)이라고 한다.) 복소 구조의 구조군(structure group)이 SU(n)의 부분군이다. (일반적 켈러 다양체의 구조군은 U(n)이다.) 자명한 표준 선다발을 지닌다. 일부 저자는 칼라비-야우 다양체를 좀 더 일반적으로, 대역적 홀로노미 대신 SU(n)의 부분군인 국소적 홀로노미를 지닌 콤팩트 켈러 다양체로 정의한다. 이 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다. 다양체의 리치 곡률이 0이다. 다양체의 복소 구조의 첫 번째 실수 천 류 c 1 ( M ; R ) ∈ H 1 , 1 ( M ; R ) {\displaystyle c_{1}(M;\mathbb {R} )\in H^{1,1}(M;\mathbb {R} )} 이 0이다. 표준 선다발을 충분히 거듭제곱하면 자명해진다. 자명한 표준 선다발을 지닌 유한 피복 공간이 존재한다. 이 정의 가운데, 리치 곡률이 0인 성질과 다른 성질들이 동등하다는 사실은 증명하기가 쉽지 않다. 이는 에우제니오 칼라비가 가설을 제시한 뒤 야우싱퉁이 증명하였고, 칼라비 가설 또는 야우 정리라 불린다. 두 번째 정의는 첫 번째 정의보다 일반적이다. 예를 들어 초타원 곡면(영어: hyperelliptic surface)는 첫 번째 정의는 만족하지 않지만 두 번째 정의는 만족한다. (첫 번째 정의를 만족시키려면 그 이중 피복 공간인 K3 곡면을 취하면 된다.) 다만 단일 연결된 다양체의 경우 두 정의는 동등하다. 이 밖에도 실수 천 류 대신 정수 천 류 c 1 ( M , Z ) {\displaystyle c_{1}(M,\mathbb {Z} )} 을 쓰거나, 콤팩트함을 요구하지 않거나, 홀로노미가 SU(n)의 부분군이 아니라 SU(n) 자체임을 요구하는 등 약간 다른 정의를 쓰는 저자도 있다. 두 정의 모두, 고다이라 차원(영어: Kodaira dimension)이 0이고, 첫 번째 실수 및 정수 천 류가 0이다. 칼라비-야우 다양체의 정칙 부피 형식 Ω {\displaystyle \Omega } 는 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 특수 라그랑주 부분 다양체라고 한다. 즉, 칼라비-야우 다양체 M {\displaystyle M} 속의 특수 라그랑주 다양체 N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} 는 Re ⁡ Ω | N = ω | N {\displaystyle \operatorname {Re} \Omega |_{N}=\omega |_{N}} Im ⁡ Ω | N = 0 {\displaystyle \operatorname {Im} \Omega |_{N}=0} 인 부분다양체이다. 여기서 ω {\displaystyle \omega } 는 리만 계량에 따른 부피 형식이다. 정칙 부피 형식 Ω {\displaystyle \Omega } 는 복소 위상으로 Ω → exp ⁡ ( i θ ) Ω {\displaystyle \Omega \to \exp(i\theta )\Omega } 와 같이 재정의할 수 있고, 따라서 이에 따라 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념이 달라진다. 일부 문헌에서는 적어도 한 복소 위상의 정칙 부피 형식에 대하여 측정 부분 다양체를 이루는 부분 다양체를 특수 라그랑주 부분 다양체라고 한다. 특수 라그랑주 다양체는 거울 대칭 가설의 여러 서술들 가운데 하나인 Strominger-Yau-Zaslow가설을 서술하는데 등장한다. n {\displaystyle n} 차원 칼라비-야우 다양체 ( M , J , ω ) {\displaystyle (M,J,\omega )} 는 켈러 구조 ω {\displaystyle \omega } 와 복소 구조 J {\displaystyle J} 를 지녔으므로, 켈러 모듈러스와 복소 모듈러스를 가진다. 켈러 모듈러스 공간의 접공간은 무한소의 (1,1)차 형식 ϵ δ ω i ȷ ¯ d z i ∧ d z ¯ ȷ ¯ {\displaystyle \epsilon \delta \omega _{i{\bar {\jmath }}}dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{\bar {\jmath }}} 의 꼴이다. 리치 텐서가 0이라는 조건에 의하여, 이는 O ( ϵ 2 ) {\displaystyle O(\epsilon ^{2})} 항을 제외하고는 조화형식을 이룬다. 따라서 켈러 모듈러스 공간의 차원은 그 (1,1)차 조화형식 공간의 차원과 같다. 호지 이론에 따라서, 이는 돌보 코호몰로지의 차원인 호지 수 h 1 , 1 ( M ) = dim ⁡ H ( 1 , 1 ) ( M ) {\displaystyle h^{1,1}(M)=\dim H^{(1,1)}(M)} 으로 주어진다. 또한, 켈러 형식들의 집합은 볼록 뿔을 이루는데, 이는 켈러 형식들의 집합이 볼록 선형결합에 대하여 닫혀 있기 때문이다. (볼록 선형결합으로 국한하는 이유는 ω n {\displaystyle \omega ^{n}} 이 부피 형식을 이뤄야 하기 때문이다.) 이를 켈러 뿔(Kähler cone)이라고 한다. 3차원 칼라비-야우 다양체의 경우, 복소 모듈러스 공간의 차원은 호지 수 h 2 , 1 ( M ) = dim ⁡ H ( 2 , 1 ) ( M ) {\displaystyle h^{2,1}(M)=\dim H^{(2,1)}(M)} 에 의하여 주어진다. 복소 1차원 칼라비-야우 다양체는 (두 정의 다) 원환면밖에 없다. 복소 2차원 칼라비-야우 다양체 가운데 단일 연결된 것은 (역시 두 정의 다) K3 곡면밖에 없다. 복소 3차원 칼라비-야우 다양체는 아직 잘 알려지지 않았으며, 심지어 유한개인지 아니면 무한개인지도 모른다. 일반적으로, n차원 복소 사영 공간 ℂℙn의 동차좌표에서 (n+1)차 동차다항식의 해는 (n−1)차원 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 끈 이론에서, 칼라비-야우 다양체는 시공의 축소화를 나타낸다. 끈 이론에서는 10차원의 시공이 필요한데, 이를 실제 세계와 관련짓기 위해서는 이를 R 4 × X {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times X} 꼴의 곱으로 축소화시켜야 한다. (여기서 X {\displaystyle X} 는 콤팩트 다양체다.) 손지기 페르미온을 나타내려면 2개 이상의 초대칭이 있을 수 없고, 현상론적으로 하나의 초대칭이 있는 모형이 유력하므로, 초대칭을 4차원에서 하나만 남기고 파괴하는 축소화를 찾아야 하는데, 칼라비-야우 다양체는 이러한 성질을 만족한다. 축소화하는 칼라비-야우 다양체에 따라 4차원 우주에 다른 입자 및 물리 법칙이 나타난다. 이 사실은 필립 칸델라스(Philip Candelas), 게리 호로위츠(Gary Horowitz), 앤드루 스트로민저, 에드워드 위튼이 1985년에 발견하였다. 오차 삼중체 G2 다양체 Yau, Shing-Tung (2009). “Calabi-Yau manifold”. 《Scholarpedia》 (영어) 4 (8): 6524. doi:10.4249/scholarpedia.6524. ISSN 1941-6016. MR 2537089.  Gross, Mark; Daniel Huybrechts, Dominic Joyce (2003). 《Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001》 (영어). Universitext. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-642-19004-9. ISBN 978-3-540-44059-8. ISSN 0172-5939. MR 1963559. Zbl 1001.00028.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Hübsch, Tristan (1992년 3월). 《Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists》 (영어). Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1410. ISBN 978-981-02-0662-8. MR 1177829. 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