체흐 코호몰로지

대수적 위상수학에서 체흐 코호몰로지(영어: Čech cohomology)는 위상 공간 위의 층 코호몰로지를 공간을 작은 조각으로 쪼개어 정의·계산하는 방법이다. 다음이 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 위의 아벨 군 준층 F ∈ PSh ⁡ ( X ; Ab ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} )} 그렇다면, 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 의 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 계수 n {\displaystyle n} 차 체흐 코호몰로지 H ˇ n ⁡ ( X ; F ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{n}(X;{\mathcal {F}})} 는 아벨 군이다. 이는 구체적으로 공사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 이 개념은 일반적으로 사용되는 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 의존한다. 그러나 X {\displaystyle X} 위의 열린 덮개들은 유항체계(directed system)를 이루며, ( U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 의존하지 않는) X {\displaystyle X} 의 체흐 코호몰로지 H ˇ ∙ ⁡ ( X ; F ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X;{\mathcal {F}})} 를 모든 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 대한 코호몰로지 H ˇ ∙ ⁡ ( X , U ; F ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})} 의 귀납적 극한이다. 즉, H ˇ n ⁡ ( X ; F ) = lim → ⁡ H ˇ n ( X , U ; F ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{n}(X;{\mathcal {F}})=\varinjlim {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})} 이다. n {\displaystyle n} 차 체흐 단체(Čech單體, 영어: Čech simplex) σ {\displaystyle \sigma } 는 그 교집합이 0이 아닌, n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 원소의 순서쌍 ( U 0 , … , U n ) {\displaystyle (U_{0},\dots ,U_{n})} 이다. 단체의 지지 집합(영어: support) | σ | {\displaystyle |\sigma |} 은 다음과 같은, 모든 성분들의 교집합이다. | σ | = ⋂ k = 0 n U n {\displaystyle |\sigma |=\bigcap _{k=0}^{n}U_{n}} n {\displaystyle n} 차 체흐 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군을 C ˇ n {\displaystyle {\check {C}}^{n}} 이라고 하자. C ˇ n {\displaystyle {\check {C}}^{n}} 의 원소를 n {\displaystyle n} 차 체흐 사슬(영어: Čech chain)이라고 한다. n {\displaystyle n} 차 체흐 단체 σ {\displaystyle \sigma } 의 부분 경계(部分境界, 영어: partial boundary) ∂ k σ {\displaystyle \partial _{k}\sigma } 는 다음과 같다. ∂ k σ = ( U 0 , … , U k − 1 , U k + 1 , … , U n ) {\displaystyle \partial _{k}\sigma =(U_{0},\dots ,U_{k-1},U_{k+1},\dots ,U_{n})} . σ {\displaystyle \sigma } 의 경계(境界, 영어: boundary) ∂ σ {\displaystyle \partial \sigma } 는 다음과 같다. ∂ σ = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ∂ k σ ∈ C ˇ n − 1 {\displaystyle \partial \sigma =\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\partial _{k}\sigma \in {\check {C}}^{n-1}} . 마찬가지로 n {\displaystyle n} 차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. n {\displaystyle n} 차 사슬의 경계는 n − 1 {\displaystyle n-1} 차 사슬이다. n {\displaystyle n} 차 체흐 공사슬(Čech共-, 영어: Čech cochain) ϕ {\displaystyle \phi } 는 n {\displaystyle n} 차 단체 σ {\displaystyle \sigma } 를 아벨 군 원소 ϕ ( σ ) ∈ F ( | σ | ) {\displaystyle \phi (\sigma )\in {\mathcal {F}}(|\sigma |)} 와 대응시키는 함수이다. n {\displaystyle n} 차 공사슬의 집합을 C ˇ n ( X , U ; F ) {\displaystyle {\check {C}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})} 라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. 공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary) δ n : C ˇ n ( X , U ; F ) → C ˇ n + 1 ( X , U ; F ) {\displaystyle \delta ^{n}\colon {\check {C}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})\to {\check {C}}^{n+1}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})} 는 다음과 같다. 단체 σ {\displaystyle \sigma } 에 대하여, ( δ n ϕ ) ( σ ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k res | σ | | ∂ k σ | ⁡ ϕ ( ∂ k σ ) {\displaystyle (\delta ^{n}\phi )(\sigma )=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\operatorname {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{k}\sigma |}\phi (\partial _{k}\sigma )} . 여기서 res | σ | | ∂ k σ | : F ( | ∂ k σ | ) → F ( | σ | ) {\displaystyle \operatorname {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{k}\sigma |}\colon {\mathcal {F}}(|\partial _{k}\sigma |)\to {\mathcal {F}}(|\sigma |)} 는 부분 집합에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해 δ n + 1 ∘ δ n = 0 {\displaystyle \delta ^{n+1}\circ \delta ^{n}=0} 임을 확인할 수 있다. 따라서 이는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지를 H ˇ ∙ ⁡ ( X , U ; F ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})} 라고 하자. 체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 유도 함자를 통해 정의할 수 있다. 즉, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다. H ˇ 0 ⁡ ( X , U ; F ) = { ( ϕ U ) U ∈ F ∈ C 0 : ∀ U , V ∈ U : U ∩ V ≠ ∅ ⟹ res U ∩ V U ⁡ ϕ U = res U ∩ V V ⁡ ϕ V } {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})=\left\{(\phi _{U})_{U\in {\mathcal {F}}}\in C^{0}\colon \forall U,V\in {\mathcal {U}}\colon U\cap V\neq \varnothing \implies \operatorname {res} _{U\cap V}^{U}\phi _{U}=\operatorname {res} _{U\cap V}^{V}\phi _{V}\right\}} 여기서 C ˇ 0 {\displaystyle {\check {C}}^{0}} 는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} 에 대하여 F ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)} 의 원소 ϕ U ∈ F U {\displaystyle \phi _{U}\in {\mathcal {F}}_{U}} 를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 가 층이라면 이는 대역 단면 Γ X ( F ) {\displaystyle \Gamma _{X}({\mathcal {F}})} 과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다. 0차 체흐 코호몰로지는 함자 H ˇ 0 ⁡ ( X , U ; − ) : PSh ⁡ ( X ; Ab ) → Ab {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)\colon \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab} } 를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다. R ∙ ⁡ ( H ˇ 0 ⁡ ( X , U ; − ) ) = H ˇ ∙ ⁡ ( X , U ; − ) {\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }\left(\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)\right)=\operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};-)} 여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 H ˇ 0 ⁡ ( X , U ; − ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)} 는 단면 함자 Γ X ( − ) {\displaystyle \Gamma _{X}(-)} 와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다. 임의의 아벨 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 그 상수층 G _ {\displaystyle {\underline {G}}} 을 생각하자. 만약 위상 공간 X {\displaystyle X} 가 CW 복합체와 호모토피 동치라면, 그 G _ {\displaystyle {\underline {G}}} 계수 체흐 코호몰로지는 G {\displaystyle G} 계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다. H ˇ ∙ ⁡ ( X ; G _ ) ≅ H sing ∙ ⁡ ( X ; G ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X;{\underline {G}})\cong \operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(X;G)} 그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 위상 공간이 존재한다. 체흐 코호몰로지는 특정한 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 마이어-피토리스 스펙트럼 열(영어: Mayer–Vietoris spectral sequence) 또는 체흐-유도 함자 스펙트럼 열(영어: Čech-to-derived-functor spectral sequence)의 존재에 의하여 함의된다.:Théorème 5.4.1 구체적으로, 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 아벨 군 값의 층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 및 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 주어졌다고 하자. H q ( X ; F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})} 가 다음과 같은 준층이라고 하자. H q ( X ; F ) : U ↦ H q ⁡ ( U ; F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})\colon U\mapsto \operatorname {H} ^{q}(U;{\mathcal {F}})} 그렇다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열의 두 번째 쪽은 다음과 같다. E 2 p , q = H ˇ p ⁡ ( X , U ; H q ( X ; F ) ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {\check {H}} ^{p}\left(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})\right)} 만약 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다. Sh ⁡ ( X ; Ab ) ↪ PSh ⁡ ( X ; Ab ) → H ˇ 0 ⁡ ( X , U ; − ) Ab {\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\hookrightarrow \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)}}\operatorname {Ab} } 여기서 Sh {\displaystyle \operatorname {Sh} } 는 층 범주, PSh {\displaystyle \operatorname {PSh} } 는 준층 범주를 뜻한다. 적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다. E 2 p , q ⇒ H p + q ⁡ ( X ; F ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;{\mathcal {F}})} 특히, 만약 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 H ˇ p ⁡ ( X , U ; F ) {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{p}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})} 는 층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다. 모든 유한 부분 집합 A ⊆ U {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {U}}} 에 대하여 F | ⋂ A {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\bigcap {\mathcal {A}}}} 는 비순환층이다 (즉, H i ⁡ ( ⋂ A ; F ) = 0 ∀ i > 0 {\displaystyle \textstyle \operatorname {H} ^{i}(\bigcap {\mathcal {A}};{\mathcal {F}})=0\quad \forall i>0} 이다). 이를 르레 정리(영어: Leray’s theorem)라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개를 르레 덮개(영어: Leray cover)라고 한다. 편의상 체흐 공사슬 ϕ {\displaystyle \phi } 의 값을 ϕ ( U i 0 , … , U i n ) = ϕ i 0 … i n {\displaystyle \phi (U_{i_{0}},\dotsc ,U_{i_{n}})=\phi _{i_{0}\dotso i_{n}}} 으로 표기하자. 낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들을 생략하였다.) 위상수학자의 사인 곡선 T = { ( x , sin ⁡ ( 1 / x ) ) : x ∈ ( 0 , 1 ] } ∪ { ( 0 , 0 ) } {\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin(1/x)\right)\colon x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}} 의 폐포 cl ⁡ ( T ) = T ∪ ( { 0 } × [ − 1 , 1 ] ) {\displaystyle \operatorname {cl} (T)=T\cup (\{0\}\times [-1,1])} 의 경우, 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 서로 일치하지 않는다. 구체적으로, H ˇ 1 ⁡ ( cl ⁡ T ; Z _ ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{1}(\operatorname {cl} T;{\underline {\mathbb {Z} }})\cong \mathbb {Z} } H sing 1 ⁡ ( cl ⁡ T ; Z ) ≅ 0 {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{sing}}^{1}(\operatorname {cl} T;\mathbb {Z} )\cong 0} 이다. 분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다. 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다. 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다. 러시아의 파벨 알렉산드로프와 체코의 에두아르트 체흐가 도입하였다. 르레 정리는 장 르레가 1950년에 도입하였다. Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. 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