단사 함수

수학에서 단사 함수(單射函數, 영어: injection; injective function) 또는 일대일 함수(一對一函數, 영어: one-to-one function)는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다. 공역의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 상이다. 두 집합 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수라고 한다. 임의의 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여, 만약 f ( x ) = f ( x ′ ) {\displaystyle f(x)=f(x')} 이라면, x = x ′ {\displaystyle x=x'} 이다. 임의의 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여, 만약 x ≠ x ′ {\displaystyle x\neq x'} 이라면, f ( x ) ≠ f ( x ′ ) {\displaystyle f(x)\neq f(x')} 이다. f {\displaystyle f} 를 그 치역 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 에 국한시킨다면, f {\displaystyle f} 는 정의역 X {\displaystyle X} 와 치역 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 사이의 전단사 함수를 정의한다. f {\displaystyle f} 는 집합의 범주에서의 단사 사상이다. 즉, 임의의 집합 Z {\displaystyle Z} 및 함수 g 1 , g 2 : Z → X {\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Z\to X} 에 대하여, 만약 f ∘ g 1 = f ∘ g 2 {\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}} 라면 g 1 = g 2 {\displaystyle g_{1}=g_{2}} 이다. f {\displaystyle f} 는 집합의 범주에서의 분할 단사 사상이다. 즉, g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 가 X {\displaystyle X} 위의 항등 함수를 이루는 함수 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} 가 존재한다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 가 주어졌다고 하자. 만약 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 가 둘 다 단사 함수라면, g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 역시 단사 함수이다. 만약 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 가 단사 함수라면, f {\displaystyle f} 역시 단사 함수이다. 하지만 g {\displaystyle g} 가 단사 함수일 필요는 없다. 두 집합 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 단사 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 존재한다. | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} 이다. 여기서 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 는 집합의 크기이다. 정의역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다. 항등 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다. 임의의 집합 X {\displaystyle X} 및 그 부분 집합 Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} 에 대하여, 포함 함수 Y → X {\displaystyle Y\to X} 는 단사 함수이다. f : R → R ,   f ( x ) = 2 x + 1 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=2x+1} 로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다. g : R → R ,   g ( x ) = x 2 {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=x^{2}} 으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 g ( 1 ) = 1 = g ( − 1 ) {\displaystyle g(1)=1=g(-1)} 이다. 그러나, 만약 g {\displaystyle g} 의 정의역을 음이 아닌 실수 [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle [0,+\infty )} 로 제한한다면 g {\displaystyle g} 는 단사 함수이다. 지수 함수 exp : R → R ,   x ↦ e x {\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto e^{x}} 는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.) 자연 로그 함수 ln : ( 0 , + ∞ ) → R ,   x ↦ ln ⁡ x {\displaystyle \ln \colon (0,+\infty )\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x} 는 단사 함수이다. 유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(영어: injection), "앵젝시옹"(프랑스어: injection) 등은 "이니엑티오"(라틴어: iniectiō)에서 유래하였으며, 이는 "인"(라틴어: in, 안에) + "야키오"(라틴어: iaciō, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다. 전단사 함수 전사 함수 단사 사상 Susanna S.Epp (2010). 《Discrete Mathematics with Applications 4th Edition》. 398쪽. For a one-to-one function, each element of the range is the image of at most one element of the domain.  Halmos, Paul R. (1974). 《Naive set theory》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 978-0-387-90092-6. ISSN 0172-6056. MR 0453532. Zbl 0287.04001.  위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 단사 함수 “Injection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Injection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.