푸페 완전열

호모토피 이론에서 푸페 완전열(Puppe完全列, 영어: Puppe exact sequence)은 어떤 연속 함수로부터 유도되는 긴 완전열이다. 두 점을 가진 공간 ( X , ∙ X ) {\displaystyle (X,\bullet _{X})} ( Y , ∙ Y ) {\displaystyle (Y,\bullet _{Y})} 사이의, 점을 보존하는 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사상뿔 C f = X × I ⊔ Y ∼ {\displaystyle \mathrm {C} f={\frac {X\times \mathbb {I} \sqcup Y}{\sim }}} ( x , 0 ) ∼ ( x ′ , 0 ) ∀ x , x ′ ∈ X {\displaystyle (x,0)\sim (x',0)\qquad \forall x,x'\in X} ( x , 1 ) ∼ f ( x ) ∀ x ∈ X {\displaystyle (x,1)\sim f(x)\qquad \forall x\in X} ∙ C f = [ ( ∙ X , 1 ) ] ∼ = [ ∙ Y ] ∼ {\displaystyle \bullet _{\mathrm {C} f}=[(\bullet _{X},1)]_{\sim }=[\bullet _{Y}]_{\sim }} 과 사상올 M f = { ( x , γ ) ∈ X × hom ∙ ⁡ ( I , Y ) : γ ( 1 ) = f ( x ) } {\displaystyle \mathrm {M} f=\left\{(x,\gamma )\in X\times \hom _{\bullet }(\mathbb {I} ,Y)\colon \gamma (1)=f(x)\right\}} ∙ M f = ( ∙ X , ( t ↦ ∙ Y ) ) {\displaystyle \bullet _{\mathrm {M} f}=(\bullet _{X},(t\mapsto \bullet _{Y}))} 을 정의할 수 있다. (여기서 I = ( [ 0 , 1 ] , 0 ) {\displaystyle \mathbb {I} =([0,1],0)} 은 밑점 0을 가진 닫힌구간이다.) 만약 f {\displaystyle f} 가 올뭉치라면 사상올은 그 올과 호모토피 동치이며, 만약 f {\displaystyle f} 가 쌍대올뭉치라면 사상뿔은 그 쌍대올과 호모토피 동치이다. 이에 따라, 두 호모토피 짧은 완전열 ∙ → M f → X → Y → ∙ {\displaystyle \bullet \to \mathrm {M} f\to X\to Y\to \bullet } ∙ → X → Y → C f → ∙ {\displaystyle \bullet \to X\to Y\to \mathrm {C} f\to \bullet } 을 정의할 수 있다. 즉, 합성 사상 M f → Y {\displaystyle \mathrm {M} f\to Y} ( x , γ ) ↦ γ ( 1 ) {\displaystyle (x,\gamma )\mapsto \gamma (1)} 은 상수 함수 ( x , γ ) ↦ ∙ Y {\displaystyle (x,\gamma )\mapsto \bullet _{Y}} 와 호모토픽하며, 합성 사상 X → C ⁡ f {\displaystyle X\to \operatorname {C} f} x ↦ [ ( x , 1 ) ] {\displaystyle x\mapsto [(x,1)]} 역시 상수 함수와 호모토픽하다. 또한, 축소 고리 공간의 포함 관계 Ω Y ↪ M f {\displaystyle \Omega Y\hookrightarrow \mathrm {M} f} γ ↦ ( ∙ X , γ ) {\displaystyle \gamma \mapsto (\bullet _{X},\gamma )} 와 축소 현수로의 몫 관계 C f ↠ Σ X {\displaystyle \mathrm {C} f\twoheadrightarrow \Sigma X} ( x , t ) ↦ [ ( x , t ) ] ∀ ( x , t ) ∈ X × I {\displaystyle (x,t)\mapsto [(x,t)]\qquad \forall (x,t)\in X\times \mathbb {I} } y ↦ ∙ Σ X ∀ y ∈ Y {\displaystyle y\mapsto \bullet _{\Sigma X}\qquad \forall y\in Y} 를 사용하여, 더 긴 열 Ω Y → M f → X → Y {\displaystyle \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y} X → Y → C f → Σ X {\displaystyle X\to Y\to \mathrm {C} f\to \Sigma X} 을 정의할 수 있다. 이제, 축소 고리 공간과 축소 현수의 함자성을 통해 열 Ω X → Ω f Ω Y ↪ M f → X → f Y {\displaystyle \Omega X\,{\xrightarrow {\Omega f}}\,\Omega Y\hookrightarrow \mathrm {M} f\to X\,{\xrightarrow {f}}\,Y} X → f Y → C f ↠ Σ X → Σ f Σ Y {\displaystyle X\,{\xrightarrow {f}}\,Y\to \mathrm {C} f\twoheadrightarrow \Sigma X\,{\xrightarrow {\Sigma f}}\,\Sigma Y} 을 정의할 수 있으며, 이 역시 완전열임을 보일 수 있다. 또한, Σ C f ≃ C Σ f {\displaystyle \Sigma \mathrm {C} f\simeq \mathrm {C} \Sigma f} Ω M f ≃ M Ω f {\displaystyle \Omega \mathrm {M} f\simeq \mathrm {M} \Omega f} 가 성립한다. 따라서, 이 과정을 반복하여 무한히 긴 호모토피 완전열 ⋯ → Ω 2 M f → Ω 2 X → Ω 2 Y → Ω M f → Ω X → Ω Y → M f → X → Y {\displaystyle \dotsb \to \Omega ^{2}\mathrm {M} f\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega \mathrm {M} f\to \Omega X\to \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y} X → Y → C f → Σ X → Σ Y → Σ C f → Σ 2 X → Σ 2 Y → Σ 2 C f → ⋯ {\displaystyle X\to Y\to \mathrm {C} f\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \Sigma \mathrm {C} f\to \Sigma ^{2}X\to \Sigma ^{2}Y\to \Sigma ^{2}\mathrm {C} f\to \dotsb } 을 정의할 수 있다. (여기서 ‘호모토피 완전열’이란 두 사상의 합성이 밑점으로의 상수 함수와 호모토픽함을 뜻한다.) 이를 푸페 완전열이라고 한다. 푸페 완전열 ⋯ → Ω 2 M f → Ω 2 X → Ω 2 Y → Ω M f → Ω X → Ω Y → M f → X → Y {\displaystyle \dotsb \to \Omega ^{2}\mathrm {M} f\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega \mathrm {M} f\to \Omega X\to \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y} 에서, 성분별 0차 호모토피 군을 취하자. π n ( X ) = π 0 ( Ω n X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{0}(\Omega ^{n}X)} 를 사용하면, 이는 군의 완전열 ⋯ → π 2 ( M f ) → π 2 ( X ) → π 2 ( Y ) → π 1 ( M f ) → π 1 ( X ) → π 1 ( Y ) → π 0 ( M f ) → π 0 ( X ) → π 0 ( Y ) {\displaystyle \dotsb \to \pi _{2}(\mathrm {M} f)\to \pi _{2}(X)\to \pi _{2}(Y)\to \pi _{1}(\mathrm {M} f)\to \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{0}(\mathrm {M} f)\to \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)} 을 얻는다. (물론, π 0 {\displaystyle \pi _{0}} 에 대한 마지막 항들은 일반적으로 군이 아니다.) 특히, X {\displaystyle X} 가 Y {\displaystyle Y} 의 (점을 공유하는) 부분 공간이라고 하자. 그렇다면, 이 경우 사상올 M f = { γ ∈ hom ∙ ⁡ ( I , Y ) : γ ( 1 ) ∈ X } {\displaystyle \mathrm {M} f=\{\gamma \in \hom _{\bullet }(\mathbb {I} ,Y)\colon \gamma (1)\in X\}} 의 호모토피 군이 상대 호모토피 군과 동형임을 보일 수 있다. π n ( M f ) ≅ π n + 1 ( Y , X ) {\displaystyle \pi _{n}(\mathrm {M} f)\cong \pi _{n+1}(Y,X)} 즉, 이 경우 푸페 완전열은 상대 호모토피 완전열 ⋯ → π 3 ( Y , X ) → π 2 ( X ) → π 2 ( Y ) → π 2 ( Y , X ) → π 1 ( X ) → π 1 ( Y ) → π 1 ( Y , X ) → π 0 ( X ) → π 0 ( Y ) {\displaystyle \dotsb \to \pi _{3}(Y,X)\to \pi _{2}(X)\to \pi _{2}(Y)\to \pi _{2}(Y,X)\to \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,X)\to \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)} 과 같다. 디터 푸페가 도입하였다. “Fiber sequence”. 《nLab》 (영어).  “Cofiber sequence”. 《nLab》 (영어).  “Long exact sequence of homotopy groups”. 《nLab》 (영어).