유리 사상

대수기하학에서 유리 사상(有理寫像, 영어: rational map)은 “거의 어디서나” (즉, 조밀 열린 부분 스킴)에서 정의되는 스킴 사상이다. 이를 통해, 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent), 즉 두 스킴의 “거의 어디서나” 동형의 개념을 정의할 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 두 스킴 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} 의 조밀 열린 부분 스킴 U , U ′ ⊆ X {\displaystyle U,U'\subseteq X} 연속 함수 f : U → Y {\displaystyle f\colon U\to Y} , f ′ : U ′ → Y {\displaystyle f'\colon U'\to Y} 만약 다음 조건을 만족시키는 V {\displaystyle V} 가 존재한다면, f {\displaystyle f} 와 f ′ {\displaystyle f'} 이 서로 유리 동치라고 하자. V {\displaystyle V} 는 X {\displaystyle X} 의 조밀 열린 부분 스킴이다. V ⊆ U ∩ U ′ {\displaystyle V\subseteq U\cap U'} 이다. (스킴 사상으로서) f ↾ V = f ′ ↾ V {\displaystyle f\upharpoonright V=f'\upharpoonright V} 이다. X {\displaystyle X} 의 조밀 열린 부분 스킴을 정의역으로 하고, Y {\displaystyle Y} 를 공역으로 하는 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} -스킴 사상들의 집합 S X , Y {\displaystyle {\mathcal {S}}_{X,Y}} 를 생각하자. 그렇다면, 위 관계는 S X , Y {\displaystyle {\mathcal {S}}_{X,Y}} 위의 동치 관계를 이룬다. 이에 대한 몫집합 S X , Y / ∼ {\displaystyle {\mathcal {S}}_{X,Y}/\sim } 의 원소를 X → Y {\displaystyle X\to Y} 유리 사상이라고 한다.:23 스킴 X {\displaystyle X} 위의 항등 유리 사상은 id X : X → X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X} 의 동치류이다. 일반적으로, 유리 사상은 합성할 수 없다. 이 문제를 해결하려면, 우세 유리 사상의 개념을 도입해야 한다. 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 만약 그 치역이 공역 Y {\displaystyle Y} 의 조밀 집합이라면, f {\displaystyle f} 를 우세 함수(영어: dominant map)라고 한다. 두 스킴 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 유리 사상 [ f ] {\displaystyle [f]} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유리 사상을 우세 유리 사상(優勢有理寫像, 영어: dominant rational map)이라고 한다.:23 동치류 [ f ] {\displaystyle [f]} 의 원소 가운데 적어도 하나 f : U → Y {\displaystyle f\colon U\to Y} 에 대하여, f {\displaystyle f} 는 우세 함수이다. 동치류 [ f ] {\displaystyle [f]} 의 모든 원소는 우세 함수이다. 두 기약 스킴 사이의 우세 유리 사상은 합성이 가능하며, 항등 유리 사상은 우세 유리 사상이다. 따라서, 기약 스킴과 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, K {\displaystyle K} -대수다양체와 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다. 기약 스킴과 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 쌍유리 사상(雙有理寫像, 영어: birational map)이라고 한다. 마찬가지로, 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, K {\displaystyle K} -대수다양체와 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 K {\displaystyle K} -쌍유리 사상이라고 한다.:24 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 두 K {\displaystyle K} -대수다양체 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이에 다음 조건들이 서로 동치이며,:26, Corollary 4.5 이를 만족시키는 두 대수다양체를 서로 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent)라고 한다.:24 X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 사이에 쌍유리 사상이 존재한다. 서로 동형인 (자리스키) 열린 집합 X ~ ⊂ X {\displaystyle {\tilde {X}}\subset X} , Y ~ ⊂ Y {\displaystyle {\tilde {Y}}\subset Y} 가 존재한다. X {\displaystyle X} 위의 유리 함수체 K X ( X ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}(X)} 와 Y {\displaystyle Y} 위의 유리 함수체 K Y ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{Y}(Y)} 는 K {\displaystyle K} -대수로서 서로 동형이다. 부풀리기는 쌍유리 사상이지만, 대수다양체의 동형이 아니다. 부풀리기 유리 함수층 극소 모형 프로그램 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  “Birational morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Birational geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Birational transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Birational mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Birational transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.