루셰 정리

복소해석학에서 루셰 정리(-定理, 영어: Rouché's theorem)는 두 정칙 함수의 영점의 수가 같을 충분 조건을 제시하는 정리이다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 γ : [ 0 , 1 ] → D {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D} 가 주어졌고, 두 정칙 함수 f , g : D → C {\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {C} } 가 임의의 z ∈ im ⁡ γ {\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma } 에 대하여 | g ( z ) | < | f ( z ) | {\displaystyle |g(z)|<|f(z)|} 를 만족시킨다고 하자. 루셰 정리에 따르면, im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 의 내부에서 f {\displaystyle f} 와 f + g {\displaystyle f+g} 의 영점의 (중복도를 고려한) 개수는 같다. 우선, 가정에 의하여 f {\displaystyle f} 와 f + g {\displaystyle f+g} 는 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 위에서 영점을 갖지 않는다. 이제 다음과 같은 유리형 함수 h : D → C {\displaystyle h\colon D\to \mathbb {C} } 를 정의하자. h ( z ) = 1 + g ( z ) f ( z ) ∀ z ∈ D {\displaystyle h(z)=1+{\frac {g(z)}{f(z)}}\qquad \forall z\in D} 그렇다면, 임의의 z ∈ im ⁡ γ {\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma } 에 대하여, | h ( z ) − 1 | < 1 {\displaystyle \left|h(z)-1\right|<1} 이며, h {\displaystyle h} 는 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 이제 im ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 의 내부에서 f {\displaystyle f} 와 f + g {\displaystyle f+g} 의 영점의 (중복도를 고려한) 개수를 N ( γ , f ) {\displaystyle N(\gamma ,f)} 와 N ( γ , f + g ) {\displaystyle N(\gamma ,f+g)} 라고 하자. 그렇다면, 편각 원리에 의하여 N ( γ , f + g ) − N ( γ , f ) = 1 2 π i ∫ γ ( f ′ ( z ) + g ′ ( z ) f ( z ) + g ( z ) − f ′ ( z ) f ( z ) ) d z = 1 2 π i ∫ γ h ′ ( z ) h ( z ) d z = 1 2 π i ∫ h ∘ γ d w w = 0 {\displaystyle N(\gamma ,f+g)-N(\gamma ,f)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }\left({\frac {f'(z)+g'(z)}{f(z)+g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{h\circ \gamma }{\frac {\mathrm {d} w}{w}}=0} 이다. 우선, 가정에 의하여, 임의의 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 및 z ∈ im ⁡ γ {\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma } 에 대하여, f ( z ) + t g ( z ) ≠ 0 {\displaystyle f(z)+tg(z)\neq 0} 이다. 편각 원리에 의하여, 연속 함수 φ : [ 0 , 1 ] → Z {\displaystyle \varphi \colon [0,1]\to \mathbb {Z} } φ ( t ) = 1 2 π i ∫ γ f ′ ( z ) + t g ′ ( z ) f ( z ) + t g ( z ) d z ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)+tg'(z)}{f(z)+tg(z)}}\mathrm {d} z\qquad \forall t\in [0,1]} 의 상은 항상 정수이다. 즉, φ {\displaystyle \varphi } 는 상수 함수이며, 특히 N ( γ , f ) = φ ( 0 ) = φ ( 1 ) = N ( γ , f + g ) {\displaystyle N(\gamma ,f)=\varphi (0)=\varphi (1)=N(\gamma ,f+g)} 이다. 방정식 z 7 − 4 z 3 + z − 1 = 0 {\displaystyle z^{7}-4z^{3}+z-1=0} 이 원 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} 의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구해보자. 다음과 같은 함수 f , g : C → C {\displaystyle f,g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 를 정의하자. f ( z ) = 4 z 3 ∀ z ∈ C {\displaystyle f(z)=4z^{3}\qquad \forall z\in \mathbb {C} } g ( z ) = z 7 + z − 1 ∀ z ∈ C {\displaystyle g(z)=z^{7}+z-1\qquad \forall z\in \mathbb {C} } 그렇다면 f , g {\displaystyle f,g} 는 정칙 함수이다. 또한, 삼각 부등식에 의하여 만약 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} 이라면 | g ( z ) | ≤ 3 < 4 = | f ( z ) | {\displaystyle |g(z)|\leq 3<4=|f(z)|} 이다. f {\displaystyle f} 는 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 에서 3개의 영점을 가지므로, f + g {\displaystyle f+g} 역시 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 에서 3개의 영점을 갖는다. 루셰의 정리를 이용하면 대수학의 기본 정리와 열린 사상 정리, 후르비츠 정리를 쉽게 증명할 수 있다. 루셰의 정리를 이용하여 간단히 대수학의 기본 정리를 증명해 보자. 임의의 n차 다항식에서 n차 항과 n-1차 이하 항을 각각 f, g로 잡자. 그러면 z의 크기를 무한대로 보낼 때 |g/f|→0 이므로, |z| = R로 둘러싸인 영역이 g의 영점을 포함하고 이 경계에서 |g| < |f|를 만족하도록 항상 적당한 R을 잡을 수 있다. 그러면 |z| = R 안에서 f는 n개의 해를 가지므로, 루셰의 정리에 의해 f+g 역시 n개의 해를 가지게 된다. 프랑스 수학자 외젠 루셰(프랑스어: Eugène Rouché)의 이름이 붙어 있다. Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8, p.91. 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 215쪽. 같은 책, 218쪽. 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007 Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8 “Rouché theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Rouché's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.