디랙 연산자

미분기하학과 이론물리학에서 디랙 연산자(Dirac演算子, 영어: Dirac operator)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.:Chapter 3 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 위의 코쥘 접속 ∇ : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)} E ⊗ E ∗ {\displaystyle E\otimes E^{*}} 의 매끄러운 단면 T ∈ Γ ∞ ( E ⊗ E ∗ ) {\displaystyle T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})} . (흔히 T = 0 {\displaystyle T=0} 으로 잡는다.) 그렇다면, 라플라스 연산자 Δ = g μ ν ∇ μ ∇ ν : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Delta =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)} 및 일반화 라플라스 연산자 Δ + T : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 디랙 연산자 D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)} 는 D 2 = Δ {\displaystyle D^{2}=\Delta } 를 만족시키는 1차 미분 연산자이다. 보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, 영어: Dirac-type operator) 또는 일반화 디랙 연산자(영어: generalized Dirac operator) D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)} 는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉, D 2 = Δ + T {\displaystyle D^{2}=\Delta +T} 를 만족시키는 1차 미분 연산자이다. 클리퍼드 대수는 자연스럽게 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 대수를 이룬다. Cliff ⁡ ( V , Q ; K ) = Cliff + ⁡ ( V , Q ; K ) ⊕ Cliff − ⁡ ( V , Q ; K ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\oplus \operatorname {Cliff} ^{-}(V,Q;K)} 이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.:116, Definition 3.36 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 두 매끄러운 벡터 다발 E ± ↠ M {\displaystyle E^{\pm }\twoheadrightarrow M} . 편의상 E = E + ⊕ E − {\displaystyle E=E^{+}\oplus E^{-}} 로 표기하자. E {\displaystyle E} 위의 초접속 ∇ : Ω ∙ ( M ; E ) → Ω ∙ + 1 ( M ; E ) {\displaystyle \nabla \colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)} E ± ⊗ ( E ∓ ) ∗ {\displaystyle E^{\pm }\otimes (E^{\mp })^{*}} 의 매끄러운 단면 T ± ∈ Γ ∞ ( E ± ⊗ E ∓ ∗ ) {\displaystyle T^{\pm }\in \Gamma ^{\infty }(E^{\pm }\otimes {E^{\mp }}^{*})} (복부호 동순) 그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자 Δ + T : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 등급 디랙 연산자(영어: graded Dirac operator) D ± : Γ ∞ ( E ± ) → Γ ∞ ( E ∓ ) {\displaystyle D^{\pm }\colon \Gamma ^{\infty }(E^{\pm })\to \Gamma ^{\infty }(E^{\mp })} (복부호 동순) 는 D − D + = Δ + T {\displaystyle D^{-}D^{+}=\Delta +T} D + D − = Δ + T {\displaystyle D^{+}D^{-}=\Delta +T} 를 만족시키는 두 미분 연산자이다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 클리퍼드 가군 다발 E {\displaystyle E} 위의 코쥘 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 하자. ∇ X ( a ⋅ s ) = a ⋅ ∇ X s + ( ∇ X a ) ⋅ s ∀ a ∈ Γ ∞ ( Cliff ⁡ ( T M , g ) ) , s ∈ Γ ∞ ( E ) , X ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle \nabla _{X}(a\cdot s)=a\cdot \nabla _{X}s+(\nabla _{X}a)\cdot s\qquad \forall a\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)),\;s\in \Gamma ^{\infty }(E),\;X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 여기서 ∇ X a {\displaystyle \nabla _{X}a} 는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다. 마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 매끄러운 벡터 다발 E {\displaystyle E} 위에 디랙 연산자 D {\displaystyle D} 가 주어졌을 때, E {\displaystyle E} 위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 Cliff ⁡ ( T M , g ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)} 의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 E x {\displaystyle E_{x}} 이 클리퍼드 대수 Cliff ⁡ ( T x M , g x ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} _{x}M,g_{x})} 의 왼쪽 가군을 이룬다.:116, Proposition 3.38 구체적으로, 이는 다음과 같다. D ( f s ) − f ( D s ) = ( d f ) ⋅ s {\displaystyle D(fs)-f(Ds)=(\mathrm {d} f)\cdot s} 여기서 f ∈ C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 는 M {\displaystyle M} 위의 실수 값 매끄러운 함수이다. d f ∈ Ω 1 ( M ) = Γ ∞ ( T ∗ M ) {\displaystyle \mathrm {d} f\in \Omega ^{1}(M)=\Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}\!M)} 은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 Ω 1 ( M ) ↪ Cliff ⁡ ( T ∗ M , g − 1 ) ≅ Cliff ⁡ ( T M , g ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} ^{*}\!M,g^{-1})\cong \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)} 이 존재한다. ⋅ {\displaystyle \cdot } 은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다. 클리퍼드 다발 Cliff ⁡ ( T M , g ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)} 의 매끄러운 단면은 벡터장 X = ( d f ) ♯ {\displaystyle X=(\mathrm {d} f)^{\sharp }} 으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, E {\displaystyle E} 는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉, 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다. 주어진 클리퍼드 가군 다발 E {\displaystyle E} + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 End ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {End} (E)} 꼴의 아핀 공간이다. 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다. 주어진 클리퍼드 가군 다발 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급 다발 E ± {\displaystyle E^{\pm }} + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 End + ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {End} ^{+}(E)} 꼴의 아핀 공간이다. 계량이 주어진 곡선 γ {\displaystyle \gamma } 위의 다발 E ↠ γ {\displaystyle E\twoheadrightarrow \gamma } 의 경우, 디랙 연산자는 단순히 D = ∇ {\displaystyle D=\nabla } 이다. 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발 T M ↪ S M {\displaystyle \mathrm {T} M\hookrightarrow \mathrm {S} M} 으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 은 2 ⌊ dim ⁡ M / 2 ⌋ {\displaystyle 2^{\lfloor \dim M/2\rfloor }} 차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발 Cl ⁡ ( T M , g ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)} 위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장 γ : T M ↪ Cl ⁡ ( M , g ) {\displaystyle \gamma \colon \mathrm {T} M\hookrightarrow \operatorname {Cl} (M,g)} γ : v i ↦ v i γ i {\displaystyle \gamma \colon v^{i}\mapsto v^{i}\gamma _{i}} 이 존재한다. 이 경우 디랙 연산자는 D = g i j γ i ∇ j {\displaystyle D=g^{ij}\gamma _{i}\nabla _{j}} 이다. 즉, D 2 = { D , D } / 2 = 1 2 { γ i γ j } ∇ i ∇ j = g i j ∇ i ∇ j = Δ {\displaystyle D^{2}=\{D,D\}/2={\frac {1}{2}}\{\gamma ^{i}\gamma ^{j}\}\nabla _{i}\nabla _{j}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}=\Delta } 이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다. S M = S + M ⊕ S − M {\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M} 이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다. D ± = ( D ↾ Γ ∞ ( S ± M ) ) : Γ ∞ ( S ± M ) → Γ ∞ ( S ∓ M ) ) {\displaystyle D^{\pm }=(D\upharpoonright \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M))\colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\mp }M))} (복부호 동순) 따라서, 이는 S ± M {\displaystyle \mathrm {S} ^{\pm }M} 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 미분 형식의 다발 E = ⋀ ∙ T ∗ M {\displaystyle E=\bigwedge ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M} 을 생각하자. 즉, Γ ( E ) = Ω ( M ) {\displaystyle \Gamma (E)=\Omega (M)} 이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 다양체라면, 외미분 d : Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ + 1 ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)} 의 에르미트 수반 d † : Ω ∙ ( M ) → Ω ∙ − 1 ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)} 을 정의할 수 있다. 그렇다면, ( d + d † ) 2 = { d , d † } = Δ {\displaystyle (\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}=\{\mathrm {d} ,\mathrm {d} ^{\dagger }\}=\Delta } 이 된다. 여기서 Δ {\displaystyle \Delta } 는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서 D = d + d † {\displaystyle D=\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger }} 를 정의하면, D {\displaystyle D} 는 E {\displaystyle E} 위의 디랙 연산자를 이룬다. 최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다. 디랙 방정식 열핵 클리퍼드 대수 Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.  Friedrich, Thomas (1997Mathematics). 《Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie》. Advanced Lectures in Mathematics (독일어) 25. Vieweg-Verlag. ISBN 978-3-528-06926-1. ISSN 0932-7134.  다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말) Esposito, Giampiero (1995). “Dirac operator and eigenvalues in Riemannian geometry” (영어). arXiv:gr-qc/9507046. Bibcode:1995gr.qc.....7046E.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirac operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Dirac operator”. 《nLab》 (영어).  “Index of a Dirac operator”. 《nLab》 (영어).  “Dolbeault-Dirac operator”. 《nLab》 (영어).  “Spin^c Dirac operator”. 《nLab》 (영어).  Freed, Daniel S. (1987). “Geometry of Dirac operators” (PDF) (영어).  “The Dirac operator”. 《M721: Index Theory》 (영어). 2012년 11월 21일. 2017년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 17일에 확인함.  “Exact definition of Dirac operator” (영어). 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