회전수

위상수학에서 회전수(回轉數, 영어: rotation number)는 원의 자기 위상 동형을 분류하는 불변량이다. 대략, 원에 대한 시간당 평균 회전 각도이다. 실직선의 자기 위상 동형 F : R → R {\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 가 다음을 만족시킨다고 하자. F ( x + n ) = F ( x ) + n ∀ n ∈ N {\displaystyle F(x+n)=F(x)+n\qquad \forall n\in \mathbb {N} } 이라고 하자. 그렇다면, F {\displaystyle F} 의 회전수 ω ( F ) {\displaystyle \omega (F)} 는 다음과 같다. ω ( F ) = lim n → ∞ F n ( x ) − x n ∈ R {\displaystyle \omega (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}\in \mathbb {R} } 여기서 F n = F ∘ ⋯ ∘ F ⏞ n {\displaystyle F^{n}=\overbrace {F\circ \cdots \circ F} ^{n}} 이다. 이 극한은 항상 존재하며, x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다. F {\displaystyle F} 의 주기성으로 인하여, 이로부터 원의 방향을 보존하는 자기 위상 동형 f : S 1 → S 1 {\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} 을 정의할 수 있다. 이 경우, f {\displaystyle f} 의 회전수 ω ( f ) ∈ R / Z {\displaystyle \omega (f)\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} } 는 F {\displaystyle F} 의 회전수와 같다. 이 경우, F {\displaystyle F} 와 n + F {\displaystyle n+F} 는 같은 f {\displaystyle f} 에 대응하지만 회전수가 정수 n {\displaystyle n} 만큼 다르므로, f {\displaystyle f} 의 회전수는 R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } 의 원소이다. 예를 들어, ω ( x ↦ x + θ ) = θ {\displaystyle \omega (x\mapsto x+\theta )=\theta } 이다. 회전수 ω {\displaystyle \omega } 는 원의 방향 보존 자기 위상 동형들의 군 Homeo + ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})} 에서 원군 S 1 ≅ R / Z {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} } 으로 가는 군 준동형이다. 만약 Homeo + ⁡ ( S 1 ) {\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(\mathbb {S} ^{1})} 에 C 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}} 위상을 주어 위상군으로 만들면, 회전수는 연속 함수이다. 원의 두 방향 보존 자기 위상 동형 f , g : S 1 → S 1 {\displaystyle f,g\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} 및 연속 함수 h : S 1 → S 1 {\displaystyle h\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} 에 대하여, 만약 h ∘ f = g ∘ h {\displaystyle h\circ f=g\circ h} 라면 ω ( f ) = ω ( g ) {\displaystyle \omega (f)=\omega (g)} 이다. 앙리 푸앵카레와 아르노 당주아는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 f {\displaystyle f} 들을 다음과 같이 분류하였다. 1. 만약 f {\displaystyle f} 의 회전수가 유리수 ω ( f ) = p / q {\displaystyle \omega (f)=p/q} 라면 ( gcd { p , q } = 1 {\displaystyle \gcd\{p,q\}=1} ), f {\displaystyle f} 는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, f {\displaystyle f} 의 모든 주기적 궤도의 주기는 q {\displaystyle q} 이다. 또한, f {\displaystyle f} 의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, f {\displaystyle f} 에서 수렴하는 주기적 궤도와 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.) 2. 만약 f {\displaystyle f} 의 회전수가 무리수라면, f {\displaystyle f} 는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다. 2(a). f {\displaystyle f} 는 적어도 하나의 조밀 궤도를 갖는다. 이 경우, f = g ∘ ( x ↦ x + ω ( f ) ) ∘ g − 1 {\displaystyle f=g\circ (x\mapsto x+\omega (f))\circ g^{-1}} 인 방향 보존 위상 동형 g : S 1 → S 1 {\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} 이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다. 2(b). f {\displaystyle f} 의 모든 궤도는 조밀하지 않다. 이 경우, f ( C ) = C {\displaystyle f(C)=C} 인 칸토어 집합 C ⊂ S 1 {\displaystyle C\subset \mathbb {S} ^{1}} 가 존재한다. 이 경우, f {\displaystyle f} 의 모든 궤도는 C {\displaystyle C} 에 수렴하며, 마찬가지로 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 의 모든 궤도 역시 C {\displaystyle C} 에 수렴한다. 이 경우, h ∘ f = ( x ↦ x + ω ( f ) ) ∘ h {\displaystyle h\circ f=(x\mapsto x+\omega (f))\circ h} 가 되는 연속 함수 h : S 1 → S 1 {\displaystyle h\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} 가 존재하며, h {\displaystyle h} 는 S 1 ∖ C {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\setminus C} 의 각 연결 성분 위에서 상수 함수이다. 또한, 만약 f {\displaystyle f} 가 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} 함수라면 항상 1이거나 2(a)에 해당한다. (이는 아르노 당주아가 증명하였다.) 푸앵카레-벤딕손 정리 Misiurewicz, Michał (2007). “Rotation theory”. 《Scholarpedia》 (영어) 2 (10): 3873. doi:10.4249/scholarpedia.3873. ISSN 1941-6016.  Herman, Michael R. (1979). “Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations”. 《Publications mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 49: 5–234. doi:10.1007/BF02684798. ISSN 0073-8301. MR 0538680. Zbl 0448.58019.  Ruelle, David (1985). “Rotation numbers for diffeomorphisms and flows”. 《Annales de l’Institut Henri Poincaré A: physique théorique》 (영어) 42 (1): 109–115. ISSN 0020-2339. MR 794367. Zbl 0556.58026.  Wayne, C. Eugene (1996). 〈An introduction to KAM theory〉 (PDF). 《Dynamical systems and probabilistic methods in partial differential equations》. Lectures in Applied Mathematics (영어) 31. American Mathematical Society. 29쪽. ISBN 978-0-8218-0368-4.  “Differential equations on a torus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Rotation number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Map winding number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.