로렌즈 방정식

동역학계 이론에서 로렌즈 방정식(Lorenz方程式, 영어: Lorenz equation)은 3차원 공간상에서 대기의 대류를 나타내는 간단한 비선형 동역학계이다. 이상한 끌개의 대표적인 예이다. 로렌즈 방정식은 x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) {\displaystyle x(t),y(t),z(t)} 세 변수에 대한 1차 비선형 연립 상미분 방정식이며, 세 개의 매개변수 σ , ρ , β {\displaystyle \sigma ,\rho ,\beta } 에 의존한다. 다음과 같다. x ˙ = σ ( y − x ) {\displaystyle {\dot {x}}=\sigma (y-x)} y ˙ = x ( ρ − z ) − y {\displaystyle {\dot {y}}=x(\rho -z)-y} z ˙ = x y − β z {\displaystyle {\dot {z}}=xy-\beta z} 로렌즈의 원래 논문에서 사용된 매개변수 값들은 다음과 같다. σ = 10 {\displaystyle \sigma =10} β = 8 / 3 {\displaystyle \beta =8/3} ρ = 28 {\displaystyle \rho =28} 이 값에서 로렌즈 방정식은 혼돈적인 성질을 보이며, 로렌즈 끌개라는 야릇한 끌개를 가진다. 로렌즈 방정식은 다음과 같은 대칭을 가진다. ( x , y , z ) ↦ ( − x , − y , z ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)} σ ≠ 0 {\displaystyle \sigma \neq 0} 이며 β ( ρ − 1 ) > 0 {\displaystyle \beta (\rho -1)>0} 일 경우, 로렌즈 방정식의 평형점은 다음과 같이 세 개가 있다. ( x , y , z ) = ( β ( ρ − 1 ) , β ( ρ − 1 ) , ( ρ − 1 ) ) {\displaystyle (x,y,z)=\left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},(\rho -1)\right)} ( x , y , z ) = ( − β ( ρ − 1 ) , − β ( ρ − 1 ) , ( ρ − 1 ) ) {\displaystyle (x,y,z)=\left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},(\rho -1)\right)} ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)} 만약 σ ≠ 0 {\displaystyle \sigma \neq 0} 이지만 β ( ρ − 1 ) < 0 {\displaystyle \beta (\rho -1)<0} 일 경우, 마지막 하나의 평형점만이 존재한다. 로렌즈 방정식에서, z축 { ( 0 , 0 , z ) : z ∈ R } {\displaystyle \{(0,0,z)\colon z\in \mathbb {R} \}} 은 불변 집합이다. z축 위에서 로렌즈 방정식은 z ˙ = − β z {\displaystyle {\dot {z}}=-\beta z} 가 되므로, β > 0 {\displaystyle \beta >0} 이라면 이 경우 모든 초기 조건은 원점 ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)} 으로 지수적으로 수렴한다. ( β , σ ) = ( 8 / 3 , 10 ) {\displaystyle (\beta ,\sigma )=(8/3,10)} 으로 고정시키고, ρ {\displaystyle \rho } 의 값을 변화시킨다면, 로렌즈 방정식은 다음과 같은 성질을 보인다. ρ ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \rho \in (0,1)} 일 경우, 원점은 유일한 안정적 평형점이다. 모든 궤도는 원점으로 수렴한다. ρ = 1 {\displaystyle \rho =1} 에서 갈퀴 분기가 일어나며, 원점은 세 개의 평형점으로 분기한다. 원점은 이제 불안정 평형점이 되지만, 나머지 두 평형점은 안정적이다. 1 < ρ < 1.346 {\displaystyle 1<\rho <1.346} 일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 안정적 평형점으로 수렴한다. ρ = 1.346 {\displaystyle \rho =1.346} 에서 호프 분기가 일어나며, 모든 평형점이 불안정해진다. 대신 두 개의 안정적인 극한 주기 궤도 C + {\displaystyle C_{+}} , C − {\displaystyle C_{-}} 이 생기며, 1.346 < ρ < 13.926 {\displaystyle 1.346<\rho <13.926} 일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 극한 주기 궤도 가운데 더 가까운 쪽으로 수렴한다. 13.926 < ρ < 24.06 {\displaystyle 13.926<\rho <24.06} 일 경우, 로렌즈 방정식은 일시적 혼돈(영어: transient chaos)을 보인다. 즉, 두 안정적 극한 주기 궤도 C + {\displaystyle C_{+}} , C − {\displaystyle C_{-}} 가 존재하며 거의 모든 궤도는 이 둘 가운데 하나로 수렴하지만, 일부 초기 조건에 대하여 어느 쪽으로 수렴하는지 여부는 초기 조건에 대하여 민감하게 의존한다. 24.06 < ρ < 24.74 {\displaystyle 24.06<\rho <24.74} 일 경우, 로렌즈 방정식은 일부 초기 조건에 대하여 혼돈을 보이기 시작한다. 그러나 두 극한 주기 궤도 C ± {\displaystyle C_{\pm }} 는 여전히 안정적이다. ρ > σ σ + β + 3 σ − β − 1 ≈ 24.74 {\displaystyle \rho >\sigma {\tfrac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}}\approx 24.74} 이게 되면 두 극한 주기 궤도는 더 이상 안정적이지 않으며, 거의 모든 초기 조건에 대하여 혼돈이 발생한다. 특히, 로렌즈가 연구한 경우인 ρ = 28 {\displaystyle \rho =28} 인 경우는 혼돈적이다. 이 경우, 로렌즈 끌개의 하우스도르프 차원은 약 2.06 ± 0.01이다. 그러나 ρ > 24.74 {\displaystyle \rho >24.74} 인 경우에도, 특수한 ρ {\displaystyle \rho } 의 값에서는 혼돈이 발생하지 않을 수 있다. 예를 들어, ρ = 100 {\displaystyle \rho =100} 인 경우 안정적 극한 주기 궤도가 존재한다. 매우 큰 ρ {\displaystyle \rho } 의 값에 대하여 로렌즈 방정식은 다시 비혼돈적이게 된다. 구체적으로, ρ > 313 {\displaystyle \rho >313} 일 경우 거의 모든 궤도는 극한 주기 궤도로 수렴하게 된다. 다양한 매개 변수 값에서, 로렌즈 끌개는 다음과 같은 모양을 가진다. 여기서는 β = 8 / 3 {\displaystyle \beta =8/3} , σ = 10 {\displaystyle \sigma =10} 으로 고정시키고, ρ {\displaystyle \rho } 값을 바꾼다. 1963년 미국의 기상학자인 에드워드 노턴 로렌즈가 〈결정론적 비주기 흐름〉(영어: Deterministic nonperiodic flow)이라는 논문에서 이 방정식을 발표하였다. 로렌즈 방정식의 유도는 프랑스 물리학자 앙리 베나르(Henri Bénard) (1874–1939)와 영국 물리학자 존 윌리엄 스트럿 레일리(1842–1919)의 이론들이 기초가 된다. 이 방정식의 초기 조건에 대한 민감성의 발견은 혼돈 이론의 시초로 여겨진다. Lorenz, E. N. (1963년 3월). “Deterministic nonperiodic flow”. 《Journal of the Atmospheric Sciences》 (영어) 20 (2): 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.  Sparrow, C. (1982). 《The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors》. Applied Mathematical Sciences (영어) 41. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5767-7. ISBN 978-0-387-90775-8. ISSN 0066-5452.  Viana, M. (2000). “What’s new on Lorenz strange attractors?” (PDF). 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 22: 6–19. doi:10.1007/BF03025276.  Yorke, J. A. and Yorke, E. D. "Metastable Chaos: The Transition to Sustained Chaotic Oscillation in a Model of Lorenz." J. Stat. Phys. 21, 263-277, 1979. Williams, R. F. "The Structure of Lorenz Attractors." Publ. Math. IHÉS 50, 321-347, 1979. Rand, D. "The Topological Classification of Lorenz Attractors." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 451-460, 1978. 로지스틱 사상 위키미디어 공용에 관련된 미디어 자료가 있습니다. 로렌즈 방정식 “Lorenz attractor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lorenz equations”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lorenz attractor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.