갈릴레온

양자장론에서 갈릴레온(영어: galileon)은 특별한 대칭을 갖는, 고차 미분 상호 작용을 갖는 스칼라장이다. 민코프스키 공간 위의 스칼라장 ϕ {\displaystyle \phi } 의 이론을 생각하자. 이 이론이 만약 다음과 같은 갈릴레이 변환 ϕ ( x ) ↦ ϕ ( x ) + a + b μ x μ {\displaystyle \phi (x)\mapsto \phi (x)+a+b_{\mu }x^{\mu }} 에 대하여 불변이라면, 스칼라장 ϕ {\displaystyle \phi } 를 갈릴레온이라고 한다. D {\displaystyle D} 차원의 시공간에 존재하는 갈릴레온 ϕ {\displaystyle \phi } 의 작용은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다. L = ∑ n = 0 D α n + 1 ϕ ϵ μ 1 … μ D ϵ ν 1 … ν D ∏ i = 1 n ∂ μ i ∂ ν i ϕ ∏ j = n + 1 D g μ i ν i = D ! α 0 ϕ + ( D − 1 ) ! α 1 ϕ ( ∂ ϕ ) 2 + ( D − 2 ) ! α 2 ϕ ( ( ∂ 2 ϕ ) ( ∂ 2 ϕ ) − ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ) + ⋯ + δ ν 1 … ν D μ 1 … μ D ( ∂ μ 1 ∂ ν 2 ϕ ) ⋯ ( ∂ μ D ∂ ν D ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n=0}^{D}\alpha _{n+1}\phi \epsilon ^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}\epsilon ^{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}\prod _{i=1}^{n}\partial _{\mu _{i}}\partial _{\nu _{i}}\phi \prod _{j=n+1}^{D}g_{\mu _{i}\nu _{i}}=D!\alpha _{0}\phi +(D-1)!\alpha _{1}\phi (\partial \phi )^{2}+(D-2)!\alpha _{2}\phi ((\partial ^{2}\phi )(\partial ^{2}\phi )-(\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )(\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }\phi ))+\dotsb +\delta _{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}(\partial _{\mu _{1}}\partial _{\nu _{2}}\phi )\dotsm (\partial _{\mu _{D}}\partial _{\nu _{D}}\phi )} 여기서 α 0 , α 1 , … {\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\dotsc } 는 임의의 실수 결합 상수이며, δ ν 1 … ν D μ 1 … μ D {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}} 는 일반화 크로네커 기호 ( ( ν 1 , … , ν D ) = ( μ σ ( 1 ) , … , μ σ ( D ) ) {\displaystyle (\nu _{1},\dotsc ,\nu _{D})=(\mu _{\sigma (1)},\dotsc ,\mu _{\sigma (D)})} 일 때, δ ν 1 … ν D μ 1 … μ D = ( − ) σ {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}=(-)^{\sigma }} )이다. 양자역학적으로 이론이 잘 정의되려면 (바닥 상태가 존재하려면) α 1 = 0 {\displaystyle \alpha _{1}=0} 이어야 한다. 또한, 항상 ϕ {\displaystyle \phi } 에 상수를 곱하여 α 2 = ( − ) D 2 ( D − 1 ) ! {\displaystyle \alpha _{2}={\frac {(-)^{D}}{2(D-1)!}}} 로 놓을 수 있다 (운동항의 규격화). 특수 갈릴레온(영어: special galileon)은 다음과 같은 결합 상수를 갖는 갈릴레온이다. α n = { 1 n M ( n − 2 ) ( D + 2 ) / 2 ( D n − 1 ) 2 ∣ n 0 2 ∤ n {\displaystyle \alpha _{n}={\begin{cases}{\frac {1}{nM^{(n-2)(D+2)/2}}}{\binom {D}{n-1}}&2\mid n\\0&2\not \mid n\end{cases}}} 여기서 M {\displaystyle M} 은 질량의 단위를 갖는 결합 상수이다. 특수 갈릴레온은 갈릴레이 대칭 말고도, 다음과 같은 특별한 대칭을 갖는다. ϕ ↦ ϕ + θ μ ν ( M ( D + 2 ) x μ x ν − ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ) {\displaystyle \phi \mapsto \phi +\theta ^{\mu \nu }(M^{(D+2)}x_{\mu }x_{\nu }-\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi )} 예를 들어, 4차원에서 특수 갈릴레온은 (장을 재정의하면) 다음과 같다.:(2) L = − 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 + 1 12 Λ 6 ( ∂ ϕ ) 2 ( ( ∂ 2 ϕ ) 2 − ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial \phi )^{2}+{\frac {1}{12\Lambda ^{6}}}(\partial \phi )^{2}\left((\partial ^{2}\phi )^{2}-(\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )(\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }\phi )\right)} 일반적으로, 3차 이상의 고차 미분항을 갖는 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 장의 3차 이상의 미분에 의존하는 편미분 방정식이므로, 불안정하다. 그러나 갈릴레온의 경우 오일러-라그랑주 방정식은 오직 장의 2차 미분에만 의존한다. 즉, 장의 1차 및 0차 및 3차 이상의 미분은 장방정식에 등장하지 않는다. 갈릴레온은 각종 중력 이론에 등장한다. 갈릴레온은 2009년에 중력을 연구하던 중 발견되었다. ‘갈릴레온’이라는 이름은 그 대칭이 마치 갈릴레이 변환과 흡사한 것에서 유래한다. 특수 갈릴레온은 2014년 경에 발견되었다. Curtright, Thomas; Fairlie, David. “A galileon primer” (영어). arXiv:1212.6972.  Khoury, Justin. “Les Houches lectures on physics beyond the standard model of cosmology” (영어). arXiv:1312.2006.  Novotný, Jiří. “Geometry of the special galileon” (영어). arXiv:1612.01738.  Přeučil, Filip; Novotný, Jiří. “Special galileon at one loop” (영어). arXiv:1909.06214.  Hinterbichler, Kurt; Joyce, Austin. “A Hidden Symmetry of the Galileon” (영어). arXiv:1501.07600. doi:10.1103/PhysRevD.92.023503.  Nicolis, Alberto; Rattazi, Riccardo; Trincherini, Enrico (2009). “The galileon as a local modification of gravity”. 《Physical Review D》 (영어) 79: 064036. arXiv:0811.2197. doi:10.1103/PhysRevD.79.064036.  Cachazo, Freddy; He, Song; Yuan, Ellis Ye (2015). “Scattering Equations and Matrices: From Einstein To Yang-Mills, DBI and NLSM” (영어). arXiv:1412.3479. doi:10.1007/JHEP07(2015)149.