환 달린 공간

수학에서 환 달린 공간(環달린空間, 영어: ringed space)은 간단히 말하면 각 열린집합마다 가환환이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 해석학 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, 대수기하학에서 스킴을 정의하기 위해서도 사용된다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 은 위상 공간 X {\displaystyle X} 와 그 위의 가환환의 층 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 의 순서쌍이다. O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 를 X {\displaystyle X} 의 구조층(構造層, 영어: structure sheaf)라고 한다. 두 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} , ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of ringed spaces) ( f , f # ) {\displaystyle (f,f^{\#})} 은 다음과 같은 순서쌍이다. f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 연속 함수이다. f # : O Y → f ∗ O X {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 각 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, f U # : O Y ( U ) → O X ( f − 1 ( U ) ) {\displaystyle f_{U}^{\#}\colon O_{Y}(U)\to O_{X}(f^{-1}(U))} 는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다. 국소환 달린 공간(局所環달린空間, 영어: locally ringed space)은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 U {\displaystyle U} 에 대해 O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)} 가 국소환일 필요는 없다.) 두 국소환 달린 공간 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of locally ringed spaces) ( f , f # ) : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f # {\displaystyle f^{\#}} 로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 O Y , f ( x ) → O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}} 아래, O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 O Y , f ( x ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}} 의 유일한 극대 아이디얼과 같다. 환 달린 공간 사상 ( f , f # ) : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 열린 몰입(영어: open immersion)이라고 한다. f {\displaystyle f} 의 치역 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 은 열린집합이며, f {\displaystyle f} 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다. f # : O Y → f ∗ O X {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 이 층의 동형 사상 O Y | f ( X ) → f ∗ O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}|_{f(X)}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 을 유도한다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 및 X {\displaystyle X} 의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 가 주어졌을 때, ( U , O X | U ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})} 는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 ( U , O X | U ) → ( X , O X ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})\to (X,{\mathcal {O}}_{X})} 은 열린 몰입을 이룬다. 만약 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 가 국소환 달린 공간이라면 ( U , O X | U ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})} 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다. 모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다. 환 달린 공간 사상 ( f , f # ) : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 닫힌 몰입(영어: closed immersion)이라고 한다. f {\displaystyle f} 의 치역은 닫힌집합이며, f {\displaystyle f} 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다. f # : O Y → f ∗ O X {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 는 가환환 값의 층의 전사 사상이다. 즉, 모든 줄기 사상 O Y , f ( x ) → O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}} 은 전사 함수이다. 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 아이디얼 층 I ⊆ O X {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 supp ⁡ I ⊆ X {\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X} 은 닫힌집합이다. supp ⁡ I ⊆ X {\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X} 위의 몫층 O X / I {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}} 을 정의할 수 있으며, ( supp ⁡ I , O X / I ) → ( X , O X ) {\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})\to ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}}_{X})} 는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 가 국소환 달린 공간이라면 ( supp ⁡ I , O X / I ) {\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})} 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다. 모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합인 닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴 ⊋ 아핀 스킴 환 달린 공간의 범주 RingSp {\displaystyle \operatorname {RingSp} } 와 국소환 달린 공간의 범주 LocRingSp {\displaystyle \operatorname {LocRingSp} } 는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. LocRingSp {\displaystyle \operatorname {LocRingSp} } 는 RingSp {\displaystyle \operatorname {RingSp} } 의 충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자 LocRingSp ↪ RingSp {\displaystyle \operatorname {LocRingSp} \hookrightarrow \operatorname {RingSp} } 는 오른쪽 수반 함자를 가진다.:Corollary 6 모든 스킴은 국소환 달린 공간이다. 국소 유클리드 공간 M {\displaystyle M} 위에 실수 값의 연속 함수의 층 C 0 ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} )} 을 부여한다면, ( M , C 0 ( M ; R ) ) {\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} ))} 은 국소환 달린 공간을 이룬다. 마찬가지로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 을 부여한다면, ( M , C ∞ ( M ; R ) ) {\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ))} 은 국소환 달린 공간을 이룬다. 마찬가지로, 복소다양체 M {\displaystyle M} 위에 복소수 값의 정칙 함수의 층 O M {\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}} 을 부여한다면, ( M , O M ) {\displaystyle (M,{\mathcal {O}}_{M})} 은 국소환 달린 공간을 이룬다. Gilliam, W. D. (2011). “Localization of ringed spaces” (영어). arXiv:1103.2139. Bibcode:2011arXiv1103.2139G.  “Ringed space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Ringed space”. 《nLab》 (영어).  “Locally ringed topological space”. 《nLab》 (영어).  “Ringed site”. 《nLab》 (영어).  “Ringed topos”. 《nLab》 (영어).  “Locally ringed topos”. 《nLab》 (영어).