검은 막

일반 상대성 이론과 끈 이론에서 검은 막(영어: black brane 블랙 브레인[*])은 고차원 중력 이론에 존재하는 개체로, 블랙홀과 같이 사건 지평선을 가지지만 블랙홀과 달리 공간적으로 국한돼 있지 않다. 공간적으로 p {\displaystyle p} 차원을 차지하는 검은 막을 검은 p-막이라고 한다. n {\displaystyle n} 차원 민코프스키 시공간 속에서, p + 1 {\displaystyle p+1} 차원의 검은 막이 주어졌다고 하자. (즉, p = 0 {\displaystyle p=0} 은 블랙홀이며, p = 1 {\displaystyle p=1} 은 검은 끈이다.) 검은 막의 세계 부피 방향의 지표는 μ , ν ∈ { 0 , 1 , … , p } {\displaystyle \mu ,\nu \in \{0,1,\dotsc ,p\}} 로 표기하자. 또한, 이 검은 막이 속도 u μ {\displaystyle u^{\mu }} 를 갖는다고 하자 ( u μ u ν η μ ν = − 1 {\displaystyle u^{\mu }u^{\nu }\eta _{\mu \nu }=-1} ). 그렇다면, 검은 p {\displaystyle p} -막은 다음과 같은 좌표 ( σ 0 , σ 1 , … , σ p , r , θ 1 , θ 2 , … , θ n − p − 2 ) {\displaystyle (\sigma ^{0},\sigma ^{1},\dotsc ,\sigma ^{p},r,\theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n-p-2})} 로 주어지며, 이에 대한 리만 계량은 다음과 같다. d s 2 = ( η μ ν + ( R / r ) n − p − 3 u μ u ν ) d σ μ d σ ν + ( 1 − ( R / r ) n − p − 3 ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω n − p − 2 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(\eta _{\mu \nu }+(R/r)^{n-p-3}u_{\mu }u_{\nu }\right)\mathrm {d} \sigma ^{\mu }\mathrm {d} \sigma ^{\nu }+\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega _{n-p-2}^{2}} 여기서 η μ ν = diag ⁡ ( − 1 , 1 , … , 1 ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,1,\dotsc ,1)} 은 p + 1 {\displaystyle p+1} 차원 민코프스키 계량이다. d Ω n − p − 2 2 {\displaystyle \mathrm {d} \Omega _{n-p-2}^{2}} 는 ( n − p − 2 ) {\displaystyle (n-p-2)} 차원 초구의 계량이다. R {\displaystyle R} 는 길이의 단위를 갖는 상수이다. 질량 중심 틀에서, 속도는 u a u b = δ a 0 δ b 0 {\displaystyle u_{a}u_{b}=\delta _{a0}\delta _{b0}} 이 된다. 이 경우, 계량은 d s 2 = − ( 1 − ( R / r ) n − p − 3 ) d t 2 + ∑ i = 1 p ( d σ i ) 2 + ( 1 − ( R / r ) n − p − 3 ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω n − p − 2 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)\,\mathrm {d} t^{2}+\sum _{i=1}^{p}(\mathrm {d} \sigma ^{i})^{2}+\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega _{n-p-2}^{2}} 가 된다. 이 검은 막은 IO ⁡ ( p , 1 ) × O ⁡ ( n − p − 1 ) {\displaystyle \operatorname {IO} (p,1)\times \operatorname {O} (n-p-1)} 대칭을 갖는다. 이 직접곱의 첫 성분은 p + 1 {\displaystyle p+1} 차원 푸앵카레 대칭이며, 둘째 성분은 막을 축으로 하는 회전 대칭(직교군)이다. 이 계량은 r = R {\displaystyle r=R} 에서 사건 지평선을 갖는다. 끈 이론에서, 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등은 낮은 에너지에서 초중력의 검은 막으로 나타난다. 이들은 AdS/CFT 대응성을 유도할 때 중요한 역할을 한다. 11차원 초중력의 경우, M이론의 M2-막과 M5-막에 해당하는 극대 검은 2-막 및 5-막이 존재한다. 이 경우, 계량 텐서는 d s 2 = H M p ( r ) − 2 / 3 η μ ν d x μ d x ν + H M p ( r ) 1 / 3 δ i j d y i d y j {\displaystyle ds^{2}=H_{\mathrm {M} p}(r)^{-2/3}\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }+H_{\mathrm {M} p}(r)^{1/3}\delta _{ij}dy^{i}dy^{j}} 이다. 여기서 H M p ( r ) = 1 + ( r M p r ) 8 − p {\displaystyle H_{\mathrm {M} p}(r)=1+\left({\frac {r_{\mathrm {M} p}}{r}}\right)^{8-p}} 이고, r M 2 6 = 32 π 2 N 2 l p 6 {\displaystyle r_{\mathrm {M} 2}^{6}=32\pi ^{2}N_{2}l_{p}^{6}} r M 5 3 = π N 5 l p 3 {\displaystyle r_{\mathrm {M} 5}^{3}=\pi N_{5}l_{p}^{3}} 이다. 또한 게이지장은 F 4 = d x 0 ∧ d x 1 ∧ d x 2 ∧ d H M 2 − 1 {\displaystyle F_{4}=dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dH_{\mathrm {M} 2}^{-1}} (M2-막) F 4 = ∗ ( d x 0 ∧ d x 1 ∧ d x 2 ∧ d x 3 ∧ d x 4 ∧ d x 5 ∧ d H M 5 − 1 ) {\displaystyle F_{4}=*(dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}\wedge dx^{4}\wedge dx^{5}\wedge dH_{\mathrm {M} 5}^{-1})} (M5-막) 이다. 여기서 ∗ {\displaystyle *} 는 11차원의 호지 쌍대이다. 10차원 초중력에서는 Dp-막에 해당하는 극대 검은 p-막들이 존재한다. 그 계량 텐서는 (끈 틀(영어: string frame)에서) 다음과 같다. d s 2 = H D p ( r ) − 1 / 2 η μ ν d x μ d x ν + H D p ( r ) 1 / 2 δ i j d y i d y j {\displaystyle ds^{2}=H_{\mathrm {D} p}(r)^{-1/2}\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }+H_{\mathrm {D} p}(r)^{1/2}\delta _{ij}dy^{i}dy^{j}} 여기서 H D p ( r ) = 1 + ( r p r ) 7 − p {\displaystyle H_{\mathrm {D} p}(r)=1+\left({\frac {r_{p}}{r}}\right)^{7-p}} r = δ i j y i y j {\displaystyle r={\sqrt {\delta _{ij}y^{i}y^{j}}}} 이고, r p 7 − p = ( 2 π ) 5 − p Γ ( 7 − p 2 ) g s N l s 7 − p {\displaystyle r_{p}^{7-p}=(2{\sqrt {\pi }})^{5-p}\Gamma \left({\frac {7-p}{2}}\right)g_{s}Nl_{s}^{7-p}} 이다. 이 경우 딜라톤은 exp ⁡ ( Φ ) = exp ⁡ ( Φ 0 ) H D p ( 3 − p ) / 4 {\displaystyle \exp(\Phi )=\exp(\Phi _{0})H_{\mathrm {D} p}^{(3-p)/4}} 이고, Φ 0 {\displaystyle \Phi _{0}} 은 r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } 에서의 딜라톤 크기다. 라몽-라몽 장세기 F p + 2 {\displaystyle F_{p+2}} 는 다음과 같다. F p + 2 = d H D p − 1 ∧ ω p + 1 {\displaystyle F_{p+2}=dH_{\mathrm {D} p}^{-1}\wedge \omega _{p+1}} 여기서 ω p + 1 = d x 0 ∧ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x p {\displaystyle \omega _{p+1}=dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{p}} 는 p-막의 세계부피 형식이다. Becker, Katrin; Melanie Becker, John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Black brane”. 《nLab》 (영어).