자유곱

추상대수학에서 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 융합된 자유곱(融合된自由곱, 영어: amalgamated free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, 대수 구조 다양체에서의 밂을 이룬다. 자유곱은 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 구체적으로, 연산 { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 를 갖는 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 속의 두 대수 구조 A , B ∈ V {\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}} 의 자유곱 A ∗ B {\displaystyle A*B} 은 다음과 같다. 우선, 집합 A ⊔ B {\displaystyle A\sqcup B} 로 생성되는 자유 대수 F ( A ⊔ B ) ∈ V {\displaystyle F(A\sqcup B)\in {\mathcal {V}}} 를 생각하자. 이제, A {\displaystyle A} 에서 성립하는 모든 대수적 관계 p ( a 1 , a 2 , … , a n ) = p ′ ( a 1 ′ , p 2 ′ , … , p n ′ ′ ) {\displaystyle p(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=p'(a'_{1},p'_{2},\dots ,p'_{n'})} 와 B {\displaystyle B} 에서 성립하는 모든 대수적 관계 q ( b 1 , b 2 , … , b k ) = q ′ ( b 1 ′ , b 2 ′ , … , b k ′ ′ ) {\displaystyle q(b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=q'(b'_{1},b'_{2},\dots ,b'_{k'})} 들의 집합을 I ⊆ F ( A ⊔ B ) 2 {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq F(A\sqcup B)^{2}} 라고 하고, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 를 포함하는 최소의 합동 관계를 ∼ ⊆ F ( A ⊔ B ) 2 {\displaystyle {\sim }\subseteq F(A\sqcup B)^{2}} 이라고 하자. 그렇다면 A ∗ B = F ( A ⊔ B ) / ∼ ∈ V {\displaystyle A*B=F(A\sqcup B)/{\sim }\in {\mathcal {V}}} 이다. 융합된 자유곱은 대수 구조 다양체에서의 밂이다. 구체적으로, 연산 { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 를 갖는 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 속의 두 준동형 f : C → A {\displaystyle f\colon C\to A} g : C → B {\displaystyle g\colon C\to B} 의 융합된 자유곱 A ∗ C B {\displaystyle A*_{C}B} 는 다음과 같다. 자유곱 A ∗ B {\displaystyle A*B} 위에서, [ f ( c ) ] ∼ ∼ ′ [ g ( c ) ] ∼ ∀ c ∈ C {\displaystyle [f(c)]_{\sim }\sim '[g(c)]_{\sim }\qquad \forall c\in C} 를 만족하는 최소의 동치 관계를 ∼ ′ ⊆ ( A ∗ B ) 2 {\displaystyle \sim '\subseteq (A*B)^{2}} 라고 하자. 그렇다면, ∼ ′ {\displaystyle \sim '} 은 합동 관계이며, A ∗ C B = ( A ∗ B ) / ∼ ′ ∈ V {\displaystyle A*_{C}B=(A*B)/{\sim '}\in {\mathcal {V}}} 이다. 군의 대수 구조 다양체에서, 2차 순환군 Cyc ⁡ ( 2 ) = ⟨ S | S 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)=\langle S|S^{2}=1\rangle } 및 3차 순환군 Cyc ⁡ ( 3 ) = ⟨ U | U 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)=\langle U|U^{3}=1\rangle } 을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다. Cyc ⁡ ( 2 ) ∗ Cyc ⁡ ( 3 ) = ⟨ S , U | S 2 = U 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (3)=\langle S,U|S^{2}=U^{3}=1\rangle } 이 경우, 보통 S − 1 U = T {\displaystyle S^{-1}U=T} 로 정의한다. 무한 정이면체군 Dih ⁡ ( ∞ ) = ⟨ r , s ∣ s 2 = ( r s ) 2 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\langle r,s\mid s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle } 은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다. Dih ⁡ ( ∞ ) = Cyc ⁡ ( 2 ) ∗ Cyc ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (2)} 환의 대수 구조 다양체에서, 환 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} 와 Z [ y ] {\displaystyle \mathbb {Z} [y]} 의 자유곱은 비가환 다항식환 Z [ x ] ∗ Z [ y ] = Z ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} \langle x,y\rangle } 이다. 이는 텐서 대수 T ( Z 2 ) {\displaystyle T(\mathbb {Z} ^{2})} 와 동형이다. 가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다. 가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} 와 Z [ y ] {\displaystyle \mathbb {Z} [y]} 의 자유곱은 다항식환 Z [ x ] ∗ Z [ y ] = Z [ x , y ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} [x,y]} 이다. 아벨 군 또는 환 R {\displaystyle R} 위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다. 집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 ⊔ {\displaystyle \sqcup } 이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 s = s {\displaystyle s=s} 꼴로 자명하기 때문이다. 쌍대곱 보편 성질 “Free product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Free product of groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Free product of groups”. 《nLab》 (영어).