사인-고든 방정식

수학 및 물리학에서 사인-고든 방정식(영어: sine–Gordon equation)은 솔리톤 해를 가지는 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 적분가능계를 대표하는 예이다. 이 방정식은 단진자 운동 d 2 θ d t 2 + sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin \theta =0} 을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다. 1862년에 에드몽 부르(프랑스어: Edmond Bour)가 최초로 연구하였다. 1939년에 야코프 프렌켈(러시아어: Яков Ильич Френкель)과 콘토로바(러시아어: Т. М. Конторова)가 재발견하였다. "사인-고든"이라는 이름은 클라인-고든 방정식에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 사인 함수 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 각운(脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다. 2차원 시공간 ( t , x ) ∈ R 2 {\displaystyle (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}} 에서, 사인-고든 방정식은 다음과 같다. ∂ 2 ϕ ∂ t 2 − ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + sin ⁡ ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+\sin \phi =0} (※ ϕ = ϕ ( t , x ) {\displaystyle \phi =\phi (t,x)} 를 뜻한다.) 이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다. L = 1 2 [ ( ∂ ϕ ∂ t ) 2 − ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 ] − 1 + cos ⁡ ϕ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]-1+\cos \phi } 즉, 퍼텐셜이 V ( ϕ ) = 1 − cos ⁡ ϕ {\displaystyle V(\phi )=1-\cos \phi } 인 스칼라 장론이다. ϕ 1 {\displaystyle \phi _{1}} 이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답 ϕ 2 {\displaystyle \phi _{2}} 을 구할 수 있다. ∂ ϕ 2 ∂ t = ∂ ϕ 1 ∂ x + ( a − 1 a ) cos ⁡ ϕ 1 2 sin ⁡ ϕ 2 2 + ( a + 1 a ) sin ⁡ ϕ 1 2 cos ⁡ ϕ 2 2 {\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2}}{\partial t}}={\frac {\partial \phi _{1}}{\partial x}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi _{1}}{2}}\sin {\frac {\phi _{2}}{2}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi _{1}}{2}}\cos {\frac {\phi _{2}}{2}}} ∂ ϕ 2 ∂ x = ∂ ϕ 1 ∂ t + ( a + 1 a ) cos ⁡ ϕ 1 2 sin ⁡ ϕ 2 2 + ( a − 1 a ) sin ⁡ ϕ 1 2 cos ⁡ ϕ 2 2 {\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2}}{\partial x}}={\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi _{1}}{2}}\sin {\frac {\phi _{2}}{2}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi _{1}}{2}}\cos {\frac {\phi _{2}}{2}}} (※ a는 상수) 위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다. ( ∂ ∂ x + ∂ ∂ t ) ( ϕ 2 − ϕ 1 ) = 2 a sin ⁡ ϕ 2 + ϕ 1 2 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi _{2}-\phi _{1})=2a\sin {\frac {\phi _{2}+\phi _{1}}{2}}} ( ∂ ∂ x − ∂ ∂ t ) ( ϕ 2 + ϕ 1 ) = 2 a sin ⁡ ϕ 2 − ϕ 1 2 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi _{2}+\phi _{1})={\frac {2}{a}}\sin {\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{2}}} 사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다. ϕ ( t , x ) = 4 arctan ⁡ exp ⁡ ( x − x 0 − v t 1 − v 2 ) {\displaystyle \phi (t,x)=4\arctan \exp \left({\frac {x-x_{0}-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}\right)} 이는 속도 v {\displaystyle v} 로 움직이고, 초기 위치가 x 0 {\displaystyle x_{0}} 인 솔리톤을 나타낸다. ∂ ϕ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0} 일때는 d 2 ϕ d x 2 = sin ⁡ ϕ {\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}=\sin \phi } 이니, 양변에다 d ϕ d x {\displaystyle {\frac {d\phi }{dx}}} 를 곱한 뒤 적분하면 1 2 ( d ϕ d x ) 2 = 2 m − ( 1 + cos ⁡ φ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{dx}}\right)^{2}=2m-(1+\cos \varphi )} = 2 ( m − cos 2 ⁡ ϕ 2 ) {\displaystyle =2\left(m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}\right)} (※ m은 상수) 이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이 ( d d x ϕ 2 ) 2 = m − cos 2 ⁡ ϕ 2 {\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}{\frac {\phi }{2}}\right)^{2}=m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}} 으로 바뀐다. 그다음 sin ⁡ ϕ − π 2 = − cos ⁡ ϕ 2 = m f {\displaystyle \sin {\frac {\phi -\pi }{2}}=-\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {m}}f} 로 잡으면 sin ⁡ ϕ 2 × d d x ϕ 2 = m d f d x {\displaystyle \sin {\frac {\phi }{2}}\times {\frac {d}{dx}}{\frac {\phi }{2}}={\sqrt {m}}{\frac {df}{dx}}} 이니, 양변에 sin 2 ⁡ ϕ 2 {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}} 를 곱하고 정리해보면 야코비 타원함수 sn에 대한 방정식 ( d f d x ) 2 = ( 1 − f 2 ) ( 1 − m f 2 ) {\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-mf^{2})} 이 나와 f ( x ) = sn ⁡ ( x , m ) {\displaystyle f(x)=\operatorname {sn} (x,m)} 임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면 ϕ ( x ) = π + 2 arcsin ⁡ m sn ⁡ ( x , m ) {\displaystyle \phi (x)=\pi +2\arcsin {\sqrt {m}}\operatorname {sn} (x,m)} 이 된다. 이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다. 사인-고든 모형은 양자화할 수 있다. 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형과 S-이중성을 통해 동형이다. 조지프슨 효과 플럭손 Bour, Edmond (1862). “Théorie de la déformation des surfaces”. 《Journal de l’École impériale polytechnique》 (프랑스어) 39: 1–48.  Френкель, Я. 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