분할복소수

추상대수학에서 분할복소수(分割複素數, 영어: split-complex number)는 가환환 R [ j ] / ( j 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {j} ]/(\mathrm {j} ^{2}-1)} 의 원소이다. 즉, 그 대수는 실수체에 1의 또다른 제곱근 j {\displaystyle \mathrm {j} } 를 추가하여 얻어지는 대수 체계이다. 분할복소수들은 실수 가환 결합 대수를 이루며, 이는 다음과 같다. C ~ = R [ j ] / ( j 2 − 1 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [\mathrm {j} ]/(\mathrm {j} ^{2}-1)} 이는 2차원 실수 벡터 공간을 이루며, 그 기저는 { 1 , j } {\displaystyle \{1,\mathrm {j} \}} 이다. 이 기저에서, 분할복소수의 곱셈은 구체적으로 다음과 같다. ( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c + b d , b c + a d ) {\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,bc+ad)} 즉, ( a + b j ) ( c + d j ) = ( a c + b d ) + ( b c + a d ) j {\displaystyle (a+b\mathrm {j} )(c+d\mathrm {j} )=(ac+bd)+(bc+ad)\mathrm {j} } 이다. 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의, 스스로와의 직접곱을 생각하자. R ⊕ R {\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } 즉, 그 위의 곱셈은 다음과 같다. ( a , b ) ( c , d ) = ( a c , b d ) ∀ a , b , c , d ∈ R {\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} } 이는 실수 가환 결합 대수로서 분할복소수의 대수와 동형이다. 구체적으로, 이 경우 1 R ⊕ R = ( 1 , 1 ) {\displaystyle 1_{\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }=(1,1)} 이므로, j = ( 1 , − 1 ) {\displaystyle \mathrm {j} =(1,-1)} 를 정의하자. 그렇다면, j 2 = 1 {\displaystyle \mathrm {j} ^{2}=1} 이 되어, R ⊕ R ≅ R [ j ] / ( j 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \cong \mathbb {R} [\mathrm {j} ]/(\mathrm {j} ^{2}-1)} 임을 알 수 있다. 물리학적으로, 이 정의는 빛원뿔 좌표계를 사용하는 것에 해당한다. 분할복소수의 대수 C ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}} 는 충실한 2차원 표현을 가지므로, 이는 2×2 실수 행렬로 정의될 수 있다. 구체적으로, j {\displaystyle \mathrm {j} } 를 항등원의 스칼라배가 아니지만, 제곱이 1인 임의의 2×2 실수 행렬로 잡으면, 이는 분할복소수의 행렬 표현을 정의한다. 특히, 다음과 같은 선택이 편리하다. j = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle \mathrm {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} 즉, a + b j = ( a b b a ) {\displaystyle a+b\mathrm {j} ={\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}} 이다. 분할복소수의 환은 다음과 같은 대합을 갖는다. ( − ) ¯ : C ~ → C ~ {\displaystyle {\overline {(-)}}\colon {\tilde {\mathbb {C} }}\to {\tilde {\mathbb {C} }}} a + b j ↦ a − b j {\displaystyle a+b\mathrm {j} \mapsto a-b\mathrm {j} } 이는 실수 선형 변환이자 환 준동형이다. 분할복소수의 2×2 행렬 표현에서, 이는 다음과 같은 연산에 해당한다. M ↦ C M C {\displaystyle M\mapsto {\mathsf {C}}M{\mathsf {C}}} C = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} C 2 = 1 2 × 2 {\displaystyle {\mathsf {C}}^{2}=1_{2\times 2}} 분할복소수의 실수 벡터 공간 위에는 다음과 같은 비퇴화 이차 형식이 존재한다. | z | 2 = z z ¯ ∈ R ∀ z ∈ C ~ {\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}\in \mathbb {R} \qquad \forall z\in {\tilde {\mathbb {C} }}} 즉, | a + b j | 2 = a 2 − b 2 ∈ R ∀ a , b ∈ R {\displaystyle |a+b\mathrm {j} |^{2}=a^{2}-b^{2}\in \mathbb {R} \qquad \forall a,b\in \mathbb {R} } 이다. 이는 다음과 같이 곱셈을 보존한다. | x y | 2 = | x | 2 | y | 2 ∀ x , y ∈ C ~ {\displaystyle |xy|^{2}=|x|^{2}|y|^{2}\qquad \forall x,y\in {\tilde {\mathbb {C} }}} 이는 양의 정부호가 아니라 부정부호이다. 즉, 음의 값을 가질 수 있다. 분할복소수에 대하여, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다. exp ⁡ ( a + b j ) = exp ⁡ ( a ) ( cosh ⁡ b + ( sinh ⁡ b ) j ) ∀ a , b ∈ R {\displaystyle \exp(a+b\mathrm {j} )=\exp(a)\left(\cosh b+(\sinh b)\mathrm {j} \right)\qquad \forall a,b\in \mathbb {R} } 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다. exp ⁡ ( x + y ) = exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( y ) ∀ x , y ∈ C ~ {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\qquad \forall x,y\in {\tilde {\mathbb {C} }}} 또한, 이를 실수체에 제한할 경우, 이는 실수의 지수 함수와 일치한다. 분할복소수의 2×2 행렬 표현에서, 이는 행렬 지수 함수와 일치한다. 분할복소수의 대수는 2차원 실수 가환 결합 대수이다. 이는 정역이 아니며, 예를 들어 다음과 같이 영인자를 갖는다. ( 1 + j ) ( 1 − j ) = 0 {\displaystyle (1+\mathrm {j} )(1-\mathrm {j} )=0} 사실, | x y | 2 = | x | 2 | y | 2 {\displaystyle |xy|^{2}=|x|^{2}|y|^{2}} 이므로, 분할복소수가 영인자일 필요 충분 조건은 그 제곱 절댓값이 0인 것이다. C ~ ≅ R ⊕ R {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } 이므로, 분할복소수의 환의 스펙트럼은 두 실수 0차원 아핀 공간의 분리합집합이다. Spec ⁡ ( R ) = A R 0 ⊔ A R 0 {\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {R} )=\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{0}\sqcup \mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{0}} 1848년에 제임스 코클(영어: James Cockle, 1819~1895)이 분할복소수에 해당하는 대수 체계를 최초로 사용하였다. 코클은 이를 “실수 테사린”(영어: real tessarine)이라고 불렀다. 코클은 원소 j {\displaystyle \mathrm {j} } 를 “불가능성”(영어: impossibility)을 나타내는 것으로 해석하였다. 이에 대하여, 코클은 다음과 같이 적었다. 이 기호 j {\displaystyle \mathrm {j} } 의 제곱의 값을 코클은 다음과 같이 ‘유도’하였다. 우선, 0 ′ = 1 + j {\displaystyle 0'=1+{\sqrt {j}}} :39, (1) 이다. (여기서, 0 ′ {\displaystyle 0'} 은 코클의 기호 체계에서 단순히 값이 0인 상태가 아니라 “절대적 부재”(영어: absolute negation of existence)를 뜻한다.) 이에 따라 + j = − 1 {\displaystyle +{\sqrt {j}}=-1} :40, §2 이며, 따라서 j 2 = 1 {\displaystyle j^{2}=1} :40, §2 이다. 이에 대하여 코클은 음수의 제곱이 양수인 것에 착안하여 다음과 같이 적었다. 윌리엄 킹던 클리퍼드도 이러한 대수 체계를 사용하였으며, 클리퍼드는 이를 “모터”(영어: motor)라고 불렀다. 민코프스키 공간 Cockle, James (1849). “On a New Imaginary in Algebra”. 《Philosophical Magazine》 (영어) 34: 37–47.  Clifford, William Kingdon. “Further notes on biquaternions” (영어).