등각 켤레점

기하학에서 등각 켤레점(等角-點, 영어: isogonal conjugate point)은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선들의 교점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 한 꼭짓점 A {\displaystyle A} (또는 B {\displaystyle B} 또는 C {\displaystyle C} )를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, 영어: isogonal (conjugate) line)은 그 직선을 내각 ∠ A {\displaystyle \angle A} (또는 ∠ B {\displaystyle \angle B} 또는 ∠ C {\displaystyle \angle C} )의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 한 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 A P {\displaystyle AP} 와 A Q {\displaystyle AQ} 를 뜻한다. 둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다. ∠ P A B = ∠ Q A C {\displaystyle \angle PAB=\angle QAC} (즉, ∠ P A C = ∠ Q A B {\displaystyle \angle PAC=\angle QAB} ) 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 및 같은 평면 위의 점 P {\displaystyle P} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선 A P {\displaystyle AP} , B P {\displaystyle BP} , C P {\displaystyle CP} 의 등각 켤레선은 한 점 P ′ {\displaystyle P'} 에서 만난다. 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 점 P {\displaystyle P} 의 등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다. 증명: AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 각대칭시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 각체바 정리를 쓰면, s i n ∠ B A D s i n ∠ C A D ∗ s i n ∠ C B E s i n ∠ A B E ∗ s i n ∠ A C F s i n ∠ B C F = 1 {\displaystyle {\frac {sin\angle {BAD}}{sin\angle {CAD}}}*{\frac {sin\angle {CBE}}{sin\angle {ABE}}}*{\frac {sin\angle {ACF}}{sin\angle {BCF}}}=1} AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다. s i n ∠ C A D ′ s i n ∠ B A D ′ ∗ s i n ∠ A B E ′ s i n ∠ C B E ′ ∗ s i n ∠ B C F ′ s i n ∠ A C F ′ = 1 {\displaystyle {\frac {sin\angle {CAD'}}{sin\angle {BAD'}}}*{\frac {sin\angle {ABE'}}{sin\angle {CBE'}}}*{\frac {sin\angle {BCF'}}{sin\angle {ACF'}}}=1} 따라서 각체바 정리의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대한 등각 켤레점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 이 주어졌다고 하자. 점 P {\displaystyle P} 를 삼각형의 각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 에 반사시켜 얻는 점을 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 라고 하자. 그렇다면 삼각형 X Y Z {\displaystyle XYZ} 의 외심은 P ′ {\displaystyle P'} 이다. 등각 켤레점의 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 및 등각 켤레점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 가 주어졌다고 하자. 점 P {\displaystyle P} 에서 세 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 에 내린 수선의 발을 각각 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하고, 점 P ′ {\displaystyle P'} 에서 세 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 에 내린 수선의 발을 각각 D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} , D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 은 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 의 중점 M {\displaystyle M} 을 중심으로 하는 원 위의 점이다.:67, §7.4, (viii) 증명: 대칭성에 따라 F ′ {\displaystyle F'} , F {\displaystyle F} , E {\displaystyle E} , E ′ {\displaystyle E'} 이 M {\displaystyle M} 을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선 A P {\displaystyle AP} 와 E ′ F ′ {\displaystyle E'F'} 의 교점을 Q {\displaystyle Q} 라고 하자. A {\displaystyle A} , E ′ {\displaystyle E'} , P ′ {\displaystyle P'} , F ′ {\displaystyle F'} 은 한 원 위의 점이므로 ∠ F ′ A Q = ∠ E ′ A P ′ = ∠ E ′ F ′ P ′ {\displaystyle \angle F'AQ=\angle E'AP'=\angle E'F'P'} 이다. 따라서 직선 A Q {\displaystyle AQ} 는 E ′ F ′ {\displaystyle E'F'} 의 수선이며, 삼각형 A F P {\displaystyle AFP} 와 A Q F ′ {\displaystyle AQF'} , 삼각형 A E P {\displaystyle AEP} 와 A Q E ′ {\displaystyle AQE'} 은 닮음이다. 따라서 A F ⋅ A F ′ = A P ⋅ A Q = A E ⋅ A E ′ {\displaystyle AF\cdot AF'=AP\cdot AQ=AE\cdot AE'} 이며, 방멱의 성질에 따라 F ′ {\displaystyle F'} , F {\displaystyle F} , E {\displaystyle E} , E ′ {\displaystyle E'} 은 한 원 위의 점이다. M {\displaystyle M} 은 선분 P P ′ {\displaystyle PP'} 의 중점이며 직선 P F {\displaystyle PF} 와 P ′ F ′ {\displaystyle P'F'} , 직선 P E {\displaystyle PE} 와 P ′ E ′ {\displaystyle P'E'} 은 평행하므로 M {\displaystyle M} 은 선분 F F ′ {\displaystyle FF'} 과 E E ′ {\displaystyle EE'} 의 수직 이등분선의 교점이다. 즉, M {\displaystyle M} 은 네 점 F ′ {\displaystyle F'} , F {\displaystyle F} , E {\displaystyle E} , E ′ {\displaystyle E'} 을 지나는 원의 중심이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 및 등각 켤레점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 가 주어졌다고 하자. 점 P {\displaystyle P} 를 지나는 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하고, 점 P ′ {\displaystyle P'} 을 지나는 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수선의 발을 D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 라고 하자. 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 를 중심으로 하고 점 P ′ {\displaystyle P'} 을 지나는 원이 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 와 각각 두 점 U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 과 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 과 Z {\displaystyle Z} 에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점 D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 를 중심으로 하고 점 P {\displaystyle P} 을 지나는 원이 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 와 각각 두 점 U ′ {\displaystyle U'} 와 V ′ {\displaystyle V'} , W ′ {\displaystyle W'} 과 X ′ {\displaystyle X'} , Y ′ {\displaystyle Y'} 과 Z ′ {\displaystyle Z'} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점 U {\displaystyle U} , V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} , X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 는 점 P {\displaystyle P} 를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점 U ′ {\displaystyle U'} , V ′ {\displaystyle V'} , W ′ {\displaystyle W'} , X ′ {\displaystyle X'} , Y ′ {\displaystyle Y'} , Z ′ {\displaystyle Z'} 은 점 P ′ {\displaystyle P'} 을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 의 드로츠파르니 원(영어: Droz-Farny circles)이라고 한다.:71, §7.4, (ix) 증명: 점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 의 중점을 M {\displaystyle M} 이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. P U 2 = P D 2 + D U 2 = P D 2 + D P ′ 2 = ( P M 2 + D M 2 − 2 P M ⋅ D M ⋅ cos ⁡ ∠ P M D ) + ( P ′ M 2 + D M 2 − 2 ⋅ P ′ M ⋅ D M ⋅ cos ⁡ ∠ P ′ M D ) = 1 2 P P ′ 2 + 2 D M 2 {\displaystyle {\begin{aligned}PU^{2}&=PD^{2}+DU^{2}\\&=PD^{2}+{DP'}^{2}\\&=(PM^{2}+DM^{2}-2PM\cdot DM\cdot \cos \angle PMD)+(P'M^{2}+DM^{2}-2\cdot P'M\cdot DM\cdot \cos \angle P'MD)\\&={\frac {1}{2}}{PP'}^{2}+2DM^{2}\end{aligned}}} 첫째 등호는 피타고라스 정리, 둘째 등호는 점 U {\displaystyle U} 의 정의, 셋째 등호는 코사인 법칙에 따른다. D M {\displaystyle DM} 은 점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 에만 의존한다. 따라서 P U {\displaystyle PU} 는 점 P {\displaystyle P} 와 P ′ {\displaystyle P'} 에만 의존하며, U {\displaystyle U} 를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다. 다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다. 외심과 수심:71, §7.4, (ix) 내심과 자기 자신 무게 중심과 대칭 중점:57, §7.3 삼각형의 중심 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Isogonal conjugate”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Isogonal line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  van Lamoen, Floor. “Isogonal transform”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Droz-Farny circles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “First Droz-Farny circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Droz-Farny circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.