보존적 확장

수리논리학에서 보존적 확장(保存的擴張, 영어: conservative extension)은 주어진 이론을 확장하되, 원래 이론의 언어로서 나타낼 수 있는 모든 명제의 증명 가능성 여부가 바뀌지 않게 하는 확장이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 1차 논리 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 과 그 확장 L ′ ⊇ L {\displaystyle {\mathcal {L}}'\supseteq {\mathcal {L}}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -문장들의 집합 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 와 L ′ {\displaystyle {\mathcal {L}}'} -문장들의 집합 T ′ ⊇ T {\displaystyle {\mathcal {T}}'\supseteq {\mathcal {T}}} 만약 다음 조건이 성립한다면, T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} 이 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 (증명 이론적) 보존적 확장(영어: proof-theoretic conservative extension)이라고 한다.:37, Theorem 1.13.2 { ϕ ∈ Sent ⁡ ( L ) : T ⊢ ϕ } = { ϕ ∈ Sent ⁡ ( L ) : T ′ ⊢ ϕ } {\displaystyle \{\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})\colon {\mathcal {T}}\vdash \phi \}=\{\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})\colon {\mathcal {T}}'\vdash \phi \}} 즉, L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 로 서술할 수 있는 문장에 대하여, T {\displaystyle {\mathcal {T}}} -증명 가능성은 T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} -증명 가능성과 동치이다. 만약 다음 조건이 성립한다면, T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} 이 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 모형 이론적 보존적 확장(영어: model-theoretic conservative extension)이라고 한다. 임의의 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -구조 M {\displaystyle M} 에 대하여 M ⊨ T {\displaystyle M\models {\mathcal {T}}} 라면, M ′ | L = M {\displaystyle M'|_{\mathcal {L}}=M} 이자 M ′ ⊨ T ′ {\displaystyle M'\models {\mathcal {T}}'} 인 L ′ {\displaystyle {\mathcal {L}}'} -구조 M ′ {\displaystyle M'} 이 항상 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요는 없다.) 이론 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 증명 이론적 보존적 확장 T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 가 무모순적인지 여부는 T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} 가 무모순적인지 여부와 동치이다. Con ⁡ ( T ) ⟺ Con ⁡ ( T ′ ) {\displaystyle \operatorname {Con} ({\mathcal {T}})\iff \operatorname {Con} ({\mathcal {T}}')} (여기서 ⊥ {\displaystyle \bot } 은 거짓인 문장이다.) 무모순적 이론 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 확장 T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} 에 대하여, T ′ ⊢ Con ⁡ ( T ) {\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \operatorname {Con} ({\mathcal {T}})} 라면, 괴델의 불완전성 정리에 따라 T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} 은 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 보존적 확장이 아니다. 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의 1차 논리 문장들의 집합 T ⊆ Sent ⁡ ( L ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})} 이 주어졌다고 하고, T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 로부터 다음과 같은 꼴의 문장을 증명할 수 있다고 하자. T ⊢ ∀ x 1 ∀ x 2 ⋯ ∀ x m ∃ y 1 ∃ y 2 ⋯ ∃ y n ϕ ( x 1 , … , x m , y n , … , y n ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \forall x_{1}\forall x_{2}\cdots \forall x_{m}\exists y_{1}\exists y_{2}\cdots \exists y_{n}\phi (x_{1},\dots ,x_{m},y_{n},\dots ,y_{n})} 여기서 논리식 ϕ {\displaystyle \phi } 의 자유 변수들은 x 1 , … , x m , y n , … , y n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{n},\dots ,y_{n}} 이며, m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } 은 자연수이다 (특히, 0일 수 있다). 그렇다면, L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 에 n {\displaystyle n} 개의 새 m {\displaystyle m} 항 연산 기호 f 1 , … , f n {\displaystyle {\mathsf {f}}_{1},\dots ,{\mathsf {f}}_{n}} 를 추가한 언어를 L ′ {\displaystyle {\mathcal {L}}'} 이라고 하고, T ′ = T ∪ { ∀ x 1 ∀ x 2 ⋯ ∀ x m ϕ ( x 1 , … , x m , f 1 ( x 1 , … , x m ) , … , f n ( x 1 , … , x m ) ) } ⊆ Sent ⁡ ( L ′ ) {\displaystyle {\mathcal {T}}'={\mathcal {T}}\cup \{\forall x_{1}\forall x_{2}\cdots \forall x_{m}\phi \left(x_{1},\dots ,x_{m},{\mathsf {f}}_{1}(x_{1},\dots ,x_{m}),\dots ,{\mathsf {f}}_{n}(x_{1},\dots ,x_{m})\right)\}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}')} 을 정의하자. 그렇다면, T ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}'} 은 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 모형 이론적 보존적 확장이다. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 (영어). North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.