준열린집합

일반위상수학에서 준열린집합(準-集合, 영어: almost open set) 또는 베르 성질 집합(Baire性質集合, 영어: set with the property of Baire)은 열린집합 또는 닫힌집합에 제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자. Meag ⁡ ( X ) = { S ⊆ X : int ⁡ ( cl ⁡ ( X ) ) = ∅ } {\displaystyle \operatorname {Meag} (X)=\{S\subseteq X\colon \operatorname {int} (\operatorname {cl} (X))=\varnothing \}} : 제1 범주 집합들의 족 Σ 1 0 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)} : 열린집합들의 족 Π 1 0 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)} : 닫힌집합들의 족 Σ 2 0 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)} : Fσ 집합들의 족 Π 2 0 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X)} : Gδ 집합들의 족 Δ 1 1 ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)} : 보렐 집합들의 족 또한, σ ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {\sigma } ({\mathcal {F}})} 가 집합족 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 BP ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {BP} (X)} 라고 표기하자. BP ⁡ ( X ) = σ ⁡ ( Meag ⁡ ( X ) ∪ Σ 1 0 ( X ) ) = σ ⁡ ( Meag ⁡ ( X ) ∪ Π 1 0 ( X ) ) = σ ⁡ ( Meag ⁡ ( X ) ∪ Δ 1 1 ( X ) ) = { S ⊆ X : ∃ U ∈ Σ 1 0 ( X ) : A △ ⁡ U ∈ Meag ⁡ ( X ) } = { S ⊆ X : ∃ F ∈ Π 1 0 ( X ) : A △ ⁡ F ∈ Meag ⁡ ( X ) } = { A ∖ M : A ∈ Σ 2 0 ( X ) , M ∈ Meag ⁡ ( X ) } = { A ∪ M : A ∈ Π 2 0 ( X ) , M ∈ Meag ⁡ ( X ) } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {BP} (X)&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\right)\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\\end{aligned}}} 여기서 A △ ⁡ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) {\displaystyle A\mathop {\triangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)} 은 대칭차이다. BP ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {BP} (X)} 의 원소를 X {\displaystyle X} 의 준열린집합이라고 한다.:47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23 증명: 다음 기호를 정의하자. A = σ ⁡ ( Meag ⁡ ( X ) ∪ Σ 1 0 ( X ) ) A ′ = σ ⁡ ( Meag ⁡ ( X ) ∪ Π 1 0 ( X ) ) A ″ = σ ⁡ ( Meag ⁡ ( X ) ∪ Δ 1 1 ( X ) ) B = { S ⊆ X : ∃ U ∈ Σ 1 0 ( X ) : A △ ⁡ U ∈ Meag ⁡ ( X ) } B ′ = { S ⊆ X : ∃ F ∈ Π 1 0 ( X ) : A △ ⁡ F ∈ Meag ⁡ ( X ) } = { X ∖ S : S ∈ B } C = { A ∖ M : A ∈ Σ 2 0 ( X ) , M ∈ Meag ⁡ ( X ) } C ′ = { A ∪ M : A ∈ Π 2 0 ( X ) , M ∈ Meag ⁡ ( X ) } = { X ∖ S : S ∈ C } {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}'&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}''&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\right)\\{\mathcal {B}}&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\{\mathcal {B}}'&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {B}}\}\\{\mathcal {C}}&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\{\mathcal {C}}'&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {C}}\}\\\end{aligned}}} 보렐 시그마 대수는 정의에 따라 Δ 1 1 ( X ) = σ ( Σ 1 0 ( X ) ) = σ ( Π 1 0 ( X ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)=\sigma ({\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X))=\sigma ({\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X))} 이므로, 자명하게 A = A ′ = A ″ {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}'={\mathcal {A}}''} 이다. 또한, 자명하게 C ∪ C ′ ⊆ A ″ ⊆ σ ( B ) = σ ( B ′ ) {\displaystyle {\mathcal {C}}\cup {\mathcal {C}}'\subseteq {\mathcal {A}}''\subseteq \sigma ({\mathcal {B}})=\sigma ({\mathcal {B}}')} 이다. 또한, B ⊆ C ′ ⟺ B ′ ⊆ C {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'\iff {\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {C}}} 임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, B ⊆ C ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'} B = σ ( B ) {\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})} 를 보이면 족하다. B ⊆ C ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'} : 임의의 집합 S ∈ B {\displaystyle S\in {\mathcal {B}}} 및 U ∈ Σ 1 0 ( X ) {\displaystyle U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)} 에 대하여, S △ U ⊆ A 0 ∪ A 1 ∪ ⋯ {\displaystyle S\triangle U\subseteq A_{0}\cup A_{1}\cup \cdots } 이며, ( A i ) i ∈ N {\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 가 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, M = cl ⁡ ( A 0 ) ∪ cl ⁡ ( A 1 ) ∪ ⋯ ∈ Meag ⁡ ( X ) ∩ Σ 2 0 ( X ) {\displaystyle M=\operatorname {cl} (A_{0})\cup \operatorname {cl} (A_{1})\cup \cdots \in \operatorname {Meag} (X)\cap {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)} 이다. 이제 S ~ = U ∖ M ∈ Π 2 0 ( X ) {\displaystyle {\tilde {S}}=U\setminus M\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X)} 을 정의하자. 그렇다면, S ∖ S ~ ⊆ M {\displaystyle S\setminus {\tilde {S}}\subseteq M} 이므로 S ∖ S ~ ∈ Meag ⁡ ( X ) {\displaystyle S\setminus {\tilde {S}}\in \operatorname {Meag} (X)} 이며, S = S ~ ∪ ( S ∖ S ~ ) {\displaystyle S={\tilde {S}}\cup (S\setminus {\tilde {S}})} 이다. B = σ ( B ) {\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})} : 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다. 여집합에 대한 닫힘: 편의상, A △ B ∈ Meag ⁡ ( X ) {\displaystyle A\triangle B\in \operatorname {Meag} (X)} 를 A ≈ B {\displaystyle A\approx B} 로 표기하자. 임의의 A ∈ B {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}} 에 대하여, U ∈ Σ 1 0 ( X ) {\displaystyle U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)} 이며 A ≈ U {\displaystyle A\approx U} 라고 하자. 그렇다면, X ∖ A ≈ X ∖ U {\displaystyle X\setminus A\approx X\setminus U} 이며, U ≈ cl ⁡ ( U ) {\displaystyle U\approx \operatorname {cl} (U)} 이므로 X ∖ A ≈ X ∖ cl ⁡ ( U ) ∈ Σ 1 0 ( X ) {\displaystyle X\setminus A\approx X\setminus \operatorname {cl} (U)\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)} 이다. 위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉, 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다. 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다. 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다. 모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다. 선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다. 르네루이 베르가 1905년에 도입하였다. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.  Baire, René (1905). 《Leçons sur les fonctions discontinues professées au collège de France》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0438.01.  “Baire property”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Almost open subspace”. 《nLab》 (영어).