예피멘코 방정식

전자기학에서 예피멘코 방정식(Ефименко方程式, 영어: Jefimenko's equation)은 주어진 전하 밀도 및 전류 밀도가 만드는 전자기장에 대한 방정식이다. 우크라이나 태생 미국 물리학자 올레크 예피멘코(우크라이나어: Оле́г Дми́триевич Ефиме́нко)가 자신이 1966년에 쓴 교과서에 이 공식을 이름 없이 언급하였고, 그 뒤 데이비드 그리피스(David J. Griffiths)가 "예피멘코 방정식"이라는 이름을 붙였다. 시간에 따라 변하는 전하 밀도 ρ ( t , y ) {\displaystyle \rho (t,\mathbf {y} )} 와 전류 밀도 J ( t , y ) {\displaystyle \mathbf {J} (t,\mathbf {y} )} 로 구성된 계가 만드는 전자기장을 생각해 보자. 로렌츠 게이지 조건 아래, 이 계의 전위 ϕ ( t , x ) {\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )} 와 벡터 퍼텐셜 A ( t , x ) {\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )} 은 뒤처진 퍼텐셜이다. ϕ ( t , x ) = ∫ ρ ( t ret , y ) 4 π ϵ 0 r d 3 y {\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\rho (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )}{4\pi \epsilon _{0}r}}\;d^{3}\mathbf {y} } A ( t , x ) = ∫ μ 0 J ( t ret , y ) 4 π r d 3 y {\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mu _{0}\mathbf {J} (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )}{4\pi r}}\;d^{3}\mathbf {y} } . 여기서 r = x − y {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {y} } , r = ‖ x − y ‖ {\displaystyle r=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert } 이고, t ret = t − r / c {\displaystyle t_{\text{ret}}=t-r/c} 은 뒤처진 시간이다. 이 뒤처진 퍼텐셜로부터 전기장과 자기장을 직접 계산할 수 있다. E ( t , x ) = − ∇ ϕ ( t , x ) − A ˙ ( t , x ) {\displaystyle \mathbf {E} (t,\mathbf {x} )=-\nabla \phi (t,\mathbf {x} )-{\dot {\mathbf {A} }}(t,\mathbf {x} )} B ( t , x ) = ∇ × A ( t , x ) {\displaystyle \mathbf {B} (t,\mathbf {x} )=\nabla \times \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )} . 여기에 위 뒤처진 퍼텐셜 공식을 대입하면 다음 식을 얻는다. E ( x , t ) = ∫ ( ρ ( t ret , y ) + ρ ˙ r ( t ret , y ) / c ) r ^ − r J ˙ ( t ret , y ) / c 2 4 π ϵ 0 r 2 d 3 y {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {(\rho (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )+{\dot {\rho }}r(t_{\text{ret}},\mathbf {y} )/c){\hat {\mathbf {r} }}-r{\dot {\mathbf {J} }}(t_{\text{ret}},\mathbf {y} )/c^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} } B ( x , t ) = ∫ μ 0 ( J ( t ret , y ) + r J ˙ ( t ret , y ) / c ) × r ^ 4 π r 2 d 3 y {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\mu _{0}(\mathbf {J} (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )+r{\dot {\mathbf {J} }}(t_{\text{ret}},\mathbf {y} )/c)\times {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} } . (여기서 r ^ = r / r = ( x − y ) / ‖ x − y ‖ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r=(\mathbf {x} -\mathbf {y} )/\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert } 은 x − y {\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {y} } 방향의 단위벡터다.) 이 두 공식을 예피멘코 방정식이라고 부른다. 만약 전하 분포와 전류 분포가 시간에 따라 변하지 않는다면 ( ρ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\rho }}=0} , J ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}=0} ), 예피멘코 방정식은 다음과 같이 쿨롱 법칙과 비오-사바르 법칙이 된다. E ( x , t ) = ∫ ρ ( y ) r ^ 4 π ϵ 0 r 2 d 3 y {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\rho (\mathbf {y} ){\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} } B ( x , t ) = ∫ μ 0 J ( y ) × r ^ 4 π r 2 d 3 y {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {y} )\times {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} } . 리에나르-비헤르트 퍼텐셜 Griffiths, David J. (1999). 〈§10.2.2 Jefimenko's equations〉. 《Introduction to Electrodynamics》 (영어) 3판. Addison-Wesley. 427쪽. ISBN 81-7758-293-3.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Jefimenko, Oleg D. (1966). 〈§15.7〉. 《Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields》 (영어) 1판. New York: Appleton-Century-Crofts.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Griffiths, David J.; Mark A. Heald (1991년 2월). “Time‐dependent generalizations of the Biot–Savart and Coulomb laws”. 《American Journal of Physics》 59 (2): 111. doi:10.1119/1.16589.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)