모레라 정리

복소해석학에서 모레라 정리(-定理, 영어: Morera's theorem)는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다. 모레라 정리에 따르면, 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 연속 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f {\displaystyle f} 는 정칙 함수이다. 임의의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 닫힌 곡선 γ : [ a , b ] → D {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D} 에 대하여, ∫ γ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=0} 임의의 삼각형 열린집합 T ⊆ D {\displaystyle T\subseteq D} 에 대하여, ∫ ∂ T f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \int _{\partial T}f(z)\mathrm {d} z=0} 특히, D {\displaystyle D} 가 단일 연결 열린집합이라면, f {\displaystyle f} 가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다. 코시 적분 정리에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.:91-92 임의의 w 0 ∈ D {\displaystyle w_{0}\in D} 를 취하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 가 어떤 볼록 열린 근방 w 0 ∈ D ~ ⊆ D {\displaystyle w_{0}\in {\tilde {D}}\subseteq D} 에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. ( D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} 는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.) 함수 F : D ~ → C {\displaystyle F\colon {\tilde {D}}\to \mathbb {C} } 를 F ( w ) = ∫ [ w 0 , w ] f ( z ) d z ∀ w ∈ D ~ {\displaystyle F(w)=\int _{[w_{0},w]}f(z)\mathrm {d} z\qquad \forall w\in {\tilde {D}}} 와 같이 정의하자. 여기서 [ w 0 , w ] ⊆ D ~ {\displaystyle [w_{0},w]\subseteq {\tilde {D}}} 는 w 0 {\displaystyle w_{0}} 와 w {\displaystyle w} 사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 w ∈ D ~ {\displaystyle w\in {\tilde {D}}} 에 대하여, 다음이 성립한다. lim w ′ → w F ( w ′ ) − F ( w ) w ′ − w = lim w ′ → w ∫ [ w , w ′ ] f ( z ) w ′ − w d z = lim w ′ → w ∫ 0 1 f ( w + t ( w ′ − w ) ) d t = f ( w ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{w'\to w}{\frac {F(w')-F(w)}{w'-w}}&=\lim _{w'\to w}\int _{[w,w']}{\frac {f(z)}{w'-w}}\mathrm {d} z\\&=\lim _{w'\to w}\int _{0}^{1}f(w+t(w'-w))\mathrm {d} t\\&=f(w)\end{aligned}}} 즉, 임의의 w ∈ D ~ {\displaystyle w\in {\tilde {D}}} 에 대하여, F ′ ( w ) = f ( w ) {\displaystyle F'(w)=f(w)} 이다. 따라서 F {\displaystyle F} 는 D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} 에서 정칙 함수이며, 그 도함수 f {\displaystyle f} 역시 D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} 에서 정칙 함수이다. 모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다. 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 에 정의된 정칙 함수열 f n : D → C {\displaystyle f_{n}\colon D\to \mathbb {C} } 가 함수 f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } 로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 역시 정칙 함수이다. 임의의 z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} 를 취하고, 0 < r < d ( z 0 , ∂ D ) {\displaystyle 0<r<d(z_{0},\partial D)} 를 취하자. 그렇다면, B ¯ ( z 0 , r ) ⊆ D {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)\subseteq D} 이며, 이는 콤팩트 집합이므로, f n {\displaystyle f_{n}} 은 B ¯ ( z 0 , r ) {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)} 에서 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다. 따라서, f {\displaystyle f} 는 B ¯ ( z 0 , r ) {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)} 에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 닫힌 곡선 γ : [ a , b ] → B ¯ ( z 0 , r ) {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)} 에 대하여, ∫ γ f ( z ) d z = lim n → ∞ ∫ γ f n ( z ) d z = 0 {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\lim _{n\to \infty }\int _{\gamma }f_{n}(z)\mathrm {d} z=0} 이다. 모든 삼각형은 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, f {\displaystyle f} 는 B ¯ ( z 0 , r ) {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)} 에서 정칙 함수이다. 리만 제타 함수 ζ {\displaystyle \zeta } 는 D = { s ∈ C : Re ⁡ s > 1 } {\displaystyle D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>1\}} 에서 다음과 같이 정의된다. ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s ∀ s ∈ D {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\qquad \forall s\in D} 이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 D {\displaystyle D} 에서 콤팩트 수렴하며, 각 s ↦ 1 / n s {\displaystyle s\mapsto 1/n^{s}} 는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선 γ : [ a , b ] → D {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D} 에 대하여, ∫ γ ζ ( s ) d s = ∑ n = 1 ∞ ∫ γ 1 n s d s = 0 {\displaystyle \int _{\gamma }\zeta (s)\mathrm {d} s=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\gamma }{\frac {1}{n^{s}}}\mathrm {d} s=0} 이다. 모레라 정리에 의하여, ζ {\displaystyle \zeta } 는 D {\displaystyle D} 에서 정칙 함수이다. 감마 함수 Γ {\displaystyle \Gamma } 는 D = { s ∈ C : Re ⁡ s > 0 } {\displaystyle D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>0\}} 에서 다음과 같이 정의된다. Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}\mathrm {d} x} 각 s ↦ x s − 1 {\displaystyle s\mapsto x^{s-1}} 는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선 γ : [ a , b ] → D {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D} 에 대하여, ∫ γ Γ ( s ) d s = ∫ 0 ∞ e − x d x ∫ γ x s − 1 d s = 0 {\displaystyle \int _{\gamma }\Gamma (s)\mathrm {d} s=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\mathrm {d} x\int _{\gamma }x^{s-1}\mathrm {d} s=0} 이다. 모레라 정리에 의하여, Γ {\displaystyle \Gamma } 는 D {\displaystyle D} 에서 정칙 함수이다. 코시-리만 방정식 유수 (복소해석학) 미타그레플레르 정리 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1.  “Morera theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Morera's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.