다르부 함수

미적분학과 위상수학에서 다르부 함수(영어: Darboux’s function)는 연결 집합의 상이 연결 집합인 함수이다. 실수에서 실수로 가는 함수의 경우 이는 구간의 상이 구간인 함수와 동치이다. 다르부 정리(영어: Darboux’s theorem) 또는 다르부 중간값 정리(영어: Darboux’s intermediate value theorem)에 따르면, 실수 구간에서 실수로 가는 미분 가능 함수의 도함수는 항상 다르부 함수이다. 이는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다. 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면, 다르부 함수라고 한다. 연결 집합의 상은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, f ( A ) ⊆ Y {\displaystyle f(A)\subseteq Y} 는 연결 집합이다. 실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간이다. 따라서, 구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 위에 정의된 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 다르부 함수이다. 구간의 상은 구간이다. 즉, 임의의 a , b ∈ I {\displaystyle a,b\in I} 및 y ∈ ( f ( a ) , f ( b ) ) ∪ ( f ( b ) , f ( a ) ) {\displaystyle y\in (f(a),f(b))\cup (f(b),f(a))} 에 대하여, f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} 인 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} 가 존재한다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 과 집합 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면, κ {\displaystyle \kappa } -어디서나 전사 함수(영어: κ {\displaystyle \kappa } -everywhere surjective function)라고 한다. 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} 는 κ {\displaystyle \kappa } -조밀 집합이다 (즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, | U ∩ f − 1 ( y ) | ≥ κ {\displaystyle |U\cap f^{-1}(y)|\geq \kappa } ). 1-어디서나 전사 함수를 어디서나 전사 함수(영어: everywhere surjective function)라고 한다. 즉, 임의의 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} 는 조밀 집합이어야 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, f ( U ) = Y {\displaystyle f(U)=Y} 인 조건과 동치이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 | X | {\displaystyle |X|} -어디서나 전사 함수 X → X {\displaystyle X\to X} 를 강하게 어디서나 전사 함수(영어: strongly everywhere surjective function)라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 과 집합 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 어디서나 전사 함수(영어: perfectly everywhere surjective function)라고 한다. 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 P ⊆ X {\displaystyle P\subseteq X} 에 대하여, f ( P ) = Y {\displaystyle f(P)=Y} 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시키면, 둘레 연속 함수(영어: peripherally continouous function)라고 한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} , V ∋ f ( x ) {\displaystyle V\ni f(x)} 에 대하여, cl ⁡ W ⊆ U {\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq U} , f ( ∂ W ) ⊂ V {\displaystyle f(\partial W)\subset V} 인 열린 근방 W ∋ x {\displaystyle W\ni x} 가 존재한다. 중간값 정리에 따르면, 모든 연속 함수는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다. 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다. 완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ 조밀 그래프를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수 각 함의의 역은 성립하지 않는다. 다르부 정리에 따르면, 임의의 폐구간 [ a , b ] ⊆ R {\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} } 및 미분 가능 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 에 대하여, 도함수 f ′ : [ a , b ] → R {\displaystyle f'\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 는 다르부 함수이다. 특히, 임의의 y ∈ ( f ′ ( a ) , f ′ ( b ) ) ∪ ( f ′ ( b ) , f ′ ( a ) ) {\displaystyle y\in (f'(a),f'(b))\cup (f'(b),f'(a))} 에 대하여, f ′ ( x ) = y {\displaystyle f'(x)=y} 인 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} 가 존재한다.:224–225 다르부 정리의 증명: 편의상 f ′ ( a ) < y < f ′ ( b ) {\displaystyle f'(a)<y<f'(b)} 라고 하자. g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } g : t ↦ y t − f ( t ) {\displaystyle g\colon t\mapsto yt-f(t)} 라고 하자. 그렇다면 g {\displaystyle g} 는 연속 함수이며, 어떤 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에서 최댓값 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 를 갖는다 (최대 최소 정리). 이제, x = a {\displaystyle x=a} 라고 가정하자. 그렇다면 g ( a ) {\displaystyle g(a)} 가 최댓값이므로, 임의의 t ∈ [ a , b ] {\displaystyle t\in [a,b]} 에 대하여 0 ≥ ( g ( t ) − g ( a ) ) / ( t − a ) {\displaystyle 0\geq (g(t)-g(a))/(t-a)} 이다. 따라서 0 ≥ g ′ ( a ) = y − f ′ ( a ) {\displaystyle 0\geq g'(a)=y-f'(a)} 이며, 이는 모순이다. 즉, x ≠ a {\displaystyle x\neq a} 이다. 마찬가지로 x ≠ b {\displaystyle x\neq b} 임을 보일 수 있다. 이에 따라 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} 이며, 0 = g ′ ( x ) = y − f ′ ( x ) {\displaystyle 0=g'(x)=y-f'(x)} 이다 (페르마 임계점 정리). 즉, f ′ ( x ) = y {\displaystyle f'(x)=y} 이다. 모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 인 2 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}} 차원 실수 벡터 공간이 존재한다. 즉, 중간값 정리의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 부분 집합 M ⊂ V {\displaystyle M\subset V} 에 대하여, λ ( M ) {\displaystyle \lambda (M)} 이 W ⊂ M ∪ { 0 } {\displaystyle W\subset M\cup \{0\}} 인 κ {\displaystyle \kappa } 차원 부분 벡터 공간 W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} 가 존재하지 않는 가장 작은 기수 κ {\displaystyle \kappa } 라고 하자. (특히, λ ( M ) {\displaystyle \lambda (M)} 이 따름 기수 κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} 일 경우, κ {\displaystyle \kappa } 는 벡터 공간 W ⊂ M ∪ { 0 } {\displaystyle W\subset M\cup \{0\}} 의 최대 차원이다.) 그렇다면, V = R R {\displaystyle V={\mathbb {R} }^{\mathbb {R} }} 에 대하여 다음 결과들이 있다. 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f : x ↦ { sin ⁡ ( 1 / x ) x ≠ 0 0 x = 0 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}} 는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 다르부 함수는 연속점을 전혀 가지지 않을 수도 있으므로, 이는 중간값 정리의 역의 비교적 ‘약한’ 반례이다. 임의의 무한 기수 κ {\displaystyle \kappa } 및 크기 κ {\displaystyle \kappa } 의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 어디서나 전사 함수 X → X {\displaystyle X\to X} 가 존재한다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합의 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 이며, 또한 κ {\displaystyle \kappa } 개의 서로소 조밀 집합을 갖는다. 구체적으로, κ {\displaystyle \kappa } 개의 서로소 조밀 집합들의 집합 F ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)} 와 전단사 함수 ϕ : F → X {\displaystyle \phi \colon {\mathcal {F}}\to X} 가 주어졌을 때, 함수 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} f : x ↦ { ϕ ( D ) x ∈ D ∈ F 0 x ∉ D ∀ D ∈ F {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi (D)&x\in D\in {\mathcal {F}}\\0&x\not \in D\forall D\in {\mathcal {F}}\end{cases}}} 는 어디서나 전사 함수이다. 특히, X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 의 경우 F = R / Q {\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {R} /\mathbb {Q} } 로 취할 수 있다. 콘웨이 13진 함수(영어: Conway base-13 function) f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 는 다음과 같다. 만약 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 의 13진법 전개가 x = a 1 a 2 ⋯ a p . b 1 b 2 ⋯ b q A c 1 c 2 … c r C d 1 d 2 d 3 ⋯ ( 13 ) {\displaystyle x=a_{1}a_{2}\cdots a_{p}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}\mathrm {A} c_{1}c_{2}\dots c_{r}\mathrm {C} d_{1}d_{2}d_{3}\cdots _{(13)}} ( a i , b i ∈ { 0 , 1 , … , 9 , A , B , C } {\displaystyle a_{i},b_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}} , c i , d i ∈ { 0 , 1 , … , 9 } {\displaystyle c_{i},d_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}} ) 꼴이라면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 십진법 전개는 f ( x ) = c 1 c 2 ⋯ c r . d 1 d 2 d 3 ⋯ {\displaystyle f(x)=c_{1}c_{2}\cdots c_{r}.d_{1}d_{2}d_{3}\cdots } 이다. 만약 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 의 13진법 전개가 x = a 1 a 2 ⋯ a p . b 1 b 2 ⋯ b q B c 1 c 2 … c r C d 1 d 2 d 3 ⋯ ( 13 ) {\displaystyle x=a_{1}a_{2}\cdots a_{p}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}\mathrm {B} c_{1}c_{2}\dots c_{r}\mathrm {C} d_{1}d_{2}d_{3}\cdots _{(13)}} ( a i , b i ∈ { 0 , 1 , … , 9 , A , B , C } {\displaystyle a_{i},b_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}} , c i , d i ∈ { 0 , 1 , … , 9 } {\displaystyle c_{i},d_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}} ) 꼴이라면, f ( x ) {\displaystyle f(x)} 의 십진법 전개는 f ( x ) = − c 1 c 2 ⋯ c r . d 1 d 2 d 3 ⋯ {\displaystyle f(x)=-c_{1}c_{2}\cdots c_{r}.d_{1}d_{2}d_{3}\cdots } 이다. 만약 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면, f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 이다. 콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다. 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.) 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의 y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0} 의 원상은 가산 무한 집합이다.) 주기 1의 주기 함수이다. 유리수의 상은 유리수이다. 끝점이 유리수인 모든 개구간의 집합 { ( a i , b i ) : i ∈ N } {\displaystyle \{(a_{i},b_{i})\colon i\in \mathbb {N} \}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 서로소 칸토어 집합 C 0 ⊂ ( a 0 , b 0 ) {\displaystyle C_{0}\subset (a_{0},b_{0})} C 1 ⊂ ( a 1 , b 1 ) ∖ C 0 {\displaystyle C_{1}\subset (a_{1},b_{1})\setminus C_{0}} C 2 ⊂ ( a 2 , b 2 ) ∖ ( C 0 ∪ C 1 ) {\displaystyle C_{2}\subset (a_{2},b_{2})\setminus (C_{0}\cup C_{1})} ⋮ {\displaystyle \vdots } 이 존재한다. (이는 칸토어 집합의 르베그 측도가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합은 곱공간 { 0 , 1 } ℵ 0 ≅ { 0 , 1 } ℵ 0 × { 0 , 1 } ℵ 0 = ⋃ j ∈ { 0 , 1 } ℵ 0 ( { 0 , 1 } ℵ 0 × { j } ) {\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}\cong \{0,1\}^{\aleph _{0}}\times \{0,1\}^{\aleph _{0}}=\bigcup _{j\in \{0,1\}^{\aleph _{0}}}(\{0,1\}^{\aleph _{0}}\times \{j\})} 과 위상 동형이므로, 각 C i {\displaystyle C_{i}} 는 칸토어 집합과 위상 동형인 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 개의 서로소 집합들 C i j {\displaystyle C_{ij}} 의 합집합이다. C i = ⋃ j < 2 ℵ 0 C i j {\displaystyle C_{i}=\bigcup _{j<2^{\aleph _{0}}}C_{ij}} 임의의 전단사 함수 ϕ i j : C i j → R {\displaystyle \phi _{ij}\colon C_{ij}\to \mathbb {R} } 들을 취하자. 다음 함수를 정의하자. f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f : x ↦ { ϕ i j ( x ) x ∈ C i j 0 x ∉ C 0 ∪ C 1 ∪ ⋯ {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi _{ij}(x)&x\in C_{ij}\\0&x\not \in C_{0}\cup C_{1}\cup \cdots \end{cases}}} 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 칸토어 집합 C ⊂ R ∖ ( C 0 ∪ C 1 ∪ ⋯ ) {\displaystyle C\subset \mathbb {R} \setminus (C_{0}\cup C_{1}\cup \cdots )} 이 존재하기 때문이다).:490, Example 2.8 실수의 (공집합이 아닌) 완전 집합의 집합을 A ⊂ P ( R ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )} 로 표기하자. 또한, A × R = { ( P i , y i ) : i < 2 ℵ 0 } {\displaystyle {\mathcal {A}}\times \mathbb {R} =\{(P_{i},y_{i})\colon i<2^{\aleph _{0}}\}} 이라고 하자. (실수의 닫힌집합의 수는 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서, | A | = 2 ℵ 0 {\displaystyle |{\mathcal {A}}|=2^{\aleph _{0}}} 이다.) 실수의 완전 집합의 크기는 항상 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이므로, 초한 귀납법을 통해 다음과 같은 실수 집합 { x i : i < 2 ℵ 0 } ⊂ R {\displaystyle \{x_{i}\colon i<2^{\aleph _{0}}\}\subset \mathbb {R} } 을 취할 수 있다. x i ∈ P i ∖ { x j : j < i } {\displaystyle x_{i}\in P_{i}\setminus \{x_{j}\colon j<i\}} 이제, f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f : x ↦ { y i x = x i 0 x ≠ x i ∀ i < 2 ℵ 0 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}y_{i}&x=x_{i}\\0&x\neq x_{i}\forall i<2^{\aleph _{0}}\end{cases}}} 라고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 완전 어디서나 전사 함수이다.:492, Example 2.12 일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 연속 함수 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 의 정의로 잘못 쓰였다. (사실 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다.) 이러한 오류는 장 가스통 다르부가 1875년에 지적하였다. Bernardi, Claudio (2017). “Graphs of real functions with pathological behaviors”. 《Soft Computing》 (영어) 21: 11–15. arXiv:1602.07555. doi:10.1007/s00500-016-2342-4. ISSN 1432-7643. Zbl 1382.26004.  Fenoy-Muñoz, Mar; Gámez-Merino, José Luis; Muñoz-Fernández, Gustavo A.; Sáez-Maestro, Eva (2017). “A hierarchy in the family of real surjective functions”. 《Open Mathematics》 (영어) 15 (1): 486–501. doi:10.1515/math-2017-0042. ISSN 2391-5455. Zbl 1362.26003.  Bernal-González, Luis; Pellegrino, Daniel; Seoane-Sepúlveda, Juan B. (2014). “Linear subsets of nonlinear sets in topological vector spaces”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 51: 71–130. doi:10.1090/S0273-0979-2013-01421-6. ISSN 0273-0979. MR 3119823. Zbl 1292.46004.  Ciesielski, K. C.; Gámez-Merino, J. L.; Mazza, L.; Seoane-Sepúlveda, J. B. (2017). “Cardinal coefficients related to surjectivity, Darboux, and Sierpiński-Zygmund maps”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 145: 1041–1052. doi:10.1090/proc/13294. ISSN 0002-9939. MR 3589304. Zbl 1357.26005.  Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006. 다르부 정리 “Darboux property”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Darboux theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.