이항 계수

조합론에서 이항 계수(二項係數, 영어: binomial coefficient)는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다. 자연수 n {\displaystyle n} 및 정수 k {\displaystyle k} 가 주어졌을 때, 이항 계수 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 는 다음과 같다. ( n k ) = { n ! / ( k ! ( n − k ) ! ) 0 ≤ k ≤ n 0 k < 0 0 k > n {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}n!/\left(k!(n-k)!\right)&0\leq k\leq n\\0&k<0\\0&k>n\end{cases}}} 여기서 ! {\displaystyle !} 는 계승이다. 이항 계수를 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 대신 n C k {\displaystyle {}_{n}C_{k}} 나 C ( n , k ) {\displaystyle C(n,k)} 로 쓰기도 한다. 이항 계수의 값을 삼각형 모양으로 나열한 표를 파스칼의 삼각형이라고 한다. n = 2 k {\displaystyle n=2k} 인 경우의 이항 계수를 중심 이항 계수(中心二項係數, 영어: central binomial coefficient)라고 한다. 이는 다음과 같다 ( k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\dots } ). 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, … (OEIS의 수열 A000984) 이항 계수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 이는 이항 계수의 정의로부터 쉽게 증명할 수 있다. ( n k ) = ( n n − k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}} 다음과 같은 점화식이 성립하며, 이는 파스칼의 법칙(Pascal-法則, 영어: Pascal’s rule)이라고 한다. ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}} 이항 계수는 다음과 같은 급수 공식들을 만족시킨다. 이들은 대부분 생성 함수(의 도함수)의 특수한 값으로 얻어진다. 이 공식들은 생성함수 ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}} (의 도함수)의 x = 1 {\displaystyle x=1} 값으로부터 유도할 수 있다. ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}} ∑ k = 0 n k ( n k ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}} 또한, 피보나치 수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( n − k k ) = F ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1)} 여기서 F ( n ) {\displaystyle F(n)} 은 n {\displaystyle n} 번째 피보나치 수이다. 다음 항등식은 주세걸-방데르몽드 항등식(朱世傑-Vandermonde恒等式, 영어: Zhu–Vandermonde identity)이라고 한다. ∑ j = 0 k ( m j ) ( n k − j ) = ( m + n k ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}={\binom {m+n}{k}}} 이항계수의 제곱의 합은 다음과 같이 중심 이항 계수로 주어진다. ∑ k = 0 n ( n k ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}} 이는 조합론적으로 증명할 수 있다. ( 2 n n ) {\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}} 은 크기가 2 n {\displaystyle 2n} 집합 속에서 n {\displaystyle n} 개의 조합의 가짓수인데, 이는 크기 2 n {\displaystyle 2n} 의 집합의 처음 절반에서 k {\displaystyle k} 개를 고르고, 나머지 절반에서 n − k {\displaystyle n-k} 개를 고르는 가짓수의 k {\displaystyle k} 에 대한 합 ∑ k = 0 n ( n k ) ( n n − k ) = ∑ k = 0 n ( n k ) 2 {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n}{n-k}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}} 과 같다. 이항 계수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다. ∑ k = 0 n ( n k ) x k = ( 1 + x ) n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}} ∑ n = k ∞ ( n k ) x n = x k ( 1 − x ) k + 1 {\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{n}={\frac {x^{k}}{(1-x)^{k+1}}}} ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n = 1 1 − y − x y {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}} ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n 1 ( n + k ) ! ( n + k k ) x k y n = exp ⁡ ( x + y ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(n+k)!}}{\binom {n+k}{k}}x^{k}y^{n}=\exp(x+y)} 중심 이항 계수의 생성 함수는 다음과 같다. ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) x n = 1 1 − 4 x {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}} 일반적으로, 모든 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 k ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다. ( n / k ) k ≤ ( n k ) ≤ n k / k ! ≤ ( e n / k ) k {\displaystyle (n/k)^{k}\leq {\binom {n}{k}}\leq n^{k}/k!\leq (en/k)^{k}} 중심 이항 계수의 경우 다음 부등식이 성립한다. 4 n 4 n ≤ ( 2 n n ) ≤ 4 n 3 n + 1 ∀ n ≥ 1 {\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {\binom {2n}{n}}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}\qquad \forall n\geq 1} n ≫ 1 {\displaystyle n\gg 1} 및 | 1 / 2 − k / n | ≪ 1 {\displaystyle |1/2-k/n|\ll 1} 에 대하여, 스털링 근사를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다. ( n k ) ≈ 2 n + 1 2 π n exp ⁡ ( − ( 2 k − n ) 2 / 2 n ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}\approx {\frac {2^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}\exp(-(2k-n)^{2}/2n)} 이에 따라, 이항분포를 정규분포로 근사할 수 있다. 특히, k = n / 2 {\displaystyle k=n/2} 일 경우 중심 이항 계수의 스털링 근사는 다음과 같다. ( n n / 2 ) ≈ 2 n + 1 2 π n {\displaystyle {\binom {n}{n/2}}\approx {\frac {2^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}} 이다. 만약 n ≫ 1 {\displaystyle n\gg 1} 이며 n ≫ k {\displaystyle n\gg k} 라면, 스털링 근사를 사용하여 이항 계수를 다음과 같이 근사할 수 있다. ( n k ) ∼ ( n / k − 1 / 2 ) k exp ⁡ ( k ) 2 π k {\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\frac {(n/k-1/2)^{k}\exp(k)}{\sqrt {2\pi k}}}} 쿠머 정리(Kummer定理, 영어: Kummer’s theorem)에 따르면, 음이 아닌 정수 n ≥ k {\displaystyle n\geq k} 및 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, p c ∣ ( n k ) {\displaystyle p^{c}\mid {\binom {n}{k}}} 인 최대 c {\displaystyle c} 는 다음과 같다. c = | { b ∈ Z + : k / p b − ⌊ k / p b ⌋ > n / p b − ⌊ n / p b ⌋ } | {\displaystyle c=|\{b\in \mathbb {Z} ^{+}\colon k/p^{b}-\lfloor k/p^{b}\rfloor >n/p^{b}-\lfloor n/p^{b}\rfloor \}|} 즉, 이는 k + ( n − k ) {\displaystyle k+(n-k)} 를 p {\displaystyle p} 진법에서 계산할 때 받아올림의 수와 같다. 뤼카의 정리는 이항계수의 소수에 대한 나머지의 값을 제시한다. 중심 이항 계수 ( 2 n n ) {\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}} 은 n > 4 {\displaystyle n>4} 에 대하여 항상 제곱 인수가 없는 정수이다. 이를 에르되시 추측(Erdős推測, 영어: Erdős squarefree conjecture)라고 한다. 에르되시 팔이 1980년에 추측하였고, 앤드루 그랜빌(영어: Andrew Granville)과 올리비에 라마레(프랑스어: Olivier Ramaré)가 1996년에 증명하였다. 임의의 양의 정수 d ∈ Z + {\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 다음이 성립한다. lim N → ∞ | { n < N : d ∣ ( n k ) } | N ( N + 1 ) / 2 = 1 {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\left|\{n<N\colon d\mid {\binom {n}{k}}\}\right|}{N(N+1)/2}}=1} N ( N + 1 ) / 2 = ∑ n = 0 N − 1 ∑ k = 0 n 1 {\displaystyle \textstyle N(N+1)/2=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{n}1} 은 n < N {\displaystyle n<N} 인 이항계수 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 의 수이므로, 임의의 양의 정수는 거의 모든 이항계수를 약수로 가진다. 이는 데이비드 싱매스터(영어: David Singmaster)가 1974년에 증명하였다. 이항 계수의 정의는 임의의 기수에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 에 대하여, 초한 이항 계수(超限二項係數, 영어: transfinite binomial coefficient) ( κ λ ) {\displaystyle {\binom {\kappa }{\lambda }}} 는 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 인 집합의, 크기가 λ {\displaystyle \lambda } 인 부분 집합들의 수이다. 만약 κ {\displaystyle \kappa } 와 λ {\displaystyle \lambda } 가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다. 초한 이항 계수의 값은 다음과 같다. ( κ λ ) = { κ λ λ ≤ κ ≥ ℵ 0 0 λ > κ ( n k ) k = λ < ℵ 0 , n = κ < ℵ 0 {\displaystyle {\binom {\kappa }{\lambda }}={\begin{cases}\kappa ^{\lambda }&\lambda \leq \kappa \geq \aleph _{0}\\0&\lambda >\kappa \\{\binom {n}{k}}&k=\lambda <\aleph _{0},\;n=\kappa <\aleph _{0}\end{cases}}} 첫 번째 경우는 κ λ ≤ ( κ λ λ ) = ( κ λ ) ≤ κ λ {\displaystyle \kappa ^{\lambda }\leq {\binom {\kappa \lambda }{\lambda }}={\binom {\kappa }{\lambda }}\leq \kappa ^{\lambda }} 이기 때문이다. (여기서 첫 부등식은 λ {\displaystyle \lambda } 개의, 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 인 집합들에서 각각 하나의 원소를 뽑는 것이다.) 특히, 중심 이항 계수는 다음과 같다. ( 2 κ κ ) = ( κ κ ) = 2 κ {\displaystyle {\binom {2\kappa }{\kappa }}={\binom {\kappa }{\kappa }}=2^{\kappa }} 초한 이항 계수의 경우, 유한 이항 계수에 대하여 성립하는 대칭성이 일반적으로 성립하지 않는다. ( κ + λ λ ) ≠ ( κ + λ κ ) {\displaystyle {\binom {\kappa +\lambda }{\lambda }}\neq {\binom {\kappa +\lambda }{\kappa }}} 예를 들어 ( 1 + ℵ 0 1 ) = ℵ 0 {\displaystyle {\binom {1+\aleph _{0}}{1}}=\aleph _{0}} ( 1 + ℵ 0 ℵ 0 ) = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\binom {1+\aleph _{0}}{\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}} 이다. 조합론에서, 이항 계수는 크기가 n {\displaystyle n} 인 유한 집합의 크기가 k {\displaystyle k} 인 부분집합의 수이다. 즉, n {\displaystyle n} 개의 원소의 k {\displaystyle k} 개의 조합의 수이다. 이 밖에도, 이항계수는 다음과 같은 다양한 조합론적 문제에 등장한다. 카탈랑 수 C n = ( 2 n n ) / ( n + 1 ) = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) {\displaystyle \textstyle C_{n}={\binom {2n}{n}}/(n+1)={2n \choose n}-{2n \choose n+1}} 는 다양한 조합론적 문제의 해이다. 크기가 n {\displaystyle n} 인 집합에서, 크기가 k {\displaystyle k} 인 중복집합을 고를 수 있는 가짓수는 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}} 이다. k {\displaystyle k} 개의 기호 ∙ {\displaystyle \bullet } 및 n {\displaystyle n} 개의 기호 ∘ {\displaystyle \circ } 를 포함하는 문자열의 수는 ( n + k k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+k}{k}}} 이다. 또한, ∙ ∙ {\displaystyle \bullet \bullet } 을 부분 문자열로 포함하지 않는 문자열의 수는 ( n + 1 k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n+1}{k}}} 이다. 이항 계수는 대수학에서 다음과 같이 이항급수의 전개에 사용되며, "이항계수"라는 이름은 이로부터 유래한다. ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}} 통계학에서, 이항 계수는 이항분포를 정의하는 데 사용된다. 베르트랑의 공준을 증명할 때, 중심 이항 계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 중심 이항 계수는 아페리 상수 ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} 가 무리수임을 증명할 때 쓰이는 급수 ζ ( 3 ) = 5 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n 3 ( 2 n n ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{{n^{3}}{\binom {2n}{n}}}}} 에 등장한다. 이항 계수는 파스칼의 삼각형의 형태로 이미 중세 동서양 수학에 알려져 있었다. 오늘날 쓰이는 표기법 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} 은 안드레아스 프라이헤르 폰 에팅스하우젠(독일어: Andreas Freiherr von Ettingshausen)이 1826년에 도입하였다. 포흐하머 기호 12정도 Erdős, P.; Graham, R. L. (1980). 《Old and new problems and results in combinatorial number theory》. L’Enseignement Mathématique (영어) 28. Geneva: Université de Genève. Zbl 0434.10001.  Granville, A.; Ramaré, O. 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