국소환

국소환(局所環, 영어: local ring)은 수학의 추상대수학 등에서 비교적 간단한 성질을 갖는 환의 일종으로, 기하학적으로 국소적인 정보를 담고 있다. 국소대수학(영어: local algebra)은 가환 국소환과 그 위의 가군을 다루는 가환대수학의 세부 분야이다. 환 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 성질들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 국소환이라 한다. 극대 왼쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다. 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다. 자명환이 아니며, 임의의 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여, r {\displaystyle r} 와 s {\displaystyle s} 둘 다 가역원이 아니라면 r + s {\displaystyle r+s} 또한 가역원이 아니다. 자명환이 아니며, 임의의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대해 r {\displaystyle r} 가 가역원이거나, 아니면 1 − r {\displaystyle 1-r} 가 가역원이다. (즉, R ∖ R × {\displaystyle R\setminus R^{\times }} 는 양쪽 아이디얼을 이룬다.) 유한 개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다. (이 경우 0개의 원소들의 합은 0이며, 따라서 0은 가역원이 아니며, 특히 1≠0이다.) 위의 성질들이 성립하면 유일한 극대 왼쪽 아이디얼과 극대 오른쪽 아이디얼 및 제이컵슨 근기가 전부 일치한다. 가환환에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 것이다. 일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (왼쪽과 오른쪽 모두) 뇌터 환이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 “유사 국소환”이라 부르기도 한다. 이 글에서는 이를 적용시키지 않는다. 두 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} , ( R ′ , m ′ ) {\displaystyle (R',{\mathfrak {m}}')} 사이의 국소환 준동형(영어: local homomorphism) f : ( R , m ) → ( R ′ , m ′ ) {\displaystyle f\colon (R,{\mathfrak {m}})\to (R',{\mathfrak {m}}')} 은 다음과 같은 함수이다. f : R → R ′ {\displaystyle f\colon R\to R'} 은 환 준동형이다. f ( m ) ⊂ m ′ {\displaystyle f({\mathfrak {m}})\subset {\mathfrak {m}}'} 이다. 국소환들과 국소환 준동형들은 범주를 이룬다. (비가환일 수 있는) 국소환 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 에 대하여, 몫환 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} 은 항상 나눗셈환이다. 만약 R {\displaystyle R} 가 추가로 가환환이라면, 몫환 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} 은 체이다. 국소환은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다. 국소환의 몫환은 국소환이다. 가환 국소환의 (유일한 극대 아이디얼에 대한) 완비화는 국소환이다. 임의의 (비가환일 수 있는) 국소환 R {\displaystyle R} 위의 (유한 생성 가군이 아닐 수 있는) 사영 가군은 항상 자유 가군이다. 이는 어빙 커플랜스키가 증명하였다. 가환 국소환의 표수는 0이거나 (1이 아닌) 소수의 거듭제곱이다. 구체적으로, 가환 국소환 ( R , m , K ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)} 가 주어졌을 때, R {\displaystyle R} 와 K {\displaystyle K} 의 표수는 다음 4가지 가운데 하나이다. 여기서 p {\displaystyle p} 는 임의의 소수를 뜻한다. char ⁡ R = char ⁡ K {\displaystyle \operatorname {char} R=\operatorname {char} K} 인 경우를 동표수 국소환(同標數-, 영어: equicharacteristic local ring)이라고 하며, 아니면 ( char ⁡ R , char ⁡ K ) {\displaystyle (\operatorname {char} R,\operatorname {char} K)} 형의 혼합 표수 국소환(영어: mixed characteristic local ring)이라고 한다. R {\displaystyle R} 가 동표수 국소환인 것은 R {\displaystyle R} 가 어떤 체를 부분환으로 포함하는 것과 동치이다. 모든 가환 국소환은 완비화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있으며, 뇌터 조건 아래 코언 구조 정리(영어: Cohen structure theorem)라는 분류가 존재한다. 가환 국소환 ( R , m , K ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)} 이 주어졌다고 하자. 이 경우, R {\displaystyle R} 의 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 에서의 국소화 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 역시 국소환이다. 이렇게 얻어진 국소환을 가환 완비 국소환이라고 한다. R {\displaystyle R} 가 정칙환인 것은 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 가 정칙환인 것과 동치이다. R {\displaystyle R} 의 표수는 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 의 표수와 같으며, R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 의 잉여류체는 R {\displaystyle R} 의 잉여류체 K {\displaystyle K} 와 같다. 가환 완비 국소환 ( R ^ , m ^ , K ) {\displaystyle ({\hat {R}},{\hat {\mathfrak {m}}},K)} 의 계수환(영어: coefficient ring)은 다음 성질들을 모두 만족시키는 부분환 C ⊆ R ^ {\displaystyle C\subseteq {\hat {R}}} 이다. ( C , m ^ ∩ C ) {\displaystyle (C,{\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)} 는 가환 완비 국소환이다. C {\displaystyle C} 의 잉여류체 C / ( m ^ ∩ C ) {\displaystyle C/({\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)} 의 사영 사상 R ^ → K = R ^ / m ^ {\displaystyle {\hat {R}}\to K={\hat {R}}/{\hat {\mathfrak {m}}}} 아래의 상은 K {\displaystyle K} 이다. C / ( m ^ ∩ C ) = K {\displaystyle C/({\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)=K} C ∩ m ^ = ( char ⁡ K ) C {\displaystyle C\cap {\hat {\mathfrak {m}}}=(\operatorname {char} K)C} 계수환은 유일하지 않을 수 있다. 뇌터 가환 완비 국소환 ( R ^ , m ^ , K ) {\displaystyle ({\hat {R}},{\hat {\mathfrak {m}}},K)} 가 주어졌을 때, 코언 구조 정리에 따르면 다음이 성립한다. R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 는 적어도 하나의 계수환 C {\displaystyle C} 를 갖는다. 만약 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 가 동표수 국소환이라면, C ≅ K {\displaystyle C\cong K} 이게 놓을 수 있다. 만약 m ^ = ( r 1 , r 2 , … , r n ) {\displaystyle {\hat {\mathfrak {m}}}=(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})} 이 n {\displaystyle n} 개의 원소 r i ∈ R ^ {\displaystyle r_{i}\in {\hat {R}}} 로 생성되는 유한 생성 아이디얼이라면, R ^ ≅ C [ [ x 1 , … , x n ] ] / a {\displaystyle {\hat {R}}\cong C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]/{\mathfrak {a}}} 가 되는 C [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} -아이디얼 a ⊆ C [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 이 존재한다. 특히, 만약 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 가 뇌터 환이라면 m ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {m}}}} 은 유한 생성 아이디얼이며, 위 조건이 성립한다. 특히, 만약 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 가 추가로 동표수 정칙 국소환이라면, R ^ ≅ C [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle {\hat {R}}\cong C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 이다. 여기서 C [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 은 C {\displaystyle C} 계수의 n {\displaystyle n} 개의 변수에 대한 형식적 멱급수환이다. 가환환 R {\displaystyle R} 의 임의의 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R} 에서의 국소화 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 는 국소환이다. 모든 나눗셈환은 국소환이다. (이 경우 영 아이디얼은 유일한 진 왼쪽 아이디얼이자 진 오른쪽 아이디얼이다.) (비가환환일 수 있는) 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 의 자기 사상환 End ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M)} 이 국소환이라면, M {\displaystyle M} 은 분해 불가능 가군이다. 반대로, 만약 R M {\displaystyle _{R}M} 이 유한한 길이를 가지며 분해 불가능 가군이라면, 자기 사상환 End ⁡ ( R M ) {\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M)} 은 (비가환환일 수 있는) 국소환이다. 양의 표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 의 체 K {\displaystyle K} 및 p-군 G {\displaystyle G} 가 주어졌을 때, 군환 k [ G ] {\displaystyle k[G]} 는 국소환이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 2×2 행렬환 Mat ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)} 은 유일한 (극대) 양쪽 아이디얼 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 을 가지지만, 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼은 유일하지 않으며, 따라서 국소환이 아니다. 대수기하학에서는 (가환) 국소환들이 자주 등장하며, 이는 보통 가환환을 소 아이디얼에서 국소화하여 얻어진다. 국소환을 아핀 스킴으로 여기면, 자리스키 위상에서 극대 아이디얼들은 닫힌 점들에 대응하므로, 국소환은 정확히 하나만의 닫힌 점을 포함하는 아핀 스킴이다. 즉, 이 점의 근방 위의 함수환으로 여길 수 있다. 실제로, 일반적 스킴을 임의의 점 (소 아이디얼)에서 국소화하면, 그 점 근방만의 정보를 담고 있는 국소환을 얻는다. 즉, 국소환은 자리스키 위상에서의 스킴의 줄기에 해당한다. 마찬가지로, 니스네비치 위상에서의 줄기는 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 줄기는 순 헨젤 국소환이다. 국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1938년에 독일어: Stellenring 슈텔렌링[*](위치환)이라는 명칭으로 도입하였다. "국소환"이라는 명칭은 오스카 자리스키가 도입하였다. 코언 구조 정리는 어빈 솔 코언이 도입하였다. (코언의 논문이 집필되었을 당시 "국소환"(영어: local ring)이라는 용어는 항상 뇌터 국소환을 의미하였다.) 역사적으로, 1960년대 이전까지는 "국소환"이라는 개념에는 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환이어야 한다는 조건이 첨가되었으며, 뇌터 조건을 만족시키지 않는 경우 "준국소환"(영어: quasilocal ring)이라는 이름으로 불렸다. 그러나 1960년대부터 뇌터 조건이 생략되었다. Krull, Wolfgang (1938년 1월). “Dimensionstheorie in Stellenringen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1938 (179): 204–226. doi:10.1515/crll.1938.179.204.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Zariski, Oscar (1943). “Foundations of a general theory of birational correspondences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (3): 490-542. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008468-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. MR 0016094.  Serre, Jean-Pierre (2000). 《Local algebra》. 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