앞섬-뒤짐 보상기

앞섬-뒤짐 보상기(Lead-lag compensator)는 PID 제어기와 더불어 실제 응용 분야에서 많이 사용되는 대표적인 제어기다. 이상적인 동작을 위해 PID 제어기는 적분기로 인한 무한대의 직류 이득과 미분기로 인한 무한대의 고주파 이득을 요구하지만, 앞섬-뒤짐 보상기는 보다 실제 적용에 있어 덜 이상적인 응답을 요구하는 제어기이다. 앞섬-뒤짐 보상기의 원리를 이해하기 위해서는 보드 선도를 통한 주파수 영역에서의 해석을 이용하는 것이 직관적으로 편리하다. 앞섬 보상기와 뒤짐 보상기의 라플라스 변환 표현은 다음과 같다. D ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = K s / z + 1 s / p + 1 . {\displaystyle D(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}=K{\frac {s/z+1}{s/p+1}}.} 여기서 X {\displaystyle X} 는 보상기의 입력 신호의 라플라스 변환이고 Y {\displaystyle Y} 는 보상기의 출력 신호의 라플라스 변환, s {\displaystyle s} 는 라플라스 변환 변수, − z {\displaystyle -z} 는 보상기의 영점, − p {\displaystyle -p} 는 보상기의 극점이다. 만약 0 < | z | < | p | {\displaystyle 0<|z|<|p|} 이면 보상기는 앞섬 보상기가 되고, 0 < | p | < | z | {\displaystyle 0<|p|<|z|} 이면 뒤짐 보상기가 된다. 보통의 경우 p {\displaystyle p} 와 z {\displaystyle z} , K {\displaystyle K} 는 양수이다. 보상기의 주파수 응답 특성을 관찰하기 위해 s = j ω {\displaystyle s=j\omega } 로 치환하자. 여기서 j {\displaystyle j} 는 허수 단위이고, ω {\displaystyle \omega } 는 각주파수이다. 그러면 보상기의 크기 응답과 위상 응답은 다음과 같다. | D ( j ω ) | = K 1 + ( ω / z ) 2 1 + ( ω / p ) 2 , ∠ D ( j ω ) = arctan ⁡ ω z − arctan ⁡ ω p . {\displaystyle {\begin{aligned}|D(j\omega )|&=K{\sqrt {\frac {1+(\omega /z)^{2}}{1+(\omega /p)^{2}}}},\\\angle D(j\omega )&=\arctan {\frac {\omega }{z}}-\arctan {\frac {\omega }{p}}.\end{aligned}}} 만약 0 < z < p {\displaystyle 0<z<p} 이면 위상 응답이 0보다 크고 ( ω = p z {\displaystyle \omega ={\sqrt {pz}}} 에서 최대), 따라서 앞섬 보상기가 된다. 반대로 0 < p < z {\displaystyle 0<p<z} 이면 위상 응답이 0보다 작고 ( ω = p z {\displaystyle \omega ={\sqrt {pz}}} 에서 최소), 뒤짐 보상기가 된다. ω = ω m = p z {\displaystyle \omega =\omega _{m}={\sqrt {pz}}} 에서의 위상 변화를 ϕ m {\displaystyle \phi _{m}} 이라 두면 다음과 같은 관계가 성립한다. sin ⁡ ϕ m = γ − 1 γ + 1 , γ = p / z . {\displaystyle \sin \phi _{m}={\frac {\gamma -1}{\gamma +1}},\quad \gamma =p/z.} 앞섬 보상기의 위상 응답 특성은 선형 시불변 시스템의 위상 여유를 증가시켜 불안정한 시스템을 안정화 시키거나 응답 특성을 개선하는데 이용될 수 있다. 주어진 플랜트(plant)를 G ( s ) {\displaystyle G(s)} , 플랜트에 가해질 제어 입력을 생성할 보상기 또는 제어기를 D ( s ) {\displaystyle D(s)} 라 두고 단일 되먹임 시스템(unity feedback system)을 고려하자. 즉, 기준 입력(reference input) r {\displaystyle r} 로부터 출력 y {\displaystyle y} 까지의 전달함수는 다음과 같다. Y ( s ) R ( s ) = D ( s ) G ( s ) 1 + D ( s ) G ( s ) . {\displaystyle {\frac {Y(s)}{R(s)}}={\frac {D(s)G(s)}{1+D(s)G(s)}}.} 시스템의 응답 특성에서 오버슈트(overshoot)를 줄이거나 불안정한 시스템의 안정화를 위해서는 보통 개방 루프의 주파수 응답의 이득 교차 주파수 ω c {\displaystyle \omega _{c}} 에서 위상 여유를 증가시켜야 한다. 직류 이득에 영향을 주지 않기 위해 보통 K = 1 {\displaystyle K=1} 로 둔다. 앞섬 보상기를 이용해 증가시킬 위상의 최댓값을 ϕ m {\displaystyle \phi _{m}} 이라 두면 ϕ m {\displaystyle \phi _{m}} 만큼의 위상 증가를 얻기 위해 필요한 극점과 영점의 비율 γ {\displaystyle \gamma } 는 다음의 관계식을 통해 결정된다. γ = 1 + sin ⁡ ϕ m 1 − sin ⁡ ϕ m . {\displaystyle \gamma ={\frac {1+\sin \phi _{m}}{1-\sin \phi _{m}}}.} γ {\displaystyle \gamma } 가 결정되면 ω m = p z {\displaystyle \omega _{m}={\sqrt {pz}}} 와 γ = p / z {\displaystyle \gamma =p/z} 의 관계로부터 p {\displaystyle p} 와 z {\displaystyle z} 의 값을 다음과 같이 얻게된다. z = ω m γ , p = ω m γ . {\displaystyle z={\frac {\omega _{m}}{\sqrt {\gamma }}},\quad p=\omega _{m}{\sqrt {\gamma }}.} 여기서 만약 ω m = ω c {\displaystyle \omega _{m}=\omega _{c}} 로 두고 개방 루프에 보상기를 추가해 주면 원하는 만큼의 응답 특성 개선이 이루어지지 않는다. 그 이유는 보상기를 추가함으로 인해 개방 루프의 크기 응답이 바뀌게 되어 이득 교차 주파수가 보상기의 추가 이전과 달라지기 때문이다. 따라서 ω m {\displaystyle \omega _{m}} 값을 ω c {\displaystyle \omega _{c}} 근처에서 조금씩 변화를 시키면서 튜닝을 해야한다. 단일 되먹임 시스템의 계단 응답에서 정상 상태 오차(steady-state error)를 줄이기 위해서는 개방 루프의 직류 이득을 증가시켜야 한다. 하지만 개방 루프의 직류 이득을 증가시키기 위해 비례 이득(proportional gain)만을 증가시키면 시스템의 동특성이 크게 변화하여 부작용을 피할 수 없다. 따라서, 시스템의 동특성에 변화를 가능하면 적게 주고 직류 이득을 증가시킬 필요가 있고, 이를 위해 뒤짐 보상기를 사용하게 된다. 보상기의 직류 이득은 다음과 같이 계산된다. lim ω → 0 D ( j ω ) = K . {\displaystyle \lim _{\omega \to 0}D(j\omega )=K.} 따라서 원하는 만큼 정상 상태 오차가 줄어들도록 K {\displaystyle K} 를 먼저 선택한다. 한편, 직류 이득을 증가시키면서 뒤짐 보상기가 개방 루프의 동특성을 크게 변화시키지 않아야 하므로 ω {\displaystyle \omega } 가 증가함에 따라 D ( j ω ) {\displaystyle D(j\omega )} 는 1 {\displaystyle 1} 에 가까워 져야 한다. lim ω → ∞ D ( j ω ) = K p / z {\displaystyle \lim _{\omega \to \infty }D(j\omega )=Kp/z} 이므로 γ = 1 / K {\displaystyle \gamma =1/K} 로 둔다. 동특성 변화를 줄이기 위해서는 극점과 영점을 가깝게 두어 서로의 영향이 상쇄되도록 해야 한다. 따라서, γ = 1 / K {\displaystyle \gamma =1/K} 의 조건을 만족하면서 극점과 영점을 가깝게 두기 위해서는 z {\displaystyle z} 와 p {\displaystyle p} 를 작은 값으로 택해야 한다. PID 제어기 제어 이론 Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A. (2006), Feedback Control Of Dynamic Systems (5th ed.); Prentice Hall; ISBN 0131499300, 9780131499300.