이와사와 분해

리 군 이론에서, 이와사와 분해([岩澤]分解, 영어: Iwasawa decomposition)는 그람-슈미트 과정을 반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.:197–204 다음이 주어졌다고 하자. 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 대합 θ {\displaystyle \theta } 그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해 g = k ⊕ p {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}} 를 정의할 수 있다. 여기서 k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 는 콤팩트 리 대수이며, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다. a ⊂ p {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}} 가 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고, n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} 이 ( g , a ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})} 의 제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다. g = k ⊕ a ⊕ n {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}} 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 이와사와 분해라고 한다. G {\displaystyle G} 가 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해 g = k ⊕ a ⊕ n {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}} 에 대응하여, 각각의 지수 사상의 상 K = exp ⁡ ( k ) ⊂ G {\displaystyle K=\exp({\mathfrak {k}})\subset G} A = exp ⁡ ( a ) ⊂ G {\displaystyle A=\exp({\mathfrak {a}})\subset G} N = exp ⁡ ( n ) ⊂ G {\displaystyle N=\exp({\mathfrak {n}})\subset G} 을 정의할 수 있다. 이 경우 K {\displaystyle K} 는 콤팩트 반단순 리 군이며, G {\displaystyle G} 의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. G {\displaystyle G} 의 중심을 포함한다. A {\displaystyle A} 는 단일 연결 아벨 리 군이며, G {\displaystyle G} 의 닫힌 부분군이다. N {\displaystyle N} 은 단일 연결 멱영 리 군이며, G {\displaystyle G} 의 닫힌 부분군이다. 그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다.:203, Theorem 29.3 (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.) K × A × N → G {\displaystyle K\times A\times N\to G} 따라서, 임의의 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 를 g = k ( g ) a ( g ) n ( g ) {\displaystyle g=k(g)a(g)n(g)} k ( g ) ∈ K {\displaystyle k(g)\in K} a ( g ) ∈ A {\displaystyle a(g)\in A} n ( g ) ∈ N {\displaystyle n(g)\in N} 과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 이와사와 분해이다. 만약 G {\displaystyle G} 가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약 G {\displaystyle G} 의 중심이 유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, K {\displaystyle K} 는 G {\displaystyle G} 의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다. 리 군 또는 리 대수의 실수 계수(영어: real rank)는 그 아벨 성분의 실수 차원이다. 실수 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 이와사와 분해 g = k ⊕ a ⊕ n {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}} 의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다. k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다. a ⊂ p {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}} 는 가환 리 대수이다. 즉, [ a , a ] = 0 {\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0} 이다. n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} 은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 [ n , [ n , [ ⋯ [ n , n ] ⋯ ] ⏞ n  times = 0 {\displaystyle \overbrace {[{\mathfrak {n}},[{\mathfrak {n}},[\cdots [{\mathfrak {n}},{\mathfrak {n}}]\cdots ]} ^{n{\text{ times}}}=0} 이다. 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 카르탕 대합 θ {\displaystyle \theta } 이 주어졌을 때, 카르탕 분해 g = k ⊕ p {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}} 를 정의할 수 있다. 이는 같은 θ {\displaystyle \theta } 에 대한 이와사와 분해 g = k ⊕ a ⊕ n {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}} 와 다음과 같은 관계를 갖는다. 카르탕 분해의 k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 는 이와사와 분해의 k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 와 같다. 카르탕 분해의 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 이와사와 분해의 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} 은 일반적으로 k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 의 부분 대수도, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 의 부분 대수도 아니다.) 카르탕 분해에서, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 와 n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} 은 둘 다 리 대수이다. 카르탕 분해에서, k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 와 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 와 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} 은 k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} 및 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 와 직교일 필요가 없다. 대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다. 일반선형군 GL ⁡ ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )} 의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간 V ≅ R n {\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{n}} 의 기저 { v 1 , … , v n } ⊂ V {\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬 B = ( v 1 v 2 ⋯ v n ) ∈ GL ⁡ ( V ) ≅ GL ⁡ ( n , R ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} (V)\cong \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )} 을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를 U − 1 B = O {\displaystyle U^{-1}B=O} 의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서 O {\displaystyle O} 는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며, U {\displaystyle U} 는 정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우, U {\displaystyle U} 를 추가로 분해하여 U 0 − 1 D − 1 B = O {\displaystyle U_{0}^{-1}D^{-1}B=O} 로 놓자. 여기서 U 0 {\displaystyle U_{0}} 은 B {\displaystyle B} 를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고, D {\displaystyle D} 는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉, B = U 0 D O {\displaystyle B=U_{0}DO} 가 되며, 이는 GL ⁡ ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )} 의 이와사와 분해이다. 리 군 SL ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )} 의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면 H = { x + i y | x ∈ R , y ∈ R + } {\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ^{+}\}} 은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다. H = SL ⁡ ( 2 , R ) / SO ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle \mathbb {H} =\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )} 즉, 이는 SL ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )} 의 이와사와 분해 SO ⁡ ( 2 , R ) × R + × R {\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )\times \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} } 에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다. x + i y ↦ ( ( y 1 / 2 0 0 y − 1 / 2 ) , ( 1 x 0 1 ) ) {\displaystyle x+iy\mapsto \left({\scriptstyle {\begin{pmatrix}y^{1/2}&0\\0&y^{-1/2}\end{pmatrix}}},{\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}\right)} 이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다. Bump, Daniel (2013). 《Lie groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 225. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-8024-2. ISBN 978-1-4614-8024-2. ISSN 0072-5285.  Knapp, A. W. (1997). 〈Structure theory of semisimple Lie groups〉 (PDF). 《Representation Theory and Automorphic Forms》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (영어) 61. American Mathematical Society. 1–27쪽. ISBN 978-0-8218-0609-8.  Iwasawa, Kenkichi (1949). “On some types of topological groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 2 (50): 507–558.  Abbaspour, Hossein; Martin Moskowitz (2007년 9월). 《Basic Lie theory》 (PDF) (영어). doi:10.1142/6462. ISBN 978-981-270-698-0. 2014년 6월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 6월 9일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Iwasawa decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  이철희. “이와사와 분해 (Iwasawa decomposition)”. 《수학노트》.