바나흐 고정점 정리

수학에서 바나흐 고정점 정리(-固定點定理, 영어: Banach fixed-point theorem) 또는 축약 사상 정리(縮約寫像定理, 영어: contraction mapping theorem)는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다는 정리이다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 축약 사상(縮約寫像, 영어: contraction mapping)은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 α ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha \in [0,1)} 이 존재하는 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 이다. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( T ( x ) , T ( y ) ) ≤ α d ( x , y ) {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha d(x,y)} 바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 축약 사상 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 은 유일한 고정점을 갖는다. 즉, T ( x ∗ ) = x ∗ {\displaystyle T(x^{*})=x^{*}} 인 x ∗ ∈ X {\displaystyle x^{*}\in X} 가 존재하며, 이는 유일하다. 사실, 임의의 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 에 대하여, 반복 점렬 ( x n = T n ( x 0 ) ) n = 0 ∞ {\displaystyle (x_{n}=T^{n}(x_{0}))_{n=0}^{\infty }} 은 x ∗ {\displaystyle x^{*}} 로 수렴한다. (여기서 T n {\displaystyle T^{n}} 은 T {\displaystyle T} 의 n {\displaystyle n} 번 합성이다.) 그 오차의 한 상계는 다음과 같다. d ( x n , x ∗ ) ≤ α n 1 − α d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle d(x_{n},x^{*})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{1},x_{0})} 증명1 (통상적인 증명): 우선, 임의의 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } 에 대하여, 다음이 성립한다. d ( x n + 1 , x n ) = d ( T ( x n ) , T ( x n − 1 ) ) ≤ α d ( x n , x n − 1 ) ≤ α 2 d ( x n − 1 , x n − 2 ) ⋮ ≤ α n d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{n+1},x_{n})&=d(T(x_{n}),T(x_{n-1}))\\&\leq \alpha d(x_{n},x_{n-1})\\&\leq \alpha ^{2}d(x_{n-1},x_{n-2})\\&\vdots \\&\leq \alpha ^{n}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}} 따라서, 임의의 m ≥ n ≥ 0 {\displaystyle m\geq n\geq 0} 에 대하여, d ( x m , x n ) ≤ ∑ i = n m − 1 d ( x i + 1 , x i ) ≤ ∑ i = n m − 1 α i d ( x 1 , x 0 ) ≤ α n 1 − α d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq \sum _{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_{i})\\&\leq \sum _{i=n}^{m-1}\alpha ^{i}d(x_{1},x_{0})\\&\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}} 이다. 즉, ( x n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }} 는 코시 열이며, 어떤 점 x ∗ ∈ X {\displaystyle x^{*}\in X} 로 수렴한다. 그렇다면, T {\displaystyle T} 가 연속 함수이므로 T ( x ∗ ) = lim n → ∞ T ( x n ) = lim n → ∞ x n + 1 = x ∗ {\displaystyle T(x^{*})=\lim _{n\to \infty }T(x_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=x^{*}} 이며, x ∗ {\displaystyle x^{*}} 는 T {\displaystyle T} 의 고정점이다. 반대로, x ∗ ∗ ∈ X {\displaystyle x^{**}\in X} 가 T {\displaystyle T} 의 고정점이라고 하자. 그렇다면, d ( x ∗ , x ∗ ∗ ) = d ( T ( x ∗ ) , T ( x ∗ ∗ ) ) ≤ C d ( x ∗ , x ∗ ∗ ) {\displaystyle d(x^{*},x^{**})=d(T(x^{*}),T(x^{**}))\leq Cd(x^{*},x^{**})} 이므로 d ( x ∗ , x ∗ ∗ ) = 0 {\displaystyle d(x^{*},x^{**})=0} 이다. 즉, x ∗ = x ∗ ∗ {\displaystyle x^{*}=x^{**}} 이다. 증명2 (다른 증명): 우선, 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( x , y ) ≤ d ( x , T ( x ) ) + d ( T ( x ) , T ( y ) ) + d ( T ( y ) , y ) ≤ d ( x , T ( x ) ) + α d ( x , y ) + d ( T ( y ) , y ) {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,T(x))+d(T(x),T(y))+d(T(y),y)\leq d(x,T(x))+\alpha d(x,y)+d(T(y),y)} 이므로 d ( x , y ) ≤ 1 1 − α ( d ( x , T ( x ) ) + d ( T ( y ) , y ) ) {\displaystyle d(x,y)\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x,T(x))+d(T(y),y))} 이다. 특히, x , y {\displaystyle x,y} 가 모두 T {\displaystyle T} 의 고정점일 경우 d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} 이다. 이제, 임의의 m , n ≥ 0 {\displaystyle m,n\geq 0} 에 대하여 d ( x m , x n ) ≤ 1 1 − α ( d ( x m , x m + 1 ) + d ( x n + 1 , x n ) ) ≤ α m + α n 1 − α d ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x_{m},x_{m+1})+d(x_{n+1},x_{n}))\\&\leq {\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})\end{aligned}}} 이다. 즉, ( x n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }} 는 코시 열이며, 어떤 점 x ∗ {\displaystyle x^{*}} 으로 수렴한다. 그렇다면, T x ∗ = x ∗ {\displaystyle Tx^{*}=x^{*}} 이며, 또한 다음이 성립한다. d ( x ∗ , x n ) = lim m → ∞ d ( x m , x n ) ≤ lim m → ∞ α m + α n 1 − α d ( x 0 , x 1 ) = α n 1 − α d ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle d(x^{*},x_{n})=\lim _{m\to \infty }d(x_{m},x_{n})\leq \lim _{m\to \infty }{\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})={\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})} 바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다. 피카르-린델뢰프 정리 음함수 정리 집합 X {\displaystyle X} 및 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 및 α ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha \in (0,1)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 만약 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, T n {\displaystyle T^{n}} 의 고정점이 많아야 하나라면, T {\displaystyle T} 가 α {\displaystyle \alpha } 에 대한 축약 사상이 되는, X {\displaystyle X} 위의 거리 함수 d {\displaystyle d} 가 존재한다. 만약 추가로 T n {\displaystyle T^{n}} 이 고정점을 갖는 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다면, T {\displaystyle T} 가 α {\displaystyle \alpha } 에 대한 축약 사상이 되는, X {\displaystyle X} 위의 완비 거리 함수 d {\displaystyle d} 가 존재한다. T1 공간 X {\displaystyle X} 위의 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. 유일한 고정점 x ∗ ∈ X {\displaystyle x^{*}\in X} 을 갖는다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 점렬 ( T n ( x ) ) n = 0 ∞ {\displaystyle (T^{n}(x))_{n=0}^{\infty }} 이 x ∗ {\displaystyle x^{*}} 로 수렴한다. 그렇다면, T {\displaystyle T} 가 1/2에 대한 축약 사상이 되는, X {\displaystyle X} 위의 완비 초거리 함수 d {\displaystyle d} 가 존재한다. 다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다. 완비 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 에 대하여, T n {\displaystyle T^{n}} 이 축약 사상인 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 존재한다고 하자. 그렇다면, T {\displaystyle T} 는 유일한 고정점을 갖는다. 증명: 존재: 바나흐 고정점 정리에 따라, T n {\displaystyle T^{n}} 은 유일한 고정점 x ∗ ∈ X {\displaystyle x^{*}\in X} 을 갖는다. T n ( T ( x ∗ ) ) = T ( T n ( x ∗ ) ) = T ( x ∗ ) {\displaystyle T^{n}(T(x^{*}))=T(T^{n}(x^{*}))=T(x^{*})} 이므로, T ( x ∗ ) {\displaystyle T(x^{*})} 역시 T n {\displaystyle T^{n}} 의 고정점이다. 따라서 T ( x ∗ ) = x ∗ {\displaystyle T(x^{*})=x^{*}} 이다. 유일성: T {\displaystyle T} 의 고정점은 T n {\displaystyle T^{n}} 의 고정점이므로 x ∗ {\displaystyle x^{*}} 로 유일하다. 완비 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 ( α n ) n = 1 ∞ ⊂ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }\subset [0,\infty )} 이 존재한다고 하자. 임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( T n ( x ) , T n ( y ) ) ≤ α n d ( x , y ) {\displaystyle d(T^{n}(x),T^{n}(y))\leq \alpha _{n}d(x,y)} ∑ n = 1 ∞ α n < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}<\infty } 그렇다면, T {\displaystyle T} 는 유일한 고정점을 갖는다. 증명: 바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다. 축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간은 자동적으로 완비 거리 공간이다.) 구체적으로, 콤팩트 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, 만약 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 라면 d ( T ( x ) , T ( y ) ) < d ( x , y ) {\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)} 그렇다면, T {\displaystyle T} 는 유일한 고정점을 갖는다. 증명: 함수 x ↦ d ( x , T ( x ) ) {\displaystyle x\mapsto d(x,T(x))} 가 연속 함수이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점 x ∗ ∈ X {\displaystyle x^{*}\in X} 에서 최솟값을 갖는다. 특히 d ( T ( x ∗ ) , T 2 ( x ∗ ) ) ≥ d ( x ∗ , T ( x ∗ ) ) {\displaystyle d(T(x^{*}),T^{2}(x^{*}))\geq d(x^{*},T(x^{*}))} 이며, 따라서 x ∗ = T ( x ∗ ) {\displaystyle x^{*}=T(x^{*})} 이다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 준축약 사상(영어: quasicontraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는 α ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha \in [0,1)} 이 존재하는 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 이다. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( T ( x ) , T ( y ) ) ≤ α max { d ( x , y ) , d ( x , T ( x ) ) , d ( y , T ( y ) ) , d ( x , T ( y ) ) , d ( y , T ( X ) ) } {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha \max\{d(x,y),d(x,T(x)),d(y,T(y)),d(x,T(y)),d(y,T(X))\}} 완비 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 준축약 사상 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 은 유일한 고정점을 갖는다. 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 약축약 사상(영어: weak contraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는 함수 ϕ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \phi \colon [0,\infty )\to [0,\infty )} 가 존재하는 함수 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 이다. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( T ( x ) , T ( y ) ) ≤ d ( x , y ) − ϕ ( d ( x , y ) ) {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq d(x,y)-\phi (d(x,y))} ϕ {\displaystyle \phi } 는 연속 함수이며, 증가 함수이다. ϕ − 1 ( 0 ) = { 0 } {\displaystyle \phi ^{-1}(0)=\{0\}} 완비 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 약축약 사상 T : X → X {\displaystyle T\colon X\to X} 은 유일한 고정점을 갖는다. 유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간(영어: rectangular metric space) 또는 뿔 거리 공간(영어: cone metric space) 따위에서의 일반화가 존재한다. (표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간 ( 0 , 1 ] ⊂ R {\displaystyle (0,1]\subset \mathbb {R} } 은 완비 거리 공간이 아니다. 그 위의 함수 T : x ↦ 1 2 x {\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {1}{2}}x} 는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다. (표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 은 완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 그 위의 함수 T : x ↦ π 2 + x − arctan ⁡ x {\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {\pi }{2}}+x-\arctan x} 를 생각하자. 임의의 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 에 대하여, 평균값 정리에 따라 | T ( x ) − T ( y ) | = | x − y − arctan ⁡ x + arctan ⁡ y | = ξ 2 1 + ξ 2 | x − y | < | x − y | {\displaystyle |T(x)-T(y)|=|x-y-\arctan x+\arctan y|={\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}|x-y|<|x-y|} ξ ∈ ( x , y ) ∪ ( y , x ) {\displaystyle \xi \in (x,y)\cup (y,x)} 이다. 그러나 T {\displaystyle T} 는 고정점을 가지지 않는다. (표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합 A = { 0 } ∪ ⋃ n = 1 ∞ A n ⊂ R 2 {\displaystyle A=\{0\}\cup \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\subset \mathbb {R} ^{2}} A n = { ( t , t / n ) : t ∈ ( 0 , 1 ] } {\displaystyle A_{n}=\{(t,t/n)\colon t\in (0,1]\}} 을 생각하자. 이는 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 의 닫힌집합이 아니므로 ( ( 0 , 1 ) ∉ A {\displaystyle (0,1)\not \in A} ) 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수 T : A → A {\displaystyle T\colon A\to A} 에 대하여, T {\displaystyle T} 의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 T ( 0 ) = 0 {\displaystyle T(0)=0} 이라면, 0은 T {\displaystyle T} 의 고정점이다. 이제 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 T ( 0 ) ∈ A n {\displaystyle T(0)\in A_{n}} 이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자. U : A n ∪ { 0 } → A n ∪ { 0 } {\displaystyle U\colon A_{n}\cup \{0\}\to A_{n}\cup \{0\}} U : x ↦ { T ( x ) T ( x ) ∈ A n 0 T ( x ) ∉ A n {\displaystyle U\colon x\mapsto {\begin{cases}T(x)&T(x)\in A_{n}\\0&T(x)\not \in A_{n}\end{cases}}} 그렇다면, U {\displaystyle U} 는 연속 함수이다. A n ∪ { 0 } {\displaystyle A_{n}\cup \{0\}} 이 콤팩트 볼록 집합이므로, U {\displaystyle U} 는 고정점 x ∗ ∈ A n ∪ { 0 } {\displaystyle x^{*}\in A_{n}\cup \{0\}} 을 가진다. 또한, x ∗ ≠ 0 {\displaystyle x^{*}\neq 0} 이며 T ( x ∗ ) = x ∗ {\displaystyle T(x^{*})=x^{*}} 임을 보일 수 있다. (만약 x ∗ = 0 {\displaystyle x^{*}=0} 이라면, U ( 0 ) = 0 ∉ A n {\displaystyle U(0)=0\not \in A_{n}} 이므로 T ( 0 ) ∉ A n {\displaystyle T(0)\not \in A_{n}} 이 되어 모순이다. 그렇다면, U ( x ∗ ) = x ∗ ∈ A n {\displaystyle U(x^{*})=x^{*}\in A_{n}} 이므로, T ( x ∗ ) ∈ A n {\displaystyle T(x^{*})\in A_{n}} 이며, 따라서 T ( x ∗ ) = U ( x ∗ ) = x ∗ {\displaystyle T(x^{*})=U(x^{*})=x^{*}} 이다.) 스테판 바나흐가 1922년에 처음 서술하였다. 브라우어르 고정점 정리 축약 사상 Palais, Richard S. 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