로비어 공간

기하학에서 로비어 공간(Lawvere空間) 또는 일반화 거리 공간(一般化距離空間, 영어: generalized metric space) 또는 반거리 공간(半距離空間, 영어: hemimetric space) 또는 확장 준 유사 거리 공간(擴張準類似距離空間, 영어: extended quasipseudometric space, 약자 ∞qp-거리 공간 영어: ∞qp-metric space)은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다. 로비어 공간의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다. 기초적으로, 일련의 공리를 만족시키는 거리 함수를 갖춘 집합으로 정의될 수 있다. 더 일반적인 개념인 접근 공간(영어: approach space)의 특수한 경우로 정의될 수 있다. 풍성한 범주의 이론을 사용하여, 음이 아닌 확장된 실수의 닫힌 모노이드 범주 위의 풍성한 범주로 정의될 수 있다. 두 정의는 서로 동치이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 로비어 계량(영어: Lawvere metric)은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수 d : X 2 → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle d\colon X^{2}\to [0,\infty ]} 이다.:231, Definition B.1.1 (삼각 부등식) 임의의 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여, d ( x , y ) + d ( y , z ) ≤ d ( x , z ) {\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\leq d(x,z)} 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, d ( x , x ) = 0 {\displaystyle d(x,x)=0} 다만, 위 정의에서 d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} 일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 확장 유사 거리 공간이라고 한다. 만약 d {\displaystyle d} 의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 유사 거리 공간이 된다. 로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수들, 즉 함수 f : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) {\displaystyle f\colon (X,d_{X})\to (Y,d_{Y})} 가운데 d X ( x , x ′ ) ≤ d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) {\displaystyle d_{X}(x,x')\leq d_{Y}(f(x),f(x'))} 를 만족시키는 것들은 구체적 범주를 이룬다. 이를 ∞ p q M e t {\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} } 라고 표기하자. 집합 X {\displaystyle X} 위의 접근 구조(接近構造, 영어: approach structure) δ {\displaystyle \delta } 는 다음 네 조건을 만족시키는 함수 δ : X × P ( X ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \delta \colon X\times {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]} 이다. ∀ x ∈ X : δ ( x , { x } ) = 0 {\displaystyle \forall x\in X\colon \delta (x,\{x\})=0} ∀ x ∈ X : δ ( x , ∅ ) = ∞ {\displaystyle \forall x\in X\colon \delta (x,\varnothing )=\infty } ∀ x ∈ X ∀ A , B ⊆ X : δ ( x , A ∪ B ) = min { δ ( x , A ) , δ ( x , B ) } {\displaystyle \forall x\in X\forall A,B\subseteq X\colon \delta (x,A\cup B)=\min\{\delta (x,A),\delta (x,B)\}} ∀ ϵ ∈ [ 0 , ∞ ] ∀ x ∈ X ∀ A ⊆ X : δ ( x , A ) ≤ δ ( x , { y ∈ X : δ ( y , A ) ≤ ϵ } ) + ϵ {\displaystyle \forall \epsilon \in [0,\infty ]\forall x\in X\forall A\subseteq X\colon \delta (x,A)\leq \delta (x,\{y\in X\colon \delta (y,A)\leq \epsilon \})+\epsilon } 접근 구조를 갖춘 집합을 접근 공간(接近空間, 영어: approach space)이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 ( X , δ ) {\displaystyle (X,\delta )} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.:96, Theorem 3.1.11 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, δ ( x , Y ) = inf y ∈ Y δ ( x , { y } ) {\displaystyle \textstyle \delta (x,Y)=\inf _{y\in Y}\delta (x,\{y\})} 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 집합족 Y ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, δ ( x , ⋃ Y ) = inf Y ∈ Y δ ( x , Y ) {\displaystyle \textstyle \delta (x,\bigcup {\mathcal {Y}})=\inf _{Y\in {\mathcal {Y}}}\delta (x,Y)} X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle X\times X\to [0,\infty ]} , ( x , y ) ↦ δ ( x , { y } ) {\displaystyle (x,y)\mapsto \delta (x,\{y\})} 는 로비어 계량을 이룬다. 이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 로비어 공간이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다. 반대로, 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는 δ ( x , Y ) = inf y ∈ Y d ( x , y ) ∈ [ 0 , ∞ ] ∀ Y ⊆ X {\displaystyle \delta (x,Y)=\inf _{y\in Y}d(x,y)\in [0,\infty ]\qquad \forall Y\subseteq X} 가 된다. 다음과 같은 작은 범주 C = [ 0 , ∞ ] op {\displaystyle {\mathcal {C}}=[0,\infty ]^{\operatorname {op} }} 를 생각하자. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상은 음이 아닌 확장된 실수이다. 임의의 두 a , b ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle a,b\in [0,\infty ]} 에 대하여, 만약 a ≥ b {\displaystyle a\geq b} 라면, 하나의 사상 a → b {\displaystyle a\to b} 가 존재한다. 이 범주는 완비 범주이며, 텐서곱 a ⊗ b = a + b {\displaystyle a\otimes b=a+b} 에 대하여 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 이에 따라 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대한 풍성한 범주의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -풍성한 작은 범주 X {\displaystyle X} 를 로비어 공간이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수의 개념과 일치한다. 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 유사 거리 공간의 경우와 달리, 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위에는 다양한 위상이 사용된다. 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의, 중심 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의, 반지름 r ∈ ( 0 , ∞ ] {\displaystyle r\in (0,\infty ]} 의 열린 공(영어: open ball)은 다음과 같다.:231, Definition B.1.1 ball X ⁡ ( x , r ) = { y ∈ X : d ( x , y ) < r } {\displaystyle \operatorname {ball} _{X}(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}} 열린 공들의 집합족 { ball X ⁡ ( x , r ) : r ∈ ( 0 , ∞ ] , x ∈ X } {\displaystyle \left\{\operatorname {ball} _{X}(x,r)\colon r\in (0,\infty ],\;x\in X\right\}} 은 위상의 기저를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 일반화 알렉산드로프 위상(영어: generalized Alexandroff topology) 또는 열린 공 위상(영어: open ball topology)이라고 한다.:21, §6 증명: 다음 두 조건을 보이면 족하다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 ball ⁡ ( x , ∞ ) = X {\displaystyle \operatorname {ball} (x,\infty )=X} 이므로, 열린 공들은 X {\displaystyle X} 의 덮개를 이룬다. 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 및 r , s ∈ ( 0 , ∞ ] {\displaystyle r,s\in (0,\infty ]} 및 z ∈ ball X ⁡ ( x , r ) ∩ ball X ⁡ ( y , s ) {\displaystyle z\in \operatorname {ball} _{X}(x,r)\cap \operatorname {ball} _{X}(y,s)} 에 대하여, t = min { r − d ( x , z ) , s − d ( y , z ) } {\displaystyle t=\min\{r-d(x,z),s-d(y,z)\}} 를 정의하면, 삼각 부등식에 의하여 ball X ⁡ ( z , t ) ⊆ ball X ⁡ ( x , r ) ∩ ball X ⁡ ( y , s ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{X}(z,t)\subseteq \operatorname {ball} _{X}(x,r)\cap \operatorname {ball} _{X}(y,s)} 이다. 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 속의 점렬 ( x i ) i ∈ N {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 이 다음 조건을 만족시키면 코시 열이라고 하자.:6, §3 ∀ ϵ ∈ R + ∃ N ϵ ∈ N ∀ i ≥ N ϵ ∀ j ≥ i : d ( x i , x j ) < ϵ {\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists N_{\epsilon }\in \mathbb {N} \forall i\geq N_{\epsilon }\forall j\geq i\colon d(x_{i},x_{j})<\epsilon } 여기서 j ≥ i {\displaystyle j\geq i} 이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉, X {\displaystyle X} 의 코시 열과 X op {\displaystyle X^{\operatorname {op} }} 의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열 ( x i ) i ∈ N {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 에 대하여, 만약 lim sup i → ∞ d ( x i , x ) = 0 {\displaystyle \limsup _{i\to \infty }d(x_{i},x)=0} 이라면, x i {\displaystyle x_{i}} 가 x {\displaystyle x} 로 수렴한다고 하자. 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위의 일반화 스콧 위상(영어: generalized Scott topology)에서, 부분 집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 가 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다. 임의의 코시 열 x 0 , x 1 , … ∈ X {\displaystyle x_{0},x_{1},\dotsc \in X} 가 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 로 수렴한다면, x ∈ U ⟺ ∃ ( N , ϵ ) ∈ N × R + : ⋃ i ≥ N ball X ⁡ ( x i , ϵ ) ⊆ U {\displaystyle x\in U\iff \exists (N,\epsilon )\in \mathbb {N} \times \mathbb {R} ^{+}\colon \bigcup _{i\geq N}\operatorname {ball} _{X}(x_{i},\epsilon )\subseteq U} 일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상이다. 만약 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 가 확장 유사 거리 공간이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은 X {\displaystyle X} 의 일반적인 위상과 같다.:21–22, §6 만약 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 가 원순서 집합이라면 (즉, d {\displaystyle d} 의 치역이 { 0 , ∞ } {\displaystyle \{0,\infty \}} 라면), ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 일반화 알렉산드로프 위상은 알렉산드로프 위상과 같다.:21, §6 임의의 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여, 그 반대 로비어 공간(反對Lawvere空間, 영어: opposite Lawvere space) X op = ( X , d op ) {\displaystyle X^{\operatorname {op} }=(X,d^{\operatorname {op} })} 을 다음과 같이 정의할 수 있다.:5, §2 d op ( x , y ) = d ( y , x ) ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d^{\operatorname {op} }(x,y)=d(y,x)\qquad \forall x,y\in X} 이는 반대 범주의 개념의 특수한 경우이다. 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다. d max ( x , y ) = max { d ( x , y ) , d ( y , x ) } {\displaystyle d^{\max(}x,y)=\max\{d(x,y),d(y,x)\}} d avg ( x , y ) = 1 2 ( d ( x , y ) + d ( y , x ) ) {\displaystyle d^{\text{avg}}(x,y)={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(y,x)\right)} 그렇다면, ( X , d max ) {\displaystyle (X,d^{\max })} 와 ( X , d avg ) {\displaystyle (X,d^{\text{avg}})} 둘 다 확장 유사 거리 공간을 이룬다. 만약 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 가 이미 확장 유사 거리 공간이라면 ( X , d ) = ( X , d avg ) = ( X , d max ) {\displaystyle (X,d)=(X,d^{\text{avg}})=(X,d^{\max })} 이다. 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 및 음이 아닌 확장된 실수 C ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle C\in [0,\infty ]} 에 대하여, ( X , C d ) {\displaystyle (X,Cd)} 역시 로비어 공간이다. (만약 C = 0 {\displaystyle C=0} 일 경우, 이는 비이산 공간이다. 만약 C = ∞ {\displaystyle C=\infty } 일 경우, ∞ ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \infty \cdot 0=0} 으로 정의하며, 이는 원순서 집합이다.) 집합 X {\displaystyle X} 위에 로비어 계량들의 족 ( d i : X × X → [ 0 , ∞ ] ) i ∈ I {\displaystyle (d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ])_{i\in I}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, sup i ∈ I d i : X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \sup _{i\in I}d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ]} sup i ∈ I d i : ( x , y ) ↦ sup i ∈ I d i ( x , y ) {\displaystyle \sup _{i\in I}d_{i}\colon (x,y)\mapsto \sup _{i\in I}d_{i}(x,y)} 역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수에 대한 시작 구조의 특수한 경우이다. 마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족 ( d i : X × X → [ 0 , ∞ ] ) i ∈ I {\displaystyle (d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ])_{i\in I}} | I | ≤ ℵ 0 {\displaystyle |I|\leq \aleph _{0}} 이 주어졌을 때, ∑ i ∈ I d i : X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \sum _{i\in I}d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ]} ∑ i ∈ I d i : ( x , y ) ↦ ∑ i ∈ I d i ( x , y ) {\displaystyle \sum _{i\in I}d_{i}\colon (x,y)\mapsto \sum _{i\in I}d_{i}(x,y)} 역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약 I {\displaystyle I} 가 유한 집합이라면, 평균 계량 ∑ i ∈ I d i / | I | {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}d_{i}/|I|} 역시 로비어 계량이다.) 임의의 집합 X {\displaystyle X} 및 임의의 함수 f : X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle f\colon X\times X\to [0,\infty ]} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합 D ⊆ [ 0 , ∞ ] X × X {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq [0,\infty ]^{X\times X}} 가 d ( x , y ) ≤ f ( x , y ) ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d(x,y)\leq f(x,y)\qquad \forall x,y\in X} 를 만족시키는 로비어 계량 d {\displaystyle d} 들의 집합이라고 하자. ( d = 0 {\displaystyle d=0} 이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소 d max = sup D = max D {\displaystyle d^{\max }=\sup {\mathcal {D}}=\max {\mathcal {D}}} d max ( x , y ) = sup d ∈ D d ( x , y ) {\displaystyle d^{\max }(x,y)=\sup _{d\in {\mathcal {D}}}d(x,y)} 를 가지며, 이는 f {\displaystyle f} 를 상계로 하는 최대의 로비어 계량이다. 구체적으로, 임의의 집합 X {\displaystyle X} 및 함수 f : X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle f\colon X\times X\to [0,\infty ]} 가 주어졌을 때, 다음을 정의하자. d 0 ( x , y ) = { 0 x = y ∞ x ≠ y {\displaystyle d_{0}(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\\infty &x\neq y\end{cases}}} d 1 ( x , y ) = f ( x , y ) {\displaystyle d_{1}(x,y)=f(x,y)} d i ( x 0 , x i ) = inf x 1 , … , x i − 1 ∈ X ( f ( x 0 , x 1 ) + f ( x 1 , x 2 ) + ⋯ + f ( x i − 1 , x i ) ) ( i = 2 , 3 , … ) {\displaystyle d_{i}(x_{0},x_{i})=\inf _{x_{1},\dotsc ,x_{i-1}\in X}\left(f(x_{0},x_{1})+f(x_{1},x_{2})+\dotsb +f(x_{i-1},x_{i})\right)\qquad (i=2,3,\dotsc )} 그렇다면, f {\displaystyle f} 에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다. d ( x , y ) = inf i ∈ N d i ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)=\inf _{i\in \mathbb {N} }d_{i}(x,y)} 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.:6, §2 x ∼ 0 y ⟺ d ( x , y ) = d ( y , x ) = 0 ( x , y ∈ X ) {\displaystyle x\sim _{0}y\iff d(x,y)=d(y,x)=0\qquad (x,y\in X)} 이에 대하여 몫집합 X / ∼ 0 {\displaystyle X/\sim _{0}} 위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 X {\displaystyle X} 가 유사 거리 공간이라면, X / ∼ 0 {\displaystyle X/\sim _{0}} 는 거리 공간을 이룬다. 마찬가지로, 로비어 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. x ∼ ∞ y ⟺ max { d ( x , y ) , d ( y , x ) } < ∞ ( x , y ∈ X ) {\displaystyle x\sim _{\infty }y\iff \max\{d(x,y),d(y,x)\}<\infty \qquad (x,y\in X)} 이에 대한 몫집합 X / ∼ ∞ {\displaystyle X/\sim _{\infty }} 은 대략 X {\displaystyle X} 의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다. X / ∼ ∞ {\displaystyle X/\sim _{\infty }} 위에는 자연스럽게 원순서 [ x ] ∼ ∞ ≲ [ y ] ∼ ∞ ⟺ d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle [x]_{\sim _{\infty }}\lesssim [y]_{\sim _{\infty }}\iff d(x,y)<\infty } 를 취할 수 있다. 만약 X {\displaystyle X} 가 원순서 집합이라면, X / ∼ ∞ = X {\displaystyle X/\sim _{\infty }=X} 이다. 임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 ( X i , d i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i},d_{i})_{i\in I}} 의 분리합(영어: disjoint sum)은 집합으로서 분리합집합 X = ⨆ i ∈ I X i {\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}} 이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다. d ( x , y ) = { d i ( x , y ) i = j ∞ i ≠ j ( x ∈ X i , y ∈ X j ) {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}d_{i}(x,y)&i=j\\\infty &i\neq j\end{cases}}\qquad (x\in X_{i},\;y\in X_{j})} 이 연산은 로비어 공간의 범주 ∞ p q M e t {\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} } 의 범주론적 쌍대곱을 이룬다. 임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 ( X i , d i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i},d_{i})_{i\in I}} 의 곱은 집합으로서 곱집합 X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} 이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다. d ( x , y ) = sup i ∈ I d i ( x i , y i ) ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d(x,y)=\sup _{i\in I}d_{i}(x_{i},y_{i})\qquad \forall x,y\in X} 이 연산은 로비어 공간의 범주 ∞ p q M e t {\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} } 의 범주론적 곱을 이룬다.:233, §B.1 로비어 공간의 범주의 망각 함자 ∞ p q M e t → Set {\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Set} } 는 위상 함자이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 집합 X {\displaystyle X} 및 로비어 공간들의 족 ( Y i , d i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},d_{i})_{i\in I}} 및 함수의 족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 가 주어졌을 때, ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} 로 유도되는, X {\displaystyle X} 위의 시작 로비어 계량(영어: initial Lawvere metric)은 다음과 같다. d X ( x , x ′ ) = sup ∈ I d i ( f i ( x ) , f i ( x ′ ) ) {\displaystyle d_{X}(x,x')=\sup _{\in I}d_{i}(f_{i}(x),f_{i}(x'))} 마찬가지로, 임의의 집합 X {\displaystyle X} 및 로비어 공간들의 족 ( Y i , d i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i},d_{i})_{i\in I}} 및 함수의 족 ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 가 주어졌을 때, ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} 로 유도되는, X {\displaystyle X} 위의 끝 로비어 계량(영어: final Lawvere metric)은 함수 f : X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle f\colon X\times X\to [0,\infty ]} f : ( x , x ′ ) ↦ inf i ∈ I d i ( f i ( x ) , f i ( x ′ ) ) {\displaystyle f\colon (x,x')\mapsto \inf _{i\in I}d_{i}(f_{i}(x),f_{i}(x'))} 를 상계로 하는 최대 로비어 계량이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 길이 거리 공간 ⇒ 거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간 로비어 공간의 범주 ∞ p q M e t {\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} } 가 주어졌을 때, 망각 함자 ∞ p q M e t → Set {\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Set} } 는 위상 함자이다.:233, Proposition B.1.2 특히, 만약 집합 X {\displaystyle X} 위의 임의의 함수족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} 이 주어졌으며 ( Y i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}} 들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 시작 로비어 계량(영어: initial Lawvere metric)을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 시작 위상과 유사하다. 마찬가지로, 집합 X {\displaystyle X} 로 가는 임의의 함수족 ( f i : Y i → X ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}} 이 주어졌으며 ( Y i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}} 들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 끝 로비어 계량(영어: final Lawvere metric)을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상과 유사하다. 또한, 위상 공간과 연속 함수의 범주로 가는 망각 함자 ∞ p q M e t → Top {\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Top} } 가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다. 임의의 위상은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, X {\displaystyle X} 위의 로비어 계량들의 집합 ( d i ) i ∈ I {\displaystyle (d_{i})_{i\in I}} 이 존재한다.:95, Theorem 7 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 는 항등 함수 f i : X → ( X , d i ) {\displaystyle f_{i}\colon X\to (X,d_{i})} 들에 의하여 생성되는 시작 위상이다. (여기서 로비어 공간 ( X , d i ) {\displaystyle (X,d_{i})} 에는 열린 공 위상을 부여한다.) | I | ≤ | U | {\displaystyle |I|\leq |{\mathcal {U}}|} 이다. 구성: 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 임의의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, 다음을 정의하자. d U ( x , y ) = { 0 x ∉ U 0 x ∈ U ∋ y ∞ x ∈ U ∌ y {\displaystyle d_{U}(x,y)={\begin{cases}0&x\not \in U\\0&x\in U\ni y\\\infty &x\in U\not \ni y\end{cases}}} 이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합 { U } {\displaystyle \{U\}} 를 기저로 하는 위상, 즉 { ∅ , U , X } {\displaystyle \{\varnothing ,U,X\}} 이다. 이에 따라, 로비어 계량들의 집합 { d U } U ∈ U {\displaystyle \{d_{U}\}_{U\in {\mathcal {U}}}} 은 위 조건을 자명하게 만족시킨다. 프랜시스 윌리엄 로비어가 도입하였다. 이 개념은 거리 공간의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다. 즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} 는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치" x {\displaystyle x} 에서 y {\displaystyle y} 로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다. x {\displaystyle x} 에서 z {\displaystyle z} 로 이동하는 데 드는 비용은 이 경로를 x → y → z {\displaystyle x\to y\to z} 와 같이 분해했을 때 x → y {\displaystyle x\to y} 비용과 x → z {\displaystyle x\to z} 비용의 합보다 같거나 적다. (예를 들어, 만약 y {\displaystyle y} 를 거치지 않는 지름길이 있을 경우 부등식이 성립한다.) 상태 x {\displaystyle x} 에서, 이동하지 않는 데 드는 비용은 0이다. 즉, d ( x , x ) = 0 {\displaystyle d(x,x)=0} 이다. 상태 x {\displaystyle x} 에서 y {\displaystyle y} 로 꼭 이동할 수 있을 필요는 없다. 만약 x → y {\displaystyle x\to y} 전이가 불가능하다면 d ( x , y ) = ∞ {\displaystyle d(x,y)=\infty } 이다. 간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’(영어: extended quasipseudometric space)에서, 각 성분은 고전적 거리 공간의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다. 확장(擴張, 영어: extended): 계량 함수의 값이 ∞일 수 있음을 뜻한다. 준(準, 영어: quasi-): 계량 함수가 대칭적이지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, d ( x , y ) ≠ d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)\neq d(y,x)} 일 수 있다. 유사(類似, 영어: pseudo-): 계량 함수가 분리공리를 만족시키지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 이지만 d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} 일 수 있다. 모든 확장 유사 거리 공간은 로비어 공간이다. 공집합 ∅ {\displaystyle \varnothing } 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상이다. 한원소 공간 { ∙ } {\displaystyle \{\bullet \}} 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량( d ( ∙ , ∙ ) = 0 {\displaystyle d(\bullet ,\bullet )=0} )이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상이다. 임의의 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자. d ( x , y ) = { 0 x ≲ y ∞ x ≴ y {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x\lesssim y\\\infty &x\not \lesssim y\end{cases}}} 그렇다면 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 는 로비어 공간을 이룬다.:4, §2 Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. MR 472024. Zbl 0891.54001.  Bonsangue, M. M.; van Breugel, F.; Rutten, J. J. M. M. (1998년 2월 28일). “Generalized metric spaces: completion, topology, and powerdomains via the Yoneda embedding” (PDF). 《Theoretical Computer Science》 (영어) 193: 1–51. doi:10.1016/S0304-3975(97)00042-X. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 1월 26일에 확인함.  Kopperman, Ralph (1988년 2월). “All topologies come from generalized metrics”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 95 (2): 89–97. doi:10.2307/2323060. ISSN 0002-9890. JSTOR 2323060.  Lawvere, F. William (1973). “Metric spaces, generalized logic, and closed categories” (PDF). 《Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano》 (영어) 43: 135–166.  “Quasi-metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Metric space”. 《nLab》 (영어).  Goubault-Larrecq, Jean (2011). “A few pearls in the theory of quasi-metric spaces” (PDF) (영어).  Avery, Tom (2014년 2월 21일). “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. 《The n-Category Café》 (영어).  Yuan, Qiaochu (2012년 6월 23일). “Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)”. 《Annoying Precision》 (영어).  “Definition: quasimetric”. 《ProofWiki》 (영어).