순환 범주

호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, 영어: cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다. 순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category) Cyc {\displaystyle \operatorname {Cyc} } 는 다음과 같은 작은 범주이다.:202, Definition 6.1.1 Cyc {\displaystyle \operatorname {Cyc} } 의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 이다. Cyc {\displaystyle \operatorname {Cyc} } 의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다. δ n i : n − 1 → n ( 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \delta _{n}^{i}\colon n-1\to n\qquad (0\leq i\leq n)} (면 사상) σ n i : n + 1 → n ( 0 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \sigma _{n}^{i}\colon n+1\to n\qquad (0\leq i\leq n)} (퇴화 사상) τ n : n → n {\displaystyle \tau _{n}\colon n\to n} (순환 사상) 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, τ {\displaystyle \tau } 를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 △ {\displaystyle \triangle } 의 정의에 등장하는 것과 같다.) δ n − 1 j ∘ δ n i = δ n − 1 i ∘ δ n j − 1 ( 0 ≤ i < j ) {\displaystyle \delta _{n-1}^{j}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n-1}^{i}\circ \delta _{n}^{j-1}\qquad (0\leq i<j)} σ n + 1 j ∘ σ n i = σ n + 1 i ∘ σ n j + 1 ( 0 ≤ i ≤ j ) {\displaystyle \sigma _{n+1}^{j}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n+1}^{i}\circ \sigma _{n}^{j+1}\qquad (0\leq i\leq j)} σ n j ∘ δ n + 1 i = { δ n i ∘ σ n − 1 j − 1 i < j id n i ∈ { j , j + 1 } δ n i − 1 ∘ σ n − 1 j i > j + 1 {\displaystyle \sigma _{n}^{j}\circ \delta _{n+1}^{i}={\begin{cases}\delta _{n}^{i}\circ \sigma _{n-1}^{j-1}&i<j\\\operatorname {id} _{n}&i\in \{j,j+1\}\\\delta _{n}^{i-1}\circ \sigma _{n-1}^{j}&i>j+1\end{cases}}} τ n ∘ ⋯ ∘ τ n ⏞ n + 1 = id n {\displaystyle \overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} _{n}} τ n ∘ δ n i = δ n i − 1 ∘ τ n − 1 ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \tau _{n}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n}^{i-1}\circ \tau _{n-1}\qquad (1\leq i\leq n)} τ n ∘ σ n i = σ n i − 1 ∘ τ n + 1 ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n}^{i-1}\circ \tau _{n+1}\qquad (1\leq i\leq n)} 이제, 임의의 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 로 가는 함자 Cyc op → C {\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}} 이다. 구체적으로, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 단체 대상 ( X ∙ , ∂ ∙ i , d ∙ i ) {\displaystyle (X_{\bullet },\partial _{\bullet }^{i},d_{\bullet }^{i})} . 여기서 ∂ ∙ i : X ∙ → X ∙ − 1 {\displaystyle \partial _{\bullet }^{i}\colon X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}} 는 면(面)이며, s ∙ i : X ∙ → X ∙ − 1 {\displaystyle s_{\bullet }^{i}\colon X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}} 는 퇴화 단체이다. 일련의 동형 사상들 t n : X n → X n {\displaystyle t_{n}\colon X_{n}\to X_{n}} , n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다. (순환의 순환성) t n ∘ ⋯ ∘ t n ⏞ n + 1 = id X n {\displaystyle \overbrace {t_{n}\circ \dotsb \circ t_{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} _{X_{n}}} . 특히, t 0 = id X 0 {\displaystyle t_{0}=\operatorname {id} _{X_{0}}} 이다. (순환과 면의 호환) ∂ n i ∘ t n = t n − 1 ∘ ∂ n i − 1 ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \partial _{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n-1}\circ \partial _{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)} (순환과 퇴화 단체의 호환) s n i ∘ t n = t n + 1 ∘ s n i − 1 ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle s_{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n+1}\circ s_{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)} 순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다. 교차단체군(交叉單體群, 영어: crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 단체 집합 G ∙ : △ op → Set {\displaystyle G_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, G n {\displaystyle G_{n}} 위의 군 구조 임의의 m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } 에 대하여, hom △ ⁡ ( m , n ) {\displaystyle \hom _{\triangle }(m,n)} 위의, G n {\displaystyle G_{n}} 의 오른쪽 군 작용 hom △ ⁡ ( m , n ) × G n → hom △ ⁡ ( m , n ) {\displaystyle \hom _{\triangle }(m,n)\times G_{n}\to \hom _{\triangle }(m,n)} 이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.:205, Proposition 6.1.6 임의의 ϕ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) {\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)} 및 χ ∈ hom △ ⁡ ( n , p ) {\displaystyle \chi \in \hom _{\triangle }(n,p)} 및 g ∈ G p {\displaystyle g\in G_{p}} 에 대하여, ( χ ∘ ϕ ) ⋅ g = ( χ ⋅ g ) ∘ ( ϕ ⋅ G ( χ op ) ( g ) ) ∈ hom △ ⁡ ( m , p ) {\displaystyle (\chi \circ \phi )\cdot g=(\chi \cdot g)\circ \left(\phi \cdot G(\chi ^{\operatorname {op} })(g)\right)\in \hom _{\triangle }(m,p)} 임의의 g , h ∈ G n {\displaystyle g,h\in G_{n}} 및 ϕ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) {\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)} 에 대하여, G ( ϕ op ) ( g h ) = G ( ϕ ⋅ h ) op ( g ) G ( ϕ op ) ( h ) ∈ G m {\displaystyle G(\phi ^{\operatorname {op} })(gh)=G(\phi \cdot h)^{\operatorname {op} }(g)G(\phi ^{\operatorname {op} })(h)\in G_{m}} 교차단체군의 예는 다음이 있다. 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.) 순환군 G n = Cyc ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)} 정이면체군 G n = Dih ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle G_{n}=\operatorname {Dih} (n+1)} 쌍순환군 G n = Dic ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle G_{n}=\operatorname {Dic} (n+1)} 대칭군 G n = Sym ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)} 교차단체군 G ∙ {\displaystyle G_{\bullet }} 이 주어졌을 때, 임의의 ϕ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) {\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)} 및 g ∈ G n {\displaystyle g\in G_{n}} 에 대하여 편의상 g ⋅ ϕ = G ( ϕ op ) ( g ) ∈ G m {\displaystyle g\cdot \phi =G(\phi ^{\operatorname {op} })(g)\in G_{m}} 로 표기하자. 이는 g ⋅ ( ϕ ∘ χ ) = ( g ⋅ ϕ ) ⋅ χ {\displaystyle g\cdot (\phi \circ \chi )=(g\cdot \phi )\cdot \chi } 를 만족시킨다. 교차단체군 G ∙ {\displaystyle G_{\bullet }} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 △ G ∙ {\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}} 를 정의할 수 있다. △ G ∙ {\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}} 의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 △ {\displaystyle \triangle } 의 대상과 같다. △ G ∙ {\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}} 의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다. hom △ G ∙ ⁡ ( m , n ) = hom △ ⁡ ( m , n ) × G {\displaystyle \hom _{\triangle _{G_{\bullet }}}(m,n)=\hom _{\triangle }(m,n)\times G} 사상의 합성은 다음과 같다.:207, Corollary 6.1.7 여기서, g ∈ G n {\displaystyle g\in G_{n}} 에 대하여 τ g : hom △ G ∙ ⁡ ( n , n ) {\displaystyle \tau _{g}\colon \hom _{\triangle _{G_{\bullet }}}(n,n)} 은 ( id n , g ) {\displaystyle (\operatorname {id} _{n},g)} 에 대응하는 사상이며, ϕ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) {\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)} 이다. ϕ ∘ τ g = ( ϕ , g ) ( ϕ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) , g ∈ G m ) ) {\displaystyle \phi \circ \tau _{g}=(\phi ,g)\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}))} τ g ∘ ϕ = ( ϕ ⋅ g ) ∘ τ g ⋅ ϕ ( ϕ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) , g ∈ G n ) ) {\displaystyle \tau _{g}\circ \phi =(\phi \cdot g)\circ \tau _{g\cdot \phi }\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{n}))} 그렇다면, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 G ∙ {\displaystyle G_{\bullet }} -대상은 함자 △ G ∙ op → C {\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}} 이다. 특히, 다음과 같은 경우를 생각하자. G n = Cyc ⁡ ( n + 1 ) = ⟨ t n | t n n + 1 = 1 ⟩ {\displaystyle G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)=\langle t_{n}|t_{n}^{n+1}=1\rangle } δ i ⋅ g = { δ i − 1 1 ≤ i ≤ n δ n i = 0 {\displaystyle \delta ^{i}\cdot g={\begin{cases}\delta ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\delta ^{n}&i=0\end{cases}}} σ i ⋅ g = { σ i − 1 1 ≤ i ≤ n σ n i = 0 {\displaystyle \sigma ^{i}\cdot g={\begin{cases}\sigma ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\sigma ^{n}&i=0\end{cases}}} t n ⋅ δ n i = { t n − 1 i ≥ 1 1 i = 0 {\displaystyle t_{n}\cdot \delta _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n-1}&i\geq 1\\1&i=0\end{cases}}} t n ⋅ σ n i = { t n + 1 i ≥ 1 t n + 1 2 i = 0 {\displaystyle t_{n}\cdot \sigma _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n+1}&i\geq 1\\t_{n+1}^{2}&i=0\end{cases}}} 그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 G ∙ {\displaystyle G_{\bullet }} -대상은 순환 대상이라고 한다. 순환 범주 Cyc {\displaystyle \operatorname {Cyc} } 는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.:208, Proposition 6.1.11 Cyc op → Cyc {\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cyc} } n op ↦ n {\displaystyle n^{\operatorname {op} }\mapsto n} ( δ n i ) op ↦ { σ n − 1 i i < n σ n − 1 0 ∘ τ n − 1 i = n {\displaystyle (\delta _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto {\begin{cases}\sigma _{n-1}^{i}&i<n\\\sigma _{n-1}^{0}\circ \tau _{n}^{-1}&i=n\end{cases}}} ( σ n i ) op ↦ δ n + 1 i + 1 {\displaystyle (\sigma _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto \delta _{n+1}^{i+1}} 순환 범주 △ Cyc {\displaystyle \triangle _{\operatorname {Cyc} }} 에서, 모든 사상 f : m → n {\displaystyle f\colon m\to n} 는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.:203, Theorem 6.1.3(2) f ′ ∘ t m ∘ ⋯ ∘ t m ⏞ k ( f ′ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) , k ∈ { 0 , 1 , … , n } ) {\displaystyle f'\circ \overbrace {t_{m}\circ \dotsb \circ t_{m}} ^{k}\qquad (f'\in \hom _{\triangle }(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc ,n\})} 보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 G ∙ {\displaystyle G_{\bullet }} 에 대하여, 범주 △ G ∙ {\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}} 에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다. ϕ ∘ τ g : ϕ ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) , g ∈ G m {\displaystyle \phi \circ \tau _{g}\colon \phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}} 순환 범주 △ Cyc {\displaystyle \triangle _{\operatorname {Cyc} }} 에서, 다음이 성립한다.:202, Definition 6.1.1 τ n ∘ δ n 0 = δ n n {\displaystyle \tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}=\delta _{n}^{n}} 증명: τ n ∘ δ n 0 = τ n ∘ δ n 0 ∘ τ n − 1 ∘ ⋯ ∘ τ n − 1 ⏞ n = τ n ∘ τ n ∘ δ n 1 ∘ τ n − 1 ∘ ⋯ ∘ τ n − 1 ⏞ n − 1 = τ n ∘ τ n ∘ τ n ∘ δ n 2 ∘ τ n − 1 ∘ ⋯ ∘ τ n − 1 ⏞ n − 2 ⋮ = τ n ∘ ⋯ ∘ τ n ⏞ n + 1 ∘ δ n n = δ n {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}&=\tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \delta _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n-1}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \delta _{n}^{2}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n-2}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}\circ \delta _{n}^{n}\\&=\delta _{n}\end{aligned}}} τ n ∘ σ n 0 = σ n n ∘ τ n + 1 ∘ τ n + 1 {\displaystyle \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}=\sigma _{n}^{n}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}} 증명: τ n ∘ σ n 0 = τ n ∘ σ n 0 ∘ τ n + 1 ∘ ⋯ ∘ τ n + 1 ⏞ n + 2 = τ n ∘ τ n ∘ σ n 1 ∘ τ n + 1 ∘ ⋯ ∘ τ n + 1 ⏞ n + 1 = τ n ∘ τ n ∘ τ n ∘ σ n 1 ∘ τ n + 1 ∘ ⋯ ∘ τ n + 1 ⏞ n ⋮ = τ n ∘ ⋯ ∘ τ n ⏞ n + 1 ∘ σ n 1 ∘ τ n + 1 ∘ τ n + 1 = σ n 1 ∘ τ n + 1 ∘ τ n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}&=\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n+2}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n+1}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}\\&=\sigma _{n}^{1}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}\end{aligned}}} 단체 범주 △ {\displaystyle \triangle } 에서 순환 범주로 가는 포함 함자 △ ↪ △ Cyc {\displaystyle \triangle \hookrightarrow \triangle _{\operatorname {Cyc} }} 가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, △ Cyc {\displaystyle \triangle _{\operatorname {Cyc} }} 에는 t n {\displaystyle t_{n}} 으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다). 이에 따라, 임의의 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -순환 대상의 범주에서 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -단체 대상의 범주로 가는 망각 함자 hom ⁡ ( Cyc op , C ) → hom ⁡ ( △ op , C ) {\displaystyle \hom(\operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})\to \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})} 가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다. 모든 성분이 자명군인 교차단체군 1 {\displaystyle 1} 을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 △ 1 {\displaystyle \triangle _{1}} 은 단체 범주 △ {\displaystyle \triangle } 와 같다. 각 성분이 대칭군인 교차단체군 G n = Sym ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)} 을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 △ Sym {\displaystyle \triangle _{\operatorname {Sym} }} 는 유한 집합과 함수의 작은 범주 finSet {\displaystyle \operatorname {finSet} } 와 동치이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다. C : n ↦ A ⊗ K ( n + 1 ) {\displaystyle C\colon n\mapsto A^{\otimes _{K}(n+1)}} C ( δ n i op ) : C n → C n − 1 {\displaystyle C({\delta _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n-1}} C ( δ n i op ) : a 0 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n ↦ { a 0 ⊗ K ⋯ ⊗ K a i − 1 ⊗ K a i a i + 1 ⊗ K a i + 2 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n 0 ≤ i < n a n a 0 ⊗ K a 1 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n − 1 i = n {\displaystyle C({\delta _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto {\begin{cases}a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+2}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}&0\leq i<n\\a_{n}a_{0}\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}&i=n\end{cases}}} :45, (1.6.1.2) C ( σ n i op ) : C n → C n + 1 {\displaystyle C({\sigma _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n+1}} C ( σ n i op ) : a 0 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n ↦ a 0 ⊗ K ⋯ ⊗ K a i ⊗ K 1 ⊗ K a i + 1 ⊗ K a n {\displaystyle C({\sigma _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}a_{n}} :45, (1.6.1.2) C ( τ n op ) : C n → C n {\displaystyle C(\tau _{n}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n}} C ( τ n op ) : a 0 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n ↦ ( − ) n a n ⊗ K a 0 ⊗ K ⋯ ⊗ K a n − 1 {\displaystyle C(\tau _{n}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto (-)^{n}a_{n}\otimes _{K}a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}} :53, §2.1.0 즉, 이는 K {\displaystyle K} -가군 범주 Mod K {\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}} 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 A {\displaystyle A} 에 대응되는 순환 가군(영어: cyclic module associated to A {\displaystyle A} )이라고 한다. 이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다. 알랭 콘이 1983년에 도입하였다.:§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “ Λ {\displaystyle \Lambda } ”라고 표기하였다.:§2:201, Chapter 6 교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(폴란드어: Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다. 순환 호몰로지 단체 범주 Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 301 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.  Connes, Alain (1983). “Cohomologie cyclique et foncteurs Extn” (PDF). 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Série Ⅰ. Mathématique》 (프랑스어) 296 (23): 953–958. MR 777584. Zbl 0534.18009. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 20일에 확인함.  Fiedorowicz, Zbigniew; Loday, Jean-Louis (1991년 7월). “Crossed simplicial groups and their associated homology”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 326 (1): 57–87. doi:10.1090/S0002-9947-1991-0998125-4. ISSN 0002-9947. JSTOR 2001855.  “Cycle category”. 《nLab》 (영어).  “Cyclic set”. 《nLab》 (영어).  “cyclic object”. 《nLab》 (영어).