접다발

미분기하학에서, 매끄러운 다양체의 접다발(接-, 영어: tangent bundle)은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합들로 구성된 벡터 다발이다. M {\displaystyle M} 이 n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계 ( U i , ϕ i : U i → R n ) i ∈ I {\displaystyle (U_{i},\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n})_{i\in I}} 가 주어졌다고 하자 ( ( U i ) ∈ I {\displaystyle (U_{i})_{\in I}} 는 M {\displaystyle M} 의 열린 덮개). 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 접다발은 다음과 같은 위상 공간이다. T M = ⨆ i ∈ I U i × R n ∼ {\displaystyle \mathrm {T} M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim }}} 여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 은 다음과 같다. ( x , u ) ∼ ( x , v ) ⟺ ∀ μ ∈ { 1 , … , n } : u μ = ∑ ν = 1 n v ν ∂ ϕ i ( x ) μ ∂ ϕ j ( x ) ν ∀ i , j ∈ I , x ∈ U i ∩ U j , u , v ∈ R n {\displaystyle (x,u)\sim (x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u^{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v^{\nu }{\frac {\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}{\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}} 여기서 ϕ i ( x ) μ {\displaystyle \phi _{i}(x)^{\mu }} 는 ϕ i ( x ) ∈ R n {\displaystyle \phi _{i}(x)\in \mathbb {R} ^{n}} 의 μ {\displaystyle \mu } 번째 성분이다. 그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상 π : T M ↠ M {\displaystyle \pi \colon \mathrm {T} M\twoheadrightarrow M} π : [ ( x , v ) ] ↦ x {\displaystyle \pi \colon [(x,v)]\mapsto x} 을 통해 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다. x ∈ M {\displaystyle x\in M} 의 접공간(接空間, 영어: tangent space) T x M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}M} 은 접다발의 올이다. 만약 M {\displaystyle M} 에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는 M {\displaystyle M} 에 "접하는" n {\displaystyle n} 차원 초평면으로 여길 수 있다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 접다발의 쌍대 벡터 다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 을 공변접다발(共變接- 영어: cotangent bundle) 또는 여접다발(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로 T ∗ M = ⨆ i ∈ I U i × R n ∼ ′ {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim '}}} ( x , u ) ∼ ′ ( x , v ) ⟺ ∀ μ ∈ { 1 , … , n } : u μ = ∑ ν = 1 n v ν ∂ ϕ j ( x ) ν ∂ ϕ i ( x ) μ ∀ i , j ∈ I , x ∈ U i ∩ U j , u , v ∈ R n {\displaystyle (x,u)\sim '(x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v_{\nu }{\frac {\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}{\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}} 와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, x ∈ M {\displaystyle x\in M} 의 공변접공간(共變接空間, 영어: cotangent space) T x ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M} 은 공변접다발의 올이다. M {\displaystyle M} 의 접다발 T M {\displaystyle \mathrm {T} M} 의 매끄러운 단면을 벡터장이라고 한다. M {\displaystyle M} 의 공변접다발 T ∗ M {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M} 의 매끄러운 단면을 1차 미분 형식이라고 한다. M {\displaystyle M} 의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱 T M ⊗ ⋯ T M ⏞ p ⊗ T ∗ M ⊗ ⋯ ⊗ T ∗ M ⏞ q {\displaystyle \overbrace {\mathrm {T} M\otimes \cdots \mathrm {T} M} ^{p}\otimes \overbrace {\mathrm {T} ^{*}M\otimes \cdots \otimes \mathrm {T} ^{*}M} ^{q}} 의 매끄러운 단면을 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 차 텐서장이라고 한다. 만약 어떤 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, M {\displaystyle M} 을 평행화 가능 다양체(영어: parallelizable manifold)라고 한다. 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 S 0 {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}} , S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} , S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} , S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 밖에 없다. 모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 경우, 각 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상 ( − ) ♭ : T x M → T x ∗ M {\displaystyle (-)^{\flat }\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}^{*}M} ( − ) ♭ : v ↦ g ( v , − ) {\displaystyle (-)^{\flat }\colon v\mapsto g(v,-)} ( − ) ♯ : T x ∗ M → T x M {\displaystyle (-)^{\sharp }\colon \mathrm {T} _{x}^{*}M\to \mathrm {T} _{x}M} ( − ) ♯ : g ( v , − ) ↦ v {\displaystyle (-)^{\sharp }\colon g(v,-)\mapsto v} 이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 음악 동형(音樂同形, 영어: musical isomorphism)이라고 한다. 여기서 "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자( μ {\displaystyle ^{\mu }} ), 공변접다발의 단면은 아랫첨자( μ {\displaystyle _{\mu }} )로 표기하므로, ( − ) ♭ {\displaystyle (-)^{\flat }} 은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", ( − ) ♯ {\displaystyle (-)^{\sharp }} 는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다. Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》. Series on University Mathematics (영어) 1. World Scientific. doi:10.1142/3812. ISBN 978-981-02-3494-2.  공변접다발 미분 사상 틀다발 “Tangent bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle section”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cotangent bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Tangent bundle”. 《nLab》 (영어).  “Cotangent bundle”. 《nLab》 (영어).  “Generalized tangent bundle”. 《nLab》 (영어).  “Synthetic tangent bundle”. 《nLab》 (영어).