사영 극한

수학에서, 사영 극한(射影極限, 영어: projective limit) 또는 역극한(逆極限, 영어: inverse limit)은 하향 원순서 집합을 지표 범주로 하는 범주론적 극한이다. (지표 범주는 흔히 상향 원순서 집합의 반대 범주로 나타낸다.) 기호는 lim ← {\displaystyle \varprojlim } 또는 proj lim {\displaystyle \projlim } . 모든 대수 구조 다양체는 사영 극한을 가지며, 위상 공간의 범주와 균등 공간의 범주에서도 사영 극한이 존재한다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 여과 체계(영어: filtered system) ( ( X i ) i ∈ I , ( f i j ) i ≲ j ) {\displaystyle ((X_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j})} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 상향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 대상 X i ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X_{i}\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 임의의 i ≲ j {\displaystyle i\lesssim j} 에 대하여, 사상 f i j : X j → X i {\displaystyle f_{ij}\colon X_{j}\to X_{i}} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 함자 I op → C {\displaystyle I^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}} 를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다. 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, f i i = id X i {\displaystyle f_{ii}=\operatorname {id} _{X_{i}}} 임의의 i ≲ j ≲ k {\displaystyle i\lesssim j\lesssim k} 에 대하여, f i k = f i j ∘ f j k {\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}} 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 여과 체계 ( ( X i ) i ∈ I , ( f i j ) i ≲ j ) {\displaystyle ((X_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j})} 의 사영 극한 ( X , ( π i : X → X i ) i ∈ I ) {\displaystyle (X,(\pi _{i}\colon X\to X_{i})_{i\in I})} 은 이 여과 체계의 극한이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다. 대상 X ∈ ob ⁡ ( C ) {\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, 사상 π i : X → X i {\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}} 이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다. 임의의 i ≲ j {\displaystyle i\lesssim j} 에 대하여, π i = f i j ∘ π j {\displaystyle \pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}} 만약 Y ∈ op ⁡ ( C ) {\displaystyle Y\in \operatorname {op} ({\mathcal {C}})} 와 ( ψ i : Y → X i ) i ∈ I {\displaystyle (\psi _{i}\colon Y\to X_{i})_{i\in I}} 가 임의의 i ≲ j {\displaystyle i\lesssim j} 에 대하여 ψ i = f i j ∘ ψ j {\displaystyle \psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}} 를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 u : Y → X {\displaystyle u\colon Y\to X} 가 존재한다. 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, ψ i = π i ∘ u {\displaystyle \psi _{i}=\pi _{i}\circ u} 보통 X = lim ← ⁡ X i {\displaystyle X=\varprojlim X_{i}} 로 쓴다. 사영 극한을 갖는 범주의 예는 다음과 같다. 임의의 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 에서, 대수 구조와 준동형들의 여과 체계 ( ( A i ) i ∈ ( I , ≲ ) , ( ϕ i j : A j → A i ) i ≲ j ) {\displaystyle ((A_{i})_{i\in (I,\lesssim )},(\phi _{ij}\colon A_{j}\to A_{i})_{i\lesssim j})} 의 사영 극한은 직접곱의 부분 대수 lim ← ⁡ A i = { a ∈ ∏ i ∈ I A i : a i = ϕ i j ( a j ) ( i ≲ j ) } {\displaystyle \varprojlim A_{i}=\left\{a\in \prod _{i\in I}A_{i}\colon a_{i}=\phi _{ij}(a_{j})\qquad (i\lesssim j)\right\}} 및 사영 함수 lim ← ⁡ A i → A i ( i ∈ I ) {\displaystyle \varprojlim A_{i}\to A_{i}\qquad (i\in I)} 들로 주어진다. 위상 공간과 연속 함수의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 에서, 여과 체계 ( ( X i ) i ∈ ( I , ≲ ) , ( f i j ) i ≲ j ) {\displaystyle ((X_{i})_{i\in (I,\lesssim )},(f_{ij})_{i\lesssim j})} 의 사영 극한은 집합의 대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱위상의 부분공간 위상을 부여한 것이다. 만약 모든 X i {\displaystyle X_{i}} 가 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한은 곱공간의 닫힌집합이다. 특히, 만약 모든 X i {\displaystyle X_{i}} 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 공집합일 필요충분조건은 어떤 X i {\displaystyle X_{i}} 가 공집합인 것이다. 마찬가지로, 균등 공간과 균등 연속 함수들의 범주 Unif {\displaystyle \operatorname {Unif} } 속 여과 체계 ( ( X i ) i ∈ ( I , ≲ ) , ( f i j ) i ≲ j ) {\displaystyle ((X_{i})_{i\in (I,\lesssim )},(f_{ij})_{i\lesssim j})} 의 사영 극한은 집합의 대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱 균등 구조의 부분공간 균등 구조를 부여한 것이다. 만약 모든 X i {\displaystyle X_{i}} 가 하우스도르프 완비 균등 공간이라면, 사영 극한 역시 하우스도르프 완비 균등 공간이다. 그러나 이 경우에 모든 X i {\displaystyle X_{i}} 가 공집합이 아니더라도 사영 극한이 공집합일 수 있다. Bergman, George M. (2015). 《An invitation to general algebra and universal constructions》. Universitext (영어) 2판. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-11478-1. ISBN 978-3-319-11477-4. LCCN 2014954583. MR 3309721. Zbl 1317.08001.  Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse system”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Directed limit”. 《nLab》 (영어).