트위스터 이론

트위스터 이론(영어: Twistor theory)은 1967년 로저 펜로즈가 양자 중력에 이를 수 있는 하나의 길로 제안하였으며 이론 및 수리물리학의 한 분야로 발전했다. 로저 펜로즈는 물리학의 근본적인 배경의 수학적 모형을 트위스터 공간이라는 수학적 공간으로 두자고 제안하며, 이로부터 시공간 자체가 나타난다고 하였다. 트위스터 공간과 트위스터 이론이 연구 되면서, 미분 및 적분 기하학, 비선형 미분 방정식 및 표현론, 일반 상대성이론 및 양자장론, 특히 산란 진폭에 대한 물리학에 적용되는 강력한 수학적 개념들이 발전되었다. 트위스터 이론의 등장은 간접적으로 아인슈타인-카르탕-시아마–키블 이론의 영향을 받은 것 같다. 사영 트위스터 공간 P T {\displaystyle \mathbb {PT} } 는 3차원 복소 사영 다양체 C P 3 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}} 이다. 더 자세하게, 사영 트위스터 공간은 계량 부호수 (2,2)인 에르미트 형식과 정칙 부피 형식이 주어진 4차원 복소 선형 공간 T {\displaystyle \mathbb {T} } 를 사영화 해서 얻은 공간이다. T {\displaystyle \mathbb {T} } 는 비 사영 트위스터 공간이라고 불린다. 이것은 민코프스키 공간의 등각군 S O ( 4 , 2 ) / Z 2 {\displaystyle SO(4,2)/\mathbb {Z} _{2}} 에 대한 바일 스피너들의 공간으로 가장 매끄럽게 이해할 수 있다. 이는 등각군 S O ( 4 , 2 ) / Z 2 {\displaystyle SO(4,2)/\mathbb {Z} _{2}} 의 스핀군 S U ( 2 , 2 ) {\displaystyle SU(2,2)} 의 기본 표현이다. 이 정의는 등각 군에 대한 사영 순수 스피너의 공간으로 사영 트위스터 공간을 정의하는 것을 제외하고 4차원을 넘어서 임의의 차원으로 확장될 수 있다. 사영 트위스터 공간의 물리적 해석은 스핀을 가진 질량이 없는 입자들의 공간과 관련되어 있다. 원래 형태에서 트위스터 이론은 민코프스키 공간의 물리적 장을 펜로즈 변환을 통해 트위스터 공간의 복소 해석학적 대상으로 형식화 한다. 이 과정은 특히 임의의 스핀을 가진 질량이 없는 장에 대해 자연스럽다. 첫 번째 예시에서 이들은 트위스터 공간의 영역에서 자유 정칙 함수 측면에서 선적분 공식을 통해 얻어진다. 질량 없는 장 방정식에 대한 해를 제공하는 정칙 트위스터 함수는 P T {\displaystyle \mathbb {PT} } 의 영역 위에서 해석적 코호몰로지 류들의 체흐 대표원들로 이해될 수 있다. 이러한 대응관계는 펜로즈의 비선형 중력자 구성의 자기 쌍대 중력과 와드 구성의 자체 쌍대 양-밀스 장을 포함하여 특정 비선형 장들로 확장되었다. 이러한 구조는 특히 적분가능계 이론을 포함한 다양한 분야에 널리 응용된다. 자기 쌍대성 조건은 양-밀스–힉스 자기 홀극 및 순간자에 대해 충분하지만 물리적 이론의 완전한 비선형성을 통합하는 데 주요한 제한 사항이다(ADHM 구성 참조). 이 제한을 극복하기 위한 초기 시도는 에드워드 위튼과 아이젠베르크, 예스킨 & 그린의 Ambitwistor 도입이었다. Ambitwistor 공간은 복소화된 광선 또는 질량이 없는 입자들의 공간이며 원래 트위스터 설명의 복소화 또는 여접다발로 간주될 수 있다. 이들은 일반 장에 적용되지만 장 방정식은 더 이상 그렇게 간단하게 표현되지 않는다. 자기 쌍대 섹터를 넘어서는 상호 작용에 대한 트위스터 공식은 에드워드 위튼의 트위스터 끈 이론에서 처음 나왔다. 이것은 리만 곡면에서 트위스터 공간으로가는 정칙 사상의 양자 이론이다. 이 이론에서 양-밀스 이론의 트리 수준 S-행렬에 대한 아주 컴팩트한 RSV(Roiban, Spradlin & Volovich)공식이 나왔지만, 이것의 중력 자유도는 적용 가능성을 제한하는 등각 초중력 버전을 발생시켰다. 등각 중력은 유령을 포함하기 때문에 물리적이지 않은 이론이지만, 그 상호 작용은 트위스터 끈 이론을 통해 계산된 루프 진폭에서 양-밀스 이론의 상호 작용과 결합된다. 이런 단점들에도 불구하고 트위스터 끈 이론은 산란 진폭 연구에서 급속한 발전을 가져왔다. 하나는 분리된 끈에 느슨하게 기반을 둔 이른바 MHV 형식주의이지만 트위스터 공간에서 전체 양-밀스 이론에 대한 트위스터 작용 측면에서 더 기본적인 토대를 제공했다. 또 다른 주요 개발은 BCFW 재귀의 도입이었다. 이것은 트위스터 공간에서 자연스러운 공식을 가지며, 그 결과 그라스만 적분 공식 및 다포체 측면에서 산란 진폭의 놀라운 공식을 이끌어 냈다. 이러한 아이디어는 최근에 양의 그라스마니안과 진폭면체로 발전되었다. 트위스터 끈 이론은 먼저 RSV 양-밀스 진폭 공식을 일반화한 다음 기본 끈 이론을 찾아 확장했다. Cachazo & Skinner가 중력에 대한 확장을 하였고 David Skinner가 최대 초중력에 대한 트위스터 끈 이론으로 공식화하였다. Cachazo, He & Yuan은 양-밀스 이론과 중력에 대해, 그리고 이후 다양한 다른 이론에 대해 모든 차원에서 유사한 공식을 발견했다. 그런 다음 Mason & Skinner에 의해 원래 트위스터 끈을 포함하고 확장되어 여러 가지 새로운 모델과 공식을 제공하는 일반적 이론의 틀에서 ambitwistor 공간의 끈이론으로 이해되었다. 끈 이론으로서 그것들은 전통적인 끈 이론과 같은 임계 차원을 가지고 있다. 예를 들어 유형 II 초대칭 버전은 10차원에서 중요하며 10차원에서 유형 II 초중력의 전체 장 이론과 동일하다. 그들은 루프 진폭에 대한 공식을 제공하기 위해 확장되고 휘어진 배경에서 정의될 수 있다. 민코프스키 공간 M {\displaystyle M} 의 좌표 x a = ( t , x , y , z ) {\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)} 및 부호수 ( 1 , 3 ) {\displaystyle (1,3)} 인 로런츠 계량 η a b {\displaystyle \eta _{ab}} 을 생각하자. 2 성분 스피너 지수 A = 0 , 1 ; A ′ = 0 ′ , 1 ′ {\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1'} 를 도입하고 다음과 같이 두자: x A A ′ = 1 2 ( t − z x + i y x − i y t + z ) . {\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.} 두 개의 상수 바일 스피너 ω A {\displaystyle \omega ^{A}} 와 π A ′ {\displaystyle \pi _{A'}} 에 대해, 비사영 트위스터 공간 T {\displaystyle \mathbb {T} } 는 좌표가 Z α = ( ω A , π A ′ ) {\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)} 과 같은 4차원 복소 선형 공간이다. 에르미트 형식은 T {\displaystyle \mathbb {T} } 에서 쌍대 공간 T ∗ {\displaystyle \mathbb {T} ^{*}} 로 가는 복소 켤레 Z ¯ α = ( π ¯ A , ω ¯ A ′ ) {\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)} 를 정의하여 표현할 수 있다. 이에 따라, 에르미트 형식은 다음과 같이 표현할 수 있다: Z α Z ¯ α = ω A π ¯ A + ω ¯ A ′ π A ′ . {\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.} 이것은 정칙 부피 형식과 함께, ε α β γ δ Z α d Z β ∧ d Z γ ∧ d Z δ {\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }} 는 컴팩트화된 민코프스키 시공간의 등각 군 C(1,3)의 4중 커버인 군 SU(2,2)에서 불변이다. 민코프스키 공간의 점은 입사 관계를 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다. ω A = i x A A ′ π A ′ . {\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.} 입사 관계는 트위스터의 전체 크기 조정 하에서 보존되므로 일반적으로 사영 트위스터 공간 P T {\displaystyle \mathbb {PT} } 에서 작동한다. 이는 복소 다양체 C P 3 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}} 와 동형이다. 따라서, 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 는 P T {\displaystyle \mathbb {PT} } 안에 π A ′ {\displaystyle \pi _{A'}} 로 매개변수화 되는 직선 C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} 을 결정한다. 시공간 안에서 트위스터 Z α {\displaystyle Z^{\alpha }} 는 자체 쌍대인 완전히 null인 두 면을 정하는 좌표의 복소수 값에 대해 가장 쉽게 이해된다. 실수 x {\displaystyle x} 를 취할 때, Z α Z ¯ α {\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }} 가 사라지면 x {\displaystyle x} 는 광선 위에 놓여 있는 반면, 만약 Z α Z ¯ α {\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }} 가 사라지지 않고 해가 없으면 Z α {\displaystyle Z^{\alpha }} 는 실 시공간에 국한되지 않는 스핀을 가진 질량이 없는 입자에 해당한다. 슈퍼트위스터는 1978년 Alan Ferber가 도입한 트위스터의 초대칭 확장이다. 비사영 트위스터 공간은 페르미온 좌표에 의해 확장된다. N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 은 트위스터가 반교환인 η i {\displaystyle \eta ^{i}} 과 함께 ( ω A , π A ′ , η i ) , i = 1 , … , N {\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}} 로 주어지도록 하는 초대칭의 수이다. 초등각 군 S U ( 2 , 2 | N ) {\displaystyle SU(2,2|{\mathcal {N}})} 이 이 공간에 자연스럽게 작용하고 펜로즈 변환의 초대칭 버전은 슈퍼트위스터 공간의 코호몰로지 류를 수퍼 민코프스키 공간의 질량 없는 초대칭 multiplet들로 변환한다. N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 인 경우는 펜로즈의 원래 트위스터 스트링의 경우고, N = 8 {\displaystyle {\mathcal {N}}=8} Skinner의 초중력 일반화의 경우이다. 4 k {\displaystyle 4k} 차원 초켈러 다양체 또한 복소 2 k + 1 {\displaystyle 2k+1} 차원 트위스터 공간과 트위스터 대응된다. 배경 독립성 복소 시공간 루프 양자 중력의 역사 로빈슨 합동 스핀 네트워크 트위스터 공간 Penrose, Roger (1999), "Einstein's Equation and Twistor Theory: Recent Developments" Penrose,, Roger; Hadrovich, Fedja. "Twistor Theory." Hadrovich, Fedja, "Twistor Primer. Archived 2005년 9월 12일 - 웨이백 머신" Penrose, Roger. "On the Origins of Twistor Theory. Archived 2005년 8월 29일 - 웨이백 머신" Jozsa, Richard (1976), "Applications of Sheaf Cohomology in Twistor Theory. Archived 2005년 11월 11일 - 웨이백 머신" Dunajski, Maciej (2009). “Twistor Theory and Differential Equations”. 《J. Phys. A: Math. Theor.》 42 (40): 404004. arXiv:0902.0274. doi:10.1088/1751-8113/42/40/404004.  Andrew Hodges, Summary of recent developments. Huggett, Stephen (2005), "The Elements of Twistor Theory." Mason, L. J., "The twistor programme and twistor strings: From twistor strings to quantum gravity?" Sparling, George (1999), "On Time Asymmetry." Spradlin, Marcus (2012). “Progress and Prospects in Twistor String Theory” (PDF).  MathWorld: Twistors. Universe Review: "Twistor Theory." Twistor newsletter archives. Penrose, R. (1967). “Twistor Algebra”. 《Journal of Mathematical Physics》 8 (2): 345–366. Bibcode:1967JMP.....8..345P. doi:10.1063/1.1705200.  Penrose, R.; MacCallum, M.A.H. (1973). “Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time”. 《Physics Reports》 6 (4): 241–315. Bibcode:1973PhR.....6..241P. doi:10.1016/0370-1573(73)90008-2.  “Dennis William Sciama. 18 November 1926 — 19 December 1999”. 2010: 411. doi:10.1098/rsbm.2009.0023.  Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (1986). 《Spinors and Space-Time》 (영어). Cambridge University Press. Appendix쪽. doi:10.1017/cbo9780511524486. ISBN 9780521252676.  Hughston, L. P.; Mason, L. J. (1988). “A generalised Kerr-Robinson theorem”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 5 (2): 275. Bibcode:1988CQGra...5..275H. doi:10.1088/0264-9381/5/2/007. ISSN 0264-9381.  Penrose, R (1976). “Non-linear gravitons and curved twistor theory”. 《Gen. Rel. Grav.》 7: 31–52. doi:10.1007/BF00762011.  Ward, R. S. (1977). “On self-dual gauge fields”. 《Physics Letters A》 61 (2): 81–82. Bibcode:1977PhLA...61...81W. doi:10.1016/0375-9601(77)90842-8.  Ward, R. S. (1990). 《Twistor geometry and field theory》. Wells, R. O. (Raymond O'Neil), 1940-. Cambridge [England]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521422680. OCLC 17260289.  Mason, Lionel J; Woodhouse, Nicholas M J (1996). 《Integrability, self-duality, and twistor theory》. Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198534983. OCLC 34545252.  Dunajski, Maciej (2010). 《Solitons, instantons, and twistors》. Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780198570622. OCLC 507435856.  Atiyah, M.F.; Hitchin, N.J.; Drinfeld, V.G.; Manin, Yu.I. (1978). “Construction of instantons”. 《Physics Letters A》 65 (3): 185–187. Bibcode:1978PhLA...65..185A. doi:10.1016/0375-9601(78)90141-x.  Witten, Edward (1978). “An interpretation of classical Yang–Mills theory”. 《Physics Letters B》 77 (4–5): 394–398. Bibcode:1978PhLB...77..394W. doi:10.1016/0370-2693(78)90585-3.  Isenberg, James; Yasskin, Philip B.; Green, Paul S. (1978). “Non-self-dual gauge fields”. 《Physics Letters B》 78 (4): 462–464. Bibcode:1978PhLB...78..462I. doi:10.1016/0370-2693(78)90486-0.  Witten, Edward (2004년 10월 6일). “Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space”. 《Communications in Mathematical Physics》 252 (1–3): 189–258. arXiv:hep-th/0312171. Bibcode:2004CMaPh.252..189W. doi:10.1007/s00220-004-1187-3.  Roiban, Radu; Spradlin, Marcus; Volovich, Anastasia (2004년 7월 30일). “Tree-level S matrix of Yang–Mills theory”. 《Physical Review D》 70 (2): 026009. arXiv:hep-th/0403190. Bibcode:2004PhRvD..70b6009R. doi:10.1103/PhysRevD.70.026009.  Berkovits, Nathan; Witten, Edward (2004). “Conformal supergravity in twistor-string theory”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2004 (8): 009. arXiv:hep-th/0406051. Bibcode:2004JHEP...08..009B. doi:10.1088/1126-6708/2004/08/009. ISSN 1126-6708.  Cachazo, Freddy; Svrcek, Peter; Witten, Edward (2004). “MHV vertices and tree amplitudes in gauge theory”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2004 (9): 006. arXiv:hep-th/0403047. Bibcode:2004JHEP...09..006C. doi:10.1088/1126-6708/2004/09/006. ISSN 1126-6708.  Adamo, Tim; Bullimore, Mathew; Mason, Lionel; Skinner, David (2011). “Scattering amplitudes and Wilson loops in twistor space”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 44 (45): 454008. arXiv:1104.2890. Bibcode:2011JPhA...44S4008A. doi:10.1088/1751-8113/44/45/454008.  Britto, Ruth; Cachazo, Freddy; Feng, Bo; Witten, Edward (2005년 5월 10일). “Direct Proof of the Tree-Level Scattering Amplitude Recursion Relation in Yang–Mills Theory”. 《Physical Review Letters》 94 (18): 181602. arXiv:hep-th/0501052. Bibcode:2005PhRvL..94r1602B. doi:10.1103/PhysRevLett.94.181602. PMID 15904356.  Mason, Lionel; Skinner, David (2010년 1월 1일). “Scattering amplitudes and BCFW recursion in twistor space”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2010 (1): 64. arXiv:0903.2083. Bibcode:2010JHEP...01..064M. doi:10.1007/JHEP01(2010)064. ISSN 1029-8479.  Arkani-Hamed, N.; Cachazo, F.; Cheung, C.; Kaplan, J. (2010년 3월 1일). “The S-matrix in twistor space”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2010 (3): 110. arXiv:0903.2110. Bibcode:2010JHEP...03..110A. doi:10.1007/JHEP03(2010)110. ISSN 1029-8479.  Arkani-Hamed, N.; Cachazo, F.; Cheung, C.; Kaplan, J. (2010년 3월 1일). “A duality for the S matrix”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2010 (3): 20. arXiv:0907.5418. Bibcode:2010JHEP...03..020A. doi:10.1007/JHEP03(2010)020. ISSN 1029-8479.  Mason, Lionel; Skinner, David (2009). “Dual superconformal invariance, momentum twistors and Grassmannians”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2009 (11): 045. arXiv:0909.0250. Bibcode:2009JHEP...11..045M. doi:10.1088/1126-6708/2009/11/045. ISSN 1126-6708.  Hodges, Andrew (2013년 5월 1일). “Eliminating spurious poles from gauge-theoretic amplitudes”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2013 (5): 135. arXiv:0905.1473. Bibcode:2013JHEP...05..135H. doi:10.1007/JHEP05(2013)135. ISSN 1029-8479.  Cachazo, Freddy; Skinner, David (2013년 4월 16일). “Gravity from Rational Curves in Twistor Space”. 《Physical Review Letters》 110 (16): 161301. arXiv:1207.0741. Bibcode:2013PhRvL.110p1301C. doi:10.1103/PhysRevLett.110.161301. PMID 23679592.  Cachazo, Freddy; He, Song; Yuan, Ellis Ye (2014년 7월 1일). “Scattering of massless particles: scalars, gluons and gravitons”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2014 (7): 33. arXiv:1309.0885. Bibcode:2014JHEP...07..033C. doi:10.1007/JHEP07(2014)033. ISSN 1029-8479.  Cachazo, Freddy; He, Song; Yuan, Ellis Ye (2015년 7월 1일). “Scattering equations and matrices: from Einstein to Yang–Mills, DBI and NLSM”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2015 (7): 149. arXiv:1412.3479. Bibcode:2015JHEP...07..149C. doi:10.1007/JHEP07(2015)149. ISSN 1029-8479.  Mason, Lionel; Skinner, David (2014년 7월 1일). “Ambitwistor strings and the scattering equations”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2014 (7): 48. arXiv:1311.2564. Bibcode:2014JHEP...07..048M. doi:10.1007/JHEP07(2014)048. ISSN 1029-8479.  Berkovits, Nathan (2014년 3월 1일). “Infinite tension limit of the pure spinor superstring”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2014 (3): 17. arXiv:1311.4156. Bibcode:2014JHEP...03..017B. doi:10.1007/JHEP03(2014)017. ISSN 1029-8479.  Geyer, Yvonne; Lipstein, Arthur E.; Mason, Lionel (2014년 8월 19일). “Ambitwistor Strings in Four Dimensions”. 《Physical Review Letters》 113 (8): 081602. arXiv:1404.6219. Bibcode:2014PhRvL.113h1602G. doi:10.1103/PhysRevLett.113.081602. PMID 25192087.  Casali, Eduardo; Geyer, Yvonne; Mason, Lionel; Monteiro, Ricardo; Roehrig, Kai A. (2015년 11월 1일). “New ambitwistor string theories”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2015 (11): 38. arXiv:1506.08771. Bibcode:2015JHEP...11..038C. doi:10.1007/JHEP11(2015)038. ISSN 1029-8479.  Adamo, Tim; Casali, Eduardo; Skinner, David (2014년 4월 1일). “Ambitwistor strings and the scattering equations at one loop”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2014 (4): 104. arXiv:1312.3828. Bibcode:2014JHEP...04..104A. doi:10.1007/JHEP04(2014)104. ISSN 1029-8479.  Geyer, Yvonne; Mason, Lionel; Monteiro, Ricardo; Tourkine, Piotr (2015년 9월 16일). “Loop Integrands for Scattering Amplitudes from the Riemann Sphere”. 《Physical Review Letters》 115 (12): 121603. arXiv:1507.00321. Bibcode:2015PhRvL.115l1603G. doi:10.1103/PhysRevLett.115.121603. PMID 26430983.  Adamo, Tim; Casali, Eduardo; Skinner, David (2015년 2월 1일). “A worldsheet theory for supergravity”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2015 (2): 116. arXiv:1409.5656. Bibcode:2015JHEP...02..116A. doi:10.1007/JHEP02(2015)116. ISSN 1029-8479.  Hitchin, N. J.; Karlhede, A.; Lindström, U.; Roček, M. (1987). “Hyper-Kähler metrics and supersymmetry”. 《Communications in Mathematical Physics》 108 (4): 535–589. doi:10.1007/BF01214418. ISSN 0010-3616. MR 877637.  Roger Penrose (2004), The Road to Reality, Alfred A. Knopf, ch. 33, pp. 958–1009. Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984), Spinors and Space-Time; vol. 1, Two-Spinor Calculus and Relativitic Fields, Cambridge University Press, Cambridge. Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1986), Spinors and Space-Time; vol. 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry, Cambridge University Press, Cambridge. Atiyah, Michael; Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2017). “Twistor theory at fifty: from contour integrals to twistor strings”. 《Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences》 473 (2206): 20170530. doi:10.1098/rspa.2017.0530.  Baird, P., "An Introduction to Twistors[깨진 링크(과거 내용 찾기)]." Huggett, S. and Tod, K. P. (1994). An Introduction to Twistor Theory, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521456890ISBN 9780521456890. OCLC 831625586. Hughston, L. P. (1979) Twistors and Particles. Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09244-5ISBN 978-3-540-09244-5. Hughston, L. P. and Ward, R. S., eds (1979) Advances in Twistor Theory. Pitman. ISBN 0-273-08448-8ISBN 0-273-08448-8. Mason, L. J. and Hughston, L. P., eds (1990) Further Advances in Twistor Theory, Volume I: The 펜로즈 Transform and its Applications. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00466-7ISBN 0-582-00466-7. Mason, L. J., Hughston, L. P., and Kobak, P. K., eds (1995) Further Advances in Twistor Theory, Volume II: Integrable Systems, Conformal Geometry, and Gravitation. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00465-9ISBN 0-582-00465-9. Mason, L. J., Hughston, L. P., Kobak, P. K., and Pulverer, K., eds (2001) Further Advances in Twistor Theory, Volume III: Curved Twistor Spaces. Research Notes in Mathematics 424, Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-047-3ISBN 1-58488-047-3. Penrose, Roger (1999). “The Central Programme of Twistor Theory”. 《Chaos, Solitons and Fractals》 10 (2–3): 581–611. doi:10.1016/S0960-0779(98)00333-6. 2005년 8월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2022년 11월 21일에 확인함.