올범주

범주론에서 올범주(-範疇, 미국 영어: fibered category, 영국 영어: fibred category, 프랑스어: catégorie fibrée) 또는 그로텐디크 올뭉치(영어: Grothendieck fibration)는 어떤 유일 올림 성질을 만족시켜서 올뭉치와 같은 성질을 보이는 함자이다. 내림 데이터나 스택을 정의할 때 쓰인다. 올범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다. 한 정의는 보다 개념적으로 명확하며, 준층의 정의의 직접적 일반화이다. 그러나 이는 올범주의 개념을 응용하기에 불필요한 추가 데이터(“쪼갬”)를 담고 있다. 다른 정의는 보다 기술적으로 용이하며, 불필요한 데이터를 담고 있지 않지만, 개념적으로 명확하지 않다. 이 두 정의 사이의 차이는 “쪼갬”이라는 데이터에 해당한다. 즉, 둘째 정의에 쪼갬의 데이터를 추가하면, 이는 첫째 정의와 동치이다. 위상 공간 B {\displaystyle B} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의 쪼갬을 갖춘 올범주 Π {\displaystyle \Pi } 는 다음과 같은 데이터로 주어진다. B {\displaystyle B} 의 각 열린집합 U ⊆ B {\displaystyle U\subseteq B} 에 대하여, 범주 Π ( U ) {\displaystyle \Pi (U)} 두 열린집합 U ⊆ V ⊆ B {\displaystyle U\subseteq V\subseteq B} 에 대하여, 함자 res U V : Π ( V ) → Π ( U ) {\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{V}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)} . 이를 제한 함자(영어: restriction functor)라고 한다. 세 열린집합 U ⊆ V ⊆ W ⊆ B {\displaystyle U\subseteq V\subseteq W\subseteq B} 에 대하여, 함자 res U V ∘ res V W {\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{V}\circ \operatorname {res} _{V}^{W}} 와 res U W {\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{W}} 사이의 자연 동형 τ U , V , W : res U V ∘ res V W ⇒ res U W {\displaystyle \tau _{U,V,W}\colon \operatorname {res} _{U}^{V}\circ \operatorname {res} _{V}^{W}\Rightarrow \operatorname {res} _{U}^{W}} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 네 열린집합 U ⊆ V ⊆ W ⊆ X {\displaystyle U\subseteq V\subseteq W\subseteq X} 에 대하여, τ U , V , X ∘ τ V , W , X = τ U , W , X ∘ τ U , V , W {\displaystyle \tau _{U,V,X}\circ \tau _{V,W,X}=\tau _{U,W,X}\circ \tau _{U,V,W}} 보다 일반적으로, 임의의 범주 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 위의 쪼갬을 갖춘 올범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 대상 U {\displaystyle U} 에 대하여, 범주 Π ( U ) {\displaystyle \Pi (U)} 두 대상 사이의 사상 i : U → V {\displaystyle i\colon U\to V} 에 대하여, 함자 res i : Π ( V ) → Π ( U ) {\displaystyle \operatorname {res} _{i}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)} . 이를 제한 함자(영어: restriction functor)라고 한다. 두 사상 U → i V → j W {\displaystyle U{\xrightarrow {i}}V{\xrightarrow {j}}W} 에 대하여, 함자 res i ∘ res j {\displaystyle \operatorname {res} _{i}\circ \operatorname {res} _{j}} 와 res j ∘ i {\displaystyle \operatorname {res} _{j\circ i}} 사이의 자연 동형 τ i , j : res i ∘ res j ⇒ res j ∘ i {\displaystyle \tau _{i,j}\colon \operatorname {res} _{i}\circ \operatorname {res} _{j}\Rightarrow \operatorname {res} _{j\circ i}} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 세 사상 U → i V → j W → k X {\displaystyle U{\xrightarrow {i}}V{\xrightarrow {j}}W{\xrightarrow {k}}X} 에 대하여, τ i , k ∘ j ∘ τ j , k = τ j ∘ i , k ∘ τ i , j {\displaystyle \tau _{i,k\circ j}\circ \tau _{j,k}=\tau _{j\circ i,k}\circ \tau _{i,j}} 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 가 주어졌다고 하자. E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 를 데카르트 사상(Descartes寫像, 영어: Cartesian morphism, 프랑스어: morphisme cartésien)이라고 한다. 임의의 사상 f ′ : X ′ → Y {\displaystyle f'\colon X'\to Y} g ^ : Π ( X ′ ) → Π ( X ) {\displaystyle {\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)} 에 대하여, 만약 Π ( f ) ∘ g ^ = Π ( f ′ ) {\displaystyle \Pi (f)\circ {\hat {g}}=\Pi (f')} 라면, Π ( g ) = g ^ {\displaystyle \Pi (g)={\hat {g}}} 이며 f ∘ g = f ′ {\displaystyle f\circ g=f'} 인 사상 g : X ′ → X {\displaystyle g\colon X'\to X} 가 유일하게 존재한다. E → Π B X ′ ∃ ! g ↓ ∃ ! g ↘ f ′ X → f Y ↦ Π Π X ′ g ^ ↓ g ^ ↘ Π f ′ Π X → Π f Π Y {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f}{\to }}&\Pi Y\end{matrix}}\end{matrix}}} 함자 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 올범주(영어: fibered category)라고 한다. 대상 Y ∈ E {\displaystyle Y\in {\mathcal {E}}} 및 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 속의 임의의 사상 f ^ : X ^ → Π ( Y ) {\displaystyle {\hat {f}}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y)} 에 대하여, Π ( X ) = X ^ {\displaystyle \Pi (X)={\hat {X}}} 이며 Π ( f ) = f ^ {\displaystyle \Pi (f)={\hat {f}}} 인 대상 X ∈ E {\displaystyle X\in {\mathcal {E}}} 및 데카르트 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 존재한다. E → Π B ∃ X → ∃ f Y ↦ Π X ^ → f ^ Π Y {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline \exists X{\overset {\exists f}{\to }}Y&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\hat {X}}{\overset {\hat {f}}{\to }}\Pi Y\end{matrix}}} 이 경우, f {\displaystyle f} 를 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 의 X {\displaystyle X} 에서의 데카르트 올림(영어: Cartesian lift)이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 올범주의 쪼갬(영어: cleavage, 프랑스어: clivage)은 각 ( X , f ^ ) {\displaystyle (X,{\hat {f}})} 에 대하여 한 올림을 고르되, 만약 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 가 항등 사상일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 선택 공리에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 각 사상 f : U → V {\displaystyle f\colon U\to V} 에 대하여 함자 res f : Π ( V ) → Π ( U ) {\displaystyle \operatorname {res} _{f}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)} 가 정의된다. 올범주 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 의, 대상 X ^ ∈ B {\displaystyle {\hat {X}}\in {\mathcal {B}}} 위의 올(미국 영어: fiber, 영국 영어: fibre, 프랑스어: fibre) E ( X ^ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}({\hat {X}})} 은 X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} 의 원상과 그 사이의 사상들로 구성된, E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 부분 범주이다. 같은 밑범주를 갖는 두 올범주 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} , Π ′ : E ′ → B {\displaystyle \Pi '\colon {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {B}}} 사이의 사상은 다음 두 조건을 만족시키는 함자 F : E → E ′ {\displaystyle F\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'} 이다. 조각 범주 Cat ⁡ / B {\displaystyle \operatorname {Cat} /{\mathcal {B}}} 의 사상이다. 즉, 다음과 같은 함자 가환 그림이 성립한다. E → F E ′ Π ↘ ↓ Π ′ B {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {E}}'\\&{\scriptstyle \Pi }\searrow &\downarrow \scriptstyle \Pi '\\&&{\mathcal {B}}\end{matrix}}} 데카르트 사상의 상은 항상 데카르트 사상이다. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를 Fib ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Fib} ({\mathcal {B}})} 라고 한다. 두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다. 작은 범주의 범주 Cat {\displaystyle \operatorname {Cat} } 에서, 다음과 같은 당김이 주어졌다고 하자. C × B D → Π ′ D ↓ ↓ C → Π B {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}\times _{\mathcal {B}}{\mathcal {D}}&{\overset {\Pi '}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\mathcal {C}}&{\underset {\Pi }{\to }}&{\mathcal {B}}\\\end{matrix}}} 만약 Π {\displaystyle \Pi } 가 올범주라면 Π ′ {\displaystyle \Pi '} 역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 당김에 대하여 안정적이다. 올범주 Π : E → B {\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}} 에서, 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 위에 분해계 ( E , M ) {\displaystyle ({\mathfrak {E}},{\mathfrak {M}})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의하자. E ′ {\displaystyle {\mathfrak {E}}'} 은 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 사상 가운데, Π {\displaystyle \Pi } 에 대한 상이 E {\displaystyle {\mathfrak {E}}} 에 속하는 것들의 모임이다. M ′ {\displaystyle {\mathfrak {M}}'} 은 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 의 데카르트 사상 가운데, Π {\displaystyle \Pi } 에 대한 상이 M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} 에 속하는 것들의 모임이다. 그렇다면, ( E ′ , M ′ ) {\displaystyle ({\mathfrak {E}}',{\mathfrak {M}}')} 은 E {\displaystyle {\mathfrak {E}}} 위의 분해계를 이룬다. 특히, E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 가 동형 사상의 모임이며, M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} 이 모든 사상의 모임이라고 하자. 이는 자명하게 분해계를 이루며, 이 경우 M ′ {\displaystyle {\mathfrak {M}}'} 은 모든 데카르트 사상의 모임이며 E ′ {\displaystyle {\mathfrak {E}}'} 은 동형 사상의 원상의 모임이다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)은 올범주의 분해계를 이룬다. 모든 올이 준군을 이루는 올범주를 준군 올범주(準群-範疇, 미국 영어: category fibered in groupoids, 영국 영어: category fibred in groupoids, 프랑스어: catégorie fibrée en groupoïdes)라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 이산 올범주(영어: discretely fibred category)라고 한다. 두 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} , D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주 C × D {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}} 에서 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} (또는 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} )로 사영하는 함자 proj C : C × D → C {\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} proj D : C × D → D {\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}} 는 올범주를 이룬다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 B ∈ C {\displaystyle B\in {\mathcal {C}}} 에 대한 조각 범주 C / B {\displaystyle {\mathcal {C}}/B} 를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 정의역으로 대응시키는 망각 함자 C / B → C {\displaystyle {\mathcal {C}}/B\to {\mathcal {C}}} ( X → f B ) ↦ X {\displaystyle (X{\xrightarrow {f}}B)\mapsto X} ( X → f Y ↘ ↓ B ) ↦ ( X → f Y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\&\searrow &\downarrow \\&&B\end{pmatrix}}\mapsto (X{\xrightarrow {f}}Y)} 는 이산 올범주를 이룬다. 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 위의 올은 사상 모임 (이산 범주) hom C ⁡ ( X , B ) {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,B)} 이다. 이는 사실 표현 가능 준층 hom C ⁡ ( − , B ) : C op → Set {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 에 그로텐디크 구성을 가한 것이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 화살표 범주 C → {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }} 를 생각하자. 사상을 그 공역으로 대응시키는 함자 codom C : C → → C {\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}^{\to }\to {\mathcal {C}}} codom C : ( A → f B ) ↦ B {\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon (A{\overset {f}{\to }}B)\mapsto B} codom C : ( A → f B h ↓ ↓ k C → g D ) ↦ ( B → k D ) {\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon \left({\begin{matrix}A&{\overset {f}{\to }}&B\\{\scriptstyle h}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle k\\C&{\underset {g}{\to }}&D\end{matrix}}\right)\mapsto (B{\overset {k}{\to }}D)} 를 생각하자. 이는 올범주를 이루며,:Example 3.15 사상 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} 의, g ∈ C → {\displaystyle g\in {\mathcal {C}}^{\to }} ( g : C → B {\displaystyle g\colon C\to B} )에서의 올림은 다음과 같은 ( A × B C → A {\displaystyle A\times _{B}C\to A} 에서 g {\displaystyle g} 로 가는 C → {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }} 의 사상으로 간주한) 당김이다. A × B C → C ↓ ↓ g A → f B {\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}A\times _{B}C&\to &C\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g\\A&{\underset {f}{\to }}&B\end{matrix}}\end{matrix}}} 작은 범주의 범주 Cat {\displaystyle \operatorname {Cat} } 로 가는 함자 F : C op → Cat {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} } 가 주어졌을 때, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 그로텐디크 구성(영어: Grothendieck construction) C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 를 다음과 같이 정의하자. C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 의 대상 ( X , x ) {\displaystyle (X,x)} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 와 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 의 대상 x ∈ F ( X ) {\displaystyle x\in F(X)} 의 순서쌍이다. C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 의 사상 ( f , ϕ ) : ( X , x ) → ( X ′ , x ′ ) {\displaystyle (f,\phi )\colon (X,x)\to (X',x')} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상 f : X → X ′ {\displaystyle f\colon X\to X'} 과 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 의 사상 x → F f ( x ′ ) {\displaystyle x\to Ff(x')} 의 순서쌍이다. 그렇다면, C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 올범주를 이룬다. X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 위의 올은 작은 범주 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 이다. 범주 Mod {\displaystyle \operatorname {Mod} } 를 다음과 같이 정의하자. Mod {\displaystyle \operatorname {Mod} } 의 대상 ( R , M ) {\displaystyle (R,M)} 은 가환환 R {\displaystyle R} 와 그 위의 가군 M {\displaystyle M} 의 순서쌍이다. Mod {\displaystyle \operatorname {Mod} } 의 사상 ( f , ϕ ) : ( R , M ) → ( R ′ , M ′ ) {\displaystyle (f,\phi )\colon (R,M)\to (R',M')} 은 환 준동형 f : R → R ′ {\displaystyle f\colon R\to R'} 과 R {\displaystyle R} -가군 준동형 ϕ : M → f ∗ M ′ {\displaystyle \phi \colon M\to f^{*}M'} 의 순서쌍이다. 그렇다면, Mod {\displaystyle \operatorname {Mod} } 는 가환환 범주 CRing {\displaystyle \operatorname {CRing} } 위의 올범주를 이룬다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 올은 R {\displaystyle R} -가군들의 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 이다. 이는 가환환을 가군 아벨 범주로 대응시키는 함자 M : CRing op → Cat {\displaystyle M\colon \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} } M : R ↦ Mod R {\displaystyle M\colon R\mapsto \operatorname {Mod} _{R}} M : ( f : R → S ) ↦ ( f ∗ : Mod S → Mod R ) {\displaystyle M\colon (f\colon R\to S)\mapsto (f^{*}\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R})} 에 대한 그로텐디크 구성이다. 즉, 이 올범주의 올은 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 이다. 범주 QCoh {\displaystyle \operatorname {QCoh} } 를 다음과 같이 정의하자. QCoh {\displaystyle \operatorname {QCoh} } 의 대상 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 는 스킴 X {\displaystyle X} 와 그 위의 준연접층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 순서쌍이다. QCoh {\displaystyle \operatorname {QCoh} } 의 사상 ( f , ϕ ) : ( X , F ) → ( Y , G ) {\displaystyle (f,\phi )\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})} 는 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 과 층 사상 ϕ : F → f ∗ G {\displaystyle \phi \colon {\mathcal {F}}\to f^{*}{\mathcal {G}}} 의 순서쌍이다. 그렇다면, 스킴의 범주로 가는 망각 함자 QCoh → Sch {\displaystyle \operatorname {QCoh} \to \operatorname {Sch} } 는 올범주를 이룬다.:53–55, §3.2.1 이는 스킴을 준연접층 아벨 범주로 대응시키는 함자 Sch op → Cat {\displaystyle \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} } X ↦ QCoh X {\displaystyle X\mapsto \operatorname {QCoh} _{X}} 에 대한 그로텐디크 구성이다. 이 경우, 임의의 두 스킴 사상 X → f Y → g Z {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z} 에 대하여, 자연 동형 f ∗ ∘ g ∗ ⇒ ( g ∘ f ) ∗ {\displaystyle f^{*}\circ g^{*}\Rightarrow (g\circ f)^{*}} 이 존재한다. (만약 Sch {\displaystyle \operatorname {Sch} } 위에 fpqc 위상을 부여한다면, 이는 스택을 이룬다.) 모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다. 집합의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는 함자 F : C op → Set {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 가 주어졌을 때, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 원소 범주(영어: category of elements) C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 를 다음과 같이 정의하자. C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 의 대상 ( X , x ) {\displaystyle (X,x)} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 와 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 의 원소 x ∈ F ( X ) {\displaystyle x\in F(X)} 의 순서쌍이다. C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 의 사상 f : ( X , x ) → ( X ′ , x ′ ) {\displaystyle f\colon (X,x)\to (X',x')} 은 F f : x ′ ↦ x {\displaystyle Ff\colon x'\mapsto x} 을 만족시키는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사상 f : X → X ′ {\displaystyle f\colon X\to X'} 이다. 그렇다면, C ∫ F {\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F} 는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 이산 올범주를 이룬다. X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 위의 올은 (이산 범주로 간주한) 집합 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 이다. 원소 범주 구성은 함자 F {\displaystyle F} 의 치역이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다. 모든 부분 순서 집합은 작은 얇은 범주로 생각할 수 있다. 모든 당김을 갖는 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에 대하여, 부분 순서 집합의 범주 Poset {\displaystyle \operatorname {Poset} } 로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자. Sub : C op → Poset {\displaystyle \operatorname {Sub} \colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Poset} } Sub : X ↦ Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} \colon X\mapsto \operatorname {Sub} (X)} Sub : ( f : X → Y ) ↦ ( f ∗ : Sub ⁡ ( Y ) → Sub ⁡ ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {Sub} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{*}\colon \operatorname {Sub} (Y)\to \operatorname {Sub} (X)\right)} 여기서 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 는 X {\displaystyle X} 의 부분 대상들의 부분 순서 집합이며, f ∗ {\displaystyle f^{*}} 은 단사 사상의 당김이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 부분 대상 올범주 Sub ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})} 라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다. Sub ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})} 의 대상 ( X , x ) {\displaystyle (X,x)} 은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 와 그 부분 대상 x ∈ Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle x\in \operatorname {Sub} (X)} 의 순서쌍이다. Sub ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})} 의 사상 f : ( X , x ) → ( X ′ , x ′ ) {\displaystyle f\colon (X,x)\to (X',x')} 은 x ≤ f ∗ ( x ′ ) {\displaystyle x\leq f^{*}(x')} 을 만족시키는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -사상 f : X → X ′ {\displaystyle f\colon X\to X'} 이다. 이는 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 올범주를 이루며, X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 위의 올은 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 이다. 모든 위상 함자는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다. 올다발의 범주 Bun {\displaystyle \operatorname {Bun} } 을 생각하자. 그 대상은 올다발 π : E ↠ B {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow B} 이며, 그 사상은 다발 사상 E → f E ′ π ↓ π π ′ ↓ π ′ B → g B ′ {\displaystyle {\begin{matrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{matrix}}} 이다. 이 경우, 밑공간으로 가는 망각 함자 codom : Bun → Top {\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Bun} \to \operatorname {Top} } codom : ( E → π B ) ↦ B {\displaystyle \operatorname {codom} \colon (E\,{\xrightarrow {\pi }}\,B)\mapsto B} codom : ( E → f E ′ π ↓ π π ′ ↓ π ′ B → g B ′ ) ↦ g {\displaystyle \operatorname {codom} \colon \left({\begin{smallmatrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!}&&{\scriptstyle \!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{smallmatrix}}\right)\mapsto g} 는 올범주이다. 위상 공간 B {\displaystyle B} 위의 올은 B {\displaystyle B} 위의 올다발과, 밑공간에 대하여 항등 함수인 올다발 사상의 범주 Bun B {\displaystyle \operatorname {Bun} _{B}} 이다. 이 함자의 쪼갬은 사상 g : B → B ′ {\displaystyle g\colon B\to B'} 에 대하여 올다발의 당김 함자 g ∗ : Bun B ′ → Bun B {\displaystyle g^{*}\colon \operatorname {Bun} _{B'}\to \operatorname {Bun} _{B}} 를 고르는 것에 대응한다. 마찬가지로, 벡터 다발의 범주 Vect {\displaystyle \operatorname {Vect} } 역시 위상 공간의 범주 위의 올범주 codom : Vect → Top {\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Vect} \to \operatorname {Top} } 를 이룬다. 모든 위상 공간의 범주 대신, 한 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 열린집합들의 범주 Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 를 생각하자. 그렇다면 마찬가지로 X {\displaystyle X} 의 열린집합에 정의된 올다발 또는 벡터 다발의 범주의 망각 함자 Bun Open ⁡ ( X ) → Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Bun} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)} Vect Open ⁡ ( X ) → Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Vect} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)} 역시 올범주를 이룬다. (이 함자에서, 밑범주를 위상 공간의 범주 또는 주어진 위상 공간의 열린집합의 범주 대신 다양체의 범주로 잡으면, 이는 더 이상 올범주가 아니다. 이는 다양체의 범주에서는 올곱이 존재하지 않기 때문이다.) 범주 Sh {\displaystyle \operatorname {Sh} } 가 다음과 같다고 하자. 그 대상은 순서쌍 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} 이다. 여기서 X {\displaystyle X} 는 위상 공간이며 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 는 그 위의 (집합 값의) 층이다. 그 사상 ( f , ϕ ) : ( X , F ) → ( Y , G ) {\displaystyle (f,\phi )\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})} 은 연속 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 와 층 사상 F → f ∗ G {\displaystyle {\mathcal {F}}\to f^{*}{\mathcal {G}}} 로 주어진다. 만약 층을 에탈레 공간으로 생각할 경우, 이는 다음과 같은 가환 그림에 해당한다. F → f G π F ↓ π π ′ ↓ π G X → f Y {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {F}}&{\overset {f}{\to }}&{\mathcal {G}}\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi _{\mathcal {F}}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi _{\mathcal {G}}\!\!\!\!}\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}} 즉, 에탈레 공간 구성에 따라서 Sh {\displaystyle \operatorname {Sh} } 는 화살표 범주 Top → {\displaystyle \operatorname {Top} ^{\to }} 의 부분 범주로 여길 수 있다. 그렇다면, 위상 공간으로 가는 망각 함자는 올범주를 이룬다. 이 경우 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 올은 X {\displaystyle X} 위의 층들의 범주 Sh ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (X)} 이다. 마찬가지로, 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 그 열린집합의 범주 Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Open} (X)} 및 열린집합에 정의된 층의 범주 Sh Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} _{\operatorname {Open} (X)}} 를 생각할 수 있다. 그렇다면 망각 함자 Sh Open ⁡ ( X ) → Open ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)} 역시 올범주이다. 위 정의에서, 집합 값의 층 대신 군이나 아벨 군이나 환이나 가환환 (또는 일반적으로 대수 구조 다양체) 값의 층을 사용하여도 마찬가지다. 올범주는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장:164–165, Définition 6.1에서 도입되었다. 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"을 위의 정의보다 더 약하게 정의하였지만,:161, Définition 5.1 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 더 널리 쓰이게 되었다. (올범주의 정의는 데카르트 사상의 두 정의에 상관없이 동치이다.) 스택 (수학) Viscoli, Angelo (2007년 5월 17일). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). arXiv:math/0412512. Bibcode:2004math.....12512V.  Grothendieck, A., 편집. (1971). 〈Exposé VI. Catégories fibrées et descente〉. 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 224. Springer. 145–194쪽. arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058656. ISBN 978-3-540-05614-0. ISSN 0075-8434.  Stover, Christopher. “Fibered category”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “Fibered category morphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “Presheaf of categories”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Grothendieck fibration”. 《nLab》 (영어).  “Prefibered category”. 《nLab》 (영어).  “Cartesian morphism”. 《nLab》 (영어).  “Cleavage”. 《nLab》 (영어).  “Codomain fibration”. 《nLab》 (영어).  “Grothendieck construction”. 《nLab》 (영어).  “Discrete fibration”. 《nLab》 (영어).  “Fibration fibered in groupoids”. 《nLab》 (영어).  Hofstra, Pieter J. W. (2008년 6월 1일). “Fibrations and proofs” (PDF) (영어). 2016년 3월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 22일에 확인함.  “Why is a cartesian morphism called cartesian?” (영어). StackExchange.