차원 축소 (물리학)

이론물리학에서, 차원 축소(次元縮小, 영어: dimensional reduction)는 고차원에 정의된 장론으로부터, 더 낮은 차원에 존재하는 장론을 구성하는 방법이다. D + n {\displaystyle D+n} 차원에서, 어떤 장론이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 다음과 같은 과정을 가하자. 우선, 이 이론을 M D × Σ n {\displaystyle M_{D}\times \Sigma _{n}} 의 꼴의 공간 위에 정의한다 (축소화). 여기서 Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} 은 콤팩트 리만 다양체이며, 보통 n {\displaystyle n} 차원 원환면을 사용한다. 이제, Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} 의 부피가 0이 되는 극한을 취한다. 그렇다면, 질량이 Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} 의 크기의 역수에 비례하는 칼루차-클라인 장들은 무한대의 질량을 갖게 되어, 이론에서 적분하여 없앨 수 있다. 그렇다면, M D {\displaystyle M_{D}} 위에 정의되는 D {\displaystyle D} 차원 장론을 얻게 된다. 이를 원래 이론의 D {\displaystyle D} 차원 차원 축소라고 한다. 구체적으로, 장들은 차원 축소 아래 다음과 같은 표현을 갖는다. 여기서 M , N , … ∈ { 0 , 1 , … , D + n − 1 } {\displaystyle M,N,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,D+n-1\}} 는 D + n {\displaystyle D+n} 차원에서의 벡터 지표이다. μ , ν , … ∈ { 0 , 1 , … , D − 1 } {\displaystyle \mu ,\nu ,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,D-1\}} 는 D {\displaystyle D} 차원에서의 벡터 지표이다. i , j , … ∈ { D , D + 1 , … , D + n − 1 } {\displaystyle i,j,\dotsc \in \{D,D+1,\dotsc ,D+n-1\}} 는 축소된 차원들의 지표이다. 스칼라장은 차원 축소 아래 하나의 스칼라장으로 남는다. D + n {\displaystyle D+n} 차원에서, 게이지 군 G {\displaystyle G} 에 대한 양-밀스 장 A M a {\displaystyle A_{M}^{a}} 는 D {\displaystyle D} 차원에서 1개의 양-밀스 장 A μ a {\displaystyle A_{\mu }^{a}} 및 n {\displaystyle n} 개의 딸림표현 스칼라장 A i a {\displaystyle A_{i}^{a}} 들로 분해된다. D + n {\displaystyle D+n} 차원에서 p {\displaystyle p} 차 미분 형식 게이지 장 A M 1 ⋯ M p {\displaystyle A_{M_{1}\dotsb M_{p}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 D {\displaystyle D} 차원에서 다음과 같은 장들을 이룬다. 각 k ∈ { 0 , 1 , … , p } {\displaystyle k\in \{0,1,\dotsc ,p\}} 에 대하여, ( n p − k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{p-k}}} 개의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식 게이지장 A μ 1 … μ k i k + 1 … i p {\displaystyle A_{\mu _{1}\dotso \mu _{k}i_{k+1}\dotso i_{p}}} 이때, k {\displaystyle k} 차 미분 형식 게이지장은 물론 쌍대화에 따라서 D − 2 − k {\displaystyle D-2-k} 차 미분 형식 게이지장과 동치이다. D + n {\displaystyle D+n} 차원의 중력장 g M N {\displaystyle g_{MN}} 은 D {\displaystyle D} 차원에서 다음과 같이 분해된다. n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle n(n+1)/2} 개의 스칼라장 g i j {\displaystyle g_{ij}} . 이 가운데 하나는 딜라톤을 이룬다. 1개의 중력장 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} n {\displaystyle n} 개의 U(1) 게이지장 g μ i {\displaystyle g_{\mu i}} . 그 게이지 대칭은 D + n {\displaystyle D+n} 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭 가운데 D {\displaystyle D} 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭에 속하지 않는 것들로 구성된다. 페르미온은 차원 축소 아래 페르미온으로 남게 된다. 만약 D {\displaystyle D} 가 홀수일 때, D + 1 {\displaystyle D+1} 차원에서의 바일 스피너는 D {\displaystyle D} 차원에서의 디랙 스피너가 된다. 4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 차원 축소한다고 하자. 이 경우, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 딜라톤으로 분해된다. 그런데 3차원은 다음과 같은 특별한 성질을 갖는다. 3차원에서 중력장은 국소 자유도를 갖지 않는다. 3차원에서 게이지장은 스칼라장과 동치이다. 즉, 이 경우 2개의 스칼라장만이 남게 되어, 일종의 시그마 모형으로 적을 수 있게 된다. 구체적으로, 4차원 필바인 E M A {\displaystyle E_{M}{}^{A}} 을 다음과 같이 적자. E M A = ( e μ α / Δ Δ A μ 0 Δ ) {\displaystyle E_{M}{}^{A}={\begin{pmatrix}e_{\mu }{}^{\alpha }/{\sqrt {\Delta }}&{\sqrt {\Delta }}A_{\mu }\\0&{\sqrt {\Delta }}\end{pmatrix}}} 여기서 e μ α {\displaystyle e_{\mu }{}^{\alpha }} 는 3차원 필바인이다. Δ {\displaystyle \Delta } 는 딜라톤이다. A μ {\displaystyle A_{\mu }} 는 3차원의 게이지장이다. 이 경우, 작용은 다음과 같다. S = ∫ M 3 ( det e ) ( − 1 4 Ric ⁡ [ e ] − 1 16 Δ 2 F μ ν F μ ν + 1 8 Δ − 2 ∂ μ Δ ∂ μ Δ ) {\displaystyle S=\int _{M_{3}}\left(\det e)(-{\frac {1}{4}}\operatorname {Ric} [e]-{\frac {1}{16}}\Delta ^{2}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\frac {1}{8}}\Delta ^{-2}\partial ^{\mu }\Delta \partial _{\mu }\Delta \right)} 여기서 물론 지표의 올림과 내림은 3차원 계량 g μ ν = e μ α e ν β η α β {\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }{}^{\alpha }e_{\nu }{}^{\beta }\eta _{\alpha \beta }} 에 의한 것이다. 이제, 게이지장을 다음과 같이 스칼라장으로 쌍대화할 수 있다. 게이지장의 가우스 법칙 ∂ μ ( ( det e ) Δ 2 F μ ν ) = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }\left((\det e)\Delta ^{2}F^{\mu \nu }\right)=0} 은 다음과 같은 자기 퍼텐셜 스칼라장 ∂ μ B = 1 2 ϵ μ ν ρ F ν ρ Δ 2 {\displaystyle \partial _{\mu }B={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho }F_{\nu \rho }\Delta ^{2}} 으로 (국소적으로) 풀 수 있다. 이를 대입하면, 다음과 같은 작용을 얻는다. S = 1 8 ∫ M 3 ( det e ) ∂ μ B ∂ μ B + ∂ μ Δ ∂ μ Δ Δ 2 {\displaystyle S={\frac {1}{8}}\int _{M_{3}}(\det e){\frac {\partial ^{\mu }B\partial _{\mu }B+\partial ^{\mu }\Delta \partial _{\mu }\Delta }{\Delta ^{2}}}} 이는 ( B , Δ ) {\displaystyle (B,\Delta )} 에 대한 시그마 모형이며, 이 시그마 모형의 과녁 공간인 리만 다양체는 2차원 쌍곡 평면이다. 물론, 3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위와 같은 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다. 축소화 칼루차–클레인 이론 초중력 양자 중력 Gibbons, G. W.; Hawking, Stephen W. (1979). “Classification of gravitational instanton symmetries”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 66 (3): 291–310. MR 0535152.  Julia, Bernard (1981). 〈Group disintegrations〉. Hawking, Stephen W.; Roček, Martin. 《Superspace and Supergravity, Proceedings of the Workshop held in July 1980 in Cambridge, England》 (영어). Cambridge University Press. 331–350쪽. Bibcode:1981sssg.conf..331J.  “Kaluza-Klein mechanism”. 《nLab》 (영어).