정칙렬

가환대수학에서 정칙렬(正則列, 영어: regular sequence 레귤러 시퀀스[*])은 어떤 가군의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, 가환환 원소들의 열이다.:123–152, Chapter 6 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 부분 가군에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 a i {\displaystyle a_{i}} 는 그 이전 성분들( a 1 , a 2 , … , a i − 1 {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1}} )로 생성되는 부분 가군 ( a 1 , a 2 , … , a i − 1 ) M {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1})M} 에 대한 몫가군 M / ( a 1 , a 2 , … , a i − 1 ) M {\displaystyle M/(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1})M} 의 영인자가 아니다. 대수기하학적으로, 정칙렬은 여차원을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 대수다양체에 해당한다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} 의 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} R {\displaystyle R} 의 가군 M {\displaystyle M} . 또한, a M ⊊ M {\displaystyle {\mathfrak {a}}M\subsetneq M} 이라고 하자. 유한 원소열 r 1 , … , r n ∈ R {\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in R} 가 다음 조건을 만족시키면, M {\displaystyle M} 의 정칙렬이라고 한다.:419 임의의 i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\dots ,n} 및 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여، 만약 r i m ∈ ( r 1 , … , r i − 1 ) M {\displaystyle r_{i}m\in (r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M} 이라면, m ∈ ( r 1 , … , r i − 1 ) M {\displaystyle m\in (r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M} 이다. (즉, r i {\displaystyle r_{i}} 는 M / ( r 1 , … , r i − 1 ) M {\displaystyle M/(r_{1},\dots ,r_{i-1})M} 의 영인자가 아니다.) 일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 ( r 1 , … , r n ) M ≠ M {\displaystyle (r_{1},\dotsc ,r_{n})M\neq M} 이라는 조건을 추가한다. 이는 가군의 깊이의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다. 기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 Ann R ⁡ M {\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}M} 속의 일련의 부분 스킴들 Spec ⁡ R Ann R ⁡ M ← Spec ⁡ R Ann R ⁡ ( M / r 1 M ) ← Spec ⁡ R Ann R ⁡ ( M / ( r 1 , r 2 ) M ) ← ⋯ {\displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}M}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}(M/r_{1}M)}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}(M/(r_{1},r_{2})M)}}\leftarrow \dotsb } 에 대응된다. 특히, 만약 M = R {\displaystyle M=R} 인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열 Spec ⁡ R ← Spec ⁡ R ( r 1 ) ← Spec ⁡ R ( r 1 , r 2 ) ← ⋯ {\displaystyle \operatorname {Spec} R\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r_{1})}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r_{1},r_{2})}}\leftarrow \dotsb } 에 해당한다. R {\displaystyle R} -가군 M {\displaystyle M} 속의 정칙렬 r 1 , r 2 , … , r d {\displaystyle r_{1},r_{2},\dotsc ,r_{d}} 이 주어졌을 때, 임의의 가역원 u 1 , u 2 , … , u d ∈ R × {\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{d}\in R^{\times }} 에 대하여 u 1 r 1 , … , u d r d {\displaystyle u_{1}r_{1},\dotsc ,u_{d}r_{d}} 역시 정칙렬이다. R {\displaystyle R} -가군 M {\displaystyle M} 속의 정칙렬 r 1 , … , r d {\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{d}} 이 주어졌으며, R {\displaystyle R} 의 곱셈 모노이드 S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 국소화 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 로 가는 표준 환 준동형 ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} 에 대하여, 원소열 ϕ ( r 1 ) , … , ϕ ( r d ) {\displaystyle \phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{d})} 역시 S − 1 M {\displaystyle S^{-1}M} 의 정칙렬이다. 증명: 가군의 국소화는 완전 함자이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. ϕ ( r 1 ) , … , ϕ ( r d ) {\displaystyle \phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{d})} 가 정칙렬이라는 것은 ( ϕ ( r i ) ⋅ ) : S − 1 M ( ϕ ( r 1 ) , … , ϕ ( r i − 1 ) ) S − 1 M → S − 1 M ( ϕ ( r 1 ) , … , ϕ ( r i − 1 ) ) S − 1 M {\displaystyle (\phi (r_{i})\cdot )\colon {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{i-1}))S^{-1}M}}\to {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{i-1}))S^{-1}M}}} 가 단사 함수라는 것인데, 이는 단사 함수 r i : M ( r 1 , … , r i − 1 ) M → M ( r 1 , … , r i − 1 ) M {\displaystyle r_{i}\colon {\frac {M}{(r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}}\to {\frac {M}{(r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}}} 의 상이므로 단사 함수이다. (※만약 정칙렬의 정의에 ( r 1 , … , r d ) M ≠ M {\displaystyle (r_{1},\dotsc ,r_{d})M\neq M} 이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.) 정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다. 다만, 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 의 유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 a 1 , a 2 , … , a d {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{d}} 의 순열은 역시 정칙렬이다.:126, Theorem 16.3 아이디얼 ( a 1 , a 2 , … , a d ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{d})} 은 R {\displaystyle R} 의 근기 rad ⁡ R {\displaystyle \operatorname {rad} R} 의 부분 집합이다. 뇌터 가환환 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 a ⊊ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq R} 및 유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 이 주어졌을 때, a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 속에 포함된 M {\displaystyle M} -정칙렬의 최대 길이를 ( a , M ) {\displaystyle ({\mathfrak {a}},M)} 의 깊이라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다. 국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환이라고 한다. 길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다. C [ x , y , z ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]} 를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우, x , y ( 1 − x ) , z ( 1 − x ) {\displaystyle x,y(1-x),z(1-x)} 는 정칙렬이다. 그러나 그 순열인 y ( 1 − x ) , z ( 1 − x ) , x {\displaystyle y(1-x),z(1-x),x} 는 정칙렬이 아니다.:127, §16 구체적으로, y ( 1 − x ) {\displaystyle y(1-x)} 는 C [ x , y , z ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]} 의 영인자가 아니지만, z ( 1 − x ) {\displaystyle z(1-x)} 는 C [ x , y , z ] / ( y ( 1 − x ) ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))} 의 영인자이다. 예를 들어 z ( 1 − x ) ⋅ y ∈ y ( 1 − x ) C [ x , y , z ] {\displaystyle z(1-x)\cdot y\in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]} y ∉ y ( 1 − x ) C [ x , y , z ] {\displaystyle y\not \in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]} 이다. 기하학적으로, C [ x , y , z ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]} 는 3차원 아핀 공간이며, 이 경우 C [ x , y , z ] / ( x ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x)} 는 x = 0 {\displaystyle x=0} 으로 정의되는 y z {\displaystyle yz} 평면이다. 그 속에서 C [ x , y , z ] / ( x , y ( 1 − x ) ) ≅ C [ x , y , z ] / ( x , y ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y)} 는 z {\displaystyle z} 축이며, C [ x , y , z ] / ( x , y ( 1 − x ) , z ( 1 − x ) ) ≅ C [ x , y , z ] / ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y,z)} 는 그 속의 원점이다. 반면, C [ x , y , z ] / ( y ( 1 − x ) ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))} 는 y = 0 {\displaystyle y=0} 평면과 x = 1 {\displaystyle x=1} 평면의 합집합이다. 그 속에서 C [ x , y , z ] / ( y ( 1 − x ) , z ( 1 − x ) ) {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))} 는 y = z = 0 {\displaystyle y=z=0} 축과 x = 1 {\displaystyle x=1} 평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다. 코쥘 복합체 가군의 깊이 Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. 번역 Reid, Miles 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring regular sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Regular sequence”. 《nLab》 (영어).  “§10.67 Regular sequences”. 《The Stacks Project》 (영어).