극한

해석학 및 위상수학에서 극한(極限, 영어: limit) 또는 극한값(極限-)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는 lim {\displaystyle \lim } . 수렴(收斂, 영어: convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산(發散, 영어: divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 필터 기저 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 점 x {\displaystyle x} 로 수렴한다(영어: the filter base F {\displaystyle {\mathcal {F}}} converges to the point x {\displaystyle x} )고 하며, x {\displaystyle x} 를 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 극한이라고 한다. 이를 B → x {\displaystyle {\mathcal {B}}\to x} 라고 쓴다. N x ⊂ ↑ ⁡ B {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}} . 즉, 임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, B ⊂ U {\displaystyle B\subset U} 인 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. (여기서 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} 는 x {\displaystyle x} 의 근방 필터이며, ↑ ⁡ B {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}} 는 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 상폐포다.) 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 x {\displaystyle x} 가 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 집적점(集積點, 영어: cluster point)이라고 한다. x ∈ ⋂ B ∈ B cl ⁡ B {\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} B} . (여기서 cl ⁡ B {\displaystyle \operatorname {cl} B} 는 B {\displaystyle B} 의 폐포다.) B ′ → x {\displaystyle {\mathcal {B}}'\to x} 이며 ↑ ⁡ B ⊂ ↑ ⁡ B ′ {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}'} 인 필터 기저 B ′ ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {P}}(X)} 가 존재한다. 모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물 { ( b , B ) : b ∈ B ∈ B } → X {\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X} ( b , B ) ↦ b {\displaystyle (b,B)\mapsto b} 의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다. ( b , B ) ≲ ( b ′ , B ′ ) ⟺ B ⊃ B ′ {\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'} 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 그물 ( x i ) i ∈ ( I , ≲ I ) ⊂ X {\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 만약 다음 조건이 성립한다면, 그물 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 가 점 x {\displaystyle x} 로 수렴한다(영어: the net ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} converges to the point x {\displaystyle x} )고 하며, x {\displaystyle x} 를 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 극한이라고 한다. 이를 x i → x {\displaystyle x_{i}\to x} 라고 쓴다. 임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, ∀ i ≳ I i 0 : x i ∈ U {\displaystyle \forall i\gtrsim _{I}i_{0}\colon x_{i}\in U} 인 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 가 존재한다. 특히, 실수열 ( x n ) n ∈ N ⊂ R {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} } 의 경우 이 조건은 다음과 같다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, ∀ n ≥ n 0 : | x n − x | < ϵ {\displaystyle \forall n\geq n_{0}\colon |x_{n}-x|<\epsilon } 인 자연수 n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 x {\displaystyle x} 가 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 집적점이라고 한다. 임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, { i ∈ I : x i ∈ U } {\displaystyle \{i\in I\colon x_{i}\in U\}} 는 공종 집합이다. x i ( j ) → x {\displaystyle x_{i(j)}\to x} 인 상향 원순서 집합 ( J , ≲ J ) {\displaystyle (J,\lesssim _{J})} 및 단조 공종 함수 i : J → I {\displaystyle i\colon J\to I} 가 존재한다. x i ( j ) → x {\displaystyle x_{i(j)}\to x} 이며 ∀ i 0 ∈ I ∃ j 0 ∈ J ∀ j ∈ j 0 : i ( j ) ≳ i 0 {\displaystyle \forall i_{0}\in I\exists j_{0}\in J\forall j\in j_{0}\colon i(j)\gtrsim i_{0}} 인 상향 원순서 집합 ( J , ≲ J ) {\displaystyle (J,\lesssim _{J})} 및 함수 i : J → I {\displaystyle i\colon J\to I} 가 존재한다. 모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 그물 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저 { { x i : i ≳ i 0 } : i 0 ∈ I } {\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}} 의 극한·집적점과 일치한다. 그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물 ( x i ) i ∈ ( I , ≲ I ) {\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}} 은 I → X {\displaystyle I\to X} 꼴의 함수다. I {\displaystyle I} 에 한 점을 추가한 집합 I ∪ { ∞ } {\displaystyle I\cup \{\infty \}} 위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 는 고립점이며, ∞ {\displaystyle \infty } 의 열린 근방은 ( ∞ {\displaystyle \infty } 와) { i ∈ I : i ≳ I i 0 } {\displaystyle \{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}} 꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우, D ∞ = ↑ ⁡ { { i ∈ I : i ≳ I i 0 } : i 0 ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\infty }=\mathop {\uparrow } \{\{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}} 이며, 그 그물에 대한 상 { { x i : i ∈ D } : D ∈ D ∞ } {\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\in D\}\colon D\in {\mathcal {D}}_{\infty }\}} 은 그물로 유도되는 필터 기저와 같은 필터를 생성한다. 따라서, ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 ∞ {\displaystyle \infty } 에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다. N {\displaystyle \mathbb {N} } 위의 전순서에 의하여, 점렬은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한·집적점은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, 부분 점렬의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 함수 f : X ∖ { x 0 } → Y {\displaystyle f\colon X\setminus \{x_{0}\}\to Y} y 0 ∈ Y {\displaystyle y_{0}\in Y} 그렇다면, x 0 {\displaystyle x_{0}} 의 빠진 근방들의 집합족 D x 0 = { U ∖ { x 0 } : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} 은 X ∖ { x 0 } {\displaystyle X\setminus \{x_{0}\}} 의 부분 집합들의 필터를 이루며, 따라서 그 상 f ( D x 0 ) {\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})} 은 Y {\displaystyle Y} 의 부분 집합들의 필터 기저를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수 f {\displaystyle f} 가 점 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 점 y 0 {\displaystyle y_{0}} 로 수렴한다(영어: the map f {\displaystyle f} converges to the point y 0 {\displaystyle y_{0}} at the point x 0 {\displaystyle x_{0}} )고 하며, y 0 {\displaystyle y_{0}} 을 f {\displaystyle f} 의 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서의 극한이라고 한다. 이는 f ( x ) → y 0 ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})} 라고 쓴다. f ( D x 0 ) {\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})} 는 y 0 {\displaystyle y_{0}} 으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방 V ∋ y 0 {\displaystyle V\ni y_{0}} 에 대하여, f ( U ∖ { x 0 } ) ⊂ V {\displaystyle f(U\setminus \{x_{0}\})\subset V} 인 근방 U ∋ x 0 {\displaystyle U\ni x_{0}} 이 존재한다. 특히, 실함수 f : R ∖ { x 0 } → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} } 의 경우, 이 조건은 다음과 같다. 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, f ( ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) ) ⊂ ( y 0 − ϵ , y 0 + ϵ ) {\displaystyle f((x_{0}-\delta ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\delta ))\subset (y_{0}-\epsilon ,y_{0}+\epsilon )} 인 양의 실수 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 이 존재한다. X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 가 실수선일 때, D x 0 {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}} 대신 D x 0 − = { U ∩ ( − ∞ , x 0 ) : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} D x 0 + = { U ∩ ( x 0 , ∞ ) : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} 을 사용하면 f {\displaystyle f} 의 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서의 좌극한(左極限, 영어: left limit)·우극한(右極限, 영어: right limit)의 개념을 얻는다. 필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간의 모든 부분 집합들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다. 위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다. 모든 필터는 집적점을 갖는다. 콤팩트 공간이다. 특히, 콤팩트 공간의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다. 위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다. 모든 (자명하지 않은) 수렴 필터의 극한은 유일하다. 하우스도르프 공간이다. 특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다. lim F = x {\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=x} lim x ∈ I x i = x {\displaystyle \lim _{x\in I}x_{i}=x} lim n → ∞ x n = x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x} lim x → x 0 f ( x ) = y 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}} (일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.) 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 집합 X {\displaystyle X} 위상 공간들의 족 ( Y i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}} 함수족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 필터 기저 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다. X {\displaystyle X} 위에 모든 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 시작 위상을 부여하였을 때, B → x {\displaystyle {\mathcal {B}}\to x} 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, f i ( B ) → f i ( x ) {\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})\to f_{i}(x)} 특수한 경우들은 다음과 같다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 부분 집합 Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} Y {\displaystyle Y} 의 부분 집합들의 필터 기저 B ⊂ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(Y)} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다. B → y {\displaystyle {\mathcal {B}}\to y} X {\displaystyle X} 에서 B → y {\displaystyle {\mathcal {B}}\to y} 즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간들의 집합 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} . X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \textstyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} 가 그 곱공간, π i : X → X i {\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}} 가 사영 함수들이라고 하자. X {\displaystyle X} 의 부분 집합들의 필터 기저 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다. B → x {\displaystyle {\mathcal {B}}\to x} 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, π i ( B ) → x i {\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {B}})\to x_{i}} 즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X 1 {\displaystyle X_{1}} , X 2 {\displaystyle X_{2}} 정칙 하우스도르프 공간 Y {\displaystyle Y} 함수 f : X 1 × X 2 → Y {\displaystyle f\colon X_{1}\times X_{2}\to Y} a i ∈ X i {\displaystyle a_{i}\in X_{i}} ( i = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2} ) 이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자. 극한 lim ( x 1 , x 2 ) → ( a 1 , a 2 ) f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})} 이 존재한다. 임의의 x 1 ∈ X 1 {\displaystyle x_{1}\in X_{1}} 에 대하여, 극한 lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})} 이 존재한다. 그렇다면, 이중 극한 lim x 1 → a 1 lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})} 이 존재하며, lim x 1 → a 1 lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) = lim ( x 1 , x 2 ) → ( a 1 , a 2 ) f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})} 이다. 증명: b = lim ( x 1 , x 2 ) → ( a 1 , a 2 ) f ( x 1 , x 2 ) ∈ Y {\displaystyle b=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})\in Y} ∀ x 1 ∈ X : g ( x 1 ) = lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \forall x_{1}\in X\colon g(x_{1})=\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})} 이라고 하자. 임의의 근방 V ∋ b {\displaystyle V\ni b} 에 대하여, 근방 U 1 ∋ a 1 {\displaystyle U_{1}\ni a_{1}} 및 U 2 ∋ a 2 {\displaystyle U_{2}\ni a_{2}} 이 존재하며, ∀ x 1 ∈ U 1 ∀ x 2 ∈ U 2 : f ( x 1 , x 2 ) ∈ V {\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\forall x_{2}\in U_{2}\colon f(x_{1},x_{2})\in V} 가 성립한다. 여기에 x 2 → a 2 {\displaystyle x_{2}\to a_{2}} 를 취하면 ∀ x 1 ∈ U 1 : g ( x 1 ) ∈ cl ⁡ V {\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\colon g(x_{1})\in \operatorname {cl} V} 를 얻는다. 정칙성에 따라, b {\displaystyle b} 의 닫힌 근방들은 국소 기저를 이룬다. 따라서, lim x 1 → a 1 g ( x 1 ) = b {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}g(x_{1})=b} 이다. 확률 변수의 수렴 극한 (범주론) 함수의 극한 Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) 이철희. “수열의 극한”. 《수학노트》.  “Limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Convergence”. 《nLab》 (영어).  “Limit of a function”. 《nLab》 (영어).  “Limit”. 《PlanetMath》 (영어).  “Limit examples”. 《PlanetMath》 (영어).  “Limit of sequence of sets”. 《PlanetMath》 (영어).