여과 (수학)

수학에서 여과(濾過, 영어: filtration)는 전순서 집합으로 지표화된 일련의 부분 대상들로 구성된 구조이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 이 주어졌다고 하자. 그 위의, 부분 대상의 부분 순서 집합 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 을 정의할 수 있다. 전순서 집합 I {\displaystyle I} 에 대하여, X {\displaystyle X} 위의 I {\displaystyle I} -오름 여과(영어: ascending filtration)는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 전순서 집합 ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} 순서 보존 함수 I → Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle I\to \operatorname {Sub} (X)} , i ↦ X i {\displaystyle i\mapsto X_{i}} . 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. lim → i ∈ I ⁡ X i = X {\displaystyle \varinjlim _{i\in I}X_{i}=X} X {\displaystyle X} 위의 I {\displaystyle I} -내림 여과(영어: descending filtration)는 I op {\displaystyle I^{\operatorname {op} }} -올림 여과와 같은 개념이다. 흔히 I {\displaystyle I} 의 경우 보통 자연수의 전순서 집합 ( N , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )} 이 사용된다. 마찬가지로, 부분 대상의 집합 Sub ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (X)} 대신 몫 대상의 집합 Quot ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Quot} (X)} 을 사용하면 쌍대 여과(영어: cofiltration)의 개념을 정의할 수 있다. 이는 반대 범주 C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }} 에서의 여과와 같다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 위의 N {\displaystyle \mathbb {N} } -감소 여과 M = M 0 ⊇ M 1 ⊇ M 2 ⋯ M {\displaystyle M=M_{0}\supseteq M_{1}\supseteq M_{2}\cdots M} 가 주어졌다고 하자. 이 경우, M {\displaystyle M} 에 다음과 같은 기저로 정의되는 자연스러운 위상을 부여할 수 있다. { m + M i : i ∈ N , m ∈ M } {\displaystyle \left\{m+M_{i}\colon i\in \mathbb {N} ,\;m\in M\right\}} 이러한 위상이 하우스도르프 공간이 될 필요 충분 조건은 ⋂ i ∈ N M i = { 0 } {\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }M_{i}=\{0\}} 인 것이다. 특히, 만약 R {\displaystyle R} 의 양쪽 아이디얼 i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} 가 주어졌을 때, 여과 M i = i i M {\displaystyle M_{i}={\mathfrak {i}}^{i}M} 에 대응되는 위상은 i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} 진 위상(영어: i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} -adic topology)이라고 한다. 이는 대수기하학에서 등장한다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 가 주어졌으며, 그 위에 R {\displaystyle R} -가군으로서의 N {\displaystyle \mathbb {N} } -올림 여과 A 0 ⊆ A 1 ⊆ ⋯ A ∞ = A {\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots A_{\infty }=A} 가 주어졌다고 하자. (그러나 이는 R {\displaystyle R} -결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자. A i A j ⊆ A i + j ∀ i , j ∈ N {\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} } (특히, 1 A ∈ A 0 {\displaystyle 1_{A}\in A_{0}} 이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 R {\displaystyle R} -등급 대수를 정의할 수 있다.:64, §2.1 gr ⁡ A = A 0 ⊕ ⨁ i ∈ N A i + 1 A i {\displaystyle \operatorname {gr} A=A_{0}\oplus \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }{\frac {A_{i+1}}{A_{i}}}} 그 위의 곱셈은 다음과 같다. ( a + A i ) ( b + A j ) = a b + A i + j ∀ i , j ∈ N , a ∈ A i + 1 , b ∈ A j + 1 {\displaystyle (a+A_{i})(b+A_{j})=ab+A_{i+j}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{j+1}} ( a + A i ) b = a b + A i ∀ i ∈ N , a ∈ A i + 1 , b ∈ A 0 {\displaystyle (a+A_{i})b=ab+A_{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{0}} b ( a + A i ) = b a + A i ∀ i ∈ N , a ∈ A i + 1 , b ∈ A 0 {\displaystyle b(a+A_{i})=ba+A_{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{0}} 이 경우 1 gr ⁡ A = 1 A {\displaystyle 1_{\operatorname {gr} A}=1_{A}} 이다. 여기서 자연스러운 결합 대수 사상 A → gr ⁡ A {\displaystyle A\to \operatorname {gr} A} a ↦ a + A i − 1 ∀ a ∈ A i {\displaystyle a\mapsto a+A_{i-1}\qquad \forall a\in A_{i}} 을 기호 사상(記號寫像, 영어: symbol map)이라고 한다.:64, §2.1 선형대수학에서, 체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 오름 여과 V 0 ⊆ V 1 ⊆ ⋯ ⊆ V {\displaystyle V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq \cdots \subseteq V} 에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉 V 0 ⊊ V 1 ⊊ ⋯ {\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots } 이라면, 이를 기(旗, 영어: flag)라고 한다. ( T , ≲ ) {\displaystyle (T,\lesssim )} 가 원순서 집합이라고 하자. 시그마 대수 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 (오름) 여과는 순서 보존 함수 T → Sub ⁡ ( Σ ) {\displaystyle T\to \operatorname {Sub} (\Sigma )} t ↦ Σ t {\displaystyle t\mapsto \Sigma _{t}} 를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립하여야 한다. 임의의 t , t ′ ∈ T {\displaystyle t,t'\in T} 에 대하여, Σ t ⊆ Σ t ′ {\displaystyle \Sigma _{t}\subseteq \Sigma _{t'}} 여기서 Sub ⁡ ( Σ ) {\displaystyle \operatorname {Sub} (\Sigma )} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 부분 시그마 대수들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이다. 여기서, T {\displaystyle T} 의 원소는 보통 "시간"이라고 불린다. 여과를 갖춘 시그마 대수를 여과 시그마 대수(濾過σ代數, 영어: filtered sigma algebra)라고 하며, 마찬가지로 여과 확률 공간(濾過確率空間, 영어: filtered probability space) 따위를 정의할 수 있다. 이는 금융공학에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우 Σ t {\displaystyle \Sigma _{t}} 는 시점 t {\displaystyle t} 에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을 Σ t {\displaystyle \Sigma _{t}} -마팅게일로 만듦으로써 완전 시장을 모형화할 수 있다. 여과 확률 공간 필터 (수학) Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20062-8. Zbl 0744.58001.  “Filtered algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Filtered module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Filtration”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector space flag”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Filtered object”. 《nLab》 (영어).  “Associated graded object”. 《nLab》 (영어).  “Filtered topological space”. 《nLab》 (영어).  “Connected filtered space”. 《nLab》 (영어).  “Filtered chain complex”. 《nLab》 (영어).  “Filtered ring”. 《nLab》 (영어).  Muller, Greg (2007년 8월 28일). “Filtrations in algebraic geometry”. 《The Everything Seminar》 (영어).