유일 인수 분해 정역

가환대수학에서 유일 인수 분해 정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 인자환(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원으로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다. 정역 R {\displaystyle R} 가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 유일 인수 분해 정역이라고 한다. 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 소원들의 곱으로 나타낼 수 있다. 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 기약원들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 인수 분해는 유일하다. 즉, a ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle a\in R\setminus \{0\}} 를 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수 분해하였다고 하자. a = ∏ P = ∏ Q {\displaystyle a=\prod P=\prod Q} 여기서 P = { p 1 , … , p m } = P {\displaystyle P=\{p_{1},\dots ,p_{m}\}=P} 및 Q = { q 1 , … , q n } {\displaystyle Q=\{q_{1},\dots ,q_{n}\}} 는 모두 기약원들로 구성된 중복집합이다. 그렇다면 전단사 함수 ϕ : P → Q {\displaystyle \phi \colon P\to Q} 가 존재하며, 모든 p ∈ P {\displaystyle p\in P} 에 대하여 ϕ ( p ) = u ( p ) p {\displaystyle \phi (p)=u(p)p} 인 가역원 u ( p ) ∈ R {\displaystyle u(p)\in R} 이 존재한다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 데데킨트 정역 R {\displaystyle R} 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 유일 인수 분해 정역이다. R {\displaystyle R} 는 주 아이디얼 정역이다. R {\displaystyle R} 의 아이디얼 유군이 자명군이다. R {\displaystyle R} 의 유수가 1이다. 즉, 데데킨트 정역에서 아이디얼 유군은 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 가우스 보조정리(영어: Gauss’ lemma)에 따르면, 유일 인수 분해 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여, 그 다항식환 R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]} 역시 유일 인수 분해 정역이다. 뇌터 정역에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:234, Corollary 10.6:161–162, Theorem 20.1 유일 인수 분해 정역이다. 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다. 나가타 보조정리(영어: Nagata’s lemma)는 다음과 같다.:483, Lemma 19.20 R {\displaystyle R} 가 뇌터 정역이며, r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자. r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} ( r ) {\displaystyle (r)} 는 소 아이디얼이다. 국소화 R r {\displaystyle R_{r}} 는 유일 인수 분해 정역이다. 그렇다면 R {\displaystyle R} 는 유일 인수 분해 정역이다. 오슬랜더-북스바움 정리(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)에 따르면, 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이다.:483, Theorem 19.19:163, Theorem 20.3 뇌터 유일 인수 분해 정역 D {\displaystyle D} 에 대하여, 만약 S ⊆ D {\displaystyle S\subseteq D} 에 대하여 0 ∉ S {\displaystyle 0\not \in S} 라면, 국소화 S − 1 D {\displaystyle S^{-1}D} 역시 유일 인수 분해 정역이다. 일반적으로, 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역일 필요충분조건은 그 아이디얼 유군이 자명군이라는 것이다. 즉, 이는 유수(= 아이디얼 유군의 크기)가 1인 경우이다. (대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로, 이 경우 유일 인수 분해 정역일 조건과 주 아이디얼 정역일 조건이 동치이다.) n {\displaystyle n} 이 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 실수 이차 수체 Q ( n ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})} 의 대수적 정수환 Z [ n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]} 이 유일 인수 분해 정역을 이루는 경우는 다음과 같다. n = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, … (OEIS의 수열 A3172) 허수 이차 수체 Q ( − n ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-n}})} 의 대수적 정수환 Z [ − n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-n}}]} 이 유일 인수 분해 정역을 이루는 n {\displaystyle n} 을 헤그너 수라고 한다. 헤그너 수는 총 9개가 있으며, 다음과 같다. n = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (OEIS의 수열 A3173) n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 이 양의 정수라고 하며, n ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle n\not \equiv 2{\pmod {4}}} 라고 하자. 또한, ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} 이 ζ n n = 1 {\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1} 을 만족시키는 수라고 하자. 원분체 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} 의 대수적 정수환 Z [ ζ n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]} 이 유일 인수 분해 정역인 n {\displaystyle n} 은 총 30개가 있으며, 이들은 다음과 같다. n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A5848) (만약 n ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}} 인 경우 Q ( ζ n ) = Q ( ζ n / 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})=\mathbb {Q} (\zeta _{n/2})} 이므로 중복된다.) 수학에서 등장하는 많은 환들이 유일 인수 분해 정역을 이룬다. 정수의 환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } · 가우스 정수 환 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} · 아이젠슈타인 정수 환 Z [ ζ 3 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{3}]} 은 모두 주 아이디얼 정역이므로 유일 인수 분해 정역이다. 모든 체(유리수체 · 실수체 · 복소수체 · 유한체 등)는 유일 인수 분해 정역이다. 이 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이며, 따라서 이 경우는 자명한 예이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대한 형식적 거듭제곱 급수 환 K [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} 은 유일 인수 분해 정역이다. 체에 대한, 2변수 이상의 다항식환 K [ x 1 , x 2 , … x n ] {\displaystyle K[x_{1},x_{2},\dots x_{n}]} 은 주 아이디얼 정역이 아닌 유일 인수 분해 정역의 예이다. (이 경우 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})} 는 주 아이디얼이 아니다.) 유일 인수 분해 정역이 아닌 예로는 다음을 들 수 있다. 대수적 정수환 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 예를 들어, 6을 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수분해할 수 있다. 6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 − − 5 ) ( 1 + − 5 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}})} 복소 평면 C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 정칙 함수들의 환은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점들을 갖는 함수는 유한하게 인수 분해 할 수 없기 때문이다. 예를 들어, 복소 사인 함수 z ↦ sin ⁡ z {\displaystyle z\mapsto \sin z} 는 무한히 많은 영점을 가져, 유한하게 인수 분해할 수 없다. Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.  Auslander, Maurice; Buchsbaum, David Alvin (1959). “Unique factorization in regular local rings”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 45: 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733. ISSN 0027-8424. JSTOR 90213. MR 0103906.  Samuel, Pierre (1964). 《Lectures on unique factorization domains》 (PDF). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics (영어) 30. Tata Institute of Fundamental Research. MR 0214579.  Sharpe, David (1987년 8월). 《Rings and factorization》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511565960. ISBN 978-052133718-2. Zbl 0674.13008.  “Factorial ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Unique factorization domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.