각지름 거리

천문학에서 각지름 거리는 물체의 물리적 크기 x {\displaystyle x} , 및 지구에서 볼 때의 각지름 θ {\displaystyle \theta } 에 의하여 아래와 같이 정의되는 거리이다. d A = x θ {\displaystyle d_{A}={\frac {x}{\theta }}} 각지름 거리는 우주에 대하여 가정되는 우주론에 따라 상이하게 된다. 적색편이 z {\displaystyle z} 를 가지는 천체에 대한 각지름 거리는 공변 거리 r {\displaystyle r} 에 의하여 아래와 같이 표현된다. d A = S k ( r ) 1 + z {\displaystyle d_{A}={\frac {S_{k}(r)}{1+z}}} 여기서 S k ( r ) {\displaystyle S_{k}(r)} 는 다음과 같이 정의되는 FLRW 좌표이다. S k ( r ) = { sin ⁡ ( − Ω k H 0 r ) / ( H 0 | Ω k | ) Ω k < 0 r Ω k = 0 sinh ⁡ ( Ω k H 0 r ) / ( H 0 | Ω k | ) Ω k > 0 {\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}\sin \left({\sqrt {-\Omega _{k}}}H_{0}r\right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}<0\\r&\Omega _{k}=0\\\sinh \left({\sqrt {\Omega _{k}}}H_{0}r\right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}>0\end{cases}}} 여기서 Ω k {\displaystyle \Omega _{k}} 는 곡률 밀도이고 H 0 {\displaystyle H_{0}} 는 현재의 허블 상수 값이다. 우주에 대하여 현재 선호되는 기하학적 모델에서 물체의 "각지름 거리"는 "실제 거리", 즉 빛이 천체를 떠났을 때의 고유거리에 대한 좋은 근사값이다. 각크기 적색편이 관계는 주어진 물리적 크기의 물체의 하늘에서 관찰된 각크기와 지구로부터 천체의 적색편이(이는 지구로부터의 거리 d {\displaystyle d} 에 따른다)사이의 관계를 설명한다. 유클리드 기하학에서 하늘에서의 크기와 지구로부터의 거리 사이의 관계는 다음 방정식으로 간단히 주어진다. tan ⁡ ( θ ) = x d {\displaystyle \tan \left(\theta \right)={\frac {x}{d}}} 여기서 θ {\displaystyle \theta } 는 천체의 각 크기이고, x {\displaystyle x} 는 천체의 크기, d {\displaystyle d} 는 천체까지의 거리이다. θ {\displaystyle \theta } 가 작을 때 이 식은 다음 식으로 근사할 수 있다. θ ≈ x d {\displaystyle \theta \approx {\frac {x}{d}}} . 그런데 ΛCDM 모델 (현재 선호되는 우주론)에서는 관계가 더 복잡해진다. 이 모델에서 적색 편이가 1.5보다 큰 천체는 적색 편이의 증가에 따라 하늘에서 더 크게 보인다. 이것은 각지름 거리와 관련이 있으며, 이는 θ {\displaystyle \theta } 와 x {\displaystyle x} 값으로부터 우주가 유클리드 공간으로 가정한 경우에 계산되는 거리이다. 매티그 관계(Mattig relation)에서는 각지름 거리 d A {\displaystyle d_{A}} 값을 ΩΛ = 0인 우주에 대한 적색편이 z 의 함수로 산출한다. q 0 {\displaystyle q_{0}} 는 우주 팽창 속도의 감속을 측정하는 감속 매개변수의 현재 값이다. 가장 단순한 모델에서 q 0 < 0.5 {\displaystyle q_{0}<0.5} 는 우주가 영원히 팽창하는 경우에 해당하며, q 0 > 0.5 {\displaystyle q_{0}>0.5} 는 궁극적으로 확장을 중단하고 수축하는 폐쇄형 모델에, q 0 = 0.5 {\displaystyle q_{0}=0.5} 는 임계 상태 즉 우주가 재수축없이 무한히 팽창하는 우주에 해당한다. d A = c H 0 q 0 2 ( z q 0 + ( q 0 − 1 ) ( 2 q 0 z + 1 − 1 ) ) ( 1 + z ) 2 {\displaystyle d_{A}={\cfrac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}{\cfrac {(zq_{0}+(q_{0}-1)({\sqrt {2q_{0}z+1}}-1))}{(1+z)^{2}}}} 각지름 거리 d A {\displaystyle d_{A}} 는 적색편이 z = z t {\displaystyle z=z_{t}} (ΛCDM 모델에서 이것은 z t ≈ 1.5 {\displaystyle z_{t}\approx 1.5} )에서 최대값에 도달하는데, d A ( z ) {\displaystyle d_{A}(z)} 의 기술기가 z = z t {\displaystyle z=z_{t}} 지점에서 그 부호가 바뀌어 즉, ∂ z d A > 0   ∀ z < z t {\displaystyle \partial _{z}d_{A}>0~\forall z<z_{t}} , ∂ z d A < 0 ∀ z > z t {\displaystyle \partial _{z}d_{A}<0\forall z>z_{t}} 가 된다. 그래프를 그렸을 때의 모양을 참조하여, z t {\displaystyle z_{t}} 를 전환점(turnover point)이라고도 한다. 실제로 전환점은 적색편이가 증가하는 물체(따라서 점점 멀어지는 물체)를 볼 때, 적색편이 z = z t {\displaystyle z=z_{t}} 가 될 때까지는 적색편이가 클 수록 더 작은 각도로 보이지만, 적색편이가 더 큰 값에서는 그 값이 클 수록 천체가 더 큰 각도로 보인다는 것을 의미한다. 전환점은 거리가 멀어질 수록 더 작게 보일 것이라는 직관과 모순되기 때문에 역설적으로 보인다. 전환점은 우주의 팽창과 유한한 빛의 속도로 인해 발생한다.우주가 팽창하고 있기 때문에 지금은 아주 멀리 있는 천체가 한때는 훨씬 더 가까이에 있었다. 빛의 속도가 유한하기 때문에 지금은 멀리 떨어져 있는 천체로부터 우리에게 도달하는 빛은 이미 오래 전 이 천체가 우리에게 더 가까워 하늘에서 더 넓은 각도로 퍼져 있었을 때에 떠났던 빛이다. 따라서 전환점은 우주의 팽창 속도(또는 빛의 속도가 일정하다고 가정하지 않는 경우 팽창 속도와 빛의 속도 사이의 관계)에 대해 알려줄 수 있다. 거리 측정 (우주론) 표준 잣대 공변거리 고유거리 광도거리 Derek Raine; E.G. Thomas (2001). 〈Chapter 6:2〉. 《An Introduction to the Science of Cosmology》. CRC Press. 102쪽. ISBN 978-0-7503-0405-4.  iCosmos: 우주론 계산기(그래프 생성 포함)