코시 정리 (군론)

군론에서 코시 정리(영어: Cauchy’s theorem)는 유한군의 크기의 소인수가 항상 어떤 원소의 위수라는 정리이다. 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.:324 코시 정리에 따르면, 만약 소수 p {\displaystyle p} 가 유한군 G {\displaystyle G} 의 크기 | G | {\displaystyle |G|} 의 소인수라면, G {\displaystyle G} 는 위수가 p {\displaystyle p} 인 원소를 갖는다.:322 증명 1: 우선 G {\displaystyle G} 가 유한 아벨 군인 경우를 증명하자. 귀류법을 사용하여 G {\displaystyle G} 가 p {\displaystyle p} 차 원소를 가지지 않는다고 가정하자. 편의상 G {\displaystyle G} 가 최소 크기의 반례라고 하자. (즉, 크기가 p {\displaystyle p} 를 소인수로 하는, G {\displaystyle G} 보다 작은 크기의 모든 유한 아벨 군은 p {\displaystyle p} 차 원소를 갖는다.) 그렇다면 G {\displaystyle G} 는 순환군일 수 없다. (만약 G {\displaystyle G} 가 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 로 생성된 순환군이라면, g | G | / p {\displaystyle g^{|G|/p}} 는 G {\displaystyle G} 의 p {\displaystyle p} 차 원소이며, 이는 모순이다.) 임의의 1 ≠ g ∈ G {\displaystyle 1\neq g\in G} 를 취하자. H {\displaystyle H} 가 g {\displaystyle g} 로 생성된 순환군이라고 하자. 그렇다면 H ≠ G {\displaystyle H\neq G} 이며, p {\displaystyle p} 는 g {\displaystyle g} 의 위수 | H | {\displaystyle |H|} 의 약수가 아니다. (만약 p ∣ | H | {\displaystyle p\mid |H|} 라면, H {\displaystyle H} 가 p {\displaystyle p} 차 원소를 가지므로 모순이다.) 따라서 p ∣ | G | / | H | {\displaystyle p\mid |G|/|H|} 이며, 또한 | G | / | H | < | G | {\displaystyle |G|/|H|<|G|} 이므로, 몫군 G / H {\displaystyle G/H} 은 p {\displaystyle p} 차 원소 k H {\displaystyle kH} ( k ∈ G {\displaystyle k\in G} )를 가진다. 즉, k ∉ H {\displaystyle k\not \in H} 이며 k p ∈ H {\displaystyle k^{p}\in H} 이다. 이제 k | H | ∈ G {\displaystyle k^{|H|}\in G} 가 p {\displaystyle p} 차 원소임을 보이자. 우선 ( k | H | ) p = ( k p ) | H | = 1 {\displaystyle (k^{|H|})^{p}=(k^{p})^{|H|}=1} 이므로 k | H | {\displaystyle k^{|H|}} 의 위수는 1 또는 p {\displaystyle p} 이다. 만약 k | H | {\displaystyle k^{|H|}} 의 위수가 1이라면, 즉 k | H | = 1 {\displaystyle k^{|H|}=1} 이라면, p {\displaystyle p} 와 | H | {\displaystyle |H|} 은 서로소이므로 1 = a p + b | H | {\displaystyle 1=ap+b|H|} 인 정수 a , b {\displaystyle a,b} 가 존재한다. 따라서 k = k a p + b | H | = k a p ∈ H {\displaystyle k=k^{ap+b|H|}=k^{ap}\in H} 이며, 이는 모순이다. 즉, k | H | {\displaystyle k^{|H|}} 의 위수는 p {\displaystyle p} 이다. 이제 G {\displaystyle G} 가 일반적인 유한군인 경우를 증명하자. 마찬가지로, G {\displaystyle G} 가 최소 크기의 반례라고 가정하자. (즉, 크기가 p {\displaystyle p} 를 소인수로 하는, G {\displaystyle G} 보다 작은 크기의 모든 유한군은 p {\displaystyle p} 차 원소를 갖는다.) G {\displaystyle G} 의 중심 Z ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Z} (G)} 은 G {\displaystyle G} 의 아벨 부분군을 이루므로, 위 증명에 따라 Z ⁡ ( G ) ≠ G {\displaystyle \operatorname {Z} (G)\neq G} 이며, 따라서 p ∤ | Z ⁡ ( G ) | {\displaystyle p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|} 이다. 켤레류 방정식 | G | = | Z ⁡ ( G ) | + ∑ g ∈ S | G | | C G ⁡ ( g ) | {\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{g\in S}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} _{G}(g)}|}}} 을 생각하자. 여기서 S ⊆ G ∖ Z ⁡ ( G ) {\displaystyle S\subseteq G\setminus \operatorname {Z} (G)} 는 크기가 1이 아닌 켤레류들의 대표 원소들의 집합이며, C G ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g)} 는 g {\displaystyle g} 에 대한 G {\displaystyle G} 의 중심화 부분군이다. p ∣ | G | {\displaystyle p\mid |G|} , p ∤ | Z ⁡ ( G ) | {\displaystyle p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|} 이므로, p ∣ | C G ⁡ ( g ) | {\displaystyle p\mid |{\operatorname {C} _{G}(g)}|} 인 g ∈ S {\displaystyle g\in S} 가 존재한다. | C G ⁡ ( g ) | < | G | {\displaystyle |{\operatorname {C} _{G}(g)}|<|G|} 이므로, C G ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g)} 는 p {\displaystyle p} 차 원소를 가지며, 이는 모순이다. 증명 2: p {\displaystyle p} 차 대칭군 Sym ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (p)} 속의 순환 σ = ( 1   2   ⋯   p ) {\displaystyle \sigma =(1~2~\cdots ~p)} 으로 생성된, 크기 p {\displaystyle p} 의 순환군은 집합 X = { ( g 1 , … , g p ) ∈ G p : g 1 ⋯ g p = 1 } {\displaystyle X=\{(g_{1},\dots ,g_{p})\in G^{p}\colon g_{1}\cdots g_{p}=1\}} 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다. σ ⋅ ( g 1 , … , g p ) = ( g σ ( 1 ) , … , g σ ( p ) ) = ( g 2 , … , g p , g 1 ) {\displaystyle \sigma \cdot (g_{1},\dots ,g_{p})=(g_{\sigma (1)},\dots ,g_{\sigma (p)})=(g_{2},\dots ,g_{p},g_{1})} 궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는 p {\displaystyle p} 이다. 크기 1의 궤도의 수는 g p = 1 {\displaystyle g^{p}=1} 인 원소 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 의 수와 같다. 즉, p {\displaystyle p} 차 원소의 수와 1차 원소(항등원 1 ∈ G {\displaystyle 1\in G} )의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다. X {\displaystyle X} 의 각 원소는 그 앞의 p − 1 {\displaystyle p-1} 개의 성분으로 유일하게 결정되므로, | X | = | G | p − 1 {\displaystyle |X|=|G|^{p-1}} 이며, 이는 p {\displaystyle p} 의 배수이다. 또한, 궤도들은 X {\displaystyle X} 를 분할하므로, 크기 p {\displaystyle p} 의 궤도들의 수의 p {\displaystyle p} 배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 | X | = | G | p − 1 {\displaystyle |X|=|G|^{p-1}} 이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 p {\displaystyle p} 의 배수이며, 특히 p {\displaystyle p} 이상이다. 즉, 적어도 p − 1 {\displaystyle p-1} 개의 p {\displaystyle p} 차 원소가 존재한다. 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다. 라그랑주 정리 (군론) 쉴로브 정리 Fraleigh, John B.; Katz, Victor (2003). 《A First Course In Abstract Algebra》. Addison-Wesley.  “Cauchy’s theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Proof of Cauchy’s theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Cauchy’s lemma (group theory)”. 《ProofWiki》 (영어).