상극한과 하극한

수학에서, 수열의 상극한(上極限, 영어: limit superior)과 하극한(下極限, 영어: limit inferior)은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합의 극한점의 상한·하한으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는 lim sup {\displaystyle \limsup } 또는 lim ¯ {\displaystyle \varlimsup } 이며, 하극한의 기호는 lim inf {\displaystyle \liminf } 또는 lim _ {\displaystyle \varliminf } 이다. 상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서, 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터는 집합족의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화된다. 또한, 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 임의의 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 가 주어졌을 때, f {\displaystyle f} 가 x 0 {\displaystyle x_{0}} 의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 f {\displaystyle f} 의, 특정한 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다. Y {\displaystyle Y} 가 완비 격자라고 하자. Y {\displaystyle Y} 속의 집합족 B ⊆ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, Y {\displaystyle Y} 의 부분 집합 { sup B : B ∈ B } {\displaystyle \{\sup B\colon B\in {\mathcal {B}}\}} { inf B : B ∈ B } {\displaystyle \{\inf B\colon B\in {\mathcal {B}}\}} 을 정의할 수 있다. 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 하향 집합족라면 이들 역시 하향 집합이며, 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 필터라면 이들 역시 필터이다. 증명: B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 하향 집합족이라고 하면, 임의의 B 1 , B 2 ∈ B {\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}} 에 대하여, B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}} 인 B 3 ∈ B {\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. 그렇다면 sup B 3 ≤ sup ( B 1 ∩ B 2 ) ≤ ( sup B 1 ) ∧ ( sup B 2 ) {\displaystyle \sup B_{3}\leq \sup(B_{1}\cap B_{2})\leq (\sup B_{1})\land (\sup B_{2})} 이다. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 상집합이며, 임의의 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 및 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여, sup B ≤ y {\displaystyle \sup B\leq y} 라고 하자. 그렇다면 B ∪ { y } ∈ B {\displaystyle B\cup \{y\}\in {\mathcal {B}}} 이며 sup ( B ∪ { y } ) = y {\displaystyle \sup(B\cup \{y\})=y} 이다. 이제, Y {\displaystyle Y} 에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면, sup : B → Y {\displaystyle \sup \colon {\mathcal {B}}\to Y} sup : ( B ∈ B ) → sup B {\displaystyle \sup \colon (B\in {\mathcal {B}})\to \sup B} 는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 상극한은 이 그물의 극한이다. lim sup B = lim B → ⊥ sup B {\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \bot }\sup B} 마찬가지로, B ⊆ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} 가 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면, inf : B → Y {\displaystyle \inf \colon {\mathcal {B}}\to Y} inf : ( B ∈ B ) ↦ inf B {\displaystyle \inf \colon (B\in {\mathcal {B}})\mapsto \inf B} 는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 하극한은 이 그물의 극한이다. lim inf B = lim B → ⊤ inf B {\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \top }\inf B} 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 부분 순서가 주어진 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 상향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} Y {\displaystyle Y} 위의 그물 y : I → Y {\displaystyle y\colon I\to Y} 그렇다면, 그물 y {\displaystyle y} 의 꼬리들의 필터 기저 tail ⁡ ( y ) = { { y i : i ≤ i 0 } : i 0 ∈ I } {\displaystyle \operatorname {tail} (y)=\left\{\{y_{i}\colon i\leq i_{0}\}\colon i_{0}\in I\right\}} 를 생각하자. 그물 y {\displaystyle y} 의 상극한 및 하극한은 필터 기저 tail ⁡ ( y ) {\displaystyle \operatorname {tail} (y)} (또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다. lim sup i → ∞ y i = lim sup tail ⁡ ( y ) {\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\limsup \operatorname {tail} (y)} lim inf i → ∞ y i = lim inf tail ⁡ ( y ) {\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\liminf \operatorname {tail} (y)} 특히, Y {\displaystyle Y} 의 점렬 y : N → Y {\displaystyle y\colon \mathbb {N} \to Y} 은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다. 특히, Y {\displaystyle Y} 가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 Y = R ¯ = [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]} ). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다. lim sup i → ∞ y i = lim i 0 → ∞ sup i ≥ i 0 y i = inf i 0 ∈ I sup i ≥ i 0 y i {\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}=\inf _{i_{0}\in I}\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}} lim inf i → ∞ y i = lim i 0 → ∞ inf i ≥ i 0 y i = sup i 0 ∈ I inf i ≥ i 0 y i {\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}=\sup _{i_{0}\in I}\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}} 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 부분 순서가 주어진 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 위상 공간 X {\displaystyle X} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다. B f , x 0 , U = f ( U ∖ { x 0 } ) = { f ( x ) : x ∈ U ∖ { x 0 } } {\displaystyle B_{f,x_{0},U}=f(U\setminus \{x_{0}\})=\left\{f(x)\colon x\in U\setminus \{x_{0}\}\right\}} B f , x 0 = { B f , U , x 0 : U ∈ N X , x 0 } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}=\left\{B_{f,U,x_{0}}\colon U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}\right\}} 여기서 N X , x 0 {\displaystyle {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}} 는 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 의 근방 필터이다. 즉, x 0 {\displaystyle x_{0}} 의 근방에서 f {\displaystyle f} 가 취하는 값들의 집합족이다. B f , x 0 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}} 는 Y {\displaystyle Y} 속의 필터를 이룬다. f {\displaystyle f} 의 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 에서의 상극한 lim sup x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \textstyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)} 과 하극한 lim inf x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \textstyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)} 은 각각 필터 B f , x 0 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}} 의 상극한과 하극한이다. lim sup x → x 0 f ( x ) = lim sup B f , x 0 {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}} lim inf x → x 0 f ( x ) = lim inf B f , x 0 {\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\liminf {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}} 특히, 만약 Y {\displaystyle Y} 가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 Y = R ¯ = [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]} ). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. lim sup x → x 0 f ( x ) = inf U ∈ N X , x 0 sup f ( U ∖ { x 0 } ) {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\sup f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)} lim sup x → x 0 f ( x ) = sup U ∈ N X , x 0 inf f ( U ∖ { x 0 } ) {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\inf f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)} 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 하향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 순서를 보존하는 그물 x : I → X {\displaystyle x\colon I\to X} . 즉, 만약 i , i ′ ∈ I {\displaystyle i,i'\in I} 에 대하여 i ≲ i ′ {\displaystyle i\lesssim i'} 이라면 x i ≤ x i ′ {\displaystyle x_{i}\leq x_{i'}} 이다. 그렇다면, x {\displaystyle x} 는 { x i } i ∈ I {\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}} 의 하한으로 수렴한다. lim i → ⊥ x i = inf i ∈ I x i {\displaystyle \lim _{i\to \bot }x_{i}=\inf _{i\in I}x_{i}} 증명: 편의상 y = inf i ∈ I x i {\displaystyle y=\inf _{i\in I}x_{i}} 로 표기하자. 임의의 y − < y < y + {\displaystyle y_{-}<y<y_{+}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, y + {\displaystyle y_{+}} 는 (하한의 정의에 의하여) { x i } i ∈ I {\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}} 의 하계가 될 수 없으며, 따라서 x i 0 < y {\displaystyle x_{i_{0}}<y} 인 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 가 존재한다. 그렇다면, 임의의 i ≲ i 0 {\displaystyle i\lesssim i_{0}} 에 대하여 y − < x i < y + {\displaystyle y_{-}<x_{i}<y_{+}} 이다. 따라서, 만약 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 이라면, X {\displaystyle X} 위의 필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다. lim sup B = inf B ∈ B sup B {\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\inf _{B\in {\mathcal {B}}}\sup B} lim inf B = sup B ∈ B inf B {\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\sup _{B\in {\mathcal {B}}}\inf B} 특히, 확장된 실수 R ¯ = [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]} 는 완비 전순서 집합이므로, 이 속의 그물 및 수열은 항상 상극한과 하극한을 가진다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 하향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 그물 x : I → X {\displaystyle x\colon I\to X} 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. lim i ∈ I = x 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{i\in I}=x_{0}} . 즉, ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 는 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 로 수렴한다. x 0 = lim sup i ∈ I = lim inf i ∈ I {\displaystyle x_{0}=\limsup _{i\in I}=\liminf _{i\in I}} 이다. 임의의 순서체 ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 속의 집합족 B ⊆ P ( K ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(K)} 에 대하여 다음이 성립한다. − lim inf B = lim sup ( − B ) {\displaystyle -\liminf {\mathcal {B}}=\limsup(-{\mathcal {B}})} − B = { − B : B ∈ B } = { { − b : b ∈ B } : B ∈ B } {\displaystyle -{\mathcal {B}}=\{-B\colon B\in {\mathcal {B}}\}=\left\{\{-b\colon b\in B\}\colon B\in {\mathcal {B}}\right\}} 마찬가지로, 임의의 순서체 ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 위의 그물 x : I → K {\displaystyle x\colon I\to K} 에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다. − lim inf i → ∞ x i = − lim sup n → ∞ ( − x i ) {\displaystyle -\liminf _{i\to \infty }x_{i}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{i})} inf i ∈ I x i ≤ lim inf i → ∞ x i ≤ lim sup i → ∞ ( x i ) ≤ sup i ∈ I x i {\displaystyle \inf _{i\in I}x_{i}\leq \liminf _{i\to \infty }x_{i}\leq \limsup _{i\to \infty }(x_{i})\leq \sup _{i\in I}x_{i}} 마찬가지로, 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 함수 f : X → K {\displaystyle f\colon X\to K} 및 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 에 대하여, 다음이 성립한다. − lim inf x → x 0 f ( x ) = lim sup x → x 0 ( − f ( x ) ) {\displaystyle -\liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup _{x\to x_{0}}(-f(x))} inf x ∈ X f ( x ) ≤ lim inf f ( x ) ≤ lim sup x → x 0 f ( x ) ≤ sup x ∈ X f ( x ) {\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)\leq \liminf f(x)\leq \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq \sup _{x\in X}f(x)} 순서체 ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 속의 두 그물 a , b : I → K {\displaystyle a,b\colon I\to K} 에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다. lim sup i ∈ I ( a i + b i ) ≤ lim sup i ∈ I ( a i ) + lim sup i ∈ I ( b i ) {\displaystyle \limsup _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\leq \limsup _{i\in I}(a_{i})+\limsup _{i\in I}(b_{i})} lim inf i ∈ I ( a i + b i ) ≥ lim inf i ∈ I ( a i ) + lim inf i ∈ I ( b i ) {\displaystyle \liminf _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\geq \liminf _{i\in I}(a_{i})+\liminf _{i\in I}(b_{i})} 또한, 만약 a {\displaystyle a} 나 b {\displaystyle b} 가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다. 수열 x n = sin ⁡ n {\displaystyle x_{n}=\sin n} 에 대하여, π가 무리수이므로 다음이 성립한다. lim inf n → ∞ x n = − 1 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1} lim sup n → ∞ x n = + 1 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1} 이는 균등 분포 정리에 의해 1 , 2 , 3 , … mod 2 π {\displaystyle 1,2,3,\ldots \,{\bmod {\,}}2\pi } 가 균등 분포이기 때문이다. 쌍둥이 소수 추측은 다음과 같은 내용을 담는다. lim inf n → ∞ ( p n + 1 − p n ) = 2 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})=2} 여기서 p n {\displaystyle p_{n}} 은 n {\displaystyle n} 번째 소수이다. 위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f : x ↦ { sin ⁡ ( 1 / x ) x ≠ 0 0 x = 0 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}} 를 생각하자. 그렇다면, lim inf x → 0 f ( x ) = − 1 {\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1} lim sup x → 0 f ( x ) = 1 {\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1} 이다. (사실, f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} 의 값은 어떻든 상관없다.) Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) “Upper and lower limits”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Supremum limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Infimum limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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