미분 (주요 부분)

미적분학에서 함수의 미분(微分, 영어: differential)은 함수의 증분의 주요 선형 부분이다. 일반적으로 도함수가 존재하는 일변수 함수 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 의 증분 Δ y {\displaystyle \Delta y} 는 다음 관계를 만족한다. Δ y = f ′ ( x ) Δ x + α Δ x ,   α → 0   ( Δ x → 0 ) {\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)} 여기서 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 는 일계 도함수, α {\displaystyle \alpha } 는 Δ x {\displaystyle \Delta x} 가 0으로 갈 때의 무한소이다. 이로부터 Δ x {\displaystyle \Delta x} 에 대해 선형인 부분인 d y = f ′ ( x ) Δ x {\displaystyle dy=f'(x)\Delta x} 를 함수 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 의 미분이라고 정의한다. 이때 함수 y = x {\displaystyle y=x} 의 미분은 d y = d x = ( x ) ′ Δ x = 1 Δ x = Δ x {\displaystyle dy=dx=(x)'\Delta x=1\Delta x=\Delta x} 이므로 Δ x {\displaystyle \Delta x} 를 d x {\displaystyle dx} 로 다시 쓰면 다음 관계를 얻는다. d y = f ′ ( x ) d x {\displaystyle dy=f'(x)dx} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 는 이러한 이유로 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} 로 쓰여지기도 한다: d y = d y d x d x {\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}dx} 미분의 개념은 때로 엄밀하지 않게 서술된다. 이 경우, 미분 d y {\displaystyle dy} 는 함수 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 의 무한히 작은 변화값이다(미분소). 이러한 논법은 비표준 해석학에서 엄밀한 방식으로 처리된다. 미분의 (엄밀한) 정의법은 위에 적은 선형성에 의한 것과 비표준 해석학적 정의 이외에, 미분 형식, 멱영원, 초실수 등에 의한 것이 있다. 위에서 적었듯이, 일변수 함수의 점 x {\displaystyle x} 에서의 미분 d y {\displaystyle dy} 는 독립 변수의 변화량 d x = Δ x {\displaystyle dx=\Delta x} 에 대한 선형 함수이다: d y ( x , d x ) = f ′ ( x ) d x {\displaystyle dy(x,dx)=f'(x)dx} 이러한 d y {\displaystyle dy} 가 존재할 필요충분조건은 그 점에서 미분 가능, 즉 f ′ ( x ) = d y d x {\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}} 가 존재한다는 것이다. 조금 더 자세히 말해, 어떤 상수 c {\displaystyle c} 가 존재하여 Δ y = c Δ x + α Δ x ,   α → 0   ( Δ x → 0 ) {\displaystyle \Delta y=c\Delta x+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)} 일 필요충분조건은, 그 점에서 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 의 도함수를 구할 수 있다는 것이다. 이때 c = f ′ ( x ) {\displaystyle c=f'(x)} 가 된다. 함수 u {\displaystyle u} 와 v {\displaystyle v} 의 미분 d u {\displaystyle du} 와 d v {\displaystyle dv} 가 같은 점에서 존재할 때, 도함수와 비슷한 연산 성질들을 만족한다: 선형성 d ( u + v ) = d u + d v {\displaystyle d(u+v)=du+dv} d ( c u ) = c d u {\displaystyle d(cu)=cdu} (c는 상수) 곱셈 d ( u v ) = v d u + u d v {\displaystyle d(uv)=vdu+udv} 나눗셈 d ( u v ) = v d u − u d v v 2 {\displaystyle d({\frac {u}{v}})={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}} 함수 y = f ( u ) {\displaystyle y=f(u)} 를 생각하자. 여기서 u {\displaystyle u} 는 독립 변수이다. 그의 미분은 다음과 같다. d y = f ′ ( u ) d u {\displaystyle dy=f'(u)du} 한편 함수 y = f ( u ) {\displaystyle y=f(u)} 와 u = g ( x ) {\displaystyle u=g(x)} 에 의하여 얻어지는 y {\displaystyle y} 의 x {\displaystyle x} 에 대한 함수 y = f ( g ( x ) ) {\displaystyle y=f(g(x))} 를 미분해 보면 다음과 같다. ( u {\displaystyle u} 는 x {\displaystyle x} 에 대한 종속 변수이다) d y = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle dy=f'(g(x))g'(x)dx} 이때 g ′ ( x ) d x {\displaystyle g'(x)dx} 는 곧 d u {\displaystyle du} 이고, f ′ ( g ( x ) ) {\displaystyle f'(g(x))} 는 f ′ ( u ) {\displaystyle f'(u)} 이므로, 위의 식은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다. d y = f ′ ( u ) d u {\displaystyle dy=f'(u)du} 이는 u {\displaystyle u} 를 독립 변수로 놓고 y {\displaystyle y} 를 미분한 결과와 일치한다. 즉, 일변수 함수의 (그뿐만은 아니다) 일계 미분 d y {\displaystyle dy} 의 형식은 u {\displaystyle u} 가 독립 변수인지 종속 변수인지에 따라 변하지 않는다. 따라서, 예컨대 아래와 같은 미분들을 자유자재로 사용하여도 무방하다. d ( sin ⁡ ( ln ⁡ x ) ) = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d ( ln ⁡ x ) = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ 1 x d x {\displaystyle d(\sin(\ln x))=\cos(\ln x)d(\ln x)=\cos(\ln x)\cdot {\frac {1}{x}}dx} d x = c d y ⟹ d y = 1 c d x {\displaystyle dx=cdy\Longrightarrow dy={\frac {1}{c}}dx} 이러한 결론은 다변수 함수의 미분에서도 성립한다. 고계 미분에서는 성립하지 않는다는 점은 주의할 가치가 있다. 함수의 증가량에서 그 점에서의 미분을 제외하고 나면 Δ x {\displaystyle \Delta x} 에 비하면 매우 작은 무한소 α Δ x {\displaystyle \alpha \Delta x} 만 남는다: Δ y = d y + α Δ x ,   α → 0   ( Δ x → 0 ) {\displaystyle \Delta y=dy+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)} 따라서 함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서의 증가량을 근사하는 데에 사용된다: Δ y ≈ d y = f ′ ( x ) Δ x {\displaystyle \Delta y\approx dy=f'(x)\Delta x} 즉 f ( x ′ ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) Δ x ,   x ′ = x + Δ x {\displaystyle f(x')\approx f(x)+f'(x)\Delta x,\ x'=x+\Delta x} 이는 결과적으로 임의의 함수를 선형 함수로 근사한 것이 된다. 예를 들어, e 0.1 {\displaystyle e^{0.1}} 의 값을 어림잡기 위하여, 다음의 근사를 사용할 수 있다. e x ≈ e 0 + ( e x ) ′ ( x − 0 ) = 1 + x ,   x ≪ 1 {\displaystyle e^{x}\approx e^{0}+(e^{x})'(x-0)=1+x,\ x\ll 1} 이렇게 추정한 e 0.1 {\displaystyle e^{0.1}} 의 값은 1.1이다. (정확한 값은 1.1051709...) 전미분 미분소 미분 형식 미분 사상 프레셰 도함수