여과 확률 공간

확률론에서 여과 확률 공간(濾過確率空間, 영어: filtered probability space)은 어떤 순서 집합에 따라 증가하는 부분 시그마 대수들의 족이 갖추어져 있는 확률 공간이다. 대략, 시간에 따라 증가하는 (감소하지 않는) ‘지식’이 갖추어진 확률 공간으로 여길 수 있다. 이 개념을 통해, 주어진 ‘지식’ 이상을 알지 못하는 확률 과정인 마팅게일 따위를 정의할 수 있다. 여과 확률 공간은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 하계 0 ∈ T {\displaystyle 0\in T} 와 상계 ∞ ∈ T {\displaystyle \infty \in T} 를 갖는 전순서 집합 ( T , ≤ ) {\displaystyle (T,\leq )} 집합 Ω {\displaystyle \Omega } 각 t ∈ T {\displaystyle t\in T} 에 대하여, Ω {\displaystyle \Omega } 위의 시그마 대수 F t ⊆ Pow ⁡ ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq \operatorname {Pow} (\Omega )} 확률 공간 구조 ( Ω , F ∞ , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{\infty },\Pr )} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. F : T → Pow ⁡ ( Pow ⁡ ( Ω ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\colon T\to \operatorname {Pow} (\operatorname {Pow} (\Omega ))} 는 증가 함수이다. 즉, 임의의 s , t ∈ T {\displaystyle s,t\in T} 에 대하여, 만약 s ≤ t {\displaystyle s\leq t} 라면, F s ⊆ F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}} 이다. (오른쪽 연속성 右連續性 영어: right-continuity) 임의의 t ∈ T {\displaystyle t\in T} 에 대하여, ⋂ t < s F s = F t {\displaystyle \textstyle \bigcap _{t<s}{\mathcal {F}}_{s}={\mathcal {F}}_{t}} (완비성) ⋃ A ∈ F ∞ : Pr ( A ) = 0 Pow ⁡ ( A ) ⊆ F 0 {\displaystyle \textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {F}}_{\infty }\colon \Pr(A)=0}\operatorname {Pow} (A)\subseteq {\mathcal {F}}_{0}} 보통, T = [ 0 , ∞ ] {\displaystyle T=[0,\infty ]} (연속 시간) 또는 T = N ⊔ { ∞ } {\displaystyle T=\mathbb {N} \sqcup \{\infty \}} (이산 시간)를 사용한다. 시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, T {\displaystyle T} 의 하계의 존재는 크게 중요하지 않다. 만약 T {\displaystyle T} 에 하계가 존재하지 않는다면, 여기에 하계 0 {\displaystyle 0} 을 추가하고, F 0 = ⋂ t ∈ T F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\bigcap _{t\in T}{\mathcal {F}}_{t}} 를 정의할 수 있다. 반면, T {\displaystyle T} 의 상계의 존재는 덜 자명하다. 시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 합집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 합집합으로 생성되는 시그마 대수를 취하더라도, 여기에 확률 측도가 잘 정의되는지 여부는 일반적으로 자명하지 않다. T {\displaystyle T} 의 상계에서의 시그마 대수 F ∞ {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }} 는 어떤 전지적(全知的) 인물의 지식을 나타낸다. 오른쪽 연속성과 완비성은 보다 전문적인 조건이며, 대부분의 정리들을 증명할 때 필요하다. 이들은 대략 다음과 같이 해석될 수 있다. 오른쪽 연속성: 현재의 지식은 모든 미래 지식들의 교집합이다. (반면, 현재의 지식은 과거의 지식들의 합집합이 아닐 수 있는데, 이는 정확히 현재에 새 정보를 알 수 있기 때문이다.) 완비성: 만약 어떤 사건이 불가능하다면(또는 확실하다면), 그 불가능성(또는 확실성)은 처음부터 알 수 있다. 일부 문헌에서는 이 조건들이 생략되며, 이 조건들을 만족시키는 여과 확률 공간을 ‘표준 여과 확률 공간’(영어: standard filtered probability space) 또는 ‘보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간’(영어: filtered probability space satisfying the usual conditions)이라고 둘러 일컫게 된다. 전순서 집합 ( T , ≤ ) {\displaystyle (T,\leq )} 을 지표 집합으로 하는, 완비 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 확률 과정 ( X t : Ω → S ) t ∈ T {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}} 이 주어졌다고 하자. 또한, 표본 공간 S {\displaystyle S} 의 시그마 대수를 A ⊆ Pow ⁡ ( S ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Pow} (S)} 라고 하자. 그렇다면, T ⊔ { ∞ } {\displaystyle T\sqcup \{\infty \}} 위의, 다음과 같은 여과 확률 공간을 정의할 수 있다. F ∞ = F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }={\mathcal {F}}} F t = σ ( { X s − 1 ( A ) : s ≤ t , A ∈ A } ∪ { A ∈ F : Pr ( A ) = 0 } ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \left(\{X_{s}^{-1}(A)\colon s\leq t,\;A\in {\mathcal {A}}\}\cup \{A\in {\mathcal {F}}\colon \Pr(A)=0\}\right)} 이를 X t {\displaystyle X_{t}} 에 대응하는 자연 여과 확률 공간(自然濾過確率空間, 영어: natural filtered probability space)이라고 한다. 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간 위의 순응 확률 과정을 이룬다. 여과 (수학) 필터 (수학) Klenke, Achim (2008). 《Probability theory》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.  Coculescu, Delia; Nikeghbali, Ashkan (2007). “Filtrations” (영어). arXiv:0712.0622. Bibcode:2007arXiv0712.0622C.