위상 T-이중성

대수적 위상수학과 끈 이론에서 위상 T-이중성(영어: topological T-duality)은 끈 이론의 T-이중성의 일부를 포함하는 수학적 공식화이다. 이는 일반화 기하학과 뒤틀린 드람 코호몰로지와 뒤틀린 K이론의 동형을 정의하며, 이는 각각 NS-NS 배경장 · 라몽-라몽 장 · D-막의 대응 관계를 나타낸다. 끈 이론의 T-이중성의 일부는 수학적으로 다음과 같이 공식화될 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 자연수 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 차원 콤팩트 아벨 리 군 T {\displaystyle T} , T ∨ {\displaystyle T^{\vee }} T {\displaystyle T} -주다발 π : E ↠ M {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M} T ∨ {\displaystyle T^{\vee }} -주다발 π ∨ : E ∨ ↠ M {\displaystyle \pi ^{\vee }\colon E^{\vee }\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 위의 3차 특이 코호몰로지류 H ∈ H 3 ⁡ ( E ; Z ) {\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(E;\mathbb {Z} )} E ∨ {\displaystyle E^{\vee }} 위의 3차 특이 코호몰로지류 H ∨ ∈ H 3 ⁡ ( E ∨ ; Z ) {\displaystyle H^{\vee }\in \operatorname {H} ^{3}(E^{\vee };\mathbb {Z} )} 그렇다면, 올곱 E × M E ∨ {\displaystyle E\times _{M}E^{\vee }} 를 정의할 수 있으며, 이에 대한 사영 사상 ϖ : E × M E ∨ ↠ E {\displaystyle \varpi \colon E\times _{M}E^{\vee }\twoheadrightarrow E} ϖ ∨ : E × M E ∨ ↠ E ∨ {\displaystyle \varpi ^{\vee }\colon E\times _{M}E^{\vee }\twoheadrightarrow E^{\vee }} 을 정의할 수 있다. 만약 ϖ ∗ H = ϖ ∨ ∗ H ∨ ∈ H 3 ⁡ ( E × M E ∨ ) {\displaystyle \varpi ^{*}H=\varpi ^{\vee *}H^{\vee }\in \operatorname {H} ^{3}(E\times _{M}E^{\vee })} 라면, ( E , E ∨ , H , H ∨ ) {\displaystyle (E,E^{\vee },H,H^{\vee })} 를 서로 T-이중라고 한다. T-이중 공간 ( E , H , E ∨ , H ∨ , M ) {\displaystyle (E,H,E^{\vee },H^{\vee },M)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 뒤틀린 드람 코호몰로지롤 정의할 수 있으며, 양쪽의 뒤틀린 드람 코호몰로지는 다음과 같이 서로 표준적으로 동형이다.:Theorem 3.1 H H i ⁡ ( E ) ≅ H H ∨ i + 1 ⁡ ( E ∨ ) ( i ∈ { 2 Z , 1 + 2 Z } ) {\displaystyle \operatorname {H} _{H}^{i}(E)\cong \operatorname {H} _{H^{\vee }}^{i+1}(E^{\vee })\qquad (i\in \{2\mathbb {Z} ,1+2\mathbb {Z} \})} 이는 ⅡA 초끈 이론과 ⅡB 초끈 이론의 라몽-라몽 장 사이의 관계를 나타낸다. T-이중 공간 ( E , H , E ∨ , H ∨ , M ) {\displaystyle (E,H,E^{\vee },H^{\vee },M)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 뒤틀린 K이론 K H i ⁡ ( E ) ( i ∈ { 2 Z , 1 + 2 Z } ) {\displaystyle \operatorname {K} _{H}^{i}(E)\qquad (i\in \{2\mathbb {Z} ,1+2\mathbb {Z} \})} K H ∨ i ⁡ ( E ∨ ) ( i ∈ { 2 Z , 1 + 2 Z } ) {\displaystyle \operatorname {K} _{H^{\vee }}^{i}(E^{\vee })\qquad (i\in \{2\mathbb {Z} ,1+2\mathbb {Z} \})} 을 정의할 수 있다. 이 경우, 마찬가지로 양쪽의 뒤틀린 K이론 사이의 표준적인 동형이 존재한다. K H i ⁡ ( E ) ≅ K H ∨ i + 1 ⁡ ( E ∨ ) ( i ∈ { 2 Z , 1 + 2 Z } ) {\displaystyle \operatorname {K} _{H}^{i}(E)\cong \operatorname {K} _{H^{\vee }}^{i+1}(E^{\vee })\qquad (i\in \{2\mathbb {Z} ,1+2\mathbb {Z} \})} 뒤틀린 K이론은 캘브-라몽 장이 존재하는 시공간의 D-막을 분류하므로, 이는 ⅡA 초끈 이론과 ⅡB 초끈 이론의 D-막 사이의 관계를 나타낸다. T-이중 공간 ( E , H , E ∨ , H ∨ , M ) {\displaystyle (E,H,E^{\vee },H^{\vee },M)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 쿠런트 준대수를 정의할 수 있으며, 이는 서로 동형이다. 이에 따라, 쿠런트 준대수의 구조만으로 정의되는 모든 기하학적 구조의 모듈러스 공간은 양쪽에서 서로 동형이다. 특히, 표준적인 동형 사상 ( T E ⊕ T ∗ E ) / T ≅ ( T E ∨ ⊕ T ∗ E ∨ ) / T ∨ {\displaystyle (\mathrm {T} E\oplus \mathrm {T} ^{*}E)/T\cong (\mathrm {T} E^{\vee }\oplus \mathrm {T} ^{*}E^{\vee })/T^{\vee }} 에 따라서, E {\displaystyle E} 위의 일반화 복소구조는 E ∨ {\displaystyle E^{\vee }} 위의 일반화 복소구조와 일대일 대응한다. 마찬가지로, 일반화 리만 계량(=NS-NS 배경장) 및 일반화 켈러 다양체 구조의 모듈러스 공간 역시 양쪽에서 일대일 대응한다. 3차원 초구는 2차원 구 위의 U(1) 주다발을 이룬다 (호프 올다발). S 1 ↪ S 3 ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} 만약 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 위에 아무런 캘브-라몽 장세기가 없다면 H = 0 {\displaystyle H=0} , 이에 대응되는 T-이중 원다발은 자명한 위상을 가지지만 한 단위의 캘브-라몽 장세기를 갖는다. 즉, 이는 S 2 × S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}} 이며, H ∈ H 3 ⁡ ( S 2 × S 1 ; Z ) {\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1};\mathbb {Z} )} 은 무한 순환군의 생성원이다. 만약 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 위에 한 단위의 캘브-라몽 장세기가 주어졌다면 H = 0 {\displaystyle H=0} , 이는 스스로와 T-이중이다. Bouwknegt, Peter; Evslin, Jarah; Mathai, Varghese (2004). “T-duality: topology change from H-flux”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 249 (2): 383–415. arXiv:hep-th/0306062. doi:10.1007/s00220-004-1115-6.  Cavalcanti, Gil R.; Gualtieri, Marco. “Generalized complex geometry and T-duality” (영어). arXiv:1106.1747.  “Topological T-duality”. 《nLab》 (영어).  Schreiber, Urs (2006년 6월 2일). “The String Coffee Table”. 《Mathai on T-Duality, Ⅰ: Overview》 (영어).  Schreiber, Urs (2006년 6월 2일). “Mathai on T-Duality, Ⅱ: Dual K-classes by Fourier–Mukai”. 《The String Coffee Table》 (영어).  Schreiber, Urs (2006년 6월 2일). “Mathai on T-Duality, Ⅲ: Algebraic formulation”. 《The String Coffee Table》 (영어).  Distler, Jacques (2006년 6월 10일). “Topological T-duality”. 《Musings》 (영어).