주다발

위상수학에서 주다발(主-, 영어: principal bundle)은 올이 위상군인 올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 X {\displaystyle X} 이고 올이 위상군 G {\displaystyle G} 인 주다발은 국소적으로 X × G {\displaystyle X\times G} 와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위상군 G {\displaystyle G} 그렇다면, 올이 G {\displaystyle G} 이고 밑이 X {\displaystyle X} 인 주다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 올이 G {\displaystyle G} 인 올다발 π : P ↠ X {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow X} 연속 오른쪽 작용 P × G → P {\displaystyle P\times G\to P} 이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. 모든 g ∈ G {\displaystyle g\in G} , p ∈ P {\displaystyle p\in P} 에 대하여, π ( p ⋅ g ) = π ( p ) {\displaystyle \pi (p\cdot g)=\pi (p)} . 즉, 각 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, G {\displaystyle G} 는 올 P x {\displaystyle P_{x}} 위에 작용한다. 임의의 p , p ′ ∈ G {\displaystyle p,p'\in G} 에 대하여, 만약 π ( p ) = π ( p ′ ) {\displaystyle \pi (p)=\pi (p')} 이라면, p ⋅ g = p ′ {\displaystyle p\cdot g=p'} 인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 오른쪽 작용 P x × G → P x {\displaystyle P_{x}\times G\to P_{x}} 는 정추이적 작용이다. 여기서 P x = π − 1 ( { x } ) {\displaystyle P_{x}=\pi ^{-1}(\{x\})} 는 x {\displaystyle x} 위의 P {\displaystyle P} 의 올이다. 두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다. P × G → ⋅ P proj 1 ↓ proj 1 π ↓ π P → π X {\displaystyle {\begin{matrix}\!\!P\times G\!\!&{\overset {\cdot }{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {proj} _{1}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\operatorname {proj} _{1}}\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\scriptstyle \color {White}\pi }\downarrow \scriptstyle \pi \!\!\!\!\\P&{\underset {\pi }{\to }}&X\end{matrix}}} 두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다. P × G proj 1 ↙ proj 1 ∃ ! ↑ ∃ ! ⋅ ↘ ⋅ P ← p ∙ → p ′ P π ↘ π π ↙ π X {\displaystyle {\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!P\times G\!\!\!\!\!\!\!\!\\&{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\operatorname {proj} _{1}}}\!\!\!\!\swarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}^{\operatorname {proj} _{1}}\!\!\!\!\!\!}&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\exists !}\uparrow \scriptstyle \exists !\!\!\!\!&{\!\!\!\!\color {White}^{\cdot }}\searrow ^{\cdot }\!\!\!\!\\P&{\xleftarrow {p}}&\bullet &{\xrightarrow {p'}}&P\\&{_{\pi }}\searrow {\color {White}_{\pi }}&&{\color {White}_{\pi }}\swarrow {_{\pi }}\\&&X\end{matrix}}} 만약 G {\displaystyle G} 가 리 군이며, P {\displaystyle P} 와 X {\displaystyle X} 가 매끄러운 다양체이며, π : P → X {\displaystyle \pi \colon P\to X} 가 매끄러운 함수이며, G {\displaystyle G} 의 작용 P × G → P {\displaystyle P\times G\to P} 역시 매끄러운 함수라면 ( X , G , P , π ) {\displaystyle (X,G,P,\pi )} 를 매끄러운 주다발(-主-, 영어: smooth principal bundle)이라고 한다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 위상군 G {\displaystyle G} 와 H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} -주다발 π P : P ↠ X {\displaystyle \pi _{P}\colon P\twoheadrightarrow X} , π Q : Q ↠ Y {\displaystyle \pi _{Q}\colon Q\twoheadrightarrow Y} 이 두 주다발 사이의 주다발 사상(영어: principal bundle morphism) ( f , ϕ ) {\displaystyle (f,\phi )} 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:§1 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 연속 함수 Φ : P → Q {\displaystyle \Phi \colon P\to Q} 연속 군 준동형 ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. Φ ( p ⋅ g ) = Φ ( p ) ⋅ ϕ ( g ) ∀ ( p , g ) ∈ P × G {\displaystyle \Phi (p\cdot g)=\Phi (p)\cdot \phi (g)\qquad \forall (p,g)\in P\times G} f ∘ π P = π Q ∘ Φ {\displaystyle f\circ \pi _{P}=\pi _{Q}\circ \Phi } 즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다. P × G → ( Φ , ϕ ) Q × H ⋅ ↓ ⋅ ⋅ ↓ ⋅ P → Φ Q π P ↓ π P π Q ↓ π Q X → f Y {\displaystyle {\begin{matrix}P\times G&{\xrightarrow {(\Phi ,\phi )}}&Q\times H\\{\scriptstyle \cdot }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\cdot }&&{\scriptstyle \color {White}\cdot }\downarrow \scriptstyle \cdot \\P&{\xrightarrow {\Phi }}&Q\\{\scriptstyle \pi _{P}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\pi _{P}}}&&{\scriptstyle \color {White}{\pi _{Q}}}\downarrow {\scriptstyle \pi _{Q}}\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}} 주다발 사상 ( f , Φ , ϕ ) {\displaystyle (f,\Phi ,\phi )} 에서, 만약 X = Y {\displaystyle X=Y} 이며, f = id X {\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}} 가 항등 함수이며, ϕ {\displaystyle \phi } 가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) ( Φ , ϕ ) {\displaystyle (\Phi ,\phi )} 를 구조군 축소(構造群縮小, 영어: reduction of structure group)라고 한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. n {\displaystyle n} 차원 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} X {\displaystyle X} 위의 매끄러운 G {\displaystyle G} -주다발 π : P ↠ X {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow X} 자연수 (음이 아닌 정수) 0 ≤ q ≤ p {\displaystyle 0\leq q\leq p} 그렇다면, 다음과 같은, M {\displaystyle M} 위의 올다발을 정의할 수 있다. W p , q P = F p M × M J q P {\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P=\mathrm {F} ^{p}M\times _{M}\mathrm {J} ^{q}P} 여기서 F p M {\displaystyle \mathrm {F} ^{p}M} 은 M {\displaystyle M} 위의 p {\displaystyle p} 차 틀다발이다. 이는 M {\displaystyle M} 위의 주다발이며, 그 올군은 p {\displaystyle p} 차 n {\displaystyle n} 차원 제트 군 Jet ⁡ ( p , n ) {\displaystyle \operatorname {Jet} (p,n)} 이다. J q P {\displaystyle \mathrm {J} ^{q}P} 는 P {\displaystyle P} 위의 q {\displaystyle q} 차 제트 다발이다. 이는 P {\displaystyle P} 위의 벡터 다발이다. × M {\displaystyle \times _{M}} 은 M {\displaystyle M} 위의 두 올다발의 곱이다. 즉, 국소적으로 W p , q P {\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P} 의 점은 다음과 같은 꼴이다. ( j 0 p f , j x h g ) {\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{x}^{h}g)} 여기서 f : U → V {\displaystyle f\colon U\to V} 은 단사 매끄러운 함수이며, 0 ∈ U ⊆ R n {\displaystyle 0\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 은 열린집합이며, x ∈ V ⊆ M {\displaystyle x\in V\subseteq M} 역시 열린집합이다. j 0 p f {\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{p}f} 는 f {\displaystyle f} 의, 0 ∈ U {\displaystyle 0\in U} 에서의 p {\displaystyle p} 차 제트이다. s : V → P {\displaystyle s\colon V\to P} 는 P ↾ V {\displaystyle P\upharpoonright V} 의 단면이다. 이는 P {\displaystyle P} 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은 Jet ⁡ ( n , p ) ⋊ T q G {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,p)\rtimes \mathrm {T} ^{q}G} 이다. 여기서 T q G = { j 0 q g : g : R n → G } {\displaystyle \mathrm {T} ^{q}G=\{\mathrm {j} _{0}^{q}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}} 이며, 그 군 연산은 다음과 같다. ( j 0 p f , j 0 q g ) ( j 0 p f ′ , j 0 q g ′ ) = ( j 0 p ( f ∘ f ′ ) , j 0 q ( ( g ∘ f ′ ) g ′ ) ) {\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{0}^{q}g)(\mathrm {j} _{0}^{p}f',\mathrm {j} _{0}^{q}g')=\left(\mathrm {j} _{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} _{0}^{q}\left(\left(\mathrm {g} \circ f'\right)g'\right)\right)} 이 군은 W p , q P {\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P} 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다. ( j 0 p f , j x q s ) ( j 0 p f ′ , j x q g ) = ( j 0 p ( f ∘ f ′ ) , j 0 q ( σ ⋅ ( g ⋅ f ′ − 1 ⋅ f − 1 ) ) ) {\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{x}^{q}s)(\mathrm {j} _{0}^{p}f',\mathrm {j} _{x}^{q}g)=\left(\mathrm {j} _{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} _{0}^{q}\left(\sigma \cdot (g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)} 이를 P {\displaystyle P} 의 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 차 주연장(主延長, 영어: principal prolongation)이라고 한다.:150–151, §15.3:Definition 3.4 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 주다발 P {\displaystyle P} 에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 P ≅ X × G {\displaystyle P\cong X\times G} )가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면 s ∈ Γ ( P ) {\displaystyle s\in \Gamma (P)} 가 존재하는 것이다. (이는 s : x ↦ ( x , 1 G ) {\displaystyle s\colon x\mapsto (x,1_{G})} 로 여길 수 있다.) 위상군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 분류 공간 E G ↠ B G {\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G} 을 구성할 수 있다. 그렇다면, ( X {\displaystyle X} 에 대한 적절한 조건 아래) X {\displaystyle X} 위의 G {\displaystyle G} -주다발들의 동형류들은 연속 함수 X → B G {\displaystyle X\to \mathrm {B} G} 들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 f : X → B G {\displaystyle f\colon X\to \mathrm {B} G} 에 대응하는 G {\displaystyle G} 주다발은 f ∗ E G {\displaystyle f^{*}\mathrm {E} G} 이다. 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 와 위상군 G {\displaystyle G} 에 대하여, X × G {\displaystyle X\times G} 는 군 작용 ( x , h ) ⋅ g = ( x , h ⋅ g ) {\displaystyle (x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)} 과 사영 사상 ( x , h ) ↦ x {\displaystyle (x,h)\mapsto x} 을 주면 주다발을 이룬다. 이를 자명 주다발(自明主-, 영어: trivial principal bundle)이라고 한다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 k {\displaystyle k} 차원 벡터 다발 E {\displaystyle E} 가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 GL ⁡ ( k ; R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )} -주다발을 정의할 수 있으며, 이를 틀다발이라고 한다. 주다발의 개념은 위상수학 및 미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론 및 게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다. “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47 (1): 66–86. 2003년 7월. arXiv:math/0201235. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2.  Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함.  Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035.  Kobayaschi, Shoshichi (1957). “Theory of connections”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (영어) 43 (1): 119–194. doi:10.1007/BF02411907. ISSN 0373-3114. Zbl 0124.37604.  Collinucci, Andres; Alexander Wijns. “Topology of fibre bundles and global aspects of gauge theories” (영어). arXiv:hep-th/0611201. Bibcode:2006hep.th...11201C.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Principal fibre bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Principal bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Principal bundle”. 《nLab》 (영어).  게이지 이론 벡터 다발 연관 다발