표준 선다발

대수기하학에서 표준 선다발(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다. 대수적으로 닫힌 체 위의 n {\displaystyle n} 차원 비특이 대수다양체 X {\displaystyle X} 의 표준 선다발 ω X {\displaystyle \omega _{X}} 은 다음과 같은 가역층이다.:180–181 ω X = ⋀ n Ω X / k {\displaystyle \omega _{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/k}} 여기서 Ω X / k {\displaystyle \Omega _{X/k}} 는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 표준류(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, 영어: canonical divisor) K X {\displaystyle K_{X}} 라고 한다. 만약 X {\displaystyle X} 가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} 가 존재한다. 이 경우, X {\displaystyle X} 의 표준 인자는 U {\displaystyle U} 의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, X {\displaystyle X} 가 S2 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다. 표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) ω X − 1 {\displaystyle \omega _{X}^{-1}} 이라고 한다. 반표준류(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 반표준 인자(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다. 첨가 공식(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다. 비특이 대수다양체 X {\displaystyle X} 위의 인자 D {\displaystyle D} 에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다. K D = ( K X + D ) | D {\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}} 즉, 선다발로는 다음과 같다. D {\displaystyle D} 로 정의되는 부분다양체를 Y {\displaystyle Y} , 매장 사상을 ι : Y ↪ X {\displaystyle \iota \colon Y\hookrightarrow X} 라고 하면, 다음과 같다. K Y = ι ∗ ( K X ⊗ O ( D ) ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}({\mathcal {K}}_{X}\otimes {\mathcal {O}}(D))} 여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 X {\displaystyle X} 의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 ι : Y ↪ X {\displaystyle \iota \colon Y\hookrightarrow X} 가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 라고 하자. 이 경우, I / I 2 {\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}} 는 Y {\displaystyle Y} 의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.:182 0 → I / I 2 → ι ∗ T ∗ X → T ∗ Y → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \iota ^{*}T^{*}X\to T^{*}Y\to 0} 여기서 T ∗ {\displaystyle T^{*}} 는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.:146–147:182, Proposition II.8.20 K Y = ι ∗ K X ⊗ ( det ( I / I 2 ) ) ∨ {\displaystyle {\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}{\mathcal {K}}_{X}\otimes \left(\det({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})\right)^{\vee }} 여기서 ( − ) ∨ {\displaystyle (-)^{\vee }} 는 쌍대 다발을 뜻한다. 복소수체 위의 n {\displaystyle n} 차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(영어: determinant bundle)이라고 하며, n {\displaystyle n} 차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다. 리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) C {\displaystyle C} 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 Ω C {\displaystyle \Omega _{C}} 와 같으며, 그 차수는 다음과 같다. deg ⁡ ω C = 2 g − 2 = − χ ( C ) {\displaystyle \deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (C)} 특히, g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2} 인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, ω C {\displaystyle \omega _{C}} 의 g {\displaystyle g} 개의 단면들은 유리 사상 C → P C g − 1 {\displaystyle C\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{g-1}} 을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선(영어: canonical curve)이라고 한다. 만약 C {\displaystyle C} 가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, C {\displaystyle C} 의 종수가 2이며, C {\displaystyle C} 가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자. y 2 = P ( x ) {\displaystyle y^{2}=P(x)} 여기서 P {\displaystyle P} 는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다. 1 P ( x ) d x , x P ( x ) d x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {P(x)}}}\,dx,\;{\frac {x}{\sqrt {P(x)}}}\,dx} 이에 따라서, 표준 곡선은 ( x , y ) ↦ x ∈ P C 1 {\displaystyle (x,y)\mapsto x\in \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} 임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다. 만약 C {\displaystyle C} 가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, C {\displaystyle C} 의 표준 곡선은 C {\displaystyle C} 와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다. 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다. 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다. 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 사영 공간 P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} 에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.:176, Theorem II.8.13 이를 오일러 완전열이라고 한다. 0 → Ω P K n 1 → O P K n ( − 1 ) ⊕ ( n + 1 ) → O P K n ( 0 ) → 0 {\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(0)\to 0} 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.:182, Example II.8.20.1 ω P K n = O P K n ( − n − 1 ) {\displaystyle \omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-n-1)} n {\displaystyle n} 차원 사영 공간 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 속에서, 동차다항식들 P i {\displaystyle P_{i}} 으로 정의되는 초곡면 Y i ↪ P n {\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}} 들의 완전 교차(영어: complete intersection) Y = ⋂ i = 1 codim ⁡ Y Y i {\displaystyle Y=\bigcap _{i=1}^{\operatorname {codim} Y}Y_{i}} 를 생각하자. 이 경우, ω P n = O ( − n − 1 ) {\displaystyle \omega _{\mathbb {P} ^{n}}={\mathcal {O}}(-n-1)} O ( Y i ) = deg ⁡ P i {\displaystyle {\mathcal {O}}(Y_{i})=\deg P_{i}} 이므로, 첨가 공식에 따라서 Y {\displaystyle Y} 의 표준 선다발은 다음과 같다. ω Y = O ( ∑ i deg ⁡ P i − n − 1 ) {\displaystyle \omega _{Y}={\mathcal {O}}\left(\sum _{i}\deg P_{i}-n-1\right)} 만약 ∑ i deg ⁡ P i = n + 1 {\displaystyle \sum _{i}\deg P_{i}=n+1} 이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) Y {\displaystyle Y} 는 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 특히, 사영 평면 속의 d {\displaystyle d} 차 대수 곡선 C ⊂ P 2 {\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}} 의 표준 선다발은 다음과 같다.:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3 ω C = O ( d − 3 ) {\displaystyle \omega _{C}={\mathcal {O}}(d-3)} d {\displaystyle d} 차 평면 대수 곡선의 경우 deg ⁡ O ( 1 ) = d {\displaystyle \deg {\mathcal {O}}(1)=d} 이므로, deg ⁡ ω C = d ( d − 3 ) {\displaystyle \deg \omega _{C}=d(d-3)} 이다. 리만-로흐 정리에 따라서 deg ⁡ ω C = 2 g − 2 = − χ ( Σ ) {\displaystyle \deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (\Sigma )} 이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다. g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)} 첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}} 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.:362, Example V.1.5.2 곡선 C {\displaystyle C} 의 차수가 ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle (d_{1},d_{2})} 라고 하자. P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}} 의 표준 선다발의 차수는 ( − 2 , − 2 ) {\displaystyle (-2,-2)} 이다. 즉, C {\displaystyle C} 의 차수는 ( d 1 − 2 , d 2 − 2 ) {\displaystyle (d_{1}-2,d_{2}-2)} 와 ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle (d_{1},d_{2})} 의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.:361, Example V.1.4.3 ( a , b ) . ( c , d ) = a d + b c {\displaystyle (a,b).(c,d)=ad+bc} 따라서, 다음이 성립한다. 2 g − 2 = d 1 ( d 2 − 2 ) + d 2 ( d 1 − 2 ) {\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}-2)+d_{2}(d_{1}-2)} 즉, g = d 1 d 2 − d 1 − d 2 + 1 {\displaystyle g=d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1} 이다. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》. Wiley Classics Library (영어) 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001.  리만-로흐 정리 복소수 미분 형식 인자 (대수기하학) “Canonical class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Canonical curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Canonical imbedding”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Adjunction theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Noether-Enriques theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Canonical bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Canonical bundle”. 《nLab》 (영어).  “The canonical line bundle of a normal variety” (영어). Math Overflow.