특이 호몰로지

대수적 위상수학에서 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다. X {\displaystyle X} 가 위상 공간이며, R {\displaystyle R} 가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의, R {\displaystyle R} 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다. n {\displaystyle n} 차원 표준 단체(標準單體, 영어: standard simplex) Δ n ⊂ R n + 1 {\displaystyle \Delta ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} 은 다음과 같다. Δ n = { ( x 0 , x 1 , … , x n ) | 0 ≤ x i ≤ 1 , ∑ i x i = 1 } {\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})|0\leq x_{i}\leq 1,\;\sum _{i}x_{i}=1\right\}} . 이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다. X {\displaystyle X} 위의 n {\displaystyle n} 차원 특이 단체(特異單體, 영어: singular complex)는 연속 함수 σ n : Δ n → X {\displaystyle \sigma _{n}\colon \Delta ^{n}\to X} 를 뜻한다. X {\displaystyle X} 위의, R {\displaystyle R} 계수의 n {\displaystyle n} 차원 사슬(영어: chain)은 모든 n {\displaystyle n} 차원 특이 단체로 의하여 생성되는, R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 C n ( X ; R ) {\displaystyle C_{n}(X;R)} 라고 쓰자. (만약 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.) 표준 단체 Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} 의 꼭짓점들을 p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} 이라고 하자. 표준 단체 Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} 의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어 [ p 0 , p 2 , … , p k − 1 , p k + 1 , … , p n ] {\displaystyle [p_{0},p_{2},\dots ,p_{k-1},p_{k+1},\dots ,p_{n}]} 의 꼴이다. 이를 편의상 [ p 0 , p 1 , … , p k − 1 , p ^ k , p k + 1 , … , p n ] {\displaystyle [p_{0},p_{1},\dots ,p_{k-1},{\hat {p}}_{k},p_{k+1},\dots ,p_{n}]} 로 쓰자. n {\displaystyle n} 차원 특이 단체 σ n : Δ n → X {\displaystyle \sigma _{n}\colon \Delta ^{n}\to X} 의 경계(境界, 영어: boundary) ∂ n σ n ∈ C n − 1 ( X ; R ) {\displaystyle \partial _{n}\sigma _{n}\in C_{n-1}(X;R)} 는 다음과 같다. ∂ n σ n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k σ | [ p 0 , … , p ^ k , … , p n ] {\displaystyle \partial _{n}\sigma _{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma |_{[p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{k},\dots ,p_{n}]}} . 경계 연산자 ∂ n {\displaystyle \partial _{n}} 는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 ∂ n : C n → C n − 1 {\displaystyle \partial _{n}\colon C_{n}\to C_{n-1}} 이다. 이는 R {\displaystyle R} 위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한, ∂ n − 1 ∘ ∂ n : C n ( X ) → C n − 2 ( X ) {\displaystyle \partial _{n-1}\circ \partial _{n}\colon C_{n}(X)\to C_{n-2}(X)} 는 항상 0이다. 따라서 ( C ∙ ( X ) , ∂ ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })} 은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 H n ⁡ ( X ) = ker ⁡ ∂ n / im ⁡ ∂ n + 1 {\displaystyle \operatorname {H} _{n}(X)=\ker \partial _{n}/\operatorname {im} \partial _{n+1}} 들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.) X {\displaystyle X} 위의 공사슬(共-, 영어: cochain)은 가군 준동형 ϕ n : C n ( X ; R ) → R {\displaystyle \phi ^{n}\colon C_{n}(X;R)\to R} 이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, C n ( X ; R ) = hom ⁡ ( C n ( X ; R ) , R ) {\displaystyle C^{n}(X;R)=\hom(C_{n}(X;R),R)} 으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary) δ n : C n ( X ; R ) → C n + 1 ( X ; R ) {\displaystyle \delta _{n}\colon C^{n}(X;R)\to C^{n+1}(X;R)} 은 다음과 같다. δ n ( ϕ n ) ( σ n + 1 ) = ϕ n ( ∂ n + 1 σ n + 1 ) {\displaystyle \delta _{n}(\phi ^{n})(\sigma _{n+1})=\phi ^{n}(\partial _{n+1}\sigma _{n+1})} . ( C ∙ ( X ; R ) , δ ∙ ) {\displaystyle (C^{\bullet }(X;R),\delta _{\bullet })} 은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지 H n ⁡ ( X ) = ker ⁡ δ n / im ⁡ δ n − 1 {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X)=\ker \delta _{n}/\operatorname {im} \delta _{n-1}} 들을 특이 코호몰로지(영어: singular cohomology)라고 한다. K {\displaystyle K} 가 체라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다. H ∙ ⁡ ( X ; K ) = H ∙ ⁡ ( X ; K ) ∗ = hom K -Vect ⁡ ( H ∙ ⁡ ( X ; K ) , K ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;K)=\operatorname {H} _{\bullet }(X;K)^{*}=\hom _{K{\text{-Vect}}}(\operatorname {H} _{\bullet }(X;K),K)} 그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다. n {\displaystyle n} 차원 초구 S n {\displaystyle S^{n}} 의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다. H k ⁡ ( S n ; R ) = { R k ∈ { 0 , n } 0 k ∉ { 0 , n } ( n > 0 ) {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(S^{n};R)={\begin{cases}R&k\in \{0,n\}\\0&k\not \in \{0,n\}\end{cases}}\qquad (n>0)} H k ⁡ ( S n ; R ) = { R k ∈ { 0 , n } 0 k ∉ { 0 , n } ( n > 0 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(S^{n};R)={\begin{cases}R&k\in \{0,n\}\\0&k\not \in \{0,n\}\end{cases}}\qquad (n>0)} H k ⁡ ( S 0 ; R ) = { R 2 k = 0 0 k ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(S^{0};R)={\begin{cases}R^{2}&k=0\\0&k\neq 0\end{cases}}} H k ⁡ ( S 0 ; R ) = { R 2 k = 0 0 k ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(S^{0};R)={\begin{cases}R^{2}&k=0\\0&k\neq 0\end{cases}}} 복소수 사영 공간 C P n {\displaystyle \mathbb {C} P^{n}} 의 특이 호몰로지는 다음과 같다. H k ⁡ ( C P n ; R ) = { R 2 ∣ q ≤ 2 n 0 q ∤ q ∨ q > 2 n {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {C} P^{n};R)={\begin{cases}R&2\mid q\leq 2n\\0&q\nmid q\lor q>2n\end{cases}}} H k ⁡ ( C P n ; R ) = { R 2 ∣ q ≤ 2 n 0 q ∤ q ∨ q > 2 n {\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(\mathbb {C} P^{n};R)={\begin{cases}R&2\mid q\leq 2n\\0&q\nmid q\lor q>2n\end{cases}}} 실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다. H k ⁡ ( R P n ; Z ) = { Z k = 0 ∨ 2 ∤ i = n Z / ( 2 ) 0 < k < n , 2 ∤ k 0 otherwise {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\lor 2\nmid i=n\\\mathbb {Z} /(2)&0<k<n,\;2\nmid k\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} H k ⁡ ( R P n ; F 2 ) = { F 2 k ≤ n 0 k ≥ n {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})={\begin{cases}\mathbb {F} _{2}&k\leq n\\0&k\geq n\end{cases}}} H k ⁡ ( R P n ; K ) = { K k = 0 ∨ 2 ∤ i = n 0 otherwise {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {R} P^{n};K)={\begin{cases}K&k=0\lor 2\nmid i=n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} 여기서 K {\displaystyle K} 는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다. n {\displaystyle n} 차원 원환면 T n {\displaystyle T^{n}} 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다. H k ⁡ ( T n ; Z ) = Z ( n k ) {\displaystyle \operatorname {H} _{k}(T^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}} . 여기서 ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} 는 이항계수로, k > n {\displaystyle k>n} 인 경우 0으로 정의한다. 단체 집합 세포 호몰로지 단체 호몰로지 체흐 코호몰로지 Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. 108쪽. ISBN 0-521-79540-0.  조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 2015년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 4월 7일에 확인함.  “Singular homology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Singular homology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Singular homology”. 《nLab》 (영어).  “Singular cohomology”. 《nLab》 (영어).