끈 군

대수적 위상수학과 이론물리학에서 끈 군(-群, 영어: string group)은 스핀 군과 유사하지만, 3차 호모토피 군이 자명한 위상군이다. 이는 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없으나, 무한 차원 프레셰 리 군으로 존재한다. 이에 대응하는 리 대수는 유한 차원의 L∞-대수로 여길 수 있다. 임의의 콤팩트 단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에 μ ∈ ⋀ 3 g ∗ {\displaystyle \mu \in \bigwedge ^{3}{\mathfrak {g}}^{*}} μ ( x , y , z ) = K ( [ x , y ] , z ) {\displaystyle \mu (x,y,z)=K([x,y],z)} 를 정의할 수 있다. 여기서 K ( − , − ) {\displaystyle K(-,-)} 는 킬링 형식이다. 끈 2-리 대수는 실수 벡터 공간으로서 다음과 같다. s t r i n g ( g ) = R [ 1 ] ⊕ g {\displaystyle {\mathfrak {string}}({\mathfrak {g}})=\mathbb {R} [1]\oplus {\mathfrak {g}}} 코쥘 쌍대성에 따라서, 이에 대응되는 등급 가환 미분 등급 대수는 다음과 같다. R [ y ] ⊗ ⋀ g ∗ {\displaystyle \mathbb {R} [y]\otimes \bigwedge {\mathfrak {g}}^{*}} deg ⁡ y = 2 {\displaystyle \deg y=2} deg ⁡ g ∗ = 1 {\displaystyle \deg {\mathfrak {g}}^{*}=1} 이 경우, 추가된 2차 리 미분은 다음과 같다. d y = μ {\displaystyle \mathrm {d} y=\mu } 이에 대하여 대응되는 위상군을 끈 군이라고 한다. 즉, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 G {\displaystyle G} 의 경우 π 0 ( G ) = π 1 ( G ) = π 2 ( G ) = 0 {\displaystyle \pi _{0}(G)=\pi _{1}(G)=\pi _{2}(G)=0} π 3 ( G ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} } 이므로, 이는 화이트헤드 탑 ⋯ → String ⁡ ( G ) → G → 0 {\displaystyle \dotsb \to \operatorname {String} (G)\to G\to 0} 의 일부를 이룬다. 특히, G = Spin ⁡ ( n ) {\displaystyle G=\operatorname {Spin} (n)} 의 경우, 이는 직교군 π 0 ( O ⁡ ( n ) ) = Z / 2 {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (n))=\mathbb {Z} /2} π 1 ( O ⁡ ( n ) ) = Z / 2 {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {O} (n))=\mathbb {Z} /2} π 2 ( O ⁡ ( n ) ) = 0 {\displaystyle \pi _{2}(\operatorname {O} (n))=0} π 3 ( O ⁡ ( n ) ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {O} (n))=\mathbb {Z} } 의 화이트헤드 탑 ⋯ → Fivebrane ⁡ ( n ) → String ⁡ ( n ) → Spin ⁡ ( n ) → SO ⁡ ( n ) → O ⁡ ( n ) {\displaystyle \dotsb \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to \operatorname {O} (n)} 의 한 성분을 이룬다. 일반적으로, 2-군은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 군 G {\displaystyle G} 군 H {\displaystyle H} 군 준동형 ρ : G → Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Aut} (H)} H {\displaystyle H} 계수의 G {\displaystyle G} 의 3차 코호몰로지류 α ∈ H 3 ⁡ ( G ; H ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{3}(G;H)} . 여기서 H {\displaystyle H} 는 ρ {\displaystyle \rho } 를 통하여 G {\displaystyle G} -가군으로 간주한다. 이제, H = U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle H=\operatorname {U} (1)} ρ : G → Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Aut} (H)} ρ : g ↦ id H {\displaystyle \rho \colon g\mapsto \operatorname {id} _{H}} 를 생각하자. 천-사이먼스 형식으로부터, 어떤 1차원 격자 Λ ⊆ H 3 ⁡ ( g ; u ( 1 ) ) {\displaystyle \Lambda \subseteq \operatorname {H} ^{3}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {u}}(1))} 로부터 코호몰로지 사상 Λ ↪ H 3 ⁡ ( G ; U ⁡ ( 1 ) ) {\displaystyle \Lambda \hookrightarrow \operatorname {H} ^{3}(G;\operatorname {U} (1))} 을 정의할 수 있다. 따라서, 각 정수 k {\displaystyle k} 에 따라서 이 데이터로 정의되는 2-군 G k {\displaystyle G_{k}} 를 정의할 수 있다. 그러나 이 코호몰로지류는 연속 코호몰로지가 아니므로 이는 리 군을 정의하지 못한다.:Theorem 1 끈 군 String ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {String} (G)} 이 존재하며, 이는 짧은 완전열 0 → K ( Z , 2 ) → String ⁡ ( G ) → G → 0 {\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,2)\to \operatorname {String} (G)\to G\to 0} 을 갖는다. 여기서 에일렌베르크-매클레인 공간 K ( Z , 2 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)} 는 P C ∞ {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{\infty }} 로 여길 수 있다. 이 위상군은 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없다. 단일 연결 단순 콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 끈군 String ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {String} (G)} 는 무한 차원 프레셰 리 군으로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 유니터리 군 PU ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {PU} (H)} 에 노름 위상을 주면, 이는 K ⁡ ( Z , 2 ) {\displaystyle \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)} 를 이룬다. 이제, 호모토피 군 Z ≅ H 3 ⁡ ( G ) {\displaystyle \mathbb {Z} \cong \operatorname {H} ^{3}(G)} 의 생성원 α ∈ H 3 ⁡ ( G ) {\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{3}(G)} 을 고르면, 이를 표현하는 주다발 PU ⁡ ( H ) → P → G {\displaystyle \operatorname {PU} (H)\to P\to G} 를 고를 수 있다. 또한, 망각 사상 ϕ : Aut ⁡ ( P ) → Diff ⁡ ( G ) {\displaystyle \phi \colon \operatorname {Aut} (P)\to \operatorname {Diff} (G)} 이 존재한다. 물론, 군은 스스로 위의 왼쪽 곱셈 함수 L : G → Diff ⁡ ( G ) {\displaystyle {\mathsf {L}}\colon G\to \operatorname {Diff} (G)} L g : h ↦ g h {\displaystyle {\mathsf {L}}_{g}\colon h\mapsto gh} 를 갖는다. 즉 Aut ⁡ ( P ) → Diff ⁡ ( G ) ← G {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\to \operatorname {Diff} (G)\leftarrow G} 이다. 그렇다면, 끈 군은 다음과 같다. String ⁡ ( G ) = { f ∈ Aut ⁡ ( P ) : ∃ g ∈ G : ϕ ( f ) = L g } {\displaystyle \operatorname {String} (G)=\{f\in \operatorname {Aut} (P)\colon \exists g\in G\colon \phi (f)={\mathsf {L}}_{g}\}} 끈군은 프레셰 리 군으로 구성된 교차 가군으로 구성될 수도 있다. 이 교차 가군 ( G ′ , H , ρ , d ) {\displaystyle (G',H,\rho ,d)} 은 구체적으로 다음과 같다. G ′ = P G {\displaystyle G'=\mathrm {P} G} (매끄러운 함수 [ 0 , 2 π ] → G {\displaystyle [0,2\pi ]\to G} 의 점별 곱셈군인 프레셰 리 군) H = Ω ^ k G {\displaystyle H={\hat {\Omega }}_{k}G} ( k {\displaystyle k} 차 아핀 리 대수에 대응되는 프레셰 리 군) ρ : G ′ → Aut ⁡ ( H ) {\displaystyle \rho \colon G'\to \operatorname {Aut} (H)} 는 경로군의, 고리군에 대한 자연스러운 켤레 작용을 아핀 리 대수로 올린 것이다. d : H → G ′ {\displaystyle d\colon H\to G'} 는 아핀 리 군에서 고리군으로 가는 사영 사상 Ω ^ k G ↠ Ω G {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{k}G\twoheadrightarrow \Omega G} 과, 고리군에서 경로군으로 가는 포함 사상 Ω G ↪ P G {\displaystyle \Omega G\hookrightarrow PG} 을 합성한 것이다. 제르브 Baez, John C.; Stevenson, Danny; Crans, Alissa S.; Schreiber, Urs (2007). “From loop groups to 2-groups”. 《Homology, Homotopy, and Applications》 (영어) 9, (2): 101–135. arXiv:math/0504123. doi:10.4310/HHA.2007.v9.n2.a4. ISSN 1532-0073.  Nikolaus, Thomas; Sachse, Christoph; Wockel, Christoph. “A smooth model for the string group” (영어). arXiv:1104.4288. doi:10.1093/imrn/rns154.  “String group”. 《nLab》 (영어).  “String Lie 2-algebra”. 《nLab》 (영어).  “String 2-group”. 《nLab》 (영어).  Baez, John C. “Higher gauge theory and the string group” (PDF) (영어).