콕서터 군

군론에서 콕서터 군(Coxeter群, 영어: Coxeter group)은 일련의 반사들로 구성되는 군이다. 단순 리 군의 바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다. 콕서터 군은 다음과 같이 표시될 수 있는 군이다. G = ⟨ r 1 , r 2 , … , r n | ( r i r j ) m i j = 1 ⟩ {\displaystyle G=\langle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}|(r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle } 여기서 행렬 m i j {\displaystyle m_{ij}} 는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. m i i = 1 {\displaystyle m_{ii}=1} 2 ≤ m i j ≤ ∞ {\displaystyle 2\leq m_{ij}\leq \infty } ( i ≠ j {\displaystyle i\neq j} ). 여기서 m i j = ∞ {\displaystyle m_{ij}=\infty } 인 경우는 ( r i r j ) m i j = 1 {\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1} 의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다. 이 행렬 m {\displaystyle m} 을 콕서터 군의 콕서터 행렬(Coxeter行列, 영어: Coxeter matrix)이라고 하고, n {\displaystyle n} 을 콕서터 군의 계수(階數, 영어: rank)라고 한다. 순서쌍 ( G , { r 1 , r 2 , … , r n } ) {\displaystyle (G,\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\})} 을 콕서터 계(Coxeter系, 영어: Coxeter system)라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 B C 3 ≅ A 1 × A 3 {\displaystyle BC_{3}\cong A_{1}\times A_{3}} 이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다. 콕서터 군의 콕서터 행렬 M {\displaystyle M} 은 다른 방법으로 표기할 수 있다. 콕서터 도표(Coxeter圖表, 영어: Coxeter diagram)은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 p {\displaystyle p} 가 붙은 그래프이다. 콕서터 도표의 각 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다. 콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 p {\displaystyle p} 가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 π / p {\displaystyle \pi /p} 라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다. p = 2 {\displaystyle p=2} 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 π / 2 = 90 ∘ {\displaystyle \pi /2=90^{\circ }} 인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다. p = 3 {\displaystyle p=3} 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 π / 3 = 60 ∘ {\displaystyle \pi /3=60^{\circ }} 인 경우에는 변을 그리되, p {\displaystyle p} 를 통상적으로 생략한다. p ≠ 2 , 3 {\displaystyle p\neq 2,3} 인 경우 통상적으로 변 및 p {\displaystyle p} 의 값을 생략하지 않는다. 콕서터 행렬 M {\displaystyle M} 에 대응하는 슐레플리 행렬(영어: Schläfli matrix) C {\displaystyle C} 의 성분은 다음과 같다. C i , j = − 2 cos ⁡ ( π / M i , j ) {\displaystyle C_{i,j}=-2\cos(\pi /M_{i,j})} 즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 π / p {\displaystyle \pi /p} 의 분모 p {\displaystyle p} 를 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다. 예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다. 콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 C {\displaystyle C} 의 고윳값들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다. 유한 콕서터 군(영어: finite Coxeter group): C {\displaystyle C} 의 고윳값들이 모두 양의 실수이다. 이 경우는 유한군이며, 폴리토프(=초구의 테셀레이션)의 대칭군과 관련있다. 아핀 콕서터 군(영어: affine Coxeter group): C {\displaystyle C} 의 고윳값들이 모두 음의 실수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 유클리드 공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다. 쌍곡선 콕서터 군(영어: hyperbolic Coxeter group): C {\displaystyle C} 는 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 쌍곡공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다. 유한 콕서터 군의 크기 g {\displaystyle g} 는 그 콕서터 수 h {\displaystyle h} 와 다음과 같이 관계있다.:233 [p]: 2h/gp = 1 [p,q]: 8/gp,q = 2/p + 2/q -1 [p,q,r]: 64h/gp,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r [p,q,r,s]: 16/gp,q,r,s = 8/gp,q,r + 8/gq,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1 콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다. 계수 n {\displaystyle n} 의 유한 콕서터 군 G {\displaystyle G} 는 n {\displaystyle n} 차원 (실수) 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우, G {\displaystyle G} 의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 C [ V ] G {\displaystyle \mathbb {C} [V]^{G}} 을 생각할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 C [ V ] G {\displaystyle \mathbb {C} [V]^{G}} 의 생성원들의 수는 군의 계수 n {\displaystyle n} 이며, 불변량 대수의 생성원(기본 불변량 영어: fundamental invariant)들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다. 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 h {\displaystyle h} 이며, 최솟값은 2이다. 차수 d {\displaystyle d} 의 생성원이 존재한다면, 차수 h + 2 − d {\displaystyle h+2-d} 의 생성원 역시 존재한다. 반사 r 1 , … , r n {\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{n}} 으로 생성되는 콕서터 군 G {\displaystyle G} 의 콕서터 원소는 다음과 같은 꼴의 원소이다. r σ ( 1 ) r σ ( 2 ) ⋯ r σ ( n ) ∈ G ( σ ∈ Sym ⁡ ( n ) ) {\displaystyle r_{\sigma (1)}r_{\sigma (2)}\dotsm r_{\sigma (n)}\in G\qquad (\sigma \in \operatorname {Sym} (n))} 물론, 이는 순열 σ ∈ Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (n)} 에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군 G {\displaystyle G} 의 콕서터 수(Coxeter數, 영어: Coxeter number)라고 한다. 콕서터 군 G {\displaystyle G} 위에는 다음과 같은 콕서터 길이 함수가 존재한다. ℓ : G → N {\displaystyle \ell \colon G\to \mathbb {N} } 이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 이 길이 함수를 사용하여 G {\displaystyle G} 위에 여려 부분 순서를 정의할 수 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다. 유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다. 위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다. A 2 = I 2 ( 3 ) {\displaystyle A_{2}=I_{2}(3)} B C 2 = I 2 ( 4 ) {\displaystyle BC_{2}=I_{2}(4)} D 3 = A 3 {\displaystyle D_{3}=A_{3}} 또한, E n {\displaystyle E_{n}} 및 H n {\displaystyle H_{n}} 을 작은 n {\displaystyle n} 에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다. E 5 = D 5 {\displaystyle E_{5}=D_{5}} E 4 = A 4 {\displaystyle E_{4}=A_{4}} H 2 = I 2 ( 5 ) {\displaystyle H_{2}=I_{2}(5)} 바일 군은 유한 콕서터 군 가운데, 결정 조건(結晶條件, 영어: crystallographic condition)을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, p = 4 {\displaystyle p=4} 또는 p = 6 {\displaystyle p=6} 인 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다. A n {\displaystyle A_{n}} B C n {\displaystyle BC_{n}} . 이들은 리 군 B n {\displaystyle B_{n}} 및 C n {\displaystyle C_{n}} 의 바일 군이다. D n {\displaystyle D_{n}} E 6 {\displaystyle E_{6}} , E 7 {\displaystyle E_{7}} , E 8 {\displaystyle E_{8}} F 4 {\displaystyle F_{4}} I 2 ( 6 ) {\displaystyle I_{2}(6)} . 이는 G 2 {\displaystyle G_{2}} 의 바일 군이다. 유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다. 아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다. 아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다. 쌍곡선 콕서터 군(영어: hyperbolic Coxeter group)의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다. 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다. 이후 자크 티츠와 니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다. Coxeter, H. S. M. (1948). 《Regular polytopes》 (영어). Methuen and Company.  Ihara, Shin-ichiro; Yokonuma, Takeo (1965년 3월 15일). “On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups”. 《Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section 1: Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry》 (영어) 11 (2): 155–171. ISSN 0368-2269. 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