XY 모형

통계역학에서 XY 모형(XY模型, 영어: XY model) 또는 고전 회전자 모형(영어: classical rotor model)은 주기적인 스칼라 보손을 나타내는 격자 모형이다. 코스털리츠-사울리스 전이(-轉移, 영어: Kosterlitz–Thouless transition)를 비롯한 여러 흥미로운 현상을 보인다. D {\displaystyle D} 차원의 격자 Λ {\displaystyle \Lambda } 위의 XY 모형은 다음과 같은 자유도 및 해밀토니언으로 정의되는 통계역학 모형이다. 각 격자점 i ∈ Λ {\displaystyle i\in \Lambda } 에 대하여, 자유도는 각도 θ i ∈ U ⁡ ( 1 ) } {\displaystyle \theta _{i}\in \operatorname {U} (1)\}} 이다. 해밀토니언은 다음과 같다. 여기서 J {\displaystyle J} 및 h i {\displaystyle h_{i}} 는 임의의 상수이다. J {\displaystyle J} 는 스핀, h i {\displaystyle h_{i}} 는 외부 자기장으로 해석할 수 있다. H = − J ∑ ⟨ i j ⟩ cos ⁡ ( θ i − θ j ) − ∑ i h i cos ⁡ θ i {\displaystyle H=-J\sum _{\langle ij\rangle }\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{i}h_{i}\cos \theta _{i}} 위 식에서, ∑ ⟨ i j ⟩ {\displaystyle \textstyle \sum _{\langle ij\rangle }} 은 격자에서 서로 이웃한 격자점의 쌍에 대한 합을 뜻한다. J > 0 {\displaystyle J>0} 인 경우는 강자성, J < 0 {\displaystyle J<0} 인 경우는 반강자성에 해당한다. XY 모형의 성질은 차원 D {\displaystyle D} 에 따라 다르다. 외부 자기장이 없을 때, 1차원 XY 모형은 다음과 같이 정확히 풀 수 있다. 편의상 N + 1 {\displaystyle N+1} 개의 격자점 i = 0 , 1 , … , N {\displaystyle i=0,1,\dots ,N} 이 존재하고, 양끝에는 경계 조건을 부여하지 않는다고 하자. 자유도를 다음과 같은 변수로 나타내자. ϕ i = θ i − θ i − 1 ( i = 1 , … , N ) {\displaystyle \phi _{i}=\theta _{i}-\theta _{i-1}\qquad (i=1,\dots ,N)} 그렇다면 해밀토니언은 H = − J ∑ i = 1 N cos ⁡ ϕ i {\displaystyle H=-J\sum _{i=1}^{N}\cos \phi _{i}} 이며, 그 분배 함수는 다음과 같다. Z ( β J ) = ( ∫ 0 2 π exp ⁡ ( β J cos ⁡ ϕ ) d ϕ ) N = ( 2 π I 0 ( β J ) ) N {\displaystyle Z(\beta J)=\left(\int _{0}^{2\pi }\exp(\beta J\cos \phi )\,d\phi \right)^{N}=(2\pi I_{0}(\beta J))^{N}} 여기서 I 0 ( x ) {\displaystyle I_{0}(x)} 는 제1종 변형 베셀 함수이다. 2차원 XY 모형은 코스털리츠-사울리스 전이(영어: Kosterlitz–Thouless transition)라는 상전이를 보인다. 높은 온도에서는 스핀의 기댓값은 0이며, 스핀의 상관 함수는 긴 거리에서 지수적으로 0으로 수렴한다. lim β → 0 ⟨ exp ⁡ ( i θ ) ⟩ β = 0 {\displaystyle \lim _{\beta \to 0}\langle \exp(i\theta )\rangle _{\beta }=0} ⟨ exp ⁡ ( i θ i − θ j ) ⟩ β ∼ exp ⁡ ( − c ( β ) | i − j | ) ( β ≪ 1 ) {\displaystyle \langle \exp(i\theta _{i}-\theta _{j})\rangle _{\beta }\sim \exp(-c(\beta )|i-j|)\qquad (\beta \ll 1)} 여기서 c ( β ) {\displaystyle c(\beta )} 는 온도에 의존하는 상수이다. 머민-바그너 정리로 인하여 2차원에는 자발 대칭 깨짐이 부재하므로, 절대 영도에서도 스핀의 기댓값은 0이다. 그러나 스핀의 상관 함수는 낮은 온도에서 지수 법칙 대신 거듭제곱 법칙을 따른다. ⟨ exp ⁡ ( i θ ) ⟩ β = ∞ = 0 {\displaystyle \langle \exp(i\theta )\rangle _{\beta =\infty }=0} ⟨ exp ⁡ ( i ( θ i − θ j ) ) ⟩ β ∼ | i + j | − η ( β ) {\displaystyle \langle \exp(i(\theta _{i}-\theta _{j}))\rangle _{\beta }\sim |i+j|^{-\eta (\beta )}} 여기서 η ( β ) {\displaystyle \eta (\beta )} 역시 온도에 의존하는 상수이다. 코스털리츠-사울리스 전이는 스핀의 상관 함수가 지수 법칙에서 거듭제곱 법칙으로 바뀌는 현상이다. 이는 높은 온도에서는 소용돌이(영어: vortex)와 반소용돌이(영어: antivortex)가 자유롭게 존재할 수 있지만, 낮은 온도에서는 이들이 오직 소용돌이-반소용돌이 쌍으로서만 존재할 수 있기 때문이다. 코스털리츠-사울리스 임계 온도에서는 소용돌이들이 이와 같이 속박된다. 2차원 XY 모형의 저에너지 극한은 자유 주기 보손의 2차원 등각 장론이다. 3차원 XY 모형은 자유 아벨 게이지 이론의 격자화로 해석할 수 있다. 3차원에서 게이지장 F i j {\displaystyle F_{ij}} 는 한 개의 자유도를 가지며, 구체적으로 이는 쌍대화 4 π g 2 ∂ i θ = ϵ i j k F j k {\displaystyle 4\pi g^{2}\partial _{i}\theta =\epsilon _{ijk}F_{jk}} 를 통해 나타낼 수 있다. 이렇게 정의한 스칼라장 θ {\displaystyle \theta } 는 게이지 변환에 의하여 주기적이며, 따라서 XY 모형의 각도로 해석할 수 있다. 낮은 온도에서는 U(1) 게이지 대칭의 자발 대칭 깨짐으로 인하여, 스핀이 기댓값을 갖는다. ⟨ exp ⁡ ( i θ ) ⟩ β ≠ 0 ( β ≫ 1 ) {\displaystyle \langle \exp(i\theta )\rangle _{\beta }\neq 0\qquad (\beta \gg 1)} 따라서 가능한 바닥 상태들의 집합은 원 모양이다. 높은 온도에서는 게이지 대칭이 회복된다. 즉, 스핀의 기댓값은 0이며, 상관 함수는 지수적으로 감소한다. lim β → 0 ⟨ exp ⁡ ( i θ ) ⟩ β = 0 {\displaystyle \lim _{\beta \to 0}\langle \exp(i\theta )\rangle _{\beta }=0} ⟨ exp ⁡ ( i ( θ i − θ j ) ) ⟩ β ∼ exp ⁡ ( − c ( β ) | i − j | ) ( β ≪ 1 ) {\displaystyle \langle \exp(i(\theta _{i}-\theta _{j}))\rangle _{\beta }\sim \exp(-c(\beta )|i-j|)\qquad (\beta \ll 1)} 이 두 상 사이에서는 어떤 임계 온도 T c {\displaystyle T_{\text{c}}} 에서 상전이(자발 대칭 깨짐)가 발상한다. 3차원에서도 상전이는 솔리톤과 관계있다. 고온 상에서는 여차원이 1인 소용돌이가 발생하며, 주기 스칼라장 θ {\displaystyle \theta } 는 소용돌이 둘레에 자명하지 않은 모노드로미를 갖는다. 반면, 저온 상에서는 소용돌이가 억제된다. Mattis, D.C. (1984). “Transfer matrix in plane-rotator model”. 《Physics Letters A》 (영어) 104. Bibcode:1984PhLA..104..357M. doi:10.1016/0375-9601(84)90816-8.  Fröhlich, J.; Spencer, T. (1981). “The Kosterlitz–Thouless transition in two-dimensional abelian spin systems and the Coulomb gas”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 81 (4): 527–602. Bibcode:1981CMaPh..81..527F. doi:10.1007/bf01208273.  Aizenman, M.; Simon, B. (1980). “A comparison of plane rotor and Ising models”. 《Physics Letters A》 (영어) 76. Bibcode:1980PhLA...76..281A. doi:10.1016/0375-9601(80)90493-4.  “Vortices in the XY model” (영어).  Sicuro, Gabriele. “XY model in 2D and 3D” (PDF) (영어). 2016년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 29일에 확인함.  Fletcher, Richard (2011년 5월 10일). “Duality in the XY model” (PDF) (영어). [깨진 링크(과거 내용 찾기)] 이징 모형 포츠 모형 슈윙거 모형