자유 대상

범주론과 추상대수학에서 자유 대상(自由對象, 영어: free object)은 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다. 구체적 범주 Forget : C → Set {\displaystyle \operatorname {Forget} \colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} } 가 주어졌다고 하고, 망각 함자 Forget {\displaystyle \operatorname {Forget} } 의 왼쪽 수반 함자 F ⊣ Forget {\displaystyle F\dashv \operatorname {Forget} } 가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 S {\displaystyle S} 로부터 생성되는, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 자유 대상은 F {\displaystyle F} 에 대한 상 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 S → Forget ⁡ ( F ( S ) ) {\displaystyle S\to \operatorname {Forget} (F(S))} 가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(영어: canonical injection)라고 한다. 대수 구조 다양체의 범주 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(영어: free algebra) 또는 항 대수(영어: term algebra)라고 한다. 구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 의 연산들이 ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} 이며, 그 항수가 n i {\displaystyle n_{i}} 라고 하자. 또한, V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 에서 성립하는 대수적 관계들이 ( R j ) j ∈ J {\displaystyle (R_{j})_{j\in J}} 라고 하자. 또한, 임의의 집합 S {\displaystyle S} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다. T 0 = S {\displaystyle T_{0}=S} T r + 1 = T r ⊔ ⨆ i ∈ I T r × ⋯ × T r ⏞ n i {\displaystyle T_{r+1}=T_{r}\sqcup \bigsqcup _{i\in I}\overbrace {T_{r}\times \cdots \times T_{r}} ^{n_{i}}} ( t 1 , … , t n i ) ∈ T r × ⋯ × T r {\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{n_{i}})\in T_{r}\times \cdots \times T_{r}} 를 f i ( t 1 , … , t n i ) {\displaystyle f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})} 로 표기하자. T r {\displaystyle T_{r}} 는 대수 구조 연산을 r {\displaystyle r} 번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 그렇다면, 이들의 합집합 T = ⋃ i = 0 ∞ T i {\displaystyle T=\bigcup _{i=0}^{\infty }T_{i}} 를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 를 정의하는 대수적 관계들은 T {\displaystyle T} 위의 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 S {\displaystyle S} 의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, S {\displaystyle S} 로부터 생성되는 자유 대수 ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } 는 몫집합 T / ∼ {\displaystyle T/{\sim }} 이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다. f i ( [ t 1 ] , [ t 2 ] , … , [ t n i ] ) = [ f i ( t 1 , … , t n i ) ] {\displaystyle f_{i}([t_{1}],[t_{2}],\dots ,[t_{n_{i}}])=[f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})]} 여기서 [ − ] {\displaystyle [-]} 은 동치 관계 ∼ {\displaystyle \sim } 에 대한 동치류이다. 대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다. 집합의 범주: 집합 S {\displaystyle S} 위의 "자유 집합"은 S {\displaystyle S} 자신이다. 점을 가진 집합의 범주: 집합 S {\displaystyle S} 위의 "자유 점을 가진 집합"은 S ⊔ { ∙ } {\displaystyle S\sqcup \{\bullet \}} 이다. 모노이드의 범주: 클레이니 스타 S ∗ {\displaystyle S^{*}} 군의 범주: 자유군 아벨 군의 범주: 자유 아벨 군 Z ⊕ | S | {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus |S|}} 가환환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군의 범주: 집합 S {\displaystyle S} 위의 자유 가군 R ⊕ | S | {\displaystyle R^{\oplus |S|}} 만약 R = K {\displaystyle R=K} 가 나눗셈환일 경우, 모든 가군이 자유 가군이며, 이를 벡터 공간이라고 한다. 이 경우, 집합 S {\displaystyle S} 위의 자유 가군은 S {\displaystyle S} 를 기저로 하는 벡터 공간 Span K ⁡ S {\displaystyle \operatorname {Span} _{K}S} 이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 단위 결합 대수의 범주: 집합 S {\displaystyle S} 위의 자유 단위 결합 대수는 S {\displaystyle S} 를 기저로 하는 벡터 공간 Span K ⁡ S {\displaystyle \operatorname {Span} _{K}S} 위의 텐서 대수 T ( Span K ⁡ S ) {\displaystyle T(\operatorname {Span} _{K}S)} 이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 가환 대수의 범주: 다항식환 K [ S ] {\displaystyle K[S]} 체 K {\displaystyle K} 위의 리 대수의 범주: 자유 리 대수 대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다. 위상 공간의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } : 이산 공간 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 CompHaus {\displaystyle \operatorname {CompHaus} } : 집합 S {\displaystyle S} 에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 이산 공간 S {\displaystyle S} 의 스톤-체흐 콤팩트화이다. “Free algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Free algebraic system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Free”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Free object”. 《nLab》 (영어).  “Free functor”. 《nLab》 (영어).  “Free monad”. 《nLab》 (영어).  모나드