보른-인펠트 이론

이론물리학에서 보른-인펠트 이론(Born-Infeld異論, 영어: Born–Infeld theory)은 비선형 전자기 이론의 하나다. 약한 장 극한에서 맥스웰 이론으로 수렴하지만, 점전하의 근처에서 장세기가 발산하지 않는다. 끈 이론에 등장한다. 편의상 c = ϵ 0 = 1 {\displaystyle c=\epsilon _{0}=1} 로 놓자. 그렇다면, 보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다. S = ∫ ( − − det ( η + F b ) ) d x 4 {\displaystyle S=\int \left(-{\sqrt {-\det \left(\eta +{F \over b}\right)}}\right)\,\mathrm {d} x^{4}} 여기서 η {\displaystyle \eta } 는 민코프스키 계량 텐서이며, F는 패러데이 텐서다. b는 척도 매개 변수다. 사실, b {\displaystyle b} 는 [길이]2의 단위를 가지므로, 장세기 F {\displaystyle F} 를 재정의하여 없앨 수 있으며, 따라서 이 이론은 사실 (단위 없는) 매개 변수를 갖지 않는다. 3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다. S = ∫ ( − 1 − E 2 − B 2 b 2 − ( E ⋅ B ) 2 b 4 ) d x 4 {\displaystyle S=\int \left(-{\sqrt {1-{\frac {E^{2}-B^{2}}{b^{2}}}-{\frac {(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} )^{2}}{b^{4}}}}}\right)\,\mathrm {d} x^{4}} 여기서 E {\displaystyle \mathbf {E} } 는 전기장, B {\displaystyle \mathbf {B} } 는 자기장이다. 보른-인펠트 이론은 다음 5가지 조건을 만족시키는 유일한 고전 장론이다.:§1 푸앵카레 변환에 대하여 불변이다. 약한 장세기 극한에서 맥스웰 이론에 수렴한다. 바일 게이지 변환에 대하여 불변이다. 점입자의 전자기 에너지는 유한하다. 전자기파의 속력이 편광 방향에 관계 없이 일정하다. 보른-인펠트 이론에서는 전자기장의 크기가 제약을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 E {\displaystyle \mathbf {E} } 과 자기장 B {\displaystyle \mathbf {B} } 는 다음을 만족한다. E 2 − B 2 + ( E ⋅ B ) 2 / b 2 ≤ b 2 {\displaystyle E^{2}-B^{2}+(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} )^{2}/b^{2}\leq b^{2}} . 즉, 만약 자기장이 없으면 ( B = 0 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} } ) 전기장의 최댓값은 b {\displaystyle b} 이다. E ≤ b {\displaystyle E\leq b} . 또한, 만약 전자기장의 크기가 b {\displaystyle b} 보다 현저히 작다면 ( E , B ≪ b {\displaystyle E,B\ll b} ) 보른-인펠트 이론은 맥스웰 이론으로 수렴한다. 구체적으로, 유클리드 부호수의 4차원 보른-인펠트 이론을 생각하자. 이 경우 det ( η + F / b ) = 1 + 1 2 b − 2 F i j F i j + 1 16 b − 4 ( F i j ( ⋆ F ) i j ) 2 = ( 1 + 1 4 b 2 F i j ( ⋆ F ) i j ) 2 + 1 4 b 2 ( F − ⋆ F ) i j ( F − ⋆ F ) i j {\displaystyle {\begin{aligned}\det(\eta +F/b)&=1+{\frac {1}{2}}b^{-2}F_{ij}F^{ij}+{\frac {1}{16}}b^{-4}\left(F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^{2}\\&=\left(1+{\frac {1}{4b^{2}}}F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^{2}+{\frac {1}{4b^{2}}}(F-\star F)_{ij}(F-\star F)^{ij}\end{aligned}}} ( ⋆ F ) i j = 1 2 ϵ i j k l F k l {\displaystyle (\star F)_{ij}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijkl}F^{kl}} 이므로,:(3.2) det ( η + F / b ) − 1 ≥ 1 4 b − 2 F i j ( ⋆ F ) i j {\displaystyle {\sqrt {\det(\eta +F/b)}}-1\geq {\frac {1}{4}}b^{-2}F_{ij}(\star F)^{ij}} 이며, 이는 천 특성류이다. 즉, 자기 쌍대 장세기(아벨 양-밀스 순간자)는 BPS 조건을 만족시켜, 자동적으로 보른-인펠트 이론의 해를 이룬다. F ≪ b {\displaystyle F\ll b} 극한에서는 det ( η + F / b ) − 1 = 1 4 b 2 F i j F i j + O ( b − 4 ) {\displaystyle {\sqrt {\det(\eta +F/b)}}-1={\frac {1}{4b^{2}}}F_{ij}F^{ij}+{\mathcal {O}}(b^{-4})} 이므로 그 작용은 맥스웰 작용으로 근사된다. 반면, F {\displaystyle F} 가 크다면 작용은 위와 같이 천 특성류 항으로 근사된다. 또한, 4차원 보른-인펠트 작용은 전기-자기 이중성 F ↔ ⋆ F {\displaystyle F\leftrightarrow \star F} 에 대하여 (맥스웰 작용과 마찬가지로) 불변이다. 맥스웰 이론에서는 점전하의 자체 에너지가 발산한다. 역사적으로 보른과 인펠트는 전자의 자체 에너지가 맥스웰 이론에서 발산하는 문제를 풀기 위하여 보른-인펠트 이론을 도입하였다. 보른-인펠트 이론에서는 점전하의 전자기장 E {\displaystyle \mathbf {E} } , B {\displaystyle \mathbf {B} } 가 유한하지만, 에너지 밀도는 발산하게 된다. 그러나 이 경우 총 에너지는 유한하다.:442 이러한 해를 바이온(영어: BIon)이라고 한다. 여기서 "BI"는 "보른-인펠트"의 약자이다. 보른-인펠트 이론을 실제 세계를 묘사하는, 양자 전기 역학의 보정으로 여길 경우, 이를 뒷받침하는 실험적 증거는 현재 (2016년) 존재하지 않으며, 보른-인펠트 이론의 매개 변수 b {\displaystyle b} 에 대한 하한은 실험적으로 측정되었다.:§IV.D 구체적으로, 1973년의 실험에 따르면 b ≥ 17 Z V / m {\displaystyle b\geq 17\;\mathrm {ZV/m} } 이다. 그러나 이 실험의 해석에 대하여 최근에 이의가 제기되었다. 끈 이론에서, D-막 위의 게이지 장은 위와 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 디랙-보른-인펠트 작용(영어: Dirac–Born–Infeld action)이라고 부른다.:135, §5.3 The Dirac–Born–Infeld action 구체적으로, 그 작용은 다음과 같다. L = − T p − det ( η + 2 π α ′ F ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=-T_{p}{\sqrt {-\det \left(\eta +2\pi \alpha 'F\right)}}} . 여기서 T p {\displaystyle T_{p}} 는 D-막의 장력(tension)이다. F a b {\displaystyle F_{ab}} 는 D-막의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 패러데이 텐서에 해당한다. α ′ {\displaystyle \alpha '} 는 레제 기울기로, 끈 이론에 등장하는 상수다. 만약 여기에 캘브-라몽 장 B a b {\displaystyle B_{ab}} 와 딜라톤 Φ {\displaystyle \Phi } 를 추가하고, 중력장을 ( η {\displaystyle \eta } 대신) 일반적으로 G a b {\displaystyle G_{ab}} 로 쓰면 다음과 같다. L = − T p e − Φ det ( G + B + 2 π α ′ F ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=-T_{p}e^{-\Phi }{\sqrt {\det(G+B+2\pi \alpha 'F)}}} . 따라서 D-막에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간(영어: bulk)의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다. 디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항( G + B + 2 π α ′ F ) {\displaystyle G+B+2\pi \alpha 'F)} )의 1차 도함수가 끈 길이 α ′ {\displaystyle {\sqrt {\alpha '}}} 보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지 장 A μ {\displaystyle A_{\mu }} 및 스칼라 Φ {\displaystyle \Phi } 의 2차 도함수와 캘브-라몽 장의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다. 1930년대 초에 막스 보른은 전자기장의 세기가 발산할 수 없는, 맥스웰 방정식의 변형을 찾으려고 노력하였다. 이에 따라 보른이 1933년에 최초로 제시한 라그랑지언은 다음과 같다. L = 1 b 2 1 − b 2 ( E 2 − B 2 ) {\displaystyle L={\frac {1}{b^{2}}}{\sqrt {1-b^{2}(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2})}}} 같은 해에 보른과 레오폴트 인펠트는 이 항이 로런츠 불변이려면 제곱근 속에 − b − 4 E ⋅ B {\displaystyle -b^{-4}\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} } 를 추가하여야 한다는 점을 지적하였다. 보른과 인펠트는 이 이론을 도입하게 된 목표를 다음과 같이 두 가지로 제시하였다. 현대적인 관점에서, (1)번 문제는 양자 전기 역학의 도입을 통해 해결되었다. 그러나 (2)번 원리를 통한 유도는 끈 이론에서 D-막의 난부-고토 작용으로부터 자연스럽게 발생하게 된다. 이후 1980년대에 초끈 이론의 D-막이 초대칭 보른-인펠트 이론을 자연스럽게 갖는다는 사실이 발견되면서 보른-인펠트 이론은 재주목받게 되었다.:§3 Chernitskii, Alexander A. (2004년 11월 29일). 〈Born–Infeld equations〉. Scott, Alwyn. 《Encyclopedia of Nonlinear Science》 (영어). Routledge. 67–69쪽. arXiv:hep-th/0509087. ISBN 978-1-57958-385-9.  Ketov, Sergei V. (2001). “Many faces of Born–Infeld theory” (영어). arXiv:hep-th/0108189. Bibcode:2001hep.th....8189K.  Tseytlin, Arkady A. (2000년 7월). 〈Born–Infeld action, supersymmetry and string theory〉. 《The many faces of the superworld: Yuri Golfand memorial volume》 (영어). 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