단위원

단위원(單位圓,unit circle)은 반지름이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다. 많은 경우 단위원은 S 1 {\displaystyle S^{1}} 으로 표시한다. 이것은 일반적인 n {\displaystyle n} 차원 구면(sphere) 개념 중 n = 1 {\displaystyle n=1} 의 경우를 뜻한다. S 1 = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1 } . {\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}=1\right\}.} 단위원 위의 임의의 점 P {\displaystyle P} 를 극좌표를 이용하여 나타내는 경우, ( r , θ ) = ( 1 , θ ) {\displaystyle (r,\theta )=(1,\theta )} ( θ {\displaystyle \theta } : 점 P {\displaystyle P} 와 원점을 이은 반직선 O P {\displaystyle OP} 와 x {\displaystyle x} 축이 이루는 각, 0 {\displaystyle 0} ≤ θ {\displaystyle \theta } ≤ 2 π {\displaystyle 2\pi } )으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 로 나타낼 수 있다. 점 P {\displaystyle P} 에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 s i n θ = y r , c o s θ = x r {\displaystyle sin\theta ={\frac {y}{r}},cos\theta ={\frac {x}{r}}} 으로 나타낼 수 있다. 단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 r = 1 {\displaystyle r=1} 이므로 y = s i n θ , x = c o s θ {\displaystyle y=sin\theta ,x=cos\theta } 로 정리할 수 있다. 이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리( r {\displaystyle r} )'와 ' x {\displaystyle x} 축의 양의 방향과 이루는 각도( θ {\displaystyle \theta } )'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다. 단위원 위의 임의의 한 점 P {\displaystyle P} 를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 t {\displaystyle t} ( t {\displaystyle t} : 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 을 지나는 직선 l {\displaystyle l} 을 생각한다. 이 경우, 직선 l {\displaystyle l} 은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} , 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 P {\displaystyle P} 가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 l {\displaystyle l} 의 방정식을 연립하여 점 P {\displaystyle P} 의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 t {\displaystyle t} 에 대해 원 위의 모든 점(단, ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 은 제외)을 유리매개화 할 수 있다. 단위원의 원의 방정식: x 2 + y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.} 직선 l {\displaystyle l} 의 직선의 방정식: y = t x + t . {\displaystyle y=tx+t.} 직선 l {\displaystyle l} 의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 y {\displaystyle y} 를 소거하면 x {\displaystyle x} 에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다. x 2 + ( t x + t ) 2 = 1. {\displaystyle x^{2}+(tx+t)^{2}=1.} ⇒ x 2 + t 2 x 2 + 2 t 2 x + t 2 − 1 = 0. {\displaystyle \Rightarrow x^{2}+t^{2}x^{2}+2t^{2}x+t^{2}-1=0.} ⇒ ( 1 + t 2 ) x 2 + 2 t 2 x + ( t 2 − 1 ) = 0. {\displaystyle \Rightarrow (1+t^{2})x^{2}+2t^{2}x+(t^{2}-1)=0.} 얻어낸 x {\displaystyle x} 의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 P {\displaystyle P} 의 x {\displaystyle x} 좌표가 된다. x = − t 2 ± t 4 − ( t 2 − 1 ) ( t 2 + 1 ) ( 1 + t 2 ) = − t 2 ± t 4 − ( t 4 − 1 )   ( 1 + t 2 ) = − t 2 ± t 4 − t 4 + 1 ( 1 + t 2 ) = t 2 ± 1 1 + t 2 . {\displaystyle x={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{2}-1)(t^{2}+1)}}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{4}-1)\ }}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-t^{4}+1}}}{(1+t^{2})}}={\frac {t^{2}\pm 1}{1+t^{2}}}.} ∴ x = − 1 {\displaystyle \therefore x=-1} 또는 x = 1 − t 2 1 + t 2 . {\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.} 따라서, 점 P {\displaystyle P} 의 x {\displaystyle x} 좌표는 x = 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} 이다. x {\displaystyle x} 좌표를 직선 l {\displaystyle l} 의 방정식에 대입하여 y {\displaystyle y} 좌표도 찾아, 점 P {\displaystyle P} 의 좌표를 완성시키면 다음과 같다. 단위원과 직선 l {\displaystyle l} 의 교점: P = ( 1 − t 2 1 + t 2 , 2 t 1 + t 2 ) {\displaystyle P=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)} . 이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 제외, t {\displaystyle t} 가 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } 로 발산하는 경우 점 P {\displaystyle P} 는 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 로 수렴한다)를 임의의 실수 t {\displaystyle t} 에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다. 참고) 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선 g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} 의 교점의 개수를 구할 수 있다. 예를 들어, f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1 , g ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,g(x,y)=0} 라 하자. 단, f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 는 단위원 g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} 는 임의의 곡선이며 g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} 의 차수는 n {\displaystyle n} 이라 하자. 결론부터 말하자면, f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 와 g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} 의 교점의 개수는 많아야 2 n {\displaystyle 2n} 개 이하이다. 우선, 두 곡선 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 와 g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} 의 교점 Q {\displaystyle Q} 는 단위원의 유리매개화를 통해 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다. Q = ( 1 − t 2 1 + t 2 , 2 t 1 + t 2 ) {\displaystyle Q=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)} 이 때, ( x , y ) = ( 1 − t 2 1 + t 2 , 2 t 1 + t 2 ) {\displaystyle (x,y)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)} 로 놓을 수 있고 g ( x , y ) = g ( 1 − t 2 1 + t 2 , 2 t 1 + t 2 ) = 0 {\displaystyle g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0} 이다. 여기서 g ( x , y ) = g ( 1 − t 2 1 + t 2 , 2 t 1 + t 2 ) = 0 {\displaystyle g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0} 을 만족하는 t {\displaystyle t} 의 개수가 교점의 개수이다. 따라서 우리가 알고 싶은 것은 t {\displaystyle t} 의 차수(degree)이므로, t {\displaystyle t} 에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다. C {\displaystyle C} ij ( 1 − t 2 1 + t 2 ) i {\displaystyle ({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}})^{i}} ( 2 t 1 + t 2 ) j {\displaystyle ({\frac {2t}{1+t^{2}}})^{j}} = {\displaystyle =} C {\displaystyle C} ij ( 1 − t 2 ) i ( 2 t ) j ( 1 + t 2 ) i + j {\displaystyle {\frac {(1-t^{2})^{i}(2t)^{j}}{(1+t^{2})^{i+j}}}} (단, C {\displaystyle C} ij는 각 항의 계수이며, i+j<n이다.) 그리고 위 식 우변에 ( 1 + t 2 ) {\displaystyle (1+t^{2})} i+j을 곱하면, C {\displaystyle C} ij ( 1 − t 2 ) i ( 2 t ) j ( 1 + t 2 ) n − i + j {\displaystyle (1-t^{2})^{i}(2t)^{j}(1+t^{2})^{n-i+j}} 그러므로 차수( d e g r e e {\displaystyle degree} )를 생각하면 다음과 같다. 2 i + j + 2 n − 2 ( i + j ) {\displaystyle 2i+j+2n-2(i+j)} = 2 n − j < 2 n {\displaystyle =2n-j<2n} 따라서 t {\displaystyle t} 의 차수가 2 n {\displaystyle 2n} 보다 작으므로 단위원과 임의의 곡선 g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} 의 교점의 개수는 많아야 2 n {\displaystyle 2n} 개 이하이다. 복소평면상의 단위원은 절댓값이 1 인 복소수의 자취 {z ∈ C | |z| = 1} = {exp(iθ) | 0 ≤ θ < 2π} 가 된다 (exp는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 군(群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 유니타리 군으로 불리는 리 군이며 U(1)라고 표시한다. 삼각함수 단위정육면체 단위구 단위정사각형