분할 거듭제곱 환

가환대수학에서 분할 거듭제곱 환(分割-環, 영어: divided power ring, 프랑스어: anneau à puissances divisées)은 표수의 배수인 n {\displaystyle n} 의 경우에도, 적어도 어떤 아이디얼의 원소 x {\displaystyle x} 의 경우에는 “ x n / n ! {\displaystyle x^{n}/n!} ”과 유사한 연산이 가능하게 하는 구조가 주어진 가환환이다. 표수 0의 체 위의 가환 결합 대수의 경우에는 분할 거듭제곱 구조는 유일하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 그렇지 않다. 분할 거듭제곱 환 ( R , I , γ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 가환환 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} 의 아이디얼 I ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq R} 각 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, 함수 γ n : I → R {\displaystyle \gamma _{n}\colon {\mathfrak {I}}\to R} . 이를 ( R , I ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}})} 위의 분할 거듭제곱 구조(分割-構造, 영어: divided power structure, 프랑스어: structure à puissances divisées)라고 한다. 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. γ 0 ( x ) = 1 ∀ x ∈ I {\displaystyle \gamma _{0}(x)=1\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}} γ 1 ( x ) = x ∀ x ∈ I {\displaystyle \gamma _{1}(x)=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}} γ n ( x ) ∈ I ∀ n ∈ Z + , x ∈ I {\displaystyle \gamma _{n}(x)\in {\mathfrak {I}}\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in {\mathfrak {I}}} γ n ( x + y ) = ∑ i = 0 n γ n − i ( x ) γ n ( y ) ∀ n ∈ N , x , y ∈ I {\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{n}(y)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x,y\in {\mathfrak {I}}} γ n ( r x ) = r n γ n ( x ) ∀ n ∈ N , r ∈ R , x ∈ I {\displaystyle \gamma _{n}(rx)=r^{n}\gamma _{n}(x)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in R,\;x\in {\mathfrak {I}}} γ m ( x ) γ n ( x ) = ( m + n m ) γ m + n ( x ) ∀ m , n ∈ N , x ∈ I {\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)={\binom {m+n}{m}}\gamma _{m+n}(x)\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}} γ n ( γ m ( x ) ) = ( m n ) ! ( m ! ) n n ! γ m n ( x ) ∀ m ∈ Z + , n ∈ N , x ∈ I {\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}\gamma _{mn}(x)\qquad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+},\;n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}} 간혹 γ n ( x ) {\displaystyle \gamma _{n}(x)} 대신 x [ n ] {\displaystyle x^{[n]}} 와 같은 표기도 사용된다. 두 분할 거듭제곱 환 ( R , I , γ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )} , ( S , J , δ ) {\displaystyle (S,{\mathfrak {J}},\delta )} 사이의 준동형 f : R → S {\displaystyle f\colon R\to S} 은 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다. f ( I ) S ⊆ J {\displaystyle f({\mathfrak {I}})S\subseteq {\mathfrak {J}}} f ( γ n ( x ) ) = δ n ( f ( x ) ) ∀ n ∈ N , x ∈ I {\displaystyle f(\gamma _{n}(x))=\delta _{n}(f(x))\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}} 이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다. 분할 거듭제곱 환의 개념을 스킴으로 일반화시킬 수 있다. 분할 거듭제곱 스킴(分割-scheme, 영어: divided power scheme)은 다음 데이터로 주어진다. 스킴 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 위의 아이디얼 층 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} X {\displaystyle X} 의 각 (자리스키) 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 γ n : I ( U ) → O X ( U ) {\displaystyle \gamma _{n}\colon {\mathcal {I}}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 두 (자리스키) 열린집합 V ⊆ U ⊆ X {\displaystyle V\subseteq U\subseteq X} 및 n > 0 {\displaystyle n>0} 에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, 준층의 사상을 이룬다.) I ( U ) → γ n I ( U ) res U , V I ↓ res U , V I res U , V I ↓ res U , V I I ( V ) → γ n I ( V ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {I}}(U)&{\overset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(U)\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \color {White}{\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \color {White}\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\{\mathcal {I}}(V)&{\underset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(V)\end{matrix}}} 분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다. 임의의 분할 거듭제곱 환 ( R , I , γ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )} 에서, 다음이 성립한다. r n = n ! γ n ( r ) ( ∀ n ∈ N , r ∈ I ) {\displaystyle r^{n}=n!\gamma _{n}(r)\qquad (\forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in {\mathfrak {I}})} 물론, 만약 R {\displaystyle R} 에서 n ! = 0 {\displaystyle n!=0} 이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다. 증명: 분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라, r γ n ( r ) = γ 1 ( r ) γ n ( r ) = ( n + 1 1 ) γ n + 1 ( r ) = ( n + 1 ) γ n + 1 ( r ) {\displaystyle r\gamma _{n}(r)=\gamma _{1}(r)\gamma _{n}(r)={\binom {n+1}{1}}\gamma _{n+1}(r)=(n+1)\gamma _{n+1}(r)} 이다. 이를 반복하면 r n = 1 ⋅ r n − 1 γ 1 ( r ) = 1 ⋅ 2 ⋅ r n − 2 γ 2 ( r ) = ⋯ = n ! γ n ( r ) {\displaystyle r^{n}=1\cdot r^{n-1}\gamma _{1}(r)=1\cdot 2\cdot r^{n-2}\gamma _{2}(r)=\dotsb =n!\gamma _{n}(r)} 을 얻는다. 다음이 주어졌다고 하자. 분할 거듭제곱 환 ( A , I , γ ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {I}},\gamma )} 가환환 B {\displaystyle B} 환 준동형 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} B {\displaystyle B} 의 아이디얼 J ⊆ B {\displaystyle {\mathfrak {J}}\subseteq B} . 또한, f ( I ) B ⊆ J {\displaystyle f({\mathfrak {I}})B\subseteq {\mathfrak {J}}} 라고 하자. 그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 ( B ¯ , J ¯ , δ ) {\displaystyle ({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )} 가 항상 존재함을 보일 수 있다. 임의의 분할 거듭제곱 환 ( C , K , ε ) {\displaystyle (C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )} 에 대하여, hom PDRing ⁡ / ( A , I , γ ) ⁡ ( ( B ¯ , J ¯ , δ ) , ( C , K , ε ) ) = hom CRingIdeal ⁡ / ( A , I ) ⁡ ( ( B , J ) , ( C , K ) ) {\displaystyle \hom _{\operatorname {PDRing} /(A,{\mathfrak {I}},\gamma )}\left(({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta ),(C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )\right)=\hom _{\operatorname {CRingIdeal} /(A,{\mathfrak {I}})}\left((B,{\mathfrak {J}}),(C,{\mathfrak {K}})\right)} 여기서 PDRing {\displaystyle \operatorname {PDRing} } 은 분할 거듭제곱 환의 범주이다. CRingIdeal {\displaystyle \operatorname {CRingIdeal} } 은 가환환의 아이디얼들의 범주이다. 즉, CRingIdeal {\displaystyle \operatorname {CRingIdeal} } 의 대상 ( R , I ) {\displaystyle (R,{\mathcal {I}})} 은 가환환 R {\displaystyle R} 와 그 속의 아이디얼 I ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq R} 의 순서쌍이다. CRingIdeal {\displaystyle \operatorname {CRingIdeal} } 의 사상 f : ( R , I ) → ( S , J ) {\displaystyle f\colon (R,{\mathcal {I}})\to (S,{\mathfrak {J}})} 은 f ( I ) S ⊆ J {\displaystyle f({\mathfrak {I}})S\subseteq {\mathfrak {J}}} 인 환 준동형 f : R → S {\displaystyle f\colon R\to S} 이다. / {\displaystyle /} 은 조각 범주를 뜻한다. 이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 ( B ¯ , J ¯ , δ ) {\displaystyle ({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )} 을 ( B , J ) {\displaystyle (B,{\mathfrak {J}})} 위의 분할 거듭제곱 포락(分割-包絡, 영어: divided power envelope)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다. 고전적인 켈러 미분의 이론은 양의 표수에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의할 수 있다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 K {\displaystyle K} 분할 거듭제곱 환 ( R , I , γ ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )} 환 준동형 f : K → R {\displaystyle f\colon K\to R} 켈러 미분의 가군과 유사하게, 분할 거듭제곱 미분 가군(分割-微分加群, 영어: module of divided-power differentials) Ω R / K , I , γ 1 {\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}} 를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는 d b {\displaystyle \mathrm {d} b} 들로 생성되는 K {\displaystyle K} -가군으로 정의할 수 있다. d ( r + s ) = d b + d s ( r , s ∈ R ) {\displaystyle \mathrm {d} (r+s)=\mathrm {d} b+\mathrm {d} s\qquad (r,s\in R)} d ( r s ) = ( d r ) s + r ( d s ) ( r , s ∈ R ) {\displaystyle \mathrm {d} (rs)=(\mathrm {d} r)s+r(\mathrm {d} s)\qquad (r,s\in R)} d f ( λ ) = 0 ∀ λ ∈ K {\displaystyle \mathrm {d} f(\lambda )=0\qquad \forall \lambda \in K} d ( γ n ( r ) ) = γ n − 1 d r ∀ n ∈ Z + , r ∈ R {\displaystyle \mathrm {d} (\gamma _{n}(r))=\gamma _{n-1}\mathrm {d} r\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;r\in R} 이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다. 이제, 켈러 미분과 마찬가지로 Ω R / K , I , γ n = ⋀ R n Ω R / K , I , δ 1 {\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{n}=\bigwedge _{R}^{n}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\delta }^{1}} d : ( r 0 ( d r 1 ∧ ⋯ ∧ d r n ) ) ↦ d r 0 ∧ d r 1 ∧ ⋯ ∧ d r n ( r 0 , r 1 , … , r n ∈ R ) {\displaystyle \mathrm {d} \colon \left(r_{0}(\mathrm {d} r_{1}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} r_{n})\right)\mapsto \mathrm {d} r_{0}\wedge \mathrm {d} r_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} r_{n}\qquad (r_{0},r_{1},\dotsc ,r_{n}\in R)} 를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체를 이룸을 보일 수 있다. Ω R / K , I , γ 0 → d Ω R / K , J , δ 1 → d Ω R / K , I , γ 2 → d Ω R / K , I , γ 3 → d ⋯ {\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{0}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,J,\delta }^{1}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{2}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{3}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\dotsb } 이를 분할 거듭제곱 드람 복합체(分割-de Rham複合體, 영어: divided-power de Rham complex)라고 한다. 이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층 O R / S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{R/S}} 가 결정 위치 위의 결정이기 때문이다. 표수 0의 체 K {\displaystyle K} 위의 가환 결합 대수 A {\displaystyle A} 의 임의의 아이디얼 I ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A} 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다. γ n ( x ) = 1 n ! ⋅ x n {\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}} 증명: A {\displaystyle A} 에서는 n ! {\displaystyle n!} 이 가역원이다. 이에 따라 x n = n ! γ n ( x ) {\displaystyle x^{n}=n!\gamma _{n}(x)} 이므로 γ n ( x ) = x n / n ! {\displaystyle \gamma _{n}(x)=x^{n}/n!} 이다. 물론, 이 경우 I = A {\displaystyle {\mathfrak {I}}=A} 로 놓을 수 있다. 가환환 Z ⟨ x ⟩ := Z [ x , x 2 2 , … , x n n ! , … ] ⊂ Q [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\dotsc \right]\subset \mathbb {Q} [x]} 의 주 아이디얼 ( x ) {\displaystyle (x)} 위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다. γ n ( x ) = x n n ! ∀ n ∈ N {\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} } 이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 “자유”라는 것은, 범주 이론의 의미로 붙인 것이다. 다음이 주어졌다고 하자. 가환환 R {\displaystyle R} 유한 집합 I {\displaystyle I} 그렇다면, 분할 거듭제곱 단항식(分割-單項式, 영어: divided power monomial)은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다. r ∏ i ∈ I x i [ n i ] ( ( n i ) i ∈ I ∈ N I , r ∈ R ) {\displaystyle r\prod _{i\in I}x_{i}^{[n_{i}]}\qquad ((n_{i})_{i\in I}\in \mathbb {N} ^{I},\;r\in R)} 이와 같은 분할 거듭제곱 단항식들의 (유한 개의) 합들로 구성된 가환 R {\displaystyle R} -결합 대수 R ⟨ ( x i ) i ∈ I ⟩ {\displaystyle R\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle } 를 분할 거듭제곱 다항식환(分割-多項式環, 영어: divided power polynomial ring)이라고 한다. 이 속에서, 양의 차수(즉, ∑ i n i > 0 {\displaystyle \textstyle \sum _{i}n_{i}>0} 인 것)인 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 아이디얼을 생각할 수 있다. 이 위에는 λ n ( x i [ m ] ) = ( m n ) ! ( m ! ) n n ! x i [ m n ] ( m , n ∈ N , i ∈ I ) {\displaystyle \lambda _{n}(x_{i}^{[m]})={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}x_{i}^{[mn]}\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;i\in I)} 와 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다. 양의 표수의 체 위의 가환 결합 대수의 경우, x n = n ! γ n ( x ) {\displaystyle x^{n}=n!\gamma _{n}(x)} 는 성립하더라도, n ! {\displaystyle n!} 로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할 거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다. 예를 들어, 만약 소수 p {\displaystyle p} 의 표수를 갖는 가환환 A {\displaystyle A} I p = 0 {\displaystyle {\mathfrak {I}}^{p}=0} 인 멱영 아이디얼 I ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A} 에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다. γ n ( x ) = { x n / n ! n < p 0 n ≥ p {\displaystyle \gamma _{n}(x)={\begin{cases}x^{n}/n!&n<p\\0&n\geq p\end{cases}}} 일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼 I p {\displaystyle {\mathfrak {I}}^{p}} 과, 모든 x ∈ I {\displaystyle x\in {\mathfrak {I}}} 에 대해 x p {\displaystyle x^{p}} 로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다. 분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자의 이론이나 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다. 구체적으로, 양의 표수 p {\displaystyle p} 의 경우, 에탈 코호몰로지는 ℓ ≠ p {\displaystyle \ell \neq p} 인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, 표수 p {\displaystyle p} 의 가환환 A {\displaystyle A} 위의 다항식환 A [ x ] {\displaystyle A[x]} 에서, 미분의 곱 규칙 ( x n ) ′ = n x n − 1 {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}} 을 생각하자. 만약 p ∣ n {\displaystyle p\mid n} 일 경우 ( x n ) ′ = 0 {\displaystyle (x^{n})'=0} 이 된다. 이 때문에 쿠머 열(영어: Kummer sequence)이 ℓ = p {\displaystyle \ell =p} 에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하게 된다. 이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는 n {\displaystyle n} 을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의하자. x [ m ] y [ n ] = ( m + n ) ! m ! n ! x m y n {\displaystyle x^{[m]}y^{[n]}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}x^{m}y^{n}} 그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면 ( x [ n ] ) ′ = x [ n − 1 ] {\displaystyle (x^{[n]})'=x^{[n-1]}} 가 되며, 골칫거리인 n {\displaystyle n} 이 사라지게 된다. 즉, 가환환 A {\displaystyle A} 에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다. A ⟨ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ⟩ = { ∑ i 1 , ⋯ , i n a i 1 , ⋯ , i n x 1 [ i 1 ] ⋯ x n [ i n ] | a i 1 , ⋯ , i n ∈ A } {\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle =\left\{\sum _{i_{1},\cdots ,i_{n}}a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}x_{1}^{[i_{1}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}|a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in A\right\}} 이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다. 보통, 대수기하학에서는 멱영 아이디얼 위의 분할 거듭제곱 구조만을 고려하는데, 이는 분할 거듭제곱 구조를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면, A ⟨ x ⟩ {\displaystyle A\langle x\rangle } 같은 경우는 x {\displaystyle x} 로 생성되는 주 아이디얼에만 “작업을 가하면” 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는 x {\displaystyle x} 가 들어간 것의 미분 때문이기 때문이다. 아이디얼을 더 크게 잡으면, 망가지지 말아야 할 A {\displaystyle A} 의 연산도 망가지게 된다. 결정 코호몰로지 Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978). 《Notes on Crystalline Cohomology》. Annals of Mathematics Studies (영어). Princeton University Press. Zbl 0383.14010.  Hazewinkel, Michiel (1978). 《Formal Groups and Applications》. Pure and applied mathematics (영어) 78. Elsevier. ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020.  Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 407. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0068636. ISBN 978-3-540-06852-5. MR 0384804.  Ward, Matt (2011년 6월 22일). “Divided power structures 1”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함.  Ward, Matt (2011년 6월 26일). “Divided power structures 2”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함.  Ward, Matt (2011년 7월 4일). “Divided powers 3”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함.  Ward, Matt (2011년 7월 7일). “Divided powers 4”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함.