현수 (위상수학)

대수적 위상수학에서, 위상 공간의 현수(懸垂, 영어: suspension)는 그 위상 공간에 단위 폐구간을 곱해, 양 끝을 각각 한 점으로 치환한 몫공간이다. 관련된 개념으로, 축소 현수(縮小懸垂, 영어: reduced suspension)는 현수보다 더 많은 점들을 동일화시킨 몫공간이다. 호몰로지와 호모토피 군 등 대수적 위상수학에서 쓰이는 개념들은 (축소) 현수에 대하여 자연스러운 성질들을 보인다. X {\displaystyle X} 가 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 X {\displaystyle X} 의 현수 S X {\displaystyle \mathrm {S} X} 는 다음과 같은 몫공간이다. S X = ( X × [ 0 , 1 ] / ( X × { 0 } ) ) / ( X × { 1 } ) {\displaystyle \mathrm {S} X=(X\times [0,1]/(X\times \{0\}))/(X\times \{1\})} 여기서 [ 0 , 1 ] ⊂ R {\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} } 은 표준적인 위상이 주어진 단위 폐구간이다. 즉, 곱공간 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 에서 양 끝 X × { 0 } , X × { 1 } ⊂ X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times \{0\},X\times \{1\}\subset X\times [0,1]} 을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 만약 연속함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 존재한다면, 마찬가지로 자연스럽게 그 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수 S f : S X → S Y {\displaystyle \mathrm {S} f\colon \mathrm {S} X\to \mathrm {S} Y} S f : ( x , r ) ∈ S X ↦ ( f ( x ) , r ) ∈ S Y {\displaystyle \mathrm {S} f\colon (x,r)\in \mathrm {S} X\mapsto (f(x),r)\in \mathrm {S} Y} 가 존재한다. 이에 따라, 현수는 위상 공간들과 연속 함수들의 범주 Top {\displaystyle \operatorname {Top} } 의 자기 함자 S : Top → Top {\displaystyle \mathrm {S} \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top} } 를 이룬다. ( X , x 0 ) {\displaystyle (X,x_{0})} 가 점을 가진 공간이라고 하자. 그 축소 현수 Σ X {\displaystyle \Sigma X} 는 다음과 같은 몫공간이다. Σ X = X ∧ S 1 = X × S 1 / ( X ∨ S 1 ) = X × [ 0 , 1 ] / ( X × { 0 , 1 } ∪ { x 0 } × [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \Sigma X=X\wedge \mathbb {S} ^{1}=X\times \mathbb {S} ^{1}/(X\vee \mathbb {S} ^{1})=X\times [0,1]/(X\times \{0,1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1])} 여기서 ∧ {\displaystyle \wedge } 는 분쇄곱이고, ∨ {\displaystyle \vee } 는 쐐기합이며, S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 은 원이다. 점을 가진 공간의 축소 현수는 자연스러운 밑점 X ∨ S 1 ⊂ Σ X {\displaystyle X\vee \mathbb {S} ^{1}\subset \Sigma X} 을 가진다. 현수와 마찬가지로, 밑점을 보존시키는 연속함수 f : ( X , x 0 ) → ( Y , y 0 ) {\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})} 가 주어지면, 밑점을 보존시키는 연속함수 Σ f : Σ X → Σ Y {\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma X\to \Sigma Y} 가 존재한다. 이에 따라, 축소 현수는 점을 가진 공간들과 점을 보존시키는 연속 함수들의 범주 Top ∙ {\displaystyle \operatorname {Top} _{\bullet }} 의 자기 함자 Σ : Top ∙ → Top ∙ {\displaystyle \Sigma \colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Top} _{\bullet }} 를 이룬다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 고리 공간 함자 Ω X {\displaystyle \Omega X} 이다. CW 복합체 X {\displaystyle X} 의 경우, 현수와 축소 현수는 서로 호모토피 동치이다. S ⁡ X ≃ Σ X {\displaystyle \operatorname {S} X\simeq \Sigma X} X {\displaystyle X} 가 점을 갖는 CW 복합체이며, n {\displaystyle n} 차 이하 호모토피 군이 자명하다고 하자. 그렇다면 함수 X → Ω ( Σ X ) {\displaystyle X\to \Omega (\Sigma X)} 로 인하여, 호모토피 군의 준동형 π ∙ ( X ) → π ∙ ( Ω ( Σ X ) ) ≅ π ∙ + 1 ( Σ X ) {\displaystyle \pi _{\bullet }(X)\to \pi _{\bullet }(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{\bullet +1}(\Sigma X)} 이 존재한다. 프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 이 준동형 사상은 ∙ ≤ 2 n {\displaystyle \bullet \leq 2n} 일 경우는 동형이며, ∙ = 2 n + 1 {\displaystyle \bullet =2n+1} 일 경우는 전사이다. 프로이덴탈 현수 정리에 따라서, 만약 X {\displaystyle X} 가 n-연결 공간일 경우, Σ k X {\displaystyle \Sigma ^{k}X} 는 ( n + k ) {\displaystyle (n+k)} -연결 공간이다. 이에 따라, 충분히 많은 현수를 취한다면, 프로이덴탈 현수 정리의 호모토피 군 준동형들이 동형이 된다. X {\displaystyle X} 의 ∙ {\displaystyle \bullet } 차 안정 호모토피 군(영어: stable homotopy group)은 충분히 큰 k {\displaystyle k} 에 대한 π ∙ + k ( Σ k X ) {\displaystyle \pi _{\bullet +k}(\Sigma ^{k}X)} 이다. n {\displaystyle n} 차원 초구의 현수는 n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 초구와 위상 동형이며, 축소 현수는 이와 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아니다. Σ S n ≃ S S n ≅ S n + 1 {\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n}\simeq \mathrm {S} \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{n+1}} 프로이덴탈 현수 정리는 1928년에 한스 프로이덴탈이 증명하였다. Freudenthal, H. (1938). “Über die Klassen der Sphärenabbildungen I. Große Dimensionen”. 《Compositio Mathematica》 (영어) 5: 299–314. ISSN 0010-437X.  Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic Topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.  “Suspension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Suspension”. 《nLab》 (영어).  “Reduced suspension”. 《nLab》 (영어).  “Suspension object”. 《nLab》 (영어).  “Freudenthal suspension theorem”. 《nLab》 (영어).  “Suspension”. 《Topospaces》 (영어).  “Reduced suspension”. 《Topospaces》 (영어).  “Homology for suspension”. 《Topospaces》 (영어).  “Suspension functor”. 《Topospaces》 (영어).  고리 공간 안정 호모토피 이론