라이데마이스터 비틀림

위상수학에서 라이데마이스터 비틀림(Reidemeister뒤틀림, 영어: Reidemeister torsion) 또는 해석적 뒤틀림(解析的뒤틀림, 영어: analytic torsion)은 그 기본군의 표현이 주어진 위상 공간에 대하여 정의되는 불변량이다. 특별한 경우, 이는 평탄 코쥘 접속을 갖는 매끄러운 벡터 다발 값을 갖는 미분 형식의 라플라스 연산자의 제타 함수 조절 행렬식으로 계산될 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 연결 콤팩트 가향 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 위의 평탄 코쥘 접속 ∇ : Γ ∞ ( M , E ) → Γ ∞ ( M , E ⊗ M T ∗ M ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E\otimes _{M}\mathrm {T} ^{*}M)} 그렇다면, E {\displaystyle E} 값 k {\displaystyle k} 차 미분 형식의 공간 Ω ∙ ( M ; E ) {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)} 위의 라플라스 연산자 Δ ( k ) : Ω k ( M ; E ) → Ω k ( M ; E ) {\displaystyle \Delta ^{(k)}\colon \Omega ^{k}(M;E)\to \Omega ^{k}(M;E)} 를 정의할 수 있다. 그 고윳값들을 ( λ i ( k ) ) i ∈ I k {\displaystyle (\lambda _{i}^{(k)})_{i\in I_{k}}} 라고 하자. (콤팩트성 가정에 의하여 연속 스펙트럼이 존재하지 않는다.) 그렇다면, E {\displaystyle E} 의 k {\displaystyle k} 차 제타 함수는 충분히 큰 실수 성분을 갖는 s {\displaystyle s} 에 대하여 다음과 같다. ζ k ( s ) = ∑ i ∈ I , λ i ( k ) ≠ 0 ( λ i ( k ) ) − s ( Re ⁡ s ≫ 0 ) {\displaystyle \zeta _{k}(s)=\sum _{i\in I,\;\lambda _{i}^{(k)}\neq 0}(\lambda _{i}^{(k)})^{-s}\qquad (\operatorname {Re} s\gg 0)} 이를 복소평면에 해석적 연장을 가할 수 있다. 그렇다면, Δ ( k ) {\displaystyle \Delta ^{(k)}} 의 행렬식을 다음과 같이 제타 함수 조절로 정의할 수 있다. det ( Δ ( k ) ) = exp ⁡ ( − ζ i ′ ( 0 ) ) {\displaystyle \det(\Delta ^{(k)})=\exp(-\zeta '_{i}(0))} 이 값들은 물론 일반적으로 리만 계량 g {\displaystyle g} 및 M {\displaystyle M} 의 매끄러움 구조에 의존한다. 그런데 다음과 같은 조합은 리만 계량 및 매끄러움 구조에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이를 라이데마이스터 비틀림이라고 한다. ρ ( M ; E ) = ∏ i = 0 dim ⁡ M ( det Δ ( k ) ) − ( − ) k k / 2 {\displaystyle \rho (M;E)=\prod _{i=0}^{\dim M}(\det \Delta ^{(k)})^{-(-)^{k}k/2}} 다음이 주어졌다고 하자. 연결 유한 CW 복합체 X {\displaystyle X} . 그 범피복 공간을 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 라고 하자. π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 의 유한 차원 직교 행렬 표현 r : π 1 ( X ) → GL ⁡ ( V ; R ) {\displaystyle r\colon \pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )} 그렇다면, 실수 계수 사슬 복합체 ( D ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (D_{\bullet },\partial _{\bullet })} 를 다음과 같이 정의할 수 있다. D ∙ = V ⊗ Z [ π 1 ( X ) ] C ∙ ⁡ ( X ~ ) {\displaystyle D_{\bullet }=V\otimes _{\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}\operatorname {C} _{\bullet }({\tilde {X}})} 그 호몰로지가 모두 0이라고 하자. H ∙ ⁡ ( D ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(D)=0} 이제, 다음 조건을 만족시키는 임의의 사슬 사이의 성분별 사상 γ ∙ : D ∙ → D ∙ + 1 {\displaystyle \gamma _{\bullet }\colon D_{\bullet }\to D_{\bullet +1}} 을 생각하자. ∂ n + 1 ∘ γ n + γ n − 1 ∘ ∂ n = 1 {\displaystyle \partial _{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ \partial _{n}=1} (이는 사슬 사상이 아니다.) 그렇다면 ( ∂ + γ ) 2 ∙ : D 2 ∙ → D 2 ∙ + 1 {\displaystyle (\partial +\gamma )_{2\bullet }\colon D_{2\bullet }\to D_{2\bullet +1}} ( ∂ + γ ) 2 ∙ + 1 : D 2 ∙ + 1 → D 2 ∙ {\displaystyle (\partial +\gamma )_{2\bullet +1}\colon D_{2\bullet +1}\to D_{2\bullet }} 를 생각할 수 있다. 이들은 D 2 ∙ = ⨁ n ∈ Z D 2 n {\displaystyle D_{2\bullet }=\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }D_{2n}} 과 D 2 ∙ + 1 = ⨁ n ∈ Z D 2 n + 1 {\displaystyle D_{2\bullet +1}=\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }D_{2n+1}} 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다. 그렇다면, ( X , V ) {\displaystyle (X,V)} 의 라이데마이스터 비틀림은 다음과 같다. ρ ( X ; V ) = | det ( ∂ + γ ) 2 ∙ + 1 | − 1 ∈ R + {\displaystyle \rho (X;V)=|\det(\partial +\gamma )_{2\bullet +1}|^{-1}\in \mathbb {R} ^{+}} 이 값은 γ {\displaystyle \gamma } 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 연결 콤팩트 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터 다발 E ↠ M {\displaystyle E\twoheadrightarrow M} E {\displaystyle E} 의 평탄 코쥘 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 그렇다면, 임의의 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, 홀로노미 hol E : π 1 ( M , x ) → GL ⁡ ( E x ) {\displaystyle \operatorname {hol} _{E}\colon \pi _{1}(M,x)\to \operatorname {GL} (E_{x})} 를 정의할 수 있다. 이는 군 준동형이다. 그렇다면, ρ ( X ; hol E ) = ρ ( X ; E ) {\displaystyle \rho (X;\operatorname {hol} _{E})=\rho (X;E)} 이다. 여기서 좌변은 위상수학적 정의이며, 우변은 해석적 정의이다. 라이데마이스터 비틀림은 천-사이먼스 이론의 섭동 이론적 양자화에서 등장한다. 쿠르트 베르너 프리드리히 라이데마이스터(독일어: Kurt Werner Friedrich Reidemeister, 1893~1971)가 1935년에 렌즈 공간을 분류하기 위하여 라이데마이스터 비틀림의 위상수학적 정의를 도입하였다. 라이데마이스터의 정의는 오직 성분별 선형 위상 동형(영어: piecewise linear homeomorphism)에 대하여 불변이었으나, 1960년에 브로디(영어: E. J. Brody)가 이 값이 모든 위상 동형에 대하여 불변임을 증명하였다. 1971년에 대니얼 버릴 레이(영어: Daniel Burrill Ray, 1928~1980)와 이저도어 싱어가 라이데마이스터 비틀림의 해석적 정의를 도입하였으며, 이 두 정의가 서로 동치라고 추측하였다. 이 추측은 1978년 경에 제프 치거와 베르너 뮐러(독일어: Werner Müller)가 각각 독자적으로 증명하였다. Nicolaescu, Liviu I. (2003). 《The Reidemeister torsion of 3-manifolds》. de Gruyter Studies in Mathematics (영어) 30. Walter de Gruyter & Co. ISBN 3-11-017383-2. MR 1968575.  Reidemeister, Kurt (1935). “Homotopieringe und Linsenräume”. 《Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg》 (독일어) 11: 102–109. doi:10.1007/BF02940717.  Brody, E. J. (1960). “The topological classification of the lens spaces”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 71 (1): 163–184. doi:10.2307/1969884. JSTOR 1969884.  Ray, Daniel Burrill; Singer, Isadore Manuel (1971). “R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.”. 《Advances in Math.》 (영어) 7 (2): 145–210. doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4. 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