상향 원순서 집합

순서론에서 상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합에 상계가 존재하는 원순서 집합이다. 마찬가지로, 하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합에 하계가 존재하는 원순서 집합이다. 임의의 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 은 항상 다음과 같이 작은 범주로 여길 수 있다. 대상은 X {\displaystyle X} 의 원소이다. x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 가 주어졌을 때, 만약 x ≲ y {\displaystyle x\lesssim y} 라면 유일한 사상 ( x , y ) : x → y {\displaystyle (x,y)\colon x\to y} 가 존재하며, 아니라면 그 사이에 사상이 존재하지 않는다. x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 항등 사상은 ( x , x ) {\displaystyle (x,x)} 이다. 사상의 합성은 ( y , z ) ∘ ( x , y ) = ( x , z ) {\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z)} 이다. 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)이라고 한다. 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주를 이룬다. 임의의 유한 부분 집합 { x 1 , x 2 , … , x n } ⊆ X {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\subseteq X} , n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 은 상계를 갖는다. 즉, ( n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우) 공집합이 아니다. ( n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우) 임의의 두 원소 x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X} 에 대하여, x 1 ≲ y {\displaystyle x_{1}\lesssim y} 이자 x 2 ≲ y {\displaystyle x_{2}\lesssim y} 인 y ∈ X {\displaystyle y\in X} 가 적어도 하나 이상 존재한다. 둘째 조건에서, n = 1 {\displaystyle n=1} 인 경우는 자명하게 참이며, n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 인 경우는 n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우를 재귀적으로 적용하여 유도된다. 마찬가지로, 원순서 집합 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)이라고 한다. 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주의 반대 범주를 이룬다. 임의의 유한 부분 집합 { x 1 , x 2 , … , x n } ⊆ X {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\subseteq X} , n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 은 하계를 갖는다. 즉, ( n = 0 {\displaystyle n=0} 인 경우) 공집합이 아니다. ( n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우) 임의의 두 원소 x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X} 에 대하여, y ≲ x 1 {\displaystyle y\lesssim x_{1}} 이자 y ≲ x 2 {\displaystyle y\lesssim x_{2}} 인 y ∈ X {\displaystyle y\in X} 가 적어도 하나 이상 존재한다. 흔히, 상향 원순서 집합은 단순히 "유향 집합"(有向集合, 영어: directed set)으로 불린다. 원순서 집합의 부분 집합 가운데 하향 원순서 집합을 이루는 것을 필터 기저(영어: filter base)라고 하며, 그 상폐포는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 원순서 집합의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 순서 아이디얼 기저(영어: ordered ideal base)라고 하며, 그 하폐포는 순서 아이디얼을 이룬다. 임의의 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 상향 그림(上向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 상향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 인 함자 I → C {\displaystyle I\to {\mathcal {C}}} 이다. 상향 그림의 극한을 상향 극한(영어: upward-directed limit)이라고 한다. 임의의 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 하향 그림(下向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 하향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 인 함자 I → C {\displaystyle I\to {\mathcal {C}}} 이다. 상향 그림의 쌍대 극한을 하향 쌍대 극한(영어: downward-directed colimit)이라고 한다. 원순서 집합 ( X , ≲ X ) {\displaystyle (X,\lesssim _{X})} 위의 상향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다. B ≲ B ′ ⟺ ∀ b ∈ B ∃ b ′ ∈ B ′ : b ′ ≲ X b {\displaystyle B\lesssim B'\iff \forall b\in B\exists b'\in B'\colon b'\lesssim _{X}b} B ≲ B ′ {\displaystyle B\lesssim B'} 일 경우 B ′ {\displaystyle B'} 이 B {\displaystyle B} 보다 더 섬세하다(영어: finer)고 한다. 두 상향 부분 집합 B {\displaystyle B} , B ′ {\displaystyle B'} 이 같은 필터를 생성하는 것은 B ≲ B ′ {\displaystyle B\lesssim B'} 이자 B ′ ≲ B {\displaystyle B'\lesssim B} 인 것과 동치이다. 마찬가지로, 원순서 집합 ( X , ≲ X ) {\displaystyle (X,\lesssim _{X})} 위의 하향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다. B ≲ B ′ ⟺ ∀ b ∈ B ∃ b ′ ∈ B ′ : b ≲ X b ′ {\displaystyle B\lesssim B'\iff \forall b\in B\exists b'\in B'\colon b\lesssim _{X}b'} 두 하향 부분 집합 B {\displaystyle B} , B ′ {\displaystyle B'} 이 같은 순서 아이디얼을 생성하는 것은 B ≲ B ′ {\displaystyle B\lesssim B'} 이자 B ′ ≲ B {\displaystyle B'\lesssim B} 인 것과 동치이다. J. L. Kelley (1955), General Topology. Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1. “Directed set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Directed order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Directed set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Direction”. 《nLab》 (영어).  “Directed limit”. 《nLab》 (영어).  “Directed colimit”. 《nLab》 (영어).