부분분수

대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다. 부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다. 분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학교의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수 f ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}} 가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서 f ( x ) = g ( x ) Q ( x ) + R ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)Q(x)+R(x)} 와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다. Q ( x ) + R ( x ) g ( x ) {\displaystyle Q(x)+{\frac {R(x)}{g(x)}}} 다항식의 나눗셈에 의해 당연히 R ( x ) {\displaystyle R(x)} 는 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 보다 차수가 낮다. 분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다. f ( x ) ( a 1 x + b 1 ) ( a 2 x + b 2 ) ⋯ ( a n x + b n ) = A 1 a 1 x + b 1 + A 2 a 2 x + b 2 + ⋯ + A n a n x + b n {\displaystyle {\frac {f(x)}{(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})\cdots (a_{n}x+b_{n})}}={\frac {A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}}+{\frac {A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}}+\cdots +{\frac {A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}}} 여기서 A 1 , . . . . , A n {\displaystyle A_{1},....,A_{n}} 는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자. x + 3 x 2 − 3 x − 40 {\displaystyle {\frac {x+3}{x^{2}-3x-40}}} 위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 ( x − 8 ) ( x + 5 ) {\displaystyle (x-8)(x+5)} 로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다. x + 3 x 2 − 3 x − 40 = x + 3 ( x − 8 ) ( x + 5 ) = A x − 8 + B x + 5 {\displaystyle {x+3 \over x^{2}-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}} 여기서 A , B {\displaystyle A,B} 는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 A = 11 / 13 , B = 2 / 13 {\displaystyle A=11/13,B=2/13} 임을 확인할 수 있다. 고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다. 1 A ⋅ B = 1 B − A ( 1 A − 1 B ) {\displaystyle {\frac {1}{A\cdot B}}={\frac {1}{B-A}}\left({\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}\right)} 좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. B − A {\displaystyle B-A} 가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다. 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 1 x + 1 − 1 x + 2 {\displaystyle {\frac {1}{(x+1)(x+2)}}={\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}} 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = a x + 1 − b x + 2 = a ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) − b ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) = a ( x + 2 ) − b ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) {\displaystyle {1 \over (x+1)(x+2)}={a \over x+1}-{b \over x+2}={a(x+2) \over (x+1)(x+2)}-{b(x+1) \over (x+2)(x+1)}={a(x+2)-{b(x+1)} \over (x+1)(x+2)}} ∴ 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = a ( x + 2 ) − b ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) {\displaystyle \therefore {1 \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}={a(x+2)-{b(x+1)} \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}} ∴ 1 = a ( x + 2 ) − b ( x + 1 ) {\displaystyle \therefore {1}={a(x+2)-b(x+1)}} 1 = a x + 2 a − b x − b {\displaystyle {1}=ax+2a-bx-b} 1 = ( a − b ) x + ( 2 a − b ) {\displaystyle {1}=(a-b)x+(2a-b)} 우변의 x {\displaystyle x} 차항에대한 좌변의 x {\displaystyle x} 차항은 없으므로 x {\displaystyle x} 차항의 계수는 0 {\displaystyle 0} , 상수항은 1 {\displaystyle 1} 이다. 빼면, ( a − b ) − ( 2 a − b ) = 0 − 1 {\displaystyle (a-b)-(2a-b)=0-1} a − b − 2 a + b = − 1 {\displaystyle a-b-2a+b=-1} − a = − 1 {\displaystyle -a=-1} a = 1 {\displaystyle a=1} 이번에는 ( a − b ) = 0 , ( 2 a − b ) = 1 {\displaystyle (a-b)=0,(2a-b)=1} 을 더하면, ( a − b ) + ( 2 a − b ) = 0 + 1 {\displaystyle (a-b)+(2a-b)=0+1} a − b + 2 a − b = 1 {\displaystyle a-b+2a-b=1} 3 a − 2 b = 1 {\displaystyle 3a-2b=1} 3 a − 2 b = 1 {\displaystyle 3a-2b=1} 에 a = 1 {\displaystyle a=1} 를 대입하면, 3 − 2 b = 1 {\displaystyle 3-2b=1} − 2 b = 1 − 3 {\displaystyle -2b=1-3} − 2 b = − 2 {\displaystyle -2b=-2} 2 b 2 = 2 2 {\displaystyle {2b \over 2}={2 \over 2}} b = 1 {\displaystyle b=1} ∴ 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 1 x + 1 − 1 x + 2 {\displaystyle \therefore {1 \over (x+1)(x+2)}={1 \over x+1}-{1 \over x+2}} 비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다. 1 A ⋅ B ⋅ C = 1 C − A ( 1 A ⋅ B − 1 B ⋅ C ) {\displaystyle {\frac {1}{A\cdot B\cdot C}}={\frac {1}{C-A}}\left({\frac {1}{A\cdot B}}-{\frac {1}{B\cdot C}}\right)} 분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다. a x 2 + b x + c ( d x + e ) ( f x 2 + g x + h ) = A 1 d x + e + A 2 x + A 3 f x 2 + g x + h {\displaystyle {\frac {ax^{2}+bx+c}{(dx+e)(fx^{2}+gx+h)}}={\frac {A_{1}}{dx+e}}+{\frac {A_{2}x+A_{3}}{fx^{2}+gx+h}}} 예를 들어 다음과 같다. 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}} 이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가 x 3 − 8 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) {\displaystyle x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)} 와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여, 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 = 10 x 2 + 12 x + 20 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = A x − 2 + B x + C x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}} 위와 같이 변형된다. 여기서 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로, 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 = 7 x − 2 + 3 x + 4 x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}} 위와 같은 등식이 성립하게 된다. 분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어, p ( x ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) 5 {\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x+3)^{5}}} 와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다. A x + 2 + B x + 3 + C ( x + 3 ) 2 + D ( x + 3 ) 3 + E ( x + 3 ) 4 + F ( x + 3 ) 5 {\displaystyle {A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^{2}}+{D \over (x+3)^{3}}+{E \over (x+3)^{4}}+{F \over (x+3)^{5}}} 이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자. p ( x ) ( x + 2 ) ( x 2 + 1 ) 5 {\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x^{2}+1)^{5}}} 그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다. A x + 2 + B x + C x 2 + 1 + D x + E ( x 2 + 1 ) 2 + F x + G ( x 2 + 1 ) 3 + H x + I ( x 2 + 1 ) 4 + J x + K ( x 2 + 1 ) 5 {\displaystyle {A \over x+2}+{Bx+C \over x^{2}+1}+{Dx+E \over (x^{2}+1)^{2}}+{Fx+G \over (x^{2}+1)^{3}}+{Hx+I \over (x^{2}+1)^{4}}+{Jx+K \over (x^{2}+1)^{5}}} 부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다. 가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다. 1 x ( x + 1 ) + 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) + 1 ( x + 2 ) ( x + 3 ) + 1 ( x + 3 ) ( x + 4 ) {\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}+{\frac {1}{(x+2)(x+3)}}+{\frac {1}{(x+3)(x+4)}}} = 1 x − 1 x + 1 + 1 x + 1 − 1 x + 2 + 1 x + 2 − 1 x + 3 + 1 x + 3 − 1 x + 4 {\displaystyle ={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}+{\frac {1}{x+2}}-{\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{x+3}}-{\frac {1}{x+4}}} = 1 x − 1 x + 4 {\displaystyle ={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+4}}} 다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다. ∫ 2 x 2 − 1 d x {\displaystyle \int {\frac {2}{x^{2}-1}}dx} 그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다. ∫ 1 x − 1 − 1 x + 1 d x = ln ⁡ | x − 1 | − ln ⁡ | x + 1 | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}dx=\ln |x-1|-\ln |x+1|+C} 물론 C {\displaystyle C} 는 적분상수(Constant of integration)이다. 다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자. 2 − x ( 1 − x ) 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {2-x}{(1-x)^{2}}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots } 이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다. 2 − x ( 1 − x ) 2 = 1 1 − x + 1 ( 1 − x ) 2 {\displaystyle {\frac {2-x}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}} 이 때, 다음 등식을 이용한다. 1 ( 1 − x ) 2 = d d x 1 1 − x = d d x ∑ x n = ∑ ( n + 1 ) x n {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {d}{dx}}\sum x^{n}=\sum (n+1)x^{n}} 그리하여 다음을 얻는다. 1 1 − x + 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ x n + ∑ ( n + 1 ) x n = ∑ ( n + 2 ) x n {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum x^{n}+\sum (n+1)x^{n}=\sum (n+2)x^{n}} 역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자. d 2 y d t 2 − 3 d y d t + 2 y = e 3 t ; y ( 0 ) = 1 , y ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-3{\frac {dy}{dt}}+2y=e^{3t};\;y(0)=1,y'(0)=0} 양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다. s 2 Y ( s ) − s − 3 [ s Y ( s ) − 1 ] + 2 Y ( s ) = 1 s − 3 {\displaystyle s^{2}Y(s)-s-3[sY(s)-1]+2Y(s)={\frac {1}{s-3}}} 그리하여 이를 Y ( s ) {\displaystyle Y(s)} 에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다. Y ( s ) = 1 ( s − 3 ) ( s 2 − 3 s + 2 ) + s − 3 s 2 − 3 s + 2 = 1 ( s − 1 ) ( s − 2 ) ( s − 3 ) + s − 3 ( s − 1 ) ( s − 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}Y(s)&={\frac {1}{(s-3)(s^{2}-3s+2)}}+{\frac {s-3}{s^{2}-3s+2}}\\&={\frac {1}{(s-1)(s-2)(s-3)}}+{\frac {s-3}{(s-1)(s-2)}}\end{aligned}}} 그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다. Y ( s ) = 1 2 1 s − 1 − 1 s − 2 + 1 2 1 s − 3 + 2 s − 1 − 1 s − 2 = 5 2 1 s − 1 − 2 s − 2 + 1 2 1 s − 3 {\displaystyle {\begin{aligned}Y(s)&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s-2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-3}}+{\frac {2}{s-1}}-{\frac {1}{s-2}}\\&={\frac {5}{2}}{\frac {1}{s-1}}-{\frac {2}{s-2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-3}}\end{aligned}}} 그리하여 해는 다음과 같이 된다. y ( t ) = 5 2 e t − 2 e 2 t + 1 2 e 3 t {\displaystyle y(t)={\frac {5}{2}}e^{t}-2e^{2t}+{\frac {1}{2}}e^{3t}} 분수 Braun, Martin (1992). 《Differential Equations and Their Applications》. Springer-Verlag. 230~231쪽. ISBN 978-0-387-97894-9.