멱급수

수학에서 멱급수(冪級數, 영어: power series) 또는 거듭제곱 급수는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수(무한차 다항식)이자 중심이 같은 일련의 멱함수들을 항으로 하는 무한 급수이다. 체 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 주어진 x 0 ∈ K {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {K} } 에 대하여, 중심 x 0 {\displaystyle x_{0}} 의 멱급수(中心-冪級數, 영어: power series with respect to the center x 0 {\displaystyle x_{0}} )는 다음과 같은 꼴의 급수로 정의된다.:38, §2.4 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots } 여기서 a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ K {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} } 이다. 특히, 중심이 0인 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots } 는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 x ∈ K {\displaystyle x\in \mathbb {K} } 의 집합 { x ∈ K : ∃ ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n } {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {K} \colon \exists \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right\}} 을 이 멱급수의 수렴 영역(收斂領域, 영어: domain of convergence)이라고 한다.:153 실수 멱급수의 경우 수렴 구간(收斂區間, 영어: interval of convergence)이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 수렴 원판(收斂圓板, 영어: disc of convergence)이라고 하기도 한다. r = sup { | x − x 0 | : x ∈ K ∧ ∃ ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n } ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle r=\sup \left\{|x-x_{0}|\colon x\in \mathbb {K} \land \exists \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right\}\in [0,\infty ]} 를 이 멱급수의 수렴 반지름(收斂半-, 영어: radius of convergence)이라고 한다. 중심이 같은 두 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ( x 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )} ∑ n = 0 ∞ b n ( x − x 0 ) n ( b 0 , b 1 , b 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (b_{0},b_{1},b_{2},\dots \in \mathbb {K} )} 의 수렴 반지름이 0 < r , r ′ ≤ ∞ {\displaystyle 0<r,r'\leq \infty } 라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합, 차, 곱 ∑ n = 0 ∞ ( a n + b n ) ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}} ∑ n = 0 ∞ ( a n − b n ) ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})(x-x_{0})^{n}} ∑ n = 0 ∞ ( ∑ k = 0 n a n − k b k ) ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}\right)(x-x_{0})^{n}} 의 수렴 반지름은 모두 [ min { r , r ′ } , ∞ ] {\displaystyle \left[\min\{r,r'\},\infty \right]} 에 속하며, r ≠ r ′ {\displaystyle r\neq r'} 일 경우 합과 차의 수렴 반지름은 정확히 min { r , r ′ } {\displaystyle \min\{r,r'\}} 이다. 또한, 이들은 원래 두 멱급수의 수렴 영역의 교집합에서 각각 원래 두 멱급수의 합, 차, 곱으로 수렴한다.:60, §II.3, Theorem 3.1 만약 b 0 ≠ 0 {\displaystyle b_{0}\neq 0} 일 경우, 형식적 멱급수로서의 몫 ∑ n = 0 ∞ c n ( x − x 0 ) n ( c 0 = a 0 b 0 , c 1 = a 0 − b 1 c 0 b 0 , c 2 = a 0 − b 1 c 1 − b 2 c 0 b 0 , … ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad \left(c_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}},\;c_{1}={\frac {a_{0}-b_{1}c_{0}}{b_{0}}},\;c_{2}={\frac {a_{0}-b_{1}c_{1}-b_{2}c_{0}}{b_{0}}},\;\dots \right)} 의 수렴 반지름은 [ r ″ , ∞ ] {\displaystyle [r'',\infty ]} 에 속한다. 여기서 r ″ = inf ( { r , r ′ } ∪ { | x − x 0 | : | x − x 0 | < r ′ ∧ ∑ n = 0 ∞ b n ( x − x 0 ) n = 0 } ) {\displaystyle r''=\inf \left(\{r,r'\}\cup \left\{|x-x_{0}|\colon |x-x_{0}|<r'\land \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}=0\right\}\right)} 이다. 특히, 0 < r ″ ≤ ∞ {\displaystyle 0<r''\leq \infty } 이므로 수렴 반지름은 0보다 크다. 또한 이는 원래 두 멱급수의 수렴 영역과 스스로의 수렴 영역의 교집합으로부터 원래 둘째 멱급수의 영점을 제외한 집합에서 원래 두 멱급수의 몫으로 수렴한다. 두 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ( x 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )} ∑ n = 0 ∞ b n ( x − a 0 ) n ( b 0 , b 1 , b 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a_{0})^{n}\qquad (b_{0},b_{1},b_{2},\dots \in \mathbb {K} )} 의 수렴 반지름이 0 < r , r ′ ≤ ∞ {\displaystyle 0<r,r'\leq \infty } 라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합성 ∑ n = 0 ∞ ( ∑ k = 0 ∞ a k ∑ j 1 , j 2 , … , j k ≥ 1 j 1 + j 2 + ⋯ + j k = n b j 1 b j 2 ⋯ b j k ) ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\sum _{j_{1},j_{2},\dotsc ,j_{k}\geq 1}^{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}b_{j_{1}}b_{j_{2}}\cdots b_{j_{k}}\right)(x-x_{0})^{n}} 의 수렴 반지름은 [ r ″ , ∞ ] {\displaystyle [r'',\infty ]} 에 속한다. 여기서 r ″ = sup { 0 < s < r : ∀ x ∈ ball K ⁡ ( x 0 , s ) : ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ∈ ball K ⁡ ( a 0 , r ′ ) } {\displaystyle r''=\sup \left\{0<s<r\colon \forall x\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},s)\colon \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(a_{0},r')\right\}} 이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 합성으로 수렴한다. 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ( x 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )} 의 수렴 반지름이 0 < r ≤ ∞ {\displaystyle 0<r\leq \infty } 라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 도함수 ∑ n = 1 ∞ n a n ( x − x 0 ) n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(x-x_{0})^{n-1}} 의 수렴 반지름은 역시 r {\displaystyle r} 이다.:38, §2.4, Theorem 2, (iii) 또한, 이는 수렴 영역의 내부 ball K ⁡ ( x 0 , r ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)} 에서 원래 멱급수의 도함수로 수렴한다. 만약 도함수 멱급수가 수렴 영역의 어떤 경계점 ξ ∈ ∂ ball K ⁡ ( x 0 , r ) {\displaystyle \xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)} 에서 수렴한다면, 원래 멱급수 역시 ξ {\displaystyle \xi } 에서 수렴한다. 그러나 이에 대한 역은 일반적으로 성립하지 않는다.:221, §11.2 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ( x 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )} 의 수렴 반지름이 0 < r ≤ ∞ {\displaystyle 0<r\leq \infty } 라고 하자. 그렇다면, 임의의 수렴 영역 내부의 점 x 1 ∈ ball K ⁡ ( x 0 , r ) {\displaystyle x_{1}\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)} 에 대하여, 중심 x 1 {\displaystyle x_{1}} 의 멱급수 ∑ n = 0 ∞ ( ∑ k = n ∞ ( k n ) a k ( x 1 − x 0 ) k − n ) ( x − x 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=n}^{\infty }{\binom {k}{n}}a_{k}(x_{1}-x_{0})^{k-n}\right)(x-x_{1})^{n}} 의 수렴 반지름은 [ r − | x 1 − x 0 | , r + | x 1 − x 0 | ] {\displaystyle [r-|x_{1}-x_{0}|,r+|x_{1}-x_{0}|]} 에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.:69-70, §II.4 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ( x 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )} 의 수렴 반지름을 r {\displaystyle r} 라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 열린 공 ball K ⁡ ( x 0 , r ) = { x ∈ K : | x − x 0 | < r } {\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)=\{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|<r\}} 에서 절대 수렴하고 콤팩트 수렴하며, { x ∈ K : | x − x 0 | > r } {\displaystyle \{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|>r\}} 의 모든 점에서 발산한다.:38, §2.4, Theorem 2, (i)(ii) 특히, 만약 r = 0 {\displaystyle r=0} 일 경우 수렴 영역은 { x 0 } {\displaystyle \{x_{0}\}} 이고, 만약 r = ∞ {\displaystyle r=\infty } 일 경우 수렴 영역은 K {\displaystyle \mathbb {K} } 전체이다. 만약 0 < r < ∞ {\displaystyle 0<r<\infty } 일 경우, 수렴 영역의 경계 ∂ ball K ⁡ ( x 0 , r ) = { x ∈ K : | x − x 0 | = r } {\displaystyle \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)=\{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|=r\}} 의 점에서 멱급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 또한, 만약 멱급수가 수렴 영역의 경계점 ξ ∈ ∂ ball K ⁡ ( x 0 , r ) {\displaystyle \xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)} 에서 수렴한다면, 멱급수는 선분 { ( 1 − t ) x 0 + t ξ : t ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle \{(1-t)x_{0}+t\xi \colon t\in [0,1]\}} 에서 균등 수렴한다. 특히, 실수 멱급수는 전체 수렴 영역에서 콤팩트 수렴한다. 코시-아다마르 정리에 따르면, 수렴 반지름 r {\displaystyle r} 는 구체적으로 다음과 같다.:38-39, §2.4 1 r = lim sup n → ∞ | a n | n {\displaystyle {\frac {1}{r}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}} 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ( x 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ K ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )} 의 수렴 반지름이 0 < r < ∞ {\displaystyle 0<r<\infty } 이고, 이 멱급수가 수렴 영역의 경계점 ξ ∈ ∂ ball K ⁡ ( x 0 , r ) {\displaystyle \xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)} 에서 수렴한다고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 임의의 0 < K < ∞ {\displaystyle 0<K<\infty } 에 대하여, lim x → ξ | x − x 0 | < r | ξ − x | ≤ K ( | ξ − x 0 | − | x − x 0 | ) ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n = ∑ n = 0 ∞ a n ( ξ − x 0 ) n {\displaystyle \lim _{{x\to \xi } \atop {{|x-x_{0}|<r} \atop {|\xi -x|\leq K(|\xi -x_{0}|-|x-x_{0}|)}}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\xi -x_{0})^{n}} 이다.:41, §2.5, Theorem 3 특히, lim t → 1 − ∑ n = 0 ∞ a n ( t ( ξ − x 0 ) ) n = ∑ n = 0 ∞ a n ( ξ − x 0 ) n {\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t(\xi -x_{0}))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\xi -x_{0})^{n}} 이 성립한다. 이에 따라, 실수 멱급수는 (수렴하는 경계점을 포함한) 수렴 영역 전체에서 연속 함수이며, 복소수 멱급수는 수렴하는 경계점 수렴 영역 내부의 다른 두 점을 꼭짓점으로 하는 임의의 닫힌 삼각형에서 연속 함수이다. 열린집합의 모든 열린원판에서 중심이 열린원판의 중심인 수렴하는 멱급수로 전개되는 함수를 해석 함수라고 한다. 특히, 모든 멱급수는 수렴 영역의 내부에서 해석 함수이다. 만약 K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 일 경우, 해석 함수와 미분 가능 함수의 개념은 일치하며, 이를 다른 말로 정칙 함수라고도 한다. 그러나 만약 K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 일 경우, 모든 계의 도함수를 갖는 함수는 해석 함수보다 약한 개념이다. 연결 열린집합 D ⊆ K {\displaystyle D\subseteq \mathbb {K} } 에 정의된 해석 함수 f : D → K {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {K} } 의 열린원판 ball K ⁡ ( x 0 , r ) ⊆ D {\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)\subseteq D} 에서의 멱급수 전개는 테일러 급수 f ( x ) = ∑ n = 0 f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n ( x ∈ ball K ⁡ ( x 0 , r ) ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\qquad (x\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r))} 로 유일하다. 만약 이 테일러 급수의 실제 수렴 반지름 r ′ {\displaystyle r'} 이 inf x ∈ ∂ D | x − x 0 | < r ′ ≤ ∞ {\displaystyle \inf _{x\in \partial D}|x-x_{0}|<r'\leq \infty } 를 만족시키고, D ∩ ball K ⁡ ( x 0 , r ″ ) {\displaystyle D\cap \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')} 이 연결 열린집합이 되는 inf x ∈ ∂ D | x − x 0 | < r ″ < r ′ {\displaystyle \inf _{x\in \partial D}|x-x_{0}|<r''<r'} 이 존재한다면, f {\displaystyle f} 는 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서의 멱급수 전개를 통해 D {\displaystyle D} 를 포함하는 더 큰 연결 열린집합 D ∪ ball K ⁡ ( x 0 , r ″ ) {\displaystyle D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')} 위의 해석 함수로 확장될 수 있다. 즉, D ∪ ball K ⁡ ( x 0 , r ″ ) {\displaystyle D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')} 위에서 f {\displaystyle f} 의 해석적 연속이 존재한다. 주어진 해석 함수가 주어진 더 큰 정의역 위에서 해석적 연속을 갖는다면 이는 유일하다. 그러나 만약 K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 일 경우, 위와 같은 확장 과정을 어떤 닫힌 곡선을 따라 반복하면 일반적으로 다가 함수를 얻는다. (이 과정을 닫힌 곡선을 따라 반복하려면, D ∪ ball K ⁡ ( x 0 , r ″ ) {\displaystyle D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')} 에 정의된 함수를 확장하는 것이 아니라, ball K ⁡ ( x 0 , r ″ ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')} 에 정의된 함수를 확장하여야 하며, 다음 단계들도 마찬가지다.) 일가 함수를 얻을 한 가지 충분 조건은 모노드로미 정리에서 제시된다. 복소수 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n ( z − z 0 ) n ( z 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ C ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (z_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {C} )} 의 수렴 반지름이 0 < r < ∞ {\displaystyle 0<r<\infty } 이라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 특이 경계점을 갖는다. 즉, ball C ⁡ ( z 0 , r ) ∪ { ζ } {\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(z_{0},r)\cup \{\zeta \}} 의 근방 위에서 이 멱급수의 해석적 연속이 존재하지 않는 ζ ∈ ∂ ball C ⁡ ( z 0 , r ) {\displaystyle \zeta \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(z_{0},r)} 가 존재한다.:320, Theorem 16.2 위의 식을 이용해 다음의 미분 방정식을 풀 수 있다. y ″ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = r ( x ) {\displaystyle y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=r\left(x\right)} 를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단, p ( x ) , q ( x ) , r ( x ) {\displaystyle p\left(x\right),q\left(x\right),r\left(x\right)} 가 x = x o {\displaystyle x=x_{o}} 에서 해석적(analytic)이어야 한다. Ahlfors, Lars V. (1979). 《Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-1-259-06482-1.  Knopp, Konrad (1954). 《Theory and Application of Infinite Series》 (영어). 번역 Young, R. C. H. 2판. Glasgow: Blackie & Son.  Lang, Serge (1999). 《Complex Analysis》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 103 4판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3083-8. ISBN 978-1-4419-3135-1. ISSN 0072-5285.  伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0.  Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.  이철희. “멱급수”. 《수학노트》.  “Power series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Power series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.