대각 행렬

선형대수학에서 대각 행렬(對角行列, 영어: diagonal matrix)은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬이다.:100 환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 D ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 행렬을 대각 행렬이라고 한다. 임의의 i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, 만약 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 라면, D i j = 0 {\displaystyle D_{ij}=0} D {\displaystyle D} 는 상삼각 행렬이며, 동시에 하삼각 행렬이다. 각 i {\displaystyle i} 번째 대각 성분이 d i ∈ R {\displaystyle d_{i}\in R} 인 대각 행렬은 다음과 같이 표기할 수 있다. diag ⁡ ( d 1 , … , d n ) = ( d 1 d 2 ⋱ d n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}} 마찬가지로, 임의의 크기 m × n {\displaystyle m\times n} 의 대각 행렬을 정의할 수 있으며, 이 경우 다음과 같은 표기를 사용할 수 있다.:18, §1.2.6 diag m × n ⁡ ( d 1 , … , d min { m , n } ) {\displaystyle \operatorname {diag} _{m\times n}(d_{1},\dots ,d_{\min\{m,n\}})} 환 R {\displaystyle R} 위의 모든 대각 행렬 D ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)} 는 대칭 행렬이자 반대칭 행렬이다. 표수가 2가 아닌 환 R {\displaystyle R} 위의 정사각 행렬 D ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} 는 대각 행렬이다. D {\displaystyle D} 는 대칭 행렬이며, 또한 반대칭 행렬이다. (표수 2의 환 위에서는 대칭 행렬과 반대칭 행렬이 동치이며, 이는 일반적으로 대각 행렬과 동치가 아니다.) 체 K {\displaystyle K} 위의 대각 행렬 D ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 고윳값은 대각 성분들이다. 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치하며, 이는 단순히 대각 성분이 나타난 횟수이다. 환 R {\displaystyle R} 위의 모든 대각 행렬 D ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)} 는 자명하게 대각화 가능 행렬이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. M {\displaystyle M} 은 대각화 가능 행렬이다. M {\displaystyle M} 의 모든 고윳값의 기하적 중복도는 그 대수적 중복도와 일치한다. M {\displaystyle M} 의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다. 실수 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:315, §8.5 M {\displaystyle M} 은 직교 대각화 가능 행렬이다. 즉, Q − 1 M Q {\displaystyle Q^{-1}MQ} 가 대각 행렬이 되는 실수 직교 행렬 Q ∈ O ⁡ ( n ; R ) {\displaystyle Q\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )} 가 존재한다. M {\displaystyle M} 은 대칭 행렬이다. 복소수 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:311–317, §8.5 M {\displaystyle M} 은 유니터리 대각화 가능 행렬이다. 즉, U − 1 M U {\displaystyle U^{-1}MU} 가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 U ∈ U ⁡ ( n ) {\displaystyle U\in \operatorname {U} (n)} 이 존재한다. M {\displaystyle M} 은 정규 행렬이다. 복소수 정사각 행렬 D ∈ Mat ⁡ ( n ; C ) {\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:315–316, §8.5, Theorem 20 D {\displaystyle D} 는 대각 행렬이다. D {\displaystyle D} 는 상삼각 행렬이며, 정규 행렬이다. D {\displaystyle D} 는 하삼각 행렬이며, 정규 행렬이다. 특히, 대각 행렬이 아닌 복소수 상·하삼각 행렬은 유니터리 대각화 가능하지 않다. 모든 스칼라 행렬은 대각 행렬이다. 특히, 단위 행렬과 영행렬은 대각 행렬이다. 다음 실수 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} 정사각 행렬은 대각 행렬이다. ( 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&5&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}} 다음 실수 5 × 3 {\displaystyle 5\times 3} 행렬은 대각 행렬이다. ( 1 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} 다음 실수 2 × 4 {\displaystyle 2\times 4} 행렬은 대각 행렬이다. ( 9 0 0 0 0 5 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}9&0&0&0\\0&5&0&0\end{pmatrix}}} 띠행렬 반대각 행렬 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. MR 3024913. Zbl 1268.65037.  Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.  “Diagonal matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Diagonal matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.