매끄러운 사상

대수기하학에서 매끄러운 스킴(영어: smooth scheme)은 국소적으로 아핀 공간과 같이 보이는 체 위의 스킴이며, 매끄러운 사상(-寫像, 영어: smooth morphism)은 각 올이 매끄러운 스킴을 이루는 스킴 사상이다. 비분기 사상(非分岐寫像, 영어: unramified morphism)은 분기화가 일어나지 않는 스킴 사상이며, 미분기하학의 몰입에 해당한다. (대수기하학의 열린 몰입과 닫힌 몰입은 이름과 달리 미분기하학의 매장에 해당한다.) 에탈 사상(étale寫像, 영어: étale morphism)은 스킴 사이의 국소 동형 사상이다. 즉, 미분기하학의 국소 미분동형사상이나, 위상수학의 국소 위상동형사상에 대응되는 개념이다. 형식적으로 매끄러운 사상/형식적으로 비분기 사상/형식적으로 에탈 사상은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 스킴 사상이다. 형식적으로 매끄러운/비분기/에탈 사상 조건에 국소 유한 표시 조건을 추가한다면 매끄러운 사상/비분기 사상/에탈 사상 개념을 얻는다. 임의의 가환환 R {\displaystyle R} 및 멱영 아이디얼 n ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq R} 에 대하여, 그 몫 준동형 ( / n ) : R → R / n {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})\colon R\to R/{\mathfrak {n}}} 에 대응하는 아핀 스킴 사상 ( / n ) ∗ : Spec ⁡ ( R / n ) → Spec ⁡ R {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to \operatorname {Spec} R} 을 생각할 수 있으며, 이는 항상 닫힌 몰입이다. 직관적으로, n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} 이 멱영 아이디얼이므로 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 는 Spec ⁡ ( R / n ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})} 을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이다. 즉, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다. 스킴 사상 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 에 대하여, 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면, f {\displaystyle f} 를 형식적으로 매끄러운 사상(영어: formally smooth morphism, 프랑스어: morphisme formellement lisse)이라고 한다.:56, Définition IV.17.1.1 즉, ( / n ) ∗ : hom Sch ⁡ / S ⁡ ( Spec ⁡ R , X ) → hom Sch ⁡ / S ⁡ ( Spec ⁡ ( R / n ) , X ) {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)} 가 전사 함수이다. 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면, f {\displaystyle f} 를 형식적으로 비분기 사상(영어: formally unramified morphism, 프랑스어: morphisme formellement non ramifié)이라고 한다.:56, Définition IV.17.1.1 즉, ( / n ) ∗ : hom Sch ⁡ / S ⁡ ( Spec ⁡ R , X ) → hom Sch ⁡ / S ⁡ ( Spec ⁡ ( R / n ) , X ) {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)} 가 단사 함수이다. 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면, f {\displaystyle f} 를 형식적으로 에탈 사상(영어: formally étale morphism, 프랑스어: morphisme formellement étale)이라고 한다.:56, Définition IV.17.1.1 즉, ( / n ) ∗ : hom Sch ⁡ / S ⁡ ( Spec ⁡ R , X ) → hom Sch ⁡ / S ⁡ ( Spec ⁡ ( R / n ) , X ) {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)} 가 전단사 함수이다. Spec ⁡ ( R / n ) → X ↓ ∃ ↗ ↓ Spec ⁡ R → S {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})&\to &X\\\downarrow &{\scriptstyle \exists }\nearrow &\downarrow \\\operatorname {Spec} R&\to &S\end{matrix}}} 이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 형식적으로 매끄럽다는 것은 사상 Spec ⁡ ( R / n ) → X {\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to X} 를 그 무한소 근방 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다. 형식적으로 비분기라는 것은 사상 Spec ⁡ ( R / n ) → X {\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to X} 를 그 무한소 근방 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다. 형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다. 국소 유한 표시 사상 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 매끄러운 사상(영어: smooth morphism, 프랑스어: morphisme lisse)이라고 한다. f {\displaystyle f} 는 형식적으로 매끄러운 사상이다.:61, Définition IV.17.3.1 f {\displaystyle f} 는 평탄 사상이며, 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 s = f ( x ) {\displaystyle s=f(x)} 에 대하여 올 f − 1 ( f ( x ) ) {\displaystyle f^{-1}(f(x))} 은 국소환의 잉여류체 κ ( s ) = O S , s / m ( O S , s ) {\displaystyle \kappa (s)={\mathcal {O}}_{S,s}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{S,s})} 위의 매끄러운 스킴이다.:67, Théorème IV.17.5.1 f {\displaystyle f} 는 평탄 사상이며, 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 s = f ( x ) {\displaystyle s=f(x)} 에 대하여 올 f − 1 ( s ) → κ ( s ) {\displaystyle f^{-1}(s)\to \kappa (s)} 에 대하여 그 완비화 f − 1 ( s ) × κ ( s ) κ ¯ ( s ) {\displaystyle f^{-1}(s)\times _{\kappa (s)}{\bar {\kappa }}(s)} 는 정칙 스킴이다.:269–270, Theorem III.10.2 f {\displaystyle f} 는 평탄 사상이며, 켈러 미분층 Ω X / S {\displaystyle \Omega _{X/S}} 는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 의 상대 차원과 같다. 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f | U = f ~ ∘ c {\displaystyle f|_{U}={\tilde {f}}\circ c} 가 되는 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 및 자연수 n {\displaystyle n} 및 사상 f ~ : U → A S n {\displaystyle {\tilde {f}}\colon U\to \mathbb {A} _{S}^{n}} 가 존재한다. ( c : A S n → S {\displaystyle c\colon \mathbb {A} _{S}^{n}\to S} 는 아핀 공간의 표준적 사상이다.) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 x ∈ Spec ⁡ R ⊆ X {\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X} 및 f ( Spec ⁡ R ) ⊆ Spec ⁡ S ⊆ Y {\displaystyle f(\operatorname {Spec} R)\subseteq \operatorname {Spec} S\subseteq Y} 가 존재한다. 가환환 준동형 S → R {\displaystyle S\to R} 은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다. 가환환 S {\displaystyle S} 가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수 S [ x 1 , … , x n ] ( f 1 , … , f k ) ( n , k ∈ N , k ≤ n , f 1 , … , f k ∈ R [ x 1 , … , x n ] ) {\displaystyle {\frac {S[x_{1},\dots ,x_{n}]}{(f_{1},\dots ,f_{k})}}\qquad (n,k\in \mathbb {N} ,\;k\leq n,\;f_{1},\dots ,f_{k}\in R[x_{1},\dots ,x_{n}])} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 표준 매끄러운 대수(영어: standard smooth algebra)라고 한다. 다항식 det ( ∂ f i / ∂ x j ) i , j = 1 , … , k ∈ S [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})_{i,j=1,\dots ,k}\in S[x_{1},\dots ,x_{n}]} 은 S [ x 1 , … , x n ] / ( f 1 , … , f k ) {\displaystyle S[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{k})} 속의 가역원이다. 국소 유한 표시 사상 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 비분기 사상(영어: ramified morphism, 프랑스어: morphisme non ramifié)이라고 한다.:65, Corollaire IV.17.4.2(c) f {\displaystyle f} 는 형식적으로 비분기 사상이다.:62, Définition IV.17.3.7 Ω X / S = 0 _ {\displaystyle \Omega _{X/S}={\underline {0}}} 이다. 여기서 Ω X / S {\displaystyle \Omega _{X/S}} 는 켈러 미분층이며, 0 _ {\displaystyle {\underline {0}}} 은 영가군의 상수층이다. 대각 사상 Δ f : X → X × S X {\displaystyle \Delta _{f}\colon X\to X\times _{S}X} 은 열린 몰입이다. 스킴 사상 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 가 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서 비분기이다는 것은 x {\displaystyle x} 의 어떤 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여 f | U {\displaystyle f|_{U}} 가 비분기 사상이라는 것이다. 국소 유한 표시 사상 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 에탈 사상(영어: étale morphism, 프랑스어: morphisme étale)이라고 한다. f {\displaystyle f} 는 형식적으로 에탈 사상이다.:62, Définition IV.17.3.7 f {\displaystyle f} 는 평탄 사상이며 비분기 사상이다. f {\displaystyle f} 는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다. f {\displaystyle f} 는 매끄러운 사상이며 상대 차원(영어: relative dimension)이 0이다. 모든 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 x ∈ Spec ⁡ R ⊆ X {\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X} 및 f ( Spec ⁡ R ) ⊆ Spec ⁡ S ⊆ Y {\displaystyle f(\operatorname {Spec} R)\subseteq \operatorname {Spec} S\subseteq Y} 및 가 존재한다. 준동형 S → R {\displaystyle S\to R} 는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다. 위 정의에서, 가환환 S {\displaystyle S} 위의 표준 에탈 대수(영어: standard étale algebra)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다. ( S [ x ] / ( f ) ) g {\displaystyle \left(S[x]/(f)\right)_{g}} 여기서 f ∈ S [ x ] {\displaystyle f\in S[x]} 는 일계수 다항식이며, g ∈ S [ x ] {\displaystyle g\in S[x]} 는 임의의 다항식이다. f {\displaystyle f} 의 도함수 d f / d x {\displaystyle \mathrm {d} f/\mathrm {d} x} 는 ( S [ x ] / ( f ) ) g {\displaystyle (S[x]/(f))_{g}} 에서 가역원이다. 여기서 ( ⋯ ) g {\displaystyle (\cdots )_{g}} 는 국소화이고, ( f ) {\displaystyle (f)} 는 f {\displaystyle f} 로 생성되는 아이디얼이다. 스킴 사상 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} 가 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에서 에탈이다는 것은 x {\displaystyle x} 의 어떤 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여 f | U {\displaystyle f|_{U}} 가 에탈 사상이라는 것이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴 즉, 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여 모든 매끄러운 K {\displaystyle K} -스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 K {\displaystyle K} 위의 K {\displaystyle K} -스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. X → Spec ⁡ K {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K} 는 매끄러운 사상이다. 정칙 스킴이며, X → Spec ⁡ K {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K} 는 국소 유한형 사상이다. P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} 가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 · 형식적으로 매끄러운 사상 · 형식적으로 비분기 사상 · 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. (합성에 대한 닫힘) X → f Y → g Z {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 와 g {\displaystyle g} 가 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이라면 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 역시 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이다. (밑 변환에 대하여 안정) X → f Y ← Y ′ {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y\leftarrow Y'} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 가 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이라면 밑 변환 f ′ : X × Y Y ′ → Y ′ {\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'} 역시 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이다. P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} 가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. (fpqc 위상에서의 내림) X → f Y ← g Y ′ {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'} 에 대하여, 만약 밑 변환 f ′ : X × Y Y ′ → Y ′ {\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'} 가 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이며, g {\displaystyle g} 가 fpqc 사상이라면 f {\displaystyle f} 역시 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} -사상이다. 여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, K [ a ] {\displaystyle K[a]} -대수의 포함 준동형 f : K [ a ] ↪ K [ x , y , a ] / ( x y − a ) {\displaystyle f\colon K[a]\hookrightarrow K[x,y,a]/(xy-a)} 을 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상 Spec ⁡ K [ x , y , a ] / ( x y − a ) ↠ A K 1 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y,a]/(xy-a)\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}} 을 정의하며, 이는 기하학적으로 아핀 평면 원뿔 곡선들의 족을 정의한다. 이는 유한형 사상이며 평탄 사상이지만, 매끄러운 사상이 아니다. 구체적으로, K [ a ] {\displaystyle K[a]} -대수 K [ z , a ] / ( a 2 ) {\displaystyle K[z,a]/(a^{2})} 의 멱영 아이디얼 ( a ) ⊂ K [ z , a ] / ( a 2 ) {\displaystyle (a)\subset K[z,a]/(a^{2})} 를 생각하자. 이 경우, g : K [ x , y , a ] / ( x y − a ) → K [ z , a ] / ( a 2 , a ) ≅ K [ z ] {\displaystyle g\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2},a)\cong K[z]} g : x ↦ z {\displaystyle g\colon x\mapsto z} g : y ↦ 0 {\displaystyle g\colon y\mapsto 0} 는 K [ a ] {\displaystyle K[a]} -대수의 준동형을 이룬다. 하지만, 임의의 K [ a ] {\displaystyle K[a]} -대수의 준동형 h : K [ x , y , a ] / ( x y − a ) → K [ z , a ] / ( a 2 ) {\displaystyle h\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2})} 에 대하여, q : K [ z , a ] / ( a 2 ) ↠ K [ z ] / ( a ) {\displaystyle q\colon K[z,a]/(a^{2})\twoheadrightarrow K[z]/(a)} 와 합성하였을 때 q ∘ h = g {\displaystyle q\circ h=g} 가 될 수 없다. 기하학적으로, 이는 a = 0 {\displaystyle a=0} 일 때의 올 x y = 0 {\displaystyle xy=0} 은 특이올을 이루기 때문이다. 더 단순한 예로, K ↪ K [ x , y ] / ( x y ) {\displaystyle K\hookrightarrow K[x,y]/(xy)} 를 생각하자. 이 경우, K {\displaystyle K} -대수의 준동형 g : K [ x , y ] / ( x y ) → K [ z ] / ( z 2 ) {\displaystyle g\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{2})} g : x ↦ z {\displaystyle g\colon x\mapsto z} g : y ↦ z {\displaystyle g\colon y\mapsto z} 이 존재한다. 그러나 몫 준동형 q : K [ z ] / ( z 3 ) ↠ K [ x ] / ( z 2 ) {\displaystyle q\colon K[z]/(z^{3})\twoheadrightarrow K[x]/(z^{2})} 에 대하여, g = q ∘ h {\displaystyle g=q\circ h} 가 되는 준동형 h : K [ x , y ] / ( x y ) → K [ z ] / ( z 3 ) {\displaystyle h\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{3})} 은 존재할 수 없다. 따라서 아핀 대수 곡선 Spec ⁡ K [ x , y ] / ( x y ) {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y]/(xy)} 는 원점에서 특이점을 가져 매끄러운 곡선이 아니다. 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위에, f : K [ x ] ↪ K [ x , y ] / ( y 2 − x ) ≅ K [ y ] {\displaystyle f\colon K[x]\hookrightarrow K[x,y]/(y^{2}-x)\cong K[y]} 를 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상 A K 1 ↠ A K 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}} 을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로, K [ x , z ] / ( x 2 , z 2 − x ) {\displaystyle K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x)} 의 멱영 아이디얼 ( z ) ⊂ K [ x ] / ( x 2 , z 2 − x ) {\displaystyle (z)\subset K[x]/(x^{2},z^{2}-x)} 을 생각하자. 그렇다면, K [ x ] {\displaystyle K[x]} -대수의 준동형 g ± : K [ x , y ] / ( x 2 , y 2 − x ) → K [ x ] / ( x 2 , z 2 − x ) {\displaystyle g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K[x]/(x^{2},z^{2}-x)} g ± : y ↦ ± z {\displaystyle g_{\pm }\colon y\mapsto \pm z} 을 정의할 수 있다. 이는 몫 q : K [ x , z ] / ( x 2 , z 2 − x ) ↠ K [ x , z ] / ( x 2 , z 2 − x , z ) ≅ K {\displaystyle q\colon K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x)\twoheadrightarrow K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x,z)\cong K} 과 합성하면 q ∘ g ± : K [ x , y ] / ( x 2 , y 2 − x ) → K {\displaystyle q\circ g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K} q ∘ g ± : x , y ↦ 0 {\displaystyle q\circ g_{\pm }\colon x,y\mapsto 0} 이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점 Spec ⁡ K → A K 1 {\displaystyle \operatorname {Spec} K\to \mathbb {A} _{K}^{1}} 을 그 무한소 근방 Spec ⁡ K [ x ] / ( x 2 , z 2 − x ) {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x]/(x^{2},z^{2}-x)} 으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다. 체 K {\displaystyle K} 위의 스킴 X → Spec ⁡ K {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. X → Spec ⁡ K {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K} 는 비분기 사상이다. X → Spec ⁡ K {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K} 는 에탈 사상이다. X ≅ ⨆ i ∈ I Spec ⁡ K i {\displaystyle X\cong \bigsqcup _{i\in I}\operatorname {Spec} K_{i}} 이며, K i / K {\displaystyle K_{i}/K} 는 유한 분해 가능 확대이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군 Gal ⁡ ( K sep / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)} 의 작용을 갖춘 집합들의 범주 Gal ⁡ ( K sep / K ) -Set {\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K){\text{-Set}}} 와 동치이다. 구체적으로, 에탈 스킴 X {\displaystyle X} 에 대응하는 집합은 다음과 같다. X ↦ hom Sch ⁡ / Spec ⁡ K ⁡ ( Spec ⁡ K sep , X ) {\displaystyle X\mapsto \hom _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} K}(\operatorname {Spec} K^{\operatorname {sep} },X)} 여기서 K sep {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }} 은 K {\displaystyle K} 의 분해 가능 폐포이다. 알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권에서 도입하였다. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 32. doi:10.1007/bf02732123. ISSN 0073-8301. MR 0238860. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 14일에 확인함.  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Stacks Project Lemma 28.35.11 Stacks Project Lemma 28.36.7 Stacks Project Lemma 40.21.2 “Smooth scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Etale morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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