중간값 정리

해석학에서 중간값 정리(中間-定理, 영어: intermediate value theorem) 또는 사잇값 정리:78는 구간에 정의된 실숫값 연속 함수가 임의의 두 함숫값 사이의 모든 수를 함숫값으로 포함한다는 정리이다. 이에 따라, 실숫값 연속 함수에 대한 구간의 상은 구간이다. 연속 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 중간값 정리에 따르면, 다음이 성립한다. f ( [ a , b ] ) ⊇ [ f ( a ) , f ( b ) ] ∪ [ f ( b ) , f ( a ) ] {\displaystyle f([a,b])\supseteq [f(a),f(b)]\cup [f(b),f(a)]} 즉, 임의의 u ∈ ( f ( a ) , f ( b ) ) ∪ ( f ( b ) , f ( a ) ) {\displaystyle u\in (f(a),f(b))\cup (f(b),f(a))} 에 대하여, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 편의상 f ( a ) < f ( b ) {\displaystyle f(a)<f(b)} 라고 가정하자. 임의의 f ( a ) < u < f ( b ) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자. E = { x ∈ [ a , b ] : f ( x ) < u } {\displaystyle E=\{x\in [a,b]\colon f(x)<u\}} 그렇다면, a ∈ E {\displaystyle a\in E} 이며, b {\displaystyle b} 는 E {\displaystyle E} 의 한 상계이다. 따라서, E {\displaystyle E} 는 유한한 상한 c = sup E ∈ R {\displaystyle c=\sup E\in \mathbb {R} } 를 갖는다. f {\displaystyle f} 가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 이 존재한다. f ( x ) < u ∀ a ≤ x < a + δ {\displaystyle f(x)<u\qquad \forall a\leq x<a+\delta } f ( x ) > u ∀ b − δ < x ≤ b {\displaystyle f(x)>u\qquad \forall b-\delta <x\leq b} 따라서 a < c < b {\displaystyle a<c<b} 이다. 이제 귀류법을 사용하여 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 를 보이자. 먼저 f ( c ) > u {\displaystyle f(c)>u} 라고 가정하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 η > 0 {\displaystyle \eta >0} 이 존재한다. f ( x ) > u ∀ c − η < x < c + η {\displaystyle f(x)>u\qquad \forall c-\eta <x<c+\eta } 즉, c − η {\displaystyle c-\eta } 는 E {\displaystyle E} 의 또 다른 상계이며, 이는 c − η < c {\displaystyle c-\eta <c} 와 모순이다. 이제 f ( c ) < u {\displaystyle f(c)<u} 를 가정하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 η > 0 {\displaystyle \eta >0} 이 존재한다. f ( x ) < u ∀ c − η < x < c + η {\displaystyle f(x)<u\qquad \forall c-\eta <x<c+\eta } 즉, c + η / 2 ∈ E {\displaystyle c+\eta /2\in E} 이며, 이는 c = sup E {\displaystyle c=\sup E} 와 모순이다. 따라서 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 이다. 연속 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 다음을 만족시킨다고 하자. f ( a ) f ( b ) < 0 {\displaystyle f(a)f(b)<0} 볼차노 정리(영어: Bolzano's theorem)에 따르면, f {\displaystyle f} 는 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 에서 영점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 가 존재한다. f ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=0} 볼차노 정리는 중간값 정리에서 u = 0 {\displaystyle u=0} 인 특수한 경우이다. 구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 및 연속 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, I {\displaystyle I} 의 상 f ( I ) {\displaystyle f(I)} 은 역시 구간이다. 이를 연결 공간의 개념을 사용하지 않고 증명하려면, I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 가 구간일 필요충분조건이 임의의 a , b ∈ I {\displaystyle a,b\in I} 에 대하여 ( a , b ) ⊆ I {\displaystyle (a,b)\subseteq I} 인 것이라는 보조정리를 사용해야 한다. 특히, 만약 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} 가 닫힌구간일 경우, f ( I ) {\displaystyle f(I)} 의 양 끝점은 f {\displaystyle f} 의 최댓값과 최솟값이다. 즉, 다음이 성립한다. f ( [ a , b ] ) = [ min x ∈ [ a , b ] f ( x ) , max x ∈ [ a , b ] f ( x ) ] {\displaystyle f([a,b])=\left[\min _{x\in [a,b]}f(x),\max _{x\in [a,b]}f(x)\right]} 이 정리는 중간값 정리와 최대 최소 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 임의의 실수 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 홀수차 실수 다항식 p ( x ) = a 2 n + 1 x 2 n + 1 + a 2 n x 2 n + ⋯ + a 1 x + a 0 ∈ R [ x ] ( a 0 , … , a 2 n + 1 ∈ R , a 2 n + 1 ≠ 0 ) {\displaystyle p(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {R} [x]\qquad (a_{0},\dots ,a_{2n+1}\in \mathbb {R} ,\;a_{2n+1}\neq 0)} 이 주어졌다고 하자. 편의상 a 2 n + 1 > 0 {\displaystyle a_{2n+1}>0} 이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. lim x → − ∞ p ( x ) = − ∞ , lim x → ∞ p ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }p(x)=-\infty ,\;\lim _{x\to \infty }p(x)=\infty } 예를 들어, 전자의 경우 다음과 같이 보일 수 있다. lim x → − ∞ p ( x ) = lim x → − ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1 ( 1 + a 2 n a 2 n + 1 x − 1 + ⋯ + a 0 a 2 n + 1 x − ( 2 n + 1 ) ) = − ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to -\infty }p(x)&=\lim _{x\to -\infty }a_{2n+1}x^{2n+1}\left(1+{\frac {a_{2n}}{a_{2n+1}}}x^{-1}+\cdots +{\frac {a_{0}}{a_{2n+1}}}x^{-(2n+1)}\right)\\&=-\infty \end{aligned}}} 이에 따라, 다음을 만족시키는 c < 0 < d {\displaystyle c<0<d} 가 존재한다. p ( c ) < 0 < p ( d ) {\displaystyle p(c)<0<p(d)} 중간값 정리를 p | [ c , d ] {\displaystyle p|_{[c,d]}} 에 적용하면, 다음을 만족시키는 p {\displaystyle p} 의 영점 e ∈ ( c , d ) {\displaystyle e\in (c,d)} 의 존재를 얻는다. 연속 함수 f : [ a , b ] → [ a , b ] {\displaystyle f\colon [a,b]\to [a,b]} 는 항상 고정점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} 가 존재한다. f ( c ) = c {\displaystyle f(c)=c} 이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 를 정의하자. g ( x ) = f ( x ) − x ∀ x ∈ [ a , b ] {\displaystyle g(x)=f(x)-x\qquad \forall x\in [a,b]} 그렇다면, g {\displaystyle g} 는 연속 함수이며, g ( b ) ≤ 0 ≤ g ( a ) {\displaystyle g(b)\leq 0\leq g(a)} 이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} 가 존재한다. g ( c ) = 0 {\displaystyle g(c)=0} 즉, f ( c ) = c {\displaystyle f(c)=c} 가 성립한다. 구간 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 및 단사 연속 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f {\displaystyle f} 는 순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. 귀류법을 사용하여, f {\displaystyle f} 가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 a , b , c ∈ I {\displaystyle a,b,c\in I} 가 존재한다. a < b < c {\displaystyle a<b<c} f ( a ) < f ( b ) > f ( c ) {\displaystyle f(a)<f(b)>f(c)} 또는 f ( a ) > f ( b ) < f ( c ) {\displaystyle f(a)>f(b)<f(c)} 편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, max { f ( a ) , f ( c ) } < u < f ( b ) {\displaystyle \max\{f(a),f(c)\}<u<f(b)} 를 취할 수 있다. 각각 f | [ a , b ] {\displaystyle f|_{[a,b]}} 와 f | [ b , c ] {\displaystyle f|_{[b,c]}} 에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 d ∈ ( a , b ) {\displaystyle d\in (a,b)} 및 e ∈ ( b , c ) {\displaystyle e\in (b,c)} 가 존재함을 얻는다. f ( d ) = f ( e ) = u {\displaystyle f(d)=f(e)=u} 이는 f {\displaystyle f} 가 단사 함수인 것과 모순이다. 위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다. 두 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 만약 X {\displaystyle X} 가 연결 공간이라면, f ( X ) {\displaystyle f(X)} 역시 연결 공간이다. 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 위에서 연결 공간은 구간과 동치이므로, 이와 같은 정리는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 ( Y , ≤ ) {\displaystyle (Y,\leq )} 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 주어졌다고 하자. 만약 X {\displaystyle X} 가 연결 공간이라면, 임의의 a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} 에 대하여, 다음이 성립한다. f ( X ) ⊇ [ f ( a ) , f ( b ) ] ∪ [ f ( b ) , f ( a ) ] {\displaystyle f(X)\supseteq [f(a),f(b)]\cup [f(b),f(a)]} 실수 집합 R {\displaystyle \mathbb {R} } 은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다. 미분 가능 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. f ′ ( [ a , b ] ) ⊇ [ f ′ ( a ) , f ′ ( b ) ] ∪ [ f ′ ( b ) , f ′ ( a ) ] {\displaystyle f'([a,b])\supseteq [f'(a),f'(b)]\cup [f'(b),f'(a)]} 이를 다르부 정리라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다. “수학용어”. 《대한수학회》. 2019년 3월 31일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 3월 31일에 확인함.  교육과학기술부. 《[별책8]수학과 교육과정(교육과학기술부 고시 제2011-361호)(최종수정)》. 2019년 3월 31일에 확인함.  Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 18쪽. ISBN 978-89-966211-8-8.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Intermediate value theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Intermediate value theorem”. 《PlanetMath》 (영어).  “Generalized intermediate value theorem”. 《PlanetMath》 (영어).