톰 공간

대수적 위상수학에서 톰 공간(Thom空間, 영어: Thom space)은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 파라콤팩트 공간 X {\displaystyle X} n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 다발 R n ↪ E ↠ π X {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow E\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,X} 그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 S n = R n ⊔ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\sqcup \{\infty \}} 를 올로 하는 올다발 Sph ⁡ ( E ) ↠ X {\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\twoheadrightarrow X} 을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 톰 공간 Th ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {Th} (E)} 이라고 한다. Th ⁡ ( E ) := Sph ⁡ ( E ) { ( x , ∞ x ) : x ∈ X } {\displaystyle \operatorname {Th} (E):={\frac {\operatorname {Sph} (E)}{\{(x,\infty _{x})\colon x\in X\}}}} E {\displaystyle E} 위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적 η ∈ Γ ( E ∗ ⊗ E ∗ ) {\displaystyle \eta \in \Gamma (E^{*}\otimes E^{*})} 을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 올 E x {\displaystyle E_{x}} 의 닫힌 공 Ball ⁡ ( π ) := { e ∈ E x : η ( e , e ) ≤ 1 } {\displaystyle \operatorname {Ball} (\pi ):=\{e\in E_{x}\colon \eta (e,e)\leq 1\}} 및 초구 Sph ⁡ ( π ) := { e ∈ E x : η ( e , e ) = 1 } {\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi ):=\{e\in E_{x}\colon \eta (e,e)=1\}} 을 정의할 수 있다. 이 둘은 X {\displaystyle X} 위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. Sph ⁡ ( π ) ⊆ Ball ⁡ ( π ) ⊆ E {\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )\subseteq \operatorname {Ball} (\pi )\subseteq E} 톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다. Th ⁡ ( π ) = Ball ⁡ ( π ) Sph ⁡ ( π ) {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )={\frac {\operatorname {Ball} (\pi )}{\operatorname {Sph} (\pi )}}} 이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 Sph ⁡ ( π ) {\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )} 의 동치류이다. 두 파라콤팩트 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} ϖ : F ↠ Y {\displaystyle \varpi \colon F\twoheadrightarrow Y} 가 주어졌다고 하자. 곱공간 X × Y {\displaystyle X\times Y} 으로부터의 사영 사상 proj X : X × Y ↠ X {\displaystyle \operatorname {proj} _{X}\colon X\times Y\twoheadrightarrow X} proj Y : X × Y ↠ Y {\displaystyle \operatorname {proj} _{Y}\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y} 을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김 proj X ∗ ⁡ π : E ↠ X × Y {\displaystyle \operatorname {proj} _{X}^{*}\pi \colon E\twoheadrightarrow X\times Y} proj X ∗ ⁡ ϖ : F ↠ X × Y {\displaystyle \operatorname {proj} _{X}^{*}\varpi \colon F\twoheadrightarrow X\times Y} 을 구한다. 이들의 직합을 π ⊠ ϖ {\displaystyle \pi \boxtimes \varpi } 로 표기하겠다. π ⊠ ϖ : proj X ∗ ⁡ E ⊕ proj X ∗ ⁡ F ↠ X × Y {\displaystyle \pi \boxtimes \varpi \colon \operatorname {proj} _{X}^{*}E\oplus \operatorname {proj} _{X}^{*}F\twoheadrightarrow X\times Y} 이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 Th ⁡ ( π ⊠ ϖ ) {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi \boxtimes \varpi )} 는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다. Th ⁡ ( π ⊠ ϖ ) = Th ⁡ ( π ) ∧ Th ⁡ ( ϖ ) {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi \boxtimes \varpi )=\operatorname {Th} (\pi )\wedge \operatorname {Th} (\varpi )} 특히, 만약 ϖ {\displaystyle \varpi } 가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자. Y = { ∙ } {\displaystyle Y=\{\bullet \}} F = Y × R n {\displaystyle F=Y\times \mathbb {R} ^{n}} 그렇다면, ϖ {\displaystyle \varpi } 의 톰 공간은 초구이므로, ( Th ⁡ ( ϖ ) = S n {\displaystyle \operatorname {Th} (\varpi )=\mathbb {S} ^{n}} ) 다음을 얻는다. Th ⁡ ( E ⊕ R n ) = Th ⁡ ( E ) ∧ S n = Σ n ⁡ ( Th ⁡ ( E ) ) {\displaystyle \operatorname {Th} (E\oplus \mathbb {R} ^{n})=\operatorname {Th} (E)\wedge \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {\Sigma } ^{n}(\operatorname {Th} (E))} 여기서 Σ n {\displaystyle \operatorname {\Sigma } ^{n}} 은 축소 현수를 n {\displaystyle n} 번 취한 것이다. 두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} ϖ : F ↠ Y {\displaystyle \varpi \colon F\twoheadrightarrow Y} 및 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 위의 벡터 다발 사상 ϕ : E → F {\displaystyle \phi \colon E\to F} 가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수 Th ⁡ ( f , ϕ ) : Th ⁡ ( π ) → Th ⁡ ( ϖ ) {\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon \operatorname {Th} (\pi )\to \operatorname {Th} (\varpi )} Th ⁡ ( f , ϕ ) : ( x , e ) ↦ ( f ( x ) , ϕ ( e ) ) ( e ∈ E x ) {\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon (x,e)\mapsto (f(x),\phi (e))\qquad (e\in E_{x})} Th ⁡ ( f , ϕ ) : ∞ ↦ ∞ {\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon \infty \mapsto \infty } 가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자 V e c t B u n f i n → Top ∙ {\displaystyle \operatorname {VectBun_{fin}} \to \operatorname {Top} _{\bullet }} 를 정의한다. 초구 다발 Sph ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {Sph} (E)} 의 무한대 단면을 s ∞ : B → Sph ⁡ ( E ) {\displaystyle s_{\infty }\colon B\to \operatorname {Sph} (E)} , 영단면을 s 0 : B → E ⊊ Sph ⁡ ( E ) {\displaystyle s_{0}\colon B\to E\subsetneq \operatorname {Sph} (E)} 라고 적자. 톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다. H ~ ∙ ⁡ ( Th ⁡ ( E ) ) = H ∙ ⁡ ( Sph ⁡ ( E ) , s ∞ ( B ) ) ≅ H ∙ ⁡ ( Sph ⁡ ( E ) , s 0 ( B ) ) ≅ H ∙ ⁡ ( Sph ⁡ ( E ) , Sph ⁡ ( E ) ∖ s 0 ( B ) ) ≅ H ∙ ⁡ ( E , E ∖ s 0 ( B ) ) {\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{\bullet }(\operatorname {Th} (E))=\operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s_{\infty }(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus s_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(E,E\setminus s_{0}(B)\right)} 유한 차원 실수 벡터 다발 E ↠ B {\displaystyle E\twoheadrightarrow B} 및 음이 아닌 정수 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 에 대하여, 다음과 같은 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} -벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다. H k ⁡ ( B ; F 2 ) ≅ H ~ k + n ⁡ ( Th ⁡ ( E ) ; F 2 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {\tilde {H}} ^{k+n}(\operatorname {Th} (E);\mathbb {F} _{2})} 여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 톰 동형(영어: Thom isomorphism)이라고 한다. 톰 동형은 구체적으로 어떤 원소 Φ ∈ H n ⁡ ( E , E ∖ s 0 ( B ) ; F 2 ) {\displaystyle \Phi \in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus s_{0}(B);\mathbb {F} _{2})} 에 의한 합곱으로 주어진다. Φ ⌣ : H k ⁡ ( E ; F 2 ) → H k + n ⁡ ( E , E ∖ s 0 ( B ) ; F 2 ) {\displaystyle \Phi \smile \colon \operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s_{0}(B);\mathbb {F} _{2})} 만약 E ↠ B {\displaystyle E\twoheadrightarrow B} 가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환 R {\displaystyle R} 계수에 대하여 존재한다. Φ ⌣ π ∗ ( − ) : H k ⁡ ( B ; R ) → H k + n ⁡ ( E , E ∖ s 0 ( B ) ; R ) {\displaystyle \Phi \smile \pi ^{*}(-)\colon \operatorname {H} ^{k}(B;R)\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s_{0}(B);R)} 파라콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 위의 자명한 벡터 다발 π : X × R n {\displaystyle \pi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}} 의 톰 공간을 생각하자. 이 경우 Ball ⁡ ( π ) = X × B n {\displaystyle \operatorname {Ball} (\pi )=X\times \mathbb {B} ^{n}} Sph ⁡ ( π ) = X × S n − 1 {\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n-1}} 이며, Th ⁡ ( π ) = X × S n / ( X × { ∙ S n } ) {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n}/(X\times \{\bullet _{\mathbb {S} ^{n}}\})} 이다. 여기서 ∙ S n ∈ S n {\displaystyle \bullet _{\mathbb {S} ^{n}}\in \mathbb {S} ^{n}} 은 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 에 부여한 임의의 밑점으로, 공 B n {\displaystyle \mathbb {B} ^{n}} 의 경계에 속한다. 만약 X + = X ⊔ { ∙ X } {\displaystyle X_{+}=X\sqcup \{\bullet _{X}\}} 가 X {\displaystyle X} 에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는 Th ⁡ ( π ) ≅ X + ∧ S n {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong X_{+}\wedge \mathbb {S} ^{n}} 가 된다. 여기서 ≅ {\displaystyle \cong } 은 위상 동형이며, ∧ {\displaystyle \wedge } 는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다. 특히, 만약 n = 0 {\displaystyle n=0} 일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은 Th ⁡ ( π ) ≅ X + ∧ S 0 ≅ X + {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong X_{+}\wedge \mathbb {S} ^{0}\cong X_{+}} 이다. 콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 위의 벡터 다발 π : E ↠ X {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X} 의 톰 공간 Th ⁡ ( π ) {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )} 은 E {\displaystyle E} 의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다. Th ⁡ ( π ) ≅ E + {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong E^{+}} 분류 공간 O ⁡ ( n ) ↪ EO ⁡ ( n ) ↠ BO ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {EO} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)} 위의 연관 벡터 다발 R n ↪ ( EO ⁡ ( n ) × O ⁡ ( n ) R n ) ↠ BO ⁡ ( n ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)} 의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자. MO ⁡ ( n ) := Th ⁡ ( EO ⁡ ( n ) × O ⁡ ( n ) R n ) {\displaystyle \operatorname {MO} (n):=\operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})} 이들 사이에는 자연스러운 사상 Σ MO ⁡ ( n ) → MO ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \Sigma \operatorname {MO} (n)\to \operatorname {MO} (n+1)} 이 존재하여, 스펙트럼 MO {\displaystyle \operatorname {MO} } 를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다. 르네 톰이 1954년에 도입하였다. 보충 경계 코호몰로지 연산 Thom, René (1954). “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (프랑스어) 28: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. ISSN 0010-2571. MR 0061823. 2016년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 27일에 확인함.  Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285.  “Thom space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Thom space”. 《nLab》 (영어).  Thom, Konrad (2012년 6월 13일). “Thom spaces” (영어).  Mathew, Akhil (2010년 12월 11일). “The Thom isomorphism theorem”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).  “Explanation for the Thom-Pontryagin construction (and its generalisations)” (영어). Math Overflow.