유사 거리 공간

기하학에서 유사 거리 공간(類似距離空間, 영어: pseudometric space)은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 거리 공간이라고 한다. 집합 X {\displaystyle X} 위의 확장 유사 거리 함수(擴張類似距離函數, 영어: extended pseudometric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수 d : X × X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty ]} 이다.:12, §0.13 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, d ( x , x ) = 0 {\displaystyle d(x,x)=0} (대칭성) 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} (삼각 부등식) 임의의 x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} 에 대하여, d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z ) {\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)} 둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다. (삼각 부등식) d ( z , y ) + d ( y , x ) ≥ d ( x , z ) {\displaystyle d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)} 여기서 y = x {\displaystyle y=x} 로 잡으면 d ( y , x ) = d ( x , y ) {\displaystyle d(y,x)=d(x,y)} 가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 만약 d {\displaystyle d} 의 공역을 음이 아닌 확장된 실수 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 대신 음이 아닌 실수 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 로 대체할 경우, 유사 거리 함수의 개념을 얻는다. 만약 (확장) 유사 거리 함수 d {\displaystyle d} 가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, (확장) 거리 함수라 한다. (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y {\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y} (확장) 유사 거리 공간(영어: (extended) pseudometric space) ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.:12, §0.13 확장 유사 거리 공간 X {\displaystyle X} 에서, 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 를 중심으로 하는, 반지름이 r ∈ ( 0 , ∞ ] {\displaystyle r\in (0,\infty ]} 인 열린 공 ball ⁡ ( x , r ) {\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)} 는 다음과 같다. B r ( x ) = { y ∈ X : d ( x , y ) < r } {\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}} 유사 거리 공간 X {\displaystyle X} 의 유계 집합 S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다. sup { d ( x , s ) : s ∈ S } < ∞ {\displaystyle \sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty } 인 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다. 확장 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 유사 거리 위상(類似距離位相, 영어: pseudometric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} 이다. 모든 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 에 대하여, ball ⁡ ( x , r x ) ⊆ U {\displaystyle \operatorname {ball} (x,r_{x})\subseteq U} 인 r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} 가 존재한다. 이에 따라 모든 확장 유사 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다. 그러나 거리 공간의 경우와 달리 이는 콜모고로프 공간이 되지 않을 수 있다. 확장 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 지름(영어: diameter) diam ⁡ X {\displaystyle \operatorname {diam} X} 는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다. diam ⁡ X = sup x , y ∈ X d ( x , y ) ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \operatorname {diam} X=\sup _{x,y\in X}d(x,y)\in [0,\infty ]} 마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다. 지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 유계 유사 거리 공간 이라고 한다. 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 위에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다. x ∼ y ⟺ d ( x , y ) = 0 ∀ x , y ∈ X {\displaystyle x\sim y\iff d(x,y)=0\qquad \forall x,y\in X} 그렇다면, 이에 대한 몫집합 X / ∼ {\displaystyle X/\sim } 위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다. d ( [ x ] ∼ , [ y ] ∼ ) = d ( x , y ) ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d([x]_{\sim },[y]_{\sim })=d(x,y)\qquad \forall x,y\in X} 이에 따라 X / ∼ {\displaystyle X/\sim } 은 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 의 임의의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, ( Y , d | Y × Y ) {\displaystyle (Y,d|_{Y\times Y})} 는 유사 거리 공간을 이룬다. 모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다. 파라콤팩트 공간이다. 완전 정규 공간이다. 제1 가산 공간이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. 거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간 불 대수 B {\displaystyle B} 위의 유한 유한 가법 측도 μ : B → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \mu \colon B\to [0,\infty )} 가 주어졌을 때, Σ {\displaystyle \Sigma } 위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다. d ( A , B ) = d ( A △ B ) = d ( A ∖ B ) + d ( B ∖ A ) {\displaystyle d(A,B)=d(A\bigtriangleup B)=d(A\setminus B)+d(B\setminus A)} 여기서 △ {\displaystyle \bigtriangleup } 은 대칭차이다. 함수해석학에서, Lp 거리 공간 L p ( X ) {\displaystyle L^{p}(X)} 은 어떤 함수 공간 L p ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X)} 의 거리 공간화로 정의되며, L p ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X)} 는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다. Doob, Joseph Leo (1994). 《Measure theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 143. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0877-8. ISBN 978-0-387-94055-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0791.28001.  “Pseudo-metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudometric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Definition: pseudometric”. 《ProofWiki》 (영어).