소수 모듈러 형식

수학에서 모듈러 형식은 복소해석학 및 정수론에서 중요한 상반평면에 있는 특정 복소 해석 함수이다. 소수 p {\displaystyle p} 를 법으로 환산하면 복소 모듈러 형식의 고전 이론과 모듈러 형식의 p {\displaystyle p} -진 이론에 대한 비슷한 이론이 있다. 모듈러 형식은 해석 함수이므로 푸리에 급수 표현을 갖는다. 모듈러 형식도 모듈러 군의 군 작용에 대한 함수 방정식을 만족하므로 이 푸리에 급수는 항 q = e 2 π i z {\displaystyle q=e^{2\pi iz}} 으로 표현될 수 있다. 그래서 만약 f {\displaystyle f} 가 모듈러 형식이면 f ( z ) = ∑ n ∈ N c ( n ) q n {\displaystyle f(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}} 이 성립하는 계수들 { c ( n ) } {\displaystyle \{c(n)\}} 이 있다. 모듈러 형식들 가운데 q {\displaystyle q} -급수의 계수가 모두 정수인 경우만 모은 모듈러 형식 공간의 부분 공간을 고려하자. 그러면 모든 계수를 법 2로 줄이는 것이 가능하며, 이는 법 2로 축소한 모듈러 형식을 제공한다. 모듈러 형식은 G 2 {\displaystyle G_{2}} , G 3 {\displaystyle G_{3}} 로 생성된다. 그러면 G 2 {\displaystyle G_{2}} , G 3 {\displaystyle G_{3}} 를 q {\displaystyle q} -급수의 계수가 모두 정수인 E 2 {\displaystyle E_{2}} , E 3 {\displaystyle E_{3}} 로 정규화 할 수 있다. 이것은 법 2로 축소될 수 있는 모듈러 형식들의 생성원이다. 밀러 기저에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있다. 일단 법 2를 줄이면, E 2 {\displaystyle E_{2}} 와 E 3 {\displaystyle E_{3}} 는 그냥 1 {\displaystyle 1} 이다. 즉, 자명한 축소이다. 자명하지 않은 축소를 얻기 위해 수학자들은 모듈러 판별식 Δ {\displaystyle \Delta } 을 사용한다. Δ {\displaystyle \Delta } 는 E 2 {\displaystyle E_{2}} 와 E 3 {\displaystyle E_{3}} 이전에 "선험적인" 생성원으로 도입되었다. 따라서 모듈러 형식은 E 2 {\displaystyle E_{2}} , E 3 {\displaystyle E_{3}} , Δ {\displaystyle \Delta } 의 다항식으로 여겨진다. (일반적으로 C {\displaystyle \mathbb {C} } 위에서이지만, 축소를 위해 정수 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 를 통해 볼 수 있다.) 일단 법 2로 축소하면 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위에서 Δ {\displaystyle \Delta } 의 다항식이 된다. 모듈러 판별식은 무한 곱 Δ ( q ) = q ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 24 = ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) q n . {\displaystyle \Delta (q)=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}.} 으로 정의된다. 이 무한곱의 q {\displaystyle q} -급수 형태에서 계수는 일반적으로 라마누잔 타우 함수 τ {\displaystyle \tau } 에 해당한다. 콜베르그와 장-피에르 세르의 결과는 Δ ( q ) ≡ ∑ m = 0 ∞ q ( 2 m + 1 ) 2 mod 2 {\displaystyle \Delta (q)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }q^{(2m+1)^{2}}{\bmod {2}}} 임을 보여준다. 즉, 2를 법으로 Δ {\displaystyle \Delta } 의 q {\displaystyle q} -급수는 q {\displaystyle q} 홀수 제곱의 거듭제곱에. 헤케 연산자는 일반적으로 모듈러 형식에서 작동하는 가장 중요한 연산자로 여겨진다. 따라서 이를 법 2로 줄이려는 시도는 정당하다. 모듈러 형식 f {\displaystyle f} 의 헤케 연산자들은 다음과 같이 정의된다: n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대해 T n f ( z ) = n 2 k − 1 ∑ a ≥ 1 , a d = n , 0 ≤ b < d d − 2 k f ( a z + b d ) {\displaystyle T_{n}f(z)=n^{2k-1}\sum _{a\geq 1,\,ad=n,\,0\leq b<d}d^{-2k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)} . 헤케 연산자는 다음과 같이 q {\displaystyle q} -급수 위에서 정의할 수 있다: f ( z ) = ∑ n ∈ Z c ( n ) q n {\displaystyle f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c(n)q^{n}} 이면, T n f ( z ) = ∑ m ∈ Z γ ( m ) q m {\displaystyle T_{n}f(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\gamma (m)q^{m}} , 여기서 γ ( z ) = ∑ a | ( n , m ) , a ≥ 1 a 2 k − 1 c ( m n a 2 ) . {\displaystyle \gamma (z)=\sum _{a|(n,m),\,a\geq 1}a^{2k-1}c\left({\frac {mn}{a^{2}}}\right).} 모듈러 형식이 q {\displaystyle q} -급수을 사용하여 축소되었기 때문에, q {\displaystyle q} -급수 정의를 채택하는 것은 의미가 있다. 이 합은 소수 헤케 연산자(즉, m {\displaystyle m} 이 소수일 때)이 많이 단순화 하기 때문에(더하는 항이 2개뿐이다.), 이는 법 2로 축소에 하기 아주 좋다. 더하는 항이 3개 이상인 경우 법 2로 많은 상쇄가 발생하며 과정의 유의미성이 의심될 수 있다. 따라서 법 2 헤케 연산자는 일반적으로 소수에 대해서만 정의한다. q {\displaystyle q} -표현 f ( q ) = ∑ n ∈ N c ( n ) q n {\displaystyle f(q)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}} 을 가진 법 2 모듈러 형식 f {\displaystyle f} 에 대해, f {\displaystyle f} 위의 헤케 연산자 T p {\displaystyle T_{p}} 는 T p ¯ | f ( q ) = ∑ n ∈ N γ ( n ) q n {\displaystyle {\overline {T_{p}}}|f(q)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\gamma (n)q^{n}} 로 정의된다. 여기서 γ ( n ) = { c ( n p )  if  p ∤ n c ( n p ) + c ( n / p )  if  p ∣ n  and  p  an odd prime . {\displaystyle \gamma (n)={\begin{cases}c(np)&{\text{ if }}p\nmid n\\c(np)+c(n/p)&{\text{ if }}p\mid n\end{cases}}\quad {\text{ and }}p{\text{ an odd prime}}.} 법 2 헤케 연산자는 영인자를 가지고 있다는 흥미로운 성질에 유의하는 것이 중요하다. 영인자의 위수를 찾는 것은 장-피에르 세르와 장-루이 니콜라가 2012년에 발표한 논문에서 해결한 문제이다. 헤케 대수는 법 2로 축소될 수도 있다. 그것은 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위에서 법 2 헤케 연산자에 의해 생성된 대수로 정의된다. 에서 세르와 니콜라의 표기법에 따라 F = ⟨ Δ k ∣ k  odd ⟩ {\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\langle \Delta ^{k}\mid k{\text{ odd}}\right\rangle } , 즉 F = ⟨ Δ , Δ 3 , Δ 5 , Δ 7 , Δ 9 , … ⟩ {\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\Delta ^{7},\Delta ^{9},\dots \right\rangle } . dim ⁡ ( F ( n ) ) = n {\displaystyle \dim({\mathcal {F}}(n))=n} 이도록 F ( n ) = ⟨ Δ , Δ 3 , Δ 5 , … , Δ 2 n − 1 ⟩ {\displaystyle {\mathcal {F}}(n)=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\dots ,\Delta ^{2n-1}\right\rangle } 로 쓰면서, 주어진 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 그리고 T p {\displaystyle T_{p}} 애 대해 A ( n ) {\displaystyle A(n)} 를 End ( F ( n ) ) {\displaystyle {\text{End}}\left({\mathcal {F}}(n)\right)} 의 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} -부분 대수로 정의한다. 즉, 만약 m ( n ) = { T p 1 ⋅ T p 2 ⋯ T p k ∣ p 1 , p 2 , … , p k ∈ P , k ≥ 1 } {\displaystyle {\mathfrak {m}}(n)=\{T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}}\mid p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 1\}} 이 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 부분 선형 공간이면, A ( n ) = F 2 ⊕ m ( n ) {\displaystyle A(n)=\mathbb {F} _{2}\oplus {\mathfrak {m}}(n)} . 마지막으로 헤케 대수 A {\displaystyle A} 를 다음과 같이 정의한다: F ( n ) ⊂ F ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(n)\subset {\mathcal {F}}(n+1)} 이므로, A ( n ) {\displaystyle A(n)} 의 원소를 얻기 위해 A ( n + 1 ) {\displaystyle A(n+1)} 의 원소를 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 로 제한할 수 있다. 사상 ϕ n : A ( n + 1 ) → A ( n ) {\displaystyle \phi _{n}:A(n+1)\to A(n)} 을 F ( n ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(n)} 에 대한 제한으로 생각할 때, ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} 는 준동형사상이다. A ( 1 ) {\displaystyle A(1)} 이 항등원 또는 0이므로 A ( 1 ) ≅ F 2 {\displaystyle A(1)\cong \mathbb {F} _{2}} 이다. 따라서 사슬 ⋯ → A ( n + 1 ) → A ( n ) → A ( n − 1 ) → ⋯ → A ( 2 ) → A ( 1 ) ≅ F 2 {\displaystyle \dots \to A(n+1)\to A(n)\to A(n-1)\to \dots \to A(2)\to A(1)\cong \mathbb {F} _{2}} 을 얻는다. 그런 다음 헤케 대수 A {\displaystyle A} 를 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 일 때 A ( n ) {\displaystyle A(n)} 위의 사영 극한으로 정의하자. 명시적으로 이것은 A = lim ← n ∈ N ⁡ A ( n ) = { T p 1 ⋅ T p 2 ⋯ T p k | p 1 , p 2 , … , p k ∈ P , k ≥ 0 } {\displaystyle A=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }A(n)=\left\lbrace T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}}|p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 0\right\rbrace } 을 의미한다. 헤케 대수 A {\displaystyle A} 의 주요 성질은 이 대수가 T 3 {\displaystyle T_{3}} 와 T 5 {\displaystyle T_{5}} 의 급수로 생성된다는 것이다. 즉, A = F 2 [ T p ∣ p ∈ P ] = F 2 [ [ T 3 , T 5 ] ] {\displaystyle A=\mathbb {F} _{2}\left[T_{p}\mid p\in \mathbb {P} \right]=\mathbb {F} _{2}\left[\left[T_{3},T_{5}\right]\right]} . 따라서 임의의 소수 p ∈ P {\displaystyle p\in \mathbb {P} } 에 대해, T p = ∑ i + j ≥ 1 a i j ( p ) T 3 i T 5 j {\displaystyle T_{p}=\sum _{i+j\geq 1}a_{ij}(p)T_{3}^{i}T_{5}^{j}} 이 성립하는 계수 a i j ( p ) ∈ F 2 {\displaystyle a_{ij}(p)\in \mathbb {F} _{2}} 를 찾을 수 있다. Stein, William (2007). 《Modular Forms, a Computational Approach》. Graduate Studies in Mathematics. Theorem 2.17. ISBN 978-0-8218-3960-7.  Stein, William (2007). 《Modular Forms, a Computational Approach》. Graduate Studies in Mathematics. Lemma 2.20. ISBN 978-0-8218-3960-7.  Kolberg, O. (1962). “Congruences for Ramanujan's function τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} ”. 《Årbok for Universitetet i Bergen Matematisk-naturvitenskapelig Serie》 (11). MR 0158873.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 38) (도움말) Serre, Jean-Pierre (1973). 《A course in arithmetic》. Springer-Verlag, New York-Heidelberg. 96쪽. ISBN 978-1-4684-9884-4.  Serre, Jean-Pierre (1973). 《A course in arithmetic》. Springer-Verlag, New York-Heidelberg. 100쪽. ISBN 978-1-4684-9884-4.  Nicolas, Jean-Louis; Serre, Jean-Pierre (2012). “Formes modulaires modulo 2: l'ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke”. 《Comptes Rendus Mathématique》 350 (7–8): 343–348. arXiv:1204.1036. Bibcode:2012arXiv1204.1036N. doi:10.1016/j.crma.2012.03.013. ISSN 1631-073X.  Nicolas, Jean-Louis; Serre, Jean-Pierre (2012). “Formes modulaires modulo 2: structure de l'algèbre de Hecke”. 《Comptes Rendus Mathématique》 350 (9–10): 449–454. arXiv:1204.1039. Bibcode:2012arXiv1204.1039N. doi:10.1016/j.crma.2012.03.019. ISSN 1631-073X.