교환자 부분군

군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 영어: commutator subgroup)은 교환자들로 생성되는 부분군이다. 군 G {\displaystyle G} 의 교환자 부분군 G ( 1 ) {\displaystyle G^{(1)}} 은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다. [ g 1 , h 1 ] [ g 2 , h 2 ] [ g 3 , h 3 ] … [ g n , h n ] ∈ G ( 1 ) ⊂ G {\displaystyle [g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}][g_{3},h_{3}]\dots [g_{n},h_{n}]\in G^{(1)}\subset G} g 1 , g 2 , … , g n , h 1 , h 2 , … , h n ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\in G} 여기서 [ g , h ] = g − 1 h − 1 g h {\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh} 는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다. 군 G {\displaystyle G} 의 n차 유도 부분군(n次誘導部分群, 영어: nth derived subgroup) G ( n ) {\displaystyle G^{(n)}} 은 다음과 같이 정의된다. G ( n + 1 ) = ( G ( n ) ) ( 1 ) {\displaystyle G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}} 즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다. G = G ( 0 ) ▹ G ( 1 ) ▹ G ( 2 ) ▹ ⋯ {\displaystyle G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots } 이를 유도열(誘導列, 영어: derived series)이라고 한다. 유도열을 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다. G ( 0 ) = G {\displaystyle G^{(0)}=G} 따름 순서수 α + 1 {\displaystyle \alpha +1} 에 대하여, G ( α + 1 ) = ( G ( α ) ) ( 1 ) {\displaystyle G^{(\alpha +1)}=(G^{(\alpha )})^{(1)}} 극한 순서수 α {\displaystyle \alpha } 에 대하여, G ( α ) = ⋂ β < α G ( β ) {\displaystyle G^{(\alpha )}=\bigcap _{\beta <\alpha }G^{(\beta )}} 이를 초한 유도열(超限誘導列, 영어: transfinite derived series)이라고 한다. 유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 모임을 정의할 수 있다. 교환자 부분군이 자명군인 군을 아벨 군이라 한다. 교환자 부분군이 스스로인 군을 완전군이라고 한다. 어떤 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 G ( n ) = 1 {\displaystyle G^{(n)}=1} 인 군 G {\displaystyle G} 를 가해군이라고 한다. 어떤 순서수 α ∈ Ord {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} } 에 대하여 G ( α ) = 1 {\displaystyle G^{(\alpha )}=1} 인 군 G {\displaystyle G} 를 준 아벨 군(영어: hypo-Abelian group)이라고 한다. 정의에 따라 아벨 군 ⊊ 가해군 ⊊ 준 아벨 군 임을 알 수 있다. 군 G {\displaystyle G} 가 주어졌을 때, 교환자 부분군 G ( 1 ) {\displaystyle G^{(1)}} 은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군 G ab = G / G ( 1 ) {\displaystyle G^{\operatorname {ab} }=G/G^{(1)}} 은 아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(Abel化, 영어: abelianization)라고 한다. 범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주 Grp {\displaystyle \operatorname {Grp} } 에서 아벨 군과 군 준동형의 범주 Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } 로 가는 함자를 이룬다. ( − ) ab : Grp → Ab {\displaystyle (-)^{\operatorname {ab} }\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Ab} } 아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자 I : Ab → Grp {\displaystyle I\colon \operatorname {Ab} \to \operatorname {Grp} } 가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다. ( − ) ab ⊣ I {\displaystyle (-)^{\operatorname {ab} }\dashv I} 호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지 G ab = H 1 ⁡ ( G ; Z ) {\displaystyle G^{\operatorname {ab} }=\operatorname {H} _{1}(G;\mathbb {Z} )} 와 같다. 일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다. 대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간 X {\displaystyle X} 의 기본군 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지 H 1 ⁡ ( X ; Z ) {\displaystyle \operatorname {H} _{1}(X;\mathbb {Z} )} 이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형의 핵이다. 멱영군 Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 3판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.  “Commutator subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Lie group, derived”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.