토메 함수

수학에서 토메 함수(영어: Thomae’s function)는 디리클레 함수와 유사하게 정의된 함수의 하나이다. 토메 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 는 다음과 같다. f ( x ) = { 1 q x = p q , p , q ∈ Z , gcd { p , q } = 1 , q > 0 0 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}},\;p,q\in \mathbb {Z} ,\;\gcd\{p,q\}=1,\;q>0\\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} 토메 함수 f {\displaystyle f} 는 모든 유리수점에서 불연속이며, 모든 무리수점에서 연속이다. 이는 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 에 대하여, lim y → x f ( y ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\to x}f(y)=0} 이기 때문이다. 증명: 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 및 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 1 n < ϵ {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n}}<\epsilon } 인 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 를 취하자. 분모가 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을 A = Z ∪ 1 2 Z ∪ ⋯ ∪ 1 n Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} \cup {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \cup \cdots \cup {\frac {1}{n}}\mathbb {Z} } 라고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는 1 n 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n^{2}}}} 이상이므로, A {\displaystyle A} 는 극한점을 갖지 않는다. 특히, x {\displaystyle x} 는 A {\displaystyle A} 의 극한점이 아니므로, ( ( x − δ , x ) ∪ ( x , x + δ ) ) ∩ A = ∅ {\displaystyle ((x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta ))\cap A=\varnothing } 인 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 y ∈ ( x − δ , x ) ∪ ( x , x + δ ) {\displaystyle y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )} 에 대하여, y {\displaystyle y} 는 무리수이거나, y {\displaystyle y} 는 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 n {\displaystyle n} 보다 큰 유리수이므로, | f ( y ) | = f ( y ) < 1 n < ϵ {\displaystyle |f(y)|=f(y)<{\frac {1}{n}}<\epsilon } 이다. 만약 x ∈ Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q} } 라면 lim y → x f ( y ) = 0 ≠ f ( x ) {\displaystyle \lim _{y\to x}f(y)=0\neq f(x)} 이므로 x {\displaystyle x} 에서 불연속이다. 만약 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 라면 lim y → x f ( y ) = 0 = f ( x ) {\displaystyle \lim _{y\to x}f(y)=0=f(x)} 이므로 x {\displaystyle x} 에서 연속이다. 토메 함수 f {\displaystyle f} 는 모든 유리수점에서 엄격 극댓값을 갖는다. 증명: 임의의 x ∈ Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q} } 에 대하여, lim y → x f ( y ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\to x}f(y)=0} f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} 이므로, f ( y ) < f ( x ) ∀ y ∈ ( x − δ , x ) ∪ ( x , x + δ ) {\displaystyle f(y)<f(x)\qquad \forall y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )} 인 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 가 존재한다. 토메 함수 f {\displaystyle f} 는 모든 점에서 미분 불가능이다. 증명: f {\displaystyle f} 는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능이다. 이제, 임의의 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 에 대하여, x {\displaystyle x} 의 소수점 표기를 x = x 0 . x 1 x 2 ⋯ {\displaystyle x=x_{0}.x_{1}x_{2}\cdots } 라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열 ( y n ) n = 0 ∞ ⊆ Q {\displaystyle (y_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {Q} } 을 취하자. y n = x 0 . x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle y_{n}=x_{0}.x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} 그렇다면, ( y n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (y_{n})_{n=0}^{\infty }} 은 x {\displaystyle x} 로 수렴하며, 임의의 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 에 대하여, | f ( y n ) − f ( x ) y n − x | = f ( y n ) 0.0 ⋯ 0 x n + 1 x n + 2 ⋯ ≥ 1 / 10 n 1 / 10 n = 1 {\displaystyle \left|{\frac {f(y_{n})-f(x)}{y_{n}-x}}\right|={\frac {f(y_{n})}{0.0\cdots 0x_{n+1}x_{n+2}\cdots }}\geq {\frac {1/10^{n}}{1/10^{n}}}=1} 이다. 따라서 lim sup y → x | f ( y ) − f ( x ) y − x | ≥ lim sup n → ∞ | f ( y n ) − f ( x ) y n − x | ≥ lim inf n → ∞ | f ( y n ) − f ( x ) y n − x | ≥ 1 {\displaystyle \limsup _{y\to x}\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\geq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f(y_{n})-f(x)}{y_{n}-x}}\right|\geq \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {f(y_{n})-f(x)}{y_{n}-x}}\right|\geq 1} 이다. 반면, x {\displaystyle x} 로 수렴하는 임의의 무리수 수열 ( z n ) n = 0 ∞ ⊆ R ∖ Q {\displaystyle (z_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 을 취했을 경우, 임의의 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 에 대하여, | f ( z n ) − f ( x ) z n − x | = 0 {\displaystyle \left|{\frac {f(z_{n})-f(x)}{z_{n}-x}}\right|=0} 이므로, lim inf y → x | f ( y ) − f ( x ) y − x | ≤ lim n → ∞ | f ( z n ) − f ( x ) z n − x | = 0 {\displaystyle \liminf _{y\to x}\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\leq \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(z_{n})-f(x)}{z_{n}-x}}\right|=0} 이다. 따라서, 극한 lim y → ∞ f ( y ) − f ( x ) y − x {\displaystyle \lim _{y\to \infty }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}} 은 존재하지 않는다. 토메 함수 f {\displaystyle f} 는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 또한, ∫ R f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)dx=0} 이다. 증명: f {\displaystyle f} 의 불연속점의 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서 f {\displaystyle f} 는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서 f {\displaystyle f} 의 닫힌구간에서의 적분은 0이며, ∫ R f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a 0 f ( x ) d x + lim b → ∞ ∫ 0 b f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{0}f(x)dx+\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}f(x)dx=0} 이다. 카를 요하네스 토메(독일어: Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다. 칸토어 함수 디리클레 함수 Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4 Michael Spivak, Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9 Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5 “Dirichlet-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.