케일리-딕슨 구성

추상대수학에서 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson構成, 영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.:160–164, §Ⅱ.2.5 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다. 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌다고 하자. 그 위의 *-대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. K {\displaystyle K} -가군 A {\displaystyle A} K {\displaystyle K} -가군 준동형 ⋆ : A ⊗ K A → A {\displaystyle \star \colon A\otimes _{K}A\to A} . (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.) K {\displaystyle K} -가군 준동형 ( − ) ∗ : A → A {\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A} . 이는 다음 두 조건을 만족시킨다. ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ ∀ x , y ∈ A {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}\qquad \forall x,y\in A} x ∗ ∗ = x ∀ x ∈ A {\displaystyle x^{**}=x\qquad \forall x\in A} 또한, K {\displaystyle K} 의 가역원 μ ∈ Unit ⁡ ( K ) {\displaystyle \mu \in \operatorname {Unit} (K)} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle K} -가군의 직합 A ⊕ A {\displaystyle A\oplus A} 위에 다음과 같은 K {\displaystyle K} -대수 구조 및 대합을 줄 수 있다. ( x , y ) ( x ′ , y ′ ) = ( x x ′ − μ y ′ ∗ y , y ′ x + y x ′ ∗ ) {\displaystyle (x,y)(x',y')=(xx'-\mu y'^{*}y,y'x+yx'^{*})} ( x , y ) ∗ = ( x ∗ , − y ) {\displaystyle (x,y)^{*}=(x^{*},-y)} 즉, 새 원소 i = ( 0 , 1 ) {\displaystyle i=(0,1)} 를 추가하며, ( a , b ) = a + b i {\displaystyle (a,b)=a+bi} 로 쓰면, 모든 a , b , c ∈ A {\displaystyle a,b,c\in A} 에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다. a i = i a ∗ {\displaystyle ai=ia^{*}} a ( b i ) = ( b a ) i {\displaystyle a(bi)=(ba)i} ( a i ) b = ( a b ∗ ) i {\displaystyle (ai)b=(ab^{*})i} ( a i ) ( b i ) = μ b ∗ a {\displaystyle (ai)(bi)=\mu b^{*}a} i ∗ = − i {\displaystyle i^{*}=-i} 그렇다면 이는 *-대수 CD ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {CD} (A)} 를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 *-대수 준동형 A → CD ⁡ ( A ) {\displaystyle A\to \operatorname {CD} (A)} 가 주어진다. 케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를 i ↦ α i {\displaystyle i\mapsto \alpha i} 와 같이 재정의할 경우, μ ↦ μ / α 2 {\displaystyle \mu \mapsto \mu /\alpha ^{2}} 가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군의 원소 [ μ ] ∈ Unit ⁡ ( K ) / Unit ⁡ ( K ) 2 {\displaystyle [\mu ]\in \operatorname {Unit} (K)/\operatorname {Unit} (K)^{2}} 에 의하여 분류된다. 특히, 이차 폐체의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다. 유사환 R {\displaystyle R} 위의 대합 대수 A {\displaystyle A} 및 그 케일리-딕슨 대수 CD ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {CD} (A)} 에 대하여, A {\displaystyle A} 가 다음 조건을 만족시킨다면, CD ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {CD} (A)} 는 다음과 같은 성질을 만족시킨다. 여기서 ∗ {\displaystyle *} -조건은 다음과 같다. 모든 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 에 대하여, 0 = [ a + a ∗ , b ] = [ a a ∗ , b ] = ( a + a ∗ , b , c ) = ( a a ∗ , b , c ) = ( b , a + a ∗ , c ) = ( b , a a ∗ , c ) = ( b , c , a + a ∗ ) = ( b , c , a a ∗ ) {\displaystyle 0=[a+a^{*},b]=[aa^{*},b]=(a+a^{*},b,c)=(aa^{*},b,c)=(b,a+a^{*},c)=(b,aa^{*},c)=(b,c,a+a^{*})=(b,c,aa^{*})} 여기서 [ a , b ] = a b − b a {\displaystyle [a,b]=ab-ba} ( a , b , c ) = ( a b ) c − a ( b c ) {\displaystyle (a,b,c)=(ab)c-a(bc)} 는 각각 교환자 및 결합자이다. 표수가 2가 아닌 체 K {\displaystyle K} 위의 모든 합성 대수는 K {\displaystyle K} 로부터 0번 ~ 3번 ( μ {\displaystyle \mu } 를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 [[합성 대수는 K {\displaystyle K} 자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다. 실수 R {\displaystyle \mathbb {R} } 를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다. 이 대수들의 경우 ‖ a ‖ 2 = a ∗ a ∈ [ 0 , ∞ ) ⊂ R ⊂ CD n ⁡ ( R ) ∀ a ∈ CD n ⁡ ( R ) {\displaystyle \|a\|^{2}=a^{*}a\in [0,\infty )\subset \mathbb {R} \subset \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )\qquad \forall a\in \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )} 이므로, 곱셈과 호환되는 노름 ‖ ⋅ ‖ : CD n ⁡ ( R ) → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \|\cdot \|\colon \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )\to [0,\infty )} 을 줄 수 있다. 아서 케일리와 레너드 유진 딕슨 이 도입하였다. McCrimmon, Kevin (2004). 《A Taste of Jordan Algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95447-3. MR 2014924.  Dickson, Leonard Eugene (1919). “On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem”. 《Annals of Mathematics》. Second Series (영어) 20 (3): 155–171. doi:10.2307/1967865. ISSN 0003-486X. JSTOR 1967865.  Baez, John (2002). “The octonions”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 39 (2): 145–205. arXiv:math/0105155. Bibcode:2001math......5155B. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087.  오류 정정 Baez, John (2005). “Errata for "The octonions"”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 42 (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9.  Schafer, Richard D. (1966). 《An introduction to non-associative algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) 22. Academic Press. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 23일에 확인함.  “Cayley-Dickson construction”. 《nLab》 (영어).