등차수열

수학에서 등차수열(等差數列, 문화어: 같은차수렬, 영어: arithmetic progression, AP 또는 arithmetic sequence)은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공통으로 나타나는 차이므로, 공차(common difference)라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다. 수열의 첫항을 a 1 {\displaystyle a_{1}} , 공차를 d {\displaystyle d} 라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있다. a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} x {\displaystyle x} 번째 항을 a x {\displaystyle a_{x}} , 공차를 d {\displaystyle d} 라 하면 등차수열의 일반항은 다음과 같다. a n = a x + ( n − x ) d {\displaystyle a_{n}=a_{x}+(n-x)d} 물론 여기에 x = 1 {\displaystyle x=1} 을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다. a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} 이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면 a n = a 5 + ( n − 5 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{5}+(n-5)d} a n = 9 + 2 ( n − 5 ) {\displaystyle a_{n}=9+2(n-5)} a n = 2 n − 1 {\displaystyle a_{n}=2n-1} 등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 d {\displaystyle d} 로 표시한다. 예시를 들면 다음과 같다. 1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d {\displaystyle d} 는 1이다. 1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차 d {\displaystyle d} 는 0이다.(특히, 이런 수열을 상수수열이라고 한다) 2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d {\displaystyle d} 는 8이다. 342, 345, 348, 351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d {\displaystyle d} 는 3이다. 0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d {\displaystyle d} 는 -1이다. d {\displaystyle d} 는 a ( n + 1 ) {\displaystyle a_{(}n+1)} - a n {\displaystyle a_{n}} (단, n {\displaystyle n} 은 >= {\displaystyle >=} 2)로 구할 수 있다. 또는 a x {\displaystyle a_{x}} - a y {\displaystyle a_{y}} / {\displaystyle /} x {\displaystyle x} - y {\displaystyle y} 로 구할 수 있다. 세 수 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b {\displaystyle b} 를 a {\displaystyle a} 와 c {\displaystyle c} 의 등차중항이라고 한다. 세 수 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 에 대하여 b {\displaystyle b} 가 a {\displaystyle a} 와 c {\displaystyle c} 의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 b − a = c − b {\displaystyle b-a=c-b} 이므로 다음이 성립한다. b = a + c 2 {\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}} 등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b {\displaystyle b} 는 a {\displaystyle a} 와 c {\displaystyle c} 의 이등분점이다. 네 수 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} 가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b {\displaystyle b} 는 a {\displaystyle a} 와 d {\displaystyle d} 의 1:2 내분점이고 c {\displaystyle c} 는 a {\displaystyle a} 와 d {\displaystyle d} 의 2:1 내분점이다. 즉, b {\displaystyle b} 와 c {\displaystyle c} 는 삼등분점이 된다. 수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다. 등차급수(영어: arithmetic series)는 다음과 같은 공식으로 나타난다. 초항부터 n번째 항까지의 합 S n {\displaystyle S_{n}} 은 S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}} 이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다. S n = a 1 + a 2 + ⋯ + a n − 1 + a n {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}} 은, 즉 = a 1 + ( a 1 + d ) + ⋯ + { a 1 + ( n − 2 ) d } + { a 1 + ( n − 1 ) d } {\displaystyle =a_{1}+(a_{1}+d)+\dots +\{a_{1}+(n-2)d\}+\{a_{1}+(n-1)d\}} S n = a n + a n − 1 + ⋯ + a 2 + a 1 {\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{2}+a_{1}} 은, 즉 = { a 1 + ( n − 1 ) d } + { a 1 + ( n − 2 ) d } + ⋯ + ( a 1 + d ) + a 1 {\displaystyle =\{a_{1}+(n-1)d\}+\{a_{1}+(n-2)d\}+\dots +(a_{1}+d)+a_{1}} 2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n − 1 ) + ⋯ + ( a n − 1 + a 2 ) + ( a n + a 1 ) {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\dots +(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})} 2 S n = [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] + [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] + ⋯ + [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] + [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] {\displaystyle 2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]+\dots +[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]} 2 S n = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] {\displaystyle 2S_{n}=n[2a_{1}+(n-1)d]} S n = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}} 결론적으로 등차급수는 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 평균값 x { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 항의 개수로 정리할 수 있다.(단, { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 은 유한수열) 등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다. 사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다. S = − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 {\displaystyle S=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5} S = 0 {\displaystyle S=0} 임을 쉽게 알 수 있다. 등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다. 즉, 양 끝의 합이 0이 되도록 양 끝의 합의 평균을 구해 항의 개수만큼 빼주는 것이다. 그 평균값을 m이라 하면 S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n − 2 + a n − 1 + a n {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}} 양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다. S n − m ∗ n = 0 {\displaystyle S_{n}-m*n=0} S n = m ∗ n {\displaystyle S_{n}=m*n} S n = { ( a 1 + a n ) 2 } ⋅ n {\displaystyle S_{n}=\{{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\}\cdot n} S n = n ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}} 첫항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열 a n {\displaystyle a_{n}} 에 대하여, 이 수열의 무한합 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 은 항상 발산한다. 자유자재수학[모호한 표현][쪽 번호 필요] 등비수열 소수로 이루어진 등차수열 수열 슬라이드 자료 (위키버시티)