예고로프 정리

측도론에서 예고로프 정리(Егоров定理, 영어: Egorov’s theorem)는 가측 함수에 대하여, 점별 수렴과 균등 수렴이 거의 일치한다는 정리이다. 측도 공간 ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} 에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 ( Y , d ) {\displaystyle (Y,d)} 으로 가는 일련의 가측 함수의 열 f n : X → Y ( n ∈ N ) {\displaystyle f_{n}\colon X\to Y\qquad (n\in \mathbb {N} )} 에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자. μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } f n {\displaystyle f_{n}} 은 거의 어디서나 점별 수렴한다. 예고로프 정리에 따르면, 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 가측 집합 X ϵ ∈ F {\displaystyle X_{\epsilon }\in {\mathcal {F}}} 가 존재한다.:73:72, Theorem 7.1.12 μ ( X ) − μ ( X ϵ ) < ϵ {\displaystyle \mu (X)-\mu (X_{\epsilon })<\epsilon } f n {\displaystyle f_{n}} 은 X ϵ {\displaystyle X_{\epsilon }} 위에서 균등 수렴한다. 증명: 임의의 가측 함수 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} 에 대하여, ( X , F ) → ( Y × Y , B ( Y ) × B ( Y ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (Y\times Y,{\mathcal {B}}(Y)\times {\mathcal {B}}(Y))} x ↦ ( f ( x ) , g ( x ) ) {\displaystyle x\mapsto (f(x),g(x))} 는 가측 함수이며, d : ( Y × Y , B ( Y × Y ) ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle d\colon (Y\times Y,{\mathcal {B}}(Y\times Y))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 역시 연속 함수이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 Y {\displaystyle Y} 가 분해 가능 거리 공간이므로, 제2 가산 공간이며, (거리 위상의 곱위상에 대한) 보렐 시그마 대수 B ( Y × Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(Y\times Y)} 는 곱 시그마 대수 B ( Y ) × B ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(Y)\times {\mathcal {B}}(Y)} 와 일치한다. 따라서 x ↦ d ( f ( x ) , g ( x ) ) {\displaystyle x\mapsto d(f(x),g(x))} 는 가측 함수이다. 이제, f n {\displaystyle f_{n}} 의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 가측 함수 f {\displaystyle f} 를 취하자. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 m ∈ Z + {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 0 = μ ( ⋃ m ′ = 1 ∞ ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ { x ∈ X : d ( f i ( x ) , f ( x ) ) > 1 m ′ } ) ≥ μ ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ { x ∈ X : d ( f i ( x ) , f ( x ) ) > 1 m } ) = lim n → ∞ μ ( ⋃ i = n ∞ { x ∈ X : d ( f i ( x ) , f ( x ) ) > 1 m } ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\mu \left(\bigcup _{m'=1}^{\infty }\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m'}}\right\}\right)\\&\geq \mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)\end{aligned}}} 이다. (함수 x ↦ d ( f i ( x ) , f ( x ) ) {\displaystyle x\mapsto d(f_{i}(x),f(x))} 가 가측 함수이므로 위 집합들은 모두 가측 집합이다.) 따라서 μ ( ⋃ i = n ( m ) ∞ { x ∈ X : d ( f i ( x ) , f ( x ) ) > 1 m } ) < ϵ 2 m {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=n(m)}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)<{\frac {\epsilon }{2^{m}}}} 인 n ( m ) ∈ N {\displaystyle n(m)\in \mathbb {N} } 이 존재한다. 이제 X ϵ = ⋂ m = 1 ∞ ⋂ i = n ( m ) ∞ { x ∈ X : d ( f i ( x ) , f ( x ) ) ≤ 1 m } ∈ F {\displaystyle X_{\epsilon }=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcap _{i=n(m)}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))\leq {\frac {1}{m}}\right\}\in {\mathcal {F}}} 이라고 하자. 그렇다면 μ ( X ∖ X ϵ ) < ϵ {\displaystyle \mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon } 이며, 임의의 m ∈ Z + {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, d ( f i ( x ) , f ( x ) ) ≤ 1 m ( ∀ i ≥ n ( m ) , x ∈ X ϵ ) {\displaystyle d(f_{i}(x),f(x))\leq {\frac {1}{m}}\qquad (\forall i\geq n(m),\;x\in X_{\epsilon })} 이다. 즉, f i {\displaystyle f_{i}} 는 X ϵ {\displaystyle X_{\epsilon }} 위에서 f {\displaystyle f} 로 균등 수렴한다. 만약 μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } 조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수 f n : R → R {\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f n : x ↦ { 1 x ∈ [ n , n + 1 ] 0 x ∉ [ n , n + 1 ] {\displaystyle f_{n}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in [n,n+1]\\0&x\not \in [n,n+1]\end{cases}}} 을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 르베그 가측 집합 S {\displaystyle S} 에 대하여 이 함수열은 R ∖ S {\displaystyle \mathbb {R} \setminus S} 에서 균등 수렴하지 않는다. 이탈리아의 수학자 카를로 세베리니(이탈리아어: Carlo Severini)가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다. 이듬해 드미트리 예고로프가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다. Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 10일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.  Severini, Carlo (1910). “Sulle successioni di funzioni ortogonali”. 《Atti dell’Accademia Gioenia》. serie 5a, (이탈리아어) 3 (5): Memoria XIII, 1−7. JFM 41.0475.04.  Egoroff, D. Th. (1911). “Sur les suites des fonctions mesurables”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 152: 244–246. JFM 42.0423.01.  Kudryavtsev, L.D. (2001). “Egorov theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Humphreys, Alexis. “Egorov's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Egorov's theorem”. 《ProofWiki》 (영어).  루진의 정리