스튜던트 t 분포

스튜던트 t 분포(Student t分布, 영어: Student’s t-distribution)는 정규 분포의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다. 스튜던트 t 분포는 다음 확률변수의 분포로 정의된다. Z V / ν {\displaystyle {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}} 여기에서 Z {\displaystyle Z} 는 표준정규분포, V {\displaystyle V} 는 자유도 ν {\displaystyle \nu } 인 카이제곱 분포이다. t 분포는 종모양으로서 t=0에서 좌우대칭을 이룬다. t 분포의 모양을 결정하는 것은 자유도이며, 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가깝게 된다.:194 어떤 정규분포의 평균이 μ {\displaystyle \mu } 이고 분산이 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 X 1 , ⋯ , X n {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}} 라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다. X ¯ = 1 n ( X 1 + ⋯ + X n ) {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})} S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ¯ ) 2 {\displaystyle S^{\;2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}} 이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 불편추정값이다. 이때, V = ( n − 1 ) S 2 σ 2 {\displaystyle V=(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}} 은 자유도가 n − 1 {\displaystyle n-1} 인 카이제곱 분포가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한 Z = ( X ¯ − μ ) n σ {\displaystyle Z=\left({\overline {X}}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}} 는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, V , Z {\displaystyle V,Z} 는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다. 이때 Z {\displaystyle Z} 에서 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 대신 S 2 {\displaystyle S^{\;2}} 로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다. T ≡ Z V / ν = ( X ¯ − μ ) n S {\displaystyle T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{S}}} 이때 T {\displaystyle T} 에는 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 μ {\displaystyle \mu } 를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 T {\displaystyle T} 의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다. 자유도 n-1인 t 분포 T {\displaystyle T} 에 대해, Pr ( − A < T < A ) = 0.9 {\displaystyle \Pr(-A<T<A)=0.9} 을 만족하는 실수 A {\displaystyle A} 는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때, Pr ( − A < T < A ) = Pr ( − A < X ¯ − μ S / n < A ) = Pr ( X ¯ n − A S n < μ < X ¯ + A S n ) = 0.9 {\displaystyle \Pr(-A<T<A)=\Pr \left(-A<{{\overline {X}}-\mu \over S/{\sqrt {n}}}<A\right)=\Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{S \over {\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}+A{S \over {\sqrt {n}}}\right)=0.9} 이므로, 정규분포의 평균은 90%의 신뢰도로 X ¯ ± A S n {\displaystyle {\overline {X}}\pm A{\frac {S}{\sqrt {n}}}} 신뢰구간에 속하게 된다. 프리드리히 로베르트 헬메르트(독일어: Friedrich Robert Helmert)가 1875년에 도입하였다. 이듬해 야코프 뤼로트(독일어: Jacob Lüroth)도 같은 분포를 재발견하였다. 그러나 헬메르트와 뤼로트의 논문은 영문 학계에 널리 알려지지 않았다. 1908년에 윌리엄 고셋이 "스튜던트"(영어: Student, ‘학생’)라는 필명으로 1908년 재발견하였다. 고셋은 기네스 양조 공장에서 일했고, 맥주에 사용되는 보리의 질을 시험하기 위해 이 분포를 도입하였고, 경쟁사들에게 기네스의 획기적인 통계 기법을 숨기기 위해 필명을 사용하였다고 한다.:326 이후 저명한 통계학자인 로널드 피셔는 이 분포를 "스튜던트 분포"라고 불렀고, t라는 기호를 사용하였다. 피셔 이후 이 분포는 고셋의 필명을 따 "스튜던트 t 분포"로 알려지게 되었다. 김석우 (2007). 《기초통계학》. 학지사.  Helmert, F. R. (1875). “Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler”. 《Zeitschrift für Mathematik und Physik》 (독일어) 20: 300–303. JFM 07.0113.01.  Helmert, F. R. (1876). “Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und über einige damit im Zusammenhange stehende Fragen”. 《Zeitschrift für Mathematik und Physik》 (독일어) 21: 192–218. JFM 08.0113.02.  Helmert, F. R. (1876). “Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit”. 《Astronomische Nachrichten》 (독일어) 88: 113–32. Bibcode:1876AN.....88..113H. doi:10.1002/asna.18760880802. JFM 08.0114.01.  Sheynin, O. (1995). “Helmert’s work in the theory of errors”. 《Archive for History of Exact Sciences》 (독일어) 49: 73–104. doi:10.1007/BF00374700. ISSN 0003-9519.  Lüroth, J (1876). “Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers”. 《Astronomische Nachrichten》 (독일어) 87 (14): 209–20. Bibcode:1876AN.....87..209L. doi:10.1002/asna.18760871402. JFM 07.0109.02.  Pfanzagl, J.; O. Sheynin (1996). “A forerunner of the t-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV)”. 《Biometrika》 (영어) 83 (4): 891–898. doi:10.1093/biomet/83.4.891. MR 1766040.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Student (1908년 3월). “The probable error of a mean” (PDF). 《Biometrika》 (영어) 6 (1): 1–25. doi:10.1093/biomet/6.1.1.  Mortimer, Robert G. (2005). 《Mathematics for Physical Chemistry》 3판. Academic Press. ISBN 0-12-508347-5.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Fisher, R. A. (1925). “Applications of "Student's" distribution” (PDF). 《Metron》 (영어) 5: 90–104. 2016년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 18일에 확인함.  카이제곱 분포 F 분포 정규분포 t-test t 테이블