본질적 단사 사상

범주론에서 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, 영어: superfluous epimorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 단사 사상 f : X → X ~ {\displaystyle f\colon X\to {\tilde {X}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 가 본질적 단사 사상이라고 한다. 임의의 사상 g : X ~ → Y {\displaystyle g\colon {\tilde {X}}\to Y} 에 대하여, 만약 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 가 단사 사상이라면, g {\displaystyle g} 역시 단사 사상이다. 마찬가지로, 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 전사 사상 f : X ~ → X {\displaystyle f\colon {\tilde {X}}\to X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 가 잉여적 전사 사상이라고 한다. 임의의 사상 g : Y → X ~ {\displaystyle g\colon Y\to {\tilde {X}}} 에 대하여, 만약 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 가 전사 사상이라면, g {\displaystyle g} 역시 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 위 정의에서, 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} 로 바꾸어 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} -본질적 사상 및 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} -잉여적 사상을 정의할 수 있다. 임의의 범주에서, 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다. 집합과 함수의 범주 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수 밖에 없다. 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 부분 가군 M {\displaystyle M} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 M {\displaystyle M} 이 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 본질적 부분 가군, M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 이 M {\displaystyle M} 의 본질적 확대라고 한다.:74, Definition 3.26 포함 사상 M → M ~ {\displaystyle M\to {\tilde {M}}} 은 왼쪽 가군 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 본질적 단사 사상이다. M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 임의의 부분 가군 N {\displaystyle N} 에 대하여, 만약 M ∩ N = 0 {\displaystyle M\cap N=0} 이라면 N = 0 {\displaystyle N=0} 이다. (이 두 조건이 동치인 것은 N {\displaystyle N} 을 핵으로 갖는 가군 준동형 g : M → P {\displaystyle g\colon M\to P} 를 생각하면 알 수 있다.) 마찬가지로, 환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 가군 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 부분 가군 K {\displaystyle K} 및 몫가군 M = M ~ / K {\displaystyle M={\tilde {M}}/K} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 K {\displaystyle K} 가 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 잉여적 부분 가군이라고 한다.:74 몫 사상 M ~ → M {\displaystyle {\tilde {M}}\to M} 은 왼쪽 가군 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 잉여적 전사 사상이다. M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 의 임의의 부분 가군 N ⊆ M ~ {\displaystyle N\subseteq {\tilde {M}}} 에 대하여, 만약 K + N = M ~ {\displaystyle K+N={\tilde {M}}} 이라면 N = M ~ {\displaystyle N={\tilde {M}}} 이다. (이 두 조건이 동치인 것은 N {\displaystyle N} 을 상으로 갖는 가군 준동형 g : P → M ~ {\displaystyle g\colon P\to {\tilde {M}}} 를 생각하면 알 수 있다.) 본질적 부분 가군은 흔히 ⊆ e {\displaystyle \subseteq _{\text{e}}} 로, 잉여적 부분 가군은 흔히 ⊆ s {\displaystyle \subseteq _{\text{s}}} 로 표기한다. 특히, R R {\displaystyle _{R}R} 자체의 본질적/잉여적 부분 가군을 본질적/잉여적 왼쪽 아이디얼이라고 한다. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  “Essential subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Superfluous epimorphism”. 《nLab》 (영어).  “Essential ideal”. 《nLab》 (영어).  Sharifi, Yaghoub (2011년 12월 4일). “A singular module is a quotient of a module by an essential submodule”. 《Abstract Algebra》 (영어).