쿠쟁 문제

복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, 영어: Cousin problems)는 복소다양체 위의, 정칙 함수의 층과 유리형 함수의 층 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다. 복소다양체 M {\displaystyle M} 및 열린 덮개 { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} 및 유리형 함수 f i : U i → C ^ {\displaystyle f_{i}\colon U_{i}\to {\hat {\mathbb {C} }}} 가 주어졌다고 하자. 모든 i , j {\displaystyle i,j} 에 대하여, 만약 U i ∩ U j ≠ ∅ {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing } 이라면 f i | U i ∩ U j − f j | U i ∩ U j {\displaystyle f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}-f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}} 가 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 f : M → C ^ {\displaystyle f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}} 가 존재하는지에 대한 문제이다. 모든 i {\displaystyle i} 에 대하여, f | U i − f i {\displaystyle f|_{U_{i}}-f_{i}} 는 정칙 함수이다. 이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다. K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 가 M {\displaystyle M} 위의 유리형 함수의 층이며, O {\displaystyle {\mathcal {O}}} 가 M {\displaystyle M} 위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 K / O {\displaystyle {\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}} 를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상 Γ M ( K ) → ϕ Γ M ( K / O ) {\displaystyle \Gamma _{M}({\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}/{\mathcal {O}})} 가 존재한다. 여기서 Γ M {\displaystyle \Gamma _{M}} 은 대역적 단면들의 아벨 군이다. { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 는 K / O {\displaystyle {\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}} 의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 f {\displaystyle f} 가 존재한다면, 이는 { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 가 사상 ϕ {\displaystyle \phi } 의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 ϕ {\displaystyle \phi } 가 전사 사상인지 여부를 묻는다. 층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면, Γ M ( − ) {\displaystyle \Gamma _{M}(-)} 은 0차 층 코호몰로지 H 0 ( M ; − ) {\displaystyle H^{0}(M;-)} 과 같으므로, H 0 ( M ; K ) → ϕ H 0 ( M ; K / O ) → H 1 ( M ; O ) → ⋯ {\displaystyle H^{0}(M;{\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M;{\mathcal {K}}/\mathbf {O} )\to H^{1}(M;{\mathcal {O}})\to \cdots } 와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약 H 1 ( M ; O ) {\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}})} 가 자명군이라면 ϕ {\displaystyle \phi } 는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약 M {\displaystyle M} 이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 모든 i , j {\displaystyle i,j} 에 대하여, 만약 U i ∩ U j ≠ ∅ {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing } 이라면 ( f i | U i ∩ U j ) / ( f j | U i ∩ U j ) {\displaystyle (f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}})/(f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}})} 가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 f : M → C ^ {\displaystyle f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}} 가 존재하는지에 대한 문제이다. 모든 i {\displaystyle i} 에 대하여, f | U i / f i {\displaystyle f|_{U_{i}}/f_{i}} 는 정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다. O ∗ {\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}} 가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며, K ∗ {\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}} 가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 K ∗ / O ∗ {\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}} 및 사상 Γ M ( K ∗ ) → ϕ Γ M ( K ∗ / O ∗ ) {\displaystyle \Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})} 를 정의할 수 있다. 이 경우 { f i } i ∈ I {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}} 는 K ∗ / O ∗ {\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}} 의 대역적 단면을 정의하며, f {\displaystyle f} 는 K ∗ {\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}} 의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 ϕ {\displaystyle \phi } 가 전사 사상인지 여부와 동치이다. 제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면 H 0 ( M ; K ∗ ) → ϕ H 0 ( M ; K ∗ / O ∗ ) → H 1 ( M ; O ∗ ) {\displaystyle H^{0}(M;{\mathcal {K}}^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M;{\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})} 이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 H 1 ( M ; O ∗ ) = 0 {\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})=0} 인 경우에만 풀 수 있다. 이 층 코호몰로지 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열 0 → 2 π i Z _ → O → exp O ∗ → 0 {\displaystyle 0\to {\underline {2\pi i\mathbb {Z} }}\to {\mathcal {O}}{\xrightarrow {\exp }}{\mathcal {O}}^{*}\to 0} 이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 지수열을 정의할 수 있다. H 1 ( M ; O ) → H 1 ( M ; O ∗ ) → 2 π i H 2 ( M ; Z ) → H 2 ( M ; O ) → ⋯ {\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}})\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\to 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M;{\mathcal {O}})\to \cdots } 슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여 H 1 ( M ; O ) ≅ H 2 ( M ; O ) ≅ 0 {\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}})\cong H^{2}(M;{\mathcal {O}})\cong 0} 이다. 따라서 0 → H 1 ( M ; O ∗ ) → 2 π i H 2 ( M ; Z ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\to 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )\to 0} 이므로, H 1 ( M ; O ∗ ) ≅ 2 π i H 2 ( M ; Z ) {\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\cong 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )} 이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은 H 2 ( M ; Z ) ≅ 0 {\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )\cong 0} 이다. 프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁(프랑스어: Pierre Cousin)이 1895년에 제시하였다. Cousin, P. (1895). “Sur les fonctions de n variables”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 19: 1–62. doi:10.1007/BF02402869.  “Cousin problems”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  카르탕 정리 미타그레플레르 정리 바이어슈트라스의 곱 정리 지수열