드루드 모형

응집물질물리학에서 드루드 모형(Drude model)은 도체를 다루는 간단한 모형이다. 도체 안의 자유 전자가 무한히 단단한 양이온에 부딪치면서 움직이는 것으로 가정한다. 드루드 모형은 전자의 운동 방정식에 관한 두 가지 중요한 결과를 도출해 낸다. d d t p ( t ) = q E − p ( t ) τ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},} 그리고 전류 밀도 J {\displaystyle J} 와 전기장 E {\displaystyle E} 의 선형관계를 이용하여, J = ( n q 2 τ m ) E . {\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .} 여기서 t {\displaystyle t} 는 시간, p {\displaystyle p} , q {\displaystyle q} , n {\displaystyle n} , m {\displaystyle m} , 그리고 τ {\displaystyle \tau } 는 각각 전자의 운동량, 전하, 밀도, 질량 그리고 이온사이에 전자가 충돌하는데 걸리는 평균 시간이다. 뒤에 있는 방정식은 특별히 더 중요한데, 이 식으로부터 옴의 법칙이 왜 성립하는지를 유도해 낼 수 있다. 1900년대에 폴 드루드에 의해 처음 제안되었다. 1905년 헨드릭 로런츠는 드루드-로렌츠 모형으로 불리는, 보다 정확한 모형을 제안 하였다. 그 후 1933년 한스 베테와 아르놀트 조머펠트에 의해 양자역학이 반영된 결과로 드루드 모형은 확장되었다. 드루드 모형을 가장간단히 분석해 보려면 일단 전기장 E {\displaystyle \mathbf {E} } 를 균일하고 일정하다고 가정해야 한다. 그리고 열적 전자의 속도는 전자가 이온간 충돌평균시간인 τ {\displaystyle \tau } 안에 미소의 운동량 d p {\displaystyle d\mathbf {p} } 축적하기에 충분히 빠르다고 가정하자. 이때 전자는 τ {\displaystyle \tau } 의 시간동안 지난 충돌로부터 운동량을 축적하게 되고 미소 운동량의 변화량은 d ⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .} 지난 충돌동안, 이 전자는 앞으로 되 튀긴것 같이 뒤로 튕겨 이전에 전자의 운동량에 기여된 량은 상쇄된다. 따라서 ⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .} 이를 치환하여 ⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,} J = n q ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,} 이전에 언급한 옴의 법칙의 결과를 이용하여 아래와 같이 표현 할 수 있다. J = ( n q 2 τ m ) E . {\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .} 매질이 절연체일 때 전자는 결합력 때문에 분자에 붙어 있으므로, 전자가 상수 k인 용수철 끝에 달린 것이라고 생각한다면 변위 y, 전자 질량 m, 고유진동수 ω 0 = k m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}} 이라고 할 때, 이 전자가 받는 전기장은 E → = E 0 y ^ e i ( k x − ω t ) {\displaystyle {\vec {E}}=E_{0}{\hat {y}}e^{i(kx-\omega t)}} 이므로 위치에 따른 전자의 방정식은 아래와 같이 나타난다. y ¨ = − σ y ˙ − ω 0 2 y + E m {\displaystyle {\ddot {y}}=-\sigma {\dot {y}}-\omega _{0}^{2}y+{{E} \over {m}}} 이때 ω 0 2 = k / m {\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m} 이다. 이때 전기장을 E = E 0 exp ⁡ ( − i ω t ) {\displaystyle E=E_{0}\exp(-i\omega t)} 라고 놓으면 위의 방정식을 풀 수 있다. 이에 따라 y에 대해 식을 풀면 y의 값은 아래와 같다. y 0 = q / m ( ω 0 2 − ω 2 ) − i σ ω ) E 0 {\displaystyle y_{0}={{q/m} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\sigma \omega )}}E_{0}} 이때 쌍극자 모멘트는 위에서 구한 y값에 q를 곱한 값이므로 쌍극자 모멘트는 아래와 같다. P = q y 0 = q 2 / m ( ω 0 2 − ω 2 ) − i σ ω ) E {\displaystyle P=qy_{0}={{q^{2}/m} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\sigma \omega )}}E} 방금까지는 전자에 속박되어 있는 하나의 전자에 대해서만 공식을 전개했지만, 일반적인 원자내에 있는 전자에 대해 공식을 적용시키면 다음과 같다. P = N q 2 m Σ g j 1 ( ω j 2 − ω 2 ) − i r j ω ) E 0 , Σ g j = Z {\displaystyle P={{Nq^{2}} \over {m}}\Sigma g_{j}{1 \over {(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-ir_{j}\omega )}}E_{0},\Sigma g_{j}=Z} 여기서 N은 단위부피방 분자의 개수이고, Z는 분자당 전자의 개수, g j {\displaystyle g_{j}} 는 진동수 ω j {\displaystyle \omega _{j}} 를 가지는 분자당 전자의 개수, 그리고 σ j {\displaystyle \sigma _{j}} 는 감쇠 인자(damping factor)이다. 이제, 전기장 D → = ε 0 E → + P → = ε E → {\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}=\varepsilon {\vec {E}}} 이므로, ε {\displaystyle \varepsilon } 에 대하여 식을 전개할 수 있다. ε = ε 0 [ 1 + N q 2 m ε 0 ∑ f j ( ω j 2 − ω 2 ) − i γ j ω ] {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}[1+{\frac {Nq^{2}}{m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma _{j}\omega }}]} k = ε μ 0 ω {\displaystyle k={\sqrt {\varepsilon \mu _{0}}}\omega } 이다. 일반적으로 ε의 두 번째 항이 작으므로 아래처럼 근사할 수 있다. k ≅ ω c [ 1 + N q 2 2 m ε 0 ∑ f j ( ω j 2 − ω 2 ) − i γ j ω ] {\displaystyle k\cong {\frac {\omega }{c}}[1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma _{j}\omega }}]} 따라서 굴절률은 다음과 같다. n ≅ [ 1 + N q 2 2 m ε 0 ∑ f j ( ω j 2 − ω 2 ) ( ω j 2 − ω 2 ) 2 + γ j ω ] {\displaystyle n\cong [1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma _{j}\omega }}]} 위 식에서 진동수가 공명 진동수 근처가 되면 굴절률이 증가하였다 감소하는데, 일반적으로 잘 일어나지 않는다. 그리고 진동수가 공명 진동수와 유사할 때를 제외한다면, 진동수가 커질 때 굴절률이 감소한다는 것을 식을 통해서 확인할 수 있다. 진동수가 커질 수록 굴절률 변화에 관여 할 수 있는 요소가 작아짐으로 진동수가 만약 무한으로 커진다면 오직 전자의 진동만이 굴절률에 관여하기 때문에 굴절률은 1에 수렴 한다는 것을 알 수 있다. 고전적인 드루드 모형은 금속의 직류 및 교류 전도와 홀 효과 그리고 실온에서의 전자에 의한 열전도에 대해 아주 잘 설명한다. 자유 전자 모형 아르놀트 조머펠트 전기저항률