홈플리 다항식

매듭 이론에서 홈플리 다항식(HOMFLY多項式, 영어: HOMFLY polynomial)은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다. 홈플리 다항식은 모든 유향 연환 K : ( S 1 ) ⊔ n ↪ S 3 {\displaystyle K\colon (\mathbb {S} ^{1})^{\sqcup n}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}} 에 대하여 정의되는, 두 변수 α {\displaystyle \alpha } , z {\displaystyle z} 에 대한 정수 계수 다항식 P K ( α , z ) ∈ Z [ α , α − 1 , z , z − 1 ] {\displaystyle P_{K}(\alpha ,z)\in \mathbb {Z} [\alpha ,\alpha ^{-1},z,z^{-1}]} 이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다. (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 ◯ {\displaystyle \bigcirc } 에 대하여, P ◯ ( α , z ) = 1 {\displaystyle P_{\bigcirc }(\alpha ,z)=1} (타래 관계 영어: skein relation) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 L + {\displaystyle L_{+}} , L − {\displaystyle L_{-}} , L 0 {\displaystyle L_{0}} 를 정의하였다고 하자. 그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다. α P L + ( α , z ) − α − 1 P L − ( α , z ) = z P L 0 ( α , z ) {\displaystyle \alpha P_{L_{+}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}P_{L_{-}}(\alpha ,z)=zP_{L_{0}}(\alpha ,z)} 홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다. 존스 다항식(영어: Jones polynomial): V L ( q ) = P L ( q − 1 , q 1 / 2 − q − 1 / 2 ) {\displaystyle V_{L}(q)=P_{L}(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})} 알렉산더 다항식(영어: Alexander polynomial): Δ L ( q ) = P L ( 1 , q 1 / 2 − q − 1 / 2 ) {\displaystyle \Delta _{L}(q)=P_{L}(1,q^{1/2}-q^{-1/2})} 홈플리 다항식 P L ( α , z ) ∈ Z [ α , α − 1 , z , z − 1 ] {\displaystyle P_{L}(\alpha ,z)\in \mathbb {Z} [\alpha ,\alpha ^{-1},z,z^{-1}]} 은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식 V L ( q ) = P L ( q − 1 , q 1 / 2 − q − 1 / 2 ) ∈ Z [ q 1 / 2 , q − 1 / 2 ] {\displaystyle V_{L}(q)=P_{L}(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]} Δ L ( q ) = P L ( 1 , q 1 / 2 − q − 1 / 2 ) ∈ Z [ q 1 / 2 , q − 1 / 2 ] {\displaystyle \Delta _{L}(q)=P_{L}(1,q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]} 은 q 1 / 2 {\displaystyle q^{1/2}} 에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다. 홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 K {\displaystyle K} , K ′ {\displaystyle K'} 에 대하여, 다음이 성립한다. P K # K ′ ( α , z ) = P K ( α , z ) P K ′ ( α , z ) {\displaystyle P_{K\#K'}(\alpha ,z)=P_{K}(\alpha ,z)P_{K'}(\alpha ,z)} 서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 L = L 1 ⊔ L 2 {\displaystyle L=L_{1}\sqcup L_{2}} 에 대하여, 다음이 성립한다. P L 1 ⊔ L 2 ( α , z ) = α − α − 1 z P L 1 ( α , z ) P L 2 ( α , z ) {\displaystyle P_{L_{1}\sqcup L_{2}}(\alpha ,z)={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}P_{L_{1}}(\alpha ,z)P_{L_{2}}(\alpha ,z)} 유향 연환 L : ( S 1 ) ⊔ n ↪ S 3 {\displaystyle L\colon (\mathbb {S} ^{1})^{\sqcup n}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}} 의 거울 대칭을 L ¯ = ι ∘ L {\displaystyle {\bar {L}}=\iota \circ L} ι : S 3 → S 3 {\displaystyle \iota \colon \mathbb {S} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}} 이라고 할 때, 다음이 성립한다. P L ¯ ( α , z ) = P L ( − α − 1 , z ) {\displaystyle P_{\bar {L}}(\alpha ,z)=P_{L}(-\alpha ^{-1},z)} 즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다. 매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다. 홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다. 구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 의 SU ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {SU} (N)} 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 L {\displaystyle L} 에 대한, N {\displaystyle N} 차원 정의 표현(영어: defining representation)에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.:382, (4.22–4.23) ⟨ tr ⁡ ∮ L A ⟩ = α − α − 1 z P L ( α , z ) {\displaystyle \left\langle \operatorname {tr} \oint _{L}A\right\rangle ={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}P_{L}(\alpha ,z)} q = exp ⁡ 2 π i N + k {\displaystyle q=\exp {\frac {2\pi \mathrm {i} }{N+k}}} z = q 1 / 2 − q − 1 / 2 {\displaystyle z=q^{1/2}-q^{-1/2}} α = q N / 2 {\displaystyle \alpha =q^{N/2}} 간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다. 다음과 같은 타래 관계를 생각하자. 그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다. α − α − 1 = z P 0 1 ⊔ 0 1 ( α , z ) {\displaystyle \alpha -\alpha ^{-1}=zP_{0_{1}\sqcup 0_{1}}(\alpha ,z)} 즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다. P 0 1 ⊔ 0 1 ( α , z ) = α − α − 1 z {\displaystyle P_{0_{1}\sqcup 0_{1}}(\alpha ,z)={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}} 다음과 같은 타래 관계를 생각하자. 그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다. α P 2 1 1 ( α , z ) − α − 1 ( α − α − 1 z ) = z {\displaystyle \alpha P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}\left({\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}\right)=z} 즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다. P 2 1 1 ( α , z ) = α − 1 z + α − 1 z − 1 − α − 3 z − 1 {\displaystyle P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)=\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}} 만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 α ↦ − α − 1 {\displaystyle \alpha \mapsto -\alpha ^{-1}} 가 되며, P 2 1 1 ( α , z ) = − α z − α z − 1 + α 3 z − 1 {\displaystyle P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)=-\alpha z-\alpha z^{-1}+\alpha ^{3}z^{-1}} 를 얻는다. 다음과 같은 타래 관계를 생각하자. 이에 따라 타래 관계는 α P 3 1 ( α , z ) − α − 1 = z ( α − 1 z + α − 1 z − 1 − α − 3 z − 1 ) {\displaystyle \alpha P_{3_{1}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}=z\left(\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}\right)} 이다. 즉, P 3 1 ( α , z ) = 2 α − 2 − α − 4 + α − 2 z 2 {\displaystyle P_{3_{1}}(\alpha ,z)=2\alpha ^{-2}-\alpha ^{-4}+\alpha ^{-2}z^{2}} 이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면 P 3 1 ( α , z ) = 2 α 2 − α 4 + α 2 z 2 {\displaystyle P_{3_{1}}(\alpha ,z)=2\alpha ^{2}-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}} 이다. 매듭 942은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다). 매듭 1071의 경우도 마찬가지다. 제임스 워델 알렉산더가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 존 호턴 콘웨이가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다. 이후 1984년에 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다. 1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드(영어: Peter John Freyd, 1936~) · 데이비드 예터(영어: David N. Yetter) · 짐 호스트(영어: Jim Hoste) · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(영어: William Bernard Raymond Lickorish, 1938~) · 케네스 밀렛(영어: Kenneth Millett, 1941~) · 아드리안 오크네아누(루마니아어: Adrian Ocneanu)가 공동으로 발견하였다. “홈플리”(영어: HOMFLY)라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다. 거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키(폴란드어: Józef Henryk Przytycki, 1953~)와 파베우 트라치크(폴란드어: Paweł Traczyk)가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다. 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”(영어: HOMFLY–PT polynomial) 또는 “플립모스 다항식”(영어: FLYPMOTH polynomial) 따위로 불리기도 한다. 이후 1989년에 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 관계를 발견하였다. Kauffman, Louis Hirsch (2001년 7월). 《Knots and physics》. Series on Knots and Everything (영어) 1 3판. World Scientific. doi:10.1142/4256.  지원되지 않는 변수 무시됨: |ooi= (도움말) Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 121 (3): 351–399. doi:10.1007/BF01217730. ISSN 0010-3616. MR 0990772. Zbl 0667.57005.  Ramadevi, P.; Govindarajan, T. R.; Kaul, R. K. (1994). “Chirality of knots 942 and 1071 and Chern–Simons theory”. 《Modern Physics Letters A》 (영어) 9: 3025–3218. arXiv:hep-th/9401095. doi:10.1142/S0217732394003026.  Jones, Vaughan Frederick Randal (1985). “A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 12: 103–111. doi:10.1090/s0273-0979-1985-15304-2.  Freyd, Peter John; Yetter, David N.; Hoste, Jim; Lickorish, William Bernard Raymond; Millett, Kenneth; Ocneanu, Arian (1985). “A new polynomial invariant of knots and links”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 12 (2): 239–246. doi:10.1090/S0273-0979-1985-15361-3. MR 776477. Zbl 0572.57002.  Przytycki, Józef Henryk; Traczyk, Paweł (1987). “Invariants of links of Conway type”. 《Kobe Journal of Mathematics》 (영어) 4 (2): 115–139. MR 945888.  “Jones-Conway polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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