평탄 주접속

미분기하학에서 평탄 주접속(平坦主接續, 영어: flat principal connection)은 곡률이 0인 주접속이다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} -매끄러운 주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 그렇다면, P {\displaystyle P} 의 주접속 A ∈ Ω 1 ( P ; g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 에 대하여, 곡률 F ∈ Ω 2 ( P ; g ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})} 을 정의할 수 있다. 만약 F = 0 {\displaystyle F=0} 이라면, A {\displaystyle A} 를 P {\displaystyle P} 의 평탄 주접속이라고 한다. 보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.) 구체적으로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 과 L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형 W ⁡ ( g ) → Ω ( M ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)} 이다 (정의역은 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 베유 대수, 공역은 M {\displaystyle M} 의 미분 형식의 대수). 이 경우, 매끄러운 다양체 위의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다. inv ⁡ ( g ) → Ω ( M ) ↓ ↓ W ⁡ ( g ) → Ω ⁡ ( M × △ 1 ) ↓ ↓ CE ⁡ ( g ) → Ω ⊥ ⁡ ( M × △ 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})&\to &\Omega (M)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})&\to &\operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})&\to &\operatorname {\Omega _{\perp }} (M\times \triangle ^{1})\end{matrix}}} 여기서 △ 1 {\displaystyle \triangle ^{1}} 은 1차원 단체에 해당한다. 즉, Ω ⁡ ( M × △ 1 ) {\displaystyle \operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})} 은 Ω ( M ) ⊗ R R [ s , d s ] {\displaystyle \Omega (M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [s,\mathrm {d} s]} 이며, R [ s , d s ] = Ω ⁡ ( △ 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [s,\mathrm {d} s]=\operatorname {\Omega } (\triangle ^{1})} 은 하나의 0차 생성원 s {\displaystyle s} 로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다. Ω v e r t ⁡ ( M × △ 1 ) {\displaystyle \operatorname {\Omega _{vert}} (M\times \triangle ^{1})} 는 Ω ⁡ ( M × △ 1 ) {\displaystyle \operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})} 속의, d t {\displaystyle \mathrm {d} t} 로 생성되는 아이디얼이다. 사상 Ω ⊥ ⁡ ( M × △ 1 ) → Ω ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {\Omega _{\perp }} (M\times \triangle ^{1})\to \operatorname {\Omega } (M)} 은 포함 사상이다. inv ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})} 와 W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 와 CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 는 각각 L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, W ⁡ ( g ) → CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다. 이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다. 이 가운데, 평탄 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체 inv ⁡ ( g ) → W ⁡ ( g ) → Ω ⁡ ( M × △ 1 ) {\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})} 가 존재한다. 만약 밑공간 M {\displaystyle M} 위에 복소구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다. 만약 M {\displaystyle M} 에 복소구조 J M : T M → T M {\displaystyle J_{M}\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M} 가 존재한다고 하면, M ( Σ ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma )} 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 δ A ∈ T A M ( Σ ) {\displaystyle \delta A\in T_{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )} 를 Ω 1 ( Σ , g ) {\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})} 의 원소로 나타내면, J : T A M ( Σ ) → T A M ( Σ ) {\displaystyle J\colon \mathrm {T} _{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )\to \mathrm {T} _{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )} [ J ( δ A ) ] j = ( J M ) i j ( δ A ) i {\displaystyle [J(\delta A)]^{j}=(J_{M})_{i}{}^{j}(\delta A)_{i}} 여기서, 우변의 J i j {\displaystyle J_{i}{}^{j}} 는 M {\displaystyle M} 의 복소구조다. G {\displaystyle G} 의 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 K ( − , − ) {\displaystyle K(-,-)} 을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 K ( A B ) = tr ⁡ ( A B ) {\displaystyle K(AB)=\operatorname {tr} (AB)} 의 스칼라배다.) 만약 M {\displaystyle M} 에 심플렉틱 구조 ω ∈ Ω 2 ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)} 가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간 M ( M ; G ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(M;G)} 역시 심플렉틱 구조를 가진다. M ( Σ ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma )} 는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.:85–87 구체적으로, 임의의 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 의 접공간의 원소 δ 1 A , δ 2 A ∈ T A M ( Σ ) {\displaystyle \delta _{1}A,\delta _{2}A\in T_{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )} 가 주어졌다고 하자. 이들을 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ω ( δ A 1 , δ A 2 ) = ∫ Σ ω i j K a b δ 1 A i a ∧ δ 2 A j a {\displaystyle \omega (\delta A_{1},\delta A_{2})=\int _{\Sigma }\omega ^{ij}K_{ab}\delta _{1}A_{i}^{a}\wedge \delta _{2}A_{j}^{a}} 로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다. 만약 M {\displaystyle M} 이 켈러 다양체이라면, M ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(M,G)} 는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, M {\displaystyle M} 이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다. G {\displaystyle G} 가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자. 콤팩트 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 위의 평탄 G {\displaystyle G} -주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로 M ( Σ ) ≅ hom ⁡ ( π 1 ( Σ ) , G ) / G {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma )\cong \hom(\pi _{1}(\Sigma ),G)/G} 이다. 여기서 π 1 ( Σ ) {\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 기본군이고, hom ⁡ ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \hom(\cdot ,\cdot )} 은 군 준동형들의 공간이며, / G {\displaystyle /G} 는 동치관계 ϕ ∼ g ϕ g − 1 {\displaystyle \phi \sim g\phi g^{-1}} 에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, G {\displaystyle G} 가 아벨 군이면 M ( Σ ) ≅ hom ⁡ ( π 1 ( Σ ) , G ) ≅ G 2 g {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma )\cong \hom(\pi _{1}(\Sigma ),G)\cong G^{2g}} 이다. 여기서 g {\displaystyle g} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 곡면 종수이다. 반면, G {\displaystyle G} 가 콤팩트 반단순 리 군인 경우, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 은 복잡한 위상을 가진다. 곡면 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 기본군은 다음과 같이 표시된다. π 1 ( Σ ) = ⟨ a 1 , b 1 , … , a g , b g | a 1 b 1 a 1 − 1 b 1 − 1 ⋯ a g b g a g − 1 b g − 1 ⟩ {\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{g},b_{g}|a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\cdots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}\rangle } 따라서, hom ⁡ ( π 1 ( Σ ) , G ) {\displaystyle \hom(\pi _{1}(\Sigma ),G)} 의 한 원소는 π 1 ( Σ ) {\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )} 의 생성원 { a i , b i } i = 1 , … , g {\displaystyle \{a_{i},b_{i}\}_{i=1,\dots ,g}} 의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 2 g ( dim ⁡ G ) {\displaystyle 2g(\dim G)} 개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 ϕ ( a 1 ) ϕ ( b 1 ) ϕ ( a 1 ) − 1 ϕ ( b 1 ) − 1 ⋯ = 1 {\displaystyle \phi (a_{1})\phi (b_{1})\phi (a_{1})^{-1}\phi (b_{1})^{-1}\cdots =1} 은 dim ⁡ G {\displaystyle \dim G} 개의 제약을 가하고, 또한 G {\displaystyle G} 의 켤레 작용 ϕ ∼ g ϕ g − 1 {\displaystyle \phi \sim g\phi g^{-1}} 또한 차원을 dim ⁡ G {\displaystyle \dim G} 만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은 dim ⁡ M = − χ ( Σ ) ⋅ dim ⁡ G = ( 2 g − 2 ) ⋅ dim ⁡ G {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}=-\chi (\Sigma )\cdot \dim G=(2g-2)\cdot \dim G} 이다.:368 여기서 χ ( Σ ) = 2 − 2 g {\displaystyle \chi (\Sigma )=2-2g} 는 Σ {\displaystyle \Sigma } 의 오일러 지표다. 평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, M {\displaystyle M} 이 연결 공간일 경우, 임의의 점 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다. π 1 ⁡ ( M , x ) → G {\displaystyle \operatorname {\pi } _{1}(M,x)\to G} 게이지 변환에 따라서, M {\displaystyle M} 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간 M = hom ⁡ ( π 1 ( M , x ) , G ) G {\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {\hom(\pi _{1}(M,x),G)}{G}}} 이다. 여기서 G {\displaystyle G} 의 작용은 다음과 같은 공액류 작용이다. g ⋅ ϕ = ( [ γ ] ↦ [ t ↦ g γ ( t ) − 1 ] ) {\displaystyle g\cdot \phi =([\gamma ]\mapsto [t\mapsto g\gamma (t)^{-1}])} 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다. 특히, 만약 G {\displaystyle G} 가 아벨 군일 경우 이는 단순히 M = hom ⁡ ( π 1 ( M , x ) ) {\displaystyle {\mathcal {M}}=\hom(\pi _{1}(M,x))} 이며, 만약 M = T n {\displaystyle M=\mathbb {T} ^{n}} 이 원환면일 경우 이는 M = G n {\displaystyle {\mathcal {M}}=G^{n}} 이다. 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 을 생각하자. 그 위의 G {\displaystyle G} -주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다. 특히, 구 Σ = S 2 {\displaystyle \Sigma =S^{2}} 의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간 M ( S 2 ; G ) = { ∙ } {\displaystyle {\mathcal {M}}(S^{2};G)=\{\bullet \}} 이다. 원환면 Σ = T 2 = S 1 × S 1 {\displaystyle \Sigma =\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} 의 경우, 반단순 리 군 G {\displaystyle G} 에 대하여 M ( T 2 ; G ) = ( C ( G ) × C ( G ) ) / Weyl ⁡ ( G ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};G)=(C(G)\times C(G))/\operatorname {Weyl} (G)} 이다. 여기서 C ( G ) ≅ U ( 1 ) rank ⁡ ( G ) {\displaystyle C(G)\cong U(1)^{\operatorname {rank} (G)}} 는 G {\displaystyle G} 의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, Weyl ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (G)} 는 C ( G ) {\displaystyle C(G)} 에 작용하는 바일 군이다. T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 위의 U ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {U} (N)} 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, n {\displaystyle n} 개의 가환 홀로노미들은 n {\displaystyle n} 개의 서로 가환하는 N × N {\displaystyle N\times N} 유니터리 행렬 M 1 , … , M n {\displaystyle M_{1},\dotsc ,M_{n}} 을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여 M i = diag ⁡ ( λ i , 1 , … , λ i , N ) {\displaystyle M_{i}=\operatorname {diag} (\lambda _{i,1},\dotsc ,\lambda _{i,N})} λ i , j ∈ { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \lambda _{i,j}\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 로 놓을 수 있다. 이제 λ → j = ( λ 1 , j , … , λ n , j ) {\displaystyle {\vec {\lambda }}_{j}=(\lambda _{1,j},\dotsc ,\lambda _{n,j})} 로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 Weyl ⁡ ( U ⁡ ( N ) ) = Sym ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {U} (N))=\operatorname {Sym} (N)} 의 작용)은 λ → 1 , … , λ → N {\displaystyle {\vec {\lambda }}_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}_{N}} 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다. M ( T n ; U ⁡ ( N ) ) = Conf N ⁡ ( T n ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {U} (N))=\operatorname {Conf} ^{N}(\mathbb {T} ^{n})} G = U ⁡ ( N ) {\displaystyle G=\operatorname {U} (N)} 대신 G = GL ⁡ ( N ; C ) {\displaystyle G=\operatorname {GL} (N;\mathbb {C} )} 의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 λ i , j ∈ { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \lambda _{i,j}\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 대신 λ i , j ∈ C × = C ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda _{i,j}\in \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}} 이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다. M ( T n ; U ⁡ ( N ) ) = Conf N ⁡ ( ( C × ) × n ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {U} (N))=\operatorname {Conf} ^{N}\left((\mathbb {C} ^{\times })^{\times n}\right)} U ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {U} (N)} 의 경우와 마찬가지로, G = SU ⁡ ( N ) {\displaystyle G=\operatorname {SU} (N)} 의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 ( T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 위의 N {\displaystyle N} 개의 점들에 대한 짜임새 공간이다. M ( T n ; SU ⁡ ( N ) ) = { ( λ → 1 , … , λ → N ) ∈ ( T n ) × N : ∑ i = 1 N λ → i = 0 } Sym ⁡ ( N ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {SU} (N))={\frac {\{({\vec {\lambda }}_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}_{N})\in (\mathbb {T} ^{n})^{\times N}\colon \sum _{i=1}^{N}{\vec {\lambda }}_{i}=0\}}{\operatorname {Sym} (N)}}} 특히, M = T 2 {\displaystyle M=\mathbb {T} ^{2}} 일 때, T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 N {\displaystyle N} 개의 점들은 T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} 위의, 차수 N {\displaystyle N} 의 인자를 정의하며, 이들은 M {\displaystyle M} 위의, 차수 N {\displaystyle N} 의 복소수 선다발 L ↠ M {\displaystyle L\twoheadrightarrow M} 의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간 M ( T 2 ; SU ⁡ ( N ) ) = P ⁡ ( H 0 ⁡ ( L ) ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};\operatorname {SU} (N))=\operatorname {\mathbb {P} } (\operatorname {H} ^{0}(L))} 이다. 리만-로흐 정리에 의하여, L {\displaystyle L} 의 차수가 N {\displaystyle N} 이므로, 그 차원은 dim C ⁡ H 0 ⁡ ( L ) = N − g ( T 2 ) + 1 = N {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\operatorname {H} ^{0}(L)=N-g(\mathbb {T} ^{2})+1=N} 이다. 즉, M ( T 2 ; SU ⁡ ( N ) ) = Proj ⁡ ( H 0 ⁡ ( L ) ) = C P N − 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};\operatorname {SU} (N))=\operatorname {Proj} (\operatorname {H} ^{0}(L))=\operatorname {\mathbb {C} P} ^{N-1}} 이다. SL ⁡ ( N ; C ) {\displaystyle \operatorname {SL} (N;\mathbb {C} )} 의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 대신 곱셈 아벨 군 C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} 가 들어가게 된다. M ( T n ; SL ⁡ ( N ; C ) ) = { ( λ → 1 , … , λ → N ) ∈ ( ( C × ) n ) × N : ∏ j = 1 N λ i , j = 0 ∀ i ∈ { 1 , … , n } } Sym ⁡ ( N ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {SL} (N;\mathbb {C} ))={\frac {\{({\vec {\lambda }}_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}_{N})\in ((\mathbb {C} ^{\times })^{n})^{\times N}\colon \prod _{j=1}^{N}\lambda _{i,j}=0\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,n\}\}}{\operatorname {Sym} (N)}}} 물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다. Michiels, Daan (2013). 《Moduli spaces of flat connections》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. Katholieke Universiteit Leuven. 2017년 10월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 10월 5일에 확인함.  Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1983년 3월 17일). “The Yang–Mills equations over Riemann surfaces”. 《Philosophical Transactions of the Royal Society A》 (영어) 308 (1505): 523–615. doi:10.1098/rsta.1983.0017. Zbl 0509.14014.  Cannas da Silva, Ana (2006). 〈Symplectic geometry〉. Dillen, Franki J.E.; Verstraelen, Leopold C.A. 《Handbook of Differential Geometry. Volume 2》 (영어). Elsevier. 79–188쪽. arXiv:math/0505366. Bibcode:2005math......5366C. doi:10.1016/S1874-5741(06)80006-3.  Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. doi:10.1007/BF01217730. ISSN 0010-3616. MR 0990772. 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