팔라티니 변분

팔라티니 변분(Palatini變分, 영어: Palatini variation)은 아인슈타인-힐베르트 작용(및 추가 물질 작용)을 리만 계량 또는 필바인의 2차 도함수에 대한 범함수 대신, 필바인과 스핀 접속의 1차 도함수에 대한 범함수로 여겨 변분법을 가하는 것을 말한다. 이 경우, 필바인은 일종의 보조장을 이루며, 페르미온 물질이 존재할 경우 일반적으로 스핀 접속은 0이 아닌 비틀림 텐서를 갖는다. 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 의 필바인 g μ ν = e μ a e ν b η a b {\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}} e μ a ∈ Ω 1 ( M ; E ) {\displaystyle e_{\mu }^{a}\in \Omega ^{1}(M;E)} 과 스핀 접속 e ν a ∇ μ e b ν = ω μ a b {\displaystyle e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e^{b\nu }=\omega _{\mu }^{ab}} ω μ a b ∈ Ω 1 ( M ; ⋁ 2 E ) {\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}\in \Omega ^{1}\left(M;\bigvee ^{2}E\right)} 을 생각하자. 여기서 E {\displaystyle E} 는 SO ⁡ ( 1 , D − 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (1,D-1)} -구조 벡터 다발이다. 그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다. S [ e , ω ] = 1 2 κ 2 ∫ d D x ( det e ) e a μ e b ν R μ ν a b {\displaystyle S[e,\omega ]={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }R_{\mu \nu }{}^{ab}} R μ ν a b = 2 ∂ [ μ ω ν ] a b + 2 ω [ μ a c ω ν ] c b {\displaystyle R_{\mu \nu }{}^{ab}=2\partial _{[\mu }\omega _{\nu ]}^{ab}+2\omega _{[\mu }^{ac}\omega _{\nu ]c}{}^{b}} :(7.10) 여기서 X [ μ 1 … μ p ] = 1 p ! ( X μ 1 … μ p − ⋯ ) {\displaystyle X_{[\mu _{1}\dotso \mu _{p}]}={\frac {1}{p!}}\left(X_{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}-\dotsb \right)} 는 규격화된 완전 반대칭화이며, ( det e ) {\displaystyle (\det e)} 는 D × D {\displaystyle D\times D} 정사각 행렬 ( e μ a ) μ , a ∈ { 0 , … , D − 1 } {\displaystyle (e_{\mu }^{a})_{\mu ,a\in \{0,\dotsc ,D-1\}}} 의 행렬식이며, 부피 형식의 성분이다. 이제, 이 범함수를 ( g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 의 2차 도함수의 범함수 대신) 필바인과 e μ a {\displaystyle e_{\mu }^{a}} (의 0차 도함수)와 스핀 접속 ω μ a b {\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}} (의 0차 및 1차 도함수)의 범함수로 여겨, 변분법을 적용할 수 있다. 이를 팔라티니 변분이라고 한다. 이 경우, 필바인의 도함수가 등장하지 않으므로, 필바인은 보조장을 이룬다. 그렇다면, ω μ a b {\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}} 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다. ω μ a b = e ν a ∇ μ e b ν {\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}=e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e^{b\nu }} 여기서 우변은 물론 e {\displaystyle e} 를 사용한, ω μ a b {\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}} 의 (원래) 정의와 같다. 이 조건은 스핀 접속이 비틀림 텐서가 0인 레비치비타 접속임을 의미한다. 또한, 이 작용에서 e μ a {\displaystyle e_{\mu }^{a}} 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 마찬가지로 리치 곡률이 0임, 즉 R μ a = e μ b R μ ν a b = 0 {\displaystyle R_{\mu }{}^{a}=e_{\mu }{}^{b}R_{\mu \nu }{}^{ab}=0} 임을 의미한다. 이는 아인슈타인 방정식과 같다. 필바인을 사용하지 않으면 일반적으로 스피너를 정의할 수 없다. 필바인을 사용하여 페르미온을 추가하고 팔라타니 변분을 적용할 경우, 스핀 접속은 페르미온의 세기의 제곱에 비례하는 비틀림 텐서를 갖게 된다. 구체적으로, 스피너장 ψ {\displaystyle \psi } 에 대하여 공변 미분 ∇ μ ψ = ( ∂ μ + 1 4 ω μ a b γ a b ) ψ {\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}\right)\psi } ψ ∇ ← μ = ∂ μ ψ ¯ − 1 4 ω μ a b ψ ¯ γ a b {\displaystyle \psi {\overset {\leftarrow }{\nabla }}_{\mu }=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}} 를 정의하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 작용을 적을 수 있다. S = S EH + 1 2 ∫ d D x ( det e ) ( − ψ ¯ γ μ ∇ μ ψ + ψ ¯ ∇ ← μ e a μ γ μ ψ ) {\displaystyle S=S_{\text{EH}}+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,\left(-{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\bar {\psi }}{\overset {\leftarrow }{\nabla }}_{\mu }e_{a}^{\mu }\gamma ^{\mu }\psi \right)} 이 경우, 위와 같이 팔라티니 변분을 취했을 때, 다음을 얻는다.:(8.3) ω μ a b = ω μ a b [ e ] − 1 4 κ 2 ψ ¯ γ a b c e c ν ψ {\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}=\omega _{\mu }^{ab}[e]-{\frac {1}{4}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{abc}e^{c\nu }\psi } 즉, 이는 비틀림 텐서 2 Γ [ μ ν ] ρ = T μ ν ρ = 1 2 κ 2 ψ ¯ γ μ ν ρ ψ {\displaystyle 2\Gamma _{[\mu \nu ]}^{\rho }=T_{\mu \nu }{}^{\rho }={\frac {1}{2}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{\mu \nu \rho }\psi } 에 해당한다. 이는 물리학적으로 S {\displaystyle S} 를 필바인의 2차 도함수로 구성된 범함수로 여기는 것과 다른 결과이다.:§8 (다만, 중력 상수가 매우 작으므로, 이 효과는 측정하기 매우 힘들다.) 이탈리아의 수학자 아틸리오 팔라타니(이탈리아어: Attilio Palatini, 1889~1949)의 이름이 붙어 있다. Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2011년 11월). “Ingredients of supergravity”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 59 (11–12): 1118–1126. arXiv:1106.1097. Bibcode:2011ForPh..59.1118F. doi:10.1002/prop.201100059.  Palatini, Attilio (1919). “Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton”. 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 (이탈리아어) 43: 203–212.  Tsamparlis, M. (1978). “On the Palatini method of variation”. 《J. Math. Phys.》 19 (3): 555. Bibcode:1978JMP....19..555T. doi:10.1063/1.523699.  Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Reina, C. (1982). “Variational Formulation of General Relativity from 1915 to 1925 'Palatini's Method' Discovered by Einstein in 1925”. 《Gen. Rel. Grav.》 14: 243–254. Bibcode:1982GReGr..14..243F. doi:10.1007/BF00756060.  “First-order formulation of gravity”. 《nLab》 (영어).