분기화

대수적 수론에서 분기화(分岐化, 영어: ramification)는 어떤 체의 확대에서, 원래 체의 대수적 정수환에서의 소 아이디얼이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다. 분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다. 분기화를 아이디얼의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 데데킨트 정역에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다. 분기화를 체 위의 절댓값으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다. 데데킨트 정역 D {\displaystyle D} 의 분수체 K = Frac ⁡ D {\displaystyle K=\operatorname {Frac} D} 의 유한 확대 K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 가 주어졌으며, D {\displaystyle D} 의 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 속에서의 정수적 폐포가 D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} 라고 하자. 그렇다면 D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} 역시 데데킨트 정역이다.:45, Proposition I.8.1 D ↪ D ~ Frac ↓ ↓ Frac K ↪ K ~ {\displaystyle {\begin{matrix}D&\hookrightarrow &{\tilde {D}}\\{\scriptstyle \operatorname {Frac} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {Frac} \\K&\hookrightarrow &{\tilde {K}}\\\end{matrix}}} D {\displaystyle D} 속의 0이 아닌 소 아이디얼 p ∈ Spec ⁡ D ∖ { ( 0 ) } {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{(0)\}} 에 대하여, 포함 준동형 ι : D ↪ D ~ {\displaystyle \iota \colon D\hookrightarrow {\tilde {D}}} 에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자. ι ( p ~ ) = ∏ i = 1 g ( p ) p ~ i e p ~ i ( p ~ i ∈ Spec ⁡ D ~ ∖ { 0 } , e i > 0 ∀ i ) {\displaystyle \iota ({\tilde {p}})=\prod _{i=1}^{g({\mathfrak {p}})}{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}^{e_{{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}}\qquad ({\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\},\;e_{i}>0\forall i)} 그렇다면 e p ~ {\displaystyle e_{\tilde {\mathfrak {p}}}} 를 p ~ i {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}} 의 분기 지표(分岐指標, 영어: ramification index)라고 한다. 또한, 잉여류체에 대한 자연스러운 체의 확대가 존재한다. D / p ⊆ D ~ / p ~ i {\displaystyle D/{\mathfrak {p}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}} 이 확대의 차수 f p ~ {\displaystyle f_{\tilde {\mathfrak {p}}}} 를 p ~ {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}} 의 관성 차수(慣性次數, 영어: inertia degree)라고 한다. f p ~ = [ D ~ / p ~ i : D / p ] {\displaystyle f_{\tilde {\mathfrak {p}}}=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}:D/{\mathfrak {p}}]} 그렇다면 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다. [ L : K ] = ∑ p ~ ∈ Spec ⁡ D ~ ∖ { 0 } p ~ ∣ p e p ~ f p ~ ∀ p ∈ Spec ⁡ D ∖ { 0 } {\displaystyle [L:K]=\sum _{{\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}}^{{\tilde {\mathfrak {p}}}\mid {\mathfrak {p}}}e_{\tilde {\mathfrak {p}}}f_{\tilde {\mathfrak {p}}}\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}} 만약 확대 K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 가 갈루아 확대라면, 이에 대한 힐베르트 이론(Hilbert理論, 영어: Hilbert theory)이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군 Gal ⁡ ( K ~ / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)} 는 { p i } i = 1 , … , g ( p ) {\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{i}\}_{i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})}} 위에 추이적으로 작용하며, 따라서 모든 i {\displaystyle i} 에 대하여 e i {\displaystyle e_{i}} 및 f i {\displaystyle f_{i}} 가 일치한다. 즉, [ L : K ] = e ( p ) f ( p ) g ( p ) ∀ p ∈ Spec ⁡ D ∖ { 0 } {\displaystyle [L:K]=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})g({\mathfrak {p}})\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}} 이다. 임의의 p ~ ∈ Spec ⁡ D ~ ∖ { 0 } {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}} 의 분해군(分解群, 영어: decomposition group) G p ~ {\displaystyle G_{\tilde {\mathfrak {p}}}} 는 Gal ⁡ ( K ~ / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)} 의 작용에 대한 p ~ {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}} 의 안정자군이다.:54, Definition I.9.2 p ~ ∈ Spec ⁡ D ~ ∖ { 0 } {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}} 의 분해체(分解體, 영어: decomposition field) Z p ~ {\displaystyle Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}} 는 분해군에 의해 고정되는 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 의 원소들로 구성되는 체이다. Z p ~ = { a ~ ∈ K ~ : σ a ~ = a ~ ∀ σ ∈ G p ~ } {\displaystyle Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma {\tilde {a}}={\tilde {a}}\forall \sigma \in G_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}} 궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든 i = 1 , … , g ( p ) {\displaystyle i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})} 에 대하여 안정자군의 크기는 같다. | G p ~ i | = | G | / g ( p ) = e ( p ) f ( p ) ∀ i = 1 , … , g ( p ) {\displaystyle |G_{{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}|=|G|/g({\mathfrak {p}})=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})\forall i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})} p ~ ∈ Spec ⁡ D ~ ∖ { 0 } {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}} 가 주어졌고, p ∈ Spec ⁡ D ∖ { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}} 는 p ~ ∣ ι ( p ) {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\mid \iota ({\mathfrak {p}})} 인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형 Gal ⁡ ( K ~ / K ) ↠ Gal ⁡ ( ( D ~ / p ~ ) / ( D / p ) ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\twoheadrightarrow \operatorname {Gal} \left(({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\right)} 이 존재한다. 그 핵을 p ~ {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}} 의 관성군(慣性群, 영어: inertia group) I p ~ {\displaystyle I_{\tilde {\mathfrak {p}}}} 이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다.:57, Definition I.9.5 관성군의 크기는 항상 e ( p ) {\displaystyle e({\mathfrak {p}})} 와 같으며, 갈루아 군 Gal ⁡ ( K ~ / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)} 의 작용에 불변이다. I p ~ = I σ ⋅ p ~ = e ( p ) ∀ σ ∈ Gal ⁡ ( K ~ / K ) {\displaystyle I_{\tilde {\mathfrak {p}}}=I_{\sigma \cdot {\tilde {\mathfrak {p}}}}=e({\mathfrak {p}})\forall \sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)} 마찬가지로, p ~ {\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}} 의 관성체(慣性體, 영어: inertia field) T p ~ {\displaystyle T_{\tilde {\mathfrak {p}}}} 는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다. T p ~ = { a ~ ∈ K ~ : σ ( a ~ ) = a ~ ∀ σ ∈ I p ~ } {\displaystyle T_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in I_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}} 즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다. K ⊆ Z p ~ ⊆ T p ~ ⊆ K ~ {\displaystyle K\subseteq Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq T_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq {\tilde {K}}} 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다. 1 → I p ~ → G p ~ → Gal ⁡ ( D ~ / p ~ ) / ( D / p ) → 1 {\displaystyle 1\to I_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to G_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to \operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\to 1} T p ~ / Z p ~ {\displaystyle T_{\tilde {\mathfrak {p}}}/Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}} 는 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 Gal ⁡ ( D ~ / p ~ ) / ( D / p ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})} 와 같다. 데데킨트 정역 D {\displaystyle D} 의 분수체 K = Frac ⁡ D {\displaystyle K=\operatorname {Frac} D} 가 대수적 수체일 경우를 생각하자. ( D = O K {\displaystyle D={\mathcal {O}}_{K}} 인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환이 아닐 수 있다.) 이 경우, 상대 판별식(영어: relative discriminant) Δ K ~ / K {\displaystyle \Delta _{{\tilde {K}}/K}} 는 D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} 의 특별한 아이디얼이다. 그렇다면, 임의의 p ∈ Spec ⁡ D ∖ { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 는 분기화된다. p ∣ Δ K ~ / K {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid \Delta _{{\tilde {K}}/K}} 이다. 특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다. 분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다. 헨젤 값매김환 ( D , ν , m ) {\displaystyle (D,\nu ,{\mathfrak {m}})} 의 분수체 K = Frac ⁡ D {\displaystyle K=\operatorname {Frac} D} 의 유한 확대 K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle K} 의 값매김 ν {\displaystyle \nu } 는 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 위에 다음과 같이 값매김 ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} 를 유도한다.:149 ν ~ : a ~ ↦ 1 [ K ~ : K ] ν ( N K ~ / K ⁡ ( a ~ ) {\displaystyle {\tilde {\nu }}\colon {\tilde {a}}\mapsto {\frac {1}{[{\tilde {K}}:K]}}\nu (\operatorname {N} _{{\tilde {K}}/K}({\tilde {a}})} 여기서 N K ~ / K {\displaystyle \operatorname {N} _{{\tilde {K}}/K}} 는 체 노름이다. 이에 대한 값매김환을 D ~ = { a ~ ∈ K ~ : ν ~ ( a ~ ) ≥ 0 } {\displaystyle {\tilde {D}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon {\tilde {\nu }}({\tilde {a}})\geq 0\}} 라고 하고, 그 극대 아이디얼을 m ~ {\displaystyle {\tilde {m}}} 이라고 하자. 이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다. ν ( K × ) ⊆ ν ~ ( K ~ × ) {\displaystyle \nu (K^{\times })\subseteq {\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })} 그렇다면, K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 의 분기 지표 e ( K ~ / K ) {\displaystyle e({\tilde {K}}/K)} 는 두 값군 사이의 몫군의 크기이다. e ( K ~ / K ) = | ν ~ ( K ~ × ) / ν ( K × ) | {\displaystyle e({\tilde {K}}/K)=|{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })/\nu (K^{\times })|} 마찬가지로, 잉여류체들의 다음과 같은 확대가 존재한다. D / m ⊆ D ~ / m ~ {\displaystyle D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}} 그렇다면, K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 의 관성 차수 f ( K ~ / K ) {\displaystyle f({\tilde {K}}/K)} 는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수이다. f ( K ~ / K ) = [ D ~ / m ~ : D / m ] {\displaystyle f({\tilde {K}}/K)=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}:D/{\mathfrak {m}}]} 이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.:150, Proposition II.6.8 [ K ~ : K ] ≥ e ( K ~ / K ) f ( K ~ / K ) {\displaystyle [{\tilde {K}}:K]\geq e({\tilde {K}}/K)f({\tilde {K}}/K)} 또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 기본 항등식(영어: fundamental identity)이라고 한다. ν {\displaystyle \nu } 는 이산 값매김이며, K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 는 분해 가능 확대이다.:150, Proposition II.6.8 ν {\displaystyle \nu } 는 이산 값매김이며, K {\displaystyle K} 는 ν {\displaystyle \nu } 에 대하여 완비 공간이다.:151 데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 대신, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 로 정의되는 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다. 절댓값 | − | ν {\displaystyle |-|_{\nu }} 이 주어진 체 K {\displaystyle K} 의 확대 K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 가 주어졌다고 하자. 이 경우 ν {\displaystyle \nu } 를 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} 가 ν {\displaystyle \nu } 의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) ν ~ ∣ ν {\displaystyle {\tilde {\nu }}\mid \nu } 로 쓴다. 만약 ν {\displaystyle \nu } 가 비아르키메데스 자리인 경우, 분기 지표와 상대 차수를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 K {\displaystyle K} 와 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} 의 값매김환이 ( D , m ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}})} 및 ( D ~ , m ) {\displaystyle ({\tilde {D}},{\mathfrak {m}})} 라고 하자. 그렇다면, 분기 지표는 다음과 같은 부분군의 지표이다.:165 e ν ~ = [ ν ~ ( K ~ × ) : ν ( K × ) ] {\displaystyle e_{\tilde {\nu }}=[{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times }):\nu (K^{\times })]} ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} 의 상대 차수(영어: relative degree)는 다음과 같은, 잉여류체의 확대의 차수이다. f ν ~ = [ D ν ~ / m ν ~ : D / m ] {\displaystyle f_{\tilde {\nu }}=[D_{\tilde {\nu }}/{\mathfrak {m}}_{\tilde {\nu }}:D/{\mathfrak {m}}]} 만약 ν {\displaystyle \nu } 가 이산 값매김을 정의하며, K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 가 분해 가능 확대라면, 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다.:165, Proposition II.8.5 ∑ ν ~ ∣ ν e ν ~ f ν ~ = [ L : K ] {\displaystyle \sum _{{\tilde {\nu }}\mid \nu }e_{\tilde {\nu }}f_{\tilde {\nu }}=[L:K]} K ~ / K {\displaystyle {\tilde {K}}/K} 가 갈루아 확대라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다. (아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 ν {\displaystyle \nu } 의 확장 ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} 이 주어졌을 때, ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} 의 분해군 G ν ~ {\displaystyle G_{\tilde {\nu }}} 은 갈루아 군 Gal ⁡ ( K ~ / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)} 의 작용에 대한 안정자군이다.:167, Definition II.9.2 G ν ~ = { σ ∈ Gal ⁡ ( K ~ / K ) : ν ~ ∘ σ = ν ~ } {\displaystyle G_{\tilde {\nu }}=\{\sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\colon {\tilde {\nu }}\circ \sigma ={\tilde {\nu }}\}} 이는 | − | ν ~ {\displaystyle |-|_{\tilde {\nu }}} 에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다.:171 이에 대한 고정점들로 구성된 부분체를 분해체 Z ν ~ {\displaystyle Z_{\tilde {\nu }}} 라고 한다. Z ν ~ = { a ~ ∈ K ~ : σ ( a ~ ) = a ~ ∀ σ ∈ G ν ~ } {\displaystyle Z_{\tilde {\nu }}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in G_{\tilde {\nu }}\}} 만약 ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} 가 비아르키메데스 자리인 경우, 관성군과 분기군을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환 ( D , m ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}})} 및 ( D ~ , m ~ ) {\displaystyle ({\tilde {D}},{\tilde {\mathfrak {m}}})} 을 정의한다면, 체의 확대 D / m ⊆ D ~ / m ~ {\displaystyle D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}} 는 갈루아 확대임을 보일 수 있다.:172, Proposition II.9.9 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 핵을 비아르키메데스 자리 ν ~ {\displaystyle {\tilde {\nu }}} 의 관성군 I ν ~ {\displaystyle I_{\tilde {\nu }}} 이라고 한다. 1 → I ν ~ → G ν ~ → Gal ⁡ ( D ~ / m ~ D / m ) → 1 {\displaystyle 1\to I_{\tilde {\nu }}\to G_{\tilde {\nu }}\to \operatorname {Gal} \left({\frac {{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}}{D/{\mathfrak {m}}}}\right)\to 1} 이에 대한 고정점으로 구성되는 부분체를 관성체 T ν ~ {\displaystyle T_{\tilde {\nu }}} 라고 한다. 뉴턴 다각형 Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.  “Ramification theory of valued fields”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Ramified prime ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Unramified character”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Ramification of ideals”. 《nLab》 (영어).  “Ramification index”. 《PlanetMath》 (영어).  “Ramification of archimedean places”. 《PlanetMath》 (영어).  “Examples of ramification of archimedean places”. 《PlanetMath》 (영어).  “Splitting and ramification in number fields and Galois extensions”. 《PlanetMath》 (영어).