정역

가환대수학에서 정역(整域, 영어: integral domain)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다. 임의의 환 R {\displaystyle R} 의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, ( r ⋅ ) : R → R , s ↦ r s {\displaystyle (r\cdot )\colon R\to R,\;s\mapsto rs} 가 단사 함수일 경우 r {\displaystyle r} 를 정칙원(正則元素, 영어: regular element)이라고 한다. (곱셈 항등원을 갖는) 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다. R {\displaystyle R} 는 다음 두 조건을 만족시킨다. (영인자의 부재) 모든 a , b ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle a,b\in R\setminus \{0\}} 에 대하여, a b ≠ 0 {\displaystyle ab\neq 0} 이다. (비자명성) R {\displaystyle R} 는 자명환이 아니다. 즉, 1 ≠ 0 {\displaystyle 1\neq 0} 이다. R ∖ { 0 } {\displaystyle R\setminus \{0\}} 이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다. R {\displaystyle R} 의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다. R {\displaystyle R} 는 체의 부분환과 동형이다. R {\displaystyle R} 는 자명환이 아니며, R {\displaystyle R} 의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다. 스킴 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 영어: integral scheme, 프랑스어: schéma intègre)이라고 한다. X {\displaystyle X} 는 공집합이 아니며, 공집합이 아닌 모든 아핀 열린집합 U {\displaystyle U} 에 대하여 Γ ( U ; O X ) {\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})} 는 정역이다.:82 X {\displaystyle X} 는 축소 스킴이며 기약 스킴이다.:82, Proposition II.3.1 X {\displaystyle X} 는 공집합이 아니며, 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 줄기 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 가 정역이며, X {\displaystyle X} 는 연결 공간이다.:66, Exercise 2.4.4 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 p > 0 {\displaystyle p>0} 의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 x ↦ x p {\displaystyle x\mapsto x^{p}} 은 단사 함수이다. 정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다. 가환환 R {\displaystyle R} 및 아이디얼 a ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 가 소 아이디얼이다. R / a {\displaystyle R/{\mathfrak {a}}} 가 정역이다. 정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다. 가환환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:82, Example II.3.0.1:65 R {\displaystyle R} 는 정역이다. 아핀 스킴 Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 는 정역 스킴이다. 웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 은 정역을 이룬다. 모든 체는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 은 (데데킨트) 정역이다. 정수환의 몫환 Z / ( n 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n^{2})} 의 경우, n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} 이지만 n ⋅ n = 0 {\displaystyle n\cdot n=0} 이므로 정역이 아니다. 모든 대수다양체는 정역 스킴이다. 영역 (환론) 소환 (환론) 분수체 영인자 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 3일에 확인함.  Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  “Integral domain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Definition: Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어).  “Equivalence of Definitions of Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: Irreducible”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 3월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 28일에 확인함.  “Definition: Trivial Factorization”. 《ProofWiki》 (영어).  “Integral domain”. 《nLab》 (영어).  “Integral scheme”. 《nLab》 (영어).  “Irreducible element”. 《Commalg》 (영어).  “Irreducible element not implies prime”. 《Commalg》 (영어).