사영 공간의 대수 기하학

사영 공간의 개념은 대수기하학에서 중심적인 역할을 한다. 이 문서는 추상 대수기하학의 관점에서 개념을 정의하고 사영 공간의 몇 가지 기본 응용을 설명하는 것을 목표로 한다. k {\displaystyle \mathbb {k} } 를 대수적으로 닫힌 체 라고 하고 V {\displaystyle V} 를 k {\displaystyle \mathbb {k} } 위의 유한차원 선형 공간이라고 하자. 쌍대 선형 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 의 대칭 대수는 V {\displaystyle V} 위의 다항식 환이라고 하며 k [ V ] {\displaystyle \mathbb {k} [V]} 로 표시된다. 다항식의 차수에 따라 자연스럽게 등급 대수이다. 사영 영점 정리는 특정 차수의 모든 다항식을 포함하지 않는 동차 이데알 I {\displaystyle I} (무관한 이데알이라고 함)에 대해 I {\displaystyle I} (또는 Nullstelle )의 모든 다항식의 공통 영점 집합이 자명하지 않다고 말한다(즉, 공통 영점 집합은 단일 원소 {0}보다 더 많은 것을 포함하며, 더 정확하게는 해당 집합에서 영인 다항식의 이데알은 이데알 I {\displaystyle I} 의 근기와 일치한다. 이 마지막 주장은 다음 공식으로 가장 잘 요약된다. : 연관 이데알 I {\displaystyle I} 에 대해, I ( V ( I ) ) = I . {\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}.} 특히, k [ V ] {\displaystyle \mathbb {k} [V]} 의 최대 동차 연관 이데알은 V {\displaystyle V} 의 원점을 통과하는 선과 일대일이다. V {\displaystyle V} 를 체 k {\displaystyle \mathbb {k} } 위의 유한 차원 선형 공간이라고 하자. 사영 스펙트럼 Proj ( k [ V ] ) {\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {k} [V])} 에 의해 정의된 k {\displaystyle \mathbb {k} } 에 대한 스킴을 V {\displaystyle V} 의 사영화라고 한다. k {\displaystyle \mathbb {k} } 에 대한 사영 n-공간은 선형 공간 A k n + 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {k} }^{n+1}} 의 사영화이다. 층은 주 열린 집합 D ( P ) {\displaystyle D(P)} 의 열린 집합들의 기저 위에서 단면 Γ ( D ( P ) , O P ( V ) ) {\displaystyle \Gamma (D(P),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)})} 이 P {\displaystyle P} 에서 국소화하여 얻은 환의 0차 구성 성분인 환 ( k [ V ] P ) 0 {\displaystyle (\mathbb {k} [V]_{P})_{0}} 이 되도록 설정하여 정의된다. 여기서 P {\displaystyle P} 는 동차 다항식이다. 따라서 그 원소는 동차 분자와 분자와 동일한 차수를 갖는 P {\displaystyle P} 의 거듭제곱을 분모로 하는 유리 함수이다. 이러한 상황은 영점 없는 선형 형식 φ에서 가장 명확하다. 열린 집합 D ( φ ) {\displaystyle D(\varphi )} 에 대한 구조 층의 제한은 표준적으로 아핀 스킴 Spec ( k [ ker ⁡ φ ] ) {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {k} [\ker \varphi ])} 로 식별된다. D ( φ ) {\displaystyle D(\varphi )} 가 X {\displaystyle X} 의 열린 덮개를 형성하기 때문에 사영 스킴은 동형 아핀 스킴의 사영화를 통한 이어붙이기에 의해 얻어지는 것으로 생각할 수 있다. 이 스킴의 전역 단면들의 환은 체이고, 이는 스킴이 아핀이 아님을 의미함에 유의하라. 임의의 두 개의 열린 집합은 자병하지 않게 교차한다. 즉, 이 스킴은 기약이다. 체 k {\displaystyle \mathbb {k} } 가 대수적으로 닫힌 체인 경우, P ( V ) {\displaystyle \mathbb {P} (V)} 는 사실 추상 다형체이며 완비이다. 사실 Proj 함자는 단순한 스킴 이데알을 제공한다. 이 과정에서 구조 층 위에 등급 가군의 층이 정의된다. 이 등급 층의 동차 성분은 세르 비틀림 층 O ( i ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(i)} 으로 표시된다. 이 층은 모두 정말로 선다발이다. 까르띠에 약수 와 선다발의 대응에 의해, 제 1 비틀림 층 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} 은 초평면 약수와 동일하다. 다항식 환은 유일 소인수분해 정역이기 때문에 높이 1인 모든 소 이데알은 주 이데알이다. 이는 모든 베유 약수가 초평면 약수의 어떤 거듭제곱과 선형적으로 동등함을 보여준다. 이러한 고려는 사영 공간의 피카르 군이 랭크 1인 자유군 P i c   P k n = Z {\displaystyle \mathrm {Pic} \ \mathbf {P} _{\mathbb {k} }^{n}=\mathbb {Z} } 임을 증명한다. 그리고 이 동형 사상은 약수의 차수에 의해 주어진다. 체 k {\displaystyle \mathbb {k} } 위의 사영 공간 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {k} }^{n}} 위의 가역 층 또는 선다발은 정확히 꼬임 층 O ( m ) ,   m ∈ Z {\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\ m\in \mathbb {Z} } 이다. 그래서 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {k} }^{n}} 의 피카르 군은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 와 동형이다. 동형 사상은 첫 번째 천 특성류에 의해 제공된다. 선다발 O ( k ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(k)} 의 열린 집합 U ⊆ P ( V ) {\displaystyle U\subseteq \mathbb {P} (V)} 에서 국소 단면의 공간은 U {\displaystyle U} 와 연관된 V {\displaystyle V} 의 원뿔에 대한 동차 차수 k {\displaystyle k} 인 정규 함수의 공간이다. 특히 전역 단면들의 공간 Γ ( P , O ( m ) ) {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ,{\mathcal {O}}(m))} 는 m < 0인 경우 영이고, m =0인 경우 k {\displaystyle \mathbb {k} } 의 상수이며, m > 0 인 경우 차수 m의 동차 다항식으로 구성된다. (따라서 차원은 ( m + n m ) = ( m + n n ) {\textstyle {\binom {m+n}{m}}={\binom {m+n}{n}}} ). 버코프-그로텐디크 정리에 따르면 사영 직선에서 모든 벡터 다발은 유일한 방식으로 선다발의 직합으로 분해된다. 예를 들어 매끄러운 점을 부풀리는 예외적인 약수로 나타나는 보편 다발은 층 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} 이다. 표준 다발 K ( P k n ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {P} _{\mathbb {k} }^{n})} 는 O ( − ( n + 1 ) ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-(n+1))} . 이 사실은 사영 공간에 대한 근본적인 기하학적 진술인 오일러 수열에서 유도된다. 표준 선다발의 음성은 사영 공간을 파노 다형체의 주요 예시로 만든다. 지표는 I n d ( P n ) = n + 1 {\displaystyle \mathrm {Ind} (\mathbb {P} ^{n})=n+1} 과 같이 주어진다. 그리고 고바야시-Ochiai의 정리에 의해 사영 공간은 성질에 의해 파노 다형체 사이에서 특징지어진다. I n d ( X ) = dim ⁡ X + 1. {\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=\dim X+1.} 아핀 공간이 사영 공간에 매장될 수 있는 것처럼 모든 아핀 다형체도 사영 공간에 매장될 수 있다. 전역적으로 생성된 선다발의 전역 단면이 모두 영은 아닌 유한 계의 모든 선택은 사영 공간에 대한 사상을 정의한다. 기저가 그러한 사상에 의해 사영 공간에 매장될 수 있는 선다발을 아주 풍부하다고 한다. 사영 공간 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {k} }^{n}} 의 대칭 군은 사영된 선형 자기동형사상 군 P G L n + 1 ( k ) {\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbf {k} )} 이다. 이 군의 작용을 법으로 사영 공간에 대한 사상 j : X → P n {\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}} 의 선택은 실제로 X {\displaystyle X} 의 선다발에서 약수의 n 차원 선형계를 전역적으로 생성하는 선택과 동일하다. 사영 변환을 법으로 X {\displaystyle X} 의 사영 매장의 선택은 마찬가지로 X {\displaystyle X} 에서 아주 풍부한 선다발을 선택하는 것과 같다. 사영 공간에 대한 사상 j : X → P n {\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}} 는 전역적으로 생성된 선다발을 j ∗ O ( 1 ) {\displaystyle j^{*}{\mathcal {O}}(1)} 과 같이 정의한다. 그리고 선형계를 j ∗ ( Γ ( P n , O ( 1 ) ) ) ⊂ Γ ( X , j ∗ O ( 1 ) ) . {\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))\subset \Gamma (X,j^{*}{\mathcal {O}}(1)).} 로 정의한다. 사상 j {\displaystyle j} 의 범위가 초평면 약수에 포함되지 않은 경우 당김은 단사이고 약수의 선형계이다. j ∗ ( Γ ( P n , O ( 1 ) ) ) {\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))} 는 n 차원 선형계이다. 베로네즈 매장은 N = ( n + d d ) − 1 {\textstyle N={\binom {n+d}{d}}-1} 에 대해, 매장 P n → P N {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}} 이다. 매끄러운 사영 초곡면 (매끄러운 약수)의 코호몰로지 군 계산에 베로네즈 매장을 적용하려면 MathOverflow 의 답변 참조 파노 다형체로서, 사영 공간은 선직 다형체이다. 사영 평면에서 곡선의 교차 이론은 베주 정리를 산출한다. 스킴(수학) 사영 다형체 Proj 구성 사영 공간 사영기하학 동차다항식 In coordinates this correspondence is given by P ( X 0 , … , X n ) X 0 deg ⁡ ( P ) ↦ P ( 1 , X 1 , … , X n ) {\displaystyle {\frac {P(X_{0},\ldots ,X_{n})}{X_{0}^{\deg(P)}}}\mapsto P(1,X_{1},\ldots ,X_{n})} Robin Hartshorne (1977). 《Algebraic Geometry》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.  Exercise sheet  (in French) on projective spaces, on the page of Yves Laszlo.