고유 함수

일반위상수학에서 고유 함수(固有函數, 영어: proper map)은 콤팩트 집합의 원상이 콤팩트한 연속 함수이다. 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 성질을 만족시키면, f {\displaystyle f} 를 고유 함수라고 한다. 임의의 콤팩트 집합 K ⊂ Y {\displaystyle K\subset Y} 에 대하여, K − 1 ( f ) ⊂ X {\displaystyle K^{-1}(f)\subset X} 는 콤팩트 집합이다. (스킴의 고유 사상은 이 조건과 다른 조건이다.) 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 성질을 만족시키면, f {\displaystyle f} 를 준콤팩트 함수(準-, 영어: quasicompact map)라고 한다. 임의의 콤팩트 열린집합 K ⊂ Y {\displaystyle K\subset Y} 에 대하여, K − 1 ( f ) ⊂ X {\displaystyle K^{-1}(f)\subset X} 는 콤팩트 열린집합이다. 이 조건은 스킴 이론에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 준콤팩트 사상(영어: quasicompact morphism)은 준콤팩트 함수인 스킴 사상이다. (스킴 사상은 항상 연속 함수이다.) 공역 Y {\displaystyle Y} 가 하우스도르프 공간이라면 Y {\displaystyle Y} 의 콤팩트 열린집합은 열린닫힌집합이며, Y {\displaystyle Y} 가 하우스도르프 연결 공간인 경우 이는 공집합이거나 Y {\displaystyle Y} 전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 스킴은 하우스도르프 공간이 아니다. 정의에 따라서, 연속 함수에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 고유 함수 ⊊ {\displaystyle \subsetneq } 준콤팩트 함수 ⊊ {\displaystyle \subsetneq } 연속 함수 어떤 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 닫힌 함수이며 또한 모든 점 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 의 원상이 콤팩트 집합이라면 f {\displaystyle f} 는 고유 함수이다. 만약 Y {\displaystyle Y} 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 그 역도 성립한다. 만약 X , Y {\displaystyle X,Y} 가 거리 공간이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다. 거리 공간 X {\displaystyle X} 속의 수열 x i ∈ X {\displaystyle x_{i}\in X} 가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합 K {\displaystyle K} 에 대하여 K ∩ { x i } i ∈ N {\displaystyle K\cap \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }} 가 유한 집합이라면, ( x i ) i ∈ N {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 를 무한대로 달아난다(영어: escape to infinity)고 한다. 거리 공간 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 고유 함수이다. X {\displaystyle X} 속의 모든 무한대로 달아나는 수열의 상이 ( Y {\displaystyle Y} 속에서) 항상 무한대로 달아난다. 스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다. 준콤팩트 사상이다.:242, Proposition and Definition 10.1(i) 임의의 아핀 열린집합 A ⊆ Y {\displaystyle A\subseteq Y} 에 대하여, f − 1 ( A ) {\displaystyle f^{-1}(A)} 는 콤팩트 집합이다.:91, Exercise II.3.2 (모든 아핀 스킴은 콤팩트 공간이다.) Y {\displaystyle Y} 는 f {\displaystyle f} 에 대한 원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 { ι i : Spec ⁡ R i → Y } i ∈ I {\displaystyle \{\iota _{i}\colon \operatorname {Spec} R_{i}\to Y\}_{i\in I}} 를 갖는다.:242, Proposition and Definition 10.1(ii) 그러나 마지막 조건에서, "원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개"를 "원상이 콤팩트 집합인 콤팩트 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.:Remark 1.5 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. X {\displaystyle X} 가 콤팩트 공간이다. 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 X → { ∙ } {\displaystyle X\to \{\bullet \}} 가 고유 함수이다. 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 X → { ∙ } {\displaystyle X\to \{\bullet \}} 가 준콤팩트 함수이다. 정의역이 콤팩트 공간이고 공역이 하우스도르프 공간인 연속 함수는 고유 함수이자 닫힌 함수이다. Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten. 《Algebraic geometry. Part I: Schemes. With examples and exercises》 (영어).  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Vistoli, Angelo (2007). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). arXiv:math/0412512. Bibcode:2004math.....12512V.  “Proper map”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Compact mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Perfect mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Proper map”. 《nLab》 (영어).  “Quasicompact morphism”. 《nLab》 (영어).