아딘크라 (물리학)

물리학에서 아딘크라(영어: adinkra)는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다. 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, n {\displaystyle n} 차원 아딘크라(영어: n {\displaystyle n} -dimensional adinkra)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. Γ {\displaystyle \Gamma } 는 유한 연결 n {\displaystyle n} 차 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.) Γ {\displaystyle \Gamma } 위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 { B , F } {\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}} 라고 하자. (이는 보손과 페르미온의 머릿글자이다.) 특히, Γ {\displaystyle \Gamma } 는 이분 그래프이어야 한다. 또한, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 계수(영어: rank)라고 하자. Γ {\displaystyle \Gamma } 위에는 { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}} 에 대한 변 색칠이 주어져 있다. 또한, Γ {\displaystyle \Gamma } 의 각 변에는 부호 { + , − } {\displaystyle \{+,-\}} 가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.) 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다. 각 꼭짓점에 닿은 n {\displaystyle n} 개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다. 임의의 두 정수 1 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle 1\leq i<j\leq n} 에 대하여, i {\displaystyle i} 또는 j {\displaystyle j} 가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 − {\displaystyle -} 인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다. 두 n {\displaystyle n} 차원 아딘크라 Γ {\displaystyle \Gamma } , Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 가 주어졌다고 하자. 또한, 각 σ ∈ { B , F } {\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}} 및 각 계수 h ∈ Z {\displaystyle h\in \mathbb {Z} } 에 대하여, Γ {\displaystyle \Gamma } 속의 ( σ , h ) {\displaystyle (\sigma ,h)} -꼭짓점의 수는 Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} 속의 ( σ , h ) {\displaystyle (\sigma ,h)} -꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을 V σ , h ⁡ ( Γ ) {\displaystyle \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma )} 및 V σ , h ⁡ ( Γ ′ ) {\displaystyle \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ')} 로 표기하자. 이 두 아딘크라 사이의 C-동형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:§7.2 각 σ ∈ { B , F } {\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}} 및 각 계수 h ∈ Z {\displaystyle h\in \mathbb {Z} } 에 대하여, 전단사 함수 f V σ , h ⁡ ( Γ , σ , h ) → V σ , h ⁡ ( Γ ′ ) {\displaystyle f\operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)\to \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ')} 각 v ∈ V σ , h ⁡ ( Γ , σ , h ) {\displaystyle v\in \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)} 에 대하여, 부호 s ( v ) ∈ { ± 1 } {\displaystyle s(v)\in \{\pm 1\}} 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. (색의 보존) 각 변 ( u , v ) ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )} 에 대하여, ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 의 색 ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \in \{1,\dotsc ,n\}} 은 ( f ( u ) , f ( v ) ) {\displaystyle (f(u),f(v))} 의 색과 같다. (부호의 보존) 임의의 변 ( u , v ) ∈ E ⁡ ( Γ ) {\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )} 의 부호가 σ ∈ { ± 1 } {\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}} 이라고 할 때, ( f ( u ) , f ( v ) ) ∈ E ⁡ ( Γ ′ ) {\displaystyle (f(u),f(v))\in \operatorname {E} (\Gamma ')} 의 부호는 s ( u ) s ( v ) σ {\displaystyle s(u)s(v)\sigma } 이다. 이 데이터는 성분이 { 0 , − 1 , + 1 } {\displaystyle \{0,-1,+1\}} 에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 동형의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.:§7.2 아딘크라의 크로모토폴로지(영어: chromotopology)는 아딘크라의 정의에서 꼭짓점에 칠해진 색깔 { B , F } {\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}} 변에 주어진 부호 { ± } {\displaystyle \{\pm \}} 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서) 를 잊고, 대신 그래프 구조 변의 색깔 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}} 만을 남긴 구조이다. 생성원 ( H , Q 1 , … , Q n ) {\displaystyle (H,Q_{1},\dotsc ,Q_{n})} 을 갖는 초대칭 대수 { Q i , Q j } = 2 δ i j H {\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}=2\delta _{ij}H} [ Q i , H ] = 0 {\displaystyle [Q_{i},H]=0} 를 생각하자. 이는 리 초대수 p o ( 1 | n ) {\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)} 을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 [시간]−1이며, 따라서 초대칭 연산자 Q i {\displaystyle Q_{i}} 의 단위는 [시간]−½이다. 이 경우, 아딘크라 Γ {\displaystyle \Gamma } 가 주어졌을 때, V = ⨁ v ∈ V ⁡ ( Γ ) V v {\displaystyle V=\bigoplus _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}V_{v}} V v ≅ C ∞ ( R , C ) {\displaystyle V_{v}\cong {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )} 를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 p o ( 1 | n ) {\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)} 의 표현을 생각하자. H = i d d t {\displaystyle H=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}} 변 ∙ u − − − i , σ ∙ v {\displaystyle {\underset {u}{\bullet }}\;{\overset {i,\sigma }{-\!\!\!-\!\!\!-}}\;{\underset {v}{\bullet }}} rank ⁡ u = rank ⁡ v − 1 = h {\displaystyle \operatorname {rank} u=\operatorname {rank} v-1=h} i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}} σ ∈ { ± 1 } {\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}} 에 대하여, 만약 u {\displaystyle u} 가 보손이며 v {\displaystyle v} 가 페르미온이라면, Q i ϕ u = σ ϕ v ( ϕ ∈ C ∞ ( R , C ) ) {\displaystyle Q_{i}\phi _{u}=\sigma \phi _{v}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))} Q i ϕ v = σ i d d t ϕ u ( ϕ ∈ C ∞ ( R , C ) ) {\displaystyle Q_{i}\phi _{v}=\sigma \mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{u}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))} 만약 u {\displaystyle u} 가 페르미온이며 v {\displaystyle v} 가 보손이라면, Q i ψ u = σ i ψ v ( ψ ∈ C ∞ ( R , C ) ) {\displaystyle Q_{i}\psi _{u}=\sigma \mathrm {i} \psi _{v}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))} Q i ψ v = σ d d t ψ u ( ψ ∈ C ∞ ( R , C ) ) {\displaystyle Q_{i}\psi _{v}=\sigma {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\psi _{u}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))} 이를 아딘크라 Γ {\displaystyle \Gamma } 에 대응하는 초대칭 표현이라고 한다. 아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다. 이와 같이 n {\displaystyle n} 차원 아딘크라로 표시될 수 있는 p o ( 1 | n ) {\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)} 의 표현을 아딘크라 표현(adinkra表現, 영어: adinkraic representation)이라고 한다. 모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다. 구체적으로, N {\displaystyle N} 차원 아딘크라와, 이 N {\displaystyle N} 개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 무지개(영어: rainbow)라고 하기도 한다.) 그렇다면, 아딘크라의 그래프에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프를 이룬다. 띠그래프의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다. 계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및 Q ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}} -대수 곡선 (리만 곡면)을 대응시킬 수 있다. 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡이 대응된다. 이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다. (아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다. F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} -벡터 공간 F 2 n {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}} 속의 선형 부호 C ⊆ F 2 n {\displaystyle C\subseteq \mathbb {F} _{2}^{n}} 가운데, 만약 모든 원소 c ∈ C {\displaystyle c\in C} 에 대하여 4 ∣ d H ⁡ ( c , 0 ) {\displaystyle 4\mid \operatorname {d_{H}} (c,0)} 라면, C {\displaystyle C} 를 겹짝 선형 부호(영어: doubly even linear code)라고 한다. (여기서 d H {\displaystyle \operatorname {d_{H}} } 는 해밍 거리이다.) (아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 n {\displaystyle n} 차원 크로모토폴로지는 F 2 n / C {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}/C} 의 꼴의 그래프로 나타내어진다.:Theorem 4.5 여기서 F 2 n {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}} 은 초입방체 크로모토폴로지이며, C {\displaystyle C} 는 겹짝 선형 부호이다. 2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다. 　　Ｂ ¹／　＼² Ｆ　　　Ｆ ₂＼　／₁ 　　Ｂ 여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다). 이는 초다중항 ( ϕ , ψ , χ , A ) {\displaystyle (\phi ,\psi ,\chi ,A)} Q 1 ϕ = ψ {\displaystyle Q_{1}\phi =\psi } Q 2 ϕ = χ {\displaystyle Q_{2}\phi =\chi } Q 1 χ = − Q 2 ψ = A {\displaystyle Q_{1}\chi =-Q_{2}\psi =A} Q 1 ψ = Q 2 χ = H ϕ {\displaystyle Q_{1}\psi =Q_{2}\chi =H\phi } Q 1 A = H χ {\displaystyle Q_{1}A=H\chi } Q 2 A = − H ψ {\displaystyle Q_{2}A=-H\psi } 을 나타낸다. 1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다. Ｆ ｜1 Ｂ 이는 초다중항 ( ϕ , ψ ) {\displaystyle (\phi ,\psi )} Q 1 ϕ = − ψ {\displaystyle Q_{1}\phi =-\psi } Q 1 ψ = − H ϕ {\displaystyle Q_{1}\psi =-H\phi } 를 나타낸다. 보다 일반적으로, 임의의 자연수 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, n {\displaystyle n} 차원 초입방체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 위의 벡터 공간 F 2 n {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}} 으로 생각할 수 있다. 이 경우, 각 변에 색 c ( ( s 1 , s 2 , … , s i − 1 , 0 , s i + 1 , … , s n ) , ( s 1 , s 2 , … , s i − 1 , 1 , s i + 1 , … , s n ) ) = i {\displaystyle c\left((s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{i-1},0,s_{i+1},\dotsc ,s_{n}),(s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{i-1},1,s_{i+1},\dotsc ,s_{n})\right)=i} 를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 초입방체 크로모토폴로지(超立方體chromotopology, 영어: hypercube chromotopology)라고 한다.:§4 초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다. { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) } ⊆ F 2 ⊕ 4 {\displaystyle \{(0,0,0,0),(1,1,1,1)\}\subseteq \mathbb {F} _{2}^{\oplus 4}} 즉, 다음과 같은 꼴이다.:Figure 5 (편의상 변의 색칠을 생략하였다.) _ F, G, H _ / / \ \ B C D E \ \ / / `- A -´ 즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다. 2004년에 마이클 폭스(영어: Michael Faux)와 실베스터 제임스 게이츠 2세(영어: Sylvester James Gates, Jr.)가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다. “아딘크라”라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라(아칸어: adinkra)에서 유래하였다. 파인만 도형 Zhang, Yan X. (2011). “Adinkras for mathematicians” (영어). arXiv:1111.6055. Bibcode:2011arXiv1111.6055Z.  Faux, Michael; Gates, Sylvester James, Jr. (2005). “Adinkras: a graphical technology for supersymmetric representation theory”. 《Physical Review D》 (영어) 71: 065002. arXiv:hep-th/0408004. Bibcode:2005PhRvD..71f5002F. doi:10.1103/PhysRevD.71.065002.  Doran, Charles; Iga, Kevin; Landweber, Greg; Méndez-Diez, Stefan (2013). “Geometry of N-extended 1-dimensional supersymmetry algebras” (영어). arXiv:1311.3736. Bibcode:2013arXiv1311.3736D.  “Adinkra”. 《nLab》 (영어).  Schreiber, Urs (2007년 8월 7일). “Adinkras”. 《The n-Category Café》 (영어).