일반화 오차

기계학습 및 통계적 학습이론의 지도학습 응용에서 일반화 오차(一般化誤差, generalization error) 또는 표본 외 오차(標本外誤差, out-of-sample)는 알고리즘이 전례가 없는 데이터에 대한 결과값을 얼마나 정확하게 예측할 수 있는지의 정도이다. 학습 알고리즘은 유한표본에서 평가되기 때문에, 학습 알고리즘 평가는 표본오차에 민감할 수 있다. 결과적으로, 현재 데이터에 관한 예측오차의 측정값은, 새로운 데이터를 예측하는 데 있어서 많은 정보를 제공하지 않을 수 있다. 일반화 오차는 학습 알고리즘의 과적합을 피함으로써 최소화될 수 있다. 기계학습 알고리즘의 성능은 학습과정을 통한 일반화 오차값의 플롯, 학습곡선으로 측정된다. 학습문제에서의 목표는, 입력 데이터 x {\displaystyle x} 를 기반으로 출력값 y {\displaystyle y} 를 예측하는 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 를 개발하는 것입니다. x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 의 모든 값에서 함수 f n {\displaystyle f_{n}} 의 예상 오차 I [ f n ] {\displaystyle I[f_{n}]} 는 다음과 같다. I [ f n ] = ∫ X × Y V ( f n ( x ) , y ) ρ ( x , y ) d x d y , {\displaystyle I[f_{n}]=\int _{X\times Y}V(f_{n}(x),y)\rho (x,y)dxdy,} 이 때 V {\displaystyle V} 는 손실함수를 나타내고, ρ ( x , y ) {\displaystyle \rho (x,y)} 는 x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 의 미지의 결합확률분포이다. 결합확률분포를 알 수 없으면 I [ f ] {\displaystyle I[f]} 의 계산은 불가능하지만, 대신에 표본 데이터에 대한 경험적 오차를 계산할 수 있다. 기준점 n {\displaystyle n} 가 주어졌을 때의 경험적 오차는 다음과 같다. I S [ f n ] = 1 n ∑ i = 1 n V ( f n ( x i ) , y i ) {\displaystyle I_{S}[f_{n}]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f_{n}(x_{i}),y_{i})} 일반화 오차는 예상오차와 경험오차와의 차이이다. 이는 훈련 집합(training dataset)의 오차와 결합확률분포의 오차 사이의 차이이며, 다음과 같이 정의된다. G = I [ f n ] − I S [ f n ] {\displaystyle G=I[f_{n}]-I_{S}[f_{n}]} 알고리즘은 다음과 같은 경우에 「일반화」되었다고 한다. lim n → ∞ I [ f n ] − I S [ f n ] = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }I[f_{n}]-I_{S}[f_{n}]=0} I [ f n ] {\displaystyle I[f_{n}]} 는 미지의 결합확률분포로 계산될 수 없기 때문에 일반화 오차는 도출될 수 없다. 대신에, 통계적 학습이론에서 제문제의 목적은 일반화 오차를 확률의 범위로 제한하거나 특성화하는 것이다. P G = P ( I [ f n ] − I S [ f n ] ≤ ϵ ) ≥ 1 − δ n {\displaystyle P_{G}=P(I[f_{n}]-I_{S}[f_{n}]\leq \epsilon )\geq 1-\delta _{n}} 즉, 일반화 오차가 어떠한 오차범위 ϵ {\displaystyle \epsilon } 보다 작은 확률 1 − δ n {\displaystyle 1-\delta _{n}} 의 특성을 부여하는 것이 목적이다. 이는 학습률로 알려져 있으며, 일반적으로 δ {\displaystyle \delta } 와 n {\displaystyle n} 에 의존한다. 여러 유형의 알고리즘에 대하여, 알고리즘이 일정한 안정성 기준을 충족하면 일반화 한계를 갖는 것으로 나타났다. 특히, 알고리즘이 대칭이고(입력 순서가 결과에 영향을 미치지 않음), 손실이 한정되어 있고, 두 가지 안정성 조건을 충족하면 알고리즘은 일반화된다. 첫 번째 안정성 조건인 LOOCV(Leave-one-out cross-validation) 안정성은, 알고리즘이 안정적이기 위해서는 LOOCV를 사용할 때에 각 데이터 포인트에 대한 예측오차가 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } 일 때 0에 수렴해야 한다고 한다. 두 번째 조건인 예측된 LOO 오차 안정성(expected-to-leave-one-out error stability; L 1 {\displaystyle L_{1}} 노름에서 작동하는 경우의 가설 안정성)은 훈련 집합에서 단일 데이터 지점을 제거해도 남은 데이터에 대한 예측에 변함이 없을 때 충족된다. 이러한 조건들은 다음과 같이 공식화될 수 있다. 알고리즘 L {\displaystyle L} 은 각 n {\displaystyle n} 에 대하여, 이하와 같은 β C V ( n ) {\displaystyle \beta _{CV}^{(n)}} 와 δ C V ( n ) {\displaystyle \delta _{CV}^{(n)}} 가 존재할 경우 C V l o o {\displaystyle CVloo} 안정성을 갖는다. ∀ i ∈ { 1 , . . . , n } , P S { | V ( f S i , z i ) − V ( f S , z i ) | ≤ β C V ( n ) } ≥ 1 − δ C V ( n ) {\displaystyle \forall i\in \{1,...,n\},\mathbb {P} _{S}\{|V(f_{S^{i}},z_{i})-V(f_{S},z_{i})|\leq \beta _{CV}^{(n)}\}\geq 1-\delta _{CV}^{(n)}} 그리고 β C V ( n ) {\displaystyle \beta _{CV}^{(n)}} 와 δ C V ( n ) {\displaystyle \delta _{CV}^{(n)}} 는 n {\displaystyle n} 이 무한대로 갈 때 0에 수렴한다. 알고리즘 L {\displaystyle L} 은 각 n {\displaystyle n} 에 대하여, 이하와 같은 β E L m {\displaystyle \beta _{EL}^{m}} 와 δ E L m {\displaystyle \delta _{EL}^{m}} 가 존재할 경우 E l o o e r r {\displaystyle Eloo_{err}} 안정성을 갖는다. ∀ i ∈ { 1 , . . . , n } , P S { | I [ f S ] − 1 n ∑ i = 1 N V ( f S i , z i ) | ≤ β E L ( n ) } ≥ 1 − δ E L ( n ) {\displaystyle \forall i\in \{1,...,n\},\mathbb {P} _{S}\{|I[f_{S}]-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{N}V(f_{S^{i}},z_{i})|\leq \beta _{EL}^{(n)}\}\geq 1-\delta _{EL}^{(n)}} 이 때, β E L ( n ) {\displaystyle \beta _{EL}^{(n)}} 와 δ E L ( n ) {\displaystyle \delta _{EL}^{(n)}} 는 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } 일 때 0에 수렴한다. L 1 {\displaystyle L_{1}} 노름에서의 LOO 안정성에 대하여, 다음은 가설 안정성(Hypothesis Stability)과 같다. E S , z [ | V ( f S , z ) − V ( f S i , z ) | ] ≤ β H ( n ) {\displaystyle \mathbb {E} _{S,z}[|V(f_{S},z)-V(f_{S^{i}},z)|]\leq \beta _{H}^{(n)}} 이 때, β H ( n ) {\displaystyle \beta _{H}^{(n)}} 는 n {\displaystyle n} 가 무한대로 갈 때 0에 수렴한다. 여러 알고리즘은 안정적이라는 것이 증명되었고, 그 결과 일반화 오차가 제한되었다. 이러한 알고리즘의 목록과 안정성을 입증한 논문의 목록은 이곳에서 열람가능하다. 일반화 오차와 과적합의 개념은 밀접하게 연관되어 있다. 과적합은 학습된 함수 f S {\displaystyle f_{S}} 가 샘플 내 노이즈에 과민해졌을 때 발생한다. 결과적으로, 함수는 훈련 집합에서 잘 수행되겠지만, 결합확률분포 x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 에서의 다른 데이터에 대해서는 그렇지 않을 것이다. 그러므로, 과적합될수록 일반화 오차는 커진다. 과적합의 양은, 교차검증 방법을 사용하여 테스트할 수 있으며, 이 방법은 샘플을 시뮬레이션된 훈련 샘플과 테스트 샘플로 분할한다. 그런 다음, 모델을 훈련 샘플을 통해 교육하고, 테스트 샘플에서 평가된다. 테스트 샘플은 이전 알고리즘에서 보여지지 않은, 즉 결합확률분포 x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 에서의 임의의 샘플을 나타낸다. 이 테스트 샘플은 예상오차를 근사적으로 계산할 수 있게 해주며, 그 결과 일반화 오차의 특정 형태에 근사하게 된다. 과적합을 방지하기 위한 많은 알고리즘이 존재한다. 최소화 알고리즘은 더 복잡한 함수에 불이익을 주거나(티호노프 정칙화), 가설 공간(hypothesis space)은 함수의 형태로 명시적으로 제약될 수 있거나, 최소화 함수에 제약조건을 추가함으로써 제약될 수 있다(이바노프 정규화). 과적합하지 않는 함수를 찾는 접근방식은, 데이터의 특정된 특성을 포착하기에 충분히 복잡한 함수를 찾는 목표와 상충된다. 이는 편향-분산 트레이드오프로도 알려져 있다. 함수를 단순히 하여 과적합을 회피하면, 결과로서 얻어지는 예측에 편향이 생길 가능성이 있으나, 그것을 보다 복잡하게 만들면, 과적합과 예측의 변동이 커진다. 이 둘을 동시에 최소화하는 것은 불가능하다. 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