대칭 작용소

작용소 이론에서 대칭 작용소(對稱作用素, 영어: symmetric operator)는 스스로의 정의역 위에서, 스스로가 에르미트 수반과 일치하는 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. 자기 수반 작용소의 개념과 달리, 그 정의역이 에르미트 수반의 정의역보다 더 작을 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} (실수체 또는 복소수체 가운데 하나) K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 E {\displaystyle E} E {\displaystyle E} 의 조밀 부분 벡터 공간 dom ⁡ A {\displaystyle \operatorname {dom} A} K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환 A : dom ⁡ A → E ∗ {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to E^{*}} 만약 A {\displaystyle A} 가 다음 조건을 만족시킨다면, A {\displaystyle A} 를 대칭 작용소라고 한다. ⟨ A x | y ⟩ = ⟨ A y | x ⟩ ¯ ∀ x , y ∈ dom ⁡ A {\displaystyle \langle Ax|y\rangle ={\overline {\langle Ay|x\rangle }}\qquad \forall x,y\in \operatorname {dom} A} 여기서 E ∗ {\displaystyle E^{*}} 는 E {\displaystyle E} 의 연속 쌍대 공간이다. a ¯ : K → K {\displaystyle {\bar {\color {White}a}}\colon \mathbb {K} \to \mathbb {K} } 는 K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 일 경우 복소켤레이며, K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 일 경우 항등 함수이다. ⟨ | ⟩ {\displaystyle \langle |\rangle } 는 E {\displaystyle E} 와 E ∗ {\displaystyle E^{*}} 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다. H {\displaystyle H} 가 힐베르트 공간이라고 하자. 리스 표현 정리에 따라 H ≅ H ∗ {\displaystyle H\cong H^{*}} 이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 ( H , ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle \cdot |\cdot \rangle )} 의 조밀 부분 벡터 공간 dom ⁡ A ⊆ H {\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq H} 에 정의된 선형 변환 A : dom ⁡ A → H {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:58–59 A {\displaystyle A} 는 대칭 작용소이다. 모든 u , v ∈ dom ⁡ A {\displaystyle u,v\in \operatorname {dom} A} 에 대하여, ⟨ u | A | v ⟩ = ⟨ A u | v ⟩ {\displaystyle \langle u|A|v\rangle =\langle Au|v\rangle } 이다. dom ⁡ A ⊂ dom ⁡ A ∗ {\displaystyle \operatorname {dom} A\subset \operatorname {dom} A^{*}} 이며, 모든 u ∈ dom ⁡ A {\displaystyle u\in \operatorname {dom} A} 에 대하여 A u = A ∗ u {\displaystyle Au=A^{*}u} 이다. 여기서 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 는 에르미트 수반이다. 힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상 dom ⁡ A ⊂ dom ⁡ A ∗ {\displaystyle \operatorname {dom} A\subset \operatorname {dom} A^{*}} 이며, 따라서 dom ⁡ A ∗ {\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}} 역시 조밀 집합이다. 대칭 작용소 A {\displaystyle A} 의 경우, dom ⁡ A = dom ⁡ A ∗ {\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}} 일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 자기 수반 작용소의 개념을 얻는다. 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 의 조밀 부분 벡터 공간 D {\displaystyle D} 위에 정의된 작용소 D → H {\displaystyle D\to H} 들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 D = H {\displaystyle D=H} 이다. 즉, 헬링거-퇴플리츠 정리(영어: Hellinger–Toeplitz theorem)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.:67 유한 차원 힐베르트 공간 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 위의 작용소 A {\displaystyle A} 에 대하여, 다음이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 는 대칭 작용소이다. A {\displaystyle A} 는 자기 수반 작용소이다. A {\displaystyle A} 의 행렬은 에르미트 행렬이다. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 위의 대칭 작용소 A : dom ⁡ A → H {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H} 를 생각하자. 즉, 부분 공간 dom ⁡ A ⊆ dom ⁡ A ∗ ⊆ H {\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} A^{*}\subseteq H} 이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자. N ± = im ⁡ ( A ± i ) ⊥ = { y ∈ H : ∀ x ∈ dom ⁡ A : ⟨ y | A | x ⟩ = − i ⟨ y | x ⟩ } {\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {im} (A\pm \mathrm {i} )^{\perp }=\left\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname {dom} A\colon \langle y|A|x\rangle =-\mathrm {i} \langle y|x\rangle \right\}} 이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원 dim ⁡ N ± {\displaystyle \dim N_{\pm }} 을 A {\displaystyle A} 의 결점 지표(缺點指標, 영어: deficiency index)라고 한다. 폰 노이만 공식(영어: von Neumann formula)에 따르면, 다음이 성립한다. N ± = ker ⁡ ( A ∗ ∓ i ) {\displaystyle N_{\pm }=\ker(A^{*}\mp \mathrm {i} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 위의 대칭 작용소 A : dom ⁡ A → H {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H} 의 대칭 확장(對稱擴張, 영어: symmetric extension)은 다음을 만족시키는 작용소 A ~ : dom ⁡ A ~ → H {\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} {\tilde {A}}\to H} 이다. 이 경우 A ⊆ A ~ {\displaystyle A\subseteq {\tilde {A}}} 라고 표기하자. dom ⁡ A ⊆ dom ⁡ A ~ {\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}} ∀ v ∈ dom ⁡ A : A v = A ~ v {\displaystyle \forall v\in \operatorname {dom} A\colon Av={\tilde {A}}v} 즉, 이는 graph ⁡ A ⊆ graph ⁡ A ~ ⊆ H ⊕ H {\displaystyle \operatorname {graph} A\subseteq \operatorname {graph} {\tilde {A}}\subseteq H\oplus H} 인 조건과 같다. 대칭 확장 관계를 통해, H {\displaystyle H} 위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다. K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소 A {\displaystyle A} 의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.:81–84 U : N + → N − {\displaystyle U\colon N_{+}\to N_{-}} 특히, A {\displaystyle A} 가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 같은 것이다. dim ⁡ N + = dim ⁡ N − {\displaystyle \dim N_{+}=\dim N_{-}} 또한, A {\displaystyle A} 가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다. 0 = dim ⁡ N + = dim ⁡ N − {\displaystyle 0=\dim N_{+}=\dim N_{-}} 다음을 생각하자. H = L 2 ⁡ ( [ 0 , 1 ] ; C ) {\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([0,1];\mathbb {C} )} dom ⁡ A = { f ∈ C 1 ( [ 0 , 1 ] , C ) : f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 } ⊊ H {\displaystyle \operatorname {dom} A=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)=0\}\subsetneq H} A : dom ⁡ A → H {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H} A : f ↦ − i d d x {\displaystyle A\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} 그렇다면, A {\displaystyle A} 는 대칭 작용소이다. 이 경우, N ± {\displaystyle N_{\pm }} 은 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다. ∓ d u d x = d u d x {\displaystyle \mp {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}} 이는 각각 1차원이며, 구체적으로 N ± = Span ⁡ { x ↦ exp ⁡ ( ∓ x ) } {\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {Span} \{x\mapsto \exp(\mp x)\}} 이다. 따라서 A {\displaystyle A} 는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 과 동형이다. 구체적으로, dom ⁡ A ~ = { f ∈ C 1 ( [ 0 , 1 ] , C ) : f ( 0 ) = f ( 1 ) } ⊊ H {\displaystyle \operatorname {dom} {\tilde {A}}=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)\}\subsetneq H} A ~ : dom ⁡ A → H {\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} A\to H} A ~ : f ↦ − i d d x {\displaystyle {\tilde {A}}\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} 을 생각하자. 이는 A {\displaystyle A} 의 대칭 확장인데, 이 경우 N + ( A ~ ) = N − ( A ~ ) = 0 {\displaystyle N_{+}({\tilde {A}})=N_{-}({\tilde {A}})=0} 이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다. Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.  곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1.  Berezin, F. A.; M. A. Shubin (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer.  Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press.  Bonneau, Guy; Jacques Faraut, Galliano Valent (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Hermitian operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Symmetric operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Semi-bounded operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.