애니온

통계역학에서 애니온(영어: anyon)은 2+1차원 계에서 나타나는, 보손도 아니고 페르미온도 아닌 입자이다. 스핀-통계 정리는 4차원 이상 민코프스키 공간에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 S O ( 2 , 1 ) {\displaystyle SO(2,1)} 이 무한한 크기의 기본군을 갖기 때문이다. 즉, d > 3 {\displaystyle d>3} 인 경우 π 1 ( S O ( d − 1 , 1 ) ) = Z / 2 {\displaystyle \pi _{1}(SO(d-1,1))=\mathbb {Z} /2} 이므로, 그 범피복 공간 S O ( d − 1 , 1 ) → Spin ⁡ ( d − 1 , 1 ) ↠ Z / 2 {\displaystyle SO(d-1,1)\to \operatorname {Spin} (d-1,1)\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2} 의 표현은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 에 따라 보손과 페르미온으로 나뉜다. 반면 d = 3 {\displaystyle d=3} 인 경우 π 1 ( S O ( 2 , 1 ) ) = Z {\displaystyle \pi _{1}(SO(2,1))=\mathbb {Z} } 이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다. 3차원 시공간에서 n개의 점입자들은 일반적으로 꼬임군 Braid ⁡ ( n ) = ⟨ σ 1 , … , σ n − 1 | σ i σ i + 1 σ i = σ i + 1 σ i σ i + 1 , σ i σ j = σ j σ i ⟩ {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle } 의 표현을 따른다. 이 경우, 보손은 Braid ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)} 의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, 페르미온은 군 준동형 σ i ↦ 1 ∈ { 0 , 1 } ≅ Z / 2 {\displaystyle \sigma _{i}\mapsto 1\in \{0,1\}\cong \mathbb {Z} /2} 의 상 Braid ⁡ ( n ) → Z / 2 {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)\to \mathbb {Z} /2} 에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 − 1 {\displaystyle -1} 이 곱해진다.) 아벨 애니온(영어: Abelian anyon)은 상 Braid ⁡ ( n ) → Z ≅ ⟨ 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)\to \mathbb {Z} \cong \langle 1\rangle } σ i ↦ 1 {\displaystyle \sigma _{i}\mapsto 1} 에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 θ ≠ 0 , π {\displaystyle \theta \neq 0,\pi } 에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때 | ψ i ψ j ⟩ = exp ⁡ ( i θ ) | ψ j ψ i ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}\psi _{j}\rangle =\exp(i\theta )|\psi _{j}\psi _{i}\rangle } 를 따른다. 여기서 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 이면 보손, θ = π {\displaystyle \theta =\pi } 이면 페르미온이 된다. 아벨 애니온은 꼬임군 Braid ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)} 의 복소수 1차원 표현에 대응한다. 즉, 군 준동형 B n → U ( 1 ) {\displaystyle B_{n}\to U(1)} 에 대응한다. 원군 U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} 은 아벨 군이므로, 이는 Braid ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)} 의 아벨화를 거친다. B n ↠ Braid ⁡ ( n ) / [ Braid ⁡ ( n ) , Braid ⁡ ( n ) ] ≅ Z → U ( 1 ) {\displaystyle B_{n}\twoheadrightarrow \operatorname {Braid} (n)/[\operatorname {Braid} (n),\operatorname {Braid} (n)]\cong \mathbb {Z} \to U(1)} 꼬임군의 아벨화는 무한 순환군 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이다. 구체적으로, 꼬임군의 표시 Braid ⁡ ( n ) = ⟨ σ 1 , … , σ n − 1 | σ i σ i + 1 σ i = σ i + 1 σ i σ i + 1 , σ i σ j = σ j σ i ∀ | i − j | > 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\forall |i-j|>1\right\rangle } 에 대하여, Braid ⁡ ( n ) ↠ Z {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)\twoheadrightarrow \mathbb {Z} } σ i ↦ 1 ∀ i = 1 , … , n − 1 {\displaystyle \sigma _{i}\mapsto 1\forall i=1,\dots ,n-1} 이다. 준동형 Z → U ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {Z} \to U(1)} 은 물론 임의의 복소수 exp ⁡ ( i θ ) ∈ U ( 1 ) {\displaystyle \exp(i\theta )\in U(1)} 에 따라 분류된다. 비아벨 애니온(영어: non-Abelian anyon)은 꼬임군 Braid ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)} 의 일반적인 고차원 표현을 따르는 입자이며, 이러한 입자가 따르는 통계를 꼬임 통계(영어: braid statistics)라고 한다. 비아벨 애니온 가운데, 표현이 대칭군 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 을 거치는 것을 파라 통계(영어: parastatistics)라고 한다. Braid ⁡ ( n ) ↠ Sym ⁡ ( n ) → U ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {Braid} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {U} (k)} 파라 통계는 어떤 정수 p {\displaystyle p} 에 의하여 정의되며, 이를 파라 통계의 차수(영어: order)라고 한다. 파라 보손(영어: paraboson)의 경우, 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 p {\displaystyle p} 개 이하의 행을 갖는 것들의 직합이며, 파라 페르미온(영어: parafermion)의 경우 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 p {\displaystyle p} 개 이하의 열을 갖는 것들의 직합이다. 만약 p → ∞ {\displaystyle p\to \infty } 를 취한다면, 맥스웰-볼츠만 통계를 얻는다. 즉, 모든 입자를 서로 구별할 수 있다. 파라 보손 · 페르미온은 고차원에서도 정의될 수 있지만, 이는 3+1차원 이상의 입자에 대해서는 클라인 변환(영어: Klein transformation)을 통하여 일반 보손 · 페르미온으로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 파라 보손 장 ϕ {\displaystyle \phi } 는 다음과 같은 교환 관계를 따른다. ϕ = ∑ i = 1 p ϕ i {\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}} [ ϕ i ( x ) , ϕ i ( y ) ] = 0 {\displaystyle [\phi _{i}(\mathbf {x} ),\phi _{i}(\mathbf {y} )]=0} { ϕ i ( x ) , ϕ j ( y ) } = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \{\phi _{i}(\mathbf {x} ),\phi _{j}(\mathbf {y} )\}=0\qquad (i\neq j)} 마찬가지로, 파라 페르미온 장 ψ {\displaystyle \psi } 는 다음과 같은 교환 관계를 따른다. ψ = ∑ i = 1 p ψ i {\displaystyle \psi =\sum _{i=1}^{p}\psi _{i}} { ψ i ( x ) , ψ i ( y ) } = 0 {\displaystyle \{\psi _{i}(\mathbf {x} ),\psi _{i}(\mathbf {y} )\}=0} [ ψ i ( x ) , ψ j ( y ) ] = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle [\psi _{i}(\mathbf {x} ),\psi _{j}(\mathbf {y} )]=0\qquad (i\neq j)} 아벨 애니온의 간단한 예는 자기 선속 Φ {\displaystyle \Phi } 와 결합한, 전하 q {\displaystyle q} 를 갖는 입자이다. 이러한 두 개의 합성 입자를 서로 교환하면, 자기 선속에 의하여 위상 exp ⁡ ( i q Φ / ℏ ) {\displaystyle \exp(iq\Phi /\hbar )} 이 발생한다. 이러한 현상은 분수 양자 홀 효과를 일으킨다. 2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다. 2차원 등각 장론에서, 국소 연산자의 상관 함수는 다음과 같이 등각 블록(영어: conformal block)에 의하여 전개된다. ⟨ ϕ k ( z k ) ⋯ ϕ 2 ( z 2 ) ϕ 1 ( z 1 ) ⟩ = ∑ p C ( h 1 , … , h k ; h p ) F h 1 , … , h k ( h p ; z 1 , … , z k ) F ¯ h ¯ 1 , … , h ¯ k ( h ¯ p ; z ¯ 1 , … , z ¯ k ) {\displaystyle \langle \phi _{k}(z_{k})\cdots \phi _{2}(z_{2})\phi _{1}(z_{1})\rangle =\sum _{p}C(h_{1},\dots ,h_{k};h_{p})F_{h_{1},\dots ,h_{k}}(h_{p};z_{1},\dots ,z_{k}){\bar {F}}_{{\bar {h}}_{1},\dots ,{\bar {h}}_{k}}({\bar {h}}_{p};{\bar {z}}_{1},\dots ,{\bar {z}}_{k})} 가능한 등각 블록들은 복소수 벡터 공간을 이루며, 유리 등각 장론(영어: rational conformal field theory)의 경우 이는 유한 차원이다. 이 경우, 만약 k {\displaystyle k} 개의 국소 연산자들의 순서를 뒤섞는다면 모노드로미가 존재하며, 이는 등각 블록들의 공간에 선형 작용소로 표현된다. 이러한 행렬들을 꼬임 행렬(영어: braiding matrix) B {\displaystyle B} 라고 하며, 이는 꼬임군의 표현을 정의한다. 이에 따라, 2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다. 1953년에 허버트 시드니 그린(영어: Herbert Sidney Green)이 파라 입자의 가능성을 지적하였다. 1977년에 욘 망네 레이노스(노르웨이어: Jon Magne Leinaas)와 얀 뮈르헤임(노르웨이어: Jan Myrheim)이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다. 1982년에 프랭크 윌첵이 이들이 분수 양자 홀 효과에 등장함을 보였고, "애니온"이라는 이름을 붙였다. 여기서 "애니온"(영어: anyon 에니온[*])은 영어: any 에니[*](어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + 영어: -on 온[*](입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다. 비아벨 애니온은 1988년에 위르크 프뢸리히(독일어: Jürg Martin Fröhlich)와 피에르 알베르토 마르케티(이탈리아어: Pier Alberto Marchetti)가 도입하였다. Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel (2014). “The conventionality of parastatistics”. 《The British Journal for the Philosophy of Science》 (영어). doi:10.1093/bjps/axu018. ISSN 0007-0882. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Wilczek, Frank (1982년 10월 4일). “Quantum mechanics of fractional-spin particles” (PDF). 《Physical Review Letters》 (영어) 49 (14): 957–959. doi:10.1103/PhysRevLett.49.957.  Todorov, I.T.; Hadjiivanov, L.K. “Monodromy representations of the braid group” (영어). arXiv:hep-th/0012099. doi:10.1134/1.1432899.  Fröhlich, J.; Gabbiani, F. (1990). “Braid statistics in local quantum theory”. 《Rev. Math. Phys.》 (영어) 2: 251–353. Bibcode:1990RvMaP...2..251F. doi:10.1142/S0129055X90000107.  Green, Herbert Sidney (1953년 4월 15일). “A generalized method of field quantization”. 《Physical Review》 (영어) 90 (2): 270–273. doi:10.1103/PhysRev.90.270.  Leinaas, J.M.; Jan Myrheim (1977년 1월 11일). “On the theory of identical particles”. 《Il Nuovo Cimento B》 (영어) 37 (1): 1–23. 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