상 (수학)

수학에서 상(像, 영어: image)은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, 영어: preimage) 또는 역상(逆像, 영어: inverse image)은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다. 정의역이 X {\displaystyle X} , 공역이 Y {\displaystyle Y} 인 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 를 생각하자. 정의역의 원소 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의, 함수 f {\displaystyle f} 에 대한 상은 공역의 원소 f ( x ) ∈ Y {\displaystyle f(x)\in Y} 이다. 정의역의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 의, 함수 f {\displaystyle f} 에 대한 상은 공역의 부분 집합 f ( A ) = { f ( x ) : x ∈ A } ⊆ Y {\displaystyle f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y} 이다. 공역의 원소 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 의, 함수 f {\displaystyle f} 에 대한 원상은 정의역의 부분 집합 f − 1 ( y ) = { x ∈ X : f ( x ) = y } ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X} 이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분 집합 B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 의, 함수 f {\displaystyle f} 에 대한 원상은 정의역의 부분 집합 f − 1 ( B ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ B } ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X} 이다. 정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다. 상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 에 대하여, 그 합성 g ∘ f : X → Z {\displaystyle g\circ f\colon X\to Z} 의 상과 원상은 다음과 같다. ( g ∘ f ) ( A ) = g ( f ( A ) ) ( A ⊆ X ) {\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))\qquad (A\subseteq X)} ( g ∘ f ) − 1 ( C ) = f − 1 ( g − 1 ( C ) ) ( C ⊆ Z ) {\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\qquad (C\subseteq Z)} 즉, 상은 함자 Set → Set {\displaystyle \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} } X → P ( X ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)} ( f : X → Y ) ↦ ( f : P ( X ) → P ( Y ) ) {\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y))} 를 정의하며, 원상은 함자 Set op → Set {\displaystyle \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } X → P ( X ) {\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)} ( f : X → Y ) ↦ ( f − 1 : P ( Y ) → P ( X ) ) {\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X))} 를 정의한다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음이 성립한다. 만약 A ⊆ A ′ ⊆ X {\displaystyle A\subseteq A'\subseteq X} 라면, f ( A ) ⊆ f ( A ′ ) {\displaystyle f(A)\subseteq f(A')} 만약 B ⊆ B ′ ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq B'\subseteq Y} 라면, f − 1 ( B ) ⊆ f − 1 ( B ′ ) {\displaystyle f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')} 즉, 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, f : P ( X ) → P ( Y ) {\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)} f − 1 : P ( Y ) → P ( X ) {\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)} 는 (범주로 본) 멱집합 격자 사이의 두 함자를 이룬다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. 임의의 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 에 대하여, f − 1 ( f ( A ) ) ⊇ A {\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A} 만약 f {\displaystyle f} 가 단사 함수라면, f − 1 ( f ( A ) ) = A {\displaystyle f^{-1}(f(A))=A} 임의의 B ⊆ X {\displaystyle B\subseteq X} 에 대하여, f ( f − 1 ( B ) ) ⊆ B {\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B} 만약 f {\displaystyle f} 가 전사 함수라면, f ( f − 1 ( B ) ) = B {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B} 임의의 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 및 B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. f ( A ) ⊆ B {\displaystyle f(A)\subseteq B} A ⊆ f − 1 ( B ) {\displaystyle A\subseteq f^{-1}(B)} 이에 따라, 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, f : P ( X ) → P ( Y ) {\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)} 와 f − 1 : P ( Y ) → P ( X ) {\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)} 는 서로 수반 함자이다. f ⊣ f − 1 {\displaystyle f\dashv f^{-1}} 그 밖에도, 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. 정의역 속의 집합족 ( A i ) i ∈ I ⊆ P ( X ) {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 에 대하여, f ( ⋃ i ∈ I A i ) = ⋃ i ∈ I f ( A i ) {\displaystyle f{\biggl (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\biggr )}=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})} f ( ⋂ i ∈ I A i ) ⊆ ⋂ i ∈ I f ( A i ) {\displaystyle f{\biggl (}\bigcap _{i\in I}A_{i}{\biggr )}\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})} 공역 속 집합족 ( B j ) j ∈ J ⊆ P ( Y ) {\displaystyle (B_{j})_{j\in J}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} 에 대하여, f − 1 ( ⋃ j ∈ J B j ) = ⋃ j ∈ J f − 1 ( B j ) {\displaystyle f^{-1}{\biggl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)} f − 1 ( ⋂ j ∈ J B j ) = ⋂ j ∈ J f − 1 ( B j ) {\displaystyle f^{-1}{\biggl (}\bigcap _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcap _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)} 정의역의 두 부분 집합 A , A ′ ⊆ X {\displaystyle A,A'\subseteq X} 에 대하여, f ( A ∖ A ′ ) ⊇ f ( A ) ∖ f ( A ′ ) {\displaystyle f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')} 공역의 두 부분 집합 B , B ′ ⊆ Y {\displaystyle B,B'\subseteq Y} 에 대하여, f − 1 ( B ∖ B ′ ) = f − 1 ( B ) ∖ f − 1 ( B ′ ) {\displaystyle f^{-1}(B\setminus B')=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B')} Weisstein, Eric Wolfgang. “Image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pre-image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Direct image”. 《PlanetMath》 (영어).  “Inverse image”. 《PlanetMath》 (영어).  “Definition: image”. 《ProofWiki》 (영어).  “Definition: preimage”. 《ProofWiki》 (영어).