스피너 라플라스 연산자

미분기하학에서, 스피너 라플라스 연산자(영어: spinor Laplacian)는 스핀 다양체의 스피너 다발의 단면에 대하여 자연스럽게 정의되는 2차 미분 연산자이다. 이는 라플라스-벨트라미 연산자와 스칼라 곡률의 ¼의 합과 같다. 콤팩트 스핀 다양체 M {\displaystyle M} 의 스피너 다발 S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 이 주어졌으며, 이에 대한 디랙 연산자 D : Γ ( S M ) → Γ ( S M ) {\displaystyle D\colon \Gamma (\mathrm {S} M)\to \Gamma (\mathrm {S} M)} D : ψ A ↦ γ B A μ ∂ μ ψ B {\displaystyle D\colon \psi ^{A}\mapsto \gamma _{B}^{A\mu }\partial _{\mu }\psi ^{B}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 제곱 Δ = D ∘ D : Γ ( S M ) → Γ ( S M ) {\displaystyle \Delta =D\circ D\colon \Gamma (\mathrm {S} M)\to \Gamma (\mathrm {S} M)} 을 정의할 수 있다. 이를 스피너 라플라스 연산자라고 한다. 만약 M {\displaystyle M} 이 짝수 차원이라면, (디랙) 스피너 다발은 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 다발로 분해된다. S M = S + M ⊕ S − M {\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M} D + : S + M → S − M {\displaystyle D^{+}\colon \mathrm {S} ^{+}M\to \mathrm {S} ^{-}M} D − : S − M → S + M {\displaystyle D^{-}\colon \mathrm {S} ^{-}M\to \mathrm {S} ^{+}M} ( D ± ) † = D ∓ {\displaystyle (D^{\pm })^{\dagger }=D^{\mp }} 그렇다면, Δ ↾ Γ ( S + M ) = D − ∘ D + {\displaystyle \Delta \upharpoonright \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)=D^{-}\circ D^{+}} Δ ↾ Γ ( S − M ) = D + ∘ D − {\displaystyle \Delta \upharpoonright \Gamma (\mathrm {S} ^{-}M)=D^{+}\circ D^{-}} 이다. 보다 일반적으로, 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위의 클리퍼드 다발 Cl ⁡ ( T M , g ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)} 의 클리퍼드 가군 다발 E {\displaystyle E} 및 E {\displaystyle E} 의 클리퍼드 가군 다발 접속 ∇ {\displaystyle \nabla } 가 주어졌을 때, 스피너 라플라스 연산자 D = γ μ ∇ μ : Γ ( E ) → Γ ( E ) {\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\colon \Gamma (E)\to \Gamma (E)} 를 사용하여 스피너 라플라스 연산자 Δ = D ∘ D {\displaystyle \Delta =D\circ D} 를 정의할 수 있다. 여기서 γ μ : T M → Cl ⁡ ( T M , g ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }\colon \mathrm {T} M\to \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)} 는 클리퍼드 다발을 정의하는 표준적인 포함 사상(감마 행렬)이다. 스핀 다양체 위의 스피너 다발은 리만 계량으로서 표준적인 벡터 다발 접속을 갖는다. 즉, 1차 미분 연산자 ∇ : Γ ( S M ) → Γ ( T ∗ M ⊗ M S M ) {\displaystyle \nabla \colon \Gamma (\mathrm {S} M)\to \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{M}\mathrm {S} M)} 가 존재한다. 이 경우, 스피너 위에 작용하는 라플라스-벨트라미 연산자 Δ B = − g μ ν ∇ ν ∇ μ = ∇ † ∇ {\displaystyle \Delta _{\text{B}}=-g^{\mu \nu }\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }=\nabla ^{\dagger }\nabla } 를 정의할 수 있다. (여기서 ∇ † {\displaystyle \nabla ^{\dagger }} 는 복소수 힐베르트 공간 L 2 ⁡ ( S M ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\mathrm {S} M)} 에서 ∇ : L 2 ⁡ ( S M ) → L 2 ⁡ ( S M ) {\displaystyle \nabla \colon \operatorname {L} ^{2}(\mathrm {S} M)\to \operatorname {L} ^{2}(\mathrm {S} M)} 의 에르미트 수반이다.) 이 경우 다음이 성립한다. Δ = Δ B + 1 4 Sc ⁡ [ g ] {\displaystyle \Delta =\Delta _{\text{B}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Sc} [g]} 여기서 Sc ⁡ [ g ] ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle \operatorname {Sc} [g]\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )} 는 M {\displaystyle M} 의 스칼라 곡률이다. 보다 일반적으로, 4차원 스핀C 다양체 ( M , g , L ) {\displaystyle (M,g,L)} 이 주어졌다고 하자. 즉, 그 스피너 다발 S M {\displaystyle \mathrm {S} M} 에 대하여 det S M = L {\displaystyle \det \mathrm {S} M=L} 이라고 하자. 그렇다면 디랙 연산자 D A : Γ ( S + M ) → Γ ( S − M ) {\displaystyle D_{A}\colon \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)\to \Gamma (\mathrm {S} ^{-}M)} D A † : Γ ( S − M ) → Γ ( S + M ) {\displaystyle D_{A}^{\dagger }\colon \Gamma (\mathrm {S} ^{-}M)\to \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)} 가 존재하며, 이로부터 스피너 라플라스 연산자 D A † D A : Γ ( S + M ) → Γ ( S + M ) {\displaystyle D_{A}^{\dagger }D_{A}\colon \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)\to \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)} 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다. Δ = Δ B + 1 4 Sc ⁡ [ g ] + 1 2 F + ⋅ {\displaystyle \Delta =\Delta _{\text{B}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Sc} [g]+{\frac {1}{2}}F^{+}\cdot } 여기서 F + = ( F + ⋆ F ) / 2 {\displaystyle F^{+}=(F+\star F)/2} 는 U(1) 주접속 A {\displaystyle A} 의 주곡률의 자기 쌍대 성분이다. 이는 클리퍼드 다발의 단면 (올다발) F μ ν γ μ γ ν / 2 {\displaystyle F_{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }/2} 에 대응된다. F + ⋅ {\displaystyle F^{+}\cdot } 은 클리퍼드 다발 단면의, 클리퍼드 가군 다발 위의 작용이다. 이를 리흐네로비치 공식(Lichnerowicz公式, 영어: Lichnerowicz formula)이라고 한다. 리흐네로비치 공식은 폴란드계 프랑스 수학자 앙드레 리흐네로비치(프랑스어: André Lichnerowicz, 1915 ~ 1998)가 1963년에 증명하였다. Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie‐Louise (1989). 《Spin geometry》. Princeton Mathematical Series (영어) 38. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.