정규화 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 준단체 대상 M ∙ : △ pre op → A {\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 이제, 다음을 정의하자. C n ⁡ ( M ) = M n ( n ∈ N ) {\displaystyle \operatorname {C} _{n}(M)=M_{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )} ∂ n = ∑ i = 0 n ( − ) i ∂ n , i M i ( n ∈ N ) {\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}M_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )} 그렇다면, ( C ∙ ⁡ ( M ) , ∂ ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {C} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })} 은 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 M ∙ {\displaystyle M_{\bullet }} 의 무어 사슬 복합체(영어: Moore chain complex)라고 한다.:45, Definition 1.6.2 증명: 편의상 집합 S = { 0 , … , n − 1 } × { 0 , … , n } {\displaystyle S=\{0,\dotsc ,n-1\}\times \{0,\dotsc ,n\}} 및 S + = { ( i , j ) ∈ S : i < j } {\displaystyle S_{+}=\{(i,j)\in S\colon i<j\}} S − = { ( i , j ) ∈ S : i ≥ j } {\displaystyle S_{-}=\{(i,j)\in S\colon i\geq j\}} 을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수 S + → S − {\displaystyle S_{+}\to S_{-}} ( j , i + 1 ) ↦ ( i , j ) {\displaystyle (j,i+1)\mapsto (i,j)} 가 존재한다. 그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다. ∂ n − 1 ∘ ∂ n = ∑ ( i , j ) ∈ S ∂ n − 1 , i ∘ ∂ n , j = ∑ ( i , j ) ∈ S + ( − ) i + j ∂ n − 1 , i ∘ ∂ n , j + ∑ ( i , j ) ∈ S − ( − ) i + j ∂ n − 1 , i ∘ ∂ n , j = ∑ ( i , j ) ∈ S − ( ( − ) j + i − 1 ∂ n − 1 , i ∘ ∂ n , j + ( − ) i + j ∂ n − 1 , i ∘ ∂ n , j ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n-1}\circ \partial _{n}&=\sum _{(i,j)\in S}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{+}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+\sum _{(i,j)\in S_{-}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{-}}\left((-)^{j+i-1}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\right)=0\end{aligned}}} 다음이 주어졌다고 하자. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 자연수 등급 사슬 복합체 ⋯ → C 2 → ∂ 2 C 1 → ∂ 1 C 0 → 0 {\displaystyle \dotsb \to C_{2}{\xrightarrow {\partial _{2}}}C_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}C_{0}\to 0} 이제, C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} 에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다. M ( n ) = C n {\displaystyle M(n)=C_{n}} M ( ∂ n , i ) : C n → C n − 1 {\displaystyle M(\partial _{n,i})\colon C_{n}\to C_{n-1}} M ( ∂ n , i ) = { 0 0 ≤ i ≤ n − 1 ( − ) n ∂ n i = n {\displaystyle M(\partial _{n,i})={\begin{cases}0&0\leq i\leq n-1\\(-)^{n}\partial _{n}&i=n\end{cases}}} 다음이 주어졌다고 하자. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 단체 대상 M ∙ : △ op → A {\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 이제, 다음을 생각하자. f n : ∐ i = 0 n − 1 s n , i : M n − 1 ⊕ n → M n {\displaystyle f_{n}\colon \coprod _{i=0}^{n-1}s_{n,i}\colon M_{n-1}^{\oplus n}\to M_{n}} g n : ∏ i = 0 n − 1 ∂ n , i : M n → M n + 1 ⊕ n {\displaystyle g_{n}\colon \prod _{i=0}^{n-1}\partial _{n,i}\colon M_{n}\to M_{n+1}^{\oplus n}} (※ g n {\displaystyle g_{n}} 에서, 합이 i = n {\displaystyle i=n} 을 포함하지 않는다.) 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. D ∙ ⁡ ( M ) = im ⁡ f n {\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }(M)=\operatorname {im} f_{n}} N ∙ ⁡ ( M ) = ker ⁡ g n {\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)=\ker g_{n}} 그렇다면, ( D ∙ ⁡ ( M ) , ∂ ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {D} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })} 와 ( N ∙ ⁡ ( M ) , ∂ ∙ ) {\displaystyle (\operatorname {N} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })} 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. D ∙ ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }(M)} 을 퇴화 사슬 복합체(退化사슬複合體, 영어: degenerate chain complex)라고 하며, N ∙ ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)} 을 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)라고 한다. 퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명: 퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다. ∂ n + 1 ∘ s n , i = ∑ j = 0 n s n , j ∘ ϕ i , j {\displaystyle \partial _{n+1}\circ s_{n,i}=\sum _{j=0}^{n}s_{n,j}\circ \phi _{i,j}} 여기서 ϕ i , j {\displaystyle \phi _{i,j}} 는 임의의 사상이다. 그런데 ∂ n + 1 ∘ ∘ s n , i = ∑ j = 0 n + 1 ( − ) j ∂ n + 1 , j ∘ s n , i = ∑ j = 0 i − 1 ( − ) j ∂ n + 1 , j ∘ s n , i + ∑ j = i i + 1 ( − ) j ∂ n + 1 , j ∘ s n , i + ∑ j = i + 1 n + 1 ( − ) j ∂ n + 1 , j ∘ s n , i = ∑ j = 0 i − 1 ( − ) j s n − 1 , i − 1 ∘ ∂ n , j + ∑ j = i i + 1 ( − ) j + ∑ j = i + 1 n + 1 ( − ) j s n − 1 , i ∘ ∂ n , j − 1 = s n − 1 , i − 1 ∘ ( ∑ j = 0 i − 1 ( − ) j ∂ n , j ) − s n − 1 , i ∘ ( ∑ j = i n ( − ) j ∂ n , j ) {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n+1}\circ \circ s_{n,i}&=\sum _{j=0}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}s_{n-1,i-1}\circ \partial _{n,j}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}s_{n-1,i}\circ \partial _{n,j-1}\\&=s_{n-1,i-1}\circ \left(\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)-s_{n-1,i}\circ \left(\sum _{j=i}^{n}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)\\\end{aligned}}} 이다. 정규화 사슬 복합체의 존재의 증명: g n + 1 {\displaystyle g_{n+1}} 의 핵의 경계가 g n {\displaystyle g_{n}} 의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다. ∂ n , i ∘ ∂ n + 1 = ∑ j = 1 n ϕ i , j ∘ ∂ n + 1 , j ( j < n ) {\displaystyle \partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}=\sum _{j=1}^{n}\phi _{i,j}\circ \partial _{n+1,j}\qquad (j<n)} 여기서 ϕ i , j {\displaystyle \phi _{i,j}} 는 임의의 사상이다. 그런데 ∂ n , i ∘ ∂ n + 1 = ∑ j = 0 n + 1 ∂ n , i ∘ ∂ n + 1 , j = ( ∑ j = 0 n ∂ n , i ∘ ∂ n + 1 , j ) + ( − ) n + 1 ∂ n , i ∘ ∂ n + 1 , n + 1 = ( ∑ j = 0 n ∂ n , i ∘ ∂ n + 1 , j ) + ( − ) n + 1 ∂ n , n ∘ ∂ n + 1 , i {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}&=\sum _{j=0}^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,n+1}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,n}\circ \partial _{n+1,i}\\\end{aligned}}} 이다. 우선, 다음 기호를 정의하자. Surj ⁡ ( n , m ) ⊆ hom △ ⁡ ( n , m ) {\displaystyle \operatorname {Surj} (n,m)\subseteq \hom _{\triangle }(n,m)} 은 모든 전사 증가 함수 { 0 , 1 , … , n } ↠ { 0 , 1 , … , m } {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n\}\twoheadrightarrow \{0,1,\dotsc ,m\}} ( 0 ≤ m ≤ n {\displaystyle 0\leq m\leq n} )들의 집합이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 준단체 대상 C : △ pre op → A {\displaystyle C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 단체 대상을 정의할 수 있다. σ ( C n ) = ⨁ m = 0 n ⨁ Surj ⁡ ( n , m ) C m {\displaystyle \sigma (C_{n})=\bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}C_{m}} 즉, 각 ϕ ∈ Surj ⁡ ( n , m ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Surj} (n,m)} 에 대하여 포함 사상 β ϕ : C m ↪ σ ( C n ) {\displaystyle \beta _{\phi }\colon C_{m}\hookrightarrow \sigma (C_{n})} 이 있다. 그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 △ {\displaystyle \triangle } 속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다. 임의의 단체 범주 사상 f ∈ hom △ ⁡ ( m , n ) {\displaystyle f\in \hom _{\triangle }(m,n)} 에 대하여, σ ( f ) : σ ( C n ) → σ ( C m ) {\displaystyle \sigma (f)\colon \sigma (C_{n})\to \sigma (C_{m})} 은 다음과 같다. σ ( f ) = ∐ g ∈ Surj ⁡ ( n , k ) ι ∘ ϕ = g ∘ f β ϕ ∘ C ( ι ) {\displaystyle \sigma (f)=\coprod _{\scriptstyle g\in \operatorname {Surj} (n,k) \atop \scriptstyle \iota \circ \phi =g\circ f}\beta _{\phi }\circ C(\iota )} 여기서, ι ∘ ϕ = g ∘ f {\displaystyle \iota \circ \phi =g\circ f} 은 ( ι , ϕ ) {\displaystyle (\iota ,\phi )} 가 g ∘ f ∈ hom △ ⁡ ( m , k ) {\displaystyle g\circ f\in \hom _{\triangle }(m,k)} 의, 단사 함수( ι : { 0 , … , n ′ } ↪ { 0 , … , k } {\displaystyle \iota \colon \{0,\dotsc ,n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc ,k\}} )와 전사 함수( ϕ : { 0 , … , m } ↠ { 0 , … , n ′ } {\displaystyle \phi \colon \{0,\dotsc ,m\}\twoheadrightarrow \{0,\dotsc ,n'\}} )로의 (유일한) 분해임을 뜻한다. C ( ι ) : C k → C n ′ {\displaystyle C(\iota )\colon C_{k}\to C_{n'}} 은 함자 C : △ pre op → A {\displaystyle C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 아래의, ι ∈ hom △ pre ⁡ ( n ′ , k ) {\displaystyle \iota \in \hom _{\triangle _{\operatorname {pre} }}(n',k)} 의 상이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 단체 대상 M ∙ {\displaystyle M_{\bullet }} 에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다. 0 → D ∙ ⁡ ( M ) → C ∙ ⁡ ( M ) → N ∙ ⁡ ( M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {D} _{\bullet }(M)\to \operatorname {C} _{\bullet }(M)\to \operatorname {N} _{\bullet }(M)\to 0} 즉, N ∙ ⁡ ( M ) ≅ C ∙ ⁡ ( M ) D ∙ ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)\cong {\frac {\operatorname {C} _{\bullet }(M)}{\operatorname {D} _{\bullet }(M)}}} 이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 단체 대상 M ∙ {\displaystyle M_{\bullet }} 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다. i n : ⨁ m = 0 n ⨁ Surj ⁡ ( n , m ) N k ⁡ ( M ) ≅ C n ⁡ ( M ) {\displaystyle i_{n}\colon \bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}\operatorname {N} _{k}(M)\cong \operatorname {C} _{n}(M)} 이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다. i n = ∐ m = 0 n ∐ f ∈ Surj ⁡ ( n , m ) M ( f op ) {\displaystyle i_{n}=\coprod _{m=0}^{n}\coprod _{f\in \operatorname {Surj} (n,m)}M(f^{\operatorname {op} })} 여기서 M ( f op ) : N m ⁡ ( M ) → M n {\displaystyle M(f^{\operatorname {op} })\colon \operatorname {N} _{m}(M)\to M_{n}} 은 함자 M : △ op → A {\displaystyle M\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 아래 f op ∈ hom △ op ⁡ ( m op , n op ) {\displaystyle f^{\operatorname {op} }\in \hom _{\triangle ^{\operatorname {op} }}(m^{\operatorname {op} },n^{\operatorname {op} })} 의 상이다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다. s ⁡ ( A ) ⇆ Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\leftrightarrows \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 여기서 s ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})} 는 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 단체 대상의 범주이다. Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다. 이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다. N : s ⁡ ( A ) → Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {N} \colon \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다. Γ : Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) → s ⁡ ( A ) {\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})\to \operatorname {s} ({\mathcal {A}})} 는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다. 또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형 N ∘ Γ ⇒ 1 Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {N} \circ \operatorname {\Gamma } \Rightarrow 1_{\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}} Γ ∘ N ⇒ 1 s ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {\Gamma } \circ \operatorname {N} \Rightarrow 1_{\operatorname {s} ({\mathcal {A}})}} 가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다. N ⊣ Γ {\displaystyle \operatorname {N} \dashv \operatorname {\Gamma } } Γ ⊣ N {\displaystyle \operatorname {\Gamma } \dashv \operatorname {N} } 돌트-칸 대응을 사용하여, Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 위의 모형 범주 구조를 s ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})} 에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 Ch ≥ 0 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 와 s ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})} 사이의 퀼런 동치를 이룬다. 이 경우, s ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})} 의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다. 돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트와 다니얼 칸이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다. Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.  Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. 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