다중근호

다중근호(多重根號, nested radical sign)는 루트 근호안에 1개이상의 루트 근호를 포함하는 루트를 말한다. 다중근호는 고차방정식의 해, 수학 상수 등을 표현할 때 중요하게 사용된다. 다중근호의 종류로는 이중근호, 다중근호, 중첩근호 등이 있다. 루트 근호안에 1개의 루트 근호를 포함한다. ( a + b ) + 2 a b {\displaystyle {\sqrt {(a+b)+2{\sqrt {ab}}}}} 루트 근호안에 2개이상의 루트 근호를 포함한다. ( a + b ) 2 , ( a ) 2 + ( b ) 2 + 2 a b {\displaystyle {\sqrt {({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}}},{\sqrt {({\sqrt {a}})^{2}+({\sqrt {b}})^{2}+2{\sqrt {ab}}}}} 루트 근호안에 루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되게 내재한다. 1 + 1 + 1 + 1 + 1... {\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1...}}}}}}}}}}} 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + ⋯ {\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+5{\sqrt {1+6{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}}}}} ( a ) 2 + ( b ) 2 + 2 a b = ( a + b ) + 2 a b = ( a + b ) 2 = a + b {\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {(a)^{2}}}+{\sqrt {(b)^{2}}}+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{2}}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}} 3 + 2 5 4 3 − 2 5 4 4 = 5 4 + 1 5 4 − 1 = 1 2 ( 3 + 5 4 + 5 + 125 4 ) {\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right)}   2 3   − 1 3 = 1 9 3 − 2 9 3 + 4 9 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}} a + a = ( a + a ) 2 = ( a ) 2 + ( a ) 2 + 2 a a = ( a + a ) + 2 a 2 = ( a + a ) + 2 a = 2 a + 2 a = 4 a = 2 a {\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {a}}={\sqrt {({\sqrt {a}}+{\sqrt {a}})^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {a}})^{2}+({\sqrt {a}})^{2}+2{\sqrt {aa}}}}={\sqrt {(a+a)+2{\sqrt {a^{2}}}}}={\sqrt {(a+a)+2{a}}}={\sqrt {2a+2a}}={\sqrt {4a}}=2{\sqrt {a}}} a + b + c = ( a + b + c ) + 2 ( a b + a c + b c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c = ( a + b + c ) 2 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) {\displaystyle \;\;{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}={\sqrt {(a+b+c)+2\left({\sqrt {ab}}+{\sqrt {ac}}+{\sqrt {bc}}\right)}}={\sqrt {{\sqrt {a}}^{2}+{\sqrt {b}}^{2}+{\sqrt {c}}^{2}+2{\sqrt {ab}}+2{\sqrt {ac}}+2{\sqrt {bc}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)}}{\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)}}} 3차방정식이상의 일반적인 근에서 다중근호가 사용된다. 다음은 4차방정식의 근의 공식이다. a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0   {\displaystyle \textstyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\ } x = − b 4 a + ( p + 2 t 1 + − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 a ) , − b 4 a + ( p + 2 t 1 − − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 a ) {\displaystyle x=-{b \over 4a}+\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}+{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right),-{b \over 4a}+\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}-{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right)} , − b 4 a − ( p + 2 t 1 + − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 a ) , − b 4 a − ( p + 2 t 1 − − 3 p − 2 t 1 − 2 q p + 2 t 1 2 a ) {\displaystyle ,-{b \over 4a}-\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}+{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right),-{b \over 4a}-\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}-{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right)} 무한한 중첩근호는 일반식으로 표현될 수 있다. 1 + 1 + 1 + 1 + 1... = 5 + 1 2 = φ {\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {5}}+1} \over {2}}=\varphi } 황금비 2 + 2 + 2 + 2 + 2... = 9 + 1 2 = 2 {\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {9}}+1} \over {2}}=2} 3 + 3 + 3 + 3 + 3... = 13 + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {13}}+1} \over {2}}} 4 + 4 + 4 + 4 + 4... = 17 + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {4+{\sqrt {4+{\sqrt {4+{\sqrt {4+{\sqrt {4...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {17}}+1} \over {2}}} 5 + 5 + 5 + 5 + 5... = 21 + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {21}}+1} \over {2}}} 6 + 6 + 6 + 6 + 6... = 25 + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {25}}+1} \over {2}}} 7 + 7 + 7 + 7 + 7... = 29 + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {7+{\sqrt {7+{\sqrt {7+{\sqrt {7...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {29}}+1} \over {2}}} 8 + 8 + 8 + 8 + 8... = 33 + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {8+{\sqrt {8+{\sqrt {8+{\sqrt {8+{\sqrt {8...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {33}}+1} \over {2}}} 따라서 이것을 일반화하면, n + n + n + n + n . . . = ( ( 4 ⋅ n ) + 1 ) + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {((4\cdot n)+1)}}+1} \over {2}}} 한편, x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0} 을 예약해보면 − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} \over {2a}}} (근의 공식) − ( − 1 ) ± ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) 2 {\displaystyle {{-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}} \over {2}}} 1 ± 1 + 4 2 {\displaystyle {{1\pm {\sqrt {1+4}}} \over {2}}} 1 ± 5 2 {\displaystyle {{1\pm {\sqrt {5}}} \over {2}}} 이고, 따라서, c + c + c + c + c . . . {\displaystyle {\sqrt {c+{\sqrt {c+{\sqrt {c+{\sqrt {c+{\sqrt {c...}}}}}}}}}}} = ( ( 4 ⋅ c ) + 1 ) + 1 2 {\displaystyle ={{{\sqrt {((4\cdot c)+1)}}+1} \over {2}}} x 2 − x − c = 0 {\displaystyle x^{2}-x-c=0} 이다. 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 3 3 3 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {1}}={\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 … 3 3 3 3 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} 3 = 3 3 3 3 3 3 3 3 … 3 3 3 3 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}={\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} ⋮ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots } 7 = 7 7 7 7 7 7 7 7 … 3 3 3 3 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {7}}={\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} 8 = 8 8 8 8 8 8 8 8 … 3 3 3 3 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} ⋮ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots } 따라서 이것을 일반화 하면, x = x x x x … 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {x}}={\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x\dots }}}}}}}}} 그리고 이것을 확장하면, x 1 ( n − 1 ) = x x x x … n n n n {\displaystyle x^{{1} \over {(n-1)}}={\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x\dots }}}}}}}}} 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + … {\displaystyle 2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} 3 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + … {\displaystyle 3={\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} 4 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + … {\displaystyle 4={\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} ⋮ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots } 8 = 56 + 56 + 56 + 56 + 56 + 56 + 56 + 56 + … {\displaystyle 8={\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}} ⋮ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots } 따라서, 이것을 일반화하면, x = ( x ⋅ ( x − 1 ) ) + ( x ⋅ ( x − 1 ) ) + ( x ⋅ ( x − 1 ) ) + ( x ⋅ ( x − 1 ) ) + … ( x > 1 , x = i n t e g e r ) {\displaystyle x={\sqrt {(x\cdot (x-1))+{\sqrt {(x\cdot (x-1))+{\sqrt {(x\cdot (x-1))+{\sqrt {(x\cdot (x-1))+\dots }}}}}}}}\qquad (x>1,x=integer)} x = ( x 2 − x ) + ( x 2 − x ) + ( x 2 − x ) + ( x 2 − x ) + … {\displaystyle x={\sqrt {(x^{2}-x)+{\sqrt {(x^{2}-x)+{\sqrt {(x^{2}-x)+{\sqrt {(x^{2}-x)+\dots }}}}}}}}} 한편, 이것을 일반식으로 표현하면, ( x ) 2 − ( x ) {\displaystyle \left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)} 에서 x {\displaystyle x} 이고, n + n + n + n + n . . . = ( ( 4 ⋅ n ) + 1 ) + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {((4\cdot n)+1)}}+1} \over {2}}} 이므로, x = ( x ) 2 − ( x ) + ( x ) 2 − ( x ) + ( x ) 2 − ( x ) + ( x ) 2 − ( x ) + ( x ) 2 − ( x ) . . . {\displaystyle x={\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)...}}}}}}}}}}} = ( ( 4 ⋅ ( x 2 − x ) ) + 1 ) + 1 2 {\displaystyle ={{{\sqrt {\left(\left(4\cdot \left({x}^{2}-{x}\right)\right)+1\right)}}+1} \over {2}}} = 4 x 2 − 4 x + 1 + 1 2 {\displaystyle ={{{\sqrt {4x^{2}-4x+1}}+1} \over {2}}} = ( 2 x − 1 ) 2 + 1 2 {\displaystyle ={{{\sqrt {(2x-1)^{2}}}+1} \over {2}}} = ( 2 x − 1 ) + 1 2 = x {\displaystyle ={{(2x-1)+1} \over {2}}=x} 이다. x + n + a = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + 1 n ) + ( n + a ) 2 + ( x + 1 n ) a ( x + 2 n ) + ( n + a ) 2 + ( x + 2 n ) a ( x + 3 n ) + ( n + a ) 2 + ( x + 3 n ) ⋯ {\displaystyle {x+n+a}={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+1n)+(n+a)^{2}+(x+1n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {a(x+3n)+(n+a)^{2}+(x+3n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}} a = 0 , n = 1 {\displaystyle a=0,n=1} 일때, x + 1 = 1 + x 1 + ( x + 1 ) 1 + ( x + 2 ) 1 + ⋯ {\displaystyle x+1={\sqrt {1+x{\sqrt {1+(x+1){\sqrt {1+(x+2){\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}} 3 = 2 + 1 = 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + ⋯ {\displaystyle 3=2+1={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+5{\sqrt {1+6{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}}}}} 제곱근의 연산 매스월드 (Ramanujan 1911)Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911. (Ramanujan 2000)Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000. Landau, Susan. “RADICALS AND UNITS IN RAMANUJAN’S WORK” (PostScript).  J. R. Fielding, pers. comm., Oct. 8, 2002 Ramanujan 1911, Ramanujan 2000, p. 323; Pickover 2002, p. 310