유한체

체론에서 유한체(有限體, 영어: finite field) 또는 갈루아 체(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다. 유한체는 유한 집합인 체이다. 유한체는 항상 양의 표수 p {\displaystyle p} 를 갖는다 ( p {\displaystyle p} 는 소수). 표수가 p {\displaystyle p} 인 유한체의 크기는 항상 p {\displaystyle p} 의 거듭제곱이다. 즉, p n {\displaystyle p^{n}} 의 꼴이다 ( n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} ). 크기가 p n {\displaystyle p^{n}} 인 유한체는 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 또는 GF ⁡ ( p n ) {\displaystyle \operatorname {GF} (p^{n})} 이라고 쓴다. 크기가 같은 유한체는 서로 동형이다. 크기가 p n {\displaystyle p^{n}} 인 유한체 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군 Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} 이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 p-합동류이다. F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 은 다음과 같이 정의할 수 있다. f ( t ) ∈ F p [ t ] {\displaystyle f(t)\in \mathbb {F} _{p}[t]} 가 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 계수를 가진 n차 기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서 F p n ≅ F p [ t ] / ( f ( t ) ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}\cong \mathbb {F} _{p}[t]/(f(t))} 이다. 여기서 ( f ( t ) ) {\displaystyle (f(t))} 는 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다. F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 은 다항식 x p n − x ∈ F p [ x ] {\displaystyle x^{p^{n}}-x\in \mathbb {F} _{p}[x]} 의 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 에 대한 분해체와 동형이다. x p n − x {\displaystyle x^{p^{n}}-x} 는 p n {\displaystyle p^{n}} 개의 서로 다른 근을 가지므로, F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 은 x p n − x {\displaystyle x^{p^{n}}-x} 의 근들의 집합과 같다. 유한체는 순서체가 될 수 없다. F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 에서는 1 + 1 + … 1 ⏞ p = 0 {\displaystyle \overbrace {1+1+\dots 1} ^{p}=0} 이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식 0 < 1 < 1 + 1 < ⋯ {\displaystyle 0<1<1+1<\cdots } 을 만족시킬 수 없다. 유한체 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 은 다음과 같은 꼴의 n {\displaystyle n} 개의 자기 동형 사상 f k : F p n → F p n {\displaystyle f_{k}\colon \mathbb {F} _{p^{n}}\to \mathbb {F} _{p^{n}}} 을 가진다. 이를 프로베니우스 자기 동형 사상이라고 한다. 이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다. f k : x ↦ x p k {\displaystyle f_{k}\colon x\mapsto x^{p^{k}}} k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 {\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n-1} 물론 f n = f 0 {\displaystyle f_{n}=f_{0}} 이 된다. 따라서, 유한체 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 의 자기동형군은 순환군 Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n} 이다. 만약 m ∣ n {\displaystyle m\mid n} 이라면, 자연스러운 포함 관계 F p m ↪ F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}\hookrightarrow \mathbb {F} _{p^{n}}} 가 존재한다. 이에 따라 표수 p의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다. lim → n ⁡ F p n = F ¯ p {\displaystyle \varinjlim _{n}\mathbb {F} _{p^{n}}={\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 이렇게 얻은 체 F ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 는 임의의 n에 대하여 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 의 대수적 폐포이다. F ¯ p = F ¯ p n {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}={\bar {\mathbb {F} }}_{p^{n}}} 이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서 F ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 사유한 완비 Aut ⁡ ( F ¯ p ) = Z ^ = lim → n ⁡ Z / n {\displaystyle \operatorname {Aut} ({\bar {\mathbb {F} }}_{p})={\hat {\mathbb {Z} }}=\varinjlim _{n}\mathbb {Z} /n} 이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다. 유한체의 가역원군 F p n × = F p n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}^{\times }=\mathbb {F} _{p^{n}}\setminus \{0\}} 은 항상 순환군이다. F p n × ≅ Cyc ⁡ ( p n − 1 ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (p^{n}-1)} 유한체 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} 의 덧셈군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다. ( F p n , + ) ≅ Cyc ⁡ ( p ) ⊕ n {\displaystyle (\mathbb {F} _{p^{n}},+)\cong \operatorname {Cyc} (p)^{\oplus n}} 비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다. 이 경우 기약 일계수 다항식 t 2 + t + 1 ∈ F 2 [ t ] {\displaystyle t^{2}+t+1\in \mathbb {F} _{2}[t]} 를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다. F 4 ≅ F 2 [ t ] / ( t 2 + t + 1 ) {\displaystyle \mathbb {F} _{4}\cong \mathbb {F} _{2}[t]/(t^{2}+t+1)} 아래 표에서는 A = t {\displaystyle A=t} , B = t + 1 {\displaystyle B=t+1} 로 표기한다. 유한환 유한군 조성진 (2007). 《유한체 및 그 응용》. 교우사. ISBN 978-8981726935.  Lidl, Rudolf; Harald Niederreiter (2008년 6월). 《Finite fields》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 20 2판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Menezes, A.J.; I. F. Blake, XuHong Gao, R. C. Mullin, S. A. Vanstone, T. Yaghoobian (1993). 《Applications of finite fields》. The Springer International Series in Engineering and Computer Science (영어) 199. doi:10.1007/978-1-4757-2226-0. ISBN 978-0-7923-9282-8. 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