보편 이차 형식

이차 형식 이론에서, 보편 이차 형식(普遍二次形式, 영어: universal quadratic form)은 모든 스칼라 값을 치역으로 갖는 이차 형식이다. 가환환 R {\displaystyle R} 위의 가군 M {\displaystyle M} 위의 이차 형식 Q : M → R {\displaystyle Q\colon M\to R} 가 주어졌다고 하자. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 만약 Q ( m ) = r {\displaystyle Q(m)=r} 인 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 이 존재한다면, m {\displaystyle m} 을 r {\displaystyle r} 의 Q {\displaystyle Q} 에 의한 표현(영어: representation of r {\displaystyle r} by Q {\displaystyle Q} )이라고 한다. 만약 R {\displaystyle R} 의 모든 원소가 Q {\displaystyle Q} 에 의하여 표현될 수 있다면, Q {\displaystyle Q} 를 보편 이차 형식이라고 한다. K {\displaystyle K} 가 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 수가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, 복소수체나 보다 일반적으로 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 또한, 크기 2의 유한체 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 역시 이차 폐체이다.) 이 경우, K {\displaystyle K} 위의 임의의 벡터 공간 위의 이차 형식은 상수 함수 0이거나 아니면 보편 이차 형식이다. ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, K {\displaystyle K} 가 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.) K {\displaystyle K} 위의 보편 이차 형식은 부정부호 이차 형식이다. 즉, 부호수 ( n + , n 0 , n − ) {\displaystyle (n_{+},n_{0},n_{-})} 에서 n + , n − ≥ 1 {\displaystyle n_{+},n_{-}\geq 1} 인 경우이다. 만약 n + ≥ 1 {\displaystyle n_{+}\geq 1} 이지만 n − = 0 {\displaystyle n_{-}=0} 인 경우 (양의 정부호) 이차 형식은 오직 음이 아닌 수만을 표현하며, 반대로 만약 n − ≥ 1 {\displaystyle n_{-}\geq 1} 이지만 n + = 0 {\displaystyle n_{+}=0} 인 경우 (음의 정부호) 이차 형식은 오직 양이 아닌 수만을 표현한다. 만약 n + = n − = 0 {\displaystyle n_{+}=n_{-}=0} 인 경우, 이차 형식은 오직 0만을 표현한다. 실수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이 보편 이차 형식일 필요충분조건은 부정부호 이차 형식인 것이다. 즉, 대각화하였을 때 하나 이상의 양의 고윳값과 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는 것이다. 예를 들어, x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}} 는 보편 이차 형식이지만 x 2 {\displaystyle x^{2}} 는 아니다. 홀수 표수의 유한체에 대하여, 2차원 이상의 모든 비특이 이차 형식은 보편 이차 형식이다.:36 p진수체 위의 4차원 이상의 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식은 항상 보편 이차 형식이다.:37 하세-민코프스키 정리에 따르면, 유리수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 보편 이차 형식이다. 모든 자리 p ∈ { ∞ , 2 , 3 , 5 , 7 , … } {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \{\infty ,2,3,5,7,\dots \}} 에 대하여, Q ⊗ Q Q p {\displaystyle Q\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}} 는 보편 이차 형식이다. (여기서 Q ∞ = R {\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }=\mathbb {R} } 는 실수체이며, 소수 p {\displaystyle p} 에 대하여 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 는 p진수체이다.) 15 정리(十五定理, 영어: fifteen theorem)에 따르면, 유한 생성 자유 아벨 군 Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. Q {\displaystyle Q} 는 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15를 표현한다. (OEIS의 수열 A030050) Q {\displaystyle Q} 는 보편 이차 형식이다. 또한, 각 정수 n ∈ S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 10 , 14 , 15 } {\displaystyle n\in S=\{1,2,3,5,6,7,10,14,15\}} 에 대하여, S ∖ { n } {\displaystyle S\setminus \{n\}} 을 표현하지만 n {\displaystyle n} 을 표현하지 않는 이차 형식이 알려져 있다. 라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 정수 계수 이차 형식 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}} 는 보편 이차 형식이다. 페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 소수 p {\displaystyle p} 가 이차 형식 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} 에 의하여 표현될 필요충분조건은 p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} 인 것이다. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.  Serre, Jean-Pierre (1973). 《A Course in Arithmetic》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001.  Conway, J. H. 〈Universal quadratic forms and the fifteen theorem〉 (PDF). Bayer-Fiuckiger, Eva; Lewis, David; Ranicki, Andrew. 《Quadratic forms and their applications. Proceedings of the conference on qadratic forms and their applications, July 5–9, 1999, University College Dublin》. Contemporary Mathematics (영어) 272. American Mathematical Society. 23–26쪽. doi:10.1090/conm/272/4394. MR 1803358. Zbl 0987.11026.  Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.  Duke, William (1997년 2월). “Some old problems and new results about quadratic forms” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 44 (2): 190–196. Zbl 0969.11002.  “Universal quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Binary quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  이철희. “정수의 이차형식 표현”. 《수학노트》.  오병권 (2008). “이차형식의 표현에 관하여”. 《대한수학회소식》 120: 6–11.