군의 확대

군론에서 군의 확대(群-擴大, 영어: group extension)는 군을 정규 부분군과 몫군으로 나타내는 방법이다. 군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자. 1 → N → ι G → π Q → 1 {\displaystyle 1\rightarrow N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\rightarrow 1} 즉, G / ι ( N ) ≅ Q {\displaystyle G/\iota (N)\cong Q} 이다. 그렇다면 G {\displaystyle G} 를 N {\displaystyle N} 에 의한 Q {\displaystyle Q} 의 확대(영어: extension of Q by N)라고 한다. 만약 N {\displaystyle N} 이 G {\displaystyle G} 의 중심의 부분군이라면, 즉 ι ( N ) ⊂ Z ( G ) {\displaystyle \iota (N)\subset Z(G)} 이라면 이를 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다. N {\displaystyle N} 의 Q {\displaystyle Q} 로의 두 확대 1 → N → ι G → π Q → 1 {\displaystyle 1\to N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\to 1} 1 → N → ι ′ G ′ → π ′ Q → 1 {\displaystyle 1\to N{\xrightarrow {\iota '}}G'{\xrightarrow {\pi '}}Q\to 1} 에 대하여, 만약 다음 그림 1 → N → ι G → π Q → 1 ‖ ϕ ↓ ≀ ‖ 1 → N → ι ′ G ′ → π ′ Q → 1 {\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &N&{\xrightarrow {\iota }}&G&{\xrightarrow {\pi }}&Q&\to &1\\&&\|&&{\scriptstyle \phi }\downarrow \!{\wr }&&\|\\1&\to &N&{\xrightarrow[{\iota '}]{}}&G'&{\xrightarrow[{\pi '}]{}}&Q&\to &1\end{matrix}}} 을 가환하게 하는 군 동형 ϕ : G → G ′ {\displaystyle \phi \colon G\to G'} 이 존재한다면, G {\displaystyle G} 와 G ′ {\displaystyle G'} 을 서로 동형인 확대라고 한다. 군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다. N {\displaystyle N} 과 Q {\displaystyle Q} 가 아벨 군이며, 확대된 군 G {\displaystyle G} 역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은 Ext Z 1 ⁡ ( Q , N ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)} 과 표준적으로 일대일 대응한다. N {\displaystyle N} 이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, N {\displaystyle N} 의 Q {\displaystyle Q} 에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. ⨆ ϕ ∈ hom ⁡ ( Q , Aut ⁡ N ) H ϕ 2 ⁡ ( Q , N ) {\displaystyle \bigsqcup _{\phi \in \hom(Q,\operatorname {Aut} N)}\operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)} 여기서 H ϕ 2 ⁡ ( Q , N ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)} 은 N {\displaystyle N} 을 작용 ϕ {\displaystyle \phi } 를 갖춘 Q {\displaystyle Q} -가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대 N → G → Q {\displaystyle N\to G\to Q} 가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형 ϕ : Q → Aut ⁡ N {\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Aut} N} ϕ : q ↦ ( n ↦ q n q − 1 ) {\displaystyle \phi \colon q\mapsto (n\mapsto qnq^{-1})} 이 유도되는데, 주어진 준동형 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지 H ϕ 2 ⁡ ( Q , N ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)} 과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱 N ⋊ ϕ Q {\displaystyle N\rtimes _{\phi }Q} 가 표준적인 밑점(영어: basepoint)을 제공하기 때문이다. 특히, Q {\displaystyle Q} 의 아벨 군 N {\displaystyle N} 에 대한 중심 확대는 자명한 작용 q ⋅ n = n ∀ q ∈ Q , n ∈ N {\displaystyle q\cdot n=n\;\forall q\in Q,n\in N} 에 대응하며, 중심 확대는 자명한 Q {\displaystyle Q} -가군 계수의 2차 군 코호몰로지 H 2 ⁡ ( Q , N ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(Q,N)} 와 표준적으로 일대일 대응한다. N {\displaystyle N} 의 중심이 자명군일 경우, N {\displaystyle N} 의 Q {\displaystyle Q} 에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형 Q → Out ⁡ N = Aut ⁡ N / Inn ⁡ N {\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N} 과 일대일 대응한다.:106, Corollary 6.8; Exercise 6.1 이는 가환 그림 1 → N ↪ G ↠ Q → 1 ‖ ↓ ϕ ∗ ↓ ϕ 1 → Inn ⁡ N ↪ Aut ⁡ N ↠ Out ⁡ N → 1 {\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\|&&\downarrow \scriptstyle \phi ^{*}&&\downarrow \scriptstyle \phi \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\end{matrix}}} 에서, ϕ ∗ : G → Aut ⁡ N {\displaystyle \phi ^{*}\colon G\to \operatorname {Aut} N} 이 ϕ : Q → Out ⁡ N {\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N} 으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, N {\displaystyle N} 이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면, N {\displaystyle N} 의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 완비군(完備群, 영어: complete group)이라고 한다. 만약 Out ⁡ N {\displaystyle \operatorname {Out} N} 이 자명군이라면, 준동형 Q → Out ⁡ N {\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N} 은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 H 2 ⁡ ( Q , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))} 와 표준적으로 일대일 대응하며, 0 ∈ H 2 ⁡ ( Q , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle 0\in \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))} 은 직접곱 N × Q {\displaystyle N\times Q} 에 대응한다. 구체적으로, 1 1 1 ↓ ↓ ↓ 1 → Z ⁡ ( N ) ↪ C G ⁡ ( N ) ↠ C G ⁡ ( N ) / Z ⁡ ( N ) → 1 ↓ ↓ ↓ ≀ 1 → N ↪ G ↠ Q → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → Inn ⁡ N ≅ Aut ⁡ N → 1 ↓ ↓ 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \!\wr \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\cong &\operatorname {Aut} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}} 이므로, 짧은 완전열 1 → Z ⁡ ( N ) → C G ⁡ ( N ) → Q → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (N)\to \operatorname {C} _{G}(N)\to Q\to 1} 이 존재한다. Z ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {Z} (N)} 이 아벨 군이며, Z ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {Z} (N)} 의 C G ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(N)} 에 대한 작용은 자명하므로 가능한 C G ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(N)} 들은 H 2 ⁡ ( Q , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))} 과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 C G ⁡ ( N ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(N)} 에 대하여 G {\displaystyle G} 는 짧은 완전열 1 → C G ⁡ ( N ) → G → Aut ⁡ N → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {C} _{G}(N)\to G\to \operatorname {Aut} N\to 1} 에서 유일하게 결정된다. 일반적인 N {\displaystyle N} 의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(영어: basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다. 구체적으로, 확대 1 → N → G → Q → 1 {\displaystyle 1\to N\to G\to Q\to 1} 가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형 Q → Out ⁡ N = Aut ⁡ N / Inn ⁡ N {\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N} 이 존재한다. 임의의 준동형 ϕ : Q → Out ⁡ N {\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:105, Theorem 6.7 ϕ {\displaystyle \phi } 를 유도하는 군의 확대 G {\displaystyle G} 가 존재한다. 어떤 특정한 θ ( Q , Z ⁡ ( N ) , ϕ ) ∈ H ϕ 3 ⁡ ( Q , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )\in \operatorname {H} _{\phi }^{3}(Q,\operatorname {Z} (N))} 에 대하여, θ ( Q , Z ⁡ ( N ) , ϕ ) = 0 {\displaystyle \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )=0} 이다. 즉, ϕ {\displaystyle \phi } 를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다. 만약 위 조건이 성립한다면, ϕ {\displaystyle \phi } 를 통한 임의의 두 확대 G , G ′ {\displaystyle G,G'} 에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 H ϕ 2 ⁡ ( G , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))} 과 일대일 대응시킬 수 있다.:105, Theorem 6.6 즉, ϕ {\displaystyle \phi } 를 통한 확대들은 H ϕ 2 ⁡ ( G , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))} 과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, ϕ {\displaystyle \phi } 가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 G = N × Q {\displaystyle G=N\times Q} 를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다. 구체적으로, 이 걸림돌 θ ( Q , Z ⁡ ( N ) , ϕ ) {\displaystyle \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )} 는 다음과 같다.:105, Theorem 6.7 완전열 1 → Z ⁡ ( N ) → N → Aut ⁡ N → Out ⁡ N → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (N)\to N\to \operatorname {Aut} N\to \operatorname {Out} N\to 1} 에 의하여, 원소 u ∈ H 3 ⁡ ( Out ⁡ N , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle u\in \operatorname {H} ^{3}(\operatorname {Out} N,\operatorname {Z} (N))} 가 주어진다. 또한, 군 준동형 ϕ : Q → Out ⁡ N {\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N} 에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형 ϕ ∗ : H ∙ ⁡ ( Out , Z ⁡ ( N ) ) → H ∙ ⁡ ( Q , Z ⁡ ( N ) ) {\displaystyle \phi ^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Out} ,\operatorname {Z} (N))\to \operatorname {H} ^{\bullet }(Q,\operatorname {Z} (N))} 이 주어진다. 그렇다면 θ = ϕ ∗ u {\displaystyle \theta =\phi ^{*}u} 이다. 군 코호몰로지 Ext 함자 반직접곱 짧은 완전열 체의 확대 Brown, K. 《Cohomology of groups》 (영어).  Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001.  Brown, R.; T. Porter (1996). “On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations” (PDF). 《Proceedings of the Royal Irish Academy》 96A: 213-227. JSTOR 20490219.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) “Extension of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Group extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Group extension”. 《nLab》 (영어).  “Central charge”. 《nLab》 (영어).  “Group extension”. 《Groupprops》 (영어).  “Group extension problem”. 《Groupprops》 (영어).