보편 가역층

대수기하학과 미분기하학에서, 보편 가역층(普遍可逆層, 영어: universal invertible sheaf, tautological invertible sheaf) 또는 보편 선다발(普遍線다발, 영어: universal line bundle, tautological line bundle)은 사영 공간 위에 정의되는 표준적인 가역층(선다발)이며, 보통 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} 로 표기된다. 대략, 사영 공간은 벡터 공간의 원점을 지나는 1차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이므로, 보편 가역층은 사영 공간의 각 점에, 이 점이 나타내는 1차원 부분 벡터 공간을 대응시키는 선다발이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 생성 자유 가환 결합 대수 A = K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle A=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]} 를 생각하자. n {\displaystyle n} 차원 사영 공간은 그 사영 스펙트럼이다. P K n = Proj ⁡ A {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} A} 이제, 구조층 O P K n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}} 위의 대수층 A = O P K n [ y 0 , … , y n ] {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}[y_{0},\dotsc ,y_{n}]} 의 상대 스펙트럼 S p e c _ ⁡ A = A P K n n + 1 = P K n × K A K n + 1 {\displaystyle \operatorname {\underline {Spec}} {\mathcal {A}}=\mathbb {A} _{\mathbb {P} _{K}^{n}}^{n+1}=\mathbb {P} _{K}^{n}\times _{K}\mathbb {A} _{K}^{n+1}} 을 취하자. 기하학적으로, 이는 n {\displaystyle n} 차원 사영 공간 위의 자명한 n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 벡터 다발에 해당한다. 이제, 대수층의 다음과 같은 아이디얼 층을 생각하자. I = ( x i y j − x j y i ) i , j ∈ { 0 , 1 , … , n } ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}=(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})_{i,j\in \{0,1,\dotsc ,n\}}\subseteq {\mathcal {A}}} 그렇다면, 이에 대한 몫 대수층 O P K n ( − 1 ) = S p e c _ ⁡ ( A / I ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\mathcal {P}}_{K}^{n}}(-1)=\operatorname {\underline {Spec}} ({\mathcal {A}}/{\mathfrak {I}})} 는 가역층을 이룬다. 이를 P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} 의 보편 가역층이라고 한다. 기하학적으로, 그 닫힌점들의 집합은 { ( [ x 0 : x 1 : ⋯ : x n ] , y 0 , y 1 , … , y n ) ∈ P K n × K A K n + 1 : [ x 0 : ⋯ : x n ] = [ y 0 : ⋯ : y n ] } ∪ P K n × { ( 0 , 0 , … , 0 ) } {\displaystyle \{([x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{n}],y_{0},y_{1},\dotsc ,y_{n})\in \mathbb {P} _{K}^{n}\times _{K}\mathbb {A} _{K}^{n+1}\colon [x_{0}:\dotsb :x_{n}]=[y_{0}:\dotsb :y_{n}]\}\cup \mathbb {P} _{K}^{n}\times \{(0,0,\dotsc ,0)\}} 이다. 여기서 ( − , − , … , − ) {\displaystyle (-,-,\dotsc ,-)} 은 아핀 공간의 데카르트 좌표이며, [ − : − : ⋯ : − ] {\displaystyle [-:-:\dotsb :-]} 는 사영 공간의 동차 좌표이다. 보편 가역층 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} 은 세르 뒤틀림층(영어: Serre’s twisting sheaf) O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} 의 (텐서곱에 대한) 역원이다. 체 K {\displaystyle K} 위의 사영 공간 P K n = Proj ⁡ K [ x 0 , x 1 , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 을 생각하자. 이 경우, 가환환의 몫 사상 K [ x 0 , x 1 , … , x n ] ↠ x 0 ↦ 0 K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]\,{\stackrel {x_{0}\mapsto 0}{\twoheadrightarrow }}\,K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]} 으로 정의되는, 사영 공간 사이의 사상 P K n − 1 ↪ P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n-1}\hookrightarrow \mathbb {\mathbb {P} } _{K}^{n}} 을 생각하자. 이는 여차원 1의 닫힌 부분 스킴이므로, P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} 의 베유 인자를 이룬다. 이를 초평면 인자(영어: hyperplane divisor)라고 하고, H {\displaystyle H} 로 표기하자. ( x 0 {\displaystyle x_{0}} 대신 다른 좌표를 사용하거나 x 0 {\displaystyle x_{0}} 을 0 대신 다른 값으로 대응시키더라도, 이와 같은 동치류에 속하는 베유 인자를 얻는다.) 그렇다면, 보편 가역층은 인자류 − [ H ] ∈ DivCl ⁡ ( P K n ) {\displaystyle -[H]\in \operatorname {DivCl} (\mathbb {P} _{K}^{n})} 에 대응한다. (즉, 효과적 인자류 [ H ] {\displaystyle [H]} 는 세르 뒤틀림층에 대응한다.) 천 특성류 톰 공간 “Tautological line bundle”. 《nLab》 (영어).  “Hyperplane line bundle”. 《nLab》 (영어).