이등변 삼각형

기하학에서 이등변 삼각형(二等邊三角形, 영어: isosceles triangle)은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 경우 길이가 같은 두 변이 마주보는 두 내각의 크기는 같다. 또한, 길이가 같은 두 변의 교점을 지나는 내각의 이등분선은 남은 한 변의 수직 이등분선과 일치한다. 길이가 같은 두 변이 마주보는 꼭짓점에서 두 변에 내린 수선과 중선, 내각의 이등분선의 길이는 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 과거 에우클레이데스의 정의에서는 이등변 삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하여 정삼각형을 포함시키지 않았으나, 현대 기하학은 정삼각형을 이등변 삼각형의 특수한 경우로서 포함한다. 삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 이등변 삼각형이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 등변(等邊, 영어: leg)이라고 하고, 남은 한 변을 밑변(-邊, 영어: base)이라고 한다. 두 등변 사이의 내각을 꼭지각(-角, 영어: vertex angle)이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 밑각(-角, 영어: base angle)이라고 부른다. 꼭지각이 예각·직각·둔각인 이등변 삼각형을 각각 예각 이등변 삼각형, 직각 이등변 삼각형, 둔각 이등변 삼각형이라고 한다. 세 변의 길이가 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 이는 예각 이등변 삼각형의 특수한 경우이다. 정삼각형에서는 임의의 변을 밑변으로 삼을 수 있다. 밑변이 B C {\displaystyle BC} 인 이등변 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다. 꼭짓각 ∠ A {\displaystyle \angle A} 의 이등분선 밑변 B C {\displaystyle BC} 의 수직 이등분선 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 중선 꼭짓점 A {\displaystyle A} 에서 밑변 B C {\displaystyle BC} 에 내린 수선 정삼각형이 아닐 경우 이 직선은 오일러 직선이다. 증명: 각 ∠ A {\displaystyle \angle A} 의 이등분선 A X {\displaystyle AX} 가 B C {\displaystyle BC} 와 X {\displaystyle X} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 A B = A C {\displaystyle AB=AC} ∠ B A X = ∠ C A X = 1 2 ∠ B A C {\displaystyle \angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC} A X = A X {\displaystyle AX=AX} 이므로, 삼각형 A B X {\displaystyle ABX} 와 A C X {\displaystyle ACX} 는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, B X = C X {\displaystyle BX=CX} 이며, 또한 ∠ A X B = ∠ A X C = 1 2 ∠ B X C = π 2 {\displaystyle \angle AXB=\angle AXC={\frac {1}{2}}\angle BXC={\frac {\pi }{2}}} 이다. 즉, A X {\displaystyle AX} 는 변 B C {\displaystyle BC} 의 수직 이등분선이며, 따라서 A X {\displaystyle AX} 는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 중선이자 변 B C {\displaystyle BC} 의 수선이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 밑변의 길이가 B C = a {\displaystyle BC=a} 라고 하고 두 등변의 길이가 b {\displaystyle b} 라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는 a 2 − b 2 4 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}} 이다.:71, §2D 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:7, §1B; 10, Exercise 1B.1 A B = A C {\displaystyle AB=AC} ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C} 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 당나귀의 다리라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다. 증명: 우선 A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다고 가정하자. 각 ∠ A {\displaystyle \angle A} 의 이등분선 A X {\displaystyle AX} 가 변 B C {\displaystyle BC} 와 X {\displaystyle X} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 A B = A C {\displaystyle AB=AC} ∠ B A X = ∠ C A X = 1 2 ∠ B A C {\displaystyle \angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC} A X = A X {\displaystyle AX=AX} 이므로, 삼각형 A B X {\displaystyle ABX} 와 A C X {\displaystyle ACX} 는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C} 가 성립한다. 이제 ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C} 가 성립한다고 가정하자. 각 ∠ A {\displaystyle \angle A} 의 이등분선 A X {\displaystyle AX} 가 변 B C {\displaystyle BC} 와 X {\displaystyle X} 에서 만난다고 하자. 그렇다면 ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C} ∠ B A X = ∠ C A X = 1 2 ∠ B A C {\displaystyle \angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC} A X = A X {\displaystyle AX=AX} 이므로, 삼각형 A B X {\displaystyle ABX} 와 A C X {\displaystyle ACX} 는 AAS 합동에 따라 합동이다. 특히, A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다. 증명::10, §1B 우선 A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 A B = A C {\displaystyle AB=AC} ∠ A = ∠ A {\displaystyle \angle A=\angle A} A C = A B {\displaystyle AC=AB} 이므로, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 A C B {\displaystyle ACB} 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C} 가 성립한다. 이제 ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C} 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C} B C = C B {\displaystyle BC=CB} ∠ C = ∠ B {\displaystyle \angle C=\angle B} 이므로, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 A C B {\displaystyle ACB} 는 ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:10, Exercise 1B.6, 1B.7; 20, §1E A B = A C {\displaystyle AB=AC} B {\displaystyle B} 를 지나는 A C {\displaystyle AC} 의 수선 B Y {\displaystyle BY} 가 A C {\displaystyle AC} 와 Y {\displaystyle Y} 에서 만난다고 하고, 점 C {\displaystyle C} 를 지나는 A B {\displaystyle AB} 의 수선 C Z {\displaystyle CZ} 가 A B {\displaystyle AB} 와 Z {\displaystyle Z} 에서 만난다고 할 때, B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 이다. 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다. 증명: 우선 A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 ∠ A Y B = ∠ A Z C = π 2 {\displaystyle \angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}} ∠ A = ∠ A {\displaystyle \angle A=\angle A} A B = A C {\displaystyle AB=AC} 이므로, 삼각형 A B Y {\displaystyle ABY} 와 A C Z {\displaystyle ACZ} 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 가 성립한다. 이제 B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 ∠ A = ∠ A {\displaystyle \angle A=\angle A} ∠ A Y B = ∠ A Z C = π 2 {\displaystyle \angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}} B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 이므로, 삼각형 A B Y {\displaystyle ABY} 와 A C Z {\displaystyle ACZ} 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:10, Exercise 1B.4; 52, §2B, Problem 2.8 A B = A C {\displaystyle AB=AC} 변 A C {\displaystyle AC} 의 중점이 Y {\displaystyle Y} 라고 하고, 변 A B {\displaystyle AB} 의 중점이 Z {\displaystyle Z} 라고 할 때, B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 이다. 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다. 증명: 우선 A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면 A B = A C {\displaystyle AB=AC} ∠ A = ∠ A {\displaystyle \angle A=\angle A} A Y = A Z {\displaystyle AY=AZ} 이므로, 삼각형 A B Y {\displaystyle ABY} 와 A C Z {\displaystyle ACZ} 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 가 성립한다. 이제 B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 가 성립한다고 가정하자. B Y {\displaystyle BY} 와 C Z {\displaystyle CZ} 의 교점이 G {\displaystyle G} 라고 하자. 그렇다면 G {\displaystyle G} 는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 무게 중심이므로, B G = 2 G Y {\displaystyle BG=2GY} 이고 C G = 2 G Z {\displaystyle CG=2GZ} 이다. 따라서 B G = C G {\displaystyle BG=CG} ∠ B G Z = ∠ C G Y {\displaystyle \angle BGZ=\angle CGY} G Y = G Z {\displaystyle GY=GZ} 이므로, 삼각형 B G Z {\displaystyle BGZ} 와 C G Y {\displaystyle CGY} 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ∠ G B Z = ∠ G C Y {\displaystyle \angle GBZ=\angle GCY} 이다. 따라서 ∠ A = ∠ A {\displaystyle \angle A=\angle A} ∠ A B Y = ∠ A C Z {\displaystyle \angle ABY=\angle ACZ} B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 이므로, 삼각형 A B Y {\displaystyle ABY} 와 A C Z {\displaystyle ACZ} 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, A B = A C {\displaystyle AB=AC} 가 성립한다. 슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:10, Exercise 1B.5; 70, §2D, Problem 2.21 A B = A C {\displaystyle AB=AC} 각 ∠ B {\displaystyle \angle B} 의 이등분선 B Y {\displaystyle BY} 가 A C {\displaystyle AC} 와 Y {\displaystyle Y} 에서 만난다고 하고, 각 ∠ C {\displaystyle \angle C} 의 이등분선 C Z {\displaystyle CZ} 가 A B {\displaystyle AB} 와 Z {\displaystyle Z} 에서 만난다고 할 때, B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 이다. 즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다. 증명: 각의 이등분선의 길이의 제곱은 B Y 2 = A B ⋅ B C ( 1 − A C 2 ( A B + B C ) 2 ) {\displaystyle BY^{2}=AB\cdot BC\left(1-{\frac {AC^{2}}{(AB+BC)^{2}}}\right)} C Z 2 = A C ⋅ B C ( 1 − A B 2 ( A C + B C ) 2 ) {\displaystyle CZ^{2}=AC\cdot BC\left(1-{\frac {AB^{2}}{(AC+BC)^{2}}}\right)} 이다. 따라서 만약 A B = A C {\displaystyle AB=AC} 라면 B Y = C Z {\displaystyle BY=CZ} 이고, 만약 A B > A C {\displaystyle AB>AC} 라면 B Y > C Z {\displaystyle BY>CZ} 이고, 만약 A B < A C {\displaystyle AB<AC} 라면 B Y < C Z {\displaystyle BY<CZ} 이다. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Isosceles triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.