크라메르 법칙

선형대수학에서 크래머 법칙(Cramer法則, 영어: Cramer's rule) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다. 연립 일차 방정식 A x = B {\displaystyle Ax=B} 에서, A {\displaystyle A} 가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙이라고 한다. x j = det A j det A = | a 11 ⋯ b 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ b 2 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ b n ⋯ a n n | | a 11 ⋯ a 1 j ⋯ a 1 n a 21 ⋯ a 2 j ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n j ⋯ a n n | ( j = 1 , … , n ) {\displaystyle x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}={\frac {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &b_{1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &b_{2}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &b_{n}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &a_{2j}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nj}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}\qquad (j=1,\dots ,n)} 여기서 A j {\displaystyle A_{j}} 는 A {\displaystyle A} 의 j {\displaystyle j} 번째 열을 B {\displaystyle B} 로 대신하여 얻는 행렬이다. 연립 일차 방정식 a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 {\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}} a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 {\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}} ⋮ {\displaystyle \vdots } a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n {\displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}} 의 계수 행렬 A {\displaystyle A} 의 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -여인자를 C i j {\displaystyle C_{ij}} 라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다. a 1 k C 1 j + a 2 k C 2 j + ⋯ + a n k C n j = { det A k = j 0 k ≠ j {\displaystyle a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots +a_{nk}C_{nj}={\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}} b 1 C 1 j + b 2 C 2 j + ⋯ + b n C n j = det A j {\displaystyle b_{1}C_{1j}+b_{2}C_{2j}+\cdots +b_{n}C_{nj}=\det A_{j}} 이에 따라, 각 i {\displaystyle i} 번째 방정식에 C i j {\displaystyle C_{ij}} 을 곱한 뒤 모두 합하면 det A ⋅ x j = det A j {\displaystyle \det A\cdot x_{j}=\det A_{j}} 를 얻는다. det A ≠ 0 {\displaystyle \det A\neq 0} 이므로, 양변을 det A {\displaystyle \det A} 로 나누면 x j = det A j det A {\displaystyle x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}} 를 얻는다. 연립 일차 방정식 a x + b y = e {\displaystyle ax+by=e} c x + d y = f {\displaystyle cx+dy=f} 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. x = | e b f d | | a b c d | = e d − b f a d − b c , y = | a e c f | | a b c d | = a f − e c a d − b c {\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {ed-bf}{ad-bc}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {af-ec}{ad-bc}}} 연립 일차 방정식 a x + b y + c z = j {\displaystyle ax+by+cz=j} d x + e y + f z = k {\displaystyle dx+ey+fz=k} g x + h y + i z = l {\displaystyle gx+hy+iz=l} 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. x = | j b c k e f l h i | | a b c d e f g h i | , y = | a j c d k f g l i | | a b c d e f g h i | , z = | a b j d e k g h l | | a b c d e f g h i | {\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}} 크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 F ( x , y , u , v ) = 0 {\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,} , G ( x , y , u , v ) = 0 {\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,} 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, x = X ( u , v ) {\displaystyle x=X(u,v)} , y = Y ( u , v ) {\displaystyle y=Y(u,v)} 라 정의한다. 여기서 ∂ x / ∂ u {\displaystyle \partial x/\partial u} 의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다. 먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다. d F = ∂ F ∂ x d x + ∂ F ∂ y d y + ∂ F ∂ u d u + ∂ F ∂ v d v = 0 {\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0} d G = ∂ G ∂ x d x + ∂ G ∂ y d y + ∂ G ∂ u d u + ∂ G ∂ v d v = 0 {\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0} d x = ∂ X ∂ u d u + ∂ X ∂ v d v {\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv} d y = ∂ Y ∂ u d u + ∂ Y ∂ v d v {\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv} dF, dG에 dx와 dy를 대입하면 d F = ( ∂ F ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ F ∂ u ) d u + ( ∂ F ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ F ∂ v ) d v = 0 {\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0} d G = ( ∂ G ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ G ∂ u ) d u + ( ∂ G ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ G ∂ v ) d v = 0 {\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0} u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다. ∂ F ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ u = − ∂ F ∂ u {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}} ∂ G ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ u = − ∂ G ∂ u {\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}} ∂ F ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ v = − ∂ F ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}} ∂ G ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ v = − ∂ G ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}} 따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다. ∂ x ∂ u = | − ∂ F ∂ u ∂ F ∂ y − ∂ G ∂ u ∂ G ∂ y | | ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y | {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}} 이것은 두 개의 야코비안 항이다. ∂ x ∂ u = − ( ∂ ( F , G ) ∂ ( y , u ) ) ( ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) ) {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}} 유사하게 ∂ x ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}} , ∂ y ∂ u {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}} , ∂ y ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}} 의 공식들도 유도할 수 있다. 스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다. 사다리꼴 행렬 “Cramer rule”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cramer's rule”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Cramer's rule”. 《PlanetMath》 (영어).