유동 함수

유체역학(Fluid_Mechanics) '유동함수 ( Ψ {\displaystyle \Psi } , Stream Function)'는 유량함수라고도 하며, 두 점 사이에 흐르는 유량은 '두점에서의 유동함수 차( Ψ 2 − Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{2}-\Psi _{1}} )'로 정의된다. 다시 말하면, 유동함수는 함수 그 자체로서 의미를 지닌다기 보다, 유동 함수로부터 여러 개념들을 정의할 수 있다는 점이 핵심이다. 비압축성 유체, 2차원 x y {\displaystyle xy} 좌표계에서 질량 보존 법칙 미분방정식 즉, 연속방정식을 정의하면 아래와 같다. ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 {\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0} 적절한 변수변환법을 사용하면, 두 개의 종속변수( u {\displaystyle u} 와 v {\displaystyle v} ) 대신 한 개의 종속변수( Ψ {\displaystyle \Psi } )로 위의 연속방정식을 정의할 수 있게 된다. u = ∂ Ψ ∂ y {\displaystyle u={\partial \Psi \over \partial y}} , v = − ∂ Ψ ∂ x {\displaystyle v=-{\partial \Psi \over \partial x}} 위의 식을 첫번째 연속방정식에 대입하면 아래와 같게 된다. ∂ ∂ x ( ∂ Ψ ∂ y ) + ∂ ∂ y ( − ∂ Ψ ∂ x ) = ∂ 2 Ψ ∂ x ∂ y − ∂ 2 Ψ ∂ y ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial \over \partial x}({\partial \Psi \over \partial y})+{\partial \over \partial y}(-{\partial \Psi \over \partial x})={\partial ^{2}\Psi \over \partial x\partial y}-{\partial ^{2}\Psi \over \partial y\partial x}=0} u {\displaystyle u} 대신 v {\displaystyle v} 에 음 부호를 부여하는 이유는, Ψ {\displaystyle \Psi } 가 y {\displaystyle y} 방향으로 증가함에 따라 유동이 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르도록 하기 위함이며 유동함수의 부호를 반대로 지정하여도, 유체 유동에 있어서 연속 방정식은 항상 성립한다. 위와 같은 증명을 통해 Ψ {\displaystyle \Psi } 를 알면 유동하는 유체의 x y {\displaystyle xy} 축 속도 성분 u {\displaystyle u} 와 v {\displaystyle v} 를 구할 수 있으며, 이들 해 또한 연속 방정식을 만족하게 된다. 또한, 유동함수는 다음과 같은 유용한 물리적 중요성을 가진다. 먼저, 옆 그림에 나와있는 유선(Stream Line)을 따라 다음과 같은 유선의 방정식이 정의된다. d y d x = v u ⇒ {\displaystyle {dy \over dx}={v \over u}\Rightarrow } − v d x + u d y = 0 {\displaystyle -vdx+udy=0} 위의 방정식에 Ψ {\displaystyle \Psi } 에 대한 정의를 사용하면 아래와 같은 식을 얻는다. ∂ Ψ ∂ x d x + ∂ Ψ ∂ y d y = 0 {\displaystyle {\partial \Psi \over \partial x}dx+{\partial \Psi \over \partial y}dy=0} x , y {\displaystyle x,y} 두 변수의 함수인 유동함수( Ψ {\displaystyle \Psi } )에 대하여 한 점( x , y {\displaystyle x,y} )에서 미소 거리만큼 떨어진 다른 점 ( x + d x , y + d y {\displaystyle x+dx,y+dy} )까지 사이의 총 Ψ {\displaystyle \Psi } 변화량( d Ψ {\displaystyle d\Psi } )은 수학적 연쇄법칙(chain rule)을 적용하여 다음과 같이 도출된다. d Ψ = ∂ Ψ ∂ x d x + ∂ Ψ ∂ y d y {\displaystyle d\Psi ={\partial \Psi \over \partial x}dx+{\partial \Psi \over \partial y}dy} 위와 아래의 정의식을 비교하여 보면, 유선을 따라서 d Ψ = 0 {\displaystyle d\Psi =0} 이라는 것을 알 수 있다. 그러므로 유선을 따라서 유동함수( Ψ {\displaystyle \Psi } )는 일정하고, 식 d Ψ = 0 {\displaystyle d\Psi =0} 를 적분하면 Ψ {\displaystyle \Psi } 자체는, '유동장의 유선'이라는 결론에 도달하게 된다. 유동함수에 대해 물리적으로 또 다른 중요한 특성이 있다. '한 유선에서 다른 유선까지 유동함수 값의 차이는 두 유선 사이의 단위 폭당 체적유량과 같다( Ψ 2 − Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{2}-\Psi _{1}} )'는 것이 바로 그 특성이다. 이 서술에 대한 설명은 옆의 그림과 함께 두 유선 Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} 과 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} , 그리고 지면 속으로 단위 폭을 가지는 x y {\displaystyle xy} 평면상의 2차원 유동을 고려해보자. 정의에 의하면, 어떤 유동도 유선을 가로지를 수 없다. 따라서 두 유선사이의 공간을 차지하는 유체는 항상 같은 두 유선 사이에 한정되어 흐른다. 이는 두 유선 사이의 임의의 단면을 통과하는 질량유량은 어떤 순간에도 같다는 것을 의미한다. 여기서 단면은 유선1에서 시작해서 유선2에서 끝나기만 하면, 어떤 형상이어도 좋다. 옆 그림의 내용을 예를 들면, 단면 A는 원호 모양이지만, 단면B는 물결 모양을 가진다. x y {\displaystyle xy} 평면에서의 정상상태, 비압축성, 2차원 유동에 대하여 두 유선 사이의 체적유량 V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}} (단위 폭당)은 일정해야 한다. 그러므로 만약 두 유선이 단면 A에서 단면 B까지의 구간으로 벌어진다면, 두 유선 사이 평균속도는 체적유량이 같게 유지되도록( V ˙ B − V ˙ A {\displaystyle {\dot {V}}_{B}-{\dot {V}}_{A}} ) 감소할 것이다. Cengel, C. (2021). Differential analysis of fluid flow. McGrawHill, Fluid Mechanics. Hanti-Media