2차원 실수 특수선형군

2차원 실수 특수선형군(二次元實數特殊線型群, 영어: 2×2 real special linear group) SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 리 군이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군으로 여길 수 있다. 다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다. 2×2 실수 특수선형군 SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 2×2 실수 심플렉틱 군 Sp ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )} 부정부호 특수 유니터리 군 SU ⁡ ( 1 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)} 분할 사원수 대수(영어: split-quaternion algebra) ( ⋀ ( i R ⊕ j R ⊕ k R ) ) / ( i j − k , j k + i , k i − j ) {\displaystyle \left(\bigwedge (i\mathbb {R} \oplus j\mathbb {R} \oplus k\mathbb {R} )\right)/(ij-k,jk+i,ki-j)} 에서, 절댓값을 | a + i b + j c + k d | 2 = a 2 + b 2 − c 2 − d 2 {\displaystyle |a+ib+jc+kd|^{2}=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}} 로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군 3차원 스핀 군 Spin + ⁡ ( 2 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)} 다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다. 2×2 실수 사영 특수선형군 PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} . 이는 SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 에서, 중심 { ± 1 2 × 2 } {\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}} 에 대한 몫군이다. 복소수 단위 원판 D = { z ∈ C : | z | < 1 } {\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}} 의 등각 자기 동형군 Aut ⁡ ( D ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {D} )} 뫼비우스 변환 PSL ⁡ ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )} 가운데, 복소수 상반평면 H = { z ∈ C : Im ⁡ z > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}} 을 보존하는 부분군 실수 사영 직선 R P 1 = R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}} 의 방향 보존 사영 변환군 3차원 로런츠 군의 연결 성분 SO + ⁡ ( 2 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1)} PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 는 실수 사영 직선 R P 1 = R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}} 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다. ( a b c d ) : R ∪ { ∞ } → R ∪ { ∞ } {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon \mathbb {R} \cup \{\infty \}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}} ( a b c d ) : x ↦ a x + b c x + d {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}} PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 는 복소수 상반평면 H = { z ∈ C : Im ⁡ z > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}} 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다. ( a b c d ) : H → H {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} } ( a b c d ) : z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}} 이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다. PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 는 3차원 리 군이며, 따라서 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 위에 딸림표현을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다. PSL ⁡ ( 2 ; R ) ↪ GL ⁡ ( 3 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )} ( a b c d ) ↦ ( a 2 2 a c c 2 a b a d + b c c d b 2 2 b d d 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a^{2}&2ac&c^{2}\\ab&ad+bc&cd\\b^{2}&2bd&d^{2}\end{pmatrix}}} 이는 단사 함수이다. PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 의 킬링 형식의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는 PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 와 로런츠 군 SO + ⁡ ( 2 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1)} 사이의 동형을 정의한다. SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 임의의 원소 M ∈ SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle M\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다. | tr ⁡ M | < 2 {\displaystyle |\operatorname {tr} M|<2} 인 경우: ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}} , θ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta \in [0,2\pi )} . 이러한 경우를 타원형 원소(楕圓型元素, 영어: elliptic element)라고 한다. tr ⁡ M = ± 2 {\displaystyle \operatorname {tr} M=\pm 2} 인 경우: ± ( 1 s 0 1 ) {\displaystyle \pm {\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}}} , s ∈ { − 1 , 0 , + 1 } {\displaystyle s\in \{-1,0,+1\}} . 이러한 경우를 포물선형 원소(抛物線型元素, 영어: parabolic element)라고 한다. ± tr ⁡ M > 2 {\displaystyle \pm \operatorname {tr} M>2} 인 경우: ± diag ⁡ ( exp ⁡ ( t ) , exp ⁡ ( − t ) ) {\displaystyle \pm \operatorname {diag} (\exp(t),\exp(-t))} , t ∈ R + {\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}} . 이러한 경우를 쌍곡선형 원소(雙曲線型元素, 영어: hyperbolic element)라고 한다. SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 는 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다. SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 중심은 { ± 1 2 × 2 } {\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}} 이며, 이에 대한 몫군 PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 는 단순군이다. PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 의 이산 부분군은 푹스 군이라고 하며, 모듈러 군 PSL ⁡ ( 2 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )} 이 대표적인 예이다. 원군 SO ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2)} 는 PSL ⁡ ( 2 ; R ) ≅ SO + ⁡ ( 2 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} ^{+}(2,1)} 의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은 SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 극대 콤팩트 부분군이다. PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 와 SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 는 둘 다 연결 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다. 위상수학적으로, PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 는 상반평면 H {\displaystyle \mathbb {H} } 의 접다발 T H {\displaystyle T\mathbb {H} } 속의 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다. SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다. H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 축약 가능 공간이며, 따라서 PSL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} 와 SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 는 원 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 과 호모토피 동치이다. 즉, 그 호모토피 군은 다음과 같다. π n ( PSL ⁡ ( 2 ; R ) ≅ π n ( SL ⁡ ( 2 ; R ) ) ≅ { 1 n ≠ 1 Z n = 1 {\displaystyle \pi _{n}(\operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\cong \pi _{n}(\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\cong {\begin{cases}1&n\neq 1\\\mathbb {Z} &n=1\end{cases}}} 범피복 공간 SL ⁡ ( 2 ; R ) ~ {\displaystyle {\widetilde {\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}}} 에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여한다면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다. SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 유한 차원 표현론은 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수 n = 0 , 1 , … {\displaystyle n=0,1,\dots } 에 대하여 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} 차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 ( n = 0 {\displaystyle n=0} 인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다. SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 무한 차원 표현론은 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 의 경우와 전혀 다르다. SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 의 무한 차원 기약 허용 표현(영어: admissible representation)은 완전히 분류되었고, 다음과 같다. 모든 0이 아닌 정수 μ ∈ Z ∖ { 0 } {\displaystyle \mu \in \mathbb {Z} \setminus \{0\}} 에 대하여, 이산열 표현(離散列表現, 영어: discrete series representation) D μ {\displaystyle D_{\mu }} 이산열 표현의 극한 D + 0 {\displaystyle D_{+0}} , D − 0 {\displaystyle D_{-0}} 주열 표현(主列表現, 영어: principal series representation) I ϵ , μ {\displaystyle I_{\epsilon ,\mu }} , μ ∈ C {\displaystyle \mu \in \mathbb {C} } , ϵ ∈ { ± 1 } {\displaystyle \epsilon \in \{\pm 1\}} , ϵ ≠ − ( − 1 ) μ {\displaystyle \epsilon \neq -(-1)^{\mu }} . I ϵ , μ {\displaystyle I_{\epsilon ,\mu }} 는 I ϵ , − μ {\displaystyle I_{\epsilon ,-\mu }} 와 동형이다. 이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다. 모든 이산열 표현 D μ {\displaystyle D_{\mu }} 및 극한 D ± 0 {\displaystyle D_{\pm 0}} 주열 표현 I ± , i μ {\displaystyle I_{\pm ,i\mu }} , μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } 주열 표현 I + , μ {\displaystyle I_{+,\mu }} , 0 < | μ | < 1 {\displaystyle 0<|\mu |<1} Lang, Serge (1985). 《SL2(R)》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 105 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5142-2. ISBN 978-1-4612-9581-5. Zbl 0583.22001.  Kisil, Vladimir V. (2007년 12월). “Starting with the group SL2(R)” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (11). Zbl 1137.22006.  Casselman, Bill; Milicic, Dragan; Trapa, Peter (2006). “SL2(R): a two-week minicourse at the University of Utah, May 21–June 2, 2006” (영어). 유타 대학교.  “Special linear group: SL(2,R)”. 《Groupprops》 (영어).  뫼비우스 변환 모듈러 군 푹스 군 3차원 직교군