정의 가능 집합

모형 이론에서 정의 가능 집합(定義可能集合, 영어: definable set)은 어떤 주어진 언어의 모형 속의, 어떤 술어를 만족시키는 원소들로 구성된 부분 집합이다. 1차 논리 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 에 대한 모형 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 부분 집합 A ⊆ M {\displaystyle A\subseteq M} 이 다음 조건을 만족시킨다면, A {\displaystyle A} 를 M {\displaystyle M} 의 정의 가능 집합이라고 한다.:762, §3 { x ∈ M : ϕ ( m ) } {\displaystyle \{x\in M\colon \phi (m)\}} 이 성립하는, 하나의 자유 변수 x {\displaystyle x} 를 갖는 명제 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 가 존재한다. 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의 모형 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, (고전 명제 논리의 경우) M {\displaystyle M} 의 정의 가능 부분 집합들의 집합족 Def ⁡ ( M ) ⊆ P ( M ) {\displaystyle \operatorname {Def} (M)\subseteq {\mathcal {P}}(M)} 은 불 대수인 멱집합 P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} 의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, M ∖ { x ∈ M : ϕ M ( x ) } = { x ∈ M : ( ¬ ϕ ) M ( x ) } {\displaystyle M\setminus \{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\lnot \phi )^{M}(x)\}} { x ∈ M : ϕ M ( x ) } ∩ { x ∈ M : χ M ( x ) } = { x ∈ M : ( ϕ ∧ χ ) M ( x ) } {\displaystyle \{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}\cap \{x\in M\colon \chi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\phi \land \chi )^{M}(x)\}} { x ∈ M : ϕ M ( x ) } ∪ { x ∈ M : χ M ( x ) } = { x ∈ M : ( ϕ ∨ χ ) M ( x ) } {\displaystyle \{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}\cup \{x\in M\colon \chi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\phi \lor \chi )^{M}(x)\}} 이다. 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 의 모형 M {\displaystyle M} 및 그 위의 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -자기 동형 사상 ϕ : M → M {\displaystyle \phi \colon M\to M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 정의 가능 집합 A ⊆ M {\displaystyle A\subseteq M} 은 ϕ {\displaystyle \phi } 의 고정점이다. 즉, ϕ ( A ) = { ϕ ( a ) : a ∈ A } = A {\displaystyle \phi (A)=\{\phi (a)\colon a\in A\}=A} 이다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 1차 논리 언어 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 에 속하지 않는 술어 P ( − ) {\displaystyle {\mathsf {P}}(-)} . L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 에 P {\displaystyle {\mathsf {P}}} 를 추가한 언어를 L P {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathsf {P}}} 라고 하자. L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -문장들의 집합 T ⊆ Sent ⁡ ( L ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})} 베트 정의 가능성 정리(영어: Beth definability theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:762, § (명시적 정의 가능성) T ⊢ ∀ x ( P ( x ) ⟺ ϕ ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \forall x({\mathsf {P}}(x)\iff \phi (x))} 가 성립하는 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -술어 ϕ {\displaystyle \phi } 가 존재한다. (암시적 정의 가능성) T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 임의의 모형 M {\displaystyle M} 에 대하여, M {\displaystyle M} 을 확장하는 L P {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathsf {P}}} -구조는 유일하다. 자연수의 전순서 집합의 1차 논리 언어 L toset = { ≤ } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{toset}}=\{\leq \}} 에서, 모든 유한 집합은 정의 가능 집합이다. 예를 들어, 다음과 같은 일련의 술어들을 정의하자. ϕ k ( x ) = ∀ n : ( n ≤ x ⟹ n = x ∨ ϕ 1 ( x ) ∨ ⋯ ∨ ϕ k − 1 ( x ) ) {\displaystyle \phi _{k}(x)=\forall n\colon \left(n\leq x\implies n=x\lor \phi _{1}(x)\lor \cdots \lor \phi _{k-1}(x)\right)} 그렇다면, 모형 ( N , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )} 에서, { x ∈ N : ϕ k N ( x ) } = { k } {\displaystyle \{x\in \mathbb {N} \colon \phi _{k}^{\mathbb {N} }(x)\}=\{k\}} 이며, 마찬가지로 모든 유한 집합은 ϕ k 1 ( x ) ∨ ϕ k 2 ( x ) ∨ ⋯ ∨ ϕ k p ( x ) {\displaystyle \phi _{k_{1}}(x)\lor \phi _{k_{2}}(x)\lor \cdots \lor \phi _{k_{p}}(x)} 의 꼴의 술어로 정의할 수 있다. 반면, N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 무한 부분 집합들은 정의 가능 집합이 아닐 수 있다. 사실, N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 정의 가능 집합들의 수는 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 이지만 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 모든 부분 집합들의 수는 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이므로, N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 대부분의 부분 집합들은 정의 가능 집합이 아니다. 반환의 1차 논리 언어 L semiring = { 0 , 1 , + , ⋅ } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{semiring}}=\{0,1,+,\cdot \}} 를 생각하자. 자연수의 반환 N {\displaystyle \mathbb {N} } 은 이 언어의 모형을 이룬다. 반환의 언어로 정의 가능한 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 부분 집합을 산술 집합(영어: arithmetical set)이라고 한다. 반환의 언어로 자연수의 전순서를 다음과 같이 정의할 수 있다. x ≤ y ⟺ ∃ z : x + z = y {\displaystyle x\leq y\iff \exists z\colon x+z=y} 따라서, 전순서 집합의 언어로 정의 가능한 자연수 집합은 항상 반환의 언어로도 정의 가능하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 정수의 전순서 집합 ( Z , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )} 는 전순서 집합의 1차 논리 언어 L toset = { ≤ } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{toset}}=\{\leq \}} 의 모형이다. 이 경우, n ↦ n + 1 {\displaystyle n\mapsto n+1} 은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 자기 동형 사상이다. 따라서, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 정의 가능 집합들은 이 자기 동형 사상에 대하여 불변이어야 하므로, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 정의 가능 집합은 공집합과 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 전체 밖에 없다. (이들은 각각 항상 거짓인 술어와 항상 참인 술어를 통해 정의된다.) 베트 정리는 1900년에 알레산드로 파도아(이탈리아어: Alessandro Padoa, 1868~1937)가 최초로 도입하였다. 이후 1953년에 에버르트 빌럼 베트(네덜란드어: Evert Willem Beth, 1908~1964)가 이를 1차 논리에 대하여 재증명하였다. Swĳtink, Zeno (1998). 〈Beth’s theorem and Craig’s theorem〉 (PDF). Craig, Edward. 《Routledge Encyclopedia of Philosophy》 (영어). Routledge. 760–764쪽. doi:10.4324/9780415249126-Y021-1. ISBN 978-041507310-3.  Padoa, Alessandro (1901). 〈Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d’une introduction logique à une théorie déductive quenconque〉. 《Bibliothèque du congrès international de philosophie III: logique et histoire des sciences》 (프랑스어). 파리: Librairie Armand Colin. 309–365쪽.  Beth, Evert Willem (1953). “On Padoa’s method in the theory of definition”. 《Indagationes Mathematicae》 (영어) 15: 30-39. ISSN 0019-3577. MR 58537.  Makkai, Michael (1993). 《Duality and definability in first order logic》. Memoirs of the American Mathematical Society (영어) 503. ISBN 978-0-8218-2565-5.  “Beth definability theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Definable set”. 《nLab》 (영어).  “Definability”. 《nLab》 (영어).  “Beth definability theorem”. 《nLab》 (영어).  “Beth’s definability theory”. 《Logicians do it with models: a self-guided jaunt in philosophical logic》 (영어). 2010년 8월 31일. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Ravelomanantsoa-Ratsimihah, Joël (2010). “Understanding definability in first-order logic” (PDF) (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수 Ildikó Sain). Közép-európai Egyetem.