케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 M ∈ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 특성 다항식을 p ( x ) = det ( x − M ) = ∑ k = 0 n p k x k ∈ K [ x ] {\displaystyle p(x)=\det(x-M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}x^{k}\in K[x]} 라고 하자. 여기서 det {\displaystyle \det } 는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.:194, §6.4, Theorem 4 p ( M ) = ∑ k = 0 n p k M k = 0 {\displaystyle p(M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}M^{k}=0} 특히, K {\displaystyle K} 가 체일 경우 M {\displaystyle M} 의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.:194, §6.4, Theorem 4 가환환 K [ M ] = { q ( M ) : q ∈ K [ x ] } ⊆ Mat ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle K[M]=\{q(M)\colon q\in K[x]\}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 N ∈ Mat ⁡ ( n ; K [ M ] ) {\displaystyle N\in \operatorname {Mat} (n;K[M])} N i j = δ i j M − M i j ∈ K [ M ] {\displaystyle N_{ij}=\delta _{ij}M-M_{ij}\in K[M]} 을 생각하자. 여기서 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 는 크로네커 델타이다. 열벡터의 공간 K n {\displaystyle K^{n}} 의 표준 기저를 { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}} 라고 하고, N {\displaystyle N} 의 고전적 수반 행렬을 adj ⁡ N {\displaystyle \operatorname {adj} N} 라고 하자. 그렇다면, ∑ j = 1 n N i j e j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}N_{ij}e_{j}=0} ( ( adj ⁡ N ) N ) k j = δ k j det N {\displaystyle ((\operatorname {adj} N)N)_{kj}=\delta _{kj}\det N} det N = p ( M ) {\displaystyle \det N=p(M)} 이다. 따라서 임의의 k ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}} 에 대하여, 0 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( adj ⁡ N ) k i N i j e j = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n ( adj ⁡ N ) k i N i j e j = ∑ j = 1 n ( ( adj ⁡ N ) N ) k j e j = ∑ j = 1 n δ k j ( det N ) e j = ( det N ) e k = p ( M ) e k {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}((\operatorname {adj} N)N)_{kj}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\delta _{kj}(\det N)e_{j}\\&=(\det N)e_{k}\\&=p(M)e_{k}\end{aligned}}} 이다. 즉, p ( M ) = 0 {\displaystyle p(M)=0} 이다.:194-196, §6.3 만약 K {\displaystyle K} 가 정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우 K {\displaystyle K} 의 분수체의 대수적 폐포를 취하면 된다.) 우선, M {\displaystyle M} 이 상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 최소 다항식은 p ( x ) = ( x − M 11 ) ⋯ ( x − M n n ) {\displaystyle p(x)=(x-M_{11})\cdots (x-M_{nn})} 이다. M − M 11 {\displaystyle M-M_{11}} 은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, ( M − M 11 ) ( M − M 22 ) {\displaystyle (M-M_{11})(M-M_{22})} 는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 p ( M ) = 0 {\displaystyle p(M)=0} 을 얻는다. 이제, M {\displaystyle M} 이 일반적인 행렬이라고 하자. K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체이므로, M {\displaystyle M} 의 최소 다항식 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 는 K {\displaystyle K} 에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 M {\displaystyle M} 은 K {\displaystyle K} 에서 삼각화 가능 행렬이다. G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬 G ∈ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)} 를 취하자. 그렇다면 G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 의 최소 다항식 역시 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 이므로, p ( M ) = G p ( G − 1 M G ) G − 1 = 0 {\displaystyle p(M)=Gp(G^{-1}MG)G^{-1}=0} 이다.:204-205, §6.4 A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자. A = [ 1 2 3 4 ] , I 2 = [ 1 0 0 1 ] , I 2 2 = I 2 , A ⋅ I 2 = A ∵ I 2 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},I_{2}^{2}=I_{2},\;A\cdot I_{2}=A\;\;\because I_{2}} 는 단위행렬(곱셈의 항등원) 이때 특성 다항식은 다음과 같다. p ( λ ) = | λ − 1 − 2 − 3 λ − 4 | = ( λ − 1 ) ( λ − 4 ) − 2 ⋅ 3 = λ 2 − 5 λ − 2 {\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2} 케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다. A 2 − 5 A − 2 I 2 = 0 {\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0} 실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다. A 2 − 5 A − 2 I 2 = 0 {\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0} A 2 = 5 A + 2 I 2 {\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}} 위의 식을 통해 A4을 계산하면 다음과 같다. A 3 = ( 5 A + 2 I 2 ) A = 5 A 2 + 2 A = 5 ( 5 A + 2 I 2 ) + 2 A = 27 A + 10 I 2 {\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}} A 4 = A 3 A = ( 27 A + 10 I 2 ) A = 27 A 2 + 10 A = 27 ( 5 A + 2 I 2 ) + 10 A {\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A} A 4 = 145 A + 54 I 2 {\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}} A − 1 = A − 5 I 2 2   . {\displaystyle A^{-1}={\frac {A-5I_{2}}{2}}~.} A = [ 1 2 1 2 1 3 3 2 3 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&3\\3&2&3\\\end{bmatrix}}} A − 1 = A 2 − 5 A − 6 I 3 4   . {\displaystyle A^{-1}={\frac {A^{2}-5A-6I_{3}}{4}}~.} Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.  “Cayley-Hamilton theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.