유사 미분 연산자

조화해석학에서 유사 미분 연산자(類似微分演算子, 영어: pseudodifferential operator, 약자 ΨDO)는 미분 연산자와, 매끄러운 함수와의 곱셈의 공통된 일반화이다. 푸리에 변환 공간에서 위치와 운동량에 의존하는 임의의 매끄러운 함수를 곱한 뒤 다시 역변환시키는 연산이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 복소수 값 매끄러운 함수의 집합을 C ∞ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 이라고 쓰고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 집합을 C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 이라고 쓰자. C ∞ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 은 자연스럽게 프레셰 공간을 이루며, C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 은 자연스럽게 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다. C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 위에 작용하는 유사 미분 연산자는 다음과 같은 꼴의 선형 변환이다. P ( x , D ) : C 0 ∞ ( R n ) → C ∞ ( R n ) {\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} P ( x , D ) : u ( x ) ↦ 1 ( 2 π ) n ∫ R n exp ⁡ ( i x ⋅ ξ ) P ~ ( x , ξ ) u ^ ( ξ ) d n ξ {\displaystyle P(x,D)\colon u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi } 여기서 u ^ ( ξ ) = ∫ R n exp ⁡ ( − i x ⋅ ξ ) u ( x ) d n x {\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-ix\cdot \xi )u(x)\,d^{n}x} 는 u {\displaystyle u} 의 푸리에 변환이며, P ~ : R n × R n → R {\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } P ~ : ( x , ξ ) ↦ P ( x , ξ ) {\displaystyle {\tilde {P}}\colon (x,\xi )\mapsto P(x,\xi )} 는 매끄러운 함수이다. P ~ ( x , ξ ) {\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )} 를 유사 미분 연산자 P ( x , D ) {\displaystyle P(x,D)} 의 표상(表象, 영어: symbol)이라고 한다. R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 다중지표의 집합을 N n {\displaystyle \mathbb {N} ^{n}} 으로 쓰자. 어떤 정수 m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } 에 대하여 유사 미분 연산자 P ( x , D ) {\displaystyle P(x,D)} 의 표상 P ~ ( x , ξ ) {\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )} 가 sup ( x , ξ ) ∈ R n × R n | ∂ ξ α ∂ x β P ( x , ξ ) | ( 1 + | ξ | ) m − | α | < ∞ ∀ α , β ∈ N n {\displaystyle \sup _{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}{\frac {|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|}{(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}}<\infty \qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}} 를 만족시킨다면, P ( x , D ) {\displaystyle P(x,D)} 를 m {\displaystyle m} 차 유사 미분 연산자라고 한다. m {\displaystyle m} 차 표상들의 집합은 보통 S m {\displaystyle S^{m}} 으로 쓰며, m {\displaystyle m} 차 유사 미분 연산자의 집합은 Ψ D O m ⁡ ( R n ) {\displaystyle \operatorname {\Psi DO} ^{m}(\mathbb {R} ^{n})} 으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는 C 0 ∞ ( R n ) → C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 함수로서 연속 함수이다. R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 분포 T : C 0 ∞ ( R n ) → R {\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 유사 미분 연산자 P {\displaystyle P} 의 표상이 콤팩트 지지라고 하자. 그렇다면, P {\displaystyle P} 를 분포 T {\displaystyle T} 위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다. P T : C 0 ∞ → R {\displaystyle PT\colon \mathbb {C} _{0}^{\infty }\to \mathbb {R} } ⟨ P T | u ⟩ = ⟨ T | P ∗ u ⟩ {\displaystyle \langle PT|u\rangle =\langle T|P^{*}u\rangle } 여기서 P ∗ : C 0 ∞ ( R n ) → C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle P^{*}\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 은 P {\displaystyle P} 의 에르미트 수반이다. 이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간 D ′ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})} 위에 작용한다. P : D ′ ( R n ) → D ′ ( R n ) {\displaystyle P\colon {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})} 매끄러운 다양체는 유클리드 공간의 열린집합 { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} 들을 매끄러운 추이 사상 ϕ i j : U i ∩ U j → U i ∩ U j {\displaystyle \phi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to U_{i}\cap U_{j}} 으로 이어붙여 만든다. 유클리드 공간의 열린집합 U , V , U ′ , V ′ ⊆ R n {\displaystyle U,V,U',V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 유사 미분 연산자 P : C 0 ∞ ( U ) → C ∞ ( V ) {\displaystyle P\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V)} 및 미분 동형 ("좌표 변환") ι U : U → U ′ {\displaystyle \iota _{U}\colon U\to U'} ι V : V → V ′ {\displaystyle \iota _{V}\colon V\to V'} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환 P ′ : C 0 ∞ ( U ′ ) → C ∞ ( V ′ ) {\displaystyle P'\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U')\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V')} P ′ : u ↦ ι V ∘ P ( f ∘ ι U − 1 ) {\displaystyle P'\colon u\mapsto \iota _{V}\circ P(f\circ \iota _{U}^{-1})} 를 정의할 수 있으며, 또한 P ′ {\displaystyle P'} 역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약 P {\displaystyle P} 가 m {\displaystyle m} 차 유사 미분 연산자라면 P ′ {\displaystyle P'} 역시 m {\displaystyle m} 차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의 m {\displaystyle m} 차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.:§8 m {\displaystyle m} 차 표상 P ~ : R n × R n → R {\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열 ( P ~ i ) i ∈ N {\displaystyle ({\tilde {P}}_{i})_{i\in \mathbb {N} }} 가 존재한다면, P ~ {\displaystyle {\tilde {P}}} 를 고전 표상(영어: classical symbol)이라고 한다.:Definition 5.1 P ~ i : R n × R n → R {\displaystyle {\tilde {P}}_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 는 i {\displaystyle i} 차 동차함수이다. 즉, P ~ i ( α x , α ξ ) = α i P ~ i ( x , ξ ) {\displaystyle {\tilde {P}}_{i}(\alpha x,\alpha \xi )=\alpha ^{i}{\tilde {P}}_{i}(x,\xi )} 이다. 콤팩트 지지 매끄러운 함수 ϕ : R n → R {\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 만약 ϕ ( x ) = 1 ∀ x ∈ U {\displaystyle \phi (x)=1\forall x\in U} 가 되는 0의 근방 U ∋ 0 {\displaystyle U\ni 0} 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. P ~ ( x , ξ ) − ∑ i = 0 N − 1 ( 1 − ϕ ( ξ ) ) P ~ m − i ( x , ξ ) ∈ S m − N ∀ N ∈ Z + {\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )-\sum _{i=0}^{N-1}(1-\phi (\xi )){\tilde {P}}_{m-i}(x,\xi )\in S^{m-N}\qquad \forall N\in \mathbb {Z} ^{+}} 고전 유사 미분 연산자(영어: classical pseudodifferential operator)는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을 Ψ D O cl m {\displaystyle \operatorname {\Psi DO} _{\operatorname {cl} }^{m}} 으로 쓰자. R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의, 표상이 P ~ : R n × R n → R {\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 인 유사 미분 연산자 P ( x , D ) {\displaystyle P(x,D)} 에 대하여, 만약 P ~ ( x , ξ ) {\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )} 가 콤팩트 지지 함수라면, P ( x , D ) {\displaystyle P(x,D)} 의 상은 C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 에 속한다. 즉, P ( x , D ) : C 0 ∞ ( R n ) → C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 이다.:Theorem 4.2 임의의 미분 연산자 ∑ α ∈ N n c α ∂ x α {\displaystyle \sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial _{x}^{\alpha }} 의 경우, 그 표상 P ~ ( ξ ) = ∑ α ∈ N n c α ξ α {\displaystyle {\tilde {P}}(\xi )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\xi ^{\alpha }} 을 정의하면 유사 미분 연산자 u ( x ) ↦ 1 ( 2 π ) n ∫ R n exp ⁡ ( i x ⋅ ξ ) P ~ ( ξ ) u ^ ( x ) d n ξ {\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(\xi ){\hat {u}}(x)\,d^{n}\xi } 로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수 f : R n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 곱셈 연산자 u ( x ) ↦ f ( x ) u ( x ) {\displaystyle u(x)\mapsto f(x)u(x)} 역시 표상이 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 인 유사 미분 연산자 u ( x ) ↦ 1 ( 2 π ) n ∫ R n exp ⁡ ( i x ⋅ ξ ) P ~ ( x ) u ^ ( ξ ) d n ξ {\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi } 1960년대에 조지프 존 콘(영어: Joseph John Kohn) · 루이스 니런버그 · 라르스 회르만데르 등이 유사 미분 연산자의 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 역할을 하였다. Joshi, M. S. (1999). “Introduction to pseudo-differential operators” (영어). arXiv:math/9906155. Bibcode:1999math......6155J.  Taylor, Michael Eugene. 《Pseudodifferential operators》. Princeton Mathematical Series (영어) 34. Princeton Univ. Press 1981. ISBN 978-0-691-08282-0.  Shubin, Mkhail A. (2001). 《Pseudodifferential operators and spectral theory》 (영어). S.I. Andersson 역 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-642-56579-3. ISBN 3-540-41195-X.  Treves, Jean-François (1980). 《Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators》. The University Series in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4684-8780-0. ISBN 978-1-4684-8782-4.  Friedlander, F. G.; Joshi, Mark Suresh (1999년 1월). 《Introduction to the theory of distributions》 (영어) 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64015-2.  Hörmander, Lars (1987). 《The analysis of linear partial differential operators III: Pseudo-differential operators》 (영어). Springer. 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