분수 아이디얼

가환대수학과 대수적 수론에서 분수 아이디얼(分數ideal, 영어: fractional ideal)은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다. 가환환 R {\displaystyle R} 가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을 Frac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Frac} (R)} 라고 하자. R {\displaystyle R} 의 분수 아이디얼 I ⊆ Frac ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \operatorname {Frac} R} 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다. I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 는 R {\displaystyle R} 에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. I {\displaystyle I} 는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 a , b ∈ I {\displaystyle a,b\in {\mathfrak {I}}} 에 대하여, a + b ∈ I {\displaystyle a+b\in {\mathfrak {I}}} 이다. 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 및 a ∈ I {\displaystyle a\in {\mathfrak {I}}} 에 대하여, r a ∈ I {\displaystyle ra\in {\mathfrak {I}}} 이다. r I ⊆ R {\displaystyle r{\mathfrak {I}}\subseteq R} 인 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 가 존재한다. 두 분수 아이디얼 I , J {\displaystyle {\mathfrak {I}},{\mathfrak {J}}} 의 곱은 다음과 같다. I J = { a 1 b 1 + ⋯ + a n b n : a 1 , … , a n ∈ I , b 1 , b 2 , … , b n ∈ J , n ∈ N } {\displaystyle {\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}=\left\{a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\colon a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathfrak {I}},\;b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in {\mathfrak {J}},\;n\in \mathbb {N} \right\}} 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, R {\displaystyle R} 는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 ( I R = R I = I {\displaystyle {\mathfrak {I}}R=R{\mathfrak {I}}={\mathfrak {I}}} ). 따라서, 정역 R {\displaystyle R} 의 분수 아이디얼들의 집합 FracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (R)} 은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. 분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 가역 분수 아이디얼(영어: invertible fractional ideal)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 FracIdeal ⁡ ( R ) × ⊊ FracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }\subsetneq \operatorname {FracIdeal} (R)} 을 이룬다. 두 분수 아이디얼 I , J ⊆ Frac ⁡ R {\displaystyle {\mathfrak {I}},{\mathfrak {J}}\subseteq \operatorname {Frac} R} 의 합 I + J = { a + b : a ∈ I , b ∈ J } {\displaystyle {\mathfrak {I}}+{\mathfrak {J}}=\{a+b\colon a\in {\mathfrak {I}},b\in {\mathfrak {J}}\}} 역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} 에 대하여 r I , s J ⊆ R {\displaystyle r{\mathfrak {I}},s{\mathfrak {J}}\subseteq R} 라면 r s ( I + J ) ⊆ R {\displaystyle rs({\mathfrak {I}}+{\mathfrak {J}})\subseteq R} 이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, FracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (R)} 는 반환을 이룬다. 유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 ( I i ) i ∈ I {\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{i})_{i\in I}} 의 교집합 ⋂ i ∈ I I {\displaystyle \bigcap _{i\in I}{\mathfrak {I}}} 역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 ( Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다. 다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다. ( Frac ⁡ R , × ) → ( FracIdeal ⁡ ( R ) , × ) {\displaystyle (\operatorname {Frac} R,\times )\to (\operatorname {FracIdeal} (R),\times )} a ↦ R a = { r a : r ∈ R } {\displaystyle a\mapsto Ra=\{ra\colon r\in R\}} ( R a ) ( R b ) = R ( a b ) ∀ a , b ∈ R {\displaystyle (Ra)(Rb)=R(ab)\qquad \forall a,b\in R} 그러나 일반적으로 R a + R b ≠ R ( a + b ) {\displaystyle Ra+Rb\neq R(a+b)} 이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다. R {\displaystyle R} 의 주 분수 아이디얼(主分數ideal, 영어: principal fractional ideal)의 집합 PrFracIdeal ⁡ ( R ) ⊆ FracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {PrFracIdeal} (R)\subseteq \operatorname {FracIdeal} (R)} 은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 R a {\displaystyle Ra} 의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다. 이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다. R a = R b ⟺ ∃ u ∈ R × : a = u b {\displaystyle Ra=Rb\iff \exists u\in R^{\times }\colon a=ub} 즉, 다음과 같다. PrFracIdeal ⁡ ( R ) × ≅ Frac ⁡ ( R ) × R × {\displaystyle \operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }\cong {\frac {\operatorname {Frac} (R)^{\times }}{R^{\times }}}} Frac ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Frac} R} 의 R {\displaystyle R} -부분 가군 I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 에 대하여, 다음 기호를 정의하자. ( R : I ) = { a ∈ Frac ⁡ R : a I ⊆ R } {\displaystyle (R:{\mathfrak {I}})=\{a\in \operatorname {Frac} R\colon a{\mathfrak {I}}\subseteq R\}} 즉, ( R : ( R : I ) ) {\displaystyle (R:(R:{\mathfrak {I}}))} 는 I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다. 만약 분수 아이디얼 I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 가 I = ( R : ( R : I ) ) {\displaystyle {\mathfrak {I}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}))} 를 만족시킨다면, I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 를 인자 아이디얼(因子ideal, 영어: divisorial ideal)이라고 한다. 그 집합을 DivIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)} 로 표기하자. DivIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)} 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다. I ⋅ J = ( R : ( R : I J ) ) {\displaystyle {\mathfrak {I}}\cdot {\mathfrak {J}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}))} 이 곱에 대하여 DivIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)} 는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 R {\displaystyle R} 가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 I {\displaystyle I} 의 역원은 ( R : I ) {\displaystyle (R:I)} 이다. a ∈ ( Frac ⁡ R ) × {\displaystyle a\in (\operatorname {Frac} R)^{\times }} 에 대하여 ( R : R a ) = R a − 1 {\displaystyle (R:Ra)=Ra^{-1}} 이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 ( R : I ) = I − 1 {\displaystyle (R:{\mathfrak {I}})={\mathfrak {I}}^{-1}} 이다. 임의의 정역 R {\displaystyle R} 에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. FracIdeal ⁡ ( R ) × ⊆ DivIdeal ⁡ ( R ) ⊊ FracIdeal ⁡ ( R ) ∪ ∪ PrFracIdeal ⁡ ( R ) ∩ FracIdeal ⁡ ( R ) × = PrFracIdeal ⁡ ( R ) × ⊊ PrFracIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle {\begin{matrix}&\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }&\subseteq &\operatorname {DivIdeal} (R)&\subsetneq &\operatorname {FracIdeal} (R)\\&\cup &&&&\cup \\\operatorname {PrFracIdeal} (R)\cap \operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }=&\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }&&\subsetneq &&\operatorname {PrFracIdeal} (R)\end{matrix}}} 크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역 R {\displaystyle R} 에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며, DivIdeal ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)} 를 생성한다. 이 경우, 몫군 DivIdeal ⁡ ( R ) PrFracIdeal ⁡ ( R ) × = Div ⁡ ( R ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {DivIdeal} (R)}{\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }}}=\operatorname {Div} (R)} 을 R {\displaystyle R} 의 인자 유군이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다. 데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다. 주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 구체적으로, 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 데데킨트 정역이다. R {\displaystyle R} 의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다. 이 경우, 몫군 FracIdeal ⁡ ( R ) PrFracIdeal ⁡ ( R ) = Cl ⁡ ( R ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {FracIdeal} (R)}{\operatorname {PrFracIdeal} (R)}}=\operatorname {Cl} (R)} 을 R {\displaystyle R} 의 아이디얼 유군이라고 한다. 두 데데킨트 정역 R ⊆ S {\displaystyle R\subseteq S} 이 주어졌으며, S {\displaystyle S} 가 R {\displaystyle R} 의 (분수체 Frac ⁡ S {\displaystyle \operatorname {Frac} S} 속의) 정수적 폐포라고 한다면, 아이디얼 노름이라는 곱셈 모노이드 준동형 N S / R : FracIdeal ⁡ S → FracIdeal ⁡ R {\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} S\to \operatorname {FracIdeal} R} 을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다. 유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다. 주 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼 구체적으로, 정역 R {\displaystyle R} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. R {\displaystyle R} 는 유일 인수 분해 정역이다. R {\displaystyle R} 는 크룰 정역이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다. 주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 체에서는 아이디얼이 ( 0 ) {\displaystyle (0)} 과 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다. 주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)} 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 경우, 임의의 유리수 p / q ∈ Q {\displaystyle p/q\in \mathbb {Q} } 에 대하여 ( p / q ) = p q Z = { n p / q : n ∈ Z } {\displaystyle (p/q)={\frac {p}{q}}\mathbb {Z} =\{np/q\colon n\in \mathbb {Z} \}} 는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는 p / q ∈ Q {\displaystyle p/q\in \mathbb {Q} } 에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다. 만약 p / q ≠ 0 {\displaystyle p/q\neq 0} 이라면 ( Z : ( p / q ) ) = q p Z = ( q / p ) {\displaystyle (\mathbb {Z} :(p/q))={\frac {q}{p}}\mathbb {Z} =(q/p)} 이며, ( Z : ( q / p ) ) = 1 n Z {\displaystyle (\mathbb {Z} :(q/p))={\frac {1}{n}}\mathbb {Z} } 이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약 p / q = 0 {\displaystyle p/q=0} 이라면, ( Z : ( 0 ) ) = Q {\displaystyle (\mathbb {Z} :(0))=\mathbb {Q} } ( Z : Q ) = ( 0 ) {\displaystyle (\mathbb {Z} :\mathbb {Q} )=(0)} 이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다. “Fractional ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Divisorial ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Fractional ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Fractional ideal”. 《nLab》 (영어).  “When does the group of invertible ideal quotients = the free abelian group on the prime ideals?” (영어). Math Overflow. 2016년 4월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 26일에 확인함.