사원수 벡터 공간

선형대수학에서 사원수 벡터 공간(영어: quaternionic vector space)는 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 위의 가군이다. 사원수 벡터 공간은 환론에서의 가군의 개념으로 직접적으로 정의할 수도 있고, 대신 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다. 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한, H {\displaystyle \mathbb {H} } 는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산 ¯ : H → H {\displaystyle {\bar {}}\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} } ¯ : a + i b + j c + k d ↦ a − i b − j c − k d {\displaystyle {\bar {}}\colon a+ib+jc+kd\mapsto a-ib-jc-kd} 아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다. H ≅ H op {\displaystyle \mathbb {H} \cong \mathbb {H} ^{\operatorname {op} }} 따라서, H {\displaystyle \mathbb {H} } 위의 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다. 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 위의 (자유) 가군을 사원수 벡터 공간이라고 한다. 2 n {\displaystyle 2n} 차원 복소수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 사원수 구조는 다음 조건을 만족시키는 C {\displaystyle \mathbb {C} } -반선형 변환 K : V → V {\displaystyle K\colon V\to V} 이다. K 2 = − 1 {\displaystyle K^{2}=-1} 사원수 구조를 갖춘 2 n {\displaystyle 2n} 차원 복소수 벡터 공간을 n {\displaystyle n} 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다. 4 n {\displaystyle 4n} 차원 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 사원수 구조 ( I , J , K ) {\displaystyle (I,J,K)} 는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의 R {\displaystyle \mathbb {R} } -선형 변환 I , J , K : V → V {\displaystyle I,J,K\colon V\to V} 로 구성된다. I 2 = J 2 = K 2 = I J K = − 1 {\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1} 즉, ( I , J , K ) {\displaystyle (I,J,K)} 는 − 1 {\displaystyle -1} 을 보존하는 군 준동형 ϕ : Q → GL ⁡ ( V ; R ) {\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )} ϕ : − 1 ↦ − id V {\displaystyle \phi \colon -1\mapsto -\operatorname {id} _{V}} 를 정의한다. 여기서 Q {\displaystyle Q} 는 사원수군이다. 사원수 구조를 갖춘 2 n {\displaystyle 2n} 차원 실수 벡터 공간을 n {\displaystyle n} 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다. 사원수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌을 때, V {\displaystyle V} 위의 사원수 선형 변환 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 는 H {\displaystyle \mathbb {H} } 위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군 GL ⁡ ( V ; H ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V;\mathbb {H} )} 를 이루며, V {\displaystyle V} 가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다. n {\displaystyle n} 차원 복소수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 실수 구조는 C 2 = 1 {\displaystyle C^{2}=1} 인 반선형 변환 C : V → V {\displaystyle C\colon V\to V} 에 의하여 주어진다. 이 경우 C {\displaystyle C} 는 각 성분의 복소수 켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조(영어: complex structure)는 C 2 = 1 {\displaystyle C^{2}=1} 인 반선형 변환으로서 주어진다. 복소수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌을 때, V ⊕ V ¯ {\displaystyle V\oplus {\bar {V}}} 는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.:§1.6.3 J : ( v 1 , v ¯ 2 ) ↦ ( − v 2 , v ¯ 1 ) {\displaystyle J\colon (v_{1},{\bar {v}}_{2})\mapsto (-v_{2},{\bar {v}}_{1})} 이 함수가 C {\displaystyle \mathbb {C} } -반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다. J ( z ( v 1 , v 2 ) ) = J ( ( z v 1 , z ¯ v 2 ¯ ) ) = ( − z ¯ v 2 , z v 1 ¯ ) = z ¯ ( − v 2 , v ¯ 1 ) = z ¯ J ( ( v 1 , v 2 ) ) {\displaystyle J\left(z(v_{1},v_{2})\right)=J\left((zv_{1},{\overline {{\bar {z}}v_{2}}})\right)=(-{\bar {z}}v_{2},{\overline {zv_{1}}})={\bar {z}}(-v_{2},{\bar {v}}_{1})={\bar {z}}J\left((v_{1},v_{2})\right)} 이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다. I : ( v 1 , v ¯ 2 ) ↦ ( i v 1 , − i v 2 ¯ ) {\displaystyle I\colon (v_{1},{\bar {v}}_{2})\mapsto (iv_{1},-{\overline {iv_{2}}})} K = I J = : ( v 1 , v ¯ 2 ) ↦ ( − i v 2 , − i v 1 ¯ ) {\displaystyle K=IJ=\colon (v_{1},{\bar {v}}_{2})\mapsto (-iv_{2},-{\overline {iv_{1}}})} 그렇다면 I 2 = J 2 = K 2 = I J K = − 1 {\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1} 임을 쉽게 확인할 수 있다. 벡터 공간 일반선형군 특수선형군 심플렉틱 군 Moore, Gregory W. (2014년 8월 22일). “Quantum symmetries and K-theory” (PDF) (영어).  Rodman, Leiba (2014). 《Topics in Quaternion Linear Algebra》. Princeton Series in Applied Mathematics (영어). Princeton University Press. ISBN 978-069116185-3. Zbl 1304.15004.  “Quaternionic structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Quaternionic structure”. 《nLab》 (영어).