아벨 극한 정리

해석학에서 아벨 극한 정리(-極限定理, 영어: Abel's limit theorem)는 수렴 영역의 어떤 경계점에서 수렴하는 멱급수의 성질에 대한 정리이다.:41-42, §2.5 중심이 0인 실수 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n x n ( a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ R ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {R} )} 의 수렴 반지름이 0 < r < ∞ {\displaystyle 0<r<\infty } 이라고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 만약 ∑ n = 0 ∞ a n r n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}} 이 수렴한다면, 다음이 성립한다.:177, §20, Theorem 100 lim x → r − ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ a n r n {\displaystyle \lim _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}} 또한, 만약 ∑ n = 0 ∞ a n ( − r ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(-r)^{n}} 이 수렴한다면, 다음이 성립한다.:178, §20 lim x → ( − r ) + ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ a n ( − r ) n {\displaystyle \lim _{x\to (-r)^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(-r)^{n}} 편의상 r = 1 {\displaystyle r=1} 이고:220, §11.2 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 이 수렴한다고 가정하자. 이 경우 멱급수가 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 균등 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 두 함수열 ( f n , g n : [ 0 , 1 ] → R ) n = 0 ∞ {\displaystyle (f_{n},g_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }} 를 다음과 같이 정의하자. f n ( x ) = a n ( x ∈ [ 0 , 1 ] , n ≥ 0 ) {\displaystyle f_{n}(x)=a_{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)} g n ( x ) = x n ( x ∈ [ 0 , 1 ] , n ≥ 0 ) {\displaystyle g_{n}(x)=x^{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)} 그렇다면, ∑ n = 0 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)} 는 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 균등 수렴하고, 임의의 x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]} 에 대하여, ( g n ( x ) ) n = 0 ∞ {\displaystyle (g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }} 는 감소 수열이다. 또한, 임의의 x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]} 및 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 에 대하여, | g n ( x ) | ≤ 1 {\displaystyle |g_{n}(x)|\leq 1} 이다. 아벨 판정법에 의하여, ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 은 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 균등 수렴한다. 아벨 극한 정리에 따라, 만약 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수이다.:221, §11.2, 따름정리2 그러나, 복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다. 아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환시켜 구할 때 종종 이용된다. 이는 아벨의 합 공식이 이상 적분을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다. 예를 들어, 급수 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 1 = 1 − 1 4 + 1 7 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}-\cdots } 를 계산해 보자. (이 급수는 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.) 다음과 같은 함수 f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} } 를 정의하자. f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 3 n + 1 3 n + 1 ( x ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{3n+1}}{3n+1}}\qquad (x\in [0,1])} 그렇다면, 아벨 극한 정리에 의하여 f {\displaystyle f} 는 연속 함수이다. 임의의 x ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle x\in [0,1)} 에 대하여 f ′ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 3 n = 1 1 + x 3 {\displaystyle f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{3n}={\frac {1}{1+x^{3}}}} 이므로, 임의의 x ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle x\in [0,1)} 에 대하여 f ( x ) = f ( 0 ) + ∫ 0 x f ′ ( x ) d x = 1 6 ln ⁡ ( x + 1 ) 2 x 2 − x + 1 + 1 3 arctan ⁡ 2 x − 1 3 + π 6 3 {\displaystyle f(x)=f(0)+\int _{0}^{x}f'(x)\mathrm {d} x={\frac {1}{6}}\ln {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}+{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}} 이다. 따라서, ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 1 = f ( 1 ) = lim x → 1 − f ( x ) = 1 3 ln ⁡ 2 + π 3 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=f(1)=\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {1}{3}}\ln 2+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}} 이다. 중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n x n ( a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ≥ 0 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \geq 0)} 의 수렴 반지름이 0 < r < ∞ {\displaystyle 0<r<\infty } 이고, ∑ n = 0 ∞ a n r n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}=\infty } 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:178, §20 lim x → r − ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\infty } 중심이 0인 실수 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n x n ( a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ R ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {R} )} 의 수렴 반지름이 0 < r < ∞ {\displaystyle 0<r<\infty } 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:189, Exercise 70 lim inf n → ∞ ∑ k = 0 n a k r k ≤ lim sup x → r − ∑ n = 0 ∞ a n x n ≤ lim sup n → ∞ ∑ k = 0 n a k r k {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}r^{k}\leq \limsup _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\leq \limsup _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}r^{k}} 중심이 0인 복소수 멱급수 ∑ n = 0 ∞ a n z n ( a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ ∈ C ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {C} )} 의 수렴 반지름이 0 < r < ∞ {\displaystyle 0<r<\infty } 이고, | ζ | = r {\displaystyle |\zeta |=r} 인 어떤 ζ ∈ C {\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} } 에 대하여 ∑ n = 0 ∞ a n ζ n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}} 이 수렴한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. lim t → 1 − ∑ n = 0 ∞ a n ( t ζ ) n = ∑ n = 0 ∞ a n ζ n {\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t\zeta )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}} 보다 일반적으로, 곡선 γ : [ 0 , 1 ] → ball C ⁡ ( 0 , r ) ∪ { ζ } {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(0,r)\cup \{\zeta \}} 가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 ball {\displaystyle \operatorname {ball} } 은 열린 공이다.) γ ( 1 ) = ζ {\displaystyle \gamma (1)=\zeta } sup t ∈ [ 0 , 1 ) | ζ − γ ( t ) | | ζ | − | γ ( t ) | < ∞ {\displaystyle \sup _{t\in [0,1)}{\frac {|\zeta -\gamma (t)|}{|\zeta |-|\gamma (t)|}}<\infty } 그렇다면, 다음이 성립한다.:41, §2.5, Theorem 3 lim t → 1 − ∑ n = 0 ∞ a n γ ( t ) n = ∑ n = 0 ∞ a n ζ n {\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\gamma (t)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}} 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 처음 제시하였다. 그러나 가우스가 제시한 증명은 증명되지 않은 결론을 사용하는 오류를 포함한다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 땄다. Ahlfors, Lars V. (1979). 《Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-1-259-06482-1.  Knopp, Konrad (1954). 《Theory and Application of Infinite Series》 (영어). 번역 Young, R. C. H. 2판. Glasgow: Blackie & Son.  伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0.  김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.  “Abel theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Abel's convergence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.