강제법

집합론에서 강제법(强制法, 영어: forcing)은 특정한 조건을 만족시키는 집합론 모형을 정의하는 방법이다. 강제법은 주어진 집합론의 모형에 새로운 집합을 추가함으로써 새로운 모형을 만드는 과정이다. 가령, 연속체 가설의 부정이 충족되는 모형을 만드려는 경우를 고려하자. 2 ℵ 0 ≥ ℵ 2 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}} 이면 연속체 가설이 거짓이므로, 자연수 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } 의 부분 집합을 충분히 많이 추가해서 새로운 모형을 만듦으로써 연속체 가설이 성립하지 않게 만드는 것을 생각할 수 있다. 강제법은 그러한 모형을 만드는 것을 가능하게 해 준다. 강제법에 대하여 파트리크 드오르누아(프랑스어: Patrick Dehornoy)는 다음과 같이 비유하였다. M {\displaystyle M} 이 추이적 집합이라고 하자. 또한, 임의의 집합 P {\displaystyle P} 및 그 부분 집합 G ⊆ P {\displaystyle G\subseteq P} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 M P = { u ∈ Name P : val G ⁡ ( u ) ∈ M } {\displaystyle M^{P}=\{u\in \operatorname {Name} _{P}\colon \operatorname {val} _{G}(u)\in M\}} 을 정의하자. 이는 M {\displaystyle M} 에서 G {\displaystyle G} -해석할 수 있는 P {\displaystyle P} -이름들의 집합이다. 그렇다면 강제법 언어 L P {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}} 는 집합론의 1차 논리 언어 L ∈ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }} 에 M P {\displaystyle M^{P}} 의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다. 임의의 원소 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 에 대하여, 이름 x ˇ = { ( y ˇ , p ) : y ∈ x , p ∈ P } ∈ M P {\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},p)\colon y\in x,\;p\in P\}\in M^{P}} 를 정의하자.:239, Exercise VIII(B2) 이는 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 의 이름이라고 한다. 집합 P {\displaystyle P} 와 그 부분 집합 G ⊆ P {\displaystyle G\subseteq P} 및 추이적 집합 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, L P {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}} 의 추이적 모형 M [ G ] {\displaystyle M[G]} 를 다음과 같이 정의하자. 집합으로서, M [ G ] = { val ⁡ ( u , G ) : u ∈ M P } {\displaystyle M[G]=\{\operatorname {val} (u,G)\colon u\in M^{P}\}} 는 M {\displaystyle M} 에 속하는 이름들의 해석들이다. ∈ {\displaystyle \in } 의 해석은 외적인 개념과 같다. M [ G ] {\displaystyle M[G]} 에서, 상수 u ∈ M P {\displaystyle u\in M^{P}} 의 해석은 val G ⁡ ( u ) {\displaystyle \operatorname {val} _{G}(u)} 이다. 이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다. 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. 추이적 집합 M {\displaystyle M} 원순서 집합 ( P , ≲ ) {\displaystyle (P,\lesssim )} 및 그 부분 집합 G ⊆ P {\displaystyle G\subseteq P} . 대략, p ≲ q {\displaystyle p\lesssim q} 라면 q {\displaystyle q} 가 p {\displaystyle p} 보다 "더 많은 정보를 제공한다"고 여긴다. 강제법 언어 L P {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}} 의 1차 논리 문장 ϕ ∈ Sent ⁡ ( L P ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{P})} 원소 p ∈ P ∈ M {\displaystyle p\in P\in M} . 이를 강제 조건(영어: forcing condition)이라고 한다. 그렇다면, 다음과 같은 관계를 정의하자. p ⊩ P , M ϕ ⟺ ∀ G ∈ Generic ⁡ ( P , M ) : p ∈ G ⟹ M [ G ] ⊨ ϕ {\displaystyle p\Vdash _{P,M}\phi \iff \forall G\in \operatorname {Generic} (P,M)\colon p\in G\implies M[G]\models \phi } 여기서 Generic ⁡ ( P , M ) {\displaystyle \operatorname {Generic} (P,M)} 는 M {\displaystyle M} 에 속하는 P {\displaystyle P} 의 모든 공종 집합들의 족 Cofin ⁡ ( P ) ∩ M {\displaystyle \operatorname {Cofin} (P)\cap M} 에 대하여 모든 Cofin ⁡ ( P ) ∩ M {\displaystyle \operatorname {Cofin} (P)\cap M} -포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다. 또한, 다음과 같은 관계 p ⊩ ∗ ϕ {\displaystyle p\Vdash ^{*}\phi } 를 재귀적으로 정의하자.:195–196, Definition VII.3.3 (여기서 u , v ∈ Name P {\displaystyle u,v\in \operatorname {Name} _{P}} 는 임의의 두 P {\displaystyle P} -이름이다.) ( p ⊩ ∗ u ∈ v ) ⟺ ∀ q ≳ p ∃ r ≳ q ∃ ( u ~ , s ) ∈ v : r ≳ s ∧ ( r ⊩ u = u ~ ) {\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}u\in v\right)\iff \forall q\gtrsim p\exists r\gtrsim q\exists ({\tilde {u}},s)\in v\colon r\gtrsim s\land \left(r\Vdash u={\tilde {u}}\right)} ( p ⊩ ∗ u = v ) ⟺ ∀ q ≳ p ∀ w ∈ M P : ( q ⊩ ∗ w ∈ u ) ⟺ ( q ⊩ ∗ w ∈ v ) {\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}u=v\right)\iff \forall q\gtrsim p\forall w\in M^{P}\colon (q\Vdash ^{*}w\in u)\iff (q\Vdash ^{*}w\in v)} ( p ⊩ ∗ ¬ ϕ ) ⟺ ∄ q ≳ p : q ⊩ ϕ {\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}\lnot \phi \right)\iff \nexists q\gtrsim p\colon q\Vdash \phi } ( p ⊩ ∗ ϕ ∧ χ ) ⟺ ( p ⊩ ∗ ϕ ) ∧ ( p ⊩ ∗ ϕ ) {\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}\phi \land \chi \right)\iff \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)\land \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)} ( p ⊩ ∗ ∀ x : ϕ ( x ) ) ⟺ ∀ u ∈ M P : ( p ⊩ ∗ ϕ [ u ] ) {\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}\forall x\colon \phi (x)\right)\iff \forall u\in M^{P}\colon \left(p\Vdash ^{*}\phi [u]\right)} 집합 P {\displaystyle P} 와 그 부분 집합 G ⊆ M {\displaystyle G\subseteq M} 및 추이적 집합 M {\displaystyle M} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, { m ˇ : M ∈ M } ⊆ M P {\displaystyle \{{\check {m}}\colon M\in M\}\subseteq M^{P}} 이다. 만약 P ≠ ∅ {\displaystyle P\neq \varnothing } 이라면 M → M P {\displaystyle M\to M^{P}} m ↦ m ˇ {\displaystyle m\mapsto {\check {m}}} 은 단사 함수이며, 만약 추가로 G ≠ ∅ {\displaystyle G\neq \varnothing } 이라면 ∀ m ∈ M : val G ⁡ ( m ˇ ) = m {\displaystyle \forall m\in M\colon \operatorname {val} _{G}({\check {m}})=m} 이다. 따라서, G ≠ ∅ {\displaystyle G\neq \varnothing } 이라면 M ⊆ M [ G ] {\displaystyle M\subseteq M[G]} 이다. 또한, 만약 ∅ ≠ G ⊆ P ∈ M {\displaystyle \varnothing \neq G\subseteq P\in M} 일 때, P {\displaystyle P} -이름 u = { ( p ˇ , p ) : p ∈ P } {\displaystyle u=\{({\check {p}},p)\colon p\in P\}} 을 생각하면 val G ⁡ ( u ) = G {\displaystyle \operatorname {val} _{G}(u)=G} 이다. 따라서, 이 경우 G ∈ M [ G ] {\displaystyle G\in M[G]} 이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 추가로 ZFC의 추이적 모형이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:189, Lemma VII.2.9:361, §4 임의의 M ′ ⊇ M {\displaystyle M'\supseteq M} 에 대하여, 만약 M ′ {\displaystyle M'} 역시 ZFC의 추이적 모형이며 M ′ ∋ G {\displaystyle M'\ni G} 라면, M [ G ] ⊆ M ′ {\displaystyle M[G]\subseteq M'} 이다. 즉, M [ G ] {\displaystyle M[G]} 는 G {\displaystyle G} 와 M {\displaystyle M} 을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다. 이에 대하여 티머시 이청 차우(영어: Timothy Yi-Chung Chow)는 다음과 같이 적었다. M {\displaystyle M} 이 ZFC의 추이적 모형이며, P ∈ M {\displaystyle P\in M} 이며, G {\displaystyle G} 가 P {\displaystyle P} 위의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 다음을 보일 수 있다. L P {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}} 의 (자유 변수가 없는) 명제 ϕ {\displaystyle \phi } 에 대하여, M [ G ] ⊨ ϕ ⟺ M ⊨ ( ∃ p ∈ G : p ⊩ ∗ ϕ ) {\displaystyle M[G]\models \phi \iff M\models (\exists p\in G\colon p\Vdash ^{*}\phi )} .:200, Theorem VII.3.6(2) 즉, M [ G ] {\displaystyle M[G]} 에서 어떤 명제가 참이려면, 그러할 이유(즉, 명제를 강제하는 p ∈ P {\displaystyle p\in P} )가 존재해야 한다. (내적 정의 가능성) 임의의 문장 ϕ ∈ Sent ⁡ ( L P ) {\displaystyle \phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{P})} 에 대하여, p ⊩ ϕ ⟺ M ⊨ ( p ⊩ ∗ ϕ ) {\displaystyle p\Vdash \phi \iff M\models \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)} :200, Theorem VII.3.6(1) (일관성) p ↦ { ϕ ∈ L P : p ⊩ ϕ } {\displaystyle p\mapsto \{\phi \in {\mathcal {L}}_{P}\colon p\Vdash \phi \}} 는 순서 보존 함수 P → ( P ( L P ) , ⊆ ) {\displaystyle P\to ({\mathcal {P}}({\mathcal {L}}_{P}),\subseteq )} 를 정의한다.:194, Lemma 3.2(a) 즉, p ⊩ ϕ {\displaystyle p\Vdash \phi } 이며 p ≲ q {\displaystyle p\lesssim q} 라면 q ⊩ ϕ {\displaystyle q\Vdash \phi } 이다. 이 핵심적인 성질들을 사용하여 각종 성질을 만족시키는 강제법 모형을 구성할 수 있다. 이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 설명하였다. 순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수의 개념은 모형 밖의 순서수의 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념(즉, 어떤 순서수가 기수인지 여부)은 절대적이지 않으며, 모형 M {\displaystyle M} 의 기수가 M [ G ] {\displaystyle M[G]} 에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다. ZFC의 추이적 모형 M {\displaystyle M} 및 P ∈ M {\displaystyle P\in M} 및 P {\displaystyle P} 위의 원순서 ≲ {\displaystyle \lesssim } 가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, P {\displaystyle P} 가 M {\displaystyle M} 의 기수를 보존한다(영어: preserves cardinals of M {\displaystyle M} )고 한다.:206, Definition VII.5.6 임의의 포괄적 순서 아이디얼 G ⊆ P {\displaystyle G\subseteq P} 및 순서수 α ∈ Ord ∩ M {\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} \cap M} 에 대하여, M ⊨ ( α ∈ Card ) ⟺ M [ G ] ⊨ ( α ∈ Card ) {\displaystyle M\models (\alpha \in \operatorname {Card} )\iff M[G]\models (\alpha \in \operatorname {Card} )} 이다. 만약 다음 조건이 성립한다면, P {\displaystyle P} 가 M {\displaystyle M} 의 공종도를 보존한다(영어: preserves cofinalities in M {\displaystyle M} )고 한다.:206, Definition VII.5.6 임의의 포괄적 순서 아이디얼 G ⊆ P {\displaystyle G\subseteq P} 및 두 순서수 α , β ∈ Ord ∩ M {\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {Ord} \cap M} 에 대하여, M ⊨ ( cf ⁡ α = β ) ⟺ M [ G ] ⊨ ( cf ⁡ α = β ) {\displaystyle M\models (\operatorname {cf} \alpha =\beta )\iff M[G]\models (\operatorname {cf} \alpha =\beta )} 이다. (여기서 cf {\displaystyle \operatorname {cf} } 는 순서수의 공종도를 뜻한다.) 그렇다면, 임의의 P ∈ M {\displaystyle P\in M} 에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.:207, Lemma VII.5.8, Theorem VII.5.10 ( M ⊨ {\displaystyle M\models } ( P {\displaystyle P} 는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒ P {\displaystyle P} 는 M {\displaystyle M} 의 공종도를 보존한다 ⇒ P {\displaystyle P} 는 M {\displaystyle M} 의 기수를 보존한다 ( P , ≤ ) = ( Bor ⁡ ( [ 0 , 1 ] ) , ⊇ ) {\displaystyle (P,\leq )=(\operatorname {Bor} ([0,1]),\supseteq )} 라고 하자. 여기서 Bor ⁡ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \operatorname {Bor} ([0,1])} 은 단위 구간 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 위의, 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족이다. ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 는 최소 원소 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 을 갖는 부분 순서 집합이다. 이 경우, 포괄적 필터 G {\displaystyle G} 는 P ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {P}}([0,1])} 속의 필터 기저로서 어떤 실수 r {\displaystyle r} 로 수렴하게 된다. lim G = r ∈ [ 0 , 1 ] ∖ V {\displaystyle \lim G=r\in [0,1]\setminus V} 이 경우, V [ r ] {\displaystyle V[r]} 는 무작위 강제법(영어: random forcing)이라고 한다. 기수 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, Pfn ⁡ ( X , Y ; κ ) {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )} 가 정의역의 크기가 κ {\displaystyle \kappa } 미만인 부분 정의 함수 X → Y {\displaystyle X\to Y} 들의 부분 순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 보일 수 있다. 강제법을 사용하여, 집합론의 여러 명제들이 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이라는 것을 보일 수 있다. 연속체 가설이나 구성 가능성 공리가 그 대표적인 예이다. 또한 강제법과 내부 모형을 이용하면 선택 공리의 독립성 또한 보일 수 있다. 계산 가능성 이론에서도 강제법이 응용된다. 폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 도입하였다. 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 분기 강제법(分岐強制法, 영어: ramified forcing)이라고 불린다. 이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다.:163, §7 이 기법은 조지프 로버트 숀필드가 정리하여 비분기 강제법(非分岐強制法, 영어: unramified forcing)이라는 이름으로 1971년에 출판하였다. 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다. 1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다. 이름 (강제법) Jech, Thomas (2008년 6월). “What is … forcing?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 55 (6): 692–693. 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