모듈러성 정리

대수기하학과 수론에서 모듈러성 정리(영어: modularity theorem) 또는 다니야마-시무라-베유 추측(영어: Taniyama–Shimura-Weil conjecture)은 타원곡선과 고전 모듈러 곡선의 관계에 대한 정리다. 모듈러성 정리는 다음과 같다. 모든 유리 타원곡선은 정수 계수 유리 함수를 통한 모듈러 곡선 X 0 ( N ) {\displaystyle X_{0}(N)} 의 상으로 나타낼 수 있다. 여기서 X 0 ( N ) {\displaystyle X_{0}(N)} 은 합동 부분군 Γ 0 ( N ) {\displaystyle \Gamma _{0}(N)} 에 대한 콤팩트 모듈러 곡선이고, N {\displaystyle N} 은 타원곡선에 따라 다른 양의 정수다. 모듈러성 정리에 의해 해석학적인 다음 성질이 성립한다. 유리 타원 곡선 E / Q {\displaystyle E/\mathbb {Q} } 의 하세-베유 L-함수 L ( s , E ) = ∑ n = 1 ∞ a n / n s {\displaystyle L(s,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}/n^{s}} 가 주어지면, 그 계수로부터 다음과 같은 생성함수를 정의할 수 있다. f ( τ , E ) = ∑ n = 1 ∞ a n exp ⁡ ( 2 π i n τ ) {\displaystyle f(\tau ,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\exp(2\pi in\tau )} 그렇다면, 모듈러성 정리에 따라서 f {\displaystyle f} 는 무게(weight)가 2이고 준위(level)가 N인 모듈러 형식이다. 또한, 이 모듈러 형식은 모든 헤케 연산자(영어판)에 대한 고유 형식이다. 다니야마 유타카가 1956년 (약간의 오류를 포함한 형태로) 추측하였다. 그 뒤 다니야마와 시무라 고로는 이 추측을 계속 연구하여, 1957년 엄밀한 형태의 추측을 발표하였다. 1967년 앙드레 베유가 독자적으로 이 추측을 발견하였고, 이 추측은 "다니야먀-시무라(-베유) 추측"으로 알려지게 되었다. 1986년 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)가 모듈러성 정리(당시 다니야마-시무라 추측)을 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있을 수 있다고 추측하면서, 이 추측이 주목받기 시작했다. 1995년 앤드루 와일스와 리처드 로런스 테일러가 준안정(semistable) 타원곡선에 대하여 모듈러성 정리를 증명하였다. 이를 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다. 와일스의 증명을 기반으로 하여, 프레드 다이아몬드(영어판), 크리스토프 브뢰이(영어판), 브라이언 콘래드(영어판), 리처드 로런스 테일러가 모듈러성 정리 전체를 증명하였다. Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Weil, André (1967). “Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 168: 149–156. doi:10.1007/BF01361551. ISSN 0025-5831. MR 0207658.  Frey, Gerhard (1986). “Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations”. 《Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae》 1 (1): iv+40. ISSN 0933-8268. MR 853387.  Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's last theorem”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 141 (3): 443–551. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118559. MR 1333035.  Taylor, Richard; Andrew Wiles (1995). “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 141 (3): 553–572. doi:10.2307/2118560. ISSN 0003-486X. MR 1333036.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Diamond, Fred (1996). “On deformation rings and Hecke rings”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 144 (1): 137–166. doi:10.2307/2118586. ISSN 0003-486X. MR 1405946.  Conrad, Brian; Fred Diamond, Richard Taylor (1999). “Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 12 (2): 521–567. doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8. ISSN 0894-0347. MR 1639612.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Breuil, Christophe; Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor (2001). “On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 14 (4): 843–939. doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8. ISSN 0894-0347. MR 1839918.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Darmon, Henri (1999). “A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (11): 1397–1401. ISSN 0002-9920. MR 1723249.  Lang, Serge (1995). “Some history of the Shimura–Taniyama conjecture” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 42 (11): 1301–1307.  Gouvêa, Fernando Q. (1994). ““A marvelous proof””. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 101 (3): 203–222. doi:10.2307/2975598. JSTOR 2975598.  Mazur, B. (1991). “Number theory as gadfly”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 98 (7): 593–610. doi:10.2307/2324924. JSTOR 2324924.  Darmon, H. (2001). “Shimura-Taniyama conjecture”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Taniyama-Shimura Conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  박지훈 (2010년 9월 1일). “갈루아 표현, 보형 형식 그리고 시무라 다양체: 대수ㆍ해석ㆍ기하의 연결고리를 찾아서” (264). 포항공대신문.  이철희. “타니야마-시무라 추측(정리)”. 《수학노트》.