형식적 스킴

대수기하학에서 형식적 스킴(形式的scheme, 영어: formal scheme)은 스스로의 ‘무한소 근방’의 데이터를 기억하는, 스킴의 개념의 일반화이다.:190–200, §Ⅱ.9 뇌터 가환환 A {\displaystyle A} 의 아이디얼 I ⊆ A {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완비화 A ^ = lim ← ⁡ A / I n {\displaystyle {\hat {A}}=\varprojlim A/{\mathfrak {I}}^{n}} 을 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 환 준동형들이 존재한다. 0 = A / I 0 ← A / I ← A / I 2 ← ⋯ ← A ^ ← A {\displaystyle 0=A/{\mathfrak {I}}^{0}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}^{2}\leftarrow \dotsb \leftarrow {\hat {A}}\leftarrow A} 이 경우, 환의 스펙트럼을 취하자. Spec ⁡ ( A / I ) ← Spec ⁡ ( A / I 2 ) ← ⋯ ← Spec ⁡ A ^ ← Spec ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}})\leftarrow \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{2})\leftarrow \dotsb \leftarrow \operatorname {Spec} {\hat {A}}\leftarrow \operatorname {Spec} A} Spec ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Spec} A} 를 제외하면, 나머지는 모두 위상 동형이다. (물론, 이들은 환 달린 공간으로서 서로 다르다.) 이 경우, 환 달린 공간 Spf ⁡ A ^ {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}} 를 다음과 같이 정의하자. 위상 공간으로서 Spf ⁡ A ^ {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}} 는 (임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여) Spec ⁡ ( A / i n ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}}^{n})} 과 위상 동형이다. Spf ⁡ A ^ {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}} 의 구조층은 가환환층의 사영 극한 lim ← n ⁡ O Spec ⁡ ( A / I n ) {\displaystyle \varprojlim _{n}{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{n})}} 이다. 이 구성은 A {\displaystyle A} 와 I {\displaystyle {\mathfrak {I}}} 에 의존하는 것처럼 보이지만, 사실 이는 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 의 위상환 구조에만 의존한다. 즉, A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 와 동형인 위상환을 정의하는 ( A , I ′ ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {I}}')} 을 사용하더라도 동형인 환 달린 공간을 얻는다. 형식적 스킴은 임의의 점이 아핀 형식적 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는 환 달린 공간이다. (즉, 아핀 형식적 스킴과 형식적 스킴의 관계는 아핀 스킴과 스킴의 관계, 또는 유클리드 공간과 매끄러운 다양체의 관계와 같다.) 뇌터 위상환 A ^ = lim ← n → ∞ ⁡ A / I n {\displaystyle {\hat {A}}=\varprojlim _{n\to \infty }A/{\mathfrak {I}}^{n}} 은 자연스럽게 기저 { a + I n : a ∈ A ^ , n ∈ N } {\displaystyle \{a+{\mathfrak {I}}^{n}\colon a\in {\hat {A}},\;n\in \mathbb {N} \}} 를 갖는 위상을 가져 위상환을 이룬다. 이 경우, Spf ⁡ A ^ {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}} 의 점들은 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 의 소 아이디얼 가운데 열린집합인 것들이다. 또한, 정의에 따라 임의의 열린집합 U ⊆ Spf ⁡ A ^ {\displaystyle U\subseteq \operatorname {Spf} {\hat {A}}} 에 대하여, Γ ( U , O Spf ⁡ A ^ ) = lim ← n → ∞ ⁡ Γ ( U , O Spec ⁡ ( A / I n ) ) {\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spf} {\hat {A}}})=\varprojlim _{n\to \infty }\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{n})})} 이다. 자명환 0 {\displaystyle 0} 은 (이산 공간으로) 위상환을 이루며, 이 위상은 영 아이디얼 ( 0 ) {\displaystyle (0)} 으로 정의된다. 그 형식적 스펙트럼은 공집합이다. Spf ⁡ 0 = ∅ {\displaystyle \operatorname {Spf} 0=\varnothing } 뇌터 가환환 K {\displaystyle K} 가 주어졌을 때, 다항식환 A = K [ x ] {\displaystyle A=K[x]} 의 아이디얼 I = ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {I}}=(x)} 에 대한 완비화는 형식적 멱급수환이다. lim ← n → ∞ ⁡ K [ x ] / ( x n ) = K [ [ x ] ] {\displaystyle \varprojlim _{n\to \infty }K[x]/(x^{n})=K[[x]]} 위상환으로서, 이는 이산 공간으로 간주한 K {\displaystyle K} 의 가산 무한 곱집합과 위상 동형이다. 이에 대한 형식적 스펙트럼 Spf ⁡ K [ [ x ] ] {\displaystyle \operatorname {Spf} K[[x]]} 을 취할 수 있다. 이제 추가로 K {\displaystyle K} 가 체라고 가정하자. 그 소 아이디얼들은 Spec ⁡ K [ [ x ] ] = { ( x ) , ( 0 ) } {\displaystyle \operatorname {Spec} K[[x]]=\{(x),(0)\}} 이다. 이 가운데 열린집합인 것(즉, 완비화를 정의하는 아이디얼 ( x ) {\displaystyle (x)} 를 부분 집합으로 포함하는 것)은 ( x ) {\displaystyle (x)} 자체 밖에 없다. 즉, Spf ⁡ K [ [ x ] ] = { ( x ) } {\displaystyle \operatorname {Spf} K[[x]]=\{(x)\}} 는 한원소 집합이다. 그 위의 구조층의 단면 대수는 정의에 따라서 Γ ( O Spf ⁡ K [ [ x ] ] ) = K [ [ x ] ] {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}_{\operatorname {Spf} K[[x]]})=K[[x]]} 이다. 임의의 가환환 R {\displaystyle R} 을 이산 공간으로 간주할 수 있다. 이는 영 아이디얼에 대한 완비화로 생각할 수 있다. 만약 R {\displaystyle R} 가 이산 뇌터 가환환이라면, 그 형식적 스펙트럼은 스펙트럼과 (환 달린 공간으로서) 같다. 보다 일반적으로, 모든 국소 뇌터 스킴은 형식적 스킴을 이룬다. 다음이 주어졌다고 하자. 국소 뇌터 스킴 X {\displaystyle X} 아이디얼층 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 로 정의되는 닫힌 부분 스킴 Y ↪ X {\displaystyle Y\hookrightarrow X} 그렇다면, Y {\displaystyle Y} 의 위상 공간 위에 다음과 같은 가환환층을 부여할 수 있다.:192, §Ⅱ.9 O Y ^ = lim ← n → ∞ ⁡ O X / I n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\hat {Y}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {I}}^{n}} 그렇다면 Y ^ = ( Y , O Y ^ ) {\displaystyle {\hat {Y}}=(Y,{\mathcal {O}}_{\hat {Y}})} 는 형식적 스킴을 이룬다. 이를 X {\displaystyle X} 의 Y {\displaystyle Y} 근처의 형식적 완비화(영어: formal completion of X {\displaystyle X} along Y {\displaystyle Y} )라고 한다. 물론, 이 경우 I = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}=0} (즉, X = Y {\displaystyle X=Y} )로 놓으면, 원래 스킴 X {\displaystyle X} 를 얻는다.:Example 9.3.3 오스카 자리스키가 1949년에 “형식적 정칙 함수”의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 형식적 완비화의 구조층의 단면에 해당한다.) 이후 자리스키의 개념을 알렉산더 그로텐디크가 스킴의 언어로 재정의하여 형식적 스킴의 개념을 정의하였다. 변형 함자 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.  Zariski, Oscar (1949). “A fundamental lemma from the theory of holomorphic functions on an algebraic variety”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (영어) 29: 187–198. MR 0041488.  Zariski, Oscar (1951). “Theory and applications of holomorphic functions on algebraic varieties over arbitrary ground fields”. Memoirs of the American Mathematical Society (영어) 5. doi:10.1090/memo/0005. MR 0041487.  “Formal scheme”. 《nLab》 (영어).  “Formal spectrum”. 《nLab》 (영어).