심플렉틱 군

군론에서 심플렉틱 군(-群, 영어: symplectic group) 또는 사교군(斜交群)은 고전적 행렬 리 군의 하나다. K {\displaystyle K} 가 체라고 하자. 다음과 같은 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 행렬을 정의하자. Ω = ( 0 1 n × n − 1 n × n 0 ) ∈ GL ⁡ ( 2 n ; K ) {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} (2n;K)} 여기서 1 n × n {\displaystyle 1_{n\times n}} 은 n × n {\displaystyle n\times n} 단위 행렬이다. 그렇다면 Sp ⁡ ( 2 n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;K)} 는 M ⊤ Ω M = Ω {\displaystyle M^{\top }\Omega M=\Omega } 를 만족하는 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 행렬 M {\displaystyle M} 들의 곱셈군이다. 즉, Sp ⁡ ( 2 n ; K ) = { M ∈ GL ⁡ ( 2 n ; K ) | M ⊤ Ω M = Ω } {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;K)=\{M\in \operatorname {GL} (2n;K)|M^{\top }\Omega M=\Omega \}} . 이 성질을 만족하는 행렬을 심플렉틱 행렬이라고 한다. 유니터리 심플렉틱 군 USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 은 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 유니터리 심플렉틱 복소수 행렬의 리 군이다. 즉, USp ⁡ ( 2 n ) = U ⁡ ( 2 n ) ∩ Sp ⁡ ( 2 n , C ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)=\operatorname {U} (2n)\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )} 이다. 간혹 USp(2n)을 Sp(n)으로 쓰기도 한다. 하지만 이는 Sp(n,F)와 다른 군이다. 유니터리 심플렉틱 군 USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 은 사원수의 유니터리 군과 같다. USp ⁡ ( 2 n ) ≅ U ⁡ ( n ; H ) = { M ∈ GL ⁡ ( n ; H ) : M − 1 = M † } {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)\cong \operatorname {U} (n;\mathbb {H} )=\{M\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )\colon M^{-1}=M^{\dagger }\}} Sp ⁡ ( 2 n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )} 에 대응하는 리 대수 s p ( 2 n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )} 는 해밀턴 행렬(영어: Hamiltonian matrix), 즉 Ω M {\displaystyle \Omega M} 이 대칭 행렬인 행렬 M {\displaystyle M} 들로 구성된다. s p ( 2 n ; R ) = { M ∈ g l ( 2 n ; R ) : Ω M = ( Ω M ) ⊤ } {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )=\{M\in {\mathfrak {gl}}(2n;\mathbb {R} )\colon \Omega M=(\Omega M)^{\top }\}} 복소수체의 경우에도 마찬가지이다. s p ( 2 n ; C ) = { M ∈ g l ( 2 n ; C ) : Ω M = ( Ω M ) ⊤ } {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {C} )=\{M\in {\mathfrak {gl}}(2n;\mathbb {C} )\colon \Omega M=(\Omega M)^{\top }\}} 유니터리 심플렉틱 군의 리 대수 u s p ( 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2n)} 는 n × n {\displaystyle n\times n} 사원수 반에르미트 행렬로 구성된다. 또한, 이는 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 복소수 에르미트 행렬이자 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 해밀턴 행렬인 것들로 구성할 수도 있다. u s p ( 2 n ) = { M ∈ g l ( n ; H ) : M = − M † } ≅ s p ( 2 n ; C ) ∩ u ( 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2n)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {H} )\colon M=-M^{\dagger }\}\cong {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {C} )\cap {\mathfrak {u}}(2n)} USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 의 중심은 다음과 같다. Z ⁡ ( USp ⁡ ( 2 n ) ) = { ± 1 2 n × 2 n } ≅ Z / 2 {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {USp} (2n))=\{\pm 1_{2n\times 2n}\}\cong \mathbb {Z} /2} 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아닐 경우, Sp ⁡ ( 2 n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;K)} 의 중심은 다음과 같다. Z ⁡ ( Sp ⁡ ( 2 n ; K ) ) = { ± 1 2 n × 2 n } ≅ Z / 2 {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Sp} (2n;K))=\{\pm 1_{2n\times 2n}\}\cong \mathbb {Z} /2} 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2일 경우, Sp ⁡ ( 2 n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;K)} 의 중심은 자명군이다. (유니터리) 심플렉틱 군의 중심에 대한 몫군은 사영 (유니터리) 심플렉틱 군(영어: projective (unitary) symplectic group)이라고 한다. Sp ⁡ ( 2 n ; K ) / Z ⁡ ( Sp ⁡ ( 2 n ; K ) ) = PSp ⁡ ( 2 n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;K)/\operatorname {Z} (\operatorname {Sp} (2n;K))=\operatorname {PSp} (2n;K)} USp ⁡ ( 2 n ) / Z ⁡ ( USp ⁡ ( 2 n ) ) = PUSp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)/\operatorname {Z} (\operatorname {USp} (2n))=\operatorname {PUSp} (2n)} 유한체에 대한 심플렉틱 군의 크기는 다음과 같다. | Sp ⁡ ( 2 n ; F q ) | = q n 2 ∏ k = 1 n ( q 2 k − 1 ) {\displaystyle |\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {F} _{q})|=q^{n^{2}}\prod _{k=1}^{n}(q^{2k}-1)} 심플렉틱 군 Sp ⁡ ( 2 n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )} 는 계수가 n {\displaystyle n} 인 단순 리 군이며, 단순 리 군의 분류에서 C n {\displaystyle C_{n}} 에 해당한다. 그 콤팩트 실수 형태는 USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 이며, 분해 실수 형태는 Sp ⁡ ( 2 n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )} 이다. Sp ⁡ ( 2 n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )} 의 딘킨 도표는 다음과 같다. ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⇐ ∙ ⏞ n {\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Leftarrow \bullet } ^{n}} Sp ⁡ ( 2 n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )} 의 최대 콤팩트 부분군은 유니터리 군 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 이다. USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 을 n × n {\displaystyle n\times n} 사원수 유니터리 행렬들의 군으로 생각한다면, USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 의 극대 원환면은 다음과 같다. { diag ⁡ ( λ 1 , … , λ n ) : λ 1 , … , λ n ∈ C ⊂ H , | λ 1 | = ⋯ = | λ n | = 1 } {\displaystyle \{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\colon \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in \mathbb {C} \subset \mathbb {H} ,\,|\lambda _{1}|=\cdots =|\lambda _{n}|=1\}} 위 식에서는 사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 속에서, 복소수체와 동형인 부분 대수를 임의로 골랐다. 이러한 부분 대수로는 R + R i {\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} i} 또는 R + R j {\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} j} 또는 R + R k {\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} k} 따위를 사용할 수 있다. USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 의 바일 군은 다음과 같으며, 이는 SO ⁡ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2n+1)} 의 바일 군과 같다. Weyl ⁡ ( USp ⁡ ( 2 n ) ) ≅ ( Z / 2 ) n ⋊ Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {USp} (2n))\cong (\mathbb {Z} /2)^{n}\rtimes \operatorname {Sym} (n)} 이는 구체적으로 다음과 같이 작용한다. 각 ϵ i ∈ { ± 1 } {\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\}} 는 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 를 + 1 : λ i ↦ λ i {\displaystyle +1\colon \lambda _{i}\mapsto \lambda _{i}} − 1 : λ i ↦ λ ¯ i {\displaystyle -1\colon \lambda _{i}\mapsto {\bar {\lambda }}_{i}} 와 같이 대응시키며, σ ∈ Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (n)} 은 극대 원환면의 기저에 대하여 순열로 작용한다. 복소수 심플렉틱 군 Sp ⁡ ( 2 n ; C ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )} 은 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle n(2n+1)} 복소수 차원의 연결 단일 연결 리 군이다. 이는 콤팩트하지 않으며, 다음과 같은 위상 동형이 존재한다. Sp ⁡ ( 2 n ; C ) ≅ USp ⁡ ( 2 n ) × R 2 n 2 + n {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )\cong \operatorname {USp} (2n)\times \mathbb {R} ^{2n^{2}+n}} 실수 심플렉틱 군 Sp ⁡ ( 2 n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )} 은 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle n(2n+1)} (실수) 차원의 연결 리 군이며, 이는 콤팩트하지 않는다. 또한, 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다. Sp ⁡ ( 2 n , R ) ≃ S 1 × SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\simeq \mathbb {S} ^{1}\times \operatorname {SU} (n)} 따라서, 그 기본군은 다음과 같다. π 1 ( Sp ⁡ ( 2 n ; R ) ) ≅ Z {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} ))\cong \mathbb {Z} } 이에 따라 두 겹 피복군을 취하면 메타플렉틱 군(영어: metaplectic group) 1 → Z / 2 → Mp ⁡ ( 2 n ) → Sp ⁡ ( 2 n ; R ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Mp} (2n)\to \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )\to 1} 을 얻는다. 유니터리 심플렉틱 군 USp ⁡ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 은 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle n(2n+1)} (실수) 차원의 콤팩트 연결 단일 연결 리 군이다. 유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 가진다. USp ⁡ ( 2 n ) ⊃ USp ⁡ ( 2 n − 2 ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)\supset \operatorname {USp} (2n-2)} SU ⁡ ( 2 n ) ⊃ USp ⁡ ( 2 n ) ⊃ SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {USp} (2n)\supset \operatorname {SU} (n)} F 4 ⊃ USp ⁡ ( 8 ) {\displaystyle F_{4}\supset \operatorname {USp} (8)} G 2 ⊃ USp ⁡ ( 2 ) {\displaystyle G_{2}\supset \operatorname {USp} (2)} . 낮은 차수의 유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다. USp ⁡ ( 2 ) ≅ Spin ⁡ ( 3 ) ≅ SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)} PUSp ⁡ ( 2 ) ≅ PSU ⁡ ( 2 ) ≅ SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {PUSp} (2)\cong \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)} Sp ⁡ ( 2 ; R ) ≅ SL ⁡ ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} PSp ⁡ ( 2 ; R ) ≅ PSL ⁡ ( 2 ; R ) ≅ Spin + ⁡ ( 2 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {PSp} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)} USp ⁡ ( 4 ) ≅ Spin ⁡ ( 5 ) {\displaystyle \operatorname {USp} (4)\cong \operatorname {Spin} (5)} PUSp ⁡ ( 4 ) ≅ SO ⁡ ( 5 ) {\displaystyle \operatorname {PUSp} (4)\cong \operatorname {SO} (5)} Sp ⁡ ( 4 ; R ) ≅ Spin ⁡ ( 3 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (3,2)} PSp ⁡ ( 4 ; R ) ≅ SO ⁡ ( 3 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} (3,2)} 복소군의 경우 이는 해당 딘킨 도표로부터 쉽게 알 수 있다. 모든 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 다음과 같은 동형이 성립한다. Sp ⁡ ( 2 ; K ) = SL ⁡ ( 2 ; K ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2;K)=\operatorname {SL} (2;K)} 유한체에 대한 심플렉틱 군의 경우 다음과 같은 동형이 존재한다. Sp ⁡ ( 2 ; F 2 ) ≅ Sym ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)} Sp ⁡ ( 4 ; F 2 ) ≅ Sym ⁡ ( 6 ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (6)} PSp ⁡ ( 2 ; F 3 ) ≅ Alt ⁡ ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {PSp} (2;\mathbb {F} _{3})\cong \operatorname {Alt} (4)} 여기서 Sym ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 및 Alt ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (n)} 은 각각 대칭군과 교대군을 뜻한다. 심플렉틱 군은 닐스 헨리크 아벨이 도입하였다. "심플렉틱 군"이라는 이름은 헤르만 바일이 1939년에 도입하였다. 이 책에서 바일은 다음과 같이 적었다. 이 어원에 대하여 다른 저자는 다음과 같이 적었다. Weyl, Hermann (1939). 《The classical groups: their invariants and representations》 (영어). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05756-9. MR 0000255.  Cannas da Silva, Anna (2001). 《Lectures on Symplectic Geometry》 (PDF). Lecture Notes in Mathematics (영어) 1764. Springer. doi:10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5. ISSN 0075-8434.  Fulton, William; Joe Harris (1991). 《Representation theory. A first course》. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129. New York: Springer. ISBN 978-0-387-97495-8.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Goodman, Roe; Nolan R. Wallach (2009). 《Symmetry, Representations, and Invariants》. Graduate Texts in Mathematics 255. New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-79852-3. ISBN 978-0-387-79851-6.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Grove, Larry C. (2002). 《Classical Groups and Geometric Algebra》. Graduate Studies in Mathematics 39. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2019-3.  O’Meara, Onorato Timothy (1978). 《Symplectic groups》. Mathematical Surveys (영어) 16. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1516-8.  “Symplectic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. 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