체바 직선

기하학에서 체바 선(영어: cevian (line))은 삼각형의 각 꼭짓점과 대변의 직선 위의 점을 잇는 선분이다.:4, §1.2:13, §1; 137, §12 삼각형의 한 꼭짓점과 대변의 직선 위의 점을 잇는 선분을 이 삼각형의 체바 선이라고 한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 내접 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 가 주어졌다고 하자. 만약 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 체바 선 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 공점선을 이룬다면, 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 를 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 체바 삼각형(영어: Cevian triangle)이라고 한다. 점 P {\displaystyle P} 가 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원 위의 점이 아니라고 하자. 만약 P {\displaystyle P} 의 수족 삼각형이 체바 삼각형이라면, 점 P {\displaystyle P} 를 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 수족-체바 점(영어: pedal-cevian point)이라고 한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 체바 선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 체바 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 는 공점선이거나 평행선이다. A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 체바 선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 는 공선점이다. A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E B = − 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}=-1} 이 두 정리에서 각 비율은 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양의 부호를, 방향이 반대일 경우 음의 부호를 가지며, 절댓값은 두 유향 선분의 길이의 비율과 같다. 체바 정리의 조건을 만족시키려면 삼각형의 변의 연장선 위의 점인 체바 선의 발의 수는 짝수이어야 하며, 메넬라오스 정리의 조건을 만족시키려면 이는 홀수이어야 한다. 삼각형의 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점을 지나는 체바 선 A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} , C F {\displaystyle CF} 가 삼각형 내부의 점 P {\displaystyle P} 를 지난다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 부등식들이 성립한다. A P P D + B P P E + C P P F ≥ 6 {\displaystyle {\frac {AP}{PD}}+{\frac {BP}{PE}}+{\frac {CP}{PF}}\geq 6} A P P D ⋅ B P P E ⋅ C P P F ≥ 8 {\displaystyle {\frac {AP}{PD}}\cdot {\frac {BP}{PE}}\cdot {\frac {CP}{PF}}\geq 8} A D P D ⋅ B E P E ⋅ C F P F ≥ 27 {\displaystyle {\frac {AD}{PD}}\cdot {\frac {BE}{PE}}\cdot {\frac {CF}{PF}}\geq 27} A D A P + B E B P + C F C P ≥ 9 2 {\displaystyle {\frac {AD}{AP}}+{\frac {BE}{BP}}+{\frac {CF}{CP}}\geq {\frac {9}{2}}} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 체바 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 각 꼭짓점을 원래 삼각형의 각 변의 중점에 대하여 반사하여 얻는 점을 D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 이라고 하자. 그렇다면 삼각형 D ′ E ′ F ′ {\displaystyle D'E'F'} 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.:141, §12.3, Theorem 1 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 체바 삼각형 D E F {\displaystyle DEF} 의 외접원과 원래 삼각형의 각 변의 직선의 (중복도를 감안한) 총 6개의 교점 가운데 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 가 아닌 것들을 D ″ {\displaystyle D''} , E ″ {\displaystyle E''} , F ″ {\displaystyle F''} 이라고 하자. 그렇다면 삼각형 D ″ E ″ F ″ {\displaystyle D''E''F''} 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.:141, §12.3, Theorem 2 삼각형의 수족-체바 점의 등각 켤레점은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.:143, §12.3, Theorem 3 삼각형의 수족-체바 점에 외심에 대한 반사를 가하여 얻는 점은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.:143, §12.3, Theorem 4 외심의 수족 삼각형은 중점 삼각형이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 중선이며, 이들은 무게 중심에서 만난다. 따라서, 중점 삼각형은 체바 삼각형이며, 외심은 무게 중심에 대한 수족-체바 점이다.:142, §12.3 수심의 수족 삼각형은 수심 삼각형이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 높이이며, 이들은 수심에서 만난다. 따라서, 수심 삼각형은 체바 삼각형이며, 수심은 스스로에 대한 수족-체바 점이다.:142, §12.3 내심의 수족 삼각형은 제르곤 삼각형이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 제르곤 점에서 만난다. 따라서, 제르곤 삼각형은 체바 삼각형이며, 내심은 제르곤 점에 대한 수족-체바 점이다.:142, §12.3 이탈리아의 수학자 조반니 체바의 이름을 땄다. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal-Cevian point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.