연속 쌍대 공간

함수해석학에서 연속 쌍대 공간(連續雙對空間, 영어: continuous dual space)은 주어진 위상 벡터 공간 위의 연속 선형 범함수들로 구성된 벡터 공간이다. 그 위에 다양한 위상을 부여할 수 있다. 이는 유한 차원의 경우 (대수적) 쌍대 공간과 일치하나, 무한 차원일 경우 대수적 쌍대 공간의 부분 집합이다. 위상환 K {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 K V {\displaystyle _{K}V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, V {\displaystyle V} 의 연속 쌍대 가군(連續雙對加群, 영어: continuous dual module) V ∗ {\displaystyle V^{*}} 는 쌍대 가군 V ∨ = hom ⁡ ( K V , K K ) {\displaystyle V^{\vee }=\hom(_{K}V,_{K}K)} 가운데, 연속 함수 f : V → K {\displaystyle f\colon V\to K} 를 이루는 것들의 부분 집합이다.:48, §II.4:129, §V.1 이는 자연스럽게 K {\displaystyle K} -위상 오른쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로 위상 오른쪽 가군의 연속 쌍대 가군을 정의할 수 있으며, 이는 위상 왼쪽 가군을 이룬다. 만약 K {\displaystyle K} 가 위상체라면, 그 위의 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 가군은 연속 쌍대 공간이라고 한다. 연속 쌍대 공간 위에는 흔히 강한 위상과 약한-* 위상이라는 두 위상이 사용된다. 강한 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 (유계 집합에 제한되었을 때) 균등 연속 함수를 이룬다. 약한-* 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 연속 함수를 이룬다. 보통, 특별한 부가 설명이 없다면 강한 위상을 의미한다. 만약 어떤 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 가 어떤 위상 벡터 공간 W {\displaystyle W} 의 (강한 위상을 부여한) 연속 쌍대 공간 W ′ {\displaystyle W'} 과 동형이라면, W {\displaystyle W} 를 V {\displaystyle V} 의 원쌍대 공간(原雙對空間, 영어: predual space)이라고 한다. 원쌍대 공간은 유일하지 않을 수 있으며, 존재하지 않을 수도 있다. 위상환 K {\displaystyle K} 은 (덧셈에 대하여 아벨 위상군이므로) 자연스럽게 균등 공간을 이룬다. V {\displaystyle V} 의 유계 집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 이다. 임의의 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 의 근방 N ∋ 0 {\displaystyle N\ni 0} 에 대하여, B ⊆ α N {\displaystyle B\subseteq \alpha N} 이 되는 α ∈ K {\displaystyle \alpha \in K} 가 존재한다. V {\displaystyle V} 의 유계 집합들의 족 Born ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Born} (V)} 은 V {\displaystyle V} 의 덮개를 이룬다. 그렇다면, 덮개 Born ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Born} (V)} 에 대한, 함수 공간 K V {\displaystyle K^{V}} 위의 균등 수렴 위상을 정의할 수 있다. 연속 쌍대 가군 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위의 강한 위상은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 즉, 유계 집합 B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} 에 제한하였을 때 그 원소들 { ϕ ↾ B : ϕ ∈ V ∗ } {\displaystyle \{\phi \upharpoonright B\colon \phi \in V^{*}\}} 이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 엉성한 위상이다. 만약 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 이며 V {\displaystyle V} 가 노름 공간이라면, V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 거리 위상과 같다. 연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상 대신 약한-* 위상(弱한-* 位相, 영어: weak-* topology, "약한-스타 위상"으로 읽음)을 부여할 수 있다. (이 이름은 원래 위상 가군 위의 약한 위상과 구별하기 위한 것이다.) 구체적으로, 위상환 K {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 K V {\displaystyle _{K}V} 이 주어졌다고 하자. 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상 ι : V → V ∗ ∗ {\displaystyle \iota \colon V\to V^{**}} ι : v ↦ ( ϕ ↦ ϕ ( v ) ) {\displaystyle \iota \colon v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))} 을 생각하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위의 약한-* 위상은 범함수족 { ι ( v ) : v ∈ V } {\displaystyle \{\iota (v)\colon v\in V\}} 로 생성되는 시작 위상이다. 즉, 구체적으로 모든 열린집합 U ⊂ K {\displaystyle U\subset K} 와 모든 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대하여 v − 1 ( U ) = { ϕ ∈ V ∨ : ϕ ( v ) ∈ U } ⊂ V ∨ {\displaystyle v^{-1}(U)=\{\phi \in V^{\vee }\colon \phi (v)\in U\}\subset V^{\vee }} 꼴의 집합들을 부분 기저로 한다. 약한-* 위상은 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다. 만약 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 이며, ( V , ‖ ‖ V ) {\displaystyle (V,\|\|_{V})} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간이라고 하자. 그렇다면, V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다. ‖ ϕ ‖ V ∗ = sup v ∈ V ‖ v ‖ V ≤ 1 | ϕ ( v ) | {\displaystyle \|\phi \|_{V^{*}}=\sup _{\scriptstyle v\in V \atop \scriptstyle \|v\|_{V}\leq 1}|\phi (v)|} 이를 쌍대 노름(雙對norm, 영어: dual norm)이라고 하며, 이는 작용소 노름의 특수한 경우이다. 이에 따라, ( V ∗ , ‖ ‖ V ∗ ) {\displaystyle (V^{*},\|\|_{V^{*}})} 은 항상 바나흐 공간을 이룬다. 일반적으로 위상환 위의 연속 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 가군의 부분 가군을 이룬다. 즉, 임의의 위상환 K {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 K V {\displaystyle _{K}V} 에 대하여, 연속 쌍대 가군에서 (대수적) 쌍대 가군 V ∨ {\displaystyle V^{\vee }} 으로 가는, 다음과 같은 표준적 단사 K {\displaystyle K} -선형 변환이 존재한다. V ∗ → V ∨ {\displaystyle V^{*}\to V^{\vee }} 그러나 위 사상은 일반적으로 전단사 함수가 아니다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 에 대하여, K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌다고 하자. 만약 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 이 (쌍대 노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이라면, V {\displaystyle V} 역시 (노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 르베그 공간 ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 는 분해 가능 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이지만, 그 연속 쌍대 공간 ℓ ∞ ( K ) {\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )} 는 분해 가능 공간이 아닌 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 에 대하여, K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 와 그 부분 벡터 공간 W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연스러운 제한 사상 ( ↾ W ) : V ∗ ↦ W ∗ {\displaystyle (\upharpoonright W)\colon V^{*}\mapsto W^{*}} ( ↾ W ) : ϕ ↦ ϕ ↾ W {\displaystyle (\upharpoonright W)\colon \phi \mapsto \phi \upharpoonright W} 이 존재한다. 이는 선형 변환이다. 만약 V {\displaystyle V} 가 추가로 K {\displaystyle \mathbb {K} } -국소 볼록 공간이라면, ( ↾ W ) {\displaystyle (\upharpoonright W)} 는 전사 함수이다.:129, Theorem V.3 임의의 위상환 K {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 K V {\displaystyle _{K}V} 에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 연속 선형 변환이 존재한다. V → V ∗ ∗ {\displaystyle V\to V^{**}} v ↦ ( ϕ ↦ ϕ ( v ) ) {\displaystyle v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))} 만약 V {\displaystyle V} 가 하우스도르프 국소 볼록 공간이라면, 이 사상은 단사 함수이다. 만약 V {\displaystyle V} 가 노름 공간이라면, 이 사상은 한-바나흐 정리에 따라서 등거리 변환이다 (그러나 전단사 함수가 아닐 수 있다). 만약 이 사상이 전단사 함수라면, V {\displaystyle V} 를 반사 바나흐 공간(反射Banach空間, 영어: reflexive Banach space)이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.) 바나흐-앨러오글루 정리(-定理, 영어: Banach–Alaoglu theorem)에 따르면, 노름 공간의 연속 쌍대 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상 아래 콤팩트 집합이다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 쌍대 공간 V {\displaystyle V} 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 의 근방 0 ∈ N ⊆ V {\displaystyle 0\in N\subseteq V} 그렇다면, 다음을 구성할 수 있다. V {\displaystyle V} 의 연속 쌍대 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} . 이 역시 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간을 이룬다. 집합 N ∘ = { ϕ ∈ V ∗ : ∀ v ∈ N : | ϕ ( v ) | ≤ 1 } ⊆ V ∗ {\displaystyle N^{\circ }=\{\phi \in V^{*}\colon \forall v\in N\colon |\phi (v)|\leq 1\}\subseteq V^{*}} . V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위에는 쌍대 노름에 대한 거리 위상 대신 약한-* 위상을 부여할 수 있다. 바나흐-앨러오글루-부르바키 정리(-定理, 영어: Banach–Alaoglu–Bourbaki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. N ∘ {\displaystyle N^{\circ }} 에 약한-* 위상을 부여했을 때, 이는 콤팩트 공간을 이룬다. 증명: 다음 위상 공간을 정의하자. D = ∏ v ∈ N { α ∈ K : | α | ≤ 1 } {\displaystyle D=\prod _{v\in N}\{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}} 절댓값이 1 이하인 스칼라들의 공간 { α ∈ K : | α | ≤ 1 } {\displaystyle \{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}} 은 콤팩트 공간이다. 티호노프 정리에 따라서, 그 곱공간 D {\displaystyle D} 역시 콤팩트 공간이다. 이제, N ∘ {\displaystyle N^{\circ }} 는 다음과 같이 D {\displaystyle D} 의 부분 집합으로 여겨질 수 있다. ι : N ∘ → D {\displaystyle \iota \colon N^{\circ }\to D} ι : ϕ ↦ ( ϕ ( v ) ) v ∈ N {\displaystyle \iota \colon \phi \mapsto (\phi (v))_{v\in N}} 즉, ι {\displaystyle \iota } 는 단사 함수이다. (이는 N {\displaystyle N} 이 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 의 근방이기 때문이다.) N ∘ {\displaystyle N^{\circ }} 에 약한-* 위상을 부여한다면, ι {\displaystyle \iota } 는 연속 함수이며, 또한 그 정의역과 치역 사이의 위상 동형을 정의한다. (이는 약한-* 위상의 정의에 의한 것이다.) 이제, ι {\displaystyle \iota } 의 치역이 닫힌집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 그물 I → N ∘ {\displaystyle I\to N^{\circ }} i ↦ ϕ i {\displaystyle i\mapsto \phi _{i}} 의 ι {\displaystyle \iota } 에 대한 상이 극한 lim i ∈ I ( ϕ i ( v ) ) v ∈ N → ( α v ) v ∈ N {\displaystyle \lim _{i\in I}(\phi _{i}(v))_{v\in N}\to (\alpha _{v})_{v\in N}} 을 갖는다면, 이는 (곱위상의 정의에 따라) 대하여 점별 수렴 ∀ v ∈ N : lim i ∈ I ϕ i ( v ) = α v {\displaystyle \forall v\in N\colon \lim _{i\in I}\phi _{i}(v)=\alpha _{v}} 인 것과 동치이며, 이 경우 v ↦ lim i ∈ I ϕ i ( v ) ∈ K {\displaystyle v\mapsto \lim _{i\in I}\phi _{i}(v)\in \mathbb {K} } 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -선형 변환이며, (약한-* 위상의 정의에 따라) 그물 ( ϕ i ) i ∈ I {\displaystyle (\phi _{i})_{i\in I}} 의 약한-* 위상에 대한 극한이다. 그 특수한 경우로, 만약 V {\displaystyle V} 가 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간이며, N = { v ∈ V : ‖ v ‖ V ≤ 1 } {\displaystyle N=\{v\in V\colon \|v\|_{V}\leq 1\}} 이 그 속의 단위 닫힌 공이라고 할 때, N ∘ = { ϕ ∈ V ∗ : ‖ ϕ ‖ V ∗ ≤ 1 } {\displaystyle N^{\circ }=\{\phi \in V^{*}\colon \|\phi \|_{V^{*}}\leq 1\}} 은 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 의 단위 닫힌 공이다. 이에 따라, 노름 공간의 쌍대 노름 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상에서 콤팩트 공간을 이룬다. 이 특수한 경우를 바나흐-앨러오글루 정리라고 한다. 바나흐-앨러오글루(-부르바키) 정리의 증명은 티호노프 정리, 즉 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다. 임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간 ( V , ‖ ‖ V ) {\displaystyle (V,\|\|_{V})} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상 ι : V → V ∗ ∗ {\displaystyle \iota \colon V\to V^{**}} 을 생각하자. 이는 단사 함수이자 등거리 변환이므로, 이 경우, V {\displaystyle V} 의 단위 닫힌 공 cl ⁡ ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))} 의 상은 V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} 의 단위 닫힌 공 cl ⁡ ( ball V ∗ ∗ ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V^{**}}(0,1))} 의 부분 집합이다. 이제, V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} 에 약한-* 위상을 부여했을 때, cl ⁡ ( ball V ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))} 는 cl ⁡ ( ball V ∗ ∗ ⁡ ( 0 , 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V^{**}}(0,1))} 의 조밀 집합이다 (골드스틴 정리 -定理, 영어: Goldstine theorem). 그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다. 반례: K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } 계수 영 수렴 수열 공간 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 의 연속 쌍대 공간은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -계수 1-르베그 공간 ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 이며, ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 의 연속 쌍대 공간은 K {\displaystyle \mathbb {K} } 계수 ∞-르베그 공간 ℓ ∞ ( K ) {\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )} 이다. 이제, ℓ 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {\ell } ^{0}(\mathbb {K} )} 의 닫힌 단위 공 ball ℓ ∞ ⁡ ( K ) ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{\operatorname {\ell } ^{\infty }(\mathbb {K} )}(0,1)} 은 집합으로서 곱집합 { α ∈ K : | α | ≤ 1 } N {\displaystyle \{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}^{\mathbb {N} }} (즉, 모든 성분의 절댓값이 1 이하인 K {\displaystyle \mathbb {K} } -수열)이며, c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 의 닫힌 단위 공 ball c 0 ⁡ ( K ) ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}(0,1)} 은 그 속에서 0으로 수렴하는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -수열들로 구성된 부분 집합이다. 이 경우, (예를 들어) 0이 아닌 다른 값 r {\displaystyle r} 로 수렴하는 수열 α = ( α i ) i ∈ N ∈ ball ℓ 0 ⁡ ( K ) ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \operatorname {ball} _{\operatorname {\ell } ^{0}(\mathbb {K} )}(0,1)} 에 대하여, 반지름 r {\displaystyle r} 의 열린 공 ball ℓ 0 ( C ) ⁡ ( α , r ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{\ell ^{0}(\mathbb {C} )}(\alpha ,r)} 는 ball c 0 ⁡ ( K ) ⁡ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {ball} _{\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}(0,1)} 와 겹치지 않는다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 이고, V = K n {\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}} 이 (곱위상을 갖춘) 유한 차원 위상 벡터 공간이라면, V {\displaystyle V} 의 연속 쌍대 공간은 (대수적) 쌍대 공간과 K {\displaystyle K} -벡터 공간으로서 같다. 그러나 예를 들어 V {\displaystyle V} 가 무한 차원 힐베르트 공간이라면 V {\displaystyle V} 의 대수적 쌍대 공간은 연속 쌍대 공간보다 훨씬 더 크다. 다음과 같은 르베그 공간을 생각하자. ℓ p ( C ) = L p ⁡ ( N ; C ) = { ( a i ) i ∈ N ∈ C N : ∑ i = 0 ∞ | a i | p < ∞ } {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {C} )=\operatorname {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )=\left\{(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}<\infty \right\}} 이 경우, 노름 ‖ a ‖ p = ∑ i = 0 ∞ | a i | p p {\displaystyle \|a\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}}}} 을 부여하면 이는 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } 에 대하여 바나흐 공간을 이룬다. 이 경우, 만약 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1} 이라면, ℓ p ( C ) {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {C} )} 의 연속 쌍대 공간은 ℓ q ( C ) {\displaystyle \ell ^{q}(\mathbb {C} )} 이다. 또한, ℓ 1 ( C ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {C} )} 의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 공간 ℓ ∞ ( C ) = { ( a i ) i ∈ N ∈ C N : sup i ∈ N | a i | < ∞ } {\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {C} )=\left\{(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|<\infty \right\}} 이다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 정의할 수 있다. 수렴 수열 공간 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -수열 가운데 수렴하는 것들의 공간이다. 영 수렴 수열 공간 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } -수열 가운데 0으로 수렴하는 것들의 공간이다. 두 경우 다 부여되는 노름은 ∞-노름 ‖ a ‖ ∞ = sup i ∈ N | a i | {\displaystyle \textstyle \|a\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|} 이다. 이 경우, c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 의 연속 쌍대 공간과 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 의 연속 쌍대 공간 둘 다 1-르베그 공간 ℓ 1 ( K ) {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )} 이다. 그러나 c ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 와 c 0 ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )} 는 서로 ( K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간으로서) 동형이 아니다. 내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 (리스 표현 정리 Riesz表現定理, 영어: Riesz representation theorem). 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle \mathbb {K} } -내적 공간 ( V , ⟨ − , − ⟩ V ) {\displaystyle (V,\langle -,-\rangle _{V})} 그렇다면, V {\displaystyle V} 의 연속 쌍대 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -노름 공간이다. 이 경우, V ∗ {\displaystyle V^{*}} 은 항상 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다. ι : V → V ∗ {\displaystyle \iota \colon V\to V^{*}} ι : v ↦ ⟨ v , − ⟩ {\displaystyle \iota \colon v\mapsto \langle v,-\rangle } 리스 표현 정리에 따르면, 다음이 성립한다. R {\displaystyle \mathbb {R} } -선형 변환이며, 만약 K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 일 경우, 추가로 반선형 변환이다. 즉, ∀ λ ∈ C : ι ( λ v ) = λ ¯ ι ( v ) {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} \colon \iota (\lambda v)={\bar {\lambda }}\iota (v)} 이다. 단사 함수이다. ( V ∗ {\displaystyle V^{*}} 의 쌍대 노름에 대하여) 등거리 변환이다. ι {\displaystyle \iota } 의 치역은 ( V ∗ {\displaystyle V^{*}} 의 쌍대 노름에 대하여) V ∗ {\displaystyle V^{*}} 의 조밀 집합이다. 이에 따라, V {\displaystyle V} 의 내적을 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 위에 연속적으로 연장할 수 있다. ⟨ lim i u i , lim j v j ⟩ V ∗ = lim i , j ⟨ u i , v i ⟩ {\displaystyle \langle \lim _{i}u_{i},\lim _{j}v_{j}\rangle _{V^{*}}=\lim _{i,j}\langle u_{i},v_{i}\rangle } 이에 따라 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 은 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간을 이루며, V {\displaystyle V} 는 그 조밀 집합이다. 특히, V {\displaystyle V} 가 이미 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간일 때, ι {\displaystyle \iota } 는 전단사 함수이며, ι {\displaystyle \iota } 는 스스로의 연속 쌍대 공간과의 반동형 사상(反同型寫像, 영어: anti-isomorphism)을 이룬다. (물론, 만약 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 라면 이는 동형 사상이다.) 특히, K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간은 항상 K {\displaystyle \mathbb {K} } -반사 바나흐 공간이다. 만약 V {\displaystyle V} 가 국소 볼록 공간이라면, 이중 연속 쌍대 공간으로의 표준적 사상 V → V ∗ ∗ {\displaystyle V\to V^{**}} 은 단사 함수이며, 따라서 만약 V ≠ { 0 } {\displaystyle V\neq \{0\}} 라면 V ∗ ≠ { 0 } {\displaystyle V^{*}\neq \{0\}} 이다. 그러나 국소 볼록 공간 조건을 가정하지 않으면, V ≠ { 0 } {\displaystyle V\neq \{0\}} 이지만 V ∗ = { 0 } {\displaystyle V^{*}=\{0\}} 일 수 있다. 구체적으로, 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 이라고 하자. 그렇다면, 구간 위의 p {\displaystyle p} -르베그 공간 L p ⁡ ( [ 0 , 1 ] ; R ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )} 의 연속 쌍대 공간은 자명하다.:816, Theorem 1 L p ⁡ ( [ 0 , 1 ] ; R ) ∗ = { 0 } {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )^{*}=\{0\}} 증명: 실수 선형 변환 ϕ : L p ⁡ ( [ 0 , 1 ] ; R ) → R {\displaystyle \phi \colon \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )\to \mathbb {R} } 가 ϕ ≠ 0 {\displaystyle \phi \neq 0} 이라고 하자. ϕ {\displaystyle \phi } 가 연속 함수가 아님을 보이면 족하다. 특히, ‖ ϕ ( f i ) ‖ p ≥ 1 ∀ i ∈ N {\displaystyle \|\phi (f_{i})\|_{p}\geq 1\qquad \forall i\in \mathbb {N} } ‖ f i ‖ p = 2 ( p − 1 ) i ‖ f 0 ‖ p {\displaystyle \|f_{i}\|_{p}=2^{(p-1)i}\|f_{0}\|_{p}} 이 되는 코시 함수열 f 0 , f 1 , f 2 , … ∈ L p ⁡ ( [ 0 , 1 ] ; R ) {\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\ldots \in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )} 을 찾으면, f i → 0 {\displaystyle f_{i}\to 0} ϕ ( f i ) ↛ 0 {\displaystyle \phi (f_{i})\not \to 0} 이므로 족하다. 이러한 함수열을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자. 우선, ϕ ≠ 0 {\displaystyle \phi \neq 0} 이므로 정의에 따라 ϕ ( f 0 ) ≥ 1 {\displaystyle \phi (f_{0})\geq 1} 인 f 0 ∈ L p ⁡ ( [ 0 , 1 ] ; R ) {\displaystyle f_{0}\in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )} 를 찾을 수 있다. 이제, 만약 f i ∈ L p ⁡ ( [ 0 , 1 ] ; R ) {\displaystyle f_{i}\in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )} 가 주어졌으면, 다음과 같은 함수를 생각하자. [ 0 , 1 ] ↦ R {\displaystyle [0,1]\mapsto \mathbb {R} } t ↦ ∫ 0 t | f i ( x ) | p d x {\displaystyle t\mapsto \int _{0}^{t}|f_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x} 이는 연속 함수이다. 따라서, 중간값 정리에 따라 ∫ 0 t i | f i ( x ) | p d x = 1 2 ∫ 0 1 | f i ( x ) | p d x {\displaystyle \int _{0}^{t_{i}}|f_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}|f_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x} 인 0 ≤ t i ≤ 1 {\displaystyle 0\leq t_{i}\leq 1} 이 존재한다. 이제, g i = 2 χ [ 0 , t i ] f {\displaystyle g_{i}=2\chi _{[0,t_{i}]}f} h i = 2 χ [ t i , 1 ] f {\displaystyle h_{i}=2\chi _{[t_{i},1]}f} 를 정의하자 ( χ {\displaystyle \chi } 는 지시 함수). 이제 f i + 1 = { g i | ϕ ( g i ) | ≥ | ϕ ( h i ) | h i | ϕ ( g i ) | < | ϕ ( h i ) | {\displaystyle f_{i+1}={\begin{cases}g_{i}&|\phi (g_{i})|\geq |\phi (h_{i})|\\h_{i}&|\phi (g_{i})|<|\phi (h_{i})|\end{cases}}} 를 정의하자. 그렇다면, 삼각 부등식에 따라 1 ≤ | ϕ ( f i ) | = 1 2 | ϕ ( g i ) + ϕ ( h i ) | ≤ 1 2 ( | ϕ ( g i ) | + | ϕ ( h i ) | ) ≤ max { | ϕ ( g i ) | , | ϕ ( h i ) | } {\displaystyle 1\leq |\phi (f_{i})|={\frac {1}{2}}|\phi (g_{i})+\phi (h_{i})|\leq {\frac {1}{2}}(|\phi (g_{i})|+|\phi (h_{i})|)\leq \max \left\{|\phi (g_{i})|,|\phi (h_{i})|\right\}} 이다. 또한 (편의상 f i + 1 = g i {\displaystyle f_{i+1}=g_{i}} 라고 하면) ‖ f i + 1 ‖ p = ∫ 0 1 | f i + 1 | p = ∫ 0 t i | 2 f i | p = 2 p ∫ 0 t i | f i | p = 2 p − 1 ∫ 0 1 | f i | p = 2 p − 1 ‖ f i ‖ p {\displaystyle \|f_{i+1}\|_{p}=\int _{0}^{1}|f_{i+1}|^{p}=\int _{0}^{t_{i}}|2f_{i}|^{p}=2^{p}\int _{0}^{t_{i}}|f_{i}|^{p}=2^{p-1}\int _{0}^{1}|f_{i}|^{p}=2^{p-1}\|f_{i}\|_{p}} 이다. ( f i + 1 = h i {\displaystyle f_{i+1}=h_{i}} 인 경우도 마찬가지다.) 따라서 함수열 f i {\displaystyle f_{i}} 는 필요한 조건들을 만족시킨다. 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주를 CompHaus {\displaystyle \operatorname {CompHaus} } 라고 표기하고, 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주를 Ban R {\displaystyle \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }} 로 표기하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들이 존재한다. C ( − ; R ) : CompHaus → Ban R op {\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }} C ( − ; R ) : V ↦ C ( V ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon V\mapsto {\mathcal {C}}(V;\mathbb {R} )} C ( − ; R ) : ( f : X → Y ) ↦ ( g ∈ C ( Y ; R ) ↦ f ∘ g ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon (f\colon X\to Y)\mapsto (g\in {\mathcal {C}}(Y;\mathbb {R} )\mapsto f\circ g)} ( − ) ∗ : Ban R op → Ban R {\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }} ( − ) ∗ : V ↦ V ∗ {\displaystyle (-)^{*}\colon V\mapsto V^{*}} ( − ) ∗ : ( T : V → W ) ↦ ( T ∗ : W ∗ → V ∗ ) {\displaystyle (-)^{*}\colon (T\colon V\to W)\mapsto (T^{*}\colon W^{*}\to V^{*})} 여기서 연속 쌍대 공간 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 에는 강한 위상을 부여한다. 이 밖에도, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다. M : CompHaus → Ban R {\displaystyle M\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }} 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, M ( X ) {\displaystyle M(X)} 는 X {\displaystyle X} 위의 부호를 갖는 실수 유한 보렐 측도들의 집합이다. 즉, X {\displaystyle X} 위의 베르 시그마 대수 Baire ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Baire} (X)} 위의 두 측도 ( μ 1 , μ 2 ) {\displaystyle (\mu _{1},\mu _{2})} 의 차들의 동치류 집합이다. M {\displaystyle M} 위에서 측도의 전변동은 노름을 정의하며, 이에 따라 M ( X ) {\displaystyle M(X)} 는 실수 바나흐 공간을 이룬다. 임의의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, M ( f ) : M ( X ) → M ( Y ) {\displaystyle M(f)\colon M(X)\to M(Y)} 는 다음과 같다. f ( μ ) ( S ) = μ ( f − 1 ( S ) ) ∀ S ∈ Baire ⁡ ( Y ) {\displaystyle f(\mu )(S)=\mu (f^{-1}(S))\qquad \forall S\in \operatorname {Baire} (Y)} 그렇다면, 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리(Riesz-Марков-[角谷]表現定理, 영어: Riesz–Markov–Kakutani representation theorem)에 따르면, 다음과 같은 자연 동형 ∫ : M ⇒ ( − ) ∗ ∘ C ( − ; R ) {\displaystyle \textstyle \int \colon M\Rightarrow (-)^{*}\circ {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )} 이 존재한다. ∫ X : M ( X ) → C ( X , R ) ∗ ( X ∈ CompHaus ) {\displaystyle \int _{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )^{*}\qquad (X\in \operatorname {CompHaus} )} ∫ X : μ ↦ ( f ↦ ∫ X f d μ ) {\displaystyle \int _{X}\colon \mu \mapsto \left(f\mapsto \int _{X}f\;\mathrm {d} \mu \right)} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다. Ban R op C ( − ; R ) ↗ ∫ ⇑ ∫ ↘ ( − ) ∗ CompHaus → M ( − ) Ban R {\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{*}}\\&\operatorname {CompHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }\end{matrix}}} 리스-마르코프-가쿠타니 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간에서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간으로 쉽게 일반화할 수 있다. 이 경우, 임의의 연속 함수를 콤팩트 지지 연속 함수로 대체하여야 한다. X {\displaystyle X} 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, M ( X ) {\displaystyle M(X)} 를 X {\displaystyle X} 위의 국소 유한 베르 측도의 집합(즉, 모든 콤팩트 집합이 유한 측도를 갖는 측도)이라고 하자. 이에 전변동을 노름으로 삼으면 이는 바나흐 공간을 이룬다. 또한, C 0 ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X,\mathbb {R} )} 가 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수 X → R {\displaystyle X\to \mathbb {R} } 의 집합이라고 하자. 이 역시 실수 바나흐 공간을 이룬다. 그렇다면, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다. ∫ : M ⇒ ( − ) ∗ ∘ C 0 ( − ; R ) {\displaystyle \int \colon M\Rightarrow (-)^{*}\circ {\mathcal {C}}_{0}(-;\mathbb {R} )} ∫ X : M ( X ) → C 0 ( M ; R ) ( X ∈ lcHaus ) {\displaystyle \int _{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}_{0}(M;\mathbb {R} )\qquad (X\in \operatorname {lcHaus} )} ∫ X : μ ↦ ∫ X f d μ {\displaystyle \int _{X}\colon \mu \mapsto \int _{X}f\;\mathrm {d} \mu } 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다. Ban R op C 0 ( − ; R ) ↗ ∫ ⇑ ∫ ↘ ( − ) ∗ lcHaus → M ( − ) Ban R {\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}_{0}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{*}}\\&\operatorname {lcHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }\end{matrix}}} 여기서 lcHaus {\displaystyle \operatorname {lcHaus} } 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주이다. Ban R {\displaystyle \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }} 는 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주이다. 특히, 따라서, 임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음과 같은 실수 위상 벡터 공간들의 동형이 존재한다. C compact 0 ( X ; R ) ∗ ≅ C 0 0 ( X ; R ) ≅ M ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )^{*}\cong {\mathcal {C}}_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )\cong M(X;\mathbb {R} )} 여기서 C compact 0 ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )} 는 콤팩트 지지 실수 값 함수 X → R {\displaystyle X\to \mathbb {R} } 들의 실수 노름 공간이다. 이 경우 균등 노름을 부여한다. C 0 0 ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )} 는 무한대에서 0이 되는 연속 함수의 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, sup x ∈ X ∖ K ‖ f ( x ) ‖ < ϵ {\displaystyle \textstyle \sup _{x\in X\setminus K}\|f(x)\|<\epsilon } 인 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 가 존재한다. 이 경우 균등 노름을 부여한다. 이는 C compact 0 ( X ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )} 의 완비화이다. 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 따라, 다음 위상 벡터 공간들이 서로 동형이다. C compact 0 ( N ; R ) ∗ = C 0 0 ( N ; R ) ∗ = L 1 ⁡ ( N ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{*}={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{*}=\operatorname {L} ^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )} 여기서 C compact 0 ( N ; R ) = { s ∈ R N : ∃ N ∈ N ∀ i ≥ N : s i = 0 } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \forall i\geq N\colon s_{i}=0\}} 는 유한 지지 실수열들의 노름 공간이다. C 0 0 ( N ; R ) = { s ∈ R N : lim i ∈ N s i = 0 } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \lim _{i\in \mathbb {N} }s_{i}=0\}} 는 유계 수열로 구성된 바나흐 공간이며, C compact 0 ( N , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )} 의 완비화이다. ℓ 1 = L 1 ( N ; R ) = { s ∈ R N : ∑ i = 0 ∞ | s | < ∞ } {\displaystyle \ell ^{1}=L^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }|s|<\infty \}} 는 절대 수렴 실수열들의 바나흐 공간이다. 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 모든 H → H {\displaystyle H\to H} 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 B ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {B} (H)} 및 그 부분 집합인, 대각합류 작용소들의 복소수 바나흐 공간 S 1 ( H ) ⊆ B ⁡ ( H ) {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}(H)\subseteq \operatorname {B} (H)} 을 정의할 수 있다. 이 경우, S 1 ( H ) {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}(H)} 의 연속 쌍대 공간은 B ⁡ ( H ) {\displaystyle \operatorname {B} (H)} 와 동형이다. 구체적으로, 임의의 A ∈ S 1 ( H ) {\displaystyle A\in {\mathfrak {S}}_{1}(H)} 및 B ∈ B ⁡ ( H ) {\displaystyle B\in \operatorname {B} (H)} 에 대하여, ⟨ A , B ⟩ = tr ⁡ ( A B ) = tr ⁡ ( B A ) {\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)} 이다. (다시 말해, 대각합류 작용소와 유계 작용소의 합성은 항상 대각합류 작용소이다.) 특히, 이에 따라 S 1 ( H ) ∗ ≅ B ⁡ ( H ) {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}(H)^{*}\cong \operatorname {B} (H)} 위에 약한-* 위상을 정의할 수 있다. 이를 초약 위상(超弱位相, 영어: ultraweak topology)이라고 한다. C* 대수 A {\displaystyle A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. A {\displaystyle A} 는 (복소수 바나흐 공간으로서) 원쌍대 공간을 갖는다. A {\displaystyle A} 는 폰 노이만 대수이다. 이 경우, A {\displaystyle A} 의 원쌍대 공간 A ∗ {\displaystyle A_{*}} 은 동형 사상 아래 유일하다. 구체적으로, 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 H {\displaystyle H} 에 대하여 A ⊆ B ⁡ ( H ) {\displaystyle A\subseteq \operatorname {B} (H)} 이라고 하자. 그렇다면, A {\displaystyle A} 의 원쌍대 공간 A ∗ {\displaystyle A_{*}} 는 복소수 선형 변환 ϕ : A → C {\displaystyle \phi \colon A\to \mathbb {C} } 가운데, A {\displaystyle A} 에 초약 위상을 부여했을 때 연속 함수가 되는 것들로 구성된 집합이다. 1907년에 리스 프리제시와 모리스 르네 프레셰가 각각 독자적으로 1907년에 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다. 1909년에 리스 프리제시는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 폐구간의 경우에 대하여 증명하였다. 이후 안드레이 마르코프와 가쿠타니 시즈오가 이를 일반화하였다. 스테판 바나흐가 1932년에 바나흐-앨러오글루 정리의 특수한 경우를 증명하였고,:123, §VIII.4, Théorème VII.3 1940년에 리오니더스 앨러오글루가 이를 임의의 노름 공간에 대하여 일반화하였다. 니콜라 부르바키는 같은 해에 이를 임의의 위상 벡터 공간에 대하여 일반화하였다. 국소 볼록 공간의 쌍대성 이론은 고트프리트 쾨테(영어: Gottfried Köthe) · 장 디외도네 · 조지 매키(영어: George Mackey) 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 로랑 슈와르츠와 알렉산더 그로텐디크 등이 그 이론에 공헌하였고, 이후 니콜라 부르바키가 그 이론을 1950년대에 집대성하였다. Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  Rossi, Stefano (2009). “The Banach–Alaoglu theorem is equivalent to the Tychonoff theorem for compact Hausdorff spaces” (영어). arXiv:0911.0332. Bibcode:2009arXiv0911.0332R.  Day, Mahlon M. (1940). “The spaces Lp with 0<p<1”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (10): 816–823. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07308-2. ISSN 0273-0979. MR 2700.  Hartig, Donald G. (1983년 4월). “The Riesz representation theorem revisited”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (4): 277–280. doi:10.2307/2975760. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975760.  Riesz, Frédéric (1907년 6월 24일). “Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables” (PDF). 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 144: 1409–1411. 2016년 8월 29일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 4월 10일에 확인함.  Fréchet, M. (1907). “Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 144: 1414–1416.  Riesz, Frédéric (1909). “Sur les opérations fonctionnelles linéaires” (PDF). 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 149: 974–977. 2016년 11월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 4월 10일에 확인함.  Gray, J. D. (1984). “The shaping of the Riesz representation theorem: a chapter in the history of analysis”. 《Archive for History in the Exact Sciences》 (영어) 31 (2): 127–187. doi:10.1007/BF00348293. ISSN 0003-9519.  Markoff, A. (1938). “On mean values and exterior densities”. 《Математический сборник》 (영어) 4 (1): 165–190. ISSN 0368-8666. Zbl 0020.10804. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Kakutani, Shizuo (1941년 10월). “Concrete representation of abstract (M)-spaces (a characterization of the space of continuous functions)”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 42 (4): 994–1024. doi:10.2307/1968778. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968778. MR 0005778.  Banach, Stefan (1932). “Théorie des opérations linéaires” (프랑스어). 바르샤바: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk. 2017년 4월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 10일에 확인함.  Alaoglu, Leon (1940년 1월). “Weak topologies of normed linear spaces”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 41 (1): 252–267. doi:10.2307/1968829. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968829.  Bourbaki, Nicolas (1953). 《Espaces vectoriels topologiques. Chapitres I et II》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1189. Hermann. MR 54161. Zbl 0050.10703.  Bourbaki, Nicolas (1955). 《Espaces vectoriels topologiques. Chapitres III, IV et V》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1229. Hermann. Zbl 0066.35301.  “Adjoint space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Weak topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Strong topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Second dual space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Reflexive space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Riesz representation theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Dual normed space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Reflexive Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “Banach-Alaoglu theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Riesz representation theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Banach-Alaoglu theorem”. 《nLab》 (영어).  “Riesz representation theorem”. 《nLab》 (영어).  “Riesz representation theorem (Hilbert spaces)”. 《ProofWiki》 (영어). 2020년 10월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 10일에 확인함.  Tao, Terrence (2009년 1월 17일). “245B, notes 5: Hilbert spaces”. 《What’s New》 (영어). 2017년 7월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 10일에 확인함.  Tao, Terrence (2009년 3월 2일). “245B, Notes 12: Continuous functions on locally compact Hausdorff spaces”. 《What’s New》 (영어). 2017년 7월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 10일에 확인함.  Bertrand, Mike (2015년 5월 24일). “Riesz Proves the Riesz Representation Theorem”. 《Ex Libris》 (영어). 2016년 11월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 10일에 확인함.  “Is the topological dual of a Banach space weakly* closed in its algebraic dual?” (영어). Math Overflow. 2017년 1월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 12월 31일에 확인함.  “Algebraic dual / continuous dual” (영어). Math Overflow. 2017년 1월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 12월 31일에 확인함.  “Dual of bounded uniformly continuous functions” (영어). Math Overflow. 2017년 1월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 12월 31일에 확인함.  Johnson, C. (2008년 7월 20일). “The continuous dual space”. 《Mathematics Prelims》 (영어). 2016년 12월 31일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 12월 31일에 확인함.