브로카르 점

기하학에서 브로카르 점(영어: Brocard points)은 주어진 삼각형으로 결정되는 한 쌍의 등각 켤레점이다. (유향) 평면 위의 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 Ω {\displaystyle \Omega } 가 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제1 브로카르 점(영어: first Brocard point) Ω {\displaystyle \Omega } 라고 한다. ∠ Ω A B = ∠ Ω B C = ∠ Ω C A {\displaystyle \angle \Omega AB=\angle \Omega BC=\angle \Omega CA} (유향) 평면 위의 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 이 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제2 브로카르 점(영어: second Brocard point) Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 이라고 한다. ∠ Ω ′ A C = ∠ Ω ′ C B = ∠ Ω ′ B A {\displaystyle \angle \Omega 'AC=\angle \Omega 'CB=\angle \Omega 'BA} 제1·제2 브로카르 점을 통틀어 브로카르 점이라고 한다. 증명: 등식 ∠ Ω A B = ∠ Ω B C {\displaystyle \angle \Omega AB=\angle \Omega BC} 는 Ω {\displaystyle \Omega } 가 점 A {\displaystyle A} 를 지나며 점 B {\displaystyle B} 에서 변 B C {\displaystyle BC} 에 접하는 원 위의 (점 A {\displaystyle A} 또는 B {\displaystyle B} 가 아닌) 점인 것과 동치이며, 등식 ∠ Ω A B = ∠ Ω C A {\displaystyle \angle \Omega AB=\angle \Omega CA} 는 Ω {\displaystyle \Omega } 가 점 C {\displaystyle C} 를 지나며 점 A {\displaystyle A} 에서 변 A B {\displaystyle AB} 에 접하는 원 위의 (점 C {\displaystyle C} 또는 A {\displaystyle A} 가 아닌) 점인 것과 동치이다. 변 A B {\displaystyle AB} 는 각각 두 원의 현과 접선이므로, 두 원은 교점 B {\displaystyle B} 에서 접하지 않으며, 두 원은 다른 한 교점을 갖는다. 이는 제1 브로카르 점의 정의를 만족시키는 유일한 점이다. 이는 미켈 정리에 극한을 취한 경우와 같다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제1·제2 브로카르 점 Ω {\displaystyle \Omega } , Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 은 등각 켤레점이다. 즉, 위 6개의 각의 크기는 일치한다. 이 각의 크기를 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 브로카르 각(영어: Brocard angle) ω {\displaystyle \omega } 라고 한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 의 대변의 길이를 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , 넓이를 S {\displaystyle S} 라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다.:266–267, §[XVI.]434–435 cot ⁡ ω = cot ⁡ A + cot ⁡ B + cot ⁡ C = a 2 + b 2 + c 2 4 S = 1 + cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C = sin 2 ⁡ A + sin 2 ⁡ B + sin 2 ⁡ C 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C = a sin ⁡ A + b sin ⁡ B + c sin ⁡ C a cos ⁡ A + b cos ⁡ B + c cos ⁡ C {\displaystyle {\begin{aligned}\cot \omega &=\cot A+\cot B+\cot C\\&={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}\\&={\frac {1+\cos A\cos B\cos C}{\sin A\sin B\sin C}}\\&={\frac {\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C}{2\sin A\sin B\sin C}}\\&={\frac {a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}}\end{aligned}}} csc ⁡ ω = csc ⁡ A + csc ⁡ B + csc ⁡ C {\displaystyle \csc \omega =\csc A+\csc B+\csc C} sin ⁡ ω = 2 S a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 {\displaystyle \sin \omega ={\frac {2S}{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}}} 증명: 유향 선분 B Ω {\displaystyle B\Omega } 의 연장선과 점 C {\displaystyle C} 를 지나며 점 A {\displaystyle A} 에서 변 A B {\displaystyle AB} 에 접하는 원의 교점을 P {\displaystyle P} 라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라 ∠ Ω P A = ∠ Ω C A = ∠ Ω A B {\displaystyle \angle \Omega PA=\angle \Omega CA=\angle \Omega AB} 이므로 A P {\displaystyle AP} 와 B C {\displaystyle BC} 는 평행한다. 점 A {\displaystyle A} , P {\displaystyle P} 를 지나는 변 B C {\displaystyle BC} 의 수선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} 라고 하자. 그렇다면 접현각의 성질에 따라 ∠ P C E = ∠ C P A = ∠ C A B {\displaystyle \angle PCE=\angle CPA=\angle CAB} 이다. 따라서 다음이 성립한다. cot ⁡ ω = B E P E = B D A D + D C A D + C E P E = cot ⁡ B + cot ⁡ C + cot ⁡ A {\displaystyle {\begin{aligned}\cot \omega &={\frac {BE}{PE}}\\&={\frac {BD}{AD}}+{\frac {DC}{AD}}+{\frac {CE}{PE}}\\&=\cot B+\cot C+\cot A\end{aligned}}} 또한 a 2 = a ⋅ ( B D + C D ) = a ⋅ A D ⋅ ( cot ⁡ B + cot ⁡ C ) = 2 S ( cot ⁡ B + cot ⁡ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=a\cdot (BD+CD)\\&=a\cdot AD\cdot (\cot B+\cot C)\\&=2S(\cot B+\cot C)\\\end{aligned}}} b 2 = 2 S ( cot ⁡ C + cot ⁡ A ) {\displaystyle b^{2}=2S(\cot C+\cot A)} c 2 = 2 S ( cot ⁡ A + cot ⁡ B ) {\displaystyle c^{2}=2S(\cot A+\cot B)} 이므로 a 2 + b 2 + c 2 = 4 S ( cot ⁡ A + cot ⁡ B + cot ⁡ C ) = 4 S cot ⁡ ω {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\cot A+\cot B+\cot C)=4S\cot \omega } 이다. 그 밖의 항등식들은 이 두 항등식과 삼각법을 사용하여 증명할 수 있다. 모든 삼각형의 브로카르 각은 π / 6 {\displaystyle \pi /6} 이하이며, 정확히 π / 6 {\displaystyle \pi /6} 일 필요 충분 조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).:104, §10.2 ω ≤ π 6 {\displaystyle \omega \leq {\frac {\pi }{6}}} 보다 일반적으로, 볼록 다각형 A 1 ⋯ A n {\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}} ( A n + 1 = A 1 {\displaystyle A_{n+1}=A_{1}} ) 및 그 내부에 속하는 점 P {\displaystyle P} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정다각형과 그 중심이다. min 1 ≤ i ≤ n ∠ P A i A i + 1 ≤ ( n − 2 ) π 2 n {\displaystyle \min _{1\leq i\leq n}\angle PA_{i}A_{i+1}\leq {\frac {(n-2)\pi }{2n}}} 증명: 모든 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 에 대하여 ∠ P A i A i + 1 ≥ ( n − 2 ) π / 2 n {\displaystyle \angle PA_{i}A_{i+1}\geq (n-2)\pi /2n} 이라고 가정하자. 그렇다면 모든 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 에 대하여, ∠ P A i B i = ( n − 2 ) π / 2 n {\displaystyle \angle PA_{i}B_{i}=(n-2)\pi /2n} 인 선분 P A i + 1 {\displaystyle PA_{i+1}} 위의 점 B i {\displaystyle B_{i}} 가 존재한다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. sin ⁡ ∠ P B 1 A 1 ⋯ sin ⁡ ∠ P B n A n = P A 1 P B 1 sin ⁡ ∠ P A 1 B 1 ⋅ ⋯ ⋅ P A n P B n sin ⁡ ∠ P A n B n ≥ P A 1 P A 2 ⋅ ⋯ ⋅ P A n P A 1 sin n ⁡ ( n − 2 ) π 2 n = sin n ⁡ ( n − 2 ) π 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \angle PB_{1}A_{1}\cdots \sin \angle PB_{n}A_{n}&={\frac {PA_{1}}{PB_{1}}}\sin \angle PA_{1}B_{1}\cdot \cdots \cdot {\frac {PA_{n}}{PB_{n}}}\sin \angle PA_{n}B_{n}\\&\geq {\frac {PA_{1}}{PA_{2}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {PA_{n}}{PA_{1}}}\sin ^{n}{\frac {(n-2)\pi }{2n}}\\&=\sin ^{n}{\frac {(n-2)\pi }{2n}}\end{aligned}}} 또한 산술-기하 평균 부등식과 옌센 부등식에 따라 다음이 성립한다. sin ⁡ ∠ P B 1 A 1 ⋯ sin ⁡ ∠ P B n A n ≤ ( sin ⁡ ∠ P B 1 A 1 + ⋯ + sin ⁡ ∠ P B n A n n ) n ≤ sin n ⁡ ∠ P B 1 A 1 + ⋯ ∠ P B n A n n = sin n ⁡ ( π − ( n − 2 ) π / 2 n − ∠ A 1 P A 2 ) + ⋯ + ( π − ( n − 2 ) π / 2 n − ∠ A n P A 1 ) n = sin n ⁡ ( n − 2 ) π 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \angle PB_{1}A_{1}\cdots \sin \angle PB_{n}A_{n}&\leq \left({\frac {\sin \angle PB_{1}A_{1}+\cdots +\sin \angle PB_{n}A_{n}}{n}}\right)^{n}\\&\leq \sin ^{n}{\frac {\angle PB_{1}A_{1}+\cdots \angle PB_{n}A_{n}}{n}}\\&=\sin ^{n}{\frac {(\pi -(n-2)\pi /2n-\angle A_{1}PA_{2})+\cdots +(\pi -(n-2)\pi /2n-\angle A_{n}PA_{1})}{n}}\\&=\sin ^{n}{\frac {(n-2)\pi }{2n}}\end{aligned}}} 따라서 위 두 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 에 대하여 B i = A i + 1 {\displaystyle B_{i}=A_{i+1}} 이며, ∠ P A 2 A 1 = ∠ P A 3 A 2 = ⋯ = ∠ P A 1 A n = ( n − 2 ) π 2 n {\displaystyle \angle PA_{2}A_{1}=\angle PA_{3}A_{2}=\cdots =\angle PA_{1}A_{n}={\frac {(n-2)\pi }{2n}}} 이다. 또한 ∠ P A 1 A 2 = ∠ P A 2 A 3 = ⋯ = ∠ P A n A 1 = ( n − 2 ) π 2 n {\displaystyle \angle PA_{1}A_{2}=\angle PA_{2}A_{3}=\cdots =\angle PA_{n}A_{1}={\frac {(n-2)\pi }{2n}}} 이다. 따라서 볼록 다각형 A 1 ⋯ A n {\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}} 은 정다각형이며 P {\displaystyle P} 는 그 중심이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제1·제2 브로카르 점을 Ω {\displaystyle \Omega } , Ω ′ {\displaystyle \Omega '} , 외심을 O {\displaystyle O} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:106, §10.2 Ω O = Ω ′ O {\displaystyle \Omega O=\Omega 'O} ∠ Ω O Ω ′ = 2 ω {\displaystyle \angle \Omega O\Omega '=2\omega } 증명: 유향 선분 A Ω {\displaystyle A\Omega } , B Ω {\displaystyle B\Omega } , C Ω {\displaystyle C\Omega } 의 연장선과 외접원의 교점을 A ′ {\displaystyle A'} , B ′ {\displaystyle B'} , C ′ {\displaystyle C'} 이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라 ∠ Ω A ′ C ′ = ∠ C B C ′ = ω {\displaystyle \angle \Omega A'C'=\angle CBC'=\omega } ∠ A O A ′ = 2 ∠ A ′ C A = 2 ω {\displaystyle \angle AOA'=2\angle A'CA=2\omega } ∠ Ω C ′ B ′ = ∠ Ω B ′ A ′ = ω {\displaystyle \angle \Omega C'B'=\angle \Omega B'A'=\omega } ∠ B O B ′ = ∠ C O C ′ = 2 ω {\displaystyle \angle BOB'=\angle COC'=2\omega } 이다. 따라서 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 는 삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 을 외심 O {\displaystyle O} 에 대하여 2 ω {\displaystyle 2\omega } 만큼 회전한 상이며, Ω {\displaystyle \Omega } 는 삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} 의 제2 브로카르 점이다. 따라서 점 Ω {\displaystyle \Omega } 를 외심 O {\displaystyle O} 에 대하여 2 ω {\displaystyle 2\omega } 만큼 회전한 상은 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제2 브로카르 점 Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 과 같다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제1 브로카르 점 Ω {\displaystyle \Omega } 를 지나는 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수선의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하고, 제2 브로카르 점 Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 을 지나는 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수선의 발을 D ′ {\displaystyle D'} , E ′ {\displaystyle E'} , F ′ {\displaystyle F'} 라고 하자. 그렇다면 두 브로카르 점의 수족 삼각형 F D E {\displaystyle FDE} 와 E ′ F ′ D ′ {\displaystyle E'F'D'} 은 합동이며, 둘 모두 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 닮음이다.:269, §[XVI.]441 증명: 사각형 Ω F B D {\displaystyle \Omega FBD} , Ω D C E {\displaystyle \Omega DCE} , Ω E A F {\displaystyle \Omega EAF} 는 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라 ∠ Ω F D = ∠ Ω B C = ω {\displaystyle \angle \Omega FD=\angle \Omega BC=\omega } ∠ Ω D E = ∠ Ω C A = ω {\displaystyle \angle \Omega DE=\angle \Omega CA=\omega } ∠ Ω E F = ∠ Ω A B = ω {\displaystyle \angle \Omega EF=\angle \Omega AB=\omega } 이다. 따라서 Ω {\displaystyle \Omega } 는 삼각형 F D E {\displaystyle FDE} 의 제1 브로카르 점이다. 또한 ∠ D F E = ∠ Ω F D + ∠ Ω F E = ω + ∠ Ω A C = ∠ B A C {\displaystyle \angle DFE=\angle \Omega FD+\angle \Omega FE=\omega +\angle \Omega AC=\angle BAC} ∠ E D F = ∠ Ω D E + ∠ Ω D F = ω + ∠ Ω B A = ∠ C B A {\displaystyle \angle EDF=\angle \Omega DE+\angle \Omega DF=\omega +\angle \Omega BA=\angle CBA} ∠ F E D = ∠ Ω E F + ∠ Ω E D = ω + ∠ Ω C B = ∠ A C B {\displaystyle \angle FED=\angle \Omega EF+\angle \Omega ED=\omega +\angle \Omega CB=\angle ACB} 이므로 삼각형 F D E {\displaystyle FDE} 와 A B C {\displaystyle ABC} 는 닮음이다. 닮음비는 Ω F Ω A = sin ⁡ ω {\displaystyle {\frac {\Omega F}{\Omega A}}=\sin \omega } 이며, 이는 제2 브로카르 점의 경우도 마찬가지다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 한 꼭짓점 A {\displaystyle A} 와 제1 브로카르 점 Ω {\displaystyle \Omega } 를 지나는 직선 A Ω {\displaystyle A\Omega } , 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점 B {\displaystyle B} 를 지나는 대칭 중선 B K {\displaystyle BK} , 남은 꼭짓점 C {\displaystyle C} 를 지나는 중선 C G {\displaystyle CG} 는 한 점에서 만난다. 반대로, 한 꼭짓점 A {\displaystyle A} 와 제2 브로카르 점 Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 을 지나는 직선 A Ω ′ {\displaystyle A\Omega '} , 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점 C {\displaystyle C} 를 지나는 대칭 중선 C K {\displaystyle CK} , 남은 꼭짓점 B {\displaystyle B} 를 지나는 중선 B G {\displaystyle BG} 는 한 점에서 만난다.:122, §10.6 증명: 각 꼭짓점을 지나는 직선 A Ω {\displaystyle A\Omega } , B K {\displaystyle BK} , C G {\displaystyle CG} 의 발을 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 라고 하자. 그렇다면 대칭 중선과 중선의 성질에 따라 A F F B = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}=1} C E E A = a 2 c 2 {\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}} 이다. 체바 정리에 따라 다음을 보이는 것으로 충분하다. B D D C = c 2 a 2 {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {c^{2}}{a^{2}}}} 제1 브로카르 점 Ω {\displaystyle \Omega } 의 정의에 따라 ∠ B Ω D = ∠ Ω A B + ∠ Ω B A = ω + ∠ A B C − ω = ∠ A B C {\displaystyle \angle B\Omega D=\angle \Omega AB+\angle \Omega BA=\omega +\angle ABC-\omega =\angle ABC} ∠ D Ω C = ∠ B A C {\displaystyle \angle D\Omega C=\angle BAC} 이다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. B Ω sin ⁡ ( C − ω ) = a sin ⁡ ( A + B ) = a sin ⁡ C {\displaystyle {\frac {B\Omega }{\sin(C-\omega )}}={\frac {a}{\sin(A+B)}}={\frac {a}{\sin C}}} Ω D sin ⁡ ( C − ω ) = D C sin ⁡ A {\displaystyle {\frac {\Omega D}{\sin(C-\omega )}}={\frac {DC}{\sin A}}} 삼각형 D B Ω {\displaystyle DB\Omega } 와 D A B {\displaystyle DAB} 가 닮음이므로 c B D = B Ω Ω D = a sin ⁡ A D C ⋅ sin ⁡ C = a 2 D C ⋅ c {\displaystyle {\frac {c}{BD}}={\frac {B\Omega }{\Omega D}}={\frac {a\sin A}{DC\cdot \sin C}}={\frac {a^{2}}{DC\cdot c}}} 이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각각 제1·제2 브로카르 점 Ω {\displaystyle \Omega } 와 Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 을 지나는 두 체바 직선 B Ω {\displaystyle B\Omega } 와 C Ω ′ {\displaystyle C\Omega '} , C Ω {\displaystyle C\Omega } 와 A Ω ′ {\displaystyle A\Omega '} , A Ω {\displaystyle A\Omega } 와 B Ω ′ {\displaystyle B\Omega '} 의 교점 B A {\displaystyle B_{A}} , B B {\displaystyle B_{B}} , B C {\displaystyle B_{C}} 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제1 브로카르 삼각형(영어: first Brocard triangle) B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 B A {\displaystyle B_{A}} , B B {\displaystyle B_{B}} , B C {\displaystyle B_{C}} 는 각각 삼각형의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수직 이등분선 위의 점이다. 증명: 이는 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 B A {\displaystyle B_{A}} , B B {\displaystyle B_{B}} , B C {\displaystyle B_{C}} 가 각각 브로카르 각을 밑각으로 하는 이등변 삼각형 B A B C {\displaystyle B_{A}BC} , B B C A {\displaystyle B_{B}CA} , B C A B {\displaystyle B_{C}AB} 의 꼭짓점이기 때문이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 대칭 중점 K {\displaystyle K} 와 외심 O {\displaystyle O} 사이의 선분 K O {\displaystyle KO} 를 지름으로 하는 원을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 브로카르 원(영어: Brocard circle)이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원과 동심원이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제1·제2 브로카르 점 Ω {\displaystyle \Omega } , Ω ′ {\displaystyle \Omega '} 은 모두 브로카르 원 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 의 외접원이다. 증명: 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 중점을 각각 M A {\displaystyle M_{A}} , M B {\displaystyle M_{B}} , M C {\displaystyle M_{C}} 라고 하자. 그렇다면 B A {\displaystyle B_{A}} 와 변 B C {\displaystyle BC} 사이의 거리는 B A M A = B M A tan ⁡ ∠ B A B M A = 1 2 a tan ⁡ ω {\displaystyle B_{A}M_{A}=BM_{A}\tan \angle B_{A}BM_{A}={\frac {1}{2}}a\tan \omega } 이다. 이는 대칭 중점 K {\displaystyle K} 와 변 B C {\displaystyle BC} 사이의 거리와 같으므로 K B A {\displaystyle KB_{A}} 와 B C {\displaystyle BC} 는 평행한다. O B A {\displaystyle OB_{A}} 는 B C {\displaystyle BC} 의 수선이므로 K B A {\displaystyle KB_{A}} 의 수선이다. 즉, 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 B A {\displaystyle B_{A}} 는 브로카르 원 위의 점이다. 마찬가지로 K B B {\displaystyle KB_{B}} 와 변 C A {\displaystyle CA} 는 평행하며 B B {\displaystyle B_{B}} 는 브로카르 원 위의 점이다. 따라서 ∠ Ω B A K = ∠ B A B C = ω = ∠ B B C A = ∠ Ω B B K {\displaystyle \angle \Omega B_{A}K=\angle B_{A}BC=\omega =\angle B_{B}CA=\angle \Omega B_{B}K} 이다. 즉, 제1 브로카르 점 Ω {\displaystyle \Omega } 는 브로카르 원 위의 점이다. 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 는 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 닮음이다.:112, §10.4 증명: 이는 원주각의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. ∠ B A B C B B = ∠ B A Ω B B = π − ∠ Ω B A C − ∠ Ω C B A = π − ( π − 2 ω ) − ( 2 ω − C ) = ∠ A C B {\displaystyle {\begin{aligned}\angle B_{A}B_{C}B_{B}&=\angle B_{A}\Omega B_{B}\\&=\pi -\angle \Omega B_{A}C-\angle \Omega CB_{A}\\&=\pi -(\pi -2\omega )-(2\omega -C)\\&=\angle ACB\end{aligned}}} ∠ B C B B B A = ∠ C B A {\displaystyle \angle B_{C}B_{B}B_{A}=\angle CBA} 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 와 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 무게 중심은 일치한다.:112, §10.4 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 각 변 B B B C {\displaystyle B_{B}B_{C}} , B C B A {\displaystyle B_{C}B_{A}} , B A B B {\displaystyle B_{A}B_{B}} 의 중점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 를 지나는 원래 삼각형의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수선은 원래 삼각형의 구점원의 중심 N {\displaystyle N} 에서 만난다.:117, §10.4 증명: 점 B A {\displaystyle B_{A}} 를 변 B C {\displaystyle BC} 에 대하여 반사시킨 상을 B A ′ {\displaystyle B_{A}'} 이라고 하자. 그렇다면 ∠ B C B B A ′ = ∠ B C B B A + 2 ω = ∠ A B C {\displaystyle \angle B_{C}BB_{A}'=\angle B_{C}BB_{A}+2\omega =\angle ABC} B C B A B = 1 2 sec ⁡ ω = B B A B C = B B A ′ B C {\displaystyle {\frac {B_{C}B}{AB}}={\frac {1}{2}}\sec \omega ={\frac {BB_{A}}{BC}}={\frac {BB_{A}'}{BC}}} 이므로 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 B C B B A ′ {\displaystyle B_{C}BB_{A}'} 은 닮음이다. 마찬가지로 ∠ B B C B A ′ = ∠ A C B {\displaystyle \angle B_{B}CB_{A}'=\angle ACB} B B C A C = 1 2 sec ⁡ ω = B A ′ C B C {\displaystyle {\frac {B_{B}C}{AC}}={\frac {1}{2}}\sec \omega ={\frac {B_{A}'C}{BC}}} 이므로 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 B B B A ′ C {\displaystyle B_{B}B_{A}'C} 는 닮음이다. 또한 B B A ′ = B A ′ C {\displaystyle BB_{A}'=B_{A}'C} 이므로 삼각형 B C B B A ′ {\displaystyle B_{C}BB_{A}'} 와 B B B A ′ C {\displaystyle B_{B}B_{A}'C} 는 합동이다. 따라서 A B C = B C B = B B B A ′ {\displaystyle AB_{C}=B_{C}B=B_{B}B_{A}'} 이다. 선분 A B C {\displaystyle AB_{C}} , B B B A ′ {\displaystyle B_{B}B_{A}'} 을 각각 점 A {\displaystyle A} , C {\displaystyle C} 에 대하여 시계 방향 ω {\displaystyle \omega } 만큼 회전시킨 상은 모두 변 A B {\displaystyle AB} 와 평행하므로, A B C {\displaystyle AB_{C}} 와 B B B A ′ {\displaystyle B_{B}B_{A}'} 은 평행한다. 따라서 사각형 A B C B A ′ B B {\displaystyle AB_{C}B_{A}'B_{B}} 는 평행 사변형이며, 대각선 A B A ′ {\displaystyle AB_{A}'} 와 B C B B {\displaystyle B_{C}B_{B}} 는 그 교점 P {\displaystyle P} 에서 서로를 이등분한다. 선분 B A D {\displaystyle B_{A}D} 는 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 와 A B A B A ′ {\displaystyle AB_{A}B_{A}'} 의 공통 꼭짓점 B A {\displaystyle B_{A}} 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 와 A B A B A ′ {\displaystyle AB_{A}B_{A}'} 의 무게 중심은 일치한다. 선분 B C {\displaystyle BC} 와 B A B A ′ {\displaystyle B_{A}B_{A}'} 의 공통 중점을 M A {\displaystyle M_{A}} 라고 하자. 그렇다면 선분 A M A {\displaystyle AM_{A}} 는 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 A B A B A ′ {\displaystyle AB_{A}B_{A}'} 의 공통 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 A B A B A ′ {\displaystyle AB_{A}B_{A}'} 의 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 의 무게 중심은 일치한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외심 O {\displaystyle O} 와 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 B A {\displaystyle B_{A}} , B B {\displaystyle B_{B}} , B C {\displaystyle B_{C}} 에 무게 중심 G {\displaystyle G} 를 닮음 중심으로 하고 − 1 / 2 {\displaystyle -1/2} 을 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 가한 상은 각각 구점원의 중심 N {\displaystyle N} 과 점 D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} 이다. B A O {\displaystyle B_{A}O} , B B O {\displaystyle B_{B}O} , B C O {\displaystyle B_{C}O} 는 각각 삼각형의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수직 이등분선이다. 위 변환은 직선의 방향을 보존하므로 D N {\displaystyle DN} 과 B A O {\displaystyle B_{A}O} , E N {\displaystyle EN} 과 B B O {\displaystyle B_{B}O} , F N {\displaystyle FN} 과 B C O {\displaystyle B_{C}O} 는 평행한다. 따라서 D N {\displaystyle DN} , E N {\displaystyle EN} , F N {\displaystyle FN} 은 각각 삼각형의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수선이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 꼭짓점 B {\displaystyle B} 또는 C {\displaystyle C} 를 지나며 꼭짓점 A {\displaystyle A} 에서 각각 변 C A {\displaystyle CA} 또는 A B {\displaystyle AB} 에 접하는 두 원의 교점 C A {\displaystyle C_{A}} , 꼭짓점 C {\displaystyle C} 또는 A {\displaystyle A} 를 지나며 꼭짓점 B {\displaystyle B} 에서 각각 변 A B {\displaystyle AB} 또는 B C {\displaystyle BC} 에 접하는 두 원의 교점 C B {\displaystyle C_{B}} , 꼭짓점 A {\displaystyle A} 또는 B {\displaystyle B} 를 지나며 꼭짓점 C {\displaystyle C} 에서 각각 변 B C {\displaystyle BC} 또는 C A {\displaystyle CA} 에 접하는 두 원의 교점 C C {\displaystyle C_{C}} 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 제2 브로카르 삼각형(영어: second Brocard triangle) C A C B C C {\displaystyle C_{A}C_{B}C_{C}} 라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 C A {\displaystyle C_{A}} , C B {\displaystyle C_{B}} , C C {\displaystyle C_{C}} 는 각각 대칭 중선 A K {\displaystyle AK} , B K {\displaystyle BK} , C K {\displaystyle CK} 위의 점이다. 증명: 접현각의 성질에 따라 ∠ C A A B = ∠ C A C A {\displaystyle \angle C_{A}AB=\angle C_{A}CA} ∠ C A B A = ∠ C A A C {\displaystyle \angle C_{A}BA=\angle C_{A}AC} 이므로 삼각형 C A A B {\displaystyle C_{A}AB} 와 C A C A {\displaystyle C_{A}CA} 는 닮음이다. 따라서 C A {\displaystyle C_{A}} 와 삼각형의 두 변 A B {\displaystyle AB} , C A {\displaystyle CA} 사이의 거리의 비는 A B / C A = c / b {\displaystyle AB/CA=c/b} 이다. 즉, C A {\displaystyle C_{A}} 는 대칭 중선 A K {\displaystyle AK} 위의 점이다. 브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형 C A C B C C {\displaystyle C_{A}C_{B}C_{C}} 의 외접원이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 C A {\displaystyle C_{A}} , C B {\displaystyle C_{B}} , C C {\displaystyle C_{C}} 는 각각 선분 A K {\displaystyle AK} , B K {\displaystyle BK} , C K {\displaystyle CK} 를 연장한 외접원의 현의 중점이다.:118, §10.4 증명: 편의상 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 가 예각 삼각형이며 대칭 중점 K {\displaystyle K} 가 선분 A C A {\displaystyle AC_{A}} 위의 점이며 외심 O {\displaystyle O} 가 삼각형 A C A C {\displaystyle AC_{A}C} 의 내부에 속한다고 가정하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 ∠ B C A C = 2 ∠ B A C = ∠ B O C {\displaystyle \angle BC_{A}C=2\angle BAC=\angle BOC} 이므로 B {\displaystyle B} , C A {\displaystyle C_{A}} , O {\displaystyle O} , C {\displaystyle C} 는 한 원 위의 점이다. 따라서 다음이 성립한다. ∠ K C A O = ∠ A C A C − ∠ O C A C = ( π − ∠ C A A C − ∠ C A C A ) − ∠ O B C = ( π − ∠ C A A C − ∠ C A A B ) − ( π / 2 − ∠ B A C ) = ( π − ∠ B A C ) − ( π / 2 − ∠ B A C ) = π / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\angle KC_{A}O&=\angle AC_{A}C-\angle OC_{A}C\\&=(\pi -\angle C_{A}AC-\angle C_{A}CA)-\angle OBC\\&=(\pi -\angle C_{A}AC-\angle C_{A}AB)-(\pi /2-\angle BAC)\\&=(\pi -\angle BAC)-(\pi /2-\angle BAC)\\&=\pi /2\end{aligned}}} 즉, 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 C A {\displaystyle C_{A}} 는 브로카르 원 위의 점이다. 유향 선분 A K {\displaystyle AK} 의 연장선과 외접원의 교점을 D {\displaystyle D} 라고 하자. 그렇다면 O C A {\displaystyle OC_{A}} 가 현 A D {\displaystyle AD} 의 수선이므로 C A {\displaystyle C_{A}} 는 현 A D {\displaystyle AD} 의 중점이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 B B B C {\displaystyle B_{B}B_{C}} , B C B A {\displaystyle B_{C}B_{A}} , B A B B {\displaystyle B_{A}B_{B}} 의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 슈타이너 점(영어: Steiner point) S {\displaystyle S} 라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 B B B C {\displaystyle B_{B}B_{C}} , B C B A {\displaystyle B_{C}B_{A}} , B A B B {\displaystyle B_{A}B_{B}} 의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 타리 점(영어: Tarry point) T {\displaystyle T} 라고 한다 (가스통 타리, 프랑스어: Gaston Tarry). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 대척점이다.:119–120, §10.5, (a) 증명: 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 를 지나는 변 B B B C {\displaystyle B_{B}B_{C}} , B C B A {\displaystyle B_{C}B_{A}} 의 평행선의 교점을 S {\displaystyle S} 라고 하자. 그렇다면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 가 닮음이므로 ∠ A S B = ∠ B A B C B B = ∠ A C B {\displaystyle \angle ASB=\angle B_{A}B_{C}B_{B}=\angle ACB} 이다. 따라서 S {\displaystyle S} 는 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라 ∠ B S C = ∠ B A C = ∠ B B B A B C {\displaystyle \angle BSC=\angle BAC=\angle B_{B}B_{A}B_{C}} 이다. B S {\displaystyle BS} 와 B C B A {\displaystyle B_{C}B_{A}} 가 평행하므로 C S {\displaystyle CS} 는 B A B B {\displaystyle B_{A}B_{B}} 와 평행한다. 점 S {\displaystyle S} 의 대척점을 T {\displaystyle T} 라고 하자. 그렇다면 선분 S T {\displaystyle ST} 가 외접원의 지름이므로 A T {\displaystyle AT} , B T {\displaystyle BT} , C T {\displaystyle CT} 는 각각 A S {\displaystyle AS} , B S {\displaystyle BS} , C S {\displaystyle CS} 의 수선이다. 따라서 A T {\displaystyle AT} , B T {\displaystyle BT} , C T {\displaystyle CT} 는 B B B C {\displaystyle B_{B}B_{C}} , B C B A {\displaystyle B_{C}B_{A}} , B A B B {\displaystyle B_{A}B_{B}} 의 수선이다. 슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.:120, §10.5, (a) 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 대칭 중점 K {\displaystyle K} 는 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 의 슈타이너 점이다.:121, §10.5, (b) 증명: 우선, 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 의 제1 브로카르 삼각형 B A 2 B B 2 B C 2 {\displaystyle B_{A}^{2}B_{B}^{2}B_{C}^{2}} 의 각 변 B B 2 B C 2 {\displaystyle B_{B}^{2}B_{C}^{2}} , B C 2 B A 2 {\displaystyle B_{C}^{2}B_{A}^{2}} , B A 2 B B 2 {\displaystyle B_{A}^{2}B_{B}^{2}} 가 원래 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 중심 닮음임을 증명하자. 대칭성에 따라 B A 2 B B 2 {\displaystyle B_{A}^{2}B_{B}^{2}} 와 A B {\displaystyle AB} 가 평행함을 증명하면 충분하다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 를 조합한 도형은 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 와 그 제1 브로카르 삼각형 B A 2 B B 2 B C 2 {\displaystyle B_{A}^{2}B_{B}^{2}B_{C}^{2}} 를 조합한 도형과 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다. 따라서 B C {\displaystyle BC} 에서 B A B B {\displaystyle B_{A}B_{B}} 로 회전한 각의 크기와 B B B C {\displaystyle B_{B}B_{C}} 에서 B A 2 B B 2 {\displaystyle B_{A}^{2}B_{B}^{2}} 로 회전한 각의 크기는 덧셈 역원이다. B A B B {\displaystyle B_{A}B_{B}} 에서 B B B C {\displaystyle B_{B}B_{C}} 로 회전한 각의 크기는 B C {\displaystyle BC} 에서 A B {\displaystyle AB} 로 회전한 각의 크기와 같으므로 (절댓값은 ∠ A B C {\displaystyle \angle ABC} ), B C {\displaystyle BC} 에서 B A 2 B B 2 {\displaystyle B_{A}^{2}B_{B}^{2}} 로 회전한 각의 크기는 B C {\displaystyle BC} 에서 A B {\displaystyle AB} 로 회전한 각의 크기와 같다. 따라서 B A 2 B B 2 {\displaystyle B_{A}^{2}B_{B}^{2}} 와 A B {\displaystyle AB} 는 평행한다. 이제 대칭 중점 K {\displaystyle K} 가 제1 브로카르 삼각형 B A B B B C {\displaystyle B_{A}B_{B}B_{C}} 의 슈타이너 점임을 증명하자. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외심을 O {\displaystyle O} 라고 하자. 대칭성에 따라 B A K {\displaystyle B_{A}K} 와 B B 2 B C 2 {\displaystyle B_{B}^{2}B_{C}^{2}} 가 평행함을 증명하면 충분하다. 이는 B A K {\displaystyle B_{A}K} 와 B A O {\displaystyle B_{A}O} 가 수직이며 B A O {\displaystyle B_{A}O} 와 B C {\displaystyle BC} 가 수직이며 또한 B C {\displaystyle BC} 와 B B 2 B C 2 {\displaystyle B_{B}^{2}B_{C}^{2}} 가 평행하므로 성립한다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 브로카르 각을 ω {\displaystyle \omega } 라고 하자. 그렇다면 각각 선분 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 를 한 변으로 하는 삼각형 P B C {\displaystyle PBC} , Q C A {\displaystyle QCA} , R A B {\displaystyle RAB} 의 브로카르 각이 ω {\displaystyle \omega } 가 되게 만드는 점 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} , R {\displaystyle R} 의 자취는 각각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 원과 이를 각각 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 에 대하여 반사한 상이다. 총 6개의 원 가운데 각각 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 3개의 원을 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 노이베르크 원(영어: Neuberg circles)이라고 한다 (요제프 노이베르크, 룩셈부르크어: Joseph Neuberg). 증명: 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 와 음이 아닌 실수 ω ∈ [ 0 , π / 6 ] {\displaystyle \omega \in [0,\pi /6]} 이 주어졌다고 하자. 삼각형의 변 B C {\displaystyle BC} 의 중점을 M A {\displaystyle M_{A}} 라고 하자. 변 B C {\displaystyle BC} 의 수직 이등분선에서 변 B C {\displaystyle BC} 에 대하여 A {\displaystyle A} 와 같은 쪽이며 N A M A = 1 2 a cot ⁡ ω {\displaystyle N_{A}M_{A}={\frac {1}{2}}a\cot \omega } 인 점 N A {\displaystyle N_{A}} 를 취하자. 아폴로니오스 정리에 따라 A M A 2 = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 − 1 4 a 2 {\displaystyle {AM_{A}}^{2}={\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}} 이다. 또한 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 넓이는 다음과 같다. S = 1 2 a ⋅ A M A ⋅ cos ⁡ ∠ A M A N A {\displaystyle S={\frac {1}{2}}a\cdot AM_{A}\cdot \cos \angle AM_{A}N_{A}} 코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. N A A 2 = A M A 2 + N A M A 2 − 2 ⋅ A M A ⋅ N A M A ⋅ cos ⁡ ∠ A M A N A = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 − 1 4 a 2 + 1 4 a 2 cot 2 ⁡ ω − 2 ⋅ A M A ⋅ 1 2 a cot ⁡ ω ⋅ cos ⁡ ∠ A M A N A = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 − 1 4 a 2 + 1 4 a 2 cot 2 ⁡ ω − 2 S cot ⁡ ω {\displaystyle {\begin{aligned}N_{A}A^{2}&={AM_{A}}^{2}+{N_{A}M_{A}}^{2}-2\cdot AM_{A}\cdot N_{A}M_{A}\cdot \cos \angle AM_{A}N_{A}\\&={\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}\cot ^{2}\omega -2\cdot AM_{A}\cdot {\frac {1}{2}}a\cot \omega \cdot \cos \angle AM_{A}N_{A}\\&={\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}\cot ^{2}\omega -2S\cot \omega \end{aligned}}} 만약 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 브로카르 각이 ω {\displaystyle \omega } 라면, N A A 2 = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 − 1 4 a 2 + 1 4 a 2 cot 2 ⁡ ω − a 2 + b 2 + c 2 2 = 1 4 a 2 ( cot 2 ⁡ ω − 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}N_{A}A^{2}&={\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}\cot ^{2}\omega -{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\\&={\frac {1}{4}}a^{2}(\cot ^{2}\omega -3)\end{aligned}}} 이다. 즉, A {\displaystyle A} 는 중심이 N A {\displaystyle N_{A}} , 반지름이 1 2 a cot 2 ⁡ ω − 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}a{\sqrt {\cot ^{2}\omega -3}}} 인 원 위의 점이다. 반대로, 만약 N A A = 1 2 a cot 2 ⁡ ω − 3 {\displaystyle N_{A}A={\frac {1}{2}}a{\sqrt {\cot ^{2}\omega -3}}} 이라면, cot ⁡ ω = a 2 + b 2 + c 2 4 S {\displaystyle \cot \omega ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}} 이므로 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 브로카르 각은 ω {\displaystyle \omega } 이다. 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 지나는 노이베르크 원의 중심 N A {\displaystyle N_{A}} , N B {\displaystyle N_{B}} , N C {\displaystyle N_{C}} 는 각각 삼각형의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심 N A {\displaystyle N_{A}} , N B {\displaystyle N_{B}} , N C {\displaystyle N_{C}} 와 삼각형의 변 B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} , A B {\displaystyle AB} 사이의 거리는 각각 다음과 같다.:287, §[XVII.]480 d ( N A , B C ) = 1 2 a cot ⁡ ω {\displaystyle d(N_{A},BC)={\frac {1}{2}}a\cot \omega } d ( N B , C A ) = 1 2 b cot ⁡ ω {\displaystyle d(N_{B},CA)={\frac {1}{2}}b\cot \omega } d ( N C , A B ) = 1 2 c cot ⁡ ω {\displaystyle d(N_{C},AB)={\frac {1}{2}}c\cot \omega } 노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다.:287, §[XVII.]480 N A A = 1 2 a cot 2 ⁡ ω − 3 {\displaystyle N_{A}A={\frac {1}{2}}a{\sqrt {\cot ^{2}\omega -3}}} N B B = 1 2 b cot 2 ⁡ ω − 3 {\displaystyle N_{B}B={\frac {1}{2}}b{\sqrt {\cot ^{2}\omega -3}}} N C C = 1 2 c cot 2 ⁡ ω − 3 {\displaystyle N_{C}C={\frac {1}{2}}c{\sqrt {\cot ^{2}\omega -3}}} 꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 를 중심으로 하며 선분 B C {\displaystyle BC} 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점 B {\displaystyle B} 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 C {\displaystyle C} , A {\displaystyle A} 를 중심으로 하며 선분 C A {\displaystyle CA} 를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점 C {\displaystyle C} 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 를 중심으로 하며 선분 A B {\displaystyle AB} 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분 B C {\displaystyle BC} 및 변화하는 점 A {\displaystyle A} 에 대한 (꼭짓점 A {\displaystyle A} 를 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 그 두 극한점 L {\displaystyle L} , L ′ {\displaystyle L'} 과 선분 B C {\displaystyle BC} 는 두 정삼각형 L B C {\displaystyle LBC} , L ′ B C {\displaystyle L'BC} 를 이룬다.:289, §[XVII.]484 오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레(독일어: August Leopold Crelle)가 1816년에 도입하였다.:495 그 후 카를 프리드리히 안드레아스 야코비(독일어: Karl Friedrich Andreas Jacobi)를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다.:495 앙리 브로카르(프랑스어: Henri Brocard)가 1875년에 재발견하였다.:495 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.  Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.  Besenyei, Ádám (2015년 5월). “The Brocard Angle and a Geometrical Gem from Dmitriev and Dynkin”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 122 (5): 495–499. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.495. ISSN 0002-9890. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.495.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Brocard points”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “First Brocard point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Brocard point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Third Brocard point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Brocard angle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). 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