사인 법칙

기하학에서 사인 법칙(-法則, 영어: law of sines) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 을 마주보는 변을 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.:20, 52 a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R} 여기서 R {\displaystyle R} 은 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원의 반지름이다. 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 변 c {\displaystyle c} 위의 높이를 h {\displaystyle h} 라고 하자.:20 삼각법에 따라 h = b sin ⁡ A {\displaystyle h=b\sin A} 이므로, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 넓이 K {\displaystyle K} 는 다음과 같다. K = 1 2 c h = 1 2 b c sin ⁡ A {\displaystyle K={\frac {1}{2}}ch={\frac {1}{2}}bc\sin A} 자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다. 2 K = b c sin ⁡ A = a c sin ⁡ B = a b sin ⁡ C {\displaystyle 2K=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C} 양변에 a b c {\displaystyle abc} 를 나누면 사인 법칙을 얻는다. sin ⁡ A a = sin ⁡ B b = sin ⁡ C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}} 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 외접원을 그리자.:52 A {\displaystyle A} 를 지나는 지름을 A D {\displaystyle AD} 라고 하자. 따라서 A B D {\displaystyle ABD} 는 직각 삼각형이며, 빗변은 A D = 2 R {\displaystyle AD=2R} 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. c = 2 R sin ⁡ D {\displaystyle c=2R\sin D} 만약 C {\displaystyle C} 가 예각일 경우, C {\displaystyle C} 와 D {\displaystyle D} 는 같은 호의 원주각이므로 ∠ C = ∠ D {\displaystyle \angle C=\angle D} 이다. 따라서 다음이 성립한다. c = 2 R sin ⁡ C {\displaystyle c=2R\sin C} 만약 C {\displaystyle C} 가 직각일 경우, B {\displaystyle B} 와 D {\displaystyle D} 는 같은 점이므로, 2 R = c {\displaystyle 2R=c} 이며 sin ⁡ C = 1 {\displaystyle \sin C=1} 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 C {\displaystyle C} 가 둔각일 경우, C {\displaystyle C} 와 D {\displaystyle D} 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, ∠ C = π − ∠ D {\displaystyle \angle C=\pi -\angle D} 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 A , B {\displaystyle A,B} 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다. 코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.:180 sin 2 ⁡ A a 2 = 1 − cos 2 ⁡ A a 2 = 4 b 2 c 2 − 4 b 2 c 2 cos 2 ⁡ A 4 a 2 b 2 c 2 = 4 b 2 c 2 − ( b 2 + c 2 − 4 b c ) 2 4 a 2 b 2 c 2 = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( b + c − a ) 4 a 2 b 2 c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}A}{a^{2}}}&={\frac {1-\cos ^{2}A}{a^{2}}}\\&={\frac {4b^{2}c^{2}-4b^{2}c^{2}\cos ^{2}A}{4a^{2}b^{2}c^{2}}}\\&={\frac {4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-4bc)^{2}}{4a^{2}b^{2}c^{2}}}\\&={\frac {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{4a^{2}b^{2}c^{2}}}\end{aligned}}} 결과가 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다. 단위 구면 위의 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 가 마주보는 변을 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, 영어: spherical law of sines)에 따르면 다음이 성립한다. sin ⁡ a sin ⁡ A = sin ⁡ b sin ⁡ B = sin ⁡ c sin ⁡ C {\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}} 구의 중심을 O {\displaystyle O} 라고 하자. O A {\displaystyle OA} 에서 아무 점 P {\displaystyle P} 를 취하자. P {\displaystyle P} 를 지나는 평면 B O C {\displaystyle BOC} 의 수선을 P D {\displaystyle PD} 라고 하자. D {\displaystyle D} 를 지나는 직선 O B , O C {\displaystyle OB,OC} 의 수선을 각각 D E , D F {\displaystyle DE,DF} 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 P E , P F {\displaystyle PE,PF} 는 각각 O B , O C {\displaystyle OB,OC} 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. P D = P E sin ⁡ B = O P sin ⁡ c sin ⁡ B {\displaystyle PD=PE\sin B=OP\sin c\sin B} P D = P F sin ⁡ C = O P sin ⁡ b sin ⁡ C {\displaystyle PD=PF\sin C=OP\sin b\sin C} 두 식에서 P D / O P {\displaystyle PD/OP} 를 소거하면 다음을 얻는다. sin ⁡ b sin ⁡ B = sin ⁡ c sin ⁡ C {\displaystyle {\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}} 남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.:21, Art. 42 구의 중심과 세 꼭짓점 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 를 잇는 벡터를 각각 a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다. ( a × b ) × ( a × c ) = ( ( a × b ) ⋅ c ) a {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\mathbf {a} } ( b × a ) × ( b × c ) = ( ( b × a ) ⋅ c ) b {\displaystyle (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=((\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} } ( c × a ) × ( c × b ) = ( ( c × a ) ⋅ b ) c {\displaystyle (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )=((\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} } 따라서 다음이 성립한다. | ( a × b ) × ( a × c ) | = | ( b × a ) × ( b × c ) | = | ( c × a ) × ( c × b ) | {\displaystyle |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )|=|(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )|} 여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다. | ( a × b ) × ( a × c ) | = sin ⁡ c sin ⁡ b sin ⁡ A {\displaystyle |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )|=\sin c\sin b\sin A} | ( b × a ) × ( b × c ) | = sin ⁡ c sin ⁡ a sin ⁡ B {\displaystyle |(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=\sin c\sin a\sin B} | ( c × a ) × ( c × b ) | = sin ⁡ b sin ⁡ a sin ⁡ C {\displaystyle |(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )|=\sin b\sin a\sin C} 제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.:20-21, Art. 40, 41 sin 2 ⁡ A sin 2 ⁡ a = 1 − cos 2 ⁡ A sin 2 ⁡ a = sin 2 ⁡ b sin 2 ⁡ c − sin 2 ⁡ b sin 2 ⁡ c cos 2 ⁡ A sin 2 ⁡ a sin 2 ⁡ b sin 2 ⁡ c = sin 2 ⁡ b sin 2 ⁡ c − ( cos ⁡ a − cos ⁡ b cos ⁡ c ) 2 sin 2 ⁡ a sin 2 ⁡ b sin 2 ⁡ c = 1 − cos 2 ⁡ a − cos 2 ⁡ b − cos 2 ⁡ c + 2 cos ⁡ a cos ⁡ b cos ⁡ c sin 2 ⁡ a sin 2 ⁡ b sin 2 ⁡ c {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}&={\frac {1-\cos ^{2}A}{\sin ^{2}a}}\\&={\frac {\sin ^{2}b\sin ^{2}c-\sin ^{2}b\sin ^{2}c\cos ^{2}A}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}}\\&={\frac {\sin ^{2}b\sin ^{2}c-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}}\\&={\frac {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}}\end{aligned}}} 가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 가 마주보는 변을 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, 영어: hyperbolic law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.:72 sinh ⁡ a sin ⁡ A = sinh ⁡ b sin ⁡ B = sinh ⁡ c sin ⁡ C {\displaystyle {\frac {\sinh a}{\sin A}}={\frac {\sinh b}{\sin B}}={\frac {\sinh c}{\sin C}}} 여기서 sinh {\displaystyle \sinh } 는 쌍곡 사인이다. 제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.:74 sin 2 ⁡ A sinh 2 ⁡ a = 1 − cos 2 ⁡ A sinh 2 ⁡ a = sinh 2 ⁡ b sinh 2 ⁡ c − sinh 2 ⁡ b sinh 2 ⁡ c cos 2 ⁡ A sinh 2 ⁡ a sinh 2 ⁡ b sinh 2 ⁡ c = sinh 2 ⁡ b sinh 2 ⁡ c − ( cosh ⁡ b cosh ⁡ c − cosh ⁡ a ) 2 sinh 2 ⁡ a sinh 2 ⁡ b sinh 2 ⁡ c = 1 − cosh 2 ⁡ a − cosh 2 ⁡ b − cosh 2 ⁡ c + 2 cosh ⁡ a cosh ⁡ b cosh ⁡ c sinh 2 ⁡ a sinh 2 ⁡ b sinh 2 ⁡ c {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}A}{\sinh ^{2}a}}&={\frac {1-\cos ^{2}A}{\sinh ^{2}a}}\\&={\frac {\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c-\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c\cos ^{2}A}{\sinh ^{2}a\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c}}\\&={\frac {\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c-(\cosh b\cosh c-\cosh a)^{2}}{\sinh ^{2}a\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c}}\\&={\frac {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh ^{2}a\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c}}\end{aligned}}} 코사인 법칙 탄젠트 법칙 코탄젠트 법칙 Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.  Nystedt, Patrik (2017년 6월). “A Proof of the Law of Sines Using the Law of Cosines”. 《Mathematics Magazine》 (Taylor & Francis, Ltd.) 90 (3): 180-181. doi:10.4169/math.mag.90.3.180. ISSN 0025-570X. MR 3654857.  Todhunter, I. (1886). 《Spherical Trigonometry: For the use of colleges and schools》 (영어) 5판. London: Macmillan and Co.  李忠; 周建莹 (1991년 12월). 《双曲几何》 (중국어). 长沙: 湖南教育出版社. ISBN 978-7-5355-1376-2.  “Law of sines”. 《ProofWiki》 (영어).