헤론 공식

헤론 공식(Heron's formula)은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로써도 알려져 있다. 길이가 각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을 S {\displaystyle S} 라 하면, S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 가 성립한다. 여기서, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 이다. 또 다르게 적는다면 S = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}} S = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}} 이렇게 된다. 이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재에는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다. 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는 S = 1 2 a b sin ⁡ C ⋯ ( 1 ) {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C\cdots (1)} 에서, 코사인 법칙을 이용하면 cos ⁡ C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}} sin ⁡ C = 1 − cos 2 ⁡ C = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 a 2 b 2 {\displaystyle \sin C={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}={\sqrt {\frac {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}} . 여기서 얻어진 sin ⁡ C {\displaystyle \sin C} 의 값을 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 에 대입하면, S = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}} 그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다. 피타고라스 정리에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다. x 2 + h 2 = b 2 {\displaystyle x^{2}+h^{2}=b^{2}} 이제 h 2 {\displaystyle h^{2}} 를 좌변으로 정리하면, h 2 = b 2 − x 2 ⋯ ( 2 ) {\displaystyle h^{2}=b^{2}-x^{2}\cdots (2)} 같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다. h 2 = a 2 − ( c − x ) 2 {\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}} 이제 h 2 {\displaystyle h^{2}} 를 소거하면 다음의 등식이 성립한다. b 2 − x 2 = a 2 − ( c − x ) 2 {\displaystyle b^{2}-x^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}} 위의 등식을 간단히 정리하여 x {\displaystyle x} 에 대해 정리하면 다음과 같다. x = 1 2 c ( c 2 + b 2 − a 2 ) {\displaystyle x={\frac {1}{2c}}(c^{2}+b^{2}-a^{2})} 이를 ( 2 ) {\displaystyle (2)} 에 대입하면, h 2 = b 2 − ( 1 2 c ( − a 2 + b 2 + c 2 ) ) 2 {\displaystyle h^{2}=b^{2}-({\frac {1}{2c}}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}))^{2}} 위의 등식을 h에 대해 정리하면, h 2 = 1 4 c 2 ( 4 b 2 c 2 − ( c 2 + b 2 − a 2 ) 2 ) {\displaystyle h^{2}={\frac {1}{4c^{2}}}(4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2})} ∴ h = 1 4 c 2 ( 4 b 2 c 2 − ( c 2 + b 2 − a 2 ) 2 ) = 1 2 c ( 4 b 2 c 2 − ( c 2 + b 2 − a 2 ) 2 ) {\displaystyle \therefore h={\sqrt {\frac {1}{4c^{2}}}}{\sqrt {(4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2})}}={\frac {1}{2c}}{\sqrt {(4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2})}}} 삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다. S = c h 2 = c 2 1 2 c 4 b 2 c 2 − ( c 2 + b 2 − a 2 ) 2 {\displaystyle S={\frac {ch}{2}}={\frac {c}{2}}{\frac {1}{2c}}{\sqrt {4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}}}} ∴ S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle \therefore S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 단, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 삼각형 ABC의 세변 BC,CA,AB를 a,b,c라고 놓자. 그리고 오른쪽 삼각형처럼 B를 원점으로 하고 한변을 X축에 놓게 좌표평면에 그릴 수 있다. 이 때 점 C는 (Z,0) 점 A는 (X,Y)라 가정할 수 있다. 먼저 a = Z , b = ( X − Z ) 2 + Y 2 , c = X 2 + Y 2 {\displaystyle a=Z,b={\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}},c={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}} 라고 할 수 있다. 이때 s = Z + ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 2 , ( s = a + b + c 2 ) {\displaystyle s={\frac {Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}},(s={\frac {a+b+c}{2}})} s − a = − Z + ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 2 {\displaystyle s-a={\frac {-Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}} s − b = Z − ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 2 {\displaystyle s-b={\frac {Z-{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}} s − c = Z + ( X − Z ) 2 + Y 2 − X 2 + Y 2 2 {\displaystyle s-c={\frac {Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}-{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}} s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} = ( − Z 2 + ( ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 ) 2 ) 2 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(-Z^{2}+({\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})^{2})^{2}}{4}}}} x ( Z 2 − ( ( X − Z ) 2 + Y 2 − X 2 + Y 2 ) 2 ) 2 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(Z^{2}-({\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}-{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})^{2})^{2}}{4}}}} = ( 2 X 2 + 2 Y 2 − 2 X Z + 2 ( ( X − Z ) 2 + Y 2 ) ( X 2 + Y 2 ) ) 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(2X^{2}+2Y^{2}-2XZ+2{\sqrt {((X-Z)^{2}+Y^{2})(X^{2}+Y^{2})}})}{4}}}} x ( 2 X 2 + 2 Y 2 − 2 X Z − 2 ( ( X − Z ) 2 + Y 2 ) ( X 2 + Y 2 ) ) 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(2X^{2}+2Y^{2}-2XZ-2{\sqrt {((X-Z)^{2}+Y^{2})(X^{2}+Y^{2})}})}{4}}}} = ( Y Z ) ( Y Z ) 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {(YZ)(YZ)}}{2}}} = Y Z 2 {\displaystyle {\frac {YZ}{2}}} 삼각형 ABC의 넓이는 밑변인 BC 와 높이를 가지고 구할 수 있다. S = 1 2 B C × h = 1 2 Z × Y = Y Z 2 {\displaystyle S={\frac {1}{2}}BC\times h={\frac {1}{2}}Z\times Y={\frac {YZ}{2}}} = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 증명들 중에서는 일부 창의적인 방식을 통해 증명해 나가는 경우가 있다. 보조선을 사용하는 것이 그 예이다. 이때 좌표평면을 사용하면 어려운 증명이라도 계산만 복잡할 뿐 많은 것을 증명할 수 가 있다. 이제 한번 좌표평면으로 헤론의 공식을 증명해보아 별다른 방식 없이도 가능하다는 것을 보일 수 있었다. 헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다. 헤론의 공식과 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 사변형에 대한 특별한 경우이다 헤론의 공식은 브라마굽타 공식 또는 브레치나이더 공식에서 사변형의 변 중 하나를 0으로 설정하여 얻을 수 있다. 또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다. S = 1 4 | 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 | {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}} 사면체의 부피를 케일리-멩거 행렬식을 통해 나타낸 공식은 헤론의 공식의 일반화이다. 이를 전개한 공식은 15세기에 피에로 델라 프란체스카가 발견한 공식과 일치한다. 삼각함수 삼각행렬 http://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.htm mathpages