이차 리 대수

리 군론에서 이차 리 대수(二次Lie代數, 영어: quadratic Lie algebra)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다. K {\displaystyle K} -리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} K {\displaystyle K} -비퇴화 쌍선형 형식 g ⊗ K g → K {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to K} , x ⊗ y ↦ ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\otimes y\mapsto \langle x,y\rangle } 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. ⟨ [ x , y ] | z ⟩ = ⟨ y | [ z , x ] ⟩ {\displaystyle \langle [x,y]|z\rangle =\langle y|[z,x]\rangle } 아인슈타인 표기법을 사용하여, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 원소를 t i {\displaystyle t^{i}} 와 같이 윗첨자로 표기하고, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 구조 상수를 [ t i , t j ] = f k i j t i t j {\displaystyle [t^{i},t^{j}]=f^{k}{}_{ij}t^{i}t^{j}} 와 같이 적고 ( f k i j = − f j i k {\displaystyle f^{k}{}_{ij}=-f_{ji}^{k}} ), 쌍선형 형식을 ⟨ t i | t j ⟩ = C i j t i t j {\displaystyle \langle t^{i}|t^{j}\rangle =C_{ij}t^{i}t^{j}} 와 같이 적을 경우 ( C i j = C j i {\displaystyle C_{ij}=C_{ji}} ), 위 조건은 다음과 같다. 0 = C l ( j f l k ) i = C l j f l k i + C l k f l j i {\displaystyle 0=C_{l(j}f^{l}{}_{k)i}=C_{lj}f^{l}{}_{ki}+C_{lk}f^{l}{}_{ji}} 여기서 ( … ) {\displaystyle (\dotso )} 는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다. 같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다. 다음이 주어졌다고 하자. 체 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} -이차 리 대수 ( g , ⟨ − | − ⟩ ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},\langle -|-\rangle )} K {\displaystyle K} -리 대수 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 ⟨ − | − ⟩ h {\displaystyle \langle -|-\rangle _{\mathfrak {h}}} (이는 비퇴화가 아닐 수 있다) K {\displaystyle K} -리 대수 준동형 ( ⋅ ) : h → d e r ( g ) ∩ o ( g ) {\displaystyle (\cdot )\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})\cap {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})} (여기서 o ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})} 는 대칭 쌍선형 형식 ⟨ − | − ⟩ {\displaystyle \langle -|-\rangle } 에 대한 직교 리 대수) 그렇다면, 직합 K {\displaystyle K} -벡터 공간 g ⊕ h ⊕ h ∨ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }} 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다. ⟨ ( g ′ , h ′ , h ′ ∨ ) | ( g , h , h ∨ ) ⟩ = ⟨ g ′ | g ⟩ + ⟨ h ∨ | h ′ ⟩ + ⟨ h ′ ∨ | h ⟩ + ⟨ h ′ | h ⟩ {\displaystyle \langle (g',h',h'^{\vee })|(g,h,h^{\vee })\rangle =\langle g'|g\rangle +\langle h^{\vee }|h'\rangle +\langle h'^{\vee }|h\rangle +\langle h'|h\rangle } [ ( g , 0 , 0 ) , ( g ′ , 0 , 0 ) ] = ( [ g , g ′ ] , 0 , ω ( g , g ′ ) ) {\displaystyle [(g,0,0),(g',0,0)]=([g,g'],0,\omega (g,g'))} [ ( 0 , h , 0 ) , ( 0 , h ′ , 0 ) ] = ( 0 , [ h , h ′ ] , 0 ) {\displaystyle [(0,h,0),(0,h',0)]=(0,[h,h'],0)} [ ( 0 , 0 , h ∨ ) , ( g , 0 , h ′ ∨ ) ] = 0 {\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(g,0,h'^{\vee })]=0} [ ( 0 , h , 0 ) , ( 0 , g , 0 ) ] = ( h ⋅ g , 0 , 0 ) {\displaystyle [(0,h,0),(0,g,0)]=(h\cdot g,0,0)} [ ( 0 , 0 , h ∨ ) , ( 0 , h , 0 ) ] = ( 0 , 0 , h ∨ ∘ ad h ) {\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(0,h,0)]=(0,0,h^{\vee }\circ \operatorname {ad} _{h})} 여기서 ω ( g , g ′ ) ∈ h ∗ {\displaystyle \omega (g,g')\in {\mathfrak {h}}^{*}} ω ( g , g ′ ) ( h ) = ⟨ h ⋅ g | g ′ ⟩ {\displaystyle \omega (g,g')(h)=\langle h\cdot g|g'\rangle } 이다. 이를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의, h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 를 통한 이중 확대(영어: double extension)라고 한다.:553–554, §0.2 만약 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 일 때, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부호수가 ( m + , m − ) {\displaystyle (m_{+},m_{-})} 이며, h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 가 n {\displaystyle n} 차원이라면, h {\displaystyle h} 위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 를 통한 이중 확대의 부호수는 ( m + + n , m − + n ) {\displaystyle (m_{+}+n,m_{-}+n)} 이다. 증명: 이중 확대 g ⊕ h ⊕ h ∨ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }} 에서, h ⊕ h ∨ {\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }} 의 부호수를 계산하면 된다. h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때, h ⊕ h ∨ {\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }} 위의 대칭 쌍선형 형식은 ( 0 1 1 a ) ( a ∈ { 0 , 1 , − 1 } ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix}}\qquad (a\in \{0,1,-1\})} 의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 a {\displaystyle a} 의 값에 관계 없이 모두 부호수가 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} 임을 쉽게 확인할 수 있다. 비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다. 실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다. 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. 증명: 실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다. 실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.:Théorème Ⅱ 즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.:Théorème Ⅱ 마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.:Théorème Ⅲ 직합 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 g ↦ g ⊕ R ⊕ R {\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } 표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다. 임의의 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다. 가환환 K {\displaystyle K} 위의 이차 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 g [ t ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]} 위에 리 괄호 [ p , q ] g [ t ] ( t ) = [ p ( t ) , q ( t ) ] g {\displaystyle [p,q]_{{\mathfrak {g}}[t]}(t)=[p(t),q(t)]_{\mathfrak {g}}} 를 줄 수 있다. 또한, 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, t n g [ t ] ⊆ g {\displaystyle t^{n}{\mathfrak {g}}[t]\subseteq {\mathfrak {g}}} 는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수 g [ t ] t n g [ t ] = ⊕ i = 0 n − 1 g t i {\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}[t]}{t^{n}{\mathfrak {g}}[t]}}=\oplus _{i=0}^{n-1}{\mathfrak {g}}t^{i}} 를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자. ⟨ x 0 + x 1 t + ⋯ + x n − 1 t n − 1 | y 0 + y 1 t + ⋯ + y n − 1 t n − 1 ⟩ = ⟨ x n − 1 | y n − 1 ⟩ g {\displaystyle \langle x_{0}+x_{1}t+\dotsb +x_{n-1}t^{n-1}|y_{0}+y_{1}t+\dotsb +y_{n-1}t^{n-1}\rangle =\langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle _{\mathfrak {g}}} 그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다. 이제, 만약 예를 들어 K {\displaystyle K} 가 표수 0의 체이며, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 단순 리 대수이며, n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다. 다음과 같은 리 대수를 생각하자.:Proposition 2.2 g 4 = Span R ⁡ { C , L + , L − , C ∗ } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{C,L_{+},L_{-},C^{*}\}} [ C , L ± ] = ± L ± {\displaystyle [C,L_{\pm }]=\pm L_{\pm }} [ L + , L − ] = C ∗ {\displaystyle [L_{+},L_{-}]=C^{*}} [ L ± , L ± ] = 0 {\displaystyle [L_{\pm },L_{\pm }]=0} [ C , C ∗ ] = [ L ± , C ∗ ] = 0 {\displaystyle [C,C^{*}]=[L_{\pm },C^{*}]=0} 여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식 ⟨ C ∗ | C ⟩ = 1 {\displaystyle \langle C^{*}|C\rangle =1} ⟨ L ± | L ∓ ⟩ = 1 {\displaystyle \langle L_{\pm }|L_{\mp }\rangle =1} ⟨ L ± | L ± ⟩ = ⟨ C | C ⟩ = ⟨ C ∗ | C ∗ ⟩ = ⟨ C ∗ | L ± ⟩ = ⟨ C | L ± ⟩ = 0 {\displaystyle \langle L_{\pm }|L_{\pm }\rangle =\langle C|C\rangle =\langle C^{*}|C^{*}\rangle =\langle C^{*}|L_{\pm }\rangle =\langle C|L_{\pm }\rangle =0} 을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다. 이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다. 또한, 다음을 생각하자.:Proposition 2.3 g 5 = Span R ⁡ { x 1 , x 2 , t , x 1 , x 2 } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{5}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x_{1},x_{2},t,x^{1},x^{2}\}} ⟨ x i | x j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle x_{i}|x^{j}\rangle =\delta _{i}^{j}} ⟨ x i | x j ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x_{i}|x_{j}\rangle =0} ⟨ t | t ⟩ = 1 {\displaystyle \langle t|t\rangle =1} [ x 1 , x 2 ] = t {\displaystyle [x_{1},x_{2}]=t} [ x i , t ] = − ϵ i j x j {\displaystyle [x_{i},t]=-\epsilon _{ij}x^{j}} [ x j , t ] = [ x i , x j ] = 0 {\displaystyle [x^{j},t]=[x_{i},x^{j}]=0} 여기서 δ i j {\displaystyle \delta _{i}^{j}} 는 크로네커 델타이며, ϵ i j {\displaystyle \epsilon _{ij}} 는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다. 이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다. 이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다. 6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다. 실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다. Medina, Alberto; Revoy, Philippe (1985). “Algèbres de Lie et produit scalaire invariant”. 《Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure》 (프랑스어) 18 (3): 553–561. doi:10.24033/asens.1496. MR 826103. Zbl 0592.17006.  Postnikov, M. M. 《Geometry Ⅵ. Riemannian geometry》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어). doi:10.1007/978-3-662-04433-9. ISBN 978-3-540-41108-6.  Dat, Pham Tien; Thanh, Duong Minh; Vu, Le Anh (2012). “Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions”. 《East–West Journal of Mathematics》 (영어) 14 (2): 208–218. arXiv:1204.4787. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Benayadi, Saïd; Elduque, Alberto (2014). “Classification of quadratic Lie algebras of low dimension” (영어). arXiv:1404.5174.  “A terminology issue with the Killing form”. 《Math Overflow》 (영어).