에일렌베르크-매클레인 공간

대수적 위상수학에서 에일렌베르크-매클레인 공간(-空間, 영어: Eilenberg–MacLane space)은 주어진 특정 차수의 호모토피 군을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 자명군인 위상 공간이다. 군 G {\displaystyle G} 및 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다. π k ( K ( G , n ) ) = { G k = n 1 k ≠ n {\displaystyle \pi _{k}(K(G,n))={\begin{cases}G&k=n\\1&k\neq n\end{cases}}} 만약 n > 1 {\displaystyle n>1} 이라면, G {\displaystyle G} 는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다. 주어진 아벨 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, 고리 공간 함자 L {\displaystyle L} 을 통해 ⋯ → L K ( G , 2 ) → L K ( G , 1 ) → K ( G , 0 ) {\displaystyle \cdots {\xrightarrow {L}}K(G,2){\xrightarrow {L}}K(G,1){\xrightarrow {K}}(G,0)} 을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, 에일린베르크-매클레인 스펙트럼이라고 한다. 이는 G {\displaystyle G} 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다. 임의의 군 G {\displaystyle G} 및 양의 정수 n {\displaystyle n} 이 주어졌으며, 만약 n > 1 {\displaystyle n>1} 이라면 G {\displaystyle G} 가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다. K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 을 이루는 CW 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, n {\displaystyle n} 차원 초구들의 쐐기합의 n {\displaystyle n} 차 호모토피 군은 n = 1 {\displaystyle n=1} 일 경우 자유군이고, n > 1 {\displaystyle n>1} 일 경우 자유 아벨 군이다. π 1 ( ⋁ I S 1 ) ≅ ⟨ I ⟩ {\displaystyle \pi _{1}\left(\bigvee _{I}\mathbb {S} ^{1}\right)\cong \langle I\rangle } π n ( ⋁ I S n ) ≅ Z ⊕ I {\displaystyle \pi _{n}\left(\bigvee _{I}\mathbb {S} ^{n}\right)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus I}} 군 G {\displaystyle G} 의 표시 G ≅ ⟨ I | ( R j ) j ∈ J ⟩ ( R j ∈ F ( I ) {\displaystyle G\cong \langle I|(R_{j})_{j\in J}\rangle \qquad (R_{j}\in F(I)} 를 임의로 고르자. 여기서 F ( I ) {\displaystyle F(I)} 는 n = 1 {\displaystyle n=1} 일 경우 집합 I {\displaystyle I} 위의 자유군이며 n > 1 {\displaystyle n>1} 일 경우 집합 I {\displaystyle I} 위의 자유 아벨 군이다. 그렇다면, n {\displaystyle n} 차원 초구들의 쐐기합 X n = ⋁ i ∈ I S n {\displaystyle X_{n}=\bigvee _{i\in I}\mathbb {S} ^{n}} 을 생각하자. 각 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 에 대하여, R j ∈ F ( I ) ≅ π n ( X 1 ) {\displaystyle R_{j}\in F(I)\cong \pi _{n}(X_{1})} 에 대응하는 사상 f j : S n → π n ( X 1 ) {\displaystyle f_{j}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \pi _{n}(X_{1})} 을 고르자. 이 사상을 따라, n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 세포들을 붙여 CW 복합체 X n + 1 {\displaystyle X_{n+1}} 을 만들 수 있다. 그렇다면 π i ( X n + 1 ) = 0 ∀ i < n {\displaystyle \pi _{i}(X_{n+1})=0\qquad \forall i<n} π n ( X n + 1 ) ≅ G {\displaystyle \pi _{n}(X_{n+1})\cong G} 이다. 그러나 X n + 1 {\displaystyle X_{n+1}} 은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다. 이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다. π n + 1 ( X n + 1 ) {\displaystyle \pi _{n+1}(X_{n+1})} 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 n + 2 {\displaystyle n+2} 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 X n + 2 {\displaystyle X_{n+2}} 라고 하자. π n + 2 ( X n + 2 ) {\displaystyle \pi _{n+2}(X_{n+2})} 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 n + 3 {\displaystyle n+3} 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 X n + 3 {\displaystyle X_{n+3}} 라고 하자. ⋮ 이와 같이 계속하여 모든 n {\displaystyle n} 에 대하여 X n {\displaystyle X_{n}} 을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한 X ∞ = lim → n → ∞ ⁡ X n {\displaystyle X_{\infty }=\varinjlim _{n\to \infty }X_{n}} 을 취하자. 그렇다면 X n {\displaystyle X_{n}} 은 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 을 이룬다. 군 G {\displaystyle G} 에 이산 위상을 주자. 그렇다면, 분류 공간 B ⁡ G {\displaystyle \operatorname {B} G} 는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간 B ⁡ G ≃ K ( G , 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} G\simeq K(G,1)} 을 이룬다. 이러한 분류 공간은 다음과 같이 단체 복합체로 구성할 수 있다. 우선, E ⁡ G {\displaystyle \operatorname {E} G} 가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자. E ⁡ G {\displaystyle \operatorname {E} G} 의 n {\displaystyle n} 차원 단체의 집합은 G n + 1 {\displaystyle G^{n+1}} 이다. [ g 0 , … , g n ] ∈ G n + 1 {\displaystyle [g_{0},\dots ,g_{n}]\in G^{n+1}} 은 각 i {\displaystyle i} 에 대하여 면 [ g 0 , … , g ^ i , … , g n ] ∈ G n {\displaystyle [g_{0},\dots ,{\hat {g}}_{i},\dots ,g_{n}]\in G^{n}} 과 붙여져 있다. 이는 축약 가능 공간이다. E ⁡ G {\displaystyle \operatorname {E} G} 위에는 다음과 같은 G {\displaystyle G} 의 작용이 존재한다. g : E ⁡ G → E ⁡ G {\displaystyle g\colon \operatorname {E} G\to \operatorname {E} G} g : ( g 0 , … , g n ) ↦ ( g g 0 , … , g g n ) {\displaystyle g\colon (g_{0},\dots ,g_{n})\mapsto (gg_{0},\dots ,gg_{n})} 이에 따라 몫공간 B ⁡ G = E ⁡ G / G {\displaystyle \operatorname {B} G=\operatorname {E} G/G} 를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 π 1 ( B ⁡ G ) ≅ G {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {B} G)\cong G} 이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다. 마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다. 다음이 성립한다. K ( G , n ) × K ( H , n ) ≃ K ( G × H , n ) {\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)\simeq K(G\times H,n)} K ( G , n − 1 ) ≃ Ω K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n-1)\simeq \Omega K(G,n)} 여기서 Ω X {\displaystyle \Omega X} 는 X {\displaystyle X} 위의 고리 공간(영어: loop space)이다. 에크먼-힐튼 쌍대성(영어: Eckman–Hilton duality) 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다. H n ⁡ ( X ; G ) ≅ hom hTop ∙ ⁡ ( X , K ( G , n ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X;G)\cong \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,K(G,n)\right)} 특히, H 1 ⁡ ( X ; Z ) ≅ hom hTop ∙ ⁡ ( X , S 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {Z} )\cong \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,\mathbb {S} ^{1}\right)} H 2 ⁡ ( X ; Z ) ≅ hom hTop ∙ ⁡ ( X , C P ∞ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,\mathbb {CP} ^{\infty }\right)} 이다. 첫 등식은 S 1 {\displaystyle \operatorname {S} ^{1}} 이 무한 순환군의 분류 공간 B ⁡ Z {\displaystyle \operatorname {B} \mathbb {Z} } 이므로, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, f : X → S 1 {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {S} ^{1}} 에 대응하는 코호몰로지류는 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다. 둘째 등식은 C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} 이 원군의 분류 공간 B ⁡ U ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {B} \operatorname {U} (1)} 이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, f : X → C P ∞ {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {CP} ^{\infty }} 에 대응하는 코호몰로지류는 C P ∞ {\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }} 의 2차 코호몰로지 H 2 ⁡ ( C P ∞ ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })\cong \mathbb {Z} } 의 생성원의 당김이다. 대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다. 유한 차수 원소를 갖는 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, K ( G , 1 ) {\displaystyle K(G,1)} 은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다. 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 도입하였다. 포스트니코프 탑 무어 공간 (대수적 위상수학) Eilenberg, S.; MacLane, S. (1945). “Relations between homology and homotopy groups of spaces”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 46: 480–509. ISSN 0003-486X.  Eilenberg, S.; MacLane, S. (1950). “Relations between homology and homotopy groups of spaces II”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 51: 514–533. ISSN 0003-486X.  “Eilenberg-MacLane space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Eilenberg-Mac Lane space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  “Eilenberg-Mac Lane space”. 《nLab》 (영어).  “Generalized Eilenberg-MacLane space”. 《nLab》 (영어).  “Eilenberg-Mac Lane object”. 《nLab》 (영어).  “Twisted Eilenberg-MacLane space”. 《nLab》 (영어).