보렐 부분군

대수군 이론에서, 보렐 부분군(Borel部分群, 영어: Borel subgroup)은 대수군의 극대 가해 부분군이다. 보렐 부분군을 포함하는 부분군을 포물형 부분군(抛物型部分群, 영어: parabolic subgroup)이라고 한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} 위의 (자리스키 위상에서) 연결 대수군 G → Spec ⁡ K {\displaystyle G\to \operatorname {Spec} K} G {\displaystyle G} 의 보렐 부분군은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다. G {\displaystyle G} 의 부분군 가운데, 다음 세 조건들을 만족시키는 것들을 생각하자. 자리스키 위상에 대하여 닫힌집합이다. 자리스키 위상에 대하여 연결 공간이다. 군으로서 가해군이다. 이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 보렐 부분군이라고 한다.:190, Definition 7.4.1.1 대수군 G {\displaystyle G} 의 부분 대수군 가운데, G {\displaystyle G} 의 어떤 보렐 부분군을 포함하는 것을 포물형 부분군(抛物型部分群, 영어: parabolic subgroup)이라고 한다. G {\displaystyle G} 의 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 가운데, 잉여류 공간 G / H {\displaystyle G/H} 가 K {\displaystyle K} -완비 대수다양체를 이루는 것을 G {\displaystyle G} 의 포물형 부분군이라고 한다. 포물형 부분군들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 최소 원소를 보렐 부분군이라고 한다. 보렐 부분군은 켤레 아래 유일하다.:190, Theorem 7.4.1.1 즉, 대수적으로 닫힌 체 G {\displaystyle G} 위의 대수군 G {\displaystyle G} 의 임의의 두 보렐 부분군 H , H ′ ≤ G {\displaystyle H,H'\leq G} 가 주어졌을 때, H ′ = g H g − 1 {\displaystyle H'=gHg^{-1}} 가 되는 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 체 K {\displaystyle K} 위의 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 부분 리 대수 가운데, 가해 리 대수인 것들을 생각할 수 있다. 이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보렐 부분 리 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다. K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 일 때, 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } -반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 및 그 보렐 부분 리 대수 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} 를 생각하자. 그렇다면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 리 군으로 갖는 임의의 대수적 리 군 G {\displaystyle G} 에 대하여, G {\displaystyle G} 의 보렐 부분군은 리 군이며, 그 리 대수는 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} 와 동형이다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 가해 연결 대수군 G {\displaystyle G} 의 유일한 보렐 부분군 및 유일한 포물형 부분군은 G {\displaystyle G} 자신이다. 이 경우 G / G ≅ Spec ⁡ K {\displaystyle G/G\cong \operatorname {Spec} K} 는 자명하게 K {\displaystyle K} -완비 대수다양체를 이룬다. 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 일반 선형군 GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)} 을 생각하자. 그 위의 가역 상삼각 행렬들의 부분군 B = { ( m 11 m 12 ⋯ m n , n − 1 m n , n 0 m 22 ⋯ m 2 , n − 1 m 2 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 m n − 1 , n − 1 m n − 1 , n 0 0 ⋯ 0 m n n ) : m i , j ∈ K , m i i ≠ 0 ∀ i = 1 , … , n } ⊆ GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle B=\left\{{\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&\dotsm &m_{n,n-1}&m_{n,n}\\0&m_{22}&\dotsm &m_{2,n-1}&m_{2,n}\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&&&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\0&0&\dotsm &0&m_{nn}\end{pmatrix}}\colon m_{i,j}\in K,\;m_{ii}\neq 0\forall i=1,\dotsc ,n\right\}\subseteq \operatorname {GL} (n;K)} 은 GL ⁡ ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)} 의 보렐 부분군이다. 이 경우 GL ⁡ ( n ; K ) / B {\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)/B} 는 기 대수다양체이다. 복소수체 위의 반단순 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 를 생각하자. 이 경우, 다음 데이터를 고를 수 있다. 카르탕 부분 대수 h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} 양근 집합 Δ + ( g , h ) ⊆ Δ ( g , h ) {\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 그렇다면, 멱영 리 대수 n = ⨁ α ∈ Δ + ( g , h ) g α {\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}{\mathfrak {g}}_{\alpha }} 를 정의할 수 있다. 이 경우 h ⊕ n {\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}} 을 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 표준 보렐 부분 리 대수(標準Borel部分Lie代數, 영어: standard Borel subalgebra)라고 하며, 이는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 보렐 부분 리 대수를 이룬다. 아르망 보렐이 도입하였다. Procesi, Claudio (2007). 《Lie groups: an approach through invariants and representations》. Universitext (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-28929-8. ISSN 0172-5939.  Borel, Armand (1956). “Groupes linéaires algébriques”. 《Ann. of Math.》 (프랑스어) 64 (1): 20–82. MR 93006. Zbl 0070.26104.  “Borel subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Parabolic subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Parabolic subalgebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Borel subgroup”. 《nLab》 (영어).  “Parabolic subgroup”. 《nLab》 (영어).