연분수

연분수(連分數)는 다음과 같은 꼴의 분수를 말한다. x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}} 이 식에서 a 0 {\displaystyle a_{0}} 은 정수, 나머지 a n {\displaystyle a_{n}} 은 양의 정수이다. 위 분수꼴의 수를 x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 ] {\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]} 로 쓰기도 한다. 같은 방법으로 일반적인 연분수를 [ a 0 ; a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]} 로 쓴다. 이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의할 수도 있다. [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ ] = lim n → ∞ [ a 0 ; a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]} 위 극한은 어떤 양의 정수 a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots } 들에 대해서도 존재한다. 모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수는 [ 2 ; 3 , 1 ] = [ 2 ; 4 ] = 9 4 = 2.25 {\displaystyle [2;3,1]=[2;4]={\frac {9}{4}}=2.25} 의 경우와 같이 정확히 두 가지 유한 연분수로 나타내어진다. 모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현가능하며 그 표현은 유일하다. 무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 순환 연분수라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, 이차 무리수(영어: quadratic irrational number)인 것이다. 무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이런 근사 유리수값을 연분수의 근사분수(convergents)라 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다. 예를 들어, 원주율 파이( π {\displaystyle \pi } )의 근사분수들을 계산해 보자. a 0 = ⌊ π ⌋ = 3 u 1 = 1 π − 3 ≈ 113 16 = 7.0625 a 1 = ⌊ u 1 ⌋ = 7 u 2 = 1 u 1 − 7 ≈ 31993 2000 = 15.9965 a 2 = ⌊ u 2 ⌋ = 15 u 3 = 1 u 2 − 15 ≈ 1003 1000 = 1.003 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lfloor \pi \rfloor =3&u_{1}&={\frac {1}{\pi -3}}\approx {\dfrac {113}{16}}=7.0625\\a_{1}&=\lfloor u_{1}\rfloor =7&u_{2}&={\frac {1}{u_{1}-7}}\approx {\dfrac {31993}{2000}}=15.9965\\a_{2}&=\lfloor u_{2}\rfloor =15&u_{3}&={\frac {1}{u_{2}-15}}\approx {\dfrac {1003}{1000}}=1.003\end{aligned}}} ( ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } 는 x {\displaystyle x} 보다 작은 최대 정수) 이런 식으로 계속 나간다. 이를 반복하면, 무한 연분수 π = [ 3 ; 7 , 15 , 1 , 292 , 1 , 1 , 1 , 2 , ⋯ ] = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\cdots ]\\&=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}} 를 얻는다. π {\displaystyle \pi } 의 세 번째 근사분수는 [ 3 ; 7 , 15 , 1 ] = 355 113 = 3.14159292035 ⋯ {\displaystyle [3;7,15,1]={\frac {355}{113}}=3.14159292035\cdots } 이며,이는 실제 π {\displaystyle \pi } 값에 매우 가까운 값이다. 어떤 무리수의 n {\displaystyle n} 번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 가까이 근접해 있다. 이 때의 오차의 한계는 M {\displaystyle M} 을 주어진 무리수, 각각 p n {\displaystyle p_{n}} 과 q n {\displaystyle q_{n}} 을 n {\displaystyle n} 번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라 할 때, 다음과 같은 식으로 주어진다. | M − p n q n | < 1 2 q n 2 {\displaystyle \left|M-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{2{q_{n}}^{2}}}} 또한, 다음 식 | M − P Q | < 1 2 Q 2 {\displaystyle \left|M-{\frac {P}{Q}}\right|<{\frac {1}{2Q^{2}}}} 을 만족하는 가장 작은 정수 Q {\displaystyle Q} 에 대하여, 적당한 자연수 k {\displaystyle k} 가 존재하여 P = p k {\displaystyle P=p_{k}} 와 Q = q k {\displaystyle Q=q_{k}} 를 만족한다. 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 연분수 펠 방정식 오정환, 이준복, 『정수론』, 교우사, 2003 (영어) Online continued fraction calculator