위그너 분류

위그너 분류(영어: Wigner’s classification)는 입자를 그 푸앵카레 표현에 따라 분류하는 방법이다. 유진 위그너가 1939년에 도입하였다. 푸앵카레 군은 두 개의 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 질량 P 2 {\displaystyle P^{2}} 과 파울리-루반스키 벡터의 제곱 W 2 {\displaystyle W^{2}} 다. 이를 이용하여 입자를 분류할 수 있다. P 2 > 0 {\displaystyle P^{2}>0} 인 경우다. 이 때는 P 0 = 0 {\displaystyle P_{0}=0} 인 경우 (즉 정지틀에서는) 안정자군은 SO(3) (또는 페르미온의 경우 그 2겹 피복 Spin(3))이다. 따라서 유질량 입자는 양의 실수 m {\displaystyle m} 과 Spin(3)=SU(2)의 표현으로 나타낸다. SU(2)의 표현은 정수 또는 반홀수(half-integer) 0, ½, 1, 1½ 등으로 나타낸다. P 2 = 0 {\displaystyle P^{2}=0} , P 0 > 0 {\displaystyle P_{0}>0} 인 경우다. 이 때는 P 0 = k {\displaystyle P_{0}=k} , P 3 = − k {\displaystyle P_{3}=-k} , P 1 = P 2 = 0 {\displaystyle P_{1}=P_{2}=0} 인 경우를 생각하자. 이 때는 그 안정자군은 유클리드 군 ISO ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (2)} 다. ISO ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {ISO} (2)} 의 표현은 반정수의 나선도로 나타내어지는 것과 연속적인 실수로 나타내어지는 것이 있다. 후자는 연속 스핀 표현(continuous-spin representation)이라고 하며, 자연계에 존재하지 않는다. P 2 < 0 {\displaystyle P^{2}<0} 인 경우는 타키온이다. 자연계에 존재하지 않는다. P 2 = 0 {\displaystyle P^{2}=0} , P 0 = 0 {\displaystyle P_{0}=0} 인 경우다. 이 경우에는 표현은 단 하나밖에 없으며, 진공을 나타낸다. 3차원에서는 애니온이 존재하므로, 위그너 분류가 고차원과 다르다. 이 경우, 카시미르 연산자는 다음과 같다. P 2 = m 2 {\displaystyle P^{2}=m^{2}} P ⋅ J = m h {\displaystyle P\cdot J=mh} 여기서 m {\displaystyle m} 은 불변 질량이며, h {\displaystyle h} 는 상대론적 나선도(relativistic helicity)이다. 나선도 h {\displaystyle h} 는 무질량 입자의 경우 정의되지 않는다. 이 경우, 음이 아닌 에너지를 가진 표현의 분류는 다음과 같다. 유질량 m > 0 {\displaystyle m>0} . 정지틀 안정자군이 O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} 이므로, 이는 나선도 h ∈ R {\displaystyle h\in \mathbb {R} } 에 따라 분류된다. h ∈ Z {\displaystyle h\in \mathbb {Z} } : 보손 h + 1 / 2 ∈ Z {\displaystyle h+1/2\in \mathbb {Z} } : 페르미온 2 h ∉ Z {\displaystyle 2h\not \in \mathbb {Z} } : 애니온 무질량 m = 0 {\displaystyle m=0} . 이 경우 안정자군은 ( Z / 2 ) × R {\displaystyle (\mathbb {Z} /2)\times \mathbb {R} } 이며, 표현은 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 기약표현 ϵ = ± {\displaystyle \epsilon =\pm } 과 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 기약표현으로 나타내어진다. 후자의 기약표현은 실수 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 에 따라 분류된다. 무질량 보손: ( ϵ = + , t = 0 ) {\displaystyle (\epsilon =+,t=0)} 무질량 페르미온: ( ϵ = − , t = 0 ) {\displaystyle (\epsilon =-,t=0)} 연속 스핀 표현: t ≠ 0 {\displaystyle t\neq 0} (자연계에 존재하지 않음) 진공. 이 경우 안정자군은 SL ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )} 전체이다. SL ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )} 의 표현은 여러 가지가 있으나, 자연계에 존재하는 것은 그 자명한 표현(진공)밖에 없다. 민코프스키 공간에서의 초대칭을 나타내는 초 푸앵카레 군에 대해서도 위그너 표현이 존재한다. 이는 베르너 남이 1978년 발표하였고, 초다중항들에 해당한다. 4차원 등각 대칭군 SU ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2,2)} 의 경우에도 위그너 표현이 알려져 있다. 유도 표현 파울리-루반스키 벡터 Straumann, Norbert (2008년 9월 3일). “Unitary Representations of the inhomogeneous Lorentz Group and their Significance in Quantum Physics”. arXiv:0809.4942.  de Faria, Edson; Welington de Melo (2010년 8월). 《Mathematical Aspects of Quantum Field Theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 127. 87–92쪽. ISBN 9780521115773.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Wigner, Eugene (1939). “On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group” (PDF). 《Annals of Mathematics (Second Series)》 40 (1): 149–204. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. 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