극점 (기하학)

기하학에서 극점(極點, 영어: extreme point)은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. 크레인-밀만 정리(Крейн-Мильман定理, 영어: Krein–Milman theorem)에 따르면, 실수 국소 볼록 공간의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 같다. 쇼케 정리(Choquet定理, 영어: Choquet’s theorem)에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도의 무게 중심으로 나타내어진다. 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 볼록 집합 S {\displaystyle S} 의 부분 집합 F ⊆ S {\displaystyle F\subseteq S} 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 면(面, 영어: face)이라고 한다.:121, Chapter 8 공집합이 아니다. 임의의 두 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 및 0 < t < 1 {\displaystyle 0<t<1} 에 대하여, 만약 t x + ( 1 − t ) y ∈ F {\displaystyle tx+(1-t)y\in F} 라면, x , y ∈ F {\displaystyle x,y\in F} 이다. 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 볼록 집합 S {\displaystyle S} 속의 점 x ∈ S {\displaystyle x\in S} 에 대하여, 만약 { x } {\displaystyle \{x\}} 가 S {\displaystyle S} 의 면이라면, x {\displaystyle x} 를 S {\displaystyle S} 의 극점이라고 한다.:120, Chapter 8:23, Definition 2.10:369, §A1.3 S {\displaystyle S} 의 극점의 집합을 E ( S ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(S)} 로 표기하자. 보다 일반적으로, 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 볼록 집합 S {\displaystyle S} 속의 점 x ∈ S {\displaystyle x\in S} 의 극점 계수(영어: extreme rank)는 다음과 같은 자연수이다. ext ⁡ ( x ) = min { k : x = ∑ i = 0 k t i y i , k ∈ Z + , y 0 , … , y k ∈ S , ( t 0 , … , t k ) ∈ int ⁡ ( Δ k ) } {\displaystyle \operatorname {ext} (x)=\min \left\{k\colon x=\sum _{i=0}^{k}t_{i}y_{i},\;k\in \mathbb {Z} ^{+},\;y_{0},\dotsc ,y_{k}\in S,\;(t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k})\right\}} 여기서, 임의의 양의 정수 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 에 대하여 int ⁡ ( Δ k ) ⊆ ( R + ) k + 1 {\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{k})\subseteq (\mathbb {R} ^{+})^{k+1}} ( t 0 , … , t k ) ∈ int ⁡ ( Δ k ) ⟺ def t 0 + ⋯ + t k = 1 {\displaystyle (t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k}){\overset {\text{def}}{\iff }}t_{0}+\dotsb +t_{k}=1} 는 k {\displaystyle k} 차원 단체의 내부이다. 특히, int ⁡ ( Δ 0 ) = { 1 } {\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{0})=\{1\}} 이며, 임의의 x ∈ S {\displaystyle x\in S} 는 x = 1 x {\displaystyle x=1x} 로 나타내어지므로 항상 ext ⁡ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {ext} (x)\geq 0} 이다. 이 경우, 만약 ext ⁡ ( x ) = n {\displaystyle \operatorname {ext} (x)=n} 이라면 x {\displaystyle x} 를 n {\displaystyle n} -극점이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다. 임의의 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 볼록 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} 의 면들의 족 ( F i ) i ∈ I {\displaystyle (F_{i})_{i\in I}} 에 대하여, 그 교집합 ⋂ i ∈ I F i {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}} 는 공집합이 아니라면 항상 면이다. 증명: 임의의 x , y ∈ K {\displaystyle x,y\in K} 및 t ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle t\in (0,1)} 에 대하여, ∀ i ∈ I : t x + ( 1 − t ) y ∈ F i {\displaystyle \forall i\in I\colon tx+(1-t)y\in F_{i}} 라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 ∀ i ∈ I : x , y ∈ F {\displaystyle \forall i\in I\colon x,y\in F} 이며, 따라서 x , y ∈ ⋂ i ∈ I F i {\displaystyle \textstyle x,y\in \bigcap _{i\in I}F_{i}} 이다. 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 ∅ ≠ K ⊆ V {\displaystyle \varnothing \neq K\subseteq V} 의 닫힌 면 F ⊆ K {\displaystyle F\subseteq K} 에 대하여, F {\displaystyle F} 에 속하는 K {\displaystyle K} 의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.:127, 8.13 증명: K {\displaystyle K} 의 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 ( F , ⊇ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )} 을 생각하자. 초른 보조정리를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다. ( F , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )} 는 닫힌 부분 순서 집합이다. 증명: 닫힌 면들의 사슬 ( F i ) i ∈ I {\displaystyle (F_{i})_{i\in I}} 의 경우, ⋂ i ∈ I F i {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}} 는 (칸토어의 교점 정리에 의하여) 공집합이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이므로) 닫힌집합이다. ( F , ⊇ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )} 의 최대 원소는 한원소 집합이다. 증명: 임의의 닫힌 면 F ⊆ K {\displaystyle F\subseteq K} 가 서로 다른 두 점 x , y ∈ F {\displaystyle x,y\in F} , x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 을 갖는다고 하자. 한-바나흐 정리에 따라, ϕ ( x ) ≠ ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)} 인 실수 값 선형 범함수 ϕ : V → R {\displaystyle \phi \colon V\to \mathbb {R} } 가 존재한다. F {\displaystyle F} 가 콤팩트 집합이므로 ϕ ( F ) {\displaystyle \phi (F)} 는 최댓값을 갖는다. 따라서 G = ϕ − 1 ( max x ∈ F ϕ ( x ) ) {\displaystyle G=\textstyle \phi ^{-1}(\max _{x\in F}\phi (x))} 는 공집합이 아니며, 닫힌집합이며, 또한 면을 이룬다. 또한, ϕ ( x ) ≠ ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)} 이므로, G {\displaystyle G} 는 x {\displaystyle x} 와 y {\displaystyle y} 를 둘 다 포함할 수 없다. 즉, G ⊊ F {\displaystyle G\subsetneq F} 이다. 이에 따라, F {\displaystyle F} 는 ( F , ⊇ F ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq F)} 의 최대 원소가 될 수 없다. 임의의 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 볼록 집합 S {\displaystyle S} 속의 두 점 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 및 t ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle t\in (0,1)} 에 대하여, 다음이 성립한다. ext S ⁡ ( t x + ( 1 − t ) y ) < ext S ⁡ ( x ) + ext S ⁡ ( y ) {\displaystyle \operatorname {ext} _{S}(tx+(1-t)y)<\operatorname {ext} _{S}(x)+\operatorname {ext} _{S}(y)} 크레인-밀만 정리에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 속의 콤팩트 볼록 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} 은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다. 증명::128, Theorem 8.14:371, Theorem A1.6 K = ∅ {\displaystyle K=\varnothing } 은 자명하므로 K ≠ ∅ {\displaystyle K\neq \varnothing } 이라고 가정하자. K {\displaystyle K} 의 극점 집합 E ( K ) ⊆ K {\displaystyle {\mathcal {E}}(K)\subseteq K} 를 생각하자. 자명하게 co ⁡ ( E ( K ) ) ⊆ K {\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))\subseteq K} 이다. (여기서 co ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {co} (-)} 는 볼록 폐포이다.) 따라서 K ⊆ co ⁡ ( E ( K ) ) {\displaystyle K\subseteq \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))} 를 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, x ∈ K ∖ co ⁡ ( E ( K ) ) {\displaystyle x\in K\setminus \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))} 라고 하자. 한-바나흐 정리에 의하여, { x } {\displaystyle \{x\}} 와 co ⁡ ( E ( K ) ) {\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))} 를 분리하는, 즉 inf e ∈ co ⁡ ( E ( K ) ) ϕ ( e ) > ϕ ( x ) {\displaystyle \inf _{e\in \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}\phi (e)>\phi (x)} 가 성립하는 실수 값 선형 범함수 ϕ : R n → R {\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 가 존재한다. K {\displaystyle K} 가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상 ϕ ( K ) {\displaystyle \phi (K)} 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 [ s , t ] ⊆ R {\displaystyle [s,t]\subseteq \mathbb {R} } 이며, s ≤ ϕ ( e ) c ≤ t {\displaystyle s\leq \phi (e)c\leq t} 이다. 즉, F = ϕ − 1 ( t ) {\displaystyle F=\phi ^{-1}(t)} 는 K {\displaystyle K} 의 닫힌 면이며, 정의에 따라 F ∩ co ⁡ ( E ( K ) ) = ∅ {\displaystyle F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))=\varnothing } 이다. 그런데 F {\displaystyle F} 에 속하는 K {\displaystyle K} 의 극점이 존재한다. 즉, ∅ ≠ F ∩ E ( K ) ⊆ F ∩ co ⁡ ( E ( K ) ) {\displaystyle \varnothing \neq F\cap {\mathcal {E}}(K)\subseteq F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))} 이며, 이는 모순이다. 체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다. 또한, 에드거 정리(영어: Edgar’s theorem)에 따르면, 반사 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합 K {\displaystyle K} 는 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.) 밀만 정리(영어: Milman’s theorem)에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 속의 콤팩트 볼록 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} 의 부분 집합 T ⊆ K {\displaystyle T\subseteq K} 에 대하여, 만약 T {\displaystyle T} 를 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 K {\displaystyle K} 라면, K {\displaystyle K} 의 모든 극점은 T {\displaystyle T} 의 폐포에 속한다.:138, Theorem 9.4 임의의 실수 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 속의 콤팩트 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} 속의 베르 집합 A ∈ Baire ⁡ ( K ) {\displaystyle A\in \operatorname {Baire} (K)} 및 측도 μ : Baire ⁡ ( A ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} (A)\to [0,\infty ]} 및 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 가 주어졌을 때, 만약 ∀ f ∈ V ∗ : f ( x 0 ) = ∫ A ϕ d μ {\displaystyle \forall f\in V^{*}\colon f(x_{0})=\int _{A}\phi \,\mathrm {d} \mu } 가 성립한다면, v {\displaystyle v} 를 μ {\displaystyle \mu } 의 무게 중심(-中心, 영어: barycenter)이라고 하자. (여기서 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 는 연속 쌍대 공간이다.) 다음이 주어졌다고 하자. 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} 속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} 그렇다면, 쇼케 정리(영어: Choquet’s theorem)에 따르면 다음이 성립한다.:168, Theorem 10.7 K {\displaystyle K} 의 극점의 집합 E ( K ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(K)} 는 K {\displaystyle K} 의 보렐 집합이다. 임의의 x ∈ K {\displaystyle x\in K} 에 대하여, x {\displaystyle x} 를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 μ : Baire ⁡ ( E ( K ) ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} ({\mathcal {E}}(K))\to [0,1]} 가 존재한다. 한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다. 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 속에서, 닫힌 공 cl ⁡ ( ball R n ⁡ ( 0 → , 1 ) ) = { v → ∈ R n : ‖ v → ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{n}}({\vec {0}},1))=\left\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|\leq 1\right\}} 의 0-극점들은 초구 S n − 1 = { v → ∈ R n : ‖ v → ‖ = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|=1\}} 이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다. 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 속의 닫힌 반직선 R ≥ = { t ∈ R : t ≥ 0 } {\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }=\{t\in \mathbb {R} \colon t\geq 0\}} 은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점들은 0 ∈ R ≥ {\displaystyle 0\in \mathbb {R} _{\geq }} 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 의 볼록 폐포는 { 0 } ≠ R ≥ {\displaystyle \{0\}\neq \mathbb {R} _{\geq }} 이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다. 보다 일반적으로, n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간 R ≥ × R n − 1 ⊆ R n {\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 은 k ≤ n − 2 {\displaystyle k\leq n-2} 일 경우 k {\displaystyle k} -극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점 x ∈ ∂ ( R ≥ × R n − 1 ) = { 0 } × R n − 1 {\displaystyle x\in \partial (\mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1})=\{0\}\times \mathbb {R} ^{n-1}} 은 n − 1 {\displaystyle n-1} -극점이며, 나머지 점들은 n {\displaystyle n} -극점이다. 크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간이 존재한다. 유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키가 20세기 초에 증명하였다. 바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(러시아어: Дави́д Пи́нхусович Ми́льман, 히브리어: דוד פינחוסוביץ' מילמן, 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.:134 밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다. 쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(프랑스어: Gustave Choquet, 1915~2006)가 증명하였다. Simon, Barry (2011). 《Convexity: an analytic viewpoint》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 187. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511910135. ISBN 978-110700731-4.  van Tiel, Jan (1984). 《Convex analysis: an introductory text》 (영어). Wiley. ISBN 978-047190263-8.  Lang, Serge (1970). 《Linear algebra》 (영어) 2판. Addison-Wesley.  Roberts, James W. (1977). “A compact convex set with no extreme points” (PDF). 《Studia Mathematica》 (영어) 60 (3): 255–266. ISSN 0039-3223.  Minkowski, Hermann (1910). 《Geometrie der Zahlen》 (독일어). Druck und Verlag von B. G. Teubner.  Krein, Mark; Milman, David (1940). “On extreme points of regular convex sets” (PDF). 《Studia Mathematica》 (영어) 9 (1): 133–138. ISSN 0039-3223.  Мильман, Д. П. (1947). “Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (러시아어) 57: 119–122.  Stover, Christopher. “Extreme point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “Extreme set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “Krein-Milman theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Stover, Christopher. “Milman’s theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  Ebbesen, Anna Munk (2012년 6월 8일). 《Convex sets and their integral representations》 (영어). 학사 학위 논문 (지도 교수 Magdalena Musat). 코펜하겐 대학교.