파울리 행렬

수학과 물리학에서 파울리 행렬(Pauli matrix)은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} , σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} , σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} 로, 다음과 같다. σ 1 = σ x = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} σ 2 = σ y = ( 0 − i i 0 ) {\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}} σ 3 = σ z = ( 1 0 0 − 1 ) . {\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.} 파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수인 s u 2 {\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}} 의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리가 제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다. 파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. σ i † = σ i {\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}}  : 에르미트 행렬 σ i † σ i = I {\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }\sigma _{i}=I}  : 유니타리 행렬 여기서 I {\displaystyle I} 는 단위행렬이다. 파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다. σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = I {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I} 파울리 행렬의 행렬식과 대각합의 값은 다음과 같다. det ( σ i ) = − 1 Tr ⁡ ( σ i ) = 0 for   i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad {\hbox{for}}\ i=1,2,3\end{matrix}}} 이로부터, 파울리행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다. 파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계와 반대바꿈관계를 가진다. [ σ a , σ b ] = 2 i ∑ c ε a b c σ c { σ a , σ b } = 2 δ a b ⋅ I {\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{a},\sigma _{b}]&=&2i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\\[1ex]\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=&2\delta _{ab}\cdot I\end{matrix}}} 여기서 εabc는 레비치비타 기호, δab는 크로네커 델타이며, [ σ a , σ b ] {\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]} 는 리 괄호이다. 위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다. σ a σ b = δ a b ⋅ I + i ∑ c ε a b c σ c {\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}\cdot I+i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,} . 예를 들어, 몇몇 값을 구해보면 σ 1 σ 2 = i σ 3 , σ 2 σ 3 = i σ 1 , σ 2 σ 1 = − i σ 3 , σ 1 σ 1 = I . {\displaystyle {\begin{matrix}\sigma _{1}\sigma _{2}&=&i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=&i\sigma _{1},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=&-i\sigma _{3},\\\sigma _{1}\sigma _{1}&=&I.\\\end{matrix}}} 이다. 또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 파울리 벡터(Pauli vector)로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다. σ = σ 1 x ^ + σ 2 y ^ + σ 3 z ^ {\displaystyle \mathbf {\sigma } =\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,} 교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 a와 b에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다. ( a ⋅ σ ) ( b ⋅ σ ) = a ⋅ b + i σ ⋅ ( a × b ) {\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {\sigma } )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {\sigma } )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i\mathbf {\sigma } \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\quad \quad \quad \quad \,} 또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터 n ^ {\displaystyle \textstyle {\hat {n}}} , 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다. e i ( a ⋅ σ ) = cos ⁡ a + i ( n ^ ⋅ σ ) sin ⁡ a {\displaystyle e^{i(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\sigma } )}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot \mathbf {\sigma } )\sin {a}\quad \quad \quad \quad \quad \quad } 파울리 행렬은 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} (또는 a 1 {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}} )의 발생원이다, 즉 [ σ i 2 , σ j 2 ] = ϵ i j k ⋅ σ k 2 {\displaystyle [{\frac {\sigma ^{i}}{2}},{\frac {\sigma ^{j}}{2}}]=\epsilon ^{ijk}\cdot {\frac {\sigma ^{k}}{2}}} 이므로, 그 구조 상수는 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon ^{ijk}} 이다. 파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다 { σ i , σ j } = 2 δ i j {\displaystyle \{\sigma ^{i},\sigma ^{j}\}=2\delta ^{ij}} 따라서 단위행렬과 함께 2x2의 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 n차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다. 디랙 행렬 각운동량 겔만 행렬 푸앵카레 군 블로흐 구면 오일러의 네 제곱수 항등식 교환 행렬 Pauli, Wolfgang (1925). “Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 31 (1): 373–385. Bibcode:1925ZPhy...31..373P. doi:10.1007/BF02980592.  “Pauli matrices”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Pauli matrices”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  이철희. “대문”. 《수학노트》.