비가환 원환면

비가환 기하학에서 비가환 원환면(非可換圓環面, 영어: noncommutative torus)은 C* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속 함수들의 C* 대수를 일반화한 것이다. 단위원을 갖는 복소수 C* 대수의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자. U : C * A l g → Set {\displaystyle U\colon \operatorname {C*Alg} \to \operatorname {Set} } 이는 왼쪽 수반 함자 F : Set → C * A l g {\displaystyle F\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {C*Alg} } 를 가지며, 이를 통해 자유 C* 대수를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C* 대수이다. 이제, n {\displaystyle n} 개의 생성원 U 1 , … , U n {\displaystyle U_{1},\dotsc ,U_{n}} 으로 생성되는 자유 C* 대수 A n {\displaystyle A_{n}} 을 생각하자. 반대칭 n × n {\displaystyle n\times n} 실수 행렬 θ ∈ o ( n ; R ) {\displaystyle \theta \in {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C* 아이디얼 I θ {\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\theta }} 를 생각하자. U i V j = exp ⁡ ( 2 π i θ i j ) U j V i {\displaystyle U_{i}V_{j}=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta _{ij})U_{j}V_{i}} 이에 대한 몫인 C* 대수 A n , θ = A n / I θ {\displaystyle A_{n,\theta }=A_{n}/{\mathfrak {I}}_{\theta }} 를 θ {\displaystyle \theta } 로 정의되는 n {\displaystyle n} 차원 비가환 원환면(영어: n {\displaystyle n} -dimensional noncommutative torus defined by θ {\displaystyle \theta } )이라고 한다. 만약 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 일 경우, 이는 가환 C* 대수이며, 이는 n {\displaystyle n} 차원 원환면 위의 복소수 값 연속 함수의 C* 대수와 동형이다. 원환면의 좌표가 T n = R n / Z n = { ( x 1 + Z , … , x n + Z ) : x 1 , … , x n ∈ R } {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}=\{(x_{1}+\mathbb {Z} ,\dotsc ,x_{n}+\mathbb {Z} )\colon x_{1},\dotsc ,x_{n}\in \mathbb {R} \}} 일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다. A n , 0 ↦ C 0 ( T n , C ) {\displaystyle A_{n,0}\mapsto {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {T} ^{n},\mathbb {C} )} U i ↦ exp ⁡ ( 2 π i x i ) {\displaystyle U_{i}\mapsto \exp(2\pi \mathrm {i} x_{i})} 무리수 θ ∈ R {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} } 가 주어졌다고 하자. 이제, 원 S 1 = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 르베그 공간 L 2 ⁡ ( S 1 ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )} 를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 유계 작용소를 정의할 수 있다. U : L 2 ⁡ ( S 1 ; C ) → L 2 ⁡ ( S 1 ; C ) {\displaystyle U\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )} V : L 2 ⁡ ( S 1 ; C ) → L 2 ⁡ ( S 1 ; C ) {\displaystyle V\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )} U f ( z ) = z f ( z ) {\displaystyle Uf(z)=zf(z)} V f ( z ) = f ( exp ⁡ ( − 2 π i θ ) z ) {\displaystyle Vf(z)=f(\exp(-2\pi \mathrm {i} \theta )z)} 즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다. U V = exp ⁡ ( 2 π i θ ) V U {\displaystyle UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU} 그렇다면, 유계 작용소의 C* 대수 B ⁡ ( L 2 ⁡ ( S 1 ; C ) ) {\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} ))} 속에서, U {\displaystyle U} 와 V {\displaystyle V} 로 생성되는 부분 C* 대수를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계 U V = exp ⁡ ( 2 π i θ ) V U {\displaystyle UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU} 에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C* 대수이다. 이를 2차원 비가환 원환면 T θ 2 {\displaystyle \mathbb {T} _{\theta }^{2}} 라고 한다. 두 비가환 원환면 T θ 2 {\displaystyle \mathbb {T} _{\theta }^{2}} 와 T θ ′ 2 {\displaystyle \mathbb {T} _{\theta '}^{2}} 는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다. θ + θ ′ ∈ Z {\displaystyle \theta +\theta '\in \mathbb {Z} } 또는 θ − θ ′ ∈ Z {\displaystyle \theta -\theta '\in \mathbb {Z} } 두 비가환 원환면 T θ {\displaystyle \mathbb {T} _{\theta }} 와 T θ ′ {\displaystyle \mathbb {T} _{\theta '}} 는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다. θ ′ = a θ + b c θ + d {\displaystyle \theta '={\frac {a\theta +b}{c\theta +d}}} 여기서 ( a b c d ) ∈ SL ⁡ ( 2 , Z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )} 이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다. Rieffel, Marc A. (1990). 〈Non-commutative tori — a case study of non-commutative differentiable manifolds〉 (PDF). 《Geometric and Topological Invariants of Elliptic Operators》 (영어). Contemporary Mathematics 105. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 191–211쪽. doi:10.1090/conm/105/1047281. ISBN 978-0-8218-5112-8. MR 1047281. Zbl 0713.46046.  Plazas, Jorge (2008). 〈Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds〉. 《An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005》 (영어). World Scientific. 419–445쪽. arXiv:math/0703849. Bibcode:2007math......3849P. ISBN 978-981-270-616-4. Zbl 1146.58007.  Rieffel, Marc A.; Albert Schwarz (1999년 3월). “Morita equivalence of multidimensional noncommutative tori”. 《International Journal of Mathematics》 (영어) 10 (2): 289. arXiv:math/9803057. Bibcode:1998math......3057R. doi:10.1142/S0129167X99000100. ISSN 0129-167X. 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