덮개 (대수학)

호몰로지 대수학에서 덮개(영어: cover)는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 동형 사상 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 사영 대상으로 근사하는 사영 덮개(영어: projective cover)의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 껍질(영어: envelope, hull)이며, 특히 주어진 대상을 단사 대상으로 근사하는 단사 껍질(영어: injective envelope, injective hull)의 개념이 자주 사용된다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상들의 모임 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 의 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -덮개는 다음 세 조건들을 만족시키는 사상 f : X ~ → X {\displaystyle f\colon {\tilde {X}}\to X} 이다. X ~ ∈ X {\displaystyle {\tilde {X}}\in {\mathfrak {X}}} 임의의 대상 Y ∈ X {\displaystyle Y\in {\mathfrak {X}}} 및 사상 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} 에 대하여, 항상 f ∘ g ~ = g {\displaystyle f\circ {\tilde {g}}=g} 가 되는 사상 g ~ : Y → X ~ {\displaystyle {\tilde {g}}\colon Y\to {\tilde {X}}} 가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 의 모든 원소는 { f } {\displaystyle \{f\}} -사영 대상이다. Y ∃ ↓ ↘ X ~ → X {\displaystyle {\begin{matrix}&Y\\\scriptstyle \exists \!\!\!\!\!\!&\downarrow &\searrow \\&{\tilde {X}}&\to &X\end{matrix}}} 임의의 자기 사상 g : X ~ → X ~ {\displaystyle g\colon {\tilde {X}}\to {\tilde {X}}} 에 대하여, 만약 f ∘ g = f {\displaystyle f\circ g=f} 라면 g {\displaystyle g} 는 자기 동형 사상이다. 만약 마지만 조건을 생략할 경우, 준덮개(準-, 영어: precover)의 개념을 얻는다. 그 쌍대 개념은 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -껍질(영어: X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -envelope, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -hull)이라고 한다. 특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다. 만약 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 가 사영 대상들의 모임일 경우, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -덮개를 사영 덮개(영어: projective cover)라고 한다. 만약 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 가 단사 대상들의 모임일 경우, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -껍질을 단사 껍질(영어: injective envelope)이라고 한다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 어떤 가군 범주이며, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 가 평탄 가군들의 모임일 경우, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -덮개를 평탄 덮개(영어: flat cover)라고 한다. 만약 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 어떤 가군 범주이며, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 가 꼬임 없는 가군들의 모임일 경우, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -덮개를 꼬임 없는 덮개(영어: torsion-free cover)라고 한다. X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -덮개는 항상 동형 사상 아래 유일하다. (그러나 이 동형 사상은 유일하지 않을 수 있다.) 증명: 대상 A {\displaystyle A} 의 두 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -준덮개 f : A ~ → A {\displaystyle f\colon {\tilde {A}}\to A} , f ′ : A ~ ′ → A {\displaystyle f'\colon {\tilde {A}}'\to A} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -준덮개의 성질에 의하여 f ∘ i = f ′ {\displaystyle f\circ i=f'} 이자 f ′ ∘ i ′ = f {\displaystyle f'\circ i'=f} 가 되는 i : A ~ ′ → A ~ {\displaystyle i\colon {\tilde {A}}'\to {\tilde {A}}} 및 i ′ : A ~ → A ~ {\displaystyle i'\colon {\tilde {A}}\to {\tilde {A}}} 가 존재한다. 만약 f {\displaystyle f} , f ′ {\displaystyle f'} 이 추가로 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -덮개라면, f ∘ f ′ {\displaystyle f\circ f'} 및 f ′ ∘ f {\displaystyle f'\circ f} 는 자기 동형 사상이며, 따라서 f {\displaystyle f} 와 f ′ {\displaystyle f'} 역시 동형 사상이다. 사영 대상을 충분히 가지는 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사영 대상 P ∈ C {\displaystyle P\in {\mathcal {C}}} 및 사상 f : P → A {\displaystyle f\colon P\to A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:15, Theorem 1.2.12 f {\displaystyle f} 는 사영 대상에 대한 덮개이다. f {\displaystyle f} 는 잉여적 전사 사상이다. 증명: 덮개 → 잉여적 전사: 다음 두 조건을 증명하면 족하다. (a): f {\displaystyle f} 는 전사 사상이다. (b): 임의의 사상 g : B → P {\displaystyle g\colon B\to P} 에 대하여, f ∘ g : B → A {\displaystyle f\circ g\colon B\to A} 가 전사 사상이라면 g {\displaystyle g} 역시 전사 사상이다. (a): 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 사영 대상 P ′ {\displaystyle P'} 및 전사 사상 f ′ : P ′ → A {\displaystyle f'\colon P'\to A} 를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 g : P ′ → P {\displaystyle g\colon P'\to P} 를 찾을 수 있다. P ′ → f ′ A g ↓ ‖ P → f A {\displaystyle {\begin{matrix}P'&{\overset {f'}{\to }}&A\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\|\\P&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}} f ′ = f ∘ g {\displaystyle f'=f\circ g} 가 전사 사상이므로, 전사 사상의 성질에 의하여 f {\displaystyle f} 역시 전사 사상이다. (b): f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 가 전사 사상이라고 하자. 사영 대상의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 h : P → B {\displaystyle h\colon P\to B} 가 존재한다. B ← h P g ↓ ↓ f P → f A {\displaystyle {\begin{matrix}B&{\overset {h}{\leftarrow }}&P\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\P&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}} 덮개의 정의에 의하여, g ∘ h : P → P {\displaystyle g\circ h\colon P\to P} 는 자기 동형 사상이며, 따라서 g {\displaystyle g} 는 전사 사상이다. 잉여적 전사 → 덮개: 사영 대상 P {\displaystyle P} 및 잉여적 전사 사상 f : P → A {\displaystyle f\colon P\to A} 가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다. (a) 준덮개이다. (b) 덮개이다. (a): f {\displaystyle f} 는 전사 사상이므로, 사영 대상의 정의에 의하여 자명하게 참이다. (b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 자기 사상 g : P → P {\displaystyle g\colon P\to P} 가 주어졌다고 하자. P → f A g ↓ ‖ P → f A {\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {f}{\to }}&A\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\|\\P&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}} 그렇다면, f ∘ g = f {\displaystyle f\circ g=f} 가 전사 사상이므로 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 g {\displaystyle g} 역시 전사 사상이다. 공역이 사영 대상인 전사 사상은 항상 분할 전사 사상이므로, g {\displaystyle g} 는 오른쪽 역사상 h : P → P {\displaystyle h\colon P\to P} , g ∘ h = id P {\displaystyle g\circ h=\operatorname {id} _{P}} 를 가지며, h {\displaystyle h} 는 단사 사상이다. P → h P id ↓ ↓ g P → id P {\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {h}{\to }}&P\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g\\P&{\underset {\operatorname {id} }{\to }}&P\end{matrix}}} 그렇다면, f ∘ h = f ∘ g ∘ h = f {\displaystyle f\circ h=f\circ g\circ h=f} 이므로, 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 h {\displaystyle h} 역시 전사 사상이다. h {\displaystyle h} 는 단사 사상이자 분할 전사 사상이므로 동형 사상이며, 따라서 g {\displaystyle g} 역시 동형 사상이다. 마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 단사 대상 Q ∈ C {\displaystyle Q\in {\mathcal {C}}} 및 사상 f : A → Q {\displaystyle f\colon A\to Q} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:14, Theorem 1.2.11 f {\displaystyle f} 는 단사 대상에 대한 덮개이다. f {\displaystyle f} 는 본질적 단사 사상이다. 특히, 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, R {\displaystyle R} -왼쪽 가군의 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 또는 R {\displaystyle R} -오른쪽 가군의 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} 는 둘 다 사영 대상을 충분히 가지는 범주이자 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 위 두 정리가 성립한다. 단사 대상을 충분히 가지는 쌍대 완비 AB5 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 완비 AB5* 아벨 범주 A op {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }} 의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다. 환 R {\displaystyle R} 가 주어졌다고 하자. R {\displaystyle R} -왼쪽 가군의 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 의 임의의 대상 R M ∈ R Mod {\displaystyle _{R}M\in {}_{R}\operatorname {Mod} } 에 대하여, 다음이 성립한다. M {\displaystyle M} 은 항상 단사 껍질을 갖는다. M {\displaystyle M} 은 항상 평탄 덮개를 갖는다. 만약 R {\displaystyle R} 가 왼쪽 완전환이라면, M {\displaystyle M} 은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.) M {\displaystyle M} 은 항상 꼬임 없는 덮개를 갖는다.:511, Example XVI.2.11:17, Theorem 1.3.2 여기서 꼬임 없는 왼쪽 가군 R M {\displaystyle _{R}M} 은 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 Tor 1 R ⁡ ( R / r R , M ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/rR,M)=0} 을 만족시키는 왼쪽 가군이다. 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. 사영 대상을 충분히 가지는 범주이며, 모든 대상이 사영 덮개를 가진다. 생성 대상을 갖는다. 사영 대상이 아닌 대상이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 자기 함자 F : C → C {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 및 자연 변환 η : F ⇒ Id C {\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}} 가 존재할 수 없다. 임의의 대상 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 상 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 는 사영 대상이다. η {\displaystyle \eta } 의 모든 성분 η X : F ( X ) → X {\displaystyle \eta _{X}\colon F(X)\to X} 는 사영 덮개를 이룬다. 특히, 임의의 환 R {\displaystyle R} 에 대하여, 왼쪽 가군 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 는 항상 쌍대 생성 대상을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 왼쪽 가군이 단사 가군이거나, 아니면 단사 껍질은 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, 왼쪽 가군 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 에서 R R {\displaystyle _{R}R} 는 생성 대상을 이룬다. 만약 추가로 R {\displaystyle R} 가 왼쪽 완전환이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 사영 왼쪽 가군이 아닌 왼쪽 가군이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 자명한 경우로, 만약 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 에서 대상 모임 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 가 주어졌을 때, 대상 X ∈ X {\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}} 의 X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -덮개의 개념은 X {\displaystyle X} 를 공역으로 하는 동형 사상의 개념과 같으며, X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} -껍질의 개념은 X {\displaystyle X} 를 정의역으로 하는 동형 사상의 개념과 같다. 단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만(독일어: Beno Eckmann)과 안드레아스 쇼프(독일어: Andreas Schopf)가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다. "단사 껍질"(영어: injective hull)이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다. 그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 하이먼 배스가 도입하였다.:§5 꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스(영어: Edgar Earle Enochs)가 도입하였다. 일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고,:191 이 추측은 2001년에 증명되었다. Xu, Jinzhong (1996). 《Flat covers of modules》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1634. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0094173. ISSN 0075-8434. MR 1438789.  Bican, Ladislav; El Bashir, Robert; Enochs, Edgar Earle (2001). “All modules have flat covers”. 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 33 (4): 385–390. doi:10.1017/S0024609301008104. ISSN 0024-6093. MR 1832549.  Eklof, Paul C.; Mekler, Alan H. (2002년 4월 29일). 《Almost free modules: set-theoretic methods》. North-Holland Mathematical Library (영어) 65 2판. North-Holland. doi:10.1016/S0924-6509(02)80001-0. ISBN 978-0-444-50492-0. 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