등급 가군

환론에서 등급 가군(等級加群, 영어: graded module)은 등급이 붙어, 등급환이 (왼쪽 또는 오른쪽에서) 작용할 수 있는 가군이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 모노이드 ( I , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (I,\cdot ,1)} I {\displaystyle I} -등급환 R = ⨁ i ∈ I R i {\displaystyle \textstyle R=\bigoplus _{i\in I}R_{i}} 그렇다면, R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 아벨 군의 족 ( M i ) i ∈ I {\displaystyle (M_{i})_{i\in I}} . 또한, M = ⨁ i ∈ I M i {\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}} 로 표기하자. M {\displaystyle M} 위의 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 구조 R ⊗ Z M → M {\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }M\to M} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. R i M j ⊆ M i j ∀ i , j ∈ I {\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{ij}\qquad \forall i,j\in I} 마찬가지로, R {\displaystyle R} 위의 오른쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 아벨 군의 족 ( M i ) i ∈ I {\displaystyle (M_{i})_{i\in I}} . 또한, M = ⨁ i ∈ I M i {\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}} 로 표기하자. M {\displaystyle M} 위의 R {\displaystyle R} -오른쪽 가군 구조 M ⊗ Z R → M {\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Z} }R\to M} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. M i R j ⊆ M i j ∀ i , j ∈ I {\displaystyle M_{i}R_{j}\subseteq M_{ij}\qquad \forall i,j\in I} 만약 R 1 {\displaystyle R_{1}} 이 체일 때, R {\displaystyle R} -등급 가군은 ( R 0 {\displaystyle R_{0}} -벡터 공간이므로) 보통 R {\displaystyle R} -등급 벡터 공간(等級vector空間, 영어: graded vector space)이라고 부른다. 두 R {\displaystyle R} -왼쪽 등급 가군 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 사이의 준동형 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 은 다음 조건을 만족시키는 R {\displaystyle R} -왼쪽 가군 준동형이다. f ( M i ) ⊆ N i ∀ i ∈ I {\displaystyle f(M_{i})\subseteq N_{i}\qquad \forall i\in I} 두 R {\displaystyle R} -오른쪽 등급 가군 사이의 준동형 역시 마찬가지로 정의된다. I {\displaystyle I} -등급환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 등급 가군들의 족 ( M a ) a ∈ A {\displaystyle (M^{a})^{a\in A}} 이 주어졌을 때, 이들의 직합 M = ⨁ a ∈ A M a {\displaystyle M=\bigoplus _{a\in A}M^{a}} M i = ⨁ a ∈ A M i a ∀ i ∈ I {\displaystyle M_{i}=\bigoplus _{a\in A}M_{i}^{a}\qquad \forall i\in I} 역시 R {\displaystyle R} -왼쪽 등급 가군을 이룬다. 오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다. I {\displaystyle I} -등급환 R {\displaystyle R} 위의 두 왼쪽 등급 가군 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} 이 주어졌을 때, 그 텐서곱 ( M ⊗ N ) i = ⨁ j , k ∈ I : j k = i M i N j {\displaystyle (M\otimes N)_{i}=\bigoplus _{j,k\in I\colon jk=i}M_{i}N_{j}} 을 정의할 수 있다. 이 역시 R {\displaystyle R} -왼쪽 등급 가군을 이룬다. 오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다. I {\displaystyle I} -등급환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 등급 가군 M {\displaystyle M} 및 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 i 0 {\displaystyle i_{0}} -뒤틂(영어: twist) M ( i 0 ) {\displaystyle M(i_{0})} 은 다음과 같다. M ( i 0 ) i = M i i 0 {\displaystyle M(i_{0})_{i}=M_{ii_{0}}} 마찬가지로, I {\displaystyle I} -등급환 R {\displaystyle R} 위의 오른쪽 등급 가군 M {\displaystyle M} 및 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, M {\displaystyle M} 의 i 0 {\displaystyle i_{0}} -뒤틂(영어: twist) M ( i 0 ) {\displaystyle M(i_{0})} 은 다음과 같다. M ( i 0 ) i = M i 0 i {\displaystyle M(i_{0})_{i}=M_{i_{0}i}} N {\displaystyle \mathbb {N} } -등급환 R {\displaystyle R} 위의 왼쪽 등급 가군 M {\displaystyle M} 의 힐베르트-푸앵카레 급수(영어: Hilbert–Poincaré series)는 (만약 존재한다면) 다음과 같다. p M ( t ) = ∑ i ∈ N ℓ R 0 ( M i ) t i ∈ Z [ [ t ] ] {\displaystyle p_{M}(t)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\ell _{R_{0}}(M_{i})t^{i}\in \mathbb {Z} [[t]]} 여기서 ℓ R 0 ( − ) {\displaystyle \ell _{R_{0}}(-)} 는 ( R 0 {\displaystyle R_{0}} -왼쪽 가군으로서의) 길이이다. 만약 이것이 무한하다면 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다. Z [ [ t ] ] {\displaystyle \mathbb {Z} [[t]]} 는 정수 계수 1변수 형식적 멱급수환이다. 체 K {\displaystyle K} 에 자명한 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -등급을 부여하였을 때, K {\displaystyle K} -등급 가군 V = V 0 ⊕ V 1 {\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}} 은 K {\displaystyle K} -초벡터 공간(영어: super-vector space)이라고 한다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 등급 아벨 군(영어: graded Abelian group)이라고 한다. Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (2004). 《Methods of graded rings》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1836. Springer-Verlag. doi:10.1007/b94904. ISBN 978-3-540-20746-7. ISSN 0075-8434.  Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (1982). 《Graded ring theory》 (영어). North-Holland.  “Graded module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Graded vector space”. 《nLab》 (영어).  “Graded abelian group”. 《nLab》 (영어).