비조화비

사영기하학에서, 비조화비(非調和比, 영어: anharmonic ratio) 또는 복비(複比, 영어: double ratio)는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다. 같은 실수 또는 복소 직선 위에 있는 네 점 z 1 , z 2 , z 3 , z 4 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} 의 비조화비 ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})} 는 다음과 같다. ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 1 − z 4 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}} 네 점의 순서를 바꾸면, 비조화비 λ {\displaystyle \lambda } 는 다음과 같이 변환한다. 이는 대칭군 S 4 {\displaystyle S_{4}} 의 작용으로 볼 수 있다. 다만, S 4 {\displaystyle S_{4}} 가운데 일부 원소들은 자명하게 작용한다. ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 2 , z 1 ; z 4 , z 3 ) = ( z 3 , z 4 ; z 1 , z 2 ) = ( z 4 , z 3 ; z 2 , z 1 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=(z_{2},z_{1};z_{4},z_{3})=(z_{3},z_{4};z_{1},z_{2})=(z_{4},z_{3};z_{2},z_{1})} S 4 {\displaystyle S_{4}} 의 작용의 핵은 클라인 4원군 ( Z / 2 ) 2 {\displaystyle (\mathbb {Z} /2)^{2}} 이며, 따라서 이는 사실 S 4 / ( Z / 2 ) 2 ≅ S 3 {\displaystyle S_{4}/(\mathbb {Z} /2)^{2}\cong S_{3}} 의 작용이 된다. 이 군을 비조화군(非調和群, 영어: anharmonic group)이라고 하며, 이는 모듈러 군 PSL ⁡ ( 2 , Z ) = ⟨ S , T | S 2 = ( S T ) 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )=\langle S,T|S^{2}=(ST)^{3}=1\rangle } 의 꼬임 부분군 ⟨ S , S T | S 2 = ( S T ) 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \langle S,ST|S^{2}=(ST)^{3}=1\rangle } 에 대응한다. 비조화군의 작용의 궤도 { λ ± 1 , ( 1 − λ ) ± 1 , ( λ / ( λ − 1 ) ) ± 1 } {\displaystyle \{\lambda ^{\pm 1},(1-\lambda )^{\pm 1},(\lambda /(\lambda -1))^{\pm 1}\}} 는 보통 크기가 6이지만, 예외적인 경우 크기가 이보다 작을 수 있다. 이러한 궤도는 세 가지가 있다. 첫 번째 예외적 궤도는 { 0 , 1 , ∞ } {\displaystyle \{0,1,\infty \}} 이며, 이는 네 좌표 z 1 , z 2 , z 3 , z 4 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} 가운데 둘이 서로 겹치는 경우이다. 두 번째 예외적 궤도는 { − 1 , 1 / 2 , 2 } {\displaystyle \{-1,1/2,2\}} 이며, 이를 조화비(調和比, 영어: harmonic ratio)라고 한다. 이는 차수가 2인 원소 λ ↦ 1 / λ {\displaystyle \lambda \mapsto 1/\lambda } , λ ↦ 1 − λ {\displaystyle \lambda \mapsto 1-\lambda } , λ ↦ λ / ( 1 − λ ) {\displaystyle \lambda \mapsto \lambda /(1-\lambda )} 에 대응한다. 세 번째로, 복소수체에 대한 경우 궤도 { exp ⁡ ( ± π i / 3 ) } {\displaystyle \{\exp(\pm \pi i/3)\}} 가 있다. 이는 차수가 3인 원소 λ ↦ 1 / ( 1 − λ ) {\displaystyle \lambda \mapsto 1/(1-\lambda )} 및 λ ↦ ( λ − 1 ) / λ {\displaystyle \lambda \mapsto (\lambda -1)/\lambda } 에 대응한다. 쌍곡기하학의 벨트라미-클라인 모형에서, 두 점 사이의 쌍곡 거리는 이 두 점 사이의 (유클리드) 비조화비에 의해 주어진다. 복소 평면에서, 세 개의 점 e 1 , e 2 , e 3 ∈ C {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}\in \mathbb {C} } 을 잡으면, 바이어슈트라스 타원함수 ℘ ( − ; ω 1 , ω 2 ) : C / ⟨ ω 1 , ω 2 ⟩ → C {\displaystyle \wp (-;\omega _{1},\omega _{2})\colon \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle \to \mathbb {C} } 는 { e 1 , e 2 , e 3 , ∞ ^ } {\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},{\widehat {\infty }}\}} 를 분지점으로 하는, 복소 평면에서 타원 곡선 C / ⟨ ω 1 , ω 2 ⟩ {\displaystyle \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle } 으로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 분지점들의 비조화비는 모듈러 람다 함수에 의해 주어지며, 그 값은 비조화군의 작용에 따라 변환한다. Labourie, François (2008년 11월). “What is … a cross-ratio?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 2008 (10): 1234–1235.  “Cross ratio”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  “Harmonic quadruple”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Cross ratio”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.