리 대수 값 미분 형식

기하학에서 리 대수 값 미분 형식(Lie代數값微分形式, 영어: Lie-algebra-valued differential form)은 리 대수인 자명한 벡터 다발의 값의 미분 형식이다. 이 경우, 일반 벡터 값 미분 형식과 달리, 두 미분 형식에 대한, 쐐기곱과 리 괄호를 합성한 연산을 취할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 유한 차원 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 그렇다면, 자명한 벡터 다발 M × g ↠ M {\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow M} 을 생각할 수 있다. 이 벡터 다발의 값을 갖는 미분 형식 α ∈ Γ ( M ; g ⊗ R ⋁ ∙ T ∗ M ) {\displaystyle \alpha \in \Gamma \left(M;{\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\bigvee ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M\right)} 을 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값 미분 형식이라고 한다. 1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} . 이는 물론 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수 CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 로 여겨질 수 있다. 그렇다면, 다음을 구성할 수 있다. M {\displaystyle M} 위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수 Ω ( M ) {\displaystyle \Omega (M)} 를 이룬다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 베유 대수 W ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 그렇다면, M {\displaystyle M} 위의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 미분 형식은 미분 등급 대수의 준동형 α : W ⁡ ( g ) → Ω ( M ) {\displaystyle \alpha \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)} 이다. 만약 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 가 리 대수일 경우 (즉, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로 CE ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})} 의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다. 설명: 구체적으로, 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 의 기저가 ( t i ) i ∈ I {\displaystyle (t_{i})_{i\in I}} 라고 하고, 그 베유 대수 ( W ⁡ ( g ) , d ) {\displaystyle (\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}),\mathrm {d} )} 의 등급 1의 생성원이 ( t i ) i ∈ I {\displaystyle (t^{i})_{i\in I}} , 등급 2의 생성원이 ( δ t i ) i ∈ I {\displaystyle (\delta t^{i})_{i\in I}} 라고 하자. 즉, 다음과 같다. δ d CE ⁡ ( g ) + d CE ⁡ ( g ) δ = 0 {\displaystyle \delta \mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}+\mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}\delta =0} δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} d CE t i ( t j , t k ) = − 1 2 t i ( [ t j , t k ] ) {\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i}(t_{j},t_{k})=-{\frac {1}{2}}t^{i}([t_{j},t_{k}])} 그렇다면, 준동형 ϕ : W ⁡ ( g ) → Ω ( M ) {\displaystyle \phi \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)} 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 1차 미분 형식 ∑ i ∈ I t i ϕ ( t i ) ∈ Ω 1 ( M ; g ) {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 2차 미분 형식 ∑ i ∈ I t i ϕ ( δ t i ) ∈ Ω 2 ( M ; g ) {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})\in \Omega ^{2}(M;{\mathfrak {g}})} 그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다. d ∑ i ∈ I t i ϕ ( t i ) = d ∑ i ∈ I t i ( ϕ ( δ t i ) + ϕ ( d CE t i ) ) = ∑ i ∈ I t i ϕ ( δ t i ) − 1 2 ∑ j , k ∈ I [ t j , t k ] ϕ ( t j ) ∧ ϕ ( t k ) = ∑ i ∈ I t i ϕ ( δ t i ) − [ ∑ i ∈ I t i ϕ ( t i ) ∧ ∑ i ∈ I t i ϕ ( t i ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})&=\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\left(\phi (\delta t^{i})+\phi (\mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i})\right)\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k\in I}[t_{j},t_{k}]\phi (t^{j})\wedge \phi (t^{k})\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-\left[\sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\wedge \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\right]\end{aligned}}} 즉, 이는 임의의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 1차 미분 형식 ∑ i ∈ I t i ϕ ( t i ) {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})} 만으로 완전히 결정된다. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의, 실수 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의, m {\displaystyle m} 차 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 와 n {\displaystyle n} 차 미분 형식 β {\displaystyle \beta } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 리 괄호는 다음과 같은, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 m + n {\displaystyle m+n} 차 미분 형식이다. [ α ∧ β ] ( v 1 , … , v m + n ) = 1 ( m + n ) ! ∑ σ ∈ Sym ⁡ ( m + n ) ( − ) σ [ α ( v 1 , … , v m ) , β ( v m + 1 , … , v m + n ) ] ∀ x ∈ M , v 1 , … , v m + n ∈ T x M {\displaystyle [\alpha \wedge \beta ](v_{1},\dotsc ,v_{m+n})={\frac {1}{(m+n)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (m+n)}(-)^{\sigma }[\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}),\beta (v_{m+1},\dotsc ,v_{m+n})]\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m+n}\in \mathrm {T} _{x}M} 이에 따라, M {\displaystyle M} 위의 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다. 임의의 실수 리 대수의 준동형 ϕ : g → h {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} 및 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 값의 m {\displaystyle m} 차 미분 형식 α {\displaystyle \alpha } 가 주어졌을 때, ϕ ( α ) ( v 1 , … , v m ) = ϕ ( α ( v 1 , … , v m ) ) ∀ x ∈ M , v 1 , … , v m ∈ T x M {\displaystyle \phi (\alpha )(v_{1},\dotsc ,v_{m})=\phi (\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}))\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m}\in \mathrm {T} _{x}M} 로 정의하면, ϕ ( α ) {\displaystyle \phi (\alpha )} 는 M {\displaystyle M} 위의 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 값의 m {\displaystyle m} 차 미분 형식을 이룬다. 마우러-카르탕 형식 “Groupoid of Lie-algebra valued forms”. 《nLab》 (영어).  “Infinity-Lie algebroid-valued differential form”. 《nLab》 (영어).