준층

범주론에서, 범주에 대한 준층 C {\displaystyle C} 는 함자 F : C o p → S e t {\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} } 이다. C {\displaystyle C} 가 위상 공간에서 열린 집합들의 부분 순서 집합이고 범주로 해석되면, 위상 공간에서 일반적인 준층 개념을 의미한다. 준층들의 사상은 함자의 자연 변환으로 정의된다. 이렇게 하면 C {\displaystyle C} 위에서 범주로 가는 모든 준층들의 모임이 만들어지며, 이는 함자 범주의 예이다. 기호로 C ^ = S e t C o p {\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}} 로 나타낸다. C의 일부 대상 A에 대해 반변형 hom-함자 Hom(–, A )과 자연 동형 인 준층을 표현 가능한 준층이라고 한다. 일부 저자는 함자 F : C o p → V {\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} } 를 V {\displaystyle \mathbf {V} } - 값 준층으로 정의한다. 단체 집합은 단체 범주 C = Δ {\displaystyle C=\Delta } 의 집합 값 준층이다. C {\displaystyle C} 가 작은 범주일 때, 함자 범주 C ^ = S e t C o p {\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}} 는 데카르드 닫힌 범주이다. P {\displaystyle P} 의 부분 대상의 부분 순서 집합은 P {\displaystyle P} 가 작은 C {\displaystyle C} 에 대해 C ^ = S e t C o p {\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}} 의 대상일 때 헤이팅 대수를 형성한다. C ^ {\displaystyle {\widehat {C}}} 의 모든 사상 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 에 대해, 부분 대상의 당김 함수 f ∗ : S u b C ^ ( Y ) → S u b C ^ ( X ) {\displaystyle f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)} 는 ∀ f {\displaystyle \forall _{f}} 로 나타내는 오른쪽 수반 함자와 왼쪽 수반 함자 ∃ f {\displaystyle \exists _{f}} 를 가진다. 이들은 보편적이고 실존적인 양화사이다. 국소적으로 작은 범주 C {\displaystyle C} 는 C {\displaystyle C} 의 모든 대상 A {\displaystyle A} 를 hom 함자 C ( − , A ) {\displaystyle C(-,A)} 와 연결짓는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 C ^ {\displaystyle {\widehat {C}}} 범주에 충만하고 충실하게 매장된다. 범주 C ^ {\displaystyle {\widehat {C}}} 는 작은 극한과 작은 여극한을 인정한다. 자세한 내용은 준층의 극한 및 여극한 참조. 조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다. 사실, C ^ {\displaystyle {\widehat {C}}} 는 C {\displaystyle C} 의 여극한 완비이다. (아래의 보편 성질 참조.) C ↦ C ^ = F c t ( C op , S e t ) {\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )} 구성은 다음 보편 성질 때문에 C의 여극한 완비라고 한다.  명제 C , D {\displaystyle C,D} 가 범주들이고 D {\displaystyle D} 가 작은 여극한들을 허용한다고 하자. 그러면, 각 함자 η : C → D {\displaystyle \eta :C\to D} 는 C ⟶ y C ^ ⟶ η ~ D {\displaystyle C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D} 로 함자화 된다. 여기서 y {\displaystyle y} 는 요네다 매장이고 η ~ : C ^ → D {\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D} 은, 동형 사상에 대해 유일한, η {\displaystyle \eta } 의 요네다 확장으로 불리는 여극한 보존 함자이다. 증명 : 조밀성 정리에 의해 준층 F {\displaystyle F} 가 주어지면 F = lim → ⁡ y U i {\displaystyle F=\varinjlim yU_{i}} 이다. 여기서 U i {\displaystyle U_{i}} 는 C의 대상이다. 그러면 η ~ F = lim → ⁡ η U i {\displaystyle {\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U_{i}} 이라 하자. 이는 가정에 의해 존재한다. lim → − {\displaystyle \varinjlim -} 는 함자성을 가지므로 함자 η ~ : C ^ → D {\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D} 를 결정한다. 간결하게, η ~ {\displaystyle {\widetilde {\eta }}} 은 y {\displaystyle y} 를 따른 η {\displaystyle \eta } 의 왼쪽 칸 확대이다. η ~ {\displaystyle {\widetilde {\eta }}} 가 작은 여극한들과 가환임을 보이기 위해, η ~ {\displaystyle {\widetilde {\eta }}} 일부 함자에 대해 왼쪽 인접임을 보이자. H o m ( η , − ) : D → C ^ {\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}} 를 D {\displaystyle D} 의 각 대상 M {\displaystyle M} 과 C {\displaystyle C} 의 각 대상 U {\displaystyle U} 에 대해 H o m ( η , M ) ( U ) = Hom D ⁡ ( η U , M ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).} 로 주어진 함자로 정의하자. 그러면, D {\displaystyle D} 의 각 대상 M {\displaystyle M} 에 대해 H o m ( η , M ) ( U i ) = Hom ⁡ ( y U i , H o m ( η , M ) ) {\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))} 이므로, 요네다 보조정리에 의해 다음을 얻는다: Hom D ⁡ ( η ~ F , M ) = Hom D ⁡ ( lim → ⁡ η U i , M ) = lim ← ⁡ Hom D ⁡ ( η U i , M ) = lim ← ⁡ H o m ( η , M ) ( U i ) = Hom C ^ ⁡ ( F , H o m ( η , M ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M))\end{aligned}}} 말하자면 η ~ {\displaystyle {\widetilde {\eta }}} 는 H o m ( η , − ) {\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)} 에 왼쪽 인접이다. ◻ {\displaystyle \square } 이 명제는 몇 가지 따름 정리들을 산출한다. 예를 들어, 이 명제는 C ↦ C ^ {\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}} 구성은 함자적이다: 즉, 각 함자 C → D {\displaystyle C\to D} 는 함자 C ^ → D ^ {\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}} 를 결정한다. ∞ {\displaystyle \infty } -범주 C {\displaystyle C} 위의 공간들의 준층은 C {\displaystyle C} 에서 공간 ∞ {\displaystyle \infty } -범주로 가는 반공변 함자이다(예: CW-복합체 범주의 신경) 이는 "집합"이 "공간"으로 대체된 집합 준층의 범주 버전이다. 이 개념은 무엇보다도 다음과 같이 말하는 요네다 보조정리의 ∞ 범주 공식화에 사용된다. : C → P S h v ( C ) {\displaystyle C\to PShv(C)} 는 완전히 충실하다.(여기서 C {\displaystyle C} 는 단체 집합일 수 있다.) 토포스 원소들의 범주 단체 준층 (이 개념은 "집합"을 "단체 집합"으로 대체하여 얻음) 전송이 포함된 준층 “co-Yoneda lemma”. 《nLab》 (영어).  Kashiwara & Schapira 2005, Corollary 2.4.3. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFKashiwaraSchapira2005 (help) Kashiwara & Schapira 2005, Proposition 2.7.1. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFKashiwaraSchapira2005 (help) Lurie, Definition 1.2.16.1. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFLurie (help) Lurie, Proposition 5.1.3.1. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFLurie (help) Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2005). 《Categories and sheaves》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 332. Springer. ISBN 978-3-540-27950-1.  Lurie, J. 《Higher Topos Theory》.  Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). 《Sheaves in Geometry and Logic》. Springer. ISBN 0-387-97710-4.  “Presheaf”. 《nLab》 (영어).  “Free cocompletion”. 《nLab》 (영어).  Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory, the pdf file provided by nlab.