감마 함수의 역수

수학에서 감마 함수의 역수는 감마 함수 Γ(z)에 역수를 취한 함수이다. f ( z ) = 1 Γ ( z ) , {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},} 감마 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이고 영점이 없으므로 그 역수는 전해석 함수이다. 이 함수는 감마 함수를 수치 근사하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다. 카를 바이어슈트라스는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 바이어슈트라스의 곱 정리에 사용했다. 감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 z에서 성립하며, γ는 오일러-마스케로니 상수이다. 1 Γ ( z ) = z ∏ n = 1 ∞ 1 + z n ( 1 + 1 n ) z 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}} z=0에서의 테일러 급수 전개는 다음과 같다. 1   Γ ( z )   = z + γ   z 2 + ( γ 2 2 − π 2 12 )   z 3 + ( γ 3 6 − γ π 2 12 + ζ ( 3 ) 3   ) z 4 + ⋯   {\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ } 여기서 γ 는 오일러-마스케로니 상수이다. n > 2일 때 zn 항의 계수 an은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다. ζ 는 리만 제타 함수이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다. a n =   a 2   a n − 1 + ∑ j = 2 n − 1 ( − 1 ) j + 1   ζ ( j )   a n − j   n − 1 =   γ   a n − 1 − ζ ( 2 )   a n − 2 + ζ ( 3 )   a n − 3 − ⋯   n − 1 {\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}} a n = ( − 1 ) n π n ! ∫ 0 ∞ e − t   Im ⁡ [   ( log ⁡ ( t ) − i π ) n   ]   d t   . {\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.} 처음 30개의 항의 값은 다음과 같다. a n {\displaystyle a_{n}} 의 근사공식은 다음과 같다. a n ≈ ( − 1 ) n   ( n − 1 ) !     2   π n       Im ⁡ (   z 0 ( 1 / 2 − n )   e − n z 0   1 + z 0   )   , {\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,} 여기서 z 0 = − 1 n exp ( W − 1 ( − n ) )   , {\displaystyle z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\ ,} W − 1 {\displaystyle W_{-1}} 는 람베르트 W 함수의 -1번째 분지이다. 양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 프랑세즈-로빈슨 상수라고 한다. ∫ 0 ∞ 1 Γ ( x ) d x ≈ 2.80777024 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024} 또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다. ∫ 0 ∞ a x Γ ( x ) d x = a e a + a ∫ 0 ∞ e − a x log 2 ⁡ ( x ) + π 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx} 베셀-클리포드 함수 역감마 분포 Weisstein, Eric W. “Gamma function”. 《mathworld.wolfram.com》 (영어). 2021년 6월 15일에 확인함.  Wrench, J.W. (1968). “Concerning two series for the gamma function”. 《Mathematics of Computation》 22 (103): 617–626. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4.  and Wrench, J.W. (1973). “Erratum: Concerning two series for the gamma function”. 《Mathematics of Computation》 27 (123): 681–682. doi:10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9.  Fekih-Ahmed, L. (2014). “On the power series expansion of the reciprocal gamma function”. 《HAL archives》.  Henri Cohen (2007). 《Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 240. doi:10.1007/978-0-387-49894-2. ISBN 978-0-387-49893-5. ISSN 0072-5285.