ADHM 작도

수리물리학에서 ADHM 작도(ADHM作圖, 영어: ADHM construction)는 선형대수학만을 사용하여 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 순간자들을 작도하는 방법이다. SO(4)=SU(2)L×SU(2)R이다. 편의상 바일 스피너 표기법을 사용하자. 즉, SU(2)L의 기본 표현 2의 지수는 α , β , ⋯ = 1 , 2 {\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots =1,2} 로, SU(2)R의 기본 표현 2의 지수는 α ˙ , β ˙ , ⋯ = 1 , 2 {\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots =1,2} 로 쓴다. 이렇게 하면, SO(4)의 기본 표현은 4=(2,2)이므로, 4차원 벡터의 지표는 a a ˙ {\displaystyle a{\dot {a}}} 가 된다. 통상적으로, ψ α ˙ = ϵ α ˙ β ˙ ψ β ˙ {\displaystyle \psi ^{\dot {\alpha }}=\epsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\psi _{\dot {\beta }}} ψ α = ϵ α β ψ β {\displaystyle \psi ^{\alpha }=\epsilon ^{\alpha \beta }\psi _{\beta }} 이다. SU(N) 양-밀스 이론에서, 순간자수가 k {\displaystyle k} 인 상태를 작도한다고 하자. 그렇다면 ADHM 작도는 다음과 같은 데이터로 주어진다. X μ ∈ hom ⁡ ( R k , R k ) {\displaystyle X_{\mu }\in \hom(\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{k})} . 이는 X α α ˙ = σ α α ˙ μ X μ {\displaystyle X_{\alpha {\dot {\alpha }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }X_{\mu }} 로 적을 수 있다. W α ˙ ∈ hom ⁡ ( C N , C k ) {\displaystyle W_{\dot {\alpha }}\in \hom(\mathbb {C} ^{N},\mathbb {C} ^{k})} . 이는 k × N {\displaystyle k\times N} 복소 행렬로 나타낼 수 있다. 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 ADHM 방정식(영어: ADHM equation)이라고 한다. W α ˙ ( W β ˙ ) † = i C ϵ α ˙ β ˙ + i ϵ α β X α α ˙ ( X β β ˙ ) † {\displaystyle W_{\dot {\alpha }}(W_{\dot {\beta }})^{\dagger }=iC\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}+i\epsilon ^{\alpha \beta }X_{\alpha {\dot {\alpha }}}(X_{\beta {\dot {\beta }}})^{\dagger }} 여기서 C ∈ u ( k ) {\displaystyle C\in {\mathfrak {u}}(k)} 는 임의의 k × k {\displaystyle k\times k} 에르미트 행렬이다. 이 데이터로, 순간자 A μ {\displaystyle A_{\mu }} 를 다음과 같이 작도할 수 있다. 시공간 좌표 x ∈ R 4 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}} 는 4차원 벡터이므로, x α α ˙ = x μ σ α α ˙ μ {\displaystyle x_{\alpha {\dot {\alpha }}}=x_{\mu }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }} 로 적을 수 있다. 여기서 σ μ {\displaystyle \sigma ^{\mu }} 는 파울리 행렬이다. 2 k × ( N + 2 k ) {\displaystyle 2k\times (N+2k)} 복소행렬 Δ {\displaystyle \Delta } 를 다음과 같이 정의하자. Δ α ˙ ( x ) = W α ˙ {\displaystyle \Delta _{\dot {\alpha }}(x)=W_{\dot {\alpha }}} Δ α α ˙ ( x ) = X α α ˙ + x α α ˙ ⊗ I k × k {\displaystyle \Delta _{\alpha {\dot {\alpha }}}(x)=X_{\alpha {\dot {\alpha }}}+x_{\alpha {\dot {\alpha }}}\otimes I_{k\times k}} Δ = ( Δ 1 ˙ Δ 1 1 ˙ Δ 2 1 ˙ Δ 2 ˙ Δ 1 2 ˙ Δ 2 2 ˙ ) {\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}\Delta _{\dot {1}}&\Delta _{1{\dot {1}}}&\Delta _{2{\dot {1}}}\\\Delta _{\dot {2}}&\Delta _{1{\dot {2}}}&\Delta _{2{\dot {2}}}\end{pmatrix}}} 위 조건에 따라서, 2 k × 2 k {\displaystyle 2k\times 2k} 행렬 Δ ( x ) Δ † ( x ) {\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)} 는 다음과 같은 꼴이다. Δ ( x ) Δ † ( x ) = ( F − 1 ( x ) 0 k × k 0 k × k F − 1 ( x ) ) {\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)={\begin{pmatrix}F^{-1}(x)&0_{k\times k}\\0_{k\times k}&F^{-1}(x)\end{pmatrix}}} Δ ( x ) {\displaystyle \Delta (x)} 는 C N + 2 k {\displaystyle \mathbb {C} ^{N+2k}} 에 작용한다. 거의 모든 x α α ˙ {\displaystyle x_{\alpha {\dot {\alpha }}}} 에 대하여, ker ⁡ Δ ( x ) {\displaystyle \ker \Delta (x)} 는 N {\displaystyle N} 차원이다. 따라서, Δ {\displaystyle \Delta } 의 규칙화 영 모드들을 ( 2 k + N ) × N {\displaystyle (2k+N)\times N} 행렬 U ( x ) {\displaystyle U(x)} 로 적자. Δ ( x ) U ( x ) = 0 {\displaystyle \Delta (x)U(x)=0} U † ( x ) U ( x ) = I N × N {\displaystyle U^{\dagger }(x)U(x)=I_{N\times N}} 그렇다면 순간자 게이지 퍼텐셜 A μ {\displaystyle A_{\mu }} 는 다음과 같다. A μ = i U † ( x ) ∂ ∂ x μ U ( x ) {\displaystyle A_{\mu }=iU^{\dagger }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}U(x)} X μ {\displaystyle X_{\mu }} 는 4 k 2 {\displaystyle 4k^{2}} 개의 실수 매개변수, W α ˙ {\displaystyle W_{\dot {\alpha }}} 는 4 N k {\displaystyle 4Nk} 개의 실수 매개변수를 기여한다. ADHM 방정식은 3 k 2 {\displaystyle 3k^{2}} 개의 제약을 가하고, 또한 임의의 M ∈ U ⁡ ( k ) {\displaystyle M\in \operatorname {U} (k)} 에 대하여 W α ˙ → M W α ˙ {\displaystyle W_{\dot {\alpha }}\to MW_{\dot {\alpha }}} X α α ˙ ↦ M X α α ˙ M − 1 {\displaystyle X_{\alpha {\dot {\alpha }}}\mapsto MX_{\alpha {\dot {\alpha }}}M^{-1}} 와 같이 회전을 가해도 같은 순간자를 얻으므로, 모듈러스 공간의 차원은 4 N k {\displaystyle 4Nk} 이다. ADHM 작도는 끈 이론으로 자연스럽게 해석할 수 있다. 이 경우, N개의 겹친 D3-막에 녹아 있는 k개의 D(−1)-막들을 고려한다. 이 경우 D(−1)-막에 존재하는 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} (16개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 고려한다. 이 게이지 이론은 쿨롱 상과 힉스 상 두 가지의 상이 존재한다. 쿨롱 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막에서 분리돼 각각 자유롭게 움직인다. 힉스 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막 속에 녹아, D3-막 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론의 순간자를 이룬다. 따라서, 다음과 같은 대응 관계를 얻는다. 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 발표하였다. 이름은 발견자들의 성의 머릿자를 딴 것이다. 트위스터 이론 Tong, David (2005). “TASI lectures on solitons” (영어). arXiv:hep-th/0509216. Bibcode:2005hep.th....9216T.  Atiyah, Michael Francis; Drinfeld, Vladimir; Hitchin, Nigel; Manin, Yuri (1978년 3월 6일). “Construction of instantons”. 《Physics Letters A》 (영어) 65 (3): 185–187. Bibcode:1978PhLA...65..185A. doi:10.1016/0375-9601(78)90141-X. ISSN 0375-9601. MR 598562. Zbl 0424.14004.  Dorey, Nick; Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, Michael P. Mattis (2002년 12월). “The calculus of many instantons”. 《Physics Reports》 (영어) 371 (4-5): 231-459. arXiv:hep-th/0206063. 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