주 아이디얼 정역

가환대수학에서 주 아이디얼 정역(主ideal整域, 영어: principal ideal domain, 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다. 주 오른쪽 아이디얼 환(영어: principal right ideal ring)은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉, r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 r R {\displaystyle rR} 의 꼴)인 환이다. 주 왼쪽 아이디얼 환(영어: principal left ideal ring)은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉, r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여 R r {\displaystyle Rr} 의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, 주 아이디얼 가환환(영어: principal ideal commutative ring)이라고 한다. 정역 D {\displaystyle D} 에 대하여 다음 조건들을 정의하자. (B) 베주 정역이다. 즉, 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. (D) 데데킨트 정역이다. (UFD) 유일 인수 분해 정역이다. (N) 뇌터 환이다. 정역 D {\displaystyle D} 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 주 아이디얼 정역이라고 한다. 주 아이디얼 환이다. 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다. (N) + 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.:486, Theorem 12.3 (UFD) + (D):56, Exercise §2.10 (UFD) + (B) (UFD) + 크룰 차원이 1 이하이다.:311, Exercise 5.17 (UFD) + 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.:164, Exercise §4.51 (UFD) + 모든 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 평탄 가군이다.:164, Exercise §4.51 (B) + (N) (B) + 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. 적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다. (D) + 피카르 군이 자명군이다.:56, Exercise §2.10 모든 아이디얼이 자유 가군이다.:273 자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.:639, Theorem 8.9(i) 가환환 R {\displaystyle R} 위의 데데킨트-하세 노름(영어: Dedekind–Hasse norm) f : R ∖ { 0 } → N {\displaystyle f\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} } 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. 임의의 r , s ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle r,s\in R\setminus \{0\}} 에 대하여, r ∣ s {\displaystyle r\mid s} 이거나 아니면 f ( r ) < f ( t ) {\displaystyle f(r)<f(t)} 인 t ∈ ( r , s ) {\displaystyle t\in (r,s)} 가 존재한다. (여기서 ( r , s ) = r R + s R {\displaystyle (r,s)=rR+sR} 는 r {\displaystyle r} 와 s {\displaystyle s} 로 생성되는 아이디얼이다.) 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체 주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 a , b {\displaystyle a,b} 에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다. 모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다. 모든 환에서 임의의 극대 아이디얼은 소 아이디얼인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 기하학적으로, 이는 크룰 차원이 1이하라는 것을 뜻한다. 보다 일반적으로, 이 조건은 데데킨트 정역에서도 성립한다. 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다. 주 아이디얼 정역 R {\displaystyle R} 위의 임의의 유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 은 다음과 같이 나타낼 수 있다. M ≅ ⨁ i R / ( q i ) {\displaystyle M\cong \bigoplus _{i}R/(q_{i})} 여기서 ( q i ) {\displaystyle (q_{i})} 는 R {\displaystyle R} 의 으뜸 아이디얼이다. 이를 M {\displaystyle M} 의 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라고 하며, 유일하다. 주 아이디얼 정역 R {\displaystyle R} 위의 임의의 유한 생성 가군 M {\displaystyle M} 은 다음과 같이 나타낼 수 있다. M ≅ ⨁ i = 1 n R / ( d i ) {\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/(d_{i})} R × ∌ d 1 ∣ d 2 ∣ ⋯ ∣ d n {\displaystyle R^{\times }\not \ni d_{1}\mid d_{2}\mid \cdots \mid d_{n}} 여기서 ( d i ) {\displaystyle (d_{i})} 는 R {\displaystyle R} 의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 M {\displaystyle M} 의 불변 인자 분해(영어: invariant factor decomposition)라고 한다. 자리스키-사뮈엘 정리(영어: Zariski–Samuel theorem)에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 R {\displaystyle R} 는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.:245, Theorem 33 R = ∏ i = 1 n R i {\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}} 여기서 각 R i {\displaystyle R_{i}} 는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다. 헝거퍼드 정리(영어: Hungerford theorem)에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환 R {\displaystyle R} 는 이산 값매김환의 몫환이다. 임의의 체는 주 아이디얼 정역이다. 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 는 주 아이디얼 정역이다. 가우스 정수환 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 와 아이젠슈타인 정수환 Z [ exp ⁡ ( 2 π i / 3 ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\exp(2\pi i/3)]} 는 주 아이디얼 정역이다. K {\displaystyle K} 가 체일 때, K {\displaystyle K} 위의 일변수 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 는 주 아이디얼 정역이다. 정수 계수 다항식환 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 ( 2 , x ) {\displaystyle (2,x)} 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, K [ x , y ] {\displaystyle K[x,y]} 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 가환환 Z [ 1 + − 19 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]} 는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다. K {\displaystyle K} 가 임의의 체일 때, 다항식환 K [ x , y ] {\displaystyle K[x,y]} 는 유일 인수 분해 정역이지만 주 아이디얼 정역이 아니다. 예를 들어, ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 는 주 아이디얼이 아니다. 나눗셈환 K {\displaystyle K} 위의 σ : K → K {\displaystyle \sigma \colon K\to K} 가 자기 준동형이지만 자기 동형이 아니라고 하자. 그렇다면 힐베르트 뒤틀린 다항식환(영어: Hilbert’s twisted polynomial ring):9, Example 1.7 K [ x ; σ ] = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n : n ∈ N , a i ∈ K } {\displaystyle K[x;\sigma ]=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{i}\in K\}} x a = σ ( a ) x ∀ a ∈ K {\displaystyle xa=\sigma (a)x\qquad \forall a\in K} 는 다음 성질들을 만족시킨다.:21, Example 1.25 주 왼쪽 아이디얼 환이다. (따라서 왼쪽 뇌터 환이다.) 영역이다. 가환환이 아니다. 오른쪽 뇌터 환이 아니다. (따라서 주 오른쪽 아이디얼 환이 아니다.) 따라서, 영역의 경우에도 주 왼쪽/오른쪽 아이디얼 환 조건이 서로 다르다. 1949년에 토머스 모츠킨(영어: Thomas Motzkin)이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다. 자리스키-사뮈엘 정리는 1958년에 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘(프랑스어: Pierre Samuel)이 증명하였다.:245, Theorem 33 헝거퍼드 정리는 1968년에 토머스 윌리엄 헝거퍼드(영어: Thomas William Hungerford)가 증명하였다. 베주 항등식 Kaplansky, Irving (1949년 7월). “Elementary divisors and modules”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 66: 464-491. doi:10.1090/S0002-9947-1949-0031470-3. ISSN 0002-9947.  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.  Rotman, Joseph J. (2011). 《Advanced modern algebra》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 114 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-082184741-1.  Cohn, P. M. (1971). 〈Free ideal rings and free products of rings〉. 《Actes du Congrès International des Mathematiciens 1970. Tome 1》 (PDF) (영어). 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