르베그 덮개 차원

일반위상수학에서 르베그 덮개 차원(-次元, 영어: Lebesgue covering dimension) 또는 르베그 피복 차원(-被覆次元) 또는 위상적 차원(영어: topological dimension)은 위상 공간을 얼마나 ‘효율적으로’ 덮을 수 있는지를 측정하는 정수 값 불변량이다. 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 르베그 덮개 차원 dim ⁡ X {\displaystyle \dim X} 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 n ≥ − 1 {\displaystyle n\geq -1} 이다. 임의의 유한 열린 덮개 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 에 대하여, max x ∈ X | { C ∈ C : x ∈ C } | ≤ n + 1 {\displaystyle \max _{x\in X}|\{C\in {\mathcal {C}}\colon x\in C\}|\leq n+1} 인 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 의 열린 세분 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 존재한다. 만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, dim ⁡ X = ∞ {\displaystyle \dim X=\infty } 로 정의한다. 위 정의에서, “유한 열린 덮개”를 “국소 유한 열린 덮개”로 대체하여도 원래의 정의와 동치이다.:Theorem 1 단체 복합체의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리) 임의의 위상 공간의 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 적거나 같다. 정규 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 르베그 덮개 차원 dim ⁡ X ≤ n {\displaystyle \dim X\leq n} X {\displaystyle X} 의 임의의 닫힌 집합 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} 및 연속 함수 f : A → S n {\displaystyle f\colon A\to S^{n}} 에 대하여, f {\displaystyle f} 의 X {\displaystyle X} 에 대한 확장 g : X → S n {\displaystyle g\colon X\to S^{n}} 이 존재한다. ( S n {\displaystyle S^{n}} 은 초구) 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, 만약 Y {\displaystyle Y} 가 닫힌집합이거나,:11, Proposition 2.11 X {\displaystyle X} 가 완전 정규 공간이라면, 다음이 성립한다. dim ⁡ Y ≤ dim ⁡ X {\displaystyle \dim Y\leq \dim X} 정규 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 Y , Z ⊆ X {\displaystyle Y,Z\subseteq X} 에 대하여, 만약 X = Y ∪ Z {\displaystyle X=Y\cup Z} 라면, 다음이 성립한다.:25, Proposition 4.8 (르베그 덮개 차원에 대한 우리손 부등식) dim ⁡ ( Y ∪ Z ) ≤ dim ⁡ Y + dim ⁡ Z + 1 {\displaystyle \dim(Y\cup Z)\leq \dim Y+\dim Z+1} 위상 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식 dim ⁡ ( X × Y ) ≤ dim ⁡ X + dim ⁡ Y {\displaystyle \dim(X\times Y)\leq \dim X+\dim Y} 이 성립한다. X , Y {\displaystyle X,Y} 는 콤팩트 공간이다.:214, Theorem 4 X {\displaystyle X} 는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, Y {\displaystyle Y} 는 정규 하우스도르프 공간이며, X × Y {\displaystyle X\times Y} 는 정규 공간이다.:208, Theorem 3.4.6 X {\displaystyle X} 는 거리화 가능 공간이며, Y {\displaystyle Y} 는 정규 하우스도르프 공간이며, X × Y {\displaystyle X\times Y} 는 정규 공간이다.:209–210, Theorem 3.4.9 다음 조건은 두 번째 조건을 함의하므로, 위 부등식을 함의한다. X {\displaystyle X} 는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, Y {\displaystyle Y} 는 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.:207, Theorem 3.4.4 다음 조건은 세 번째 조건을 함의하므로, 부등식을 함의한다. X , Y {\displaystyle X,Y} 는 거리화 가능 공간이다.:219, Theorem 8 정규 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} 와 그 스톤-체흐 콤팩트화의 르베그 덮개 차원은 일치한다.:182, Exercise 3.1.J dim ⁡ β X = dim ⁡ X {\displaystyle \dim \beta X=\dim X} n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 르베그 덮개 차원은 n {\displaystyle n} 이다. 보다 일반적으로, 임의의 n {\displaystyle n} 차원 다양체의 르베그 덮개 차원은 n {\displaystyle n} 이다. 공집합이 아닌 이산 공간 및 비이산 공간의 르베그 덮개 차원은 0이다. 르베그 덮개 차원이 − 1 {\displaystyle -1} 인 공간은 공집합밖에 없다. 조르겐프라이 직선 S {\displaystyle S} 의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 조르겐프라이 평면 S × S {\displaystyle S\times S} 의 르베그 덮개 차원은 ∞ {\displaystyle \infty } 이다.:2, Theorem 1 dim ⁡ S = 0 {\displaystyle \dim S=0} dim ⁡ S × S = ∞ {\displaystyle \dim S\times S=\infty } 앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코의 수학자 에두아르트 체흐가 처음으로 공식적으로 도입하였다. Ostrand, Phillip A. (1971). “Covering dimension in general spaces”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 1 (3): 209–221. doi:10.1016/0016-660X(71)90093-6. ISSN 0016-660X. MR 0288741. Zbl 0232.54044.  Charalambous, Michael G. (2019). 《Dimension theory. A selection of theorems and counterexamples》. Atlantis Studies in Mathematics (영어) 7. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-030-22232-1. ISBN 978-3-030-22231-4. ISSN 1875-7634. MR 3970309. Zbl 1471.54001.  Engelking, Ryszard (1995). 《Theory of dimensions finite and infinite》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 10. Heldermann Verlag: Lemgo. ISBN 3-88538-010-2. MR 1363947. Zbl 0872.54002.  Sipacheva, Ol'ga (2021). “The covering dimension of the Sorgenfrey plane” (영어). arXiv:2110.08867. doi:10.48550/arXiv.2110.08867.  arXiv 인용에서 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7 Menger, Karl (1928). 《Dimensionstheorie》 (독일어). 라이프치히: B. G. Teubner.  Pears, A. R. (1975). 《Dimension Theory of General Spaces》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8.  V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4. “Lebesgue dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.  Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  귀납적 차원