아티야 준군

미분기하학에서 아티야 준군(Atiyah準群, 영어: Atiyah groupoid)은 매끄러운 주다발에 대하여 표준적으로 대응되는 리 준군이다. 그 리 준대수를 아티야 리 준대수(Atiyah Lie準代數, 영어: Atiyah Lie groupoid)라고 한다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 리 군 G {\displaystyle G} . 그 리 대수를 l i e ( G ) = g {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)={\mathfrak {g}}} 라고 표기하자. 매끄러운 주다발 G ↪ P ↠ π M {\displaystyle G\hookrightarrow P\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M} 그렇다면, 이에 대응되는 아티야 준군 At ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {At} (P)} 은 다음과 같은 리 준군이다. 대상의 매끄러운 다양체는 Ob ⁡ ( At ⁡ ( P ) ) = M {\displaystyle \operatorname {Ob} (\operatorname {At} (P))=M} 이다. 사상의 매끄러운 다양체는 Mor ⁡ ( At ⁡ ( P ) ) = ( P × P ) / G = P × P / ( ( p , q ) ∼ ( p ⋅ g , q ⋅ g ) ∀ g ∈ G ) {\displaystyle \operatorname {Mor} (\operatorname {At} (P))=(P\times P)/G=P\times P/((p,q)\sim (p\cdot g,q\cdot g)\forall g\in G)} 이다. 여기서 G {\displaystyle G} 의 오른쪽 군 작용은 P × P {\displaystyle P\times P} 위에 성분별로 작용한다. 정의역과 공역 사상 Mor ⁡ ( At ⁡ ( P ) ) ⇉ Ob ⁡ ( At ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \operatorname {Mor} (\operatorname {At} (P))\rightrightarrows \operatorname {Ob} (\operatorname {At} (P))} 는 ( P × P ) / G {\displaystyle (P\times P)/G} 의 두 사영 사상 proj 1 , proj 2 : ( P × P ) / G → P / G = M {\displaystyle \operatorname {proj} _{1},\operatorname {proj} _{2}\colon (P\times P)/G\to P/G=M} 으로 주어진다. 사상의 합성은 자명하게 ( q , r ) ⋅ G ∘ ( p , q ) ⋅ G = ( p , r ) ⋅ G {\displaystyle (q,r)\cdot G\circ (p,q)\cdot G=(p,r)\cdot G} 로 주어진다. 항등원 사상 Ob ⁡ ( At ⁡ ( P ) ) → Mor ⁡ ( At ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \operatorname {Ob} (\operatorname {At} (P))\to \operatorname {Mor} (\operatorname {At} (P))} 은 대각 사상 x ↦ ( p , p ) ⋅ G {\displaystyle x\mapsto (p,p)\cdot G} ( p ∈ π − 1 ( x ) {\displaystyle p\in \pi ^{-1}(x)} )으로 주어진다. 이에 대응하는 리 준대수를 아티야 리 준대수라고 한다. 아티야 리 준대수는 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다. π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M} 의 미분 d π ∈ Ω 1 ( P ; π ∗ T M ) {\displaystyle \mathrm {d} \pi \in \Omega ^{1}(P;\pi ^{*}\mathrm {T} M)} 을 생각하자. 이는 다음과 같은 P {\displaystyle P} 위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다. P × 0 → V P = P × g → T P → d π π ∗ T M → P × 0 {\displaystyle P\times 0\to \mathrm {V} P=P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {T} P\,{\overset {\mathrm {d} \pi }{\to }}\,\pi ^{*}\mathrm {T} M\to P\times 0} 여기서 수직 벡터 다발 V P {\displaystyle \mathrm {V} P} 은 P {\displaystyle P} 가 주다발이므로 자명한 벡터 다발이다. 이 위의 각 항의 전체 공간은 G {\displaystyle G} 의 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다. P × 0 → P × g → T P → d π π ∗ T M → P × 0 π ↓ π ↓ ↓ ↓ π ↓ π M × 0 → ad ⁡ ( P ) → T P G → T M → M × 0 {\displaystyle {\begin{matrix}P\times 0&\to &P\times {\mathfrak {g}}&\to &\mathrm {T} P&{\overset {\mathrm {d} \pi }{\to }}&\pi ^{*}\mathrm {T} M&\to &P\times 0\\{\scriptstyle \pi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \pi }&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&{\color {White}\scriptstyle \pi }\downarrow {\scriptstyle \pi }\\M\times 0&\to &\operatorname {ad} (P)&\to &{\dfrac {\mathrm {T} P}{G}}&\to &\mathrm {T} M&\to &M\times 0\end{matrix}}} 여기서 연관 벡터 다발 ad ⁡ ( P ) = P × G g ↠ M {\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow M} 은 무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면은 무한소 게이지 변환이다. at ⁡ ( P ) = ( T P ) / G ↠ M {\displaystyle \operatorname {at} (P)=(\mathrm {T} P)/G\twoheadrightarrow M} 의 매끄러운 단면 X ∈ Γ ∞ ( M ; ( T P ) / G ) {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(M;(\mathrm {T} P)/G)} 은 P {\displaystyle P} 위의 벡터장 X ~ ∈ Γ ∞ ( T P ) = Vect ⁡ ( P ) {\displaystyle {\tilde {X}}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} P)=\operatorname {Vect} (P)} 가운데, G {\displaystyle G} 의 작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다. P → X ~ T P π ↓ π ↓ M → X T P G {\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {\tilde {X}}{\to }}&\mathrm {T} P\\{\scriptstyle \pi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \pi }&&\downarrow \\M&{\underset {X}{\to }}&{\dfrac {\mathrm {T} P}{G}}\end{matrix}}} M {\displaystyle M} -벡터 다발 사상 at ⁡ ( P ) ↠ T M {\displaystyle \operatorname {at} (P)\twoheadrightarrow \mathrm {T} M} 의 오른쪽 역사상의 데이터는 P {\displaystyle P} 위의 주접속의 데이터와 동치이다. 이에 따라, at ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {at} (P)} 는 다음과 같이 M {\displaystyle M} 위의 리 준대수의 구조를 갖는다. 닻 at ⁡ ( P ) → T M {\displaystyle \operatorname {at} (P)\to \mathrm {T} M} 은 위 가환 그림에 등장하는 M {\displaystyle M} -벡터 다발 사상이다. at ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {at} (P)} 의 단면 공간 Γ ∞ ( M ; at ⁡ ( P ) ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(M;\operatorname {at} (P))} 위의 리 괄호는 포함 사상 Γ ∞ ( M ; at ⁡ ( P ) ) ↪ Vect ⁡ ( P ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(M;\operatorname {at} (P))\hookrightarrow \operatorname {Vect} (P)} 에 의하여 Vect ⁡ ( P ) {\displaystyle \operatorname {Vect} (P)} 의 리 미분의 제한으로 정의된다. 이를 매끄러운 주다발 π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M} 의 아티야 리 준대수라고 한다. 마이클 아티야가 도입하였다. Atiyah, Michael (1957). “Complex analytic connections in fibre bundles”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 85: 181–207. doi:10.1090/S0002-9947-1957-0086359-5. JSTOR 1992969. MR 86359.  “Atiyah Lie groupoid”. 《nLab》 (영어).  “Atiyah Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).