二十六角形

二十六角形（にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon）は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。 正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は S = 26 4 a 2 cot ⁡ π 26 ≃ 53.53232 a 2 {\displaystyle S={\frac {26}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{26}}\simeq 53.53232a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 26 ) {\displaystyle \cos(2\pi /26)} を平方根と立方根で表すと cos ⁡ 2 π 26 = cos ⁡ π 13 = 1 12 72 + 72 ⋅ cos ⁡ 2 π 13 = 1 12 72 + 72 ⋅ 1 12 ( 104 − 20 13 + 12 − 39 3 + 104 − 20 13 − 12 − 39 3 + 13 − 1 ) = 0.970941... {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}=\cos {\frac {\pi }{13}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot \cos {\frac {2\pi }{13}}}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot {\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)}}=0.970941...} 求め方 以下のようにα、βを置く α = 2 cos ⁡ 2 π 26 + 2 cos ⁡ 6 π 26 + 2 cos ⁡ 18 π 26 β = 2 cos ⁡ 14 π 26 + 2 cos ⁡ 10 π 26 + 2 cos ⁡ 22 π 26 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}\\\beta =&2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}\\\end{aligned}}} 和と差の平方を求めると α + β = 1 ( α − β ) 2 = 13 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta =1\\\left(\alpha -\beta \right)^{2}=13\\\end{aligned}}} α-βを求めると（α > βより） α − β = 13 {\displaystyle \alpha -\beta ={\sqrt {13}}} よって 2 cos ⁡ 2 π 26 + 2 cos ⁡ 6 π 26 + 2 cos ⁡ 18 π 26 = 1 + 13 2 2 cos ⁡ 14 π 26 + 2 cos ⁡ 10 π 26 + 2 cos ⁡ 22 π 26 = 1 − 13 2 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\\2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}=&{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}} 一方 ( 2 cos ⁡ 2 π 26 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 26 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 26 ) 3 = 2 + 2 13 + 6 ⋅ − 3 − 13 2 + 3 ω ⋅ ( 2 + 13 ) + 3 ω 2 ⋅ ( 2 ) = − 26 − 5 13 + 3 39 i 2 ( 2 cos ⁡ 2 π 26 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 26 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 26 ) 3 = 2 + 2 13 + 6 ⋅ − 3 − 13 2 + 3 ω 2 ⋅ ( 2 + 13 ) + 3 ω ⋅ ( 2 ) = − 26 − 5 13 − 3 39 i 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}\right)^{3}=&2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {-3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega \cdot (2+{\sqrt {13}})+3\omega ^{2}\cdot (2)={\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}\right)^{3}=&2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {-3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega ^{2}\cdot (2+{\sqrt {13}})+3\omega \cdot (2)={\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\end{aligned}}} 両辺の立方根を求めると 2 cos ⁡ 2 π 26 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 26 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 26 = − 26 − 5 13 + 3 39 i 2 3 2 cos ⁡ 2 π 26 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 26 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 26 = − 26 − 5 13 − 3 39 i 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\\end{aligned}}} cos ⁡ ( 2 π / 26 ) {\displaystyle \cos(2\pi /26)} を平方根と立方根で表すと cos ⁡ 2 π 26 = 1 + 13 12 + 1 6 − 26 − 5 13 + 3 39 i 2 3 + 1 6 − 26 − 5 13 − 3 39 i 2 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}={\frac {1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}} 正二十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正二十六角形は折紙により作図可能である。 [脚注の使い方] 十三角形 ポータル 数学 表示 編集