アラン分散

アラン分散（Allan variance）は、時計、発振器、アンプにおける周波数安定度を表す指標である。名前はDavid W. Allanに由来し、数学的には σ y 2 ( τ ) {\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )} と表される。 アラン偏差（Allan deviation）は、アラン分散の平方根である σ y ( τ ) {\displaystyle \sigma _{y}(\tau )} である。 アラン分散は統計的な安定度を推定するためのものであり、周波数ドリフトなどの系統的な誤差を推定するものではない。また、アラン分散には、修正アラン分散をはじめとするいくつかの派生形がある。 水晶発振器や原子時計の安定性が調べられていた頃、位相ノイズにはホワイトノイズのみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、標準偏差などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた。 この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散（2-サンプル分散）を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。IEEEはのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散（2-サンプル分散）の方が望ましいとみなした。 振動は以下の式で表される。 V ( t ) = V 0 sin ⁡ ( Φ ( t ) ) . {\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).} 位相は以下のように表される。 Φ ( t ) = ω n t + φ ( t ) = 2 π ν n t + φ ( t ) . {\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).} ν n {\displaystyle \nu _{\text{n}}} は基準となる周波数を表し、 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} は位相ノイズを表す。 瞬間的な周波数は、位相の時間微分で表される。 ν ( t ) = 1 2 π d Φ ( t ) d t . {\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.} 瞬間的な周波数の、基準となる周波数からの偏差を規格化して、以下の量を定義する。 y ( t ) = ν ( t ) − ν n ν n = ν ( t ) ν n − 1. {\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.} 規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。 y ¯ ( t , τ ) = 1 τ ∫ 0 τ y ( t + t v ) d t v , {\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},} ここでτは平均化時間を表す。 n番目の周波数偏差を以下のように表すとする。 y ¯ n = y ¯ ( n τ , τ ) {\displaystyle {\bar {y}}_{n}={\bar {y}}(n\tau ,\tau )} アラン分散は以下のように定義される。 σ y 2 ( τ ) = 1 2 ⟨ ( y ¯ n + 1 − y ¯ n ) 2 ⟩ {\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle } ただし、 ⟨ ⋯ ⟩ {\displaystyle \langle \dotsm \rangle } は期待値を表す。 標準偏差と分散の関係と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義される。 σ y ( τ ) = σ y 2 ( τ ) . {\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.} アラン分散は、さまざまなべき乗ノイズを見分けることができる。 アラン分散は、白色位相ノイズとフリッカー位相ノイズを見分けることができない。一方で、修正アラン分散ではこれらを見分けることができる。 アラン分散は、位相や周波数に乗るノイズを見分けるためのものである。一方で、位相や周波数の線形な変化に対して依存性を示すことがある。 上の表より、アラン分散は、位相や周波数に定数のオフセットがついても変化しないが、周波数が線形に変化すると影響を受ける。 分散 計量学 ^ Cutler, L. S.; Searle, C. L. (February 1966), “Some Aspects of the Theory and Measurements of Frequency Fluctuations in Frequency Standards”, Proceedings of the IEEE 54 (2): 136–154, doi:10.1109/proc.1966.4627, オリジナルの2022-10-09時点におけるアーカイブ。, https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://wwwusers.ts.infn.it/~milotti/Didattica/Segnali/Cutler&Searle_1966.pdf  ^ Leeson, D. B (February 1966), “A simple Model of Feedback Oscillator Noise Spectrum”, Proceedings of the IEEE 54 (2): 329–330, doi:10.1109/proc.1966.4682, オリジナルの1 February 2014時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20140201231407/http://ccnet.stanford.edu/cgi-bin/course.cgi?cc=ee246&action=handout_download&handout_id=ID113350669026291 20 September 2012閲覧。  ^ “Definitions of physical quantities for fundamental frequency and time metrology – Random Instabilities”. IEEE STD 1139-1999. (1999). doi:10.1109/IEEESTD.1999.90575. ISBN 978-0-7381-1753-9.  ^ J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, W. L. Smith, R. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: Characterization of Frequency Stability, NBS Technical Note 394, 1970. ^ J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, Jr., W. L. Smith, R. L. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: Characterization of Frequency Stability, IEEE Transactions on Instruments and Measurements 20, pp. 105–120, 1971. ^ a b Bregni, Stefano: Synchronisation of digital telecommunication networks, Wiley 2002, ISBN 0-471-61550-1. ^ NIST SP 1065: Handbook of Frequency Stability Analysis .