和分差分学

数学の一部門としての差分法（さぶんほう、英: difference calculus, calculus of finite difference）あるいは和分差分学（わぶんさぶんがく、英: discrete calculus）は、（微分法および積分法を柱とする）微分積分学の離散版にあたる。微分積分学が（極限の概念を定式化し得る）連続的な空間上の函数（特に実数直線上で定義された函数）に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に整数全体の成す集合 ℤ 上で定義された函数（すなわち数列）に注目する。差分法は級数の計算にも応用される。 よく知られた連続的な微分法は D f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle Df(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} で定義される微分作用素 D に基づくのに対し、離散的な差分法は Δ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)} で定義される差分作用素 Δ に基づく。 逆演算は、連続的な微分積分学における不定積分に対応するものとして、離散的な不定和分 ∑f(x) が差分作用素に対して g ( x ) = Δ f ( x ) ⟺ ∑ g ( x ) δ x = f ( x ) + C {\displaystyle g(x)=\Delta f(x)\iff \sum g(x)\,\delta x=f(x)+C} を満足するものとして定義される。ただし、δ は連続的な微分積分学における D に対する d と同様の意味で（ここでは）Δ に対する符牒である。また C は整数 x に対して定数となるような任意の函数 (C(x + 1) = C(x)) とする。 定積分に相当する定和分は、上の限界を固定しない通常の和 F(x) を用いれば ∑ a b f ( x ) δ x = ∑ k = a b − 1 f ( k ) = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \sum \nolimits _{a}^{b}f(x)\,\delta x=\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)} なる関係にある。 Δ f ( x ) = f ( x ) ⟺ f ( x + 1 ) − f ( x ) = f ( x ) ⟺ f ( x + 1 ) = 2 f ( x ) ⟺ ∃ C : f ( x ) = C ⋅ 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)-f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)=2f(x)\\\iff &\exists C:f(x)=C\cdot 2^{x}\end{aligned}}} 微分作用素の作用の下で不変な函数が e を底とする指数函数であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下では2 を底とする指数函数が不変である。これを確かめるのは容易い。 下降階乗に関しては単純な規則が存在する。任意の整数 m に対して x m _ = x ! ( x − m ) ! = { x ( x − 1 ) ⋯ ( x − m + 1 ) ⏞ m  factors for  m ≥ 0 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x − m ) ⏟ | m |  factors for  m < 0 {\displaystyle x^{\underline {m}}={\frac {x!}{(x-m)!}}={\begin{cases}\overbrace {x(x-1)\dotsb (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}&{\text{for }}m\geq 0\\[5pt]\underbrace {\frac {1}{(x+1)(x+2)\dotsb (x-m)}} _{|m|{\text{ factors}}}&{\text{for }}m<0\end{cases}}} と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを Δ ( x m _ ) = m x m − 1 _ {\displaystyle \Delta (x^{\underline {m}})=mx^{\underline {m-1}}} ∑ a b x m _ δ x = { [ x m + 1 _ m + 1 ] a b when  m ≠ − 1 [ H x ] a b when  m = − 1 {\displaystyle \sum \nolimits _{a}^{b}x^{\underline {m}}\,\delta x={\begin{cases}[{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}]_{a}^{b}&{\text{when }}m\neq -1\\[8pt][H_{x}]_{a}^{b}&{\text{when }}m=-1\end{cases}}} のように表すことができる。ここに Hn は n-番目の調和数である。この意味で、調和数は自然対数の離散版となるものということになる。 Δ ( x ⋅ H x − x ) = H x {\displaystyle \Delta (x\cdot H_{x}-x)=H_{x}} なることも用いた。 連続的な微分積分学における積の微分法則に対応する、差分に関する積の法則が Δ ( u ( x ) v ( x ) ) = u ( x ) Δ v ( x ) + v ( x + 1 ) Δ u ( x ) {\displaystyle \Delta (u(x)v(x))=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x)} なる形で成り立つ。シフト作用素 E を Ef(x) := f(x + 1) で定めれば、短く Δ ( u v ) = u Δ v + E v Δ u {\displaystyle \Delta (uv)=u\Delta v+Ev\Delta u} と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な部分積分に対応する部分和分の式 ∑ u Δ v = u v − ∑ E v Δ u {\displaystyle \sum u\,\Delta v=uv-\sum Ev\,\Delta u} が得られる。 ^ a b 結城 2005b. ^ 結城 2005a. A. O. Gelfond: Differenzenrechnung. Dt. Verlag d. Wiss., Berlin, 1958 Ronald Graham u. a.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Upper Saddle River 2008, ISBN 0-201-55802-5 N. E. Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung. Springer-Verlag, Berlin, 1924; Reprint Chelsea, New York, 1954 有限差分 結城浩『ミルカさんの隣で』〈Web版「数学ガール」〉2005年。http://www.hyuki.com/story/diffsum.html。  (PDF) 結城浩『離散系バージョンの関数探し』〈Web版「数学ガール」〉2005年。http://www.hyuki.com/story/diffsum2.html。  (PDF) Brian Hamrick: Discrete Calculus (PDF, 70 KB)[リンク切れ]