積分方程式

積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。 積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。 積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる。 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。 既知の関数 f （下記参照）が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。 4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。 ただし ϕ {\displaystyle \phi } は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。 第一種フレドホルム積分方程式： f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt} 第二種フレドホルム積分方程式： ϕ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt} 第一種ヴォルテラ積分方程式： f ( x ) = ∫ a x K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt} 第二種ヴォルテラ積分方程式： ϕ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a x K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt} 積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。 ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、 M {\displaystyle \mathbf {M} } を行列、 v {\displaystyle \mathbf {v} } を固有ベクトル、 λ {\displaystyle \lambda } を対応する固有値として、 ∑ j M i , j v j = λ v i {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}^{}} と書くことができる。 添字 i {\displaystyle i} 、 j {\displaystyle j} を連続変数 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} で置き換えて連続極限を取ると、 j {\displaystyle j} に関する総和は y {\displaystyle y} に関する積分、行列 M i , j {\displaystyle M_{i,j}} とベクトル v j {\displaystyle v_{j}} はそれぞれ積分核 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} と固有関数 φ ( y ) {\displaystyle \varphi (y)} に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式 ∫ d y K ( x , y ) φ ( y ) = λ φ ( x ) {\displaystyle \int \mathrm {d} y\,K(x,y)\varphi (y)=\lambda \varphi (x)} が得られる。 一般に、 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} は超関数であってもよい。超関数 K {\displaystyle K} が x = y {\displaystyle x=y} でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。 [脚注の使い方] ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Integral Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html ^ a b c d Integral equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Integral_equation&oldid=30324 ^ a b c d e Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: en:Academic Press, 1985. ^ a b Mikhlin, S. G. Integral Equations and Their Applications to Certain Problems in Mechanics, Mathematical Physics and Technology, 2nd rev. ed. New York: Macmillan, 1964. ^ a b Porter, D. and Stirling, D. S. G. Integral Equations: A Practical Treatment, from Spectral Theory to Applications. Cambridge, England: en:Cambridge University Press, 1990. ^ a b Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge, England: en:Cambridge University Press, 1991. ^ Burton, T. A. (2005). Volterra integral and differential equations. Elsevier. ^ Gripenberg, G., Londen, S. O., & Staffans, O. (1990). Volterra integral and functional equations. en:Cambridge University Press. 日本数学会 『岩波数学辞典（第3版）』岩波書店、1985年。ISBN 4000800167 竹内端三『積分方程式論』共立出版，1947年．NDLJP:1078609 吉田耕作『積分方程式論』岩波全書、1950。ISBN 4000212834 溝畑茂. 積分方程式入門. 朝倉書店. 上村豊. 積分方程式―逆問題の視点から―. 共立出版. Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association. Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. en:CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4. M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971. Smithies, F. (1958). Integral equations. Cambridge: en:Cambridge University Press. Wazwaz, A. M. (2011). Linear and nonlinear integral equations. Berlin: Springer. Kondo, J. Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, 1992. Davis, H. T. Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations. New York: Dover, 1962. Precup, R. (2013). Methods in nonlinear integral equations. Springer Science & Business Media. Kress, R. Linear Integral Equations. New York: Springer-Verlag, 1989. Lovitt, W. V. Linear Integral Equations. New York: Dover, 1950. Mikhlin, S. G. Linear Integral Equations. New York: Gordon & Breach, 1961. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: en:Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997. Delves, L. M., & Mohamed, J. L. (1988). Computational methods for integral equations. CUP Archive. Baker, C. T. H. The Numerical Treatment of Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, 1977. R.S. Anderssen, "The application and numerical solution of integral equations", Sijthoff & Noordhoff (1980) プロジェクト 数学 ポータル 数学 ヒルベルト空間 フレドホルム積分方程式 ヴォルテラ積分方程式 『積分方程式の解き方』 - 高校数学の美しい物語