双心四角形

双心四角形（そうしんしかっけい、英: Bicentric Quadrilateral, chord-tangent, quadrilateralinscribed and circumscribed quadrilateral）とは外接円と内接円の両方をもつ四角形のことである。双心多角形の一種。 ポンスレの閉形定理より、ある二円についての双心四角形が一つ見つかれば、そのような四角形は無数に存在する。 双心四角形の一つに正方形、直角凧形、円に外接する等脚台形などがある。 4辺が a, b, c, d である双心四角形ABCDの面積は次の公式で表される。 S = a b c d {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}} より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、 t = A + C 2 {\displaystyle t={\frac {A+C}{2}}} とおくと次で与えられる。 S = a b c d sin ⁡ t {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin t} 双心四角形に対する公式は、t = 90° という特殊な場合である。 双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。 S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} ただし s = a + b + c + d 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}} （半周長） 内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので a + c = b + d = s したがって s − a = c s − c = a s − b = d s − d = b ゆえに S = a b c d {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}} （証終） 外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式を用いて同様に示せる。 またA,B,C,Dに対する接線長をe,f,g,h、内心をI、対角線の成す角をθなどとすれば次のように書ける。 K = e f g h 4 ( e + f + g + h ) . {\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).} K = A I ¯ ⋅ C I ¯ + B I ¯ ⋅ D I ¯ . {\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.} K = r ( r + 4 R 2 + r 2 ) sin ⁡ θ {\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta } ただし、r,Rはそれぞれ内半径と外半径。 面積の関係する不等式には以下の様なものがある。 4 r 2 ≤ K ≤ 2 R 2 . {\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.} 　等号成立は正方形。 K ≤ 4 3 r 4 R 2 + r 2 {\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}} 　等号成立は正方形 2 K ≤ s ≤ r + r 2 + 4 R 2 ; {\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};} 　等号成立条件は凧形。 角の三角関数について、以下の式が成り立つ。記号は前項と同。 tan ⁡ A 2 = b c a d = cot ⁡ C 2 , tan ⁡ B 2 = c d a b = cot ⁡ D 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}} sin ⁡ A 2 = b c a d + b c = cos ⁡ C 2 , cos ⁡ A 2 = a d a d + b c = sin ⁡ C 2 , sin ⁡ B 2 = c d a b + c d = cos ⁡ D 2 , cos ⁡ B 2 = a b a b + c d = sin ⁡ D 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}} tan ⁡ θ 2 = b d a c . {\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.} 外接円の半径を R、内接円の半径を r、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、 1 ( R − d ) 2 + 1 ( R + d ) 2 = 1 r 2 , {\displaystyle {\frac {1}{(R-d)^{2}}}+{\frac {1}{(R+d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},} または 2 r 2 ( R 2 + d 2 ) = ( R 2 − d 2 ) 2 {\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}} が成り立つ。定理名はニコラス・ファス（英語版）に由来する。 とくにdについて整理すれば d = R 2 + r 2 − r 4 R 2 + r 2 . {\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.} を得る。これはオイラーの定理の拡張である。また、この式を満たすd,r,Rが存在すれば四角形についてポンスレの閉形定理が成立する。 Leonard Carlitz (Leonard Carlitz) によれば、次の式が成り立つ。 d 2 = R 2 − 2 R r ⋅ μ {\displaystyle \displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu } ただし μ = ( a b + c d ) ( a d + b c ) ( a + c ) 2 ( a c + b d ) = ( a b + c d ) ( a d + b c ) ( b + d ) 2 ( a c + b d ) {\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}} A,B,C,Dの接線長をe,f,g,hとすると以下の不等式が成立する。 4 r ≤ e + f + g + h ≤ 4 r ⋅ R 2 + x 2 R 2 − x 2 {\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}} 4 r 2 ≤ e 2 + f 2 + g 2 + h 2 ≤ 4 ( R 2 + x 2 − r 2 ) {\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})} 同様に辺a,b,c,dでも以下の不等式が成立する。 8 r ≤ a + b + c + d ≤ 8 r ⋅ R 2 + x 2 R 2 − x 2 {\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}} 4 ( R 2 − x 2 + 2 r 2 ) ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 4 ( 3 R 2 − 2 r 2 ) . {\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).} 双心四角形の内心、外心、対角線の交点は共線である。 内接円の半径と、内心と各頂点の距離について 1 A I ¯ 2 + 1 C I ¯ 2 = 1 B I ¯ 2 + 1 D I ¯ 2 = 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}} が成り立つ。 また、対角線の交点をPと置けば、 A P ¯ C P ¯ = A I ¯ 2 C I ¯ 2 . {\displaystyle {\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.} である。 双心三角形ABCDの外心Oで分割された4つの三角形△OAB, △OBC, △OCD, △ODAの内心は共円である。 プロジェクト 数学 ポータル 数学 ブラーマグプタの公式 ポンスレの閉形定理 ^ a b Dörrie, Heinrich; Dörrie, Heinrich (2009). 100 great problems of elementary mathematics: their history and solution. New York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-61348-2  ^ Weisstein, Eric W.. “Poncelet's Porism” (英語). Mathworld. 2024年7月16日閲覧。 ^ Josefsson, Martin (2010), “Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral”, Forum Geometricorum 10: 119–130, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf . ^ a b JosefssonMartin「The Area of a Bicentric Quadrilateral」『Forum Geometricorum』第11巻、155–164頁、2011年。http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf。 . ^ Josefsson, Martin (2012), “Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral”, Forum Geometricorum 12: 237–241, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201222.pdf . ^ Inequalities proposed in Crux Mathematicorum, 2007.[1] ^ Josefsson, Martin (2012), “A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals”, Forum Geometricorum 12: 79–82, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201208.pdf . ^ Durell, C. 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