ミルズ比

確率論において、 連続確率分布 X {\displaystyle X} のミルズ比（ミル比）は、関数 m ( x ) := F ¯ ( x ) f ( x ) , {\displaystyle m(x):={\frac {{\bar {F}}(x)}{f(x)}},} で表される。このとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} はXの確率密度変数であり、 F ¯ ( x ) := Pr [ X > x ] = ∫ x + ∞ f ( u ) d u {\displaystyle {\bar {F}}(x):=\Pr[X>x]=\int _{x}^{+\infty }f(u)\,du} は生存関数（相補累積分布関数）である。 この概念は John P. Millsにちなんで名づけられている。 ミルズ比はハザード率 h ( x ) {\displaystyle h(x)} に関連し、 h ( x ) := lim δ → 0 1 δ Pr [ x < X ≤ x + δ | X > x ] {\displaystyle h(x):=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{\delta }}\Pr[x<X\leq x+\delta |X>x]} のときのミルズ比は m ( x ) = 1 h ( x ) . {\displaystyle m(x)={\frac {1}{h(x)}}.} となる。 X {\displaystyle X} が 標準正規分布であるとき、 ミルズ比は次のように表される。 m ( x ) ∼ 1 / x , {\displaystyle m(x)\sim 1/x,\,} このとき、記号 ∼ {\displaystyle \sim } は2つの関数の商が x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } のときに1に収束することを示している（詳細はen:Q-functionを参照）。より正確な漸近線を与えることができる。 逆ミルズ比 は、ある分布の 相補累積分布関数 の確率密度関数の 比 である。逆ミルズ比は、下記のようなデータが切断された正規分布に用いられる。 X が平均値 μ 分散 σ2 の正規分布の確率変数 のとき、 E ⁡ [ X |   X > α ] = μ + σ ϕ ( α − μ σ ) 1 − Φ ( α − μ σ ) , E ⁡ [ X |   X < α ] = μ − σ ϕ ( α − μ σ ) Φ ( α − μ σ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [\,X\,|\ X>\alpha \,]=\mu +\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{1-\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\\&\operatorname {E} [\,X\,|\ X<\alpha \,]=\mu -\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\end{aligned}}} このとき、 α {\displaystyle \alpha } は母数, ϕ {\displaystyle \phi } 標準正規分布の確率密度関数、 Φ {\displaystyle \Phi } 標準正規分布の累積分布関数を示す。この二つの要素が、逆ミルズ比である。 一般的な逆ミルズ比の適用例は、回帰分析でのセレクションバイアスの影響を補正する際に用いる。従属変数が打ち切られている（すなわちすべての変数が観測されたものではない）とき、ゼロとして観測された変数が多く存在する。この問題は、Tobin (1958)によって初めて指摘された。彼は、回帰分析での推定の際に打ち切りの影響を考慮しない場合、通常の最小二乗法による推定では偏ったパラメータ推定値が得られることを指摘している。これは、打ち切られた従属変数を用いることで、独立変数と誤差項の間の相関がゼロであるというガウス=マルコフの定理の仮定に反することからわかる。 James Heckman はセレクションバイアスを補正するために、逆ミルズ比を用いた2段階推定法を提案した。第一に、従属変数をプロビットモデルを用いた回帰分析を行う。逆ミルズ比は、ロジットモデルでは用いることができず、プロビットモデルから推定する必要がある。このプロビットモデルは、誤差項が標準正規分布に従うと仮定している。第二に、プロビットモデルを用いて推定されたパラメータを用いて逆ミルズ比を計算し、この結果を最小二乗法を用いた回帰分析の説明変数に用いる。 ジェームズ・ヘックマン ^ Mills, John P. (1926). “Table of the Ratio: Area to Bounding Ordinate, for Any Portion of Normal Curve”. Biometrika 18 (3/4): 395–400. doi:10.1093/biomet/18.3-4.395. JSTOR 2331957.  ^ Greene, W. H. (2003). Econometric Analysis (Fifth ed.). Prentice-Hall. p. 759. ISBN 0-13-066189-9  ^ Tobin, J. (1958). “Estimation of relationships for limited dependent variables”. Econometrica 26 (1): 24–36. doi:10.2307/1907382. JSTOR 1907382. http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d00/d0003-r.pdf.  ^ Amemiya, Takeshi (1985). Advanced Econometrics. Cambridge: Harvard University Press. pp. 366–368. ISBN 0-674-00560-0. https://archive.org/details/advancedeconomet00amem  ^ a b Heckman, J. J. (1979). “Sample Selection as a Specification Error”. Econometrica 47 (1): 153–161. doi:10.2307/1912352. JSTOR 1912352.  ^ Amemiya, Takeshi (1985). Advanced Econometrics. Cambridge: Harvard University Press. pp. 368–373. ISBN 0-674-00560-0. https://archive.org/details/advancedeconomet00amem  ^ Heckman, J. J. (1976). “The common structure of statistical models of truncation, sample selection and limited dependent variables and a simple estimator for such models”. Annals of Economic and Social Measurement 5 (4): 475–492.