傾き (数学)

数学における平面上の直線の傾き（かたむき、英: slope）あるいは勾配（こうばい、英: gradient）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き０」とされ水平も傾きに含まれる。 傾きは普通、直線上の2点間の変化の度合い、すなわち x の変化量に対する y の変化量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き m は傾斜角を θ として m = tan ⁡ θ {\displaystyle m=\tan \theta } と書くことができる。 曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（微分係数）が、傾きの考え方により定義できる。 傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配（たとえば道路など）に直接応用される。 xy平面上の直線の傾きは、x座標の増加量に対する y座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き m は m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}} で記述される。ここで、ギリシア文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。 増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (x1, y1), (x2, y2) とする。このとき、m は m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} で求められる。 これらの等式から分かるように、鉛直線（y軸に平行な直線）の傾きは、ゼロ除算となり、定義されない。 （例） 直線が2点 P ( 1 , 2 ) {\displaystyle P(1,2)} , Q ( 13 , 8 ) {\displaystyle Q(13,8)} を通るとする。増加量として、P に対する Q の増加量と考えるか、Q に対する P の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは P に対する Q の増加量を考える。 xの増加量 Δx = 13 − 1 = 12 yの増加量 Δy = 8 − 2 = 6 傾き m とは、y座標の増加量 Δx に対する y座標の増加量 Δy の比率のことなので、 m = Δ y Δ x = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 8 − 2 13 − 1 = 6 12 = 1 2 {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}} である。 直線が2点 P ( 4 , 15 ) {\displaystyle P(4,15)} , Q ( 3 , 21 ) {\displaystyle Q(3,21)} を通るならば、傾きは m = 21 − 15 3 − 4 = 6 − 1 = − 6 {\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6} である。 傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、−90°～90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。 傾斜角とは、直線と x軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ θ < 180° または −90° < θ ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。 直線の傾きを m、傾斜角を θ とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて m = tan ⁡ θ   ( ⟺ θ = arctan ⁡ m ) {\displaystyle m=\tan \theta \ (\iff \theta =\arctan m)} の関係がある。 異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。 異なる2直線が直交するための必要十分条件は、傾きの積が −1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。 たとえば、傾き 2 7 {\displaystyle {\tfrac {2}{7}}} の直線に垂直な直線の傾きは − 7 2 {\displaystyle -{\tfrac {7}{2}}} である。 傾き m の直線と傾き m' の直線が作る角 θ は tan ⁡ θ = ± m − m ′ 1 + m m ′ {\displaystyle \tan \theta =\pm {\frac {m-m'}{1+mm'}}} で求められる（三角関数の加法定理）。 y は x の一次関数であるとする。このとき、x と y には y = ax + b と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは a に等しい。 （証明） y = ax + b のグラフ上の任意の2点 P, Q を取る。P, Q の x座標をそれぞれ x1, x2 とすると、P, Q の座標は P (x1, ax1 + b), Q (x2, ax2 + b) である。 xの増加量 Δx = x2 − x1 yの増加量 Δy = (ax2 + b) − (ax1 + b) = ax2 − ax1 = a (x2 − x1) 傾き m は、 m = Δ y Δ x = a ( x 2 − x 1 ) x 2 − x 1 = a {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {a(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=a} （証明終） 1次関数 y = ax + b において、a を傾きと呼ぶのに対して、b を y切片と呼ぶ。1次関数の y切片は、グラフ（直線）が y 軸と交わる点の y 座標に等しい。したがって、y = ax + b の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。 1次関数 y = ax + b のグラフは、y軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。 1次関数の傾き m と直線上の1点 (x1, y1) が既知ならば、1次関数の方程式は y − y 1 = m ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})} で与えられる（これを「点・傾き標準形」と呼ぶことがある）。 （例） 1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き m は 20 − 8 3 − 2 = 12 {\displaystyle {\frac {20-8}{3-2}}=12} だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で y − 8 = 12(x − 2) と求まる。これはつまり y = 12x − 16 である。 前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} は全ての直線を表す。b ≠ 0 ならば、傾きが存在し、 − a b {\displaystyle -{\tfrac {a}{b}}} である。 x a + y b = 1 {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1} の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき y は x の1次関数で、 x切片が a y切片が b となる。この直線の傾きは − b a {\displaystyle -{\tfrac {b}{a}}} である。 直線の傾きが m であることは、その直線の方向ベクトルが (1, m) であることと同値である。 曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。 Δx と Δy を曲線上の2点間のそれぞれ x座標、y座標の増加量とすると、その2点を通る直線（弦という）の傾き m は m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}} である。この2点間を狭めたときの m の極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所 x を変数とした d y d x = lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}} を、曲線の導関数と呼ぶ。 微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。 三角屋根型 y = |x| における x = 0 振動型 y = { x sin ⁡ 1 x ( x ≠ 0 ) 0 ( x = 0 ) {\displaystyle y=\left\{{\begin{array}{ll}x\sin {\frac {1}{x}}&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{array}}\right.} （これは x = 0 で連続である）における x = 0 ワイエルシュトラス関数 勾配 (ベクトル解析): 多変数への一般化 平面における直線の標準形 縦断勾配