分位数

分位数（ぶんいすう）、分位点（ぶんいてん）、分位値（ぶんいち）、クォンタイル (英: quantile) は、統計の代表値の1種である。 実数 q ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle q\in [0,1]} に対し、q 分位数 (q-quantile) は、分布を q : 1 − q {\displaystyle q:1-q} に分割する値である。 ある種の正の整数 m {\displaystyle m} に対し、分布を m {\displaystyle m} 等分する m − 1 {\displaystyle m-1} 個の値、つまり、 i = 1 , … , m − 1 {\displaystyle i=1,\dotsc ,m-1} に対する i / m {\displaystyle i/m} 分位数を、m 分位数（ただし m {\displaystyle m} は漢数字）という。 i = 1 , … , m − 1 {\displaystyle i=1,\dotsc ,m-1} 番目の m 分位数を第 i m 分位数といい、また、 m {\displaystyle m} 等分された分布の k = 1 , … , m {\displaystyle k=1,\dotsc ,m} 番目の部分を、第 k m 分位、または単に第 k 分位という。 ただし、英語のquantileには、等分割する値（value）の意味と、そのようにして分割された群（group）の二つの意味がある。 n {\displaystyle n} 個のデータ x {\displaystyle x} に対する q 分位数 Q q {\displaystyle Q_{q}} は、昇順にソートしたデータを x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}} とすると、 Q q = x ( 1 − q + q n ) x ( t ) = { x t , if  t ∈ N ( ⌈ t ⌉ − t ) x ⌊ t ⌋ + ( t − ⌊ t ⌋ ) x ⌈ t ⌉ , if  t ∉ N {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{q}&=x(1-q+qn)\\x(t)&={\begin{cases}x_{t},&{\text{if }}t\in \mathbb {N} \\(\lceil t\rceil -t)x_{\lfloor t\rfloor }+(t-\lfloor t\rfloor )x_{\lceil t\rceil },&{\text{if }}t\notin \mathbb {N} \end{cases}}\end{aligned}}} と定義される。ここで、 ⌊ ⋅ ⌋ {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } は床関数、 ⌈ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lceil \cdot \rceil } は天井関数、 N {\displaystyle \mathbb {N} } は自然数の集合である。 関数 x ( t ) ,   1 ≤ t ≤ n {\displaystyle x(t),\ 1\leq t\leq n} は、数列 x 1 , … , n {\displaystyle x_{1,\dotsc ,n}} の線形内挿数関数への拡張である。関数 x ( ⋅ ) {\displaystyle x(\cdot )} の引数 1 − q + q n {\displaystyle 1-q+qn} は、範囲 [ 1 , n ] {\displaystyle [1,n]} を q : 1 − q {\displaystyle q:1-q} に内分している。 1次元確率分布 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に対する q 分位数 Q q {\displaystyle Q_{q}} は ∫ − ∞ Q q f ( x ) d x ≥ q ,   ∫ Q q ∞ f ( x ) d x ≥ 1 − q {\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}f(x)dx\geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }f(x)dx\geq 1-q} を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 F ( x ) {\displaystyle F(x)} または確率 P ( X ) {\displaystyle P(X)} を使って、 ∫ − ∞ Q q d F ( x )   ≥ q ,   ∫ Q q ∞ d F ( x )   ≥ 1 − q {\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}dF(x)\ \geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }dF(x)\ \geq 1-q} または P ( X ≤ Q q ) ≥ q ,   P ( X ≥ Q q ) ≥ 1 − q {\displaystyle P(X\leq Q_{q})\geq q,\ P(X\geq Q_{q})\geq 1-q} とも表せる。 いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。 1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。 q / 4 {\displaystyle q/4} 分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう。 単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の統計的ばらつきを表すのに使う。 第1・第3四分位数の差 Q 3 / 4 − Q 1 / 4 {\displaystyle Q_{3/4}-Q_{1/4}} は、四分位範囲（英: interquartile range, IQR）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。 IQR / 2 {\displaystyle {\text{IQR}}/2} を四分位偏差、 IQR / IQR N ( 0 , 1 ) ≈ 0.7413   IQR {\displaystyle {\text{IQR}}/{\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 0.7413~{\text{IQR}}} を正規四分位範囲（英: normalized interquartile range, NIQR）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、 IQR N ( 0 , 1 ) ≈ 1.3490 {\displaystyle {\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 1.3490} は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。 四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる [要出典]。 q / 3 {\displaystyle q/3} 分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 (tertile) という。 q / 5 {\displaystyle q/5} 分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 (quintile) という。 q / 10 {\displaystyle q/10} 分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 (decile) という。 q / 100 {\displaystyle q/100} 分位数を、q パーセンタイル、（第）q 百分位数、（第）q 百分位点、（第）q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。 1 − q / 100 {\displaystyle 1-q/100} 分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、 q / 100 {\displaystyle q/100} 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、 1 / 2 + q / 200 {\displaystyle 1/2+q/200} 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q %が含まれている。 0分位数は最小値、1分位数は最大値である。最大値と最小値の差は範囲あるいはレンジ（英: range）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。 分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。 日本産業規格では、分位点を、「 p {\displaystyle p} 分位点とは，分布関数が p {\displaystyle p} に一致するか，又は p {\displaystyle p} より小さな値から p {\displaystyle p} より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率 p {\displaystyle p} を 100 p {\displaystyle 100p} % で表すときは 100 p {\displaystyle 100p} パーセント点 (100p percentile) という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値 p {\displaystyle p} となる場合は，その区間内の任意の値が p {\displaystyle p} 分位点とされる。ただし， 0 ≦ p ≦ 1 {\displaystyle 0\leqq p\leqq 1} である。 2. p = 1 / 2 {\displaystyle p=1/2} に対応する確率変数の値をメディアン中央値 (median) という。3. p = 1 / 4 {\displaystyle p=1/4} および p = 3 / 4 {\displaystyle p=3/4} に対応する確率変数の値を四分位点 (quartile) という。」と定義している。 [脚注の使い方] ^ Angus Stevenson, ed. (2010), Oxford Dictionary of English (Third ed.), Oxford University Press, p. 1451, ISBN 978-0-19-957112-3  ^ 累積分布関数が（狭義）単調増加でなければ、この条件を満たす Q q {\displaystyle Q_{q}} は一意に定まるとは限らない。 ^ 西岡 2013, p. 12, 1.5 分位数. ^ 西岡 2013, p. 8, 1.4 度数分布. ^ JIS Z 8101-1 : 1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 1.10 分位点、日本規格協会、http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 西岡康夫『やさしく語る 確率統計』オーム社〈数学チュートリアル〉、2013年。ISBN 978-4-274-21407-3。https://books.google.co.jp/books?id=AUY2AgAAQBAJ。  Quartiles in Elementary Statistics 15種類の定義がされている