ヴェイユ・シャトレ群

数論幾何学のヴェイユ・シャトレ群（ヴェイユ・シャトレぐん、英: Weil–Châtelet group）、またはWC群（WC-group）とは、体 K 上定義されたアーベル多様体 A をはじめとする代数群に対して定義される群で、K 上定義された A についての主等質空間（英語版）がなすアーベル群のことである。楕円曲線に対してこれを導入した Châtelet (1946) と一般の場合にこれを導入した Weil (1955) にちなみ Tate (1958) が名付けた。無限降下法と関連するので、アーベル多様体の数論、特に楕円曲線の数論において基本的な役割をはたす。 これは K の絶対ガロア群 G K {\displaystyle G_{K}} のガロアコホモロジー H 1 ( G K , A ) {\displaystyle H^{1}(G_{K},A)} として直接定義できる。代数体などの大域体と局所体の場合が特に関心を持たれている。K が有限体のときは、楕円曲線についてのヴェイユ・シャトレ群が自明になることが Schmidt (1931) で証明され、任意の連結代数群について自明になることが Lang (1956) で証明されている。 代数体 K 上定義されたアーベル多様体 A のテイト・シャファレヴィッチ群は、ヴェイユ・シャトレ群の元で K のすべての完備化で自明になるもの全体である。 エルンスト・セルマーにちなむ、A のアーベル多様体の同種 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} についてのセルマー群も関係する群である。これはガロアコホモロジーを使って S e l ( f ) ( A / K ) = ⋂ v k e r ( H 1 ( G K , k e r ( f ) ) → H 1 ( G K v , A v [ f ] ) / i m ( κ v ) ) {\displaystyle \mathrm {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\mathrm {ker} (H^{1}(G_{K},\mathrm {ker} (f))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\mathrm {im} (\kappa _{v}))} と定義できる。ここで Av[ f ] は Av の f ねじれで、 κ v {\displaystyle \kappa _{v}} は局所クンマー写像 B v ( K v ) / f ( A v ( K v ) ) → H 1 ( G K v , A v [ f ] ) {\displaystyle B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])} である。 Cassels, John William Scott (1962), “Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups”, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, MR0163913  Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, MR1144763, https://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C  Châtelet, François (1946), “Méthode galoisienne et courbes de genre un”, Annales de l'Université de Lyon Sect. A. (3) 9: 40–49, MR0020575  Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, 201, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5  Greenberg, Ralph (1994), “Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives”, in Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Weil-Châtelet group”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/w097590.htm  Lang, Serge (1956), “Algebraic groups over finite fields”, American Journal of Mathematics 78 (3): 555–563, doi:10.2307/2372673, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372673, MR0086367, https://jstor.org/stable/2372673  Lang, Serge; Tate, John (1958), “Principal homogeneous spaces over abelian varieties”, American Journal of Mathematics 80 (3): 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372778, MR0106226, https://jstor.org/stable/2372778  Schmidt, Friedrich Karl (1931), “Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p”, Mathematische Zeitschrift 33: 1–32, doi:10.1007/BF01174341, ISSN 0025-5874  Shafarevich, Igor R. (1959), “The group of principal homogeneous algebraic manifolds” (Russian), Doklady Akademii Nauk SSSR 124: 42–43, ISSN 0002-3264, MR0106227  English translation in his collected mathematical papers. Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, 13, Paris: Secrétariat Mathématique, MR0105420, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0  Weil, André (1955), “On algebraic groups and homogeneous spaces”, American Journal of Mathematics 77 (3): 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372637, MR0074084, https://jstor.org/stable/2372637