乗数・加速度モデル

乗数・加速度モデル（じょうすうかそくどモデル、英: Multiplier–accelerator model）とは、景気循環を説明するモデルである。ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデルとも呼ばれる。ポール・サミュエルソン（Samuelson, P.A. (1939)）が発表し、J. R. ヒックス（Hicks, J.R. (1950)）が発展させた。発展させたものはサミュエルソン＝ヒックスの乗数・加速度モデルと呼ばれる。 乗数・加速度モデルは乗数原理と加速度原理を合わせ、景気循環を説明しようというものである。以下はサミュエルソンによる乗数・加速度モデルである。 Y t = C t + I t {\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}} (1) C t = C + c Y t − 1 {\displaystyle C_{t}=C+cY_{t-1}} (2) I t = I + v ( Y t − 1 − Y t − 2 ) {\displaystyle I_{t}=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})} (3) ただし、 Y {\displaystyle Y} ： GDP C {\displaystyle C} ： C t {\displaystyle C_{t}} はt期の消費。 C {\displaystyle C} は基礎消費。 I {\displaystyle I} ： I t {\displaystyle I_{t}} はt期の投資。 I {\displaystyle I} は独立投資。 c {\displaystyle c} ： 消費性向 t {\displaystyle t} ： t期(時間) v {\displaystyle v} ： 加速度係数 をそれぞれ指す。 ここで、(1) Y t = C t + I t {\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}} はt期の国民所得 Y t {\displaystyle Y_{t}} が消費されるか投資されるかのいずれかであることを示している。(2) C t = C + c Y t − 1 {\displaystyle C_{t}=C+cY_{t-1}} はt期の消費 C t {\displaystyle C_{t}} がどのように決定されるかを示している。(3) I t = I + v ( Y t − 1 − Y t − 2 ) {\displaystyle I_{t}=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})} はt期の投資 I t {\displaystyle I_{t}} がどのように決定されるかを示している。(3)式は加速度原理を表している。 (1)、(2)を(3)に代入すると、 Y t = ( c + v ) Y t − 1 − v Y t − 2 + ( C + I ) {\displaystyle Y_{t}=(c+v)Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)} (4) という2階差分方程式を得る。これを(4)式とする。 A ≡ C + I {\displaystyle A\equiv C+I} とおいて、(4)式を整理すると、 Y t − ( c + v ) Y t − 1 + v Y t − 2 − A = 0 {\displaystyle Y_{t}-(c+v)Y_{t-1}+vY_{t-2}-A=0} (4') (4')式の不動点を求めると、 Y ∗ = A 1 − c {\displaystyle Y^{*}={\frac {A}{1-c}}} (5) これを(5)式とする。 (4')式の特性方程式は、 λ 2 − ( c + v ) λ + v = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-(c+v)\lambda +v=0} (6) この特性方程式を(6)式とする。(6)式の判別式をDとすると D = ( c + v ) 2 − 4 v {\displaystyle D=(c+v)^{2}-4v} よって、 ( c + v ) 2 − 4 v {\displaystyle (c+v)^{2}-4v} が正のとき実根が存在し、負のとき複素根が存在する。 (6)式の特性根は λ 1 , λ 2 = ( c + v ) ± ( c + v ) 2 − 4 v 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}={\frac {(c+v)\pm {\sqrt {(c+v)^{2}-4v}}}{2}}} このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が実根の場合、時間とともに単調に発散するか、単調に不動点に収束することになる。このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が複素根の場合、変動が存在する。 複素根が存在するとして、これらの複素根を α + i β , α − i β {\displaystyle \alpha +i\beta ,\alpha -i\beta } と置く。さらに、特性根の絶対値を ρ = α 2 + β 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}} とすると、 tan ⁡ θ = β α {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\beta }{\alpha }}} α = ρ cos ⁡ θ {\displaystyle \alpha =\rho \cos \theta } β = ρ sin ⁡ θ {\displaystyle \beta =\rho \sin \theta } となる。これらの式から、 λ 1 = ρ ( cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) {\displaystyle \lambda _{1}=\rho (\cos \theta +\sin \theta )} λ 2 = ρ ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle \lambda _{2}=\rho (\cos \theta -\sin \theta )} 同次部分の一般解を求めると、 a 1 λ 1 t + a 2 λ 2 t = 2 k ρ t cos ⁡ ( t θ + ε ) {\displaystyle a_{1}\lambda _{1}^{t}+a_{2}\lambda _{2}^{t}=2k\rho ^{t}\cos(t\theta +\varepsilon )} (6)式の特性根の式から、 α = c + v 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{2}}} β = 4 v − ( c + v ) 2 2 {\displaystyle \beta ={\frac {\sqrt {4v-(c+v)^{2}}}{2}}} なので、 ρ = v {\displaystyle \rho ={\sqrt {v}}} となる。このとき、 v < 1 {\displaystyle v<1} ならば解の軌道は時間とともに振動しながら不動点に収束し、 v > 1 {\displaystyle v>1} ならば解の軌道は時間とともに振動しながら発散する。 このサミュエルソンの乗数・加速度モデルの特性方程式が複素根を持つ場合に対して、J. R. ヒックスは床と天井の概念を導入した。 [脚注の使い方] ^ 西垣泰幸 2006. ^ 森誠 1999, p. 46-47. ^ 西垣泰幸 2006, p. 77. ^ a b 西垣泰幸 2006, p. 79. ジョン・ヒックス ポール・サミュエルソン 西垣泰幸「非線形動学理論と経済成長,景気循環:展望」『龍谷大学経済学論集』第45巻第4号、龍谷大学経済学会、2006年3月、75-100頁、hdl:10519/4233、ISSN 09183418、NAID 110005859236。  森誠「乗数・加速度原理と景気循環:2階差分方程式と位相図」『経済学雑誌.別冊』第100巻第1号、大阪市立大学経済学会、1999年4月、46-51頁、ISSN 04516281、NAID 40000854640。  Hicks, J.R. (1950). “A Contribution to the Theory of the Trade Cycle”. Oxford University Press (Oxford): 95-100.  Samuelson, P.A. (1939). “Interactions between the multiplier analysis and the principle of acceleration”. Review of Economic Statistics 21: 75-78.