曲率

曲率（きょくりつ、英: curvature）とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。 例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した。 ある任意の曲線において、線上の点 P0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 P（位置ベクトル rP で表されるとする）までの距離を s とする。（この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。） このとき点 P の位置は、 r P = r ( s ) {\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} (s)} のように、変数 s の関数として表すことができる。（以下、特に断らない限り rP = r とする。） このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル（これを tP とする）は、 t P = t ( s ) = lim Δ s → 0 r ( s + Δ s ) − r ( s ) Δ s = d r d s {\displaystyle \mathbf {t} _{P}=\mathbf {t} (s)=\lim _{\Delta s\to 0}{\mathbf {r} (s+\Delta s)-\mathbf {r} (s) \over {\Delta s}}={d\mathbf {r} \over {ds}}} となる。（位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。） 同様に、 r Q = r ( s + Δ s ) {\displaystyle \mathbf {r} _{Q}=\mathbf {r} (s+\Delta s)} と表される点 Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル tQ は、 t Q = t ( s + Δ s ) {\displaystyle \mathbf {t} _{Q}=\mathbf {t} (s+\Delta s)} であり、二つの単位接線ベクトル tP 、tQ のなす角度を Δθ とすると、 | t Q − t P | 2 = sin ⁡ Δ θ 2 {\displaystyle {\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right| \over 2}=\sin {\Delta \theta \over 2}} である。 Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、 Δ θ = sin ⁡ Δ θ = | t Q − t P | {\displaystyle \Delta \theta =\sin \Delta \theta =\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right|} と見做せる。 従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。 χ ( s ) = d θ d s = lim Δ s → 0 Δ θ Δ s = lim Δ s → 0 | t ( s + Δ s ) − t ( s ) Δ s | = | d t d s | = | d 2 r d s 2 | = 1 R ( s ) {\displaystyle \chi (s)={d\mathbf {\theta } \over {ds}}=\lim _{\Delta s\to 0}{\Delta \theta \over {\Delta s}}=\lim _{\Delta s\to 0}\left|{\mathbf {t} (s+\Delta s)-\mathbf {t} (s) \over {\Delta s}}\right|=\left|{d\mathbf {t} \over {ds}}\right|=\left|{d^{2}\mathbf {r} \over {ds}^{2}}\right|={1 \over R(s)}} 一般に χ を曲率、χ の逆数 R を曲率半径と言う。 また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。 更に、t を s で微分すると、 d t d s = d 2 r d s 2 = n d θ d s = n R {\displaystyle {d\mathbf {t} \over {ds}}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}=\mathbf {n} {d\theta \over {ds}}={\mathbf {n} \over R}} が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、 ( d r d s ) 2 = | d r d s | 2 = 1 {\displaystyle \left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}=\left|{d\mathbf {r} \over {ds}}\right|^{2}=1} となり、これを s について微分すると、 d d s ( d r d s ) 2 = d 2 r d s 2 ⋅ d r d s + d r d s ⋅ d 2 r d s 2 = n R ⋅ t + t ⋅ n R = 0 {\displaystyle {d \over {ds}}\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}\cdot {d\mathbf {r} \over {ds}}+{d\mathbf {r} \over {ds}}\cdot {d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}={\mathbf {n} \over R}\cdot \mathbf {t} +\mathbf {t} \cdot {\mathbf {n} \over R}=0} となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。 ベクトル t と n の外積、 t × n = b {\displaystyle \mathbf {t} \times \mathbf {n} =\mathbf {b} } で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。 [脚注の使い方] ^ 「曲率」『百科事典マイペディア』。https://kotobank.jp/word/%E6%9B%B2%E7%8E%87。コトバンクより2022年2月10日閲覧。  ^ 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房、1977年8月20日。ISBN 4785311193。  ガウス・ボネの定理 オイラーの定理 (微分幾何学) ムーニエの定理 フレネ・セレの公式 捩率 物理学 - 力学 主曲率 - ガウス曲率 断面曲率 リーマン曲率テンソル - リッチ曲率 - スカラー曲率 曲率形式 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』（改訂版）裳華房、1995年。ISBN 978-4-7853-1091-2。http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1091-2.htm。