メガ素数

メガ素数（英語: megaprime）は、100万桁以上の素数である。 2023年12月 (2023-12)現在[update]、2414 個のメガ素数と 126 個の確率的メガ素数が知られている。最初に発見されたメガ素数は、メルセンヌ素数の26972593−1（2,098,960桁）で、1999年6月1日にNayan Hajratwalaが分散コンピューティング・プロジェクト、GIMPSを使用した物であった。 10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。 以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。 「Prime/PRP」欄は、素数であると証明されたものを "Prime"、底ごとのフェルマーテストなど、いくつかのテストをクリアした確率的素数を "PRP" で表している。 2022年4月現在で51個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の14個がメガ素数である。知られている最大の素数はほとんどの期間でメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の素数判定が N + 1 あるいは N - 1 の素因数分解に基づいており、メルセンヌ数の場合は N + 1 の素因数分解がほとんど自明であったためである。 正の奇数 k と 2n > k を満たす n に対して、N = k·2n + 1 で表される数をプロス数 (英: Proth number) と言う。 プロス素数の探索プロジェクトとしてProth Prime Searchがある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある： 第2種サービト数（英語: Thabit number）... 3·2n + 1 (321 Prime Search) カレン数 ... n·2n + 1 (Cullen/Woodall prime search) シェルピンスキー問題 ... 最小のシェルピンスキー数は78557か？ (Seventeen or Bust) Prime Sierpiński problem ... 最小の素数であるシェルピンスキー数は271129か？ (Prime Sierpinski Problem) 拡張シェルピンスキー問題 ... 2番目に小さいシェルピンスキー数は271129か？ (Extended Sierpinski Problem) フェルマー数 ... 22n + 1 (Distributed Search for Fermat Number Divisors) フェルマー数 Fn の素因数は k·2n+2+1 (k ≧ 3) と表されるため、k が十分に小さいならばプロス数である。 自然数 n に対して 3·2n - 1 の形で表される数を、イスラムの数学者サービト・イブン・クッラの名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、321 Prime Searchが存在する。 3以上の整数 b に対して、GFb, n = b2n + 1 で表される数を、b を底とする一般化フェルマー数と言う。 PrimeGridのGeneralized Fermat Prime Searchは、一般化フェルマー数のうち n ≧ 15 の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2022年4月現在、Generalized Fermat Prime Searchは387個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している。 整数 b と n+2 > b を満たす n について、n·bn + 1 の形で表される数を一般化カレン数という。 自然数 n に対して n·2n - 1 の形で表される数をウッダル数という。一般化カレン数と同様に、整数 b と n+2 > b を満たす n について、n·bn - 1 の形で表される数を一般化ウッダル数という。 素数 p に対して、 2 p + 1 3 {\textstyle {\frac {2^{p}+1}{3}}} の形で表される素数をワグスタッフ素数という。2022年4月現在で、ワグスタッフ素数の形である確率的素数は14個報告されており、うち4つが100万桁以上の確率的メガ素数である。 2および5でない素数 p について、p の逆数の循環節の長さが他のものと一致しないとき、p を unique prime (あるいは unique period prime, 英語版) という。例えば3, 11, 37, 101がそのような素数の例である。また、一般の基数 b に対して、同様の条件を満たす素数 p を generalized unique prime という。 より明示的な定義は、円分多項式 Φn(x) に対して Φ n ( b ) gcd ( Φ n ( b ) , n ) {\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(\Phi _{n}(b),n)}}} が素数の冪で表されるとき、その素因数は基数 b の generalized unique prime であるという。 ^ プロス数でないフェルマー数の素因数は、例えば 6700417 (F5 の約数) や 274177 (F6 の約数) が挙げられる。 ^ 指数が131072 (217) であるものが320個、262144 (218) であるものが52個、524288 (219) であるものが13個、1048576 (220) であるものが2個存在する。 ^ 2022年4月現在で知られている最大のワグスタッフ素数は28709桁の (295369+1)/3 である。 完全数 巨大な素数の一覧 素数が無数に存在することの証明 The Top Twenty - 発見された素数の、種類別の上位20のリストと解説記事 Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top Records - 確率的素数の報告およびランキング ^ “The Prime Glossary: megaprime”. Prime Glossary. Chris K. Caldwell. 2022年2月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月6日閲覧。 ^ Caldwell, Chris [in 英語]. "THE LARGEST KNOWN PRIMES" (TXT). The PrimePages (Mon Jan 22 17:38:32 UTC 2024 ed.). 2024年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月23日閲覧。 ^ a b "Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top records". www.primenumbers.net. 2024年1月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月23日閲覧。 ^ GIMPS press release, GIMPS Finds First Million-Digit Prime。2008年1月4日取得。 ^ Chris Caldwell, The Largest Known Prime by Year: A Brief History at The Prime Pages。2008年9月28日取得。 ^ "List of Known Mersenne Prime Numbers". GIMPS. 2022年4月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "The Largest Known Primes (database sumary)". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年4月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "Prime factors k · 2n + 1 of Fermat numbers Fm and complete factoring status". 2022年5月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月8日閲覧。 ^ a b c "Seventeen or Bust and the Sierpinski Problem". PrimeGrid. 2022年4月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "PrimeGrid Primes". PrimeGrid. 2022年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "PrimeGrid Primes". PrimeGrid. 2022年4月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "PrimeGrid Primes". PrimeGrid. 2022年4月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "PrimeGrid Primes". PrimeGrid. 2022年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "The Top Twenty:Generalized Cullen". primes.utm.edu. 2022年4月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "The Top Twenty:Generalized Woodall". primes.utm.edu. 2022年4月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ a b c d e "Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form". www.primenumbers.net. 2022年5月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "The Top Twenty: Wagstaff". The PrimePages. 2022年4月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "Announcing a new Wagstaff PRP - mersenneforum.org". mersenneforum.org. 2022年4月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ a b "New Wagstaff PRP exponents - mersenneforum.org". mersenneforum.org. 2022年3月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "Searching for Wagstaff PRP - mersenneforum.org". www.mersenneforum.org. 2022年2月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "The Top Twenty:Unique". The Top Twenty. The PrimePages. 2022年4月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "The Top Twenty:Generalized Unique". The PrimePages. 2022年3月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月14日閲覧。 ^ a b "New repunit (PRP) primes found, 5794777 and 8177207 decimal digits (PRP records)". mersenneforum.org. 2022年4月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月2日閲覧。 ^ a b Giovanni Di Maria. "Repunit prime numbers research project". The Repunit Primes Project. 2022年4月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月2日閲覧。 ^ "Other Primes - Page 22 - mersenneforum.org". www.mersenneforum.org. 2022年5月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ a b c d e f g "Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form". 2022年2月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "Exponent Status - M7313983". GIMPS. 2022年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "Exponent Status - M7080247". GIMPS. 2022年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "Exponent Status - M5240707". GIMPS. 2022年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "Exponent Status - M4834891". GIMPS. 2022年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form". 2022年9月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年9月11日閲覧。 ^ "Exponent Status - M4187251". GIMPS. 2022年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ a b "Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form". 2022年9月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年9月11日閲覧。 ^ "Exponent Status - M3464473". GIMPS. 2022年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "Search for the first PRP megaprime of the form 10^999999 + y". World!Of Numbers. Patrick De Geest. 2022年1月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月8日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1" (Press release) (英語). GIMPS. 21 December 2018. 2022年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1" (Press release) (英語). GIMPS. 3 January 2018. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1" (Press release) (英語). GIMPS. 19 January 2016. 2022年4月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年3月30日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime" (Press release) (英語). GIMPS. 5 February 2013. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ a b "GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime" (Press release) (英語). GIMPS. 15 September 2008. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime, 242,643,801-1 is newest, but not the largest, known Mersenne Prime" (Press release). GIMPS. 12 April 2009. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime" (Press release) (英語). GIMPS. 11 September 2006. 2022年4月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime" (Press release) (英語). GIMPS. 24 December 2005. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime" (Press release) (英語). GIMPS. 27 February 2005. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime. Project Leaders Believe $100,000 Award Within Reach" (Press release) (英語). GIMPS. 28 May 2004. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime. Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid" (Press release) (英語). GIMPS. 2 December 2003. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime. Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid" (Press release) (英語). GIMPS. 6 December 2001. 2022年5月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime. Stakes Claim to $50,000 EFF Award" (Press release) (英語). GIMPS. 30 June 1999. 2022年4月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月19日閲覧。 ^ "Exponent Status - M10443557". GIMPS. 2020年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "SOB-31172165" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 6 November 2016. 2022年4月20日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月5日閲覧。 ^ "ESP-202705" (PDF) (Press release). 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "PSP_168451" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年3月5日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ a b "321-16408818" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "ESP-99739" (PDF) (Press release). 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "ESP-193997" (PDF) (Press release). 2022年4月24日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ a b "321-10829346" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年1月30日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "27121-9584444" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "27121-8342438" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "DIV-F7963247" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月26日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "ESP-161041" (PDF) (Press release). 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "27121-7046834" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "321-7033641" (PDF) (Press release). 2022年3月3日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "PrimeGrid's Cullen Prime Search: 6679881*2^6679881+1" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年5月3日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月5日閲覧。 ^ "PrimeGrid's Cullen Prime Search: 6328548*2^6328548+1" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月5日閲覧。 ^ "DIV-F5523858" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月10日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "27121-5213635" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "321-5082306" (PDF) (Press release). 2022年3月3日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "27121-4553899" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年5月3日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "DIV-F3329780" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "321-20928756" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2023年7月24日閲覧。 ^ "321-18924988" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年5月11日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月11日閲覧。 ^ "321-18196595" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年5月8日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月11日閲覧。 ^ "321-17748034" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月26日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月11日閲覧。 ^ "321-16819291" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月11日閲覧。 ^ "321-11895718" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月11日閲覧。 ^ "321-11731850" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月24日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月11日閲覧。 ^ "321-11484018" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月5日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月11日閲覧。 ^ "GFN-1951734_1048576" (PDF) (Press release). 2022年9月7日閲覧。 ^ "GFN-1059094_1048576" (PDF) (Press release). 2022年4月24日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-919444_1048576" (PDF) (Press release). 2022年4月26日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-4896418_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年6月6日閲覧。 ^ "GFN-3638450_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-3214654_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-2985036_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-2877652_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年2月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-2788032_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年2月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-2733014_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年2月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-2312092_524288" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年2月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-2061748_524288" (PDF) (Press release). 2022年1月31日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "GFN-1880370_524288" (PDF) (Press release). 2020年10月24日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月7日閲覧。 ^ "DIV-8636199" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "DIV-8456828" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月10日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月8日閲覧。 ^ "GC73-2525532" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月10日閲覧。 ^ "gc25-2805222" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月8日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月10日閲覧。 ^ "gc41-1806676" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月8日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月10日閲覧。 ^ "gc116-1323365" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月10日閲覧。 ^ "gc53-1341174" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月16日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月10日閲覧。 ^ "gc79-682156" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年2月20日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF)。2022年5月10日閲覧。 ^ "TRP-9221" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月7日時点のオリジナル (PDF)よりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "TRP-146561" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年5月7日時点のオリジナル (PDF)よりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "TRP-273809" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナル (PDF)よりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "TRP-502573" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナル (PDF)よりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "TRP-402539" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月6日時点のオリジナル (PDF)よりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "TRP-40597" (PDF) (Press release). PrimeGrid. 2022年4月5日時点のオリジナル (PDF)よりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ Caldwell, Chris K. [in 英語]. "PrimePage Primes: 81 · 2^20498148 + 1". The PrimePages. 2023年10月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月23日閲覧。 ^ Caldwell, Chris K. [in 英語]. "PrimePage Primes: 7·2^20267500 + 1". The PrimePages. 2022年7月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年9月11日閲覧。 ^ Caldwell, Chris [in 英語]. "PrimePage Primes: 69·2^19374980 - 1". The PrimePages. 2022年7月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年9月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 7·2^18233956 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月8日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 19249·2^13018586 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年11月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 27653·2^9167433 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年4月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 28433·2^7830457 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年2月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ Caldwell, Chris K. [in 英語]. "PrimePage Primes: 1951734^1048576 + 1". The PrimePages. 2022年8月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年9月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 9·2^11366286 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月7日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 9·2^13334487 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 9·2^12406887 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 9·2^11500843 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 9·2^11158963 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 11·2^9381365 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 404849·2^13764867 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 298989·2^3886857 + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 8508301·2^17016603 - 1". The PrimePages. 2022年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 396101·2^14259638 - 1". The PrimePages. 2024年2月12日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 2740879·2^13704395 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年4月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 479216·3^8625889 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年12月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 874208·54^1748416 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年4月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 101806·15^1527091 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2023年4月30日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 499238·10^1497714 - 1". The PrimePages. 8 December 2021. 2021年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 583854·14^1167708 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年12月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 1993191·2^3986382 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 938237·2^3752950 - 1". The PrimePages. 2021年10月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: Phi(3, - 123447^524288)". primes.utm.edu. 2022年4月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 2^15317227 + 2^7658614 + 1". primes.utm.edu. 2021年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: Phi(3, - 143332^393216)". primes.utm.edu. 2021年8月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: Phi(3, - 844833^262144)". primes.utm.edu. 2021年7月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: Phi(3, - 712012^262144)". primes.utm.edu. 2021年7月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: Phi(3, - 558640^196608)". primes.utm.edu. 2021年7月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: Phi(3, - 237804^196608)". primes.utm.edu. 2021年7月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 69·2^18831865 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2021年12月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 3622·5^7558139 - 1". The PrimePages. 2022年2月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 7·6^6772401 + 1". The PrimePages. 2021年11月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 69·2^15866556 - 1". The PrimePages. 2021年11月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 6·5^6546983 + 1". The PrimePages. 2021年7月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 69·2^14977631 - 1". The PrimePages. 2021年12月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 192971·2^14773498 - 1". The PrimePages. 2022年3月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 69·2^13832885 - 1". The PrimePages. 2022年1月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月11日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 422429! + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年3月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 10^1888529 - 10^944264 - 1". primes.utm.edu. 2022年4月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 308084! + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年3月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 288465! + 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年2月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 10^1234567 - 20342924302·10^617278 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年2月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 10^1234567 - 20342924302·10^617278 - 1". The PrimePages. 13 February 2022. 2022年4月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 10^1234567 - 4708229228074·10^617277 - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年2月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月10日閲覧。 ^ "PrimePage Primes: 208003! - 1". The PrimePages. Chris K. Caldwell. 2022年2月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月5日閲覧。 表示 編集