二体問題

古典力学において、二体問題（にたいもんだい、英: Two-body problem）とは、互いに重力相互作用を及ぼす2つの質点の動きを扱う問題である。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などがある。 全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。 t {\displaystyle t} を時刻、 x 1 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)} , x 2 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)} を時刻 t {\displaystyle t} における2つの質点の位置ベクトル、 m 1 {\displaystyle m_{1}} , m 2 {\displaystyle m_{2}} を2つの質点の質量、 G {\displaystyle G} を万有引力定数、 x 1 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(0)} , x 2 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(0)} を最初の位置ベクトル、 v 1 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}(0)} , v 2 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}(0)} を最初の速度ベクトルとする。二体問題の最終的な目標は、連立方程式 { m 1 d 2 x 1 d t 2 = − G m 1 m 2 x 1 − x 2 | x 1 − x 2 | 3 m 2 d 2 x 2 d t 2 = − G m 1 m 2 x 2 − x 1 | x 2 − x 1 | 3 {\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}_{1}}{dt^{2}}}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}{|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|^{3}}}\\m_{2}{\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}_{2}}{dt^{2}}}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {{\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}}_{1}}{|{\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}}_{1}|^{3}}}\end{cases}}} を解き、ベクトル関数 x 1 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)} , x 2 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)} を、それぞれ m 1 {\displaystyle m_{1}} , m 2 {\displaystyle m_{2}} , t {\displaystyle t} , G {\displaystyle G} , x 1 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(0)} , x 2 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(0)} , v 1 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}(0)} , v 2 ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}(0)} を用いて表すことである。 運動の第2法則により、 F 12 ( x 1 , x 2 ) = m 1 x ¨ 1 ( 式　1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}\quad \quad \quad ({\text{式　1}})} F 21 ( x 1 , x 2 ) = m 2 x ¨ 2 ( 式　2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{21}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}\quad \quad \quad ({\text{式　2}})} と書ける。ここで、 F 12 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}} は質量1が質量2から受ける力であり、 F 21 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{21}} は質量2が質量1から受ける力である。 これをもとに、2つの一体問題に帰着させることで、二体問題を解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル r ≡ x 1 − x 2 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\equiv {\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}} の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡 x 1 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)} と x 2 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)} が記述できる。 式1と式2を足すと、 m 1 x ¨ 1 + m 2 x ¨ 2 = ( m 1 + m 2 ) x ¨ c o m = F 12 + F 21 = 0 {\displaystyle m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }={\boldsymbol {F}}_{12}+{\boldsymbol {F}}_{21}=0} となる。ここで、2つめの等号は運動の第3法則 F 12 = − F 21 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}=-{\boldsymbol {F}}_{21}} を用いた。これを変形して x c o m ≡ m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }\equiv {\frac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+m_{2}{\boldsymbol {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式 x ¨ c o m = 0 {\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }=0} は、重心の速度 x ˙ c o m {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }} と、 全運動量 m 1 x ˙ 1 + m 2 x ˙ 2 {\displaystyle m_{1}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{2}} が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。 上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、 r ¨ = x ¨ 1 − x ¨ 2 = ( F 12 m 1 − F 21 m 2 ) = ( 1 m 1 + 1 m 2 ) F 12 {\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}={\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}-{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=\left({\frac {{\boldsymbol {F}}_{12}}{m_{1}}}-{\frac {{\boldsymbol {F}}_{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right){\boldsymbol {F}}_{12}} が得られる。ここで、 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} は、質量2から質量1への変位ベクトルである。 2つの物体に働く力は r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} の関数となり、 x 1 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}} と x 2 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}} の絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。 μ r ¨ = F 12 ( x 1 , x 2 ) = F ( r ) {\displaystyle \mu {\ddot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})} ここで μ {\displaystyle \mu } は換算質量であり、 μ = 1 1 m 1 + 1 m 2 = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} である。 従って、 x 1 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}} と x 2 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}} の軌跡の方程式は、時刻 t {\displaystyle t} における2物体間の重心の位置ベクトル x c o m ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)} , 質量2から質量1への変位ベクトル r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)} を使って、 x 1 ( t ) = x c o m ( t ) + m 2 m 1 + m 2 r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)} x 2 ( t ) = x c o m ( t ) − m 1 m 1 + m 2 r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)} と書くことができる。 ケプラーの法則 ビリアル定理 2体ポテンシャル Kepler problem（ケプラー問題）