ワトソンの五重積

数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。 ∑ n = − ∞ ∞ q n ( 3 n + 1 ) ( z 3 n − z − 3 n − 1 ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − q 2 m z ) ( 1 − q 2 m − 2 z − 1 ) ( 1 − q 4 m − 2 z 2 ) ( 1 − q 4 m − 2 z − 2 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})} ヤコビの三重積により ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) z n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − q 2 m z ) ( 1 − q 2 m − 2 z − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})} ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 2 n 2 z 2 n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) ( 1 − q 4 m − 2 z 2 ) ( 1 − q 4 m − 2 z − 2 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n^{2}}z^{2n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})} オイラーの五角数定理により ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 2 n ( 3 n − 1 ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n(3n-1)}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})} これらを用いて五重積の公式を書き直せば ∑ m = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q 2 m ( 3 m − 1 ) ∑ n = − ∞ ∞ q n ( 3 n + 1 ) ( z 3 n − z − 3 n − 1 ) = ∑ j = − ∞ ∞ ( − 1 ) j q j ( j + 1 ) z j ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k q 2 k 2 z 2 k {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}} となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は L = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q 2 m ( 3 m − 1 ) + n ( 3 n + 1 ) ( z 3 n − z − 3 n − 1 ) = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q 2 m ( 3 m − 1 ) + n ( 3 n + 1 ) z 3 n − ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q − 2 m ( − 3 m − 1 ) − n ( − 3 n + 1 ) z 3 n − 1 ( m , n ↦ − m , − n ) = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) k − n q ( 3 n − 2 k ) ( 3 n + 1 − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n − ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) k − n q ( 3 n − 1 − 2 k ) ( 3 n − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n − 1 ( m ↦ k − n ) = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 3 n − k q ( 3 n − 2 k ) ( 3 n + 1 − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n + ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 3 n − 1 − k q ( 3 n − 1 − 2 k ) ( 3 n − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}z^{3n}-\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}z^{3n-1}\qquad ({m,n}\mapsto {-m,-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}-\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\qquad (m\mapsto {k-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-k}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}+\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-1-k}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\\\end{aligned}}} さて 0 = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m q m ( m + 1 ) − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) = ∑ m = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q m ( m + 1 ) ( n ↦ − ( m + 1 ) ) = ∑ m = − ∞ ∞ ( − 1 ) m ( q 6 ) m ( m − 1 ) ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 2 n − 2 q 3 n 2 − 3 n + 2 z 3 n − 2 = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m + 2 n − 2 q 6 m ( m − 1 ) + 3 n 2 − 3 n + 2 z 3 n − 2 = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 3 n − 2 − k q ( 3 n − 2 − 2 k ) ( 3 n − 1 − 2 k ) + 2 j 2 z 3 n − 2 ( m ↦ n − k ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}\qquad (n\mapsto {-(m+1)})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}(q^{6})^{m(m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{2n-2}q^{3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+2n-2}q^{6m(m-1)+3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-2-k}q^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^{2}}z^{3n-2}\qquad (m\mapsto {n-k})\\\end{aligned}}} であるから L = L + 0 = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n − k q ( n − 2 k ) ( n + 1 − 2 k ) + 2 k 2 z n ( 3 n , 3 n − 1 , 3 n − 2 ↦ n ) = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ j = − ∞ ∞ ( − 1 ) k + j q j ( j + 1 ) + 2 k 2 z j + 2 k ( n ↦ j + 2 k ) = ∑ j = − ∞ ∞ ( − 1 ) j q j ( j + 1 ) z j ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k q 2 k 2 z 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}L=L+0&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-k}q^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^{2}}z^{n}\qquad ({3n,3n-1,3n-2}\mapsto {n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k+j}q^{j(j+1)+2k^{2}}z^{j+2k}\qquad ({n}\mapsto {j+2k})\\&=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}\\\end{aligned}}} となり、右辺を得る。 ジョージ・ネビル・ワトソン (en) ヤコビの三重積 ファルカシュの七重積 (英: septuple product identity) ^ Yan, Q. 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