弦 (数学)

初等幾何学における円の弦（げん、英: chord）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。 円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある: 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。 弦 AB および CD を延長して得られる割線が点 P で交わるならば、それらの長さは AP·PB = CP·PD を満足する（方冪の定理）。 楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある。 三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表（英語版）で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）。 弦函数 crd は幾何学的には（図のように）中心角 θ の見込む弦の長さが r⋅crd(θ)（r は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 crd(θ) は、中心角 θ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 θ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 0 < θ ≤ π の範囲に入るものと考えている。この元函数 crd をより現代的な正弦函数 sin と関連付けることができる。それには、一点 (1, 0) ともう一つの点 (cos(θ), sin(θ)) を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると crd ⁡ θ = ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 + sin 2 ⁡ θ = 2 − 2 cos ⁡ θ = 2 sin ( θ 2 ) {\displaystyle \operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \!{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}} を得る。最後の等号は半角公式による。 現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある: 弦函数 crd の逆函数 acrd もまた存在して、逆正弦函数とは acrd ⁡ ( y ) = 2 arcsin ( y 2 ) {\displaystyle \operatorname {acrd} (y)=2\arcsin \!{\Big (}{\frac {y}{2}}{\Bigr )}} の関係にある。 [脚注の使い方] ^ 弓弦を意味するラテン語: chorda に由来 ^ Chakerian, G. D. (1979). “7”. In Honsberger, R.. A Distorted View of Geometry. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147  ^ a b Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, pp. 25-27, ISBN 978-0-691-15820-4  ^ Simpson, David G. (2001年11月8日). “AUXTRIG”. Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. 2015年10月26日閲覧。 Hawking, Stephen William, ed (2002). On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy. Philadelphia, USA: Running Press. ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002-100441. https://books.google.co.jp/books?id=pb6HR4DAEeMC  “On the Hidden Beauty of Trigonometric Functions”. Applied Physics Research (Prague, CZ: Canadian Center of Science and Education) 9 (2): 57-64. (2017-03-10). doi:10.5539/apr.v9n2p57. ISSN 1916-9639. ISSN 1916-9647.  弓形: 端点が同じ弦と円弧で囲まれた部分(=扇形から半径と弦が作る三角形を取り除いて残る部分) Scale of chords（英語版）: 弦に打った目盛りで角度を測る尺 プトレマイオスの弦の数表（英語版） ホルディッチの定理（英語版）: 凸閉曲線内を回転する弦に関する 円グラフ (グラフ理論)（英語版）: 一つの円内の弦の集合に対する交叉グラフ（英語版） 外正割（英語版）: 外正割（剰正割; exsecant）と外余割（剰余割; excosecant） 正矢（英語版）: 正矢（余正弦、残正弦; versine) と半正矢 (haversine) およびそれらの逆函数. 関連して、余矢 (coversine), 残正矢 (vercosine), 残余矢 (covercosine) / 半余矢 (hacoversine), 半残正矢 (havercosine), 半残余矢 (hacovercosine) など. ジンドラー曲線（英語版）: 任意の弦が、同じ長さを持ち、かつ周長を二等分する単純閉曲線 ウィキメディア・コモンズには、弦 (数学)に関連するカテゴリがあります。 History of Trigonometry Outline Trigonometric functions, focusing on history Chord (of a circle) With interactive animation Weisstein, Eric W. "Chord". mathworld.wolfram.com (英語). chord - PlanetMath.（英語） Definition:Chord at ProofWiki BSE-3 (2001), “Chord”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Chord