四十五角形

四十五角形（よんじゅうごかくけい、よんじゅうごかっけい、tetracontapentagon）は、多角形の一つで、45本の辺と45個の頂点を持つ図形である。内角の和は7740°、対角線の本数は945本である。 正四十五角形においては、中心角と外角は8°で、内角は172°となる。一辺の長さが a の正四十五角形の面積 S は S = 45 4 a 2 cot ⁡ π 45 ≃ 160.8825 a 2 {\displaystyle S={\frac {45}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{45}}\simeq 160.8825a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 45 ) {\displaystyle \cos(2\pi /45)} を平方根と立方根で表すと、 cos ⁡ 2 π 45 = cos ⁡ ( π 9 − π 15 ) = cos ⁡ π 9 cos ⁡ π 15 + sin ⁡ π 9 sin ⁡ π 15 = 4 − 4 i 3 3 + 4 + 4 i 3 3 4 ⋅ 1 8 ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) + i ( 4 − 4 i 3 3 − 4 + 4 i 3 3 ) 4 ⋅ 1 8 ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ) = 1 32 ( ( 4 − 4 i 3 3 + 4 + 4 i 3 3 ) ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) + i ( 4 − 4 i 3 3 − 4 + 4 i 3 3 ) ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{45}}=&\cos \left({\frac {\pi }{9}}-{\frac {\pi }{15}}\right)\\=&\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {\pi }{15}}+\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {\pi }{15}}\\=&{\frac {{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{\frac {i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\=&{\frac {1}{32}}\left(\left({{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}\right)\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\right)\end{aligned}}} 関係式 2 cos ⁡ 2 π 45 + 2 cos ⁡ 32 π 45 + 2 cos ⁡ 28 π 45 = 0 2 cos ⁡ 4 π 45 + 2 cos ⁡ 26 π 45 + 2 cos ⁡ 34 π 45 = 0 2 cos ⁡ 8 π 45 + 2 cos ⁡ 38 π 45 + 2 cos ⁡ 22 π 45 = 0 2 cos ⁡ 16 π 45 + 2 cos ⁡ 14 π 45 + 2 cos ⁡ 44 π 45 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{45}}+2\cos {\frac {32\pi }{45}}+2\cos {\frac {28\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {4\pi }{45}}+2\cos {\frac {26\pi }{45}}+2\cos {\frac {34\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {8\pi }{45}}+2\cos {\frac {38\pi }{45}}+2\cos {\frac {22\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {16\pi }{45}}+2\cos {\frac {14\pi }{45}}+2\cos {\frac {44\pi }{45}}=0\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos ⁡ 2 π 45 ⋅ 2 cos ⁡ 32 π 45 + 2 cos ⁡ 32 π 45 ⋅ 2 cos ⁡ 28 π 45 + 2 cos ⁡ 28 π 45 ⋅ 2 cos ⁡ 2 π 45 = − 3 2 cos ⁡ 2 π 45 ⋅ 2 cos ⁡ 32 π 45 ⋅ 2 cos ⁡ 28 π 45 = 2 cos ⁡ 2 π 15 = 1 + 5 + 30 − 6 5 4 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{45}}+2\cos {\frac {32\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{45}}+2\cos {\frac {28\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{45}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{45}}=2\cos {\frac {2\pi }{15}}={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{4}}\end{aligned}}} 解と係数の関係より u 3 − 3 u − 2 cos ⁡ 2 π 15 = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{15}}=0} 三次方程式を解いて、整理すると cos ⁡ ( 2 π / 45 ) {\displaystyle \cos(2\pi /45)} が求められる。 2 cos ⁡ 2 π 45 = cos ⁡ 2 π 15 + i sin ⁡ 2 π 15 3 + cos ⁡ 2 π 15 − i sin ⁡ 2 π 15 3 4 cos ⁡ 2 π 45 = 8 cos ⁡ 2 π 15 + i 8 sin ⁡ 2 π 15 3 + 8 cos ⁡ 2 π 15 − i 8 sin ⁡ 2 π 15 3 4 cos ⁡ 2 π 45 = 1 + 5 + 30 − 6 5 + i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 + 1 + 5 + 30 − 6 5 − i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 cos ⁡ 2 π 45 = 1 4 ( 1 + 5 + 30 − 6 5 + i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 + 1 + 5 + 30 − 6 5 − i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{15}}+i\sin {\frac {2\pi }{15}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{15}}-i\sin {\frac {2\pi }{15}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{15}}+i8\sin {\frac {2\pi }{15}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{15}}-i8\sin {\frac {2\pi }{15}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}\\\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)\\\end{aligned}}} 正四十五角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正四十五角形は折紙により作図可能である。 [脚注の使い方] 五角形 九角形 十五角形 十八角形 三十角形 ポータル 数学 表示 編集