3j記号

ウィグナーの3j記号あるいは3jm記号は、クレブシュ-ゴルダン係数を用いて次のように表される係数である。 ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) ≡ ( − 1 ) j 1 − j 2 − m 3 2 j 3 + 1 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 3 ( − m 3 ) ⟩ . {\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .} j1 - j2 - m3が整数であることと、 m 3 → − m 3 {\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}} という変換に注意すると、上記の式と逆にクレブシュ-ゴルダン係数は次のように3j記号で表される。 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 3 m 3 ⟩ = ( − 1 ) j 1 − j 2 + m 3 2 j 3 + 1 ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 − m 3 ) . {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.} 3j記号の対称性は、クレブシュ-ゴルダン係数よりも便利である。3j記号は、列の偶置換に対して不変である。 ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) = ( j 2 j 3 j 1 m 2 m 3 m 1 ) = ( j 3 j 1 j 2 m 3 m 1 m 2 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.} 奇置換では、位相因子が現れる。 ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) = ( − 1 ) j 1 + j 2 + j 3 ( j 2 j 1 j 3 m 2 m 1 m 3 ) = ( − 1 ) j 1 + j 2 + j 3 ( j 1 j 3 j 2 m 1 m 3 m 2 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.} 量子数mの符号の反転に対しても、位相因子が現れる。 ( j 1 j 2 j 3 − m 1 − m 2 − m 3 ) = ( − 1 ) j 1 + j 2 + j 3 ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.} ウィグナーの3j記号は、次の関係式を全て満たさない限り、0となる。 m 1 + m 2 + m 3 = 0 {\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0\,} j 1 + j 2 + j 3 {\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}\,} が整数となる | m i | ≤ j i {\displaystyle |m_{i}|\leq j_{i}} | j 1 − j 2 | ≤ j 3 ≤ j 1 + j 2 {\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2}} . 3j記号と3つの回転状態の積の、mの組み合わせに対する以下の和 ∑ m 1 = − j 1 j 1 ∑ m 2 = − j 2 j 2 ∑ m 3 = − j 3 j 3 | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ | j 3 m 3 ⟩ ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) , {\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},} は、回転に対して不変である。 ( 2 j + 1 ) ∑ m 1 m 2 ( j 1 j 2 j m 1 m 2 m ) ( j 1 j 2 j ′ m 1 m 2 m ′ ) = δ j j ′ δ m m ′ . {\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'}.} ∑ j m ( 2 j + 1 ) ( j 1 j 2 j m 1 m 2 m ) ( j 1 j 2 j m 1 ′ m 2 ′ m ) = δ m 1 m 1 ′ δ m 2 m 2 ′ . {\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.} クレブシュ-ゴルダン係数 球面調和関数 6j記号 9j記号 L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981. D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993. A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960. D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988. E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965). Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator (Gives exact answer) Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator (Numerical) 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (Numerical)