チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、英: Chebyshev's inequality）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。 標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の n 倍以上離れた値は全体の 1/n2 以下である。 この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméである。 この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明され、後の1867年にチェビシェフによってより一般的な形で証明された。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えた。 この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。 (X, Σ, μ) を測度空間、f を X 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t 2 ∫ X f 2 d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu } となる。より一般的には、g が非負実数値可測関数で、f の値域の範囲で減少しないとすれば、 ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))} と定義し μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≥ t } ) ≤ 1 g ( t ) ∫ X g ∘ f d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu } となる。最初の式は、ここで g(t) を g ( t ) = { t 2 if       t ≥ 0 0 otherwise {\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if}}~~~t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} で定義し、f の代わりに |f| を用いれば導かれる。 X を、期待値が μ, 有限の分散が σ2 である確率変数とすると、任意の実数 k > 0 に対して Pr ( | X − μ | ≥ k σ ) ≤ 1 k 2 {\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}} ただし k > 1 の場合にだけ意味がある。 余事象について、こうなる。 Pr ( | X − μ | < k σ ) > 1 − 1 k 2 {\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|<k\sigma )>1-{\frac {1}{k^{2}}}} 例として、k = √2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ − √2σ,   μ + √2σ) 内に存在することが分かる。 チェビシェフの不等式は大数の法則（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。 分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 (μ) が 1000 文字であって、標準偏差 (σ) が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。 長さが 717 から 1282 文字の文章の割合は少なくとも 50% である（k = √2 の場合）。 長さが 600 から 1400 文字の文章の割合は少なくとも 75% である（k = 2 の場合）。 長さが 400 から 1600 文字の文章の割合は少なくとも 88% である（k = 3 の場合）。 長さが 200 から 1800 文字の文章の割合は少なくとも 93% である（k = 4 の場合）。 長さが 2000 文字以下の文章の割合は少なくとも 96% である（k = 5 の場合）。 もし文章の長さが正規分布に従っているなら、次がいえる。 長さが 770 から 1230 文字の文章 (μ − 1.15σ,   μ + 1.15σ) の割合は 75% である。 長さが 717 から 1282 文字の文章 (μ − √2σ,   μ + √2σ) の割合は 84% である。 長さが 600 から 1400 文字の文章 (μ − 2σ,   μ + 2σ) の割合は 95% である。 At を At = {x ∈ X | f(x) ≥ t} で定義すると 0 ≤ g ( t ) ≤ g ( f ( x ) ) = g ∘ f ( x ) {\displaystyle 0\leq g(t)\leq g(f(x))=g\circ f(x)} がすべての x ∈ A t {\displaystyle x\in A_{t}} に対して成り立つことより、 g ( t ) μ ( A t ) = ∫ A t g ( t ) d μ ≤ ∫ A t g ∘ f d μ ≤ ∫ X g ∘ f d μ {\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{A_{t}}g(t)\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu } となる。上の不等式を g(t) で割れば、目的の不等式が得られる。 任意の実数確率変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マルコフの不等式から Pr(|Y| > a) ≤ E(|Y|)/a が得られる。この不等式に Y = (X − μ)2, a = (σk)2 を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。 また直接証明する方法もある。事象 A に対し IA が A の指示関数に従う確率変数である（つまり IA は A が起これば 1、そうでなければ 0）とする。すると Pr ( | X − μ | ≥ k σ ) = E ⁡ ( I | X − μ | ≥ k σ ) = E ⁡ ( I [ ( X − μ ) / ( k σ ) ] 2 ≥ 1 ) ≤ E ⁡ ( ( X − μ k σ ) 2 ) = 1 k 2 E ⁡ ( ( X − μ ) 2 ) σ 2 = 1 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})\\\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\operatorname {E} ((X-\mu )^{2})}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}} と証明される。 ^ Donald Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Volume 1 (3rd ed.). Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1. http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/taocp.html 1 October 2012閲覧。  ^ I.-J. Bienaymé (1853). “Considérations àl'appui de la découverte de Laplace”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 37: 309–324.  ^ P. Tchebichef (1867). “Des valeurs moyennes”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2 12: 177–184.  ^ Routledge, Richard. Chebyshev’s inequality. Encyclopedia Britannica. https://www.britannica.com/science/Chebyshevs-inequality  ^ Markov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg. マルコフの不等式