CR多様体

数学において、CR多様体（CRたようたい、英: CR manifold）とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである． CR は，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real) の省略形である． CR多様体のモデルは複素数空間 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 内の領域の滑らかな境界である. 領域 Ω ⊂ C n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}} の滑らかな境界 M {\displaystyle M} について, 次で定義される複素化（英語版）(complexified)された接束 C T M = T M ⊗ C {\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C} } の部分ベクトル束 L {\displaystyle L} を考えよう: L := C T M ∩ T 1 , 0 C n . {\displaystyle L:=\mathbb {C} TM\,\cap \,T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}.} ここで, T 1 , 0 C n {\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}} は C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} の正則接束を表すとする. このとき, L {\displaystyle L} は次を満たす: [ L , L ] ⊂ L {\displaystyle [L,L]\subset L} , L ∩ L ¯ = { 0 } {\displaystyle L\cap {\overline {L}}=\{0\}} . ただし, L ¯ {\displaystyle {\overline {L}}} は L {\displaystyle L} の複素共役とする. CR多様体とは，微分可能多様体 M {\displaystyle M} とその上の複素化（英語版）(complexified)された接束 C T M = T M ⊗ C {\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C} } の部分ベクトル束 L {\displaystyle L} で次の条件を満たすものの組 ( M , L ) {\displaystyle (M,L)} のことである: [ L , L ] ⊂ L {\displaystyle [L,L]\subset L} ( L {\displaystyle L} は可積分(integrable)である ), L ∩ L ¯ = { 0 } {\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}} . ここで, L ¯ {\displaystyle {\overline {L}}} は L {\displaystyle L} の複素共役とする. このとき，ベクトル束 L {\displaystyle L} を多様体 M {\displaystyle M} 上のCR構造という． L {\displaystyle L} の階数 r a n k C L {\displaystyle {\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L} をCR次元, dim ⁡ M − 2 r a n k C L {\displaystyle \dim M-2\;{\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L} をCR余次元という． CR余次元が1のとき, ( M , L ) {\displaystyle (M,L)} は超曲面型(hypersurface type)であるという. M {\displaystyle M} を超曲面型のCR多様体とする．レヴィ形式 h {\displaystyle h} は，直線束 V = T M ⊗ C L ⊕ L ¯ {\displaystyle V={\frac {TM\otimes {\mathbb {C} }}{L\oplus {\bar {L}}}}} に値を持つ L {\displaystyle L} 上で定義されたベクトル値形式（英語版）(vector valued form)で， h ( v , w ) := 1 2 i [ v , w ¯ ] mod L ⊕ L ¯ , v , w ∈ L {\displaystyle h(v,w):={\frac {1}{2i}}[v,{\bar {w}}]\mod L\oplus {\bar {L}},\quad v,w\in L} により与えられる． h {\displaystyle h} は，可積分条件により， v {\displaystyle v} と w {\displaystyle w} が L {\displaystyle L} の切断へどのように拡張するかには依存せず， L {\displaystyle L} 上の半双線型形式を定義する．この形式 h {\displaystyle h} は，同じ形で束 L ⊕ L ¯ {\displaystyle L\oplus {\bar {L}}} 上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。 代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．V を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると， H 0 M = V ∗ = ( L ⊕ L ¯ ) ⊥ ⊂ T ∗ M ⊗ C {\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\bar {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes {\mathbb {C} }} となる．各々の切断 α∈Γ(H0 M ) に対し， h α ( v , w ) = d α ( v , w ¯ ) = − α ( [ v , w ¯ ] ) , v , w ∈ L ⊕ L ¯ . {\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\bar {w}})=-\alpha ([v,{\bar {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\bar {L}}.} とする．形式 hα は α を伴う複素数値エルミート形式である． 多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は直線束でなく，ベクトル束となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。 超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している． M {\displaystyle M} が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 F = 0 {\displaystyle F=0} で定義されているとする．このとき， M {\displaystyle M} のレヴィ形式(エフゲニオ・エリア・レヴィ（英語版）(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは、エルミート 2-形式 h = i ∂ ∂ ¯ F | L {\displaystyle h=i\partial {\bar {\partial }}F|_{L}} のことを指す．レヴィ形式は L {\displaystyle L} 上の計量を定める． M {\displaystyle M} は， h {\displaystyle h} が正定値であるとき，強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ， h {\displaystyle h} が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである． この命名は擬凸領域の研究から来ている: M {\displaystyle M} が C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である． まず，接コーシー・リーマン作用素 ∂ ¯ b {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}} を定義しよう．複素多様体の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は ∂ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}} の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素 ∂ ¯ b {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}} は複体をなす，すなわち， ∂ ¯ b ∘ ∂ ¯ b = 0 {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}\circ {\overline {\partial }}_{b}=0} が成立する．この複体のことを接コーシー・リーマン複体，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる. 作用素 ∂ ¯ b {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}} により消える関数をCR関数といい，正則関数のアナロジーになっている．また，CR関数の実部をCR多重調和関数という． 接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} が次で定義される: ◻ b := ∂ ¯ b ∂ ¯ b ∗ + ∂ ¯ b ∗ ∂ ¯ b {\displaystyle \Box _{b}:={\overline {\partial }}_{b}{\overline {\partial }}_{b}^{*}+{\overline {\partial }}_{b}^{*}{\overline {\partial }}_{b}} ここで， ∂ ¯ b ∗ {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}^{*}} は ∂ ¯ b {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}} の L 2 ( M ) {\displaystyle L^{2}(M)} についての形式的共役を表すとする(体積形式は，CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする)．作用素 ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} は，非負自己共役である．コンパクトな強擬凸CR多様体について，作用素 ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} は正の離散固有値をもつ．その核空間は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素 ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉値域をもつ． 具体例として，ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 ∂ ¯ b {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}} を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群 C n × R {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} } について，その上の左不変な正則ベクトル場 L j := ∂ ∂ z j + i z ¯ j ∂ ∂ t ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle L_{j}:={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+i{\overline {z}}_{j}{\frac {\partial }{\partial t}}(j=1,2,\dotsm ,n)} を考える．ここで， ( z 1 , z 2 , ⋯ , z n ) ∈ C n , t ∈ R {\displaystyle (z_{1},z_{2},\dotsm ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} } とする．このとき，関数 u {\displaystyle u} について， ∂ ¯ b u = ∑ j = 1 n L ¯ j u d z ¯ j {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L}}_{j}u\;d{\overline {z}}_{j}} が成立する．ここで， L ¯ j {\displaystyle {\overline {L}}_{j}} は L j {\displaystyle L_{j}} の複素共役を表すとする．関数については ∂ ¯ b ∗ {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}^{*}} は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる: ◻ b = − ∑ j = 1 n L j L ¯ j . {\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L}}_{j}.} さて，次の交換子の計算に注意する: [ L j , L ¯ j ] = − 2 i T . {\displaystyle [L_{j},{\overline {L}}_{j}]=-2iT.} ただし， T := ∂ ∂ t {\displaystyle T:={\frac {\partial }{\partial t}}} とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる: ◻ b = − 1 2 ∑ j = 1 n ( L j L ¯ j + L ¯ j L j ) + i n T . {\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L}}_{j}+{\overline {L}}_{j}L_{j})+inT.} 右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これをサブラプラシアンといい， Δ b {\displaystyle \Delta _{b}} で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき， ◻ b = Δ b + i n T {\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+inT} と表すこともできる． CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある． 大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された． 実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された). 局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された． 実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である． エフゲニオ・エリア・レヴィ（英語版）(Eugenio Elia Levi) 擬凸性 ^ https://secure.msri.org/calendar/sgw/WorkshopInfo/434/show_sgw ^ See (Levi 909, p. 207): the Levi form is the differential form associated to the differential operator C, according to Levi's notation. ^ Kohn, Joseph J. and Rossi, Hugo (1965). “On the Extension of Holomorphic functions from the boundary of Complex Manifolds". Annals of Math. 81: 451--472. doi: 10.2307/1970624. Levi, Eugenio Elia (1910), “Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse” (Italian), Annali di Matematica Pura e Applicata, s. III, XVII (1): 61–87, doi:10.1007/BF02419336, JFM 41.0487.01, http://www.springerlink.com/content/yr0150m4tq64j465/ . An important paper in the theory of functions of several complex variables. An English translation of the title reads as:-"studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables". Boggess, Albert (1991). CR Manifolds and the Tangential Cauchy Riemann Complex. CRC Press  Hill, D. and Nacinovich, M. (1995). “Duality and distribution cohomology of CR manifolds”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 22 (2): 315–339. http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASNSP_1995_4_22_2_315_0.  Chern S. S. and Moser, J.K. (1974). “Real hypersurfaces in complex manifolds”. Acta Math. 133: 219–271. doi:10.1007/BF02392146.  Harvey, F.R. and Lawson, H.B., Jr. (1978). “On boundaries of complex analytic varieties”. Ann. Math. 102 (2): 223–290. doi:10.2307/1971032. JSTOR 1971032.