シュタイナーの内接楕円

幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている 。 シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。 以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。 シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される。 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 − 2 a b x y − 2 b c y z − 2 c a z x = 0 {\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0} 重心座標では以下のようになる。 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x y − 2 y z − 2 z x = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2yz-2zx=0} シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である。重心を中心とする唯一の内接楕円である。 シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の π 3 3 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}} 倍である 。これは同じ三角形のシュタイナー楕円の1/4にあたる。 三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである。 シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。 シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される。 1 6 a 2 + b 2 + c 2 ± 2 Z , {\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},} ただし Z は以下の式で与えられる。 Z = a 4 + b 4 + c 4 − a 2 b 2 − b 2 c 2 − c 2 a 2 . {\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.} 複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる。（マーデンの定理（英語版）） 長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある 。 G, F+, F− を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F+GF−の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF−| ± |GF+| という式で表される。 シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。 シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある。 クラーク・キンバリングの「BICENTRIC PAIRS OF POINTS」ではP(118),U(118)として登録されており、重心座標は以下の式で表される。 V = 2 a 2 b 2 c 2 Z 3 , W = b 6 c 6 + c 6 a 6 + a 6 b 6 − 3 a 4 b 4 c 4 − ( b 4 c 4 + c 4 a 4 + a 4 b 4 ) Z 2 {\displaystyle V=2a^{2}b^{2}c^{2}Z^{3},W=b^{6}c^{6}+c^{6}a^{6}+a^{6}b^{6}-3a^{4}b^{4}c^{4}-(b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}+a^{4}b^{4})Z^{2}} f ( a , b , c ) = ( b 2 − c 2 ) ( a 4 − b 4 c 4 − a 2 Z ) + V − W {\displaystyle f(a,b,c)=(b^{2}-c^{2})(a^{4}-b^{4}c^{4}-a^{2}Z)+{\sqrt {V-W}}} として f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) , f ( a , c , b ) : f ( b , a , c ) : f ( c , b , a ) {\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\quad ,\quad f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)} 三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ。 P A ¯ ⋅ Q A ¯ C A ¯ ⋅ A B ¯ + P B ¯ ⋅ Q B ¯ A B ¯ ⋅ B C ¯ + P C ¯ ⋅ Q C ¯ B C ¯ ⋅ C A ¯ = 1. {\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.} △ABCと重心に対する九点円錐曲線である。 ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Steiner Inellipse". mathworld.wolfram.com (英語). ^ H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (D. Antin 英訳), Dover, New York, 1965, problem 98. なお、邦訳には高津巌訳『数学ノ勝利』、根上生也訳『数学100の勝利』(3分冊)がある。Webcat Plus ^ a b Kalman, Dan (2008), “An elementary proof of Marden's theorem”, American Mathematical Monthly 115 (4): 330–338, MR2398412, http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Kalman.pdf . ^ Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". mathworld.wolfram.com (英語). ^ a b c d Chakerian, G. D. (1979), “A distorted view of geometry”, in Honsberger, Ross, Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146 . ^ a b Minda, D.; Phelps, S. (2008), “Triangles, ellipses, and cubic polynomials”, American Mathematical Monthly 115 (8): 679–689, MR2456092, http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/steve_phelps/minda%20phelps.pdf . ^ Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77. ^ Thomson cubic ^ “BICENTRIC PAIRS P(118)”. faculty.evansville.edu. 2024年3月26日閲覧。 ^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.