二十進法

二十進法（にじっしんほう、英: vigesimal）は、20 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。 二十進記数法は、二十を底とする位取り記数法である。二十進法の位取りでは、通常では 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の計二十個の数字を用い、十から十九までを A から J までに充てて、二十を 10 、二十一を 11 と表記する。なお、B と 8 、I と 1 が紛らわしいことを理由に、B や I を飛ばして、十一を C と表記したり、十八を J や K と表記したりする例もある。 数字の意味する数は、左に一桁ずれると 20倍になり、右に一桁ずれると 1/20 になる。例えば、(14)20 という表記において、左の「1」は二十を表し、右の「4」は四を表し、合わせて「二十四」を意味する。桁の表示は、整数第二位は「二十の位」、整数第三位は「四百の位」となる。 本節では慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数とし、二十進記数法の表記は括弧および下付の 20 で表す。必要に応じて、十進記数法の表記を括弧および下付の 10 で表す。二十進記数法で表された数を二十進数と呼ぶ。 二十進法は「4×5＝10」となるので、5で割り切れる十進法（2×5＝10）との親和性が見られる。 また、7以降の素数は、一の位が 1, 3, 7, 9, B, D, H, J の八つの中のいずれか、即ち 5 と F を除く奇数になる。例えば： 十進法の23 → 二十進法では13 十進法の31 → 二十進法では1B 十進法の53 → 二十進法では2D 十進法の97 → 二十進法では4H 十進法の139 → 二十進法では6J となる。 二十進表記の整数は： (17)20 = 27 (1×201 + 7) (20)20 = 40 (2×201) (2H)20 = 57 (2×201 + 17) (3C)20 = 72 (3×201 + 12) (4F)20 = 95 (4×201 + 15) (74)20 = 144 (7×201 + 4) (88)20 = 168 (8×201 + 8) (DA)20 = 270 (13×201 + 10) (100)20 = 400 (1×202) (22F)20 = 855 (2×202 + 2×201 + 15) (34F)20 = 1295 (3×202 + 4×201 + 15) (468)20 = 1728 (4×202 + 6×201 + 8) (4J9)20 = 1989 (4×202 + 19×201 + 9) (50G)20 = 2016 (5×202 + 0×201 + 16) (D2A)20 = 5250 (13×202 + 2×201 + 10) (1000)20 = 8000 (1×203) (2340)20 = 17280 (2×203 + 3×202 + 4×201) (2BGG)20 = 20736 (2×203 + 11×202 + 16×201 + 16) (4GHA)20 = 38750 (4×203 + 16×202 + 17×201 + 10) (EBD7)20 = 116667 (14×203 + 11×202 + 13×201 + 7) (10000)20 = 160000 (1×204) を、それぞれ意味する。 十進法の 95 + 15 = 110 → 二十進法では 4F + F = 5A 十進法の 2016 - 27 = 1989 → 二十進法では 50G - 17 = 4J9 十進法の 72 × 28 = 2016 → 二十進法では 3C × 18 = 50G 十進法の 1728 × 10 = 17280 → 二十進法では 468 × A = 2340 十進法の 400 ÷ 4 = 100 → 二十進法では 100 ÷ 4 = 50 十進法の 2016 ÷ 12 = 168 → 二十進法では 50G ÷ C = 88 マヤ文明では、二十進法の数詞に合わせて二十進記数法が用いられていた。マヤの数詞は五進法を補助的に含んでおり、数字にもそれが反映されている。貝殻で零、点で一、横棒で五を表し、二十に至ると桁を繰り上げる。桁は、大きい方が上で、小さい方が下となる。例えば、二十は貝殻の上に点一個で表記され、七十二は上に「三」(点三個)と下に「十二」(横棒二個の上に点二個)で表記され、二千十六は上段が「五」(横棒一個)と中段が「零」(貝殻)と下段が「十六」(横棒三個の上に点一個)で構成され、八千百六は最上段が「一」(点一個)、上から二段目が「零」(貝殻)、上から三段目が「五」(横棒一個)、最下段が「六」(横棒一個の上に点一個)で表記される。 この外には、イヌイット数字（en:Kaktovik Inupiaq numerals）も二十進法を用いており、結び目模様が「零」、縦楔が「一」、横楔が「五」を表しており、一桁は二段構成となる。この表記法では、＼が「一」、Ｖが「二」、Ｗが「四」、＞が「十」、"＞"と"Ｖ"で「十二」となり、二十は「上段が"＼"で下段が"結び目模様"」として表記される。二十以後も、二階が「"＞"と"Ｖ"」で一階が「Ｗ」であれば二百四十四｛(C4)20＝(244)10｝を意味する。 小数部分を十進数から二十進数に換算する場合には、整数部分はそのまま二十進数に変換し、小数部分は二十の累乗数を十進数に換算した数値を掛ける。 （例）十進数 3.14159265（円周率） 小数の分母：100000000(10) → 64000000(10)（二十進換算値：1B50000(20) → 1000000(20)） 14159265 × 0.64000000 = 9061929.6 → 9061929(10) 9061929(10) = 2GCEG9(20) よって、3.14159265(10) ≒ 3.2GCEG9(20) となる。 桁が一つ動く度に数が20倍変わるため、小数第一位は「二十分の一の位」、小数第二位は「四百分の一の位」となる。従って、二十進法の小数では： (0.1)20 = 1/20 (1×20-1) (0.5)20 = 5/20 (5×20-1) (0.G)20 = 16/20 (16×20-1) (0.01)20 = 1/400 (1×20-2) (0.0C)20 = 12/400 (12×20-2) (0.7A)20 = 150/400 (7×20-1 + 10×20-2) (0.CF)20 = 255/400 (12×20-1 + 15×20-2) (0.001)20 = 1/8000 (1×20-3) を、それぞれ意味する。 位数の関係 小数数の (22.F)20 は「855/20」を意味し、小数の (2.2F)20は「855/400」という意味になる。 従って、十進数の 42.75 は二十進数では (22.F)20 となり、十進数の 2.1375 は二十進数では (2.2F)20となる。 前者は 42 + 75/100 (= 3/4) と 42 + 15/20 (= 3/4) が同値となり、後者は 2 + 1375/10000 (= 1375/104 = 11/80) と 2 + 55/400 (= 55/202 = 11/80) が同値になるからである。 (22F)20 = 2×202 + 2×201 + 15 = (855)10 (22.F)20 = 2×201 + 2 + 15×20-1 = 42 + 15/20 = 855/20 = (42.75)10 (2.2F)20 = 2 + 2×20-1 + 15×20-2 = 2 + 40/400 + 15/400 = 855/400 = (2.1375)10 同じく、(25)20 は (45)10 を意味し、(2.5)20 は「45/20」、即ち (2.25)10 という意味になる。 (250)20 = 2×202 + 5×201 = (900)10 (25)20 = 2×201 + 5 = (45)10 (2.5)20 = 2 + 5×20-1 = 45/20 = (2.25)10 (0.25)20 = 2×20-1 + 5×20-2 = 40/400 + 5/400 = 45/400 = (0.1125)10 二十進数の (22.F)20÷(J)20 の商は (2.5)20 となるが、十進数では以下に相当する。 （数式A）二十進数：(22.F)20÷(J)20 = (2.5)20 （数式A）十進数：42.75÷19 = 2.25 （数式B）二十進数：(22F)20÷(J)20 = (25)20 （数式B）十進数：855÷19 = 45 素因数に5が含まれない累乗数の除算 六や十二の累乗数や、二の累乗数進法による累乗数などは、5で割り切れないが、二十進法では割り切れる（十進法も同様）。 1/5グロス（十進換算：144 ÷ 5） 二十進法：(74)20 ÷ 5 = (18.G)20 1大グロス ÷ 十五（十進換算：1728 ÷ 15） 二十進法：(468)20 ÷ (F)20 = (5F.4)20 28 ÷ 5（十進換算：256 ÷ 5） 二十進法：(CG)20 ÷ 5 = (2B.4)20 65 ÷ 十五（十進換算：7776 ÷ 15） 二十進法：(J8G)20 ÷ (F)20 = (15I.8)20 また、素因数が2と5なので、冪数以外でも、5が因数に含まれない数が被除数になると、割り切れる場合がある。 (36×B) ÷ (32×5)（十進法換算で 8019 ÷ 45） 二十進法：(100J)20 ÷ (25)20 = (8I.4)20 二十進法では (0.1)20 が「二十分の一」になるため、(0.4)20 は 1/5 になり、(0.5)20 は 1/4 になり、(0.A)20（十進法で10/20）は 1/2 になる。 より派生して、(0.F)10（十進法で15/20）は 3/4 に、(0.8)20は 2/5 に、(0.C)20（十進法で12/20）は 3/5 に、(0.G)10（十進法で16/20）は 4/5 になる。 従って、ある数に (0.4)20 を掛けると1/5になり、(0.5)20を掛けると1/4になり、(0.C)20を掛けると3/5になり、(0.F)20 を掛けると3/4になる。 割分厘も、十進法の「2割5分」は「0.5」「5割」となり、十進法で3/8を意味する「3割7分5厘」は「0.7A」「(7割10分)10」「7割A分」で小数第二位に収まる。 (I0)20（十進法の360）を例に挙げる。 4と0.4、8と0.8で対比 除算：(I0)20 ÷ (5)20 = (3C)20（十進法：360 ÷ 5 = 72） 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.4)20 = (3C)20（十進法：360の 1/5 は72） 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.8)20 = (74)20（十進法：360の 2/5 は144） 一桁整数を掛ける：(I)20 × (4)20 = (3C)20（十進法：18×4 = 72） 一桁整数を掛ける：(I)20 × (8)20 = (74)20（十進法：18×8 = 144） 同値の一桁小数で対比 除算：(I0)20 ÷ (4)20 = (4A)20（十進法：360 ÷ 4 = 90) 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.5)20 = (4A)20（十進法：360の 1/4 は90） 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.F)20 = (DA)20（十進法：360の 3/4 は270） 同じく、桁の繰り上がりの例として、(4A)20（十進法の90）を用いる。 乗算：(4A)20 × (10)20 = (4A0)20（十進法：90×20 = 1800） 除算：(4A0)20 ÷ (5)20 = (I0)20（十進法：1800÷5 = 360） 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.4)20 = (I0)20（十進法：1800の 1/5 は360） 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.C)20 = (2E0)20（十進法：1800の 3/5 は1080） 除算：(4A0)20 ÷ (4)20 = (12A)20（十進法：1800 ÷ 4 = 450） 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.5)20 = (12A)20（十進法：1800の 1/4 は450） 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.A)20 = (250)20（十進法：1800の 1/2 は900） 以下の表に、二十進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。二十は四と五では割り切れるが三では割り切れないので、三分割した際に循環小数になりやすい。 また、十進法は「10 - 1」が9で3の冪数になり、m/27の小数が37の倍数三桁が循環するのに対して、二十進法は「10 - 1」がJ（十進法の19）で3の冪数ではないので、1/9の循環小数は 0.248HFB…で六桁になり、三桁ごとに「248＝888(10)の倍数か、その近隣の数」が現れる。 24は十進法の44（＝11×4）、248は十進法の888（＝37×3×8）、HFBは十進法の7111（二十進換算で HF4 + 7 = HFB。HF4(20) = 7104(10) = (888×8)(10)）、6D6は十進法の2666（二十進換算で 6D4 + 2 = 6D6。6D4(20) = 2664(10) = (888×3)(10)）となる。 1/9の近似値は二桁なら 100(20) → (11×4 = 44)(10) = 24(20)、三桁なら 1000(20) → (37×3×8 = 888)(10) = 248(20) となる。 (1/27)10の近似値も、1000(20)から (37×8 = 296)(10) = EG(20) となり、循環節が「0EG 5IA 782 J53 E19 CBH」の十八桁だが、三桁ごとに「EG＝296(10)の倍数か、その近隣の数」が現れる。先頭九桁を見ると、EG(20)＝296(10)の倍数は、5IA(20)＝2370(10)の近くに5I8(20)＝2368(10)（= (296×8)(10)）が、782(20)＝2962(10)の近くに780(20)＝2960(20)（= (296×10)(10)）が位置している。 二十進法の除算の特徴が現れる例は、「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンが代表的である。このパターンでは、(10)20以下の3の倍数で割り切れない数は9とI（十八）、4の倍数は(14)20＝(24)10まで全てで割り切れ、5の倍数は(1A)20＝(30)10までの全てで割り切れる例になる。 除数が2の冪数の割り算における分子・分母の数値は、二十進法は十進法よりも六進法に近い。これは、二十（4×5）と六（2×3）が共に矩形数だからである。 ここではスキップ無しで、(11)10を B 、(18)10を I 、(19)10を J と表記する。 二十進法の乗算の要領として、以下の点が挙げられる。 主要の段 半数はA（＝十）の段。 m/4 となる奇数｛5とF(＝十五)｝は、4の倍数を掛けると一の位が0になる。1/4となる5の段は一の位が5→A→F→0→5で循環し、3/4となるFの段は一の位がF→A→5→0→Fで循環する。 4の倍数｛4、8、C(＝十二)、G(＝十六)｝は、5の倍数を掛けると一の位が0になる。1/5となる4の段は一の位が4→8→C→G→0→4で循環、2/5となる8の段は一の位が8→G→4→C→0→8で循環、3/5となるCの段は一の位がC→4→G→8→0→Cで循環、4/5となるGの段は一の位がG→C→8→4→0→Gで循環する。 その他の段 他の段は、5の倍数を掛けると一の位が5, A, F, 0のどれかになる。 他の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4, 8, C, G, 0のどれかになる。 末尾となるJ（＝十九）の段は、一の位と二十の位の和がJになる。 10－2となるI（＝十八）の段は、一の位は2ずつ減る。一の位はI→G→E→C→A→8→6→4→2→0の順に変化する。このうち、4の倍数を掛けると（即ち七十二の倍数）、一の位がCの段と同じくC→4→G→8→0→Cの順に変化する。 9の段は、偶数を掛けると、一の位の数は2ずつ減る。そして、4の倍数を掛けると、一の位はG→C→8→４→0の順に変化する。 B（＝十一）の段は、偶数を掛けると、二十の位は一の位の数の半分になる（例：(12)20＝(22)10）。そして、4の倍数を掛けると、一の位は4→8→C→G→0の順に変化する。 3の段は、4の倍数を掛けると、一の位がC→4→G→8→0の順に変化する。これに対して、6の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4→8→C→G→0の順に変化する。 7の段とE（＝十四）の段は、3の倍数を掛けるとゾロ目になる。これは、(11)20＝(21)10 になるため。 二十進命数法は、20 を底とする命数法である。 自然言語で二十進命数法の数詞を持つものは比較的多く、また世界中に散らばっている。十進法が手の指の数に由来するのと同じように、二十進法は手足の指の総和（5本×4ヶ所＝20本）に由来する。二十進法の数詞では、1 から 20 まで独立の単語が 20 個あることは希で、内部に五進法または十進法を補助的に含んでいる。 最も体系的な二十進法は、メソアメリカに見られる。例えばマヤ語族のツォツィル語 (Tzotzil)やユト・アステカ語族のナワトル語などがある。サポテカ文字、ラ・モハラの文字、マヤ文字などの記数法も上記のように点と棒を使った二十進表記であった。マヤの長期暦では20日をウィナルといい、1年すなわち360日の周期（トゥン）は20日×18ヶ月で構成された。トゥンより上の単位も二十進法に則し、20トゥンをカトゥン、400トゥン (= 202トゥン) をバクトゥンと呼んだ。 メソアメリカには、二十の累乗数にも個別の数詞や絵文字が命名されている。 ブータンのゾンカ数字（en:Dzongkha numerals）も命数法に二十進法を用いており、累乗数は十六万（= 204）まで存在する。なお、十九までの数は、補助的に十進法を用いている。 アジアではアイヌ語、ブルシャスキ語などがある。アイヌ語では 40 を tu-hotnep (2×20)、100 を asikne-hotnep (5×20) という。減算も一般的で、90 を wanpe easikne-hotnep (あと 10 で 5×20) と呼ぶ。 ヨーロッパでは、バスク語、ケルト語派、フランス語、デンマーク語、アルバニア語、グルジア語などに二十進法が残っている。どれも、202 を表す数詞がなく、100 を表す数詞があるので、完全な二十進法ではなくなった。フランス語の数詞は 30 から 59 までは十進法だが、1 から 19 まで、そして 60 からは 二十進法であって、80 を quatre-vingts すなわち 4×20 と表現し、90 を quatre-vingt-dix すなわち 4×20 + 10 と表現する。ただし、スイスとベルギーのフランス語は十進法である（フランス語の数詞を参照）。デンマーク語では 60 を tres というが、これは tresindstyve すなわち 3×20 の略である。英語では、20 を表す古風な語 score があり、threescore (3×20)、fourscore (4×20) などの複合語がある。ゲティスバーグ演説の先頭が"Four score and seven years ago"で始まっている。 インド・ヨーロッパ語族には 11 から 19 までと 21 以上とで異なる語構成を持つ言語が少なくない。例えば英語では fifteen (5 + 10) に対して twenty-five (20 + 5)、ドイツ語では fünfzehn (5 + 10) に対して fünfundzwanzig (5 と 20) と呼ぶ。 アフリカではヨルバ語が減算を含む二十進法で知られている。 ニューギニア島は最も言語密度の高い地域として知られ、エスノローグには 1071 個の言語が記されている。このため命数法も多様で、アランブラック語 (Alamblak) など、二十進法の言語が存在する。 また、20 を意味する語が他の 10 の倍数と異なる語構成を持つ言語がある。例えば日本語では 30 （みそ）から 90 （ここのそ）までは接尾辞「そ」が付くが、20 は「はた」と呼ぶ。20 歳、30 歳はそれぞれ「はたち」、「みそじ」である。上海語でも 30 以上は普通話と同じく「三十」から「九十」を用いるが、20 だけは「廿」を用いる。 以下に、ナワトル語とバスク語の数詞を示す。前者は五進法、後者は十進法を内部に含んでいる。 二十進法の単位は散発的に使われる。単位系では、数を十進法で 9, 10, 11 と表記し、20 や 400 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる例が多い。 ヤード・ポンド法において、1 トンは 20 ハンドレッドウェイト、1 トロイオンスは 20 ペニーウェイト、1 パイントは 20 液量オンスである。 同じく、イギリスでは、1971年2月15日に通貨が十進法に変わる前は、12→144 の十二進法と、20→400 の二十進法の組み合わせであった。この制度では、1 ポンドは 20 シリングであった。個数においても、二十進法の単位で「スコア」(20個)がある。20 は 5×4 であり、1 とその数以外の約数が 2, 4, 5, 10 と計 4 個あり、特に四分割と五分割に便利であることも、二十進法の単位が使用される一因にもなっている。対する 10 の約数は、2 と 5 の計 2 個しかない。 ^ Jordan, David K., Inadequate Nahuatl Reference Grammar, http://weber.ucsd.edu/~dkjordan/nahuatl/nahugram.html 2007年12月18日閲覧。  ^ Center for Basque Studies, ed., Basque Language Lesson 3, University of Nevada, Reno, http://basque.unr.edu/07/7.4.1t/7.4.4.4.vocabulary3.htm 2007年12月18日閲覧。  ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. 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