サーモンの定理

サーモンの定理（サーモンのていり、英: Salmon's theorem）は、ジョージ・サーモンに因んで命名された幾何学の諸定理。 Oを中心とする円と任意の点A,Bについて、B,Aの極線へのA,Bの直交射影（垂足）をP,Qとしたとき、 O A O B = O P O Q {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}={\frac {OP}{OQ}}} が成立する。 この定理に関して、澤山勇三郞は次の一般化を示した。 円錐曲線Sと任意の点A,Bに関して、A,Bの極線のA,Bを通る垂線とSの一方の軸との交点をそれぞれM,N、B,Aの極線へのA,Bの直交射影をP,Qとしたとき、 A M B N = A P B Q {\displaystyle {\frac {AM}{BN}}={\frac {AP}{BQ}}} が成立する。 円周O上の任意の一点Pを通る3つの弦を直径とする円をそれぞれ書く。3円のPでない方の交点は共線である。これはOと3円の交点が成す三角形のシムソン線となる。 この定理には小倉金之助による一般化が存在する。 2つの共焦点楕円に囲まれた領域を作る。内側の楕円に接するような軌道でボールを打ち出す。ビリヤードの球の様に外側の楕円で跳ね返るようにボールの軌道を描いたとき、軌道は、内側の楕円に接し続ける。 ある三角形とその極三角形の配景の中心と配景の軸それぞれを、その円錐曲線に関する「極」「軸」と表現する。また、極三角形が元の三角形と一致するとき、円錐曲線に関して「自共役」であると表現する。 2つの円錐曲線S,S'について、S'に内接する任意の三角形がSに関して自共役であるとする。このときS'に内接する三角形のSに関する極はS'上にある。Sに外接する三角形のS'に関する軸はSに接する。 他にも、円錐曲線に関するサーモンの定理と呼ばれる定理が存在する。 円に内接する六角形abcdefにおいて、たとえばab,cdの交点を(ab , cd)と表す。(ab , de),(bc , ef),(cd , fa)はパスカルの定理より一直線（パスカル線）上にある。このパスカル線を { a b c d e f d e b f b c } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\de&bf&bc\end{Bmatrix}}} と書く。 今、それぞれab,cd,ef、de,fa,bc、cf,be,adの成す三角形について、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（シュタイナー点）である（シュタイナーの定理）。円上の6点についてシュタイナー点は20個存在する。次にそれぞれ3辺 a b c d e f , { a b c d e f d e b f a c } { c d b f a e a f c e b d } { e f b d a c b c a e d f } , { a b c d e f c f b d a e } { c d b f a e b e a c d f } { e f b d a c a d c e b f } , {\displaystyle {\begin{matrix}ab&cd&ef,\\{\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\de&bf&ac\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}cd&bf&ae\\af&ce&bd\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}ef&bd&ac\\bc&ae&df\end{Bmatrix}},\\{\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\cf&bd&ae\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}cd&bf&ae\\be&ac&df\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}ef&bd&ac\\ad&ce&bf\end{Bmatrix}},\\\end{matrix}}} からなる3つの三角形の、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（カークマン点）である。ここで、シュタイナー点1つとカークマン点3つを通るような直線が20本存在する。この20本の線は4本ずつ共点であり、このような点は15個存在する。これをケイリー-サーモンの定理という。アーサー・ケイリーの名を冠する。 他、三次曲面（英語版）や代数曲線に関する定理のサーモンの定理、ケイリー-サーモンの定理がある。 三角形に関しては、重心、垂心、外心、九点円の中心（英語版）が調和点列を成すことを、サーモンの定理と呼ぶこともある。 ^ a b Mathworld ^ a b c d ジョージ・サーモン 著、小倉金之助 訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年。NDLJP:952208。  ^ 長沢亀之助『幾何学辞典 : 問題解法』長沢亀之助、1907年、471頁。NDLJP:1087163。  ^ N, E. H. (1954-05). “2405. Notes on conics. 17. Salmon's Theorem” (英語). The Mathematical Gazette 38 (324): 125–126. doi:10.2307/3609833. ISSN 0025-5572. https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/2405-notes-on-conics-17-salmons-theorem/BFA644D8F24A096E7161CCF1268D45A6.  ^ Phillips, William Henry Harrison（英語）『Elements of Geometry: And the First Principles of Modern Geometry』Sheldon & Company、1878年。https://www.google.co.jp/books/edition/Elements_of_Geometry/wSMAAAAAYAAJ。  ^ 森本清吾 (1938). 沢山勇三郎全集. 岩波書店. NDLJP:1239383  ^ 山崎栄作『最新高等平面幾何学通論』内田老鶴圃、1930年、51頁。NDLJP:1223370。  ^ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助 編『初等幾何学 第2巻 平面之部』山海堂、1913年。NDLJP:1082037。  ^ 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、113頁。NDLJP:1211458。  ^ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助 編『初等幾何学 第1巻 平面之部』山海堂、1913年、505頁。doi:10.11501/930885。  ^ arXiv:1804.08025 ^ Hirschfeld, J. W. P.、Korchmaros, Gabor、Torres, Fernando（英語）『Algebraic Curves over a Finite Field』Princeton University Press、2013年3月25日。ISBN 978-1-4008-4741-9。https://www.google.co.jp/books/edition/Algebraic_Curves_over_a_Finite_Field/VnBZzTso_tQC。  ^ Beltrametti, Mauro (2009) (英語). Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties: A Classical View of Algebraic Geometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-064-7. https://www.google.co.jp/books/edition/Lectures_on_Curves_Surfaces_and_Projecti/g9DBgD22n_IC  ^ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника アーカイブ 2020年2月25日 - ウェイバックマシン. — Одесса, 1902. — С. 47. Глава II, п.47 Ефремов Д.（Russian）『Новая геометрия треугольника』Library Genesis、1902年、30頁。https://archive.org/details/libgen_00031664/page/n319/mode/2up。  Элементарная геометрия. Т. 1, Планиметрия, преобразования плоскости / Èlementarnaâ geometriâ. T. 1, Planimetriâ, preobrazovaniâ ploskosti. Издательство МЦНМО, Moskva. (2004). p. 65. ISBN 5-94057-170-0. OCLC 749678381  Weisstein, Eric W. "Salmons' Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).