ボンネゼンの不等式

ボンネゼンの不等式 （ボンネゼンのふとうしき、英: Bonnesen's inequality）またはボンネゼンの定理はジョルダン曲線の外接円と内接円、面積、周長に関する不等式である。ユークリッド平面における等周不等式より強力である。 具体的には、平面上の単純な閉曲線 S {\displaystyle S} の周長を L {\displaystyle L} 、面積を A {\displaystyle A} 、内接円と外接円の半径をそれぞれ r , R {\displaystyle r,R} とする。トミー・ボンネゼンは次の不等式を証明した。 π 2 ( R − r ) 2 ≤ L 2 − 4 π A . {\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq L^{2}-4\pi A.} 右辺の L 2 − 4 π A {\displaystyle L^{2}-4\pi A} は"isoperimetric defect"として知られる。 レヴナーのトーラス不等式（英語版）におけるisosystolic defectはボンネゼンの不等式のisoperimetric defectのシストリック（英語版）な類似物である。 次の証明はヒューゴ・ハドヴィッガーに帰せられる。原点中心、半径tの円を t B {\displaystyle tB} とする。また、関数 Area ( x ) {\displaystyle {\text{Area}}(x)} を閉集合xの面積とする。 内接円 r B {\displaystyle rB} と外接円 C {\displaystyle C} の半径がそれぞれ r , R {\displaystyle r,R} である凸コンパクト集合 S {\displaystyle S} を考える。図1では、 S {\displaystyle S} を紫色の正方形、内接円を緑色、外接円を青色で示してある。 S {\displaystyle S} に含まれず、 C {\displaystyle C} に含まれる部分を Z {\displaystyle Z} とする。ミンコフスキー和 Z + r B {\displaystyle Z+rB} の面積と半径 r + R {\displaystyle r+R} の円（図1,黄）について Area ( Z + r B ) = π ( r + R ) 2 {\displaystyle {\text{Area}}(Z+rB)=\pi (r+R)^{2}} が成立する。 次に内接円、外接円の中心を通る直線Δで Z {\displaystyle Z} を半分に切断する。上の部分を Z s {\displaystyle Z_{s}} とする。 Z s , r B {\displaystyle Z_{s},rB} のミンコフスキー和は半径 r + R {\displaystyle r+R} の半円板と図2の様な薄黄色の部分の和集合になる。l1,l2を Z {\displaystyle Z} とΔの2つの交わる部分の長さとして次の式が成立する。 Area ( Z s + r B ) = 1 2 π ( r + R ) 2 + ( l 1 + l 2 ) r + π r 2 {\displaystyle {\text{Area}}(Z_{s}+rB)={\frac {1}{2}}\pi (r+R)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}} この等式にミンコフスキー・シュタイナーの公式を用いて値を評価する。ただし Z s {\displaystyle Z_{s}} は凸集合ではないため、右辺は極限値とはならない。 Area ( Z s + r B ) = 1 2 π ( r + R ) 2 + ( l 1 + l 2 ) r + π r 2 ≤ Area ( Z s ) + ( π R + l 1 + l 2 + p s ) r + π r 2 {\displaystyle {\text{Area}}(Z_{s}+rB)={\frac {1}{2}}\pi (r+R)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}\leq {\text{Area}}(Z_{s})+(\pi R+l_{1}+l_{2}+p_{s})r+\pi r^{2}} ここで p s {\displaystyle p_{s}} は、 S {\displaystyle S} 上部の周長。 下部についても同様にした式と、この式を辺々加えて π ( r + R ) 2 + 2 ( l 1 + l 2 ) r + 2 π r 2 ≤ Area ( Z ) + 2 π r R + 2 ( l 1 + l 2 ) r + p r + 2 π r 2 {\displaystyle \pi (r+R)^{2}+2(l_{1}+l_{2})r+2\pi r^{2}\leq {\text{Area}}(Z)+2\pi rR+2(l_{1}+l_{2})r+pr+2\pi r^{2}} π ( r + R ) 2 + ≤ Area ( Z ) + 2 π r R + p r {\displaystyle \pi (r+R)^{2}+\leq {\text{Area}}(Z)+2\pi rR+pr} ここでpは S {\displaystyle S} の周長。また、 Z {\displaystyle Z} の面積は外接円板と S {\displaystyle S} の面積aの差に等しいので、 π ( r + R ) 2 ≤ π R 2 − a + 2 π R r + p r {\displaystyle \pi (r+R)^{2}\leq \pi R^{2}-a+2\pi Rr+pr} ∴ a − p r + π r 2 ≤ 0. {\displaystyle \therefore a-pr+\pi r^{2}\leq 0.} これは面積 S + t B {\displaystyle S+tB} についての2次多項式 f ( t ) = π t 2 − p t + a {\displaystyle f(t)=\pi t^{2}-pt+a} に、内接円半径 r {\displaystyle r} を代入した値が負になることを意味する。 上記と全く同様の議論で、外接円半径 R {\displaystyle R} についても同様の結論を得る。 a − p R + π R 2 ≤ 0. {\displaystyle a-pR+\pi R^{2}\leq 0.} この2つの不等式より、さらに次の不等式が成立する。 p − p 2 − 4 π a 2 π ≤ r ≤ R ≤ p + p 2 − 4 π a 2 π . {\displaystyle {\frac {p-{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}\leq r\leq R\leq {\frac {p+{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}.} これを変形して、 R − r ≤ p 2 − 4 π a π {\displaystyle R-r\leq {\frac {\sqrt {p^{2}-4\pi a}}{\pi }}} ∴ p 2 − 4 π a ≥ π 2 ( R − r ) 2 . {\displaystyle \therefore p^{2}-4\pi a\geq \pi ^{2}(R-r)^{2}.} ^ a b 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、157,5頁。doi:10.11501/1063410。  ^ (英語) Geometric Inequalities. doi:10.1007/978-3-662-07441-1. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-07441-1  ^ Bernard Teissier. “convert”. archive.wikiwix.com. 2024年8月14日閲覧。 ^ Bonnesen, T. (1921). “Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et de la démonstration d'une inégalité de Minkowski” (French). Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris 172: 1087–1089. ISSN 0001-4036. https://zbmath.org/?format=complete&q=an:48.0839.01.  ^ Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2009-10-01). “Loewner’s Torus Inequality with Isosystolic Defect” (英語). Journal of Geometric Analysis 19 (4): 796–808. doi:10.1007/s12220-009-9090-y. ISSN 1559-002X. https://doi.org/10.1007/s12220-009-9090-y.  ^ (英語) Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. doi:10.1007/978-3-642-94702-5. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-94702-5  ^ “The Stong Isoperimetric Inequality of Bonnesen”. 2024年8月31日閲覧。 ^ ここでいう閉曲線の外接円とは閉曲線を内部に含む最小の円（最小包含円（英語版）を）指し、閉曲線の内接円とは閉曲線の内側に含まれる最大の円を指す