区分行列

区分行列（くぶんぎょうれつ）もしくはブロック行列 (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された行列である。 例えば、4つの行列 A = [ 2 − 1 5 − 1 4 1 8 1 − 2 ] , B = [ − 3 6 1 3 4 1 ] , C = [ − 4 2 6 ] , D = [ 9 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&5\\-1&4&1\\8&1&-2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}-3&6\\1&3\\4&1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-4&2&6\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}9&1\end{bmatrix}}} を並べてできる 4 × 5 行列 [ A B C D ] = [ 2 − 1 5 − 3 6 − 1 4 1 1 3 8 1 − 2 4 1 − 4 2 6 9 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1&5&&-3&6\\-1&4&1&&1&3\\8&1&-2&&4&1\\&&&&&\\-4&2&6&&9&1\end{bmatrix}}} を、A, B, C, D をブロックとする区分行列と呼ぶ。ブロックは小行列とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを区分けという。 一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。Aij たちをブロックとする区分行列 [ A 11 A 12 ⋯ A 1 q A 21 A 22 ⋯ A 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A p 1 A p 2 ⋯ A p q ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}} が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。Ai j が mi × nj 行列である場合、この形の区分けを (m1, …, mq; n1, …, nr) 型と呼ぶ。 ふたつの区分行列 A = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 q A 21 A 22 ⋯ A 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A p 1 A p 2 ⋯ A p q ] , B = [ B 11 B 12 ⋯ B 1 r B 21 B 22 ⋯ B 2 r ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B q 1 B q 2 ⋯ B q r ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{q1}&B_{q2}&\cdots &B_{qr}\end{bmatrix}}} の区分けがそれぞれ (l1, …, lp; m1, …, mq) 型、(m1, …, mq; n1, …, nr) 型であるとき、その積 AB の (l1, …, lp; n1, …, nr) 型の区分け A B = [ C 11 C 12 ⋯ C 1 r C 21 C 22 ⋯ C 2 r ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C p 1 C p 2 ⋯ C p r ] {\displaystyle AB={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1r}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{p1}&C_{p2}&\cdots &C_{pr}\end{bmatrix}}} の各ブロックは C i j = ∑ k = 1 q A i k B k j {\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}} で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。 正方行列 P の区分け P = [ A 11 A 12 … A 1 r A 21 A 22 … A 2 r ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A r 1 A r 2 … A r r ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1r}\\A_{21}&A_{22}&\dots &A_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{r1}&A_{r2}&\dots &A_{rr}\end{bmatrix}}} において、主対角線上のブロック A1 1, A2 2, … Ar r がすべて正方行列であるとき、これを対称区分けという。特に、主対角線より下のブロックが全て零行列である場合、その行列式について | P | = ∏ k = 1 r | A k k | {\displaystyle |P|=\prod _{k=1}^{r}|A_{kk}|} が成り立つ。よって、そのような P が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。 本節では、A は正則行列、D は正方行列とし、区分行列 P = [ A B C D ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}} の逆行列を与える。 まず、行列式について、 | P | = | A | | D − C A − 1 B | {\displaystyle |P|=|A||D-CA^{-1}B|\,} が成り立つ。よって、P が正則であるための必要十分条件は、D − CA−1B も正則であることであり、このとき逆行列は [ A B C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 − A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 − ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}} で与えられる。D も正則な場合は [ A B C D ] − 1 = [ ( A − B D − 1 C ) − 1 − A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 − ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}} と表される。さらに C が零行列 O に等しい場合は [ A B O D ] − 1 = [ A − 1 − A − 1 B D − 1 O D − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\O&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BD^{-1}\\O&D^{-1}\end{bmatrix}}} となる。 『数学入門辞典』岩波書店、2005年、ISBN 978-4000802093