複素微分形式

数学では、複素微分形式(complex differential form)は、複素数係数を持つ多様体（通常は複素多様体）上の微分形式である。 複素微分形式は、微分幾何学において広く応用されている。複素多様体上での代数幾何学やケーラー幾何学やホッジ理論の多くで、複素微分形式は重要な基本としなっている。複素多様体でない場合でも、複素微分方程式は概複素構造やスピノルの理論やCR構造の研究で重要な役割を果たしている。 典型的には、複素微分形式は容易に期待される分解を持つ考えられている。たとえば、複素多様体上では、任意の k-形式が一意に (p,q)-形式に分解する。(p,q)-形式とは、大まかには、正則座標の p 個の外微分と、その複素共役の q 個の外微分のウェッジ積である。(p,q)-形式の集合は、基本的研究対象であり、k-形式以上に、多様体の幾何学的構造をよりよく反映定する。たとえば、ホッジ理論が適用可能な場合は、（k-形式よりも）良い多様体の構造が存在する。 M が複素多様体であるとすると、n 個の複素変数函数 z1,...,zn からなる局所座標変換が存在し、ある点の近傍から別の点の近傍への座標変換が複数の変数 zi の正則函数となる。複素微分形式の空間は、豊かな構造を持っていて、基本的には、座標変換の函数が滑らか(smooth)であることよりも正則であることに依存している。 1-形式の場合からはじめる。最初に、それぞれの j について複素数の座標を実部と虚部 zj = xj + iyj へ分解する。 d z j = d x j + i d y j , d z ¯ j = d x j − i d y j , {\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},} とおくと、複素数係数を持つすべての微分形式は、和 ∑ j = 1 n f j d z j + g j d z ¯ j . {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}.} と書くことができることが分かる。 Ω1,0 を d z {\displaystyle dz} のみを含む複素微分形式の空間とし、Ω0,1 を d z ¯ {\displaystyle d{\bar {z}}} のみを含む空間とすると、コーシー・リーマンの方程式により空間 Ω1,0 と Ω0,1 は正則座標変換の下で不変である。言い換えると、異なる正則座標系 wi を選んでも、Ω0,1 の元による変換とともに、Ω1,0 の元もテンソル的に変換する。このように空間 Ω0,1 と Ω1,0 は複素多様体上の複素ベクトル場を定義する。 複素微分形式のウェッジ積は、実形式と同様な方法で定義される。p と q を非負な整数 ≤ n のペアとすると、(p,q)-形式の空間 Ωp,q は、Ω1,0 の p 個の元と Ω0,1 の q 個の元のウェッジ積の線型結合により定義される。記号で書くと、 Ω p , q = Ω 1 , 0 ∧ ⋯ ∧ Ω 1 , 0 ∧ Ω 0 , 1 ∧ ⋯ ∧ Ω 0 , 1 {\displaystyle \Omega ^{p,q}=\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}\wedge \Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} であり、ここに Ω1,0 の p 個の要素、Ω0,1 の q 個の要素が存在する。まさに、1-形式の 2つの空間が、座標の正則な変換の下で安定であるので、ベクトルバンドルを決定する。 Ek を全次数 k の全複素微分形式の空間とすると、Ek の各々の元は一意な方法で p + q = k である空間 Ωp,q の元の線型結合で表わすことができる。より簡潔に言うと、直積分解 E k = Ω k , 0 ⊕ Ω k − 1 , 1 ⊕ ⋯ ⊕ Ω 1 , k − 1 ⊕ Ω 0 , k = ⨁ p + q = k Ω p , q {\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}} となる。直積分解は正則座標変換の下に安定であるから、直積分解はベクトルバンドルの分解をも決定する。 特に、各々の k = p + q である p と q に対し、ベクトルバンドルの標準的な射影 π p , q : E k → Ω p , q {\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}} が存在する。 通常の外微分は、切断の写像 d:Ek→Ek+1 を定義する。この写像を Ωp,q の切断に限定すると、実際 d:Ωp,q→Ωp+1,q + Ωp,q+1 である[要説明] 外微分は多様体のより厳密な複素構造を反映はしない。 d と前のサブセクションで定義されたことを使うと、ドルボー作用素(Dolbeault operators) ∂ = π p + 1 , q ∘ d : Ω p , q → Ω p + 1 , q , ∂ ¯ = π p , q + 1 ∘ d : Ω p , q → Ω p , q + 1 {\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}} と定義することができる。これらの作用素を局所座標で表わすため、 α = ∑ | I | = p , | J | = q   f I J d z I ∧ d z ¯ J ∈ Ω p , q {\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}} とおく。ここに I と J は複数のインデックスを持っている。すると、 ∂ α = ∑ | I | , | J | ∑ ℓ ∂ f I J ∂ z ℓ d z ℓ ∧ d z I ∧ d z ¯ J {\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}} ∂ ¯ α = ∑ | I | , | J | ∑ ℓ ∂ f I J ∂ z ¯ ℓ d z ¯ ℓ ∧ d z I ∧ d z ¯ J {\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}} が成り立つ。 次の性質も成り立つことが分かる。 d = ∂ + ∂ ¯ {\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}} ∂ 2 = ∂ ¯ 2 = ∂ ∂ ¯ + ∂ ¯ ∂ = 0. {\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.} これらの作用と性質は、ドルボーコホモロジーの基礎とホッジ理論の様々な面を与える。 各々の p に対し、正則 p-形式はバンドル Ωp,0 の正則切断である。局所座標では、正則 p-形式は、 α = ∑ | I | = p f I d z I {\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}} と書くことができる。ここに fI は正則函数である。同じことであるが、(p,0)-形式 α が正則であることと、 ∂ ¯ α = 0. {\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.} は同値である。正則 p-形式の層は、よく Ωp と表わされるが、混乱を時々招くので、代わりの記法を使うようになってきている。 ドルボー複体 フローリッヒのスペクトル系列（英語版）(Frölicher spectral sequence) 第一種微分（英語版）(Differential of the first kind) Wells, R.O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0