エルミート多様体

数学における エルミート多様体（英語: Hermitian manifold）とはリーマン多様体の複素微分幾何における類似である。より正確には、エルミート多様体とは、各点の正則接空間にエルミート内積を持ち、それらが滑らかに変化する複素多様体のことを指す。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。 複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（U(n)-構造（英語版）(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。 任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造にのみ依存する基本2形式(fundamental 2-form)と呼ばれる微分形式を定めることができる。基本2形式は常に非退化である。これが閉形式である（すなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本2形式の両方が可積分であれば、 ケーラー構造を持つ。 滑らかな多様体(smooth manifold) M {\displaystyle M} 上の複素ベクトル束 E {\displaystyle E} におけるエルミート計量(Hermitian metric)とは、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断 h ∈ Γ ( E ⊗ E ¯ ) ∗ {\displaystyle h\in \Gamma (E\otimes {\bar {E}})^{*}} であって、 E p {\displaystyle E_{p}} の任意の元 ζ , η {\displaystyle \zeta ,\eta } に対し h p ( η , ζ ¯ ) = h p ( ζ , η ¯ ) ¯ {\displaystyle h_{p}(\eta ,{\bar {\zeta }})={\overline {h_{p}(\zeta ,{\bar {\eta }})}}} であり、 E p {\displaystyle E_{p}} の任意の 0 でない元 ζ {\displaystyle \zeta } に対し h p ( ζ , ζ ¯ ) > 0 {\displaystyle h_{p}(\zeta ,{\bar {\zeta }})>0} を満たすような切断として表すことができる。 エルミート多様体(Hermitian manifold)は、その正則接空間（英語版）(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。 エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 ( z α ) {\displaystyle (z^{\alpha })} を用いて h = h α β ¯ d z α ⊗ d z ¯ β {\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }} と表わされる。ここに h α β ¯ {\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}} は正定値エルミート行列の成分である。 （概）複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート計量 h {\displaystyle h} は、基礎多様体上にリーマン計量 g {\displaystyle g} を定義する。計量 g {\displaystyle g} は h {\displaystyle h} の実部 g = 1 2 ( h + h ¯ ) {\displaystyle g={1 \over 2}(h+{\bar {h}})} で定義される。 形式 g {\displaystyle g} は複素化された（英語版）(complexified)接バンドル T M C {\displaystyle TM^{\mathbf {C} }} 上の対称双線型形式である。 g {\displaystyle g} は自身の共役と等しいので、 T M {\displaystyle TM} 上の実形式の複素化となる。 T M {\displaystyle TM} 上での g {\displaystyle g} の対称性と正定値性は、対応する h {\displaystyle h} の性質から従う。局所正則座標では、計量 g {\displaystyle g} は g = 1 2 h α β ¯ ( d z α ⊗ d z ¯ β + d z ¯ β ⊗ d z α ) {\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha })} と表わすことができる。 h {\displaystyle h} には次数 (1,1) の複素微分形式 ω {\displaystyle \omega } を付随させることもできる。形式 ω {\displaystyle \omega } は h {\displaystyle h} の虚部のマイナス1倍 ω = i 2 ( h − h ¯ ) {\displaystyle \omega ={i \over 2}(h-{\bar {h}})} として定義される。再び、 ω {\displaystyle \omega } はその共役と等しいので、これは T M {\displaystyle TM} 上の実形式の複素化である。形式 ω {\displaystyle \omega } は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、 ω {\displaystyle \omega } は ω = i 2 h α β ¯ d z α ∧ d z ¯ β {\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }} と表わされる。 座標表現から明らかなように、3つの形式 h {\displaystyle h} 、 g {\displaystyle g} 、 ω {\displaystyle \omega } のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 g {\displaystyle g} と付随する形式 ω {\displaystyle \omega } とは概複素構造 J {\displaystyle J} により次のように関係している: すべての複素接ベクトル u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} に対し、 ω ( u , v ) = g ( J u , v ) , g ( u , v ) = ω ( u , J v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v),\\g(u,v)&=\omega (u,Jv).\end{aligned}}} エルミート計量 h {\displaystyle h} は g {\displaystyle g} と ω {\displaystyle \omega } から等式 h = g − i ω {\displaystyle h=g-i\omega } によって復元できる。3つの形式 h {\displaystyle h} 、 g {\displaystyle g} 、 ω {\displaystyle \omega } は概複素構造 J {\displaystyle J} を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} に対し、 h ( J u , J v ) = h ( u , v ) g ( J u , J v ) = g ( u , v ) ω ( J u , J v ) = ω ( u , v ) {\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}} である。 従って、（概）複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート構造は、 上記のエルミート計量 h {\displaystyle h} 概複素構造 J {\displaystyle J} を保つリーマン計量 g {\displaystyle g} J {\displaystyle J} を保つ非退化 2-形式 ω {\displaystyle \omega } ですべての 0 でない実接ベクトル u {\displaystyle u} に対し ω ( u , J u ) > 0 {\displaystyle \omega (u,Ju)>0} の意味で正定値 のいずれかで特定することができる。 多くの著者が g {\displaystyle g} 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。 すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 M {\displaystyle M} 上の任意のリーマン計量 g {\displaystyle g} が与えられると、明らかに概複素構造 J {\displaystyle J} と整合するような新しい計量 g ′ {\displaystyle g'} を、次のように構成することができる: g ′ ( u , v ) = 1 2 ( g ( u , v ) + g ( J u , J v ) ) . {\displaystyle g'(u,v)={\frac {1}{2}}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).} 概複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート計量を選ぶことは、 M {\displaystyle M} 上のU(n)-構造（英語版）(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、 G L ( n , C ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )} からユニタリ群 U ( n ) {\displaystyle U(n)} への M {\displaystyle M} の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M のユニタリ枠束（英語版）(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。 すべてのエルミート多様体 M {\displaystyle M} は、 g {\displaystyle g} により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 ω {\displaystyle \omega } によって v o l M = ω n n ! ∈ Ω n , n ( M ) {\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)} として与えられる。ここに ω n {\displaystyle \omega ^{n}} は ω {\displaystyle \omega } と自身との n {\displaystyle n} 重のウェッジ積である。従って、体積形式は M {\displaystyle M} 上の実 ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} -形式である。局所正則座標では、体積形式は v o l M = ( i 2 ) n det ( h α β ¯ ) d z 1 ∧ d z ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ¯ n {\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det(h_{\alpha {\bar {\beta }}})\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}} により与えられる。 エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。 エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式 ω {\displaystyle \omega } が閉形式 d ω = 0 {\displaystyle d\omega =0} となるエルミート多様体である。この場合、形式 ω {\displaystyle \omega } をケーラー形式と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。 随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に概ケーラー多様体と呼ぶ。任意のシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。 ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。 ( M , g , ω , J ) {\displaystyle (M,g,\omega ,J)} を実 2 n {\displaystyle 2n} 次元の概エルミート多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } を g {\displaystyle g} のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は M {\displaystyle M} がケーラーとなる同値な条件である。 ω {\displaystyle \omega } が閉で、 J {\displaystyle J} が可積分である ∇ J = 0 {\displaystyle \nabla J=0} ∇ ω = 0 {\displaystyle \nabla \omega =0} ∇ {\displaystyle \nabla } のホロノミー群（英語版）(holonomy group)が J {\displaystyle J} に関するユニタリ群 U ( n ) {\displaystyle U(n)} に含まれる これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。 特に、 M {\displaystyle M} がエルミート多様体であれば、条件 d ω = 0 {\displaystyle d\omega =0} が一見、非常に強く見える条件 ∇ ω = ∇ J = 0 {\displaystyle \nabla \omega =\nabla J=0} と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。 Griffiths, Phillip; Joseph Harris (1994) [1978]. Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8  Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996) [1963]. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley Classics Library. New York: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15732-5  Kodaira, Kunihiko (1986). Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures. Classics in Mathematics. New York: Springer. ISBN 3-540-22614-1