コバノフホモロジー

数学において、コバノフホモロジー(英: Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化（英語版）として考えられる。 コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。 結び目もしくは絡み目 L を表現する図形 D に、コバノフ括弧 [D]、これは次数付きベクトル空間の鎖複体、を割り当てる。すると、ジョーンズ多項式の構成の中でのカウフマン括弧の類似物となる。次に、[D] を（次数付きベクトル空間の中の）一連の次数シフトと（鎖複体の中の）高さシフトにより正規化して、新しい複体 C(D) を得る。この複体のホモロジーは L の不変量であることが分かり、その次数付きオイラー標数は L のジョーンズ多項式であることが分かる。 (以下の定義はドロール・バー-ナタン（英語版）(Dror Bar-Natan)の論文に沿う。) 次数付きベクトル空間の上の次数シフト 作用素を {l} で表す；すなわち、m 次元内の同次成分は、 m + l へシフトする。 同様にして、鎖複体の上の 高さシフト 作用素を[s] と表す。つまり、r 番目のベクトル空間 もしくは 加群は、(r + s) 番目の場所へ移動し、そのときにすべての微分写像もともにシフトすることになる。 V を次数 1 の生成子 q と次数 −1 の生成子 q−1 とを持つ次数付きベクトル空間とする。 ここで絡み目 L を表現する任意の図形 D をとる。コバノフホモロジー の公理は次のようになる： [ø] = 0 → Z → 0, ここの ø は空の絡み目を表す。 [O D] = V ⊗ [D], ここの O は結ばれていない自明な成分を表す。 [D] = F(0 → [D0] → [D1]{1} → 0) これらの内の三番目で、F は「平坦化する」作用素を表していて、単体複体は二重複体から、対角に沿って直和をとることで得られる。また、D0 で D の中のある選ばれた交点の「0-smoothing」を表すとして、D1 で「1-smoothing」、同じようにすると、カウフマン括弧のスケイン関係式と似た式が得られる。 次に、「正規化された」複体 C(D) = [D][−n−]{n+ − 2n−} を構成する。ここで n− は D の選択された図形の中の左手の交叉の数を表し、n+ は右手の交叉の数を表す。 L の コバノフホモロジー は、この複体 C(D) のホモロジー H(L) である。コバノフホモロジーは実際に L の不変量となっていて、図形の選択には依存しないことが分かる。H(L) 次数付きオイラー標数は、L のジョーンズ多項式であることも分かる。H(L) は、ジョーンズ多項式以上の L の情報を持っていることが示されているが、完全な詳細は未だ完全には理解されていない。 2006年にドロール・バー-ナタン（英語版）(Dror Bar-Natan)は、任意の結び目のコバノフホモロジー(もしくはカテゴリ)を計算するに十分なコンピュータプログラムを開発した。 コバノフホモロジーでもっとも興味を持たれている側面の一つに、完全系列が形式的に3次元多様体（英語版）のフレアーホモロジーの完全系列に似ていることである。さらに、ゲージ理論やその類似を使い示すことでのみ、結果を再現することがある。ヤコフ・ラスムッセン（英語版）(Jacob Rasmussen)のクロンハイマーとムロフカの定理の別の新しい証明があり、これはミルナー予想の証明である（以下を参照のこと）。予想であるが、コバノフホモロジーをピーター・オズバス（英語版）(Peter Ozsváth)とゾルタン・ザボー(Zoltán Szabó)のフレアーホモロジーに関係づけるスペクトル系列がある（ダンフィールド他の2005年も参照）。別のスペクトル系列 (オズバス-ザボー 2005) は、コバノフホモロジーの変形を結び目に沿った分岐した二重被覆のヒーガードフレアーホモロジーと関係づける。三番目 (ブルーム 2009) は、分岐した二重被覆のモノポールフレアーホモロジーの変形に（コバノフホモロジーが）収束するという結果もある。 コバノフホモロジーはリー代数 sl2 の表現論に関係する。ミハイル・コバノフとレフ・ロザンスキーはすべての n に対して sln に付随するコホモロジー論を定義した。2003年にカサリーナ・ストロッペル（英語版）(Catharina Stroppel)は、コバノフホモロジーをすべての n について sln へ一般化されたタングル（レシェーティキン-トゥラエフ不変量のカテゴリ化されたバージョン）の不変量に関係付けた。 ポール・ザイデル(Paul Seidel)とイワン・スミス(Ivan Smith)は、ラグランジアン交叉フレアーホモロジーを使い、単一の次数付き結び目ホモロジー論を構成しました。そこでは、単一次数付きのコバノフホモロジーは同型であろうと予想されている。シプリアン・マノレスク（英語版）(Ciprian Manolescu)は、この構成を単純化し、どうするとザイデル-スミス不変量（英語版）(Seidel-Smith invariant)の彼のバージョンを元にして鎖複体からのジョーンズ多項式を再現できるかを示した。 2006年の国際数学者会議でミハイル・コバノフは、コバノフホモロジーの観点より、結び目多項式の関係の説明を提案した。 3つの絡み目 L 1 , L 2 {\displaystyle L_{1},L_{2}} , L 3 {\displaystyle L_{3}} のスケイン関係式は、次のようになる。 λ P ( L 1 ) − λ − 1 P ( L 2 ) = ( q − q − 1 ) P ( L 3 ) . {\displaystyle \lambda P(L_{1})-\lambda ^{-1}P(L_{2})=(q-q^{-1})P(L_{3}).} この式に λ = q n ,   n ≤ 0 {\displaystyle \lambda =q^{n},\ n\leq 0} と代入すると絡み目多項式不変量 P n ( L ) ∈ Z [ q , q − 1 ] {\displaystyle P_{n}(L)\in \mathbb {Z} [q,q^{-1}]} が導かれる。この式で、 n > 0 {\displaystyle n>0} に対し、次のように正規化する。 P n ( u n k n o t ) = q n − 1 + q n − 3 + ⋯ + q 1 − n {\displaystyle P_{n}(unknot)=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots +q^{1-n}} また、 P 0 ( u n k n o t ) = 1 {\displaystyle P_{0}(unknot)=1} とする。 n > 0 {\displaystyle n>0} について、多項式 P n ( L ) {\displaystyle P_{n}(L)} は、量子群 s l ( n ) {\displaystyle sl(n)} の表現論を通して解釈することができ、また P 0 ( L ) {\displaystyle P_{0}(L)} は、量子リー超代数（英語版） U q ( g l ( 1 | 1 ) ) {\displaystyle U_{q}(gl(1|1))} を通して解釈することができる。 アレクサンダー多項式 P 0 ( L ) {\displaystyle P_{0}(L)} は二重結び目ホモロジー論のオイラー標数である。 P 1 ( L ) = 1 {\displaystyle P_{1}(L)=1} は自明である。 ジョーンズ多項式 P 2 ( L ) {\displaystyle P_{2}(L)} は二重絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。 ホムフリー多項式(HOMFLY多項式、もしくはHOMFLYPT多項式)は、三重次数付き絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。 コバノフホモロジーの第一の応用は、ヤコフ・ラスムッセンにより与えられた。彼はコバノフホモロジーを使い、s-不変量（英語版）を定義し、この結び目の整数に値を持つ不変量は、スライス種数（英語版）を有限とし、ミルナー予想を証明することができた。 2010年には、クロンハイマー（英語版）(Peter B. Kronheimer)とムロフカ（英語版）(Tomasz Mrowka)は、コバノフホモロジーが、自明な結び目か否かを識別することを証明した。カテゴリ化された理論は、カテゴリ化されていない理論よりも多くの情報を持ってる。従って、コバノフホモロジーが自明な結び目か否かを識別するからといって、ジョーンズ多項式が自明な結び目か否かを識別するとは限らない。 Mikhail Khovanov, A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal 101 (2000) 359–426. arXiv:math.QA/9908171. Catharina Stroppel, Categorification of the Temperley-Lieb category, tangles, and cobordisms via projective functors, Duke Mathematical Journal 126 (2005) 547–596. Dror Bar-Natan, On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic and Geometric Topology 2 (2002) 337–370. arXiv:math.QA/0201043. Jonathan M. Bloom (2009). "A link surgery spectral sequence in monopole Floer homology". arXiv:0909.0816。 Nathan M. Dunfield, Sergei Gukov, Jacob Rasmussen (2005). "The Superpolynomial for Knot Homologies". arXiv:math.GT/0505662。 Ozsváth, Peter and Szabó, Zoltán. On the Heegaard Floer homology of branched double-covers. Adv. Math. 194 (2005), no. 1, 1—33. Also available as a preprint. This paper discusses the spectral sequence relating Khovanov and Heegaard Floer homologies for knots. Mikhail Khovanov (2006). "Link Homology and Categorification". arXiv:math.GT/0605339。 ^ New Scientist 18 Oct 2008 Khovanov homology is an unknot-detector by (Kronheimer)（英語版） and (Mrowka)（英語版） Hand-written slides of M. Khovanov's talk Khovanov homology on arxiv.org Khovanov Homology, The Knot Atlas.