偏微分方程式の数値解法

偏微分方程式の数値解法 (へんびぶんほうていしきのすうちかいほう、英: Numerical methods for PDEs) は、数値解析において偏微分方程式を数値的に解く技術の総称である。 これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの偏微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、ソリトン方程式に対する広田の方法やen:inverse scattering transform などを除いて、偏微分方程式を手計算だけで厳密に解く技術はほとんどないに等しい。そのため多くの研究者たちが偏微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた。 偏微分方程式を数値的に解く技術の中で最も初歩的なものは差分法である。これは微分を差分で近似して解くというものである。 f ′ ( x ) ≃ f ( x + h ) − f ( x ) h , h << 1. {\displaystyle f^{\prime }(x)\simeq {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\quad h<<1.} この方法で精度良く解けるということは少なからずあるが、万能な解法ではない。例えば KdV方程式 mKdV方程式 ナビエ・ストークス方程式 非線形シュレディンガー方程式 などは非線形性によって差分法では精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 (幻影解) にたどり着く危険がある。そのため、有限要素法・有限体積法などのように差分法以外の方法が追求されると同時に、よりよい差分化を模索する動きが始まった。 ここで言う「よりよい差分化」とは、元の方程式が持つ何らかの性質を保存した差分化のことである。着目する性質によって流派が異なる。 広田良吾やAblowitzたちは可積分性 (英: Integrability, 可積分系で最も重要視される性質) を保存する差分化スキームを開発した。これは今日では可積分差分スキームとして知られており、差分法などの標準的手法と比べて精度がよくなることもわかっている。差分間隔を自動で調整する可積分差分スキームも開発されている。 一方で、多くの偏微分方程式は物理現象に由来しているので、保存則・散逸則など何らかの物理的性質を保存した差分化も考えられる。このような差分解法は構造保存型数値解法 (英: Structure Preserving Numerical Methods) と総称される。代表的なものとして、 シンプレティック数値解法 離散勾配法 離散変分法 離散変分導関数法 などがある。数値線形代数との関連も研究されている。 可積分差分スキーム・構造保存型数値解法は高精度な解法だが、与えられた方程式の性質に依存するため、汎用性が低いという弱点がある。そのため現代でも、可積分差分スキーム・構造保存型数値解法の研究と並行して、高精度で汎用性のある差分法が研究されている。例えば、 Shortley-Weller 近似 Swarztrauber-Sweet 近似 Ascher-Mattheij-Russell 差分公式 等がある。 ここまで高精度に解く技術について説明したが、それと並行して「計算機で解の存在を検証する」という研究もおこなわれている。このような研究が必要となるのは、近似解が求まったとしてもそれが幻影解である危険性があるからである。実際、すでに幻影解は報告されている。解の存在検証に関する研究は活発に行われており、2012年度日本数学会秋季賞や2011年度日本応用数理学会論文賞を受賞している。 解の一意存在性検証など、偏微分方程式に関連する多くの問題は微分作用素の固有値評価と密接に関係している。そのため、偏微分方程式の近似解法・誤差評価の研究と並行して、固有値問題の近似解法・誤差評価について様々な研究がなされている。 ニュートン＝カントロビッチの定理 半群・解析半群 VCP C++で作成されたライブラリで, BLAS・LAPACKによる高速化が可能である en:Chebfun FreeFem++ en:FEniCS Project FEniCS - GitHub FEniCS Project (@fenicsproject) - X（旧Twitter） femhub - GitHub FEMhub (@femhubsocial) - X（旧Twitter） FEMhub (@femhubsocial) - Instagram ポアソン方程式 アレン・カーン方程式 ナビエ・ストークス方程式 en:Kuramoto–Sivashinsky equation en:Orr–Sommerfeld equation バーガース方程式 熱方程式 移流方程式 (en) 森正武 (構造保存型数値解法の研究に従事) 大石進一 (解の存在検証技術に貢献) 村島定行 (代用電荷法を確立) イズライル・ゲルファント (差分解法を開発) ピーター・ラックス (ラックス・フリードリヒ法、ラックス・ウェンドロフ法で知られる) ジョン・フォン・ノイマン (ノイマン・ディリクレ法、ノイマン・ノイマン法で知られる) ペーター・ドイフルハード (論文・著書を多数執筆) ^ a b c d e f g 山本哲朗『数値解析入門』（増訂版）サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月。ISBN 4-7819-1038-6。  ^ a b c d 森正武. 数値解析 第2版. 共立出版. ^ 広田良吾. 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