円柱座標変換

円柱座標変換（えんちゅうざひょうへんかん）とは、3次元ユークリッド空間 （数ベクトル空間)の、非線形な座標変換の一つである。円柱座標変換の逆写像のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、極座標系の一種である。 円柱座標変換は、電子レンズなど、軸対称な系の計算によく用いられる。 円柱座標変換Φとは、 ( x y z ) = Φ ( r , θ , ζ ) = ( r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ ζ ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)=\Phi (r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}r\cos \theta \\r\sin \theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)} 　　(1-1-1) で表される、r -θ-ζ空間からx -y -z 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式（1-1-1）で定義されたΦに相似変換、場合によっては正則なアフィン変換を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には（1-1-1）で定義されたΦを標準的な円柱座標変換ということにする。 数学的には、r -θ-ζ空間、x -y -z 空間は、共に3次元実数ベクトル空間（ R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ）である。r -θ-ζ空間においては、第一軸方向をr 方向（r 軸）、第二軸方向をθ方向（θ軸）、第三軸方向をζ方向（ζ軸）とする。x -y -z 空間においても同様に、第一軸方向をx 方向（x 軸）、第二軸方向をy 方向（y 軸）、第三軸をz 方向（z軸）とする。この三軸によって定まる座標系を、「x -y -z 空間の標準座標系」（O-xyz 系）という。 式(1-1-1)の円柱座標変換Φ はr -θ-ζ空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、 Φ ( − 3 , 2 π , 7 ) = ( − 3 0 7 ) {\displaystyle \Phi (-3,2\pi ,7)=\left({\begin{matrix}-3\\0\\7\end{matrix}}\right)} 　　(1-3-1) のように、どのような (r, θ, ζ) に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる。 しかし、本記事では特段の断りがない限り、Φ の定義域は式(1-3-2) に定める領域 V に制限されているものとする。V は、r -θ-ζ の部分集合であり、閉集合である（開集合ではない）。 V = { ( r θ ζ ) |   0 ≤ r 0 ≤ θ ≤ 2 π − ∞ < ζ < ∞ } {\displaystyle V=\left\{\left.{\begin{pmatrix}r\\\theta \\\zeta \end{pmatrix}}\left|\ {\begin{array}{l}0\leq r\\0\leq \theta \leq 2\pi \\-\infty <\zeta <\infty \end{array}}\right.\right\}\right.} 　　(1-3-2) つまり、Φ に代入されるものは、 { 0 ≤ r 0 ≤ θ ≤ 2 π − ∞ < ζ < ∞ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}0\leq r\\0\leq \theta \leq 2\pi \\-\infty <\zeta <\infty \end{array}}\right.} 　　(1-3-3) のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。 Φ の定義域を式(1-3-2) の V に制限してもよい理由は、全射性が保たれていることによる。 x -y -z 空間に、標準座標系（O-xyz 系；「r -θ-ζ空間、x -y -z 空間の正体」の項参照）が定められているとする。このとき、円柱座標系P とは、 ( r θ ζ ) = P ( x , y , z ) = {\displaystyle \left({\begin{matrix}r\\\theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)=P(x,y,z)=} ( x 2 + y 2 θ ( x , y , z ) z ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{\sqrt {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\\\theta (x,y,z)\\z\\\end{matrix}}\right)} 　　(1-4-1) で表される、x -y -z からr -θ-ζ空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、θ(x , y , z) は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。θ(x , y , z) の定義域はx -y -z 空間の原点以外である。その他の成分は、x -y -z 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系P の定義域は、x -y -z 空間の原点以外である。 θ ( x , y , z ) = { tan − 1 ( y / x ) ( x > 0 , y > 0 ) π 2 ( x = 0 , y > 0 ) π + tan − 1 ( y / x ) ( x < 0 ) 3 π 2 ( x = 0 , y < 0 ) 2 π + tan − 1 ( y / x ) ( x = 0 , y < 0 ) {\displaystyle \theta (x,y,z)=\left\{{\begin{matrix}{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x>0,y>0)\\{\frac {\pi }{2}}&(x=0,y>0)\\\pi +{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x<0)\\{\frac {3\pi }{2}}&(x=0,y<0)\\2\pi +{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x=0,y<0)\\\end{matrix}}\right.} 　　(1-4-2) 円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。 任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。 線分OQの長さをrとする。 線分QPの長さをζとする。 x軸と線分OQのなす角度をθとする。 また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。 円柱座標変換の偏導関数は、 ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-1-1) ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) = ( − r sin ⁡ ( θ ) r cos ⁡ ( θ ) 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}-r\sin(\theta )\\r\cos(\theta )\\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-1-2) ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-1-3) である。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。 従って、円柱座標変換の点 (r , θ, ζ) におけるヤコビ行列J Φ(r , θ, ζ) およびヤコビアン det(J Φ(r , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域はr -θ-ζ空間全域である。 J Φ ( r , θ , ζ ) = ( cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-1-4) det ( J Φ ( r , θ , ζ ) ) = | cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1 | = r {\displaystyle \det({{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta ))=\left|{\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|=r} 　　(2-1-5) 従って、円座標のときと同じく、特異点（ヤコビアンが 0 となる点）は、r = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全てx -y -z 空間上ではz 軸に移る。 標準的な円柱座標変換Φに対し、Nr , Nθ , Nζ を以下のように定義し、それぞれr 法線、θ法線、ζ法線と呼ぶ。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。 N r ( r , θ , ζ ) = ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) ‖ = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{r}}(r,\theta ,\zeta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\right\|}}=\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-2-1) N θ ( r , θ , ζ ) = ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) ‖ = ( − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{\theta }}(r,\theta ,\zeta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\right\|}}=\left({\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-2-2) N z ( r , θ , ζ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) ‖ = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{z}}(r,\theta ,\zeta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\right\|}}=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-2-3) ここで、“×”はベクトル積を意味する。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。 この節では、後述の説明のために記号を定義する。 M を、 x − y − z {\displaystyle x-y-z} 空間で半径r0 、高さz0のふたと底のある、中身のつまった円柱（以降「ソリッド円柱」と呼ぶ）とする。式で書くと M = { ( x y z )   | x 2 + y 2 ≤ r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle M=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\0\leq z\leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-1-1) である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、このM に相似変換を加えれば集合として実現できるので、以下は、M のみについて考える。 次に、このM を、円柱座標変換Φとr -θ-ζ空間内の直方体（六面体）L を用いてパラメータ付け（パラメトライズ）することを考える。r -θ-ζ空間内の直方体L を L = { ( r θ ζ )   | 0 ≤ r ≤ r 0 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ζ ≤ z 0 } {\displaystyle L=\left\{\left.\left({\begin{matrix}r\\\theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}0\leq r\leq {{r}_{0}}\\0\leq \theta \leq 2\pi \\0\leq \zeta \leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-1-2) と定義する。L の3辺の長さはそれぞれ、r0 , θ0 , 2πである。M は、L のΦによる像集合である。すなわち M = Φ ( L ) {\displaystyle M=\Phi (L)} 　　(3-1-3) である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。 式(3-1-1)のソリッド円柱M の表面を ∂ M {\displaystyle \partial M} と書き、円柱表面、円筒面、M の表面、あるいはM の境界面と呼ぶ。表面∂M は、以下のΔ1 , Δ2 , Δ3 に分割することができる。 Δ 1 = { ( x y z )   | x 2 + y 2 ≤ r 0 z = 0 } {\displaystyle {{\Delta }_{1}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\z=0\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-2-1) Δ 2 = { ( x y z )   | x 2 + y 2 = r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle {{\Delta }_{2}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}_{0}}\\0\leq z\leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-2-2) Δ 3 = { ( x y z )   | x 2 + y 2 ≤ r 0 z = z 0 } {\displaystyle {{\Delta }_{3}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\z={{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-2-3) Δ1 , Δ2 , Δ3 をそれぞれ、下面、側面、上面という。 逆に言うと、Δ1 , Δ2 , Δ3 を貼り合わせたものが∂M である。集合演算を用いると、 ∂ M = Δ 1 ∪ Δ 2 ∪ Δ 3 {\displaystyle \partial M={\Delta }_{1}\cup {\Delta }_{2}\cup {\Delta }_{3}} 　　(3-2-4) のようになる。 次に、Δ1 , Δ2 , Δ3 を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。D1 , D2 , D3 を以下のように定める。 D 1 = { ( r θ )   | 0 ≤ r ≤ r 0 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle {{D}_{1}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}r\\\theta \\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}0\leq r\leq {{r}_{0}}\\0\leq \theta \leq 2\pi \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-2-5) D 2 = { ( θ ζ )   | 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ζ ≤ z 0 } {\displaystyle {{D}_{2}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}\theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}0\leq \theta \leq 2\pi \\0\leq \zeta \leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-2-6) D 3 = { ( r θ )   | 0 ≤ r ≤ r 0 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle {{D}_{3}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}r\\\theta \\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}0\leq r\leq {{r}_{0}}\\0\leq \theta \leq 2\pi \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(3-2-7) D1 , D2 , D3 は、それぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面の部分集合となっている。また、D1 とD3 は集合として全く等しいものである。 また、x -y -z 空間に値を取るベクトル値関数I1 , I2 , I3 を以下のように定義する。I1 , I2 , I3 の定義域は、本来的にはそれぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域をD1 , D2 , D3 に制限して考えることにする。これらI1 , I2 , I3 を、それぞれΔ1 , Δ2 , Δ3 のパラメータと呼ぶ。 ( x y z ) = I 1 ( r , θ ) = Φ ( r , θ , 0 ) = ( r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ 0 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)={{\mathbf {I} }_{1}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,0)=\left({\begin{matrix}r\cos \theta \\r\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(3-2-8) ( x y z ) = I 2 ( θ , ζ ) = Φ ( r 0 , θ , ζ ) = ( r 0 cos ⁡ θ r 0 sin ⁡ θ ζ ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)={{\mathbf {I} }_{2}}(\theta ,\zeta )=\Phi ({{r}_{0}},\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}{{r}_{0}}\cos \theta \\{{r}_{0}}\sin \theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)} 　　(3-2-9) ( x y z ) = I 3 ( r , θ ) = Φ ( r , θ , z 0 ) = ( r cos ⁡ ( − θ ) r sin ⁡ ( − θ ) z 0 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)={{\mathbf {I} }_{3}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,{{z}_{0}})=\left({\begin{matrix}r\cos(-\theta )\\r\sin(-\theta )\\{{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right)} 　　(3-2-10) Δ1 , Δ2 , Δ3 は、それぞれD1 , D2 , D3 のI1 , I2 , I3 による像集合となっている： { Δ 1 = I 1 ( D 1 ) Δ 2 = I 2 ( D 2 ) Δ 3 = I 3 ( D 3 ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{\Delta }_{1}}={{\mathbf {I} }_{1}}({{D}_{1}})\\{{\Delta }_{2}}={{\mathbf {I} }_{2}}({{D}_{2}})\\{{\Delta }_{3}}={{\mathbf {I} }_{3}}({{D}_{3}})\\\end{array}}\right.} 　　(3-2-11) ここで、“＝”は集合としての等号である。例えば、Δ1 = I1(D1) とは、Δ1 とI1 (D1) が集合として等しいことを意味している。 Δ1 , Δ2 , Δ3 それぞれの法線ベクトルを、NΔ1 , NΔ2 , NΔ3と書く： N Δ 1 ( r , θ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , 0 ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , 0 ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , 0 ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , 0 ) ) ‖ = N ζ ( r , θ , ζ 0 ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{1}}}(r,\theta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,0)\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,0)\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,0)\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,0)\right)\right\|}}={{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} 　　(3-2-12) N Δ 2 ( θ , ζ ) = ( ∂ Φ ∂ ζ ( r 0 , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ ζ ( r 0 , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) ‖ = N r ( r , θ , ζ ) = ( − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{2}}}(\theta ,\zeta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}({r}_{0},\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}({r}_{0},\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\right\|}}={{\mathbf {N} }_{r}}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(3-2-13) N Δ 3 ( r , θ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ 0 ) ) × ( − ( ∂ Φ ∂ θ ) ( r , θ , ζ 0 ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ 0 ) ) × ( − ( ∂ Φ ∂ θ ) ( r , θ , ζ 0 ) ) ‖ = − N ζ ( r , θ , ζ 0 ) = ( 0 0 − 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{3}}}(r,\theta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\times \left(-\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta _{0})\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\times \left(-\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\right\|}}=-{{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta _{0})=\left({\begin{matrix}0\\0\\-1\\\end{matrix}}\right)} 　　(3-2-14) NΔ1 , NΔ2 , NΔ3 の定義域は、それぞれD1 , D2 , D3 である。ここで、Nθに平行なものがないことに注意されたい。 x -y -z 空間で定義されたベクトル場X をx -y -z 座標系について表示すると X ( x , y , z ) = ( X x ( x , y , z ) X y ( x , y , z ) X z ( x , y , z ) ) {\displaystyle \mathbf {X} (x,y,z)=\left({\begin{array}{c}{X}_{x}(x,y,z)\\{X}_{y}(x,y,z)\\{X}_{z}(x,y,z)\\\end{array}}\right)} 　　(4-1-1) となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数Xr (r , θ, ζ) , Xθ (r , θ, ζ) , Xζ (r , θ, ζ) を、 { X r = X ⋅ N r X θ = X ⋅ N θ X ζ = X ⋅ N z {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{{X}_{r}}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{r}}\\{{X}_{\theta }}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{\theta }}\\{{X}_{\zeta }}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{z}}\\\end{matrix}}\right.} 　(4-1-2) と定義する。正確に書くと { X r ( r , θ , ζ ) = X ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ⋅ N r ( r , θ , ζ ) X θ ( r , θ , ζ ) = X ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ⋅ N θ ( r , θ , ζ ) X ζ ( r , θ , ζ ) = X ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ⋅ N ζ ( r , θ , ζ ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X_{r}(r,\theta ,\zeta )=\mathbf {X} \left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\cdot {\mathbf {N} _{r}}(r,\theta ,\zeta )\\X_{\theta }(r,\theta ,\zeta )=\mathbf {X} \left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\cdot {\mathbf {N} _{\theta }}(r,\theta ,\zeta )\\X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )=\mathbf {X} \left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\cdot {\mathbf {N} _{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )\end{matrix}}\right.} 　(4-1-3) である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域はr -θ-ζ空間全域（r = 0 となる点を含む）である。 ここで以下が成立する。” ∘ {\displaystyle \circ } ”は、合成関数の意味である。 { X r = ( X x ∘ Φ ) cos ⁡ θ + ( X y ∘ Φ ) sin ⁡ θ X θ = − ( X x ∘ Φ ) sin ⁡ θ + ( X y ∘ Φ ) cos ⁡ θ X ζ = X z ∘ Φ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{X}_{r}}=({X}_{x}\circ \Phi )\cos \theta +({X}_{y}\circ \Phi )\sin \theta \\{{X}_{\theta }}=-({X}_{x}\circ \Phi )\sin \theta +({X}_{y}\circ \Phi )\cos \theta \\{{X}_{\zeta }}={{X}_{z}\circ \Phi }\\\end{array}}\right.} 　　　(4-1-4) またはこれを逆に解くと { X x ∘ Φ = X r cos ⁡ θ − X θ sin ⁡ θ X y ∘ Φ = X r sin ⁡ θ + X θ cos ⁡ θ X z ∘ Φ = X ζ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{X}_{x}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\cos \theta -{{X}_{\theta }}\sin \theta \\{{X}_{y}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\sin \theta +{{X}_{\theta }}\cos \theta \\{{X}_{z}}\circ \Phi ={{X}_{\zeta }}\\\end{array}}\right.} 　　　(4-1-5) が分かる。 また、次の等式がr = 0 となる点を含むすべての (r , θ, ζ) に対して成立する。 X ( Φ ( r , θ , z ) ) = ( X r N r ) ( r , θ , z ) + ( X θ N θ ) ( r , θ , z ) + ( X z N z ) ( r , θ , z ) {\displaystyle \mathbf {X} (\Phi (r,\theta ,z))=({{X}_{r}}{{\mathbf {N} }_{r}})(r,\theta ,z)+({{X}_{\theta }}{{\mathbf {N} }_{\theta }})(r,\theta ,z)+({{X}_{z}}{{\mathbf {N} }_{z}})(r,\theta ,z)} 　　　(4-1-6) 式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「x -y -z 空間で定義されたベクトル場X の円柱座標表示」という。 ここではx -y -z 空間で定義されたスカラー値関数f の、式(3-1-1)の円柱M 内部での積分 ∫ M f   d x d y d z {\displaystyle {\int }_{M}f\ dxdydz} 　　(5-1-1) の計算方法を説明する。円柱M について M = { ( x y z )   | x 2 + y 2 ≤ r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle M=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\0\leq z\leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} = { ( x y z )   | − r 0 ≤ x ≤ r 0 − r 0 2 − x 2 ≤ y ≤ r 0 2 − x 2 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle =\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}-r_{0}\leq x\leq r_{0}\\-{\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}\leq y\leq {\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}\\0\leq z\leq z_{0}\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　(5-1-2) が成立することに注意すると、f の積分は以下のように累次積分に帰着されることが分かる。 ∫ M f   d x d y d z = ∫ z = − z 0 z = z 0 ∫ x = − r 0 x = r ∫ y = − r 0 2 − x 2 y =   r 0 2 − x 2   f ( x , y , z )   d x d y d z {\displaystyle \int _{M}{f\ dxdydz}=\int _{z=-{{z}_{0}}}^{z={{z}_{0}}}{\int _{x=-{{r}_{0}^{}}}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}}^{y=\ {\sqrt {{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}} 　　(5-1-3) また、式(3-1-2)の直方体L に対しM = Φ(L )（式(3-1-3)）であることと、ヤコビアン（式(2-1-5)）に注意して、積分の変数変換公式を用いると、 ∫ M f   d x d y d z = ∫ L ( f ∘ Φ ) ⋅ ( det J Φ )   d r d θ d ζ = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = − z 0 ζ = z 0   r ⋅ ( f ∘ Φ ) ( r , θ , ζ )   d r d θ d ζ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}^{}{f\ dxdydz}&=\int _{L}{(f\circ \Phi )\cdot (\det J\Phi )\ drd\theta d\zeta }\\&={\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\int _{\zeta =-{{z}_{0}}}^{\zeta ={{z}_{0}}}{\ r\cdot \left(f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}\end{aligned}}} 　　(5-1-4) が分かる。 以上、まとめると、 ∫ M f   d x d y d z = ∫ z = − z 0 z = z 0 ∫ x = − r 0 x = r ∫ y = − r 0 2 − x 2 y =   r 0 2 − x 2   f ( x , y , z )   d x d y d z = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = − z 0 ζ = z 0   r ⋅ ( f ∘ Φ ) ( r , θ , ζ )   d r d θ d ζ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}{f\ dxdydz}&=\int _{z=-z_{0}}^{z=z_{0}}{\int _{x=-r_{0}}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}}^{y=\ {\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =-z_{0}}^{\zeta =z_{0}}{\ r\cdot \left(f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}\end{aligned}}} 　(5-1-5) がわかる。 ここでは、ベクトル場の円柱表面∂M 上での面積分の計算方法を説明する。 x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、円柱面∂M 上の面積分を ∫ ∂ M X = ∫ Δ 1 X + ∫ Δ 2 X + ∫ Δ 3 X {\displaystyle \int _{\partial \mathbf {M} }{\mathbf {X} }=\int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }+\int _{{\Delta }_{2}}{\mathbf {X} }+\int _{{\Delta }_{3}}{\mathbf {X} }} 　　　(5-2-1) で定める。但し、右辺の各項は ∫ Δ 1 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ⋅ ( ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ) )   d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(\mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right)\right)}}\ d\theta dr} 　　　(5-2-2) ∫ Δ 2 X = ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ⋅ ( ∂ I 2 ∂ θ × ∂ I 2 ∂ ζ ) )   d θ d ζ {\displaystyle \int _{{\Delta }_{2}}{\mathbf {X} }=\int _{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(\mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \zeta }}\right)\right)}}\ d\theta d\zeta } 　　　(5-2-3) ∫ Δ 3 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ⋅ ( ∂ I 3 ∂ r × ∂ I 3 ∂ θ ) )   d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{3}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(\mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial \theta }}\right)\right)}}\ d\theta dr} 　　　(5-2-4) である。ここで、 X ⋅ ( ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ) = X ⋅ ( ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ) ‖ ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ‖ ‖ ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ‖ = ( X ⋅ N ζ ) ‖ ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ‖ = r ⋅ X ζ {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right)=\mathbf {X} \cdot {\frac {\left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right)}{\left\|{\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right\|}}\left\|{\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right\|=\left(\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{\zeta }}\right)\left\|{\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right\|=r\cdot {{X}_{\zeta }}} 　(5-2-5) 同様に、 X ⋅ ( ∂ I 2 ∂ θ × ∂ I 2 ∂ ζ ) = r 0 ⋅ X r {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \zeta }}\right)={{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}} 　　　(5-2-6) X ⋅ ( ∂ I 3 ∂ θ × ∂ I 3 ∂ ζ ) = − r ⋅ X ζ {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial \zeta }}\right)=-r\cdot {{X}_{\zeta }}} 　　　(5-2-7) なので、 ∫ Δ 1 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ⋅ X ζ ( r , θ , ζ 0 )   d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\cdot {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})}}\ d\theta dr} 　　　(5-2-8) ∫ Δ 2 X = ∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 ⋅ X r ( r 0 , θ , ζ )   d θ d ζ {\displaystyle \int _{{\Delta }_{2}}{\mathbf {X} }=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}\ d\theta d\zeta } 　　　(5-2-9) ∫ Δ 3 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π − r ⋅ X ζ ( r , θ , 0 )   d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{3}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{-r\cdot {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)}}\ d\theta dr} 　　　(5-2-10) である。従って、 ∫ ∂ M X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ζ ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) ) d θ d r     + ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 X r ( r 0 , θ , ζ )   d θ d ζ {\displaystyle \int _{\partial \mathbf {M} }{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }r{\left({{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)\right)d\theta dr}}\ \ +\int _{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta } 　　　(5-2-11) が分かる。 x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、 ∫ ∂ M X = ∫ M div ⁡ X   d x d y d z {\displaystyle \int _{\partial M}{\mathbf {X} }=\int _{M}{\operatorname {div} {\textbf {X}}\ dxdydz}} 　　　(5-3-1) が成立する。この事実を、円柱面におけるガウスの発散定理という。ここで、 div ⁡ X = ( ∂ X x ∂ x ) + ( ∂ X y ∂ y ) + ( ∂ X z ∂ z ) {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {X} =\left({\frac {\partial {{X}_{x}}}{\partial x}}\right)+\left({\frac {\partial {{X}_{y}}}{\partial y}}\right)+\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)} 　　　(5-3-2) はベクトル場X の発散である。以下、証明を行う。 (5-1-5)、(5-2-2)、(5-2-3)、(5-2-4)より、 ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 X r ( r 0 , θ , ζ )   d θ d ζ = ∫ M ( ( ∂ X x ∂ x ) + ( ∂ X y ∂ y )   ) d x d y d z {\displaystyle \int _{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta =\int _{M}{\left(\left({\frac {\partial {{X}_{x}}}{\partial x}}\right)+\left({\frac {\partial {{X}_{y}}}{\partial y}}\right)\ \right)dxdydz}} 　　　(5-3-3) ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) )     d θ d r = ∫ M ( ∂ X z ∂ z ) d x d y d z {\displaystyle \int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left({{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)\right)}}\ \ d\theta dr=\int _{M}{\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)dxdydz}} 　　　(5-3-4) を示せばよいことがわかる。 まず、式(5-3-3)を示す。 x -y 平面上の曲線c (t ) を、 c ( t ) = ( r 0 cos ⁡ t r 0 sin ⁡ t ) {\displaystyle c(t)=\left({\begin{matrix}{{r}_{0}}\cos t\\{{r}_{0}}\sin t\\\end{matrix}}\right)} 　　　(5-3-5) とする。また、変数z を固定して考えることで、x -y 平面上の二次元ベクトル場 A ( x , y ) = ( a ( x , y ) b ( x , y ) ) = ( − X y ( x , y , z ) X x ( x , y , z ) ) {\displaystyle \mathbf {A} \left(x,y\right)=\left({\begin{matrix}a\left(x,y\right)\\b\left(x,y\right)\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-{{X}_{y}}(x,y,z)\\{{X}_{x}}(x,y,z)\\\end{matrix}}\right)} 　　　(5-3-6) を考える。また、平面曲線と、二次元ベクトル場に対しては、(5-3-6)に対するグリーンの定理： ∫ c A = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ − r 0 2 − x 2 r 0 2 − x 2 ( ∂ b ∂ x − ∂ a ∂ y ) d x d y {\displaystyle \int _{c}^{}{A}=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left({\frac {\partial b}{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}\right)dxdy}}} 　　　(5-3-7) が成立することは、既知とする。 このとき ∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 X r ( r 0 , θ , ζ )   d θ = ∫ θ = 0 θ = 2 π ( ( X x ∘ Φ ) r 0 cos ⁡ θ + ( X y ∘ Φ ) r 0 sin ⁡ θ )   d θ = ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X x ( r 0 cos ⁡ θ , r 0 sin ⁡ θ , ζ ) r 0 cos ⁡ θ + X y ( r 0 cos ⁡ θ , r 0 sin ⁡ θ , ζ ) r 0 sin ⁡ θ )   d θ = ∫ t = 0 t = 2 π ( − X y ( r 0 cos ⁡ t , r 0 sin ⁡ t , ζ ) X x ( r 0 cos ⁡ t , r 0 sin ⁡ t , ζ ) )   ⋅ ( − r 0 sin ⁡ t r 0 cos ⁡ t ) d t = ∫ t = 0 t = 2 π ( a ∘ c ( t ) b ∘ c ( t ) )   ⋅ ( d c d t ) d t = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 ( ∂ b ∂ x − ∂ a ∂ y ) d y d x = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 ( ∂ X x ( x , y , z ) ∂ x + ∂ X y ( x , y , z ) ∂ y ) d y d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r_{0}X_{r}(r_{0},\theta ,\zeta )}\ d\theta &=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left((X_{x}\circ \Phi )r_{0}\cos \theta +(X_{y}\circ \Phi )r_{0}\sin \theta \right)}\ d\theta \\&=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(X_{x}(r_{0}\cos \theta ,r_{0}\sin \theta ,\zeta )r_{0}\cos \theta +X_{y}(r_{0}\cos \theta ,r_{0}\sin \theta ,\zeta )r_{0}\sin \theta \right)}\ d\theta \\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\left({\begin{matrix}-X_{y}(r_{0}\cos t,r_{0}\sin t,\zeta )\\X_{x}(r_{0}\cos t,r_{0}\sin t,\zeta )\\\end{matrix}}\right)}\ \cdot \left({\begin{matrix}-r_{0}\sin t\\r_{0}\cos t\\\end{matrix}}\right)dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\left({\begin{matrix}a\circ c(t)\\b\circ c(t)\\\end{matrix}}\right)}\ \cdot \left({\frac {dc}{dt}}\right)dt\\&=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial b}{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}\right)dydx}}\\&=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y}}\right)dydx}}\end{aligned}}} 　　　(5-3-8) が成り立つ。従って、 ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π X r ( r 0 , θ , ζ )   d θ d ζ = ∫ z = 0 z = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π X r ( r 0 , θ , z )   d θ d z {\displaystyle \int _{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta =\int _{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,z)}}\ d\theta dz} ∫ z = 0 z = ζ 0 ∫ x = − r x = r ∫ y = − r 2 − x 2 y = r 2 − x 2 ( ∂ X x ( x , y , z ) ∂ x + ∂ X y ( x , y , z ) ∂ y ) d y d x d z {\displaystyle \int _{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int _{x=-r}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y}}\right)dydx}}}dz} 　　　(5-3-9) 次に、 ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) )     d θ d r = ∫ M ( ∂ X z ∂ z ) d x d y d z {\displaystyle \int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left({{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)\right)}}\ \ d\theta dr=\int _{M}{\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)dxdydz}} 　　　(5-3-10) を示す。 ∫ z = 0 z = ζ 0 ∂ X ζ ( r , θ , ζ )   ∂ ζ d ζ = X ζ ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ   ( r , θ , 0 ) {\displaystyle \int _{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{{\frac {\partial {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )\ }{\partial \zeta }}d\zeta }={{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}\ (r,\theta ,0)} 　　　(5-3-11) なので、 ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) )     d θ d r = ∫ r = 0 r = r 0 r ( ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) ) d θ )     d r = ∫ r = 0 r = r 0 r ( ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∂ X ζ ( r , θ , ζ ) ∂ ζ d ζ d θ )   d r = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ( ∂ X ζ ( r , θ , ζ ) ∂ ζ ) r d ζ d θ d r = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ( ( ∂ X z ∂ z ) ∘ Φ ( r , θ , ζ ) ) r d ζ d θ d r = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ( ( ∂ X z ∂ z ) ∘ Φ ( r , θ , ζ ) ) ( det ( J Φ ( r , θ , ζ ) ) ) d ζ d θ d r = ∫ z = 0 z = ζ 0 ∫ x = − r x = r ∫ y = − r 2 − x 2 y = r 2 − x 2 ( ∂ X z ( x , y , z ) ∂ z ) d y d x d z {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left(X_{\varsigma }(r,\theta ,\zeta _{0})-X_{\zeta }(r,\theta ,0)\right)\ \ d\theta }dr}&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{r\left(\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(X_{\varsigma }(r,\theta ,\zeta _{0})-X_{\zeta }(r,\theta ,0)\right)d\theta }\right)\ \ dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{r\left(\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{{\frac {\partial X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )}{\partial \zeta }}d\zeta }d\theta }\right)\ dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{\left({\frac {\partial X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )}{\partial \zeta }}\right)rd\zeta }d\theta }dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{\left(\left({\frac {\partial X_{z}}{\partial z}}\right){}^{\circ }\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)rd\zeta }d\theta }dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{\left(\left({\frac {\partial X_{z}}{\partial z}}\right){}^{\circ }\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\left(\det(J\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right)d\zeta }d\theta }dr}\\&=\int _{z=0}^{z=\zeta _{0}}{\int _{x=-r}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}{\left({\frac {\partial X_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\right)dy}dx}dz}\end{aligned}}} 　　　(5-3-12) ■ f を、x -y -z 空間で定義されたスカラー値関数とする。このとき、r ≠ 0 をみたす任意の (r , θ, ζ) に対して以下の(6-1-1)～(6-1-3)の等式が成立する： ( ∂ f ∂ x ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = cos ⁡ θ ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ( r , θ , z ) ) − sin ⁡ θ r ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ θ ) ( r , θ , z ) ) {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))=\cos \theta \left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)\right)-{\frac {\sin \theta }{r}}\left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)\right)} 　(6-1-1) ( ∂ f ∂ y ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = sin ⁡ θ ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ( r , θ , z ) ) + cos ⁡ θ r ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ θ ) ( r , θ , z ) ) {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))=\sin \theta \left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)\right)+{\frac {\cos \theta }{r}}\left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)\right)} 　(6-1-2) ( ∂ f ∂ z ) ( Φ ( r , θ , z ) ) = ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ ζ ) ( r , θ , z ) {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)(\Phi (r,\theta ,z))=\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta }}\right)(r,\theta ,z)} 　(6-1-3) 上記の3式は、しばしば略記的に以下のように表記される： { ( ∂ f ∂ x ) = cos ⁡ θ ( ∂ f ∂ r ) − sin ⁡ θ r ( ∂ f ∂ θ ) ( ∂ f ∂ y ) = sin ⁡ θ ( ∂ f ∂ r ) + cos ⁡ θ r ( ∂ f ∂ θ ) ( ∂ f ∂ z ) = ( ∂ f ∂ ζ ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=\cos \theta \left({\frac {\partial f}{\partial r}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r}}\left({\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=\sin \theta \left({\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {\cos \theta }{r}}\left({\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial \zeta }}\right)\\\end{array}}\right.} 　(6-1-4) 勾配 grad ： ( grad ⁡ f ) ( x , y , z ) = ( ( ∂ f / ∂ x ) ( x , y , z ) ( ∂ f / ∂ y ) ( x , y , z ) ( ∂ f / ∂ z ) ( x , y , z ) ) = ( ( ∂ f ∂ x ) ( x , y , z ) ) ( 1 0 0 ) + ( ( ∂ f ∂ y ) ( x , y , z ) ) ( 0 1 0 ) + ( ( ∂ f ∂ z ) ( x , y , z ) ) ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} f)(x,y,z)&=\left({\begin{matrix}(\partial f/\partial x)(x,y,z)\\(\partial f/\partial y)(x,y,z)\\(\partial f/\partial z)(x,y,z)\\\end{matrix}}\right)\\&=\left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(x,y,z)\right)\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}}\right)+\left(\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(x,y,z)\right)\left({\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}}\right)+\left(\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)(x,y,z)\right)\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}} (6-2-1) を円柱座標変換すると ．．． 以下、証明を行う。(grad f )(Φ(r , θ, ζ)) と、Nr (r , θ, ζ) の内積を取ると、 [ ( grad ⁡ f ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ] ⋅ ( N r ( r , θ , ζ ) ) = ( ( ∂ f ∂ x ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) , ( ∂ f ∂ y ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) , ( ∂ f ∂ z ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ) ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 ) = cos ⁡ θ ( ( ∂ f ∂ x ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ) + sin ⁡ θ ( ( ∂ f ∂ y ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ) = cos ⁡ θ [ cos ⁡ θ ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ( r , θ , z ) ) − sin ⁡ θ r ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ θ ) ( r , θ , z ) ) ] + sin ⁡ θ [ sin ⁡ θ ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ( r , θ , z ) ) + cos ⁡ θ r ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ θ ) ( r , θ , z ) ) ] = ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ( r , θ , z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\left(\operatorname {grad} f\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right]\cdot \left({{\mathbf {N} }_{r}}(r,\theta ,\zeta )\right)=&\left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right)\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)\\=&\cos \theta \left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right)+\sin \theta \left(\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right)\\=&\cos \theta \left[\cos \theta \left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)\right)-{\frac {\sin \theta }{r}}\left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)\right)\right]\\&+\sin \theta \left[\sin \theta \left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)\right)+{\frac {\cos \theta }{r}}\left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)\right)\right]\\=&\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)\end{aligned}}} 　(6-2-2) であり、同様に、Nθ(r , θ, ζ) , Nζ(r , θ, ζ) についても、 [ ( grad ⁡ f ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ] ⋅ ( N θ ( r , θ , ζ ) ) = 1 r ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ θ ) ( r , θ , z ) {\displaystyle \left[\left(\operatorname {grad} f\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right]\cdot \left({{\mathbf {N} }_{\theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)} (6-2-3) [ ( grad ⁡ f ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ] ⋅ ( N ζ ( r , θ , ζ ) ) = ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ ζ ) ( r , θ , ζ ) {\displaystyle \left[\left(\operatorname {grad} f\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right]\cdot \left({{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)=\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta }}\right)(r,\theta ,\zeta )} (6-2-3) が成り立つ。従って「ベクトル場の円柱座標表示」と同様にして、上の等式が示せる。 ラプラシアンについても、r ≠ 0 をみたす任意の(r , θ, ζ) に対して以下の等式が成立する。 ( Δ f ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = 1 r ∂ ∂ r ( r ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ) ( r , θ , ζ ) + 1 r 2 ( ∂ 2 ( f ∘ Φ ) ∂ θ 2 ) ( r , θ , ζ ) + ( ∂ 2 ( f ∘ Φ ) ∂ ξ 2 ) ( r , θ , ζ ) {\displaystyle \left(\Delta f\right)\left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)\right)(r,\theta ,\zeta )+{\frac {1}{{r}^{2}}}\left({\frac {{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\theta }^{2}}}}\right)(r,\theta ,\zeta )+\left({\frac {{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\xi }^{2}}}}\right)(r,\theta ,\zeta )} (6-2-3) X を、x -y -z 空間で定義されたベクトル場とするとき、発散 div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。 ( div ⁡ X ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = 1 r ( ∂ ( r ⋅ X r ) ∂ r ) ( r , θ , ζ ) + 1 r ( ∂ X θ ∂ θ ) ( r , θ , ζ ) + ( ∂ X z ∂ z ) ( r , θ , ζ ) {\displaystyle (\operatorname {div} X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (r\cdot {{X}_{r}})}{\partial r}}\right)(r,\theta ,\zeta )+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta )+\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)(r,\theta ,\zeta )} 回転 rot の円柱座標系表示については、次の等式が成立する。 ( rot ⁡ X ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = ( ( rot ⁡ X ) r ( r , θ , z ) ) N r ( r , θ , ζ ) + ( ( rot ⁡ X ) θ ( r , θ , z ) ) N θ ( r , θ , ζ ) + ( ( rot ⁡ X ) θ ( r , θ , z ) ) N ζ ( r , θ , ζ ) {\displaystyle (\operatorname {rot} X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))=\left({{(\operatorname {rot} X)}_{r}}(r,\theta ,z)\right){{\mathbf {N} }_{r}}(r,\theta ,\zeta )+\left({{(\operatorname {rot} X)}_{\theta }}(r,\theta ,z)\right){{\mathbf {N} }_{\theta }}(r,\theta ,\zeta )+\left({{(\operatorname {rot} X)}_{\theta }}(r,\theta ,z)\right){{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )} ただし ( rot ⁡ X ) r ( r , θ , z ) = 1 r ( ∂ X ζ ∂ r ) ( r , θ , z ) − ( ∂ X θ ∂ ζ ) ( r , θ , z ) {\displaystyle {{(\operatorname {rot} X)}_{r}}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)-\left({\frac {\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \zeta }}\right)(r,\theta ,z)} ( rot ⁡ X ) θ ( r , θ , z ) = ( ∂ X r ∂ ζ ) ( r , θ , z ) − ( ∂ X ζ ∂ r ) ( r , θ , z ) {\displaystyle {{(\operatorname {rot} X)}_{\theta }}(r,\theta ,z)=\left({\frac {\partial {{X}_{r}}}{\partial \zeta }}\right)(r,\theta ,z)-\left({\frac {\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)} ( rot ⁡ X ) ζ ( r , θ , z ) = 1 r ( ∂ ( r X r ) ∂ r ) ( r , θ , z ) − 1 r ( ∂ X r ∂ θ ) ( r , θ , z ) {\displaystyle {{(\operatorname {rot} X)}_{\zeta }}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (r{{X}_{r}})}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial {{X}_{r}}}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)} である。 x -y -z 空間における運動を表す曲線 c ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) {\displaystyle c(t)=\left({\begin{array}{l}x(t)\\y(t)\\z(t)\\\end{array}}\right)} (8-1-1) が、r -θ-ζ空間に値を取る曲線 γ ( t ) = ( r ( t ) θ ( t ) z ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=\left({\begin{array}{l}r(t)\\\theta (t)\\z(t)\\\end{array}}\right)} (8-1-2) と、円柱座標変換&Phi:を用いて、 c ( t ) = Φ ( γ ( t ) ) {\displaystyle c(t)=\Phi (\gamma (t))} (8-1-3) と表せるとき、γ(t ) を「曲線c (t ) の円柱座標表示」、あるいは「運動c (t ) の円柱座標表示」と呼ぶ。 式(8-1-3)は、 { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\z=z\\\end{array}}\right.} (8-1-4) の両辺を時刻t に関する関数と考えること、つまり、 { x ( r ( t ) , θ ( t ) , z ( t ) ) = r ( t ) cos ⁡ θ ( t ) y ( r ( t ) , θ ( t ) , z ( t ) ) = r ( t ) sin ⁡ θ ( t ) z ( r ( t ) , θ ( t ) , z ( t ) ) = z ( t ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x(r(t),\theta (t),z(t))=r(t)\cos \theta (t)\\y(r(t),\theta (t),z(t))=r(t)\sin \theta (t)\\z(r(t),\theta (t),z(t))=z(t)\\\end{array}}\right.} (8-1-5) と考えることと同じである。 x -y -z 空間における運動を表す曲線c (t ) の速度ベクトルv(t )： v ( t ) = ( d c d t ) ( t ) {\displaystyle v(t)=\left({\frac {dc}{dt}}\right)(t)} (8-2-1) について以下が成立する。 ( v x ( t ) v y ( t ) v z ( t ) ) = ( ( d x / d t ) ( t ) ( d y / d t ) ( t ) ( d z / d t ) ( t ) ) = ( cos ⁡ θ ( t ) − r ( t ) ⋅ ( ( d θ / d t ) ( t ) ) ⋅ sin ⁡ θ ( t ) sin ⁡ θ ( t ) − r ( t ) ⋅ ( ( d θ / d t ) ( t ) ) ⋅ cos ⁡ θ ( t ) ( d z / d t ) ( t ) ) {\displaystyle \left({\begin{array}{l}{v}_{x}(t)\\{v}_{y}(t)\\{v}_{z}(t)\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}(dx/dt)(t)\\(dy/dt)(t)\\(dz/dt)(t)\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\cos \theta (t)-r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\cdot \sin \theta (t)\\\sin \theta (t)-r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\cdot \cos \theta (t)\\(dz/dt)(t)\\\end{array}}\right)} (8-2-2) 但しvx , vy , vz は、それぞれv(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。 また、 { v r ( t ) = v ( t ) ⋅ N r ( c ( t ) ) v θ ( t ) = v ( t ) ⋅ N θ ( c ( t ) ) v z ( t ) = v ( t ) ⋅ N z ( c ( t ) ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{v}_{r}(t)=v(t)\cdot {\textbf {N}}_{r}(c(t))\\{v}_{\theta }(t)=v(t)\cdot {\textbf {N}}_{\theta }(c(t))\\{v}_{z}(t)=v(t)\cdot {\textbf {N}}_{z}(c(t))\\\end{array}}\right.} (8-2-3) のように定義すると、 v ( t ) = v r ( t ) N r ( c ( t ) ) + v θ ( t ) N θ ( c ( t ) ) + c z ( t ) N z ( t ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)={{v}_{r}}(t){{\mathbf {N} }_{r}}(c(t))+{{v}_{\theta }}(t){{\mathbf {N} }_{\theta }}(c(t))+{{c}_{z}}(t){{\mathbf {N} }_{z}}(t)} (8-2-4) である。また、以下が成立する。 { v r ( t ) = ( d r / d t ) ( t ) v θ ( t ) = r ( t ) ⋅ ( ( d θ / d t ) ( t ) ) v z ( t ) = ( d z / d t ) ( t ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{v}_{r}(t)=(dr/dt)(t)\\{v}_{\theta }(t)=r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\\{v}_{z}(t)=(dz/dt)(t)\\\end{array}}\right.} (8-2-4) 同様に曲線c (t ) の加速度ベクトルa(t ) ： a ( t ) = ( d v d t ) ( t ) {\displaystyle {\textbf {a}}(t)=\left({\begin{array}{l}{\frac {d{\textbf {v}}}{dt}}\end{array}}\right)(t)} (8-3-1) については以下が成立する。 a ( t ) = a r ( t ) N r ( c ( t ) ) + a θ ( t ) N θ ( c ( t ) ) + a z ( t ) N z ( c ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {a} (t)={{a}_{r}}(t){{\mathbf {N} }_{r}}(c(t))+{{a}_{\theta }}(t){{\mathbf {N} }_{\theta }}(c(t))+{{a}_{z}}(t){{\mathbf {N} }_{z}}(c(t))} (8-3-2) 但しax , ay , az は、それぞれ a(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。また、 { a r ( t ) = a ( t ) ⋅ N r ( c ( t ) ) a θ ( t ) = a ( t ) ⋅ N θ ( c ( t ) ) a z ( t ) = a ( t ) ⋅ N z ( c ( t ) ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{a}_{r}(t)=a(t)\cdot {\textbf {N}}_{r}(c(t))\\{a}_{\theta }(t)=a(t)\cdot {\textbf {N}}_{\theta }(c(t))\\{a}_{z}(t)=a(t)\cdot {\textbf {N}}_{z}(c(t))\\\end{array}}\right.} (8-3-2) である。 さらに、以下が成立する。 { a r ( t ) = [ ( ( d 2 r / d t 2 ) ( t ) ) − ( ( d θ / d t ) ( t ) ) 2 ] a θ ( t ) = [ 2 ( ( d r / d t ) ( t ) ) ( ( ( d θ / d t ) ( t ) ) ) + ( r ( t ) ) ( ( d 2 θ / d t 2 ) ( t ) ) ] a z ( t ) = ( d 2 z / d t 2 ) ( t ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{{a}_{r}}(t)=[(({{d}^{2}}r/d{{t}^{2}})(t))-{{((d\theta /dt)(t))}^{2}}]\\{{a}_{\theta }}(t)=[2((dr/dt)(t))(((d\theta /dt)(t)))+(r(t))(({{d}^{2}}\theta /d{{t}^{2}})(t))]\\{{a}_{z}}(t)=({{d}^{2}}z/d{{t}^{2}})(t)\\\end{array}}\right.} (8-3-4) ^ 厳密には、円柱座標系は大域的には逆写像を持たない。ただ、特異点上を除き、その近傍においては、局所的な逆写像を持つ（円柱座標系と円柱座標変換、逆写像定理の項目を参照のこと）。 ^ 極座標系は、直交曲線座標系の一種であるから、円柱座標系は直交曲線座標系であり、直交曲線座標系は直交座標系の一種なので、円柱座標系は直交座標系の一種である。 ^ 軸対称でない系に対しても適用可能である。また、本稿でも、特に注意をしない場合には軸対称でない系を除外していない。しかし、軸対称でない系に対してはあまり威力のない手法である。 ^ 3次元実数ベクトル空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} とは、集合としては R 3 = { ( x 1 x 2 x 3 )   | x 1 , x 2 , x 3 ∈ R } {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{3}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}{{x}_{1}}\\{{x}_{2}}\\{{x}_{3}}\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in \mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　　　　　　　(1-2-1) である。つまり、3つの実数 x 1   ,   x 2   ,   x 3 {\displaystyle {x}_{1}\ ,\ {x}_{2}\ ,\ {x}_{3}} を用いて ( x 1 x 2 x 3 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}\\{{x}_{2}}\\{{x}_{3}}\\\end{matrix}}\right)} 　　(1-2-2) の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 ^ 3次元実数ベクトル空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} における第一軸、第二軸、第三軸とは、それぞれ以下のn1 , n2 , n3 で定まる方向である。 n 1 = ( 1 0 0 ) {\displaystyle {{\mathbf {n} }_{1}}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}}\right)} , n 2 = ( 0 1 0 ) {\displaystyle {{\mathbf {n} }_{2}}=\left({\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}}\right)} , n 3 = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {n} }_{3}}=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(1-2-3) 本記事におけるn1 , n2 , n3 は、線形代数学の教科書ではふつうe1 , e2 , e3 と書かれている。ただ、ベクトル解析の教科書では、e1 , e2 , e3 という記号は、『「本項目におけるn1 , n2 , n3 の意味」なのか、後述（「円柱座標変換系の法線ベクトル」の項目）の「Nr , Nθ , Nζ 」なのかが本によってまちまちであり、その区別も曖昧であるため、厳密に区別するべくこのような記号体系とした。尚、i , j , k という記号も、ベクトル解析の教科書や物理学の教科書でよく使われるが、これも教科書間で意味が異なって使われることがあるので採用しないことにした。 ^ 写像としてWell-definedである。 ^ われわれの流儀では、単射性は確保されていない。Φ の定義域をさらに制限して、 { 0 < r 0 ≤ θ ≤ 2 π − ∞ < ζ < ∞ {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}0<r\\0\leq \theta \leq 2\pi \\-\infty <\zeta <\infty \\\end{aligned}}\right.} とすれば単射性が確保できるが、今度は全射性がなくなる。逆写像を求める場合には単射性を重視したほうがよいが、積分を考える時には、定義域が閉集合であることと全射性を重視したほうがよく、一概にどちらの定義域を採用したほうがよいとは言えない。 ^ ここでは、全射性とはx-y-z 空間の全ての点を、上記の定義域内の点 (r , θ, ζ) を適切に選ぶことで ( x y z ) = Φ ( r , θ , ζ ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)=\Phi (r,\theta ,\zeta )} の形で表せることを意味する。 ^ 一方、値域はx -y -z 空間の接バンドルといわれる空間である。このような数学的構造を「写像に沿うベクトル場」という（一般にベクトル場といわれるものとは別の存在）。ただし、Nr , Nθ , Nζ は、r -θ-ζ空間で定義され、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} に値をとるベクトル値関数とみなすことができるので、本記事ではそのように考えることにする。 ^ 参考までに、 ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) = r ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)=r\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-2-4) ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) = r ( − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)=r\left({\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-2-5) ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} 　　(2-2-6) である。 ^ Δ1 , Δ2 , Δ3 も、x -y -z 空間の部分集合である。 ^ ∂M は、M の位相的境界と同じものとなっている。 ^ I3 のθの前の負号が不自然と考える人もいるかもしれないが、ここでは、単に法線の向きがすべて“外向き”になるようパラメータ付けすると、ガウスの発散定理を考えるうえで都合が良いからという理由に留める。 [脚注の使い方] 表示 編集