フレシェ分布

フレシェ分布（英語: Fréchet distribution) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布（タイプIの極値分布）、ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）とともに、一般化極値分布（英語: generalized extreme value distribution）の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。 フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来する。 モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布、ワイブル分布（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示した。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた。 フレシェ分布の累積分布関数は F ( x ) = Pr ( X ≤ x ) = e − x − α  if  x > 0. {\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ if }}x>0.} である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は f ( x ) = α x − α − 1 e − x − α {\displaystyle f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}\;e^{-x^{-\alpha }}} となる。 フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。 期待値は E [ X ] = Γ ( 1 − 1 α )  if  α > 1 {\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\text{ if }}\alpha >1} となる。 分散は Var ( X ) = Γ ( 1 − 2 α ) − ( Γ ( 1 − 1 α ) ) 2  if  α > 2 {\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}{\text{ if }}\alpha >2} となる。 ここで、 Γ ( ) {\displaystyle \Gamma \left(\right)} はガンマ関数であり、 Γ ( z ) := ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}dx} である。 ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる。 位置パラメータ m（最小値）と尺度パラメータs > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる。 一般化フレシェ分布の累積分布関数は F ( x ) = Pr ( X ≤ x ) = e − ( x − m s ) − α  if  x > m . {\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.} である。 一般化フレシェ分布の確率密度関数は f ( x ) = α s ( x − m s ) − 1 − α e − ( x − m s ) − α {\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{s}}\;\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha }\;e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}} となる。 水文学 フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。 金融 フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた。 国際経済学（貿易論） リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国iの各財を生産する効率性 ( Z i {\displaystyle Z_{i}} ) の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した。 F i ( z ) = Pr ( Z i ≤ z ) = e − T i z − θ {\displaystyle F_{i}(z)=\Pr(Z_{i}\leq z)=e^{-T_{i}z^{-\theta }}} ここで、 θ > 1 {\displaystyle \theta >1} が形状パラメータ（定義式の α {\displaystyle \alpha } ）に相当する。 θ {\displaystyle \theta } が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。 T i > 0 {\displaystyle T_{i}>0} は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。 T i {\displaystyle T_{i}} が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなる。 [脚注の使い方] ^ 高橋倫也 & 志村隆彰 2016. ^ Fréchet 1927. ^ Kotz & Nadarajah 2000. ^ a b Fisher & Tippett 1928. ^ Gumbel 1958. ^ Coles 2013, p. 47. ^ a b Alves & Neves 2011. ^ a b Eaton & Kortum 2002. Alves, Isabel Fraga; Neves, Cláudia (2011). Lovric, Miodrag. ed (英語). Extreme Value Distributions. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 493–496. doi:10.1007/978-3-642-04898-2_246. ISBN 978-3-642-04898-2. https://doi.org/10.1007/978-3-642-04898-2_246.  Beirlant, Jan; Goegebeur, Yuri; Teugels, Jozef; Segers, Johan (2004-08-27) (英語). Statistics of Extremes: Theory and Applications. Wiley. doi:10.1002/0470012382. ISBN 978-0-471-97647-9. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/0470012382.  Coles, Stuart (27 November 2013) (英語). An introduction to statistical modeling of extreme values (eBook) (1 ed.). London: Springer London. doi:10.1007/978-1-4471-3675-0. ISBN 978-1-4471-3675-0. OCLC 883391507  Eaton, Jonathan; Kortum, Samuel (2002-09). “Technology, Geography, and Trade” (英語). Econometrica 70 (5): 1741–1779. doi:10.1111/1468-0262.00352. ISSN 0012-9682. http://doi.wiley.com/10.1111/1468-0262.00352.  Eaton, Jonathan; Kortum, Samuel (2012-05). “Putting Ricardo to Work” (英語). Journal of Economic Perspectives 26 (2): 65–90. doi:10.1257/jep.26.2.65. ISSN 0895-3309. https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/jep.26.2.65.  Fréchet, M (1927). “Sur la loi de probabilite de l'ecart maximum”. Ann. de la Soc. Polonaise de Math. 6: 93–116.  Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. (1928-04). “Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample” (英語). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 24 (2): 180–190. doi:10.1017/S0305004100015681. ISSN 1469-8064. https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/limiting-forms-of-the-frequency-distribution-of-the-largest-or-smallest-member-of-a-sample/7BE8DE65FCDFC3ABECFE1054DFB56CB5.  Gumbel, E. J. (1958-03-02) (英語). Statistics of Extremes. Columbia University Press. doi:10.7312/gumb92958. ISBN 978-0-231-89131-8. https://www.degruyter.com/document/doi/10.7312/gumb92958/html  Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees (10 2000) (英語). Extreme Value Distributions. PUBLISHED BY IMPERIAL COLLEGE PRESS AND DISTRIBUTED BY WORLD SCIENTIFIC PUBLISHING CO.. doi:10.1142/p191. ISBN 978-1-86094-224-2. https://doi.org/10.1142/p191.  高橋倫也、志村隆彰『極値統計学』（初版）近代科学社、2016年8月31日。ISBN 978-4-7649-7070-0。OCLC 961831235。  確率分布 極値分布 ガンベル分布（タイプIの極値分布） ワイブル分布（タイプIIIの極値分布） モーリス・ルネ・フレシェ 表示 編集