チェバの定理

チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、平面幾何学の定理の1つである。定理の名は、1678年にジョバンニ・チェバがDe lineis rectisを出版して証明を発表したのにちなむ。今判明している初出は、11世紀のサラゴサの王で数学者 Yusuf al-Mu'taman ibn Hud（英語版） の数学全書 Kitab al-lstikmalである。 三角形ABCにおいて、任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1} 証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。 線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する。三角形AFOと三角形BFOとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、 A F F B = △ A F O △ B F O . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFO \over \triangle BFO}.} 同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、 A F F B = △ A F C △ B F C . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC \over \triangle BFC}.} この2式より、 A F F B = △ A F C − △ A F O △ B F C − △ B F O = △ A O C △ B O C . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC-\triangle AFO \over \triangle BFC-\triangle BFO}={\triangle AOC \over \triangle BOC}.} 三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、 B D D C = △ B D O △ C D O . {\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDO \over \triangle CDO}.} 同様にして、三角形BDAと三角形CDAとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、 B D D C = △ B D A △ C D A . {\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDA \over \triangle CDA}.} この2式より、 B D D C = △ B D A − △ B D O △ C D A − △ C D O = △ B O A △ C O A . {\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDA-\triangle BDO \over \triangle CDA-\triangle CDO}={\triangle BOA \over \triangle COA}.} 三角形CEOと三角形AEOとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、 C E E A = △ C E O △ A E O . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEO \over \triangle AEO}.} 同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、 C E E A = △ C E B △ A E B . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB \over \triangle AEB}.} この2式より、 C E E A = △ C E B − △ C E O △ A E B − △ A E O = △ C O B △ A O B . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB-\triangle CEO \over \triangle AEB-\triangle AEO}={\triangle COB \over \triangle AOB}.} すなわち、定理の左辺は △ A O C △ B O C ⋅ △ B O A △ C O A ⋅ △ C O B △ A O B {\displaystyle {\triangle AOC \over \triangle BOC}\cdot {\triangle BOA \over \triangle COA}\cdot {\triangle COB \over \triangle AOB}} であるので1に等しい。 チェバの定理はメネラウスの定理を使って容易に証明できる。 三角形ACFに対して線分BOEが交差するので、メネラウスの定理より、 A B B F ⋅ F O O C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AB}{BF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1} が成り立つ。三角形BCFに対して線分AODが交差するので、メネラウスの定理より、 B A A F ⋅ F O O C ⋅ C D D B = 1. {\displaystyle {\frac {BA}{AF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}=1.} チェバの定理はこの2つの式の比を計算することで導くことができる。 チェバの定理の逆もまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1} が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは1点で交わるか、または3直線AD・BE・CFは平行である。ここで、「平行」を「無限遠点で交わる」と解釈すれば、「3直線AD・BE・CFは1点で交わる」と結論づけることができる。 [脚注の使い方] ^ Weisstein ^ Hogendijk, Jan P. (1995-02). “Al-Mu'taman ibn Hūd, 11th century king of Saragossa and brilliant mathematician”. Historia Mathematica 22 (1): 1–18. doi:10.1006/hmat.1995.1001. ISSN 0315-0860. https://doi.org/10.1006/hmat.1995.1001.  ^ Russell (1905, Ch. 1 §7 Ceva's Theorem) ^ Hopkins (1902, Art. 986) Hopkins, George Irving (1902), Inductive plane geometry, D.C. Heath & Co.  Russell, John Wellesley (1905), Pure Geometry, Clarendon Press, https://books.google.co.jp/books?id=r3ILAAAAYAAJ&redir_esc=y&hl=ja  ウィキメディア・コモンズには、チェバの定理に関連するメディアがあります。 三角形の中心 メネラウスの定理 柴田敏男『チェバの定理』 - コトバンク 『チェバの定理：例題と３通りの証明』 - 高校数学の美しい物語 チェバの定理とは【高校数学Ａ】 - YouTube Weisstein, Eric W. "Ceva's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).