ブロッホ群

数学において、ブロッホ群（英: Bloch group）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前はスペンサー・ブロッホ（英語版） (Spencer Bloch) とアンドレイ・ススリン（英語版） (Андре́й Су́слин) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。 二重対数関数（英語版）は |z| < 1 に対して次の冪級数で定義される。 Li 2 ⁡ ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{2}}}} この冪級数から二重対数関数の積分表示 Li 2 ⁡ ( z ) = − ∫ 0 z log ⁡ ( 1 − t ) d t t {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}\log(1-t)\;{\frac {dt}{t}}} が得られる。ただし二重対数関数は2点 0, 1 で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から z への積分路は z ∈ C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}} の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると z = 0 に分岐はないように見えるが、実は z = 1 を周回したシート上に z = 0 の分岐が現れる。）この積分表示によって Li2(z) は z ∈ C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}} の普遍被覆空間に正則に解析接続される。 ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。 D 2 ( z ) = ℑ ( Li 2 ⁡ ( z ) ) + arg ⁡ ( 1 − z ) log ⁡ | z | {\displaystyle D_{2}(z)=\Im (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log \left|z\right|} D2(z) には次のような著しい性質がある。 D2(z) はモノドロミーを持たず C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}} 上の一価実解析的関数になる。 D 2 ( z ) = D 2 ( z − 1 z ) = D 2 ( 1 1 − z ) = − D 2 ( 1 z ) = − D 2 ( 1 − z ) = − D 2 ( z z − 1 ) . {\displaystyle D_{2}(z)=D_{2}\left({\frac {z-1}{z}}\right)=D_{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-D_{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-D_{2}(1-z)=-D_{2}\left({\frac {z}{z-1}}\right).} D 2 ( x ) + D 2 ( y ) + D 2 ( 1 − x 1 − x y ) + D 2 ( 1 − x y ) + D 2 ( 1 − y 1 − x y ) = 0. {\displaystyle D_{2}(x)+D_{2}(y)+D_{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+D_{2}\left(1-xy\right)+D_{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0.} 最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である (Abel 1881)。 K を体とし、 Z ( K ) = Z [ K ∖ { 0 , 1 } ] {\displaystyle \mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]} を K ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle K\setminus \{0,1\}} の元 x に対する [x] により Z 上生成された自由加群とする。また D ( K ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(K)} を [ x ] + [ y ] + [ 1 − x 1 − x y ] + [ 1 − x y ] + [ 1 − y 1 − x y ] {\displaystyle [x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]} の形の元の生成する Z(K) の部分加群とし、 A ( K ) = Z ( K ) / D ( K ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(K)=\mathbb {Z} (K)/{\mathcal {D}}(K)} と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を Z(C) に線形に拡張し、x = Σnj[xj] ∈ Z(C) に対して D2(x) = ΣnjD2(xj) と定める。すると D2 の 5項関係式は x ∈ D ( C ) ⇒ D 2 ( x ) = 0 {\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(\mathbb {C} )\Rightarrow D_{2}(x)=0} と言い換えられ、従って D2 は A ( C ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbb {C} )} 上定義される。さて、 d : A ( K ) ⟶ ∧ 2 ( K × ) {\displaystyle d\colon {\mathcal {A}}(K)\longrightarrow \wedge ^{2}(K^{\times })} を、 x ∈ K ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle x\in K\setminus \{0,1\}} に対しては d[x] = x∧(1−x) と定め、これを Z(K) に線形に拡張したものとする。（d が A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上 well-defined であることをみるには D ( K ) ⊂ ker ⁡ d {\displaystyle {\mathcal {D}}(K)\subset \ker d} をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 B 2 ( K ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(K)} を B 2 ( K ) = ker ⁡ d {\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(K)=\ker d} と定義する (Bloch 1978)。松本の定理により K 2 ( K ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(K)} を 2次の代数的K群として K 2 ( K ) = coker ⁡ d {\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(K)=\operatorname {coker} d} が知られている。 B 2 ( C ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )} は D2 の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。 x ∈ B 2 ( C ) ⇔ D 2 ( x ) = 0. {\displaystyle x\in {\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )\Leftrightarrow D_{2}(x)=0.} K を無限体とする。このとき c = [ x ] + [ 1 − x ] ∈ B 2 ( K ) {\displaystyle c=[x]+[1-x]\in {\mathcal {B}}_{2}(K)} は x の取り方に依らない。GM(K) を無限次単項行列のなす GL(K) の部分群、BGM(K)+ をキレンのプラス構成とすると、 coker ⁡ [ π 3 ( BGM ⁡ ( K ) + ) → K 3 ( K ) ] = ( 2 c ) − 1 B 2 ( K ) {\displaystyle \operatorname {coker} \left[\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)\right]=(2c)^{-1}{\mathcal {B}}_{2}(K)} が成り立つ (Suslin 1990)。ここで K 3 ( K ) = π 3 ( BGL ⁡ ( K ) + ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(K)=\pi _{3}(\operatorname {BGL} (K)^{+})} は 3次の代数的K群である。 さらに、ミルナーのK群を K 3 M {\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}^{M}} として、 K 3 ( K ) i n d = coker ⁡ ( K 3 M ( K ) → K 3 ( K ) ) , {\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }=\operatorname {coker} ({\mathcal {K}}_{3}^{M}(K)\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)),\;} 　 Tor ⁡ ( K × , K × ) ∼ {\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }} を Tor ⁡ ( K × , K × ) {\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })} のただ一つの非自明な Z/2Z 拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。 0 ⟶ Tor ⁡ ( K × , K × ) ∼ ⟶ K 3 ( K ) i n d ⟶ B 2 ( K ) ⟶ 0. {\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }\longrightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }\longrightarrow {\mathcal {B}}_{2}(K)\longrightarrow 0.} ブロッホ・ウィグナー関数 D 2 ( z ) {\displaystyle D_{2}(z)} は C ∖ { 0 , 1 } = C P 1 ∖ { 0 , 1 , ∞ } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}=\mathbb {C} P^{1}\setminus \{0,1,\infty \}} 上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。 H 3 {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}} を実3次元の双曲空間とし、 H 3 = C × R > 0 {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} _{>0}} と半空間表示する。 H 3 {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}} の無限遠点の全体 H 3 ¯ ∖ H 3 {\displaystyle {\overline {\mathbb {H} ^{3}}}\setminus \mathbb {H} ^{3}} は C ∪ { ∞ } = C P 1 {\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}} とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、 ( p 1 , … , p 3 ∈ C P 1 ) {\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{3}\in \mathbb {C} P^{1})} を無限遠点上の頂点として ( p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) {\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})\;} で表す。四面体の(符号付き)体積を ⟨ p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ⟩ {\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle } と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、 ⟨ p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ⟩ = D 2 ( ( p 0 − p 2 ) ( p 1 − p 3 ) ( p 0 − p 1 ) ( p 2 − p 3 ) ) {\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left({\frac {(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}}\right)} であり、特に D 2 ( z ) = ⟨ 0 , 1 , z , ∞ ⟩ {\displaystyle D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty \right\rangle } である。 D 2 ( z ) {\displaystyle D_{2}(z)} の5項関係式は、退化した理想的 4単体 ( p 0 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) {\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})} の境界の体積が 0 であることと ⟨ ∂ ( p 0 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) ⟩ = ∑ i = 0 4 ( − 1 ) i ⟨ p 0 , … , p ^ i , … , p 4 ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{i},\dots ,p_{4}\right\rangle =0} とは同値である。 加えて、3次元双曲多様体 X = H 3 / Γ {\displaystyle X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma } が与えられると、 X = ⋃ j = 1 n Δ ( z j ) {\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})} と分解する。ここに Δ ( z j ) {\displaystyle \Delta (z_{j})} は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて ∂ H 3 {\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{3}} 上の無限遠点にある。ここに z j {\displaystyle z_{j}} は Im ⁡ z j > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z_{j}>0} となるある複素数である。各々の理想四面体は、 Im ⁡ z > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z>0} となる複素数 z {\displaystyle z} （四面体の頂点の複比となるが、）に対し 0 , 1 , z , ∞ {\displaystyle 0,1,z,\infty } を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ z {\displaystyle z} にのみ依存する。(Neumann & Zagier 1985) は、理想四面体 Δ {\displaystyle \Delta } に対し v o l ( Δ ( z ) ) = D 2 ( z ) , {\displaystyle vol(\Delta (z))=D_{2}(z),} ただし D 2 ( z ) {\displaystyle D_{2}(z)} はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、 v o l ( X ) = ∑ j = 1 n {\displaystyle vol(X)=\sum _{j=1}^{n}} を得る。モストウの剛性定理は、 Im   z j > 0 {\displaystyle {\text{Im}}\ z_{j}>0} であるすべての j {\displaystyle j} に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。 二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は (Goncharov 1991) と (Zagier 1990) により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 B n {\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}} が、代数的K理論やモチヴィックコホモロジー（英語版）と関係するということが、広く予想されている。また、(Neumann 2004)により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。 Abel, N.H. (1881) [1826]. “Note sur la fonction ψ x = x + x 2 2 2 + x 3 3 2 + ⋯ + x n n 2 + ⋯ {\displaystyle \scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots } ”. In Sylow, L.; Lie, S. (French). Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II. Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn. pp. 189–193. http://www.abelprisen.no/verker/oeuvres_1881_del2/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf  (this 1826 manuscript was only published posthumously.) Bloch, S. (1978). “Applications of the dilogarithm function in algebraic K-theory and algebraic geometry”. In Nagata, M. Proc. Int. Symp. on Alg. Geometry. Tokyo: Kinokuniya. pp. 103–114  Goncharov, A.B. (1991). “The classical trilogarithm, algebraic K-theory of fields, and Dedekind zeta-functions”. Bull. AMS. pp. 155–162. http://www.ams.org/journals/bull/1991-24-01/S0273-0979-1991-15975-6/S0273-0979-1991-15975-6.pdf  Neumann, W.D. (2004). “Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class”. Geometry and Topology. pp. 413–474. https://arxiv.org/abs/math/0307092  Neumann, W.D.; Zagier, D. (2004). “Volumes of hyperbolic three-manifolds”. Topology 24: 307-332.  Suslin, A.A. (1990). “ K 3 {\displaystyle \operatorname {K} _{3}} of a field, and the Bloch group” (Russian). Trudy Mat. Inst. Steklov. pp. 180–199. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=1914&option_lang=eng  Zagier, D. (1990). “Polylogarithms, Dedekind zeta functions, and the algebraic K-theory of fields”. In van der Geer, G.; Oort, F.; Steenbrink, J. Arithmetic Algebraic Geometry. Boston: Birkhäuser. pp. 391–430