三次曲線

数学において、三次曲線（さんじきょくせん、英: cubic）、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線（英: cubic plane curve）は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。 F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} ここで ( x : y : z ) {\displaystyle (x:y:z)} は射影平面上の斉次座標、またはアフィン空間の非斉次座標でz = 1とした座標で、Fは三次の斉次多項式、すなわち以下のような0でない三次単項式の線形結合とする。 x 3 , y 3 , z 3 , x 2 y , x 2 z , y 2 x , y 2 z , z 2 x , z 2 y , x y z {\displaystyle x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz} これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の可換体K上で9次元の射影空間を成す。また三次曲線Cを満たす1点Pは1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する円錐曲線と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは束を成し、さらなる性質を持つこととなる（ケイリー=バッハラッハの定理（英語版））。 三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をCと掛け合わせることにより示すことができる（ベズーの定理）。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。 実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。 非特異な三次曲線はK上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくK-有理点に依存する。Kが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。 尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または二重尖点（英語版）、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（共点）を持つ。 △ABCの辺について a = | B C | , {\displaystyle a=|BC|,} b = | C A | , {\displaystyle b=|CA|,} c = | A B | {\displaystyle c=|AB|} とする。△ABCの有名な三次曲線は様々な三角形の中心を通る。以下は斉次座標である三線座標と重心座標を用いる。 三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。 x → b c x , y → c a y , z → a b z ; {\displaystyle x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;} 重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。 x → a x , y → b y , z → c z . {\displaystyle x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.} 三次曲線の多くは以下の形式で表される。 f ( a , b , c , x , y , z ) + f ( b , c , a , y , z , x ) + f ( c , a , b , z , x , y ) = 0. {\displaystyle f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.} この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。 ∑ cyclic f ( x , y , z , a , b , c ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0} . またXの等角共役点をX*とする。このとき三線座標において X = x : y : z {\displaystyle X=x:y:z} ならば X ∗ = 1 x : 1 y : 1 z {\displaystyle X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}} が成り立つ。 三線座標: ∑ cyclic ( cos ⁡ A − 2 cos ⁡ B cos ⁡ C ) x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic ( a 2 ( b 2 + c 2 ) + ( b 2 − c 2 ) 2 − 2 a 4 ) x ( c 2 y 2 − b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0} ノイベルグ三次曲線（Neuberg cubic）はX*が直線EX上（Eはオイラー無限遠点X(30)、オイラー線方向の無限遠点）にあるような点Xの軌跡、つまりXX*がオイラー線と平行になるような点の軌跡である。Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をXA, XB, XCとし、△XAXBXCと△ABCが配景なXの軌跡とも定義される。 ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。 Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK001と登録されている。 三線座標: ∑ cyclic b c x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic x ( c 2 y 2 − b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0} トムソン三次曲線はX*が直線GX（Gは重心）上にあるような点Xの軌跡である。 トムソン三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点などを通る。 Cubics in the Triangle PlaneではK002 として登録されている。 三線座標: ∑ cyclic ( cos ⁡ A − cos ⁡ B cos ⁡ C ) x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic ( 2 a 2 ( b 2 + c 2 ) + ( b 2 − c 2 ) 2 − 3 a 4 ) x ( c 2 y 2 − b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0} ダルブー三次曲線（Darboux Cubic）はX*が直線LX上（Lはド・ロンシャン点）にあるような点Xの軌跡である。ダルブー三次曲線上のXの垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はリュカ三次曲線を成す。また、X の垂足三角形はXの反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。 ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。 Cubics in the Triangle Planeでは K004 として登録されている。 三線座標: ∑ cyclic cos ⁡ ( B − C ) x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic ( a 2 ( b 2 + c 2 ) + ( b 2 − c 2 ) 2 ) x ( c 2 y 2 − b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0} ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線（Napoleon-Feuerbach cubic）はX*が直線NX上（N = X(5),九点円の中心）にある点Xの軌跡である。 ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ナポレオン点などを通る。 Cubics in the Triangle Planeでは K005 として登録されている。 三線座標: ∑ cyclic cos ⁡ ( A ) x ( b 2 y 2 − c 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic ( b 2 + c 2 − a 2 ) x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0} リュカ三次曲線（Lucas cubic）はX のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡である。 リュカ三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、シュタイナー外接楕円の焦点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点 などを通る。 Cubics in the Triangle PlaneではK007 として登録されている。 三線座標: ∑ cyclic b c ( a 4 − b 2 c 2 ) x ( y 2 + z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic ( a 4 − b 2 c 2 ) x ( c 2 y 2 + b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0} △A'B'C' を第一ブロカール三角形（1st Brocard cubic）、XA, XB, XC.をそれぞれXA′, XB′, XC′と BC, CA, AB,の交点とする。このときXA, XB, XCが共線となるような点Xの軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。 第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、シュタイナー点などを通る。 Cubics in the Triangle Planeでは K017として登録されている。 三線座標: ∑ cyclic b c ( b 2 − c 2 ) x ( y 2 + z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic ( b 2 − c 2 ) x ( c 2 y 2 + b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0} 第二ブロカール三次曲線（2nd Brocard cubic）は直線XX*の、X,X*を通る外接円錐曲線に対する極がブロカール軸上にあるような点Xの軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。 Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K018として登録されている。 三線座標: ∑ cyclic a ( b 2 − c 2 ) x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0} 重心座標: ∑ cyclic a 2 ( b 2 − c 2 ) x ( c 2 y 2 − b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0} 1st equal areas cubicはX のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。X*が直線S*X 上(S = X(99),シュタイナー点)にあるような点Xの軌跡とも定義される。 1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二ブロカール点を通る。 Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K021として登録されている。 三線座標: ( b z + c x ) ( c x + a y ) ( a y + b z ) = ( b x + c y ) ( c y + a z ) ( a z + b x ) {\displaystyle (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)} 重心座標: ∑ cyclic a ( a 2 − b c ) x ( c 3 y 2 − b 3 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0} 2nd equal areas cubicは三線座標で X = x : y : z {\displaystyle X=x:y:z} , X Y = y : z : x {\displaystyle X_{Y}=y:z:x} , X Z = z : x : y . {\displaystyle X_{Z}=z:x:y.} とし、XYとXZのチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。 2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る。 Cubics in the Triangle Planeでは K155として登録されている。 ^ Bix 2006, p. 228, Exercise 12.24. ^ Bix 2006, p. 224, Exercise 12.8. ^ サーモン『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年、732頁。doi:10.11501/952208。  非平面三次曲線（英語版） 楕円曲線 アーネシの曲線 Catalogue of Triangle Cubics Bix, Robert (2006), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves (Second ed.), New York: Springer, ISBN 978-0387-31802-8, MR2242725, Zbl 1106.14014 . 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