変位演算子

量子光学における1つのモードの変位演算子（へんいえんざんし）とは、次のようなシフト演算子である。 D ^ ( α ) = exp ⁡ ( α a ^ † − α ∗ a ^ ) {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)} ここで α {\displaystyle \alpha } は光学位相空間（英語版）での変位の大きさ、 α ∗ {\displaystyle \alpha ^{*}} はその変位の複素共役、 a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} と a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} は生成消滅演算子である。 この名前は位相空間での局在状態を大きさ α {\displaystyle \alpha } だけ変位できることに由来する。 また真空状態に作用することでコヒーレント状態に変位させる。 D ^ ( α ) | 0 ⟩ = | α ⟩ {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle } | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle } はコヒーレント状態で、消滅演算子の固有状態である。 変位演算子はユニタリー演算子であり、次に従う。 D ^ ( α ) D ^ † ( α ) = D ^ † ( α ) D ^ ( α ) = 1 ^ {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}} 変位演算子のエルミート共役は逆の大きさ( − α {\displaystyle -\alpha } )の変位である。 D ^ † ( α ) = D ^ ( − α ) {\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )} 生成消滅演算子に変位演算子による相似変換をすると、生成消滅演算子が変位される。 D ^ † ( α ) a ^ D ^ ( α ) = a ^ + α {\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha } D ^ ( α ) a ^ D ^ † ( α ) = a ^ − α {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha } 2つの変位演算子の積も変位演算子である。位相因子は別として、2つの個々の変位を足し合わせたトータルの変位を行う。 D ^ ( α ) D ^ ( β ) = e ( α β ∗ − α ∗ β ) / 2 D ^ ( α + β ) {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )} これはベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式（英語版）を使うと証明できる（ e α a ^ † − α ∗ a ^ e β a ^ † − β ∗ a ^ = e ( α + β ) a ^ † − ( β ∗ + α ∗ ) a ^ e ( α β ∗ − α ∗ β ) / 2 {\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}} ）。これが固有ケットに作用すると位相因子 e ( α β ∗ − α ∗ β ) / 2 {\displaystyle e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}} が現れるが、これは物理的には意味がない。 変位演算子を表す2つの方法がある。それぞれ、 D ^ ( α ) = e − 1 2 | α | 2 e + α a ^ † e − α ∗ a ^ {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}} D ^ ( α ) = e + 1 2 | α | 2 e − α ∗ a ^ e + α a ^ † {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}} 変位演算子は、多重モードの変位に一般化できる。 多重モードの生成演算子は次のように定義される。 A ^ ψ † = ∫ d k ψ ( k ) a ^ † ( k ) {\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )} ここで k {\displaystyle \mathbf {k} } は波数ベクトルであり、大きさは振動数 ω k {\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }} とつながっている。 | k | = ω k / c {\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c} この定義を使うと、多重モード変位演算子は次のように書ける。 D ^ ψ ( α ) = exp ⁡ ( α A ^ ψ † − α ∗ A ^ ψ ) {\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)} また多重モードのコヒーレント状態は次のように定義できる。 | α ψ ⟩ ≡ D ^ ψ ( α ) | 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle } ^ Christopher Gerry and Peter Knight: Introductory Quantum Optics. Cambridge (England): Cambridge UP, 2005. 光学位相空間（英語版）