エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり、英: Ehrenfest's theorem）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。 ポテンシャル U {\displaystyle U} の影響下にある質量 m {\displaystyle m} の粒子Aの状態が、波動関数 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} であらわされているものとする。この状態にある粒子A（およびそれと同じ状態にある複数の粒子）の位置 r = ( x , y , z ) {\displaystyle {\textbf {r}}=(x,y,z)} を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } 、 ⟨ y ⟩ {\displaystyle \langle y\rangle } 、 ⟨ z ⟩ {\displaystyle \langle z\rangle } とする。このとき、 m d 2 d t 2 ⟨ x ⟩ = − ⟨ ∂ U ∂ x ⟩ m d 2 d t 2 ⟨ y ⟩ = − ⟨ ∂ U ∂ y ⟩ m d 2 d t 2 ⟨ z ⟩ = − ⟨ ∂ U ∂ z ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle x\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle y\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial y}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle z\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial z}}\right\rangle \end{aligned}}} が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作 ⟨   ⟩ {\displaystyle \langle \ \rangle } は、通常量子力学で行われている方法どおりで ⟨ x ⟩ = ∫ ψ ∗ ( r ) x ψ ( r ) d r ⟨ ∂ U ∂ x ⟩ = ∫ ψ ∗ ( r ) ∂ U ∂ x ψ ( r ) d r {\displaystyle {\begin{aligned}&\langle x\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} )x\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ){\frac {\partial U}{\partial x}}\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} とする。他も同様である。 まず、期待値の定義より d 2 d t 2 ⟨ r ⟩ = d 2 d t 2 ∫ ψ ∗ ( r , t ) r ψ ( r , t ) d r = d d t ∫ [ ∂ ψ ∗ ∂ t r ψ + ψ ∗ r ∂ ψ ∂ t ] d r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle &={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {r} \psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} を得る。ここでシュレーディンガー方程式より d d t ∫ [ ∂ ψ ∗ ∂ t r ψ + ψ ∗ r ∂ ψ ∂ t ] d r = d d t ∫ [ − 1 i ℏ ( H ^ ψ ∗ ) r ψ + ψ ∗ r 1 i ℏ ( H ^ ψ ) ] d r = 1 i ℏ d d t ∫ [ − { − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) } ψ ∗ r ψ + ψ ∗ r { ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) } ψ ] d r = 1 i ℏ d d t ∫ [ ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ∗ r ψ − ψ ∗ r ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ] d r = − i ℏ 2 m d d t ∫ [ ∇ 2 ψ ∗ r ψ − ψ ∗ r ∇ 2 ψ ] d r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \left\{{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} 部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると ∫ ∇ 2 ψ ∗ r ψ   d r = [ ∇ ψ ∗ r ψ ] − ∞ + ∞ − ∫ ∇ ψ ∗ ∇ ( r ψ ) d r = − [ ψ ∗ ∇ ( r ψ ) ] − ∞ + ∞ + ∫ ψ ∗ ∇ 2 ( r ψ ) d r = ∫ ψ ∗ ∇ ( ∇ r ψ + r ∇ ψ ) d r = ∫ [ ψ ∗ ∇ ψ + ψ ∗ ∇ ( r ∇ ψ ) ] d r = ∫ [ 2 ψ ∗ ∇ ψ + ψ ∗ r ∇ 2 ψ ] d r {\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi \ \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\mathbf {r} \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{2}(\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla (\nabla \mathbf {r} \psi +\mathbf {r} \nabla \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \nabla \psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[2\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} これらを用いると m d 2 d t 2 ⟨ r ⟩ = − i ℏ d d t ∫ ψ ∗ ∇ ψ d r = − i ℏ ∫ [ ∂ ψ ∗ ∂ t ∇ ψ + ψ ∗ ∇ ∂ ψ ∂ t ] d r {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} =-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} } 再度シュレーディンガー方程式を用いて − i ℏ ∫ [ ∂ ψ ∗ ∂ t ∇ ψ + ψ ∗ ∇ ∂ ψ ∂ t ] d r = − i ℏ ∫ [ − 1 i ℏ ( H ^ ψ ∗ ) ∇ ψ + ψ ∗ ∇ 1 i ℏ ( H ^ ψ ) ] d r = ∫ [ { − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) } ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∗ ∇ { − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) } ψ ] d r = − ℏ 2 2 m ∫ [ ∇ 2 ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∗ ∇ 3 ψ ] d r + ∫ [ U ( r ) ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∗ ∇ ( U ( r ) ψ ) ] d r {\displaystyle {\begin{aligned}-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &=-i\hbar \int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla \left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} +\int \left[U(\mathbf {r} )\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U(\mathbf {r} )\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} また部分積分を使うと、 ∫ ∇ 2 ψ ∗ ∇ ψ d r = [ ∇ ψ ∗ ∇ ψ ] − ∞ + ∞ − ∫ ∇ ψ ∗ ∇ 2 ψ d r = − [ ψ ∗ ∇ 2 ψ ] − ∞ + ∞ + ∫ ψ ∗ ∇ 3 ψ d r = ∫ ψ ∗ ∇ 3 ψ d r {\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\nabla \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi ]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} 加えて U ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∗ ∇ ( U ψ ) = U ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∗ ∇ U ψ − U ψ ∗ ∇ ψ = − ψ ∗ ∇ U ψ {\displaystyle {\begin{aligned}U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U\psi )&=U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla U\psi -U\psi ^{*}\nabla \psi \\&=-\psi ^{*}\nabla U\psi \end{aligned}}} を用いると、 m d 2 d t 2 ⟨ r ⟩ = − ∫ ψ ∗ ∇ U ψ d r {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\int \psi ^{*}\nabla U\psi \mathrm {d} \mathbf {r} } を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から ∇ U {\displaystyle \nabla U} の期待値であるから、 m d 2 d t 2 ⟨ r ⟩ = − ⟨ ∇ U ⟩ {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\langle \nabla U\rangle } となる。 [脚注の使い方] ^ 文部省、日本物理学会編『学術用語集 物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi。  古典物理学 表示 編集