混線内接円

混線内接円（こんせんないせつえん、英: mixtilinear incircle）とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 A {\displaystyle A} を含む二辺に接する混線内接円は A {\displaystyle A} 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。 三角形 A B C {\displaystyle ABC} の A {\displaystyle A} 傍接円は一意に存在する。 A {\displaystyle A} を中心とし A B ⋅ A C {\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}} を半径とする反転と、角 A {\displaystyle A} の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を Φ {\displaystyle \Phi } とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、 Φ {\displaystyle \Phi } も同様である。このとき、 Φ {\displaystyle \Phi } による A {\displaystyle A} 傍接円の像は、辺 A B {\displaystyle AB} と辺 A C {\displaystyle AC} に内接し、かつ三角形 A B C {\displaystyle ABC} の外接円に接するので、すなわち A {\displaystyle A} 混線内接円である。したがって、 A {\displaystyle A} 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により B {\displaystyle B} と C {\displaystyle C} に対しても同じことが示される。 A {\displaystyle A} 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる。 角の二等分線を交わらせることで内心 I {\displaystyle I} を描く。 I {\displaystyle I} を通り直線 A I {\displaystyle AI} に垂直な直線を描き、直線 A B {\displaystyle AB} と A C {\displaystyle AC} との交点をそれぞれ点 D {\displaystyle D} と E {\displaystyle E} とする。これらは混線内接円が接する点になる。 点 D {\displaystyle D} と E {\displaystyle E} からそれぞれ A B {\displaystyle AB} と A C {\displaystyle AC} の垂線を描き、その交点を O A {\displaystyle O_{A}} とする。 O A {\displaystyle O_{A}} を中心とし O A E {\displaystyle O_{A}E} を半径とする円が混線内接円である。 この作図は次の事実により保証されている。 この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である。 Γ {\displaystyle \Gamma } を三角形 A B C {\displaystyle ABC} の外接円とし、 T A {\displaystyle T_{A}} を A {\displaystyle A} 混線内接円 Ω A {\displaystyle \Omega _{A}} と Γ {\displaystyle \Gamma } の接点とする。 T A {\displaystyle T_{A}} と異なる点 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} を、それぞれ T A D {\displaystyle T_{A}D} と Γ {\displaystyle \Gamma } の、 T A E {\displaystyle T_{A}E} と Γ {\displaystyle \Gamma } の交点とする。 T A {\displaystyle T_{A}} を中心として Ω A {\displaystyle \Omega _{A}} と Γ {\displaystyle \Gamma } のあいだに相似変換を施すことにより、 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} がそれぞれ Γ {\displaystyle \Gamma } の弧 A B {\displaystyle AB} と A C {\displaystyle AC} の中点であることがわかる。円周角の定理により、 X , I , C {\displaystyle X,I,C} と Y , I , B {\displaystyle Y,I,B} がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を Γ {\displaystyle \Gamma } に接する六角形 X C A B Y T A {\displaystyle XCABYT_{A}} に適用することにより、 D , I , E {\displaystyle D,I,E} が共線であることがわかる。角 ∠ D A I {\displaystyle \angle {DAI}} と ∠ I A E {\displaystyle \angle {IAE}} が等しいことから、 I {\displaystyle I} が線分 D E {\displaystyle DE} の中点であることが従う。 次の公式は内接円の半径 r {\displaystyle r} と三角形 A B C {\displaystyle ABC} の A {\displaystyle A} 混線内接円の半径 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} を結びつける。 r = ρ A cos 2 ⁡ A 2 {\displaystyle r=\rho _{A}\cos ^{2}{\frac {A}{2}}} このことから即座に次の式が従う： A D = A E = ρ A tan ⁡ A 2 = 2 r sin ⁡ A = b c s {\displaystyle AD=AE={\frac {\rho _{A}}{\tan {\frac {A}{2}}}}={\frac {2r}{\sin {A}}}={\frac {bc}{s}}} ただし s {\displaystyle s} は半周長であり、またこの式は点 A , B , C {\displaystyle A,B,C} と円 O {\displaystyle O} に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる。 点 A {\displaystyle A} を含む弧 B C {\displaystyle BC} の中点は直線 T A I {\displaystyle T_{A}I} 上にある。 四角形 T A X A Y {\displaystyle T_{A}XAY} は調和四角形である。すなわち、 T A A {\displaystyle T_{A}A} は三角形 X T A Y {\displaystyle XT_{A}Y} の類似中線である。 T A B D I {\displaystyle T_{A}BDI} と T A C E I {\displaystyle T_{A}CEI} は共円四辺形である。 T A {\displaystyle T_{A}} は B {\displaystyle B} と I {\displaystyle I} をそれぞれ I {\displaystyle I} と C {\displaystyle C} に写す螺旋相似（英語版）の中心である。 各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(56) として紹介されている。三線座標では a c + a − b : b c + a − b : c a + b − c {\displaystyle {\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}} であり、重心座標では a 2 c + a − b : b 2 c + a − b : c 2 a + b − c {\displaystyle {\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}} である。 この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。よってこの点はフォイエルバッハ双曲線上にある。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる。 三つの混線内接円の根心 J {\displaystyle J} は、 O I {\displaystyle OI} を O J : J I = 2 R : − r {\displaystyle OJ:JI=2R:-r} に内分する。ここで I {\displaystyle I} は内心、 r {\displaystyle r} は内半径、 O {\displaystyle O} は外心、 R {\displaystyle R} は外半径である。 J {\displaystyle J} はミッテンプンクトの等角共役X(57)と内心の中点である。また、重心とジョンソン中点（オランダ語版）と共線である。Encyclopedia of Triangle CentersではX(999)に該当し三線座標は以下の式で与えられる。 a ( a 2 + 4 b c − b 2 − c 2 ) : b ( b 2 + 4 c a − c 2 − a 2 ) : c ( c 2 + 4 a b − a 2 − b 2 ) {\displaystyle a(a^{2}+4bc-b^{2}-c^{2}):b(b^{2}+4ca-c^{2}-a^{2}):c(c^{2}+4ab-a^{2}-b^{2})} ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に外接する円を混線傍接円（Mixtilinear excircles）という。混線内接円と同様に、二辺との接点の中点は傍心である。また、混線傍接円の中心の成す三角形は第ニ混線三角形（2nd mixtilinear triangle,outer-mixtilinear triangle）と呼ばれる。 各頂点と、それに対応する混線傍接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の内相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(55) として紹介されている。三線座標では a ( c + a − b ) : b ( c + a − b ) : c ( a + b − c ) {\displaystyle a(c+a-b):b(c+a-b):c(a+b-c)} であり、重心座標では a 2 ( c + a − b ) : b 2 ( c + a − b ) : c 2 ( a + b − c ) {\displaystyle a^{2}(c+a-b):b^{2}(c+a-b):c^{2}(a+b-c)} である。 この点はOI線、重心とフォイエルバッハ点、垂心とフォイエルバッハ点の調和共役、ナーゲル点とシフラー点を通る直線上にある。また、ジェルゴンヌ点の等角共役である。混線傍接円が外接円と接する点の成す三角形は第四混線三角形（4th mixtilinear triangle）と呼ばれる。 三つの混線傍接円の根心 J ′ {\displaystyle J'} は O I {\displaystyle OI} を O J ′ : J ′ I = 2 R : 4 R − r {\displaystyle OJ':J'I=2R:4R-r} に内分する。Encyclopedia of Triangle CentersではX(6244)に該当し三線座標は以下の式で与えられる。 f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) {\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)} ただし f ( a , b , c ) = a ( a 4 − 2 ( b + c ) a 3 + 10 a 2 b c + 2 ( b + c ) ( b 2 + c 2 − 4 b c ) a − ( 4 b c + b 2 + c 2 ) ( b − c ) 2 ) {\displaystyle f(a,b,c)=a(a^{4}-2(b+c)a^{3}+10a^{2}bc+2(b+c)(b^{2}+c^{2}-4bc)a-(4bc+b^{2}+c^{2})(b-c)^{2})} 3つの混線傍接円のアポロニウス円（3つの混線傍接円に外接する円）の中心はOI線上に存在する。 曲線内接円 ^ チェン, エヴァン『数学オリンピック幾何への挑戦：ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年、98頁。  ^ a b c d Baca, Jafet. “On Mixtilinear Incircles”. October 27, 2021閲覧。 ^ Weisstein, Eric W.. “Mixtilinear Incircles” (英語). mathworld.wolfram.com. 2021年10月31日閲覧。 ^ Nguyen Chuong Chi (2018). “A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama Lemma”. International Journal of Computer Discovered Mathematics Volume 3: 1-4. https://journal-1.eu/2018/Nguyen%20Chuong%20Chi%20-%20Dao's%20generalization.pdf.  ^ Jean-Louis Ayme. “Sawayama and Thebault’s theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月19日閲覧。 ^ Yui, Paul (April 23, 2018). “Mixtilinear Incircles”. The American Mathematical Monthly 106 (10): 952–955. doi:10.1080/00029890.1999.12005146. https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1999.12005146 October 27, 2021閲覧。.  ^ 岩田至康『幾何学大辞典 補巻2』槙書店、1993年、23頁。ISBN 4837506119。  ^ a b Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. pp. 68. ISBN 978-1-61444-411-4  ^ a b c d Nguyen, Khoa Lu (2006年). “On Mixtilinear Incircles and Excircles”. Forum Geometricorum. 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The Journal of Symbolic Geometry (Volume 1). https://journal.geometryexpressions.com/pdf/Mixtilinear.pdf#:~:text=A%20mixtilinear%20excircle%20is%20tangent%20to%202%20sides,of%20a%20triangle%20and%20%28externally%29%20to%20the%20circumcircle..  ^ “CREATIVE GEOMETRY”. arXiv. 2024年6月23日閲覧。 ^ “Mixtilinear”. users.math.uoc.gr. 2024年6月23日閲覧。 ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(55) = INSIMILICENTER(CIRCUMCIRCLE, INCIRCLE)”. faculty.evansville.edu. 2024年6月23日閲覧。 ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part4 X(6244) = 1st-CIRCUMPERP-TRIANGLE-ORTHOLOGIC CENTER OF MIXTILINEAR TRIANGLE”. faculty.evansville.edu. 2024年6月23日閲覧。 ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part5 X(8158) = CENTER OF THE APOLLONIAN CIRCLE OF THE EXTERNAL MIXTILINEAR CIRCLES”. faculty.evansville.edu. 2024年6月23日閲覧。