ポンスレの閉形定理

幾何学において、ポンスレの閉形定理（ぽんすれのへいけいていり、英: Poncelet's closure theorem, Poncelet's porism）または単にポンスレの定理は、二つの円錐曲線にそれぞれ外接（英語版）、 内接する多角形が1つでも存在すれば、そのような多角形は無数に存在するという定理である。1746年、ウィリアム・チャップル（英語版） が三角形の場合を証明し、1822年、ポンスレが一般の場合を解決した。 C,Dを二つの円錐曲線とする。3以上の整数nについて、あるn角形がCに外接する（多角形の頂点すべてがC上にある）かつDに内接する（多角形の辺すべてがDと接する）ならば、同様にCに外接しDに内接するn角形を無数に見つけることができる。CまたはD上の任意の点はそのような多角形の接点になり得る。 C,Dがともに円ならばこの多角形は双心多角形と呼ばれる。双心多角形はPoncelet's porismの一部である。 C,Dを複素射影平面（英語版） P2上の曲線として見る。簡単のため、C,Dは単純な交点を持つとする（非特異で一般の位置（英語版）にある）。このときベズーの定理よりC,Dの交点は4つ存在する。点cを通るDの接線ℓdの接点をd、(c,d)をもつC×Dの部分代数多様体をXをとする。c∈C∩Dならばdは1つ、でなければ2つ存在する。したがって射影X → C ≃ P1は、Xを4点以上で分岐した位数2の自己同型で表す。つまりXは楕円曲線である。 (c,d)を同一座標上の点(c,d' )へ移すXの対合を σ {\displaystyle \sigma } とする。不動点をもつ楕円曲線の対合は、群として、x→p - xと表現されるので、 σ {\displaystyle \sigma } もこの形式となる。同様に射影X → Dも、C,Dの4つの共通接線とDの接点で分岐した位数2の自己同型であり、対合 τ {\displaystyle \tau } はx→q - xと一致する。したがって合成写像 τ σ {\displaystyle \tau \sigma } はXへの変換を表す。 τ σ {\displaystyle \tau \sigma } のべきが不動点を持つならば、そのべきはその点で恒等写像である必要がある。C,Dに言い換えると、（対応するdの存在する）ある点c∈Cが閉じた軌道をつくる（つまりn角形を作る）ならば、すべての点が不動であるということである。C,Dが退化した場合は極限を取ることで導かれる。 Finding Ellipses（英語版） ハーツホーン楕円（英語版） シュタイナー円鎖 円の接線（英語版） イーガン予想 ^ King, Jonathan L. (1994). “Three problems in search of a measure”. Amer. Math. Monthly 101: 609–628. doi:10.2307/2974690. http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/three-problems-in-search-of-a-measure-0.  ^ Weisstein, Eric W.. “Poncelet's Porism” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月10日閲覧。 ^ 有賀, 雅雪、アルガ, マサユキ「ポンスレの定理について」2013年7月1日。  ^ Komori, Yohei、小森, 洋平「ポンスレの定理について」2014年3月25日。  ^ Arthur Holshouser, Stanislav Molchanov, and Harold Reiter (2016). “Applying Poncelet’s Theorem to the Pentagon and the Pentagonal Star”. Forum Geometricorum 16: 141-149. https://web.archive.org/web/20221206154929/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201619.pdf.  ^ Arthur Holshouser, Stanislav Molchanov, and Harold Reiter (2026). “ASpecial Case of Poncelet’s Problem”. Forum Geometricorum 16: 151–170. https://web.archive.org/web/20221205190148/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201620.pdf.  ^ Poncelet, Jean-Victor (1865) [1st. ed. 1822] (フランス語). Traité des propriétés projectives des figures; ouvrage utile à ceux qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain (2nd ed.). Paris: Gauthier-Villars. pp. 311-317. https://archive.org/details/traitdespropri01poncuoft/page/n486/mode/1up  ^ Del Centina, Andrea (2016), “Poncelet's porism: a long story of renewed discoveries, I”, Archive for History of Exact Sciences 70 (1): 1–122, doi:10.1007/s00407-015-0163-y, MR3437893  ^ “FG200102index”. web.archive.org (2023年1月27日). 2024年7月11日閲覧。 ^ Mirko Radi´c (2004). “Extreme Areas of Triangles in Poncelet’s Closure Theorem”. Forum Geometricorum 4: 23–26. https://web.archive.org/web/20240516134333/https://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200403.pdf.  ^ Johnson, Roger A. (2013-01-08) (英語). Advanced Euclidean Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15498-5. https://books.google.co.jp/books/about/Advanced_Euclidean_Geometry.html?id=559e2AVvrvYC&redir_esc=y  Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. "Poncelet's closure theorem". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364. David Speyer on Poncelet's Porism D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics Interactive applet by Michael Borcherds showing the cases n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (including the convex cases for n = 7, 8) made using GeoGebra. Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for a general Ellipse and a Parabola made using GeoGebra. Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 3) made using GeoGebra. Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 5) made using GeoGebra. Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 6) made using GeoGebra. Java applet showing the exterior case for n = 3 at National Tsing Hua University. Article on Poncelet's Porism at Mathworld.