カラテオドリの定理 (凸包)

数学の凸幾何学（英語版）の分野におけるカラテオドリの定理（カラテオドリのていり、英: Carathéodory's theorem）とは、Rd 内の点 x がある集合 P の凸包に属するなら、d + 1 個あるいはそれ以下の個数の点からなる P の部分集合 P′ で、x がその凸包に属するようなものが存在する。また同値であるが、 r ≤ d {\displaystyle r\leq d} に対し、x は P 内の頂点の r-単体に属する。1911年に、P がコンパクトである場合の証明を与えたコンスタンティン・カラテオドリの名にちなむ。1914年には、エルンスト・スタイニッツ（英語版）がその定理を Rd 内の任意の集合 P に対して拡張した。 例えば、R2 の部分集合である P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} を考える。この集合の凸包は正方形である。今、P の凸包に属する点 x = (1/4, 1/4) を考える。このとき、凸包が三角形であるような集合 {(0,0),(0,1),(1,0)} = P′ を構成すると、x はその中に属し、|P′| = 3 であるために定理が成立する一例となる。2次元の場合は、この例のように P 内の任意の点を囲む三角形を P の点から構成することが出来るので、カラテオドリの定理を図として可視化する試みは有用となる。 x を P の凸包に属する点とする。このとき x は P 内の有限個の点の凸結合である。すなわち x = ∑ j = 1 k λ j x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\mathbf {x} _{j}} と書ける。但し xj はすべて P に属し、λj はすべて非負であり、 ∑ j = 1 k λ j = 1 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}=1} である。 k > d + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 x2 − x1, ..., xk − x1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー μ2, ..., μk に対して ∑ j = 2 k μ j ( x j − x 1 ) = 0 {\displaystyle \sum _{j=2}^{k}\mu _{j}(\mathbf {x} _{j}-\mathbf {x} _{1})=\mathbf {0} } が成り立つ。μ1 が μ 1 := − ∑ j = 2 k μ j {\displaystyle \mu _{1}:=-\sum _{j=2}^{k}\mu _{j}} のように定義されるなら、 ∑ j = 1 k μ j x j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}\mathbf {x} _{j}=\mathbf {0} } ∑ j = 1 k μ j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}=0} となり、この μj のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ μj > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 α に対して x = ∑ j = 1 k λ j x j − α ∑ j = 1 k μ j x j = ∑ j = 1 k ( λ j − α μ j ) x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\mathbf {x} _{j}-\alpha \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}\mathbf {x} _{j}=\sum _{j=1}^{k}(\lambda _{j}-\alpha \mu _{j})\mathbf {x} _{j}} が成り立つ。特に、等号は α が次のように定義されたときに成り立つ。 α := min 1 ≤ j ≤ k { λ j μ j : μ j > 0 } = λ i μ i . {\displaystyle \alpha :=\min _{1\leq j\leq k}\left\{{\tfrac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}:\mu _{j}>0\right\}={\tfrac {\lambda _{i}}{\mu _{i}}}.} ここで α>0 であり、1 と k の間のすべての j に対して λ j − α μ j ≥ 0 {\displaystyle \lambda _{j}-\alpha \mu _{j}\geq 0} であることに注意されたい。特に α の定義から λi − αμi = 0 である。したがって x = ∑ j = 1 k ( λ j − α μ j ) x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}(\lambda _{j}-\alpha \mu _{j})\mathbf {x} _{j}} が成り立つ。但しすべての λ j − α μ j {\displaystyle \lambda _{j}-\alpha \mu _{j}} は非負で、それらの和は 1 で、 λ i − α μ i = 0 {\displaystyle \lambda _{i}-\alpha \mu _{i}=0} である。言い換えると、x は高々 k-1 個の P の点の凸結合として表現される。この過程を x が高々 d + 1 個の P の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。 シャプレー＝フォークマンの補題（英語版） ヘリーの定理 クレイン＝ミルマンの定理 ショケー理論（英語版） Carathéodory, C. (1911), “Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 32: 193–217, doi:10.1007/BF03014795 . Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), “Helly's theorem and its relatives”, Convexity, Proc. Symp. Pure Math., 7, American Mathematical Society, pp. 101–179 . Eckhoff, J. (1993), “Helly, Radon, and Carathéodory type theorems”, Handbook of Convex Geometry, A, B, Amsterdam: North-Holland, pp. 389–448 . Steinitz, Ernst (1913), “Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme”, J. Reine Angew. Math. 143 (143): 128–175, doi:10.1515/crll.1913.143.128.  『凸包に関するカラテオドリの定理とその証明』 - 高校数学の美しい物語 凸包に関する定理の簡単な内容（PlanetMath）