三極座標

三極座標（さんきょくざひょう、英: tripolar coordinates）は、三角形を基準とする座標の一つである。三極座標では△ABCに対して点 P {\displaystyle P} の座標は ( A P , B P , C P ) {\displaystyle (AP,BP,CP)} と定義される。現在、三極座標はほとんど使われない。 レオンハルト・オイラーは三極座標 ( f , g , h ) {\displaystyle (f,g,h)} において、次の関係式が成り立つことを示した。ただし a , b , c {\displaystyle a,b,c} は三角形の三辺。 ( − a 2 + g 2 + h 2 ) 2 f 2 + ( f 2 − b 2 + h 2 ) 2 g 2 + ( f 2 + g 2 − c 2 ) 2 h 2 + ( − a 2 + g 2 + h 2 ) ( f 2 − b 2 + h 2 ) ( f 2 + g 2 − c 2 ) − 4 f 2 g 2 h 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}-c^{2})^{2}h^{2}+(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}-c^{2})\\-4f^{2}g^{2}h^{2}=0\end{aligned}}} 和算家は次の式を六斜術と呼んだ。 ( − a 2 + b 2 + c 2 ) ( g 2 h 2 + a 2 f 2 ) + ( a 2 − b 2 + c 2 ) ( h 2 f 2 + b 2 g 2 ) + ( a 2 + b 2 − c 2 ) ( f 2 g 2 + a 2 h 2 ) − a 2 b 2 c 2 − a 2 f 4 − b 2 g 4 − c 2 h 4 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(g^{2}h^{2}+a^{2}f^{2})+(a^{2}-b^{2}+c^{2})(h^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})+(a^{2}+b^{2}-c^{2})(f^{2}g^{2}+a^{2}h^{2})\\-a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}f^{4}-b^{2}g^{4}-c^{2}h^{4}=0\end{aligned}}} 三極座標において、方程式 l f 2 + m g 2 + n h 2 + p = 0 {\displaystyle lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0} は直線を表す。方程式 l + m + n = 0 {\displaystyle l+m+n=0} は円を表す。 円 l + m + n = 0 {\displaystyle l+m+n=0} の中心は重心座標系で ( l : m : n ) {\displaystyle (l:m:n)} と表される。 直線 l f 2 + m g 2 + n h 2 + p = 0 {\displaystyle lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0} は重心座標で l x + m y + n z = 0 {\displaystyle lx+my+nz=0} と表される直線に垂直である。 ( f , g , h ) {\displaystyle (f,g,h)} について、三極座標 f : g : h = x : y : z {\displaystyle f:g:h=x:y:z} を満たす点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} の個数は、 a f , b g , c h {\displaystyle af,bg,ch} によって決定される。 a f , b g , c h {\displaystyle af,bg,ch} が三角形を作れる（三角不等式を満たす）とき、2つ存在する。この二点は三極連合を成すと言われる。 a f , b g , c h {\displaystyle af,bg,ch} が退化した三角形を作る（どれか2つの和が残り一つの値に等しい）とき1つ存在する。 a f , b g , c h {\displaystyle af,bg,ch} が三角形を作れない場合、存在しない。 たとえば f : g : h = 1 a : 1 b : 1 c {\displaystyle f:g:h={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}} を満たす点は二つの等力点である。 以下にいくつかの三角形の中心の三極座標を挙げる。ただし R {\displaystyle R} は外接円の半径。 一般に重心座標で p ; q ; r ( p + q + r = 1 ) {\displaystyle p;q;r\quad (p+q+r=1)} と表される点と頂点の距離の自乗は次の式で求める事ができる。 A P 2 = c 2 q 2 + b 2 r 2 + ( b 2 + c 2 − a 2 ) q r {\displaystyle AP^{2}=c^{2}q^{2}+b^{2}r^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})qr} ^ 『英和数学新字典』開新堂、1902年、69頁。doi:10.11501/826188。  ^ a b Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助 訳『初等幾何学 第1巻 平面之部,Traité de géométrie. 7. éd』山海堂書店、1913年、566,633頁。doi:10.11501/930885。https://archive.org/details/traitdegomtriel02combgoog。  ^ Gallatly, William『The modern geometry of the triangle』Cornell University Library、London, F. Hodgson、1910年、9頁。http://archive.org/details/cu31924001522782。  ^ Bates, G. N. (1902-07). “Tripolar Coordinates” (英語). The Mathematical Gazette 2 (34): 183–188. doi:10.2307/3602490. ISSN 0025-5572. https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/tripolar-coordinates/258872EE1712D5F165944357817D3A36.  ^ “Relating Trilinear and Tripolar Coordinates for a Triangle - Wolfram Demonstrations Project” (英語). demonstrations.wolfram.com. 2024年8月10日閲覧。 ^ サーモン 著、小倉金之助 訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂、1914年、199頁。doi:10.11501/952208。  ^ a b Weisstein, Eric W.. “Tripolar Coordinates” (英語). MathWorld. 2024年8月10日閲覧。 ^ AP Hatzipolakis, F van Lamoen, B Wolk en P Yiu. Concurrency of Four Euler, 2001. voor Forum Geometricorum 1, blz 59-68, hier beschikbaar ^ Leonhard Euler『De symptomatibus quatuor punctorum, in eodem plano sitorum』Acta Acad. Sci.。https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1600&context=euler-works。  ^ a b 一松, 信、畔柳, 和生『重心座標による幾何学』現代数学社、2014年。https://ci.nii.ac.jp/ncid/BB16754511。  ^ BottemaO.; ErneReinie 著、BottemaO. 編（英語）『The Distances from a Point to the Vertices of a Triangle』Springer、2008年、1–5頁。doi:10.1007/978-0-387-78131-0_8。ISBN 978-0-387-78131-0。https://doi.org/10.1007/978-0-387-78131-0_8。  ^ “三角形の五心と頂点までの距離”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年8月10日閲覧。 三線座標 双極座標系 極座標系