算術幾何平均

数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。 | arg ⁡ ( b / a ) | ≠ π {\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi } である複素数 a ,   b {\displaystyle a,\ b} について a 0 = a , b 0 = b {\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b} a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)} と定めれば数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} と { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} は同じ値に収束する。その極限を a ,   b {\displaystyle a,\ b} の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 b n {\displaystyle b_{n}} の根号の符号は算術平均 a n {\displaystyle a_{n}} の側にあるものを選ぶものとする。 M ( a , b ) = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle M(a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}} ℜ ( b / a ) > 0 {\displaystyle \Re (b/a)>0} の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。 M ( a , b ) = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle M(a,b)={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}} ℜ ( b / a ) = 0 {\displaystyle \Re (b/a)=0} の場合は、次式になる。 M ( a , b ) = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ ( a + b 2 ) 2 cos 2 ⁡ θ + a b sin 2 ⁡ θ = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ ( a + b 2 ) 2 − ( a − b 2 ) 2 sin 2 ⁡ θ = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ ( a + b 2 ) 1 − ( a − b a + b ) 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}M(a,b)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta +ab\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\left({\frac {a+b}{2}}\right){\sqrt {1-\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\\\end{aligned}}} a ,   b {\displaystyle a,\ b} が正の実数である場合、 a n + 1 = a n + b n 2 ≥ a n ⋅ b n = b n + 1 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\geq {\sqrt {a_{n}\cdot b_{n}}}=b_{n+1}} が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、 a n ≥ a n + 1 , {\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1},} b n + 1 ≥ b n {\displaystyle b_{n+1}\geq b_{n}} となることから a 0 ≥ a 1 ≥ a 2 ≥ ⋯ ≥ b 2 ≥ b 1 ≥ b 0 {\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq b_{2}\geq b_{1}\geq b_{0}} という関係が成り立っている。{an} は下に有界な単調減少数列であり、{bn} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{an} の極限を α とし、{bn} の極限を β とすると定義の漸化式から α = α + β 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}} β = α β {\displaystyle \beta ={\sqrt {\alpha \beta }}} が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {an}, {bn} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。 正の定数 c > 0 {\displaystyle c>0} に対し M ( c a , c b ) = c M ( a , b ) {\displaystyle M(ca,cb)=cM(a,b)} が成り立つ。 この数列の収束は | a n + 1 − b n + 1 | = ( a n − b n ) 2 2 ( a n + b n ) 2 ≤ C ( a n − b n ) 2 {\displaystyle |a_{n+1}-b_{n+1}|={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{2({\sqrt {a_{n}}}+{\sqrt {b_{n}}})^{2}}}\leq C(a_{n}-b_{n})^{2}} を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。 また次のことが知られている。 π 2 = M ( 1 , 1 − k 2 ) ∫ 0 1 d z ( 1 − z 2 ) ( 1 − k 2 z 2 ) . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})\int _{0}^{1}{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}.} 右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。 複素数 a ,   b {\displaystyle a,\ b} の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。 a n 2 − b n 2 = ( a n + b n ) ( a n − b n ) {\displaystyle a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_{n}+b_{n})(a_{n}-b_{n})} a n + 1 2 − b n + 1 2 = ( a n + b n 2 ) 2 − a n b n = ( a n − b n ) 2 4 {\displaystyle a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)^{2}-a_{n}b_{n}={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{4}}} | a n − b n | < | a n + b n | {\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right|<\left|a_{n}+b_{n}\right|} となるように b n {\displaystyle b_{n}} の根号の符号を決めると約束したので、 | a n + 1 2 − b n + 1 2 | | a n 2 − b n 2 | = | a n − b n | 4 | a n + b n | < 1 4 {\displaystyle {\frac {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}}={\frac {\left|a_{n}-b_{n}\right|}{4\left|a_{n}+b_{n}\right|}}<{\frac {1}{4}}} である。 d n {\displaystyle d_{n}} を a n {\displaystyle a_{n}} の階差とすれば d n = a n + 1 − a n = − a n − b n 2 {\displaystyle d_{n}=a_{n+1}-a_{n}=-{\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}} | d n + 1 | | d n | = | a n + 2 2 − b n + 2 2 | | a n + 1 2 − b n + 1 2 | < 1 2 {\displaystyle {\frac {\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_{n}\right|}}={\frac {\sqrt {\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}}<{\frac {1}{2}}} である。したがって、級数 ∑ d n {\displaystyle \sum {d_{n}}} は絶対収束する。すなわち、数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は収束し、数列 { b n = 2 a n + 1 − a n } {\displaystyle \{b_{n}=2a_{n+1}-a_{n}\}} は { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} と同じ値に収束する。 算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、 a ,   b {\displaystyle a,\ b} は正の実数とする。 I ( a , b ) = ∫ 0 π / 2 d θ a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2 sin 2 ⁡ θ = ∫ 0 π / 2 d θ ( a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2 sin 2 ⁡ θ ) ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = ∫ 0 π / 2 d θ cos 2 ⁡ θ ( a 2 + b 2 tan 2 ⁡ θ ) ( 1 + tan 2 ⁡ θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {(a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta )(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{{\cos ^{2}\theta }{\sqrt {(a^{2}+b^{2}\tan ^{2}\theta )(1+\tan ^{2}\theta )}}}}\\\end{aligned}}} x = tan ⁡ θ {\displaystyle x=\tan \theta } と置換すると、 I ( a , b ) = ∫ 0 ∞ d x ( a 2 + b 2 x 2 ) ( 1 + x 2 ) = ∫ 0 ∞ d x a 2 x 2 + b 2 x 2 + b 2 x 4 + a 2 = ∫ 0 ∞ d x ( a + b ) 2 x 2 + ( b x 2 − a ) 2 = 1 2 ∫ 0 ∞ d x x ( a + b 2 ) 2 + ( b x 2 − a 2 x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}x^{2})(1+x^{2})}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}x^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}x^{4}+a^{2}}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a+b)^{2}x^{2}+(bx^{2}-a)^{2}}}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x{\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+\left(\displaystyle {\frac {bx^{2}-a}{2x}}\right)^{2}}}}}\\\end{aligned}}} t = b x 2 − a 2 a b x {\displaystyle t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}}} と置換することによって、 x = a b t + a b + a b t 2 , d x = ( a b + a b a b + a b t 2 ) d t = x 1 + t 2 d t {\displaystyle x={\sqrt {ab}}\;t+{\sqrt {ab+abt^{2}}},\quad dx=\left({\sqrt {ab}}+{\frac {\sqrt {ab}}{\sqrt {ab+abt^{2}}}}\right)dt={\frac {x}{\sqrt {1+t^{2}}}}dt} I ( a , b ) = 1 2 ∫ − ∞ ∞ d t ( ( a + b 2 ) 2 + a b t 2 ) ( 1 + t 2 ) = ∫ 0 ∞ d t ( ( a + b 2 ) 2 + a b t 2 ) ( 1 + t 2 ) = I ( a + b 2 , a b ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=I\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)\end{aligned}}} となる。したがって、 I ( a , b ) = I ( a 1 , b 1 ) = lim n → ∞ I ( a n , b n ) = lim n → ∞ I ( M ( a , b ) , M ( a , b ) ) = ∫ 0 π / 2 d θ M ( a , b ) 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = π 2 M ( a , b ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=I(a_{1},b_{1})=\lim _{n\to \infty }I(a_{n},b_{n})=\lim _{n\to \infty }I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {M(a,b)^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}={\frac {\pi }{2M(a,b)}}\\\end{aligned}}} a ,   b {\displaystyle a,\ b} が複素数である場合は、積分路 t = b x 2 − a 2 a b x {\displaystyle t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}}} と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。 u = ℜ ( b / a ) {\displaystyle u=\Re \left(b/a\right)} , v = ℑ ( b / a ) {\displaystyle v=\Im \left(b/a\right)} とすれば、 t a + b 2 a b = ( b / a ) x 2 − 1 ( 1 + b / a ) x = ( u + i v ) x 2 − 1 ( 1 + u + i v ) x = ( u x 2 − 1 + i v x 2 ) ( 1 + u − i v ) ( ( 1 + u ) 2 + v 2 ) x = ( u + u 2 + v 2 ) x 2 − ( 1 + u ) + i v x 2 + i v ( 1 + 2 u + u 2 + v 2 ) x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {(b/a)x^{2}-1}{(1+b/a)x}}={\frac {(u+iv)x^{2}-1}{(1+u+iv)x}}\\&={\frac {(ux^{2}-1+ivx^{2})(1+u-iv)}{\left((1+u)^{2}+v^{2}\right)x}}\\&={\frac {(u+u^{2}+v^{2})x^{2}-(1+u)+ivx^{2}+iv}{(1+2u+u^{2}+v^{2})x}}\\\end{aligned}}} これに x 2 = 1 + u u + u 2 + v 2 {\displaystyle x^{2}={\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}} を代入すると t a + b 2 a b = i v 1 + 2 u + 2 + v 2 u 2 + v 2 + u ( 1 + 2 u + u 2 + v 2 ) 1 + u u + u 2 + v 2 = i v ( 1 + u ) ( u + u 2 + v 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {iv{\frac {1+2u+^{2}+v^{2}}{u^{2}+v^{2}+u}}}{(1+2u+u^{2}+v^{2}){\sqrt {\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}}}}\\&={\frac {iv}{\sqrt {(1+u)(u+u^{2}+v^{2})}}}\\\end{aligned}}} であり、 u > 0 {\displaystyle u>0} となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 ± i a + b 2 {\displaystyle \pm i\,{\frac {a+b}{2}}} の間（原点に近いところ）を通る。また、 u ′ = ℜ ( b / a ) {\displaystyle u'=\Re \left({\sqrt {b/a}}\right)} , v ′ = ℑ ( b / a ) {\displaystyle v'=\Im \left({\sqrt {b/a}}\right)} とすると、 t = b / a x 2 − a / b 2 x = ( u ′ + i v ′ ) 2 x 2 − 1 ( u ′ + i v ′ ) x = ( u ′ 2 + v ′ 2 ) ( u ′ + i v ′ ) x 2 − ( u ′ − i v ′ ) 2 ( u ′ 2 + v ′ 2 ) x {\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {{\sqrt {b/a}}\;x^{2}-{\sqrt {a/b}}}{2x}}={\frac {(u'+iv')^{2}x^{2}-1}{(u'+iv')x}}\\&={\frac {(u'^{2}+v'^{2})(u'+iv')x^{2}-(u'-iv')}{2(u'^{2}+v'^{2})x}}\\\end{aligned}}} これに x 2 = 1 u ′ 2 + v ′ 2 {\displaystyle x^{2}={\frac {1}{u'^{2}+v'^{2}}}} を代入すれば t = i v ′ u ′ 2 + v ′ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {iv'}{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}\\\end{aligned}}} であるから、積分路は極 ± i {\displaystyle \pm {i}} の間を通る。 | arg ⁡ ( b / a ) | ≠ π {\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi } である複素数 a ,   b {\displaystyle a,\ b} について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列 a 0 = a , b 0 = b {\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b} a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = 2 a n b n a n + b n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}\quad (n\geq 0)} の極限について AHM ⁡ ( a , b ) = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle \operatorname {AHM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}} である。つまり、算術調和平均は a ,   b {\displaystyle a,\ b} の幾何平均に等しい。このことは a n + 1 b n + 1 = a n + b n 2 ⋅ 2 a n b n a n + b n = a n b n {\displaystyle a_{n+1}b_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\cdot {\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}=a_{n}b_{n}} AHM ⁡ ( a , b ) = lim n → ∞ a n b n = a b {\displaystyle \operatorname {AHM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{n}b_{n}}}={\sqrt {ab}}} から明らかである。 | arg ⁡ ( b / a ) | ≠ π {\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi } である複素数 a ,   b {\displaystyle a,\ b} について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列 a 0 = a , b 0 = b {\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b} a n + 1 = 2 a n b n a n + b n , b n + 1 = a n b n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle a_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)} の極限について HGM ⁡ ( a , b ) = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle \operatorname {HGM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}} である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、 a n ,   b n {\displaystyle a_{n},\ b_{n}} を逆数にして ( 1 / a n + 1 ) = ( 1 / a n ) + ( 1 / b n ) , ( 1 / b n + 1 ) = ( 1 / a n ) ( 1 / b n ) {\displaystyle (1/a_{n+1})=(1/a_{n})+(1/b_{n}),\quad (1/b_{n+1})={\sqrt {(1/a_{n})(1/b_{n})}}} HGM ⁡ ( a , b ) = 1 AGM ⁡ ( 1 a , 1 b ) = a b AGM ⁡ ( b , a ) {\displaystyle \operatorname {HGM} (a,b)={\frac {1}{\operatorname {AGM} \left({\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}}\right)}}={\frac {ab}{\operatorname {AGM} \left(b,a\right)}}} から明らかである。 平均