モーメント (数学)

数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント (moment) または積率（せきりつ）とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。 実変数 x に関する関数 f(x) の n 次モーメント μ n ( 0 ) {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}} は、 μ n ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ x n f ( x ) d x {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx} で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 f(x) は一意に決定される。 μ = μ 1 ( 0 ) / μ 0 ( 0 ) {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/\mu _{0}^{(0)}} は f を密度関数とする測度の重心を表している。 関数 f(x) の c 周りの n 次モーメント μ n ( c ) {\displaystyle \mu _{n}^{(c)}} は、 μ n ( c ) = ∫ − ∞ ∞ ( x − c ) n f ( x ) d x {\displaystyle \mu _{n}^{(c)}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}f(x)\,dx} で表される。 重心周りのモーメント μn = μ(μ)n を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。 確率密度関数 f(x) のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。 全測度は1： μ 0 ( 0 ) = 1 {\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=1} 。 μ = μ 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}} は x の平均値。 σ 2 = μ 2 = μ 2 ( 0 ) − ( μ 1 ( 0 ) ) 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}=\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}} は分散、 σ = μ 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}}}} は標準偏差。 γ 1 = μ 3 / σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/\sigma ^{3}} は歪度。 γ 2 = μ 4 / σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}=\mu _{4}/\sigma ^{4}-3} は尖度。 変量統計における、データ x1, …, xN のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では μ n ( 0 ) = 1 N ∑ i = 1 N x i n , μ n ( c ) = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − c ) n , μ n = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) n {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}} と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。 もう1つの変量統計のモーメントの定義では μ n ( 0 ) = ∑ i = 1 N x i n , μ n ( c ) = ∑ i = 1 N ( x i − c ) n , μ n = ∑ i = 1 N ( x i − μ ) n {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}} と表される。 この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。 μ 0 ( 0 ) = N {\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=N} 。 μ = μ 1 ( 0 ) / N {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/N} は平均値。 σ 2 = μ 2 / N = { μ 2 ( 0 ) − ( μ 1 ( 0 ) ) 2 } / N {\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}/N=\{\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}\}/N} は分散、 σ = μ 2 / N {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}/N}}} は標準偏差。 γ 1 = μ 3 / N σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/N\sigma ^{3}} は歪度。 γ 2 = μ 4 / N σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}=\mu _{4}/N\sigma ^{4}-3} は尖度。 2変数関数 f(x, y) の (m + n) 次モーメント μ m n ( 0 ) {\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}} は、 μ m n ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x m y n f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x^{m}y^{n}f(x,y)\,dxdy} または、デジタル画像に対しては、 μ m n ( 0 ) = ∑ x ∑ y x m y n f ( x , y ) {\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\sum _{x}\sum _{y}x^{m}y^{n}f(x,y)} で表される。 2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。 画像のモーメントには、次のような性質がある。 μ 00 ( 0 ) {\displaystyle \mu _{00}^{(0)}} は面積（ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。 点 ( μ 10 ( 0 ) / μ 00 ( 0 ) , μ 01 ( 0 ) / μ 00 ( 0 ) ) {\displaystyle (\mu _{10}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)},\mu _{01}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)})} は重心。 慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは tan ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta } で、θ は tan ⁡ 2 θ = 2 μ 11 ( 0 ) / ( μ 20 ( 0 ) − μ 02 ( 0 ) ) {\displaystyle \tan 2\theta =2\mu _{11}^{(0)}/(\mu _{20}^{(0)}-\mu _{02}^{(0)})} を満たす。 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを μ 00 ( 0 ) {\displaystyle \mu _{00}^{(0)}} で割った値は拡大縮小に対し不変。 モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。 Weisstein, Eric W. "Moment". mathworld.wolfram.com (英語). アンドレイ・コルモゴロフ 著、根本伸司 訳『確率論の基礎概念』（新装版）東京図書、1988年。ISBN 978-4489002700。  舟木直久『確率論』朝倉書店〈講座数学の考え方〉、2004年。ISBN 978-4254116007。