三角形の円錐曲線

ユークリッド幾何学において、三角形の円錐曲線または三角形の二次曲線（英:Triangle conic）は三角形に定義される、円錐曲線の総称である。 たとえば、外接円や内接円、シュタイナー楕円、キーペルト双曲線が挙げられる。ほかに、それぞれの頂点または対辺ごとに定義される、アルツト放物線のようなものもある。 三角形の円錐曲線と言う言葉に、明確な定義は存在せず、文献の中で広く使われている （などを参照）。ギリシャの数学者Paris Pamfilosは「円錐曲線が外接するとは、△ABCの頂点3つを通ることであり、円錐曲線が内接するとは3辺に接することである」と述べた。三角形の円、楕円、放物線、双曲線（triangle circle,ellipse,parabola,hyperbola）といった言葉も同様に定義された。 Encyclopedia of Triangle CentersやCatalogue of Triangle Cubicsのような、三角形に対する図形の辞典のようなもので、円錐曲線がまとめられているものは2024年現在、存在しない。 三線座標x : y : zを用いて任意の円錐曲線は以下の式で表される。 r x 2 + s y 2 + t z 2 + 2 u y z + 2 v z x + 2 w x y = 0. {\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.} うち、外接円錐曲線と内接円錐曲線は以下の式で表すことができる。 u y z + v z x + w x y = 0 l 2 x 2 + m 2 y 2 + n 2 z 2 − 2 m n y z − 2 n l z x − 2 l m x y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&uyz+vzx+wxy=0\\[2pt]&l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{aligned}}} 以下に有名な円錐曲線を挙げる。基準となる三角形を△ABC 、頂点及び角をA, B, C、その対辺をそれぞれa, b, c、とする。また、円錐曲線をあらわす三線座標の変数をx : y : zとする。 ホフスタッター楕円（Hofstadter ellipses）はある媒介変数によってあらわされる楕円の集合である。 x 2 + y 2 + z 2 + y z [ D ( t ) + 1 D ( t ) ] + z x [ E ( t ) + 1 E ( t ) ] + x y [ F ( t ) + 1 F ( t ) ] = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left[D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right]+zx\left[E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right]+xy\left[F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\right]=0} ただし t は媒介変数で D ( t ) = cos ⁡ A − sin ⁡ A cot ⁡ t A E ( t ) = cos ⁡ B − sin ⁡ B cot ⁡ t B F ( t ) = cos ⁡ C − sin ⁡ C cot ⁡ t C {\displaystyle {\begin{aligned}D(t)&=\cos A-\sin A\cot tA\\E(t)&=\cos B-\sin B\cot tB\\F(t)&=\cos C-\sin C\cot tC\end{aligned}}} である。 t と 1 − t が表す楕円は等しい。また t = 1/2のとき内接楕円 x 2 + y 2 + z 2 − 2 y z − 2 z x − 2 x y = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0} となり t → 0とすると外接楕円 a A x + b B y + c C z = 0. {\displaystyle {\frac {a}{Ax}}+{\frac {b}{By}}+{\frac {c}{Cz}}=0.} となる。 トムソン円錐曲線（Thomson Conics）は、各辺との接点を通る、各辺の法線が共点である内接円錐曲線の集合である。ダルブ―円錐曲線（Darboux Conics）は頂点での円錐曲線の法線が共点である外接円錐曲線である。双方の共点は、ダルブ―三次曲線上にある。 △ABCと点Pについて、Pを通るBC,CA,ABに平行な線と、他2辺との交点をそれぞれXb, Xc, Yc, Ya, Za, Zbとする。この6点は同一円錐曲線上にある。特にPが類似重心であるとき円となる。Pの三線座標をu:v:wとすると、6点を通る円錐曲線は以下の式で表される。 − ( u + v + w ) 2 ( b c u y z + c a v z x + a b w x y ) + ( a x + b y + c z ) ( v w ( v + w ) a x + w u ( w + u ) b y + u v ( u + v ) c z ) = 0 {\displaystyle -(u+v+w)^{2}(bcuyz+cavzx+abwxy)+(ax+by+cz)(vw(v+w)ax+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0} △ABCと点Pについて、AB,BC,CA,AP,BP,CPの中点と、AB,CP、BC,AP、CA,BPの交点の計9点を通る円錐曲線を九点円錐曲線（Nine-point conic）という。Pが垂心のとき円（九点円）、重心のとき内接楕円（シュタイナーの内接楕円）となる。 媒介辺数 λ {\displaystyle \lambda } を用いて、 x 2 + y 2 + z 2 − 2 λ ( y z + z x + x y ) = 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\lambda (yz+zx+xy)=0,} で表される円錐曲線をイフ円錐曲線（Yff conics）という 。任意の点P(u : v : w)によって λ {\displaystyle \lambda } は λ = u 2 + v 2 + w 2 2 ( v w + w u + u v ) . {\displaystyle \lambda ={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2(vw+wu+uv)}}.} で表される。特に放物線（イフ放物線、Yff parabola）の時は λ = a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 − 2 ( b c + c a + a b ) = λ 0 {\displaystyle \lambda ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(bc+ca+ab)}}=\lambda _{0}} である。 λ < λ 0 {\displaystyle \lambda <\lambda _{0}} または λ > 1 2 {\displaystyle \lambda >{\frac {1}{2}}} のとき楕円、 λ 0 < λ < − 1 {\displaystyle \lambda _{0}<\lambda <-1} のとき双曲線となる。 − 1 < λ < 1 2 {\displaystyle -1<\lambda <{\frac {1}{2}}} のときは、座標平面上には表れない。 △ABCと点Pについて、同じ向きにAP//BD//CE,BP//CG//AF,CP//AH//BIで、AP=AF=AH,BP=BD=BI,CP=CE=CGを満たすように点D,E,F,G,H,Iをとると、その6点は同一円錐曲線上にある。これをラビノヴィッツ円錐曲線（Rabinowitz Conics）と言う。 三角形の中心 Central line 中心三角形（英語版） 三角形の三次曲線 近代三角形幾何学 ^ a b 小倉金之助 訳『初等幾何學 第2卷 空間之部』山海堂、1915年、853頁。doi:10.11501/1082037。  ^ Paris Pamfilos (2021). “Equilaterals Inscribed in Conics”. 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