有理根定理

有理根定理（ゆうりこんていり、英: rational root theorem）は整数係数の代数方程式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0} の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である： 定数項 a0 および最高次の係数 an がゼロでないなら、有理数解 x = p/q を互いに素（最大公約数が 1）な整数 p, q で表したとき、p, q は以下の条件を満たす。 p は a0 の約数 q は an の約数 有理根定理は、多項式の因数分解に関するガウスの補題（英語版）の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 an が 1 であるとき成り立つ整数根定理 (integral root theorem) は、有理根定理の特別な場合である。 P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 (a0, ..., an ∈ Z) なる多項式を考える。互いに素な p, q ∈ Z に対して P(p / q) = 0 を満たすことを仮定する： P ( p q ) = a n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.} (1) (1) から定数項 a0 を右辺へ移項し、両辺に qn を掛けることで以下の方程式を得る。 p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q n . {\displaystyle \qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.} (2) p と括弧内の整数の積は −a0qn に等しく、従って p は a0qn を割り切れることが分かる。しかしながら、p と q は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に p と qn も互いに素であるため、p は残る因数 a0 を割り切ることが示される。 (1) から最高次の項 an(p/q)n を右辺へ移項し両辺に qn を掛けることで次の式を得る。 q ( a n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − a n p n . {\displaystyle \qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.} (3) p と a0 の場合と同様の理由で、q は最高次の係数 an を割り切ることが示される。 多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、ガウスの補題（英語版）の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。 ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 ℚ[X] で因数分解できるなら、整係数の多項式 ℤ[X] で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。 ℚ[X] の 1 次の多項式が有理根 p/q を持つとき、p, q は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は qx − p となる。 qx − p を因数とする整係数多項式 ℤ[X] について、最高次の係数は q で割り切れ、定数項は p で割り切れるので、有理根定理が得られた。 この事はより一般に、多項式 P の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する P の係数を割り切れることを示す。 例として、方程式 3 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 2 = 0 {\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2=0\,\!} のいずれの有理根も ± 1 , 2 1 , 3 , {\displaystyle \pm {\tfrac {1,2}{1,3}}\,,} に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである： 1 , − 1 , 2 , − 2 , 1 3 , − 1 3 , 2 3 , − 2 3 . {\displaystyle 1,-1,2,-2,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}\,.} これらの候補は例えばホーナー法によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できる。例えば x = 1 は方程式を満たさず、方程式の左辺は 1 になる。 x = 1 + t という置き換えをすると定数項を 1 とし、t3 の係数は x3 の係数に等しい t の多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、t として可能な根は t = ± 1 1 , 3 {\displaystyle t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}} となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。 x = 1 + t = 2 , 0 , 4 3 , 2 3 {\displaystyle x=1+t=2,0,{\frac {4}{3}},{\frac {2}{3}}} こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストは x = 2, 2/3 に短縮される。 もし方程式の根の 1 つ r1 が発見されたなら、ホーナー法によって n − 1 次の多項式の根が得られる。これらの根は、r1 とともに、元の多項式の正確な根になっている。 また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。 定数項 a0 がゼロの方程式は有理根として 0 を持つ。 デカルトの符号法則 ガウス・リュカの定理（英語版） 多項式の根の性質（英語版） ^ D. Arnold, G. Arnold 1993, pp. 120–121. ^ King, Jeremy D. 2006, pp. 455–456. D. Arnold, G. Arnold (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. ISBN 0-340-54335-3  King, Jeremy D. (2006-11). “Integer roots of polynomials”. Mathematical Gazette 90.  Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221 Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (online copy, p. 116, - Google ブックス) Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (online copy, p. 23, - Google ブックス) Weisstein, Eric W. "Rational Zero Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). RationalRootTheorem at PlanetMath Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie The Rational Roots Test at purplemath.com