力の平行四辺形

力の平行四辺形（ちからのへいこうしへんけい、英: parallelogram of force）は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。 2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、F2 の始点が F1 の終点と一致するように F2 を移動させるのと、F1 の始点と F2 の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル F1, F2, G の合力の場合も同様に、Fnet = F1 + F2 と G のなす平行四辺形として作図できる（結果は和の順序に依存しない）。 与えられた時間（例えば1秒）で粒子がAからBへの線（図2）に沿って一定の速度で移動し、同時に線ABがABの位置からDCの位置に一様に移動し、終始元の方向と平行なままであるとする。両方の運動を考慮すると、粒子は線ACをたどる。与えられた時間内の変位は速度の尺度なので、ABの長さはABに沿った粒子の速度の尺度であり、ADの長さはADに沿った線の速度の尺度であり、ACの長さはACに沿った粒子の速度の尺度である。粒子の運動はACに沿って単一の速度で移動した場合と同じである。 図1の原点（ベクトルの「尾」）にある粒子に2つの力が作用したとする。ベクトルF1とF2の長さは2つの力がある時間作用することにより粒子に生じる速度を表し、それぞれの方向はそれが作用する方向を表している。それぞれの力は独立に作用し、他の力が作用するかしないかにかかわらず特定の速度を作り出す。与えられた時間の終わりでは、粒子は両方の速度を持っている。上記の証明により、これは1つの速度Fnetと等価である。ニュートンの第2法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあり、したがって、2つの力は1つの力と等価である。 力をユークリッドベクトルもしくは R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} に対して、 F ⊕ G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} が存在する。 最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。 R : R 2 → R 2 {\displaystyle R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} を任意の回転（ det R = 1 {\displaystyle \det R=1} である R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の通常のベクトル空間構造の任意の直交写像）とすると、任意の力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} に対し R {\displaystyle R} は R ( F ⊕ G ) = R ( F ) ⊕ R ( G ) {\displaystyle R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)} を満たす。2つの力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} は垂直で、 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} の長さを a {\displaystyle a} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} の長さを b {\displaystyle b} 、および F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の長さを x {\displaystyle x} と仮定する。 G 1 := a 2 x 2 ( F 1 ⊕ F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)} および G 2 := a x R ( F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})} として、 R {\displaystyle R} を F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の間の回転とすると G 1 = a x R ( F 1 ) {\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)} である。回転が不変の下では F 1 = x a R − 1 ( G 1 ) = a x R − 1 ( F 1 ⊕ F 2 ) = a x R − 1 ( F 1 ) ⊕ a x R − 1 ( F 2 ) = G 1 ⊕ G 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}} を得る。同様に、さらに2つの力 H 1 := − G 2 , H 2 := b 2 x 2 ( F 1 ⊕ F 2 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2},\quad \mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)} を考える。 T {\displaystyle T} を F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} から H 1 {\displaystyle \mathbf {H} _{1}} への回転とすると H 1 = b x T ( F 1 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)} であり、これにより H 2 = b x T ( F 2 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)} となる。 F 2 = x b T − 1 ( H 2 ) = b x T − 1 ( F 1 ⊕ F 2 ) = b x T − 1 ( F 1 ) ⊕ b x T − 1 ( F 2 ) = H 1 ⊕ H 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} } これら2つの方程式より F 1 ⊕ F 2 = ( G 1 ⊕ G 2 ) ⊕ ( H 1 ⊕ H 2 ) = ( G 1 ⊕ G 2 ) ⊕ ( − G 2 ⊕ H 2 ) = G 1 ⊕ H 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}} を得る。 G 1 {\displaystyle \mathbf {G} _{1}} と H 2 {\displaystyle \mathbf {H} _{2}} はどちらも F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} に沿っているため、長さ x {\displaystyle x} は | F 1 ⊕ F 2 | = | G 1 ⊕ H 2 | = a 2 x + b 2 x {\displaystyle \left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}} に等しく、 x = a 2 + b 2 {\displaystyle x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} である。このことは F 1 ⊕ F 2 = a e 1 ⊕ b e 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}} が長さ a 2 + b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} を持ち、これは a e 1 + b e 2 {\displaystyle a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}} の長さであることを示している。したがって、 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} が垂直である場合、 F 1 ⊕ F 2 = F 1 + F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}} である。ここで、2つの補助の力を組み合わせるとき、 ⊕ {\displaystyle \oplus } の結合性を用いた。以下の証明にもこの追加の仮定を使用する 。 力をユークリッドベクトルもしくは R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} には、別の力 F ⊕ G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、 F ⊕ G = G ⊕ F {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F} } である。 写像 ( a , b ) = a e 1 + b e 2 ↦ a e 1 ⊕ b e 2 {\displaystyle (a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}} を考える。 ⊕ {\displaystyle \oplus } が結合的であるならば、この写像は線形である。 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} を e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} に、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} を e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} に写すため、恒等写像である必要もある。よって ⊕ {\displaystyle \oplus } は通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない。 力の平行四辺形の数学的証明は、数学的に妥当であると一般に認められていない。さまざまな証明が開発され（主にDuchaylaとポアソンのもの）、これらも反論を引き起こした。力の平行四辺形が真実であるかどうかは疑問視されなかったが、なぜ真実であったのであろうか。今日、力の平行四辺形は経験的事実として受け入れられており、ニュートンの第1原理に還元することはできない。 ^ Routh, Edward John (1896). A Treatise on Analytical Statics. Cambridge University Press. p. 6. https://archive.org/details/atreatiseonanal00routgoog , at Google books ^ Routh (1896), p. 14 ^ a b c Spivak, Michael (2010). Mechanics I. Physics for Mathematicians. Publish or Perish, Inc.. pp. 278–282. ISBN 0-914098-32-2  ^ Bernoulli, Daniel (1728). Examen principiorum mechanicae et demonstrationes geometricae de compositione et resolutione virium  ^ Mach, Ernest (1974). The Science of Mechanics. Open Court Publishing Co.. pp. 55–57  ^ Lange, Marc (2009年). “A Tale of Two Vectors”. Dialectica, 63. pp. 397–431. 2020年4月閲覧。 Newton's Mathematical Principles of Natural Philosophy, Axioms or Laws of Motion, Corollary I, at Wikisource 空間ベクトル 合力