強圧的函数

数学において強圧的函数（きょうあつてきかんすう、英: coercive function）とは、それが定義されている空間の極限において「急速に成長する」函数である。文脈によって異なる定義が存在する。 ベクトル場 f : Rn → Rn が強圧的（coercive）であるとは、 f ( x ) ⋅ x ‖ x ‖ → + ∞  as  ‖ x ‖ → + ∞ , {\displaystyle {\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty ,} が成り立つことをいう。ここで " ⋅ {\displaystyle \cdot } " は通常のドット積で、 ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|} はベクトル x の通常のユークリッドノルムである。 コーシー＝シュワルツの不等式より、 x ∈ R n ∖ { 0 } {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} に対して ‖ f ( x ) ‖ ≥ ( f ( x ) ⋅ x ) / ‖ x ‖ {\displaystyle \|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|} が成り立つことから、強圧的ベクトル場は特にノルム強圧的でもある。しかし、ノルム強圧的な写像 f : Rn → Rn は必ずしも強圧的ベクトル場ではない。例えば、90° の回転 f : R2 → R2, f(x) = (-x2, x1) はノルム強圧的であるが、すべての x ∈ R 2 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}} に対して f ( x ) ⋅ x = 0 {\displaystyle f(x)\cdot x=0} であるため、強圧的ベクトル場ではない。 H {\displaystyle H} を実ヒルベルト空間とするとき、自己共役作用素 A : H → H {\displaystyle A:H\to H} が強圧的（coercive）であるとは、ある定数 c > 0 {\displaystyle c>0} が存在して ⟨ A x , x ⟩ ≥ c ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}} が H {\displaystyle H} 内のすべての x {\displaystyle x} に対して成り立つことをいう。 双線型形式 a : H × H → R {\displaystyle a:H\times H\to \mathbb {R} } が強圧的であるとは、ある定数 c > 0 {\displaystyle c>0} が存在して a ( x , x ) ≥ c ‖ x ‖ 2 {\displaystyle a(x,x)\geq c\|x\|^{2}} が H {\displaystyle H} 内のすべての x {\displaystyle x} に対して成り立つことをいう。 リースの表現定理より、任意の対称（ H {\displaystyle H} 内のすべての x , y {\displaystyle x,y} に対して a ( x , y ) = a ( y , x ) {\displaystyle a(x,y)=a(y,x)} ）、連続（ H {\displaystyle H} 内のすべての x , y {\displaystyle x,y} とある定数 k > 0 {\displaystyle k>0} に対して | a ( x , y ) | ≤ k ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle |a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|} ）かつ強圧的な双線型形式 a {\displaystyle a} は、ある自己共役作用素 A : H → H {\displaystyle A:H\to H} に対して次の表現を持つことが従う： a ( x , y ) = ⟨ A x , y ⟩ . {\displaystyle a(x,y)=\langle Ax,y\rangle .} この作用素 A {\displaystyle A} は強圧的作用素であることが分かる。また逆に、強圧的な自己共役作用素 A {\displaystyle A} が与えられたとき、上式で定義される双線型形式 a {\displaystyle a} は強圧的である。 任意の自己共役作用素 A : H → H {\displaystyle A:H\to H} が強圧的作用素であるための必要十分条件は、それが（ドット積をより一般の内積に置き換える必要があるが、ベクトル場の強圧性の意味において）強圧的な写像であることである。ベクトル場、作用素および双線型形式に対する強圧性の定義は、密接に関連しており、互いに矛盾しないものである。 二つのノルムベクトル空間 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} と ( X ′ , ‖ ⋅ ‖ ′ ) {\displaystyle (X',\|\cdot \|')} の間の写像 f : X → X ′ {\displaystyle f:X\to X'} がノルム強圧的（norm-coercive）であるとは ‖ f ( x ) ‖ ′ → + ∞  as  ‖ x ‖ → + ∞ {\displaystyle \|f(x)\|'\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty } が成立することをいう。より一般に、二つの位相空間 X {\displaystyle X} と X ′ {\displaystyle X'} の間の函数 f : X → X ′ {\displaystyle f:X\to X'} が強圧的であるとは、 X ′ {\displaystyle X'} のすべてのコンパクト部分集合 K ′ {\displaystyle K'} に対して、 X {\displaystyle X} のあるコンパクト部分集合 K {\displaystyle K} が存在して、次が成り立つことをいう。 f ( X ∖ K ) ⊆ X ′ ∖ K ′ . {\displaystyle f(X\setminus K)\subseteq X'\setminus K'.} 強圧的写像に対応する全単射固有写像の合成は、強圧的である。 （拡大実数値）函数 f : R n → R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} が強圧的であるとは、次が成り立つことをいう。 f ( x ) → + ∞  as  ‖ x ‖ → + ∞ . {\displaystyle f(x)\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .} 実数値強圧的函数 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } は特にノルム強圧的である。しかし、ノルム強圧的函数 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } は必ずしも強圧的ではない。例えば、 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の恒等函数はノルム強圧的であるが、強圧的ではない。 放射非有界函数の記事も参照されたい。 Renardy, Michael and Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0  Bashirov, Agamirza E (2003). Partially observable linear systems under dependent noises. Basel; Boston: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-6999-X  Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-41160-7  この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Coercive Functionの本文を含む