定常集合

数学、特に集合論やモデル理論において定常集合（ていじょうしゅうごう、英: stationary set）という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。: κ {\displaystyle \kappa \,} を非可算な共終数を持つ基数とするとき、部分集合 S ⊂ κ {\displaystyle S\subset \kappa \,} が κ {\displaystyle \kappa \,} の いかなるclub集合とも交わるならば、 S {\displaystyle S\,} を κ {\displaystyle \kappa \,} 内の定常集合という。 定常でない集合は非定常集合という。 S {\displaystyle S\,} が定常で C {\displaystyle C\,} がclubなら、その共通部分 S ∩ C {\displaystyle S\cap C\,} はまた定常である。 それは、 D {\displaystyle D\,} をclub集合とすると C ∩ D {\displaystyle C\cap D\,} はclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、 ( S ∩ C ) ∩ D = S ∩ ( C ∩ D ) {\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)\,} は空でない集合となる。 ゆえに、 ( S ∩ C ) {\displaystyle (S\cap C)\,} は定常である。 非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。 κ {\displaystyle \kappa } の共終数が可算であったとして、 S ⊂ κ {\displaystyle S\subset \kappa } が κ {\displaystyle \kappa } 内で定常であるのは κ ∖ S {\displaystyle \kappa \setminus S} が κ {\displaystyle \kappa } 内で有界であることと同値である。 特に、 κ {\displaystyle \kappa } の共終数が ω = ℵ 0 {\displaystyle \omega =\aleph _{0}} であるなら任意の二つの κ {\displaystyle \kappa } の定常集合の共通部分は定常である。 これは κ {\displaystyle \kappa } の共終数が非可算なときは起こらない。 実際、 κ {\displaystyle \kappa } を正則基数で S ⊂ κ {\displaystyle S\subset \kappa } をその中の定常集合とすると、 S {\displaystyle S} は κ {\displaystyle \kappa } 個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はロバート・ソロヴェイ（英語版）によるもので、 κ {\displaystyle \kappa } が後続型基数のとき、 このことはスタニスワフ・ウラムによって、 いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。 [ X ] λ {\displaystyle [X]^{\lambda }} の部分集合にも定常集合の概念は定義される。 ここで、 [ X ] λ {\displaystyle [X]^{\lambda }} は [ X ] λ = { Y ⊂ X : | Y | = λ } {\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}} のことである。 S ⊂ [ X ] λ {\displaystyle S\subset [X]^{\lambda }} が定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。 [ X ] λ {\displaystyle [X]^{\lambda }} の部分集合がclubであるとは、 ⊂ {\displaystyle \subset } の下で非有界かつ、 λ {\displaystyle \lambda } 以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。 この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、 X = ω 1 , λ = ℵ 0 {\displaystyle X=\omega _{1},\lambda =\aleph _{0}} とすると S ⊂ [ ω 1 ] ω {\displaystyle S\subset [\omega _{1}]^{\omega }} が定常であることと、 S ∩ ω 1 {\displaystyle S\cap \omega _{1}} が ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} の中で定常であることは一致する。 フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。 三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。 この概念はM. Magidor（英語版）, M. Foreman（英語版）, サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。 X {\displaystyle X} Xを空でない集合とする。 C ⊂ P ( X ) {\displaystyle C\subset {\mathcal {P}}(X)} がclubであるとは、 関数 F : [ X ] < ω → X {\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X} で C = { z : F [ [ z ] < ω ] ⊂ z } {\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subset z\}} を満たすものが存在することを言う。 ここで [ y ] < ω {\displaystyle [y]^{<\omega }} は y {\displaystyle y} の有限部分集合全体による集合のことである。 S ⊂ P ( X ) {\displaystyle S\subset {\mathcal {P}}(X)} が P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} で定常であるとは、Sが P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} の全てのclub集合と交わることを言う。 モデル理論との関連を見る。 M {\displaystyle M} を対象領域を X {\displaystyle X} とする可算な言語上のストラクチャー、 F {\displaystyle F} が M {\displaystyle M} へのスコーレム関数であるとすると、定常集合 S {\displaystyle S} は M {\displaystyle M} の初等部分構造をもつ。 実際、 S ⊂ P ( X ) {\displaystyle S\subset {\mathcal {P}}(X)} が定常であることは、任意のこのようなストラクチャー M {\displaystyle M} に対して、 M {\displaystyle M} の初等部分構造が S {\displaystyle S} に属することと同値である。 フォドアの補題 club集合 ダイヤモンド原理 Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94 File at [1] Stationary set - PlanetMath.org（英語）