フォワード測度

フォワード測度（フォワードそくど、英: forward measure）とは、数理ファイナンスにおいて、リスク中立測度と絶対連続である価格付けの測度である。しかし、ニュメレール（英語版）としてマネーマーケットアカウントを使わず、満期が T である債券が用いられている（特に満期を明示して T–フォワード測度と言う事も多い）。フォワード測度の利用はファルシド・ジャムシディアン（英語版）により1987年に始められ、債券オプション（英語版）の価格計算の方法として用いられている。 以下の記述はMusiela and Rutkowski & (2004)に基づく。 まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。 B ( T ) = exp ⁡ ( ∫ 0 T r ( u ) d u ) {\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)} 更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。 D ( T ) = 1 / B ( T ) = exp ⁡ ( − ∫ 0 T r ( u ) d u ) {\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)} もし Q ∗ {\displaystyle Q_{*}} がリスク中立測度ならば、フォワード測度 Q T {\displaystyle Q_{T}} はラドン–ニコディム微分として以下のように与えられる。 d Q T d Q ∗ = 1 B ( T ) E Q ∗ [ 1 / B ( T ) ] = D ( T ) E Q ∗ [ D ( T ) ] . {\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.} 上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント B(t) から満期 T の債券 P(t,T) に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 t における満期 T のゼロクーポン債価格が P ( t , T ) = E Q ∗ [ B ( t ) B ( T ) | F ( t ) ] = E Q ∗ [ D ( T ) D ( t ) | F ( t ) ] {\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]} と書けるならば（ F ( t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)} は時点 t における市場の情報を表すフィルトレーションである）、 d Q T d Q ∗ = B ( 0 ) P ( T , T ) B ( T ) P ( 0 , T ) {\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}} と書ける。この式より、T–フォワード測度はニュメレール（英語版）としての満期 T のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。 より詳細な議論についてはBrigo and Mercurio & (2006)を参照せよ。 "フォワード測度"の名前は、フォワード測度の下で先渡価格（英語版）がマルチンゲールとなることに由来している。この事実は、フォワード測度を正式に定義したとされる、German & (1989) によって最初に見出された。リスク中立測度の下でマルチンゲールとなる先物価格と比べると、利子率が非確率的であるならば、フォワード測度は先渡価格と先物価格は一致する事を意味している。 例えば、割引株式価格はリスク中立測度の下でマルチンゲールである。 S ( t ) D ( t ) = E Q ∗ [ D ( T ) S ( T ) | F ( t ) ] . {\displaystyle S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,} 先渡価格は F S ( t , T ) = S ( t ) P ( t , T ) {\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}} で与えられる。よって F S ( T , T ) = S ( T ) {\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)} が得られる。ラドン–ニコディム微分 d Q T d Q ∗ {\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}} と等式 F S ( T , T ) = S ( T ) {\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)} を用いれば F S ( t , T ) = E Q ∗ [ D ( T ) S ( T ) | F ( t ) ] D ( t ) P ( t , T ) = E Q T [ F S ( T , T ) | F ( t ) ] E Q ∗ [ D ( T ) | F ( t ) ] D ( t ) P ( t , T ) {\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}} となる。最後の項は債券価格の定義より1と等しいので以下が得られる。 F S ( t , T ) = E Q T [ F S ( T , T ) | F ( t ) ] . {\displaystyle F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,} ^ Jamshidian, Farshid (1989), “An Exact Bond Option Pricing Formula”, The Journal of Finance 44 (1): 205–209, doi:10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x, JSTOR 2328284, https://jstor.org/stable/2328284  ^ Geman, Helyette, “The Importance of Forward Neutral Probability in a Stochastic Approach of Interest Rates”, Working paper, ESSEC  Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006), Interest Rate Models — Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2 ed.), Springer Verlag, ISBN 978-3-540-22149-4  Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (2004), Martingale Methods in Financial Modelling (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b137866, ISBN 978-3-540-20966-9  リスク中立測度 先渡価格（英語版）