体球調和関数

物理学と数学において、体球調和関数（たいきゅうちょうわかんすう、英: solid harmonics）は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数 R ℓ m ( r ) {\displaystyle R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})} と、原点が特異点となる非正則な（irregular）体球調和関数 I ℓ m ( r ) {\displaystyle I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})} の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。 R ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 r ℓ Y ℓ m ( θ , φ ) {\displaystyle R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} I ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ( θ , φ ) r ℓ + 1 {\displaystyle I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}} 空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。 ∇ 2 Φ ( r ) = ( 1 r ∂ 2 ∂ r 2 r − l ^ 2 r 2 ) Φ ( r ) = 0 , r ≠ 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ({\boldsymbol {r}})=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi ({\boldsymbol {r}})=0,\qquad {\boldsymbol {r}}\neq {\boldsymbol {0}},} ここで l2 は無次元化した角運動量演算子 l ^ = − i ( r × ∇ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {l}}}=-i\,({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {\nabla }})} の2乗である。 知られているように、球面調和関数 Ylm は演算子 l2 の固有関数である。 l ^ 2 Y ℓ m ≡ [ l ^ x 2 + l ^ y 2 + l ^ z 2 ] Y ℓ m = ℓ ( ℓ + 1 ) Y ℓ m . {\displaystyle {\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.} Φ(r) = F(r) Ylm をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。 1 r ∂ 2 ∂ r 2 r F ( r ) = ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 F ( r ) ⟹ F ( r ) = A r ℓ + B r − ℓ − 1 . {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.} ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数 R ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 r ℓ Y ℓ m ( θ , φ ) , {\displaystyle R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),} であり、また一部が非正則な体球調和関数 I ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ( θ , φ ) r ℓ + 1 . {\displaystyle I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.} である。 ラカー（英語版、イタリア語版）の正規化（Racah's normalization、またはシュミットの準正規化（Schmidt's semi-normalization））はいずれの関数にも適用でき、単位（"1"）への正規化の代わりに ∫ 0 π sin ⁡ θ d θ ∫ 0 2 π d φ R ℓ m ( r ) ∗ R ℓ m ( r ) = 4 π 2 ℓ + 1 r 2 ℓ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})^{*}\;R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }} とするものである（非正則な体球調和関数についても同様）。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。 正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。 R ℓ m ( r + a ) = ∑ λ = 0 ℓ ( 2 ℓ 2 λ ) 1 / 2 ∑ μ = − λ λ R λ μ ( r ) R ℓ − λ m − μ ( a ) ⟨ λ , μ ; ℓ − λ , m − μ | ℓ m ⟩ , {\displaystyle R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }({\boldsymbol {r}})R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }({\boldsymbol {a}})\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,} ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。 ⟨ λ , μ ; ℓ − λ , m − μ | ℓ m ⟩ = ( ℓ + m λ + μ ) 1 / 2 ( ℓ − m λ − μ ) 1 / 2 ( 2 ℓ 2 λ ) − 1 / 2 . {\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.} 類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。 I ℓ m ( r + a ) = ∑ λ = 0 ∞ ( 2 ℓ + 2 λ + 1 2 λ ) 1 / 2 ∑ μ = − λ λ R λ μ ( r ) I ℓ + λ m − μ ( a ) ⟨ λ , μ ; ℓ + λ , m − μ | ℓ m ⟩ {\displaystyle I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }({\boldsymbol {r}})I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }({\boldsymbol {a}})\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle } ここで | r | ≤ | a | {\displaystyle |r|\leq |a|} とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。 ⟨ λ , μ ; ℓ + λ , m − μ | ℓ m ⟩ = ( − 1 ) λ + μ ( ℓ + λ − m + μ λ + μ ) 1 / 2 ( ℓ + λ + m − μ λ − μ ) 1 / 2 ( 2 ℓ + 2 λ + 1 2 λ ) − 1 / 2 . {\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.} 加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。 R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977) M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978) ±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道や実数値の多重極モーメント（英語版）に現れ、重要である。以下でその導出を行う。 先述と同じ定義で、 R ℓ m ( r , θ , φ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 r ℓ Θ ℓ | m | ( cos ⁡ θ ) e i m φ , − ℓ ≤ m ≤ ℓ , {\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,} ただし Θ ℓ m ( cos ⁡ θ ) ≡ [ ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 sin m ⁡ θ d m P ℓ ( cos ⁡ θ ) d cos m ⁡ θ , m ≥ 0 , {\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,} ここで P ℓ ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )} は l 次のルジャンドル多項式である。 この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon–Shortley phase）として知られている。 実の正則体球調和関数は次のように定義される。 ( C ℓ m S ℓ m ) ≡ 2 r ℓ Θ ℓ m ( cos ⁡ m φ sin ⁡ m φ ) = 1 2 ( ( − 1 ) m 1 − ( − 1 ) m i i ) ( R ℓ m R ℓ − m ) , m > 0. {\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.} また m = 0 に対しては C ℓ 0 ≡ R ℓ 0 . {\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.} 線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。 u = cosθ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。 d m P ℓ ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( ℓ − m ) / 2 ⌋ γ ℓ k ( m ) u ℓ − 2 k − m {\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}} ここで γ ℓ k ( m ) = ( − 1 ) k 2 − ℓ ( ℓ k ) ( 2 ℓ − 2 k ℓ ) ( ℓ − 2 k ) ! ( ℓ − 2 k − m ) ! . {\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.} z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。 Π ℓ m ( z ) ≡ r ℓ − m d m P ℓ ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( ℓ − m ) / 2 ⌋ γ ℓ k ( m ) r 2 k z ℓ − 2 k − m . {\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.} 次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると r m sin m ⁡ θ cos ⁡ m φ = 1 2 [ ( r sin ⁡ θ e i φ ) m + ( r sin ⁡ θ e − i φ ) m ] = 1 2 [ ( x + i y ) m + ( x − i y ) m ] {\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]} 同様に r m sin m ⁡ θ sin ⁡ m φ = 1 2 i [ ( r sin ⁡ θ e i φ ) m − ( r sin ⁡ θ e − i φ ) m ] = 1 2 i [ ( x + i y ) m − ( x − i y ) m ] . {\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].} これらより、次のように定義する。 A m ( x , y ) ≡ 1 2 [ ( x + i y ) m + ( x − i y ) m ] = ∑ p = 0 m ( m p ) x p y m − p cos ⁡ ( m − p ) π 2 {\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}} B m ( x , y ) ≡ 1 2 i [ ( x + i y ) m − ( x − i y ) m ] = ∑ p = 0 m ( m p ) x p y m − p sin ⁡ ( m − p ) π 2 . {\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.} C ℓ m ( x , y , z ) = [ ( 2 − δ m 0 ) ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 Π ℓ m ( z ) A m ( x , y ) , m = 0 , 1 , … , ℓ {\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell } S ℓ m ( x , y , z ) = [ 2 ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 Π ℓ m ( z ) B m ( x , y ) , m = 1 , 2 , … , ℓ . {\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .} l = 5 以下の関数の明示式を記す。ここで Π ¯ ℓ m ( z ) ≡ [ ( 2 − δ m 0 ) ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 Π ℓ m ( z ) . {\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).} Π ¯ 0 0 = 1 Π ¯ 3 1 = 1 4 6 ( 5 z 2 − r 2 ) Π ¯ 4 4 = 1 8 35 Π ¯ 1 0 = z Π ¯ 3 2 = 1 2 15 z Π ¯ 5 0 = 1 8 z ( 63 z 4 − 70 z 2 r 2 + 15 r 4 ) Π ¯ 1 1 = 1 Π ¯ 3 3 = 1 4 10 Π ¯ 5 1 = 1 8 15 ( 21 z 4 − 14 z 2 r 2 + r 4 ) Π ¯ 2 0 = 1 2 ( 3 z 2 − r 2 ) Π ¯ 4 0 = 1 8 ( 35 z 4 − 30 r 2 z 2 + 3 r 4 ) Π ¯ 5 2 = 1 4 105 ( 3 z 2 − r 2 ) z Π ¯ 2 1 = 3 z Π ¯ 4 1 = 10 4 z ( 7 z 2 − 3 r 2 ) Π ¯ 5 3 = 1 16 70 ( 9 z 2 − r 2 ) Π ¯ 2 2 = 1 2 3 Π ¯ 4 2 = 1 4 5 ( 7 z 2 − r 2 ) Π ¯ 5 4 = 3 8 35 z Π ¯ 3 0 = 1 2 z ( 5 z 2 − 3 r 2 ) Π ¯ 4 3 = 1 4 70 z Π ¯ 5 5 = 3 16 14 {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}} 低次の A m ( x , y ) {\displaystyle A_{m}(x,y)\,} と B m ( x , y ) {\displaystyle B_{m}(x,y)\,} は次の通りである。 Steinborn, E. O.; Ruedenberg, K. (1973). “Rotation and Translation of Regular and Irregular Solid Spherical Harmonics”. Advances in quantum chemistry. 7. Academic Press. pp. 1–82. ISBN 9780080582320  Thompson, William J. (2004). Angular momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems. Weinheim: Wiley-VCH. pp. 143–148. ISBN 9783527617838