シルベスター行列

シルベスター行列（シルベスターぎょうれつ、英語: Sylvester matrix）とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。名称は英国の数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む。 2つの多項式を以下のようにする。 f ( x ) = ∑ i = 0 n a i x n − i = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n}} g ( x ) = ∑ i = 0 m b i x m − i = b 0 x m + b 1 x m − 1 + ⋯ + b m {\displaystyle g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{m-i}=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+\dots +b_{m}} このとき、 m + n {\displaystyle m+n} 個の変数をもつ連立方程式 { a 0 x 0 + a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = 0 a 0 x 1 + ⋯ + a n − 1 x n + a n x n + 1 = 0 ⋯ ⋯ a 0 x m − 1 + a 1 x m + ⋯ ⋯ + a n x m + n − 1 = 0 b 0 x 0 + b 1 x 1 + ⋯ ⋯ + b m x m = 0 b 0 x 1 + ⋯ ⋯ + b m − 1 x m + b m x m + 1 = 0 ⋯ ⋯ b 0 x n − 1 + b 1 x n + ⋯ ⋯ ⋯ + b m x m + n − 1 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}&=0\\\quad \qquad a_{0}x_{1}+\cdots +a_{n-1}x_{n}+a_{n}x_{n+1}\quad &=0\\\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \cdots &\\\qquad \qquad \qquad a_{0}x_{m-1}+a_{1}x_{m}+\cdots \cdots +a_{n}x_{m+n-1}&=0\\b_{0}x_{0}+b_{1}x_{1}+\cdots \cdots +b_{m}x_{m}&=0\\\quad \qquad b_{0}x_{1}+\cdots \cdots +b_{m-1}x_{m}+b_{m}x_{m+1}&=0\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \cdots &\\\quad \qquad \qquad b_{0}x_{n-1}+b_{1}x_{n}+\cdots \cdots \cdots +b_{m}x_{m+n-1}&=0\end{cases}}} が自明でない解 x k = α m + n − 1 − k ( 0 ≦ k ≦ m + n − 1 {\displaystyle x_{k}=\alpha ^{m+n-1-k}(0\leqq k\leqq m+n-1} ) を持つことと、 f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} が共通根 α {\displaystyle \alpha } を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される m + n {\displaystyle m+n} 次の正方行列である。 ( a 0 a 1 ⋯ a n a 0 a 1 ⋯ a n 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ a 0 a 1 ⋯ a n b 0 b 1 ⋯ b m b 0 b 1 ⋯ b m 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ b 0 b 1 ⋯ b m ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}&&&\\[5pt]&a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}&&0\\[5pt]0&&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\[5pt]&&&a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}\\[5pt]b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}&&&\\[5pt]&b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}&&0\\[5pt]0&&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\[5pt]&&&b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}\end{pmatrix}}} また、この行列の行列式を R ( f , g ) {\displaystyle R(f,g)} と表し、終結式（しゅうけつしき、英語: resultant; リザルタント）またはシルベスター行列式と言う。 f ( x ) = a 0 ∏ i = 1 deg ⁡ f ( x − α i ) , g ( x ) = b 0 ∏ j = 1 deg ⁡ g ( x − β j ) {\displaystyle f(x)=a_{0}\prod _{i=1}^{\deg f}(x-\alpha _{i}),\quad g(x)=b_{0}\prod _{j=1}^{\deg g}(x-\beta _{j})} と因数分解するとき、 R ( f , g ) = a 0 deg ⁡ g b 0 deg ⁡ f ∏ 1 ≤ i ≤ deg ⁡ f , 1 ≤ j ≤ deg ⁡ g ( α i − β j ) {\displaystyle R(f,g)=a_{0}^{\deg g}b_{0}^{\deg f}\prod _{1\leq i\leq \deg f,1\leq j\leq \deg g}(\alpha _{i}-\beta _{j})} R ( c f , g ) = c deg ⁡ g R ( f , g ) , R ( f , c g ) = c deg ⁡ f R ( f , g ) {\displaystyle R(cf,g)=c^{\deg g}R(f,g),\quad R(f,cg)=c^{\deg f}R(f,g)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} と g ( x ) {\displaystyle g(x)} が共通根をもつための必要十分条件は R ( f , g ) = 0 {\displaystyle R(f,g)=0} である。多項式 f ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n − 1 x + a n {\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_{n}} が重根をもつための必要十分条件は f {\displaystyle f} とその導多項式 f ′ {\displaystyle f'} が共通根を持つことであり、また、 f {\displaystyle f} の判別式 D ( f ) {\displaystyle D(f)} が D ( f ) = 0 {\displaystyle D(f)=0} となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として a 0 D ( f ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 R ( f , f ′ ) {\displaystyle a_{0}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')}