ローレンツ力

ローレンツ力（ローレンツりょく、英: Lorentz force）は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。 名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。 電場 E ( t , x ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})} と磁束密度（磁場） B ( t , x ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})} の空間中を運動する荷電粒子（位置 r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)} 、速度 v ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)} 、電荷 q {\displaystyle q} ）に作用する電磁気的な力 F ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)} は F ( t ) = q E ( t , r ( t ) ) + q v × B ( t , r ( t ) ) = q { E ( t , r ( t ) ) + v × B ( t , r ( t ) ) } {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))=q{\big \{}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t)){\big \}}} であり、この F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} をローレンツ力と言う。ここで、「×」はベクトル積である。 上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。 第二項はビオ・サバールの法則を一般化した形となっている[要検証 – ノート]。 なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力 q v × B {\displaystyle q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}} であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。 荷電粒子が加速度運動している場合、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが[要校閲]、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる[疑問点 – ノート]。 （参考: 制動放射、ラーモアの公式 放射の反作用、en:Abraham–Lorentz force） ローレンツ力の向きについて、電場による力 ( q E ) {\displaystyle (q{\boldsymbol {E}})} は電場と平行である。 また、磁場による力 ( q v × B ) {\displaystyle (q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})} は右手の法則に従い、下図のようにフレミングの左手の法則で表される。 また、右手の姿で示す方法もある。 ローレンツ力のする仕事は d W = F ⋅ d r = q ( E + v × B ) ⋅ d r {\displaystyle \mathrm {d} W={\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}} である。 ここで、磁場による力の項は、 d W m = q ( v × B ) ⋅ d r = q ( v × B ) ⋅ v   d t = 0 {\displaystyle \mathrm {d} W_{\mathrm {m} }=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=0} であり、磁場は仕事をしない。 電場による力の項は、 d W e = q E ⋅ d r = q E ⋅ v   d t = w d t {\displaystyle \mathrm {d} W_{\mathrm {e} }=q{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=w\,\mathrm {d} t} である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。 磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。 電荷 qi の時刻 t における位置を ri(t)、速度を vi(t) とすると、電荷密度 ρ、電流密度 j は、 ρ ( t , x ) = ∑ i q i δ ( x − r i ( t ) ) j ( t , x ) = ∑ i q i v i ( t ) δ ( x − r i ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\\{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\end{aligned}}} と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。 ローレンツ力Fは多数の粒子系に対しては F ( t ) = ∑ i q i ( E ( t , r i ( t ) ) + v i ( t ) × B ( t , r i ( t ) ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\sum _{i}q_{i}\left({\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))+{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\right)} となる。ここで、電場Eと磁束密度Bを E ( t , r i ( t ) ) = ∫ d 3 x δ ( x − r i ( t ) ) E ( t , x ) B ( t , r i ( t ) ) = ∫ d 3 x δ ( x − r i ( t ) ) B ( t , x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})\\{\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{aligned}}} として、和と積分を入れ替えると、 F ( t ) = ∫ d 3 x ( ρ ( t , x ) E ( t , x ) + j ( t , x ) × B ( t , x ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\left(\rho (t,{\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\right)} このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。 ローレンツ力を相対論的に記述すると p ˙ μ = − q X ˙ ν F ν μ ( X ) {\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)} となる。 ここで X = (ct, r) は粒子の相対論的な位置、p = (E/c, p) は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。 F は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に ( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( − E 1 / c , − E 2 / c , − E 3 / c ) ,   ( F 23 , F 31 , F 12 ) = ( B 1 , B 2 , B 3 ) {\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c),~(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{1},B_{2},B_{3})} と表される。 位置の微分は非相対論的な速度 v によって X ˙ μ = ( c t ˙ , t ˙ v ) {\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})} と表される。 従って、この式の空間成分は p ˙ = q t ˙ E ( t , r ) + q t ˙ v × B ( t , r ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}=q{\dot {t}}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\dot {t}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})} となる。非相対論的な力 f は f = d p d t = p ˙ t ˙ = q E ( t , r ) + q v × B ( t , r ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\frac {\dot {\boldsymbol {p}}}{\dot {t}}}=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})} となる。 マクスウェルの方程式 フレミング左手の法則 電磁気学