導手

代数的整数論で、局所体や大域体の有限次アーベル拡大の導手(conductor)は、拡大の分岐を定量的に測るものである。導手の定義はアルティン写像に関連がある。 L/K を非アルキメデス的局所体の有限アーベル拡大とすると、L/K の導手 f ( L / K ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)} は、高次単数群（英語版）(higher unit group) U ( n ) = 1 + m K n = { u ∈ O × : u ≡ 1 ( m o d m K n ) } {\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}_{K}^{n})\right\}} が NL/K(L×) に含まれるような最小の非負な整数 n である。ここに、NL/K は体のノルム(field norm)写像で、 m K {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}} は K の極大イデアル(maximal ideal)とする。同じことであるが、n は局所アルティン写像が U K ( n ) {\displaystyle U_{K}^{(n)}} 上で自明であるような最小の整数である。導手は、上記の n に対する m K n {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{n}} として定義されることもある。 拡大の導手は分岐を測る。定量的には、拡大が不分岐であることと、導手が 0 であることとは同値であり、（拡大が）おとなしい分岐（英語版）(tamely ramified)であることと、導手が 1 であることとは同値である。さらに詳しくは、導手は高次分岐群（英語版）(higher ramification group)の非自明性を測ることができる。下付添え字の（英語版）(lower numbering)の高次分岐群 Gs が非自明であるような最も大きな整数を s とすると、 f ( L / K ) = η L / K ( s ) + 1 {\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1} が成り立つ。ここに ηL/K は「下付添え字」を高次分岐群の上付き添え字（英語版）(upper numbering)へ変換する函数とする。 また、L/K の導手はガロア群 Gal(L/K) の指標のアルティン導手（英語版）(Artin conductor)とも関係している。特に、 m K f ( L / K ) = l c m χ m K f χ {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}={\underset {\chi }{\mathrm {lcm} }}\,{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}} であり、ここに χ は Gal(L/K) の乗法的な複素指標（英語版）(multiplicative complex characters)の全てを渡り、 f χ {\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\chi }} は χ のアルティン導手であり、lcm は最小公倍数である。 導手は、局所体の必ずしもアーベル的ではない有限次ガロア拡大に対しても L/K と同じ方法で定義することができる。しかしながら、導手は「ノルム限定定理」のために、L の中での K の最大アーベル拡大である Lab/K のみに依存する。ノルム極限定理は、この状況下では、 N L / K ( L × ) = N L ab / K ( ( L ab ) × ) {\displaystyle N_{L/K}(L^{\times })=N_{L^{\text{ab}}/K}\left((L^{\text{ab}})^{\times }\right)} を意味している。 加えて、局所体の場合よりも少し一般的な場合、つまり、準有限（英語版）(quasi-finite)な剰余体を持つ完備付値体の場合は、導手を定義することができる。 大域的導手のためには、自明な拡大 R/R の導手が 0 であると定義し、拡大 C/R の導手が 1 であると定義する。 数体のアーベル拡大 L/K の導手は、アルティン写像を使い局所の場合と同様に定義できる。特に θ : Im → Gal(L/K) を大域的アルティン写像(global Artin map)とする。ここでは、モジュラス（英語版）(modulus) m は L/K の定義モジュラス（英語版）(defining modulus)である。θ が法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の射類群（英語版）(ray class group) を経由するときに、アルティン相互法則(Artin reciprocity)が m で成り立つという。L/K の導手を f ( L / K ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)} と書き、相互法則の成立するモジュラスのすべての共通部分とする。実際、相互法則は、 f ( L / K ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)} に対し成り立つので、これは最も小さなそのようなモジュラスである 基礎体を有理数体とすると、クロネッカー・ウェーバーの定理は、代数体 K が Q のアーベル拡大であることと、ある円分体 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta _{n})} の部分体であることが同値であることを言っている。従って、K の導手はそのようなものの中で最も小さな n である。 d を平方因子のない整数として， L/K を Q ( d ) / Q {\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q} } とすると、 f ( Q ( d ) / Q ) = { | Δ Q ( d ) | for  d > 0 ∞ | Δ Q ( d ) | for  d < 0 {\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}} が成り立つ．ここで Δ Q ( d ) {\displaystyle \Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}} は Q ( d ) / Q {\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q} } の判別式（英語版）(discriminant)である。 大域導手は局所導手の積である。 f ( L / K ) = ∏ p p f ( L p / K p ) . {\displaystyle \displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}})}.} 結局、有限素点が L/K で分岐していることと、それが f ( L / K ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)} を割ることは同値である。 無限素点 v は導手の中にあらわれることと、v が実素点で、L で複素素点となることとが同値である。 ^ Serre 1967, §4.2 ^ As in Neukirch 1999, definition V.1.6 ^ Neukirch 1999, proposition V.1.7 ^ Milne 2008, I.1.9 ^ Serre 1967, §4.2, proposition 1 ^ Artin & Tate 2009, corollary to theorem XI.14, p. 100 ^ Serre 1967, §4.2にあるように、 ^ Serre 1967, §2.5, proposition 4 ^ Milne 2008, theorem III.3.5 ^ As in Artin & Tate 2009, §XI.4. This is the situation in which the formalism of local class field theory works. ^ Cohen 2000, definition 3.4.1 ^ Milne 2008, remark V.3.8 ^ Janusz 1973, pp. 158, 168–169 ^ 無限素点を導手の定義から外している著者もいる。Neukirch 1999, §VI.6 ^ Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (Second ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002  ^ Milne 2008, example V.3.11 ^ 有限部分はNeukirch 1999, proposition VI.6.5、無限部分はCohen 2000, definition 3.4.1を参照 ^ Neukirch 1999, corollary VI.6.6 Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR2467155  Cohen, Henri (2000), Advanced topics in computational number theory, Graduate Texts in Mathematics, 193, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98727-9  Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields, Pure and Applied Mathematics, 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307.12001  Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.), http://jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html 2010年2月22日閲覧。  Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Zbl 0956.11021, MR1697859  Serre, Jean-Pierre (1967), “Local class field theory”, in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht, Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965, London: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR0220701