タッカー円

タッカー円（タッカーえん、英: Tucker circles）は、幾何学において、ロバート・タッカーの名を冠する三角形の円（ドイツ語版）の集合である。集合であることを明示する場合、タッカー円の群またはタッカー属とも言われる。タッカー円の特殊な場合として、外接円、 第一ルモワーヌ円（ドイツ語版）、第二ルモワーヌ円（ドイツ語版）、第三ルモワーヌ円（ドイツ語版）、テイラー円などがある。 三角形の辺またはその延長上のある点から、他の辺の平行線か逆平行線を引く。その直線と3つめの辺（またはその延長）から、次の辺の、平行線と逆平行線のうち、先とは異なる方の直線を引き、別の辺との交点を取る。この操作を延べ6回繰り返して得た点は最初に決めた点と一致する。また、6回の操作の中で得た6点は共円である（タッカーの定理）。 具体的に書けば、 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} について、直線 A B {\displaystyle AB} 上の点 Q c {\displaystyle Q_{c}} を取り、 Q c {\displaystyle Q_{c}} を通る A C {\displaystyle AC} の平行線（逆平行線）と B C {\displaystyle BC} の交点を P a {\displaystyle P_{a}} 、 P a {\displaystyle P_{a}} を通る A B {\displaystyle AB} の逆平行線（平行線）と A C {\displaystyle AC} の交点を Q b {\displaystyle Q_{b}} 、 Q b {\displaystyle Q_{b}} を通る B C {\displaystyle BC} の平行線（逆平行線）と A B {\displaystyle AB} の交点を P c {\displaystyle P_{c}} 、 P c {\displaystyle P_{c}} を通る A C {\displaystyle AC} の逆平行線（平行線）と B C {\displaystyle BC} の交点を Q a {\displaystyle Q_{a}} 、 Q a {\displaystyle Q_{a}} を通る A B {\displaystyle AB} の平行線（逆平行線）を P b {\displaystyle P_{b}} とすると、 P b {\displaystyle P_{b}} を通る B C {\displaystyle BC} の逆平行線（平行線）と A B {\displaystyle AB} は Q c {\displaystyle Q_{c}} で交わり、さらに六点 Q c P a Q b P c Q b P b Q c {\displaystyle Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}Q_{c}} は同一円周上にある。 この円をタッカー円といい、文中の平行線と逆平行線を辺とする六角形をタッカー六角形（Tucker hexagon）という。タッカー六角形はルモワーヌ六角形の一般化である。 以下では、基準三角形 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の K {\displaystyle K} を類似重心、 O {\displaystyle O} を外心 、 タッカー六角形を Q c P a Q b P c Q b P b {\displaystyle Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}} とする。ただし Q c P a , Q b P c , Q a P b {\displaystyle Q_{c}P_{a},Q_{b}P_{c},Q_{a}P_{b}} が各辺と逆平行である。また、 T {\displaystyle T} をタッカー円の中心、 L {\displaystyle L} を A K {\displaystyle AK} と Q b P c {\displaystyle Q_{b}P_{c}} の交点、 M {\displaystyle M} を B K {\displaystyle BK} と Q c P a {\displaystyle Q_{c}P_{a}} の交点、 N {\displaystyle N} を C K {\displaystyle CK} と Q a P b {\displaystyle Q_{a}P_{b}} の交点、 H a , H b , H c {\displaystyle H_{a},H_{b},H_{c}} をそれぞれ △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の各頂垂線の垂足と定義する。 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺の長さは等しい。つまり | Q b P c | = | Q c P a | = | Q a P b | {\displaystyle |Q_{b}P_{c}|=|Q_{c}P_{a}|=|Q_{a}P_{b}|} 。 頂点と類似重心を結ぶ直線によって二等分される。つまり | Q b L | = L P c | = | Q c M | = | M P a | = | Q a N | = | N P b | {\displaystyle |Q_{b}L|=LP_{c}|=|Q_{c}M|=|MP_{a}|=|Q_{a}N|=|NP_{b}|} 。 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する垂心三角形 △ H a H b H c {\displaystyle \triangle H_{a}H_{b}H_{c}} に平行である。つまり、 Q b P c ∥ H b H c , Q c P A ∥ H c H a , Q a P b ∥ H a H b {\displaystyle Q_{b}P_{c}\parallel H_{b}H_{c},Q_{c}P_{A}\parallel H_{c}H_{a},Q_{a}P_{b}\parallel H_{a}H_{b}} 。 △ L N M {\displaystyle \triangle LNM} は △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} と K {\displaystyle K} を中心にして相似である。つまり、 | K L | | K A | = | K M | | K B | = | K N | | K C | {\displaystyle {\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}} 。 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する頂点と外心を結ぶ直線と直交する。つまり Q b P c ⊥ A O , Q c P a ⊥ B O , Q a P b ⊥ C O {\displaystyle Q_{b}P_{c}\perp AO,Q_{c}P_{a}\perp BO,Q_{a}P_{b}\perp CO} 。 タッカー円の中心 T {\displaystyle T} はブロカール軸 K O {\displaystyle KO} 上にある。比 | K T | | K O | {\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}} は △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} と △ L N M {\displaystyle \triangle LNM} の相似比に比例する。つまり、 | K T | | K O | = | K L | | K A | = | K M | | K B | = | K N | | K C | {\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}={\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}} 。 タッカー円の包絡線はブロカール点を焦点とする内接楕円（英語版）、ブロカール内接楕円（ブロカール楕円）である。 タッカー六角形 Q c P a Q b P c Q b P b {\displaystyle Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}} が基準三角形 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} に退化する、つまり Q b = P c = A , Q c = P a = B , Q a = P b = C {\displaystyle Q_{b}=P_{c}=A,Q_{c}=P_{a}=B,Q_{a}=P_{b}=C} となるとき、外接円をタッカー円として得られる。 タッカー円を線分 Q b P c {\displaystyle Q_{b}P_{c}} の符号付長さを媒介変数として表す。 t = {     | Q b P c | , ( A ∉ P c B ) − | Q b P c | , ( A ∈ P c B ) {\displaystyle t={\begin{cases}\ \ \,|Q_{b}P_{c}|,&(A\notin P_{c}B)\\-|Q_{b}P_{c}|,&(A\in P_{c}B)\end{cases}}} タッカー円の半径は t {\displaystyle t} を用いて次の様に与えられる R ( t ) = t 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) − t ( a 2 + b 2 + c 2 ) a b c + a 2 b 2 c 2 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle R(t)={\sqrt {\frac {t^{2}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-t(a^{2}+b^{2}+c^{2})abc+a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}} 代表的な値の場合を以下の表に載せた。 比 t = | K T | | K O | {\displaystyle t={\frac {|KT|}{|KO|}}} で記述すると、次のようになる。 半径は、ωをブロカール角として R T = R t 2 + ( 1 − t ) 2 tan 2 ⁡ ω {\displaystyle R_{T}=R{\sqrt {t^{2}+(1-t)^{2}\tan ^{2}\omega }}} ルモワーヌ点を持つ四面体（等力四面体）にも、同様にしてタッカー円の類似物、タッカー球を作ることができる。 等力四面体A1A2A3A4とルモワーヌ点を中心に相似の位置にある四面体B1B2B3B4について、平面B2B3B4と直線A1A2,A1A3, A1A4の交点、平面B3B4B1と直線A2A1,A2A3, A2A4の交点、平面B4B1B2と直線A3A1,A3A2, A1A4の交点、平面B1B2B3と直線A4A1,A4A2, A4A3の交点、延べ12点は同一球面上にある。この球をタッカー球と言う。 ^ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、118頁。doi:10.11501/1063410。  ^ るーしぇ, こんぶるーす 著、小倉金之助 訳『初等幾何學 第1卷 平面之部』山海堂出版部、1919年。doi:10.11501/1082035。  ^ 森本清吾『近世幾何学』積善館、1929年、71頁。doi:10.11501/1171033。  ^ ジョン・ケージー（英語版） 著、山下安太郎, 高橋三蔵 訳『幾何学続編』有朋堂、1909年。doi:10.11501/828521。  ^ a b 長沢亀之助『幾何学辞典 : 問題解法 続』長沢亀之助、1912年、556頁。doi:10.11501/952919。  ^ Roger A. 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Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 53–67 Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat) Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat) Traian Lalescu, Trajan Lalesco『La géometrie du triangle』Librairie Vuibert、1952年。ISSN 1220-5605。  Sortais, Yvonne et René『La géométrie du triangle : exercices resolus』Hermann、1997年。ISBN 9782705614294。  François Lobit, Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle, Publibook, 2015, pages 30,31 トムセンの定理 三角形の円錐曲線 Weisstein, Eric W. "Tucker Circles". mathworld.wolfram.com (英語). Tucker circles auf cut-the-knot.org Jacques Bouteloup, Cercles de Tücker archive