クラマース＝ワニア双対性

クラマース＝ワニア双対性(Kramers–Wannier duality)は、統計力学での対称性である。クラマース＝ワニア双対性は、低温での2次元の正方格子イジングモデル（英語版）(square-lattice Ising model)の自由エネルギー(free energy)を、高温の別なイジングモデルの自由エネルギーとを関連付ける双対性である。この双対性はヘンリク・クラマース(Hendrik Kramers)とグレゴリー・ワニア（英語版）(Gregory Wannier)により1941年に発見された。この双対性を用いて、クラマースとワニアは、正方格子イジングモデルの臨界点の正確な位置を見つけた。 同様な双対性は、他の統計モデルの自由エネルギーの間の関係も確立している。例えば、3次元ではイジングモデルはあるゲージイジングモデルの双対である。 2次元イジングモデルは格子（チェスボード状の正方形の集まり）上で定義される。有限格子では、辺はトーラスを形成するように結合できる。この種類の理論では、対合を構成することができる。例えば、ラルス・オンサーガー(Lars Onsager)は、Y-Δ変換が三角格子に使えるのではないかと提唱した。さて、離散的なトーラスの双対は自己自身である。さらに、非常に非秩序な（高温度）系の双対は、非常に秩序のある（低温度）系である。これは、フーリエ変換が大きな帯域幅をもつ（標準偏差が大きい）信号を帯域幅の小さな(標準偏差の小さい)信号にするためである。従って、逆温度を持つ本質的に同じ理論であることがわかる。 一方の理論の温度を上げると、もう一方の理論は温度が下る。相転移が一つしかない場合、相転移は交叉する点、すなわち双方の系の温度が等しくなる点で起こる。2次元イジングモデルは無秩序状態から秩序状態へ移るので、無秩序相と秩序相の間には 一対一写像に近い写像が存在する。 理論は一般化され、現在では、様々な考え方が融合している。例えば、四角形格子は円、ランダム格子、非等質トーラス、三角格子、 labyrinth、ツイストした境界を持つ格子、カイラルポッツモデルなど、様々なものに置き換えられる。 これらの変数を定義する。 ( K ∗ , L ∗ ) {\displaystyle (K^{*},L^{*})} での低温展開は、 Z N ( K ∗ , L ∗ ) = 2 e N ( K ∗ + L ∗ ) ∑ P ⊂ Λ D ( e − 2 L ∗ ) r ( e − 2 K ∗ ) s {\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}} である。 tanh ⁡ K = e − 2 L ∗ ,   tanh ⁡ L = e − 2 K ∗ {\displaystyle \tanh K=e^{-2L*},\ \tanh L=e^{-2K*}} により、 Z N ( K ∗ , L ∗ ) = 2 ( tanh ⁡ K tanh ⁡ L ) − N / 2 ∑ P v r w s {\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}} = 2 ( sinh ⁡ 2 K sinh ⁡ 2 L ) − N / 2 Z N ( K , L ) {\displaystyle =2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)} である。ここに、 v = tanh ⁡ K {\displaystyle v=\tanh K} であり、 w = tanh ⁡ L {\displaystyle w=\tanh L} である。このことから、高温展開との関係がわかる。関係はより対称性が明確となるように、 sinh ⁡ 2 K ∗ sinh ⁡ 2 L = 1 {\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1} sinh ⁡ 2 L ∗ sinh ⁡ 2 K = 1 {\displaystyle \,\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1} と記述することができる。サイトあたりの自由エネルギーの熱力学的極限(thermodynamic limit) f ( K , L ) = lim N → ∞ f N ( K , L ) = − k T lim N → ∞ 1 N log ⁡ Z N ( K , L ) {\displaystyle f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)} を用いると、クラマース＝ワニアの双対性は、 f ( K ∗ , L ∗ ) = f ( K , L ) + 1 2 k T log ⁡ ( sinh ⁡ 2 K sinh ⁡ 2 L ) {\displaystyle f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)} を与える。 K = L {\displaystyle K=L} である等方的な場合は、 K = K c {\displaystyle K=K_{c}} に臨界点があるとすれば、 K = K c ∗ {\displaystyle K=K_{c}^{*}} にも別な臨界点がある。従って、唯一の臨界点がある場合は、 K = K ∗ = K c ∗ {\displaystyle K=K^{*}=K_{c}^{*}} のみに臨界点があることとなり、これは sinh ⁡ 2 K c = 1 {\displaystyle \sinh 2K_{c}=1} を意味し、 k T c = 2.2692 J {\displaystyle kT_{c}=2.2692J} を得る。 イジングモデル S-双対 ^ Somendra M. Bhattacharjee, and Avinash Khare, Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager (1995), arxiv:cond-mat/9511003 ^ arXiv:cond-mat/9805301, Self-dual property of the Potts model in one dimension, F. Y. Wu ^ arXiv:hep-lat/0110063, Dirac operator and Ising model on a compact 2D random lattice, L.Bogacz, Z.Burda, J.Jurkiewicz, A.Krzywicki, C.Petersen, B.Petersson ^ arXiv:hep-th/9703037, Duality of the 2D Nonhomogeneous Ising Model on the Torus, A.I. Bugrij, V.N. Shadura ^ arXiv:cond-mat/0402420, Selfduality for coupled Potts models on the triangular lattice, Jean-Francois Richard, Jesper Lykke Jacobsen, Marco Picco ^ arXiv:solv-int/9902009, A critical Ising model on the Labyrinth, M. Baake, U. Grimm, R. J. Baxter ^ arXiv:hep-th/0209048, Duality and conformal twisted boundaries in the Ising model, Uwe Grimm ^ arXiv:0905.1924, Duality and Symmetry in Chiral Potts Model, Shi-shyr Roan H. A. Kramers and G. H. Wannier (1941). “Statistics of the two-dimensional ferromagnet”. Physical Review 60: 252–262. Bibcode: 1941PhRv...60..252K. doi:10.1103/PhysRev.60.252.  J. B. Kogut (1979). “An introduction to lattice gauge theory and spin systems”. Reviews of Modern Physics 51: 659–713. Bibcode: 1979RvMP...51..659K. doi:10.1103/RevModPhys.51.659.