エルデシュ・モーデルの不等式

ユークリッド幾何学においてエルデシュ・モーデルの不等式（えるでしゅ・もーでるのふとうしき、英: Erdős–Mordell inequality）は、三角形ABCとその内部の点Pについて、三角形の各頂点とPの距離の和は、三角形の各辺とPの距離の和の2倍以上であるという定理である。 ポール・エルデシュとルイス・モーデルに因み名付けられた。エルデシュ（Erdős (1935) ）はこの不等式の証明の問題を発表し、その2年後に、モーデルとバロー（Mordell and D. F. Barrow (1937)）によって証明がなされた。 この不等式は実に初等的であるが、 彼らによる証明は全く初等的でない。その後 Kazarinoff (1957), Bankoff (1958), Alsina & Nelsen (2007)らによって単純な証明が与えられた。 バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式のより強力な不等式である。エルデシュ・モーデルの不等式は点と辺との距離、つまり垂線の長さに関する不等式だが、バローの不等式は角の二等分線の長さに関する不等式となっている。 エルデシュ・モーデルの不等式 ―  P {\displaystyle P} を三角形 A B C {\displaystyle ABC} の内部にある点、 P L , P M , P N {\displaystyle PL,PM,PN} を P {\displaystyle P} から三角形の辺に降ろした垂線とする（三角形が鈍角を持つ場合は、一つの垂線は、別の辺と交ったのち、辺の延長で交わる）。このとき以下の式が成り立つ： P A + P B + P C ≥ 2 ( P L + P M + P N ) {\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PL+PM+PN)} A,B,Cの対辺とその長さをa,b,cと表現する。またPA,PB,PCの長さをそれぞれp,q,r、P,BC間,P,CA間,P,AB間の距離をそれぞれx,y,zとする。このとき c r ≥ a x + b y . {\displaystyle cr\geq ax+by.} を証明する。この不等式は c ( r + z ) 2 ≥ a x + b y + c z 2 . {\displaystyle {\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}.} と等しい。このとき、右辺は三角形の面積を表すが、左辺の r + zは底辺をcとしてみたときの三角形の高さよりも大きい。したがってこの不等式は成立する。PをCの角の二等分線で鏡映した点にこの不等式を用いればcr ≧ ay + bxを得る。同様にap ≧ bz + cy, bq ≧ cx + azを得る。これらの不等式を変形する。 r ≥ ( a / c ) y + ( b / c ) x , {\displaystyle r\geq (a/c)y+(b/c)x,} q ≥ ( a / b ) z + ( c / b ) x , {\displaystyle q\geq (a/b)z+(c/b)x,} p ≥ ( b / a ) z + ( c / a ) y . {\displaystyle p\geq (b/a)z+(c/a)y.} この3つの不等式を加えて p + q + r ≥ ( b c + c b ) x + ( a c + c a ) y + ( a b + b a ) z . {\displaystyle p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.} ここで相加相乗平均の関係式よりエルデシュ・モーデルの不等式を得る。等号成立条件は、元の三角形が正三角形でPが三角形の重心であることである。 外接円をOとする△ABCと、△ABCの内部の点Pについて、D,E,Fを辺BC,CA,ABに対するPの垂足、M,L,NをA,B,CにおけるOの接線に対するPの垂足とする。このとき P M + P N + P Q ≥ 2 ( P D + P E + P F ) {\displaystyle PM+PN+PQ\geq 2(PD+PE+PF)} が成り立つ。等号成立条件は元の三角形が正三角形であること（Dao, Nguyen & Pham 2016; Marinescu & Monea 2017）。 A 1 A 2 . . . A n {\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}} を凸なn角形、 P {\displaystyle P} をその内部の点とする。また R i {\displaystyle R_{i}} を P {\displaystyle P} と A i {\displaystyle A_{i}} の距離、 r i {\displaystyle r_{i}} を P {\displaystyle P} と A i A i + 1 {\displaystyle A_{i}A_{i+1}} の距離、 w i {\displaystyle w_{i}} を ∠ A i P A i + 1 {\displaystyle \angle A_{i}PA_{i+1}} の二等分線と A i A i + 1 {\displaystyle A_{i}A_{i+1}} の交点と P {\displaystyle P} の距離とする。このとき次の不等式が成り立つ (Lenhard 1961)。 ∑ i = 1 n R i ≥ ( sec ⁡ π n ) ∑ i = 1 n w i ≥ ( sec ⁡ π n ) ∑ i = 1 n r i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}} 絶対幾何学（英語版） においてもエルデシュ・モーデルの不等式が成り立つことが知られている（ Pambuccian (2008)）。ただし絶対幾何学での三角形の内角の和は180°以下であることを考慮する必要がある。 三角形に関する不等式の一覧 ヴィヴィアーニの定理 三角不等式 オノの不等式 カルノーの定理 (垂線) 垂足三角形 外接三角形 ^ “エルデス・モーデルの定理の証明”. 高校数学の美しい物語 (2022年4月8日). 2024年7月6日閲覧。 Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), “A visual proof of the Erdős-Mordell inequality”, Forum Geometricorum 7: 99–102, http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html . Bankoff, Leon (1958), “An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem”, American Mathematical Monthly 65 (7): 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580, https://jstor.org/stable/2308580 . Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), “A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality”, Forum Geometricorum 16: 317–321, MR3556993, http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201638.pdf . Erdős, Paul (1935), “Problem 3740”, American Mathematical Monthly 42: 396, doi:10.2307/2301373, JSTOR 2301373, https://jstor.org/stable/2301373 . Kazarinoff, D. K. (1957), “A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles”, Michigan Mathematical Journal 4 (2): 97–98, doi:10.1307/mmj/1028988998 . (See D. K. Kazarinoff's inequality for tetrahedra.) Lenhard, Hans-Christof (1961), “Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone”, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 12: 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR0133060 . Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), “About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality”, Forum Geometricorum 17: 197–202, http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201723.pdf . Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), “Solution to 3740”, American Mathematical Monthly 44: 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713, https://jstor.org/stable/2300713 . Pambuccian, Victor (2008), “The Erdős-Mordell inequality is equivalent to non-positive curvature”, Journal of Geometry 88 (1–2): 134–139, doi:10.1007/s00022-007-1961-4 . Weisstein, Eric W. "Erdős-Mordell Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.