P進L関数

本来の表記は「p進L関数」です。この記事に付けられたページ名は技術的な制限または記事名の制約により不正確なものとなっています。 数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域と値域が p-進的であるものを言う（ここに p は素数である）。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Zp や、射有限 p-群、ガロア表現の p-進族であり、像はp-進数体 Qp もしくはその代数的閉包である。 ディリクレ L-函数は、級数 L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = ∏ p  prime number 1 1 − χ ( p ) p − s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime number}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}} の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、 L ( 1 − n , χ ) = − B n , χ n {\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}} である。ここに、Bn,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、 ∑ n = 0 ∞ B n , χ t n n ! = ∑ a = 1 f χ ( a ) t e a t e f t − 1 {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}} で定義される。 久保田-レオポルドの p-進 L-函数 Lp(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、Lp(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し L p ( 1 − n , χ ) = ( 1 − χ ( p ) p n − 1 ) L ( 1 − n , χ ) {\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )} となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない 場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にクンマー合同（英語版）(Kummer congruence)と関連している。 n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、 L p ( 1 − n , χ ) = ( 1 − χ ω − n ( p ) p n − 1 ) L ( 1 − n , χ ω − n ) {\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})} が成り立つ。ここに χ はタイヒミューラー指標（英語版）(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。 p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上のp-進測度（英語版）(p-adic measures)（あるいは、p-進分布（英語版）(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（Zp 上の Qp-値を持つ函数として）、メイザー・メリン変換（英語版）(Mazur–Mellin transform)（と類体論）を経由する。 Deligne & Ribet (1980) では、前に行われている Serre (1973) に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。Barsky (1978) と Cassou-Noguès (1979)は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。 Barsky, Daniel (1978), “Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels”, in Amice, Y.; Barskey, D.; Robba, P., Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), 16, Paris: Secrétariat Math., ISBN 978-2-85926-266-2, MR525346, http://www.numdam.org/item?id=GAU_1977-1978__5__A9_0  Cassou-Noguès, Pierrette (1979), “Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques”, Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, doi:10.1007/BF01389911, ISSN 0020-9910, MR524276  Coates, John (1989), “On p-adic L-functions”, Astérisque (177): 33–59, ISSN 0303-1179, MR1040567, http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__33_0  Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions, http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf  Deligne, Pierre; Ribet, Kenneth A. (1980), “Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields”, Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, doi:10.1007/BF01453237, ISSN 0020-9910, MR579702  Iwasawa, Kenkichi (1969), “On p-adic L-functions”, Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 89 (1): 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR0269627, https://jstor.org/stable/1970817  Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08112-0, MR0360526  Katz, Nicholas M. (1975), “p-adic L-functions via moduli of elliptic curves”, Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math.,, 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 479–506, MR0432649  Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3, MR754003  Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), “Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 214/215: 328–339, ISSN 0075-4102, MR0163900, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?GDZPPN002180626  Serre, Jean-Pierre (1973), “Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques”, in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math, 350, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 191–268, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4, ISBN 978-3-540-06483-1, MR0404145