イギリス国旗の定理

ユークリッド幾何学において、イギリス国旗の定理[訳語疑問点]（イギリスこっきのていり、英:British flag theorem）または英国旗の定理[訳語疑問点]とは長方形ABCDと任意の点Pについて以下の等式が成り立つという定理である。 A P 2 + C P 2 = B P 2 + D P 2 . {\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.} イギリス国旗の定理はピタゴラスの定理の一般化と言うこともできる。Pを長方形のいずれかの点に重ねることによって、長方形の対角線の2乗が長方形の縦と横の2乗の和に等しくなり、これはピタゴラスの定理となる。 Pを通る長方形ABCDの辺AB, BC, CD, ADに対する垂線の足をそれぞれW, X, Y ,Zとする。ここで四角形WXYZは直交対角線四角形である。したがってWP=AZであることに注意し、ピタゴラスの定理を用いると A P 2 = A W 2 + W P 2 = A W 2 + A Z 2 {\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}} が成り立つ。同様にして以下が成立する。 P C 2 = W B 2 + Z D 2 , {\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},} B P 2 = W B 2 + A Z 2 , {\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},} P D 2 = Z D 2 + A W 2 . {\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.} したがって A P 2 + P C 2 = ( A W 2 + A Z 2 ) + ( W B 2 + Z D 2 ) = ( W B 2 + A Z 2 ) + ( Z D 2 + A W 2 ) = B P 2 + P D 2 {\displaystyle {\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}} イギリス国旗の定理は等脚台形に一般化することができる。 A B {\displaystyle AB} , C D {\displaystyle CD} が平行である等脚台形 A B C D {\displaystyle ABCD} と任意の点 P {\displaystyle P} について以下が成り立つ。 | A P | 2 + | A B | | C D | ⋅ | P C | 2 = | B P | 2 + | A B | | C D | ⋅ | P D | 2 {\displaystyle |AP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PC|^{2}=|BP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PD|^{2}} 四角形 A B C D {\displaystyle ABCD} が長方形の場合、 | A B | | C D | {\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|CD|}}} が1となるので元の定理を得る。 任意の点Pから平行四辺形の2組の対角までの距離の2乗和について、2つの和の差は平行四辺形の形状にのみ依存し、Pの位置に依らないことが知られている。 この定理は埋め込みによりユークリッド空間にも拡張することができる 。 証明の項の図の様に、Pから長方形の各辺へ垂線を下した時にできる図形がユニオンフラッグ に似ていることから名づけられた。 ピザの定理 ^ Lardner, Dionysius (1848), The First Six Books of the Elements of Euclid, H.G. Bohn, p. 87, https://books.google.com/books?id=5INRAAAAYAAJ&pg=PA87 . Lardner includes this theorem in what he calls "the most useful and remarkable theorems which may be inferred" from the results in Book II of Euclid's Elements. ^ Young, John Wesley; Morgan, Frank Millett (1917), Elementary Mathematical Analysis, The Macmillan company, p. 304, https://books.google.com/books?id=guI3AAAAMAAJ&pg=PA304 . ^ Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: with introductory chapters on the differential calculus, H. Holt and Company, p. 17, https://books.google.com/books?id=bYkLAAAAYAAJ&pg=PA17 . ^ Tran, Quang Hung (November 2021), “British flag theorem for isosceles trapezia”, The Mathematical Gazette 105 (564), doi:10.1017/mag.2021.126 . ^ Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry: Plane geometry, American Mathematical Society, p. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3, https://books.google.com/books?id=fLwydFiM7zMC&pg=PA136 . ^ Harvard-MIT Mathematics Tournament solutions Archived 2018-12-22 at the Wayback Machine., Problem 28. Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: An interesting application of the British flag theorem. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Volume 4 (2015), issue 1, pp. 31–34. Martin Gardner, Dana S. Richards (ed.): The Colossal Book of Short Puzzles and Problems. W. W. Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7, pp. 147, 159 (problem 6.16) British Flag Theorem at artofproblemsolving.com Can You Solve Microsoft's Rectangle Corners Interview Question? (video, 5:41 mins) interacive illustration of the British flag theorem for rectangles und for isosceles trapezoids