ムーファン・ループ

数学において、ムーファン・ループ（、（英: Moufang loop ）とは、特別な種類の代数構造である。多くの点で群に似ているが、必ずしも結合法則を満たさない。ムーファン・ループは、Ruth Moufang (1935) によって導入された。 滑らかな[訳語疑問点]ムーファン・ループは、関連する代数であるマルツェフ代数（英語版） がある。それはリー群に関連するリー代数があるのと類似している。 ムーファン・ループ はループ Q {\displaystyle Q} で、任意の x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , z {\displaystyle z} に対して、以下の4つの同値な恒等式を満たすものである ( Q {\displaystyle Q} の二項演算は並置記法[訳語疑問点]で記述する)： x ( y ( x z ) ) = ( ( x y ) x ) z {\displaystyle x(y(xz))=((xy)x)z\quad } … (N2) y ( x ( z x ) ) = ( ( y x ) z ) x {\displaystyle y(x(zx))=((yx)z)x\quad } … (N1) ( x y ) ( z x ) = x ( ( y z ) x ) {\displaystyle (xy)(zx)=x((yz)x)\quad } … (M1) ( x y ) ( z x ) = ( x ( y z ) ) x {\displaystyle (xy)(zx)=(x(yz))x\quad } … (M2) 以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。 任意の群は、結合的であるから、従ってムーファン・ループである。 非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。 ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない 。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。 ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる： x ( x z ) = ( x x ) z {\displaystyle x(xz)=(xx)z} (式 (N2) において y := e を代入) y ( x x ) = ( y x ) x {\displaystyle y(xx)=(yx)x} (式 (N1) において z := e を代入) x ( y x ) = ( x y ) x {\displaystyle x(yx)=(xy)x} (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入) ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則 ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle (xy)z=x(yz)} に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。この定理の系として、ムーファン・ループは、非結合的であると言える。すなわち、ムーファン・ループの任意の二つの元によって生成される部分ループは、結合的であり、従って群になる[訳語疑問点] 。 このセクションでは、ループではなく準群の場合にどうなるか考察する。 準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される。 以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。 Q {\displaystyle Q} を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。 任意の a ∈ Q {\displaystyle a\in Q} を固定する。準群の定義によって、 a e = a {\displaystyle ae=a} を満たす e ∈ Q {\displaystyle e\in Q} がただ一つ存在する。 この時、任意の x ∈ Q {\displaystyle x\in Q} に対して、 ( x a ) x = ( x ( a e ) ) x = ( x a ) ( e x ) {\displaystyle (xa)x=(x(ae))x=(xa)(ex)} が成り立つ。よって、準群の定義 (消去律) によって x = e x {\displaystyle x=ex} が成り立つ。従って、 e {\displaystyle e} は左単位元である。 次に、再び準群の定義により、 b e = e {\displaystyle be=e} を満たす b ∈ Q {\displaystyle b\in Q} がただ一つ存在する。この時、 ( y b ) e = ( e ( y b ) ) e = ( e y ) ( b e ) = y e {\displaystyle (yb)e=(e(yb))e=(ey)(be)=ye} が成り立つ。再び準群の簡約律より、 y b = y {\displaystyle yb=y} が成り立つ。従って、 b {\displaystyle b} は右単位元である。 さらに、 b = e b = e {\displaystyle b=eb=e} であるから、 e {\displaystyle e} は(両側)単位元である。 (M2) ( x y ) ( z x ) = x ( ( y z ) x ) {\displaystyle (xy)(zx)=x((yz)x)} だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。 この場合は a ∈ Q {\displaystyle a\in Q} に対して、 e a = a {\displaystyle ea=a} を満たす e {\displaystyle e} を取ると、 x = x e ∀ x ∈ Q {\displaystyle x=xe\quad \forall x\in Q} 、つまり e {\displaystyle e} は右単位元であることが言える。 先ほどと逆に e b = e {\displaystyle eb=e} を満たす b {\displaystyle b} を取って、同じことをすれば、 e = b {\displaystyle e=b} が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。 [脚注の使い方] ^ むしろ、結合的なムーファンループは、すなわち群である ^ 最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): ( x y ) ( z x ) = ( x ( y z ) ) x {\displaystyle (xy)(zx)=(x(yz))x} において x := x , y := a , z := e {\displaystyle x:=x,y:=a,z:=e} として適用した ^ 最初の等号は e {\displaystyle e} が左単位元だから、二番目の等号は仮定した (M1) において x := e , y := y , z := b {\displaystyle x:=e,y:=y,z:=b} として適用、最後の等号は e {\displaystyle e} 左単位元であることと、 b e = e {\displaystyle be=e} による ^ 参考文献 Kunen, K. (1995) の証明を和訳、記載したが、右単位元であることの証明は、Wikipedida 英語版 en:Moufang_loop#Moufang_quasigroups にある証明の方が簡潔である ^ Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra. ^ A corollary of this is that all Moufang loops are di-associative (i.e. the subloop generated by any two elements of a Moufang loop is associative and therefore a group). ^ Kunen, K. (1995) https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356, p2, Theorem 2.2 および 2.3 en:Malcev algebra en:Bol loop en:Gyrogroup en:Moufang plane en:Moufang polygon V. D. Belousov (2001), “Moufang loop”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page  Goodaire, Edgar G.; May, Sean; Raman, Maitreyi (1999). The Moufang loops of order less than 64. Nova Science Publishers. ISBN 0-444-82438-3  Gagola III, Stephen (2011). “How and why Moufang loops behave like groups”. Quasigroups and Related Systems 19: 1–22.  Grishkov, Alexander; Zavarnitsine, Andrei (2005). “Lagrange's theorem for Moufang loops”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 139: 41–57. doi:10.1017/S0305004105008388.  Kunen, K. (1996). “Moufang quasigroups”. Journal of Algebra 183 (1): 231–4. doi:10.1006/jabr.1996.0216.  https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356 Moufang, R. (1935), “Zur Struktur von Alternativkörpern”, Math. Ann. 110: 416–430, doi:10.1007/bf01448037, https://eudml.org/doc/159732  Romanowska, Anna B.; Smith, Jonathan D. H. (1999). Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8  LOOPS package for GAP This package has a library containing all nonassociative Moufang loops of orders up to and including 81. Moufang loop - PlanetMath.org（英語）