多変数の微分

多変数の微分（たへんすうのびぶん）は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。 n 次元実数ベクトル空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} とは、集合としては R n = { ( x 1 ⋮ x n )   | x 1 , ⋯ , x n ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}x_{1},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} 　　　　　　　　(1-2) である。つまり n 個の実数 x 1   ,   ⋯   ,   x n {\displaystyle {{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}} を用いて ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)} 　　(1-3) の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 特に、以下で定まる e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} を、第 i 標準ベクトルという。 e 1 = ( 1 ⋮ 0 ) ,   ⋯ , e n = ( 0 ⋮ 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{matrix}1\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\right),\ \cdots ,\mathbf {e} _{n}=\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\1\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(1-8) である。 次に R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の標準座標系を定義する。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に対し、 r j ( x ) = ⟨ x   |   e j ⟩ {\displaystyle {\textit {r}}_{j}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} \ |\ \mathbf {e} _{j}\rangle } 　　　　(1-6) とし、これを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の第 j 座標関数という。ここで ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } は内積を表す。つまり、 r j ( ( x 1 ⋮ x n ) ) = x j {\displaystyle {\textit {r}}_{j}\left(\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\right)=x_{j}} 　　　　(1-7) である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 標準座標系とは、 r 1 , r 2 , ⋯ , r n {\displaystyle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}} の組 ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle } のことである。当然、 x = ( x 1 ⋮ x n ) = ∑ j = 1 n r j ( x ) e j {\displaystyle {\textbf {x}}=\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{j=1}^{n}r_{j}(\mathbf {x} ){\textbf {e}}_{j}} 　　　　(1-9) が成立する。 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} にも、同様に、 e 1 ⋯ , e m {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\cdots ,\mathbf {e} _{m}} や、標準座標系 ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle } が定まっている。 さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 ( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ) の標準座標系を ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle } と表記し、値域側 ( R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} ) の標準座標系も ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle } と表記していては紛らわしいので、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準座標系を ⟨ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},{\textit {x}}_{2},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } と書くことにする。つまり、 x j ( x ) = r j ( x ) y i ( y ) = r i ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{j}(\mathbf {x} )=r_{j}(\mathbf {x} )\\&y_{i}(\mathbf {y} )=r_{i}(\mathbf {y} )\end{aligned}}} 　　　　(1-10) とする。 以降、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に、標準座標系 ⟩ x 1 , ⋯ , x n ⟨ {\displaystyle \rangle x_{1},\cdots ,x_{n}\langle } が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に標準座標系 ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } が定まっているとし、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に標準座標系 ⟨ y 1 , ⋯ , y m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle } が定まっているとする。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分集合とし、 f ( x 1 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(1-1) を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値を取る多変数ベクトル値関数という。 以降 f i {\displaystyle f_{i}} は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分を表す。 f i {\displaystyle f_{i}} は以下の性質を満たす。 f i ( x ) = y i ∘ f ( x ) = y i ( f ( x ) ) = ⟨ e i | f ( x ) ⟩ {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=y_{i}(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))=\langle \mathbf {e} _{i}|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle } 　　　　(1-11) f ( x 1 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , … , x n ) ) = ∑ i = 1 m f i ( x ) e i {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に、標準座標系 ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } が定まっているとし、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に、標準座標系 ⟨ y 1 , ⋯ , y m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle } が定まっているとする。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の開集合とし、 f ( x 1 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(1-1) を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 ここで f i {\displaystyle {{f}_{i}}} は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分を表す。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とし、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} のベクトルとする（ p {\displaystyle {\textbf {p}}} は p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} でなければならないが a {\displaystyle {\textbf {a}}} は a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} であってよい）。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} , a {\displaystyle {\textbf {a}}} は固定されているものとする。 このとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であるとは、以下の極限値 lim t → 0 f ( p + t a ) − f ( p ) t {\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}} 　　　　(1-4) が存在することを意味する。 このとき f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分商、 ∂ [ a ] f | [ p ] {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}} を、以下のように定義する。 ∂ [ a ] f | [ p ]   =   lim t → 0 f ( p + t a ) − f ( p ) t {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}\ =\ {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}} 　　　(1-5) f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分 f i {\displaystyle {f}_{i}} は以下の等式を満たす。 f i ( x ) = y i ∘ f ( x ) = ⟨ e i   |   f ( x ) ⟩ {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {e} _{i}\ |\ \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle } 　　　　(1-11) 上式において ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } は内積を意味する。 式 (1-10), (1-11) を用いて、 f i {\displaystyle {f}_{i}} を（(1-5) の定義式通りに） p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分することを考える。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能ならば、 f i {\displaystyle f_{i}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能で、 ∂ [ a ] f i | [ p ] = lim t → 0 f i ( p + t a ) − f i ( p ) t = e i ⋅ ( lim t → 0 ( f ( p + t a ) − f ( p ) t ) ) = t e i ⋅ ∂ [ a ] f | [ p ] = ∂ [ a ] f | [ p ] ⋅ e i {\displaystyle {\begin{aligned}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,{f}_{i}(\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-{f}_{i}(\mathbf {p} )}{t}}\\&={\textbf {e}}_{i}\cdot \left({\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)\right)\\&={}^{t}{\textbf {e}}_{i}\cdot {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&={\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\cdot {\textbf {e}}_{i}\end{aligned}}} 　　　　(1-12) が成立する。 逆に、式(1-1)より、 f ( x 1 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , … , x n ) ) = ∑ i = 1 m f i ( x ) e i {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}} 　　　　(1-13) なので、 f 1 , ⋯ , f m {\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}} すべてが p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であれば、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} も微分可能で、 ∂ [ a ] f | [ p ] = ( ∂ [ a ] f 1 | [ p ] ⋮ ∂ [ a ] f m | [ p ] ) {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}=\left({\begin{matrix}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{1}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\vdots \\{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{m}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)} 　　(1-14) が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。 (1-6) の各成分、つまり ∂ [ a ] f i | [ p ] {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数 f i ∘ l [ a , p ] ( t ) = f i ( t a + p ) {\displaystyle f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=f_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )} 　　　　　　(1-15) を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、 ∂ [ a ] f i | [ p ] = d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = 0 = d f i ( t a + x 0 ) d t | t = 0 {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={\left.{\frac {d(f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]})}{dt}}\right|}_{t=0}={\left.{\frac {df_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {x} _{0})}{dt}}\right|}_{t=0}} 　　　　　　(1-16) である。但し、 l [ a , p ] {\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}} は、 l [ a , p ] ( t ) = t a + p {\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=t\mathbf {a} +\mathbf {p} } 　　(1-17) で定まる R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の直線である。 また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の点 p {\displaystyle \mathbf {p} } における「（ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の） ベクトル e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} 」に対する偏微分商、即ち ∂ [ e j ] f [ p ] {\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]} を、 ∂ f ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} と書く。 即ち、 ∂ f ∂ x j | [ p ] = ∂ [ e j ] f [ p ] = lim t → 0 f ( t e i + p ) − f ( p ) t {\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {e} _{i}+\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}} (1-18) と表記する。 また、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分、つまり f i {\displaystyle {{f}_{i}}} の点 p {\displaystyle \mathbf {p} } における「（ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の）ベクトル e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} 」に対する偏微分商 ∂ [ e j ] f i [ p ] {\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}f_{i}[\mathbf {p} ]} を、 ∂ f i ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} と表記する。 ここで、 e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} は、それぞれ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 標準基底であり、 e j {\displaystyle {\textbf {e}}_{j}} は、第 j 標準ベクトルを意味する。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} において、 e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} 全てに対して偏微分可能であるとき、 ( J f ) [ p ] = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) {\displaystyle {(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(1-20) を f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle \mathbf {p} } におけるヤコビ行列という。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の開集合とし、 f ( x ) = ( f 1 ( x ) ⋮ f m ( x ) ) {\displaystyle {\textbf {f}}(\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}f_{1}(\mathbf {x} )\\\vdots \\f_{m}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(2-1) を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とする（つまり p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} ）。このとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとは、 lim x → p ( f ( x ) − ( A ( x − p ) + f ( p ) ) ‖ x − p ‖ ) = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0} 　　　　(2-2) を充たす n × m {\displaystyle n\times m} 行列 A {\displaystyle {\textbf {A}}} が存在することを意味する。この A {\displaystyle {\textbf {A}}} を、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における微分という。 x − p = h {\displaystyle {\textbf {x}}-{\textbf {p}}={\textbf {h}}} とおくと、次のようにも表せる。   lim h → 0 ‖ f ( p + h ) − f ( p ) − A h ‖ | | h | | = 0 {\displaystyle \quad \ \displaystyle \lim _{{\textbf {h}}\to {\textbf {0}}}{\dfrac {\|f({\textbf {p}}+{\textbf {h}})-f({\textbf {p}})-A{\textbf {h}}\|}{||{\textbf {h}}||}}=0} f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、(2-2) を満たす n × m {\displaystyle n\times m} 行列はひとつしか存在しない。つまり、 n × m {\displaystyle n\times m} 行列 B {\displaystyle {\textbf {B}}} が、 lim x → p ( f ( x ) − ( B ( x − p ) + f ( p ) ) ‖ x − p ‖ ) = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0} 　　　　(2-3) を満たすとすると、 A = B {\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {B}}} 　　　　(2-4) が成立する。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して偏微分可能である。実際、 ( f ( t a + p ) − f ( p ) t ) − A ⋅ a = ( f ( t a + p ) − ( A ⋅ ( ( t a + p ) − p ) + f ( p ) ) ‖ ( t a + p ) − p ‖ ) ‖ a ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\mathbf {f} (t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)-\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} \\&=\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)\left\|\mathbf {a} \right\|\end{aligned}}} 　　(2-5) ここで、 lim t → 0 ( f ( t a + p ) − ( A ⋅ ( ( t a + p ) − p ) + f ( p ) ) ‖ ( t a + p ) − p ‖ ) {\displaystyle \,{\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)} 　　　　(2-6) は、(2-2) に x = p + t a {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {a} } を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の t → 0 {\displaystyle t\to 0} 極限は 0 となる。従って、 lim t → 0 f ( t a + p ) − f ( p ) t = A ⋅ a {\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} } 　　　　(2-7) となる。以上より f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して偏微分可能であることが示された。 式 (1-5), (2-6) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能ならば ∂ [ a ] f | [ p ] = A ⋅ a {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} } 　　　　(2-8) であることが分かる。 式 (1-2-8) に e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} を代入すると、 ∂ f ∂ x j | [ p ] = A ⋅ e j {\displaystyle {\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{j}} 　　　　(2-9) である。従って f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} での微分 A {\displaystyle {\textbf {A}}} の第 j 列は、 ∂ f ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}} 　　　　(2-10) 第 i , j 成分は ∂ f i ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} 　　　　(2-11) となる。従って、 A = ( ∂ f ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f ∂ x n | [ p ] ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) = ( J f ) [ p ] {\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}} 　　　　(2-12) となる。 「誤差項」の導入を行う。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} と p {\displaystyle {\textbf {p}}} に対し、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における誤差項（ランダウの記号） o [ f , p ] {\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}} を o [ f , p ] ( x ) = f ( x ) − ( ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) ) {\displaystyle \mathbf {o} _{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left({(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)} 　　　　(2-13) によって定める。 lim x → p o [ f , p ] = 0 {\displaystyle {\underset {{\textbf {x}}\to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}=\mathbf {0} } 　　　　(2-14) lim x → p o [ f , p ] ( x ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=\mathbf {0} } 　　　　(2-15) であることが分かる。 (2-14) は、以下の恒等式 f ( x ) = ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) + o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )} 　　　　(2-16) の x {\displaystyle {\textbf {x}}} に p {\displaystyle {\textbf {p}}} を代入すれば直ちに得られる。 (2-16) の恒等式ことを、本記事では f {\displaystyle {\textbf {f}}} の点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} における一次展開ということにする。 (2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、 o [ f , p ] {\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}} が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。 (2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の一次近似を表していると見ることができる。 つまり、点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} の近傍で f {\displaystyle {\textbf {f}}} は f ( x ) ≃ f ( p ) + ( J f ) [ p ] ( p ) ( x − p ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\simeq \mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )} 　　　　(2-17) とみなせることが分かる。 式 (2-8) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} において R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} , b {\displaystyle {\textbf {b}}} と、任意の実数 λ , μ {\displaystyle \lambda ,\mu } に対して、 ∂ [ λ a + μ b ] f | [ x ] = λ ( ∂ [ a ] f | [ x ] ) + μ ( ∂ [ b ] f | [ x ] ) {\displaystyle {\left.\partial _{\left[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} \right]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)} 　　　　(3-1) が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、 ∂ [ λ a + μ b ] f | [ p ] = ( J f ) [ p ] ( λ a + μ b ) = λ ( J f ) [ p ] ( a ) + μ ( J f ) [ p ] ( b ) = λ ( ∂ [ a ] f | [ p ] ) + μ ( ∂ [ b ] f | [ p ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )&=\lambda {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {a} )+\mu {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {b} )&=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)\end{aligned}}} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2) である。 また、(2-8) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して、 ∂ [ a ] f | [ p ] = ( J f ) [ p ] a = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋱ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) ( a 1 ⋮ a n ) = ∑ j = 1 n a i ( ∂ f ∂ x j | p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}\mathbf {a} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\ddots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\\\end{matrix}}\right)\\&=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{i}\left({\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{\mathbf {p} }\right)\end{aligned}}} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3) が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。 次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて T ( x ) = A x + b {\displaystyle T({\textbf {x}})={\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}}} 　　(3-4) の形で具体的な数式として書ける、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} から R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（ R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} の点） p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能で、任意の点（ R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} の点） p {\displaystyle {\textbf {p}}} において、 ( J T ) [ p ] = A {\displaystyle {{(JT)}_{[\mathbf {p} ]}}={\textbf {A}}} 　　(3-5) である。逆に、任意の点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。 次に、合成写像の微分について説明する。 E {\displaystyle {\textbf {E}}} を R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} の開集合とし、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} は、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の値域を含む（つまり、 f ( D ) ⊂ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}} 、特に f ( p ) ∈ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}} とする）とする。多変数ベクトル値関数 g ( y ) = ( g 1 ( y ) ⋮ g m ( y ) ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {y} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {y} )\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(3-6) は、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} で定義され、 R l {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}} に値をとるとする。このとき、 g {\displaystyle \mathbf {g} } と f {\displaystyle {\textbf {f}}} との合成写像 g ∘ f {\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}} は、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} で定義され、 R l {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}} に値をとる多変数ベクトル値関数である。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能で、 g {\displaystyle \mathbf {g} } が、点 f ( p ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )} で微分可能であるとき、 g ∘ f {\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}} も p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能で、 ( J ( g ∘ f ) ) [ p ] {\displaystyle {{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}} = ( J g ) [ f ( p ) ] {\displaystyle {{\left(J\mathbf {g} \right)}_{[{\textbf {f}}(\mathbf {p} )]}}} ⋅ ( J f ) p {\displaystyle \cdot {(J{\textbf {f}})}_{\textbf {p}}} 　　　　(3-7) ここで“ ⋅ {\displaystyle \cdot } ”とは、行列としての積である。 ■証明 f {\displaystyle {\textbf {f}}} を点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} で一次展開し、 g {\displaystyle {\textbf {g}}} を点 f ( p ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )} で(2-16)同様に一次展開すると、 f ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )} = ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) + o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} 　　　　(3-8) g ( y ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )} = ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( y − f ( p ) ) + g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))} 　　　　(3-9) となるので、 g ∘ f ( x ) {\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}({\textbf {x}})} = g ( f ( x ) ) {\displaystyle =\mathbf {g} ({\textbf {f}}({\textbf {x}}))} = ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( f ( x ) − f ( p ) ) + g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))} = ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + o [ f , p ] ( x ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot ({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} ))} + g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))} = ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} + g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))} = ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + g ( f ( p ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))} + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) + ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle +{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} 　　　　(3-10) である。従って lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) + ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\,=0} 　　　　(3-11) を示すを示せば終証である。 以下(3-11)を示す。 ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ {\displaystyle {\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}} = ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ) {\displaystyle =\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\right)} = ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle \,={\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,} 　　　　(3-12) より、 lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}} = lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle \,={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,} 　　　　(3-13) 一方、 lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}} = lim f ( x ) → f ( p ) ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}} 　　　　(3-14) は、 lim y → f ( p ) ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ y − f ( p ) ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {y} \to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}} 　　　　(3-15) の特殊なケースに過ぎないので、 lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}=0} 　　　　(3-16) さらに、 lim x → p ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,} 　　　　(3-17) は有限の値であることから、 lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0} 　　　　(3-18) また、 lim x → p ( ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0} 　　　(3-19) は、 lim x → p ( ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) ) ‖ x − p ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}} = lim x → p ( ( J g ) [ f ( p ) ] ( o [ f , p ] ( x ) ‖ x − p ‖ ) ) {\displaystyle ={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\left({\frac {{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,\right)} 　　　　(3-20) であることと、線形写像の連続性から明らかである。 ■ (3-7)を行列として具体的に表記すると ( J ( g ∘ f ) ) [ p ] {\displaystyle {{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}} = ( ∂ g 1 ∂ x 1 | [ f ( p ) ] ⋯ ∂ g 1 ∂ x m | [ f ( p ) ] ⋮ ⋮ ⋮ ∂ g l ∂ x 1 | [ f ( p ) ] ⋯ ∂ g l ∂ x m | [ f ( p ) ] ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\end{matrix}}\right)} ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ⋮ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\end{matrix}}\right)} (3-21) となる。これから、 ∂ ( f ∘ g ) i ∂ x j | [ p ] = ∑ k = 1 m ∂ f i ∂ x k | [ f ( p ) ] ∂ g k ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {{\left.{\frac {\partial {{(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}={{\sum \limits _{k=1}^{m}{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right|}}_{[{\textbf {f}}({\textbf {p}})]}}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{k}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}} (3-22) が分かる。 次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。 ∂ [ a ] f i | [ p ] = {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=} d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = 0 {\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=0}}} 　　　　　　(3-23) (3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、 d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = s = ( J f i ) l [ a , p ] ( l [ a , p ] ) s {\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=s}}={{(J{{f}_{i}})}_{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}}{{\left({{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}\right)}_{s}}} = ( ∂ f i ∂ x 1 | [ l [ a , p ] ] , ⋯ , ∂ f i ∂ x n | [ l [ a , p ] ] ) {\displaystyle =\left({{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}},\cdots ,{{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}}\right)} s a {\displaystyle s{\textbf {a}}} = ∑ i = 1 m s a j ∂ f i ∂ x j | [ s a + b ] {\displaystyle ={{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}} 　　　(3-24) 以上より、 ∂ [ a ] f i | [ p ] = {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=} ∑ i = 1 m s a j ∂ f i ∂ x j | [ s a + b ] {\displaystyle {{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}} 　　　　　　(3-25) 次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。 E {\displaystyle {\textbf {E}}} を R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} の開集合とし、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} は、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の値域を含む（つまり、 f ( D ) ⊂ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}} 、特に f ( p ) ∈ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}} とする）とする。多変数ベクトル値関数 g ( x ) = ( g 1 ( x ) ⋮ g m ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {x} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)} 　(3-26) は、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} で定義され、 R m {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{m}}} に値をとるとする。さらに、 g {\displaystyle {\textbf {g}}} が f {\displaystyle {\textbf {f}}} の逆写像、つまり g = {\displaystyle \mathbf {g} =} f − 1 {\displaystyle {{\mathbf {f} }^{-1}}} 　(3-27) とする。このとき、 ( J f − 1 ) [ f ( p ) ] = ( ( J f ) [ p ] ) − 1 {\displaystyle {{(J{{\mathbf {f} }^{-1}})}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}={{\left({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\right)}^{-1}}} 　(3-28) が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。 これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。 これまでの議論では、一点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、 f ( x 1 , , x n ) = ( f 1 ( x 1 , , x n ) ⋮ f m ( x 1 , , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} ({{x}_{1}},,{{x}_{n}})=\left({\begin{matrix}{{f}_{1}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\{\vdots }\\{{f}_{m}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\\end{matrix}}\right)} 　　　　(4-1) を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義され、 R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 a {\displaystyle {\textbf {a}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の固定されたベクトルとする。（ a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} でもよい。）このとき、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能である」とは D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の全ての点において、(4-1)の意味で f {\displaystyle {\textbf {f}}} が a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であることを意味する。このとき「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の a {\displaystyle {\textbf {a}}} についての偏導関数 ∂ [ a ] f {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} } 」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と x {\displaystyle {\textbf {x}}} における偏微分商 ∂ [ a ] f | x {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}} を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、 ∂ [ a ] f ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=} ∂ [ a ] f | x {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}} 　　　　(4-2) である。特に ∂ [ e j ] f ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {e} _{j}]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=} ( ∂ f ∂ x j ) ( x ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right)({\textbf {x}})} 　　　　(4-3) とする。 「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能である」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の全ての点において、(2-2)の意味で f {\displaystyle {\textbf {f}}} が微分可能」であることを意味する。 このとき「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の D {\displaystyle {\textbf {D}}} における導関数 f ′ {\displaystyle {{\mathbf {f} }^{'}}} 」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と x {\displaystyle {\textbf {x}}} における微分 ( J f ) [ x ] {\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}} を対応させる行列値の関数」である。つまり、 f ′ ( x ) = {\displaystyle {\mathbf {f} }'(\mathbf {x} )=} ( J f ) [ x ] {\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}} 　　　　(4-4) である。 f ′ {\displaystyle {{\mathbf {f} }'}} のことを J f {\displaystyle J\mathbf {f} } や、 T f {\displaystyle T\mathbf {f} } と書くこともある。 尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、 d f {\displaystyle d{\textbf {f}}} は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。 また、(4-5)から、直ちに「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」ならば、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、任意の a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、任意の a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能」であっても、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」とは限らない。 「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能である」とは、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、 e 1 ,   ⋯ ,   e j ⋯ ,   e n {\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}} 全てについて偏微分可能であり、かつ e 1 ,   ⋯ ,   e j ⋯ ,   e n {\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}} についての偏導関数がすべて D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続であること」を意味する。 一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」ならば「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」であるものの、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」であっても、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」とは限らない。 但し、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で微分可能であり、導関数が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続」ならば、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } 座標系が定まっているとする。 式 (1-14) の x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}} は全て R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に x i ′ ( x ) = t e i {\displaystyle {\textit {x}}_{i}'(\mathbf {x} )={}^{t}\mathbf {e} _{i}} 　　　　(5-1) である。ここで t {\displaystyle {}^{t}} は転置を意味する。すなわち t e i {\displaystyle {}^{t}{\textbf {e}}_{i}} とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。 式 (4-4) より f ′ ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )} は、 f ′ ( x ) = ( ( ∂ f ∂ x 1 ) ( x ) , ⋯ , ( ∂ f ∂ x n ) ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right)(\mathbf {x} ),\cdots ,\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right)(\mathbf {x} )\right)} 　　　　(5-2) で定まる行列値関数であるため、 f ′ ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) )   t e i {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right){\ }^{t}\mathbf {e} _{i}} 　　　　(5-3) であり、 f ′ ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) ( r i ′ ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(r_{i}'(\mathbf {x} )\right)} 　　　　(5-4) がわかる。ここで、 f ′ {\displaystyle \mathbf {f} '} を d f {\displaystyle d\mathbf {f} } 、 x i ′ {\displaystyle x_{i}'} を d x i {\displaystyle dx_{i}} と書くと、 d f ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) ( d x i ( x ) ) {\displaystyle d\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(dx_{i}(\mathbf {x} )\right)} 　　　　(5-5) となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、 d f = ∑ i = 1 n ( ∂ f ∂ x i ) d x i {\displaystyle d\mathbf {f} =\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)dx_{i}} 　　　　(5-6) となる。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、 A = ( a 11 , ⋯ , a 1 n ) {\displaystyle A=({{a}_{11}},\cdots ,{{a}_{1n}})} 　　(6-1-1) を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、 各成分が関数である行列のことを意味する。 式(6-1-1)の A {\displaystyle A} に対し、 f ( x ) = A {\displaystyle {f}(x)=A} 　　(6-1-2) を充たす、一変数スカラー値関数 f {\displaystyle {f}} を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、 A {\displaystyle A} のスカラーポテンシャルという。 以下、1行n列の行列値関数 A {\displaystyle A} があたえられたとき、 A {\displaystyle A} のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、 h {\displaystyle h} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された多変数スカラー値関数とする。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とする。（つまり、 p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} ） a {\displaystyle {\textbf {a}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} のベクトルとする。（ a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} でもよい。） このとき、 ∫ s = 0 s = 1 ( ( ∂ [ a ] h ) ( s a + p ) ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(\left({{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h\right)(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right)ds}} = h ( a + p ) − h ( p ) {\displaystyle h(\mathbf {a} +\mathbf {p} )-h(\mathbf {p} )} 　　(6-2-1) が成立する。但し、 0 ≤ s ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s\leq 1} を充たす全ての s {\displaystyle s} に対して、 ( s a + p ) ∈ D {\displaystyle (s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\in {\textbf {D}}} 　　(6-2-2) が成り立っているものとする。 以下、(6-2-1)を示す。まず、 h ∘ l [ a , p ] ( s ) = h ( s a + p ) {\displaystyle h\circ l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(s)=h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )} 　　　　　　(6-2-3) で、 ∂ [ a ] h ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h(\mathbf {x} )=} ( d ( h ∘ l [ a , p ] ) d s ) {\displaystyle \left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)} 　　　　　　(6-2-4) である。但し、 l [ a , p ] {\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,{\mathbf {p} }]}}} は、(1-9)同様、 l [ a , p ] ( s ) = s a + p {\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}(s)=s\mathbf {a} +\mathbf {p} } 　　(6-2-5) である。 (6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、 ∫ s = 0 s = 1 ( d ( h ∘ l [ a , p ] ) d s ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)ds}} = [ h ( s a + p ) ] s = 0 s = 1 {\displaystyle \left[h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right]_{s=0}^{s=1}} 　　(6-2-5) 従って、(6-2-1)が分かる。 (6-1-1)の A {\displaystyle A} に対し、作用積分 U [ A , p ] {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}} を定義する。 p = ( p 1 ⋮ p n ) {\displaystyle \mathbf {p} =\left({\begin{matrix}{{p}_{1}}\\\vdots \\{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} 　　(6-3-1) を R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の点とする。また、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、さらに D {\displaystyle {\textbf {D}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} を中心に星型とする。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} を中心に星型とは、任意の D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と、任意の s ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s\in [0,1]} に対し、 s ( x − p ) + p ∈ D {\displaystyle s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} \in {\textbf {D}}} 　　(6-3-2) であることを意味する。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} は固定されているものとする。また、 x {\displaystyle {\textbf {x}}} = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle =\left({\begin{matrix}{{x}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} 　　(6-3-3) も固定されていると考える。 式(6-1-1)の、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された1行n列の行列値関数 A {\displaystyle A} に対し、 U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} を U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} = ∫ s = 0 s = 1 ( A ( s ( x − p ) + p ) ⋅ ( x 1 − p 1 ⋮ x n − p n ) ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)\right)ds}} 　　(6-3-4 ) と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数 A ( s ( x − p ) + p ) ⋅ ( x 1 − p 1 ⋮ x n − p n ) {\displaystyle A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} 　　(6-3-5) は、 s {\displaystyle s} についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　 U [ A , p ] {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}} を、点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と、 実数 U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} を対応させる多変数スカラー値関数 U [ A , p ] ( x ) {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} = U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.={{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} 　　(6-3-6) とする。以降、点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} は、変数とみなす。 ^ 本記事では、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の第 i 標準座標系」は、 x i {\displaystyle {\textit {x}}_{i}} （x を文中イタリック）、「 x {\displaystyle {\textbf {x}}} の第 i 成分」は x i {\displaystyle x_{i}} （x を通常表記）で書き分けている。 ^ Spivak と岩堀に後述の e i {\displaystyle {\textbf {e}}_{i}} 方向以外の偏微分に関する記載がある。Spivak では D [ a ] f {\displaystyle {D}_{[{\textbf {a}}]}f} という記号をあてている。本記事の記号は岩堀に合わせた。理由は、「偏微分」を表す記号は ∂ {\displaystyle \partial } のほうがしっくりときそうだからである。 ^ 正確にはポアンカレの補助定理（ポアンカレの補題）の微分一形式版と等価な命題を述べる。「補助定理」、「補題」の名とは裏腹に、ポアンカレの補助定理は、本節の最終目標である。ポアンカレの補助定理の証明には、ストークスの定理が補題として必要としている本もあるが、積分経路自体の取り方が、各点ごとに決まっている本記事の流儀では、ストークスの定理は不要である。積分に関して必要な予備知識は、一変数関数の積分（数Ⅲ程度）に限られる。 ^ Spivak (2007). ^ 岩堀 (1993)。 ^ a b c d 島 (1991)。 ^ a b Warner (2010). Michael Spivak『多変数の解析学―古典理論への現代的アプローチ』齋藤 正彦 (訳)（新装版）、東京図書、2007年4月。  岩堀 長慶, 他『微分積分学』裳華房、1993年。  島 和久『多変数の微分積分学』近代科学社、1991年9月。  Frank W. Warner (2010). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York