補群

補群（ほぐん、（英: complement） とは、数学（特に群論として知られる代数学の分野) において、部分群に対して定義される補集合のような概念である。 群 G に於ける部分群 H の補群とは、 G の部分群 K で以下の二条件を満たすものをいう[要検証 – ノート] H K = G , {\displaystyle HK=G,} H ∩ K = { e } . {\displaystyle H\cap K=\{e\}.} ここで HK は部分集合 { hk | h ∈ H, k ∈ K } を、また e は単位元を表す。 なお、同じことであるが、 「任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} が、 h ∈ H , k ∈ K {\displaystyle h\in H,k\in K} を使って g = h k {\displaystyle g=hk} と 一意的 に表すことができる。」 と言い換えることができる。 この関係は対称性がある。すなわち、K が H の補群ならば、H は K の補群である 。 ここで、H および K については、必ずしも G の正規部分群である必要はない。 補群は必ずしも存在するとは限らない。 もし補群が存在するとしても、それがただ一つとも限らない。すなわちG の相異なる部分群 K1 および K2 があって、ともに H の補群であるようなものが存在することもありうる。 もし K が G に於ける H の補群であるとき、K の要素は、H の (左右の) 剰余類の完全代表系を成す（下記補足説明も参照）。 H が正規部分群の場合は、補群 K は、商群 G/H と同型である。補群が複数存在するならば、それらはすべて G/H と同型である。 シューア–ツァッセンハウスの定理（英語版） は、有限群の正規ホール部分群の補群の存在を保証する。 三番目の性質について数式で書くと以下のようになる。 ⋃ k ∈ K H k = G {\displaystyle \bigcup _{k\in K}Hk=G} かつ k 1 ≠ k 2 {\displaystyle k_{1}\neq k_{2}} ならば H k 1 ∩ H k 2 = ∅ {\displaystyle Hk_{1}\cap Hk_{2}=\emptyset } ただし ( k 1 , k 2 ∈ K ) {\displaystyle (k_{1},k_{2}\in K)} この性質は以下のように簡単に証明できる。[要出典] 最初の条件は、補群の定義の一番目の条件 G = H K より明らか。 二番目の条件は、もし H k 1 ∩ H k 2 ≠ ∅ {\displaystyle Hk_{1}\cap Hk_{2}\neq \emptyset } ならば、ある g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して、 h 1 , h 2 ∈ H {\displaystyle h_{1},h_{2}\in H} が存在して、 g = h 1 k 1 = h 2 k 2 {\displaystyle g=h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}} と二通りに表すことができる。 これは、最初の定義の所で述べた表し方の一意性 に矛盾する。 この説明は、右剰余類のケースであるが、左剰余類についても同様である。 群 G を G = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5\}} とし、群演算を6を法とする加法とする。H と K をそれぞれ、 H = { 0 , 2 , 4 } , K = { 0 , 3 } {\displaystyle H=\{0,2,4\},K=\{0,3\}} とすると、H と K は G の部分群であり、互いに他方の補群になっている 。 以下は、ある部分群に対して、補群が複数存在する例である。 群 G を、複素数全体に演算を加法とした G := ( C , + ) {\displaystyle G:=(\mathbb {C} ,+)} とする。実数全体 H := R {\displaystyle H:=\mathbb {R} } は G の部分群である。ここで K 1 := { b i | b ∈ R } {\displaystyle K_{1}:=\{bi|b\in \mathbb {R} \}} (i は虚数単位)、つまり純虚数全体の集合とする。まず K 1 {\displaystyle K_{1}} が G の部分群であることはすぐに確かめられる。 H ∩ K 1 = { 0 } {\displaystyle H\cap K_{1}=\{0\}} もすぐに分かるだろう。さらに、任意の複素数 c = a + b i ( a , b ∈ R ) {\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )} に対して、 a ∈ H , b i ∈ K 1 {\displaystyle a\in H,bi\in K_{1}} であるから、 H K 1 = G {\displaystyle HK_{1}=G} も示される。従って、 K 1 {\displaystyle K_{1}} は H の補群である。 上の G = C の例において、さらに、 K 2 := { b + b i | b ∈ R } {\displaystyle K_{2}:=\{b+bi|b\in \mathbb {R} \}} とする。まず、これが G の部分群であることと、 H ∩ K 2 = { 0 } {\displaystyle H\cap K_{2}=\{0\}} は容易に確かめられる。さらに、任意の複素数 c = a + b i ( a , b ∈ R ) {\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )} に対して、 c = ( a − b ) + ( b + b i ) {\displaystyle c=(a-b)+(b+bi)} と変形すれば、 a − b ∈ H , b + b i ∈ K 2 {\displaystyle a-b\in H,b+bi\in K_{2}} だから H K 2 = G {\displaystyle HK_{2}=G} も満たす。 従って、 K 2 {\displaystyle K_{2}} も H の補群である。(性質の二番目でも述べたが) 補群が複数存在する例である。 以下では逆に補群が存在しない例を示す。 整数全体の加法群 G = ( Z , + ) {\displaystyle G=(\mathbb {Z} ,+)} を考える。任意の部分群を H {\displaystyle H} とし、その中から適当に元 a {\displaystyle a} を一つ取って固定する。すると、部分群の定義から a {\displaystyle a} の倍数 　はすべて n a := a + a + ⋯ + a ⏞ n t i m e s ∈ H {\displaystyle na:=\overbrace {a+a+\cdots +a} ^{ntimes}\in H} でなければならない。 もし二つの部分群 H と K があれば、その中から適当に一元ずつ a ∈ H , b ∈ K {\displaystyle a\in H,b\in K} を取り出せば a b ∈ H , b a ∈ K {\displaystyle ab\in H,ba\in K} であり、明らかに a b = b a {\displaystyle ab=ba} 。従って (H か K のいずれかが { 0 } {\displaystyle \{0\}} でない限り) 補群の条件に必要な H ∩ K = { 0 } {\displaystyle H\cap K=\{0\}} を満たすことは決してない。よって、 ( Z , + ) {\displaystyle (Z,+)} の (非自明な) 部分群には対応する補群は存在しない。 補群は、直積 および 半直積 の一般化である。 一般の補群に対応する積を Zappa–Szép 積（英語版） と呼ぶ。 H と K が非自明な場合 補群は、群 G を小さな部分群に分解する。[訳語疑問点] 上に述べたように、補群は必ずしも存在するとは限らない。 p-補群（英: p-complement）は、シロー p-部分群の補群である。 Frobenius の定理や Thompson の定理によって、 群が正規 p-補群（英語版）を持つ条件が示される。 Hall（英語版） は、有限群の中で可解群 を任意の素数 p に対して、p-補群を持つものとして特徴付けた。シロー系の構成にも p-補群は利用される。 フロベニウス群（英語版）に於けるフロベニウス核（英語版）の補群はフロベニウス補群（英語版）と呼ばれる。 Complemented group（英語版） とは、任意の部分群が補群を持つ群である。 en:Product of group subsets [脚注の使い方] ^ 実際、 0 = 0 + 0 , 1 = 4 + 3 , 2 = 2 + 0 , 3 = 0 + 3 , 4 = 4 + 0 , 5 = 2 + 3 {\displaystyle 0=0+0,1=4+3,2=2+0,3=0+3,4=4+0,5=2+3} であるから H K = G {\displaystyle HK=G} であり、明らかに H ∩ K = { 0 } . {\displaystyle H\cap K=\{0\}.} ^ 今考えているのは環ではなく群であり、従って演算は加法しかない。倍数と言っても積 n a が (直接) 定義されているわけではないが、ここでは a を n 回足し算したものを n a と書くことにする。当然、通常の意味の掛け算と一致する ^ 一般に、G 自身と {e} を自明な部分群という。 この時、明らかに、 { e } G = G { e } = G , { e } ∩ G = { e } {\displaystyle \{e\}G=G\{e\}=G,\{e\}\cap G=\{e\}} であるから、 {e} と G は常に互いに補群の関係になる。 ^ a b 実際、 h 1 , h 2 ∈ H , k 1 , k 2 ∈ K {\displaystyle h_{1},h_{2}\in H,k_{1},k_{2}\in K} が存在して ( g = ) h 1 k 1 = h 2 k 2 {\displaystyle (g=)h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}} と書けたとすると、両辺に左から h 2 − 1 {\displaystyle h_{2}^{-1}} と右から k 1 − 1 {\displaystyle k_{1}^{-1}} を 掛けることにより、 h 2 − 1 h 1 = k 2 k 1 − 1 {\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}=k_{2}k_{1}^{-1}} となる。ここで、H も K も部分群であるから、演算で閉じているので h 2 − 1 h 1 ∈ H {\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}\in H} かつ k 2 k 1 − 1 ∈ K {\displaystyle k_{2}k_{1}^{-1}\in K} となるが、二番目の条件 H ∩ K = { e } {\displaystyle H\cap K=\{e\}} より h 2 − 1 h 1 = k 2 k 1 − 1 = e {\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}=k_{2}k_{1}^{-1}=e} でなければならない。よって h 1 = h 2 , k 1 = k 2 {\displaystyle h_{1}=h_{2},k_{1}=k_{2}} が成立。 ^ 実際、K が H の補群とする 任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して、群の定義から g − 1 ∈ G {\displaystyle g^{-1}\in G} であるから、 補群の定義の一番目の式によって、ある h ∈ H , k ∈ K {\displaystyle h\in H,k\in K} が存在して、 g − 1 = h k {\displaystyle g^{-1}=hk} と書ける。 従って g = k − 1 h − 1 , k − 1 ∈ K , h − 1 ∈ H {\displaystyle g=k^{-1}h^{-1},k^{-1}\in K,h^{-1}\in H} であるから、 G ⊂ K H {\displaystyle G\subset KH} となる ( G ⊃ K H {\displaystyle G\supset KH} は明らか)。 また、第二式については K ∩ H = H ∩ K = { e } {\displaystyle K\cap H=H\cap K=\{e\}} より自明。 ^ 実際、 ∀ k ∈ K {\displaystyle \forall k\in K} に対して、 φ ( k ) = k H {\displaystyle \varphi (k)=kH} と対応させれば φ ( k 1 ) φ ( k 2 ) = φ ( k 1 k 2 ) {\displaystyle \varphi (k_{1})\varphi (k_{2})=\varphi (k_{1}k_{2})} (つまり群準同型) であるがすぐに示せる。さらに、三番目の性質を使えば、 φ {\displaystyle \varphi } が全単射であることも証明できる David S. Dummit & Richard M. Foote (2004). Abstract Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7  I. Martin Isaacs (2008). Finite Group Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4344-4  表示 編集