双球座標系

双球座標系（英語: bispherical coordinates）は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。 ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , ± a ) {\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)} （ a > 0 {\displaystyle a>0} ）を焦点とする双球座標 ( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )} は以下のように定義される： x = a   sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ cos ⁡ ϕ , y = a   sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ sin ⁡ ϕ , z = a   sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ , {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}} 逆変換は σ = arccos ⁡ ( r 2 − a 2 Q ) , τ = arsinh ⁡ ( 2 a z Q ) , ϕ = arctan ⁡ ( y x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\frac {r^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\frac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\operatorname {arctan} \left({\frac {y}{x}}\right),\end{aligned}}} で、 R = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} 、 Q = ( R 2 + a 2 ) 2 − ( 2 a z ) 2 {\displaystyle Q={\sqrt {(R^{2}+a^{2})^{2}-(2az)^{2}}}} である。座標 σ {\displaystyle \sigma } は焦点 ( 0 , 0 , ± a ) {\displaystyle (0,0,\pm a)} で、 ϕ {\displaystyle \phi } は z 軸上で不定となる。 各座標の範囲は σ ∈ [ 0 , π ] , τ ∈ ( − ∞ , ∞ ) , ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &\in [0,\pi ],\\\tau &\in (-\infty ,\infty ),\\\phi &\in [0,2\pi )\end{aligned}}} である。 σ {\displaystyle \sigma } の等値面は ( x 2 + y 2 − a cot ⁡ σ ) 2 + z 2 = a 2 sin 2 ⁡ σ {\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}+z^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} で表される。 0 < σ < π / 2 {\displaystyle 0<\sigma <\pi /2} のときはリンゴ（極がへこむ）、 π / 2 < σ < π {\displaystyle \pi /2<\sigma <\pi } のときはレモン（極が尖る）のような形状になり、 σ = π / 2 {\displaystyle \sigma =\pi /2} のときは球である。なお、 σ = 0 , π {\displaystyle \sigma =0,\pi } はそれぞれ z 軸の | z | ≥ a {\displaystyle |z|\geq a} 、 | z | ≤ a {\displaystyle |z|\leq a} に対応する。 τ {\displaystyle \tau } の等値面は x 2 + y 2 + ( z − a coth ⁡ τ ) 2 = a 2 sinh 2 ⁡ τ {\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} で、 0 < | τ | < ∞ {\displaystyle 0<|\tau |<\infty } のときは交差しない2つの球である。なお、 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} は xy 平面、 τ = ± ∞ {\displaystyle \tau =\pm \infty } は焦点 ( 0 , 0 , ± a ) {\displaystyle (0,0,\pm a)} に対応する。 ϕ {\displaystyle \phi } の等値面は半平面 y = x tan ⁡ ϕ {\displaystyle y=x\tan \phi } である。 双球座標系のヤコビ行列は ∂ ( x , y , z ) ∂ ( σ , τ , ϕ ) = a ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 2 [ ( cos ⁡ σ cosh ⁡ τ − 1 ) cos ⁡ ϕ sin ⁡ σ sinh ⁡ τ cos ⁡ ϕ − ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) sin ⁡ σ cos ⁡ ϕ ( cos ⁡ σ cosh ⁡ τ − 1 ) sin ⁡ ϕ sin ⁡ σ sinh ⁡ τ sin ⁡ ϕ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) sin ⁡ σ sin ⁡ ϕ sin ⁡ σ sinh ⁡ τ − cos ⁡ σ cosh ⁡ τ + 1 0 ] {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\sigma ,\tau ,\phi )}}={\frac {a}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}(\cos \sigma \cosh \tau -1)\cos \phi &\sin \sigma \sinh \tau \cos \phi &-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \cos \phi \\(\cos \sigma \cosh \tau -1)\sin \phi &\sin \sigma \sinh \tau \sin \phi &(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \sin \phi \\\sin \sigma \sinh \tau &-\cos \sigma \cosh \tau +1&0\\\end{bmatrix}}} である。したがって計量テンソルは g = a 2 ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 sin 2 ⁡ σ ] {\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\sin ^{2}\sigma \\\end{bmatrix}}} である。 これより、微小体積要素は d V = d σ d τ d ϕ a 3 sin ⁡ σ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 {\displaystyle dV=d\sigma \,d\tau \,d\phi \,{\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}} となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる： ∇ 2 f = ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 a 2 [ 1 sin ⁡ σ ∂ ∂ σ ( sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ f ∂ σ ) + ∂ ∂ τ ( 1 cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ f ∂ τ ) + 1 sin 2 ⁡ σ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) ∂ 2 f ∂ ϕ 2 ] {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}{a^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]} 双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式である。双球座標系でラプラス方程式を変数分離することはできるが、ヘルムホルツ方程式は分離できない。たとえば、2つの導体球がつくる電場を双球座標系で解くことができる。 Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. pp. 665–666  Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59-14456  Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 113. ISBN 0-86720-293-9  Moon PH, Spencer DE (1988). “Bispherical Coordinates (η, θ, ψ)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. pp. 110–112 (Section IV, E4Rx). ISBN 0-387-02732-7  Bispherical Coordinates -- from Wolfram MathWorld