ℓ進層

代数幾何学において、ℓ 進層とは、ℓ 進数体 Qℓ のようなねじれのない係数に対してエタール・コホモロジーの理論を適切に拡張するために用いられる概念である。 アレクサンドル・グロタンディークにより SGA 5 において導入され、その後ピエール・ドリーニュ 、ウーヴェ・ヤンセン（英語版） 、トルステン・エケダール などにより理論が整備された。 バルガフ・バット（英語版）とペーター・ショルツェはプロエタール位相を用いて ℓ 進層の理論に新たなアプローチを与えた。 エタール・コホモロジーは、代数多様体に対する「位相的な」コホモロジー論、すなわち任意の標数で機能するようなヴェイユ・コホモロジー論を構築する目的で発展した。 そのような理論に不可欠な特徴は、標数 0 の体を係数にもつことである。 しかし、ねじれのないエタール定数層のコホモロジーは興味深い情報を含まない。 例えば、X が体 k 上の滑らかな代数多様体のとき、任意の正の整数 i に対して Hi(Xét, Q) = 0 である。 一方、定数層 Z/m は、体 k において m が可逆である限り、「正しい」コホモロジーを与える。 そのため、体 k で可逆であるような素数 ℓ に対し、X の ℓ 進コホモロジーを H i ( X ét , Z ℓ ) := lim ← n ⁡ H i ( X ét , Z / ℓ n ) {\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})} , H i ( X ét , Q ℓ ) := ( lim ← n ⁡ H i ( X ét , Z / ℓ n ) ) ⊗ Z ℓ Q ℓ {\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=(\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }} と定義する。 しかし、この定義は完全に満足のできるものではない。 位相空間に対する古典的な理論のように、Qℓ ベクトル空間の局所系（英語版）を係数にもつコホモロジーを考えたい。 また、そのような局所系のなす圏とエタール基本群の Qℓ 上の連続表現のなす圏の間に圏同値が存在するべきである。 上の定義の別の問題点は、k が分離閉体のときにしかうまく振る舞わないことである。 その場合には、逆極限に現れるすべての群は有限生成で、逆極限をとる操作は完全である。 しかし、例えば k が代数体の場合、コホモロジー群 Hi(Xét, Z/ℓn) が有限とも、逆極限をとる操作が完全とも限らない。 これにより関手性に問題が生じる。 例えば、 H i ( X et , Z ℓ ) {\displaystyle H^{i}(X_{\text{et}},\mathbb {Z} _{\ell })} を H i ( ( X k sep ) ét , Z ℓ ) {\displaystyle H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })} のガロア・コホモロジーに関連付けるホッホシルト・セールスペクトル系列は一般には存在しない。 以上の考察から、エタール層の逆系のなす圏を考えるというアイデアに至る。 これによって、Qℓ 局所系のなす圏とエタール基本群の有限次元 Qℓ ベクトル空間上の連続表現の圏の間の所望の圏同値が生じる。 また、前の段落で述べた問題も、逆系の大域切断の逆極限をとる関手の導来関手を考える、いわゆる連続エタール・コホモロジーによって解決する。 X をネータースキームとする。 X 上の ℓ 進層、または Zℓ 層とは、X 上のエタール層のなす逆系 { F n } n ≥ 0 {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}} で、各 n ≧ 0 に対して射 F n + 1 → F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}\to {\mathcal {F}}_{n}} が同型 F n + 1 / ℓ n + 1 F n + 1 ≅ F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}/\ell ^{n+1}{\mathcal {F}}_{n+1}\cong {\mathcal {F}}_{n}} を誘導するものである。 ℓ 進層 { F n } n ≥ 0 {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}} は、 各 F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} が構成可能（英語版）なとき構成可能であるという。 各 F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} が構成可能な局所定数層（英語版）のとき滑らか (lisse) であるという。 ℓ 進層の定義に構成可能であることを含める文献もある（例えば SGA 4 1/2）。 X 上の Qℓ 層のなす圏を次のように定義する。 対象は X 上の Zℓ 層とする。 2 つの Zℓ 層 F , G {\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}} に対して、射の集合 H o m Q ℓ ( F , G ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {Q} _{\ell }}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})} を H o m Z ℓ ( F , G ) ⊗ Z ℓ Q ℓ {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} _{\ell }}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }} と定める。 このように定義された圏の対象を X 上の Qℓ 層と呼び、Zℓ 層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} で表される Qℓ 層を F ⊗ Q ℓ {\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes \mathbb {Q} _{\ell }} と表記する。 連結なネータースキーム X とその幾何学的点 x に対して、SGA 1 では X の x におけるエタール基本群 πét1(X, x) が、X の有限ガロア被覆を分類する群として定義されている。 このとき、X 上の滑らかな ℓ 進層のなす圏は有限生成 Zℓ 加群上の πét1(X, x) の連続表現のなす圏と同値である。 同様に、Qℓ 層の場合は有限次元 Qℓ ベクトル空間上の πét1(X, x) の連続表現と対応する。 これは、代数的トポロジーにおける局所系（英語版）と基本群の連続表現の間の対応の類似である（このため、滑らかな ℓ 進層は局所系と呼ばれることがある）。 古典的には、スキーム X 上の Zℓ 層 F = { F n } n ≥ 0 {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}} に対して、X の F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 係数 ℓ 進コホモロジーは H i ( X , F ) := lim ← n ⁡ H i ( X , F n ) {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}}):=\varprojlim _{n}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{n})} と定義される。 Zℓ 層 F ′ = { F n ′ } n ≥ 0 {\displaystyle {\mathcal {F}}'=\{{\mathcal {F}}'_{n}\}_{n\geq 0}} により F = F ′ ⊗ Q ℓ {\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}'\otimes \mathbb {Q} _{\ell }} と表される Qℓ 層に対しては H i ( X , F ) := H i ( X , F ′ ) ⊗ Z ℓ Q ℓ {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}}):=H^{i}(X,{\mathcal {F}}')\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }} と定義する。 しかし、これは導来関手として定義されていないため、関手性に問題が生じる。 この問題を解決するのがウーヴェ・ヤンセン（英語版）の連続エタール・コホモロジーである。 X 上のエタール層の逆系のなす圏はアーベル圏であり十分単射的対象をもつため、関手 { F n } n ≥ 0 ↦ lim ← n ⁡ Γ ( X , F n ) {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}\mapsto \varprojlim _{n}\Gamma (X,{\mathcal {F}}_{n})} の i 次右導来関手を考えられる。 これを逆系 F = { F n } n ≥ 0 {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}} に適用して得られるアーベル群を H cont i ( X , F ) {\displaystyle H_{\text{cont}}^{i}(X,{\mathcal {F}})} と表し、X の F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 係数連続エタール・コホモロジーという。 エタール層の逆系 F = { F n } n ≥ 0 {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}} で各射 F n + 1 → F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}\to {\mathcal {F}}_{n}} が全射であるものに対して、X の F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 係数連続エタール・コホモロジーはバルガフ・バット（英語版）とペーター・ショルツェによるプロエタール・コホモロジーで表すことができる。 構成可能 Q ℓ ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}} 層のなす導来圏は、本質的には ℓ 進コホモロジーの場合と類似の式 D c b ( X , Q ℓ ¯ ) := ( lim ← n ⁡ D c b ( X , Z / ℓ n ) ) ⊗ Z ℓ Q ℓ ¯ {\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}} で表されるようなアイデアにより定義される。 ドリーニュが最初にこのアイデアに沿った定義を与えた。 その後エケダールによってより一般的な構成が与えられた。 バット（英語版）とショルツェは、Qℓ の任意の（有限次とは限らない）代数拡大 E に対して、構成可能 E 層の導来圏 D c b ( X , E ) {\displaystyle D_{c}^{b}(X,E)} をプロエタール位相を備えた X のプロエタール景 Xproét 上の E ベクトル空間の層のなすアーベル圏の導来圏 D ( X proét , E ) {\displaystyle D(X_{\text{proét}},E)} の特別な対象のなす充満部分圏 D cons ( X proét , E ) {\displaystyle D_{\text{cons}}(X_{\text{proét}},E)} として実現した。 ヴェイユ予想 フーリエ・ドリーニュ変換（英語版） プロエタール位相 ^ 通常のエタール・コホモロジーの場合のホッホシルト・セールスペクトル系列については、例えば Fu 2011, pp. 500–501 を参照。 ^ Jannsen 1988, p. 216 では ℓ 進層における導来関手の値のみに対し H cont i {\displaystyle H_{\text{cont}}^{i}} という記号が用いられ、また「連続エタール・コホモロジー」の名前もその状況においてのみ与えられているが、ここでは Bhatt & Scholze 2015, Definition 5.6.1 の記法・用語法に従った。 ^ Illusie 1977. ^ a b Deligne, Pierre (1980). “La conjecture de Weil. 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