オルンシュタイン＝ウーレンベック過程

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程（オルンシュタイン＝ウーレンベックかてい、英: Ornstein–Uhlenbeck process）は、レナード・オルンシュタインとジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程（へいきんかいきかてい）とも呼ばれる。 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、以下のような確率微分方程式で与えられる確率過程{rt}である。 d r t = − θ ( r t − μ ) d t + σ d W t {\displaystyle dr_{t}=-\theta (r_{t}-\mu )\,dt+\sigma \,dW_{t}} ここで、θ, μ, σ はパラメータであり、Wt はウィーナー過程を表す。 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、離散時間AR(1)過程の連続時間バージョンであると言える。 この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数 f ( r t , t ) = r t e θ t {\displaystyle f(r_{t},t)=r_{t}e^{\theta t}} に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。 d f ( r t , t ) = θ r t e θ t d t + e θ t d r t = e θ t θ μ d t + σ e θ t d W t {\displaystyle {\begin{aligned}df(r_{t},t)&=\theta r_{t}e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dr_{t}\\&=e^{\theta t}\theta \mu \,dt+\sigma e^{\theta t}\,dW_{t}\end{aligned}}} これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。 r t e θ t = r 0 + ∫ 0 t e θ s θ μ d s + ∫ 0 t σ e θ s d W s {\displaystyle r_{t}e^{\theta t}=r_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta s}\,dW_{s}} これを変形し、以下のように解が求められる。 r t = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) + ∫ 0 t σ e θ ( s − t ) d W s {\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (s-t)}\,dW_{s}} r 0 {\displaystyle r_{0}} が定数であると仮定するとき、 r t {\displaystyle r_{t}} の1次モーメントは以下のように計算できる。 E ( r t ) = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) {\displaystyle E(r_{t})=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})} s ∧ t = min ( s , t ) {\displaystyle s\wedge t=\min(s,t)} とおくと、伊藤積分の等長性 を用いて次のような共分散関数が得られる。 cov ⁡ ( r s , r t ) = E [ ( r s − E [ r s ] ) ( r t − E [ r t ] ) ] = E [ ∫ 0 s σ e θ ( u − s ) d W u ∫ 0 t σ e θ ( v − t ) d W v ] = σ 2 e − θ ( s + t ) E [ ∫ 0 s e θ u d W u ∫ 0 t e θ v d W v ] = σ 2 2 θ e − θ ( s + t ) ( e 2 θ ( s ∧ t ) − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (r_{s},r_{t})&=\mathrm {E} [(r_{s}-\mathrm {E} [r_{s}])(r_{t}-\mathrm {E} [r_{t}])]\\&=\mathrm {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\mathrm {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s\wedge t)}-1)\end{aligned}}} オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、スケールを変え時間シフトをしたウィーナー過程としても表現することが可能である（そして、しばしばその方が便利である）。初期値条件の無い場合、 r t = μ + σ 2 θ W ( e 2 θ t ) e − θ t {\displaystyle r_{t}=\mu +{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}} となり、また r 0 {\displaystyle r_{0}} が与えられた場合は以下のようになる。 r t = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) + σ 2 θ W ( e 2 θ t − 1 ) e − θ t {\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}} オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の例であり、ウィーナー過程とは対照的に定常確率分布を許している。 この過程の時間積分は、1/fパワースペクトルを持つノイズを生成するために用いることができる。 B をブラウン運動とすると、 U t = exp ⁡ ( β t ) B ( 1 − e − 2 β t 2 β ) {\displaystyle U_{t}=\exp(\beta t)B\left({\frac {1-e^{-2\beta t}}{2\beta }}\right)} はオルンシュタイン＝ウーレンベック過程である。Utは以下の微分方程式の解である。 d U t = β U t d t + d B t {\displaystyle dU_{t}=\beta U_{t}\,dt+dB_{t}} G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, "On the theory of Brownian Motion", Phys. Rev. 36:823-41, 1930. D. T. Gillespie, "Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral", Phys. Rev. E 54:2084-91, 1996. 利子率に関するバシチェック・モデルは、オルンシュタイン＝ウーレンベック過程の例である。 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、背後過程を（ウィーナー過程より一般的な）レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ＝ニールセンらによって研究されている。 正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式（generalised　Black-Scholes方程式＜ブラック・ショールズのレヴィ過程版＞とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの）の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。 [脚注の使い方] ^ 伊藤積分の等長性とは、伊藤積分において、一般的に E [ ( ∫ 0 t X τ d B τ ) 2 ] = E [ ∫ 0 t X τ 2 d τ ] {\displaystyle E\left[\left(\int _{0}^{t}X_{\tau }\,dB_{\tau }\right)^{2}\right]=E\left[\int _{0}^{t}X_{\tau }^{2}\,d\tau \right]} が成り立つことをいう。