ハドヴィッガー・フィンスラー不等式

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式（ハドヴィッガー・フィンスラーふとうしき、英: Hadwiger–Finsler inequality）または単にハドヴィッガーの不等式は、平面幾何学における三角形の幾何不等式である。具体的には、三角形の3辺の長さをそれぞれa,b,c、面積をTとして次の不等式が成立する。 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 + 4 3 T {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T} ヴァイツェンベックの不等式（英語版）（Weitzenböck's inequality）はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の系である。 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3 T (W) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.} 逆にハドヴィッガー・フィンスラー不等式は、ヴァイツェンベックの不等式をcircummidarc triangleに適応すれば得ることができる。 ヴァイツェンベックの不等式はヘロンの公式を用いて証明できる。ヘロンの公式を用いた証明では、等号成立条件は元の三角形が正三角形であること、つまりa = b = cであることが分かる。 ハドヴィッガー・フィンスラー不等式は凸な四角形に拡張することができる。4辺の長さをそれぞれa,b,c,d、面積をTとして次の不等式が成立する。 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 4 T + 3 − 1 3 ∑ ( a − b ) 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}} ただし ∑ ( a − b ) 2 = ( a − b ) 2 + ( a − c ) 2 + ( a − d ) 2 + ( b − c ) 2 + ( b − d ) 2 + ( c − d ) 2 {\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}} 等号成立条件は四角形が正方形である、つまりa = b = c = d であるとき。 余弦定理より a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha } ただしαはb,cの夾角。これを変形して、 a 2 = ( b − c ) 2 + 2 b c ( 1 − cos ⁡ α ) {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha )} A = bcsin(α)/2と置けば、 a 2 = ( b − c ) 2 + 4 A ( 1 − cos ⁡ α ) sin ⁡ α {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {(1-\cos \alpha )}{\sin \alpha }}} 半角の公式または倍角の公式より、 1 − cos ⁡ α = 2 sin 2 ⁡ α 2 {\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}} sin ⁡ α = 2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 {\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}} が成立するので、 a 2 = ( b − c ) 2 + 4 A tan ⁡ α 2 {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}} を得る。この式をすべての辺に適応して辺々足せば、 a 2 + b 2 + c 2 = ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 + 4 A ( tan ⁡ α 2 + tan ⁡ β 2 + tan ⁡ γ 2 ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}})} を得る。ただしβ.γはそれぞれ三角形の他の内角。正接関数は0 < θ < π/2の範囲で下に凸であるので、イェンセンの不等式より tan ⁡ α 2 + tan ⁡ β 2 + tan ⁡ γ 2 ≥ 3 tan ⁡ α + β + γ 6 = 3 tan ⁡ π 6 = 3 {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}} したがって a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 + 4 3 A {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,A} である。ところでA = bcsin(α)/2は三角形の面積を表すから、題意の不等式を得る。 ハドヴィッガー・フィンスラー不等式はポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーの名を冠している。彼らは共同論文内でこの不等式をフィンスラー・ハドヴィッガーの定理とともに発表した。 三角形の不等式の一覧（英語版） 等周定理 ピドーの不等式（英語版） ^ “Hadwigerの不等式”. 高校数学の美しい物語 (2022年4月8日). 2024年7月19日閲覧。 ^ Lukarevski, Martin (2020-07). “104.21 The circummidarc triangle and the Finsler-Hadwiger inequality” (英語). The Mathematical Gazette 104 (560): 335–338. doi:10.1017/mag.2020.63. ISSN 0025-5572. https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/10421-the-circummidarc-triangle-and-the-finslerhadwiger-inequality/7B25169B1C62D038A9A87A3205B78111.  ^ Giugiuc, Leo (2018-01-01). An Inequality Related to the Lengths and Area of a Convex Quadrilateral. https://www.academia.edu/78950259/An_Inequality_Related_to_the_Lengths_and_Area_of_a_Convex_Quadrilateral.  ^ LEONARD MIHAI GIUGIUC, DAO THANH OAI , KADIR ALTINTAS (2018). “AN INEQUALITY RELATED TO THE LENGTHS AND AREA OF A CONVEX QUADRILATERAL”. International Journal of Geometry vol 7 (1): 81-86. https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2018/04/81-86.pdf.  Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937). “Einige Relationen im Dreieck”. Commentarii Mathematici Helvetici 10 (1): 316–326. doi:10.1007/BF01214300.  Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, ISBN 9780883853429, pp. 84-86 Proof of Hadwiger-Finsler inequality - PlanetMath.（英語） Weizenbock's inequality - PlanetMath.（英語）