中心線 (幾何学)

幾何学において, 中心線[訳語疑問点]（ちゅうしんせん、英: Central lines）とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のクラーク・キンバーリング（英語版）の論文でまとめられた。 △ABC に対する三線座標x : y : zを用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。 f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0 {\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0} ここで三線座標 f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c ) {\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)} は三角形の中心である。 三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに三線極線（trilinear polars）と等角共役がある。 三線座標で X = u ( a , b , c ) : v ( a , b , c ) : w ( a , b , c ) {\displaystyle X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)} とし x u ( a , b , c ) + y v ( a , b , c ) + z w ( a , b , c ) = 0 {\displaystyle {\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0} の表す直線はXの三線極線と呼ばれる。 Y = 1 u ( a , b , c ) : 1 v ( a , b , c ) : 1 w ( a , b , c ) {\displaystyle Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}} の表す点はXの等角共役点と呼ばれる。 したがって、次の式で与えられる中心線は点 f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c ) {\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)} の等角共役点の三線極線である。 f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0 {\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0} △ABCと点Xについて、中心線は以下の様に定義される。 YをXの等角共役点とする。AY, BY, CYは直線 AX, BX, CX をA, B, Cの角の二等分線で鏡映した線(等角共役線)である。 △ABCと点Yに対するチェバ線AY, BY, CYとBC, CA, ABの交点A', B', C'でチェバ三角形△A'B'C' を作る。 △ABCと△A'B'C' はYを中心とし配景 (en:Perspective) なのでデザルグの定理が成り立つ。 この配景の軸DEFをYの三線極線、Xの中心線と言う。 クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点Xnに対する中心線はLnと表記される。 内心 X1 = 1 : 1 : 1 (またはI )の中心線は、反垂軸（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。 x + y + z = 0. {\displaystyle x+y+z=0.} △ABCの内心の等角共役点は内心自身である。したがって、△ABCとその内心三角形（incentral triangle、内心のチェバ三角形）の配景の軸は反垂軸である。 反垂軸は△ABC と傍心三角形△I1I2I3の配景の軸である。 △ABCの傍接円の△ABCの辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形（extangents triangle）と呼ばれる。 △ABCと外接線三角形の配景の軸は反垂軸である。 △ABCの重心X2（またはG）の三線座標は以下の様に与えられる。 1 a : 1 b : 1 c {\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}} 重心の中心線は以下の式で表される。 x a + y b + z c = 0. {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.} この直線はルモワーヌ軸、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。 X2の等角共役点である類似重心X6（またはK）の三線座標はa : b : cである。ルモワーヌ軸は類似重心の三線極線である。 △ABCの頂点の外接円に対する接線の成す三角形を接線三角形△TATBTCと言う。 △ABC と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。 外心X3（またはO）の三線座標は以下の様に与えられる。 cos ⁡ A : cos ⁡ B : cos ⁡ C {\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C} 外心の中心線は以下の式で表される。 x cos ⁡ A + y cos ⁡ B + z cos ⁡ C = 0. {\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.} この直線を垂軸（Orthic axis）という。 外心X3の等角共役点は垂心X4（またはH）の三線座標はsec A : sec B : sec Cである。垂心の三線極線は垂軸で、これはオイラー線と垂直に交わる。△ABCと垂足三角形△HAHBHCの配景の軸は垂軸である。 垂心 X4（またはH）の三線座標は以下の様に与えられる。 sec ⁡ A : sec ⁡ B : sec ⁡ C {\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C} 垂心の中心線は以下の式で表される。 x sec ⁡ A + y sec ⁡ B + z sec ⁡ C = 0. {\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.} 外心の三線極線は垂心の中心線である。 九点円の中心X5（またはN）の三線座標は以下の式で与えられる。 cos ⁡ ( B − C ) : cos ⁡ ( C − A ) : cos ⁡ ( A − B ) . {\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).} X5の中心線は以下の式で表される。 x cos ⁡ ( B − C ) + y cos ⁡ ( C − A ) + z cos ⁡ ( A − B ) = 0. {\displaystyle x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.} X5の等角共役点はコスニタ点X54である。したがってコスニタ点の三線極線はX5の中心線である。 類似重心 X6（または K）の三線座標は以下の式で与えられる。 a : b : c {\displaystyle a:b:c} 類似重心の中心線は以下の式で表される。 a x + b y + c z = 0. {\displaystyle ax+by+cz=0.} この直線は△ABCの無限遠直線（line at infinity）と呼ばれる。 類似重心の等角共役点は重心である。したがって重心の三線極線は△ABCの無限遠線である。 △ABCとその中点三角形の配景の軸は無限遠線である。 △ABCのオイラー線とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。 x sin ⁡ 2 A sin ⁡ ( B − C ) + y sin ⁡ 2 B sin ⁡ ( C − A ) + z sin ⁡ 2 C sin ⁡ ( A − B ) = 0. {\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.} これはX647の中心線である。 △ABCのナーゲル線（Nagel line）とは内心、重心、シュピーカー中心、ナーゲル点などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。 x a ( b − c ) + y b ( c − a ) + z c ( a − b ) = 0. {\displaystyle xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.} これはX649の中心線である。 △ABCのブロカール軸（Brocard axis）とは外心と類似重心、ブロカール円の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。 x sin ⁡ ( B − C ) + y sin ⁡ ( C − A ) + z sin ⁡ ( A − B ) = 0. {\displaystyle x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.} これはX523の中心線である。 ^ Kimberling, Clark (June 1994). “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”. Mathematics Magazine 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608.  ^ a b Kimberling, Clark (1998). Triangle Centers and Central Triangles. Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc.. pp. 285. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/tcct.html  ^ Weisstein. “Central Line”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 2012年6月24日閲覧。 ^ Kimberling. “Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers”. 2012年4月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年6月24日閲覧。 ^ Weisstein. “Trilinear Polar”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 2012年6月28日閲覧。 ^ Weisstein. “Antiorthic Axis”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 2012年6月26日閲覧。 ^ Weisstein, Eric W.. “Orthic Axis” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月22日閲覧。 ^ “垂軸”. kikagaku.at-ninja.jp. 2024年3月22日閲覧。 ^ Weisstein. “Kosnita Point”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 2012年6月29日閲覧。 ^ Darij Grinberg (2003). “On the Kosnita Point and the Reflection Triangle”. Forum Geometricorum 3: 105–111. http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200311.pdf 2012年6月29日閲覧。.  三角形の中心 三線極線 Central triangle（英語版） 三角形の二次曲線 三角形の三次曲線 近代三角形幾何学