双曲線

双曲線（そうきょくせん、英: hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 ℝ2 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。 この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。 2次元直交座標系において、双曲線の2焦点の座標をそれぞれ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} 、焦点からの距離の差の絶対値を k {\displaystyle k} とする。このとき双曲線の方程式は、次のように表される。これを一般形という。 | ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 − ( x − c ) 2 + ( y − d ) 2 | = k {\displaystyle \left|{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}-{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-d)^{2}}}\,\right|=k} この方程式は、うまく式変形することにより、必ず A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} 　　（ただし A , B , C , D , E , F {\displaystyle A,B,C,D,E,F} は実数） という形に表すことができる。証明は以下の通り。 双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。これを標準形という。 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} (*) この場合、焦点の座標は F ( − a 2 + b 2 , 0 )   ,   F ′ ( + a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF − PF'| は 2a となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±a, 0) を双曲線の頂点という。 双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 x = a 2 a 2 + b 2 {\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 e = a 2 + b 2 a {\displaystyle e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}} に等しい。 また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は x a + y b = 0   ,   x a − y b = 0 {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0} である。 特に、漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。 反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：x2 − y2 = 2C を原点の回りに 45° = π/4 だけ回転させた双曲線に等しい。 双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。 { x = ± a cosh ⁡ t y = b sinh ⁡ t {\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}} また双曲線から左側の頂点 (−a, 0) を除けば有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。 { x = a 1 + t 2 1 − t 2 y = b 2 t 1 − t 2 {\displaystyle {\begin{cases}x=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\y=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{cases}}} ただし t ≠ ±1 とする。右側の連結成分は −1 < t < 1 に、左下の連結成分は t > 1 に、左上の連結成分は t < −1 に対応する。これは二点 (−a, 0) と (0, tb) を通る直線 ay = tb(x + a) と双曲線との交点のひとつとして得られる。 双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。 離心率が e であるような円錐曲線を Ce とする。このとき、e ＞ 1 であれば、 Ce は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = −f , 焦点の一つが F(f, 0) となったとする。双曲線の任意の点 P(x, y) に対し、方程式 e ( x − f ) = P F {\displaystyle e(x-f)=\mathrm {PF} } が成立するが、 P F = ( x − f ) 2 + y 2 {\displaystyle \mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}} となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、 x 2 + 2 ( e 2 + 1 e 2 − 1 ) f x − y 2 e 2 − 1 = − f 2 {\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}} さらに x に関して平方完成させることにより、 ( x + ( e 2 + 1 e 2 − 1 ) f ) 2 − y 2 e 2 − 1 = ( 2 e e 2 − 1 f ) 2 {\displaystyle \left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}} これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動： X = x + e 2 + 1 e 2 − 1 f {\displaystyle X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f} , Y = y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。 [脚注の使い方] 田端毅、讃岐勝、礒田正美 著、礒田正美・Maria G. Bartolini Bussi 編 編『曲線の事典　性質・歴史・作図法』共立出版、2009年12月25日。ISBN 978-4-320-01907-2。  中村滋『円錐曲線　歴史とその数理』共立出版〈数学のかんどころ 7〉、2011年12月30日。ISBN 978-4-320-01987-4。  円錐曲線 - 楕円 - 放物線 彗星 双曲面 天体力学 レムニスケート 『双曲線』 - コトバンク 『双曲線』 - 高校数学の美しい物語 双曲線の定義・標準形・焦点・漸近線、双曲線の方程式の決定 双曲線の知識まとめ（焦点・漸近線・方程式・媒介変数表示・接線公式） 双曲線の方程式 デカルトの双曲線作図器１ Weisstein, Eric W. "Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).