区間ニュートン法

区間ニュートン法 (英: Interval Newton method, 独: Intervall Newton Verfahren) はニュートン法の区間演算バージョンであり、非線形方程式系に対する精度保証付き数値計算法、反復法である。ニュートン＝カントロビッチの定理と違ってバナッハ空間では適用できない (ユークリッド空間にしか適用できない) という弱点はあるものの、非線形方程式系に対する精度保証付き数値計算法として標準的な手法となっている。 方程式 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} に対する区間ニュートン法は次の反復で定義される： x i + 1 := N ( x i ) ∩ x i , N ( x i ) := m i d ( x i ) − f ( m i d ( x i ) ) f ′ ( x i ) , 0 ∉ f ′ ( x i ) . {\displaystyle x_{i+1}:=N(x_{i})\cap x_{i},\quad N(x_{i}):=\mathrm {mid} (x_{i})-{\frac {f\left(\mathrm {mid} (x_{i})\right)}{f^{\prime }(x_{i})}},\quad 0\notin f^{\prime }(x_{i}).} (ニュートン法と同様の) 2次収束性 (英: Quadratic convergence) 半局所収束性 (英: Semi-local convergence, 初期値に何らかの条件を課すだけで零点の一意存在を示せるという性質) ある条件の下で零点の非存在が示される 導関数の計算が困難なときにはニュートン法の代わりに割線法を使うように、導関数の計算が困難なときには区間ニュートン法の代わりに割線法の区間演算バージョンを使うのは代替策として有力である。区間演算バージョンでも収束速度は同じである。 x i + 1 := r ( x i ) ∩ x i , r ( x i ) := m i d ( x i ) − f ( m i d ( x i ) ) ( x i − x i − 1 ) f ( x i ) − f ( x i − 1 ) . {\displaystyle x_{i+1}:=r(x_{i})\cap x_{i},\quad r(x_{i}):=\mathrm {mid} (x_{i})-{\frac {f\left(\mathrm {mid} (x_{i})\right)(x_{i}-x_{i-1})}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}}.} ニュートン法 区間演算 精度保証付き数値計算 非線形方程式に対する解の精度保証付き数値計算 (PDF) Interval Newton Method, from SlideShare 相馬隆郎, 大石進一, & 堀内和夫. (1998). 区間 Newton 写像を用いた非線形常微分方程式の解の数値的存在検証法. 電子情報通信学会技術研究報告. NLP, 非線形問題, 97(592), 119-124. Nickel, K. (1971). On the Newton method in interval analysis (No. MRC-TSR-1136). WISCONSIN UNIV-MADISON MATHEMATICS RESEARCH CENTER. Hansen, E. R., & Greenberg, R. I. (1983). An interval Newton method. Applied Mathematics and Computation, 12(2-3), 89-98. Hua, J. Z., Brennecke, J. F., & Stadtherr, M. A. (1996). Reliable prediction of phase stability using an interval Newton method. Fluid Phase Equilibria, 116(1-2), 52-59. Van Voorhis, T. (2002). A global optimization algorithm using Lagrangian underestimates and the interval Newton method. Journal of Global Optimization, 24(3), 349-370. Lin, Y., & Stadtherr, M. A. (2004). LP strategy for the interval-Newton method in deterministic global optimization. Industrial & engineering chemistry research, 43(14), 3741-3749. Gecegormez, H., & Demirel, Y. (2005). Phase stability analysis using interval Newton method with NRTL model. Fluid phase equilibria, 237(1-2), 48-58. Beck, P. D., & Nehmeier, M. (2012, June). Parallel interval newton method on CUDA. In International Workshop on Applied Parallel Computing (pp. 454-464). Springer, Berlin, Heidelberg. Tucker, W. (2011). Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations. en:Princeton University Press. Moore, R. E., Kearfott, R. B., & Cloud, M. J. (2009). Introduction to Interval Analysis. SIAM. ^ a b c d e f 『精度保証付き数値計算の基礎』大石進一 編著、コロナ社、2018年。 ^ a b c d e 杉原正顯, & 室田一雄. (1994). 数値計算法の数理. 岩波書店. ^ a b c d e Rump, S. M. (2010). Verification methods: Rigorous results using floating-point arithmetic. en:Acta Numerica, 19, 287-449. ^ a b c d e Moore, R. E. (1966). Interval analysis (Vol. 4). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ^ G. Alefeld: Inclusion methods for systems of nonlinear equations in: J. Herzberger (Ed.), Topics in Validated Computations (1994), Studies in Computational Mathematics, Elsevier, Amsterdam, 7–26. ^ a b 皆本晃弥. (2005). UNIX & Information Science-5 C 言語による数値計算入門. サイエンス社. ^ a b Neumaier, A. (1984). An interval version of the secant method. BIT Numerical Mathematics, 24(3), 366-372. 表示 編集