プロトキン限界

プロトキン限界（英: Plotkin bound）とは、バイナリ符号のパラメータ（符号語の数）の限界値の1つ。 2進数の符号 C {\displaystyle C} の符号語の長さが n {\displaystyle n} 、すなわち F 2 n {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}} の部分集合であるとする。 C {\displaystyle C} における最小ハミング距離を d {\displaystyle d} とすると、次が成り立つ。 d = min x , y ∈ C , x ≠ y d ( x , y ) {\displaystyle d=\min _{x,y\in C,x\neq y}d(x,y)} ここで d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} は x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} のハミング距離である。符号語の長さが n {\displaystyle n} で最小ハミング距離が d {\displaystyle d} のときの可能な最大符号語数を A 2 ( n , d ) {\displaystyle A_{2}(n,d)} とする。 定理 （プロトキン限界）: d {\displaystyle d} が偶数で 2 d > n {\displaystyle 2d>n} の場合、 A 2 ( n , d ) ≤ 2 ⌊ d 2 d − n ⌋ {\displaystyle A_{2}(n,d)\leq 2\left\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\right\rfloor } d {\displaystyle d} が奇数で 2 d + 1 > n {\displaystyle 2d+1>n} の場合、 A 2 ( n , d ) ≤ 2 ⌊ d + 1 2 d + 1 − n ⌋ {\displaystyle A_{2}(n,d)\leq 2\left\lfloor {\frac {d+1}{2d+1-n}}\right\rfloor } d {\displaystyle d} が偶数の場合、 A 2 ( 2 d , d ) ≤ 4 d {\displaystyle A_{2}(2d,d)\leq 4d} d {\displaystyle d} が奇数の場合、 A 2 ( 2 d + 1 , d ) ≤ 4 d + 4 {\displaystyle A_{2}(2d+1,d)\leq 4d+4} となる。ここで ⌊   ⌋ {\displaystyle \left\lfloor \ \right\rfloor } は床関数を意味する。 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} のハミング距離を d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} とし、 C {\displaystyle C} に存在する符号語数を M {\displaystyle M} とする（つまり、 M {\displaystyle M} と A 2 ( n , d ) {\displaystyle A_{2}(n,d)} は等しい）。するとプロトキン限界は、 ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)} について2種類の方法で限界を求めることで得られる。 まず x {\displaystyle x} として選択肢が r {\displaystyle r} 個あるなら、 y {\displaystyle y} の選択肢は r − 1 {\displaystyle r-1} 個になる。定義から全ての x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} について d ( x , y ) ≥ d {\displaystyle d(x,y)\geq d} であるから、次が成り立つ。 ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) ≥ M ( M − 1 ) d {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)\geq M(M-1)d} また、 C {\displaystyle C} の符号語を並べた M × n {\displaystyle M\times n} の行列を A {\displaystyle A} とする（行が符号語に対応）。 A {\displaystyle A} の i {\displaystyle i} 番目の列にあるゼロの個数を s i {\displaystyle s_{i}} とする。つまり、 i {\displaystyle i} 番目の行には M − s i {\displaystyle M-s_{i}} 個の1がある。 d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} であるため、 ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)} という総和におけるある行の1や0の寄与は常に 2 {\displaystyle 2} である。従って、次が成り立つ。 ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) = ∑ i = 1 n 2 s i ( M − s i ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)=\sum _{i=1}^{n}2s_{i}(M-s_{i})} M {\displaystyle M} が偶数なら、右辺は s i = M / 2 {\displaystyle s_{i}=M/2} のときに最大となり ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) ≤ 1 2 n M 2 {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)\leq {\frac {1}{2}}nM^{2}} となる。以上の ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)} の上限と下限を組み合わせると、次式が導かれる。 M ( M − 1 ) d ≤ 1 2 n M 2 {\displaystyle M(M-1)d\leq {\frac {1}{2}}nM^{2}} 2 d > n {\displaystyle 2d>n} の場合、この式は次のように変形できる。 M ≤ 2 d 2 d − n {\displaystyle M\leq {\frac {2d}{2d-n}}} M {\displaystyle M} が偶数の場合なので、次が成り立つ。 M ≤ 2 ⌊ d 2 d − n ⌋ {\displaystyle M\leq 2\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\rfloor } 一方、 M {\displaystyle M} が奇数なら s i = M ± 1 2 {\displaystyle s_{i}={\frac {M\pm 1}{2}}} のときに ∑ i = 1 n 2 s i ( M − s i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}2s_{i}(M-s_{i})} が最大化する。従って、次が成り立つ。 ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) ≤ 1 2 n ( M 2 − 1 ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)\leq {\frac {1}{2}}n(M^{2}-1)} 以上の ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)} の上限と下限を組み合わせると、次式が導かれる。 M ( M − 1 ) d ≤ 1 2 n ( M 2 − 1 ) {\displaystyle M(M-1)d\leq {\frac {1}{2}}n(M^{2}-1)} または、 2 d > n {\displaystyle 2d>n} なら M ≤ 2 d 2 d − n − 1 {\displaystyle M\leq {\frac {2d}{2d-n}}-1} となる。Mは整数なので M ≤ ⌊ 2 d 2 d − n − 1 ⌋ = ⌊ 2 d 2 d − n ⌋ − 1 ≤ 2 ⌊ d 2 d − n ⌋ {\displaystyle M\leq \lfloor {\frac {2d}{2d-n}}-1\rfloor =\lfloor {\frac {2d}{2d-n}}\rfloor -1\leq 2\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\rfloor } となり、限界の証明が完了する。 Binary codes with specified minimum distance, M. Plotkin, IRE Transactions on Information Theory, 6:445-450, 1960. シングルトン限界 ハミング限界 ギルバート＝バルシャモフ限界 ジョンソン限界