ウィルティンガーの微分

一変数および多変数の複素解析において、ウィルティンガーの微分（英: Wirtinger derivative, ときに Wirtinger operator とも）は、複素多変数関数論に関する研究において1927年に導入したヴィルヘルム・ヴィルティンガー（英語版） (Wilhelm Wirtinger) の名前にちなんでおり、正則関数、反正則関数（英語版）、あるいは単に複素領域上の微分可能な関数に適用したときに、1つの実変数（英語版）に関して通常の微分と非常によく似た振る舞いをする、一階の偏微分作用素である。これらの作用素によって、そのような関数に対する微分学の、実変数関数（英語版）に対する通常の微分学と完全に類似した、構成ができる。 複素数 z ∈ C を実部と虚部に分解して z = x + iy と書き、C の適当な領域 G 上の実可微分関数 f = u + iv: G → C に対し、偏微分 ∂ f ∂ x = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ u ∂ y + i ∂ v ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}},\quad {\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial y}}} を考えることができる。座標関数として x, y ではなく z = x + iy, z = x − iy を考えるとき、これとは別の偏微分作用素としてヴィルティンガー微分が定義されるが、複素数値関数を実部と虚部に明示的に分けずとも計算できるため扱いはより平易なものとなる。 可微分関数 f の全微分 df を偏微分を用いて d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy} と書くとき、z = x + iy, z = x − iy とすれば微分小に関して d x = 1 2 ( d z + d z ¯ ) , d y = i 2 ( d z ¯ − d z ) {\displaystyle dx={\frac {1}{2}}(dz+d{\bar {z}}),\quad dy={\frac {i}{2}}(d{\bar {z}}-dz)} であり、これをもとの全微分に代入して整理したものを形式的に d f = ∂ f ∂ z d z + ∂ f ∂ z ¯ d z ¯ {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}} と書けば、各係数 ∂ f ∂ z := 1 2 ( ∂ f ∂ x − i ∂ f ∂ y ) , ∂ f ∂ z ¯ := 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\qquad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)} がヴィルティンガー微分と呼ばれるものである。しばしば ∂f⁄∂z および ∂f⁄∂z をそれぞれ ∂f および ∂f とも書き、また作用素 ∂ はコーシー–リーマン作用素とも呼ばれる。 定義1. 複素平面 C ≡ R 2 = { ( x , y ) ∣ x ∈ R ,   y ∈ R } {\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,\ y\in \mathbb {R} \}} を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階線型偏微分作用素として定義される： ∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) , ∂ ∂ z ¯ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).} 明らかに、これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 Ω ⊆ R 2 {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}} 上の C 1 {\displaystyle C^{1}} 級関数の空間であるが、これらの作用素は線型であり定数係数であるから、超関数の各空間にただちに拡張できる。 定義2. 複素数体上のユークリッド空間 C n = R 2 n = { ( x , y ) = ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ) ∣ x , y ∈ R n } {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}} を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階行列線型偏微分作用素として定義される： { ∂ ∂ z 1 = 1 2 ( ∂ ∂ x 1 − i ∂ ∂ y 1 ) ⋮ ∂ ∂ z n = 1 2 ( ∂ ∂ x n − i ∂ ∂ y n ) , { ∂ ∂ z ¯ 1 = 1 2 ( ∂ ∂ x 1 + i ∂ ∂ y 1 ) ⋮ ∂ ∂ z ¯ n = 1 2 ( ∂ ∂ x n + i ∂ ∂ y n ) . {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\&\,\vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\&\,\vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.} 一変数のときと同様これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 Ω {\displaystyle \Omega }  ⊆ ℝ2n 上の C 1 {\displaystyle C^{1}} 級関数の空間であるが定数係数の線型作用素のため超関数の空間へと拡張できる。 この節以降 z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} は複素ベクトルであり z ≡ ( x , y ) = ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ) {\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})} ただし x {\displaystyle x} ,  y {\displaystyle y} は実ベクトルで n ≥ 1 とする。また、部分集合 Ω {\displaystyle \Omega } は ℝ2n あるいは ℂn の領域とする。証明は全て定義1、定義2、そして（常あるいは偏）微分の対応する性質の容易な結果である。 補題1. f , g ∈ C 1 ( Ω ) {\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )} とし、 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } を複素数とすると、 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} に対して、以下の等式が成り立つ ∂ ∂ z i ( α f + β g ) = α ∂ f ∂ z i + β ∂ g ∂ z i , ∂ ∂ z ¯ i ( α f + β g ) = α ∂ f ∂ z ¯ i + β ∂ g ∂ z ¯ i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}} 補題2. f , g ∈ C 1 ( Ω ) {\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )} であれば、 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} に対して、積の微分法則が成り立つ ∂ ∂ z i ( f ⋅ g ) = ∂ f ∂ z i ⋅ g + f ⋅ ∂ g ∂ z i , ∂ ∂ z ¯ i ( f ⋅ g ) = ∂ f ∂ z ¯ i ⋅ g + f ⋅ ∂ g ∂ z ¯ i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\cdot g\right)={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\cdot g\right)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}} この性質によってウィルティンガーの微分はちょうど通常の微分のように抽象代数学的視点の微分であることに注意。 これは一変数と多変数とで異なる：n > 1 に対して完全な一般性でチェインルールを表現するには2つの領域 Ω ′ ⊆ C m {\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}} および Ω ″ ⊆ C p {\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}} と自然な滑らかさの要求を満たす2つの関数 g : Ω ′ → Ω {\displaystyle g:\Omega '\to \Omega } および f : Ω → Ω ″ {\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''} を考える必要がある。 補題3.1 f , g ∈ C 1 ( Ω ) {\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )} および g ( Ω ) ⊆ Ω {\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega } であれば、チェインルールが成り立つ ∂ ∂ z ( f ∘ g ) = ( ∂ f ∂ z ∘ g ) ∂ g ∂ z + ( ∂ f ∂ z ¯ ∘ g ) ∂ g ¯ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left(f\circ g\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}} ∂ ∂ z ¯ ( f ∘ g ) = ( ∂ f ∂ z ∘ g ) ∂ g ∂ z ¯ + ( ∂ f ∂ z ¯ ∘ g ) ∂ g ¯ ∂ z ¯ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(f\circ g\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}} 補題3.2 g ∈ C 1 ( Ω ′ , Ω ) {\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ^{\prime },\Omega )} および f ∈ C 1 ( Ω , Ω ′ ′ ) {\displaystyle \scriptstyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ^{\prime \prime })} であれば、 i = 1 , … , m {\displaystyle i=1,\dots ,m} に対し、以下の形のチェインルールが成り立つ ∂ ∂ z i ( f ∘ g ) = ∑ j = 1 n ( ∂ f ∂ z j ∘ g ) ∂ g j ∂ z i + ∑ j = 1 n ( ∂ f ∂ z ¯ j ∘ g ) ∂ g ¯ j ∂ z i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}} ∂ ∂ z ¯ i ( f ∘ g ) = ∑ j = 1 n ( ∂ f ∂ z j ∘ g ) ∂ g j ∂ z ¯ i + ∑ j = 1 n ( ∂ f ∂ z ¯ j ∘ g ) ∂ g ¯ j ∂ z ¯ i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}} 補題4. f ∈ C 1 ( Ω ) {\displaystyle f\in C^{1}(\Omega )} であれば、 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} に対して、以下の等式が成り立つ ∂ f ¯ ∂ z i = ∂ f ¯ ∂ z ¯ i , ∂ f ¯ ∂ z ¯ i = ∂ f ¯ ∂ z i {\displaystyle {\frac {\overline {\partial f}}{\partial z_{i}}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}},\quad {\frac {\overline {\partial f}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}} ∂ z ∂ z = 1 , ∂ z ¯ ∂ z = 0 , ∂ z ∂ z ¯ = 0 , ∂ z ¯ ∂ z ¯ = 1. {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial z}}=1,\,{\frac {\partial {\bar {z}}}{\partial z}}=0,\,{\frac {\partial z}{\partial {\bar {z}}}}=0,\,{\frac {\partial {\bar {z}}}{\partial {\bar {z}}}}=1.} f(z) が z と z の多項式であるとき、z, z を独立変数と思って形式的に偏微分すればよい。例えば、 ∂ ∂ z ( z 3 + 3 z z ¯ + z ¯ 2 ) = 3 z 2 + 3 z ¯ ∂ ∂ z ¯ ( z 3 + 3 z z ¯ + z ¯ 2 ) = 3 z + 2 z ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(z^{3}+3z{\bar {z}}+{\bar {z}}^{2})&=3z^{2}+3{\bar {z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(z^{3}+3z{\bar {z}}+{\bar {z}}^{2})&=3z+2{\bar {z}}\end{aligned}}} f が正則であるとき、f ′ = ∂f である。 コーシー・リーマンの方程式が成り立つことと、∂f = 0 となることは同値である。 ∂∂ = ∂∂ = (1/4)Δ, ここで Δ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 はラプラシアン。 正則関数を実部・虚部に分け f = u + iv とすると、Δf = 4∂∂f = 0, したがって Δu + iΔv = 0 となるから、Δu = Δv = 0, すなわち u と v は調和であることがわかる。 コーシー・リーマンの関係式 コーシー–リーマン関数（英語版） (CR-関数) ドルボー複体（英語版） ドルボー作用素 多重調和関数（英語版） ^ See references Fichera 1986, p. 62 and Kracht & Kreyszig 1988, p. 10. ^ ウィルティンガーの微分の基本的な性質のいくつかは、常（あるいは偏）微分を特徴づけ、通常の微分学の構成するために使われるのと同じものである。 ^ もちろん記号 ∂ は偏微分を意味するものではないが、ヴィルティンガー微分は、z と z を独立変数であるかのように扱えば、通常の変数変換の公式を形式的に適用したものと同一であるし、後述のように偏微分と同様の性質も持つ。 ^ See Kaup & Kaup 1983, p. 4 and also Gunning 1990, p. 5: Gunning considers the general case of C 1 {\displaystyle C^{1}} functions but only for p = 1. References Andreotti 1976, p. 5 and Gunning & Rossi 1965, p. 6, as already pointed out, consider only holomorphic maps with p = 1: however, the resulting formulas are formally very similar. Andreotti, Aldo (1976) (Italian), Introduzione all'analisi complessa (Lezioni tenute nel febbraio 1972), Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni, 24, Rome: Accademia Nazionale dei Lincei, pp. 34, http://www.lincei.it/pubblicazioni/catalogo/volume.php?lg=e&rid=33190 . Introduction to complex analysis is a short course in the theory of functions of several complex variables, held on February 1972 at the Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni "Beniamino Segre". Fichera, Gaetano (1986), “Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables”, Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 18 (3): 61–83, MR0917525, Zbl 0705.32006 . Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall series in Modern Analysis, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, pp. xiv+317, MR0180696, Zbl 0141.08601, https://books.google.co.jp/books?id=L0zJmamx5AAC&printsec=frontcover&hl=it&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false . Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables. Volume I: Function Theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Belmont, California: Wadsworth & Brooks/Cole, pp. xx+203, ISBN 0-534-13308-8, MR1052649, Zbl 0699.32001 . 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Remmert, Reinhold (1991), Theory of Complex Functions, Graduate Texts in Mathematics, 122 (Fourth corrected 1998 printing ed.), New York–Berlin–Heidelberg–Barcelona–Hong Kong–London–Milan–Paris–Singapore–Tokyo: Springer Verlag, pp. xx+453, ISBN 0-387-97195-5, MR1084167, Zbl 0780.30001, https://books.google.co.jp/books?id=CC0dQxtYb6kC&printsec=frontcover&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=true  ISBN 978-0-387-97195-7. A textbook on complex analysis including many historical notes on the subject. Severi, Francesco (1958) (Italian), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma, Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, pp. XIV+255, Zbl 0094.28002 . Notes from a course held by Francesco Severi at the Istituto Nazionale di Alta Matematica (which at present bears his name), containing appendices of Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza and Mario Benedicty. An English translation of the title reads as:-"Lectures on analytic functions of several complex variables – Lectured in 1956–57 at the Istituto Nazionale di Alta Matematica in Rome". 神保, 道夫『複素関数入門』岩波書店〈現代数学への入門〉、2003年。ISBN 4-00-006874-1。  野口, 潤次郎『複素解析概論』（第6版）裳華房〈数学選書12〉、2002年。ISBN 978-4-7853-1314-2。