ミンコフスキーの定理

ミンコフスキーの定理（英: Minkowski's theorem）は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。 L を R n 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。 Rn 内の、原点に関して対称で体積が 2 n d ( L ) {\displaystyle 2^{n}d(L)} より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する。 特に体積が 2n より大きい、原点に関して対称な Rn 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。 R n の部分集合 S に対して V (S) を S の体積とする。 まず、次のブリクフェルトの定理（英語版）から証明する。 S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり v 1 − v 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}} となる v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。これは次のように証明できる。 L の基底 u 1 , u 2 , … , u n {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}} をとり F = { a 1 u 1 + a 2 u 2 + ⋯ + a n u n : 0 ≤ a 1 , a 2 , … , a n < 1 } {\displaystyle F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n}:0\leq a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}<1\}} をこの基底に対する L の基本領域とすると V ( F ) = d ( L ) {\displaystyle V(F)=d(L)} が成り立つ。 v = b 1 u 1 + b 2 u 2 + ⋯ + b n u n {\displaystyle \mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}} に対して f ( v ) = ∑ i = 1 n ( b i − ⌊ b i ⌋ ) u i {\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}} を対応させる。 f は R n から F への写像で、 f ( v ) − v = ∑ i = 1 n ⌊ b i ⌋ u i ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L} が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、 f が S 上で単射ならば V ( f ( S ) ) = V ( S ) {\displaystyle V(f(S))=V(S)} となるはずである。しかし f の像は F に含まれるから V ( S ) > d ( L ) = V ( F ) ≥ V ( f ( S ) ) {\displaystyle V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))} となる。よって f は S 上単射ではないので f ( v 1 ) = f ( v 2 ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})} となる点 v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。 f ( v 1 ) − v 1 , f ( v 2 ) − v 2 ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})-\mathbf {v} _{1},f(\mathbf {v} _{2})-\mathbf {v} _{2}\in L} だから v 1 , v 2 ∈ S , v 2 − v 1 = r 2 − r 1 ∈ L {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S,\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\in L} である。 S を Rn 内の、原点に関して対称で体積が 2 n d ( L ) {\displaystyle 2^{n}d(L)} より大きい凸集合とする。 T = 1 2 S = { 1 2 v : v ∈ S } {\displaystyle T={\frac {1}{2}}S=\left\{{\frac {1}{2}}\mathbf {v} :\mathbf {v} \in S\right\}} とおく。 V ( S ) > 2 n d ( L ) {\displaystyle V(S)>2^{n}d(L)} だから V ( T ) = V ( S ) / 2 n > d ( L ) {\displaystyle V(T)=V(S)/2^{n}>d(L)} なので ブリクフェルトの定理より w 1 − w 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}} となる2点 w 1 , w 2 ∈ T {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in T} がとれる。 v 1 = 2 w 1 , u = 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S} が成り立ち、 S は原点に関して対称だから v 2 = − u = − 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S} も成り立つ。 S は凸集合なので v = 1 2 ( v 1 + v 2 ) ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S} である。一方で 1 2 ( v 1 + v 2 ) = w 1 − w 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}} であるから S は原点とは異なる L 上の点 v {\displaystyle \mathbf {v} } を有する。 ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。 l i = ∑ j = 1 n a i j x j ( i = 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle l_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\qquad (i=1,2,\ldots ,n)} を n =r +2s 個の一次形式とし、そのうち l1, l2, ..., lr は実係数を持ち、 l r +j と l r +s +j ( j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。 ここで k1, k2, ..., kr +s が実数で k 1 k 2 ⋯ k r ( k r + 1 k r + 2 ⋯ k r + s ) 2 ≥ ( 2 π ) s | Δ | {\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}|\Delta |} を満たすならば、 | l i | ≤ k i ( i = 1 , 2 , … , r + s ) {\displaystyle |l_{i}|\leq k_{i}\qquad (i=1,2,\ldots ,r+s)} となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。 また k1, k2, ..., kr +s が実数で k 1 k 2 ⋯ k r ( k r + 1 k r + 2 ⋯ k r + s ) 2 ≥ ( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |} を満たすならば、 ∏ i = 1 n | l i | ≤ | Δ | {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}|l_{i}|\leq |\Delta |} となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。 ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。 たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。 ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の（つまり s 対の共役対からなる）複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが ( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |} を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。 上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。 実際 p を 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} の形の素数とすると t 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}} となる t がとれる（p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。 y ≡ t x ( mod p ) {\displaystyle y\equiv tx{\pmod {p}}} となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 全体は ( 1 , t ) , ( 0 , p ) {\displaystyle (1,t),(0,p)} を基底とする格子 L と一致し、 d ( L ) = p {\displaystyle d(L)=p} が成り立つ。 原点を中心とする半径 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} の開円盤は面積 2 π p > 4 p {\displaystyle 2\pi p>4p} の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} を含む。 b ≡ t a ( mod p ) {\displaystyle b\equiv ta{\pmod {p}}} であるから a 2 + b 2 ≡ a 2 ( 1 + t 2 ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}} である。一方 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} は原点ではなく、かつ原点からの距離は 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} より小さいから 0 < a 2 + b 2 < 2 p {\displaystyle 0<a^{2}+b^{2}<2p} である。よって p = a 2 + b 2 {\displaystyle p=a^{2}+b^{2}} が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。 ^ Cassels (1997, pp. 71–72, Chapter III.2.2, Theorem II), Nathanson (1996, pp. 175–176, Chapter 6.2, Theorem 6.4) ^ Cassels (1997, pp. 68–69, Chapter III.2, Theorem I), Nathanson (1996, p. 175, Chapter 6.2, Lemma 6.1) ^ Cassels (1997, pp. 98–102, Chapter III.7), Nathanson (1996, pp. 177–179, Chapter 6.3) など ^ Cassels (1997, p. 99, Chapter III.7.2) 数の幾何学 離散幾何学 球充填 J. W. S. Cassels, (1959, 1971, 1997). An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62035-5. ISBN 978-3-642-62035-5  John Conway and Neil J. A. Sloane, (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. ISBN 978-1-4757-6568-7  Hancock, Harris (1964, 2005). Development of the Minkowski Geometry of Numbers, vol I, II. Dover （旧版 The MacMillan, 1939）  Pascale Gruber and C. G. Lekkerkerker (1987). Geometry of Numbers. Elsevier. ISBN 9780080960234  Melvyn B. Nathanson, (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Math. 165). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94655-9  Wolfgang M. Schmidt, (1980). Diophantine approximation (Lecture Notes in Math. 785). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN 978-3-540-38645-2  Wolfgang M. Schmidt, (1991). Diophantine Approximations and Diophantine Equations (Lecture Notes in Math. 1467). 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