アポロニウスの円

アポロニウスの円（アポロニウスのえん）は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。 点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、 AQ:QB=AP:PB AR:RB=AP:PB 内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。 よって、∠QPR=90° ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。 m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m ： n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、 P Q → = n P A → + m P B → n + m ,   P R → = n P A → − m P B → n − m . {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}.} このとき、 P A : P B = m : n . {\displaystyle \mathrm {PA} :\mathrm {PB} =m:n.} ⇔ n | P A → | = m | P B → | . {\displaystyle \Leftrightarrow n|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|=m|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|.} ⇔ n 2 | P A → | 2 = m 2 | P B → | 2 . {\displaystyle \Leftrightarrow n^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=m^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^{2}.} ⇔ ( n P A → + m P B → ) ⋅ ( n P A → − m P B → ) = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow (n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0.} ⇔ n P A → + m P B → n + m ⋅ n P A → − m P B → n − m = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}\cdot {\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}=0.} ⇔ P Q → ⋅ P R → = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}=0.} ⇔ P Q → = 0 → ∨ P R → = 0 → ∨ P Q → ⊥ P R → . {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}.} ⇔ P = Q ∨ P = R ∨ ∠ Q P R = 90 ∘ . {\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {P} =\mathrm {Q} \vee \mathrm {P} =\mathrm {R} \vee \angle {\mathrm {QPR} }=90^{\circ }.} したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。 線分QRの中点をOとすると、 O Q → = − 1 2 Q R → ,   O R → = 1 2 Q R → . {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OQ} }}=-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }},\ {\overrightarrow {\mathrm {OR} }}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}.} したがって、 P Q → ⋅ P R → = 0. {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}=0.} ⇔ ( P O → + O Q → ) ⋅ ( P O → + O R → ) = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OQ} }})\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OR} }})=0.} ⇔ ( P O → − 1 2 Q R → ) ⋅ ( P O → + 1 2 Q R → ) = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})=0.} ⇔ | P O → | 2 = ( 1 2 ) 2 | Q R → | 2 . {\displaystyle \Leftrightarrow |{\overrightarrow {\mathrm {PO} }}|^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}|^{2}.} ⇔ P O = 1 2 Q R . {\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {PO} ={\frac {1}{2}}\mathrm {QR} .} これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 1 2 Q R {\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {QR} } の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。 線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、 P O → = P Q → + P R → 2 = 1 2 ( n P A → + m P B → n + m + n P A → − m P B → n − m ) = ( n − m ) ( n P A → + m P B → ) + ( n + m ) ( n P A → − m P B → ) 2 ( n + m ) ( n − m ) = 2 n 2 P A → − 2 m 2 P B → 2 ( n 2 − m 2 ) = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {PO} }}&={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}+{\overrightarrow {\mathrm {PR} }}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}+{\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}\right)\\&={\frac {(n-m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})+(n+m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})}{2(n+m)(n-m)}}\\&={\frac {2n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-2m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{2(n^{2}-m^{2})}}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}.\end{aligned}}} すなわち、点Oは線分ABを m 2 : n 2 {\displaystyle m^{2}:n^{2}} に外分する点になる。 アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成 1 2 Q R → = P R → − P Q → 2 = 1 2 ( n P A → − m P B → n − m − n P A → + m P B → n + m ) = ( n + m ) ( n P A → − m P B → ) − ( n − m ) ( n P A → + m P B → ) 2 ( n + m ) ( n − m ) = 2 m n P A → − 2 m n P B → 2 ( n 2 − m 2 ) = m n ( P B → − P A → ) m 2 − n 2 = m n m 2 − n 2 A B → . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}&={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {PR} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}-{\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}\right)\\&={\frac {(n+m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})-(n-m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})}{2(n+m)(n-m)}}\\&={\frac {2mn{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-2mn{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{2(n^{2}-m^{2})}}\\&={\frac {mn({\overrightarrow {\mathrm {PB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }})}{m^{2}-n^{2}}}\\&={\frac {mn}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}.\end{aligned}}} 定義より、 A R → = P R → − P A → = n P A → − m P B → n − m − P A → = m n − m ( P A → − P B → ) = m m − n A B → , Q B → = n m + n A B → , A O → = P O → − P A → = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 − P A → = m 2 n 2 − m 2 ( P A → − P B → ) = m 2 m 2 − n 2 A B → , B O → = P O → − P B → = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 − P B → = n 2 n 2 − m 2 ( P A → − P B → ) = n 2 m 2 − n 2 A B → . {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {AR} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PR} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {m}{n-m}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {QB} }}&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {AO} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {m^{2}}{n^{2}-m^{2}}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {BO} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}\\&={\frac {n^{2}}{n^{2}-m^{2}}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {n^{2}}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}.\end{aligned}}} したがって、 r = | m n m 2 − n 2 | ⋅ A B = A R ⋅ Q B A B = O A ⋅ O B . {\displaystyle r=\left|{\frac {mn}{m^{2}-n^{2}}}\right|\cdot \mathrm {AB} ={\frac {\mathrm {AR} \cdot \mathrm {QB} }{\mathrm {AB} }}={\sqrt {\mathrm {OA} \cdot \mathrm {OB} }}.} アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。 ウィキメディア・コモンズには、アポロニウスの円に関連するカテゴリがあります。 アポロニウスの円の中心について - 『数研通信』33号 アポロニウスの円の中心と半径 アポロニウスの円～定義を少し広げる試み～ 高校数学で注意して欲しいこと　2. 軌跡 角の二等分線の性質を狩る 『アポロニウスの円の証明と応用』 - 高校数学の美しい物語 アポロニウスの接円問題の探究 - 筑波大学数学教育研究室 代数・幾何・微積　For All プロジェクト 表示 編集