スキューズ数

スキューズ数（スキューズすう、Skewes number）は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。具体的には、x 以下の素数の個数 π(x) および 対数積分 li(x) について、 π(x) > li(x) を満たす最小の自然数 x の上界としてスキューズが与えた数を指すが、このような x 自体を指すこともある。2021年時点で、このような x は 1014 より大きく 1.3983 × 10316 未満であることが知られているが、正確な値は不明である。 素数定理によれば、π(x) は漸近的に li(x) に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に x が小さいあいだは常に li(x) の方が大きいように見える。このことから、π(x) > li(x) となる x が存在するか、という問題が自然に考えられる。ガウスやリーマンはそのような x は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年の論文において、そのような x が存在することのみならず、π(x) − li(x) の符号は無限回変わることを示した。すなわち、π(x) と li(x) は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて π(x) が li(x) を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。 スキューズは、1933年の論文において、リーマン予想が真であるとの仮定の下に、π(x) > li(x) となる x は、次の数以下に存在することを証明した。 e e e 79 ( ≈ 10 10 10 33.947 < 10 10 10 34 ) {\displaystyle e^{e^{e^{79}}}\left(\approx 10^{10^{10^{33.947}}}<10^{10^{10^{34}}}\right)} これがオリジナルのスキューズ数であり、第一スキューズ数とも呼ばれる。 後にグラハム数などにその座を譲ることになるが、当時としては意味のある数学的議論に登場する最大の数であった[いつ?]。なお、この見積もりは非常に大雑把なものであり、後述のように評価は大幅に改良される。 さらに、スキューズは1955年には、リーマン予想が真であると仮定することなしに、x は次の数以下に存在することを証明した。 e e e e 7.705 ( < 10 10 10 964 ) {\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}\left(<10^{10^{10^{964}}}\right)} これは第二スキューズ数と呼ばれる。よりシンプルな表現の近似 10 10 10 10 3 {\displaystyle 10^{10^{10^{10^{3}}}}} も第二スキューズ数の近似値としてしばしば用られる。 スキューズの与えたこれらの見積もりは非常に大きいため、より小さな評価を与える研究が進められた。それは、コンピュータを用いてリーマンゼータ関数の零点を計算することによって行われる。Lehman (1966) が示したところによると、1.53 × 101165 から 1.65 × 101165 の間に π(x) > li(x) となるような整数 x が連続して 10500 個以上ある。H. J. J. te Riele (1987) は上からの評価を約 7 × 10370 にまで、Bays & Hudson (2000) は約 1.3983 × 10316 にまで下げ、その付近に π(x) > li(x) なる x が存在することを示した。 一方、Rosser & Schoenfeld (1962) は、x < 108 においては常に π(x) < li(x) であることを示した。この記録は Brent (1975) によって 8 × 1010 にまで、Kotnik (2008) によって 1014 にまで更新された。 正確にいつ初めて π(x) が li(x) が追い抜くのかは、未解決の問題である。それどころか、π(x) > li(x) となる具体的な x の値はひとつも知られていない。 Wintner (1941) は、π(x) > li(x) なる x の割合は正であることを示し、Rubinstein & Sarnak (1994) はその割合がおよそ 0.00000026 であることを示した。 ^ Kotnik 2008. ^ Bays & Hudson 2000. ^ 『モジュライのたのしみ : フォーラム:現代数学の風景』28号、日本評論社〈数学の楽しみ〉、2001年12月、100頁。 NCID BA54557143。  Bays, C.; Hudson, R. H. (2000), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, Mathematics of Computation 69 (231): 1285--1296, MR1752093, http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf  Brent, R. P. (1975), “Irregularities in the distribution of primes and twin primes”, Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 29 (129): 43--56, doi:10.2307/2005460, MR0369287, http://jstor.org/stable/2005460  Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2005), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, International Journal of Number Theory 6: 681--690, doi:10.1142/S1793042110003125, http://arXiv.org/abs/math/0509312  Kotnik, T. (2008), “The prime-counting function and its analytic approximations”, Advances in Computational Mathematics 29: 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2  Lehman, R. Sherman (1966), “On the difference π(x) － li(x)”, Acta Arith. 11: 397--410, MR0202686  Littlewood, J. E. (1914), “Sur la distribution des nombres premiers”, Comptes Rendus 158: 1869–1872  Skewes, S. (1933), “On the difference π(x) − Li(x)”, Journal of the London Mathematical Society 8: 277–283  Skewes, S. (1955), “On the difference π(x) − Li(x) (II)”, Proceedings of the London Mathematical Society 5: 48–70, MR0067145  te Riele, H. J. J. (1987), “On the sign of the difference π(x) − Li(x)”, Mathematics of Computation 48 (177): 323–328, MR0866118, http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5718%28198701%2948%3A177%3C323%3AOTSOTD%3E2.0.CO%3B2-N  Rosser, J. B.; Schoenfeld, L. (1962), “Approximate formulas for some functions of prime numbers”, Illinois Journal of Mathematics 6: 64–94, MR0137689  Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994), “Chebyshev's bias”, Experiment. Math. 3 (3): 173–197, MR1329368, http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870  Wintner, A. (1941), “On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem”, Amer. J. Math. (The Johns Hopkins University Press) 63 (2): 233–248, doi:10.2307/2371519, JSTOR 10.2307/2371519, MR0004255, http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%28194104%2963%3A2%3C233%3AOTDFOT%3E2.0.CO%3B2-N  巨大数 数の比較 リーマンの素数公式 Weisstein, Eric W. "Skewes Number". mathworld.wolfram.com (英語). ポータル 数学