ボルツマン因子

物理学において、ボルツマン因子（ぼるつまんいんし、英: Boltzmann factor）とは、温度T の熱平衡状態にある系において、粒子の出入りはなく体積も変化しないときに、特定の状態が発現する相対的な確率を定める重み因子である。ボルツマン因子は、カノニカル分布によって記述される系を議論する際に用いられる。グランドカノニカル分布で記述される系に対しては、系と外部環境の間での粒子の移動を考慮するギブス因子を用いる。 熱平衡状態にある系において、粒子の出入りはなく体積も変化しないときに、微視的状態 ω が出現する確率P(ω)は、 微視的状態 ω のエネルギーE(ω)を用いて、以下のボルツマン分布によって記述される。 P ( ω ) = 1 Z exp ⁡ ( − β E ( ω ) ) {\displaystyle P(\omega )={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E(\omega ))}} ここで、β は β = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}} によって与えられる逆温度であり、kB はボルツマン定数、T は温度である。 Z は分配関数と呼ばれ、系の全ての状態のボルツマン因子の総和であり、 Z = Σ exp ⁡ ( − β E ( ω ) ) {\displaystyle Z=\Sigma \exp {(-\beta E(\omega ))}} と求められる。 このとき、次の項をボルツマン因子と呼ぶ。 exp ⁡ ( − β E ( ω ) ) = exp ⁡ ( − E ( ω ) / k B T ) {\displaystyle \exp {(-\beta E(\omega ))}=\exp {(-E(\omega )/k_{\mathrm {B} }T)}} ボルツマン因子は微視的状態 ω が発現する相対的確率を定める重み因子である。 エネルギーEを取る確率P(E)は、エネルギーEの状態が縮退していないときは、 P ( E ) = 1 Z exp ⁡ ( − β E ) {\displaystyle P(E)={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E)}} エネルギーEの状態が縮退しているときは、その多重度をg(E)とすると、 P ( E ) = 1 Z g ( E ) exp ⁡ ( − β E ) {\displaystyle P(E)={\frac {1}{Z}}g(E)\exp {(-\beta E)}} 微視的状態 ωi (i = 1, 2, ...) を取りえる系 S (system) が、系Sより遥かに大きい外部の熱浴 R (reservoir) と接触して熱平衡にあるとする。系Sが微視的状態 ωiにあるときの、系Sのエネルギーを ES=E(ωi)とする。S と R の間ではエネルギーは自由にやり取りできるが、粒子の出入りはなく、体積も変化しないとする。このとき、エネルギー保存の法則により、注目する系と熱浴を合わせた全エネルギー E は次式で与えられる。 E = E S + E R = c o n s t {\displaystyle E=E_{\mathrm {S} }+E_{\mathrm {R} }=\mathrm {const} } ここで ER は熱浴のエネルギーを表す。熱浴Rは系Sより遥かに大きいので、ER ≫ ES である。 熱平衡状態において、熱浴 R と系 S における状態数を ΩR, ΩS とする。系Sが微視的状態 ωj にある確率 P(ωj)は、等確率の原理より熱浴 Rの状態数に比例する。系SのエネルギーE(ωj)を用いると、熱浴 Rのエネルギーは ER=E − E(ωj) なので、熱浴 Rの状態数は ΩR(E−E(ωj)) である。 2状態の確率の比を考慮すると以下の式が与えられる。 P ( ω 2 ) P ( ω 1 ) = Ω R ( E − E ( ω 2 ) ) Ω R ( E − E ( ω 1 ) ) {\displaystyle {\frac {P(\omega _{2})}{P(\omega _{1})}}={\frac {\Omega _{R}(E-E(\omega _{2}))}{\Omega _{R}(E-E(\omega _{1}))}}} 一方、熱浴 Rの状態数は次のように熱浴 Rのエントロピーと関連付けられる。 S R ( E − E ( ω j ) ) = k B ln ⁡ [ Ω R ( E − E ( ω j ) ) ] {\displaystyle S_{\mathrm {R} }(E-E(\omega _{j}))=k_{\mathrm {B} }\ln[\Omega _{\mathrm {R} }(E-E(\omega _{j}))]} ここから以下の式が与えられる。 P ( ω 2 ) P ( ω 1 ) = exp ⁡ [ S R ( E − E ( ω 2 ) ) / k B ] exp ⁡ [ S R ( E − E ( ω 1 ) ) / k B ] = exp ⁡ [ S R ( E − E ( ω 2 ) ) − S R ( E − E ( ω 1 ) ) k B ] {\displaystyle {\frac {P(\omega _{2})}{P(\omega _{1})}}={\frac {\exp[{S_{\mathrm {R} }(E-E(\omega _{2}))}/{k_{\mathrm {B} }}]}{\exp[{S_{\mathrm {R} }(E-E(\omega _{1}))}/{k_{\mathrm {B} }}]}}=\exp \left[{\frac {S_{R}(E-E(\omega _{2}))-S_{R}(E-E(\omega _{1}))}{k_{\mathrm {B} }}}\right]} E ( ω j ) ≪ E {\displaystyle E(\omega _{j})\ll E} より、 S R ( E − E ( ω j ) ) = S R ( E ) − d S R ( E ) d E E ( ω j ) {\displaystyle S_{R}(E-E(\omega _{j}))=S_{R}(E)-{\frac {\mathrm {d} S_{R}(E)}{\mathrm {d} E}}E(\omega _{j})} よって S R ( E − E ( ω 2 ) ) − S R ( E − E ( ω 1 ) ) = − d S R ( E ) d E ( E ( ω 2 ) − E ( ω 1 ) ) {\displaystyle S_{R}(E-E(\omega _{2}))-S_{R}(E-E(\omega _{1}))=-{\frac {\mathrm {d} S_{R}(E)}{\mathrm {d} E}}(E(\omega _{2})-E(\omega _{1}))} 粒子の出入りがないので、熱浴において、熱力学の基本関係式は、 d S R = d E R + P d V R T {\displaystyle \mathrm {d} S_{\mathrm {R} }={\frac {\mathrm {d} E_{\mathrm {R} }+P\mathrm {d} V_{\mathrm {R} }}{T}}} ここで、SR はエントロピー、ER は内部エネルギー、P は圧力、V は体積である。 体積は変化しないので、 d S R ( E R ) d E R = 1 T {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S_{R}(E_{R})}{\mathrm {d} E_{R}}}={\frac {1}{T}}} よって S R ( E − E ( ω 2 ) ) − S R ( E − E ( ω 1 ) ) = − E ( ω 2 ) − E ( ω 1 ) T {\displaystyle S_{R}(E-E(\omega _{2}))-S_{R}(E-E(\omega _{1}))=-{\frac {E(\omega _{2})-E(\omega _{1})}{T}}} 確率の比に代入することで以下の式が与えられる。 P ( ω 2 ) P ( ω 1 ) = exp ⁡ ( − E ( ω 2 ) − E ( ω 1 ) k B T ) = exp ⁡ ( − β E ( ω 2 ) ) exp ⁡ ( − β E ( ω 1 ) ) {\displaystyle {\frac {P(\omega _{2})}{P(\omega _{1})}}=\exp \left(-{\frac {E(\omega _{2})-E(\omega _{1})}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)={\frac {\exp {(-\beta E(\omega _{2}))}}{\exp {(-\beta E(\omega _{1}))}}}} ここでボルツマン定数と温度の積の逆数である β を導入した。 変数の分離を行い、状態に依らない定数を 1/Z とすれば、次の関係式を得る。 P ( ω 2 ) exp ⁡ ( − β E ( ω 2 ) ) = P ( ω 1 ) exp ⁡ ( − β E ( ω 1 ) ) = c o n s t = 1 Z {\displaystyle {\frac {P(\omega _{2})}{\exp {(-\beta E(\omega _{2}))}}}={\frac {P(\omega _{1})}{\exp {(-\beta E(\omega _{1}))}}}=\mathrm {const} ={\frac {1}{Z}}} ゆえに P ( ω i ) = 1 Z exp ⁡ ( − β E ( ω i ) ) {\displaystyle P(\omega _{i})={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E(\omega _{i}))}} である。 ここで、全微視的状態について和を取ると、左辺の確率の和は１に等しくなるので、 1 = Σ exp ⁡ ( − β E ( ω i ) ) Z {\displaystyle 1={\frac {\Sigma \exp {(-\beta E(\omega _{i}))}}{Z}}} よって Z = Σ exp ⁡ ( − β E ( ω i ) ) {\displaystyle Z=\Sigma \exp {(-\beta E(\omega _{i}))}} となり、分配係数 Z が求められる。 ボルツマン因子は規格化されていないため、ボルツマン因子自身は確率ではない。規格化因子は系の全ての状態のボルツマン因子の総和の逆数、すなわち分配関数の逆数である。規格化したボルツマン因子はボルツマン分布を与える。 ボルツマン因子によって、古典的な粒子におけるマクスウェル＝ボルツマン分布関数、量子力学におけるボース粒子およびフェルミ粒子に関するボース分布関数、フェルミ・ディラック分布関数が導き出される。 Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics, 2nd ed. (Freeman & Co.: New York, 1980).