五乗数

算術演算および代数演算において、五乗数（ごじょうすう、英語: fifth power）とは、ある数値 n の5乗となる数値、すなわち、底（英語版）を n 、冪指数を 5 とする冪乗( n5 = n × n × n × n × n )である。 数値 n の5乗は、n の4乗に n 自体を掛けたものに等しく、また、n の3乗に n の2乗を掛けたものに等しい。 自然数の5乗を小さい順に列記すると、次のようになる。 0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A000584） 10を底とする整数 n の5乗の最小の桁の値は、n の最小の桁の値と同じである。 また、n が奇数のとき、n⁵ - n は240で割り切れることが知られている。 五乗数の列の第4階差数列は公差 120 の等差数列であり、第5階差数列は定数列 120である。したがって五乗数の列は5階等差数列である。 アーベル–ルフィニの定理によれば、未知数の5乗を最大の冪乗とする代数方程式の解に対する一般的な代数式（冪根で表される式）は存在しない。5乗は、これが当てはまる最低の冪指数である。 5乗は、k − 1 個の k 乗数の和を1個の k 乗数で表すことができる冪指数 k のうちの1つで（もう1つは4乗）、オイラー予想に反例を与える。 具体的には、以下の例がある。 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander & Parkin, 1966) 七乗数 六乗数 二重平方数（四乗数） 立方数 平方数 累乗数 ^ Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.  Råde, Lennart; Westergren, Bertil (2000) (German). Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler (3 ed.). Springer-Verlag. p. 44. ISBN 3-540-67505-1. https://books.google.com/books?id=DICwim5DphgC&pg=PA195&dq=1+32+243+1024&hl=de&sa=X&ei=DUb-UZyyNYKAPY-igPAP&ved=0CDIQ6AEwAA#v=snippet&q=44%20Potenzen%20n&f=false  Vega, Georg (1783) (German). Logarithmische, trigonometrische, und andere zum Gebrauche der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln. Vienna. p. 358. https://books.google.com/books?id=3QlBAAAAcAAJ&pg=PA358&dq=1+32+243+1024&hl=de&sa=X&ei=DUb-UZyyNYKAPY-igPAP&ved=0CEQQ6AEwAw#v=onepage&q=1%2032%20243%201024&f=false  Jahn, Gustav Adolph (1839) (German). Tafeln der Quadrat- und Kubikwurzeln aller Zahlen von 1 bis 25500, der Quadratzahlen aller Zahlen von 1 bis 27000 und der Kubikzahlen aller Zahlen von 1 bis 24000. Leipzig: Verlag von Johann Ambrosius Barth. p. 241. https://books.google.com/books?id=BYA_AAAAcAAJ&pg=PA241&dq=1+32+243+1024&hl=de&sa=X&ei=DUb-UZyyNYKAPY-igPAP&ved=0CF8Q6AEwCA#v=onepage&q=1%2032%20243%201024&f=false  Deza, Elena; Deza, Michel (2012). Figurate Numbers. Singapore: World Scientific Publishing. p. 173. ISBN 978-981-4355-48-3. https://books.google.com/books?id=yJIMx9nXB6kC&pg=PA159&dq=%221,+32,+243,+1024%22&hl=de&sa=X&ei=WEb-UZqIDoawhAeTkICwAQ&ved=0CEYQ6AEwAw#v=onepage&q=%221%2C%2032%2C%20243%2C%201024%22&f=false  Rosen, Kenneth H.; Michaels, John G. (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, Florida: CRC Press. p. 159. ISBN 0-8493-0149-1. https://books.google.com/books?id=yJIMx9nXB6kC&pg=PA159&dq=%221,+32,+243,+1024%22&hl=de&sa=X&ei=WEb-UZqIDoawhAeTkICwAQ&ved=0CEYQ6AEwAw#v=onepage&q=%221%2C%2032%2C%20243%2C%201024%22&f=false  Prändel, Johann Georg (1815) (German). Arithmetik in weiterer Bedeutung, oder Zahlen- und Buchstabenrechnung in einem Lehrkurse - mit Tabellen über verschiedene Münzsorten, Gewichte und Ellenmaaße und einer kleinen Erdglobuslehre. Munich. p. 264. https://books.google.com/books?id=V_EoAAAAcAAJ&pg=PA264&dq=%221,+32,+243,+1024%22&hl=de&sa=X&ei=WEb-UZqIDoawhAeTkICwAQ&ved=0CF0Q6AEwBw#v=onepage&q=%221%2C%2032%2C%20243%2C%201024%22&f=false