ポール・ハルモス

ポール・リチャード・ハルモス（英語: Paul Richard Halmos、ハンガリー語: Halmos Pál、1916年3月3日 - 2006年10月2日）はユダヤ系ハンガリー人として生れたアメリカの数学者。数理論理学、確率論、統計学、作用素論、エルゴード理論、関数解析学（特にヒルベルト空間論）に基礎的な貢献をした。 また数学を見事に伝えることのできる数学者(great mathematical expositor)として広く認められている。 13歳のときにアメリカに移民したが、生涯ハンガリー語のアクセントがあった。学士位(B.A.)をイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校から得る。数学専攻であったが数学と哲学双方の学位取得条件を満していた。わずか3年で学位を得たため、卒業したときはまだ19歳であった。その後同大学に留まり哲学の博士課程に進んだ。しかし、修士課程の口頭試験に不合格になり 、専攻を数学に変え1938年に卒業した。指導教官はジョゼフ・L・ドゥーブ、博士論文の題は"Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems"（ある種の確率的変換の不変量：ギャンブルのシステムの数学的理論）であった。 卒業後すぐに職も助成金も得られないままプリンストン高等研究所に異動する。半年後、ジョン・フォン・ノイマンの下で働くことになるが、これはハルモスにとって決定的な経験となった。高等研究所に所属している間にハルモスは初の著書"Finite-Dimensional Vector Spaces"を著す。これによりすぐに彼は数学の優れた解説者としての評判を確固たるものとした。 ハルモスはシラキュース大学、シカゴ大学(1946–60)、ミシガン大学(〜1961–67)、カリフォルニア大学サンタバーバラ校 (1976–78)、ハワイ大学システム、インディアナ大学で数学を教えた。 1985年インディアナ大学から引退の後は死去まで所属はサンタクララ大学の数学科にあった。 1962年の著書"Algebraic Logic"にリプリントされている一連の論文でハルモスはpolyadic algebraを提案した。polyadic algebraは一階述語論理の代数版であり、よりよく知られているアルフレト・タルスキとその弟子達によるCylindric algebraとは異なる。polyadic algebraの初等的なものは記事monadic Boolean algebraで説明されている。 研究によるオリジナルな貢献に加え、ハルモスは説明が非常に明快で人をひきつける大学レベルの数学の教科書を書いたことで知られる。レスター・R・フォード賞（英語版）を1971年さらに再び1977年(W. P. Ziemer, W. H. Wheeler, S. H. Moolgavkar, J. H. Ewing, W. H. Gustafsonと共同で)受賞している。1973年に出版された学術レベルでの数学に関するAMSスタイルガイドを著したアメリカ数学会(AMS)の委員会でハルモスは議長をつとめた。1983年には数学の優れた解説、説明的な著述に対しあたえられるAMSのSteele Prize for Mathematical Expositionを受賞している。 『アメリカン・サイエンティスト』56(4): 375–389でハルモスは数学は創造的な芸術であり、数学者は数をいじる職業(number cruncher)ではなく芸術家と捉えられるべきだと議論している。彼は数学をmathologyとmathophysicsに分けて考えるべきだと主張し、更に数学者と画家の考え方や仕事の仕方はよく似通っていると議論している。 1985年の著書である"automathography"（数学的自伝。数学mathと自伝autobiographyをもとにした造語）"I Want to Be a Mathematician"では20世紀の数学者として生きるとはどういうことであるかについて書かれている。ハルモスがこの本を自伝autobiographyでなくautomathographyと呼んだのは、本の中心が私的生活ではなく数学者としての人生であるからである。この本にはハルモスにとって数学をするとはどういうことであったかを示す次の言葉がある。 ただ漫然と読むだけではいけない；闘うのだ！自ら問いを発し、自ら例を探し、自ら証明を発見せよ。仮定は必要か？逆は真か？古典的で特別な場合はどうか？縮退している場合はどうか？証明のどこに仮定が使われているだろうか？ (原文: Don't just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?) （数学者になるには）何が必要だろうか? 私は答えを知っているように思う。生来の資質は必要だ。常に完璧を目指すよう心掛けなければならない。数学をそれ以外の何にもまして愛さねばならない。休むことなく努力し、そして決して諦めてはならない。 原文：What does it take to be [a mathematician]? I think I know the answer: you have to be born right, you must continually strive to become perfect, you must love mathematics more than anything else, you must work at it hard and without stop, and you must never give up. Paul Halmos, 1985 これらの自伝でハルモスは必要十分条件をあらわす言葉"if and only if"を短縮した記号"iff"を発明し、また 墓石記号を証明の最後を示すものとして初めて使ったとしている。この主張は広く受け入れられている。墓石記号 ∎ (Unicode U+220E) はときにhalmosと呼ばれる。 2005年には妻のヴァージニアとともにオイラー書籍賞（英語版）を創設した。この賞は1年に1回アメリカ数学協会（英語版）により一般の人の数学に対する見方を向上させるであろうような本に与えられる。この賞が初めて授与されたのは レオンハルト・オイラーの生誕300周年である2007年、ジョン・ダービーシャー（英語版）によるベルンハルト・リーマンとリーマン予想についての著書"Prime Obsession"に対してであった。 1942. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer-Verlag. 1950. Measure Theory. Springer Verlag. 1951. Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity. Chelsea. 1956. Lectures on Ergodic Theory. Chelsea. 1960. Naive Set Theory. Springer Verlag. 富川 滋 訳『素朴集合論』ミネルヴァ書房、1975年。ISBN 4623009866。  1962. Algebraic Logic. Chelsea. 1963. Lectures on Boolean Algebras. Van Nostrand. 1967. A Hilbert Space Problem Book. Springer-Verlag. 1973. (with Norman E. Steenrod, Menahem M. Schiffer, and Jean A. Dieudonné). How to Write Mathematics. American Mathematical Society. 1978 (with V. S. Sunder). Bounded Integral Operators on L² Spaces. Springer Verlag. 1985. I Want to Be a Mathematician. Springer-Verlag. 1987. I Have a Photographic Memory. Mathematical Association of America. 1991. Problems for Mathematicians, Young and Old, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America. 1996. Linear Algebra Problem Book, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America. 1998 (with Steven Givant). Logic as Algebra, Dolciani Mathematical Expositions No. 21, Mathematical Association of America. 2009 (posthumous, with Steven Givant). Introduction to Boolean Algebras, Springer. ^ この賞は、2012年に「ポール・R・ハルモス＝レスター・R・フォード賞」に改称された。 ^ ハルモスの論文は “How to write mathematics”. L'Enseignement Mathématique 16: 123–152. (1970). doi:10.5169/seals-43857.  の再録である。邦訳：スティーンロッドほか 著、一松信 訳『数学の書き方』共立出版〈数学ワンポイント双書19〉、1978年。NDLJP:12608195。  ^ The Legend of John Von Neumann. P. R. Halmos. The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 4. (Apr., 1973), pp. 382–394. ^ Halmos, Paul R. "Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems." ^ Albers, Donald J. (1982). “Paul Halmos: Maverick Mathologist”. Two-Year College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 13 (4): 226-242. doi:10.2307/3027125. http://www.jstor.org/stable/3027125.  ^ Halmos, Paul R. (1970). “Finite-dimensional Hilbert spaces”. Amer. Math. Monthly 77: 457–464. doi:10.2307/2317378. http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/finite-dimensional-hilbert-spaces.  ^ Ziemer, William P.; Wheeler, William H.; Moolgavkar; Halmos, Paul R.; Ewing, John H.; Gustafson, William H. (1976). “American mathematics from 1940 to the day before yesterday”. Amer. Math. Monthly 83: 503–516. http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/american-mathematics-from-1940-to-the-day-before-yesterday.  ^ Halmos 1985, p. 69. ^ Halmos 1985, p. 403. ^ Halmos, Paul (1950). Measure Theory. New York: Van Nostrand. pp. vi. "The symbol ∎ is used throughout the entire book in place of such phrases as "Q.E.D." or "This completes the proof of the theorem" to signal the end of a proof."  ^ "The symbol is definitely not my invention — it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics. It is the symbol that sometimes looks like ▯, and is used to indicate an end, usually the end of a proof. It is most frequently called the 'tombstone', but at least one generous author referred to it as the 'halmos'.", Halmos 1985, p. 403. ^ The Mathematical Association of America's Euler Book Prize, retrieved 2011-02-01. ^ Kac, Mark (1943). “Review: Finite-dimensional vector spaces, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 49 (5): 349–350. doi:10.1090/s0002-9904-1943-07899-8. http://www.ams.org/journals/bull/1943-49-05/S0002-9904-1943-07899-8/S0002-9904-1943-07899-8.pdf.  ^ Oxtoby, J. C. (1953). “Review: Measure theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1): 89–91. doi:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8. http://www.ams.org/journals/bull/1953-59-01/S0002-9904-1953-09662-8/S0002-9904-1953-09662-8.pdf.  ^ Lorch, E. R. (1952). “Review: Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. 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OCLC 22859036. https://books.google.com/books/about/PAUL_HALMOS_Celebrating_50_Years_of_Math.html?id=Xnv5fXu1vFoC  Includes a bibliography of Halmos's writings through 1991. Ewing, John (October 2007). “Paul Halmos: In His Own Words” (PDF). Notices of the American Mathematical Society 54 (9): 1136–1144. http://www.ams.org/notices/200709/tx070901136p.pdf 2008年1月15日閲覧。.  Halmos, Paul (1985). I Want to be a Mathematician: An Automathography. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96470-3. MR0789980. OCLC 230812318. Zbl 0569.01020. https://books.google.co.jp/books?id=7VblBwAAQBAJ  Criticism of non-standard analysis 英語版ウィキクォートに本記事に関連した引用句集があります。 Paul Halmos O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “ポール・ハルモス”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Halmos/ . "Paul Halmos: A Life in Mathematics", Mathematical Association of America (MAA) ポール・ハルモス - Mathematics Genealogy Project