アメーバ (数学)

数学の一分野である複素解析において、アメーバ（英: amoeba）は、一変数、あるいは多変数の多項式に関連した集合である。アメーバは代数幾何学、特に、トロピカル幾何学へ応用を持っている。 ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上に値を持つ 0 を除く複素数 n-組 z = ( z 1 , z 2 , … , z n ) {\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})} の集合上に定義され、式 L o g ( z 1 , z 2 , … , z n ) = ( log ⁡ | z 1 | , log ⁡ | z 2 | , … , log ⁡ | z n | ) . {\displaystyle \mathrm {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=(\log |z_{1}|,\log |z_{2}|,\dots ,\log |z_{n}|).\,} により与えられる函数 L o g : ( C ∖ { 0 } ) n → R n {\displaystyle \mathrm {Log} \colon \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} を考える。ここに 'log' は、自然対数を表す。p(z) が n {\displaystyle n} 変数の多項式であれば、そのアメーバ(amoeba) A p {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}} は p の零点の集合の Log による像として定義される。 A p = { Log ⁡ z : z ∈ ( C ∖ { 0 } ) n , p ( z ) = 0 } . {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=\left\{\operatorname {Log} z\,:\,z\in \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n},p(z)=0\right\}.\,} アメーバは 1994年、イズライル・ゲルファント(Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、アンドレイ・ゼレヴィンスキー（英語版）(Andrei Zelevinsky)の書籍で導入された。 アメーバは閉集合である。 補空間 R n ∖ A p {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash {\mathcal {A}}_{p}} の連結成分は、凸である。 2変数の恒等的に 0 ではない多項式のアメーバの面積は、有限である。 2次元のアメーバは、多くの「触手」を持ち、触手は無限に長く、無限遠点では指数的に狭くなる。 アメーバを研究する有効なツールが、ロンキン函数(Ronkin function)である。n （複素）変数の多項式 p(z) に対し、式 N p ( x ) = 1 ( 2 π i ) n ∫ L o g − 1 ( x ) log ⁡ | p ( z ) | d z 1 z 1 ∧ d z 2 z 2 ∧ ⋯ ∧ d z n z n , {\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\mathrm {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},} により、ロンキン函数を、 N p : R n → R {\displaystyle N_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } と定義する。ここに x {\displaystyle x} は x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) . {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).} を表す。同じことであるが、 N p {\displaystyle N_{p}} は積分 N p ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ [ 0 , 2 π ] n log ⁡ | p ( z ) | d θ 1 d θ 2 ⋯ d θ n , {\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},} により与えられる。ここに z = ( e x 1 + i θ 1 , e x 2 + i θ 2 , … , e x n + i θ n ) {\displaystyle z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right)} とする。ロンキン函数は凸函数であり、 p ( z ) {\displaystyle p(z)} のアメーバの補集合の各々の連結成分上ではアフィン（英語版）(affine)である。 例として、 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} である単項式 p ( z ) = a z 1 k 1 z 2 k 2 … z n k n {\displaystyle p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}} のロンキン函数は、 N p ( x ) = log ⁡ | a | + k 1 x 1 + k 2 x 2 + ⋯ + k n x n {\displaystyle N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}} である。 ^ Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (1994). Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3660-9. Zbl 0827.14036  ^ Itenberg et al (2007) p.3 ^ Gross, Mark (2004). “Amoebas of complex curves and tropical curves”. In Guest, Martin. UK-Japan winter school 2004—Geometry and analysis towards quantum theory. Lecture notes from the school, University of Durham, Durham, UK, January 6–9, 2004. Seminar on Mathematical Sciences. 30. Yokohama: Keio University, Department of Mathematics. pp. 24-36. Zbl 1083.14061  Itenberg, Ilia; Mikhalkin, Grigory; Shustin, Eugenii (2007). Tropical algebraic geometry. Oberwolfach Seminars. 35. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8309-1. Zbl 1162.14300  Viro, Oleg (2002), “What Is . . . An Amoeba?”, Notices of the American Mathematical Society 49 (8): 916–917, http://www.ams.org/notices/200208/what-is.pdf  Theobald, Thorsten (2002). “Computing amoebas”. Exp. Math. 11 (4): 513-526. doi:10.1080/10586458.2002.10504703. Zbl 1100.14048. https://eudml.org/doc/52814.  ウィキメディア・コモンズには、アメーバ (数学)に関連するカテゴリがあります。 Amoebas of algebraic varieties