フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理（フォン・シュタウト-クラウゼンのていり、Von Staudt–Clausen theorem）は、数論におけるベルヌーイ数の小数部分に関する定理である。 カール フォン・シュタウト (1840)と、 トーマス クラウゼン (1840)が独立して発見した。 nを正整数、pを2nがp − 1で割り切れるような素数として、ベルヌーイ数B2nにすべての1/pを加えた数は整数になる。つまり、 B 2 n + ∑ ( p − 1 ) | 2 n 1 p ∈ Z . {\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .} この定理により即座に、0でないベルヌーイ数B2nの（規約な）分母が、2nがp − 1で割り切れるような素数pの総積であることが分かる。更に、無平方で、6で割り切れる事も導ける。 ベルヌーイ数B2nについて、n番目の分母の成す数列は次の通り。 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... オンライン整数列大辞典の数列 A002445. 整数列 B 2 n + ∑ ( p − 1 ) | 2 n 1 p {\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}} は次のようになる。 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... オンライン整数列大辞典の数列 A000146. 4つの補題を用いる。 pを素数とする。 1. 2nがp – 1で割り切れるならば、 ∑ m = 0 p − 1 ( − 1 ) m ( p − 1 m ) m 2 n ≡ − 1 ( mod p ) . {\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv {-1}{\pmod {p}}.} 2. 2nがp – 1で割り切れないならば、 ∑ m = 0 p − 1 ( − 1 ) m ( p − 1 m ) m 2 n ≡ 0 ( mod p ) . {\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv 0{\pmod {p}}.} 補題1,2の証明にはフェルマーの小定理を使う。m = 1, 2, ..., p – 1について、 m p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle m^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} である。 2nがp – 1で割り切れる（2nがp – 1の倍数）ならば、m = 1, 2, ..., p – 1について、 m 2 n ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle m^{2n}\equiv 1{\pmod {p}}} であるから、 ∑ m = 1 p − 1 ( − 1 ) m ( p − 1 m ) m 2 n ≡ ∑ m = 1 p − 1 ( − 1 ) m ( p − 1 m ) ( mod p ) , {\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}{\pmod {p}},} ∑ m = 1 p − 1 ( − 1 ) m ( p − 1 m ) = ( 1 − 1 ) p − 1 − 1 = − 1. {\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}=(1-1)^{p-1}-1=-1.} より補題1が証明された。ただし、二番目の式では二項定理を用いている。 2nがp – 1で割り切れないならば、フェルマーの小定理より、 m 2 n ≡ m 2 n − ( p − 1 ) ( mod p ) . {\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}{\pmod {p}}.} ℘ = ⌊ 2n / (p – 1) ⌋とする。床関数の性質℘ < 2n / (p – 1) < ℘ + 1より0 < 2n – ℘(p – 1) < p – 1。 m = 1, 2, ..., p – 1、0 < 2n – ℘(p – 1) < p – 1について、フェルマーの小定理より、 m 2 n ≡ m 2 n − ℘ ( p − 1 ) ( mod p ) {\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}} したがって、 ∑ m = 0 p − 1 ( − 1 ) m ( p − 1 m ) m 2 n ≡ ∑ m = 0 p − 1 ( − 1 ) m ( p − 1 m ) m 2 n − ℘ ( p − 1 ) ( mod p ) {\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}} S ( 2 n , p − 1 ) ≡ S ( 2 n − ℘ ( p − 1 ) , p − 1 ) ( mod p ) . {\displaystyle S(2n,p-1)\equiv S(2n-\wp (p-1),p-1){\pmod {p}}.} j > nのときS(n,j) = 0であるから、補題2が証明された。 3. a,b > 2のとき、(ab – 1)!はabで割り切れる。 4. 第二種スターリング数は整数である。 フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理の証明には、ベルヌーイ数の一般項の公式を用いる。 B 2 n = ∑ j = 0 2 n 1 j + 1 ∑ m = 0 j ( − 1 ) m ( j m ) m 2 n {\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {1}{j+1}}\sum _{m=0}^{j}{(-1)^{m}{j \choose m}m^{2n}}} これは第二種スターリング数S(n,j)を用いて次のように書ける。 B 2 n = ∑ j = 0 2 n j ! j + 1 ( − 1 ) j S ( 2 n , j ) {\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {j!}{j+1}}(-1)^{j}S(2n,j)} j + 1を4より大きい合成数とすると、補題3よりj!は j + 1で割り切れる。 j = 3ならば、 ∑ m = 0 3 ( − 1 ) m ( 3 m ) m 2 n = 3 ⋅ 2 2 n − 3 2 n − 3 ≡ 0 ( mod 4 ) . {\displaystyle \sum _{m=0}^{3}(-1)^{m}{\binom {3}{m}}m^{2n}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0{\pmod {4}}.} Inを整数とする。j + 1が素数ならば補題1,2を使って、j + 1が合成数ならば補題3,4を使って、次の式の成立が分かる。 B 2 n = I n − ∑ ( p − 1 ) | 2 n 1 p , {\displaystyle B_{2n}=I_{n}-\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}},} これは示されるべきことであった。 クンマー合同（英語版） ^ 『新訂版　数学用語 英和辞典: 和英索引付き』近代科学社、2020年12月2日。ISBN 978-4-7649-0624-2。  ^ ハーディ, G. H.、ライト, E. M.『数論入門』PHP研究所、2001年7月1日。ISBN 978-4-431-70848-3。  ^ 藤原松三郎『代数学 第1巻』内田老鶴圃、1929年、126頁。doi:10.11501/1133288。  ^ H. Rademacher, Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1973. ^ T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1976. Clausen, Thomas (1840), “Theorem”, Astronomische Nachrichten 17 (22): 351–352, doi:10.1002/asna.18400172204  Rado, R. (1934), “A New Proof of a Theorem of V. Staudt”, J. London Math. Soc. 9 (2): 85–88, doi:10.1112/jlms/s1-9.2.85  von StaudtCh.「Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend」『Journal für die Reine und Angewandte Mathematik』第21巻、372–374頁、1840年。ISSN 0075-4102。http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002142562。  Weisstein, Eric W. "von Staudt-Clausen Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). 坂田実加. “多重ベルヌーイ数の2-orderと3-orderについて”. 近畿大学大学院総合理工学研究科. 2024年8月15日閲覧。