直交関数列

数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions）とは互いに直交する関数列の事である。 区間 (α, β) (−∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し ⟨ f , g ⟩ = ∫ α β f ( x ) g ∗ ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g^{\ast }(x)\,dx} は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。 (α, β) 上の複素値関数の列 {φn(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、 ⟨ ϕ m , ϕ n ⟩ = ∫ α β ϕ m ( x ) ϕ n ∗ ( x ) d x = 0 ( m ≠ n ) {\displaystyle \langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}^{\ast }(x)\,dx=0\quad (m\neq n)} であるとき、直交関数列であるという。 特に直交関数列のうち、ノルムが 1、すなわち ‖ ϕ ‖ 2 = ∫ α β | ϕ n ( x ) | 2 d x = 1 {\displaystyle \|\phi \|^{2}=\int _{\alpha }^{\beta }|\phi _{n}(x)|^{2}\,dx=1} であるものものを正規直交関数列という。 また、実数値関数の列 {φn(x )} とある関数 w(x) ≥ 0 に対し、{(w(x))1/2φn(x)} が直交関数列をなし、 ∫ α β ϕ m ( x ) ϕ n ( x ) w ( x ) d x = 0 ( m ≠ n ) {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)w(x)\,dx=0\quad (m\neq n)} であるとき、この関数列を重み（荷重）w(x) の直交関数列という。 余弦関数系 1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。 ∫ 0 π 1 d x = π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }1\,dx=\pi } ∫ 0 π 1 ⋅ cos ⁡ n x d x = 0 ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )} ∫ 0 π cos ⁡ m x ⋅ cos ⁡ n x d x = π 2 δ m n ( m , n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )} 正弦関数系 正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。 ∫ 0 π sin ⁡ m x ⋅ sin ⁡ n x d x = π 2 δ m n ( m , n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )} 三角関数系 {1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。 ∫ − π π 1 d x = 2 π {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }1\,dx=2\pi } ∫ − π π cos ⁡ m x ⋅ cos ⁡ n x d x = ∫ − π π sin ⁡ m x ⋅ sin ⁡ n x d x = π δ m n ( m , n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=\pi \delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )} ∫ − π π 1 ⋅ cos ⁡ n x d x = ∫ − π π 1 ⋅ sin ⁡ n x d x = 0 ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )} ∫ − π π cos ⁡ m x ⋅ sin ⁡ n x d x = 0 ( m , n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (m,n=1,2,\dots )} 関係式 H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\quad (n=0,1,2,\dots )} 　　 で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e−x2/2 の直交関数系であり、 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 H m ( x ) H n ( x ) d x = n ! 2 π δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}H_{m}(x)H_{n}(x)\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )} 　　 を満たす。 関係式 P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )} 　　 で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、 ∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )} 　　 を満たす。 関係式 L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( x n e − x ) ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\quad (n=0,1,2,\dots )} 　　 で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e−x の直交関数系を成し、 ∫ 0 ∞ e − x L m ( x ) L n ( x ) d x = δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}L_{m}(x)L_{n}(x)\,dx=\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )} 　　 を満たす。 関係式 T n ( x ) = cos ⁡ ( n arccos ⁡ x ) ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle T_{n}(x)=\cos {(n\operatorname {arccos} x)}\quad (n=0,1,2,\dots )} 　　 で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)−1/2 の直交関数系を成し、 ∫ − 1 1 1 1 − x 2 T m ( x ) T n ( x ) d x = π 2 δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}T_{m}(x)T_{n}(x)\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )} 　　 を満たす。 関係式 C n ( α ) ( x ) = ( − 2 ) n n ! Γ ( n + α ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) Γ ( 2 n + 2 α ) ( 1 − x 2 ) − α + 1 / 2 d n d x n [ ( 1 − x 2 ) n + α − 1 / 2 ] {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]} 　　 で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)α − 1/2 の直交関数系を成し、 ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) α − 1 2 C m ( α ) ( x ) C n ( α ) ( x ) d x = π 2 1 − 2 α Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}C_{m}^{(\alpha )}(x)C_{n}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )} 　　 を満たす。 直交関数列で、 ∫ α β f ( x ) e n ( x ) d x = 0 ( n = 1 , 2 , … ) ⟹ f ( x ) = 0 {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)e_{n}(x)dx=0\quad (n=1,2,\dots )\quad \Longrightarrow \quad f(x)=0} となるもののことを言う。 { 1 , cos ⁡ ( x ) , cos ⁡ ( 2 x ) , cos ⁡ ( 3 x ) , … , sin ⁡ ( x ) , sin ⁡ ( 2 x ) , sin ⁡ ( 3 x ) , … } {\displaystyle \{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\dots ,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\dots \}} （三角関数列） フーリエ級数 ルジャンドル多項式 エルミート多項式