尤度方程式

尤度方程式（ゆうどほうていしき、英: likelihood equation）とは、統計学において、対数尤度関数の極値条件を与える方程式の事。統計的推定法の一つである最尤法において、尤度関数を最大化する最尤推定値を求める際に用いられる。 独立同分布を満たす n {\displaystyle n} 個の確率変数 D = { D i ∣ i ∈ { 1 , . . , n } } {\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\{D_{i}\mid i\in \{1,..,n\}\}} とその観測値 d = { d i ∣ i ∈ { 1 , . . , n } } {\displaystyle {\boldsymbol {d}}=\{d_{i}\mid i\in \{1,..,n\}\}} を定義する。すなわち真の分布から n {\displaystyle n} 個の観測値（データ）が無作為抽出された状況を考える。 ここで確率密度関数 f ( X | θ ) {\displaystyle f(X|{\boldsymbol {\theta }})} に従う確率モデルを導入する。ここで θ = ( θ 1 , . . , θ p ) {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={(\theta _{1},..,\theta _{p})}} は分布パラメータ群であり、パラメータ空間Θ ⊂ Rpに値を持つ。この確率モデルが d {\displaystyle {\boldsymbol {d}}} を最も良く説明する θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} を求めたい。ゆえに最尤推定をおこなう。 このとき独立同分布条件により、尤度関数 L ( θ | d ) {\displaystyle L({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {d}})} と対数尤度関数 l ( θ | d ) {\displaystyle l({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {d}})} は以下で定義される。 L ( θ | d ) = ∏ i = 1 n f ( X = d i | θ ) {\displaystyle L({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {d}})=\prod _{i=1}^{n}f(X=d_{i}|{\boldsymbol {\theta }})} l ( θ | d ) = ln ⁡ L ( θ | d ) = ∑ i = 1 n ln ⁡ f ( X = d i | θ ) {\displaystyle l({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {d}})=\ln {L({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {d}})}=\sum _{i=1}^{n}\ln {f(X=d_{i}|{\boldsymbol {\theta }})}} すなわちあるデータ群に対するモデルの尤度関数は、各観測値に対する尤度関数の積（対数尤度の場合は和）となる。 最尤法では対数尤度関数を最大化する θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} が最尤推定値 θ ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} として定まる。このとき θ ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} は次の極値条件を満たす。 ∂ ∂ θ l ( θ | d ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}l({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {d}})=\mathbf {0} } この方程式を尤度方程式という。左辺の勾配ベクトル： S ( d , θ ) := ∂ ∂ θ l ( θ | d ) {\displaystyle \mathbf {S} ({\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {\theta }}):={\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}l({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {d}})} は、スコア関数、もしくは単にスコアと呼ばれる。多くの場合、最尤推定値の推定は、尤度方程式を解く問題、すなわち、スコアをゼロとするパラメータθ∈ Θを求める問題に帰着する。 Xi (i=1,..,n)が平均をμ、分散をσ2とする正規分布に従うとする（X ∼ N(μ, σ2)）。このとき、対数尤度関数は l ( μ , σ 2 , x ) = − n 2 ln ⁡ 2 π − n 2 ln ⁡ σ 2 − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 {\displaystyle l(\mu ,\sigma ^{2},\mathbf {x} )=-{\frac {n}{2}}\ln {2\pi }-{\frac {n}{2}}\ln {\sigma ^{2}}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}} であり、尤度方程式は ∂ l ( μ , σ 2 , x ) ∂ μ = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\mu ,\sigma ^{2},\mathbf {x} )}{\partial \mu }}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )=0} ∂ l ( μ , σ 2 , x ) ∂ σ 2 = − n 2 σ 2 + 1 2 ( σ 2 ) 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\mu ,\sigma ^{2},\mathbf {x} )}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=0} となる。これらを整理すると最尤推定値として μ ^ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\hat {\mu }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} σ 2 ^ = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 {\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}} を得る。 Xi (i=1,..,n)が形状パラメータをβ、尺度パラメータをηとするワイブル分布に従うとする。このとき、対数尤度関数は l ( η , β , x ) = n ln ⁡ β − n β ln ⁡ η + ( β − 1 ) ∑ i = 1 n ln ⁡ x i − 1 η β ∑ i = 1 n x i β {\displaystyle l(\eta ,\beta ,\mathbf {x} )=n\ln {\beta }-n\beta \ln {\eta }+(\beta -1)\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}-{\frac {1}{\eta ^{\beta }}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta }} であり、尤度方程式は ∂ l ( η , β , x ) ∂ η = − n β η − β η ( β + 1 ) ∑ i = 1 n x i β = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\eta ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \eta }}=-{\frac {n\beta }{\eta }}-{\frac {\beta }{\eta ^{(\beta +1)}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta }=0} ∂ l ( η , β , x ) ∂ β = n β − n ln ⁡ η + ∑ i = 1 n ln ⁡ x i + ln ⁡ η η β ∑ i = 1 n x i β + 1 η β ∑ i = 1 n ln ⁡ x i x i β = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\eta ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \beta }}={\frac {n}{\beta }}-n\ln {\eta }+\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}+{\frac {\ln {\eta }}{\eta ^{\beta }}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta }+{\frac {1}{\eta ^{\beta }}}\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}x_{i}^{\beta }=0} となる。 これらを整理すると最尤推定値ˆη、ˆβが満たすべき関係式 η ^ = ( 1 n ∑ i = 1 n x i β ^ ) 1 β ^ {\displaystyle {\hat {\eta }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\hat {\beta }}\right)^{\frac {1}{\hat {\beta }}}} 1 β ^ + 1 n ∑ i = 1 n ln ⁡ x i − ∑ i = 1 n x i β ^ ln ⁡ x i ∑ i = 1 n x i β ^ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\hat {\beta }}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\hat {\beta }}\ln {x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\hat {\beta }}}}=0} を得る。第二式を満たすˆβを数値的に求めれば、第一式よりˆηも定まる。 Xi (i=1,..,n)が形状パラメータをα、尺度パラメータをβとするガンマ分布に従うとする（X ∼ Γ(α, β)）。このとき、対数尤度関数は l ( α , β , x ) = − n ln ⁡ Γ ( α ) − n α ln ⁡ β + ( α − 1 ) ∑ i = 1 n ln ⁡ x i − 1 β ∑ i = 1 n x i {\displaystyle l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )=-n\ln {\Gamma (\alpha )}-n\alpha \ln {\beta }+(\alpha -1)\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} であり、尤度方程式は ∂ l ( α , β , x ) ∂ α = − n ψ ( α ) − n ln ⁡ β + ( α − 1 ) ∑ i = 1 n ln ⁡ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \alpha }}=-n\psi (\alpha )-n\ln {\beta }+(\alpha -1)\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}=0} ∂ l ( α , β , x ) ∂ β = − n α β + 1 β 2 ∑ i = 1 n x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \beta }}=-{\frac {n\alpha }{\beta }}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=0} となる。 ここではψ(α)はガンマ関数の対数微分であるディガンマ関数を表す。これらを整理すると最尤推定値ˆβ、ˆαが満たすべき関係式 β ^ = 1 α ^ 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{\hat {\alpha }}}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} α ^ = 1 n ∑ i = 1 n x i ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n exp ⁡ ( ψ ( α ^ ) ) {\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}}\exp {(\psi ({\hat {\alpha }}))}} を得る。第二式を満たすˆαを数値的に求めれば、第一式よりˆβも定まる。 尤度方程式が解析的に解けない場合、S(θ*)=0を満たすθ*∈ Θを数値的に求めることが必要となる。 ニュートン＝ラフソン法では、反復計算により、最適解θ*を求める。反復計算のkステップ目で求まったパラメータをθ(k)とする。スコア関数はテイラー展開により、 S ( x , θ ) ≃ S ( x , θ ( k ) ) − I ( θ ( k ) ) ( θ − θ ( k ) ) {\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})\simeq \mathbf {S} (\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(k)})-I({\boldsymbol {\theta }}^{(k)})({\boldsymbol {\theta }}-{\boldsymbol {\theta }}^{(k)})} と一次近似できる。ここでI(θ)は、 I ( θ ) = − ∂ 2 ∂ θ ∂ θ T ln ⁡ L ( θ , x ) {\displaystyle I({\boldsymbol {\theta }})=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\boldsymbol {\theta }}\partial {\boldsymbol {\theta }}^{T}}}\ln {L({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {x} )}} で与えられる、対数尤度関数のヘッセ行列の符号を変えた行列である。ニュートン＝ラフソン法では、左辺をゼロとおくことで、θ(k+1)を与える更新式 θ ( k + 1 ) = θ ( k ) + I ( θ ( k ) ) − 1 S ( x , θ ( k ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{(k+1)}={\boldsymbol {\theta }}^{(k)}+I({\boldsymbol {\theta }}^{(k)})^{-1}\mathbf {S} (\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(k)})} を定める。 ニュートン＝ラフソン法は、最適解θ*の近傍で二次収束するため、収束が早い。すなわち、θ*の十分近くの適切な初期値を与えれば、 | | θ ( k ) − θ ∗ | | ≤ K | | θ ( k ) − θ ∗ | | 2 {\displaystyle ||{\boldsymbol {\theta }}^{(k)}-{\boldsymbol {\theta }}^{\ast }||\leq K||{\boldsymbol {\theta }}^{(k)}-{\boldsymbol {\theta }}^{\ast }||^{2}} を満たす正の定数Kが存在する。 一方で、ニュートン＝ラフソン法は各ステップで、対数尤度関数のヘッセ行列から定まるI(θ)の逆行列を計算する、もしくは、p次の連立方程式を解くことが必要となる。これらの計算量はO(p3)のオーダーであり、パラメータ数pが増えると、計算負荷が急激に増える。また、初期値の設定によっては、I(θ)は正定値とはならず、最適解θ*に収束しない場合がある。 ニュートン＝ラフソン法においては、各ステップで負の対数尤度関数の二階微分であるI(θ)を計算する必要がある。このI(θ)を求める計算は、場合によっては煩雑となる。分布によっては、I(θ)の期待値であるフィッシャー情報行列 J ( θ ) = E θ [ − ∂ 2 ∂ θ ∂ θ T ln ⁡ L ( θ , x ) ] = E θ [ ∂ ∂ θ ln ⁡ L ( θ , x ) ∂ ∂ θ T ln ⁡ L ( θ , x ) ] {\displaystyle J({\boldsymbol {\theta }})=E_{\boldsymbol {\theta }}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\boldsymbol {\theta }}\partial {\boldsymbol {\theta }}^{T}}}\ln {L({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {x} )}\right]=E_{\boldsymbol {\theta }}\left[{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}\ln {L({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {x} }){\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\theta }}^{T}}}\ln {L({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {x} )}\right]} が、より簡潔に求まるため、I(θ)をJ(θ)で代用し、反復計算を θ ( k + 1 ) = θ ( k ) + J ( θ ( k ) ) − 1 S ( x , θ ( k ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{(k+1)}={\boldsymbol {\theta }}^{(k)}+J({\boldsymbol {\theta }}^{(k)})^{-1}\mathbf {S} (\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(k)})} とする。この方法をフィッシャーのスコア法と呼ぶ。 フィッシャー情報行列は非負定値であるため、ニュートン＝ラフソン法でのI(θ)の正定値性の問題を回避することができる。 ^ Lehmann 1983, §6. ^ Epps 2013, §7. ^ Monahan 2011, §9. Epps, T. W. (2013). Probability and Statistical Theory for Applied Researchers. World Scientific Pub Co Inc. ISBN 978-9814513159  Lehmann, E. L. (1983). Theory of Point Estimation. John Wiley & Sons Inc. ISBN 978-0471058496  Monahan, John F. (2011). Numerical Methods of Statistics. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0521139519  最尤法