ポッホハマー記号

解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、英: Pochhammer symbol）はレオ・オーギュスト・ポッホハマー（英語版）の名に因む特殊函数で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。 同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。 x ( n ) {\displaystyle x^{(n)}} : 組合せ論で使用 ( x , n ) , ( x ) n {\displaystyle (x,n),\,(x)_{n}} : 解析学、特殊函数論で使用 x n ¯ , x n _ {\displaystyle x^{\overline {n}},\,x^{\underline {n}}} : (その他の記法) 複素数 x と正整数 n に対して、特殊函数論では (x)n を昇冪 ( x ) n = ∏ j = 0 n − 1 ( x + j ) = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x+j)=x(x+1)(x+2)\dotsb (x+n-1)} を表すのに用いるが、組合せ論では (x)n を降冪 ( x ) n = ∏ j = 0 n − 1 ( x − j ) = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) {\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x-j)=x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n+1)} として用いる。混乱を避けるため、昇冪を (x)n, 降冪を (x)n でそれぞれ表すこともよく行われる。さらに グラハム, クヌース & パタシュニク (2020, pp. 48–49, 64) は全く別の冪乗に似た記号を用いる。 x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) , x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1),\\x^{\underline {n}}&=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\end{aligned}}} 差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。 ガンマ関数Γを用いると x n ¯ = Γ ( x + n ) Γ ( x ) , x n _ = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\end{aligned}}} となる（ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合）。さらに x が正整数のときは階乗を用いて x n ¯ = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! , x n _ = x ! ( x − n ) ! ( x ≥ n ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {x!}{(x-n)!}}\quad (x\geq n)\end{aligned}}} ポッホハマー記号 (x, n) は複素変数 x に関して有理型函数である。 任意の自然数 n ∈ N に対して (x, n) は x の多項式であり、x = 0 を共通根に持つ。 変数 x の符号を反転するとき ( − z , n ) = ( − 1 ) n ( z − n + 1 , n ) . {\displaystyle (-z,n)=(-1)^{n}(z-n+1,\,n).} 径数 n の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ: ( x , − n ) = ( − 1 ) n 1 ( 1 − x , n ) . {\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}.} ( z , n + m ) = ( z , n ) ( z + n , m ) {\displaystyle (z,\,n+m)=(z,n)(z+n,\,m)} 商の法則: ( x , n ) ( x , m ) = { ( x + m , n − m ) ( n > m ) , 1 ( x + m , m − n ) ( m > n ) . {\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\begin{cases}(x+m,\,n-m)&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m,\,m-n)}}&(m>n).\end{cases}}} 特殊値: ( 1 , n ) = n ! ( n ∈ N ) . {\displaystyle (1,n)=n!\quad (n\in \mathbb {N} ).} ( 1 / 2 , n ) = 2 − n ( 2 n − 1 ) ! ! ( n ∈ N ) . {\displaystyle (1/2,n)=2^{-n}(2n-1)!!\quad (n\in \mathbb {N} ).} 二項係数との間に以下の関係がある: ( z n ) = ( − z ) n n ! . {\displaystyle {z \choose n}={\frac {(-z)_{n}}{n!}}.} ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、 ニュートンの二項級数: ( 1 − z ) a = ∑ k = 0 ∞ ( − a ) k k ! z k ( | z | < 1 ) . {\displaystyle (1-z)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-a)_{k}}{k!}}\,z^{k}\qquad (|z|<1).} 超幾何函数: 2 F 1 ( a , b c ; z ) = ∑ k = 0 ∞ ( a ) k ( b ) k ( c ) k k ! z k . {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a,b\\[-3pt]c\end{matrix}}\;;\;z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}k!}}\,z^{k}.} ポッホハマー記号の q-類似に q-ポッホハマー記号がある。これは ( a ; q ) 0 := 1 , ( a ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) {\displaystyle (a;q)_{0}:=1,\quad (a;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})} で定義される。 多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる: ( a ) κ ( α ) := ∏ i = 1 m ∏ j = 1 κ i ( a − i − 1 α + j − 1 ) ( κ = κ 1 + κ 2 + ⋯ + κ m , α > 0 ) . {\displaystyle (a)_{\kappa }^{(\alpha )}:=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{\kappa _{i}}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+j-1\right)\quad (\kappa =\kappa _{1}+\kappa _{2}+\dotsb +\kappa _{m},\,\alpha >0).} ^ ポッホハマー自身は (x)n を二項係数に用い、降冪は [x]n、昇冪は [x]+ n で表した。(Pochhammer 1888, pp. 80–81) ^ Weisstein, Eric W. "Rising Power". mathworld.wolfram.com (英語). ^ Weisstein, Eric W. "Falling Power". mathworld.wolfram.com (英語). ^ それほど一般的ではないが昇冪を (x)+n と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は (x)–n と書いて区別するのが典型的である。(Knuth 1992, p. 414) Pochhammer, L. (1888). “Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 102. http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002160536.  Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988), Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley  Graham, Ronald L.、Knuth, Donald E.、Patashnik, Oren 著、有澤誠・安村通晃・萩野達也・石畑清 訳『コンピュータの数学』共立出版、1993年9月。ISBN 978-4-320-02668-1。  Graham, Ronald L.、Knuth, Donald E.、Patashnik, Oren 著、有澤誠・安村通晃・萩野達也・石畑清 訳『コンピュータの数学』（第2版）共立出版、2020年9月。ISBN 978-4-320-12464-6。  Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag. ISBN 0-387-97558-6  Knuth, Donald E. (1992), “Two notes on notation”, American Mathematical Monthly 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085, https://jstor.org/stable/2325085  Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol". mathworld.wolfram.com (英語).