ハーディゼータ関数

ハーディゼータ関数（ハーディゼータかんすう、Z_function）は数学において、臨界線に沿ったリーマンゼータ関数を研究するために使用される関数である。 ハーディゼータ関数はリーマンゼータ関数と リーマン・ジーゲルのシータ関数 を用いて次のようにあらわせる。 Z ( t ) = e i θ ( t ) ζ ( 1 2 + i t ) . {\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).} Z ( t ) {\displaystyle Z(t)} の零点は ζ ( 1 2 + i t ) {\displaystyle \zeta ({\frac {1}{2}}+it)} の非自明零点と一致している。また、 Z ( t ) {\displaystyle Z(t)} は実関数であり、臨界域において正則である[要出典]。 臨界線に沿ったゼータ関数の計算は、リーマン・ジーゲルの公式によって Z ( t ) = 2 ∑ n 2 < t / 2 π n − 1 / 2 cos ⁡ ( θ ( t ) − t log ⁡ n ) + R ( t ) , {\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),} とあらわせる。 ここで誤差項 R ( t ) {\displaystyle R(t)} は、 u = ( t 2 π ) 1 / 4 {\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}} , N = ⌊ u 2 ⌋ {\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor } , p = u 2 − N {\displaystyle p=u^{2}-N} として R ( t ) ∼ ( − 1 ) N − 1 ( Ψ ( p ) u − 1 − 1 96 π 2 Ψ ( 3 ) ( p ) u − 3 + ⋯ ) {\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)} とあらわせる。 ただし Ψ ( z ) = cos ⁡ 2 π ( z 2 − z − 1 / 16 ) cos ⁡ 2 π z {\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}} である。 他の効率的な Z ( t ) {\displaystyle Z(t)} の級数も存在する。特に不完全ガンマ関数を使用する級数が知られている。 Q ( a , z ) = Γ ( a , z ) Γ ( a ) = 1 Γ ( a ) ∫ z ∞ u a − 1 e − u d u {\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du} 特に良い例は Z ( t ) = 2 ℜ ( e i θ ( t ) ( ∑ n = 1 ∞ Q ( s 2 , π i n 2 ) − π s / 2 e π i s / 4 s Γ ( s 2 ) ) ) {\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)} などである[要出典]。 ^ a b c tsujimotter (2014年7月1日). “ジーゲルのZ関数を数値計算する”. tsujimotterのノートブック. 2024年2月5日閲覧。 ^ a b c mattyuu (2016年10月2日). “リーマンゼータ関数のゼロ点を手計算してみた”. mattyuuの数学ネタ集. 2024年2月5日閲覧。 ^ author (2017年4月25日). “リーマンゼータ関数 零点の謎｜超入門・リーマン予想”. 空間情報クラブ｜インフォマティクス運営のWebメディア. 2024年2月5日閲覧。 ^ a b Weisstein, Eric W.. “Riemann-Siegel Formula” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月11日閲覧。 リーマンゼータ関数 零点の謎｜超入門・リーマン予想 - 空間情報クラブ｜インフォマティクス運営のWebメディア Riemann-Siegel Formula -- from Wolfram MathWorld Edwards, H.M. (1974). Riemann's zeta function. Pure and Applied Mathematics. 58. New York-London: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl 0315.10035  Ivić, Aleksandar (2013). The theory of Hardy's Z-function. Cambridge Tracts in Mathematics. 196. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl 1269.11075  Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79001-8. Zbl 0983.41019. https://archive.org/details/asymptoticsmelli0000pari  Ramachandra, K. (February 1996). Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function. Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research. 85. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4. Zbl 0845.11003  Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown, D.R.. ed. The Theory of the Riemann Zeta-Function (second revised ed.). Oxford University Press  リーマンゼータ関数 リーマン・ジーゲルのシータ関数 リーマン・ジーゲルの公式 Weisstein, Eric W. "Riemann–Siegel Functions". mathworld.wolfram.com (英語). Wolfram Research – Riemann-Siegel function Z (includes function plotting and evaluation)