有限射

代数幾何学において、2つのアフィン多様体 X , Y {\displaystyle X,Y} の間の有限射（ゆうげんしゃ、英: finite morphism）とは、稠密な正則写像であって、座標環に誘導される写像 k [ Y ] ↪ k [ X ] {\displaystyle k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]} が単射準同型でこれにより k [ X ] {\displaystyle k\left[X\right]} が k [ Y ] {\displaystyle k\left[Y\right]} の整拡大になるもののことを言う。この定義は準射影多様体（英語版）に対して次のように一般化できる。準射影多様体の間の正則写像 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が有限であるとは、任意の点 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} に対してあるアフィン近傍系 V が存在し、 U = f − 1 ( V ) {\displaystyle U=f^{-1}(V)} がアフィンかつ f : U → V {\displaystyle f\colon U\to V} が先ほどの意味で有限射になることを言う。 スキームの射 f: X → Y が有限射であるとは、Y があるアフィン・スキーム V i = Spec B i {\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}} による開被覆を持ち、各 i に対して f − 1 ( V i ) = U i {\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}} が開アフィン部分スキーム Spec Ai になり、f を Ui に制限した射から誘導される環準同型 B i → A i {\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i}} により Ai が Bi 上の有限生成加群になることを言う。またこのとき、X は Y 上有限であると言う。 実際は、f が有限であることと、Y の全ての開アフィン部分スキーム V = Spec B に対して X における V の逆像がアフィンスキーム Spec A で、環 A が有限生成 B 加群となることは同値である。 例えば、任意の体 k に対して Spec ( k [ t , x ] / ( x n − t ) ) → Spec ( k [ t ] ) {\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])} は有限射である。これは、 k [ t ] {\displaystyle k[t]} 加群としての同型 k [ t , x ] / ( x n − t ) ≅ k [ t ] ⊕ k [ t ] ⋅ x ⊕ ⋯ ⊕ k [ t ] ⋅ x n − 1 {\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}} があることから分かる。幾何的には、これは原点で退化するアフィン直線の分岐 n 重被覆なので、有限であることは明らかである。一方、包含による A1 − 0 から A1 への射は有限ではない。ローラン多項式環 k[y, y−1] は k[y] 上の有限生成加群ではないからである。有限射を幾何的に捉えるならば、有限ファイバーを持つ全射を思い描かなければならない。 2つの有限射の合成は有限射である。 有限射 f: X → Y の基底変換（英語版）は有限射である。つまり、g: Z → Y をスキームの任意の射とすると、自然な射 X ×Y Z → Z 有限は有限射である。これは次の代数的な事実に対応している。A と C を（可換）B 代数とし、A が B 加群として有限生成とすると、テンソル積 A ⊗B C は C 加群として有限生成である。実際、ai を A の B 加群としての生成元とすると、ai ⊗ 1 が A ⊗B C の C 加群としての生成元になる。 閉埋入（英語版）は有限である。閉埋入は、局所的に環 A と閉部分スキームに対応するイデアル I を用いて A → A/I とかけるからである。 有限射は閉である。したがって、有限射の基底変換は有限射であることに注意すると、有限射は固有である。これは可換環論のコーエン・ザイデンベルクの上昇定理の帰結である。 有限射のファイバーは有限集合である。したがって、有限射は準有限射である。これは、体 k に対して任意の有限 k 代数はアルティン環であることから分かる。また、これと関連することとして、有限な全射 f: X → Y があると、X と Y は同じ次元を持つ。 スキームの射が有限であるのは、固有かつ準有限であるとき、かつそのときに限る（ドリーニュ）。これは、射 f: X → Y が局所的に有限表示であるとき（Y がネーターであるときは、これは他の仮定から従う）はグロタンディークによって示されていた。 有限射は射影的かつアフィンである。 可換環の準同型 A → B に対し、B が A 代数として有限生成であるとき、B は 有限型（finite type）の A 代数と呼ばれる。B が A 加群として有限生成であるとき、B は 有限（finite ）A 代数と呼ばれるが、これは有限型であることよりも遥かに強い条件である。例えば、可換環 A と自然数 n に対して、多項式環 A[x1, ..., xn] は有限型の A 代数であるが、有限 A 加群となるのは A = 0 か n = 0 のときだけである。有限型ではあるが有限ではない射のもう1つの例は C [ t ] → C [ t ] [ x , y ] / ( y 2 − x 3 − t ) {\displaystyle \mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)} である。 スキーム論でこれに対応するものは次の通り。スキームの射 f: X → Y が有限型（finite type）であるとは、Y のアフィン開部分スキームによる被覆 Vi = Spec Ai が存在して、f−1(Vi) が有限個のアフィン開部分スキーム Uij = Spec Bij によって被覆され、Bij が Ai 代数として有限型であることを言う。またこのとき、X は Y 上有限型であると言う。 例えば、任意の自然数 n と体 k に対して、k 上の n 次元アフィン空間や n 次元射影空間は k 上（Spec k 上の意）有限型である。一方、n = 0 でない限り k 上有限ではない。より一般に、k 上の任意の準射影的スキーム（英語版）は k 上有限型である。 ネーターの正規化補題を幾何学的に言い換えると次のようになる。体 k 上有限型な全てのアフィン・スキーム X は、X と同じ次元 n を持つ k 上のアフィン空間 An への全射の有限射を持つ。同様に、体上の全ての射影スキーム X は、X と同じ次元 n の射影空間 Pn への全射な有限射を持つ。 代数幾何学用語一覧 有限代数（英語版） ^ Shafarevich 2013, p. 60, Def. 1.1. ^ Shafarevich 2013, p. 62, Def. 1.2. ^ Hartshorne 1977, Section II.3. ^ a b c d Stacks Project, Tag 01WG, http://stacks.math.columbia.edu/tag/01WG . ^ Grothendieck, EGA IV, Part 4, Corollaire 18.12.4. ^ Grothendieck, EGA IV, Part 3, Théorème 8.11.1. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 28: 5–255. MR0217086. http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1966__28_.  Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–361. MR0238860. http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_.  Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry（英語版）, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157  Shafarevich, Igor R. (2013). Basic Algebraic Geometry 1. Springer Science. ISBN 978-0-387-97716-4. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-37956-7  The Stacks Project Authors, The Stacks Project, http://stacks.math.columbia.edu/