巡回多元環

数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、英: cyclic algebra）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、一般四元数環の一般化。 可換体 F 上の多元環 A が巡回多元環であるとは、それが F 上 n-次の正規単純環であって、かつ n-次の巡回部分体を持つときに言う。 具体的に、体の n 次巡回拡大 L/K に対し、そのガロア群 Gal(L/K) の生成元を σ とし、β ∈ K× をとる。β, σ の定める K 上の巡回多元環 (β, L/K, σ) は、n 個の文字 {j0, j1, j2, …, jn−1} を基底に持つ n 次元 L-ベクトル空間 A = Lj0 ⊕ Lj1 ⊕ ⋯ ⊕ Ljn−1 (⊕ は直和) を台となる線型空間とし、A に乗法を一般の元 x = ∑ k = 0 n − 1 x k j k , y = ∑ k = 0 n − 1 y k j k   ( x k , y k ∈ L ) {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}j^{k},y=\sum _{k=0}^{n-1}y_{k}j^{k}\ (x_{k},\,y_{k}\in L)} に対して x y = ∑ k = 0 n − 1 ∑ l = 0 n − 1 x k σ k ( y l ) j k + l ( where  j n = β ∈ K × ) {\displaystyle xy=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{l=0}^{n-1}x_{k}\sigma ^{k}(y_{l})j^{k+l}\quad ({\text{where }}j^{n}=\beta \in K^{\times })} と定めたものである。これは j = j1 に対する以下の二条件 指数法則 jk ⋅ jl = jk+l を満たす。 λ ∈ L に対し交換則 j ⋅ x = σ(x)⋅j を満たす。 を線型に拡張したものとして与えられる。特に、j0 = 1A は A の乗法単位元（したがって、L = Lj0 ⊂ A）。また、σ は K の元を動かさない L の非自明な自己同型であるから、K の元は j と可換。これにより A = (β, L/K, σ) が K 上中心的であることが従う。 n 次巡回拡大 L/K から定まる n 次巡回多元環の K 上の次数は n2 である。 巡回多元環 (β, L/K, σ) は K 上の中心的単純環で L で分解する。すなわち、n次巡回多元環 (β, L/K, σ) と L との K-多元環のテンソル積は L 上 n 次の全行列環 Mat(n, L) に L-多元環同型: ( β , L / K , σ ) ⊗ K L ≃ Mat ⁡ ( n , L ) {\displaystyle (\beta ,L/K,\sigma )\otimes _{K}L\simeq \operatorname {Mat} (n,L)} である。 K の標数が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 (β, K(√α)/K, σ) は (α, β)-型四元数環である。ただし、α は K の平方元でなく、σ は σ(√α) = −√α を満たす K-同型。 巡回多元環 (β, L/K, σ) は適当な c ∈ L* に対して β = NL/K(c) となるとき行列環 Mn(K) に同型である。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division slgebra) と呼ばれる。 二つの巡回多元環 (β, L/K, σ), (γ, L/K, σ) が同型となるための必要十分条件は、L* の適当な元 c が存在して β = γ⋅NL/K(c) と書けることである。 巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である。 体の分離拡大に関するブラウアー群（あるいは拡大のガロワ群のシューア乗因子（英語版））の元（ブラウアー同値類）の代表元として接合積（とくに巡回多元環）がとれる。(see also: en:Brauer group#Cyclic algebras) 巡回多元環は、2-コサイクル（因子団（英語版））に対する接合積（英語版） (crossed product algebra) と呼ばれる多元環に一般化される（巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である）。接合積は群環の一般化でもある。 [脚注の使い方] ^ Albert 1939, p. 74. ^ a b Кострикин 1996. ^ a b Jacobson 1996. ^ Oggier, Belfiore & Viterbo 2007, p. 57. ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Schur multiplicator”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Schur_multiplicator , Schur multiplier in nLab ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Cross product”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page  ^ Mikhalev, Aleksandr Vasilʹevich; Pilz, Günter, eds. (2002), The Concise Handbook of Algebra, Springer Science & Business Media, ISBN 9780792370727  Albert, A. A. (1939), Structure of Algebras, American Mathematical Society colloquium publications, 24, American Mathematical Soc., ISBN 9780821810248  Кострикин, А. И. (1996), Algebra IX: Finite Groups of Lie Type. Finite-Dimensional Division Algebras, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540570387, ISSN 0938-0396  Jacobson, N., Finite-Dimensional Division Algebras Over Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften S, 233, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540570295  Oggier, F.; Belfiore, J.-C.; Viterbo, E. (2007), Cyclic Division Algebras: A Tool for Space-Time Coding, Foundations and trends in communications and information theory, Now Publishers Inc, ISBN 9781601980502  Albert, A. A. (1938), “On Cyclic Algebras”, Annals of Mathematics Second Series (Mathematics Department, Princeton University) 39 (3): 669-682, doi:10.2307/1968641  表示 編集