ペロンの公式

数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式（ペロンのこうしき、英: Perron's formula）とは、オスカー・ペロン（英語版、ドイツ語版）による、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。 { a ( n ) } n {\displaystyle \{a(n)\}_{n}} を数論的関数（つまり複素数の列）とし、 g ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s , s ∈ C {\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},\quad s\in \mathbb {C} } を対応するディリクレ級数とする。実数 c > 0 {\displaystyle c>0} があって、この級数は半平面 { s | R e ( s ) > c } {\displaystyle \{s|\mathrm {Re} (s)>c\}} で一様収束するものとする。 実数 x > 0 {\displaystyle x>0} に対し A ( x ) := ∑ 1 ≤ n ≤ x ′ a ( n ) {\displaystyle A(x):={\sum _{1\leq n\leq x}}'a(n)} と定義する。ここでプライムのついた和記号は、 x {\displaystyle x} が自然数のときは最後の項に限り 1/2 を掛けて和をとることを意味する。 このときペロンの公式は、 A ( x ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( s ) x s s d s {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds} 右辺の複素積分は ∫ c − i ∞ c + i ∞ g ( s ) x s s d s {\displaystyle \int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds} と書かれることも多い。この表示のときはコーシーの主値をとっているものと解釈する。 アーベルの総和公式： ∑ 1 ≤ n ≤ M a n ϕ ( n ) = A ( M ) ϕ ( M ) − ∫ 1 M A ( x ) ϕ ′ ( x ) d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}\phi (n)=A(M)\phi (M)-\int _{1}^{M}A(x)\phi '(x)\,dx} において ϕ ( x ) = x − s {\displaystyle \phi (x)=x^{-s}} とおき、 ∑ 1 ≤ n ≤ M a n n − s = A ( M ) M − s + s ∫ 1 M A ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}n^{-s}=A(M)M^{-s}+s\int _{1}^{M}A(x)x^{-s-1}dx} M → ∞ {\displaystyle M\to \infty } とすると R e ( s ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0} だから右辺第1項は消えて g ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x − ( s + 1 ) d x {\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx} 変数変換 x = e t {\displaystyle x=e^{t}} をして変形すると、 g ( s ) s = ∫ 0 ∞ A ( e t ) e − s t d t {\displaystyle {\frac {g(s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }A(e^{t})e^{-st}dt} この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換により A ( e t ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z e t z d z {\displaystyle A(e^{t})={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}e^{tz}dz} A ( x ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z x z d z {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}x^{z}dz} ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。 リーマンゼータ関数は半平面 { s ∈ C | R e ( s ) > 1 } {\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} (s)>1\}} で ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} とディリクレ級数表示され、このとき a ( n ) ≡ 1 {\displaystyle a(n)\equiv 1} より A ( x ) = ⌊ x ⌋ {\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } （床関数）となり ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ ⌊ x ⌋ x s + 1 d x {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx} 一般にディリクレのL-関数に対しては、 L ( s , χ ) = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x s + 1 d x {\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx} ここで A ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x χ ( n ) {\displaystyle A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\chi (n)} はディリクレ指標 χ ( n ) {\displaystyle \chi (n)} の和。 他にも、Mertens関数（英語版）（1から n までのメビウス関数の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数（フォン・マンゴルト関数の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。 ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。 ∑ n = 1 ∞ a ( n ) f ( n / x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ F ( s ) G ( s ) x s d s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds} ここで G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}} とし、 F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( x ) x s − 1 d x {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx} はメリン変換である。 試験関数を f ( 1 / x ) = θ ( x − 1 ) {\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1)} （ θ ( x ) {\displaystyle \theta (x)} はヘヴィサイドの階段関数）と選ぶとペロンの公式が得られる。 ^ （訳注） A ( x ) {\displaystyle A(x)} が不連続な点では逆ラプラス変換が元の関数を返すとは限らないため、この論証は厳密ではない。きちんとした証明には、例えば関係式 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T y s s d s = { 1 , if  y > 1 1 / 2 , if  y = 1 0 , if  0 < y < 1 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {y^{s}}{s}}ds={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}y>1\\1/2,&{\mbox{if }}y=1\\0,&{\mbox{if }}0<y<1\\\end{cases}}} を用いる。 ^ （訳注） A ( x ) {\displaystyle A(x)} が積分の中にしか現れていなければ、自然数のところでの不連続性は問題にならない。 Page 243 of Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929, Zbl 0335.10001  Weisstein, Eric W. "Perron's formula". mathworld.wolfram.com (英語). Tenenbaum, Gérald C.B. Thomas訳 (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001