ガロア拡大

数学において、ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。あるいは同じことだが、E/F が代数拡大であって、自己同型群 Aut(E/F) による固定体（英語版）がちょうど基礎体 F であるもののことである。ガロア拡大は、ガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うという点で、重要である。 エミール・アルティンの結果によって、ガロア拡大を次のように構成できる。E が与えられた体で、G が E の自己同型からなるある有限群で固定体が F のとき、E/F はガロア拡大である。 エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である： E/F は正規拡大かつ分離拡大である。 E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。 |Aut(E/F)| = [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数と等しい。 他の同値なステートメントとして以下がある： F[x] の既約多項式で E に少なくとも 1 つの根をもつものはすべて E 上分解しかつ分離的である。 |Aut(E/F)| ≥ [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数以上である。 F は Aut(E) の部分群の固定体である。 F は Aut(E/F) の固定体である。 E/F の部分体と Aut(E/F) の部分群の間には1対1の対応がある。 ガロア拡大の例を構成する2つの基本的な方法がある。 任意の体 E と Aut(E) の任意の部分群を取り、F を固定体とする。 任意の体 F と F[x] の任意の分離多項式を取り、E をその分解体とする。 有理数体に、2の平方根を添加する（英語版）とガロア拡大を与えるが、2の立方根を添加すると非ガロア拡大を与える。標数 0 だからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は x2 − 2 の分解体である。後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない。実は、恒等写像の他に自己同型を持たない。なぜならば、それは実数体に含まれているが、x3 − 2 は実根を1つしか持たないからである。より詳細な例は、ガロア理論の基本定理のページを参照のこと。 体 K に対し、K の代数閉包 K が K 上ガロア拡大であることと K が完全体であることは同値である。 ^ これらの用語の定義や例はガロア群の記事を参照。 Artin, Emil (1998). Galois Theory. Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. MR1616156  Bewersdorff, Jörg (2006). Galois theory for beginners. Student Mathematical Library. 35. Translated from the second German (2004) edition by David Kramer. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. MR2251389  Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics. 101. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. MR0743418  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.) Funkhouser, H. Gray (1930). “A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”. American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7) 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273.  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Galois theory”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Galois_theory  Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd ed.). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.) Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0  (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.) Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 110 (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. MR1282723  Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory. With a foreword by P. J. Hilton. Reprint of the 1962 edition. Translated from the 1960 Russian original by Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. MR2043554  Rotman, Joseph (1998). Galois Theory (Second ed.). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR1645586  Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR1405612  van der Waerden, Bartel Leendert (1931) (German). Moderne Algebra. Berlin: Springer . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. (1949)  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".) Pop, Florian (2001年). “(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic”. 2016年1月6日閲覧。