連接環

連接環（れんせつかん、英: coherent ring、仏: anneau cohérent）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。 R {\displaystyle R} を環とし M {\displaystyle M} を R {\displaystyle R} -加群とする。次が完全列になるような自由加群 L 1 {\displaystyle L_{1}} と L 0 {\displaystyle L_{0}} が存在する L 1 ⟶ L 0 ⟶ M ⟶ 0 {\displaystyle L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0} これは M {\displaystyle M} の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 M {\displaystyle M} は L 0 {\displaystyle L_{0}} が有限型であれば有限型 (type fini) であり、 L 0 {\displaystyle L_{0}} と L 1 {\displaystyle L_{1}} が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる。 R {\displaystyle R} -加群 M {\displaystyle M} は有限型でありかつ M {\displaystyle M} のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。 環 R {\displaystyle R} は有限型の R {\displaystyle R} のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である。 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない。 R {\displaystyle R} を環とする。 M {\displaystyle M} を左 R {\displaystyle R} -加群とする。以下の条件は同値である： M {\displaystyle M} は左連接である。 M {\displaystyle M} は有限型でありすべての整数 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} に対して左 R {\displaystyle R} -加群のすべての準同型 R n ⟶ M {\displaystyle R^{n}\longrightarrow M} の核は有限型である。 M {\displaystyle M} は有限型でありすべての有限型左 R {\displaystyle R} -加群 N {\displaystyle N} に対してすべての準同型 f : N → M {\displaystyle f:N\rightarrow M} に対して ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} は有限型である。 さらに、以下の条件は同値である, ： R {\displaystyle R} は左連接である。 有限型左自由 R {\displaystyle R} -加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。 すべての有限表示左 R {\displaystyle R} -加群は連接である。 すべての整数 n {\displaystyle n} に対して左 R {\displaystyle R} -加群のすべての準同型 R n ⟶ R {\displaystyle R^{n}\longrightarrow R} の核は有限型である。 左ネーター環は左連接である。 R {\displaystyle R} をオール環（フランス語版）とする。この環が右連接シルヴェスター環（フランス語版）であるのは、 R {\displaystyle R} に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る。 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。 可換シルヴェスター環 R {\displaystyle R} が連接であるのは R {\displaystyle R} がGCD環であるとき、かつそのときに限る。 D {\displaystyle D} を複素平面の単連結開集合とする。 D {\displaystyle D} 内の有界解析関数のハーディ環 H ∞ ( D ) {\displaystyle H^{\infty }\left(D\right)} はベズー環でない連接シルヴェスター環である。 次のようなアーベル圏 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 ( G i ) i ∈ I {\displaystyle \left(G_{i}\right)_{i\in I}} を持ち、次の条件 AB5) を満たす： A {\displaystyle A} が C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象であり A ′ {\displaystyle A'} が A {\displaystyle A} の部分対象でありそして ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} が A {\displaystyle A} の部分対象の増大フィルター族であれば、 ⋃ i ∈ I ( A ′ ∩ A i ) = A ′ ∩ ( ⋃ i ∈ I A i ) . {\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}\left(A^{\prime }\cap A_{i}\right)=A^{\prime }\cap \left(\bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}\right).} 環 R {\displaystyle R} 上の左加群の圏 R M o d {\displaystyle _{R}Mod} は生成元として加群 R R {\displaystyle _{R}R} を持つグロタンディーク圏である。 X {\displaystyle X} を位相空間、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} を X {\displaystyle X} 上の環の層、 O X M o d {\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} } を X {\displaystyle X} 上の左 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群の層（フランス語版）の圏とする。この圏 O X M o d {\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} } はグロタンディーク圏である。 O X M o d {\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} } における生成元の族は faisceaux induits O X | U {\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U} からなる、ただし U {\displaystyle U} は X {\displaystyle X} の開集合全部の集合を表記する。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} をグロタンディーク圏とする。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 A {\displaystyle A} は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。 ⋃ i ∈ I A i = A {\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}=A} なる A {\displaystyle A} の増大フィルターのすべての族 ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} に対して、 A i = A {\displaystyle A_{i}=A} となる添え字 j {\displaystyle j} が存在する。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 A {\displaystyle A} は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 f : B → A {\displaystyle f:B\rightarrow A} 、ただし B {\displaystyle B} は有限型、に対して ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} は有限型である。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を生成元として対象 G {\displaystyle G} を持つグロタンディーク圏とし 0 ⟶ A ′ ⟶ A ⟶ A ′ ′ ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0} を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 A {\displaystyle A} が有限型であるのは、完全列 ∐ i ∈ J G i ⟶ A ⟶ 0 {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0} ただし J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、 A {\displaystyle A} が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 ∐ i ∈ J G i ⟶ A {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A} 、ただし J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} は有限、に対して完全列 ∐ i ∈ K G i ⟶ ∐ i ∈ J G i ⟶ A ⟶ 0 {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0} ただし K ⊂ I {\displaystyle K\subset I} は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。 すべての連接対象からなる C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の充満部分圏は、 C o h C {\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}} と表記されるが、アーベルであり、入射 C o h C ⟶ C {\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}} は完全である。 圏 R M o d {\displaystyle _{R}Mod} において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。 圏 O X M o d {\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} } において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接） O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群全体である。 環 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} と左 O X | U {\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U} -加群のすべての準同型写像 O X n | U ⟶ O X | U {\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U} に対して、この準同型の核は有限型である。 すると以下の結果が成り立つ： O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} を左連接環の層とする。左 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群の層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群の準同型 O X q ⟶ O X p {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{p}} の余核に同型である、すなわち、 X {\displaystyle X} のすべての空でない開集合 U {\displaystyle U} に対して完全列 O X q ( U ) | U ⟶ O X p ( U ) | U → F | U ⟶ 0 {\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left.{\mathcal {F}}\right\vert U\longrightarrow 0} が存在する。 ^ (Bourbaki 2007) ^ a b (Cohn 1985), p. 554 ^ (Bourbaki 2006), §I.2, exercice 12(f) ^ (Bourlès & Marinescu 2011), Lem. 508 ^ 他の同値条件は (Bourbaki 2006), §I.2, exercice 12 を参照せよ ^ (Dicks & Sontag 1978), Thm. 10 ^ (Dicks 1983), Lem. 4.1 ^ (Quadrat 2003), Cor. 3.31 ^ (Grothendieck 1957), §1.5 ^ (Grothendieck 1957), Prop. 3.1.1 ^ (Grothendieck & Dieudonné 1960), (3.1.5) ^ (Roos 1969), Sect. 2, Def. 1 ^ (Oberst 1970), Chap. I ^ (Grothendieck & Dieudonné 1960), §5 ^ (Serre 1955), §2, Prop.7 N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique, Springer,‎ 2007, 216 p. (ISBN 3540344926) N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 1 à 4, Springer,‎ 2006, 364 p. (ISBN 354033937X) (en) Henri Bourlès およびBogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer,‎ 2011, 638 p. (ISBN 978-3-64219726-0, lire en ligne) (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), Academic Press,‎ 1985, 595 p. (ISBN 0121791521) (en) Warren Dicks, « Free algebras over Bézout domains are Sylvester domains », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 27,‎ 1983, p. 15-28 (en) Warren Dicks およびEduardo D. 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