ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

ランダー・パーキン・セルフリッジ予想（ランダー・パーキン・セルフリッジよそう）とは、同じ次数の和からなる方程式の整数解についての予想であり、k乗数の和がk乗数の和と等しい場合、項の数は少なくともk個であるという予想である。フェルマーの最終定理の一般化のひとつである。 a2 + b2 = c2 の整数解を求めるディオファントス方程式は、ピタゴラスの定理以来何世紀も研究されてきた。この方程式を拡張し、フェルマーはフェルマーの最終定理として「2より大きい整数 k に対し、 ak + bk = ck は整数解(a, b, c)を持たない」と書き記した。オイラーは項の数と次数を拡張し、整数nとkが1より大きい場合、n個のk乗数の和がk乗数であれば、nは少なくともk以上であると予想した。 式で表すと 1より大きい nと、自然数 a 1 , a 2 , … , a n , b {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b} に対して ∑ i = 1 n a i k = b k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}} が成立する場合、n ≥ k である。 1966年には、k = 5でのオイラー予想の反例がLeon J. Lander と Thomas R. Parkin によって示された。 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445. その後、以下に示す k = 4 を含む多くの反例が見つかった。さらに次式は、より狭いオイラーの四次の予想「a4 + b4 + c4 = d4 は整数解を持たない」を反証した。 4145604 + 2175194 + 958004 = 4224814. 1967年にL. J. Lander、T. R. Parkin、John Selfridgeの3人が提唱した予想は、 ∑ i = 1 n a i k = ∑ j = 1 m b j k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}} が自然数 ai ≠ bj （ 1 ≤ i ≤ n 、1 ≤ j ≤ m）に対して成立する時、 m+n ≥ kとなる。」である。この同じ次数の等式は、 (k, m, n)と略記される。 m = n = k/2 である比較的小さな例には、 59 4 + 158 4 = 133 4 + 134 4 {\displaystyle 59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}} や 3 6 + 19 6 + 22 6 = 10 6 + 15 6 + 23 6 {\displaystyle 3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}}  （1934年にK. Subba Rao が発見）がある（一般化タクシー数も参照）。 この予想は m = 1 と言う特殊な場合において、 ∑ i = 1 n a i k = b k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}} が成立するならば、n ≥ k−1であることを示す。 m = 1 と言う特殊な場合においても、 1つ制約を緩めた n ≤ k に対してはいくつも解が知られている。例えば、 k = 3 33 + 43 + 53 = 63 k = 4 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814　(Roger Frye, 1988) 304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534　(R. Norrie, 1911。最小の解) k = 5 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445　(Lander, Parkin, 1966) 75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075　 (Sastry, 1934, 3番目に小さい解である) k = 6 未発見(2002年に、730000までには解がないことが示された。) k = 7 1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687　(M. Dodrill, 1999) k = 8 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098　 (Scott Chase, 2000) k ≥ 9 未発見 この予想が真であるか、また k ≥ 5 に対して ak + bk = ck + dk が成立しうるかはどちらも未解決である。 Experimental mathematics (counterexamples to Euler's sum of powers conjecture, especially smallest solution for k = 4) Jacobi–Madden equation Prouhet–Tarry–Escott problem ビール予想 Pythagorean quadruple 数学上の未解決問題 Sums of powers, a list of related conjectures and theorems ^ L. J. Lander; T. R. Parkin (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72: 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.  ^ L. J. Lander; T. R. Parkin; J. L. Selfridge (1967). “A Survey of Equal Sums of Like Powers”. Mathematics of Computation 21 (99): 446–459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR 2003249.  ^ Quoted in Meyrignac, Jean-Charles (2001年2月14日). “Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions”. 2017年7月17日閲覧。 ^ Giovanni Resta and Jean-Charles Meyrignac (2002). The Smallest Solutions to the Diophantine Equation a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + e 6 = x 6 + y 6 {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}} , Mathematics of Computation, v. 72, p. 1054 (See further work section). Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics (3rd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. p. D1. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001  EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers Jaroslaw Wroblewski Equal Sums of Like Powers Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--5th Powers". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--6th Powers". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--7th Powers". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--8th Powers". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Euler's Sum of Powers Conjecture". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Euler Quartic Conjecture". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--4th Powers". MathWorld. Euler's Conjecture at library.thinkquest.org A simple explanation of Euler's Conjecture at Maths Is Good For You! Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle Ed Pegg Jr. Power Sums, Math Games