ハイネの和公式

ハイネの和公式（ハイネのわこうしき、Heine's summation formula）はガウスの超幾何定理の q-類似である。ドイツの数学者エドゥアルト・ハイネに因む。ハイネは19世紀中頃に超幾何級数のq-類似の研究を行った。 ガウスの超幾何級数 2 F 1 [ a , b c ; z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n n ! z n {\displaystyle _{2}F_{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}} に対し、その q-類似は 2 ϕ 1 [ a , b c ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n ( q ; q ) n ( c ; q ) n z n {\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{n}}{(q;q)_{n}(c;q)_{n}}}z^{n}} で定義される。但し、ポッホハマー記号 ( a ) n = a ( a + 1 ) ⋯ ( a + n − 1 ) {\displaystyle (a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1)} と q-ポッホハマー記号 ( a ; q ) n = { ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) ( n > 0 ) 1 ( n = 0 ) {\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}} を用いた。 このとき、次の関係式をハイネの和公式と呼ぶ。 2 ϕ 1 [ a , b c ; q , c a b ] = ( c a ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( | c a b | < 1 ) {\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,{\frac {c}{ab}}\right]={\frac {\left({\frac {c}{a}};q\right)_{\infty }\left({\frac {c}{b}};q\right)_{\infty }}{\left(c;q\right)_{\infty }\left({\frac {c}{ab}};q\right)_{\infty }}}\qquad {\biggl (}{\bigl |}{\frac {c}{ab}}{\bigr |}<1{\biggr )}} これはガウスの超幾何定理 2 F 1 [ a , b c ; 1 ] = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) ( ℜ a + ℜ b < ℜ c , c ∉ Z ∖ N ) {\displaystyle _{2}F_{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};1\right]={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}\qquad (\Re {a}+\Re {b}<\Re {c},c\not \in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} )} の q-類似となっている。 ハイネの和公式は、次のハイネの変換式(Heine's transformation)から導くことができる。 2 ϕ 1 [ a , b c ; q , z ] = ( b ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ 2 ϕ 1 [ c b , z a z ; q , b ] {\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},z\\az\end{matrix}};q,b\right]} ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。 2 ϕ 1 [ a , b c ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n ( q ; q ) n ( c ; q ) n z n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) ∞ ( c q n ; q ) ∞ ( q ; q ) n ( c ; q ) ∞ ( b q n ; q ) ∞ z n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( ( c q n ; q ) ∞ ( b q n ; q ) ∞ ) z n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( q ; q ) m ( b q n ) m ) z n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( q ; q ) m ( ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( z q m ) n ) b m = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( q ; q ) m ( ( a z q m ; q ) ∞ ( z q m ; q ) ∞ ) b n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( z ; q ) m ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) m ( a z ; q ) m ( z ; q ) ∞ = ( b ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ 2 ϕ 1 [ c b , z a z ; q , b ] {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{n}}{(q;q)_{n}(c;q)_{n}}}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{\infty }(cq^{n};q)_{\infty }}{(q;q)_{n}(c;q)_{\infty }(bq^{n};q)_{\infty }}}z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\left({\frac {(cq^{n};q)_{\infty }}{(bq^{n};q)_{\infty }}}\right)z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}(bq^{n})^{m}\right)z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(zq^{m})^{n}\right)b^{m}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}\left({\frac {(azq^{m};q)_{\infty }}{(zq^{m};q)_{\infty }}}\right)b^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}(z;q)_{m}(az;q)_{\infty }}{(q;q)_{m}(az;q)_{m}(z;q)_{\infty }}}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},z\\az\end{matrix}};q,b\right]\\\end{aligned}}} ハイネの和公式はハイネの変換式に z = c a b {\displaystyle z={\tfrac {c}{ab}}} を代入することにより得られる。 2 ϕ 1 [ a , b c ; q , c a b ] = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ 2 ϕ 1 [ c b , c a b c b ; q , b ] = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( ∑ n = 0 ∞ ( c b ; q ) n ( c a b ; q ) n ( q ; q ) n ( c b ; q ) n b n ) = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( ∑ n = 0 ∞ ( c a b ; q ) n ( q ; q ) n b n ) = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( ( c a ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ ) = ( c a ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,{\frac {c}{ab}}\right]&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},{\frac {c}{ab}}\\{\frac {c}{b}}\end{matrix}};q,b\right]\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{n}({\frac {c}{ab}};q)_{n}}{(q;q)_{n}({\frac {c}{b}};q)_{n}}}b^{n}\right)\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{ab}};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}b^{n}\right)\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left({\frac {({\frac {c}{a}};q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }}}\right)\\&={\frac {({\frac {c}{a}};q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}} ^ Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function ^ G. E. Andrews (1986), chapter 2 Andrews, George E. (1986). q -Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics and Computer Algebra. CBMS. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807163