数値線形代数

数値解析における数値線形代数（すうちせんけいだいすう、英: Numerical linear algebra）とは、線形代数で現れる問題（行列積、行列指数関数、連立方程式や固有値・特異値問題）の計算・求解を行うアルゴリズムを創出するための学問である。最適化問題・有限差分法・有限要素法などに応用されている。 どんなに次元の高い連立方程式でも、原理的にはクラメルの公式を使えば解くことはできる。しかし、クラメルの公式による数値解法ではものすごく時間がかかってしまうということが分かっている。このため、これまで様々な数値線形代数のアルゴリズムが開発されてきた。その先駆けとも言えるのがガウスの消去法だが、現代では数値実験により（精度の観点から）使うべきではないとされている。 現代においては 共役勾配法 GMRES法 ランチョス法 QR法 QZ法 dqds法 (differential quotient difference with shift) oqds法 (orthogonal quotient difference with shift) 分割統治法 MRRR法 (multiple relatively robust representations) MRTR法 Sakurai-Sugiura 法 CIRR 法 (Rayleigh-Ritz type method with contour integral) 離散勾配法に基づく解法 フィルターを用いた固有値問題の解法 などをはじめとした高速・高精度解法（反復法）の研究が主流になっている。 数値線形代数で現れる反復法の中には、クリロフ部分空間に理論的基盤を持つものが少なからず存在する。これらはクリロフ部分空間法（英: Krylov subspace methods）と総称され、数値線形代数において最も成功した手法とされている。主なクリロフ部分空間法として以下が知られている（共役勾配法については後述する）。 en:Arnoldi iteration ランチョス法 GMRES法 MINRES法（英: minimal residual、この手法は method of minimum residual とは異なる） CR法（共役残差法、英: conjugate residual method） QMR系 QMR法（英: quasi minimal residual、MATLABで利用可能） QMR-SYM法 TFQMR法（英: transpose free quasi minimal residual、MATLABで利用可能） 共役勾配法（英: conjugate gradient method）は Hestenes-Stiefel によって開発された連立方程式の数値解法であり、係数行列が正定値対称行列であるときに適用できる。この方法はガウス＝ザイデル法、ヤコビ法、SOR法よりも収束が速いとされることから、1980年代以降から様々な亜種が開発されたり、非対称行列への適用が試みられているが、前処理行列の取り方が問題によって異なるために決定版と言える解法がまだ存在してない。 以下、代表的な亜種を挙げる。 CGS (conjugate gradient squared method) PCG （preconditioned conjugate gradient method、MATLABで利用可能） SCG (scaled conjugate gradient) ICCG （incomplete Cholesky conjugate gradient method、不完全コレスキー分解付共役勾配法） COCG (conjugate orthogonal conjugate gradient method) GPBiCG GPBiCG ( m , l ) {\displaystyle (m,l)} STAB系の手法 BiCGSTAB （biconjugate gradient stabilized method、双共役勾配安定化法、MATLABで利用可能） BiCGSTAB2 QMRCGSTAB GBi-CGSTAB Block化した手法 Block CG Block BiCGSTAB Block BiCGGR Block BiCGGR2 Block GWBiCGSTAB 数値線形代数における精度保証付き数値計算の研究も活発になっており、具体的には以下のような研究が行われている。 連立方程式の解に対する精度保証付き数値計算 並列計算 悪条件問題 （英: ill-conditioned problems、条件数が大きい問題） 前処理行列 H行列 （比較行列がM行列となる行列）を用いる方法（ペロン・フロベニウスの定理も使う、この方法は疎行列のときも適用可能） 疎行列に対する精度保証法（コレスキー分解に基づく） 固有値問題の解に対する精度保証付き数値計算 ゲルシュゴリンの定理を使う方法（定石として確立されている） Krawczyk法（精度保証付き求根アルゴリズムの一つ）を使う方法 大規模疎行列の場合 対角化可能行列に対する Bauer-Fike型誤差評価、Hoffman-Wielandt型誤差評価 一般化固有値問題（英: generalized eigenvalue problem） 逆固有値問題（英: inverse eigenvalue problem） 特異値分解の精度保証 行列式の精度保証 行列の乗法 行列方程式の解に対する精度保証 行列値関数（en）の精度保証（行列値関数の高精度計算法に関する研究についてはHighamなどによる業績が多数ある） 行列指数関数 行列の対数 行列の平方根 可積分系・力学系と数値線形代数の間に関係があるという事実が注目されている。具体的には戸田格子（ソリトン方程式の一つ）とQR法・qd法、可積分系と特異値分解との関係が明らかになった。これらを背景に、離散可積分系から数値線形代数に有用な反復法を開発する試みが行われている。例えば dLVアルゴリズム dhLVアルゴリズム mdLVアルゴリズム dhTodaアルゴリズム I-SVDアルゴリズム 等が研究されている。 行列解析 (en) 条件数 BLAS OpenBLAS LAPACK MATLAB GNU Octave INTLAB NAG数値計算ライブラリ 反復法 クリロフ部分空間 ハウスホルダー変換 ギブンス回転 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム 前処理行列 行列の分解 LU分解 QR分解 コレスキー分解 固有値分解 (en) 特異値分解 杉原正顯（共役勾配法の研究に従事） 大石進一（数値線形代数の精度保証に貢献） 速水謙 en:Aleksey Krylov（クリロフ部分空間を導入） カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ（固有値問題の解法であるen:Jacobi eigenvalue algorithmで知られる） イサイ・シューア（逆行列を求めるのに使うシューア補行列で知られる） フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（ペロン＝フロベニウスの定理で知られる） en:Helmut Wielandt（固有値問題などについて業績がある） アンドレアス・フロマー リチャード・バルガ (en) ジーン・ゴラブ (en) クリーブ・モラー (en) ジェームズ・H・ウィルキンソン ニコラス・ハイアム (en) ニック・トレフェセン (en) [脚注の使い方] ^ a b c d e f g h i j k l m n o 山本哲朗『数値解析入門』（増訂版）サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月。ISBN 4-7819-1038-6。  ^ a b c d e f 森正武. 数値解析 第2版. 共立出版. ^ a b c 数値線形代数の数理とHPC, 櫻井鉄也, 松尾宇泰, 片桐孝洋編（シリーズ応用数理 / 日本応用数理学会監修, 第6巻）共立出版, 2018.8 ^ a b c d e f g h i j 『精度保証付き数値計算の基礎』大石進一 編著、コロナ社、2018年。 ^ 戸川隼人. 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