余接定理

余接定理（よせつていり）は、三角形の辺の長さと3つの角の半分の余接の関係を表す三角法の定理である。余接法則とも呼ばれる。 図のように a, b, c を3辺の長さ、A, B, C を各頂点とし、α, β, γ を各頂点に対応する角、半周長を s = a + b + c/2, r を内接円の半径とすると、以下の式が成立する。 cot ⁡ ( α 2 ) s − a = cot ⁡ ( β 2 ) s − b = cot ⁡ ( γ 2 ) s − c = 1 r {\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}} (1) また、r について、 r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s . {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.} (2) 図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。 内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、 cot ⁡ ( α 2 ) = s − a r {\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,} （*1） ここで、 s − a = c + b − a 2 {\displaystyle s-a={\frac {c+b-a}{2}}} 三角形の成立条件より c + b − a > 0 {\displaystyle c+b-a>0} だから s − a > 0 {\displaystyle s-a>0} ∴ cot ⁡ ( α 2 ) s − a = 1 r {\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {1}{r}}\,} （1） 他の角においても同様に示される。 また、式（2）については、以下の式を適用する。 cot ⁡ ( u + v + w ) = cot ⁡ u + cot ⁡ v + cot ⁡ w − cot ⁡ u cot ⁡ v cot ⁡ w 1 − cot ⁡ u cot ⁡ v − cot ⁡ v cot ⁡ w − cot ⁡ w cot ⁡ u . {\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.} u = α 2 {\displaystyle u={\frac {\alpha }{2}}} , v = β 2 {\displaystyle v={\frac {\beta }{2}}} , w = γ 2 {\displaystyle w={\frac {\gamma }{2}}} とすると、cot(α/2 + β/2 + γ/2) = cot π/2 = 0より、 cot ⁡ ( α 2 ) cot ⁡ ( β 2 ) cot ⁡ ( γ 2 ) = cot ⁡ ( α 2 ) + cot ⁡ ( β 2 ) + cot ⁡ ( γ 2 ) . {\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).} よって、式（*1）より ( s − a ) r ( s − b ) r ( s − c ) r = s − a r + s − b r + s − c r = 3 s − 2 s r = s r . {\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.} 辺々にr3/sをかけて整理すれば、式（2）が示される。 余接定理により正接定理が証明されるほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。 辺と同様に三角形ABCが3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点A付近の2個の三角形はともに底辺がs − a、高さrであり、面積は1/2r(s − a)であり、和はr(s − a)となる（他も同様）。 よって、三角形ABCの面積Sは、 S = r ( s − a ) + r ( s − b ) + r ( s − c ) = r ( 3 s − ( a + b + c ) ) = r ( 3 s − 2 s ) = r s . {\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs.\end{aligned}}} ∴　 S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 第一公式 和の公式と余接定理より、 sin ⁡ ( α 2 − β 2 ) sin ⁡ ( α 2 + β 2 ) = cot ⁡ ( β 2 ) − cot ⁡ ( α 2 ) cot ⁡ ( β 2 ) + cot ⁡ ( α 2 ) = a − b 2 s − a − b . {\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.} ∴　 a − b c = sin ⁡ ( α 2 − β 2 ) cos ⁡ ( γ 2 ) {\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}} 第二公式 和の公式と余接定理より、 cos ⁡ ( α 2 − β 2 ) cos ⁡ ( α 2 + β 2 ) = cot ⁡ ( α 2 ) cot ⁡ ( β 2 ) + 1 cot ⁡ ( α 2 ) cot ⁡ ( β 2 ) − 1 = cot ⁡ ( α 2 ) + cot ⁡ ( β 2 ) + 2 cot ⁡ ( γ 2 ) cot ⁡ ( α 2 ) + cot ⁡ ( β 2 ) = 4 s − a − b − 2 c 2 s − a − b . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}} 和積公式を適用して整理すれば、 b + a c = cos ⁡ ( α 2 − β 2 ) sin ⁡ ( γ 2 ) {\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}} 正弦定理 余弦定理 三角関数の公式の一覧 ^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960. ^ Silvester 2001, p. 99. Silvester, John R. (2001), Geometry: Ancient and Modern, Oxford University Press, pp. 313, ISBN 9780198508250