ヤングの畳み込み不等式

数学におけるヤングの畳み込み不等式（ヤングのたたみこみふとうしき、英: Young's convolution inequality）は、ウィリアム・ヘンリー・ヤング（英語版）に名を因む、ふたつの函数の畳み込みに関する不等式である。 実解析において、ヤングの畳み込み不等式は以下のようなものである: 定理 (Young's convolution inequality) f ∈ Lp(ℝd), g ∈ Lq(ℝd) で 1 p + 1 q = 1 r + 1 ( 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ ) {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1\qquad (1\leq p,q,r\leq \infty )} が満たされるならば、不等式 ‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} が成り立つ。ここに、左辺の ∗ は畳み込みで、Lp はルベーグ p-乗可積分函数の空間および ‖ f ‖ p := ( ∫ R d | f ( x ) | p d x ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}{\mathit {dx}}{\Bigr )}^{1/p}} は Lp-ノルムである。 おなじことだが、以下のように述べることもできる: p, q, r ≥ 1 が 1 p + 1 q + 1 r = 2 {\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2} を満たすならば ∫ R d × R d f ( x ) g ( x − y ) h ( y ) d x d y ≤ ( ∫ R d | f | p ) 1 / p ( ∫ R d | g | q ) 1 / q ( ∫ R d | h | r ) 1 / r {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {dx}}\,{\mathit {dy}}\leq {\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}{\Bigr )}^{1/p}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}{\Bigr )}^{1/q}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}{\Bigr )}^{1/r}} が成り立つ。 一般化 ヤングの畳み込み不等式は、ℝd を単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。G 上の両側ハール測度を μ とすれば μ に関する積分が定義できて、G 上の実または複素数値函数 f, g に対して f ∗ g ( x ) := ∫ G f ( y ) g ( y − 1 x ) d μ ( y ) {\displaystyle f*g(x):=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,{\mathit {d\mu }}(y)} および ‖ f ‖ p := ( ∫ G | f ( x ) | p d μ ( x ) ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{G}|f(x)|^{p}\,{\mathit {d\mu }}(x){\Bigr )}^{1/p}} と定めれば、f ∈ Lp(G, μ), g ∈ Lq(G, μ) に対して、件の不等式 ‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} はそのままの形で成り立つ（もちろん、 ∫ G × G f ( x ) g ( x − y ) h ( y ) d μ ( x ) d μ ( y ) ≤ ( ∫ G | f | p ) 1 / p ( ∫ G | g | q ) 1 / q ( ∫ G | h | r ) 1 / r {\textstyle \int _{G\times G}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\leq (\int _{G}\vert f\vert ^{p})^{1/p}(\int _{G}\vert g\vert ^{q})^{1/q}(\int _{G}\vert h\vert ^{r})^{1/r}} とも書ける）。 事実として、ℝd は局所コンパクトアーベル群（英語版）、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。 p, q > 1 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 cp,q < 1 を含む ‖ f ∗ g ‖ r ≤ c p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}} の形のより厳密な評価にすることができる。この最適化定数が達成されるとき、函数 f, g は高次元ガウス函数（英語版） である。 最適化定数 1 のヤングの不等式には、初等的な証明がある。 位相群の不変積分版の証明を以下に示す: ヘルダーの不等式による一般の場合の証明 G はハール測度 μ を持つ単模群とし、函数 f, g, h: G → ℝ は非負かつ可積分とする。また、任意の可測集合 S ⊂ G に対して反転不変性: μ ( S ) = μ ( S − 1 ) {\textstyle \mu (S)=\mu (S^{-1})} が成立する（したがって、積分も反転不変）という事実を用いる。 いま、 p ( 2 − 1 q − 1 r ) = q ( 2 − 1 p − 1 r ) = r ( 2 − 1 p − 1 r ) = 1 {\textstyle p(2-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}})=q(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}})=r(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}})=1} であるから、 ∫ G × G f ( x ) g ( y − 1 x ) h ( y ) d μ ( x ) d μ ( y ) = ∫ G × G ( f ( x ) p g ( y − 1 x ) q ) 1 − 1 r ( f ( x ) p h ( y ) r ) 1 − 1 q ( g ( y − 1 x ) q h ( y ) r ) 1 − 1 p d μ ( x ) d μ ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G\times G}f(x)g(y^{-1}x)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\\&\qquad =\int _{G\times G}{\Bigl (}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}{\Bigr )}^{1-{\frac {1}{r}}}{\Bigl (}f(x)^{p}h(y)^{r}{\Bigr )}^{1-{\frac {1}{q}}}{\Bigl (}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}{\Bigr )}^{1-{\frac {1}{p}}}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\end{aligned}}} とできる。右辺に三函数に対するヘルダーの不等式を適用すれば、 ∫ G × G f ( x ) g ( y − 1 x ) h ( y ) d μ ( x ) d μ ( y ) ≤ ( ∫ G × G f ( x ) p g ( y − 1 x ) q d μ ( x ) d μ ( y ) ) 1 − 1 r ( ∫ G × G f ( x ) p h ( y ) r d μ ( x ) d μ ( y ) ) 1 − 1 q ( ∫ G × G g ( y − 1 x ) q h ( y ) r d μ ( x ) d μ ( y ) ) 1 − 1 p {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G\times G}f(x)g(y^{-1}x)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\\&\qquad \leq {\Bigl (}\int _{G\times G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y){\Bigr )}^{1-{\frac {1}{r}}}{\Bigl (}\int _{G\times G}f(x)^{p}h(y)^{r}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y){\Bigr )}^{1-{\frac {1}{q}}}{\Bigl (}\int _{G\times G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y){\Bigr )}^{1-{\frac {1}{p}}}\end{aligned}}} が導かれ、ここから、ハール測度の左不変性と、積分が反転不変であるという事実、およびフビニの定理により、結論を得る。 ヤングの不等式の応用の一つの例が、L2-ノルムを用いて 熱半群（英語版）が縮小半群である（つまり、ヴァイヤシュトラス変換が L2-ノルムを大きくしない）ことを示すことである。 ^ Young, W. H. (1912), “On the multiplication of successions of Fourier constants”, Proceedings of the Royal Society A 87 (596): 331–339, doi:10.1098/rspa.1912.0086, JFM 44.0298.02, JSTOR 93120, https://jstor.org/stable/93120  ^ Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory, I, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8, MR2267655, Zbl 1120.28001  ^ Beckner, William (1975). “Inequalities in Fourier Analysis”. Annals of Mathematics 102 (1): 159–182. doi:10.2307/1970980. JSTOR 1970980.  ^ Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H (1976-05-01). “Best constants in Young's inequality, its converse, and its generalization to more than three functions”. Advances in Mathematics 20 (2): 151–173. doi:10.1016/0001-8708(76)90184-5. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870876901845.  ^ Fournier, John J. F. (1977), “Sharpness in Young's inequality for convolution”, Pacific J. 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