余代数

余代数（よだいすう、英語: coalgebra）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。 K {\displaystyle K} を体、 C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 Δ : C → C ⊗ C {\displaystyle \Delta :C\to C\otimes C} 、 ε : C → K {\displaystyle \varepsilon :C\to K} が存在して、これらが ( i d ⊗ Δ ) ∘ Δ = ( Δ ⊗ i d ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad } （余結合律）、 ( i d ⊗ ε ) ∘ Δ = i d = ( ε ⊗ i d ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad } （余単位律） を満たすとき、即ち図式 が可換であるとき、組 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数という。また、 Δ {\displaystyle \Delta } を余積、 ε {\displaystyle \varepsilon } を余単位という。 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} 、 ( D , Δ ′ , ε ′ ) {\displaystyle (D,\Delta ',\varepsilon ')} を K {\displaystyle K} -余代数とする。 K {\displaystyle K} -線型写像 f : C → D {\displaystyle f:C\to D} が Δ ′ ∘ f = ( f ⊗ f ) ∘ Δ , {\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,} ε ′ ∘ f = ε {\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon } を満たすとき f {\displaystyle f} を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値: ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数、 D ⊂ C {\displaystyle D\subset C} とする。 D {\displaystyle D} が部分余代数であるとは、 Δ ( D ) ⊆ D ⊗ D {\displaystyle \Delta (D)\subseteq D\otimes D} を満たすことをいう。このとき、 ( D , Δ | D , ε | D ) {\displaystyle (D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})} は余代数の構造を持つ。 I {\displaystyle I} を余代数 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} の部分ベクトル空間とする。 I {\displaystyle I} が余イデアル（coideal）であるとは Δ ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I , {\displaystyle \Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,} ε ( I ) = 0 {\displaystyle \varepsilon (I)=0} を満たすことをいう。このとき商 C / I {\displaystyle C/I} は余代数の構造を持つ。 写像 t w {\displaystyle \mathrm {tw} } を t w : C ⊗ C → C ⊗ C , c ⊗ c ′ ↦ c ′ ⊗ c {\displaystyle \mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c} で定める。余代数 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} が余可換であるとは、 t w ∘ Δ = Δ {\displaystyle \mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta } が成り立つことをいう。ここで新しい余積を Δ t w = t w ∘ Δ : C → C ⊗ C → C ⊗ C , c ↦ ∑ i c i ( 2 ) ⊗ c i ( 1 ) {\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}} によって定めると、 ( C , Δ t w , ε ) {\displaystyle (C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )} は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと Δ = Δ t w {\displaystyle \Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }} となることは同値である。 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数とする。 c ∈ C {\displaystyle c\in C} とすると、余積は Δ ( c ) = ∑ i c i ⊗ c ~ i ( c i , c ~ i ∈ C ) {\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)} と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを Δ ( c ) = ∑ c ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) {\displaystyle \Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}} と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる: ∑ c ( 1 ) ( 1 ) ⊗ c ( 1 ) ( 2 ) ⊗ c ( 3 ) = ∑ c ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) ( 2 ) = ∑ c ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) ⊗ c ( 3 ) {\displaystyle \sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad } （余結合律） ∑ ε ( c ( 1 ) ) c ( 2 ) = ∑ c ( 1 ) ε ( c ( 2 ) ) = c {\displaystyle \sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad } （余単位律） S {\displaystyle S} を空でない任意の集合、 k S {\displaystyle kS} を S {\displaystyle S} の元を基底とした k {\displaystyle k} -ベクトル空間とする。任意の s ∈ S {\displaystyle s\in S} に対して余積と余単位を Δ ( s ) = s ⊗ s , ε ( s ) = 1 {\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1} で定めると、 ( k S , Δ , ε ) {\displaystyle (kS,\Delta ,\varepsilon )} は k {\displaystyle k} -余代数の構造を持つ。 H {\displaystyle H} を K {\displaystyle K} -ベクトル空間、 { c n ∣ n ∈ N } {\displaystyle \{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}} をその基底とする。任意の n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対して余積と余単位を Δ ( c i ) = ∑ i = 0 n c i ⊗ c n − i , ε ( c i ) = δ 0 , n {\displaystyle \Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}} で定めると、 ( H , Δ , ε ) {\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )} は k {\displaystyle k} -余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。 M n ( K ) {\displaystyle M_{n}(K)} を n 2 {\displaystyle n^{2}} 次元 K {\displaystyle K} -ベクトル空間、 { e i j } 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle \{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}} をその基底とする。余積と余単位を Δ ( e i j ) = ∑ k e i k ⊗ e k j , ε ( e i j ) = δ i , j {\displaystyle \Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}} によって定めると ( M n ( K ) , Δ , ε ) {\displaystyle (M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )} は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} を局所有限半順序集合とする。 T = { ( x , y ) ∈ P × P ∣ x ≤ y } {\displaystyle T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}} として V {\displaystyle V} を T {\displaystyle T} の元全体を基底として持つ K {\displaystyle K} -ベクトル空間とする。任意の ( x , y ) ∈ T {\displaystyle (x,y)\in T} に対して余積と余単位を Δ ( x , y ) = ∑ x ≤ z ≤ y ( x , z ) ⊗ ( z , y ) , ε ( x , y ) = δ x , y {\displaystyle \Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}} で定めると ( P , Δ , ε ) {\displaystyle (P,\Delta ,\varepsilon )} は余代数となる。 C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} -ベクトル空間とし、その基底を { s , c } {\displaystyle \{s,c\}} とする。余積と余単位を Δ ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s , Δ ( c ) = c ⊗ c − s ⊗ s , ε ( s ) = 0 , ε ( c ) = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}} で定めると ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。 C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} -余代数、 A {\displaystyle A} を K {\displaystyle K} -代数、とする。ここで f , g ∈ H o m K ( C , A ) {\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)} の積を f ∗ g := m ∘ f ⊗ g ∘ Δ {\displaystyle f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta } 、即ち任意の c ∈ C {\displaystyle c\in C} に対して ( f ∗ g ) ( c ) = ∑ f ( c ( 1 ) ) g ( c ( 2 ) ) {\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)} で定める。 Δ {\displaystyle \Delta } が余結合的であることから積 ∗ {\displaystyle \ast } は結合的であることがわかる。この積によって H o m K ( A , C ) =: C ∗ {\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }} は K {\displaystyle K} -代数となり、 C {\displaystyle C} の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は ε ∘ u : C → K → A , c ↦ ε ( c ) 1 A {\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}} で与えられる。また C {\displaystyle C} が余可換であることと、全ての可換な A {\displaystyle A} に対して H o m K ( A , C ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)} が可換であることは同値である。 逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。 A {\displaystyle A} を有限 K {\displaystyle K} -次元代数とすると、準同型写像 A ∗ ⊗ A ∗ → ( A ⊗ A ) ∗ , f ⊗ g ↦ [ a ⊗ b ↦ f ( a ) g ( b ) ] {\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]} が存在して A ∗ ⊗ A ∗ ≃ ( A ⊗ A ) ∗ {\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }} となる。積と単位の双対 m ∗ : a → ( A ⊗ A ) ∗ ≃ A ∗ ⊗ A ∗ , u ∗ : A → K , f ↦ f ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}} によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に A {\displaystyle A} が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。 Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press  Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin  Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker  表示 編集