ヘーグナー数

数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)（コンウェイとガイによる命名）とは、虚二次体 Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} の類数が 1 {\displaystyle 1} となる平方因子を持たない正の整数 d {\displaystyle d} のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ。 このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。 （ベイカー・）スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。 1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle 1,2,3,7,11,19,43,67,163} オンライン整数列大辞典の数列 A003173 この結果はガウスによって予想され、1952年にクルト・ヘーグナー（英語版）によって軽微な誤りを含む証明がなされた。 アラン・ベイカーとハロルド・スターク（英語版）は1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した。 n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式（英語版） n 2 − n + 41 {\displaystyle n^{2}-n+41} は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。 オイラーの式において n {\displaystyle n} が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 n {\displaystyle n} が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。 n 2 + n + 41 {\displaystyle n^{2}+n+41} ラビノヴィッチ（英語版） は n 2 + n + p {\displaystyle n^{2}+n+p\,} について、判別式 1 − 4 p {\displaystyle 1-4p} が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、 n = 0 , … , p − 2 {\displaystyle n=0,\dots ,p-2} に対して素数を与えることを証明した。 （なお p − 1 {\displaystyle p-1} を代入すると p 2 {\displaystyle p^{2}} となるため、 p − 2 {\displaystyle p-2} が n の最大値となる。） 4 p − 1 = 1 , 2 , 3 {\displaystyle 4p-1=1,2,3} を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle 7,11,19,43,67,163} であり、これらはオイラーの形の素数生成式における p = 2 , 3 , 5 , 11 , 17 , 41 {\displaystyle p=2,3,5,11,17,41} にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、リヨネ（英語版）によってオイラーの幸運数（英語版）と呼ばれている。 ラマヌジャンの定数とは超越数 e π 163 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}} のことであり、整数に非常に近い（英語版）という点でほとんど整数である。 e π 163 = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 25 … {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots } ≈ 640 320 3 + 744. {\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744.} この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。 この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。 簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して j ( ( 1 + − d ) / 2 ) {\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)} は整数であり、 e π d ≈ − j ( ( 1 + − d ) / 2 ) + 744 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744} が q -展開によって示される。 もし τ {\displaystyle \tau } が二次無理数とすると、j-不変量は次数 | Cl ( Q ( τ ) ) | {\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|} の代数的整数であり、 Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} の類数と Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} が満たす最小（モニック整数）多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体 Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} の類数が 1 であれば（つまり d はヘーグナー数）、 j-不変量は整数となる。 フーリエ級数展開を q = exp ⁡ ( 2 π i τ ) {\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )} のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである： j ( τ ) = 1 q + 744 + 196 884 q + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots } ローラン級数の係数 c n {\displaystyle c_{n}} は漸近的に ln ⁡ ( c n ) ∼ 4 π n + O ( ln ⁡ ( n ) ) {\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n))} のように増大し、また低次の係数の増大が 200 000 n {\displaystyle 200\,000^{n}} よりも遅いため、 q ≪ 1 / 200 000 {\displaystyle q\ll 1/200\,000} において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。 τ = ( 1 + − 163 ) / 2 {\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2} とすると q = − exp ⁡ ( − π 163 ) {\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})} つまり 1 q = − exp ⁡ ( π 163 ) {\displaystyle {\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}})} となる。ここで j ( ( 1 + − 163 ) / 2 ) = ( − 640 320 ) 3 {\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}} とすると、以下の式が得られる。 ( − 640 320 ) 3 = − e π 163 + 744 + O ( e − π 163 ) . {\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).} これはすなわち e π 163 = 640 320 3 + 744 + O ( e − π 163 ) {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)} であり、誤差の線形項は − 196 884 / e π 163 ≈ − 196 884 / ( 640 320 3 + 744 ) ≈ − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75} となるため、 e π 163 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}} が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。 1987年、チュドノフスキー兄弟（英語版）は以下の式を発見した。 1 π = 12 640 320 3 / 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 163 ⋅ 3 344 418 k + 13 591 409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640 320 ) 3 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}}} これは、 j ( 1 + − 163 2 ) = − 640 320 3 {\displaystyle j\left({\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}} という事実を用いている。同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数（英語版）を参照せよ。 大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる 。 e π 19 ≈ 96 3 + 744 − 0.22 e π 43 ≈ 960 3 + 744 − 0.000 22 e π 67 ≈ 5 280 3 + 744 − 0.000 0013 e π 163 ≈ 640 320 3 + 744 − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}} あるいは、 e π 19 ≈ 12 3 ( 3 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.22 e π 43 ≈ 12 3 ( 9 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.000 22 e π 67 ≈ 12 3 ( 21 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.000 0013 e π 163 ≈ 12 3 ( 231 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}} ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。 d < 19 {\displaystyle d<19} のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 d = 19 {\displaystyle d=19} さえ注目に値しない。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは 12 3 ( n 2 − 1 ) 3 = ( 2 2 ⋅ 3 ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n + 1 ) ) 3 {\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}} ということに従う。素因数は以下のとおりである。 j ( ( 1 + − 19 ) / 2 ) = 96 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ) 3 j ( ( 1 + − 43 ) / 2 ) = 960 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ) 3 j ( ( 1 + − 67 ) / 2 ) = 5 280 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ) 3 j ( ( 1 + − 163 ) / 2 ) = 640 320 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 23 ⋅ 29 ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}} これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。 e π 19 ≈ x 24 − 24.000 31 ;     x 3 − 2 x − 2 = 0 e π 43 ≈ x 24 − 24.000 000 31 ; x 3 − 2 x 2 − 2 = 0 e π 67 ≈ x 24 − 24.000 000 001 9 ; x 3 − 2 x 2 − 2 x − 2 = 0 e π 163 ≈ x 24 − 24.000 000 000 000 0011 ; x 3 − 6 x 2 + 4 x − 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}} 3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。 e π 19 ≈ 3 5 ( 3 − 2 ( 1 − 96 / 24 + 1 3 ⋅ 19 ) ) − 2 − 12.000 06 … e π 43 ≈ 3 5 ( 9 − 2 ( 1 − 960 / 24 + 7 3 ⋅ 43 ) ) − 2 − 12.000 000 061 … e π 67 ≈ 3 5 ( 21 − 2 ( 1 − 5 280 / 24 + 31 3 ⋅ 67 ) ) − 2 − 12.000 000 000 36 … e π 163 ≈ 3 5 ( 231 − 2 ( 1 − 640 320 / 24 + 2 413 3 ⋅ 163 ) ) − 2 − 12.000 000 000 000 000 21 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(1-960/24+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(1-5\,280/24+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(1-640\,320/24+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}} 括弧内の式を x {\displaystyle x} とおくと（例： x = 3 − 2 ( 1 − 96 / 24 + 1 3 ⋅ 19 ) {\displaystyle x=3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}} ）、 x {\displaystyle x} はそれぞれ四次方程式を満たす。 x 4 − 4 ⋅ 3 x 3 + 2 3 ( 96 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 3 ( 96 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 9 x 3 + 2 3 ( 960 + 3 ) x 2     − 2 3 ⋅ 9 ( 960 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 21 x 3 + 2 3 ( 5 280 + 3 ) x 2   − 2 3 ⋅ 21 ( 5 280 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 231 x 3 + 2 3 ( 640 320 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 231 ( 640 320 − 6 ) x − 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}-4\cdot 3x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}\qquad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 9x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}\ \ \quad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 21x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}\quad \ \;-{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3=0\\\end{aligned}}} 整数 n = 3 , 9 , 21 , 231 {\displaystyle n=3,9,21,231} の再出現と、以下の事実に注意せよ。 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 96 / 24 ) 2 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 19 ) = 96 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 960 / 24 ) 2 + 7 2 ⋅ 3 ⋅ 43 ) = 960 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 5 280 / 24 ) 2 + 31 2 ⋅ 3 ⋅ 67 ) = 5 280 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 640 320 / 24 ) 2 + 2413 2 ⋅ 3 ⋅ 163 ) = 640 320 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}} これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。 同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。 e π 19 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 010 … e π 43 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 010 … e π 67 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 061 … e π 163 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}} ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。 5 x 6 − 96 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 960 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 5 280 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 640 320 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}} ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})} の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 τ = ( 1 + − 163 ) / 2 {\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2} とすると、 e π 163 = ( e π i / 24 η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 24 − 24.000 000 000 000 001 05 … e π 163 = ( e π i / 12 η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 12 − 12.000 000 000 000 000 21 … e π 163 = ( e π i / 6 η ( τ ) η ( 5 τ ) ) 6 − 6.000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}} ここで、イータ商は上記の代数的数である。 類数 2 {\displaystyle 2} を持つ虚二次体 Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} を与える3つの数字 88 , 148 , 232 {\displaystyle 88,148,232} は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、 e π 88 + 8 744 ≈ 2 508 952 2 − .077 … e π 148 + 8 744 ≈ 199 148 648 2 − .000 97 …   e π 232 + 8 744 ≈ 24 591 257 752 2 − .000 0078 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744\approx \quad \quad 2\,508\,952^{2}&-.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744\approx \quad 199\,148\,648^{2}&-.000\,97\dots \\\ e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744\approx 24\,591\,257\,752^{2}&-.000\,0078\dots \\\end{aligned}}} そして e π 22 − 24 ≈ ( 6 + 4 2 ) 6 + .000 11 … e π 37 + 24 ≈ ( 12 + 2 37 ) 6 − .000 0014 … e π 58 − 24 ≈ ( 27 + 5 29 ) 6 − .000 000 0011 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx (6+4{\sqrt {2}})^{6}\quad +.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}{\color {red}+}\,24&\approx (12+2{\sqrt {37}})^{6}-.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx (27+5{\sqrt {29}})^{6}-.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}} p を奇素数として、 k = 0 , 1 , … , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2} に対して k 2 ( mod p ) {\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}} を計算すると（ ( p − k ) 2 ≡ k 2 ( mod p ) {\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}} なので、k の範囲はこれで十分である）、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる。 詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ。 ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. 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Scientific American (Scientific American, Inc) 232 (4): 127.  ^ これらは計算機で e π d − 744 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}} 計算することで確かめられ、誤差の線形項は 196 884 / e π d {\displaystyle 196\,884/e^{\pi {\sqrt {d}}}} で確認できる。 ^ https://groups.google.com/g/sci.math.research/c/PSQTfJqGCJM?hl=en ^ 実数乱数の絶対偏差（たとえば [0,1] 区間の一様乱数）は [0, 0.5] の一様乱数となり、絶対平均偏差（英語版）と中央絶対偏差（英語版）は0.25となるため、偏差0.22はほぼ整数とみなすには大きすぎる。 ^ “Pi Formulas”. 2020年6月閲覧。 ^ “Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients”. 2020年6月閲覧。 ^ 訳註：原文では Q 5 {\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}} ^ http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm ^ Mollin, R. A. (1996). “Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields”. Acta Arithmetica 74: 17–30. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa74/aa7412.pdf.  Weisstein, Eric W. "Heegner Number". mathworld.wolfram.com (英語). OEIS sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization) Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: 問題の詳細な歴史 Clark, Alex. “163 and Ramanujan Constant”. Numberphile. Brady Haran. 2013年5月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年4月2日閲覧。