十三角形

十三角形（じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon）は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。 正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は S = 13 4 a 2 cot ⁡ π 13 ≃ 13.1858 a 2 {\displaystyle S={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}} となる。 cos ⁡ ( 2 π / 13 ) {\displaystyle \cos(2\pi /13)} を平方根と立方根で表すと、 cos ⁡ 2 π 13 = − 1 + 13 12 + 1 6 26 − 5 13 + 3 i 39 2 3 + 1 6 26 − 5 13 − 3 i 39 2 3 = 0.8854560... {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {-1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}}}{2}}}=0.8854560...} Trigonometric constants expressed in real radicalsより cos ⁡ 2 π 13 = 13 − 1 + 104 − 20 13 − 12 i 39 3 + 104 − 20 13 + 12 i 39 3 12 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {{\sqrt {13}}-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12i{\sqrt {39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12i{\sqrt {39}}}}}{12}}} 求め方 以下のようにα、βを置く α = 2 cos ⁡ 2 π 13 + 2 cos ⁡ 8 π 13 + 2 cos ⁡ 6 π 13 β = 2 cos ⁡ 4 π 13 + 2 cos ⁡ 10 π 13 + 2 cos ⁡ 12 π 13 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}\\\beta =&2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}\\\end{aligned}}} 和と差の平方を求めると α + β = − 1 ( α − β ) 2 = 13 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta =-1\\\left(\alpha -\beta \right)^{2}=13\\\end{aligned}}} α-βを求めると（α > βより） α − β = 13 {\displaystyle \alpha -\beta ={\sqrt {13}}} よって 2 cos ⁡ 2 π 13 + 2 cos ⁡ 8 π 13 + 2 cos ⁡ 6 π 13 = − 1 + 13 2 2 cos ⁡ 4 π 13 + 2 cos ⁡ 10 π 13 + 2 cos ⁡ 12 π 13 = − 1 − 13 2 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\frac {-1+{\sqrt {13}}}{2}}\\2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}=&{\frac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}} 一方 ( 2 cos ⁡ 2 π 13 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 8 π 13 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 13 ) 3 = − 2 + 2 13 + 6 ⋅ 3 − 13 2 + 3 ω ⋅ ( − 2 ) + 3 ω 2 ⋅ ( − 2 + 13 ) = 26 − 5 13 − 3 39 i 2 ( 2 cos ⁡ 2 π 13 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 8 π 13 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 13 ) 3 = − 2 + 2 13 + 6 ⋅ 3 − 13 2 + 3 ω 2 ⋅ ( − 2 ) + 3 ω ⋅ ( − 2 + 13 ) = 26 − 5 13 + 3 39 i 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}\right)^{3}=&-2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega \cdot (-2)+3\omega ^{2}\cdot (-2+{\sqrt {13}})={\frac {26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}\right)^{3}=&-2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega ^{2}\cdot (-2)+3\omega \cdot (-2+{\sqrt {13}})={\frac {26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\end{aligned}}} 両辺の立方根を求めると 2 cos ⁡ 2 π 13 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 8 π 13 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 13 = 26 − 5 13 − 3 39 i 2 3 2 cos ⁡ 2 π 13 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 8 π 13 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 13 = 26 − 5 13 + 3 39 i 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\\end{aligned}}} 正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。 正十三角形は折紙により作図可能である。 チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。 [脚注の使い方] ^ z¹³=1 の解法　と　cos(2π/13) の値 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室 ^ 平成 24 年度　上越教育大学公開講座 折紙の数学 ウィキメディア・コモンズには、十三角形に関連するカテゴリがあります。 ポータル 数学 Weisstein, Eric W. "Tridecagon". mathworld.wolfram.com (英語). 表示 編集