混合体積

凸幾何学（英語版）における混合体積（こんごうたいせき、mixed volume）とは、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のいくつかの凸体（英語版）の組と非負数を特徴づける手法である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。 K 1 , K 2 , … , K r {\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の凸体とする。次の関数を考える。 f ( λ 1 , … , λ r ) = V o l n ( λ 1 K 1 + ⋯ + λ r K r ) , λ i ≥ 0 , {\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,} ここで Vol n {\displaystyle {\text{Vol}}_{n}} は n {\displaystyle n} 次元体積、 Vol n {\displaystyle {\text{Vol}}_{n}} 内の加法は拡大縮小された K i {\displaystyle K_{i}} に関するミンコフスキー和（英語版）である。 f {\displaystyle f} は n {\displaystyle n} 次斉次多項式であることが分かり、次のように書ける。 f ( λ 1 , … , λ r ) = ∑ j 1 , … , j n = 1 r V ( K j 1 , … , K j n ) λ j 1 ⋯ λ j n , {\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},} ただし、 V {\displaystyle V} は対称関数である。インデックス j ∈ { 1 , … , r } n {\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}} について、係数 V ( K j 1 , … , K j n ) {\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})} を K j 1 , … , K j n {\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}} の混合体積という。 混合体積は次の3つの性質で特徴づけられる。 V ( K , … , K ) = Vol n ( K ) {\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)} V {\displaystyle V} は対称関数。 V {\displaystyle V} は多重線型形。つまり、 λ , λ ′ ≥ 0 {\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0} について、 V ( λ K + λ ′ K ′ , K 2 , … , K n ) = λ V ( K , K 2 , … , K n ) + λ ′ V ( K ′ , K 2 , … , K n ) {\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})} 混合体積は非負で、各変数において単調増加。つまり K 1 ⊆ K 1 ′ {\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'} とすれば、 V ( K 1 , K 2 , … , K n ) ≤ V ( K 1 ′ , K 2 , … , K n ) {\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})} 。 アレクサンドル・アレクサンドロフ（英語版）とヴェルナー・フェンシェル（英語版）の発見によれば、次の不等式が成立する（アレクサンドロフ＝フェンシェル不等式）。 V ( K 1 , K 2 , K 3 , … , K n ) ≥ V ( K 1 , K 1 , K 3 , … , K n ) V ( K 2 , K 2 , K 3 , … , K n ) . {\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.} ブルン＝ミンコフスキーの不等式（英語版）や凸体におけるミンコフスキーの第一不等式（英語版）のような多くの不等式は、このアレクサンドロフ＝フェンシェル不等式の系である。 K ⊂ R n {\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}} を凸体、 B = B n ⊂ R n {\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}} を単位球とする。 W j ( K ) = V ( K , K , … , K ⏞ n − j  times , B , B , … , B ⏞ j  times ) {\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})} は K {\displaystyle K} の j-th quermassintegral と呼ばれる。 混合体積の定義よりシュタイナーの公式（Steiner formula）と呼ばれる次の式が成立する。ヤコブ・シュタイナーの名を冠する。 V o l n ( K + t B ) = ∑ j = 0 n ( n j ) W j ( K ) t j . {\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.} K {\displaystyle K} の j-th intrinsic volume はquermassintegralの異なる正規化物である。次の式で定義される。 V j ( K ) = ( n j ) W n − j ( K ) κ n − j , {\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},} つまり、 V o l n ( K + t B ) = ∑ j = 0 n V j ( K ) V o l n − j ( t B n − j ) . {\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).} ここで κ n − j = Vol n − j ( B n − j ) {\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})} は、 ( n − j ) {\displaystyle (n-j)} 次元単位球の体積。 ハドヴィガーの定理は、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の凸体上の剛体運動の下で不変で連続な任意の付値はquermassintegral（またはintrinsic volume）の線型結合で表すことができることを主張する。 ^ 『新訂版　数学用語 英和辞典: 和英索引付き』近代科学社、2020年12月2日、228頁。ISBN 978-4-7649-0624-2。https://www.google.co.jp/books/edition/%E6%96%B0%E8%A8%82%E7%89%88_%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E_%E8%8B%B1%E5%92%8C%E8%BE%9E%E5%85%B8/SHMNEAAAQBAJ?hl=ja&gbpv=1&dq=%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D+mixed+volume&pg=PA228&printsec=frontcover。  ^ 窪田忠彦『高等数学叢書 第7』岩波書店、1940年、445頁。NDLJP:1172588。  ^ 『数学』Mathematical Society of Japan、1981年。https://www.google.co.jp/books/edition/%E6%95%B0%E5%AD%A6/eKjxAAAAMAAJ?hl=ja&gbpv=1&bsq=%22%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D%22&dq=%22%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D%22&printsec=frontcover。  ^ McMullen, Peter (1991). “Inequalities between intrinsic volumes”. Monatshefte für Mathematik 111 (1): 47–53. doi:10.1007/bf01299276. MR1089383.  ^ Klain, Daniel A. (1995). “A short proof of Hadwiger's characterization theorem”. Mathematika 42 (2): 329–339. doi:10.1112/s0025579300014625. MR1376731.  Burago, Yu.D. (2001), “Mixed-volume theory”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Mixed-volume_theory  数学特別講義 特異点入門 等周不等式について