オイラーの定数

オイラーの定数（オイラーのていすう、英: Euler’s constant）は、数学定数の1つで、以下のように定義される。 γ := lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln ⁡ ( n ) ) = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x {\displaystyle \gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx} オイラー・マスケローニ定数 (英: Euler-Mascheroni constant)、オイラーのγ (英: Euler's gamma) とも呼ぶ。ちなみに、オイラーはこの定数を表わすのに記号 C を用いた。γ を用いたのはロレンツォ・マスケローニである。 この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。 オイラーの定数は超越数であろうと予想されている。しかしながら、無理数であるかどうか、および、円周率 π {\displaystyle \pi } との関係性も、数学上の未解決問題の一つである。 lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} 上式は調和級数と呼ばれる。調和級数が発散するという事実は、今日においては微分積分学の初歩であるが、古くは収束すると考えられていた。 調和級数が発散することの証明を最初に行ったのは、14世紀のパリ大学のニコル・オレームであるが、これには誤りがあり、正しい証明が得られたのは17世紀になってからである。その後ゴットフリート・ライプニッツなどは有限項の調和級数の近似式に関心をもつなど17世紀においても数学的な関心を集めていた。 有限項の調和級数の近似式への関心から、レオンハルト・オイラーは調和級数の増え方が極限において対数関数に等しいことを証明した。つまり、調和級数と対数関数との差はある定数に収束し、それがのちにオイラーの定数と呼ばれるようになった。オイラーはこの値を小数第6位まで求めた。その後、ロレンツォ・マスケローニが第32位まで求め（ただし、正しかったのは第20位まで）、γの記号で表した。 大文字のガンマ Γ で表されるガンマ関数と小文字のガンマ γ で表されるオイラーの定数は共にオイラーによって与えられたものであるが、オイラー自身は前者のガンマ関数を階乗 (factorial) と呼んでいる。ガンマ関数の記号はアドリアン＝マリ・ルジャンドルに始まり、オイラーの定数の記号はマスケローニに始まるものである。オイラーの定数の記号がガンマ関数に由来するものであったのか、今となっては確かめようがないが、オイラーの定数がガンマ関数に関係しているということは確かである。すなわち、ガンマ関数の乗積表示 Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}} に対し、その対数微分であるディガンマ関数 Ψ ( z ) = d d z log ⁡ Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) = lim n → ∞ ( log ⁡ n − ∑ k = 0 n 1 z + k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (z)&={\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(\log {n}-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{z+k}}\right)\end{aligned}}} に z = 1 {\displaystyle z=1} を代入すると Ψ ( 1 ) = Γ ′ ( 1 ) = lim n → ∞ ( log ⁡ n − ∑ k = 0 n 1 1 + k ) = lim n → ∞ ( log ⁡ n − ∑ k = 1 n 1 k ) = − γ {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (1)=\Gamma '(1)&=\lim _{n\to \infty }\left(\log {n}-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{1+k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left(\log {n}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=-\gamma \\\end{aligned}}} を得る。 オイラーの定数の値は以下の定積分で与えられる。 γ = − Γ ′ ( 1 ) = − ∫ 0 ∞ e − t log ⁡ t d t = − ∫ 0 1 log ⁡ log ⁡ 1 u d u ( u = e − t ) = − ∫ − ∞ ∞ u e u − e u d u ( u = log ⁡ t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\Gamma '(1)\\&=-\int _{0}^{\infty }e^{-t}\log {t}dt\\&=-\int _{0}^{1}\log \log {\frac {1}{u}}du\qquad (u=e^{-t})\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }ue^{u-e^{u}}du\qquad (u=\log {t})\\\end{aligned}}} あるいは log ⁡ t = ∫ 1 t 1 s d s = ∫ 1 t ∫ 0 ∞ e − s u d u d s = ∫ 0 ∞ ∫ 1 t e − s u d s d u = ∫ 0 ∞ e − u − e − t u u d u {\displaystyle {\begin{aligned}\log {t}&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{s}}ds\\&=\int _{1}^{t}\int _{0}^{\infty }e^{-su}duds\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{t}e^{-su}dsdu\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}-e^{-tu}}{u}}du\\\end{aligned}}} を用いれば γ = − ∫ 0 ∞ e − t log ⁡ t d t = − ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − u − e − t u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − t u − e − u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − t ( u + 1 ) u d t − ∫ 0 ∞ e − u e − t u d t ) d u = ∫ 0 ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-t}\log {t}dt\\&=-\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}-e^{-tu}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-tu}-e^{-u}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t(u+1)}}{u}}dt-\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}e^{-t}}{u}}dt\right)du\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\\end{aligned}}} となり、更に δ → + 0 {\displaystyle \delta \to +0} のときに | ∫ δ e δ − 1 1 u ( u + 1 ) d u | ≤ | ∫ δ e δ − 1 1 δ d u | = O ( δ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{e^{\delta }-1}{\frac {1}{u(u+1)}}du\right|&\leq \left|\int _{\delta }^{e^{\delta }-1}{\frac {1}{\delta }}du\right|\\&=O(\delta )\\\end{aligned}}} であるから γ = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ e δ − 1 ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e t ( e t − 1 ) e t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s ( u = e t − 1 ) = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e − t 1 − e − t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s = ∫ 0 ∞ ( e − t 1 − e − t − e − t t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{e^{\delta }-1}^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{t}}{(e^{t}-1)e^{t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\qquad (u=e^{t}-1)\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}-{\frac {e^{-t}}{t}}\right)dt\end{aligned}}} となる。 オイラーの定数は以下の級数表示をもつ。ここで， ζ ( s ) := ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots } はリーマンゼータ関数である。 γ = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) n {\displaystyle \gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{n}}} γ = 1 − ∑ n = 2 ∞ ζ ( n ) − 1 n {\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}} γ = ∑ n = 2 ∞ ( n − 1 ) ( ζ ( n ) − 1 ) n {\displaystyle \gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(\zeta (n)-1)}{n}}} γ = ln ⁡ 2 − ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n + 1 ) 2 2 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \gamma =\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n+1)}{2^{2n}(2n+1)}}} γ = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln ⁡ Γ ( m + 1 m ) {\displaystyle \gamma =\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)} ，ここで m ∈ R ∖ { 0 , − 1 , − 1 k + 1   ( k ∈ Z ∖ { − 1 } ) } {\displaystyle m\in \mathbb {R} \setminus \left\{0,-1,-{\dfrac {1}{k+1}}\ (k\in \mathbb {Z} \setminus \{-1\})\right\}} である。 γ = lim m → 0 ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln ⁡ Γ ( m + 1 m ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow 0}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right)} γ = lim m → − 1 ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln ⁡ Γ ( m + 1 m ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow -1}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right)} γ = lim m → ( − 1 ) / ( k + 1 ) ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln ⁡ Γ ( m + 1 m ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow (-1)/(k+1)}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right)} ，ここで k ∈ Z ∖ { − 1 } {\displaystyle k\in \mathbb {Z} \setminus \{-1\}} である。 γ = 3 2 − ln ⁡ 2 − ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ( n − 1 ) ( ζ ( n ) − 1 ) n {\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(n-1)(\zeta (n)-1)}{n}}} γ = 1 − ln ⁡ 2 + ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ( ζ ( n ) − 1 ) n {\displaystyle \gamma =1-\ln 2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(\zeta (n)-1)}{n}}} 等々． [脚注の使い方] ^ Weisstein ^ a b c Jeff Miller, Earliest Uses of Various Mathematical Symbols ^ Limit[Sum[(-1)^n Zeta[n]/(m^(n - 1)n), {n, 2, Infinity}] - m Log[Gamma[(m + 1)/m]], m -> 0]=EulerGamma ^ Limit[Sum[(-1)^n Zeta[n]/(m^(n - 1)n), {n, 2, Infinity}] - m Log[Gamma[(m + 1)/m]], m -> -1]=EulerGamma ^ Limit[Sum[(-1)^n Zeta[n]/(m^(n - 1)n), {n, 2, Infinity}] - m Log[Gamma[(m + 1)/m]], m -> -1/(k+1)]=EulerGamma Dunham, William (1999), Euler, The Master of Us All, Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 22 (Paperback ed.), Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-328-3, https://books.google.co.jp/books?id=x7p4tCPPuXoC  - Chapter 2 Havil, Julian (2009-07-06), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton Science Library (Paperback ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14133-6, https://books.google.co.jp/books?id=lQX6Oy_SuOgC  Julian Havil『オイラーの定数ガンマ γで旅する数学の世界』新妻弘 監訳、共立出版、2009年5月25日。ISBN 978-4-320-01885-3。http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018853。  - Havil (2009)の初版の翻訳。 真実のみを記す会『オイラー定数1000000桁表』暗黒通信団、2009年。ISBN 978-4-87310-053-1。  数学上の未解決問題 ディガンマ関数 ワイエルシュトラスの乗積表示 リーマンゼータ関数 三角数 調和数 (発散列) Gregory coefficients（グレゴリー係数） Bernoulli polynomials of the second kind（第2種ベルヌーイ多項式） バーンズのG関数 スティルチェス定数 竹之内脩『オイラーの定数』 - コトバンク Weisstein, Eric W. "Euler-Mascheroni Constant". mathworld.wolfram.com (英語). Euler’s constant - Wolfram Alpha