ウェダーバーンの小定理

数学において、ウェダーバーンの小定理 (英: Wedderburn's little theorem) はすべての有限域が体であることを述べるものである。言い換えると、有限環（英語版）において、域、斜体、体の違いはない。 アルティン・ツォルンの定理（英語版）はこの定理を交代環へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である。 最初の証明は Joseph Wedderburn（英語版） によって1905年に与えられ、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、(Parshall 1983) に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。 後に簡潔な証明が Ernst Witt によって与えられた。Witt の証明の概略は下で与えられる。また別の方法は、定理は以下の議論によって Skolem–Noether の定理（英語版） の帰結である。D を有限可除代数で中心を k とする。[D : k] = n2 とし q を k の濃度とする。D のすべての極大部分体は qn 個の元を持つ。なのでそれらは同型でありしたがって Skolem–Noether によって共役である。しかし有限群（今の場合 D の乗法群）は真の部分群の共役の和集合ではありえない。したがって n = 1 である。 定理は本質的に、有限体の Brauer 群が自明であると言うことと同値である。実は、この特徴づけから直ちに以下のように定理の証明が出る。k を有限体とする。Herbrand 商（英語版）は有限性によって消えるから、 Br ⁡ ( k ) = H 2 ( k al / k ) {\displaystyle \operatorname {Br} (k)=H^{2}(k^{\text{al}}/k)} は H 1 ( k al / k ) {\displaystyle H^{1}(k^{\text{al}}/k)} と一致し、これはヒルベルトの定理90によって消える。 A を有限域とする。A の各元 x ≠ 0 に対し、2 つの写像 a ↦ a x , a ↦ x a : A → A {\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A} は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論からA の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、A は斜体である。A の中心 Z(A) は体であるから、A は Z(A) 上有限 n 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は n = 1 を示すことである。q を Z(A) の位数とすると、A の位数は qn である。中心に入っていない各 x ∈ A に対して、x の centralizer Zx の位数は qd である。ここに d は n より小さい n の約数である。Z(A)*, Zx*, A* を乗法について群と見て、類等式を次のように書ける q n − 1 = q − 1 + ∑ q n − 1 q d − 1 {\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}} ただし和は Z(A) に入っていないすべての代表元 x を渡り、d は上で議論された数である。qn−1 と qd−1 はともに円分多項式 Φ f ( q ) {\displaystyle \Phi _{f}(q)} のことばによって分解できる。 多項式の恒等式 x n − 1 = ∏ m | n Φ m ( x ) {\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)} 　および　 x d − 1 = ∏ m | d Φ m ( x ) {\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)} から、x = q とおくと、 Φ n ( q ) {\displaystyle \Phi _{n}(q)} 　は qn−1 と q n − 1 q d − 1 {\displaystyle {q^{n}-1 \over q^{d}-1}} をともに割り切る ことがわかるので、上の類等式によって Φ n ( q ) {\displaystyle \Phi _{n}(q)} は q−1 を割らなければならず、したがって | Φ n ( q ) | ≤ q − 1 {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1} . これによって n が 1 でなければならないことを見るために、n > 1 に対して | Φ n ( q ) | > q − 1 {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1} であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式 Φ n ( x ) = ∏ ( x − ζ ) {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta )} , ただし ζ は 1 の原始 n 乗根を渡る、において、x を q とし、絶対値を取ると | Φ n ( q ) | = ∏ | q − ζ | {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |} . n > 1 に対して | q − ζ | > | q − 1 | {\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|} であることが、複素平面での q, 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって | Φ n ( q ) | > q − 1 {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1} . ^ 本記事において「体」は「可換体」を意味する。 ^ Shult, Ernest E. (2011). Points and lines. Characterizing the classical geometries. Universitext. Berlin: Springer-Verlag. p. 123. ISBN 978-3-642-15626-7. Zbl 1213.51001  ^ a b Lam (2001), p. 204 ^ Theorem 4.1 in Ch. IV of Milne, class field theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html ^ e.g., Exercise 1.9 in Milne, group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf Parshall, K. H. (1983). “In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen”. Archives of International History of Science 33: 274–99.  Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate texts in mathematics. 131 (2 ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0  Proof of Wedderburn's Theorem at Planet Math