チャーン・ヴェイユ準同型

チャーン・ヴェイユ準同型（英: Chern–Weil homomorphism）とは、チャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。 K {\displaystyle \mathbb {K} } により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を持っているとする。 K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})} で、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の上の K {\displaystyle \mathbb {K} } に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} を G の随伴作用の下で次の条件を満たす K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})} の固定点のなす部分代数とする。すべての f ∈ K ( g ∗ ) A d ( G ) . {\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.\,} に対して、 f ( t 1 , … , t k ) = f ( A d g t 1 , … , A d g t k ) {\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{k})=f(Ad_{g}t_{1},\dots ,Ad_{g}t_{k})\,} チャーン・ヴェイユ準同型は、 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} からコホモロジー代数（環） H ∗ ( M , K ) {\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {K} )} への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G-バンドルの分類空間 BG のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環） K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} に同型である。 H ∗ ( B G , K ) ≅ K ( g ∗ ) A d ( G ) . {\displaystyle H^{*}(B^{G},\mathbb {K} )\cong \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.} SL(n,R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。 P の中の任意の接続形式 ω を選び、 Ω {\displaystyle \Omega } を ω についての曲率 2-形式とする。 f ∈ K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} が次数 k の同次多項式として、 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} を f ( Ω ) ( X 1 , … , X 2 k ) = 1 ( 2 k ) ! ∑ σ ∈ S 2 k ϵ σ f ( Ω ( X σ ( 1 ) , X σ ( 2 ) ) , … , Ω ( X σ ( 2 k − 1 ) , X σ ( 2 k ) ) ) {\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))} で与えられる P 上の 2k-形式とする。ここに ϵ σ {\displaystyle \epsilon _{\sigma }} は 2k 個の対称群 S 2 k {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}} の置換の符号 σ {\displaystyle \sigma } である。 すると次のことが示される。 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} は閉形式であり、 d f ( Ω ) = 0 , {\displaystyle df(\Omega )=0,\,} で、ド・ラームコホモロジー類 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )\,} は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。 このようにして f から得られるコホモロジー類 ϕ ( f ) {\displaystyle \phi (f)\,} について、代数（環）準同型 ϕ : K ( g ∗ ) A d ( G ) → H ∗ ( M , K ) . {\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,} を得る。 Bott, R. (1973), “On the Chern-Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, Advances in Math 11: 289?303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 . Chern, S.-S. (1951), Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes . Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0. The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes. Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69, JSTOR 1971013, https://jstor.org/stable/1971013 . Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (new ed.), Wiley-Interscience (2004発行) . Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, Amer. J. Math. 83: 563-572, doi:10.2307/2372896, JSTOR 2372896, https://jstor.org/stable/2372896 . 特性類と幾何学　森田茂之著　岩波書店