Q二項定理

数学において、q二項定理（英: q-binomial theorem）は二項定理のq-類似である。超幾何級数 1 F 0 {\displaystyle _{1}F_{0}} の和は通常の二項定理 1 F 0 ( a ; z ) = F ( a , b , b ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( 1 ) n z n = ( 1 − z ) − a ( | z | < 1 ) {\displaystyle _{1}F_{0}(a;z)=F(a,b,b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(1)_{n}}}z^{n}=(1-z)^{-a}\qquad (|z|<1)} で与えられる。これに倣い、q超幾何級数 1 ϕ 0 {\displaystyle _{1}\phi _{0}} の和を与える公式 1 ϕ 0 [ a − ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( | q | < 1 , | z | < 1 ) {\displaystyle _{1}\phi _{0}\left[{\begin{matrix}a\\-\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|z|<1)} をq二項定理と呼ぶ。ただし、 ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマー記号、 ( a ; q ) n {\displaystyle (a;q)_{n}} はqポッホハマー記号である。 右辺を   f ( a , z ; q ) {\displaystyle \ f(a,z;q)} として関数方程式を導く。 ( 1 − z ) f ( a , z ; q ) = ( 1 − z ) ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n ) − z ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n − z ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n − 1 z n − 1 ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n ( ( 1 − a q n − 1 ) z n − ( 1 − q n ) z n ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n ( ( 1 − a q n − 1 ) q n z n − a ( 1 − q n ) q n − 1 z n ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n − a z ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n − 1 ( q z ) n − 1 ) = ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n ) − a z ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n = ( 1 − a z ) ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n = ( 1 − a z ) f ( a , q z ; q ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f(a,z;q)&=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\right)-z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}-z{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}z^{n-1}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})z^{n}-(1-q^{n})z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})q^{n}z^{n}-a(1-q^{n})q^{n-1}z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}-az{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}(qz)^{n-1}\right)\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\right)-az\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)f(a,qz;q)\end{aligned}}} これにより、左辺を得る。 f ( a , z ; q ) = 1 − a z 1 − z f ( a , q z ; q ) = lim n → ∞ ( a z ; q ) n ( z ; q ) n f ( a , q n z ; q ) = ( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ f ( a , 0 ; q ) = ( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}f(a,z;q)&={\frac {1-az}{1-z}}f(a,qz;q)\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(az;q)_{n}}{(z;q)_{n}}}f(a,q^{n}z;q)\\&={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}f(a,0;q)\\&={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}} 左辺を   g ( a , z ; q ) {\displaystyle \ g(a,z;q)} として関数方程式を導く。 ( 1 − z ) g ( a , z ; q ) = ( 1 − z ) ∏ n = 0 ∞ 1 − a z q n 1 − z q n = ( 1 − z ) 1 − a z 1 − z ∏ n = 1 ∞ 1 − a z q n 1 − z q n = ( 1 − a z ) ∏ n = 0 ∞ 1 − a q z q n 1 − q z q n = ( 1 − a z ) g ( a , q z ; q ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)g(a,z;q)&=(1-z)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-z){\frac {1-az}{1-z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-az)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aqzq^{n}}{1-qzq^{n}}}\\&=(1-az)g(a,qz;q)\\\end{aligned}}} g ( a , z ; q ) {\displaystyle g(a,z;q)} をテイラー級数に展開して z n {\displaystyle z^{n}} の係数を比較すると g ( a , q z ; q ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n ( 1 − z ) ∑ n = 0 ∞ c n z n = ( 1 − a z ) ∑ n = 0 ∞ c n ( q z ) n 1 + ∑ n = 1 ∞ ( c n − c n − 1 ) z n = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( c n − a c n 1 ) ( q z ) n c n − c n − 1 = c n q n − a c n − 1 q n − 1 c n = 1 − a q n − 1 1 − q n c n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&g(a,qz;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(qz)^{n}\\&1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-c_{n-1})z^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-ac_{n1})(qz)^{n}\\&c_{n}-c_{n-1}=c_{n}q^{n}-ac_{n-1}q^{n-1}\\&c_{n}={\frac {1-aq^{n-1}}{1-q^{n}}}c_{n-1}\\\end{aligned}}} となり、 c 0 = 1 {\displaystyle c_{0}=1} であるから c n = ( a ; q ) n ( q ; q ) n {\displaystyle c_{n}={\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}} となる。これにより、右辺を得る。 g ( a , z ; q ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n {\displaystyle g(a,z;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}} コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である。 ∑ n = 0 N y n q n ( n + 1 ) / 2 [ N n ] q = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) ( | q | < 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)} ただし、 [ N n ] q {\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}} はq二項係数である。q二項定理に a = q − N , z = − q N + 1 y {\displaystyle a=q^{-N},z=-q^{N+1}y} を代入すると ∑ n = 0 ∞ ( q − N ; q ) n ( q ; q ) n ( − q N + 1 y ) n = ( − q y ; q ) ∞ ( − q N + 1 y ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ 1 + y q 1 + k 1 + y q N + 1 + k {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}={\frac {(-qy;q)_{\infty }}{(-q^{N+1}y;q)_{\infty }}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}} となるが、左辺は n > N {\displaystyle n>N} で ( q − N ; q ) n = 0 {\displaystyle (q^{-N};q)_{n}=0} となり、右辺は k ≥ N {\displaystyle k{\geq }N} の分子が k − N {\displaystyle k-N} の分母を打ち消す。従って、 ∑ n = 0 N ( q − N ; q ) n ( q ; q ) n ( − q N + 1 y ) n = ∏ k = 0 N − 1 1 + y q 1 + k 1 + y q N + 1 + k = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}=\prod _{k=0}^{N-1}{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)} である。左辺はqポッホハマー記号の変換式 ( a q − n + 1 ; q ) n = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( a − 1 ; q ) n {\displaystyle (aq^{-n+1};q)_{n}=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_{n}} により、 ∑ n = 0 ∞ ( q − N ; q ) n ( q ; q ) n ( − q N + 1 y ) n = ∑ n = 0 ∞ ( q − N + n − 1 q − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n ( − 1 ) n q n ( N + 1 ) y n = ∑ n = 0 ∞ ( − q − N + n − 1 ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( q N − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n ( − 1 ) n q n ( N + 1 ) y n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q − n ( N + 1 ) q n ( n + 1 ) / 2 ( q N − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n ( − 1 ) n q n ( N + 1 ) y n = ∑ n = 0 ∞ y n q n ( n + 1 ) / 2 ( q N − n + 1 ; q ) n ( q ; q ) n = ∑ n = 0 ∞ y n q n ( n + 1 ) / 2 ( q ; q ) N ( q ; q ) N − n ( q ; q ) n = ∑ n = 0 N y n q n ( n + 1 ) / 2 [ N n ] q {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N+n-1}q^{-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-q^{-N+n-1})^{n}q^{-n(n-1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{-n(N+1)}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q;q)_{N}}{(q;q)_{N-n}(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}\\\end{aligned}}} となる。 ^ Wolfram Mathworld: q-Binomial Theorem ^ Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem