漸化式による積分

漸化式による積分（ぜんかしきによるせきぶん、Integration by reduction formulae）は、漸化式による積分の計算方法である。この方法は、整数のパラメータ（通常は初等関数のべき乗）又は超越関数と任意の次数の多項式の積を数式が含み、直接積分できない場合に使われる。 漸化式は、置換積分、部分積分、三角置換（英語版）による積分、部分分数分解による積分などの一般的な積分方法のいずれかを使用して導出できる。主なアイデアは、関数（Inで表される）の整数パラメータ（例えばべき乗）を、例えばIn-1やIn-2で表されるより低い値のパラメータ（例えばより低いべき乗）を含む積分で表すことである。これにより、漸化式が導出される。漸化式において、積分 I n = ∫ f ( x , n ) d x , {\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,} は以下の式 I k = ∫ f ( x , k ) d x , {\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,} で表される。 ここで k < n . {\displaystyle k<n.} である。 積分を計算するには、漸化式を使用してnの積分を(n – 1) や (n – 2) の積分で表す。より低い指数の積分は、より高い指数の積分を計算するために使用できる。これを積分される関数が計算できる（通常は指数が０又は１）ところまで繰り返し、逆代入することでInを計算する。 計算手順の例を示す。 以下の積分は、漸化式により計算できる。 ∫ cos n ⁡ x d x , {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!} 初めに、Inを以下のように定義する。 I n = ∫ cos n ⁡ x d x . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!} Inは以下のように書き換えられる。 I n = ∫ cos n − 1 ⁡ x cos ⁡ x d x , {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!} 以下のように設定し、置換積分を行う。 cos ⁡ x d x = d ( sin ⁡ x ) , {\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!} I n = ∫ cos n − 1 ⁡ x d ( sin ⁡ x ) . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!} 計算結果は以下のようになる。 ∫ cos n ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x − ∫ sin ⁡ x d ( cos n − 1 ⁡ x ) = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ sin ⁡ x cos n − 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 ⁡ x ( 1 − cos 2 ⁡ x ) d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 ⁡ x d x − ( n − 1 ) ∫ cos n ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n , {\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,} これによりInは以下の漸化式で表される。 I n   + ( n − 1 ) I n   = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x   +   ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,} n I n   = cos n − 1 ⁡ ( x ) sin ⁡ x   + ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,} I n   = 1 n cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x   + n − 1 n I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,} これにより漸化式は ∫ cos n ⁡ x d x   = 1 n cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x + n − 1 n ∫ cos n − 2 ⁡ x d x . {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!} となる。n = 5の場合は以下のように計算できる。 I 5 = ∫ cos 5 ⁡ x d x . {\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!} 低い次数のInを計算する。 n = 5 , I 5 = 1 5 cos 4 ⁡ x sin ⁡ x + 4 5 I 3 , {\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,} n = 3 , I 3 = 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 I 1 , {\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,} 逆代入すると、 ∵ I 1   = ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C 1 , {\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,} ∴ I 3   = 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 sin ⁡ x + C 2 , C 2   = 2 3 C 1 , {\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,} となり、最終的にI5は以下のように計算される。 I 5   = 1 5 cos 4 ⁡ x sin ⁡ x + 4 5 [ 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 sin ⁡ x ] + C , {\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,} Cは定数である。 ∫ x n e a x d x . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} 初めに、Inを以下のように定義する。 I n = ∫ x n e a x d x . {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} 以下のように設定し、置換積分を行う。 x n d x = d ( x n + 1 ) n + 1 , {\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!} I n = 1 n + 1 ∫ e a x d ( x n + 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!} 計算結果は以下のようになる。 ∫ e a x d ( x n + 1 ) = x n + 1 e a x − ∫ x n + 1 d ( e a x ) = x n + 1 e a x − a ∫ x n + 1 e a x d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!} ( n + 1 ) I n = x n + 1 e a x − a I n + 1 , {\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!} 指数を１つずらし、n + 1 → n, n → n – 1とすると、 n I n − 1 = x n e a x − a I n , {\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!} となる。Inを解くと I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} となる。漸化式は ∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} となる。 e a x {\displaystyle e^{ax}} を置換することによっても、導出することができる。以下のように設定し、置換積分を行う。 e a x d x = d ( e a x ) a , {\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!} I n = 1 a ∫ x n d ( e a x ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!} 計算結果は以下のようになる。 ∫ x n d ( e a x ) = x n e a x − ∫ e a x d ( x n ) = x n e a x − n ∫ e a x x n − 1 d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!} 逆代入すると I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} となり、式は ∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} となる。 部分積分によっても導出することができる。 I n = ∫ x n x e a x d x , {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x,\!} u = x n  ,    d v = e a x , {\displaystyle u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax},} d u d x   = n x n − 1  ,    v = e a x a   {\displaystyle {\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\ } I n = x n e a x a   − ∫ n x n − 1   e a x a   d x   {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\ } I n = x n e a x a   − n a   ∫ x n − 1 e a x   d x   {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ } ここで I n − 1 = ∫ x n − 1 e a x   d x   {\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ } ∴   I n = x n e a x a   − n a   I n − 1 {\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}} となるため、逆代入すると以下のようになる。 I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} これは以下の式に等しい。 ∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} 以下の積分は、これらを含む。 線形根号の因子 a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} 線形因子 p x + q {\displaystyle {px+q}\,\!} と線形根号 a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} 二次因子 x 2 + a 2 {\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!} 二次因子 x 2 − a 2 {\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!} , for x > a {\displaystyle x>a\,\!} 二次因子 a 2 − x 2 {\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!} , for x < a {\displaystyle x<a\,\!} (既約) 二次因子 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!} 既約多項式因子の根号 a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!} I n + 1 2 = I 2 n + 1 2 = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 2 d x = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 d x {\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!} 以下の積分は、これらを含む。 正弦(sin)因子 余弦(cos)因子 正弦と余弦の積や商の因子 指数因子やxの冪乗の積や商 指数と正弦/余弦因子の積 ^ Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5 ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list ウィキブックスにCalculus/Integration techniques/Reduction Formula関連の解説書・教科書があります。 Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.