ヤコビの二平方定理

ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。 自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は r 2 ( n ) = 4 ∑ 2 ∤ d ∣ n ( − 1 ) d − 1 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }n}(-1)^{\frac {d-1}{2}}} で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。 例えば、 r 2 ( 25 ) = 4 ( ( − 1 ) 1 − 1 2 + ( − 1 ) 5 − 1 2 + ( − 1 ) 25 − 1 2 ) = 12 {\displaystyle r_{2}(25)=4\left((-1)^{\frac {1-1}{2}}+(-1)^{\frac {5-1}{2}}+(-1)^{\frac {25-1}{2}}\right)=12} であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は 25 = ( ± 5 ) 2 + 0 2 = 0 2 + ( ± 5 ) 2 = ( ± 4 ) 2 + ( ± 3 ) 2 = ( ± 3 ) 2 + ( ± 4 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}25&=(\pm 5)^{2}+0^{2}\\&=0^{2}+(\pm 5)^{2}\\&=(\pm 4)^{2}+(\pm 3)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}\\\end{aligned}}} であり、符号と順序を区別すれば12個になる。 テータ関数の比は楕円関数（二重周期を持つ有理型関数）になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、 F ( v ) = ∂ ∂ v ( ϑ 1 ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) ) = ϑ 1 ′ ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) − ϑ 1 ( v , τ ) ϑ 2 ′ ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) 2 G ( v ) = ( ϑ 3 ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) ) ( ϑ 4 ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) ) = ϑ 3 ( v , τ ) ϑ 4 ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}F(v)&={\frac {\partial }{\partial {v}}}\left({\frac {\vartheta _{1}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{1}'(v,\tau )\vartheta _{2}(v,\tau )-\vartheta _{1}(v,\tau )\vartheta _{2}'(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\G(v)&=\left({\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)\left({\frac {\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\\end{aligned}}} F ( v ) {\displaystyle F(v)} と G ( v ) {\displaystyle G(v)} は共に楕円関数である。且つ、 ϑ 1 ′ ( v + 1 2 + τ 2 ) = ϑ 2 ′ ( v + 1 2 + τ 2 ) = 0 ϑ 1 ′ ( v + τ 2 ) = ϑ 2 ′ ( v + τ 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\\end{aligned}}} であるから、 G ( v ) = 0 {\displaystyle G(v)=0} となるところにおいて悉く F ( v ) = 0 {\displaystyle F(v)=0} となり、リウヴィルの定理によって F ( v ) / G ( v ) {\displaystyle F(v)/G(v)} は定数である。 v → 0 {\displaystyle v\to 0} として ϑ 1 ( 0 , τ ) = 0 ϑ 1 ′ ( 0 , τ ) = π ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( 0 , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}(0,\tau )=0\\&\vartheta _{1}'(0,\tau )=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )\\\end{aligned}}} により、 F ( 0 ) = π ϑ 2 ( 0 , τ ) 2 G ( 0 ) {\displaystyle F(0)=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}G(0)} を得る。従って、 F ( v ) = π ϑ 2 ( 0 , τ ) 2 ϑ 3 ( v , τ ) ϑ 4 ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) 2 {\displaystyle F\left(v\right)={\frac {\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}} である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、 v = 1 4 {\displaystyle v={\tfrac {1}{4}}} を代入し、 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{{\pi }i\tau }} と書くと F ( 1 4 ) = π ( 2 q 1 / 4 ) 2 ( 2 q 1 / 4 ) 2 cos 2 ⁡ π 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) 2 ( 1 + q 2 m ) 4 ( 1 − q 2 m ) ( 1 + i q 2 m − 1 ) ( 1 − i q 2 m − 1 ) ( 1 − q 2 m ) ( 1 − i q 2 m − 1 ) ( 1 + i q 2 m − 1 ) ( 1 − q 2 m ) 2 ( 1 + i q 2 m ) 2 ( 1 − i q 2 m ) 2 = 2 π ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) 2 ( 1 + q 2 m ) 4 ( 1 + i q 2 m − 1 ) 2 ( 1 − i q 2 m − 1 ) 2 ( 1 + i q 2 m ) 2 ( 1 − i q 2 m ) 2 = 2 π ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) 2 ( 1 + q 2 m ) 2 ( 1 + q 4 m − 2 ) 2 ( 1 + q 4 m ) 2 = 2 π ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) 2 ( 1 + q 4 m ) 2 ( 1 + q 4 m − 2 ) 2 ( 1 + q 4 m − 2 ) 2 ( 1 + q 4 m ) 2 = 2 π ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) 2 ( 1 + q 4 m − 2 ) 4 {\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\pi \left(2q^{1/4}\right)^{2}}{\left(2q^{1/4}\right)^{2}\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{4}}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1-q^{2m})(1+iq^{2m-1})(1-iq^{2m-1})(1-q^{2m})(1-iq^{2m-1})(1+iq^{2m-1})}{(1-q^{2m})^{2}(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1+iq^{2m-1})^{2}(1-iq^{2m-1})^{2}}{(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{2m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{4}\\\end{aligned}}} となり、ヤコビの三重積の公式により F ( 1 4 ) = 2 π ( ∑ n = − ∞ ∞ q 2 n 2 ) 2 = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ q 2 ( n 2 + m 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2n^{2}}\right)^{2}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}\end{aligned}}} となる。一方、 ϑ 2 ( v ) = ϑ 1 ( 1 2 − v ) ϑ 2 ′ ( v ) = ϑ 1 ′ ( 1 2 − v ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{2}\left(v\right)=\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\&\vartheta _{2}'\left(v\right)=\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\\end{aligned}}} であるから F ( 1 4 ) = ϑ 1 ′ ( 1 4 ) ϑ 2 ( 1 4 ) − ϑ 1 ( 1 4 ) ϑ 2 ′ ( 1 4 ) ϑ 2 ( 1 4 ) 2 = 2 ϑ 1 ′ ( 1 4 ) ϑ 1 ( 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}}}={\frac {2\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)}}\\\end{aligned}}} であり、テータ関数の対数微分の公式により F ( 1 4 ) = 2 π cot ⁡ π 4 + 8 π ∑ n = 1 ∞ q 2 n 1 − q 2 n sin ⁡ π n 2 = 2 π + 8 π ∑ k = 0 ∞ q 2 ( 2 k + 1 ) 1 − q 2 ( 2 k + 1 ) ( − 1 ) k ( n → 2 k + 1 ) = 2 π + 8 π ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∑ j = 1 ∞ q 2 j ( 2 k + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \cot {\frac {\pi }{4}}+8\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{2n}}}\sin {\frac {\pi {n}}{2}}\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{2(2k+1)}}{1-q^{2(2k+1)}}}(-1)^{k}\qquad (n\to 2k+1)\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}\\\end{aligned}}} である。以上により、 F ( 1 4 ) 2 π = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ q 2 ( n 2 + m 2 ) = 1 + 4 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∑ j = 1 ∞ q 2 j ( 2 k + 1 ) {\displaystyle {\frac {F\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{2\pi }}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}=1+4\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}} が得られ、 q 2 N {\displaystyle q^{2N}} の係数を比較することにより、 r 2 ( N ) = 4 ∑ 2 ∤ d ∣ N ( − 1 ) d − 1 2 {\displaystyle r_{2}(N)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }N}(-1)^{\frac {d-1}{2}}} が得られる。 二個の平方数の和 ヤコビの四平方定理 ^ Hardy & Write, 1938, An Introduction to the Theory of Numbers