ケイリー＝アロンホルトの微分作用素

数学において、ケイリー＝アロンホルトの微分作用素（ケイリー＝アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者ジークフリート・ハインリッヒ・アロンホルト（英語版）に因む。二次の特殊線形リー環の表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。 ξ = ( ξ 0 , ξ 1 , ⋯ , ξ n ) {\displaystyle \xi =(\xi _{0},\xi _{1},\cdots ,\xi _{n})} を不定元とし、標数0の体 K を係数とする多項式に対し、 H = ∑ l = 0 n ( n − 2 l ) ξ l ∂ ∂ ξ l {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{l=0}^{n}(n-2l)\xi _{l}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}} D = ∑ l = 0 n l ξ l − 1 ∂ ∂ ξ l {\displaystyle {\mathcal {D}}=\sum _{l=0}^{n}l\xi _{l-1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}} Δ = ∑ l = 0 n ( n − l ) ξ l + 1 ∂ ∂ ξ l {\displaystyle \Delta =\sum _{l=0}^{n}(n-l)\xi _{l+1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}} で定義される、多項式環 K [ ξ ] {\displaystyle K[\xi ]} 上の微分 H , D , Δ {\displaystyle {\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta } をケイリー＝アロンホルトの微分作用素という。 単項式 φ = ξ 0 m 0 ⋯ ξ n m n {\displaystyle \varphi =\xi _{0}^{m_{0}}\cdots \xi _{n}^{m_{n}}} に対し、その次数 deg ⁡ φ {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi } 、重さ weight ⁡ φ {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi } は、 deg ⁡ φ = ∑ l = 0 n m l {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi =\sum _{l=0}^{n}m_{l}} weight ⁡ φ = ∑ l = 0 n l ⋅ m l {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi =\sum _{l=0}^{n}l\cdot m_{l}} で定義される。 H , D , Δ {\displaystyle {\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta } の作用で次数 deg ⁡ φ {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi } は不変であるが、重さ weight ⁡ φ {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi } については、 weight ⁡ H φ = weight ⁡ φ {\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {H}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi } weight ⁡ D φ = weight ⁡ φ − 1 {\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {D}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi -1} weight ⁡ Δ φ = weight ⁡ φ + 1 {\displaystyle \operatorname {weight} \Delta \varphi =\operatorname {weight} \varphi +1} が成り立つ。 全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式 ϕ ( ξ ) ∈ K [ ξ ] {\displaystyle \phi (\xi )\in K[\xi ]} に対し、その指数 ind ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {ind} \phi } を ind ⁡ ϕ = n deg ⁡ ϕ − 2 weight ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {ind} \phi =n\operatorname {deg} \phi -2\operatorname {weight} \phi } で定めると H ϕ ( ξ ) = ind ⁡ ϕ ⋅ ϕ ( ξ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\phi (\xi )=\operatorname {ind} \phi \cdot \phi (\xi )} が成り立つ。 交換子積を [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} で定めると、 H , D , Δ {\displaystyle {\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta } 同士の交換子は、 [ D , Δ ] = H , [ H , D ] = 2 D , [ H , Δ ] = − 2 Δ {\displaystyle [{\mathcal {D}},\Delta ]={\mathcal {H}},\,\,[{\mathcal {H}},{\mathcal {D}}]=2{\mathcal {D}},\,\,[{\mathcal {H}},\Delta ]=-2\Delta } の関係を満たす。 これは二次特殊線形リー環 s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} の基底 H = ( − 1 0 0 1 ) , X = ( 0 0 1 0 ) , Y = ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,X={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,\,Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}} が満たす関係 [ X , Y ] = H , [ H , X ] = 2 X , [ H , Y ] = − 2 Y {\displaystyle [X,Y]=H,\,\,[H,X]=2X,\,\,[H,Y]=-2Y} に対応している。 そこで、 ρ : s l ( 2 ) → g l ( K [ ξ ] ) {\displaystyle \rho :{\mathfrak {sl}}(2)\rightarrow {\mathfrak {gl}}(K[\xi ])} を対応関係 λ H + μ X + ν Y → λ H + μ D + ν Δ ( λ , μ , ν ∈ K ) {\displaystyle \lambda H+\mu X+\nu Y\rightarrow \lambda {\mathcal {H}}+\mu {\mathcal {D}}+\nu \Delta \quad (\lambda ,\mu ,\nu \in K)} で与えれば、 ρ {\displaystyle \rho } は K [ ξ ] {\displaystyle K[\xi ]} を表現空間とする s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} のリー代数の表現となる。 森川寿 『不変式論 (紀伊国屋数学叢書 (11))』岩波書店 (1977年) ISBN 978-4314701129 古典的不変式論 リー代数の表現