ミケルの定理

ミケルの定理（みけるのていり、英語: Miquel's theorem）はフランスの高校教師であるオーギュスト・ミケル（フランス語版）の名を冠する幾何学の定理である。三角形の3辺またはその延長（英語版）に点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通る円は、一点で交わる。ミケルの定理はミケルの発見した円の定理の一つで、彼の発見した諸定理は、ジョゼフ・リウヴィルのJournal de Mathématiques Pures et Appliquées によって出版された。 厳密にいうと、ある△ABCについて、直線BC,CA,AB上にそれぞれ点A' ,B' ,C' をとり、△A'B'C,△B'C'A,△C'A'Bの外接円を描く（ミケル円、Miquel's circles）。3つのミケル円は一点で交わる（ミケル点、Miquel point）。さらに3つの角∠MA'C,∠MB'A, ∠MC'Bは等しくまた、∠MA'B,∠MB'C,∠MC'A も等しい。 この定理は、 内接四角形の角の性質と有向角を用いることで示すことができる。円A'B'C,AB'C' の交点 M ≠ B ′ {\displaystyle M\neq B'} について ∠ A ′ M C ′ = 2 π − ∠ B ′ M A ′ − ∠ C ′ M B ′ = 2 π − ( π − C ) − ( π − A ) = A + C = π − B {\displaystyle \angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B} と角度追跡することによりBA'MC'の共円が示されてミケルの定理を得る。 ミケルの定理を共線でない3点A' ,B' ,C' の成す三角形に着目した場合はForder (1960, p. 17)によってPivot theoremと名づけられている。 A' ,B' ,C' のBC,CA,ABに対するfractional distances（線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離）をそれぞれda,db,dc、線分BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとしてそのミケル点の三線座標(x,y,z)は以下の式で表される。 x = a ( − a 2 d a d a ′ + b 2 d a d b + c 2 d a ′ d c ′ ) {\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)} y = b ( a 2 d a ′ d b ′ − b 2 d b d b ′ + c 2 d b d c ) {\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)} z = c ( a 2 d a d c + b 2 d b ′ d c ′ − c 2 d c d c ′ ) , {\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),} ただしd' a= 1 - da,d' b= 1 - db,d' c= 1 - dc である。 da=db=dc=1/2である場合、ミケル点は外心(cos α : cos β : cos γ)になる。 ミケルの定理の逆は次のような定理である。点Mを通る3円について、1つの円上に点A をとり、2つ目の円とのMでないほうの交点の一つをC'として、直線AC'と2つ目の円のC'でない方の交点をBとする。同様に、3つ目の円に対してBからA',Cをつくる。このとき点A,C,B'は共線であり、△ABCの辺上にA' ,B' ,C' が存在する。 △XYZが三角形△ABCに内接し相似であるとき、任意の△XYZにおいて、そのミケル点は不動である。 完全四辺形（英語版）の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理（Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem）という。 この定理は、1827,1828年に ヤコブ・シュタイナーによってジョセフ・ジェルゴンヌ の出版物（Annales de Gergonne）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた。 凸な五角形ABCDEについて、その辺を延長し星形五角形FGHIKをつくる。5つの円CFD,DGE,EHA,AIB,BKCの、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は共円である。これをミケルの五点円定理（Miquel's pentagon theorem）という。この定理の逆として、五円定理が知られている。 円上に四点A,B,C,Dをとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理（Miquel's six circle theorem）または六円定理（six circles theorem）、四円定理（four circles theorem）という。ただし、六円定理は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである。 David G. Wellsはこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる。 ミケルの定理は三次元に一般化されている。三角形を四面体に、円を球に置き換える。4つの球は一点で交わる。 クリフォードの定理 八円定理 Bundle theorem（英語版） ミケル配置（英語版） ^ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, p. 94 ^ “ミケルの定理とミケル円”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年7月1日閲覧。 ^ Miquel, Auguste (1838), “Mémoire de Géométrie”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1: 485–487, オリジナルの2013-02-13時点におけるアーカイブ。, https://archive.today/20130213095630/http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3  ^ a b Wells 1991, p. 184 - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem ^ Coxeter & Greitzer 1967, p. 62 ^ Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, (2016). “Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles”. Forum Geometricorum (vol 16): 257-267. https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf.  ^ a b Ostermann & Wanner 2012, p. 96 ^ Steiner, J. (1827/1828), “Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet”, Annales de Mathématiques 18: 302–304  ^ Ostermann & Wanner 2012, pp. 96–97 ^ Pedoe 1988, p. 424 ^ Ostermann & Wanner 2012, p. 352 ^ Wells 1991, pp. 151–2 Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402  Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson  Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3  Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0  Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3  Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005, https://archive.org/details/penguindictionar0000well  Weisstein, Eric W. "Miquel's theorem". mathworld.wolfram.com (英語). Weisstein, Eric W. "Miquel Five Circles Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). Weisstein, Eric W. "Miquel Pentagram Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). Weisstein, Eric W. "Pivot theorem". mathworld.wolfram.com (英語). Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches