デュ・バル特異点

代数幾何学において単純曲面特異点（英：simple surface singlarity）、クライン特異点（英：Kleinian singlarity）、もしくは有理二重点（英：rational double point）とも呼ばれるデュ・バル特異点（英：du Val singlarity）は複素曲面の孤立特異点である。ADE分類（英語版）のタイプのディンキン図形に二重な交差のパターンをもち、滑らかな有理曲線の木をもったその特異点の置き換えによって得られる最小特異点解消（英：minimal resolution）をもつ、平面の二重分岐被覆によってそれはモデル化される。それらは二次元の標準特異点（または、同値的に、有理ゴレンスタイン特異点（英：rational Gorenstein singularity））である。それらはPatrick du Val (1934a, 1934b, 1934c)とフェリックス・クラインによって研究された。 二項正多面体群として知られるSU(2)の有限部分群（英：finite subgroup）に同等の、SL2(C)の有限部分群による、 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} の商としてもデュ・バル特異点は現れる。これらの有限群の作用の不変多項式（英語版）の環（英：ring of invariant polynomial）はクラインによって計算され、そして本質的にその特異点の座標環である；これは古典的な不変式論（英語版）の帰結である。 （解析的に同型なものとして）次のようにデュ・バル特異点は有り得る： An : w 2 + x 2 + y n + 1 = 0 {\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0} Dn : w 2 + y ( x 2 + y n − 2 ) = 0 ( n ≥ 4 ) {\displaystyle w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0\qquad (n\geq 4)} E6 : w 2 + x 3 + y 4 = 0 {\displaystyle w^{2}+x^{3}+y^{4}=0} E7 : w 2 + x ( x 2 + y 3 ) = 0 {\displaystyle w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0} E8 : w 2 + x 3 + y 5 = 0 {\displaystyle w^{2}+x^{3}+y^{5}=0} 。 ブリスコーン‐グロタンディークの解消 Artin, Michael (1966), “On isolated rational singularities of surfaces”, American Journal of Mathematics 88 (1): 129-136, doi:10.2307/2373050, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373050, MR0199191, https://jstor.org/stable/2373050  Berth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chiris A. M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00832-3, MR2030225  Durffee, Alan H. (1979), “Fifteen characterizations of rational double points and simple critical points”, L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe, オリジナルの2011-07-07時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20110707003722/http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001%3A1979%3A25%3A%3A300  du Val, Patrick (1934a), “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. I”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (4): 453–459, doi:10.1017/S030500410001269X, http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0010.17602Z61 entry I  du Val, Patrick (1934b), “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. II”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (4): 460–465, doi:10.1017/S0305004100012706, http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0010.17603II  du Val, Patrick (1934c), “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. III”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (4): 483–491, doi:10.1017/S030500410001272X, http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0010.17701III  齋藤, 恭司 (1982-07-20). 基調報告―特異点とディンキン図形. “シンポジウム数学［４］数学研究の最前線”. 数学セミナー (日本評論社) (臨時増刊): 118-130.  デュ・バル特異点の他に、ウラジーミル・アーノルドによる、ユニモジュラー特異点ならびにバイモジュラー特異点にも触れられている。 上野, 喜三雄; 齋藤, 恭司; 堀田, 良之; 森田, 純; 矢野, 環; 齋藤, 正彦 (1982-07-20). 討論―構造分類の象徴・ディンキン図形. “シンポジウム数学［４］数学研究の最前線”. 数学セミナー (日本評論社) (臨時増刊): 131-154. からの引用の Arnold, V. I.. “Mathematical developments arising from Hilbert problems”. Proc. of Sympo. in Pure Math. (アメリカ数学会) 28.  卜部, 東介 (1986-4-8). “1次元代数的特異点とディンキン図形”. 幾何学をみる―次元からのイメージ (1 ed.). 遊星社. pp. 63-146. ISBN 4-7952-6855-X 最新版は 卜部, 東介 (2007-10-13). 1次元代数的特異点とディンキン図形. 数学をみる② (1 ed.). 遊星社　. ISBN 978-4-434-11193-8 （この本のp.146に数学ソフトウェアを使ってE8 型ディンキン図形に対応する実曲線を描画する演習問題が載っている。解ければ回答を著者に送るよう求めているが、報告が有ったかどうかは定かでない）からの引用の（翻訳ではないが、著者によれば本書と内容がかなり重複するとされる） Bätig, D.; Knörrer, H. (1991). Singularitäten. Birkhäuser. ISBN 3-7643-2616-6  松澤, 淳一 (2002-4-15). 特異点とルート系. すうがくの風景6 (1 ed.). 朝倉書店. ISBN 4-254-11556-3  著者によると、「外国語でも、正多面体からリー環までの話をていねいに”いち”から書いたもの」はこの本が初めてとされる。 Reid, M. (2007年3月4日). “The du Val singularities An,Dn,E6,E7,E8” (PDF). 2018年7月4日閲覧。 Burban, Igor, Du Val Singularities, http://www.mi.uni-koeln.de/~burban/singul.pdf