三十三角形

三十三角形（さんじゅうさんかくけい、さんじゅうさんかっけい、triacontatrigon）は、多角形の一つで、33本の辺と33個の頂点を持つ図形である。内角の和は5580°、対角線の本数は495本である。 正三十三角形においては、中心角と外角は10.909…°で、内角は169.09…°となる。一辺の長さが a の正三十三角形の面積 S は S = 33 4 a 2 cot ⁡ π 33 ≃ 86.39791 a 2 {\displaystyle S={\frac {33}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{33}}\simeq 86.39791a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 33 ) {\displaystyle \cos(2\pi /33)} は以下の関係式を用いて冪根で表せる。（正十一角形も参照） cos ⁡ 2 π 33 = cos ⁡ ( 8 π 11 − 2 π 3 ) = cos ⁡ 8 π 11 cos ⁡ 2 π 3 + sin ⁡ 8 π 11 sin ⁡ 2 π 3 = − 1 2 cos ⁡ 8 π 11 + 3 2 sin ⁡ 8 π 11 = − 1 4 2 + 2 cos ⁡ 16 π 11 + 3 4 2 − 2 cos ⁡ 16 π 11 = − 1 4 2 + 2 cos ⁡ 6 π 11 + 3 4 2 − 2 cos ⁡ 6 π 11 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{33}}=&\cos \left({\frac {8\pi }{11}}-{\frac {2\pi }{3}}\right)\\=&\cos {\frac {8\pi }{11}}\cos {\frac {2\pi }{3}}+\sin {\frac {8\pi }{11}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\\=&-{\frac {1}{2}}\cos {\frac {8\pi }{11}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin {\frac {8\pi }{11}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}\\\end{aligned}}} 関係式 Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から 2 cos ⁡ 2 π 33 + 2 cos ⁡ 4 π 33 + 2 cos ⁡ 6 π 33 + 2 cos ⁡ 8 π 33 + 2 cos ⁡ 10 π 33 + 2 cos ⁡ 12 π 33 + 2 cos ⁡ 14 π 33 + 2 cos ⁡ 16 π 33 + 2 cos ⁡ 18 π 33 + 2 cos ⁡ 20 π 33 + 2 cos ⁡ 22 π 33 + 2 cos ⁡ 24 π 33 + 2 cos ⁡ 26 π 33 + 2 cos ⁡ 28 π 33 + 2 cos ⁡ 30 π 33 + 2 cos ⁡ 32 π 33 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {6\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {12\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}\\&+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {18\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {22\pi }{33}}+2\cos {\frac {24\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {30\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=-1\end{aligned}}} ここで、以下の関係式を使って 2 cos ⁡ 22 π 33 = 2 cos ⁡ 2 π 3 = − 1 2 cos ⁡ 6 π 33 + 2 cos ⁡ 12 π 33 + 2 cos ⁡ 18 π 33 + 2 cos ⁡ 24 π 33 + 2 cos ⁡ 30 π 33 = 2 cos ⁡ 2 π 11 + 2 cos ⁡ 4 π 11 + 2 cos ⁡ 6 π 11 + 2 cos ⁡ 8 π 11 + 2 cos ⁡ 10 π 11 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {22\pi }{33}}=2\cos {\frac {2\pi }{3}}=-1\,\\&2\cos {\frac {6\pi }{33}}+2\cos {\frac {12\pi }{33}}+2\cos {\frac {18\pi }{33}}+2\cos {\frac {24\pi }{33}}+2\cos {\frac {30\pi }{33}}\\&=2\cos {\frac {2\pi }{11}}+2\cos {\frac {4\pi }{11}}+2\cos {\frac {6\pi }{11}}+2\cos {\frac {8\pi }{11}}+2\cos {\frac {10\pi }{11}}=-1\\\end{aligned}}} 整理すると 2 cos ⁡ 2 π 33 + 2 cos ⁡ 4 π 33 + 2 cos ⁡ 8 π 33 + 2 cos ⁡ 10 π 33 + 2 cos ⁡ 14 π 33 + 2 cos ⁡ 16 π 33 + 2 cos ⁡ 20 π 33 + 2 cos ⁡ 26 π 33 + 2 cos ⁡ 28 π 33 + 2 cos ⁡ 32 π 33 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=1\end{aligned}}} 以下のように定義すると（角度を5倍して振り分ける） α = 2 cos ⁡ 2 π 33 + 2 cos ⁡ 16 π 33 + 2 cos ⁡ 4 π 33 + 2 cos ⁡ 32 π 33 + 2 cos ⁡ 8 π 33 β = 2 cos ⁡ 10 π 33 + 2 cos ⁡ 14 π 33 + 2 cos ⁡ 20 π 33 + 2 cos ⁡ 28 π 33 + 2 cos ⁡ 26 π 33 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}\end{aligned}}} 以下の値が求められる。 α + β = 1 ( α − β ) 2 = 33 α − β = 33 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=33\\&\alpha -\beta ={\sqrt {33}}\\\end{aligned}}} 正三十三角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正三十三角形は折紙により作図が不可能な図形である。 [脚注の使い方] 十一角形 二十二角形 ポータル 数学 表示 編集