Xorshift

Xorshiftは疑似乱数列生成法の1つである。George Marsaglia（w:George Marsaglia）が2003年に提案した。演算が排他的論理和とビットシフトのみであるため高速である などの特徴がある。 XorshiftアルゴリズムのCによる実装例: #include <stdint.h> struct xorshift32_state { uint32_t a; }; /* The state word must be initialized to non-zero */ uint32_t xorshift32(struct xorshift32_state *state) { /* Algorithm "xor" from p. 4 of Marsaglia, "Xorshift RNGs" */ uint32_t x = state->a; x ^= x << 13; x ^= x >> 17; x ^= x << 5; return state->a = x; } struct xorshift64_state { uint64_t a; }; uint64_t xorshift64(struct xorshift64_state *state) { uint64_t x = state->a; x ^= x << 13; x ^= x >> 7; x ^= x << 17; return state->a = x; } struct xorshift128_state { uint32_t x[4]; }; /* The state array must be initialized to not be all zero */ uint32_t xorshift128(struct xorshift128_state *state) { /* Algorithm "xor128" from p. 5 of Marsaglia, "Xorshift RNGs" */ uint32_t t = state->x[3]; uint32_t s = state->x[0]; /* Perform a contrived 32-bit shift. */ state->x[3] = state->x[2]; state->x[2] = state->x[1]; state->x[1] = s; t ^= t << 11; t ^= t >> 8; return state->x[0] = t ^ s ^ (s >> 19); } /* The Xorshift128 algorithm can be reworded to use a pair of uint64_t state, or for systems with such support, a uint128_t state. */ このアルゴリズムの周期はそれぞれ 2 32 − 1 , 2 64 − 1 , 2 96 − 1 , 2 128 − 1 {\displaystyle 2^{32}-1,2^{64}-1,2^{96}-1,2^{128}-1} で、Diehardテスト（英語版）をパスしている。 64ビット整数を効率よく扱える計算機では、xor,shift操作の組を3つから2つにして計算負荷を減らしても、周期は 2 64 − 1 {\displaystyle 2^{64}-1} に保たれる。 struct xorshift64_state { uint64_t a; }; uint64_t xorshift64(struct xorshift64_state *state) { uint64_t x = state->a; x ^= x << 7; x ^= x >> 9; return state->a = x; } シード値を128bitの二元横ベクトル β {\displaystyle \beta } 、現在の状態から次状態への二元遷移行列を T {\displaystyle T} と置くと、Xorshiftアルゴリズムにより生成される乱数列は β , β T , β T 2 , … {\displaystyle \beta ,\beta T,\beta T^{2},\dots } と表される。詳しい証明は省略するが、行列 T {\displaystyle T} のOrderが k = 2 n − 1 {\displaystyle k=2^{n}-1} で表される時、かつその時に限り、任意の0でない β {\displaystyle \beta } に対し β , β T , β T 2 , … , β T k − 1 {\displaystyle \beta ,\beta T,\beta T^{2},\dots ,\beta T^{k-1}} は全て異なる値となる。 予備的なテストとしては、今周期 k {\displaystyle k} について k = 2 n − 1 {\displaystyle k=2^{n}-1} となることを期待しているため、期待する n {\displaystyle n} が T 2 n = T {\displaystyle T^{2^{n}}=T} を満たす最小の n {\displaystyle n} であるかを調べる、というものがある。これは T {\displaystyle T} を n {\displaystyle n} 回二乗すれば良いため、乱数列を調べるのと比較すると十分に速く調べられる。 完全なテストとしては、期待する周期 k {\displaystyle k} の約数 d {\displaystyle d} について T d ≠ I ⟺ k ≠ d {\displaystyle T^{d}\neq I\iff k\neq d} を示せば良い。例えば、 n {\displaystyle n} bitのビット列 x {\displaystyle x} に対する操作が x ^= x << a; x ^= x >> b; x ^= x << c; return x; である場合、 T = ( I + L a ) ( I + R b ) ( I + L c ) {\displaystyle T=(I+L^{a})(I+R^{b})(I+L^{c})} である。但し、 L i , j a = { 1 i = j + a 0 otherwise {\displaystyle L_{i,j}^{a}={\begin{cases}1&i=j+a\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 及び R i , j a = { 1 i = j − a 0 otherwise {\displaystyle R_{i,j}^{a}={\begin{cases}1&i=j-a\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} である。 n = 32 {\displaystyle n=32} の場合、 T d ≠ I ⟸ d = { 65535 16711935 252645135 858993459 1431655765 {\displaystyle T^{d}\neq I\Longleftarrow d={\begin{cases}65535\\16711935\\252645135\\858993459\\1431655765\end{cases}}} 及び T 2 32 = T {\displaystyle T^{2^{32}}=T} を調べれば十分である。 n = 64 {\displaystyle n=64} の場合、 2 64 − 1 {\displaystyle 2^{64}-1} が 641 {\displaystyle 641} の倍数であるということに注意すると、 T d ≠ I ⟸ d = { 2753074036095 281470681808895 28778071877862015 71777214294589695 1085102592571150095 3689348814741910323 6148914691236517205 {\displaystyle T^{d}\neq I\Longleftarrow d={\begin{cases}2753074036095\\281470681808895\\28778071877862015\\71777214294589695\\1085102592571150095\\3689348814741910323\\6148914691236517205\end{cases}}} 及び T 2 64 = T {\displaystyle T^{2^{64}}=T} を調べれば十分である。 別の例としては t = x ^ (x << 11); x = y; y = z; z = w; return w = (w ^ (w >> 19)) ^ (t ^ (t >> 8)); に対しては ( x n + 1 y n + 1 z n + 1 w n + 1 ) = ( x n y n z n w n ) ⋅ T {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}x_{n+1}&y_{n+1}&z_{n+1}&w_{n+1}\end{smallmatrix}})=({\begin{smallmatrix}x_{n}&y_{n}&z_{n}&w_{n}\end{smallmatrix}})\cdot T} のように立式し、 T = ( O O O ( I + L 11 ) ( I + R 8 ) I O O O O I O O O O I ( I + R 19 ) ) {\displaystyle T=\left({\begin{smallmatrix}O&O&O&(I+L^{11})(I+R^{8})\\I&O&O&O\\O&I&O&O\\O&O&I&(I+R^{19})\\\end{smallmatrix}}\right)} について同様に解く。各変数が32 bitだとすれば n = 128 {\displaystyle n=128} , 64 bitだとすれば n = 256 {\displaystyle n=256} であり、対応する d {\displaystyle d} は以下の表のようになる。 ^ 2003年の論文執筆時点で、1800MHzのPCで毎秒2.2億個の擬似乱数を生成できた。 ^ a b Marsaglia, 2003 ^ Cでは "^" は排他的論理和を、"<<" と ">>" はビットシフトを表す。 ^ 和田維作. “良い乱数・悪い乱数”. 2023年8月28日閲覧。 但し、周期が保たれる組み合わせは(7,9)と(9,7)のみである。 Marsaglia (July 2003). “Xorshift RNGs”. Journal of Statistical Software Vol. 8 (Issue  14). http://www.jstatsoft.org/v08/i14/paper.  表示 編集