ハウスドルフのパラドックス

ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。 つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。 いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。 この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。 また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。 φ {\displaystyle \varphi } をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を ψ {\displaystyle \psi } とする。 これらによって生成された群をGとする。 回転軸を適当に選べば、 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。 φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} の2つ以上からなる積は、以下の α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } のタイプに分類される。ただし， m 1 , m 2 , … , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}} は1または2である． α = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ β = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n γ = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ δ = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}} α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} であることが示されれば、 β , γ , δ ≠ 1 {\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta \neq 1} であることが分かる。 λ = cos ⁡ 2 3 π = − 1 2 , μ = sin ⁡ 2 3 π = 3 2 , {\displaystyle \lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},} とすると、 ( ψ ) { x ′ = x λ − y μ y ′ = x μ + y λ z ′ = z . ( φ ) { x ′ = − x cos ⁡ ϑ + z sin ⁡ ϑ y ′ = − y z ′ = x sin ⁡ ϑ + z cos ⁡ ϑ ( ψ φ ) { x ′ = − x λ cos ⁡ ϑ + y μ + x λ sin ⁡ ϑ y ′ = − x μ cos ⁡ ϑ − y λ + z μ sin ⁡ ϑ z ′ = x sin ⁡ ϑ + z cos ⁡ ϑ {\displaystyle {\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}} であり、 ( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} は、 ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} の式の μ {\displaystyle \mu } を − μ {\displaystyle -\mu } で置き換えたものである。 ( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} または ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} のn個の積を t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} に作用させると、 x = sin ⁡ ϑ ( a cos ⁡ ϑ n − 1 + … ) y = sin ⁡ ϑ ( b cos ⁡ ϑ n − 1 + … ) z = c cos ⁡ ϑ n + … {\displaystyle {\begin{array}{ccc}x&=&\sin \vartheta (a\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\y&=&\sin \vartheta (b\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\z&=&c\cos \vartheta ^{n}+\ldots \end{array}}} であることが分かる． α {\displaystyle \alpha } による t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} の変換結果のz座標は z = ( 3 2 ) n − 1 cos ⁡ ϑ n + ⋯ {\displaystyle z=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n-1}\cos \vartheta ^{n}+\cdots } である。右辺は cos ⁡ ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } の多項式であり、係数は代数的数である。 ϑ {\displaystyle \vartheta } を選んで、 cos ⁡ ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } が超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。 回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。 Aが単位元1を持つ。 ρ {\displaystyle \rho } がAに属するとき、 φ ρ {\displaystyle \varphi \rho } はA + Bに属する。 ρ {\displaystyle \rho } がAに属するとき、 ψ ρ , ψ 2 ρ {\displaystyle \psi \rho ,\psi ^{2}\rho } はそれぞれB, Cに属する。 1は、Aに属するものとする。 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } はBに属するものとする。 ψ 2 {\displaystyle \psi ^{2}} はCに属するものとする。 ψ n {\displaystyle \psi _{n}} を先頭が ψ {\displaystyle \psi } 又は ψ 2 {\displaystyle \psi ^{2}} であるような、 φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} のn個の積とする。 φ n {\displaystyle \varphi _{n}} を先頭が φ {\displaystyle \varphi } であるような、 φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} のn個の積とする。 ψ n {\displaystyle \psi _{n}} がA, B, Cに属するならば、 φ ψ n {\displaystyle \varphi \psi _{n}} はB, A, Aに属するようにする。 φ n {\displaystyle \varphi _{n}} がA, B, Cに属するならば、 ψ φ n {\displaystyle \psi \varphi _{n}} はB, C, Aに属するようにする。 ψ 2 φ n {\displaystyle \psi ^{2}\varphi _{n}} はC, A, Bに属するようにする。 このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。 A 1 φ ψ , φ ψ 2 , ψ 2 φ φ ψ φ ⋯ B φ , ψ φ ψ 2 φ , ψ φ ψ , ψ φ ψ 2 ⋯ C ψ 2 ψ φ ψ 2 φ ψ , ψ 2 φ ψ 2 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}A&1&&&&\varphi \psi &,&\varphi \psi ^{2}&,&\psi ^{2}\varphi &\varphi \psi \varphi &&&&&\cdots \\B&&\varphi &,&\psi &&&&&&\varphi \psi ^{2}\varphi &,&\psi \varphi \psi &,&\psi \varphi \psi ^{2}&\cdots \\C&&&&\psi ^{2}&&&&&\psi \varphi &&&\psi ^{2}\varphi \psi &,&\psi ^{2}\varphi \psi ^{2}&\cdots \end{array}}} 1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道を P x {\displaystyle P_{x}} とすると、 P x = P y {\displaystyle P_{x}=P_{y}} か、 P x ∩ P y = ∅ {\displaystyle P_{x}\cap P_{y}=\emptyset } のいずれか1つが成り立つ。 そして G = ⋃ x ∈ M P x {\displaystyle G=\bigcup _{x\in M}P_{x}} である． 選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。 このとき A ′ = { g x | g ∈ A , x ∈ M } B ′ = { g x | g ∈ B , x ∈ M } C ′ = { g x | g ∈ C , x ∈ M } {\displaystyle {\begin{array}{lcc}A'&=&\{gx\,|\,g\in A,\,x\in M\}\\B'&=&\{gx\,|\,g\in B,\,x\in M\}\\C'&=&\{gx\,|\,g\in C,\,x\in M\}\end{array}}} A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} をA, B, Cと書き直すと P = A ∪ B ∪ C {\displaystyle P=A\cup B\cup C} であり、 φ A = B ∪ C , ψ A = B , ψ 2 A = C {\displaystyle \varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi ^{2}A=C} であるから、 A , B , C , B ∪ C {\displaystyle A,B,C,B\cup C} は合同となる。よって定理は証明された。 Felix Hausdorff, Grundzüge der Mangenlehre, Leipzig (1914), pp. 469–.  Felix Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. Mathematische Annalen 75 (1914), pp. 428–434  S. Banach et A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes,Findamenta Mathematicae 6 pp. 244–277 (1924), Banach全集 第一巻 pp. 118–148, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf  砂田利一 (2009), 新版　バナッハ・タルスキーのパラドックス, 岩波書店  Stan Wagon (1985, Paperback 1993), The Banach-Tarski Paradox, Cambridge Univ. Press