六進法

六進法（ろくしんほう、英: senary、独: Sechsersystem）とは、6 を底とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"にちなむ。 六進記数法とは、六を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、七を 11、八を 12 …と表記する。 十進法と六進法は、「6と10はともに2と素数の積」2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5＋1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(＝13(6)＝32)と5の立場も逆転する。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。 3と5が逆転する例 六進法では、3の倍数は一の位が3か0のどれかになる。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはならない。 六進法では、11（七）以後の素数は、一の位が1か5のどれかである。 十進法では1/5が0.2（つまり十分の二）だが、六進法では1/3が0.2（つまり六分の二）になる。同じく、六進法では、2の冪数の逆数は3の冪数になり、3の冪数の逆数は2の冪数になる。 「3×5」の数は、十進法では「15」「十五」となり5の倍数の仲間だが、六進法では「23」「二六三」となり3の倍数の仲間になる。 3×5/100の小数は、十進法では0.15、六進法では0.23となるが、既約分数が十進法では「二十分の三」「素因数分解すると3/22×5」になるが、六進法では「二六分の五」「素因数分解すると5/22×3」になる。仲間になる冪数も、十進数0.15は25 (＝52)だけに対して、六進数0.23は13 (＝32)と43 (＝33)の計二つになる。 小数に変えると37(10) = 101(6)の倍数が循環する無限小数になる単位分数は、十進法が1/3、1/32 (= 1/9)、1/33 (= 1/27(10)) に対して、六進法では 1/5 や 1/11(6) (= 1/7) になる。 例：2/5 = 0.2222…（2222 = 518(10)）、4/11 = 0.3232…（3232 = 740(10)） 六進数では、5p ÷ 3p（pは同じ冪指数）の小数点を消した値は、十の冪数になる。 例：52÷32 = 41÷13 = 2.44（244(6)＝100(10)） 例：53÷33 = 325÷43 = 4.344（4344(6)＝1000(10)） 9と5が逆転する例 六進数では、5の倍数は各位の数の和も5の倍数になる。 3の冪数は一の位も3になる。「100のm/4」となる整数は全て9の倍数で、「100のm/9」となる整数は全て4の倍数である。 十進法では乗算表が81(10)（34＝81）種類になるが、六進法では16(10)（24＝24）の倍数が81(10)（34＝213）種類になる。同じく、81(10)（213）の倍数も16(10)（24）種類になる。 81(10)（213）の倍数のうち奇数は、下四桁が 0213, 1043, 1513, 2343, 3213, 4043, 4513, 5343 のどれかになる。 六進法では2と3の倍数が一目で判る上に、割り切れない5の倍数の判定も可能になる。十進法では 5n×3 と 5n×32 が判定可能なのに対して、六進法では 3n や 3n×5 が判定可能になる。また、2n と 2n×5 の倍数は、十進法では 5n 種類になるが、六進法では 3n 種類になる。 個別の倍数判定も、以下のようになる。素因数分解を左に【】で示す。 基本的な倍数判定 【2】2：一の位が2か4か0 【3】3：一の位が3か0 【22】4：下二桁が｛04,12,20,24,32,40,44,52,00｝のどれか。計9 (= 32) 種類。 【5】5：各位の数字和が5の倍数 【2×3】10（＝6(10)）：一の位が0 【32】13（＝9(10)）：下二桁が｛13,30,43,00｝のどれか。計4 (= 22) 種類。 【2×5】14（＝10(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 2か4か0。 【3×5】23（＝15(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 3か0 。 【22×32】100（＝36(10)）：下二桁が00 。 その他の主要な数 【11】11（＝7(10)）：二桁のゾロ目、あるいは二桁ゾロ目に0がいくつも付く。｛例：220(＝84(10))、3311(＝763(10))｝ 【23】12（＝8(10)）：下三桁が12の倍数｛012,024,040 … 532,544,000｝。｛計43(＝27(10)) 種類。例：1224(＝304(10))｝ 【22×3】20（＝12(10)）：下二桁が｛20,40,00｝のどれか。｛例：3440＝580(12)＝816(10)｝ 【24】24（＝16(10)）：下四桁が24の倍数。｛計213(＝81(10)) 種類。例：12544＝1936(10)｝ 【2×32】30（＝18(10)）：下二桁が 30 か00 。 【22×5】32（＝20(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が｛04,12,20,24,32,40,44,52,00｝のどれか。｛例：13204＝510(20)＝2020(10)｝ 【23×3】40（＝24(10)）：一の位が0、かつ整数第三位〜第二位が｛04,12,20,24,32,40,44,52,00｝のどれか。｛例：1520＝408(10)｝ 【52】41（＝25(10)）：「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0。｛例：13051 = 1975(10)｝ 【33】43（＝27(10)）：下三桁が｛043,130,213,300,343,430,513,000｝のどれか。｛例：1213 = 297(10)｝ 【2×3×5】50（＝30(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が0。 【23×5】104（＝40(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ下三桁が12の倍数。｛計43(＝27(10)) 種類。例：2012(＝440(10))｝ 【22×3×5】140（＝60(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が｛20,40,00｝のどれか。｛例：13100＝1980(10)｝ 【34】213（＝81(10)）：下四桁が213の倍数。｛計24(＝16(10)) 種類。例：14043＝2187(10)｝ 【22×52】244（＝100(10)）：「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0になり、その上で下二桁が4の倍数。｛例：3412 = 800(10)｝ 六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、2と3という基本的な数による演算が非常に容易である。 小数の位取りは、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。 六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば23と33の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。 100 ÷ 3 = 20 十進法の整数の除算では、「四分割（2-2）は百（100）まで待たねばならない」上に、100は三分割も九分割（3-2）もできない。しかし、六進法の整数の除算では、「四分割は三十六（100）まで待たねばならない」が、「九分割も三十六（100）まで待てばいい」。「100個の饅頭」が、六進法では以下のように分けることができる。 二分割：100個 ÷ 2人 = 30個 → 十進換算値は「36個 ÷ 2人 = 18個」 三分割：100個 ÷ 3人 = 20個 → 十進換算値は「36個 ÷ 3人 = 12個」 四分割：100個 ÷ 4人 = 13個 → 十進換算値は「36個 ÷ 4人 = 9個」「62個 ÷ 22人 = 32個」 六分割：100個 ÷ 10人 = 10個 → 十進換算値は「36個 ÷ 6人 = 6個」 九分割：100個 ÷ 13人 = 4個 → 十進換算値は「36個 ÷ 9人 = 4個」「62個 ÷ 32人 = 22個」 1000 ÷ 3 = 200 六進法の「1000人」は十進法で「216人」、同じく「200人」は十進法で「72人」になる。 二分割：1000人 ÷ 2 = 300人 → 十進換算値は「216人 ÷ 2 = 108人」 三分割：1000人 ÷ 3 = 200人 → 十進換算値は「216人 ÷ 3 = 72人」 四分割：1000人 ÷ 4 = 130人 → 十進換算値は「216人 ÷ 4 = 54人」 六分割：1000人 ÷ 10 = 100人 → 十進換算値は「216人 ÷ 6 = 36人」 八分割：1000人 ÷ 12 = 43人 → 十進換算値は「216人 ÷ 8 = 27人」「63人 ÷ 23 = 33人」 九分割：1000人 ÷ 13 = 40人 → 十進換算値は「216人 ÷ 9 = 24人」 二十七分割：1000人 ÷ 43 = 12人 → 十進換算値は「216人 ÷ 27 = 8人」「63人 ÷ 33 = 23人」 八分の五：1000人 × (5/12) = 343人 → 十進換算値は「216人 × (5/8) = 135人」 二十七分の十：1000人 × (14/43) = 212人 → 十進換算値は「216人 × (10/27) = 80人」 10000 ÷ 3 = 2000 二分割：10000 ÷ 2 = 3000 → 十進換算値は「1296 ÷ 2 = 648」 三分割：10000 ÷ 3 = 2000 → 十進換算値は「1296 ÷ 3 = 432」 四分割：10000 ÷ 4 = 1300 → 十進換算値は「1296 ÷ 4 = 324」 六分割：10000 ÷ 10 = 1000 → 十進換算値は「1296 ÷ 6 = 216」 八分割：10000 ÷ 12 = 430 → 十進換算値は「1296 ÷ 8 = 162」 九分割：10000 ÷ 13 = 400 → 十進換算値は「1296 ÷ 9 = 144」 十六分割：10000 ÷ 24 = 213 → 十進換算値は「1296 ÷ 16 = 81」「64 ÷ 24 = 34」 二十七分割：10000 ÷ 43 = 120 → 十進換算値は「1296 ÷ 27 = 48」 八十一分割：10000 ÷ 213 = 24 → 十進換算値は「1296 ÷ 81 = 16」「64 ÷ 34 = 24」 二分割と三分割 十進法は1/3が割り切れないのに対して、六進法では十の冪数も2の冪数も三分割することができる。 五十一の二分割 十進法：51 ÷ 2 = 25.5 六進法：123 ÷ 2 = 41.3 百の三分割 十進法：100 ÷ 3 = 33.3333… 六進法：244 ÷ 3 = 53.2 十進法：100 × (2/3) = 66.6666… 六進法：244 × (2/3) = 150.4 千の三分割 十進法：1000 ÷ 3 = 333.3333… 六進法：4344 ÷ 3 = 1313.2 26の三分割 八進法：100 ÷ 3 = 25.2525… 十進法：64 ÷ 3 = 21.3333… 六進法：144 ÷ 3 = 33.2 28の三分割 十進法：256 ÷ 3 = 85.3333… 六進法：1104 ÷ 3 = 221.2 28の五分割 十進法：256 ÷ 5 = 51.2 六進法：1104 ÷ 5 = 123.1111… 四分割と九分割（2-2と3-2） 十進法で「100分率」を作ると「百分率」だが、六進法で「100分率」を作ると「三十六分率」になる。「三十六分率」になると、十進法の1/3の数量で、「m/4」と「m/9」を同じ桁数で実行することができる。 十進法：75 ÷ 100 = 0.75 → 75 ％ 六進法：203 ÷ 244 = 0.43 → 43 (三十六分率) 十進法：2 ÷ 3 = 0.6666… → 66.6666… ％ 六進法：2 ÷ 3 = 0.4 → 40 (三十六分率) 十進法：8 ÷ 9 = 0.8888… → 88.8888… ％ 六進法：12 ÷ 13 = 0.52 → 52 (三十六分率) 十進法：90 ÷ 100 = 0.9 → 90 ％ 六進法：230 ÷ 244 = 0.5222… → 52.2222… (三十六分率) その他、「2の冪数」や「十の冪数」の九分割の例は以下の通りになる。 六進法：144 ÷ 13 = 11.04 六進法：1104 ÷ 13 = 44.24 十進法：100 ÷ 9 = 11.1111… 六進法：244 ÷ 13 = 15.04 八分割（2-3）と二十七分割（3-3） 十進数では m/33 (= m/27(10)) は割り切れず、37(10) (= 101(6)) の倍数三桁が循環するが、六進数では m/33 (= m/43(6))は割り切れて23＝12(6)＝8(10)の倍数になる。m/23 の小数も、十進数では 53 (= 125(10) = 325(6))の倍数だが、六進数では 33 (= 43(6) = 27(10))の倍数になる。 従って、六進数では、23 (＝12(6)＝8(10))で割ると被除数の33 (＝43(6)＝27(10))倍の数が現れ、33 (＝43(6)＝27(10))で割ると被除数の23 (＝12(6)＝8(10))倍の数が現れる。 十進法：3 ÷ 10 = 0.3 六進法：3 ÷ 14 = 0.14444… 十進法：8 ÷ 27 = 0.296296… 六進法：12 ÷ 43 = 0.144 23/33 の小数は、十進法では割り切れずに 37×8 = 296 が循環するのに対して、六進法では割り切れて 12×12 = 144 が現れ、これを十進法で換算すると 8×8 = 64 になる。「十分の三」が割り切れない一方で、その概数である「二十七分の八」は「四六三分の六二」として計数され、割り切れる小数になる。 このように、六進法は六分割で一桁下がるので、三分割、九分割、二十七分割など、3の冪数で分ける方法がかなり便利になる。 十進法：3 ÷ 8 = 0.375 六進法：3 ÷ 12 = 0.213 3/8の小数は、小数点を消すと十進法が 375(10) = 3×53 に対して、六進法は 213(6) = 3×33 = 81(10) が現れる。これらを分数化すると、十進法が (375/1000)10 に対して、六進法は (81/216)10 = (213/1000)6 になる。 その他、2-3、3-3、列びに5-2を伴う除算の例は、以下のようになる。 28 ÷ 33 十進法：256 ÷ 27 = 9.481… 六進法：1104 ÷ 43 = 13.252 28 ÷ 52 十進法：256 ÷ 25 = 10.24 六進法：1104 ÷ 41 = 14.12350… 2と3の冪指数が4以上 六進法は2と3の冪指数が同じなので、十六分割（2-4）と同じく八十一分割（3-4）も容易である。その他、2と3の冪指数が4以上の計算例は、以下のようになる。 38 ÷ 24 十進法：6561 ÷ 16 = 410.0625（十進帯分数：410と625/10000＝410と3/16） 六進法：50213 ÷ 24 = 1522.0213（十進帯分数：410と81/1296＝410と3/16） (212)10 ÷ 34 ｛ (220)6 ÷ 34｝ 十進法：4096 ÷ 81 = 50.567901234… 六進法：30544 ÷ 213 = 122.3224（十進帯分数：50と736/1296＝50と46/81） 十進分数 11/64（11÷26） 十進法 11 ÷ 64 = 0.171875 六進法：15 ÷ 144 = 0.101043（十進数に換算して 8019/46656） 十進分数 31/729（31÷36） 十進法：31 ÷ 729 = 0.04252400548… 六進法：51 ÷ 3213 = 0.013104（十進数に換算して 1984/46656） 十進分数 135/256｛(33×5) ÷ 28｝ 十進法：135 ÷ 256 = 0.52734375 六進法：343 ÷ 1104 = 0.30552343（十進数に換算して 885735/1679616） 十進分数 2000/6561｛(24×53) ÷ 38｝ 十進法：2000 ÷ 6561 = 0.30483158055… 六進法：13132 ÷ 50213 = 0.14545104（十進数に換算して 512000/1679616） 分数を六進法の小数に変換すると、「二分の一」と「三分の一」が小数第一位、「四分の一」と「九分の一」が小数第二位、「八分の一」と「二十七分の一」が小数第三位となる。つまり、2-nと3-nがそのまま「小数第n位」になる。しかし、五分の一だけが割り切れず、循環節が一桁になる。 小数第一位 1/2 = 0.3 1/3 = 0.2 2/3 = 0.4 小数第二位 基本的な分数 1/4 = 0.13（十進換算で 9/36 = 1/4） 3/4 = 0.43（十進換算で 27/36 = 3/4） (1/9)10 = 1/13 = 0.04（十進換算で 4/36 = 1/9） (2/9)10 = 2/13 = 0.12（十進換算で 8/36 = 2/9） (4/9)10 = 4/13 = 0.24（十進換算で 16/36 = 4/9） (5/9)10 = 5/13 = 0.32（十進換算で 20/36 = 5/9） (7/9)10 = 11/13 = 0.44（十進換算で 28/36 = 7/9） (8/9)10 = 12/13 = 0.52（十進換算で 32/36 = 8/9） 従って、1/2にするには0.3を掛ける、1/3にするには0.2を掛ける、2/3にするには0.4を掛ける、3/4にするには0.43を掛ける、(4/9)10にするには0.24を掛ける、(5/8)10にするには0.343を掛ける、(8/27)10にするには0.144を掛ける、という方法でも算出できる。 割り切れない小数の循環節は下線で示す。六は三では割り切れるが五では割り切れないので、五で割った際に循環小数になる例が多数現れる。六進法の除算の特筆すべき点として、一桁の整数のうち、単位分数にすると割り切れない数は五だけである。六は二と三で割り切れる最小の数なので、三の累乗数である九（六進法では13）や二十七（六進法では43）でも循環小数にならずに割り切れ、小数化すると割り切れない分数はかなり少なくなる。 又、十進法と六進法に共通する特徴として、割り切れない小数に37(10)＝101(6)の倍数が現れる。これは、十の三乗と六の四乗が、37(10)＝101(6)の倍数の次に来るためである。実際に、十進法999 (= 1000－1) は六進法4343（十進換算で33×37＝999）、六進法5555 (= 10000－1) は十進法1295（六進換算で5×11×101＝5555、十進換算で5×7×37＝1295）である。63までの逆数を見ても、全体的に六進法と十進法は循環節が短い傾向が見られ、十進法で3-3の循環節が3桁に対して、六進法の5-2も循環節が5桁である。 ※ 素因数分解は六進表記。 六進命数法とは、6 を底とする命数法である。 六進命数法は、0（零）から「10」となる六までを一つの名詞として命名し、七から十一までを「6+1」「6+2」…「6+5」という形式で命名し、六の倍数は「2×6」「3×6」「4×6」「5×6」という形式で命名する。その次は、100となる三十六や、1000となる二百十六など六の冪数（6p）で新しい数詞が付けられる。「m×6p」となる数も、200となる七十二は「六の二乗の二倍」「二倍の三十六」、300となる百八は「六の二乗の三倍」、4000となる八百六十四は「六の三乗の四倍」「四倍の二百十六」、5000となる千八十は「六の三乗の五倍」として命名される。 自然言語で六進命数法の数詞を持つものは少ない。ニューギニア島近くのフレデリク・ヘンドリク島のンドム語 (Ndom) が六進法の数詞を持つと報告されている。ンドム語では、 mer が 6、 mer an thef が 12(10) (二六：6 × 2) 、tondor が 18(10)、nif が 36(10) (62)、nif thef が 72(10) (62 × 2) を意味しており、六の倍数では18(10)（三六：3 × 6）だけが独立系の数詞になっている。 この他には、南ニューギニアのングコルンプ語(Ngkolmpu)、パプアニューギニアのヤム語（en:Yam languages）やコムンゾ語が（en:Kómnzo language）が六進法を使用しており、六の倍数や六の冪数にも個別の数詞が付けられている。これらの言語で六が底になった由来として、「もう片手は桁上がりで六の位」とする指数えが挙げられている。 六が底になった由来は二つある。一つは、前述の「もう片手は六の位」とする指数えである。もう一つは、空間の基本的な方角が六つである事（2 面 × 3 次元 = 6。上下・左右・前後）も挙げられる。 日本語には、「十→百」という十進法が主流とされる中で、「六→三十六」という六進法に基づく語彙や名数が存在している。例として、全ての方角を指して「六合」「六方」(= 61) と呼んだり、全ての景色を指して「三十六景」「三十六峰」、全ての方策を指して「三十六策」(= 62) というように、空間や方角に関する語彙に六進法が用いられている。歌仙も「六歌仙」(= 61) や「三十六歌仙」(= 62) というように、六の累乗で数えられている。これらの数え方は、十進法が「十指の二乗で百」に対して、六進法は「六面の二乗で三十六」という発想に基づいている。 また、「二十四時間」ではなく「四六時中」(40(6)＝24(10)) といった六進命数法の語彙も用いられている。 これは江戸時代の1日を12分割する時法で「二六時中」と表現されたものを、明治以降の二十四時間制にあわせて言い直したものである。 六進法は、まれに単位系で使われることがある。尺貫法では、1 間は 6 尺である。 拳を0とすれば、0から5までの六種類の数字を片手で表現できる。六進法の指数えでは、片手(主に右手)を一の位、もう片手(主に左手)を六の位として、「五六五」すなわち、三十五（55(6)＝35(10)）まで数える。この方法では、右手で0から5まで数えて、「左手が1」すなわち六になったら桁上がりで右手を拳に戻す。 例えば、左手が「1」と右手が「5」なら「六五」すなわち十一（15(6)＝11(10)）、左手が「3」で右手が「2」なら「三六二」すなわち二十（32(6)＝20(10)）、左手が「4」で右手が「3」なら「四六三」すなわち二十七（43(6)＝27(10)）を表す。 二桁で数えるので、（1）「一の位」と「六の位」、（2）「一の位」と「六分の一の位」、（3）「六分の一の位」と「三十六分の一の位」、の三種類が計算可能になり、1.1以降の小数や仮分数も表現できる。小数は0.01（十進分数1/36）から5.5（5と5/6）までをカウントできる。 前述の左手が「3」で右手が「2」なら、32(6)で「20(10)」の他に、3.2(6)で「3と1/3」、それに0.32(6)で「5/9」(＝十進分数20/36)を表現できる。 「75(10)パーセント」すなわち3/4も、3/4＝(27/36)10＝(43/100)6から、左手が「4」と右手が「3」で0.43(6) として表現できる。 両手で十進法の指数えは、「六五」すなわち十一以降の整数を表現できず、1.1以降の小数も仮分数も表現できず、十分率しか示せないので 二分割と五分割しかできず、三分割も四分割も九分割もできない。しかし、両手で六進法の指数えは、「五六五」すなわち三十五までをカウントできる上に、1.1以降の小数も仮分数も表現できて、二分割も三分割も可能になり、両手に拡大すれば四分割と九分割も可能になる。 乗算や除算では、2のp乗、3のp乗、6×mというように段階に分ける。 1.2×3 = 4（十進換算：1と2/6 × 3 = 4） 、12×3 = 40（十進換算：8×3 = 24） 左手で「1×3 = 3」を行い、右手から2ずつ加えて左手に1つ加わったら右手を0（拳）に戻す。 100÷13 = 4（十進換算：36÷9 = 4）、1÷13 = 0.04（十進換算：1÷9 = 4/36） 「10(6) ÷ 3 = 2」の動作を左手で一回、更に右手でもう一回行なって完了する。 32÷2 = 14（十進換算：20÷2 = 10） 初めに左手で「2÷2 = 1」の動作を行い、次いで「12(6)÷2 = 4」の動作を行なって完了する。 [脚注の使い方] ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Ndom”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=nqm 2008年3月12日閲覧。  ^ Owens, Kay (2001), “The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania”, Mathematics Education Research Journal 13 (1): 47-71, オリジナルの2015年9月26日時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20150926003303/http://www.uog.ac.pg/glec/Key/Kay/owens131.htm  ^ 思索の遊び場　ンドム語の数詞 ^ サーレイ大学（英） 「どうやって1296(10)まで数えるか」 ^ FRANS PLANK　コンスタンツ大学（独）「六進法についてのこれまでの総め」 338頁 二進法 三進法 十二進法 二十四進法 三十六進法 Senary Sensation seximal.net Math is fun.com 十進小数⇔六進小数の換算 六進指数え