レーマーの予想

レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数 μ > 1 {\displaystyle \mu >1} が存在して、すべての整数係数の多項式 P ( x ) ∈ Z [ x ] {\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]} は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。 P ( x ) {\displaystyle P(x)} のマーラー測度 M ( P ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))} は μ {\displaystyle \mu } より大きいかまたは等しい。 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、円分多項式もしくは単項式 x {\displaystyle x} の積の整数倍である。この場合は M ( P ( x ) ) = 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1} である。（同じことであるが、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。） マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を C {\displaystyle \mathbb {C} } 上分解して P ( x ) = a 0 ( x − α 1 ) ( x − α 2 ) ⋯ ( x − α D ) {\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})} とし、 M ( P ( x ) ) = | a 0 | ∏ i = 1 D max ( 1 , | α i | ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)} と定義するものがある。 知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式 P ( x ) = x 10 + x 9 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 + x + 1 {\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1} のマーラー測度であり、これはサレム数(Salem number) M ( P ( x ) ) = 1.176280818 … {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots } である。 この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の μ = 1.176280818 … {\displaystyle \mu =1.176280818\dots } であると広く信じられている。 一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、 P ( x ) = a 0 ( x − α 1 ) ( x − α 2 ) ⋯ ( x − α D ) {\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})} であれば、 M ( P ( x ) ) = | a 0 | ∏ i = 1 D max ( 1 , | α i | ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)} であることを示している。（このパラグラフを通して、 m ( P ) = log ⁡ ( M ( P ( x ) ) {\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))} と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。） このことは、 P {\displaystyle P} が整数係数の多項式であれば、 M ( P ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P)} が 1 以上の代数的数であり、従って、 m ( P ) ≥ 0 {\displaystyle m(P)\geq 0} は代数的整数の対数であることを示している。また、もし m ( P ) = 0 {\displaystyle m(P)=0} であれば、 P {\displaystyle P} は、円分多項式、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、 x {\displaystyle x} の単項式、つまり、ある n {\displaystyle n} に対してべき x n {\displaystyle x^{n}} の積となることも示している。 レーマー(Lehmer)は、モニック多項式 P {\displaystyle P} に対する整数列 Δ n = Res ( P ( x ) , x n − 1 ) = ∏ i = 1 D ( α i n − 1 ) {\displaystyle \Delta _{n}={\text{Res}}(P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1)} の研究の中で、 m ( P ) = 0 {\displaystyle m(P)=0} が重要な数値であることに気づいた。もし P {\displaystyle P} が円の上で 0 とならない場合は lim | Δ n | 1 / n = M ( P ) {\displaystyle \lim |\Delta _{n}|^{1/n}={\mathcal {M}}(P)} であることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。 P {\displaystyle P} が非円分的なとき、 m ( P ) > c {\displaystyle m(P)>c} となるような定数 c > 0 {\displaystyle c>0} が存在するかどうか？ あるいは、 c > 0 {\displaystyle c>0} が与えられた場合、 0 < m ( P ) < c {\displaystyle 0<m(P)<c} となる整数係数の P {\displaystyle P} が存在するかどうか？ 以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。 P ( x ) ∈ Z [ x ] {\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]} を次数 D {\displaystyle D} の既約モニック多項式とする。スミス は、自己相反多項式でない、つまり、 x D P ( x − 1 ) ≠ P ( x ) {\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)} であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。 ブランクスビー(Blanksby)とヒュー・モンゴメリー(Montgomery)は、 で、ステワート(Stewart)とは独立に、絶対的な定数 C > 1 {\displaystyle C>1} が存在し、 M ( P ( x ) ) = 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1} かまたは、: log ⁡ M ( P ( x ) ) ≥ C D log ⁡ D {\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}} を満たすことを証明した。 ドブロウォルスキー(Dobrowolski) はこの結果を改善し log ⁡ M ( P ( x ) ) ≥ C ( log ⁡ log ⁡ D log ⁡ D ) 3 {\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}} とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている。 E / K {\displaystyle E/K} を数体 K {\displaystyle K} で定義された楕円曲線とし、 h ^ E : E ( K ¯ ) → R {\displaystyle {\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R} } を標準的高さ（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数 ( deg ⁡ P ) − 1 log ⁡ M ( P ( x ) ) {\displaystyle (\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))} の楕円曲線の類似である。この高さについては、 h ^ E ( Q ) = 0 {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)=0} であることと、 Q {\displaystyle Q} が E ( K ¯ ) {\displaystyle E({\bar {K}})} の中で捩れ点(torsion point)であることとは同値である。楕円レーマー予想(elliptic Lehmer conjecture)は、定数 C ( E / K ) > 0 {\displaystyle C(E/K)>0} が存在し、すべての捩れのない点 Q ∈ E ( K ¯ ) {\displaystyle Q\in E({\bar {K}})} に対して、 h ^ E ( Q ) ≥ C ( E / K ) D {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}} となるという予想である。ここに D = [ K ( Q ) : K ] {\displaystyle D=[K(Q):K]} とする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、 h ^ E ( Q ) ≥ C ( E / K ) D ( log ⁡ log ⁡ D log ⁡ D ) 3 {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}} となる。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果は、ダヴィッド・マッサー(David Masser)による h ^ E ( Q ) ≥ C ( E / K ) D 3 ( log ⁡ D ) 2 {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}}} という結果である。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて、ヒンドリー(Hindry)とジョゼフ・シルバーマン（英語版）(Joseph H. Silverman)による h ^ E ( Q ) ≥ C ( E / K ) D 2 ( log ⁡ D ) 2 {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}}} という結果がある。 より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。 P(x) が相反ではないとき、 M ( P ) ≥ M ( x 3 − x − 1 ) ≈ 1.3247 {\displaystyle M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\approx 1.3247} となり、これは明らかに最良の場合である。さらに、P の係数がすべて奇数であれば、 M ( P ) ≥ M ( x 2 − x − 1 ) ≈ 1.618 {\displaystyle M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\approx 1.618} となる。 αを任意の代数的数とするとき、体 Q(α) が Qのガロア拡大であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ。 ^ a b Lehmer, D.H. (1933). “Factorization of certain cyclotomic functions”. Ann. Math. (2) 34: 461–479. doi:10.2307/1968172. ISSN 0003-486X. Zbl 0007.19904.  ^ Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. p. 16. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001  ^ Smyth (2008) p.324 ^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. 104. 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