ケイリー＝バッハラッハの定理

ケイリー＝バッハラッハの定理（ケイリー＝バッハラッハのていり、英: Cayley–Bacharach theorem）は数学における射影平面P2上の三次曲線に関する定理。 射影平面上の2つの3次曲線C1,C2が、異なる9つの点で交わっているとする。この9点のうち8点を通る3次曲線は他の9番目の点を通る。 ケイリー＝バッハラッハの本質的な形式は次のように導かれる。 与えられた8点P1, ..., P8を通る代数的閉体上のすべての3次曲線Cは、P1, ..., P8に依存するある点P9を通る。 ミシェル・シャール（英語版）は最初に円錐曲線の場合の定理を証明した。その後アーサー・ケイリーとイザーク・バッハラッハ（英語版）によって一般化された。ケイリーの証明には、重大な見落としがあった。バッハラッハはアレクサンダー・フォン・ブリル（英語版）とマックス・ネーター（英語版）の研究に基づき、ケイリーの証明を改善し、1881年に正しい一般化を示した。 ベズーの定理より、三次曲線は二次曲線を含むため、P1, ..., P8のうち7点が円錐曲線上にあるならば、9つ目の点をその円錐曲線上に選ぶことができる。そうでない場合は次のようになる。 P1, ..., P8のどの7点も同一円錐曲線上になければ、（二重点では重複を持つ）P1, ..., P8（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間の次元は2である。 この場合、P1, ..., P8を通るすべての3次曲線は、同様にP1, ..., P8を通る異なる2つの三次曲線の9番目の交点を通る。ベズーの定理によれば2つの3次曲線には代数的閉包上に必ず9つの交点が存在する。 円錐曲線が1,2直線に退化したならば、退化した円錐曲線上の7点のうち、少なくとも4点は共線である。よって次の結果を得る。 8点P1, ..., P8のうち、どの7点も非退化円錐曲線上になく、どの4点も共線でなければ、P1, ..., P8（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間の次元は2である。 一方で、P1, P2, P3, P4が共線で、8点P1, ..., P8のうちどの7点も非退化円錐曲線上にない場合を考えると、8点のうちどの5点も共線でなく、また、P5, P6, P7, P8のうちどの3点も共線でない。ベズーの定理によれば、3次曲線は直線を含むから、P1, ..., P8（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間は、P5, P6, P7, P8（のアフィン凸錐上）で0を取る2次元の二次斎次多項式ベクトル空間と同型である。 2次元の結果の条件とは異なるものの、どちらも、一般の位置にある場合よりも弱い結果である。上記の結果は3点が共線であること、6点が同一円錐曲線上にあることを許す場合である。 ケイリー＝バッハラッハの定理の成立条件は、ただ9点を通る3次曲線の族であることが条件である。 ベズーの定理によれば、代数的閉体上の既約でない異なる2つの3次曲線は重複を含め、常に9点で交わる。したがって、ケイリー＝バッハラッハの定理は、どの7点も同一円錐曲線にない8つの交点を与えたとき、曲線の族内の任意の2つの交点の最後の点は不動であることを主張する。 ケイリー＝バッハラッハの定理の特殊な場合にパスカルの定理がある。パスカルの定理は円錐曲線上に6点P1, ..., P6を取ったとき、P1P2とP4P5、P2P3とP5P6、P3P4とP6P1の交点は共線であるという定理である。3次曲線の1つを3直線に退化させ、6つの交点を円錐曲線上に配置すれば、（もう一方の3次曲線をその円錐曲線とある1本の直線として）ケイリー＝バッハラッハの定理より残り3つの交点が共線になる。 パップスの六角形定理は、上述の円錐曲線をさらに2直線に退化させることで示される。 ケイリー＝バッハラッハの定理の上記の3番目の場合は楕円曲線の点の加法性により証明できる。1つめの3次曲線を3直線BC, O(A+B), A(B+C)とする。8点A, B, C, A+B, -A-B, B+C, -B-C, Oは、2つの3次曲線の共通の点である。9つ目の点は-A-(B+C)=-(A+B)-Cとなって一致する。 ケイリー＝バッハラッハの定理と、それが3次曲線で起きる理由は次元の勘定（英語版）から説明できる。9つの点は一意的な三次曲線を決定する。したがって、9つの点が2つ以上の3次曲線上にある場合、つまり2つの3次曲線の（3 × 3 = 9つの）交点である場合、この点らは一般の位置（英語版）にはないこと、1次元の過剰な決定（英語版） があることを意味する。そして、この9点を通る3次曲線は"eight implies nine"という特性を満たすように、さらなる条件を満たす。これを一般に過剰度（superabundance）という。過剰度については曲面のリーマン・ロッホの定理を見よ。 形式的には、まず、d次の2つの曲線が与えられたとき、方程式の線型結合でそれらがd次の束（1変数の線形システム）を成すことを考える。これは曲線の母数空間（英語版）（あるいは単に射影空間）上の射影直線を決定する2点に対応する。 ケイリー＝バッハラッハの定理は高次においても起こる。これはd次の2曲線の交点の個数d 2が 次数dの曲線を決定する点の個数より早く成長するためである。次数dの曲線を決定する点の個数は次式で与えられる。 ( d + 1 ) ( d + 2 ) 2 − 1 = d 2 + 3 d 2 . {\displaystyle {\frac {(d+1)(d+2)}{2}}-1={\frac {d^{2}+3d}{2}}.} d = 3の場合がケイリー＝バッハラッハの定理に対応する。より高次の場合でもd 2はこの数より大きいので、ケイリー＝バッハラッハの定理はより高次に一般化される。 具体的には、d次の曲線の決定に必要な点の個数は、d次の単項式の数から1を引いた数である。小さいdにおいては以下の様な計算になる。 d = 1: 2と1: 2点が直線を決定し、2直線は一点で交わる。 d = 2: 5と4: 5点が円錐を決定し、2つの円錐曲線は4点で交わる。 d = 3: 9と9: 9点が三次曲線を決定し、2つの3次曲線は9点で交わる。 d = 4: 14と16. したがってケイリー＝バッハラッハの定理が起きる最初の数は3で、d > 3のとき、交点の数が曲線の決定に必要な数を上回る。 これは3次曲線が高次の代数曲線より猶更特別であることを意味する。より低い次数、1次の場合は、2直線は1点で交わるが、これは一般的な位置にある。2次曲線も4点で交わるが、二次曲線が既約で、交点が共線でないとするならば、これも一般的な位置である。5つの条件が2次方程式を決定するので、4点では、曲線の方程式が決まらないからである（4点を通る二次曲線の束を成す）。一方、3次方程式は9つの条件で決定されるため、ある9つの点を通る3次曲線が束を成すということは、その9点が特別な位置にあることということになる。 したがって解となる空間の次元は1つ高くなり、追加の条件"8 implies 9"を導く。 より具体的には、x, y, zを変数とする3次の斉次多項式P(x, y, z)のベクトル空間は10次元を持つので、異なる8点を通る3次曲線の系は2次以上のベクトル空間で媒介変数表示される （ある点で多項式が0になることは1つの線型条件を課す）。 これは、どの4点も共線でないかつ、どの7点も円錐曲線上にないならば、2次になることを導ける。ケイリー＝バッハラッハの定理はこの事実から演繹される。 因子の一次系（英語版） ゴレンシュタイン環 クラメールのパラドックス ^ 孝, 廣津『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』翔泳社、2021年2月3日、125頁。ISBN 978-4-7981-7035-0。https://www.google.co.jp/books/edition/%E5%81%89%E5%A4%A7%E3%81%AA%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AB%E8%BF%AB%E3%82%8B_%E7%90%86%E7%B3%BB%E8%84%B3%E3%82%92%E9%8D%9B/IGchEAAAQBAJ?hl=ja&gbpv=1。  ^ Bacharach (1886). ^ David Eisenbud, Mark Green, and Joe Harris ^ Hartshorne, Robin. Algebraic geometry  chapter 5, section 4 (The cubic surface in P 3 {\displaystyle \mathbf {P} ^{3}} ), Corollary 4.5. Michel Chasles, Traité des sections coniques, Gauthier-Villars, Paris, 1885. Bacharach, Isaak (1886), “Ueber den Cayley'schen Schnittpunktsatz”, Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) 26 (2): 275–299, doi:10.1007/BF01444338, ISSN 0025-5831, https://zenodo.org/record/1597376  Cayley, Arthur (1889), On the Intersection of Curves, Cambridge: Cambridge University Press  Edward D. Davis, Anthony V. Geramita, and Ferruccio Orecchia, Gorenstein algebras and Cayley–Bacharach theorem, Proceedings of the American Mathematical Society 93 (1985), 593–597. David Eisenbud, Mark Green, and Joe Harris, Cayley–Bacharach theorems and conjectures, Bulletin of the American Mathematical Society 33 (1996), no. 3, 295—324. MR1376653 Katz, Gabriel. "Curves in cages: an algebro-geometric zoo". arXiv:math/0508076。 Qingchun Ren, Jürgen Richter-Gebert and Bernd Sturmfels (2015). Cayley–Bacharach Formulas. The American Mathematical Monthly. https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.122.9.845  Weisstein, Eric W. "Cayley-Bacharach Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).