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クルル環

可換環論において、クルル環 (Krull ring) あるいはクルル整域 (Krull domain) は素イデアル分解の良い振る舞いの理論を伴った可換環である。それらは Wolfgang Krull (1931) によって導入された。それらはデデキント整域の高次元の一般化である。デデキント整域はちょうど次元が高々 1 のクルル整域である。 この記事において、環は可換で単位元をもつ。 A を整域とし P を高さ 1 の A のすべての素イデアルからなる集合、すなわち、0 でない素イデアルを真に含まないすべての素イデアルの集合とする。このとき A がクルル環 (Krull ring) であるとは、 A p {\displaystyle A_{\mathfrak {p}}} はすべての p ∈ P {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P} に対して離散付値環であり、 A はこれらの離散付値環の共通部分（A の商体の部分環と考えて）である。 A の任意の 0 でない元は高さ 1 の素イデアルの有限個にしか含まれない。 クルル整域が一意分解整域であることと高さ 1 のすべての素イデアルが単項イデアルであることは同値である。 A をザリスキ環（例えば局所ネーター環）とする。完備化 ˆA がクルル整域であれば、A はクルル整域である。 すべての整閉ネーター整域はクルル環である。とくに、デデキント整域はクルル環である。逆に、クルル環は整閉であり、したがってネーター整域がクルルであることと整閉であることは同値である。 A がクルル環であれば多項式環 A[x] と形式的冪級数環 A[[x]] もそうである。 一意分解整域 R 上の無限変数多項式環 R[x1, x2, x3, …] はネーターでないクルル環である。一般に、任意の一意分解整域はクルル環である。 A をネーター整域で商体を K とし、L を K の有限代数拡大とする。このとき A の L における整閉包はクルル環である (Mori–Nagata theorem（英語版）)。 クルル環 A の（ヴェイユ）因子は高さ 1 の素イデアルの形式的整数線型結合であり、これらは群 D(A) をなす。A のある 0 でない x に対して div(x) の形の因子は主因子と呼ばれ、主因子は因子全体の群の部分群をなす。因子全体の群の主因子全体の部分群による商は A の因子類群 (divisor class group) と呼ばれる。 クルル環のカルティエ因子は局所主（ヴェイユ）因子である。カルティエ因子は主因子を含む、因子全体の群の部分群をなす。カルティエ因子の主因子による商は因子類群の部分群であり、Spec(A) 上の可逆層のピカール群に同型である。 例： 環 k[x, y, z]/(xy – z2) において因子類群は位数 2 をもち、因子 y = z によって生成されるが、ピカール部分群は自明群である。 ^ http://eom.springer.de/k/k055930.htm ^ Bourbaki, 7.1, no 10, Proposition 16. ^ https://books.google.co.jp/books?id=APPtnn84FMIC&lpg=PA83&ots=2L9MiWbIYZ&dq=krull+akizuki&pg=PA85&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q=krull%20akizuki&f=false N. Bourbaki. Commutative algebra  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Krull ring”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Krull_ring  Krull, Wolfgang (1931), “Allgemeine Bewertungstheorie”, J. Reine Angew. Math. 167: 160–196, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?IDDOC=260807  Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra. Second Edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9 Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9 Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman, ed., Lectures on unique factorization domains, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR0214579, http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/
環の直積

数学において、いくつかの環を1つの大きい直積環（ちょくせきかん）、積環 (せきかん、英: product ring) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で Ri が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 Πi ∈ I Ri は演算を 成分ごとの演算として定義することによって環にできる。 得られる環は環 Ri の直積 (英: direct product) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。 重要な例は整数の n を法とした環 Z/nZ である。n が素数のベキの積 n = p 1 n 1   p 2 n 2   ⋯   p k n k {\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}\ p_{2}^{n_{2}}\ \cdots \ p_{k}^{n_{k}}} ただし pi は相異なる素数、として書かれていれば（算術の基本定理を見よ）、Z/nZ は自然に直積環 Z / p 1 n 1 Z   ×   Z / p 2 n 2 Z   ×   ⋯   ×   Z / p k n k Z {\displaystyle \mathbf {Z} /p_{1}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /p_{2}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /p_{k}^{n_{k}}\mathbf {Z} } と同型である。これは中国剰余定理から従う。 R = Πi ∈ I Ri が環の積であれば、すべての i ∈ I に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型 pi: R → Ri がある。射影 pi とともに積 R は、以下の普遍性をもっている： S が任意の環で fi: S → Ri がすべての i ∈ I に対して環準同型であれば、ちょうど1つの環準同型 f: S → R が存在してすべての i ∈ I に対して pi ∘ f = fi である。 これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 Ri → R は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。 各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、A = Πi ∈ I Ai は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの Ai が Ri の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。 R の元 x が単元であることとその 成分 のすべてが単元であることは同値である、すなわち pi(x) がすべての i ∈ I に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。 1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。 Herstein, I.N. (2005) [1968], Noncommutative rings (5th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-039-8  Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 91, ISBN 978-0-387-95385-4, Zbl 0984.00001, MR1878556  直積 (Direct product)
シュライアー整域

抽象代数学において、シュライアー整域 (Schreier domain) は、Otto Schreier にちなんで名づけられているが、整閉整域であって、すべての 0 でない元が primal なものである、すなわち、x が yz を割るときにはいつでも x は x = x1 x2 と書くことができて x1 は y を割り x2 は z を割る。整域が pre-Schreier とは、すべての 0 でない元が primal ということである。GCD整域はシュライアー整域の例である。用語"シュライアー整域"は P. M. Cohn によって 1960s に導入された。用語 "pre-Schreier domain" は Muhammad Zafrullah による。 一般に、既約元が primal であることと素元であることは同値である。したがって、シュライアー整域において、すべての既約元は素元である。特に、atomic Schreier 整域は一意分解環である。これは atomic GCD 整域は UFD であるという事実を一般化する。 Cohn, P.M., Bezout rings and their subrings, 1967. Zafrullah, Muhammad, On a property of pre-Schreier domains, 1987. 表示 編集
ザリスキ環

可換環論において、ザリスキ環 (Zariski ring) は可換ネーター位相環 A であってその位相がジャコブソン根基、すべての極大イデアルの共通部分、に含まれるイデアル m によって定義されているものである。それらは Oscar Zariski (1946) によって今では幾分違うことを意味する「半局所環」(semi-local ring) の名前で導入され、Samuel (1953) によって「ザリスキ環」(Zariski ring) と名付けられた。ザリスキ環の例はネーター局所環と、ネーター環の a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} -進完備化である。 A をネーター環とし A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}} をその a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} -進完備化とする。このとき以下は同値である。 A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}} は A 上忠実平坦である（一般には、平坦でしかない）。 すべての極大イデアルは a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} -進位相で閉である。 A はザリスキ環である。 M. Atiyah, I. Macdonald Introduction to commutative algebra Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 Samuel, Pierre (1953), Algèbre locale, Mémor. Sci. Math., 123, Paris: Gauthier-Villars, MR0054995  Zariski, Oscar (1946), “Generalized semi-local rings”, Summa Brasil. Math. 1 (8): 169–195, MR0022835  Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975), Commutative algebra. Vol. II, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, MR0389876
加群の長さ

抽象代数学において、加群の長さ (length) は加群の「大きさ」の尺度である。それは部分加群の最長の鎖の長さと定義され、ベクトル空間の次元の概念の一般化である。有限の長さをもつ加群は有限次元ベクトル空間と多くの重要な性質を共有する。 環と加群の理論において「大きさを測る」ために使われる他の概念は深さと高さである。これらは両方とも定義するのが幾分デリケートである。これらはまた有用な次元のさまざまなアイデアである。長さ有限の可換環は形式的な代数幾何学の関手的扱いにおいて本質的な役割を果たす。 M をある環 R 上の（左または右）加群とする。 N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N n {\displaystyle N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}} の形の M の部分加群の鎖が与えられると、n を鎖の長さ (length) という。M の長さはその任意の鎖の最長の長さと定義される。そのような最大の長さが存在しなければ、M の長さは無限であるという。 環 R が左 R 加群として有限の長さをもつとき，環として有限の長さをもつという。 零加群は長さ 0 の唯一の加群である。長さ 1 の加群はちょうど単純加群である。 すべての有限次元ベクトル空間に対して（基礎体上の加群と見て）長さと次元は一致する。 巡回群 Z/nZ の長さは（整数環 Z 上の加群と見て）n の重複度も込めた素因数の数に等しい。 加群 M が有限の長さをもつこととアルティンかつネーターであることは同値である。 M が有限の長さをもち N が M の部分加群であれば、N もまた有限の長さをもち、length(N) ≤ length(M) が成り立つ。さらに、N が M の真の部分加群であれば（すなわち M に等しくなければ）、length(N) < length(M) である。 加群 M1 と M2 が有限の長さをもてば、それらの直和もそうであり、直和の長さは M1 と M2 の長さの和に等しい。 0 → L → M → N → 0 {\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0} を R-加群の短完全列とする。このとき M が有限の長さをもつことと L と N が有限の長さもつことは同値であり、 length(M) = length(L) + length(N) が成り立つ（この主張は前の 2 つを意味する）。 加群 M の組成列は 0 = N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N n = M {\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M} の形の鎖であって N i + 1 / N i  is simple for  i = 0 , … , n − 1 {\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\mbox{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1} であるようなものである。すべての長さ有限の加群 M は組成列をもち、すべてのそのような組成列の長さは M の長さに等しい。 ヒルベルト–ポアンカレ級数 Steven H. Weintraub, Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6
ねじれなし加群

捩れなし加群 (torsion-free module) は代数学において、環上の加群 M であって、M において 0M のみが、台となる環の何れかの正則元（非零因子）とのスカラー倍によって 0M となりうる唯一の元であるようなものである。 整域 D において正則元は 0D でない元であるので、この場合捩れなし加群 M は 0M が環の非零元によって零化される唯一の元であるようなものである。整域上だけで考えこの条件を捩れなし加群の定義として使う著者もいるが、より一般の環上ではこれはうまくいかない。 というのも環が零因子をもてばこの条件を満たす加群は零加群しかないからだ。 全商環が K の可換環 R 上、加群 M が捩れなしであることと Tor1(K/R,M) が消えることは同値である。したがって平坦加群、とくに自由加群と射影加群は捩れなしであるが、逆が正しい必要はない。平坦でない捩れなし加群の例は体 k 上の多項式環 k[x,y] のイデアル (x,y) である。 任意の不ねじれ加群（en:torsionless module）は捩れなし加群であるが、逆は正しくない、なぜならば Q は 「不ねじれ」 でない捩れなし Z-加群だからだ。 ネーター整域上、捩れなし加群は唯一の素因子が 0 である加群である。より一般に、ネーター可換環上、捩れなし加群はすべての素因子が環の素因子に含まれる加群である。 ネーター整閉整域上、任意の有限生成捩れなし加群は自由部分加群であってそれによる商が環のイデアルに同型なものをもつ。 デデキント整域上、有限生成加群が捩れなしであることと射影的であることは同値であるが、一般には自由でない。任意のそのような加群は有限生成自由加群とイデアルの和に同型であり、イデアルのクラスは加群によって一意的に決まる。 主イデアル整域上、有限生成加群が捩れなしであることと自由であることは同値である。 捩れ (代数学) 捩れなしアーベル群（英語版） ランク1の捩れなしアーベル群（英語版）； このクラスには分類理論が存在する Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “torsion-free module”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=torsion-free_module  Matlis, Eben (1972), Torsion-free modules, The University of Chicago Press, Chicago-London, MR0344237, https://books.google.co.jp/books?id=cwkU3YAivksC&redir_esc=y&hl=ja  [脚注の使い方] ^ Stacks Project, Tag 0AVQ, http://stacks.math.columbia.edu/tag/0AVQ .
群の生成系

抽象代数学において、群の生成系、生成集合 (generating set of a group) は部分集合であって群のすべての元が（群演算のもとで）その部分集合の有限個の元とそれらの逆元の結合として表現できるものである。 言い換えると、S が群 G の部分集合であれば、<S>、S で生成される部分群 (subgroup generated by S)、は S のすべての元を含む G の最小の部分群である、すなわち S のすべての元を含む部分群すべてに渡る共通部分である。同じことだが、<S> は S の元とそれらの逆元の有限積として書ける G のすべての元からなる部分群である。 ⟨ S ⟩ = { s 1 e 1 ⋯ s n e n ∈ G ∣ n ∈ N ,   s i ∈ S ,   e i = ± 1 } {\displaystyle \langle S\rangle =\{\,s_{1}^{e_{1}}\dotsb s_{n}^{e_{n}}\in G\mid n\in \mathbb {N} ,\ s_{i}\in S,\ e_{i}=\pm 1\,\}} G = <S> であれば、S は G を生成する (generate) といい、S の元は生成元 (generator) や群の生成元 (group generator) と呼ばれる。S が空集合であれば、<S> は自明群 {e} である、なぜならば空積を単位元と考えるからである。 S にたった1つの元 x しかなければ、<S> は通常 <x> と書かれる。この場合、<x> は x のベキからなる巡回部分群 (cyclic subgroup) であり、巡回群で、この群は x によって生成されるという。元 x が群を生成すると言うことと同値なことは <x> が群全体と等しいと言うことである。有限群に対しては、x が位数 |G| をもつと言っても同値である。 S が有限であれば、群 G = <S> は有限生成 (finitely generated) と呼ばれる。有限生成アーベル群の構造はとくに容易に記述される。有限生成群に対して正しい多くの定理は一般の群に対しては成り立たない。有限群が部分集合 S によって生成されれば群の各元は群の位数以下の長さのアルファベット S からの語として表現できるということが証明されている。 すべての有限群は <G> = G なので有限生成である。整数全体のなす加法群は 1 と -1 どちらにもよって有限生成な無限群の例であるが、有理数全体のなす加法群は有限生成ではありえない。非可算群は決して有限生成でない。 同じ群の異なる部分集合が生成部分集合になることがある。例えば、p と q が整数で gcd(p, q) = 1 であれば、{p, q} もまた（ベズーの等式によって）整数全体のなす加法群を生成する。 有限生成群のすべての商は有限生成であるということは正しい（単純に生成元の商における像をとればよい）が、有限生成群の部分群は有限生成である必要はない。例えば、G を2つの生成元 x と y による自由群とし（これは明らかに有限生成である、なぜならば G = <{x,y}>）、S を n を自然数として ynxy−n の形の G のすべての元からなる部分集合とする。<S> は明らかに可算生成の自由群に同型であるので、有限生成ではありえない。しかしながら、有限生成アーベル群のすべての部分群はそれ自身有限生成である。実は、より強いことが言える。すべての有限生成群からなるクラスは拡大の下で閉じている。これを見るためには、（有限生成）正規部分群と商の生成集合をとれ。すると正規部分群の生成元は商の生成元の原像とともに、群を生成する。 集合 S で生成される最も一般的な群は S によって自由的に生成される (freely generated) 群である。S によって生成されるすべての群はこの群の商に同型であり、群の表示 の表現において役立つ特徴である。 生成元と関連する話題には非生成元 (non-generator) に関するものがある。群 G の元 x は、G を生成する x を含むすべての集合 S が x を S から除いてもなお G を生成するならば、非生成元である。整数全体のなす加法群において、唯一の非生成元は 0 である。すべての非生成元からなる集合は G の部分群、フラッティーニ部分群をなす。 単元群 U(Z9) は mod 9 の積の下で 9 と互いに素なすべての整数からなる群である (U9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8})。ここではすべての算術は 9 を法としてされる。7 は U(Z9) の生成元ではない、なぜならば { 7 i mod 9   |   i ∈ N } = { 7 , 4 , 1 } . {\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\}.} 一方 2 は生成元である、なぜならば： { 2 i mod 9   |   i ∈ N } = { 2 , 4 , 8 , 7 , 5 , 1 } . {\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.} 他方、 n > 2 に対して、n 次対称群は巡回群でないので、どんな 1 つの元によっても生成されない。しかしながら、それは2つの置換 (1 2) と (1 2 3 ... n) によって生成される。例えば、S3 に対して、 e = (1 2)(1 2) (1 2) = (1 2) (2 3) = (1 2)(1 2 3) (1 3) = (1 2 3)(1 2) (1 2 3) = (1 2 3) (1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2) 無限群が有限の生成集合をもつことがある。整数全体のなす加法群は 1 を生成集合としてもつ。元 2 は生成集合ではない、なぜならば奇数がいないからだ。2元部分集合 {3, 5} は生成集合である、なぜならば (−5) + 3 + 3 = 1 だからである（実は、互いに素な数の任意のペアはベズーの等式の結果として生成集合である）。 ケイリーグラフ (Cayley graph) 生成集合 (Generating set)、他の構造における関連した意味に対して 群の表示 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Zbl 0984.00001, MR1878556  Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9  Weisstein, Eric W. "Group generators". mathworld.wolfram.com (英語).
行列群

数学において、行列群 (matrix group) は（通常は前もって固定される）ある体 K上の n 次可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n 次可逆行列を考えることができる。（行列のサイズは有限に制限されていることに注意。なぜならば任意の群は任意の体上の無限行列の群として表現することができるからだ。）線型群 (linear group) は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現を持つ。 任意の有限群は線型である。これはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列により実現できることによる。無限群（英語版）の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む（例：無限集合の置換からなる無限対称群）。 可換環 R 上の n 次正方行列全体の集合 Mn(R) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。Mn(R) の単元群は環 R 上の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n, R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である。 とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の基礎環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。 すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。 G を n 点 (Ω = {1, 2, …, n}) 上の置換群とし {g1, …, gk} を G の生成集合とする。複素数体上の一般線型群 GLn(C) は自然にベクトル空間 Cn に作用する。B = {b1, …, bn} を Cn の標準基底とする。各 gi に対して Mi ∈ GLn(C) を各 bj を bgi(j) に送る行列とする。つまり、置換 gi が点 j を k に送るならば、Mi は基底ベクトル bj を bk に送る。M を {M1, …, Mk} で生成される GLn(C) の部分群とする。すると G の Ω 上の作用はちょうど M の B 上の作用と同じである。各 gi を Mi に送る対応は同型に拡張され、したがってすべての群は行列群に同型であることが証明できる。 M は成分が 0 か 1 の行列しか含まないので体（上の場合 C）は無関係であることに注意しよう。0 と 1 はすべての体に存在するので任意の体に対して同じ構成をができる。 例として、G = S3、3点上の対称群とする。g1 = (1, 2, 3) と g2 = (1, 2) とする。このとき M 1 = [ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ] {\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}} M 2 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} M1b1 = b2, M1b2 = b3 そして M1b3 = b1. 同様に、M2b1 = b2, M2b2 = b1 そして M2b3 = b3. 線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広く使われてきた。とくに表現論は群から行列群への準同型を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への写像を研究する。 リー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）、推移的有限線型群一覧（英語版）を参照 任意の n について、ブレイド群 Bn は線型である。これは2000年に証明されるまで60年以上にわたって未解決であった。 Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9 Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics), Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9. La géométrie des groupes classiques, J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X The classical groups, H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7 ^ Stephen J. Bigelow (December 13, 2000), “Braid groups are linear”, Journal of the American Mathematical Society 14 (2): 471–486, http://www.ams.org/jams/2001-14-02/S0894-0347-00-00361-1/S0894-0347-00-00361-1.pdf  Suprunenko, D.A. (1976). Matrix groups. Translations of mathematical monographs. 45. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1595-4. MR390025. Zbl 0317.20028  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Linear group”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Linear_group
リーマンのクシー関数

数学において、リーマンのクシー関数（リーマンのクシーかんすう、英: Riemann Xi function）はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。 リーマンのもともとの小文字のクシー関数、ξ はエトムント・ランダウによって大文字のクシー Ξ に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー ξ は次のように定義される： s ∈ C に対して ξ ( s ) = 1 2 s ( s − 1 ) π − s / 2 Γ ( 1 2 s ) ζ ( s ) . {\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {1}{2}}s\right)\zeta (s).} ここで ζ(s) はリーマンのゼータ関数を表し、Γ(s) はガンマ関数である。クシーの関数等式（あるいは reflection formula（英語版））は ξ ( 1 − s ) = ξ ( s ) {\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)} である。大文字のクシー Ξ は Landau (loc. cit., §71) によって Ξ ( z ) = ξ ( 1 2 + z i ) {\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\frac {1}{2}}+zi\right)} と定義され、関数等式 Ξ ( − z ) = Ξ ( z ) {\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)} をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 Ξ はリーマンがもともと ξ によって表記した関数である。 偶数に対する一般式は ξ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 1 ( 2 n ) ! B 2 n 2 2 n − 1 π n ( 2 n 2 − n ) ( n − 1 ) ! {\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!} である、ただし Bn は n 番目のベルヌーイ数を表す。例えば ξ ( 2 ) = π 6 {\displaystyle \xi (2)={\pi \over 6}} である。 クシー関数は級数展開 d d z log ⁡ ξ ( − z 1 − z ) = ∑ n = 0 ∞ λ n + 1 z n {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}} をもつ、ただし λ n = 1 ( n − 1 ) ! d n d s n [ s n − 1 log ⁡ ξ ( s ) ] | s = 1 = ∑ ρ [ 1 − ( 1 − 1 ρ ) n ] {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]} であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 ρ を |Im(ρ)| の順番で渡る。 この展開は Li's criterion（英語版） においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の n に対して λn > 0 であることと同値であるというものである。 単純な無限積展開は Ξ ( s ) = Ξ ( 0 ) ∏ ρ ( 1 − s ρ ) , {\displaystyle \Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!} ただし ρ は ξ の根を走る。 展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち ρ と 1 − ρ の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。 与えられた数より小さい素数の個数について - クシー関数を導入したリーマンの論文 ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70. Weisstein, Eric W. "Xi-Function". mathworld.wolfram.com (英語). Keiper, J.B. (1992). “Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198): 765–773. Bibcode: 1992MaCom..58..765K. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.  この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Riemann Ξ functionの本文を含む
有限生成群

代数学における有限生成群（ゆうげんせいせいぐん、英: finitely generated group）は、適当な有限部分集合 S を生成系とする群 G を言う。すなわち有限生成群 G の任意の元は、S ∪ S−1（有限集合 S とそれに属する元の逆元の集合 S−1 の合併）の有限個の元の積に書ける。 定義により任意の有限群 G は有限生成である（S = G ととればよい）。任意の有限生成無限群は可算でなければならないが、任意の可算群は必ずしも有限生成でない。実際、有理数全体の成す加法群 Q は有限生成でない可算群の例を与える。 有限生成群の任意の剰余群はまた有限生成である。有限生成群の部分群は有限生成とは限らない。 単生群すなわちただ一つの元で生成される群は巡回群とも呼ばれる。任意の無限巡回群は整数全体の成す加法群 Z に同型である。 群が局所巡回的（英語版）であるとは、任意の有限生成部分群が単生なるときに言う。有理数の加法群 Q は巡回群でない局所巡回群の例を与える。任意の局所巡回群はアーベル群である。任意の有限生成局所巡回群は巡回群である。 任意のアーベル群は有理整数環 Z 上の加群と見ることができ、生成系 {x1, …, xn} を持つ有限生成アーベル群 G は、その任意の元 x をそれら生成元の整係数線型結合 x = α1⋅x1 + α2⋅x2 + ⋯ + αn⋅xs （α1, …, αn は適当な整数）として書くことができる。 有限生成アーベル群の基本定理は、有限生成アーベル群が有限階の自由アーベル群と有限アーベル群の直和に分解できて、各直和因子が同型を除いて一意となることを述べるものである。 有限生成群の部分群は必ずしも有限生成に限らない。二元生成自由群 F2 の交換子部分群は有限生成群の有限生成でない部分群の例を与える。 有限生成群の指数有限な部分群は常に有限生成であり、またシュライアー指数公式（英語版）はそのような部分群に対して必要な生成元の数の上限を与える。 Howson (1954)は自由群の二つの有限生成部分群の交わりがふたたび有限生成となることを示した。より精確には、二つの有限生成部分群の生成元の数をそれぞれ m, n とするとき、それら部分群の交わりは高々 2mn − m − n + 1 個の生成元で生成される。この上界の値はハンナ・ノイマン（英語版）によって 2(m − 1)(n − 1) + 1 まで著しく改善された（ハンナ・ノイマン予想（英語版）を参照）。 群の部分群束（英語版）が昇鎖条件を満足するための必要十分条件は、その群の任意の部分群が有限生成になることである。任意の部分群が有限生成となる群はネーター的（英語版）であると言う。 任意の有限生成部分群が有限となる群は局所有限（英語版）であると言う。任意の局所有限群はねじれ群、すなわち任意の元が位数有限となる群である。逆に、任意のねじれアーベル群は局所有限である。 幾何学的群論は、有限生成群の代数的性質と、そのような群が作用する空間の幾何学的および位相的性質との間の関連性の研究である。 有限生成群の語の問題（英語版）は、群の生成元からなる二つの語（英語版）がいつその群の同じ元を定めるかを問う決定問題である。与えられた有限生成群に対する語の問題が解けるための必要十分条件は、その群が任意の代数閉群（英語版）に埋め込めることである。 群の階数（英語版）はしばしば、その群の生成系の濃度のうち最小のものと定義される。定義により、有限生成群の階数は有限である。 有限生成加群 群の表示 ^ Gregorac, Robert J.. “A note on finitely generated groups”. American Mathematical Society. 9 October 2015閲覧。 ^ Rose (2012), p. 52. ^ Rose (2012), p. 54. ^ Rose (2012), p. 55. ^ Howson, A. G. (1954). “On the intersection of finitely generated free groups”. Journal of the London Mathematical Society 29: 428–434. doi:10.1112/jlms/s1-29.4.428.  ^ Rose (2012), p. 75. Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-68194-7  Weisstein, Eric W. "Finitely Generated". mathworld.wolfram.com (英語). finitely generated group - PlanetMath.（英語） Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Finitely-generated group”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Finitely-generated_group
岡安辰雄

岡安 辰雄（おかやす たつお、本名：伊藤 辰雄、1934年5月19日 - 2014年5月31日）は、愛知県出身の演劇評論家、元新聞記者 。名古屋タイムズ社を経て、中日新聞社に勤務した。 愛知県西尾市生まれ。1953年愛知県立西尾高等学校卒業、1957年愛知大学法経学部経済学科卒業。同年名古屋タイムズ社入社、報道部長、文化部長、編集局次長を務めたのち、中日新聞社に転職し、2010年放送芸能部退社。新聞記者として「芸能」のほかに「釣り」「囲碁」などの取材執筆も担当した。 2010年からは演劇評論家、フリーランス記者として活動した。御園座・名鉄ホール・中日劇場の興業を軸に半世紀以上、主たる興業の稽古取材・プログラム執筆を手掛けた。歌舞伎・芝居・舞踊などを一般の観劇者に判りやすい解説文を書き、ユーモア溢れる人柄で役者・舞台関係者と交流した。中京五流舞踊公演のほか名古屋西川流名古屋をどりは評論当初から携わった。 ファクシミリが一般普及以前の時代、雑誌「演劇界」への原稿送付は取材・観劇後すぐに名古屋中央郵便局に出向き、立って執筆を行い速達投函が常だった。記者となって最初の取材は丹下キヨ子。 日本伝統芸能・芝居などの舞台演劇評論家として、東海地方を中心に演劇・舞台芸術評論を行い、舞台芸術の育成に貢献した。 日本演劇協会評論部 CBCクラブ名誉会員 2010年あいちトリエンナーレ 公募選考委員 名古屋演劇ペンクラブ理事 中京通信 むすめ歌舞伎顧問 日本舞踊芝流芝之会顧問 2001年 NPO世界劇場会議 名古屋　第6回ITCN文化賞受賞 2011年 第52回CBCクラブ文化賞受賞 2012年 愛知大学優秀奨励賞受賞 [脚注の使い方] ^ “愛知大学奨励賞受賞者一覧ページ”. 2014年11月25日閲覧。 ^ “日本演劇協会”. 2014年11月24日閲覧。 ^ “2010年あいちトリエンナーレ公募選考委員”. 2014年11月24日閲覧。 ^ “第6回ITCN文化賞”. 2014年11月24日閲覧。 ^ “CBCクラブ文化賞”. 2014年11月24日閲覧。 ^ “2012年 愛知大学優秀奨励賞” (PDF). 2014年11月24日閲覧。
アナスタシヤ・ガルスチャン

アナスタシヤ・ゲオルギエヴナ・ガルスチャン（アルメニア語: Անաստասիա Գալուստյանը、ロシア語: Анастасия Георгиевна Галустян、ロシア語ラテン翻字: Anastasia Georgievna Galustyan、1999年6月25日 - ）は、ロシア出身、アルメニアのフィギュアスケート選手（女子シングル）。 2014年ワルシャワ杯2位。 国際スケート連盟によるアナスタシヤ・ガルスチャンのバイオグラフィー（英語） FSKATE.RUによるアナスタシヤ・ガルスチャンのプロフィール アナスタシヤ・ガルスチャン (@anastasiagalustyan) - Instagram 表示 編集
2014年NRW杯

2014年NRW杯 (ノルトライン・ヴェストファーリア杯 英語: North Rhine-Westphalia Trophy for Single & Pair Skating)は2014年にドイツで開催されたフィギュアスケートの国際競技会。 2014年NRW杯は2014-2015年シーズンのフィギュアスケート競技会 NRW杯のシングル及びペア部門で、国際スケート連盟の2014-2015年シーズンイベントカレンダーに掲載されたドイツのノルトライン＝ヴェストファーレン氷上競技協会主催の国際大会である。2014年11月26日から30日にかけて、ドイツ・ドルトムントのアイススポーツセンターヴェストファーレンホールにて開催された。シニア、ジュニア、アドバンスドノービス、その他クラスの男女シングル、ペア競技が行われた。 ショートプログラム - 11月29日 フリースケーティング - 11月30日 ショートプログラム - 11月29日 フリースケーティング - 11月30日 ショートプログラム - 11月28日 フリースケーティング - 11月29日 ショートプログラム - 11月26日 フリースケーティング - 11月28日 ショートプログラム - 11月27日 フリースケーティング - 11月28日 ショートプログラム - 11月28日 フリースケーティング - 11月29日 ショートプログラム - 11月26日 フリースケーティング - 11月27日 ショートプログラム - 11月26日 フリースケーティング - 11月27日 ショートプログラム - 11月28日 フリースケーティング - 11月29日 フリースケーティング - 11月26日 フリースケーティング - 11月26日 フリースケーティング - 11月26日 ^ a b c d e f g h i j k l 途中棄権を含む 大会サイト 2014年NRW杯アナウンスメント 2014年NRW杯公式結果
2014年パベルロマンメモリアル

2014年パベルロマンメモリアル(英語: Pavel Roman Memorial 2014 または英語: 20th Year of Pavel Roman Memorial, チェコ語: ⅩⅩ. ročník Memoriál Pavla Romana)は、2014年にチェコで開催されたアイスダンスの国際競技会。 2014年パベルロマンメモリアルは2014-2015年シーズンのフィギュアスケート競技会パベルロマンメモリアルで、国際スケート連盟の2014-2015年シーズンイベントカレンダーに掲載されたチェコフィギュアスケート協会・フィギュアスケーティングクラブ オロモウツ共催による国際大会である。シニア、ジュニア、アドバンスドノービス、ベーシックノービスクラスのアイスダンス競技が行われた。今回が第20回目であり、2014年11月28日から30日にかけて、チェコ・オロモウツのジムニスタディオンオロモウツ(チェコ語: Zimní stadion Olomouc)にて開催された。 国際スケート連盟加盟の各国(地域)統括団体に所属する選手が参加できるとされ、応募人数に制限は設けられなかった。 ショートダンス - 11月29日 フリーダンス - 11月30日 ショートダンス - 11月29日 フリーダンス - 11月30日 ショートダンス - 11月29日 フリーダンス - 11月30日 フリーダンス - 11月29日 ^ a b c d 途中棄権を含む 2014年パベルロマンメモリアルアナウンスメント 2014年パベルロマンメモリアル公式結果 パベルロマンメモリアル - フィギュアスケーティングクラブ オロモウツ チェコフィギュアスケート協会 フィギュアスケーティングクラブ オロモウツ
オフィスPAC

東北新社 > オフィスPAC 株式会社オフィスPAC（オフィスパック、英: Office PAC）は、日本の芸能事務所。株式会社東北新社の連結子会社。日本声優事業社協議会会員。主に声優、俳優、翻訳者のマネージメントを行っている。 前身は、1997年に俳優・声優・演出家の野沢那智が設立した声優養成所「パフォーミング・アート・センター」であり、同所のマネージメント部門として2003年に設立された。野沢那智が代表を務めていたが、後に息子の野沢聡が代表を引き継いでいた。2009年12月1日からは、劇団Pカンパニー所属の俳優の出演業務の窓口業務も行っている。 2012年12月3日付にて東北新社の資本参加により新資本で再スタート。東北新社の連結子会社となり、養成部門を運営していた「株式会社パフォーミング・アート・センター」とは別資本の会社となった。新生オフィスPACには2018年6月28日付で東北新社の中島浩二郎が代表取締役に就任していた。 野沢聡が率いる、前身のパフォーミング・アート・センターの方は2016年9月9日に事業を停止。その後2017年2月8日に東京地裁から破産手続開始決定を受けた。同時に同社代表の野沢聡個人も、破産手続開始決定を受けている。その後2017年5月11日に東京地裁において、パフォーミング・アート・センターおよび野沢聡は、破産財団をもって破産手続の費用の支弁に不足するため、破産手続の廃止を決定を受けた。 以下、所属者については2024年10月時点。 尾形由美 高木美和 武田佳子 古市暁子 宮風呂朋子 安達貴英 彩乃木崇之 居谷四郎 内田勝之（現所属：劇団わらび座） 越後屋コースケ（現所属：ステイラック） 落合佑介（引退） かつまゆう 黒田浩一（現所属：ステイラック） 小松史法（フリー） 佐藤健輔（現所属：アクセント） 下和田ヒロキ（現所属：ケッケコーポレーション） 庄司将之（現所属：トイプリッズ） 瀧村直樹（現所属：ALBA） 長島真祐（フリー） 野沢聡（現所属：81プロデュース） 野沢那智（元代表、在籍中に死去） 早志勇紀（現所属：LAL） 古屋家臣 丸田光 宮本崇弘（現所属：青二プロダクション） 山本善寿（現所属：NAVUE） NOAは元NOW ON AIRメンバー 飯野美紗子 NOA （フリー〈メーク業務提携〉） 泉裕子（引退） 岩淵桃音 NOA （引退） 大関英里（フリー〈エルアンドエル・ビクターエンタテインメント業務提携〉） 大谷恭代 岡田めぐみ 岡本沙保里 角田紗里 片平美那 NOA（フリー） 桂木黎奈 加納千秋（現所属：アーツビジョン） 神戸光歩 NOA（現所属：大沢事務所） 北西純子（現所属：賢プロダクション） 久保田茜 佐藤美保 須沢朝美 鈴木麗子（現所属：ポンテ） 鈴木陽斗実 NOA （在籍中に死去） 須藤沙耶（現所属：プランダス） 竹内夕己美（現所属：懸樋プロダクション） 田中有紀 NOA（現所属：ヒラタオフィス） 千葉綾乃（現所属：GOLDEN BALL CRUSH） 津川祝子（現所属：アミュレート） 辻祐子 冨尾光里（フリー） 中島絵美 まつだ志緒理（現所属：アーツビジョン） もりなつこ ^ （株）パフォーミング・アート・センター 東京商工リサーチ 2017年2月10日 株式会社オフィスPAC 表示 編集 パフォーミング・アート・センターに関するカテゴリ: 声優養成所 かつて存在した東京都の企業 1997年設立の企業 2017年廃止の企業 経営破綻した企業
水野忠誠

水野 忠誠（みずの ただのぶ）は、江戸時代末期の大名、老中。駿河国沼津藩第7代藩主。沼津藩水野家14代。 天保5年（1834年）7月25日生まれ。幼名は惣兵衛。岡崎藩主本多忠考の四男。沼津藩主水野忠寛の養子となり、忠寛の隠居にともない家督を相続し、老中に進む。幕府は第二次長州征討の総大将に尾張藩主徳川慶勝を任命したが、慶勝が固辞したため、忠誠が総大将に任命された。しかし、征討の準備中であった慶応2年（1866年）9月14日、忠誠は沼津城中で急死した（表向きには10月28日死去とされた）。跡を養子の忠敬が継いだ。 1834年（天保5年）：7月25日、生まれる。 1862年（文久2年）：水野家相続 1863年（文久3年）：奏者番兼寺社奉行（10月22日） 1864年（元治元年）：奏者番、寺社奉行免職（11月10日） 1866年（慶応2年）：老中（7月13日）、在職中死去（9月14日） 父母 本多忠考（実父） 歌橋氏 ー 側室（実母） 水野忠寛（養父） 養子 水野忠敬 ー 水野忠明の次男 『水野忠誠』 - コトバンク 表示 編集