平行移動

ユークリッド幾何学における平行移動（へいこういどう、英: translation, parallel translation, parallel displacement）とは、すべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす変換である。 平行移動は並進あるいは並進運動 (translational motion) とも呼ばれる。 平行移動は向きや距離・角度を保ち、非自明なものは不動点を持たない。 一次元の場合、平行移動 T は定数 a を用いて T(x) = x + a と表せる。 平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル v に対して、v に対応する平行移動 Tv は、点 P(p) を v だけ動かす写像 Tv(p) = p + v として働く。 平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる。T が平行移動であるとき、部分集合 A の写像 T による像を、A の T による平行移動と呼ぶ。T が定ベクトル v に対応する平行移動 Tv であるとき、A の Tv による平行移動はしばしば A + v と書かれる。 平行移動を剛体運動として記述することもできる（平行移動の他には回転と鏡映）。n-次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 T(n) を成す。この群はもとの空間（の加法群）と同型であり、ユークリッド群 E(n) の正規部分群である。E(n) の T(n) による剰余群は直交群 O(n) に同型: E(n)/T(n) ≅ O(n) である。 ベクトル変数の写像 f(v) に作用する、定ベクトル δ に対応する平行移動作用素 Tδ は T δ f ( v ) = f ( v + δ ) {\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )} で定義される作用素を言う。 非自明な平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、斉次座標系（英語版）を用いた回避方法によって一般に行われる。 例えば三次元の場合において、ベクトル w = (wx, wy, wz) は四成分の斉次座標 w = (wx, wy, wz, 1)で表せる。 各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル p を、定ベクトル v だけ平行移動させるには、平行移動行列 T v = ( 1 0 0 v x 0 1 0 v y 0 0 1 v z 0 0 0 1 ) {\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果 T v p = ( 1 0 0 v x 0 1 0 v y 0 0 1 v z 0 0 0 1 ) ( p x p y p z 1 ) = ( p x + v x p y + v y p z + v z 1 ) = p + v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} } は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、 T v − 1 = T − v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }} で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動 T u T v = T u + v {\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }} になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。 物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である（回転運動に対照する）。例えば Whittaker (1988, p. 1) によれば、 If a body is moved from one position to another, and if the lines joining the initial and final points of each of the points of the body are a set of parallel straight lines of length ℓ, so that the orientation of the body in space is unaltered, the displacement is called a translation parallel to the direction of the lines, through a distance ℓ. （剛体がある位置から別な位置へ動くとき、剛体の各点の始点と終点を結ぶ直線が平行線集合となり、したがって空間における剛体の向きが変わらないならば、この変位を「その直線方向への距離 ℓ だけの平行移動」と呼ぶ。） 平行移動は物体の各点 (x, y, z) を ( x , y , z ) → ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) {\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)} なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、(Δx, Δy, Δz) は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル (Δx, Δy, Δz) は、（「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。 時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。 ^ まれに併進とも書く。 ^ Osgood & Graustein 1921, p. 330. ^ Paul 1981. Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Plane and solid analytic geometry. The Macmillan Company  Paul (1981), Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, Cambridge, MA: MIT Press, https://books.google.co.jp/books?id=UzZ3LAYqvRkC  Whittaker, Edmund Taylor (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-35883-3  移流 回転行列 スケール変換 変換行列（英語版） 軸の移動（英語版） 並進対称性 垂直移動（英語版） ウィキメディア・コモンズには、平行移動に関連するカテゴリがあります。 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Parallel displacement”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Parallel_displacement  Weisstein, Eric W. "Translation". mathworld.wolfram.com (英語). Terr, David. "Complex Translation". mathworld.wolfram.com (英語). Translation Transform at cut-the-knot Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.