クラスター代数

団代数（クラスター代数）はFomin and Zelevinsky (2002, 2003, 2007)によって導入された可換環のクラスである。ランクnのクラスター代数は、整域Aであって、サイズnの複数のサブセットを持つものであり、それぞれのサブセットは団（クラスター）と呼ばれ、この複数のサブセットの和集合が代数Aを生成し、さまざまな条件を満たす。 Fが整域であると仮定する。たとえば、有理数Q上のn個の変数の有理関数の可換体Q (x1,...,xn)などがその例である。 ランクnの団（クラスター）は、Fのn個の要素{x, y, ...}のセットで構成される。それらのセットは、通常、体拡大Fの代数的に独立した生成セットであるとみなされる。 シード（種）は、 Fの団（クラスター）{x, y, ...}と交換行列（英語版）Bとからなる。ただし、交換行列Bの要素bx,yは整数であり、団（クラスター）の要素のペアx,yによってインデックス付けされたものである。交換行列を交代行列（または歪対称行列）であると限定することもあり、その場合は、すべてのxおよびyに対してbx,y = –by,xである。より一般的には、交換行列は、歪対称化可能行列とされる。なお、歪対称化可能行列とは、そのすべての要素bx,yが、団（クラスター）の要素に関連付けられた正の整数のセット{dx,dy,...}を用いて、dxbx,y = –dyby,xと、交代行列(歪対称行列)に変換できるようなべて行列のことである。シード（種）は箙として視覚的に表現されることもよくある。箙は有向グラフであり、団（クラスター）{x, y, ...}を頂点とし、交換行列のbx,yが正の場合、xからyにbx,y本の有向辺（矢印）を引いたものである。 交換行列が歪対称化可能行列である場合、箙はループまたは2サイクルを持たない。 シード（種）には変異と呼ばれる変化があり異なるシード（種）に変わる。この変異は、団（クラスター）の要素（箙で言えば頂点）の1つ選択するとそれに応じて決まる。この新たに生じるシード（種）は、傾斜の一般化によって得られるが、それは次のような規則での交換行列Bの要素の変化と団（クラスター）{x, y, ...}との変化からなる。変異を定める団（クラスター）の要素（箙の頂点）をyとする。交換行列Bの変化は次の通り。団（クラスター）内のすべてのxについて、bx,yおよびby,xの値を交換する。y以外の団（クラスター）の要素x,zについて、 bx,y > 0 かつ by,z > 0である場合には、bx,z を bx,yby,z + bx,zに置き換える。bx,y < 0かつby,z < 0である場合には、bx,z を -bx,yby,z + bx,zに置き換える。それ以外の場合（bx,y by,z ≤ 0の場合）には、bx,z は変えない。最後に、団（クラスター）{x, y, ...}の変化を説明する。 yを新しい生成要素wに、次のように置き換える。y以外の要素は変えない。 w y = ∏ t : b t , y > 0 t b t , y + ∏ t : b t , y < 0 t − b t , y {\displaystyle wy=\prod _{t:\,b_{t,y}>0}t^{b_{t,y}}+\prod _{t:\,b_{t,y}<0}t^{-b_{t,y}}} この式の右辺は、シード（種）の団（クラスター）の要素tをyとの関係（bt,yの正負）で2群に分け、群ごとに要素の冪の積を取り、その和となるn変数多項式となっている。なお、変異の逆も変異である。つまり、 シード（種）Aがシード（種）Bの変異である場合、 BはAの突然変異である。 団代数（クラスター代数）は、初期シードから、次のように構築される。あるシードの変異は、団（クラスター）の要素ごとに定まるから、そのすべての変異を行うこととし、それを繰り返す。シード（種）をグラフの頂点とし、１回の変異で移りあうシード（種）のペアを両端点とする辺を引くことにすると、可能なすべての変異の繰り返しにより、グラフが生成される。このグラフは有限グラフの場合と無限グラフの場合とがある。団代数（クラスター代数）の基礎となる代数は、このグラフのすべてのシード（種）に付随する団（クラスター）のすべての要素によって生成された代数である。シード（種）には、上記で述べていないその他の構造も付随しており、それに対応する団代数（クラスター代数）も存在する。 団代数（クラスター代数）は、シード（種）の数が有限である場合、有限型であると言われる。 Fomin & Zelevinsky (2003)は、有限型の団代数（クラスター代数）が、有限次元の単純リー代数のディンキン図の観点から分類できることを示した。 Berenstein, Arkady; Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2005), “Cluster algebras. III. Upper bounds and double Bruhat cells”, Duke Mathematical Journal 126 (1): 1–52, arXiv:math/0305434, doi:10.1215/S0012-7094-04-12611-9, MR2110627  Fomin, Sergey; Shapiro, Michael; Thurston, Dylan (2008), “Cluster algebras and triangulated surfaces, part I: Cluster complexes.”, Acta Mathematica 201: 83–146, arXiv:math/0608367, doi:10.1007/s11511-008-0030-7  Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), “Cluster algebras. I. Foundations”, Journal of the American Mathematical Society 15 (2): 497–529, arXiv:math/0104151, doi:10.1090/S0894-0347-01-00385-X, MR1887642  Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2003), “Cluster algebras. II. Finite type classification”, Inventiones Mathematicae 154 (1): 63–121, arXiv:math/0208229, Bibcode: 2003InMat.154...63F, doi:10.1007/s00222-003-0302-y, MR2004457  Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2007), “Cluster algebras. IV. Coefficients”, Compositio Mathematica 143 (1): 112–164, arXiv:math/0602259, doi:10.1112/S0010437X06002521, MR2295199  Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), “Root systems and generalized associahedra”, in Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd, Geometric combinatorics, IAS/Park City Math. Ser., 13, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., arXiv:math/0505518, Bibcode: 2005math......5518F, ISBN 978-0-8218-3736-8, MR2383126  Marsh, Bethany R. (2013), Lecture notes on cluster algebras., Zurich Lectures in Advanced Mathematics, Zürich: European Mathematical Society (EMS), doi:10.4171/130, ISBN 978-3-03719-130-9, MR3155783  Reiten, Idun (2010), Tilting theory and cluster algebras, Trieste Proceedings of Workshop, arXiv:1012.6014, Bibcode: 2010arXiv1012.6014R  Zelevinsky, Andrei (2007), “What Is . . . a Cluster Algebra?”, AMS Notices 54 (11): 1494–1495, https://www.ams.org/notices/200711/tx071101494p.pdf . FominのCluster algebra portal 団代数（クラスター代数）関するFominの論文 [1]団代数（クラスター代数）に関するゼレヴィンスキーの論文