双対ハーン多項式

表示 編集 双対ハーン多項式（そうついはーんたこうしき、英語: dual Hahn polynomials）は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる。 双対ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される: R n ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) = 3 F 2 ( − n , − x , x + γ + δ + 1 γ + 1 , − N ; 1 ) , x = 0 , 1 , … , N . {\displaystyle R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)={_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}-n,-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};1\right),\quad x=0,1,\ldots ,N.} 但し、 λ ( x ) = x ( x + γ + δ + 1 ) {\displaystyle \lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1)} とした。 γ , δ < − 1 {\displaystyle \gamma ,\,\delta <-1} または γ , δ < − N {\displaystyle \gamma ,\,\delta <-N} に対して以下の直交関係を満たす: ∑ x = 0 N ( 2 x + γ + δ + 1 ) ( γ + 1 ) x ( − N ) x N ! ( − 1 ) x ( x + γ + δ + 1 ) N + 1 ( δ + 1 ) x N ! R m ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) R n ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) = δ m n ( γ + N n ) ( δ + N − n N − n ) . {\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\frac {(2x+\gamma +\delta +1)(\gamma +1)_{x}(-N)_{x}N!}{(-1)^{x}(x+\gamma +\delta +1)_{N+1}(\delta +1)_{x}N!}}R_{m}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)={\frac {\delta _{mn}}{{\binom {\gamma +N}{n}}{\binom {\delta +N-n}{N-n}}}}.} 但し、 ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマーの記号を表す。 以下の漸化式が成り立つ。 λ ( x ) R n ( λ ( x ) ) = A n R n + 1 ( λ ( x ) ) − ( A n + C n ) R n ( λ ( x ) ) + C n R n − 1 ( λ ( x ) ) . {\displaystyle \lambda (x)R_{n}(\lambda (x))=A_{n}R_{n+1}(\lambda (x))-(A_{n}+C_{n})R_{n}(\lambda (x))+C_{n}R_{n-1}(\lambda (x)).} 但し、 R n ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) {\displaystyle R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)} を R n ( λ ( x ) ) {\displaystyle R_{n}(\lambda (x))} と略記し、 A n = ( n + γ + 1 ) ( n − N ) , C n = n ( n − δ − N − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=(n+\gamma +1)(n-N),\\C_{n}&=n(n-\delta -N-1)\end{aligned}}} とした。 次の差分方程式を満たす: − n R n ( λ ( x ) ) = B ( x ) R n ( λ ( x + 1 ) ) − ( B ( x ) + D ( x ) ) R n ( λ ( x ) ) + D ( x ) R n ( λ ( x − 1 ) ) . {\displaystyle -nR_{n}(\lambda (x))=B(x)R_{n}(\lambda (x+1))-(B(x)+D(x))R_{n}(\lambda (x))+D(x)R_{n}(\lambda (x-1)).} 但し、 B ( x ) = ( x + γ + 1 ) ( x + γ + δ + 1 ) ( N − x ) ( 2 x + γ + δ + 1 ) ( 2 x + γ + δ + 2 ) , D ( x ) = x ( x + γ + δ + N + 1 ) ( x + δ ) ( 2 x + γ + δ ) ( 2 x + γ + δ + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {(x+\gamma +1)(x+\gamma +\delta +1)(N-x)}{(2x+\gamma +\delta +1)(2x+\gamma +\delta +2)}},\\D(x)&={\frac {x(x+\gamma +\delta +N+1)(x+\delta )}{(2x+\gamma +\delta )(2x+\gamma +\delta +1)}}.\end{aligned}}} ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす: ω ( x ; γ , δ , N ) R n ( λ ( x ) ) = ( γ + δ + 1 ) n ( ∇ ∇ λ ( x ) n ω ( x ; γ + n , δ , N − n ) ) . {\displaystyle \omega (x;\gamma ,\delta ,N)R_{n}(\lambda (x))=(\gamma +\delta +1)_{n}\left({\frac {\nabla }{\nabla \lambda (x)}}^{n}\omega (x;\gamma +n,\delta ,N-n)\right).} n 以下の母関数を持つ: ( 1 − t ) N − x 2 F 1 ( − x , − x − δ γ + 1 ; t ) = ∑ n = 0 N ( − N ) n n ! R n ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) t n {\displaystyle (1-t)^{N-x}{_{2}F_{1}}\left({\begin{matrix}-x,-x-\delta \\\gamma +1\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}} ( 1 − t ) x 2 F 1 ( x − N , x + γ + 1 − δ − N ; t ) = ∑ n = 0 N ( γ + 1 ) n ( − N ) n ( − δ − N ) n n ! R n ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) t n {\displaystyle (1-t)^{x}{_{2}F_{1}}\left({\begin{matrix}x-N,x+\gamma +1\\-\delta -N\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\gamma +1)_{n}(-N)_{n}}{(-\delta -N)_{n}n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}} [ e t 2 F 2 ( − x , x + γ + δ + 1 γ + 1 , − N ; − t ) ] N = ∑ n = 0 N 1 n ! R n ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) t n {\displaystyle \left[e^{t}{_{2}F_{2}}\left({\begin{matrix}-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};-t\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}} [ ( 1 − t ) ϵ 3 F 2 ( ϵ , − x , x + γ + δ + 1 γ + 1 , − N ; t t − 1 ) ] N = ∑ n = 0 N ( ϵ ) n n ! R n ( λ ( x ) ; γ , δ , N ) t n ( ∀ ϵ ∈ R ) {\displaystyle \left[(1-t)^{\epsilon }{_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}\epsilon ,-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};{\frac {t}{t-1}}\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\epsilon )_{n}}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}\quad (\forall \epsilon \in \mathbb {R} )} 変数 x {\displaystyle x} と n {\displaystyle n} を交換することによってハーン多項式 Q n ( x ; γ , δ , N ) {\displaystyle Q_{n}(x;\gamma ,\delta ,N)} が得られる: R x ( λ ( n ) ; γ , δ , N ) = Q n ( x ; γ , δ , N ) . {\displaystyle R_{x}(\lambda (n);\gamma ,\delta ,N)=Q_{n}(x;\gamma ,\delta ,N).} ^ Roelof Koeko; René F. Swarttouw (1998). The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue. 98-17. Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics. http://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/as98.pdf.