常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r   k = 0 , 1 , … , n ) {\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right)} という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x(k)(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。 F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r   k = 0 , 1 , … , n ) . {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).} ここで F, x は F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = ( F 1 ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) , … , F r ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) ) , x ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x m ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right),\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}} を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。 また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。 x ( n ) ( t ) = f ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n − 1 ) ( t ) ) ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r   k = 0 , 1 , … , n ) . {\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).} 常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。 常微分方程式が d n x d t n + a n − 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a 0 ( t ) x = b ( t ) {\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)} の形に表されるとき線型であるという。ただし、ak(t) および b(t) はt を変数とする既知の関数である。b(t) = 0 の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。 線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている。 以下に例を挙げておく 。 y = x d y d x + x n f ( d y d x ) . {\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.} y = x d y d x + y n f ( d y d x ) . {\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.} ここに、n は実数であり、f(·) は既知関数である。 d y d x = y 1 − m x 1 − n f ( y m x n ) . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).} 　 m, n は実数，ただし，m ≠ 0，f は既知関数。 d y d x = d A ( x ) d x F ( y A ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).} 　 A(x)，F は既知関数。 d y d x = B ( x ) F ( y + A ( x ) ) − d A ( x ) d x . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.} 　 A(x )，B(x )，F は，いずれも既知関数。 y = x d y d x + P ( x ) ( d 2 y d x 2 ) n . {\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.} y = x d y d x + f ( d 2 y d x 2 ) . {\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).} 上記の P(x) と f(·) は既知関数とする。 y = x d y d x + f ( x n d 2 y d x 2 ) . {\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.} 　 n は実数，ただし，n ≠ 2，f は既知関数。 x d 2 y d x 2 + ( 1 + f ( y ) ) d y d x = 0. {\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.} 　 f(y) は既知関数。 x d 2 y d x 2 + ( α + γ y n ) d y d x = 0. {\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.} 　　α, γ, n は実数．ただし，n ≠ −1。 d 2 y d x 2 = f ( α + β x + γ y k + ℓ x + m y ) . {\displaystyle {\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).} 　　f (·) は既知関数。 α , β , γ , k , ℓ , m {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m} は実数．ただし， γ ℓ − β m = 0 {\displaystyle \gamma \ell -\beta {m}=0} 。 連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x1(t),..., xn(t) およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x1(t), x2(t) とする。それらの一階の導関数を x'1(t), x'2(t) として、 F ( t , x 1 , x 2 , x 1 ′ ( t ) , x 2 ′ ( t ) ) = 0 , {\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,} G ( t , x 1 , x 2 , x 1 ′ ( t ) , x 2 ′ ( t ) ) = 0 {\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0} は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。 一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。 F k ( t ; x 1 , … , x m ; x 1 ( 1 ) , … , x m ( 1 ) ; … ; x 1 ( n ) , … , x m ( n ) ) = 0 , k = 1 , 2 , … , r . {\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.} ここで xi(j)(t) は、未知関数 xi(t) の j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。 なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。 これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 x1(t),..., xm(t) をその解という。 具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、 d y d x = a z + b , {\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,} d z d x = c y + d {\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d} は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている。 一例を挙げておく。 { F ( y , d z d x ) = 0 , G ( z , d w d x ) = 0 , H ( w , d y d x ⋅ ( d w d x ) − 1 ) = 0. {\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}} x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする。 [脚注の使い方] ^ a b c d e 長島 隆廣　『常微分方程式80余例とその厳密解』　近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）。 ^ a b 長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441 ^ a b c d e f 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358 ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。 ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。 藤原松三郎.(1930), 常微分方程式論.岩波書店． 『常微分方程式論』(1930)藤原松三郎著の現代仮名遣い版 吉江琢児.(1947), 微分方程式論. 共立出版. フォーサイス 著,粟野保, 末岡清市, 石津武彦 共訳. 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Springer Science & Business Media. プロジェクト 数学 ポータル 数学 媒介変数 変数分離 求積法 複雑系 パンルヴェ方程式 リッカチ方程式 フックス型微分方程式 ガウスの微分方程式 ベッセル関数 ルジャンドルの微分方程式 微分方程式 線型微分方程式 複素微分方程式 偏微分方程式 NAG数値計算ライブラリ 硬い方程式 常微分方程式の数値解法 ルンゲ・クッタ法 線型多段法 狙い撃ち法