メルテンスの定理

メルテンスの定理（メルテンスのていり、Mertens' theorems）は、1874年にポーランドの数学者フランツ・メルテンス（英語版）によって証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。 評価の厳しさは素数定理よりも弱いが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。 p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。 ∑ p ≤ n log ⁡ p p = log ⁡ n + O ( 1 ) , {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1),} ∑ p ≤ n 1 p = log ⁡ log ⁡ n + b + o ( 1 ) , {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+b+o(1),} ∏ p ≤ n ( 1 − 1 p ) = e − γ + o ( 1 ) log ⁡ n . {\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {e^{-\gamma }+o(1)}{\log n}}.} O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。 また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数（英語版）という。 素数 p が n の階乗 n ! {\displaystyle n!} を割り切る回数を e ( p , n ) {\displaystyle e(p,n)} とおくと ルジャンドルの公式 より e ( n , p ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ {\displaystyle e(n,p)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor } であるから n p − 1 ≤ e ( n , p ) < n p − 1 {\displaystyle {\frac {n}{p}}-1\leq e(n,p)<{\frac {n}{p-1}}} が成り立つ。よって ∑ p ≤ n log ⁡ p ( n p − 1 ) ≤ log ⁡ n ! = ∑ p e ( n , p ) log ⁡ p < ∑ p ≤ n n log ⁡ p p − 1 {\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p\left({\frac {n}{p}}-1\right)\leq \log n!=\sum _{p}e(n,p)\log p<\sum _{p\leq n}{\frac {n\log p}{p-1}}} となるから ∑ p ≤ n log ⁡ p p ≤ 1 n ( log ⁡ n ! + ∑ p ≤ n log ⁡ p ) {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\left(\log n!+\sum _{p\leq n}\log p\right)} となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より ∑ p ≤ n log ⁡ p = θ ( n ) < 2 n log ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p=\theta (n)<2n\log 2} が成り立ち、階乗の増大度について、 log ⁡ n ! = ∑ k = 1 n log ⁡ k = n log ⁡ n − n + O ( log ⁡ n ) {\displaystyle \log n!=\sum _{k=1}^{n}\log k=n\log n-n+O(\log n)} がすぐわかる（スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる）から ∑ p ≤ n log ⁡ p p ≤ 1 n log ⁡ n ! + 2 log ⁡ 2 ≤ log ⁡ n + C 1 {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\log n!+2\log 2\leq \log n+C_{1}} となる定数 C 1 {\displaystyle C_{1}} が存在する。一方 ∑ p ≤ n log ⁡ p p ≥ ∑ p ≤ n log ⁡ p p − 1 − C 2 > 1 n log ⁡ n ! − C 2 ≥ log ⁡ n − C 3 {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\geq \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}-C_{2}>{\frac {1}{n}}\log n!-C_{2}\geq \log n-C_{3}} となる定数 C 2 , C 3 {\displaystyle C_{2},C_{3}} が存在することは ∑ p ≤ n log ⁡ p p ( p − 1 ) < ∑ k = 1 ∞ log ⁡ k k ( k − 1 ) < ∑ k = 1 ∞ 2 log ⁡ k k 2 {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p(p-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log k}{k(k-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\log k}{k^{2}}}} が収束することからわかる。 S ( x ) = ∑ p ≤ x log ⁡ p p , R ( x ) = S ( x ) − log ⁡ x {\displaystyle S(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}},R(x)=S(x)-\log x} とおく。第一定理より R ( x ) = O ( 1 ) {\displaystyle R(x)=O(1)} である。よって積分 ∫ 2 x R ( t ) d t t log 2 ⁡ t {\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}} は x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } のとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より ∑ p ≤ n 1 p = S ( n ) log ⁡ n + ∫ 2 n S ( t ) t log 2 ⁡ t d t = 1 + R ( n ) log ⁡ n + ∫ 2 n d t t log ⁡ t + ∫ 2 n R ( t ) d t t log 2 ⁡ t = log ⁡ log ⁡ n + 1 − log ⁡ log ⁡ 2 + R ( n ) log ⁡ n + ∫ 2 ∞ R ( t ) d t t log 2 ⁡ t − ∫ n ∞ R ( t ) d t t log 2 ⁡ t = log ⁡ log ⁡ n + 1 − log ⁡ log ⁡ 2 + ∫ 2 ∞ R ( t ) d t t log 2 ⁡ t + R ( n ) log ⁡ n + O ( ∫ n ∞ d t t log 2 ⁡ t ) = log ⁡ log ⁡ n + 1 − log ⁡ log ⁡ 2 + ∫ 2 ∞ R ( t ) d t t log 2 ⁡ t + O ( 1 log ⁡ n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}&={\frac {S(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {S(t)}{t\log ^{2}t}}dt\\&=1+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {dt}{t\log t}}+\int _{2}^{n}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}-\int _{n}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {R(n)}{\log n}}+O\left(\int _{n}^{\infty }{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}\right)\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+O\left({\frac {1}{\log n}}\right)\end{aligned}}} となるので、第二定理は b = 1 − log ⁡ log ⁡ 2 + ∫ 2 ∞ R ( t ) d t t log 2 ⁡ t {\displaystyle b=1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}} について成り立つ。 収束性は ∑ p ≤ n − log ⁡ ( 1 − 1 p ) = ∑ p ≤ n 1 p + ∑ p ≤ n ∑ m ≥ 2 1 m p m {\displaystyle \sum _{p\leq n}-\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}+\sum _{p\leq n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}} および ∑ p > n ∑ m ≥ 2 1 m p m = O ( ∑ p > n 1 p 2 ) = O ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{p>n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}=O\left(\sum _{p>n}{\frac {1}{p^{2}}}\right)=O\left({\frac {1}{n}}\right)} から、第二定理よりすぐに導かれる。 定数部分が e − γ {\displaystyle e^{-\gamma }} であることの証明は概略のみ述べる。 h ( s ) = ∑ p 1 p s , g ( s ) = h ( s ) + log ⁡ ζ ( s ) = ∑ p 1 p s − log ⁡ ( 1 − 1 p s ) , P ( x ) = ∑ p ≤ x 1 p {\displaystyle h(s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}},g(s)=h(s)+\log \zeta (s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}-\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right),P(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}} とおく（ g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる）。アーベルの総和公式を用いて h ( s ) = ( s − 1 ) ∫ 1 ∞ P ( t ) t s d t {\displaystyle h(s)=(s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {P(t)}{t^{s}}}dt} が得られる。ここで t = e u / ( s − 1 ) {\displaystyle t=e^{u/(s-1)}} とおくとオイラーの定数の積分表示から ( s − 1 ) ∫ 1 ∞ log ⁡ log ⁡ t t s d t = ∫ 1 ∞ e − u log ⁡ u s − 1 d t = − γ − log ⁡ ( s − 1 ) {\displaystyle (s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {\log \log t}{t^{s}}}dt=\int _{1}^{\infty }e^{-u}\log {\frac {u}{s-1}}dt=-\gamma -\log(s-1)} となる。これと第二定理を用いて h ( s ) + log ⁡ ( s − 1 ) + γ − b → 0 ( s → 1 + 0 ) {\displaystyle h(s)+\log(s-1)+\gamma -b\rightarrow 0(s\rightarrow 1+0)} が示せる。 ( s − 1 ) ζ ( s ) → 1 ( s → 1 + 0 ) {\displaystyle (s-1)\zeta (s)\rightarrow 1(s\rightarrow 1+0)} より g ( 1 ) = lim s → 1 + 0 g ( s ) = lim s → 1 + 0 ( h ( s ) + log ⁡ ζ ( s ) ) = b − γ {\displaystyle g(1)=\lim _{s\rightarrow 1+0}g(s)=\lim _{s\rightarrow 1+0}(h(s)+\log \zeta (s))=b-\gamma } つまり ∑ p ≤ x log ⁡ ( 1 − 1 p ) = − γ + b − P ( x ) + o ( 1 ) {\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma +b-P(x)+o(1)} である。再び第二定理を用いて ∑ p ≤ x log ⁡ ( 1 − 1 p ) = − γ − log ⁡ log ⁡ n + o ( 1 ) {\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma -\log \log n+o(1)} が得られ、第三定理が示される。 Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001  Apostol, Tom A. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4. MR0434929. Zbl 0335.10001  表示 編集