レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである。 10進法におけるn桁のレピュニットは R n = 10 n − 1 9 {\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}} の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、Rn は素数となる。2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数 ( M n = 2 n − 1 ) {\displaystyle (M_{n}=2^{n}-1)} である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、英: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。 m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。 100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。 レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。 Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。 nの値と必ず含まれる約数 偶数 - 11 4の倍数 - 11 · 101 6の倍数 - 3・7・11・13・37 3の倍数 - 3 · 37 5の倍数 - 41 · 271 7の倍数 - 239 · 4649 17の倍数 - 2071723 · 5363222357 など 前述の通り、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数の時、Rn は11で割り切れないから、R2 と　Rn　は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、 n-1 桁の数 9090…91 である。 これらの関係を表にまとめると以下のようになる。 nが偶数の時のR2n、その他 についての例は以下。 R12 = 11222211 × 9901 R20 = 1222210000122221 × 9091 R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001 R28 = 1222222100000012222221 × 909091 R36 = 111111222222222222111111× 999999000001 R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991 など R06 = 11 × (9091 + 1010) R08 = 11 × (909091 + 101010) R10 = 11 × (90909091 + 10101010) 現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した。 2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[リンク切れ]。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した。 2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。 (オンライン整数列大辞典の数列 A004023) レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている。 基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す。 n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。 ※ 素因数の数(含重複) 2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。 10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してn桁のレピュニットは R n ( a ) = a n − 1 a − 1 {\displaystyle R_{n}(a)={\frac {a^{n}-1}{a-1}}} と定義される。 前述の通り、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an − 1 の約数の和に一致する。 基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない（Bugeaud 1999b）。 Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、 R n ( a ) = ∏ d ∣ n , d > 1 F d ( a ) {\displaystyle R_{n}(a)=\prod _{d\mid n,\,d>1}F_{d}(a)} と表すことができる。 [脚注の使い方] ^ アルバート・ベイラーは以下のように記している： A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. ^ Beiler 2013, pp. 83 ^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417. ^ 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客 ^ 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客 ^ 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス ^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016 ^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1. ^ World!Of Numbers ^ Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem） ^ nombre - onze en maths ^ persistance et repdigits ^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。 ^ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List ^ “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。 ^ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List ^ “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月20日). 2022年3月29日閲覧。 ^ “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。 ^ 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語 ^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。 ^ Yann Bugeaud, On the diophantine equation a x n − 1 x − 1 = y q {\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}} , Number Theory ( Turku, 1999), 19–24, de Gruyter, 2001. Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4, https://books.google.co.jp/books?id=NbbbL9gMJ88C  Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0, https://books.google.co.jp/books?id=XnwsAQAAIAAJ  Francis, Richard L. 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