レイノルズの輸送定理

レイノルズの輸送定理（レイノルズのゆそうていり）は、主に連続体力学で用いられる定理で、変形形状 κ t {\displaystyle \kappa _{t}} 上の積分で表される物理量 θ {\displaystyle \theta } の物質時間導関数（物質時間微分）について成立する次の式のことである： D D t ∫ κ t θ ( x , t ) d v = ∫ κ t ( D θ D t + θ d i v v ) d v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v} 物質点に付随する物理量 θ {\displaystyle \theta } の変形形状 κ t {\displaystyle \kappa _{t}} における総量は、以下に示す体積積分で求められる： ∫ κ t θ ( x , t ) d v {\displaystyle \int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v} ここで、 θ ( x , t ) {\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)} は、時刻 t {\displaystyle t} における注目する物質点 x {\displaystyle x} の物質量である。 θ {\displaystyle \theta } は、スカラー値、ベクトル値、テンソル値のどれであっても以後の議論は成立する。 今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、物質時間導関数（物質時間微分） D / D t {\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t} を用いて次のように表される： D D t ∫ κ t θ ( x , t ) d v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v} 上の式では被積分関数である θ ( x , t ) {\displaystyle \theta (x,t)} に加えて、積分領域 κ t {\displaystyle \kappa _{t}} も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度 v {\displaystyle v} を用いて κ t {\displaystyle \kappa _{t}} の変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。 基準形状(変形なし形状) κ 0 {\displaystyle \kappa _{0}} における座標 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} と写像 χ {\displaystyle \chi } によって、変形形状における座標 x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} を表す。 x = χ ( X , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\chi ({\boldsymbol {X}},t)} 上記の変換に伴って、積分領域を変形形状 κ t {\displaystyle \kappa _{t}} から基準形状(変形なし形状) κ 0 {\displaystyle \kappa _{0}} に、積分変数を d v {\displaystyle {\textrm {d}}v} から d V {\displaystyle {\textrm {d}}V} に変換する。 D D t ∫ κ t θ ( x , t ) d v = D D t ∫ κ 0 θ ( χ ( X , t ) , t ) J d V {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v={\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V} ここで、基準形状(変形なし形状)κ0 における微小体積dV と、変形形状κt における微小体積dv には体積変化率J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。 d v = J d V {\displaystyle \mathrm {d} v=J\mathrm {d} V} 新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ0 は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。 D D t ∫ κ 0 θ ( χ ( X , t ) , t ) J d V = ∫ κ 0 D D t ( θ ( χ ( X , t ) , t ) J ) d V = ∫ κ 0 ( D θ D t J + θ D J D t ) d V {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}{\Bigl (}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J{\Bigr )}\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V} この式は D J D t = J d i v v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}=J\,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}} であることを利用すると、次のように整理される： ∫ κ 0 ( D θ D t J + θ D J D t ) d V = ∫ κ 0 ( D θ D t J + θ J d i v v ) d V = ∫ κ 0 ( D θ D t + θ d i v v ) J d V {\displaystyle \int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta J\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V} 今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ0 から変形形状κt に、積分変数をdV からdv に変換する。 ∫ κ 0 ( D θ D t + θ d i v v ) J d V = ∫ κ t ( D θ D t + θ d i v v ) d v {\displaystyle \int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v} 結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。 D D t ∫ κ t θ ( x , t ) d v = ∫ κ t ( D θ D t + θ d i v v ) d v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v} 連続の方程式は、物理量として密度ρを輸送定理に代入して導かれる。 京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2。