キーペルト円錐曲線

幾何学において、キーペルト円錐曲線（キーペルトえんすいきょくせん）は、三角形に関する2つの円錐曲線の総称である。一つはキーペルト双曲線（英: Kiepert hyperbola）、もう一つはキーペルト放物線（英: Kiepert parabola）である。 三角形 A B C {\displaystyle ABC} に対して3つの二等辺三角形を三角形 A ′ B C {\displaystyle A^{\prime }BC} , B ′ C A {\displaystyle B^{\prime }CA} , C ′ A B {\displaystyle C^{\prime }AB} を同じ向きに相似になるよう作る。このとき三角形 A B C {\displaystyle ABC} と A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }} は配景的で配景の中心の軌跡をキーペルト双曲線、配景の軸の包絡線をキーペルト放物線と言う。 キーペルト双曲線は3頂点、重心、垂心を通る円錐曲線、キーペルト放物線はオイラー線とX(110)をそれぞれ準線、焦点とする放物線としても定義できる。R. H. Eddy と R. Fritscは論文で、キーペルト円錐曲線について以下の様に言及している。 "If a visitor from Mars desired to learn the geometry of the triangle but could stay in the earth's relatively dense atmosphere only long enough for a single lesson, earthling mathematicians would, no doubt, be hard-pressed to meet this request. In this paper, we believe that we have an optimum solution to the problem. The Kiepert conics ..." 詳しくは「キーペルト双曲線」を参照 キーペルト双曲線は、1869年ルードヴィヒ・キーペルトが、1868年のエーミル・ルモワーヌの "三角形の辺に正三角形を外接させたときの頂点がつくる三角形" という問題の解法として示した双曲線である。 a , b , c {\displaystyle a,b,c} を各辺の長さ A , B , C {\displaystyle A,B,C} を角の大きさとする。 キーペルト双曲線は重心座標 x : y : z {\displaystyle x:y:z} で以下のように表される。 b 2 − c 2 x + c 2 − a 2 y + a 2 − b 2 z = 0. {\displaystyle {\frac {b^{2}-c^{2}}{x}}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.} キーペルト双曲線は X(115)でその重心座標は以下の式で与えられる。 ( b 2 − c 2 ) 2 : ( c 2 − a 2 ) 2 : ( a 2 − b 2 ) 2 {\displaystyle (b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}} . キーペルト双曲線の漸近線はブロカール軸のシムソン線である。 キーペルト双曲線は直角双曲線で、その離心率は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} である。 X(115)は九点円上にある。また第一、第二フェルマー点の中点である。 ブロカール軸上の点の等角共役の軌跡である。 正三角形でない三角形 A B C {\displaystyle ABC} と点 P {\displaystyle P} について、 p {\displaystyle p} を P {\displaystyle P} の三線極線とする。 p {\displaystyle p} がオイラー線に垂直であるような P {\displaystyle P} の軌跡はキーペルト双曲線である。 キーペルト放物線は1888年、ドイツの数学教師アウグスト・アルツトが"school program"の中で研究した放物線である。 キーペルト放物線は重心座標 x : y : z {\displaystyle x:y:z} で以下のように表される。 f 2 x 2 + g 2 y 2 + h 2 z 2 − 2 f g x y − 2 g h y z − 2 h f z x = 0 {\displaystyle f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0} ただし f = b 2 − c 2 a , g = c 2 − a 2 b , h = a 2 − b 2 c {\displaystyle f={\frac {b^{2}-c^{2}}{a}},g={\frac {c^{2}-a^{2}}{b}},h={\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}} . キーペルト放物線の焦点X(110)の重心座標は以下の式で与えられる。 a 2 b 2 − c 2 : b 2 c 2 − a 2 : c 2 a 2 − b 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b^{2}}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}} X(110)はパリー円、外接円上にある。 オイラー線上の点PをBC,CA,ABで鏡映した点をそれぞれA',B',C'とするとA'BC,AB'C,ABC'の外接円はX(110)で交わる。 キーペルト放物線の準線はオイラー線である。 キーペルト放物線は、ルモワーヌ軸、無限遠線に接する。 キーペルト放物線と各辺の接点はシュタイナー点のチェバ三角形の頂点である。 外接三角形のフォイエルバッハ点はX(110)である。つまり、シュタムラー双曲線の中心である。 三角形ABCとA'B'C'の配景の中心の軌跡 直線LMNの包絡線 キーペルト放物線の準線 接円錐曲線 三角形の中心 三角形の二次曲線 ^ a b c “X(110)=Focus of Kiepert Parabola”. Encyclopedia of Triangle Centers. 4 February 2022閲覧。 ^ a b c Eddy, R. H. and Fritsch, R. (1994). “The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle”. Math. Mag. 67 (3): 188–205. doi:10.1080/0025570X.1994.11996212.  ^ Sharp, J. (2015). “Artzt parabolas of a triangle”. The Mathematical Gazette 99 (546): 444–463. doi:10.1017/mag.2015.81.  ^ 小倉金之助 訳『初等幾何學 第2卷 空間之部』山海堂、1915年、853頁。doi:10.11501/1082037。  ^ Weisstein, Eric W.. “Kiepert Parabola” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月27日閲覧。 Weisstein, Eric W.. “Kiepert Hyperbola”. MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 5 February 2022閲覧。