アルティン・リースの補題

数学において、アルティン・リースの補題（英: Artin–Rees lemma）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとDavid Rees（英語版）によって独立に証明された。特別な場合はオスカー・ザリスキに先に知られていた。 この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる。 I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して I n M ∩ N = I n − k ( I k M ∩ N ) {\displaystyle I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N)} が成り立つ。 必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う。 任意の環 R および R のイデアル I に対して、 b l I R = ⨁ n = 0 ∞ I n {\displaystyle \textstyle \mathrm {bl} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}} とおく（blow-up のbl）。部分加群の減少列 M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ M 2 ⊃ ⋯ {\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots } が I-フィルター（I-filtration）であるとは、 I M n ⊂ M n + 1 {\displaystyle IM_{n}\subset M_{n+1}} が成り立つときにいう。さらに、それが安定（stable）であるとは、十分大きい n に対して I M n = M n + 1 {\displaystyle IM_{n}=M_{n+1}} であるときにいう。M に I-フィルターが与えられているとき、 b l I M = ⨁ n = 0 ∞ M n {\displaystyle \textstyle \mathrm {bl} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}} とおく。これは b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上の次数加群である。 さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター M i {\displaystyle M_{i}} が与えられているとする。次のことを確認する。 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} が b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。 実際、フィルターが I-安定であれば、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} ははじめの k + 1 {\displaystyle k+1} 個の M 0 , … , M k {\displaystyle M_{0},\dots ,M_{k}} によって生成され、これらは有限生成であるので、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} も有限生成である。逆に、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} が有限生成であれば、 ⨁ j = 0 k M j {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}} として、 n ≥ k {\displaystyle n\geq k} に対して、各 f ∈ Mn は f = ∑ a i j g i j , a i j ∈ I n − j {\displaystyle f=\sum a_{ij}g_{ij},\quad a_{ij}\in I^{n-j}} と書ける。ただし g i j {\displaystyle g_{ij}} は M j , j ≤ k {\displaystyle M_{j},j\leq k} の生成元。つまり、 f ∈ I n − k M k {\displaystyle f\in I^{n-k}M_{k}} である。 これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。 M n = I n M {\displaystyle M_{n}=I^{n}M} とする。すると M n {\displaystyle M_{n}} は I-安定なフィルターである。したがって、上記より、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} は b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上有限生成である。しかし b l I R ≃ R [ I t ] {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R\simeq R[It]} は R がネーター環なのでネーター環である。（環 R [ I t ] {\displaystyle R[It]} はリース代数（英語版）と呼ばれる。）したがって、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} はネーター加群であり任意の部分加群は b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち N n = M n ∩ N {\displaystyle N_{n}=M_{n}\cap N} であるとき、 b l I N {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}N} は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。 環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem) ネーター局所環の真のイデアル I に対して、 ⋂ n = 1 ∞ I n = 0 {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0} の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して I k + 1 ∩ N = I ( I k ∩ N ) {\displaystyle I^{k+1}\cap N=I(I^{k}\cap N)} が成り立つ。すると N = I N {\displaystyle N=IN} なので中山の補題によって N = 0 {\displaystyle N=0} である。 ^ Atiyah & MacDonald 1969, pp. 107–109. ^ Eisenbud 1995, Lemma 5.1. Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969), Introduction To Commutative Algebra, Addison-Wesley Series in Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-00361-9, MR0242802, Zbl 0175.03601, https://books.google.co.jp/books?id=HOASFid4x18C  Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR1322960, Zbl 0819.13001, https://books.google.co.jp/books?id=xDwmBQAAQBAJ  Artin-Rees Theorem - PlanetMath.org（英語）