四重積 (ベクトル解析)

四重積（よんじゅうせき）とは3次元ユークリッド空間における4つのベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー四重積とベクトル四重積の総称である。 スカラー四重積は2つのクロス積のドット積である。 ( a × b ) ⋅ ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})} ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。 幾何学的には a, b で張られた面積ベクトルと c, d で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。 以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式) ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) = det ( a ⋅ c a ⋅ d b ⋅ c b ⋅ d ) {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\\&=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} が成り立つ。 スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( ( a × b ) × c ) ⋅ d = ( ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a ) ⋅ d = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=(({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=(({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\end{aligned}}} と導ける。 あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) ( c i d j − c j d i ) = ( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) {\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)} を既知とすれば、n=3の特別な場合として、上記の式が得られる。 また、特別な場合である ‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}} も有用な公式でラグランジュの恒等式（英語版）と呼ばれる。 ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。 ( a × b ) × ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})} ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。 幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。 ベクトル三重積の公式を使えば ( a × b ) × ( c × d ) = [ a , b , d ] c − [ a , b , c ] d = [ a , c , d ] b − [ b , c , d ] a {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}} が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。 2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×b)×Y とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。 2つの右辺が等しいことより恒等式 [ a , b , c ] r = [ r , b , c ] a + [ a , r , c ] b + [ a , b , r ] c {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}} が得られる。 これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が ( [ r , b , c ] [ a , b , c ] , [ a , r , c ] [ a , b , c ] , [ a , b , r ] [ a , b , c ] ) {\displaystyle \left({[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]}\right)} であること示す。 あるいは、(a b c)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式 ( a   b   c ) ( x y z ) = r {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}}){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\boldsymbol {r}}} に対するクラメルの公式 ( x y z ) = 1 det ( a   b   c ) ( det ( r   b   c ) det ( a   r   c ) det ( a   b   r ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={1 \over \det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})}{\begin{pmatrix}\det({\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {r}})\end{pmatrix}}} と同じである。 なお、 ( a × b ) × ( a × c ) = [ a , b , c ] a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}} が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。 a と b で作られる平面と、 a と c で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、a と b と c が一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。 Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics. Scribner. https://archive.org/details/vectoranalysiste00gibbiala  丸山祐一、喜多義範『理工系 ベクトル解析』共立出版、2003年。ISBN 4320017439。  小野寺嘉孝『なっとくするベクトル』講談社、2001年。ISBN 4061545337。  北野正雄『マクスウェル方程式―電磁気学のよりよい理解のために』サイエンス社、2009年。ISBN 4781912222。  三重積 (ベクトル解析) ビネ・コーシーの恒等式 ラグランジュの恒等式（英語版）