パフィアン

数学、特に線型代数において、パフィアン(ぱふぃあん、英: Pfaffian)もしくはパッフィアンとは、偶数次の交代行列に対して定義される斉次多項式で、行列式の平方根に相当する。一般的には行列式の平方根は根号を使って書き表す必要があるが、偶数次の交代行列の場合は行列の要素の多項式で平方根を書き表すことができることが知られており、これがパフィアンに相当する。 なお奇数次の歪対称行列の場合は行列式は常に 0 になることが知られている。よって奇数次の場合には「行列式の平方根」も 0 になる。 表現論や組合せ論において応用されるほか、数理物理においては、可積分系の方程式のソリトン解の表示や可解格子の一種であるダイマー模型の分配関数の計算等に応用される。パフィアンという語は、その性質を研究したイギリスの数学者アーサー・ケイリーによって名づけられたものであり、最初にパフィアンを導入したドイツの数学者J. F. パフ（英語版）に因むものである。 2n 次の交代行列 A = (aij)1≤i,j≤2n (aij = −aji) に対し、 Pf ⁡ ( A ) = ∑ σ ∈ F 2 n sgn ⁡ ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\textstyle \sum \limits _{\sigma \in F_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}} で定義される n 次の斉次多項式 Pf(A) を n 次のパフィアンと呼ぶ。ただし、F2n は 2n 次の対称群 S2n の部分集合で、 F 2 n = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( 1 ≤ i ≤ n ) , σ ( 1 ) < σ ( 3 ) ⋯ < σ ( 2 n − 1 ) } {\displaystyle F_{2n}=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (1\leq i\leq n),\,\sigma (1)<\sigma (3)\cdots <\sigma (2n-1)\}} を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、 Pf ⁡ ( A ) = 1 2 n n ! ∑ σ ∈ S 2 n sgn ⁡ ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) = 1 n ! ∑ σ ∈ F 2 n ′ sgn ⁡ ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\\&={\frac {1}{n!}}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in F_{2n}'}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\end{aligned}}} という表示も可能である。ただし F 2 n ′ = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( i = 1 , ⋯ , n ) } {\displaystyle F_{2n}'=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (i=1,\cdots ,n)\}} である。 ベクトル空間 V の基底 e1, e2, …, e2n を用い、外積代数 Λ(V) における2形式 ω = ∑ i < j a i j e i ∧ e j ( a i j = − a j i ) {\displaystyle \omega =\textstyle \sum \limits _{i<j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}\quad (a_{ij}=-a_{ji})} を定義すると、その n 乗の外積は ∧ n ω = ω ∧ ω ∧ ⋯ ∧ ω = 1 n ! Pf ⁡ ( A ) e 1 ∧ e 2 ∧ ⋯ ∧ e 2 n {\displaystyle \wedge ^{\,n}\omega =\omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega ={\frac {1}{n!}}\operatorname {Pf} (A)e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}} であり、自然な形でパフィアンが現れる。 パフィアンを表す記法としては、Pf(A) のほかに、行と列の区別を排した Pf ⁡ ( a 1 , a 2 , ⋯ , a 2 n ) , Pf ⁡ ( 1 , 2 , ⋯ , 2 n ) ( Pf ⁡ ( a i , a j ) = a i j ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{2n}),\,\,\,\operatorname {Pf} (1,2,\cdots ,2n)\quad (\operatorname {Pf} (a_{i},a_{j})=a_{ij})} といった記法がある。また、スコットランドの数学者トーマス・ミューア（英語版）によって導入された行列式の記法 |A| において右上半分だけ表示する、 | a 12 a 13 ⋯ a 12 n a 23 ⋯ a 22 n ⋱ ⋮ a 2 n − 12 n | {\displaystyle \left.{\begin{matrix}|a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{12n}\\&a_{23}&\cdots &a_{22n}\\&&\ddots &\vdots \\&&&a_{2n-12n}\end{matrix}}\right|} も用いられる。 便宜上、F2n の元である置換 σ を順列 (σ(1), …, σ(2n)) の形で表すこととする。 n = 1 の場合 n = 1 のときの F2 の元は (1, 2) だけであり、その符号 sgn(σ) は +1 であるから、 Pf ⁡ ( A ) = a 12 {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=a_{12}} となる。 n = 2 の場合 n = 2 の場合は、F4 の元は (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3) であり、それぞれの符号 sgn(σ) は +1, −1, +1 であるから、 Pf ⁡ ( A ) = a 12 a 34 − a 13 a 24 + a 14 a 23 {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}} となる。 最も基本的な性質は、交代行列 A に対して、その行列式との間に成り立つ関係式 det ⁡ ( A ) = ( Pf ⁡ ( A ) ) 2 {\displaystyle \operatorname {det} (A)=(\operatorname {Pf} (A))^{2}} である。また、2n次交代行列 A, 2n次正方行列 B に対して、 Pf ⁡ ( t B A B ) = det ⁡ ( B ) Pf ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Pf} ({}^{t}\!BAB)=\operatorname {det} (B)\operatorname {Pf} (A)} が成り立つ。 また、n次正方行列 B について、 Pf ⁡ ( 0 B − t B 0 ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 det B {\displaystyle \operatorname {Pf} {\begin{pmatrix}0&B\\-{}^{t}\!B&0\end{pmatrix}}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\det B} . が成り立つ。 2n次交代行列 A に対し、A から i, j 行、i, j 列を取り除いた 2(n − 2)次交代行列を A(i, j) と表すと Pf ⁡ ( A ) = ∑ j = 1 2 n ( − 1 ) i + j + 1 a i j Pf ⁡ ( A ( i j ) ) = ∑ j = 1 2 n ( − 1 ) i + j + 1 Pf ⁡ ( a i , a j ) Pf ⁡ ( a 1 , ⋯ , a i ^ , ⋯ , a j ^ , ⋯ , a 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&=\textstyle \sum \limits _{j=1}^{2n}(-1)^{i+j+1}a_{ij}\operatorname {Pf} (A^{(ij)})\\&=\textstyle \sum \limits _{j=1}^{2n}(-1)^{i+j+1}\operatorname {Pf} (a_{i},a_{j})\operatorname {Pf} (a_{1},\cdots ,{\hat {a_{i}}},\cdots ,{\hat {a_{j}}},\cdots ,a_{2n})\end{aligned}}} が成り立つ。ただし、2行目において、ˆ は、その成分を取り除くことを意味する。これは行列式における余因子展開に相当する。 ^ P. W. Kasteleyn, "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice". Physica 27 (12) pp. 1209–1225 (1961). doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5 ^ A. Cayley, "On the theory of permutants," Cambridge and Dublin Mathematical Journal 7 , pp. 40–51 (1852). ^ J. F. Pfaff, "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, completi integrandi," Abhandlungen der Königlich-Preuß ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Klasse , pp. 76–136 (1814). Thomas Muir (sir.), A treatise on the theory of determinants", Macmillan and Co. (1882) Thomas Muir (sir.), The theory of determinants in the historical order of development, Macmillan and Co. (1906) Roe Goodman and Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics) Springer (2009) ISBN 978-0387798516 岡田聡一『古典群の表現論と組合せ論〈上〉（数理物理シリーズ）』培風館 (2006) ISBN 978-4563006631 広田良吾『直接法によるソリトンの数理』岩波書店(1992) ISBN 978-4000056762 高崎金久『線形代数と数え上げ』日本評論社 (2012) ISBN 978-4535786806 行列式 『行列のパフィアン，パーマネント，ハフニアン』 - 高校数学の美しい物語