等差数列

数学における等差数列（とうさすうれつ）または算術数列（さんじゅつすうれつ、（英: arithmetic progression, arithmetic sequence）とは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差を公差（こうさ、（英: common difference）という。 例えば、5, 7, 9, … は初項 5, 公差 2 の等差数列である。同様に、1, 7, 13, … は公差 6 の等差数列である。 等差数列の初項を a0 とし、その公差を d とすれば、第n 項 an は a n = a 0 + n d {\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd} であり、一般に a n = a m + ( n − m ) d {\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d} と書ける。 等差数列の和は算術級数 (arithmetic series) という。等差数列の無限和（無限算術級数）は発散級数である。 有限の等差数列の和を算術級数と言う。公差 d の等差数列の第 n 項まで a0, a1, …, an の総和は、 S n = ∑ k = 0 n a k = a 0 + a 1 + ⋯ + a n = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 = ( n + 1 ) 2 a 0 + n d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}} と表される。この種の式は、フィボナッチの『算盤の書』（"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12）に登場する。 算術級数の公式は、算術級数 Sn の各項を初項 a0 で書き換えたものと、末尾の項 an で書き換えたもの和から 2Sn を求めることで得られる： S n = a 0 + ( a 0 + d ) + ( a 0 + 2 d ) + ⋯ + ( a 0 + n d ) + S n = a n + ( a n − d ) + ( a n − 2 d ) + ⋯ + ( a n − n d ) 2 S n = ( a 0 + a n ) + ( a 0 + d + a n − d ) + ( a 0 + 2 d + a n − 2 d ) + ⋯ + ( a 0 + n d + a n − n d ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}} 右辺では公差 d を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局 2Sn = (n + 1)(a0 + an) となる。両辺を 2 で割れば S n = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 {\displaystyle S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}} を得る。そして算術級数の平均値 Sn/n + 1 は、明らかに a0 + an/2 である。499年に、インド数学・天文学（英語版）古典期の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、Aryabhatiya（英語版） (section 2.18) でこのような方法を与えている。 初項 a0 で、公差 d の等差数列に対して、初項から 第 n 項までの総乗 P n := a 0 ⋅ a 1 ⋅ ⋯ ⋅ a n = a 0 ⋅ ( a 0 + d ) ⋅ ⋯ ⋅ ( a 0 + n d ) = d a 0 d ⋅ d ( a 0 d + 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ d ( a 0 d + n ) = d n + 1 ( a 0 d ) n + 1 ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}} （ x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} は上昇階乗冪）はガンマ関数 Γ を用いて P n = d n + 1 Γ ( a 0 d + n + 1 ) Γ ( a 0 d ) {\displaystyle P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}} という閉じた式（英語版）によって計算できる（ただし、a0/d が負の整数や 0 となる場合は、式は意味を持たない）。Γ(n + 1) = n! に注意すれば、上記の式は、1 から n までの積 1 × 2 × ⋯ × n = n! および正の整数 m から n までの積 m × (m + 1) × ⋯ × (n − 1) × n = n!/(m − 1)! を一般化するものであることが分かる。 任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである（中国の剰余定理から示せる）。両側無限等差数列からなる族に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族はヘリー族（英語版）である。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。 [脚注の使い方] 注釈 ^ 通常の意味では無限算術級数は発散するから、その和はそもそも無意味である。 ^ よく聞かれる伝承として、カール・フリードリヒ・ガウスがこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師J. G. Bütnerが生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答 (5050) を出したため、Bütner と助手のMartin Bartels（英語版））がいたく驚いた、というものである。 出典 ^ Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L., Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2, Amsterdam: Elsevier, pp. 381-432, MR1373663 . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394. Fibonacci, Leonardo ; Sigler, Laurence E.訳 (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259-260. ISBN 0-387-95419-8  線型差分方程式 等差×等比数列 一般化算術数列：算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの 調和数列 三辺が算術整数列を成すヘロン三角形（英語版） 算術数列を含む問題（英語版） Utonality 等比数列 算術級数定理 プロジェクト 数学 ポータル 数学 『等差数列の和』 - 高校数学の美しい物語 Weisstein, Eric W. "Arithmetic Progression". mathworld.wolfram.com (英語). Weisstein, Eric W. "Arithmetic Series". mathworld.wolfram.com (英語). Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Arithmetic progression”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Arithmetic_progression  arithmetic progression - PlanetMath.（英語） Definition:Arithmetic Progression at ProofWiki Sum of Arithmetic Progression at ProofWiki 表示 編集